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Guia de Cálculo

1. Integre e ryxz 12 af b 142 e x 27 5 Ie 1 d a In z x 9 a e x 1 112 x uie ja T x a je d Integra o por partes Pela regra do produto S Eeg 2 do f H o g e dr HHa g a Ent o J F da a Ha g x S glx df x C Exemplos nadar lng s f zd ln z rlny fxtdr gxlng f1dr zrlngr g C e Jae da 5 f e d x fica ruim fa a f xde re f e dr re e C 209 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A pr tica ensina que geralmente se passam para dentro da diferencial fatores exponenciais ou trigonom tricos e redr x d e r e e Dd x e e 2rdr re 2 ard e ge 2lz e 7 J e dz g e 2re 2e C e x 2r 2 C Ocorreu redu o de grau do integrando foi necess rio partes duas vezes d 2x e fe cossrda cosda m i e cos 5x fe dcos5r par nteses porque fator multiplica tudo 4 e cos 5x 5 f e s n 5dr aparece integrando similar le cos 5x f senda dR 5 le cos 5r e sen 504 f e dsen5r le cos 5x e sen dy f e cos 5r da aparece integrando original Isolando obtemos e cos 5x dr Se cos 5x se s
2. e lim 6 lim 3 Je v gt y yly 1 s gt y2 yly 1 n 1 EDS e lim gt n gt n i 1 a Mais uma vez praticar com mais exerc cios importante 3 7 Limites infinitos Uma possibilidade quando n o existe o limite de uma fun o que ao redor do ponto em quest o a fun o assuma valores ilimitados mas sem oscila o Esse o chamado limite infinito e usa se a nota o lim a f x o ou oo conforme a situa o mas ainda se diz que o limite n o existe Mais do que mera nota o esses limites 1 identificam situa es im portantes dentre aquelas de inexist ncia do limite real e 2 s o teis nos c lculos intermedi rios de limites bem reais como voc j pode ter encon trado em sua pr tica N o os confunda com os limites nos pontos infinitos 00 que vimos antes Suponha D C R fD gt R e a pto acumula o de D Ent o lim flr amp gt q YM amp R 3 gt 0 Yx D 0 lt z a lt gt f x gt M Gr fico na lousa compare 1 x 1 x sen 1 x 81 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Como o limite n o real ainda se diz limite n o existe Formula o obtida considerando se vizinhan as de oo Defini o an loga para oo Defini es an logas para quando x oo
3. Regras de c lculo No mesmo a o0 oo sendo L R e f g gt oo ambos com mesmo sinal gt f 9 oo f5Leg gt to gt f g gt o e f gt eg gt oco n o conclui direto sobre f g e f g gt f x g gt com regras desinais usuais e f gt L gt 0eg gt gt f xg gt analog f gt L lt 0 e f gt 0eg oo n o conclui direto sobre f x g e f gt e g gt L gt 0 f 9 gt o analog g L lt 0 e f L e g gt gt fyg gt 0 e f gt L gt 0eg amp 0 gt f 9 gt analog f gt L lt 0 e f g n o conclui direto sobre f g e f g 0 n o conclui direto sobre f g 82 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fatos adicionais para c lculos Represente graficamente e lim x oo L T00 e lim x quando r gt 0 L 00 e lim 1 oo para k IN L 00 e lim 4 1 oo para k N O as 0E e lim x para k IN L H00 e lim 4x oo para k mpar L gt 00 e lim b se b gt l L H00 e lim se0 lt b lt l L o0 e lim log x oo L 00 e lim log x ooseb gt 1 xz 0t lim log x oo L 00 lim logx oose0 lt b lt al xz 0t lim tgr o xz gt r 2 Continuaremos n o fazendo conta com oo Por
4. Exemplo f x eos x de classe CS e a 0 cosx se k divis vel por 4 f x sena sek div 4 resto 1 cosg se k div 4 resto 2 seng sek div 4 resto 3 182 G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Em especial se k 4n 0 sek 4n 41 9 0 Po sek 4n 2 0 sek 4n 3 Sabemos que N 1 En x D am para entre 0 e x Mas ft sen ou cos donde N 1 Erol r VAO N 1 Urei AN x constante m ximo 1 Ent o parey EUTSI r k 0 Mais f x 1 gt a com Eu a lt ia donde cos 1 0 5417 com erro no m ximo 0 0084 O final do slide apesar de curto a parte mais importante Voc pode pensar que essa aproxima o muito ruim comparada quela que voc facil mente obt m na calculadora Por m considere dois aspectos 1 E importante determinar uma limita o superior para o erro cometido ou seja ter controle sobre a aproxima o 2 A calculadora ou o programa de computador executa procedimentos muito parecidos para produzir o resultado no visor Porque a m quina trabalha mais r pido pode obter uma aproxima o melhor mas agora voc sabe de onde essa aproxima o veio e quais problemas est o envol vidos com ela 183 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Com g x e de classe C e a 0 sa
5. Nos pr ximos exemplos determinamos algumas derivadas ou mostramos sua inexist ncia utilizando a defini o por limite E uma oportunidade para ilustramos os c lculos de limite expl citos 288 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo Defina 3 7 T E y T lina SU E se x y 0 0 Fora da origem temos um entorno onde vale a express o O dna ye z4 3x 2 ry x z y x y df ye E a yb y 2y x a dy rogo papi Ao trabalharmos em um ponto distinto da origem vemos que h uma vizinhan a desse ponto ou uma bola aberta com centro nele que n o cont m a origem Nessa vizinhan a f descrita somente pela express o dada que pode ser derivada pelas regras pr ticas sem reparos como fizemos acima Contudo a express o n o v lida na origem e devemos verificar o que acontece com o limite no pr ximo slide Quando h k 0 temos ambos h 0 0 k 0 0 Na origem of a HOMO AF 0 0 TAE i h3 0 2 0 h3 MAE Vono ETA VE CR k E 0 k q 2 a 0 k aa T A lim 2 lim EEE n o existe H um outro modo de organizar esse c lculo Inicialmente trabalhamos em um ponto a b qualquer podemos fixar b e calcular a derivada usual da fun o com respeito a x que a nica vari vel restante assim ato 289 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o
6. Dizer que f deriv vel portanto requer que todo ponto de D seja interior isto que D seja aberto Qualquer taxa de mudan a um exemplo de derivada Assim a velo cidade instant nea de um ponto m vel como derivada de sua posi o ao longo de uma trajet ria apenas o primeiro exemplo Podemos considerar tamb m a acelera o como derivada da fun o velocidade a infla o como derivada do pre o tamb m em fun o do tempo a acelera o ou desacele ra o da pr pria infla o a taxa de expans o ou contra o demogr fica de uma popula o digamos em uma cultura de bact rias etc Por exemplo os f sicos perceberam que a velocidade de desintegra o do ur nio em cada instante de tempo proporcional quantidade de ur nio existente ou seja ao tamanho da amostra Suponhamos que em cada instante t a amostra de ur mio seja de quantidade R t em uma medida adequada quilogramas ou mols Ent o a derivada R to proporcional ao valor R to A constante de propor o dever ser negativa porque R to lt 0 uma diminui o enquanto R to gt 0 uma quantidade Exemplos o f x 2 t mos f a lim ata lim z a 2a wa gt a e s y Vg temos a 1 1 VI V i se a gt Q s a lim lim y gt a y a vma y ya 2ya e g x z temos g a E n o deriv em 0 porque lim EA 1 apa 770 156 G Cale 2015 Vinicius C
7. Gr fico na lousa Temos e x 1 000 f x 0 841 e x 0 100 f x 0 998 e x 0 010 f x 0 99998 Para esse exemplo fazer sentido em sua calculadora lembre se de confi gur la para usar radianos em vez de graus Ent o f n o est definida em 0 mas bem comportada em seu redor 1 Mas valer para 0 5 0 05 0 005 E quanto a 1 mol Valer para toda aproxima o Como o escrever Vemos que o valor f x est cada vez mais pr ximo de 1 conforme z um de v rios n meros cada vez mais pr ximos de 0 Assim embora n o tenhamos como calcular f 0 porque n o pertence ao dom nio de f parece nos que F 0 1 Devemos especificar matematicamente o que pretendemos com essa express o entre aspas e o conceito de limite far esse trabalho Contudo ao fazermos essa especifica o tamb m devemos assegurar que a a mesma conclus o seja obtida ao fim de qualquer aproxima o e que b n o haja nenhuma surpresa escondida ap s uma quantidade razo vel de refinamentos num ricos Para tanto conv m avan armos nossas investi ga es na p g 92 finalmente concluiremos que nossa defini o independe da aproxima o espec fica e por tabela de sua velocidade Tubinhos Tr s gr ficos na lousa Em qu essas fun es diferem Cuidado o conceito de tubo em textos avan ados parece com os tubi nhos que exibimos mas n o
8. Situa o f DS Ri D C R Yn Import ncia dos pontos de fronteira exemplos simples uma ogiva limitada um plano inclinado limitado Diagramas na lousa Um exemplo cotidiano de limita o do dom nio o estudo de uma fun o de pre os e custos naturalmente essas vari veis est o restritas pela condi o de serem n o negativas 347 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim como para uma vari vel os resultados sobre pontos de extremo t m a forma se a ponto ponto de m ximo local ent o ocorre tal e tal situa o para a qual geralmente n o vale rec proca de modo que servem para definir os pontos cr ticos como candidatos a extremantes da fun o o incluir todos os pontos de extremo mas n o necessariamente se resumir a estes Suponha que a um ponto interior de D e de m ximo ou m nimo local de f Ent o para cada componente i sua coordenada a tamb m um ponto de m ximo ou m nimo local respectivalmente da fun o de uma vari vel g dada por gi z Pope Qi 1 Z Qi l An Essa a restri o de f intersec o de D com a reta paralela ao eixo Ox passando pelo ponto a Desse modo se f deriv vel ent o g tamb m e gila 0 ou seja L a 0 Como isso vale para cada conclu mos que a ponto cr tico Portanto os pontos cr ticos s o dentre os pontos interiores de D os nicos candi
9. aberto a b C D e f D gt R diferenci vel ent o existe to 0 1 tal que Ho fHa VI L to a tob b a N o podemos dividir por b a que um vetor ent o devemos t lo do outro lado multiplicando com uso do produto interno O gradiente de f desempenha o papel da derivada 333 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Demonstra o Tamb m invocamos o TVM para fun es de uma vari vel Tome p t F Q Da tb note que o argumento de f uma curva cuja derivada sempre b a Temos e p 0 1 gt R cont nua deriv vel 0 f a p 1 f b e p t VF C t a tb b a Ent o existe to 0 1 tal que 1 0 to ebasta novamente substituir as express es nessa equa o Finalmente para fun es vetoriais de v rias vari veis prova se este enun ciado Em geral Sejam D C IR aberto a b C D e f D gt R diferenci vel Se existir K gt 0 de modo que vz e IF E K ent o IFO fall lt KIjo al 14 3 Polin mios de Taylor Como em Deriva o onde estudamos o caso de uma nica vari vel n 1 que recordaremos a seguir o objetivo do estudo de polin mios e s ries de Taylor obter para uma f R IR as melhores aproxima es polinomiais Podendo tratar cada componente em separado trabalharemos com fun es
10. g Veja texto h Com procedimento an logo ao do arco de raio INZ Vz 14 gt In lx 2 vz2 1 C Com procedimento an logo ao do arco de raio 1 2x2 1 iln 2 vz 1 C j Use a primitiva de arcsen x obtida em item anterior para escrever J xd xarcsen rv 22 gt aplique partes isole a primitiva desejada e use a tabelada para y1 2 2 Sol arcsen s v1 r Z arcsen z C 2 P g 214 a Sol 2x 1IMnja lt 2 Eln z 3 0 b Sol 272 7x Jln z ln z 1 3ln 1 C d Sol 71life 71n 2x 1 C P g 216 a Sol log x2 4r 5 Tarctg r 2 C 395 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 2 LTN6 2 6 b Sol In z 4x 2 52 ln Gis TO c Sol ln x ln x 22 5 arctg EE C P g 218 a Sol 5 ne 1 z du 2 1 v222 2 4C P g 220 a Sol 2In tg r 2 1 v2 2n tg a 2 1 v2 0 P g 229 a Sol 6 b Sol 12 q Soy 1 2 d Sol 8 e Sol 98 3 f Sol 775 P g 240 a Sol 27 Rr2 O tord pode ser obtido com rota o em torno do eixo Ox das fun es R vr x e R yr r no dom nio
11. IN conhecido como multi ndice e usado para simplificar a escrita de express es como a de Taylor Definem se v rias opera es sobre s como e s s1 X X 8n sS e x x 5 para um vetor x4 R e s si sn a Exerc cio extraordin rio Mostre que o k simo termo da soma ae od i 1 Alternativa para 2 ordem Para matriz H at a dx 0a Ea P x o OFf T Of HO Do pes T gadr 0 CT aula aj f a Vf a lz a x a H s a Essa forma alternativa ser usada no pr ximo cap tulo para justificar an lises de m ximos e m nimos Sua demonstra o consiste em entender cada uma das duas igualdades no slide 338 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A primeira simplesmente usa a aproxima o 0 0 54 0 que calculamos na dedu o acima antes de reorganizar as derivadas parciais com os valores que obtivemos explicitamente 0 f a PO D La r a IO EE sado 0 eaea A segunda visualiza z a como um vetor coluna asoma de 0 um produto interno usando o vetor gradiente e a soma dep 0Y pode ser reescrita como z 3 Le a ao zj aj j 1 Li 1 Resto de Lagrange DO aa eD O e o si sn d 1 81 58n 20 para algum no segmento fa l Dedu o extraord
12. composi o ser um artif cio muito til nos c lculos de limites e de derivadas usando se para estas o que chamaremos de Regra da Cadeia N o confunda o s mbolo o l se bola com a multiplica o de fun es Note tamb m que a ordem extremamente importante Podemos definir go f acima somente se0 C E e ela n o ser a mesma fog fun o que vem primeiro g aparece direita da outra f para que as nota es foge F g x sejam compat veis Quando todos os dom nios e contradom nios envolvidos s o IR claro podemos compor as fun es em qualquer ordem Por exemplo se f x z e g x cosa ent o Lo 9 1 f g 2 f coss cos a cost go Dx 9 H x g x cos a 29 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que as duas compostas s o diferentes Se f x x e gl xA quais s o as duas compostas fogego fa Pode se mostrar que a composi o de fun es polinomiais novamente polinomial O mesmo vale para fun es racionais com a devida restri o de dom nios a composta estar definida em todo o IR exceto em um n mero finito de pontos Estes dois exerc cios s o muito importantes tanto por seus enunciados como pela pr tica que oferecem 30 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Suponha que f D C bijetora Podemos formar fo f
13. inclinada para cima e ent o f deve ser estritamente crescente Em termos de integra o teremos f x f xo Sa F s ds gt 0 Veremos que as rec procas s o v lidas somente nos casos n o estritos para prov las o argumento semelhante aos c lculos na demonstra o do Teorema de Rolle 177 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio A fun o g x 1 x crescente em oco 0 e em 0 co mas n o crescente a Por qu No que isso viola o exerc cio anterior Vamos encerrar esta apresenta o enunciando um teorema similar o TVM de Cauchy Ele afirma que se ambas f g ja b IR satisfazem as condi es do TVM ent o existe a lt c lt b tal que H 0 Ha lg c 9 b g a Flo pa a se os denominadores n o forem nulos Para prov lo basta aplicar o Teorema de Rolle fun o h x 6 Ha lg x l9 gla f x tamb m se pode utiliz lo para deduzir o TVM original pondo se g x x Esse Teorema de Cauchy geometricamente inspirado por considera es an logas s do TVM mas considerando em vez de uma curva dada pelo gr fico de uma fun o f uma curva parametrizada f t g t onde as coor denadas s o dadas em fun o de uma terceira vari vel Com ele em m os voc est apto a estudar demonstra es rigorosas da Regra de Hospital ou ainda 6 7 P
14. 1 esse n mero negativo e f diminui Alguns livros e exerc cios pedem a taxa de varia o def nessas dire es e sentidos principais ela simplesmente a derivada direcional e vale respec tivamente V f a V f a e O como se v substituindo se os valores 1 1 0 de cos 0 Rosa dos ventos n 2 figura na lousa Note que as pot ncias sucessivas de N E s o 1 E oo a ata Essa matriz a transforma o vetorial de rota o anti hor ria de 90 Outro modo de montar a rosa dos ventos no plano escrevendo se Vf a b u v assim e o sentido de maior crescimento u v e o oposto u v os transversais s o gt v u e v u Esses s o vetores a partir do ponto a b Para conferir a onde apontam estude os sinais efetivos das componentes Note que para determinar a dire o e os sentidos transversais permutamos as duas componentes e trocamos o sinal de uma depois de outra Desse modo o produto interno com u v sempre 0 confirmando a ortogonalidade A figura tamb m mostra a curva de n vel f f a b de que trataremos na pr xima se o s o os pontos onde f tem o valor constante f a b Essa 313 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 curva pode ter tra ados e sentidos de curvatura diferentes mas sempre tangente reta de dire o zail Vf a b no ponto a b Exerc cio Temperatura n
15. 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Derive Q e Wet sent Vttgt o e 4e 2 1 3 sen vz da Cos x expr senz Exerc cio Derive cot x sec x csc x apenas com as regras operacionais e as deriva das tabuladas de sen z e cos x Confira seus resultados com a tabula o Procure mais exerc cios para praticar Tome especial cuidado com os sinais Discuss o extraordin ria Finalmente vamos considerar a seguinte ques t o Sabemos derivar somas de um n mero finito de fun es bastando deri var cada termo e somar mas e quanto a s ries Podemos derivar cada termo e somar a nova s rie J que s ries s o limites de somas parciais finitas de fun es enquanto derivadas tamb m s o limites a pergunta que se coloca se podemos inverter a ordem de dois operadores de limite Esse um problema importante que deve ser tratado em cursos de An lise frequentemente a resposta reside no conceito de converg ncia uniforme que comentamos em An lise B sica No caso de deriva o a situa o ainda mais complicada Por exemplo a sequ ncia de fun es f x sen na converge a zero mesmo unifor memente por qu mas a sequ ncia de derivadas f x cos nx n o converge sequer simplesmente nos pontos x rr com r Q A resposta correta esta Dada uma sequ ncia de fun es fn
16. 3x o In 37 7 52 Ds 3 Em outras palavras ao derivar express es compostas sempre derive tam b m o recheio sucessivamente se necess rio Exerc cio Derive Q e cos sen 7 sen 5 sen 2mb 7 b 5 x x cos x x N e o que voc nota aqui exp a x sen x x e JIn 12 378 t 27 3 cos q 5T 3 v2e Le e t log 2t 27 sent 166 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 C lculos para fun o definida por casos Este um exemplo tradicional de uma fun o f IR gt IR definida por casos que deriv vel em todos os pontos mas sua derivada n o cont nua diremos que f n o de classe C1 a fun o f m 0 se x 0 E sen x sex 0 Fora de 0 a express o que define f composta de fun es cont nuas ent o f cont nua a continuidade em 0 dada por exemplo pelo Teorema do Confronto para mostrar que lim o f x 0 f 0 Tamb m fora de 0 podemos derivar a express o definidora com uso das regras de deriva o f x 2x sen x cos x ND em que simplificamos o segundo termo ap s o uso da Regra daCadeia J em 0 devemos recorrer defini o por limite lembrando ent o que x 0 requer x 0 o que por sua vez determina qual express o utilizar da defini o
17. Eg F a BA x a BE E f Y Agora tomando x a sabemos que x a mas preciso ainda consi derar os casos f x f a e f x f a b Faremos os c lculos sepa radamente mas de fato as duas situa es podem ser simult neas Quando f x b j temos Es f x 0 e ent o HE 90 BA ENE a lx al lr al porque B induz uma fun o cont nua Quando f x f a podemos escre ver 9x 9 b BA x a _ p Era Eftu Ho Ho lx al a all f bll lx al O primeiro fator do produto tende a 0 j que y f x gt f a falta ent o mostrar que o segundo limitado enquanto x gt a Para tanto observe que 0 lt LEON Mo Ato a Ee Ed O qo S Hen dl UE apr o segundo termo a norma de E x x al que vai a 0 Exerc cio DadasV R gt R e g I R com V diferenci vel em y to e y deriv ve em to mostre que V o7 to VVy to to Basta reescrever a regra neste caso 328 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Obtemos a express o comumente utilizada em textos cient ficos ao expan dir o produto interno nesse exerc cio F rmula usual Dadas V x y 2 e y t x t u t 2 t seja Ent o da V dr V dy OV dz E DOR a CO o UE Exemplo Para V x y 5y 3x y e y t cost 2t em t m pela regra
18. O lt y lt a Figura na lousa Temos EL 3e si 2 donde z y 2 E 2 I y gt 37 2 dy de VTA zdz 214 o Jo 0 Exerc cio Calcule a rea da elipse sec o cil ndrica z 12 5x 3y sobre o disco D E amp E A x y y lt 5 1 Centro de massa Situa o D C R use x y z D D delimita um s lido cuja densidade pontual dada por f gt 0 Massa do s lido M fp f x y 2 d x y z 272 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 M dia ponderada de cada eixo e Yom waar z d z y z e Yom Joy f x y 2 d x y z e ZCM d Jp 2 f 2 y 2 d x y 2 O centro de massa do s lido tem Ycm Zem Id ia para mostrar Pontos P Py com massas my My M dia ponderada opera o com vetores ss mP i 1 i b D Mi o ponto que equilibra P Py Para aplicar esse princ pio a um s lido fatiamos a regi o que ocupa no b espa o tridimensional em pequenos cubinhos e substitu mos cada um por um ponto material com mesmas coordenadas e massa Cubinho x x h x y y k x 2 2 e massa aproximada f x y z hkl e coordenadas aprox x yz Tome diferenciais e integre Jp f z y z dx dy dz y z E Jp f x y z dx dy dz Es xcm YCM ZCM A integral do numerador uma fun o vetorial que calculamos compo nente a componente 11
19. m a Exerc cio Integre sendo k R e tyk r2 e tyr kE Vk r z a 206 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Integre usando as tabelas e assumindo a gt 0 SA2 2 1 dh e va til ER e 224 a2 v22 a2b 1 ogM x2 4a2 ria x 1 mm 1 m 1 lo q2 a2 x2 q2 gt a2 x2 gt A primeira fun o o arco de raio a generalizada a partir do arco de raio 1 p g 203 e tamb m de aplica o muito frequente Com uso da tabela temos explicitamente VEF de o1 2 aa g y 1 er gt arcsen Ci x a x Jy a2 x2 z arcsen p C Convidamos a verificar esse resultado por deriva o Exerc cio Verifique derivando as primitivas tabuladas para sec e csc e deduza como essas primitivas podem ser obtidas Integra o por substitui o Pondo x z t AM dz S El i t dt com intuito de f x t i t ficar simples Esta t cnica tamb m chamada de integra o por mudan a de vari vel Na pr tica apenas um desenvolvimento ou elabora o do que j fizemos ao passar para dentro da diferencial 207 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UF
20. o escalar sempre das mesmas n vari veis Graficamente veremos alguns exemplos a seguir Exemplo F x y 2 1 para n AQ Diagrama na lousa seta de x y a x 2 y fal Exemplo F x 3 4 2 pita n 9 Diagrama na lousa seta de x ya x d y x Exerc cio Represente os campos para n 2 SFY 2 3 G x y x 0 e H x y y 2 298 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Campos centrais F central ou radial com respeito origem se Yx F x x Tipos centr fugos setas para fora e centr petos setas para a origem e e outros misturados Para compreender a defini o de campo central lembre que um ponto x tamb m um vetor que pode ser especialmente representado como a seta da origem at o pr prio ponto x Ent o F central se F x x s o vetores paralelos para qualquer x ou seja se sempre F x m ltiplo escalar de z existindo A IR de modo que F x A x Esse escalar pode variar dependendo de x Nesse caso quando aplicamos ovetor F x ao ponto x a reta que ele determina tamb m deve passar pela origem da o nome radial Dentre v rias possibilidades destacam se duas Quando os escalares x acima s o sempre positivos dizemos que o campo centrifugo nesse caso as setas que representam F graficamente apontam sempre para o sentido oposto
21. para restaurar o ngulo original x 219 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ao completar o terceiro passo j podemos conferir a primitiva obtida Os dois ltimos passos podem ser executados tamb m com outras simplifica es de modo mais conveniente ao caso em quest o Exerc cio Calcule Q da sen cos Diversas identidades trigonom tricas podem ser usadas para simplificar o integrando ou a primitiva expecialmente os quadrados de seno e cosseno aparecem facilmente em algumas substitui es Existem regras simples para f sen x cos yde sendo m n Z Em particular e cos a cos 2x 1 e sen z 5 1 cos 2x A t tulo de exemplo vamos explorar outra possibilidade para a primiti viza o do arco de raio a gt Q Exemplo Vedi Vest dla sent a os tdt a f beos 2 1 dt 1 sen 2t t C sentcost t C VR 1 2 arcsen z C 2 Va r arcsen C H muitas outras t cnicas e n o podemos exaurir todas Elas s o varian tes dessas que apresentamos e podem ser conhecidas no cap tulo especializado de Demidovitch ou no seu livro favorito de C lculo 220 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Por m nem todas as fun es aparentemente simples t m primitivas que possam ser exp
22. 2 2 A a b lt 0 e ou q7 a b lt 0 m ximo local diagrama na r Dy lousa of of BA f E z a b gt 0 eyou T lt a b gt 0 m ximo local diagrama na lousa Com e ou em cada subcaso entendemos o seguinte basta considerar o sinal de uma das derivadas de segunda ordem que determinamos na diagonal principal do hessiano veremos na pr xima se o que neste caso de duas vari veis e hessiano positivo a outra derivada tem o mesmo sinal e n o preciso contempl lo 343 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se Hp a b lt 0 ponto de sela diagrama na lousa Se Hp a b 0 sem conclus o Selas s o uma novidade do estudo de v rias vari veis Elas correspondem situa o em que quando a fun o restrita a uma reta no dom nio o ponto cr tico de m ximo enquanto de m nimo para outro eixo simultaneamente A figura e o nome s o reminiscentes das selas de cavalo ou dos camelos de duas corcovas O hessiano nulo indica a necessidade de aplicar outros m todos para a correta classifica o do ponto cr tico como estudar a inflex o do gr fico da fun o em uma vizinhan a do ponto Tamb m pode corresponder a situa es como tobog s ou calhas viradas para cima ou para baixo em que o gr fico de uma fun o quando restrita a uma determinada reta passando pelo ponto cr tico horizontal Nesse caso o pon
23. 2 7 Observe que em todos esses c lculos n o se usou a defini o formal com e ed Sempre que poss vel evite tentar o uso direto da defini o aplicando apenas as regras operacionais e os limites j conhecidos de fun es Por outro lado embora se possa determinar o valor de um limite por intui o nos termos de quando x est pertinho de a vemos que f x est pertinho desse L isso pode dar muito errado Para calcular um limite rigorosamente preciso fazer conta como nos exemplos Mais exemplos 922 37 4 94344 Y lim 9 so Tg 3x o0 LN lim 3 z 1 00 n56 4 sa O A a a a zoo 12r 3x 1500 12 lim 12 3 12 L 00 aw S f i e lim zQ 2 A lim 1 2 7 temos n gt n n EN a e E Oe aa O a Novamente intuitivo estimar limites assim 12x3 3x cubo cresce mais r pido que 5x 6x 4 quadrado e o quociente acima vai a zero Contudo isso nem sempre funciona Para calcular rigorosamente fa a como nos exemplos 127 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para calcular limites nos pontos infinitos baseie se nos gr ficos das fun es usuais exponenciais logaritmos tangente e utilize regras formu ladas com as abrevia es 00 00 00 L o too w oo x 00 00 x F oo as mesmas regras de sinais aplicam se caso um multiplican
24. Gr ficos com sem ass ntota na lousa caso sen cos Ainda se pensa em por menor que seja mas quanto a K n o se inten ciona que ele seja pequeno No caso de o9 existe esse K suficientemente grande para que a partir dele ocorra o que se quer No caso de oo ele ser suficientemente grande no sentido negativo para que antes dele ocorra o que se quer Em particular pode se assumir que a vari vel diferente de um conjunto finito de valores e intervalos limitados que sejam problem ticos ra zes de denominadores por exemplo Em particular suponha s nen L R Como s IN gt IR temos lim sn L n 00 Ve gt 0 IN EINJ Yn gt N sn L lt Esquemas na lousa gr fico de fun o versus acumula o na reta Aten o Limite de sequ ncia ponto de acumula o ou ponto even tual n o vale rec proca Note que s se considera n IN para que se possa calcular sp Quando existe o limite de uma sequ ncia diz se que ela convergente caso contr rio a sequ ncia explode para cima ou para baixo ou ainda fica pulando diz se divergente 79 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Mesmas regras de c lculo e lista de fun es que passam para fora do lim Fatos adicionais para c lculos Represente graficamente e lim c c L T00 e lim 4 0 para k IN L T00 e lim b 0 qu
25. de c J filx dr AE ck A fila de Domin ncia f gt g gt f fajdr gt of flod gt f tog A propriedade de domin ncia tamb m pode ser formulada como Controle lt f Wold b 1 gt 0 gt Hajdr gt 0 que se segue imediatamente da defini o aplicando se diferen a f g 20 para demonstrar a formula o do slide Note que o intervalo de integra o o mesmo O produto de duas fun es integr veis tamb m integr vel mas o va lor da integral do produto n o guarda rela o com os valores das integrais originais Se f integr vel e 1 f tamb m limitada ent o integr vel 232 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Teorema Fundamental do C lculo TFC Barrow Se f integr vel e F f ent o A f x dr F b F a Cuidado com sinais Use par nteses Nota es usuais para F b F a prefira Aprecie a import ncia dupla deste teorema Primeiramente ele usado para a imensa maioria dos c lculos com in tegrais provalvelmente se esquecendo das somas de Riemann Ainda assim integra o num rica muito utilizada porque mais pr tica para compu tadores que o TFC e deve se aprender em um curso espec fico de C lculo Num rico diversas t cnicas cujo objetivo ter limites que convirjam mais r pido que nossos limites de somas de Riemann e com f rmulas espec ficas para os erros m ximos
26. e n mero x de oper rios entre 2 e 9 e tamb m de e consumo y de energia entre 3 e 4 Ambas s o escalares isto t m valores reais contradom nio IR 251 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Tamb m podemos ter fun es vetoriais cujos valores pertencem a algum espa o euclideano e q 2 2 gt R q t cos mt sen rt 3t uma h lice com duas voltas que sobe 12 unidades e A R gt RS A x y z 5x 4yz 2ye 4z codifica duas fun es escalares de tr s vari veis Ent o FUV eram fun es reais de uma vari vel real Vejamos alguns aspectos operacionais Pontos e vetores s o as mesmas entidades Vetores sem flecha ou negrito Indexa o usual x x1 2 Yn em R Produto interno sjy tiyr EnYn Norma jx yx mp 37 Max Usual R ou R e x y z u v w s t etc em vez de z1 2 3 Os espa os que mais estudaremos s o realmente o plano IR e o ambiente tridimensional R Entretanto conv m estudar o espa o euclideano IR em geral cuja dimens o um inteiro positivo n que o produto cartesiano de n eixos ou seja c pias da reta real Toda vez que houver d vidas ent o concentre se nos casos particulares bi e tridimensional quando se faz um exemplo ou aplica o nesses casos costuma se usar coordenadas x y z em vez de
27. es an logas P g 84 a Sol o b Sol o c Sol oo note que o nume rador tende a 11 enquanto t 25 gt 0 d Sol oo P g 86 a Por exemplo se f gt e g e gt 0 nota se que f eventualmente negativa e aplica se o teorema a fg lt fe Sol 0 c Sol 2 P g 91 a Dica multiplique em cima e em baixo por 1 cosg Sol 1 2 o d l Dica substitua tg por sen e multiplique em cima e em baixo por 13120y 320 4 tlna Dica substitua a por e e multiplique em cima e em baixo por Ina para tratar tIna como um bloco Sol Ina Dica transforme express o em um nico logaritmo cujo argumento tende a e Sol 1 P g 94 978Sol 1 que lim so f x SS N o porque n o existe lim o g x 387 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 101 a f 0 0e f D 3 b c g 0 Te g 1 e d N o existe s 0 e s 1 0 1 e 1 cos 1 P g 103 la SS N o h tangente em 0 e y y l zrey eB eB a Z d y rey i z 3 P g 107 la 1 sen z b sen z c s 1 C cos z s
28. for calcular algo assim dever construir parti es e tomar pontos e verificar que essas condi es s o satisfeitas Em cada intervalo 2p 1 Yi substituimos a fun o f pela fun o cons tante de valor f ty A rea sob o gr fico de f ser aproximada ent o pela soma das reas dos ret ngulos cujos topos aproximam o gr fico de f Se f integr vel ent o f tod lim k 00 f tri Zhi Tk i 1 s a aprox altura do ret ngulo base do ret ngulo k i 1 soma de Riemann Isso vale porque P 0 poss vel mostrar que fixada uma fun o limitada f se todas as sequ n cias de somas de Riemann tiverem o mesmo limite L uma sequ ncia sendo dada para cada k gt 1 por uma escolha de Py e ty satisfazendo as condi es acima ent o f integr vel O flo de L Assim n o bastam algumas somas espec ficas como tomamos nosslides Note que em vista disso esse procedimento usado em alguns livros para definir a integral de Riemann Frisamos que tal abordagem calcula a rea sob o gr fico ou qualquer outra interpreta o da integral como a posi o em termos da velocidade por aproxima es cada vez melhores Isso conceitualmente muito diferente do c lculo por exaust o inferior versus superior que adotamos anteriormente como defini o At aqui temos assumido que nossas fun es s o integr veis para poder mos trabalhar A partir de ago
29. g x gt 0 quando x gt a por continuidade temos f a g a 0 Substituindo obtemos F HMaj far a _ f a glz gla g a z a g a Este m todo a primeira de v rias t cnicas no C lculo Num rico e de fato usado para originar o pr ximo m todo a ser estudado o de Halley 172 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 M todo de Newton Raphson Objetivo aproximar uma solu o de f x 0 com toler ncia e 1 Escolha estimativa inicial xo Flan 2 Calcule iteradamente 7 41 n n 1 n f x 3 Quando n41 Xn lt E temos estimativa 7 1 dentro da toler ncia Eu Sua motiva o esta em cada passo substitua f por sua melhor aproxi ma o linear em x e encontre n que seja raiz dessa aproxima o H muita coisa que pode dar errada no meio do caminho podemos en contrar uma derivada f x 0 a sequ ncia pode n o convergir xo mal escolhido pode induzir uma sequ ncia que se distancia cada vez mais da raiz verdadeira da fun o etc Feito esse alerta deixamos os detalhes para o curso de C lculo Num rico Exerc cio Aproxime uma solu o de cosx x em radianos com estimativa inicial 1 e toler ncia 1073 7 Qual fun o deve ser utilizada Utilize uma calculadora ou planilha eletr nica Cuidado sua calculadora usa radianos ou graus 6 6 Propriedades e valor m dio Nem
30. min k E N k gt x ent o n zx mas n 1 lt x donder lt n lt x 1 Para xz lt 0 trabalhe com x gt 0 d Procederemos cielicamente isto provaremos que a 12 propriedade implica a 22 que implica a 32 que implica a 12 ent o de qualquer uma podemos obter qualquer outra Dado gt 0 tomamos K 1 2 gt 0 e n gt K de modo que lt e Dados a b gt 0 tome a b gt 0 e n IN tal que 1 n lt donde n gt b a Dado K gt 0 tome n N tal que nl gt K Suponha primeiro reais positivos z lt y tome um natural q gt y x e depois o primeironatural p gt xq ent o p 1 lt zq donde x lt p q S xz q lt y Para z lt y lt 0 trabalhe com x gt y gt 0 m 382 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 48 a Por substitui o P a proposi o 0 02 0 1 2 4 que verdade Usando se P temos Pp n PP poder n 1 r n o o I D un nt n D ma 1 tonto e tar Os extremos dessa sequ ncia de igualdades d o a equa o 18 2 n 1 n DI n D 1P 4 que a proposi o Ph b Base da indu o O nico conjunto de 0 elementos o vazio que so mente tem um subconjunto ele pr prio Passo da indu o Suponha que o conjunto S tem n 1 elementos sendo x um del
31. n n n n n n 1 termos lt 1 Exerc cio Calcule Tx 1 se Q ra e lim z 1 Xa e V2 onde Xa y 08t 6n sen n 5 e li sen t fim Fa fa a o gr fico da fun o 00 5 5 Regras de Hospital Essas regras no plural correspondem a uma nica equa o em v rias situa es relativas a pontos Teais ou infinitos Pronuncia se l pi t l O marqu s de Hospital n o as inventou mas divulgou as em um dos primeiros livros texto de C lculo 134 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Requerem deriva o pr x cap Tabela simples f z fa c filz c2 fa x c3 fila czfa x 0 A rz a a lna sen x cos cos sen g lng dir Estudaremos deriva o no pr ximo cap tulo Se voc ainda n o tomou contato com esse conceito apenas acompanhe os exemplos substituindo as fun es linha de acordo com a tabela acima e depois certifique se de re tornar a este t pico e estud lo Funcionam para limites comuns laterais e nos pontos infinitos Funcionam para limites reais e infinitos n o para oscilantes Verifique todas as condi es necess rias com aten o Quando usar escreva qual forma indeterminada L H sobre A identidade f x 1 lim lim 7 talvez ae z gt a g x ama gi x g a Nestas
32. nicos r y 0 gt y r ry 1 gt y r7 e x y 2 y e tamb m ry z7ty7 E e z7 1 z e tamb m 2 xD e x y a b xb ya yb e tamb m xa yb E Agora deveremos listar mais axiomas Ordem linear ou total Para todos x y z R ezr lt yey lt z amp rxz e xt y ou z lt y ous y exclusivamente e t lt yYy gt Tttz lt yFz e t lt YezZALl gt z lt yz A primeira propriedade da ordem diz que ela transitiva ent o n o h voltas na orienta o da reta real A segunda a raz o para os nomes linear e total porque todos os elementos podem ser comparados A t tulo de curiosidade note que a adi o e a multiplica o s o duas fun es R gt IR e que as rela es de desigualdade lt e lt s o cada uma entre IR e ele pr prio Por exemplo a terceira propriedade acima determina que a adi o estritamente crescente com respeito ao somando esquerdo 37 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Tanto IR como Q t m essas propriedades Veremos posteriormente no que diferem Axioma do Supremo Assim os racionais e os reais formam duas estruturas chamadas corpos totalmente ordenados Existem outras estruturas assim de extrema impor t ncia para a Matem tica Podemos agora deduzir propriedades que valer o em IR em Q e em todas essas estruturas
33. o Escreve se Pf xj x se J 1 usa se of r Analogamente of l of i etc Oxp xrj x Orp r Ori Assim a situa o a mesma das fun es de uma vari vel quando t nha mos f f etc Em diferentes livros de diferentes pocas a nota o pode b 2 p b ser confusa como fry OU fry OU fyr OU fyr todas representando a mesma derivada ZL Note que em alguns casos aqueles n o cobertos pelo Teo rema de Schwarz a seguir a ordem das vari veis importante Neste caso derivamos primeiramente quanto a y e depois quanto a z Hessiano aa of H det dx da ij Ejs mit ABER Oxndri 3x2 293 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O hessiano ser muito utilizado na an lise de m ximos e m nimos Como o determinante independe de transposi o da matriz pode se tamb m escre 82 ver H detla alia Exerc cio Calcule as derivadas parciais de 22 ordem e o hessiano de f x y 4r y 2x5 2 Schwarz o f o f Se e OLOT Oxj Ti f ent o s o id nticas existem e s o cont nuas em todo o dom nio de O resultado intuitivamente claro quando se consideram as regras de deriva o j que derivar com respeito a cada vari vel n o altera as demais de modo que as opera es poderiam ser feitas em qualquer ordem A demonstra o formal a segu
34. quad 2015 Exemplo I x dz i simo ponto da k sima parti o i k 1 k 2e m DO k a Deana ARDOI O Ci e lim gl ll p 5 Exerc cio Calcule usando somas de Riemann assumindo integrabilidade o T 6dx B g N 6 dg ia ag da te N z dx el i r dz Ji O2 122 8 dx O que fizemos foi tomar especificamente somas de Riemann com lar guras constantes e calculadas sobre as extremidades direitas dos intervalos Poder amos tamb m tomar as extremidades esquerdas calculando f xy i 1 ou quaisquer pontos nos intervalos e ainda quaisquer intervalos Vejamos os detalhes Discuss o extraordin ria Para cada inteiro k gt 1 suponha dada uma parti o qualquer Pk a Tko lt Tki ld que divide a b em ny intervalos n o necessariamente de mesmo compri mento mas juntas essas parti es devem ser tais que limpo Pk 0 229 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 onde P maxi lt i lt ny Vki V i 1 O di metro da k sima parti o ou seja o comprimento de seu maior intervalo Assim os intervalos de P di minuem todos juntos conforme k aumenta isso mais do que simplesmente refinar parti es o que poderia em princ pio deixar algum intervalo sempre gordinho Suponha tamb m dados pontos tki E Xk i 1 Tki Se voc
35. sent Vo y m 902y 10y 30 VC maa 6t t 7 ey y m 1 2n3 0 187 207 3 l 1207 187 TT Note que calculamos x 1 e y 2r a partir do valor t 7 Vejamos os outros modos de obter o mesmo resultado Ou como V escalar e curva Vo y r VV AL 27 7 1207 187 Ou por substitui o pr via Vo s t 5y 3ayle cost 204 6t cos t gt y 2t gt Vao W 1204 18t cos t 18t cos t sen t gt gt V o y T 1207 187 A ltima op o para o c lculo acima tratou simplesmente de substituir x y como express es de t e derivar a fun o composta de uma nica vari vel n o necessitando o passo intermedi rio no ponto 1 27 329 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ou pela f rmula usual oV dr OV dy d ay ER qua ve a 9x y sent 10y 37 6t 18t cos t sen t 120 18t cos t e ent o Voy m 1207 187 Exerc cio Dadas V x y z Try x 1 e e q t t t 3t sen nt calcule Voa e Apresentaremos aqui os Teoremas das Fun es Impl cita e Inversa ve rificando o que a Regra da Cadeia tema dizer nos Lembre que para syf leyp x y 2 aplicamos 2 ou Em aos dois lados e isolamos a o Podemos fazer o mesmo com matrizes diferenciais e os dois teo
36. uma integral impr pria e calcule a Voc pode ver pela defini o de integral impr pria usando limites que se f lt g em todo a oo0l ent o f x de lt f g x dz Assuma ainda 0 lt f lt g nesse caso cada integral ou converge ou vale oo Ent o se a integral de g convergir aquela de f tamb m converge se a integral de f divergir aquela de g tamb m diverge Se f trocar de sinal vale o seguinte se f f a da convergir ent o RN f x da tamb m converge Compare com o conceito de converg ncia absoluta Por exemplo E e sena dx converge 247 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Esse estudo comparativo de converg ncia oferece um crit rio para a con verg ncia de s ries num ricas Crit rio da integral para s ries Dada x o an Suponha f K oo IR cont nua decrescente com f n an Ent o Xo n converge lt S f x dx converge Gr fico na lousa Atente que ningu m falou que o valor limite da s rie e o valor da integral s o iguais geralmente n o s o Demonstra o Basta construir duas fun es assim g x an sen S a lt n leh x asen 1l lt a lt n Ent o no dom nio de f temos 0 lt h lt f lt gem vista de f ser decrescente Contudo as integrais im pr prias de g e h s o por defini o somas de caudas da s rie 310 an e sua converg ncia equivale da s rie O fato de f ser cont nua poss
37. 00 Y E E S a os lim 1 At e com t 0 separadamente e x 1 t gt oo s 131 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 t 1 1 com u 1 temos t ln 1 u et gt 0 amp u gt 0 e lim t gt 0 t donde aem f u f lim lim lm yz n 0 t u gt 0ln 1 u gt 0t n 1 u E 1 1 1 lim E u gt 0ln 1 u Inlimyso 1 u Ane o l1 e 1 rc e amp d 1 t 1 e lim lim lim t50 sent t50 etsent t50 t sent e O que aprendemos Usando limites not veis ou passos intermedi rios a substitui o de uma vari vel por outra deve ser integralmente feita Exerc cio Calcule I cosg e lim J 20 z2 tg 320y g 450 sen 41y t e lim t50 para a gt 0 al e lim z ln x 1 1n z L 00 Note em um item a relev ncia do n mero e outras bases a requerem um fator ln a Isso ocorrer tamb m em deriva o e integra o Alertas Cuidado com estimativas por calculadora ex ji cos i gtml 2501 Imol ao 1 101e 132 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fun es por partes calcule limites laterais Exemplo ax ser lt 7 fa 35 br sex gt T Temos lim f x 49a e lim f x 35 7b existe lim f x sea 1 aS7T
38. 1 FC P Q isto os elementos de F s o subconjuntos de Q 2 0 0 e F 3 se A B Fent o ANB AUBeE F 4 4 se A E F ent oA Co4 E F O conjunto P Q cont m como elementos precisamente todos os sub conjuntos d Q Se Q finito quantos elementos tem P Q Nomes para ele s o conjunto pot ncia e conjunto das partes 375 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O complemento de um conjunto sempre tomado em rela o a um su perconjunto universo aqui o espa o amostral Q que precisa ser ex plicitado logo de in cio Toda fam lia F satisfazendo as propriedades acima chamada lgebra de Boole sobre Q e diz se fechada sob intersec es e uni es bin rias Em geral pede se que F seja uma o lgebra isto seja fechada sob intersec es e uni es de conjuntos indexados pelos n meros naturais assim pen 4n Vemos essas uni es ao tratar de topologias Pensando em cada ponto de Q como um poss vel resultado de um experi mento os subconjuntos de F s o os eventos de interesse a que esse resultado pode pertencer Quando Q finito o conjunto das seis faces de um dado honesto por exemplo podemos delimitar cada resultado como um evento unit rio Quanto Q cont nuo o intervalo de instantes de tempo entre 12 00 e 15 00 por exemplo mais simples dizer em que subconjunto intervalos entre as horas cheias digamos o resultad
39. 2 2 t 3 d 2x3 q a O pr ximo caso que devemos tratar quando o denominador n o to talmente redut vel Ainda assim seus fatores ter o grau at 2 porque ra zes complexas v m sempre aos pares conjugados O procedimento ser o mesmo nesse caso mas apresentamos apenas as f rmulas mais simples para um nico fator quadr tico com multiplicidade 1 Caso de denominador com fatores irredut veis de 2 grau Com b 4ac lt O R x Br C N pues PERI n o necess rio intervir R j ax br c ax b c Bx C A B C Reto E i R n o Bz C x r ar br c r gt r ar br c Para integrar complete o quadrado fa a substitui o e use arctg ou ln Os exemplos esclarecer o esses passos lembrando que d y2 1 San Ing DA C e f ar arctgy C N 215 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos 41 1 41 1 dr aa dr x 6x 14 x 3 5 4 5y T 3 po RE m Vdy com y 4 f ydy n dy Pri Jyt 2ln y 1 3 arctg y G xr 6r 14 P3 2 n E z tg 5 tC No pr ximo slide o denominador redut vel mas vamos repetir a t cnica portanto n o se espera que surja arctg na express o da primitiva Observe que caso o termo quadr tico sej
40. 20 3 AO B C z 1 z x 1 xD Ent o 27 2g 3 A z 1 Br z 1 Cr A B z 2A B PC A donde A 3 B 1 C 7 Para determinar os par metros priemiro formamos a equa o da fra o que temos igual forma que pretendemos e multiplicamo la toda pelo deno minador obtendo uma equa o entre polin mios Agora expandimos o polin mio segunda linha para comparar os coe ficientes e resolver o sistema resultante cujo n mero de equa es tamb m igual ao grau do denominador No exemplo obtemos as tr s equa es A B 2 C 2A 2BE2M lt 3 Em casos simples tamb m podemos substituir as ra zes do denomina dor e se necess rio outros valores adequados na primeira forma do polin mio primeira linha para obter facilmente diversas igualdades e isolar os par metros Isso funciona especialmente bem quando todas as ra zes s o simples bastando as para obter todas as igualdades No exemplo x 0 implica 3 A eax 1l implica 7 C colocando ainda x 2 obtemos 15 44B 2 C 2 donde B 1 Conclus o pa tete z 2r r dz f 2x 5 dz IE Z4 Sm de 2x3 5x 31n z ln e 1 7 x 1 Co 214 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Integre 4z x 20 2x2 10x 12 Agi Tz r 31 3 5 gx 9r Tx 2 3 x D a
41. 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Esse exerc cio tamb m permite treinar mais uma vez a nega o dos conectivos l gicos o que uma quest o de Portugu s n o de Matem tica Novamente observe Essa nega o corresponde apenas ao fato de o n mero especificado L n o ser o limite como definimos Ainda assim pode haver um limite sendo um n mero diferente ou n o haver limite algum Como voc expressaria isto em palavras e depois em s mbolos Sugest o comece uma vez com N o existe L IR de modo que e outra com Para qualquer L IR 3 3 Defini o I para dom nios pr prios At agora somente tratamos de fun es definidas em toda a reta real Para trabalharmos com fun es cujos dom nios s o subconjuntos espec ficos de IR devemos revisar nossa formula o Faremos isso por partes Suponha D C R f D gt R L R e a pontointerior de a U D Esquema de D na lousa Ent o lim f x L ta Ve gt 0 3 gt 0 Yx D 0 lt z a lt gt f x L lt e Essa defini o corresponde quela que formalizamos anteriormente ex ceto que contempla fun es definidas apenas em partes de R e especialmente ao redor do ponto no qual se toma o limite mas talvez n o no pr prio ponto Assim o dom nio D uma vizinhan a de a ou cont m um intervalo aberto perfurado em a Portanto sobra espa o tanto
42. 30y gt 0 e 23 40x 50y gt 0 para que as quantidades vendidas sejam positivas Conclu mos que a fronteira do dom nio consiste de tr s segmentos cujas retas suporte t m as equa es y 3 y 21 E ey E a Ter isolado y nas equa es permite nos em cada caso substitu lo na fun o objetivo f e v la como uma fun o de uma vari vel y ao qual se aplicam novamente as t cnicas de otimiza o Assim procedendo e Para y 3 temos y x 6072 3537 789 donde py x 120x7 353 anula se em z 2 9 O ponto correspondente P determinado com y para tal x n o faz parte do segmento da fronteira mas podemos calcular o valor m ximo de 4 global porque o gr fico uma par bola como aproximadamente 270 muito inferior ao 43 20 j obtido e Para y 2x 1B temos po x 200x2 a E ai a novamente tendo gr fico parab lico com v rtice em 3 2 para o qual seu valor po xso 19 8 inferior ao extremo Identificamos o ponto correspon dente em P gt e Para y ir a temos ps 1 362 4 io 2802 com gr fico parab lico v rtice em 3 4 0 e valor m ximo global aprox 43 1 tamb m inferior ao extremo por pouco j que a prefer ncia muito alta pela marca X Identificamos o ponto em P3 15 2 Racioc nios e mais vari veis Apresentaremos uma extens o a mais vari veis da classifica o de pontos cr ticos vista na se o anterior com justificativa
43. Em nosso caso temos 3 3 Fun es exponenciais Gr ficos na lousa Fixado real a gt 0 temos f RSIR f x a e a gt 1 f estritamente crescente e a 1 f constante e a lt 1 f estritamente decrescente Ainda conversaremos a respeito do significado de estritamente mas 2 voc concorda sobre crescimento const ncia e decrescimento dessas fun es Lembre eat aah ea a Jah ea a a Discuss o extraordin ria Como se define a Isto dados a e x como calculamos a Responder essa pergunta uma motiva o do rigor matem tico no C lculo Quando n um n mero natural positivo colocamos n a cen mm n vezes ou mais formalmente porque n o h defini o precisa de tr s pontinhos procedemos a uma defini o recursiva a a x a Isso requer um 6 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 passo inicial ou base da recurs o escolhemos a 1 para que ent o a a note que 1 o elemento neutro da multiplica o e que a Ixax xa onde a ocorre n vezes para todo natural n incluindo o zero importante verificar que essa defini o satisfaz as regrinhas da exponencia o mas tamb m importante notar que tal verifica o seja f cil ou n o deve existir por conta pr pria porque n o faz parte da defini o
44. G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo f Xfoeca 8 Gr fico na lousa Fixe algum L digamos L 0 6 Desafiante escolhe 2 e Respondente responde 1 se z 8 8 ent o f x 0 e sex 8 8 ent o f x 1 ambos dentro de L e L el Agora Desafiante escolhe 1 5 e Respondente n o encontra para qualquer gt 0 temos fhs sst 0 e fljss4p 1 mas dist ncia entre 0 1 maior que 2 5 Desafiante vence de fato para qualquer L temos lim Fla L qual quer Nesse caso diz se que f n o tem limite em 8 Alguns autores escrevem Note que para dizer que o limite n o existe preciso verificar que ne nhum n mero serve como limite ou seja que a propriedade usada na defini o n o v lida para nenhum L Exemplo f x sen 1 x para z 0 e f 0 4 Gr fico na lousa N o h limite quando z 0 Exerc cio Por que nenhum L serve a Exemplo f x 1 x para x A0 e f 0 5 Gr fico na lousa N o h limite quando x gt 0 Exerc cio Por que nenhum L serve b Este ltimo caso como veremos futuramente admite uma nota o espe cial Contudo ainda se diz que f n o tem limite em 0 Exerc cio Descreva lim f x 4 L em palavras e depois em s mbolos xta Existe um gt 0 C 68 G Cale
45. I gt R onde I um intervalo fechado e assumindo cada f de classe C se existir a I de modo que a sequ ncia num rica fn a nen convirja e se as derivadas f convergirem uniformemente a uma g 1 gt IR ent o existe uma f I gt R de classe C com f g e para a qual as f convergem uniformemente Assim lim fn lim fi desde que as derivadas convirjam uniformemente e as fun es originais convirjam em um ponto n o basta a converg ncia uniforme das originais Para s ries funcionais portanto temos Dadas f Z gt R onde I um intervalo fechado e assumindo que cada f de classe Ct se existir a I de 164 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 modo que a s rie num rica 59 fna convirja e se 329 fi convergir uni formemente ent o 5 fn tamb m converge uniformemente a uma fun o de classe Cl e Da fi E cod No caso particular de s ries de pot ncias obtemos Deriva o de s ries de pot ncias Seja R raio converg de X gt o an 10 Ent o f o R zo R gt R f x X 7o an 20 deriv vel F F na s zo derivada termo a termo com mesmo raio R Iteradamente f de classe C e f xo k ap Trata se de manipular a defini o de raio de converg ncia trabalhando com os coeficientes originais a de ordem n e os novos nan de ordem n 1 multiplique a s rie d
46. IS R y t 5 uma curva Estudaremos y t lim q o s t o s t Analogamente para cada t T drS RY dis o s t uma curva Estudaremos def lim alo s k t o s t Perguntas e Modos de descrever o plano tangente e Outros vetores tangentes e Derivar quanto a s t simultaneamente Para isso definiremos material novo Como para curvas trataremos cada componente separadamente no vamente suporemos f D gt R m 1 e DCR 286 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 12 3 Derivadas parciais Suponha f D gt R e a pto interior de D C R Para 1 lt i lt n defina of a Fla Qi 1 Qi h ama an f a Isso L a quando n 1 Alguns livros utilizam nota es diferentes para a derivada parcial como fa a ou fi a se o uso intenso ou se as express es trabalhadas s o muito complexas D prefer ncia por m nota o fracion ria utilizando o s mbolo l se deP porque diferentes autores utilizando a nota o indexada com signifi cados variados e conflitantes Apenas i sima coordenada tem incremento h Ent o SL calculado como em FUV mantendo x j i constantes Em outras palavras tanto a defini o de derivada parcial via limite como as regras para seu c lculo s o as mesmas da derivada que conhecemos para fun es de uma vari vel
47. Neste caso ter amos apenas mostrado que A e B equivalem mas n o sua validade Em outras palavras somente podemos proceder por camadas Exerc cio Para x y R arbitr rios mostre que a 2 x e x g e x y t y ou z y x x y xy e x y zty Note n o h um procedimento fixo Como fazer esses exerc cios Tanto neste caso como em demonstra es pedidas em v rios exerc cios n o existe uma receita de bolo de como co 36 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 me ar ou executar a prova de modo que importante praticar bastante e variadamente Contudo tenha claro o que est sendo pedido o enunciado quer que se mostre uma propriedade de modo que ela deve aparecer ao fim dos c lculos n o no come o onde utilizamos as hip teses Nos dois primeiros itens tenha cuidado para n o usar fatos sobre o sinal e a pot ncia que embora verdadeiros ainda n o demonstramos lem bre se de que poderiam ser e Que tal dar um nome diferente para evitar confus o Escreva y g ou z g7 Aqui est o exerc cios adicionais para voc praticar e Os elementos neutros O e 1 s o nicos com suas respectivas proprieda des isto sex a resp zb x para todo x ent o a O resp b 1 e Oposto e inverso s o
48. Para k Z observamos que se k gt 0 ent o j temos a se k lt 0 ent o k N e podemos definir a 1 a fazendo uso da primeira defini o Novamente devemos verificar as propriedades da exponencia o Para x Q digamos x p q com p q Z e sendo q gt 0 queremos dizer que a 3 bes a b e precisamos aprender a tirar ra zes caleulamos a e pedimos sua raiz g sima Para que a tenha uma raiz vemos que precisamos supor esse n mero positivo ou seja precisamos a gt 0 Quanto exist ncia da raiz algo garantido pela completude de IR que estudaremos ainda neste curso Mais uma vez feito esse trabalho resta demonstrar as propriedades dessa opera o Finalmente para x IR podemos tomar n meros racionais x um para cada n IN arbitrariamente pr ximos de x e tomar a como o limite das pot ncias a O que esse limite se ele existe se ele sempre o mesmo quais s o suas propriedades e como elas garantemas propriedades da opera o s o todos assuntos que aprenderemos em C lculo Outra possibilidade que se generaliza melhor definir a como uma s rie de pot ncias por exemplo a 53 primo Como fazer uma soma infinita e quais contas podemos fazer com ela um assunto t pico de C lculo e An lise Claramente precisamos antes definir In o que pode ser feito com uma integral Assim essa discuss o n o completa por v rios motivos algumas omis s es
49. Sugest o assuma lim sa kai 0 mostre limfala 0e use E x f x f a A z a Mas afinal qual a tal matriz f a Eis como determin la Proposi o Se f diferenci vel em a ent o existem todas as derivadas parciais emae Ofi Ha 5519 A fun o matricial f chamada matriz jacobiana de f 1 9 Exemplo Dada f x y z x2y x 3sen 2 temos ras fis r 0 E 1 i 1 O 3cosz Exerc cio Quer f a noscasosm 1 n 1l m n 1 323 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 As id ias centrais no racioc nio a seguir s o a decomposi o do limite vetorial em suas componentes e novamente o estudo dos casos particulares de z a paralelamente aos eixos coordenados Para demonstr la assuma f diferenci vel em a Escreva A f a matriz com linhas 4 o Sa Aa Limite vetorial lim Hx Fla fa za lx al A Na i sima componente lim fila fila Auta q 0 gt a lx al Se x a he com h real temos x Eua lima fila he fila Ajhe 0 h50 lhes Ou seja im 160 he fila hj o h50 h Ent o af im ate Ho Ay o h50 jhi h A a dever 0 Portanto Ofi A n Jo the led 2 E h Exerc cio Assuma u IR unit rio m 1 e f diferenci vel Reproduza a t cnica acima para mostrar que
50. Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Quando dito explicitamente incluimos oo Uma vizinhan a de co deve conter z oo para algum x R oo ponto de acumula o de todo conjunto ilimitado superiormente ex IN Analogamente para oo e conjuntos ilimitados inferiormente Note que os conceitos de vizinhan a e acumula o definidos para oo s o extens es naturais daqueles feitos para pontos reais De fato seriam casos particulares de uma defini o geral que estudasse toda a reta estendida 00 o0 simultaneamente Discuss o extraordin ria As defini es acima vizinhan a pontos de acuf mula o etc trabalham com toda a reta real IR mas podemos necessitar con ceitos an logos quando trabalhamos em dom nios diferentes Dado D CIR que ser considerado um subespa o podemos estudar a topologia induzida para a D se V uma vizinhan a de a em IR ent o a restri o VN D chamada vizinhan a de a em D induzida por V A id ia portanto que utilizamos as vizinha as originais para ter tamb m uma no o de localidade dentro de um dom nio de interesse Isso ser til para formularmos a defini o de limites Desse modo quando definirmos conjuntos abertos e fechados poderemos dizer que 1 0 aberto em 1 1 e que 1 0 fechado em 1 1 Veja que a estrutura de vizinhan as induzida em 1 1 muito seme lhante de R quando este escrito
51. dler ter S t 5 P g 163 a 4te 2t e 4t sent t4 cost dt 2tgt Ytse t SS 4e Gr 3 sen z t 4e 2 2 3 cosa x 4e 2 2 3 sen x 4 Ve 5 cos x 5x sen x exp x sen x 5g cos z exp x cos x exp x sena P g 166 a sen sen rx cos mx m b C 7 senf 5t sen 27t 5t sen 2rt TS 4t 27 cos 2nt T Basta tomar a resposta do exerc cio anterior com x x em lugar de e multiplicar por 2x 1 Obtemos 5 cos x x 5 x x sen x2 x exp x2 x sen 22 x 5 x2 x cos x x exp x2 x cos x2 2 m exp x2 x sen x2 a 2 CD 5 In 12 328 A2 3278 1 24277 2443 cos q F8tV2r 5 1 9 207 1 2 In 224 3 cos 5x 3 20 EB se 214 3 cosa 14 2 In24 27 1 t2 A2t 2rsen 1 t ln 7 24 t og 3 27 sen 1 391 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A do a 170 a Temos h TIEA donde a 5se 6 Nesse instante do 5 n 60 0 Z e Z rad s ent o cos 1 5 km s b Sol 16 7 atm e 5 56atm s c Sol aprox 246km h Observe que a velocidade relativa vetorial tem m dulo aprox 256 km h e maior porque n o paralela linha entre o trem e o carro Cf deste autor Interpreta o
