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TMMAT 115 - Repositorio da Universidade Portucalense

1. basta execut lo para que o Winplot se instale flaj a Consideremos o sistema de fun es f x 2x e a sua resolu o gr fica utilizando o software winplot O x semnomel wp2 Arquivo Equa o Ver Btns Um Dois Anim Misc Gr fico de f x xx 2 Gr fico de f x 2x 4 Figura 50 Resolu o gr fica atrav s do software Winplot A tabela seguinte apresenta um pequeno resumo das caracter sticas mais importantes para a poss vel utiliza o destas ferramentas numa sala de aula AutoGraph Geogebra Cabri Calques 3D Winplot Graph G ome tre Gratuito N o Sim N o Sim sim Sim C lculos Sim Sim N o N o sim Sim matem ticos mencionado mencionado sobre as fun es 3D Sim N o Sim Sim sim N o mencionado Tabela 20 Resumo das caracter sticas mais significativas das ferramentas estudadas 121 A interpreta o da tabela leva a intuir que o Autograph Winplot e a seguir Calques 3D s o ferramentas mais adequadas para a resolu o gr fica de sistemas de equa es no entanto necess rio um estudo mais aprofundado de cada uma destas ferramentas Seria ainda interessante fazer um estudo de usabilidade com uma amostra significativa de alunos do ensino secund rio 122 8 Conclus o e Trabalho Futuro Esperamos com este trabalho ter contribu do para mostrar a import ncia do tema matrizes e suas aplica es a n vel do en
2. Dadas as coordenadas de n cidades que estradas construir de modo que o n mero de quil metros de estrada seja m nimo mas fiquem todas conectadas Dado um mapa de uma casa em que paredes e ch o s o representados com caracteres diferentes saber qual a divis o com maior rea As possibilidades s o grandes e a utiliza o de grafos contribui para facilitar a resolu o destes problemas Imagem retirada de 2 http pt wikipedia org wiki Teoria dos grafos 87 A seguir apresentamos dois exemplos de representa es de grafos Graficamente um grafo pode ser representado da seguinte forma Figura 21 Exemplo de um Grafocom 6 v rtices e 9 arestas Figura 22 Exemplo de um Grafo com 6 v rtices e 7arestas Diz se que o estudo dos grafos iniciou se com Euler ao interpretar e dar solu o ao problema das pontes de K nigsberg quando o sintetizou atrav s de pontos e linhas e enunciou o primeiro teorema desta subdivis o da Matem tica hoje chamada de Topologia gt in D ARA N ERA uE anini TE IONES e aa ELA IET Figura 23 Mapa das pontes de K nigsberg Imagens retiradas de http www inf ufsc br grafos definicoes definicao html 3 http pt wikipedia org wiki Teoria dos grafos 2 http threesixty360 wordpress com 2008 04 23 konigsberg or how i much i love google maps 88 O diagrama que se segue isomorfo ao mapa da cidade Apesar de diferente do
3. ceceseesecerseesessersseereesees 118 Figura 47 Intersec o de uma fun o com a sua tangente GeoGebra o ommmmmmso 119 Figura 46 Intersecc o de um plano um paralelep pedo e uma esfera atrav s da ferramenta Cabri G ometre oocmooommssmsmeseesessssss 119 Figura 49 Intersecc o de um cubo com um plano atrav s da ferramenta Calques 3D 120 Figura 50 Resolu o gr fica atrav s do software Winplot ooomooossso 121 xii 1 Introdu o Ao longo das etapas de forma o os alunos ser o bombardeados com conceitos e procedimentos cuja utilidade o futuro dir Alguns estudantes que estudam t picos de lgebra no Ensino Secund rio far o uso limitado de alguns de seus conte dos enquanto outros ter o que ampliar e aperfei oar estes conte dos Segundo LABRA A ef al numa confer ncia em Cambridge Massachusetts em 1963 Bruner psic logo cognitivo profere diante de educadores matem ticos os seus estudos e apresenta a sua Teoria do Curr culo em Espiral Este afirma que qualquer ci ncia pode ser ensinada pelo menos nas suas formas mais simples a alunos de todas as idades uma vez que os mesmos assuntos ser o posteriormente retomados e aprofundados mais tarde LABRA A et al a respeito das concep es de Bruner refere que a perspectiva cognitiva da aprendizagem o conhecimento reorganizada por cada aluno A informa o recente deve interligar se com as estruturas do conhecimento
4. LABRA A et al no seu livro refere que h mais de dois mil anos os Matem ticos chineses descobriram um m todo de resolu o de sistemas de equa es lineares equivalente ao M todo de Gauss onde utilizavam tabelas com n meros como se pode observar no m todo que aparece Nos Nove Cap tulos a principal obra matem tica chinesa da antiguidade Segundo Boyer os Chineses gostavam especialmente de diagramas N o de surpreender que o primeiro registo de origem antiga mas desconhecida de um quadrado m gico tenha aparecido na China O quadrado 13 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 26 14 BOYER Carl B 1974 Hist ria da Matem tica S o Paulo Brasil P g 144 o w A tw NO IN foi supostamente trazido para os homens por uma tartaruga do Rio Lo nos dias do lend rio Imperador Yii considerado como um engenheiro hidr ulico A preocupa o com tais diagramas levou o autor dos Nove Cap tulos a resolver o sistema de equa es lineares simult neas 3x 2y z 39 2x 3y 7 34 x 2y 372 26 efectuando opera es sobre colunas na matriz onde a segunda forma representava as equa es 367 99 5y z 24 e 3x 2y z 39 das quais se retiravam facilmente os valores de x y e z Se a matem tica chinesa tivesse tido ininterrupta continuidade algumas das not veis antecipa es dos m todos modernos poderiam ter modificado substancialmente o desenvolvi
5. es correspondentes recta com a equa o y 1 2x classificado como poss vel e indeterminado 61 Exemplo 28 Consideremos o sistema x y 3 x y 5 Resolva o sistema e interprete geometricamente a solu o encontrada Resoluc o a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema ls ai as k T t RE Ra f gt 1113 EN O 0 8 0x 0y 8 O sistema imposs vel ou seja as rectas s o estritamente paralelas Donde b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica y x 3 Figura 6 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y imposs vel 62 Atrav s desta representa o gr fica podemos observar que as duas rectas que comp em o sistema s o paralelas o que significa que nunca se intersectam O sistema por isso classificado como imposs vel Deste modo resolver um sistema de duas equa es e duas inc gnitas pode ser visto do ponto de vista gr fico como o estudo da posi o relativa de duas rectas no plano No caso de sistemas de tr s equa es e tr s inc gnitas poderemos obter situa es distintas Planos concorrentes Planos paralelos Exemplo 29 Consideremos o sistema x y z 3 2y 7 2 y 2z 2 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema SO Om O e O E a NN Donde 63 11 113 113 0 111 a Y 021 0 3 2 o0 SS loo Cla L l 21 L h l Lob
6. oomommmsssss 75 Tabela 15 Quadro de n meros atribu dos a caracteres 95 Tabela 16 Quadro de n meros atribu dos a caracteres 97 Tabela 17 Compara o entre calculadoras gr ficas ooooooommmsssso 107 Tabela 18 Distribui o de componentes para autocarros cesecesecessecesscessrersreranes 114 Tabela 19 produ o nos dois primeiros meses s essessossessossossoesoseoesocssesoossesoossoseossossossose 114 Tabela 20 Resumo das caracter sticas mais significativas das ferramentas estudadas 121 Lista de Figuras Figura 1 Ee ibniZs issssesoseecasa iscas cecesorasrescaiopabra da sodeseoacpntsso ree sssri o u E aeS S Eo ase 7 Figura 2 Personalidades hist ricas na teoria dos sistemas e matrizes a Sylvester b ON 8 Figura 3 Classifica o de sistemas mooommmssssisiosissssssisismisssssisss 44 Figura 4 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y poss vel e determinado isses oseese Ees ar anae iSro noonccncoo non concco OESE S a aa ES secs catando 60 Figura 5 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y poss vel e indeterminados sssr Ssss aeree soarana sasos Ressen a sad anta ne sad aaa ae sad Eoo san seas catando 61 Figura 6 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y imposs vel 62 Figura 7 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e determinado sscsesia semp A nana
7. 1 Insira as tabelas dadas no exerc cio na folha de C lculo do Excel Figura 1 2 Na mesma Folha insira uma tabela para os valores da solu o do problema 3 Nessa tabela seleccione as c lulas em que ser o inseridos os valores da solu o do Problema 4 Escolha a fun o MATRIZ MULT 5 Em Matriz 1 seleccione os valores da primeira tabela e pressione Enter 6 Em Matriz 2 seleccione os valores da segunda tabela e pressione Enter 7 Pressione Ctrl Shift Enter para mostrar a matriz de multiplica o 114 2 exemplo 1 Multiplica o de Matrizes 5 Componentes Modelo 5 Camo de escape Trav es Media 78475 Cortar 34 Some 1262 Figura 41 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando o Excel Conclus o S o necess rios 215 Canos de Escape e 430 Trav es para Janeiro como tamb m 154 Canos de Escape e 308 Trav es para Fevereiro 7 3 Software gr fico Para esta sec o foram escolhidas cinco ferramentas que pelo seu grau de aplicabilidade e usabilidade podem ser teis no ensino da resolu o de sistemas atrav s de matrizes Passar se de seguida a descrever cada uma destas ferramentas O Graph uma ferramenta n o paga utilizada para desenhar gr ficos matem ticos num sistema de coordenadas assim um programa muito til e acess vel para desenhar gr ficos ou fun es A interface gr fica facilita a visualiza o de fun es e a sua c pia pa
8. 3 L b h i 2 2 012 ta E 22 MEN ode Pode iros l lee 3 3 3 3 0012 vaio me lhe 13 lots 3 feon 3 3 ia oro opa j 3 3 3 O sistema poss vel e determinado o que significa que os planos t m um ponto 522 comum intersectam se no ponto de coordenadas 3 3 r 3 b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica Equa o 1 x y 7 3 Equa o 2 2y 7 2 Equa o 3 y 2z 2 Figura 7 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e determinado Atrav s desta representa o gr fica podemos observar que os tr s planos se intersectam num nico ponto 64 Exemplo 30 Consideremos o sistema Xx y 7 3 y 2z 2 x z 1 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema o Re 0 1 2 2 1 0 1 1 Donde 1 1 Ads rd Ts 1 RR E O 1 2 i2 LDA RO 1 2 2 1 L L 4 l 1 0 1il 0 1 2i 0 0 0 0 O sistema poss vel e indeterminado o que significa que os planos intersectam se numa recta b Aplicando a Resolu o Gr fica 65 A sua representa o gr fica Equa o l x y 7 3 Equa o 2 y 27 2 Equa o 3 x z 1 Figura 8 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado Atrav s desta representa o gr fica podemos observar que o sistema tem uma infinidade de solu es correspondentes recta representada a azul sendo classificado como poss vel e indetermin
9. Idade anos Pessoa 1 1 70 70 23 Pessoa 2 1 75 60 45 Pessoa 3 1 60 52 25 Pessoa 4 1 81 72 30 Tabela 5 Altura peso e idade por pessoa 22 Podemos organizar esta informa o na forma de matriz Assim tem se 170 70 23 175 60 45 1160 52 25 181 72 30 Quando o n mero de vari veis e de observa es muito grande esta disposi o ordenada de dados ou seja a representa o dos dados sob a forma de matriz a mais adequada Defini o Sejam m n e IN chama se matriz real de tipo mxn l se m por n a uma fun o de dom nio fG j i 1 2 m ej l 2 n e com conjunto de chegada IR usualmente representada por um quadro rectangular de elementos dispostos em m linhas horizontais e n colunas verticais De um modo geral uma matriz representada por uma letra mai scula e os seus elementos pela mesma letra min scula indexada por dois n meros O ndice de linha precede o ndice de coluna Os elementos a dizem se as entradas da matriz Uma matriz gen rica A com m linhas e n colunas poder ser escrita sob a seguinte forma amp GQ tt An a a da 21 22 2n A Es den so j 1 aa n E a m Am2 E An Assim por exemplo a representa o elemento de A que se encontra na segunda linha e primeira coluna Os elementos de uma matriz podem ser n meros reais n meros complexos polin mios fun es etc Ao longo deste trabalho iremos apenas usar
10. es de um sistema pelo m todo de Gauss Jordan Aplica o do estudo e resolu o de sistemas resolu o de problemas Reconhecimento da utilidade da linguagem matricial e das opera es com matrizes para expressar e representar determinadas situa es pr ximas da realidade Interesse e gosto por facilitar de forma clara e precisa a informa o mediante tabelas grafos e matrizes Interesse na obten o de solu es dum sistema de equa es comprovando os resultados Sensibilidade e gosto pela apresenta o ordenada e clara do processo seguido na resolu o de sistemas de equa es lineares Aprecia o dos sistemas de equa es lineares para resolver determinadas situa es da vida quotidiana Interesse na procura de novas estrat gias de resolu o de sistemas de equa es na obten o das solu es e na comprova o das mesmas Tabela 3 Proposta de introdu o do Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares detalhado 19 3 5 CRIT RIOS DE AVALIA O o Utilizar a linguagem matricial e aplicar as opera es com matrizes na vida quotidiana nas que h que fornecer uma informa o estruturada na forma de tabelas ou grafos Pretende se que os alunos fa am uma descri o da informa o atrav s de tabelas grafos e matrizes Realizem opera es com matrizes e fa am uma interpreta o dos resultados que possam aplicar disciplina de Matem tica A val
11. matricial bbb 1 0 y lu Assim podemos obter as transforma es dos pontos considerados A 1 1 gt A 1 1 1 1 gt B 1 1 c 1 1 gt C 1 1 D 11 gt D 1 1 B l 84 B D A A l 1 11 Figura 18 representa o de pontos e suas transforma es Ou seja T B T A co NO T D 1 1 1 1 Figura 19 representa o de pontos e suas transforma es 85 6 5 Aplica o teoria dos Grafos A Teoria dos Grafos um ramo da matem tica que estuda as rela es entre os objectos de um determinado conjunto De um modo informal designamos por grafo um diagrama representado graficamente no plano atrav s de pontos e linhas com extremos nesses pontos A localiza o dos pontos e as propriedades geom tricas das linhas n o relevante na representa o gr fica Por exemplo num mapa esquem tico de uma rede de metro as posi es relativas das esta es e as formas das linhas que as unem s o ignoradas o que realmente tem interesse s o as liga es existentes Um grafo um terno V A q definido por um conjunto V finito e n o vazio cujos elementos se designam por v rtices um conjunto A finito e n o vazio cujos elementos se designam arestas e uma fun o de incid ncia q que faz corresponder a cada aresta a e A um par n o ordenado de v rtices n o necessariamente distintos Uma aresta a para a qual exista ve V tal que pla fo chama se um lacete Quando Y
12. RESOLU O DE SISTEMAS DE EQUA ES LINEARES c e 16 3 3 1 ACTIVIDADES RECURSOS E ORIENTA ES METODOL GICAS cececerenesnescerenesnessersos 16 3 4 PROPOSTA DE INTRODU O DO TEMA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUA ES LINEARES NO PROGRAMA DE MATEM TICA A DO 11 ANO DE ESCOLARIDADE ecceeeeee 17 3 5 CRIT RIOS DE AVALIA O cceerseemeenerseeneenersernsenserssensenscossensenscnssensenscnssensess 20 4 PROPOSTA DID CTICA DE ENSINO DE MATRIZES ccceceeeeeecerererereresseeeeseeeeesersceneeseenesee 21 4 1 COMO INTRODUZIR O CONCEITO DE MATRIZ occncccooonccononsononcncnncconococronccanaccncoccconocconaccnes 21 4 2 TIPOSDE MATRIZES seiscainsssorrepcersoetssemsatrisctegimosittoaeFochirestsspaaipascitsicoc so trio pesberoceasocataasvios 24 4 3 OPERA ES COM MATRIZES scorsisocasrosaseceneainesdcitado de meion aiea dane dee isto nisbtn caca ceidoastasth ces meados 27 O 27 4 3 1 1 PROPRIEDADES DA ADI O DE MATRIZES oococoooncconnnccnnonosnnnconnnccononconnncononcconoccononcoconocono 30 4 3 2 MULTIPLICA O DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ eccccereeceseeressoncereeeceseeeseneresoe 30 4 3 2 1 PROPRIEDADES DA MULTIPLICA O DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ eccececeee 31 4 3 3 PRODUTO DE DUAS MATRIZES cceeecesscersceoeeomeo sro sreseresereseces aceso nonoconcconocconaconos 32 4 3 3 1 PROPRIEDADES DA MULTIPLICA O DE MATRIZES cccceeeeeceseeeeeseresscncerseeeesereseneresoe 37 4 3 4 TRA
13. ao tema proposto Considero manifestar sinceramente a gratid o minha orientadora actual Prof Doutora Ana Paula Lopes por se ter prestado a substituir o falecido Prof Pascoal na orienta o da minha tese e prontificando se a ajudar e a orientar que com suas ideias foi poss vel que conseguisse chegar ao t rmino deste trabalho Prof Doutora Ana J lia que num momento dif cil da minha vida estive prestes a desistir ela contactou me e convenceu me a n o desistir A todos os professores da universidade que em suas aulas puderam ajudar me a reflectir melhor sobre minha conduta como professor e educador e que de certa forma provocaram algumas transforma es em minha pr tica pedag gica Aos meus colegas de classe que durante todo o percurso ajudaram me a superar dificuldades pessoais e profissionais Aos meus amigos e colegas mais pr ximos que puderam compreender minha aus ncia em alguns eventos e incentivaram me a continuar 1v Comiss o de Hor rios da Escola Secund ria Fern o de Magalh es que possibilitou me um hor rio ao qual eu pude frequentar as aulas respeitantes ao 1 ano do Mestrado E finalmente a Deus que acompanhou me sempre nos momentos mais dif ceis ao longo deste jornada Resumo Diversos problemas em Matem tica recaem na discuss o e na resolu o de sistemas de equa es lineares As matrizes surgiram em Matem tica com o objectivo de facilitar o tratamento de sistemas lineares O
14. conforme mostramos por meio de exemplos a seguir 44 Exemplo 19 Considere o seguinte sistema x y z 2x y 32 0 x y 52 2 Resolva o por substituig o Resoluc o A PR 1 LPRA PRIZE Di 11 ENS de III D x 1 y z substituindo em II e em UD temos AD 2 1 y z y 3z 0 lt 2 2y 2z y 3z 0 lt 3y z 2 1D 1 y 9 y 52 26S l y 72 y 52 2652y 47 3 Resolvendo em ordem a z a equa o II vem z 3y 2 e substituindo em IIT temos 2y 4 3y 2 3 6 y 5 Substituindo na equa o anterior obtemos o valor de z e em seguida o valor de x ou seja 1 1 Trata se de um sistema poss vel e determinado cuja solu o S fi ae gt 45 5 3 M todo de Adi o Ordenada ou Redu o Este m todo consiste em Multiplicar cada equa o de duas por um n mero de modo que uma das inc gnitas tenha coeficientes opostos nas duas express es Adicionar as equa es do sistema para obter uma outra equa o com uma nica inc gnita Resolver a equa o de primeiro grau assim obtida Devemos considerar que em muitos casos para obter as equa es equivalentes que nos interessam temos de multiplicar a primeira equa o pelo coeficiente da inc gnita que eliminamos na segunda e a segunda equa o pelo coeficiente da mencionada inc gnita na primeira Exemplo 20 Considere o sistema do exemplo anterior x y z 1 I 2x y 37 0 I O II Resolva o aplicando o m todo da adi o ordenad
15. lia Mec 125 BRAUMANN C 2002 Divaga es sobre investiga o matem tica e o seu papel na aprendizagem da Matem tica In J P Ponte C Costa A I Rosendo E Maia N FIGUEIREDO amp A F DION SIO Eds Actividades de investiga o na aprendizagem da Matem tica e na forma o dos professores pp 5 24 Lisboa SPCE pp 5 17 CACHAPUZ A 1995a O Ensino das Ci ncias para a Excel ncia das Aprendizagens In A D de Carvalho org Novas Metodologias em Educa o Porto Porto Editora pp 349 385 CARVALHO A org 1995 Novas metodologias em educa o Porto Porto Editora CATTO Gloria Garrido 2000 Registro de representa o e o n mero racional S o Paulo PUC D AMBR SIO U 1990 Etnomatem tica S o Paulo Editora tica D AMBR SIO U 1997 Tantos povos tantas matem ticas In Revista Educa o S o Paulo N 199 Ano23 Novembro p 3 5 D AMBROSIO U 1998 Literacia e Materacia objetivos da educa o fundamental In Revista P tio Ano I N 3 Nov97 Jan98 D AMBR SIO Ubiratan 1999 A hist ria da matem tica Quest es historiogr ficas e pol ticas e reflexos na educa o matem tica In Pesquisa em educa o matem tica concep es e perspectivas S o Paulo Ed UNESP p 97 115 DANTE L R 2007 Matem tica Contexto amp Aplica es Vol 2 S o Paulo tica 2007 126 DIEUDONN J A F orma o da Matem tica C
16. mapa original ele preserva as principais caracter sticas que s o o n mero de partes de terra os v rtices do grafo e o n mero de pontes as arestas do grafo Figura 24 Grafo das Pontes de K nigsberg Investiguemos o problema das pontes de Euler Na cidade de K nigsberg na Pr ssia existem sete pontes que ligam duas ilhas e as margens do rio Pregel entre si quatro regi es de terra e sete pontes Consta que a popula o ao passear pelas pontes da cidade tentava fazer um percurso que passasse por todas as pontes mas uma nica vez Euler generalizou o problema atrav s de um grafo e verificou a impossibilidade da pretens o dos habitantes Note que a ilha B e as margens C e D possuem conex es em n mero mpar grau mpar enquanto A possui vias em n mero par grau par Euler demonstrou que s se torna poss vel a passagem pelas pontes arestas e o retorno ao ponto de partida se todas as ilhas e margens v rtices estiverem vinculadas por um n mero par de arestas Abaixo apresentamos poss veis solu es para o problema das pontes C C D D Figura 25 Conex es entre V rtices Imagens retiradas de 2 www sbem com br files ix enem MC04145369408T doc 89 Matriz de Adjac ncia Uma matriz de adjac ncia uma das formas de se representar um grafo Seja G um grafo simples de n v rtices v V v A matriz de adjac ncia uma matriz n x n onde o valor de cada elemento e da m
