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Texto integral - Repositório Aberto da Universidade do Porto

1. Figura 5 2 Corte pelo corpo A perpendicular ao desenvolvimento das vigas parede do reservatorio superior p e i QA a Figura 5 3 Corte pelo corpo A paralelo ao desenvolvimento das vigas parede do reservat rio superior As vigas parede que sustentam o n vel superior de reservat rios s o elementos estruturais de an lise e dimensionamento complexo No que se refere aos estados limites ltimos esta complexidade adv m da elevada carga suspensa descarregada pela laje de fundo e da reduzida rea de contacto das zonas de apoio Estas zonas de apoio t m a geometria ilustrada na Figura 5 4 desenvolvendo se tridimensionalmente Acresce ainda o facto de algumas vigas parede conterem aberturas junto aos apoios extremos Figura 5 5 Estas aberturas impedem a normal transmiss o de tens es ficando os apoios centrais sujeitos a cargas mais elevadas Por outro lado a exist ncia de aberturas reduz a rigidez dos tramos respectivos e dificulta a introdu o de pr esfor o agravando as condi es de verifica o do estado limite de fendilha o As verifica es em servi o tamb m levantam quest es delicadas Dado o car cter permanente de todas as ac es a carga de servi o corresponde combina o rara diferindo da carga de estado limite ltimo apenas do factor de majora o 7 1 35 O estado limite de fe
2. O n 0 0 OE mn Oc 00 Oo D SS SS SS C Os De Ob a do O0 O0 dem de de em que os termos nulos resultam de desprezar o efeito de Poisson no bet o fendilhado Figueiras 1983 P voas 1991 Stevens et al 1987 Vecchio 1989 Vecchio 1990 Vecchio 2001a Vecchio e Selby 1991 89 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural On A Em Figura 3 8 Defini o do m dulo E para uma formula o secante ou tangencial ap s viola o do crit rio da tens o m xima Ap s in cio do processo de fissura o na direc o n admite se que a rigidez de corte G e Gin se reduzem para uma frac o do seu valor inicial Usualmente considera se um factor de redu o da rigidez de corte shear retention factor 0 B lt 1 Gs G PG 3 22 em que G o m dulo de elasticidade transversal el stico Nos casos mais simples considerado constante usualmente igual a 0 1 ou 0 2 Uma an lise qualitativa do comportamento das fendas macrosc picas revela intuitivamente que a rigidez de corte no plano da fenda deve diminuir com a sua abertura pelo que muitos autores Cervenka et al 2002 Figueiras 1983 P voas 1991 Rots e Blaauwendraad 1989 adoptam um factor de redu o da rigidez de corte vari vel decrescente com a extens o normal fissura amp Importa no entanto frisar que no caso de fendilha o localizada n o controlada pel
3. I E Hts e 8 477 2 Sle elos XY Nie storey ov is DEN NMMMM SIMI ye als ele of E A MESES E oI nas e DIS 1 SS f ts SIs gfe el O DD SI STET F He sis ale elo 3 2 d fO NN RR S Elo SIR SI SIS SIR sje aje ARAN its sls NN e co IS SIS SIS SIS I RARE the Sje aja 7 mez rars ar aw E m M en ER RE DS Cao elo fm e vm as sed NIMM His e 5 Sy Figura 4 67 Malha deformada 10x na ced ncia do Figura 4 68 Figura do modelo n 2 ap s a rotura com marcac o do padr o de fio de pr esfor o rotura experimental Vectores com a direc o da extens o normal s fendas 4x fendilha o Tal como no modelo anterior o padr o de fendilha o do modelo num rico na rotura Figura 4 67 algo difuso na zona do tirante sendo no entanto percept vel a localiza o da fractura na regi o da parede onde foi adoptado o diagrama de tension softening todos os elementos situados a partir dos 33 cm de altura a partir da base A concord ncia com o padr o experimental da Figura 4 68 muito satisfat ria A carga de rotura pode ser explicada pelo modelo de equil brio da Figura 4 69 Trata se de um modelo de escoras e tirantes constru do a partir da localiza o conhecida dos tirantes e com a escora horizontal colocada no baricentro da distribui o num rica de tens es Visto a rotura se ter dado ap s ced ncia das armaduras as for as representadas s o d
4. 0 2 4 0 000 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 4 m m Figura 3 9 Factores de reten o de tens es de corte para bet o armado Modelos mais sofisticados baseados em estudos sobre a transfer ncia de tens es entre faces de fissuras macrosc picas tais como os referidos em 2 3 s o pass veis de ser implementados Como exemplo tem se o modelo de Maekawa et al 2003 Okamura e Maekawa 1991 originalmente proposto por Li et al 1989 derivado a partir da solu o anal tica do modelo da densidade de contacto que pode ser explicitada no caso de carregamentos monot nicos por 2 o 3 83 f 5 3 y us 3 26 l y E nn em que f a resist ncia compress o uniaxial em cilindros expressa em MPa Este modelo contempla ainda express es emp ricas simplificadas para os tramos de descarga conforme ilustradas na Figura 3 10 e express es para o amolecimento da resposta Uma revis o das v rias propostas para o m dulo de rigidez transversal do bet o fendilhado pode ser encontrada em CEB 1996 Zhu et al 2001 Registe se o facto de que na formula o tangente da matriz de 91 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural rigidez da express o 3 9 quando se introduz uma depend ncia das tens es de corte com a extens o normal fenda a matriz de acoplamento D resulta n o nula 0 Ons 0 0 CE 0 D 0 0 3 27 OE mn 0 00 Envolven
5. v 3 67 Obviamente que o elemento finito triangular com campo de deslocamentos linear consegue reproduzir este estado deforma o bastando que 3 68 conforme se pode constatar a partir da substitui o de 3 68 em 3 66 Ap s o in cio do processo de fractura aplicando o principio da decomposi o das extens es e tendo em aten o que apenas a diferen a entre os deslocamentos us e u vem afectada pela abertura we 110 Capitulo 3 22 Bu velo 0 3 69 O campo de extens es apenas seria devidamente reproduzido se a abertura da fenda coesiva apenas originasse uma extens o segundo xx Contudo a equa o 3 69 indica que este apenas ser o caso se x x 0 ou seja se o lado 1 2 do elemento for paralelo fenda Para um posicionamento qualquer do elemento relativamente direc o da fissurag o uma distor o esp ria X X w yY xy 2 A cr 3 70 gerada pela interpola o decorrente do m todo dos elementos finitos Este facto acarreta tamb m que as direc es das extens es principais deixam de estar alinhadas com a fenda isto v o se desviar das direc es principais do campo de extens es real medida que o processo de fractura progride as extens es correspondentes fenda v o dominar sobre as extens es el sticas e o ngulo de desvio das direc es principais de deforma o tende para 1 Jo 1 X X a lim arctan arctan
6. 69 xi ndice do Texto 3 MODELACAO COMPUTACIONAL DO COMPORTAMENTO NAO LINEAR DO BET O ESTRUTURAE cnet ninm UIN RUE Uh UM Dee MR OR HU RAUM 75 3 1 Classifica o dos Modelos ennn ne i an a a sia e TE enhn enne 75 3d Descri o cinem ticas erie notet hn ea te P 75 3 1 2 Lerconstitutiya ses oper ER a Ea E EUROS E EEEE EES 76 3 1 3 T cnicas de aproxima o NUMETICA cceeccescceesceeecesseeeseeeseeeseenseceseenseeeeeeseeeeneeeses T 3 2 Modelos baseados no conceito de extens o total sse 81 3 2 l Bormulac ao geral jim caccia eret e epe ert ee mide etes 83 3 2 2 Modelos para o bet o n o fendilhado seen 85 3 2 3 Modelos para o bet o fendilhado sessssssseeeeeneeenens 88 3 2 3 1 Modelos de fendas fixas sse rennen 89 3 2 3 2 Modelos de fendas rotativas ssesssssssseseeesee eerte 95 3 3 Modelos de fendilha o distribu da com decomposi o das extens es 98 3 3 1 Modelos de fendas fixas sta as d e Gee ote e edet e rie perde 98 3 3 2 Modelos de m ltiplas fendas fixas sse 104 3 3 3 Modelos de fendas rotativas ssssssssssseeeseeseeenereen nennen enne 107 3 3 4 Algumas considera es sobre o uso de modelos de fendas distribu das 108 3 4 Modelos elasto pl sticos sss eene enne eene nennen nennen 113 3
7. Aco Bet o o em e AS X A O im a Bet o Sn Figura 2 53 Distribui o das extens es tens es e esfor os numa vizinhan a da primeira fenda e Fase de fendilha o estabilizada tramo c d Nesta fase todas as fendas est o j formadas verificando se apenas a evolu o da sua abertura A rigidez exibida pelo tirante superior correspondente ac o isolada das armaduras da a designa o de tension stiffening e Fase de ced ncia das armaduras nas sec es fissuradas as armaduras atingem a tens o de ced ncia f ponto d A fenomenologia atr s descrita pode ser reproduzida atribuindo ao bet o o acr scimo de rigidez observado atrav s de um diagrama de reten o de tens es de trac o no bet o Figura 2 52 Este diagrama relaciona a tens o m dia no bet o o com a extens o m dia do tirante gm que igual extens o m dia da armadura e traduz a contribui o do bet o entre fissuras para a rigidez da estrutura Uma forma de obter este diagrama baseada na determina o de aim a partir de ensaios experimentais sobre elementos estruturais tais como tirantes ou pain is sujeitos a condi es de 63 Mec nica n o linear do bet o estrutural carregamento mais complexas envolvendo esfor os de corte com consequente forma o de fendas inclinadas Exemplos deste tipo de abordagem s o o
8. An lise de vigas parede com apoios indirectos 4 2 3 1 Formula o do problema As vigas parede correspondem a um tipo estrutural muito corrente em engenharia civil onde os esfor os de corte adquirem uma maior import ncia na verifica o da seguran a rotura Com vista aplica o de modelos num ricos na an lise de vigas parede pertencentes a reservat rios rectangulares de grandes dimens es Cap tulo 5 procurou se avaliar o desempenho dos modelos computacionais quando aplicados a estruturas id nticas com possibilidade de serem testadas em laborat rio Foram assim analisadas tr s modelos de vigas parede a escala reduzida constru dos e testados em laborat rio dois dos quais no mbito da presente disserta o dois apenas com armadura ordin ria outro em que parte da armadura do tirante principal foi substitu da por pr esfor o n o aderente O dimensionamento dos modelos experimentais foi feito de forma a combinar da forma mais eficiente a capacidade do sistema de aplica o de carga dispon vel a quantidade e disposi o de armadura dos tirantes principais e a resist ncia do bet o para que a possibilidade de rotura por corte compress o da escora principal ou por trac o do tirante estivessem pr ximas Desta maneira foi posto prova de forma mais vincada a capacidade do modelo num rico na simula o das roturas localizadas com dissipa o de energia por corte compress o E 4 amp ERI 4 N 7 7
9. Capitulo 3 3 2 3 1 Modelos de fendas fixas Nos modelos de fendas fixas admite se que uma vez violado o crit rio da tens o m xima se forma uma fenda ou mais correctamente uma banda fendilhada com a direc o do plano perpendicular tens o principal m xima de trac o Durante o restante carregamento esta direc o fixa e representa os eixos de ortotropia do material nos quais passam a ser estabelecidas as leis constitutivas Na Figura 3 7 o eixo n refere se direc o normal fenda associado ao modo I de fractura e os eixos s t s direc es tangenciais fenda associadas aos modos II e III respectivamente A mem ria da orienta o permanente do dano no material uma caracter stica fulcral dos modelos de fendas fixas n t a PLANO DA FENDA Figura 3 7 Eixos de ortotropia Assim que violado o crit rio da tens o m xima o termo 06 0 determinado de acordo com a lei de amolecimento adoptada tension softening no caso de se tratar da propaga o de uma banda fendilhada localizada ou de acordo com o diagrama de reten o de tens es no bet o adoptado tension stiffening caso se esteja perante fissura o controlada pela armadura aderente Figura 3 8 No caso de se tomar em considera o o efeito da fissura o na redu o da resist ncia compress o paralela s fissuras sec o 2 6 2 na formula o tangencial a matriz D resulta n o sim trica
10. PG1 2 0E 07 o Pa o1 Pa Envolvente de Rotura 1 0E 07 3 0E 07 0 0E 00 i 1 1 4 1 i fi 0 000 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 0 006 0 007 0 008 m m 4 0E 07 c2 Pa Figura 5 11 Curva 0 amp no ponto de Gauss PGI Figura 5 12 Traject ria de tens es no ponto de Gauss PGI x O ponto de Gauss PG2 que pertence viga parede propriamente dita est localizado imediatamente acima da laje de fundo Uma das poss veis formas de rotura global da viga parede consiste no esmagamento do bet o desta regi o Apesar das tens es serem mais baixas do que nos esquadros de refor o a exist ncia de fendilha o pode acarretar a diminui o da tens o resistente e consequente rotura da escora comprimida Para obviar este problema foi colocada uma malha refor ada de armadura nesta zona conforme indicado na Figura 5 7 sendo ainda disposta armadura de cintagem constitu da por 70 cintas 12 O confinamento tridimensional assim proporcionado n o modelado na an lise 2D pelo que esta se pode considerar conservativa Por m o modelo num rico utilizado n o contempla a redu o da resist ncia uniaxial compress o com a fendilha o Na Figura 5 14 est representada a evolu o da tens o principal de compress o no ponto de Gauss PG2 e a vermelho a evolu o da tens o resistente calculada com o factor de redu o proposto por Maekawa et al 2003 Figura 5 13 Verific
11. es independentes como por exemplo as expostas em 2 3 e a adop o dos factores de redu o da resist ncia compress o determinados com base no pressuposto da coaxialidade n o directamente aplic vel Desta forma esses factores devem ser corrigidos para ter em conta o facto de que nem toda a redu o de rigidez deve ser atribu da exist ncia de extens es transversais pois a introdu o dos escorregamentos por corte entre as faces das fendas nas equa es de compatibilidade introduz por si s um acr scimo de deformabilidade Vecchio 2000 Nestas circunst ncias o factor c deve ser obtido directamente a partir de ensaios em que a direc o das tens es principais tenha permanecido constante Este facto particularmente importante no mbito da simula o computacional pois alerta para a necessidade de usar diferentes factores de redu o conforme se utilizem modelos de fendas fixas ou modelos de fendas rotativas Neste contexto destacam se as propostas de Belarbi e Hsu 1995 Cervenka 1985 Cervenka et al 2002 Hsu e Zhu 2002 Okamura e Maekawa 1991 Vecchio 2000 Vecchio e Collins 1986 Vecchio e Collins 1993 para o coeficiente de redu o algumas das quais nomeadamente as que s o fun o apenas da extens o transversal est o representadas na Figura 2 56 1 2 4 0 8 4 0 64 0 4 0 2 4 0 T T T T T T T T 1 0 000 0 002 0 004 0 006 0 008 0 010 0 012 0 014 0 016 0 018 4 m m
12. o 7 yo podendo esta ser estabelecida custa de uma express o independente de oy A partir desse ponto a depend ncia de o est ilustrada na Figura 2 43 sendo o n vel m ximo de distor o fortemente influenciado pela tens o hidrost tica O comportamento em ciclos carga e descarga essencialmente igual ao evidenciado pela rela o h Oo Predicted relationships 15 3 N mm 5 10 15 20 25 yo x 10 Figura 2 42 Rela es 1 yy experimentais para v rios tipos de bet o Adaptado de Kotsovos e Pavlovic 1995 53 Mec nica n o linear do bet o estrutural 01 gt 027 03 Figura 2 43 Rela es To yo experimentais para v rios n veis deo Adaptado de Kotsovos e Pavlovic 1995 x No que concerne rela o T amp l verifica se uma depend ncia acentuada da tens o hidrost tica para qualquer n vel de 7 aplicado conforme se pode aferir na Figura 2 44 O ponto de volume m nimo ainda marcado por uma s bita altera o da curva experimentando o material um comportamento dilatante sob o efeito de 7 O comportamento em ciclos carga descarga diferente do evidenciado pelas rela es atr s mencionadas Com efeito a deforma o amp totalmente irrecuper vel sendo vertical o declive da curva na descarga recarga j que na recarga n o ocorre distor o enquanto o n vel de tens o de corte n o iguala o anteriormente atingido 60 50 E 31 7
13. o das restantes vari veis Se o estado corrente pertence ao dominio el stico f lt 0 ent o o multiplicador pl stico a extens o pl stica e as vari veis internas permanecem constantes sendo a evolu o do estado de tens o governada pela rela o el stica Se o estado de tens o corrente pl stico f 0 ent o ou ocorre escoamento pl stico ou o material entra em descarga el stica A primeira situa o caracterizada por f 0e gt 0 a segunda por 0e por f lt 0 Uma situa o particular o carregamento neutro pode ocorrer quando 0 e f 0 Nestas circunst ncias a resposta comandada pela rela o el stica Este ltimo caso corresponde a uma limita o intr nseca aos modelos elasto pl sticos Caner et al 2002 No caso de ocorrer escoamento pl stico a taxa de varia o do multiplicador pl stico calculada aplicando a regra da deriva o em cadeia rela o f 0 2o 6 c 97 Ok o4 6 Z Z 0 0c tz Oh Ok ma 3 89 1x6 1xn nxm Substituindo 3 87 em 3 89 e atendendo a 3 82 e 3 84 chega se rela o linear que permite obter a taxa de varia o do multiplicador pl stico 116 Cap tulo 3 T oe e D l OO 6x6 6x1 3 90 T LR D Em H Oc x6 Oc 1x6 6x1 onde H um escalar denominado de m dulo pl stico que vem dado por _ of Oh Oh Ok ty 3 91 ixn nxm A rela o elasto pl stica entre a taxa de varia
14. o das flechas com o tempo Figura 5 63 Evolu o das extens es com o tempo Do gr fico com a evolu o das flechas verifica se e ao contr rio do que em princ pio seria expect vel que o valor da flecha no v o extremo DV1 inferior flecha medida no v o interm dio DV4 Este facto pode ser explicado por dois factores Tal como j referido atr s no modelo de c lculo tridimensional e conforme se pode ver do gr fico da Figura 5 58 o deslocamento do ponto P5 situado imediatamente por cima do apoio interm dio da mesma ordem de grandeza do deslocamento a meio v o da parede vis vel que o deslocamento de P5 cerca de metade do deslocamento de P1 Na estrutura real este facto ser ainda mais acentuado na medida em que o referido apoio n o foi modelado na sua totalidade conforme se pode ver na Figura 5 37 Pode se ent o concluir que a deformabilidade dos apoios centrais n o desprez vel em rela o deforma o do conjunto J os apoios extremos t m um comportamento muito mais r gido na medida em que o apoio materializado ao longo de toda a altura da viga parede e a parede de apoio tem um desenvolvimento apreci vel Por outro lado dado o reduzido valor das flechas medidas da ordem dos 2 mm o efeito da deformabilidade das funda es directas tamb m poder ter algum significado Estes factos contribuem para aumentar a flecha a meio dos v os interm dios na medida em que estes sofrem u
15. 4 podendo genericamente ser expresso como 5 N 21s maxw em que 0 5 lt y lt 1 Nestas circunst ncias e desprezando a degrada o da ader ncia com o evoluir da extens o obt m se oz N fe dando origem ao diagrama da Figura 2 54 b No CEB FIP Model Code 1990 adopta se o valor 5 7 0 40 a que corresponde s 4 3 Ismar Com estes pressupostos a extens o correspondente ao final da fase de forma o de fendas vem dada por 65 Mec nica n o linear do bet o estrutural t e l res s 2 52 NA NA a AL a AL a LOC Em LOC Esm fot Condi o 1 4 ondi o 48 nf AL g Era Ey AL L sm L sm a b Figura 2 54 Diagramas de reten o de tens es no bet o Durante a fase de forma o de fendas dissipada energia de fractura Utilizando o modelo da banda fendilhada poss vel enquadrar os conceitos da mec nica fractura no estudo do tension stiffening Considerando a largura da banda A superior ao espa amento m dio entre fendas sj na presen a de armadura superior m nima pode se quantificar grosseiramente a energia de fractura dissipada atrav s da express o 2 53 A fase de forma o de fendas termina quando toda a energia de fractura se tiver dissipado Na Figura 2 55 ilustra se o procedimento para um diagrama de amolecimento linear ao qual se adiciona um diagrama de reten o trilinear Gr re Gr 2 53 Figura 2
16. Envolvente de rotura em estados de Figura 2 40 Diferentes modos de rotura em tens o biaxiais Kupfer e Gerstle 1973 ensaios biaxiais Nelissen 1972 Em Chen 1982 apresenta se a formula o de algumas das envolventes de rotura mais utilizadas e a respectiva compara o com resultados experimentais 51 Mec nica n o linear do bet o estrutural 2 4 3 Comportamento deformacional De um extenso projecto experimental envolvendo v rios laborat rios a n vel mundial desenvolvido no final da d cada de 70 CEB 1996 Gerstle et al 1980 Kotsovos e Pavlovic 1995 resultaram importantes conclus es acerca do comportamento deformacional do bet o Mesmo utilizando m todos de ensaio bem estabelecidos sempre de esperar uma significativa dispers o nas curvas tens o extens o medidas O comportamento deformacional do bet o pode ser expresso convenientemente custa dos dois primeiros invariantes dos tensores das tens es e das deforma es valores octa dricos A hip tese de isotropia independ ncia das leis de comportamento do ngulo de similaridade ou equivalentemente do terceiro invariante do tensor das tens es de desvio J satisfat ria at n veis de tens o pr ximos da rotura A rela o entre tens es e extens es volum tricas e de desvio ditada por dois m dulos independentes K o m dulo de compressibilidade volum trica e G o m dulo de distor o Um efeito de acoplamento entre
17. Esy Enn e 0 4 fa E Esy et b Figura 4 1 a Diagrama de amolecimento linear b Diagrama de reten o de tens es de trac o no bet o No caso de fissura o n o localizada devido presen a de armadura aderente adoptou se o diagrama de reten o de tens es representado na Figura 4 1 b Mais uma vez se optou por um diagrama simples em deterimento de propostas mais elaboradas que conduzissem a leis n o lineares que implicassem a exist ncia de ciclos internos na lei constitutiva da express o 3 44 ou de modelos mais complexos que fossem fun o da dist ncia m dia entre fendas da percentagem de armadura etc A extens o ltima do diagrama foi feita coincidir com a extens o 136 Capitulo 4 de ced ncia das armaduras Na realidade a extens o ltima do diagrama dever ser fun o do ngulo entre a direc o das armaduras e a normal ao plano da fenda O procedimento adoptado no entanto conservativo podendo reflectir se numa avalia o por defeito da rigidez da resposta estrutural em casos em que este ngulo seja muito diferente de 90 Nestes casos e se necess rio poder ser feita uma avalia o mais rigorosa Figueiras 1983 A corrente implementa o do modelo n o tem em conta a anisotropia do diagrama de tension stiffening softening conforme ilustrada na Figura 3 12 Uma vez definido o diagrama de comportamento ele aplicado a todas as fendas que se formem no ponto de integra o
18. MEN F E U Universidade do Porto E Faculdade de Engenharia MODELA O E AN LISE DE ESTRUTURAS LAMINARES DE BET O POSSIBILIDADES E DESAFIOS M rio Jorge de Seixas Pimentel Disserta o apresentada Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto para a obten o do grau de Mestre em Estruturas de Engenharia Civil realizada sob a orienta o dos Professores Joaquim Figueiras e Paulo Cachim RESUMO Ainda hoje na pr tica corrente de engenharia n o se analisa o comportamento real das estruturas simulando se antes estados virtuais de equil brio recorrendo an lise linear el stica Se em estruturas correntes nomeadamente as estruturas compostas por elementos lineares a experi ncia acumulada e o conjunto de disposi es regulamentares existentes permite que o processo de dimensionamento seja eficaz e econ mico o mesmo n o se poder dizer de outras estruturas cujo comportamento seja menos conhecido como o caso das estruturas laminares O trabalho apresentado nesta disserta o tem como principais objectivos o estudo a avalia o e a aplica o de modelos de an lise n o linear de estruturas de bet o na previs o do comportamento em fase de servi o e em estado limite ltimo de estruturas de bet o com comportamento menos corrente Para este efeito efectuada uma revis o do estado do conhecimento referente mec nica n o linear do bet o estrutural quando sujeito a cargas est ticas e de curta dura
19. Padr o de fendilha o na combina o de servi o A 1 0 Na combina o de servi o correspondente combina o rara A 1 0 o padr o de fendilha o est representado na Figura 5 36 onde se destaca a regi o onde as aberturas das fissuras s o maiores As maiores extens es amp correspondentes s fissuras ocorrem nas extremidades das aberturas e correspondem a fissuras horizontais portanto menos influenciadas pelos efeitos devidos s tens es originadas pelas deforma es impedidas Desta forma poss vel efectuar uma avalia o do valor caracter stico da abertura de fendas a partir dos resultados da an lise efectuada De acordo com o EC2 CEN 2002 e considerando um recobrimento de 40mm o valor da dist ncia m xima entre fendas vale s mix 406 mm Ao longo deste comprimento o valor m dio da extens o referente s fendas na zona mais desfavor vel desta regi o vale 0 44E 03 A abertura caracter stica w vem ent o dada por 5 2 verificando se ser inferior ao limite estabelecido encontrando se assim verificado o estado limite de fendilha o 199 Caso pr tico ETAR de Sobreiras w 406 0 44E 03 0 18 lt 0 2mm 5 2 5 4 AN LISE NAO LINEAR 3D REGI O DOS APOIOS Das an lises anteriores constatou se que a resist ncia da regido de apoio das vigas parede condicionante no que respeita verifica o ao estado limite ultimo de resist ncia da estrutura No entanto as an lis
20. correspondente ao factor de carga A 2 6 embora s no ltimo incremento de carga convergido seja poss vel detectar a entrada em regime de amolecimento conforme atesta o gr fico da Figura 5 49 3 0E 07 2 0E 07 Envolv PG1 PG2 1 0E 07 PG3 PG4 r r r 0 0E 00 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 c Pa Figura 5 47 Traject ria de tens es de v rios pontos em compress o multiaxial 5 0E 07 6 0E 06 T l 5 0E 06 4 2 025 l 4 0E 06 3 0E 06 4 PG1 2 0E 06 p 1 0E 06 Ra PG4 Distancia a envolvente de rotura Pa 0 0E 00 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 Factor de carga Figura 5 48 Distancia a envolvente de rotura de Mohr Coulomb 4 0E 07 PG1 3 0E 07 o Pa 2 0E 07 4 1 0E 07 4 0 0E 00 0 0E 00 5 0E 04 1 0E 03 1 5E 03 2 0E 03 2 5E 03 3 0E 03 es m m Figura 5 49 Diagrama 03 amp num ponto de Gauss pertencente ao esquadro de refor o 204 Capitulo 5 Figura 5 50 Distribui o das tens es principais de compress o para 2 82 Devido fendilha o ocorrida na parede de apoio associada ao espalhamento do campo de compress es tornou se necess rio verificar o esmagamento do bet o na direc o paralela ao desenvolvimento das fissuras Na Figura 5 51 est representado o padr o de fissura o da l mina central de apoio e na Figura 5 52 o ma
21. es no plano da estrutura e os esfor os que resultam essencialmente de ac es perpendiculares ao plano da estrutura os momentos flectores m e my o momento torsor m e os esfor os de corte v e v No caso mais geral de uma estrutura laminar sujeita aos dois grupos de esforgos temos uma estrutura tipo casca Figura 1 2 Estruturas planas sujeitas apenas a ac es no seu plano desenvolvem apenas esfor os de membrana sendo aqui denominadas de estruturas tipo parede Estruturas planas sujeitas a ac es perpendiculares ao seu plano m dio desenvolvem esfor os do segundo grupo acima referido sendo aqui denominadas de lajes Nas lajes dada a sua grande ductilidade os efeitos geometricamente nao lineares induzem esforgos de membrana que regra geral s o desprezados no dimensionamento mas que podem ser respons veis por um acr scimo sens vel da capacidade de carga deste tipo de estruturas Cap tulo 1 Figura 1 2 Exemplo de uma estrutura tipo casca Constru o da cobertura do mercado do Porto de Santander em Espanha fib 2004 Nas estruturas laminares do tipo laje e focando a aten o nas de geometria mais complexa o processo de c lculo usualmente adoptado consiste na determina o dos esfor os actuantes de acordo com a sua distribui o el stica sendo corrente o uso do m todo dos elementos finitos Garantindo que a rotura ocorre por flex o este tipo de estruturas geralmente muito d ctil pelo que a aplicabi
22. interpreta o do funcionamento estrutural de estruturas laminares ou regi es de descontinuidade est tica e ou geom trica Uma revis o completa de v rios aspectos relacionados com o uso de modelos de escoras e tirantes pode ser encontrada em fib 2004 a MODELO 1 t MODELO 2 pecas A MODELO 2 Figura 1 3 Exemplos de modelos de descoras e tirantes constru dos a partir das traject rias de tens es el sticas fib 2004 Outra forma de proceder ao dimensionamento das armaduras consiste em efectuar o seu c lculo directamente a partir das tens es el sticas determinadas atrav s de uma an lise pelo m todo dos elementos finitos A quantidade de armadura calculada de acordo com procedimentos baseados em conceitos de an lise pl stica limite fib 1999b fib 2004 Kaufmann e Marti 1998 Louren o e Figueiras 1993 devendo a capacidade resistente do bet o comprimido ser tomada com valores conservativos Este m todo de aplica o bastante eficiente no caso de geometrias e condi es de carregamento complexas onde por vezes a constru o de modelos de escoras e Cap tulo 1 tirantes morosa encontrando se tamb m contemplado na regulamenta o europeia mais recente CEN 2002 Por outro lado a considera o de v rias combina es de ac es n o problem tica ao contr rio do que acontece com os modelos de escoras e tira
23. o e aos modelos constitutivos usualmente empregues para reproduzir este comportamento Posteriormente s o apresentados alguns exemplos de aplica o de modelos de an lise n o linear na reprodu o da resposta e do mecanismo de colapso observado em elementos estruturais testados em laborat rio Com estes exemplos prende se efectuar uma calibra o de par metros e procedimentos com vista an lise de estruturas reais assim como discutir o funcionamento de algumas estruturas laminares Em seguida descrita uma aplica o das t cnicas de an lise n o linear a um caso de interesse pr tico ilustrando as suas potencialidades no processo de an lise e dimensionamento Os elementos estruturais analisados s o as paredes divis rias que sustentam o n vel superior de reservat rios da ETAR de Sobreiras ABSTRACT Even today in engineering current practice the structural behaviour 1s not properly analysed Virtual states of equilibrium are usually considered using linear elastic analyses In what frame structures are concerned this design procedure provides safe and economic results since it is strongly based on structural concrete design codes recommendations Simultaneously there is a great amount of experience among the technical community in detailing this kind of structural elements However this is not the case for plate and shell structures exhibiting a more complex structural behaviour The work presented in this thesis ai
24. o da extens o normal as fendas 12 5x O padr o de fendilha o num rico no ltimo incremento de carga convergido est representado na Figura 4 37 sendo de real ar a concord ncia da sua orienta o e localiza o com o padr o experimental A rotura num rica d se para uma carga de 397 kN por esmagamento do bet o no elemento da parede imediatamente esquerda do pilar Neste elemento n o se considerou qualquer efeito adicional de confinamento estando o bet o em acentuado regime de amolecimento Na Figura 4 36 est ilustrada a deformada incremental correspondente ao ltimo incremento de carga convergido com a representa o dos mapas das extens es pl sticas sendo evidente a localiza o da deforma o pl stica no pilar direito O efeito da cintagem no aumento 161 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA da ductilidade do bet o do pilar direito fundamental para a capacidade resistente da estrutura permitindo uma eficiente redistribui o das tens es na base no mesmo 500 400 Eee opa bi o ee 800 peu mino EE oq oo qo l 900 2 so E eS Experimental _ Num rico Corte Basal Total kN A te mm Figura 4 38 Deformada incremental 750x Figura 4 39 Curvas carga deslocamento correspondente ao ltimo incremento convergido Localiza o dos LVDT s indicada na Fig
25. 1989 directamente aplic veis fenomenologia envolvida e atr s descrita Estes modelos usualmente baseados em modela es num ricas por elementos finitos de ensaios experimentais servem para esclarecer o funcionamento da transfer ncia de tens es observada experimentalmente e tamb m para validar os modelos do n vel seguinte estes j aplic veis na an lise estrutural Permitem ainda o estudo de fen menos ainda n o totalmente esclarecidos tal como o efeito de escala assim a um n vel interm dio que surge a rela o 1 6 resultado da integra o dos campos de tens o e extens o sobre um dom nio contendo v rias nervuras e fendas secund rias e cuja vantagem reside na versatilidade e pouca limita o no mbito de aplica o Regra geral a curva ser essencialmente dependente do comprimento de embebimento do var o e do confinamento existente para al m naturalmente do tipo de bet o e de armadura A um n vel macrosc pico se se tomar como volume de controlo uma regi o contendo v rias fendas prim rias e secund rias o comportamento do material bet o fendilhado 59 Mec nica n o linear do bet o estrutural com armadura pode ser estudado na sua comp sito globalidade considerando o como um material Carregamento WI monot nico Ciclos entre 6 044 mm Carregamento monot nico So q Depois de 1 ciclo Ciclos entre 165mm Carregamento monot nico Ciclos entre 5 4
26. A nervura inferior est armada com 15425 Nos apoios centrais foram ainda dispostos verticalmente 18 var es Dywidag de 36 mm de di metro e 6 metros de comprimento com o objectivo de absorver parte das elevadas compress es no bet o em servigo na zona do apoio localizado atenuando o efeito da flu ncia Figura 5 8 As restantes armaduras correspondem s existentes nos elementos respectivos laje de fundo laje de cobertura parede de topo paredes inferiores de apoio ao longo da espessura considerada na an lise 189 Caso pr tico ETAR de Sobreiras Figura 5 7 Malha de elementos finitos com a localiza o das diversas percentagens de armadura adoptadas Tabela 5 1 Quantidades de armadura em correspond ncia com a localiza o indicada na Figura 5 7 Percentagens de Armadura rea de armadura armadura Denomina o Esp m Ly L Ash As Ash As As n A M00 A W A 100 Parede Corrente 0 50 100 1 00 2616 0 10 2 16 0 10 40 22 40 22 0 80 0 80 Parede Refor o 0 50 100 1 00 2420 0 10 2420 0 10 62 83 62 83 1 26 1 26 Laje de fundo 3 00 0 50 1 00 40016 2612 0 10 8042 22 62 0 54 0 08 Nervura 1 00 045 100 15025 212 0 10 73 63 22 62 1 64 0 23 Var es 36mm 0 50 100 0 50 2420 0 10 18436 62 83 183 22 1 26 7 33 Laje de fundo var es 36 mm 3 00 0 0 0 50 40016 18436 80 42 183 22 0 54 1 22 Nervura var es 36 mm 1 00 04
27. Compression Journal of Engineering Mechanics 124 1 94 102 Crisfield M A e Wills J 1989 Analysis of R C Panels Using Different Concrete Models Journal of Engineering Mechanics 115 3 578 597 227 Refer ncias Bibliogr ficas CSA 1994 A23 3 94 Design of Concrete Structures Canadian Standards Association Rexdale Ontario Dahlblom O e Ottosen N S 1990 Smeared crack analysis using generalized fictious crack model Journal of Engineering Mechanics 115 1 55 76 Dalmagioni P e Pellegrini 2001 FE guided structural rehabilitation of cooling towers Finite Elements in CivilEngineering Applications Tokyo Darwin D e Pecknold D A 1977 Nonlinear biaxial stress strain law for concrete Journal of Engineering Mechanics 103 Elices M e Planas J 1989 Material Models Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and Hall London 16 66 Elwi A A e Murray D W 1979 A 3D hypoelastic concrete constitutive relationship Journal of Engineering Mechanics 105 Faria R C M 1994 Avalia o do Comportamento S smico de Barragens de Bet o Atrav s de um Modelo de Dano Cont nuo Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Feenstra P H 1993 Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced Concrete Phd Thesis Delft University of Technology Delf
28. Figura 2 58 Propostas para o factor de redu o da resist ncia compress o do bet o fendilhado Bs a Vecchio e Collins 1986 b Vecchio 2000 c Okamura e Maekawa 1991 d Belarbi e Hsu 1995 2 6 3 Efeito de cavilha dowel action O efeito de cavilha proporcionado pelas armaduras um fen meno que permite a transmiss o de for as de corte entre as faces de fendas macrosc picas Figura 2 59 a Ao contr rio do aggregate interlock o efeito de cavilha essencialmente uma propriedade estrutural e n o uma propriedade material e as suas repercuss es fazem se sentir essencialmente quando o engrenamento entre os agregados perde preponder ncia devido grande abertura das fissuras 69 Mec nica n o linear do bet o estrutural e ou devido degrada o das interfaces originada por cargas c clicas Os mecanismos resistentes mobilizados est o representados na Figura 2 59 b M Va aM Flex o Corte Kinking B Va V L ei Va Va t gt M b Figura 2 59 a Efeito de cavilha b Mecanismos resistentes que contribuem para o efeito de cavilha CEB 1996 A efectividade do efeito de cavilha depende de m ltiplos factores de ndole estrutural como sejam o arranjo e o recobrimento das armaduras a forma da sec o e a exist ncia de confinamento lateral Dada a multiplicidade e complexidade dos factores intervenientes e considerando que o seu efeito apenas sen
29. Figura 5 54 Tens o nos var es de 36 mm para os factores de carga 1 0 A 2 1 e A 2 82 A evolu o das reac es verticais no apoio do modelo 3D est representada na Figura 5 55 efectuando se uma compara o com a evolu o da reac o do apoio correspondente nos modelos 2D correspondente reac o R2 Da an lise 3D conclui se que a reac o na l mina central da parede inferior de apoio cerca de 85 da reac o total do apoio interm dio diferen a esta que obviamente n o contabilizada nos modelos planos e que muito contribui para os n veis de carga alcan ados na modela o tridimensional O incremento de carga para o qual o estado de tens o nos esquadros toca a envolvente em cada um dos modelos est real ado por um ponto estando associado a reac es que v o desde 40 MN do modelo 2D com aberturas at aos 43 3 MN na l mina central do modelo 3D correspondentes a uma reac o total de 49 3 MN 206 Capitulo 5 3 0 ee eee 2 5 Rc sube s Ee Es 2 0 Reac es 2D s abert DS 38 li li q Factor de carga Reac es 2D c abert Reac o total 3D usados Moss 0 5 Reac o l mina central 3D 0 0 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 Reac o no apoio interm dio kN Figura 5 55 Evolu o da reac o vertical de apoio Compara o com os modelos 2D A perspectiva g
30. Total Strain Os modelos designados por Total Strain pertencem familia das formula es apresentadas em 3 2 Na implementa o efectuada na corrente vers o do DIANA seguido o conceito de extens o uniaxial equivalente e o coeficiente de Poisson considerado constante A descarga tanto em trac o como em compress o feita de forma secante para a origem Figura 4 4 o fi fc Figura 4 4 Comportamento uniaxial dos modelos Total Strain em situa es de descarga e recarga O modelo de fendas fixas Fixed Total Strain corresponde formula o de fendas fixas ortogonais sendo a rigidez de corte do bet o fendilhado considerada constante e igual a G tendo se adoptado 8 0 1 Tal como no modelo anterior tamb m n o tida em considera o a anisotropia do diagrama de tension stiffening softening As leis de comportamento adoptadas para o bet o traccionado foram as mesmas j referidas para o modelo Multifix a lei de amolecimento linear para o bet o simples com a largura da banda de fendlha o determinada por 4 1 e o diagrama de reten o de tens es bi linear para o bet o armado No que se refere lei uniaxial equivalente para o bet o comprimido adoptou se igualmente o diagrama definido pela express o do fib 1999a at tens o de pico e com um ramo de amolecimento linear tal como definido na Figura 4 2 b Est tamb m dispon vel uma vers o com fendas rota
31. e Lourengo P 1994 Sobre o Dimensionamento de Estruturas Laminares de Bet o Encontro Nacional de Bet o Estrutural 1994 359 372 Foster S J e Marti P 2003 Cracked Membrane Model Finite Element Implementation Journal of Structural Engineering 129 9 1155 1163 Gerstle K H Linse D Bertacchi P Kotsovos M D Ko H Y Newman J B Rossi P Schickert G Taylor M A Traina L A Winkler H e Zimmerman R M 1980 Behaviour of concrete under multiaxial stress states Mechanics Division 106 6 1383 1403 Ghali A e Neville A M 1972 Structural Analysis A unified classical and matrix Journal of Engineering approach Chapman and Hall London Han D J e Chen W F 1987 Constitutive Modelling In Analysis of Concrete Structures Journal of Engineering Mechanics 113 4 577 593 Hanganu A D Ofiate E e Barbat A H 2002 A finite element methodology for local global damage evaluation in civil engineering structures Computers amp Structures 80 1667 1687 Henriques A A 1998 Aplica o de Novos Conceitos de Seguran a no Dimensionamento do Bet o Estrutural Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Hilleborg A 1985 The theoretical basis of a method to determine the frature energy GF of concrete Mat riaux et Constructions 18 106 291 296 Hilleborg A Mod er M e Petersson P E 1976 A
32. es de trac o entre as suas faces Nesta ltima fase v rios modelos anal ticos t m sido propostos para reproduzir a transfer ncia de tens es de corte entre fendas alguns deles com base num modelo f sico de interpreta o da mec nica do problema outros baseados em express es emp ricas calibradas com resultados experimentais Os ensaios experimentais que validam estes modelos consistem essencialmente na aplica o de for as de corte ao longo de superf cies de fractura previamente formadas fazendo variar a abertura da fenda e o grau de confinamento numeroso o tipo de diferentes ensaios referidos na bibliografia CEB 1996 Li et al 1989 Como j foi referido em bet es de resist ncia normal a fendilha o propaga se essencialmente pela matriz ciment cia contornando os agregados originando um tra ado altamente irregular para a superf cie de fractura macrosc pica Quando imposta uma for a de corte ao longo de uma superf cie de fractura j formada os agregados s o empurrados contra o seu negativo na matriz ciment cia na face oposta da fenda e a transmiss o de for as gerada em numerosos pontos de contacto Os agregados s o mais r gidos e resistentes do que a matriz ocorrendo esmagamento desta nas zonas de contacto resultando num comportamento deformacional altamente inel stico A rugosidade da fenda origina um comportamento dilatante que se manifesta da seguinte forma e Mantendo a tens o normal de co
33. formar se em pontos isolados onde as concentra es de trac es devidas a deforma es 45 Mec nica n o linear do bet o estrutural STRESS S1 VS STRAIN E1 x SPECIMEN 9A2 3 ea TESTDATE 300383 LOA COMB EZ E1 0 0 1 0 He S3 S1 0 1 1 0 STRESS 1 N MM2 3 8 incompat veis entre a pasta de cimento mais flex vel e os agregados mais r gidos mais elevada contudo as microfendas n o se propagam e permanecem est veis Etapa 2 medida que a carga vai aumentando assiste se a uma diminui o do declive da curva 03 3 associado a uma diminui o inel stica de volume Nesta fase desenvolvem se grandes concentra es de tens es de trac o na extremidade das microfendas o que as leva a iniciar o processo de ramifica o na direc o da tens o principal de compress o dissipando energia el stica acumulada A diminui o inel stica de volume explicada pelo al vio das concentra es de extens es de trac o o que leva a contrac es do material nestas zonas localizadas Kotsovos e Pavlovic 1995 sobrepondo se este efeito ao da cria o de vazios decorrente da ramifica o das fendas Outros autores referem que a diminui o inel stica do volume marcada pelo esmagamento da estrutura microporosa que envolve os agregados A fendilha o existente n o ainda vis vel a olho nu concentrando se ainda na interface agregados pasta de cimento Bongers e Rutten 1998 Este facto permite po
34. lt 5 lt 10 mec nica da fractura n o linear maioria das estruturas de engenharia civil e f 510 mec nica da fractura linear algumas barragens A express o 2 26 uma express o simplificada sendo v lida para uma rela o de escalas de cerca de 1 20 entre a maior e a menor estrutura em an lise ACI 1999 Considerou se ainda que a rotura ocorre ap s propaga o est vel da fractura com a exist ncia de uma fractura macrosc pica de tamanho a gt 0 e n o desprez vel comparada com d Express es mais gerais para o efeito de escala foram propostas por Bazant incluindo o caso em que a rotura se d com a inicia o da fractura macrosc pica e contemplando tamb m o efeito das tens es residuais na regi o da fractura macrosc pica devidas ao efeito de ponte entre as faces das fendas excedendo no entanto a sua apresenta o o mbito desta disserta o Para uma completa revis o do assunto recomenda se leitura das refer ncias ACI 1999 Bazant 1984 Bazant 1986 Bazant 2001 37 Mec nica n o linear do bet o estrutural 2 3 TRANSFER NCA DE TENS ES DE CORTE ENTRE FENDAS Durante o processo de fendilha o poss vel identificar tr s etapas distintas Feenstra et al 1991a 1 O estado correspondente ao ramo ascendente da curva da Figura 2 10 2 o estado de desenvolvimento da fractura a que corresponde o ramo de amolecimento da mesma curva e 3 o estado final de fenda completamente aberta n o transmitindo tens
35. m todo do Hipercubo Latino apesar de teoricamente mais consistente torna estas an lises muito dispendiosas Para se obter uma correcta estimativa da probabilidade de rotura e dado o seu reduzido valor pode ser necess rio um n mero elevado de simula es na ordem das centenas Por outro lado o formato de seguran a utilizado apesar de simples n o tira o devido partido do maior rigor da an lise na medida em que os coeficientes parciais de seguran a s o iguais aos preconizados para outros tipos de an lises mais simples Por ltimo uma refer ncia aos dados da monitoriza o durante o enchimento Ao contr rio do que sucedeu com as estruturas ensaiadas em laborat rio os resultados num ricos est o algo afastados dos experimentais Para isto muito contribuiu o facto de ser ter efectuado uma modela o parcial da estrutura em an lise o que obrigou introdu o de condi es fronteira sempre dif ceis de quantificar No entanto a an lise destes resultados foi de grande utilidade na interpreta o do funcionamento da estrutura Ficou assim patente a utilidade de um sistema integrado de monitoriza o incluindo um modelo num rico devidamente calibrado durante a constru o e ensaios de carga Este modelo deveria incluir todos os aspectos que fossem tidos como relevantes para explicar a evolu o das grandezas medidas Neste caso concreto poderia 212 Capitulo 5 ser necess rio incluir o solo de funda o dada a
36. n o sendo poss vel obter posterior equil brio ocorrendo uma diverg ncia do processo iterativo Deve se no entanto real ar que a diverg ncia ocorreu ap s v rios incrementos consecutivos com o bet o em regime de amolecimento e com consequente diminui o da carga Figura 4 54 Dado o padr o de fendilha o obtido com evidente localiza o das distor es ao longo de uma banda fendilhada diagonal dominante e com posterior esmagamento do bet o na extremidade desta banda poss vel justificar a rotura 167 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA num rica por corte compress o A m xima tens o de compress o calculada na regi o do apoio indirecto foi de 19 MPa cerca de 57 de fo kN Actuador mm Figura 4 54 Evolu o calculada do deslocamento vertical de um ponto a meio v o LVDT V e do afastamento horizontal entre dois pontos 4 cm acima dos apoios LVDT H Na Figura 4 55 representa se a distribui o de tens es principais no ltimo incremento de carga convergido com um modelo de escoras e tirantes constru do a partir da localiza o conhecida dos tirantes e com a escora horizontal colocada no baricentro da distribui o num rica de tens es Visto a rotura se ter dado ap s ced ncia das armaduras as for as representadas s o de c lculo imediato sendo a carga ltima assim obtida de 193 kN que concorda de forma razo vel co
37. o intersectando as fissuras previamente formadas Este facto pode ser respons vel pelo excesso de rigidez da resposta a partir dos 200 kN O mapa com as tens es principais de compress o est representado na Figura 4 27 b 500 H H H H 450 debe PH ee 400 P Eee IL 350 1 300 4 Experimental 5 o E 2504 Multifix 30 lt 200 4 j Fix Tot Str x 150 q Rot Tot Str 100 E Rankine Drucker DD aaa ae MEE DEUS Prager E 0 i i i i 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Deslocamento a meio v o mm Figura 4 26 Curvas carga deslocamento para as diferentes modela es efectuadas nim TL b Figura 4 27 Resultados obtidos na carga m xima com o modelo Fixed Total Strain a Viga deformada 10x com os vectores perpendiculares abertura das fendas 7 5x b Mapas das tens es principais de compress o no bet o As an lises efectuadas com os modelos Rotating Total Strain e com o modelo Rankine Drucker Prager conduziram entre eles a resultados muito semelhantes Com estes modelos a rotura ocorre para uma carga substancialmente inferior experimental e o padr o de fendas caracterizado pela exist ncia de uma nica fenda dominante conforme se mostra na Figura 4 28 a e na Figura 4 29 a Da an lise dos mapas com as tens es principais Figura 4 28 b
38. o da parede imediatamente acima da laje de fundo igualada para 2 54 pelo que a 194 Capitulo 5 seguran a em rela o a uma rotura da escora fendilhada esta verificada Devido ac o do pr esfor o a primeira fendilha o ocorre apenas para 1 25 sendo desta forma verificado o estado limite de fendilha o em servi o devido s cargas aplicadas 5 3 2 Viga parede com aberturas A geometria da viga parede analisada juntamente com as cargas aplicadas est representada na Figura 5 22 O valor do pr esfor o horizontal corresponde ao tra ado adoptado para os cord es tendo sido desviados de forma a contornar as aberturas mantendo o mesmo valor total da for a de pr esfor o horizontal da viga parede sem aberturas X P 960 kN m P 960 kN m P 960 kN m Y 0 Y Y Y Y Y Y Y T Y VY Y v Y v Y VY tv Y ov Y YY T 220 kN m M MS GM UM SE SN NER Ku ES DE GNE UR ONE SS AKA ORE NR ON CN E GN DES P 5760 kN m P 1894 kN m 5 g a Y p p P 1894 kN m 1 0 50 305 70 50 ic ii 4 B 095 175 L 870kNm 050 E ZA i E P 5760 kN m oasi Z7 z 4 Xy wot je1 00 TEPRPERRBEBSEERBDIEIIe e P 960 kN m P 960 kN m P 960 kN m 15 35 9 85 1 75 4 75 1 75 Ee a b c Figura 5 22 An lise bidimensional das vigas parede com aberturas a Corte transversal b Modela o das espessuras c Malha de elementos finitos com o esquema das cargas aplicadas L peso do liquido e da
39. o das tens es e a taxa de varia o das extens es totais pode ser obtida tendo em aten o 3 84 e substituindo 3 90 em 3 87 6 D 3 92 com g of do l ao 616 D D PE 3 93 iE a 6x6 6x6 6x6 of do 6x6 OO 1x6 6x1 De acordo com o que foi exposto a descarga ocorre sempre segundo uma lei el stica n o sendo por isso modelada a degrada o de rigidez associada com os mecanismos internos de microfendilha o nem a histerese associada aos ciclos carga e descarga Conforme referido em 2 4 3 esta degrada o de rigidez pode ser acentuada quando s o efectuadas descargas e recargas para al m do limite correspondente ao fim da etapa 3 do processo de fractura em compress o Em Cachim 1999 refere se uma metodologia baseada na utiliza o de uma superf cie de ced ncia que controla a evolu o das tens es e do escoamento pl stico em situa es de descarga que se move cinematicamente no espa o das tens es e que permite aproximar o comportamento observado em ensaios c clicos de compress o e de trac o Na implementa o computacional deste tipo de modelos o problema b sico consiste em proceder integra o da equa o 3 87 de uma forma consistente Num dado incremento de carga n correspondente ao instante de tempo f s o conhecidas as extens es totais as extens es pl sticas as vari veis internas e as tens es No incremento de carga n correspondente ao instante Af
40. o do material Bazant 1986 Figura 2 9 Compara o dos tamanhos da zona de processamento da fractura F da zona com comportamento n o linear N e da zona el stica L nos metais a e no bet o b Retirado de Bazant e Oh 1983 Nos metais a ZPF pequena quando comparada com a zona pl stica que se desenvolve nos pontos onde o crit rio de ced ncia do material foi violado cancelando a singularidade do campo el stico de tens es Nos materiais mais heterog neos como o bet o a exist ncia de agregados origina um desenvolvimento muito maior da ZPF sendo reduzido o tamanho da regi o com comportamento n o linear Bazant e Oh 1983 Figura 2 9 2 2 3 1 Processo de fractura e comportamento deformacional Na Figura 2 10 est representada uma curva tens o deslocamento t pica de um ensaio de trac o numa pe a de bet o Na fase de amolecimento dada a instabilidade deste regime a interac o entre o provete e a m quina de ensaio muitas vezes dificil de eliminar A exacta separa o entre aquilo que um comportamento do material ou um efeito estrutural um aspecto delicado deste tipo de ensaios e motivo de aceso debate Refer ncias s t cnicas de 23 Mec nica n o linear do bet o estrutural ensaio para estudar problemas de fractura e respectiva influ ncia sobre os resultados obtidos podem ser encontradas na bibliografia Hordjick 1992 Schlangen 1993 Van Mier 1986 carga F zona de proces
