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Controlo robusto de ordem não inteira

1. q o E 5 8 o e E Es q E lt o e g Tam 5 on em Caso as oscila es da fase sejam excessivas repare se que a maior oscila o se d ainda fora do intervalo de frequ ncias de interesse h que aumentar o n mero de pontos de amostragem no di logo anterior Optando na Figura 34 por um controlador formado pela sequ ncia dum controlador de fase constante e dum controlador de fase vari vel chega se ao seguinte di logo 32 A r NAO INTEIRA SINTESE EM FREQUENCIA CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM 101 x 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira File Edit Window Hel Help Gama de frequ ncias de interesse 100 1000Jrad s sistema Sistema linear e invariante no tempo 3 3 5 3 E g 5 5 E gt 8 5 8 2 3 APES mes Sey O A pra el iria va va va ra va err 1 va ra ra r ra ras ras DNA A ras sai cies Pan iia 1 i 1 1 e 1 i 1 i 4 1 i i r eo We moro RR nut 1 1 L i tae coated nila nl eo foe i i r r r ADO 150 F gp oyues rare ES 10 valor recomendado para o produto alfa x eta entre 5e 10 o valor ajustado para garantir um n mero inteiro de p los e zeros ncia rad s requ F 80 100 160 H 5 Frequ ncia 10 em 6 28717 Ordem do
2. 2 18 I y x dxdx ara 2 19 ff v e dxdxdx a E Da Ja E e 2 20 desde que n o se chegue a um caso em que o expoente seja 1 recorde se que x dx Inx O caso geral demonstra se uma vez mais por indu o lotes Ds 0 Ena e a n CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA E am x cesso A a n l ima k a 1 a 2 a n a n 1 o l m 2 21 a n 1 6 Pode se portanto escrever Tla 1 oD y x aa 2 22 Ora esta express o v lida mesmo que a ordem de diferencia o n o seja inteira no 7 r 7 Em consequ ncia razo vel escrever F a 1 P a v 1 av VE A 2 23 oD y x desde que como atras se referiu a ENaa ve ZA a EL Aa ve N 2 2 2 DEFINI O FORMAL DO CASO REAL N O INTEIRO Seja f x uma fun o cont nua por tro os e integr vel Ent o define se ad MR EJ f E d se v lt 0 se v 0 2 24 D f x n minfkeN k gt v se v gt 0 FC Dif x a D Se x for o limite inferior de integra o ter se 1 c v 1 m F d8 se v lt 0 Df x 4 f x se v 0 2 25 1 Dil Det e n min keN k gt v se v gt 0 A fun o I e outras fun es transcendentes desempenham um papel importante na generaliza o do c lculo integral e diferencial a ordens n o inteiras No ap ndice A pode achar se um resumo das suas propriedades mais importantes 7 Miller et al 1993 pp 2 3
3. De facto seja a resposta do anel aberto formado pelo controlador e pelo sistema a controlar para uma dada frequ ncia G jo jo Je ge 3 54 O ganho em anel fechado ser Gli G jo eZ p F jo EU _ Ue 3 55 1 G j 1 G joJe El 1 0e oe pelo que Oustaloup 1991 pp 266 275 Oustaloup 1991 pp 286 289 33 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA De O F jo pl AE 1 0e cos jOsin6 Va O cos0 M Osin0 y V1 0 cos 0 20 c0s0 sin 0 2 3 56 V1 20 cos0 O ganho de resson ncia em anel fechado ser assim dado por G jo F jo max Ge 3 57 0 1 G jo 2 G jo cos arg G jo r r Y 51 y A Tamb m poss vel mostrar que o coeficiente de amortecimento praticamente constante ao longo das curvas em que constante a fun o O 1 20l0g V1 0 20cos0 1 0 20cos0 a 201og C 2 O 10log _ Bio 1 20 cos0 3 58 e que sendo 0 _ o ponto de cada curva correspondente a O 1 0dB se ter compare se esta express o com a express o 3 13 e a Figura 7 2 cos 3 59 6 Do 3 59 Daqui se conclui que 1 1 E 0O 15 10log gt _ 10 gt 2 2c0s0 2 2cos0 _ E E 3 pt 1 10 9 1 10 _ gt 2 2cos0 _ 10 gt cos o E arocos 3 60 e portanto T 2 Gagos 3 6
4. ooooooccnonccccnonccconnncconnnccnnnnos 66 5 L45 CONUS ci cec e eich alent tao ttn E ed teahie S 66 3 2 sistema laboratorial secas ae TAN 67 Sal Modelacao do SISTEMA E 68 5 2 2 Identifica o do Sistema cic cess da 69 5 2 3 Especifica es de desempenho dilo 74 5 224 Controlo de VElDCIdade iio 74 5 2 4 1 Desenvolvimento dos controladores ooonconincninconooccoococonccconocnoos 74 5 2 4 2 Seguimento de um degrau e rejei o de perturba es 75 5 2 4 3 Seguimento de uma SINUS IAS oooocooccnocconccconocionoconn nono nono naco nacion 76 5 2 4 4 Robustez a altera es no sistema ooooonooocccononoconanoconnncnonnnononononn nooo 77 5 29 Controlo de POST rias and a teu eda actinic dae os 79 5 2 5 1 Desenvolvimento dos controladores ooooconinnninccnnccconcoconocconocannos 79 5 2 5 2 Seguimento de um degrau e rejei o de perturbacgdes 80 5 2 5 3 Seguimento de uma sinus ide oooonoocccoccconnccononionoconn nono nonnncconocnnnos 82 5 2 5 4 Robustez a altera es no sistema ooooccooocccononononanononanononanonncconn noo 83 6 Conclus es e trabalho ULUTO oooooonoccnnocococccononononcnnncconocnn cono ncon nono no naa nconn nono ccoo 88 A TE 88 6 2 Trabalho TUTO A A tate Aa e A 89 A AR Aa GR E R a 90 Ap ndice A Propriedades dalgumas fun es transcendentais 92 PR A O Acid o Maa yc Aa os e Oe A Ni Noe ia era 92 ADA TUM AUT a setae ita
5. A AS teh bx 2 b log10 rad dec Figura 4 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de F s Re s a lt 0 se a lt 0 De igual modo se mostra que a fun o F s mise a b e R 0 tem um diagrama de Bode da forma FG o dB 20a dB dec 20 Log gsinh ba 2 fp 0 ars FGo rad a 1 x 2 a 1 n 2 0 Figura 5 Diagrama de Bode de F s Im s a gt 0 sea gt 0 e 20a dB dec FG o dB 20 Log gsinh ba 2 0 arg FGo rad a 1 a 2 a 1 m 2 b log10 tgh bx 2 rad dec Figura 6 Diagrama de Bode de F s Im s a lt 0 14 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA se a lt 0 Repare se que agora poss vel que o ganho para a frequ ncia unit ria seja negativo porque a fun o seno hiperb lico tem todo o conjunto R por contradom nio N o se apresentam os diagramas de Nichols respectivos por n o serem necess rios para a sequ ncia dos resultados Deve contudo notar se que a linearidade destes dois ltimos diagramas apenas aproximada e s se verifica numa vizinhan a da frequ ncia unit ria Para partes imagin rias superiores unidade estende se para efeitos pr ticos por pelo menos quatro d cadas em torno da frequ ncia unit ria 15 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 3 CONTROLO DE ORDEM N O INTEIRA Este cap tulo resume o e
6. Figura 49 Fun o de sensibilidade da entrada para o anel aberto formado pelo sistema a controlar e pelo controlador de ordem n o inteira a azul sistema sem carga a verde sistema a m dia carga a vermelho sistema a plena carga Conforme requerido o ganho inferior a 10 dB para frequ ncias entre 8 Hz e 10 Hz 50 3 rad s a 62 8 rad s 5 1 4 5 CONCLUS ES O controlador de ordem n o inteira consegue um desempenho robusto e claramente muito superior ao conseguido pelos controladores PID Consegue cumprir 66 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA v rias das especifica es de controlo e algumas como a margem de atraso com grande folga mas n o todas Cabe aqui referir que Oustaloup et al 1995 apresenta um controlador constitu do por uma parte n o inteira e por uma parte convencional que atenua a fun o de sensibilidade na entrada nas frequ ncias onde isso necess rio que consegue globalmente um melhor desempenho que este controlador embora fique atr s dele em alguns crit rios e os seus tempos de subida tamb m n o cumpram as especifica es O controlador aqui apresentado em contrapartida exclusivamente de ordem n o inteira Isto porque o objectivo averiguar o desempenho dos controladores de ordem n o inteira e compar lo com o desempenho de controladores cl ssicos mais do que resolver o problema paradigm tico de controlo que usado a t tulo de ilustra
7. UNIVERSIDADE TECNICA DE LISBOA INSTITUTO INSTITUTO SUPERIOR TECNICO SUPERIOR TECNICO Controlo robusto de ordem nao inteira sintese em frequ ncia Duarte Pedro Mata de Oliveira Val rio Licenciado Disserta o para a obten o do Grau de Mestre em Engenharia Mec nica Orientador Doutor Jos Manuel Gutierrez S da Costa J ri Presidente Doutor Jos Manuel Gutierrez S da Costa Vogais Doutor Miguel Afonso Dias de Ayala Botto Doutor Jos Ant nio Tenreiro Machado Julho de 2001 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Na p gina 17 20 21 22 Figura 10 23 23 Figura 11 41 51 61 75 83 ERRATA Onde se l sistema de ordem 2 O maximo valor de y controlador de ordem inteira Go num intervalo de frequ ncias que englobe Co a express o geral da inclina o J em rad controlador de fase vari vel o ajuste fino o ajuste fino As ac es de controlo uma sa da de 1V Devia ler se sistema de tipo 2 O m ximo valor em percentagem de 1 controlador de ordem n o inteira 20 log 10 Go num intervalo de frequ ncias que englobe 20 logio Co a express o geral da inclina o J em rad por d cada controlador de fase ptima o ajuste final o ajuste final As ac es de controlo aplicadas encontram se na Figura seguinte CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA RESUMO A presen
8. Diagrama de Bode do controlador ei 23 Figura 12 Diagrama de Bode do controlador a implementar a vermelho e sua aproxima o assimpt tica a azul viii ia 23 Figura 13 Exemplo ilustrativo do objectivo dum controlador de fase vari vel a verde fase do sistema a controlar S a vermelho fase pretendida para o anel aberto a azul fase que o controlador deve ter a v rias frequ nciaS oconnoncnocincnnoncnnncones 28 Figura 14 Pr controlo do sistema ss innata tz lidia 29 Figur AMS COM TO at es acc aS lang teat a o ck 31 Figura 16 Anel com pr controlo e TU OO ooonnoonioninonoononnnncnnnncnnncnrnnnonorannoconconocns 32 Figura 17 Anel equivalente a0 anterior sessssseesessseseessseseesesseseessesetsesseseesesseeees 32 Figura 18 Curvas de nivel das fun es de ganho do anel fechado esquerda e de coeficiente de amortecimento do anel fechado direita no plano de Nichols as cotas encontram se abaixo ou direita da curva respectiva 35 Figura 19 Exemplo ilustrativo do objectivo dum controlador ptimo as curvas de n vel do ganho do anel fechado est o tra adas para todos os valores entre 15 dB e Dida esa una a ca Beata aes es Na a O O OU 36 Figura 20 Anel de realimentagdo conioonnnioninonnrnncnonnnononoraconann cono noroonnnnon cnn crac rancnnnnos 38 Figura 21 Anel de controlo dit 39 Figura 22 Diagrama de Bode do sistema em estudo oocconc
9. Pode portanto definir se Dive ED y x 2 4 Sobre este assunto vejam se Gorenflo et al 1997 Miller et al 1993 Podlubny 1999 e Samko et al 1993 As refer ncias desta sec o ser o feitas principalmente sobre a segunda e a quarta destas obras Barbosa 1999 pp 21 35 e Tunes 1997 pp 11 23 tamb m apresentam resumos que cobrem aproximadamente os mesmos assuntos CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Para completar a defini o do operador D para todo o n inteiro resta convencionar que D y x y x 2 5 Esta defini o conv m devido a lei dos expoentes j a seguir exposta Repare se que a ordem em que se aplicam os dois operadores n o irrelevante pois LD y x y x e x x o le 2 6 1D yx y x e x c Dy c y x x c Dy c x cY yle 2 7 2 y x a D y c x c Dy c x c y c 2 8 ao LEE fo 25 A lei dos expoentes do operador D resulta do que atr s se exp s e afirma que D D y x D y x meZ vn meN 2 10 Pelo que atr s se viu tem se tamb m m 1 i D D y x D y x Y Cost meN neZ 2 11 i n m l Nas sec es seguintes mostra se como poss vel generalizar este operador D para o caso em que a ordem de diferencia o ou integra o um n mero complexo qualquer H v rias defini es alternativas que se podem adoptar e que n o s o sempre equivalentes A defini o de
10. com o controlador de ordem n o inteira adicionado de um termo integrativo esquerda resultado obtido com o sistema nominal direita resultado obtido com A A asad Meee ee 87 Figura 82 Ac es de controlo correspondentes Figura 81 87 Figura 83 D I Ce E ii ea aa 95 Figura 84 Alv olo na parede do dique ccccecsseessecsseceseeeeseceeeeeescecaeceteeseneeeaaees 95 Figura 85 Modelo el ctrico do alv olos 95 Figura 86 Diagrama de Bode da fun o de transfer ncia de O P havendo dois ALVGOLOS caido anda pano E na q Da SAO A A 96 Figura 87 Diagrama de Bode da fun o de transfer ncia de O P havendo um n mero O ARV COLOS can e a eE a e E a e ae e ECEE e EEE 97 Figura 88 Diagrama de blocos equivalente ao modelo do dique 98 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA NDICE DE TABELAS Tabela 1 Valores de p na express o 5 29 cecccecsceesecsecesecseeecseeeeescecaeceeeeseeeenneees 60 Tabela 2 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 46 65 Tabela 3 Erros cometidos face aos dados experimentais pelos modelos 1 S3 e S5 73 Tabela 4 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 58 76 Tabela 5 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 68 81 xl CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA RESUMO DA NOTA
11. y y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 44 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema a m dia carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga 62 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA x 10 8 E 8000 Elia tm A pda o oe ZR os St elie sl 8000p a ere spe qe os posta a aq eae Da cala MODO Le E ie E di o sr ee aaa cia Meal Whe he gd SR SE Re Co dE de a pad Hee sd 200k do He ote ce s be ote sto ae Ere Set eee ae eats ee ed E 3 2 9 ES S S go g o M2000 2 2 e e E fer a sia eae TEIN M Ble a cl a GeV Ce Sl ir cego ratos See wa 4000 a pe Eee Sy Ss oe E Sp Spe ea id ee ee i edie a ag ie re a N O acaso rca ec 6 1 L i L 8000 L 1 1 1 L ni o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s 1 6 Y F 1 Male a e o ES E aro Bes eo ar Se AD HO Ae ar Ds Ee ey o A aL E MA ando A E Sa et a aad o S O06 E E E E E EES 8 2 ikot ph os abe gta WE de aa abadia go a a a 1 1 o ELS sata adie amp Tes o ag a alors Bis oT el o f EET ii oR ee del 0 2 t 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Figura 45 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema a plena carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo s
12. CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 9 o ganho S ja um dos seguintes valores margem de fase pretendida ganho de ressonancia em anel fechado pretendido F jo coeficiente de amortecimento pretendido m ximo valor pretendido da resposta no tempo ao degrau unit rio max y t A ordem de diferencia o x determina se a partir da ordem do sistema n e da ordem pretendida para o anel aberto v pois arg G s are C s arg S s gt gt no Sx n v 3 23 Quanto a v determina se de uma das maneiras seguintes a partir da margem de fase pretendida 2 Dd P T are G jo 1 ve v Z n 0 gt x n 1 22 3 24 T T a partir do ganho de resson ncia em anel fechado pretendido J f 1 v T E gt x n Coe DEE 3 25 x IF Jo 7 Foe a partir do coeficiente de amortecimento pretendido T T C cos gt v v E O arccos C 40 a partir do m ximo valor pretendido da resposta no tempo ao degrau unit rio max y t 79 195v 138 507v 59 528 gt 138 507 138 507 4x79 195 59 528 max y 1 Y Y oo gt 2x 79 195 138 507 138 507 4x 79 195 59 528 max 1 gt x n 3 27 2x 79 195 Note se que na resolu o da equa o se tomou a raiz positiva para que v tamb m o seja Por ltimo determina se C do seguinte modo Gljo Clio S jo 1 lt gt 3 28 24 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N
13. O Apenas se apresenta aqui a nota o mais frequentemente utilizada Outros s mbolos e vari veis foram empregues cuja defini o deve procurar se no texto Di y x e s F s G s j Z f x F s derivada de ordem v da fun o y x sendo c o limite inferior de integra o e x o limite superior de integra o vejam se as subsec es 2 2 2 2 3 e 2 4 erro do controlo isto r s y s fun o de transfer ncia em anel fechado fun o de transfer ncia em anel aberto unidade imagin ria transformada de Laplace da fun o f x logaritmo neperiano de x logaritmo decimal de x refer ncia para o controlo ac o de controlo sa da do sistema a controlar fun o gama veja se o ap ndice A 1 coeficiente de amortecimento frequ ncia de cruzamento de ganho frequ ncia amortecida intervalo de frequ ncias de interesse para o controlo intervalo de frequ ncias em que um controlador de fase constante tem a fase efectivamente constante frequ ncia dum p lo frequ ncia de resson ncia frequ ncia dum zero xii CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 INTRODU O A teoria do c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira foi desenvolvida para generalizar as no es de derivada e de integral indefinido situa o em que a ordem de diferencia o ou de integra o um n mero real ou complexo qualquer Essa teoria tem v rias aplica es uma das q
14. SORA Sjen an E Er pa e e a E e E Get A ee ee E OBE as Se Shoe GR AECID A lt i eR ea E a ADD as de SE es oe et Se SD es et se io See et WE a 2 wa eh ala Se ae ve ae CE Ed Bh 22 ess 2 e als a aa a a toca oca 10 1 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s Figura 82 Ac es de controlo correspondentes Figura 81 Contudo esta modifica o deteriora a resposta ao degrau aumentando o seu sobreimpulso 87 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 6 CONCLUS ES E TRABALHO FUTURO Este cap tulo apresenta na primeira sec o algumas conclus es sobre o trabalho realizado e exposto nos cap tulos anteriores e na segunda sec o algumas perspectivas de trabalho futuro 6 1 CONCLUS ES Do trabalho realizado e exposto nos cap tulos anteriores pode extrair se as seguintes conclus es Foi poss vel implementar em Matlab os algoritmos para o desenvolvimento de controladores de ordem n o inteira A obten o de controladores com esses algoritmos est sempre dependente da fixa o de alguns par metros sejam eles factores recursivos para a coloca o de p los e zeros ou frequ ncias para amostrar a evolu o da fase do sistema Esses par metros permitem chegar a diferentes controladores com diferentes graus de complexidade e diferentes desempenhos Nem sempre os controladores mais complexos conseguem os melhores desempenhos Por vezes pretender um grande n m
15. a verde a esquerda resultado obtido com o PID a direita resultado obtido com o controlador de ordem n o Inteira epa arate eae aes 78 Figura 65 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira 78 Figura 66 Ac es de controlo correspondentes Figura 64 78 Figura 67 Ac es de controlo correspondentes Figura 65 s 79 Figura 68 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da figura AAT l O AT A S 81 Figura 69 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes figura anterior E 81 Figura 70 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira nono nonn nono no cano nrnn nono coca nnnnnss 82 Figura 71 Ac es de controlo correspondentes figura anterior 82 Figura 72 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma sinus ide a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o MCI As qo sds seua per
16. 4 Bho 4 2L 4 velocidade V 0 06h 4 Dt 4 0 2 4 0 0 2 BL 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 64 Sa da do sistema nominal a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira velocidade V velocidade V G6 4 0 6 044 4 02L 4 0 0 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 65 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira entrada V As ac es de controlo aplicadas foram as da Figura seguinte entrada V Figura 66 Ac es de controlo correspondentes Figura 64 78 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA entrada V o entrada V Figura 67 Ac es de controlo correspondentes Figura 65 vis vel a maior robustez do controlador de ordem n o inteira Mesmo para o sistema nominal o desempenho do PID piora quando se utilizam degraus de amplitude diferente daquela que foi usada para o ajuste fino dos par metros Isso sucede porque o sistema embora razoavelmente linear n o o completamente Quando se fixa a massa terceira roldana
17. O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 2 r 2 1 a ES 1 1 O alega sd ee Ta ufe SYao So rfe 3 1 3 3 2 Aproxima o da fun o de transfer ncia O controlador dado pela express o 3 22 e cujo diagrama de Bode est representado na Figura 11 n o pode ser directamente implementado Se a ordem de deriva o verificasse v Jal podia se aproximar do seguinte modo CG 00 dB n 20 f v ec E arg C 0 n 2 va 2 Figura 12 Diagrama de Bode do controlador a implementar a vermelho e sua aproxima o assimpt tica a azul A equa o dessa aproxima o S A N O C s C 3 29 n 1 1 S O pm As frequ ncias dos sucessivos zeros e p los verificam as seguintes rela es de 38 recursividade 36 Oustaloup 1991 pp 154 164 7 Compare se com o que sucede com o sistema f sico modelado no ap ndice B veja se em particular a subsecg o B 2 38 Estas rela es justificam se por compara o com o que sucede com o sistema f sico modelado no ap ndice B e resultam da sua fractalidade 23 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 0 pn a gt l O en A A R O ny zn O pn p gt 1 pn 3 30 N ser o n mero de p los e zeros que depende dos valores de a e de n Quanto maior for N melhor ser a aproxima o conseguida mas claro que computacionalmente conv m que N n o seja muito grande Logo d
