Epistémologie, Histoire et Enseignement des
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1. la r forme des math matiques modernes in Les Sciences au Lyc e o c 9La question reste pos e de la part n cessaire de ces math matiques pour tous nous ne l aborderons pas dans le cadre de cet article 10Pour une pr sentation de la didactique nous renvoyons l ouvrage de Samuel Johsua et Jean Jacques Dupin Introduction la didactique des sciences et des math matiques PUF Paris 1993 et aux analyses de cet ouvrage dans Rep res IREM n 19 avril 1995 pour une analyse critique partielle de cette vo lont de scientificit nous renvoyons Rudolf Bkouche La formation des ma tres professionnalisation ou formation professionnelle IREM de Lille 1993 et Variations sur n cessit et suffisance Rep res IREM n 18 janvier 1995 11Pour une pr sentation de ce courant nous renvoyons l ouvrage dit par la Commission Inter IREM Epist mologie Pour une perspective historique dans l enseignement des math matiques Bulletin Inter IREM Lyon 1988 Rappelons que les IREM Institut de Recherche sur l Enseignement des Math ma tiques existent en France depuis 1969 et regroupent des enseignants de tous les ordres d enseignement universit lyc e et coll ge cole l mentaire logique qui l accompagne les conditions qui devraient enfin permettre de r ussir l ensei gnement des math matiques 2 La question n est pas de convaincre les enseignants de math matiques que l in troduction d une perspective historique l2. l pist mologie g n tique o c tome 1 p 45 o se dessine une r flexion sur la r forme des math matiques modernesf elle a conduit Piaget identifier ce qu il consid re comme les structures profondes de la connaissance math matique lesquelles rel veraient selon Piaget de la psychologie avec les struc tures m res de Bourbaki structures d ordre structures alg briques structures topolo giques telles qu elles ont d finies dans son article programme L architecture des sciences math matiques 7 Une telle identification impliquait une harmonie entre le d veloppement des math matiques contemporaines et l apprentissage des math matiques la construction bourbakienne apparaissant moins comme un moment de l histoire des math matiques que comme le mode de construction de la pens e math matique l apprentissage des math matiques passait ainsi par les structures m res dont Bourbaki avait expliqu dans l article cit ci dessus comment elle fondaient les math matiques S appuyant sur l analogie suppos e entre les structures de la pens e telle qu elle se construisent chez l enfant et les structures m res de Bourbaki cf ci dessus Piaget explique alors la construction de la connaissance g om trique chez l enfant d un point de vue structural les structures topologiques pr c dent les structures projectives lesquelles pr c dent les structures m triques la connaissance g om trique se construit ainsi selon un sc
3. It seems to me to be one of the chief objects of ma thematical instruction to develop the faculty of per ceiving this simplicity and harmony which we can not fail to observe in the theoretical physics of the present day 8 Hermann Weyl Dans un ouvrage de r flexion sur l activit scientifique Emile Picard crivait On doit d ailleurs reconna tre qu il est indispensable pour le progr s de la science que les choses paraissent simples Notons d abord que Picard ne dit pas que les choses sont simples mais demande qu elles paraissent simples Cette exigence marque ainsi moins une propri t du monde que la volont de l esprit humain de construire la simplicit du monde Et faut il rappe ler que les math matiques sont l un des lieux privil gi s o se construit la simplicit du monde Exigence fondatrice de la pens e scientifique cet id al de simplicit ne saurait tre ignor de cette initiation la pens e scientifique que constitue l enseignement des sciences C est cet id al de simplicit qui permet de comprendre les raisons des so phistications n cessaires labor es tout au long de l histoire des sciences sophistica tions dont le premier objectif reste de rendre plus ais l int rieur d un domaine de la connaissance autant les instruments techniques pour r soudre les probl mes que l on y rencontre que les constructions conceptuelles qui permettent une appr hension globale de ce domaine de la co
4. ou du futur enseignant dans l activit enseignante Cela pose videmment la question de la place de l pist mologie et de l histoire des sciences dans la formation des ma tres Nous distinguerons ici la r flexion pist mologique en tant qu elle est consti tuante d une pens e et l pist mologie en tant que discours constitu c est la r flexion pist mologique en tant que r flexion sur la constitution du savoir que je mettrai en avant dans la mesure o cette r flexion participe de la r flexion p dagogique de m me que cette derni re s ins re dans une r flexion pist mologique dans la mesure o l acti vit d enseignement en tant qu elle participe de la transmission d un savoir pose le pro bl me de la relation entre construction du savoir et acquisition du savoir Cela dit la r flexion pist mologique ne devient consistante que si elle s appuie sur le discours constitu de l pist mologie de m me qu on imagine mal qu un l ve reconstruise de lui m me un savoir d j constitu encore que certains courants p dagogistes actuels se complaisent dans une telle conception de l enseignement on imagine difficilement une r flexion spontan e sur l activit scientifique c est dire que la r flexion pist molo gique personnelle se construit sur une culture acquise c est en ce sens que l on peut demander que la formation des ma tres prenne en charge un enseignement de l pist mologie et de l histoire de
5. se a sans doute une vaste juridiction elle a aussi ses limites Nous ne discuterons pas ici le point de vue de Frege qui oppose quant aux tra vaux sur les fondements des math matiques m thode logique et m thode historique nous voulons seulement nous appuyant sur la critique de Frege mettre l accent sur l ambigu t de ce que l on appelle la m thode historique ambigu t que l on peut situer dans la confusion entre l origine des notions et l histoire de leurs d couvertes pour re prendre une distinction propos e par Leibniz l origine renvoyant un ordre naturel des id es ind pendant de l esprit humain alors que l histoire renvoie aux accidents et occasions qui permettent les d couvertes On peut demander l histoire de d couvrir l essence des choses en retrouvant leur gen se ce qui suppose une signification premi re originelle la compr hension des choses passant n cessairement par les retrouvailles de cette signification premi re L histoire devient ainsi sa propre n gation son objet est moins de comprendre un pro cessus historique en tant que tel que de s appuyer sur le d veloppement historique pour red couvrir un sens originel perdu en ce qui concerne l enseignement la m thode historique serait alors le moyen d atteindre cette signification premi re La m thode his torique ainsi con ue repose sur une double illusion d une part l existence d une signifi cation premi re assimil e l essence
