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Apostila de Introdução à Lógica

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1. e a conclus o R Q R Novamente considere Au Ak como as suposi es em vigor no passo Q gt R Note que as suposi es em vigor no passo R s o Az Ak e Q Uma vez que o passo R ocorre antes do primeiro passo inv lido a R deve ser uma consequ ncia tautol gica de Az Ak e Q Suponha que tenhamos constru do uma tabela de verdade conjunta para as senten as Az A Q9 R e R Como Q R o primeiro passo inv lido na prova p ele n o consequ ncia tautol gica das suposi es em vigor Portanto deve haver uma linha h nesta tabela onde A1 Ak sejam todas verdadeiras mas Q R seja falsa Como Q gt R falsa nesta linha ent o Q tem que ser verdadeira e R falsa Mas isto contradiz nossa observa o a do par grafo acima de que R uma consequ ncia tautol gica de A1 Ak e Q Novamente n o poss vel que a regra que justifique o primeiro passo invalido de uma prova p seja a regra Intro CASO 3 LElim Suponha que o primeiro passo invalido em p derive a senten a O a partir de 1 Uma vez que este o primeiro passo inv lido L deve ser uma consequ ncia tautol gica das suposi es em vigor no passo de Devido s mesmas considera es feitas no primeiro caso as suposi es em vigor par L continuam em vigor para Ent o como L ocorre antes do primeiro passo inv lido L uma consequ ncia tautol gica das suposi es As Ax em vigor no passo Q Mas isso s
2. Harrison o astro favorito de Nancy O astro favorito de Nancy melhor do que Sean O astro favorito de Nancy melhor do o astro favorito de Max O astro favorito do astro favorito de Claire Brad Sean seu pr prio astro favorito OK WN 1 17 Construa uma linguagem de primeira ordem para falar sobre pessoas e suas respectivas alturas Contudo ao inves de usar simbolos de rela o como Taller utilize um simbolo de fun o que o permita a se referir a altura das pessoas em conjunto com os simbolos de rela o e lt Explique a interpreta o de seu simbolo de fun o e ent o utilize sua linguagem para expressar as seguintes afirma es 1 George mais alto do que Sam 2 Sam e Mary t m a mesma altura Voc v algum problema com este simbolo de fun o Se ve explique o problema Dica O que acontece se voc aplicar o simbolo de fun o duas vezes 1 18 Para cada uma das senten as da lista a seguir construa uma senten a at mica em FOL que seja uma tradu o Al m de apresentar a tradu o explique a quais tipos de objetos os nomes que voc utilizou se referem e apresente o significado pretendido para os predicados e simbolos de fun o que voc usou Para cada senten a voc ter que inventar constantes individuais predicados e simbolos de fun es A capital de Indiana maior do que a capital da Calif rnia A amante de Hitler morreu em 1945 Max apertou a m o do pai de Cl
3. Assim para mostrar que uma senten a Q n o consequ ncia das senten as P1 Pn devemos mostrar que o argumento cujas premissas s o P1 Pn e a consequ ncia Q inv lido Isso requer que demonstremos que poss vel que as senten as P1 Pn sejam todas verdadeiras e a conclus o Q seja falsa Temos ent o que mostrar que existe uma situa o poss vel ou circunst ncia em que isso ocorra as premissas s o todas verdadeiras e a conclus o falsa Tal circunst ncia cnamada de um contra exemplo para o argumento Provas Informais de N o consequ ncia Devemos simplesmente descrever claramente o que seria uma situa o poss vel na qual as premissas s o verdadeiras e a conclus o falsa Esta a t tica usada por advogados de defesa que tenta criar uma d vida razo vel de que seu cliente seja culpado a consequ ncia do promotor a despeito da evid ncia que se tenha para o caso as premissas do promotor Considere como exemplo o seguinte argumento Maluf um pol tico Raramente os pol ticos s o homestos Maluf desonesto Se as premissas deste argumento forem verdadeiras a conclus o provavelmente verdadeira Mas mesmo assim o argumento n o logicamente v lido a conclus o n o uma consequ ncia l gica de suas premissas Como podemos ver isso Imagine a seguinte situa o uma conven o em que estejam 10 000 pol ticos e que Maluf seja o nico pol tico homesto e
4. Between c b a gt Between b a c v c b Between a b c v Between b a c v Between c b a Between b a c Sentencas do Argumento de Bill 1 Between b c d Premise 2 Between a b d Premise 3 LeftOf a c Premise 4 Between b a d Conclusion Sentencas de Boolos 1 Between a c d lt gt Between b c e 2 e 4 f gt Adjoins b c A Adjoins e b Adjoins b f 3 SameCol e f gt Smaller e e 4 SameRow e b A SameRow b c SameRow c f gt Between a c d o LeftOf e b gt RightOf a e Sentencas de Bozo Small Cube a FrontOf Tet e It looks like Bozo is trying to say that a small cube named a is in front of a tetrahedron named e SameCol x b Cube a Cube b v Cube c There are two different ways of adding parentheses that can turn this into a sentence Cube a Cube b gt Cube e Ix Cube x 3a Cube a Small a Bozo wants to say that there is a small cube 3x Cube x Small x Bozo tries again to say that there is a small cube 3y Dodec y Large y Bozo left out a negation sign There are four places you could put it but one would make the sentence false Vy Cube x gt Medium x vx Tet x A Small x gt FrontOf x e Sentencas de Boole 1 Medium c Smaller c a 2 Medium c Smaller c a Make sure you understand why th
5. Provas de Nao consequ ncia Quando um advogado de defesa mostra que o crime poderia ter sido cometido por uma outra pessoa al m de seu cliente o advogado est tentando provar que a culpa do r u n o se segue das evid ncias que se tem no caso Uma prova de n o consequ ncia para um dado argumento procura estabelecer que seria poss vel a conclus o ser falsa mesmo que todas as premissas fossem verdadeiras Este mecanismo n o funciona para os predicados Adjoins e Between devido complexidade dos modos em que os significados destes predicados interagem com os outros Apesar de perfeitamente poss vel seria computacionalmente muito complexo implementar tal mecanismo para estes predicados 11 Os sistemas formais e suas regras representam m todos para provar consequ ncia ou seja m todos para provar que um argumento logicamente v lido que sua conclus o consequ ncia l gica de suas premissas Veremos nesta se o o m todo mais importante para demonstrar n o consequ ncia ou seja para demonstrar que uma determinada senten a n o consequ ncia l gica de um conjunto de premissas De acordo com a defini o de validade que apresentamos um argumento v lido se qualquer circunst ncia que torne suas premissas verdadeiras tamb m torna sua conclus o verdadeira Em outras palavras um argumento inv lido se existe alguma circunst ncia que torna as premissas verdadeiras e a conclus o falsa Contra exemplos
6. Reit 17 20 P Intro 18 19 2 Elim 20 Mesmo assim inclu mos a regra LElim para tornar nossas provas menores e mais naturais Usos Generosos das Regras em FITCH A regra Elim permite a voc retirar dois s mbolos de nega o da frente de uma senten a Usos repetidos desta regra permitem a retirada de quatro seis ou qualquer n mero par de s mbolos de nega o Por esta raz o a implementa o de Elim em Fitch permite a remo o de qualquer n mero par de s mbolos de nega o em um nico passo Aplica es Default das Regras em FITCH Em uma aplica o default de Elim Fitch remover tantos s mbolos de nega o quanto for poss vel sempre um n mero par da frente da senten a citada e insere o resultado no passo justificado pela regra Elim Em uma aplica o default da Intro a senten a inserida automaticamente por Fitch ser exatamente a nega o da suposi o da subprova citada Fa a o Tente Isto 10 da Lista 5 6 para praticar estes usos das regras da nega o 4 O Uso Correto das Subprovas Subprovas s o a caracter stica principal dos sistemas de dedu o do estilo Fitch importante que voc entenda como utiliz las corretamente A prova formal abaixo parece que foi constru da de acordo com nossas regras mas ela pretende provar que A A B se segue de BA A v AAC o que claramente n o est correto 1 BAA V AAC 2 BA ES Elim 2 A A A
7. es de passos anteriores em provas garantem que todas as suposi es em vigor nos passos citados continuam em vigor no passo contendo R No exemplo mostrado a suposi o A1 est em vigor no passo contendo Q gt R as suposi es A1 e A est o em vigor no passo contendo Q e as suposi es Ax A e As est o em vigor no passo contendo R Suponha agora que construamos uma tabela de verdade conjunta para as senten as Au Ak Q QR e R Devido a hip tese que assumimos de que R um passo inv lido hip tese do absurdo deve haver uma linha h nesta tabela na qual Ai Ak sejam todas verdadeiras mas R seja falsa No entanto uma vez que Qe Q R s o consequ ncias tautol gicas de As A ambas estas senten as s o verdadeiras na linha h Mas isto contradiz a tabela de verdade para gt pois sabemos que se Qe Q 3 R s o verdadeiras n o poss vel que R seja falsa Q verdadeira e R falsa tornaram Q R falsa II Ou seja chegamos a uma contradi o Logo n o poss vel que a regra que justifique o primeiro passo inv lido de uma prova p seja a regra Elim Para terminar a prova temos que fazer casos semelhantes para todas as outras 11 regras formais de Fr N o faremos isso Provaremos mais dois casos e deixaremos os demais como exerc cio CASO 2 Intro Suponha que o primeiro passo inv lido derive a senten a Q gt R a partir de uma aplica o da regra Intro citando uma subprova anterior cuja suposi o
8. Q R gt P AQ R SUS To 8 29 i P Q CP VQ 8 30 7 4 P Q P Q Os argumentos abaixo s o traduc es formalizadas dos argumentos apresentados nos Exerc cios 8 3 a 8 9 Os outros s o argumentos para os quais n o apresentamos suas vers es informais Voc precisar utilizar AnaCon para introduzir o 4 em duas de suas provas Compare a dificuldade que voc teve para fazer as provas informais daqueles exerc cios com a dificuldade de fazer as provas formais nestes exerc cios Conforme voc se acostuma formaliza o e tamb m conforme os argumentos v o ficando mais complexos voc notar como se torna muito mais f cil fazer provas formalizadas do que provas informais Ainda que as provas formalizadas fiquem mais longas 8 32 8 31 Mythical c Mammal c Horned c Elusive c Mythical c Mortal c A Dangerous c Mortal c v Mammal c Horned c Elusive c v Mythical c Rare c Horned c Magical c Mammal c Rare c Magical c Horned c Mammal c 8 33 Horned c Elusive c A Magical c 8 34 Tet a A Large a V Cube a id Horned c Elusive c Small a Magical c Small b Horned c Mythical c Tet a V Cube a Large b V Small b Horned c Magical c V Mythical c deis Medumb Small a A Large b 8 35 Cube b Small b 8 36 SameRow d a v SameRow d b d Small
9. Vejamos alguns exemplos simples Suponha que queiramos verificar se B consequ ncia das premissas A v B e HA A tabela de verdade conjunta a seguinte Percorrendo as colunas abaixo das duas premissas percebemos que h apenas uma linha em que ambas s o verdadeiras a terceira linha Nesta linha a conclus o B tamb m verdadeira Ent o B de fato uma consequ ncia tautol gica e portanto consequ ncia l gica das premissas A v B e A Suponha agora que queiramos aplicar o m todo para saberse A v C uma consequ ncia de Av HB e Bv C A tabela verdade conjunta para estas tr s senten as 14 Ha 4 linhas em que as premissas s o verdadeiras as linhas 1 2 3 e 7 E em cada uma destas linhas a conclus o A v C tamb m verdadeira Portanto esta infer ncia de A v C a partir de Av Be de Bv C logicamente v lida Fica como exerc cio para voc entregar junto com a Lista de Exerc cios 4 mostrar que a senten a A v B n o consequ ncia tautol gica das premissas B v Ce A v C Construa a tabela de verdade conjunta e indique especificamente as linhas que demonstram este fato LEMBRE SE Sejam P4 Ph e Q senten as de FOL constru das a partir de senten as at micas utilizando se apenas conectivos verofuncionais Em uma tabela de verdade conjunta para todas estas senten as podemos verificar os seguintes fatos 1 Qe consequ ncia tautol gica de P1 Pn se e somente se toda linha que atribui
10. es em FOL tamb m s o verdadeiras neste mundo Grave seu trabalho com o nome World 7 15 7 16 Dando nome aos objetos Abra os arquivos Sherlock s World e Sherlock s Sentences Voc notar que nenhum dos objetos no mundo tem nome Sua tarefa atribuir os nomes a b e c de uma forma que todas as sentencas da lista fiquem verdadeiras Grave o mundo modificado com o nome World 7 16 7 17 Construindo um Mundo Abra o arquivo Boolos Sentences e construa um mundo no qual as cinco sentencas sejam verdadeiras Este dificil 7 18 Utilizando os s mbolos introduzidos na Tabela 1 2 nos exerc cios do Cap tulo 1 traduza as seguintes sentencas em FOL 1 Se Claire deu Folly para Max as 2 03 ent o Folly pertencia a ela as 2 00 e a ele as 2 05 2 Max alimentou Folly as 2 00 pm mas se ele deu a a Claire ent o Folly n o estava faminta cinco minutos mais tarde 3 Senem Max nem Claire alimentaram Folly as 2 00 ent o ela estava faminta 4 Max estava bravo as 2 05 apenas se Claire alimentou ou Folly ou Sxruffy cinco minutos antes 5 Max um estudante se e somente se Claire n o 7 19 Utilizando a Tabela 1 2 nos Exerc cios do Cap tulo 1 traduza as seguintes senten as em portugu s coloquial 1 Fed max folly 2 00 v Fed claire folly 2 00 gt Pet folly 2 Fed max folly 2 30 o Fed claire scruffy 2 00 3 Hungry folly 2 00 gt Hungry scruffy 2 00 4 Hungry folly 2 00 gt Hungry scruffy 2 0