41. onde j n o s o transmitidas tens es com um comprimento acrescido de c c corresponde assim ao comprimento da ZPF na Figura 2 9 b O facto de c n o ser desprez vel em rela o a d comprimento representativo da dimens o da estrutura faz com que as redistribui es de esfor os macrosc picas que a se processam n o sejam negligenci veis assim como a energia dissipada A energia dissipada na forma o da fenda deve depender do tamanho c da ZPF e o seu valor cr tico atinge se quando esta atinge o tamanho cr tico c que pode ser considerado uma propriedade do material Expandindo em s rie de Taylor a fun o g o e linearizando a no dominio 0 lt c lt cy o valor de g a vem dado pela express o 2 24 a g a g a 2 24 a Cy d do EO CUT e a Substituindo a express o 2 24 na express o 2 10 chega se a uma lei n o linear para o efeito de escala Figura 2 3 unicamente dependente de par metros materiais E 2 25 Oy C i g a d BOE a Je A express o 2 25 pode ser posta na forma da lei proposta por Bazant 1984 deduzida de uma forma geral atrav s de condi es de semelhan a dimensional B f Na express o 2 26 B uma constante escalar dependente da geometria do carregamento das ON condi es fronteira e do material e G o chamado n mero de fragilidade brittleness number independente da geometria sendo dados por m A E fls ro Je
42. ricas em modelos de elementos finitos da teoria da banda fendilhada a largura da banda h depende do tamanho e do esquema de integra o dos elementos utilizados A utiliza o das rela es constitutivas conforme expressas na Figura 2 19 garante a objectividade dos resultados qualquer que seja o refinamento da malha utilizada desde que o valor de Gr seja mantido No caso de estruturas extensas o tamanho dos elementos pode ser tal que para garantir o valor de Gr e de fep o diagrama tens o extens o apresenta um snapback Figura 2 20 Nestas circunst ncias deve se reduzir o valor de fa para fe que no caso de se desprezar a dissipa o de energia fora da ZPF 0 e de se adoptar um diagrama de amolecimento linear vem dado por 2 17 de forma a garantir as condi es de equil brio energ tico Bazant e Oh 1983 2EG faa mM 2 17 GA f Ct 7 Figura 2 20 Correc o ao valor de fe para atender s condi es de equilibrio energ tico quando a malha de elementos finitos grosseira 32 Capitulo 2 As curvas o w atr s referidas podem continuar a ser utilizadas adaptando as ao conceito de dissemina o das extens es da ZPF por uma banda de largura Ah Disseminando a abertura da fenda fict cia pela largura da banda de fendilha o obt m se a rela o w h 2 18 Modelos n o locais nonlocal continuum models Num cont nuo n o local o campo de tens es num dado ponto
43. rio o ngulo de atrito 4 e a coes o c foram calibrados de forma a garantir que no espa o das tens es principais a superf cie de rotura passa e no ponto 0 0 f de modo a garantir a modela o de um ensaio uniaxial e no ponto 0 af af com a 1 16 que corresponde rotura em compress o biaxial Particularizando a express o 4 5 para a primeira condi o obt m se l a sin f Slin T 4 9 f P f 2cos Ve Procedendo igualmente para a segunda condig o obt m se 1 2a 3 5sin f e SONS GQ IS 4 10 f P f 6cos oy Resolvendo o sistema de equa es 4 9 e 4 10 obt m se finalmente 10 e c 0 42 f 4 11 O ajuste conseguido est ilustrado na Figura 4 2 a contra os resultados experimentas de Kupfer e Gerstle 138 Capitulo 4 vvvvvy AA A AA A Figura 4 2 a Ajuste da envolvente de rotura biaxial aos resultados experimentais de Kupfer e Gerstle b Curva uniaxal em compress o W energia deforma o pl stica dissipada ao longo de todo o provete G a energia dissipada na zona de processamento da fractura O diagrama de endurecimento c k foi definido de modo a ajustar a curva uniaxial proposta em fib 19992 kx x E E f 7 k 8 MPa m o s aC P z gt X MPa mm 4 12 c sec c em que Es o m dulo de elasticidade tangente na origem dado por E 9980 a f MPa 4 13 O escalar o fun o do tipo de
44. s o qual se observa um comportamento dilatante resultado da formag o de vazios decorrente da ramifica o inst vel das fendas sobrepondo se este efeito a qualquer outro no sentido da compacta o volum trica A carga m xima obtida quando a propaga o das fendas prossegue at formar um sistema de fendas inst vel resultado da uni o de v rias fendas mais pequenas Figura 2 32 segundo uma traject ria irregular O sistema de fendas torna se inst vel na medida em que mantendo constante o n vel de carga ocorre propaga o das fendas at rotura Ap s a carga m xima observado um ramo de amolecimento traduzido por uma localiza o das deforma es ao longo duma zona onde a fractura se processa e por um estado de tens o altamente n o uniforme ao longo do provete Na Figura 2 33 ilustram se tr s diagramas o s resultantes de ensaios de compress o uniaxial sobre provetes com diferentes alturas As deforma es p s pico s o mais elevadas nos provetes menos esbeltos Na Figura 2 34 est o representados os diagramas que relacionam a tens o aplicada com o deslocamento p s pico sendo evidente a menor dispers o dos resultados o que indica que as deformag es est o localizadas numa zona do provete reflectindo as extens es da Figura 2 33 a disseminac o deste deslocamento localizado por um comprimento de medida diferente Initial cracking 4 Ultimate failure Figura 2 32 Forma o de uma fenda macrosc pica atrav s d
45. verificou se que na regi o de compress o trac o da envolvente de rotura biaxial o factor de redu o fun o principalmente da extens o transversal de trac o amp Figura 2 56 mas tamb m do modo de aplica o da carga A extens o correspondente tens o m xima amp 2 ax tamb m menor do que a correspondente extens o de pico uniaxial nomeadamente no caso de carregamentos proporcionais pelo que 67 Mec nica n o linear do bet o estrutural c2 max O e 2 O 1 0 2 55 tomando se muitas vezes simplificadamente o c A justifica o para este fen meno pode ser encontrada no car cter altamente irregular do campo de tensdes do bet o fendilhado Devido forma tortuosa das fendas ditada pela natureza heterog nea do bet o a idealiza o de um sistema de escoras uniformemente comprimidas separadas por fendas aproximadamente rectas n o consistente com os padr es de fendilha o observados experimentalmente Desta forma a considera o de leis constitutivas estabelecidas com base nos valores m dios medidos sobre um volume de controlo suficientemente grande tem de tomar em considera o a ocorr ncia de valores extremos de compress es localizadas que eventualmente ditam a rotura do elemento estrutural Figura 2 57 RAIN WRIT BUS Roturas localizadas J por ader ncia Figura 2 57 a Padr o de fendilhac o de um painel de bet o armado sujeito a um estado de compress o
46. 2 NAI Wu 02 e E 2 Yyy G 7 Na Figura 3 23 est representada a direc o definida pelo ngulo assim determinado onde claramente se pode ver que se desvia acentuadamente da orienta o correcta Figura 3 23 Direc o da direc o da extens o principal m xima Focando agora a aten o sobre a fase do processo de fractura em que a fenda macrosc pica j est praticamente desenvolvida pode se considerar que as tens es transmitidas atrav s da fenda coesiva s o j negligenci veis Se esta situa o fosse realisticamente reproduzida pelo modelo de elementos finitos cada uma das partes do corpo mover se ia como um corpo r gido e as extens es el sticas seriam nulas Neste caso as extens es avaliadas do modelo de elementos finitos s o inteiramente devidas componente da deformag o devida fenda 111 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural A JX wW 0 xy saco Mes s x 24 a P Lo 3 72 Num modelo de fendas fixas desprezando o efeito de Poisson no bet o fendilhado as tens es no referencial de ortotropia que coincide com o referencial geral v m dadas por Xp Y O 0 0 0 2A eee o 0 E 0 0 woo 0 0 0 0c SG w y x cr x y xy B 24 cr 3 73 o o 0 8G 2 2A Demonstra se assim que nos modelos de fendas fixas ocorre a transmiss o de uma tens o de corte esp ria proporcional ao factor de reten o de tens e
47. 30 beta 0 4 kN Actuador Experimental 0 2 4 6 8 10 12 Deslocamento a meio v o mm Figura 4 19 Curvas carga deslocamento para as diferentes modela es efectuadas 4 2 1 2 Viga com estribos m nimos A viga analisada foi originalmente testada no mbito de um vasto estudo experimental realizado por Bresler e Scordelis 1963 no intuito de estudar o comportamento ao corte de vigas de bet o armado todas elas contendo armadura longitudinal em quantidade suficiente para que a rotura ocorresse antes da ced ncia Todos os doze ensaios ent o realizados foram repetidos por Vecchio e Shim 2004 com o objectivo de testar a reprodutibilidade dos resultados o que foi conseguido com assinal vel sucesso dado todos os modos de rotura serem id nticos aos originalmente descritos Considerando a fiabilidade e qualidade dos resultados experimentais e dada a variedade de rela es v o altura til testados e de modos de rotura obtidos esta s rie de ensaios constitui um excelente conjunto de resultados para valida o e calibra o de modelos num ricos No que a seguir se apresenta v o ser adoptados os dados e os resultados obtidos na s rie original de ensaios 152 Capitulo 4 2012 7 F 0 051 2x0063 4028 9 06 4 210 A 0 228 i 1 829 n 1 829
48. 4 1 Formulacao geral 2 5 teta etie retis e ENTE AR ERES S 113 3 4 2 Modelos isotr picos com endurecimento isotr pico sssessssseeeeee 118 3 4 3 Endurecimento cinem tico e misto sese 120 3 4 4 Leis de escoamento associadas e n o associadas sss 121 3 4 5 Plasticidade com m ltiplas superf cies de ced ncia 122 3 4 6 Modelos elasto pl sticos generalizados eee eeeeeeeeeerereeeranereneranos 126 3 5 Modelos de d no uter ett e ete e eerte et ete 127 3 6 Modelos de microplanos sssssssssssssseeseeeee eene enne nennen nnne nnns 129 4 AN LISE DO COMPORTAMENTO NAO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETAO COM BASE NO SOFTWARE DIANA wscccccsssssssssssssessssscescescsvesencessesassascessesssossensesseasensoese 135 4 T Introduc o ise hme tdliiit mibi aid eed eite 135 dT 1 Modeto SM ara neie prainha et ehe baee E what e A bae etes ue 135 4 1 2 Modelos Total Strain inet teet ier ete ies 143 4 1 3 Modelo Rankine Drucker Prager eese nennen 144 xii ndice do Texto 4 2 AplICacOoes 9t heit Erde ee e FOR ERE c dardo DRE ssa lar Ade Pee EAR RR ada 145 4 2 1 An lise de vigas com roturas por corte 146 AD Nel Viga semi estribos oen veo tete ri ee Te o eee i eds 146 4 2 1 2 Viga com estribos m nimos ssssssssesseeeeenen nennen nnns 152 4 2 2 An lise de uma parede com
49. 53 6x1 fci exl Para formular as relag es constitutivas conveniente assemblar todos os vectores com as extens es no referencial local num s vector T T T 4 e ep cm er er 3 54 mM aa n n xl 1x3 1x3 1x3 Definindo a matriz de transforma o N y TE N 3 55 6x3n 6x3 6x3 6x3 poss vel reescrever 3 33 para todas as fendas numa s express o cr cr N e 3 56 6x1 6x3n 8nd r r cr Da mesma forma poss vel definir o vector f T g zx deg Se E 3 57 3nxl 1x3 133 1x3 vindo a rela o constitutiva expressa por 105 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural i D e 3 58 md ann axl onde ID owes 3x3 er 0 D 0 D 63 3 59 3nx3n E 0 0 ee D 3x3 Usualmente a matriz D diagonal por blocos sendo desta forma ignorada a interac o entre as diferentes fissuras Embora seja formalmente poss vel incluir este efeito atrav s da introdu o dos blocos fora da diagonal n o existe ainda enquadramento te rico para a sua formula o A rela o entre as tens es no referencial global e no referencial local vem dada por t N o 3 60 Qmd 3m6 6xl Repetindo os mesmos passos que levaram determina o de 3 43 e 3 44 chega se matriz de rigidez do bet o fendilhado 6x6 6x6 6x6 6x3n 3nx3n 3nx6 6x6 6
50. 94 0 076 806 7 04 0 07125 14 cintas 2404 por face 14 cintas 04 0 07125 HM 8 0 075 0 075 0075 0075 1 750 0 075 Figura 4 48 Geometria do modelo Figura 4 49 Armaduras Todas as vigas parede estudadas foram discretizadas em elementos planos quadraticos de 8 n s com integra o reduzida 2x2 pontos de Gauss usando condi es de simetria a meio v o A carga foi aplicada com controlo de deslocamentos Nos elementos onde esta embebida a armadura do tirante principal foi adoptado o diagrama de reten o de tens es no bet o e nos outros um diagrama de amolecimento linear de acordo com a energia de fractura indicada A armadura foi modelada de forma discreta atrav s de elementos de barra embebidos nos elementos de bet o Apenas s o apresentados os resultados referentes ao modelo Multifix As caracter sticas usadas para os materiais do modelo n 1 est o indicadas na Tabela 4 4 Tabela 4 4 Caracter sticas dos materiais utilizados BET O Fon 33 MPa fi 2 6 MPa G 100 N m Ge 12500 N m ACO d Sy 530 MPa Sou 610 MPa p Sy 180 MPa Sou 292 MPa Os valores assinalados com foram estimados No ensaio a rotura deu se por corte compress o ap s a entrada em ced ncia do tirante Na Figura 4 50 est ilustrado o padr o de fendas experimental ap s a rotura e na Figura 4 51 apresenta se um pormenor do esmagamento do bet o na extremidade da fenda de corte O
51. A realiza o de uma an lise n o linear realista implica que o modo de colapso e a capacidade de carga 187 Caso pr tico ETAR de Sobreiras m xima da estrutura sejam determinados com base nos valores m dios das propriedades dos materiais Por outro lado a variabilidade que caracteriza as ac es e as propriedades dos materiais induz um grau de incerteza na solu o estrutural que apenas pode ser correctamente tratada com recurso a m todos estoc sticos Henriques 1998 Santa et al 2004 Strauss et al 2004 Para ultrapassar esta dificuldade observando simultaneamente a aproxima o de base probabil stica subjacente regulamenta o actual foi utilizado um procedimento simplificado para a verifica o de seguran a ao estado limite ltimo de resist ncia Figueiras et al 1994 e As rela es constitutivas s o definidas com base nos valores m dios das propriedades dos materiais que determinam a flexibilidade da estrutura adoptando se os valores caracter sticos para as propriedades que determinam a respectiva capacidade resistente ltima e A solicita o vem definida pelos correspondentes valores caracter sticos a que corresponde o factor de carga A 1 0 As cargas s o incrementadas at se atingir o colapso da estrutura que determina o factor de carga ltimo 2 e A seguran a considera se satisfeita desde que 2 gt y yp em que y o coeficiente de majora o das cargas e o coeficiente parc
52. As mudan as de estado s o dominadas pelo modo 1 assumindo se um comportamento independente do modo II de fractura Desta forma poss vel que uma fenda esteja activa no modo I e inactiva no modo II inactiva no modo I e activa no modo II inactiva em ambos os modos ou activa em ambos os modos O manuseamento preciso de todos estes estados uma mat ria delicada Rots e Borst 1987 3 3 2 Modelos de m ltiplas fendas fixas Nos modelos de fendas fixas admite se que assim que violado o crit rio da tens o m xima se forma uma banda fendilhada com orienta o perpendicular tens o principal de trac o A direc o da banda fendilhada permanece fixa e o sistema de eixos locais assim determinado 104 Capitulo 3 define as direc es de ortotropia do material Por m dado que existe transmiss o de tens es de corte as tens es principais podem rodar e o crit rio da tens o m xima voltar a ser violado M 4 amp ey AQ Figura 3 20 Representa o bidimensional da ocorr ncia de duas fendas n o ortogonais no mesmo ponto de amostragem Defini o do threshold angle a Uma das grandes vantagens dos modelos com decomposi o das extens es reside na simplicidade conceptual com que permitem lidar de forma rigorosa com situa es de m ltiplas fendas fixas Figura 3 20 No referencial global o vector com as extens es correspondentes s n fissuras vem dado por n cr cr Er Se 3
53. Biaxial testing of normal concrete Heron 18 1 Okamura H e Maekawa K 1991 Nonlinear Analysis and Constitutive Models of Reinforced Concrete Gihodo Shuppan Co T quio Owen D R J e Hinton E 1980 Finite Elements in Plasticity Pineridge Press Limited Swansea Pijaudier Cabot G e Bazant Z P 1987 Nonlocal Damage Theory Journal of Engineering Mechanics 113 10 1512 12533 Pimentel M e Miranda J 2001 An lise linear e n o linear de estruturas laminares de bet o ETAR de Sobreiras Relat rio Final de Semin rio de Estruturas 1 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto P voas R H C P 1991 Modelos n o lineares de an lise e dimensionamento de estruturas laminares de bet o incluindo os efeitos diferidos Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Pramono E e Willam K 1989 Fracture Energy Based Plasticity Formulation of Plain Concrete Journal of Engineering Mechanics 115 6 1183 1204 Pruissers A F 1988 Theoretical and experimental analysis of the behaviour of cracked concrete under monotonic and cyclic shear loading Heron 33 4 Rashid Y R 1968 Analysis of Prestressed Concrete Pressure Vessels Nuclear Engineering and Design 7 4 334 355 Reinhardt H W 1989a Basic Types of Failure Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and
54. Borst R 1987 Smeared cracking plasticity creep and thermal loading A unified approach Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 62 1 89 110 Borst R 1991 Computational Methods in Non Linear Solid Mechanics Part 2 Physical Non Linearity TU Delfi report nr 25 2 91 2 06 TNO IBBC report nr BI 91 043 Delft University of Technology TNO Institute for Building Materials and Structures Deflt Borst R e Nauta P 1985 Non orthogonal cracks in a smeared finite element model Engineering Computations 2 35 46 226 Refer ncias Bibliogr ficas Bounassard Filho J 1995 Dimensionamento e Comportamento do Bet o Estrutural em Zonas com Descontinuidades Disserta o de Doutoramento Universidade T cnica de Lisboa Instituto Superior T cnico Lisboa Bresler B e Scordelis A C 1963 Shear Strength of Reinforced Concrete Beams Journal of the American Concrete Institute 60 1 51 72 Bujadham B e Maekawa K 1992a Qualitative Studies on Mechanisms of Stress Transfer Across Cracks in Concrete Proc of the JSCE 17 265 275 Bujadham B e Maekawa K 1992b The Universal Model for Stress Transfer Across Cracks in Concrete Proc of the JSCE 17 277 287 Bujadham B Mishima T e Maekawa K 1992 Verification of the Universal Stress Transfer Model Proc of the JSCE 17 289 300 Cachim P 1999 Experimental and Numerical Analysis of the Behaviour
55. D e D podem no caso mais geral ser matrizes cheias do tipo 84 Capitulo 3 0o OF O0 do 00 O0 Dy OV st Oy OE sin O OE 0 do Oo Oc D Oss Oss Oss 3 D st st st 3 1 1 OV ns OY Oy OE pn E ss E 00 00 00 00 06 O m i OV ns OV a Oy d Q amp 08 e D uma matriz cheia com as respectivas derivadas parciais ldo OO O pn QE JOE Ce do Oo 00 D ss ss SS 3 A 1 2 TA 0g Oss O08 ue do OO Oo 0Em E O SS As rela es assim determinadas s o extremamente gerais sendo correntemente efectuadas algumas simplifica es 3 2 2 Modelos para o bet o n o fendilhado Uma formula o poss vel deste tipo de modelos baseia se na lei constitutiva de um material ortotr pico rela o essa que se expressa nos eixos de ortotropia do material n s t Antes de fissurar admite se que os eixos de ortotropia do bet o coincidem com a direc o das tens es principais totais fazendo com que a matriz de transforma o T varie com o carregamento A matriz de rigidez da express o obtida por invers o da matriz de flexibilidade C 1 Vu Vn 0 0 0 E E E V 1 V 5 ns ts 0 0 0 vw E E E ae E s Oss a 0 0 0 nse E Cx O ns era fes 1 3 13 Ens 0 0 0 0 o E st Gs o En 0 0 o o Lo 6 G 1 0 0 Oi Qs d lt a L Gin Usualmente considera se que a relag o 3 13 sim tr
56. Existem v rios pontos de partida para o desenvolvimento das formula es elasto pl sticas Tradicionalmente utilizado o modelo reol gico da Figura 3 24 que conduz ao estabelecimento de rela es elasto pl sticas uniaxiais dando origem a dois formatos de elasto plasticidade um baseado em extens es totais a teoria da deforma o pl stica deformation theory of plasticity e outro baseado em rela es incrementais a teoria do escoamento 113 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural pl stico plastic flow theory Este segundo formato o mais correntemente utilizado fornecendo uma aproxima o directa defini o de leis constitutivas diferenciais conduzindo a formula es incrementais e portanto genericamente aplic veis a qualquer tipo de carregamento Uma dedu o das express es que governam a teoria do escoamento pl stico efectuada a partir do modelo da Figura 3 24 est descrita em Borst 1991 sendo enriquecedora do ponto de vista da percep o f sica das vari veis intervenientes F 6 NEY A Figura 3 24 Modelo reol gico elasto pl stico com dois graus de liberdade Associa o em s rie de uma mola el stica com um elemento friccional Na teoria do escoamento pl stico admite se que o estado corrente dum volume elementar de material totalmente caracterizado pela extens o total pela extens o pl stica amp e por um conjun
57. Hall London 6 15 Reinhardt H W 1989b Joints Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and Hall London 363 368 Reinhardt H W Cornelissen H W e Hordjick D A 1986 Tensile Tests and Failure Analysis of Concrete Journal of Structural Engineering 112 11 2462 2477 Rots J G 1989 Bond of Reinforcement Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and Hall London 245 262 231 Refer ncias Bibliogr ficas Rots J G 2002 Comparative study of crack models Finite Elements in Civil Engineering Applications 17 29 Rots J G e Blaauwendraad J 1989 Crack models for concrete Discrete or smeared Fixed multi directional or rotating Heron 34 1 Rots J G e Borst R 1987 Analysis of mixed mode fracture in concrete Journal of Engineering Mechanics 113 11 1739 1758 Rots J G Nauta P Kusters G M A e Blaaauwendraad J 1985 Smeared crack approach and fracture localization in concrete Heron 30 1 Santa U Bergmeister K e Strauss A 2004 Discussion of stochastic models in structural engineering Concrete Structures the Challenge of Creativity Avignon Schellenkens J C J 1990 Interface Elements in Finite Element Analysis TU Delft report nr 25 2 90 5 17 TNO IBBC report nr BI 90 165 Delft University of Techn
58. M 1984 Strain softening of concrete under multiaial loading conditions Ph D Delft University of Technology Delft Van Mier J G M 1986 Fracture of concrete under complex stress Heron 31 3 Van Mier J G M 1998 Special issue on compressive failure of concrete and rock Heron 43 3 123 125 232 Refer ncias Bibliogr ficas Vecchio F J 1989 Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Membranes ACI Structural Journal 86 1 23 35 Vecchio F J 1990 Reinforced Concrete Membrane Element Formulations Journal of Structural Engineering 116 3 730 750 Vecchio F J 1992 Finite Element Modeling of Concrete Expansion and Confinement Journal of Structural Engineering 118 9 2390 2406 Vecchio F J 1999 Towards Cyclic Load Modelling of Reinforced Concrete ACI Structural Journal 96 2 193 202 Vecchio F J 2000 Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete Formulation Journal of Structural Engineering 126 9 1070 1077 Vecchio F J 2001a Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete Implementation Journal of Structural Engineering 127 1 12 20 Vecchio F J 2001b Non linear finite element analysis of reinforced concrete at the crossroads Structural Concrete 2 4 201 212 Vecchio F J 2002 Contribuition of Nonlinear Finite Element Analysis to Evaluation of Two structural Concrete Failures Journal
59. Newton Raphson Os resultados ptimos foram obtidos com a utiliza o conjunta de um algoritmo de correc o baseado na t cnica Line Search Witte e Kikstra 2002a O crit rio de converg ncia da solu o correspondente a cada incremento de carga baseou se na verifica o do valor da norma da energia impondo a condi o 145 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA OE _ Ou ux xy 1074 4 24 AE Aus Us Ja E As vari veis intervenientes est o explicitadas na Figura 4 6 onde g s o as for as residuais correspondentes itera o i t At 8 zi Sos gt Seige 4 25 Esta norma revelou se mais vers til do que a norma das for as residuais ou a norma dos deslocamentos incrementais podendo ser usada tanto em respostas ducteis ou muito rigidas Refira se ainda que todas as curvas e figuras que ir o ser apresentadas obtidas dos c lculos efectuados apenas cont m resultados convergidos 4 Hatt t fex t Auo u Figura 4 6 M todo incremental e iterativo Defini o da norma da energia 4 2 1 An lise de vigas com roturas por corte 4 2 1 1 Viga sem estribos A viga analisada foi testada experimentalmente por Walraven tendo sido alvo de an lises num ricas por v rios autores Barros 1995 Borst e Nauta 1985 Feenstra et al 1991b P voas 1991 Trata se de uma viga com a geometria indicada na Figura 4 7 solicitada
60. Nimm 30 c e 9o fo 0 49 0 72 0 97 1 29 1 69 Ponto de volume m nimo 3 o X 10 Figura 2 44 Rela es v E experimentais para v rios n veis deo Adaptado de Kotsovos e Pavlovic 1995 Testes efectuados com recurso a traject rias de tens o complexas procuraram estabelecer o crit rio mais adequado para distinguir situa es de carga descarga ou recarga em condi es mais gerais do que as anteriormente referidas Uma situa o de carga parece ocorrer com consequente comportamento inel stico sempre que uma ou mais das tens es principais excede um valor previamente atingido CEB 1996 Maekawa e Okamura 1983 fundamentaram por sua vez com base em ensaios biaxiais que poss vel definir uma 54 Capitulo 2 envolvente no espa o das extens es que define o lugar dos estados de extens o revers veis cuja viola o conduz a deforma es irrevers veis Demonstraram ainda que esta envolvente expande e se move cinematicamente no espa o e amp Figura 2 45 Shitted and Expanded Boundary of Elasticity Irreversible Process T5 17 T8 mac Reversible Process 15 17 Figura 2 45 Envolvente 2D dos estados de extens o reversiveis Maekawa e Okamura 1983 A modelac o do comportamento de amolecimento verificado na Etapa 4 do processo de fractura para os n veis de tens o hidrost tica em que esse tipo de comportamento ocorre n o esta ainda estabelecido de forma satisfa
61. a tens o de corte octa drica Toe a extens o volum trica Eo amp sistematicamente observado e pode ser descrito custa da introdu o de um m dulo de acoplamento H Do que foi acima exposto poss vel estabelecer as rela es 2 43 e 2 44 onde a extens o volum trica dividida na componente originada pela tens o hidrost tica e na componente originada pela tens o de desvio 1 1 d 3K H D 2 43 Po 0 1 dr oo 2G det EE E 2 44 x P P MS i Os resultados dos testes evidenciam que a rela o op amp n o linear dependendo apenas da resist ncia compress o uniaxial do bet o f Figura 2 41 tendo se mostrado independente do n vel de tens o de desvio aplicado Testes c clicos revelaram ainda que na descarga e na recarga o declive da curva para pontos suficientemente afastados da carga ltima 52 Cap tulo 2 aproximadamente igual ao valor inicial Ky reduzindo se acentuadamente a partir da Etapa 4 do processo de fractura g X 10 Figura 2 41 Rela es oy experimentais para v rios tipos de bet o Kotsovos e Pavlovic 1995 A rela o To igualmente n o linear evidenciando depend ncia de f conforme atesta a Figura 2 42 At se atingir o ponto de volume m nimo in cio da Etapa 4 do processo de fractura sob estados de tens o n o hidrost ticos o n vel de tens o hidrost tica n o exerce qualquer influ ncia sobre a rela
62. aqui como modo 4 quando a armadura empurrada contra a camada de recobrimento e a segunda modo B quando a armadura empurrada contra o n cleo no elemento estrutural Em geral o modo B mais resistente e a resposta mais r gida do que a associada ao modo 4 mas em certas circunst ncias os dois modos tendem a convergir por exemplo a mobiliza o da resist ncia em modo B dificultada pela exist ncia de uma fissura com uma inclina o reduzida em rela o ao var o e a resist ncia em modo 4 aumentada pela proximidade de um estribo Figura 2 60 d O comportamento deformacional V5 45 em modo B geralmente linear at cerca de 40 da for a ltima Vz podendo a resposta ser satisfatoriamente obtida trav s das equa es de uma viga o var o em funda o el stica neste caso o bet o A partir desse valor a n o linearidade evidente existindo variadas propostas para a modifica o da rigidez da funda o CEB 1996 Na an lise de elementos laminares de bet o contendo armadura distribu da essencialmente este o modo de actua o do efeito de cavilha que relevante Exemplos de leis constitutivas 71 Mec nica n o linear do bet o estrutural para o bet o armado fendilhado com vista aplica o em modelos computacionais em que este efeito considerado de forma expl cita podem ser encontradas em Belleti et al 2001 Soltani et al 2003 72 CAP TULO 3 MODELACAO COMPUTACIONAL DO CO
63. armadura de flex o 170 250 200 Num rico Experimental kN Actuador 50 0 2 4 6 8 10 12 14 LVDT H mm Figura 4 61 Evolu o do afastamento de P2 e P3 LVDT H 250 p E 200 4 a eo Num rico Experimental kN Actuador 3 o wu 0d T T T T T r T 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 Micro strains Figura 4 63 Evolu o da extens o em ECI 250 200 4 150 4 Experimental Num rico Actuador kN 600 500 400 300 200 100 0 Micro strains Figura 4 65 Evolu o da extens o em EB Capitulo 4 200 7 1504 Num rico Experimental kN Actuador 7 6 5 4 3 2 1 0 LVDT V mm Figura 4 62 Evolu o do deslocamento vertical de PI LVDT V 250 ee 200 4 part x 8150 oO E ob Num rico z Experimental 50 4 04 T T T T T t T 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Micro strain Figura 4 64 Evolu o da extens o em EC3 fio de pr esfor o 200 4 150 4 Num rico Experimental Actuador kN 300 00 200 00 100 00 0 00 Micro strains 600 00 500 00 400 00 Figura 4 66 Evolu o da extens o em EB2 Ap s a aplica o do pr esfor o e durante o segundo ciclo de carga a parede manteve a rigidez at aos 200 kN actuador carga a partir da qual a armadura passiva do tirante voltou a entrar
64. bet o n o fendilhado j que esta formulada de forma independente A fissura o pode ser assim combinada de forma transparente com a elasticidade a plasticidade ou a viscoelasticidade assim como com os efeitos da temperatura numa formula o unificada Borst 1987 Tal como nos modelos de extens o total o in cio do processo de fractura ocorre ap s a viola o do crit rio da tens o m xima estabelecido no espa o das tens es principais 3 3 1 Modelos de fendas fixas Ap s viola o do crit rio da tens o m xima no referencial geral e para o caso geral tridimensional a decomposi o expressa por E E ries E co 6x1 6x1 6x1 3 30 onde o expoente indica uma grandeza respeitante s fissuras e uma grandeza respeitante ao bet o n o fissurado Na express o 3 30 o vector das extens es no referencial geral x y z vem dado por E Cy Ge VP y 3 31 6x1 Note se que ser usada a nota o de engenharia pelo que as grandezas yy e Yx equivalem a duas vezes as correspondentes grandezas tensoriais y Ez e Ex 98 Cap tulo 3 i PLANO DA FENDA i Figura 3 16 Referencial local da fenda Adaptado de Rots e Blaauwendraad 1989 As rela es constitutivas relativas evolu o da abertura das fissuras s o estabelecidas no referencial local n s t que est alinhado com a fenda i Figura 3 16 Neste referencial define se o vector das extens es locais
65. c como uma constante escalar V cy bd como o volume da estrutura e G como taxa de dissipa o de energia el stica de deforma o por unidade de superf cie da fractura obt m se as seguintes express es 1 oh U foy y ar cota Si ola Ven oW _ op 2 9 0a Considerando desprez vel a varia o do trabalho das for as exteriores pode se escrever 21 Mec nica n o linear do bet o estrutural 9U _ 9 e Gepa Oa doa So c fOr 2 10 N n g a d com g a cyc 2 Figura 2 7 Representa o gr fica do crit rio de Griffith Adaptado de Alfaiate 1992 A express o 2 10 estabelece o crit rio de Griffith generalizado para uma geometria qualquer que prev que quando a taxa de dissipa o de energia atinge um valor cr tico Ge a fenda propaga se Figura 2 7 Esta energia Ge estabelecida como uma propriedade do material Esta express o traduz ainda um efeito de escala associado tens o nominal que provoca a propaga o da fractura que numa escala logar tmica traduzido por uma recta de declive 1 2 log o log a const 2 11 Este efeito de escala explicado pelo facto da energia necess ria evolu o da fissura o crescer com a superf cie necess ria forma o de novas fendas enquanto que a energia dispon vel para a fissura o cresce com o volume da estrutura Figura 2 8 C CO GD A energia el stica armazenada A energia necess ria para a proporcional
66. carga A 2 13 e 4 1 98 ao longo dos alinhamentos A A e B B respectivamente conforme ilustrado na Figura 5 34 e Figura 5 35 1 493 l 358E9 1 31569 1 27369 1 231E9 T 188E8 146E9 l 104E9 l 615E8 l 192E8 1 231E8 l 654E8 l 108E9 l 15E9 I Figura 5 32 Mapa com as tens es nas armaduras horizontais no ultimo incremento de carga convergido A 2 23 l 45e9 l 392E9 1 335 9 1 277E9 1 219E9 162k59 F 184E8 l 462E8 l 115E8 1 692E8 l 127E8 l 185E9 l 242 8 l 3E9 A B Figura 5 33 Mapa com as tens es nas armaduras verticais no ltimo incremento de carga convergido A 2 23 198 Capitulo 5 NODAL RE SXX G SYY 1E8 NODRL RE SXX G SYY x1E8 Figura 5 34 Evolu o das tens es nas armaduras Figura 5 35 Evolu o das tens es nas armaduras verticais ao longo do corte A A da Figura 5 33 verticais ao longo do corte B B da Figura 5 33 Dos resultados apresentados conclui se que o modo de rotura desta viga parede condicionado pelo esmagamento do bet o nos esquadros de refor o A superf cie de rotura atingida para um factor de carga 4 1 91 existindo posteriores redistribui es de tens es Dado o car cter tridimensional da geometria e do estado de tens o desta regi o vai ser alvo duma an lise mais detalhada em 5 4 Figura 5 36
67. colados dois extens metros EC3 e EC4 em cada um 169 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA dos fios Devido ao reduzido comprimento dos fios a perda por reentrada de cunhas foi significativa tendo sido medida hora do ensaio final uma for a m dia de 15 5 kN por fio correspondentes a uma tens o instalada de cerca de 790 MPa Figura 4 59 Pormenor da aplica o de pr Figura 4 60 Aspecto geral do modelo com os fios de esfor o e da zona das ancoragens pr esfor o As caracter sticas usadas para os materiais est o indicadas na Tabela 4 5 Tabela 4 5 Caracter sticas dos materiais utilizados BET O fem 41 MPa fi 2 6 Mpa G 100 N m Ge 15000 N m ACO PASSIVO d y 530 MPa Fou 610 MPa p fs 180 MPa Sou 292 MPa A O DE PR ESFOR O go y 1600 MPa Sou 1800 MPa Os valores assinalados com foram estimados Na primeira fase do ensaio s com armaduras ordin rias a parede apresentou um comportamento d ctil tendo sido carregada at ao inicio da ced ncia do tirante e apresentando um padr o regular de fendas verticais Figura 4 60 A an lise num rica conseguiu captar correctamente a reposta da parede conforme se pode ver pelos gr ficos da Figura 4 61 Figura 4 66 O excelente ajuste de todas as curvas na primeira fase do ensaio era expect vel dado o comportamento ter sido dominando pela ced ncia da
68. com 3 84 conduz n o ocorr ncia de escoamento pl stico Por outro lado num estado pl stico tem se f 0 e neste caso a referida equa o n o imp e nenhuma 115 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural restri o ao escalar A No entanto este nunca deve ser negativo dado que a extens o pl stica por defini o n o decrescente Isto descrito pela condi o 20 Diferenciando 3 80 e fazendo uso de 3 79 obt m se o D 3 87 A express o 3 87 representa um sistema de 6 equa es a 12 inc gnitas Considerando que a varia o do tensor das extens es totais obtida a partir da varia o do campo de deslocamentos s o ainda necess rias mais 6 equa es para determinar as componentes do vector com a taxa de varia o das deforma es pl sticas A direc o deste vector dada por 3 84 pelo que para determinar a sua norma necess ria uma nova equa o a que permite calcular o valor da varia o do multiplicador pl stico Para o efeito utilizada a chamada condi o de consist ncia que expressa que durante o escoamento pl stico A 2 0 para al m do valor da fun o de ced ncia ser nulo tamb m a sua taxa de varia o deve ser nula A f 0 3 88 Supondo que todos os valores correntes das vari veis intervenientes assim como a taxa de varia o das deforma es totais s o dados p e se o problema de calcular a taxa de varia
69. comportamento de fissuras nestas circunst ncias Modelos deste tipo s o intensivamente utilizados na investiga o do processo de fractura de esp cimens sujeitos a estados de tens o complexos permitindo aprofundar e validar conhecimentos na rea da mec nica da fractura Contudo a sua aplica o extensiva na an lise de estruturas de engenharia civil esbarra no facto de em casos com padr es de fissura o difusa associada exist ncia de armaduras aderentes obrigar utiliza o de elementos de interface entre os elementos finitos de bet o e os var es de forma a modelar o fen meno de ader ncia A gera o de malhas torna se muito laboriosa e dado que n o a evolu o de uma fissura localizada a ditar a rotura da estrutura o seu uso pouco corrente No caso da descri o cinem tica atrav s de descontinuidades fracas s o utilizados elementos finitos correntes na discretiza o do campo de deslocamentos residindo neste facto uma das suas principais vantagens e motivo da sua maior utiliza o na an lise de estruturas O tratamento da localiza o das deforma es resolvido atrav s da introdu o de uma grandeza com a dimens o de um comprimento na lei constitutiva a largura da banda de fendilha o h ver 2 2 3 2 Na abordagem num rica o problema reside na objectividade dos c lculos em rela o malha de elementos finitos utilizada ou seja garantir a mesma dissipa o de energia no processo de fractura
70. d se ap s propaga o est vel da fractura Nestas circunst ncias a dimens o da zona de processamento da fractura n o suficientemente grande para que o efeito estat stico se evidencie 19 Mec nica n o linear do bet o estrutural 2 2 2 Mec nica da fractura el stica linear LEFM Na LEFM assume se que todo o processo de fractura toma lugar na extremidade da fenda e que o restante volume do corpo permanece el stico Com estas premissas a propaga o das fendas pode ser estudada mas n o a sua forma o S o poss veis os tr s modos de fractura representados na Figura 2 5 podendo qualquer tipo gen rico de fractura ser expresso custa de uma combina o linear dos tr s Modo II Hl Figura 2 5 Modos de fractura ACI 1999 A introduc o de uma fenda num corpo linear el stico introduz uma singularidade na medida em que todas as componentes n o nulas do tensor das tens es tendem para infinito medida que a dist ncia r extremidade da fenda se aproxima de zero Irwin estudou esta singularidade Alfaiate 1992 e expressou o campo de tens es de um corpo de forma gen rica e com qualquer tipo de carregamento numa vizinhanga suficientemente pr xima da extremidade da fenda atrav s das express es 2 2 2 3 e 2 4 ver Figura 2 6 Nestas express es os indices 7 I e III referem se aos modos de fractura elementares O a coordenada polar e f 0 uma fun o independente da geometria e do carr
71. da fissura e btn rr 3 32 3x1 onde 7 a extens o normal fenda i correspondente ao modo I de fractura e vy e Yi i s o as distor es da fenda i correspondentes ao modo II e modo III respectivamente As extens es da fenda i no referencial global podem ser obtidas a partir das do referencial local atrav s de E c NN e 3 33 631 633 Gxt em que N a matriz de transforma o associada fenda i dada por 2 li Lol UAE oe 2 Mai m m m m 2 N z n i n i s i n n i 3 34 21 m Lim lm Lim lim 599 n i nj ni s s n ti ny nji ti 2m n m n i tm n m n i FM pihai edis ds Bol sb hl tapil Na express o 3 34 dai Mni Ani si Msi Msi e Lis mi ngi SAO respectivamente as coordenadas dos versores dos eixos locais n s e t da fissura i expressas no sistema global x y ez 99 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural O vector com as trac es atrav s da fissura i definido no referencial local e em correspond ncia com a Figura 3 16 por RR CR qu 3 35 3x1 er cr cr t S ti Na express o 3 35 t a trac o correspondente ao modo I de fractura na fissura i e t ni s o as tens es de corte na fissura i correspondentes aos modos II e III de fractura respectivamente A rela o entre as tens es no referencial local e no referencial global expressa por cr T t N o
72. de ocorr ncia de fendas n o ortogonais aliam a versatilidade ao rigor necess rio na generalidade das an lises Neste campo os modelos com decomposi o das extens es s o conceptualmente mais correctos No entanto as formula es expl citas apesar de menos rigorosas s o de programa o mais simples e robusta oferecem menos problemas de converg ncia da solu o e requerem menos esfor o de c lculo No contexto da an lise din mica ou da an lise estoc stica 218 Cap tulo 6 em que seja necess rio um grande numero de simula es estes dois ltimos factores podem ser decisivos Um factor importante a ter em conta na escolha de um determinado modelo num rico reside na valida o a que foi sujeito Neste aspecto os modelos que foram extensivamente validados contra resultados experimentais sobre os mais variados tipos estruturais s o relativamente poucos quando comparados com a grande quantidade de propostas referidas na literatura sendo de referir neste campo o trabalho de Maekawa et al 2003 A este respeito fundamental a constitui o de uma extensa base de dados coligindo resultados experimentais cred veis para valida o de qualquer modelo antes da sua utiliza o intensiva Desempenho dos modelos dispon veis na an lise de estruturas testadas em laborat rio Na modela o computacional de estruturas laminares de bet o os principais desafios colocam se na modela o de problemas em que os esfor
73. de introdu o das cargas come ou a evidenciar ind cios de esmagamento pouco ap s a ced ncia das armaduras Figura 4 76 a Aquando da rotura a ac o localizada do tirante provocou a desagrega o do bet o na zona do apoio sendo vis vel na Figura 4 76 b a delamina o vertical do bet o No modelo experimental n 1 n o foi detectado este ltimo aspecto Deve se real ar que a Figura 4 76 b n o indica nenhum tipo de esmagamento de bet o na medida em que a observa o da face inferior do apoio revelou uma superf cie intacta e sem ind cios de esmagamento Pode ent o afirmar se que foi o efeito de apoio indirecto atr s exposto Figura 4 47 o respons vel pelo aspecto evidenciado pelo bet o desta zona 174 Capitulo 4 HUNDID ma meaa a ILU Ti MI qua Figura 4 74 Padr o experimental de fendas para a Figura 4 75 Malha deformada 25x antes carga m xima As fendas mais activas est o real adas a da rotura Vectores com a direc o da vermelho abertura das fendas 4x a Figura 4 76 Forma o do mecanismo de rotura com Figura 4 77 Mapa das distor es Yy a esmagamento do bet o na zona de introdu o das cargas Localiza o da fenda de corte b efeito de apoio indirecto Na an lise num rica a rotura deu se com o esmagamento do bet o no alinhamento de pontos de Gauss imediatamente esquerda do actuador Figura 4 83 para uma carga F 260 kN actuador Ta
74. de largura finita encontra justifica o no processo f sico que macroscopicamente se manifesta como amolecimento Estudos experimentais revelaram que a fractura cont nua imediatamente atr s da ZPF segue um percurso altamente tortuoso resultado do coalescimento das microfissuras aleatoriamente formadas na ZPF ACI 1999 A dispers o destas fissuras numa banda facilmente assimil vel ao presente modelo A hip tese da localiza o das deforma es da ZPF numa banda finita introduz a largura da banda h como um novo par metro material de modo a garantir que a dissipa o de energia devida ao processo de fractura igual energia de fractura do material Gr Com base em estudos num ricos Bazant prop s uma largura m nima de A n da onde d a m xima dimens o do inerte e n igual a 3 para bet es normais Nos bet es de alta resist ncia a fenda macrosc pica atravessa os inertes pelo que a largura da banda ser menor nestes casos O valor de n deve ser superior a 3 para os bet es de baixa resist ncia e para os bet es refor ados com fibras A largura m nima da ZPF introduz a importante no o de volume representativo que deve ser encarado como o volume m nimo que ainda pode ser tomado para a modela o do bet o como um cont nuo na sua vertente tradicional abaixo do qual se torna necess rio abandonar a abordagem macrosc pica e considerar as heterogeneidades do material conforme ditadas pela sua estrutura mesosc pica
75. de parede modelado na an lise tridimensional a partir da distribui o el stica o e da deformada do modelo plano Todas as armaduras passivas previstas no projecto foram modeladas como embebidas nos elementos de volume Os var es de 36mm dispostos na regi o do apoio foram discretizados em elementos de barra as restantes armaduras foram modeladas com elementos bidimensionais Figura 5 41 e Figura 5 42 O pr esfor o da viga parede e da laje de fundo foi modelado atrav s de elementos de armadura n o aderente com tens o inicial correspondente ao valor especificado a tempo infinito Esta formula o id ntica considera o das cargas equivalentes na medida em que estes elementos n o contribuem para a matriz de rigidez da estrutura As caracter sticas consideradas para os materiais s o id nticas s indicadas na Tabela 5 2 e j utilizadas nas an lises anteriores Dada a presen a de armadura aderente em quantidade superior m nima adoptou se o diagrama de reten o de trac es no bet o ao longo de toda a estrutura O modelo material utilizado foi o modelo Multifix de acordo com as defini es referidas em 4 1 1 para a an lise tridimensional 202 Capitulo 5 erii RR MAE WWE RRR Wn KS Le DS SA Wee AAA SAS Ade ARMAS pet Papa Vin DN LDA RR KEK ZIV NING le x APER ELIAS Mox Ar Figura 5 41 Perspectiva g
76. desenvolvimento de novos sistemas de ancoragem de pr esfor o entre outros permitindo grande optimiza o de solu es e reduzindo significativamente o n mero de ensaios experimentais necess rios valida o dos prot tipos 1 2 OBJECTIVOS E ORGANIZA O DA DISSERTA O Dada a relev ncia dos modelos de an lise n o linear no processo de an lise e dimensionamento de estruturas de bet o e constatando se ser este um dom nio no qual a forma o fornecida na generalidade das escolas de engenharia portuguesas diminuta sen o inexistente o desenvolvimento desta disserta o teve em vista o alcance dos seguintes objectivos e Adquirir compet ncias no dominio da an lise n o linear de estruturas de bet o armado dado que a aplica o deste tipo de formula es requer experi ncia e um elevado grau de especializa o Vecchio 2001b assim como conhecimentos aprofundados da mec nica n o linear do bet o estrutural e das diferentes abordagens computacionais utilizadas e Avaliar as capacidades de diferentes formula es implementadas num programa de elementos finitos atrav s da sua aplica o a uma s rie de exemplos dos quais se disp em de resultados experimentais cred veis e lustrar o papel da an lise n o linear de estruturas na clarifica o do funcionamento de alguns sistemas estruturais de comportamento mais complexo e Aplicar as ferramentas dispon veis na verifica o da seguran a de uma
77. distor es e por onde ocorre o escorregamento que origina a rotura de corte A exist ncia de apoios indirectos coloca problemas adicionais verifica o de seguran a O fluxo de tens es atrav s da fronteira entre duas zonas da estrutura com diferente rigidez faz com que a transmiss o das tens es da escora comprimida para o apoio se processe atrav s de um mecanismo de corte compress o conforme esquematizado na Figura 4 47 que pode aumentar o car cter fr gil da rotura Sob este aspecto o papel da armadura passiva merece ser discutido Para que as for as por ela desenvolvidas sejam significativas e para taxas de armadura correntes as extens es ter o de ser da ordem da extens o de ced ncia do a o Poder ocorrer que para extens es dessa magnitude a integridade do bet o na regi o pr xima do apoio seja tal que o mecanismo representado na Figura 4 46 esteja formado e consequentemente a rotura seja antecipada Uma das formas de obviar esta situa o poder ser o uso de armadura activa sob a forma de pr esfor o n o aderente A substitui o de parte da armadura passiva por pr esfor o possibilita que a for a do tirante seja mobilizada para deforma es mais pequenas atrasando a forma o do mecanismo de corte e tornando poss vel a mobiliza o do modelo de equil brio idealizado 4 2 3 2 Modelo n 1 Este modelo foi dimensionado constru do e testado no mbito de um trabalho de licenciatura por Moreira e
78. do bet o comprimido especialmente quando o confinamento importante Ao separar a componente hidrost tica da componente de desvio do estado de tens o e de deforma o este tipo de modelos permite um ajuste superior aos resultados experimentais podendo inclusivamente incluir de forma racional o efeito de acoplamento entre a tens o de corte octa drica e a extens o volum trica atrav s de um m dulo de acoplamento H ver sec o 2 4 3 Exemplos de formula es deste tipo podem ser encontradas em CEB 1996 Kotsovos e Pavlovic 1995 3 2 3 Modelos para o bet o fendilhado Em geral considera se que a fractura tem inicio em modo J assim que se viola o crit rio da tens o m xima tension cut off Este crit rio estabelecido no espa o das tens es principais e pretende aproximar a envolvente experimental Na Figura 3 6 est o representados algumas das formula es bidimensionais correntemente utilizadas De acordo com os resultados experimentais de Maekawa e Okamura 1983 ainda formalmente poss vel fazer depender a tens o m xima de trac o da extens o m xima de compress o j experimentada traduzindo de alguma forma o efeito do dano produzido por anteriores carregamentos Maekawa et al 2003 fc a b Figura 3 6 Crit rio da tens o m xima para in cio da fractura a tens o constante constant tension cut off b tens o linearmente decrescente linear tension cut off 86
79. e Figura 4 29 b observa se que a carga transmitida directamente para o apoio n o se formando o esquema de equil brio em treli a caracter stico das vigas com estribos e armadura longitudinal 156 Capitulo 4 aderente Note se que este esquema de equil brio pode ser inferido dos mapas das tens es principais nas an lises com os modelos de fendas fixas Figura 4 25 e Figura 4 27 b apesar do efeito de arco atirantado ser tamb m vis vel A utiliza o de formula es co rotacionais na an lise de vigas nas quais o efeito de apoio directo n o constitua o principal processo de transmiss o de carga conduzir invariavelmente a resultados desadequados dado que este tipo de modelos pressup e a exist ncia de ductilidade suficiente para permitir a reorienta o do campo de tens es o que apenas ser poss vel nas estruturas fortemente armadas Este exemplo veio comprovar as considera es tecidas em 3 2 3 2 acerca dos modelos de fendas rotativas T b Figura 4 28 Resultados obtidos na carga m xima com o modelo Rotating Total Strain a Viga deformada 10x com os vectores perpendiculares abertura das fendas 7 5x b Mapas das tens es principais de compress o no bet o niet LO b Figura 4 29 Resultados obtidos na carga m xima com o modelo Rankine Drucker Prager a Viga deformada 10x com os vectores perpendicula
80. e verticais para a carga de rotura est o ilustrados na Figura 5 20 e Figura 5 21 onde se pode constatar que est o ainda longe da ced ncia 1 29 0 17369 145E8 1189 T 989E8 636E8 F 364E8 1 90967 l 182E8 H 455E8 l 727E8 l 1E9 I Figura 5 20 Mapa com as tens es nas armaduras horizontais no ultimo incremento de carga convergido 2 62 l 202E9 F 151E9 F 893E8 487E8 E 244E7 l 536E8 l 105E9 1 156E9 l 207E9 l 258E8 I Figura 5 21 Mapa com as tens es nas armaduras verticais no ltimo incremento de carga convergido Ay 2 62 Do que at aqui foi exposto pode concluir se que o modo de rotura da viga parede materializado pelo esmagamento do bet o na zona superior do esquadro de reforgo adjacente ao v o extremo eventualmente seguido de esmagamento do bet o fendilhado imediatamente acima da laje de fundo Dadas as tens es calculadas nas armaduras a rotura sempre condicionada pelo bet o pelo que a considera o do factor de carga limite 4 2 025 se revela apropriada Na an lise efectuada no esquadro de reforco a superficie de rotura atingida para X 2 205 em compress o biaxial existindo posteriores redistribui es de tens es at Ay 2 62 No entanto o estado de tens o nesta regi o tridimensional tendo sido alvo de uma an lise mais detalhada descrita em 5 4 Desprezando o efeito de confinamento das cintas colocadas a tens o resistente do bet