6. Arithm tique Alg bre et G om trie classe de cinqui me des lyc es et coll ges Fernand Nathan Paris 1948 p 91 13 probl me C est cette simplification de la r solution des probl mes qui conduit prendre conscience de l int r t du calcul litt ral et des raisons de le d velopper les po lyn mes et la th orie des quations viendront apr s On peut rapprocher les assertions de Leboss et H mery de celle de Descartes ouvrant la G om trie Tous les probl mes de g om trie se peuvent facilement r duire tels termes qu il n est besoin par apr s que de conna tre la longueur de quelques lignes droites pour les construire 52 La m thode cart sienne consiste alors d abord restreindre le champ des lon gueurs d terminer aux seules longueurs de droites parall les aux directions de coor donn es ensuite crire en utilisant le calcul de Vi tes les quations auxquelles satis font les longueurs inconnues cherch es et r soudre les quations correspondantes On voit ainsi comment le calcul permet de r soudre ais ment les probl mes d s lors que l on sait les r duire au calcul Le calcul litt ral qui permet de calculer indiff remment sur les quantit s connues ou inconnues conduit alors par la seule utilisation des r gles de calcul la r solution du probl me pos Nous ne nous tendrons pas ici sur la m thode de la g om trie analytique nous voulions seulement dire comment elle parti
7. Comme souvent dans ce type de travaux au carrefour de la militance et de la scientificit un enthousiasme justifi a conduit un certain tat d esprit de pros lytisme pros lytisme n cessaire dans la mesure o il a permis des enseignants de s int resser aux aspects historiques de la discipline qu ils enseignent c est dire la fa on dont elle s est construite et d velopp e jusqu son tat actuel mais pros lytisme dangereux lorsqu il conduit chercher dans l histoire des math matiques et dans la r flexion pist mo TJe pr f re ici employer le terme appr hension au terme apprentissage lequel me semble tre devenu via les diverses tentatives de th orisation trop restrictif pour le probl me que nous posons J utiliserai par contre le terme apprentissage d barrass de ses connotations constructivistes pour parler de l activit des l ves plac s en situation d l ves devant appr hender un domaine de la connaissance 8Nous ne poserons pas ici la question des raisons qui conduisent vouloir rendre accessible au plus grand nombre la connaissance des math matiques on peut consid rer que ces raisons s appuient d une part sur l id al de d mocratisation issu des Lumi res d autre part sur l id ologie des math matiques partout d fendue par les r formateurs des math matiques modernes cf Rudolf Bkouche La place de la g om trie dans l enseignement des math matiques en france de la r forme de 1902
8. Nicolas Rouche o c chapitre 1 Rudolf Bkouche La formation des ma tres professionnalisation ou formation professionnelle o c 15 16 celui qui enseigne de prendre en compte dans son enseignement la construction de cette simplicit et d amener ceux qui sont enseign s comprendre le sens de cette simplicit comprendre combien la construction de cette simplicit est difficile mais comprendre aussi pourquoi cela vaut la peine de prendre en charge une telle difficult 60bour reprendre une expression de Francisco Sanchez dans l heureuse traduction de Andr e Camparot cf Francisco Sanchez Il n est science de rien 1581 traduit du latin par Andr e Camparot Klinck sieck Paris 1984 p 167
9. Programme d rlangen de Felix Klein On voit appara tre ici le lien entre cette construction du simple et l pist mologie des probl matiques dont nous avons parl ci dessus Du point de vue de l enseignement cela nous rappelle que le simple n est pas donn qu il est au contraire l un des objectifs de l enseignement peut tre l un des objectifs les plus difficiles Pour revenir la notion de groupe rien ne semble plus facile que d en donner la d finition et d en montrer quelques propri t s l mentaires puis par souci de concret comme on aime dire d exhiber quelques groupes parmi les contenus enseign s pour en montrer l int r t En quoi cela permet il de comprendre la richesse du concept de groupe en quoi cela permet il de comprendre cette simplicit dont nous avons parl ci dessus Notons que la d marche oppos e qui consiste exhiber d abord quelques situations concr tes pour justifier la d finition formelle n est pas plus ad quate Le probl me n est pas de r pondre cette difficile question de la simplicit avec le risque de retomber dans les illusions de la r forme des math matiques modernes ce que j ai appel par ailleurs l illusion langagi res C est justement le r le d une r flexion pist mologique sur la signification de la simplicit dans la science qui peut permettre 58Ce mode d emploi accompagnait les premiers fascicules publi s par Bourbaki SRudolf Bkouche Bernard Charlot
10. des choses d autre part la n cessit d atteindre cette signification premi re pour comprendre les choses que l on tudie c est une telle conception de l histoire que critique avec raison Frege On peut aussi chercher dans l histoire moins une origine illusoire que la compr hension d un certain type de d veloppement en ce qui concerne l histoire des sciences la question n est plus celle de la gen se d une notion au sens o cette gen se nous don nerait la cl c est dire le moyen d atteindre l essence de cette notion elle est celle d une part des conditions de son mergence lorsque cela est possible 8 d autre part des modes de d veloppement de cette notion ce qui nous renvoie l pist mologie des probl matiques Dans une telle conception la mise en place d une perspective histo 2 Gottlob Frege Les Fondements de l Arithm tique 1884 traduction et introduction de Claude Imbert Editions du Seuil Paris 1969 p 119 26Leibniz Nouveaux Essais sur l Entendement Humain Garnier Flammarion Paris 1966 livre III cha pitre 1 p 237 27Nous rapprocherons cette conception de l histoire des conceptions de Hegel qui en cherchant une signi fication globale de l histoire se propose moins de l tudier dans sa r alit que de la red finir afin de la mieux placer dans son cadre suppos Dans ces conditions l essence des choses repr sente moins le d ve loppement historique que les conceptions de l historien autreme
11. leur d but il s empresse de pr ciser N anmoins le trait est destin plus particuli rement des lecteurs poss dant au moins une bonne connaissance des mati res enseign es dans la premi re ou les deux premi res ann es de l Universit rappelant ainsi que l ouvrage n est pas un ouvrage d enseignement et qu il ne s adresse pas au d butant C est que la simplicit des constructions structurales ne peut tre per ue que dans une compr hension globale des math matiques Ainsi la d finition d un groupe aussi simple soit elle dans sa formulation et d une certaine fa on elle est trop simple non seulement n puise pas la richesse de la notion mais risque d occulter pour le lecteur non averti ce qui fait l int r t de cette no tion en r duisant celle ci sa seule d finition et ses premi res propri t s Autant dire que ce qui importe ici c est moins la simplicit en tant que telle que la construction du simple que constitue la mise en place d un concept ici le concept de groupe par rapport aux probl mes dans lequel il intervient la notion de groupe n est pas n e d une d finition formelle s ins rant dans le cadre d une alg bre structur e telle que l expose l ouvrage de Bourbaki mais de son usage dans l tude de probl mes sp cifiques tels celui de la r solution des quations alg briques avec le point de vue galoisien ou celui de l tude des transformations g om triques avec le point de vue du