17. o desde pontos fun es param tricas geometria anal tica assim como o desenvolvimento de c lculo integral limites e derivadas al m claro da representa o de gr ficos em 2D e 3D Tamb m pode ser considerado um ambiente de jogo quando se tem acesso o menu adivinhar Um software gr fico ideal para todos os n veis educacionais O Winplot e a constru o de gr ficos O Winplot basicamente um programa feito para fazer gr ficos de fun es de uma ou duas vari veis utilizando o Windows Winplot Ele classificado como freeware ou seja ele um software gratuito e que apresenta al m da gratuidade muitas outras vantagens de f cil uso pequeno n o preciso um computador de ltima gera o para rod lo al m de ser poss vel transport lo em uma mera disquete pode ser usado no Windows 95 98 ME 2K XP al m de possuir outra grande vantagem ia Alves George de Souza C L 2005 Um estudo sobre o desenvolvimento do racioc nio espacial no ensino m dio atrav s da utiliza o do software Calques 3D XXV Congresso da Sociedade Brasileira de Computa o 2815 2823 120 tem uma vers o em portugu s O Winplot actualizado constantemente pode ser copiado da Internet gratuitamente e sem a preocupa o com direitos autorais Ele pode ser conseguido directamente de sua p gina oficial que a seguinte http math exeter edu rparris Depois de se fazer o download do arquivo do Winplot
18. o de queijo de ovelha na regi o 3 nos dois anos um aumento na produ o no segundo ano em rela o ao queijo de vaca nas tr s Regi es Os problemas da vida real levam a fomentar nos alunos um interesse e uma aplicabilidade das matrizes alicer ando conhecimentos para relacionar e representar os significados matem ticos 29 4 3 1 1 Propriedades da adi o de matrizes Admitindo que a dimens o das matrizes envolvidas permite que as opera es indicadas possam ser efectuadas ent o s o v lidas as seguintes propriedades e Comutativa A B B A e Associativa A B C A B C Exist ncia de elemento neutro A 0 0 A A O matriz nula o elemento neutro e Exist ncia de elemento sim trico A A A A 0 A matriz sim trica da matriz A a matriz A cujos elementos s o os sim tricos dos elementos de A 4 3 2 Multiplica o de um escalar por uma matriz A multiplica o de n mero real por uma matriz A uma matriz cujos elementos s o iguais aos elementos de A multiplicados por A ou seja AA a i A j 1 2 n Exemplo 6 2 4 Considere a matriz A 1 1 e 4 3 Calcule AA 3 5 Resolu o Dis 4 6 12 3x 1 1 3 3 3 5 9 15 30 Exemplo 7 Uma empresa de componentes electr nicos compra baterias e resist ncias a dois distribuidores A e B A seguinte tabela mostra o n mero de trans stores e de resist ncias que adquiriu a cada um dos distribuidores durante o m s de Mar o do pres
19. o dos mesmos 43 Dos m todos existentes tem se o de Adi o Ordenada ou Redu o que an logo ao de m todo de Gauss Jordan como se ver adiante O m todo que se prop e incluir no programa de Matem tica A do 11 Ano de Escolariedade o M todo de Gauss Jordan o qual iremos estudar 5 1 Classifica o de sistemas Sistema m Poss vel Imposs vel tem pelo menos uma solu o n o tem solu o Determinado Indeterminado tem uma s tem uma infinidade solu o de solu es Figura 3 Classifica o de sistemas 5 2 M todo de Substitui o O M todo da Substitui o consiste em escolher e escrever uma inc gnita em fun o das outras a partir de uma equa o fixada e substituir nas demais equa es com o prop sito de elimin la nessas equa es obtendo se assim um novo sistema mais simples de resolu o que o sistema anterior Caso a primeira substitui o de uma inc gnita nas demais equa es n o tenha sido suficiente para encontrar a solu o do sistema continua se o processo escolhendo e fixando nova inc gnita e equa o para substitui o e consequente elimina o da inc gnita nas demais equa es at que a solu o seja alcan ada Tal procedimento como o descrito anteriormente facilmente sistematizado e permite a an lise e resolu o de sistemas com um n mero qualquer de equa es e de vari veis por meio de manipula es alg bricas elementares
20. w IX Y Z A I 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 714 O l l JU o 1 2 3 l4 I5 l6 17 8 l9 75 76 77 78 79 80 lei 82 83 84 85 86 87 88 89 lt l l gt 1 f I T 8 I 90 91 92 93 94 los 96 97 98 99 100 101 102 103 104 i E di 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 Tabela 15 Quadro de n meros atribu dos a caracteres Come a se por transformar uma mensagem numa matriz ou seja faz se uma parti o da mensagem em partes de dois ou tr s por exemplo e em que cada parte vai ser convertida numa matriz coluna e usando a tabela de convers o de caracteres e n meros 95 Exemplo 46 Considere a mensagem exame de matem tica que corresponde sequ ncia de n meros 4 241135104 45 104 13 1 20 5 13 28 20 9 3 1 Qualquer matriz cujos elementos s o n meros inteiros positivos e cuja inversa existe pode ser usada como uma matriz de codifica o Consideremos por exemplo a matriz a Para codificar a mensagem anterior come a se por dividir os n meros da sequ ncia em grupos de 2 come ando pelo lado esquerdo e usam se esses grupos como colunas de uma matriz B com 2 linhas pen E Or a U O a A 24 13 104 5 13 20 13 20 3 104 Quando necess rio acrescenta se um espa o no final da mensagem de modo a completar a
21. 1 Equa o 2 2x 2y 2z 2 Equa o 3 3x 3y 37 3 Figura 10 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado Os planos s o todos coincidentes a solu o a infinidade de pontos que pertence ao plano Exemplo 33 Consideremos o sistema x y z 10 2x y 2z 20 y z 40 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 1 1 1 10 2 1 1 20 0 1 1 40 Donde 69 1 1 1i 10 1 1 1 10 1 1 13 10 211 20 1 1 0 1 0 L l 21 L l3 l O 1 1 40 1 14 40 0 0 0 40 O sistema imposs vel o que significa que os planos n o se intersectam b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica Equa o l x y 2 10 Equa o 2 2x y z 20 Equa o 3 y z 40 Figura 11 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel Atrav s desta representa o podemos observar que o sistema imposs vel pois n o existe nenhum ponto que perten a simultaneamente aos tr s planos Existem outras formas de um sistema de tr s equa es e tr s inc gnitas ser imposs vel vejamos alguns exemplos de seguida 70 Exemplo 34 Considere o sistema pa y Z y z 1 IN a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 0 1 0t1 0 0 111 O 1 1 l Donde O 1 Oil O 1 01 0 1 01 0 1 01 0 O 1 1 1 1 1 O0 0 1 0 0 0 1 0 j Lol L b
22. 13 01 16 io 00 14 8 passo Substitua a primeira equag o de VIII por essa mesma equa o adicionada terceira equa o de VIII para ter x 0y 0z 1 Ox y z 6 1X Ox 0y 7z 4 8 passo Substitua a primeira linha de VIII por essa mesma linha adicionada terceira linha de VIII 10 0 1 011 6 E o O 1 4 9 passo Substitua a segunda equa o de IX por essa mesma equa o adicionada terceira equa o de IX multiplicada por 1 para obter finalmente II A n X y X P 9 passo Finalmente substitua a segunda linha de IX por essa mesma linha adicionada terceira linha de IX multiplicada por 1 para obter 100001 0 1 0 2 X 0 0 14 55 Se substituir os valores x 1 y 2 z A partir da matriz X obtemos a solu o 4 obtidos em X notar que as equa es do sistema de I s o todas satisfeitas Assim esta x 1 a nica solu o do sistema I e nesse y 2 caso o conjunto solu o do sistema I z 4 S 1 2 4 importante observar que os sistemas obtidos em cada passo possuem as mesmas solu es dos sistemas anteriores isto s o equivalentes Tabela 13 M todo Gauss Jordan Tal como foi visto o m todo de Gauss Jordan baseia se em opera es elementares entre matrizes Sendo assim n o necess rio introduzir conceitos como os de determinante ou a inversa de uma ma
23. 2003 Alguns pontos cr ticos no Ensino da Matem tica In Conselho Nacional de Educa o org O Ensino da Matem tica Situa o e Perspectivas p 69 87 Lisboa Conselho Nacional de Educa o SANCHES M H F 2002 Efeitos de uma estrat gia diferenciada dos conceitos de matrizes Disserta o Mestrado em educa o matem tica UNICAMP S o Paulo SCHROEDER T L LESTER Jr F K 1989 Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving TRAFTON P R SHULTE A P Ed New Directions for Elementary School Mathematics National Council of Teachers of Mathematics Year Book SMOLLE K S e DINIZ M I 2003 Matem tica Ensino M dio Vol 2 S o Paulo Saraiva 130 SILVA Neivaldo Oliveira 2004 Ensino de Matem tica Bel m eduepa SMOLLE k S e Diniz M 1 2003 Matem tica Ensino M dio Vol 2 S o Paulo Saraiva STEINBRUCH Alfredo 1987 lgebra Linear S o Paulo McGraw Hill STIELER E C 2007 Uso Da Tecnologia da Inform tica no Ensino Superior um Estudo da Aplica o da Planilha Eletr nica Excel na Disciplina de Matem tica Financeira Santa Maria Disserta o de Mestrado UNIFRA RS STRUIK D J 1989 Hist ria concisa da matem tica Lisboa Gradiva 395 p TELLES Rosinalda Aurora de Mello 2004 A Aritm tica e a lgebra na matem tica escolar Educa o Matem tica em Revista S o Paulo SBEM ano 11 n 16 p 8 15 ZEICHNER K 1997 Tend ncias
24. 3 na cadeia alimentar a liga o entre os herb voros e os carn voros Yu Yn o Yi y Ya Yz Yx Ys Ys Y se As colunas representam as esp cies de herb voros a a az a e as linhas representam as esp cies de carn voros c C C5 C Assim Y representa o n mero de animais da esp cie a devorados por todos os indiv duos da esp cie c juntos Generalizando Y o n mero de animais da esp cie a devorados por carn voros da esp cie c durante a esta o Observe que Y um n mero de animais enquanto X x a quantidade m dia da planta comida Considere agora os animais da esp cie c Alimentando se da esp cie aj eles consomem indirectamente a quantidade X Y da planta p Alimentando se da esp cie a eles consomem Xy Y da planta p e assim sucessivamente A quantidade m dia total da planta p indirectamente consumida por todos os carn voros da esp cie c portanto Y Y X Xn o Xr j XY X 12Yz1 X 3 Y 1 Y O resultado o produto da primeira linha da matriz X pela primeira coluna da matriz Y O resultado pode ser rapidamente generalizado A quantidade da planta p consumida indirectamente pelo carn voro c o produto da linha i da matriz X pela coluna j de Y 81 6 4 Aplica o Geometria Transforma o no plano Exemplo 40 Adaptado do livro de Esla Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb 2004 p g 71 Consideremos u
25. 4 7 A transforma o T faz com que a ele corresponda o ponto 4 2x7 4x4 3x7 isto significa que o ponto 4 7 pela transforma o T transformado no ponto 10 5 Podemos representar a transforma o T acima descrita por 82 x ax by y Cx dy a b e esta transformag o linear pode ser representada pela matriz E c Assim o sistema acima pode ser representado por a biix ax by i onde ax by x e cx dy y c d ly cx dy Por exemplo se pretendermos saber qual a imagem do ponto 4 7 considerando a transforma o x 2y 4x 3 y basta substituir estes valores obtendo 1 21 4 1x4 2x7 10 4 317 4x4 3x7 5 Observe que utilizamos o produto de matrizes Ao representar a situa o no plano cartesiano e indicarmos P o ponto de coordenadas 4 7 e P o de coordenadas 10 5 obtemos o gr fico a seguir e 4 7 Figura 16 Representa o da imagem de um dado obtida uma transforma o 83 Exemplo 41 Consideremos o quadrado da figura seguinte determinado pelos v rtices que s o as coordenadas dos pontos A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 11 C B Eli 1 1 Figura 17 representa o de quatro pontos quadril teros Vamos aplicar aos pontos A B C e D nesta ordem algumas transformac es lineares no plano Transforma o que faz corresponder a cada ponto x y do plano o ponto y x Do mesmo plano Para obter se esta transformac o precisa se da seguinte equac o
26. Administra o Economia Sociologia Ecologia Demografia Gen tica Electr nica Engenharia F sica entre outros N o dif cil imaginar situa es que conduzem a sistemas de equa es podendo os pr prios alunos ser solicitados a fornecer exemplos Parece assim l gico juntar a utilidade e aplica o pr tica dos sistemas lineares sua resolu o atrav s de matrizes Pensamos que esta nova forma de resolver problemas ir beneficiar o desenvolvimento da capacidade de racioc nio l gico dos alunos ao mesmo tempo que os motiva para a aprendizagem Pretende se assim implementar um tipo de ensino mais interactivo Defende se neste trabalho que o ensino deve ser uma troca de experi ncias entre os alunos e o professor dando oportunidade aos alunos de fazer coment rios colocar problemas utilizar software inform tico e m quinas de calcular gr ficas 4 1 Como introduzir o conceito de matriz Na apresenta o do conceito de matriz deve se encetar pelas aplica es pr ticas as quais surgem de forma natural na resolu o de problemas pois come am por ordenar e simplificar os mesmos Deve se procurar uma abordagem l gico dedutiva pois auxiliar os alunos que ao conclu rem o Ensino Secund rio pretendam ingressar em cursos como os de Engenharia Economia Ci ncias Sociais ou onde se utiliza este tipo de abordagem Deve se introduzir estes conte dos come ando por mostrar uma representa o duma tabela com uma
27. Al cren A A o HE o E F Pa pe UU J K L M N o pd rd s 2 B 6 5 1 1 0 0 45 1 15 16 Y E sm 19 A B y temer Explorer gt m E Y Documento Muro q a Figura 33 Exemplo de adi o de matrizes utilizando a folha de c lculo do Excel Coloca se o cursor do rato no extremo direito da nova primeira c lula o 5 neste caso de forma que se transforme numa cruz Sem largar o bot o esquerdo do rato arrasta a cruz at final da linha eg docs Lirol Microsoft Excel x Y Base Inserir EsquemadeP gina F rmulas Dados Rever Ver Q 0 x Bo cmn o AA mas Epot Ge dz im a y A E ID o A r 83 Formata o Formatar Estlosde Insee Eliminar Format Ordenar Localizar I ld ae O Cante a Co omo rabo a o rara 2 arios suestonor fvea de Traneler ncio 1 Tipo de Letra E Alinhamento 5 N mero r Estilos C lulas Edi o cs q Le 06cu gt Il o dt DNN ow u 0 738 4 2 B 6 5 1 s 0 0 45 14 15 16 17 al 5 76 5 9 A B E 20 a 2 3 24 25 26 M4 n fohal folha fohad_ J O Pronto M dia 25 33333333 Contar3 Soma 76 fE o Iniciar Googk comme a a x n Figura 34 Exemplo de adi o de matrizes utilizando o Excel passo a passo A continua o faz se a mesma opera o de arrastar a fim de completar as linhas que faltem Os resultados que se obt m ser o 109 Bose sat no Base Ins
28. By y Cx Dy e T a transforma o x ax by y cx dy Figuras retiradas de 18 http pt wikipedia org wiki Arthur_Cayley em Dezembro de 2008 1 BOYER Carl B 1974 Hist ria da Matem tica S o Paulo Brasil P g 424 Ent o essas duas aplicadas sucessivamente equivalem transforma o nica TT 152 x aA bC x aB bD y y cA dC x cB dD y A troca da ordem das transformac es em geral produz um resultado diferente Expresso na linguagem das matrizes tem se a bilA B g aA bC aB bD c alc D cA dC cB dD A Bila b a Aa Bc Ab Bd C Dlc d Ca De Cb Dd Como duas matrizes s o iguais sse todos os elementos correspondentes s o iguais mas claro que estamos perante um exemplo de multiplica o n o comutativa A defini o da multiplica o de matrizes a indicada acima e a soma de duas matrizes de iguais dimens es definida como a matriz obtida somando os elementos correspondentes das matrizes Assim a b A B a A b B cd C D c C d D A multiplica o de uma matriz por um escalar K definida como aE ETE A R c d lk kd A matriz cl que usualmente designada por I deixa toda a matriz quadrada de ordem 2 invariante por multiplica o A nica matriz que deixa outra matriz invariante por adi o evidentemente a matriz nula 0 0 0 0 que portanto a matriz identidade para a adi o Com estas defini es podemos pensar nas opera es sobre m
29. Importa es e exporta es e Compras e vendas e Idades e esperan a de vida Ap s dominar a resolu o de sistemas de equa es podem se utilizar programas inform ticos e m quinas de calcular gr ficas para a sua resolu o 16 3 4 Proposta de introdu o do tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares no Programa de Matem tica A do 11 Ano de Escolaridade Tema I Geometria no Plano e no Espa o II Aulas previstas 35 aulas de 90 minutos 10 semanas Subtema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares Aulas previstas 5 aulas de 90 minutos Desenvolvimento Indica es metodol gicas e Inserir o Conceito de Matriz Matrizes como express o de tabelas e grafos e Tipos de Matrizes e Opera es entre Matrizes e Propriedades da Adi o e Multiplica o de Matrizes Nesta unidade o aluno deve relacionar matrizes com a representa o e ordena o de dados num ricos em linhas e colunas nas tabelas de dupla entrada uma ferramenta alg brica important ssima que favorece a representa o interpreta o e manipula o de dados que podem estar relacionados com diferentes situa es de car cter cient fico econ mico e social O aluno deve saber os diferentes tipos de matrizes tais como Matriz Linha Matriz Coluna Matriz Nula Matriz Vertical Matriz Horizontal Matriz Oposta Matriz Transposta Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior O e
30. We mention the contribution of Matrices in distinct applications It is also suggested guidelines questions and problems that a didactic guide about the theme of Matrices should have based upon bibliographical documentation We present some basic concepts and fundamental results about Matrices being part of these accompanied with examples We make an effort to try to present these concepts and results with simplicity in a way that we hope to be useful to those who address this matter We also make a quick reference to the use of technology as an aid and its contribution to the learning and teaching process such as some Mathematical software s and the use of graphic calculators Key words Matrices Systems of Linear Equations Applications of Matrices vil ndice RESUMO secs seidiico RN VI ABSTRACT A coa rasos coa asasiosi sa soda ca o ressa oeae ses Taiere oere O Soo OIO siseasi S Sises VII O O 1 2 RESENHA HIST RICA SOBRE SISTEMAS DE EQUA ES E MATRIZES NA LGEBRA A tica reasfea senil eds sts lia o de E OT E EEEE ONEA 5 3 PROPOSTA DE INTRODU O DO TEMA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUA ES LINEARES NO PROGRAMA DE MATEM TICA A DO 11 ANO DE ESCOLARIDADE cccceceeeesereceresereresee 11 3 1 OBJECTIVOS ESPEC FICOS corrieron er in 14 3 2 UNIDADE DID CTICA 12 MATRIZES custas manos een 14 3 2 1 ACTIVIDADES RECURSOS E ORIENTA ES METODOL GICAS ccecceececesececereeerenesee 15 3 3 UNIDADE DID CTICA 2
31. a seguinte n TELT a tz Figura 31 Resolu o gr fica Obtendo assim de uma forma simples a solu o do sistema Exemplo 50 Actividade sobre matrizes Uma escola tem que fazer uma encomenda de canetas livros folhas para fotocopiadora e acetatos Est o ao dispor tr s casas comerciais Casa Jo o das Canetas Casa das Gr ficas e o Grafismo Real S o pedidos pre os por unidade da quantidade necess ria e por isso Os pre os s o os seguintes Casa Jo o das Canetas faz cada caneta a 2 35 5 56 por cada livro 4 69 para uma resma de folhas e 15 75 por uma caixa de acetatos A Casa das Gr ficas 2 95 4 50 5 e 18 respectivamente O Grafismo Real 2 25 4 70 4 e 13 respectivamente Se o pedido de encomenda de 120 canetas 100 livros 250 resmas de folhas e 25 caixas de acetatos a Elabore uma matriz que traduza estes dados b Indique o elemento a de cada matriz e fa a uma interpreta o c Calcula matricialmente qual ser o custo total que apresenta cada casa comercial escola d Se se tiver de pagar 6 de IVA calcula matricialmente qual ser o custo total que estabelece cada casa comercial e Critica os resultados e sugere qual ser a casa comercial mais indicada 104 Resolu o Estrutura se o problema a 2 35 5 56 4 69 15 75 Matriz de pre os A 2 95 4 5 5 18 323 AL 4 13 120 100 250 25 Matriz de encomendas B b Na matriz dos pr
32. calcular derivadas e integrais de fun es e possu ainda comandos para o c lculo de ra zes e extremos l E z n 2 Na figura est representada a intersec o da fun o h x x 4com a recta de equa o y 3x utilizando GeoGebra a informa o dispon vel em http www geogebra org cms index php lang pt em Dezembro de 2008 Fonte http www ensinolivre pt q node 15 em Maio de 2009 118 O Entrada Figura 47 Intersecg o de uma fun o com a sua tangente GeoGebra O Cabri G om tre um software que permite construir todas as figuras da geometria elementar que podem ser tra adas com a ajuda de uma r gua e de um compasso Uma vez constru das as figuras podem ser movimentadas conservando as propriedades que lhes haviam sido atribu das Esta possibilidade de deforma o permite o acesso r pido e cont nuo a todos os casos constituindo se numa ferramenta rica de valida o experimental de factos geom tricos Na Figura seguinte est representada a intersec o de um plano um paralelep pedo e uma esfera atrav s desta til ferramenta proposta por Cotret Figura 48 Intersec o de um plano um paralelep pedo e uma esfera atrav s da ferramenta Cabri G om tre O Calques 3D um software de geometria din mica espacial gratuito As suas constru es s o din micas e interactivas o que faz do programa um excelente laborat rio de aprendizagem da geometria