52. e flof Determine as Exerc cio Suponha dadas f D gt C e g C gt De assuma que fog u u para todo u C que go f x x para todo x D Mostre que f injetora e sobrejetora prove que g 1 No caso desse exerc cio diz se que go fe fog s o fun es identidade Existem exemplos de go f ou fog ser identidade mas f n o ser sobrejetora ou injetora respectivamente Voc consegue constru los Para ir al m Nosso primeiro cap tulo termina aqui Nosso principal objetivo foi ao revisar as fun es que j conhecemos apreci las no modo mais abstrato da Matem tica formal comparando as comoutras fun es que s o cotidianamente incomus Para quem quiser mais sugerimos nosso ap n dice Formalismo das Vari veis Aleat rias que com os conceitos b sicos de Probabilidade e Estat stica exemplifica o tratamento de fun es como ele mentos de conjunto ou como vari veis de novas fun es Este anexo tamb m faz mais algumas manipula es de conjuntos como entes abstratos 31 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 2 A Estrutura dos N meros Reais Continuaremos neste cap tulo a conhecer conceitos matem ticos sob um novo prisma enquanto exercitamos nossas habilidades matem ticas em manipular diversos objetos necess rias para o uso do C lculo e aprendemos novas nota es e racioc nios Aqui
53. fHF S Substituindo f S em lugar de R na defini o de pr imagem obtemos fUyIs zeD f x e fiS Como a satisfaz as duas condi es expressas com x que descrevem esse con junto ele seu elemento como desejado o Suponha que a f f R queremos mostrar que a R Substituindo f R em lugar de S na defini o de imagem obtemos FITIR F eNg e EAR e conclu mos que a para pertencer a esse conjunto deve ser f b para algum b fT R Isso por sua vez requer que f b R pela defini o de pr ima gem Desse modo a f b R como desejado Sendo f R gt R f x z basta verificar que fHfH3H 3 3 e FIS K 3 33 135 Q P g 22 a Sendo f mpar e tomando em particular x 0 devemos ter f 0 f 0 Ent o f 0 f 0 ou ainda 2f 0 0 de que segue f0 0 b mpar c Par d mpar e mpar f Nem par nem mpar g fmpar h mpar i mpar j Nem par nem mpar k Par mpar m Par P g 25 al Xphng XPXq e Xpug Xp XQ XpXQ onde o termo subtra do corresponde a PNQ que seria contado duas vezes na soma Xp Xq o Xpxq ter como dom nio um produto cartesiano digamos D x E e ser 379 G Cale 201
54. limitada Pa x7 dy lim m o0 577 ECO e 77 limitada JE x7 dz limmsolln z o E e e 1 2 limitada Ne 12 dg limm oo Eq i Regra geral a dz converge amp r lt 1 246 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos em 0 1 gr ficos na lousa TH limitada E xt dz Ea 2 3 e q 1 2 ilimitada T x71 dz lims s0 25 x7 ilimitada h 1 da lims o In z 00 e Regra geral Fi q dx converge amp r gt 1 Poder amos dada uma dessas fun es ilimitadas em 10 1 atribuir lhe um valor qualquer em 0 Essa extens o teria dom nio 0 1 mas continuaria ilimitada e n o poder amos discutir integral de Riemann para ela Vemos por m que poder amos determinar sua integral impr pria nesse intervalo porque em cada 1 a fun o original limitada Exerc cio Demonstre as regras de converg ncia para JE q dx e T x dx Ree nuncie as com o integrando gt O que voc conclui sobre as integrais Fat xdr Vemos que poder amos calcular G 212 dx pelo m todo do TFC direta mente por substitui o direta isto sem usar limites 2x 2 Isso acontece muito frequentemente mas devemos sempre observar as hip teses do TFC para aplic lo porque essa integral de fato impr pria Veja por exemplo o pr ximo exerc cio Exerc cio 1 92 gt 5 E Mostre que ER x dx
55. liste cada derivada abaixo da fun o anterior derivando repetidamente sem tentar faz lo de cabe a Classes de continuidade C a cole o das fun es f tais que e f deriv vel at ordem k e e f cont nua C a cole o das fun es com derivadas de todas as ordens Temos C D Ct D C D D 0 C a classe das fun es cont nuas n o necessariamente deriv veis C a classe das fun es deriv veis cuja derivada cont nua muito importante em An lise 174 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Rolle Part cula com posi o s t no instante t a b Suponha s a s b Ent o em algum momento a part cula parou e voltou atr s Ou seja para algum a lt t lt b temos s t 0 Visto de outro modo Gr fico de s sobe e desce portanto fica hori zontal em algum ponto tangente com coeficiente angular zero Gr fico na lousa A nica hip tese no Teorema de Rolle que s seja deriv vel Embora pare a intuitivo ele requer um pouco de maquin rio para ser provado mas uma boa oportunidade para revisar a aplica o de resultados que j esta belecemos Demonstra o Inicialmente podemos assumir que s n o constante do contr rio sua derivada sempre zero Assumindo ques deriv vel ela tamb m cont nua e Weierstrass afirma que s assume valores m ximo e m nimo
56. lousa a f tog Defini o permitir outras interpreta es Trabalharemos coma lt be f a b gt R limitada existem constantes m M tais que Vz a b 08 m lt f r lt M lt 00 Veremos um modo f ci de calcular integrais o Teorema Fundamental do C lculo ou TFC mas ele mascarar muitas aplica es da integral que requerem conhecimento de sua defini o J encontramos essa peculiaridade antes bem mais f cil derivar uma fun o usando as regras usuais embora seja a defini o por limite que explique os usos dessa derivada Faremos uso b sico dos conceitos de supremo e nfimo operadores sup e inf que conhecemos melhor na A Estrutura dos N meros Reais Aqui basta saber que o supremo de um conjunto de n meros funciona como o valor m ximo desses n meros embora possa n o pertencer ao conjunto Por exemplo 0 5 um conjunto cujo m ximo 5 j 0 5 n o tem m ximo porque qualquer n mero nesse intervalo aberto ainda menor que algum outro n mero tamb m abaixo de 5 ambos os conjuntos t m supremo 5 Analogamente podemos interpretar nfimo como m nimo Usaremos a 223 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 seguinte nota o inf f x inf f x a lt r lt b a xz lt b ou seja esse o nfimo do conjunto de valores obtidos calculando se f x para cada a lt x lt S b Uma parti o P de a
57. m pode ser utilizado para definir o limite de uma fun o real requerendo por m que se defina preliminarmente o que o limite de uma sequ ncia Para a L c0 00 temos lim f x L amp gt a Vs RN lim sn a gt lim f sn L n 00 n 00 Isto para quaisquer passos formando sequ ncia pelos quais aproxime mos a n o sendo a as f imagens aproximam se de L Do jeito escrito esse slide refere se a fun es f IR gt IR Como devemos reescrever para f D gt IR com D C R arbitr rio Exigir quea sequ ncia n o tenha nenhum valor igual ao limite a reflete apenas a possibilidade de L f a no caso de fun es cont nuas abaixo veremos como o enunciado simplificado Note que a defini o de limite usando e requer apenas quantificadores V 3 sobre vari veis n meros reais e x J a caracteriza o por sequ n cias no slide requer tamb m uma quantifica o sobre uma vari vel fun o sequ ncia que corresponde a uma fam lia de reais Do ponto de vista da L gica isso um tanto mais elaborado Para demonstrar a implica o direta suponha que lim sa f x L e lim soo Sn a J trabalhamos anteriormente com a conclus o que 92 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 lims a f Sn L tratando sp como um bloco que converge a a Rigoro samente fazemos assim Dado e gt 0 existe gt 0 tal q
58. mesmo que n o s conhe amos ainda Consequ ncias da ordem total ei lt yvea lt b gt rta lt y bporquezrxs a lt Lrypb lt y h O lt ar lt ye O lt a lt b gt 0 lt zxa lt yb porque x0 lt ra lt xb lt yb xz gt 0 zr lt 0 porque se n o x gt 0 ent o 0 xz x gt 0 0 0 absurdo Analogamente x lt O x gt 0 x 0 gt x gt 0 por dois casos se x gt 0 ent o xg gt 00 se x lt 0 ent o x gt 0 e usamos caso anterior com z x x Exerc cio Mostre que e 0 lt 1 o e para x y 0temos O lt x lt y gt 0 lt y7 lt r Exerc cio E poss vel Cser corpo ordenado Q Agora voc j deve estar convencido de que todas as regras operacionais para n meros reais que voc conheceu na escola podem ser deduzidas dos axiomas apresentados Isso verdade mas mais importante perceber que a lista dessas regras bem grande e cada uma delas deve ser igualmente verificada Discuss o extraordin ria Consideremos a constru o dos conjuntos nu m ricos que na escola s o apresentados prontos N o daremos todos os de talhes aqui mas enfatizamos que para verificarmos aqueles axiomas comu tatividade associatividade os conjuntos R e Q t m que ser constru dos 38 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 de alguma forma Afinal a pergunta cient fica que se col
59. ncia a iya s majorada e crescente veja texto Ent o existe e lim 1 4 sup 1 4 n oo neINZO Sabe se de fato e 2 718 Assim definimos um n mero real por meios puramente te ricos e sem explicitar sua expans o decimal completa Sabe se realmente que e um n mero transcendental isto irracional e que n o raiz de um polin mio com coeficientes inteiros Esse n mero important ssimo para o C lculo em vista de seu envolvimento em alguns limites fundamentais que estudaremos a seguir Acompanhe estes c lculos com aten o a t tulo de pr tica e dirima quais quer d vidas que surgirem Come amos mostrando o majoramento N S tatame ao k 0 SENDO Jos k termos lt 1 dai N 1 1 5 Slt ate lt 3 k 0 Note que portanto teremos e lt 3 Para mostrar que 1 Ae tyn n gt 1 crescente suponha m gt n Ent o para todo inteiro entre 1 e n temos 1 i lt l t J que nn D n k 1 ni T i n E n gli 88 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e uma express o an loga vale para m temos a n k 1 e ue i e a k 0 1 0 m pos j 1 a Sa a A primeira desigualdade obtida por compara o termo a termo a segunda consequ ncia de somarmos mais termos positivos Observe que tendo em vista o primeiro termo da sequ ncia com n 1 conclu remos que e gt 2 H outro modo de definir
60. o no primeiro fator o coeficiente do termo a Hi tyk a a tyt o no segundo o coeficiente TE a ne Dal cs fan he 6 A yo NE quejrso requereu k lt n para usarmos a hip tese feita Resta aplicar a identidade de Pascal 1 1 e e determinar explicitamente o coeficiente 1 de n 1 y t no caso k n 1 P g 51 a Solu es 1 e 3 b O conjunto de solu es 3 oo c Sol 4 3 1 e 2 Note que se pode antes determinar x 1 como solu o da equa o y 5y 6 0 d Sol 3 e 1 Novamente voc pode determinar x 1 como solu o de y y 6 0 e Os pontos lim trofes s o 2 2 e 5 e Caso x lt 2 a desigualdade fica x x 9 gt 0 verdadeira se e somente se x lt 1 V37 2 0u x gt 1 v37 2 Esses n meros s o negativo e positivo respectivamente mas nos interessa somente x lt 2 Como 1 V37 2 lt 2 para mostr lo sem calculadora veja que precisamos t 37 lt 4 ou ainda v37 gt 3 o que verdade conclu mos que qualquer x lt 1 V37 2 solu o e Caso 2 lt xz lt 2 desigualdade fica z x 1 lt 0 que n o satisfeita por nenhum g real e Caso 2 lt a lt 5 novamente obtemos z x 9 gt 0 confira que 1 v37W2 lt 2 que 1 V37 2 lt 5 de modo que contam apenas as solu es entre 1 v37 2 e 5 e Finalm
61. o ente matem tico sob estudo o conjunto IR dos n meros reais ou reta real com sua estrutura usual ou seja as opera es de soma e produto os n meros importantes 0 e 1 e a rela o de ordem tamb m consideraremos os outros conjuntos num ricos IN Z eQ Em vez de simplesmente descartar nosso conhecimento pr universit rio sobre IR e construir um novo corpo de informa es selecionaremos umas pou cas propriedades que nos pare am mais teis ou importantes e com aten o mais cuidada verificaremos que os outros fatos que conhecemos s o de fato conseq ncia delas Outra luz que dedicaremos a IR enfocar certos subconjuntos seus cujas caracter sticas especiais permitir o alguns racioc nios importantes em C l culo 2 1 Axiomas de corpo ordenado Propriedades dos n meros reais O que verdade Por que verdade 33 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Selecionaremos algumas propriedades fundamentais a partir das quais as demais dever o ser demonstradas Cada uma delas chamadas axioma Demonstra es devem usar somente axiomas ou outras propriedades j provadas e consistir de um n mero finito e fixo de passos Esses axiomas n o ser o escolhidos ao acaso ser o aquelas propriedades que j sabemos que nos permitem fazer contas com a m xima facilidade seja com n meros ou letras Permutar os operandos entre si distribui
62. o pode n o existir em conjuntos arbitr rios 21 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fun o par Gr fico na lousa Gr fico sim trico em torno do eixo das ordenadas va R f a f 2 Por exemplo x ou x definem fun es pares Use esses exemplos para associar o nome propriedade Mas outras fun es tamb m s o pares como veremos em um exerc cio Fun o mpar Gr fico na lousa Gr fico sim trico em torno da origem vx R f x f x Exerc cio Mostre que ent o f 0 0 2 Aten o A simetria em torno da origem um ponto n o em torno de uma reta portanto n o uma reflex o especular Exemplos s o x e 2 mas n o est o limitados a esses Definimos fun es mpares com dom nio todo IR o resultado do exerc cio e alguns outros resultados em C lculo somente valem sob tal condi o Por exemplo f x merece ser ch mada mpar mas certamente f 0 O x porque de fato sequer est definido Exerc cio Determine sea fun o definida por cada express o par ou mpar e seng cos E tg m e sen laje cos 1 r te xB rcost t x sen x r texl e 3 4377 E 27 277 log x 2 Fun o peri dica Gr fico na
63. origem Quando os A s o sempre negativos dizemos que o campo centr peto e as setas no gr fico apontam sempre para a origem mesmo que por ter um comprimento muito grande cheguem a ultrapass la Por exemplo F x y GIN para n 2 seta de x y a 5x 5 centr peto Diagrama na lousa Represente para n 2 Le a i F P y gt T Marque uma bola aberta na origem Esse campo central exceto na origem Qual seu tipo Por qu Note que cada vetor unit rio Sugest o Ser muito trabalhoso e impreciso desenhar esse campo a partir de um punhado de pontos x y atrav s do c lculo repetido de x y F x y vale a pena tent lo somente com uso de computa o gr fica O esp rito do 299 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 exerc cio perceber isto Comece mostrando que o campo centr fugo e unit rio com base nas defini es te ricas Ent o bastar desenhar setas por todo o plano sempre sobre retas que passam pela origem radiais apontadas em oposi o origem centr fugas e com comprimento 1 unit rias Isso ser suficiente porque ao determinar sua dire o seu sentido e seu m dulo descrevemos esses vetores completamente Conv m conhecermos mais dois exemplos importantes o primeiro mostra tamb m como se determina a express o de um campo Campo da acelera o gravitacio
64. quad 2015 Solu o Em cada intervalo de uma parti o da dura o do movimento t a dist ncia percorrida dever estar entre os produtos do comprimento do intervalo tempo transcorrido pelo piso e pelo teto da velocidade naquele intervalo O valor do deslocamento total portanto est entre os valores das somas inferior e superior para essa parti o espec fica Quando tomamos outras parti es no processo de refinamento procedemos como no Teorema do Confronto haver um nico n mero entre as somas inferiores e superi ores que precisa ser o deslocamento total e que a integral designada por defini o Quanto dist ncia total e o m dulo da velocidade o racioc nio o mesmo Caso a velocidade troque de sinal apenas um n mero finito de vezes voc poder argumentar indiretamente estudando agora as reas positivas e ne gativas do gr fico Somas de Riemann Como calcular integrais Somas de Riemann ou TFC mais propriedades Para cada k gt 1 divida a b em k peda os iguais Pk a TIME Tkl lt lt Ekk D a com Tr 4 4 k Use f ki como aproxima o para f em todo ki 1 Zril Se f integr vel ent o b a k aprox altura do ret ngulo base do ret ngulo e E E Restar a quest o de f ser integr vel esse limite pode existir mesmo em caso contr rio 228 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1
65. que precisamos a conta mais elaborada Comn lt x lt n 1 temos 14 gt 2 14 E gt 14 T elevando a pot ncias tamb m descrescentes vem 1 da gt 1 5 gt 1 Desse modo E ed a E e basta substituir 1 He 1 E PR Agora para invocarmos corretamente o Teorema do Confronto para cada x seja n x o maior inteiro ainda menor ou igual a x Ent o n x uma fun o de z temos x n x n x 1 e lim so n x 00 substituindo n n x as tr s express es do slide s o fun es de x lim 1 ecom z 1 t DO oo separadamente s t e lim 1 comu e 1ltemost In l u e t 0 t na SNE ga SEN t b 1 u Iim l u In I u t lne conforme t gt 0 amp u 0 90 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos de uso em outros limites sen l2x 12 sen l2x 4 lim lim 1d O 7 Temos 121 gt 0 e lim n sen Z lim Pa 7 Temos 7 n gt 0 n o0 n n 00 m n y 1y mr lm 1 5 lm 1 e o Tl et amp d To e 1 t 1 e lim lim lim pese A t50 sent t gt 0 etsent 50 t sent e Aten o Nesse slide com y oo o c lculo apresentado assume im plicitamente que r gt 0 quando ent o y r oo Desse modo tamb m precisamos considerar separadamente o caso r 0 quando n o podemos tomar y r mas temos lim oo 1 0 1 e e o caso r lt 0 par
66. t 0 Se 130 7 0 a e y 0 v temos Vf a v 0 donde Vf a Lv Tomando todos os y todos osv tangentes a Se em a VIA L Se Na ltima passagem do racioc nio generalizamos o c lculo feito para uma curva y qualquer desde que passe por a no instante 0 mas com qualquer dire o Sem d vida seria preciso demonstrar que cada dire o realizada pelo vetor tangente a uma curva ou seja que essa curva existe para cada dire o Desse modo obtemos o mesmo resultado para qualquer vetor v correspondente a 3 0 tangente superf cie em a Como V f a um vetor ortogonal a todos eles ent o ortogonal pr pria superf cie 315 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo n 3 Determinar a reta normal e o plano tangente superf cie de n vel de f x y z 3y 42 com c 8 por a 1 1 1 Temos e Vf x y z 2x 6y 82 e f a f 1 1 1 1 3 4 8 c importante e Sa x y z E R 3y 42 8 elips ide E importante ao determinar se uma tang ncia verificar se o ponto real mente pertence superf cie dada ou seja se a E Sc N o consideramos o caso a Se neste tratamento Ent o Vf a 2 6 8 L Se Reta normal por a x y z a AVf a A R 1 2 1 6A 1 8A A R Plano tangente por a diagrama na lousa x y z a u v w onde u v w
67. tica em vista da no o de aproxima o que ele sugere agora estudaremos a estrutura topol gica da reta Trata se de dar novos nomes e perspectiva ao conhecimento que j temos Para n meros reais 7 y Valor absoluto ou m dulo x sex gt z x sex lt 0 Propriedades e r max zx z e z y lt z lyl y zl lyl elxr a lt eszrxelja e a el Voc pode demonstrar todas essas propriedades e outras de uso pr tico para faz lo bastam os axiomas de corpo ordenado e a pr pria defini o de m dulo Por m n o nos preocuparemos mais com esse rigor Por exemplo y lt y segue de z u gt y e ly gt x y Ela uma das formas da desigualdade triangular e tem duas consequ ncias importantes e nc z lt x y ly zl 49 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 z yl lt x yl A primeira obtida de x z x y y e a segunda de z x y y e y y zl Observe tamb m que x lt x lt x e que z o nico gt 0 com quadrado igual a x2 Isso significa que x 2 de modo que n o precisamos ter cuidado com o sinal de z quando o m dulo est ao quadrado e que Vz lz ou seja simplificar uma raiz par requer aten o com sinais Conv m revisar a opera o pr tica de m dulos Lembrete Para resolver x
68. trabalho Conhe a as abrevia es dessas fun es em ingl s para ler textos t cnicos estrangeiros sin seno tan tangente cot cotangente sec secante e csc cossecante N o usaremos no ciclo b sico de C lculo as fun es hiperb licas por m em algumas reas da Engenharia elas s o bastante importantes e quando houver necessidade voc se habituar a manipul las Elas podem ser defi nidas assim o seno e o cosseno hiperb licos s o Et e e gfe hps bra G senn x 2 e cosa x 2 respectivamente enquanto tgh coth sech csch s o escritas em termos dessas analogamente teoria trigonom trica Assim todas essas fun es podem ser estudadas a partir das propriedades da fun o exponencial Aqui exercite sua opera o alg brica verificando a partir das duas defi ni es acima usando exponenciais estas identidades e cosh z senh z 1 e senh z y senh z cosh y cosh x senh y cosh x y cosh z cosh y senha senh y Dica para a soma e a subtra o pode ser mais pr tico come ar pelos mem bros direitos Fun es trigonom tricas inversas ou arco e cost 1 1 0 7 cos lr u amp cosu x ou seja cos lr o ngulo cujo cosseno q e sen 1 1 gt 3 3 e tgi R gt 3 5f Gr ficos na lousa Tamb m se usa prefixo arc em vez de 1 Por exemplo arccos cos e diz se arco cossen
69. usando as partes f ceis e como us las para as ainda mais dif ceis por isso que listamos tantas primitivas e nos exerc cios listaremos mais 203 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Linearidade fSleafit cife c dr c f fidr cr f fedr r C Exemplo f 2x 5cosz 3lnz dr 2 5sen z 3 zln r Lp C N o existem regras para produtos e quocientes Exerc cio Integre com uso das tabelas e J 1 x v2 DE 1 spaa b 6x 3x 1 3x2 f d e tg r Para o pr ximo slide voc deve ter em mente os mesmos princ pios de substitui o j utilizados em limites e derivadas Por exemplo sabemos que sex gt 1 ent o 32x 3 gt 0 e portanto sars 1 Para derivar cos x x ln x x a R gra da Cadeia nos diz para derivar cosy lny substituir y x x e ent o multiplicar por y 2g 1 Em ambas as situa es tratamos uma express o como um bloco ou caixa preta para facilitar nosso c lculo faremos o mesmo para primitiviza o Passagem para dentro da diferencial Pela Regra da Cadeia JL g x g de JL g x da F g x C Antes E g Agora g x de d g x Releitura com F f ou f fdz F J E a 2 g x de J f g 2 d g x F g 2 C 204 G Cale 2015 Vinicius Cif Lope
70. y z sen 2y sen z B z 2x yiz sen 2y sen z e C Devemos verificar que f assim obtida satisfaz grad f F calculando o gra diente por sua defini o 310 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cios Decida se estes campos s o conservativos e em caso afirmativo de termine seus potenciais e 5xfy T 3x y z cos yz y cos yz e 4 y z 2x 523 x 152 y 2 GM a ae x y z acelera o gravitacional 2 y2 22 3 2 Verifique suas respostas calculando os gradientes das fun es candidatas a potencial Para n 3 est dispon vel o teste de conserva o com o rotacional nulo Para outros valores de n por m ainda vale esse m todo para encontrar um potencial cujo gradiente ser o campo dado basta eliminar repetidamente as vari veis at chegar a n 1 quando se trata de uma primitiva tradicional 13 4 Dire o e sentido de maior crescimento Esta se o e a pr xima apresentam interpreta es do gradiente e como utiliz lo em c lculos Uso do gradiente em c lculos Tome e y RS R curva e f R R fun o escalar e fog R gt R composta FUV Diagrama na lousa Veremos no cap tulo Diferencia o que a condi o de continuidade no slide a seguir suficiente para as propriedades enunciadas mas lembramos como v
71. 00 Reciprocamente a estrutura adicional para os pontos oo fazla reta estendida o0 o0 parecer se com o intervalo 1 1 2 7 Conjuntos abertos e fechados Conclu mos este cap tulo expandindo mais um pouco nosso vocabul rio topol gico Conjuntos abertos e fechados ser o muito teis como dom nio de fun es que quisermos estudar usando C lculo porque em um conjunto aberto sempre temos o espa o tanto esquerda como direita de qualquer ponto e por outro lado um conjunto fechado cont m todos os pontos a que poder amos chegar no limite 59 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Um conjunto aberto quando todos os seus pontos s o interiores Ou seja A C R aberto amp Vz A de gt 0 jr ex elc A Os abertos de IR s o precisamente as uni es de intervalos abertos Exemplo o0 3 U 5 9 Tanto como IR s o abertos cada um vizinhan a de todos os seus pr prios pontos J essa caracteriza o dos abertos de IR permite a voc construir in meros exemplos deles Experimente Atente para a seguinte discuss o Por intervalo aberto queremos dizer que ele n o cont m seus extremos Ent o para concluir que ele um conjunto aberto h alguma coisa a ser feita porque a defini o de aberto n o se refere a extremos de intervalos Basta observar entretanto que todos os pontos de um interval
72. 1 x memorize porque u lnr gt e gt e u r 1 gt u L E log Eey q k rize para base constante O lt a 1 Memo As f rmulas para as derivadas dos logaritmos costumam ser listadas as sim ln x 1 x e log x 1 xlna Desse modo elas permitem defi nir e derivar as fun es em todo IR Para demonstr las aplique a Regra da Cadeia a log x quando x lt 0 dois sinais negativos de multiplica o h o de cancelar se Como voc derivaria log s g x a 110 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e x exp rlnx exp rln a r lnx ari rar e M todo geral para exponencia o Ha O exp g x In F x exp g 2 In f 2 gE m f 2 ge 0 Ha a In f 0 g x F a a N o decore use m todo e sen lr porque gr fico na lousa 1 y1 q u senlr gt r senu gt l cosu u gt u 1I cosu e tg ry ER porque gr fico na lousa x gt u cou u tg r gt r tgu gt 1 os u Exerc cio Derive cos li xE cot t gH see TTE csc t gd e In 12 3x8 5 E e 27 3 cos x 5 3 v ZE e Vt log 2 2msen 1t E 4 4 Outras interpreta es Terminaremos o cap tulo conhecendo mais alguns usos da
73. 178 7 Comportamento de Fun es 185 CL VOBnIZA O Egas Ed a A a da Dect A aa 185 e MEDE am 2 ni diodo o A ho bRO SAT SA ala O AE lap da A q a CAR 192 iv G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 8 Primitiviza o 199 Bd Oques PrIBADIVAS Ju mes Goal ay e ge Ge BSS a o Bee a 199 8 2 Invers o das regras de deriva o cccclcccc 201 8 3 Integrandos com formas espec ficas lccccccco 212 9 Integra o Definida 223 9 1 Motiva o e defini o oaoa a EO ata ES qa ri 223 9 2 Propriedades e c lculo ss ss ga aak 231 9 3 Aplica es geom tricas da integral aaa L A 239 9 4 Integrais impr prias o oaa a ES 244 II V rias Vari veis 249 10 Os Espa os Euclideanos 251 10 1 V rias vari veis ou vetores 4 A Y cc 251 10 2 M trica e topologia unas semp gl a E ca do Pei E acid 254 10 3 Limites e continuidade AmNccc cc 256 10 4 Componentes escalares sum a muDa El EE E doe ES RS 257 10 5 Derivadas parciais pp up ia gica fo DS AS a E S dE 259 11 Integra o M ltipla 261 11 1 Integral de Riemann ss oo AS A SD SUE a UE Ape 261 11 2 C lculo da integral m ltipl My P cclcl 265 11 3 Duas aplica es ces EN ss Sd SB a De ba de a 271 11 4 Mudan a de coordenadas a n a a a as pi 273 12 Deriva o Espacial 279 Dacia as ai wafa A an at e E E E a i i 279 12 2 Superf cies N AD E a dm A A UE RO A E T a 285 12 3 Derivada
74. 1ly dt 0 1 4mpetbt e Te 2t 3 33 2t dt 0 365 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Dois exemplos importantes Dado campo vetorial F D gt IR podemos formar f de dois modos entre outros integral de F ao longo de 9 UFOO to dt o trabalho exercido pela for a F no deslocamento sobre q e integral de F ortogonal a y 71 7 planar f EE LE 8 dt a passagem do fluxo F atrav s da fronteira y Nota es sugestivas para essas integrais s o respectivamente Ra ds e E amma F n ds em que indica o campo normal a y em cada ponto Exemplo Integrar F x y ry a y ao longo do tri ngulo de v rtices 0 0 2 0 e 0 3 no sentido anti hor rio faz se por partes ao longo dos tr s lados Lado 0 0 a 2 0 a curva y t t 0 com t 0 2 ra rtp oa opa f ODIO dt 0 Lado 2 0 a 0 3 a curva t 2 t 3t 2 com t 0 2 ras gt fire t 3t 2 1 3 2 dt 0 RE 3t2 2 2 5t 2 1 3 2 dt 2 f 3t 382 2 3 15t 4 dt 7 2 0 366 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Lado 0 3 a 0 0 a curva e t 0 3 t com t 0 3 3 fras 1 F 0 3 t 0 1 dt i 3 3 1i 0 t 3 1 0 1 dt 3 t dt 9 2 0 0 Finalment
75. 2015 e grad po f p o fgrad f onde q R 5 IR e div fF div f F f grad F Esses s o os exerc cios 2375 2381 2384 de Demidovitch Combina es das tr s opera es A composi o div grad f grad f gt Ja o laplaciano de f indicado V f ou Af importante nos estudos de equa es diferenciais parciais e de fun es complexas anal ticas J div rot F e rot grad f s o ambos nulos quando se pode aplicar o Teorema de Schwarz Por exemplo a primeira componente de rot grad f Vs AVI O Es RN ES dx 3x3 E L t3 0x3 X 13 3 Campos conservativos Um campo F R R dito conservativo quando existe f IR IR tal que F grad f f chamada potencial Teorema Isso ocorre se e somentese rot F 0 Note o dom nio R3 Aten o Em algumas reas requer se F grad f O potencial simplesmente um campo escalar em alguns estudos pode se trabalhar com f em vez de f Se rot F 0 ent o F n o conservativo Se rotF 0 ent o F conservativo e o gradiente de alguma fun o escalar f que veremos como encontrar seguir O mesmo teorema pode ser enunciado para campos cujos dom nios sejam subonjuntos pr prios de IR mas preciso requerer conectividade simples isto que o dom nio n o possa conter um la o incontr til Por exemplo R 0 simplesmente conexo apesar de ter um buraco mas nem IR
76. 4 Mudan a de coordenadas Veremos primeiramente o que s o mudan as de coordenadas o teorema que relaciona s integrais feitas nos dois sistemas e como funciona o jacobi ano que seu elemento central Ent o poderemos exemplificar como essas 273 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 mudan as facilitam a compreens o e o c lculo de integrais utilizando se o teorema Descreveremos depois a fun o de mudan a de vari veis e seu jacobiano para algumas mudan as de vari vel mais cotidianas Assuma e DC CIR razo veis e f D gt R cont nua ob e 6 C gt D bijetora com P u x e cada cont nua Uj Diagrama na lousa Note que ambos D C s o subconjuntos do mesmo espa o euclideano com a mesma dimens o n Assim a fun o vetorial amp tem n componentes cada uma fun o escalar que pode ser derivada com respeito a cada uma de suas n vari veis Jacobiano 3i OB Ja det J a dujd ij n 0 u Oun Note Ja fun o cont nua de u dr db Nota es comuns para o jacobiano s o e mas n o podem ser Ou du manipuladas como derivadas parciais Teorema Se tamb m Jo u O para todo u C ent o fito de FO Jal du N o esque a o m dulo do determinante 274 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Origem do jacobi
77. 40 e lim 52 ot 2 go jo sen ZE t gt r 2 COST E ida ESEC sa h gt 0 No ltimo exerc cio note que o limite tomado quanto a h carregue x em seus c lculos como uma constante desconhecida Procure mais exerc cios nos livros texto porque praticar neste momento fundamental Observe que em todos esses c lculos n o se usou a defini o formal com e Sempre que poss vel evite tentar o uso direto da defini o aplicando apenas as regras operacionais e os limites j conhecidos de fun es Por outro lado embora se possa determinar o valor de um limite por intui o nos termos de quando x est pertinho de a vemos que f x est pertinho 73 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 desse L isso pode dar muito errado Para calcular um limite rigorosamente preciso fazer c lculos como nos exemplos Composi es Passe fun o para fora Se existe M lim g x e se lim f u f M ent o xa u lim f g x f lim g x toa g a Exemplos e lim cos x cos lim cost 1 t gt vm t gt vm eli poe n Alo 20y lim exp 20 5y exp lim 20 5y e 1 Ou seja se a fun o externa cont nua como estudaremos a seguir no ponto necess rio ent o podemos passar o limite para dentro caso claro ele possa ser calculado Pospomos a demonstra o disso para a situa o an loga em que compos
78. 5 5 15 2 1 3 3 4 12 donde p 84 12 3 488 6410 8 18 187 Temos e f 2 1 3 2 3 6 3h 4h 12h 11h 12h2 24h 48h o a EE qdo qa E ar t oht 3 5 t go LDA E E oa h gt 0 GUC I TT SO t e E Exerc cio 1 Nai no A _ flsej i Seja e1 n a base can nica de IR isto ei d se 4 ti Mostre lle l 1 e pelas defini es que 7 Of D a o a Voc j conhece a base can nica de IR embora com outros nomes temos e1 T e Je eh Esse exerc cio alerta simplesmente que a derivada direcional uma gene raliza o das derivadas parciais ou seja n o estamos limitados a considerar vetores tangentes apenas ao longo dos eixos cartesianos Tamb m podemos trabalhar sobre outros modos de representar a restri o do dom nio D a um eixo espec fico Dado v IR v 0 tome u v v e mostre que im ate Ha df e20 elo du Por que n o podemos ter ev no quociente E se tiv ssemos ev H modos pr ticos de calcular a derivada direcional usando se gradiente ou cossenos diretores que veremos oportunamente 202 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 12 5 Derivadas de ordem superior Assuma f D R deriv vel quanto a cada vari vel Ent o of DS5S IR oxi tamb m fun o se for deriv vel o Of D gt R tamb m fun
79. 6 Limites nos infinitos e de sequ ncias c 0 4 78 3 7 Limites infinitos rests a eph a aia ae n E a a Ap 81 3 8 Confronto sandu che ou squeeze cclcll ON 85 3 9 Fun es mon tonas e o n mero e cccccccfocos 87 3 10 Limites not veis chair E Um Sea A e E BE 89 3 11 Concep o de limites por sequ ncias ccccccliA 92 3 12 Continuidade ao e SR e a A a o 93 4 Introdu o Deriva o 97 4 1 Motiva o cinem tica e defini o s Lae doc 97 4 2 Interpreta o geom trica aooaa a No 102 4 3 Como calcular derivadas aoaaa aa a Aaa 103 4 4 Outras interpreta es aoa ACM 111 II Uma Vari vel 117 5 An lise B sica 119 Sl Lembretes entien s plee a MOS o e aE a io Basa E N 119 5 2 O que s o limites e seus tipos ooa aa 120 5 3 C lculo de limites K T oaa aa 124 5 4 Confronto sandu chepou squeeze noaoo 133 5 5 Regras de Hospital M paoa aaa 134 5 6 Defini es de limifes W Z aaa a 138 5 7 Continuidade pe o oo 142 5 8 Sequ ncias e s ries s 147 6 Deriva o 155 6 1 Motiva o e defini o aooaa pg Sd E A En 155 6 2 Interpreta o geom trica aooaa a a 158 6 3 Regras de deriv o simb lica ooa a aaa aa 159 6 4 Taxa relacionadas related rates nooo aaa 169 6 5 Melhor aproxima o linear e Newton Raphson aa 171 6 6 Propriedades e valor m dio oa a a a 173 6 7 Polin mios de Taylor aoaaa a
80. Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 11 Integra o M ltipla Em todo o cap tulo concentramo nos na integra o de fun es escala res porque uma fun o vetorial f D gt R f fi A fm dever ser integrada simplesmente assim toa f hoa ffrae 11 1 Integral de Riemann Estudamos as integrais de fun es de uma vari vel em Integra o Defi nida definimos um n mero real correspondente rea compreendida entre o eixo das abscissas o gr fico da fun o e as duas retas verticais nos extremos do intervalo de integra o Nosso prop sito agora o mesmo no caso de duas vari veis calcular o volume entre o gr fico de uma fun o que agora uma superf cie e a base plana constitu da pelo dom nio da fun o esse s lido cil ndrico delimitado pelas retas verticais que encontram o plano coordenado na fronteira do do m nio Sem d vida para mais vari veis a situa o torna se abstrata e o pr prio dom nio tem volume O procedimento para definir o n mero correspondente a esse volume tam b m o mesmo da integra o de uma vari vel atrav s das somas de Riemann 261 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assumiremos e D a b com cada a lt b em IR e f D gt R e m M R tais que Vz D m lt f x lt M ou seja f limitada Motiva o volume entre gr fico de f e hiperplano
81. FRSR f x p x qlx Podemos definir f D gt R como acima sendo D x R q x 0 Restri es se S C D ent o fls S gt C fis x f x 12 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A fun o f D gt C determina sua imagem Im f f x z e D Exemplo Estes contradom nios j s o as imagens correspondentes sen cos R gt 1 1 e tg veR zAZ ng7 nEZ gt R Exerc cio Para f D gt C S C D e RC C definimos e a imagem f S f x zxesShe e a pr imagem fHR reD f a e Rh Mostre que f f S 2 SE e f f R R Construa exemplos em que as inclus es s o pr prias isto n o s o igualdades Em palavras a imagem por uma fun o f de um subconjunto S de seu do m nio simplesmente a cole o dos f valores dos pontos em S ou seja subs titu mos cada elemento em S por seu f valor para obter f S Por exemplo usando se a fun o seno com o conjunto 0 Pr a mero t tulo de ilustra o vem 19 sen 0 5 7 sen0O senZ senm 0 1 J a pr imagem por f de um subconjunto R de seu contradom nio a cole o f R de todos os elementos no dom nio cujos f valores perten am a R No caso espec fico de f IR gt IR f x x e do conjunto ilustrativo 1 0 2 temos 1 0 2 me R tais que z 1 ou z 0 ou z 2 AN2 2 Procure
82. G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Atente para como feita a nega o de uma propriedade do tipo para todo ou existe Em vista disso como propriedades ponto a ponto s o do tipo para todo ent o suas nega es n o o podem ser Comparar fun es ser importante em diversos teoremas sobre conver g ncia e limites tanto inicialmente como depois em integra o Veja que para compararmos duas fun es elas devem ter mesmos domi nio e contradom nio caso contr rio sequer se come a a discuss o Contudo duas fun es f g D gt C s o apenas paralelas e para serem iguais pres ciso fazer a compara o ponto a ponto Para duas fun es diferirem basta que tenham valores distintos em um algum ponto do dom nio Quando se trata de comparar n meros reais a ordem linear ou seja tomados dois n meros um deles sempre vem antes ou depois do outro Po r m poss vel duas fun es n o serem uma maior ou menor que a outra Gr fico na lousa Composi o de fun es Suponha f D gt C e g E gt D Note o mesmo D Pa eo Cuidado com a ordem Definimos fog E gt C Fag fa x O objetivo da composi o substituir por uma nica fun o o trabalho feito primeiro por g e depois por f Isso poss vel porque o contradom nio de g o dom nio de f ou seja f est definida em todos os valores assumidos por g
83. Lagrange 1 porque g C e A 3 D dr _ d 4 Ox E r dC C Basta ent o bia a f rmula da melhor aproxima o linear de V como fun o de C para obter a aproxima o de sua varia o no slide Exemplo na lousa Se x gasto em maquin rio ey em funcion rios uma f brica tem produtividade 1272 42 3 Como alocar capital de 60 unidades de modo a maximizar a produ o Y Qual esse m ximo Quanto seria aprox essa produtividade com umcapital de 62 unidades Note os expoentes fracion rios cuja soma 1 o que facilita algumas passagens da resolu o Essa uma caracter stica das fun es produ o de Cobb Douglas Na ltima quest o n o recalcule o ponto de extremo e a fun o objetivo apenas utilize a heur stica apresentada que mais simples de calcular J conhecemos o exerc cio seguinte de Uma Vari vel na p g 191 onde tamb m oresolvemos por elimina o de uma vari vel Exerc cio Minimize o custo do material para fabricar uma lata cil ndrica de metal com base e tampa de volume 800 cm Quais as dimens es da lata Custo proporcional superf cie 360 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Um garoto disp e de R 1350 para comprar zx filmes R 45 cada e y jogos R 75 cada Seu pai sugere que ele otimize sua satisfa o com os produto
84. N Ox nem um toro s lido s o simplesmente conexos porque um c rculo em torno deles n o pode ser encolhido a um nico ponto por dentro desses dom nios 306 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo F x y 2 xy yz 3x Temos T 7 k lo a al _ rot F dx Oy Oz xy yz 3r fode yz Day 23r amp yz do cy Ent o F n o conservativo Exemplo G x y z 4xy z 2x 2yz3 3y z x 102 Temos 7 k rot G gjo s Oy Oz 4xy n z 20 2yz dy z 102z 55 3 Po a 107 E 2a 2y2 T 2 E 2 3y 232 Y q 102 7 5 20 WANE dry z k 6yz 6y22 1 14x 4x 0 0 0 0 Ent o G conservativo com G grad f para alguma f Vamos achar f Queremos G V f mas G V O 4y NQ 2y2 3y x 102z 3E S amp bf S4ry z 5 B E eya a 322 x 102 307 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Integrando a primeira equa o f Z de fayt ode 21y ze Aya A a constante da integra o quanto a x independe de x mas pode depender de y 2 Substituindo no sistema temos 0 de dry 2 4ry z A 4ry z verificado a 27 EUr gt 3 2e y 0 4 ING dy Bi a 3y 2 T 102 0 r 2 3y 2A r 102z 3A g f3 2O
85. Note que a propriedade n o envolve nem diz quem L Assim como sequ ncias s o dadas por uma fileira infinita de n meros re ais rotulados pela ordem dos n meros naturais podemos tamb m considerar sequ ncias de fun es fo fi f2 0 que explicaremos ainda nesta se o S ries num ricas S o sequ ncias da forma ao ao 4 o Q1 Q2 ao Ha az as A nota o a pode significar n 0 k e pr pria sequ ncia s das somas parciais sp gt Gn n 0 k e O limite lim s lim San k 00 k 0 Exemplo usual somas de progress es geom tricas Note a solu o utilizada em vez de somar um n mero infinito de ter mos opera o que n o est previamente definida realizamos apenas somas comuns e tomamos o limite 148 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Como no caso de sequ ncias para v rios autores os termos das s ries podem ser indexados a partir de 1 em vez de 0 Basta apenas ter cuidado com rearranjos e reindexa es em opera es sobre termos Al m disso muitas vezes a f rmula que descreve termos mais convenientemente escrita sem o ndice 0 A partir das propriedades de limite podemos fatorar multiplicadores para dentro ou fora de uma s rie mas com cuidado porque se esse fator for zero pode mascarar uma diverg ncia Tamb m podemos somar s ries termo a termo se ambas conve
86. Of as 22 gu O Tla u V f a lu 324 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que h duas coisas a mostrar nesse exerc cio os itens 1 e 2 Ele apresenta que no caso de fun es escalares a melhor aproxima o pode ser escrita como Af Dus Ax onde significa varia o Exemplo na lousa Guidorizzi n 2 e m 1 _ f se z y 0 0 fy se x y 0 0 f n o diferenci vel em 0 0 mas cont nua Exemplo na lousa Guidorizzi n 2 e m 1 fas 5 ur 0 se x y 0 0 f n o diferenci vel nem cont nua em 0 0 Teorema Se todas Ea existem ao redor de a e s o cont nuas em a ent o f g diferenci vel em a Assim basta verificar continuidade das derivadas parciais A rec proca n o vale como j vimos para uma vari vel em 167 Sum rio e Se podemos formar A Es a Ji Y F fa Alz a 0 pra lx al ent o f diferenci vel em a e f a A A nica candidata e Se n o podemos formar A ent o f n o diferenci vel em a 325 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e Se podemos formar A mas lim 0 ou n o existe ent o f n o diferenci vel em a e Se f n o cont nua em a ent o n o diferenci vel em a N o vale rec proca e Se as Se s o
87. Para falarmos de supremo de um conjunto A de n meros reais preciso que A seja n o vazio e limitado superiomente Por m costuma se utilizar a seguinte nota o para abreviar os casos omissos 41 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e Se A n o vazio mas n o majorado isto n o tem teto ent o escrevemos sup 4 o Tal uso extremamente importante e Tamb m escrevemos sup oo Voc pode entender a nota o usada para esses casos omissos pensando a respeito de nossa discuss o sobre os pontos oo Qual a diferen a entre supremo e m ximo O m ximo sempre pertence ao conjunto Se A tem m ximo ent o sup max Por m v rios conjuntos n o t m m ximo 00 5 O m ximo se existir o menor limitante superior do conjunto Como mostrar que um n mero supremo Pela defini o Determine sup A intuitivamente ent o verifique duas coisas e Todo x A menor ou igual a sup 4 e Ningu m menor que sup limitante superior de 4 ou seja para todo gt 0 por menor que seja existe algum x A entre sup A e supA Exemplo Considere A o0 5 Ent o sup A 5 Temos x lt 5 para todo x A e Ses gt ent o podemos encontrar x E A com 5 e S z lt S 5 Ex r A gt E A Nemysempre podemos determinar o valor expl cito do supremo ou cons
88. T 0 ou y z cancelamento porque sex 0 ent o multiplicamos x aos dois lados etc 35 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos mais elaborados e z0 0 porque 0 0 0 donde z0 x0 0 0 x0 e cancelamos e zty 0 gt z 0 ou y 0 porque escrevemos xy x0 e cancelamos e x 1 x porque z 1 x 1x 1 x 1 t z 0r 0 x x e cancelamos Aprecie que essas dedu es embora resultem em resultados bvios s o necess rias se queremos fundamentar todas as propriedades em apenas alguns axiomas Por exemplo no ltimo exemplo acima comparamos o oposto aditivo de z com o produto de x pelo oposto do n mero 1 que por si pr prio elemento neutro da multiplica o e n o tem rela o alguma com a adi o Com a nota o que comentamos anteriormente escreve se T te Temos utilizado algumas consequ ncias como as leis do cancelamento para deduzir outras Propusemos no in cio que isso perfeitamente acei t vel e todas as novas propriedades s o consequ ncias dos mesmos axiomas originais Contudo somente v lido quando estamos certos de dois fatores 1 est o corretas as dedu es das novas propriedades utilizadas n o com prometendo a corretude das pr ximas demonstra es 2 n o formamos um c rculo vicioso ou seja n o utilizamos A para mostrar B havendo antes assumido B para mostrar A
89. Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 9 3 Aplica es geom tricas da integral Em geral a lt b em tudo C lculo de reas Em geral pede se rea total soma de reas sem sinais Fa a diagrama escolha melhor parti o e melhor sentido vertical ou horizontal use TFC Exemplos e exerc cios na lousa Para todas as aplica es que veremos lembre se de procurar mais exem plos e exerc cios para praticar Afinal quem sabe as reas loucas e os volumes doidos que voc dever calcular em sua profiss o Comprimento da curva do gr fico Diagrama na lousa C I VIE da Se f tiver um bico em c fa a f I etc Como funciona Vamos vestir roupagem da F sica para formalizar basta juntar todos os peda os Suponha que o gr fico a trajet ria linear de um ponto material e que no instante t a b ele tem coordenadas x t e y f x f t Em Fun es de V rias Vari veis voc estudar o caso geral de uma curva x t y t Sua velocidade vetorial tem componentes horizontal 1 e vertical w f t logo tem valor absoluto v t 4 12 f t 2 O deslocamento f v t dt VIT de e igual dist ncia percorrida porque v t gt 0 sempre Por exemplo considere o arco de circunfer ncia de raio a gt 0 dado por f x va Ar para 0 lt x lt a Como se trata de um quarto da cir cunfer ncia compl ta esperamos que seu comprim
90. a xima ou m nima Exerc cio Determine a concavidade em cada ponto cr tico e 7xf 5r 1 a e sen 2r Na pr xima parte os cap tulos An lise B sica Deriva o e Otimiza o e Comportamento de Fun es estudar o mais profundamente o conceito de derivada suas interpreta es c lculos e utilidades A lista que apresen b b tamos a seguir um breve sum rio desses t picos 114 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Deriva o em Uma Vari vel e Mais aplica es com velocidades e otimiza es Tangente melhor aproxima o linear e Sinal da derivada fun o crescente ou decrescente e Detalhes e regras sobre m ximos e m nimos locais e globais e Reunir com limites gr ficos e Regras de Hospital e Teorema do Valor M dio 115 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Parte II Uma Vari vel 117 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 5 An lise B sica An lise o campo da Matem tica abstrata em que se insere o C lculo agrupando os estudos que utilizam defini es e argumentos com aproxima es controladas ou seja as toler ncias e e Este cap tulo elabora os conceitos e os m todos apresentados em A Es trut
91. a forma x 3x requer x gt 0 e deixa de lado metade da par bola Voc pode por m estudar cada metade em separado Finalmente como voc adaptaria essa solu o se o problema pedisse por um ponto no segmento de reta de 0 0 a 1 3 Q Exerc cios cl ssicos Minimize o custo do material para fabricar uma lata cil ndrica de metal com base e tampa de volume 800 cm Quais as dimens es da lata Custo proporcional superf cie Veremos esse problema novamente na p g 360 Parte V rias Vari veis aplicando o m todo dos multiplicadores de Lagrange O servi o postal de um pa s imp e a seguinte limita o para despa char pacotes em formato paralelep pedo ret ngulo a maior dimens o e a cintura somadas n o podem superar 250 cm Qual o maior volume de um pacote com sec o quadrada que podemos despachar H duas possibilidades para a maior dimens o 191 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Um jipe encontra se a 80 km oeste de uma estrada norte sul e deve ir a um encontro na estrada a 300 km norte Sua velocidade no asfalto 80 km h e no sert o 50km h Determine em que dire o estrada o jipe deve partir para um percurso reto at a estrada e depois por ela at o ponto de encontro para minimizar o tempo de viagem Ou seja determine a posi o de chegada na estrad
92. c Sol Sol Sol e gt 0 V gt 0 A 0 b y b x E R O lt z a lt e f r L gt e Sol Za Sol como se desfizesse a racionaliza o P g 75 1 P g 76 a a Sol Sol 2 b 2 e 0 resp Sol f Respectivamente 1 73 1 22 3 v6 1 Dica multiplique em cima e m baixo por vt 1 v1 t Sol 3x2 Sol 1 d b Sol 1 e 1 resp definida ent o n o se pode definir seu limite P g 79 a lim f x L e Ye gt DE L o0 f Lis e G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 386 Sol m Sol f c Sol o limite direita 0 mas esquerda de 2 a fun o n o est K e R vYx Dz lt K gt P g 81 a Sol 1 b Sol 4096 c Sol 0 e 2 resp d e M f Sol 1 3 A soma dos quadrados n n 1 2n 1 6 como determi namos por indu o na p g 46 lim f x amp YM e R 3 gt 0 Vxz D 0 lt z a lt gt f x lt va im f x amp YM e R 3K e R vYx D x lt K gt f x gt M e outras tr s combina
93. casos estritos ambos os dois sinais de desigualdade devem ser estritos o segundo porque queremos a defini o estrita o primeiro for ado pelo segundo se x y sabemos que a fun o f deve satisfazer Fa Hg 23 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Desse modo uma fun o estritamente crescente ou decrescente sempre injetora Em qualquer dos quatro casos diz se que a fun o mon tona ou mo not nica de acordo com o pr prio sentido do primeiro adjetivo Desenhe gr ficos representativos de cada um desses casos Fun o limitada IK M EeR Vre DK lt f x lt M ou seja In f contida em intervalo limitado O que ser limitada superiormente Inferiormente 2 Ent o K lt M O objetivo detectar um piso e um teto para o gr fico da fun o sendo que as laterais s o delimitadas pelo pr prio dom nio D Tanto faz se o piso ou o teto s o tocados pelo gr fico da fun o se voc precisar trabalhar com desigualdades estritas substitua K M por K 1 M 1 respectivamente No caso de limita es superior M ou inferior K s nos preocupamos com o teto ou o piso respectivamente podendo o outro existir ou n o Experimente exemplificar essas situa es com gr ficos Exemplos Para 0 lt azl Fun o a ilimitada superiormente mas limitada inferiormente e o melhor limitante
94. concentramo nos no que acontece localmente em torno de a n o em todo o espa o ou em todo o dom nio de uma fun o Com tal conceito de vizinhan a definem se pontos de acumula o isolados e interiores conjuntos abertos fechados conexos e compactos Ou seja Todas as defini es que fizemos em A Estrutura dos N meros Reais para o espa o IR podem ser feitas analogamente para cada espa o euclideano IR substituindo se aquele conceito de vizinhan a que exigia a contin ncia de um intervalo aberto pelo novo conceito contin ncia de uma bola aberta Deixamos essa renova o a seu cargo assim como uma certifica o em livros texto enquanto o pr ximo slide traz a solu o a respeito de pontos interiores e conjuntos abertos com 6 que mais trabalharemos Atente para que a maioria das defini es como a de ponto isolado s o id nticas mutatis mutandis s feitas em IR mas algumas caracteriza es n o permanecem v li das Por exemplo conjuntos compactos s o precisamente aqueles simultane amente fechados e limitados mas conjuntos conexos podem n o ser conexos por caminhos Suponha ae D C IR diz se que a ponto interior de D se existe r gt 0 tal quaBt a r C D Um conjunto aberto quando todos os seus pontos s o interiores Ou seja AC IR aberto amp Yx A Ir gt 0 B z r C A 259 G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad
95. cont nua ent o existe c a b tal que HO 5 fado Assim o valor m dio da fun o realizado em algum ponto Esse resultado tamb m vale para algumas fun es descont nuas mas n o todas Demonstra o extraordin ria Sendo I o valor da integral e m M os va lores m nimo e m ximo de f no intervalo cuja exist ncia dada por Wei erstrass temos m b a lt I lt M b a pela defini o de integral Isso evidente em termos da rea sob o gr fico Ent o m lt I b a lt M e pelo TVI aplicado a f cont nua existe esse c tal que f c 1 b a Assuma agora que f cont nua em um intervalo Fixe um ponto a nele e defina Edo FO du Note que a vari vel z agora um limite da integra o e usamos outro nome u para a vari vel muda de integra o Mostraremos que Fi f ou seja a integral definida produz uma primi tiva Isso n o significa que F possa ser expressa de algum jeito simples e sua utilidade ser somente te rica Devemos mostrar que limpo Fa x h Fi x f x com z arbitra riamente fixado Temos F x h Falz Rs f u du De acordo com o TVM integral essa integral igual a f un x h x para algum u entre gv ex h caso h lt 0 basta reescrever a integral Assim precisamos apenas que limpo f un f x mas h gt 0 implica que up x porque a dist ncia entre ambos no m ximo A e basta ent
96. cont nuas em a ent o f diferenci vel em a N o J vale rec proca e L x f a f a x a s melhor aprox 1 ordem param 1 z L x s eq plano tangente se f diferenci vel Diagrama na lousa Em geral esse diagrama esclarece que se entendem IR e IR como espa os tangente a matriz f a como uma transforma o linear entre esses espa os Classes de continuidade Note que f a matriz m x n ou vetor em IR Se f diferenci vel em todo o D obtemos F D AMen NY R ar f a f tamb m fun o talvez diferenci vel Equivalem f diferenci vel k vezes amp f cont nua e todas der parciais de f de ordem k existem amp s o cont nuas Nesse caso diz se f de classe C Lembre que ft fH onde o sinal aparece k vezes a k sima diferencial de f O valor de k pode ser qualquer inteiro 0 1 2 A classe C compreende aquelas fun es que t m todas as derivadas de qualquer ordem essas derivadas s o for osamente cont nuas essa classifica o que se usa como hip tese de suavidade geralmente CH C ou C para curvas superf cies e fun es em geral 326 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo na lousa Guidorizzi n 2 e m 1 Retomamos Ss seem 0 0 fisy se x y 0 0 Aparece f rmula para plano tangente que n
97. correspondente neste caso a primeira mais simples f a de 64y z de 22 y z Aly z T em que a constante de integra o A pode ser uma express o envolvendo y e z porque ainda ter derivada zero com respeito a x Substitu mos essa express o obtida para f no sistema conferindo que a equa o utilizada para sua dedu o satisfeita e simplificando as outras equa es obtendo um sistema agora para A 0 Ba SE Gulp Babyz a Ga g z 2 cos 2y sen z 223 da 223 sen 2y cos z Ze 309 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Desse modo vem dA 2 cos 2ysen z 2z sen 2y cos z Ze Integrando a nova primeira equa o temos oA A ZZ dy 2c052ysen dy sen 2ysen z B 2 y em que B pode ser uma express o envolvendo z sendo constante com respeito a y mas n o pode envolver x porque A j n o tem essa vari vel Agora substitu mos A no sistema em quest o verificando a equa o utilizada e simplificando a restante 0 2cos2yseiz 2 eriz s sz SE Asef 2ycos z de Z de modo que oB Zm Conclu mos com a integra o oB B Jz dz 2e dz e C z em que C realmente constante porque se integrou com respeito a z e x y n o podem constar em B Finalmente substitu mos B em A e A em f para obter a express o dese jada fley Z gt 2x y z Aly 2 2x
98. da indu o requer que demonstremos P gt P para qualquer n gt 2 Para tanto assumamos que P verdade para calcular 1 2 1 20 14 2 gt L na 1 2 1 n Dz nax gt 1 n 1 z onde a primeira desigualdade dada conjuntamente por P e o fato de que 1 x gt 0 dado por x gt 1 e a segunda faz novo uso de z gt 0 Exerc cio Use a mesma t cnica para mostrar que e 18 2 An n n 1 4 para n gt 0 e todo conjunto den elementos tem 2 subconjuntos para n gt 0 e n gt n 3 paran gt 6 assuma 1 1 n lt 3 para n gt 6 Eis mais enunciados que podemos demonstrar por indu o e 1 2 D n n n 1 2 para n gt 0 sem usar a somat ria de progress o aritm tica a e Sem saber nada de deriva o e assumindo apenas a regra sint tica fg f g fg prove abstratamente para n gt 2 quef 114 2 116 i 1 j i 48 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e O Teorema Binomial a igualdade z y S ge Ryn k 0 em que x y s o reais arbitr rios e n gt 1 Pesquise quais deles podem ser provados de outros modos 2 5 Valor absoluto e a m trica da reta Retomamos a descri o dos n meros reais os axiomas de corpo ordenado deram nos conhecimento alg brico ou operacional o Axioma do Supremo tem natureza anal
99. das velocidades relativa e de afasta mento no c lculo b sico Educa o Matem tica em Revista n 31 p 39 42 2013 P g 173 a Usamos a fun o f x x cosx Com o MS Excel por exemplo usamos as colunas rotuladas A D a tabela a seguir fornece o c digo para a primeira linha nas colunas B D em D2 inserimos D1 arrastando para baixo em cada coluna conclu mos que o erro cometido j menor que o especificado para x3 0 7390851 cujo cosseno vale aprox 0 7390852 n Tn H am F 2n Tn 1 B1 COS B1 1 SIN B1 B1 C1 0 1 0 249636132 0 750363868 0 750363868 0 011250977 0 739112891 2 0 739112891 9 77575 x 107 0 739085133 P g 176 a Pelo TVM 5 lt SAC lt 7 donde 22 lt f 3 lt 30 Es ses extremos s o atingidos pelas fun es 2 5 x 1 e 2 7 x 1 P g 177 a Temos g 3 gt g 5 esses dois argumentos n o pertencem a um nico intervalo em que g seja deriv vel P g 181 aj gt q u hl b w z gt tt k 392 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 clsenz 5 2 1 x t 2n 1 e cosz 52 1 2n d 1 2 1 Deo 2 La P pao 1 T e 1a Dot 1 rate arctg x gt 2 o 1 7r 2n 1 MD ln2 hn 1 1 1 H k 1 i e tg 1 f DS 1 z 2n
100. de f f 0 lim Ho HO TEL a limgsen x D 0 x 0 x 0 20 x o0 20 novamente se invocando Confronto Verificamos que n o existe lim o f x porque o termo cos x oscila com amplitude constante ent o f est definida mas descont nua em 0 Deriva o impl cita Suponha f x solu o de x54 y Say isto Mo Se f e Se f 1 2 como determinar f 1 sem resolver f x 167 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 1 Derive quanto a x os dois lados 5a 3y E Sy ag 2 Isole y 1 a _ 9y 10r A a 6y2 9x 3 Substitua x 1 y 2 verifique 1 2 3 1 2 e obtenha O E Fajs 6 22 9 1 5 15 Esse tipo de problema ocorre quando um ponto percorre uma trajet ria for ada trabalharemos assim na pr xima se o Note que y surge na express o trabalhada justamente em vista da Regra da Cadeia Observe que sempre assumimos que tais fun es representadas por uma vari vel em termos de outra tamb m s o deriv veis para ent o aplicarmos a Regra da Cadeia Os livros de C lculo podem apresentar ou omitir diversos resultados que garantem a derivabilidade dessas fun es sob v rias hip teses sendo o Teorema da Fun o Impl cita um dos mais importantes Podemos fazer o mesmo com as principais fun es inversas Se f f7 s o deriv veis em a f a resp e
101. demonstra o que veremos novamente no pr ximo racioc nio Como h h 1 sempre para que o limite seja nulo preciso que B A e 0 Contudo veja que B Aje B A a i sima coluna da matriz B A Como o ndice arbitr rio conclu mos que todas as colunas de B A s o nulas e que 4 B Essa proposi o ao especificar uma nica aproxima o de 1 ordem como a melhor notadamente f a Aa Ax permite fazermos a seguinte defini o Se existe 4 tal que AO Ha Ae 0 za lz al 0 ent o e diz se que f diferenci vel em a e escreve se f a A sua matriz diferencial a fun o L x f a f a x a a melhor aproxima o de 1 ordem de f ao redor de a 322 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 H v rias nota es para a matriz f a E importante o termo diferenci vel ao contr rio de nosso estudo para fun es de uma vari vel aqui diferenci vel e deriv vel n o s o a mesma AQ propriedade Exerc cio Suponha f x Ax para uma matriz fixa 4 Mostre que f diferen ci vel e que f a A em qualquer ponto a Em particular a fun o identidade f x x quando m n diferenci vel e f a a matriz identidade Exerc cio Se f diferenci vel em a ent o cont nua em a za E x _ E x
102. derivada al m das interpreta es cinem tica velocidade instat nea ou taxa de varia o e geom trica coeficiente da reta tangente Tanto os detalhes dessas apli ca es como ainda outras veremos apenas em Uma Vari vel 111 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Trabalharemos com D aberto e f D gt R deriv vel Ponto cr tico a D com f a 0 ou onde f n o existir Extremos relativos locais Objetivo determinar picos e vales do gr fico ou seja m ximos e m nimos locais em vizinhan as da fun o Discuss o sobre localidade compare picos do Jaragu e do Everest Fato se a ponto de m ximo ou m nimo local ent o a cr tico Motiva o retas tangentes com inclina o 0 Gr fico na lousa M todo resolver f x 0 e estudar cada raiz Tomamos D aberto para que todo ponto seja interior e possamos calcular a derivada O fato de f a 0 n o implica que a seja ponto de m ximo ou m nimo como veremos no pr ximo slide Por m basta estudarmos as ra zes de f x 0 que incluem qualquer ponto de extremo relativo Essa restri o v lida somente porque assumimos f deriv vel em todo o aberto D Exemplos Com dom nio IR e f x zx 3x Gr fico na lousa Temos AQ 6 3 062 1 De fato f tem pico em 1 e vale em 1 e g x x 2 1 Gr fico na lous