12. res c est le principe de l axiomatique eu clidienne et l on sait que les El ments d Euclide ont constitu et constituent encore pour les h ritiers de la pens e grecque le mod le de toute activit scientifique voire de toute activit qui se veut fond e en raison Les propri t s topologiques restent implicites 36Jean Piaget et al L Enseignement des math matiques publi par la CIEAEM Commission Inter na tional pour l tude et l Am lioration de l Enseignement des Math matiques Delachaux amp Niestl Neu ch tel Paris 1955 chapitre premier Les structures math matiques et les structures op ratoires de l intel ligence par Jean Piaget chapitre III L abstraction en math matiques et l volution de l alg bre par Jean Dieudonn 37Nicolas Bourbaki L architecture des math matiques in Les grands courants de la pens e math ma tique pr sent s par Fran ois Le Lionnais Cahiers du Sud Paris 1948 r dition Blanchard Paris 1962 38Jean Piaget et al L Enseignement des math matiques op cit p 14 3L exemple canonique tant l Ethique de Spinoza peut tre cause de leur vidence intuitive et il faudra attendre le XVIII me si cle pour qu elles posent probl me Quant aux notions projectives elles prennent naissance autour des pratiques perspectivistes c est la n cessit de mettre en ordre ces pratiques et l ordre ici est d abord l ordre euclidien qui conduit les g om tres mettre en avant ce
13. sujet d expliciter ces structures profondes c est ainsi qu il crit l Les math matiques reposent sur un ensemble d op rations constitutives dont la conscience na ve prend simplement acte tandis que la r flexion critique dite th orie du fondement des math matiques en poursuit syst matiquement l analyse Ce n est pas ici le lieu d une tude approfondie du cercle piag tien cercle incon tournable dans toute tentative d explication de la construction de la connaissance par le sujet connaissant et qui marque les limites de la scientificit d une telle tentative 2 La position piag tienne pose alors une double question La premi re question est celle des limites de l identification des structures cogni tives profondes si elles existent et des structures mises en place par un domaine de la science au cours de son d veloppement Quel est le lien par exemple entre les notions topologiques de la connaissance na ve et les structures topologiques des math matiques contemporaines question que l on peut pr ciser de la fa on suivante dans quelle mesure les notions na ves sont elles constitutives des constructions structurales et dans 40Peut tre faut il rappeler ce truisme qui nous dit qu un domaine de la connaissance n a pas besoin de telles l gitimations pour se d velopper et que le r le de l pist mologie est essentiellement de comprendre comment un domaine de la connaissance se d veloppe et comment il construit les
14. Epist mologie Histoire et Enseignement des Math matiques rudolf bkouche IREM de Lille France Ce qui est objet d enseignement n a que la force que lui pr te celui qui est enseign Francisco Sanchez Il n est Science de Rien La science n est pas fabriqu e pour tre enseign e elle a ses enjeux propres qui sont comme le dit l adage de comprendre le monde et de le transformer Dans une so ci t donn e la science peut alors avoir plus ou moins d importance autrement dit la valeur sociale de la science c est dire la valeur accord e par la soci t ou du moins par ceux qui se consid rent tort ou raison l lite repr sentative de cette soci t peut tre plus ou moins grande et les raisons de cette valeur sociale peuvent tre diverses C est cette valeur sociale qui conduit la mise en place d un enseignement scientifique mettant en valeur certains domaines de la science ainsi les math matiques l poque des deux grandes r formes de l enseignement scientifique de ce si cle les ann es 1900 et les ann es 19707 ainsi ce qui semble vraisemblable l informatique et les sciences connexes au d but du prochain si cle mais c est aussi cette valeur sociale qui d finit les enjeux des domaines de la connaissance enseign s enjeux de connaissances mais aussi enjeux id ologiques pour dire les choses de fa on g n rale C est travers les divers enjeux qui se d finissent autour d un domaine de la scienc
15. aire et une math matique des relations comme se pr sente la construction hilbertienne La diversit des modes de raisonnement qui ont constitu dans l histoire ce que l on appelle la d monstration et la diversit des conditions de l gitimation de ces raisonnements nous am ne prendre en compte la diversit des approches du probl me des fondements et en particulier son historicit L tude de l pist mologie des fondements se pose ainsi doublement d une part une tude synchronique s int ressant aux principes qui r gissent les r gles de raisonnement d autre part une tude diachronique dont l objet est l tude des trans formations des conditions de l gitimation du raisonnement dans l histoire ce qui pose le double probl me des raisons de ces transformations d une part et d autre part des inva riants historiques qui font que l on reconna t une unit dans les diverses formes du raisonnement math matique travers les ges L pist mologie du fonctionnement peut tre consid r e comme l analyse des proc dures moins dans leurs fondements que dans leur signification autant sur le plan proprement technique que sur le plan conceptuel Il s agit ici moins de rechercher un discours fondateur que d expliciter comment des proc dures des modes de raisonne ment ou des modes de recherche se sont constitu s et comment ils ont t et sont utili s s Ceci nous renvoie encore une fois aux raisons qui conduisent fabriquer
16. cipe de cet id al de simplicit dont nous avons parl ci dessus La m thode au sens cart sien du terme n est alors que l instrument de cette construction de la simplicit On retrouve ce m me id al de simplicit dans l autre grande m thode contempo raine d finie par Desargues la m thode argu sienne qui unifie sur le plan de la repr sentation et sur le plan du langage le th orie des coniques m thode qui conduira au d veloppement de la g om trie projective Ainsi les deux m thodes g om triques l analytique et la synth tique celle du calcul et celle des figures marquent essentiellement un effort de simplicit au sens de la construction du simple c est ainsi qu il faut comprendre le mode d unification g om trique que chacune d elles propose aux g om tres d autant plus que le d passement de l opposition entre les deux m thodes se fera par une simplificit encore plus grande laquelle conduira aux synth ses modernes de l alg bre lin aire et de la th orie des groupes C est encore cet id al de simplicit que l on retrouve dans le point de vue struc tural d velopp par Bourbaki et dans la tentative de modernisation de l enseignement des math matiques propos e par la r forme de 1970 Pourtant l chec de la r forme de 1970 dans sa volont de construire un ensei gnement des math matiques pour tous pose un probl me quant la signification de S2Ren Descartes Discours de la M thode pl