33. conceito de matriz usado em muitas reas da Matem tica estando tamb m presente em reas t o diversas como Engenharia F sica Ci ncias de Computa o Biologia entre outras Considerando a import ncia deste conceito em tantas aplica es pr ticas n o de surpreender que tenha sido e continue a ser objecto de intensa investiga o dando corpo a uma literatura muito vasta Neste trabalho procuramos mostrar como o uso de matrizes na resolu o de sistemas lineares no ensino da Matem tica no Ensino Secund rio pode ser um instrumento particularmente til na descri o e estudo de certos fen menos da natureza Assim iremos propor a introdu o das matrizes no curr culo da Matem tica do ensino secund rio e o seu uso na resolu o de problemas Come amos por fazer uma breve introdu o hist rica ao tema Matrizes e Sistemas Lineares desde o seu aparecimento em tempos remotos at aos nossos dias Apontamos a contribui o das Matrizes em distintas aplica es Sugere se ainda orienta es quest es e problemas que um guia did ctico relativo ao tema sobre matrizes dever possuir baseado em documenta o bibliogr fica Apresentamos alguns conceitos b sicos e resultados fundamentais sobre matrizes sendo parte destes acompanhados de exemplos Procuramos apresentar estes conceitos e resultados com simplicidade de uma forma que esperamos que seja til a todos aqueles que abordam este assunto Fazemos tamb m uma br
34. e orienta es metodol gicas O estudo te rico de matrizes formaliza o que se realiza nesta unidade deve ser comprovado com aplica es vida real assim como e Problemas reais que se interpretam mediante tabelas de dupla entrada e Situa es aplicadas s diferentes reas do conhecimento tais como ci ncias sociais e econ micas ci ncias experimentais e tecnol gicas entre outras e Coment rios sobre a apresenta o de diversas informa es como hor rios de comboios de autocarros entre outros e Apresenta o de resultados de inqu ritos e processos eleitorais Deve ser realizada uma medita o sobre o papel das TIC e aplica es na resolu o de matrizes de grandes dimens es persistindo no valor dos computadores imprescind vel uma pr tica intensa das opera es com matrizes para que o aluno adquira destreza e rapidez na execu o das novas regras operat rias de matrizes Estudo mediante exemplos e contra exemplos das propriedades que distinguem as matrizes dos n meros visto que o aluno pode confundir as matrizes com os n meros A utiliza o de tabelas de dupla entrada elaboradas com dados obtidos de situa es da vida real ajudar a que os alunos devem ter sobre o papel que vai desempenhar a nota es e o c lculo matricial O estudo de matrizes quadradas deve ser importante nesta unidade 15 3 3 Unidade did ctica 2 Resolu o de sistemas de equa es lineares Nesta unidade o aluno
35. matriz Em seguida efectua se o produto de A por B 3 4 124 13 104 5 13 20 13 20 3 104 e 28 213 14 130 41 31 41 15 o aa o e E A AxB x 111 55 431 32 364 83 67 83 39 419 Ent o a mensagem codificada 53 111 28 55 213413 14 32 Esta mensagem pode ser descodificada usando a matriz de descodifica o A 96 Exemplo 47 Descodifique a mensagem dada por 29 56 47 14 50 41 17 33 18 41 70 56 21 49 48 que foi codificada usando a matriz 1 1 0 A 1 2 1 1 1 1 E o seguinte c digo a b jc d le f g Ih ji Ij Iik I m n 1 2 3 4 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 o p q Ir s t ju v iw x y Z 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Tabela 16 Quadro de n meros atribu dos a caracteres Resolu o Para descodificar esta mensagem necess rio calcular a inversa da matriz A Em seguida constr i se uma matriz C com 3 linhas que cont m a mensagem codificada 29 14 17 41 21 C 56 50 33 70 49 47 41 18 56 48 Para determinar a matriz B que cont m a mensagem codificada calcula se o produto da inversa de A por C 1 1 1 29 14 17 41 21 20 5 2 27 20 A xC 0 1 1 x 56 50 33 70 49 9 9 15 14 1 1 0 1 47 41 18 56 48 18 27 1 15 27 97 Donde se obt m a sequ ncia de n meros 20918592721512714 1520127 qual corresponde a mensagem tirei boa nota 6 7 Aplica o Economia An lise Input Output A a
36. matrizes reais 23 Exemplo 3 1 2 0 1 A 3479 uma matriz de tipo 2x3 isto uma matriz com duas linhas e tr s colunas 5 1 2 B gt i uma matriz de tipo 2x2 isto uma matriz com duas linhas e duas colunas 4 2 Tipos de Matrizes Matriz Rectangular quando o n mero de linhas for diferente do n mero de colunas m n Por exemplo uma matriz rectangular de tipo 2 x 4 1 0 7 8 2 2 3 9 Matriz Quadrada quando o n mero de linhas for igual ao n mero de colunas m n Por exemplo 1 2 3 B 4 5 6 uma matriz quadrada de ordem 3 789 Os elementos da forma a dizem se elementos diagonais da matriz A e formam a diagonal principal ou simplesmente diagonal de A ai 4 Ain A Ad dy Azn m dnm2 Am 24 Os elementos que se distribuem simetricamente em rela o diagonal principal chamam se elementos opostos O elemento a ij oposto do elemento a jo Por exemplo na matriz anterior os elementos a e a s o opostos Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo Estas matrizes dizem se iguais se os elementos hom logos elementos com ndices iguais forem iguais isto A BSa b Vie l2 m Vjell2 n ij Matriz Linha quando for constitu da por uma s linha 1 x n vector linha Por exemplo C 1 0 2 3 uma matriz linha de tipo 1x4 Matriz Coluna quando for constitu da por uma s coluna m x 1 vector coluna Por exemplo 1 D 4
37. plano como outra aplica o do mesmo conceito As equa es cartesianas da recta decorrem do estudo da intersec o de planos embora tamb m os estudantes as possam encontrar a partir da equa o vectorial da recta estudada no 10 ano Os estudantes recorrem aos conhecimentos de c lculo vectorial j adquiridos para estabelecer partindo sempre da visualiza o as condi es de paralelismo e perpendicularidade no espa o 13 Programa o linear breve A programa o linear vai permitir ao estudante introdu o aplicar na resolu o de problemas de extrema simplicidade e utilidade e que se apresentam hoje no dom nio da Economia conceitos aprendidos no 10 e ampliados no 11 Dom nios planos interpreta o geom trica de Recorda se novamente que se d a maior nfase condi es an lise e interpreta o de figuras quer planas quer tridimensionais pois o estudante para resolver problemas da vida corrente ou relacionados com reas da engenharia arquitectura precisa de usar intui o e racioc nios geom tricos Ao professor compete assegurar que neste estudo da Geometria o estudante n o se limita manipula o de condi es desligadas de situa es concretas sem qualquer esfor o de interpreta o A aprendizagem dos novos conceitos aparece ligada a resolu o de problemas como prolongamento da geometria estudada no ano anterior agora o estudante poder justificar prop
38. que a seguinte tabela forne a as quantidades das vitaminas A Be C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II A B C Alimento I 4 3 0 Alimento II 5 0 1 Tabela 9 Quantidades de vitaminas por alimento Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II quanto consumiremos de cada tipo de vitamina Resolu o Podemos representar o consumo dos alimentos I e II nesta ordem pela matriz consumo 5 2 A opera o que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina o produto 4 3 0 5 2 x E 5x4 2x5 5x3 2x0 5x0 2x1 30 15 2 Isto ser o ingeridas 30 unidades de vitamina A 15 de Be 2 de C Ainda relativamente a este exemplo vamos considerar outra situa o 33 Exemplo 10 Suponhamos que o custo dos alimentos depende s do seu conte do vitam nico e os pre os por unidade de vitamina A Be C s o respectivamente 1 5 u m 3 0 u m e 5 0 u m quanto pagar amos pela por o de alimentos indicada no exemplo anterior Resoluc o 1 50 30 15 2 x 3 00 30 1 5 158 2 5 100 5 00 Ou seja pagar amos 100 u m Exemplo 11 Durante a 1 fase do Europeu de Futebol 2004 Portugal o grupo de Portugal era formado tamb m pela Gr cia Espanha e R ssia Os resultados est o registados na tabela seguinte Pa s Resultado Vit ria Empate Derrota Portugal 2 0 1 Gr cia 1 1 1 Espanha 1 1 1 R ss
39. resolu o de Algebraic Logic resolu o de equa es como fun es f N vel equa es resolu o Resolve equa es de lineares f trigonom tricas A alg brico de sistemas de forma alg brica pelo Possibilidade de convers o de equa es localiza o m todo de Newton e resolu o de sistemas f f A coordenadas polinomial do zero de forma gr fica de equa es lineares rectangulares etc polares etc Possui um editor Possui comandos de N o e Possibilidade do de matrizes que programa o mencionada a c lculo de permite resolver semelhantes aos da possibilidade de determinantes e uma grande linguagem BASIC c lculo matricial inversas de matrizes variedade de que permitem problemas de utilizar matrizes N vel lgebra linear e Calcula matricial Calcula valores determinantes Tabela 17 Compara o entre calculadoras gr ficas Da observa o da tabela anterior desaconselha se a escolha de calculadoras gr ficas da Lexibook sendo dado ao aluno a op o entre uma das restantes tr s marcas 107 7 2 Folha de C lculo Excel lgebra Linear com Excel No ano de 1986 a organiza o directiva do Nacional Council of teachers of mathematics cuja sigla NCTM Conselho Nacional de professores de Matem ticas criou a Commission on Standards for School Mathematics com o objectivo de ajudar a melhorar a qualidade e o ensino aprendizagem da Matem
40. seria o M todo de Elimina o de Gauss que reduz o problema inicial a um outro equivalente ao dado isto com o mesmo conjunto solu o mas de resolu o mais simples utilizando matrizes A aplica o de sistemas de equa es lineares na resolu o de problemas surge em diversas reas como por exemplo na Biologia na Sociologia na Economia na Engenharia entre outras Prop e se por isso uma organiza o dos t picos de lgebra no Ensino e Secund rio e a introdu o do tema Matrizes e suas Aplica es coerente com a inova o desejada na rea da Educa o Matem tica 10 ALEKSANDROV A D Kolmogorov A N Laurentiev M A y otros 1994 La matem tica su contenido m todos y significado Verson espa ola de Manuel L pez Rodriguez Madrid Alianza Editorial P g 21 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 17 Verifica se que os alunos olham para a Matem tica como um aglomerado de opera es abstractas de pouca aplica o vida pr tica pois por vezes apresentam uma certa complexidade de modo que dificultam a compreens o e aplica o da lgebra de modo significativo TELLES estabelece que a rela o entre a Aritm tica e lgebra um campo muito importante no que diz respeito Matem tica na sua vertente educativa Para os investigadores que se dedicam a elaborar estudos sobre esta rea diversas barreiras de cariz did ct
41. tica lectiva no ensino secund rio deu a entender de que praticamente o ensino aprendizagem de matrizes um ensino de um modo geral fomentado por regras e procedimentos deslocado da realidade e consequentemente da lgebra n o estando em sintonia com os avan os da sociedade da informa o e com os estudos j realizados pela Psicologia Educacional MENDON A refere que o estudo de sistemas de equa es baseia se na aprendizagem mec nica de regras carentes de significado Este um dos mais graves impedimentos ao processo de ensino aprendizagem de resolu o sistema de equa es LABRA A et al defendem que uma Aprendizagem Significativa induz no aluno uma maior autonomia e uma maior efici ncia na sua manipula o Muitas vezes n o f cil a sua introdu o se n o estiver num contexto e com uma pr tica racional O que importa apreens o e compreens o dos conhecimentos matem ticos de modo a resolver problemas e atingir a maior possibilidade de acertos As opera es com Matrizes abordam se a partir de problemas sobre situa es familiares cuja solu o segue somas multiplica es entre si ou multiplicar por um n mero de matrizes o que proporciona um suporte psicol gico das mesmas relacionando as com as estruturas das opera es aritm ticas que j possuem As investiga es de Katona 1940 1967 referido por LABRANA et als definem que uma aprendizagem por associa o ou memoriza o com autonom
42. uma matriz coluna de tipo 3x1 8 Matriz Nula se todos os seus elementos forem nulos Simbolicamente representa se por O aj E ij Vejamos alguns exemplos de matrizes nulas e Oa 0 0 0 0 0 o 0 0 0 10000 o aa 0 O ox4 2 Matriz Triangular Superior uma matriz quadrada em que todos os elementos situados abaixo da diagonal principal s o nulos isto A a a hj 0 sei gt Por exemplo i j 1 n 25 uma matriz triangular superior 4 O o om DO u N O N U e Matriz Triangular Inferior uma matriz quadrada em que todos os elementos situados acima da diagonal principal s o nulos isto A a 4 0 sei lt j Por i j l exemplo 1 000 2 3 0 WA ES bend F uma matriz triangular inferior 3 100 O 58 4 Matriz Diagonal se for simultaneamente triangular superior e inferior isto uma matriz quadrada em que s o nulos todos os elementos excepto os da diagonal principal Por exemplo 20 0 G 0 3 O uma matriz diagonal 0 0 5 Matriz Escalar se for diagonal e em que todos os elementos da diagonal principal s o iguais Por exemplo 3 00 H 0 3 0 uma matriz escalar 003 Matriz Identidade se for diagonal e em que todos os elementos da diagonal s o iguais unidade representa se por 7 Por exemplo 1 0 ca i CE ego O O oO O OD 26 4 3 Opera es com matrizes 43 1 Adi o A soma de duas matrizes App Bon
43. 0 3 Ay Xy Ds Este sistema pode se escrever de forma matricial AX B dh Qn X b da dy An X b x Aa Am2 van Amn Xn m onde a 1 A Ain X b da dy a X b As i X p Aa an2 iti os X m Matriz dos coeficientes ou Matriz das inc gnitas Matriz do sistema Matriz dos termos independentes 48 ai n And da dy e Gy b f A matriz denominada Matriz Completa ou Matriz Am Am2 Amn b Ampliada do sistema que se abrevia por A l B Exemplo 22 Considere o sistema x 2y 2 x y 2z 3 x y z 1 Este pode ser escrito sob a forma 1 2 0 x 2 a ales AR RR RO 1 com EZ 50 x 2 A 1 1 2 X lyle C 3 EF el z 1 Ou seja Ax X C As seguintes opera es quando efectuadas sobre um sistema de equa es lineares transformam no num sistema equivalente ou seja n o alteram o seu conjunto solu o Op1 Trocar a ordem de duas equa es Op2 Multiplicar ambos os lados da equa o por uma constante n o nula Op3 Adicionar a uma equa o outra multiplicada por uma constante Efectuar cada uma destas opera es sobre um sistema de equa es lineares equivalente a efectuar a correspondente opera o elementar sobre as linhas da matriz ampliada do sistema 49 5 5 Opera es elementares Opera es elementares sobre linhas de uma matriz s o opera es que transformam a matriz dada numa matriz equivalente o sistema correspondente equivalente ao siste
44. 006 pdf artigos matem C3 A tica A 20MODEL AGEM 20MATEM C3 81TICA 20NO 20ENSINO 20DE 20MATRIZES pdf em Dezembro de 2008 124 Bibliografia ALEKSANDROV A D Kolmogorov A N Laurentiev M A y otros 1994 La matem tica su contenido m todos y significado Verson espa ola de Manuel L pez Rodriguez Madrid Alianza Editorial ALEXANDER D C 1985 A matrix application technique for secondary level mathematics Mathematics Teacher Vol 78 n 4 pp 282 285 ALMEIDA A 1995 Trabalho experimental na educa o em ci ncia epistemologia representa es e pr tica dos professores Tese de Mestrado Lisboa Universidade Nova de Lisboa A ORTON 1998 Did ctica de Matem ticas 3 ed Ministerio de Educaci n y Cultura y Ediciones Morata Madrid BATANERO 2001 Did ctica de la Estad stica Granada Uninersidad de Granada ESP BEZERRA M J e JOTA P J C 1994 Novo Bezerra Matem tica 2 grau Volume nico S o Paulo Editora Scipione BOYER C B 1974 Hist ria da matem tica S o Paulo Edgard Bliicher Ltda 488 BRASIL Lei de Diretrizes e Bases da Educac o Nacional Lei n 9 394 de 20 de dezembro de 1996 BRASIL Minist rio da Educa o Par metros curriculares nacionais ensino m dio Bras lia 1999 BRASIL 2006 Secretaria de Educa o B sica Ci ncias da natureza matem tica e suas tecnol gicas orienta es curriculares para o ensino m dio volume 2 Bras
45. 7 n 1 pp 4 7 MATOS J 2006 A penetrac o da Matem tica Moderna na revista Labor Union Revista Iberoamericana de Educacion Matem tica n 5 p 91 110 Federaci n Iberoamericana de Sociedades de Educaci n Matem tica Dispon vel em http www fisem org paginas union revista php id 19Hindice 128 MENDON A M C D 1993 Problematizac o um caminho a ser percorrida em educa o matem tica Tese de Doutorado Campinas SP MENDON A MCD 2000 Resolu o de Problemas Pede Re Formula o In ABRANTES P Investiga es Matem ticas na Aula e no Curr culo Lisboa APM 2 p 15 33 MORETTI M ricles Thadeu 2002 O papel dos registros de representa o na aprendizagem de matem tica Itaja Contrapontos N 6 p 23 37 Set dez MORAIS J 2006 As rela es entre a aprendizagem da leitura e a aprendizagem da matem tica In Crato N coord Desastre no Ensino da Matem tica como recuperar o tempo perdido p 155 178 Lisboa Gradiva NCSM 1990 National Council of Supervisors of Mathematics A matem tica essencial para o s culo XXI Educa o Matem tica Lisboa n 14 pp 23 35 NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS 2000 Principles and Standards for School Mathematics for school Mathematics Virginia NCTM ONUCHIC L R Ensino aprendizagem de Matem tica atrav s da Resolu o de Problemas In BICUDO M A V Org Pesquisa em Educa o Matem tica S o P
46. AS etc aplicados s escolas portuguesas indicam um baixo desempenho dos alunos na rea de Matem tica Frequentemente a Matem tica tem sido apontada como a disciplina que contribui significativamente para a eleva o das taxas de reten o Segundo estes testes d o nos a conhecer que essencial haver um aumento na qualidade do ensino da Matem tica no Ensino Secund rio Deve se procurar um modelo que fa a com que os alunos recuperem a auto estima e confian a para abordar e resolver problemas Deve se refor ar na forma o de professores planos nas reas das calculadoras e das TIC visto que no exame de Matem tica 12 Ano existe uma forte aplica o das calculadoras gr ficas importante que os alunos possam experimentar e explorar ideias matem ticas a efectuar c lculos e a real ar habilidades e consequentemente recuperar a satisfa o e gosto pelo dom nio das matem ticas e sua auto estima Na constru o do conhecimento a calculadora funciona como uma ferramenta essencial para ensinar aprender e fazer matem tica Este instrumento permite que o indiv duo esteja apto para tomar decis es fazer reflex es servir se da raz o e por fim a resolu o de problemas Neste sentido calculadora e as ferramentas inform ticas s o dispositivos usados na vida quotidiana e por isso o trabalho desta unidade did ctica em ambiente de aula deve reflectir a realidade O apoio das m quinas de calcular gr ficas deve ser or
47. Alinhamento d N mero Estilos AS e Fltrar Seleccionar Figura 36 Exemplo de multiplica o de um escalar por uma matriz utilizando a folha de c lculo Excel Depois de aceitar a f rmula basta repetir o processo anterior de deslocar a cruz para a direita e para baixo para obter a matriz desejada es doe Livrol Microsoft Excel mamy bne nsew tsuena depona F rmutas Dados Rever ver z 9 0 memo A Gs co EE O EEE a Colar E S A a e Formata o matar Estilos de Inserir Eliminar Formatar Ordenar Localizar A SS ltd E AAA kara G Sea a rea de Transter nca Tipo de Letra E Alinhamento N mero E C lulas Figura 37 Exemplo de multiplica o de um escalar por uma matriz utilizando o Excel 111 De novo se o valor de qualquer elemento da matriz A fosse alterado ou se alter ssemos o valor do escalar a matriz C b A ficaria actualizada de forma autom tica Exemplo 53 Produto de duas Matrizes Suponhamos que se pretende calcular o produto entre as matrizes 3 2 3 1 4 A 0 2 3 e D 6 2 4 862 6 8 75 utilizando a folha de c lculo Excel Resolu o Introduz se ambas as Matrizes no Excel recordar que para multiplicar duas matrizes o n mero de colunas da primeira tem que ser igual ao n mero de linhas da segunda E SD Base Inse
48. DOMINGOS PIRES VALENTE SEVIVAS PINHO MATRIZES E APLICA ES NO ENSINO SECUND RIO UNIVERSIDADE PORTUCALENSE INFANTE D HENRIQUE PORTO Fevereiro de 2010 DOMINGOS PIRES VALENTE SEVIVAS PINHO MATRIZES E APLICA ES NO ENSINO SECUND RIO Disserta o apresentada ao departamento de Inova o Ci ncia e Tecnologia da Universidade Portucalense para obten o do grau de Mestre em Matem tica Educa o sob a orienta o da Professora Doutora Ana Paula Lopes PORTO 2010 DECLARA O Nome N do B I Tel Telem e mail Curso de P s Gradua o Doutoramento rea do doutoramento Ano de conclus o Mestrado Designa o do mestrado Ano de conclus o T tulo da tese disserta o Orientador es Declaro para os devidos efeitos que concedo gratuitamente Universidade Portucalense Infante D Henrique para al m da livre utiliza o do t tulo e do resumo por mim disponibilizados autoriza o para esta arquivar nos respectivos ficheiros e tornar acess vel aos interessados nomeadamente atrav s do seu reposit rio institucional o trabalho supra identificado nas condi es abaixo indicadas Assinalar as op es aplic veis em 1 e 2 1 Tipo de Divulga o Total Parcial mbito de Divulga o Mundial Internet aberta Intranet da Universidade Portucalense Internet apenas a partir de o 1 ano o 2 an
49. L O 1 1 l O 1 1 0 0 1 1 0 0 Oil O sistema imposs vel o que significa que os planos n o se intersectam b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica 1 va y Ap pp NO AF x t d a a NA Equa o 1 y 1 Equa o 2 z 1 Equa o 3 y z 1 Figura 12 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel Atrav s desta representa o podemos observar que o sistema imposs vel pois n o existe nenhum ponto que perten a simultaneamente aos tr s planos no entanto intersectam se dois a dois 71 Exemplo 35 Consideremos o sistema x y 2 4 2x 2y 27 3 3x 3y 37 10 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 1 1 14 2 2 218 3 3 3 10 Donde 1 1 1 4 1 1 tia 1 1 14 2 2 2 3 l0 0 0 11 10 0 0 11 i L b 2 i L l 3 i 3 3 3 10 3 3 3 10 0 0 0 22 O sistema imposs vel o que significa que os planos n o se intersectam os tr s planos s o estritamente paralelos b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica Equa o 1 x y z 4 Equa o 2 2x 2y 2z 3 Equa o 3 3x 3y 3z 10 Figura 13 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel Atrav s desta representa o podemos observar que o sistema imposs vel pois n o existe nenhum ponto que perten a simultaneamente aos tr s planos os planos s o estritamente p