103. ela important s sima em outras situa es No slide observamos que a constante de integra o indica uma fam lia de primitivas da mesma fun o original todas transla es verticais umas das outras lembrando nos de que v rias fun es podem ter a mesma derivada J sabemos que em um intervalo subconjunto conexo da reta a rec proca verdade se duas fun es t m a mesma derivada ent o diferem apenas por uma constante e ent o essa fam lia de primitivas cont m todas elas Quando o processo de integra o repetido aparecem mais constantes e as anteriores tornam se coeficientes de polin mios como mostra o exemplo do slide necess rio portanto indicar essas constantes porque as fun es que elas determinam passam a ser notoriamente diferentes Tal necessidade ser sublinhada no estudo de equa es diferenciais porque as constantes ter o interpreta o dada pelos problemas de valor inicial Por exemplo no movimento retil neo uniformemente variado seja y a acelera o constante Ent o com s V a posi o e a velocidade do ponto respectivamente sabemos que s V e V y Veremos regras de primitivi za o que nos dir o assim que V t yt C e s t 9t2 24 Ct D Ora substituindo t 0 vemos que 6 V 0 e D s 0 como conhecemos no Ensino M dio as constantes de integra o s o o que nos permite incluir as condi es iniciais do movimento em sua express o 8 2 Invers o das regras
104. es do barbante Seja 1 intervalo fechado de IR y I gt R uma curva Essa a defini o de curva parametrizada ou seja t E I um par metro e y t o ponto da curva designado por esse par metro Por exemplo se y 279 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 descreve a trajet ria de um ponto no espa o podemos ter t como um instante de tempo qualquer e y t a posi o desse ponto no instante t Note que y uma fun o vetorial de uma vari vel escalar Geralmente se exige que y seja cont nua Reveja em Geometria Anal tica as diversas formas de equa o param trica de uma reta no plano ou no espa o Quais semelhan as voc nota Para t I quando existe deslocamento em IR ANA MEO h gt 0 h escalar velocidade vetorial m dia de t a t h diz se que y deriv vel em t Deriv vel se o for em todo t E T Como qualquer fun o vetorial y tem componentes 9 Ym com cada qi I R informando qual a i sima coordenada de y t em cada instante t I J que subtra o limite edivis o por h podem ser expressos coorde nada a coordenada eis aqui a manifesta o desse fen meno em termos da derivada Nesse caso IENE 0 Im b Essa a velocidade vetorial e vetor tangente em t A velocidade escalar IVO VOP mt De posse das defini es recordamos que co
105. es e resolva Aten o Somente substitua as informa es num ricas do problema ap s estabelecer as rela es entre as derivadas envolvidas Caso contr rio voc acabar por derivar constantes Exemplos cl ssicos Um bal o esf rico enchido com h lio Quando o di metro 4m ele cresce a 0 2m s Qual o crescimento do volume nesse momento Temos V lrD donde E sm pD e no instante especificado 6 dt dt dv 1742 3 7 574 0 2m s Observe que para resolvermos o problema deduzimos do enunciado que o bal o mant m se sempre esf rico O c lculo pedido informa com qual velocidade o g s h lio inserido no bal o o que dever ser controlado por uma v lvula de seguran a Note que a express o original do volume em termos do di metro n o indica como envolver o tempo nos c lculos Pela Regra da Cadeia por m dV dV D dD d dD dt 169 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Uma escada de 3m encostada a um poste vertical come a a deslizar para baixo Quando a base est a 2m do poste e afasta se a 0 3 m s qu o r pido o oper rio no topo da escada est caindo Diagrama na lousa com z y dist ncia e altura resp Temos L y 3 gt 2r Wy 0 gt y xi y 2 0 3 v 32 22 x 0 27m s Note que em lugar algum dissemos que o movimento feito pela base da escada uniforme portanto n o pod
106. estritamente positivos Aqui usaremos a nota o IR que n o universal mas muito mais vers til por exemplo INS 0 1 2 3 Fun es logar tmicas Gr ficos na lousa Fixado real a J0 1 1 oo temos gR 5 R g x log x e a gt L gt g estritamente crescente e a lt T g estritamente decrescente 8 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Lembre e log u amp a T log y log x log y log y log x log y e log 1 y log x log e log log a Na escola log logo Em Computa o log logo Em An lise log log In H quem use lg para uma base de seu interesse Fun es trigonom tricas Gr ficos na lousa Argumentos sempre em radianos m 180 cuidado com calculadora sen cos R gt 1 1 e tg zeR z Z na ReziSR tgr E cosa Lembre e sen x cos x 1 e sen x y sen g cos y cos z sen y cos x y costcosy F sen z sen y TET tgx tgy e T Q E e Irtgartgy Dica Outras fun es trigonom tricas escreva as usando sen e cos para fazer contas 9 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim voc n o precisa decorar muitas f rmulas extras exceto se essas fun es especiais cotangente secante cossecante aparecerem muito em seu
107. exerc cio acima v1 x o arco de raio 1 Temos fa 2 12 da 1 0 12z o 1 eo 2v1 22 fal SJ R 2e de ENA me 2v1 22 f z 1 1 z 1 da gVy1 z 1 3 de f rdr gV1 z 1 22 2 de seniz ent o J v1 zr dr y1 r gt arcsen 4 Gi Pelo mesmo m todo podemos integrar 12 1 e Vx2 1 como pedido no exerc cio note que transformamos o fator x2 em 1 x 1 que cont m 1 2 para que seja simplificada distri a mesma express o do fator 1 x buindo se o produto Outro modo de integrar o arco pela substitui o x sent ou em geral xz asent para um raio a restando integrar cos t Veremos na pr xima se o como trabalhar com combina es trigonom tricas variadas neste caso fazendo cos t cos 2t 1 experimente 8 3 Integrandos com formas espec ficas Aqui exploramos em maior detalhe como integrar fun es racionais fun es ra zes e combina es trigonom tricas Os exemplos merecem ser estu dados muito calmamente porque h v rias opera es envolvidas em cada passagem Fun es racionais Calcular f E dx para polin mios F G e Fa a divis o euclideana F x G 1 Q x R x com R 0 ou grau R lt grau G FO tomas ROn ato de LO f sd f cil e Separe e Fatore G estudaremos alguns casos 212 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes
108. exerc cios que pedem para determinar imagens e pr imagens na literatura colegial e de Pr C lculo A quest o que propomos no slide um treino de manipula o de defini es de conjuntos feitas arbitrariamente s o quaisquer fS R com que devemos lidar Como se mostra que dois conjuntos 4 C B preciso fixar um elemento x E A por m arbitr rio e usar o fato de x ser um elemento de A satis fazendo alguma propriedade que define precisamente A para concluir que 13 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 x B Desse modo AC B amp Vx A x B Agora para mostrar que os dois conjuntos 4 B s o iguais mostramos que A C B e que B C A Isso re quer fazer a demonstra o do par grafo anterior em cada dire o Portanto A B8 amp VYr reASrzrEB A imagem e a pr imagem de conjuntos por fun es tamb m podem ser chamadas imagens direta e inversa respectivamente e a nota o usada na li teratura matem tica n o uniforme encontrando se ainda f f ou f ff Deve se tomar especial cuidado com autores que escrevem f S e fH R ou seja utilizam par nteses em lugar de colchetes quando assumem que o contexto deixar claro o que elemento e o que subconjunto poss vel mesmo encontrar as formas fS e f1R A fun o f D gt C chamada e injetora se cada f x exclusivo para esse z e sobrejetora se cada u C algum f x e bijetora se injet
109. fora de D veremos exemplos a seguir e a ponto de acumula o de D se toda vizinhan a de a por menor que seja cont m um ponto de D distinto de a e a ponto isolado de D se a E D mas n o ponto de acumula o de D e a ponto interior de D se existe uma vizinhan a de a contida em D ou seja o pr prio D vizinhan a de a Enfatizamos para usar essas tr s express es preciso especificar ambos Dea Essas defini es s o t o importantes em vista dos racioc nios que incor poram que merecem par frases A acumula o o conceito mais sofisticado a ponto de acumula o de D se para qualquer vizinhan a V de a temos V N D ah 0 Neste caso essencial que toda vizinhan a contenha pontos de D al m do pr prio a mas o pr prio a pode ou n o pertencer a D Em termos do microsc pio que ideamos acima por maior que seja o zoom dado em torno do ponto a sempre aparecem pontos de D al m de a na imagem N o preciso que a vizinhan a contenha todo o D ou que esteja totalmente contida em D Para a ser ponto isolado de D exigido que perten a a D e negando a defini o de ponto de acumula o que tenha uma vizinhan a V suficiente mente pequena para que a seja o nico ponto de D ali isto VN D a Assim podemos aumentar o zoom em torno de a at um certo momento em que nenhum outro ponto de D apare a na imagem Finalmente a um ponto interior de D caso ex
110. fra es definiremos diferen as Contudo vemos que o conjunto TO DDS E D NE Nim IN IN gt O j fechado sob adi o e multiplica o isto j cont m todas as somas e os produtos de seus elementos Desse modo ele j todo o Z Em outras palavras para construir Z basta acrescentar os opostos de IN mas para construir Q n o foi suficiente acrescentar inversos a Z O conjunto IN constru do como origem de tudo em uma rea espec fica da Matem tica avan ada chamada Teoria dos Conjuntos Por outro lado podemos conceber que temos a reta real dada atrav s por exemplo de axi omas geom tricos e que desejamos identificar os conjuntos N Z Q dentro dela Bastar definir IN pois os inteiros e os racionais s o imediatamente ob tidos a partir dos naturais H tr s propriedades importantes que desejamos que IN tenha e cont m Q e este seu menor elemento e se cont m n ent o cont m n 1 e quando n gt 1 tamb m cont m Aa 1 39 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e se cont m n ent o n o se intersecta com jn n 1 N o f cil mostrar que existe um tal subconjunto dos reais a partir dos axiomas que j enunciamos Note que 0 oo tem as duas primeiras proprie dades acima Podemos ent o tomar IN como o menor conjunto que tenha essas duas propriedades ou seja IN a cole o dos n meros comuns a 0 oo e os demais conjuntos assim
111. gt 0 e g x z temos z la 1 sea gt 0 g a lim ssa L 4 sea lt o0 0 n o deriv em 0 porque lim Ear 241 a gt 0 x o0 Lembre que para o c lculo dos limites neste exemplo podemos assumir x pr ximo de a mas distinto Assim quando a gt 0 ou a lt 0 tamb m adotamos x gt 0 ou x lt 0 respectivamente porque n o interessar o valores de x t o longe que perten am ao outro semi eixo 99 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Notas Para fun es de uma var deriv vel e diferenci vel s o sin nimos Aten o f a flay 0 Nota es e f a que se l f linha de a e f a quando a vari vel independente mede tempo Jz para mostrar a vari vel com resp qual se derivou Esta nota o vem de li A Fem a im toa A em a O correto uso da nota o important ssimo Veremos que a derivada de uma constante zero de modo que se f 2 3 ent o f 2 3 0 por m f 2 pode ser qualquer outro n mero Sinta se vontade para n o utilizar a nota o pontilhada f Quando o texto ou o exerc cio exigirem o uso do ponto tome bastante cuidado com o que l e com o que escreve tenha certeza de que o seu ponto leg vel Neste momento a nota o diferencial Ei apenas um bloco ou caixa preta n o uma fra o Assim n o faz sentido
112. horizontal seguida de uma dilata o vertical depois uma transla o vertical e Observe que o total de combina es se resume a umas poucas pos e Qual o comportamento geral dos pontos do gr fico submetidos a essas transforma es N o preciso formalizar nada somente jogue um pouco com as trans Para responder essas quest es primeiramente observamos que repetir transla es equivale a efetuar uma nica transla o e analogamente dilata es repetidas equivalem a uma nica dilata o Agora se fizermos antes uma dilata o y ax e depois uma transla o z y b temos como resultado l quido a transforma o z ax b que uma fun o afim 20 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 como definimos na p g 5 Por outro lado se fizermos antes a transla o y x p e depois a dilata o z qy obtemos tamb m uma fun o afim z q x p qz qp Evidentemente se usarmos os mesmos valores veremos que n o podemos trocar a ordem ou comutar impunemente porque ax b azr b ar ab a z b Contudo embora as fun es afins n o sejam id nticas elas t m a mesma forma isto ambas as ordens resultam em uma transforma o afim mu dando se apenas os valores de seus par metros Assim qualquer sequ ncia de transla es e dilata es que efetuarmos no argumento da fun o f opera es horizontais ser si
113. limite real diz se que a integral converge Caso contr rio incluindo 00 diz se que a integral diverge Sef oo b R tem cada f y integr vel define se fra da dim f t dz 244 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se f a b R tem cada fl 5 0 integr vel define se b b I f x dx dim a Tia Em vez de 0 podemos usar gt at ou gt b substituindo os limites de integra o de acordo o que pode facilitar c lculos com o TFC Podemos ainda ter combina es desses tipos por exemplo sobre o dom nio Ja oo e fixando algum n mero b gt a podemos fazer oo b M f f x dx lim f x dx lim f x dz Eat Moo b Tamb m se f IR gt R tem cada f m m integr vel define se 00 M i f x dx lim f xy dz ARR M gt J M que a mesma coisa que fazer tou rats fo toa se ambas as integrais do lado direito convergirem Exemplos fo exp x dr M lim e dr Slim e lim j e 1 1 M gt 0 M0 M gt oo e eexp x de yr gaussiana A integral gaussiana tem esse nome devido a seu grande uso por Gauss na teoria de erros mas tamb m pode ter os nomes de Euler e Poisson Voc trabalhar muito com ela em cursos de Estat stica e Probabilidade porque a fun o exp x a base da distribui o normal Discuss o extraordin ria Apresentamos uma forma de calcul
114. lousa JT R Vz R f x T f x O menor T gt 0 se existir chamado per odo ss 22 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que toda fun o constante peri dica mas n o tem um per odo Exemplos sen e cos t m per odo 27 tg tem per odo 7 sen 1 cos tg n o s o peri dicas Observe que a propriedade vale para qualquer x Portanto pondo T no lugar de x obtemos TOFS FT ETS fc T 2 e do mesmo modo f a 3T f x 27 T f z 27 f x Agora coloquemos x T no lugar de x Ent o f a T T f x T pela propriedade logo f x f x T Iterando esse processo conclu mos que Var R Vn Z f x nT f x Agora finalmente explicitamos precisamente a terminologia que j utili zamos quando visitamos as fun es exponenciais e logar tmicas pela primeira vez Monotonias A fun o f D gt C chamada e crescente se Yx y E Dyz 1 gt fly gt f x e decrescente se Yx y e D y 2x gt f y lt f x estritamente crescente se Wx y E D y gt x gt f y gt f x e estritamente decrescente se Yx y E D y gt x gt f y lt f s Note que fun es constantes s o crescentes e decrescentes ali s uma fun o de crescente pode ser constante em todo de um ou mais patamares de seu dom nio e portanto n o precisa ser injetora Contudo nos
115. manipular Ao longo deste cap tulo vamos revisar ou aprender muitos novos concei tos A quantidade de informa o a ser absorvida realmente grande mas necess ria para ser bem usada Do mesmo modo o vocabul rio de uma l ngua que aprendemos ingl s espanhol franc s mandarim consiste de diversas pequenas defini es separadas sendo impratic vel formar frases com apenas uma ou duas palavras Simultaneamente conheceremos nota es e defini es de outras partes da Matem tica como aquelas usadas com conjuntos 1 1 Primeiros exemplos Come amos por revisar as principais classes de fun es Relembre a descri o de uma fun o f D5C f x express o f o nome da fun o ela toma um x D e calcula um f x C 3 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Alguns textos n o usam par nteses ou seja tratam o nome f como um simples operador prefixado assim fx s vezes n o se deseja dar nome fun o para evitar abuso de letras ou congest o notacional Nesse caso frequentemente se adota a nota o x gt express o usando q onde se explicita a vari vel x dentre outras poss veis letras utilizadas Estudaremos principalmente fun es R gt IR ditas fun es reais de uma vari vel ou mais precisamente fun es de uma vari vel real com valores reais De fato estudaremos D gt R para alguns D amp R bem compo
116. n mero infinito delas algo que melindrava os gregos e os escol sticos que os renascentistas abusaram e que somente no s c XIX conseguimos descrever usando exclusivamente os bem conhecidos n meros reais finitos em uma quantidade finita No s c XX come ou se a formalizar os c leulos originais dos renascen tistas com grandezas al m dos n meros reais ou seja trabalhando se em corpos n o arquimedianos que estendem o corpo IR Esse assunto a An lise N o Standard e relacionado com a rea de pesquisa do autor Assim n o se espera que voc entenda a imediatamente Volte a ela ap s praticar as contas v rias vezes ao longo do curso Aqui est uma primeira explica o O jogo do para f a L fixados Desafiante escolhe gt 0 e Respondente tenta defender com gt 0 tal que Dn Ja dalulajar o S L e L el Desafiante refina e Respondente tenta defender com mais refinado tamb m Se Respondente sempre consegue ent o lim f x L Se Desafiante prop e para o qual Respondede n o tem ent o lim f x L e o limite pode ser outro n ou n o existir Assume se que o Desafiante e o Respondente nuncam erram em suas esco lhas para tentar ganhar o jogo claro que outros podem n o ajudar mas se houver algum que fa a o trabalho ent o o Respondente saber encontrar um destes Qual o racioc nio an logo quanto ao Desafiante 139 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes V
117. nios mais complicados originam patologias Por exem plo to nef 0 1 U 2 3 gt 0 2 f x 2 5573 Ent o f cont nua em seu dom nio e estritamente crescente logo injetora Sua inversa po r m n o cont nua Exerc cio extraordin rio Mostre que a imagem de a b por uma fun o cont nua f tamb m um intervalo fechado e limitado 146 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Continuidade da inversa Se f a b C bijetora cont nua ent o fr cont nua Caso particular f estrit crescente ou decrescente Trabalhamos com C C R que dever de fato ser um intervalo pelo TVI e limitado por Weierstrass A demonstra o utiliza a caracteriza o da continuidade por sequ ncias e a compacidade de fa b 5 8 Sequ ncias e s ries Encerraremos este cap tulo apresentando sequ ncias e s ries num ricas e funcionais Devemos restringir nos a uma introdu o breve como intuito de perceber algumas propriedades e sutilezas importantes Uma exposi o completa requereria um curso espec fico e um livro texto apropriado mas alguns livros de C lculo tamb m trazem aulas resumidas Embora o assunto seja simples de alguns pontos de vista seu estudo rigoroso com demonstra es completas exige aten o ao encadeiamento l gico cada informa o utilizada nos argumentos seguintes J utilizamos sequ ncias num ricas para formul
118. o tangente 14 2 Propriedades e teoremas Exceto por tratarem se agora de matrizes e vetores o procedimento para derivar composi es de fun es escalares ou vetoriais de v rias vari veis o mesmo que estudamos para fun es de uma vari vel calcula se a derivada da fun o mais externa com o mesmo argumento multiplicando se pela derivada desse recheio at exaurir a express o Eis o enunciado formal Regra da Cadeia Suponha D C R E C R f DAAE eg ES R Se f diferenci vel em a e g diferenci vel em f a ent o go f diferenci vel emae go f a 9 fa FF a O produto indicado o de matrizes posto isso a regra id ntica quela para fun es de uma vari vel e valores escalares E preciso que a esteja no interior de D que tamb m o dom nio de go f e f a no interior de E Demonstra o Assuma que valem as hip teses dadas no enunciado e escreva b f a A f a B g b Queremos mostrar que a g b BA x a tg Se O BAe Sabemos que f h Fla A z a Ey 2 com quo 8 0 e g y g b Bly b Es y com ala do 327 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Em particular porque f cont nua em a se fizermos y f x 25 f a b temos gl f 9 b B f b E f com Ea asa eso Portanto g f z gb B A a a Ep a
119. o invocar a continuidade de f Intuitivamente o acr scimo da rea sob o gr fico de x a x h pode ser aproximado como um ret ngulo de base h e altura f x Vamos fris lo 235 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Corol rio 2 parte do TFC Se f cont nua ent o Flo f Foda uma primitiva de f Nesse ponto podemos reprovar o TFC embora ainda sob a hip tese mais forte de continuidade de f Pelo TVM de deriva o F e qualquer primitiva F de f diferem por apenas uma constante digamos F s Fa C Por defini o Fa a 0 ent o C F a e F x f f u du F a Note o papel de F a como uma constante de integra o e sua utilidade em ajustar F integral no movimento retil nio uniformemente variado por exemplo temos V t V 0 t e s t fi yT V 0 dr s 0 yt 2 V 0 t V 0 voc pode deduzir V t a partir de V y do mesmo modo claro tamb m que F cont nua porque deriv vel de fato de classe C Se f n o fosse cont nua o que saber amos sobre Fa Muitas patologias poderiam acontecer mas deixamos a seu cargo avaliar isto mesmo que intui tivamente Se f descont nua apenas em um n mero finito de pontos ent o F cont nua Ou seja integra o mata descontinuidades isoladas Tamb m aprendemos assim a derivar fe Su 4 du com respeito a x 5x 4 Para derivar algo da forma Ie
120. o f x K por outros m todos nem quantos valores de c existem Voc provar o TVM aplicando Rolle fun o s x f x x a finito experimente observando que essa s satisfaz as mesmas condi es de deri vabilidade e continuidade O TVM muito til tanto na teoria como degrau nas constru es rigoro sas do C lculo e da An lise como na pr tica Essa pr tica por m ainda um tanto te rica o TVM pode ser usado para deduzir informa es a partir de estimativas do comportamento de uma fun o Exerc cio Suponha f 1 gt 2e 5 lt f lt 7 Determine os valores poss veis m ximo e m nimo para f 3 E Por mais um exemplo discutiremos as fun es com derivada zero Sabemos que se uma fun o constante ent o sua derivada a fun o nula Para ver que a rec proca n o verdade consideremos f RN Z gt R f x x ou seja f x o maior inteiro inferior a x Removemos do dom nio justamente seus pontos de descontinuidade ent o f uma fun o em patamares e localmente constante Portanto ela tem derivada nula mas n o constante Obviamente h algo patol gico aqui o dom nio desconexo o que acontece se consistir de um nico intervalo Nesse caso fun o f cont nua em um intervalo e deriv vel em seu inte rior se 0 ent o f constante H v rios modos de intu lo ou prov lo 1 Qualquer reta tangente tem
121. o for em todo ponto de D Dizer que f deriv vel portanto requer que todo ponto de D seja interior isto que D seja aberto Qualquer taxa de mudan a um exemplo de derivada Assim a velo cidade instant nea de um ponto m vel como derivada de sua posi o ao longo de uma trajet ria apenas o primeiro exemplo Podemos considerar tamb m a acelera o como derivada da fun o velocidade a infla o como derivada do pre o tamb m em fun o do tempo a acelera o ou desacele ra o da pr pria infla o a taxa de expans o ou contra o demogr fica de uma popula o digamos em uma cultura de bact rias etc Por exemplo os f sicos perceberam que a velocidade de desintegra o do ur nio em cada instante de tempo proporcional quantidade de ur nio existente ou seja ao tamanho da amostra Suponhamos que em cada instante t a amostra de ur nio seja de quantidade R t em uma medida adequada quilogramas ou mols Ent o a derivada R to proporcional ao valor R to A constante de propor o dever ser negativa porque R to lt 0 uma diminui o enquanto R to gt 0 uma quantidade 98 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos e f x 2 temos 2_ 2 f a lim ES lim x a 2a r gt a L a q gt a e s y y temos a 1 1 s a lim EL lim va y a voa y ya 2ya somente para a
122. objetivo repetir para superf cies o que estudamos para curvas Novamente omitimos requerimentos sobre continuidade ou diferenciabili dade Aten o Aqui o vetorial parametriza uma superf cie ou seja sua imagem Im o to s t SH EK forma a superf cie Antes o gr fico de uma fun o escalar f era a superf cie Gr f x u fw y x y E D Diagrama na lousa Trabalhamos com gr ficos majoritariamente em Integra o M ltipla na maior parte daquele contexto f era uma fun o escalar Aqui o veto rial Exemplo O toro o 0 27 R dado por R gt r e o s t R r cost cos s sen s 0 r 0 0 sent Figura nalousa 285 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para obter essa parametriza o come amos com a circunfer ncia qu per corre o interior do toro que tem raio R e est contida no plano Oxy Rcoss Rsens 0 para s 0 27 No ngulo s fixado a se o radial do toro outra circunfer ncia contida no plano gerado pelo vetor radial coss sens 0 e o vetor k 0 0 1 do eixo Oz ent o parametri zada por rcost rsent k a partir do ponto na circunfer ncia central do toro Portanto somando ambas as parametriza es obtemos o ponto na superf cie Rcoss Rsens 0 r cos s cos t r sen ssent r sent Figur o na lousa Fixe o primeiro par metro s 5 ys
123. origem sempre o ponto 0 0 Uma regi o do plano por exemplo a figura de uma ameba ou um ema ranhado de tra os e pontos corresponde a um subconjunto de D x C que por sua vez uma rela o entre D e C Especificamente de nosso interesse aqui o gr fico 16 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se f D gt C uma fun o ent o x f x x X o seu gr fico Gr fico na lousa Desse modo estudar uma fun o como sendo uma rela o com carac ter sticas especiais o mesmo que a equiparar ao seu pr prio gr fico que uma rela o Teste das retas verticais Gr ficos na lousa Na representa o gr fica usando abscissas e ordenadas o gr fico corres ponde a uma fun o D se toda reta vertical passando porum ponto de D encontra o gr fico em um e somente um ponto que tenha ordenada em C Teste das retas horizontais para injetividade Precisa ser gr fico de fun o Gr ficos na lousa Teste das retas horizontais para sobrejetividade Precisa ser gr fico de fun o Gr ficos na lousa Esses dois slides dizem que se j tivermos constatado que o gr fico cor responde a uma fun o D gt C ent o ela e injetora se toda reta horizontal passando por um ponto de C encontra o gr fico em no m ximo um ponto que tenha abscissa em D e sobrejetora se toda reta
124. para a esquerda de a como para sua direita em que podemos fazer contas com f Veremos futuramente como descartar tamb m essa hip tese mas continuemos com esse caso sim ples no momento Note e N o importa sef est definida em a n o importa f a em geral e Temos espa o esquerda e direita de a onde calcular f e Podemos assumir x a para fazer conta ex dividir por x a escrevarisso claramente 69 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 3 4 Como calcular o limite Nas situa es introdut rias poss vel calcular um limite por substitui o direta desde que a conta n o d galho o que pode dar a impress o deso conceito e o c lculo de limites serem in teis Isso falso Come aremos por essas contas simples e veremos depois como manobrar para evitar c lculos imposs veis como dividir por zero Temos lim f x f a para as seguintes fun es desde que a per ra ten a ao dom nio e Polinomiais e constantes m dulo exponenciais a IR e ra zes naturais a gt 0 se pares pot ncias reais a gt 0 e logar tmicas a gt 0 e seno e cosseno a IR tangente a 5 n7 para n Z senltlecos 1 lt La lt tg a R Diz se que tais f s o cont nuds como veremos depois Esses resultados s o muito naturais quando consideramos os gr ficos des sas fun es mas deveriam ser demo
125. para o qual sempre g 0 f 0 independentemente do valor de k Por m podemos utilizar um valor n o nulo como x 1 Observe que k est dentro da fun o Note que quando k 0 a fun o g torna se constante por qu e com qual valor Note tamb m que se k lt 0 h uma rota o do gr fico ao redor do eixo das ordenadas Finalmente dependendo da magnitude de k ou seja se 0 lt k x 1 0u k 1 ou k gt 1 podemos ter uma dilata o no sentido pr prio da palavra ou uma contra o De qualquer modo o comportamento aquele de uma sanfona ao longo do eixo das abscissas enquanto o eixo das ordenadas mant m se inalterado Vemos um exemplo de dilata o horizontal ao escrever uma exponencial a em termos da base espec fica e temos a exp Ina x ou reciproca mente e q7lo8a e 18 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Dilata o vertical Gr ficos na lousa g x kf a Agora k est fora da fun o Novamente as observa es acima t m va lidade aqui embora seja o eixo das abscissas que se matenha inalterado e talvez funcione como eixo de rota o O teste do desenho pode ser feito com valores de x tais que f x 0 Exerc cio Monte tabelas descrevendo em palavras o comportamento do gr fico de g em termos do sinal de k e no caso de dilata es de sua magnitude Apresentamos a resposta imediatamente aqui mas
126. pergunta tem uma resposta clara se pensarmos em termos de representa es gr ficas Essa resposta tamb m nos lembra de que para v rios autores os dom nios D dos patamares devem ser intervalos ou uni es de n mero finito de intervalos Quanto segunda pergunta essa uma defini o de fun o usando uma regra e precisamos sempre que tal regra produza um nico valor da fun o para cada valor do argumento Aqui portanto temos que verificar o que d certo e o que d errado Quando estudarmos opera es entre fun es poderemos propor uma so lu o tomamos f Xp anXp Note que esse um modo de generalizar a defini o original que assume que D est particionado em D Dn Essa fun o tamb m uma fun o escada Verifique que sim As pr ximas duas fun es devem mesmo ser novidade do ponto de vista do Ensino M dio Elas s o chamadas patol gicas ou doentias em vista de seu comportamento assaz diferente daquele de fun es com que estamos habituados 25 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Caracter stica dos racionais Dirichlet 1 sex Q racional quociente Xa RS Xo x i alz t se x Q irracional Gr fico dif cil Tentativa na lousa Veremos que descont nua em todo ponto Fun o de Thomae 1 n se x mjn reduzido 0 se z Q Gr fico dif cil Tentativa na lousa Veremos que co
127. porque a forma em quest o n o ser 00 00 d Sol 0 e Sol 1 P g 141 alA defini o em termos dec ed precisou ser adaptada porque n o podemos escrever x ou f x oo Tamb m a pr pria defini o de ponto de acumula o precisa ser adaptada nesses casos dizemos que ponto de acumula o de D C IR se este um conjunto ilimitado superior mente oo ponto de acumula o de conjuntos ilimitados inferiormente P g 143 cont nua P g 145 Sol 4 b N o mas g original com dom nio R 2 C Sol a 12 b 1 c 39 a Determine um intervalo contendo a raiz com extremos intei ros divida o em subintervalos com extremos inteiros e comprimento unit rio depois repita as divis es sempre em dez subintervalos de mesmo compri mento P g 146 a Esse polin mio negativo em 1 positivo em 0 negativo em 1 e positivo em 2 portanto troca de sinal ao menos tr s vezes 390 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 o A ga fd or ao Q S I 0e f 1 3 b N o existe s 0 e s 1 1 9 0 1leg l e dli 0 1 e 1 cos 1 3 2 P g 159 aly 0ey S 5 1 3 27 b N o h reta em 0 s S t 5 cly l rey i amp 2 5
128. preliminar UFABC 1 quad 2015 Agora especificamente na singularidade temos a3 0 0 OADE i Rg o Se x sempre 0 se x 0 de modo que obtemos doo 69 E Ox dx dzlz 0 Analogamente 0 4 L se d vo 0 y 0 y2 H 0 3 E ou seja f 0 y descont nua em 0 e n o deriv vel a Exerc cio Calcule as derivadas parciais de Fa d 774 tosa 0 0 0 se x y 0 0 em a b 0 0 e em 0 0 Mostre tamb m que f n o cont nua em 0 0 Sugest o Tome g t f t vt g cont nua Qual sua rela o com a continuidade de f 12 4 Derivadas direcionais Em nosso estudo motivacional de superf cies questionamos a possibili dade de investigar outras dire es no plano tangente al m das duas dadas pelas tangentes das curvas com um par metro fixado a derivada direcional que fornece essa resposta Suponha f D gt R e a pto interior de D C R Suponha u vetor unit rio isto ul vu u 1 rd of fla hu fla E a hu jia T h aderivada de f na dire o de u no ponto a Restringimos D reta passando por a com dire o u 290 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A defini o que demos a can nica na literatura mas pode ser conve niente tomar a derivada na dire o e no sentido de u utilizando se o limite lateral h 0 Esse refinamento p
129. primeira conv m estudar o erro cometido Dados DC R a D interior e f DSR Queremos substituir f x ao redor de a por uma express o de 12 or dem L x u Ar Erro absoluto E x f x u Ax Impomos E a O exatid o em a donde u Aa f a Diagrama na lousa N o distinguimos ainda a melhor aproxima o Erro relativo E x _ f z u Ar ursos Ma fla Atx ma lv al lle al lz al N o podemos calcular em x a tomamos limite Observe que precisamos tomar a norma no denominador porque n o se divide por vetor o limite ser vetorial Proposi o Se existir uma matriz A tal que ng IO IO Ae a ga lz al 0 ent o A nica Assim distinguimos uma aproxima o nicos Ae u f a Aa Demonstra o Suponha que tenhamos f z f a Biz a lim o 0 e lim Ri lz all za lz all 321 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 para duas matrizes 4 B Subtraindo as equa es e simplificando obtemos o B A x a Q sa al Em particular se x a he com h real temos x gt a conforme hA 0 e vem limpo tro B A he 0 ou seja gt h lim mia Aje 0 Substitu mos assim o limite geral por um particular ao longo da reta por a que paralela ao eixo Ox Essa a id ia central da
130. primeiro limite por exemplo l se Para qualquer toler ncia permi tida gt 0 existe uma cota m nima ou nota de corte K R tal que se a mat ria prima x estiver em D e superar K ou seja estiver suficientemente pr ximo de 00 ent o o produto final f x estar c perto de L Lembramos que se diz que o limite existe somente quando L um n mero real 5 7 Continuidade No pr ximo slide um ponto isolado de um conjunto pertence a esse conjunto mas n o tem outros elementos dele arbitrariamente pr ximos de si ou seja n o ponto de acumula o do conjunto Para a D f cont nua em a nos casos e lim f x f a ou goa e a isolado em D isto ve gt 0 30 gt 0 Wz D z a lt 8 gt f x f a lt e Diz se que f cont nua e o for em todo ponto de D Casos contr rios descont nua Note que agora podemos remover a condi o 0 lt x al ou seja con siderar x a porque podemos calcular f em a j que a D e tamb m porque nesse caso f x f a 0 lt e Fun es com dom nios sem pontos de acumula o contidos s o sempre cont nuas pelo modo como se escreveu a defini o Assim toda sequ ncia N gt R cont nua Para que uma fun o seja cont nua preciso apenas que em cada ponto de acumula o a de D que perten a ao pr prio D tenhamos lim f X f a 142 G Cale 2015 Vini
131. quad 2015 n o cont nua em nenhum ponto Mostre que 1 n se x m n reduzido f 10 1 gt R f x EA cont nua precisamente nos pontos irracionais de 0 1 Esses problemas s o dif ceis apenas em termos do que necess rio es crever mais importante entender o que eles est o dizendo Voc pode resolv los com a propriedade usando e Para o segundo a chave obser var que h tanto pontos racionais como irracionais arbitrariamente pr ximos de qualquer n mero real Quando este real irracional os racionais pr ximos a ele t m denominadores crescentes As fun es cont nuas porque s o bem comportadas t m grande destaque e utilidade no C lculo Veremos agora v rios aspectos e diferentes sentidos desse bom comportamento que al m de facilitar nos os c lculos de limites confirmam ressaltam ou corrigem nossa intui o a respeito delas Muitas dessas propriedades t m formula es chamadas topol gicas na terminolo gia que conhecemos em A Estrutura dos N meros Reais Busque mais teoremas contra exemplos e exerc cios em seu livro de C l culo mas d especial aten o ao TVI e remo o de descontinuidades Propriedades Consequ ncias das regras de limites f g cont nuasem a gt f g e f x g cont nuas em a e f 9 cont nuas em a e gla 0 f g cont nua em a e f 9 cont nuas em a f a resp gt g o f cont nua em a Assim mostra s
132. que Ja 1 Transla o exerc cio Dois sistemas de coordenadas retangulares u v x y com mesmas escalas e origem com v u a y v b Mostre que Jo 1 278 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 12 Deriva o Espacial Este o primeiro de tr s cap tulos que tratam ou usam a deriva o de fun es escalares ou vetoriais de uma ou v rias vari veis costume requerer que curvas e superf cies sejam dadas por fun es cont nuas ou mesmo diferenci veis tal hip tese poder ser feita assim que definirmos fun es de classe C na p g 326 Agora importam apenas os c lculos que podemos fazer e que j assumem por exemplo a exist ncia das derivadas em quest o como y na primeira se o 12 1 Curvas Intuitivamente pensamos em curvas como linhas em um espa o euclide ano originadas por segmentos de retas que se curvam como barbantes o que leva tenta o de defini las como conjuntos de pontos A abordagem que adotaremos e bastante comum por m v as curvas precisamente como as fun es que transportam os segmentos de reta para dentro do espa o euclideano e alteram sua forma n o apenas como suas imagens Desse modo o intervalo 1 visto como um barbante esticado na reta real e sua imagem corresponde ao barbante enrolado e solto dentro do espa o A fun o y preserva a correspond ncia entre os pontos nas duas vers
133. que cont m D Note que parti es P dos intervalos a b geram parti o P de D assim P consiste dos blocos com cada 1 P Figura na lousa vol B o produto dos comprimentos dos intervalos Assim como para definir integrais definidas de uma vari vel usaremos os conceitos de supremo e nfimo operadores sup e inf que apresentamos no Cap tulo A Estrutura dos N meros Reais Novamente para este uso pode se interpretar o supremo ou nfimo de um conjunto de n meros como o valor m ximo ou m nimo respectivamente desses n meros com a ressalva de que pode n o pertencer ao conjunto Por exemplo suponha f x x ent o sup ej3 5 f x 25 porque o valor m ximo de f nesse intervalo 25 e inf ej3 5 f x 9 embora f n o tenha valor m nimo no intervalo porque cada n mero nele ainda maior que algum outro tamb m maior que 3 262 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Soma inferior Temos m lt inf ep f x lt M ent o podemos definir s f P gt inf f x vol B BEP Integral inferior Ao refinar se P o n mero s f P cresce limitado por M vol D Defina spf sup s f P P de D Soma e integral superiores S F P sup f x vol B Bep TEP S int S 4 P Temos sp f lt Sp f Defini o f Riemann integr vel sobre D quando sp F Sp f nesse caso tal n mero escrit
134. rias vari veis porque n o apenas s o mais simples que as vetoriais mas s o tamb m parte do estudo destas Vejamos o que acontece 257 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fun o f D gt IR origina e pode ser definida a partir de compo nentes fi D gt IR de modo que F fiss fm Diagrama na lousa Exemplo do in cio U x y 2 bx 4yz A U V com V x y 2 2ye Tz Procedimento comum na Matem tica ponto a ponto somamos vetores coordenada por coordenada e comparamos fun es escalares em cada ponto do dom nio em sepa rado g S h amp Yx g x lt ha agora estudaremos f separando cada fi Isso significa que podemos estudar uma fun o observando em separado cada uma de suas componentes Desse modo para responder a alguma per gunta sobre fun es vetoriais R IR o que sua integral sua derivada etc poderemos antes formular a mesma pergunta sobre fun es escala res R IR aindarde v rias vari veis Firmada uma resposta tentaremos generaliz la para fun es vetoriais pelo m todo coordenada a coordenada Por exemplo e lim flx L amp Vi lim f x Li 1 gt a r gt a f cont nua todas as componentes f s o cont nuas integraremos fun es vetoriais 1 integrando cada componente e 2 formando um vetor com os resultados No caso de lim
135. s o o mesmo a 0 Pode se tamb m mover a constante 27 para o ngulo de rota o Na teoria matem tica ub quo o c rculo de raio 1 e centro na origem denotado S para que toda fun o cont nua St IR seja entendida como um c rculo por mais deformado e distorcido que seja talvez at preenchendo todo um cubo Essa por m n o a nica parametriza o poss vel Em computa o gr fica ou outras aplica es pode se preferir uma parametriza o racional 282 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 isto cujas componentes sejam fun es racionais mais f ceis de calcular que as trigonom tricas usuais Ei la 1 t e t E 00 00 onde o nico ponto que n o descrito por par metro real o inicial final 1 0 Verifique formalmente ou visualmente em um computador que essa parametriza o realmente descreve S1 As outras se es c nicas tamb m admitem parametriza es racionais um modo de obt las compondo a parametriza o acima com fun es simples de subdom nios de S s curvas em quest o Exemplo A h lice y t cos 27t sen 27t 10t para t 1 1 diagrama na lousa e Y t 27 sen 27t 27 cos 2nt 10 e IY l 472 100 225 72 e comprimento T 24 25 T dt 4V 25 7 e tangente em 0 x y z 1 070 A 0 27 10 XE IR Exerc cio Sendo y t
136. sentido de maior crescimento da fun o Divergente Dado F R gt R oF Fn div F V F a Haad E o divergente de F e fun o R gt R Exu F 7 y 2 zseny r 3 gt div F 2ry 2 z cosy 0 Simbolicamente tomamos o produto interno dos vetores V e F A nota o para o divergente para cada autor depender obviamente de sua nota o para produto interno voc poder encontrar por exemplo V F 302 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Interpreta o do divergente Para entendermos o significado de div F trabalharemos com n 3 e em um ponto a b c Quando calculado nesse ponto o divergente um n mero real que mede a taxa total de varia o do campo F no ponto Suponhamos que F indica a velocidade de deslocamento de cada ponto de um g s Podemos ent o perguntar quanto g s entra ou sai de um cubo de lado 2h centrado em a b c e com faces paralelas aos planos coordenados N o h por que o saldo final ser nulo pode haver compress o ou expans o locais do g s dentro do cubo ou ainda haver uma fonte ou um sumidouro Ao longo das faces com abscissa x a h e x a h tomaremos F a h b c e F a h b c respectivamente como representantes m dios de F se h for pequeno essa uma boa aproxima o Como essas faces s o paralelas ao plano Oyz somente a primeira componente de F que lhes ortogonal efet
137. ti Ha dr FOW IVE de A integral o membro direito da equa o uma integral como em Uma Vari vel e seu integrando o produto da altura FAW no ponto y t pelo elemento de base y t Outro modo de ver a f rmula como uma ge neraliza o daquela de comprimento de curva especificando uma densidade pontual f no contradom nio da curva a mesma abordagem ser usada com integrais de superf cie H v rias nota es para integrais de linha como b fra ou J ommalfde gdy hd etc g 364 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 usando ou n o o s mbolo especialmente quando a curva y fechada isto Y a y b Aqui a nota o que adotamos compat vel com a de integrais m ltiplas e n o se confunde com a segunda se lembrarmos que y n o um dom nio de integra o mas uma fun o Nos pr ximos exemplos dedicamo nos apenas a montar as integrais cor respondentes e concretiz las como integrais definidas de uma vari vel sem nos ater a seu c lculo ou valora o Exemplos e f x y e seny ao longo do c rculo de centro 0 0 esaiok no sentido anti hor rio Fx y der y cost sen t 27 27 f f cost sen t sent cost dt 0 i es sen sen t y sent cost dt e y t e 3t t2 para t 0 1 fe 5y dx Ta 2z dy 11y dz 7 1 A Ax 4 5y t Tx 22 y
138. todo o planeta Em ambos os casos o monte Olimpo em Marte n o um ponto de interesse porque est fora do dom nio especificado Doravamente preocupamo nos geralmente com D sendo um intervalo ou uma uni o de uma fam lia finita de intervalos todos fechados e limitados Para qualquer outro dom nio ser sempre melhor fazer todo o estudo e esbo o do gr fico da fun o como aprenderemos na pr xima se o Procedimento de determina o 1 Determinar pontos cr ticos de f e onde f se anula e onde f n o existe Calcular f neles 2 Calcular f nas extremidades do dom nio 3 Comparar esses valores Isso determina extremos globais se f for cont nua 186 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O primeiro passo constitui um teorema de Fermat extremos interiores ocorrem em pontos cr ticos da fun o Isso significa que podemos restringir nossa aten o a esses pontos ou seja n o escapar nenhum exceto os do segundo passo mas nem todos os pontos cr ticos ser o pontos de extremo Como j discutimos com o Teorema de Rolle espera se que os extremos ocorram onde as tangentes ao gr fico s o horizontais ou quando se violam as hip teses do teorema onde elas n o existem como para as fun es 5 x e z 3 Por m alguns pontos cr ticos s o digamos cr ticos demais caso do O para as fun es x derivada 5x4 tangente
139. uma exponencial base constante Quando a vari vel apa rece tanto na base como no expoente utilizaremos o expediente f x exp g x In f x com a Regra da Cadeia f z f x sen x cos x cos x sen T tgx sec x 1 cos x cot x csc z 1 sen x sec x sec g tg x sen T cos z escx csc g cot COS T sen x Cuidado com sinais quando derivar fun es trigonom tricas Voc pode optar por memorizar somente as derivadas do seno e do cos seno deduzindo as demais e tamb m das inversas com as regras operacio nais que veremos a seguir 161 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 f x f x senta V 1 1 r costig V 1 T x fe gta Er t cot lg ER Set So lx y x2 1 I csc tg le vz 1 Renovamos o alerta arcsen x sen hr senx Regras operacionais Para f f g deriv veis Termo Derivada afit ckfk amp c afit cekfy 0 fg f g fg aten o F g fg se g n o se anula g 9 x g gt seg n o se anula g 9 2 Como no caso de limites as regras valem somente quando f g s o deriv veis Por exemplo x 1 n o deriv vel em 1 mas x 1 x 1 0 deri v vel porque constante o que n o podemos es
140. x x i 5 o que voc nota aqui exp x x sen x x tg 5t te 27t 7 d Em Uma Vari vel usaremos muito um m todo de deriva o impl cita derivando os dois lados de uma igualdade para obter derivadas de uma fun o da qual n o temos uma express o definidora mas apenas uma rela o Exemplos disso ser o os problemas de taxas relacionadas Aqui utilizaremos esse m todo apenas para deduzir f rmulas de deri va o para as principais fun es inversas Assumiremos que essas fun es tamb m s o deriv veis para ent o aplicarmos a Regra da Cadeia Os livros de C lculo podem apresentar ou omitir diversos resultados que garantem a derivabilidade dessas fun es sob v rias hip teses sendo o Teorema da Fun o Inversa o mais importante Novamente n o confunda f le 1 f 109 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se f fT s o deriv veis em x f x resp e f x 0 ent o Detalhes para f existir Ser deriv vel Raz o ft o f x x donde flof 1porquea 1 flo fY 1 f x f x por Cadeia Veja que n o preciso verificar que f x 0 sej assumirmos fr deriv vel em f x porque isso implicado pela express o obtida usando se a Regra da Cadeia um produto igual a 1 requer que seus fatores sejam n o nulos Exemplos e Inz
141. y 1 4 2 7 x y 2 4 2 0 A 8 6 0 AE IR Essa uma reta percorrida aceleradamente em termos do par metro t 4u 1 3u 7 ER Fa a u 1 2Npara obter a forma no slide Se a compararmos com uma ro dovia retil nea notamos que seu comprimento 20 n o numericamente igual dura o da viagem que o comprimento 2 do intervalo a que pertence t 281 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Evidentemente a reta tangente a um segmento de reta em qualquer ponto seu deve ser a pr pria reta desse segmento A parametriza o obtida portanto informa outra representa o do segmento quando 3 3 esses limites podem ser encontrados por inspe o e reescreve se assin x 4 8 y 2 6 AE Isolando obtemos a equa o na forma sim trica E RR DR a 8 6 0 a divis o por 0 apenas notacional e as multiplica es em cruz permane cem corretas Parametriza o importante Circunfer ncia de raio 1 e centro na origem e cost sent para t 0 27 ou e cos 2rt sen 2rt para t 0 1 Imagem SFN my E R a y 15 A mais tradicional parametriza o da circunfer ncia e por isso chamada can nica ou usual a rcost b rsent te l0 27 onde r a b s o constantes indicando o raio e o centro da curva Note que os pontos inicial e final dessa curva
142. z1 8 T3 A Matem tica moderna n o destaca os vetores na escrita com flecha ou negrito determinar quem escalar ou vetor e em qual dimens o ser tarefa doeitor a partir do contexto Tamb m n o se distingue entre vetores e pontos porque as n uplas coordenadas desempenham ambos os pap is simultaneamente Note que dados n n meros reais x1 Yn podemos formar o vetor x X1 Xn que um elemento de R Tamb m dado x IR assumiremos 252 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 automaticamente que x a i sima coordenada ou entrada de x Alguns autores usam a indexa o exponencial zt ou talvez at a nota o de Einstein 1 y para a soma que aqui escreveremos 5 x y Lembre por m que se pode muito bem indexar vetores e ent o as conven es acima n o s o rigorosas Por exemplo pode se indicar os vetores T 7 k da base can nica como ey 2 3 nesse caso n o h nenhum vetor e do qual cada e seja uma coordenada de fato e o n mero e a j sima coordenada do vetor e ou seja o n mero e Finalmente observe que utilizamos barras duplas para a norma do vetor isso precisamente o que em estudos iniciais chama se m dulo do vetor adotamos novos nome e s mbolo para frisar a diferen a com escalares em algumas f rmulas por exemplo Ax A x Para o produto interno h in meras nota es em uso n
143. 0 0 TO da O Da EO Aqui utilizamos a continuidade de f Com k 2 temos Mga rr da forma 0 0 tamb m em vista do caso k 0 e novamente queremos que esse limite seja zero Por VHospital ser um n mero Ls se tivermos lim sa Ai Lo Contudo of P a e Aa aT o cs E ta 2 x a ainda da forma 0 0 agora de acordo com o par grafo anterior e a con tinuidade de f Novamente por Hospital ser o mesmo Ls se tivermos 179 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exta lima wa Lo Mas 0 a co 2 c3 6 ati 4 pts gt da 06 o Deh aa Aqui utilizamos a continuidade de f Indutivamente os casos anteriores ao caso k providenciam que os limites envolvidos sejam da forma 0 0 e temos em geral En vnkves EQ 2 PEE Qi al a EA O J que ER x f x kl cp termos com r a e f cont nua vem c f a k para 0 lt k lt N At aqui supusemos que f de classe CA especificamente no ponto a No pr ximo slide ao tomar o limite necess rio ter f de classe CS em a Ent o a melhor aprox polinomial a f de grau N ao redor de a SFN a Pulo SSL Co T k Note derivadas at N do polin mio em a s o f a N Se para 1 fixo Ey gt 0 escrevemos OP DEO e a Exemplo sen x e a 4 no Wolfram Alpha C digo para o Wolfram Alpha series s
144. 1 an bn para n IN satisfa am fo 2 h 2 Da Mostre que No In 0 2 Dica mostre que ao S a Sags lt lt b lt b lt S bo Por outro lado note que Q no b Discuss o extraordin ria Finalmente podemos indicar intuitivamente uma constru o de IR a partir de Q trata se de associar formalmente em um truque de abstra o um supremo a cada conjunto de racionais n o va zio e majorado isto tomar esses pr prios conjuntos alguns dos quais j t m m ximos racionais como n meros reais Na literatura para esse fim escolhem se conjuntos especiais de racionais chamados cortes de Dedekind Para definir adi o e multiplica o entre eles operamos entre os elementos desses conjuntos e com o cuidado necess rio devido a sinais tomamos no vamente supremos como resultados das opera es Ent o preciso verificar todos os axiomas de corpo ordenado e de supremo este ltimo embora pa re a trivialmente satisfeito e seja o motivo dessa pr pria constru o deve ser verificado tamb m e requer algum trabalho nfimo de A minorado inf A Sempre existe inf A sup a a A Se 4 contiver um m nimo ent o inf A min 4 44 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio extraordin rio Todo conjunto n o vazio de n meros naturais tem m nimo ou seja se S C N ent o existe
145. 1 1 5 E n 0 BIA P g 191 a Basta restringir a fun o objetivo ao dom nio 0 1 Sol raio 4 400 7 e altura 24 400 7 em cent metros c Sol aproximadamente 145 litros o d Sol 400 v39 quil metros ao norte P g 204 a Multiplique antes de integrar Sol 245 2240 b Fa a 1 1 fm dr In q2 1 2 Divida antes de integrar Sol 2 3lm z ja d Fa a Z 1 cos d Ere ty E idr tgz 2 0 cos cos 1 cos x P g 205 a Sol vbr 2 gt C b Sol 5ln z v1 27 C c Sol e C d Sol lae 1 C e Sol cosln x C v 1 v l o v l 1 xr 1 K Q P g 206 a Sol VIZEk C b Sol tvk 27 C eso ln e k C d Sol 1n k 2 C e Sol vz k C f Sol v k 7 C g Veja texto h arcsen amp O z 2 2 over F lnj e vzr a C absorvemos o termo S Ina na constante de integra o 393 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A 2 E j ZVT a Slnfz vz a2 C mesmo procedimento k In z vz a C absorvemos o termo lna na co
146. 15 Exemplos com limites not veis sen l2x 12 sen l2x 4 lim a in 137 Temos 127 gt 0 e lim n sen Z lim P 7 Temos 7 n gt 0 n o0 n n 00 T N l cosg 1 cosr sen q e lim 0 porque lim lim A 150 x 250 q 1 cos z 250 1 cosx sen x sen x 1 0 lim 250 T 1 cosg Em cada exemplo temos uma express o fun o que tende a um ponto de interesse quando a vari vel tende ao ponto original do limite Essa ex press o portanto pode ser pensada como um bloco uma caixa preta ou uma nova vari vel em termos da qual o limite est escrito Pense a respeito em conex o com a composi o de fun es Nesse slide com y gt o ser gt 0 temos y r oo tamb m mas precisamos considerar separadamente o caso r 0 j que n o podemos tomar y r e o caso r lt 0 para o qual y r oo Assim o resultado tem a mesma forma para os tr s casos mas o modo de obt la diferente Nos pr ximos slides veremos a t tulo de exemplos como alguns limites not veis podem ser obtidos atrav s de outros Alguns deles por m perma necem fundamentais quais TNY 1 yy mr e lim 1 5 lim 1 e para r gt 0 se r 0 y 00 y y gt 00 y r ent o lim 1 0 1 e ser lt 0 ent o y r gt oo y gt 00 e lim 1 D e com x y temos x 1 gt amp y gt o e y gt
147. 2015 Desse modo um conjunto vizinhan a de cada ponto interior seu se houver e um conjunto aberto vizinhan a de todos os seus pontos 10 3 Limites e continuidade As no es multidimensionais de limite e continuidade s o semelhantes quelas do C lculo de uma vari vel Suponha a R D C R f D5R eLeR a n o precisa pertencer a D Suponha que qualquer B a r intersecta D fa por menor que r seja Ent o lim f x L v gt a Ve gt 0 36 gt 0 Vz D 0 lt z Lalflxo X f x Lj lt e Exemplos de c lculos ao longo dos pr ximos cap tulos Um tal ponto a chamado ponto de acumula o de D Essa defini o funciona em particular para fun es s IN gt IR que cor respondem a sequ ncias de vetores lembre que o nico ponto de acumula o do conjunto IN o infinito co Nos espa os R com m gt 2 n o consideraremos pontos infinitos ou seja sempre assumiremos que a um vetor comum Paraae DC R ef D IR temos f cont nua em a se e a pto isolado de D ou lim f z f a zoa Diz se que f cont nua se o for em todo ponto de D Casos contr rios descont nua Por w isolado de D quer se dizer isso literalmente ou seja existe alguma bola em torno de a de modo que o nico ponto de D contido nessa bola pr prio a estando todos os outros afastados V rias t cnicas que conhecemos para o c lcul
148. 28 282 22a tamb m com as derivadas parciais calculadas em a b c O novo fator de corre o o volume desse paralelep pedo que dado pelo m dulo do produto misto X Y A Z mas i 32 dB ox dx dx 0d X Y AL AE Jala b c 0d 32 dB Oz Oz Oz 275 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Vejamos alguns exemplos de mudan a de coordenadas para facilitar a integra o seja com dom nio intrincado ou fun o complicada e como se calcula o jacobiano Exemplo cl ssico Calcular a rea da elipse D gt E lt 1 onde a b gt 0 Figura na lousa Usemos 0 4 EN para 0 lt 0 lt 2re0 cr sr y br sen 0 Primeiro calculemos o jacobiano x Ox p al arsen acos6 acg 9 dy Oy Ou 20 dr br cos 0 bsen 6 eh conv m escrever 2 2 donde Jo abr e amp amp r Desse modo O 0O lt 60 lt 27 0O lt r lt l a origem n o faz falta na rea da elipse e a rea 27 1 Id zN 1 J d 0 r 1 abr dr d0 mab D c o Jo Exemplo na lousa Calcular sobre o tri ngulo 276 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Os exerc cios pertinentes a este assunto pedem o c lculo de integrais sobre dom nios cuja configura o dif cil de trabalhar no sistema de coordenadas original ou de fun es cuj
149. 33 120x 70y dx of 83 70x 100y Oy Sistema 1202 70y 233 70x 100y 83 tem solu o x 410 e y 8 70 Matriz hessiana 120 70 70 100 tem determinante pOsitivo e canto negativo ponto de m ximo Quantidades vendidas express es no enunciado 38 da marca X e 2 de Y Lucro l quido m ximo f 4 10 3 70 43 20 As vendas da marca X superam muito as da marca Y porque tem maior prefer ncia do consumidor como mostra a pr pria express o no enunciado Desse modo X tem espa o para ser mais cara que Y Note que a matriz hessiana de f constante ent o a mesma para qualquer ponto n o apenas o ponto cr tico que determinamos Veremos na pr ximarse o que mesmo fora dele os sinais dos subdeterminantes indicam que f tem gr fico c ncavo de modo que a imagem de qualquer ponto est abaixo da do ponto cr tico Isso nos permitir concluir que o ponto cr tico um ponto de m ximo global ou absoluto e portanto j encerrar o estudo 346 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Por m a t tulo de ilustra o verifi guemos como calcular os extremos de f tamb m na fronteira do dom nio de interesse O primeiro passo determinar esse dom nio com base nas restri es do enunciado a saber as duas desigualdades xz gt 3 e y gt 3 para que os pre os de venda sejam maiores que o de atacado acrescidas de 173 60x
150. 4 J ao escrev lo fizemos diversos arredondamentos h outros na solu o dada por u 0 02 e y 1 49 tamb m ao calcularmos x e 1 02 Novamente devemos conferir os sinais do hessiano e da derivada segunda para determinar que o ponto encontrado de m nimo 10 DD E Y E E 4 5 x 8 08 3 95 2 iln R 25 oo ln R H Resolvemos o sistema das primeiras derivadas nulas u 0 02 e y 1 49 Ent o zx e 1 02 e T 1 02R4 Note que a fun o T R n o tem T 1 1 mas quase Kepler concluiu que T R constante o que corresponde a y 1 50 15 4 Otimiza o condicionada Aqui trataremos as situa es de otimiza o que envolvem condi es sobre as vari veis conhecidas como restri es na pesquisa operacional e que se expressam atrav s de equa es Exemplos diversos envolvem a aloca o de um capital dado distribuindo o em v rios fundos ou custos mas cujo total deve ser mantido tamb m pode ser o caso de um total de produ o dentre os diversos fornecedores mantido constante por um cartel como a OPEP ou a distribui o de sal rio dentro de um mercado de trabalho finito e inexpans vel como uma guilda 397 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 De interesse te rico tamb m a possibilidade de utilizarmos este m todo para resolver um passo do procedimento anterior irrestrito em que se devia det
151. 5 4 e quando z 5 temos z 5 x 5 gt r 5 4 gt T 9 e quando z lt 5 temos z 5 x 5 gt 5 r 4 gt r 1 Para resolver x x 1 6 e se x gt 1 ent o x 1 x 1 e temos x x 1 6 com ra zes 2 e 3 mas somente 2 gt 1 e se x lt 1 ent o z 4 x 1 e temos x x 1 6 sem ra zes Mais m dulos implicam em mais casos Assim recorde que preciso considerar todas as possibilidades para os sinais dos argumentos dos m dulos mas tamb m que podemos delimit las determinando as ra zes dos mesmos Outro exemplo a equa o x 2 x Os pontos 0 e 2 s o aqueles em que algum m dulo presente se anula Portanto dividimos nossa an lise em casos O primeiro quando x lt 0 e ent o ambos os modulandos s o nega tivos e a equa o que queremos resolver transforma se em x 2 t A solu o z 1 n o pertence ao intervalo considerado e descartada e No segundo quando O lt x lt 2 o primeiro modulando negativo e o segundo positivo donde x 2 x Essa equa o n o tem solu o 50 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e No terceiro temos x gt 2 e portanto ambos os modulandos s o positi vos e obtemos x 2 x Novamente a solu o x 1 n o pertence a esse intervalo Conclu mos que 2 x n o