18. a sa da n o constante mas oscila a oscila o tem amplitude vari vel mas cerca de 20 da amplitude do degrau com o PID e cerca de 10 com o controlador de ordem n o inteira 5 2 5 CONTROLO DE POSI O A posi o angular da terceira roldana foi obtida a partir dos valores medidos pelo sensor de velocidade angular por integra o Como referido na subsec o 5 2 4 a tens o medida estando a roldana parada n o era nula Isso teria um efeito nefasto na integra o visto que os erros se iriam acumulando Para evitar isso antes da integra o colocou se uma zona morta de 0 4 V a 0 6 V que despreza os valores desse intervalo e subtrai a sua largura aos restantes e ainda se subtraiu 0 1 V ao resultado Desse modo conseguiu se que estando a roldana parada o valor da posi o angular calculado n o variasse Al m disso a zona morta dos motores que actuam as roldanas faz com que seja imposs vel aplicar ac es de controlo menores que um certo valor Isso faz com que seja muito f cil ocorrerem erros estacion rios na resposta a um degrau ou em todas as situa es em que o erro pequeno 5 2 5 1 DESENVOLVIMENTO DOS CONTROLADORES A partir dos modelos atr s apresentados pode se obter outros tantos para a posi o angular por integra o 1 5 45 S 9 JG 1 Contudo o controlador de ordem n o inteira para a posi o que melhor desempenho apresentou n o foi concebido usando estes modelos mas sim o
19. o inteira entrada V As ac es de controlo aplicadas foram as seguintes entrada V Figura 76 Ac es de controlo correspondentes Figura 64 84 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 10 10 Bh AE SAS a Gu E E ra A Es a SE a e e MR E sald alia ds A 61 o dos De Be ete ee Apis Da de Shia teh ot hs elt E o ge MN hod ui She Bick Segs A Ea qe ce dee od 4 4 4 ca o 4 a ed entrada V o entrada V o ME pe ce Dl e ES ES Mo Jo o a as Fetes e BS e A ped e o boo o ga trae oa Mag Se BS oo db ste el TS ad i ado SA Bh Boy he es come Cera Lor E ir ea ane a enel 4 io Se o oh RM oe E eh eS Gene 6 GE ce GEE modo E A Di gs cd sete Ee Gr es Eloi we Be Ge o SS et ee Bie ns eba te A SOB he ah ee a a caos ahh ead fife bro ate S O ci toes O ar de She coh 2 C qual 10 4 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 77 Ac es de controlo correspondentes Figura 65 E vis vel que a varia o da resposta durante o regime transiente maior no caso do PID que no caso do controlador de ordem n o inteira 0 06 F F 0 06 F F F F 1 i MOF ss S Pe E E ore E dy SEE oT pas E E E E E E EE e do eae a A S a O Boo ll cc AAA RA o o S 2 js i z H E E I i 8 Dare Woke St Velso bes ROR a O Goes fe 2 QUA Soto ol ed E E A de do a e E IEA LE E El g g 2 o i 2 8 g 3 E gol alae 2 af ato BE
20. ticos dos erros cometidos pelas curvas ajustadas face s experimentais 2 ganho 30 20 log S jo 20 logig S experimenta jo do 5 41 0 2 20 log S experimental jo i E fase T Na arg s jo ars L jo do 6 42 0 2 arg Er jo 2 Os integrais foram calculados numericamente pela regra do trap zio composta As curvas experimentais foram interpoladas por curvas seccionalmente polinomiais do terceiro grau 72 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA E ganho 6 V E santo 8 V E ase 6 V E fase 8 V log rad s log rad s log rad s log rad s S 0 066 0 038 3 029 3 405 S 0 171 0 210 1 953 1 735 S 0 154 0 147 2 161 2 542 Tabela 3 Erros cometidos face aos dados experimentais pelos modelos S1 3 e Ss Os valores para o erro da fase s o sistematicamente altos porque a fase assume valores pr ximos de zero numa larga gama de frequ ncias Quanto aos valores do ganho S tem um erro maior sobretudo por causa da queda muito grande do ganho para frequ ncias elevadas A resposta ao degrau dos modelos S e S tamb m n o concorda completamente com os dados experimentais 0 35 jabe cin fp ao eee 025 Shes 2 hk o A O Do po ts She 2 E he al o iy ee a velocidade V Os athe elle A wee ee EON e elie 2 ab Sop ee ed NI A Soe Bote o A eds s ai sds E el Figura 56 Resposta experimental a um de
21. 1995 pp 43 44 Landau et al 1995 pp 79 80 Prova se que o atraso adicional que instabiliza o sistema At igual raz o entre a margem de fase M ea frequ ncia de cruzamento de ganho q Ar 2 Havendo v rias frequ ncias de ganho E O ter se Az min Di Veja se Landau et al 1995 p 80 i Oo 8 Simulink v 3 0 1984 1998 The MathWorks Inc 60 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA rad s e 100 rad s foram escolhidas para amostrar o comportamento do sistema em todo o intervalo 0 1 100 rad s s o mais esparsas no extremo esquerdo do intervalo onde a fase quase constante e concentram se em torno das duas inflex es que se d o entre 7 rad s e 10 rad s e entre 30 e 36 rad s Eis a sua fun o de transfer ncia 13 174 s 8 604 s 0 9797s 60 s 54 035 1492 5 2 943s 1320 p s 0 01672 s 1 574 s 100 5 30 Os p los em 100 rad s foram adicionados para tornar a fun o de transfer ncia fisicamente realiz vel O ganho foi ajustado por tentativa e erro para conseguir os melhores resultados Foram calculados controladores PID para cada um dos tr s modelos O c lculo foi feito pelo segundo m todo de Ziegler Nichols o ajuste fino dos par metros foi feito por tentativa e erro Para o sistema sem carga os seus valores s o P 0 001 Tesi 5 31 D 0 04 Para o sistema a m dia carga os seus valores s o P 0 2 E3 5 32 D 0
22. 3 1 realimentado Figura 8 Anel de realimenta o A fun o de transfer ncia do anel fechado ser 25 Oustaloup 1991 pp 74 e ss Nesse caso o diagrama de Nichols s ser vertical num certo tro o correspondente s frequ ncias em que a fase constante Veja se Oustaloup 1991 pp 72 73 26 Oustaloup 1991 p 78 27 Oustaloup 1991 pp 84 89 17 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA G 1 F s 5 _ 3 2 1 G s ra 1 Do Como j e vem 1 1 1 F jo y v E v v T 12 12 mr 14 2 cos jsin O O O 2 2 1 3 3 o vr LO vT 1 cos j sin a 2 gt 2 Assim Flo v 2v 2v pre ga ee a aim O O 2 10 2 10 2 1 3 4 pe cos 6 O 2 O e VT 0 o arg F jo arctg o 3 5 oO gt VT 1 cos 2 0 A frequ ncia que corresponde a um valor m ximo do ganho dada por Wo v vt o vT Scos 0S 0 0 3 cos 2 O 2 srt v 1 2v 1 2e cos 2 2v a 0 lt s O 2 Wo 3 6 Como ve a esta express o tem significado e d a frequ ncia para a qual se verifica a resson ncia O ganho de resson ncia 18 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 F jo p 5 2v E vm vm Poy OS E 9 8085 1 2 cos O 2 O 7 l 2 l zad 3 7 VI i 200s 003 Jr i cos vr sn 2 2 2 2 Os p los
23. 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s Figura 73 Ac es de controlo correspondentes figura anterior A sa da com o controlador de ordem n o inteira est menos desfasada da refer ncia que com o PID 5 2 5 4 ROBUSTEZ A ALTERA ES NO SISTEMA Eis as respostas a uma rampa parte de uma onde em dente de serra apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira para o sistema nominal e para o sistema com uma massa presa terceira roldana 83 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA posi o Vs 0 0 0 0 0 r 08 JaN aN 4 2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 8 0 6 0 4 posi o Vs 0 2 0 4 0 6 0 2 Figura 74 Saida do sistema nominal a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira posi o Vs 0 4 0 6 0 8 0 4 0 2 0 2 oe Jo 1 wert Me dae E Ae d Las oT agen ie a i mod posi o Vs 1 OGL J a 0 4 0 2 0 0 2 0 6 QB cs PO AM gs 645 Ses ao eee GE o qo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 75 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n
24. 4s 20 ve O objectivo conseguir uma margem de fase de 45 no intervalo de frequ ncias de interesse Para testar todos os controladores utilizar se o intervalos de frequ ncias de interesse diferentes Pretende se ainda um ganho unit rio frequ ncia de 10 rad s 4 2 1 IDENTIFICA O DO SISTEMA Para testar o bom funcionamento da op o de identifica o amostra se o diagrama de Bode do sistema em estudo como se segue gg ff ww bode tf 1 1 1 2 2 100 4 20 1 4 4 8 10 12 gg 20 log10 squeeze 9gg ff squeeze ff Ao escolher as frequ ncias de amostragem teve se em conta a descida abrupta da fase que ocorre por volta dos 10 rad s Bode Diagrams Phase deg Magnitude dB Frequency rad sec Figura 22 Diagrama de Bode do sistema em estudo Invocando na linha de comandos o nome da caixa de ferramentas ninteiro surge o seguinte di logo inicial 73 Este sistema usado para demonstra o em Oustaloup 1991 pp 208 209 44 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira Ma Ed File Edit Window Help Que informa o existe sobre o sistema a controlar Modelo linear e invariante no tempo Diagrama de Bode Cancelar Figura 23 Di logo inicial Escolhendo a op o Diagrama de Bode surge um outro di logo cujos campos se preenchem como se segue Figure No 1 Cont
25. Figura 28 Anel aberto com um controlador de fase constante No intervalo de frequ ncias de interesse a fase varia entre 136 3 e 137 6 Caso a varia o seja excessiva pode se carregar no bot o que determina o valor ptimo de a A fase com o novo controlador varia entre 133 6 e 135 2 Caso este desempenho ainda n o satisfa a pode se regressar ao di logo anterior e aumentar a amplitude do intervalo ou diminuir o valor de an 4 2 3 CONTROLADOR DE FASE VARI VEL Carregando tr s vezes no bot o Regressar pode se alterar o intervalo de frequ ncias de interesse Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira Of x File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema C Hz Gama de frequ ncias de interesse de 1 a 10 rad s Cancelar Ajuda Regressar Analisar Figura 29 Altera o do intervalo de frequ ncias de interesse Neste intervalo as varia es da fase tornam patente que s um controlador de fase vari vel ou um controlador de fase ptima poder o conseguir um desempenho satisfat rio Carregando em Continuar e optando agora por um controlador de fase vari vel chega se ao seguinte di logo 48 A r NAO INTEIRA SINTESE EM FREQUENCIA CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM Oda das 3 Ss E Eg 000 S Yee x Q go g g E D 2 de o A Se 3 z E 3 S se Oo 0 E 5 de 3 8 3 3 3 E al Aan O 8 3 8 5 5 gt
26. I 1 5 47 D 0 Tamb m neste caso o controlador PI se revelou melhor que o PID 5 2 5 2 SEGUIMENTO DE UM DEGRAU E REJEI O DE PERTURBA ES Da Figura seguinte constam as respostas a um degrau apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira Foi aplicada uma perturba o que quase completamente rejeitada por ambos os controladores A rejei o nunca exactamente perfeita nem o valor do degrau exactamente atingido pelas raz es j referidas Em todas as figuras desta subsec o que mostram respostas do sistema a sa da a posi o angular da terceira roldana e os valores apresentados s o os do integral no tempo da tens o de sa da do sensor de velocidade corrigido da forma atr s descrita De acordo com a sensibilidade do sensor referida na nota 86 rad corresponde a 31 83 mVs 80 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 0 2 r 0 2 T T 1 i pisa dado se ss a ee olen e sor Aoo E o eba elis 2 Gad Dak ta O Bae a e la Sg ee Dak o des po e o a UE e d o oe a ie ne ee g 04p a dido ato ote ee dog cd E cala oe BA g 0 4 e I 2s ete oo of ab ao eho ete ot ed 3 3 S 1 i 1 i 1 i 1 i S A Sms a o E a e ps gado E ge e sea np a 2 ak e d A RIO aee e bo SR Dalla a eo aa E DE ed Geeks E E S 1 1 1 1 2 1 2 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 68 Sa da do sistema a azul aquando
27. I O A E E E E A a at QB AP E E A A E E o i 1 i T 1 1 i 5 O dd O A gt S 2 Oe a Bos ets A pe Bo sae vetos eck AA B02 6 dos E A A 0 41 A A Gea MAb eRe ere qa es fs Ass 24S ee EM SOB ere ea Maga ne eh as A 6b a ee Bees A aS SREP SG eas a aed i 1 i i T i i i i 1 Ose te So a ie aes A Y rs EP ea ora OB 2 dm slando ae Ed ai Manne arts coa 4 4 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s Figura 72 Saida do sistema a azul aquando do seguimento de uma sinus ide a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira As ac es de controlo e as perturba es aplicadas encontram se na Figura seguinte A amplitude da perturba o de 4 2V a amplitude que provoca quando aplicada isoladamente uma sa da de 1V F 10 F F Bs ee aa a E ee a e ES at Ci md ag A s a qa CNE lea AA ae on ad oH E loca te eee ee ee E EE E BE apo md aay flo 2 o le an talc tlie a oe GI aL i AE E EA A E E E A E T EE ee ee E eee ee A AE A A gt o l o EE nao a eee nie Do psi A ao E o SR Le go sd Elgin Ss Mme dp E IS po algo ta Se es vd o LE modos lt td ato tifo Los ds ele mala tosa AL thle Oe e MERO p os ay Bas Ee oe Mie Sys bis A O ag tae up ES E A P E Mes sho Caes ge a cei Ses E SEO DSO Ser E RD a ES ee EE pes we DL e Soe abs a 2 gde e do eba gta o Bon dl lon fo spt tc ts sera gta 2 BR Od i 1 10 4 10 i o 1 2
28. J 2 2515 E ss 3 Sea epics 3255777 aE cs E 5 Paro q F a OS nN 5 A qe 1 A E SRT CA Res o o T 1 r a o o A A EE ee pe ee 2 pa seg a 3 JMR J 4 R ES 1 a a 2 sears see H a are E 3 2582 E a rage ee inio E i i o s Es F i 1 1 ao E t 3 1 AE An o 5 8 gt E t E 00 p rA ord ds 5 ES o ony gt o ate A o SRT po qa 3 pio o PS E a gt gagas qa lt A IA 2 ERA AE GA 2 ES Y t E 1 UM cna sal E 1 i 1 Moo bs 1 1 i 1 1 1 me z 5 la wore ust ME AR E a E 2 i 1 o 5 a 2 a 5 i 1 Ea i ER a E o s E 1 f Ea i 1 i 1 ds fR F g BS 8 o 333 o ga Es o 2 87 gangs 3 2 E gt E Ton So SD O o gp oques Q esey o 5 2 To i o z gp oyueg Q ase4 ba q x lt en l A Tu 5 o oS Bo O qm a DS E o 8x3 E Sota 49 Guardar _ 10 Figura 31 Anel aberto com um controlador de fase vari vel Nome da vari vel 10 10 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA No intervalo de frequ ncias de interesse a fase varia entre 132 4 e 137 1 Caso a varia o seja excessiva deve se aumentar o n mero de pontos de amostragem no di logo anterior mas com prud ncia para n o aumentar de forma exagerada a complexidade dos c lculos Outra hip tese optar por pr controlar o sistema O di logo correspondente preenche se do seguinte modo 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o
29. PP On Of Darax x flar dr Segue se aqui a nota o de Miller et al 1993 pp 21 e 36 Samko et al 1993 pp 33 e 37 usa a seguinte nota o com n gt 0 DU f x DEF fx Dr f x D fkx Dj f x Dz fx sXe Dy f x 0741 1 1 Em Miller et al 1993 pp 352 e ss e em Samko et al 1993 pp 173 174 encontram se tabelas de derivadas e integrais de v rias fun es usando o operador de Riemann 10 Magalh es 1993 pp 6 e ss Repare se que se x for o limite inferior de integra o o polin mio que multiplica f t n o ser x t mas sim t x O sinal de menos que afecta x justifica a diferente defini o do operador de Riemann para esse caso CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 2 IMAGINES t dx dt proa 2 29 A express o geral que se demonstra por indu o e conhecida por f rmula de Cauchy Dz f x Ga sos f 0 f at 2 30 Ora esta express o v lida mesmo que a ordem de integra o n o seja natural 12 pelo que se pode escrever D f x a 6 0 19d ve R 231 2 2 2 1 2 Justifica o custa duma equa o diferencial Considere se o sistema diferencial linear para n natural bo f x 2 32 D y 0 0 O lt k lt n Este sistema pode resolver se por meio da transformada de Laplace e equivalente a s Y s F s gt Y s s F s 2 33 Ora pelo teorema da convolu o
30. Samko et al 1993 p 21 segue uma defini o mais afastada do c lculo integral e que n o equivalente a esta 93 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA t 8 eS d E v a ve R A 13 eet eee A 14 Ogata 1997 p 33 94 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA AP NDICE B EXEMPLO DUM FEN MENO F SICO Neste ap ndice apresenta se um sistema f sico que se pode modelar recorrendo ao c lculo de ordem n o inteira B 1 MODELA O Considere se um dique que exerce uma for a F numa massa m de gua que se desloca com uma velocidade a Figura 83 Dique Considere se que a parede do dique tem in meros alv olos onde o ar se aloja o que suceder se for constru do de alvenaria sem argamassa Seja P a press o entrada de cada um dos alv olos P a press o no interior do i simo alv olo e O o caudal de 1 gua que atravessa esse alv olo Figura 84 Alv olo na parede do dique Visto que em cada alv olo existe uma perda de carga e uma capacidade pode se modelar o alv olo electricamente como I R Ci R i U Figura 85 Modelo el ctrico do alv olo sendo U P U P I Q Repare se que a lei de conserva o da massa faz com que O YO O que corresponde ao resultado da lei de conserva o da carga el ctrica Es Este ap ndice segue de perto Oustaloup 1991 pp 63
31. a fase do sistema a controlar em m n frequ ncias quaisquer 1 EE indo Essas frequ ncias devem amostrar significativamente a varia o da fase no intervalo de frequ ncias de interesse 0 0 seja nos seus extremos seja no seu interior devem naturalmente concentrar se nos pontos onde a varia o de fase seja mais acentuada e podem ser menos nas zonas onde a fase seja praticamente constante al m disso para reduzir o esfor o computacional conv m que sejam em n mero t o pequeno quanto poss vel desde que a evolu o da fase seja convenientemente representada Para cada uma delas deve verificar se arg JO yy arg S jo 1 0 k 1 m n 3 43 sendo a margem de fase desejada A situa o est representada na Figura seguinte arg G j 6 rad arg S j ergo mk 0 va 2 Figura 13 Exemplo ilustrativo do objectivo dum controlador de fase vari vel a verde fase do sistema a controlar S a vermelho fase pretendida para o anel aberto a azul fase que o controlador deve ter a v rias frequ ncias Este sistema equivale a m n arg jon Z arctg que 0 arg S jo k 1 m n 3 44 28 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Tem se assim um sistema de m n equa es com m n inc gnitas cuja 43 s LA A resolu o permite achar os m n p los de C s Para obter C s desprezam se os p los tais que lt lt dado que o seu efeito
32. de quarta ordem pelo que o sistema tem quatro p los Substituindo chega se a O A O Bs CS DS ES F kakati t B LI C Lb bl D L kr ky thy GL b b E Dykyry ko kys rb 2 2 F kr kar 5 24 5 1 2 IDENTIFICA O DO SISTEMA Foram identificados tr s modelos para o sistema todos discretos correspondendo a tr s situa es diferentes uma em que a massa ligada terceira roldana nula outra em que metade da m xima e outra em que m xima Eis os modelos identificados A 0 506667 0 28261z 0 886427 1 3160827 1 589392 1 418332 1 p 0 1812377 0 102762 0 894137 1 8408377 2 20265z7 1 991857 1 5 25 S z Sac z 5 26 7 Kwakernaak 1995 p 46 Note se que este autor define as grandezas f sicas de modo diferente 7 Vejam se as refer ncias da nota 74 58 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA E 0 104077 0 0640877 0 87129z 1 93353z 2 3196227 2 09679z 1 Sp 2 5 27 O tempo de amostragem usado com o sistema foi de T 0 05s correspondente a uma frequ ncia de amostragem de 20 Hz Eis os diagramas de Bode correspondentes BOL a IA A 20b ee ee ee oa ganho dB MOL 2 552 hak EO de Bad Be de Ek a i Be ee fase o o T frequ ncia rad s Figura 42 Diagramas de Bode do sistema a controlar a azul sistema sem carga a ve
33. design of fractional order digital control systems Journal of systems analysis modeling and simulation 27 1997 107 122 MACHADO J A Tenreiro AZENHA Abilio Fractional order hybrid control of robot manipulators In 1998 IEEE international conference on systems man and cybernetics intelligent systems for humans in a cyberworld S 1 IEEE 1998 p 788 793 MACHADO J A Tenreiro On the implementation of fractional order control systems through discrete time algorithms In B nki Don t Polytechnic m szaki f iskola jubilee international conference proceedings B nki Don t B nki Don t Polytechnic 1999 p 39 44 MAGALH ES Lu s T Integrais m ltiplos Lisboa Texto Editora 1993 90 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA MANDELBROT Benoit B The fractal geometry of nature 2 ed New York W H Freeman and Company 1983 MILLER Kenneth S ROSS Bertram An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations New York John Wiley and Sons 1993 OGATA Katsuhiko Modern control engineering 3 ed London Prentice Hall International 1997 OUSTALOUP Alain La commande CRONE commande robuste d ordre non entier Paris Herm s 1991 OUSTALOUP Alain MATHIEU B LANUSSE P The CRONE control of resonant plants application to a flexible transmission European Journal of Control 1 1995 113 121 PODL