81. em ced ncia A rotura deu se por flex o para F 225 kN com estric o vis vel nos var es de 6mm do tirante e coincidiu com o in cio da ced ncia do a o de pr esfor o conforme se pode aferir da Figura 4 64 Na an lise num rica a rotura devidamente captada mas dado que o modelo de fendas utilizado apresenta um comportamento secante durante os ciclos descarga recarga em trac o as medi es durante a descarga e aplica o do pr esfor o e a rigidez na recarga afastam se ligeiramente dos valores experimentais Devido ductilidade da rotura no modelo num rico foram obtidos resultados convergidos ap s a ced ncia do fio de pr esfor o n o sendo obviamente captada a redu o de sec o por estric o dos fios de 6 mm que levou 171 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA rotura f sica da parede Na curva correspondente aos resultados num ricos est assinalado com um ponto o incremento de carga no qual se deu a ced ncia do fio de pr esfor o As medi es efectuadas pelos extens metros de embeber no bet o aproximam se das previs es num ricas sendo de real ar nomeadamente o paralelismo das curvas experimental e num rica o que indicia que a distribui o interna das tens es principais devidamente reproduzida
82. em toda a extens o da parede o diagrama de reten o de tens es de trac o no bet o O diagrama de endurecimento do bet o comprimido foi definido de duas formas Nas zonas correntes da parede considerou se o 159 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA habitual diagrama tens o extens o uniaxial com ramo de amolecimento linear definido pela energia de fractura em compress o G Dado n o ser poss vel reproduzir o efeito de confinamento tridimensional conferido pela cintagem ao bet o com recurso a um estado plano de tens o adoptou se ainda um diagrama definido de acordo com as disposi es do MC90 relativas ao aumento de resist ncia e ductilidade no bet o cintado nas zonas indicadas na Figura 4 34 A tens o m xima e a extens o de pico assim obtidas foram ainda corrigidas de forma a ter em linha de conta o aumento de resist ncia do bet o em estados biaxiais ja contemplado no modelo num rico Desta forma a considera o do efeito de cintagem permite considerar uma resist ncia corrigida de fic 46 0 MPa e um aumento de ductilidade ilustrado na Figura 4 35 50 40 Bet o Cintado 30 ZA c MPa Gc 15000 N m Confinamento MC90 20 Novo v v v v 7 40 0 0 0000 0 0025 0 0050 0 0075 0 0100 0 0125 0 01
83. estrutura laminar complexa a ETAR de Sobreiras demonstrando a sua utilidade pr tica e Com a experi ncia adquirida concluir sobre as possibilidades e os desafios que ainda hoje se colocam neste dom nio Considerando os objectivos acima expostos a disserta o organiza se em seis cap tulos o primeiro dos quais o presente cap tulo introdut rio 1l Introdu o No Cap tulo 2 feita uma revis o do estado da arte do conhecimento do comportamento do bet o estrutural simples ou armado sujeito a cargas est ticas e de curta dura o mas n o necessariamente monot nicas Dada a grande quantidade de conhecimento dispon vel neste dom nio e para poder ser exaustivo os efeitos diferidos o fen meno da fadiga e os efeitos din micos do carregamento foram deixados de fora da pesquisa efectuada No Cap tulo 3 referem se as abordagens computacionais mais comuns mec nica n o linear do bet o estrutural Especial nfase colocada nas formula es do mesmo tipo das que est o implementadas no programa DIANA 8 1 dado ter sido este o programa utilizado nos exemplos estudados O enfoque colocado ao n vel dos modelos constitutivos procurando se evidenciar as suas virtudes e as suas limita es No Cap tulo 4 s o apresentados e discutidos alguns exemplos de aplica o dos modelos dispon veis na reprodu o da resposta e do mecanismo de colapso observados em alguns elementos estruturais testados em laborat
84. finitos com o esquema das cargas aplicadas L peso do liquido e da laje de fundo T peso das terras e da laje de cobertura P carga equivalente ao pr esfor o As condi es de apoio adoptadas foram o impedimento dos deslocamentos verticais dos n s correspondentes base das paredes de apoio e o impedimento dos deslocamentos horizontais ao longo do eixo de simetria Duma an lise el stica global de um quarto do Corpo A da ETAR foram obtidas as cargas a aplicar representadas na Figura 5 6 A carga equivalente ao pr esfor o resulta da adop o de 3 cord es auto embainhados de 0 6 por face e por metro ao que correspondem os 960 kN m considerando uma for a a tempo infinito de 160 kN cordao Nos elementos correspondentes s lajes e nervura a carga equivalente corresponde aos cord es colocados para garantir uma tens o de compress o no bet o de cerca de 1 92 MPa a mesma instalada pelos cord es horizontais na viga parede As armaduras ordin rias foram modeladas de forma distribu da embebidas nos elementos de bet o Na Figura 5 7 est representado o mapeamento das diferentes armaduras dispostas na malha de elementos finitos e na Tabela 5 1 as correspondentes quantidades Nesta tabela encontra se ainda a espessura considerada para os elementos finitos Genericamente tem se uma malha quadrada de 16 0 10 nas zonas correntes que substitu da na zona dos apoios centrais por uma malha quadrada de 420 0 10
85. independentemente da sua orienta o Para o coeficiente de redu o de rigidez de corte 2 a nica op o dispon vel a adop o de um valor constante constant shear retention tendo se considerado 5 0 1 Em compress o adoptou se um modelo elasto pl stico formulando a matriz constitutiva DD da express o 3 44 na forma da matriz D da express o 3 93 D D 4 3 A decomposic o das extens es toma a forma ESE tE E 4 4 sendo a extens o total decomposta numa parcela referente ao bet o composta pela parte el stica e pela parte pl stica amp e numa parcela referente s fissuras Foram usadas diferentes superficies de ced ncia conforme se tratassem de an lises bi ou tridimensionais No caso de problemas bidimensionais adoptou se o crit rio de Drucker Prager segundo uma lei associada com endurecimento isotr pico fle c k 5 oc Po ay z o f c k 4 5 onde P a matriz de projec o 2 1 1000 1 2 1000 i DD OE 4 6 T 10 0 0600 0 0 0060 0 0 0 00 6 137 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA T o vector projec o a 1100 0 4 7 O o vector das tens es as constantes aye s o dadas por e 2sin dcs 6cos ES mid SE Riad 4 8 o ngulo de atrito do material e c a coes o fun o da vari vel interna k Os dois par metros independentes do crit
86. linear LEFM sse 20 2 2 3 Mec nica da fractura n o linear NLFM sess 23 2 2 3 1 Processo de fractura e comportamento deformacional ssssss 23 2 2 3 2 Modelos de NEEM weiss 22 2 Ire ettet d MU Mie 27 2 2 3 3 Efeito de escala segundo a NLFM sese eene 35 2 3 Transfer nca de tens es de corte entre fendas sse 38 2 4 Fractura por compress o eescccessccesneceececseneecesecessecsentecseneecesecseaaecsenseceeeeeeaeceeateesenees 44 2 4 1 Processo de fractura em compress o sse eee 45 2 4 1 1 Processo de fractura sob um estado de tens o n o hidrost tico tensor de desvio n o nulo 6e ett edet Via SORTE dad Ee ER ce Da ade eoe rao c Leah tthe bests 45 2 4 1 2 Influ ncia da componente hidrost tica do tensor das tensdes no processo de fratra Seanno EE 48 Z4 2 Superf cie de TO LUTA sas emas Gm iei ee e EE EE Tane Pas TER ARAE 49 2 4 3 Comportamento deformacional sees enne 52 2 5 Ader ncia armaduras bet o sessi enne 56 2 6 Bet o armado fendilhado Um material comp sito seen 61 2 6 1 Reten o de tens es de trac o no bet o tension stiffening sssuus 61 2 6 2 Redu o da resist ncia compress o com a fendilha o ssssss 67 2 6 3 Efeito de cavilha dowel action
87. los m Figura 4 20 Geometria e malha de elementos finitos da viga analisada A vermelho est o indicados os elementos onde se utilizou o diagrama de reten o de tens es no bet o A viga analisada pertencente s rie A contendo uma percentagem baixa de estribos p 0 001 pr xima da m nima regulamentar e tem uma sec o do tipo 1 a que corresponde uma rela o v o de corte altura til aproximadamente igual a 4 A geometria da viga 41 est representada na Figura 4 20 e as caracter sticas dos materiais na Tabela 4 2 A viga foi discretizada em elementos quadr ticos de oito n s com integra o reduzida 2x2 pontos de Gauss as armaduras longitudinais foram modeladas de forma discreta e os estribos de forma distribu da Note se que apesar de os estribos serem os m nimos regulamentares a percentagem de armadura correspondente inferior a Pyy pelo que apenas se adoptou o diagrama de reten o de tens es no bet o nos elementos mais pr ximos da armadura de flex o A carga foi aplicada com controlo de deslocamentos Tabela 4 2 Caracter sticas dos materiais utilizados BET O Tom 24 1 MPa f 1 80 Mpa Gy 60 N m G 15000 N m ACO 28 9 y 555 MPa E 218 GPa 612 7 Sy 345 MPa E 201 GPa 46 4 y 325 MPa E 190 GPa Os valores assinalados com foram estimados A rotura experimental deu se para uma carga de 467 kN de forma brusca com o padr o de fendilha o
88. n vel de tens o instalado pelo que realista assumir que os processos de propaga o das fendas como os anteriormente referidos possam diminuir sob o efeito da componente hidrost tica do estado de tens o Na pr tica e a um n vel macrosc pico a aplica o duma tens o hidrost tica aumenta a isotropia do bet o Um outro aspecto a tomar em considera o est ilustrado na Figura 2 35 Ocorrendo a propaga o das fendas de acordo com o mecanismo 3 da Figura 2 31 e dado o car cter friccional do bet o a exist ncia de uma tens o de confinamento origina um estado de tens o local ao longo das superf cies da fenda menos favor vel sua propaga o Bongers e Rutten 1998 NF Y E LEPILI DTA RAL Pop aud bbid i PERI TOTO O3 gd ita hah GP ITE D ECEPTI Figura 2 35 Tens es locais actuando sobre a superficie de uma fenda em compress o multiaxial Retirado de Bongers e Rutten 1998 46 Capitulo 2 2 4 2 Superf cie de rotura No espa o das tens es o lugar definido por todas as combina es de tens es para as quais um dado provete de bet o carregado de forma proporcional atinge a carga m xima designado por superf cie de rotura ou envolvente de rotura Flo 0 03 0 2 39 uma simplifica o conveniente assumir que uma superf cie de rotura definida para carregamentos proporcionais pode ainda ser usada para condi es de carregamento mais gen ricas mas verifica se q
89. o est o ilustradas esquematicamente na Figura 2 53 A tens o m dia no bet o nesta fase vale o5 Z fon sendo fj um coeficiente de integra o relacionado com a forma da distribui o local de tens es o Por exemplo assumindo para o x uma distribui o parab lica com tangente horizontal no ponto de deslizamento nulo resulta um valor de 8 2 3 Alternativamente considerando uma lei perfeitamente pl stica para as tens es de ader ncia Tp a distribui o ox linear pelo que nestas circunst ncias fj 1 2 No CEB FIP Model Code 1990 adopta se o valor 8 0 60 Este par metro de fundamental import ncia na medida em que traduz o equil brio ap s a forma o da primeira fenda Uma aproxima o poss vel ao diagrama de reten o ser ent o a representada na Figura 2 54 a em que se adopta um decaimento linear da reten o de tens es no bet o ap s a primeira fenda traduzindo grosseiramente e de forma conservativa a degrada o da ader ncia com o evoluir da extens o A adop o de 05 5 0 destina se a garantir a satisfa o da condi o 2 50 A extens o correspondente ao final da fase de forma o de fendas obtida por equil brio e impondo a compatibilidade de deforma es decorrente do diagrama Gm Em fa E PE s amp Pfa c f Za B fa Bony RIS 2 51 Por outro lado na fase de fendilha o estabilizada o espa amento m dio entre fendas s esta compreendido entre ly max 2
90. o fissurado no c lculo dos esfor os actuantes Em estruturas estaticamente indeterminadas os esfor os assim obtidos afastam se dos realmente instalados na estrutura de um certo valor residual e auto equilibrado caracterizando as for as internas determinadas pela teoria da elasticidade apenas um estado de equil brio admiss vel Este valor residual n o necessariamente pequeno podendo ser muito significativo e da ordem de grandeza dos esfor os calculados Por outro lado no processo de c lculo das armaduras s o utilizadas leis de comportamento n o linear para os materiais Em consequ ncia do uso de duas leis constitutivas distintas uma para o c lculo dos esfor os actuantes lei el stica e linear e outra para o c lculo org nico das sec es lei n o linear de comportamento do material os esfor os actuantes s o tomados independentes das sec es dimensionadas n o sendo por isso necess rio um processo iterativo para a distribui o dos valores residuais Este procedimento encontra se largamente estabelecido devido sua grande simplicidade permitindo a considera o de v rias combina es de ac es sem grande dificuldade adicional Esta metodologia apresenta no entanto inconsist ncias n o sendo respeitadas as reais condi es de compatibilidade de deforma es pelo que as deforma es calculadas usando a lei linear nada t m a ver com as reais Por m em estruturas correntes nomeadamente em e
91. outro lado permite a viola o do crit rio da tens o m xima que tem um significado f sico claro sem que se forme uma nova banda fendilhada Como vantagem apresenta o facto de limitar o n mero total de fissuras por ponto de amostragem O crit rio c apresenta as duas desvantagens do crit rio b Sendo o crit rio mais restritivo apresenta se como o mais est vel do ponto de vista num rico Ao crit rio d podem se apontar as mesmas dificuldades j referidas para o crit rio a acrescidas do facto de este ser o crit rio mais permissivo no que respeita forma o de novas fissuras Em Barros 1995 Rots e Blaauwendraad 1989 s o expostos alguns procedimentos relativos implementa o de qualquer um dos quatro crit rios acima mencionados nomeadamente considera es relativas ao consumo da energia de fractura por parte de cada uma das bandas fendilhadas e defini o dos par metros a ser guardados em mem ria para correcta simula o da hist ria de fendilha o em carregamentos altamente n o proporcionais 3 3 3 Modelos de fendas rotativas Neste tipo de modelos a matriz de transforma o N deixa de ser fixa e passa a ser uma fun o do tensor das extens es totais De acordo com o exposto em 3 2 3 2 de modo a garantir a coaxialidade entre tens es e extens es principais a rigidez de corte de um modelo de fendas rotativas vem dada por Eros Hu G BG 36 2 3 62 Nos modelos com d
92. qualquer que seja o tamanho dos elementos finitos N o sendo de modo algum pr tico fazer depender o tamanho dos elementos finitos utilizados da largura h pode se fazer o inverso ou seja adoptar h em fun o do tamanho do elemento utilizado conforme 78 Capitulo 3 proposto originalmente por Bazant e Oh 1983 Desta forma ajusta se a curva de amolecimento em fun o do elemento e assegura se que a energia de fractura se dissipa totalmente No caso bidimensional a propagac o de uma banda fendilhada diagonal leva necessidade de ajustar o valor de h a adoptar de acordo com procedimentos mais ou menos emp ricos Na Figura 3 2 est representado o procedimento proposto por Cervenka et al 2002 para elementos lineares generalizado por Dahlblom e Ottosen 1990 para os elementos quadr ticos Nestes ltimos dada a possibilidade de o campo de extens es ser vari vel as deforma es podem localizar se em apenas um ponto de Gauss Simplificadamente Rots et al 1985 indicam o m todo proposto na Figura 3 3 Figura 3 2 Largura efectiva da banda fendilhada no caso de a propaga o da fractura n o ser paralela aos lados dos elementos finitos Adaptado de Barros 1995 1 caso fendas distribu das em todo o elemento Estado de 2 caso As fendas s o aproximadamente paralelas a um dos lados deforma o uniforme no elemento do elemento e distribuem se parcialmente no elemento No elemento desenvo
93. regulariza o directa do campo de extens es do modelo da fenda fict cia considerando que W Emi 4 Li 3 45 L onde w a abertura da fenda ficticia correspondente fissura i e h a correspondente largura de banda fendilhada Figura 3 17 resultando em 3 46 cr Enn i Figura 3 17 Defini o do modulo de rigidez correspondente ao modo I de fractura Na express o 3 46 kle uma fun o escalar da extens o normal fissura No caso de um diagrama de amolecimento linear toma um valor constante igual a 2 A extens o ltima vem dada por 3 47 onde uma constante dependente da forma do diagrama sendo tamb m igual a 2 no caso de um diagrama de amolecimento linear G ert 2 Gr 3 47 nn i Ta h 102 Cap tulo 3 Na presen a de armadura aderente em quantidade superior m nima e caso n o se tenham introduzido elementos de interface com leis bond slip entre os elementos de armadura e os elementos de bet o n o devem ser utilizadas as leis de amolecimento da mec nica da fractura n o linear mas antes os diagramas de reten o de tens es de trac o no bet o conforme exposto em 2 6 1 Estes diagramas s o usualmente formulados em termos de extens es totais pelo que sua formula o nos modelos com decomposi o das extens es deve ser feita de acordo com a Figura 3 18 e a determina o de D de acordo com 3 48 Note se que neste caso nem o m dulo de
94. rigidez A carga m xima calculada foi de 428 kN cerca de 8 inferior experimental A maior diferen a reside no entanto no valor do deslocamento para o qual se d a rotura No valor m ximo da carga foi calculado um deslocamento a meio v o de 10 mm contra os cerca de 14 mm medidos experimentalmente Com efeito a rotura experimental assim como a rotura num rica deu se com esmagamento do bet o e no modelo num rico o confinamento tridimensional conferido pela placa onde introduzida a carga n o modelado Al m do aumento de resist ncia proporcionado ao bet o circundante o aumento de ductilidade ter tido influ ncia na resposta estrutural Tal como j constatado por Kotsovos e Pavlovic 1995 Vecchio e Shim 2004 os estados tridimensionais de tens o s o fundamentais para reproduzir este tipo de roturas Num modelo 2D isto poderia ser obviado atribuindo uma maior energia de fractura em compress o ao bet o desta regi o procurando aumentar a sua ductilidade No entanto este seria um crit rio de generaliza o muito discut vel apenas com o objectivo de ajustar os resultados calculados aos experimentais Um outro factor que poderia contribuir para a melhoria dos resultados a forma como definida lei tens o extens o no referencial de fissura Esta lei sem d vida dependente da orienta o da armadura em rela o fenda Na viga analisada as fissuras horizontais nas proximidades da armadura de flex o deveriam ser
95. rigidez Dy nem a extens o ultima do diagrama dependem do tamanho do elemento finito n o sendo aplic veis as express es 3 46 e 3 47 1 1 1 u Dy E 3 48 4E E Dy i l u cr tni A co cr Enn Enn ji Figura 3 18 Defini o do modulo de rigidez correspondente a um diagrama de tension stiffening formulado em extens es totais Tal como nos modelos sem decomposi o das extens es assume se que ap s a forma o da banda fendilhada a rigidez de corte se reduz No caso de se adoptar uma rigidez de corte do tipo PG semelhante j mencionada nos modelos baseados em extens es totais o m dulo de rigidez associado ao modo II vem dado por 3 49 estando esquematizada na Figura 3 19 a sua representa o gr fica no caso de 2 ser constante O modo III tem um tratamento semelhante ao referido para o modo II 1 1 1 gt Dr 35 e 3 49 BG G Di 1 tr tfa L G Di Ynt Yat Ynti Figura 3 19 Determina o do m dulo de rigidez correspondente ao modo II de fractura 103 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural O tratamento de situa es correspondentes a mudan as de estado forma o fecho ou reabertura de fendas requer a divis o do incremento em duas partes uma referente ao estado anterior Ag e outra referente ao novo estado Ag tais que Rots e Blaauwendraad 1989 Ae AE AE 3 50 O incremento d
96. rio alguns dos quais no mbito da presente disserta o Na an lise n o linear de estruturas laminares de bet o os elementos que colocam especiais exig ncias aos modelos constitutivos e aos algoritmos de solu o n o linear s o aqueles em que os esfor os de corte no plano da estrutura t m um papel preponderante no c mputo da resposta e do mecanismo de colapso pelo que os exemplos seleccionados s o estruturas essencialmente sujeitas a esfor os de membrana Nos problemas onde a rotura governada por um mecanismo de flex o os resultados num ricos obtidos s o em geral satisfat rios independentemente do modelo utilizado Com os exemplos analisados pretendeu se efectuar uma calibra o de par metros e procedimentos com vista an lise de estruturas reais assim como discutir o funcionamento de algumas estruturas tipo parede No Cap tulo 5 ilustrada uma aplica o das t cnicas de an lise n o linear num caso concreto e de interesse pr tico no processo de dimensionamento e verifica o de seguran a de estruturas laminares de bet o de comportamento menos corrente Os elementos estruturais analisados s o as paredes divis rias que sustentam o n vel superior de reservat rios da ETAR de Sobreiras Por fim no Cap tulo 6 s o sumariadas as conclus es resultantes do trabalho desenvolvido efectuando se uma s ntese das possibilidades e dos desafios que ainda hoje se colocam na modela o e an lise de estruturas lami
97. se desenvolvem na direc o perpendicular Norte Sul Figura 5 2 e Figura 5 3 O sistema portante do n vel superior de reservat rios constitu do pelas suas divis rias que se constituem como vigas parede cont nuas Figura 5 3 de 0 50 m de espessura 7 5 m de altura e com 4 v os de aproximadamente 15 metros que suspendem inferiormente a laje de fundo com v o de cerca de 10 metros e d o apoio laje de cobertura ajardinada Figura 5 2 Na liga o laje de fundo existe uma nervura com 1 0 m de espessura e 0 95 m de altura que permite o alojamento das armaduras de liga o da laje parede e das armaduras de suspens o O apoio 185 Caso pr tico ETAR de Sobreiras destas vigas parede realizado por laminas de 3 m de comprimento e 0 50 m de espessura que descarregam nas paredes dos reservat rios inferiores que por sua vez conduzem as cargas s funda es directas As referidas l minas desenvolvem se na direc o perpendicular s vigas parede dos reservat rios superiores pelo que o apoio materializado numa zona muito localizada Figura 5 4 As cargas que solicitam a estrutura s o essencialmente o peso das terras sobre a laje de cobertura o impulso hidrost tico sobre as paredes laterais e o peso de cerca de 7 5 m de altura de l quido sobre a laje de fundo dos reservat rios superiores l D E 0 00 nD0on0pn0nn nonn 0 M E tA
98. tens es nas zonas de contacto s o decompostas na sua componente normal Opu e tangencial Tpu relacionadas atrav s do coeficiente de atrito ju T pu MO p 2 29 39 Mec nica n o linear do bet o estrutural A condi o de equil brio de transla o segundo as direc es normal e tangencial fenda pode ent o ser estabelecida em cada unidade de contacto Figura 2 23 c e d F 0 a 2 30 F 0 a T a Para integrar as equa es de equil brio ao longo de todo o plano de fractura necess rio calcular o integral das projec es das reas de contacto a e a Assumindo que a forma dos agregados esf rica e que a sua grada o segue a curva de distribui o acumulada de Fuller D P 2 31 z 2 31 max em que P a probabilidade de ocorr ncia da exist ncia de um agregado com di metro inferior a D e Dmax a m xima dimens o do agregado presente na mistura poss vel calcular a fun o densidade de probabilidade n D do n mero de intersec es de um agregado de di metro D com o plano da fractura Por outro lado recorrendo ainda hip tese de agregados esf ricos poss vel calcular atrav s de rela es geom tricas as projec es a e a da rea de contacto de um agregado de di metro D com a pasta de cimento endurecida da outra face da fenda em fun o de w e de 6 assim como os seus valores mais prov veis a e Desta forma se as faces da fenda se moveram re
99. uma excelente concord ncia com a rigidez medida experimentalmente A carga m xima calculada foi de 77 kN cerca de 12 superior experimental Na parte final do diagrama existem ligeiras quebras que est o representadas com mais pormenor na Figura 4 12 A cada uma destas pequenas quedas da carga aplicada correspondem incrementos convergidos que levaram propaga o duma fenda diagonal t pica da rotura por corte trac o As deformadas incrementais correspondentes est o ilustradas na Figura 4 13 sendo vis vel a propaga o da fenda de corte na direc o do ponto de aplica o da carga 148 Capitulo 4 Experimental kN Actuador kN Actuador Multifix alfa 30 60 i 0 2 4 6 8 10 8 8 5 9 9 5 10 10 5 Deslocamento a meio v o mm Deslocamento a meio v o mm Figura 4 11 Diagrama carga deslocamento a Figura 4 12 Fase final do diagrama com meio v o para a 30 indica o dos incrementos convergidos cujas deformadas incrementais est o representadas na Figura 4 13 Figura 4 13 Deformadas incrementais 2000x dos tr s incrementos de carga indicados na Figura 4 12 O padr o de fendilha o experimental imediatamente antes da rotura est ilustrado na Figura 4 14 sendo not ria a sua semelhan a ao padr o de fendilha o num rico da Figura 4 15 apesar de se notar uma ligeira tend ncia para a propaga o das fissuras paralelamente aos lados dos ele
100. uma propriedade material 55 Mec nica n o linear do bet o estrutural vvvvvv Lt AAA A A A 9c LLLL E Dina Stotal Eco Ee a b xLt Figura 2 46 Modelo para localiza o da fractura Figura 2 47 Modelo para interpreta o do em compress o uniaxial a Padr o experimental fen meno de localiza o baseado no conceito de de fendas b Concentra o do dano num plano concentra o do dano num plano perpendicular perpendicular tens o de compress o tens o de compress o Segundo o modelo utilizado e ilustrado na Figura 2 47 a energia de fractura em compress o G Joule m define se como a energia dissipada por unidade de rea no plano onde se assume que a fractura se processa at a tens o aplicada se anular A energia dissipada ao longo de todo o provete nas Etapas 1 2 e 3 do processo de fractura traduzida por W Joule m 2 5 ADER NCIA ARMADURAS BET O A ader ncia entre as armaduras e o bet o um fen meno multifacetado que permite que as for as sejam transferidas da armadura para o bet o circundante A correcta interpreta o da mec nica subjacente a esta transfer ncia de tens es fundamental para a correcta reprodu o da rigidez de estruturas de bet o armado durante a fase de servi o e para evitar uma das potenciais fontes de fragilidade na rotura que precisamente a insuficiente amarra o das armaduras Por outro lado no c lculo de estruturas su
101. 0E 07 0 0E 00 c Pa 2 0E 07 1 0E 07 3 10407 o Pa 40E 07 4 0E 07 Figura 5 43 Estado de tens o da parede inferior no ultimo incremento de carga convergido Figura 5 44 Estado de tens o dos esquadros no ultimo incremento de carga convergido 203 Caso pr tico ETAR de Sobreiras E 3 0E 07 r 2 0E 07 x Pa e Envolvente r 1 0E 07 x Parede Superior T 0 0E 00 2 0E 07 0 0E 00 c Pa 4 0E 07 3 0E 07 1 0E 07 Figura 5 45 Estado de tens o da parede superior no ultimo incremento de carga convergido 3 0E 07 Vx 2 0E 07 x Pa Envolvente 1 0E 07 Laje 0 0E 00 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 o Pa 4 0E 07 3 0E 07 Figura 5 46 Estado de tens o da laje no ltimo incremento de carga convergido Na Figura 5 47 est o representadas as traject rias de tens o dos pontos de Gauss com os estados de tens o de compress o multiaxial condicionantes de cada um dos elementos estruturais Todos estes pontos est o representados na Figura 5 50 juntamente com o mapa da tens o principal m nima o A Figura 5 48 com a evolu o das dist ncias envolvente de rotura de Mohr Coulomb em fun o do factor de carga permite efectuar a verifica o de seguran a em rela o rotura por esmagamento em compress o triaxial E vis vel que o ponto pertencente ao esquadro de refor o toca a superf cie de rotura no incremento de carga
102. 1 The cement paste aggregate interfacial zone in concrete Ph D Delft University of Technology Delft Li B Maekawa K e Okamura H 1989 Contact Density Model for Stress Transfer across Cracks in Concrete Journal of the Faculty of Engineering of Tokyo XL 1 9 52 Li Y J e Zimmerman T 1998 Numerical Evaluation of the Rotating Crack Model Computers amp Structures 68 487 497 Lourengo P 1996 Computational Strategies for Masonry Structures PAD Delft University of Technology Deflt Louren o P e Figueiras J A 1993 Automatic Design of Reinforcement in Concrete Plates and Shells Engineering Computations 10 6 Maekawa K Ishida T e Toongoenthong K 2004 Computational platform for safety and life cycle assessment of concrete infrastructures Bet o Estrutural 2004 Porto 230 Refer ncias Bibliogr ficas Maekawa K e Okamura H 1983 The Deformational Behavior and Constitutive Equation of Concrete Using the Elasto Plastic and Fracture Model Journal of the Faculty of Engineering of Tokyo XXXVII 2 Maekawa K Pimanmas A e Okamura H 2003 Nonlinear Mechanics of Reinforced Concrete Spoon Press London Moreira R F e Castro L G 2002 An lise e Dimensionamento de Regi es Descont nuas Estudo de uma Viga Parede Relat rio de Semin rio de Estruturas 1 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Nelissen L J M 1972
103. 4 siny 4 21 es 1 2 1 siny Considerando igualmente a hip tese de strain hardening a taxa de varia o da vari vel interna vem expressa por k Alta siny Y ali siny 4 22 Tendo em aten o o valor de p3 dado por 4 21 e o valor de K dado por 4 22 poss vel obter a rela o entre a taxa de varia o da vari vel interna e a extens o pl stica num ensaio uniaxial Jl sin y 2 3siny l siny k 4 23 p3 O ngulo de atrito foi escolhido de forma a ajustar a envolvente de rotura experimental dentro dos n veis de confinamento espect veis na maioria das an lises Considerando 35 consegue se um ajuste muito satisfat rio conforme se atesta na Figura 4 3 141 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA 6 E Mohr Coul Tension cut off Eixo hidrost tico Resultados experimentais Figura 4 3 Intersec o da superficie de Mohr Coulomb 35 com o plano hidrost tico definindo totalmente a envolvente de rotura para estados de tens o axissim tricos 6 0 02 Os resultados experimentais sdo os constantes da Figura 2 36 A sec o de desvio do presente crit rio de rotura definida pela intersec o da superficie de rotura com um plano perpendicular ao eixo hidrost tico formada por linhas rectas e dado que a secc o real c ncava ver Figura 2 37 mesmo para e
104. 5 0 50 1525 1836 73 63 183 22 1 64 3 66 Pilares 3 00 100 0 50 12012 0 125 4625 108 48 225 8 0 36 1 51 Laje de cobertura 3 00 0 30 1 00 33912 216 0 10 37 32 40 22 0 41 0 13 Parede de topo 3 00 100 0 50 2616 0 10 48016 40 22 96 51 0 13 0 64 Esquadros 1 00 100 0 40 6612 0 10 8425 67 86 39 27 0 68 0 98 6 Lh e Lv s o os comprimentos de distribui o das armaduras horizontal e vertical respectivamente ie Lol be debe del NT hy idi h Figura 5 8 Pormenor dos var es Dywidag de 36 mm na zona dos apoios As propriedades consideradas para os materiais est o dispostas na Tabela 5 2 Dada a exist ncia de armadura aderente em quantidade superior minima foi adoptado o diagrama de reten o de tens es no bet o em toda a extens o da estrutura 190 Capitulo 5 Tabela 5 2 Caracteristicas dos materiais utilizados BETAO 30 MP im 2 6 M C30 37 fa q Jes G 15000 N m p 2500 kg m ACO A500 fok 500 MPa No primeiro incremento de carga foi aplicado a totalidade do peso pr prio da parede e do pr esfor o Nos seguintes foram aplicadas incrementalmente as restantes cargas correspondendo o factor de carga 4 1 0 combina o rara A partir do factor de carga 2 1 8 activou se o m todo do arco Arc length control Witte e Kikstra 2002a de modo a captar uma diminui o de A que permitisse identificar o factor de carga ltimo A rotura da viga parede deu se para um fac
105. 50 0 0175 0 0200 m m 4 Figura 4 34 Malha de elementos finitos com as Figura 4 35 Diagramas uniaxiais tens o extens o zonas onde foi considerado o efeito da cintagem As caracter sticas usadas para os materiais est o sumariadas na Tabela 4 3 Tabela 4 3 Caracter sticas dos materiais utilizados BET O N o cintado fem 42 MPa fi 3 0 MPa G 15000 N m Cintado tect 46MPa f 3 0 MPa Ecras 0 016 ACO p6 Jy 480 MPa fu 630 MPa ps Sy 560 MPa fou 644 MPa 10 Jy 530 MPa fou 670 MPa 16 Jy 600 MPa fu 666 MPa Os valores assinalados com foram estimados Na Figura 4 36 est representado o padrao experimental de fendas na rotura correspondente a uma carga de 413 kN O modo de ru na foi identificado como sendo uma rotura da escora diagonal do pilar direito sendo evidente o destacamento do bet o de recobrimento no canto superior esquerdo do pilar No canto inferior direito vis vel a grande abertura de fendas denunciadora da ced ncia das cintas que conferem o confinamento 160 Capitulo 4 Figura 4 36 Padr o de fendilha o experimental na rotura Bounassard Filho 1995 EL GRLITTT ype TH pat HH CHE LITT PAPA SUA ENRI T H Hippie TY penh mms MEAE pas PREHR ffs ER RA H E TTT aL TT TT TT TT ae LVDT 4 Figura 4 37 Malha deformada 15x na rotura Vectores com a direc
106. 50 1 00 0 50 0 40 Armadura Ash Asv 216 0 10 2616 0 10 2420 0 10 2 20 0 10 2616 0 10 2420 0 10 40016 2412 0 10 15025 212 0 10 2420 0 10 1836 40016 1836 15025 1836 1212 0 125 46425 33012 2016 0 10 216 0 10 48016 6412 0 10 8025 rea de armadura Asn Asy 40 22 40 22 62 83 62 83 40 22 62 83 80 42 22 62 73 63 22 62 62 83 183 22 80 42 183 22 73 63 183 22 108 48 225 8 37 32 40 22 40 22 96 51 67 86 39 27 Percentagens de armadura As n A 100 A A 100 0 80 1 26 0 80 0 54 1 64 1 26 0 54 1 64 0 36 0 41 0 13 0 68 0 80 1 26 1 26 0 08 0 23 7 33 1 22 3 66 1 51 0 13 0 64 0 98 Lh e Lv s o os comprimentos de distribui o das armaduras horizontal e vertical respectivamente A evolu o das reac es de apoio com o factor de carga est representada na Figura 5 24 e ao contr rio do que se verificou na viga parede sem aberturas regista se uma diferenga assinal vel entre a reacc o R1 e R2 Com efeito a presenga das aberturas impede a normal transmiss o de carga ao apoio extremo R3 sobrecarregando o apoio adjacente R2 Este facto motiva a ocorr ncia de esmagamento do bet o na regi o dos esquadros de refor o para factores de carga inferiores aos registados a viga parede sem aberturas A tens o m xima de compress o atingida para A 1 911 Figura 5 25 entrando a partir da o bet o em regime de amolecimento Figura 5 26 A
107. 55 Introdu o da energia de fractura dissipada na fase de forma o de fendas At aqui todos os conceitos foram introduzidos para o caso uniaxial No caso mais corrente em estruturas de bet o armado temos 2 feixes de armaduras geralmente perpendiculares entre si existindo fendas n o ortogonais direc o das armaduras Nestes casos poss vel adaptar as 66 Cap tulo 2 relagdes constitutivas expostas adaptando as ao conceito de armadura equivalente ou formulando directamente equa es de equil brio na direc o de cada uma das armaduras A este respeito consultar Barros 1995 2 6 2 Reduc o da resist ncia compress o com a fendilhac o Extensos estudos experimentais sobre pain is de bet o armado sujeitos a estados de tens o biaxial revelaram que na presen a de um padr o de fendilha o regular e paralelo direc o das tens es principais de compress o a rotura por compress o f 2 ma Ocorre para uma tens o inferior tens o de rotura uniaxial f Vecchio e Collins 1986 faa Ox f 0 1 0 2 54 fe max te F e formas 0 0 34 6 76 c2 ee f 5 x _ t E e a b Figura 2 56 a Curva tens o extens o para o bet o fendilhado comprimido b Redu o da tens o de compress o m xima com a extens o transversal c Representa o tridimensional da rela o tens o proposta por Vecchio e Collins 1986 No estudo desenvolvido por Belarbi e Hsu 1995
108. 57 mm Figura 2 50 Curvas bond slip para cargas c clicas com diferentes amplitudes de ciclo 60 Capitulo 2 Macro Conceito de diagrama de Vol d trol t retenc o de tens es de 9 ias f aast PONS COMETE trac o no bet o v rias fendas prim rias Rela o bond slip Comportamento local Volume de controlo contem v rias fendas secund rias Volume de controlo entre duas fendas secund rias do bet o Conceitos da mec nica da fractura Micro Figura 2 51 Hierarquia na modela o do fen meno da ader ncia Adaptado de Maekawa et al 2003 2 6 BET O ARMADO FENDILHADO UM MATERIAL COMP SITO A um nivel macrosc pico de an lise em que o volume de controlo para formula o das rela es constitutivas encerra varias fendas prim rias ver Figura 2 51 o bet o armado fendilhado apresenta caracter sticas de rigidez e de resist ncia distintas das que seriam expect veis atrav s da simples soma das contribui es das armaduras e do bet o Se o nivel da an lise for sendo sucessivamente refinado tomando volumes de controlo sucessivamente mais reduzidos este comportamento surge como um resultado natural da mec nica nao linear dos constituintes bet o e armadura No entanto em aplicag es correntes de an lise estrutural nomeadamente no contexto da an lise num rica do comportamento estrutural global esse refinamento impratic vel devido ao elevado custo computacional envolvido pelo que se t
109. 91 Bazant e Jirasek 2002 podem ainda adicionar se refor ando a tese da abordagem n o local i O crescimento das microfissuras n o determinado pelo estado local de tens o ou de extens o no ponto do cont nuo correspondente ao centro da microfissura mas antes pela liberta o global de energia num volume finito que cont m a referida microfissura A dimens o deste volume depende do tamanho da microfissura e pode estar relacionado com a heterogeneidade do material ii As microfissuras interagem entre si podendo servir de amplificadores ou inibidores do processo de propaga o 33 Mec nica n o linear do bet o estrutural Figura 2 21 Volume representativo do material usado para c lculo da m dia pesada de um dado campo De uma forma geral a abordagem n o local consiste em substituir uma certa vari vel por outra obtida atrav s de uma m dia pesada sobre uma vizinhan a espacial de cada ponto em considera o Figura 2 21 Sendo f x um qualquer campo local num dom nio V o correspondente campo n o local f x definido por Jirasek 1998 f x f a l F E d 2 19 Na express o 2 19 a x a fun o n o local para c lculo da m dia pesada propriedade do material satisfazendo a condi o 2 20 de modo a n o alterar um campo uniforme a x d 1 vxev 2 20 Na proximidade da fronteira de um corpo assume se que a m dia calculada somente na parte do dom nio
110. 989 a Localiza o numa linha modelo da fenda fict cia b Localiza o numa banda de largura finita com extens o constante modelo da banda fendilhada c Distribui o de extens es de acordo com uma forma gen rica modelos n o locais No que a seguir se descreve foi feita a tentativa de apresentar os modelos de NLFM independentemente do tipo de modelo constitutivo em que est o inseridos No Cap tulo 3 os modelos f sicos a seguir apresentados ser o revisitados luz das abordagens num ricas utilizadas na sua implementa o sendo efectuada uma avalia o do mbito da sua aplicabilidade das potencialidades e limita es de cada um no contexto da an lise por elementos finitos 27 Mec nica n o linear do bet o estrutural Modelo de fenda fict cia fictious crack model Em 1976 Hilleborg e os seus colaboradores Hilleborg et al 1976 desenvolveram um modelo para o bet o em que a ZPF aproximada por uma superf cie de descontinuidade uma fenda fict cia dado que permite a transmiss o de tens es entre as suas faces Figura 2 16 Este modelo d origem a uma abordagem discreta do problema da fractura o q po o q po 4 gt lt gt Zona de processamento da 4 fractura gt lt P gt N ct net Saat i Fenda gt ZA Tt fict cia gt LEFM Fenda gt Fenda gt Figura 2 16 Representa o da fenda fict cia com a respectiv
111. A distribui o constante das deforma es na ZPF deve ser assim encarada como resultante de um processo de homogeneiza o da distribui o real Figura 2 15 Uma outra justifica o para a considera o de um terceiro par metro num modelo de NLFM prende se com o tratamento de situa es de fendilha o estabilizada na presen a de armadura ou fibras em que as fendas t m um espa amento definido situa o na qual o modelo da fenda fict cia n o prev a correcta dissipa o de energia ao permitir a forma o de duas fendas infinitamente pr ximas O par metro h pode neste caso ser ajustado para ser equivalente ao espa amento entre fendas assegurando a objectividade dos c lculos Bazant 1985 Bazant 1986 As rela es constitutivas para o modelo da banda fendilhada podem ser ilustradas atrav s da Figura 2 19 Para o bet o da ZPF a rela o constitutiva expressa se atrav s de uma curva caracter stica do material que fun o da resist ncia trac o fen da energia de fractura Gp e da largura da banda h A energia de fractura vem dada por 2 16 Figura 2 19 Usualmente 31 Mec nica n o linear do bet o estrutural considera se que at atingir a extens o correspondente a fo toda a deforma o recuper vel pelo que a energia dissipada fora da ZPF nula 0 Eru Eru G h o de Lo h o de 2 16 0 0 Figura 2 19 Modelo da banda fendilhada Nas implementag es num
112. A mec nica do dano cont nuo uma teoria constitutiva que descreve a perda progressiva de integridade do material devida propaga o e coalesc ncia de microfendas vazios microsc picos ou outros defeitos similares Estas mudan as da microestrutura do material levam degrada o da rigidez observada escala macrosc pica Um modelo reol gico ilustrativo est representado na Figura 3 29 A rigidez inicial do material pode ser considerada como uma associa o em paralelo de molas el sticas que se v o rompendo caracterizando assim a perda de rigidez Figura 3 29 Modelo reol gico de um modelo de dano A vers o mais simples de um modelo de dano isotr pico representa a matriz de rigidez do material danificado como uma frac o da rigidez el stica inicial Neste caso o dano caracterizado apenas pela vari vel escalar d 127 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural c 1 4 D 3 118 No material intacto a vari vel de dano toma o valor nulo d 0 tendendo monotonicamente para a unidade com a progress o da danifica o Por requisitos termodin micos a vari vel de dano n o negativa e n o decrescente Um modelo assim definido baseia se no pressuposto simplificado de que a degrada o da rigidez isotr pica o que corresponde a assumir que as fendas ou os defeitos se encontram uniformemente distribu dos em todas as direc es No entanto a fractura do bet
113. A redistribui o de tens es resultante est de acordo com as observa es experimentais que evidenciaram grande degrada o do bet o nesta regi o l 1437 l 385E7 1 626E7 1 868E7 I 111E8 H 135 8 1 158E8 1 183E8 1 287E8 1 232E8 I Figura 4 25 Mapas com os valores das tens es principais de compress o no bet o no ultimo incremento de carga convergido 155 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA Foram tamb m efectuadas an lises com os restantes modelos dispon veis cujos resultados s o apresentados na Figura 4 26 Nos modelos Total Strain nos quais o efeito do confinamento bidimensional n o considerado e dado que este tipo de rotura condicionado pelo esmagamento do bet o nos seis elementos finitos do canto superior direito do modelo foi considerada uma tens o de rotura por compress o igual a 1 15 fo Com o modelo Fixed Total Strain a rotura tamb m se deu com o esmagamento do bet o sob a placa onde introduzida a carga O padr o de fendilha o para a carga m xima est ilustrado na Figura 4 27 a onde vis vel que a fenda mais activa na rotura do modelo experimental n o est bem representada Ao contr rio do padr o de fendas observado com o modelo Multifix a impossibilidade de ocorr ncia de fissuras n o ortogonais impediu a propaga o da referida fissura ao longo da armadura longitudinal de trac
114. Castro 2002 A geometria e as armaduras est o representadas na Figura 4 48 e Figura 4 49 O tirante principal constitu do por 1046 e est distribu do ao longo de 30 cm podendo ser considerado localizado a 15 cm da base para fins de equil brio Foi disposta ainda uma malha aproximadamente quadrada de var es lisos de 4 mm de um a o muito macio ver Tabela 4 4 Deste ensaio apenas se ir o apresentar as figuras correspondentes ao modo de rotura e o valor da carga de colapso dado que os diagramas carga deslocamento foram afectados por deficientes condi es de apoio fornecidas parede Com efeito um dos apoios foi materializado com um rolete met lico e o apoio oposto por uma barra prism tica de a o Figura 4 48 O atrito entre esta barra e as superf cies com que contacta suficiente para materializar uma reac o horizontal que equilibrada pelo sistema actuadores p rtico de reac o levando imposi o de condi es fronteira assim tricas e dif ceis de quantificar Por outro lado este ensaio serviu de teste ao sistema de aplica o de carga pelo que tamb m n o foi poss vel garantir que ambos os actuadores exercessem a mesma for a em cada instante 165 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA 04 0 0712 804 por fac 04 0 076 0 950 a 1006 q a a a a a a a a a 4e 0 2950 F T o DD O O DR ER 0 6125 1 0 600 0 6125 4 806
115. Drucker Prager os par metros adoptados para a definir o respectivo diagrama de endurecimento e a lei de escoamento foram os j referidos para o modelo Multifix Em trac o o diagrama de amolecimento do crit rio de Rankine foi definido de forma a respeitar as mesmas leis j utilizadas nos restantes modelos quer no caso de bet o simples ou no caso do bet o armado 144 Capitulo 4 4 2 APLICA ES As aplica es foram seleccionadas no intuito de ilustrar a aplicabilidade dos modelos de an lise n o linear ao estudo de algumas estruturas cujo comportamento n o satisfatoriamente aferido pelos m todos tradicionais de c lculo como sejam a an lise el stica ou a an lise pl stica limite ou ainda estruturas cujo tratamento num rico apresenta em geral dificuldades acrescidas tais como as roturas por corte Com estes exemplos pretendeu se ainda avaliar o desempenho e validar procedimentos de aplica o dos modelos dispon veis possibilitando posteriores aplica es na avalia o do comportamento em servi o e seguran a rotura de estruturas mais complexas Nos exemplos estudados a armadura foi modelada de acordo com uma formula o que considera que os deslocamentos dos elementos finitos de armadura s o interpolados a partir dos deslocamentos dos n s dos elementos de bet o em que est o embebidos Esta forma de proceder simplifica substancialmente a gera o das malhas de elementos finitos na medida em que
116. Em rela o ao plano ZX perpendicular ao desenvolvimento da viga parede foram impostas condi es de simetria a meio do v o interior e a cerca de 62 5 do v o extremo Estas duas ltimas condi es foram definidas a partir da an lise da distribui o de tens es de corte e da deformada do modelo el stico plano da viga 200 Capitulo 5 parede com aberturas conforme ilustrado na Figura 5 40 Ao longo dos alinhamentos onde as tens es o se anulam foram introduzidas condi es de simetria cuja adequabilidade refor ada pela an lise da deformada Devido aos esfor os de membrana induzidos pelo pr esfor o algumas das condi es de simetria n o puderam ser definidas da forma usual tendo se imposto a igualdade dos deslocamentos perpendiculares ao plano de simetria e n o o seu valor nulo de modo a permitir o encurtamento sob a ac o do pr esfor o j HHR HN Ty E N i 1 V TTT K iz A A eg TOS X Casadas ELLA Figura 5 39 Perspectiva da malha de elementos finitos Identifica o das condi es fronteira 201 Caso pr tico ETAR de Sobreiras Tabela 5 4 C digo de cores das condi es fronteira do modelo 3D Denominagao Restri o Apoio inferior UZ 0 Simetria ZX UY 0 Simetria ZX 2 UY iguais Simetria ZY UX 0 Simetria ZY 2 UX iguais jT Regi o analisada race 7t Figura 5 40 Identifica o do tro o
117. MPORTAMENTO NAO LINEAR DO BETAO ESTRUTURAL 3 MODELA O COMPUTACIONAL DO COMPORTAMENTO N O LINEAR DO BET O ESTRUTURAL 3 1 CLASSIFICA O DOS MODELOS No intuito de fornecer uma classifica o sistem tica e suficientemente geral das abordagens computacionais ao comportamento n o linear do bet o estrutural devem ser tidos em aten o tr s aspectos fundamentais Jirasek 2002c 1 a descri o cinem tica ii a lei constitutiva e iii a t cnica de aproxima o num rica Do que a seguir vai ser exposto torna se claro que estes aspectos est o intimamente relacionados devendo ser combinados da forma adequada Uma perspectiva hist rica do desenvolvimento dos conceitos relativos modela o computacional do comportamento n o linear do bet o estrutural pode ser encontrada em ACI 1998 ASCE 1981 CEB 1996 3 1 1 Descric o cinem tica O comportamento dos materiais quasi fr geis tais como o bet o caracterizado pela localiza o das deforma es e danifica o do material em zonas relativamente estreitas quer em trac o quer em compress o quando o grau de confinamento reduzido e pelo desenvolvimento gradual de fissuras macrosc picas Apesar dos enormes desenvolvimentos a que se assistiu nas ltimas duas d cadas a modela o deste processo de localiza o at a rotura do material continua a ser uma mat ria em permanente evolu o na mec nica dos s lidos contempor nea Podem assim ser
118. N 7 7 N N N 7 N Z 7 N E Figura 4 45 Mecanismo de rotura por Figura 4 46 Mecanismo de Figura 4 47 Efeito de flex o rotura por corte apoio indirecto No caso de vigas parede dois mecanismos poss veis de rotura est o representados na Figura 4 45 e na Figura 4 46 O mecanismo representado na Figura 4 45 est associado a uma rotura por flex o caracterizada pela ced ncia das armaduras e posterior esmagamento do bet o A mobiliza o do esquema de equil brio proposto pelo modelo de escoras e tirantes parece evidente O mesmo n o se passa com o mecanismo representado na Figura 4 46 Este mecanismo est associado a uma rotura por corte obrigando a que na configura o de equil brio limite a escora atravesse a fenda representada Isto s ser poss vel se a transi o entre estados de equil brio sucessivos desde o estado n o fendilhado at ao estado de equil brio 164 Capitulo 4 limite idealizado no modelo de escoras e tirantes n o for impedida pela exist ncia duma fenda de corte demasiado aberta Por outras palavras a estrutura pode n o ter ductilidade suficiente que lhe permita mobilizar o esquema de equil brio proposto Para obviar este problema os regulamentos em geral preconizam a coloca o de uma malha de armadura distribu da ao longo da altura da viga que tem por fun o distribuir a fendilha o evitando a forma o de uma banda fendilhada dominante onde se localizam as
119. NA User s Manual release 8 1 Material Library TNO Building and Construction Research Delft 233 Refer ncias Bibliogr ficas Wittmann F H 1983 Structure of Concrete with respect to crack formation Fracture Mechanics of Concrete F H Wittmann ed Elsevier 43 74 Yankelevsky D Z e Reinhardt H W 1989 Uniaxial Behaviour of Concrete in Cyclic Tension Journal of Structural Engineering 115 1 166 182 Zhu R R H Hsu T T C e Lee J Y 2001 Rational Shear Modulus for Smeared Crack Analysis of Reinforced Concrete ACI Sructural Journal 98 4 443 450 234
120. PV19 com armadura anisotr pica p 1 8 6 e p 0 7 Os resultados experimentais de Vecchio e Collins 1986 demonstraram tamb m que em pain is de bet o fortemente armado sujeitos a um estado de tens o uniforme de corte a direc o das tens es e extens es principais m dias sobre o painel pode sem grande margem de erro ser considerada coincidente No entanto nos casos em que a diferenga entre as percentagens de armadura nas duas direc es seja elevada nomeadamente se numa delas a percentagem de armadura for reduzida existe um desvio que pode ser significativo Vecchio 2000 Figura 3 15 sendo neste caso question vel o uso de formula es co rotacionais O uso dos modelos de fendas rotativas deve restringir se por m an lise de estruturas fortemente armadas e sujeitas a cargas proporcionais sendo que no estudo de problemas de fractura existem outras formula es mais competitivas Ao for ar a coaxialidade entre tens es e extens es principais pressup e se tal como nos modelos de escoras e tirantes a exist ncia de ductilidade suficiente para permitir a reorienta o do campo de tens es No caso de estruturas com pouca ou nenhuma armadura ou com disposi es de armadura fortemente anisotr picas os escorregamentos ao longo das faces das fissuras com maior desenvolvimento podem impedir as referidas reorienta es do campo de tens es Figura 3 15 b derrubando a hip tese da coaxialidade e podendo inclusivament