11. ocorre se As Ax forem TT contradit rias Em outras palavras n o nenhuma linha em uma tabela de verdade conjunta para As Ak em que Az Ax sejam todas verdadeiras Mas ent o Q vacuamente uma consequ ncia tautol gica de Au Ax E isso contradiz a suposi o do caso 3 de que Q o primeiro passo inv lido de p Portanto tamb m n o poss vel que a regra que justifique o primeiro passo inv lido de uma prova p seja L Elim CASOS das demais regras Vimos tr s 3 casos das 12 regras Os demais casos s o similares a estes e portanto deixamo los como exerc cios Como em todos os 12 casos uma contradi o demonstrada podemos concluir que nossa suposi o original hip tese do absurdo de que poss vel uma prova em Fr conter um passo inv lido deve ser falsa Isto finaliza a prova da corre o Tendo provado o Teorema da Corre o podemos ficar absolutamente seguros de que n o importa o qu o duro algu m tentar n o importa qu o inteligente e criativo seja quem estiver tentando ser imposs vel produzir uma prova de Happy carl a partir da premissa Happy carl A Happy scruffy Por que N o ha tal prova porque a primeira senten a n o consequ ncia tautol gica da segunda Um corol rio um resultado que se segue com pouco esfor o de um teorema anterior Podemos formular o seguinte corol rio que simplesmente aplica o Teorema da Corre o a casos em que n o h premissa
12. 11 SameRow a b Premise 12 FrontOf c a Conclusion 13 Argument Four 14 Between b a f Premise 15 Between b f a Conclusion 16 Argument Five 17 LeftOf c d Premise 18 LeftOf c f Premise 19 LeftOf f d Conclusion 20 Argument Six 21 SameCol d e Premise 22 SameRow e d Premise 23 e d Conclusion 24 Argument Seven 25 SameRow a f Premise 26 Adjoins a b Premise 27 SameRow b f Conclusion 28 Argument Eight 29 Adjoins a b Premise 30 SameCol b c Premise 31 FrontOf c b Premise 32 FrontOf c a Conclusion 14 Senten as de Weiner Tet a A Small a v Cube b A Cube b Cube a Cube a v Small a a Small a Larger a b Larger a a v Larger a b atb a LeftOf a b a RightOf a b A FrontOf a b A BackOf a b LeftOf a b A LeftOf b c A LeftOf c d Larger a b Larger b c Larger c a Between a b c LeftOf a b A LeftOf b c Cube a v Small a A Cube a v Medium a Cube a Dodec b Larger b c Medium b v Tet b 10 FrontOf a b v LeftOf b c A Between b c a Sentencas de Whitehead 3X 3y x y YX Vy VZ X y vX7Zvy 7 Z IX JV x y a YX Vy VWZ X YvX Zvy 2Z IX Fy X
13. 5 FrontOf a b 10 LeftOf b c Lembre se de gravar estas senten as em um arquivo com o nome Senten as 1 2 1 3 Construindo um mundo Construa um mundo no qual todas as senten as do Exerc cio 1 2 sejam simultaneamente verdadeiras Lembre se de gravar este mundo com o nome Mundo 1 3 1 4 Traduzindo senten as at micas Aqui est o algumas senten as simples do portugu s Inicie um arquivo de senten as novo e traduza cada uma delas em FOL 1 a um cubo 7 e um dodecaedro 2 b menor que a 8 e est a direita de b 3 c est entre a e d 9 a menor que e 4 d grande 10 d est atr s de a 5 e maior que a 11 b est na mesma linha que d 6 b um tetraedro 12 b do mesmo tamanho que c Depois de traduzir as sentencas construa um mundo no qual todas suas traduc es sejam verdades Grave seu trabalho com os nomes Sentencas 1 4 e Mundo 1 4 1 5 Nomeando objetos Abra os arquivos Lestrade s Sentences Sentencas de Lestrade e Lestrade s World Mundo de Lestrade Voc notar que nenhum dos objetos neste mundo tem um nome Sua tarefa nomear os objetos de tal modo que todas as senten as da lista se tornem verdadeiras Lembre se de gravar sua solu o no arquivo Mundo 1 5 use o comando Save World As e n o Save World para n o modificar o arquivo Mundo de Lestrade 1 6 Nomeando objetos continua o As escolhas que voc fez no Exerc cio 1 5 n o foram impostas a voc
14. O verofuncional Quest o 8 Como distinguir se determinada sugest o que uma senten a carrega parte efetiva de seu significado devendo portanto ser levada em considera o quando se traduz a senten a para FOL ou se apenas uma insinua o social algo que n o parte efetiva do significado da senten a mas apenas algo que seu proferimento sugere Quest o 9 O que uma prova Quest o 10 Explique por que uma prova formal demonstra um argumento Quest o 11 11 1 11 2 11 9 11 4 O que uma constante individual O que um s mbolo de predicado O que um s mbolo de fun o Qual a diferenca entre s mbolo de predicado e s mbolo de funcao Quest o 12 12 1 12 2 12 3 12 4 O que uma sentenca at mica O que um literal O que um conectivo O que uma sentenca molecular ou complexa Quest o 13 13 1 13 2 13 3 13 4 Quais as tabelas de verdade para os conectivos A v gt EP Como demonstrar que uma senten a uma necessidade l gica atrav s do m todo das tabelas de verdade Como demonstrar que duas senten as s o logicamente equivalentes atrav s do m todo das tabelas de verdade Como demonstrar que uma senten a consequ ncia l gica de um conjunto de senten as atrav s do m todo das tabelas de verdade Quest o 14 14 1 14 2 De que forma o conectivo lt gt pode relacionar equival ncia l gica com necessidade l gica De que
15. Quantos nomes e predicados bin rios uma linguagem como a primeira precisaria ter para poder dizer tudo o que conseguimos dizer com a segunda Claire Folly O nome de um certo cachorro Carl O nome de outro cachorro Scruffy scruffy O nome de um certo gato Pris pris O nome de outro gato 2 00 pm 2 de janeiro de 2005 2 00 O nome de um instante do tempo 2 01 pm 2 de janeiro de 2005 2 01 Um minuto mais tarde Similarmente para outros tempos x e um animal de estimacdo Pet x x e uma pessoa Person x x um estudante Student x te mais cedo que t t lt t Mais cedo que para instantes de tempo x estava com fome no instante t Hungry x t x estava brava no instante t Angry x t x possuia y no instante t Owned x y t x deu y az no instante t Gave x y Z t x alimentou y no instante t Fed x y t Tabela 1 2 Nomes e predicados de uma linguagem 1 9 Teremos v rios exercicios que usam os simbolos explicados na Tabela 1 2 Inicie um arquivo de sentencas novo no programa Mundo de Tarski e traduza as sentencas abaixo para FOL usando os nomes e predicados listados na tabela Voc ter que digitar os nomes e predicados pelo teclado Certifique se de digita los exatamente como aparecem na tabela por exemplo digite 2 00 e n o 2 00 pm ou 2 pm Todas as refer ncias a tempo s o assumidas serem instantes de tempo do dia 2 de janeiro de 2005 1 Claire possuia Folly as 2 pm 4 Claire alimentou Carl as 2 pm 2 Clair
16. Quer dizer voc poderia ter nomeado diferentemente os objetos e ainda assim tornar as senten as verdadeiras Fa a outra atribui o de nomes diferente da que fez no exercicio anterior em que as senten as sejam tamb m verdadeiras Grave seu trabalho no arquivo Mundo 1 6 1 7 Predicados s o sens veis a contexto Enfatizamos o fato de que FOL assume que todo predicado interpretado por uma rela o determinada enquanto que este n o o caso em linguagens naturais como portugu s Realmente at mesmo quando as coisas parecerem totalmente determinadas h frequentemente alguma forma de sensibilidade a contexto Na realidade nos colocamos um pouco desta sensibilidade a contextos no programa Mundo de Tarski Por exemplo considere a diferen a entre os predicados Maior Larger e AtrasDe BackOf Se um cubo a maior ou n o que um cubo b isto uma quest o determinada que n o varia de acordo com a nossa perspectiva sobre o mundo Se um cubo a est atr s BackOf de um cubo b tamb m uma quest o determinada mas que neste caso depende de nossa perspectiva sobre o mundo Se voc girar o mundo 90 graus a resposta poderia mudar Abra os arquivos Senten as de Austin e Mundo de Wittgenstein Avalie as senten as deste arquivo e tabule os valores de verdade resultantes em uma tabela como abaixo Nos j temos os valores na primeira coluna com rela o ao mundo original Gire o mundo 90 graus direita avalie as senten as no
17. Refor amos que Pi pode ser inclusive o primeiro ou ltimo disjunto da conclus o Al m disso os mesmos alertas que fizemos sobre os par nteses na regra Alntro s o pertinentes tamb m para esta regra para evitar ambiguidade Antes de apresentarmos um exemplo interessante de aplica o desta regra precisamos ter dispon vel a outra regra da disjun o Elimina o da Disjun o vElim Esta a primeira regra que corresponder ao que chamamos no cap tulo anterior de um m todo de prova As regras anteriores apenas formalizam o que chamamos de passos v lidos de infer ncia que s o bastante triviais A regra da elimina o da disjun o a contraparte formal do m todo de prova por casos Lembremos que as provas por casos nos permitem concluir uma senten a S a partir de uma disjun o P4 v v Pn se conseguirmos provar S a partir de cada um dos P4 ate Pn individualmente A forma desta regra exige a discuss o de uma nova e importante caracter stica estrutural dos sistemas de dedu o do estilo Fitch E a no o de subprova Subprovas Uma subprova como o nome sugere uma prova que ocorre dentro do contexto de uma prova maior Da mesma forma que qualquer prova uma subprova geralmente come a com uma suposi o separada do resto da subprova pela barra Fitch Mas a suposi o de uma subprova diferentemente de uma premissa da prova principal assumida apenas temporariamente Ao longo da subprova a suposi o
18. V gt Ser que dever amos introduzir mais algum Embora tenhamos visto algumas poucas express es do portugu s que n o podem ser expressas em FOL como porque isso ocorre porque elas n o s o fun es de verdade H tamb m algumas express es tais como nem nem que s o fun es de verdade mas que 6 mesmo n o possuindo conectivos exclusivos para elas em FOL podem ser traduzidas facilmente utilizando os conectivos que conhecemos A quest o que nos colocamos nesta se o se h algum conectivo verofuncional que precisamos adicionar nossa linguagem Ser poss vel que encontremos alguma constru o em portugu s que seja verofuncional mas que com os s mbolos que temos n o consigamos express la em FOL Se isso vier a ocorrer estaremos diante de uma infeliz limita o de nossa linguagem de primeira ordem Como podemos responder a esta quest o Bem vamos come ar pensando a respeito dos conectivos bin rios aqueles que se aplicam a duas senten as para construir uma terceira Qual o n mero total de conectivos verofuncionais bin rios poss veis Se pensarmos sobre as tabelas de verdade poss veis para tais conectivos podemos descobrir este n mero total Primeiro uma vez que estamos lidando com conectivos bin rios haver quatro linhas na tabela de cada um deles Cada linha pode receber o valor TRUE ou FALSE ent o h 24 16 formas poss veis de fazer isso Por exemplo aqui est uma tabela que
19. a for falsa torne a verdadeira adicionando ou retirando um simbolo de nega o Quando tiver feito todas as senten as verdadeiras verifique CTRL F e grave seu trabalho com o nome Sentences 3 2 3 3 Construindo um mundo Inicie um arquivo de senten as novo Escreva as senten as abaixo no arquivo e grave o com o nome Sentences 3 3 1 Tet f 6 d ze 2 SameCol c a 7 SameShapeff c 3 SameCol c b 8 SameShape d c 4 Dodec f 9 Cube e 5 6b 10 Tet c gora inicie um arquivo de Mundo novo e construa um mundo onde todas estas senten as sejam verdadeiras Conforme voc modifica o mundo para fazer as ltimas senten as verdadeiras certifique se de n o falsificar acidentalmente as senten as anteriores Quando terminar grave o arquivo com o nome World 3 3 3 4 Seja P uma senten a verdadeira e Q uma senten a formada colocando se um determinado numero de simbolos de nega o na frente de P Mostre que se voc colocar um numero par de nega es ent o Q sera verdadeira mas se voc colocar um n mero impar Q sera falsa Dica uma prova completa deste fato simples requer uma t cnica conhecida como indu o matem tica que aprenderemos apenas no Capitulo 16 Aqui basta escrever uma explica o o mais claramente que conseguir sobre porque isso ocorre Agora assuma que P at mica com valor de verdade desconhecido e Q e formada como explicado acima N o importa quantos simbo
20. a fun o do passo na prova Nos passos vazios tente prever a sentenca que o Fitch preenchera como default antes de verificar o passo 2 Quando tiver terminado certifique se de ter entendido a prova completa Grave a prova com o nome Proof Negation 4 Belo o ZO Ti E Gs or drap our diua dida Se Oe a ee a ee OE 6 7 N o deixe de fazer as se es Experimente 6 a 10 6 8 Substitui o Em provas informais permitimos a voc substituir senten as logicamente equivalentes umas por outras mesmo quando elas ocorrem no contexto como parte de uma senten a maior Por exemplo a seguinte infer ncia e demonstrada atrav s de duas utiliza es do principio da dupla nega o aplicado a partes de uma senten a completa P A QV R P A Q V R Como voc provaria este argumento utilizando o Sistema F que n o tem regra de substitui o Abra o arquivo Exercise 6 8 que cont m uma prova formal incompleta deste argumento D maneira como a prova est nenhum de seus passos est correto experimente verifica los CTRL F porque nenhuma regra ou passos de suporte a aplica o de regras foram citados Coloque as justifica es que est o faltando de modo a completar a prova Avalie cada um dos argumentos a seguir Se o argumento for v lido use o programa Fitch para construir uma prova formal com as regras que j aprendemos Se n o for v lido use o programa Tarski s World para construir um contraexemplo um mundo em que as p