50. NSPOSI O sssmsscaco iate TON 39 4 3 4 1 PROPRIEDADES DA TRANSPOSI O DE MATRIZES cecccceseeeceseeecereressoncesseeeeseeessoeresoe 40 4 4 INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA ccosscrescoceereresrseessraces cones seessrares soccer seco ssseessnacesdo 40 4 4 1 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA ooccccconocconoccnnnncconocoonoccncnnccnnococroncccnoccncccconococnaccnes 40 5 SISTEMAS DE EQUA ES LINEARES cececeeeeresececeseeeeeseresseeresseneescersseeressencesseeseseeessnecesse 43 5 1 CLASSIFICA O DE SISTEMAS occonocosoocconnncsnnncosnnccononcnnnecoonncononccnne nooo nocoooncconocconoe coco cocos 44 5 2 M TODO DE SUBSTITUICAO sccucestesaviccescescassrentis posociaa pesnsvda ve castas css eae Esn doce sis esssS 44 5 3 M TODO DE ADI O ORDENADA OU REDU O ccceseeerescereseereseressresnesnessersnesnessersas 46 5 4 SISTEMAS E EQUA ES MATRICIAIS ccccercreseeeceseeecerereseoecesceneesseeseneres soccer senececeesscacesse 48 5 5 OPERA ES ELEMENTARES ooconococnnconnnccoonconnnnoonnccnnnccononnooonncononccnne nooo no cono ncconnnconnn coco cocos 50 5 6 RESOLU O DE UM SISTEMA PELO M TODO DE GAUSS JORDAN cceccecesecerereserenesee 51 5 7 C LCULO DA INVERSA DE UMA MATRIZ PELO M TODO DE GAUSS JORDAN cc e 56 5 8 INTERPRETA O GEOM TRICA cceceeseereseeneseressresnesnesceesnesnessersaresas snes sresae snes sersnesnesseesas 58 6 ALGUMAS APLICA ES DE MATRIZES ccceseceesersesceserersessesee
51. a no cruzamento A o n mero de ve culos que entra x 360 e o n mero de ve culos que sa y 488 logo x 360 y 488 cruzamento A y 416 z 384 cruzamento B z 312 1 480 cruzamento C t 512 x 248 cruzamento D Este sistema pode ser escrito sob a forma matricial do seguinte modo 1 1 0 0 128 po ai E O O 1 1 168 1 0 0 1 264 Atrav s de opera es elementares aplicadas matriz obtemos 1 1 E 0 0 128 1 1 0 0 128 O e oi esal al NO el e o o 1 1 168 o 0 1 1 168 l0 0 1 1 168 0 1 0 1 1360 lo 0 1 1 168 lo 0 0 0 0 Ap s a matriz escalonada obtemos o seguinte sistema x y 128 y z 32 z t 168 O sistema poss vel e como tem uma vari vel livre existem muitas solu es poss veis Por isso devemos conhecer o n mero de ve culos entre dois cruzamentos Como sabemos que a m dia de carros que circula por hora nos cruzamentos C e D de 160 93 carros ent o sabemos o valor de t podendo assim resolver para x y z em termos de t obtendo z t 168 z 160 168 z 168 160 z 328 logo temos 328 carros entre o cruzamento B e C y z 32 y 328 32 y 32 328 y 296 assim temos 296 carros entre o cruzamento A e B x y 128 x 296 128 x 424 carros entre o cruzamento De A Atrav s desta aplica o podemos observar o n mero de ve culos entre cada cruzamento Visivelmente podemos observar que durante o dia h v r
52. a ou redu o Resolu o Multiplicando a 1 equa o por 2 e adicionando 2 equa o temos Lx 2y 22 2 Zx y 437 0 3y z 2 Adicionando ordenadamente a 1 equa o 3 equa o temos X y 2 X y 2 2y 4z II 0S 46 Consideremos agora o sistema resultante e vamos atrav s da adi o ordenada eliminar uma das vari veis C A 12y 4z 8 aa 2y 42 3 2y 427 3 PEL 10y 5 Me 2 Substituindo o valor de y obtido vem x 1 1 ZER 2 1 1 Trata se de um sistema poss vel e determinado cuja solu o S fa 31 gt No processo de resolug o pelo m todo de Redug o ou Adig o Ordenada o sistema visto como registo alg brico de adi o de um conjunto de equa es com vari veis sim tricas onde se eliminam inc gnitas e consequentemente se determinam as vari veis Exemplo 21 Resolva os sistemas e classifique os a x 3y 2 x 2 3y x 5 lt gt lt gt lt gt 2x 5y 5 2 2 3y 5y 5 y 1 y 1 s 51 Sistema poss vel determinado b x 3y 2 x 2 3y x 5 lt gt gt lt gt 2x 6y 4 2 2 3y 6y 4 10y 0 y 1 S 2 3y y y IR Sistema poss vel indeterminado 47 c x 3y 2 x 2 3y o o lt lt gt 2x 6y 4 2 2 3y 6y 5 0y 1 0 1 S D Sistema imposs vel 5 4 Sistemas e equa es matriciais Consideremos o sistema de m equa es lineares e n inc gnitas AM 42X3 0 3 ay Xy b 47 99X 53 A3 Xp b Ay 49
53. ado Existem outras formas de um sistema de tr s equa es e tr s inc gnitas ser poss vel indeterminado tais como nos seguintes casos Exemplo 31 Consideremos o sistema x y z 1 2x 2y 27 2 x 5 66 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 1 1 1 1 ME 1 0 0 5 Donde 1 1 1 1 1 1 di 11111 1 1 1131 2 2 2 lo 0 0 0 0 0l 1 0 4 4 L 2 l i L i Lol i 1 0 1 0 0 5 14 0 00 0 0 O sistema poss vel e indeterminado grau de indeterminac o 1 o que significa que dois planos s o paralelos coincidentes e intersectam o terceiro plano b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica Equa o l x y 7 1 Equa o 2 2x 2y 27 2 Equa o 3 x 5 Figura 9 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado 67 Neste caso a solu o uma infinidade de pontos pertencentes recta correspondente intersec o dos planos que n o s o paralelos Exemplo 32 Consideremos o sistema x y z 1 2x 2y 27 2 3x 3y 37 3 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema ii 22212 PIGS Donde pi RR PR O E lo 0 0 0 lo o 010 D3 Sua NOS EB ai VOO O sistema poss vel e indeterminado grau de indetermina o 2 o que significa que dois planos s o coincidentes b Aplicando a Resolu o Gr fica 68 A sua representa o gr fica Equa o l x y z
54. apelativo e eficiente para os alunos O software funciona a v rios n veis possibilitando a constru o de gr ficos a uma dimens o tais como histogramas gr ficos cumulativos ou de frequ ncia ou ainda gr ficos a duas dimens es tais como gr ficos de dispers o Figura 43 Histograma atrav s do AutoGraph 33 Informa o dispon vel em http www tetri pt prow php prow 000ctg_pshowcategall amp cat 76 em Dezembro de 2008 116 Figura 44 Movimento parab lico atrav s do AutoGraph Com este software inovador podemos introduzir a ou as express es que desejarmos e verificar a sua evolu o e interac o ao ritmo desejado devido til ferramenta tra ado lento sejam a duas ou tr s dimens es Se as express es possu rem constantes ser lhe poss vel variar essas constantes e criar fam lias assim como ampliar a zona de um gr fico que desejar B Esia logaritmica r aspita Figura 45 Espiral logar tmica atrav s do AutoGraph Poder ainda ter total controlo acerca do formato ou apar ncia dos objectos ou gr ficos que criar atrav s da simples manipula o desses objectos ou da altera o dos eixos na representa o gr fica Pontos podem ser adicionados directamente atrav s do click do rato ou atrav s da introdu o das coordenadas desejadas podendo ser facilmente manipulados atrav s do arrasto do rato ou serem ligados de forma a produzirem curvas ou outros objectos tais como l
55. apital 2 3 4 5 e 6 e ligando estas cidades ou n o h estradas asfaltadas ou n o Figura 15 Liga es entre cidades por estradas asfaltadas As estradas asfaltadas s o assinaladas por linhas cont nuas e as n o asfaltadas por linhas tracejadas 74 Essas estradas possuem comprimentos e estes podem ser indicados por meio de uma tabela Por exemplo 10 14 17 17 A A A O D O BL O O UY O o A eA Do B ol N Tabela 14 Ligac es entre cidades por estradas asfaltadas Observe que esta tabela pode ser representada sob a forma de matriz 0 4 7 7 10 4 0 3 6 14 A 7 3 0 9 17 7 6 9 0 17 10 14 17 17 0 Os elementos da matriz indicam cada um o comprimento da estrada que liga a cidade da esquerda com a de cima Por exemplo e Da cidade 1 cidade 2 a estrada mede 4 km Da cidade 2 cidade 3 a estrada mede 3 km Pelo mapa observa se que nem todos os pares de cidades possuem uma nica estrada que as liga Assim 1 e 3 s o ligadas por duas estradas Esta situa o permite nos levantar algumas quest es 1 Explique como se pode ver que 1 e 3 n o s o ligadas por uma s estrada 2 Por que a cidade 6 n o consta da matriz 3 Se ela constasse da matriz que n meros indicadores dos correspondentes das estradas colocar amos na linha e na coluna correspondente a esta cidade 4 Como se podem deslocar os habitantes da
56. aplica o pr tica e em seguida uma situa o problema com aplica o vida quotidiana 21 PANCIERA M V F 2006 Modelagem matem tica no ensino de matrizes e sistemas lineares URL http www unifra br eventos jornadaeducacao2006 2006 pdf artigos matem C3 A1tica A 20MODEL AGEM 20MATEM C3 81TICA 20NO 20ENSINO 20DE 20MATRIZES pdf em Dezembro de 2008 21 Exemplo 1 Uma ind stria tem quatro f bricas A B C D cada uma da qual produz tr s produtos 1 2 e 3 A tabela mostra a produ o da ind stria durante uma semana F brica A F brica B F brica C F brica D Produto 1 560 360 380 0 Produto 2 340 450 420 80 Produto 3 280 270 210 380 Tabela 4 Produ o dos tr s produtos por f brica Em rela o Tabela acima a Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela f brica C b Qual foi a F brica que produziu mais produto 3 c Qual foi a F brica que produziu menos produto 2 d Qual a quantidade de linhas e de colunas de cada tabela Resolu o Em rela o Tabela acima interessa que os alunos fa am uma liga o intuitiva entre tabela e a no o de matriz e situem os elementos da Tabela como elementos da matriz a Foram produzidos 420 b Foi a F brica D c Foi a F brica D d Tr s linhas e quatro colunas Exemplo 2 Na tabela apresentam se os dados referentes altura peso e idade de um grupo de quatro pessoas Altura m Peso kg
57. aralelos 72 Exemplo 36 Consideremos o sistema x y z 1 2x 2y 27 2 3x 3y 32 5 a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 1 1 11 zoga 3 3 315 Donde 1 1 1 1 1 La 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 L l 21 po b b 3k 3 3 3 3 3 3 5 0 0 0 0 O sistema imposs vel o que significa que os planos n o se intersectam dois planos s o coincidentes e paralelos ao terceiro plano b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica Equa o 1 x y z 1 Fe Equa o 2 2x 2y 2z 2 Equa o 3 3x 3y 3z 5 Figura 14 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel Atrav s desta representa o podemos observar que o sistema imposs vel pois n o existe nenhum ponto que perten a simultaneamente aos tr s planos dois planos s o coincidentes e paralelos ao terceiro plano 73 6 Algumas aplica es de Matrizes Diversos ramos da Matem tica e reas da Ci ncia utilizam matrizes para resolver um grande n mero de problemas Embora aparentemente n o estejam relacionados entre si partilham as mesmas nota es matriciais e as opera es com matrizes De seguida apresentamos algumas dessas aplica es 6 1 Aplica o Geografia Exemplo 37 Adaptado do livro de Esla Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb 2004 p g 60 Consideremos o mapa duma ilha em que h seis cidades assinaladas com os n meros 1 c
58. arar as varia es de produ o do segundo ano em rela o ao primeiro ano Resolu o a No primeiro ano 3000 200 400 600 A 700 350 700 100 1000 100 500 800 No segundo ano 5000 50 200 0 B 2000 100 300 300 2000 100 600 600 b Se quisermos elaborar uma tabela que d a produ o de queijos por regi o nos dois anos conjuntamente teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas acima isto em termos matriciais a produ o nos dois anos dada por A B que forma a matriz C C A B 3000 200 400 600 5000 50 200 0 C 700 350 700 100 2000 100 300 300 1000 100 500 800 2000 100 600 600 28 8000 250 600 600 C 2700 450 1000 400 c 3000 200 1100 1400 A ordem da matriz 3 x 4 tr s linhas e quatro colunas e a corresponde a 2700 o que representa a quantidade total de queijo de vaca produzidos na regi o 2 em dois anos consecutivos a corresponde a 600 o que representa a quantidade de queijo de cabra produzido na Regi o 1 em dois anos consecutivos a corresponde a 1400 o que representa a quantidade de queijo de mistura na regi o 3 em dois anos consecutivos d e Fazendo a diferen a do que foi produzido de queijo de vaca e queijo de ovelha em dois anos consecutivos 2000 150 1300 250 1000 0 Registou se um decr scimo do segundo ano em rela o ao primeiro no que diz respeito produ o de queijo de ovelha na Regi o 1 e 2 a mesma produ
59. as novas tecnologias tais como calculadoras gr ficas e softwares na resolu o de sistemas de equa es lineares Pretende se que os alunos saibam resolver problemas que exijam a aplica o da modela o a problemas da vida real Tabela 2 Proposta de introdu o do Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares no programa de Matem tica A do 11 Ano de Escolaridade 18 Subtema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares Aulas previstas 5 aulas de 90 minutos Atitudes 1 MATRIZES Saulas de 90 minutos E SISTEMAS DE EQUA ES LINEARES 2 aulas de 90 minutos Matrizes como express o de tabelas e grafos Tipos de matrizes Opera es com Matrizes No o de Matriz transposta e de Matriz Inversa Opera es Elementares sobre Linhas Sistemas de equa es lineares representa o matricial Classifica o dos sistemas segundo suas solu es Utiliza o de linguagem matricial para expressar tabelas e grafos Identifica o dos distintos tipos de matrizes Opera es com matrizes Soma produto por um escalar produto de matrizes Aplica o das opera es com matrizes para a resolu o de problemas No o de transposta de uma matriz dada No o de matriz inversa de uma matriz quadrada Representa o matricial dum sistema de equa es lineares Obten o de sistemas equivalentes Obten o das solu
60. as teclas Control shift Enter para aceitar o menu anterior Assim obteremos a seguinte matriz o rot Microsol Excel x B e AN ox A A 1 ig A 4 Ti E 2 u Aai E wwe pareo cea E 5 F95 Ex y A g E E EAS EEE ZA kE irado PA Ares de Transter ncia La Teo de Lets a Mrtemerto Mimmo E t go 87 E A H 1 J 3 colunas 3 linhas 3 linhas 3 colunas Figura 40 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando o Excel Estes s o alguns dos exemplos onde se pode aplicar a folha de c lculo Excel Poder amos ainda calcular a matriz transposta de uma matriz dada ou a inversa entre outras 113 Exemplo 54 Para a fabrica o de um Autocarro uma ind stria na sua linha de montagem precisa de canos de escape e Trav es para seus tr s modelos de Autocarros com a seguinte especifica o Componentes Modelo A IB C Cano de escape 21314 Trav es 416 8 Tabela 18 Distribuig o de componentes para autocarros Para os dois primeiros meses do ano a produg o da f brica dever seguir a tabela seguinte Modelo Meses Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15 Tabela 19 produ o nos dois primeiros meses Nessas condi es quantos canos de escape e quantos trav es s o necess rios em cada um dos meses para que a f brica atinja a produ o planeada Resolu o Utilizando a folha de c lculo Excel
61. ato Sosi iens 64 Figura Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado A E A EA nconcc ne ea E casa a sad aaa na sad ea anta as secs anta ness 66 Figura 9 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado vcccooncononnnconconcnnnconccnconnnoncnononnonocconco nono nconconono non ee ne sad aaa Eese DE Soses secs cn sanada 67 Figura 10 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas poss vel e indeterminado coccooncononnnnonconcnnnnonccnconnoonconnonnononconco neo aeo Es soes soa seas aa sad aa casa a seas cn aan da 69 Figura 11 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel 70 Figura 12 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel 71 Figura 13 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel 72 Figura 14 Exemplo de um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas imposs vel 73 Figura 15 Liga es entre cidades por estradas ooooocoomossonsonconncconcconcnco nono nocoroncconoconoconoconnaconos Figura 16 Representa o da imagem de um dado obtida uma transforma o 83 Figura 17 representa o de quatro pontos quadril teros oooooomoosmooss 84 Figura 18 representa o de pontos e suas transforma es ccecccsecrserrssecesscesscersmconoo 85 Figu
62. atriz determinado da seguinte maneira ey 1 se os v rtices vj e vx s o ligados por uma aresta e 0 caso contr rio Vejamos de seguida alguns exemplos de representa o matricial de grafos Exemplo 42 As matrizes oferecem uma boa representa o dos grafos e possibilitam a introdu o computacional para auxiliar na resolu o de problemas da teoria dos grafos Neste exemplo podemos observar 0100011 E 1010001 Jg 1 0101001 TL M 0 010101 o 0001011 4 E 1000101 o 5 1 1 1 1 1 1 1 Figura 26 Grafo e sua representa o matricial Retirado de 2 http www sbem com br files ix_enem MC04145369408T doc 90 Exemplo 43 Considere um conjunto de cinco pessoas em que Pl P2 e P3 se conhecem PI P3 e P4 se conhecem P4 e P5 se conhecem Comecemos por traduzir este enunciado num grafo e em seguida fa amos a sua representa o matricial P2 O 1 1 10 10100 A 1 10 10 P1 P3 10101 00010 P4 PS Figura 27 Grafo e sua representa o matricial Exemplo 44 Considere um torneio de futebol com as equipas TI T2 T3 T4 T5 T6 e T 7 sabendo que T venceu T e T e perdeu com T T venceu T e perdeu com eT T venceu T e T e perdeu com T T venceu T e perdeu com T T perdeu com T e T T n o jogou com ningu m T venceu T Para representar a situa o enunciada atrav s de um grafo precisamos introduzir uma orienta o do v rtice Pi para Pj Pi gt Pj Podemos a
63. atrizes como nas de uma lgebra passo que foi dado por Cayley e pelos matem ticos americanos Benjamin Peirce 1809 1880 e o seu filho Charles S Peirce 1839 1914 O estudo da lgebra de matrizes e outras lgebras n o comutativas foi um dos principais factores no desenvolvimento de uma vis o cada vez mais abstracta da lgebra especialmente no s culo vinte Mas a lgebra Linear continua em desenvolvimento sendo esta aplicada a diferentes campos impulsionados pela possibilidade de automatiza o dos c lculos por meio de m quinas Entre elas destaca se a Programa o Linear Cadeias de Markov Modelos de Desenvolvimentos Teoria dos Jogos entre outros 10 3 Proposta de Introdu o do Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares no Programa de Matem tica A do 11 Ano de Escolaridade A Matem tica deve ser um instrumento de grande utilidade e forma o para resolver as mais diversas situa es e problemas que possam surgir inseridos na sociedade que se aproximam dos alunos Sua lecciona o e apreens o devem servir para desenvolver as capacidades cognitivas que despertem o desenvolvimento do indiv duo e ajudem a interpreta o do mundo f sico e social fundamental que os alunos adquiram certos dom nios e manipulem os objectos matem ticos em estudo e consequentemente de modo transversal que os interligue com outros ramos do saber e como aplica o ao desenvolvimento de futuras actividades prof
64. atrizes que possuem inversa tamb m se dizem invert veis 5 Sistemas de Equa es Lineares Um sistema de equa es lineares um conjunto de equa es da forma AM 4 2 4 3 ay Xy b AM 4 7X 0 3 0 Xy b a m 49 0 13 Ay Xy bm Os coeficientes aij i 1 2 m j 1 2 n e os termos independentes b 1 1 2 m s o constantes conhecidas Os x j 1 2 n s o as inc gnitas cujos valores se pretendem determinar Uma solu o deste sistema um conjunto de valores um para cada inc gnita que quando substitu dos em todas as equa es as tornam v lidas Os m todos de resolu o de sistemas de equa es lineares foram desenvolvidas e sistematizadas por distintos matem ticos atrav s dos tempos como por exemplo o m todo de tentativa m todo de substitui o m todo de escalonamento ou elimina o de Gauss m todo de Gauss Jordan entre outros Qual o interesse dos diferentes m todos Na resolu o de Sistemas de Equa es Lineares os m todos objecto de estudo do 3 ciclo s o o M todo de Tentativa e a seguir o de Substitui o Estes m todos s o aplicados a problemas que envolvem sistemas que tenham no m ximo duas equa es e duas inc gnitas Entretanto no Ensino Secund rio surgem problemas que envolvem tr s equa es a tr s inc gnitas como problemas de geometria no espa o Da a necessidade de conhecer novos m todos que viabilizem a resolu
65. aulo UNESP 1999 cap 12 p 199 220 ONUCHIC L R ALLEVATO N S G 2005 Novas reflex es sobre o ensino aprendizagem de matem tica atrav s da resolu o de problemas In Educa o matem tica pesquisa em movimento S o Paulo Cortez p 213 231 POLYA G 1945 How to solve it A new aspect of mathematical method 2nd ed New Jersey Princeton University Press POLYA George 1986 A arte de resolver problemas Primeira reimpress o Tradu o e adapta o de Heitor Lisboa de Ara jo Rio de janeiro Interci ncias 179 p 129 POLYA George 1997 Sobre a resolu o de problemas de matem tica na high school In KRULIK Stephen REYS Robert orgs A resoluc o de problemas na matem tica escolar S o Paulo Atual PONTE J Matos J Abrantes P 1998 Investigac o em educac o matem tica implica es curriculares Lisboa Instituto de Inova o Educacional PONTE J 2003a Investiga o sobre investiga es matem ticas em Portugal Dispon vel em www educ fc ul pt docentes jponte docs pt 03 Ponte Rev SPCE pdf PONTE J 2003b O Ensino da Matem tica em Portugal uma prioridade educativa In Conselho Nacional de Educa o org O Ensino da Matem tica Situa o e Perspectivas p 21 56 Lisboa Conselho Nacional de Educa o PORF RIO J 1998 Os curr culos de Matem tica como t m evolu do Educa o e Matem tica 50 p 32 38 Lisboa APM S M E