34. do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da figura seguinte As ac es de controlo e as perturba es aplicadas constam da Figura seguinte A perturba o aplicada um pulso na tens o de alimenta o da terceira roldana Experimentalmente verificou se que esta perturba o conduz a uma varia o da posi o angular da terceira roldana de 0 4 Vs A amplitude da perturba o que foi 7 V n o p de ser maior porque isso faria saltar a correia a dura o de 0 2 s corresponde a um valor j significativo da perturba o 10 F F 10 F F F Bi go pea ES o RE E PR q AaS Giese ha Sha ns ee RE e ll 1 i Gl E EN e apts 2c gs A Ie Se gs Mey ee IY cee el Bs ase Se lh de ay uh ye he ie SW DE Es ee 4 pa 4 Bite oc a a ee cae TR A lo a 2 doc lho i 1 a 7 vd il o y E A zo E E A E S ees elo dE E A A ee A tge cais mio dy es bt UE See A Elo o E SE Cau pent oat 5 8 Epa agama el al Spee Bg Me Aa ets gt eg aes ots yee od E AE ad hay one A WB bag Bag Bs ny SEA ay ae ae ay ES AE Bs Sie Geass ao ee AR ae ay BO de ha Bs tes wey IS IAS A A A IA ea 10 10 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 69 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes figura anterior Eis algumas grandezas caracter sticas dest
35. e a sua robustez aquando da varia o dos par metros do sistema a controlar foi sistematicamente melhor O controlo de ordem n o inteira n o suficiente para garantir determinadas especifica es de controlo em certos casos particulares Nessas situa es h que recorrer a controladores formados por uma parte de ordem n o inteira e por uma parte convencional 2 Oustaloup 1991 pp 13 e 24 88 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 6 2 TRABALHO FUTURO O controlo de ordem n o inteira claramente um campo em aberto Seguidamente listam se alguns melhoramentos que o decorrer do trabalho realizado sugeriu que podem ser realizados A caixa de ferramentas pode ser melhorada quer do ponto da amigabilidade da interface e da facilidade de implementa o quer do ponto de vista de efici ncia dos c lculos optimizando o tempo de execu o os algoritmos quer do ponto de vista de flexibilidade dos mesmos permitindo mais op es As regras heur sticas para determina o dos par metros necess rios aos algoritmos que determinam os controladores podem ser mais cuidadosamente estudadas decerto poss vel implement las num sistema de controlo recorrendo a l gica difusa Esse g nero de sistemas de controlo presta se particularmente a tarefas de supervis o como esta Sempre que um controlador de ordem n o inteira incorra num erro estacion rio em vez de incluir controladores PID no a
36. e ss 95 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA B 2 DIAGRAMA DE BODE Se s houvesse um alv olo a B 1 U 1 RCs Havendo dois IL CO Cs _ Cis 1 R C s Cos 1 R C 5 _ U 1 RCs 1 R C s 1 R C sX1 R C s _ Cyst R C C s7 C s R CCCs _ C C R C C R C C s s B2 1 R C s RC s RC R C s 1 R C s 1 R C s l y z 100 O diagrama de Bode correspondente ser GG dB 0 dB dec 0 dB dec arg G j 00 rad vn 2 Figura 86 Diagrama de Bode da fun o de transfer ncia de Q P havendo dois alv olos Continuando a adicionar mais circuitos RC s rie em paralelo aos anteriores o diagrama de Bode da fase tornar se uma altern ncia de zonas com declive de 20 dB dec e de zonas com declive nulo Quanto ao diagrama de Bode da fase alternar entre 7 2 rad e 0 rad Se o n mero de alv olos tender para infinito os efeitos dos zeros e dos p los sobrepor se o e numa certa zona de frequ ncias ter se um diagrama de ganho rectil neo com um declive entre O dB dec e 20 dB dec e um diagrama de fase horizontal com uma fase constante entre 7 2 rad e 0 rad 100 Para que o diagrama se assemelhe ao representado preciso que ao colocar por ordem as frequ ncias de corte dos termos da fracg o surjam alternadamente frequ ncias de corte do numerador e do denominador Pode mostrar se que sendo a porosidade um fen meno fractal Mandelbrot 1983 isso que s
37. este caso Optando CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM chega se ao seguinte di logo PE Ego E 3 aisg 3538 O s x Suocss E Se 2183 E 5 5 5 5 2 3 8 3 3 OU i 2 m ms to 5 E E oO e OVO UO S o oc E LA Sn 0 vg O 1 4 o 3 E A iii See Peras pi 3 a da A e 3 B el a BE 8 5 Es 30 gt 3 i 1 i 3 3 o 52 a o i i i tae tat e a E 3 ie 28085 O bette pe 1 E o g a oO 5 i 1 1 1 1 i gt B E 3 DS DM eke ee B She o EA o S D eee E ei pelos st oo ae 28 Q E S eae heater tata III a as a 8 q S s Sg lada lalalala encia a dia 4 28 o pes DO gt ME ee ee ee 2 o na A 5 o 5o So 3 II O O E EA A 5 5 oo E ao a 5B i 1 1 1 1 3 e Er 3 a o vo t OY PIE RL OA AA AAN 3 3 EEN ye Toke dae a 2 sz 2 5o j E a Fev 8 thio oo mo 2 ES S 8 E o o o gt 3 2caccfocccccrccroo A aft mien feios jo fu Sod alba tajai oe o 2 o o E o o yal oO 3 i c i A E oe 5 ss a we 2 gt Hem Hse k aforo farias al aloe aii e rat el el alba al 5 2 SE g yo Ss D 4 a Meee 4 1 O EE race E Ro 32 5 o Han mo D TNS G SE o RODO oo iene 8 se dE Gee Ds pat D L EO f bh Far E o ls am 3 Da O OF uv Cedros PARO AS bees EES odio fieis o o AO o o o ice S y 5 5 o o o SG 1 1 1 1 E ES Po S oF 5 S o n a Bs Doses WA ee E s E Ra El fy Js coon p 5 i A 7 5 3 8 RB B sy S 20 A A ot E 2 5 2 E me EE S o SEs BZvrz so en A Re ee su ie 3 3 l
38. i 1 0 6 4 0 6 4 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 79 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde comutando entre o controlador de ordem n o inteira e o controlador PID esquerda resultado obtido com o sistema nominal direita resultado obtido com o sistema modificado F F 10 F Y F F DE os E aros Etapas ig Agee Co a AD DO aA es SR e al AE 12 e re ve A E A O AP E faca de a Dia dc lag ele e te sd Sts dos ab alte oS 2 HS ee aN A E 4 4 or DE Asse po O ee a te ae Se See St a 2b 7 ee 4 Ds Re aay Oe ek E ee Bee Se Eee Sa Se Ob A ee ee a ee tee eh ee ee E E E E EZ o a alhos A ee o ey A TS O Sd cu str b o eb bio E A EA ee A 4 4 BW E Sn E Es pm Se E ee E Ss Gt cS BL amp 2 4 e e i E ee e a E O Goo a ee es a AE esa E ato cem E cal n cl SE E a Dog dl MAE cu o EE ss me ete c em E ros We eg xh go E bal 40 1 40 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 F 8 9 10 Figura 80 Ac es de controlo correspondentes Figura 79 Esta mudan a de controlador f cil neste caso porque j se sabe partida o instante em que convir faz la e porque nesse instante a ac o de controlo n o tem uma varia o significativa Se alguma das duas condi es se n o verificasse seria necess rio um sistema de supervis o para efectuar a comuta o Outra hip tese de melhorar o desempenho do controlador de ordem n o inteira aquan
39. inteira File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 1 10Jrad s Filtro 10 11 1 Modelo 2pk 1 101 Nome da vari vel sistema Cancelar Ajuda Regressar Pr controlar Figura 32 Pr controlo do sistema No di logo anterior introduzem se o filtro e o modelo pretendidos O sistema a controlar passar a ser o do anel de pr controlo 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira OF x File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 1 10 rad s 0 20 ES a So Ganho dB 1 1 1 1 T 1 i 1 i 1 1 L 100 Fase 9 E a RN ae eds ds Seda spa A eons nabc save Mocs 25 RT ee bos nie e a A ee ie ee ee ee i dra tate player aio ia 300 E a 10 10 10 10 Fase ptima M todo de controlo aconselhado controlo de fase vari vel ou ptima Especifica o de controlo margem de fase em graus y 45 e 10 rad s Figura 33 Novo sistema a controlar 4 2 4 CONTROLADOR DE FASE PTIMA Restaurando no di logo da Figura 29 o sistema original a controlar e o intervalo original de frequ ncias a controlar vai se agora optar por um controlador de fase ptima Para isso preciso alterar a especifica o de desempenho no di logo da Figura 26 visto que a margem de fase vai ser vari ve
40. n o inteiro tempo de estabelecimento 0 70 s 0 40 s m ximo sobreimpulso 3 52 3 03 tempo de rejei o 0 40 s 0 50 s Tabela 4 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 58 H que reconhecer que a ac o de controlo do controlador de ordem n o inteira muito mais vari vel Foi truncada a 10V como consta da Figura 59 porque o motor n o suporta ac es de controlo fora desse intervalo De resto os desempenhos dos controladores s o semelhantes e cumprem as especifica es 5 2 4 3 SEGUIMENTO DE UMA SINUS IDE As respostas ao seguimento de uma sinus ide apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira constam da Figura seguinte velocidade V Eid es Sia Seitas Do o PPS evito Sds Ed velocidade V Figura 60 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma sinus ide a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira 76 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA A seguinte Figura mostra as ac es de controlo aplicadas entrada V o entrada V Figura 61 Ac es de controlo correspondentes figura anterior 5 2 4 4 ROBUSTEZ A ALTERA ES NO SISTEMA Prendendo uma massa terceira roldana ambos os controladores pioram um pouco o seu desempenho Eis as respostas e as ac es de cont
41. o 5 2 4 que mostram respostas do sistema a sa da a velocidade angular da terceira roldana e os valores apresentados s o os da tens o de sa da do respectivo sensor Conforme referido na nota 86 a sensibilidade do sensor de 31 83 mV rad s 71 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 0 0065104 s 487 7 5 45 465 1058 5 47 41s 2657 D G Ms i Js 5 39 M s 6 129 s 9 294s 1000 s 61 27s 4886 Como a frequ ncia dos zeros maior que a gama de frequ ncias de interesse estes podem ser desprezados Eis o resultado final O 8928436 64 S 5 40 M s 6 129 s 9 294s 1000 5 61 27s 4886 ill 3 Contudo o diagrama de Bode deste modelo discorda mais dos dados experimentais que os modelos anteriores ganho dB E dau k abaia A A A A a ee ee ae 25 Oo a a ET ee E AI O O ADO 2 d a E AL e oh a A AA NE Y fase SN ON 1 po e E E 1 EE A E E E E 1 frequ ncia rad s Figura 55 Diagrama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo obtido a partir da resposta a degraus S a vermelho Como resumo da concord ncia entre os diagramas de Bode dos modelos identificados e os diagramas experimentais calcularam se os valores dos seguintes 7 ryt a i 90 ndices quadr
42. o sistema tiver uma fase vari vel o controlo de ordem n o inteira n o ser robusto face a varia es dos par metros do sistema que lhe modifiquem a fase e s ser robusto face a varia es do sistema que lhe modifiquem o ganho S um controlador para um sistema de fase constante ser robusto a todas as suas varia es de par metros 3 1 3 2 O CONTROLADOR REAL E OS ERROS ESTACION RIOS A implementa o dum controlador de ordem inteira nunca conseguir um ganho em anel aberto arbitrariamente grande para frequ ncias suficientemente baixas como exige o diagrama da Figura 7 Na realidade o diagrama de Bode em anel aberto isto o diagrama de Bode de G s C s S s ser provavelmente semelhante ao seguinte 3 Oustaloup 1991 pp 108 114 32 Oustaloup 1991 pp 119 121 21 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA SG o dB 20v dB dec Figura 10 Diagrama de Bode real Na figura o 0 o intervalo de frequ ncias de interesse Deste modo as fun es de transfer ncia do anel aberto e do anel fechado ser o respectivamente pea ue a 3 18 e s ne Wo G ja Loge a 3 19 r s 1 l s S CON do a 1 ovo G O teorema do valor final permite achar os erros estacion rios das respostas do anel susp wen 33 o E fechado a degraus e a rampas unit rios que ser o respectivamente A 1 ed 1 G 1 oy E O R 3 21 20 3 20 Co
43. se rejeitada quando a sa da recupera para 10 do valor extremo a que chegou causado pela perturba o As perturba es constantes devem ser rejeitadas O valor maximo da fun o de sensibilidade da sa da isto a fun o de transfer ncia entre p t e y t deve ser menor que 6 dB As perturba es de 0 Hz a 0 2 Hz devem ser atenuadas isto nessas frequ ncias a fun o de transfer ncia entre p t e y t deve ser menor que 0 dB F E ck A e E 9 A margem de atraso isto o atraso adicional que instabiliza o sistema deve ser superior a 40 ms A fun o de sensibilidade da entrada isto a fun o de transfer ncia entre p t e u t deve ser inferior a 10 dB nas frequ ncias entre 8 Hz e 10 Hz 5 1 4 CONTROLO DA POSI O Todas as simula es desta subsec o foram levadas a cabo com a caixa de ferramentas Simulink para Matlab 5 1 4 1 DESENVOLVIMENTO DOS CONTROLADORES O controlador que melhor desempenho apresentou foi concebido usando o modelo a m dia carga um controlador de fase ptima projectado para assegurar um ganho de resson ncia em anel fechado de 1 05 embora as modifica es posteriores tenham aumentado esse valor como se ver As frequ ncias empregues para o seu c lculo seleccionadas por tentativa e erro de acordo com as heur sticas referidas na subsec o 3 1 3 4 1 foram de 0 1 rad s 1 rad s 7 rad s 8 rad s 10 rad s 30 rad s 34 rad s 36 78 Kwakernaak
44. sistema 2 10000 o ncias de amostragem da fase para um controlador de fase constante e Figura 37 Selec o das frequ iavel ptima Variave O controlador assim concebido tem o seguinte desempenho o inteira de ordem n Figure No 1 Controlo File Edit Window Help de interesse 100 1000Jrad s requ ncias Gama de fi sistema Sistema linear e invariante no tempo Cancelar Ajuda ERC Er cepas lil sich raia os i 1 i i 1 1 1 rr s 1 1 i AE e E E e gS 1 1 1 i 1 1 1 a o pop i 1 i 1 1 1 6O ER gp oyues Regressar Frequ ncia rad s Valores originai Pr Spas aia mit bl SRA r 1 t 1 1 L 1 i 1 1 1 L t 1 Walores ptimos 10 Nome da vari vel 4 Guardar 3 1623 n 1 7783 o on 6 2872 l ptima ave oF Figura 38 Anel aberto com um controlador de fase constante e vari r E possivel uma melhoria significativa de desempenho alargando o intervalo lo 50 no di logo anterior 33 itmica A N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA por um controlador de fase logar O controlador de fase logar tmica n o aconselhado apenas porque a fase varia na Figura 34 muito logo no princ pio da d cada abaixo do intervalo de frequ ncias de interesse Dentro deste ltimo contudo praticamente constante pelo que pode ser uma boa escolha para
45. sistema 85 A implementa o consistiu numa modifica o do aparelho CE 108 produzido pela TecQuipment Limited Sobre esse aparelho veja se CE108 1992 86 A sensibilidade desse sensor de 31 83 mV rad s CE108 1992 p 1 7 No desenvolvimento dos controladores levou se sempre em conta a sa da do sensor em Volt e n o em rad s por facilidade de c lculo 87 InteractiveRealtime v 2 1 O 1997 Vetsch Consulting 67 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA eixo do motor massa amov vel f S P j P e 20 ES a Figura 51 esquerda o sistema laboratorial a controlar sendo vis veis o computador e a placa de comunica o direita o interior do sistema laboratorial a controlar sendo vis veis as massas fixas terceira roldana 5 2 1 MODELA O DO SISTEMA Este sistema pode tal como o anterior modelar se por meio das equa es de Lagrange Partindo da equa o 5 22 vem YO 00 M YO 00 M i DO XO YO 04 DO XO e 0 lt YO 00 0 y O 70 Q 68 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA s 1 pr 00 M 9 2 x0 ie Y EO 0 X yw xQ S10 o o 210 9 gt y y E ti O ZO i OY 00 DO Me y Yo 5 34 M Y YXxQ YY YXO OP Es 00 Esta express o mostra desde j que o numerador da fun o de transfer ncia constante pelo que o sistema n o tem zeros e que o denominador
46. um polin mio de sexta ordem pelo que o sistema tem seis p los Substituindo chega se a O A M Bs Cs Ds Es Fs Gs A kaksni B ILI C 11 b 16 1 611 D 1 Lo kt 1 ky hy KL han LI 1 b b 51 5 b b 1 E bb b Lbykyty 1 ky hy 130 b Lkr har Lb tb ko thy 13 L kyr bol F bb kyr b k k r b kt b b 1kor kyr wet hin kar kon kar G Dikit hasty kr bolero kr kot0 5 35 5 2 2 IDENTIFICA O DO SISTEMA O tempo de amostragem usado com o sistema foi de 7 0 05s correspondente a uma frequ ncia de amostragem de 20 Hz Este tempo de amostragem o que foi empregue com o problema paradigm tico atr s mencionado perfeitamente razo vel no caso presente porque uma entrada sinusoidal com metade dessa frequ ncia a mais r pida que poss vel impor sem que as correias comecem a escorregar Este sistema foi identificado por meio da sua resposta em frequ ncia e por meio da sua resposta no tempo Assumiu se que linear Na verdade a sa da para uma entrada sinuosoidal praticamente sinusoidal sendo a maior diferen a a que causada pela zona morta Para a identifica o em frequ ncia usaram se duas s ries de entradas sinusoidais com amplitudes de 6 Ve 8 V Os dois pares de curvas experimentais do diagrama de Bode s o suficientemente semelhantes para corroborar a hip tese de que o sistema 69 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S N
47. vel escolher aqui um controlador de fase constante O di logo respectivo preenche se como se segue Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 100 1000Jrad s Po 10000 om 5 62341 Ordem do sistema 2 rad s o i 10 valor recomendado para o produto alfa x eta entre 5e 10 o valor ajustado para garantir um n mero inteiro de p los e zeros Restaurar valores recomendados Cancelar Ajuda Regressar Calcular Figura 27 Dados para o c lculo dum controlador de fase constante O valor de an o menor poss vel acima de 5 O controlador projectado conduz ao resultado seguinte 47 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira OF x File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 100 1000 rad s 0 1 l Cancelar D k 1 2 i E i Ajuda 100 7 150 i 10 10 10 10 Regressar Frequ ncia rad s 60 7 B0 t b b b ita util ee E cr OOE A N T Et ps Valores originai E nem croc cramer concn r r r r pacer rotor cere il e 2 i i 1 o Ee eee ce nee ee A PIDE BEAR PS JD e A se i r H i Valores ptimos 140 F TFT ES 160 1 1 o 1 a 1 o 1 o Guardar om 5 6234 a 2 3714 n 2374 Nome da vari vel
48. 1 Para o sistema a plena carga os seus valores s o P 0 3 f 0 5 33 D 0 15 5 1 4 2 SEGUIMENTO DE UM DEGRAU E REJEI O DE PERTURBA ES Aplicou se como sinal de teste um degrau unit rio como requerido pelas especifica es Usou se como perturba o um degrau de amplitude 0 1 Nenhum dos controladores PID desenvolvidos conseguiu controlar o sistema nas tr s situa es como se v pelas Figuras seguintes Ogata 1997 pp 672 673 Foi esta a perturba o usada em Oustaloup et al 1995 p 118 61 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 6 i 1 6 e es a E A eds Ae ee BU TAL ate 4 We lo AY fe ot SP to Sho EA A A 2b do A E oleada JA E dd lo Elf i i i i i i f i i i i ree eee a A AAA A A 7 7 A e A DS A A lde 1 1 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 1 1 1 1 i o o E A A A SE ea den ho gia E dA at dl Do pt A o o 1 2 2 gal MWS ae A poi A he gie a d oat do Na ELLA Mae A E A E A AE dl CR T te wich Nin Ne ie awh dls O 0 a a A ee ee ree AAA eh St eb sd i i y f j y y i i f f y y i 0 2 0 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s 30 A sol of te ete kt te d MO are ads cp ayes tae Be yet at aL Ee ee et Ae Le ca E i f i 7 i f i f a F g Hh yf ad O PO A A A E VY i i i 8 1 1 EU A POA Ta A BOL e ds sebos ateo 2 Ve de Bie e cade ste 2 Mo du l i i y f 0 f IR te
49. 1 10 _ 2 arccos E l Oustaloup 1991 pp 395 398 34 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 2 2 T T cos LOS ae 10logo 1 04 20 cos6 a 1 07 20 cosO 2 10 19 2 O 2 arccos 2 arccos 2 2 O menor coeficiente de amortecimento sera 2 min min cos E 3 62 1 G jo 2 G jo cos arg G jo e jo 2 2 arccos As curvas de n vel de F jo e de representadas no plano de Nichols constam da Figura seguinte T m uma periodicidade de 2x rad segundo o eixo das fases e s o sim tricas em torno de todas as rectas verticais da forma x 2n 1 x rad neZ pelo que basta representa las a partir de r rad 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 7 0 4 70 6 0 8 dB 1 dB i dB dB dB dB dB dB dB dB 1 dB 10 F3 dB N VLS a 4b 4 dB E Vie 5 dB TAB NO 9 dB 3 dB 4 db 5 dB 6 dB 7 dB 8 dB 41 ganho dB ganho dB o 2 0 1 0 2 9 dB 0 3 10 dB el 0 4 e 11 dB 05 10 E o 12 dB 08 13 dB Sp 0 7 0 8 1 1 f A 1 1 h f f f f f f 1 1 1 3 2 5 2 1 5 A 0 5 0 3 1 3 2 9 28 27 26 25 24 23 22 21 fase rad fase rad Figura 18 Curvas de n vel das fun es de ganho do anel fechado esquerda e de coeficiente de amortecimento do anel fechado direita no plano de Nichols as cotas encontram se abaixo ou direita da curva respectiva Ent o o objectivo do controlad