152. 5 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 preciso ter PC D eQ C E Nessa situa o Xpxo x y Xp x Xo y note que esse n o um produto de fun es como estudaremos c P Q a diferen a de P e Q ou seja o conjunto apenas dos elementos de P que n o pertencem a Q temos Xpo Xp XpXq J PA Q a diferen a sim trica entre P e Q dada por PAQ P QUianNP PUQInN PNQ e Xpao Xp XQ 2XpXq Ambas essas constru es assumem P Q C D P g 27 a Uma qualquer fun o D gt C pode ser descrita tabulando se cada elemento de D e seu elemento associado em C Para cada um dos p elementos de D podemos escolher dentre os q elementos de C ou seja a tabela ter p linhas e cada linha pode listar qualquer uma dentre q possibi lidades Assim temos q x x q modos de definir uma fun o onde h p fatores e portanto h q fun es Foi esse resultado que motivou a nota o C para o conjunto de fun es b H apenas uma fun o que constante com valor igual ao nico ele mento de C c H uma fun o para cada elemento de C que leva o nico ponto de D a esse elemento d H apenas uma fun o vazia que degenerada e Ocorrem dois casos para considerarmos se D ent o unit rio cont m apenas a fun o vazia e se D ent o P isto n o h fun es
153. 8 5 2 50 j 1 j i jfi Para as derivadas basta calcular a he gt ajej he j 1 a h e X ajej ji ay lt Qi 1 O h Qil an sendo os demais termos id nticos em ambos os limites P g 294 a Sol ar 12z y 107 2t 81 y Pf of 2 3 2 H 5 dd 247y 407 247 y 38422 39009 e E 247 Sa y x Oy y P g 305 a Sol grad f 10xy 51 32cosy 3 sen y div F 2xy y sen yz rot F cos yz y sen yz 2x 0 2z x P g 310 a Sol grad x y Tx sen yz O b Sol F grad 2x2y tz 5yz C GM c Sol grad a 2a gradiente seja o oposto do campo L em F sica o sinal trocado para que o P g 313 a Respectivamente 24 49 ou outro vetor que tenha mesma dire o e sentido 24 49 49 24 e 49 24 P g 317 ajTemos f x y z z 2y 323 c 5ea 0 1 1 3 verificamos q e f a c obtemos a reta normal x y z 0 1 4A 1 9A AE R eo plano tangente 4y 9z 13 0 399 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 320 a Temos u R e A E M n IR escrevamos v IR e Bac M R Assim podemos somar f g se e somente se p m e q n de modo que f g x u v A B z j escrita n
154. A segunda abordagem an loga que fizemos para deslocamento como integral da velocidade em cada intervalo de uma parti o da trajet ria s otrabalho realizado dever estar entre os produtos do comprimento do intervalo dist ncia percorrida pelo piso e pelo teto da for a naquele intervalo O trabalho total portanto fica igualado integral designada quando as somas inferior e superior s o confrontadas no processo de refinamento Discuss o Express o para a energia cin tica Em F sica postula se que que F m e que o trabalho iguala a mudan a de energia cin tica Com a nota o acima temos J ia miv dt m Sv dv mv 2 mv 2 onde novamente fizemos uma mudan a de vari vel para integrar diretamente com respeito a v Quando v a 0 isto parte se do repouso em que a energia cin tica deve ser nula o trabalho realizado iguala uma express o envolvendo a velocidade final v b e por hip tese a energia cin tica final da saindo a express o mv 2 para essa energia 237 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Finalmente retornamos ao problema das s ries funcionais Vamos traba lhar novamente com um intervalo compacto de extremos a lt b se a integral for impr pria ser preciso ainda trabalhar com o limite de sua defini o Podemos integrar cada termo e somar a nova s rie A resposta novamente faz uso do conceito de converg ncia uniforme qu
155. ABC 1 quad 2015 Antes de efetivamente proceder primitiviza o devemos verificar que a substitui o de uma vari vel por outra seja completa assim como fizemos no c lculo de limites Isso inclui cuidado com a diferencial cuja express o pode vir a ser alterada Em geral buscamos a subexpress o mais complexa do integrando para dar lhe novo nome Duas formas ocorrem mais geralmente substituir a vari vel x por uma express o z t como no slide acima ou substituir uma express o em x por uma nica vari vel u u x de modo que o slide aplique se a u t Em ambos os casos encontrar a express o adequada requer pr tica e artesanal Exemplos zdr e ponha t yr 1 ez Y donde dr 2tdt vz 1 Temos t 1 2tdt f m e mn VEN ES t d e f 5 E T ponha x sent donde dx cost dt Temos cost dt lt p sen t 1 o cos2t E pad Dos cost 2 E E C tri ngulo na lousa v1 4 Vi r 2 1 Quando aparece a express o a x talvez como radiciando pode ser interessante fazer a substitui o x asent Desse modo a a sen t a2 cos t talvez simplificando a express o Por exemplo acost dt dx 7 fldt t C arcsent C 208 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio
156. C J A k y 2 Vk Tamb m poder o ser necess rias passagens para dentro da diferencial como em f yyy kdy f y k d y k 2 y k 3 C da dx o V5 4r x 4 9 z 2 d Ma com y 2 Ee al dy _ 45 arcseny C 2 arcsen gt C 4x 5 4x 5 E 1 5 di S dz nz dy 2 a 5d com 41 83 A X EA y y 5 16 4 20 y dy S dy v2 1 9 v2 I y2 1 y J3 arcsen y C 47 3 2O 525 4x 3 7 arcsen E 218 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Mostre que a substitui o y 1 px q transforma da px q v ax br c em uma integral da forma anterior Use isso para calcular dx x 1 vVz 1 Combina es trigonom tricas Express es racionais de sen e cos use u tg x 2 temos 2u 1 4 T a POR N de modo que d 2 du x 4 1 u Trata se de seguir estes passos e substituir cada seno cosseno e a diferencial pelas express es indicadas e simplificar a fun o racional resultante e integr la como vimos acima substituir u tg x 2 e se desejado reescrever cada tangente em termos de seno e cosseno do ngulo x 2 e se desejado substituir essas fun es pelas f rmulas TREs sen x 2 1 cos x 2 e 1 cos x t 2 4 1 2 1 cosg
157. Em segundo lugar o TFC conecta as duas ferramentas mais importantes do C lculo a integra o e a deriva o que aparece disfar ada na primitivi za o cujos conceitos e defini es s o inicialmente muito d spares Exemplos Jo z dz 3 3 APINN 0 3 1 3 Jo Ix 4 dr fo Ade 4 fila 4 dr 8 2 10 e E asena de f cosa cos 3 cos E 0 o Im sen z dr cos x cos0 cos T 2 No ltimo exemplo para proceder se rigorosamente transforma se em lo aplica se o TFC e inverte se novamente E perfeitamente poss vel f ser integr vel e n o termos nenhuma express o simples para F como veremos quanto a exp x2 Por outro lado existem fun es f cuja primitiva pode ser escrita explicitamente e ainda assim n o s o integr veis segundo Riemann o caso da fun o de Volterra 233 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Demonstra o do TFC Conv m estud la Com F f queremos dizer que existe uma fun o F definida em todo o intervalo a b e cuja derivada em todo esse intervalo a fun o f Isso requer um pouco de cuidado com a primitiva obtida para f Ent o F deriv vel e portanto cont nua em todo o intervalo Al m disso f j deve ser integr vel Nessas condi es qualquer soma de Riemann serve para calcular ym F x def Com a nota o que usamos para esse t pico digamos q
158. GUIA DE C LCULO Vinicius Cif Lopes Vers o Preliminar i G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Sum rio Leia me vii I Bases 1 1 Fun es em Perspectiva 3 1 1 Primeiros exemplos es E se nef Elas 6 Ea 3 1 2 Nomenclatura e propriedades 4m cc 11 1 3 Representa o gr fica aooaa a a 15 1 4 Transla es e dilata es A auaa 18 1 5 Simetrias monotonias e limita es B oaoa aaa 21 1 6 Novas fun es N MA aaa 24 1 7 Intui o versus defini o e BA ooo 26 1 8 Opera es e compara es entre fun es aaao 27 2 A Estrutura dos N meros Reais 33 2 1 Axiomas de corpo ordenado cccccccc 33 2 2 Pontos mfinit os S yas SN ao E A er DA CER a CAR e ga 40 2 3 O Axioma do Supremo D ccccclc a 40 2 4 O Princ pio da Indyg o J sus ao eo ds Fes e po das qo 46 2 5 Valor absoluto e a m trica da reta o o oaa aaa 49 2 6 Vizinhan as e pontos importantes o oo 52 2 7 Conjuntos abert ge fechados ooa oaa aa 55 3 Introdu o aos Limites 61 3 1 Atualidade hist ria e necessidade ccccccccc 61 3 2 Expl ra o e formaliza o amas e mp a o a BO Ed BCE am 63 3 3 Defini o I para dom nios pr prios ccccccci 69 3 4 Como calcular o limite ss users ma WE sa dido A 70 35 Defini o II e a formula o com vizinhan as aaa 75 iii G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 3
159. L Vf a mas u v w LV fla S u v w V f a 0 amp 2u 6v 8w 0 Tamb m u v w x y z a x 1 y 1 z 1 de modo que o plano 2 x 1 6 y 1 8 z 1 0 ou seja x 3y 4z 8 0 316 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 f cil abstrair a f rmula geral para o plano tangente basta simplificar a equa o V f a jz a 0 obtendo se n n SE a ja 3 E a a 0 i 1 i 1 Exerc cio Determine a reta normal e o plano tangente a x 2y 32 5 no ponto 0 1 1 Quais s o f c a amp 317 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 14 Diferencia o Este cap tulo completa a resposta s perguntas que fizemos em Deriva o Espacial J vimos deriva o de curvas com uma vari vel escalar e valor vetorial deriva o parcial de fun es escalares com v rias vari veis e diversas formas de deriva o de campos Agora derivaremos uma fun o f R gt IR em geral e veremos como aquelas deriva es eram casos particulares desta mesma opera o Tamb m daremos significado enfim a condi es de suficiente diferenci abilidade sobre curvas e campos que s o utilizadas em enunciados precisos O cap tulo ainda cont m v rias demonstra es algumas em slide e outras no text
160. UFABC 1 quad 2015 Exemplo cl ssico Estimar 10 Tomamos f x yz e a 9 quadrado Ent o L x v9 zalt 9 e obtemos L 10 3 4 1 3 17 Exerc cio Linearize a fun o x em 4 e use a para estimar 4 05 Repita o processo para yx 3 em 1 Compare suas estimativas com o resultado de uma calculadora Veja que f x f a L x f a f a x a Desse modo podemos tamb m estimar a varia o de f Por exemplo suponha que me amos o di metro de uma esfera obtendo 2 cm com um erro m ximo de 1 mm para mais ou para menos Ent o o volume da esfera a2 em ou melhor est entre z 1 9 cm e Sm 2 1 cm Aqui temos a op o de subtrair esses extremos do valor central e assim obter o erro m ximo cometido mas tamb m de es tim lo como 22 x 0 1 cm utilizando a express o f a x a A segunda possibilidade frequentemente envolve menos c lculos especialmente quando f1 j deve ser calculada para outras aplica es Fun o marginal Em Economia atenta se ao caso x a 1 ou seja ao que acontece com f quando se aumenta o argumento por uma unidade A varia o de f dita marginal nesse caso e iguala f a numericamente Por isso a derivada de uma fun o custo expressa diretamente a fun o custo marginal A melhor aproxima o linear tamb m serve para motivar a Regra de Hospital no caso 0 0 embora n o d uma demonstra o rigorosa Suponha que f x
161. Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note antes de mais nada que se G um mon mio ent o podemos dividi lo em cada termo de F obtendo pot ncias inteiras da vari vel e integrando facilmente 3x3 5x 2 gx bri gy r 5 go sd a Sid Ga E IG 6 ea a a Para o estudo geral usaremos o seguinte exemplo Exemplo 20 4t 7r 82 72 3 x Ir T 227 2 2z 5 E z T 292 T 212 21 3 22 5 r x 1 Continua Caso de denominador totalmente redut vel G x a Natu a Existem constantes A tais que Para determin las multiplique ambos os lados por G x e iguale coefici entes ou substitua os Integre usando ln ow pot ncia Ou seja trabalhamos com um numerador de grau menor que o do deno minador e este por sua vez pode ser totalmente fatorado com ra zes reais lembrando que elas podem ter diversas multiplicidades Nesse caso para uma raiz a com multiplicidade k escreva as fra es A B K r a z a ra 213 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 para cada pot ncia de 1 at a multiplicidade da raiz use par metros letras constantes diferentes para cada raiz e some essas fra es para todas as ra zes No total temos um n mero de par metros igual ao grau do denominador e devemos determinar os valores desses par metros No exemplo 27
162. a Escreveremos uma defini o rigorosa de limite buscando captar a ess n cia desses tr s fen menos Primeiramente esclareceremos os detalhes fun damentais e elucidaremos sew enunciado para depois conhecermos diversos exemplos Formaliza o Suponha f IR gt Rea L R Dizemos que L o limite de f em a se para qualquer toler ncia permitida gt 0 por menor que seja existe uma folga 5 gt O tal que se x Ja a e x a ent o f x JL e L el Em s mbolos lim f x L amp va o ve gt 0 d gt 0 VrxeR O lt x al lt gt f x L lt e A nota o lim j assume que esse n mero L se existir nico Por isso antes de adot la devemos verificar que um nico n mero pode ser 65 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 esse limite Isso simples se ambos L L satisfizessem a mesma pr prie dade acima poder amos trabalhar com 0 lt lt 4 L L e encontrar f x pertencente a dois intervalos disjuntos quais o que um absurdo Outra express o muito til f x gt L quando x gt a Veja que afirmada na propriedade definidora de limite a exist ncia de um certo Esse n mero depende de f e L claro mas tamb m dec e de a ou seja se essas duas grandezas mudam ent o tem que ser ajustado Matem ticos costumam escrever a para indicar essa depend ncia Por outro lado
163. a Temos gl 063 x 2 0607 2 Contudo g n o tem extremo em 0 Exerc cio t pico Temos arame farpado para montar uma cerca de 300m Queremos pasto retangular com rea m xima Quais as dimens es do pasto Sugest o y zr y 300 gt y 150 z gt A zy 150x z 112 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Enquanto aprendemos regras para calcular derivadas come amos a tra balhar n o apenas com o valor da derivada de uma fun o em um ponto mas com a derivada de uma express o como se fosse uma fun o tendo tamb m uma vari vel independente Podemos formalizar isso o que facilitar muitas considera es Fun o derivada e ordens superiores Podemos definir D gt R z gt f x chamada fun o derivada de fe indicada simplesmente f Estudar f por conta pr pria f pode ser cont nua ou n o deriv vel ou n o Iterando se f f f Cuidado para n o confundir a indica o 7 com pot ncia Em termos de tempo usam se f e f A nota o diferencial 8 Observar que temos uma fun o f abre novas perspectivas para n s podemos repetir tudo o que estudamos para derivadas tamb m para f Aqui veremos apenas uma aplica o para determinar as concavidades da f original Contudo atente para isto Para obter f e outras derivadas de ordem superior derive a fun o sucessivament
164. a Dr jota P p r B 5 beta K x kapa X o sigma r y gama A lambda Ti r tau A delta M u mi Yi v psilon E e psilon Nv mi Sd y fi Z zeta csi XI x ki H m eta O o micron Yi y psi Oa 0y teta I r pi QI w mega 373 G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 N o se acanhe em pedir ajuda para aprender a escrever manualmente essas letras Raramente se usam as letras que tenham o mesmo desenho que letras latinas Veja que algumas letras t m duas min sculas qual usar depende do autor ou quest o de tradi o Tamb m existem mais letras e variantes adotadas em outras ci ncias O s mbolo de pertin ncia originado na letra e mas n o essa letra Os s mbolos de somat ria 5 e produto s o desenhos espec ficos das letras Bell 374 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ap ndice B Formalismo das Vari veis Aleat rias B 1 Vari veis aleat rias T pico opcional de Probabilidade Exemplo da teoria de fun es Conceitos importantes sobre demons tra es e conjuntos Um espa o de probabilidade uma tripla Q F P como se segue Q um espa o amostral conjunto n o vazio de resultados poss veis de um experimento ou sorteio Fixado Q o conjunto de eventos F satisfaz
165. a f a limite de retas secantes Diagrama na lousa Coeficiente angular da tangente limite f a fla Pontos x y da tangente satisfazem yo Ha f a ent o a equa r a o da teta y f a f a z a Cuidado com as letras z y em cada caso 102 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que o ponto a f a quem pertence ao gr fico da fun o e por onde a reta tangente deve passar n o o ponto a no dom nio da fun o identificado com a 0 no eixo das abscissas Por m costume falar simplesmente da tangente em a Dado um ponto a b e uma fun o f verifique antes de mais nada se a b pertence ao gr fico de f caso contr rio a equa o do slide n o se aplica Essa verifica o consiste em dois itens 1 se a pertence ao dom nio de fe 2 se b f a Al m disso obviamente precisamos que f seja deriv vel em a Note tamb m que outras letras podem ser utilizadas no lugar de x y como t x e que agora preciso abandonar definitivamente o v cio de escrever y f x para qualquer fun o que apare a porque o y na reta n o o mesmo valor da ordenada f x estude o gr fico Exerc cio Determine as equa es das retas tangentes em 0 e 7 3 eame 4 3 Como calcular derivadas Agora come aremos aj ver como calcular derivadas A defini o p
166. a 1 x transforme a em x Em c lculos conv m sempre simplificar esses elementos escrevendo os como pot ncias Quando a raiz impar vale para todo x E IR quando a pot ncia negativa vale para todo O f x seng gt f x cos t g x cosx gt g x sen x Cuidado com sinal h x e exp x ata e exp z J vimos como lidar com o seno e a exponencial de base e utilizando limites not veis Quando ao cosseno procedemos do mesmo modo cos x h cost cosh 1 senh g x lim cos 7 lim sen z lim h gt 0 h h gt 0 h 50 104 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Regras de c lculo Para f g ambas deriv veis em z e F g x f x g x e F x g f x g x f x g x aten o e c f x c f x para c constante No PODIDO o 40 Do gle 0 on gs mena Cuidado com produto e sinais nos quocientes Como no caso de limites as regras valem somente quando f g s o deri v veis Por exemplo x n o deriv vel em 0 mas 0 z x deriv vel constante o que n o podemos escrever 0 x z Muito cuidado com as regras de deriva o do produto e do quociente importante memorizar essas regras e aplic las corretamente Quanto a demonstr las devemos usar a defini o da derivada por li mite com foco no quociente de que se toma o li
167. a 242 dA 8y 22 102 Agora repetimos o procedimento mas com respeito ao novo sistema De 2yz vem oA a tus fue ay 92 B z dy B a constante de integra o quanto a y independe de y mas pode depender de z x n o aparece porque n o consta em A y z Substituindo no sistema temos 0 A ay 2yz 292 2y2z gt verificado EN dB 102 2A 39222 102 3y 2 X 2E 3422 10z dz 308 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Finalmente de gB 10z vem B 52 C constante Assim f y z 22y zx A y 2 2z y zx y B z 2z y zxz Y 52 C Verificamos Vf 4ry z 22 2y2 x 34 102 G Sempre verifique seu trabalho A constante de integra o tem a mesma raz o de ser e o mesmo papel que estudamos para primitivas de fun es de uma vari vel porque o gradi ente uma forma de deriva o Assim um potencial s est plenamente determinado quando se fixa seu valor em um ponto de interesse Para um segundo exemplo considere o campo F x y 2 6x y z 6x y 2 2 cos 2y sen z 2x y sen 2y cos z 2e Para determinar f com grad f F mont mos o sistema 2 3 6x y z 3t 6x y z lt 2 os 2y sen z Eu dx y gt sen2y cos z 2e Escolhemos qualquer uma das tr s equa es para integrar com respeito vari vel
168. a ax 4x 1 47 1 Es ES O CS SS dies x 67 5 x 3 2 4 Sy 11 x E 2d com y 4 f y dy 4f dy y2 1 2 y2 1 y 2 n y 1 imp 0 91n p teto mo c r 5 bx c com a 1 pode ser mais f cil escrever a x2 b a x c a e passar o a para fora da integral antes de come ar Pratique a t cnica acima nestas fun es mesmo que o denominador qua dr tico n o seja irredut vel ou seja tenha discriminante positivo 216 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Integre 2x 3 r 47 5 2x 3 4r 2 T L3 2x2 5x Ra zes de termos quadr ticos ou ln Exemplos VF 6dy 2vy 6 5lnly 4 y 2 1 T4 va q A Mesma t cnica complete o quadrado fa a substitui o e use arcsen varias Vet Fod com y 1 Vy t6 C Ja C 2 Vz 2x 7 4 3lal e 4 Para este procedimento lembramos as primitivas de ra zes de y a escrevendo k gt 0 em vez de a y k J VY kdy e y kdy amp J vk vidy 5 9 a y 2 4 STIN y k dy 2 La ly vy kl In y VY k ny vy kI O k Y 3 3 arcsen J G C C 217 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 dy y arcsen
169. a das integrais a calcular preservando se a correspond ncia entre vari veis x e limites de integra o a b Isso consequ ncia do pr prio Teorema de Fubini porque o valor da integral m ltipla sempre o mesmo Para dom nios que n o s o paralelep pedos veremos em exemplos quais s o os cuidados necess rios Alguns livros trazem esta nota o para a mesma integral acima bn ba bi den des xa f Lita Tn an a2 a1 Em cada etapa do c lculo a vari vel com respeito qual se integrou deve desaparecer do mesmo modo que na integra o de fun es de uma vari vel Exemplo 1 g f g 5y da dy 1J0 1 xt 2 q 2 e J r 1 4y 10y dy z 3 2 1 a z 105 3 2 y 1 w100 265 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo I a cos xy d x y 0 5 x 0 1 Primeira op o 1 pr 2 a cos xy dx dy o Jo S requer integra o por partes Segunda op o T 2 pl f f zcoslev dydr 0 0 T 2 1 ef cos xy dy dx 0 0 aee as 0 y 0 T f2 seng dz 1 0 Exerc cio Demidovitch 2113 Calcule JS t aden 0 1 x 0 2 de dois modos 266 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule cada integral usando todas as ordens poss veis e f 6x y d x y 0 2 x 1 1 e 1 6x y d
170. a do slide temos x 2 x Dentro da reta real os intervalos foram subconjuntos repetidamente uti lizados No contexto multidimensional emergem dois objetos com caracte r sticas semelhantes Dados a b R definimos figura na lousa e o segmento entre a e b a b 1 ta tb 0 1 e o paralelep pedo ret ngulo Ja b a1 b1 DARE SRD lan bn em geral quando cada a lt b 253 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 10 2 M trica e topologia A fun o d IR gt IR d x y jx yl satisfaz d x y gt e d x y 0 r y e d y z d x y d x z lt d x y d y 2 E chamada fun o dist ncia ou m trica Essa fun o simplesmente mede a dist ncia entre dois vetores A ltima propriedade que listamos a chamada desigualdade triangular visualize a no plano marcando vetores x y z como os v rtices de um tri ngulo medindo seus lados e verificando quais rela es essas medidas devem satisfazer para que o tri ngulo possa ser formado De modo an logo reta real cada espa o euclideano tem uma estrutura alg brica que descreve como se opera com os vetores somando os coorde nada por coordenada e tamb m anal tica e topol gica Essa parte que veremos agora descreve em termos formais o nosso conhecimento j intuitivo sobre aproxima es e dist ncias A dist ncia fundamen
171. a em rela o ao paralelo inicial Com o mesmo know how desse exerc cio e um diagrama mais elaborado voc poder deduzir a Lei de Snell Fermat observou quea trajet ria da luz entre dois pontos minimiza o tempo de viagem entre eles Suponha que esses pontos est o em dois meios 1 e 2 No diagrama assuma que a fronteira entre os meios reta Assuma que no meio a velocidade da luz v Onde a trajet ria tima da luz incide na fronteira de cada lado chame a ao ngulo da trajet ria com a normal fronteira Mostre que sen 01 sen a v1 va Seu diagrama dever destacar alguns tri ngulos auxiliares para cujos lados voc dever dar nomes Muitos muitos mais problemas podem ser formulados e resolvidos assim Procure os Aten o Em uma aplica o real alguma vari vel poder ser limitada por especifica es t cnicas ou todo um material dever ser utilizado sem sobras Em tais casos a fun o a ser maximizada ou minimizada est definida em um dom nio limitado e pouco intuitivo Tenha certeza de comparar tamb m seu valor nas extremidades desse dom nio Mais geralmente podemos lidar com dom nios ilimitados ou perfurados ou ainda com fun es descont nuas ou n o deriv veis Entender globalmente tais fun es a melhor estrat gia para n o deixar escapar nada o que requer conhecer seu grafico completo o que faremos na pr xima se o 7 2 Gr ficos Novamente tra
172. a forma de 12 ordem podemos compor g com f se e somente se q m donde go f x v Bu BAJx j como 12 ordem P g 323 al Quando m 1 a fun o f escalar e temos como matriz linha f a Vf a Quando n 1 a fun o f uma curva e a matriz coluna f a seu vetor tangente no ponto f a Quandom n 1 simplesmente f uma fun o escalar de uma vari vel e f a uma matriz 1x 1 cuja nica entrada o n mero f a P g 330 al Sol 27 62 A f Es Sofa Se x P g 336 a Escrevendo fry em vez de arog LLC O polin mio em quest o Fa b fala b x a fyla b y b afeala b a foy b x a y b 5 fula b y b Falas b x a S feno O x a y b Ton t b x a y b fuy la b y E b 7 No caso de f x y zy basta substituir ab 5afy x a 7 a b y b 10a b T a 354b x a y b 21a b y b 10a b x a 60ab x a y b 105a b x a y b 35a5b y b P g 338 a Este um exerc cio de Demidovitch 1976 cuja solu o mais elaborada apenas combinat rico e n o envolve An lise por m esclarece dificuldades com a leitura de express es nos polin mios de Taylor O pulo do gato observar que x a constante n o s com respeito s
173. a horizontal ou inclinada o gr fico da fun o f deve aproxi mar se cada vez mais dessa reta mas pode muito bem oscilar em torno dela ou afastar se um pouco periodicamente N o se preocupe com isso neste curso porque o estudo de f e f j d cabo dessas possibilidades Mas caso voc queira investigar essa rela o com mais detalhes basta considerar f x Max B suas ra zes s o os pontos em que o gr fico de f cruza a reta seu sinal indica a posi o relativa entre ambos sua derivada mede qu o rapi damente o gr fico aproxima se ou afasta se da ass ntota dependendo dessa posi o relativa Tamb m poss vel que n o hajam ass ntotas quando M ou B n o existe Por exemplo z n o tem ass ntotas e s tem ass ntota em oo In x s tem ass ntota em 0 Para lng quando 7 co temos M 0 por Hospital e B o que indica que In x explode mas sempre abaixo de qualquer fun o linear Estude os sinais das derivadas e Marque ra zes e pts inexist ncia das derivadas e Calcule f oulimites laterais em cada um e marque e Sinais 12 derivada crescimento extremos locais bicos e tangentes verticais e Sinais 22 derivada concavidades e inflex es E claro que queremos marcar no gr fico de f os seus valores extremos 195 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Calcule a fun o derivada f e utilize o passo 4b acima para det
174. a mesma resposta pode assumir v rias formas apesar do procedimento de deriva o ser algor tmico Nesse caso vemos que tg x satisfaz y 1 y que uma equa o diferencial ordin ria essas equa es ser o estudadas em um curso espec fico Exerc cio Derive 2 sec zH cse xE e cotz 22e sent Vitgt f 4e 2 x 3 sen x xe 5u cos u expu senu At aqui as poucas express es que sabemos derivar s o apenas combina es de somas e produtos de algumas fun es simples A mesma Regra da Cadeia que veremos agora permitir derivar mais fun es b sicas inclusive suas inversas e express es concatenadas que constituem a vasta maioria das fun es 107 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Regra da Cadeia Se f g s o deriv veis em x f x resp ent o go f 9 Hx f x Notas e Detalhes para go f existir e N o esque a de multiplicar pela cauda f x e Na pr tica comece a derivar por fora A demonstra o um pouco extensa embora nada demais e voc deve estud la em seu livro de C lculo Aqui exploraremos uma id ia que n o d certo Para calcular o limite na defini o de go f x quando h gt 0 devemos supor h O como de fato podemos para dividir por h Suponhamos tamb m que f x h f x de mo
175. a mesma coisa 64 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A primeira fun o tem seu gr fico em uma vizinhan a de a totalmente contido no tubo de raio ao redor de L Intuitivamente seu gr fico uma curva cont nua mas ainda definiremos esse adjetivo explicitamente A segunda fun o tem o ponto f a fora da curva do restante de seu gr fico Encontramos um tubinho que por qualquer que seja a vizinha a de a n o cont m o restante do gr fico Por m se desenharmos o tubinho ao redor da ordenada L ent o existe uma vizinhan a de a cuja imagem est contida no tubinho exceto pelo pr prio f a A fun o com salto parecida Encontramos um tubinho que novamente por menor que seja a vizinhan a de a cont m apenas metade do gr fico Aqui por qualquer que seja L n o conseguimos proceder como nos outros dois gr ficos Toler ncias Um produto final n o perfeito mas sua qualidade control vel Se quisermos limitar o erro a um m ximo trabalhamos dentro de padr es estritos Assim se queremos calcular f a com toler ncia z gt 0 precisamos conhecer a com toler ncia Embora este ltimo slide fale a respeito de calcular f a a defini o que faremos agora deixa f a e tamb m o pr prio ponto a de fora Os motivos para isso ficar o esclarecidos quando estudarmos situa es em que i a n o pertence ao dom nio de f ou ii f descont nua em
176. a o qual y r oo Assim o resultado tem a mesma forma para os tr s casos mas o modo de obt la diferente Veja que tratamos 12x m n e y r como blocos em termos dos quais os limites pedidos puderam ser escritos e calculados apenas com base em suas pr prias converg ncias Poder amos portanto ter escrito t 12x substitu do em sen 12x 7x como sen t t onde n o h mais z apenas t e conclu do que como x 0 tamb m temos t gt 0 e invocado nosso primeiro limite not vel para completar a conta Em termos formais isso est correto e n o mais que utilizar a continuidade de uma fun o para calcular o limite de outra fun o composta dessa Por m interessante realizar esse procedimento com as vers es mais simples diretamente em vez de uma substitui o expl cita porque ele muito utilizado em diversas partes do C lculo e frequentemente aninhado isto feito novamente dentro de si mesmo 91 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule gt I cosg e lim Ro 20 r2 tg 320y i v gt 0 sen 41y o qt e lim para a gt 0 t gt 0 a e lim z ln x 1 Ing L 00 3 11 Concep o de limites por sequ ncias Este outro modo de conceituar limites que responde s nossas d vidas sobre aproxima es quando come amos a investigar o assunto Ele tamb
177. a ordem de integra o A ta dy da f i e aa Integra o impr pria Os cuidados que tomamos em Uma Vari vel com o Teorema Fundamental do C lculo tamb m devem ser observados ao ope rar se com o Teorema de Fubini Por exemplo calcular apressadamente d x y 1 4 x 2 3 y conduz incorretamente ao resultado negativo 2 ln 2 porque o integrando positivo De fato em vista da descontinuidade do integrando em toda a reta y z preciso recorrer se a integrais impr prias raw e wtaos f e na pa Hm fl O E GAR E ED ag Ly l 1 1 q gt y 1 Q o Os limites valem e oo respectivamente enquanto as duas outras ex press es de y s o fun es limitadas em 2 3 com os sinais envolvidos o integrando e a pr pria integral valem oo 270 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A outra ordem de integra o produz o mesmo resultado Para implemen t la considere que a descontinuidade ocorre para cada valor de x entre 2 e 3 enquanto percorre o intervalo 1 4 A decomposi o da integral fica assim em que omitimos o integrando x y 2 e as diferenciais RS 11 3 Duas aplica es Al m de calcular volumes como as definimos as integrais m ltiplas s o a express o natural de outras quantidades nas ci ncias e engenharias Aqui apresentaremos as f
178. a ser o importantes caso se queira nos pr ximos cap tulos tomar a derivada ou a integral do limite de uma sequ ncia de fun es como sendo o limite das derivadas ou integrais dessas fun es ou analogamente quanto a s ries de fun es somente sob condi es fortes de converg ncia que essas opera es s o v lidas Uma s rie de fun es portanto uma somat ria 3 fn x cujas somas parciais formam uma sequ ncia de fun es Existem ainda mais crit rios e testes de converg ncia para essas s ries Dentre elas as s ries de pot ncias como abaixo s o um caso particular 151 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 S ries de pot ncias Dados a R para n N e x IR queremos definir f x De lo To dita s rie de pot ncias de x centrada em xo As fun es definidas usando se s ries de pot ncias foram as favoritas no desenvolvimento inicial da An lise como veremos ao estudar deriva o Uti lizando se os polin mios de Taylor relacionam se os valores a e f xo obtendo se a unicidade de cada coeficiente da s rie Tem raio de converg ncia R 0 00 e se o R o R ent o converge abs e fun o definida assim cont nua e se zo gt R ent o a s rie diverge e em cada x zo R e x to R comportamento pode ser diferente Com ajustes na nota o se R oo Assi
179. a t 0 1 no espa o IR seus pontos inicial e final s o o mesmo de modo que o deslocamento total nulo mas o vetor tangente nunca nulo O que vale a seguinte propriedade Proposi o Se y a b gt IR cont nua em a b e deriv vel em Ja bl ent o existe to Ja b tal que llx b o b a lt Y to ll A proposi o indica que no caso de uma curva com v rias voltas o deslocamento vetorial pode ser pequeno e justamente por isso em algum momento a velocidade vetorial dever ser mais alta para compensar as voltas 332 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Esta demonstra o usa o TVM de FUV Tome g t q t a yb a Temos e p a b gt R cont nua e deriv vel e pla 0 p b IIy b yla ll e p t Y lb yla Existe to Ja b tal que OEO Assim MEWE ito A lt lt Ilyo l7 a Il Se y b y a O n o podemos cancelar nos dois lados da inequa o mas a desigualdade imediatamente satisfeita A seguir tratamos o caso de fun es escalares quando m 1 mas de v rias vari veis Recorde a nota o para segmentos de reta p g 253 sendo a b R define se lab 1 1 Da rtb 0 lt XtXI a rt b a 0Xt lt 1 Ent o neste enunciado 1 to a tob um ponto alinhado entre a e b Para fun es escalares Se D CIR
180. a x assumindo que p j foi fatorado isto conhecem se suas ra zes T1 Tn p x r Basta colocar as ra zes em ordem crescente e montar uma tabela com todos os intervalos entre elas Ent o determina se o sinal de cada mon mio x r em cada intervalo e obt m se o sinal de p por multiplica o A mesma t cnica funciona para as fun es racionais que definiremos abaixo Quando p x ao diz se que p constante Quando p x ax diz se que p linear Quando p x ao air diz se que p afim Muitas vezes usa se o adjetivo linear em vez de afim Al m disso em estudos mais avan ados afim adquire outro significado Fun o m dulo gt 0 WR gt R fe le F x sex lt 0 Veremos v rias vezes essa distribui o de casos em uma chave nesse contexto trata se de possibilidades mutuamente excludentes 5 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fala se muito que o m dulo de um n mero esse n mero sem sinal como por exemplo 3 3 Por m isso mau portugu s porque n meros positivos t m de fato um sinal que n o se costuma escrever 3 Al m disso tamb m causa transtornos quando se trabalha com letras n o h como tirar o sinal de x quando necess rio operar com x veremos exemplos no c lculo de limites e nesse momento a observa o do slide muito til
181. adamente dif ceis Dessa escola recomendamos este DEMIDOVITCH B et al Problems in Mathematical Analysis tradu o de G Yankovsky Moscow Peace Publishers 1976 um comp ndio de exerc cios de diversos graus de dificuldade sempre prece didos de um curto resumo da teoria necess ria e com sum rio de solu es e til nos diversos cursos b sicos de C lculo e Equa es Diferenciais Atente para diversas grafias do nome dos colaboradores mais citados Baranenkov e Demidovitch Em portugu s seu t tulo Problemas e Exerc cios de An lise Matem tica Especificamente sobre a primeira parte Bases qualquer livro ou ap n dice de Pr C lculo poder ajud lo assim como seus pr prios livros escola res Destes ltimos por exemplo IEZZI G et al Matem tica Volume nico 52 ed S o Paulo Atual 2011 Para uso no curso hom nimo da UFABC desde seu in cio Armando amp Daniel elaboraram CAPUTI A MIRANDA D Bases Matem ticas em desenvol vimento Estude tamb m seu ap ndice sobre lgebra polin mios matrizes e sistemas lineares N o cobrimos neste guia dois cursos que tamb m fazem parte do ciclo b sico de Matem tica na UFABC os de Geometria Anal tica e Introdu o s Equa es Diferenciais Ordin rias Contudo GA uma ferramenta impor tante no C leulo e voc dever conhecer especialmente para V rias Vari veis os t picos de sistemas de coordenadas
182. amos que minimizar d equivalente a minimizar d e operamos 353 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 diretamente com a soma de quadrados resultante ou seja minimizamos os quadrados Esta se o apresenta o m todo dos m nimos quadrados como um proce dimento geral para determinar os par metros definidores de uma fun o curva ou superf cie que melhor se ajuste a pontos dados Aqui consideramos apenas os aspectos do m todo que podem ser imediatamente alcan ados pe las ferramentas de otimiza o do C lculo relegando uma discuss o completa lgebra Linear que disp e do conceito de proje o e trabalha dist ncias com maior destreza servindo se de representa o matricial Objetivo ajustar fun o y y x a dados experimentais a b M todo minimizar diferen a entre valores esperados e experimentais je gt lyla l Os par metros de y s o nossas vari veis Outra possibilidade para justificar o m todo considerar a vari ncia como definida em um curso b sico de Estat stica De fato para uma m dia T zi podemos pensar no erro ou desvio cometido ao substituir cada x por e depois no erro total Este pode ser definido de v rios modos k E a e soma dos desvios 5 x 7 sempre nula e portanto n o tem serventia k ida E e Tomando os desvios em valor absoluto sua soma x z posi tiva exc
183. ando b gt 1 L oo lim b 0 quando 0 lt b lt 1 L 00 e lim tgi r 7 xr gt oo0 Exemplos am 44 Std S L o evo Tr 37 evo 143 lim i 3 3 L 00 52 1l seu dmG a o e lim IF 0 00 1273 3z w gt 12 lim 12 12 L 00 1 sat al e lim 1 2 n lim 1 2 x temos n gt n2 n n n 1 1 4 Ce ma O pm os Em todos esses exemplos utilizamos o truque pr tico para fun es ra cionais que s o quocientes de polin mios primeiro determinamos qual a maior pot ncia que aparece em toda a fra o seja em cima ou em baixo e ent o dividimos ambos numerador e denominador pela mesma Como anteriormente caso voc obtenha 0 no denominador outras t cni cas dever o ser utilizadas A Parte Uma Vari vel tratar disso Simulta neamente um numerador n o nulo indica que o limite n o existe Pode se aplicar a intui o para estimar limites assim 127 3x2 cubo cresce mais r pido que 5x 11x quadrado e o quociente acima vai a 80 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 zero Contudo h muita coisa que pode dar errado nisso Para calcular rigorosamente um limite preciso fazer conta como nos exemplos Exerc cio Calcule 1 2 e lim Re Z 00 r2 1 PRA SRS a x 6 1 8r z rc g 2r 1
184. ando os com bolas abertas junto com o valor da fun o bola fechada Tamb m quando uma express o que define f envolve denominadores ra zes ou logaritmos procuramos determinar onde essa express o fica descont nua Determine simetrias Em cada parte do dom nio a fun o par mpar ou peri dica O e O transla o vertical ou horizontal de fun o mais simples dilata o vertical ou horizontal de fun o mais simples O O composi o de fun es conhecidas 193 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Calcule limites laterais Nas extremidades furos e pts descontinuidade calcule e marque cada limite lateral Possibilidades e bola aberta fechada e oscila o e ass ntota vertical Calcule em cada ponto identificado em D os limites laterais de f pelos lados onde D acumula se Se um desses limites for n mero real marcamos essa ordenada com bola aberta para depois ligarmos os pontos Se algum for infinito obtivemos uma ass ntota vertical do gr fico que deve ser mar cada com tracejado Se um limite n o existir nem for infinito esteja atento oscila o local Assim o procedimento foi o mesmo para pontos de acumula o n o per tencentes a D e pontos de descontinuidade da fun o sendo que nestes a fun o est definida e aparece uma bola fechada Note bem que os limites laterais p
185. ano Para justificar a inclus o do m dulo do jacobiano como um fator de corre o na nova integral faremos um racioc nio seme lhante quele em que motivamos a f rmula para a rea da superf cie mas com uma apresenta o diferente Trabalharemos com n 3 e uma fun o x y z e entenderemos a integral de f sobre D como o c lculo da massa de um s lido cuja densidade dada pontualmente por f A composi o f o amp denota a densidade para a nova integral mas devemos considerar tamb m se o s lido sofre altera es de forma Primeiramente substitu mos amp por sua melhor aproxima o linear em um ponto a b c Essa nova fun o L x y z tem o mesmo papel das melhores aproxima es lineares que estudamos em Deriva o para fun es reais de uma vari vel e provaremos em Deriva o Espacial que ela dada por 99d dB da Oy oz L x y 2 a b c 22 gt a 22 Tyd 2ds ds Dos da Oy oz v a A com as derivadas parciais calculadas no ponto a b c Consideremos o que acontece com o cubo de volume 1 definido pelos quatro v rtices a b c a 1 b c a b P1 c a b c 1 Ele levado por amp a um s lido que aproximaremos como sendo o paralelep pedo de v rtices L a b c L a 1 b c Mg b 1 c L a b c 1 seus lados s o os vetores X L a 1 0 Lla b c 22 dba 22a de dr Ox Y L ab le 1 a b c 2 22 22a Z L ab c 1 L a b c
186. ar UFABC 1 quad 2015 determinar seu car ter corretamente preciso fazer uma an lise suplemen tar por exemplo esbo ando o gr fico de f ou calculando alguns de seus valores em uma vizinhan a do ponto Geometricamente suponha a ponto de extremo A superf cie de n vel 2 fla Fa s a ltima a intersectar a superf cie de n vel te g z C Diagrama na lousa Ent o V f a Vg a Veremos os detalhes desta justificativa abaixo na p g e seguintes para restri es vetoriais Exemplo Ache novamente a menor dist ncia do ponto 12 0 5 ao plano 2x y z 2 Temos e f x y 2 x 12 y Ne MB e g x y z 2z y e C 2 Vg xz y z 2 4 1 nunca zera V f z y z 2x 24 2y 2z 10 sistema 2x 45 X 2y A 1 22 NO A 1 2x y z 2 N o esque a Pto no plano dom nio 359 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Solu o por elimina o use A 2y z y 5 r 19 3 y 17 6 2 47 6 A 17 3 E a nica solu o n o h 4 passo Varia o do extremo Valor extremo V f a depende da constante C Heuristicamente AV x A AC Desse modo o ganho marginal da fun o objetivo quando se altera a constante em uma unidade De fato como V depende de C podemos calcular pela Regra da Cadeia e substituindo o sistema de
187. ar concep es diferentes dos conceitos de limite e continuidade Sequ ncias num ricas S o fun es s IN gt IR escrevemos s s n e Gus Sn neiN so 1 82 J s converge a L R se Ve gt 0O INE N Vn gt N sn L lt gr ficos na lousa Usa se o c lculo usual de limite exceto Hospital cru Por exemplo lim ss 1 1 e por ser um caso particular de x gt 00 no limite not vel correspondente As Regras de Hospital baseiam se em deriva o que por sua vez feita em pontos reais portanto n o se aplicam a sequ ncias e n o podemos derivar sequ ncias O que se pode fazer aplicar Hospital com a extens o bvia da express o considerada reta real cont nua f x em vez de f n resolver em a R arbitr rio e ent o fazer a 00 Al m disso claro precisamos tomar cuidado com a opera o de fatorial cuja extens o a uma vari vel cont nua mais complicada 147 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Subsequ ncia Dada inje o y IN IN tomamos s n Exemplo s3 87 813 891 Bolzano Weierstrass Toda sequ ncia limitada de n meros reais tem uma subsequ ncia con vergente O Teorema de Bolzano Weierstrass devido completude da reta real ou seja ao Axioma do Supremo Cauchy S converge se e somente se Ve gt 0 3N E N Ym n gt N fsm 8n lt E
188. aramente um n mero finito e n o prov dificuldades converg ncia enquanto que poderia n o satisfazer as hip teses do crit rio Pense a respeito no pr ximo exerc cio Exerc cio extraordin rio Suponha que an bn 2 0 n lt c b para algum c gt 0 a partir de um certo no Mostre e Se b converge ent o gt a converge e Se an diverge ent o gt bn diverge Dica use o Teorema do Confronto O conceito de converg ncia absoluta no pr ximo slide a resposta para a quest o Podemos mudar a ordem da soma de uma s rie Converg ncia absoluta OO OO A s rie X an absolutamente convergente se X an lt 00 0 0 Nesse caso a converge e para qualquer bije o q N gt N n 0 y Ayin e an n 0 n 0 Se converg ncia n o absoluta e h infinitos termos de cada sinal ent o Riemann VS E 00 00 3p N N X apin S n 0 150 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Caso haja somente um n mero finito de termos com um sinal seja posi tivo ou negativo sua soma n o interfere na converg ncia que ser absoluta ou diverg ncia da s rie Exclu dos esses termos se s o necess rios N dos demais termos para superar uma cota M ent o ap s a reordena o por uma bije o y s o necess rios max o 1 0 O p AN termos para superar M Nesse caso portanto a s rie ser sempre diverge
189. as T 157 b 2 entre outros 5 4 Confronto sandu che ou squeeze Suponha a 00 00 Assuma a f 8 definidas numa vizinhan a de a satisfazendo a lt S f lt S 2 e Se existe L lim a x lim 8 x ent o existe lim f x L gt a xr a va e Se lim a x oo ent o lim f x oo sa gt a e Se lim 8 x oo ent o lim f x j oo sa sa O Teorema do Confronto permite nos quando podemos encontrar a e 5 mais simples determinar o limite de ma f complicada como a demonstra o de limg o send 1 Ele tamb m usado para provar a continuidade de v rias das fun es que listaremos futuramente Corol rio lim f x 0 e g limitada numa viz de a gt lim f x g x va Porque se g x lt K ent o K f x lt f a g a lt Kl f a fi N o podemos escrever simplesmente Kf lt fg lt Kf porque f pode ser negativa em alguns pontos Um segundo corol rio an logo a esse diz que quando f gt too eg gt e gt 0 temos fix 9g gt oo ou quando f gt too eg lt 0 lt 0 temos f x 9 gt Foo onde 0 s o constantes Voc consegue mostrar essas duas implica es invocando o Teorema do Confronto 133 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos lim z sen 7 0 porque sen 4 lt 1 e z 0 Gr fico na lousa a n e lim 0 porque n gt n n n n l 2 1 1 n
190. as express es podem ser simplificadas por mudan a de vari veis Coordenadas polares Figuras na lousa n 2 0 Rs para0 lt 0 lt 2mer gt o y rsen A origem n o faz falta na integra o Ent o dz Ox E rsen cos6 A J y Oy gt r lt 0 O ae rcos6 send conv m escrever Ea r Coordenadas cil ndricas exerc cio Figura na lousa n 3 xz recos d y rsend para 0 lt 0 lt 2r r gt 0e h qualquer nel a Determine Ja e seu m dulo O eixo Oz n o faz falta na integra o 277 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Coordenadas esf ricas exerc cio Figura na lousa n 3 x r cos 0 sen y y rsen seny para0 lt 0 lt 27 0S lt T er gt Zz r cos 9 b Mostre que Ja r sen q O eixo Oz n o faz falta na integra o No sistema proposto 0 mede longitude e y mede colatitude H v rias possibilidades para os intervalos a que 0 e y pertencer o assim como sistemas em que y tomado como outro ngulo de atitude Essas variantes alteram a express o do jacobiano e ou de seu valor absoluto Rota o no plano exerc cio Dois sistemas de coordenadas retangulares u v x y com mesmas escalas e origem com ngulo a de x a u Figura na lousa Mostre que v u cosa vsena y usen a v cosg e
191. as regras de Hospital n o resolvem todos os limites 5 6 Defini es de limites Agora j aprendemos a calcular diversos limites mas sem garantias que possamos calcular todos N o encontramos um modo espec fico algoritmo para aplicar as diversas t cnicas e tamb m h ocasi es em que elas n o dizem se o limite n o existe Resta assim explorar a teoria dos limites um pouco mais com o objetivo de clarificar nossa percep o do conceito O Teorema do Confronto foi um primeiro passo nessa dire o A defini o a seguir aplica se a uma fun o f D gt R com dom nio D CIR um limite num rico L R e em um n mero a que seja ponto de acumula o de D isto f est definida em pontos arbitrariamente pr ximos de a mas talvez n o no pr prio a 138 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 lim f x L toa lt Para qualquer toler ncia permitida gt 0 por menor que seja existe uma folga gt 0 tal que se a mat ria prima x estiver perto de a ent o o produto final f x estar c perto de L o Ve gt 0 a gt 0 Yx D 0 lt x a lt gt f x L lt e N o se considera o caso perfeito x a ou seja L independe de f a se esta existir Essa defini o realmente complexa porque resolve um problema dif cil que atravessou mil nios Trata se de lidar com grandezas infinitamente gran des ou pequenas ou ainda um
192. athematics Journal v 22 n 3 1991 p 227 229 P g 360 a Sol 20 em maquin rio e 40 em funcion rios b Sol 240 22 3 380 98 c Obteve se 4 22 3 6 35 de modo que a nova produtividade seria a soma da original com a varia o 2A 393 68 di Sol di metro e altura iguais a 44 50 7 e Sol 15 filmes e 9 jogos 401 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 361 a Sol x T n NA e f x Fixe 4 tome g t g e II x l 402 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Bibliografia comentada e sugestoes Se voc j possuir e gostar de um texto de C lculo de um curso anterior ou estiver mais acostumado com sua apresenta o desde detalhes t cnicos como nota o at o n vel das explica es e a localiza o dos assuntos ent o continue a utiliz lo Livro de C lculo antes de tudo uma quest o de gosto pessoal porque o conte do matem tico dos bons livros dever ser sempre o mesmo e incluir obrigatoriamente os assuntos que cobrimos neste guia A cole o mais popular por um autor nacional GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um Curso de C lculo 5 ed Rio de Janeiro Livros T cnicos e Cient ficos LTC 2001 Ela faz simultaneamente uma apresenta o completa e rigorosa d
193. b A a E e E E para algum inteiro n gt 1 e alguns z1 n 1 Soma inferior gr fico na lousa rea dos ret ngulos hachurados s P X int SON zi Ti STT i 1 Note m lt infr _ lt z lt z f x lt My ent o soma est bem definida Integral inferior Ao refinar se P o n mero s f P cresce diagrama na lousa sempre limitado por M b a Ent o aP Sup sU P P parti o de a b real Apenas chamamos sua aten o para a limita o por M b a para que o supremo Sja b f seja um n mero real ainda limitado por M b a Caso n o houvesse alguma limita o ent o esse supremo seria 00 O que estamos fazendo exaurir a rea do gr fico por baixo a cada refinamento da parti o os ret ngulos cobrem mais e mais da regi o cuja rea queremos determinar Essa id ia j surgira na Antiguidade e era muito explorada pelos gregos Podemos fazer uma exaust o an loga por cima 224 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Soma superior e integral superior gr fico na lousa n S f P X_ sup fa m xi i 1 Ti 1 SIS Sla f inf S f P P parti o de a b R Temos Sgal f lt Staal f f Riemann integr vel sobre a b quando sjal f Slaf Cesse n mero escrito Je Pd Note integr vel segundo Riemann tem primitiva Note x n o
194. bendo que 2 lt e lt 3 estime e com erro at 0 005 Sugest o N 5 Em geral dado um erro busque o primeiro grau que oferece erro menor Exemplos faltosos e h x ln z definida em J0 f mas X gt CDN s converge em 0 2 cv sro 0 sex 0 o w 0 k 2k00 W T O e w x tem w 0 Q para todo k ent o 184 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 7 Comportamento de Fun es 7 1 Otimiza o Nossas defini es trabalham com uma fun o f D gt IR sendo D C R e um ponto a D A fun o f que deveremos determinar nas situa es pro blema envolvendo otimiza o a que desejamos maximizar ou minimizar e frequentemente chamada fun o objetivo M ximos e m nimos Quando f a gt f x para todo z D e a um ponto de m ximo global ow absoluto e f a o valor m ximo global ow absoluto Quando f a lt f x paratodo x D m nimo mutatis mutandis Dom nio importante For dele f n o est definida ou valores maiores e menores n o interessam Calcular os pontos de m ximo ou m nimo e os valores m ximos ou m nimos de uma fun o s o uma das preocupa es fundamentais do C lculo porque como veremos em exemplos eles servem para maximizar um produto seja lucro produ o industrial sustentabilidade de uma asa de avi o ou minimizar um fat
195. c achar a dedu o completa para cosg e a s rie final para In Resto de Lagrange a 5 En ax N F1 i z a para algum entre a e 1 Aten o depende de x a N o conhecemos nem esperar amos conhecer porque ent o poder a mos determinar f x exatamente Contudo a express o de Lagrange para o erro cometido permite major lo isto limit lo ou control lo Demonstra o extraordin ria Assumiremos x gt a e encontraremos a lt lt x Todo o procedimento pode ser repetido quando x lt a obtendo se x lt E lt a Voc tamb m deve verificar o caso x a em separado quando Enta 0 Note tamb m que para este trabalho x est fixado 181 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Considere k N onde K IR deve ser escolhida de modo que p a 0 basta substituir y a e resolver em K Temos y cont nua e deriv vel porque f N 1 vezes deriv vel Tamb m temos y x 0 j que f x cancela com LA a 2 Porque y deriv vel e o a x o TVM fornece Ea x tal que de E 0 Por outro lado derivando se explicitamente quanto a y calcula y mos T DZ No e k 1 k Us GD a qr cancelamentos N 1 K E o Edy K N 1 Es L y x N y Ent o de fato K f D 8 para que y 0 Agora notando que En x Toe NH a 0 obtemos a f rmula no slide
196. cada um al quota correspondente Para vermos como se faz calculamos quanto de 11 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 imposto pagar uma renda de R 7500 Procede se assim imposto R 2000 x 0 os primeiros 2 mil R 3000 x 15 a parte entre 2 e 5 mil R 2500 x 20 a parte acima de 5 mil R 0 R 450 R 500 R 950 Note que o valor obtido n o nem 15 nem 20 dos R 7500 o0riginais Nos termos acima a fun o f que calcula o imposto devido f x sobre um sal rio x dada assim 0 se x lt 2000 f x 4 4 z 2000 se 2000 lt x lt 5000 do a 5000 450 se z gt 5000 Voc concorda com a divis o nesses casos e as express es correspondentes Quando falamos de uma fun o f D gt C especificamos o dom nio D e o contradom nio C Basta que sempre dado um ponto no dom nio ou seja um valor espec fico para a vari vel independente possamos computar um nico valor no contradom nio a vari vel dependente assim chamada porque depende da outra Ponto sin nimo de elemento ou seja membro de um conjunto Em v rias situa es do dia a dia incluindo este curso e os pr ximos po de se deixar um ou outro ou ambos dom nio e contradom nio subentendidos Contudo sempre salutar inquirir quais s o eles Veja Fun es racionais Suponha que p q s o fun es polinomiais Podemos definir
197. cius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Intuitivamente gr fico n o salta recorde interpreta o do limite com tubos tg x cont nua saltos fora do dom nio S o fun es cont nuas em seus dom nios polinomiais racionais e constantes m dulo pot ncias e ra zes exponenciais e logar tmicas trigonom tricas e suas inversas No exerc cio a seguir exploramos o que necess rio para algumas fun es serem cont nuas Tecnicamente uma descontinuidade de f em a classificada como remov vel se outro valor para f a torna f cont nua em a e essencial caso contr rio quando limites laterais em a s o diferentes inexistentes ou infinitos Uma discuss o an loga pode ser feita quando a D tratando se de verificar a possibilidade de estender continuamente uma fun o a um dom nio maior Exerc cios e Qual deve ser f 5 para que f IR gt IR com f 5 3 x Sr Bala 5 seja cont nua e Existe valor g 2 que preserve a continuidade de g x 3 se x lt 2 ob 5 se x gt 2 Q e Abaixo quais devem ser a b c para h ser cont nua 2a 5x se x lt 3 9 ser 3 h t 25 b 1 se3 lt zr lt 7 csen tr 35 ses gt 7 Exerc cios extraordin rios Mostre que 1 sexeQ Xa R gt R Xela 41 o 143 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1
198. coeficiente angular zero ou seja horizon tal Mas a fun o poderia ser muito patol gica e qualquer gr fico ser muito enganador 176 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 2 Quando conhecermos integra o poderemos escrever Hx f xo So f s ds f xo a 0ds f x 0 3 Pode se at utilizar o princ pio dos intervalos encaixantes para uma de monstra o Por m um modo poderoso usar o TVM Exemplo te rico Seja 1 intervalo Se f 1 gt R cont nua e f 0 no interior de T ent o f constante De fato dados x y I com lt y temos x y C I eo PVM aplicado a flies d c E Ja y com f y f x Moya 0 1 Corol rio Se f g I R cont nuas e deriv veis com f q ent o g f K para algum K IR bastando derivar g f para mostrar Exerc cio Suponha que 1 um intervalo e f I gt R cont nua em T e deriv vel no interior de I Use o TVM para mostrar que ese f gt 0 ent o f crescente e se f gt Q ent o f estritamente crescente e se f lt 0 ent o f decrescente e se f lt 0 ent o f estritamente decrescente Utilize limites para demonstrarfec procas n o estritas Novamente voc pode servir se de racioc nios intuitivos para absorver essas regras Se f 0 ent o toda reta tangente tem coeficiente angular estritamente positivo ou seja
199. como fun o de um lado z do ret ngulo ent o A x 150 2x anula se quando x 75 Portanto um pasto de 75m por 75m P g 114 a Temos A x 2 lt 0 de modo que a rea realmente m xima b C ncavo c Convex d n t Z s o c ncavos e r t r amp S o convexos para n Z P g 126 a Sol 0 b Sol 2 c Sol 3x d Sol 1 e Sol 1 f Sol 2 e0 g Sol 1 e 1 h Sol O N o porque a segunda fun o n o est definida para x lt 2 P g 129 a S6l 1 b Sol 512 c Sol 0 e 2 d Sol 1 3 389 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 130 a Sol oo b Sol oo c Sol oo d Solf oo e Sol 00 f Sol 0 tem a forma 4 g Sol oo tem a forma ne P g 132 alSol 1 2 b Sol 320 41 c Sol lna d Sol 1 P g 134 a Sol 0 b Sol 2 c Sol 0 P g 137 a Sol 325 234 b Sol 1 c Sol 7 5 L Hospital pode ser aplicado duas vezes mas n o uma terceira
200. como por exemplo 0 U 1 00 Resta mostrar que IN tem a terceira propriedade mas se existem naturais n k satisfazendo n lt k lt n l ent o0 lt k n lt 1 enquanto n o h elementos entre 0 e 1 em 0 U 1 oo que maior que IN 2 2 Pontos infinitos R e 1 1 s o muito parecidos Escala na lousa De fato 2 tg x bije o cont nua crescente Mas IR n o tem come o nem fim enquanto 1 1 C 1 1 Introduzimos dois novos s mbolos oo e oo n o s o n meros e n o fazem contas oo antes de todos os reais oo x lt 10 lt 3 lt oo depois de todos os reais lt 1 lt 200 lt 108 lt lt 0 Express es usando oo podem ser reescritas somente com n meros reais os infinitos servem para abreviaturas Exemplo sup Lt f x 2 IR o equivale a f ilimitada superior mente Veremos supremo a seguir Algumas contas s o escritas com oo mas servem apenas para in tui o Fica terminantemente proibido escrever 17 e barbeiragens an logas 2 3 O Axioma do Supremo O Axioma do Supremo o que falta para descrevermos as propriedades fundamentais da reta real De fato n o s ele util ssimo para justificar todo 40 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 o C lculo como veremos repetidamente mas tamb m se pode mostrar em cursos de An lise que IR o nico co
201. condi es 1 lim Le das formas ou ambas f x g x gt 0 ou 00 va 0 2 lim o E 00 00 isto existe ou explode n o oscila ts a 3 f g deriv veis em uma vizinhan a de a exceto talvez em a e g g 0 Se 1 2 ou 3 fura ent o n o funciona Uma vizinhan a de a cont m um intervalo aberto que por sua vez cont m a Assim as fun es s o deriv veis ao redor de a 135 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Formalmente as condi es 1 e 2 s podem ser formuladas se 3 j for satisfeita portanto os livros texto geralmente listam esta condi o primeiro mas o modo mais simples de verific la conduzindo o pr prio c lculo Procure em seu livro texto de C lculo discuss o e exemplos para s seguintes situa es a O limite desejado n o das formas indeterminadas indicadas e ent o o resultado dado por Hospital incorreto b O limite desejado das formas indicadas mas o quociente com derivadas oscilante e seu limite nem existe nem oo ou oo desta vez l Hospital sequer produz um resultado c L Hospital pode ser aplicado mas a conta fica muito complicada Nessas tr s situa es o limite da express o original deve ser determinado de outros modos podendo existir ou ser infinito ou n o Note que se tomam as derivadas do numerador e do denominador direta mente Aqui estam