66. ci n Matem tica 15 171 190 URL http www fisem org descargas 15 Union015017 pdf em Dezembro de 2008 http www aulamatematica com Revistas pdf revistas 22 7 22 7 24 pdf http nautilus fis uc pt cec teses josematos em Dezembro de 2009 http www scielo br pdf prc v18n3 a04v18n3 pdf em Dezembro de 2009 http www tvebrasil com br salto boletins2003 eda tetxt htm em Dezembro de 2009 135 http www sbem com br files viii pdf 02 MC58937242400 pdf em Dezembro de 2009 www sbempaulista org br epem anais Posteres 5Cp007 doc www rbep inep gov br index php emaberto article view 845 em Dezembro de 2009 http www sbem com br files ix enem Comunicacao Cientifica Trabalhos CC7724842 2487T rtf em Dezembro de 2009 http pt wikipedia org wiki Jerome Bruner em Dezembro de 2009 136
67. cia tamb m a compreens o e interpreta o de um problema real onde o aluno est inserido e faz parte deste processo como cidad o Panciera 2006 importante que haja mais empenho por parte das entidades competentes no sentido de mostrar que o ensino das matrizes e aplica es acess vel e f cil afastando assim a no o de que se trata de uma mat ria complexa No que diz respeito a trabalho futuro gostar amos de analisar se a utiliza o do m todo de elimina o de Gauss Jordan recorrendo a matrizes facilita ou n o a aprendizagem da resolu o de sistemas de equa es lineares comparativamente com outros m todos de resolu o no ensino secund rio Prev se por isso a exist ncia de trabalho a efectuar como complemento a esta tese Assim sendo esta disserta o de mestrado poderia vir a ter influ ncia quer no que diz respeito altera o do conte do program tico da disciplina de Matem tica do 11 Ano de Escolaridade quer ainda no m todo actual de ensino de resolu o de sistemas de equa es lineares Um dos temas que foi ligeiramente abordado neste trabalho e que merece um estudo mais aprofundado a utiliza o de ferramentas auxiliares como o Excel e calculadoras gr ficas na resolu o de sistemas de equa es lineares e opera es com matrizes 18 PANCIERA M V F 2006 Modelagem matem tica no ensino de matrizes e sistemas lineares URL http www unifra br eventos jornadaeducacao2006 2
68. cidade 6 at s outras cidades 5 A cidade 1 est ligada cidade 4 por uma estrada directa a qual n o consta no mapa Qual o comprimento desta estrada 75 Resolu o 1 2 3 4 5 5 1 Se quisesse fazer esta viagem em duas etapas com uma estadia no meio como se faria Qual seria neste caso a dist ncia percorrida 5 2 Qual seria neste caso a dist ncia percorrida H um tro o asfaltado de 1 a 2 e outro n o asfaltado de 2 a 3 Porque ela isolada n o h estrada alguma que liga esta cidade a outra qualquer Uma linha e uma coluna compostas de zeros Tinham que utilizar barcos atendendo que as outras cidades est o situadas no litoral ou ent o por via a rea O comprimento de 7 Km 5 1 Ter amos que ir de 1 a 2 e em seguida de 2 a 4 5 2 A dist ncia percorrida seria de 10 km Esta n o a nica matriz que poder amos considerar dentro do contexto das estradas da nossa ilha Poder amos focalizar a qualidade das estradas da ilha escrevendo uma matriz na qual a estrada asfaltada fosse a indicada por um s mbolo A de asfalto e a n o asfaltada por outro s mbolo T de terra Poder amos ent o colocar mais algumas quest es 1 2 3 Complete a matriz com A e T X indica que n o h estrada Por que se coloca X na diagonal principal Outra matriz que pode ser escrita no mesmo contexto das estradas da nossa ilha e uma matriz muito conhecida Chama se matriz
69. cionada primeira linha de HI multiplicada por por 30 30 para obter x 3y 22 15 E g ori 10x 0y 10z 60 iy 0 10 10 0 qm 0x 70y 207 220 0 70 20 220 4 passo Multiplique a segunda 4 passo Multiplique a segunda linha de equa o de IV por 1 10 de modo que o coeficiente de pz se torne 1 x 3y 22 15 Ox y z 6 0x 70y 207 220 V IV por 1 10 1 3 AS 0 1 1 6 V O 70 20 220 5 passo Substitua a primeira equa o de V por essa mesma equa o adicionada segunda equa o de V multiplicada por 3 x 0y z 3 Ox y z 6 Ox 70y 20z7 220 VD 5 passo Substitua a primeira linha da matriz V por essa mesma linha adicionada segunda linha de V multiplicada por 3 para obter 1 0 1103 O 1 1 6 VI 0 70 20 220 54 6 passo Substitua a terceira equa o de VD por essa mesma equa o adicionada a segunda equag o de VI multiplicada por 70 para ter x 0y z 3 Ox y z 6 0x 0y 50z 200 VID 6 passo Substitua a terceira linha da VD por segunda linha de VD matriz essa mesma linha adicionada multiplicada por 70 para obter ES 01 16 di O O 50 200 7 passo Multiplique a terceira equa o de VID por 1 50 3 Ox y 72 6 x Oy z VI Ox 0y 72 4 7 passo Multiplique a terceira linha de VID por 1 50 para obter 1 0
70. cursos Lists Repositrio 20Recursos2 Attachments 258 matematica_A_11 pdf em Dezembro de 2009 132 http www diaadiaeducacao pr gov br diaadia diadia arquivos File artigo matrizes ensi no medio pdf em Dezembro de 2009 DOM NGUEZ E D 2007 La calculadora gr fica como recurso did ctico en la ense anza de las matem ticas resoluci n de sistemas de ecuaciones lineales Uni n Revista Iberoamericana de Educaci n Matem tica 12 157 170 URL http www fisem org descargas 12 Union_012_015 pdf em Dezembro de 2008 http www educacao te pt images programas pdf programa34 pdf em Dezembro de 2009 FAIRCHILD J 2000 Use of Two Dimensional Representations to aid the Transition from Arithmetic to Algebra Teacher Research Grant summary 4th year 1999 2000 URL http www tda gov uk upload resources doc j jackie fairchild doc em Dezembro de 2008 http www famat ufu br revista revistaabril2005 salaaula EnsinoClovisRosana pdf em Dezembro de 2009 FRANCO C L G 2005 ESEL Equivalencia en Sistemas de Ecuaciones Lineales URL http www soarem org ar Publicaciones 31 20D1 20franco pdf em Dezembro de 2008 http www gap system org history Miscellaneous Konigsberg html em Dezembro de 2009 GRANDE B L B 2005 Alguns resultados da an lise dos livros did cticos de lgebra linear quanto aos registos de representa o semi tica e as no es de independ ncia linea URL http www fae ufmg br eb
71. da pesquisa sobre forma o de professores nos Estados Unidos Revista Brasileira de Educa o n 9 pp 77 87 Sites visitados 131 http www alexbrasil eng br arquivos gaal capitulo4 matrizinversaedeterminante pdf em Dezembro de 2009 ALVES George de Souza C L 2005 Um estudo sobre o desenvolvimento do racioc nio espacial no ensino m dio atrav s da utiliza o do software Calques 3D XXV Congresso da Sociedade Brasileira de Computa o 2815 2823 URL http www unisinos br diversos congresso sbc2005 dados anais pdf arq0262 pdf em Dezembro de 2008 http www aulamatematica com CGrafica htm em Janeiro de 2009 http www2 brazcubas br professores1 arquivos 9 migliano Apostilas grafos pdf em Dezembro de 2009 http www cfeci pt escolas SecGafNazare Planificacoes 08 09 Planifica EE 2011 C 2 BA 20B_Matematica pdf COLOMBO V C 2006 Registos de representac o semi tica e resoluc o de problemas no ensino de matrizes e sistemas lineares Synergismus scyentifica UTFPR Pato Branco 01 1 2 3 4 1 778 URL http pessoal pb cefetpr br eventocientifico revista artigos 0604007 pdf em Dezembro de 2008 http www comunicacionypedagogia com publi infcyp muestra pdf santandreu pdf em Janeiro de 2009 COTRET P R d C 2006 Manual do utilizador Cabri 3D v2 URL http download cabri com data pdfs manuals c3dv212 user manual por pdf em Dezembro de 2008 http www dgidc min edu pt re
72. de conex o Ela nos indica se h uma estrada directa entre as cidades as linhas e as colunas indicam cidades Neste tipo de matriz o algarismo O indica n o h estrada directa e o algarismo 1 indica que h estrada directa Observando o mapa escreva a matriz de conex o 4 Se chamar ao elemento de encontro da linha i com a coluna j a porqu que nestas matrizes Aj Aj 92 76 Resolu o 1 2 3 4 I 2 34 5 NX A T A A 2A X TA A SIT T XTT VA AT X A SA AT AX Porque n o h estrada a fazer liga o com ela pr pria A matriz de conex o ser 01011 10110 01000 11000 10000 Porque a estrada que une duas cidades a mesma seja ela percorrida num sentido ou noutro logo observa se que as matrizes encontradas s o sim tricas em rela o diagonal principal 11 6 2 Aplica o Economia Exemplo 38 Adaptado do livro de Esla Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb 2004 p g 66 Uma loja de roupas para jovens vende cal as de Ganga das marcas A B C D nos tamanhos 38 40 e 42 Considere a matriz que representa as vendas numa semana Bb NU e hh A 0 W ww Ju O As linhas da matriz representam as marcas 4 B C e D e as colunas representam os tamanhos 38 40 e 42 Por exemplo da marca A foi vendido 1 cal a do n mero 38 3 cal as do n mero 40 e nenhuma cal a do n mero 42 Quest es que se puderam colocar 1 De que tipo a matriz V 2 Quantas calga
73. de ilustrar o m todo de Gauss Jordan fazendo simultaneamente uma compara o com o m todo tradicional de resolu o de sistemas iremos de seguida utilizar o exemplo presente em LOPES Para encontrar x y e z necess rio resolver o seguinte sistema 10x 30y 202 150 20x 50y 30z 240 30x 20y 40z 230 D A matriz aumentada do sistema 1 10 30 20 150 20 50 30 240 30 20 40 230 D 19 passo Multiplique a primeira equa o por 1 10 x 3y 27 15 20x 50y 307 240 30x 20y 407 230 ID 1 passo Multiplique a primeira linha da matriz 1 por 1 10 1 3 A 20 50 30 240 30 20 40 230 aD 2 LOPES J M Conceitos b sicos de probabilidade com resolu o de problemas Revista do Professor de Matem tica S o Paulo SBM n 59 p 41 5 2006 53 2 passo Substitua a segunda equa o de ID adicionada primeira equa o de ID por essa mesma equa o multiplicada por 20 x 3y 27 15 0x 10y 107 60 30x 20y 407 230 ID 2 passo Substitua a segunda linha de II por essa mesma linha adicionada primeira linha de II multiplicada por 20 para obter LS ls O 10 10 60 am 30 20 40 230 3 passo Substitua a terceira equa o de HI por essa mesma equa o adicionada primeira equa o de HI multiplicada 3 passo Substitua a terceira linha de II por essa mesma linha adi
74. dever e Transcrever enunciados mediante sistemas lineares e resolve los quando seja poss vel e Utilizar o m todo de Gauss Jordan para interpretar e resolver sistemas 3 3 1 Actividades recursos e orienta es metodol gicas Deve se encetar esta unidade a relembrar o estudo de sistemas de equa es com duas inc gnitas retomando assim conhecimentos j adquiridos e dotando assim duma continuidade Nesta altura adequado propor as primeiras actividades de tradu o de enunciados em linguagem alg brica visto tratar se de enunciados acess veis com duas inc gnitas em que os alunos as manipulam com facilidade Nos anos anteriores os alunos estiveram em contacto com as equa es e sistemas com um certo grau de complexidade e portanto deve se fazer refer ncia a situa es acess veis para que as possa conectar com os seus conhecimentos pr vios Propor alguns exerc cios A seguir iremos estudar a resolu o de sistemas utilizando uma nova t cnica o m todo de Gauss Jordan muito importante que o professor tenha a aula sistematizada e organizada nas actividades que interv m na tradu o interpreta o e resolu o de sistemas lineares Deve se persistir na escolha certa da inc gnita para uma melhor percep o do problema Como exemplos de aplica o deste assunto vida quotidiana poderemos referir por exemplo e Situa es geogr ficas e de popula o e Estudos econ micos e Crescimento Populacional e
75. do plano cartesiano Produto escalar de dois vectores no plano e no espaco defini o e propriedades express o do produto escalar nas coordenadas dos vectores em referencial ortonormado Perpendicularidade de vectores e de rectas equa o cartesiana do plano definido por um ponto e o vector normal Intersec o de planos e interpreta o geom trica resolu o de sistemas equa es cartesianas da recta no espa o Paralelismo e perpendicularidade de rectas e planos interpreta o vectorial Podem propor se algumas situa es do mbito da F sica como forma de recordar e ampliar alguns aspectos do c lculo vectorial designadamente o trabalho de uma for a Como actividades de aplica o do conceito estudado aparecem a determina o do ngulo de duas rectas e do declive de uma recta como tangente da inclina o no caso da equa o reduzida da recta no plano Tamb m como aplica o importante deste novo conceito os estudantes encontrar o a condi o de perpendicularidade de vectores bem como novas formas de definir conjuntos seus conhecidos no plano mediatriz circunfer ncia ou recta tangente a uma circunfer ncia num ponto dado no espa o plano mediador e superf cie esf rica Poder aparecer ainda como aplica o do conceito de produto escalar de dois vectores a dedu o da f rmula do desenvolvimento de cos x y O aluno encontra a equa o cartesiana de um
76. e os A a 13 O grafismo real faz o pre o de 13 pela caixa de acetatos c O custo total ser o produto da matriz dos pre os pela matriz de encomendas 120 2 35 5 56 4 69 15 75 100 AxB 2 95 4 5 5 18 x 250 3 25 4 7 4 13 EN 2404 2 AxB 2504 2185 d O IVA de 6 corresponde ao produto do valor 1 06 pela matriz produto ou seja 2404 2 106 100x 2504 2185 2404 2 2548 5 1 06x 2504 2654 2 2185 2316 1 105 Podemos concluir que a casa Grafismo Real tem o pre o de 2316 1 sendo este o mais baixo Utilizando a calculadora Casio fx 9860G Slim temos A AS A Sa A 35 5256 UE O 15 E amp el 2 55 US sS LH a 3 25 Us u HE 1 EEE EDP EIA Er 1 E 1 20 2 100 a 250 Nas EA CAP SEI EIT Mat Ax Mat E CEA KEN SA hi EAT e ams E 1 CEA E esna 2185 dgd 23 1los LBaA hMat Arms GEA GEN ISA bra CREIO E AnS t 1 SEsu s aj 2ESU 2 alzats 1 254S 505 Figura 32 Resolu o com calculadora No Ensino Secund rio h o objectivo de perder pouco tempo com c lculos aritm ticos repetitivos e por isso deve se fazer uma gest o do tempo empregue na resolu o de problemas H todo interesse de estimular todo o tipo de actividades que fortalece o pensamento cr tico a criatividade o poder de decidir no momento certo estimulando desta forma o ensinar para compreender Os exames nacionais do ensino secund rio permitem o uso de calc
77. en a matriz Cn cujos elementos s o iguais soma dos elementos hom logos de A e B isto Cj a b Exemplo 4 2 4 8 9 Adicione as matrizes A 1 Ile B 1 2 3 5 0 5 Resolu o A soma adi o das duas matrizes poss vel porque s o ambas do mesmo tipo 3x02 10 13 C A B 0 3 que continua a ser uma matriz 3x02 3 10 Exemplo 5 Consideremos as tabelas que descrevem a produ o de queijos em dois anos consecutivos Ano 1 Queijo de vaca Queijo de ovelha Queijo de cabra Queijo de mistura Regi o 1 3000 200 400 600 Regi o 2 700 350 700 100 Regi o 3 1000 100 500 800 Tabela 6 Produ o de queijos durante o primeiro ano Ano 2 Queijo de vaca Queijo de ovelha Queijo de cabra Queijo de mistura Regi o 1 5000 50 200 0 Regi o 2 2000 100 300 300 Regi o 3 2000 100 600 600 Tabela 7 Produg o de queijos durante o segundo ano Em rela o s tabelas anteriores a Escrever na forma matricial as tabelas de dois anos consecutivos 27 b Calcular a produ o total dos queijos em cada Regi o nos dois anos c Determinar a ordem da matriz obtida na al nea anterior e identificar quais s o os elementos a a e a dessa matriz e o que representam d Encontrar o aumento ou quebra na produ o de queijo de vaca e queijo de ovelha no primeiro ano em rela o ao segundo ano e escrever sob a forma de matriz e Comp
78. endedores distintos x y z 758000 Venda de cada baril a 30 28 e 25 cada e o custo total 17000000 30x 28 y 25z 17000000 24 do total do petr leo comprado 0 24 x758000 181920 Vai se escrever sob a forma de sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas x y 2 758000 30x 28 y 252 17000000 x 181920 102 Utilizando a calculadora Casio fx 9860G Slim temos anithnr En2 dn El b d 1 1 I 158000 25 1 71E7 o o EEH 181928 Bor MAP cur EDIT anAtbnv EnZ2 dn Tr EEE Y 0 5E5 ZLI E2EE 181926 TREFT an bnY En2 dn Xp 181920 ma 1 52EG REFT 953200 Figura 30 Resolu o com a Calculadora Temos a seguinte solu o x 181920 y 953200 z 1529280 Conclui se que o Estado comprou ao vendedor x e y e n o comprando 953200 barris ao vendedor y A calculadora n o faz tudo mas ajuda a eliminar a parte laboriosa dos c lculos num ricos e permitir que haja mais tempo para se dedicar explorar e interpretar a matem tica Exemplo 49 Na resolu o de sistemas de equa es deve se ter em conta que a representa o gr fica juntamente com a alg brica consolida a aprendizagem do conceito em causa Considere o seguinte sistema x 1 y 2x y 3 Resolvendo em ordem a y ambas as equa es vem Retirado de 3 http www aulamatematica com Revistas pdf revistas 22 7 22 7 24 pdf 103 y x 1 y 2x 5 e cuja representa o e resolu o gr fica
79. enr Esquema de P gina F rmutas Dados Rever ver BS Caini o Aa a a Simoidarteso Gera E a ad NI eB A BEAR TEME ET E om rea de Transfer ncia gt Tipo de Letra g Armamento o Numero g Ja C rci1 Fa 1 F OO UDI OO PIU S s s 2j i a o 2 3 4 82 6 w u 0 738 4 2 B 6 5 1 0 0 45 Pronto ALUA Contar 9 Soma 202 a Iniciar Google Figura 35 Exemplo de adig o de matrizes utilizando a folha de c lculo Excel A grande ajuda de usar o Excel para este tipo de c lculos que se alterarmos qualquer elemento da Matriz A ou B a matriz C A B ser actualizada de forma autom tica Exemplo 52 Produto de um escalar por uma matriz Vamos supor que se pretende determinar o produto do escalar b 3 pela matriz A anterior Em primeiro lugar introduz se numa folha de c lculo a matriz e o escalar e a seguir define se a primeira c lula da nova matriz como o produto entre o escalar e c lula associada da matriz A Notar que usamos o s mbolo para fixar a posig o do escalar 110 E3 doe Livro Modo de Compatibilidade Microsoft Excel x Base Inserr EsquemadeP gina F rmulas Dados Rever Ver o O ex do rmesnemrom 20 A olaa ento Geral HH Y Bss E y A d a Colar E 23 Formata o Fe Estilos de Inserir Eliminar Formatar rder ocalizar e oa y ERES A AE MTE formatos Esos de Ines Em m Pe Tipo de Letra
80. ente ano ATIB Baterias 40 80 Resist ncias 60 50 Tabela 8 n de trans stores e resist ncias adquiridas Estes dados podem se escrever numa matriz de ordem 2 x 2 40 80 M 60 50 Se a empresa decide incrementar em 10 a compra de componentes para o m s de Abril ent o dever comprar 40 80 44 88 T M 0 1 M 1 1M T 1 1 60 50 66 55 Logo comprar 44 baterias ao distribuidor A e 88 ao distribuidor B Sendo assim o n mero de resist ncias que comprar ao distribuidor A ser de 66 sendo 55 as adquiridas ao distribuidor B 4 3 2 1 Propriedades da multiplica o de um escalar por uma matriz Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e ax fe IR tem se Distributividade o A B aA aB e Distributividade a B A aA BA Associatividade Bo A a BA 31 4 3 3 Produto de duas matrizes Sejam A e B duas matrizes tais que o n mero de colunas de A igual ao n mero de linhas de B O produto das matrizes A e B uma matriz C tal que c Y a Py k 1 Amen Bix Cqmxp O elemento gen rico Cj obtido multiplicando os elementos da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B ou seja Exemplo 8 12 Considere as matrizes A 9 e B E A Calcule se poss vel AxB Resoluc o C Cm 3 Aba de Baro Cs By ey 2 AD kal ss C32 5 6 5x1 6x3 5x2 6x4 23 24 AxB 9 7 9x1 7x3 9x24 7x4 30 46 8 0 8x1 0x3 8x2 0x4 8 16 32 Exemplo 9 Suponhamos
81. es dos ngulos com os mesmos lados em graus e radianos Fun es seno co seno e tangente Defini o varia o estudo no c rculo trigonom trico Compara o de senos e co senos de dois n meros reais trigonom tricas nomeadamente para que mais tarde possam confirmar pontos do tran ado de gr ficos de fun es trigonom tricas Isto n o significa que se trabalhe preferencialmente com estes valores at porque se usa a calculadora A compreens o do c rculo trigonom trico fundamental A generaliza o das no es intu da e sistematizada a partir de actividades que considerem movimentos circulares pretendendo se agora que ao resolver problemas os estudantes recordem os conceitos b sicos de trigonometria do ngulo agudo e se enfrentem situa es novas em que a generaliza o das no es de ngulo e arco bem como das raz es trigonom tricas apare am como necess rias e intu veis Pretende se que os estudantes aprendam os conceitos de fun o peri dica e de fun es trigonom tricas como modelos matem ticos adequados a responder a problemas necess rio que se apercebam da diferen a em trabalhar por exemplo com senil em graus e radianos de modo a ter sempre bem presente em que modo est a calculadora e interpretar convenientemente os resultados Recorrendo ao c rculo trigonom trico as rela es entre as fun es circulares de a 7 2 a 1 2 a TO mT a e a aparece
82. espacial O aluno pode testar as suas hip teses atrav s de exemplos e contra exemplos Uma vez feita a constru o pontos rectas planos cilindros e esferas podem ser deslocados no ecr mantendo se as Informa o dispon vel em http www cabri com br oquee php em Dezembro de 2009 9 Cotret P R d C 2006 Manual do utilizador Cabri 3D v2 URL http download cabri com data pdfs manuals c3dv2 12 user manual por pdf em Dezembro de 2008 informa o dispon vel em http www professores uff br hjbortol calques3d em Dezembro de 2008 119 rela es geom tricas previamente estabelecidas permitindo assim que o aluno se concentre na associa o existente entre os objectos Uma mesma cena pode ser visualizada de ngulos diferentes permitindo assim que o utilizador tenha uma melhor percep o tridimensional Na Figura seguinte est representada a intersec o de um cubo com um plano feita com o Calques 3D proposta por Alves LA imio Epe Ve Sivuilca o Gm Gonir o Eplmu o Macs Esmumentas Junio Apdo 8 DE DA noa BB PMIS ANA TOO DSO NX GA EAR gt o PANIG 6 um pordo sobin a cacurdenterao C832 Nu T Figura 49 Intersec o de um cubo com um plano atrav s da ferramenta Calques 3D O Winplot este um dos melhores softwares livres um software gr fico din mico capaz de representar diversos tipos de gr ficos sendo que com o Winplot poss vel representar qualquer equa