21. afirma o implica logicamente ou meramente insinua que nos n o podemos fazer ambos caminhar e ir de carro Como este caso difere do exemplo da sopa e salada que vimos no cap tulo 7 24 Este Dif cil mas Muito Interessante Considere a sentenca Max est em casa a despeito do fato de Claire estar na biblioteca Qual deveria ser a melhor tradu o desta senten a em FOL Esta sentenca d a impress o de n o ser determinada simplesmente pelos valores de verdade de das senten as at micas Max est 3 6 em casa e Claire est na biblioteca Mas sera que esta impress o devida ao fato de que como porque a despeito do fato de n o e um conectivo verofuncional Ou ser que esta impress o devida ao fato de que como mas a despeito do fato de e um conectivo verofuncional que carrega certas insinua es sociais conversational implicatures adicionais Qual destas duas explica es a correta Justifique sua resposta 7 25 Substituindo gt e Use o programa Tarski s World para abrir o arquivo Sheffer s Sentences Neste arquivo voc encontrar as seguintes senten as nas linhas impares 1 Tet a A Small a 5 Tet a lt Small a 3 Tet a Small a 7 Cube b A Cube c gt Small b lt Small c Em cada linha par construa uma sentenca que seja equivalente sentenca acima dela mas que utilize apenas os conectivos e v Para ter certeza de que as senten as
22. cnica bastante simples a t cnica das tabelas de verdade que s o extens es das tabelas que expressam os significados dos conectivos booleanos Neste cap tulo estudaremos o que as tabelas de verdade podem nos dizer a respeito de quatro importantes no es l gicas Consequ ncia L gica Necessidade L gica Equival ncia L gica Possibilidade L gica Necessidade L gica J dissemos que uma senten a S uma consequ ncia l gica de um conjunto de premissas P1 Pn se for imposs vel a conclus o S ser falsa quando todas as premissas s o verdadeiras Ou seja a conclus o tem que ser verdadeira se as premissas forem verdadeiras H no entanto algumas senten as que s o consequ ncia l gica de qualquer conjunto de premissas at do conjunto vazio Isso ocorre com qualquer senten a que for uma necessidade l gica ou seja que for verdadeira em qualquer circunst ncia Por exemplo como em FOL uma constante individual nome n o pode se referir a mais de um objeto a senten a a a necessariamente verdadeira N o h nenhuma circunst ncia logicamente poss vel que a falsifique Imagine um conjunto de senten as qualquer e as tome como premissas de um argumento em que a a conclus o N o importa quais sejam essas premissas imposs vel que ocorra a situa o de todas elas serem verdadeiras e a conclus o a a ser falsa simplesmente por que imposs vel que a a seja falsa Verdade L gica lt gt Necess
23. gica similarmente uma senten a logicamente necess ria se ela for verdadeira em todas as circunst ncias logicamente poss veis Diagrama Necessidade Possibilidade lt TT possibilidades gt lt Necessidades l gicas gt lt Tautologias gt Tautologias c Necessidades L gicas Seja S uma senten a de FOL constru da a partir de senten as at micas usando apenas conectivos verofuncionais Uma tabela de verdade para S mostra como o valor de verdade de S depende somente dos valores de verdade de suas partes at micas 1 S uma tautologia se e somente se toda linha da tabela de verdade para S leva o valor TRUE 2 Se S uma tautologia ent o S uma verdade l gica ou seja logicamente necess ria 3 Algumas verdades l gicas n o s o tautologias Equival ncias Tautol gicas c Equival ncias L gicas Sejam S e S senten as de FOL constru das a partir de senten as at micas utilizando se apenas conectivos verofuncionais Para verificar se s o equival ncias tautol gicas constru mos tabelas de verdade conjuntas para as duas senten as 1 S e S s o tautologicamente equivalentes se e somente se cada linha da tabela de verdade conjunta atribui os mesmos valores para S e S 2 Se S e S s o tautologicamente equivalentes ent o eles s o logicamente equivalentes 3 Algumas senten as logicamente equivalentes n o s o tautologicamente equivalentes Consequ ncia L gica como Conceito Fundame
24. gica de P Pr CASO 1 Elim Suponha que o primeiro passo inv lido justifique a senten a R atrav s de uma aplica o de Elim s senten as gt R e Q que ocorrem anteriormente na prova p Seja As Ak uma lista de todas as suposi es em vigor no passo de R Se este um passo inv lido R n o consequ ncia tautol gica de As Ax Mas n s mostraremos que isso nos leva a uma contradi o Uma vez que R o primeiro passo invalido na prova p sabemos que Q gt R e Q s o ambos passos v lidos Ou seja s o consequ ncias tautol gicas das suposi es em vigor nestes passos A observa o crucial que uma vez que Fr nos permite citar senten as apenas da prova principal ou de subprovas cujas suposi es estejam ainda em vigor subprovas ainda n o fechadas ent o n s sabemos que todas as suposi es em vigor nos passos Q R e Q ainda est o em vigor no passo R Portanto as suposi es em vigor nestes dois passos est o entre as suposi es da lista Au Ak Uma ilustra o pode ajudar Suponha que nossa prova tenha a seguinte forma que a express o inglesa para verofuncional O s mbolo comumente utilizado em l gica para indicar a provabilidade do que est direita a partir do que est esquerda Se voc pensar na barra de Fitch nossa nota o para argumentos ficar f cil de lembrar o significado desta nota o 8 Deve estar claro que as restri es a cita
25. gt a menos que Em FOL tamb m usamos combinado com para traduzir senten as com a forma a menos que P Q ou Q a menos que P Considere por exemplo a senten a Claire est na biblioteca a menos que Max esteja em casa Compare a com a senten a Claire est na biblioteca se Max n o est em casa Repare que estas duas senten as ser o falsas exatamente nas mesmas circunst ncias nomeadamente quando Claire n o est na biblioteca e no entanto Max est em casa De uma maneira mais geral Q a menos que P verdadeira nas mesmas circunst ncias em que Q se n o P e portanto traduzida por P gt Q Uma boa maneira de se lembrar disso sussurrar se n o sempre que voc ver a menos que No entanto o uso mais importante de gt em l gica de primeira ordem n o em conex o com as express es acima mas em conex o com senten as quantificadas universalmente ou seja senten as da forma Todos os As s o Bs ou Cada A um B As senten as de primeira ordem de FOL an logas a esta ter o a forma Para todo objeto x A x B x Esta sentenca afirma que qualquer objeto que voc escolher ou n o sera um A ou ser um B Mas isto um assunto para mais tarde que aprenderemos na Parte Il deste livro Reduzindo o Conceito de Consequ ncia L gica ao de Verdade L gica H um outro fator que nos ajuda a entender a import ncia da implica o material
26. no 44 entanto s o todas variantes estilizadas da express o e As express es do portugu s ou ou e ambos s o frequentemente usadas como par nteses para evitar poss veis ambig idades das senten as Cap tulo 4 A L gica dos Conectivos Booleanos Os conectivos A v e s o fun es de verdade conectivos verofuncionais Isso como j dissemos significa que o valor de verdade de uma senten a complexa constru da com estes s mbolos pode ser completamente determinado pelos valores de verdade das senten as mais simples que a constituem Assim para saber se P v Q verdadeira precisamos apenas saber os valores de verdade de P e de 0 Operadores Verofuncionais x Operadores N o Verofuncionais Outros conectivos que poder amos estudar n o s o t o simples assim Considere a senten a necessariamente o caso que S Uma vez que algumas asser es s o necessariamente verdadeiras ou seja jamais poderiam ser falsas a a por exemplo enquanto outras asser es n o s o necessariamente verdadeiras Cube a por exemplo n s n o poder amos descobrir o valor de verdade da senten a completa E necessariamente o caso que S sabendo apenas o valor de verdade de S M Portanto o operador necessariamente o caso diferentemente de n o o caso n o uma func o de verdade Por serem fun es de verdade os conectivos booleanos podem ser estudados por uma t
27. o isso demonstra que a senten a de fato logicamente poss vel Por outro lado h senten as da linguagem dos blocos que s o logicamente poss veis mas que n o podem ser tornadas verdadeiras pelos mundos que podemos construir com o programa Mundo de Tarski Por exemplo a senten a 1 Tet b v Cube b v Dodec b com certeza logicamente poss vel Basta que imaginemos que b uma esfera ou um icosaedro No entanto n o conseguimos construir com o Mundo de Tarski um mundo que a torne verdadeira mas isso n o culpa da l gica da mesma forma que n o culpa da l gica que n o se pode viajar mais r pido que a luz O Mundo de Tarski tem as suas leis e restri es n o l gicas da mesma forma que o mundo f sico tamb m tem as suas TW Possibilidade Uma senten a TW poss vel se ela for verdadeira em algum mundo que pode ser constru do usando o programa Mundo de Tarski Assim o que o exemplo acima nos mostra que qualquer sentenca TW possivel logicamente poss vel mas o contrario n o verdade em geral Algumas senten as logicamente poss veis n o s o TW poss veis A sentenca 1 acima um exemplo deste caso O programa Mundo de Tarski nos d um m todo preciso para mostrar que algumas senten as da linguagem dos blocos s o logicamente poss veis pois o que quer que seja poss vel no Mundo de Tarski logicamente poss vel Veremos um outro m todo preciso que poder nos mostrar se uma sen
28. ou descreva uma situa o que torne as premissas verdadeiras e a conclus o falsa um contraexemplo Voc deve assumir que Folly animal de estima o de apenas uma pessoa de cada vez 5 20 Suponha que seja sexta feira a noite e voc vai sair com seu namorado ou namorada Ele a quer ir ao cinema assistir uma com dia rom ntica enquanto voce quer assistir o ultimo filme da s rie O Massacre da Serra El trica Ele a argumenta que se for assistir o Massacre da Serra El trica n o conseguir dormir pois n o suporta ver sangue e ele a tem exame do ENEM amanh cedo Se n o for bem no exame ele a n o far pontos suficientes para entrar em Medicina Analise o argumento de seu sua namorado a apontando onde o m todo de prova indireta est sendo utilizado Como voc poderia rebater este argumento 5 21 Descreva um exemplo do dia a dia de uso do metodo de prova indireta por absurdo em um argumento que voc tenha feito nos ltimos dias 5 22 Prove que o metodo de prova indireta por absurdo um metodo de prova tautologicamente v lido Ou seja mostre que se P P4 S sao TT contradit rios ent o S consequ ncia tautl gica de P4 Pa Nos tr s exerc cios seguintes voc ser solicitado a provar fatos simples sobre os n meros naturais Voc n o precisa formalizar sua prova em FOL Basta escrev la em portugu s Voc podera apelar para fatos b sicos da aritm tica al m das defini es de n
29. vel na qual as premissas s o verdadeiras mas a conclus o falsa Mais adiante analisaremos com mais detalhe esta t cnica Prova A no o chave envolvida na tarefa de mostrar que uma determinada afirma o consequ ncia l gica de algumas premissas a no o de prova Uma prova uma demonstra o passo a passo de que uma conclus o digamos S se segue de algumas premissas digamos P Q R O modo como uma prova funciona atrav s do estabelecimento de uma s rie de conclus es intermedi rias cada uma delas correspondendo a uma consequ ncia bvia das premissas originais e das conclus es intermedi rias previamente estabelecidas A prova termina quando S a conclus o desejada for finalmente estabelecida como uma consequ ncia bvia das premissas originais e das conclus es intermedi rias Por exemplo de P Q R pode ser bvio que S1 se segue Destas 4 P O R S1 pode ser bvio que S2 se segue Finalmente de todas estas 5 afirma es n s poder amos ser capazes de obter a conclus o desejada S Esta prova mostrar que S de fato consequ ncia de P Q R Isso porque na hip tese de as premissas serem todas verdadeiras se cada um dos passos individuais estiver correto ent o cada uma das conclus es intermedi rias S1 e So deve tamb m ser verdadeira e neste caso nossa conclus o final S deve tamb m ser verdadeira Um exemplo Suponha que queiramos provar que o seguinte argumento logicament
30. y 23 vx Cube x e Large x vx Vy Tet x A Tet y n x y gt x a v y a 24 vx Cube x gt vx Large x vx Between x c d gt Tet x a Medium x 25 vx Cube x vy Cube y Senten as de Robinson 26 vx Cube x vx Cube x 1 3x ay y x a ax LeftOf y x 27 av Tet Tet Jy y xa 3x LeftOf y x A 237 3y y x A ax LeftOf y x A 28 vx Cub Cub Jy y xa 3x LeftOf y x A Os Loj Jy y xX a 3x LeftOf y x A 29 3y Dodec y gt vv Dodec v ay y x 3x LeftOf y x 30 3x Dodec x lt gt 3x Dodec x This sentence is interesting in that it uses only two variables to say something that seems like it would take more 12 Senten as de Russell Senten as de Schroder Dodec a A Cube b 1 3x Cube x a vy Cube y gt x y 2 3x Cube x vy Cube y gt x y A Small x FrontOf b a A LeftOf d b A BackOf f d a RightOf a f 3 3x Tet x vy Tet y gt x y a Large x Tet c Tet e A LeftOf c d 4 3x Tet x a vy Tet y gt x y nx a ALeftOf c e A LeftOf e c 5 3x Dodec x Small x vy Dodec y Small y gt x BackOf x a Between d b c a Between d c a Cube b v Cube d BackOf d b 6 3x Dodec x Medium x vy Dodec y a Medium y gt x y a FrontOf x a Small c A FrontOf c b v Cube d Larger f a Larger a b 7 3x