121. S4 ES6 a b Figura 5 61 Instrumenta o durante o enchimento a Planta do n vel superior de reservat rios com a localiza o dos LVDT s b Localiza o dos extens metros O extens metro ES4 est localizado 75 cm abaixo da aresta inferior do esquadro e o ES6 na mesma posic o na face oposta da parede 208 Capitulo 5 A evolu o no tempo das leituras efectuadas est representada na Figura 5 62 e Figura 5 63 Importa realcar que a viga parede sob a qual foram medidas as flechas n o tem exactamente a mesma geometria de qualquer das duas vigas paredes analisadas na medida em que a geometria e a posi o das aberturas ligeiramente diferente estando estas localizadas apenas no canto inferior do tramo extremo Com efeito as paredes modeladas representam os dois casos extremos que ocorrem em todo o reservat rio o caso da parede sem aberturas e o caso da parede com a geometria de aberturas mais desfavor vel 12 50 10 IM E 04 E E 84 o 504 E 2 64 X 100 4 Ea 2 150 ES6 24 amp 200 4 ES7 0 i i i r T T i T r 1 250 t 1 t t t 1 t t t t t t t Ak D x x ee Bom momo m8 m HG e e e e e e Q e e e e e Q Q e e e e e e e e e e e ce e e e e e e eo eo eo e o e eo o e eo eo e eo e e e e e e e eo e e eo eo o eo o YF A F a OG G G G ee aaa a Pe gee eee age aga a 8 S SJZ sssssgss888ee8886 8 x A NX AA AA KR ASE SE SIZES RAR AA ARE RAE EES SES tempo tempo Figura 5 62 Evolu
122. a o computacional do comportamento do bet o estrutural As diferentes abordagens modela o computacional do comportamento do bet o estrutural no contexto da an lise por elementos finitos podem ser classificadas de acordo com o tipo de descri o cinem tica do processo de localiza o das deforma es tendo se conclu do que a abordagem mais competitiva para a an lise de estruturas na pr tica corrente a que se baseia no conceito de descontinuidades fracas Ao longo do Cap tulo 3 foram descritas as principais formula es usualmente adoptadas neste contexto Foi poss vel constatar que existe uma grande diversidade de abordagens desde as que s o suportadas em formula es mec nicas cl ssicas at s que s o baseadas numa aproxima o mais fenomenol gica e emp rica Dos variad ssimos modelos propostos na literatura pode concluir se que todas as propostas t m um desempenho superior s demais em determinadas estruturas condi es de carregamento e inferior noutras circunst ncias Este aspecto requer do utilizador um grande conhecimento acerca dos pressupostos do modelo que est a utilizar Apesar de ser dif cil sen o imposs vel encontrar um modelo que forne a os melhores resultados sobre toda a gama de tipos estruturais e condi es de carregamento de todo conveniente eleger modelos vers teis que possam ser utilizados em todas as situa es Desta forma os modelos de fendas fixas que contemplam a possibilidade
123. a o durante o enchimento essssess 208 5 6 Considera es TINI Sir na aar ae E A a A E a a A E n a E a 212 6 CONCLUS ES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS csssssssssssesssssscssssscssensensenes 217 6 1 Sum rio e conclus es eeesssessseseeseeseeeeeee teet te etn tnte then ente te street nest nnne 217 6 2 Desenvolvimentos FUtUrOS eisein iosi r iesen edna eene ianea Ea AnaS aAa 221 REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS ssssssssssssssssssssssssssssesssssscsossssssssssessssnesessnscssssscsessseseees 225 xiii CAP TULO 1 INTRODUCAO 1 INTRODUCAO 1 1 ESTRUTURAS LAMINARES DE BET O PERSPECTIVA ACTUAL DO PROCESSO DE AN LISE E DIMENSIONAMENTO As obras de Engenharia Civil correspondem aos investimentos mais significativos das sociedades actuais e numa ptica de recursos escassos dever do engenheiro zelar pela obten o de solu es simultaneamente seguras e econ micas As consequ ncias de falhas no processo de an lise e dimensionamento podem resultar em perdas econ micas e sociais muitas das vezes inaceit veis Apesar dos avan os conseguidos no dominio da an lise estrutural fruto de grande investimento em recursos humanos e financeiros ainda hoje na pr tica corrente de dimensionamento de estruturas de bet o n o se analisa o comportamento real das estruturas simulando se antes estados virtuais de equil brio recorrendo an lise linear el stica e assumindo um comportamento n
124. a prevista no dimensionamento el stico e est ilustrada na Figura 4 41 Na Figura 4 42 mostram se as tens es principais de compress o no ltimo incremento convergido sobre o qual se construiu um modelo de escoras e tirantes posicionados no baricentro da distribui o de armaduras respectiva que possibilita a interpreta o do esquema de equil brio efectivamente mobilizado O modelo representado 3 vezes hiperest tico necessitando da imposi o de uma for a no tirante horizontal que transmite parte do corte basal ao pilar esquerdo e da introdu o das for as nos tirantes verticais dos pilares Estas for as foram obtidas a partir dos resultados num ricos 162 Capitulo 4 397 kN 1467 Figura 4 42 Tens es principais de compress o Representa o de um modelo de escoras e tirantes Em jeito de conclus o pode se dizer que os resultados obtidos foram muito satisfat rios tendo sido obtida uma estimativa muito pr xima da carga e do modo de rotura O comportamento deformacional foi devidamente reproduzido Com aux lio do modelo num rico o funcionamento da estrutura foi interpretado nomeadamente no que diz respeito distribui o interna dos esfor os pelos dois pilares tendo se verificado um afastamento significativo dos pressupostos de c lculo Na verdade efectua
125. a determinado de forma a que a combina o de tens es Gn Gps Ocp 1 Satisfa a a equa o da superficie de rotura O comportamento em ciclos de descarga e recarga nos modelos mais simples aproximado por uma recta secante para a origem tal como representado na Figura 3 5 No entanto poss vel o uso de express es mais elaboradas que permitem aproximar o comportamento hister tico observado experimentalmente Alfaiate 1992 A descarga e recarga ocorrem de forma independente segundo cada um dos eixos de ortotropia O m dulo de distor o G dado pela express o 87 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural Gu Eu E 28 ELE ty JE tn E 3 20 obtendo se os restantes por permuta o dos indices A express o 3 20 foi obtida da condi o de invari ncia do m dulo de distor o em rela o ao sistema de eixos Alfaiate 1992 Chen 1982 carecendo de comprova o experimental Os coeficientes de Poisson s o nos casos mais simples considerados constantes No modelo de Elwi e Murray 1979 s o considerados uma fun o do terceiro grau em ajustada aos resultados experimentais sempre inferior a 0 5 de forma que o par metro da express o 3 15 seja sempre superior a zero Chen 1982 Existe ainda uma outra fam lia de modelos baseada na rela o entre as tens es e as extens es octa dricas e que de uma forma geral aproxima melhor o comportamento
126. a drica trac o Diferentes modos de fractura Pramono e com a tens o hidrost tica Kang e Willam Willam 1989 1999 O efeito da tens o principal interm dia pode ser obtido por observa o da intersec o da superf cie de rotura com os planos octa dricos correspondentes aos diferentes n veis de tens o hidrost tica Para n veis baixos da componente hidrost tica esta intersec o tem uma forma triangular aproximando se progressivamente de uma circunfer ncia com o evoluir do grau de confinamento Figura 2 37 Na Figura 2 38 est ilustrada a delimita o de cada uma etapas do processo de fractura referidas em 2 4 1 no espa o das tens es e das extens es principais 50 Cap tulo 2 12 Eo x 108 FIM DA ETAPA 1 ETAPA 2 10 ETAPA3 CARGA M XIMA 4 o D 2 a E o 0 o E e 4 4 2 v 2 x Or Tensile Compressive a EX ae b VQ x E x 10 Figura 2 38 Envolventes t picas das etapas do processo de fractura do bet o quando sujeito a estados de tens o axissim tricos adaptado de Kotsovos e Pavlovic 1995 a espaco das tensdes b espaco das extens es Para estados de tens o biaxiais a intersec o da superf cie com um dos planos o 0 define uma envolvente do tipo da representada na Figura 2 39 Os diferentes modos de rotura observados neste tipo de ensaios est o representados na Figura 2 40 rod plotens G Figura 2 39
127. a armadura o coeficiente 8 deve ser de alguma forma fun o da largura da banda fendilhada h ou equivalentemente da extens o ultima do diagrama de amolecimento amp de modo a garantir a objectividade do resultados No caso de fendilha o localizada Rots e Blaauwendraad 1989 propuseram a express o 3 23 em que p um escalar positivo muitas vezes considerado igual a 1 A express o tem o inconveniente de considerar nula a rigidez de corte das fendas macrosc picas o que vai contra os resultados experimentais e teorias estabelecidas sobre o fen meno do aggregate interlock Ba i m 323 Em casos de fendilha o estabilizada por armadura aderente a express o 3 23 pode ser naturalmente adaptada sendo tamb m de referir a proposta de Figueiras 1983 dada pela express o 3 24 onde vale 0 25 para o caso de fendilha o simples e 0 125 no caso de fendilha o dupla e a fun o adoptada por Cervenka et al 2002 expressa por 3 25 onde p a taxa de armadura As correspondentes representa es gr ficas est o ilustradas na Figura 3 9 90 Capitulo 3 o lt 0 45 f e ses E 3 24 0 2 gt 0 45 e In em B c onde e 3 25 c 27 333 p 0 005 c 210 167 p 0 005 c 1 0 p lt 0 002 0 7 Cervenka p 0 0 6 Cervenka p 0 01 0 5 4 Cervenka p 0 02 04 Figueiras fendilha o simples B Figueiras fendilha o dupla 0 3
128. a distribui o de tens es Baseado em Alfaiate 1992 Dada a heterogeneidade do material num esp cimen submetido a um ensaio de trac o a resist ncia trac o fa atingir se primeiro numa determinada zona do provete Nesta zona verifica se um acr scimo de alongamento w enquanto que nas restantes zonas o material descarrega O alongamento total do provete 6 vem dado pela express o 2 12 em que a extens o do material nas zonas n o fracturadas e L o comprimento total do provete S eL w 2 12 A extens o m dia amp ao longo do provete vem ent o dada por pong 2 13 sete 2 13 t Verifica se desta forma que antes de se atingir fa circunst ncia em que w 0 a extens o m dia independente do tamanho L Esta situa o corresponde ao ramo ascendente da curva tens o alongamento da Figura 2 10 Ap s o inicio da localiza o das deforma es verifica se que amp depende do tamanho do esp cimen pelo que a curva o amp n o pode ser considerada uma propriedade do material Desta forma no modelo da fenda fict cia a rela o constitutiva uniaxial de trac o assim descrita atrav s de duas curvas Figura 2 17 i Uma curva tens o deforma o o para as zonas n o fracturadas ii Uma curva tens o alongamento o w para as zonas fracturadas 28 Capitulo 2 qut RR KRN 8 L2 Modelo da fenda fict cia WL _ HU Ne e ALI c Lt E Figura 2 17 Modelo da fenda f
129. a quem quero agradecer todos os ensinamentos partilhados o empenho com que me tem acompanhado os meios colocados ao meu dispor e o esp rito cr tico que tentei reflectir nesta disserta o o Professor Paulo Cachim co orientador cient fico deste trabalho pelas sugest es sempre oportunas e pelo cuidado na revis o da disserta o O Professor Rui Faria pela sua disponibilidade para discutir alguns temas relacionados com este trabalho pela bibliografia cedida pela cultura de rigor que inspira e por todo o apoio que sempre me demonstrou os amigos e colegas de trabalho Carlos Sousa Filipe Magalh es Miguel Azenha Miguel Ferraz e Pedro Costa pelo excelente ambiente de trabalho e de conv vio que proporcionam sem o qual certamente a realiza o desta disserta o seria muito mais dif cil Aos meus Pais NDICE DO TEXTO T INTRODU O sus ene a tox A ioi ve a pes Di e a UE 3 1 1 Estruturas laminares de bet o Perspectiva actual do processo de an lise e GiMENSIONAMENLO NE E 3 1 2 Objectivos e organiza o da disserta o sssssssssseseeseeeeeenene 11 2 MEC NICA NAO LINEAR DO BET O ESTRUTURAL ssssssssssssscsssscssesesseceessesesses 15 D le Tt OGUCAO uec etta ee tek Sa e b ec Ot e PER Ned 15 2 2 Fractura por trac o do bet o simples sese 16 2 2 1 A import ncia da mec nica da fractura sse 16 2 2 2 Mec nica da fractura el stica
130. a resist ncia trac o do material O material entra em regime de amolecimento e o dano localiza se numa banda perpendicular tens o principal m xima Tomando o sistema de eixos ilustrado na Figura 3 22 o campo de deslocamentos el sticos dado por u x y U Zy E 3 64 Do vy em Zy onde E o m dulo de Young e v o coeficiente de Poisson Ap s o in cio do processo de fractura o deslocamento horizontal dos pontos direita da fenda fict cia vir acrescentado de Wer us x y We 65 0 Supondo que o campo de extens es avaliado pelo m todo dos elementos finitos considerando um elemento triangular de tr s n s a rela o Bu pode equivalentemente ser dada por 109 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural u u Ex Y3 Y 0 Yi Y 0 gls gen 4 emp 3 66 i 2A n 7a dip u u ry XX V37 VY 2 7 VN V4 V onde 4 a rea do elemento u e v s o os deslocamentos nodais e x e y s o as coordenadas nodais Wer r y aoc 3 ai E fenda a b Figura 3 22 a Fenda coesiva num campo uniforme de tens es b Elemento finito triangular de tr s nos sobre o qual a abertura da fenda disseminada Jirasek 2002c Antes do in cio do processo de fractura em fase el stica o campo de extens es correspondente ao campo de tens es uniforme que origina o campo de deslocamentos 3 64 vem dado por
131. a rotura potencialmente fr gil em vigas parede com apoios indirectos 181 CAP TULO 5 CASO PR TICO ETAR DE SOBREIRAS 5 CASO PR TICO ETAR DE SOBREIRAS No estudo que a seguir se apresenta ilustra se a aplica o do modelo Multifix na an lise de uma estrutura laminar complexa no caso concreto das vigas parede e respectivas zonas de apoio do nivel superior de reservat rios do Corpo A da Esta o de Tratamento de Aguas Residuais ETAR de Sobreiras Porto A an lise nao linear efectuada enquadra se dentro da quarta etapa da metodologia geral de an lise e dimensionamento de estruturas laminares de bet o descrita no Cap tulo 1 pretendendo verificar e validar o dimensionamento previamente efectuado 5 1 DESCRIC O DA ESTRUTURA A ETAR de Sobreiras uma estrutura compacta parcialmente enterrada com os principais org os instalados em edif cios de v rios pisos Est inserida numa zona verde sendo inclusivamente a cobertura dos v rios corpos ajardinada Figura 5 1 Ec ia S Figura 5 1 Vista a rea da ETAR Corte pelos corpos A e B Representa o dos corpos A B e C O Corpo A que ser objecto desta an lise constitu do por dois n veis de reservat rios sobrepostos com desenvolvimento em planta de 64x61m Os 4 reservat rios inferiores desenvolvem se numa direc o Oeste Este enquanto que os 6 reservat rios superiores
132. a se que para 2 2 54 a tens o actuante iguala a tens o resistente pelo que o bet o deveria entrar em regime de amolecimento No entanto dado que o efeito de cintagem n o foi considerado e atendendo a que o factor de carga j bastante superior a 2 025 considerou se n o ser necess ria a realiza o de uma an lise posterior com um valor reduzido para a resist ncia compress o A 2 54 e OS 4A co o 1 1 1 a Factor de carga i Factor de redu o w o o o N 0 0 i i i i T T 0 0 0 000 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 0 006 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 Tens o principal m nima c Pa Extens o transversal da fenda ec m m Figura 5 13 Factor de redu o da tens o Figura 5 14 Evolu o da tens o principal de resistente compress o uniaxial compress o no ponto de Gauss PG2 192 Capitulo 5 T 3 0 3 0 4 2 5 F 2 5 2 0 r 2 0 a Factor de carga Factor de carga 4 0 5 0 5 0 0 0 0 1 0E 02 8 0E 03 6 0E 03 4 0E 03 2 0E 08 0 0E 00 50000 40000 30000 20000 10000 0 Deslocamento vertical m kN Figura 5 16 Deslocamentos verticais dos quatro Figura 5 17 Evolu o das reac es verticais de pontos indicados na Figura 5 15 apoio Figura 5 15 com o factor de carga A malha deformada no ltimo incremento de carga convergido est ilustrada na Figura 5 15 juntament
133. a uma unidade de rea Com efeito Gr est associada a uma localiza o fixa na estrutura a ZPF onde a dissipa o de energia ocorre e atinge o valor Gr quando o material est completamente fracturado w we 29 Mec nica n o linear do bet o estrutural A considera o de fa e de Gr como caracter sticas do material permite definir uma grandeza com a dimens o de um comprimento o comprimento caracter stico tamb m ele par metro material e que uma medida da sua ductilidade sendo tanto maior quanto mais d ctil o material for G E ln fj 2 15 A determina o de Gr tem sido alvo de muita investiga o havendo v rias propostas para a sua quantifica o experimental ACI 1999 Alfaiate 1992 Hilleborg 1985 cuja discuss o excede o mbito da presente disserta o Em Hordjick et al 1989 pode ser encontrada uma refer ncia influ ncia de v rios factores no valor da energia de fractura tais como a raz o gua cimento a temperatura as condi es de cura a idade do bet o e o tipo e tamanho dos agregados Existem v rias propostas para a forma do diagrama o w Figura 2 18 desde a mais simples rela o linear passando pela bilinear at forma exponencial e mais elaborada proposta de Reinhardt et al 1986 Existem tamb m v rias formula es anal ticas para o comportamento c clico evidenciado na Figura 2 13 CEB 1996 Hordjick 1992 Maekawa et al 2003 Yankelevsky e Reinhardt 1989 o m
134. aberturas sesesseseseeeeeeeeneeennns 157 4 2 2 1 Formula o do problema c ecccecsccescessseenseeseeesceceeesseessecesecneeseeeseeeeeeeseneesgs 157 4 2 2 2 An lise num rica eerte ee ee tr prete reet 159 4 2 3 An lise de vigas parede com apoios indirectos 164 4 2 3 1 Formula o do problema error reeereeeneerarerererenarenerana 164 4 2 3 2 Modelo n 1 ioter t eet a Ege sten po onda ode dies 165 4 2 3 3 Modelo n2 io a inherit Shea ens me eti eerte and E epe tds 169 ADS A Modelo m 3r he tette eet hoan ene t aee Eee Era ont eiae Eos 173 4 2 3 5 Extrapola o para a escala real Efeito de escala 177 4 3 Consideracoes finals urere eoa Ee eo EI EY NER E eat E 179 5 CASO PR TICO ETAR DE SOBREIRAS retenta tonta tonta tonta tonos 185 5 1 Desericao da EStrutura 55 iie p PORTU T Rege id e Pel eee dean Su ER gets 185 5 2 Metodologia de an lise e verifica o de seguran a sss 187 5 3 An lise n o linear 2D Vigas parede cccesccesccesscesseeeeceeseeeseeeseeeseeeseeesecneeseeeseeeeses 188 5 3 1 Viga parede sem aberturas cccecccccsseessesssesecsseceseceseceseeseeeseeeseeeeeseesseeeeeeaeenaes 188 5 3 2 Viga parede com aberturas ssssssseseseeeeeee nennen nnne nnns 195 5 4 An lise n o linear 3D Regi o dos apolos sssssssssssseeeeeeeenenenns 200 5 5 Resultados da instrument
135. acrosc pica Este fen meno respons vel pelo car cter difuso do padr o de fendilha o observado em muitos exemplos nomeadamente quando as fendas n o s o paralelas aos lados do elemento finito assim como pelo enrijecimento artificial da resposta observado no regime de amolecimento Figura 3 21 Nos modelos de fendas fixas este facto devido transfer ncia esp ria de tens es de corte atrav s de fissuras 108 Capitulo 3 que n o est o perfeitamente alinhadas com o padr o macrosc pico da fractura Jirasek 2002c Rots et al 1985 podendo ser atenuado com a utiliza o de um factor de reten o de tens es de corte P aproximadamente nulo Rots e Blaauwendraad 1989 Por m nos modelos de fendas rotativas n o existe transmiss o de tens es de corte no plano das fendas e ainda assim este efeito faz se sentir Em Jirasek 2002c apresentada uma explica o para a origem do stress locking e que dada a sua utilidade para a compreens o do fen meno a seguir se passa a expor aa T F kN 1 0 05 Vo 0 01 02 03 04 05 deslocamento mm a b c Figura 3 21 Ensaio de flex o numa viga entalhada a Geometria e carregamento b Padr o num rico de fractura c Enrijecimento artificial da resposta na fase de amolecimento devido ao stress locking Jirasek 2002c Considere se um corpo sujeito a um estado de tens o uniforme e uniaxial cuja magnitude o aumenta at se atingir
136. agregado fib 1999a valendo 1 para agregados quartez ticos Ec sec fe o m dulo de elasticidade secante da origem at ao valor de pico do diagrama A extens o de pico amp expressa por 0 0017 0 0010 L m m MPa 4 14 139 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA Ap s a tens o de pico f foi definido um ramo de amolecimento A exist ncia de amolecimento implica localiza o de deforma es pelo que a objectividade dos c lculos em rela o ao tamanho dos elementos finitos s garantida adoptando um crit rio energ tico Desta forma e de acordo com o exposto em 2 4 3 adoptou se um ramo de amolecimento linear definido de forma a garantir a dissipa o da energia de fractura em compress o numa banda localizada de largura h Figura 4 2 b Ap s amolecimento at 20 de f adoptou se um patamar horizontal Adoptou se a hip tese de strain hardening definindo a taxa de varia o da vari vel interna K de acordo com 3 95 Com a lei de escoamento associada poss vel demonstrar que a referida express o equivalente a k 2 I 222 4 15 Particularizando a lei de escoamento 3 95 para o caso uniaxial chega se conclus o que a extens o pl stica principal minima vem dada por All a 4 16 Eliminando o multiplicador pl stico das equa es 4 15 e 4 16 chega se a rela o entre a vari vel interna e a e
137. ais detalhado dos quais o proposto por Hordjick 1992 sendo excelente a sua concord ncia com os resultados experimentais 3 2 5 4 N N 2 N Linear 1 5 4 N Bilinear N Reinhardt et al 1 4 0 5 4 0 r r T 1 0 0 05 0 1 0 15 0 2 w mm Figura 2 18 V rios diagramas de amolecimento o w correspondentes a um bet o com fa 3MPa e Gr 100J m Modelo da banda fendilhada crack band model Esta teoria admite a localiza o das deforma es numa banda de largura finita segundo uma distribui o constante de acordo com a Figura 2 15 b As hip teses referentes ao crit rio de forma o da zona microfissurada e orienta o da ZPF com respeito tens o principal de trac o s o id nticas s do modelo da fenda ficticia Numa primeira an lise pode ser considerada como a formaliza o da abordagem do processo de fractura atrav s da mec nica dos meios continuos fornecendo um enquadramento te rico aos modelos de fendilha o distribu da smeared crack models A teoria tomou corpo como independente da abordagem num rica no in cio dos anos 30 Capitulo 2 80 no conhecido artigo de Bazant e Oh 1983 Para al m dos motivos de ordem computacional que se prendem com a conveni ncia da considera o do bet o fendilhado como um cont nuo v rias justifica es de ndole f sica podem ser avan adas para enquadrar esta teoria ii iii A localiza o da fractura numa banda
138. al ada pelo facto de a armadura de alma que a generalidade dos c digos preconiza com a fun o de disseminar a fissura o ser inferior percentagem m nima de armadura pum pois no caso de vigas parede as fissuras na alma est o controladas abaixo pelo tirante principal e acima pelo bet o comprimido Desta forma demasiado conservativo admitir um estado de trac o simples ao longo de toda fissura Nestas circunst ncias a armadura a dispor deveria ser fun o da dimens o da estrutura tendendo para 177 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA Pumin com o aumento do seu tamanho j que numa estrutura de maiores dimens es o controlo da abertura das fendas pelo tirante e pelo bet o comprimido menos efectivo dada a maior extens o da zona fracturada Os efeitos de escala n o s o assim eliminados pelo que se torna necess rio incluir conceitos da mec nica da fractura na an lise e dimensionamento deste tipo de estruturas com vista a prever poss veis roturas fr geis em estruturas de maiores dimens es Na vers o mais recente do Euroc digo 2 CEN 2002 a percentagem de armadura de alma m nima proposta de 0 0014 face nunca inferior a 150 mm m face Tomando como exemplo o modelo experimental n 3 a armadura de alma colocada corresponde a cerca de 0 00234 face 173 mm face Em a o A400 a for a desenvolvida pela armadura de alma seria obtida precisame
139. al da estrutura da ETAR foram obtidas as cargas a aplicar nos elementos estruturais de comportamento mais delicado as vigas parede que sustentam o n vel superior de reservat rios Efectuando uma an lise n o linear 2D de duas destas vigas parede verificou se que a regi o dos apoios era cr tica para a seguran a global dado que o modo de rotura identificado atrav s destas an lises foi o esmagamento do bet o nos esquadros de refor o Dado o estado de tens o tridimensional desta zona s recorrendo a uma an lise 3D se p de analisar a seguran a em rela o ao esmagamento do bet o Para o efeito construiu se um modelo 3D da zona do apoio tendo para o efeito sido tamb m discretizada parte da viga parede e da laje de fundo do n vel superior de reservat rios de forma a obter uma estimativa aproximada do estado de tens o e de deforma o desta zona cr tica Com esta ltima an lise a seguran a em rela o ao esmagamento do bet o no apoio foi verificada A metodologia utilizada que consistiu em ir procedendo a sucessivos refinamentos das an lises sempre que tal se demonstrava necess rio revelou se essencial para a obten o de resultados em tempo til e facilitou a interpreta o dos resultados obtidos O formato de seguran a utilizado merece ser revisto sendo este um campo onde ainda s o necess rios grandes desenvolvimentos O uso de m todos estoc sticos recorrendo a m todos de simula o m todo de Monte Carlo
140. amb m denominados de elementos de junta colocados entre elementos finitos bi ou tridimensionais nos quais a estrutura discretizada Schellenkens 1990 Este procedimento relativamente simples se a forma da descontinuidade for conhecida priori Feenstra et al 1991b Rots e Blaauwendraad 1989 No caso geral a fissura propaga se ao longo da estrutura de acordo com uma traject ria desconhecida Uma poss vel solu o a gera o autom tica ou manual de novas malhas de elementos finitos na vizinhan a da extremidade da fractura Ingraffea e Saouma 1985 ou permitir que as fendas evoluam apenas segundo as fronteiras de elementos pr existentes Alfaiate 1992 Como alternativa elegante para obviar esta dificuldade surgiram os elementos com descontinuidades embebidas Jirasek 2002a Jirasek 2002c em que as fun es de interpola o s o enriquecidas directa ou indirectamente com fun es de forma descont nuas ou modos de deforma o que correspondem a campos de deslocamentos descont nuos respectivamente Todavia este tipo de abordagem depara se tamb m com algumas dificuldades relacionadas com as restri es que t m de ser impostas ao tamanho e forma dos elementos e ainda com a falta de robustez no tratamento de situa es de ramifica o das 77 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural fissuras exist ncia de m ltiplas descontinuidades Por outro lado e devido grande sensi
141. ampo constatou se ser importante compreender o volume de controlo sobre o qual uma determinada teoria v lida As teorias simultaneamente mais simples e mais 217 Conclus es e desenvolvimentos futuros gerais s o estabelecidas a um n vel mais elementar com um volume de controlo mais reduzido No entanto do ponto de vista da aplicabilidade pr tica a problemas de engenharia civil prefer vel o estabelecimento das leis constitutivas em valores m dios homogeneizados sobre um volume de controlo maior de alguma forma relacionado com o tamanho dos elementos finitos que constituem o procedimento num rico mais divulgado no seio da comunidade t cnica e cient fica associada an lise estrutural neste contexto que devem ser entendidas muitas das teorias expostas no Cap tulo 2 Dentro da mec nica n o linear do bet o estrutural foi poss vel estabelecer tr s sectores fundamentais que devem ser inclu dos em qualquer modelo b sico de ANLE a mec nica do bet o comprimido a mec nica do bet o traccionado e a mec nica associada transfer ncia de tens es de corte entre fendas Dentro do mbito estudado pode afirmar se que o corpo te rico hoje estabelecido permite uma abordagem racional ao comportamento do bet o existindo um modelo te rico satisfat rio para a generalidade dos fen menos relevantes para o c mputo da resposta das estruturas de bet o simples ou armado quando sujeitas a carregamentos est ticos Model
142. an lise este aspecto merece especial aten o na medida em que hiperest tico qualquer esquema de equil brio que tente aproximar a distribui o el stica de esfor os repartindo igualmente o corte basal e os momentos de encastramento por ambos os pilares Figura 4 31 No presente caso estando o pilar esquerdo sujeito a esfor os de trac o a sua rigidez vai ser substancialmente reduzida originando uma reparti o assim trica da carga pelos pilares Os resultados experimentais obtidos por Bounassard Filho 1995 revelaram que as paredes que foram dimensionadas para uma distribui o sim trica do corte basal esfor os el sticos apresentaram na rotura distribui es do tipo 20 a 25 no pilar esquerdo e 80 a 75 no pilar direito No caso de paredes dimensionadas para uma distribui o 30 esquerda e 70 direita apresentaram uma reparti o de carga da ordem de 10 e 90 respectivamente A designa o de pilar aqui utilizada apenas por facilidade na medida em que se refere a uma regi o de descontinuidade e n o a um elemento linear Pretende se com este exemplo demonstrar a aplicabilidade dos modelos computacionais na interpreta o do funcionamento da estrutura descrita avaliando a sua robustez e precis o na identifica o da carga e do mecanismo de colapso Das v rias disposi es de armadura correspondentes a cada um dos modelos experimentais referidos em Bounassard Filho 1995 descreve se apenas uma cujo di
143. ao volume propaga o de uma fenda proporcional rea V L3 A L Figura 2 8 Origem do efeito de escala na tens o de rotura Adaptado de Tommaso 1989 E poss vel ainda demonstrar uma rela o entre os factores intensidade de tens o e a taxa de dissipa o de energia superficial e a equival ncia entre a formula o do crit rio de propaga o 22 Capitulo 2 da fractura estabelecido custa de Ga ou de um valor Ka ACI 1999 Alfaiate 1992 Reinhardt 19892 2 2 3 Mec nica da fractura n o linear NLFM Com base no exposto em 2 2 2 poss vel determinar a condi o de estabilidade da fissura o num material com comportamento el stico e linear recorrendo ao crit rio de Griffith Na realidade os materiais n o comportam uma tens o infinitamente grande pelo que o processo de fractura n o se pode localizar num ponto mas numa zona de tamanho finito Os modelos de NLFM consideram a exist ncia da zona de processamento da fractura ZPF que consiste numa regi o danificada onde o material apresenta microfendilha o manifestada ao n vel macrosc pico por um decr scimo da tens o com o aumento da extens o amolecimento ap s se ter atingido a tens o de pico fa O fen meno de amolecimento n o existe num material heterog neo se a sua micro ou mesoestrutura for considerada com uma resolu o suficiente e deve ser considerado como um mero expediente macrosc pico no intuito de proceder homogeneiza
144. as s o calculadas a partir da satisfa o simult nea das correspondentes condi es de consist ncia f 0 ieA conduzindo ao sistema de equa es lineares 2aj b eA 3 111 jeA onde T i d e sf H Jy 0c Lo o Jy T b o D amp 3 112 0c __ Of 0h 16h ok E A solu o de 3 111 s admiss vel se todos os A i A forem n o negativos Se n o for este o caso o subconjunto 4 diferente do assumido que note se n o conhecido priori apenas se sabendo que deve ser um subconjunto dos mecanismos potencialmente activos tais que P li f 0 3 113 Alguns dos mecanismos de P podem ser desactivados pela descarga da correspondente superficie de ced ncia f 0 mas lt 0 e a escolha do subconjunto A n o bvia O procedimento usual consiste em come ar com A P Se a solu o n o for admiss vel excluem se os mecanismos para os quais a taxa de varia o do multiplicador pl stico negativa O sistema 3 111 reajustado e uma nova solu o obtida sendo repetido o processo at a solu o ser admiss vel A gt Oparaie Ae f lt Opara je P A 124 Capitulo 3 Apesar da sua aparente complexidade modelos com m ltiplas superf cies de ced ncia t m sido utilizados com sucesso em v rias aplica es pr ticas Um exemplo de um modelo constitutivo especificamente desenvolvido para o bet o baseado nos conceitos at aqui expostos foi desenvolvido por Feenst
145. associados a modos de rotura exigentes do ponto de vista num rico com razo vel aproxima o o que permitiu equacionar a sua aplica o em estruturas reais Note se no entanto que dos tr s tipos de modelos implementados no programa apenas um revelou a pretendida versatilidade Ficou tamb m patente a utilidade da ANLE no aux lio compreens o do funcionamento de estruturas laminares 219 Conclus es e desenvolvimentos futuros Aplica o pr tica No Cap tulo 5 foi ilustrada uma aplica o pr tica da utiliza o de modelos de an lise n o linear no processo de dimensionamento de uma estrutura laminar de comportamento complexo Neste ponto importa evidenciar as diferen as fundamentais entre a utiliza o destas ferramentas num contexto comercial ou num ambiente associado investiga o e portanto num contexto mais acad mico Num contexto mais comercial os resultados das an lises s o usualmente necess rios num prazo de semanas ou na melhor das hip teses de alguns meses Em geral as an lises efectuadas s o as estritamente indispens veis verifica o de seguran a ou esclarecimento do funcionamento de um pormenor espec fico Os atrasos s o usualmente inaceit veis dado que as an lises requeridas podem pertencer ao caminho cr tico de um projecto muito mais amplo O or amento dedicado componente anal tica do projecto tem de ser competitivo com outras hip teses pass veis de ser colocadas tais como um pro
146. b m se ilustram as tens es principais de compress o imediatamente antes da 176 Capitulo 4 rotura Os tirantes est o posicionados no baricentro das for as desenvolvidas na ced ncia das armaduras respectivas e a escora horizontal na resultante das tens es no modelo num rico A 242 kN 193 2 kN 148 2 kN 0 067 0 464 0 394 m 0 028 Tirante principal em ced ncia 35408 fa 530 MPa gt 133 2 kN 6 fa 530 MPa gt 15 0 kN 148 2 kN Tirante secund rio em ced ncia 2004 fu 180 MPa gt 452 kN Figura 4 84 Equilibrio de for as na ced ncia com a representa o das tens es principais de compress o do modelo num rico 4 2 3 5 Extrapola o para a escala real Efeito de escala Para efectuar a an lise num rica de estruturas reais essencial avaliar a capacidade dos modelos na reprodu o do efeito de escala associado s roturas por corte originado pela dissipa o de energia numa banda fendilhada localizada Para o efeito vai ser analisada uma viga parede com dimens es parecidas s do exemplo a ser tratado no Cap tulo 5 obtidas do modelo laboratorial atrav s de um factor de escala s 8 42 Figura 4 85 8 00 5 15 A 5 05 5 5 90 A 0 63 0 63 16 00 0 63 X Figura 4 85 Dimens es do modelo escala real A import ncia deste aspecto re
147. bidimensionais em estado plano de tens o onde normalmente os efeitos do confinamento n o s o t o marcados e a n o linearidade estrutural essencialmente marcada pela fissura o o uso de leis associadas corrente tendo pouca influ ncia no c mputo da resposta estrutural 3 4 5 Plasticidade com m ltiplas superf cies de ced ncia As superf cies de ced ncia usualmente adoptadas para o bet o s o abertas na medida em que n o intersectam o eixo hidrost tico No caso de um carregamento puramente hidrost tico o material responde de forma el stica o que contradiz o comportamento deformacional 122 Capitulo 3 observado exposto em 2 4 3 Este facto deriva do facto de as superficies de ced ncia serem hom logas superficie de rotura que conforme referido em 2 4 2 aberta Desta forma nos modelos mais sofisticados adopta se por vezes uma superf cie de ced ncia que intersecta o eixo hidrost tico de forma a introduzir a n o linearidade entre as tens es e extens es normais octa dricas Por outro lado a aplica o da elasto plasticidade ao tratamento da fractura por trac o torna muito dif cil a descri o do comportamento do bet o com recurso apenas a uma fun o de ced ncia e a uma fun o potencial pl stico Por ltimo muitas fun es de ced ncia n o s o diferenci veis em toda a sua extens o contendo arestas ou v rtices no caso bidimensional colocando problemas ao c lculo do vector es
148. bidimensional Usualmente s o consideradas duas formas diferentes para definir vari veis internas strain hardening e work hardening No caso de strain hardening define se a taxa de variag o da e pled acre 3 conduzindo de acordo com 3 82 fun o escalar vari vel interna por o8 i 3 95 0c 2 0g Sale ao 3 96 do rat No caso de work hardening a taxa de varia o da vari vel interna vem dada por 1 T A T Og k o 0 3 97 Ae 7 S oe Sn e a func o escalar q por 1 T Og g q clk er 3 98 Em ambos os casos em cada etapa do carregamento a vari vel interna determinada por integra o k kdi 3 99 Na hip tese de strain hardening a vari vel interna k tem o significado f sico de uma extens o pl stica acumulada tamb m designada de extens o pl stica equivalente Na hip tese de work hardening tem o significado do trabalho de deforma o pl stico acumulado Ambas as formula es s o amplamente utilizadas dando origem a resultados semelhantes Em certos casos particulares de fun es de ced ncia as formula es s o rigorosamente equivalentes Em 119 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural ambos os casos a fun o de endurecimento ou amolecimento c k usualmente calibrada de modo a reproduzir os resultados de um ensaio uniaxial 3 4 3 Endurecimento cinem tico e misto No caso d
149. bilidade demonstrada pela posi o da descontinuidade em rela o ao elemento finito muito dif cil estender esta t cnica a casos tridimensionais pelo menos sem o uso de artif cios num ricos que levam perda da simplicidade conceptual do m todo Jirasek 2002c Ainda dentro desta abordagem e respondendo a algumas das dificuldades anteriormente referidas surgiu o chamado Extended Finite Element Method X FEM Nesta formula o as descontinuidades s o incorporadas n o pela adi o de novas fun es de forma mas pela multiplica o das fun es de forma existentes por fun es criteriosamente seleccionadas por exemplo fun es de Heaviside As vantagens deste m todo residem na possibilidade de tornar totalmente independentes os campos de deforma o de ambos os lados da descontinuidade eliminar incompatibilidades entre as interpola es do campo de deslocamentos de elementos adjacentes e lidar de forma robusta com situa es tridimensionais e de ramifica o da fissura o Jirasek 2002b Jirasek 2002c O tipo de abordagem num rica atr s descrita competitiva na modela o de pe as estruturais cujo comportamento seja marcado pela propaga o de um n mero reduzido de fissuras A descri o cinem tica baseada em descontinuidades fortes est mais de acordo com a realidade f sica de uma fissura macrosc pica pelo que a correspondente abordagem num rica tem um desempenho superior s demais na tradu o do
150. c 3 36 3x1 3x6 6x1 A rela o constitutiva entre as tens es transmitidas atrav s da fenda i e as correspondentes extens es vem dada por cr cr Cr t D e 3 37 Qxl 3x3 3x1 O ponto por cima dos s mbolos significa diferencia o em ordem ao tempo Contudo a lei constitutiva independente do tempo rate independent e o tempo desempenha apenas um papel formal de um par metro que controla o processo de carga As express es poderiam tamb m ser formuladas na forma incremental com as taxas de variag o substitu das por incrementos No caso mais geral D uma matriz cheia e n o sim trica de acordo com cr Cr cr Dy Dy Das cr cr cr cr D Dn D Dx 3 38 cr cr cr Dy Dy Dy A estrutura da equa o 3 37 tal que permite incorporar as rela es entre a distor o e a tens o normal fenda i assim como a rela o entre a extens o normal fenda i com a tens o de corte Borst 1991 Estes efeitos de acoplamento ocorrem em fissuras macrosc picas com a fractura j totalmente desenvolvida e podem ser obtidos a partir das rela es constantes das teorias sobre o agregate interlock expostas em 2 3 que contemplam o comportamento dilatante das fissuras sob ac es de corte No entanto durante o processo de microfendilha o ou seja antes de se esgotar a energia de fractura n o existem dados experimentais que sustentem qualquer teoria sobre estes efeitos pelo que usualmente s o de
151. cada um dos eixos locais como note se que no que se segue n o est a ser usada a nota o indicial pelo que a repeti o dos ndices n o implica qualquer somat rio de 3 16 A acumula o destas vari veis durante a hist ria do carregamento d origem s denominadas extens es uniaxiais equivalentes de Darwin e Pecknold E a do E 1 3 17 86 Capitulo 3 Existem na literatura muitas propostas diferentes para a curva normalizada que permite relacionar a tens o na direc o i com a extens o uniaxial equivalente correspondente Como exemplos temos a curva de Saenz utilizada por Darwin e Pecknold 1977 e generalizada por Elwi e Murray 1979 a par bola de Hognestad Vecchio 1990 a curva de Thorenfeldt Vecchio e Collins 1993 Witte e Kikstra 2002b ou a curva proposta pelo CEB CEB 1993 Cervenka et al 2002 Em regra essa curva uma fun o da extens o uniaxial equivalente e da tens o de pico o e da extens o de pico amp O m dulo tangente E determinado por 3 18 em que O c pm a curva uniaxial equivalente esquematicamente representada na 22 cp i Pol Figura 3 5 cp i Figura 3 5 Representa o esquem tica de uma curva uniaxial equivalente A tens o e a extens o de pico s o obtidas a partir dos valores m nimos j atingidos atrav s de um factor de escala Ou K CMN E 3 19 pi E E MIN i Usualmente considera se Ks K
152. ceptualmente vantajoso refinar a malha at obter elementos finitos que conduzam a uma largura efectiva da banda fendilhada inferior ao tamanho da ZPF na medida em que a homogeneiza o efectuada do campo de deforma es j n o consistente com a realidade muito embora a objectividade dos resultados esteja garantida Nestes casos a adop o de leis constitutivas n o locais baseadas em descri es cont nuas do campo de deslocamentos e de extens es permite obter a resolu o do campo de extens es na ZPF Figura 3 4 A grande desvantagem reside no facto de obrigarem utiliza o de malhas muito apertadas para aplicar formula es n o locais os elementos devem ser mais pequenos do que a largura da ZPF pelo que a sua utiliza o em estruturas de dimens es correntes ainda proibitiva a Figura 3 4 Em ambas as modela es foi usado o mesmo modelo num rico Em a foi utilizada uma formula o local As deforma es localizam se numa faixa com a largura de um elemento Em b foi usada uma formula o n o local As deforma es localizam se numa banda de largura superior ao tamanho dos elementos Jirasek 2002c Na presen a de armadura aderente em quantidade superior m nima deixa de existir localiza o das deforma es a um n vel macrosc pico tal como exposto em 2 6 1 A modela o da fendilha o nestas circunst ncias eficazmente efectuada atrav s da utiliza o de leis constituti
153. ciente ocorre uma rotura fr gil com propaga o das fendas radiais at superf cie do bet o splitting failure A tens o de ader ncia m xima atinge se quando as fendas radiais penetraram em cerca de 70 da espessura de recobrimento A continua o da propaga o das fendas origina um decr scimo da tens o e quando estas chegam superf cie a tens o desce abruptamente Caso o confinamento seja suficiente ocorre uma rotura mais d ctil com passagem do mecanismo resistente caracter stico da fase III para um mecanismo friccional que tem in cio com a rotura por corte do bet o entre fendas secund rias pull out failure Esta passagem igualmente marcada por um decr scimo da tens o de ader ncia e d se para deslocamentos relativos que podem n o ser aceit veis do ponto de vista estrutural d o gt 0 05 di metro do var o Forma se 56 Cap tulo 2 uma superficie de escorregamento que envolve as nervuras do var o cujo desgaste com o evoluir do deslocamento relativo leva tamb m redu o da for a transmitida at um valor residual O confinamento pode ser assegurado custa de um recobrimento elevado e ou disposi o de uma elevada percentagem de armadura transversal confinamento passivo ou ainda atrav s for as exteriores perpendiculares ao var o confinamento activo Para uma completa discuss o acerca dos v rios factores que influenciam a ader ncia tais como o tipo de confinamento a
154. coamento pl stico Nestas circunst ncias til considerar a generaliza o da teoria apresentada em 3 4 1 considerando agora o dom nio el stico confinado por N superf cies de ced ncia Nestas condi es a condi o de ced ncia generalizada deve satisfazer simultaneamente as inequa es flo h lt 0 isL2 N 3 104 Cada fun o de ced ncia corresponde a um certo mecanismo de escoamento pl stico que gera um incremento da extens o pl stica na direc o Og Oa A lei de escoamento pl stico ent o generalizada para dg d 2y A 3 105 c k 3 106 onde os A4 s o as taxas de varia o dos multiplicadores pl sticos associados aos respectivos mecanismos de escoamento Cada mecanismo apenas activado se a condi o 3 104 respectiva satisfeita com uma igualdade Isto conduz s condi es de Kuhn Tucker f lt 0 20 i 1 2 N 3 107 do 0 que devem ser satisfeitas para cada ndice i De igual forma temos as condig es de consist ncia f 2 0 i 1 2 N 3 108 123 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural Em geral apenas um subconjunto de todos os poss veis mecanismos de escoamento s o activados Definindo o subconjunto de mecanismos activos por A til gt 0 3 109 e tendo em aten o 3 105 poss vel escrever Og 6 D J 3 110 j JEA do As taxas de varia o dos multiplicadores pl sticos A n o nul
155. controlo de deslocamentos As propriedades consideradas para os materiais est o sumariadas na Tabela 4 1 Tabela 4 1 Caracteristicas dos materiais utilizados BETAO fem 20 MPa fi 2 5 Mpa G 60 N m G 12500 N m ACO As 6 22 cm2 1420 2614 fy 440 MPa Numa primeira an lise com o valor por defeito do threshold angle a 60 obteve se a curva carga deslocamento da Figura 4 9 cujo ajuste curva medida experimentalmente se pode considerar muito bom Por mais pequenos incrementos de carga que se utilizassem nao foi poss vel obter converg ncia para al m do ltimo incremento representado correspondente a uma carga de 81 4 kN cerca de 18 superior carga experimental No incremento n o convergido poss vel verificar se a forma o de uma banda fendilhada diagonal respons vel pelas dificuldades encontradas no processo de converg ncia No ltimo incremento convergido a distribui o de tens es ao longo da armadura longitudinal est representada na Figura 4 10 onde se constata que est no in cio da ced ncia Dado que n o se obteve um queda convergida no diagrama carga deslocamento n o poss vel inequivocamente afirmar que o modelo captou uma rotura f sica da viga embora a forma o da banda fendilhada diagonal aponte nesse sentido Ensaios sobre vigas sem armadura de esfor o transverso evidenciaram a forma o de uma fenda diagonal vis vel cuja evolu o leva rotura ligeirament
156. cto Com base na medi o experimental da inclina o da direc o das unidades de contacto ao longo de uma linha do plano de fractura poss vel a constru o do histograma da Figura 2 26 a Suavizando os histogramas constru dos a partir de medi es efectuadas ao longo de diferentes linhas chega se ao gr fico da Figura 2 26 b A distribui o experimental das direc es de contacto ent o aproximada pela fun o trigonom trica O 0 0 5cos 0 2 35 A fun o densidade de contacto uma propriedade do material pelo que em bet es de alta resist ncia dada a menor rugosidade da superficie das fendas de esperar que XX 0 seja diferente Para este tipo de bet es estudos sobre a geometria da superficie de fractura Bujadham e Maekawa 1992a vieram a revelar a adequabilidade de uma distribui o normal truncada da forma 42 Capitulo 2 0 o 9 3 has 2 36 2 Modelo constitutivo para as tens es de contacto Dada a dificuldade experimental em obter a rela o constitutiva para as tens es de contacto no modelo original considera se uma rela o elastopl stica entre a tens o normal unidade de contacto o 0 e a projec o normal unidade de contacto do deslocamento entre faces da fenda Na generaliza o do modelo atr s referida foi introduzido um par metro de anisotropia na lei elastopl stica para considerar a influ ncia da direc o de aplica o de carga na resposta deformacional e ain
157. ctual abordagem semi probabil stica baseada no uso de coeficientes parciais de seguran a para as ac es e para os materiais n o directamente aplic vel no caso de an lises n o lineares Por outro lado o formato de seguran a utilizado no exemplo apresentado muito simples carece de suporte regulamentar e foi utilizado para evitar a realiza o de uma an lise probabil stica mais complexa dado que a variabilidade que caracteriza as ac es e as propriedades dos materiais induz um grau de incerteza na solu o estrutural que apenas pode ser correctamente tratada com recurso a m todos estoc sticos Este tipo de an lises consistente mas requer geralmente o uso de m todos de simula o tais como o m todo do Hipercubo Latino ou o m todo de Monte Carlo obrigando realiza o de um n mero de an lises suficiente para que as estimativas das probabilidades de rotura calculadas sejam aceit veis Este processo encarece significativamente todo o processo de c lculo e pode constituir um entrave utiliza o da ANLE no processo de dimensionamento Recorde se que em alguns casos a converg ncia do processo iterativo de solu o dif cil pelo que a realiza o de um elevado n mero de an lises pode ser penosa Um grande desafio que se coloca neste campo e que uma vez ultrapassado ser decisivo para potenciar a utiliza o da ANLE o do estabelecimento de formatos simplificados de seguran a e respectivo enquadramento reg
158. d E 2 27 je 2 27 des g o a g a com d a maxima dimens o do inerte 36 Capitulo 2 Uma an lise assimpt tica da express o 2 26 permite concluir que para valores grandes do n mero de fragilidade a express o aproxima a lei do efeito de escala da LEFM Para valores pequenos no limite zero o produto Bf deve igualar a tens o nominal de rotura obtida por um crit rio de resist ncia por exemplo a an lise pl stica limite Figura 2 3 Com efeito se a estrutura for pequena a ZPF n o se pode desenvolver em toda a sua extens o ocupando quase a totalidade do esp cimen Desta forma o fluxo de energia para a ZPF reduzido e o crit rio de resist ncia prevalece Quando a estrutura muito grande a ZPF tem um desenvolvimento desprez vel em rela o a d satisfazendo os requisitos da LEFM Estruturas com tamanhos interm dios devem observar um comportamento de transi o como o ilustrado Uma forma simples de introduzir os conceitos da NLFM no articulado dos regulamentos seria ent o P plast ult 4B 2 28 em que P a carga de rotura da estrutura e P4 a carga calculada atrav s dos m todos cl ssicos da an lise limite No entanto os m todos para determinar ainda n o est o suficientemente bem estabelecidos ACI 1999 A express o 2 26 permite ainda balizar o dominio de validade dos m todos de an lise estrutural e 0 1 an lise pl stica limite maioria dos teste laboratoriais e 0 1
159. da sem grande margem de erro pelo que a fun o de ced ncia pode ser uma fun o dos invariantes do tensor das tens es Isto d origem aos modelos elasto pl sticos isotr picos de aplica o corrente na modela o do comportamento do bet o Noutros materiais como por exemplo a alvenaria Louren o 1996 esta hip tese n o aplic vel pelo que s o adoptados modelos elasto pl sticos anisotr picos Por outro lado correntemente admite se que a superf cie de ced ncia apenas pode aumentar ou diminuir de tamanho Figura 3 25 pelo que basta uma fun o de uma vari vel interna para descrever a sua evolu o com o carregamento A superf cie de ced ncia toma ent o a forma Ho 05 05 c k 0 F o 95 o clk 0 3 94 onde em vez das tens es principais poderiam aparecer quaisquer outros invariantes do tensor das tens es Em Chen 1982 Jirasek 2002c encontram se as express es das superf cies de ced ncia cl ssicas de Tresca Von Mises Mohr Coulomb e Drucker Prager at s mais sofisticadas propostas de Willam Warnke e Ottossen especificamente formuladas para o bet o Com a exist ncia de endurecimento ou amolecimento isotr pico o vector com as m fung es das n vari veis internas torna se simplesmente numa fun o escalar c da vari vel interna k 118 Capitulo 3 F o c k 0 teat N FO ek 0 Figura 3 25 Endurecimento isotr pico Representa o de uma superficie de ced ncia
160. da um par metro de redu o da rigidez el stica fun o da hist ria de deslocamentos tangenciais este ltimo com o objectivo de modelar a degrada o da matriz em carregamentos c clicos Foi ainda definida uma lei de dependente da hist ria do carregamento para as tensdes tangenciais unidade de contacto 7 0 3 R cio de contacto efectivo A fun o densidade de contacto inclui o efeito da geometria da superficie da fenda mas bvio que o contacto entre faces mais reduzido se a sua abertura for grande Com base nestas considera es e em medi es experimentais verifica se ser admiss vel tomar uma redu o da rea de contacto sob a forma da fun o exponencial 2 37 Nesta express o R a rugosidade m xima da superf cie da fenda que para bet es de resist ncia normal vale 0 5D max e para bet es de alta resist ncia vale 3mm R K w 1 e gt 0 2 37 Com base nestas considera es a formula o matem tica das rela es tens o deslocamento pode ser expressa na forma o 0 7 0 cos 0 K w 4 Q 8 d0 t 2 38 o 0 z o sin 9 K w 4 Q 0 d0 z L2 r 2 Com as modifica es introduzidas em Bujadham e Maekawa 1992a Bujadham e Maekawa 1992b e custa da perda da simplicidade da proposta original de Li et al 1989 o modelo revela se capaz de reproduzir com sucesso a transfer ncia de tens es entre fendas sujeitas s mais complexas condi es de carregam