17. conditions de sa l giti mation mais la compr hesion se situe ici moins dans la d finition de causes ou de lois au sens des sciences positives que dans la recherche de raisons sur la distinstion qentre causes et raisons cf Pascal Engel Philosophie et psychologie Gallimard Paris 1996 41 Jean Piaget Introduction l pist mologie g n tique o c tome 1 p 47 42La reconnaissance de telles limites est loin d tre accept e comme le montrent d abord l pist mologie g n tique ensuite le d veloppement r cent des sciences cognitives mais peut tre est ce l la marque d un point de vue na f incapable de sortir de l opposition m taphysique sciences positives telle qu elle a t codifi e par le positivisme 10 quelle mesure les constructions structurales une fois construites int grent elles les notions na ves La seconde question se situe l int rieur m me de la psychologie dans quelle mesure les structures mises en place par la psychologie cognitive ont elles une r alit chez le sujet connaissant Il y aurait ici distinguer le sujet cognitif construction conceptuelle de la psychologie et le sujet connaissant celui qui construit sa connaissance le premier probl me des th ories cognitivistes est alors celui de l ad quation de l idon it dirait Gonseth du sujet cognitif comme mod le au sens technique du terme du sujet connaissant Il semble ici que les conceptions de Piaget enthousiasm par sa
18. de penser avec quelque pertinence le probl me de l apprentissage de sa discipline par les l ves Il est vrai que l activit d enseignement conduit celui qui enseigne trans former son propre rapport au savoir et par cela m me sa fa on d enseigner mais une telle transformation suppose un socle initial partir duquel un enseignant peut d finir les conditions de son enseignement On peut concevoir cependant que l int r t propre pour l pist mologie et l histoire de la discipline curiosit intellectuelle pure ind pendante de toute consid ration d enseignement influe sur la pratique du m tier on peut concevoir aussi que les int r ts d ordre pist mologique ou historique li s la pratique du m tier conduisent d couvrir un int r t propre pour l pist mologie Tout cela nous rappelle le carac t re intellectuel du m tier d enseignant caract re qui nous semble quelque peu oubli aujourd hui 15Sur la question de la d monstration nous renvoyons notre article De la d monstration en g om trie in Le Dessin G om trique de la main l ordinateur Actes du colloque Inter IREM G om trie Le Quesnoy juin 1994 IREM de Lille 1996 p 189 232 usage de quelques r gles et proc dures d finies a priori comme nous y invitent aujour d hui les diverses bo tes outils r f rentiels et autres calembredaines la mode 6 Nous revenons sur le r le que peut jouer la r flexion pist mologique de l ensei gnant
19. de tels proc dures c est dire aux probl mes qui en sont l origine L pist mologie des probl matiques se propose d analyser comment les pro bl mes qui ont conduit l homme fabriquer ce mode de connaissance que nous ap pelons la connaissance scientifique ont model les th ories invent es pour r soudre ces probl mes Si comme le dit Max Weber la construction des concepts d pend de la fa on de poser les probl mes laquelle varie son tour avec le contenu m me de la civilisation c est travers les probl mes que la m thode scientifique s est construite et c est dans le caract re m me de ces probl mes et leur formulation que l on peut essayer de comprendre comment se sont mis en place les th ories plus ou moins sophistiqu es qui constituent la science Cela nous conduit privil gier la notion de probl matique ou de champs de probl mes dans l tude des conditions de la construction de la science probl mes de fondements et r gles de fonctionnement s articulant autour des probl matiques dans lesquelles ils se situent C est avec l pist mologie des probl matiques que nous reviendrons l histoire des math matiques dans la mesure o une analyse historique de l volution d un do maine de la connaissance nous permet de mieux appr hender les diverses significations de ce domaine de la connaissance Pour pr ciser ce point il nous semble n cessaire de 20Rudolf Bkouche Le projectif ou la fin de l
20. depuis quelques ann es dans l enseignement fran ais dans l espoir que les l ves d faut de comprendre les math matiques sauront r ussir quelques exercices fabriqu s ad hoc 17Le discours p dagogique actuel insiste trop souvent sur la place de la construction du savoir au d pens de l acquisition du savoir comme si le r le de l enseignement se situait moins dans la transmission d un savoir d j constitu que dans la possibilit pour l l ve de construire un savoir qui lui serait propre On ne construit pas du savoir ex nihilo l autonomie de l l ve passe par l appropriation d un savoir qui a priori n est pas le sien et l enseignement a justement pour but qu il devienne sien c est parce qu il a acquis du savoir que l l ve peut construire du savoir Quelle serait l autonomie d une personne qui n aurait pas acquis sa langue maternelle laquelle on aurait laiss la libert de construire sa propre langue I8Ferdinand Gonseth Le r f rentiel univers oblig de m diatisation L Age d Homme Lausanne 1975 pr face 19Ces trois aspects de l pist mologie seront d velopp s dans un article venir concerne les math matiques on peut ainsi distinguer entre une math matique des objets fond e sur les v rit s premi res que sont les axiomes consid r s comme propositions portant sur des objets existants propositions videntes par elles m mes comme on peut le lire dans les trait s classiques de g om trie l ment
21. e en place d un domaine de la connaissance et sa d limitation et ceux qui se d finissent au cours du d ve loppement du domaine de la connaissance Mais l on peut remarquer que une fois le domaine mis en place enjeux primaires et enjeux secondaires se m lent si la distinction a un int r t historique reli aux raisons qui am nent d finir un domaine particulier de la connaissance elle tend ensuite s effacer devant le d veloppement du domaine de la connaissance en question History and Pedagogy of Mathematics SPsychology and Mathematical Education 6Nous renvoyons au document Perspectives on the teaching of Geometry for the 21st Century pr para toire la rencontre de Catane septembre 1974 une traduction fran aise est publi e in Rep res IREM n 18 janvier 1995 Pour une analyse critique de ce document cf Rudolf Bkouche Quelques remarques propos de l enseignement de la g om trie Rep res IREM n 26 janvier 1997 pos s par l enseignement d un domaine de la connaissance se pose celui de son appr hension par qui ne le conna t pas encore autrement dit des difficult s rencontr es dans cette appr hension difficult s d ordre technique et difficult s d ordre conceptuel Si la r flexion sur l enseignement des math matiques est ancienne dans la mesure o l enseignement des math matiques est ancien on peut consid rer qu elle s est renouvel e au XX me si cle avec les deux r formes cit es ci d