31. 2 ISP IQ 3 e AP VO V Intro 3 Ec al L Intro 452 6 mP Intro 3 5 7 P Elim 6 8 eu 9 7 VQ V Intro 8 Intro 9 2 lim 3 Intro 8 10 2 Q Elim 11 LS PR A Intro 7 12 IARA QI Reit 1 Ess a Intro 13 14 16 3 PV 939 Intro 2 15 Kim neb o Elim 16 Note que a subprova 2 15 cont m duas subprovas 3 5 e 8 10 No passo 5 da subprova 3 5 n s citamos o passo 2 da subprova parental 2 15 Similarmente no passo 10 da subprova 8 10 n s citamos o passo 2 Isto leg timo pois a subprova 2 15 ainda n o havia terminado no passo 10 Apesar de n o termos precisado fazer isso neste exemplo poder amos ter citado o passo 1 em qualquer das subprovas Note tamb m que no passo 14 utilizamos a regra de reitera o Reit N o era necess ria a sua utiliza o aqui s a utilizamos para ilustrar o seguinte ponto Com rela o a subprovas a reitera o como qualquer outra regra Quando voc a usa voc pode citar passos fora da subprova imediata se as provas que cont m os passos citados ainda n o terminaram Mas voc n o pode citar um passo no interior de uma subprova que j foi finalizada Por exemplo se substitu ssemos a justifica o do passo 15 por Reit 10 ent o nossa prova n o estaria mais correta Subprovas Aninhadas Subprovas Dentro de Subprovas Como voc ver a maioria das provas em F exigir subprovas dentro de subprovas o que n s chamamos de subprovas aninhadas Para cri
32. 3 Larger a b Cube a v Tet a v a b 4 5 Between a b c v Tet a v Tet b A Dodec c 6 7 Cube a A Cube b Small a v Small b 8 9 Small a v Medium a Cube a v Dodec a To Senten as Conditional 1 Small e A Dodec e LeftOf e f 2 Tet c 2 Tet e v Dodec e 3 e HC Tet e 4 Small e Dodec e o LeftOf e f Larger f e Sentencas DeMorgan 2 1 vx Cube x gt Small x 2 3x Cube x Large x 3 vx Large x Dodec x 4 vx Large x v Cube x 3x Small x A Cube x 6 ax Large x A Dodec x v Dodec x A Large x Sentencas DeMorgan Dodec a v Tet a 4Dodec a Tet a Small b A Cube b Small b v Cube b FrontOf c b A BackOf c b FrontOf c b v BackOf c b ALeftOf b c v LeftOf c a LeftOf b c a LeftOf c a Sentencas Distributive 1 Cube a LeftOf a b v BackOf a b 2 Cube a LeftOf a b v Cube a BackOf a b 3 Small c v a bab cac ad 4 Small c v a b A Small c v b c A Small c v c d o Small d A Smaller e d v Large d 6 Small d v Large d A Smaller e d v Large d Sentencas DNF 1 Tet a A Large a v Cube a Medium a Dodec b Large b v Tet b e Tet a A Large a v Cube a Medium a v Dodec b Large b v Dodec
33. 9 13 L Rule 10 14 L Rule 67 15 L Rule 1 2 16 L Rule 134 17 L Rule 51 18 L Rule 1711 Negation 3 PyQ 2 iQ Goals BP Negation 4 1 Dodec b y Dodec c 2 Dodec b 3 Dodec b v Dodec c 4 7 ga Dodec c s Dodec b y Dodec c Goals Dodec b Dodec c Proof 2 19 1 Smaller a b 2 Smaller b c 3 Smaller a c v Intro 2 Intro 31 Intro 2 4 Elim 5 v Intro 7 J Intro 81 Intro 7 9 Elim 10 A Intro 611 Ana Con 12 aR Goals Smaller a c Strategy 1 1 P y 7Q Goals ln PAQ Y 3 Taut Con 1 1 Home max y Happy carl 2 Happy carl v Hungry carl 3 Hungry carl v Hungry pris 4 Home max Hungry pris Goals Home max v Hungry carl Hungry carl y Home max Hungry pris Taut Con 2 1 LeftOf a b y Dodec a Small a 2 LeftOf a b y Cube b a Large b 3 Small a 4 Small c 5 sameSize a b y SameCol a b e b cy 1 Cube c y Dodec c 7 LeftOf a b Rule 13 sg SameSize a b Rule 5 9 Cube b Large b Rule 72 10 Large b Rule 5 11 Small b Rule 38 12 Medium b Rule 1110 13 Cube c y Dodec c Rule 1146 14 1Cube c A Dodec c Rule 13 15 Dodec c Rule 14 16 Medium b Dodec c Rule 15 12 Rule2 Goals Medium b 4 Dodec c Diagramas para Desenho de M
34. Corretos claro que quando utilizamos argumentos queremos n o apenas que eles sejam v lidos mas que tenham premissas verdadeiras Pois apenas deste modo garantimos a verdade da conclus o Dizemos que um argumento v lido que tenha premissas verdadeiras correto Portanto apenas um argumento correto assegura a verdade de sua conclus o O argumento sobre S crates acima al m de v lido tamb m correto H muitos ind cios de que S crates de fato viveu Veja um exemplo de um argumento v lido mas n o correto Todos os atores ricos s o bons atores Brad Pitt um ator rico Logo ele tem que ser um bom ator Como a primeira premissa falsa este argumento n o garante a verdade de sua conclus o Ainda que Brad Pitt possa ser um bom ator isto certamente n o se deve ao fato dele ser rico e de que todos os atores ricos s o bons A l gica estuda a validade dos argumentos n o sua corre o O que os l gicos podem lhe dizer como raciocinar corretamente a partir das informa es que voc sabe ou acredita que s o verdadeiras A l gica n o a ci ncia de tudo Ela apenas nos ajuda a reconhecer e produzir argumentos v lidos Garantir a corre o dos argumentos est fora dos limites da l gica O Formato de Fitch para Argumentos Usaremos neste livro um formato especial para apresentar argumentos O formato de Fitch que indica quais senten as s o premissas e qual a conclus o O argumento
35. Dif cil Pense com calma Mais adiante neste livro estudaremos com detalhes este tipo de argumento N o se preocupe muito com a dificuldade aqui O importante voc perceber que se Q consequ ncia tautol gica de P ent o tamb m consequ ncia l gica e portanto a defini o precisa de consequ ncia tautol gica uma forma restrita da no o mais vaga de consequ ncia l gica Vamos fazer um exemplo bastante simples para verificarse Av B uma consequ ncia l gica de A A B Est claro que as senten as n o s o tautologicamente equivalentes uma vez que suas colunas s o distintas Mas o que queremos saber se A v B consequ ncia l gica de A A B Para isso como vimos acima basta que examinemos apenas as linhas da tabela em que A A B verdadeira Isso ocorre somente na primeira linha e ali A v B tamb m verdadeira 13 Portanto de acordo com a defini o que demos acima esta tabela mostra que A v B sim consequ ncia tautol gica e portanto consequ ncia l gica de A A B Dizer isso n o significa nada mais do que dizer que em todas as circunst ncias nas quais A A B verdadeira A v B tamb m ser verdadeira O que bastante razo vel dado os significados de A e v Repare que esta mesma tabela de verdade mostra que A A B n o uma consequ ncia tautol gica de A v B uma vez que h linhas em que a ltima verdadeira e a primeira falsa Sera que isso mostra que A A B n o uma consequ
36. Elim 2 6 A A Elim 5 A V Elim 1 2 4 5 6 8 AAB A Intro 7 3 O problema est no passo 8 Neste passo citamos como suporte para aplica o da regra Alntro o passo 3 que ocorre dentro de uma subprova anterior Mas acontece que este tipo de justifica o as que se utilizam de senten as de uma subprova que j foi conclu da n o leg timo Para entender porque isso n o leg timo necess rio que voc pense um pouco sobre a fun o que as subprovas t m em uma infer ncia Uma subprova tipicamente se parece com isto Descartando Suposi es ao Finalizar Subprovas As subprovas iniciam pela introdu o de uma nova suposi o R no exemplo acima As infer ncias dentro da subprova dependem desta nova suposi o junto com qualquer outra premissa ou suposi o da prova principal Ent o no nosso exemplo a deriva o de S pode depender de ambos P e R Quando a subprova termina o que indicado pelo fim da linha vertical que limita a subprova as infer ncias subsequentes n o podem mais utilizar a suposi o da subprova nem nada que dependa desta suposi o N s dizemos que a suposi o foi descartada ou que a subprova foi finalizada Quando uma suposi o foi descartada os passos individuais em sua subprova n o s o mais acess veis apenas a subprova como um todo que pode ser citada como justifica o para um passo posterior Isto significa que ao justificar T no exemplo acima n s podemos citar P
37. Large y vz Between z x y lt Cube z Vx Small x lt vy y 4 x LeftOf x y 10 Senten as de Padoa 1 vx vy RightOf x y A RightOf y x gt x y 2 Vx vy Cube x a Cube y gt LeftOf x y v LeftOf y x 3 3x Tet x v Dodec x A vx Tet x v Dodec x gt Jy BackOf x y vz BackOf x z gt z y 4 3x Cube x Small x A 3y 3z Between x y z Sentencas de Peano A 10 11 T2 19 14 15 16 17 18 19 20 2i 22 3x 3y Tet x Larger x y This sentence and 2 say the same thing in different ways ox Tet x A ay Larger x y 3x 3y Cube x Tet y A Larger x y This sentence and the next two say the same thing in different ways Ix Cube x ay Tet y Larger x y 3x 3y Tet x A Cube y Larger x y 3x Tet x A ay Cube y Larger x y 3x 3y Dodec x Tet y Larger x y 3x Dodec x 3y Tet y Larger x y 3X 3y 3z Between x y z 3x Cube x 3y az Between x y z 3x Tet x A 3y az Betweent x y z 3x ay az Tet x Cube y Between x y Z vx Vy Cube x gt Larger x y This sentence and the next say the same thing in different ways vx Cube x gt vy Larger x y vx vy Cube x Dodec y 5 Larger x y vx Cube x gt vy Dodec y gt Larger x y vx Cube x A Medium x vy LeftOf y x Be sure to unders
38. LeftOf x y gt Cube x vx Vy Cube x Tet y LeftOf x y vx Vy Large x A Small y gt LeftOf x y vx V y Larger x y vx Vy Larger x y gt Cube x YX Vy Cube x Tet y gt Larger x y Sentencas Game 3x Cube x 3x Tet x Vx Small x vx Large x 3x Cube x A 3x Dodec x Compare the game in 5 and 6 3x Cube x A Dodec x 3y Dodec y Large y Compare the way the game goes in 7 with 8 3y Dodec y v Large y YZ Dodec z Cube Z YZ Dodec z v Cube z vx Cube x gt Small x 3x Cube x 3x Cube x gt Cube c 3x Dodec x Small x gt Dodec d Small d Small c gt 3x Small x a Cube c Small c 3x Cube x Small x 4VX Cube x gt Small x o 3x Cube x gt Small x Dodec d A Small d 3x Cube x gt Cube c 3x Dodec x A Small x gt Dodec d Small d Small c 3x Small x Cube c gt Small c gt 3x Cube x gt Small x 4VX Cube x gt Small x o 3x Cube x gt Small x Senten as de Hilbert 1 3x vy Smaller x y Could this ever be true 2 vx Dodec x gt 3y Smaller x y 3 3x Dodec x A vy Smaller x y 4 3y vx Dodec x gt Smaller x y Try to say this in English It s hard to say it clearly and unambiguously 5 3y vx Dodec x 5 Smaller y x 6 3y vx Dodec x gt Smaller x y 7 vx Cub
39. No exemplo acima mesmo estando com fome Carl est feliz A palavra mas expressa de alguma forma esta sutil contrariedade A palavra e n o expressa No entanto claro que as duas sentencas abaixo Carl est com fome mas est feliz Carl est com fome e feliz possuem as mesmas condi es de verdade ou seja s o verdadeiras nas mesmas circunst ncias e portanto em FOL seriam adequadamente traduzidas por Hungry carl A Happy carl Ou ou Ambos As express es do portugu s ou ou e ambos nos ajudam muitas vezes a evitar ambig idades em senten as complexas Elas funcionam de modo parecido aos par nteses combinados com v e A em FOL Por exemplo a senten a Ou Max est em casa e Claire est em casa ou Carl est feliz N o amb gua Uma tradu o para FOL poderia ser Home max A Home claire v Happy carl Se n o houvesse o ou inicial a sentenca seria ambigua da mesma forma que no caso discutido anteriormente A senten a abaixo por exemplo tamb m n o amb gua sendo traduzida em FOL da mesma forma que a anterior Max e Claire est o ambos em casa ou Carl est feliz Neste caso a express o ambos que suprime a ambiguidade LEMBRE SE A express o e do portugu s algumas vezes sugere ordem temporal A express o A de FOL nunca d este tipo de sugest o As express es do portugu s mas por m todavia contudo entretanto
40. O II 2 21 Se voce pulou a secao Experimente 3 volte e faca a agora 2 22 Sera que o argumento abaixo valido Correto Se for valido faca uma prova informal de que e Se n o for valido apresente um contra exemplo informal Todos os cientistas da computa o s o ricos Qualquer um que sabe como programar um computador um cientista da computa o Bill Gates rico Portanto Bill Gates sabe como programar um computador 2 23 Sera que o argumento abaixo valido Correto Se for valido faca uma prova informal de que e Se n o for valido apresente um contra exemplo informal Fil sofos t m intelig ncia suficiente para serem cientistas da computa o Qualquer um que se torne um cientista da computa o certamente ficar rico Qualquer um com intelig ncia suficiente para ser um cientista da computa o se tornar um Portanto todo fil sofo ficar rico Cada um dos problemas seguintes apresenta um argumento formal na linguagem dos blocos Se o argumento for v lido escreva uma prova formal para ele usando o programa Fitch Voc encontrar os arquivos para os exercicios no diret rio de exerc cios Exercicies 2 24 Importante cada aplica o da regra AnaCon consequ ncia anal tica pode citar no m ximo duas senten as Se o argumento n o for valido construa um contra exemplo usando o programa Mundo de Tarski 2 24 A 4 2 26 a Larger b c Smaller b d SameSize d e Larger e