161. das c Transfer ncia das tens es de corte em fase fendilhada e n o fendilhada Com a excep o do m todo da Corda Painel de aplica o exclusiva a estruturas sujeitas a esfor os de membrana e ainda em fase de desenvolvimento todos os outros m todos de dimensionamento n o nos d o informa es acerca do desempenho em servi o da estrutura dimensionada n o sendo poss vel quantificar aberturas de fendas e deforma es de forma realista No entanto os mais recentes conceitos de dimensionamento baseado no desempenho performance based design requerem o conhecimento de toda a resposta estrutural at ao colapso permitindo um dimensionamento simultaneamente mais econ mico e mais seguro nomeadamente no caso da ac o s smica Maekawa et al 2003 Por outro lado em caso de 8 Cap tulo 1 estruturas com comportamento mais complexo muitas vezes necess ria uma an lise mais rigorosa dos mecanismos de colapso que permita validar corrigir ou optimizar o dimensionamento efectuado Desta forma uma metodologia geral de dimensionamento de estruturas laminares de bet o pode ser resumida nas seguintes quatro etapas 1 Estimativa das dimens es iniciais dos elementos estruturais com base em esquemas de c lculo simplificados e apoiados na experi ncia pr tica de forma a obter espessuras conformes com as condi es de boa execu o e durabilidade 2 Determina o dos esfor os internos da estrutura gerados pelas c
162. de carga da estrutura podendo eventualmente ser evitada a interven o com evidente economia de recursos e No caso de estruturas degradadas as ferramentas de an lise n o linear podem servir como um precioso instrumento para optar de forma racional entre diferentes cen rios de refor o Dalmagioni e Pellegrini 2001 e A aplica o das t cnicas de an lise n o linear a estudos de car cter forense tem se revelado essencial na avalia o das causas de v rios acidentes ocorridos Canisius 2001 Vecchio 2002 Vecchio et al 2004 e No caso de pormenores estruturais delicados e com elevado grau de repeti o a an lise n o linear de estruturas apresenta se como um auxiliar precioso na optimiza o do processo de dimensionamento Cervenka 2002 No caso de estruturas de custo muito elevado e de grande relev ncia social a optimiza o do dimensionamento pode trazer 10 Cap tulo 1 grandes vantagens econ micas A t tulo ilustrativo em fib 2004 Maekawa et al 2004 refere se uma aplica o de ferramentas de an lise n o linear de estruturas no processo de dimensionamento de grandes tanques enterrados de armazenamento de g s natural numa zona de elevada sismicidade que permitiram a redu o em cerca de 50 dos custos de constru o e Por ltimo a an lise n o linear de estruturas encontra grande aplica o no desenvolvimento de novos sistemas estruturais por exemplo no mbito da pr fabrica o no
163. de cimento Portland uma das caracter sticas mais not veis a exist ncia de uma interface porosa entre os agregados e a pasta de cimento endurecida Esta interface pode ser considerada o elo mais fraco da microestrutura do bet o na medida em que a densidade de poros e de micro fendas pr existentes muito mais elevada do que na restante pasta de cimento endurecida tendo sido registados volumes de poros at 50 do volume total da interface Esta zona ocupa cerca de 30 a 50 do volume total da pasta de cimento hidratada e a sua espessura varia entre os 25 e os 100um Larby 1991 segundo Bongers e Rutten 1998 No n vel mesosc pico o bet o considerado como um comp sito de gr os de agregado pasta de cimento endurecida poros e fendas pr existentes A este n vel a interface porosa entre os agregados e a pasta de cimento idealizada como uma interface de espessura nula e a pasta de 15 Mec nica n o linear do bet o estrutural cimento endurecida como um meio isotr pico Muitas das caracter sticas mec nicas do bet o observadas ao n vel macrosc pico podem ser explicadas pela sua estrutura heterog nea tal como encarada a este n vel A um n vel macrosc pico o bet o tratado como um material homog neo e a pesquisa dirige se no sentido da obten o de uma lei constitutiva v lida para estados de tens o multiaxiais e da defini o de uma envolvente de rotura Estas rela es constitutivas traduzindo o c
164. de entre o modelo elasto pl stico de Rankine e os modelos de fendas rotativas no que diz respeito ao seu desempenho no c mputo da resposta do bet o traccionado Desta forma aplicam se a este modelo todas as considera es tecidas em 3 2 3 2 acerca dos modelos de fendas rotativas As principais vantagens deste modelo residem na robustez do algoritmo em todas as situa es de carregamento permitindo identificar facilmente situa es de rotura 3 4 6 Modelos elasto pl sticos generalizados Os modelos elasto pl sticos s o hoje correntemente utilizados n o s na modela o do comportamento do bet o mas tamb m de outros materiais como os metais a alvenaria e o solo s para citar alguns exemplos Apesar de no caso do bet o este tipo de modelos n o conseguir reproduzir alguns aspectos do comportamento macrosc pico evidenciado alguns dos quais foram sendo atr s referidos existem fundamentalmente duas ordens de raz o para continuarem ainda hoje a ser massivamente utilizados Em primeiro lugar existe j uma grande experi ncia na utiliza o deste tipo de formula es estando simultaneamente o seu enquadramento te rico firmemente consolidado o que uma virtude que os novos modelos porventura mais evolu dos ainda n o possuem Em segundo lugar o papel dos modelos para o bet o comprimido no c mputo da n o linearidade da resposta de muitas estruturas geralmente mais discreto do que o papel desempenhado pelos mod
165. desenvolvido no mbito deste tipo de modelos baseado na reprodu o de resultados experimentais granjeou lhes muita popularidade podendo ser enquadrados naquilo a que se podem chamar de modelos emp ricos Este facto contribuiu para que durante o seu desenvolvimento o r gido quadro te rico da teoria da elasticidade n o linear nem sempre tivesse sido escrupulosamente seguido no entanto poss vel encontrar um denominador comum s v rias formula es propostas permitindo o seu enquadramento dentro dum contexto pass vel de uma descri o unificada o facto de se basearem no conceito de extens o total Dada a import ncia da fissura o para o computo da n o linearidade da resposta estrutural optou se ainda por distinguir os modelos de acordo com o tipo de modelo de fissura o utilizado Dado o seu car cter emp rico muitas das formula es desenvolvidas s o apenas aplic veis a casos bidimensionais de estado plano de tens o Ahmad e Chung 1995 Ayoub e Filippou 1998 Belleti et al 2001 CEB 1993 Cervenka et al 2002 Chen 1982 Darwin e Pecknold 1977 Foster e Marti 2003 Hsu e Zhu 2002 Hu e Schnonobrich 1990 Stevens et al 1987 Vecchio 1989 Vecchio 1990 Vecchio 1992 sendo muito menos numerosas as refer ncias relativas a implementa es tridimensionais Elwi e Murray 1979 Kotsovos e Pavlovic 1995 Vecchio e Selby 1991 Witte e Kikstra 2002b 3 2 1 Formula o geral Este tipo de modelos em geral for
166. do ainda a necessidade de introduzir uma lei entre as tens es de corte e as distor es Neste tipo de modelos admite se a rota o dos eixos locais de ortotropia n s t de modo a que coincidam com as direc es das extens es principais Desta forma a matriz de transforma o T deixa de ser constante passando a ser uma fun o do tensor das extens es Por m num material ortotr pico a direc o das extens es principais n o necessariamente coincidente com 95 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural a direc o das tens es principais De modo a garantir essa coaxialidade os m dulos de rigidez transversal Giz G e G23 v m dados pelas express es constantes da rela o tangencial Crisfield e Wills 1989 Rots e Blaauwendraad 1989 do 00 O0 0 0 0 OE OE CBs 00 00 00 0 0 0 n s OE G a y AO O64 00 005 0 0 0 AEn AO OE OP OE AS soul o 9 o SM q o Paraf 629 AO A Si AJ Ao 0 0 0 0 22 Cn 0 A731 2 e 3 0 0 0 0 0 SE il L ey E Note se que a express o 3 28 impl cita na medida em que depende do estado de tens o corrente Dada a coincid ncia entre o sistema de eixos de ortotropia n s t e o sistema de eixos principal 2 3 foi adoptado este ltimo A rela o constitutiva expressa no referencial geral vem finalmente p Tle aF Day Ile oe Ee 3 29 Os modelos de fendilha o distribuida foram extensivament
167. do de equil brio el stico at ao estado de equil brio idealizado O seu uso requer por m a sensibilidade estrutural e a experi ncia necess rias para n o for ar em demasia os requisitos de ductilidade da o procedimento corrente de usar esquemas de equil brio n o muito distantes dos que se podem inferir da distribui o el stica de tens es sendo tamb m boa pr tica garantir a ced ncia nas armaduras muito antes do esmagamento do bet o Existe j enquadramento regulamentar para a aplica o deste m todo nos c digos de pr tica mais recentes AASHTO 1994 ACI 2002 CEB 1993 CEN 2002 CSA 1994 sendo no entanto ainda significativa a dispers o nos valores da capacidade resistente do bet o das escoras A ductilidade necess ria ao 5 Introdu o estabelecimento deste tipo de modelos de equil brio s conseguida custa da disposi o de armaduras distribu das em malha que muitas vezes n o s o contabilizadas no modelo de equil brio original Algumas complica es podem surgir quando o esquema de equil brio estaticamente indeterminado existindo v rias propostas para procedimentos conducentes ao levantamento da indetermina o tais como a minimiza o da energia de deforma o associada aos campos de tens es das escoras e dos tirantes entre outros fib 2004 Conv m no entanto n o perder de vista que uma das grandes vantagens do m todo reside na sua simplicidade conceptual e no aux lio que prestam
168. do e a carga de rotura observados assim como o comportamento deformacional de todos os modelos ensaiados 180 Capitulo 4 As caracter sticas de converg ncia foram boas A utiliza o de conceitos da mec nica da fractura n o linear revelou se da maior utilidade na reprodu o de ensaios experimentais em modelo reduzido e na previs o do comportamento de um modelo de grandes dimens es de uma forma coerente e unificada No entanto alguns aspectos espec ficos do modelo utilizado merecem ainda alguma aten o adicional O processo de identifica o das roturas por corte compress o num ricas baseou se na observa o do padr o de fendilha o na localiza o das distor es ao longo da fenda de corte e na constata o do regime de amolecimento do bet o imediatamente esquerda do actuador associada a uma ligeira descida da carga aplicada Este ltimo aspecto pode levantar algumas objec es na medida em que a redistribui o de tens es na zona de esmagamento respons vel pela ductilidade exibida pelos modelos n 1 e n 3 e em larga medida dependente do ramo de amolecimento considerado para a rela o uniaxial o amp com todas as reservas que se lhe podem apontar Uma lei constitutiva mais realista para o comportamento do bet o comprimido poderia trazer algum refinamento s solu es obtidas embora no essencial se possa considerar que os resultados apresentados s o muito satisfat rios Seria tamb m int
169. dur veis e mais econ micas O papel da ANLE devidamente integrada em sistemas de monitoriza o na previs o da vida til das estruturas ser certamente de primeiro plano As vantagens de um sistema desta natureza tem reflexos importantes no nosso conhecimento acerca do comportamento das estruturas tal como constru das podendo da ser retiradas importantes conclus es e recomenda es para o projecto de novas estruturas assim como um decr scimo nos custos de manuten o e um aumento da seguran a do sistema de infra estruturas rodovi rias ferrovi rias entre outras Este ltimo aspecto poderia inclusivamente vir a reflectir se num decr scimo dos factores de seguran a a adoptar na fase de projecto No que se cinge ao processo de dimensionamento um formato de seguran a simples e aplic vel ANLE dever ser desenvolvido Para tal dever ser executado um extenso trabalho de valida o de um conjunto seleccionado de modelos contra uma extensa base de dados experimentais cred veis e representativos da maioria dos sistemas estruturais Este trabalho teria como objectivo a fixa o de coeficientes de seguran a espec ficos para a ANLE e tendencialmente mais baixos do que aqueles actualmente considerados fazendo uso do maior rigor da an lise Neste campo espec fico o desenvolvimento dos modelos dever prosseguir no sentido de os tornar mas simples e robustos de modo a minimizar o grau de especializa o requerido ao analis
170. e a tens o resistente reduzida o f 25 3 0 a ee ee es RU 2 0 P 20 8 q o 15 P 8 o 1158 e 5 10 5 Q E 110 8 95 105 T T 0 0 0 0 40E 07 3 0E 07 2 0E 07 A 0E 07 0 0E 00 1 2E 02 1 0E 02 8 0E 03 6 0E 03 4 0E 03 2 0E 03 0 0E 00 Tens o principal m nima o Pa Deslocamento vertical m Figura 5 28 Evolu o da tens o principal de Figura 5 29 Deslocamentos verticais dos cinco compress o no ponto de Gauss PG2 pontos indicados na Figura 5 30 Na Figura 5 29 est registada a evolu o dos deslocamentos verticais dos pontos identificados na Figura 5 30 A maior deformabilidade do v o que cont m as aberturas est bem patente no andamento dos gr ficos e na deformada representada O padr o de fendilha o correspondente a A 2 23 est ilustrado na Figura 5 31 Figura 5 30 Malha deformada 200x no ltimo incremento de carga convergido A 2 23 197 Caso pr tico ETAR de Sobreiras LEERSE ER A DA BEEESAETRR Figura 5 31 Padr o de fendilha o no ltimo incremento de carga convergido A 2 23 Os c rculos representam fendas no pano da estrutura Os mapas das tens es nas armaduras horizontais e verticais est o representados na Figura 5 32 e Figura 5 33 respectivamente As armaduras verticais na regi o das aberturas atingem a ced ncia para factores de
171. e antes da carga ltima Vecchio e Shim 2004 147 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA Experimental kN Actuador 40 4 a BO rapa ee Multifix alfa 60 20 4 10 r A 0 4 t 0 2 4 6 8 10 Deslocamento a meio v o mm Figura 4 8 Diagrama carga deslocamento a meio v o para a 60 MUULI Figura 4 9 Viga deformada 10x para a 60 com os vectores perpendiculares abertura das fendas 10x a no ltimo incremento de carga convergido b no incremento n o convergido 1E8 MODEL WALRAVEN DEFORMATION 10 E dia ad Nn aa SR UE rs LCi LOAD CASE 1 4 coco arado be q E oiee 2 do medo pe SS llc STEP 194 LORD 9 7 i GAUSS RE SKX G SMX RS Se a ac cra eese pases 1777477 MAXZMIN ON WHOLE GRAPH E E E EELEE A DER 1 ___2___ YMAX 489E9 E A YMIN 177E7 S 2 84 5 ee a uc erc estate 5 umax 1 98 X XMIN 0 qo cpeestpscensescmcogr oues TUUS ETAT ERSTE 777 VARIATION ALONG A LINE D eee eee matey oo L Liat arene ye foe I SR E Dn 4 MERN VALUE USED FOR EACH ELEMENT 0 2 4 6 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 DISTANCE Figura 4 10 Tens es ao longo da armadura no ltimo incremento convergido para a 60 Conduziu se ainda uma an lise com um valor de a 30 O diagrama carga deslocamento esta representado na Figura 4 11 onde se observa mais uma vez
172. e c lculo imediato sendo a carga ltima assim obtida de 214 kN concordando de forma razo vel com os 227kN da modela o num rica 172 Capitulo 4 0 04 184 kN Tirante principal em ced ncia S 66 fu 530 MPa gt 89 9 kN 22 kN 464 fu 180 MPa gt 9 05 kN gt c 245 fu 1600 MPa gt 62 8 kN 162 kN Tirante secund rio em ced ncia 162 KN 1094 fx 180 MPa gt 22 kN 0 15 Figura 4 69 Equilibrio de for as na ced ncia com a representa o das tens es principais de 4 2 3 4 Modelo n 3 compress o do modelo num rico A geometria do modelo igual dos anteriores Figura 4 70 tendo se modificado a disposi o das armaduras conforme ilustrado na Figura 4 71 adoptando se um tirante localizado a 2 75 cm da base constitu do por armaduras concentradas em cerca de 4 cm A instrumenta o interna foi desta feita constitu da por dois extens metros colados no tirante um a meio v o EC1 e o outro na zona de apoio EC2 Figura 4 71 e Figura 4 72 Externamente para al m dos transdutores j utilizados no modelo anterior colocaram se ainda transdutores de deslocamento dispostos em cruz de forma a medir a distor o m dia da regi o da parede com esfor os de corte Figura 4 70 e Figura 4 73 0 950 P2 0 550 PS p 0200 P9 0 6125 0075 1 750 0 6125 Figura 4 70 Geometria do modelo e localiza o dos pontos
173. e carregamentos c clicos regras de endurecimento mais complexas do que o endurecimento isotr pico podem ser necess rias Uma alternativa comum o endurecimento cinem tico usualmente empregue na modela o de materiais met licos de modo a reproduzir o efeito de Bauschinger Chen 1982 Jirasek 2002c Neste tipo de endurecimento admite se que a superf cie de ced ncia sofre translac es no espa o das tens es No caso do bet o por vezes til utilizar um modelo de endurecimento misto prevendo simultaneamente endurecimento isotr pico e cinem tico Figura 3 26 02 F o a k tHAt 0 Ei F c aK i e k tHAt 0 O1 d O1 A Fic atk D 0 ES F o aK c k J 0 a b Figura 3 26 Endurecimento cinem tico a e endurecimento misto b Representa o de uma superficie de ced ncia bidimensional Nestas circunst ncias a superf cie de ced ncia toma a forma f g h k 0 F s a k elk 0 3 100 onde o vector das fun es das vari veis internas da express o 3 83 se particulariza para h i ay 3 101 e o vector das vari veis internas por k k ky 3 102 Existem v rias propostas para as leis de endurecimento cinem tico cuja exposi o excede o mbito da presente disserta o e podem ser encontradas na bibliografia especializada Chen 1982 Jirasek 2002c Jirasek e Bazant 2002 ou na descri o de implementa es espec ficas de modelos elasto pl sticos para o bet
174. e com a localiza o de quatro pontos dos quais se registou a evolu o dos deslocamentos Na Figura 5 16 pode ver se que a deformabilidade dos dois v os muito semelhante registando se maiores deslocamentos nos pontos inferiores da parede a partir do factor de carga 4 2 20 devido propaga o de fendas horizontais associadas suspens o da carga Na Figura 5 17 est registada a evolu o das reac es nas l minas de apoio da viga parede onde se verifica a semelhan a dos valores de R1 e R2 Os padr es de fendilha o correspondentes ao factor de carga A 2 20 e A 2 62 est o ilustrados na Figura 5 18 e Figura 5 19 respectivamente Para 4 2 20 vis vel que a fendilha o horizontal devida ao efeito de suspens o da carga come a a desenvolver se explicando o evolu o dos deslocamentos de P1 e P3 692E 3 346E 3 Figura 5 18 Padr o de fendilha o para 2 20 Os c rculos representam fendas no pano da estrutura 193 Caso pr tico ETAR de Sobreiras A17E 2 585E 3 Figura 5 19 Padr o de fendilha o no ltimo incremento de carga convergido A 2 62 Os c rculos representam fendas no pano da estrutura Os mapas das tens es nas armaduras horizontais
175. e estudados por Rots e Blaauwendraad 1989 tendo os modelos de fendas rotativas demonstrado alguma superioridade no tratamento de situa es com propaga o fendas localizadas em provetes de bet o simples Rots 2002 sendo o modelo deste tipo mais utilizado nestas circunst ncias Jirasek e Zimmerman 1998a Durante o processamento da fractura fase em que a fissura n o est ainda macroscopicamente formada existindo apenas uma concentra o de microfendas numa regi o de tamanho finito a ZPF o facto de se permitir a rota o dos eixos de ortotropia equivale a considerar que apenas os microdefeitos mais activos controlam a resposta do material Desta forma durante a fase de processamento da fractura o modelo de fendas rotativas aproxima melhor o comportamento do material com a vantagem de ter impl cito um m dulo de rigidez de corte 96 Cap tulo 3 We 50 40 Painel PV19 Extens o Experimental 30 20 INCLINA O DA TENS O PRINCIPAL DE COMPRESS O y J d Ns afe Ns Wa XE INCLINAGAO DA TENSAO EXTENSAO PRINCIPAL Tens o Experimental 0 1 0 2 0 3 0 40 oz Tens o de corte MPa 0 10 20 30 40 50 INCLINA O DA EXTENS O PRINCIPAL DE COMPRESS O W a b Figura 3 15 Desvio entre a direc o das tens es e das extens es principais m dias em pain is de bet o fortemente armado a Dados experimentais de Vecchio e Collins 1986 b resultados do painel
176. e mais moroso na an lise com o modelo Multifix com a 30 devido complexidade do padr o de fendilha o podendo apesar de tudo ser considerada muito satisfat ria a resposta do modelo num rico Com a an lise destas vigas pretendeu se essencialmente testar a adequabilidade do modelo de fractura com uma diagrama de amolecimento linear avaliar a influ ncia do par metro que define o ngulo m nimo a entre duas fissuras no mesmo ponto de integra o para al m de testar a robustez dos algoritmos em casos muito exigentes P de se concluir que apesar de grosseiro o diagrama de amolecimento linear revelou ser satisfat rio A influ ncia do par metro a foi decisiva podendo ser generalizada a todas as vigas com rela es v o de corte altura til semelhante e tendo se conclu do que um valor de a 30 representa um bom compromisso entre a estabilidade do algoritmo e o rigor necess rio Na viga sem estribos a adop o de um valor de superior conduziu invariavelmente a uma rotura com as armaduras em ced ncia contr ria verificada experimentalmente Na viga com estribos m nimos o valor de a n o foi determinante para o c lculo da carga m xima dado que a rotura se materializou com o esmagamento do bet o mas foi importante para a correcta reprodu o do padr o de fendas e da curva carga deslocamento A utiliza o do modelo de fendas rotativas e do modelo elasto pl stico em trac o e compress o na an lise destes p
177. e numa diminui o da resist ncia trac o sempre que existam compress es nas restantes direc es principais Por outro lado a exist ncia de compress es ou de carregamentos anteriores em compress o origina uma acentuada diminui o do m dulo de elasticidade Esta constata o experimental pode ser explicada pela microfendilha o na interface porosa entre a pasta de cimento endurecida e os agregados originada pelo carregamento de compress o conforme ir ser referido em 2 4 1 Este dano essencialmente acumulado na interface reduz a ader ncia entre a pasta e os agregados fazendo com que a rigidez na recarga em trac o seja essencialmente determinada pela pasta de cimento Hordjick et al 1989 Do que do conhecimento do autor o efeito dos estados multiaxiais de tens o no ramo de amolecimento ainda n o foram investigados 25 Mec nica n o linear do bet o estrutural Num ensaio c clico a envolvente dos carregamentos c clicos pode ser considerada igual envolvente monot nica O andamento dos ciclos carga descarga tem o aspecto apresentado na Figura 2 13 E not rio que a degrada o da rigidez est directamente relacionada com a m xima extens o de trac o experimentada 6 mh ha pn Sia pa Figura 2 13 Resultados t picos de ensaios de trac o uniaxiais c clicos com varias amplitudes do ciclo Retirado de Yankelevsky e Reinhardt 1989 Segundo resultados experimentais obtidos por Maekawa e O
178. e originar roturas fr geis Por outro lado em carregamentos altamente n o proporcionais o facto de se permitir a rota o dos eixos de ortotropia leva a que se perca a mem ria dos efeitos das fases anteriores do carregamento o que pode ser determinante para o c lculo da resposta estrutural Maekawa et al 2003 Embora alguns modelos de fendas rotativas tenham sido adaptados para a modela o de cargas c clicas Stevens et al 1987 Vecchio 1999 os modelos de fendas fixas est o mais de acordo com a realidade f sica do problema 97 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural 3 3 MODELOS DE FENDILHA O DISTRIBU DA COM DECOMPOSI O DAS EXTENS ES Os modelos de fendilha o distribu da do ingl s smeared crack models correspondem a uma das formula es mais correntes para as leis constitutivas do bet o traccionado correspondentes descri o cinem tica baseada em descontinuidades fracas Esta formula o em particular foi originalmente proposta por Borst e Nauta 1985 Rots et al 1985 A extens o total dividida em duas componentes uma correspondente ao bet o entre fissuras e a outra correspondente pr pria fissura Esta decomposi o permite formular directamente e de forma consistente as leis do modelo da banda fendilhada a partir das rela es tens o abertura de fendas determinadas a partir de resultados experimentais respeitando integralmente a lei constitutiva do
179. e tens o ent o determinado a partir de rela es tens o extens o distintas sendo Ac D Ac D AE 3 51 no caso de abertura ou reabertura de uma fissura e Ac D Ae D Ae 3 52 no caso de fecho de uma fissura Note se que o c lculo de cada uma das parcelas de 3 50 crco E A co q A requer um processo iterativo sempre que as matrizes D e D n o sejam constantes Nos modelos de fendilha o distribu da a localiza o da fractura envolve descargas nos elementos finitos adjacentes muitos dos quais se apresentam no estado fendilhado pois violaram o crit rio da tens o m xima sem no entanto a fractura ter progredido fendilha o esp ria Para a correcta obten o de deforma es localizadas essencial mesmo em carregamentos proporcionais adoptar um crit rio para o comportamento da fissura em situa es de fecho e reabertura Duas situa es extremas est o representadas na Figura 3 18 uma apresentando uma descarga recarga secante para a origem e a outra um comportamento el stico Comportamentos interm dios s o mais realistas estando formulados por exemplo em Barros 1995 Apesar de menos realista a descarga el stica apresenta se como a de tratamento num rico mais robusto na medida em que o fecho abrupto da fissura significa que esta deixa automaticamente de contribuir para D Por m no caso de carregamentos n o proporcionais a descarga el stica n o adequada
180. e um ramo de amolecimento na lei material Este facto implica ainda que na rotura n o se desenvolva o mecanismo atr s referido mas sim a propaga o da fractura numa regi o localizada e n o simult nea com outras regi es da estrutura Raz o 4 Capacidade de absor o de energia e ductilidade A rea delimitada pelo diagrama carga deslocamento representa a energia absorvida pela estrutura at rotura e que lhe fornecida pelas cargas exteriores A considera o desta energia fundamental em carregamentos din micos e determina a ductilidade de uma estrutura A an lise pl stica n o d informa es acerca do comportamento estrutural durante o regime de amolecimento e consequentemente da energia dissipada neste processo Raz o 5 Efeito de escala O efeito de escala para os engenheiros projectistas provavelmente a raz o mais convincente para o uso dos conceitos da Mec nica da Fractura no dimensionamento de estruturas O efeito de escala definido atrav s da compara o de estruturas geometricamente semelhantes mas com dimens es diferentes e convenientemente caracterizado em termos da tens o nominal oy para a carga m xima P A depend ncia de oy com o tamanho da estrutura denominada de efeito de escala size effect A tens o nominal n o necessita de ser uma tens o instalada na estrutura mas em geral pode ser definida na forma que 2 1 em que c uma constante escalar b a espes
181. ecomposi o das extens es de acordo com 3 49 e atendendo a 3 62 os m dulos de rigidez transversal das fendas v m expressos por D o NE 0 G I 2 E Ex G e zi 855 3 63 DE o GANG 2 En G zi c 05 107 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural em que dada a coincid ncia entre os sistema de eixos local n s t e o sistema principal 1 2 e 3 foi adoptado este ltimo 3 3 4 Algumas considera es sobre o uso de modelos de fendas distribu das Os modelos de fendilha o distribu da foram extensivamente estudados por Rots 2002 Rots e Blaauwendraad 1989 Rots e Borst 1987 Rots et al 1985 tendo essencialmente sido detectados tr s tipos fundamentais de problemas associados ao seu uso na modela o da fractura localizada ocorr ncia de instabilidades num ricas originadas por modos de deforma o esp rios falta de objectividade da direc o das fendas com respeito malha de elementos finitos utilizada mesh induced directional bias e transfer ncia esp ria de tens es stress locking O primeiro fen meno est relacionado com o facto de no caso de fendas com grandes aberturas a matriz de rigidez do elemento conter muitos termos quase nulos Por outro lado dado que em geral n o modelada a varia o das propriedades do material problemas de instabilidade da solu o podem surgir relacionados com a exist ncia de e
182. egamento Os par metros K Ky e Ky s o os chamados factores de intensidade de tens o stress intensity factors e dependem da geometria do corpo das condi es fronteira do carregamento e da dimens o da fenda LH Figura 2 6 Distribui o de tens es na vizinhan a da extremidade de uma fenda num meio linear elastico ACI 1999 20 Capitulo 2 I 8 oi x 2O 2 2 2zr Il 0 oj K a 2 3 Ill 0 di Km to 2 4 O facto de a teoria da elasticidade prever que a tens o na vizinhan a da extremidade de uma fenda se aproxima de infinito n o importa qu o pequena seja a carga aplicada levou Griffith Alfaiate 1992 a introduzir um crit rio energ tico como condi o de propaga o da fractura Sendo Uw a energia total do sistema II a energia potencial da estrutura U a energia el stica de deforma o Wex o trabalho das for as exteriores e W a energia de superf cie dissipada na forma o de novas superf cies de fractura pode se escrever U W 2 5 U IL W 2 6 A propaga o da fractura d se custa da dissipa o de energia potencial sob a forma de energia de superf cie mantendo constante a energia total do sistema segundo a express o 2 7 em que a a coordenada que define o comprimento da fenda OU OM OW 23 da da da 2 7 Definindo oy 2E como a densidade volum trica de energia de deforma o a a d a como uma fun o da geometria da estrutura
183. elo da express o 3 26 92 Cap tulo 3 Yns 2 Yns 1 Yas Yns 1 Yns 2 gt n Figura 3 11 Efeito da abertura de duas fendas perpendiculares no factor de redu o da rigidez de corte Este tipo de modelos permite ainda formular de forma independente os m dulos de rigidez na direc o normal s fissuras pelo que permitem a considera o na anisotropia da armadura conforme expresso na Figura 3 12 On Tension stiffening Armadura aderente n Em Ess Tension softening Figura 3 12 Diagramas de tension stiffening softening anisotr picos Dada a exist ncia de tens es de corte no plano da fenda as tens es principais podem rodar e voltar a violar o crit rio da tens o m xima Isto ocorre de forma marcada no caso de carregamentos n o proporcionais Por outro lado mesmo em estruturas sujeitas a carregamentos proporcionais as redistribui es de esfor os podem levar forma o de novas fendas cuja traject ria intersecte fendas previamente formadas segundo ngulos inferiores a 90 graus Por fim sabe se que as condi es de cura de uma pe a de bet o assim como as ac es ambientais a que os elementos estruturais est o sujeitos levam invariavelmente forma o de fendas cujo desenvolvimento pode ser mais ou menos importante e cuja orienta o em rela o fissura o provocada pelas ac es mec nicas pode ser vari vel Conclui se assim que
184. elos do bet o traccionado pelo que eventuais refinamentos teoria cl ssica podem n o incrementar de forma sens vel o realismo das previs es num ricas 126 Capitulo 3 Ainda assim t m vindo a ser propostas generalizag es da teoria cl ssica da plasticidade no sentido de aumentar as suas capacidades na reprodu o do comportamento macrosc pico do bet o Merece refer ncia o modelo de Han e Chen 1987 com endurecimento n o uniforme non uniform plasticty no qual durante o processo de endurecimento a superficie de ced ncia vai mudando de forma at se aproximar da superf cie de rotura permitindo reproduzir todo o comportamento deformacional do bet o traccionado e comprimido mesmo sob confinamento elevado Temos ainda os modelos de plasticidade confinada bounding surface plasticity originalmente propostos por Dafalias e Popov CEB 1996 Vermeer e Borst 1984 nos quais o escoamento pl stico comandado pela dist ncia do estado de tens o corrente a uma superf cie de confinamento exterior superf cie de ced ncia Conforme demonstrado em Vermeer e Borst 1984 este tipo de modelos est especialmente vocacionado para reproduzir o comportamento hister tico verificado em carregamento c clicos de materiais friccionais tais como o bet o Refer ncias bibliogr ficas atestando o sucesso deste tipo de modelos na reprodu o do comportamento do bet o podem ser encontradas em CEB 1996 3 5 MODELOS DE DANO
185. em geral conhecem se as extens es totais sendo necess rio actualizar as restantes vari veis Esta integra o pode ser executada com recurso a m todos expl citos ou 117 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural impl citos Este m todos s o do tipo predictor corrector assumindo se que o incremento de tens o el stico predictor el stico efectuando se uma correc o pl stica de forma a garantir que o estado de tens o actualizado permanece na superf cie de ced ncia actualizada Nos m todos expl citos esta correc o efectuada com base na superf cie de ced ncia do incremento anterior nos m todos impl citos a correc o efectuada com base na superf cie de ced ncia actualizada Os primeiros s o est veis se os incrementos de carga forem relativamente pequenos e a superf cie de ced ncia suficientemente suave enquanto que os segundos s o incondicionalmente est veis Borst 1991 Ambos s o correntemente utilizados estando algoritmos do primeiro tipo descritos em Cervenka et al 2002 Owen e Hinton 1980 P voas 1991 e do segundo tipo em Borst 1991 Cachim 1999 Feenstra 1993 Louren o 1996 A formula o atr s apresentada abstracta e bastante geral No caso da modela o do comportamento do bet o pode ser particularizada como se segue 3 4 2 Modelos isotr picos com endurecimento isotr pico A hip tese de isotropia inicial do bet o usualmente adopta
186. em significado f sico no campo de tens es Desta forma pr tica corrente desprezar o efeito de Poisson no bet o traccionado sempre que se usam modelos deste tipo Nos testes efectuados este facto revelou se de grande import ncia na qualidade do padr o de fendilha o obtido e consequentemente na correcta reprodu o das respostas estruturais 1 5 1 0 0 5 0 0 0 0 Multifix 4 0 5 9 Total Strain b 1 0 J 1 5 o2 fc Figura 4 5 Envolvente de rotura biaxial considerada nos modelos Total Strain Com estas considera es conclui se que este tipo de modelos apenas ser adequado em situa es onde o aumento de resist ncia do bet o comprimido devido aos efeitos de confinamento n o seja determinante para a resposta estrutural Na Figura 4 5 est representada a compara o entre as envolventes de rotura consideradas nos modelos at agora descritos para o caso biaxial 4 1 3 Modelo Rankine Drucker Prager O modelo Rankine Drucker Prager um modelo elasto pl stico em trac o e compress o tendo sido descrito no essencial em 3 4 5 a prop sito dos modelos elasto pl sticos com m ltiplas superf cies de ced ncia A corrente implementa o deste modelo n o permite a sua aplica o ao caso tridimensional tendo sido utilizado neste trabalho apenas em estado plano de tens o Dado que em compress o a superf cie de ced ncia escolhida corresponde ao crit rio de
187. em termos das tens es octa dricas e do ngulo de similaridade conforme a equa o 2 41 ou ainda nas coordenadas cil ndricas 1 0 de acordo com a equa o 2 42 Em Chen 1982 encontra se a interpreta o de cada um destes par metros YI54557 50 2 40 f 0 7 0 2 0 2 41 f r 0 0 2 42 Na Figura 2 36 est representada a intersec o da superficie de rotura do bet o com o plano hidrostatico Os meridianos assim obtidos definem completamente a envolvente de rotura para 49 Mec nica n o linear do bet o estrutural estados de tens o axissim tricos dada a hip tese de isotropia Na figura est o ainda representados os diferentes modos de rotura associados ao maior ou menor grau de confinamento Abaixo dos pontos de transi o TP o processo de fractura segue as quatro etapas anteriormente definidas ocorrendo localiza o da fractura associada ao amolecimento das curvas tens o extens o Acima dos pontos de transi o o n vel da tens o hidrost tica suficiente para que a fractura ocorra de forma d ctil sem localiza o e sem degrada o do n vel de tens o aplicado A envolvente de rotura aberta para os n veis de tens o atingidos pelas actuais m quinas de ensaio e tamb m para as tens es pass veis de ocorrem em situa es pr ticas Evolu o da sec o de desvio com o f o f Figura 2 36 Meridianos de compress o e de Figura 2 37 Evolu o da sec o oct
188. em toda a extens o do corpo permanecendo o campo de extens es cont nuo A localiza o das deforma es manifesta se pela elevada concentra o de extens es numa zona estreita com uma transi o gradual e continua para os valores correntes nas regi es circundantes Um perfil t pico do campo de deslocamentos e de extens es est representado na Figura 3 1 c para o caso unidimensional Fisicamente corresponde a uma zona de processamento da fractura com maior concentra o de microdefeitos no centro 3 1 2 Lei constitutiva Cada um dos diferentes tipos de descri o cinem tica atr s descritos requer um tipo distinto de lei constitutiva No entanto pode se tamb m afirmar que a lei constitutiva a componente prim ria e principal de qualquer modelo e que a descri o cinem tica surge como consequ ncia directa No dom nio das descontinuidades fortes e no caso mais simples estas podem ser consideradas como n o transmitindo tens es o que conduz necessariamente a uma singularidade na frente de descontinuidade a extremidade da fissura O crit rio para a propaga o da fractura ent o 76 Capitulo 3 baseado na LEFM e formulado em termos dos factores intensidade de tens o ou equivalentemente custa de equa es de balan o energ tico Tal como j referido no Cap tulo 2 apenas em estruturas de escala muito grande nas quais o tamanho da ZPF 6 desprez vel poss vel aplicar as leis da LEFM Com a
189. endas fixas ortogonais pode ser utilizado com suficiente precis o se o ngulo a entre fissuras n o se desviar demasiado dos 90 tendo sido fixados os limites a 90 22 5 Maekawa et al 2003 Na Figura 3 13 est representado um elemento de bet o armado nestas condi es Uma vez que a primeira fenda formada o sistema de eixos 7 s fixado Aquando da forma o da segunda fenda o referencial rodado conforme indicado devendo nestas circunst ncias todas as leis constitutivas ser estabelecidas no sistema de eixos da fenda activa identificada como sendo que tem a maior abertura fazendo com que durante o processo de carga o sistema de eixos v alternando Note se que este m todo aproximado na medida em que os par metros relativos fenda dormente s o calculados segundo um eixo que n o lhe perpendicular No entanto dado que a n o linearidade da resposta essencialmente 94 Cap tulo 3 controlada pela fenda activa e dado que o desvio em rela o perpendicular n o grande os resultados obtidos s o em geral aceit veis Tens o axial Press o interna Tor o c clica Fendas Horizontais Fendas verticais Fendas diagonais cruzadas a Caminhos de carga diferenciados b Cargas multi direccionais Figura 3 14 Exemplos de fissuras n o ortogonais em elementos estruturais Adaptado de Maekawa et al 2003 No caso de ocorr ncia de fendas segundo ngulos inferiores aos acima estipulado
190. ento decorrentes da aplica o de cargas c clicas conforme se atesta em Bujadham et al 1992 Por outro lado com a correcta defini o da 43 Mec nica n o linear do bet o estrutural fun o densidade de contacto este modelo permite estudar a transfer ncia de tens es entre qualquer tipo de interface rugosa tais como juntas de pe as pr fabricadas 2 4 FRACTURA POR COMPRESS O Os ensaios de compress o sobre provetes c bicos ou cil ndricos s o talvez a forma mais divulgada de caracteriza o das propriedades do bet o S o numerosas as correla es emp ricas que fornecem estimativas de outros par metros a partir da resist ncia uniaxial de compress o No entanto a obten o de uma rela o macrosc pica tens o extens o mesmo em ensaios uniaxiais n o uma tarefa simples dado que a forma da curva em larga medida dependente das condi es fronteira impostas pela m quina de ensaio e da geometria e dimens es do provete ensaiado A fric o entre os pratos da m quina de ensaio e o provete conduz a uma tens o de rotura dependente da dimens o introduzindo um efeito de escala Uma tens o de rotura mais elevada medida quando a fric o aumenta e a esbelteza do provete diminui Adicionalmente a esbelteza do provete influencia a resposta p s pico existindo evid ncia experimental que aponta no sentido da ocorr ncia de localiza o das deforma es no ramo de amolecimento do diagrama Jansen e S
191. eressante avaliar at que ponto os resultados s o influenciados pela considera o de uma lei mais sofisticada para o coeficiente de redu o da rigidez de corte do bet o ap s o desenvolvimento completo da fractura baseado na mec nica do agreggate interlock A considera o deste ltimo aspecto poderia trazer algum ganho no que diz respeito modela o da influ ncia da armadura activa e do efeito da distribui o do tirante principal por uma altura superior An lises param tricas sobre o modelo n 3 fazendo variar o coeficiente de redu o da rigidez de corte f revelaram que o modo de rotura se mant m aumentando ligeiramente a ductilidade da rotura com o aumento no valor de 8 Por fim apesar de terem sido detectadas fissuras aproximadamente verticais na zona do apoio indirecto do modelo n 3 a degrada o do bet o observada no ensaio experimental s poder ser modelada eventualmente com a utiliza o de uma fenda discreta na zona de descontinuidade geom trica ou com uma modela o tridimensional desta zona Da compara o dos resultados obtidos e pese embora a utiliza o de bet es algo diferenciados o modelo experimental n 2 com parte do tirante principal realizado por armadura activa n o aderente revelou um modo de rotura diferenciado dos demais Pode assim ser avan ado que o pr esfor o representa uma contribui o positiva para atrasar o efeito do corte na rotura da escora comprimida que corresponde a um
192. es bidimensionais efectuadas n o reproduzem o verdadeiro estado de tens o instalado Verificou se nomeadamente na an lise da viga parede com aberturas que na zona cr tica a tens o de rotura atingida para um factor de carga A 1 91 tendo se obtido o factor de carga ultimo da estrutura 2 2 23 devido s redistribui es de tens es subsequentes Dado o elevado n mero de vezes que este elemento estrutural se repete no Corpo A da ETAR justifica se uma investiga o mais aprofundada do comportamento estrutural desta regi o localizada s poss vel atrav s de uma an lise tridimensional m E Figura 5 37 Corte perpendicular ao desenvolvimento das vigas parede do n vel superior dos reservat rios A azul est representada a zona analisada na modela o 3D Para este efeito construiu se um modelo 3D com recurso a elementos quadr ticos tridimensionais de 20 n s com integra o completa 3x3x3 pontos de Gauss De modo a minimizar o esfor o de c lculo foi apenas modelada a regi o indicada na Figura 5 37 tendo sido utilizadas as condi es fronteira ilustradas esquematicamente na Figura 5 38 e na Figura 5 39 e explicitadas na Tabela 5 4 que permitiram a an lise do estado de tens o e deforma o da regi o de apoio sem modelar a totalidade da viga parede Foram definidas condi es de simetria em rela o ao plano ZY plano de desenvolvimento da viga parede no meio v o da laje de fundo e a meio da espessura da parede
193. es dois constituintes No regime de amolecimento verificado na ZPF ao mesmo tempo que as restantes zonas do provete descarregam a transfer ncia de tens es atrav s de mecanismos de engrenamento entre os agregados aggregate interlock e efeitos de ponte entre faces das fendas crack face bridging Figura 2 12 v o ganhando cada vez mais importancia Hordjick et al 1989 4 ff iS A 0 500 um Figura 2 12 Efeitos de ponte entre fendas observado ao microsc pio ptico Retirado de Schlangen 1993 A superficie da fenda macrosc pica altamente irregular irregularidade essa directamente relacionada com o tamanho dos agregados e com a rela o entre sua resist ncia e a ader ncia pasta de cimento endurecida Em bet es de resist ncia normal a fendilha o macrosc pica processa se contornando os agregados dando origem a uma textura no plano da fractura tanto mais irregular quanto maiores forem aqueles Em bet es de agregados leves ou em bet es de alta resist ncia a superficie da fractura intersecta os agregados e apresenta uma textura menos irregular Verifica se que quanto mais irregular for a superf cie de fractura mais prolongado e mais suave ser o ramo de amolecimento da curva da Figura 2 10 Para uma interpreta o fisica mais detalhada do fen meno do amolecimento em ensaios uniaxiais de trac o em prismas de bet o consultar Van Mier 1986 O efeito dos estados de tens o multiaxiais reflecte s
194. excep o de barragens de grandes dimens es necess rio levar em linha de conta o tamanho da ZPF pelo menos na direc o tangencial a superficie de descontinuidade Leis constitutivas baseadas no modelo da fenda fict cia s o ent o adoptadas para ter em conta estes factores As leis constitutivas associadas adop o de uma descri o cinem tica baseada em descontinuidades fracas s o usualmente baseadas no modelo da banda fendilhada Numa primeira an lise e em casos unidimensionais estas leis podem ser encaradas como uma simples regulariza o da singularidade associada ao campo de extens es dos modelos com descontinuidades fortes disseminando a abertura da fenda por um comprimento finito A Para a descri o cinem tica do processo de localiza o sem descontinuidades dos campos de deslocamentos e de extens es t m de ser utilizadas t cnicas de regulariza o mais sofisticadas Nestes casos as leis constitutivas devem ser baseadas em vari veis n o locais tais como as referidas em 2 2 3 2 modelos n o locais do tipo integral ou em teorias gradientes modelos n o locais do tipo diferencial Jirasek 2002b 3 1 3 T cnicas de aproxima o num rica A abordagem num rica utilizada para obter uma aproxima o do campo de deslocamentos associado a cada tipo de lei constitutiva usualmente baseada na t cnica dos elementos finitos As descontinuidades fortes podem ser capturadas por elementos de interface t
195. grama de testes ou simplesmente a adop o de um coeficiente de seguran a maior devido utiliza o de abordagens de c lculo mais simples Destas considera es resulta que o m todo de c lculo a adoptar ser aquele que for n o o mais sofisticado rigoroso e actual mas o que for compat vel com o prazo e os custos A abordagem adoptada no estudo do exemplo do Cap tulo 5 pretendeu reflectir um pouco a problem tica acima discutida Apesar das potencialidades do modelo num rico utilizado demonstradas no Cap tulo 4 na fase de dimensionamento ele constitui apenas um compromisso entre a realidade e a simplicidade necess ria sua execu o e an lise em tempo til A utiliza o de modelos de an lise n o linear na fase de dimensionamento e verifica o de seguran a n o substitui de forma alguma o julgamento do engenheiro na avalia o das simplifica es admiss veis com vista um determinado fim Isto ficou bem patente nos resultados obtidos da instrumenta o durante a primeira fase de enchimento Ao contr rio do sucedido com os resultados laboratoriais verificou se um afastamento entre as leituras efectuadas e calculadas Este facto ficou se a dever essencialmente considera o de condi es fronteira aproximadas quer pela simplicidade requerida para o modelo quer pela dif cil quantifica o das reais condi es de apoio de alguns elementos devido a vicissitudes da constru o imposs veis de prever priori De
196. gura 2 52 Curva carga deforma o resultante de um ensaio de um tirante de bet o armado Determina o do diagrama de reten o de tens es de trac o com base em ensaios experimentais sobre elementos estruturais e Fase n o fendilhada tramo a b Antes de se atingir a tens o de resist ncia trac o Jan O tirante apresenta a sua rigidez m xima resultante do comportamento perfeitamente aderente entre as armaduras e o bet o e Fase de forma o de fendas tramo b c Na vizinhan a da primeira fenda a distribui o de extens es e tens es na armadura e no bet o assim como as tens es de ader ncia que se desenvolvem devido ao deslizamento relativo entre estes est o ilustrados na Figura 2 53 A uma dist ncia igual ao comprimento m ximo de ader ncia ls max O deslizamento entre o bet o e o ago anula se fazendo com que O ls max fer A referida armadura m nima usualmente calculada de forma a garantir que n o ocorre ced ncia na sec o onde surge a fissura e pode ser expressa a partir de 2 45 Num ensaio realizado com controlo de deforma o por cada nova fenda que se forma a carga aplicada decresce ligeiramente originando o aspecto dentado evidenciado pelo tramo b c da curva da Figura 2 52 62 Capitulo 2 EN e O Sa 2 45 A E com o e c e E Is max Is max 4 gt a gt AN A O Bet o taaa X o de Se TN
197. hah 1997 Van Mier 1986 Estes fen menos tamb m ocorrem em testes triaxiais Van Mier 1998 sendo grande a dispers o dos resultados obtidos quando se mudam as t cnicas de ensaio Por outro lado a velocidade de ensaio a forma de aplica o de carga imposi o de for as ou de deslocamentos Figura 2 27 e a direc o de aplica o de carga perpendicular ou paralela superf cie de betonagem Van Mier 1986 s o factores que tamb m t m influ ncia no diagrama obtido impedindo a compara o directa de muitos resultados Uma discuss o aprofundada da influ ncia das t cnicas de ensaio na forma de rotura dos provetes e correspondentes curvas tens o extens o pode ser encontrada em Gerstle et al 1980 Kotsovos e Pavlovic 1995 Nelissen 1972 Van Mier 1986 sso d E pe att t 10 kgf ortt sec 300 p Pa ee ass 250 4 Zz l 2 Hi 200 E 0 01 e min 50 e A 4 gt 10 05 10 15 20 25 30 35 e 0 Figura 2 27 Influ ncia da velocidade e do processo de aplica o de carga no diagrama tens o extens o uniaxial adaptado de Nelissen 1972 44 Capitulo 2 2 4 1 Processo de fractura em compress o Dada a heterogeneidade do bet o a aplica o de um estado de tens o uniforme e uniaxial resulta num estado de tens o local multiaxial e n o uniforme cuja caracteriza o dif cil de estabelecer Atendendo a este facto e segundo Kotsovos e Pavlov
198. ial de seguran a do material ditado pelo a o ou pelo bet o conforme o tipo de rotura Aplicando estes conceitos estrutura em an lise considerando que neste caso as sobrecargas t m uma variabilidade reduzida peso do l quido e das terras y 1 35 e que o bet o condiciona a rotura 7 1 5 o factor de carga ltimo vem dado por A 21 5 1 35 2 025 5 1 5 3 AN LISE N O LINEAR 2D VIGAS PAREDE No sentido de averiguar o modo de rotura e validar o dimensionamento das armaduras efectuou se uma an lise em estado plano de tens o de duas vigas parede uma delas contendo aberturas no tramo extremo 5 3 1 Viga parede sem aberturas Foi discretizada metade da viga parede em elementos quadr ticos de oito n s com integra o reduzida 2x2 pontos de Gauss e as espessuras modeladas de acordo com a Figura 5 6 188 Capitulo 5 VL URS P 960 kN m P 960 kN m Y Y Y Y Y ov Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y v v YT Y Y Y Y YF T 2220 kN m 0 25 t 77777 po 030 a P 5760 kN m 1 25 7 40 P 960 kN m 4 0 50 P 0 50 ass L 870 kN m CY ww h 1 50 0 95 Y 0408 mmm oso zz z 111 uu Y P 5760 kN m dito UE Y O45 Wik pm 1 100 k k AL P 1920kN m P 960 kN m P 960 kN m i 15 35 P 15 35 a b c Figura 5 6 An lise bidimensional das vigas parede a Corte transversal b Modela o das espessuras c Malha de elementos
199. ic 1995 o processo de fractura do bet o poder ser subdividido em duas categorias distintas e Processos de fractura sob estados de tens o n o hidrost ticos caracterizados por terem uma orienta o definida A direc o das tens es locais m ximas em m dia coincidente com a direc o da tens o principal de compress o aplicada e Processos de fractura sob estados de tens o hidrost ticos caracterizados pelo car cter aleat rio da orienta o da fractura no sentido em que a sua direc o de propaga o n o defin vel assim como a orienta o do estado local de tens o 2 4 1 1 Processo de fractura sob um estado de tens o n o hidrost tico tensor de desvio n o nulo olf 2 1 0 1 2 3 E lo Figura 2 28 Etapas do processo de fractura por compress o e o seu efeito nas rela es tens o extens o num ensaio uniaxial Tipicamente poss vel identificar quatro etapas distintas no andamento dos diagramas representados na Figura 2 28 e Etapa 1 Numa primeira fase o comportamento macrosc pico pode ser descrito recorrendo teoria da elasticidade linear Antes da aplica o da carga j existe no bet o um n mero significativo de microfendas na interface pasta de cimento agregados cuja origem est associada a tens es de trac o auto equilibradas resultantes de varia es de volume sofridas pela pasta de cimento Nesta fase microfendas adicionais podem