22. e qu il faut comprendre d une part la place effective de l enseignement de ce do maine d autre part les formes de cet enseignement c est ainsi que l on peut comprendre non seulement la place de l enseignement des math matiques dans les r formes du XX me si cle rappel es ci dessus mais aussi la fa on dont se sont d velopp es les r flexions sur leur enseignement et les pratiques correspondantes qu il faut aussi com prendre la place prise par les deux grands courants de r flexions issus des r formes et contre r formes depuis les ann es soixante dix marqu es institutionnellement par les deux groupes HPM et PMES qui gravitent autour des congr s ICME qu il faut enfin comprendre la place des nouveaux instruments de la technique moderne ce que l on appelle en France les nouvelles technologies dans l enseignement des math matiquess Cela dit lorsqu un domaine de la connaissance est consid r comme devant tre enseign le probl me se pose des conditions de son enseignement Parmi les probl mes IFrancisco Sanchez Il n est science de rien 1581 traduit du latin par Andr e Camparot Klincksieck Paris 1984 2Pour une tude de ces r formes nous renvoyons au colloque R former l enseignement scientifique au XX me si cle Paris janvier 1994 et l ouvrage qui en est issu Les Sciences au Lyc e Vuibert Paris 1996 3 1 faudrait pour tre pr cis distinguer enjeux primaires et secondaires ceux qui conduisent la mis
23. essus et plus particuli rement apr s l chec de la seconde de ces r formes celle des math matiques modernes r forme dont on avait esp r qu elle permettrait l acc s des math matiques tous On se retrouve aujourd hui quelque peu d muni lorsque l on cherche les moyens de rendre enfin cet enseignement accessible au plus grand nombre Devant cet chec d un enseignement des math matiques pour tous de nombreux travaux se sont efforc s travers de multiples approches de d finir des d marches p dagogiques permettant d assurer de la meilleure fa on possible cet enseignement des math matiques pour tous qui appara t comme un point essentiel de la d mocratisation de l enseignement Parmi ces approches nous citerons d abord la tentative d une tude scientifique des ph nom nes d enseignement qui s est labor e autour de la didactique avec comme cons quence la recherche d une ing nierie didactique travaux dont nous ne parlerons pas icil0 Je m int resserai essentiellement au courant d fini par une perspective histo rique dans l enseignement des math matiques courant qui s est d velopp en France autour de la Commission Inter IREM Epist mologie Ces travaux ont le m rite de mettre l accent sur les probl matiques qui ont conduit au cours de l histoire d velopper une activit math matique posant ainsi la question de l apport de la connaissance de l histoire des math matiques la pratique enseignante
24. et mettant en place une pist mologie du second ordre et ainsi de suite c est l le paradoxe de toute th orie cognitiviste qui se veut scientifique En ce sens s il y a une r flexion didactique cette r flexion est d ordre philosophique avant que de participer de la science positive si l on consid re que l l ve est un sujet et que l acte d enseignement est une relation entre sujets le sujet ma tre et le sujet l ve relation qui se construit autour d un savoir le r le du ma tre tant de transmettre ce savoir l l ve le r le de l l ve tant de prendre ce savoir au ma tre la finalit de cette relation tant d amener l l ve de ne plus d pendre du ma tre S il y a quelqu objectivit dans l enseignement elle se d finit autour du savoir Autant dire que le r le d une intervention de l histoire d une science dans l enseignement de cette science reste essentiellement de mettre en valeur les enjeux de la construction de la connaissance c est en ce qu elle s appuie sur une r flexion d ordre pist mologique qu elle peut permettre de donner ceux qui sont enseign s pour re prendre l expression de Sanchez cit e en exergue les moyens de comprendre a force de ce qui leur est enseign matiques pour faciliter l apprentissage des math matiques il faudra prendre en charge les difficult s pos es par l enseignement de l histoire des math matiques 12 Annexe De l id al de simplicit dans les sciences
25. eur apportera le salut il s agit plut t d explici ter dans la mesure du possible les raisons qui peuvent conduire mener une r flexion d ordre pist mologique dans le cadre du m tier d enseignant Qu une telle r flexion am ne s int resser l histoire des math matiques voire y chercher les conditions d un meilleur exercice du m tier d enseignant nous importe peu ici ce que nous vou lons d velopper c est comment une r flexion d ordre pist mologique participe de l exercice m me du m tier 3 L objet de cet article est donc moins de d finir a priori la part de l histoire et de l pist mologie dans l enseignement que de tenter de cerner les lieux o l enseignant rencontre dans le cadre de la pratique de son m tier des probl mes d ordre pist molo gique C est dans la mesure o la r flexion d ordre pist mologique s inscrit dans les probl mes d enseignement que celle ci peut prendre sens dans la pratique du m tier cela ne signifie pas qu un enseignant ne puisse avoir une r flexion pist mologique propre c est dire ind pendante de tout probl me d enseignement et c est l affaire de chacun de s y int resser ou non 4 Si l on veut viter le volontarisme et le pros lytisme dont j ai parl ci dessus il est n cessaire de pointer autant que cela se peut les lieux o l activit d enseignement rencontre des questions d ordre pist mologique Citons d abordl id al de simplicit qui anime toute act
26. h ma correspondant au Programme d rlangen Les math matiques contemporaines en adoptant le point de vue structural ont ainsi retrouv l ordre naturel de la construction de la connaissance contrairement l ordre historique qui s est d abord appuy avec la g om trie grecque sur les relations m triques le projectif venant en second et le topologique en dernier lieu seulement Piaget explique ainsi ce renversement Si historiquement ces l ments semblent donn s ant rieurement la d couverte de la structure et si cette derni re joue ainsi essentiellement le r le d un instrument r flexif destin d gager leurs caract res les plus g n raux il ne faut pas oublier que psychologiquement l ordre de la prise de conscience renverse celui de la gen se ce qui est premier dans l ordre de la construction appara t en dernier l analyse r flexive parce que le sujet prend conscience des r sultats de la construction mentale avant d en atteindre les m canismes intimes 58 ce qui semble pour le moins peu convaincant Il faut alors revenir une conception probl matique de l histoire des sciences La g om trie s est construite autour de la mesure des grandeurs g om trie pratique qui re l ve de la m trologie mais aussi g om trie rationnelle lorsqu elle se propose de d termi ner par le seul raisonnement les propri t s de ces grandeurs partir de quelques unes d entre elles consid r es comme v rit s premi