41. Q requer que voc fa a duas subprovas uma mostrando que Q se segue de P e uma outra mostrando que P se segue de Q Esquematicamente P DI Po Q Eis um exemplo simples de uma prova que usa a introdu o do bicondicional Ele mostra como provar a lei da dupla nega o dentro do Sistema F 1 P 2 P ile 1 Intro 1 2 4 P Intro 2 3 5 P 6 P Elim 5 7 P es 77P Intro 1 4 5 6 Estrat gia e T tica Trabalhando de Tr s para Frente Quando voc estiver construindo uma prova cuja conclus o um bicondicional particularmente importante esbo ar antecipadamente a prova Adicione as duas subprovas necess rias e a conclus o desejada citando as subprovas como suporte S ap s isso tente preencher as subprovas Isto uma boa id ia porque estas provas algumas vezes tornam se bastante longas e envolventes O esbo o ir ajud lo a lembrar se do que est tentando fazer Fa a o Tente Isto 3 da Lista de Exerc cios 7 8 para praticar Corre o e Completude Uma vez que introduzimos todas as regras formais para os conectivos verofuncionais vamos agora nos perguntar sobre duas propriedades desej veis para os sistemas dedutivos as quais os l gicos denominam corre o e completude Mas n o se confunda com estes nomes Os usos de correto e completo que veremos aqui s o bastante diferentes das no es de argumento correto e conjunto de conectivos verofuncionalmente completo Corre o Pretende
42. V Dodec d 4 29 Small a V Small b a Small b V Small c Small c V Small d Small d V Small e Small c Small a V Small e acima volte e fa a as agora Elas s o passos importantes Large a V Large b a Large a V Large c Large a A Large b V Large c Tet a V Tet b A Tet c d Tet b v Tet d Tet e Tet c V Tet c Tet d Tet a Exerc cios do Cap tulo 5 M todos de Prova para a L gica Booleana Nos exerc cios seguintes h uma lista de padr es de infer ncia Apenas alguns deles s o v lidos Para cada padr o determine se ele v lido ou n o Caso seja v lido explique por que apelando para as tabelas de verdade dos conectivos envolvidos Caso o padr o n o seja v lido apresente um exemplo espec fico de como partindo de premissas verdadeiras a infer ncia sugerida poderia ser usada para levar a uma conclus o falsa 5 1 De PvQ e P infere se Q 5 4 De P A O e P infere se Q 5 2 De PvQ e Q infere se P 5 5 De P A O infere se P 5 3 De P v Q infere se P 5 6 De PAQ e P infere se R Os dois exerc cios seguintes apresentam argumentos v lidos Fa a provas informais de suas validades As provas devem ser escritas em senten as completas do portugu s podendo utilizar se de senten as em FOL conforme for conveniente seguindo o estilo que temos feito no texto do cap tulo Sempre que voc utilizar prova por
43. a Com base nesta informa o descubra se alguma senten a adicional da lista acima 1 4 uma necessidade l gica verdade l gica 2 Agora suponha que voc seja informado de que a sentenca A de fato uma senten a logicamente falsa por exemplo a a Com base nesta informa o descubra se alguma senten a adicional da lista acima 1 4 e uma necessidade l gica Para os exerc cios abaixo use o programa Boole para construir tabelas de verdade para as senten as indicando se s o TT possiveis ou tautologias Lembre se de como deve tratar conjun es e disjun es longas 4 4 B A C A B 4 6 Av BAO v A B 4 5 A v Bv CA A 4 7 A v B A C A D 4 8 Considere o diagrama abaixo onde classificamos as senten as conforme elas sejam conting ncias fora de tudo TW necessidades quadro maior necessidades l gicas quadro do meio tracejado ou tautologias quadro menor Cube a Larger a _ conting ncia TW necessidades Tet a v Cube a v Dodec a Small b v Medium b v Large b Necessidades Verdades L gicas Fa a uma c pia deste diagrama e coloque cada uma das senten as seguintes na regi o apropriada 1 a a 6 Larger a b v Smaller a b 2 a b v b b 7 Tet a v Cube b v azb 3 a b a b b 8 Small a A Small b v Small a 4 Large a Large b Adjoins a b 9 SameSize a b v Small a A Small b
44. as premissas sejam verdadeiras e a conclus o falsa 2 8 Lare la N LeftOf a b o SameSize b c R Larger a c FIN bxc SameShape b c Small c RightOf c a b c 2 11 LeftOf a b 2 12 BackOf a b pie RU da RightOf c a dh FrontOf a c Smaller d c LeftOf b c FrontOf b c Smaller d b 2 14 Between b a c LeftOf a c LeftOf a b PERICO sam sis std a disce O Bon ir labo Korko diae 1 Vamos usar o programa Fitch para construir uma prova formal de SameRow b a a partir das premissas SameRow a a e b a Inicie o programa Fitch e abra o Arquivo Identity 1 Aqui temos o in cio da prova formal As premissas aparecem sobre a barra de Fitch A prova pode parecer ligeiramente diferente das provas do livro uma vez que em Fitch as linhas n o t m que ser numeradas por raz es que descobriremos logo Se voc quiser numerar as linhas selecione a op o show step numbers no menu Proof Mas n o fa a isso agora 2 Antes de n s come armos a construir a prova note que abaixo da janela de prova de ha uma faixa separada chamada faixa de metas Goal strip contendo a meta da prova Neste caso a meta provar a senten a SameRow b a Se atingirmos esta meta com sucesso poderemos fazer com que o programa Fitch mostre uma checkmark a direita da meta 3 Vamos construir a prova O que nos precisamos fazer e escrever as linhas necess rias para completar a prova da mesma maneira q
45. at micas A B e C Suponha que substituamos todas as ocorr ncias de A por outra senten a P possivelmente complexa n o at mica Explique por que a senten a resultante desta substitui o continua sendo uma tautologia Costumamos expressar isso dizendo que substitui o preserva tautologicidade Explique tamb m por que a substitui o de senten as at micas mesmo preservando tautologias nem sempre preserva necessidade l gica 2 Ou seja apresente uma senten a que seja logicamente necess ria e que substituindo se uma de suas senten as at micas por outra senten a qualquer o resultado deixa de ser uma necessidade l gica Nos dois Exerc cios 4 12 a 4 18 abaixo utilize o programa Boole para construir tabelas de verdade conjuntas para mostrar que cada par de senten as logicamente equivalente de fato tautologicamente equivalente Para adicionar a segunda senten a na sua tabela escolha Add Column After a partir do menu Table N o esque a de clicar no bot o Assessment e marcar se as senten as s o ou n o tautologicamente equivalentes 4 12 DeMorgan A V B and A A B Associativity 4 14 Associativity AA B AC and AA BAC AVB VCand A V BVOC Idempotence 4 16 Idempotence AABAA and AAB AVBVAandAVB 4 17 Distribution 4 18 Distribution AA BVC and AAB V AAC LA AV BAC and AVB A AVC 4 19 TW equival ncias Suponha que n s introduzimos a no o de TW equivalencia dizendo q
46. av Dodec f A Dodec v BackOf f v 3x BackOf x e 3y BackOf y x 3z BackOf z y Vy y b gt 2ax Between x y f V fvy c 3x Dodec x BackOf x a vy Dodec y BackOf y a gt x y 9 3x Between x e c Sentencas de Horn 1 Between a b c 2 Cube b v Dodec a v Medium a 3 Dodec a v Between a b c v Medium a 4 Medium a v Cube b o Between a b c v Cube b 6 Larger b a Outras Sentencas de Horn 1 Large e v Tet f v Cube a Cube a Tet f v Large e v Small d Large e aCube a v Large e v Small d Senten as de Jon Russell T 2 vx Tet x v 3y LeftOf x y Put a prenex form of 1 in this space YX Vy x y A Cube x A Cube y gt 3z Between z y x Vx Cube x 3y Smaller y x gt Medium x 3x Cube x gt vx Small x 3x Cube x gt vx Cube x vx Cube x v vx Tet x v vx Dodec x ax Cube x vy Tet y gt 3z Between z x y Ix Cube x o vx Small x vx Tet x o vy Small y Vv 3x Larger x v e 3x LeftOf x v Sentencas de Kleene LeftOf c b A d d We know this is true in Kleene s World since the first conjunct can be seen to be true and the second must be true as long as the name d is in use BackOf b a v BackOf a b Dodec c LeftOf d a LeftOf d a Cube c Between
47. b And do you see why this is false Under what circumstances would it be true vx Tet x a Small x o x b This time we got it right Jy vx Tet x A Small x o x y Compare this with the previous sentence Do you understand what it says Play the game a couple times committed to both true and false ay vx Cube x Small x o x y Play the game here too Do you see why can t you Win when committed to true In this slot write a sentence that says there s exactly one large tetrahedron Pattern it on sentence 18 Senten as Lestrade Senten as de Maigret Dodec a Between c a d A Tet C SameShape b a Ix BackOf x a 3x FrontOf x c Cube c FrontOf a c A 3x BackOf x a FrontOf x c Adjoins b c 3x LeftOf x d o Large b Between b c f 3X ay Tet x A Tet y A Between b x y SameSize f e FrontOf d b LeftOf d f LeftOf d c Dodec e omaller f a A3x LeftOf x e v Large e b e Larger c b 1 ax 3y 3z 3w vu U XVU YvU ZvVU wW 3x Dodec x A vy Dodec y 5 y x Set One 2 5 vx Dodec x gt Small x 3X 3y x y A SameCol x y av Tet v oome of the parties are not lonely 3X 3y Large x Large y x y 3X Jy x 7 y A SameCol x y 3X way x y A SameCol x y Dodec f A Dodec b A SameRow f b 3X Jy X 4 y A SameCol x y Tet a A
48. b Tet b Sentencas de Dodgson 1 vx Tet x gt Large x 2 vx Tet x gt Medium x 3 vx Tet x 2 Small x 4 vx Tet x gt Small x Large x 5 vx Tet x 2 Cube x Sentencas de Edgar 3x Tet x 3x Tet x Large x 3x Tet x v Large x 3x Tet x A Tet x v Large x 3x Tet x v Large x ix Tet x Large x 3x Cube x v Between x a b 3x Cube x gt Between x a b 3x Cube x Between x a b 3x Dodec x 3y Large y 3x Dodec x 3x Large x 3x Dodec x Large x Senten as de Euler Tet a v Tet b v Tet c So at least one of a b and cis a Tet Reason by cases using the next three sentences to figure out the shapes of the three blocks Tet a gt Tet b A Tet c Tet b gt Cube a Tet c Tet c gt Cube a a Dodec b Larger a b o Larger b c Larger c b o Larger b a SameSize a c Use this with 5 and 6 to determine the relative Sizes of a b and c omall a gt Medium b Using 8 and 9 you can now figure out their absolute Sizes 9 Medium a Small b Sentencas de Frege ax 3y LeftOf x y 3X 3y Tet x A Cube y Jx 3y Tet x A LeftOf x y 3X ay Tet x A LeftOf x y a Cube y 3x 3y Medium x Tet y 3x 3y Medium x A Larger y x 3x 3y Medium x Tet y Larger y x VX Vy LeftOf x y vx vy
49. biblioteca eu n o faco id ia de onde Max esteja Esta elabora o retira a sugest o de que se Claire est na biblioteca ent o Max n o est em casa Outra insinua o comum surge com a frase apenas se que as pessoas frequentemente usam com o mesmo significado que a frase logicamente mais forte se e somente se Por exemplo suponha que um pai diga a seu filho Voc pode comer a sobremesa apenas se comer todo o feij o J vimos que isto n o garantia de que se a crian a comer o feij o ela ter a sobremesa uma vez que apenas se introduz uma condi o necess ria mas n o suficiente No entanto est claro que a asser o do pai sugere que a crian a poder comer a sobremesa se ela comer todo o terr vel feij o Mas novamente esta sugest o pode ser cancelada sem produzir nenhuma contradi o Suponha que o pai continue e diga Se voc comer todo o feij o eu vou verificar se ainda tem sorvete no freezer Esta senten a cancela a implica o de que a sobremesa est garantida LEMBRE SE Se a asser o de uma senten a carrega consigo uma sugest o que pode ser cancelada sem contradi o por alguma elabora o adicional do falante ent o a sugest o apenas uma insinua o social mas n o parte do conte do da senten a original Completude Verofuncional Temos agora a nossa disposi o cinco conectivos verofuncionais que s o fun es de verdade um un rio e quatro bin rios A
50. c SameRow b c SameRow a d SameRow d f LeftOf a b LeftOf f c 2 25 2 27 P FrontOf a b LeftOf a c SameCol a b FrontOf c b SameRow b c SameRow a d SameRow d f FrontOf a b FrontOf f c Exerc cios do Cap tulo 3 Os Conectivos Booleanos EXDEKIIMENIE 1 rania nama a p GE EUR EE EE va lalio bed i kla a ON 1 Abra o arquivo Wittgenstein s World Inicie um arquivo de sentencas novo e escreva a seguinte sentenca Between e d f 2 Use o bot o Verify para checar o valor de verdade da senten a 3 Agora jogue o jogo clique no bot o Game comprometendo se com o valor que voc quiser O que acontece com o n mero de simbolos de nega o conforme voc avan a no jogo O que com os compromissos de suas escolhas 4 Agora jogue outra vez o jogo comprometendo se com o valor contr rio do que fez anteriormente Se voc ganhou na primeira vez devera perder este jogo e vice versa N o se sinta mal pela derrota EXCRCICIOS PM PI a ee a te ES Gus fal E GU e la EI Sd 3 1 N o deixe de fazer a se o Experimente 1 acima 3 2 Avaliando senten as negadas Abra os arquivos Boole s World Mundo de Boole e Brouwer s Sentences Senten as de Brouwer No arquivo de senten as ha uma lista de senten as construidas a partir de senten as at micas usando apenas o simbolo de nega o Para cada senten a decida se ela verdadeira ou falsa Verifique se acertou Se a senten