200. ica obrigando a que 85 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural E Va E Vy E v E v t st E Vu E V 3 14 pelo que apenas necess rio definir nove quantidades independentes no caso tridimensional ou apenas quatro em estado plano de tens o A simetria da rela o 3 14 em rigor apenas uma imposi o vantajosa do ponto de vista computacional na medida em que o bet o n o um material el stico Foster e Marti 2003 Maekawa e Okamura 1983 Vecchio 1992 Desta forma obt m se CEB 1996 Chen 1982 Elwi e Murray 1979 L u2 E upt in JE E us He 1s NE E 1 D SUM EA JE us Min gs IN E E o sim 1 ul JE G 0 0 3 15 Dy 0 Gs 0 0 0 G D D 0 1 2 onde b 2 2 2 Ics s Hst Hs Para obter os m dulos E recorre se ao conceito de extens o equivalente introduzido por Darwin e Pecknold 1977 Este conceito baseia se na evid ncia experimental que mostra que num provete de bet o sujeito a um estado de tens o tridimensional a curva o amp em cada direc o mant m aproximadamente a mesma forma independentemente do estado de tens o nas restantes direc es Este facto permite que a mesma curva normalizada possa ser utilizada garantindo apenas que os seus par metros definidores tens o e extens o de pico por exemplo sejam ajustados para um determinado estado de tens o A extens o incremental equivalente definida segundo
201. ict cia Este modelo baseia se nas seguintes hip teses Alfaiate 1992 i O desenvolvimento da zona microfissurada tem inicio quando num determinado local a tens o principal m xima de trac o o atinge a resist ncia uniaxial de trac o for ii A ZPF desenvolve se na direc o perpendicular direc o de oj ii Na ZPF o bet o encontra se danificado mas ainda tem capacidade para transmitir tens es Esta capacidade depende do alongamento w verificado segundo a direc o de O iv As propriedades da ZPF podem ser descritas atrav s de uma curva de amolecimento macrosc pica o w obtida de um ensaio de trac o uniaxial Esta curva uma propriedade do material A considera o da rela o o w como uma propriedade material leva defini o de um par metro material definido pela rea do diagrama o w Este par metro que Hilleborg denominou de energia de fractura Gr tem a dimens o de uma energia por unidade de superficie e corresponde energia necess ria para a forma o de uma fenda completamente aberta de rea unit ria G o dw 2 14 ot onde w a abertura da fenda fict cia a partir da qual o material deixa de transmitir tens es de real ar a diferen a conceptual entre a energia de fractura Gy atr s definida e a taxa critica de dissipa o de energia superficial Ge definida em 2 2 2 como a quantidade de energia dissipada por toda a estrutura quando a extremidade de uma fenda avan
202. identificadas tr s tipos de descri o cinem tica do campo de deslocamentos u x A primeira incorpora as chamadas descontinuidades fortes ou seja descontinuidades no campo de deslocamentos O campo de extens es amp x consiste numa parte regular obtida por diferencia o do campo de deslocamentos e duma parte singular sob a forma de um m ltiplo da fun o delta de Dirac Isto est esquematicamente representado na Figura 3 1 a para o caso unidimensional Fisicamente a descontinuidade forte pode ser assimilada a uma fenda macrosc pica 75 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural a b c u u u mn cus x x x Figura 3 1 Descri o cinem tica com Jirasek 2002b a uma descontinuidade forte b duas descontinuidades fracas c sem descontinuidades Outro tipo poss vel de descri o cinem tica representa a regi o com deforma o localizada por uma banda de espessura finita separada da restante parte do corpo por duas descontinuidades fracas isto existe uma descontinuidade no campo de extens es mas o campo de deslocamentos permanece continuo Isto est esquematicamente representado na Figura 3 1 b para o caso unidimensional Em termos fisicos a banda entre duas descontinuidades fracas corresponde a uma zona de processamento da fractura com uma densidade constante de microdefeitos Por ltimo poss vel usar um campo de deslocamentos cont nuo e diferenci vel
203. ilustrado na Figura 4 21 sem grande extens o das fendas de flex o e com as fendas inclinadas evidenciando aberturas de cerca de 2 mm Contrariamente ao caso das vigas sem estribos a fendilha o diagonal formou se a cerca de 60 da carga m xima e a rotura deu se com esmagamento do bet o na zona de compress o 153 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA A modela o num rica foi efectuada adoptando um valor de a 30 baseado nas observa es do exemplo anterior O padr o de fendilha o no ltimo incremento convergido est representado na Figura 4 22 sendo muito boa a sua concord ncia com o experimental Figura 4 21 A fenda inclinada que levou rotura no ensaio est devidamente representada incluindo a sua propaga o ao longo da armadura longitudinal intersectando fendas verticais previamente formadas Em alguns casos registou se a ocorr ncia de tr s fendas por ponto de integra o podendo ser considerada satisfat ria a robustez do algoritmo no tratamento destas situa es apesar das dificuldades encontradas em obter solu es convergidas nesta fase As tens es nos estribos est o ilustradas na Figura 4 23 permitindo confirmar a sua ced ncia ao longo das fendas mais activas O diagrama carga deslocamento est representado na Figura 4 24 A rigidez da viga foi reproduzida de forma excelente at aos 375 kN prevendo o modelo a partir da um pequeno acr scimo de
204. in mica de estruturas constitu das por diversos tipos de materiais tais como solos rocha bet o a o borracha e alvenaria mas tamb m para an lises de percola o de consolida o e de evolu o do grau de hidrata o e das propriedades mec nicas dos bet es jovens entre outras Witte e Kikstra 2002b No que se refere aos modelos dispon veis para an lise mec nica de estruturas de bet o est o dispon veis tr s formula es conceptualmente diferentes que se descrevem sumariamente com base no que foi exposto no Cap tulo 3 sendo tamb m indicada a formula o seleccionada para a aplica o efectuada no Cap tulo 5 S o ainda definidos os diagramas e os valores adoptados para os par metros que definem as leis constitutivas As designa es dos diferentes modelos s o as constantes do manual do utilizador Witte e Kikstra 2002b 4 1 1 Modelo Multifix O modelo aqui designado por Multifix um modelo de fendilha o distribu da com decomposi o das extens es com possibilidade de forma o de m ltiplas fendas fixas tal como exposto em 3 3 O crit rio de forma o de fendas consiste na satisfa o simult nea das condi es de viola o do crit rio da tens o m xima e do ngulo limite m nimo entre duas fendas threshold angle a Dos crit rios referidos em 3 3 2 este o mais restritivo e portanto o mais est vel do ponto de vista num rico Por defeito e nada sendo dito em contr r
205. ing 110 9 2015 2035 Bazant Z P e Jirasek M 2002 Nonlocal Intergral Formulations of Plasticity and Damage Survey of Progress Journal of Engineering Mechanics 128 11 1119 1149 Bazant Z P e Lin F B 1989 Nonlocal Smeared Cracking Model for Concrete Fracture Journal of Structural Engineering 114 11 2493 2511 Bazant Z P e Oh B H 1983 Crack band theory for fracture of concrete Materials and Stuctures 16 1 155 177 Bazant Z P Xiang Y Adley M D Prat P C e Akers S A 19962 Microplane Model for Concrete II Data Delocalization and Verification Journal of Engineering Mechanics 122 3 255 261 Bazant Z P Xiang Y e Prat P C 1996b Microplane Model for Concrete I Stress Strain Boundaries and Finite Strain Journal of Engineering Mechanics 122 3 245 254 Belarbi A e Hsu T T C 1994 Constitutive Laws of Concrete in Tension and Reinforcing Bars Stiffened by Concrete ACI Structural Journal 91 4 465 474 Belarbi A e Hsu T T C 1995 Constitutive Laws of Softened Concrete in Biaxial Tension Compression ACI Sructural Journal 92 5 562 573 Belleti B Cerioni R e Iori I 2001 Physical Approach for reinforced Concrete PARC Membrane Elements Journal of Structural Engineering 127 12 1412 1426 Bongers J P W e Rutten H S 1998 Concrete in multiaxial compression a multilevel analysis Heron 43 3 159 180
206. intas no andamento do diagrama 7 em ensaios de ader ncia com var es rugosos e duas em ensaios com var es lisos a que correspondem diferentes processos f sicos fib 1999a fib 2000 Var es lisos e Fase I Quando a ader ncia activada e para valores baixos dez a transmiss o de for as assegurada por ades o qu mica entre a superf cie do var o e a pasta de cimento A ades o qu mica ainda acompanhada por uma interac o micromec nica motivada pela rugosidade microsc pica do a o Esta fase corresponde fase el stica e o deslocamento relativo medido apenas resultado de deforma es localizadas no bet o nas proximidades do var o Figura 2 48 b e Fase II Ap s rotura da ades o qu mica a segunda fase no processo de transfer ncia de for as garantida por um mecanismo de atrito seco Para var es com n veis de rugosidade muito baixa a superf cie de escorregamento coincide com a superf cie do var o enquanto que se considera que atravessa a camada ciment cia que o envolve se um certo n vel de rugosidade for atingido As compress es radiais que permitem o desenvolvimento das for as atr ticas s o causadas pela retrac o do bet o circundante e a rugosidade da superf cie de deslizamento Devido ao desgaste desta as tens es de compress o radial diminuem com o evoluir do deslocamento 6 assim como a tens o T 57 Mec nica n o linear do bet o estrutural Var es rugosos e Fa
207. io assume se um valor de 60 O crit rio da tens o m xima utilizado foi o representado na Figura 3 6 b para o caso bidimensional Em trac o e antes da forma o de uma fenda assumido um comportamento el stico e linear para o bet o No caso de fractura localizada durante a fase de processamento da fractura 135 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA considerou se por defeito um diagrama de amolecimento linear conforme representado na Figura 4 1 a Este um diagrama grosseiro no entanto o mais eficiente do ponto de vista computacional na medida em que elimina a necessidade de itera es internas na lei constitutiva A descarga efectuada de forma secante para a origem A largura efectiva da banda de fendilha o foi simplificadamente tomada igual raiz quadrada da rea do elemento finito nos casos bidimensionais h Los 4 1 ou raiz c bica do volume do elemento nos casos tridimensionais h 3 bus 4 2 Tomou se esta op o na medida em que na corrente implementa o do modelo este um par metro de entrada manual N o sendo em geral conhecida priori a direc o da fendilha o imposs vel ou muito trabalhoso quantificar A de acordo com propostas mais elaboradas cr cr cr nn A nn A nn cr Eur 2Ggp foh g cr cr cr nnA nnA Ma fa fa fa L y 0 6fet 4 0 6fet gt gt 4
208. ir fen menos localizados Para a ductilidade evidenciada na resposta num rica muito contribui o facto de o diagrama de amolecimento do bet o comprimido ser definido com um patamar horizontal ap s 0 2f podendo ser discut vel at que ponto a redistribui o de tens es que ocorre em consequ ncia ainda tem significado f sico 300 kN Actuador kN Actuador Experimental A Num rico 50 4 Experimental Num rico 0 2 4 6 8 mm Figura 4 78 Evolu o do afastamento dos pontos P2e Figura 4 79 Evolu o do deslocamento vertical do P3 Lvdt H ponto P1 Lvdt V 300 300 4 250 d Experimental Num rico kN Actuador kN Actuador Experimental 100 4 Num rico 50 4 0 i T T T T T 0 T T 1 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 1000 2000 3000 4000 5000 Micro strains Micro strains Figura 4 80 Evolu o da extens o em EC meio v o Figura 4 81 Evolu o da extens o em EC apoio 40 4 M 204 PG1 8 PG2 D2 20 4 E Experimental 40 4 i EE EAEE O ee Num rico 0 l l l 0 5 E 15 2 0 5 10 45 20 2 o Figura 4 82 Evolu o dos deslocamentos DI e D2 Figura 4 83 Evolu o da tens o e extens o principal minima em dois pontos de Gauss imediatamente esquerda do actuador A carga de rotura pode ser satisfatoriamente aproximada pelo modelo de equil brio da Figura 4 84 onde tam
209. is geral a fun o f depende do tensor das tens es e do valor corrente das fun es agrupadas no vector h da express o 3 83 A equa o f 0 define uma superf cie no espa o n dimensional das tens es a superficie de ced ncia que separa os estados de tens o admiss veis dos n o admiss veis Estados de tens o que conduzem a f lt 0 s o el sticos os que correspondem a f 0 s o pl sticos e os que levam a f gt 0 s o imposs veis Com a evolu o dos valores das fun es contidas em A a superf cie pode expandir encolher sofrer transla es ou mesmo mudar de forma o mesmo acontecendo ao dominio el stico Quando ocorre escoamento pl stico a evolu o do tensor das deforma es pl sticas dada pela express o 3 84 onde A um escalar denominado de multiplicador pl stico e g a fun o potencial pl stico Esta uma fun o do tensor das tens es e eventualmente tamb m das vari veis internas sendo respons vel pela orienta o da taxa de varia o das extens es pl sticas devendo idealmente ser obtida a partir de resultados experimentais O seu gradiente dado por T Og n Og Og Og og Og Og 3 85 0c OG 0o 00 OO 0O 00 yz As condi es para a ocorr ncia de escoamento pl stico podem ser sumariadas pelas condi es de Kunh Tucker fev A gt 0 3 86 Af 0 Com efeito se o material est num estado el stico f lt 0 a terceira equa o de 3 86 implica 0 0 que de acordo
210. isso entre a realidade f sica e a robustez 150 Capitulo 4 necess ria ao algoritmo Se o modelo num rico n o previr esta possibilidade as solu es obtidas ser o necessariamente contra a seguranca na medida em que a propagac o da fenda de corte pode ser inibida ou atrasada impedindo a concretiza o do correcto modelo cinem tico de rotura que interrompe a transi o entre sucessivos estados de equil brio Figura 4 17 Representa o esquem tica da propaga o de uma fenda de corte com intersec o duma fenda de flex o que entretanto entrou em descarga Adequa o da adop o de um valor de 30 para o ngulo o No exemplo analisado considerando a 60 a fenda diagonal forma se para uma carga mais elevada e ligeiramente deslocada para a esquerda onde as fendas de flex o est o menos desenvolvidas devido ao facto de a localiza o prevista com a 30 ter sido inibida Desta forma pode se tamb m encontrar uma justifica o para o facto de n o ter sido poss vel obter uma solu o convergida com a propaga o da fenda diagonal para a 60 na medida em que a energia acumulada para ser dissipada na propaga o desta fissura mais elevada aumentando o car cter brusco da rotura A influ ncia do coeficiente de redu o da rigidez de corte 6 no modo e carga de rotura reduzida Uma an lise com 0 4 valor quatro vezes superior ao anteriormente utilizado mantendo o valor de 30 conduz
211. itu das por um tirante principal com 646 distribu dos como representado de forma que o seu baricentro se localize a cerca de 15 cm da base Foi disposta ainda uma malha aproximadamente quadrada de var es lisos de 4 mm tal como no modelo anterior Foram colocados transdutores de deslocamento LVDT s para medir o deslocamento vertical de P1 LVDT V e o afastamento entre P2 e P3 LVDT H Usaram se ainda extens metros de embeber no bet o EB1 e EB2 segundo as direc es indicadas na Figura 4 58 e extens metros colados nas armaduras EC1 e EC2 7 206 804 por face 0 950 2104 por face EBI zm ECl EC2 P2 PI P3 a 206 Be Ag re IE L 0 6125 d 0 600 0 6125 806 E 2104 806 m 12 4 cintas por face 1204 cintas 0 075 0 075 _ 0075 3 ll 0 075 1 750 e 0 075 Figura 4 57 Geometria do modelo e Figura 4 58 Armaduras passivas e localiza o dos localiza o dos pontos nos quais se mediram extens metros deslocamentos Ap s carga at aos 150 kN actuador e posterior descarga numa segunda fase do ensaio foi simulado o efeito do pr esfor o n o aderente atrav s do tensionamento de dois fios de a o de alta resist ncia de 5 mm de di metro ancorados a 16 cm da base conforme ilustrado na Figura 4 59 e na Figura 4 60 Na ced ncia do a o de pr esfor o a for a total no tirante principal semelhante do modelo n 1 Foram ainda
212. iu ao modo de rotura e carga m xima anteriormente calculados Observou se no entanto uma maior velocidade de converg ncia resultando num tempo de c lculo cerca de 20 inferior A aplica o do modelo Fixed Total Strain conduz a tempos de c lculo na ordem dos 60 dos do modelo com decomposi o das extens es Neste caso por m n o ocorreu rotura por corte tendo sido obtidos resultados convergidos no patamar de ced ncia tendo sido interrompida a an lise quando o deslocamento a meio v o atingiu os 11 5 mm O modo de rotura identificado corresponde a uma rotura por flex o conforme indicam as fendas verticais extremamente activas da Figura 4 18 Na Figura 4 19 est o representadas as curvas carga deslocamento correspondentes a cada uma das modela es atr s referidas 151 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA STE SARS er MH MSN SEM MEM an N Figura 4 18 Aplica o do modelo Fixed Total Strain Viga deformada 10x com os vectores perpendiculares abertura das fendas 10x no ltimo incremento de carga considerado Refira se ainda que tanto com o modelo Rankine Drucker Prager como com a vers o de fendas rotativas do modelo Total Strain n o foi poss vel obter resultados convergidos a partir de cerca de 25 da carga de rotura Multifix 609 e Fix Tot Str Multifix 309 Multifix
213. jectivos no que diz respeito malha de elementos finitos escolhida N o s a ductilidade calculada era incorrecta como tamb m a carga de rotura Dada a localiza o da fractura devida ao regime de amolecimento a energia dissipada no processo de fractura decresce com o refinamento da malha e converge para zero se o tamanho do elemento h tender para zero o que obviamente inaceit vel A nica forma de ultrapassar esta limita o a introdu o de um crit rio energ tico baseado na Mec nica da Fractura Raz o 3 Inexist ncia de patamar de ced ncia Diz se que uma estrutura d ctil e que tem um comportamento pl stico quando apresenta um diagrama carga deslocamento como o idealizado na Figura 2 2 a reflectindo a capacidade de redistribui o dos esfor os ap s a ced ncia das armaduras Uma caracter stica t pica destas estruturas resulta de desenvolverem um mecanismo de um grau de liberdade de modo que a rotura prossegue simultaneamente em v rias zonas da estrutura O diagrama carga deslocamento deste tipo de roturas exibe um longo patamar de ced ncia A P P a b Figura 2 2 Diagramas carga deslocamento a estrutura ductil b estrutura fr gil 17 Mec nica n o linear do bet o estrutural Se o diagrama carga deslocamento n o apresenta esse patamar diz se que a estrutura fr gil Um comportamento deste tipo est ilustrado na Figura 2 2 b e implica a um n vel macrosc pico a exist ncia d
214. jeitas ac o s smica requisitos de ordem econ mica levam a que estas sejam projectadas para dissipar energia de forma controlada em determinadas zonas que no caso de estruturas reticuladas s o por exemplo as r tulas pl sticas S um profundo conhecimento do comportamento da interac o a o bet o quando sujeito a cargas c clicas permite determinar a resist ncia ductilidade e extens o destas zonas Os ensaios experimentais com vista ao estudo deste fen meno s o numerosos remetendo se a sua refer ncia para a bibliografia fib 1999a fib 2000 Maekawa et al 2003 Shima et al 1987 56 Capitulo 2 FaseI Ponto de refer ncia A Rotura por pull out Fase II Fase II p Fase III Fase IV Rotura por splitting Confinamento Sec o de refer ncia a b Figura 2 48 a Curvas tens o de ader ncia deslocamento relativo bond stress slip law b defini o do deslocamento relativo fib 2000 Um resultado t pico deste tipo de ensaios uma curva como a representada na Figura 2 48 a No eixo das ordenadas surge a tens o de ader ncia Tp que a for a m dia transmitida do var o para o bet o por unidade de superficie do var o No eixo das abcissas tem se o deslocamento 6 que corresponde ao deslocamento relativo entre uma sec o de refer ncia no var o e um ponto no bet o n o perturbado Figura 2 48 b Tipicamente poss vel identificar quatro fases dist
215. kamura 1983 na rotura por trac o existe uma rela o univoca entre a tens o de rotura fa e a m xima extens o de compress o Ermar j experimentada pelo material em carregamentos anteriores conforme atestam os resultados da Figura 2 14 4 Kupfer et 3165kg ord M E Loading Kupter et 1 0 315kg on o Monotonic Loading 0 f lt i 0 5 os E Reloading Reloading i 1 X 0 E EA os ei of ps E 0 5 1 0 o 0 5 1 0 0 c 2nax 59 a b Figura 2 14 Pontos de rotura por trac o no espa o das tens es a e das extens es principais b Retirado de Maekawa e Okamura 1983 Ainda n o existe consenso absoluto sobre o facto da inicia o do processo de fractura no bet o se dever exclusivamente ao Modo I embora a evid ncia experimental aponte nesse sentido As microfissuras existentes no seio de bet o t m uma orienta o aleat ria mas o seu processo de desenvolvimento parece seguir uma orienta o definida pela direc o e intensidade da m xima tens o principal e pelas zonas mais fr geis da estrutura heterog nea que o caracteriza e n o pela direc o que leva m xima liberta o de energia Ensaios experimentais que indicavam a propaga o de fissuras em Modo II Bazant 1986 foram reinterpretados por Schlangen 1993 tendo se verificado que com a correcta avalia o dos efeitos das condi es fronteira se demonstra que a fractura se processou em M
216. l como no modelo n 1 ocorreu diverg ncia do processo num rico depois de incrementos de carga sucessivos com o bet o em regime de amolecimento e ap s grandes redistribui es de tens es na zona esmagada o que est de acordo com as observa es experimentais O padr o de fendilha o num rico imediatamente antes da rotura est representado na Figura 4 75 sendo excelente a sua concord ncia com o padr o experimental A localiza o das distor es vis vel na Figura 4 77 sendo l cito afirmar se que o modo de rotura num rico tamb m corresponde a uma rotura de corte compress o A tens o m xima de compress o calculada na regi o do apoio indirecto foi de 29 1 MPa cerca de 65 de fo Da an lise da Figura 4 78 Figura 4 82 constata se uma aproxima o muito satisfat ria de todos os par metros medidos sendo de real ar que n o foi feita nenhuma tentativa no sentido de ajustar as curvas num ricas s experimentais O ajuste menos conseguido d se nas leituras do deslocamento D2 prevendo o modelo num rico uma maior actividade das fendas inclinadas patenteada pela menor inclina o da curva num rica na Figura 4 82 Ap s a ced ncia das 175 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA armaduras as leituras efectuadas pelos extens metros de colar ECI1 e EC2 devem ser comparadas com as calculadas com alguma cautela na medida em que os valores experimentais podem reflect
217. l e da sofistica o dos modelos constitutivos os modelos de an lise n o linear de estruturas de bet o ANLE apresentam se hoje como uma ferramenta muito til n o s no processo de dimensionamento de estruturas complexas mas tamb m no desenvolvimento de novos sistemas estruturais na verifica o de seguran a de estruturas existentes na avalia o de cen rios de refor o e em estudos de car cter forense Fruto do reconhecimento da sua import ncia est a ser ultimado um boletim da Federation Internationale du Beton fib no sentido de fornecer um conjunto de instru es e procedimentos para a aplica o dos modelos de an lise n o linear fib 2004 reconhecido que o uso deste tipo de modelos n o lineares requer conhecimentos aprofundados ao n vel do comportamento mec nico do bet o estrutural dos modelos constitutivos assim como experi ncia de aplica o deste tipo de formula es O desenvolvimento da disserta o foi ent o orientado no sentido de permitir um ganho de compet ncias nesta rea e avaliar as possibilidades e os desafios que ainda hoje se colocam neste dom nio que a seguir se passam a expor conjuntamente com uma descri o sum ria do trabalho realizado Mec nica n o linear do bet o estrutural No Cap tulo 2 foi levada a cabo uma revis o do estado da arte do comportamento do bet o estrutural sujeito a carregamentos est ticos e de curta dura o mas n o necessariamente proporcionais Neste c
218. lado uma enorme versatilidade sendo capaz de 130 Capitulo 3 reproduzir o comportamento de elementos estruturais de bet o sujeitos s mais diversas formas de carregamento desde as cargas c clicas at aos carregamentos altamente n o proporcionais Bazant et al 2000a sendo apontado como a abordagem mais promissora modela o do comportamento do bet o O pre o a pagar por estas potencialidades reflecte se na grande capacidade computacional requerida cerca de 10 vezes superior dos cl ssicos modelos el sto pl sticos Bazant et al 2000b O seu uso na an lise de estruturas de engenharia civil est por isso ainda algo confinado ao dom nio da investiga o 131 CAP TULO 4 AN LISE DO COMPORTAMENTO N O LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETAO COM BASE NO SOFTWARE DIANA 4 AN LISE DO COMPORTAMENTO N O LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETAO COM BASE NO SOFTWARE DIANA 4 1 INTRODUCAO No presente cap tulo s o expostas algumas aplica es de modelos de an lise n o linear ao estudo do comportamento de estruturas de bet o das quais se disp em de resultados experimentais cred veis com os quais se comparam e discutem os resultados num ricos obtidos Os modelos utilizados est o implementados no software DIANA 8 1 comercializado e desenvolvido pela TNO DIANA B V Este um programa generalista com vasto mbito de aplicabilidade no dom nio da engenharia civil contemplando modelos para a an lise n o linear est tica e d
219. laje de fundo T peso das terras e da laje de cobertura P carga equivalente ao pr esfor o Tal como no caso anterior discretizou se apenas metade daviga parede e foram utilizados elementos quadr ticos de oito n s com integra o reduzida 2x2 pontos de Gauss assim como as mesmas condi es de apoio Os materiais considerados foram os mesmos incluindo a utiliza o do diagrama de reten o de tens es de trac o em toda a malha A armadura foi igualmente modelada de forma distribuida e as quantidades consideradas est o representadas na Figura 5 23 e na Tabela 5 3 Em rela o viga parede anterior apenas diferente a armadura na zona das aberturas Figura 5 23 Malha de elementos finitos com a localiza o das diversas percentagens de armadura adoptadas 195 Caso pr tico ETAR de Sobreiras Tabela 5 3 Quantidades de armadura em correspond ncia com a localiza o indicada na Figura 5 7 Denominagao Parede Corrente Parede Refor o Abeturas Refor o Laje de fundo Nervura Var es 36mm Laje de fundo var es 36 mm Nervura var es 36 mm Pilares Laje de cobertura Parede de topo Esquadros Esp m 0 50 0 50 0 50 3 00 1 00 0 50 3 00 1 00 3 00 3 00 3 00 1 00 Lh 1 00 1 00 1 00 0 50 0 45 1 00 0 50 0 45 1 00 0 30 1 00 1 00 Ly 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 50 0 50 0 50 0
220. larbi e Hsu 1994 Hsu e Zhang 1996 e Maekawa et al 2003 s o expostas duas formula es para a rela o constitutiva da armadura em valores m dios incluindo as fases de ced ncia e endurecimento Contudo muitas das formula es existentes foram estabelecidas com base na tens o de ced ncia local da armadura f sendo necess rio garantir que o esfor o total no tirante n o excede a for a m xima que a armadura consegue transmitir nas sec es fissuradas custa no entanto de um menor rigor conceptual e de uma menor precis o na reprodu o do comportamento estrutural na fase de ced ncia e endurecimento das armaduras Hsu e Zhang 1996 Maekawa et al 2003 Isso garantido impondo a condi o 2 50 64 Cap tulo 2 Cm p f On 2 50 Uma outra abordagem ao estudo do tension stiffening baseia se na reprodu o dos campos de tens es e extens es locais ao longo do volume de controlo atrav s de leis simplificadas e ou emp ricas obtendo por integra o as leis constitutivas m dias Esta a via seguida no CEB FIP Model Code 1990 CEB 1993 fib 19994 Uma revis o de v rias formula es existentes pode ser encontrada em Barros 1995 Apenas no intuito de ilustrar esta abordagem apresenta se em seguida um procedimento gen rico de obten o de um diagrama de reten o de tens es no bet o Aquando da forma o da primeira fenda a distribui o de extens es e tens es locais na armadura e no bet
221. lativamente uma outra de w amp sendo Dmin O di metro m nimo de um agregado intersectado pela fenda que para os deslocamentos considerados ainda contacta com a outra face a rea total de contacto por unidade de rea do plano da fenda pode ser calculada como Dmax A Ya n D a aD s 2 32 4 Da n D a aD D min A express o anal tica resultante para 4 e 4 complexa e pode ser consultada em Walraven e Reinhardt 1981 Finalmente integrando 2 30 e usando 2 32 chega se s relag es tens o deslocamento ilustradas na Figura 2 24 note se que 4 e 4 s o fun es de w 6 40 Capitulo 2 o 0 4 uA 2 33 T 0 A uA T N mm Rm Exp fee 2334 NIMM D WV 4 V max 32 mm wo NUO DAONA 14 15 16 17 18 19 20 21 29 Figura 2 24 Comparac o do modelo te rico com os resultados experimentais Walraven e Reinhardt 1981 Este modelo foi entretanto generalizado no sentido de contemplar cargas c clicas e cargas de longa durac o Pruissers 1988 Modelo da densidade de contacto d a dA A M Y AN N Neo Y 7 Unidade de contacto o X Figura 2 25 Contact density model Li et al 1989 O contact density model baseia se essencialmente em duas propostas e tr s pressupostos que podem ser sumariados como se segue e Propostas 1 Geometria da superf cie de fractura A complicada rugosidade da superf cie de fractura pode
222. le nanan ean Sle S GAUSS RE SXX G SXX MAX MIN ON WHOLE GRAPH 3 5 4 4 24 m r X34 YMAX 418E9 YMIN 159E7 s XMAX 1 95 CJR el E E RR E o E E EE EEO 1 wMIN 0 i VARIATION ALONG A LINE DISTANCE Figura 4 16 Tens es ao longo da armadura no incremento correspondente carga maxima a 309 A adop o de um ngulo 30 pode na realidade ser justificada atrav s da observa o experimental da direc o e ordem de propaga o das fissuras numa viga como a analisada Com efeito antes de ocorrer fendilha o o estado de equil brio muito pr ximo do obtido atrav s de uma distribui o el stica de esfor os A primeira fendilha o ocorre nas zonas de momentos mais elevados originando invariavelmente fendas verticais H medida que a carga aumenta a extens o da regi o fendilhada evolui obrigando redistribui o de tens es Os sucessivos estados de equil brio afastam se cada vez mais da distribui o el stica come ando a surgir fendas diagonais devido s tens es principais inclinadas Nesta fase dada a modifica o do estado de equil brio muitas das fendas de flex o anteriormente formadas deixam de se propagar iniciando at um processo de regress o sendo atravessadas por fendas diagonais Este atravessamento d se com ngulos vari veis cujo limite inferior de 30 um valor razo vel Figura 4 17 podendo ser encarado como um comprom
223. lidade dos m todos de an lise pl stica limite tamb m corrente dos quais se realcam o m todo das linhas de rotura e o m todo das bandas Ghali e Neville 1972 O c lculo das armaduras a partir dos resultados da an lise el stica baseada no m todo dos elementos finitos efectuado usando conceitos de an lise pl stica limite tais como o m todo baseado no crit rio do momento normal ou o mais sofisticado e gen rico modelo das tr s camadas fib 2004 Figueiras et al 1994 Lourengo e Figueiras 1993 Estando garantida a resist ncia ao corte nomeadamente ao puncoamento a ductilidade destes elementos estruturais permite lhes tamb m uma adapta o a uma larga variedade de solicita es pelo que o conhecimento do seu real estado de equil brio pode ser na maior parte das vezes relaxado No caso de estruturas tipo parede o processo de dimensionamento mais corrente consiste na constru o de modelos de escoras e tirantes a partir das traject rias das tens es principais el sticas conforme proposto por Schlaich et al 1987 Figura 1 3 Os modelos de escoras e tirantes representam um esquema de equil brio estaticamente admiss vel requerendo apenas a satisfa o das condi es de equil brio e de ced ncia e uma vez garantida a ductilidade da estrutura t m suporte te rico no teorema do limite inferior da teoria da plasticidade a ductilidade aqui entendida como a capacidade da estrutura em redistribuir tens es desde o esta
224. lobal da malha de Figura 5 42 Perspectiva das armaduras da armaduras passivas zona da l mina de apoio No primeiro incremento de carga foi aplicado a totalidade do peso pr prio da parede e do pr esfor o Nos seguintes foi aplicado incrementalmente o peso dos 7 5 metros de altura de l quido sobre a laje de fundo correspondentes a 75kN m conjuntamente com a carga descarregada pela laje de cobertura sobre metade da espessura da parede 110 kN m O factor de carga 4 1 0 corresponde assim combina o rara A partir do factor de carga 4 2 8 activou se o m todo do arco Arc length control A partir do factor de carga 4 2 82 n o foi obtida converg ncia do processo de solu o O estado de tens o no ltimo incremento de carga convergido A 2 82 de todos os pontos de integra o pertencentes aos v rios elementos estruturais modelados est representado nos gr ficos da Figura 5 43 Figura 5 46 Nestes relaciona se a tens o m dia o o 03 2 com a tens o de corte T oj 03 2 sendo vis vel que a envolvente de rotura de Mohr Coulomb foi atingida em pontos de Gauss de todos os elementos estruturais 3 0E 07 3 0E 07 x gt D 2 0E 07 l i 2 0E 07 1 Pa Envolvente z Pa Parede Inferior 7A 1 0E 07 Envolvente gt gt 1 0E 07 I Esquadro 3 0E 07 0 0E 00 0 0E 00 0 0E 00 2 0E 07 1
225. lobal da malha deformada est representada na Figura 5 56 e um pormenor da deformada da parede inferior na Figura 5 57 Nos gr ficos da Figura 5 58 e da Figura 5 59 ilustra se a evolu o dos deslocamentos verticais dos pontos indicados na Figura 5 56 l H Hl L Li m H LIT Hf H LL M 1 111 H JE i 8 Nj iy lj UT LT 7 IN D Figura 5 57 Pormenor da deformada 175x da Figura 5 56 Perspectiva global da malha zona de apoio deformada 30x para A 2 812 3 0 125 20 li a Factor de carga Factor de carga 10 5 0 0 0 005 0 000 0 070 0 060 0 050 0 040 0 030 0 020 0 010 0 000 0 010 Deslocamento vertical m 0 020 0 015 0 010 Deslocamento vertical m Figura 5 59 Evolu o dos deslocamentos Figura 5 58 Evolu o dos deslocamentos verticais verticais dos pontos P6 e P7 dos pontos Pl a P5 poss vel comprovar que a deforma o do apoio n o desprez vel em rela o deforma o da parede pois o deslocamento de P5 superior a metade do deslocamento de P1 Nos modelos 2D este aspecto n o bem reproduzido pelo que a compara o directa entre os deslocamentos dos modelos 2D com os do modelo 3D n o exequ vel A adequa o das condi es fronteira 207 Caso pr tico ETAR de Sob
226. lve se uma distribui o linear de deforma o e da ED e 9 Ce Acide ge ero yes E loc x h L e e e h 0 5L n 3 caso A banda de fendilha o n o segue as linhas da malha desenvolvimento em zig zag x E 2 MID Z h 0 5L cosg Figura 3 3 Formula o simplificada da largura efectiva da banda fendilhada no caso de a propaga o da fractura ndo ser paralela aos lados dos elementos finitos quadr ticos Adaptado de Barros 1995 79 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural Muitas vezes adoptada simplesmente a raiz quadrada da rea do elemento finito ou o di metro de um c rculo com a mesma rea como largura efectiva da banda fendilhada raiz c bica do volume ou esfera com o mesmo volume do elemento respectivamente em casos tridimensionais Note se que os elementos lineares fornecem uma aproxima o do campo de deforma es constante consistente com a prevista pela lei constitutiva do modelo da banda fendilhada o que n o rigorosamente verdade nos elementos quadr ticos Dado que as deforma es se tendem a localizar num elemento com o refinamento da malha a localiza o das deforma es tende no limite para uma solu o de descontinuidade forte n o permitindo a resolu o do campo de deforma es na ZPF nem permitindo averiguar o seu desenvolvimento com o progresso da fractura Desta forma deixa de ser con
227. m assentamento de apoio em ambas as extremidades e os v o extremos apenas numa Para este n vel de carga ainda n o ocorreu fendilha o pelo que a diminui o de rigidez devida s aberturas n o t o sens vel 209 Caso pr tico ETAR de Sobreiras Da observa o do gr fico com as leituras dos extens metros verifica se uma diferen a entre as leituras dos sensores ES4 e ES6 colocados na mesma posi o mas em faces opostas da parede de apoio Este facto parece indicar a exist ncia de flex o deste elemento Esta flex o poss vel de ocorrer na medida em que de esperar uma rota o do apoio interm dio no sentido do v o extremo No esquema da Figura 5 64 ilustra se a interpreta o do funcionamento da viga parede Figura 5 64 Funcionamento esquem tico da viga parede a vermelho a configura o indeformada a negro a configua o deformada A compara o das grandezas medidas experimentalmente com os valores previstos pelo modelo num rico deve ser efectuada com alguma cautela No caso das flechas nos modelos 2D n o se efectuou uma discretiza o da totalidade das paredes de apoio e dado que a sua deformabilidade da mesma ordem de grandeza da da viga parede os valores das flechas calculados nos modelos 2D tender o a ser inferiores aos reais principalmente nos v os interm dios sendo esse afastamento menor nos v os extremos No modelo 3D apesar da discretiza o mais completa da regi
228. m crit rio de resist ncia a sua propaga o requer um consumo de energia a energia de fractura que representa a energia dissipada por unidade de superf cie de um s lido Desta forma um crit rio energ tico deve tamb m ser considerado Este argumento pode no entanto ser suficiente para um f sico mas n o para um engenheiro de projecto 16 Cap tulo 2 Raz o 2 Objectividade dos c lculos Qualquer teoria f sica deve ser objectiva no sentido em que o resultado dos c lculos realizados com base nela sejam independentes de aspectos subjectivos tais como a escolha de coordenadas a escolha da malha de elementos finitos etc Uma poderosa abordagem an lise por elementos finitos do bet o fendilhado o conceito de fendilha o distribu da introduzido por Rashid 1968 no qual as fendas s o modeladas como parte do cont nuo De acordo com esta abordagem a tens o num elemento finito limitada pela tens o de rotura trac o do material fa Ap s atingir f a tens o no elemento finito deve decrescer Nas primeiras modela es efectuadas assumiu se uma queda vertical da tens o para zero Cedo se percebeu que resultados mais realistas eram obtidos se fosse considerado um diagrama de amolecimento strain softening na literatura em ingl s com diminui o gradual da tens o No entanto ap s este procedimento ter sido implementado em muitos programas e largamente utilizado descobriu se que os resultados n o eram ob
229. m os 210kN da modela o num rica 0 063 172 kN 4 z Tirante principal em ced ncia 22 KN gt gt 1066 fa 530 MPa gt 150 kN Tirante secund rio em ced ncia SUD E 1094 fu 180 MPa gt 22 kN fiss kN Figura 4 55 Equilibrio de for as na ced ncia com a representa o das tens es principais de compress o do modelo num rico No ensaio a rotura deu se para uma carga de 220 kN no actuador do lado do apoio de roletes e de 250 kN no outro actuador Este facto pode ser explicado pela exist ncia de uma reac o horizontal ao n vel do apoio direito que pode ser equilibrada pelo sistema p rtico actuadores Na Figura 4 56 representa se um modelo de escoras e tirantes contemplando estas forgas horizontais Sem pretender efectuar um ajuste das cargas obtidas verifica se nestas circunst ncias que a reac o no apoio simples inferior carga aplicada no actuador corroborando os resultados obtidos 168 Capitulo 4 220 kN 250 kN 25 kN 25 kN e a Pd Ni Ld T2 22 kN N N id TI 2 150 kN b n i a 50N A A 204 kN 266 kN 0 400 0 150 Figura 4 56 Equilibrio de for as no caso de mobiliza o de reac o horizontal no apoio prism tico 4 2 3 3 Modelo n 2 A geometria do modelo est representada na Figura 4 57 Numa primeira fase o ensaio foi realizado com as armaduras indicadas na Figura 4 58 que s o const
230. mecanismo de rotura identifica se com o representado na Figura 4 46 166 Capitulo 4 i ni ad Figura 4 51 Pormenor do esmagamento do bet o na extremidade da fenda de corte Figura 4 50 Padr o experimental de fendas na rotura O padr o de fendilha o do modelo num rico na rotura Figura 4 52 algo difuso na zona do tirante devido ao conceito de tension stiffening sendo no entanto percept vel alguma localiza o na regi o da parede onde foi adoptado o diagrama de tension softening todos os elementos situados a partir dos 33 cm de altura a partir da base A concord ncia com o padrao experimental razo vel Na Figura 4 52 pode observar se ainda que todos os pontos de Gauss situados no alinhamento da fenda de corte est o fendilhados estando a fractura ja completamente desenvolvida em todos eles sendo vis vel a localiza o das deforma es de corte na zona da fractura Figura 4 53 1J Lje ale o ede ht des ex vet ele eje eje jo o7 sje eje elt elo Figura 4 52 Malha deformada 25x no ultimo Figura 4 53 Mapa das distor es Yy no ultimo incremento convergido Vectores com a direc o incremento convergido Localiza o da fenda de da extens o normal s fendas 4x corte A rotura num rica ocorre com o bet o situado esquerda da placa onde introduzida a carga em regime de amolecimento
231. med the study and application of concrete non linear finite element analysis NLFEA procedures for structural performance assessment either in service or in ultimate state conditions The state of the art knowledge about concrete mechanical properties under short term static loads and mild weather conditions is presented in the first part of this thesis Afterwards several constitutive models usually adopted to model concrete non linear behaviour are presented and discussed In order to calibrate and evaluate the numerical models available in a NLFEA software some applications are made and the numerical results obtained are compared with experimental ones The structural behaviour of the analysed structures is discussed and some insight is gained within the possibilities of NLFEA Finally a practical case is presented and NLFEA potential is demonstrated in the design process and safety evaluation of a complex pre stressed concrete structure The structural elements analysed are the shear beams that support the upper level of a water treatment plant reservoirs AGRADECIMENTOS A todos aqueles que me acompanharam durante mais esta etapa e que atrav s da sua amizade compreens o e disponibilidade contribu ram para a realiza o deste trabalho expresso aqui o meu reconhecimento Tenho no entanto de referir especialmente o Professor Joaquim Figueiras meu orientador cient fico e grande respons vel pelo meu interesse no bet o estrutural
232. mensionamento foi efectuado com base numa distribui o el stica de esfor os segundo o modelo de escoras e tirantes representado na Figura 4 32 para uma carga P 350 kN Deve se referir que o dimensionamento foi efectuado considerando um bet o com uma resist ncia compress o m dia fm 33 MPa enquanto que o bet o efectivamente colocado na parede apresentou fem 42 MPa As armaduras foram dispostas conforme representadas na Figura 4 33 158 Capitulo 4 Figura 4 32 Modelo de escoras e tirantes usado para dimensionamento Bounassard Filho 1995 EEPSEPFISESEM 43 4 el Figura 4 33 Disposicdo de armaduras adoptada Bounassard Filho 1995 4 2 2 2 Andlise num rica Na an lise efectuada a parede foi discretizada em elementos planos quadr ticos de 8 n s com integrac o reduzida 2x2 pontos de Gauss e a carga aplicada com controlo de deslocamentos ap s terem sido introduzidas as cargas equivalentes ao pr esfor o sobre a viga de funda o Figura 4 34 As armaduras correspondentes s cintas e aos tirantes horizontais colocados ao longo da altura da parede foram modeladas de forma distribu da as restantes foram modeladas de forma discreta todas elas consideradas perfeitamente aderentes Dada a disposi o de armaduras rugosas em percentagens superiores m nima adoptou se
233. mentos finitos Note se que na representa o adoptada para as fendas a fendilha o esp ria quase eliminada dado que o tamanho dos vectores proporcional ao valor da extens o correspondente No incremento correspondente carga m xima as tens es ao longo da armadura est o representadas na Figura 4 16 constatando se que a armadura est ainda em regime el stico Do que foi atr s exposto pode se concluir que com adop o do valor de a 30 a rotura por corte tracc o foi devidamente modelada na medida em que foi poss vel obter resultados convergidos nos quais se d a propaga o de uma fenda diagonal t pica de uma rotura por corte levando a um decr scimo da carga Por outro lado na carga m xima a tens o m xima no bet o 149 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA sempre inferior a f e as armaduras est o em regime el stico o que tamb m est de acordo com as observa es experimentais X F l Li Figura 4 14 Padr o de fendilha o experimental imediatamente antes da rotura Borst e Nauta 1985 SONNEN E we E Figura 4 15 Viga deformada 10x para a 30 com os vectores perpendiculares abertura das fendas 10x no ultimo incremento de carga convergido amp 1EB MODEL WALRAVEN LC1 LOAD CASE 1 dibupneseqplfeeMB sia sp Sa RSS qe se yt esr ss sy cle STEP 183 LOAD 9 15 229 5 GT MORET Ale Pea
234. mulado de acordo com uma rela o tangencial estabelecida num dado referencial local z s t ns 3 6 Lnst Est 83 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural Formula es secantes s o tamb m correntes e de implementa o simples e robusta sendo no entanto apenas aplic veis ao c lculo da resposta estrutural originada por carregamentos monot nicos e proporcionais A rela o 3 6 expressa no referencial geral x y z toma a forma Ce dd D d T yz 3 7 A matriz de transforma o T entre o referencial geral e local vem dada por 2 Ll Ll Ll 2 M Mm mm 2 n n n n n Is II 3 8 2lm Lm lm lm 1 m 2m n m n mn m n m n i 2n l n l n l n l n l onde L m Mn ls m Ns l m ni SAO as coordenadas dos versor dos eixos n s t respectivamente expressas no referencial geral x y x No caso mais geral a matriz de rigidez tangente pode ser decomposta em quatro sub matrizes D a e 3 9 zs D Dy onde D a matriz de rigidez tangencial das componentes normais das extens es locais D a matriz de rigidez tangencial das componentes distorcionais das extens es locais e D e D s o as matrizes de rigidez tangente que representam o acoplamento entre os termos normais e distorcionais A sub matriz D em geral diagonal O s 0 0 OY ns D 0 0 3 10 vs 0 00 Oy As sub matrizes
235. n o depende unicamente da hist ria do campo de extens es nesse ponto mas tamb m do campo de extens es numa dada vizinhan a desse ponto Em teoria a tens o num ponto pode depender da hist ria de extens o de todo o corpo mas as interac es entre pontos certamente diminuem com a dist ncia pelo que podem ser desprezadas a uma dist ncia superior ao chamado raio de interac o R A adop o de um cont nuo n o local representa uma generaliza o da teoria da banda fendilhada Quando se usa o conceito de amolecimento na mec nica dos meios cont nuos local as zonas de amolecimento tendem a localizar se sendo necess rio a introdu o de um crit rio de localiza o A forma mais simples de o fazer impor uma deforma o constante ao longo de uma banda de largura definida A tal como exposto anteriormente Contudo prosseguindo o refinamento da malha de elementos finitos at valores inferiores a Ac esta abordagem perde sentido f sico na medida em que n o permite a obten o do campo de extens es na ZPF ou averiguar como varia o desenvolvimento da ZPF com o evoluir do processo de fractura ACI 1999 Bazant 1986 Parece bvio que a densidade de microfendas n o ser uniforme ao longo de toda a ZPF mas aumentar medida que nos aproximamos do seu centro A homogeneiza o da mesoestrutura do bet o a escalas inferiores a Ae deixa de se poder fazer atrav s de um campo uniforme de extens es Dois argumentos Bazant 19
236. nalysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanincs and finite elements Cement and Concrete Research 6 773 782 Hoehler M e Ozbolt J 2002 Application of the microplane model for three dimensional reversed cyclic analysis of reinforced concrete members Finite Elements in Civil Engineering Applications Tokyo Hordjick D A 1992 Tensile and tensile fatigue behaviour of concrete experiments modelling and analyses Heron 37 1 Hordjick D A Van Mier J G M e Reinhardt H W 1989 Material Properties Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and Hall London 67 127 Hsu T T C e Zhang L 1996 Tension Stiffening in Reinforced Concrete Membrane Elements ACI Structural Journal 93 1 108 115 Hsu T T C e Zhu R R H 2002 Softened Membrane Model for Reinforced Concrete Elements in Shear ACI Structural Journal 99 4 460 469 Hu H e Schnonobrich W C 1990 Nonlinear Analysis of Cracked Reinforced Concrete ACI Sructural Journal 87 2 199 207 229 Refer ncias Bibliogr ficas Ingraffea A e Saouma V 1985 Numerical modelling of discrete crack propagation in reinforced and plain concrete Engineering Application of Fracture Mechanics Jansen D C e Shah S P 1997 Efect of Length on Compressive Strain Softening of Concrete Journal of Engineering Mecha
237. nares de bet o A partir destas conclus es s o apontadas algumas direc es nas quais se considera pertinente continuar a desenvolver o trabalho iniciado com esta disserta o 12 CAP TULO 2 MEC NICA N O LINEAR DO BET O ESTRUTURAL 2 MEC NICA NAO LINEAR DO BET O ESTRUTURAL 2 1 INTRODUCAO O objectivo deste cap tulo consiste na caracteriza o do comportamento mec nico do bet o estrutural sujeito a cargas est ticas de curta dura o mas n o necesssariamente proporcionais Privilegiou se uma abordagem eminentemente f sica dos fen menos no intuito de fornecer uma base para a formula o de modelos as leis constitutivas que traduzam o comportamento observado A formula o de leis constitutivas pressup e a exist ncia de um volume de controlo sobre o qual s o estabelecidas No caso do bet o o estudo do seu comportamento usualmente colocado a tr s n veis Figura 2 1 macrosc pico macro level mesosc pico meso level e microsc pico micro level Wittmann 1983 micro level meso level macro level Figura 2 1 N veis de an lise no estudo do comportamento do bet o Bongers e Rutten 1998 Ao n vel microsc pico analisam se a microestrutura e as propriedades mec nicas da pasta de cimento endurecida O refinamento da an lise desce at s mol culas de silicato de c lcio hidratado unidas por for as de Van der Waals A este n vel em bet o normal
238. ndilha o a verificar 186 Capitulo 5 muito severo w 0 2 mm de modo a garantir a estanqueidade e impedir o ataque corrosivo do l quido contido Dado o elevado monolitismo da obra as quest es relacionadas com o controlo da fendilha o devida a deforma es impedidas revestem se de particular import ncia n o sendo no entanto alvo de an lise neste estudo b Figura 5 4 a Vista inferior da laje de fundo do n vel superior de reservat rios b Pormenor da zona de apoio interm dio de uma viga parede com os esquadros de refor o b Figura 5 5 a Vista interior do n vel superior de reservat rios b Pormenor de um tipo de aberturas junto ao apoio extremo 5 2 METODOLOGIA DE AN LISE E VERIFICA O DE SEGURAN A A an lise n o linear efectuada subsequente a um exaustivo estudo el stico linear no qual se baseou o dimensionamento das armaduras se avaliou o efeito da introdu o de pr esfor o n o aderente e dentro dos fortes condicionalismos existentes procurou se optimizar a forma das zonas de apoio com a introdu o de esquadros de refor o com a largura da nervura Figura 5 4 e das aberturas Uma descri o detalhada do estudo realizado pode ser encontrada em Figueiras e Pimentel 2004 Figueiras et al 2002 A aplica o da metodologia habitual de verifica o de seguran a baseada no uso de coeficientes parciais merece alguns reparos no mbito de uma an lise n o linear