50. 73 2 48 y x dD y x afii D y x D y x h _ dx h gt 0 h y x 2y x h y x 2h y x h 2y x 2h y x 3h lim h h h50 h 3y x h 3 2h 3h tim y x h a y x 3h 2 49 a n y x lim x 2 50 Esta defini o equivalente seguinte n E Et y x lim neN 2 51 h gt 0 h Isso sucede porque se k gt n k neN ent o ni T n 1 E n 0 2 52 e TDI Ho feno A defini o anterior de derivada pode ser generalizada para definir Eo fi pts D y x lim h gt 0 h veR 2 53 x Para generalizar a defini o a toda a recta real conv m definir n 7 e fazer Sn r Jye Dy u oom 2 Y 1 M x E e h gt 0 n5 ol n n ar Xx E k D v 1 x tim E 201 E 4 oe Substituindo a igualdade A 7 gt T D x 1 1 T x k 00 x 4 gt 10 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA P k v o k P v 1 a 1 FE V x 2 55 vem D y x lim 2 1 ole veR 2 56 Os resultados obtidos com esta defini o s o iguais queles a que se chega com a defini o de Riemann Liouville para a generalidade das fun es que se encontram na pr tica No que se segue usar se a defini o de Riemann Liouville a menos que se indique o contr rio 2 5 EQUA ES DIFERENCIAIS Nesta sec o estudam se as ferramentas necess rias resolu o de equa es diferenciais em que sur
51. ASAS 93 AS As UN O E pee asi enc aes 93 Ap ndice B Exemplo dum fen meno f sico oooconoccnonococcnoncconnncnonocono conc connccnnncnns 95 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA B Iy MIA A RA e ee 95 B 2 Diagrama de Bode aji il iaa 96 BO e late aka 97 Ap ndice C Lista dos ficheiros da caixa de ferramentas oooconccnncnocccoccnoncnnnnnnanns 99 C 1 Ficheiros da interface MMC i 99 C 2 Fun es fundamentais ssa pais IS aides ea 99 vi CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA NDICE DE FIGURAS Figura 1 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de A A A Dai ia a IN AA 12 Figura 2 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de AA a SE an O Med 13 Figura 3 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de WEL ae dei A A EDER NONO EEN A leds 13 Figura 4 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de BR RENO Oe IN and at ahs dd ac SD Ra Rd 14 Figura 5 Diagrama de Bode de F s Im s Y G gt O eee 14 Figura 6 Diagrama de Bode de F s Im s7 a lt 0 veeseecessessessessessessssssssesessuesessvcescees 14 Figura 7 Diagrama de Bode de US 17 Figura 8 Anel de realimentacao ee eecseccssseecessceseecesseececceseesseceseceeseaceneeeseeseees 17 Figura 9 Anel de controlo cari it 21 Figura 10 Diagrama de Bode teal assa e 22 Figura 11
52. Ali s na primeira dessas situa es o denominador da frac o n o est definido mas embora n o esteja definido tende para co e portanto a express o tende para 0 que o valor correcto da derivada CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Este operador DY conhecido por operador de Riemann se c conhecido por operador de Liouville se c 0 conhecido por operador de Riemann Liouville se os limites de integra o forem x e 00 conhecido por transformada de Weil e representa se por W Esta defini o como qualquer defini o arbitr ria mas justifica se por ser uma generaliza o do caso em que a ordem de diferencia o ou integra o inteira necess rio justificar separadamente os casos da diferencia o e da integra o 2 2 2 1 JUSTIFICA O DA DEFINI O FORMAL DE INTEGRA O conveniente come ar por justificar a defini o formal de integra o visto que custa dela que a diferencia o definida Pode se faz lo de dois modos diferentes 2 2 2 1 1 Justifica o custa dum integral m ltiplo Considere se para n natural a igualdade AT a float desde do 2 26 Ora pelo teorema de Fubini sabe se que al X t dtdx fo x 1 dx dt 2 27 Em particular se G s for fun o de t ES rodar F roda de f SOS ax ar Fx tjat 2 28 X A 11 A Aplicando novamente a mesma propriedade conclui se que EEE rtarax ax
53. CIA AGRADECIMENTO Ao Professor Heitor Pina pelo aux lio prestado em v rios m todos num ricos necess rios a este trabalho ill CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA INDICE RESIDE RIA 1 E ase 1 ADAN A AN ES ii Keywords at A A R R ii A ARO RD iii NG EAE oa all E EAE AAA TS iv ndice de PASS E Son tt O hee na S vii Indice de tabelas start cab vn ais xi RESUMO A NOTA O AA xii A athe Sd E NS 1 2 C lculo diferencial e integral de ordem n o inteira ooonoonnccnoccnocconnnoncnononanonnnnnnono 2 2 1 C lculo diferencial e integral de ordem inteira ooooonnccnincninccnnccnonncconccannnonnno 2 2 2 C lculo diferencial e integral de ordem real defini o de Riemann CAQUV TO asa AG a Gu SS a 3 2 2 1 O caso da fun o pot ncia da 4 2 2 2 Defini o formal do caso real n o inteiro ii 5 2 2 2 1 Justifica o da defini o formal de integra o 6 2 2 2 1 1 Justifica o custa dum integral m ltiplo 6 2 2 2 1 2 Justifica o custa duma equa o diferencial 7 2 2 2 2 Justifica o da defini o formal de diferencia o 8 22 3 AION GOS EXPOENTES A E aa ed 8 2 3 C lculo diferencial e integral de ordem complexa defini o de Riemann EuVe aaan O ease e ole 9 2 4 C lculo diferencial e integral de ordem real defini o de Gr nwald O IS 9 2 5 QUIE a
54. Figura 52 Diagrama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo ajustado curva de ganho S a VELEIRO sus A ED SSI DS AD A ASS a ieia 70 Figura 53 Diagrama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo ajustado curva de fase S3 a e o al a 71 Figura 54 Resposta a um degrau unit rio do modelo identificado a azul resposta experimental a um degrau de 6 V adimensionalizada a verde e resposta experimental a um degrau de 8 V adimensionalizada a vermelho 71 viii CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figura 55 Diagrama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo obtido a partir da resposta a degraus S a vermelho AAA a AIM Rn 72 Figura 56 Resposta experimental a um degrau de 6 V adimensionalizada a azul resposta experimental a um degrau de 8 V adimensionalizada a verde resposta a um degrau unit rio do modelo ajustado curva de ganho S a vermelho e resposta a um degrau unit rio do modelo ajustado curva de fase S3 a
55. NTESE EM FREQU NCIA 14 Y 14 F F A a e O A AN e E el POH a o do o a RE O el A Se oe eas ee A E o ci qu E VO baie es eek ee gee Ep ye tamo o eg ai cee dB o a 8L E Vs Ste de SE ee SE pondo ees Bee ee ye ge Ek dps te auek G SP ee a ae E ee Se See ER OPM er A ese Tenens A ee See A ae BB A See ore gad A ed o o 8 8 E Doe ei A po SM O ten o fo Be TAs A A aa ao Mg NS ine yw bee co oe o Me eae a 8 8 a 2 Ohad ie he alo n E og dos a Shee ete o Dil e a qndo os ee E ee len Ee apl qe ol bo te ds a a AS er Ee Ot eee ae St ie ee Ee a She ere a ted ds SD Ge ae e docs dd ater cd Pele d e e al ds et A a a cp e e e See US i 1 i 1 4 r 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s 14 A A Be es q ae E TO th es os ias SS ee o es o sudo Se Me dep e SR E ses gos ea s 34 A abr cado GE e 3 O oe pI A es So IA o S E E E A A ele SMe iy E A a Die tie ez ee ets ee a ee o Ee ao el Di ok digo ee Mica os E o PS ge oa Mace ot PS atta le E tos hoo pea Wie mee P y 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Figura 47 Ac es de controlo correspondentes figura anterior Eis algumas grandezas caracter sticas destas respostas sistema sem sistema a m dia sistema a plena carga carga carga tempo de subida 1 68 s 1 70s 1 69 s tempo de estabelecimento 1 68 s 1 70 s 1 69 s maximo sobreimpulso 9 69 8 49 9 03 tempo de rejei o 1 53
56. NTESE EM FREQU NCIA 2 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ORDEM N O INTEIRA Este cap tulo resume o essencial da teoria do c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira Compreende cinco sec es na primeira define se o operador de diferencia o e integra o para uma ordem inteira na segunda generaliza se esse operador para uma ordem real n o inteira segundo a defini o de Riemann Liouville na terceira generaliza se esse operador para uma ordem complexa qualquer segundo a defini o de Riemann Liouville na quarta generaliza se esse operador para uma ordem real n o inteira segundo a defini o de Griinwald Letnikoff e na quinta resume se a teoria das equa es diferenciais em que surgem ordens de diferencia o n o inteiras 2 1 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ORDEM INTEIRA A no o de derivada para uma ordem de deriva o natural est bem estabelecida f cil portanto definir um operador funcional D tal que p a EY 2 1 A no o de integral indefinido para uma ordem de integra o natural est igualmente bem estabelecida Pode se portanto definir tamb m um operador funcional I tal que fy x sen 1 Liykx 2 2 LU y x dx sen gt l E poss vel que a vari vel x seja o limite inferior de integra o caso em que o operador ser 1 Conforme se sabe a integra o indefinida e a deriva o s o opera es inversas no sentido em que D Ti y x y x 2 3
57. O ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA BIBLIOGRAFIA BARBOSA Ramiro de Sousa Algoritmos de controlo de ordem n o inteira Porto Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 1999 Tese de mestrado BOTTO Miguel Afonso Dias de Ayala Controlo de sistemas Lisboa AEIST 1998 CE108 coupled drives apparatus Nottingham TecQuipment Limited 1992 COSTA Jos Manuel Gutierrez S da Modela o e identifica o de sistemas Lisboa AEIST 1987 GORENFLO Rudolf MAINARDI Francesco Fractional calculus integral and differential equations of fractional order In CARPINTERI A MAINARDI Francesco eds Fractals and fractional calculus in continuum mechanics Wien Springer Verlag 1997 p 223 276 HILDEBRAND Francis Begnaud Advanced calculus for applications Englewood Cliffs Prentice Hall 1976 KWAKERNAAK Huibert Symmetries in control system design In ISIDORI A ed Trends in control a European perspective New York Springer Verlag 1995 p 17 51 LANDAU I D Competition interaction control In BASTIN G GEVERS M eds Plenary lectures and mini courses Louvain la Neuve European Control Conference 1997 p 1 35 LANDAU I D REY D KARIMI A VODA A FRANCO A A flexible transmission system as a benchmark for robust digital control European Journal of Control 1 1995 77 96 MACHADO J A Tenreiro Analysis and
58. R DE ORDEM N O INTEIRA A implementa o discreta dum controlador fraccion rio pode fazer se de duas formas Discretizando um controlador continuo por um processo habitual Este m todo conduz a c lculos de complexidade not vel e pode exigir mais aproxima es Usando uma implementa o baseada na defini o de Griinwald Letnikov Este segundo m todo parte da express o do controlador com derivadas fraccion rias antes ainda da aproxima o por um n mero finito de p los e zeros Serve se igualmente da express o 2 51 2 rem sigo 3 81 T o T v 1 a BO e Nesta express o o intervalo A aproximado pelo tempo de amostragem T e o somat rio truncado a um n mero finito de termos n Ter se ent o k 0 tE 0 2 bx Vo y t 3 82 A express o aplic vel a qualquer v real Conv m claramente que T seja reduzido e n seja elevado para que a aproxima o seja boa Os c lculos para o caso dum controlador de fase constante acham se em Oustaloup 1991 pp 175 178 Barbosa 1999 p 111 6 Barbosa 1999 p 112 42 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 4 A CAIXA DE FERRAMENTAS NINTEIRO Neste cap tulo apresenta se uma caixa de ferramentas para Matlab que projecta controladores de ordem n o inteira Na primeira sec o apresentam se as principais caracter sticas dessa caixa de ferramentas Na segunda apresenta se um exemplo exaustiv
59. Riemann Liouville que a mais comum apresentada na sec o 2 2 para o caso real e na sec o 2 3 para o caso complexo Na sec o 2 4 apresentada a defini o de Gr nwald Letnikoff para o caso real 2 2 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ORDEM REAL DEFINI O DE RIEMANN LIOUVILLE Nesta sec o apresenta se a generaliza o do operador de diferencia o para o caso em que a ordem um real qualquer Usa se a defini o de Riemann Liouville que a mais comummente empregue Na subsec o 2 2 1 apresenta se um dos casos em que Samko et al 1993 p 43 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA essa generaliza o mais f cil Na subsec o 2 2 2 apresenta se a defini o formal Na subsec o 2 2 3 generaliza se a lei dos expoentes 2 2 1 O CASO DA FUN O POT NCIA Seja ylx x 2 12 com a Z 0 Tem se y x ax 2 13 y x ala Le 2 14 y x a a 1Ya 2 x 2 15 desde que claro n o se chegue situa o em que o expoente nulo a partir da qual as derivadas ser o sempre nulas A express o geral p x ala 1 a n 1 e n x 2 16 como se demonstra facilmente por indu o et pay 2 en a ES aaah a n ja n 1 2x1 a a n 1 Ja n 1 Esta express o igualmente v lida para a integra o quando o limite inferior de integra o c 0 a n 1 a n x 2 17 INE d ax
60. TESE EM FREQU NCIA linear Ajustando por tentativa e erro uma curva de ganho s curvas experimentais chegou se seguinte fun o de transfer ncia 656250 Ta S 5 36 M s 274 4 s 7 621 s 14s 625 Eis a compara o entre as curvas experimentais e as ajustadas ganho dB fase a o frequ ncia rad s Figura 52 Diagrama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo ajustado curva de ganho S a vermelho Empregando o m todo de identifica o implementado na caixa de ferramentas de controlo de ordem n o inteira chegou se seguinte fun o de transfer ncia O 32544 8502 s 0 5728 gt gt S 5 37 M s 0 7069 s 23 93s 156 2 5 11 61s 632 3 Embora as frequ ncias do p lo inst vel e do zero de fase n o m nima n o sejam exactamente iguais conveniente eliminar ambas conseguindo se um sistema est vel sem prejudicar grandemente a concord ncia com a curva experimental da fase O 3x10 La EEA eo 5 38 M s 23 935 156 2 s 11 61s 632 3 Eis a compara o entre as curvas experimentais e as ajustadas 70 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA ganho dB 25 Loo pao or ss fase a o frequ ncia rad s Figura 53 Dia
61. UBNY Igor Fractional differential equations an introduction to fractional derivatives fractional differential equations to methods of their solution and some of their applications San Diego Academic Press 1999 SAMKO Stefan G KILBAS Anatoly A MARICHEV Oleg I Fractional integrals and derivatives theory and applications Yverdon Gordon and Breach Science Publishers 1993 Tradu o revista e ampliada de Mnterpamsi u MpOK3BOABIE APOOHOTO TOPAJIKA H HEKOTOPbIC HX NPpHIDKCHHA TUNES Rui Jorge Fontinha Controladores de ordem fraccion ria Porto Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 1997 Tese de mestrado 91 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA AP NDICE A PROPRIEDADES DALGUMAS FUN ES TRANSCENDENTAIS Neste ap ndice sumarizam se as propriedades dalgumas fun es necess rias generaliza o do c lculo diferencial e integral a uma ordem n o inteira A 1 A FUN O T Para x positivo a fun o T fun o gama define se por I x Pe y ay A 1 Tem se que Cis egs sE a P x 1 Te yidy e y o h xy dy 0 0 x eydy xT x A 3 Estas duas propriedades fazem com que T 2 1 81 neN A 4 A segunda propriedade usa se para definir recursivamente a fun o I para xeR Z D x n x 1 x n 1 A 5 a A fun o n o pode definir se por continuidade para x e Z visto que a express o anterior most
62. a sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga oooooocnncccnococonaconnnonnnonancconncnono cana connnnos 63 Figura 46 Sa da do sistema a azul controlado com o controlador de ordem n o inteira aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga ss des against o aa Sa a 64 Figura 47 Ac es de controlo correspondentes figura anterior eee 65 Figura 48 Fun o de sensibilidade da sa da para o anel aberto formado pelo sistema a controlar e pelo controlador de ordem n o inteira a azul sistema sem carga a verde sistema a m dia carga a vermelho sistema a plena carga o valor superior do ixo dos ganhos de 0 dB sas Rania ii ai 66 Figura 49 Fun o de sensibilidade da entrada para o anel aberto formado pelo sistema a controlar e pelo controlador de ordem n o inteira a azul sistema sem carga a verde sistema a m dia carga a vermelho sistema a plena carga 66 Figura 50 Sistema laboratorial a controlar adaptada de Landau et al 1995 68 Figura 51 A esquerda o sistema laboratorial a controlar sendo vis veis o computador e a placa de comunica o direita o interior do sistema laboratorial a controlar sendo vis veis as massas fixas terceira roldana oooooonnccccccnonononcconnass 68
63. a 5 q Q o 3 a E E 3 x D 3 hs os gt es E a E E a O O a 5 3sN a e Sa rT E q S a e a Pe eC e css a Sena ere 6 8 SES ets pad ee ike O A rr freira in E ES E as Maa O bo 5 a5 0 GF See ae da RT A A E sas E e Lo ES dad re 5 4 O 1 J _ TE Ao do s pago E z E Fodgdao MAMA II BSS Sees Eee eee eee q q Ms o Mee 222222222222 Es o HERE ES Er Sse 2 ERES DES O Sse o o N 5 Sa vn DS g een AA ae res ee OA ASS E 3 A E g s Sl hn i WWE E 2 ue sox a muy aac a S 400 3 g DOS O 0 23 2 22 A SEAS i i S o o o B 1 1 1 1 1 1 2 i gt i o Za a ee A z ee DDD oO f 4 r f o T S uq an f 7 i 1 aly 1 i T 1 E E S q sm O E E E io Ji E l Z 5 g a3 o E i i AS a i MR 5 E D 3 5 ee eee ne aaa eae a os x 50 o lc ol ee paellas EM alada olaaa aa el aaa eds a o g DO 5 E 5 E a alado alcala Jalea la ia ll S SEA a eae Pando Es Ejea E Ln q IIA DA EU UA o T O g a EEE eee i ee ee eee ee i 1 ie i LEE A AA II A O A El some aS RARA PRE on i i 1 T i h n 5 O 0 o 1 i o tp t Tre qr eis Peep a nN 2 E s pS 1 ME qa cccmectreccr c cd 5 i 3 aog o E 1 i ol ate E asso A neen q DO E Po lt lt E A sds pesso dc E E H E E Oo o 2 E 3 a e 5 1 1 1 2 gt Sorts p 3 i i i E i Sands pa aa E i D a no o E 7 e Ar EE A A AA A o 5 aa med ni a od 2 E S g g S E 3 E qee qn E ERE pS E 4 B p gt
64. a EL IS jar F s F s 2 34 7 s gt Ey 2 35 y x EC a Nile rodo 2 36 Miller et al 1993 pp 23 25 Samko et al 1993 p 33 Sobre a transformada de Laplace e o m todo nela baseado para a resolu o de equa es diferenciais veja se Ogata 1997 pp 17 46 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Visto que f x a n sima derivada de y x conclui se que y x o n simo integral indefinido de f x Logo DT f x E Ge 0 ra 2 37 Ora esta express o v lida mesmo que n n o seja inteiro Pode se portanto escrever admitindo agora limites inferiores de integra o diferentes de 0 Dif O PG f t dt ve R 2 38 2 2 2 2 JUSTIFICA O DA DEFINI O FORMAL DE DIFERENCIA O Se o operador D continuar a respeitar a lei dos expoentes que se verifica quando estes s o inteiros a raz o de ser da defini o bvia A subsec o seguinte trata dessa lei com mais pormenor 2 2 3 LEI DOS EXPOENTES Tal como sucede quando as ordens de integra o s o inteiras D D fafa neo 2 39 mas uma vez mais se a ordem dos operadores for trocada a igualdade j n o se 15 verifica Do Dif x nl Es ao 2 40 f x 2 5 D Di f c n min meN m gt v ia Assim ter se a D D fl D f x sev lt 0nu v lt 0 2 41 DE Dia rt Se AO n min meN m gt v se v gt 01u lt 0 2 42 14 Miller et al 1993 pp 25 e 28 S Mill
65. ama ou duma fun o Isso necess rio para que o c digo desenvolvido possa ser reaproveitado com facilidade A caixa de ferramentas foi desenvolvida para a vers o 5 2 1 1420 do Matlab Os di logos foram desenvolvidos recorrendo ao ambiente de desenvolvimento de interfaces gr ficas do utilizador do Matlab Guide Graphical User Interface Development Environment da caixa de ferramentas Graphical User Interface Tools Para ser usada esta caixa de ferramentas necessita da Control System Toolbox e da Symbolic Math Toolbox Para mais informa es sobre a caixa de ferramentas ser conveniente consultar a respectiva documenta o externa constitu da pelo Manual do Utilizador e pelo Manual do Programador No resto do cap tulo apresenta se um exemplo completo de utiliza o da interface gr fica que ilustra o seu modo de utiliza o e permite verificar o seu bom funcionamento Matlab v 5 2 1 1420 1984 1998 The Math Works Inc Control System Toolbox v 4 4 1997 5 17 7 Symbolic Math Toolbox v 2 0 1 1997 11 21 Do Ap ndice C consta a lista dos ficheiros que fazem parte da caixa de ferramentas 43 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 4 2 EXEMPLO DE UTILIZA O Nesta sec o apresenta se um exemplo completo de desenvolvimento de 273 controladores com a interface gr fica O sistema em estudo stl stl G s 4 1 s 0 2 5 25 100 s 2 2s 100