51. cada predicado tem um n mero fixo de argumentos Uma aridade fixa Este n mero diz quantas constantes individuais o simbolo de predicado precisa para formar uma senten a Se a aridade de um s mbolo de predicado Pred 1 ent o Pred ser usado para expressar alguma propriedade de objetos N s podemos utilizar o simbolo de predicado un rio Home para expressar a propriedade de estar em casa Podemos ent o combin lo com o nome max para obter a express o Home max que expressa a afirma o de que Max est em casa Se a aridade de Pred 2 ent o Pred ser usado para representar uma rela o entre dois objetos Assim poder amos utilizar a express o Taller claire max para expressar a afirma o de que Claire mais alta do que Max Em FOL podemos ter s mbolos de predicado de qualquer aridade No entanto na linguagem de blocos usada no Mundo de Tarski restringiremos nossos predicados s aridades 1 2 e 3 A linguagem de blocos possui 18 predicados e mais a identidade que o Mundo de Tarski atribui interpreta es fixas consistentes com suas correspondentes frases verbais Assim Cube corresponde a um cubo BackOf corresponde a est atr s de e assim por diante A tabela a seguir lista senten as at micas que utilizam todos os 19 predicados e apresenta suas interpreta es e aridade Predicados da Linguagem de Blocos rela es Adjoins a b a e b estao em quadros adjacentes nao diagonais da gra
52. certeza de que poss vel provar isso usando apenas as regras de introdu o e elimina o para v e L Claro que h outras formas de contradi o al m das TT contradi es Por exemplo suponha que voc tenha demonstrado as seguintes tr s senten as Cube b b c e Cube c Estas senten as n o s o TT contradit rias mas voc pode ver que uma simples aplica o de Elim lhe dar o par TT contradit rio Cube c e Cube c Introduzindo com FOCon Se voc suspeitar que derivou algumas senten as cuja inconsist ncia resulta dos conectivos booleanos mais o predicado de identidade voc pode verificar isso utilizando o mecanismo FOCon uma vez que FOCon entende o significado de Se FOCon diz que se segue das senten as citadas e se estas senten as n o cont m quantificadores ent o voc deve ser capaz de provar L utilizando apenas as regras de introdu o e elimina o para v e L Introduzindo com AnaCon O nico caso em que voc pode chegar a uma contradi o mas n o ser capaz de provar L com as regras de F quando a inconsist ncia depende do significado de outros predicados al m da identidade Por exemplo suponha que voc deriva a contradi o n n ou o par contradit rio de senten as Cube b e Tet b As regras de F n o lhe possibilitar o obter uma contradi o da forma P e P Pelo menos n o sem premissas adicionais Isto significa que em Fitch o mecanismo A
53. cios reais por isso que ela t o amplamente ensinada Pelo menos uma coisa certa aprender FOL uma maneira f cil de desmistificar muito do trabalho formal Tamb m ajudara voc a entender mais sobre a sua pr pria l ngua e sobre as leis da l gica que a suportam Em primeiro lugar FOL ainda que seja bastante simples incorpora de uma maneira limpa algumas das mais importantes caracter sticas das linguagens humanas Isto ajuda a tornar estas caracter sticas muito mais transparentes A principal destas caracter sticas a rela o entre a linguagem e o mundo Em segundo lugar conforme voc aprende a traduzir senten as do portugu s em senten as de FOL voc tamb m ganhar maior capacidade para reconhecer e apreciar a enorme sutileza que reside no Portugu s sutileza que n o pode ser capturada por FOL ou linguagens similares pelo menos ainda n o Finalmente voc se tornar consciente da enorme ambiguidade presente em quase todas as senten as do Portugu s ambiguidade que de algum modo n o nos impede de nos entendermos uns aos outros na maioria das situa es Conseq ncia e prova Anteriormente perguntamos o que faz com que uma afirmacao se siga de outras conven o ou alguma outra coisa Dar uma resposta a esta quest o para FOL ocupar uma parte significativa deste livro Mas uma resposta curta pode ser dada aqui A l gica moderna nos ensina que uma afirma o P uma consequ ncia l gica de outra Q s
54. cita o n m o modo que usamos para nos referirmos a uma subprova que comeca na linha n e termina na linha m Algumas vezes quando usar elimina o da disjun o voc achar natural usar a regra de reitera o introduzida no Cap tulo 3 Por exemplo suponha que modifiquemos a prova acima para mostrar que A se segue de BAA VA 2 BA A 3 A Elim 2 4 5 Reit 4 6 A V Elim 1 2 3 4 5 Aqui a suposic o da segunda subprova A que exatamente a sentenca que queremos provar Ent o tudo o que temos a fazer repetir a sentenca para que tenhamos uma subprova de A a partir de A Poder amos tamb m deixar a subprova com apenas um passo a suposi o mas para estes casos mais natural usar a reitera o Fa a o Tente Isto 5 da Lista 5 6 para experimentar o uso das regras da disjun o Usos Generosos das Regras v em FITCH H algumas formas nas quais Fitch menos rigoroso na verifica o de vElim do que sugerido pela forma estrita da regra Primeiro a senten a S n o precisa ser a ltima senten a da subprova embora usualmente ela seja S simplesmente precisa aparecer no n vel principal de cada subprova Segundo se voc inicia com uma disjun o contendo mais de dois disjuntos digamos Pv G v R Fitch n o exige tr s subprovas Se voc tem uma subprova come ando com P e uma come ando com Qv R ou uma iniciando com Q e outra com P VR ent o Fitch ficar satisfeito e per
55. construir provas formais das conclus es a partir das premissas 2 18 Between a d b 2 17 SameCol a b k b c e b E est Between c d e SameCol a d 2 20 RightOf b c 2 19 Smaller a b 7 LeftOf d e LA Smaller b c b d Smaller a c LeftOf c e Observa o apenas nos exerc cios 2 19 e 2 20 permitido o uso da regra Ana Con BB ANAL 3 ck 2 cane forces 20 ve Meio sar case O O s Ss uu nta ka us io 1 Inicie o Mundo de Tarski e abra o arquivo de senten as Bill s Argument Argumentos de Bill Este argumento afirma que Between b a d se segue das premissas Between b c d Between a b d e Left a c O que voc acha 2 Inicie um mundo novo e insira em uma das linhas 4 blocos rotulados como a b ce d 3 Posicione os blocos de modo que a conclus o seja falsa Verifique as premissas Se alguma n o for verdadeira reposicione os at que todas sejam verdadeiras A conclus o continua falsa Se n o continue tentando 4 Se voc n o estiver conseguindo tente colocar os blocos na ordem d a b c Agora verifique todas as senten as CTRL F para certificar se de que todas as premissas s o verdadeiras e a conclus o falsa Este mundo um contra exemplo do argumento Ent o n s demonstramos com ele que a conclus o n o se segue das premissas 5 Grave seu trabalho nos arquivos World Counterexample 1 e Sentences Counterexample 1 EXERCICIOS ii eta oS direi a Sl da DS I TT TTT TET
56. da Jornada nas Estrelas Por outro lado a senten a a za n o nem logicamente poss vel uma vez que a o nome de um e apenas um objeto Qualquer situa o imagin vel em que esta senten a fosse verdadeira violaria os princ pios l gicos da identidade Temos portanto as seguintes defini es Possibilidade L gica uma afirma o logicamente poss vel se h alguma circunst ncia logicamente poss vel ou situa o ou mundo na qual a afirma o verdadeira Necessidade L gica similarmente uma senten a logicamente necess ria se ela for verdadeira em todas as circunst ncias logicamente poss veis Tornando No es Vagas mais Precisas Apesar de bastante importantes para a l gica estas duas no es s o irritantemente vagas para os padr es que buscamos para as defini es l gicas Introduziremos v rios conceitos precisos que nos ajudar o a clarificar estas no es Um deles ser a no o de tautologia Mas como pode um conceito preciso clarificar uma no o intuitiva imprecisa Vamos pensar por um momento na no o de possibilidade l gica com respeito a senten as da linguagem dos blocos Presumivelmente uma senten a da linguagem dos blocos ser logicamente poss vel se pode haver um mundo de blocos no qual ela verdadeira Mas alto l A coisa n o t o simples assim claro que se n s conseguirmos construir um mundo no Mundo de Tarski que torna a senten a verdadeira ent
57. da senten a condicional original Uma tabela de verdade conjunta mostra claramente por que estas formas s o logicamente equivalentes Esta uma equival ncia l gica particularmente til porque muitas vezes mais f cil provar a contraposi o de um condicional do que a forma original Mais Equival ncias L gicas Envolvendo Condicionais Aqui est o algumas equival ncias l gicas teis de ter em mente Examine as cuidadosamente e se tiver d vida em algumas delas fa a suas tabelas de verdade com o programa Boole para entend las PvQ P A Q P gt Q A Q gt P P A Q v GP A AQ LEMBRE SE Sejam P e Q senten as quaisquer de FOL 1 Modus Ponens De PQ e P infere se Q 2 Elimina o do Bicondicional De P e ou PS Q ou Q S P infere se Q 3 Contraposi o PS Q 0 P O M todo da Prova Condicional A Um dos mais importantes m todos de prova o m todo da prova condicional que permite provar senten as condicionais com a forma P gt Q Suponha que voc queira provar uma declara o condicional P gt Q O que voc faz assumir temporariamente o antecedente da condicional P Ent o se com esta suposi o adicional voc conseguir provar Q o m todo da prova condicional permite a voc inferir P O a partir das premissas originais Vejamos um exemplo simples que usa tanto o modus ponens quanto a prova condicional Mostraremos que Tet a gt Tet c uma consequ
58. de Tarski Exemplo Uma prova de Larger a c a partir das premissas Larger a b e Larger b c utilizando o mecanismo AnaCon seria como 1 Larger a b 2 Larger b c 3 Larger a c AnaCon 1 2 Restri es no Uso dos Mecanismos Con AnaCon n o de fato uma regra do sistema F mas um mecanismo do programa Fitch que nos ajuda entre outras coisas que veremos mais adiante a obter consequ ncias de senten as at micas Por causa disso voc jamais deve utilizar AnaCon em seus exerc cios a menos que o enunciado explicitamente indique que voc deva Se tiver d vidas sobre isto quando estiver fazendo um exerc cio que envolva o programa Fitch voc pode clicar no bot o Goal Constraints para verificar o tipo de regras e mecanismos que podem ser usados para resolver o exerc cio em quest o LEMBRE SE e O sistema dedutivo que voc est aprendendo um sistema dedutivo do estilo Fitch chamado amp e A aplica o de computador que auxilia voc na constru o de provas em F por isso chamada de programa Fitch e Quando voc escreve suas provas no papel voc est utilizando o sistema T quando o faz no computador voc est utilizando o programa Fitch 2 5 Demonstrando N o consequ ncia As provas podem ter diferentes formas Provas de Consequ ncia Quando um promotor prova que o r u culpado ele est provando que uma particular afirma o se segue de certas informa es aceitas as provas
59. de uma disjun o s o verdadeiras Assim no exemplo acima a senten a verdadeira se Jo o est em casa e Maria n o se Maria est em casa e Jo o n o e se ambos Maria e Jo o est o em casa Se quis ssemos expressar o sentido exclusivo do ou no exemplo acima poder amos escrever a seguinte senten a em FOL Home joao v Home maria A Home joao A Home maria A Semantica da Disjuncao Considere P e Q duas senten as quaisquer de FOL at micas ou n o Podemos combin las utilizando v para formar uma nova senten a P v Q PvQ sera verdadeira se pelo menos uma das sentencas P ou Q for verdadeira Caso contrario sera falsa Isto pode ser resumido pela seguinte tabela Tabela de Verdade para a Disjuncao Regra para a Disjuncao no Jogo Henkin Hintikka As regras do jogo do Mundo de Tarski para v sao exatamente o reverso das regras para A Se voc se comprometer com a verdade de P v Q voc implicitamente esta se comprometendo com a verdade de pelo menos uma das senten as P ou Q O mundo de Tarski ent o solicita que voc escolha qual das duas considera verdadeira Se voc se comprometer com a falsidade de P v Q ent o voc implicitamente esta se comprometendo com a falsidade de ambas as senten as O mundo de Tarski escolher uma delas e lhe pedir que confirme o seu compromisso com a falsidade desta senten a Claro que o programa tentando ganhar o jogo escolher uma senten a que seja verdadeira c
60. disjuntos digamos P4 V v Pn podemos ent o quebrar nossa prova em n casos No primeiro assumimos P4 como hip tese no segundo P2 e assim por diante para cada disjunto Se provarmos a senten a desejada S em cada um destes casos ent o podemos afirmar S temos justificativa para inferir S Vejamos um exemplo ainda mais simples Suponha que queiramos provar que Small c uma consequ ncia l gica de Cube c A Small c v Tet c A Small c um argumento bvio cuja prova no entanto envolve prova por casos Veja como seria uma prova informal deste argumento PROVA Nossa premissa Cube c A Small c v Tet c A Small c Dividiremos a prova em dois casos correspondentes aos dois disjuntos desta premissa Primeiro assuma que Cube c A Small c verdadeira Neste caso por elimina o da conjun o que nem precisariamos mencionar sabemos que Small c verdadeira Da mesma forma assuma agora que Tet c A Small c verdadeira Ent o Small c verdadeira Assim em ambos os casos conclu mos Small c Portanto pelo m todo da prova por casos Small c consequ ncia da disjun o inicial O exemplo seguinte mostra de que forma aquele curioso passo da introdu o da disjun o de P infere se Pv Q pode ser til em uma prova por casos Suponha que saibamos que ou Max est em casa e Cleo est feliz ou Claire est em casa e Miau est feliz Isto Home max A Happy cleo v Home claire A Happ