202. conv m fazer suas pr prias tabelas para depois compar las com estas Para g x f x k valor de k gr fico novo do original positivo para a esquerda nulo nada muda negativo para a direita Para g x f kx valor de k gr fico novo do original maior que 1 comprimido horizontalmente igual a 1 nada muda entre 0 e 1 espichado horizontalmente igual a 0 reta horizontal com ordenada f 0 entre 1 e O refletido esq dir e espichado horiz igual a 1 refletido esquerda direita menor que 1 refletido esq dir e comprimido horiz Parag x f x k 19 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 valor de k gr fico novo do original positivo para acima nulo nada muda negativo para abaixo Para g x kf x valor de k gr fico novo do original maior que 1 espichado verticalmente igual a 1 nada muda entre 0 e 1 comprimido horizontalmente igual a reta horizontal com ordenada 0 entre l1 e 0 refletido cima baixo e comprimido vertic igual a 1 refletido cima baixo menor que 1 refletido cima baixo e espichado vertic Exerc cio sibilidades forma es Pense no que acontece quando essas opera es s o repetidas por exemplo uma transla o
203. cos 27e sen 27e e te 2 2 a calcule o comprimento de y e as tangentes em 0 e 1 A seguir listamos algumas regras da deriva o quanto s opera es pos s veis entre curvas Somar ou multiplicar curvas n o s o atividades coti dianas mas as opera es de fato existem porque as fun es correspondentes s o vetoriais e tendo o mesmo dom nio e o mesmo n mero de componentes podem ser somadas ou multiplicadas instante a instante J utilizar uma fun o escalar para multiplicar uma curva espich la ou contra la em rela o origem por um fator variante 283 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para y I gt R e f I gt R valem Em suma valem as regras de deriva o para soma e para diversos pro dutos respectivamente por uma fun o escalar interno e vetorial como estudamos em Deriva o para fun es de uma vari vel interpretando se os produtos convenientemente Voc pode demonstrar essas propriedades dire tamente mas note que tamb m se pode mostr las calculando se coordenada a coordenada e aplicando se as regras j conhecidas a cada componente Tamb m valem as simplifica es usuais correspondentes a combina es lineares sey I R ec R paral lt 1 lt k ent o ayi E a GO Ainda mais se v R um ponto fixo e a curva y satisfaz y t v para to
204. crever x 1 x 1 0 Para derivar um produto de v rios fatores derivamos cada fator multi plicando o pelos demais inalterados e somamos tudo fghs f ghs fg hs fgh s fghs 162 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos e f x T25 2sen g re gt f x 351 2 cos re e g x e x cosx gt g x e 1 cosg e x sen zx a tg a y cosgcosr seng seng _ _1 cos cos x cos z Memorize Observe como foi mais f cil utilizar a regra do quociente para derivartg x em vez de calcular limpo t tg x h tg x ou memorizar a tabula o Isso se aplica tamb m a sec csc e cot se voc as utiliza apenas esporadicamente Note tamb m que em um certo ponto podemos simplificar a express o de um modo diferente e obter tgx 1 tgx ou seja a mesma res posta pode assumir v rias formas apesar do procedimento de deriva o ser algor tmico Nesse caso vemos que tg x satisfaz y 1 y que uma equa o diferencial ordin ria essas equa es ser o estudadas em um curso espec fico e x 8cosx 2e 3 7 5 37 8sen x 2e 34 x 5 x 8 cos z 2e Emi 0 e x t 3t cost et Vte cost gt t gt i t 15t cost 3t sent Re Ge HEE cost VHe cost V tle sen t 163 G Cale
205. culadora pode apresentar gr ficos em uma escala pr de terminada pelo fabricante o exerc cio acima alerta para o cuidado necess rio e a utilidade da tecla zoom 197 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 8 Primitiviza o Dada uma express o sabemos deriv la seguindo regras at micas deri vadas das fun es elementares ou tijolinhos e operacionais derivadas das combina es desses tijolinhos Agora embora haja algumas regras e m todos para o c lculo de primitivas n o existe algoritmo ou receita de bolo Portanto assim como para limites aprende se mais pelo estudo de exem plos Apresentamos para as principais t cnicas chamadas de integra o por substitui o e por partes suas origens formais mas as f rmulas cor respondentes s o abstrusas Tamb m destacamos que m todos diferentes s o poss veis para um mesmo integrando levando a express es que podem ser rearranjadas umas nas ou tras ou mesmo fundamentalmente distintas seja em aspecto ou somando se um termo constante 8 1 O que s o primitivas Dada f queremos encontrar P com F f Motiva es e curiosidade intelectual e compreender processo de deriva o Teorema Fundamental do C lculo futuramente Sim verdade um bom motivo para o estudo de primitivas o TFC In felizmente se f ssemos primeiro falar de integra o
206. curvas em coordenadas polares rea entre ngulos a 8 e curva r 0 vide lousa f ro So do Coordenadas polares devem ser fartamente estudadas em um bom curso de geometria anal tica Aqui vamos apenas recordar que 0 lt r lt e 0 lt 0 lt 2r dando x r cos 0 e y rsen Geralmente r apresentado em termos de 0 Mais do que nunca fazer um bom diagrama ajuda a entender a regi o cuja rea deve se calcular Como funciona Mais uma vez feita uma exaust o dessa rea por dentro e outra por fora Em vez de ret ngulos por m utilizamos setores circulares fatias de pizza um tal setor de raio R e ngulo y tem rea y 27 vezes nR2 ou seja R2y 2 Basta ent o escrever as somas inferior e superior correspondentes a uma parti o de fa 8 A figura lembra note bem um leque e n o uma zebra Por exemplo o c rculo de raio a simplesmente dado por r 0 a Pela f rmula do slide sua rea o a do e Tola 10 02 242 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Centro de massa Densidade laminar p x y kg cm na regi o limitada por x a x b y f x y glx coma lt be f lt g Diagrama na lousa Temos Massa M o plz y a dz f x g x TEN Los p x y dy dz g x TERN Los p x y dy d Encare esse formul rio apenas como uma motiva o para o curso de Fun es de V rias Vari veis que o lugar na
207. dades de 200 km h e 160km h respectivamente Quando o trem dista 1200m da intersec o e o carro apenas 500m qual a velocidade de aproxima o entre os dois N o se preocupe eles n o colidir o por qu Para resolver esse exerc cio monte uma fun o dist ncia entre o trem e o carro usando fun es dist ncia de cada um intersec o das vias todas com vari vel tempo use a Regra da Cadeia para derivar essa fun o em termos do tempo Muitos mais problemas podem ser formulados e resolvidos assim Procu re os 6 5 Melhor aproxima o linear e Newton Raphsonl Suponha f deriv vel em a Objetivo aproximar f ao redor de a com L x ma b determinaremos m b Cuidado L espec fica para fe a Erro cometido E x f x L x Minimiz lo em a E a 0 donde b f a ma Por minimizar tanto nesse slide como no pr ximo entendemos minimi zar em termos absolutos isto sem o sinal O valor m nimo que um m dulo pode assumir zero e assim tratamos de impor que o erro cometido seja zero para obter m e b E x Erro relativo PUD Minimiz lo em a E N o podemos fazer x a ent o impomos lim a 0 Vem ta x a A fla ma pp PE O 0 lim ra X a ra rt a donde m f a Obtemos L x f a f a x a fun o da reta tangente 171 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar
208. datos a extremantes locais de f Ou seja o candidato interior a precisa ter SL a para todo i ou n o existir SL a para algum i Agora suponha que f de classe C e que a ponto de m ximo local analogamente ao que fizemos antes conclu mos que cada g tamb m de classe C e que g a lt 0 donde E a lt 0 para todo No caso de a ser um ponto de m nimo local ent o ENa gt 0 para todo i Para continuarmos usaremos a forma alternativa do polin mio de Taylor de segundo grau que estudamos na p g 338 Ela requer a matriz hessiana quadrada de ordem n H E a cujo determinante o hessiano de f em a Escreva o polin mio de Taylor de ordem 2 AEDS f a Vi a x a x a H z a Se a for cr tico todas ai a 0 e obtemos Ha Ha 2 aH e a 348 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 H sim trica Schwarz existe R com det R 1 tal que Ai 0 H F e R 0 An H v rios modos de diagonalizar H e usando o Teorema Espectral calculando os subhessianos principais a seguir e talvez j seja diagonal Note A 0 Hp a det H det o End An 0 An Teorema Espectral Em lgebra Linear mostra se que para toda matriz sim trica M existe uma outra matriz U satisfazendo U UT e chamada ortogonal ou unit ria tal que UMU diagonal como no slide Ess
209. de D a C sujeita a certas condi es Aqui por m tratamos da representa o cartesiana tradicional Ela iden tifica pontos do plano com elementos do produto cartesiano DxC x u q eDeue Ch assim um ponto com abscissa x e ordenada u identifi cado com o par ordenado x u Nessa representa o usualmente cada eixo representa uma c pia da reta real IR embora mais geralmente nem D nem C precisem ser um eixo completo A bola aberta ou vazada no gr fico indica que a fun o n o assume tal valor naquela abscissa Ou a abscissa n o pertence efetivamente ao dom nio ou o valor da fun o dever ser marcado com uma bola fechada ou cheia na mesma vertical Aten o Se o eixo das abscissas representa todo o conjunto IR ent o o gr fico de uma sequ ncia N IR consiste de pontos no semiplano direito com abscissas equidistantes 1 e n o uma linha cont nua Importante Suponha algo em termos de outra coisa algo fun o de coisa Sempre temos coisa na horizontal esquerda para direita e algo na vertical baixo para cima Nunca jamais inverta essa conven o Os eixos podem intersectar se em qualquer ponto conforme a conveni ncia visual do desenho Isso comum em gr ficos de valores financeiros por exemplo onde informa es sobre bilh es de reais s o mostradas bem pr ximas da intersec o dos eixos embora as quantias n o sejam pr ximas de zero Contudo a
210. de deriva o Esta se o trata dos procedimentos de primitiviza o que s o consequ n cia imediata das regras de deriva o simb lica porque tratam de desfaz las Na pr xima se o estudaremos algumas t cnicas que se aplicam a integrandos ou situa es espec ficos 201 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Tabelas de primitivas Decore r 1e0 lt a1 Fa J Ha da 0 C 1 r C r H x E do r 1 go In x C a z C lna E log x zlog z E 2 x Ina Em particular temos f e dxr e Ce Nnlzdz zn z z C as mesmas primitivas s o v lidas para logaritmos sem m dulo que assumem xz gt 0 Como justificar essa tabela e as que se seguir o Basta apenas derivar o lado direito de cada linha e verificar que se obt m o lado direito Fa a o como exerc cio Deduzir as tabelas outra hist ria como se obteve a primitiva inicialmente Algumas s o um tanto bvias como para x outras poder o ser resolvidas com as t cnicas que aprenderemos outras ainda com um pouco de tentativa e erro Ha S Ha da sen g cost C cos sen g C tgz In cosz C cot ln sen z C secx In secx tgx C escx In cscx cotx C tgzr C cotz C 1 sen x A tabela a seguir demais para memoriza o mas apres
211. definida e desse teorema 199 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 ter amos um problema s rio antes de passar s aplica es precisar amos aprender a calcular primitivas Ent o melhor j estud las de antem o Tamb m como todo problema de invers o de um processo pode ajudar a compreender o pr prio processo direto isso se tornar importante para determinar solu es de equa es diferenciais De qualquer modo o problema de primitiviza o interessante per se em termos cient ficos especialmente porque n o admite um algoritmo ou receita a ser seguida passo a passo Por causa do TFC mesmo s mbolo f usado para primitivas e inte grais definidas pa fro dx Sin nimos para F anti derivada primitiva integral indefinida O sinal de integra o f provavelmente um dos que mais se utilizar na academia se n o na carreira Ele foi criado por Leibniz para representar uma letra S alongada Em diferentes textos ou fontes esse sinal desenhado um pouco diferente de modo que conv m acostumar se a reconhec lo Aqui ap s alguma pesquisa preferimos simplesmente utilizar a representa o usual da fonte em que v rios documentos e relat rios cient ficos s o compartilhados Por outro lado importante que todos entendam seu sinal de integra o manuscrito busque sempre fazer o S alongado assim f Tamb m marque clarament
212. desse limite para calcular derivadas Agora veremos regras 159 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 de c lculo que oferecem um algoritmo receita de bolo para reduzir o c lculo de derivadas ao das fun es fundamentais Estas ser o listadas e convir voc memoriz las importante calcular derivadas por meios mais pr ticos que a defini o por m note duas coisas 1 Estas regras pr ticas s o consequ ncias da defini o de derivada por limite embora pare am surgidas do nada 2 Justamente por n o guardarem semelhan a com a deriva o via limite as regras n o estimulam as aplica es e motiva es mec nicas geom trica da derivada ou seja h boas raz es para aprender a defini o como ela A Regra da Cadeia ter interesse especial porque tamb m aplicada corriqueiramente Trabalharemos com abuso da nota o e Derivaremos express es veremos a fun o derivada depois A 1 e escreveremos express o em x Onde escrevermos simplesmente h x para significar h x com h su bentendida tome cuidado Essa pr tica comum nos livros mas a vari vel aqui x deve estar livre Se tomar algum valor ent o a derivada zero por que a imagem constante h x seng gt h 3 cos3 mas sen 3 0 Portanto para calcular a derivada de f em algum ponto espec fico a usando as regras pr ticas primeiro dete
213. deve aparecer no valor Pode se mostrar que Sjaal f lt Slap f por m todos puramente formais sem se recorrer ao gr fico de f Quando ambos os n meros coincidem dize mos que f integr vel e chamamos o n mero de integral de f com respeito ax dea a b Perceba que integrando se com respeito vari vel x isto acompa nhando o integrando com dz n o dever aparecer x nem nos extremos de integra o caso contr rio trata se de m reda o nem no resultado final que na aus ncia de outras vari veis ser um n mero real constante Exerc cio Mostre pela defini o que toda fun o constante integr vel e calcule sua integral sobre a b Exerc cio Mostre que Xq 0 1 gt R Xo x fi XT ie n o integr vel Exerc cio Mostre que 1 n sex m n reduzido f I R Ma M integr vel calcule h f x dz 225 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Esses exerc cios n o s o dif ceis bastanto acompanhar a defini o de integrabilidade com aten o e paci ncia Fixe uma parti o arbitr ria de 0 1 e mostre que a soma inferior de Xq quanto a essa parti o 0 enquanto a soma superior 1 porque qualquer intervalo da parti o cont m n meros racionais e irracionais No caso de f embora o mesmo ainda valha para os intervalos de qualquer parti o apenas um n mero finito de racionais t m imagem mai
214. do real n o nulo L o0 0 e o0 L7 o idem N o existem regras fixas para os casos indeterminados o0 0 x 00 2 e 2 que t m respostas variadas Tome cuidado com o que voc escreve Por exemplo digamos que para zr 5 tenhamos y x 7 ent o 22 27 Considerando x como uma subexpress o que ocorre no limite n o h portanto nenhum problema em escrever lim 297 9limess x 97 LS Suponha por m que y x oo n o podemos escrever lim 5 2 2 oo mas devemos apresentar o c lculo de 1 oo separadamente para subsidiar nosso resultado do limite original Do mesmo modo se y x oo n o escreva lim s 2e 1 27 0 Como voc escreveria esses dois casos o 1 2 li 2 S E lim 3t 7 1 ASA T 3 o gt 77 e lim e porque l r 00 xz 0t e lim e 0 porque 1 2 gt oo 150 lins Ne A 2 t 1 gt 07 isto e a 60 porque Ro 2 lt t82 gt 0 gt 24 1 50 lim Gy y Vy 00 00 temos y 00 a 5 PAV Ea i a Y 00 porque yy 5 y gt 00 00 128 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O que aprendemos e Mantenha conta principal separada dos argumentos intermedi rios intuitivos Fun es de substitui o sem problema s o as cont nuas e Substitui o prematura em subf rmula cont nua pode d
215. do com os sinais e colocar a sup a r E Q7 Esse mesmo princ pio pode ser usado para mostrar que a sobrejetora voc consegue adapt lo para extrair logaritmos O outro passo faltante era extrair a raiz por qualquer pot ncia natural de um n mero positivo Voc pode ver o c lculo completo em Rudin Teo rema 1 21 mas aqui est uma id ia espec fica para obter v2 Considere A r Q r lt 2 que limitado por 3 e cont m 0 tome x sup 4 Mostraremos que x 2 porque as alternativas x lt 2 e r gt 2 levam a contradi es Observando que x gt 0 construa r es r 2 T T 43 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 que tamb m positivo porque igual a 2x 2 x 2 Ent o 2 x 2 o ae x 92 cujo denominador sempre positivo Agora se lt 2 ent o os numeradores s o negativos e x lt x lt 2 se x gt 2 ent o os numeradores s o positivos e2 lt xt lt 2 Em ambos os casos obtivemos x mais pr ximo de v2 que x No primeiro caso tome um racional r de modo quet lt r lt x ent o x lt r lt 2 de modo que 4 37 gt sup A contradi o No segundo novamente tome um racional r com z lt r lt x ent o 2 lt r2 de modo que r limita A por cima e menor que x sup 4 absurdo Note que na defini o de 4 n o escrevemos 2 explicitamente Exerc cio Suponha que
216. do que podemos multiplicar em cima e embaixo por f x h f x Ent o Ha h fa dra flo Fath Ha h Wo h f x h e a ltima fra o converge para f x por hip tese Como f deriv vel em z sua continuidade diz que f x h gt f x quando h gt 0 e ent o a primeira fra o do membro direito converge para g f x Por m assumimos que f x h f x o que requer f injetora e pode estar longe de ser verdade para x h mais e mais pr ximo de x podemos ter f x h igual ou diferente de f x A demonstra o correta em um livro texto elabora essa id ia contornando a hip tese f x h f x 0 embora na forma final ela pare a distinta Por indu o podemos derivar a composi o de tr s ou mais fun es hogofos hogofos x gofos x f os xs E esse encadeiamento de derivadas que voc deve fazer 108 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos sen 2nt cos 2mt 2r 27 cos 27t e Tax 1122 4 48 1172 7 6x 22x sen tg 6 2 cos tg 6 x sec 6 x 31712 a exp xlna exp xlna lna a lna para base cons tante a gt 0 Memorize e f x cos 2 3x 5 temos f x sen 2 37 5 27 In2 9 37 5 67 Exerc cio Derive sol e b e cos exp 7x 5 ax2 x cos
217. do t I ent o y 0 Para o produto vetorial restringimo nos ao caso m 3 Em geral o pro duto vetorial sobre IR calculado com m 1 vetores a f rmula de deriva o de um produto arbitr rio dever ter sua correspondente aqui tamb m Exerc cio Suponha que Iy t l K constante Mostre que y e y s o sempre ortogonais Dica derive yH t K Nesse exerc cio a hip tese y K significa simplesmente que y tem sua imagem a curva como conjunto de pontos contida na superf cie de uma esfera de raio K centrada na origem A tese pode ser visualizada assim em cada instante t a posi o y t um raio vetor com base na origem e extremidade na superf cie esf rica enquanto que y t tem base na superf cie e tangente a ela da a ortogonalidade O exerc cio pede por uma demonstra o alg brica e formal disso 284 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 12 2 Superf cies De modo an logo ao que fizemos com curvas trataremos as superf cies como fun es de um subconjunto do plano ao espa o com mais dimens es Podemos visualizar a defini o abaixo tomando K como uma folha de papel posicionada no plano e depois torcida ou amassada dentro de um espa o sendo o a correspond ncia entre os pontos nas duas vers es da folha Seja K S x I ret ngulo fechado de R o K gt R uma superf cie Diagrama na lousa Nosso
218. dora O que uma velocidade instant nea Conhecemos velocidades m dias ao redor de um instante to Podemos considerar t cada vez mais pr ximo de to Mas n o podemos colocar t to porque o denominador serianulo n o sabemos dividir por zero Todo o corpo de conhecimento do C lculo serve como motiva o para o estudo dos limites a deriva o por exemplo que permitir definir e calcular velocidades instant neas sua defini o consistir em calcular o limite daquele quociente em to Note bem a situa o n o diremos que o inverso de O oo Como os gregos faremos contas somente com n meros reais J para a integra o tentaremos exaurir reas curvas usando figuras re tangulares cada vez mais finas N o podemos falar por m de uma soma infinita de pol gonos infinitamente finos embora possamos considerar uma soma de N de ret ngulos de base b N e observar que o conjunto desses n meros para v rios N tem um ponto de acumula o 3 2 Explora o e formaliza o H tr s fen menos que devemos contemplar 1 contas por aproxima es que j pensamos conhecer porque s o presentes em nosso cotidiano 2 a interpreta o gr fica de continuidade ao menos em termos intuitivos 3 o conceito de toler ncia em respeito a um padr o ideal mas inating vel 63 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Aproxima es Considere f R R f x
219. e Assim dada f calcule primeiro f e escreva a no papel depois calcule f e escreva a no papel etc N o tente aplicar as regras de deriva o repetidamente de cabe a e tamb m n o elabore limites com denominador h para h 0 H um exerc cio no livro de Rudin usando um limite assim mas muito espec fico Eis alguns exemplos patol gicos e f x elx tem f x 2 x que cont nua mas n o deriv vel sex 0 cont nua A derivada em 0 deve ser calculada por limite x sen x 1 se x asen zx 1 cos x 1 se x e g x E 27 an tem g x T 27 cos o des Exemplos bem mais patol gicos como fun es cont nuas n o deriv veis em ponto algum podem ser constru dos 113 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Concavidades Suponha f duas vezes deriv vel e Se f a gt 0 ent o f convexa boca para cima em a f Gr fico na lousa e Se f a lt 0 ent o f c ncava boca para baixo em a Gr fico na lousa e Se f a 0 nada podemos dizer Especialmente nos pts extremos resp m n m x poss vel inflex o Em outras palavras determinar a segunda derivada nos pontos extremos de f pode ajudar a revelar a natureza desses pontos como m ximos ou m nimos locais Experimente isso nos pr ximos exerc cios Importante Para o valor determinado no exerc cio anterior a rea mesmo m
220. e a integral sobre o tri ngulo ras r s f Fds 0 7 2 9 2 1 y E 16 2 Teoremas da diverg ncia e de Green no plano 16 3 Integrais de superf cie 367 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Anexos 369 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ap ndice A Quesitos de Matem tica Escolar A 1 S mbolos e alfabetos Letras decoradas Geralmente se usam em Matem tica letras it licas mai sculas ou min sculas Aa Obviamente conv m distinguir entre mai s culas e min sculas na escrita manual Em C lculo h uma tend ncia e ape nas tend ncia em usar letras do come o do alfabeto para indicar par metros e do final para vari veis Por m essas letras n o s o suficientes para todas as ocasi es por isso recorremos frequentemente ao alfabeto grego veja a seguir e a outros ti pos de letra como as curvil neas ABC e as vazadas ABC Elas podem ser usadas para indicar objetos especiais ou complexos como conjuntos de conjuntos fam lias ou classes e fun es entre eles Embora certas conven es variem com o autor as letras vazadas s o roti neiramente utilizadas pelos matem ticos modernos para indicar os conjuntos num ricos assim N Z Q R C Contudo neste guia usamos s mbolos es pecialmente desenhados N Z Q R C que s o mais parecidos com o que voc se habitu
221. e comentamos em An lise B sica Se uma sequ ncia de fun es integr veis fn a b R converge uniformemente a uma fun o f a b IR ent o esta f integr vel e fe f x dx Nisa l fala dr Por exemplo se as fn s o cont nuas ent o f cont nua e destarte integr vel Demonstr lo n o dif cil mas requer bastante aten o com parti es e outros detalhes de um jeito engenhoso Por m observamos aqui que se faz uso da propriedade de controle que enunciamos anteriormente na forma f to dr f tolejda de modo que se fn f lt poss vel pela converg ncia uniforme ent o a ltima integral menor que b a e e as duas integrais da primeira diferen a est o muito pr ximas Para s ries funcionais conclu mos Dadas f a b IR integr veis de modo que 5 fn convirja uniformemente ent o esta fun o integr vel e Lo fn x de E2 o fala de No caso particular de s ries de pot ncias obtemos S O R nto foto ao a Integra o de s ries de pot ncias Sejam R raio conv gt A fanlr zo e a b E xo R zo RI Ent o n 0 integrada termo a termo As somas parcias da s rie de pot ncias s o polin mios certamente inte gr veis e a converg ncia no subintervalo fechado fa b uniforme de modo que a propriedade no slide consequ ncia direta de nossa conclus o para s ries funcionais 238 G Cale 2015
222. e f com outras defini es de fun o convezxa a se a secante entre dois pontos do gr fico passa sempre acima do gr fico b se a tangente ao gr fico em um ponto passa sempre abaixo do gr fico Esta condi o significa em a e tomando a melhor aproxima o linear L x fla F a x a que L x lt f x Mas L a f a e L x f a lt f x se f gt 0 de modo que L parte do mesmo valor de f embora crescendo menos donde L lt f Por analogia o mesmo pode ser feito quanto a fun es c ncavas Exemplo na lousa com dom nio m ximo 196 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Esboce os gr ficos destas fun es com dom nios m ximos er t 2V10 t Vt 1 e s t t vt 1 e Oly tg y Exerc cio Esboce o gr fico de h x xe com estudo completo depois e Desenhe o dentro da escala 1 5 x 5 5 e Desenhe o dentro da escala 10 10 x 10 10 e Verifique se poss vel o gr fico cru apresentado por diversas cal culadoras e softwares e Disserte sobre os cuidados necess rios com essas m quinas e o que se deve conferir no manual eixos autom ticos ou constantes e seus valores A primeira escala apresentada por exemplo codifica 1 lt xz S lt 5e lt h lt ou seja voc dever utilizar esse ret ngulo cartesiano como moldura Sua cal
223. e continuidade de fun es complicadas como 72 sen 6x e ln x 3 Ferramenta te rica A seguinte propriedade til em algumas demons tra es Suponha que f D gt R cont nua em a e que f a gt u Ent o floav gt gt u para algum valor e alguma vizinhan a V de a 144 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Um enunciado an logo pode ser feito quando f a lt u A demonstra o desse fato simples e requer apenas a formula o de continuidade com c tome E particular menor que a diferen a absoluta entre o limite e u e ent o determine Sem a hip tese de continuidade podemos aplicar o mesmo racioc nio a lima f x em vez de f a de onde se conclui apenas que f pnv tay gt U Essa propriedade especialmente til quando u 0 Por exemplo se f a lt 0 ent o f x lt 0 lt 0 para algum 0 e todo x em alguma vizinhan a de a ou seja f conserva seu sinal ao redor de a Al m disso impor 0 importante porque nos oferece um limitante para f ainda abaixo do pr prio zero de modo que 1 f tamb m limitada Teorema do Valor Intermedi rio TVI Bolzano Dados f a b IR cont nua em tudo e f a lt lt f b ou f a gt u gt f b existe x Ja b com f x u Gr fico na lousa Isso garante que fun es cont nuas n o pulam Exemplo f x x cosx tem f 0 le f m 7 1 ent
224. e lim tlnt lim amp lim lim t 0 da forma as gg t71 04 2 t50 00 00 e lim t lim dt exp lim tint e 1 d forma 0 t 0 t 0 ts 0 usando anterior e Ha exp g x In f x para as formas 1 0 e 00 Note que a transforma o requer f gt 0 e lim 1 x lim exp 7x In 1 7 e porque a 20 TIn l x vH T r lim Ei Sig Caua 7 da forma 0 0 x gt 0 x 20 1 1 1 r E sen t gt LH cos r 2r E dim z g a Fi m x sent im Zxsenstz cose OO E com z gt 07 A ltima express o precisa ser melhor estudada por qu J o limite pode ser obtido diretamente no in cio Exerc cio Quais limites not veis podem ser calculados usando as Regras de PHospital Confira os resultados com os valores tabelados 137 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule 1 gz z im 1 q234 02 sen0 5 lim 050 In 0 1 7t 8 3t 20 e lim t gt o 9 6 5t 21 C d e lim y lny y gt o e lim y y 00 Observamos para concluir o assunto que parece poss vel iniciar o estudo de C lculo diretamente com as regras formais de deriva o e ent o apresentar a computa o de limites usando Hospital Embora essa abordagem tenha o m rito da rapidez tenha em mente que
225. e os dois ganchos O fator dx indica a vari vel de integra o ou primitiviza o como na nota o para deriva o Nunca o esque a H um pequeno abuso de nota o quando seescreve F x f f x dx Quando estudarmos integra o definida notaremos que a vari vel x com respeito qual se integra n o dever constar nos extremos da integral nem no resultado final a mesma situa o dos limites Contudo a primitiva F tamb m uma fun o e para explicit la usa se a mesma vari vel x o mesmo abuso das derivadas escrevemos 13 5r 3x 5 Por m o nome da vari vel n o sendo relevante importar apenas que n o conflite com outras vari veis em uso como veremos com o uso de primitivas em integra o definida de modo que a vari vel de integra o uma vari vel muda 200 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Constante de integra o Derivada de constante zero se F primitiva de f ent o tamb m qualquer F C com C R Sempre some a constante de integra o f f x da F x C Em intervalo isso d todas as primitivas poss veis Exemplo g x sen x gt g x cosx A gt g x sen x Ax B Ao usar primitivas em conjunto com o Teorema Fundamental do C leulo voc tender a ignorar a constante de integra o porque ela ser somada e subtra da ent o sequer precisaremos escrev la Contudo
226. e se quer fun o derivada futuramente 157 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo g x e temos 2 h 9 2 9 li g 2 lim h 2h 2 h 1 Sim e lim e e h gt 0 h h gt 0 Exemplo x t sent temos 1 sen 3 h sen3 _ 3 jim Spens lim sen 3 cos h cos 3 sen h sen 3 h gt 0 h im cosh 1 ip senh sen 3 lim E cos3 lim sen 3 0 cos3 1 cos3 Observe na fun o seno por exemplo que utilizar o h foi muito mais f cil que trabalhar diretamente com o quociente sen x sen 3 a 3 Pratique bastante a deriva o com h procurando exerc cios em seu livro de C lculo Caso a letra h seja o nome da fun o ou ocorra na express o a ser derivada tente usar a letran Exerc cio Calcule as derivadas se poss vel em 0 e 1 usando limite f z F e s t 1 2 e gls Ae e x t sen t 6 2 Interpreta o geom trica Al m da motiva o mec nica para a derivada em termos de taxa de varia o existe tamb m a motiva o geom trica que introduziremos agora e r tomaremos com rigor ao estudar a melhor aproxima o linear fun o 158 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Reta tangente ao gr fico de f em a f a limite de retas s
227. e um limite sem determinar seu valor espec fico o que exemplificaremos com a defini o do n mero e Temos DCRef D5R Note que sup D e inf D s o pts acum de D Ent o monotonia de f x gt inf D xz gt sup D crescente f x gt inf Im f f x gt sup In f decrescente f x gt sup Im f f x gt imfIm f Isso nos permite fazer conta te rica com alguns limites Por exemplo quando f decrescente temos lim f x inf Im f inf flx TE D inf f x x sup D xED Trata se de um limite lateral esquerda porque quando x D temos x lt sup D Note que essa descri o inclui possibilidades de limites nos pontos infi nitos e limites infinitos Se D majorado ent o sup D IR do contr rio sup D oo uma an lise similar se faz de inf D Se f limitada superior mente existe o limite caso contr rio trata se de um limite infinito Lembramos tamb m que essa proposi o aplica se a sequ ncias num ri cas como caso particular de fun es Finalmente podemos aplic la a uma fun o que mon tona apenas em um subconjunto de seu dom nio que por m cont m o ponto de interesse tomando sua restri o a esse subdom nio Para a discuss o a seguir conv m conhecer e revisar o enunciado do Teorema Binomial na p gina 49 87 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo e A sequ
228. e z e laterais y temos ax 2y 500 rea A xy 500 2y y 500y 2y derivada 500 4y ponto cr tico yo 125 22 derivada 4 lt 0 indica m ximo Dimens es frente 250m paralela ao rio e laterais 125m Verificar a natureza do extremo usando a segunda derivada pode parecer irrelevante onde intuitivamente o extremo encontrado deve mesmo ser a resposta do problema J houve por m um caso de avi o que n o voava porque no projeto de suas asas os engenheiros n o constataram que o ponto cr tico da resist ncia ao ar era um ponto de m ximo n o de m nimo 190 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Qual o ponto na reta 3x y 0 mais pr ximo de 2 4 Ponto arbitr rio x 3x dist ncia d I x 2 3x 4 Mais simples minimizar d2 derivada 2 x 2 2 3x 4 3 20x 28 ponto cr tico zo 1 4 2 derivada 20 gt 0 indica m nimo Resposta ponto 1 4 4 2 Observe que minimizar uma express o o mesmo que minimizar seu quadrado Aqui ent o optamos por estudar d que muito mais simples de derivar que d Se voc tiver que estudar uma soma da forma f 9 por m n o convir adotar esse expediente Esteja atento tamb m forma como escreve as informa es dadas Um ponto da reta y 3x escreve se tanto x 3x como y 3 y mas um ponto da par bola y 3x dever ser escrito y 3 y j que
229. ecantes Diagrama na lousa O coeficiente angular da tangente o limite f a Os pontos x y da tangente satisfazem y Ha f a ou seja a zr a equa o da reta y f a Falla a Cuidado com as letras z y em cada caso Como s temos um ponto conhecido na reta tangente utilizamos outros pontos do gr fico da fun o que definem retas secantes para explorarmos Note que o ponto a f a quem pertence ao gr fico da fun o e por onde a reta tangente deve passar n o o ponto a no dom nio da fun o identificado com a 0 no eixo das abscissas Por m costume falar simplesmente da tangente em a Dado um ponto a b e uma fun o f verifique antes de mais nada se a b pertence ao gr fico de f caso contr rio a equa o do slide n o se aplica Essa verifica o consiste em dois itens 1 se a pertence ao dom nio de f e 2 se b f a Al m disso obviamente preciso que f seja deriv vel em a Se for preciso encontrar a reta normal determine a tangente e siga os procedimentos usuais para encontrar a normal cujo coeficiente angular ser 1 f a Exerc cio Determine as equa es das retas tangentes em 0 e 7 3 e f a 8 o s t 1 4 egle E x t sen t 2 6 3 Regras de deriva o simb lica At aqui utilizamos a pr pria defini o de derivada por limite ou uma transforma o
230. eguir uma prova O axioma garante sua exist ncia e portanto podemos us lo em forma literal 42 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Por exemplo utilizaremos o supremo para definir o n mero 7 sem recor rer rea ou ao per metro de um c rculo Na abordagem axiom tica que contemplamos definir e calcular reas e comprimentos de figuras curvas bem dif cil mat ria para o cap tulo Integra o Definida sendo mais sim ples neste est gio da teoria realizar tais defini es e medi es para pol gonos no plano IR2 Exemplo F fam lia dos pol gonos cujos v rtices distam todos 1 da origem A conjunto dos n meros que s o reas de pol gonos em F Ent o e A porque 2 A quadrado de v rtices 1 0 e 0 Pem F e todo z E A lt 4 todo P F est contido no quadrado de v rtices 1 1 e 1 1 Portanto A tem supremo chamado 7 At aqui sabemos que 2 lt 7 lt 4 mais nada Discuss o extraordin ria Como outrocexemplo lembre que em nossa discuss o sobre a exponencia o em Fun es em Perspectiva faltou genera lizar a defini o obtida das pot ncias racionais para todas as reais Tratemos disso agora J sabemos calcular as pot ncias a para a gt 1 er Q Dado x IR pomos a sup a TE QS Para 0 lt a lt 1 como a fun o exponencial decrescente devemos ter cuida
231. eja cos fo x injetora etc Ent o cos inversa de cos 0 7 etc A escolha dos contradom nios das fun es trigonom tricas inversas ou seja das restri es dos dom nios das trigonom tricas originais depende da aplica o a ser feita dessas fun es ou mesmo em muitos casos do gosto do autor de cada livro ou manual t cnico conv m portanto sempre verificar qual a conven o feita As fun es hiperb licas tamb m t m inversas s o as fun es hiperb licas de rea ou argumento indicadas com prefixos variados come ando 1h com a letra a Pode se mostrar que as inversas de senh e cosh s o dadas respectivamente por arcsenh u In u vu 1 e arccoshu In u vu 1 sendo que a segunda est definida somente para u gt 1 1 3 Representa o gr fica Evidentemente j fizemos uso de gr ficos nas se es precedentes mas vamos agora dedicar aten o espec fica a esses diagramas 15 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Gr fico na lousa Eixo horizontal das abscissas representa dom nio D Eixo vertical das ordenadas representa contradom nio C Quando ambos os eixos s o IR chamamos o ponto 0 0 de origem Para estudar fun es como rela es utiliza se uma representa o conjun tista em que D e C s o bolsas de elementos e f D gt C uma cole o de flechas
232. em a b digamos nos pontos tm e tm Como s n o constante um deles diferente de a e b suponhamos que seja tm o caso tm an logo releia a partir daqui fazendo as substitui es devidas Isso significa a lt tm lt b ou seja temos espa o em ambos os lados de t para trabalhar Trabalhe agora com h 0 temos sempre s tm h s tm Assim lim s tm Ph s tm gt 0 h gt 0 porque ambos numerador e denominador s o positivos enquanto lim s tm h s tm lt 0 h gt 07 porque numerador e denominador t m sinais opostos Como s deriv vel existe o limite tm de modo que esses dois limites laterais existem e s o iguais entre si e a s tm Sendo um gt 0 e outro lt 0 for osamente temos todos 0 como quer amos A grande utilidade do Teorema de Rolle reside em provar o TVM De fato ele apenas um caso particular Vamos enunciar o TVM com cuidado 175 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Teorema do Valor M dio TVM Lagrange Assuma que f cont nua em a b e deriv vel em Ja b Ent o existe c a b tal que rm 10 Fla f c rs b S Mecanicamente a velocidade m dia realizada em algum instante Geometricamente a reta pelos extremos paralela a alguma tangente Gr fico na lousa Como com o TVI note que o enunciado n o diz como determinar c voc dever resolver a equa
233. emos escrever x t 2 0 3t Por m uma f rmula para o movimento sequer necess ria para resolver o problema De fato no momento de impacto quando y 0 vemos que 00 ou seja a velocidade de impacto muit ssimo alta aparentemente contradizendo nossa intui o O que resolve essa discrep ncia s o os fatos de que t tamb m n o fixo e pode convergir a 0 e o movimento real ser mais complexo que o deslocamento estritamente vertical do topo da escada Exerc cios cl ssicos Um foguete lan ado verticalmente a 5 km do observador Quando o ngulo de eleva o observado 60 ele muda a 3 s Qual a velocidade de ascens o do foguete Aten o converta os dados para radianos Um g s ideal em um pist o selado inicialmente a 10 atm e 50cm sofre uma contra o isot rmica constantemente a 10cm s Quais s o a press o e sua varia o instant nea ap s 2 s Lembre se que em uma transforma o isot rmica temos PV constante pelo enunciado tamb m V constante mas n o P Ap s 2s sobraram apenas 30 em de volume e podemos calcular facilmente a nova press o J quanto s varia es mostre que PV PV 0 e tome cuidado com o sinal de V 170 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Uma ferrovia e uma rodovia ambas retil neas encontram se em 90 Um trem e um carro dirigem se intersec o com veloci
234. en z d Conv m reescrever todas as pot ncias usando expoentes negativos e ou fracion rios obtendo se 41 3 Ate 2 et 44 sent tT cost 1472 3 tgt cos t Nesta solu o procede se como na anterior mas retornamos as pot ncias MD s formas originais 4e 6 2 3 sen a 4B dez 2 2 3 cosa yz EZH X sen o i 5v a4 5 e cosu l u e sen u sen u cos u u f z expu sen u P g 109 bsec x3 3x ea r sen exp 7x exp ma a mesma express o do exerc cio anterior bastando substituir u xz x naquela derivada e multiplic la por 2x 1 d C T te p tt827t 6 gec 5t ts2rt 5t tel2rt In 5 4t 27 sec 27t 388 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 110 a Basta escrever log ja g x In f z 1 1 1 1 P g 111 b di E k vl zr xr 1 H Jr 40x e f Pelo m todo z8 4 Or 0084 Ex 1 2 243 1 2 a 6x 3 27 1 2 82 3sewr x 6 2 n 2x 3 cos x 4 E A 1 2 2r sen t 2 n2 2r 1 12 1 2 24 t log 2 27 sen t P g 112 a Conforme a sugest o basta considerar a rea A
235. en 5x C Ocorreu repeti o do integrando foi necess rio partes duas ve zes Nesses exemplos utilizamos a mesma t cnica de integra o por partes duas vezes Isso muito comum e pode ser destacado em um c lculo de primitiva que j conhecemos para ilustrar que pode ser til dar um nome provis rio primitiva Chame f x dx F Ent o F x x f d lt x f per dr x p f z dz s rF 0 210 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Isole F e absorva o fator constante P r4D 20 405F E5 40 e f cos zdr zcos z frd cos a Es 1 Eee X COS LX CAR zcos g i f 1 x d 1 x S 2i 1 1 G x C COS T 2 1 2 gcos g v1 r C Nem sempre integra o por partes ou a escolha bvia dessas partes pode ser uma boa id ia como voc pode experimentar com 1 q 12 Tamb m pode ser necess rio mesclar as t cnicas de integra o por partes e por substitui o uma durante o uso de outra Exerc cio Integre e x sen z b e zlng In x E e esen 3z e e arcsen T eaz arcsen z 211 G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Das fun es no
236. entamo la para 202 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 podermos enunciar exerc cios diversificados e tamb m praticar o uso de pri mitivas tabeladas Para praticarmos f x J Ha da y1 r 2V1 x Sarcsenz C l arcsen x C arccos x O Vr 1 2v 1 ln e v 41 C ln z vz 1 C gil arctg C cot t z Ci 1 RE a2 1 2 In Fa C As duas primeiras fun es ocorrem mais comumente a primeira es pecialmente importante porque seu gr fico a semicircunfer ncia superior centrada na origem e com raio 1 ou simplesmente arco de raio 1 N o h qualquer vantagem em tentar decorar al m disso ou mesmo tudo isso Importante observar que fun es muito parecidas ter o primitivas muito diferentes e em geral com express es bastante complicadas Desse modo melhor integrar caso a caso Para isso voc conta com extensas tabelas de integra o em livros e recursos computacionais Mas raramente a express o que se deseja integrar aparece literalmente na tabela e portanto preciso pr tica em manipular primitivas Vamos come ar a faz lo agora lembre se de praticar bastante procurando mais exerc cios Uma boa pedida a colet nea de Demidovitch Nos pr ximos exemplos e exerc cios veremos repetidamente como calcular as partes dif ceis das tabelas acima
237. ente caso x gt 5 temos z x 1 0 o que satisfeito por qualquer x real para n s a partir de 5 Desse modo o conjunto das solu es da desigualdade original 00 U oo 384 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 54 al Cjto pts acumula o isolados Z interiores SS Cito pts acumula o 0 2 isolados interiores 0 1 U 1 2 Cito pts acumula o 0 isolados n N interiores Q CY P g 57 a 0 1 n o aberto porque cont m O que n o interior n o fechado porque n o cont m 1 que ponto de acumula o Nenhum ponto de Q lhe interior enquanto todo ponto real lhe de acumula o mE N O n o cont m seu ponto de acumula o 0 e nenhum ponto seu interior SS Um conjunto A IR dever conter algum n mero a e n o conter algum outro n mero b Digamos que a lt b ent o podemos considerar 2 sup x A a x C A Se A for fechado devemos ter z A porque ele ponto de acumula o do conjunto do qual supremo Se A for aberto e z 4 ent o devemos ter ce gt O tal que z z e C A masent o a z C A contradizendo o fato de z ser supremo P g 67 a O gr fico da fun o ao redor de 2 e at 8 uma reta com inclina o 1 2 de modo que tomamos min 2c 10 Agora ass
238. ente uma fun o escalar de v rias vari veis 13 1 Campos vetoriais Come amos por relembrar o papel dual ponto vetor e dar um espa o tangente a cada ponto Qual a reta tangente a uma reta dada A pr pria Qual o plano tangente aum plano dado O pr prio R tanto um espa o de pontos sistema de coordenadas como e um espa o tangente vetores com dire o sentido e norma H uma c pia desse espa o tangente sobre cada ponto P com o vetor nulo posicionado em P O campo vetorial associar a cada ponto um vetor tangente a esse ponto que funci nar como origem de um espa o vetorial ajustado 297 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Um campo vetorial uma fun o F R 5 R pontos vetores note mesmo n dom nio pode ser subconjunto A cada ponto x associa o vetor F x Representa o em cada x desenhe a seta com base em x ponta em z F x Em geral pede se que o campo como fun o seja cont nuo ou como definiremos futuramente suficientemente deriv vel Para definir um campo tudo o que precisamos dadas as n coordenadas de um ponto combin las para produzir as n coordenadas de outro vetor que ser desenhado com sua base localizada no ponto dado Em outras palavras Simbolicamente um campo geralmente se apresenta como uma lista entre par nteses de n express es sendo cada express o uma fun
239. ento seja 7a 2 De fato f x elya x e ent o V1 F x 2 a va 22 cuja integral de 0 a a lasen x a k 7a 2 239 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Volume do s lido de rota o torneado Diagrama na lousa Sec o em s com raio r s pz f repas r f rds Se houver ocos ou rebordos subtraia V T mf fi Pg T rh etc conforme diagrama Evidentemente voc deve tomar cuidado com qual eixo o eixo de rota o Se em torno das abscissas ent o a integral carrega dx se em torno das ordenadas a fun o deve ser em termos de y ea integral carrega dy Como funciona Gire a defini o de integral ao redor do eixo das abscis sas Note que ent o as somas inferior e superior da fun o tornam se somas de volumes de cilindros coaxiais qual o volume de cada cilindro Essas somas de cilindros exaustam o s lido por dentro e por fora respectivamente Tome cuidado com a letra r que indica o tamanho do raio ao longo da sec o do s lido de rota o perpendicular ao eixo n o outros raios que porventura apare am Por exemplo no caso de uma esfera obtida por rota o ao redor do eixo das abscissas da regi o limitada pelo pr prio eixo e por f x Va 2 para a lt q lt a esperamos obter o volume 47a 3 Pela f rmula que apresentamos vem m a2 x de m a 3 4ma 3 Cascas cil nd
240. erivada por x xo para corrigir para ordem n Uma vez mostrado que ambas as s ries t m o mesmo raio precisamos ainda mostrar que uma derivada da outra para o que precisamos de converg ncia uniforme Esta v lida em cada subintervalo fechado 1 de xo R zo R ent o podemos realizar a compara o nesse 1 e como ele arbitr rio obt la para todo o dom nio Se pudermos derivar uma vez caso em que obtemos o mesmo raio de converg ncia ent o podemos faz lo mais vezes Desse modo toda fun o definida via s ries de pot ncias de classe C Neste momento as express es que sabemos derivar s o apenas combina es polinomiais de algumas fun es puras vejamos como a Regra da Cadeia resolver express es concatenadas Regra da Cadeia Se f g s o deriv veis em a f a resp ent o go f a 9 H a Fa Detalhes para go f existir N o esque a de multiplicar pela cauda f a 165 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Por indu o podemos derivar a composi o de tr s ou mais fun es hogofos hogofos x gofos x f os xs Na pr tica comece a derivar por fora Exemplos e sen 2rt cos 27t 27 27 cos 2mt e xt 3x MD 42 3x 7 62 3 e cosx sen xz 2x E A E SE sgg 2 e Br exp 5x 1Ma 3r 7 exp 5x 1 ln 3x 7 5x DIn 3x 7
241. erivando iteradamente at obter todas as derivadas pt com k de 0 at d ou d 1 depois Feito isso podemos calcular seus valores em 0 temos portanto Para expressar q 0 precisaremos k ndices i1 ix todos em 1 n e a soma a seguir feita sobre todas as combina es de valores poss veis p 0 do LR a ui Ui Oss dae Oii a di Pelo Teorema de Schwarz podemos reorganizar as derivadas parciais para que fiquem leg veis Isso requer alterar a indexa o feita poremos cada com bina o de 1 1 ik em ordem como j lt lt je com cada um repetido respectivamente vezes r1 re gt 0 vezes Desse modo todas as combi na es poss veis s o dadas pelas possibilidades de 1 lt j lt lt je S N satisfazendo r re k Para uma sequ ncia espec fica de repeti es ri sTe yh k r re permuta es poss veis e obtemos k orf k E AnA Te y os Do dx Pego a fe TA 337 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Por m podemos especificar que ndices que n o ocorrem s o repetidos 0 vezes e lembrar que us 1 de modo que agora somando sobre as possibilidades de s1 Sn 2 0 com soma k temos k oF i pros K a us usr l Sn O OA Finalmente basta substituir essa express o no polin mio para y somar de 0 a d cancelar k e notar u i ai O vetor s s1 8n
242. erminar onde f crescente ou decrescente e de quebra onde est o os extremos locais e onde a derivada n o determinada Trata se claro de estudar o sinal de f positivo negativo zero ou inexistente em todo o dom nio Voc deve marcar os pontos cr ticos de f no dom nio e determinar o sinal de f entre eles onde f negativa marque N f decrescente onde f positiva marque Z f crescente Calcule tamb m f e utilize 4a mas agora com mais detalhes Seja em ponto cr tico ou n o onde f gt 0 o gr fico de f convexo eonde f lt 0 o gr fico c ncavo Nos outros pontos onde f 0 own o existe pode n o necessariamente ocorrer inflex o isto a curvatura mudar de orienta o como o gr fico de sen x em 7 Assim siga o mesmo procedimento determine as ra zes de f e onde ela n o se define determineo sinal de f entre eles marque onde f gt 0 e onde f lt 0 utilize essas informa es em conjun o com aquelas obtidas de f para determinar se N ou Z devem ser abauladas para cima ou para baixo Note que f a taxa de varia o de f assim como a acelera o a taxa de varia o da pr pria velocidade Desse modo o mesmo racioc nio colegial de F sica aplica se aqui o gr fico de f pode subir mais rapidamente ou mais lentamente ou descer mais rapidamente ou mais lentamente Deixamos a seu encargo explorar a equival ncia desse estudo do sinal d
243. erminar m ximos e m nimos sobre a fronteira de um dom nio potencialmente dada por uma equa o Objetivo maximizar minimizar f sobre dom nio tre R g z C onde g R gt R e C R superf cie de n vel Exemplo achar extremos de f sobre uma fronteira Assumiremos f g de classe C derivadas parciais cont nuas Trataremos no final desta se o p g e seguintes da generaliza o do m todo para um sistema de restri es dado por uma equa o vetorial glx C com g R gt R e C R Procedimento 1 Verificar onde Vg x anula se no dom nio e calcular f 2 Escrever o sistema Vy z A Vg 2 glz C n 1 equa es e vari veis 3 Resolver para t n importante existir 4 Comparar f valores Tanto os pontos x onde Vg x 0 como aqueles x obtidos do sistema que n o linear s o todos candidatos a extremos de f A nova vari vel o que se chama multiplicador de Lagrange impor tante determinar o valor de explicitamente tanto para conferir a validade da solu o calculada como no c lculo de varia o que aprenderemos abaixo Note bem que esse m todo n o permite classificar os pontos obtidos po dem ser de m ximo de m nimo ou de sela de fato se f est definida fora daquela superf cie de n vel de g os pontos sequer precisam ser cr ticos Para 358 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o prelimin
244. ermite identificar bicos no ponto a porque em caso de derivabilidade devemos ter z0 S a nesta formula o A derivada direcional mede a varia o da fun o ou o coeficiente angular da reta tangente na dire o especificada pelo vetor assim f cresce mais nesta dire o cresce menos naquela decresce nessa etc Ao longo do curso teremos v rias oportunidades de entender e aplicar essa derivada nesta se o vejamos apenas algumas propriedades b sicas Primeiramente verifique que fixados o vetor u e o ponto a valem todas as regras b sicas de deriva o Exemplo Derive f x y z 9xy 522 no ponto 1 0 1 na dire o 2 1 2 A dire o 2 1 2 mas precisamos determinar o vetor unit rio 2 1 2 e ieg 638 Sempre que dado v IR v 0 o vetor wu v v unit rio como se verifica tomando diretamente a pr pria norma de u Continuando Temos s f 1 0 1 9 Exerc cio Derive f x y z x 5yz 3 no ponto 1 3 2 na dire o 4 3 0 E Cuidado como que voc l E preciso determinar corretamente a dire o pedida e certificar se que o vetor unit rio Veja 291 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo Demidovitch 1880 Derive f x y z y4 yz za no ponto 2 1 3 na dire o dele a 5 5 15 A dire o
245. ers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo lim 7 5x 8 Gr fico na lousa Desafiante escolhe qualquer gt 0 Respondente toma 5 gt 0 Se3 d lt r lt 3 6 mas xz 3 ent o 15 e lt 51 lt 15 e donde 8 eE lt T 5r lt 8 eE Respondente consegue rebater qualquer proposta do Desafiante De onde tiramos esse A figura indica a resposta verificamos qual o intervalo perfurado centrado em 3 totalmente contido na pr imagem de 8 8 el Exerc cio Mostre graficamente isto usando tubinhos para o jogo do s que lim Sja 8h 5 as 2 Use o gr fico para determinar como express o alg brica de Verifique tamb m algebricamente ent o que O lt z a lt c implica f x L lt E Exemplo fare wg Hi E E e a 7 Gr fico na lousa Fixe algum L digamos E 0 6 Escolhe 2 responde 1 se x m m ent o f x 0 e se x E r m ent o f x 1 ambos 0 1 E JL L el Escolhe 0 2 n o h resposta gt 0 dist ncia entre O e 1 maior que 0 4 Assim lim f x 06 ou O ou 1 ou L qualquer note f a 1 Nesse caso diz se que f n o tem limite em a Alguns autores escrevem Ei lima Pa Note que para dizer que o limite n o existe preciso verificar que ne nhum n mero serve como limite ou seja que a propriedade usada na defini o n o v lida para nenhu
246. es valores espec ficos de A4 A s o os chamados autovalores de M Obtemos Ai 0 Ha f a le yR flv a 0 An Ai 0 f a Galhta a l R x a 0 An fla 4 e A i sima coord R x a gt 0 349 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim e se todos gt 0 ent o f x gt f a m nimo local e se todos lt 0 ent o f x lt f a m ximo local e se os sinais s o variados uma multi sela convexa nuns eixos c ncava noutros e se existe 0 ent o seu termo 0 e o polin mio impreciso inconclusivo O caso de duas vari veis Em particular se n 2 ent o Hp a Aj e H a gt O implica que A t m o mesmo sinal donde a um ponto de extremo local e H a lt O implica que A t m sinais opostos de modo que a ponto de sela e H a O implica ou 0 o 0 e ent o a an lise inconclu siva Como tamb m E of Of B o f y A da dy x y vemos que se H gt 0 ent o Pf Ef Ff a gt o o e as donde al e t m o mesmo sinal bastando verificar apenas um mas se H lt O ent o essas derivadas podem ou n o ter mesmo sinal Isso justifica o crit rio que apresentamos na se o anterior Note ainda que se z gt 0 ent o f restrita ao eixo Ox como fun o de uma vari vel tem concavidade para cima sendo o mesm
247. es Exerc cio Qual deve ser f 0 para que f IR R f 17 x senx seja cont nua Existe valor g 2 para que g x72 Xp aj x seja cont nua or Propriedades Consequ ncias das regras d limites e f g cont nuas ema gt f g e f x g cont nuas em a e f 9 cont nuas em a e gla 0 f g cont nua em a e f 9 cont nuas ema f a resp g o f cont nua em a e temos lista de fun es cont nuas Chegou o momento de utilizarmos aqueles dois exemplos de fun es pato l gicas Os problemas no pr ximo slide s o dif ceis apenas em termos do que necess rio escrever mais importante entender o que eles est o dizendo Voc pode resolv los com a propriedade usando e d Para o segundo a chave observar que h tanto pontos racionais como irracionais arbitraria mente pr ximos de qualquer n mero real quando este real irracional os racionais pr ximos a ele t m denominadores crescentes 94 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Mostre que 1 sexeQ Xa R gt R Xela 40 sn n o cont nua em nenhum ponto Mostre que 1 n se x m n reduzido FOUR AO SEO cont nua precisamente nos pontos irracionais de 0 1 Discuss o extraordin ria Como os diversos tipos de limite que estuda mos a no o de continuidade tamb m pode ser formulada topologicamente em termos de vi
248. es Ent o S x tem n elementos e assumamos 2 subconjuntos Agora um subconjunto de S pode conter x ou n o no segundo caso um dos 2 subconjuntos de Sx x mas no primeiro x U A para precisamente um A desses 2 subconjuntos No total obtivemos 2 x 2 2 1 subconjuntos de S C Verifica se por substitui o direta que a inequa o apresentada vale para n 1 2 3 mas n o para n 4 5 Portanto imposs vel prov la por indu o a partir de n 1 Vemos que 6 720 maior que 6 3 64 sendo este o caso base e para o passo da indu o calculamos n 1 n 1 n gt n4 D mis fo 3 nto 3 o o SEPN SS ag O limitante que usamos demonstrado na p gina 88 e de modo an logo pode se provar que tamb m n lt n 2 quando n gt 6 d P a proposi o 0 0 0 1 2 verdadeira Usando se P temos 1 2 n 4D 1 2 4n n D n n 1 2 nH 1 n 1 n 2 2 n 1 n 1 1 2 que Pay e A base o caso n 2 que corresponde regra dada Para o passo aplique a fegra com f fi fn 1 9 fn 383 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 49 a Base x y xty q yl Passo escreva as somat rias explicitamente Assumimos que o coeficiente do termo x y em x y 1 Fazemos z y r x y y x y ent
249. es da substitui o e substitui o deve ser feira s no final toda de uma vez Com a primeira frase entre aspas queremos dizer que o limite da soma a soma dos limites ou o limite do quociente o quociente dos limites todos sempre calculados no mesmo ponto a Isso vale desde que os limites separados existam e a soma seja de um n mero finito de termos ou o limite do denominador seja n o nulo etc sempre tentador no c lculo de limites fazer a substitui o z a Lembre por m que o conceito de limite foi desenvolvido justamente para evitar esses problemas e o c lculo geralmente assume x a Assim se for feita substitui o dever ser na ltima passagem e em todas as ocorr ncias da vari vel livre Exerc cio Calcule P 4 4 0 e lim t gt 2 2 2 Pa sen 27 5 2 gt 7 2 COS h 3 Es e lim te A si Je h gt 0 h lim s n 2r cos sen 6 057 Em um item note que o limite tomado quanto a h carregue x em seus c lculos como uma constante desconhecida 126 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 o vt l vI to e lim t 50 t gt xzx l l z zx 1 1 4 e lim e lim d es 1 x 1 r 1 x li t2 t2 e lim a lim g t5o t t t 0 t e lim vz 2 fala seem lim vyz 2 x 2 t x gt
250. es do dom nio 3 Comparar esses valores Para determinar extremos locais interiores 4a Verificar sinal de f nos pontos cr ticos 4b Verificar sinal de f ao redor dos pontos cr ticos Lembramos que uma extremidade de D tamb m pode ser um ponto de m ximo ou m nimo local podendo ser assim classificada a partir da avalia o do crescimento de f em seu entorno em D 342 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Agora trataremos uma fun o objetivo de duas vari veis A pr xima se o explicar os passos e as rela es que apresentamos aqui Embora o racioc nio seja igualmente v lido para um n mero qualquer de vari veis suas conclus es adquirem roupagem espec fica no caso de duas vari veis portanto n o funcionam para n gt 3 Como habitual denotamos as vari veis como x y e um ponto de interesse como a b assim como prosseguimos com f D gt R A primeira tarefa identificar os pontos cr ticos nesse contexto Para duas vari veis Um ponto a b no interior de D cr tico se o bL Ca b 0e dia b ou uma das derivadas ou ambas n o existe Recorde tamb m o hessiano Hy a b de a b zzy 2 y x L a b Si a b O hessiano desempenhar aqui papel an logo ao da segunda derivada para fun es de uma vari vel Para f de classe C e a b cr tico Se Hp a b gt 0 avalie
251. esandar fes tante e Praticar exerc cios fundamental O porqu do nome forma indefinida Escolha seu real k 0 e lim x k x k da forma oo oo L 00 e lim kx x 0 da forma co x 0 ou d0j 00 L 00 lim kx x k idem 00 e lim kx x para k gt 0 idem L 00 O valor do ltimo limite co se k lt 0 por qu 0 Lidaremos com formas indefinidas 0 1 oo via Hospital N o s o estes casos e lim t 2 5 125 t53 e lim t 3 0 0 t53 e lim 5t 10 1 t52 Nesses casos portanto n o se deve usar a transforma o f a 2 exp g x ln F que aprenderemos juntamente com a Regra de L Hospital 129 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cios Calcule 1 2 e lim an Z 00 x 1 e lim z 6 1 82 g L 00 2 e lim voo y ylyl 1 q 2x 1 2 y gt y2 y y 1 n mom RD 2 e li Le ET a 5a 1 5 a s00 3a 7 o 5t 10 e lim L ts5 t2 25 o CEAO e lim t557 t2 25 e lim t3 e t 505 e li q 1 1 e f aa 3 e li gt 1 2 p O 130 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 20