66. aproxima es efectuadas podem fazer com que passe a verificar se apenas aproximadamente a condi o IG jo C jo Sjo 1 3 39 Assim sempre que se alterarem os p los e os zeros conv m recalcular o ganho 3 1 3 4 CONTROLADOR DE FASE VARI VEL Nesta subsec o trata se o caso em que se pretende um controlador de fase vari vel que como atr s se referiu na subsec o 3 1 3 1 necess rio se o sistema tamb m tiver uma fase vari vel na gama de frequ ncias de interesse 3 1 3 4 1 Determina o da fun o de transfer ncia O controlador ter uma estrutura gen rica da forma pie a 3 40 Oustaloup 1991 pp 167 174 Oustaloup 1991 pp 164 Oustaloup 1991 pp 204 207 O mesmo autor apresenta nas pp 180 204 outras estruturas mais particulares e de pior desempenho mas que exigem menos esfor o na determina o dos seus par metros 27 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Assumem se est veis todos os p los e zeros Quanto maiores forem n e m melhor ser a aproxima o fase conseguida mas maiores ser o as dificuldades computacionais A fase deste controlador igual dum sistema com a seguinte fun o de transfer ncia A m n 1 C s C 3 41 j l iss O desde que a cada zero se fa a corresponder um p lo inst vel O argumento desta fun o m n arg C jo arctg 3 42 j l w Considere se que se conhece
67. as no vector ww desde que amostrassem convenientemente a evolu o da fase Que o sistema encontrado efectivamente o correcto pode ver se na linha de comandos sistema Zero pole gain s 1 s 2 2s 100 s 0 2 Carregando em Continuar surge o di logo seguinte que se preenche como indicado 46 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira of x File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 100 1000 Jrad s 0 POS AT H HA O AA pora 1 f oa Cancelar EEE 1 1 f hi ii a gt A aa a is a ra ieee tat i Va asi Va a vas i va e ERR PR A O es O Pedra ias pace porra f ae Ajuda 5 CN f eri EET eg RP ae PA Poor i tt i i voa 1 na 1 1 ie ot 1 nm 1 f it 4 Regressar 0 Fase constante p 4 pod 1 1 i i ac po o dd 1 i sia eee L r iL ee E Fase vari vel M todo de controlo aconselhado controlo de fase vari vel ou ptima Especifica o de controlo margem de fase em graus E 45 Em 10 rad s Figura 26 Di logo para a escolha dum controlador 4 2 2 CONTROLADOR DE FASE CONSTANTE Embora o controlador de fase constante seja desaconselhado isso sucede apenas por causa da varia o brusca que a fase sofre por volta de 10 rad s uma d cada abaixo do intervalo de interesse portanto razo
68. as respostas PID controlador n o inteiro tempo de estabelecimento 0 80 s 0 80 s m ximo sobreimpulso 0 66 2 04 tempo de rejei o 1 03 s 1 57 s Tabela 5 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 68 O controlador de ordem n o inteira al m de conduzir uma vez mais a uma ac o de controlo muito mais vari vel tem um desempenho ligeiramente inferior Para amplitudes diferentes do degrau contudo o desempenho do PID piora mais significativamente O exemplo que se segue diz respeito a uma amplitude menor caso em que os erros estacion rios tendem a ser maiores por impossibilidade de aplicar pequenas ac es de controlo 81 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 0 1 F F 0 1 F F h cs es a DD ES a 4 0 PV me 2 se ee a DS es Te N se Glee A A adido eps ee ee E Se ee GEE ee Se 8 i i i i Dap e s m o e te E o ee ee OCB Soe ses ak Gate a Sec como E ee A E O A O RE Be ae Ss eS SOG is ee he alee O A A Sake o o E 3 BOA ose do mes O A A a E o ta een T TRE a Tr us aes cn Wee oS 6 Mi e 3 3 a a UR es Se ete PASA ct eee ae ed Aste Te tee wee eect el ag hee HS A Toa ee E so Se ce A i i i i i Eb A s o a E E a GE a A A el elos alm E She Silene Doo quo ogee oe WFE ae A A li OH Ss A i i i i i 0 8 0 8 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 t s t s Figura 70 Saida do sistema a azul aquando do seguimento
69. bjectivo dum controlador ptimo as curvas de nivel do ganho do anel fechado est o tra adas para todos os valores entre 15 dB e 7 dB Por raz es de simplicidade dos c lculos adopta se para o anel aberto uma fase que varie linearmente com o logaritmo da frequ ncia e que ser representada por um segmento de recta num diagrama de Bode Para determinar qual a inclina o da fase mais conveniente em cada caso recorre se a uma fun o de custo quadr tica que se pretende minimizar Seja S 0 o ganho do sistema a controlar em regime estacion rio e sejam q OS seus zeros e p los em n mero de n e n respectivamente Essas i grandezas poder o sofrer varia es AS 0 Ao e Aq que estar o limitadas entre valores m ximos e m nimos V se que se a fun o do anel aberto G s for alterada pelas varia es AS 0 Aw e Aw do sistema que se pretende controlar variar o tamb m F jor e ming Assim a cada din mica em anel aberto G s correspondente a uma diferente inclina o da fase far se corresponder o valor da fun o de custo JAE Genn afar Faroa J Salton aleGonk J A F Uon a o 3 63 O pi min ou da fun o de custo Oustaloup 1991 pp 283 284 55 Oustaloup 1991 pp 290 292 5 Quando haja incertezas acerca da pr pria estrutura do modelo do sistema isto quando haja incertezas sobre o n mero de zeros e de p los pode considerar se que
70. btida com uma derivada de ordem complexa O controlador s precisa de ter esse comportamento num intervalo de frequ ncias que inclua a gama de frequ ncias de interesse Assim a fun o de transfer ncia do controlador poder ser C s k Re 22 3 76 As ordens de diferencia o c e d e o ganho k determinam se com base no diagrama de Bode por forma a que este seja o pretendido O intervalo de frequ ncias que engloba as frequ ncias de interesse o 0 pode tal como se fez com o controlador de fase constante determinar se por o 10A 100 Para implementar um controlador de fase logar tmica cuja fase seja decrescente pode se usar uma distribui o recursiva de p los da seguinte forma Oustaloup 1991 pp 336 338 6 Oustaloup 1991 pp 338 341 Oustaloup 1991 pp 341 345 6 Oustaloup 1991 pp 348 349 40 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA C s i l S E 3 17 O 00 1 n 1 Desta forma os p los ser o equidistantes numa escala logar tmica Cada p lo faz a fase descer m rad se houver um p lo em cada d cada o que corresponde a um par metro a 10 os seus efeitos sobrepor se o e a fun o de transfer ncia ter uma fase praticamente linear com uma inclina o de r rad por d cada Se houver dois p los por d cada o que corresponde a um par metro a 10 a inclina o ser de 2n rad por d cada e por assim adiante a express o g
71. cae m cnifcr m cnifcvaeo m cnifcvo m cnifol m cnifolae m cnifv m cnifvo m erroFase m erro2Fase m erroInclina m erro2Inclina m identfv m inclopt m paramopt m prec m igu74d m igu74d mat igu7a m igu7b m igu7c m igu8 m igu80 m igu81 m igu82 m igu83 m igu85 m igu88 m igu89 m igu9 m igu90 m igu91 m igu92 m igu93 m igu94 m igu95 m igu96 m igu97 m igu98 m igu99 m ninteiro m ninteiro mat resolucao m verifcnifo m verifcnifv m 99
72. cor de rosa 73 Figura 57 Resposta experimental do sistema modificado pela aplica o de duas massas na terceira roldana a uma entrada sinusoidal de frequ ncia 0 1 rad s e OE 74 Figura 58 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da Figura SEO rasa ec ca sles tec RU a a da nd eee cemNcieias 75 Figura 59 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes fig ra Anterior usa ds caves A Aten an ented Aaa eA e 76 Figura 60 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma sinus ide a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira erre non nono ncrnnn ron roca nano 76 Figura 61 Ac es de controlo correspondentes figura anterior 77 Figura 62 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da figura seguinte a dE LEAD asia podas 77 Figura 63 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes HETERO e aah Stal a 77 Figura 64 Saida do sistema nominal a azul aquando do seguimento de um degrau
73. de F s s o Y a v go E 200 2 ss me keZ 3 8 Oo Wo Para obter todas as ra zes da equa o basta considerar os argumentos tais que zyj T EE um lt gt nv T lt 2krn lt nv rT SE 3 9 v sendo a primeira passagem poss vel porque 2 gt v gt 1 gt 0 Ali s essa propriedade resulta em que v l 1 5 lt lt 1 3 lt v 1 lt 2 2 2 gt v gt le gt 15 lt k lt 0 5 3 10 1 gt v 1 gt 0 v l 0 5 gt gt 0 E como k inteiro conclui se que s pode assumir os valores 0 e 1 pelo que os p los de F s s o os complexos conjugados T T S 0 gt AS 0 3 11 ye r 29 A r Pelas express es para um sistema com dois p los a frequ ncia amortecida dada por sin 3 12 Vv e o coeficiente de amortecimento dado por 28 Oustaloup 1991 pp 96 99 2 Botto 1998 p 2 3 19 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Bete 3 13 v Estas express es mostram que o amortecimento s depende da ordem do sistema n o variando com a sua frequ ncia pr pria Esta s influencia a sua frequ ncia amortecida Da express o do ganho de resson ncia vem 2 y 1 v 7 Gal gt TU jor 2 gt C cos 7 gt F jo 5 3 14 2 arcsin gt Fi A F jo 2arccos C Tamb m se tem T sin Om 0 7 3 15 am vm v cos 2 3 1 2 2 RESPOSTA NO TEMPO A resposta ao degrau unit
74. de ordem complexa tem um diagrama de Bode linear quer na fase quer no ganho o diagrama de Nichols correspondente ser um segmento de recta n o vertical Vejam se a subsec o 2 5 3 2 e Oustaloup 1991 pp 293 303 37 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA a 1 1 a cos 2 os oo cosh 2 cof biog z 2 S O 2 s O 1 a cosh 2 co o log z 3 69 2 S Op Para se obter uma fase crescente n o basta mudar o sinal de b visto que as fun es coseno e coseno hiperb lico s o pares E preciso inverter o coseno para lhe inverter a fase Para que G jo ser preciso agora inverter tamb m k O resultado final G s cosh ZE 0 soo log al 3 70 2 s O Estas duas express es podem juntar se da seguinte forma que permite que o sinal de b indique qual a inclina o da fase 1 cosh 2 e coo log z seb gt 0 7 ZAS Do 1 a cosh 2 co log seb lt 0 2 S Do 3 2 2 ANEL FECHADO 3 71 Considere se o sistema 3 71 realimentado Figura 20 Anel de realimenta o A fun o de transfer ncia do anel fechado ser seb gt 0 F s 3 72 38 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Os p los desta fun o de transfer ncia t m de ser calculados numericamente por causa da complexidade da express o A frequ ncia pr pria e o amortecimento podem ser achados a partir deles Se b 0 permanecem v lidas co
75. de p los e zeros reais ou por meio duma derivada complexa 58 Oustaloup 1991 pp 314 316 Oustaloup 1991 p 320 Veja se a subsec o 3 1 2 1 l Oustaloup 1991 pp 334 336 39 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 3 2 3 2 CONTROLADOR DE FASE LOGAR TMICA COM P LOS E ZEROS REAIS Seja 4 o declive da fase com o logaritmo da frequ ncia que se pretende em anel aberto e seja B o declive da fase do sistema a controlar com o logaritmo da frequ ncia Assim o controlador dever ter uma fase de declive 4 B Essa fase pode ser decomposta do seguinte modo arelC jo are G jo arelslio 4 B log 3 75 0 Os dois primeiros termos constantes podem ser obtidos por meio dum controlador de fase constante desenvolvido na subsec o 3 1 3 3 bastando usar se a gama de frequ ncias de interesse for de apenas uma d cada N 2 O ltimo termo pode conseguir se com um controlador de fase vari vel Para inclina es at 1 2 e intervalos de interesse n o superiores a uma d cada bastam novamente dois p los e dois zeros estando estes dois ltimos entre os dois primeiros ou os dois primeiros entre os dois ltimos consoante a inclina o pretendida seja positiva ou negativa 3 2 3 3 CONTROLADOR DE FASE LOGAR TMICA COM UMA DERIVA O COMPLEXA Como atr s se viu uma fase logar tmica isto uma fase que varie linearmente com o logaritmo da frequ ncia pode ser o
76. de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira Nestas situa es o controlador de ordem n o inteira costuma conseguir um menor erro estacion rio No caso apresentado o erro com o PID era de 4 28 e com o controlador de ordem n o inteira de 1 69 Eis as ac es de controlo respectivas T T 10 T T T JE A E O te fee E E Ee eee Ee Bee AA ie ee dpi A vs i Gb Fe sie elle to qe bs a ca la ete e da Becas A A ee tee ao RO ae call ida ia o ee A ae al al entrada V o entrada V o fe ey ofala e e A a e a 21 of Slt e te o a a e al aL E 4 i i BO acc a a eee ae bey oe US cd Os MS Sue Bee Se ei eS SS eee el Bl e na ata De Dee BS oP me eee ral Bis A A A E o A 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 y 8 9 10 t s t s Figura 71 Ac es de controlo correspondentes figura anterior 5 2 5 3 SEGUIMENTO DE UMA SINUS IDE As respostas ao seguimento de uma sinus ide apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira foram as seguintes 82 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 T F 1 F F N y i 1 i 1 i 1 1 i E ee ee Net ce A Pe E dels Jf NON Do eo Boe A Dl caf at so evo Ge wo ae ds Rs GB ESG DAS SA Se E sed e E are Ao Ra 0 4 do dadas re We Serve pego a een qu ao Ne fee od i i i As QB
77. do do seguimento duma rampa adicionar lhe um termo integrativo Com o controlador 1 2 S C C 5 48 cujo termo integral foi determinado por tentativa e erro obt m se o seguinte resultado 86 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 T T T T 1 T T T f i 1 i i OB of ag f ETS t 08 P Sa i Ashe m e US pp a aioe ae E fe se 0 64 ena eae OL E a De e MS SEE 8 a A A i GALE dg Sb o ole Sie Hs Se hs gls a hdd Oda ade Aa ts Rs a o ei Spa ey A nad i 1 Pa i i i T E A Ss Se gy Se eee RG Sse St Se tee Se E Wippo ela le NS we we ses ed 2 2 8 8 Oe iad gt ah E te ee he ty ER ae ke BOOM Ago Sree ne Ge eta es a RS cd Ue A 0 24 ot ALA PR E RI A cages gt ae o o ss a ba O q a ca q E 0 4 MA a a AA y 0 6 L A L A 0 6 A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s Figura 81 Saida do sistema a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde com o controlador de ordem n o inteira adicionado de um termo integrativo esquerda resultado obtido com o sistema nominal direita resultado obtido com o sistema modificado T T T to T T Bil cs Se A qu E quis Pe Be SS ee S ie aa eS Sees SS EE Be en acy RR ES oe al Elio dos ba ate ete Le te a ete a de dl Bi je gt estas ete ete ice bs es ates hh 2d 4 4 OAL Mise ye ca pee EN E ee Ge eh eB ae ee eed 2 entrada V o entrada V o
78. doa SU a a 83 Figura 73 Ac es de controlo correspondentes figura anterior 83 IX CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figura 74 Sa da do sistema nominal a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o IMITA ses ea SR de ennda 84 Figura 75 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira ceesceesceceeceeeeeeeeeeeeeeseeesseenes 84 Figura 76 Ac es de controlo correspondentes Figura 64 84 Figura 77 Ac es de controlo correspondentes Figura 65 cts 85 Figura 78 Varia es entre as respostas da Figura 74 e da Figura 75 85 Figura 79 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde comutando entre o controlador de ordem n o inteira e o controlador PID esquerda resultado obtido com o sistema nominal direita resultado obtido com o sistema modificado iu sssicssszessassacredisdenaatearanstadsdadactardsrascadseadadssannedarsdaastistaanabaasansade 86 Figura 80 Ac es de controlo correspondentes Figura 79 ct 86 Figura 81 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de uma rampa a verde
79. e ais 1 1 a ie ic de moeda ai i SA sas 1 e TS To SAS mil ai A E AS i ooo poo poo A q a e q SAS afete ai ES ai 1 A ESTO o o es poi a 1 1 i 1 i A bat san es ss id Thr is id aiana 200 gt 5 3 4 Regressar 10 10 10 10 80 100 120 Fase 140 160 180 7 10 Frequ ncia Figura 35 Selec o das frequ ncias de amostragem da fase para um controlador de fase vari vel ptima Neste caso conveniente manter as frequ ncias determinadas automaticamente Se todos os controladores aqui apresentados forem calculados sucessivamente no di logo surgir o uma vez mais as frequ ncias da Figura 30 A solu o fechar o programa carregando em Cancelar e abri lo outra vez ou ent o adicionar e remover as frequ ncias necess rias O controlador projectado tem o seguinte desempenho 51 A N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira File Edit Window Help Gama de frequ ncias de interesse 100 1000Jrad s sistema Sistema linear e invariante no tempo Cancelar Ajuda 1 4 4 1 Lobo a BO b b b ba gp oyues Regressar 10 Frequ ncia rad s E bia to me A 150b 1 1 14 0 1 10 Nome da vari vel E 5 Es Es q E oO gt or E q gt oO YN E o Ms tm q i
80. e pode parecer arbitr rio Veja se a subsec o 2 5 3 Recorde se tamb m que uma fase constante no diagrama de Bode corresponde a um diagrama de Nichols vertical Veja se Oustaloup 1991 p 72 16 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA GG dB 20v dB dec arg 60 0 rad va 2 Figura 7 Diagrama de Bode de G s Repare se que mesmo que a frequ ncia de cruzamento de ganho varie a margem de fase se mant m Na realidade pode suceder que o sistema s obede a fun o de transfer ncia enunciada numa certa gama de frequ ncias E preciso que a gama de frequ ncias em que se quer controlar o sistema seja mais estreita e que mesmo que varie n o alcance frequ ncias em que o sistema j n o pode ser descrito pela fun o de transfer ncia G s Verificando se essas condi es a margem de fase ser sempre constante Repare se tamb m que se v aumentar aproximando se de 2 o diagrama de Bode do sistema ir se 4 aproximando do de um sistema com dois p los na origem comummente designado por sistema de ordem 2 e portanto a precis o do controlo ser maior mas a fase aproximar se de 7 diminuindo portanto a margem de fase e a estabilidade Mostra se assim que a precis o do controlo e a sua estabilidade s o objectivos contradit rios tamb m com esta fun o de transfer ncia 3 1 2 ANEL FECHADO 3 1 2 1 RESPOSTA EM FREQU NCIA Considere se o sistema
81. e que a 13 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA roldana d uma volta a massa acelera a na descida e desacelera a na subida Isto evidente na Figura seguinte velocidade V RE DR fit te a SS le ch Bate gta Wd 0 5 10 15 20 25 30 Figura 57 Resposta experimental do sistema modificado pela aplica o de duas massas na terceira roldana a uma entrada sinusoidal de frequ ncia 0 1 rad s e amplitude 8 V 5 2 3 ESPECIFICACOES DE DESEMPENHO Como especifica es de desempenho quer para o controlo de velocidade quer para o controlo de posi o mantiveram se as quatro primeiras especifica es da subsec o 0 relativas resposta no tempo alterando apenas a primeira no sentido de um controlo mais r pido O tempo de estabelecimento a menos de 10 do valor final dum degrau deve ser menor que s O sobreimpulso na resposta a um degrau deve ser menor que 10 As perturba es devem ser rejeitadas em 1 2 s considerando se uma perturba o rejeitada quando a sa da recupera para 10 do valor extremo a que chegou causado pela perturba o As perturba es constantes devem ser rejeitadas 5 2 4 CONTROLO DE VELOCIDADE Deve aqui notar se que a sa da do sensor de velocidade angular da terceira roldana n o era nula quando ela se encontrava parada Como se ver nas figuras desta subsec o nessa situa o a tens o medida pode n o ser constante mas situa se en
82. eh A ata la 4 E acd A e E o pad EB E l A a art e E SODA Y A qa A II Bi Se Se Mo A GOE tx ds ghee ao Tes Bd Be Moss qual oe bp Sed 0 06 0 06 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 78 Varia es entre as respostas da Figura 74 e da Figura 75 Ainda assim o PID tem a vantagem de eliminar mesmo que lentamente o erro estacion rio na resposta rampa como se v na parte final dos gr ficos apresentados A superioridade do controlador de ordem n o inteira diz respeito somente ao regime transiente e n o t o n tida como no caso do controlo de velocidade Surge naturalmente a ideia de aproveitar o controlador n o inteiro s para o regime transiente e mudar a partir de certa altura para o controlo do PID Eis os resultados obtidos fazendo essa mudan a aos 6 s 85 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 1 F F Obh fo eNe pe auk EE E era amp Se ee dal DB bake OMe ge sie ek BD Se eis dace 4 Ob E cal a Pe o SO Cd o E fo e de ed DL he 2 Sp A ee Sd A AE Se o a i 1 i j Oe de we eee oe ROR Whe oe ee eRe E N Oral DS acta ete Re Ped we Shae cove sd gt X T ADD Wig A aa vp Sp a a HS SR NN o Ga E o th EE E O E de a A gt S 1 2 2 a a D cs E Sie A OS Ep EE aged Os 603 eee O O 2 O cus ad D2 ce Te POS PS Qpe gt a as Eq OE Sa A ek SL O OS r DAL 4 epa is mas oy e a o opa o i Ye 4 Pp a a ss qo eg dq go te avo Ne Nd