83. eve refer ncia utiliza o de tecnologia como material de apoio e sua contribui o no processo ensino aprendizagem nomeadamente alguns softwares de Matem tica e o uso das calculadoras gr ficas Palavra chave Matrizes Sistemas de Equa es Lineares Aplica es de Matrizes vi Abstract Diverse problems in Mathematics fall upon the discussion and resolution of Linear Equation Systems In Mathematics the matrixes appeared with the aim of dealing with Linear systems in an simpler way The concept of Matrixes is used in many areas of Mathematics being also present in such diverse areas as Engineering Physics Computer Science Biology and many others Considering the importance of this concept in so many practical applications it is not surprising that it has been and continues being object of intense investigation contributing to an array of vast literature In this research work we have tried to show how the use of matrices in the resolution of linear systems in the teaching of mathematics in the secondary school level may be a particularly helpful instrument in the description and study of certain natural phenomena Therefore we are going to suggest the introduction of matrices in the curriculum of Mathematics of the secondary school level and their use in problem solving matters We begin by doing a brief historical introduction about the theme of Matrices and Linear Systems since their arrival in remote times till today
84. ganizado atrav s de problemas e exerc cios propostos na sala de aula Os alunos devem fazer uma aprendizagem dos conte dos did cticos com a ajuda da m quina de calcular gr fica e por conseguinte atingir os conhecimentos propostos no curr culo das diferentes unidades did cticas O curr culo das matem ticas deve contemplar a utiliza o desta ferramenta 101 Exemplo 48 Considere a seguinte actividade envolvendo Sistemas de Equa es Um estado compra 758 000 barris de petr leo a tr s vendedores distintos que v o vender a 30 28 e 25 o barril respectivamente A factura total ascende a 17 milh es de euros O primeiro vendedor recebe 24 do total do petr leo comprado Qual a quantidade certa comprada a cada vendedor Resolu o l gico que ao se ensinar com l pis e papel os m todos de Substitui o Adi o Gr fico Gauss Jordan entre outros deve se em conson ncia utilizar as m quinas calculadoras desde as cient ficas at as gr ficas Com elas pode se cobrir outros objectivos importantes tais como Passar um problema escrito na linguagem corrente para linguagem alg brica Interpretar geometricamente um sistema de duas ou tr s inc gnitas Estimular a capacidade de investiga o Interpretar e analisar criticamente os resultados obtidos na resolu o dum sistema de equa es expressando correctamente a solu o Estrutura se o problema compra 758 000 barris de petr leo a tr s v
85. ia 1 0 2 Tabela 10 Resultados da 1 Fase Qual a pontua o obtida por cada equipa 34 Resolu o A partir destes dados podemos construir a seguinte matriz 4x 3 que representa os resultados de cada equipa 2 1 A 1 1 O tm ht O Nh A pontua o obtida em cada jogo apresentada na tabela seguinte N mero de Pontos Vit ria 3 Empate 1 Derrota 0 Tabela 11 Pontua o pode ser descrita pela matriz B de ordem 3 x 1 Assim terminada a 1 fase a pontua o obtida por cada pa s dada por Portugal 2 3 0 1 1 0 6 Gr cia 1 3 1 I 1 0 4 Espanha 1 3 1 1 1 0 4 R ssia 1 3 0 1 2 0 3 Essa pontua o pode ser dada por uma matriz representada por AB produto de A por B AB O A a O 35 Exemplo 12 7 1 Considere as matrizes A eB Determine o produto da matriz A 2 4 O Gu mm Gh N pela matriz B caso seja poss vel Resoluc o Como a matriz A uma matriz de tipo 3 x 2 e B de tipo 2 x 2 o n mero de colunas de A igual ao n mero de linhas de B logo poss vel o produto AB dando origem a uma matriz C de tipo 3 x 2 O elemento c que pertence 1 linha e 1 coluna de AB calculado multiplicando se ordenadamente os elementos da 1 linha de A pelos elementos da 1 coluna de B e somando se os produtos obtidos obtendo se 1x7 2x2 O elemento c que pertence 1 linha e 2 coluna de AB calculado multip
86. ia est em constante com a aprendizagem significativa Este investigador assinala pontos importantes que diferenciam os m todos referidos tais como e As aprendizagens significativas criam alicerces na estrutura cognitiva e por isso a sua durabilidade em termos de mem ria mais longa e por conseguinte s o f ceis de transferir a novas situa es e Os alunos que s o autodidactas e que conseguem atingir por si s o entendimento de regras e procedimentos teriam menos dificuldades para estabelecer solu es para problemas passados um certo intervalo de tempo LABRA A et al refere que o modo formal da Matem tica como ensinado nas escolas leva a esta disciplina a conjunto de s mbolos t cnicas regras e SANCHES M H F 2002 Efeitos de uma estrat gia diferenciada dos conceitos de matrizes Disserta o Mestrado em educa o matem tica UNICAMP S o Paulo P g 6 MENDON A MCD 2000 Resolu o de Problemas Pede Re Formula o In ABRANTES P Investiga es Matem ticas na Aula e no Curr culo Lisboa APM 2 p 15 33 7 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 14 8 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 15 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 13 procedimentos dum grande valor instrumental mas que carece de entendimento po
87. ico e epistemol gico t m sido referidas Note se que existem pa ses como o Brasil Espanha Inglaterra entre outros que t m inclu do nos seus programas curriculares a n vel de Ensino Secund rio o tema Matrizes Mas que ter em considera o o facto de que se pretendermos introduzir um novo tema ou unidade did ctica na rea da lgebra nomeadamente Matrizes e suas Aplica es no curr culo de Matem tica do Ensino Secund rio este certamente obrigar a um aumento da carga hor ria semanal da disciplina ou provavelmente redu o ou at mesmo elimina o de um outro tema existente Mas ser que a import ncia deste tema para a forma o dos alunos n o justifica todos os esfor os nesse sentido No presente trabalho ser o apresentados alguns conceitos e resultados b sicos de lgebra Linear funcionando como suporte te rico Iremos ainda analisar de que forma o tema Matrizes e suas Aplica es poder o contribuir para a resolu o de problemas em particular na resolu o de sistemas no Ensino Secund rio Com esta disserta o desej mos de algum modo contribuir para uma evolu o do ensino no sentido de tornar mais atractivo e significante o estudo da Matem tica 2 TELLES Rosinalda Aurora de Mello A Aritm tica e a lgebra na matem tica escolar Educa o Matem tica em Revista S o Paulo SBEM ano 11 n 16 p g 8 15 Maio 2004 2 Resenha Hist rica Sobre Sistemas de Equa es e Mat
88. ignificados Resolver um problema implica encontrar um caminho onde nenhum outro conhecido de antem o encontrar um caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um obst culo para alcan ar um fim desejado mas n o alcan vel imediatamente por meios adequados Compreende se assim conforme defende Colombo que propor problemas aos alunos propor situa es que os estimulem a pensar em vez de criar situa es que exijam apenas a aplica o directa de f rmulas sem compreens o 3 DOMINGUEZ E D 2007 La calculadora gr fica como recurso did ctico en la ense anza de las matem ticas resoluci n de sistemas de ecuaciones lineales Uni n Revista Iberoamericana de Educaci n Matem tica 12 p g 157 170 COLOMBO V C 2006 Registos de representa o semi tica e resolu o de problemas no ensino de matrizes e sistemas lineares Synergismus scyentifica UTFPR Pato Branco 01 1 2 3 4 1 778 URL http pessoal pb cefetpr br eventocientifico revista artigos 0604007 pdf em Dezembro de 2008 35 COLOMBO V C 2006 Registos de representa o semi tica e resolu o de problemas no ensino de matrizes e sistemas lineares Synergismus scyentifica UTFPR Pato Branco 01 1 2 3 4 1 778 URL http pessoal pb cefetpr br eventocientifico revista artigos 0604007 pdf em Dezembro de 2008 100 7 1 Aplica o das Calculadoras Gr ficas Testes Internacionais e Nacionais PISA CANGURU OLIMP AD
89. inda representar a situa o atrav s da matriz de adjac ncia T a www sbem com br files ix_enem MC04145369408T doc 91 T1 T2 13 A r T4 TS OOOO o o O ooo om O Ooh ooo ooo ooo O oO OOo SOS O oo Oo ooo oo Oo T6 T7 Figura 28 Grafo que traduz os resultados do torneio e a sua representa o matricial Concluindo a Teoria dos Grafos uma nova rea do conhecimento matem tico que vem conquistando espa o nas mais diversas difus es da Matem tica Aplicada e das Ci ncias Sociais Exemplo 45 A 2 Considere o seguinte problema O fluxo m dio de ve culos nos cruzamentos das ruas de sentido nico no hor rio de ponta no centro de uma cidade dado como mostra a seguinte figura al se A 1 aaa A 519 IE 384 312 Figura 29 Esquema de tr fego de uma cidade Sabendo que a m dia de carros que circula por hora nos cruzamentos C e D de 160 Qual a m dia do n mero de ve culos por hora que entram e saem nos restantes cruzamentos 31 www sbem com br files ix_enem MC04145369408T doc http www unifra br eventos jornadaeducacao2006 2006 pdf artigos matem C3 Altica A 20MODE LAGEM 20MATEM C3 81TICA 20NO 20ENSINO 20DE 20MATRIZES pdf 92 Resolu o Tendo em vista que em cada cruzamento o n mero de ve culos que entra tem que ser igual ao de ve culos que sai levando em considera o as setas indicadas pela figura Como mostra a figur
90. inhas verticais ou horizontais tangentes ou normais segmentos de recta gradientes vectores ou objectos a duas ou tr s dimens es O software permite inclusive a escrita de equa es de planos obtendo se de imediato a visualiza o dos mesmos num referencial tridimensional que pode sofrer rota o permitindo uma melhor visualiza o do problema e consequentemente um incremento na comunica o e compreens o por parte dos alunos em sala de aula 117 Figura 46 Intersec o de planos no espa o atrav s AutoGraph Com o Autograph podemos tamb m criar objectos que posteriormente poder o sofrer rota es transla es amplia es ou redu es O Autograph possibilita ainda a liga o entre recursos como a Internet o Excel Word e o pr prio programa Torna se por exemplo poss vel importar dados da Internet ou do Excel ou introduzi los directamente no Autograph onde posteriormente podemos gerar tabelas ou gr ficos e finalmente export los para o Word O GeoGebra uma ferramenta de matem tica din mica para utilizar em ambiente de sala de aula que re ne Geometria lgebra e C lculo Por um lado um sistema de geometria interactivo poss vel fazer constru es com pontos vectores segmentos linhas sec es c nicas e tamb m fun es Por outro lado pode se digitar directamente equa es e coordenadas Sendo assim esta ferramenta capaz de lidar com vari veis para n meros vectores e pontos
91. ios n veis de fluxos de ve culos em determinados pontos da cidade Assim podemos fazer um trabalho pedag gico e educacional dos motoristas para que neste per odo de ponta eles n o cometam excessos e assim refor ando os actos de cidadania As autoridades de tr nsito podem determinar que naqueles pontos e hor rios pr ximos s escolas hospitais asilos creches entre outros seja proibida a utiliza o de buzinas Fazendo com que reduza os n veis de polui o e polui o sonora nestes pontos Atrav s desta situa o podemos trabalhar em sala de aula com as outras reas do conhecimento Ocorrendo assim a interdisciplinaridade na Escola de Educa o B sica e Secund ria 94 6 6 Aplica o Criptografia Como escrever e decifrar chaves A criptografia para al m de ser usada em assuntos militares tamb m importante nos neg cios j que possibilita s grandes empresas protegerem se do roubo de informa o por parte da concorr ncia Permite de uma forma simples escrever e decifrar chaves Consideremos o seguinte quadro a b c d e i j k l m in 9 10 11 12 13 14 o p q r S t x y Z f g o li l2 f3 l4 5s l6 17 u Vy 2 15 16 17 18 19 20 24 25 26 27 28 29 e A B C ID JE 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 O IP Q IR IS T F G H I J K IL IM 45 46 47 48 49 50 5 54 55 56 57 58 59 Halzesjy s U Iv
92. issionais Poderemos ent o incluir como proposta a introdu o no Programa de Matem tica A o Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares onde o ensino da matem tica ficar mais valorizado com a contribui o do ensino de Matrizes visto que est praticamente em todos os campos da ci ncia e comunica o da vida quotidiana fazendo parte da forma o do indiv duo Programa de Matem tica A do 11 Ano Tema I Geometria no Plano e no espa o II Aulas previstas 30 aulas de 90 minutos 10 semanas Desenvolvimento Indica es Resolu o de problemas que No ensino b sico os estudantes tiveram contacto envolvam tri ngulos com a semelhan a de tri ngulos e com a trigonometria logo o professor deve propor agora problemas variados ligados a situa es concretas que permitam recordar e aplicar m todos trigonom tricos problemas ligados a s lidos a moldes navega o topografia hist ricos bem como aperceberem se da import ncia da Trigonometria para as v rias Ci ncias Os estudantes devem ser solicitados a deduzir as razoes trigonom tricas em 7 6 7 4 e 7 3 radianos por se considerar que importante que se conhe am alguns valores exactos das fun es 2 Retirado de http www dgidc min edu pt recursos Lists Repositrioy20Recursos2 Attachments 258 matematica A 11 pdf 11 ngulo e arco generalizados Radiano Express o geral das amplitud
93. istema xey 1 2x 3y 7 Resolva o sistema e interprete geometricamente a solu o encontrada Resolu o a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema RR 2 37 1 1 1 VEA 1 0 4 A 2 3 7 2224l0 1 5 142 O 1 5 y 5 Ou seja x y 4 5 a solu o do sistema Donde Donde se conclui que o sistema poss vel determinado isto as rectas intersectam se no ponto 4 5 59 b Aplicando a Resolu o Gr fica ftx 7 2x 3 fx 1 x Figura 4 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y poss vel e determinado Atrav s desta representa o gr fica podemos observar que o sistema poss vel e determinado tendo como nica solu o o ponto 4 5 Exemplo 27 Consideremos o sistema 2x y 1 4x 2y 2 Resolva o sistema e interprete geometricamente a solu o encontrada Resolu o a Aplicando o M todo de Gauss Jordan A matriz ampliada do sistema 2 131 4 2 2 60 donde 2131 2 1 1 2x y 1 gt 4 22 22410 00 0x 0y 0 Donde se conclui que o sistema poss vel indeterminado ou seja as rectas s o coincidentes b Aplicando a Resolu o Gr fica A sua representa o gr fica f g x 1 2x Figura 5 Exemplo de um sistema de equa es lineares nas inc gnitas x e y poss vel e indeterminado Atrav s desta representa o gr fica podemos observar que o sistema tem uma infinidade de solu
94. j estabelecidas produzindo uma reorganiza o das mesmas Nestes termos ter se melhor cimentado o conhecimento e consequentemente ser mais duradouro como uma transfer ncia a novas situa es Relativamente ao curr culo na Matem tica e em especial ao Tema lgebra Linear no Ensino Secund rio LABRANA et al cita o famoso matem tico franc s J Dieudonn na sua interven o num semin rio da OCDE que teve lugar em Royaumont Fran a em 1959 imprescind vel introduzir no curr culo da Matem tica Moderna os t picos referentes Teoria das Matrizes de 2 e 3 ordem a partir dos 14 anos A dificuldade da linguagem alg brica e a grande abstrac o de seus conceitos provocam certas considera es e an lise como referiu FAINGUELERNT e por isso O rigor dever ser introduzido aos poucos a partir dos conhecimentos pr estabelecidos dos alunos e procurando a discuss o de ideias e temas para que o jogo simb lico n o perca a sua for a comunicativa LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 11 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 11 LABRA A et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 12 j FAINGUELERNT E e GOTTIELB F Matrizes e Determinantes Editora Ci ncia Moderna Ltda Rio de Janeiro RJ 2004 P g 1 Segundo SANCHES a pr
95. lado esquerdo forma condensada de A que 1 do lado direito temos em cada coluna a solu o do sistema correspondente ou seja temos a matriz A 57 RESUMINDO Para encontrar a inversa de uma matriz A usando o m todo de Gauss Jordan condensa o e escreve se a matriz A e a matriz identidade 1 ao lado A 1 e aplicam se unicamente opera es elementares sobre linhas matriz A 1 at se obter Es A M todo de Gauss Jordan Exemplo 25 1 0 1 Considere a matriz A 1 O 2 Determine caso exista a sua inversa 1 10 Resoluc o 1 0 11 00 1 0 11 00 LO 131 00 Ai 7 11 0 2 0 E E Lia E Spa 01 1 10 00 0 1 1 1 0 1 0 0 1 110 i L 1011 0 0 1 0 02 1 0 ga llil Ota 0 E Eva lo 0 1 1 1 0lza 0 0 1 1 1 0 Logo 2 1 0 ADE DO 1 1 1 1 0 5 8 Interpreta o geom trica O M todo Gr fico de resolu o de Sistemas de duas equa es a duas inc gnitas e tr s equa es a tr s inc gnitas actua como um m todo para a sua resolu o ou seja um modo de comprovar a resolu o alg brica ou anal tica 58 A resolu o Gr fica acompanhada da Alg brica oferece uma maior compreens o dum problema atendendo a que se disp e de duas vias diferentes para a resolu o do problema No caso de sistemas de duas equa es e duas inc gnitas poderemos obter situa es distintas Rectas secantes Rectas paralelas coincidentes ou estritamente paralelas Exemplo 26 Considere o s
96. licando 1 2 AxB 3 4 0 5 se ordenadamente os elementos da 1 linha de A pelos elementos da 2 coluna de B e somando se os produtos assim obtidos portanto Ixl 2x4 AxB O Gu N GD A N xX POETON N N A mm Na l Assim sucessivamente obtendo E 2 3 1x7 2x2 Ixl 2x4 11 9 AxB 3 4 l j 3x7 4x2 3x1 4x4 29 19 0 5 0x7 5x2 0x1 5x4 10 20 36 Exemplo 13 Considere as matrizes A e B tais que 12 1 A eB 1 4 23 2 a Calcule se poss vel o seu produto Resolu o A matriz produto existe se o n mero de colunas de A igual o n mero de linhas de B o que se verifica logo 4 3 3 1 Propriedades da multiplica o de matrizes Admitindo que a dimens o das matrizes envolvidas permite que as opera es indicadas possam ser efectuadas ent o s o v lidas as seguintes propriedades Associativa AB C A BC e Distributiva em rela o adi o esquerda A B C AB AC direita B C A BA CA e I o elemento neutro da multiplica o de matrizes quadradas A multiplica o de matrizes n o comutativa AB BA Se AB BA ent o A e B dizem se matrizes permut veis ou comut veis 37 Exemplo 14 a H casos em que poss vel efectuar A x B e n o B x A 12 1 Consideremos A e B 3 4 5 1 Ax B E No entanto n o poss vel efectuar B x 4 b Nos casos em que poss vel efectuar A x Be B x A nem sempre se obt m mesmo resultado Muitas vezes as ma
97. m naturalmente aos estudantes mobilizando unicamente a compreens o dos conceitos j adquiridos N o tem pois sentido que lhes sejam propostos exerc cios rotineiros em que estas rela es intervenham N o vale a pena sequer privilegiar estes valores Podem propor se bons problemas que lhes permitam desenvolver a aptid o para reconhecer ou analisar propriedades de figuras geom tricas importante verificar que se mant m as rela es 2 2 senx sen x cos x 1 tgx COS X 1 2 I tg X gt 3 cos x Que devem ser usadas na determina o de uma fun o trigonom trica conhecida outra 12 Express o geral das amplitudes dos ngulos com o mesmo seno co seno ou tangente Equa es trigonom tricas elementares Recorrendo compreens o sempre ligada interpreta o do c rculo trigonom trico os estudantes desenvolvem a aptid o para mobilizar os conceitos j aprendidos com vista resolu o de condi es simples Assim as t cnicas de resolu o de equa es n o passam por listas exaustivas de f rmulas Os estudantes Desenvolvem a sua capacidade de transferir conhecimentos para novas situa es sempre ligadas a compreens o do c rculo trigonom trico Pode ser feita uma breve refer ncia aos gr ficos das fun es trigonom tricas podendo utilizar se uma actividade de movimento circular que permita por exemplo passar do c rculo trigonom trico para os pontos x senx
98. m plano e sobre ele considere um sistema de eixos cartesianos ortogonais onde cada eixo representa geometricamente o conjunto dos n meros reais Portanto todos os pontos do plano ir o constituir uma imagem de xl produto cartesiano dos reais pelos reais Todo ponto do plano representado naquele sistema de eixos cartesianos por um par ordenado de n meros reais Uma fun o definida entre dois conjuntos A e B n o necessariamente diferentes uma lei que associa a cada elemento de A um nico elemento de B Noutras palavras uma fun o transforma um conjunto de elementos do primeiro conjunto A num conjunto de elementos do segundo conjunto B atrav s duma certa lei Imagine se que os dois conjuntos A e B sejam ambos iguais ao conjunto dos pontos do plano sendo cada ponto representado num sistema de eixos cartesianos por um par ordenado de n meros reais que indicaremos por x y Uma transforma o do plano uma fun o que estabelece uma correspond ncia entre pontos do plano obedecendo a uma certa lei por exemplo a cada par x y associa se o seu transformado pela lei x DY 1 Considere a transforma o T que faz corresponder ao ponto x y do plano o ponto ax by cx dy do mesmo plano sendo a b c d n meros reais determinados Por exemplo sea 1 b 2 c X4 d 3 a transforma o T faz corresponder ao ponto x y o ponto x 2y 4x 3 y f Assim se considerarmos o ponto