239. ndo uma an lise com o bet o considerado no dimensionamento e n o contabilizando o efeito das apertadas cintas colocadas no pilar direito a rotura do modelo d se para uma carga P 325 kN inferior carga de c lculo o que real a os cuidados a ter no dimensionamento deste tipo de estruturas com base em modelos el sticos Foi ainda efectuada a modela o da parede recorrendo ao modelo Rankine Drucker Prager tendo sido obtidos resultados similares em termos de padr o de fendilha o e modo de ru na mas a carga ltima obtida de 443 kN superior experimental No entanto este modelo revelou se mais robusto na fase de rotura tendo sido obtidos mais resultados convergidos ap s a carga m xima Figura 4 43 e Figura 4 44 permitindo observar maiores redistribui es de tens es nas regi es plastificadas 500 4 500 4 men ee LVDT 1 Num rico 400 4 B o S w e S 300 4 Corte Basal Total kN Corte Basal Total kN 200 4 Experimental 200 4 Pilar dir Pilar esq El stico 100 4 100 4 0 i i j i o 9 2 2 8 10 12 0 50 100 150 200 250 300 350 mm Corte Basal por Pilar kN Figura 4 43 Modelo Rankine Drucker Prager Curvas carga deslocamento Figura 4 44 Modelo Rankine Drucker Prager Evolu o do corte basal em cada um dos pilares 163 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA 4 2 3
240. nfinamento o constante a imposi o de uma tens o tangencial 7 origina um deslocamento tangencial acompanhado de um aumento da abertura da fenda w e Mantendo w a imposi o de uma tens o tangencial 7 origina um aumento da tens o normal de confinamento o Com o aumento da abertura da fenda as zonas de contacto entre as suas faces v o se tornando mais reduzidas pelo que a for a de corte transmitida ser tanto menor quanto maior for w Por outro lado para deslocamentos grandes de esperar uma maior degrada o da interface pelo que a for a de corte transmitida dever estabilizar ou at diminuir a partir de um certo valor de Or O fen meno de engrenamento entre os agregados aggregate interlock respons vel pela transmiss o de importantes for as de corte atrav s de fendas macrosc picas com aberturas consider veis w maior que 0 1 mm sendo determinante na correcta avalia o da capacidade 38 Capitulo 2 resistente de muitos tipos de estruturas Dos modelos anal ticos existentes para descrever o fen meno da transfer ncia de tens es de corte atrav s de superf cies macrosc picas de fractura apenas dois se baseiam numa interpreta o f sica sob a forma de teoria estabelecida sobre a mec nica do aggregate interlock s o eles o modelo das duas fases two phase model Walraven e Reinhardt 1981 e o modelo da densidade de contacto contact density model Li et al 1989 Para uma e
241. nics 123 1 25 35 Jirasek M 1998 Nonlocal Models for Damage and Fracture Comparison of Approaches International Journal of Solids and Structures 35 31 4133 4145 Jirasek M 20022 Numerical modeling of strong discontinuities Revue fran aise de genie civil 6 6 1133 1146 Jirasek M 2002b Objective modeling of strain localization Revue francaise de genie civil 6 6 1119 1132 Jirasek M 2002c Plasticity Damage and Fracture Technical University of Catalonia UPC Barcelona Jirasek M e Bazant Z P 2002 Inelastic Analysis of Structures Wiley Jirasek M e Zimmerman T 19982 Analysis of Rotating Crack Model Journal of Engineering Mechanics 124 8 842 851 Jirasek M e Zimmerman T 1998b Rotating Crack Model with Transition to Scalar Damage Journal of Engineering Mechanics 124 3 277 284 Kang H D e Willam K 1999 Localization Characteristics of Triaxial Concrete Model Journal of Engineering Mechanics 125 8 941 950 Kaufmann W e Marti P 1998 Structural Concrete Cracked Membrane Model Journal of Structural Engineering 124 12 1467 1475 Kotsovos M D e Pavlovic M N 1995 Structural Concrete Finite element analysis for limit state design Thomas Telford London Kupfer H B e Gerstle K H 1973 Behaviour of Concrete Under Biaxial Stresses Journal of Engineering Mechanics Division 99 EMA 853 866 Larby J A 199
242. nos quais se mediram deslocamentos 04 0 07125 1304 por fac 04 0 076 EC2 ECI 208 0608 T FT 28 806 04 0 076 806 04 0 07125 14 cintas 2404 por face 14 cintas 94 0 07125 Figura 4 71 Armaduras e localiza o dos extens metros 173 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA Figura 4 72 Pormenor das armaduras do tirante principal e do extens metro EC2 instrumenta o exterior As caracter sticas usadas para os materiais estao indicadas na Tabela 4 6 Tabela 4 6 Caracter sticas dos materiais utilizados je Figura 4 73 Aspecto geral do modelo n 3 com a BET O fem 45 MPa f 32Mpa G 100 N m G 15000 N m ACO gs Js 330 Mpa fou 610 Mpa d y 530 MPa Sou 610 MPa p y 180 MPa Sou 292 MPa Os valores assinalados com foram estimados A rotura experimental ocorreu de acordo com 0 mecanismo de rotura da Figura 4 46 para uma carga F 275 kN actuador e com as armaduras do tirante principal em ced ncia sendo t pico de uma rotura por corte compress o O padr o de fendilha o imediatamente antes da rotura com realce das fendas mais activas est representado na Figura 4 74 A fenda inclinada mais esquerda foi a ltima a formar se evidenciando desde logo aberturas vis veis a olho nu O bet o na zona
243. nte com os 0 0014 face Conforme se constatou o modelo assim dimensionado atingiu a carga de projecto na medida em que a rotura se deu com as armaduras em ced ncia No modelo escala real de forma a manter as tens es nas escoras a for a F deve vir multiplicada por sf Facilmente se conclui que a rea total de armadura colocada nas mesmas posi es relativas deve vir tamb m multiplicada por sf Adoptou se assim uma armadura de alma no mesmo a o macio da do modelo experimental com uma rea de 1450 mm m face a que correspondem os mesmos 0 00234 face do modelo experimental equivalentes a 0 0014 face ou 650 mm m face em a o A400 O tirante principal desta feita constitu do por 198 cm de armadura disposta ao longo de 46 cm de altura Todas as caracter sticas dos materiais foram mantidas Como par metro independente da dimens o que permite comparar resultados entre estruturas geometricamente semelhantes mas com escalas diferentes utilizou se a tens o m dia de corte dada por 4 26 onde F a carga por actuador 5 a espessura e a altura da viga F T ned bh 4 26 O modo de rotura calculado tem caracter sticas em tudo semelhantes s do modelo reduzido com a importante ressalva de a rotura por corte compress o ter ocorrido com a armadura do tirante ainda em regime el stico exibindo portanto um car cter fr gil A tens o m dia de corte ltima cerca de 25 inferior obtida no modelo reduzido O
244. ntes onde cada combina o pode requerer um novo modelo Exemplos de aplica o desta metodologia podem ser encontradas em fib 2004 Pimentel e Miranda 2001 Na Figura 1 4 est ilustrada uma aplica o do m todo A materializa o armadura efectuada atrav s do c lculo da rea definida pelo diagrama da Figura 1 4 b dispondo a aproximadamente ao longo da altura por ele definida e tendo em aten o o comprimento necess rio sua amarra o 56 32783 50 49174 44 65566 Corte 3 3 38 81957 32 98349 27 14740 21 31131 Altura 15 47523 8 3 803057 anv roon oD 2 033029 BOSNIA 0 5 10 15 20 25 30 Asxx cm2 m a b Figura 1 4 C lculo das armaduras com base nos resultados do m todo dos elementos finitos a Mapa com as densidades de armadura horizontais cm m b Corte com a varia o da densidade de armadura ao longo da altura Na Delft University of Technology na Holanda est a ser desenvolvido um novo m todo para o dimensionamento de estruturas tipo parede e que pode ser usado tanto para verifica es aos estados limites de servi o assim como aos estados limites ltimos No chamado M todo da Corda Painel Stringer Panel Method a estrutura modelada atrav s de um conjunto de cordas e pain is Figura 1 5 e baseia se na constata o de que as armaduras principais neste tipo de elementos estruturais est o na maior parte das vezes concentradas e dispostas ao l
245. ntos adjacentes obrigam ocorr ncia de trac es que s o respons veis pela ocorr ncia de fendas adicionais sem significado f sico e resultantes do mecanismo atr s referido que naturalmente limitam o seu valor Estas fissuras adicionais contribuem para o padr o difuso de fissura o que calculado nomeadamente quando se est perante a propaga o de fendas n o paralelas aos lados dos elementos finitos Figura 3 21 b Este fen meno n o exclusivo dos elementos triangulares com fun es de forma lineares Elementos com fun es de forma de ordem mais alta oferecem uma descri o cinem tica mais flex vel podendo atrav s de ajustamentos no campo de deslocamentos interpolado relaxar parte da transmiss o esp ria de tens es sem no entanto eliminar o problema O stress locking tamb m n o exclusivo dos modelos de fendilha o distribu da A rota o dos eixos principais de deforma o e a exist ncia de uma extens o principal lateral negativa necessariamente produzida pela interpola o por elementos finitos Um raro exemplo de uma fam lia de modelos imunes a estas defici ncias ser a dos modelos de dano isotr pico para o qual as tens es desaparecem totalmente em todas as direc es isotropia assim que o par metro de dano atinge o valor unit rio Para mais pormenores consultar Jirasek e Zimmerman 1998a Jirasek e Zimmerman 1998b 3 4 MODELOS ELASTO PL STICOS 3 4 1 Formula o geral
246. ntra o comportamento observado para o bet o Desta forma esta formula o est longe de fornecer uma lei constitutiva geral sendo a sua utiliza o restringida a casos de carregamentos monot nicos e proporcionais Computacionalmente este tipo de leis pode facilmente ser implementada utilizando formula es secantes Pode ser demonstrado que sob certos ciclos de carga um material el stico de Cauchy pode gerar energia o que entra em conflito com as leis da termodin mica Chen 1982 Este facto conduz considera o de um outro tipo de lei constitutiva mais geral Modelos Hiperel sticos ou modelos el sticos de Green Este tipo de modelos relaciona ainda as tens es totais com as extens es totais impondo reversibilidade e independ ncia da hist ria do carregamento Baseiam se na exist ncia da fun o densidade de energia de deforma o W ou a fun o densidade de energia complementar Q tais que oW OFS ET 3 2 08 eO e 3 3 00 Estas fun es W e Q dependem do estado corrente de extens o ou de tens o respectivamente e asseguram que n o h gera o de energia atrav s dos ciclos de carga Para um material inicialmente isotr pico estas fun es podem ser expressas custa de qualquer conjunto de tr s invariantes dos tensores das extens es ou das tens es respectivamente Chen 1982 Willam 2002 Modelos incrementais modelos hipoel sticos de Truesdell Este tipo de formula o desc
247. o um fen meno altamente direccional induzindo um comportamento anisotr pico pelo que um modelo com estas caracter sticas ser sempre algo simplista na abordagem ao comportamento do bet o fissurado Intrinsecamente relacionado com o conceito de vari vel de dano est o conceito de tens o efectiva Em temos tensoriais o tensor das tens es efectivas o definido por Ia 1 ge 3 119 As rela es constitutivas do material intacto s o estabelecidas em termos do tensor das tens es efectivas g obtendo se as tens es totais o a partir daquelas e do conhecimento da evolu o da vari vel de dano Um modelo de dano el stico ent o composto pelas seguintes componentes 1 Rela o constitutiva entre as tens es efectivas e as extens es el sticas la D 3 120 2 Crit rio de dano que permite estabelecer as situa es de carga descarga e recarga e cuja satisfa o implica a evolu o da vari vel de dano Este crit rio pode ser estabelecido no espa o das tens es efectivas ou no espa o das deforma es totais 3 Lei de evolu o da vari vel de dano Exemplos de formula es com modelos de dano deste tipo podem ser encontrados em Hanganu et al 2002 Jirasek 2002c estando especialmente vocacionadas para a an lise de estruturas de grandes dimens es devido sua simplicidade e robustez dos algoritmos computacionais resultantes Dada a diferen a fundamental entre o comportamen
248. o Cachim 1999 Feenstra 1993 120 Capitulo 3 3 4 4 Leis de escoamento associadas e n o associadas Em 3 4 1 foi definida com toda a generalidade a lei de escoamento pl stico atrav s da defini o de uma fun o potencial pl stico dependente do tensor das tens es ou no caso de plasticidade isotr pica dos invariantes do tensor das tens es Tamb m foi referido que esta fun o que define a direc o do escoamento pl stico deve ser obtida a partir de resultados experimentais Um exemplo de uma investiga o nesse sentido pode ser encontrada em Maekawa e Okamura 1983 No caso de um material el stico perfeitamente pl stico de um ponto de vista te rico conveniente trabalhar com uma lei de escoamento que preserve a validade do princ pio da m xima dissipa o de energia pl stica de deforma o Este princ pio verificado se a superf cie de ced ncia for c ncava e normal ao vector de escoamento pl stico Jirasek 2002c Jirasek e Bazant 2002 Demonstra se que se um material respeitar este princ pio garante n o s a unicidade da solu o mas tamb m a irreversibilidade da deforma o pl stica A conveni ncia te rica adv m do facto de nestas circunst ncias ser poss vel formular o quadro te rico da an lise pl stica limite que conduz a m todos de an lise estrutural t o divulgados como o m todo das linhas de rotura e o m todo das bandas na an lise de lajes o m todo das escoras e tirante
249. o do apoio ainda assim este n o foi modelado na sua totalidade Por outro lado as condi es de simetria utilizadas n o permitem captar o efeito da maior rigidez do apoio de extremidade Neste caso ser de esperar que as flechas medidas no v o interm dio sejam superiores s calculadas e que no v o extremo essa diferen a seja menor No caso da laje e dada a sua muito maior deformabilidade todos estes aspectos s o de menor significado no valor da flecha final 210 Capitulo 5 DVI 3D P3 h m DV4 3DP1 DV2 3DP7 0 00 2 00 4 00 6 00 8 00 10 00 mm Figura 5 65 Evolu o das flechas com a altura de l quido Compara o dos valores medidos com os calculados no modelo 3D A tracejado as flechas medidas a cheio e mesma cor os correspondentes deslocamentos do modelo 3D Na Figura 5 65 est representada a evolu o das flechas medidas com a altura de l quido assim como os valores dos deslocamentos de pontos do modelo 3D em correspond ncia com a posi o dos LVDT s Os desvios verificados de cerca de 40 nos valores das flechas no v o interm dio de 13 no v o extremo e de 9 no valor da flecha da laje est o em correspond ncia com a interpreta o atr s avan ada Os valores experimentais foram obtidos a partir dos valores iniciais e finais de cada fase de enchimento de forma a eliminar os efeitos da deforma o diferida do bet o vis veis no gr fico da Fig
250. o efeito de ponte entre fendas A maioria das fendas contorna os agregados existindo algumas que os atravessam Retirado de Bongers e Rutten 1998 47 Mec nica n o linear do bet o estrutural Las UNIAXIAL COMPRESSION TESTS cross section A 100x100 mm UNIAXIAL COMPRESSION TESTS RO I RED SIUN CESIS H 50 G5 395 N mn 100 426 200 405 0 87 06 dimensionless stress 04 015 ou o T S E H 50 mm 02 oe TE vo H 100 mm H 200mm t 0 4 4 3 4 4 Ku cA A q B Lot E ee OD 3 o 3 4 5 6 To cBo g ap strain i oo UA tot 7 op mm e Figura 2 33 Influ ncia da altura do provete na Figura 2 34 Deslocamentos p s pico para os curva tens o extens o uniaxial Retirado de Van tr s provetes da Figura 2 33 Retirado de Van Mier 1986 Mier 1986 2 4 1 2 Influ ncia da componente hidrost tica do tensor das tens es no processo de fractura De acordo com Kotsovos e Pavlovic 1995 num estado de tens o puramente hidrost tico excep o do car cter aleat rio da sua orienta o o processo de fractura segue essencialmente as 3 primeiras etapas referidas na sec o anterior Devido a esta aleatoriedade a probabilidade de uma fenda atravessar a traject ria de propaga o de uma outra fenda grande actuando como um inibidor do processo de fractura aumentando a energia necess ria para desencadear o processo de propaga o O n mero destes inibidores aumenta com o
251. odo I De qualquer forma ap s o processo de fractura ter terminado a rota o das tens es principais leva exist ncia de tens es de corte na superf cie de fractura cuja evolu o ser abordada na sec o 2 3 No entanto ensaios de corte 26 Capitulo 2 sobre juntas de argamassa entre pe as pr fabricadas revelaram um efeito de escala sempre que as argamassas eram de qualidade m dia ou elevada ou sempre que fosse aplicado um pr esfor o que impedisse a fendilha o desta devido a esfor os de natureza auto equilibrada temperatura e ou retrac o Este facto aponta no sentido da exist ncia de fractura em Modo II nas juntas com necessidade de aplica o de conceitos da mec nica da fractura ainda n o estabelecidos Reinhardt 1989b Em Louren o 1996 refere se a exist ncia de uma energia de fractura em Modo II dependente da tens o de confinamento utilizada para determinar a resist ncia rotura por corte das juntas de argamassa em estruturas de alvenaria 2 2 3 2 Modelos de NLFM Os modelos macrosc picos de NLFM mais correntemente utilizados podem ser classificados de acordo com o crit rio de localiza o assumido para as deforma es em regime de amolecimento Figura 2 15 Uma proposta de classifica o dos modelos mais exaustiva pode ser encontrada em Elices e Planas 1989 ER Beda a b c Figura 2 15 Crit rios de localiza o das deforma es adaptado de Elices e Planas 1
252. of Performance of Constructed Facilities 16 3 110 115 Vecchio F J Bentz E C e Collins M P 2004 Tools for forensic analysis of concrete structures Computers and Concrete 1 1 1 14 Vecchio F J e Collins M P 1986 The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear ACI Journal 83 2 219 231 Vecchio F J e Collins M P 1993 Compression Response of Cracked Reinforced Concrete Journal of Structural Engineering 119 12 3590 3610 Vecchio F J e Selby R G 1991 Toward Compression Field Analysis os Reinforced Concrete Solids Journal of Structural Engineering 117 6 1740 1758 Vecchio F J e Shim W 2004 Experimental and Analytical Reexamination of Classical Concrete Beam Tests Journal of Structural Engineering 130 3 460 469 Vermeer P A e Borst R 1984 Non associated plasticity for soils concrete and rock Heron 29 3 Walraven J C e Reinhardt H W 1981 Theory and Experiments on the Mechanical Behaviour of Cracks in Plain and Reinforced Concrete Subjected to Shear Loading Heron 26 1A Willam K 2002 Constitutive Models for Engineering Materials Encyclopedia of Physical Science and Technology Academic Press 603 633 Witte F C e Kikstra W P 2002a DIANA User s Manual release 8 1 Analysis Procedures TNO Building and Construction Research Delft Witte F C e Kikstra W P 2002b DIA
253. of Structural Concrete under Fatigue Loading with Applications to Concrete Pavements Disserta o de Doutoramento Faculdadede Engenharia da Universidade do Porto Porto Caner F C e Bazant Z P 2000 Microplane model M4 for concrete II Algorithm and Calibration Journal of Engineering Mechanics 126 9 954 961 Caner F C Bazant Z P e Cervenka J 2002 Vertex Effect in Strain Softening Concrete at Rotating Principal Axes Journal of Engineering Mechanics 128 1 24 33 Canisius T D G 2001 Concrete excavation for patch repair Non linear modelling of propped and unpropped conditions Finite Elements in CivilEngineering Applications Tokyo CEB 1993 CEB FIP Model Code 1990 Thomas Telford London CEB 1996 RC elements under cyclic loading State of the art report Thomas Telford London CEN 2002 Eurocode 2 Design of concrete structures prEN 1992 1 1 Revised final draft Brussels Cervenka V 1985 Constitutive Model for Cracked Concrete ACI Journal 877 882 Cervenka V 2002 Computer Simulation of Failure of Concrete Structures for Practice First fib Congress in Osaka Osaka Cervenka V Jendele L e Cervenka J 2002 ATENA Program Documentation Part 1 Theory Cervenka Consulting Prague Chen W F 1982 Plasticity in Reinforced Concrete McGraw Hill Choi S e Shah S P 1998 Fracture Mechanism in Cement Based Materials Subjected to
254. ology TNO Institute for Building Materials and Structures Delft Schlaich J Schafer K e Jennewein M 1987 Toward a Consistent Design of Structural Concrete Journal of Prestressed Concrete Institute 32 3 74 150 Schlangen E 1993 Experimental and Numerical Analysis of Fracture Process in Concrete Heron 38 2 Shima H Chou L e Okamura H 1987 Micro and Macro Models for Bond in Reinforced Concrete Journal of the Faculty of Engineering of Tokyo XXXIX 2 133 194 Soltani M An X e Maekawa K 2003 Computational model for post cracking analysis of RC membrane elements based on local stress strain characteristics Engineering Structures 25 993 1007 Stevens N J Uzumeri S M e Collins M P 1987 Analytical Modelling Of Reinforced Concrete Subjected to Monotonic and Reversed Loadings No 87 1 Department of Civil Engineering of the University of Toronto Toronto Strauss A Bergmeister K e Santa U 2004 Reliability based assesment procedure for concrete structures Concrete Structures the Challenge of Creativity Avignon Tommaso A 1989 Size Effects and Brittleness Fracture Mechanics of Concrete Structures Report of the RILEM Comitee 90 FMA L Elfgren ed Chapman and Hall London 191 207 Van Geel H J G M 1998 Concrete in multiaixial compression experimental research Ph D Eindhoven University of Technology The Netherlands Van Mier J G
255. ombina es de ac es actuantes O modelo de c lculo usualmente empregue uma an lise el stica com base no m todo dos elementos finitos 3 Dimensionamento das sec es consistindo na verifica o das dimens es iniciais adoptadas e na quantifica o das armaduras para resistir aos esfor os internos calculados S o empregues leis constitutivas n o lineares para os materiais com vista determina o da capacidade resistente ltima de acordo com os modelos de dimensionamento atr s mencionados 4 Em casos mais complexos realizada uma an lise n o linear com o tra ado da resposta at rotura para clarificar o comportamento e validar ou n o o dimensionamento proposto permitindo uma correcta identifica o do mecanismo de colapso A an lise n o linear de estruturas de bet o armado e pr esfor ado desenvolveu se notavelmente desde as primeiras aplica es h quase 40 anos atr s resultado do intenso trabalho de investiga o que tem vindo a ser desenvolvido no aperfei oamento dos modelos constitutivos do bet o e no desenvolvimento de sofisticados algoritmos de an lise Estes progressos est o bem documentados em v rios estados da arte sendo ainda tema de muitos congressos e simp sios na actualidade Concomitantemente o enorme progresso no desempenho dos computadores a que se tem vindo a assistir e que n o d mostras de abrandar permite a realiza o de an lises relativamente complexas num compu
256. omportamento n o linear global s o as mais importantes do ponto de vista do engenheiro de estruturas Nas sec es seguintes s o resumidos os principais aspectos do comportamento do bet o descrevendo se o comportamento macrosc pico e tra ando se em seguida os aspectos essenciais das teorias que a um n vel mais elementar sustentam as observa es experimentais 2 2 FRACTURA POR TRAC O DO BET O SIMPLES 2 2 1 A import ncia da mec nica da fractura O papel do comportamento trac o do bet o foi durante muito tempo considerado de menor import ncia nas an lises rotura de estruturas de bet o Isto deveu se ao facto do bet o ser um material mais adequado e por conseguinte preferentemente utilizado para resistir a esfor os de compress o Contudo com a introdu o dos conceitos da Mec nica da Fractura no estudo das estruturas de bet o nomeadamente no que se refere s quest es do balan o energ tico ficou clara a import ncia das propriedades do bet o traccionado nas verifica es rotura A prem ncia da inclus o dos conceitos da Mec nica da Fractura na pr tica corrente de dimensionamento e consequentemente no articulado dos actuais regulamentos sustentada pelas cinco raz es a seguir apresentadas ACI 1999 Raz o 1 Energia necess ria forma o de fendas De um ponto de vista estritamente f sico tem de ser reconhecido que enquanto a inicia o de uma fenda deve depender da tens o u
257. ongo de alinhamentos rectos representados pelas cordas e a armadura distribu da est disseminada sobre reas consider veis representadas pelos pain is As cordas resistem aos esfor os normais e os pain is essencialmente a esfor os de corte A interac o entre as cordas e os pain is resulta numa tens o constante na interface originando uma distribui o triangular de for as nas cordas As leis constitutivas das cordas incluem o efeito da reten o de tens es de trac o no bet o e para os pain is foi adoptada a vers o modificada da teoria do campo de compress es Modified Compression Field Theory proposta por Vecchio e Collins 1986 Detalhes sobre o m todo podem ser encontrados em fib 2004 e em http www mechanics citg tudelft nl spancad Introdu o Malha de armadura Painel pos normal ao painel ay For a de corte no Figura 1 5 Elemento de corda painel fib 2004 Nas cascas o dimensionamento das armaduras pode ser efectuado a partir das tens es el sticas determinadas pelo m todo dos elementos finitos atrav s da generaliza o dos m todos j referidos para as lajes e para as paredes Louren o e Figueiras 1993 Figura 1 6 Exemplos de aplica o desta metodologia podem ser encontrados em fib 1999c fib 2004 Figueiras et al 1994 F T 0 y o cot vycot 2 Figura 1 6 Modelo das tr s camadas a Elemento de casca b For as em cada uma das cama
258. orna necess rio o desenvolvimento de teorias que traduzam o comportamento comp sito macrosc pico observado Obviamente que a poupan a em esfor o computacional traduzida por uma perda de generalidade e ganho em complexidade conceptual das formula es A seguir exp em se os conceitos e as teorias que foram sendo desenvolvidas no sentido de formular leis constitutivas para o material bet o armado fendilhado 2 6 1 Reten o de tens es de trac o no bet o tension stiffening Na presen a de armadura aderente em quantidade suficiente a fractura do bet o sujeito a esfor os de trac o deixa de ser um fen meno localizado A um n vel macrosc pico o fen meno de amolecimento deixa de se verificar e todas as quest es relacionadas com a localiza o das deforma es a objectividade dos resultados e os efeitos de escala s o eliminados A armadura 61 Mec nica n o linear do bet o estrutural m nima necess ria para que isto se verifique deve ser tal que consiga estabilizar o processo de fissura o garantindo um espa amento regular das fissuras Um ensaio de trac o a um tirante de bet o armado nestas condi es conduz a uma curva carga deforma o que de uma forma geral se assemelha que est representada na Figura 2 52 Podem ser identificadas tr s fases distintas no comportamento evidenciado NA Asfy Asfy Condi o 1 48 nx Pd AL L sm Fi
259. os n s dos dois tipos de elementos n o necessitam de ser coincidentes No caso de armaduras distribu das dispostas em malha s o utilizados elementos bidimensionais apenas com rigidez axial na direc o dos feixes de armadura no caso de var es isolados s o utilizados elementos de barra Detalhes sobre este tipo de formula o podem ser encontrados em Barros 1995 Feenstra 1993 P voas 1991 A ader ncia entre os dois materiais modelada de forma indirecta atrav s do conceito de diagrama de reten o de tens es no bet o Foi dada aten o especial interpreta o f sica e identifica o das roturas nos modelos num ricos Na an lise de estruturas com comportamento fr gil pr tica corrente relacionar uma diverg ncia do algoritmo iterativo de solu o com uma rotura Conforme evidenciado por Borst e Nauta 1985 este um procedimento incorrecto na medida em que a diverg ncia pode ter origem numa insufici ncia do referido algoritmo ou na escolha do esquema de integra o utilizado n o tendo subjacente qualquer fundamento f sico Baseado em an lises preliminares e tamb m de acordo com as constata es de Borst e Nauta 1985 para obten o do estado de equil brio correspondente a cada incremento de carga adoptou se um algoritmo iterativo baseado numa formula o secante ou Quasi Newton e usualmente designado por BFGS Witte e Kikstra 2002a Este algoritmo revelou se mais robusto que o tradicional m todo de
260. os de corte desempenham um papel determinante como sejam as roturas por corte em vigas ou lajes pun oamento As roturas governadas por mecanismos de flex o n o apresentam hoje dificuldades generalidade dos modelos num ricos Assim sendo no Cap tulo 4 foram analisadas v rias estruturas em estado plano de tens o onde os esfor os de corte no plano eram relevantes no intuito de avaliar a capacidade dos modelos num ricos dispon veis na reprodu o de resultados experimentais observados em alguns elementos estruturais de funcionamento delicado As an lises efectuadas permitiram comprovar a versatilidade dos modelos de fendas fixas com possibilidade de fissura o n o ortogonal em contraste com as formula es co rotacionais Dada a liberdade concedida pelo software dispon vel na fixa o de par metros procurou se definir um conjunto de valores que pudessem ser utilizados em todas as an lises o que est mais de acordo com o que seria de esperar de um modelo de ANLE generalista e apto a ser utilizado na fase de dimensionamento No dom nio dos algoritmos de solu o n o linear a adop o de m todos Quasi Newton nomeadamente o m todo BFGS associados a um algoritmo de Line Search revelaram se os mais robustos em todas as situa es analisadas Dos exemplos estudados concluiu se que o modelo num rico seleccionado e calibrado conforme exposto no Cap tulo 4 foi capaz de reproduzir uma s rie de resultados experimentais
261. outoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Bazant Z P 1984 Size Effect in Blunt Fracture Concrete Rock Metal Journal of Engineering Mechanics 110 4 518 535 Bazant Z P 1985 Mechanics of fracture and progressive cracking in concrete structures Fracture mechanics of concrete Structural application and numerical calculation G C Sih and A Tommaso eds Martinus Nijhoff Publishers Bazant Z P 1986 Mechanics of distributed cracking Appl Mech Rev ASME 39 5 675 705 Bazant Z P 1991 Why Continuum Damage is Nonlocal Micromechanics Arguments Journal of Engineering Mechanics 117 5 1070 1087 225 Refer ncias Bibliogr ficas Bazant Z P 2001 Size Effect on Structural Strenght Handbook of Materials Behaviour Models J Lemaitre ed Academic Press San Diego 30 68 Bazant Z P Adley M D Carol L Jirasek M Akers S A Rohan B Cargile J D e Caner F C 20002 Large Strain Generalization of Microplane Model for Concrete and Application Journal of Engineering Mechanics 126 9 971 980 Bazant Z P Caner F C Carol I Adley M D e Akers S A 2000b Microplane model M4 for concrete I Formulation with work conjugate deviatoric stresses Journal of Engineering Mechanics 126 9 944 953 Bazant Z P e Gambarova P G 1984 Crack Shear in Concrete Crack Band Microplane Model Journal of Structural Engineer
262. pa com as tens es na armadura segundo xx O ponto mais desfavor vel nestas condi es o ponto de Gauss PGS cuja evolu o da tens o principal de compress o est tra ada no gr fico da Figura 5 53 juntamente com a resist ncia uniaxial de compress o reduzida de acordo com o factor dado na Figura 5 13 Verifica se que para 4 2 74 a tens o actuante excede a tens o resistente w f pelo que o bet o deveria entrar em regime de amolecimento No entanto dado que este factor de carga j bastante superior ao valor requerido para a verifica o de seguran a n o se realizou uma an lise posterior com um valor reduzido de f gt 1 35e9 1 314 8 1 2718 228E8 1 187E9 3 1458 1 103E8 1 683E8 1 181E8 1 241E8 I z m Figura 5 51 Padr o de fissura o na l mina Figura 5 52 Tens es nas armaduras central de apoio 2 82 horizontais na l mina central de apoio A 2 82 205 Caso pr tico ETAR de Sobreiras 3 0 2 5 H 2 0 Factor de carga r 0 5 t T T r T 0 0 3 5E 07 3 0E 07 2 5E 07 2 0E 07 1 5E 07 1 0E 07 5 0E 06 0 0E 00 Tens o principal m nima c Pa Figura 5 53 Evolu o da tens o 0 no ponto de Gauss PGS As tens es nos var es de 36 mm dispostos na regi o do apoio est o ilustradas na Figura 5 54 para os factores de carga 4 1 0 2 1 e 2 82 MOZDAOHO 58 22 5 2 1 5 71 GAUSSIAN RE SXX G SZZ 1E8
263. padr o de fendilha o est representado na Figura 4 86 e a localiza o das distor es yy na Figura 4 87 Nos gr ficos da Figura 4 88 e da Figura 4 89 est o ilustrados alguns resultados comparativos entre os dois modelos onde se evidencia o efeito de escala 178 Capitulo 4 ii 21 titres E E Figura 4 86 Malha deformada 50x antes da rotura Figura 4 87 Mapa das distor es yy Localiza o Vectores com a direc o da abertura das fendas 75x da fenda de corte pp MEE dos e pare Sal E a RR EERIE dodge eme i i z E Escalareduzida MW i i Escalreduzida TST NR m Escala real Escala real 1 E 50 40 20 20 0 8 6 4 2 0 2 4 6 og 10 m Sx mea 10 m m o MPa Figura 4 88 Tens o m dia de corte v s distor o Figura 4 89 Tens o m dia de corte v s tens o m dia no v o de corte extens o m dia do tirante principal de compress o esquerda do actuador 4 3 CONSIDERA ES FINAIS Dos tr s modelos dispon veis apenas o modelo Multifix com possibilidade de forma o de fendas n o ortogonais baseado num modelo de fendas distribu das com decomposi o das extens es associado a um modelo elasto pl stico para a compress o se revelou suficientemente vers til para poder ser utili
264. por duas cargas pontuais e na qual n o foram dispostos estribos A rela o v o de corte altura til igual a 3 A rotura experimental deu se por corte para uma carga de cerca de 69 kN por actuador de forma s bita sem esmagamento do bet o no banzo comprimido e com a armadura de flex o ainda em regime el stico podendo ser classificada como uma rotura por corte trac o A an lise desta viga coloca um excelente desafio aos modelos de fendilha o e aos algoritmos iterativos de solu o sendo basicamente independente do modelo de compress o adoptado 146 Capitulo 4 i F x v BN e SS 3 ce 5 2014 1020 7777 10 200 0 290 1 260 1 000 2 1260 0290 m Figura 4 7 Geometria e malha de elementos finitos da viga analisada A vermelho est o indicados os elementos onde se utilizou o diagrama de reten o de tens es no bet o A viga foi discretizada com condi es de simetria a meio v o em elementos quadr ticos de oito n s de 5 cm de lado com integra o reduzida 2x2 pontos de Gauss Numa altura de 10 cm a contar da base foi considerado o diagrama de reten o de tens es no bet o nos restantes elementos adoptou se um diagrama de amolecimento linear A armadura foi modelada atrav s de elementos de barra embebidos nos elementos de bet o A carga foi aplicada com
265. qualidade do bet o a geometria das rugosidades dos var es a corros o da armadura as altas temperaturas e a velocidade de aplica o da carga consultar fib 2000 Sob ac es c clicas a ader ncia entre as armaduras e o bet o sofre uma acentuada deteriora o que pode levar rotura para tens es de ader ncia inferiores do que os obtidos sob cargas monot nicas A deteriora o da rigidez e da resist ncia mais severa em ensaios c clicos em que existe invers o do sentido das tens es de ader ncia Uma descri o detalhada do comportamento mec nico que origina os diagramas 7 ilustrados na Figura 2 50 encontra se em fib 2000 podendo se afirmar que a deteriora o da resist ncia e da rigidez tanto mais acentuada quanto maior for o n vel de deslocamento relativo m ximo previamente atingido e o n mero de ciclos Existem v rias propostas para as rela es 7 podendo ser consultadas na bibliografia CEB 1993 CEB 1996 fib 1999a fib 2000 Shima et al 1987 Deve se real ar que a rela o 7 representa um comportamento estrutural que pode ser estudado a diferentes escalas de observa o dependendo do volume de controlo sobre o qual homogeneizado o campo de deslocamentos Na Figura 2 51 est ilustrada uma proposta de classifica o das abordagens modela o do fen meno da ader ncia Maekawa et al 2003 No n vel mais baixo s o usados conceitos da mec nica da fractura Maekawa et al 2003 Rots
266. qualquer forma os resultados da instrumenta o conjuntamente com as previs es do modelo num rico foram de extrema utilidade na interpreta o do funcionamento da estrutura tal como constru da Ficaram patentes as potencialidades que um sistema de monitoriza o integrado pode ter no acompanhamento da vida til de obras de complexidade acrescida Esse sistema integrado seria constitu do por um sistema sensor e por um modelo num rico devidamente calibrado durante a fase de constru o e ensaio de carga 220 Cap tulo 6 tamb m de real ar a import ncia da modela o por etapas partindo de modelos simples at chegar aos modelos mais detalhados de forma a controlar os resultados obtidos O grau de refinamento a atingir fun o das condicionantes acima mencionadas No exemplo analisado essa metodologia ficou patente na separa o da an lise plana com o objectivo de verificar a seguran a em rela o a uma poss vel rotura por corte da parede da an lise tridimensional necess ria para a verifica o de seguran a dos apoios Apesar de ser formalmente poss vel com o programa utilizado efectuar uma modela o integrada de toda a parede e respectivos apoios a metodologia seguida mais pr xima da que pode ser seguida num caso concreto tendo em vista as limita es de tempo e custo da an lise Por ltimo deve ser feita uma men o ao formato de seguran a Tal como foi referido ao longo do Cap tulo 5 a a
267. que est dentro do s lido pelo que genericamente a fun o a x vem definida por 2 21 onde alr uma fun o monotonicamente decrescente em fun o da dist ncia res Jirasek 2002b Figura 2 21 onde identifica o ponto emissor e x o ponto receptor no centro da vizinhan a a x l a x ja 2 21 J atlx el ds alr J muitas vezes considerada como uma fun o de distribui o de Gauss de acordo com a express o 2 22 onde Npj o n mero de dimens es do espa o euclidiano 1 2 ou 3 e 6 o comprimento interno do cont nuo n o local definido como uma propriedade do material Jirasek e Bazant 2002 34 Capitulo 2 Nou 2 22 no entanto computacionalmente vantajoso considerar uma fun o polinomial 2 23 em forma de sino Bazant e Jirasek 2002 A vantagem reside no facto desta fun o ao contr rio da 2 22 ser nula para valores de r superiores ao raio de interac o R relacionado com a este respeito consultar Jirasek e Bazant 2002 Na Figura 2 22 est o representadas as duas fun es referidas a r 2 23 2 R 1 2 1 a 0 8 4 a 0 64 Gauss 04 Polinomial 0 2 0 Z A 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Coordenada normalizada r l Figura 2 22 Fun es n o locais para c lculo das m dias pesadas Idealmente a fun o alr dever ser obtida atrav s de modela o da micro ou da mesoestrutura do bet o No presente e
268. ra 1993 Trata se de um modelo elasto pl stico em trac o e em compress o usando o crit rio de Rankine para as roturas por trac o e por exemplo o crit rio de Drucker Prager para as roturas por compress o A sua representa o bidimensional est ilustrada na Figura 3 28 1 5 1 0 0 5 0 0 0 5 0 5 0 0 RS es 0 5 b 1 0 1 5 02 fc Figura 3 28 Modelo elasto plastico em trac o e compress o Representa o das superficies de ced ncia para o caso bidimensional estado plano de tens o A superf cie de Rankine experimenta amolecimento isotr pico enquanto que a superf cie de Drucker Prager experimenta endurecimento e eventualmente amolecimento uma vez atingida a superf cie de rotura As fung es de ced ncia podem ser formuladas respectivamente por filo h ola a h k f c h VJ c al o Bh k 3 114 onde O o a m xima tens o principal do tensor das tens es J2 o segundo invariante do tensor das tens es de desvio 1 o primeiro invariante do tensor das tens es a um escalar relacionado com o ngulo de atrito interno do material e J uma constante escalar determinada de forma a conferir a A o significado f sico de uma tens o uniaxial de compress o O vector A cont m todas as fun es das vari veis internas h k h k ho ke 3 115 e o vector k cont m as vari veis internas k k k f 3 116 A lei de escoamento para o mecanismo de trac o as
269. regidas por uma lei de amolecimento e as verticais perpendiculares armadura de flex o pelo diagrama de reten o de tens es O acr scimo de rigidez observado na resposta num rica a partir dos 375 kN pode n o s a esse aspecto ser devido mas tamb m ao facto de o modelo n o poder reproduzir os escorregamentos entre as armaduras de flex o e o bet o devidos degradac o da ader ncia ao longo da fenda longitudinal Figura 4 21 Padr o experimental de fendilha o na rotura Vecchio e Shim 2004 154 Capitulo 4 Figura 4 22 Viga deformada 10x para a 30 com os vectores perpendiculares abertura das fendas 7 5x no ultimo incremento de carga convergido Y 1 384E9 1 339E9 1 29369 248E9 202 9 156E9 Bites 1 651E8 1 1958 1 26168 I Figura 4 23 Mapas com os valores das tens es nos estribos no ultimo incremento de carga convergido 500 4 450 4 400 4 350 4 300 4 250 4 200 4 150 4 100 4 kN Actuador Experimental Multifix 30 2 4 6 8 10 12 14 16 Deslocamento a meio v o mm Figura 4 24 Diagrama carga deslocamento a meio v o O mapa das tens es principais est representado na Figura 4 25 sendo vis vel que as tens es m ximas de compress o ocorrem ligeiramente abaixo da face superior da viga na medida em que nesta zona o bet o est em acentuado regime de amolecimento
270. reiras impostas no modelo 3D pode ser aferida por compara o dos deslocamentos relativos a um ponto comum com os modelos planos nomeadamente o ponto localizado imediatamente sobre o apoio interm dio P5 Na Figura 5 60 est representada a varia o do deslocamento dum ponto no meio v o interm dio do modelo 2D com aberturas o ponto P1 e do ponto correspondente no modelo 3D em rela o ao ponto P5 sendo not vel a concord ncia entre ambas as modela es Dada a presen a das aberturas no modelo plano os deslocamentos no ponto situado no v o extremo n o s o directamente compar veis T a ers i SIS us Ies SS I by ea c E ecce cc ccc p 120 8 P1 P5 2D c abert P2 P5 2Dclabet 15 8 P1 P5 3D 8 P2 P5 3D cc ANO 10 8 i pec ope eeepc pue qae 0 5 0 0 0 010 0 008 0 006 0 004 0 002 0 000 Deslocamento vertical m Figura 5 60 Compara o dos deslocamentos entre o modelo 3D e o modelo 2D com aberturas 5 5 RESULTADOS DA INSTRUMENTACAO DURANTE O ENCHIMENTO De forma a monitorizar o comportamento do reservat rio durante a fase de enchimento foram colocados transdutores de deslocamento sob as vigas parede DV1 e DV4 e sob as lajes de fundo DV2 assim como extens metros colados no bet o na regi o dos esquadros de refor o ES7 e parede de apoio ES4 e ES6 de acordo com os esquemas da Figura 5 61 DV2 e DVI EST DV4 E
271. res abertura das fendas 7 5x b Mapas das tens es principais de compress o no bet o 4 2 2 An lise de uma parede com aberturas 4 2 2 1 Formula o do problema No sentido de avaliar a resposta estrutural de uma parede de bet o armado sujeita a cargas no seu plano com uma geometria caracterizada pela exist ncia de regi es de descontinuidade foi desenvolvido um detalhado estudo experimental descrito em Bounassard Filho 1995 A geometria da parede Figura 4 30 pode facilmente ser assimilada de um elemento de contraventamento de um edif cio O procedimento cl ssico de an lise deste tipo de estruturas consiste na constru o de um modelo de escoras e tirantes baseado nas traject rias das tens es principais el sticas O dimensionamento e verifica o de seguran a s o efectuados com base nestes modelos e caso a estrutura tenha ductilidade suficiente t m suporte te rico baseado no teorema do limite inferior da teoria da plasticidade 157 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA 1 00 7012 0 10 E 1 35 0 30 0 40 0 30 11 0200 8 0 60 m d 2 50 Figura 4 30 Geometria da parede Figura 4 31 Exemplo de um modelo basico de transmiss o das cargas No entanto os modelos de escoras e tirantes s o modelos de equil brio limite n o respeitando a condi o de compatibilidade de deforma es Na parede em
272. reve um comportamento de um material cujo estado de tens o corrente depende n o s do estado de extens o corrente mas tamb m da hist ria do carregamento De uma forma geral O fy Eu He 3 4 O ponto significa diferencia o em ordem ao tempo No entanto assume se que esta rela o homog nea em ordem ao tempo ou seja admite se independ ncia da velocidade do carregamento pelo que a vari vel tempo n o aparece explicitamente nas equa es A express o 3 4 traduz uma rela o muito geral Por simplicidade um caso particular da equa o geral pode ser obtido considerando reversibilidade ao n vel das 82 Cap tulo 3 deforma es infinitesimais hipoelasticidade segundo Truesdell relacionando a taxa de varia o das tens es com a taxa de varia o das extens es O Du Eu 3 5 em que Dj um tensor de quarta ordem fun o das componentes dos tensores das tens es ou das extens es Muitos dos modelos desenvolvidos nas ltimas tr s d cadas com vista a reproduzir o comportamento do bet o essencialmente o bet o armado baseiam se nos conceitos que resumidamente e em tra os gerais foram acima indicados Por m a introdu o da fractura leva a que alguns pressupostos das classifica es referidas tenham de ser relaxados Apesar da natureza do comportamento do bet o principalmente quando sujeito a cargas n o proporcionais se afastar muito do de um material el stico o extenso trabalho
273. rnativa aos modelos constitutivos de car cter tensorial at aqui expressos Ao contr rio destes que relacionam as componentes do tensor das tens es directamente com as componentes do tensor das deformag es os modelos de microplanos trabalham com vectores de tens es e de extens es associados a um conjunto de planos de v rias orienta es os chamados microplanos Os microplanos est o de alguma forma relacionados com a microestrutura do material e no caso do bet o podem representar as orienta es da interface ciment cia entre os agregados onde se concentra a microfendilhac o Figura 3 31 a Estes planos s o definidos pelos seus versores normais e em cada um deles existem componentes normais e tangenciais das tens es e das extens es Figura 3 31 b 129 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural d X a b c Figura 3 31 a Componentes das extens es num mcroplano b Microplanos necess rios integra o num rica da express o 3 124 As leis constitutivas b sicas s o definidas localmente ao n vel do microplano sendo posteriormente transformadas para o nivel do ponto material usando determinadas rela es entre as grandezas tensoriais e vectoriais A escolha mais natural seria construir o vector das tens es e das extens es em cada microplano a partir das projec es dos respectivos tensores Contudo impossivel efectuar este procedimento para as tens es e para as e
274. roblemas revelou ser desadequada No caso da parede com aberturas pretendeu se discutir a utilidade dos modelos de an lise n o linear na clarifica o do funcionamento estrutural de uma estrutura laminar alertando para um caso onde a aplica o de modelos de escoras e tirantes baseados na distribui o el stica de tens es deve ser acautelada Este exemplo serviu ainda para comprovar a adequabilidade do diagrama de reten o de tens es de trac o adoptado na medida em que a parede contem armadura superior m nima em toda a sua extens o e a resposta deformacional obtida foi excelente A modela o efectuada contribuiu para visualizar o modelo de equil brio na rotura e comprovar o seu afastamento dos pressupostos de dimensionamento facto que conforme se viu neste caso pode ser contra a seguran a Para validar o modelo num rico seleccionado na modela o do comportamento de vigas parede com apoios indirectos foram constru das e testadas em laborat rio tr s modelos de vigas parede duas das quais no mbito da presente disserta o Dos modos de rotura poss veis o modo de rotura por corte coloca grandes exig ncias ao n vel da reprodu o da transfer ncia de tens es de corte entre fendas obrigando o campo de tens es a atravessar a fenda de corte pelo que se tentou perceber at que ponto o modelo num rico seria capaz de reproduzir satisfatoriamente este aspecto O modelo seleccionado conseguiu captar razoavelmente o mo
275. s Figura 3 14 torna se necess rio introduzir um novo sistema independente de eixos nz 52 O sistema de eixos activo ser aquele que cont m a fenda com maior abertura Detalhes sobre a implementa o deste algoritmo e uma extensiva verifica o e valida o do modelo contra resultados experimentais sobre os mais variados elementos estruturais e condi es de carregamento pode ser encontrada em Maekawa et al 2003 3 2 3 2 Modelos de fendas rotativas Os modelos de fendas fixas obrigam para al m da defini o de leis tens o extens o para o bet o comprimido e traccionado defini o duma lei de transfer ncia de tens es de corte entre as faces das fendas A utiliza o de coeficientes emp ricos de redu o da rigidez de corte pode ser apontada como uma fraqueza conceptual do modelo Mesmo as formula es mais sofisticadas baseadas na mec nica do aggregate interlock atr s referidas falham em fornecer uma descri o fisicamente coerente do que se passa durante a fase de processamento da fractura Por outro lado os eixos de ortotropia deixam de coincidir com a direc o das tens es principais dada a exist ncia de corte no plano da fenda As leis constitutivas do bet o comprimido passam assim a ser expressas num referencial que n o o das tens es principais Os modelos de fendas rotativas nasceram da tentativa de formular as rela es constitutivas directamente no referencial das tens es principais eliminan
276. s entre outros O postulado de Drucker introduz por sua vez a no o de material est vel que permite estender as condi es de unicidade da solu o tamb m aos materiais com endurecimento requerendo n o s a regra da normalidade e da convexidade da superf cie de ced ncia mas tamb m o endurecimento entendido aqui como o oposto de amolecimento implicando portanto que a superf cie de ced ncia apenas pode expandir e nunca encolher Borst 1991 Chen 1982 Jirasek e Bazant 2002 Nestas condi es a direc o do escoamento pl stico dada por Be s E e p 0c 3 103 dizendo se que se est perante uma lei associada na medida em que se faz coincidir a fun o potencial pl stico com a fun o de ced ncia Com a adop o de uma lei de escoamento associada a matriz da express o 3 93 sim trica o que apresenta tamb m vantagens de ndole computacional No entanto nem o princ pio da m xima dissipa o de energia de deforma o pl stica nem o postulado de Drucker s o leis f sicas com fundamento termodin mico mas apenas um conjunto de pressupostos que se revelou conveniente de um ponto de vista matem tico e que no caso dos metais revelou tamb m uma adequa o ao comportamento observado experimentalmente 121 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural No caso dos materiais friccionais tais como o bet o a adop o de leis associadas n o se revela adeq
277. s vel para grandes aberturas de fendas ou seja perto do estado limite ltimo muita da pesquisa efectuada sobre este efeito concentrou se essencialmente no c lculo da capacidade ltima da interface essencialmente apoiada em resultados experimentais A este respeito uma revis o bibliogr fica sobre o assunto pode ser encontrada em CEB 1996 fib 1999 70 Cap tulo 2 Figura 2 60 a Estado de tens o multiaxial nas imedia es de uma var o com recobrimento limitado b Fendas radiais splitting cracks c Rotura por corte compress o debaixo de uma var o com grande recobrimento d Modos A e B do efeito de cavilha CEB 1996 Dependendo da massa de bet o que interage com a armadura dois tipos distintos de ac o podem ser evidenciados prevalecendo diferentes mecanismos resistentes em cada um deles No caso do recobrimento armadura em apre o ser reduzido prevalecem as tens es de trac o podendo o efeito de cavilha ser limitado pela ocorr ncia de fendas radiais originadas pelo complexo estado de tens o que envolve o var o Figura 2 60 a e b No caso do recobrimento ser grande o efeito de cavilha pode ser condicionado pela forma o de uma cunha de bet o caracter stica de uma rotura localizada por corte compress o Figura 2 60 c Dependendo do sentido de actua o da carga ambas as situa es podem ocorrer no mesmo elemento estrutural conforme evidenciado na Figura 2 60 d ocorrendo a primeira designada
278. s de corte 5 Nos modelos de fendas rotativas as rela es constitutivas s o estabelecidas no sistema de eixos principal As correspondentes extens es principais s o dadas por i c e s cs Vy le y yy es x x wer 2A 3 74 2 2 2 Wer E S E FC E CS y s y y es x x 74 onde c cos a es sen a Notando que de acordo com 3 71 se tem 2cs Waco TN y z y tan 2a v z Ja a 3 75 pelo que as extens es principais podem ser expressas por amp 7 xi E Mia e 2 X1 ro sae 3 76 i Se ae Qu SEO mr c Isto significa que a extens o principal m xima positiva enquanto que a outra negativa A medida que a fenda abre os valores absolutos das duas extens es principais aumentam No modelo de fendas rotativas dada a hip tese de coaxialidade as tens es principais correspondentes v m dadas por c 0 o Ee i x 7 Wo 3 77 24 as que transformadas de novo para o sistema de eixos global xy d o origem a 112 Cap tulo 3 4 Oo zx o y 2 Ew 24 s 22 v y cs DET RE Note se que as tr s componentes do campo de tens es s o n o nulas crescendo proporcionalmente abertura da fenda Consequentemente o elemento transfere indevidamente tens es entre as duas partes separadas do corpo As tens es esp rias assim geradas poderiam crescer indefinidamente No entanto as condi es de compatibilidade com os eleme