83. er et al 1993 pp 57 a 63 Samko et al 1993 pp 44 48 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 2 3 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ORDEM COMPLEXA DEFINI O DE RIEMANN LIOUVILLE poss vel generalizar o operador D para contemplar uma ordem complexa necess rio ter em conta que Kars erek elt jb logk etlogk jblogk glosk jblogk elt giblosk 4 cis blog k 2 43 onde cisx cosx sin x 2 44 Deste modo a fun o I continua definida e basta adaptar ligeiramente a defini o 2 24 lo px sr T z e F 8 d8 Rez lt 0 Dif x ral fi se Re DEDE n min keN k gt Rez se Rez gt 0 2 45 Resta contemplar agora o caso imagin rio puro que requer uma nova defini o visto que o integral da defini o anterior divergiria Dif x D Df x zeC Rez 012 0 2 46 2 4 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ORDEM REAL DEFINI O DE GRUNWALD LETNIKOFF Nesta sec o apresenta se a extens o do operador de diferencia o ao caso em que a ordem de diferencia o um real qualquer de acordo com a defini o introduzida por Griinwald Letnikoff Por defini o p md lat 2 47 19 PA p2 ta O ee lim bo hoo h50 h 16 Samko et al 1993 p 38 17 Miller et al 1993 p 38 Samko et al 1993 p 371 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA y x 2y x h y x 2h lim
84. eral da inclina o J em rad em fun o do par metro de recursividade a apt 3 78 log o O Para obter uma inclina o positiva na fase basta usar zeros em vez de p los As inclina es menores em m dulo que a rad por d cada precisariam para serem implementadas por este modo de um par metro de recursividade t o grande que os p los ou zeros ficariam suficientemente afastados para o seu efeito na fase n o se sobrepor pelo que esta deixaria de ser praticamente linear e passaria a oscilar sensivelmente Visto que s o essas inclina es as que mais interessam na pr tica a solu o empregar um controlador da forma D C s gt Oz S 1 i l O pi On N0 J 1 m 1 3 79 O pi 000 yy 1 n 1 As inclina es induzidas pelos p los e pelos zeros dever o compensar se de modo a que a sua diferen a seja igual inclina o pretendida para o controlador Isto equivale a TU TU Es NDA a ES 3 80 logon logoa As frequ ncias dos p los e dos zeros devem cobrir todo o intervalo de frequ ncias de interesse 9 0 Os n meros de zeros e p los devem ser ajustados em conformidade Este controlador s assegura a inclina o da fase precisa de ser usado em s rie com um controlador de fase constante para garantir que na frequ ncia a fase tem o valor pretendido 41 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 3 3 IMPLEMENTA O DISCRETA DUM CONTROLADO
85. ero de zeros e p los pode causar instabilidade num rica nos algoritmos que determinam os controladores chegando se a um controlador que n o cumpre as especifica es de desempenho Outras vezes mesmo chegando se a um controlador que cumpre as especifica es o desempenho n o melhora significativamente Como regra geral um grau interm dio de complexidade o melhor compromisso A afina o dos par metros requeridos pelos algoritmos tem de ser feita por tentativa e erro embora haja heur sticas expostas nas subsec es respectivas que permitem chegar sem dificuldade a resultados razo veis A ordem dos controladores obtidos frequentemente superior ordem do modelo do sistema a controlar poss vel conceber um controlador robusto de ordem inferior mas o objectivo dos controladores de ordem n o inteira n o s a manuten o da estabilidade do anel fechado de controlo mas tamb m a manuten o do grau de estabilidade Logo a ordem elevada do controlador inevit vel Foi poss vel aplicar os algoritmos implementados quer de identifica o quer de controlo com resultados satisfat rios a v rios sistemas incluindo um problema paradigm tico de controlo constitu do por um sistema de transmiss o de movimento entre tr s roldanas por meio de duas correias flex veis e uma sua implementa o laboratorial O controlo de ordem n o inteira conseguiu sempre resultados melhores ou pelo menos semelhantes aos de um PID
86. especifica es de desempenho o processo de desenvolvimento do controlador de ordem n o inteira e o seu desempenho no tempo e na frequ ncia Na segunda descrevem se o sistema implementado no laborat rio a sua modela o a sua identifica o o processo de desenvolvimento de controladores de ordem n o inteira para esse sistema e o seu desempenho no tempo e na frequ ncia O desempenho dos controladores de ordem n o inteira sempre comparado com o de controladores PID para se poder avaliar os m ritos e defeitos de cada um Escolheram se controladores PID como termo de compara o por serem controladores cl ssicos de grande simplicidade de bom desempenho em in meros casos e muito divulgados sobretudo em aplica es industriais 5 1 PROBLEMA PARADIGMATICO DE CONTROLO Este problema paradigm tico de controlo foi apresentado na Confer ncia Europeia de Controlo de 1995 em Roma Neste problema pretende se controlar um sistema constitu do por tr s roldanas ligadas duas a duas por correias flex veis Na terceira roldana pode se impor uma carga fixando discos de massa vari vel A entrada do sistema a posi o angular da primeira roldana que controlada localmente por meio de um motor de corrente cont nua e de um controlador por realimenta o A sa da do sistema a posi o angular da terceira roldana eixo do motor Figura 41 Sistema a controlar adaptada de Landau et al 1995 Kwakernaak 1995
87. existem todos os zeros e p los poss veis As frequ ncias dos zeros e p los que n o se sabe se existem ter o incertezas associadas que poder o coloc los a frequ ncias claramente superiores ao intervalo de frequ ncias de interesse se isso suceder ser como se n o existissem 36 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA J AG as so ac S 0 j Pla Y Aura Je 5 tana F 860 0 i l 3 64 e optar se pela que conseguir o valor mais baixo Como ficou visto na subsec o 2 5 3 2 a fun o de transfer ncia correspondente A ok a as r 57 din mica em considera o ser para uma fase decrescente da forma G s ere 22 a b e Repare se que a deve ser positivo para que o sistema seja est vel caso contr rio ter se la lim G jo 00 Quanto a b ver se j de seguida que a fun o de O 00 A 3 65 transfer ncia par pelo que basta consider lo positivo O ganho k est presente para assegurar que G jo 1 Tem se que ed 4 jb 4 og 20 G s kRe 2 Tepa 2 2 E 22 te Su S S S S _kRe 2 E 8 co blo 3 66 S S S Pelo que ficou visto na subsec o 2 5 3 2 tem se G jo k cost 6 z 3 67 Assim para que G jo 1 ter se a 3 68 cos z 2 Como o coseno uma fun o par ter se finalmente 1 a G s cosh 2 co log 2 S S 7 Oustaloup 1991 pp 293 303 Recorde se que como uma derivada
88. foe cue be Sie pe a SERES Won E seg TED EO coy aed ges os OD 40 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 43 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema sem carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga x 10 1 F F 1 6 F F F F OS a e a E Eae qr A Te a EEE E AA a Sa 1 i 1 i 1 i i 1 i i i 1 ED eh yin SEMSA A oy he Ne P q 1L ees wel a coe eae PN A ay vet oe STS ES i 7 7 7 j 7 1 7 F o i i i 1 1 1 1 E SS Eo ok ee pe ep das o did ED E PERA TE GE en RS oe O NR ae 3 A E oe one ee ee 2 gd A a A ena Dae A O 8 8 As ves E ea is cae Sy tte Bek o ere E a f i i 1 7 i i i oal bles che aia Ste ote a DAS aa do E e NS et ee a a RA mal Lie s dadie ve Sb da ra ata we Ld i i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i BSE eo E e jee es Be Sy z 0 A he E E E E 3 y y y y y 0 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s 1 6 T T WA oc A oh sain Satire E eee ay ae Re q ee A i i i i i i i i bakaa apene a an on a CA E T q A r es a 9G E id eN PP BBL A A A o a oe a eS al E 1 Y 1 i ft ft 1 1 1 3 i aea entea a da tapa a E r a 8 i 2 oal Lre sie se Nan ore etn ee ae Gal E is O A A dE rear Se co Re 0 LS qo sos etl que Th E i i 1 i i y y 0 2 i
89. gem ordens de diferencia o n o inteiras 2 5 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE A transformada de Laplace do operador D segue as regras v lidas para a E a A EVO 8 5 situa o em que a ordem inteira isto sendo f x uma fun o nula para xe R L oDif x s F s v lt 0 2 57 n 1 Z Di f x s F s gt is Df 0 n 1 lt vsneN 2 58 E E k 0 2 5 2 RESOLUCAO DE EQUACOES A resolu o de equa es diferenciais fraccion rias por meio de transformadas de Laplace em tudo semelhante ao que sucede quando as ordens de diferencia o s o Ego 00 inteiras Podlubny 1999 p 200 Para mais pormenores sobre as condi es necess rias para que os resultados sejam iguais veja se Podlubny 1999 pp 75 77 12 Miller et al 1993 pp 69 e 123 Podlubny 1999 pp 104 105 2 Miller et al 1993 pp 133 e ss Podlubny 1999 pp 137 e ss Em Miller et al 1993 pp 321 e ss acham se v rias transformadas de Laplace de fun es que aparecem correntemente na resolu o deste tipo de equa es diferenciais 11 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 2 5 3 DIAGRAMAS DE BODE E DE NICHOLS 2 5 3 1 CASO REAL Seja F s s 2 59 Ent o F jo jo 2 60 F jo 7 o o 0 2 61 arg F jo arg j o arg 2 62 Embora haja v rios complexos z de diferentes argumentos tais que z j se se optar pelo de argu
90. grama de Bode experimental do sistema a controlar a azul curva com sinus ides de entrada de amplitude 6 V a verde curva com sinus ides de entrada de amplitude 8V e diagrama de Bode do modelo ajustado curva de fase S3 a vermelho Para a identifica o por meio da resposta no tempo usaram se as respostas do sistema a dois degraus de 6 V e 8 V divididas pela amplitude do degrau A diferencia o num rica dessas respostas corresponde resposta a um impulso assim usou se o m todo da desconvolug o e experimentaram se v rias ordens poss veis para os modelos S a ordem 4 conduziu a sistemas est veis para ambos os degraus A fun o obtida com o degrau de 6 V apresenta o melhor valor estacion rio final da resposta ao degrau 0 35 03h to A e Gees Tete E Je Sie at Sek RA tages AO 24 o iy velocidade V o a T E i i i 1 i dos oe o as we os E io Mins eRe a athe a Bhs al 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 t s Figura 54 Resposta a um degrau unitario do modelo identificado a azul resposta experimental a um degrau de 6 V adimensionalizada a verde e resposta experimental a um degrau de 8 V adimensionalizada a vermelho A convers o do modelo discreto para um modelo continuo fez se usando reten o de ordem zero o m todo que melhor preservou o desempenho em frequ ncia eis o resultado 88 Costa 1987 pp 73 76 2 Em todas as figuras desta subsec o e da subsec
91. grau de 6 V adimensionalizada a azul resposta experimental a um degrau de 8 V adimensionalizada a verde resposta a um degrau unit rio do modelo ajustado curva de ganho S a vermelho e resposta a um degrau unit rio do modelo ajustado curva de fase S3 a cor de rosa Repare se que todos os modelos identificados para a situa o em que a sa da do sistema a velocidade s o de quarta ordem enquanto que pela modela o deviam ser de sexta ordem e ter um zero na origem No que diz respeito ordem do modelo h manifestamente dois p los com frequ ncias t o elevadas que n o influenciam o sistema pelo menos nas frequ ncias empregues Quanto ao zero na origem os dados experimentais n o reflectem de nenhum modo a sua exist ncia O modelo de todos os apresentados o nico que consegue aproximar razoavelmente quer os diagramas de Bode experimentais quer as respostas experimentais a degraus Como se ver na subsec o seguinte foi este o modelo com o qual se conseguiu o melhor controlador para a velocidade do sistema Quanto ao sistema com as massas ligadas terceira roldana esse sistema n o linear o que impede que o resultado da sua identifica o seja uma fun o de transfer ncia Na verdade as massas estando excentricamente colocadas impedem que a sa da seja sinusoidal para uma entrada sinusoidal existe sempre uma componente oscilat ria de frequ ncia directamente proporcional sa da porque sempr
92. gt ee o que conduz equa o LO k 518 A k 170 k 1 1 8 h0 0 5 11 Derivando em ordem vari vel 0 vem o U T o U T NEY iy COUR 5 12 00 dt 00 o U T T 0 7 0 7 5 5 13 00 oJ b0 5 14 00 a o que conduz equa o 18 ky tr 0 k 3170 b8 0 5 15 Aplicando transformadas de Laplace s tr s equa es chega se ao sistema 7s bhs k n O k 77 0 M kyrr O Ls bys k ky Jr O kp1 1 0 0 5 16 k 7 7 0 Lys bs kary 0 Para simplificar a nota o define se 2 2 Y s bs k 7 k Kh 2 2 X b s kp k r Y knr _ 2 2 OQ I s bs kr Isto permite escrever YO 00 M DO XO Y0 0 YO 20 0 termo de segunda ordem 5 17 constante 5 18 termo de segunda ordem 5 19 constante 5 20 termo de segunda ordem 5 21 5 22 57 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA A primeira equa o n o necess ria para a modela o deste sistema mas foi aqui deduzida porque ser necess ria na sec o seguinte A partir das duas ltimas equa es tem se y OE R a gt YO 90 0 s i O 0 D O y O X des Q ec SO 5 23 Vo 0 O XQ y GT A 2 1 Q iy Q Esta express o mostra desde j que o numerador da fun o de transfer ncia constante pelo que o sistema n o tem zeros e que o denominador um polin mio
93. ido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga O controlador de ordem n o inteira n o s consegue que o anel fechado permane a est vel como o seu desempenho permanece muito semelhante quando varia a carga Nomeadamente o sobreimpulso pouco se altera 63 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA posi o rad 0 8 0 6 0 4 0 2 0 2 S NTESE EM FREQU NCIA posi o rad E 1 2 E E A A E O lt A A A A A A E E Eai A aane E a eaa E rio eras So bio do IA ie oe Ok i 1 i 7 1 i 1 r 1 1 i 1 E a E o g E i i i i i RR a e a Le EA O guia A dedo she do fale io ales ait gam ot Ly doca o ES el o 1 0 2 6 7 8 9 10 0 1 2 3 1 2 A Tl A A A E RS O E dB O A R Side Bee Ed Dig E A chs ole eb o Se aha als a E od Ditka WP setae ee oat A Se se A al Oe de Poet E tao dos ds vio Ste pda y a ee ed 0 2 f o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 46 Sa da do sistema a azul controlado com o controlador de ordem n o inteira aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga As ac es de controlo correspondentes constam da Figura seguinte 64 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S
94. iiai asien 11 2 5 1 Transformada de Laplace a dis 11 2 5 2 Resolu o de EUA Sii dela ed a 11 2 5 3 Diagramas de Bode e de Nichols s c0 sscdtsssccsavessesdateegssadaseccasssicnsvannsans 12 DS Sul CASO eai castes a aie eh Neti al i cee a eta aaa A 12 2 5 3 2 CASO COMPOR Le adi 13 3 Controlo de ordem n o inteira sles a sae pad a id 16 3 1 Derivada de ordem real n o inteira asas ii tierce detail sadias atas 16 Dib oC AD TU A A as 16 3 1 2 Anel fechado a ip Aaa ee ie conte te aa 17 3 1 2 1 Resposta em frequ ncia sutis tus ladeada nda 17 2 2 Resposta no TEMPO sema its is 20 3 1 3 Determina o dos par metros dum controlador 21 3 1 3 1 A A 21 3 1 3 2 O controlador real e os erros estacion rios oooonoccnnoccoococonccnnncnnnnos 21 3 1 3 3 Controlador de fase constante i ee 23 3 1 3 3 1 Determina o da fun o de transfer ncia 23 3 1 3 3 2 Aproxima o da fun o de transfer ncia 25 3 1 3 4 Controlador de fase vari vel eee 27 3 1 3 4 1 Determina o da fun o de transfer ncia 27 3 1 3 4 2 Pr controlo do sistema a controlar ooooooocinccinncnincoconccconocanos 29 iv CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 3 1 3 5 Sensibilidade ao ru do oriol ines ensinada tas 30 3 2 Derivada de ordem comple ii a 33 3 2 Anel ADORO o 33 3 22 Ane
95. is primeiros crit rios referidos Cada um dos p los restantes pode ser interpretado como um p lo ou como um zero com o mesmo efeito na fase Isto os p los est veis poder o ser p los est veis ou zeros de fase n o m nima e os p los inst veis poder o ser p los inst veis ou zeros de fase m nima Havendo M p los resultantes da solu o do sistema ter se o assim 2 hip teses diferentes Escolhe se aquela cujo ganho melhor se aproximar do ganho da fun o a identificar Sobre este m todo de identifica o veja se Oustaloup 1991 pp 209 211 45 Oustaloup 1991 pp 224 230 29 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA s y s _ S s F s _ 1 S s F s M s 1 5 1 5 s F s M s M s 1 S s F s M s es Se F s gt gt 1 ter se ae O H duas abordagens poss veis v s i Fazendo M s O sistema com pr controlo passar a ter uma fase Og constante e pode se lhe aplicar o controlador desenvolvido na subsec o 3 3 O problema desta abordagem que provavelmente exigir grandes ac es de controlo c s Conv m que F s seja um filtro passa banda com ganho elevado apenas na vizinhan a de q para minorar o problema das grandes ac es de controlo Fazendo M s 3 s sendo S s um modelo do sistema S s o sistema com pr controlo passar a comportar se como o seu modelo mesmo que os seus par metros variem A vantagem desta abordagem que sendo
96. ivide se a fun o de transfer ncia do controlador 3 22 do seguinte modo 3 31 3 32 3 33 s m s x m 1 1 O O C s C i l S S l l1 o O sendo m x e implementa se na realidade um controlador que tem a seguinte fun o de transfer ncia S S fa ss 5 0 om Cc I CA Mircea S 1 1 O O pm Tem se N NA Q pN 0 21 n Estabelece se ainda que O O a 0 vn para que Desta ultima express o resulta Aqui Z representa a fun o caracter stica 3 34 3 35 3 36 26 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA O log N log 3 37 o logan Conv m que 5 lt om lt 10 para que N n o seja como atr s se referiu nem demasiado grande o que computacionalmente inconveniente nem demasiado pequeno o que originaria uma fraca aproxima o da din mica pretendida Um constrangimento adicional para o valor de om que deve originar um valor de N tal que N e N Os valores de a e de n determinam se por a an am an 3 38 mas podem ser alterados para a gt a An lt n Aan 0m com o intuito de melhorar a qualidade da aproxima o da din mica pretendida nos extremos do intervalo 0 0 Essa altera o deve ser cuidadosa pois valores muito diferentes dos indicados originam E n 40 a pes oscila es da fase Refira se ainda que estas s o m ximas quando x m 0 5 As
97. l Especificando um ganho de resson ncia 50 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA em anel fechado de 1 2 e optando por um controlador de fase vari vel chega se ao seguinte di logo 4 Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira Of x File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 100 1000Jrad s Varia es do ganho 1 1 Controlador de fase logar tmica n o aconselhado Varia es dos zeros 1 1 Inclina o graus d cada Fase ema o graus Varia es dos p los Valores ptimos Cancelar Ajuda Regressar Fase vari vel Fase constante Fase vari vel Fase logar tmica Figura 34 Determina o da inclina o ptima Os campos preenchidos t m as incertezas que se sabe poderem ter sido cometidas na identifica o do modelo por uma quest o de simplicidade assume se que a incerteza sempre de 0 1 Carregando no bot o Valores ptimos e ap s c lculos demorados surgem nos campos respectivos a inclina o de 16 por d cada e a fase em q de 120 Optando por um controlador ptimo de fase vari vel surge o seguinte di logo Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira ioj xj File Edit Window Help Sistema linear e invariante no tempo sistema Gama de frequ ncias de interesse 100 1000 rad s 0 50 ADO Ganho dB 450 a ms a pa i i SSeS a oiri 1 a
98. l fechado asterisco dieta rata Ta ep 38 3 2 3 Determina o dos par metros dum controlador 39 3 2 3 1 Fase do controladoras regada A ae a 39 3 2 3 2 Controlador de fase logar tmica com p los e zeros reais 40 3 2 3 3 Controlador de fase logar tmica com uma deriva o complexa 40 3 3 Implementa o discreta dum controlador de ordem n o inteira 42 4 A caixa de ferramentas ninteiro asus UT Ra ad qu 43 4 1 Caracteristica E 43 4 2 Exemplo de UIZACIA aid 44 4 2 1 Identifica o do sistema eiii siria 44 4 2 2 Controlador de fase constante ssa tay Guedes pt 47 4 2 3 Controlador de fase vari vel ce ieeeeereeeeerereneenea 48 4 2 4 Controlador de fase ptima sesta rai 50 5 Desempenho dos controladores de ordem n o inteira eee ceeeeeteeetteeeteeees 55 5 1 Problema paradigm tico de controlo oooooooccnococicocononcnonaconocono nono nonnnocnocnnos 55 5 1 1 Modela o do Sistemas sas QUA O ER R RR R 56 5 1 2 Identific o do SISTCIING asas aia 58 5 1 3 Especifica es de desempenhos ridad 60 ALE Controlo da POSI O a a as 60 5 1 4 1 Desenvolvimento dos controladores ooooconincnnnccnncccoococonncconacinnos 60 5 1 4 2 Seguimento de um degrau e rejei o de perturba es 61 5 1 4 3 Fun o de sensibilidade da sa da oooooccconoccconocccoonnconnnncnnnnnos 65 5 1 4 4 Fun o de sensibilidade da entrada