27. i l apprend une meilleure compr hension de la science en question 31Jean Piaget et Roland Garcia Psychogen se et Histoire des Sciences Flammarion Paris 1983 32sur les notions d accomodation et d assimilation nous renvoyons l article de Piaget La psychogen se des connaissances et sa signification pist mologique in Th ories du langage Th ories de l appren tissage Le d bat entre Jean Piaget et Noam Chomsky organis et rtecueilli par Massimo Piatelli Pama rini Editions du Seuil Paris 1979 p 53 64 33Jean Piaget L pist mologie g n tique Que sais je PUF Paris 1970 Ainsi le sujet connaissant n existe plus en tant que sujet du moins de sujet conscient si l on consid re que le sujet n est plus qu un ensemble de processus en inter action avec le milieu dans lequel il baigne De m me l histoire n est plus que la descrip tion d un ensemble d interactions qui ont conduit plus ou moins n cessairement l tat actuel des connaissances ce qui renvoie un aspect t l ologique que l on pourrait situer l intersection de Hegel et de Darwin En ce sens l pist mologie g n tique limine le sujet autant le sujet individuel que le sujet collectif mais c est peut tre le prix payer pour amener l pist mologie la scientificit C est ce souci de scientificit qui am ne Piaget crire dans la pr face de son Introduction l pist mologie g n tique Il y a longtemps d j que la psycholog
28. ie exp rimentale la sociologie et la logistique ou logique alg brique pour ne parler que des disciplines qui ont fourni le plus de travaux collectifs se sont constitu es titre de sciences distinctes ind pendantes des discussions d ensemble de la philosophie Nous voudrions examiner quelles conditions il pourrait en tre ainsi de l pist mologie g n tique ou th orie de la connaissance scientifique fond e sur l analyse du d veloppement m me de cette connaissance Il s agit donc de chercher s il est possible d isoler l objet d une telle discipline et de constituer des m thodes sp cifiques propres trouver la solution de ses probl mes particuliers 34 et pr ciser quelques lignes plus loin comment se diff rencie philosophie et science la premi re se donnant pour objet la totalit du r el de la r alit ext rieure comme de l esprit et des relations entre eux tandis que la seconde se donne au contraire un objet limit ne devenant discipline scientifique qu avec la r ussite d une telle d limitation Piaget oppose alors les divergences in vitables entre les diverses philosophies et l accord relatif des esprits atteint par une science mais pr cise t 1l c est dans la mesure o elle ne sollicite cet accord que pour la solution de probl mes restreints et dans l emploi de m thodes galement bien d finies L pist mologie g n tique constitu e comme approche scientifique de la connaissance doi
29. infini in Histoires d infini Actes du Colloque Inter IREM Epist mologie Brest 1992 IREM de Brest 1994 et Axiomatique euclidienne et axiomatique hilber tienne para tre 2lPour la notion d invariant historique nous renvoyons la le on inaugurale de Paul Veyne au Coll ge de France Paul Veyne L inventaire des diff rences Seuil Paris 1976 22On pourrait citer le calcul diff rentiel de Leibniz cf G W Leibniz La naissance du calcul diff rentiel introduction tradition et notes par Marc Parmentier Vrin Paris 1989 ou le r le de l analytique dans les travaux de Lagrange cf Rudolf Bkouche Les aventures de la m thode analytique colloque inter IREM Epist mologie Reims mai 1996 23Max Weber Essai sur la th orie de la science traduit par Julien Freund Plon Paris 1965 p 203 pour reprendre l heureuse expression du Groupe d Enseignement Math matiques de Louvain la Neuve G E M cf Rudolf Bkouche Bernard Charlot Nicolas Rouche Faire des math matiques le plaisir du sens Armand Colin Paris 1991 chapitre XII mettre l accent sur l ambigu t pist mologique de l histoire des sciences et par cela m me sur l ambigu t de l intervention de l histoire des sciences dans l enseignement scientifique Dans l introduction des Fondements de l Arithm tique Frege crit propos de la m thode historique La m thode historique qui veut surprendre la gen se des choses et conna tre l essence par la gen
30. ivit math matique sinon toute activit scientifique on oublie trop que la science s inscrit dans un id al de simplicit que c est cette simplicit qui constitue la valeur de la science comme l un des lieux privil gi s de l intelligibilit du monde mais que cette simplicit loin d tre donn e est une construction lente un objectif souvent difficile atteindre et que en fin de compte c est cette simplicit qui conduit accepter le prix payer pour l atteindre cf annexe On peut aussi citer la question de la d monstration laquelle est au c ur de toute activit math matique quelque peu consistantel on sait combien la d monstration appara t redoutable aux l ves ce qui implique de la part des enseignants une r flexion sur la d monstration en tant que telle r flexion sans laquelle la d monstration risque de n appara tre que comme le simple Ce danger est soulign par Evelyne Barbin qui explique dans la pr face de l ouvrage cit ci dessus qu il ne faut pas attendre de cette perspective historique la solution tous les probl mes d enseignement BJ insiste sur le fait que je me place ici du point de vue de l enseignant l exclusion de toutes consid ra tions sur les l ves Celles ci sont secondes ce qui ne signifie pas secondaires dans la mesure o c est la construction par celui qui enseigne de son propre rapport au savoir qu il enseigne qui conditionne son en seignement et qui peut lui permettre
31. ne d fense de la science en particulier des sciences humaines qui rel ve plus de la foi rationaliste de son auteur que de l argumentation rationnelle 46Pascal Engel Philosophie et psychologie o c 41Veloso demandait non sans humour lors de l Universit d Et de Montpellier juillet 1993 quelle disci pline nouvelle il faudrait introduire dans l enseignement lorsqu apr s avoir introduit l histoire des math 11 nous avons voulu poser non seulement la question de la pertinence d une analogie entre le d veloppement de l histoire et la gen se des connaissances chez l individu mais aussi poser le probl me de la tendance la psychologisation des probl mes d enseignement La r flexion sur l enseignement d un domaine de la connaissance participe essentiellement de l pist mologie de ce domaine mais lorsque nous disons pist mologie nous pensons plus la r flexion philosophique qu la fabrication d une nouvelle science positive L pist mologie ne peut tre une science au sens que son objet d tude est la science en tant que construction de l esprit humain d un esprit humain qui parce qu il est sujet conscient et qu il agit en fonction de finalit s qu il s est fix es individuellement ou collectivement ne peut tre r duit l tat d objet de connaissance observ par un sujet lequel ne pourrait tre qu un super sujet pist mologue appel lui aussi devenir un objet de connaissance pour le super super suj