99. ma es que possui para escolher um caminho adequado solu o Pode se ainda trabalhar em sala de aula com as outras reas do conhecimento ocorrendo assim a interdisciplinaridade na Escola conforme exprime PANCIERA e demonstrando a import ncia da Matem tica com a integra o de situa es reais na sala 4 GRANDE B L B 2005 Alguns resultados da an lise dos livros did cticos de lgebra linear quanto aos registos de representa o semi tica e as no es de independ ncia linear URL http www fae ufmg br ebrapem completos 10 04 pdf em Dezembro de 2008 4 PANCIERA M V F 2006 Modelagem matem tica no ensino de matrizes e sistemas lineares URL http www unifra br eventos jornadaeducacao2006 2006 pdf artigos matem C3 A1tica A 20MODEL AGEMY 20MATEMY C3 8 ITICA 20NO 20ENSINO 20DE 20MATRIZES pdf em Dezembro de 2008 123 de aula como meio para aceder ao mundo matem tico e para compreender e intervir no meio social Abordar situa es reais com o desenvolvimento do conte do de sistemas lineares e matrizes nas aulas de Matem tica possibilita segundo PANCIERA um conhecimento Matem tico mais significativo pois com o levantamento de dados para o desenvolvimento da aplica o viabiliza se um maior interesse entusiasmo e motiva o pelas aulas permitindo observar que a Matem tica est presente no quotidiano Conclui se que esta metodologia al m de servir como motiva o para introduzir novas ideias propi
100. ma inicial Opera es Elementares Sistemas Matrizes Troca da ordem das equa es Troca de linhas Multiplica o de uma equa o por um n mero real n o nulo Multiplica o de uma linha por um n mero real n o nulo Substitui o de uma equa o pela sua soma com outra multiplicada por uma constante n o nula Substitui o de uma linha pela sua soma com outra multiplicada por uma constante n o nula Tabela 12 Opera es elementares sobre linhas de uma matriz Exemplo 23 Considere o sistema x 3y 2 2x 4y 5 Resolva o transformando a matriz dos coeficientes na matriz identidade utilizando opera es elementares para o efeito Resolu o 2 x 3y 2 1 312 1 3 2 1 3 gt A 2x 4y 5 2 415 bb 24 0 21 gt 0 1 E 1 E 1 0 2 2 4 4 3h 0 1 1 1 y 2 2 Trata se de um sistema poss vel e determinado cuja solu o S E 50 5 6 Resolu o de um sistema pelo m todo de Gauss Jordan Tal como j foi dito podemos usar matrizes para resolver sistemas realizando sobre as linhas da matriz completa as mesmas opera es que se usam nos sistemas de equa es A nica opera o que poss vel realizar sobre colunas a troca excep o da dos termos independentes pois corresponde a uma troca de inc gnitas O m todo de Gauss Jordan usa as opera es sobre linhas para reduzir a matriz dos coeficientes a uma matriz que contenha uma matri
101. mathematics education In A SIERPINSKA A amp KILPATRICK J orgs Mathematics Education as a Research Domain A Search for Identity pp 177 195 Dordrecht Kluwer A P 127 GONZ LES M V 1998 La interpretaci n natural de matriz matem tica Los Libros de Texto y los Estudiantes de Econom a Memorias III Congreso Iberoamericano de Educaci n Matem tica pp 354 360 Venezuela Universidad Central GRANDO R C e FAZZION M F 2002 lgebra e Geometria na Resolu o de um Problema Cl ssico em Matem tica o problema dos cubos pintados Revista de Educa o Matem tica SBEM SP n 6 e 7 p 23 6 Catanduva SP HAWKINS T W 1975 Cauchy and spectral theory of matrices History Mathematica 2 pp 1 29 HIGUERAS L R 1984 Concepciones de los alumnos de Secundaria sobre la noci n de funci n An lisis epistemol gico y did ctico Tesis doctoral Granada Universidad de Granada IMENES Luiz M rcio et al li 1989 Cole o Vivendo a Matem tica S o Paulo EditoraScipione LABRANA et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis LIMA E L et Al 1998 A matem tica do Ensino M dio vol 3 RJ SBM LOPES J M Conceitos b sicos de probabilidade com resolu o de problemas Revista do Professor de Matem tica S o Paulo SBM n 59 p 41 5 2006 LEDER G 1991 Is teaching learning The Australian Mathematics Teacher Vol 4
102. mento da matem tica mas infelizmente a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas Em 213 A C por exemplo o imperador da China mandou queimar os livros Algumas obras escaparam quer pela persist ncia de c pias quer por transmiss o oral Durante o Renascimento d se a cria o da lgebra Simb lica que juntamente com o sistema de numera o hindu ar bico facilitou imenso os c lculos devido obra dos algebristas italianos nomeadamente de Vi ta Cardano e Tartaglia No s culo XVII Descartes e Fermat com a introdu o dos sistemas de coordenadas utilizaram a lgebra para resolver problemas geom tricos estabelecendo assim uma conex o entre a lgebra e a Geometria Leibniz at 1693 utilizou um conjunto sistem tico de ndices para os coeficientes de um sistema de equa es sendo a sua solu o dada em fun o destes Figura 1 Leibniz 1 E ai Segundo LABRANA et al Leibniz relata numa das suas cartas dirigidas a L Hopital como utilizava um conjunto sistem tico de ndices para os coeficientes de um sistema de tr s equa es lineares com duas inc gnitas como podemos observar a seguir 10 lix 12y 0 lp lx Ly 0 20 2lx 22y O ouainda 42 2x 2y O 30 3lx 32y 0 3 3x 3y 0 Este sistema actualmente pode ser escrito sob a forma a bx cy O a bx cy 0 a bx cy 0 As suas contribui es a n vel de nota o demon
103. n lise input output utilizada entre outros aspectos para o estudo das rela es intersectoriais de uma economia a n vel nacional ou regional e desta com o exterior A partir dos quadros input output s o poss veis m ltiplas aplica es relacionadas com incentivos e investimentos avalia o de projectos elabora o de modelos de programa o estudos de com rcio externo entre outros De um modelo fechado onde os sectores s o simultaneamente produtores e consumidores e n o existem vari veis ex genas Leontief pr mio Nobel da Economia 1973 introduziu a componente da procura final consumo privado ou das fam lias consumo p blico forma o de capital fixo exporta es articulada com os sectores econ micos mas determinada por factores ex genos Numa economia moderna em que a produ o de um bem obriga ao input de muitos outros bens como bens interm dios no processo de produ o a procura total x para o produto i ser dada pela soma de todas as procuras interm dias do produto mais a procura final p do proveniente dos consumidores finais Sendo ai o coeficiente t cnico que expressa o valor do input i requerido para produzir uma unidade do produto j a procura total para o produto i pode ser expressa na forma X GM 44 Fe da x p 31 1 2 8 Isto X AX P Onde X a matriz dos outputs ou quantidade produzida P a matriz da procura final 98 A a matriz input output ou mat
104. ndo que as matrizes admitem inversa e que a sua dimens o permite que as opera es possam ser efectuadas ent o s o v lidas as seguintes regras A quando existe nica ama AB B A Se ke IRN OJent o ka A af ar ma ATACT A minelN APV A mnelIN 4 40 Observa o A B A B Se uma matriz quadrada admite inversa diz se uma matriz regular e Se uma matriz quadrada n o admite inversa diz se uma matriz singular Exemplo 16 ps LAS 3 1l 2 cel Verificar que a matriz inversa de A A s I 2 5 3 Resolu o 4 3 I2 1 1 0 AA l 5 2 5 3 0 l E 2 I 3 1 1 0 A A E l 5 3J 5 2 0 l Exemplo 17 13 Determinar a matriz inversa de 4 o 3 se existir utilizando a definig o da matriz inversa Resoluc o Zoi estaa pk Y y yd Suponhamos que a matriz inversa A l ent o 4 4 ds Zz w 41 Ia gt NS efe o i x 1 x 3z 1 1 y 3W 0 5 6z 0 z 0 6w 1 q 1 6 1 Assim a matriz inversa da matriz A A E 0 6 Exemplo 18 Existem matrizes que n o admitem inversa a l 2 61 ta Verifique que a matriz M E n o admite inversa Resolu o X y A E 1 Vamos supor que existe a matriz inversa M ent o Z w wi GHEE ER 2x 6z 2y 6w 1 0 x 3z2 y 3w Lo 1 2x 6z 1 x432 gt O 30 x 3z7 0 MEn PROA y 3w 1 42 Este sistema n o tem solu o e como consequ ncia a matriz M dada n o possui inversa As m
105. ntes venenosos DDT merc rio entre outros t m tend ncia a acumular se nas cadeias alimentares Consideremos um sistema ecol gico em particular com as tr s seguintes liga es duma cadeia 1 Vegeta o servindo de alimento para herb voros As diferentes esp cies de plantas ser o representadas por p P gt P353 3P 2 Animais herb voros alimentando se das plantas descritas em 1 As diferentes esp cies de herb voros ser o representadas por a a a a 3 Animais carn voros alimentando se dos herb voros descritos em 2 As diferentes esp cies de carn voros ser o representadas por C C C35 5C 2 Qual a quantidade da planta p que comida pelo carn voro c durante uma determinada esta o Resolu o Para respondermos a esta pergunta come aremos por introduzir a seguinte matriz X para a transi o da liga o 1 para a liga o 2 na cadeia alimentar que a liga o entre as plantas e os herb voros Xu Xp X is e X21 X2 Xos Xu Xr X rs As colunas representam as esp cies de plantas p p gt P p E as linhas representam as esp cies de herb voros a a a3 34 S 80 Assim X representa a quantidade m dia da planta p que cada indiv duo da esp cie a comeu durante a esta o Generalizando X a quantidade m dia da planta p que cada indiv duo da esp cie a comeu Tamb m podemos definir uma matriz Y para a transi o da liga o 2 para a
106. o de matrizes e sistemas lineares URL http www unifra br eventos jornadaeducacao2006 2006 pdf artigos matem C3 A Iti ca A 20MODELAGEM 20MATEM C3 81TICA 20NO 20ENSINO 20DE 2 OMATRIZES pdf em Dezembro de 2008 PANTOJA L F L 2008 A convers o de registos de representa es semi ticas no estudo de sistemas de equa es alg bricas lineares Master s thesis NPADC UFPA URL http www ufpa br ppgecm media Dissertacoes Ligia 20Francoise 20Lemos 20Pan toja pdf em Dezembro de 2008 134 SANTOS 2006 Sistemas de Equa es Lineares URL http www colegiovirgendegracia org eso documentos mate Algebra Sistemas Ecuaci ones Lineales CCSS pdf em Dezembro de 2008 http www scribd com doc 2743834 Matematica discreta Grafos em Dezembro de 2009 SILVA J C e A A M C M C d F I M C L 2002 Matem tica A Programa do 11 Ano URL http sitio dgidc minedu pt recursos Lists Repositrio 20Recursos2 Attachments 258 m atematica A 11 pdf em Dezembro de 2008 http sisifo fpce ul pt pdfs 20N C3 B Amero3 pdf em Dezembro de 2009 Ensino de sistemas lineares URL http portal mec gov br seb arquivos pdf EnsMed exp nsmat312 pdf em Dezembro de 2008 http www tetri pt prow php prow 000ctg_pshowcategall zcat 76 em Dezembro de 2009 VILLAL N F T 2008 Propuesta de actividades con calculadora gr fica para el tratamiento de operaciones matriciales en el aula Uni n Revista Iberoamericana de Educa
107. ontempor nea Lisboa Dom Quixote 1990 DUVAL R 1993 Registres de representation s miotique et fonctionnement cognitif de la pens e Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 5 IREM deStrasbourg p 37 65 DUVAL Raymond 2003 Registos de Representa es semi ticas e Funcionamento Cognitivo da Compreens o em Matem tica In Machado S D A org Aprendizagem em Matem tica Registos de Representa o Semi tica Campinas SP Papirus FEY J 1991 Tecnologia e educa o matem tica Uma revis o de desenvolvimentos recentes e problemas importantes Em J P Ponte Org O computador na Educa o Matem tica S rie Cadernos de Educa o Matem tica n 2 pp 45 79 Lisboa APM GLAISTER P 1992 An application of matrix theory Mathematics Teacher Vol 85 n 3 pp 220 223 GLIDDEN P L 1990 From graphs to matrices Mathematics Teacher Vol 83 n 2 pp 127 130 GONZ LES M V 1998 La interpretaci n natural de matriz matem tica Los Libros de Texto y los Estudiantes de Econom a Memorias HI Congreso Iberoamericano de Educaci n Matem tica pp 354 360 Venezuela Universidad Central GODINO J 2003 Perspectiva de la Did tica de l s Matem tica como disciplina cient fica Un Granada Programa de doctorado Teoria de la educaci n Matem tica GODINO J D BATANERO C 1998 Clarifying the meaning of mathematical objects as a priority area of research in
108. orizando a utilidade do tema Pelo menos os alunos dever o saber resolver opera es de adi o multiplica o por um escalar e produto de matrizes Dever o saber resolver problemas cuja informa o leve sob forma matricial e que realizem as opera es que forem necess rias para a resolu o e interpreta o correcta das solu es o Passar um sistema de equa es lineares forma matricial e o contr rio Classificar um sistema resolver no m ximo um sistema de tr s equa es a tr s inc gnitas e fazer o seu enquadramento geom trico Pretende se que os alunos sejam capazes de aplicar o m todo de Gauss Jordan para a resolu o de sistemas o Resolver problemas ligados vida pr tica relacionados com Economia F sica Ci ncias Sociais entre outros mediante a resolu o de sistemas de equa es lineares com duas ou tr s inc gnitas Pretende se que os alunos saibam resolver problemas que exijam modela o e resolu o de sistemas de equa es lineares de tr s equa es a tr s inc gnitas utilizando o m todo referido anteriormente 20 4 Proposta Did ctica de Ensino de Matrizes As matrizes e os sistemas de equa es lineares constituem um t pico de grande interesse pr tico e acess vel aos estudantes do Ensino Secund rio Segundo PANCIERA as matrizes ordenam e simplificam os problemas contribuindo para a resolu o de v rios tipos de quest es Estes t m como aplica es diversas reas como
109. orserseseeresessesoeses coco scenes cesesneses 74 6 1 APLICA O GEOGRAFIA essesessesossesoseosoesesocsossesosoosossesoseosoesesossossesoseosossesoceorosseeoesossesose 74 6 2 APLICA O ECONOMIA ccecsceeeneenescersneenesorescresne snes sereno snes cersarenas secs ceesas snes cessnesnessessas 78 6 3 APLICA O BIOLOG A issisiestrss ces cuianosonisarado qenadrisasassasidvas ia condessa d Cuadba deusas essa suitasbocisd n o 80 6 4 APLICA O GEOMETRIA TRANSFORMA O NO PLANO ecceserescesenesnessersnesnessessos 82 6 5 APLICA O TEORIA DOS GRAFOS essessesesossossescssosoesesoseosoesesocsossesoseosoesesoesoroeseeossossesose 86 6 6 APLICA O CRIPTOGRAFIA COMO ESCREVER E DECIFRAR CHAVES ecceessessecse 95 6 7 APLICA O ECONOMIA AN LISE INPUT OUTPUT cccecceeeererereeeeesececerersceessrenesee 98 7 UTILIZA O DE RECURSOS TECNOL GICOS cceeeeeerescersereneserescresnesnessersnrenesserssessassnes 100 7 1 APLICA O DAS CALCULADORAS GR FICAS ccceerescereseereseresceesnesnessersnesnessersseesassnes 101 do MOLHA DE CALCULO EXCEL aaa di et 108 1 3 SORT GR FICO AAA nnha bao Sidnei on adia adequa oh sagas 115 8 CONCLUS O E TRABALHO FUTURO ccsccerceserserermesscrserssconcoserssrenceseesecesseoscoserssconcosees 123 BIBLIOGRAFIA A T E E AE EEE 125 IX Lista de tabelas Tabela 1 Programa de Matem tica A do 11 Ano cccccecererererereecerecereceresece
110. os O 3 anos at l apenas Intranet da UPT Advert ncia O direito de autor da obra pertence ao criador intelectual pelo que a subscri o desta declara o n o implica a ren ncia de propriedade dos respectivos direitos de autor ou o direito de a usar em trabalhos futuros os quais s o perten a do subscritor desta declara o Assinatura Porto Agradecimentos A redac o da presente disserta o embora fruto de meu esfor o pessoal para vencer os in meros obst culos encontrados nessa jornada seria imposs vel sem o aux lio e colabora o de diversas pessoas merecedoras de meus sinceros agradecimentos Fa o um agradecimento especial minha esposa Maria do Carmo que em muitos momentos ajudou me nesta dif cil empreitada incentivando para que eu n o desistisse e compreendeu a minha aus ncia em v rios momentos de confraterniza o familiar Aos meus filhos Gon alo e Sim o a quem na verdade dedico este trabalho agrade o pela compreens o mesmo que involunt ria nos v rios momentos da minha aus ncia Aos meus pais que apesar das dificuldades ajudaram me indirectamente na conclus o deste trabalho tomando conta dos meus filhos em diversas ocasi es em que eu estive ausente Devo agradecer em mem ria do falecido Prof Doutor Ant nio Pascoal que foi meu primeiro orientador e que a ele devo o caminho que comecei a percorrer referente
111. plo de adi o de matrizes utilizando a folha de c lculo do Excel 109 Figura 34 Exemplo de adi o de matrizes utilizando o Excel passo a passo 109 Figura 35 Exemplo de adi o de matrizes utilizando a folha de c lculo Excel 110 Figura 36 Exemplo de multiplica o de um escalar por uma matriz utilizando a folha de Cu e 99 A RP SR O A SDS SAR RR 11 Figura 37 Exemplo de multiplica o de um escalar por uma matriz utilizando o Excel RA 111 Figura 38 Exemplo de multiplica o de matrizes configurando o Excel 112 Figura 39 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando os procedimentos 113 Figura 40 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando o Excel 113 Figura 41 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando o Excel 115 Figura 42 Intersecc o da fun o 50In x x com a sua tangente em x 4 atrav s da ferramenta Graphite emirancenisreeerestsonbecesaseco mentos poeske ess tons PuasEsieas anta a dondis secs estro Sost psa 116 Figura 43 Histograma atrav s do AutoGraph oomcooommmsmmmmssssso 116 Figura 44 Movimento parab lico atrav s do AutoGraph omomommsssssssso 117 Figura 45 Espiral logar tmica atrav s do AutoGraph cccecerecerecererererenereerererererereresanes 117 Figura 46 Intersec o de planos no espa o atrav s AutoGraph
112. r uma grande parte dos alunos A grande perfei o na elabora o dos resultados e a complexidade da carga simb lica da sua linguagem leva a dificuldades nas possibilidades de serem recuperados para uso posterior Segundo ALEKSANDROV et al a transforma o dum problema escrito em linguagem corrente a linguagem alg brica permite reduzir a carga de mem ria visto que estabelecidas as equa es a resolu o do problema reside num procedimento mec nico das t cnicas conhecidas importante real ar que al m da experi ncia e uma melhora dos procedimentos cognitivos do aluno GEENO 1978 citado por LABRA A et al indica procedimentos para avaliar a qualidade da compreens o e refere tr s pontos que podem resultar de grande aplica o e A interliga o entre as representa es internas que cada aluno faz dos conte dos de trabalho e A interac o dos conhecimentos por parte do aluno e O processamento entre a imagem mental dos conte dos e as no es matem ticas correctas A procura de uma transversalidade leva a um desenvolvimento que interage com os conte dos para al m das rela es que servem de base a novos conceitos Na resolu o de sistemas de equa es lineares de tr s equa es a tr s inc gnitas que faz parte dos programas de Matem tica A e B de 11 ano no Cap tulo de Geometria Anal tica ensinado o M todo de Redu o ou Adi o Ordenada Outro dos m todos que poder amos usar nesta resolu o
113. ra 19 representa o de pontos e suas transforma es ccecccsecrserrsescesscesscessaconoe 85 Figura 20 Exemplo de um Grafo ooooccconocnnnononnononononaconaconacconeconnconncnn cnc nooo nono cono conoconnccnnaconos 87 Figura 21 Exemplo de um Grafocom 6 v rtices e 9 arestas essssssesesesesesososossesososossesssesese 88 Figura 22 Exemplo de um Grafo com 6 v rtices e Tarestas cccesceserserercereesecersersersrrsse 88 Figura 23 Mapa das pontes de K nigsberg ooooomomosssmss 88 Figura 24 Grafo das Pontes de K nigsberg e ssesssesssesssecssecssecssccssecesocesocesocesocesocesocesoosso 89 Figura 25 Conex es entre V rtices sesessossesesocsossescsocsossesoseoecesesocsosssscsecsossesoseossseesocsossssese 89 Figura 26 Grafo e sua representa o matricial oocooooosoconocconsconocnoccnonanono cocos ceneana 90 Figura 27 Grafo e sua representa o matricial u mooommsm 91 xi Figura 28 Grafo que traduz os resultados do torneio e a sua representa o matricial 92 Figura 29 Esquema de tr fego de uma cidade ceccecererererererereserescereceresereseceseneererenos 92 Figura 30 Resolu o com a Calculadora oooomoooossssmsmssss 103 Figura 31 Res lu o gr fica esesesesissirestariias caso ssosotssstaetto ioaes enitaso roras reio aunado cstascssntastasa do 104 Figura 32 Resolu o com calculadora moooomsmssm 106 Figura 33 Exem
114. ra outras ferramentas ainda poss vel efectuar alguns c lculos matem ticos sobre as fun es Na Figura seguinte est representada a intersec o da fun o 50In x x com a sua tangente em x 4 Dispon vel em http www padowan dk graph em Dezembro de 2008 115 Pf Graph EX Projects GraphiTest casesiExamples grf E 10 xj File Edit Function Zoom Calc Help DS B tHE YV slo mA vallas Ds Ares Hx 50ln x x 2 Y sab Ra S0lnfx x 2 Tangent at x 4 y t fse f 02505 re oos Snap to Function z x 8 77 y 1 58 Figura 42 Intersec o da fun o 50ln x x com a sua tangente em x 4 atrav s da ferramenta Graph Dispon vel em Portugu s Autograph 3 2 um inovador software de matem tica intuitivo com uma abordagem visual interactiva e din mica podendo ser utilizado em qualquer computador com sistema operativo Windows2000 SP3 XP e Vista ou MAC Ideal para funcionar com os quadros interactivos Este software dirigido a v rios n veis de ensino come ando no b sico passando pelo secund rio e inclusive universit rio funcionando em dois modos alternativos padr o ou avan ado consoante se pretenda uma abordagem mais b sica ou mais elaborada Uma vez que se trata de um programa que permite a manipula o de dados dinamicamente torna se uma ferramenta que possibilita a aquisi o de no es matem ticas f sicas e n o s de modo mais efectivo