99. locos equivalente ao modelo do dique nec S Cabe aqui fazer ainda alguns coment rios que pressup em o conhecimento das subsec es 3 1 1 e 3 1 2 Note se que se m ou S variarem isso traduzir se numa varia o da frequ ncia de cruzamento de ganho w mantendo se a margem de fase como se viu na sec o 3 1 1 Al m disso em anel fechado o amortecimento do sistema n o variar variando apenas a sua frequ ncia amortecida como se viu na subsec o 3 1 2 1 98 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA AP NDICE C LISTA DOS FICHEIROS DA CAIXA DE FERRAMENTAS C 1 FICHEIROS DA INTERFACE GR FICA alfaoptc m alfaopto m igu0 m igul m igul0 m igul00 m igul0l m igul03 m igul04 m igull m igul1d m igul 1d mat igul2 m igul2d m igul2d mat igul3 m igul4 m igul5 m igul6 m igul7 m igul8 m igul9 m iguld m iguld mat igu2 m igu20 m igu21 m igu22 m igu2d m igu2d mat igu3 m igu3d m igu3d mat igu4 m igu41 m igu41d m igu41d mat igu42 m igu42d m igu42d mat igu43 m igu43d m igu43d mat igu75 m igu75d m igu75d mat igu76 m igu76d m igu76d mat igu77 m igu77d m igu77d mat igu78 m igu79 m igu44 m igu45 m igu46 m igu47 m igu48 m igu49 m igu4d m igu4d mat igu5 m igu50 m igu51 m igu52 m igu6 m igu71 m igu7ld m igu71d mat igu72 m igu72d m igu72d mat igu73a m igu73b m igu73d m igu73d mat igu74 m C 2 FUNCOES FUNDAMENTAIS calcdesempenho m cnifc m cnif
100. mento mais baixo no intervalo 0 27 E ter se arg F jo va 2 63 O ganho expresso em decibel ser F jo 20log 20vlog dB 2 64 Logo os diagramas de Bode e de Nichols de F s s s o IFG dB Bu 20v dB dec o 0 1 o arg F j c0 0 va 2 arg F o rad rad 0 Figura 1 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de F s s v gt 0 sev gt 0 e 2 Oustaloup 1991 pp 366 367 12 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA FG oo dB FG o dB 20v dB dec ars FGo ars FGo rad rad Figura 2 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de F s s v lt 0 se v lt 0 2 5 3 2 CASO COMPLEXO 22 Mostra se que F s Re s a b e R 0 tem um diagrama de Bode e um diagrama de Nichols da forma Fj dB FG o dB as 20a teh bx 2 b log10 lt u dB rad 20a dB dec 20 log ycosh bx 2 0 arg F jo teh bx 2 b log10 rad dec arg FG ad rad 0 Figura 3 Diagrama de Bode esquerda e diagrama de Nichols direita de F s Re s a gt 0 sea gt 0 e 2 Oustaloup 1991 pp 293 300 13 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 20a dB dec FGo dB FG dB a teh bx 2 b log10 dB rad 20 log cosh bx 2 0 ars FGo rad ars FGo rad
101. mo boas aproxima es as express es do caso real desprezando b Om Do sin 3 73 a cos 3 74 a 3 2 3 DETERMINACAO DOS PARAMETROS DUM CONTROLADOR 3 2 3 1 FASE DO CONTROLADOR Do que atr s foi exposto na subsec o 3 2 1 resulta que se pretende para controlar um sistema S s obter um controlador C s tal que G s C s S s onde G s a fun o de transfer ncia dada por 3 71 A fase em anel aberto ser linear com o logaritmo da frequ ncia para abreviar doravante essa varia o ser referida como logaritmica Figura 21 Anel de controlo Se a fase do sistema a controlar S s for logar tmica na gama de frequ ncias em que h interesse o controlador C s tamb m dever ter uma fase logar tmica nessa gama de frequ ncias para que G s C s S s possa ter uma fase logar tmica Se a fase do sistema S s n o for logar tmica mas a gama de frequ ncias em que h interesse for estreita um controlador de fase logar tmica pode fornecer uma aproxima o suficiente Caso a fase do sistema varie na gama de frequ ncias de interesse de tal forma que a aproxima o logar tmica seja m a fase do controlador tamb m dever variar duma forma n o logar tmica isto n o linear com o logaritmo das frequ ncias Nesse caso h que recorrer ao controlador de fase vari vel descrito na subsec o 3 1 3 4 Quanto ao controlador de fase logar tmica pode ser implementado de duas maneiras por meio
102. mo muitas vezes importante assegurar um erro estacion rio nulo na resposta ao degrau ou um erro estacion rio finito na resposta a uma rampa preciso nesses casos acrescentar algum outro elemento ao anel aberto Uma solu o colocar em s rie com o controlador de ordem n o inteira um controlador PI Esse controlador dever ter uma frequ ncia pr pria suficientemente baixa para influenciar o menos poss vel o regime transiente deixando que este seja regido pelo controlador de ordem n o inteira aproveitando assim o seu bom desempenho no que diz respeito a sobreimpulsos independentes dos par metros do sistema Claro que quanto menor a frequ ncia pr pria do controlador maior ser o tempo necess rio para anular o erro estacion rio isto maior ser o tempo de estabelecimento Tamb m claro que a presen a de controladores PI prejudica sempre o regime transiente por muito baixas que sejam as suas frequ ncias pr prias A anula o do erro estacion rio na resposta a uma rampa exige o emprego de dois controladores PI em s rie com o controlador de ordem n o inteira 35 Ogata 1997 pp 275 e ss Oustaloup 1991 pp 121 131 22 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Uma maneira de minorar os problemas que os controladores PI causam projectar o controlador de ordem n o inteira n o para o sistema S s mas sim para esse sistema j em s rie com os controladores PI que forem nece
103. modelo Com esse modelo desenvolveu se um controlador para a velocidade de fase vari vel que assegura uma margem de fase em anel aberto de 80 essa especifica o foi 79 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA escolhida por tentativa e erro para cumprir os crit rios enunciados na subsec o 5 2 3 As frequ ncias empregues para o c lculo do controlador seleccionadas por tentativa e erro de acordo com as heur sticas referidas na subsec o 3 1 3 4 1 foram de 0 1 rad s 1 rad s 3 16 rad s 10 rad s 25 rad s 31 6 rad s e 100 rad s foram escolhidas para amostrar o comportamento do sistema em todo o intervalo 0 1 100 rad s s o mais esparsas no extremo esquerdo do intervalo onde a fase quase constante e concentram se em torno da inflex o que se d entre 20 rad s e 30 rad s Em seguida e visto que o objectivo era o controlo da posi o juntou se ao controlador um zero na origem que cancelou um p lo na origem Eis a sua fun o de transfer ncia 98 56 s 0 01486 s 1 218 s 10 11 s 1413 s 14 845 639 6 s 0 9432 s s 100 5 46 Os p los em 100 rad s foram adicionados para tornar a fun o de transfer ncia fisicamente realiz vel O ganho foi ajustado por tentativa e erro para conseguir os melhores resultados O PID foi ajustado pelo segundo m todo de Ziegler Nichols o ajuste fino dos par metros foi feito por tentativa e erro Os seus valores s o P 7
104. na fase no intervalo de frequ ncias de interesse desprez vel desprezam se os p los cujo efeito conjunto na varia o da fase nulo interpretam se os p los inst veis como zeros cujo efeito na fase seja o 44 mesmo O ganho C uma vez mais determinado pela condi o Glio Clio S o 1 3 45 3 1 3 4 2 Pr controlo do sistema a controlar Como referido na subsec o 3 1 3 1 o controlador acabado de desenvolver s robusto face s varia es de par metros do sistema a controlar que n o lhe alterem a fase Mas poss vel alterar a din mica do sistema por meio dum pr controlador de tal forma que o desempenho do controlador possa ser melhor Considere se o seguinte diagrama de blocos Figura 14 Pr controlo do sistema Oustaloup 1991 pp 206 207 apresenta um modo de reduzir este sistema n o linear a um linear que permite uma resolu o exacta A demonstra o da equival ncia acha se nas pp 188 195 Cabe aqui ainda notar que este m todo pode ser usado para identificar qualquer fun o F s bastando alterar o sistema de equa es para ay ar e a O nk E arg C JO z po arg F jo k 1 n J Nesta express o M o n mero total de zeros e p los que n o necessariamente igual ao n mero de equa es n que o n mero de pontos onde conhecida a fase do sistema a identificar F s Resolvido o sistema desprezam se os p los que n o satisfazem os do
105. ncias de amostragem da fase para um controlador de fase constante e Varias LOPNA td RU A 53 Figura 38 Anel aberto com um controlador de fase constante e vari vel ptima 53 Figura 39 Dados para o c lculo dum controlador de fase logar tmica 54 Figura 40 Anel aberto com um controlador de fase logar tmica ptima 54 Figura 41 Sistema a controlar adaptada de Landau et al 1995 55 Figura 42 Diagramas de Bode do sistema a controlar a azul sistema sem carga a verde sistema a carga m dia a vermelho sistema a plena carga 59 Figura 43 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema sem carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a m dia carga ao fundo sistema a plena carga eee 62 Figura 44 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema a m dia carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerda sistema sem carga direita sistema a media carga ao fundo sistema a plena carga ni in 62 Figura 45 Sa da do sistema a azul controlado com o PID projectado para o sistema a plena carga aquando do seguimento de um degrau a verde tendo sido aplicada uma perturba o a vermelho esquerd
106. nel aberto de controlo pode tentar se aplicar apenas o controlador de ordem n o inteira durante o regime transiente e apenas um controlador PID ou outro controlador que n o incorra num erro estacion rio a partir de certo momento quando o regime estacion rio j estiver praticamente atingido A comuta o entre os dois tipos de controlo deve ser suave para evitar varia es bruscas da ac o de controlo Uma vez mais deve ser poss vel aplicar supervis o recorrendo a l gica difusa a esta situa o A aplica o desta metodologia de desenvolvimento de controladores ao caso de sistemas MIMO um campo por explorar Decerto que a aplica o poss vel com o mesmo objectivo de conseguir robustez constante face incerteza do sistema a controlar Todo o desenvolvimento de controladores se baseia em modelos cont nuos do sistema a controlar J foram estudados m todos para efectuar todos os c lculos no dominio discreto cujos fundamentos foram sumariamente referidos na subsec o 3 3 A implementa o dos algoritmos respectivos na caixa de ferramentas outro desenvolvimento a realizar Podem melhorar se os algoritmos para a s ntese de controladores com uma parte de ordem n o inteira e uma parte convencional controladores esses para os quais a caixa de ferramentas tem poucas op es Sobre tais algoritmos veja se Barbosa 1999 pp 111 146 Machado 1997 Machado et al 1998 e Machado 1999 89 CONTROL
107. o 5 2 SISTEMA LABORATORIAL Foi implementado no Laborat rio de Controlo Automa o e Rob tica da Sec o de Sistemas do Departamento de Engenharia Mec nica do Instituto Superior T cnico da Universidade T cnica de Lisboa um sistema semelhante ao descrito na sec o anterior constitu do igualmente por tr s roldanas ligadas duas a duas por correias flex veis A primeira e a terceira roldanas s o actuadas por motores de corrente cont nua alimentados de 10 V a 10 V e com uma zona morta sensivelmente entre 1 Ve 1 V terceira roldana podem se fixar discos por forma a que a massa fique distribu da sem simetria radial em torno do eixo A entrada do sistema a alimenta o do motor da primeira roldana A velocidade do eixo da terceira roldana medida por meio de um sensor de velocidade Controlou se quer a velocidade quer a posi o angular da terceira roldana O motor da terceira roldana pode ser usado para perturbar o sistema Os controladores foram implementados num computador pessoal usando as caixas de ferramentas Simulink e InteractiveRealtime para Matlab Como interface entre o sistema a controlar e o computador usou se a placa DAS 1602 da Keythley Metrabyte Oustaloup et al 1995 p 116 afirma que o controlo de ordem n o inteira isoladamente n o conveniente para o controlo de sistemas que como este apresentam picos de resson ncia significativos em frequ ncias que variam com as incertezas do
108. o BE S 5 Ago ea RR AS E o 2 Es z on S Ego 2 id dll da td lata data dute El H 33 E ES RSS E o RES EEEE ee E o S 25 a O gt E E 4 S 4 pass SE o 33 S 320 08 E E o a eee O eee Hd 2 Pe yo 3 Oo a 1 1 1 1 E E o o IR _ gt 3 gS o daa o E A A AS O PD DRT Elos LE 3 5 5 Qa soa E 5 mer ae ati L E e le 3 i i i i i o E 5 z dogBo E E S E A a Em E 5 E D S a 4 E o E SICA E a o o o check atts iii sake fata iaa ead deba o nm fa Ga A 2 tapada ala A ee O Eg O oa O a reno DO O ni a dad bad e Qt S S la eee A Cee eee ee ae g E O po S pS ra Ti A O HI AER 5 o 5 L 8 i i i T i T op o H ov m 5 EE E ee eee om 3 8 nN E 5 1 1 1 1 1 1 1 1 8 E x g Bp S So a E i i i 1 1 i 1 g Doma s El i he a PE E H Ss O 2 1 L L 1 o L L j l oN 2 8522 e FD RGE Ter E Soo E ta gp oyueg ase 3 O o g 3 a En USS es 2 S 00300 egg na O x Om O 03 oro 54 Figura 40 Anel aberto com um controlador de fase logaritmica optima CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 5 DESEMPENHO DOS CONTROLADORES DE ORDEM N O INTEIRA Neste cap tulo estuda se a aplica o do controlo de ordem n o inteira a um caso paradigm tico onde j foi aplicado com sucesso e a um sistema laboratorial a ele semelhante Inclui duas sec es Na primeira descrevem se o problema paradigm tico de controlo a sua modela o a sua identifica o as
109. o de utiliza o 4 1 CARACTER STICAS A caixa de ferramentas ninteiro uma caixa de ferramentas de controlo de ordem n o inteira para Matlab e destina se a sintetizar controladores de ordem n o inteira para sistemas invariantes no tempo que sejam lineares ou tenham por nica n o linearidade um atraso puro implementando os c lculos expostos no cap tulo anterior A caixa de ferramentas cont m fun es que permitem conceber controladores dum certo tipo para um dado sistema sendo fornecidos todos os par metros necess rios uma interface gr fica que guia o utilizador no processo de desenvolvimento dum controlador pedindo os dados progressivamente e permitindo sempre retroceder para afinar os par metros Optou se por enquadrar as fun es que calculam os controladores num ambiente gr fico interactivo pelas seguintes raz es A utiliza o mais f cil e intuitiva O utilizador guiado pelos sucessivos passos do desenvolvimento dos controladores f cil voltar atr s para alterar valores Existem heur sticas para achar alguns valores Com uma interface gr fica o resultado das heur sticas sempre sugerido mas pode ser alterado ou ajustado Sem uma interface gr fica as op es bvias seriam obrigar a aceitar o valor da heur stica ou n o fornecer nenhuma sugest o As fun es que efectivamente calculam os controladores podem ser chamadas separadamente da linha de comandos dum progr
110. onoccnonnncncnncnnnnonnconcnancnnccnnoo 44 Figura 23 Di logo mica aaa RES NOS OA aU eee 45 Figura 24 Preenchimento do primeiro di logo de identifica o dum sistema 45 Figura 25 Sistema identificado cee scececseecceseceseeseecesceceeseesceceasceesecceseeeseesaees 46 Figura 26 Di logo para a escolha dum controlador 47 Figura 27 Dados para o c lculo dum controlador de fase constante 47 Figura 28 Anel aberto com um controlador de fase constante 48 Figura 29 Altera o do intervalo de frequ ncias de interesse 48 Figura 30 Selec o das frequ ncias de amostragem da fase para um controlador de PASE variavel sois tara pais ada aa al a ld ab Ga Rd 49 Figura 31 Anel aberto com um controlador de fase vari vel 49 Figura 32 Pr controlo do sistema cecscscsscesessceeeecceeeceecceseesseceseceeseaceseceseesaees 50 Figura 33 Novo sistema a controlar sa aussesasassanomina era renacido baca alitas 50 Figura 34 Determina o da inclina o ptima essere 51 vii CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figura 35 Selec o das frequ ncias de amostragem da fase para um controlador de fase yari vel OPA sereen aa 51 Figura 36 Anel aberto com um controlador de fase vari vel ptima 52 Figura 37 Selec o das frequ
111. or a desenvolver dever ser o de fazer com que o diagrama de Nichols do anel aberto formado pelo controlador e pelo sistema a controlar nunca cruze as curvas de n vel correspondentes ao comportamento em anel fechado que se quer evitar A Figura seguinte mostra um exemplo de aplica o desse objectivo esquerda encontra se o diagrama de Nichols dum sistema um dos par metros f sicos de que ele depende pode variar e as tr s curvas correspondem a tr s valores que ele pode assumir As especifica es de controlo exigem que o anel fechado de controlo tenha um ganho sempre negativo direita encontra se o diagrama de Nichols do anel aberto 2 Ogata 1997 p 562 Oustaloup 1991 p 398 5 O sistema representado na Figura o que ser abordado adiante na sec o 5 1 O controlador que consegue o desempenho ilustrado no gr fico da direita o controlador apresentado em Oustaloup et al 1995 e referido na subsec o 5 1 4 5 35 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA formado por esse sistema e por um controlador apropriado Para nenhum dos valores assumidos pelo par metro vari vel o diagrama de Nichols cruza a zona perto da origem que corresponde a um ganho positivo em anel fechado como se pretendia 30 25 20 30 25 20 ganho dB 3 A ganho dB 3 A 6 5 4 8 2 4 0 6 5 4 3 2 A 0 fase rad fase rad Figura 19 Exemplo ilustrativo do o
112. po de controladores No cap tulo 3 exp e se os algoritmos de projecto dos controladores no dom nio da frequ ncia S o contemplados tr s casos correspondendo a diferentes caracter sticas do sistema a controlar No cap tulo 4 apresenta se de forma resumida uma caixa de ferramentas para Matlab desenvolvida no mbito desta tese que projecta controladores de acordo com esta metodologia No cap tulo 5 apresentam se resultados de desempenho dos controladores projectados com a caixa de ferramentas apresentadas no cap tulo 4 No cap tulo 6 tiram se conclus es e perspectiva se o trabalho futuro Apesar de alguns esfor os no sentido dessa generaliza o terem sido levados a cabo ainda no final do s culo XVII quando se estabeleceu a teoria do c lculo diferencial foi s no s culo XIX que surgiu uma teoria completa e coerente do c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira N o tem para aqui interesse a hist ria do desenvolvimento deste ramo do C lculo que se pode achar resumida em Miller et al 1993 pp 1 16 e em Samko et al 1993 pp xvil xxxvi Tratam deste assunto as refer ncias Barbosa 1999 Machado 1997 Machado et al 1998 Machado 1999 Oustaloup 1991 Oustaloup et al 1995 Podlubny 1999 pp 243 260 e Tunes 1997 Este tipo de controlo comummente designado por CRONE acr nimo da designa o francesa commande robuste d ordre non entier CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S
113. pp 42 47 Landau et al 1995 pp 77 78 Landau 1997 pp 28 32 55 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 5 1 1 MODELA O DO SISTEMA Este sistema pode modelar se por meio das equa es de Lagrange Sejam as roldanas 1 2 e 3 as que constam da Figura 41 e sejam 0 0 e 8 as posi es angulares das tr s roldanas q n n r Os raios das tr s roldanas e Y eS I L e I os momentos de in rcia das tr s roldanas 9 Y eo b b e b os coeficientes de atrito das tr s roldanas no seu eixo q e k k as constantes de elasticidade das correias que unem as duas primeiras e as duas ltimas roldanas respectivamente M o momento aplicado na primeira roldana pelo motor Ent o a energia cin tica do sistema ser Ds near lL x 0 10h 518 518 5 1 A energia potencial do sistema sera 1 2 1 2 T au 9 7 0 1 Ta 9 7 9 7 5 2 A energia dissipada por atrito ser 1 dy 1 o 1 o J aMi o 00 oN 5 3 Derivando em ordem vari vel 0 vem o U T o U T x eet ae a e er 5 4 06 de 06 O U T URE 0 75 On n 65 00 oJ O a 5 6 o que conduz equa o 18 Kk 210 Kk 778 59 M 5 7 Derivando em ordem vari vel 0 vem aus re Ch a 5 8 00 sie dt 00 l 56 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA o U T am k 0 7 6 7 7 ky 057 O 1 Or 2 os a