32. nnaissance J aimerais citer un ouvrage d enseignement l mentaire expliquant de jeunes l ves les raisons du calcul litt ral la r solution d un probl me est souvent facilit e lorsqu on repr sente par des lettres les nombres inconnus qui interviennent dans ce probl me 5 pr cisant ensuite 1 4 1e Q Q Q 1 On peut raisonner sur ces lettres comme s il s agissait de nombres inconnus Il s agit moins ici de d velopper le calcul litt ral ce qui n aurait aucun sens ce niveau que de montrer comment l introduction de lettres pour d signer les inconnues conduit la mise en quation d un probl me et la r solution d une quation et com ment cette r solution alg brique comme on disait alors simplifie la r solution du 48Hermann Weyl Space Time Matter 1918 translated from the German by Henry L Brose Dover Publications New York 1952 p 23 49Emile Picard La Science Moderne Flammarion Paris 1914 p 68 S0Est ce un simple truisme que de rappeler que l enseignement des sciences participe de l initiation la pens e scientifique Les id ologies p dagogistes d aujourd hui que ce soit celle de la p dagogie centr e sur l apprenant ou celle pr tentions plus savantes de la transposition didactique nous rappellent que ce que ce qui nous semble un truisme ne va plus de soi cf Rudolf Bkouche La formation des ma tres professionnalisation ou formation professionnelle o c SILeboss et H mery
33. ns l enseignement d une science diff re d un enseignement de l histoire de cette science Cela nous conduit distinguer d une part le r le de la connaissance histo rique dans l laboration de l enseignement lequel rel ve du m tier d enseignant ce qui pose la question de la place de l histoire des sciences dans la formation des ma tres d autre part l intervention effective de l histoire des sciences dans l enseignement La mise en place d une perspective historique dans l enseignement n implique en rien que l histoire apparaisse en tant que telle dans l enseignement lui m me c est alors au ma tre que revient la d termination de la part effective d histoire cours d histoire proprement dit lecture de textes anciens reconstitution de probl mes dits historiques 2 intervenant dans la classe ce qui suppose que le ma tre ait d une part la connaissance des aspects historiques de ce qu il enseigne d autre part qu il ait su port sur ces aspects historiques un regard pist mologique A c t de ces deux conceptions de la place de l histoire dans l enseignement celle que l on pourrait appeler h g lienne et celle de la perspective historique je parlerai d une troisi me conception celle de l analogie entre le d veloppement historique des sciences et le d veloppement personnel de la connaissance entre la phylogen se et la psychogen se pour reprendre une terminologie devenue classique Cette conception que Piaget a d velo
34. nt dit ce qui soutient l histoire ne rel ve plus de l histoire On peut aussi consid rer que les conceptions de l historien s inscrivent elles m mes dans l histoire mais c est ici un autre probl me moins celui de l histoire que celui de l histoire de l histoire 28Rappelons que Frege dans l ouvrage cit ci dessus se propose d expliciter la notion de nombre entier On sait que cette notion remonte aux d buts de l histoire de l humanit et qu il ne peut tre question de conna tre sa gen se autrement que par une reconstruction hypoth tique cette reconstruction s appuyant sur les conceptions propres de son auteur cf note pr c dente Si une telle m thode de reconstruction peut avoir son utilit dans le travail de l historien des sciences elle est essentiellement d ordre heuristique rique dans l enseignement a pour objet moins un enseignement en tant que tel de l his toire que la probl matisation des notions enseign es que les probl matiques sur lesquelles se construit l enseignement soient alors les probl matiques originelles ou non devient alors de peu d importance C est bien videmment cette seconde conception de l histoire qui sous tend cet expos la place de l histoire des sciences dans l enseignement des sciences se situant es sentiellement dans ses implications p dagogiques autrement dit dans ce qu elle permet de comprendre de la science enseign e c est en cela que l introduction d une perspective historique da
35. pp e autour de l pist mologie g n tique me semble doublement r ductrice sur le plan du d veloppement personnel d une part sur le plan de l histoire collective d autre part L analogie piag tienne repose sur l hypoth se de l existence de structures psychologiques profondes qui r gissent via les m canismes de l accommodation et de l assimilation l acte de conna tre constituant ce que l on appelle aujourd hui la co gnition 2 L aspect probl matique de la construction scientifique est ainsi limin celle ci se r duisant aux seules interactions entre un sujet connaissant objectiv comme en semble de processus cognitifs et le monde ext rieur l ensemble des processus cognitifs tant lui m me organis par la th orie des stades laquelle rend compte de l analogie entre la gen se des connaissances chez l individu et le d veloppement historique de la science 2moins pour dire que tel probl me a t tudi par untel telle poque ce qui pr sente peu d int r t que pour mettre en place sous une formulation moderne une probl matique significative 30L exp rience de l enseignement de l histoire des math matiques autant dans les classes que dans la for mation des ma tres nous apprend que l enseignement de l histoire d une science a ses propres difficult s d appr hension il s agit donc moins d ajouter une discipline de plus l enseignement que d expliciter comment une perspective historique permet pour qu
36. que l on appelle aujourd hui les propri t s projectives C est cet aspect probl matique que Piaget ignore dans son identification des structures psychologiques et des structures math matiques il peut ainsi reconstruire l histoire en fonction des n cessit s internes de l pist mologie g n tique en m me temps qu il explicite une th orie psychologique de la connaissance qui s adapte cette histoire reconstruite On pourrait dire que c est l tat de la connaissance math matique contemporaine qui le force construire une histoire et une psychologie compatible avec cet tat comme si cet tat avait besoin d tre l gitim par des consid rations psychologiques ou pist mologiques Ainsi le point de vue structural se d veloppe sur une unification qui se propose de fonder la fois les math matiques et la connaissance des math matiques Une telle unification pose cependant un probl me si les structures math matiques sont la marque de structures cognitives profondes comment la tentative d explication psychologique de la connaissance math matique peut elle viter la circularit de la psychologie lorsque celle ci s appuie sur les math matiques Loin de rejeter une telle circularit Piaget la prend en charge comme participant de l difice qu il construit distinguant seulement chez le sujet connaissant entre une prise de conscience na ve qui ignore les structures profondes mises en jeu et une analyse r flexive qui permet au