115. rapem completos 10 04 pdf em Dezembro de 2008 HERRERO S M 2004 Sistemas de ecuaciones lineales una secuencia did ctica Revista Latinoamericana de Investigaci n en Matem tica Educativa Vol 7 Issue 1 49 78 URL http clame org mx relime 200403ader html em Dezembro de 2008 133 HOHENWARTER Y K Z L 2008 Teaching and Learning Calculus with Free Dynamic Mathematics Software GeoGebra TSG 16 Research and development in the teaching and learning of calculus ICME 11 Monterrey Mexico 2008 URL http tsg icme1 1 org document get 666 em Dezembro de 2008 LOPES M G P 2006 Sistemas de equa es lineares URL http www colegiovirgendegracia org eso documentos mate Algebra_Sistemas_Ecuaci ones_Lineales_CCSS pdf em Dezembro de 2008 http www mat ufrgs br portosil minmatr html em Dezembro de 2009 MENDOZA F R 2000 Resolviendo las Ecuaciones Lineales con el uso de Modelos Notas de matem tica Vol 1 Ne 201 URL http www saber ula ve bitstream 123456789 22683 1 numero_201 pdf em Dezembro de 2008 MORA Castor David Estrategias para el aprendizaje y la ense anza de las matem ticas Rev Ped online mayo 2003 vol 24 no 70 citado 02 Diciembre 2009 p 181 272 Disponible en la World Wide Web lt http www scielo org ve scielo php script sci arttext amp pid S0798 97922003000200002 amp Ing es amp nrm iso gt ISSN 0798 9792 PANCIERA M V F 2006 Modelagem matem tica no ensin
116. riedades das figuras usando as suas representa es em coordenadas Tabela 1 Programa de Matem tica A do 11 Ano 3 1 Objectivos Espec ficos Representar dados mediante matrizes realizar diferentes opera es com elas expressar matricialmente sistemas de equa es e resolver equa es nas que a inc gnita seja uma matriz Resolver problemas reais e sistemas de equa es lineares com duas e tr s inc gnitas utilizando diferentes m todos Resolver sistemas de equa es lineares utilizando o m todo de elimina o de Gauss e de Gauss Jordan e resolver geometricamente e dar explica o ao significado geom trico 3 2 Unidade did ctica 1 Matrizes Nesta unidade a no o de matriz ser dada como uma representa o e ordena o de dados num ricos em linhas e colunas em tabelas de dupla entrada E uma ferramenta alg brica important ssima que favorece a representa o interpreta o e manipula o de 14 dados que podem estar relacionados com diferentes situa es de car cter cient fico econ mico e social Quando o aluno estiver familiarizado estes novos elementos alg bricos estudar as opera es alg bricas com matrizes e as suas propriedades Posteriormente ir ter conhecimento de v rias aplica es tabelas de dados num ricos de dupla entrada representa o de grafos e matrizes utilizadas em problemas de economia agricultura engenharia entre outros 3 2 1 Actividades recursos
117. rir Esquemader gina F rmulas Dados Rever ver Os x fe E Soma Autom tica Fur a leulo iate C lcul MATRIZ MULT X JR MATRIZ MULT C8 E10 C14 D16 E B E D H l J K 3 colunas 3 linhas MATRIZ MULT Matriz1 C8 E10 E 5 2 10 2 3 4 82 6 Matriz2 c14 D16 1 sk 1 51 36 229 536 630 Devolve a matriz produto de duas matrizes uma matriz com o mesmo n mero de linhas que matriz e de colunas que matriz2 Matriz2 a primeira matriz de n meros a multiplicar e tem de ter o mesmo n mero de colunas que Matriz2 tem de linhas Resultado da f rmula 1 i M 4 gt Ai Folhal Foha2 Folhas 23 m a Apontar Iniciar Google Figura 38 Exemplo de multiplica o de matrizes configurando o Excel 112 Qdo Er Livro1 Microsoft Excel bs 25 Base Inserir EsquemadeP gina F rmulas Dados Rever Ver 0 5 x E Soma Autom tica L gica Consulta e Refer ncia S Recentemente Utilizados A Texto D Matem tica e Trigonometria pose Financeiras Data e Hora Mais Fun es Wo Biblioteca de Fun es MATRIZ MULT v 2 X Y fe MATRIZ MULT C8 E10 C14 D16 E A B D E F G H J k E T 8 5 2 1 9 A 0 2 3 3 colunas 10 4 82 6 11 12 13 14 1 4 15 D 6 2 3 linhas 16 8 75 17 18 19 Iniciar Google Figura 39 Exemplo de multiplica o de matrizes utilizando os procedimentos Deve se premir conjuntamente
118. riz de consumo cujos elementos a s o chamados coeficientes input output Para determinar os outputs totais basta resolver a equa o X AX P em ordem a X isto XxX 1 A P matriz I A d se o nome de matriz de Leontieff 99 7 Utiliza o de recursos tecnol gicos Estando numa poca em que se d extrema import ncia s novas tecnologias n o podemos deixar de referir alguns recursos que poder o ser teis como apoio s aulas Segundo DOM NGUEZ a utilizac o deste tipo de material de apoio nas aulas de matem tica interessante por v rios motivos entre outros e til em actividades de amplia o de conhecimentos tais como situa es mais complicadas e que requerem a utiliza o de m todos aproximados e Os alunos podem us los de maneira aut noma como ferramenta de correc o ou de comprova o dos exerc cios feitos e Ao simplificar os c lculos permite dedicar mais tempo a trabalhar aspectos interpretativos N o podemos aqui deixar de referir tal como foi mencionado em COLOMBO que um problema definido como qualquer tarefa ou actividade para a qual os estudantes n o t m m todos ou regras prescritas ou memorizadas nem a percep o de que haja um m todo espec fico para chegar solu o correcta ou seja um verdadeiro problema uma situa o nova inusitada para o individuo o que imprime a necessidade de inventar criar conjecturar elaborar estrat gias e produzir s
119. rizes na lgebra Linear A Hist ria da Matem tica d um contributo muito importante na forma o do conhecimento matem tico A perspectiva hist rica influencia a forma o curricular visto que pode sugerir importantes contributos did cticos e metodol gicos compreendendo a forma o de conceitos ao longo dos tempos Quais foram os passos ao longo da hist ria da matem tica que nos conduziram aos m todos de resolu o de sistemas de equa es que hoje se utiliza baseados na teoria de matrizes Que descobrimentos pr vios foram necess rios e em que condi es e contexto se deram Quais foram as motiva es dos matem ticos nas distintas pocas para o estudo das mesmas Ao tentar responder a estas quest es somos levados at s origens da lgebra Linear Verificamos que j nas civiliza es babil nicas e eg pcia eram resolvidos sistemas de equa es de primeiro grau A lgebra proporcionou uma ferramenta muito til para resolver problemas pr ticos da vida quotidiana como consta no Papiro de Rhind ou de Ahmes Os gregos foram os primeiros a estabelecer que as proposi es da Matem tica deveriam ter valor universal Os problemas eram formulados em linguagem ret rico e resolvidos em termos de comprimentos e reas Diofante de Alexandria foi considerado por alguns o pai da lgebra devido ao facto de ter sido um dos primeiros matem ticos a utilizar s mbolos e letras na resolu o dos problemas alg bricos
120. s da marca B foram vendidas nessa semana 3 Naquela semana quantas calgas do tamanho 40 foram vendidos 4 Considere que o pre o das cal as por marca e MarcaA 15 e Marca B 22 e Marca C 17 e MarcaD 16 Podemos representar a matriz dos pre os por P 15 22 17 16 Esta matriz de que tipo 5 Pode se escrever a matriz P xV Porqu 6 Determine a matriz PxV e diga o que representa cada um dos elementos desta matriz produto NO que se deveria fazer para determinar o ganho total da semana com as cal as de Ganga 78 Resolu o D uma matriz de tipo 4 x 3 2 Nessa semana foram vendidos 18 cal as de ganga ou seja teremos que somar os tr s elementos da segunda linha da matriz 3 Foram vendidas 3 8 4 4 19 cal as com o n mero 40 basta adicionar os quatro elementos da segunda coluna da matriz 4 Sim pode ser assim representada uma matriz de tipo 1 x 4 5 Sim porque o n mero de colunas da 1 matriz P igual ao n mero de linhas da 2 matriz V 130 585 6 PxV 15 22 17 16 x ES 223 353 227 4 4 3 223 Ganhos naquela semana com as vendas das cal as de tamanho 38 353 Ganhos com as vendas das cal as de tamanho 40 227 Ganhos com s vendas das cal as de tamanho 42 7 Somar os tr s elementos da matriz P x V 79 6 3 Aplica o Biologia Exemplo 39 Adaptado do livro de Esla Kaufman Fainguelemt e Franca Cohen Gottlieb 2004 p g 68 bem conhecido que polue
121. seceseneererenos 14 Tabela 2 Proposta de introdu o do Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares no programa de Matem tica A do 11 Ano de Escolaridade oooomomsoss 18 Tabela 3 Proposta de introdu o do Tema Matrizes e Sistemas de Equa es Lineares detalhados nasrne e oseese s sesaosan asee o a aE EEE ne sado aaa aa sad ea anta E secs an aan da 19 Tabela 4 Produ o dos tr s produtos por f brica 22 Tabela 5 Altura peso e idade por pessoa s sesssesocssesoosseesossessossoseossocssesoossesoossessoesosesssosese 22 Tabela 6 Produ o de queijos durante o primeiro ano s sesssesosssesocssesoossesoosseseoesosesssosese 27 Tabela 7 Produ o de queijos durante o segundo ano ssesessoesoseossocssesoossesoosseseossosesssosese 27 Tabela 8 n de trans stores e resist ncias adquiridas sseseessesocssecocsseesoesecsoesccssesoceseeocese 31 Tabela 9 Quantidades de vitaminas por alimento sesssesssecssesssecssccssocesocesocesocesocesocssoosso 33 Tabela 10 Resultados da 1 FaS oonoocnocconnonnccnnconcnnonnnnonconononcnccnconaconcconco nono sosban bosss sosse s nbre 34 Tabela 11 Pontua o AA T N E E S 35 Tabela 12 Opera es elementares sobre linhas de uma matriz oooooomosom 50 Tabela 13 M todo Gauss Jordan esescsosscscsosossesesesesescsososecsesosossesesesesesososossesososossesssesese 56 Tabela 14 Liga es entre cidades por estradas asfaltadasS
122. sino secund rio Pensamos que o conceito de matriz que primeira vista pode parecer um conceito abstracto torna se natural quando se percebe o seu significado quer geom trico quer alg brico A Teoria das Matrizes ainda um ptimo exemplo de como uma teoria cient fica vai adquirindo import ncia e tendo aplica es que transcendem o objectivo inicial com que foi criada A resolu o dos sistemas de equa es lineares com duas tr s equa es e duas tr s inc gnitas com a aplica o de matrizes complementadas com a geometria s o uma mais valia no ensino de sistemas lineares de equa es no ensino secund rio Pode se assim enriquecer o ensino da Matem tica evitando uma vis o compartimentada muitas vezes presente entre os v rios temas abordados Em rela o abordagem do tema o professor deve fazer com que o aluno possa reflectir mais sobre os conceitos matem ticos aprendidos Nesse caso GRANDE sugere que o aluno que escreva a respeito da pr pria Matem tica citando teoremas propriedades elaborando contra exemplos para validar uma afirma o constituindo uma actividade ainda pouco explorada pelos professores A import ncia da utiliza o dos materiais de apoio acima listados prende se com a motiva o e o desenvolvimento da autonomia do aluno fundamental que o aluno se torne um sujeito pensante cr tico que ao se deparar com novas situa es ou problemas saiba utilizar os v rios conhecimentos e infor
123. stram que a elei o de uma linguagem adequada a cada situa o era muito importante para Leibniz Considera que o facto de usar um simbolismo adequado facilita o processo de pensamento e a comunica o Na sua obra Character stica generalis tentou criar uma linguagem cient fica universal de forma a poder aplicar se a todas as ci ncias Por volta de 1840 desenvolve se o progresso da lgebra Linear e Multilinear no sentido moderno Pensa se que o primeiro matem tico a utilizar o termo Matriz foi o 5 Figura retirada de http pt wikipedia org wiki Leibniz em Dezembro de 2008 16 LABRARNA et al 1995 Algebra lineal Resoluci n de sistemas lineales Madrid S ntesis P g 37 Ingles James Silvester em 1850 Cayley e Sylvester s o considerados os precursores da teoria das Matrizes b Figura 2 Personalidades hist ricas na teoria dos sistemas e matrizes a Sylvester b Cayley Segundo Boyer foi Cayley que definiu opera es com matrizes e suas propriedades Da sua obra destacamos um resultado obtido em 1858 sobre a teoria das transforma es Se por exemplo aplicamos ap s a transforma o x ax b T y y cx dy uma outra transformag o x Ax By A y Cx Dy o resultado equivalente transforma o composta x Aa Bc x Ab Bd y DI y Ca Dc x Cb Dd y 1 Se por outro lado invertermos a ordem de T e T2 de modo que T a transforma o x Ax
124. studo das Matrizes Quadradas tais como Matriz Sim trica Matriz Diagonal Matriz Escalar Matriz Identidade Matriz Inversa Matriz Aumentada e Matriz dos Coeficientes Pretende se que os alunos realizem opera es com matrizes adi o produto por um escalar produto de matrizes e fa am uma interpreta o dos resultados que possam aplicar valorizando a utilidade desta unidade Os alunos devem conhecer as propriedades da Adi o e multiplica o de Matrizes 17 e Sistemas de Equa es Lineares Representa o Matricial e Classifica o de Sistemas e M todo de Gauss Jordan e Aplica es Deve se iniciar esta unidade a relembrar o estudo de sistemas de equa es com duas inc gnitas retomando conhecimentos j adquiridos e dotando assim de uma continuidade Utiliza o das transforma es de sistemas para obter outros equivalentes e do m todo de Adi o ordenada ou redu o para resolver sistemas Obten o da express o matricial dum sistema de equa es lineares dado Resolu o de sistemas de equa es lineares pelo m todo gr fico de duas tr s equa es a duas tr s inc gnitas aplicando a resolu o a distintos problemas da vida quotidiana e classifica o segundo o resultado da an lise das solu es do sistema Resolu o de sistemas de equa es lineares aplicando o m todo da matriz inversa ou o m todo de elimina o de Gauss Jordan Utilizar os recursos d
125. tica A NCTM defende que um dos temas mais importantes As matrizes e suas aplica es O Excel um produto Microsoft a sua licen a de uso faz parte do pacote Office e uma Ferramenta que funciona com o sistema operacional Windows O prop sito desta ferramenta de gerar Folhas de C lculo gerar gr ficos e fun es As Folhas de C lculo podem ser usadas para introduzir e trabalhar conte dos de Matem tica Estat stica Contabilidade Economia entre outras O tema matrizes num programa futuro do ensino secund rio poderia ser leccionado com a ajuda da Folha de C lculo Excel como via para consolidar estes conte dos e aplicar uma ferramenta para resolver os problemas propostos Exemplo 51 Soma de duas matrizes Suponhamos que se pretende somar as matrizes seguintes Pd US 0 78 4 A 0 2 3 e B 6 5 1 4 82 6 0 0 45 Resoluc o Na folha de c lculo Excel deve se come ar por introduzir as componentes de ambas matrizes e na matriz soma definimos a soma das primeiras componentes ou c lulas das matrizes anteriores 108 03 doc rol Microsoft Excel cisma Base Inserir EsquemadeP gina F rmulas Dados Rever Ver sx Ol o jaa al an E jj 3 a gt ES sr A Colar y na 2 4 Ea E dum e corar 5885 06 00 08 088 Fomuta o formatos fics de Iser Eliminar Formatar 2 Ordenar tocalaare Area de Transfer ncia fz Tipo de Letra alinhamento N mero Estilos C nalas Edi o mzoe
126. triz Esta caracter stica faz com que se defenda neste trabalho a resolu o de sistemas atrav s do uso de matrizes considerando a adequada a alunos ao n vel do Ensino Secund rio Este quadro pode auxiliar os alunos a compreenderem de modo mais profundo os processos envolvidos em cada m todo 5 7 C lculo da inversa de uma matriz pelo m todo de Gauss Jordan Seja A uma matriz invert vel de ordem n e designemos a sua inversa por X Pretende se ent o encontrar a matriz X de ordem n tal que AX T isto Ai an An Xi A2 SER An 1 0 0 dy dy aan X A ct A JO 1 0 A An An An Xna Xan 0 0 D 1 56 Ai Ap Ain My 1 Qi Ay vt An Xin 0 da dy O X 0 dy dy tt Az Xn O a an2 An Xn 0 a an2 a An Xan 1 A determina o da inversa da matriz A pode ent o fazer se pela resolu o de n sistemas de equa es lineares todos com a mesma matriz dos coeficientes Ap Go rr An Xi 1 aa Ay gt o an Xa 0 anm ar ann UA 0 ai 4 in An Ad an don Az 1 L n Ano An 44 2 0 ai Ar A Xin 0 day dy An Xn O a an2 An Xan 1 Como a inversa de uma matriz nica cada um dos sistemas anteriores poss vel e determinado a forma condensada da matriz A 1 Usando o m todo de Gauss Jordan poss vel resolver os n sistemas em simult neo condensando a matriz aumentada ou completa di Ue MS 1 0 0 a ap O des 0 an An E ann 0 0 da 1 Quando se chega no
127. trizes obtidas n o s o da mesma ordem 2 1 3 2 1 Consideremos A eB 0 3 402 1 3 7 0 Ax B 10 10 24 0 Bx A 12 0 6 9 2 5 c No caso das matrizes serem quadradas pode n o se verificar a propriedade comutativa 2 0 1 1 Seja A e B 01 2 1 2 iZ Ax B f a 2 1 Bx A 4 38 Exemplo 15 Existem matrizes n o nulas cujo produto a matriz nula Considere as matrizes eo es se 0 saf E LO 4 3 4 Transposi o Matriz transposta de uma matriz A a matriz que se obt m trocando ordenadamente E T linhas por colunas e representa se por A 1 3 57 3 A gt A 24 6 9 ZA UG Ra VQ h N Uma matriz quadrada diz se sim trica se de As i j 1 2 3 n isto A 4 Por exemplo L 2 3 L 25 B 2 3 7 uma matriz sim trica pois B 2 3 Je NE A 5 7 4 39 4 3 4 1 Propriedades da transposi o de matrizes Admitindo que a dimens o das matrizes permite que as opera es indicadas possam ser efectuadas ent o s o v lidas as seguintes regras 4 A e SekelR ent o ka kA A B A B e AB B A 4 4 Inversa de uma matriz quadrada Chama se matriz inversa da matriz quadrada A de ordem n matriz que multiplicada por A esquerda e direita d a matriz identidade da mesma ordem A matriz inversa quando existe da mesma ordem que A e representa se por A AA A A I 4 4 1 Propriedades da matriz inversa Admiti
128. u v e V temos mais do que um elemento em p fu v chamamos arestas m ltiplas a esses elementos Um grafo que n o tenha lacetes nem arestas m ltiplas diz se um grafo simples Sejam abe A e u vev e u e v dizem se v rtices adjacentes quando existe ce A tal que p c lu v e ae b dizem se arestas adjacentes quando existe weV tal que we plaja olb e O v rtice v e a aresta a dizem se incidentes quando v pla O grau de um v rtice ve V define se como sendo 2i j onde i o n mero de lacetes incidentes com v e j o n mero de arestas que n o sejam lacetes incidentes com v 86 Figura 20 Exemplo de um Grafo Grafo com 4 v rtices e 6 arestas Utilizar grafos de grande utilidade na representa o de problemas da vida real Podem ser cidades e uma rede de estradas Redes de computadores At mesmo os movimentos de um cavalo num tabuleiro de xadrez podem ser representado atrav s de um grafo Na pr tica As linhas de metro das grandes cidades utilizam grafos de modo a minimizarem o tempo das liga es distribui o de correio minimizando percursos de forma a optimizar as desloca es tanto para um nico carteiro como para uma equipa o mesmo se aplica a empresas de distribui o Os sistemas de patrulha da PSP permitem estudos de optimiza o recorrendo a grafos Ap s a sua representa o o que podemos descobrir Por exemplo O caminho mais curto entre duas cidades num mapa
129. uladoras gr ficas A lista dos modelos permitidos dada pela Direc o Geral de Inova o e de Desenvolvimento Curricular e envolve tr s marcas comerciais DGIDC calculadoras Texas Instruments Sharp Lexibook e Casio De seguida faz se um pequeno resumo das capacidades destas calculadoras gr ficas no que diz respeito ao seu n vel gr fico alg brico e matricial Retirado de x http www aulamatematica com Revistas pdf_revistas 22_7 22_7_24 pdf em Dezembro de 2010 106 Texas Instruments modelo TI 86 Sharp modelo EL 9900 Lexibook modelo GC500 Casio modelo FX 9860 G Desenha e compara fun es e Desenha e compara e Permite a resolu o Possui fun es Fun o G solve que permite a partir de um gr fico o calculo de Zeros Pontos de pr prios vectores pr prios determinantes etc transpostas inversas opera es elementares entre colunas etc N vel f de equa es tanto de gr ficas como intersec o integrais conjuntos de dados i gr fico forma num rica como Zoom Plot line etc Avalia os gr ficos o de forma gr fica Scroll Trace etc Possibilidade de atrav s da gera o a divis o do ecr de forma de tabelas a mostrar 2 gr ficos ou gr fico e tabela Possui Possui ferramentas ferramentas Rr interactivas de Possui DAL Direct Possibilidade de i matem ticas
130. z identidade da maior ordem poss vel ou seja come amos por escrever a matriz completa A Gp Qn b da an don b d mi Amo ses Am H b e usando opera es elementares transformamos esta matriz numa matriz do tipo O sn Ora ka Xj b O Ts DAN gu 3 b 0 00 ds ld 0 0 0 0 0 01D 0 0 0 00 0 0 lo 0 0 0 0 olo Se e b 0 Sistema Imposs vel y e p n Sistema Poss vel Determinado o A E p lt n Sistema Poss vel Indeterminado grau de indetermina o n p 51 Exemplo 24 Resolva e classifique os sistemas seguintes usando o m todo de Gauss Jordan a x y z 1 x 2y 7 2 2x y 22 1 Resoluc o x y z 1 1 41 11 1 1 1 1 1 1 171 x 2y z 2 Sd 2 A1i2 l0 3 2 1 l e L 2x y 27 1 2 1 2 1z42 0 3 0453 24 1 1 Tel 1 0 3 1 1 0 3 SOS DEL O E E A 1 BCs 1 i l 21 E 2 Baa o D alr o o 1 ao 012 1 0 0 2 r 0 1 0 1 gt jy 1 L l l 0 0 1 22 z 2 Sistema poss vel determinado S 2 1 2 b x y 2 2y 4x 8 x y 1 Resoluc o x y 2 1 1 2 1 1 2 2y 4x 8 gt 2 4 8 Jlo 2 4 54 _ L b 2h x y 1 1 1 1j5 54 0 0 3 0y 3 equa o imposs vel S D Sistema imposs vel 52 c x y z 0 2x y 2z 0 Resolu o x y z 0 1 1 gt 2x y 2z 0 2 1 L zh 1 L 32 S Sagas ze IR 3 3 3 0 n O 3 4 0 1 0 1 1 1i0 2 0 Lb n 0 3 430 i n o ad Sistema Poss vel e Indeterminado grau de indetermina o 1 Com o objectivo

TMMAT 115 - Repositorio da Universidade Portucalense

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