61. do predicado Between da linguagem dos blocos Tal regra seria como Between a b c gt Betvveen a c b N o faremos isso simplesmente porque o n mero de predicados poss veis com as mais variadas depend ncias l gicas que podemos criar em FOL infinito Precisar amos de um numero infinito de regras para expressar todas as depend ncias l gicas poss veis para todas as linguagens de FOL Estas depend ncias l gicas ser o tratadas de uma outra maneira que veremos mais adiante Exemplo 1 Suponha que queiramos provar SameRow b a a partir das premissas SameRow a a e a b Nossa prova poderia ser a seguinte 1 SameRow a a 2 a b 3 SameRow b a Elim 1 2 Exemplo 2 Suponha agora que queiramos provar a mesma senten a SameRow b a s que desta vez a partir das premissas SameRow a a e b a A situa o quase id ntica ao exemplo anterior A diferen a que la a segunda premissa a be aqui b a A principio pode parecer que a prova deste segundo exemplo deve ser similar anterior com apenas uma aplica o da regra Elim Note no entanto que a formula o que fizemos da regra Elim indica que podemos derivar senten as com ocorr ncias do termo do lado direito da identidade a neste exemplo pois a premissa b a a partir senten as com ocorr ncias do termo do lado esquerdo da identidade b No entanto o exemplo nos d SameRow a a e b a e pede que derivemos SameRow
62. em uso em uma prova Intro ad ELL direita de um passo autorizado por esta regra escrevemos Intro Note que n o h necessidade de citar nenhum passo anterior na justificativa Se j provamos uma senten a contendo o nome n o que ser indicado escrevendo se P n e uma senten a da forma n m ent o temos justificativa para afirmar qualquer senten a que resulte de P n pela substitui o de algumas ou todas ocorr ncias de n por m Esta nova senten a ser indicada por P m Resumo Permite substituir termos id nticos nas senten as de uma prova N o importa quem vem primeiro na prova P n ou n desde que ambos ocorram antes de P m A direita de um passo autorizado por esta regra escrevemos Elim j k onde j o n mero do passo da sentenca P n e ko n mero do passo da sentenca n m Permite repetir sentencas nas provas A direita de um passo autorizado por esta regra n s escrevemos Reit x onde x o n mero da ocorr ncia anterior da senten a que estamos repetindo Esta regra n o tecnicamente necess ria mas sua utiliza o far algumas provas parecerem mais naturais Depend ncias L gicas de Predicados n o Constituem Regras Formais Poder amos incluir em nossos sistemas formais regras que expressassem depend ncias l gicas dos outros predicados al m da identidade que podemos criar em FOL Por exemplo poder amos criar uma regra que expressasse a bidirecionalidade
63. erro mais adiante Se voc se comprometer com a falsidade de P AQ ent o voc considera que pelo menos uma delas P ou Q falsa Neste caso o Mundo de Tarski pedir que voc escolha qual delas considera falsa Se a senten a que escolheu n o for falsa voc poder perder o jogo Fa a o Tente Isto 2 da lista de exerc cios 3 para testar por si mesmo como o jogo funciona com a conjun o LEMBRE SE 1 Se P eQ s o senten as de FOL ent o P A Q tamb m 2 Asenten a P A O verdadeira se e somente se P e O forem ambas verdadeiras S mbolo de Disjun o v O s mbolo v ser usado para expressar disjun o em nossa linguagem FOL Disjun o a no o que normalmente expressamos em portugu s pela palavra ou Assim como a conjun o em FOL este conectivo sempre colocado entre duas senten as Enquanto que em portugu s sua utiliza o mais livre Por exemplo Jo o ou Maria est o em casa Jo o est em casa ou Maria est em casa Estas duas senten as t m a mesma tradu o em FOL Home joao v Home maria Disjun o Exclusiva x Disjun o Inclusiva O ou do portugu s algumas vezes usado com um sentido exclusivo para dizer que exatamente uma isto uma mas n o mais do que uma das partes de uma disjun o verdadeira Em l gica no entanto v sempre tem uma interpreta o inclusiva Isto significa que pelo menos uma e possivelmente ambas as senten as
64. exerc cio indica explicitamente que sua utiliza o permitida Fa a o Tente Isto 3 da Lista de Exerc cios 4 para experimentar por voc mesmo o funcionamento destes mecanismos no programa Fitch Em portugu s conseq ncia de primeira ordem Na pr tica o mecanismo AnaCon pode falhar por restri es computacionais falta de mem ria tempo de processamento demasiado longo em situa es onde TautCon e FOCon n o falhariam Mas em princ pio se tiv ssemos um computador com MUITA mem ria e que fosse MUITO r pido o mecanismo AnaCon n o falharia nestes casos 16 Cap tulo 5 M todos de Prova para a L gica Booleana O m todo das tabelas de verdade bom para mostrar a validade de argumentos simples que dependem apenas do significado dos conectivos verofuncionais mas o m todo tem duas limita es bastante significativas Limita es do M todo das Tabelas de Verdade 1 As tabelas de verdade tornam se extremamente longas conforme o n mero de senten as at micas aumenta Um argumento com 7 senten as at micas o que ainda um n mero pequeno exige uma tabela com 128 linhas para ser analisado Se dobrarmos o n mero de senten as at micas para 14 precisar amos de uma tabela com mais de 16 mil linhas para analis lo Este crescimento exponencial das tabelas de verdade praticamente elimina o valor pr tico deste m todo 2 N o poss vel estender facilmente o m todo das tabelas de verdade para argu
65. forma de codificar o conhecimento que ser gravado e utilizado por um computador O pensamento modelado atrav s de manipula es envolvendo senten as de FOL O outro uso como uma linguagem de especifica o precisa para declara o de axiomas e demonstra o de resultados sobre agentes artificiais Em ci ncia da computa o FOL teve uma influ ncia ainda mais profunda A pr pria id ia de uma linguagem artificial que precisa e ainda rica o suficiente para programar computadores foi inspirada nesta linguagem Al m disso todas as linguagens de programa o que existem tomaram emprestadas algumas no es de um ou outro dialeto de FOL Finalmente h as assim chamadas linguagens de programa o l gica como Prolog cujos programas s o sequ ncias de senten as em um certo dialeto de FOL N s discutiremos um pouco sobre as bases l gicas do Prolog na Parte Ill deste livro FOL serve como o exemplo protot pico do que conhecido como uma linguagem artificial Estas s o linguagens que foram designadas para prop sitos especiais e s o contrastadas com as assim chamadas linguagens naturais linguagens como Portugu s e Grego que as pessoas realmente falam O projeto de linguagens artificiais dentro das ci ncias simb licas uma atividade importante que baseada no sucesso de FOL e de seus descendentes Mesmo que voc n o v prosseguir aprendendo l gica ou qualquer ci ncia simb lica o estudo de FOL pode ter benef
66. formas de ser reprovado tais como faltar s provas ou entregar todos os exerc cios das listas errados A afirma o de que voc ser aprovado apenas se entregar todas as listas de exerc cios exclui apenas uma possibilidade a de voc ser aprovado sem entregar todas as listas de exerc cios Em outras palavras P apenas se Q falsa s quando P verdadeira e Q falsa e este exatamente o caso em que P Q falsa Condi o Suficiente Compare isto com a afirma o de que voc ser aprovado na disciplina se entregar todas as listas de exerc cios uma situa o completamente diferente Um professor que fa a esta promessa e seus am veis professores de l gica n o a fizeram est estabelecendo uma pol tica de avalia o bastante frouxa basta entregar as listas de exerc cios que voc ter uma nota que aprova maior ou igual a 7 independentemente de qu o bem voc tenha feito os exerc cios ou mesmo de se voc se preocupou ou n o em fazer as provas Em portugu s a express o se introduz o que chamado de uma condi o suficiente uma condi o que garante que alguma coisa ser obtida neste caso a aprova o na disciplina Por causa disso uma senten a do portugu s com a forma P ser provado se Q fizer os exerc cios deve ser traduzida como Q P Esta sentenca sera falsa apenas quando Q verdadeira entregar as listas de exerc cios e P falsa ser aprovado na disciplina Outros Usos de
67. in front of every tet gt Large x gt Small x VX x is to the right of a large cube gt Small x 2 Large x vx x is in back of a cube A x is in front of a cube Large x Cube x vx there is nothing in back of x Cube x 10 vx Dodec x gt vx Dodec x gt x is smaller than some tet Senten as Null Quantification 1 av BackOf b c 2 Write a quantifier free sentence equivalent to 1 here and similarly for the next two sentences Yx Dodec b 3x Cube c a Small c ax vy Tet y 2 Small y Get rid of the null quantifier 3y Vy Tet y gt Small y Which quantifier is null Sentencas Mais CNF 1 Cube a A Small a v Cube a A Small a Put an NNF form of 1 here Put a CNF form of 1 here Cube a v Small a A Cube a v Small a Put an NNF form of 4 here Notice the relationship With 2 Put an CNF form of 5 here Notice the relationship with 3 2 Cube a Larger a b Dodec b Cube a Tet b 4 4 Cube a v Tet b Notice the difference between this sentence and 10 3x Tet x Large x 3x ay Larger x y Large x yx vy Dodec x Dodec y gt x y avy Cube y gt Small y vx Large x e Tet x vx vy Larger x y gt BackOf x y 3x 3y Cube x Tet y a LeftOf x y Smaller x y 3x 3y Small x
68. introdu o da nega o corresponde ao m todo de prova indireta ou prova por absurdo que estudamos informalmente no cap tulo anterior Da mesma forma que vElim ela envolve o uso de subprovas e o mesmo se dar com todos os m todos de prova n o triviais que estudaremos A regra diz que se voc puder provar uma contradi o L com base em uma suposi o adicional P ent o voc pode inferir P a partir das premissas originais Esquematicamente Em H diferentes formas de entender esta regra dependendo de como interpretamos o simbolo do absurdo L Alguns autores interpretam no como uma abrevia o para qualquer contradi o da forma Q A Q Se tiv ssemos constru do nossa interpreta o desta forma n o precisar amos falar mais nada sobre a regra Mas trataremos L como um simbolo independente que deve ser lido como absurdo ou contradi o Isto tem v rias vantagens que se tornar o aparentes quando voc come ar a usar a regra A nica desvantagem que como inserimos um s mbolo a mais em nossa linguagem FOL precisamos de regras de infer ncia para este s mbolo tamb m Apresentamos estas regras a seguir Introdu o do Absurdo Intro A regra de introdu o do absurdo LIntro permite nos obter o simbolo do absurdo sempre que tivermos estabelecido uma contradi o explicita na forma das senten as P e sua nega o P P peli E Em geral voc aplicar a regra LIntro apenas no contexto de
69. ir dormir Similarmente se utiliz ssemos a ordem reversa da senten a Claire foi dormir e Max foi para casa isto poderia sugerir uma situa o bastante diferente No entanto nenhuma dessas implica es impl citas ou expl citas est presente quando usamos o s mbolo A na senten a FoiCasa max A FoiDormir claire Esta senten a verdadeira exatamente nas mesmas circunst ncias que FoiDormir claire A FoiCasa max A Sem ntica da Conjun o Considere P e Q duas senten as quaisquer de FOL Note que Pe Q podem ser simples at micas ou complexas Uma senten a PA Q verdadeira se e somente se P e Q forem ambas verdadeiras Deste modo PA Q falsa se e somente se ou alguma das duas ou ambas forem falsas Isto pode ser resumido pela seguinte tabela Tabela de Verdade para a Conjun o Regra para a Conjun o no Jogo Henkin Hintikka Aqui o jogo do Mundo de Tarski um pouco mais interessante Se voc se comprometer com a verdade de PA Q ent o voc implicitamente se comprometeu com a verdade de cada uma das senten as P e Q O Mundo de Tarski ent o escolher uma dessas duas senten as mais simples P ou Q e lhe pedir que confirme seu compromisso com sua verdade Qual senten a o programa escolher Bem se houver alguma falsa ele escolher esta pois tenta ganhar o jogo de voc Se as duas forem verdadeiras ele escolhe uma aleatoriamente e continua jogando na esperan a de que voc cometa um
70. lt Small c This one is long Tranlate the antecedant and consequent and then combine them using and v 9 Tet x A Tet y 2 Between z x y 10 Tet x A Large x A LeftOf x y 13 Senten as Sherlock Tet b gt Tet c Dodec b gt Dodec c Cube b Cube c Tet a A Tet b FrontOf a b gt FrontOf b c v FrontOf c b LeftOf a c gt LeftOf a b BackOf b a lt BackOf c b Cube c 3x Cube x Large b 3x Large x Larger e c a Cube e a Cube c ax 3y Larger y x A Cube y Cube x Vy Dodec y o y d 3x Vy Dodec y o y x vx x bvx cvx dvx e JU AV JW IZ VX X UvX VVX WVX Z Sentencas de Turing 1 Cube a Larger a b 2 Write the negation normal form of 1 here Similarly for the other sentences that follow Cube a v Larger b a 4Cube a v Larger a b v a b The NNF of this sentence will have no negation signs in it Tet b v Large c A Smaller d e Dodec f v Tet b v Tet f v Dodec f Sentencas de S crates 1 Argument One 2 Smaller c d Premise 3 Smaller d f Premise 4 Smaller c f Conclusion 5 Argument Two 6 FrontOf c d Premise f d e Premise 8 FrontOf c e Conclusion 9 Argument Three 10 FrontOf c b Premise