279. s trabalhos das escolas de Toronto Vecchio e Collins 1986 de Houston Belarbi e Hsu 1994 e de T quio Shima et al 1987 Observando a Figura 2 53 da condi o de equil brio das for as na direc o perpendicular s fendas neste caso coincidente com a direc o da armadura tem se N 0 N x de onde se obt m a express o 2 46 o 0 o x o x 2 46 A igualdade 2 46 v lida para cada ponto x pelo que tamb m se verificar em termos de tens es m dias obtendo se 2 47 Levando em considera o que o 0 N 4 e que Om Em Es chega se express o 2 48 que permite obter o diagrama de reten o de trac es no bet o a partir dos resultados medidos experimentalmente Note se que A4 o e E s o quantidades conhecidas o esfor o N medido e a extens o m dia amp obt m se fazendo amp m AL L 1 o 0 o o 2 47 p N x eS E PE y 2 48 c Quando a armadura atinge a ced ncia nas sec es fissuradas a equa o 2 47 permite obter ONE dc pom 2 49 Dado que o objectivo desta an lise a obten o de leis constitutivas v lidas sobre um volume de controlo que abarca v rias fissuras os par metros intervenientes devem resultar de m dias espaciais sobre o referido volume tais como amp m Om A tens o 7 assim a tens o m dia no aco para a qual ocorre a ced ncia nas sec es fissuradas sendo dependente do diagrama de retenc o de tens es considerado Em Be
280. samento da fractura deforma o 6 Figura 2 10 Comportamento de bet o num ensaio de trac o Hordjick 1992 No que se refere ao comportamento deformacional e observando a Figura 2 10 verifica se que at n veis de tens o relativamente pr ximos da tens o de pico a resposta aproximadamente linear Ao n vel macrosc pico as tens es e as extens es est o uniformemente distribu das ao longo da pe a Imediatamente antes da carga de pico as microfendas existentes come am a crescer na interface entre a pasta de cimento e os agregados ao mesmo tempo as extens es come am a localizar se numa zona de largura finita e a n o linearidade no diagrama torna se mais evidente Esta zona microfissurada a ZPF onde as deforma es se come am a localizar foi detectada experimentalmente por v rios investigadores na extremidade de fendas macrosc picas em ensaios de flex o sobre vigas entalhadas Alfaiate 1992 4 I x x Figura 2 11 Representa o esquem tica do processo de fractura com a localiza o progressiva das deforma es CEB 1996 Com o evoluir da deforma o as microfendas coalescem at originarem uma fenda macrosc pica Figura 2 11 Durante esta fase o mecanismo resistente altera se progressivamente At tens o de pico a transfer ncia de tens es depende da rigidez e 24 Capitulo 2 resist ncia dos agregados da pasta de cimento endurecida e da ader ncia entre est
281. se I Nesta fase os fen menos envolvidos s o em tudo iguais aos j referidos para os var es lisos componentes das for as 2 instaladas no var o fenda radial splitting crack adesao ou fricc o ET OMNE icd if apoio das nervuras z e ONE ae PRE EA do var o i fenda iria for a no bet o b c Figura 2 49 Mecanismo de transfer ncia de tens es e Fase IIg No caso de var es rugosos ap s a rotura da ades o qu mica as nervuras do var o induzem elevadas tens es de contacto no bet o levando ocorr ncia de fendas secund rias em forma de cone Figura 2 49 a e provocando esmagamento localizado do bet o conforme ilustrado na Figura 2 49 b As tens es de contacto s o transferidas ao bet o circundante pelas escoras de bet o entre fendas secund rias e podem ser decompostas em duas componentes A soma das componentes segundo o eixo do var o a for a de ader ncia enquanto que as componentes radiais induzem trac es circunferenciais no bet o envolvente e Fase III O in cio desta fase marcado pela forma o de fendas radiais splitting cracks associadas s tens es circunferenciais atr s referidas Figura 2 49 c O mecanismo resistente continua a ser assegurado pelo engrenamento no bet o circundante das escoras de bet o entre fendas secund rias e Fase IV No caso de o confinamento conferido pelo bet o envolvente ao var o n o ser sufi
282. ser dividida em reas infinitesimais as unidades de contacto com v rias inclina es 0 como se mostra na Figura 2 25 A rea de uma unidade de contacto dA 41 Mec nica n o linear do bet o estrutural com inclina o entre de 0 d0 pode ser obtida atrav s de uma fun o de densidade de contacto X0 de natureza estoc stica e caracter stica do material que representa a distribui o direccional da superficie da fenda Na express o 2 34 4 a rea total da fenda por unidade de rea do seu plano dA A C 0 a0 2 34 Direc o das tens es de contacto As tens es que se estabelecem nas unidades de contacto sao na proposta original do modelo consideradas perpendiculares superficie sobre a qual se fazem sentir 0 0 na Figura 2 25 Esta simplifica o foi no entanto deixada cair na generaliza o do modelo proposta em Bujadham e Maekawa 1992a Bujadham e Maekawa 1992b Bujadham et al 1992 para atender modela o da transfer ncia de tens es entre fendas sujeitas a condi es de carregamento mais gerais do que as anteriormente consideradas Pressupostos 8 08 a gt 06 Q 8 0 5cos 8 OB amp 04 05 02 o 44 a 2 0 x 2 o Dmax i5mm j Direction 8 7 2 0 n 2 a b Figura 2 26 Formula o da fun o densidade de contacto Li et al 1989 a Histograma experimental da direc o de contacto O entre faces b fun o densidade de contacto Fun o densidade de conta
283. sociada enquanto que para o mecanismo de compress o pode ser definida caso seja conveniente uma lei n o associada 125 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural O modelo trabalha assim com duas vari veis internas k e k2 que controlam a evolu o da tens o de ced ncia actual em trac o e em compress o respectivamente A sua taxa de varia o definida pela express o 3 106 que neste caso pode tomar a forma k 1 A 2 3 117 k 4 1 O acoplamento entre os dois mecanismos de endurecimento amolecimento em correspond ncia com cada uma das superf cies pass vel de ser considerado atrav s dos par metros 41 e i Devido falta de dados experimentais considera se i 65 0 e o acoplamento desprezado Isto significa que as duas superf cies evoluem independentemente Este modelo est especialmente vocacionado para aplica o a estruturas sujeitas a carregamentos proporcionais e monot nicos e em que o grau de anisotropia da armadura definido como o quociente entre a for a que pode ser desenvolvida na ced ncia das armaduras dispostas em cada uma das direc es seja reduzido inferior a 5 segundo Feenstra 1993 As primeiras duas condicionantes prendem se com o facto de as descargas serem efectuadas de forma el stica o que no caso do bet o traccionado pode originar aberturas de fenda residuais exageradas Por outro lado foi demonstrada a similarida
284. sprezados Desta forma a matriz D geralmente considerada diagonal 100 Cap tulo 3 D 0 0 Dre D 0 3 39 0 0 D Ill Na express o 3 39 os termos da diagonal correspondem respectivamente aos m dulos de rigidez dos modos J Il e III de fractura Para completar o modelo constitutivo necess ria uma rela o entre a taxa de varia o das tens es e a taxa de varia o das extens es no bet o intacto Para essa rela o assume se a forma B DE 3 40 6xl 6x6 6x1 Tendo em aten o a igualdade 3 30 e 3 33 vem 6x 6x6 6x1 6x3 Gul O p amp N 3 41 Pr multiplicando 3 41 por N A e atendendo a 3 36 e 3 37 chega se rela o entre a taxa de varia o das extens es das fissuras no referencial local e a taxa de varia o das extens es totais no referencial global e DE e No p x N D 3 42 x 3x3 3x6 6x6 6x3 3x6 6x6 6x1 que uma vez substitu da em 3 41 conduz rela o geral entre taxas de varia o das tens es e extens es totais no referencial geral a gt De 3 43 6x1 6x6 6x1 Crco onde o expoente se refere ao bet o fendilhado A matriz D vem expressa por De D I ae N 6x6 6x6 6x6 6x3 l l 1 en wee oe x oe ais 3x3 3x6 6x6 6x3 3x6 6x6 A implementa o computacional de 3 43 requer a sua formula o em termos incremen
285. stado do conhecimento esse objectivo afigura se ainda dificil de atingir verificando se no entanto que desde que a fun o seja suave os resultados dos c lculos n o s o muito afectados pela sua forma desde que o valor de seja o adequado A escolha da vari vel sobre a qual se v o calcular as m dias pesadas define o tipo de modelo n o local devendo no entanto respeitar certas condicionantes de indole f sica Pijaudier Cabot e Bazant 1987 sugerem que apenas as vari veis que originem o amolecimento sejam consideradas n o locais implicando por exemplo que apenas a extens o correspondente fractura e n o a extens o total seja n o local Em Jirasek 1998 e Bazant e Jirasek 2002 feita uma discuss o aprofundada dos m ritos e dificuldades associadas a cada uma das abordagens utilizadas e referidas na literatura 2 2 3 3 Efeito de escala segundo a NLFM Com base na exist ncia de uma ZPF com um tamanho finito poss vel deduzir uma lei anal tica do efeito de escala n o linear que se ajuste melhor aos resultados observados 35 Mec nica n o linear do bet o estrutural experimentalmente em estruturas de bet o e aos resultados obtidos pela aplica o dos modelos de NLFM atr s abordados Admitindo que a ZPF em regime de amolecimento est suficientemente afastada das extremidades da estrutura isso pode ser feito adaptando as express es da LEFM considerando por m uma fenda zona macrosc pica da fractura
286. stados de equil brio alternativos Com efeito quando duas fendas se iniciam em simult neo em dois pontos de Gauss pr ximos a localiza o das deforma es imp e que uma delas se propague enquanto que a outra regride e deve fechar Esta escolha delicada e algo arbitr ria sendo em rigor necess ria uma an lise de bifurca o para determinar qual o estado de equil brio correcto Rots et al 1985 Nos modelos com m ltiplas fendas fixas este aspecto pode ser ainda mais evidente contribuindo para poss veis dificuldades no processo de converg ncia da solu o num rica A falta de objectividade do padr o de fendilha o em rela o malha de elementos finitos utilizada reflecte se na tend ncia demonstrada pelas fissuras em se propagarem paralelamente aos lados dos elementos finitos Este facto conduz por um lado obten o de solu es mais r gidas do que as observadas experimentalmente introduzindo deforma es de corte no plano das fendas e por outro a dificuldades de converg ncia Estas consequ ncias atenuam se mas n o desaparecem totalmente com o refinamento da malha Li e Zimmerman 1998 As formula es n o locais eliminam este problema conforme demonstrado por Bazant e Lin 1989 A transfer ncia esp ria de tens es uma consequ ncia da descri o cinem tica baseada no conceito das descontinuidades fracas que n o representa convenientemente o campo de deslocamentos nas proximidades de uma fenda m
287. stados de tens o nao axissim tricos o crit rio de Mohr Coulomb assim ajustado conservativo para a gama de tens es de confinamento da ordem das da tens o de rotura uniaxial Em estados de tens o biaxiais a envolvente de rotura de Mohr Coulomb traduz se por um quadrado no espa o das duas tens es principais n o nulas n o representando o acr scimo de resist ncia observado experimentalmente Para a fun o potencial pl stico definiu se um ngulo de dilat ncia y 12 5 com o qual foram obtidas respostas deformacionais satisfat rias Para o coeficiente de Poisson s o referidos na literatura valores entre 0 15 e 0 22 Na generalidade das aplicag es qualquer valor adoptado dentro deste intervalo n o se reflecte sensivelmente na qualidade dos resultados obtidos De todos os modelos dispon veis no programa o Multifix revelou se o mais vers til podendo ser aplicado na generalidade das situa es assim como o mais rigoroso na forma como lida com o processo de fissura o atrav s do conceito de decomposi o das extens es tamb m o nico modelo dispon vel suscept vel de ser combinado com os efeitos viscoel sticos permitindo a execu o de an lises do comportamento em servi o incluindo os efeitos diferidos Foi ainda o modelo que demonstrou melhor desempenho em todos os exemplos de valida o efectuados tendo sido por isso adoptado como modelo de refer ncia 142 Capitulo 4 4 1 2 Modelos
288. sticas O efeito de escala na ductilidade pode ser explicado pela componente referente associa o em s rie Quanto maior for a estrutura maior ser o deslocamento da zona el stica pelo que no regime de amolecimento poder at ocorrer o fen meno de snapback ilustrado na Figura 2 4 em que a carga se torna inst vel ap s o seu valor m ximo mesmo em ensaios com controlo de deslocamentos O deslocamento ltimo uc uma medida da ductilidade ductilidade esta que n o uma propriedade do material mas antes uma propriedade estrutural dependente do tamanho da estrutura P P P P b arb Y Ue Ue Ucr U Figura 2 4 Efeito de escala na ductilidade de uma estrutura ACI 1999 Estes efeitos de escala t m um car cter determin stico O efeito do tamanho da estrutura na sua resist ncia foi inicialmente abordado numa perspectiva estat stica segundo a teoria do elo mais fraco weakest link statistics O efeito de escala era explicado pelo car cter aleat rio das caracter sticas resistentes do material j que numa estrutura de maiores dimens es a probabilidade de ocorr ncia de uma zona elo da cadeia com resist ncia inferior maior seguindo uma distribui o de probabilidade proposta por Weibull Esta explica o certamente correcta para uma barra uniformemente traccionada cuja rotura ocorra imediatamente ap s se atingir fa Nas estruturas de engenharia civil usualmente e desejavelmente a rotura
289. struturas Introdu o compostas por elementos lineares a experi ncia acumulada e o conjunto de disposi es regulamentares existentes permite que o processo de dimensionamento seja eficaz e econ mico A adop o de elementos com dimens es adequadas e o detalhe adequado das armaduras asseguram a ductilidade necess ria para que as estruturas se adaptem a uma larga variedade de solicita es A necessidade de conhecer o verdadeiro estado de equil brio toma assim pouca import ncia e o uso de an lises el sticas eventualmente ajustadas para ter em conta alguma redistribui o de esfor os geralmente suficiente pelo menos no caso da an lise est tica No caso das estruturas laminares a maior complexidade do seu comportamento o menor n mero de disposi es regulamentares aplic veis e a menor forma o de base espec fica que ainda fornecida ao meio t cnico associado ao projecto de estruturas faz com que este processo de dimensionamento requeira alguma aten o adicional Admitindo a hip tese de Bernoulli Navier ao longo da espessura a integra o das tens es actuantes num elemento laminar Figura 1 1 a conduz no caso mais geral aos oito esfor os resultantes representados na Figura 1 1 b Figura 1 1 Elemento de casca plano a Tens es actuantes b Resultantes das tens es actuantes Os esfor os podem subdividir se em dois grupos os esfor os de membrana rm nm e Ny resultantes essencialmente de ac
290. stular que apenas existe dano sens vel na interface porosa bond zone permitindo assimilar o andamento dos ciclos carga descarga representados na Figura 2 29 ao modelo da Figura 2 30 LOA REGIME CYCLIC Pi Stress Bond zone openint STRAIN EI cl Deformation Figura 2 29 Ensaio ciclico de compressao Figura 2 30 Ciclo de carga descarga e recarga multiaxial Van Mier 1984 segundo Bongers e Bongers e Rutten 1998 Rutten 1998 Etapa 3 Nesta fase as fendas atr s referidas propagam se de forma est vel atrav s da matriz ciment cia no sentido em que mantendo constante o n vel de carga cessa a propaga o das fendas Em bet es de resist ncia normal a resist ncia dos agregados superior da pasta de cimento pelo que a propaga o das fendas se d segundo o mecanismo 3 representado na Figura 2 31 Na matriz formada pela pasta de cimento endurecida as fendas propagam se na direc o da tens o principal de compress o enquanto que na interface com os agregados a propaga o segue uma direc o obl qua Choi e Shah 1998 46 Capitulo 2 Figura 2 31 Mecanismo de propagac o de fendas O mecanismol prev o atravessamento dos gr os de agregado No mecanismo 2 a propaga o d se pelo lado comprimido do gr o de agregado e no mecanismo 3 pelo lado traccionado Retirado de Bongers e Rutten 1998 e Etapa 4 No in cio desta fase atingido o volume m nimo do material ap
291. sua poss vel influ ncia na deforma o total dos apoios centrais das vigas parede Ficou tamb m patente que quaisquer que sejam os modelos utilizados no dimensionamento desde os modelos de equil brio limite at aos mais sofisticados modelos de an lise n o linear constituem sempre uma idealiza o e uma aproxima o da realidade constru da Cabe sempre ao engenheiro decidir se o grau de aproxima o atingido ou n o suficiente para a verifica o de seguran a em rela o a um determinado estado limite 213 CAP TULO 6 CONCLUSOES E FUTUROS DESENVOLVIMENTOS 6 CONCLUSOES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 6 1 SUM RIO E CONCLUS ES No Cap tulo 1 o processo de an lise e dimensionamento de estruturas de bet o foi descrito e avaliado tendo sido apontadas as inconsist ncias decorrentes do facto de ainda hoje se adoptarem leis constitutivas distintas no processo de c lculo dos esfor os actuantes lei el stica e linear e no processo de c lculo dos esfor os resistentes leis n o lineares Constatou se que no caso de estruturas laminares de bet o e nomeadamente nas de comportamento menos corrente uma metodologia racional de dimensionamento deve culminar com a realiza o de uma an lise n o linear de forma a poder obter uma estimativa completa e realista da resposta estrutural desde as fases de servi o at rotura Dados os grandes avan os verificados simultaneamente ao n vel da capacidade computaciona
292. sura e d uma dimens o da estrutura de forma que bd uma rea de refer ncia As teorias cl ssicas tais como a teoria da elasticidade com recurso a tens es admiss veis a an lise pl stica limite ou outras que definam a rotura em fun o de um crit rio de resist ncia n o prev em qualquer depend ncia de oy com o tamanho da estrutura A Mec nica da Fractura El stica Linear Linear Elastic Fracture Mechanics LEFM prev uma lei para o efeito de escala que se traduz por uma recta no gr fico da Figura 2 3 Dado o bet o n o ser um material el stico linear o efeito de escala observado pode ser traduzido pela curva a cheio da Figura 2 3 resultante da utiliza o de conceitos da Mec nica da Fractura N o Linear Nonlinear Fracture Mechanics NLFM resultando um comportamento de transi o entre as tens es dadas pelo crit rio de resist ncia e pela LEFM As dedu es das express es que conduzem ao gr fico da Figura 2 3 v o ser apresentadas em 2 2 2 e em 2 2 3 18 Capitulo 2 log ON i Crit rio de resist ncia log d Figura 2 3 Efeito de escala no valor de ow para estruturas geometricamente semelhantes O efeito de escala tamb m tem repercuss o na ductilidade da estrutura e pode ser explicado pelo modelo reol gico da Figura 2 4 A estrutura pode ser idealizada como uma associa o em s rie e em paralelo de zonas fendilhadas e n o fendilhadas aqui simplificadamente consideradas el
293. t Feenstra P H Borst R e Rots J G 1991a Numerical Study on Crack Dilatancy I Models and Stability Analysis Journal of Engineering Mechanics 117 4 733 753 Feenstra P H Borst R e Rots J G 1991b Numerical Study on Crack Dilatancy II Applications Journal of Engineering Mechanics 117 4 754 769 fib 1999a fib bulletin 1 Sructural Concrete Textbook on behaviour design and perfomance fib Lausanne fib 1999b fib bulletin 2 Sructural Concrete Textbook on behaviour design and perfomance fib Lausanne fib 1999c fib bulletin 3 Sructural Concrete Textbook on behaviour design and perfomance fib Lausanne fib 2000 fib bulletin 10 Bond of reinforcement in concrete State of art report fib Lausanne fib 2004 A Practitioner s Guide to Computer Based Modelling of Stuctural Concrete Draft fib Figueiras J A 1983 Ultimate Load Analysis of Anisotropic and reinforced Concrete Plates and Shells PAd Thesis University College of Swansea Swansea Figueiras J A e Pimentel M 2004 Modela o e dimensionamento de uma ETAR compacta ETAR de Sobreiras 46 Congresso Brasileiro do Concreto Florian polis Figueiras J A Pimentel M e Lopes G 2002 ETAR de Sobreiras Aspectos Especiais do Projecto Bet o Estrutural 2002 Lisboa 649 660 228 Refer ncias Bibliogr ficas Figueiras J A P voas R H C P Cachim P
294. t ria Nao existe ainda consenso acerca da definig o duma zona de processamento da fractura Apenas em ensaios uniaxiais sobre provetes cil ndricos existe algum consenso em afirmar que a regi o onde se localiza a fractura se situa a toda a largura do provete e com um desenvolvimento em altura com cerca de 3d d di metro do cilindro Jansen e Shah 1997 Alguns autores Kotsovos e Pavlovic 1995 argumentam que o estado de tens o local nesta fase n o defin vel pelo que afirmam que o ramo de amolecimento n o uma propriedade intr nseca do material mas antes dependente do provete utilizado e da interac o com os aparelhos de ensaio Jansen e Shah 1997 apresentaram resultados sobre provetes cil ndricos de v rias alturas que conduzem aplica o de conceitos origin rios da Mec nica da Fractura N o Linear no estudo de uma rela o macrosc pica de amolecimento no bet o comprimido Com base num modelo de interpreta o muito simples Figura 2 46 e Figura 2 47 conceptualmente semelhante ao modelo da fenda fict cia usualmente utilizado no estudo do bet o traccionado conseguiram quantificar de forma satisfat ria um valor de G definido como uma energia de fractura em compress o demonstrando a sua const ncia para provetes cil ndricos de v rias alturas Contudo n o foi ainda demonstrado que este valor se mant m em ensaios sobre provetes de formas diversas e com estados de tens o mais complexos de modo a poder considerar G
295. ta 222 REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS AASHTO 1994 AASHTO LRFD Bridge Specification American Association of State Highway and Transportation Officials Washington ACI 1998 Finite Element Analysis of Fracture in Concrete Structures State of the Art American Concrete Institute ACI 1999 Fracture Mechanics of Concrete Concepts Models and Determination of Material Properties ACI 446 1R 91 American Concrete Institute ACI 2002 Building Code Requirments for Structural Concrete ACI318 02 and Commentary ACI 318R 02 American Concrete Institute Farmington Hills Michigan Ahmad S H e Chung W 1995 Analytical Model for Shear Critical Reinforced Concrete Members Journal of Structural Engineering 121 6 1023 1029 Alfaiate J M V 1992 Estudo e Modela o do Comportamento do Bet o Fissurado Tese de Doutoramento Instituto Superior T cnico Lisboa An X e Maekawa K 2004 Computer aided reinforcement design of RC structures Computers and Concrete 1 1 15 30 ASCE 1981 State of the art Report on Finite Element Analysis of Reinforced Concrete ASCE New York Ayoub A e Filippou F C 1998 Nonlinear Finite Element Analysis of RC Shear Panels and Walls Journal of Structural Engineering 124 3 298 308 Barros J 1995 Comportamento do Bet o Refor ado com Fibras An lise Experimental e Modela o Num rica Tese de D
296. tador de secret ria Na Figura 1 7 ilustra se a evolu o do tempo de c lculo necess rio an lise n o linear de uma viga em T atrav s de um algoritmo que recorre a uma discretiza o em camadas Pode se ver do gr fico r 5 que em 25 anos o tempo de c lculo reduziu se mais de 10 vezes Introdu o Pentium III 10 Pentium m e 3 min 30 min 5h SPECint95 e 0 01 2 dias 0 001 21 dias 0 0001 7 meses 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Ano da introdu o do CPU Figura 1 7 Incremento da capacidade de c lculo computacional nos ltimos anos Vecchio 2001b Pode dizer se que o estado do conhecimento no dominio da an lise n o linear de estruturas progrediu at ao limiar que as torna numa ferramenta de an lise e dimensionamento n o se cingindo apenas o seu uso ao dom nio da investiga o Recentemente iniciou se o desenvolvimento de m todos de dimensionamento autom tico de armaduras a partir de an lises n o lineares sendo os resultados obtidos encorajadores An e Maekawa 2004 S o v rias as situa es onde j hoje a an lise n o linear de estruturas come a a desempenhar um papel importante e A an lise de estruturas existentes luz dos regulamentos actuais conduz muitas vezes conclus o da necessidade de proceder a trabalhos de refor o cujos custos econ micos podem ser elevados A decis o de intervir pode e deve ser baseada numa an lise realista da capacidade
297. tais o que pressup e uma lineariza o na vizinhan a do estado de tens o corrente No entanto 3 43 uma equa o impl cita pois no caso das leis constitutivas do bet o intacto e ou das fissuras serem n o lineares o c lculo do incremento de tens o AG requer um processo iterativo interno co ou seja a forma incremental de 3 43 permanece verdadeira apenas se D e 101 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural D permanecerem constantes durante o incremento de extens o O caso da n o linearidade em D tratado de acordo com o modelo adoptado para o comportamento do bet o n o fendilhado No que diz respeito n o linearidade em D procedimentos iterativos tipo s o referidos em Barros 1995 Rots e Blaauwendraad 1989 Um procedimento robusto para o tratamento simult neo de ambas as situa es est referido em Cervenka et al 2002 Note se que estes s o ciclos iterativos internos da lei constitutiva independentes das itera es associadas ao c lculo do estado de equil brio global pr prias dos c lculos n o lineares Este facto constitui uma desvantagem dos modelos de fendilha o distribu da com decomposi o das extens es na medida em que encarece as an lises computacionais Nos modelos com decomposi o das extens es o modulo de rigidez Dy correspondente ao modo de fractura da fenda i determinado de acordo com o modelo da banda fendilhada por
298. te Fenda unidireccional 0 90 max Polin mio de grau 9 em Y Figura 3 10 Modelo de transfer ncia de tens es de corte atrav s das fissuras Adaptado de Maekawa etal 2003 Em muitas das formula es referidas na literatura adoptam se matrizes de rigidez sim tricas adaptando o conceito de extens o uniaxial equivalente tamb m s rela es constitutivas do bet o armado fendilhado Este facto tem vantagens do ponto de vista computacional relacionadas com a resolu o do sistema de equa es de equil brio No entanto a converg ncia do processo iterativo com vista obten o do correcto estado de equil brio requer necessariamente mais itera es caso seja usado um m todo do tipo Newton Raphson tradicional At aqui considerou se apenas a abertura de uma fenda perpendicular a n Nos modelos de fendas fixas permite se a forma o de fendas ortogonais entre si 3 no caso tridimensional No caso da forma o de uma segunda fenda perpendicular a s ou f o procedimento a seguir seria semelhante A rigidez de corte Gs neste caso vem tamb m reduzida Por m no caso de abertura de uma fenda perpendicular a s por exemplo a redu o da rigidez de corte G s ter de ter em conta o efeito das duas fissuras perpendiculares Figura 3 11 No caso do modelo proposto por Figueiras 1983 esse efeito tido em linha de conta de acordo com a Figura 3 9 Em Maekawa et al 2003 descrito um m todo consistente com o mod
299. tivas Rotating Total Strain de acordo com o que foi apresentado em 3 2 3 2 As leis de comportamento uniaxial adoptadas quer em trac o quer em compress o foram as mesmas acima referidas para os modelos de fendas fixas Nos exemplos estudados considerou se sempre um coeficiente de Poisson nulo Na realidade na implementa o dispon vel dos modelos baseados em extens es totais o coeficiente de Poisson uma vez definido considerado constante mesmo no bet o fendilhado o que manifestamente incorrecto Quando se inicia o processo de fractura o bet o nas proximidades da ainda incipiente fissura come a a descarregar conforme exposto na Figura 2 10 Cap tulo 2 A diminui o das extens es el sticas acarreta a consequente diminui o das extens es transversais Este facto modelado de forma consistente nos modelos com decomposi o das extens es sendo devidamente captada a recupera o da extens o transversal Nos modelos baseados num conceito de extens o total a recupera o da extens o transversal n o 143 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA reproduzida pois n o feita a destrin a entre extens es el sticas e extens es devidas s fissuras A considera o de um efeito de Poisson constante no bet o fendilhado faz com que no caso de fissuras muito abertas a deforma o transversal fissura seja importante introduzindo perturba es s
300. to de n vari veis internas escalares de alguma forma relacionadas com a parcela pl stica da deforma o e que podem ser assimiladas num vector k Estas vari veis internas caracterizam mudan as irrevers veis ao nivel da microestrutura do material que macroscopicamente se expressam por endurecimento ou por amolecimento As equa es b sicas incluem a decomposi o da extens o total numa parcela revers vel a extens o el stica e numa parcela irrevers vel e n o decrescente a extens o pl stica 8 8 3 79 Incluem ainda a lei tens o extens o para a parte el stica c D 3 80 a condi o de ced ncia fle h lt o0 3 81 a lei de endurecimento constitu da pela defini o das n vari veis internas agrupadas no vector k geralmente definidas pela equa o diferencial k alo k 3 82 e pelas m fun es das vari veis internas coligidas no vector 114 Capitulo 3 h h k 3 83 Por fim temos ainda a lei de escoamento Og aF 3 84 No que acima se exp s o vector com a taxa de varia o das extens es A evolu o do tensor das extens es el sticas est relacionada com o tensor das tens es atrav s da rela o constitutiva 3 80 em que D usualmente a matriz de rigidez el stica e linear correspondente a um material isotr pico A inequa o 3 81 na qual interv m a fun o de ced ncia f define todos os estados poss veis do material No caso ma
301. to do bet o comprimido e traccionado os modelos de dano com aplica o modela o do bet o podem ser formulados com duas vari veis de dano independentes d e d controlando o processo de degrada o em trac o e em compress o respectivamente Faria 1994 128 Capitulo 3 Existe hoje uma variedade de modelos de dano cuja complexidade da formula o pode ser grande nomeadamente no caso dos modelos de dano anisotr pico Neste tipo de modelos a vari vel de dano deixa de ser um escalar passando a ser um tensor e portanto uma quantidade associada a uma direc o Refer ncias bibliogr ficas sobre este tipo de modelos podem ser encontradas em Hanganu et al 2002 Jirasek 2002c Por outro lado a lei constitutiva 3 120 pode ser generalizada no sentido de incluir deforma es permanentes resultando assim um modelo de dano com plasticidade acoplada c D e c 3 121 sendo nestas circunst ncias o tensor das tens es totais dado por e 1 d D s 3 122 A formula o de um modelo deste tipo est exposta em Faria 1994 O modelo reol gico de um modelo de dano com deforma es permanentes pode ser obtido custa da associa o em paralelo do modelo reol gico associado aos modelos elasto pl sticos Figura 3 30 Figura 3 30 Modelo reol gico de um modelo de dano com plasticidade 3 6 MODELOS DE MICROPLANOS Os modelos baseados no conceito do microplano representam uma abordagem alte
302. tor de carga A 2 62 com esmagamento do bet o nos esquadros de refor o Ap s grandes redistribui es de tens es e com o bet o em acentuado regime de amolecimento ocorreu diverg ncia do processo de solu o Na Figura 5 9 est representado um pormenor da malha de elementos finitos na zona do apoio adjacente ao tramo extremo com a localiza o dos pontos de Gauss PG1 e PG2 com os estados de tens o mais desfavor veis O ponto de Gauss PG1 pertence a um dos esquadros de refor o e a evolu o da tens o principal de compress o com o factor de carga est representada na Figura 5 10 onde vis vel que a partir de 2 2 205 o seu valor come a a diminuir Na Figura 5 11 poss vel constatar que o bet o est j em regime de amolecimento e pela an lise da traject ria de tens es ilustrada na Figura 5 12 verifica se que a superf cie de rotura foi atingida em compress o biaxial PAREDE PG2 2 205 q Factor de carga NERVURA T T T 0 0 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 Tens o principal m nima c Pa Figura 5 9 Localiza o dos pontos de Gauss onde Figura 5 10 Evolu o da tens o principal de se monitorizaram as tens es compress o no ponto de Gauss PG1 191 Caso pr tico ETAR de Sobreiras 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 1 0E 07 4 0E 07 r E PG1 3 0E 07 Uniaxial 2 0E 07
303. trac o b Excentricidade das tens es nas escoras Belarbi e Hsu 1995 O procedimento conducente obten o destas rela es consiste na aplica o de um estado de tens o uniforme a pain is de bet o armado e medi o da sua resposta deformacional Atrav s das tr s equa es de equil brio de for as das equa es de compatibilidade de deforma es assumindo uma lei constitutiva para o a o e postulando que a direc o das tens es e extens es principais m dias do painel coincidente obt m se a lei constitutiva para o bet o fendilhado Vecchio e Collins 1986 V rias propostas t m sido apresentadas para o factor de redu o c sendo no entanto necess rio ter em aten o os pressupostos tidos na sua obten o Conforme reconhecido por Vecchio 2000 a coaxialidade entre as tens es e as extens es principais m dias um pressuposto que simplifica a obten o e o uso corrente das leis constitutivas Por m a exist ncia de escorregamentos localizados ao longo das fissuras faz com que essa coaxialidade em geral n o se verifique Desta forma as deforma es m dias de um dado painel cont m tamb m o efeito dos referidos escorregamentos obtendo se extens es aparentes superiores s efectivamente instaladas no bet o 68 Capitulo 2 No caso de formula es em que n o se for a a coaxialidade entre as tens es e as extens es principais m dias estes escorregamentos s o calculados a partir de rela
304. traject ria de tens es est representada na Figura 5 27 sendo muito parecida da viga parede anterior Para o factor de carga 42 2 23 ocorreu uma diverg ncia do processo de solu o Factor de carga 30000 kN 50000 40000 Figura 5 24 Evolu o das reac es verticais de 20000 10000 3 000 F 2 500 F 2 000 F 1 500 H 1 000 0 500 apoio Figura 5 30 com o factor de carga 21 911 2 5 Factor de carga 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 Tens o principal m nima o Pa 0 0 0 0E 00 Figura 5 25 Evolu o da tens o principal de compress o no ponto de Gauss PG1 196 Capitulo 5 4 0E 07 4 0E 07 3 0E 07 2 0E 07 1 0E 07 0 0E 00 i 0 0E 00 l 3 0E 07 40 NO M t FS H 1 0E 07 PG1 i l SPOTL ANE Uniaxal I I a T F 2 0E 07 6 MOE eR mop eepmR Ree eeees Esses 4 3 0E 07 0 0E 00 T L i 0 000 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 0 006 0 007 0 008 1 T 4 0E 07 2 m m o Pa Figura 5 26 Curva 05 no ponto de Gauss PGI Figura 5 27 Traject ria de tens es no ponto de Gauss PGI Ao contr rio do que aconteceu na an lises da viga parede sem aberturas neste caso nao ocorre esmagamento do bet o acima da laje de fundo conforme demonstra o gr fico da Figura 5 28 onde se verifica que a tens o principal de compress o n o ating
305. uada Com efeito mesmo a mais simples superf cie de ced ncia tem no m nimo de ser fun o do segundo invariante do tensor das tens es ou equivalentemente do segundo invariante do tensor das tens es de desvio J2 e do primeiro invariante do tensor das tens es J de forma a expressar o seu car cter friccional Um corte pelo plano meridional de uma superf cie t pica est representado na Figura 3 27 A normalidade do vector escoamento pl stico implica que a deforma o pl stica seja sempre acompanhada de um aumento de volume fen meno conhecido como dilat ncia Ora do que se exp s em 2 4 3 nomeadamente da an lise da Figura 2 44 conclui se isto s verdade a partir de n veis da tens o octa drica de corte elevados e pr ximos da rotura Expans o Volum tri olum trica r 25 Plano Meridional Figura 3 27 Corte pelo plano meridional o o5 de uma superficie de ced ncia do bet o Chen 1982 Desta forma a adop o de leis n o associadas nas quais a fun o potencial pl stico independente da fun o de ced ncia surge como uma consequ ncia natural do comportamento deformacional observado e da tentativa de reduzir a excessiva dilat ncia das leis associadas As consequ ncias do uso de leis n o associadas do ponto de vista da unicidade das solu es e do comportamento deformacional est discutida em Pramono e Willam 1989 Vermeer e Borst 1984 No entanto refira se que nas an lises
306. ue um procedimento razo vel CEB 1996 Nestas circunst ncias a dispers o dos resultados experimentais maior do que qualquer varia o sistem tica da superf cie de rotura que possa ser atribu da s diferentes traject rias de tens o Kotsovos e Pavlovic 1995 Em ensaios biaxiais Maekawa e Okamura 1983 evidenciaram que tamb m se pode definir uma envolvente de rotura no espa o das extens es e que tamb m esta independente da traject ria de carga No entanto em ensaios uniaxiais e triaxiais de provetes sobre os quais se exerceram pr cargas multiaxiais atingiram se diferentes valores para a carga de rotura consoante o valor da pr carga Bongers e Rutten 1998 citando Van Geel 1998 Esta depend ncia s foi detectada em carregamentos altamente n o proporcionais e para valores muito elevados da pr carga Tamb m se admite sistematicamente que a superf cie de rotura isotr pica Van Mier 1986 reportou a exist ncia de uma anisotropia inicial relacionada com a direc o de betonagem dos provetes No entanto esta anisotropia reflectiu se predominantemente no comportamento deformacional nomeadamente na extens o de pico e n o na capacidade de carga dos provetes Usualmente e de forma a permitir uma melhor compreens o f sica e geom trica da superf cie de rotura e dada a hip tese de isotropia a sua forma funcional expressa custa dos invariantes do tensor das tens es de acordo com equa o 2 40
307. ue apresenta o melhor compromisso entre a facilidade de utiliza o e o rigor necess rio na maior parte das an lises de ndole estrutural Nas sec es seguintes v o ser descritos as diferentes formula es existentes para as leis constitutivas modelos el sticos modelos elasto pl sticos modelos de dano etc associadas descri o cinem tica baseada em descontinuidades fracas 3 2 MODELOS BASEADOS NO CONCEITO DE EXTENS O TOTAL A formula o deste tipo de modelos pode ser encarada como uma extens o dos modelos baseados na teoria da elasticidade ao tratamento da fractura do bet o estando usualmente acoplados a um modelo el stico n o linear em compress o dado que tamb m nestes n o efectuada qualquer decomposi o das extens es Classicamente os modelos el sticos n o lineares podem ser classificados segundo um de tr s tipos Chen 1982 Willam 2002 i Modelos el sticos de Cauchy Neste tipo de modelos o estado de tens o depende apenas do estado corrente de extens o Na forma tensorial a equa o constitutiva pode ser posta da forma aod les 3 1 81 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural il iii onde oj o tensor das tens es totais sy o tensor das deforma es totais e f um fun o tensorial de segunda ordem O comportamento do material descrito por esta equag o revers vel e independente da historia do carregamento o que vai co
308. ulamentar 6 2 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Os desenvolvimentos ao n vel da mec nica n o linear do bet o estrutural e ao n vel das respectivas abordagens computacionais constituem ainda um amplo campo de investiga o e um excelente desafio comunidade cient fica O trabalho a desenvolver dever ser sempre orientado no sentido de modelos generalistas com mbito de aplicabilidade alargado e n o confinado a certos tipos estruturais ou de hist rias de carregamento Um dos principais entraves utiliza o dos modelos de ANLE fora do mbito cient fico precisamente o car cter fragmentado e a diversidade de abordagens existentes Este mbito de aplicabilidade dever evoluir no sentido de incluir outros aspectos relevantes do comportamento do bet o estrutural 221 Conclus es e desenvolvimentos futuros dos quais se salientam o fen meno da fadiga a degrada o das caracter sticas mec nicas com o tempo ac o de agentes agressivos e os efeitos das temperaturas elevadas devidas por exemplo ac o do fogo Por outro lado a associa o de modelos mec nicos com modelos termo qu micos relacionados com a evolu o da estrutura do bet o primordialmente nas primeiras idades apresenta se hoje como um campo para potenciais desenvolvimentos neste dom nio Os desenvolvimentos nestas reas ser o essenciais na prossecu o do objectivo ltimo que o de construir estruturas simultaneamente cada vez mais seguras mais
309. um modelo de 93 Modela o Computacional do Comportamento N o Linear do Bet o Estrutural fendas suficientemente geral deve prever a possibilidade de fissura o n o ortogonal Maekawa et al 2003 Este facto pode rigorosamente ser tido em considera o nos modelos de fendilha o distribu da com decomposi o das extens es dando origem no entanto a uma formula o impl cita que obriga a ciclos iterativos internos na lei constitutiva ver sec o 3 3 1 o que eleva o custo computacional associado particularmente no caso de an lises din micas ou em modelos de grande dimens o Um m todo simplificado para o tratamento da fissura o n o ortogonal atrav s de m todos expl citos usando ainda extens es totais foi proposto por Maekawa et al 2003 baseando se do conceito de fenda activa active crack approach O m todo baseia se no facto de que nem todas as fendas n o ortogonais desempenham simultaneamente um papel determinante para a n o linearidade do elemento As fendas activas ser o ent o aquelas que exibem uma n o linearidade mais marcada de forma que a extens o total do elemento ser apenas distribu da por estas sendo as restantes ignoradas 45 5 s e e DA S200 B lt 22 5 Fenda activa Bon e N e E A Figura 3 13 Conceito de fenda activa Sistema de eixos quasi ortogonais Quando duas fendas n o sao perfeitamente ortogonais usando o conceito da fenda activa o modelo de f
310. ura 4 37 Mapa com as extens es pl sticas principais m nimas 500 T T 500 s s li d A400 Ses cec gece tere seeeeeeegeced Z40L q M zb ed beiden z x l l E c S eseqea eene ecd ou e ss passe E luso ed e o oito so Ide sene deseo insano E 2 Pilar esq S REED COMES ip aM Pilar dir E m Pilar dir 7 r Pilar esq EE A El stico t El stico 8 i e Pil esq exp 9 do e scr q a a q eee e Pilar esq exp 100 y AE a ee ee i 0 0 r r i 0 50 100 150 200 250 300 350 0 20 40 60 80 100 Corte Basal por Pilar kN Momento Flector kN m Figura 4 40 Evolu o do corte basal em cada um Figura 4 41 Evolu o dos momentos flectores na dos pilares com a carga total base dos pilares com a carga total A rigidez da parede captada de forma excelente conforme atesta o gr fico representado na Figura 4 39 Na Figura 4 40 esta ilustrada a evolug o do corte basal em cada um dos pilares sendo evidente a sua assimetria logo desde a ocorr ncia da primeira fendilha o Os valores obtidos confirmam os obtidos por Bounassard Filho 1995 atrav s da interpreta o das extens es medidas experimentalmente obtendo se na rotura uma distribui o 26 e 74 para o pilares esquerdo e direito respectivamente Algo de muito semelhante obtido em rela o ao momento flector na base dos pilares Tal como o corte basal a distribui o obtida afasta se d
311. ura 5 62 h m h m M dia ES4 e ES6 ES7 Num rico Num rico 0 50 100 150 200 250 300 Micro strains 0 50 100 150 200 Micro strains Figura 5 66 Compara o da m dia das extens es Figura 5 67 Compara o das extens es medidas medidas em cada face da l mina inferior de apoio no esquadro ES7 com as extens es calculadas ES4 e ES6 com as extens es calculadas No que respeita aos valores medidos pelos extens metros ES4 e ES6 dadas as condi es fronteira utilizadas no modelo 3D n o poss vel captar a flex o da l mina de apoio Assim sendo a compara o com os valores num ricos foi feita com a m dia dos valores medidos nos dois extens metros e est representada na Figura 5 66 Existe um afastamento de cerca de 40 entre os valores lidos e os calculados A compara o referente s extens es medidas no esquadro de refor o pelo extens metro ES7 est representada na Figura 5 67 sendo o afastamento entre os valores lidos e os calculados de cerca de 20 Em ambos os casos as extens es medidas s o inferiores s calculadas 211 Caso pr tico ETAR de Sobreiras 5 6 CONSIDERACOES FINAIS Com a utiliza o de um modelo de an lise n o linear foi poss vel efectuar a verifica o da seguran a de uma estrutura laminar complexa de forma consistente confirmando o dimensionamento feito com base em modelos el sticos A partir de uma modela o glob
312. vas estabelecidas em termos dos valores m dios das tens es e das extens es sobre 80 Cap tulo 3 pain is ou tirantes de bet o armado facilmente adapt veis aos modelos baseados em descontinuidades fracas A n o exist ncia de localiza o das deforma es elimina a depend ncia da malha de elementos finitos utilizada n o havendo no entanto vantagens no refinamento das malhas de elementos finitos at tamanhos inferiores ao espa amento m dio entre fendas Isto deve se ao facto do volume de controlo sobre o qual s o estabelecidas as leis constitutivas conter no m nimo duas ou mais fissuras Se na fase de processamento da fractura os modelos n o locais s o os que t m melhor desempenho os modelos discretos baseados em descontinuidades fortes s o os que melhor reflectem o comportamento das fendas macrosc picas Por m a abordagem num rica correspondente descri o cinem tica baseada em descontinuidades fracas a que ainda hoje se apresenta como mais competitiva na modela o de estruturas reais de engenharia civil A facilidade com que permite o tratamento da fissura o localizada na aus ncia de armadura aderente ou da fissura o distribu da atrav s do conceito de diagrama de reten o de tens es no bet o exposto em 2 6 1 usando de malhas de elementos finitos correntes assegura com que seja o m todo mais difundido para a an lise n o linear de estruturas de bet o De uma forma geral pode dizer se q
313. x3n 3nx6 6x6 zi pe E D I N D N D N N D 3 61 A possibilidade de exist ncia de m ltiplas fendas fixas obriga defini o de crit rios de abertura de novas fendas Em Rots e Blaauwendraad 1989 s o distinguidos quatro crit rios a A tens o principal de trac o o viola o crit rio da tens o m xima b A direc o da tens o principal de trac o faz um ngulo com as direc es das fendas existentes superior a um valor limite fornecido a threshold angle c Ambas as condi es a e b s o violadas d Quaisquer das condi es a ou b s o violadas Apesar da condi o a limitar a tens o m xima no bet o n o controla o n mero total de fendas o que de um ponto de vista num rico muito pouco eficiente A ocorr ncia de um grande n mero de fissuras no mesmo ponto de amostragem coloca problemas de condicionamento da matriz de rigidez assim como aumenta significativamente a dificuldade em lidar com situa es de mudan a de estado relacionadas com a forma o fecho e reabertura de fendas Rots e 106 Cap tulo 3 Blaauwendraad 1989 Este ser um crit rio aceit vel apenas em situa es em que a capacidade de transfer ncia de tens es de corte diminui acentuadamente durante o processo de fendilha o Barros 1995 A condi o b obriga defini o de um novo par metro o ngulo limite a introduzindo uma certa ambiguidade no processo de abertura de uma nova fenda Por
314. xaustiva revis o bibliogr fica sobre os v rios modelos existentes consultar CEB 1996 Feenstra et al 1991a Li et al 1989 Modelo das duas fases Este modelo baseia se na considera o do bet o como um material essencialmente constitu do por duas fases distintas a matriz de pasta de cimento e agregados finos e os agregados de maiores dimens es nela embebidos O modelo considera que a rigidez de uma das fases correspondente aos agregados muito superior outra pelo que se assume que apenas a fase correspondente matriz ciment cia se deforma Dada a sua porosidade de esperar que as deforma es pl sticas sejam predominantes adoptando se uma rela o constitutiva r gido pl stica para a tens o de contacto entre a matriz e os agregados Figura 2 23 a Aumentando a tens o de corte 7 sobre a fenda e existindo uma tens o de confinamento o que impe a a sua livre abertura as faces da fenda tendem a deslizar reduzindo a rea total de contacto e aumentando significativamente as tens es nessas zonas Para que o equil brio se mantenha ocorre deforma o pl stica da matriz de forma a aumentar a rea de contacto Figura 2 23 c c d Figura 2 23 Two phase model CEB 1996 a Rela o rigido pl stica para a matriz b geometria simplificada da superficie da fenda c projec es da rea de contacto entre a matriz e os agregados d tens es na rea de contacto entre a matriz e os agregados As
315. xtens es e simultaneamente satisfazer uma rela o geral entre as correspondentes componentes vectoriais Desta forma a maioria dos modelos aplic veis ao bet o baseia se chamada restri o cinem tica que define o vector das extens es e no plano definido pela normal n por e 8 n 3 123 Na express o acima amp representa o tensor das extens es Note se que por simplicidade foi usada a nota o indicial pelo que a repeti o de indices implica um somat rio O tensor das tens es obtido a partir dos vectores das tens es actuantes nos microplanos atrav s do princ pio dos trabalhos virtuais integrando o trabalho sobre todas as poss veis orienta es dos microplanos ou seja sobre a superficie de uma esfera obtendo se 3 O E 2s s e dO 3 124 onde z s o as componentes do tensor arbitr rio mas sim trico das extens es virtuais e de e n 3 125 s o as correspondentes componentes do vector das extens es virtuais no microplano A integra o num rica da express o 3 124 requer a considera o de um numero finito de microplanos Figura 3 31 c A particulariza o destas express es assim como a defini o de leis constitutivas ao nivel dos microplanos podem ser encontradas em Bazant et al 2000b Bazant e Gambarova 1984 Bazant et al 1996a Bazant et al 1996b Caner e Bazant 2000 Caner et al 2002 CEB 1996 Hoehler e Ozbolt 2002 Este tipo de modelos tem reve
316. xtens o pl stica num ensaio uniaxial Jl 20 k 3 15785 4 17 p3 l a No caso de problemas tridimensionais optou se pelo crit rio de Mohr Coulomb seguindo uma lei n o associada com endurecimento isotr pico No espa o das tens es principais 63 lt o lt a E E E L S F a clk o o ze 0 sing elk cosg 4 18 2a faneio potencia plastica por g a 6 0 zo 0 siny 4 19 em que y o ngulo de dilat ncia e as restantes vari veis t m o significado usual De forma a garantir a reprodu o do estado de rotura uniaxial com oi o o3 0 0 verifica se por substitui o em 4 18 que se tem 140 Capitulo 4 1 si ne sin 2cos 18 20 O diagrama de endurecimento c k foi definido de modo a ajustar a mesma curva uniaxial atr s definida Deixando cair a condi o 03 lt o lt oj tanto a superf cie de ced ncia como o potencial pl stico passam a ser definidos por seis planos cada obtidos por permuta o c clica dos ndices As intersec es destes planos definem arestas No caso uniaxial 01 o o3 0 0 03 o escoamento pl stico ocorre segundo uma aresta Nestas condi es est se perante um caso particular de 3 110 dado que das duas superf cies activas as condi es de simetria imp em A Desta forma a taxa de varia o do vector extens o pl stica vem expressa por s 1 4 1 siny amp 5485 t 1 1 4 1
317. zado em todos os exemplos estudados Desta forma foi este o modelo escolhido para a aplica o pr tica do Cap tulo 5 As formula es baseadas em extens es totais revelaram ser as mais eficazes no que diz respeito ao esfor o de c lculo necess rio requerendo sempre muito menos tempo de c lculo do que as restantes e revelando menos dificuldades de converg ncia A implementa o de um modelo de fendas n o ortogonais semelhante ao j referido em 3 2 3 1 assim como um tratamento mais consistente do efeito de Poisson permitiria a este tipo de formula o o compromisso mais eficaz entre a robustez a rapidez o rigor e a versatilidade de todos os modelos experimentados Na an lise da viga sem estribos a rotura por corte sem esmagamento do bet o revelou se de an lise complexa dada a fragilidade da rotura Os incrementos de carga tiveram de ser tomados muito pequenos para que a converg ncia fosse garantida A interpreta o deste tipo de roturas n o est estabelecida de forma satisfat ria pelo que imperiosa a necessidade de captar quedas 179 An lise n o linear do comportamento de estruturas de bet o com base no software DIANA convergidas no diagrama carga deslocamento No caso da viga com estribos m nimos a presen a destes aumenta significativamente a ductilidade da rotura ocorrendo agora esta com esmagamento do bet o o que constitui um indicador precioso para a sua detec o O processo de converg ncia revelou s

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