252. escalares m 1 Para aplica es que s o in meras em v rias ci ncias deixamos a seu cargo procur las em sua rea de interesse e em cursos de C lculo Num rico os exemplos que demos em Deriva o para fun es de uma vari vel j devem t lo convencido da import ncia do assunto Aqui importante compreender toda a formula o utilizada 334 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para uma vari vel Se f deriv vel at ordem d 1 melhor aprox polinomial a f de grau d ao redor de a d p k q ema k 0 i Erro cometido dado pelo resto de Lagrange TE d 1 d 1 x a para algum entre a e z Para d 1 a express o se reduz melhor aproxima o de 12 ordem 1 f a Pa la a Mais vari veis alteram apenas a escrita do polin mio mas n o sua ess n cia Para v rias vari veis Sejam a D C R ef D gt R de classe CH Melhor aprox polinomial a f de grau d ao redor de a ia 1 of a x 2 3 S1 Sn l Or DEM gi k 0 s sn k n S1 Sn Z0 Si x ai i l S preciso listar as derivadas parciais mistas com as vari veis listadas em ordem a f rmula j calcula o total de todas as derivadas pelo Teorema de Schwarz 335 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo f x y 3x2 seny em 1 5 pol grau 2 Calc
253. escentar nada ent o a 0 a 0 Do mesmo modo b 1b 1 1 SS Basta escrever z y x x e xy sxt e cancelar no segundo caso note que x 0 porque caso contr rio ty 0y 01 c Podem ser feitos pelas defini es comutatividade associatividade e cance lamento ry xy 1 xy x ty t enquanto xy 0 porque x y 0 Para a 12 igualdade pode se tamb m usar z 1 z e distributividade d Pela pr pria defini o 1 x ly xt Para a 22 igualdade use 1 1 1 fa a x gt 0 7 1 Dx 1 x por comutatividade e associatividade e cancele e Use os axiomas para justificar esta sequ ncia de igualdades xy ab cy bb ablyy abray b lx xb ay yb Para o segundo caso fa a ay ab xa yot xa yb P g 38 a Use 1 12 SS Primeiramente mostramos que se x gt 0 ent o x gt 0 caso contr rio x7 gt ewvem 1 z x7 gt 0 absurdo Agora se tivermos y gt x gt 0 ey l gt a gt 0 ao multiplicar obteremos 1 gt 1 contradi o 381 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 c E poss vel ordenar C de in meros jeitos determinando aleatoriamente qual n mero maior ou menor que outro Por m imposs vel faz lo res peitando os axiomas apresentados i 0 implicaria 1 i
254. eto precisamente quando x p Contudo o m dulo uma fun o dif cil de derivar e Uma fun o semelhante ao m dulo o quadrado cuja derivada tem A x k P TE uma express o simples Novamente 3 x Z positiva exceto se Ty MS Tk Esse ltimo erro portanto operacionalmente mais pr tico e chamado de vari ncia sua raiz quadrada o desvio padr o e tem a mesma dimens o dos dados 394 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo Encontrar a reta y ma k que melhor aproxima os pontos 1 2 3 3 5 3 7 4 Aten o m k s o vari veis Fun o objetivo 4 f m k So Umas k bi i 1 Derivadas primeiras dever o ser nulas o o Ds Z2a ma k bi 0 cancelaremos fator 2 donde m 1 m1 k 2 3 Mm3 k 3 5 m5 k 8 7 mMT k 4 0 a as 2 ma k bi 0 cancelaremos fator 2 donde m m1 k 2 m3 k 3 nBAR E m7 k 4 0 Obtemos o sistema 84m 16k 54 16m 4k 12 com solu o m 3 10 e k 9 5 ent o a reta y r 2 Figura na lousa Existe f rmula fechada para retas de regress o exerc cio Verifique o car ter de m nimo do ponto de extremo calculando o hessiano 4 Sa 2a Dli 2a 336 64 Da 2a 64 16 H J LA O pr ximo exemplo altera a forma da fun o a ser ajustada pa
255. fun es de v rias vari veis id ntico quele que estudamos na p gina 226 De fato seja Zp rx e D f descont nua em Ent o f Riemann integr vel se e somente se Xp tem medida zero isto Ve gt 0 3Do Dr Do X CJ Dre gt vol D lt e k 0 k 0 A modifica o necess ria que cada D deve ser um paralelep pedo ret n gulo Novamente portanto toda fun o cont nua ou cont nua por partes in tegr vel No contexto de v rias vari veis a continuidade por partes significa que as fronteiras entre essas partes t m medida zero especialmente segmen tos de reta em duas vari veis ou hiperplanos em mais vari veis Como a integra o de uma vari vel caso particular da que desenvol vemos aqui os exemplos de fun es integr veis ou n o integr veis que j conhecemos permanecem v lidos no novo contexto 264 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 11 2 C lculo da integral m ltipla Fubini Se f cont nua outras condi es podem ser usadas ent o bn ba bi Hojdo f sd factos eos dos d dEn a b an as a1 Integrais iteradas s o de uma vari vel comece por dentro tratando outras vari veis como constantes Mesmo princ pio da deriva o parcial Podemos mudar a ordem das vari veis para simplificar o c lculo Para dom nios que s o paralelep pedos ret ngulos basta realmente mudar a sequ nci
256. gt 0 absurdo P g 44 a Como bo limita a sequ ncia a nen que forma um conjunto n o vazio existe suP en an SUP an n E N Ent o x maior que todos os an e por ser supremo menor que todos os limitantes superiores bn de modo que x an bn In para todo n N P g 45 a Deveremos verificar um por um se 0 1 2 pertence ou n o a S o que requer um n mero n o espec fico de passos mas uma demonstra o deve ser um texto fixo e limitado Uma tentativa semelhante argumentar que S tem algum elemento n e portanto seus elementos menores que n pertencem a 0 1 2 n 2 1 M como esse conjunto finito algum dos elementos de S a dentro dever ser menor que todos os outros O problema reside no termo italicizado podem se exibir em cursos de L gica ou Teoria dos Conjuntos cole es parecidas com a destacada mas que s o infinitas de modo que os axiomas de corpo ordenado n o bastam para demonstrar essa propriedade b Como S n o vazio e limitado inferiormente por 0 existe K inf S e temos K gt 0 Pela defini o de nfimo deve existir n S tal que K lt n lt K 1 Ent o n 1 lt K lt ne conforme nossa discuss o na p gina 39 n o h outro inteiro entre K e n Logo como S C IN todos os outros elementos de S s o maiores que n e obtivemos n min S De fato temos n K c Dado um real z gt 0 tome n
257. horizontal um ramo desce outro sobe e x derivada 1 3V x2 tangente vertical um ramo desce outro sobe Uma prova formal do Teorema de Fermat feita assim Tomamos um m ximo ou m nimo interior e assumimos que existe a derivada nesse ponto devemos mostrar que ent o ela vale zero Mas nessas condi es podemos usar o mesmo argumento final da prova do Teorema de Rolle comparando sinais de limites laterais O segundo passo alerta que as extremidades a fronteira do dom nio tamb m s o importantes No caso de um intervalo fechado a b essas ex tremidades s o os pontos a e b Em outros casos de dom nio como veremos ao estudar todo o gr fico de uma fun o deveremos tomar os limites late rais onde a extremidade for aberta ou nos pontos infinitos caso o dom nio seja ilimitado Atentar para a fronteira do dom nio reflete apenas o fato de que alguns dom nios s o caprichosos ou mascaram alguma descontinuidade Portanto preciso cuidado quando somente alguns pontos entram na lista para terem seus valores comparados se h um nico ponto a considerar uma compara o cega diria que ele ponto tanto de m ximo como de m nimo Por exemplo x 1 sobre IR n o tem m ximo mas tem m nimo no zero a mesma fun o sobre 1 2 tem m ximo global em 2 tem m ximo local em 1 e tem m nimo global no zero sobre 2 3 n o tem nem m ximo nem m nimo J a fun o 1 x em gt 70 U J0 1 tem m ximo
258. horizontal passando por encontra o gr fico em algum ponto cuja abscissa est em D Desse modo a fun o bijetora se toda reta horizontal passando por um ponto de C encontra o gr fico em um e somente um ponto que tenha abscissa em D Conclu mos que nesse caso podemos obter o gr fico da fun o inversa refletindo o gr fico original ao redor da diagonal principal Comportamento dos gr ficos de bijetora e sua inversa Gr ficos na lousa Detalharemos isso adiante 17 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 1 4 Transla es e dilata es Suponha fixados f IR gt R e k R para construirmos g R R As f rmulas espec ficas das transforma es a seguir variam entre tex tos Transla o horizontal Gr fico na lousa g x f x k Veja que k somado dentro da fun o Cuidado com o sinal de k O que acontece se k 0 importante confirmar se o gr fico de g que desenharmos corresponde fun o que definimos Isso pode ser feito calculando explicitamente o valor de g x para algum x por exemplo x 0 parao qualg 0 f k e confer lo no gr fico Transla o vertical Gr fico na lousa g x f x k As mesmas observa es aplicam se a este caso mas k somado fora Dilata o horizonal Gr ficos na lousa g x f ka Aqui para verificar o gr fico n o podemos tomar x 0
259. ibilita integrarmos f em intervalos compactos para ent o tomar a integral impr pria Se a integral de f convergir tamb m a de h converge se a integral de g convergir a de f tamb m converge isso prova o crit rio Exerc cio o T Demonstre que J piy To S p gt l 248 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Parte III V rias Vari veis 249 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 10 Os Espa os Euclideanos O estudo de fun es de v rias vari veis requer o mesmo trabalho prelimi nar daquelas de uma vari vel ou seja o conhecimento de seu dom nio e os conceitos de limite e continuidade que fizemos nos Cap tulos A Estrutura dos N meros Reais Introdu o aos Limites e An lise B sica Em termos formais dever amos conduzir esse trabalho com o mesmo rigor mas para a proposta deste Guia podemos apenas rever as formula es mais teis e lembrar que tal estudo feito por Rudin 1976 por exemplo em perspectivas ainda mais amplas 10 1 V rias vari veis ou vetores Vimos at aqui fun es de uma vari vel f 9 gt RA f x 50 67 Ou seja associamos algum valor f x a cada x entre 2 e 9 Tamb m podemos ter fun es de duas ou v rias vari veis g 2 9 x 134 gt R g x y 50 4ry 6x 2y Por exemplo produtividade g depende de
260. if Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Portanto a fun o s acima n o deriv vel mas deriv vel em IR Notas Para fun es de uma var deriv vel e diferenci vel s o sin nimos Aten o f a flay 0 Nota es e f a que se l f linha de a f a quando a vari vel independente mede tempo df x i T para mostrar a vari vel com resp qual se derivou x Esta nota o vem de A Fem a lim TZA AZT em a Sinta se vontade para n o utilizar a nota o pontilhada f mas quando o texto ou o exerc cio exigirem o uso do ponto tome bastante cuidado com o que l e com o que escreve tenha certeza de que o seu ponto leg vel Neste momento a nota o diferencial Ei apenas um bloco ou caixa preta n o uma fra o Assim n o faz sentido passar dx multiplicando e trabalhar isoladamente com df dx Isso ser feito mais tarde no t pico de integra o sob regras estritas Alertamos tamb m que o correto uso da nota o important ssimo Como veremos que a derivada de uma constante zero temos que se f 2 3 ent o f 2 3 0 por m f 2 pode ser qualquer outro n mero Ponha h z a temos t gt d amp h 0e naaa e Ho Ha a Harh Ha f a lim gt lim h l r gt a x a h gt 0 Isso facilita muitas contas Na pr tica usa se x vari vel em vez de a ponto porqu
261. im f g h 8Y f 9 R 6 fghs f ghs fg hs fgh s Afghs Exemplos e f x Tx 2sen re temos f x 3527 2 cos x Te e g x e x cosg temos g x e 1 cos z e x sena e Derivada de express o temos x 86055 28 37x 5 37 8 sen x 2e 34 1 5 x3 8 cos 2e 3x76 0 Onde escrevemos simplesmente u x para significar u x com u suben tendida tome cuidado Essa pr tica comum nos livros mas a vari vel aqui x deve estar livre Se tomar algum valor ent o a derivada zero porque a imagem constante se u x seng ent o u 3 cos3 mas sen 3 0 Portanto para calcular a derivada de f em algum ponto espec fico a usando as regras pr ticas primeiro determine f x em geral depois substi tua o valor de a em f a 106 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e x t 3t cost Se Vtte cost temos i t 15t cost 3t sent Re Se ER e cost Vttet cost V tte sen t e Memorize cos x cos x sen z sen x 1 tg cost cos2 x cos z Observe como foi mais f cil utilizar a regra do quociente para derivar tg x em vez de calcular limpo tg h tga Note tamb m que em uma certa etapa podemos simplificar a expres s o de um modo diferente e obter tgx 1 tg x ou seja
262. im 92x x 9 da mesma forma L 00 lim 7z x7t oo da mesma forma L 00 84 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule li Oog e lim z gt 10 ryT i a 5a 4 Lg a s00 3a 7 gt Ster il e lim JE t 5 t t 25 SpA e lim 2 td t557 t2 25 Agora j conhecemos todos os tipos de limites em pontos reais e nos infinitos com valores reais quando o limite existe e infinitos casos particu lares de quando o limite n o existe Tamb m aprendemos a calcular alguns limites embora n o haja um procedimento espec fico para aplicar regras al m disso h ocasi es em que elas n o informam se o limite n o existe Essas s o v rias preocupa es genu nas Tentaremos alargar nosso conhe cimento sobre a teoria dos limites um pouco mais a fim de sabermos calcular mais alguns deles pelo restante deste cap tulo Mesclaremos conhecimentos te ricos e pr ticos 3 8 Confronto sandu che ou squeeze Este um resulado te rico que nos permite determinar o limite de uma f complicada quando podemos limit la por a e 5 mais simples Ele tamb m usado para demonstrar a continuidade de v rias daquelas fun es listadas anteriormente 89 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Teorema Suponha a 00 00 e V viz de a Assu
263. imos no cap tulo anterior que n o valem sempre 311 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se as componentes de Vf s o cont nuas ent o e f0 t VFO E Regra da Cadeia 5 a Vf a ju para u unit rio Lembre que quando calculado em um ponto qualquer a o gradiente de f um vetor A primeira equa o uma forma da Regra da Cadeia em rela o regra que j conhecemos para uma vari vel a novidade a substitui o do produto de n meros pelo produto interno de vetores Exerc cio Usando Vf derive novamente f x y z 1 5yz 3 no ponto 1 3 2 na dire o 4 3 0 Diagrama na lousa Temos 2a V Fla lu IV Fa cos 0 proj Vf a IY f a lr cosB u Ou seja 3f a a componente escalar de V f a na dire o de u Neste racioc nio mantenha o ponto a fixo de modo que o vetor V f a tamb m constante Conforme u assume todas as poss veis dire es e senti dos o ngulo 6 varia e tamb m 3E a varia 312 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Temos a V f a cos 0 e quando Vf a 0 m ximo 1 0 P a 4 m nimo amp cosh 1 amp 0 T Zero 0 r 2 Ent o no ponto a cresce mais V f a f 4 decresce mais p na dire o e sentido V f a mant m se ortogonais a V fla Note que quando cos0
264. in ria Basta na dedu o feita acima tamb m obter o resto de Lagrange de y cuja express o envolve a dedu o de qt com a forma an loga Aproximando y em 1 mas ao redor de 0 teremos 0 1 de modo que o ponto Es a amp j x a estar entre a e z 339 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 15 Otimiza o As t cnicas de maximiza o e minimiza o de fun es de v rias vari veis inspiram se diretamente naquelas que estudamos em Otimiza o e Com portamento de Fun es para uma vari vel mas t m que considerar uma variedade maior tanto num rica quanto qualitativamente de situa es que geometricamente n o ocorriam em tal caso De todos os espa os euclideanos apenas a reta IR naturalmente orde nada de modo que os enunciados de problemas de otimiza o referem se sem pre a fun es objetivo que s o escalares Portanto estudaremos f D gt IR caso m 1 em nossa nota o e suporemos ainda que D C IR fechado e limitado ou seja compacto bastando ent o que f seja cont nua para que assuma valores extremos 15 1 Procedimento para duas vari veis Come amos revisitando as defini es fundamentais de otimiza o Os pr ximos dois slides referem se pontos a D Extremos Quando f a gt f x para todo x D e a um ponto de m ximo global ou absoluto e f a o valor m ximo global o
265. in x at x 4 No quadro Approxi mations about x 4 up to order clique em More terms depois repita para ver aproxima es cada vez melhores Divirta se com outras fun es Note que podemos escrever f x So f a a a k somente quando En x 0 Tamb m poss vel que a s rie n o convirja ou convirja para um valor diferente de f x como veremos com uns exemplos faltosos Se definirmos uma fun o usando uma s rie de pot ncias nosso c lculo sobre a deriva o dessas s ries diz que a s rie de Taylor dessa fun o a 180 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 pr pria s rie original Compare mais abaixo com os exemplos faltosos de classe CS Conclu mos que duas s ries de pot ncias com mesmo centro e convergentes em um intervalo aberto caso definam a mesma fun o t m os mesmos coeficientes essa a unicidade da representa o em s rie de pot ncias Exerc cio Escreva as s ries de Taylor para estas fun es a e e com centro Q sos In x com centro 1 ou In 1 x com centro 0 C e senz e cosg com centro O 1 1 e 1 l 2 1 1422 com centro 0 Gy e tg t x com centro 0 peg Use as para escrever ln 2 e m 4 como s ries num ricas Aten o raios de converg ncia espec ficos Nos exemplos abaixo vo
266. inferior piso 0 O piso mas nenhum n positivo log z n o limitada nem inf nem sup sen e cos s o limitadas tg ilimitada sen cos tg s o limitadas 1 6 Novas fun es Esta se o introduz algumas fun es que n o fazem parte do dia a dia escolar mas que exatamente por serem fun es merecem ter destaque Elas s o definidas usando se regras e casos como discutimos nas primeiras se es do cap tulo embora o modo de faz lo seja progressivamente heterodoxo Ao constatar isso desejamos ter motivado a se o subsequente 24 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fun es caracter stica ou indicadoras Sendo P C D definimos 1 sexerP Xp DS 10 1 X P Ria Kee 0 sex gP Outra nota o que pode ser encontrada para Xp 1p Exerc cio Assuma P Q C D Descreva Xpnq Xpuq em termos de somente Xp e XQ a O que precisamos sobre P e Q para considerar Xpxq Descreva a em b termos de Xp e XQ Voc pode tamb m pensar sobre Xp q Xpaq Fun es escada ou de patamares Se D D U U Dn onde os D s o dois a dois disjuntos e a1 Gn E IR podemos tomar f D gt R fla a quando x D Por que f se chama escada ou tamb m de patamares O que acontece se os D n o s o disjuntos E se n o cobrirem todo o D A primeira
267. infinitos n o como coisas novas mas como manifesta es de um mesmo conceito Para esses casos tamb m valem as regras de c lculo que j come amos a estudar O porqu delas valerem por m merece uma breve discuss o A Defini o II refere se apenas a pontos de acumula o reais do dom nio da fun o e usa intervalos de raio centrados nesses pontos portanto qualquer proposi o que se deduza para esse tipo de limite est restrito a essa classe de pontos J a formula o usando vizinhan as pode ser literalmente inter pretada em qualquer situa o na qual se possa usar vizinhan as assim as 78 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 demonstra es que usem vizinhan as e baseiem se apenas nas propriedades destas valer o tamb m para essas novas situa es Vejamos Desejamos determinar o que significa L ser o limite de f quando xz Adaptamos a formula o com vizinhan as para qualquer vizi nhan a U de L deve existir uma vizinhan a V de o tal que VAD C f U N o preciso subtrair 00 porque D j n o cont m oo Assim Lembre o pto acum de conjuntos n o majorados vizinhan a de oo deve conter K co para algum K R Suponha D ilimitado superiormente f D gt ReLelR Ent o lim f r Le L 00 Ve gt 0 3K ER VreD r gt kK gt f x L lt w Analogamente para x oo e D ilimitado inferiormente l
268. ioc nios importantes Aqui usamos uma de v rias nota es para complementos Fe CaF RNF zeR z r Conv m revisar essa defini o e as propriedades de complementos com rela o a um conjunto universo que IR em nosso caso Primeiro assuma F fechado devemos mostrar que F aberto Fixe arbitr rio x F mostraremos que x pto interior de F Como x F fechado ent o x n o pto acumul F isto n o Ve gt 0 Jx es x eln E N x AY ou seja de gt 0 jr e z Ee N F z f donde Je gt 0 Jz e x E amp F Oar FS a isto x pto interior de F A ltima igualdade usa que x F conforme o in cio do argumento Agora suponha que F aberto devemos mostrar que F fechado Seja x qualquer pto acumul F mostraremos que x F Temos Ve gt 0 Jr e x eln F fe 9 ou seja Y gt 0 Jz c x e Z F U r donde de gt 0 r ex elC FS isto x n o pto interior de F Como F aberto n o pode conter x conclu mos que x F 57 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Existem conjuntos que n o s o nem abertos nem fechados como 0 1 Q el n IN experimente justificar cada caso Os nicos subconjuntos b de R que s o simultaneamente abertos e fechados s o e o pr prioR Discuss o extraordi
269. ir excelente oportunidade para rever o c lculo de integrais m ltiplas pelo Teorema de Fubini e um uso simb lico do Teorema Fundamental do C lculo Demonstra o Suponha a D de modo que of o2 f a dx da dx jd a digamos gt Queremos chegar a um absurdo Fixando cada x ap para k i j supomos que f tem apenas duas vari veis 2 y o2 Ff of x y Odydr Ent o q cont nua e g a gt 0 donde g gt O em vizinhan a de a Encolha D de modo que g gt 0 em D K L x M N Diagrama na lousa Obtemos fp g x y d x y gt 0 Considere g D gt R g 294 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fubimi e TFC J Ee den f E x y dz dy Sm Le Torsi n eS f L N L M K N FEM Analogamente Ee da y FL N EN NLM HEM Subtraindo fp g x y d x y 0 contradi o 295 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 13 Campos Vetoriais Este cap tulo continua com o desenvolvimento necess rio para responder s perguntas que fizemos no in cio de Deriva o Espacial Estudaremos principalmente as fun es cujo dom nio e contradom nio est o contidos no mesmo espa o euclideano IR chamadas campos vetoriais e introduziremos o conceito de gradiente J um campo escalar simplesm
270. is para calcular a maioria dos limites que precisarmos sem nos preocuparmos com os detalhes por tr s Uma apresenta o do conceito de limite que espelhe seu desenvolvimento hist rico bastante instrutiva e curiosa mas invi vel dentro das limita es de tempo e requesitos dos cursos introdut rios de C lculo Procederemos analogamente nossa aprendizagem da escrita ignoramos os ideogramas e alfabetos primitivos e adotamos apenas a forma contempor nea Entretanto como dissemos acima que se trata de um feito recorde conv m ter em mente sua extens o cronol gica Hist ria e Gregos e escol sticos hesitaram em usar a grandezas infinitas ou infinitamente pequenas ou b um n mero infinito delas e Renascentistas at meados s c XVIII decidiram fazer contas as sim mesmo e Cauchy Weierstrass e outros substitu ram tais grandezas por apro acima es controladas e Assim 00 e n mero bem pertinho de outro passaram a ser abre via es e tudo pode ser reescrito em termos somente de grandezas reais No s c XX come ou se a formalizar os c lculos originais dos renascen tistas com grandezas al m dos n meros reais ou seja trabalhando se em corpos n o arquimedianos que estendem o corpo IR Esse assunto a An lise N o Standard e relacionado com a rea de pesquisa do autor 62 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Uma necessidade motiva
271. ista gt 0 de modo que Ja EFC D Nesse caso claro tamb m temos a D Desse modo 53 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 podemos aumentar o zoom ao redor de a at um certo momento em que D preenche completamente a imagem para ambos os lados de a n o sobrando nenhum buraco de D O processo de zoom do microsc pio a id ia central da Matem tica moderna para substituir n meros infinitos no C lculo Trata se de uma quantifica o existencial ou universal sobre uma toler ncia e por isso um processo din mico voc deve encontrar um valor de e que funcione ou observar que nenhum valor funciona em vez de pensar sobre um nico n mero ou seja a imagem mental a ser feita um v deo em movimento n o uma figura est tica Outro processo din mico tamb m usando quantifica o ser feito no jogo do e d na Introdu o aos Limites Exemplos Conjunto 0 1 U 2 e cito pts acumula o 0 1 cito pts isolados 2 e cito pts interiores 0 1 Conjunto nen esquema na lousa e cito pts acumula o 0 e cjto pts isolados D e cjto pts interiores f Exerc cio Determine os conjuntos de pontos de acumula o isolados e interiores de cada conjunto e Z e 10 2 x F fojufilnen Q 54 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes
272. ites certamente a equival ncia exige alguma demonstra o porque os conceitos envolvidos foram definidos utilizando se bolas abertas 258 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Deixamos a seu cargo pensar a respeito observando que uma vizinhan a de um ponto a cont m sempre um paralelep pedo aberto produto cartesiano de intervalos abertos que cont m a e reciprocamente qualquer paralelep pedo desses ser tamb m uma vizinhan a aberta por conter uma pequena bola aberta centrada em a Note bem N o podemos escrever lim 2 L 6 vij lim fi a L porque cada f tem como argumento um vetor de n vari veis ou seja requer a defini o de todos z1 8n A decomposi o do limite e da condi o de continuidade nas componentes feita sobre o contradom nio apenas n o sobre o dom nio 10 5 Derivadas parciais Motivaremos e definiremos v rias formas de deriva o de fun es vetoriais ou com v rias vari veis em Deriva o Espacial mas precisamos antecipar o conceito de deriva o parcial para realizarmos c lculos pr ticos nos pr ximos cap tulos Derive quanto a cada vari vel tratando as outras como constantes Por exemplo f x y z v2zsen a y go amo 3 4 E xf sen x y of 2 33 4 3 A773 e TZ COS T x 4y F x y x 4y o a 2xz sen v y x2z cos riy 3ar2y z 259 G Cale 2015 Vinicius
273. ius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 371 371 375 375 379 403 407 Leia me O mesmo texto dos slides mostrados nas aulas est contido nas molduras ao longo do material As pequenas letras emolduradas e sobrescritas indicam respostas ou co ment rios no fim do livro Algumas passagens ou racioc nios espec ficos precisam ser destacados em rela o ao fluxo principal Identificamos o in cio dessas interven es com uma chamada em it lico e seu t rmino com o s mbolo V rias delas s o rotuladas extraordin rias e podem ser omitidas sem preju zo da compre ens o b sica do conte do em oposi o s demais que s o integrantes da apresenta o vil G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Parte I Bases 1 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 1 Fun es em Perspectiva Apresentamos o material b sico de C lculo as fun es sob a tica adequada para o trabalho desenvolvido J conhecemos do ensino colegial a utilidade das fun es em descreverem uma quantidade chamada vari vel dependente em termos de outra a vari vel independente como por exemplo a posi o de um ponto material em fun o do tempo ou o pre o de uma mercadoria em fun o de seu custo de produ o Aqui veremos efetivamente o que s o fun es e como as
274. ivamente contribui com entrada ou sa da de g s do cubo as outras componentes s o paralelas s faces e n o entram ou saem da superf cie Desse modo o saldo de g s contribu do especificamente por essas duas faces F a h b c Fi a h b c Note que essa express o a mesma independentemente do sinal de F em cada ponto o que corresponde entrada ou sa da de g s pela face conforme a orienta o do vetor Analogamente ao longo de y b hey b h temos o saldo Fi a b h c Fo a b h c enquanto ao longo deiz c he z c h temos Fz a b c h Fs a b c h de modo que a taxa de varia o total Fi a h b c F a h bxc F a b h c F a bl h c Es a b c h Fs a b c h lim h gt 0 2h OF oF OF E DE y c Ta c p Ob c Rotacional Dado F R gt R T 7 K rotF VAF 2 o x Ovo xr3 A k EF o rotacional de F e campo sobre R 303 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fizemos o produto vetorial simb lico dos vetores V e F podendo tamb m ser indicado V x F Em ingl s o rotacional chama se curl O determinante simb lico no slide um modo pr tico de n o confundir as componentes do rotacional e os sinais envolvidos mas ele tamb m pode ser expresso assim OF F oF OF oF a F rO E 3x3 x3 Ox x xs E
275. ja gt 0 existe um x E D que muda com e distinto de a satisfazendo lxs a lt Note que o pr prio a pode pertencer ou n o ao conjunto D mas como x D sabemos calcular f 15 e podemos estudar os valores de f nesses pontos cada vez mais pr ximos de a Portanto n o faz sentido perguntar lim 3 VT porque a fun o raiz n o est definida em n meros pr ximos de 3 Lembre sempre N o escreva nada como 0 0 0u 23 0 ou 5 00 ou x 0 ou 0 N o se fazem contas assim Estudamos limites justamente para contornar esses obst culos Nesse exemplo n o podemos caleular f 0 Temos 3z 52 3r 5 407 4003 A 4r 22 1 5 Agora podemos p r O na f rmula 5 Escrevemos assim lim f x 5 0 mais informa o que simplesmente um n mero f 0 Significado x muito perto de 0 implica f x muito perto de 5 121 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Todo conceito em C lculo reduz se a limites Exemplo central a derivada ra tim o va X q forma 0 0 Importante x gt a assume x a Anote ao lado para usar nos c lculos Em um exemplo t pico de deriva o tentaremos considerar velocidades m dias ni ao redor de um instante to para t cada vez mais pr ximo de to mas n o podemos colocar t to porque o denominador dessa fra o seria nulo e n o podemos dividir po
276. la devida a Constantine Georgakis 1994 a nica passagem que ainda n o sabemos 245 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 fazer ser a troca da ordem de integra o que voc aprender em Fun es de V rias Vari veis Primeiramente notamos que o integrando uma fun o par ent o basta mostrarmos conforme a defini o usando limite que oo oo 2 Jo exp x dr yT 2 ou seja que exp x dr 1 4 Desse modo renomeando se uma vari vel devemos calcular G exp 2 de a exp dv Nessa express o consideramos x e y independentes ent o com respeito a cada vari vel a outra integral simplesmente uma constante assumindo se finita que pode ser passada para dentro Assim temos a e exp dv exp 2 da n x expl y a dy Em Fazendo a substitui o y xs para a integral de dentro com dy x ds j que x independe de y e 0 lt s lt j que x gt 0 e trocando a ordem de integra o obtemos 9 oi exp x 1 ado da f o exp z 1 ade af A nova integral de dentro f cil de calcular usando d x 2 de modo que a express o toda resulta em ii exp x 1 DR 1 T ds 1 1 _ s gt ds ijt gt 7 4 l 2 1 s2 lz 0 dE o 1 3 alte Sha 7 4 como quer amos Exemplos em 1 00 gr ficos na lousa dE e vc ilimitada f xr dr limm gt os 577 M sos e q
277. liminar UFABC 1 quad 2015 ea de F ao longo de Ox Fi a b h c Fi a b h c Na ce m abaixo do centro acima do centro j embutidos os poss veis sinais para F F gt caso se oponham aos sentidos can nicos dos eixos Somando as duas contribui es e calculando a taxa de varia o correspondente obtemos Fala h b c Fa a h b c F a b h c Fi a b h c 2h 2h note que j invertemos o sinal do segundo numerador cujo limite quando h 0 a terceira componente do rotacional oh F Exerc cio Dados e f x y z 5x y 3z sen y e e F x y z 22y 2x2 y cos yz calcule grad f div F e rot F Regras operacionais Gradiente divergente e rotacional s o formas de de riva o e possuem suas pr prias regras de c lculo que listamos aqui e cuja verifica o a partir das defini es acima deixamos a seu cargo preciso apenas utilizar as propriedades an logas da deriva o parcial Para fun es f g R gt R e campos F GAR gt R com ndices sendo n 3 quando se envolve o rotacional temos e grad c fi amp fat gt c grad f c grad f2 e div amp a Fi ce2fz c div Fi c div Fo e rot c amp Fuet cts a rot Fi crot Fo grad f9 g grad f f grad g f gad S o ei feto 305 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad
278. lo compreender o fen meno din mico dos limites em contraste com a estaticidade das manipula es alg bricas e revisar essas mesmas manipula es que s o necess rias para c lculo desses limites A An lise B sica tratar os limites e o conceito de continuidade por completo 3 1 Atualidade hist ria e necessidade Eis o que faremos Nosso plano de trabalho e Desenvolver o conceito a partir de explora es geom tricas e Formalizar a defini o Estabelecer regras pr ticas e exemplos e Calcular sem usar a defini o e Expandir o conceito O desenvolvimento do conceito de limite foi uma das conquistas mais di f ceis e exitosas da Matem tica em sua hist ria Mentes poderosas debru a ram se sem sucesso sobre essa quest o Por culpa dessa natureza complexa o problema de definir e calcular limites tem uma solu o que embora simples 61 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 dif cil de digerir em curto espa o de tempo De onde veio esta defini o Por que assim totalmente irreal querer respostas imediatas Nosso prop sito aqui explorar uma motiva o para a defini o formal e realizar essa formaliza o porque lembramos tudo em Matem tica deve ser demonstrado n o por intui o mas a partir do que j est realmente fixado Depois disso veremos como enclausurar tal defini o substituindo a por regras operaciona
279. local em 1 e m nimo local em 1 note que o valor m ximo local menor que o valor m nimo local mas esses extremos n o s o globais seu comportamento mais complexo em vista da descontinuidade essencial no zero O terceiro passo pede simplesmente que se comparem os valores candida tos para sabermos qual deles e onde o maior e o menor 187 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 4a Verificar sinal de f nos pontos cr ticos no ponto se ent o 1 20 m nimo local boca acima fel m ximo local boca abaixo f 0 ou n o existe poss vel inflex o v para 4b Isso determina extremos locais interiores se f for C Nas extremidades mesmas bocas caracteres opostos Discutiremos em breve o que significa o gr fico de uma fun o ter con cavidade para cima ou para baixo mas n o h surpresas aqui trata se da mesma classifica o que voc j conhece para par bolas De fato vejamos como ambas as situa es relacionam se No ponto a vamos substituir f x pela melhor aproxima o de segundo grau f a f a x a f a x a 2 cujo gr fico uma par bola Expandindo se o polin mio vemos que o coefi ciente de x f a 2 e ent o a concavidade da par bola depende de seu sinal o gr fico de f dever ter aproximadamente a mesma apar ncia ao redor de a Note que n o assumimos que a fosse cr tic
280. ltos na lousa 123 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para f definida em ambos os lados temos 3 lim f x ts a e J lim f x e J lim f x x e e eles s o iguais esse o valor de lim f x gt a Limites com infinitos teis nos passos intermedi rios de limites bem reais teis no estudo assint tico de fun es e casos particulares de inexis t ncia do limite a ou L ou ambos podem ser infinitos Por exemplo se ambos lim a f x s o o mesmo oo ou oo ent o tamb m lim sa f x o ou oo respectivamente Note que IN um conjunto ilimitado superiormente e seu nico ponto de acumula o na reta estendida 00 Assim para uma fun o s N gt R chamada sequ ncia somente faz sentido estudar lim soc Sn 5 3 C lculo de limites Aprenderemos a calcular limites construindo diversos exemplos e reconhe cendo as manipula es simb licas utilizadas Nas pr ximas se es tratare mos em separado as Regras de Hospital e as t cnicas envolvendo o Teorema do Confronto para somente ent o definir rigorosamente o conceito de limite Exemplos e lim s cosz limz limcosz 7 cost m 1 LST LST LST tab um B tim Kt 937 2 _ 8 Rua do e iar a tao dar lim elat TA A lim saring 1 porque esses limites n o existem J mos 1 1 1 1 f lim im limo o asllg 1l l r a
281. m intervalo de converg ncia pode ser aberto fechado semi a berto ou todo R No primeiro item de fato a fun o definida assim de classe C como definiremos futuramente e as s ries derivadas tamb m t m raio de conver g ncia R A converg ncia da s rie pode n o ser uniforme em todo o intervalo Ixo R xo R mas o sim em qualquer subintervalo xo r xo r com 0 lt r lt R Nesse subintervalo portanto poderemos operar deriva o e integra o termo a termo 152 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O raio dado por R supfr gt 0 Ino N Yn gt no V an lt rh Situa es pr ticas e Sean 0eexistir L lim Fal ent o R 1 L noo lan e Se existir L lim Vlan ent o R 1 L Exerc cio Mostre que n 2n gt 1 2n 1 elt a mi z e s x gt ia A 2n PN n 0 t m raios de converg ncia infinito Cuidado alguns coeficientes s o zero Dica use y x e fatore um x em s Estas s ries permitem formalizar rigorosamente o uso das fun es trigo nom tricas em C lculo partindo se apenas dos axiomas de corpo ordenado completo veja A Estrutura dos N meros Reais sem apelo geometria De fato mostra se que elas satisfazem as propriedades usuais do seno e do cosseno 153 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ca
282. m o modo usual de apresentar as novas regras necess rias para o c lculo de limites infinitos utilizar abreviaturas como voc pode encontrar em livros Ei las aqui 00 80 L oo 00 x 00 00 x Foo oo as mesmas regras de sinais aplicam se caso um multiplicando real n o nulo L S0 0 e o0 L7 oo idem N o existem regras fixas para os seguintes casos indeterminados 00 00 O x 0a e o Como veremos nos exemplos esses casos podem ter respostas 83 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 variadas Algumas t cnicas que estudaremos em An lise B sica permiti r o determinar limites desses tipos em diversas situa es estabelecendo se limita es para um dos fatores ou usando se a chamada regra de Hospital Vamos ver o que j sabemos fazer Exemplos el 42 2 30 dy lim 3t Tt 1 lim 4 ea o0 gt 00 RF e lim et porque 1 gt 00 xz 0t e lim e 0 porque 1 2 gt oo 2 gt 0 t 1 e lim lim 5 Fo porque t52 2 patema 2 lt t52 gt 0 gt 2 1 50 2 1 2 07 isto G je 2Pt gt 2 gt 0 lt 5 1 50 e lim Vy 1 vy 00 o0 desracionalizando y gt o i PV E A ra porque yvy BF y 00 e lim x A5 x 15 da forma oo oo L 00 e Aim 322 x 0 da forma x 0 ou 00 00 L 00 J
283. m L 140 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo f x sen 1 x para x 0 e f 0 4 Gr fico na lousa N o h limite quando x gt 0 Exerc cio Por que nenhum L serve Exemplo f x 1 x para x 0 e f 0 5 Gr fico na lousa N o h limite quando x gt 0 Exerc cio Por que nenhum L serve Concep o do limite por sequ ncias Para a L 00 00 temos lim f x gt a L lt Quaisquer que sejam os passos pelos quais obtenhamos aproxima es cada vez melhores de a as f imagens nos fornecem aproxima es cada vez melhores de L S vs N gt Ds a lim sn a lim f a f E necess ria a hip tese usual de a ser ponto de acumula o do dom nio de f de modo que exista pelo menos uma tal sequ ncia s Uma demonstra o dessa equival ncia encontra se na Introdu o aos Limites p gina 92 Nos infinitos Para a ou L em oo temos adapta es e lim f x Le L 00 ve gt 0 dKeR VreD r gt K gt l f r L lt e e lim f x amp YME RY 3 gt 0 Vxe D 0 lt z a lt f z gt M Zo YM R EK R Yzx D z gt K gt f x lt M 141 G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Deixamos a seu cargo compreender o porqu dessas formula es e rees crev las explicitamente com as demais combina es de oo O
284. ma a f 5 definidas em V x a satisfazendo a lt f lt 5 Assim se lim a x lim x L ent o lim f x L Ta ra T gt a e se lim a x ent o lim f x o0 gt a ra e se lim x oco ent o lim f x oo gt a gt a Corol rio lim f x 0 e g limitada numa viz de a gt lim Hx g x 0 xoa La Porque se g lt K ent o K f lt fg lt KIF N o podemos escrever simplesmente Kf lt fg lt Kf porque f pode ser negativa em alguns pontos Um segundo corol rio an logo a esse diz que quando f gt e g gt e gt 0 temos f x g gt oo ou quando f gt eg lt 0 lt 0 temos f x 9 gt Fo onde 0 s o constantes Voc consegue mostrar essas duas implica es invocando o Teorema do Confronto Exemplos lim z sen 7 0 porque sen1 lt 1 e z 0 Gr fico na lousa a gt on e lim 0 porque n gt 00 n 04 n n n l 2 1 1 n n n n S e n 1 termos lt 1 Exerc cio Calcule sen t fim fa a o gr fico da fun o 00 86 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 3 9 Fun es mon tonas e o n mero e Assim como o Teorema do Confronto nos permitiu determinar alguns li mites sem aplicar diretamente as regras de c lculo tanto ele como o resultado a seguir permitem nos determinar a exist ncia d
285. mesma da defini o anterior Agora por m exigimos apenas que a seja ponto de acumula o de D o que inclui mas n o se restringe a as situa es de pontos interiores e interior perfurado de D na Defini o I Isso nos permite calcular limites nos extremos laterais de um intervalo ou em dom nios mais complicados 75 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 como faremos a seguir mas assim abrimos m o do espa o ao redor dera onde pod amos calcular f N o podemos generalizar mais preciso que a seja ponto de acumula o de D para que por menor que sejam e consequentemente existam pontos de D em Ja a distintos do pr prio a onde possamos calcular f Caso tais pontos n o existissem a implica o seria trivialmente satisfeita e qualquer L seria limite de f em a o que n o interessa Mesmas regras de c lculo e lista de fun es com lim f x f a e r gt a que passam para fora do lim Exemplo Limites laterais Gr ficos de saltos na lousa nota o use que dom nio diz se v gt at v gt a DNla co lim lateral direita r gt a lt a DN oo al lim lateral esquerda Anote claramente a desigualdade usada Por exemplo lt 32 S sim Sl nN N wiet r gt 2 z 2 s5 T 2 r gt 2 2 x 2 ie e a O cel 152 4 2 r 1 r gt 2 a A jz 2 e
286. min S Invocaremos isso no estudo do Princ pio da Indu o Os outros conjuntos num ricos Z Q e R n o t m essa propriedade Para demonstrar esse fato responda e Intuitivamente basta come ar por 0 1 2 at achar o primeiro elemento de S Por m isso n o uma demonstra o por qu b e Use a exist ncia de nfimos para prov lo e Exemplifique o obtendo um n mero inteiro entre quaisquer dois reais com diferen a 1 Conclu mos a se o com uma propriedade que muitas vezes mais pr tica de ser usada que o Axioma do Supremo Arquimedianidade Dado K gt 0 por maior que seja existe n E IN tal que n gt K Dado gt 0 por menor que seja existe n ENEA com 0 lt i Le Dados quaisquer a b gt 0 existe n E N tal que na gt b Exerc cio Mostre que esses tr s enunciados s o equivalentes a Como seu nome indica essas propriedades foram muito utilizadas por Arquimedes embora observadas antes por Eudoxo Embora elas valham para quaisquer n meros dados frisamos que o que realmente se deseja intuir a respeito de situa es de n meros muito grandes ou muito pequenos Exemplo Considere A 1 n N 2 Ent o sup A 0 e Temos d lt 0 para todo n e Se gt 0 ent o podemos encontrar n com 0 lt lt 0 e Isso garantido pela arquimedianidade Use a arq
287. mite Para a soma temos simplesmente ar h glx h F x ga F h Ha gl h gle h h h Para o produto usamos f h x glx h Ka x g h euk EE E glx h g 2 h glx h f x A conjuntamente com o fato de g x h gt g x quando h 0 porque fun o deriv vel cont nua A t cnica para o quociente mais importante em termos cient ficos e merece ser estudada Escreva u f g de modo que f gu Derivando ambos os Jados desta igualdade no mesmo ponto temos f g u gu Desejamos determinar u em termos apenas de f g e suas derivadas ent o substitu mos u f q obtendo f g f g gu Agora podemos isolar 105 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 u resultando na express o do slide H um por m assumimos que wu deriv vel ao derivar gu Para contornar isso calcule primeiro a derivada de 1 g utilizando a defini o de limite experimente depois mostre que u deriv vel usando a f rmula do produto para u f x 1 9 o que j apresentar a f rmula do quociente Recapitulando Para derivar uma soma de v rios termos derivamos cada termo e somamos Para derivar um produto de v rios fatores derivamos cada fator multiplicando o pelos demais inalterados e somamos tudo Ambas as regras para um n mero finito de termos fatores seguem daquelas para dois termos fatores por indu o Ass
288. mo cada componente uma fun o real de uma vari vel sua derivada o coeficiente angular da reta tangente ao seu gr fico em cada ponto Isso acontecendo em cada proje o da curva conclu mos que a velocidade vetorial y t um vetor que com base no ponto q t tangencia a curva y Portanto emergem naturalmente os pr ximos dois resultados o compri mento da curva a integral de sua velocidade escalar a reta tangente curva pode ser determinada por uma equa o vetorial dados o ponto e o vetor dire o 280 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O comprimento de y Code A reta tangente a y no ponto Y to parametricamente v y to Ay to A R AE S ponto dire o Diagrama na lousa Esse comprimento iguala a dist ncia percorrida por um ponto material com posi o Y t no instante t que possivelmente tem sobreposi es ou voltas por sobre a pr pria imagem da curva Exerc cio O gr fico de uma fun o f I gt R pode ser entendido como uma curva plana y 1 gt R y t t f t M stre que as dedu es acima para o comprimento e a reta tangente coincidem com aquelas que aprendemos em Uma Vari vel respectivamente f 1 f t 2dt e L t f a Fa t a Exemplo A reta y t 4t2 1 3t2 7 para te 0 2 Y t 8t 6t 0 Iv c amp ll 10 comprimento e 10t dt 20 e tangente em
289. mplesmente uma transforma o afim Tamb m qualquer combina o de transla es e dilata es efetuadas com os valores de f opera es verticais ter o mesmo efeito de uma transforma o afim Em resumo a express o final ser Alf ax b B e o gr fico dessa fun o de x ser transladado vetorialmente em rela o ao de f e dilatado ou contra do em cada dire o horizontal ou vertical independentemente O conceito de composi o que estudaremos em breve permite nos for mular essas conclus es de modo mais sucinto a composi o de transla es e dilata es da reta real em n mero finito resume se a uma transforma o afim todas as combina es podem ser descritas como a composi o de uma fun o afim seguida da fun o dada seguida de outra fun o afim 1 5 Simetrias monotonias e limita es Conheceremos aqui mais algumas propriedades que uma fun o pode ter ou n o Esta se o agrupa propriedades que embora possam ser defi nidas algebricamente t m fort ssima interpreta o visual no gr fico de uma fun o Continuaremos trabalhando com a nota o convencionada f D gt C isto chamamos D o dom nio e C o contradom nio que suporemos ambos contidos em IR Em se tratando de simetrias trabalharemos com D R Fazemos isso somente porque necessitamos parte da estrutura alg brica de IR mais precisamente a habilidade de tomar opostos x e ordenar n meros que n
290. n o depende de x sendo x que deve pertencer ao intervalo de raio centrado em a Finalmente recorde que todas as letras utilizadas s o nomes e como sempre podem ser substitu das ou permutadas em outras partes do texto Aten o e Deve valer por menor que seja gt 07 e Usamos x a para poder trabalhar com f a Z L ou f nem definida em a e defini o diz somente quando L limite n o como calcular L nem se algum outro n mero limite nem se f sequer tem limite Determinar ou calcular L ser o assunto futuro e de boa parte dos cursos de C lculo N o preciso que exista um limite algumas fun es oscilam muito de pressa como o caso de sen 1 1 em torno do zero e outras explodem como a pr pria 1 x coma pr ximo de zero A defini o formal de limite pode ser parafraseada em termos muito usa dos em Matem tica O jogo do para f a L fixados Desafiante escolhe gt 0 e Respondente tenta defender com gt 0 tal que vz Ja a UJa a 61 f x L lt e Desafiante refina e Respondente tenta defender com mais refinado tamb m Se Respondente sempre consegue ent o lim f x L ta Se Desafiante prop e para o qual Respondente n o tem ent o lim f x L aa 66 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cuidado para n o se confundir Na pouca Teoria dos Jogos envolvida aqui as
291. n o existe lim 252 rL Assim como j hav amos indicado acima que podemos calcular os limites das fun es sen ecos em 1 lt a lt 1 o modo correto de expressar c lculos no caso dos dois extremos 1 utilizar limites laterais com z 1 er Alguns autores usam as abrevia es f a lim a f x mas isso n o significa que inventaram novos n meros a 76 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule gt xzx l l z v 1 1 4 e lim e lim Ro ag 1 v l g gt 1 x l t2 t2 e lim E e lim l t5o t t t 0 t e lim vyz fala se em lim 2 te as 2 1 2 Procure mais exerc cios para praticar Suponha DC IR f D gt R e a pto int de DU fa Ent o Slim f x amp gt a e J lim f x e J lim f x x e e eles s o iguais esse o valor de lim f x Maa O slide refere se a limites reais Contudo quando estudarmos limites infinitos se ambos lim a f x s o o mesmo o ou oo ent o tamb m lim a f x ou oo respectivamente Exemplo exerc cio Fa a os gr ficos destas fun es e mostre que lim f x 3 mas que L gt n o existem lim g x e lim Afr 152 152 3 sex lt 2 ii Fa xr 1 ser gt 2 se x lt 2 sex gt 2 sex lt 2 se x gt 2 TT G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Ver
292. n ria A fam lia T de todos os subconjuntos abertos de R chamada topologia da reta Note que T C P IR Esclareceremos e provaremos tr s propriedades 1 RET 2 T fechada sob intersec es finitas 3 T fechada sob uni es arbitr rias Conclui se em vista do teorema apresentado acima que uni es finitas e intersec es arbitr rias de fechados s o ainda fechadas e que todo conjunto fechado uma intersec o de intervalos fechados Primeiramente sabemos que e IR s o abertos Agora trabalharemos com abertos 4 B e argumentaremos que AN B tamb m aberto Para x AN B queremos mostrar que x ponto interior de ANB Tome 4 g gt 0 com z 4 E4 C Ae z eg x epgl CB Com min 4 g gt 0 temos r e xz e C ANB E quanto a outras intersec es finitas Antes de mais nada a ocorre um abuso de linguagem a intersec o n o ser necessariamente um conjunto finito trata se na verdade de uma intersec o de um n mero finito de conjuntos Dados 41 A T queremos tamb m 4 N N A E T Procedere mos por indu o em n o caso n 1 imediato e o que provamos o caso n 2 Supondo que o resultado vale para n provaremos o correspondente para n 1 Coloque A 4 N NA e B A 1 de modo que desejamos ANB T Mas j temos B T porque esse conjunto j dado como aberto enquanto 4 T por hip tese caso n Ent o aplicamos o resultado pr
293. n 0 p q mesmo que o menor comprimento tipogr fico pare a melhor afinal algumas dessas letras j estar o ocupadas com outras vari veis ou ser o de uso tradicionalmente diverso Cada ndice n portanto descreve um n mero ou objeto x diferente diz se que x a n sima l se en sima coordenada do vetor dado ou em geral o n simo elemento de alguma enumera o onde se comete um abuso de linguagem em associar o ndice ao sufixo simo de palavras como vig simo ou cent simo Certas conven es seguem se naturalmente do uso de ndices O vetor acima pode ser mais concisamente apresentado como 1 Toy 19 20 OU Mesmo x4 20 e em alguns estudos mais avan ados como x 1 lt S n lt 20 ou n i lt n lt 20 ou simplesmente xn se o intervalo de inteiros onde n varia estiver claro e fixado At mesmo a quantidade de coordenadas pode ser uma vari vel ou inc gnita ou simplesmente uma constante com que se prefere trabalhar abstratamente caso em que se escreve isa p rao vetor que tem k coordenadas Tratando se de segii ncias apresenta mos uma fun o s IN gt IR como so 51 820 SImol sis 372 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 onde as retic ncias finais indicam que a seq ncia tem uma entrada para cada n mero natural Na parte de V rias Vari veis deste texto adotamos como algu
294. nal Grande massa M centrada na origem n 3 Massa m distante d sofre for a GM m d Acelera o a de m e magnitude GM d e centr peta Campo el trico entre cargas de mesmo sinal centr fugo Lembre agora que u v v implica v v u ent o todo vetor sua norma vezes o unit rio com mesma dire o e sentido GM Ent o la s y ME E e zy 2 l alt y2 lla x y 2 unit rio centr peto i GM x y z l le Ie y2 GM a z 22 y 22 3 2 T Y 300 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Campos circulares F circular com respeito origem se Yx F x L z Tipos e anti hor rios e hor rios e e outros misturados Teste de circularidade F x x 0 Para representar campos circulares valem id ias semelhantes s de cam pos centrais desenhe retas passando pela origem e em seus pontos marque vetores perpendiculares Represente para n 2 a x y y T PEUS gt ZE Marque uma bola aberta na origem Esse campo circular exceto na origem Qual seu tipo Por qu Note que cada vetor unit rio No plano n 2 o sinal de E x y y x positivo se F for um campo anti hor rio e negativo se F for hor rio Outro modo de verificar o sentido de rota o conhecendo os sinais de x e y em cada quadrante us los para dete
295. nda temos f gt 0 de modo que f crescente ao redor de a j que f a primeira derivada de f Como f a 0e f crescente preciso que f lt 0 esquerda de a e f gt 0 direita de a De acordo com 4b vemos que a um ponto de m nimo local Exemplo na lousa Determine e classifique os pontos de extremo globais e locais de 31 413 1272 7 em 10 10 com todo o procedimento proposto 189 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para fazer 4b lembre se de como determinar o sinal de um polin mio escreva o como produto de mon mios e multiplique em cada intervalo 1 para cada raiz esquerda e 1 para cada raiz direita Solu o M ximo global em 10 m nimo global em 2 m ximos locais em 10 0 e 10 e m nimos locais em 1 e 2 Procedimento b sico de otimiza o e Leia cuidadosamente e fa a diagrama e Introduza nota o d nome aos bois e Relacione as quantidades envolvidas e Traduza a quantidade pedida em termos de apenas uma outra por substitui o e Ache os extremos e classifique os e Formule a conclus o com clareza Exemplos cl ssicos Um rancheiro disp e de material para 500m de cerca e deseja cercar um pasto retangular adjacente aum rio reto N o preciso fechar ao longo da margem Quais as dimens es do pasto com maior rea que ele pode cercar Diagrama na lousa Frent
296. nio ent o ele deve tamb m ser um n mero real para que fa a sentido falar se do valor da fun o nesse ponto mera conveni ncia est tica dizer que uma fun o cont nua nos pontos isolados de seu dom nio Em termos gr ficos nessa situa o n o h tu binho para trabalhar se e o gr fico porque consiste de apenas um ponto em uma vizinhan a uma curva cont nua de modo muito trivial ou de generado Nesses pontos de qualquer modo n o se pode calcular limite 93 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim fun es cujos dom nios somente cont m pontos isolados s o sempre cont nuas por exemplo toda sequ ncia IN gt R cont nua Os pontos do dom nio que n o s o isolados devem for osamente ser pontos de acumula o e agora sim podemo nos perguntar com nossa nota o f D gt R usual se limpa f x f a isto se ve gt 0 36 gt 0 Vr D z a lt 8 f x f a lt e Note que removemos a condi o 0 lt x a ou seja considerar a porque podemos calcular f em a j que a D e tamb m porque nesse caso sempre temos f x fla 0 lt e Em termos da caracteriza o do limite por sequ ncias esse fato significa que f cont nua em a se e somente se vs DN lim sn a gt lim f sa 5f a ou seja a sequ ncia Sn nen agora pode assumir o valor a uma v rias ou infinitas vez
297. nirmos a m dia ou esperan a de uma vari vel aleat ria pre cisamos ferramentas muito avan adas que d o sentido a esta express o E X JoXdP Em um curso introdut rio de Probabilidade e Estat s tica voc ver P em termos de uma distribui o e a integra o ser feita normalmente sobre IR Quando Q finito por m j podemos definir tudo explicitamente aqui Suponha Q finito F P N e P X como acima O valor esperado de X X XOP e a vari ncia de X Var X a TANG X P PUWY Exerc cio Mostre que Var X E X E X E X E X P A nota o 3 seo F w significa isto como Q finito podemos escrever Q w1 Wn em que os elementos de Q s o todos enumerados sem repeti o ent o aquela soma X F w Muita coisa ficou para baixo do tapete como a linearidade de E que uma fun o com valores reais sobre o conjunto de vari veis aleat rias que s o fun es por si pr prias e demais propriedades de E e Var Por m o exerc cio envolve opera es entre fun es o que j estudamos Voc pode resolv lo assumindo a tal linearidade de E ou trabalhando sobre as defini es Para facilitar seus c lculos trabalhe com Y X E X 378 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Notas e solu es P g 13 a Suponha que a S note que isso implica que a D e que f a e f S Queremos mostrar que a
298. ns ou tros autores a indexa o autom tica que chamar de x o vetor acima reciprocamente dado um outro vetor a imediatamente ser a sua n sima entrada Observamos que tamb m se pratica indexa o dupla ou tripla e mesmo indexa o de ndices Assim podem se encontrar letras indexadas como Jijk OU An E J k No primeiro caso para cada valor de cada ndice i j e k teremos um objeto diferente gijx por exemplo uma matriz A consiste de uma entrada A para cada i sima coluna e j sima linha Ge metras preferem escrever Ai onde a opera o com j n o uma potencia o mas n o fazemos isso aqui J a segunda constru o uma maneira de destacar um ndice espec fico Nk dentre v rios e ent o o objeto indexado por ele Finalmente ndices n o est o circunscritos a n meros naturais qualquer conjunto J a que se d uma estrutura adequada pode servir para indexar uma fam lia de objetos X um para cada I O alfabeto grego Em C lculo voc deve ser capaz de reconhecer estas min sculas a b y 0 AT p X w Algumas delas t m significado espec fico ou dependente de contexto mas mesmo esse significado como 7 pode ser sobrescrito Com pr tica voc conhecer todo o alfabeto seguinte vers o a tradicionalmente utilizada em Matem tica A a alf
299. nstante de integra o L ln z vz a2 C mesmo procedimento m arctg E C n ln C gta S gt n C P g 207 a Temos sonar f EEEE Agy gt ea tten sec tgr sec tgr CSC CSC X cota d cot x csc x fora f da f csc x cotar Csc cotar P g 208 a Com z t I ire e E 40 b Com u x 4 arctg aC z e Qu 5 02 5 20 5 501 Com u 2r 5 os au FO So d Com z amp lns t C P g 209 U Com z 3sent 4 ln C b Com x tgt arctg x C c Com T tgt In z v1 z C d Cow sect ln x vz 1 C 394 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 211 a Use a primitiva de 1 sen x tabulada para escrever f d cota f e aplique partes Sol x cot x ln sen z C b Com z escreva f td e 2 e aplique partes Sol na 0 c Com x e integre f t d e usando partes duas vezes Sol x In x ar intao 1 3 or d Sol wE sen 37 e cos 3x C e Com g sent integre diretamente f t d sent por partes Sob x arcsen v1 224 f Com z tgt integre diretamente td tgt por partes Sol x arctg x
300. nstrados a partir da defini o de limite ou seja que aquela propriedade enorme de e vale quando f uma dessas fun es a pertence a seu dom nio e L substitu do por f a No caso das fun es polinomiais isso ser poss vel com as regras de soma e produto que veremos a seguir bastando mostrar que lim ax a limsa Cc c para qualquer constante c Estas duas identidades voc pode mostrar com o jogo do s graficamente e assim determinar para uma demonstra o alg brica N o poss vel mostrar em cursos b sicos de C lculo que v rias fun es s o cont nuas Essa tarefa deixada para cursos de An lise porque para mostrar algo sobre uma fun o precisamos ter uma defini o formal dessa fun o No caso da fun o seno por exemplo o estudo de tri ngulos ou c rculos trigonom tricos ajudou nos a criar essa fun o e ser muito til para compreender mesmo a defini o formalizada mas n o se adequa ainda ao trabalho com cd Utilizaremos abaixo as nota es e F Elas n o significam que es tamos considerando duas opera es ou dois pontos simultaneamente S o 70 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 meras abreviaturas e convenciona se que se voc escolher o sinal de cima ou de baixo para ler deve sempre ler o sinal de cima ou de baixo respec tivamente nas ocorr ncias seguintes Regras de c lculo No mesmo a Jim f