37. rencontre avec les math maticiens rel ve d un malentendu sur la notion de structure malentendu qu il faudrait replacer du point de vue de l histoire des id es dans l histoire des courants structuralistes du milieu de ce si cle En fait le point de vue piag tien subordonne les aspects probl matiques de la connaissance au sens que nous avons dit ci dessus la conception structurale laquelle se propose par souci de coh rence et de simplicit la reconstruction de la connaissance en ce sens les conceptions piag tiennes nous renvoient une ontologie au sens m taphysique du terme des structures position paradoxale pour qui se proposait de construire une pist mologie positive Comment peut on comprendre du point de vue de Piaget la distinction signal e ci dessus entre une math matique des objets et une math matique des relations si ce n est en recourant une conception t l ologique de l histoire banale il est vrai la rigueur hilbertienne rectifiant les fameuses lacunes d Euclide et le point de vue structural apparaissant comme un aboutissement n cessaire de la connaissance math matique Les enjeux math matiques qui ont conduit Hilbert mettre en place les m thodes formalistes se r duiraient donc la seule n cessit d atteindre la v rit structurale et de r concilier enfin les math matiques et la psychologie c est faire bien peu de cas des probl mes auxquels se sont confront s les math maticiens et de l in
38. s sciences Il nous reste revenir sur l pist mologie elle m me pour cela nous nous pla ons dans une probl matique gons thienne Prolongeant l analyse de Gonseth qui distingue entre une strat gie de fondement et une strat gie d engagement dans la construction de la connaissance 8 nous distinguerons trois aspects de l pist mologie une pist mologie des fondements une pist mologie du fonctionnement et une pist mologie des probl matiques L pist mologie des fondements se propose l tude des conditions de l gitima tion de l activit scientifique sous ses deux formes aujourd hui canoniques la forme ma th matico logique et la forme exp rimentale encore faut il pr ciser ce que chacune de ces deux formes signifie dans le cadre d un domaine donn de la connaissance Nous pouvons distinguer deux grandes formes de cette pist mologie des fondements une forme m taphysique laquelle s appuie sur une ontologie des objets que l on se situe dans une philosophie empiriste o les objets math matiques sont des abstractions issues de la connaissance sensible ou que l on adopte un point de vue platonicien et une forme analytique laquelle s appuie essentiellement sur une analyse du langage condui sant expliciter ce que l on pourrait appeler la grammaire du raisonnement les objets tant d finis ou red finis par un syst me de relations donn a priori En ce qui I6Nous parlons ici des divers gadgets introduits
39. t donc d limiter les objets qu elle tudie si elle veut aborder autrement que par la seule sp culation philosophique le probl me fondamental des rapports du sujet connaissant avec les objets qu il est amen conna tre elle est ainsi amen e pour expliciter comment le sujet est affect par l objet poser ce sujet et cet objet r unis titre d objet de sa propre recherche le nouveau sujet connaissant tant alors le th oricien de la connaissance C est cela qui conduira Piaget laborer ce que l on appellerait aujourd hui un mod le de sujet connaissant l ensemble de processus cognitifs dont nous avons d j parl La th orie des stades en rendant compte aussi bien du d veloppement collectif que du d veloppement individuel l gitime ainsi l analogie entre le d veloppement historique de la science et la gen se de la construction des connaissances chez l individu analogie que Piaget d veloppe tout au long de son oeuvre quitte la remettre en question lorsque besoin est nous le verrons propos de la g om trie En ce qui concerne les math matiques cette analogie se r clame de la rencontre entre la psychologie piag tienne et la pens e math matique contemporaine comme on peut le lire dans les articles de Piaget et de Dieudonn dans l un des premiers ouvrages 34Jean Piaget Introduction l pist mologie g n tique 2 tomes PUF Paris 1950 r dition 1973 tome 1 p 13 35Jean Piaget Introduction
40. us La Dioptrique les M t ores et la G om trie 1637 Fayard Paris 1986 p 333 S3Fran ois Vi te Introduction l Art Analytique traduction fran aise par Vaul zard in Vaul zard La Nouvelle Alg bre de M Vi te 1630 Fayard Paris 1986 S4Rappelons que l apport de Vi te a t de repr senter les quantit s connues les coefficients des qua tions par des lettres donnant ainsi toute sa signification au calcul litt ral S5Girard Desargues Brouillon Project d une Atteinte aux Ev nemens des Rencontres du C ne avec un Plan 1639 in Ren Taton L oeuvre math matique de Desargues Vrin Paris 1981 S6C est ainsi que l on peut comprendre le discours sur la g n ralit n cessaire des m thodes g om triques d velopp par Chasles dans l Aper u historique sur l origine et le d veloppement des m thodes en g om trie Bruxelles 1937 r dition Gabay Paris 1989 STNicolas Bourbaki L architecture des math matiques in Les Grands courants de la pens e math ma tique pr sent s par Fran ois Le Lionnais Cahiers du Sud 1948 nouvelle dition augment e Blan chard Paris 1962 14 cette simplicit de quelle simplicit s agit il et dans quelle mesure les discours sur la simplicit des math matiques sont ils pertinents en particulier en ce qui concerne l en seignement Lorsque Bourbaki explique dans le mode d emploi de ses El ments de Math matiques Le trait prend les math matiques
41. vention qu ils ont manifest pour les r soudre Le probl me pos ici n est autre que celui du lien complexe entre l pist mologie consid r e comme un chapitre de la philosophie et la psychologie cognitive il me semble que l explicitation d un tel lien pour se construire en dehors des confusions telle celle de Piaget ou des anath mes telle les positions du psychologisme et de l antipsychologisme doit commencer par une analyse de la distinction entre cognition et connaissance A partir des trois conceptions de l intervention de l histoire des math matiques dans l enseignement nous avons voulu ici mettre en avant ce que l on pourrait consid rer comme les perversions d une telle intervention parmi lesquelles l introduction d une nouvelle discipline l histoire des math matiques qui poserait autant de probl mes que les math matiques En particulier travers la critique de Piaget 43Sur la distinction entre sujet cognitif et sujet connaissant nous renvoyons notre article cit Quelques remarques propos de l enseignement de la g om trie Jean Piaget et al L Enseignement des math matiques op cit 45Jean Piaget Sagesse et illusions de la philosophie PUF Paris 1965 r dit en 1992 Piaget s y oppose non sans raison certaines pr tentions suprascientifiques de la philosophie mais cette critique n ces saire m me si elle est souvent injuste de la philosophie s accompagne en contrepoint d u
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