114. previs vel que S s e S s sejam sempre semelhantes as ac es de controlo nunca precisar o de ser muito elevadas Em consequ ncia F s poder ser um filtro passa baixo com ganho elevado na vizinhan a de 3 1 3 5 SENSIBILIDADE AO RU DO Como referido na subsec o 3 1 2 1 seja o controlador de fase constante ou de fase vari vel a fun o de transfer ncia em anel fechado ser ON 1 a Esta a fun o de transfer ncia dum filtro passa baixo cuja frequ ncia de corte Considere se agora o anel fechado sem pr controlo afectado de perturba es ou 14 46 ru do Oustaloup 1991 pp 235 239 30 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figura 15 Anel com ru do A fun o de transfer ncia ser y s p s S s C sIr s y 5 gt s ft sls cls p s S s C s r s gt 1 S s C s able sic ie s s c s rls oe V se que a sa da depende do ru do por meio duma fun o de transfer ncia que como c s s s G s 22 ve 3 49 3 3 50 pls S 1 0 r s 0 Esta a func o de transfer ncia dum filtro passa alto que tem a mesma frequ ncia de corte que o filtro 3 47 que relaciona a sa da com a refer ncia Como se v melhorar esta ltima relag o faz com que o anel fechado fique mais sens vel a perturba es ou a ru do Um modo de minorar o problema consiste em fazer com que se encontre no extremo superio
115. r do intervalo w 0 para que os ganhos a frequ ncias elevadas n o sejam significativos Outro modo de obter o mesmo resultado juntar um filtro passa baixo ao anel aberto de prefer ncia antes de se projectar o controlador para que este j o leve em conta Considere se agora o anel de controlo com perturba es ou ru do mas com a presen a de pr controlo 7 Oustaloup 1991 pp 249 265 48 Oustaloup 1991 pp 239 245 31 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Figura 16 Anel com pr controlo e ru do Agora tem se EOI 651 S s F s Tese PURA eA pode se reduzir este caso ao diagrama seguinte Figura 17 Anel equivalente ao anterior Reaproveitando agora os resultados da situa o sem pr controlo 1 F s C s ba O CCC 3 53 1 F s C s i 1 F s C s A fun o de transfer ncia que relaciona a sa da com as perturba es est decomposta em duas A primeira a dum filtro passa alto como se conclui comparando a com a fun o de transfer ncia que relaciona a sa da com a refer ncia A sua frequ ncia de corte a mesma A segunda fun o a do anel interno de pr controlo Esse anel deve naturalmente ser mais r pido que o anel exterior e quanto mais r pido for melhor ser o pr controlo Mas quanto mais r pido tamb m mais 32 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA r pida ser a resposta s pert
116. ra que a fun o tende para infinito nesses pontos Tamb m se conclui que ronca tes xT x 1 x P x 1 A 6 Aplicando repetidas vezes esta igualdade chega se a T x x 1 1 T x n 1 r x n A 7 Hildebrand 1976 p 245 92 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA A fun o gama permite definir combina es do seguinte modo a a P a 1 a A 8 Esta express o v lida para a be R Z A 2 A FUN O y Para x positivo a fun o y fun o gama incompleta define se por y x z e yay A 9 Claramente T x lim y x z Z gt 0 A 3 A FUN O E Define se a fun o E fun o de Mittag Leffler como Ev a TOS y v at A 10 Esta fun o surge ao calcular ane FG f eae ve R A 11 Operando a substitui o x primeiro e a substitui o ax y depois vem at aerea fef j dy y c ole ydy K e y a q E v at y v ac A 12 Do atras exposto resulta que Segue se a defini o usual que pode encontrar se por exemplo em Hildebrand 1976 p 675 Miller et al 1993 p 300 multiplica o integral por outros termos para facilitar a defini o de E Optou se pela defini o que mais facilmente relaciona y eT 7 Aqui segue se a defini o de Miller et al 1993 p 48 adaptada para corresponder defini o de y seguida na subsec o anterior
117. rde sistema a carga m dia a vermelho sistema a plena carga Como se v este sistema caracterizado por ter duas frequ ncias de resson ncia com coeficientes de amortecimento reduzidos Ao variar a carga na terceira roldana as frequ ncias de amortecimento variam Usando a transforma o de Tustin st 1 2 5 28 st ds 2 com t T7 os tr s modelos acima apresentados podem ser transformados em tr s modelos cont nuos no tempo cujos par metros podem ser aproximados por N oo D s pE s No s 0 013209s 3 5699s 301 585 10373s 127029 D s 1 3913s 5 5122s 1947 85 1957 95 119577 0 E s s 4 0619s 1122 885 1245 8s 5 29 onde p assume os valores 77 Para pormenores veja se Kwakernaak 1995 pp 45 47 Repare se que o modelo a que se chega tem zeros embora na modela o n o tenha 59 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA sistema sem carga p 1 sistema a m dia carga p 0 11179 sistema a plena carga p 1 Tabela 1 Valores de p na express o 5 29 5 1 3 ESPECIFICACOES DE DESEMPENHO As especifica es de desempenho pressup em o anel de controlo da Figura 15 e s o as seguintes O tempo de subida de 0 a 90 do valor final dum degrau deve ser menor que ls O sobreimpulso na resposta a um degrau deve ser menor que 10 As perturba es devem ser rejeitadas em 1 2 s Uma perturba o considera
118. rio de F s dado pela express o 3 2 yle Z ds 3 16 Ys mo Esta express o avalia se numericamente O m ximo valor de y t em fun o de v muito bem aproximado por max y t 79 195v 138 507v 59 528 3 17 Repare se que este valor m ximo s depende de v n o depende de 39 Oustaloup 1991 pp 89 96 20 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA 3 1 3 DETERMINA O DOS PAR METROS DUM CONTROLADOR 3 1 3 1 FASE DO CONTROLADOR Do que atr s foi exposto na subsec o 3 1 1 resulta que se pretende para controlar um sistema S s obter um controlador C s tal que G s C s S s onde G s a fun o de transfer ncia dada por 3 1 Figura 9 Anel de controlo Se a fase do sistema a controlar S s for constante na gama de frequ ncias em que h interesse o controlador C s tamb m dever ter uma fase constante nessa gama de frequ ncias para que G s C s S s possa ter uma fase constante Caso a fase do sistema varie na gama de frequ ncias de interesse a fase do controlador tamb m dever variar novamente para que G s possa ter uma fase constante Nesse caso n o necess rio que a din mica do controlador seja descrita por uma derivada de ordem n o inteira Mas assim as varia es dos par metros do sistema que afectem a sua fase far o com que o controlador deixe de conseguir que o anel aberto tenha fase constante Logo se
119. rolo de ordem n o inteira olx File Edit Window Help Frequ ncias wy Ganhos gg Fases ff Hz Gama de frequ ncias de interesse de 100 a 1000 rad s Vari vel sistema Ordem 7 Cancelar Ajuda Regressar Identificar Figura 24 Preenchimento do primeiro di logo de identifica o dum sistema A gama de frequ ncias foi escolhida para o diagrama de Bode que vai ser tra ado mostrar a zona amostrada Forneceu se como ordem do modelo o n mero de pontos onde o diagrama de Bode foi amostrado embora o valor seja superior ao do sistema a identificar a identifica o vai ser bem feita 45 A N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM Figure No 1 Controlo de ordem n o inteira File Edit Window Hel Help Gama de frequ ncias de interesse 100 1000Jtad s sistema Sistema linear e invariante no tempo Cancelar Ajuda Regressar 10 Frequ ncia rad s Continuar ee ear eae 150 200 10 Figura 25 Sistema identificado Podiam ter sido tamb m fornecidas as ordens entre 6 e 10 ter se ia sempre identificado o sistema correctamente Ordens superiores a 10 conduziriam a um sistema com demasiados graus de liberdade e ordens inferiores a 6 conduziriam a um sistema com graus de liberdade a menos em qualquer dos casos n o teria sido poss vel identificar nenhum modelo Tamb m se podiam ter empregue outras frequ nci
120. rolo quando o mesmo degrau e a mesma perturba o da Figura 58 e da Figura 59 s o aplicados Y 3 Y i 1 i 1 i 1 T t ta Sue e SW er ee do eee See Saat oe ocd E oca Snare des el ke Se E ee ners lad 2b My ng 2L z s o o A A A AO O A ss Se gee E ans Ea 2 2 8 8 2 2 dina Mo oa tea a e a o AS uy fo ad Gee dile ds ss slo le gu EB NS da SE e Em Es nas A DA a Bh ee e ale 2 dh os Lo dia bes ate ota i 1 i 0 i 1 1 L 1 1 1 1 0 1 y f Ll f 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s t s Figura 62 Sa da do sistema modificado a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da figura seguinte velocidade V o velocidade V Figura 63 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes figura anterior 77 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA velocidade V 0 0 0 0 O controlador PID nem sempre apresenta um comportamento t o robusto Eis as respostas a um degrau apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira para o sistema nominal e para o sistema com uma massa presa terceira roldana mas agora para um degrau de menor amplitude e sem perturba o 8 SL
121. s 1 53 s 1 48 s margem de atraso 1 06 s 1 03 s 1 02 s Tabela 2 Grandezas correspondentes s respostas da Figura 46 H que notar que o tempo de subida e o tempo de rejeig o s o superiores ao requerido pelas especifica es 5 1 4 3 FUN O DE SENSIBILIDADE DA SA DA Da Figura seguinte consta o diagrama de Bode das fun es de sensibilidade da sa da cujos ganhos nunca excedem o m ximo requerido 83 Este o tempo de estabelecimento da resposta a menos de 10 do valor do degrau Usou se essa toler ncia para melhor compara o com o tempo de subida 65 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA ganho dB sob cam fase 50 ar TT 10 10 10 10 10 10 frequ ncia rad s Figura 48 Fun o de sensibilidade da sa da para o anel aberto formado pelo sistema a controlar e pelo controlador de ordem n o inteira a azul sistema sem carga a verde sistema a m dia carga a vermelho sistema a plena carga o valor superior do eixo dos ganhos de 6 dB H que notar que o ganho s negativo para frequ ncias inferiores a 1 rad s isto a 0 16 Hz e n o a 0 2 Hz como requerido pelas especifica es 5 1 4 4 FUN O DE SENSIBILIDADE DA ENTRADA Eis o diagrama de Bode das fun es de sensibilidade da entrada 40 r r ganho dB fase 600 A waren PE ETE AA e i 1 0 10 10 10 10 10 10 frequ ncia rad s
122. ss rios 3 1 3 3 CONTROLADOR DE FASE CONSTANTE Nesta subsec o trata se o caso em que se pretende um controlador de fase constante que como atr s se referiu necess rio se o sistema tamb m tiver uma fase constante na gama de frequ ncias de interesse 3 1 3 3 1 Determina o da fun o de transfer ncia Sendo a fase do controlador constante a sua fun o de transfer ncia deve ser uma integra o ou diferencia o de ordem n o inteira Mas s precisa de o ser num intervalo ae Ae 35 de frequ ncias que englobe o intervalo de frequ ncias de interesse CG o dB 20v dB dec o arg CG rad va 2 Figura 11 Diagrama de Bode do controlador A fun o de transfer ncia correspondente a este diagrama s x 1 C s C 3 22 1 O Ss Deve ter se lo O s c o 0 Como a transig o duma din mica qualquer para a din mica de ordem n o inteira se processa ao longo duma gama de frequ ncias conv m fazer 0 1010 100 Estes valores emp ricos asseguram que em o 0 j se atingiu a din mica pretendida e ao mesmo tempo s o o mais pr ximos poss vel para diminuir o risco de instabilidade num rica Para determinar os par metros x e C do controlador preciso saber a ordem n da fun o de transfer ncia do sistema S s 4 A a frequ ncia de cruzamento de ganho pretendida para o anel aberto 35 Oustaloup 1991 pp 142 151 23
123. ssencial da teoria do controlo robusto de ordem n o inteira Inclui tr s sec es A primeira sec o diz respeito a controladores cujo objectivo conseguir que a din mica em anel aberto seja a de uma fun o de transfer ncia que uma derivada de ordem real n o inteira Nas duas primeiras subsec es estuda se a din mica em anel aberto e em anel fechado dessa fun o de transfer ncia Na terceira subsec o estuda se como determinar os par metros dum controlador que assegure essa din mica para um sistema qualquer em anel fechado A segunda sec o diz respeito a controladores cujo objectivo conseguir que a din mica em anel aberto seja a de uma fun o de transfer ncia que uma derivada de ordem complexa Nas duas primeiras subsec es estuda se a din mica em anel aberto e em anel fechado dessa fun o de transfer ncia Na terceira subsec o estuda se como determinar os par metros dum controlador que assegure essa din mica para um sistema qualquer em anel fechado O cap tulo encerra com uma sec o sobre como discretizar um controlador de ordem n o inteira 3 1 DERIVADA DE ORDEM REAL N O INTEIRA 3 1 1 ANEL ABERTO A A 23 Considere se o seguinte sistema ct 2 vei 3 1 S Este sistema tem o seguinte diagrama de Bode No ap ndice B acha se a descri o dum sistema f sico cujo modelo esta fun o de transfer ncia e que justifica a escolha do intervalo de varia o de v qu
124. ste fino dos par metros foi feito por tentativa e erro Os seus valores s o P 3 6 1 13 5 44 D 0 Neste caso o controlador PI revelou se melhor que o PID 5 2 4 2 SEGUIMENTO DE UM DEGRAU E REJEI O DE PERTURBA ES Eis as respostas a um degrau apresentadas pelo sistema com o controlador PID e com o controlador de ordem n o inteira Foi aplicada uma perturba o com a forma de um degrau fazendo funcionar o motor da terceira roldana a partir de certo momento perturba o essa que rejeitada por ambos os controladores velocidade V a T i i i i i 1 velocidade V a Figura 58 Sa da do sistema a azul aquando do seguimento de um degrau a verde esquerda resultado obtido com o PID direita resultado obtido com o controlador de ordem n o inteira foi aplicada uma perturba o constante da Figura seguinte Ogata 1997 pp 672 673 75 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA entrada V As ac es de controlo e as perturba es aplicadas constam da Figura seguinte A amplitude da perturba o de 4 2V a amplitude que provoca quando aplicada isoladamente uma sa da de 1V entrada V Figura 59 Ac es de controlo a azul e perturba es a verde correspondentes figura anterior Eis algumas grandezas caracter sticas destas respostas PID controlador
125. te tese trata do projecto de controladores cont nuos para controlo em anel fechado usando c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira Esses controladores s o aplic veis a sistemas de uma entrada e uma sa da invariantes no tempo e que sejam lineares ou tenham como nica n o linearidade um atraso puro Esses controladores conseguem desempenhos robustos nomeadamente conseguem que o m ximo valor da resposta ao degrau unit rio em anel fechado seja constante e independente de varia es do ganho em regime estacion rio do sistema a controlar ou de varia es dos seus zeros e p los PALAVRAS CHAVE Controlo de ordem n o inteira CRONE c lculo de ordem n o inteira controlo robusto dom nio da frequ ncia CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA ABSTRACT This thesis deals with the project of continuous time controllers for closed loop control using non integer calculus Such controllers can be used for single input single output time invariant systems which may either be linear or have as non linearity a pure time delay These controllers achieve robust performances a constant maximum value of the unit step closed loop response independent of system steady state gain or pole or zero frequencies variations is namely achieved KEYWORDS Non integer order type control CRONE non integer calculus robust control frequency domain CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU N
126. tre os 0 4 V e os 0 6 V Isto ter relev ncia sobretudo para o controlo de posi o como se ver na subsec o seguinte 5 2 4 1 DESENVOLVIMENTO DOS CONTROLADORES O controlador para a velocidade que melhor desempenho apresentou foi concebido usando o modelo S um controlador de fase vari vel que assegura uma margem de fase em anel aberto de 100 essa especifica o foi escolhida por tentativa e erro para cumprir os crit rios enunciados na subsec o 5 2 3 As frequ ncias empregues para o c lculo do controlador seleccionadas por tentativa e erro de acordo com as 74 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA heuristicas referidas na subsec o 3 1 3 4 1 foram de 0 1 rad s 1 rad s 3 16 rad s 10 rad s 14 rad s 24 rad s 31 6 rad s e 100 rad s foram escolhidas para amostrar o comportamento do sistema em todo o intervalo 0 1 100 rad s s o mais esparsas no extremo esquerdo do intervalo onde a fase quase constante e concentram se em torno da inflex o que se d entre 20 rad s e 30 rad s A sua fun o de transfer ncia 29 42 5 1 294 s 744 3 s 20 675 123 7 5 11 255 624 5 p s 0 01535 s 1 772 s 100 5 43 Os p los em 100 rad s foram adicionados para tornar a fun o de transfer ncia fisicamente realiz vel O ganho foi ajustado por tentativa e erro para conseguir os melhores resultados O PID foi ajustado pelo segundo m todo de Ziegler Nichols o aju
127. uais na modela o e controlo de sistemas din micos A presente tese trata do projecto de controladores cont nuos para controlo em anel fechado usando c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira Esses controladores s o aplic veis a sistemas de uma entrada e uma sa da invariantes no tempo e que sejam lineares ou tenham como nica n o linearidade um atraso puro Esses controladores conseguem desempenhos robustos nomeadamente conseguem que o m ximo valor da resposta ao degrau unit rio em anel fechado seja constante e independente de varia es do ganho em regime estacion rio do sistema a controlar ou de varia es dos seus zeros e p los Os objectivos desta tese s o resumir o estado da arte dos algoritmos conhecidos de s ntese de controladores no dom nio da frequ ncia implementar esses algoritmos para Matlab numa caixa de ferramentas permitindo o c lculo de controladores de forma f cil e sistem tica comparar os resultados obtidos com controladores de ordem n o inteira com os resultados obtidos com controladores cl ssicos quer em simula o quer em implementa o laboratorial averiguando em que situa es ser o de aplicar uns ou outros A limita o do mbito aos algoritmos de s ntese em frequ ncia deveu se a condicionamentos de tempo No cap tulo 2 desta tese expdem se os fundamentos do c lculo diferencial e integral de ordem n o inteira que s o necess rios ao projecto deste ti
128. ucede 19 Dada a fractalidade da porosidade isso que sucede havendo alv olos de todos os tamanhos pelo menos numa certa gama de dimens es 96 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA IGG dB 20v dB dec arg G j 0 rad va 2 Figura 87 Diagrama de Bode da fun o de transfer ncia de Q P havendo um n mero infinito de alv olos Este diagrama corresponde a uma fun o de transfer ncia da forma ela ve pall B 3 onde a frequ ncia correspondente ao ganho unit rio No dom nio do tempo ter se ol D P t B 4 Mo B 3 RESULTADO FINAL Sendo constante a massa de gua m que exerce press o sobre o dique a primeira lei de Newton afirma que da F m B 5 a B 5 onde a recorde se a velocidade com que a massa de gua se desloca O sinal do segundo membro resulta de F e a terem sentidos opostos Seja S a rea sobre a qual a massa de gua actua Ent o a equa o anterior equivale a q Pepa T qu py os dt S S dt DS 0 vag Fazendo 1 v n l 2 e 292 vem m 1 Mostra se que v o mesmo seja ele calculado a partir do diagrama de ganho seja ele calculado a partir do diagrama de fase D P 0 B 6 97 CONTROLO ROBUSTO DE ORDEM N O INTEIRA S NTESE EM FREQU NCIA Ple D P t 0 B 7 0 t 1 A transformada de Laplace desta equa o ORPS P s 06 P s 2 P s B 8 Figura 88 Diagrama de b
129. urba es e ao ru do o que mostra que a rejei o destes uma vez mais um objectivo que contraria a robustez do controlo Por isso se v S R 7 y M s n o conv m que a ordem v seja muito elevada uma vez mais para que O d x i Aans 49 o ganho n o seja muito grande a frequ ncias elevadas 3 2 DERIVADA DE ORDEM COMPLEXA 3 2 1 ANEL ABERTO Como referido na subsec o 3 1 3 o objectivo do controlo a desenvolvido conseguir uma din mica em anel aberto da forma G s vei 3 1 Como a se refere tamb m se a fase do sistema a controlar variar no intervalo de frequ ncias em considera o a fase do controlador dever variar tamb m para que o anel aberto tenha uma fase constante Mas assim se os par metros do sistema variarem de tal modo que a fase do sistema seja alterada a margem de fase do anel aberto variar o controlo s ser robusto face a altera es de par metros que n o alterem a fase do sistema a controlar Nestas condi es n o faz sentido pretender uma margem de fase constante para o anel aberto nem um m ximo valor para a resposta a um degrau unit rio visto que esse valor m ximo depende da margem de fase Mas faz sentido pretender que o ganho de resson ncia em anel fechado n o exceda um certo valor limitando assim o valor da sa da ou que o coeficiente de amortecimento n o seja inferior a um certo valor limitando assim as oscila es na resposta a um degrau

Controlo robusto de ordem não inteira

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