301. nt nua somente nos irracionais f 10 1 gt R f x i Por uma fra o m n ser reduzida queremos dizer n gt 0 e mde m n 1 isto m e n s o relativamente primos 1 7 Intui o versus defini o Pensamos em f D gt C como uma regra que associa a cada ele mento de D um elemento de C Mas isso problem tico O que essa regra Que tipos de regras podemos usar par descrever fun es Ent o vamos trabalhar com uma defini o precisa Uma fun o f D gt C qualquer rela o entre pontos de D e pontos de C tal que todo x D relaciona se com um nico y C Escrevemos f x y Portanto a associa o f x y n o precisa ser descrita com f rmulas ou palavras Dado x o correspondente y nico Nem todo y precisa ser relacionado a um x e tamb m n o preciso ser o mesmo y para todos os x Mas preciso que n o haja nenhum x sem um y correspondente 26 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Reescreva o par grafo anterior indicando que o y correspondente a x depende desse x afinal y f x Use esta nota o Yy Para o pr ximo exerc cio melhor dar nomes s quantidades mas ainda assim trabalhar com elas de modo abstrato ent o suponha que D C tenham p q elementos respectivamente Exerc cio Considere o conjunto CP de todas as fun es D C Suponha que D e C s o finitos
302. nt o ft f a Fo Detalhes para fr existir Ser deriv vel De fato flo f x x gt flof 1 enquanto fo a FDA a f a pela Regra da Cadeia Veja que n o preciso verificar que f a 0 j assumindo f7 deriv vel em f a porque isso implicado pela express o obtida um produto igual a 1 requer que seus fatores sejam n o nulos Exemplos com fun es inversas vin porque y lng gt d egpedy a 1 gt y 101 a substitua y x para forma final A e sentry 1 r porque y sen ir gt x sen y gt 1 cosy y gt y 1 cosy Gr fico na lousa e tg7t r 1 x porque y tg t r gt z tgy gt 1 amp gt cos y y cos y Gr fico na lousa 168 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Derive cos 1x cot lx sec x esc x utilizando apenas deriva o impl cita e as derivadas tabuladas para as fun es trigonom tricas Con fira seus resultados com a tabula o 6 4 Taxas relacionadas related rates Tanto deriva o impl cita como a Regra da Cadeia encontram suas apli ca es mais importantes neste t pico Procedimento b sico e Leia cuidadosamente e fa a diagrama e Introduza nota o d nome aos bois Essas grandezas t m derivadas quanto ao tempo e Traduza enunciado em equa es com derivadas e Substitua informa
303. nte independentemente de reordena o Discuss o extraordin ria Assim como se fala em converg ncia de n me ros pode se falar em converg ncia de fun es cada fun o f desempenha melhor e melhor o papel da fun o f Como antes a respeito de limites tamb m se deve dar significado preciso ao conceito fn f Nesse caso de fun es h muitos tipos de converg ncia cada um melhor adaptado a um prop sito Em Estat stica por exemplo a converg ncia em medida muito aplicada A forma mais bvia de converg ncia chamada simples dadas fa D gt R para n N e f D gt R definimos que fa gt f se limsoo falz f x para cada x D A converg ncia simples portanto n o requer rela o alguma entre as converg ncias em diferentes pontos do dom nio dado gt 0 na defini o do limite de sequ ncia o valor m nimo N depende tanto de como de x Mas a fun o limite f pode n o herdar propriedades das fun es fn se a converg ncia apenas simples Por exemplo as fun es fa x x s o cont nuas em 0 1 mas quem seu limite A converg ncia uniforme sana esse problema nela N depende de ape nas e funciona igualmente bem para qualquer x D Assim se fa gt f n o somente fr f ponto a ponto mas tamb m f f sup ep fn x f x 0 essa norma da diferen a serve para definir dist ncia entre fun es Esses detalhes sobre formas de converg nci
304. ntos compactos de IR s o precisamente os fechados limitados 2 uma fun o con t nua como estudaremos neste curso com dom nio compacto n o somente limitada mas atinge ambos os melhores teto e piso ou seja ela assume valores m ximo e m nimo nesse dom nio A defini o assim um conjunto K compacto se qualquer cobertura de K por conjuntos abertos admite uma subcobertura finita Ent o precisamos saber o que cobertura uma fam lia de conjuntos no caso abertos cuja uni o cont m K A subcobertura finita consiste de um n mero finito de conjuntos dessa mesma fam lia cuja uni o ainda cont m K Ou seja se KC Wier A onde todos os A s o abertos ent o existe um subconjunto finito ly C J de modo que K C Usem Ag Mencionamos tamb m os conjuntos conexos na p gina 52 Um conjunto X conexo se n o pode ser separado por abertos isto n o existem abertos A B tais que X C AUB e ambas as intersec es XNA be XAB f Essa propriedade importante quando seestuda o Teorema do Valor Intermedi rio e suas varia es Na reta real os conexos s o precisamente os intervalos mas no plano ou no espa o tridimensional a situa o muda dramaticamente que tal procurar por defini es dos termos entre aspas que definimos naquela p gina 59 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 3 Introdu o aos Limites Temos duas metas neste cap tu
305. o ou cosseno inverso porque se busca o arco ou ngulo cujo cosseno um determinado valor 10 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Aten o sen lx sena 1 sen x sen x de modo que sen senosen Veremos o futura mente Cuidado com tradi es incompat veis Aten o cos lx o ngulo entre O e m cujo cosseno zx Veja cos cos E cos 10 Z Cuidado com dom nio e contradom nio 1 2 Nomenclatura e propriedades Geralmente usamos regras para definir fun es f x 3x 5x 4 Podemos usar regras diferentes para casos diferentes x 3x Mg lt O g x 4 cosa g0 Ar lt T Ze ser gt T Note dom nio totalmente coberto pelos casos Uma situa o pr tica em que surge uma fun o definida por casos o c lculo do Imposto de Renda A t tulo de exemplo apenas suponhamos que rendas at R 2000 estejam isentas at R 5000 sejam taxadas em 15 e acima disso sejam taxadas em 20 Primeiramente considere o caso do assalariado que recebia R 1900 e estava isento de imposto mas recebeu um aumento e seu sal rio passou a R 2100 Essa renda maior que o limite da primeira faixa mas seria injusto tribut la totalmente em 15 R 315 o assalariado prefereria n o receber o aumento original e menor de R 200 Para eliminar esse conflito o sal rio taxado por peda os
306. o f fx da D em que o vetor x percorre D Exerc cio Mostre pela defini o que toda fun o constante integr vel e calcule sua integral sobre D Em diversas reas e por diversos autores a integral m ltipla f p f x dx costuma ser indicada de modos variados Por exemplo quando n 2 ou n 3 e D uma regi o com rea 4 ou volume V escreve se respectivamente Tenra I ne 263 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Muito em breve integraremos sobre regi es outras que paralelep pedos ret ngulos No caso de um dom nio limitado D basta arranjar um parale lep pedo Do que contenha D e estender f a uma fun o fo Do gt R com folposp 0 Os fatos a seguir e suas demonstra es s o an logos queles da integra o de Riemann de fun es de uma vari vel recomend vel rever aquelas demonstra es tendo se em mente o cen rio de v rias vari veis Valem as mesmas regras e linearidade e domin ncia e controle e se D D U U Dy dois a dois disjuntos e cada f p integr vel ent o f integr vel e f iona S f x de Na ltima propriedade importante exigir integrabilidade em cada sub dom nio Dx para garantir que eles s o suficientemente razo veis de modo que Xp seja integr vel tamb m Discuss o extraordin ria Ocrit rio de Lebesgue que determina se uma fun o integr vel ou n o tem enunciado para
307. o aberto s o interiores estando contidos nesse pr prio intervalo aberto Do mesmo modo s o abertas tamb m as uni es desses intervalos Reciprocamente podemos mostrar que todo aberto alguma uni o de intervalos abertos Aqui est uma sugest o se A um conjunto aberto ent o para cada x A existe um intervalo aberto 1 tal que x I C A porque x um ponto interior de A Feito isso propomos que A a uni o desses conjuntos T para todos x A Em s mbolos A J e4 Jr cf discuss o a seguir De fato por um lado como cont m cada 1 tamb m cont m sua uni o por outro cada elemento x de A pertence a seu correspondente Ty e por conseguinte uni o Um conjunto fechado quando cont m todos os seus pontos de acu mula o Lembre x ponto de acumula o de F se Ve gt 0 Jz e zx eln P eh 4 Exemplo 1 0 U fi n e N U 3 f Novamente e IR s o conjuntos fechados assim como todo intervalo fechado J n o verdade que uni es arbitr rias de intervalos fechados sejam conjuntos fechados 10 1 UX 1 n o cont m o ponto de acumula o 0 Um modo de conhecer mais conjuntos fechados aplicar a caracteriza o dos abertos conjuntamente com o seguinte fato 56 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Teorema F C R fechado se e somente se F aberto Na demonstra o praticaremos v rios rac
308. o adicional como em todo o C lculo cada uma n o apenas importante por provar alguma tese mas muito mais por conter ao menos uma t cnica ou racioc nio chave 14 1 Diferenciabilidade Para reproduzir vetorialmente os c lculos que determinaram a melhor aproxima o linear em Uma Vari vel a partir da p g 171 faremos uso de matrizes das fun es que induzem chamadas transforma es lineares em lgebra Linear e do produto matricial Com isso definiremos fun es de 12 ordem e melhores aproxima es lineares vetoriais com v rias vari veis Matriz A E M n IR induz fun o A R gt R z gt Ax onde visto como vetor coluna 319 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A respeito das fun es induzidas por matrizes note que a soma d ma trizes m x n corresponde soma dessas fun es R IR N o h um produto espec fico dessas fun es e de fato o produto de matrizes k x m e mxn corresponde composi o R R R das fun es induzidas Em lgebra Linear essa a tradu o entre as chamadas transforma es lineares e suas representa es matriciais Para aprofundar o entendimento sobre essas fun es escrevamos o pro duto Ax como o vetor Ajx Ant onde A a i sima linha da matriz Ae portanto A x a combina o dessa linha com o vetor coluna x feita na multiplica o matricial Note q
309. o aparece Exerc cio Usando 1 2 e 3 mostre que 4 equivale a se A B F ent o ANBe P Exerc cio Verifique que cada fam lia abaixo satisfaz 1 4 E F 0 0 F P Q e F AE PQA o NX A finito Para mostrar uma equival ncia no primeiro exerc cio mostre que uma propriedade implica a outra e n o esque a a rec proca Quais s o as duas coisas a mostrar Agora observe que AN B AN B mas quando 4 Be F ent o tamb m B F por 4 e assim AN B F por 3 Tente fazer a rec proca No caso de o lgebras a ltima fam lia no segundo exerc cio deve ser substitu da por F A P Q A ou QN A enumer vel 376 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fixados Q e F como acima a medida de probabilidade P F gt 0 1 satisfaz e P 0 0e P Q 1 e se A B F ent o P AU B P A P B P AN B Assim a fun o P uma medida aditiva e indica a medida ou tamanho do evento considerado Subtra mos P AN B porque contamos A M B duas vezes ao considerar 4 e B separadamente pense nisso em termos de uma contagem de elementos O conjunto vazio tem medida 0 e o espa o todo Q tem medida 1 ou seja 100 de chances perfeitamente poss vel ter conjuntos n o vazios com medida 0 e ent o seus complementos t m medida 1 apesar de n o serem completos Por exemplo que medida voc daria
310. o assunto mas pode ser considerada t cnica demais H outros autores brasileiros cuja obra segue ou n o essa linha como Paulo Boulos amp Zara Os livros americanos s o comumente traduzidos mas se voc tiver acesso ao original em ingl s prefira o Geralmente o autor americano de C lculo b sico deseja apresentar a mat ria com um m nimo de rigor matem tico sem obstruir as id ias principais e extrair motiva es racioc nios e aplica es do mundo natural usando uma linguagem fluente Por m para acomodar diversas abordagens submete se ao gigantismo e faz apartes demasiados margem do fluxo de pensamento principal Este o autor americano usualmente mais recomendado STEWART James C lculo Volume I 62 ed tradu o de An tonio Carlos Moretti Antonio Carlos Gilli Martins S o Paulo Cengage Learning 2010 T tulo original Calculus Early Trans cendentals 403 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Ele conversa mais com o estudante e mant m os coment rios marginais em um m nimo Outros autores s o Thomas amp Finney Edwards amp Penney Simmons Leithold Spivak e at Apostol Dentre as outras vertentes culturais a escola da regi o e da poca sovi ticas prefere reda o direta diagramas simples cuidado simult neo com o rigor l gico a intui o e as aplica es exemplos extra dos diretamente de m todos industriais e exerc cios vari
311. o de limites e demonstra o de continuidade em IR s o v lidas tamb m no caso vetorial devidamente 256 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 adaptadas mas preciso atentar que x a significa como veremos na pr xima se o que as coordenadas de x aproximam se das respectivas coor denadas de a de todas as formas poss veis Por exemplo tome x Hey 27 onde x y s o vari veis reais segundo nossa conven o para exemplos Pode mos perguntar se existe lim 0 0 f x y Aqui x y 0 0 significa que o ponto x y aproxima se da origem mas o modo como essa aproxi ma o se d n o especificada o valor do limite dever ser o mesmo para qualquer Jeito que x y v a 0 0 Se supusermos que x 0 ey t com t gt 0 temos mesmo x y gt 0 0 e 0 a Por m se tomarmos ambos x y t com t gt 0 tamb m x y gt 0 0 e agora 2 t 1 w ET Assim devemos concluir que n o existe lim 0 0 f x y e que nenhum valor para f 0 0 tornar f cont nua na origem Fica claro tamb m que h in meros modos de x y 0 0 como x t sent e y exp 1 t comt 0 e outros Em geral imposs vel considerar todas as possibilidades para o c lculo do limite Veremos ao longo desta parte V rias Vari veis como faz lo pratica mente 10 4 Componentes escalares Daremos maior enfoque s fun es escalares de v
312. o e ent o poderemos fazer a mesma classifica o em qualquer ponto onde haja f a aqui calculamos f nos pontos cr ticos somente porque neles que estamos interessados para m ximos e m nimos Tamb m veremos o que um ponto de inflex o onde a concavidade do gr fico muda de orienta o Por m nem todo ponto cr tico com f 0 ponto de inflex o a fun o x tem concavidade para cima mas todas as derivadas s o zero em 0 Como n o poss vel tirar alguma conclus o nessa situa o analisar o entorno do ponto cr tico ser essencial e o estudo a seguir dever ser feito No caso das extremidades do intervalo embora a orienta o da conca vidade do gr fico seja a mesma o car ter de m ximo ou m nimo local invertido por exemplo se a concavidade para baixo ent o o gr fico est todo abaixo do valor de um ponto cr tico que ser ponto de m ximo local mas acima do valor de uma extremidade que ser ponto de m nimo local justamente porque a boca est virada de cima para baixo Se 4a j produziu os resultados desejados pode parar por aqui Discu tiremos sua demonstra o juntamente com a de 4b 188 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 4b Verificar sinal de f ao redor dos pontos cr ticos e das extremidades esquerda direita ent o f gt 0 f lt 0 m ximo local E 00 f gt 0 m nim
313. o existe 0 lt 0 lt 7 com f 0 0 N o diz quais ou quantas ra zes Veja que e n o demos um valor para essa solu o 0 da equa o x cos x 0 que n o um valor trivial e nem determinamos quantas solu es a equa o tem no intervalo 0 7 Tudo o que o TVI fornece a exist ncia de ao menos uma solu o M todo da bissec o Se f a e f b t m sinais opostos indicando a exis t ncia de uma raiz de f em a b calcule tamb m o sinal de f Conforme esse sinal a raiz dever estar em a amp ou Sb Repetindo o processo quantas vezes for necess rio podemos Pioda a localiza o da raiz em um intervalo com comprimento menor que algum erro previamente fixado Simon Stevin utilizou uma id ia similar para produzir aproxima es de ra zes polinomiais com tantas casas decimais quanto desejado Como isso pode ser feito O TVI assume muitos nomes Teorema de Bolzano Anulamento etc Em linguagem topol gica ele afirma que a imagem de um conjunto conexo por 145 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 uma fun o cont nua tamb m conexa O TVI imensamente importante e voc dever encontrar diversas aplica es em seu livro de C lculo Por exemplo Borsuk Ulam em qualquer c rculo m ximo sobre a Terra existem dois pontos ant podas com a mesma temperatura A Propriedade do Valor Intermedi rio con
314. o local outras combina es n o extremo Isso determina extremos locais interiores se f for deriv vel Complicado talvez desnecess rio Somente preciso determinar os sinais de f esquerda e direita local mente isto ao redor do ponto cr tico em um pequeno intervalo para cada lado n o no dom nio todo Em algumas situa es determinar o sinal da derivada em intervalos pode ser complicado Frequentemente 4a mais f cil de usar que 4b porque requer determinar o sinal de uma fun o em um nico ponto por vez n o em todo um entorno Por m exigiu se continuidade de f na falta disso preciso novamente checar o comportamento de seu sinal em toda uma vizinhan a Demonstrar essa regra requer apenas aquele exerc cio sobre crescimento invocando o TVM Se a fun o cresce antes do ponto cr tico e decresce depois ent o ela assume valor m ximo nesse ponto sendo an logo o caso para valor m nimo Quanto a demonstrar 4a repare apenas que o sinal de f no ponto valer tamb m em um entorno dele assumindo f cont nua e portanto indica crescimento ou decrescimento da pr pria fun o f ali assim como usamos f para estudar o crescimento de f Desse modo no ponto cr tico f dever trocar de sinal e ent o a tabela em 4b poder ser usada Por exemplo suponha que f a 0 e f a gt 0 suponha ainda f cont nua Ent o ao redor de a ai
315. o plano f x y 5x2y 2y x No ponto 1 3 iden tifique as dire es e sentidos em que a temperatura cresce mais rapida mente a temperatura diminui mais rapidamente a isotermaestende se Esquematize isso em um diagrama Exemplo do Guidorizzi n 2 Digamos que em um ponto x y em um mapa plano uma montanha tenha altura f x y 5 x 42 Um alpinista em 1 1 deseja tra ar o caminho mais ngreme para sua escalada Ent o ele escalar sempre no sentido de Vf a y 2x 8y Para determinar o caminho correspondente no mapa que chamaremos de y t x t y t devemos considerar a rela o Y t Wf y t com a condi o inicial y 0 1 1 Substituiremos esse paralelismo pela rela o mais forte de igualdade por que uma pretensa velocidade de escalada do alpinista n o importa a priori para o tra ado de seu percurso o que nos possibilita eliminar uma fun o desconhecida um fator positivo de proporcionalidade que pode variar com o tempo Assim pondo Y t AV f VH vem r t 0 1 y 8y t y O 1 Resolvemos esses dois problemas de valor inicial pelo m todo comum de separa o de vari veis obtendo z t et e y t e o que fornece uma parametriza o do caminho do alpinista cujas coordenadas horizontais ent o obedecem a rela o y x que se pode tra ar no mapa a proje o sobre o plano Oxy Isso n o significa imediatamente que no ins
316. o pode ser formalizado com Teoria da Medida que explica o conceito de rea e permite calcul la diretamente 226 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Essa rea tem sinal Gr fico na lousa t de Ai a Para calcular A Mol f If o lda f to da f t dz Mostre f f x dx 0 intuitivamente comprimento de ay 0 Definimos a b tojdo toat b a assim podemos integrar em qualquer ordem faremos Exerc cio Justifique geometricamente e memorize para f integr vele a gt 0 Se f mpar ent o f x dr Se f par ent o f f dr 2 fy Fx de Isso ser til em situa es especialmente de teoria de F sica ou outras aplica es em que o integrando n o facilmente primitiviz vel mas apre senta simetria O que podemos formular para uma fun o integr vel peri dica Exerc cio Use a defini o de integral para mostrar que o deslocamento de um corpo com velocidade V t t a b ao longo de uma linha f V t dt Mostre ainda que a dist ncia percorrida fi IV tl dt O fato do deslocamento ser numericamente igual rea sob o gr fico da velocidade portanto consequ ncia de duas interpreta es da mesma defini o de integral n o a causa a priori deslocamento nada tem a ver com rea 227 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1
317. o quanto ao eixo Oy conclui se que o gr fico de f ao redor de a tem o aspecto de uma ogiva invertida com ponto mais baixo sobre a no caso negativo a convexidade em ambos os eixos imp e que o gr fico seja uma ogiva para cima com ponto mais alto sobre a 390 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Mesmo se a n o cr tico a avalia o do hessiano e dos autovalores per mite deduzir informa o sobre o gr fico de f como a orienta o de sua con cavidade ou seu car ter de sela Isso porque a compara o entre f x e f a acima indica se Gr f fica acima ou abaixo de seu plano tangente passando por a f a Exemplo Central de distribui o remeter quantidades x y z do mesmo pr duto a tr s lojas separadas X Y Z resp Pre os variam conforme oferta X 100 2x Y 180 3y Z 160 5z O pre o no atacado foi 60 por unidade Maximize lucro l quido deter minando x y 2 Fun o objetivo f x y z 100 2x 60 x 180 3y 60 y 160 5z 60 z Derivadas primeiras of of mim 120 dy 0 6y of Sistema tem solu o x 10 y 20 e z 10 Lucro l quido m ximo f 10 20 10 900 Matriz hessiana 4 0 0 0 6 0 0 0 10 diagonal com entradas negativas ponto de m ximo 391 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Para matrize
318. oca existem esses conjuntos IR e Q com opera es realmente satisfazendo essas propriedades A constru o de IR a partir de Q poder ser feita depois que conhecermos o Axioma do Supremo poss vel mostrar tamb m que qualquer outra cong tru o que tamb m satisfa a todas essas propriedades incluindo o Axioma do Supremo levar ao mesmo conjunto IR ou seja as propriedades descritas bastam para que todos falemos do mesmo IR Construir C a partir de IR bem simples e costuma se faz lo em eur sos de lgebra Basta tomar IR com a soma usual de vetores e o produto a b x y ax by ay bx Ent o 0 0 corresponde a e 1 0 cor responde a 1 costuma se escrever i 0 1 preciso mostrar que essas opera es t m as propriedades requeridas por m j sabemos que n o pode ser ordenado como corpo Intuitivamente os elementos de Q s o as fra es de n meros em Z Mas o que uma fra o Para constru las formamos o produto cartesiano Z x Z e consideramos a rela o definida assim x y 4 b lt xb ya Po demos mostrar que uma rela o de equival ncia Dados x y Z com y 0 diremos que uma fra o 1 y consiste de todos os pares a b x y Ent o precisamos definir adi o e multiplica o de fra es por exemplo x y a b ser a fra o que cont m o par xb ya yb Um processo semelhante deve ser utilizado para construir Z a partir de IN em vez de
319. odem ter cada um e independentemente qualquer dos tr s compor tamentos indicados Determine ass ntotas Calcule limites nos infinitos que indicam oscila o ou ass ntotas ho rizontais ou inclinadas Calcule Mo im L s00 D B lim f M x Se s o reais a equa o da ass ntota em y Mz B Pode n o haver ass ntota inexistir M Fa a o mesmo em oo Em cada dire o qual D for ilimitado podemos calcular o limite de f no infinito correspondente Se o limite real obtivemos a ass ntota horizontal do gr fico naquela dire o e que devemos tamb m marcar tracejada o gr fico pode aproximar se cada vez mais por um lado dessa reta ou oscilar em torno dela cada vez mais apertado 194 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se o limite n o existe ou infinito tamb m obtemos informa es valiosas indicando se o caso de uma ass ntota inclinada em que procedemos ao c lculo de M B como no slide O caso espec fico das ass ntotas horizontais contemplado aqui com M 0 As defini es de M B podem ser motivadas assim Desejamos f x Ma B em que devemos determinar os par metros reais M e B Dividindo essa rela o toda por x e depois fazendo x oo obtemos 0 suat Desse modo eliminamos B da rela o e determinamos M Dispondo desse n mero isolamos o outro B f x Mr Seja a ass ntot
320. odos s o derrubados Considere as proposi es uma para cada n IN Pa 12 2 n n n 1 2n 1 6 Por exemplo P a afirma o 0 0 0 1 2 0 1 6 verdadeira Ser o as outras verdadeiras ou falsas Suponhamos que P seja verdade ent o vejamos como calcular a soma seguinte P chamada base da indu o 46 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P n l PHH Hn Hn 2 A EE H n 1 2n 1 n n Ra ida 6 6 2n 7n 6 n D n 29 2n 43 6 6 Note que isso 1 2 n 1 n 1 n 1 12n 41 1 6 ou seja a afirma o P 1 Esse c lculo para mostrar P a partir de Pa chamado passo da indu o Assim sabemos que vale Py e que valem todas Pph gt P P gt Ps P gt Pz w E das OO IO RR conclu mos que valem todas P Pi Po o E VA P mo Pimo i Em s mbolos esse Princ pio da Indu o Po AMB Pr41 gt Vn Pa Note bem Em nenhum momento o Princ pio da Indu o disse nos como calcular 12 22 n e obter o resultado n n 1 2n 1 6 Isso e o resultado correspondente em uma situa o qualquer dever ser obtido de algum outro modo ou com um racioc nio combinat rico ou a partir de estimativas ou mesmo como uma hip tese cient fica a ser testada Note ainda que esse tipo de racioc nio somente funciona para p
321. olin mios de Taylor Objetivo substituir f 1 gt R por aproxima es polinomiais Suponha Z intervalo aberto a I e f deriv vel at ordem N 1 Assim cada fo existe e cont nua 0 lt k lt N A melhor aprox 12 ordem ao redor de a Ha f a x a j escrita como polin mio centrado em a 178 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Busquemos o melhor polin mio de grau N Erro cometido En x f x EM Digamos que queremos lim s gt a x a Isso implica H v rios modos de mostrar essa implica o O que faremos aqui um pouco dif cil aplicando Hospital iteradamente mas n o requer uso de s ries e sua deriva o termo a termo Ap s estudar esse t pico voc poder retornar aqui e deduzir a f rmula para cada cy diretamente Dedu o extraordin ria Assumindo lim sa E 0 temos tamb m lim a Z6 0 para cada O lt k lt N porque se k lt N ent o basta multiplicar o limitando original por x a que vai a zero com x gt a Com k 0 por substitui o temos lim a En x limpsa f x co que zero se e somente se co f a porque f cont nua Com k 1 temos lim Ental da forma 0 0 em vista do par grafo anterior Queremos que esse limite seja zero de fato ser um n mero L por VHospital se tivermos lim sa As E L Prosseguindo temos lim va 1
322. or seja custo desperd cio resist ncia aerodin mica etc Atente paraa distin o vocabular um ponto do dom nio poder ser ponto de m ximo ou m nimo j sua imagem poder ser valor m ximo ou m nimo 185 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Quando se restringe a alguma vizinhan a de a extremo local ou relativo Discuss o sobre localidade compare picos do Jaragu e do Everest Em termos formais a um ponto de m ximo local ou relativo se existir vizinhan a V de a de modo que Yx VN D f x lt f a e nesse caso f a um valor m ximo local ou relativo Analogamente a condi o de minima lidade local ou relativa escreve se 3V vizinh de a Vx e VAD Ha gt f a Os extremos locais oferecem informa o importante sobre o comporta mento da fun o especialmente para a confec o de gr ficos ou se nosso interesse reside em um subconjunto do dom nio que cont m o extremo local mas n o o global Nesse esp rito o pico do Jaragu muito mais significativo para a regi o da Grande S o Paulo que o pico do Everest embora este certamente seja muito mais alto Assim o Jaragu domina toda essa regi o e seu ponto de m xima altitude se restringirmos o dom nio a tal regi o e tamb m um ponto de m ximo local mesmo em termos planet rios Por m o Everest o ponto de m xima altitude global se tomarmos o dom nio como
323. or li mite embora importante para dar sentido s interpreta es mec nica e geo m trica da derivada n o o melhorjeito de calcul la As regras de deriva o que apresentaremos neste cap tulo e a lista de derivadas de fun es cl ssicas que construiremos juntas fornecem um algoritmo receita de bolo para calcular a imensa maioria das derivadas de interesse Praticar por m con tinua t o essencial como foi com os limites procure exerc cios adicionais no seu livro de C lculo At aqui substitu mos o valor de a na conta Agora escreveremos x no lugar de a arbitr rio Memorize as regras e as principais fun es 103 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se g x c constante ent o g x 0 Se f x x para constante r R ent o f x rgt Em particular se f x x zt ent o f x 1 1 f cil provar usando a defini o por limite que a derivada de uma constante zero Quando r de fato um natural n a regra vale para qualquer x E R e j sabemos demonstr la fizemos c lculos explicitos quando n 2 ou 3 e em geral temos n n lim op lim E nah je ge H h nr h gt 0 h h gt 0 h 2 Para uma pot ncia arbitr ria a solu o escrever Ths exp r ln x express o com a qual aprenderemos a lidar em breve Note que essa regra inclui ra zes transforme as em expoentes fracion rios e a form
324. or que qualquer gt 0 e portanto podem ser aprisionados dentro de intervalos cada vez menores Discuss o extraordin ria N o h nenhum m todo miracul so que diga facilmente se uma dada fun o integr vel ou n o Al m da pr pria defi ni o um resultado tamb m abstrato o crit rio de Lebesgue que enuncia remos aqui como t pico opcional e cuja demonstra o deixaremos para um curso avan ado de An lise Dada f a b gt R limitada seja Zf o conjuntordos pontos de descon tinuidade de f Ent o f integr vel see somente se por menor que seja e gt 0 podemos encontrar uma sequ ncia de intervalos Jp n IN de modo que ARE Ine gt comprimento de In lt n 0 ng Em outras palavras f integr vel se cont nua fora de conjuntos as uni es de intervalos cujos tamanhos podem ser arbitrariamente pequenos Diz se que nesse caso Zs tem medida de Lebesgue zero A cobertura ser infinita ainda que enumer vel faz diferen a significativa Em particular se Zy finito ent o f limitada ser integr vel De fato sendo Z ko kp 1 satisfa a a caracteriza o do crit rio usando 1 para n gt p e In kn 2p kn e 2p caso contr rio Mais abaixo quando efetivamente precisarmos integrar recordaremos esse fato Intuitivamente com Confronto temos s f P lt rea lt S f P ent o b rea f f x dz Iss
325. ora e tamb m sobrejetora Em outras palavras e f injetorase Vx y e Da y f x f y Veja que outro modo de exprimi lo Vx y e D f x fly gt t y e f sobrejetora se Vu E C dx D f x u ou seja Im f C e f bijetora se a correspond ncia entre D e C pode ser invertida isto dado um 4 C encontraremos sempre algum x por sobreje o de modo que f x u e al m disso esse x nico por inje o Em ingl s os adjetivos mais usados s o one one injetora onto sobreje tora e one to one bijetora mas os galicismos injective surjective bijective j est o tornando se conhecidos Quando f bijetora podemos definir sua inversa f C D assim f u zx tal que f x u N o qualquer g C gt D que ser inversa de f Ou seja n o basta uma fun o fazer o caminho inverso da outra para ser sua inversa assim como b n o basta duas fun es fazerem o mesmo caminho para serem iguais 14 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assuma que f bijetora e mostre que f tamb m bijetora Quem iai Exemplo exponenciais e logaritmos Para 0 lt azl Fun o a bije o entre IR e IR Fun o log x bije o entre R e R S o inversas uma da outra Para o mesmo a Exemplo trigonom tricas e arcos Notamos que e cos injetora sobre 0 7 Ou s
326. os tomando os limites de raz es n o confunda portanto com a derivada do quociente que outra f rmula A demonstra o das duas regras correspondendo s duas formas obvi amente requer conhecimentos de deriva o especificamente o Teorema de Cauchy Deixaremos a seu encargo estud las no livro quando tiver os conhe cimentos necess rios mas daremos uma id ia intuitiva quando apresentarmos a melhor aproxima o linear de uma fun o Exemplos 3 8 v 3 2 e lim IE mto 12 da forma 0 0 rt gt 2 t zA 2 1 i 5x 6FF1 ru o 5 2 6 rH 10 5 lim s lim gt lim 2 ambas ag o00 Tr 9 a gt oc 7 97 x 14 T da forma 00 00 5z 6r 1 LH 5 22 6 LH 10 e miss im Tra Mm rera 0 ambas da forma 00 00 7 sent LH cost e lim lim 1 da forma 0 0 t50 t t gt 0 136 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Outras formas indeterminadas podem ser estudadas usando se Hospital como veremos nos pr ximos slides Para as formas 0 x e oo oo simplifique algebricamente a uma nica fra o Pode haver dois ou mais jeitos de fazer isso e vale a pena tentar v rios a fim de obter uma conta mais simples Algumas manipula es dessas formas s o bastante complexas ou envolvem derivadas mais complicadas por exemplo vtg x com z oo e conv m pratic las em v rios exerc cios Int p RA
327. ou na lousa da escola Em apostilas escolares costumam aparecer IN IR etc H muitos outras fontes isto tipos de letra em uso nas diversas reas da Matem tica Algumas podem ser dif ceis de reconhecer como Fraktur 659 e as caligr ficas ZZZ N o se preocupe com isso neste ciclo de cursos Enfim para indicar ou facilitar algumas associa es apor acentos s 371 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 letras pode ser necess rio ou ainda melhor do que alocar outras letras A linha f j sua conhecida assim como a flecha v Tamb m se podem usar a barra x o circunflexo realmente se l xis chap u ostil T e at alguns pontinhos N o se surpreenda ou ache engra ado que essas decora es sejam utilizadas com letras que comumente n o s o acentuadas ndices Mesmo essa variedade de fontes n o d conta das necessidades do usu rio de C lculo porque fregientemente precisamos dispor de uma grande quantidade de s mbolos que estejam relacionados Assim podemos indicar um vetor do espa o tridimensional como uma tripla x y z em coordenadas cartesianas mas para descrever um vetor com 20 componentes como necess rio por exemplo em Otimiza o Linear concorde que mais conveniente escrever 21 L2 L3 L4 L5 L6 L7 Lg L9 L10 C11 L12 L13 14 T15 L16 17 T18 T19 T20 do que x y z a b c d e do h i j k l m
328. p tulo 6 Deriva o Embora j tenhamos feito uma Introdu o Deriva o este cap tulo e o pr ximo fundamentam o c lculo de derivadas e suas aplica es a partir de sua defini o por limite a defini o de taxa de varia o instant nea que tem significado e apli cabilidade enquanto as regras de deriva o embora pr ticas n o guardam interpreta o alguma 6 1 Motiva o e defini o Posi o s t fun o do tempo velocidade m dia entre t lt tz s to s t to t Como definir velocidade instant nea t t2 aproximando se N o podemos dividir por zero Solu o t s t am SU sto t gt to t to A deriva o que o c lculo desse limite feita em pontos interiores do dom nio da fun o Veja um n mero a ponto interior de um conjunto D C R se existe um pequeno gt O tal que Ja a C D Assim temos a D e tamb m h todo um espa o em D em torno de a tanto para a esquerda como para a direita onde podemos calcular a fun o livremente 155 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Suponha D C R f D gt R e a pto interior de D Se pa tim O aa r a existir n real diz se que f deriv vel em a com derivada f a Se f n o deriv vel em a ent o n o se fala de f a mesmo no caso de limite infinito f deriv vel se o for em todo ponto de D
329. p y n o tem primitiva elementar quanto a y Para mudar a ordem preciso esquematizar o dom nio Figura na lousa 0 0 T 0 Desse m do exp y constante quanto a z 1 fy odia 0 0 1 y n ept da dy 0 0 f exp y y dy e 1 N A N N N NAIN N N e Ha 268 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos Demidovitch 2136 Mudar a ordem de 4 12x K f x y dy dx 0 3x2 Figura na lousa A regi o dada por O lt r lt s lt 4 3x lt y lt 12x Limitada pelas curvas y 12x e y 372 ou seja x y 12e x V y 3 donde E lt y lt a48 ises v5 48 p4 y 3 I f x y da dy 0 y 12 Portanto Lembre que formalmente isso fra qof x y d x y Demidovitch 2142 Mudar a ordem de E f x y de dy v2 2 Na lousa Solu o a E x y pia f e f x y dy da 1 vV3 a2 Fa J f x y dy dz Rob SS II 269 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Suponha a b k R coma lt be k gt 0 Suponha q a b gt 0 k integr vel Figura na lousa Sabemos que a rea sob o gr fico de y dada por S o a dx usando n 1 e fy 1d x y usando n 2 Mostre algebricamente que os dois valores s o iguais mostre que uma ordem de integra o ruim Exerc cio Mude
330. para o intervalo perfurado 0 1 4 Reescreva o como uni o de dois intervalos Quando F uma o lgebra exige se que P seja o aditiva isto satisfa a Bl en An 30 P A quando esses A s o dois a dois disjuntos Exerc cio Assumindo sempre 1 mostre que 2 equivale a se A B Fe AN B ent o P AUB P AJ P B Novamente h duas dire es ou implica es a mostrar Quais s o elas Uma vari vel aleat ria uma fun o X Q gt R satisfazendo Vke R wE N Xw sk EF Nosso interesse aqui entender a express o vari vel aleat ria Pensa mos em vari vel dependente porque X apenas uma fun o Ela mensu r vel todas as suas pr imagens dos intervalos oo k est o em F e podem ser medidas por P N o h nada de aleat rio em X sendo uma fun o muito bem fixada esse adjetivo usado porque o valor X w depende do resultado w de algum experimento sorteio ou outro fen meno aleat rio 377 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 A vari vel aleat ria apenas um modo de traduzir em n meros reais os poss veis resultados de um experimento que por si pr prios podem n o ser n meros reais por exemplo faces de um dado pessoas para pesquisa de opini o etc Separar a vari vel aleat ria do espa o amostral permite tamb m usar o mesmo espa o com diferentes vari veis Para defi
331. passar dz multiplicando e trabalhar isoladamente com df dx Isso ser feito mais tarde no t pico de integra o sob regras estritas Ponha h a temos r gt a amp h gt 0e A on Se fla L Harh Ha Fa im lim h xa Xx a h gt 0 Isso facilita muitas contas Na pr tica usa se x vari vel em vez de a ponto porque se quer fun o derivada futuramente 100 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo g x e temos noy o im Sth 902 _ g 2 lim 7 2h _ o2 h Eine SOS es E See lise h gt 0 h gt 0 Exemplo x t sent temos sen 3 h sen 3 do h E j sen 3 cos h cos 3 sen h sen 3 A TRR h cosh 1 o senh sen 3 lim E cos3 lim Et sen 3 0 cos3 1 cos3 Observe na fun o seno por exemplo que utilizar a nova letra h foi muito mais f cil que trabalhar diretamente com o quociente sen x sen 3 x 3 Pratique bastante a deriva o com h procurando exerc cios em seu livro de C lculo Caso a letra h seja o nome da fun o ou ocorra na express o a ser derivada experimente usar a letra n Exerc cio Calcule as derivadas se poss vel em 0 e 1 usando limite 3a At aqui utilizamos a pr pria defini o de derivada por limite ou uma transforma o desse limite para calcular deri
332. pode se mostrar que os dois enunciados s o equi valentes isto usa se o primeiro para provar o segundo e vice versa Uma sugest o para a primeira implica o trabalhar com a fun o f x y aq W y que nula Lembre que o Teorema do Valor M dio TVM que estudamos em Deri va o quando m n 1 tem a seguinte interpreta o A taxa de varia o m dia de uma fun o diferenci vel ao longo de um intervalo de fato rea lizada como a taxa instant nea em algum ponto no intervalo Em termos formais Para uma vari vel TVM Se f a b gt R cont nua em a b e deriv vel em la b ent o existe go E Ja b tal que f b Fla DS f xo 331 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O mesmo enunciado n o vale literalmente para fun es de v rias vari veis estudaremos a seguir alguns contraexemplos e os resultados similares que s o poss veis Come amos com fun es vetoriais de uma nica vari vel n 1 Para curvas Considere a h lice y 1 1 gt R q t cos 27t sen 27t t Diagrama na lousa Note que vertical Mas Y to 27 sen 27to 27 cos 2rto 1 para qualquer to 1 1 de modo que Y to nunca vertical O vetor tangente nunca vertical porque seno e cosseno nunca se anulam simultaneamente Outros exemplos s o poss veis como o c rculo cos 27t sen 27t par
333. pontos coincidam quando a densidade constante Para voc ter certeza de entender bem essas f rmulas simplifique as ao m ximo assumindo que p 1 para M voc dever entender a integral resultante como a rea da regi o dada Depois 243 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Determine o centro geom trico da regi o limitada por y 12 e y 9 Talvez voc queira exercitar seus m sculos e provar usando tais f rmulas os Teoremas de Pappus Guldin a superf cie e o volume de um s lido de rota o sem sobreposi o s o iguais a CP e CA respectivamente onde C o comprimento da circunfer ncia descrita pelo centro da regi o rotacionada P o per metro dessa regi o e 4 sua rea Um diagrama adequadamente arranjado facilitar sua vida Assim o s lido de rota o compar vel a um cilindro qual a extens o pelo lado de fora da curva compensada pela compress o por dentro 9 4 Integrais impr prias Discutimos fun es limitadas sobre intervalos limitados E se a fun o ou o intervalo forem ilimitados Solu o sempre tomar limite essa ser a defini o Exemplos defini es Se f a R tem cada flim integr vel define se o M k f cydt m f f x da Se f a b gt R temcada flia integr vel define se b b 5 li f x dz dim f f x dx Analogamente fes E e lims 0 fis etc Se
334. porque cada elemento de D deveria ser associado a algu m em P g 29 a x 2x 1 ex 1 respectivamente P g 31 a Sim porque f C D Temos fo f7 u f f u f x uconde x fr u e por defini o esse x tal que f x u analogamente obtemos flo f x x SS Injetora se f x f y ent o g f x g Ff y a que se aplica a descri o de go f donde x y Sobrejetora dado u C tome x g u D de modo que f x f g u u Inversa f u x tal que f x u mas ent o glu g f x x f u 380 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 c Por um lado exp n o sobrejetora em IR enquanto In o exp identidade e expoln n o est definida em todo IR Por outro lado cos n o injetora enquanto cos o arccos identidade mas arccos o cos n o identidade P g 36 a Indicando y x devemos mostrar que y x Por defini o y y 0 enquanto y x x x 0 comutatividade Assim y y y x e podemos cancelar y Indique z x para mostrar 2 x Aplique o cancelamento a aa Di po SS c Note que r y r y 7 yl 0 ent or y 0ougy 0 d Para a 12 igualdade use z 1 z e associatividade Para a 22 use a 1 e 2 2 P g 37 a Tanto O como a t m a mesma propriedade de n o acr
335. porque se trata de fato de uma tal fun o excetuando se a as entradas de a s o todas mantidas constantes e servem como par metros para definirmos a fun o real ts Fla Ob GA sii an que ser derivada exatamente Como j aprendemos Exemplo f x y 2ry te i a y 2y 1e ve y donde e 2E 330 2 0 e 38300 1 of ENG 22 rer 2x a2e y donde e TRS 2 3 36803 3 287 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim como para a deriva o comum cometem se abusos de nota o e linguagem em nome da simplicidade das express es trabalhadas Escreve se f mas isso uma fun o f r y em que as vari veis x assumem valores da da N 7 como 3 0 respectivamente no slide enquanto a letra x no denominador n o a vari vel em si apenas uma marca de que a fun o foi derivada com respeito a essa vari vel Exerc cio Calcule as derivadas parciais de f x y z vz sen yz e seus valores em 1 2 7r E Tamb m as diversas t cnicas que aprendemos em FUV podem ser aplica das a derivadas parciais Exemplo Suponha cos x f x y z x y 24 Aplique 2 aos dois lados sen x f x y z L E x y z 2xy 2 Isole a 2ry z sen x f x y z of ar EI Exerc cio Suponha xy f x y f x y x Determine a n i
336. preta o mec nica a deriva o tamb m tem um significado geom trico e diversas aplica es sendo um assunto importante do C lculo Este cap tulo enfatiza a defini o e as interpreta es do conceito de de rivada bem como a dedu o das derivadas das principais fun es b sicas e das regras de c lculo gerais como um modo de compreender a rela o desse conceito com as motiva es oriundas do mundo natural Uma Vari vel re visar as fun es tabeladas e as regras de c lculo diretamente para estudar os c lculos e as aplica es que aqui apenas ser o indicados A deriva o j ser usada em An lise B sica para apresentar as Regras de Hospital juntamente com a teoria de limites 4 1 Motiva o cinem tica e defini o Velocidade m dia ao redor de to t to Velocidadeinstant nea Queremos t to mas n o podemos dividir por zero Solu o s t SO s to t to t to 97 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que esse um limite da forma 0 0 Voc n o pode dividir por zero e portanto deve buscar outros modos para calcular esse limite Suponha D C R f D gt R e a pto interior de D Se existir n real f a lim f x E Ha aa T a diz se que f deriv vel em a com derivada f a Caso contr rio n o se fala de f a mesmo no caso de limite infi nito f deriv vel se
337. proximidade que deve acompanhar a rela o de dist ncia especificada A fim de cumprir isso come amos recordando o que um intervalo Um intervalo um I C R com x y C I sempre que x y T Tipos a b Ja b a bl la bl 00 6 a co 00 bl Jayoo e tam b m IR 00 00 a a a s vezes podemos encontrar a nota o de intervalo fechado em um extremo 00 Isso ocorre quando o autor trabalha tamb m com os pontos infinitos e trata se simplesmente de inclu los no conjunto em quest o Nossa defini o diz que J intervalo se tod vez que x y I qualquer ponto z entre x e y tamb m est em T Em cursos de An lise voc conhecer conjuntos conexos topologicamente conexos por arcos ou caminhos conexos por caminhos poligonais convexos e paralelep pedos No caso da reta real onde temos dimens o um todos esses conceitos s o equivalentes ao de intervalo Ser que todos os intervalos t m o aspecto indicado nessa lista de tipos de intervalo Sim Mostr lo consiste em desenvolver o seguinte roteiro Suponha que 1 satisfaz aquela defini o de intervalo Tome a infle b sup 1 incluindo casos too Ent o mostre que 1 dever ter uma das formas a b Ja b a b ou Ja b conforme a ou b perten a a I H quatro combina es de possibilidades ent o assuma cada uma delas em sequ ncia para tratar todos os casos o mais simples q
338. quantos elementos tem CP Pense tamb m Voc listar regras ou contar todas as fun es J para o exerc cio a seguir lembre que fun es s o todas as rela es com a propriedade indicada preciso estar claro se n o estiver pergunte o que uma rela o entre D e C um subconjunto do produto D x C x y lzxeDeyeC e que existe a rela o vazia Exerc cio Descreva as fun es D C ou seja determine o conjunto C para cada D C abaixo e C unit rio e D unit rio e C como deve ser D para existir uma fun o 1 8 Opera es e compara es entre fun es Esta se o define opera es entre fun es com mesmo dom nio e con tradom nios contidos em IR ou em outro conjunto onde saibamos somar multiplicar e comparar Haver outra opera o entre fun es a composi o que requer fun es com natureza diferente e que estudaremos na pr xima se o Antes de mais nada preciso pensar sobre o que se espera de uma ope ra o entre fun es dadas essas operandas desejamos definir uma outra fun o em termos delas para concretizar essa defini o devemos especificar 27 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 como calcular o valor dessa fun o em cada elemento de seu dom nio Den tre as v rias possibilidades para essa especifica o
339. r a multiplica o em par nteses O conceito de prova formal tem passado por aperfei oamentos desde sua introdu o pelos gregos mas conserva a mesma ess ncia 1 A prova deve ser finita porque se deseja apresent la em um texto concreto 2 preciso partir dos axiomas ou seja alguma coisa deve ser assumida porque caso contr rio n o ter amos por onde come ar e as demonstra es teriam que recuar infinitamente 3 Por m n o h problema em utilizar um fato j demonstrado porque sua pr pria demonstra o finita pode ser incorporada prova em que se trabalha sem alterar o car ter finit rio desta 4 Tamb m n o h problema em verificar no mesmo estilo finit rio que uma hip tese contraria os axiomas ou os fatos j demonstrados para ent o concluir pela nega o dessa hip tese Nosso objetivo neste assunto n o nos massacrarmos com preciosismos demonstrando absolutamente tudo mas apenas entender como esse conceito funciona e perceber que um n mero bem reduzido de axiomas j bastar para demonstrar muitas propriedades e assim descrever a reta real Para quaisquer x y z IR Associatividade r y tz r y 2z e xy z a yz Comutatividade vr y y ir e ry ya Distributividade z y 2 zy z2 34 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Elementos neutros Existem 0 1 R tais que Yz E R z 0 rzx ztl zx VAL Oposto e in
340. r r P g 242 P g 266 1 3321 P g 267 P g 269 Q m Sol 4r Rr Sol 14 3 b Sol 0 c Sol 16 d Sol 282 Sol 32 e 1 Sol 12 5 b Sol 7 6 Temos b polz b I 1 d T y f f 1 dy dz x dz H a JO a Para contemplar as duas ordens de integra o poss veis calcularemos a b x 0 k em que Xg a b x 0 k gt R que vale 1 se x y pertence a H ou O caso contr rio A ordem usada acima dada por f enwa f O aeara f tech de p z 396 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 enquanto que o c lculo de k b I Xy z y da dy 0 a complicado por Xy x y alternar valor v rias vezes para cada y fixo P g 270 a Solu o tenua f Nenia 2 9 3 9 f I fas dedy f x y dz dy o J6 2 J3y P g 272 a Sol 57v35 Dica 1d x y a rea do c rculo e n o precisa ser calculada SS Solu o P g 277 a Temos dz Ox Or DO BR SO rsen6 cos6 0 dy Oy Oy Esp Jo DO DR DE rcos6 send 0 r lt 0 Oz Oz Oz e J r b importante conferirmos o sinal temos r gt 0 sempre e seny gt 0 porque y 0 7 P g 278 a Da figura obtemos rA E Ro y rsen6 v rsen 0 a de modo que podemo
341. r zero J quanto a integra o tentaremos exaurir reas curvas usando figuras retangulares cada vez mais finas N o podemos falar infelizmente de uma soma infinita de reas de pol gonos infinitamente finos Por m podemos considerar uma soma de N reas de ret ngulos com base b N e observar se o conjunto desses n meros para v rios N tem um ponto de acumula o Nota es e lim f x L l se o limite de f quando x tende a a D sa f x ES L l se ftende a L quando x tende a q e forma 0 0 descri o n o uma conta a palavra forma impor tante Comv m memorizar os seguintes 122 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplos not veis lime 1 as 7 I cosy _ e lim 0 v gt O e lim 1 t e t50 e lim 1 1 e L T00 e lim exp t 1 _ 1 t50 t Alguns desses resultados devem ser demonstrados atrav syda defini o de limite e ent o podem ser usados para deduzir os outros pelas regras de c lculo que estudaremos Aten o e a no dom nio f a existe L pode ser igual ou diferente ou nem existir e a fora do dom nio f a n o existe L pode existir ou n o Limites laterais E nota o espec fica e z at x gt a assumindo x gt a escreva claramente e zx a z a assumindo x lt a escreva claramente Gr ficos de sa
342. ra conv m ter certeza de que n o nos equi vocamos porque os teoremas que usaremos podem dar resultados inv lidos sem qualquer aviso caso a fun o em quest o n o seja integr vel Usaremos o seguinte Fato Toda fun o limitada que seja cont nua ou descont nua em apenas um n finito de pontos Riemann integr vel 230 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Note que a limita o importante Neste momento n o podemos consi derar fun es como 1 1 ao redor de 0 apesar de sua nica descontinuidade costume integrar fun es sobre subintervalos do dom nio original As sim se f I gt R integr vel onde I um intervalo fechado e limitado os limites a b em fi f x dx n o precisam ser necessariamente os extremos de I mas quaisquer pontos em I As conven es acima nos permitem tomar at mesmo a gt b Nesse caso com a lt b o que se est integrando a restri o f ia b Pode se mostrar que essa restri o tamb m integr vel ela igual ao produto f Xia seja sobre T ou fa b Assim enunciaremos as pr ximas propriedades para fun es limitadas sobre um intervalo 1 limitado e fechado ao qual todos os limites de integra o dever o pertencer N o explicitaremos 1 mas preciso sempre lembrar que fun o integr vel fun o integr vel sobre um certo intervalo limitado e fechado 9 2 Propriedades e c lc
343. ra que a fun o objetiva seja mais simples Usamos o ndice entre 2 e 6 refletindo a ordena o natural dos planetas e seguimos a tradi o hist rica em omitir 390 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Merc rio Com dados um pouco mais precisos j poss vel observar o desvio relativ stico desse planeta em rela o astronomia kepleriana Exemplo Sendo T o per odo da rbita e R o raio qual a curva T x R que melhor aproxima estes dados x y gt 0 par metros a determinar planeta i Ri T V nus 2 0 7 0 6 Terra 3 1 0 1 0 Marte 4 1 5 1 9 J piter 5 5 2 11 9 Saturno 6 9 5 29 5 Fun o objetivo i 2 Equa es afi 4x AAN X x R T R 0 A A Mer T ai Y e NO R T x R In R 0 y s s o dif ceis de trabalh r Aplique logaritmo a T zR la T lng yln R u ylnR linear em u y onde u li x e trabalharemos com u y Nova fun o objetivo 6 f u y gt u ynR mT 1 2 396 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Agora seguimos o mesmo procedimento As equa es de ponto cr tico formam este sistema 2 u yln R lnT 0 J Il 2 o l 2 u ln R hn T ln R 0 i 2 Eliminando os fatores comuns 2 e substituindo T R dados com o aux lio de uma calculadora obtemos ou 3 95y 5 99 3 95u 8 08y 12 1
344. rata se de calcular o volume do s lido fatiando o em l minas de rea A s e altura ds cujos volume s o A s ds e integrando esses elementos de volume Cuidado por m com o desleixo essas fatias devem ser cil ndros ou paralelep pedos para seu volume ser rea da fatia vezes altura diferencial Em outras situa es a conta ainda pode dar certo no c rculo de raio a gt 0 para r indo de 0 a a cada circunfer ncia tem raio 277 e ent o a rea do c rculo ser a soma dessas circunfer ncias isto de 2nr dr ma2 o mesmo racioc nio funciona para obter o volume da esfera integrando se a superf cie de cascas conc ntricas Por m como comentaremos a seguir preciso firmeza sobre a exaust o em progresso Area da superf cie de revolu o Sec o em s com r s E arre VIF PP ds 2m f r TE PF ds Se houver ocos ou rebordos some conforme diagrama A Safy Ff fi 2ngy 1 g T 2rhy 1 h etc 241 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Atente que A e 2nr s ds valor que se poderia esperar calculando cada circunfer ncia e integrando tudo Por exemplo para a esfera como acima temos f x va x e2r f x 1 f x 2ra constante de modo que sua rea f 2mada 2ralx 4ra Exerc cio Determine a rea do toro com raio R cujo tubo tenha raio 7 sendo R gt r Area de
345. remas d o informa o rigorosa a res peito Teorema da Fun o Impl cita Suponha DC R x R R f D gt R de classe C e a bJe D com f a b 0 Escreva f a b AB Onde A mxneB mxm Se B invert vel como matriz ent o existem bolas abertas W 5 a b e U 5a tais que W G amp D vz U Ely E R Ys E W e f x y 0 for osamente ya b e a fun o g U R g x Yaz de classe C Isso significa que para cada valor do par metro x resolve se a equa o f x y Oem y obtendo se uma nica solu o yy e sua varia o com g de classe C Uma demonstra o desse teorema pode ser encontrada no Guidorizzi ou no Rudin 330 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Com h x f x g x 0 e gla b vem h a 0 e h a Fla g a f a b donde h a f a 0 9 2 faca Ama Bim E A B g a Ent o podemos isolar g a B7HA Teorema da Fun o Inversa Suponha D C R Y D gt IR de classe CreaeD Escreva A V a Se A invert vel o que requer Jy a 0 ent o existem bolas abertas U gt a V 5 Y a tais que Y y U gt V bije o e Vl V U tem classe Er Y mudan as de coordenadas uma inversa da outra S W 2 z e Do W a Lixn e Do a D V a W a donde S V a V a 1 A t tulo de exerc cio
346. ressas de modo simples Voc jamais poder integrar q x7 sena ou a muito utilizada exp x com as t cnicas deste cap tulo porque suas primitivas n o s o combina es das opera es e fun es comuns que conhecemos claro que para fazer essa afirma o precisamos ter uma defini o rigorosa de fun o elementar o que n o dif cil e para demonstr la precisamos de uma teoria matem tica chamada Teoria de Ga lois Diferencial com Teorema de Liouville que sim complicada Por m fica aqui o aviso nem toda fun o pode ser integrada explicitamente Finalmente podemos integrar uma s rie funcional termo a termo No pr ximo cap tulo daremos uma resposta precisa pergunta correspondente para integra o definida Aqui observaremos apenas isto Comentamos em An lise B sica sobre quando uma s rie converge e em Deriva o sobre quando uma s rie pode ser derivada Podemos integrar cada termo de uma s rie e utilizar esses conhecimentos especialmente no c so de s ries de po t ncias para perguntar quando a s rie obtida converge e deriv vel Tal investiga o incluir o detalhe de se a derivada dessa s rie de fato a mesma s rie original 221 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 9 Integra o Definida 9 1 Motiva o e defini o Dada f a b IR queremos determinar rea sob o gr fico na
347. rgem ent o a s rie das somas dos termos correspondentes converge soma dos seus limites outras situa es s o mais delicadas Multiplicar s ries requer aten o e m todo especiais Exemplo telesc pico oo k 1 a 1 en i EN Sno dm mat ana n 1 n 1 E dim Grs ata Ga 1 o Essa uma s rie telesc pica porque em suas somas parciais cada termo cancela se com o antecessor e o sucessor sobrando apenas partes do primeiro e do ltimo termos O nome reminiscente dos telesc picos port teis antigos que se abriam e fechavam encaixando cada se o do tubo dentro de outra Exemplos 1 o J converge p gt 1 usa se integral n n 1 OO i n J ar converge Leibniz n n l oO e Se gt a converge ent o dim an O exerc cio n o vale rec proca n 0 149 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 H diversos crit rios ou testes de converg ncia que em alguns casos determinam o comportamento da s rie Voc deve buscar conhec los sepa radamente porque facilmente as s ries com as quais trabalhar j complicar o suficientemente o c lculo bruto via limite Mais importante agora notar que esses crit rios t m como hip tese em sua maioria algum comportamento dos termos da s rie a partir de um certo no ou seja somente interessa a cauda da s rie Isso ocorre porque a soma dos primeiros ny termos cl
348. ricas Podeser mais natural expressar a espessura do s lido em fun o do raio isto da dist ncia ao eixo de revolu o Nesse caso o s lido obtido por rota o da regi o delimitada por r a r b h 0 eh h r A dedu o a mesma usando cilindros conc ntricos cuja base a circunfer ncia de comprimento 27r e a altura h r de modo que a f rmula final JA 27r h r l dr Resolva cada exerc cio a seguir dos dois modos Exerc cio Determine o volume do toro com raio R cujo tubo tenha raio r sendo R gt De modo mais geral com o mesmo procedimento por exaust o obtemos esta regra 240 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Volume de s lido seccionado Diagrama na lousa Sec o perpendicular em s com rea A s v f Atas Note as sec es n o podem entortar devendo ser paralelas Aqui em vez de cilindros trabalhamos com paralelep pedos ret ngulos de base correspondente a A s Exerc cio Calcule o volume do s lido cuja base horizontal um tri ngulo equi l tero de lado L e cujas sec es verticais perpendiculares a um dos lados do tri ngulo s o quadrados A essa altura voc j deve ter absorvido a id ia de manipula o deslei xada de alguns livros de C lculo N o h nada errado com o desleixo desde que ele possa ser formalizado Neste caso t
349. rminar os sinais das componentes horizontal e vertical de F x y Exerc cio Represente os campos unit rios correspondentes respectivamente s express es x y Pry zx y z y y x y x y z y 13 2 O operador V L se VW como nabla ou ainda del com cuidado para n o confundir com o del 301 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 o vetor 9 V Co Podemos aplic lo de tr s modos Usaremos V em tr s opera es gradiente divergente e rotacional Es sas opera es s o diferentes formas de derivar fun es escalares e campos cada uma adequada a uma aplica o como veremos futuramente Para memoriz las podemos lembrar as tr s opera es poss veis com um vetor e interpret las como opera es simb licas com V como explicaremos em sequ ncia a cada slide Gradiente Dada f R gt R grad f Vf DD o gradiente de f e campo sobre IR Ex f z seny z gt grad f 3x sen y cosy 1 Essa opera o corresponde a multiplicar justapor simbolicamente a express o vetorial V por uma express o escalar f O gradiente de uma fun o escalar ou seu vetor calculado em um ponto espec fico ter uma interpreta o muito importante que veremos ainda neste cap tulo e que usaremos pelo restante do curso ele indica a dire o e o
350. rmine f x em geral depois substi tua o valor de a em f a Juntas as regras de deriva o e a lista de derivadas das fun es cl ssi cas fornecem um algoritmo para calcular a imensa maioria das derivadas de interesse Praticar por m continua t o essencial como foi com os limites procure exerc cios adicionais no seu livro de C lculo Tamb m n o se pre ocupe em tentar decorar tudo imediatamente leve sempre a tabela ao seu lado quando praticar Voc pode conhecer as origens e demonstra es destas regras e tabelas na Introdu o Deriva o 160 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Tabelas de derivadas Memorize cre Re0 lt a1 fa fa c 0 1 e pato a a In a log x 1 xlna Note que a regra das pot ncias vale em princ pio para x gt 0 e inclui ra zes transforme as em expoentes fracion rios e a forma 1 z transforme a em x Em c lculos conv m sempre simplificar esses elementos escreven do os como pot ncias Quando a raiz mpar vale para todo x IR quando a pot ncia negativa vale para todo x 0 Perceba tamb m a relev ncia do n mero e com essa base espec fica as derivadas da exponencial e do logaritmo n o requerem um coeficiente de corre o exp sua pr pria derivada Finalmente distingua entre a deriva o de uma pot ncia expoente cons tante e de
351. rmulas e suas motiva es para calcularmos reas de superf cies e centros de massa rea de superf cie Situa o D C IR use x y D Figura na lousa Volume do cilindro fp f x y d x y e rea da base D fp 1d x y e rea do topo a tampa 1 2 74 den Essa tampa o gr fico desf Gr f xy fley EED Dedu o A express o para a rea do gr fico n o intuitivamente ime diata mas pode ser obtida pelo racioc nio a seguir que por sua vez pode ser transformado em demonstra o pelo princ pio habitual de limitar o erro cometido e invocar continuidade na forma e Come amos trabalhando com o caso especial em que D um ret ngulo alinhado com os eixos coordenados Suponha D z x h x y y kl Ent o Gr f aproximadamente o paralelogramo formado por estes vetores X h 0 f h y Fl y Y 0 k f x y k f x y 271 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fatore h k e tome diferenciais X dr 1 0 E of Lembre por exemplo que an a h Omitimos o ponto x y junto nota o da derivada parcial A rea do paralelogramo a norma do produto vetorial X A Y T7 k XAY dzdy 1 0 of de NE 3 1 0 1 2 Oy donde area Gr f X AY Para qualquer D basta integrar o elemento de rea Exemplo Calcule a rea do planoz 3x 2y delimitado por O lt x lt 2e
352. roduto mais convoluto e requer mostrar antes que f limitada ao redor de a isto a exist ncia do limite implica na exist ncia de uma constante K e de uma vizinhan a V de a onde Fte lt K Observe isso graficamente Ent o se escreve F amp g z LM f g x E an Es lt H x g x MAJO D M lt lt Klg x P L Livros de C lculo trazem uma demonstra o completa desse caso e do quo ciente Exemplos e lim x2 cosx lima Plim cosx n cost 7 1 LAER AT WT lim 5 1AN Nim 5 2 05 5 t5 2 25 1 lim U A E lim lim q porque esses limites n o existem temos 1 1 f 1 1 lim lim limo o asllg l l r asllg 1 x 1 xz gt 1 72 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 to 2 3t limt 30 t gt 0 o ete 0 ato E lim z lim Z E t50 t2 3t t gt 0 A t 3 limt 3 3 T si 5 1 5327 242 s212 lim l 2 r gt 3 e li iou lim af a 1 3 a gt 1l a 1 a gt Na pr tica portanto trata se de eliminar qualquer fator que impe a a conta se x 2 procuramos cancelar qualquer no denominador para n o dividir por zero Lembre se no ltimo exemplo de que podemos reciclar o significado das letras Exerc cio Calcule o P 4
353. roposi es indexadas por IN ou at sendo uma quest o de transla o pelo conjunto n Z m no onde no algum n mero inteiro inicial Desse modo n o pode ser aplicado diretamente para proposi es sobre n meros em conjuntos delR Q ou mesmo Z A ordem nesses dom nios n o funciona como em IN 47 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 comentamos na p gina 45 que todo conjunto de naturais tem m nimo o que utilizaremos abaixo Vejamos o porqu dele funcionar Suponha ao contr rio que P n o vale para algum inteiro n gt no e ent o suponha que esse n o ndice m nimo para o qual P n o vale Sabemos que n no porque verificamos preliminarmente a validade de Pao Assim n gt no 1 donde no lt n T lt n O fato de n ser m nimo implica que P deve ser verdade somando se isso a uma demonstra o de P 4 Ph conclu mos que P tamb m deve valer apesar de nossa hip tese a respeito Como segundo exemplo do Princ pio da Indu o provaremos a desigual dade de Bernoulli Para todo real x satisfazendo 0 a gt 1l e para todo inteiro n gt 2 temos 1 x gt 1 na A base da indu o consiste em provar o enunciado inicial Aqui ele P e afirma que 1 x gt 1 2 quando z apropriado Isso verdade j que x 0 garante z gt 0 e ent o 1 1e 2741 gt 1 2r 0 Ainda n o usamos a hip tese z gt 1 Agora o passo
354. rpo ordenado completo ou seja em que ele vale V rios n meros irracionais V2 7 e Por que n o est o em Q Expans es decimais truncadas em Q 1 l l l 14 1442 10 100 1000 100007 Decidir se cada um desses n meros entre muitos outros racional ou irracional j um trabalho herc leo e s vezes ainda em aberto mas podemos ver o que acontece com 2 Se este n mero fosse racional digamos a fra o m n com m n inteiros ent o 2 m n2 isto m 2n2 Agora note que m tem em sua decomposi o em n meros primos uma pot ncia par ou zero de 2 porque tal pot ncia o dobro daquela de m Do mesmo modo 2n tem uma pot ncia mpar Sendo os dois n meros iguais chegamos a um absurdo Essas expans es truncadas formam uma sequ ncia crescente O que distingue IR de Q uma tal sequ ncia admitir um supremo no caso v2 Esse n mero o melhor teto da sequ ncia Formalmente Suponha A C R e A limitado superiormente isto 3K ER VrgA z lt K O supremo de A o menor limitante superior de 4 ou seja e todo x E A lt sup Ae e se todo x A X K ent o tamb m sup A lt K O Axioma do Supremo diz que todo A assim tem supremo em R Assim encontramos uma diferen a fundamental entre IR e Q Podemos em cada um deles tomar o conjunto de racionais menores que 2 7 ou e mas somente em IR eles t m supremos
355. rtados Tamb m estudaremos fun es IN IR N o se usa a terminologia anterior Essas fun es chamam se sequ ncias reais Dada s IN gt IR escrevemos sn em vez de s n O pr ximo slide e o coment rio seguinte fazem uso das nota es de so mat ria e produto ei las explicadas aqui A nota o 3 significa some todos os termos da forma a seguir cada um obtido para um valor de de 0 a n Portanto n J ads Say ar aox ant i 0 Aqui assumimos que n um n mero natural Se n 1 n o aparece o termo quadr tico e a soma apenas ao ax Se n 0 a soma restringe se ao termo ao 5 Rd Analogamente j 2 Uj O mesmo que uzugu4us obtido multiplicando se os termos indicados 4 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fun es polinomiais Dados ao an E IR pomos n p R gt R p x anz az ar ait ao gt ua i 0 Aten o e Voc pode estar acostumado com ndices em outra ordem e x yi significa x x y J yi n o x yi Assim o sinal 3 aplica se somente aos termos que o seguem e na aus n cia de outro sinal entre ele e um termo antecedente entende se multiplica o como a norma de omiss o Aqui conv m voc revisar ou se n o conhecer assunto procurar estu d lo como se deduz o sinal de um polin mio p x dado um valor espec fico par
356. s Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Essa t cnica ser aperfei oada como integra o por substitui o mas conv m entend la como uma forma abreviada para uso intensivo na inte gra o por partes Simplesmente observamos as regras de deriva o para empacotar partes do integrando na diferencial d g x Escrevendo por exemplo y gls o que devemos calcular agora f F y dy uma primitiva F y bastando substituir g x para obter a primitiva desejada Exemplos 3 e x 5dr f x 5 d x 5 EC 4 e J cos4rdz f cos4r iP J cos 4x d 4m a Y o de Sn Jatcosafdo f cos a E O J A ao Tas 54 ago Tr gt 54 e 7r 54 739 E 400 s be m fz 54 MH E 399 C claro que o integrando dever ajustar se perfeitamente Regra da Cadeia caso contr rio deveremos utilizar outra abordagem Por exemplo f xcosx dr n o d certo Caso as transforma es pare am complicadas pode se recorrer a s mbo los auxiliares no pen ltimo exemplo pondo u z temos u 312 ou simplesmente du 3x dx de modo que x cos z dr cosudu e mais f cil integrar esta express o a primitiva 5 senu C em que devemos substituir u z3 o que faremos na integra o por substitui o 205 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Integre
357. s o contas que n o fizemos outras s o mat rias que ainda cobrire mos Padr o tomar a e 2 718 n mero especial do C lculo Vere mos motivos Indica se tamb m exp x e muito til exp cois o e ois o Usando logaritmos adiante a exp zlna quem sabe uma sabe todas N o confunda a fun o exp que a exponencial com a base espec fica T G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e e a fun o do bot o EXP das calculadoras cient ficas que insere n meros em nota o cient fica na base 10 Aten o A mesma opera o usada para definir fun es 3 1 e pot ncias 72 x3 y etc 7 etc e exponenciais 2 3 5 licadas x 2 5 cos z 7z t e e mais complicadas x x sen z ed Veremos que essas fun es t m propriedades e gr ficos diferentes Regras no C lculo ser o diferentes porque s o fun es diferentes A seguir come amos a usar mais nota es importantes para conjuntos de n meros reais O objetivo delas claro condensar visualmente o que tomaria muitas palavras descrever isso importante tamb m para evitar erros de escrita e leitura Uma dessas nota es a de intervalo que voc j deve conhecer Outra nota o uma novidade inda n o padronizada Voc deve estar acostumado nota o IR para o conjunto dos n meros reais
358. s o preliminar UFABC 1 quad 2015 Formula o com vizinhan as No contexto da Defini o II lim f x L equivale a xa Para qualquer vizinhan a U de L existe viz V de a tal que VADs a cf Note que a inclus o exibida pode ser reescrita como f VNDsLaH CU Discuss o extraordin ria Para demonstrar a equival ncia assuma pri meiro que lim a f x L e suponha U dada Ent o existes gt 0 tal que IL e L e CU Encontre agora gt 0 tal que Yz D O lt z a lt gt f x L lt e Desse modo se x DN a a x a rent of x E JL e L e CU Portanto se tomarmos V como a vizinhan a ja a de a teremos fVADs s a CU A rec proca an loga bastando trabalhar para dado gt 0 com a vizinhan a U L L e de L e sendo V a vizinhan a correspondente de a usar gt O tal que ja d a C V Note tamb m que V N D uma vizinhan a induzida em D Essa formula o em termos de vizinhan as j vale para os pontos a como na Defini o I e em particular quando D um conjunto aberto Neste caso as vizinhan as induzidas no subespa o D s o as pr prias vizinhan as na reta real que est o contidas em D 3 6 Limites nos infinitos e de sequ ncias A Defini o Ihe sua formula o equivalente permitem nos deduzir as defini es de limites nos pontos infinitos e para sequ ncias e futuramente limites
359. s calcular x reos 0 a a r cos 0 a cosa rsen 0 a sena e analogamente quanto a y 397 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 282 a A imagem de 1 1 o semic rculo direito usando F z pode se cobri lo todo com par metros reais em um intervalo limitado P g 283 a Comprimento v4r 1 e e7 tangentes x y z 1 0 1 A 0 27 1 e x y z cos 2re sen 27e e A 2re sen 2re 27e cos 27e e respectivamente para R P g 288 a Sol e 2f zsen yz e E 1 2 7 0 da Em r2 cos yz e 1 27 n o q sen yz xyz cos xz e o1 TZA 2r 3f __1 yf z y of SEA b Sol dx yr f x y y zy 3 f x y P g 290 a Temos or by p ofi pe E dev A O Dy O T aN 2f 0 0 0 0 0 Finalmente a curva y 0 1 gt R y t t vt cont nua porque cada componente sua uma fun o cont nua de modo que se f for cont nua ent o g foy tamb m o ser Contudo g 0 f 0 0 O enquanto 2 tvt a lim g t lim FNE lim 5 gt t50 t gt 0t 42 4 vt t gt 0 2t P g 291 a Sol 5 1 3 2 22 5 com u 2 3 0 398 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 P g 292 a Quanto norma temos e 1 2 1 2 1 2 lal
360. s hessianas n o diagonais utilizaremos a metodologia a se guir Subdeterminantes principais Exemplo suponha 45 0 i 2 1 M 0 1 3 11 0 Defina 4 5 Di 4 4 D Y7 572 5 0 1 45 0 2 1 A Dz 5 2 47 D 378 1 3 0 1 3 1 1 0 7 Defini o an loga para ordem n maior ou menor N o confundaa nota o do determinante 1 x 1 com a de m dulo o sinal do n mero deve ser preservado Existe R com det R 1 tal que Di 0 D D M Rt D D R 0 PRESO 352 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 No exemplo 4 0 0 0 yep e 0 0 0O 0 47 17 0 0 0 O 378 47 Subhessianos principais Com cada D D 1 observamos e M nimo local Ai A2 3 An gt 0 s Di D2 D1 D3 Do Ml DDS 0 6 e D D2 D3 Dn gt 0 e M ximo local A1 A2 A3 An lt 06 amp D D2 D1 D3 D2 lt Dn Dn 1 lt 0 s D lt 0 D gt 00 Dy lt 0 e Multi sela sinais variados em outro padr o e Inconclusivo se algum D 0 o que impede a diagonaliza o 15 3 M nimos quadrados Em diversos problemas temos objetivado minimizar uma dist ncia en tre pontos ou figuras geom tricas Ao faz lo naturalmente utilizamos a dist ncia euclideana Y z a y b 2 2 dada pelo Teorema de Pit goras Como a raiz complica as deriva es de d obs rv
361. s parciais Secas E co pai e ep E a E BA 287 12 4 Derivadas dire ionais largas mp ua ds DEA S A E Sd 290 12 5 Derivadas de ordem superior cclcclclccc 293 13 Campos Vetoriais 297 13 1 Campog v boriais RGE Rep GE Epp Der E rr 297 13 2 O pera ay V tetra E Gulbnds E GUNS Dio po do do 301 13 3 Campos conservativos a mem Bla B o E Ea DC RR SACA a 306 13 4 Dire ore sentido de maior crescimento ccccc 311 13 5 Curvas e superf cies de n vel ooa a a 315 v G Calc 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 14 Diferencia o 14 1 Diferenciabilidade ss Cs usgus DO ES E E SA ES 14 2 Propriedades e teoremas cclcccclcl 0 MR 14 3 Polin mios de Lagloros as Ea E apa a ee 15 Otimiza o 15 1 Procedimento para duas vari veis cccccccc 15 2 Racioc nios e mais vari veis SR 15 3 M nimos quadrados cccclccco AO 15 4 Otimiza o condicionada ccccco Lae DI 16 Integrais Param tricas e os Teoremas de Stokes 16 1 Integrais de linha ss sd sa mes Es E ME EB 16 2 Teoremas da diverg ncia e de Green no plano 16 3 Integrais de superf cie pus MY sandra os Anexos A Quesitos de Matem tica Escolar A 1 S mbolos e alfabetos 4 cl B Formalismo das Vari veis Aleat rias B 1 Vari veis aleat rias LL Notas e solu es Bibliografia comentada e sugest es Notas sobre o conte do e a organiza o vi G Cale 2015 Vinic
362. s que comprar otimizando a fun o utilidade xy Quais s o as quantidades timas a comprar Exerc cio Minimize 1 1 1 2 y z2 com z y z gt 0 dado zyz V constante Exerc cio Dados z1 n gt 0 temos as m dias e aritm tica A x n e geom trica G x4 Eai e harm nica H n szt t Mostre que H lt G lt AL 361 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 16 Integrais Param tricas e os Teoremas de Stokes Este cap tulo introduz as integrais de linha e de superf cie para uma primeira aula em que se enunciem e motivem mas n o se demonstrem os Teoremas da Diverg ncia e de Green Gauss e Stokes no plano ou no espa o tridimensional Nosso objetivo portanto proporcionar ao estudante um pre mbulo disciplina de C lculo Vetorial formulado na linguagem que j desenvolvemos Tanto as defini es de integral como os teoremas s o generalizados em Geometria Diferencial e de Variedades em no es de forma e de sua integral e no Teorema de Stokes Pretendemos apenas apresentar as integrais de linha e de superf cie como manifesta es de uma mesma id ia 16 1 Integrais de linha Faremos bom uso de curvas parametrizadas em Deriva o Espacial quando introduzimos as curvas vimos algumas parametriza es importan tes J ao comentar sobre
363. se e que alguns livros de C lculo trazem com demonstra o de que o mesmo e acima e que pode ser obtido naturalmente quando se estudam s ries de pot ncias Trata se de considerar a sequ ncia crescente Sn nelN COM Sn cujo limite tamb m e Escrevem se HE Den ce rom 3 10 Limites not veis Alguns limites de fun es particulares em pontos espec ficos ser o bas tante utilizados no desenvolvimento do C lculo de modo que conv m conhe c los e fix los separadamente Os racioc nios que permitem calcular esses limites fazem uso das t cnicas pr ticas e dos resultados te ricos que estudamos at aqui assim como de outros limites que tamb m s o not veis Portanto apresentaremos essas dedu es tamb m a t tulo de exemplifica o e exerc cio Alguns limites s o teis nos c lculos de outros limites Veremos e praticaremos isso nos pr prios c lculos Seng o e lim exerc cio de confronto SO q I cosg e lim 0 porque x gt 0 x 1 cos z sen q sent sent 250 E 1 550 L cosx x 1 cosx x l cosg 89 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 e lim 1 1 e j que se x n n 1 ent o veja texto L 00 Di e aplica se confronto im 0 T e com x y temos a GR E er 1506Sy5 o 2 Lo J mostramos que a fun o 1 crescente em IN mas para o
364. segmentos de reta em Os Espa os Euclideanos p g 253 implicitamente formulamos uma parametriza o para o segmento de reta de um ponto a a outro ponto b 1 t a tb com t 0 1 Outras parametriza es s o poss veis e podem ser mais simples dependendo dos pontos envolvidos como veremos em alguns c lculos Quando uma curva descrita por uma equa o procure isolar uma vari vel univocamente e parametrize a outra simplesmente como t Por exemplo 363 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 dada a par bola 2x y 5y 0 para parametriz la de 3 1 a 2 1 isole z y 5y e imponha y t de modo que a curva i t 5t t com t 1 1 Note que outra parametriza o poss vel t 10 2t com t 5 5 outra ainda 11t 1042 3 2t 1 com t 0 1 obtida substituindo se t por t 5 na anterior Os livros de C lculo trazem exerc cios de integrais de linha onde preciso antes de mais nada parametrizar as curvas descritas Pratique os Suponha e um dom nio aberto D C IR e uma curva 7 a b gt D de classe C por partes isto C exceto em um n mero finito de pontos um campo escalar f D IR cont nuo Queremos calcular a rea da folha cil ndrica no caso de y planar com altura f x no ponto x Figura na lousa A integral de linha de fao longo de q b
365. sllg 1 x 1 xz gt 1 124 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 t gt 7 lim cos x cos lim exp 20 5y exp lim 20 5y en y gt 4 y gt 4 lim z z yT cos T 1 ge e ge 252 q 2 252 r 2 x 2 TEN Ci PE e 252 1 2 2520 L 2 2 2 e N o existe lim g 5 12 g 2 t2 sept 6t lim t ET 6t e lim F aa porque o denominador 0 temos t50 t 3t lim t2 3t t gt 0 ABIN arad mte lim lim CA E t0 t2 3t 50 H t 3 lim t 3 3 t50 Bea lim z 3 xz 5r 6 le A x 8 z e lim lim de 2230 2 r 052 26 N 1 lim 1 x a Na pr tica portanto trata se de eliminar qualquer fator que impe a a conta se x 2 procuramos cancelar qualquer x 2 no denominador para n o dividir por zero mir x 2 0 porque impomos x 2 Enguanto calculamos o limite podemos de fato assu conforme o conceito de limite ao tomarmos x gt 2 Lembre se no ltimo exemplo de que podemos reciclar o significado das letras 125 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 O que aprendemos e lim distribui se nas opera es s se funcionar e Somente substitua o valor a na conta se n o der problema e Reescreva a express o para simplificar ant
366. sume se que o Desafiante e o Respondente nuncam erram em suas escolhas para tentar ganhar o jogo claro que outros valores para podem n o ajudar mas se houver algum que fa a o trabalho ent o o Respondente saber encontrar um destes Qual o racioc nio an logo quanto ao Desafi ante Exemplo lim q 9 Gr fico na lousa Desafiante prop e qualquer gt 0 Respondente usa V9 e 3 gt 00 Se x 3 3 ent o z 9 9 el Assim Respondente consegue rebater qualquer proposta do Desafi ante De onde tiramos esse 9 A figura indica a resposta verificamos qual o intervalo centrado em 3 totalmente contido na pr imagem de 9 9 cl No lado direito claro que 3 6 v9 Quanto ao lado esquerdo veja que temos 3 8 6 V9 E gt NR E porque de fato temos 36 gt 184 2V81 c2 Y9 F e v9 E Aqui acabamos assumindo que amp lt 9 para podermos tirar a raiz quadrada Inspecione a figura e veja que se o Desafiante propuser algum gt 9 ent o o Respondente pode rebater com 1 Assim interessam apenas valores e estritamente positivos com acumula o O e n o h problema em assumir uma limita o superior Exerc cio Mostre graficamente isto usando tubinhos para o jogo do s que 8 ia RB 5 zr gt 2 2 Use o gr fico para determinar algebricamente em termos de 67
367. t 3 lt oo depois de todos os reais lt 1 lt 200 lt 108 lt lt S o abreviaturas express es podem ser reescritas usando somente n reais N o s o n meros n o fazem contas Em certas ocasi es escreveremos z gt a ou y oo Isso significa ape nas que estamos abreviando duas opera es separadas em uma utilizando a conven o de que uma delas corresponde ao sinal superior e outra ao inferior em toda a nota o Por exemplo 5 3 573 2 e n o se consideram ambos os sinais ao mesmo tempo ou seja n o se trata de 2 como valor pr ximo de 2 Assim veremos que e n o h limy o 1 t nem real nem o0 nem oo limo 1 t 00 5 2 O que s o limites e seus tipos Uma apresenta o pormenorizada mais lenta e em sequ ncia mais natu ral feita no Cap tulo Introdu o aos Limites na primeira parte 120 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Objetivo entender comportamento de uma fun o fora mas muito perto do seu dom nio como 3 5 4x1 27 x fla em x 0 N o podemos p r o valor na f rmula ent o n o faremos contas 0 0 k 0 00 00 k ete Fixada uma fun o e seu dom nio calcularemos limites nos n meros que n o est o isolados desse dom nio Formalmente dizemos que um n mero a ponto de acumula o de um conjunto D C IR se por menor que se
368. ta de cont nuas cont nua A utilidade desse fato reside em estender imensamente a lista das fun es para as quais sabemos calcular limites Antes enumeramos polinomiais tri gonom tricas exponenciais etc m s a fun o cos x n o nenhuma delas Agora podemos perceb la como uma fun o composta e tratar primeiro do cosseno com o qual sabemos lidar depois com o polin mio quadrado Exerc cio Calcule lim sen 27 cos sen 6 057 T4 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Considere estas fun es wti se z 0 g TEI se x 3 1 seg 0 1 serx 83 Monte os gr ficos de f g e determine a o e lim 0 Fla e g lims 0 f x e lm glu lu gt limz o f e limno g f Repita o procedimento para f x x 3 e mesma g 3 5 Defini o II e a formula o com vizinhan as O fundamento da reda o a seguir id ntico ao da Defini o I mas trabalha com pontos de acumula o o que nos permitir tratar de dom nios ainda menos comportados Suponha D C R f D gt Ry L R ea pto acumula o de D Ent o lim f x L S gt a Ve gt 0 3 gt 0 Vxe D 0 lt z a lt gt f L lt e A propriedade enunciada com e exatamente a
369. ta se na norma e em suas propriedades que s o similares ao do m dulo de n meros reais para x y R e A R valem sempre x gt 0 lz 0 amp g 0 x yll lt Ill llul e Av ALI Uma demonstra o destas propriedades utiliza a pr pria defini o de norma Verifique ent o que elas podem ser usadas para demonstrar aquelas da dist ncia para a desigualdade triangular use x z x y y 2 Sabendo se comparar vetores atrav s da no o de dist ncia os conceitos de limite e continuidade poder o ser formulados de modo id ntico ao usado sobre IR Para ver isso explicitamente conv m reconhecermos algumas enti dades 254 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Dados a E IR er gt 0 defina B a r x R d x a lt r E a bola aberta de centro a e raio r Em n 2 um disco sem sua fronteira Em n 1 o intervalo aberto Ja r a r Com a no o de bola substituindo a de intervalo podemos adaptar outros conceitos da reta real para o espa o multidimensional Por exemplo uma vizinhan a de a R um subconjunto W C IR que cont m alguma bola B a c para algum gt 0 Desse modo podemos andar um pouco em qualquer dire o a partir de a sem sair de V o que nos permitir fazer c lculos no entorno de a A palavra vizinhan a utilizada realmente com seu significado cotidiano
370. tamos de uma fun o f D gt IR com dom nio D C R H um procedimento b sico com v rios passos Ap s enunciar cada grupo deles damos as devidas explica es 192 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Determine e marque os pontos de interesse e Extremidades e furos do dom nio e Interceptos f 0 e ra zes de f e Descontinuidades de f Estude os sinais de f J observamos que o conjunto D pode n o ser o dom nio mais natural ou bvio da express o que define f Portanto conv m marc lo explicita mente no eixo das abscissas para visualizar os pontos de interesse nos passos seguintes Ser o especialmente importantes os pontos de acumula o de D que n o pertencem a D ou seja os pontos de fronteira onde f n o est definida Nos demais pontos de fronteira aqueles em D podemos calcular f imediatamente Naturalmente se 0 D podemos calcular f 0 esse o ponto do eixo das ordenadas cruzado pelo gr fico de f Tamb m natural querer calcular as ra zes da equa o f x 0 onde o gr fico de f cruza o eixo das abscissas mas claro que isso pode ser complicado Finalmente determinamos se f positiva ou negativa em cada intervalo entre suas ra zes Quando f definida por peda os v rios casos com express es diferentes devemos verificar se f cont nua ou n o em cada ponto de fronteira tomando os limites laterais e marc
371. tante t o alpinista esteja em x t y t porque essa solu o para y n o considerou a dificuldade da esca lada e as t cnicas do alpinista De fato note que por essa parametriza o o alpinista jamais chegar ao cume localizado na origem afinal x t y t gt 0 somente com t 00 Outra parametriza o poss vel e mais realista tomar x 1 s e y 1 s com s 0 1 que tamb m satisfaz y x verifique que a curva assim descrita satisfaz 6 0 1 1 6 1 0 0 e 5 Vf s porque defato s 21 s V f 8 s 314 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 13 5 Curvas e superf cies de n vel O conceito de superf cie de n vel um modo de resgatar a motiva o e defini o de curvas e superf cies como lugares geom tricos isto cole es dos pontos que satisfazem propriedades ou equa es dadas Assuma f D gt 5IR DCIR celR Se x E D f x c a superf cie de n vel c Diagramana lousa Para n 2 diz se curva de n vel Voc j conhece curvas de n vel de seus estudos de Geografia isot rmicas isob ricas e isoietas s o curvas em um mapa ao longo das quais respectiva mente a temperatura a press o e a precipita o s o constantes Suponha y I gt R curva contida em Se isto Im y C Se Dia grama na lousa Ent o f w t c para todo t T Derive VA
372. tem solu o nos n meros reais Pratique esse racioc nio com estas equa es a ejx 2 4 z e z 2 x 3 5 2 z 1 5x 1 6 0 e jz 1 z 1 6 0 e 4 gt 5 z Enfim o que faremos com o valor absoluto medir dist ncias entre n me ros reais Para tanto algumas de suas propriedades podem ser formuladas assim A fun o d R gt R d x y x yl satisfaz e d x y gt 0 e d x y 0 z y e d y x d x y e d x z lt d x y d y 2 E chamada fun o dist ncia ou m trica Essas propriedades dentre outras poss veis de enunciar s o o que justi fica o nome fun o dist ncia porque qualquer fun o que me a dist ncia como se estuda no assunto de espa os m tricos em Matem tica dever satisfaz las A ltima delas outra vers o da desigualdade triangular que discutimos acima e mais facilmente entendida quando visualizada no plano em vez da reta Para tanto marque pontos x y z como os v rtices de um tri ngulo me a seus lados e verifique quais rela es essas medidas devem satisfazer para queo tri ngulo possa ser formado 5l G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 2 6 Vizinhan as e pontos importantes O conceito de vizinhan a objetiva formalizar na reta real alguma no o de
373. tida no enunciado do teorema foi h algum tempo sugerida como uma defini o de continuidade motivada por vetar diretamente os saltos Por m n o foi a op o adotada a defini o com que trabalhamos mais complexa mas mais vers til matematicamente porque se aplica a outras situa es como fun es vetoriais Observe que a fsen l x sezxz O ozn 4 z Jas i sea 0 n o cont nua mas tem essa propriedade Exerc cio Mostre que 81 121 2x 3 tem ao menos tr s ra zes distintas Dica busque tr s intervalos Teorema de Weierstrass Valores Extremos Dados f a b IR cont nua em tudo existem zm zm a b tais que Va a 5 zm lt f 7 S f Em Gr fico na lousa Nota Zn Em a b Exemplo x seng 3 lt x lt 8 tem m ximo e m nimo Para aplicar o teorema no exemplo observamos que o conjunto dado a imagem da fun o cont nua f gt 3 8 IR definida por f x 7 sen z Topologicamente Weierstrass diz que a imagem de um conjunto com pacto por uma fun o cont nua tamb m compacta Como estudaremos posteriormente determinar m ximos e m nimos de fun es e conjuntos muito importante sua exist ncia primeiro passo garantida por esse teo rema Note que em algumas propriedades acima estudamos fun es cujos do m nios s o intervalos limitados e fechados Isso se tornar cada vez mais comum porque dom
374. to cr tico n o de m ximo m nimo ou sela Procedimento Para f cont nua sobre D fechado limitado 1 Determinar pontos cr ticos e seus f valores 2 Calcular valores extremos de f na fronteira de D 3 Comparar esses valores Isso determina extremos globais 4 Verificar sinais de Hp e a Isso determina extremos locais e selas quando poss vel Note que esse procedimento muito similar quele para fun es de uma nica vari vel mas cada passo ser realizado de modo diferente Trataremos 2 e 4 em v rios exemplos de fato come amos por situa es em que o dom nio todo o plano IR ilimitado apenas para realizar a classifica o do ponto cr tico Exemplo na lousa Pontos cr ticos de f x y 817 24xy y 344 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exemplo na lousa Pontos cr ticos de f x y ay Exerc cio Ache a menor dist ncia do ponto 12 0 5 ao plano 2x y z 2 Sugest es minimizar a dist ncia minimizar seu quadrado substitua z 2x y 2 para trabalhar com duas vari veis x y a A elimina o da vari vel z por substitui o porque seu valor dado pelos b de x e y pr tica que trazemos dos estudos de Uma Vari vel O m todo de Lagrange que estudaremos frente tratar z como uma terceira vari vel do mesmo tipo das outras duas Substit
375. toda fun o deriv vel de modo que a derivabilidade uma pro priedade com diversas consequ ncias dentre elas o Teorema do Valor M dio que por sua vez subsidia formalmente a interpreta o mais comum do sinal da derivada Se f deriv vel em a ent o f cont nua em a Ou seja fun o com salto n o deriv vel no salto Note cont nua n o deriv vel em 0 Prova lim f ax f a lim POSI a f a 0 0 a r gt a x a 173 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Esse crit rio de continuidade til para descartamos imediatamente v rias derivadas imposs veis de calcular Ele aplicado em algumas demons tra es e mostra que as classes de derivabilidade mais abaixo formam uma cadeia decrescente Suponha f D gt R deriv vel em todo D Temos 1 1 oE fie h f x fun o derivada de f Como fun o tamb m pode ser deriv vel com derivada f Se pudermos repetir obtemos f f F0 zn f a n sima derivada ou derivada de ordemn de f Isso significa apenas que usamos a defini o pontual de deriva o para defininir uma nova fun o a fun o linha cujas propriedades podemos no vamente estudar At aqui substitu mos o valor de a na conta Agora escreveremos x no lugar de a arbitr rio O melhor meio de calcular as derivadas de diversas ordens passo a passo
376. transforme a em PE Mudan a de vari vel Para f a b R cont nua e q p q gt a b de classe Ct com p p a e p q by temos f tos f ret e uau Exemplo Fila 2 da EES a u du ut A 77 3p 1 Muito pouco requerido de y somente que os extremos estejam corres pondidos e que a mudan a seja suave N o preciso bije o ou monotonici dade por exemplo 236 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Seu livro de C lculo traz uma demonstra o desse resultado onde as hip teses sobre f e y s o explicitamente utilizadas mas claro que se tem em mente a mesma opera o de substitui o utilizada para integrais indefinidas com x u e dr p u du Enfim voc pode preferir calcular a primitiva e a substitui o em sepa rado o exemplo acima fica assim fire 1 e 2 do a J T du pn JT r Na teoria por m especialmente em F sica e outras aplica es ser impor tante conhecer o teorema na forma da integral definida Trabalho Posi o s e for a F componente na dire o do deslocamento Trabalho T f F ds Para F t s t s b b Ja I o POA F tv t dt ds s dt v dt para velocidade v t Pode se tomar a primeira integral como a defini o de trabalho ou pro curar uma dedu o a partir do conceito de for a vezes dist ncia percorrida quando a for a constante
377. tural de integrais m ltiplas Aqui queremos apenas reconhecer as f rmulas prontas que podem ser encontradas nos livros texto e aproveitar para praticar o c lculo de integrais O c lculo deve ser iniciado pela integral mais interna entre os par nteses Estamos fazendo o seguinte Temos uma l mina de algum material del gado um metal por exemplo cuja densidade em cada ponto dada pela fun o p em termos de massa por unidade de rea j que a terceira dimens o n o considerada Fixe algum x a b ent o f x g x s o n meros fixos e para y entre esses n meros podemos integrar p ao longo desse segmento obtendo sua massa exceto que o segmento n o possui largura Essa nova densidade linear fun o de x que ao ser tamb m integrada dar a massa toda Para determinar as coordenadas do centro de massa basta repetir o pro cesso agora com fatores multiplicativos no integrando n o se esquecendo de dividir pela massa O ponto obtido aquele onde a l mina pode ser equili brada horizontalmente sobre uma agulha vertical Deixamos a justificativa disso por m para o pr ximo curso Se a l mina for homog nea podemos assumir p 1 ou outra constante e M ser realmente a rea da l mina enquanto nesse caso espec fico o ponto zom ycm chamado centro geom trico ou centr ide da regi o delimitada N o confundir com centro gravitacional cuja defini o diferente embora geralmente os dois
378. u absoluto Quando f a lt f x para todo x D mutatis mutandis Dom nio importante Fora dele f n o est definida ou valores maiores menores n o interessam 341 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Fizemos as mesmas defini es em Otimiza o e Comportamento de Fun es voc dever rever os coment rios anexos l Em especial recorde que um ponto do dom nio poder ser ponto de m ximo ou m nimo j sua imagem poder ser valor m ximo ou m nimo Por suas pr prias defini es os valores m ximo e m nimo s o nicos sobre o dom nio espec ficado mas pode haver v rios pontos de m ximo e v rios pontos de m nimo que produzam esses mesmos valores Quando se restringe a VN D para alguma vizinhan a V de a extremo local ou relativo Discuss o sobre localidade compare picos do Jaragu e do Everest Revise tamb m os detalhes do roteiro que aprendemos nas p ginas 185 e seguintes para determinar os m ximos e os m nimos de fun es de uma vari vel porque o estudo de v rias vari veis seguir a mesma linha l gica ainda que requeira adapta es Aqui com D CIR assumimos que f o suficientemente deriv vel para validar cada passo Para uma vari vel Para determinar extremos globais 1 Calcular f nos pontos cr ticos e onde f se anula e onde f n o existe 2 Calcular f nas extremidad
379. uando ambos a b I Al m disso preciso ver quando a ou b s o reais ou 00 os racioc nios s o semelhantes mas o modo de escrever muda um pouco Uma vizinhan a de um ponto a R um V C R tal que existem x y com a y E V Isto V cont m Ja a e para algum gt 0 podemos andar um pouc tanto para a esquerda quanto para a direita ssoser til quando quisermos fazer c lculos no entorno de a Enfatizamos preciso ter o ponto a especificado A palavra vizinhan a utilizada realmente com seu significado cotidi ano Concentramo nos no que acontece localmente em torno de a n o nas 52 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 regi es mais afastadas da reta ou em todo o dom nio de uma fun o Por m exigimos que sempre temos espa o tanto esquerda de a como direita para que possamos efetuar c lculos de interesse os intervalos apresentados s o sempre abertos Isso se tornar mais relevante quando estudarmos limites e derivadas Interpretaremos uma vizinhan a como uma esp cie de microsc pio que usamos para explorar uma se o da reta real com zoom amplia o do en torno de um ponto fixado Esse microsc pio independentemente do zoom utilizado mostra sempre um pouco de espa o tanto para a esquerda como para a direita do ponto Fixe D C IR por exemplo um dom nio de fun o e a R dentro ou
380. ue 0 lt z a lt implica f x L lt e Para tal existe tamb m N N de modo que Sn a lt quando n gt N Como assumimos que sn a conclui se que n gt N implica f sn L lt Para a rec proca apresentaremos um argumento e voc dever responder por que ele prova a implica o inversa Assuma limpa f x L ou seja h gt 0 tal que para todo gt 0 existe x com 0 lt x a lt e ainda f a L gt e Em particular tomando se n N e 6 1 n chame esse x de sn Veja que cada sn a por m temos Sn a quando n gt o0 porque Sn a lt 1 n enquanto f s L porque sempre f sn L gt e que um n mero fixo Essa discuss o assumiu a L IR Como voc trataria os outros casos 3 12 Continuidade Encerramos o cap tulo com a no o de continuidade de fun es que j temos utilizado ao longo do texto para calcular diversos limites O que fizemos foi dar uma lista de fun es ditas cont nuas para as quais pod amos calcular limites por substitui o Essa exatamente a defini o que daremos agora Para a real f cont nua em a nos casos a pto isolado do dom nio ou lim Hx f a va Diz se que f cont nua seo for em todo ponto do dom nio Casos contr rios descont nua Para uma fun o ser cont nua em um ponto preciso que antes de mais nada esse n mero perten a ao seu dom
381. ue j escolhemos as parti es Py com di metro convergindo a zero por exemplo pondo ny k e Tpi a i b a k e que devemos apenas obter os pontos tr E X i 1 Zril Usaremos aqueles dados pelo TVM para F de modo que Tki Tk i 1 Como F f temos b Nk J 1O d pm DO fta a Si fm gt JF eu Plewn lim F n gt F x0 F b F a Qualquer outra primitiva de f serviria em vez de F na express o do TFC obviamente a constante de integra o cancela se e em geral omitida Exerc cios Confira usando o TFC seus resultados para os exerc cios anterio res Incorpore o TFC sua resposta ao exerc cio de integra o de velo cidade e Compare o sinal da rea sob o gr fico de 11 o resultado que seria dado pelo TFC Justifique a discrep ncia A integral definida utilizada para definir o valor m dio da fun o ao longo do intervalo em estudo basta calcular b fado 234 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 com cuidado para n o esquecer o fator b a que o comprimento do in tervalo Assim o valor m dio de f aquele de uma fun o constante cuja integral sobre o mesmo intervalo ou seja a rea do ret ngulo igual de f Como isso tem in meras aplica es disso enunciaremos um Teorema do Valor M dio a respeito TVM integral Se f a b R
382. ue tanto A como x s o vetores em IR de modo que A x igual ao produto interno A x Assim 4 x lt A l lll e ent o Az 4z Ana lt Allel API gt Alle ij IAI Daio ij obtemos a desigualdade Ax lt Al l Isso leva nos a observar que uma matrix m x n essencialmente um vetor com mn coordenadas ou seja que h uma identifica o entre Mn IR e R Matrizes e vetores s o somados do mesmo modo coordenada a coordenada e suas normas s o definidas identicamente apenas a multiplica o matricial uma nova forma de produto Essa identifica o at sugere a nota o R para o conjunto Mn IR utilizada em algumas reas Com a nota o especial Fun o de 1 ordem fi R SIR flx u Ar onde u R e AEMn IR Note que IKES Ha ll 4x Aall AC all lt lAl lx all Desse modo toda fun o de 12 ordem uniformemente cont nua Exerc cio Sendo f como antes e g y v By em que condi es podemos formar f g ou go f Mostre que ent o cada fun o tamb m de a 12 ordem 320 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Agora podemos construir a melhor aproxima o de 1 ordem a uma fun o qualquer O racioc nio aqui ser an logo ao que fizemos em Deriva o ao substituir f por uma fun o que pretendemos que aproxime a
383. ui o mal fica Tenha em mente que a elimina o de uma vari vel em uma restri o para substitui o na fun o objetivo pode dar um resul tado incorreto Eis um exemplo devido a H R Bailey ache a dist ncia m nima da origem ao parabol ide z 4 x 4y Exerc cio Estude f x y 41 NEY no c rculo D 1N May lt 4 Aten o todos os pontos da fronteira v o interessar Exemplo Marcas de feij o preto X e Y custam ambas no atacado R 3 por saco de 1 kg Supermercado vende por x e y reais resp N mero de sacos vendidos por dia X 173 60x 30y Y 23 40x 50y Maximize o lucro l quido determinando x e y Esse exemplo uma ilustra o da relev ncia das prefer ncias do consu midor na determina o dos pre os ideiais para um produto Nele o pre o 345 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 de cada marca afugenta alguns consumidores seja para a concorr ncia seja decidindo n o comprar o produto o que subtrai parte das vendas por ou tro lado tamb m atrai outros consumidores da concorr ncia acrescentando vendas No enunciado o produto tem um pre o uniforme de aquisi o e diferen a de pre o d se exclusivamente em raz o da prefer ncia pela marca Fun o objetivo f x y x 3 173 60x 30y y 3 23 40m 50y Derivadas primeiras o OF L 3
384. uimedianidade para mostrar a exist ncia de um n mero racional estritamente entre quaisquer dois n meros reais distintos 45 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Demonstra o da arquimedianidade Assuma K gt 0 tal que todo ne N lt K Ent o IN majorado existe q sup IN Ent o x 1 que lt x n o majora IN existe n N com x 1 lt n donde z lt n 1 IN contradizendo condi o de supremo Ent o a arquimedianidade uma consegii ncia do Axioma do Supremo Por m esse axioma n o necess rio para que ela seja v lida Ou seja a arquimedianidade n o uma formula o equivalente da completude da reta real De fato observe que Q tamb m um corpo arquimediano embora n o seja completo 2 4 O Princ pio da Indu o Devemos fazer par nteses em nosso estudo da estrutura dos reais e mo mentaneamente ocuparmo nos de uma propriedade dos n meros naturais que possibilita um importante m todo de racioc nio e demonstra o em Ma tem tica Ela Suponha que temos proposi es ou afirma es P uma para cada n mero natural n Se valer P e se valerem todas as implica es Pa gt Pas ent o valem todas as proposi es P A imagem tradicional desse princ pio a das seq ncias de domin s enfileira dos Se derrubamos o primeiro e garantimos que cada um derruba o seguinte ent o estaremos certos que t
385. ulamos 7 3 e fz 6xseny donde fr 1 5 6 e fy 312 cosy donde fy 1 3 0 e fz 6seny donde frz 1 5 6 e fry 6x cosy donde fry 1 5 0 o Son 3r sen y donde flt z mg Ent o 1 of PAS o slt argy Ae a f hLDA DU Sa k 0 k 1 F E Prel a no 1 fryd ala 1 y 5 f t fyy 1 Zy z Ty A k 2 3 6 z 1 3 z 1 5 y Z Exerc cio Expanda explicitam nte o polin mio de Taylor de grau 3 para f arbi tr ria quando n 2 usando centro a b e vari veis x y Aplique o a fun o x y Dedu o extraordin ria mais um exemplo de estudar fun es de v rias vari veis aproveitando o trabalho e os resultados v lidos para uma vari vel acompanhado de uma exposi o pr tica sobre combina es de ndices Tome um gt 0 de modo que se possa definir y 0 1 e gt R assim pt fla t z a Como p 0 f a e 1 f x bastar calcular 336 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 em 1 o polin mio de Taylor de y t de grau d ao redor de 0 que k CO 2a Pela Regra da Cadeia y de classe C t escrevendo u x a temos p t f a tu Ent o denotando a i sima vari vel por x 7 z of Tia AD D a Or a tu i 1 Derivando essa express o vem 7 o n d of z n n of pt Zalan ui os dae a tu s Ui Procedemos d
386. ulo Para quaisquer a b c se existem if f x dx e f f x dx ent o existe f tod teras fraas Diagrama na lousa Essa propriedade geometricamente bvia quando a lt b lt c e para os demais arranjos entre ayb e c incluindo sobreposi o consequ ncia de nossas conven es sobre K 0 e f Para demonstrar o caso a lt b lt c rigorosamente devemos retornar defini o de Riemann sendo a id ia central apenas refinar uma parti o dada qualquer de a cl para trabalhar com uma nova parti o que contenha b e portanto possa ser separada em parti es deja b e b c Por indu o ou generalizando se a demonstra o vemos que se ay lt m lt lt ane f integr vel em cada a a ent o f integr vel em todo o 0 an com an n 1 ai f x DN f x dz ao i 0 ti Assim integrabilidade de fun es cont nuas implica integrabilidade para fun es descont nuas em apenas um n mero finito de pontos 231 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Refinar parti es tamb m a opera o principal para demonstrar v rias das propriedades que apresentaremos Frequentemente trabalhar com a defini o sobre duas fun es ou dois intervalos requer considerar parti es diferentes Sobre um mesmo intervalo essas parti es podem ser imediata mente refinadas a uma parti o comum Linearidade fano ck fr x
387. uma que 2 lt x lt 2 Ent o 10 8 amp lt x 8 lt 10 donde 8 5 6 lt O Ore Observando que x lt 8 multiplicamos por 1 e com cuidado com os sinais de desigualdade obtemos lx 8 Y p Ny lt e P g 68 a A f imagem de para qualquer gt 0 sempre 1 1 H mais que um candidato a limite b A f imagem de J f 7t oo conforme varia n o h nenhum n mero real comum a todas essas imagens N o h nenhum candidato a limite c Existe um e gt 0 tal que qualquer que seja gt 0 por menor que seja encontra se TE Ja 6 4 de modo que x a e f x L s L el Em s mbolos Je 0 V gt 0 dxeR O lt z al lt delf z L gt e 385 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 d N o existe L IR de modo que para qualquer gt 0 exista 6 gt 0 tal que se x Ja a e x a ent o f x ElL ec L el Em s mbolos AL R Ve gt 0 gt 0 VYx E R O lt z a lt gt f x Bl lt z Ou ainda Para qualquer L IR existe um gt 0 tal que qualquer que seja gt 0 por menor que seja encontra se x Ja a de modo que x a e f x L c L el Em s mbolos VL R 3 P g 73 a P g 74 a
388. ura dos N meros Reais e em Introdu o aos Limites Em vez de repetir buscamos revisar rapidamente o que j foi visto mas fazemos novas elabora es e h t picos in ditos como as regras de L Hospital e as s ries de pot ncias 5 1 Lembretes O n mero e ser muito importante em nossos estudos conv m memorizar que se trata de um n mero transcendente entre 2 e 3 e portanto maior que 1 E F P z EL e e n mero especial com linio el e valor 2 718 exp fun o exponencial com base e ou seja exp x e e In a fun o logaritmo tomada na base e e ngulos s o medidos em radianos Em textos cient ficos log pode n o ser na base 10 mas sim em outra base de interesse no estudo como e ou 2 119 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Aten o A mesma opera o usada para definir fun es 1 e pot ncias 72 7 x etc T e exponenciais 2 37 5 etc x na e c mais complicadas x 5 sena Ss etc Essas fun es t m propriedades e gr ficos diferentes Portanto regras no C lculo ser o diferentes Pontos infinitos R e 1 1 s o muito parecidos Escala nalousa De fato 2 tg a bije o crescente Mas IR n o tem come o nem fim enquanto 1 1 C 1 1 Introduzimos dois novos s mbolos 00 amp o0 oo antes de todos os reais oo lt Tmmx 1090 l
389. usando as operandas o seguinte slide usa um modo muito particular Suponha f g D gt R Definem se ponto a ponto e f g D gt R f ola fx g x e fg D gt R fg fiz giz Discuss o em aula sobre o ponto a ponto Assim fixa se x D e faz se a opera o correspondente com os valores das fun es calculadas em x seus valores em outros pontos n o importam Esse m todo para definir opera es chamado ponto a ponto e muito comum em Matem tica Voc j deve conhec lo da soma de vetores Soma mos a primeira coordenada de cada vetor e o resultado a primeira coorde nada do novo vetor Depois somamos as segundas coordenadas as terceiras etc e listamos os resultados respectivamente Tal soma feita portanto coordenada a coordenada Operamos com sequ ncias cujo dom nio IN exatamente do mesmo modo Mais tr s exemplos A diferen a f g definida como acima substituin do se por Se tamb m k e R ent o a fun o kf definida como kf x k f x Se g x O para qualquer x X ent o podemos definir f g tamb m ponto a ponto O que significa f 9 f g amp feg s o a mesma rela o por defini o Voe D f x glx ponto a ponto Quando temos f g f g amp Ixe D fr glxr n o ponto a ponto Tamb m ponto a ponto f Sg amp Yz D f x lt glx f lt g amp Yz D f x lt glz 28
390. vadas Em breve veremos re gras de c lculo que oferecem um algoritmo receita de bolo para reduzir 101 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 o c lculo de derivadas ao das fun es fundamentais Estas ser o listadas e convir voc memoriz las Continuidade Se f deriv vel em a ent o f cont nua em a Prova iniciados ta va x a v a f a 0 0 Ou seja Fun o com salto n o deriv vel no salto Mas note cont nua n o deriv vel em 0 Esse crit rio de continuidade til para descartamos imediatamente v rias derivadas imposs veis de calcular mas tamb m o aplicaremos em algu mas demonstra es A pr xima se o j o esclarecer graficamente 4 2 Interpreta o geom trica A deriva o pode ser usada para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gr fico de uma fun o e ent o tamb m a equa o dessa reta Para tanto aqui consideramos informalmente a reta tangente como um limite de retas secantes e justificaremos depois em Uma Vari vel a equa o obtida como sendo a melhor aproxima o linear fun o Caso o gr fico da fun o f tenha um salto justamente no ponto de interesse a f a um caso em que f descont nua em a ent o n o h reta tangente e de acordo com a se o anterior n o h derivada em a Reta tangente ao gr fico de f em
391. vari veis xj j i mas pr pria x De fato z um vetor fixo quando se deduz a express o da s rie de Taylor infelizmente as vari veis t m o mesmo nome Pelo mesmo motivo calculam se apenas as derivadas em a n o os termos x a o que anularia tudo 400 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Assim escrevendo se D x Ai do vem D x a do Por Schwarz D D D D quando j de modo que podemos simplificar repeti es com expoentes Calculemos pa D por distributividade escolha um termo de cada soma no produto obtendo Y ae Dras Dia 1 0 ip 1 Simplifique repeti es usando expoentes e escreva em ordem usando comu tatividade o eg Es E aO H je E usas ires I lt j1 lt lt je lt n ri re k n mero de permuta es com repeti es Ti Te21l Introduza repeti es 0 vezes para operadores D que n o aparecem com Qu T S a nD A Dja Sji S si Isn k 1 n S1 Sn 20 O fator k cancela se e em vista da discuss o acima o f Ds RR Dicas ne x1 a Siela Th lP Tu OEF a Por exemplo D Ds f em a 21 ai 22 2 o lem a x a1 2 82 a2 sd a i P g 345 a O m todo indica o ponto 19 3 17 6 47 6 no plano como o mais pr ximo ent o a menor dist ncia 17 v6 b BAILEY H R Hid den boundaries in constrained max min problems The College M
392. verso e Yx RA R z 2 e Yx Z 0 G lt 7t R es t 1 Note que x e x s o nota es apenas e a esta altura n o t m qualquer significado Assim podemos utilizar outras decora es comuns em Matem tica para indicar os mesmos objetos para cada n mero real x existem outros dois n meros ve 7 tais que r T 0exrx l Os axiomas listados at aqui quando agrupados tomam o nome coletivo de axiomas dos corpos Assim IR um corpo porque tem essas proprieda des e tamb m s o corpos Q e o conjunto dos n meros complexos Em lgebra acad mica v se que existem ainda muitos outros corpos Por isso devemos notar a import ncia deste fato Onde quer que os axiomas valham suas consequ ncias valer o tamb m Ele significa que se fizermos apenas os c lculos permitidos pelos axiomas ou outras propriedades que deduzirmos deles ent o esses c lculos j servem para qualquer corpo Desse modo foi importante impor que 0 W porque esse fato n o decorre dos outros De fato todos os outros axiomas valem para o conjunto unit rio 0 como voc pode verificar Vejamos mais exemplos Consequ ncias para reais arbitr rios e n o nulos se necess rio e 0 r x lz z rz 0 rtr 1 etc e Podemos definir z y x y e z y ay e t y zxz z w z cancelamento porque somamos x aos dois lados associamos e simplificamos somando zeros e ty tz
393. vetores equa es param tricas curvas e superf cies entre outros O livro texto mais utilizado e atual o de Paulo Boulos amp Ivan BOULOS P CAMARGO I Geometria Anal tica um trata mento vetorial 32 ed S o Paulo Makron Books 2005 404 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 H tamb m o material elaborado por Daniel Rafael amp Sinu na UFABC MIRANDA D GRISI R LODOVICI S Geometria Anal tica e Vetorial em desenvolvimento J IEDO continua o estudo de problemas e aplica es do C lculo mas cujas solu es agora v o al m do Teorema Fundamental de integra o Para tanto propomos o nosso VINICIUS C L EDO na Gradua o em desenvolvimento Lembramos que o manual de Demidovitch tamb m contempla essa mat ria Finalmente caso voc tenha curiosidade em estudar mais profundamente as entidades matem ticas e as demonstra es mais rigorosas que fundamen tam o C lculo e que foram originadas por ele poder ingressar no estudo da An lise um dos amplos ramos da Matem tica abstrata Experimente RUDIN Walter Principles of Mathematical Analysis 32 ed New York McGraw Hill Inc 1976 405 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Notas sobre o conte do e a organiza o 407 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015
394. vio caso 2 Estude esse exemplo do Princ pio de Indu o com detalhe antes tra balh vamos com proposi es sobre n meros agora trabalhamos com uma proposi o sobre conjuntos mas o mecanismo o mesmo Enfim suponha que I n o vazio e que s o dados A J para i I ou seja 1 um conjunto ndice e os conjuntos indexados por I s o todos abertos Queremos J 4 T onde icl 58 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Se x pertence a essa uni o ent o x E A para algum t I e portanto jz e x el Ai para algum e gt 0 de modo que r e x ef Ujer Ai Nesses c lculos tomamos contato com dois conceitos interessantes da Teoria dos Conjuntos Um usar elementos de um conjunto como ndices de outros conjuntos O outro formar uni es de fam lias de conjuntos A nota o ii X indica a mesma coisa que Uo Xn enquanto a nota o an loga Ls Xn significa Xo U U X e semelhante em esp rito de somat ria Tea Tn E com esse tipo de uni o mais amplo que dizemos que todo aberto de IR pode ser obtido como uma uni o de intervalos abertos Discuss o extraordin ria Existe uma outra classe de conjuntos bem com portados chamados compactos Vejamos antes da defini o uma caracte riza o e uma propriedade 1 um teorema chamado de Heine Borel em homenagem aos matem ticos que o divulgaram garante que os subconju
395. x g 2 lim f 2 lim g 2 xoa e lim f a x g x lim f x x lim g ga va T gt a lim f 2 lim Ha para N N fixo lim f x e a a aoa Em particular constantes multiplicativas passam para fora do limite lim sa c f x e limsa lo Notas e Para fazer a conta a deve ser sempre o mesmo n o cancele com express o em cima e os limites de f g devem existir e No caso do quociente o limite de g deve existir e ser 0 e Ainda n o contemplamos f a 9 Tamb m essas regras devem ser demonstradas usando a defini o formal de limite O argumento para a som embora simples bastante comum em An lise ent o o vejamos Supomos que Buytr L e limg x M ta sa para chegarmos em lim f x 9 2 L M Dado gt 0 existem a 8 gt O tais que 0 lt z a lt a gt f z L lt 5e 0 lt r a lt g z M lt 5 71 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 de fato escrevemos a 5 em vez de e aplicamos a defini o de limite ao caso particular de 5 gt 0 no lugar de Agora tome min a p gt 0 se0 lt z a lt ent o ambos os casos acima est o satisfeitos de modo que Hx 9 x L M lt f x L g x M lt E H5 onde usamos a desigualdade triangular O mesmo racioc nio vale para a subtra o como devemos alterar os sinais O caso do p
396. x y 1 1 x 0 2 f y 2 de y 1 4 x 2 3 o xe sen z d x y 2 2 2 x 0 1 x 0 7 O al At aqui integramos somente sobre dom nios que s o paralelep pedos ret ngulos passaremos a considerar outros dom nios Outro modo de visualizar uma integral dupla quando n 2 atrav s do c lculo do volume de um s lido seccionado integramos sobre x uma rea que depende de x e agora dada tamb m por uma integral cuja vari vel y e varia entre limites que podem depender der Dom nios que n o s o paralelep pedos Demidovitch 2116 2 x 2 a Z dyd 1 i r Y 2 x o r y dy dz 1 1 x 267 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Exerc cio Calcule Q m 2 3cosy e emidovite r sen r ap Demidovitch 2119 sen ydr d n 2 J0 o 1 pv1 a2 e Demidovitch 2120 f f V1 r y dy dz o Jo Sobre paralelep pedos ret ngulos o Teorema de Fubini permitia nos to mar a ordem de integra o mais favor vel em vista do integrando No caso dos dom nios irregulares como os limites de integra o trazem fun es das vari veis e n o podem ser deslocados ou a vari vel n o desaparece ap s sua integra o preciso reescrever o dom nio na nova perspectiva Mudan a de ordem 1 pl T exp y dy dx 0 x Note que ex
397. xemplo F x2y zlnx y sen z je 7 k ENE E gt rot F Ja Em oa N ty znx y senz Kly sen 2 2zln r ng y gt 2 y sen z o k amp zlnz awy 1 ny0 rtz x Interpreta o do rotacional Ocampo rot F calculado em um ponto a b of um vetor que indica o quanto uma pequena esfera nesse ponto dever girar quando submetida ao campo de for as F De fato al m da for a F a b c que atua para deslocar a esfera pequenas diferen as entre as for as atuando em dois hemisf rios fazem com que um acelere mais que o outro mesmo que seja no mesmo sentido e que a esfera adquira rota o Para compreend lo dividiremos a rota o total em tr s componentes paralelas aos eixos coordenados e calcularemos aquela paralela ao eixo Oz sendo as outras duas an logas Nesse caso podemos substituir a esfera por seu disco equatorial no plano z c paralelo a Oxy e ignorar a componente F do campo que poderia fazer o disco subir ou descer mas n o girar nesse eixo A tend ncia rota o deve ser medida com a mesma orienta o que se d pr pria rota o o sentido anti hor rio que corresponde base can nica Com essa orienta o supondo que o disco tenha raio h a atua o resultante da componente F ao longo do eixo Oy F a h b c Fila h b c naaa Cl direita do centro esquerda do centro 304 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o pre
398. zinhan as De fato f D gt IR cont nua em a D se e somente se para qualquer vizinhan a U de f a tamb m f U uma vizinhan a de a induzida em D Percorrendo se todo o dom nio com a con clu mos que f cont nua em D se e somente se para qualquer aberto U sua pr imagem f U um aberto induzido de D A primeira caracteriza o segue naturalmente da formula o com vizi nhan as da Defini o II e por sua vez implica na segunda Discuss o extraordin ria Finalmente mencionamos que se uma fun o cont nua e seu dom nio compacto ent o tamb m sua imagem compacta Faremos uso fundamental disso em Uma Vari vel Teorema de Weierstrass quando buscarmos valores m ximos e m nimos de uma fun o porque ter certeza que eles existem o que possibilita essa busca Eis outro caso de preserva o se uma fun o cont nua e seu dom nio conexo sua imagem tamb m conexa No contexto unidimensional em que trabalhamos esse fen meno relaciona se estreitamente com o Teorema do Valor Intermedi rio que conheceremos na mesma parte 95 G Cale 2015 Vinicius Cif Lopes Vers o preliminar UFABC 1 quad 2015 Cap tulo 4 Introdu o Deriva o A deriva o foi uma de nossas principais motiva es para o desenvol vimento do conceito e do c lculo de limites na forma de velocidade ins tant nea que apresentaremos agora Al m dessa inter

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