71. menu Display e verifique seu trabalho A primeira senten a ja esta comentada para dar a voc uma ideia da tarefa solicitada O ponto e virgula diz ao programa Mundo de Tarski que o que se segue um coment rio ExDerTente 4 13 909 a are eh ooo o GA EDA Eo Kr a O GS ta GS 1 Vamos experimentar fazer a avalia o de algumas senten as construidas a partir de senten as at micas usando os tr s conectivos A v Abra o arquivos Boole s Sentences e Wittgenstein s World 2 Avalie se verdadeira ou falsa cada uma das senten as do arquivo e verifique sua avalia o bot o Verify Se a sua avalia o estiver errada use o Jogo bot o Game para entender o porqu N o mude para a senten a seguinte ate que tenha entendido porque a que esta avaliando verdadeira ou falsa 3 Voc consegue perceber a import ncia dos par nteses Apos ter entendido todas as senten as tente verificar quais das senten as falsas voc consegue tornar verdadeiras atrav s apenas de mudan as nos par nteses sem qualquer outra troca Grave seu trabalho com o nome Sentences Ambiguity 1 gale FT ad as O SL SO O S O O O ea Para dominar realmente uma linguagem nova voc precisa utiliz la n o apenas ler sobre ela Os exercicios e problemas seguintes s o justamente para isto 3 12 N o deixe de fazer a se o Experimente 4 3 13 Construindo um Mundo Abra o arquivo Schroder s Sentences e construa um mundo no qual to
72. mos a senten a condicional desejada citando a subprova como justificativa Esquematicamente gt P Q Estrat gia e T tica Trabalhando de Tr s para Frente A estrat gia de trabalhar de tr s para frente usualmente funciona extremamente bem em provas que envolvem condicionais particularmente quando a conclus o desejada ela pr pria um condicional Assim se o objetivo da prova mostrar que a senten a P gt Q consequ ncia de um conjunto de premissas voc deve fazer o esbo o de uma subprova que tenha P como suposi o e Q como passo final Fa a o Tente Isto 1 da Lista de Exerc cios 7 8 para praticar Transformando uma Prova Com Premissas em uma Prova Sem Premissas de um Condicional Uma vez que temos a introdu o do condicional nossa disposi o podemos converter qualquer prova com premissas em uma prova sem premissas de um condicional correspondente Por exemplo no Tente Isto 7 da Lista de Exerc cios 5 6 apresentamos a seguinte prova LA 2 A S NES Intro 1 2 A TA Intro 2 3 que demonstra A a partir da premissa A Podemos agora usar esta prova para construir uma outra prova para a senten a logicamente necess ria A A Veja T 2 A FARIS 1 Intro 1 2 As A Intro 2 3 5 A A Intro 1 4 Note que a subprova aqui id ntica prova original acima N s apenas encapsulamos aquela prova em nossa prova nova e aplicamos ao final a regra de introdu o
73. ncia l gica de A v B preciso ter cuidado aqui pois veremos que da mesma forma que para a equival ncia l gica h casos de consequ ncia l gica que esta defini o de consequ ncia tautol gica n o consegue perceber Consequ ncia Tautol gica c Consequ ncia L gica Nem toda consequ ncia l gica de uma senten a uma consequ ncia tautol gica Por exemplo a senten a a c uma consequ ncia l gica da senten a a b A b c mas n o uma consequ ncia tautol gica dela Pense sobre a linha que atribui T para as senten as a b e b c mas atribui F para a c Esta linha que impede que a c seja uma consequ ncia tautol gica de a b A b c n o respeita o significado das senten as at micas envolvidas Ela n o corresponde a uma circunst ncia genuinamente poss vel no entanto o m todo das tabelas de verdade n o detecta isso Consequ ncia Tautol gica com Mais de Uma Premissa O m todo das tabelas de verdade para verifica o de consequ ncia tautol gica n o restrito a uma premissa apenas Ele pode ser aplicado a argumentos com qualquer n mero de premissas P4 Ph e uma conclus o 0 Para fazer isso preciso construir uma tabela de verdade conjunta para todas as senten as P1 Pn e Q Feito isso voc deve verificar se Q verdadeira em cada linha na qual todas as premissas sejam P1 Pn conjuntamente verdadeiras Se isso ocorrer a conclus o consequ ncia tautol gica das premissas
74. nos movemos das premissas de um argumento para a sua conclus o Reflexividade da Identidade Introdu o da Identidade Outro princ pio t o simples que frequentemente esquecido a chamada Reflexividade da Identidade que diz que algo sempre id ntico a si mesmo A regra formal que corresponde a este princ pio cnamada de Introdu o da Identidade ou Intro uma vez que permite nos introduzir senten as com o simbolo de identidade nas provas Ele nos diz que qualquer senten a com a forma a a pode ser validamente inferida a partir de quaisquer premissas ou mesmo de nenhuma premissa Este princ pio s v lido porque em FOL os nomes se referem a um e apenas um objeto N o h como um nome se referir a objetos diferentes Simetria da Identidade Mais um princ pio um pouco mais til o da simetria da identidade Ele nos permite concluir b a a partir de a b Na verdade se quisermos poss vel obter este princ pio como uma consequ ncia dos primeiros dois princ pios atrav s da seguinte prova informal Prova suponha que a b N s sabemos pela reflexividade da identidade que a a Agora se substituirmos o primeiro a de a a por b usando para isso o princ pio da indiscernibilidade de id nticos Elim ent o obtemos b a O par grafo acima outro exemplo de uma prova informal Uma prova informal frequentemente inicia se pelo estabelecimento das premissas e suposi es da prova e ent o segue
75. o Como um argumento com premissas inconsistentes nunca correto ele jamais garantir a verdade de sua conclus o Ou seja ele t o ruim para justificar a verdade de sua conclus o quanto um argumento inv lido Em geral os m todos de prova n o nos permitem mostrar que um argumento incorreto Afinal de contas a verdade ou falsidade das premissas de um argumento n o um assunto da l gica mas depende de como o mundo Mas no caso de argumentos com premissas inconsistentes nossos m todos de prova nos permitem mostrar que pelo menos uma das premissas falsa embora n o saibamos qual delas e ent o que o argumento incorreto Para fazer isso basta provar que das premissas se deduz uma contradi o Suponha por exemplo que voc prove o seguinte argumento Home max v Home claire Home max Home claire Home max A Happy carl Mesmo sendo verdade que a conclus o deste argumento uma consequ ncia l gica de suas premissas sua conclus o n o inspira muita confian a Usando prova por casos podemos mostrar que suas premissas s o inconsistentes e portanto que o argumento incorreto De fato n o h raz o para nos convencermos da verdade da conclus o de um argumento incorreto Mas n o se engane apesar de n o terem valor sozinhos os argumentos com premissas inconsistentes representam sim padr es de infer ncia que se mostrar o teis quando combinados com outros padr es de infer ncia em um
76. o m todo para mostrar que uma afirma o n o consequ ncia l gica de outras Juntamente com a pr pria linguagem FOL estes dois m todos o m todo das provas e o m todo dos contraexemplos constituem o assunto principal deste livro Cap tulo 1 Senten as At micas FOL n o na verdade uma nica linguagem mas uma fam lia de linguagens todas com a mesma gram tica e compartilhando certos itens de vocabul rio conhecidos como conectivos e quantificadores As diferen as que podem existir nas linguagens da fam lia de FOL est o em certos itens de vocabul rio com os quais constru mos suas senten as mais b sicas as senten as at micas Senten as At micas Em portugu s s o as senten as mais simples consistindo de alguns nomes conectados por um predicado Exemplos Max correu Max viu Claire Claire deu Scruffy para Max Scruffy o nome de um animal de estima o Em FOL as senten as at micas s o formadas pela combina o de nomes ou constantes individuais como s o comumente chamados e predicados Nomes e Predicados Diferentes vers es de FOL ou seja diferentes linguagens da fam lia FOL t m diferentes nomes e predicados dispon veis Usaremos bastante uma linguagem de primeira ordem projetada para descrever blocos dispostos em um tabuleiro de xadrez em arranjos que voc poder criar com o programa Mundo de Tarski Tarski s World Linguagem dos Blocos Esta linguagem ter nome
77. podem ser tiradas do ato de sua asser o do fato dela ter sido dita N o veremos esta teoria em detalhes mas conhecer um pouco sobre ela pode ajudar bastante em nossas tradu es do portugu s para FOL portanto apresentaremos uma pequena introdu o teoria de Grice Teste do Cancelamento de Insinua es Suponha que algu m tenha proferido em portugu s uma senten a S e que estejamos tentando decidir se uma conclus o particular que tiramos dela uma parte do significado de S ou ao inv s apenas uma de suas insinua es sociais Grice apontou que se a conclus o parte do significado ent o ela n o pode ser cancelada por alguma elabora o adicional do falante Ent o por exemplo conclu mos que Max est em casa parte do significado de uma asser o de Max e Claire est o em casa porque n o conseguimos cancelar esta conclus o Dizer que Max e Claire est o em casa mas Max n o est em casa apenas nos levaria a uma contradi o Compare isto com algu m que diga Esta um dia ador vel Suponha que o falante continue e diga talvez lendo hesitantemente de um livro de frases Voc fala um pouco de Franc s Neste caso a sugest o insinua o de que o falante entende portugu s foi efetivamente cancelada Um uso mais esclarecedor do teste da cancelabilidade de Grice diz respeito express o ou ou Lembre se de que afirmamos que esta express o deveria ser traduzida e
78. por contradi o ou indireta da nega o desta hip tese Ou seja provamos a partir das premissas dadas que b c Vejamos agora um exemplo mais interessante e famoso deste m todo de prova Os gregos antigos ficaram chocados ao descobrir que a raiz quadrada de 2 n o podia ser expressa como uma fra o Dito nos termos que os matem ticos costumam utilizar a raiz quadrada de 2 um n mero irracional Antes de fazermos a prova vamos nos lembrar de alguns fatos num ricos simples que j eram conhecidos dos gregos 1 qualquer n mero racional pode ser expresso como uma fra o p q na qual pelo menos um dos dois n meros p ou q impar se n o for divida os dois n meros por 2 e continue dividindo at que um deles seja impar 2 O quadrado de um n mero impar sempre um n mero impar Ou seja se n2 par ent o n tamb m par 3 Se n2 par ent o ele divis vel por 4 o que consequ ncia do fato 2 Vamos agora prova de que J2 irracional PROVA objetivando chegar a uma contradi o vamos assumir que 40 racional I Sob esta suposi o yI pode ser expressa da forma p q onde pelo menos um destes dois n meros mpar Como A p q se elevamos ao quadrado os dois lados desta identidade obtemos 2 p q Multiplicando os dois lados por q2 obtemos 292 p2 Esta igualdade mostra que p um n mero par ii Ent o por 2 sabemos que p um n mero par E por 3 sabemos
79. provas no papel voc est utilizando o sistema F quando o faz no computador voc est utilizando o programa Fitch Demonstrando N o Consequ ncia Para demonstrar a invalidade de um argumento com premissas P41 Pr e conclus o Q encontre um contra exemplo uma circunst ncia poss vel em que P1 Pn sejam todas verdadeiras mas Q seja falsa Tal contra exemplo mostra que O n o consequ ncia de P4 Pn Cap tulo 3 Os Conectivos Booleanos Nega o 1 Se P uma senten a de FOL ent o P tamb m 2 Asenten a P verdadeira se e somente se P n o for 3 Uma senten a que ou at mica ou a nega o de uma senten a at mica chamada de literal TRUE FALSE FALSE TRUE Conjun o 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P A Q tamb m 2 Asentenca PAQ verdadeira se e somente se P e Q forem ambas verdadeiras Disjun o 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P v Q tamb m 2 Asentenca P v Q verdadeira se e somente se P verdadeira ou Q verdadeira ou ambas s o verdadeiras Rergras do Jogo Henkin Hintikka para os Conectivos Booleanos Escolher uma das senten as P ou Q que seja verdadeira Escolher uma das senten as P ou Q que seja falsa qualquer que seja ne Substituir P por P etrocar o compromisso Uso dos Par nteses Os par nteses devem ser utilizados sempre que possa haver ambiguidade caso sejam omitidos Na pr tica isto signifi
80. que p divis vel por 4 Olhando mais uma vez para a equa o 292 p vemos que se p2 divis vel por 4 ent o 292 tamb m divis vel por 4 e portanto q2 deve ser divis vel por 2 iii Neste caso por 2 q tamb m deve ser par Assim em ii e iii mostramos que p e q s o n meros pares o que contradiz o fato expresso em i de que um dos dois deve ser um n mero impar Logo nossa suposi o de que ao racional nos levou a uma contradi o Portanto conclu mos por absurdo que J2 irracional O M todo da Prova Indireta Tamb m Demonstra Senten as Afirmativas Nos dois exemplos anteriores usamos o m todo da prova indireta para provar senten as negadas S que iniciam por uma nega o Mas poss vel usar este m todo para provar uma senten a afirmativa S Para fazer isso voc deve iniciar assumindo como hip tese S obter uma contradi o e ent o concluir a nega o de S ou seja S que como j sabemos equivalente a S Contradi o Para compreender e aplicar bem o m todo da prova por absurdo importante que voc entenda o que uma contradi o pois o m todo exige como justificativa para a prova de S que se obtenha uma contradi o a partir da suposi o tempor ria S Intuitivamente uma contradi o qualquer asser o que n o poss vel que seja verdadeira ou qualquer conjunto de asser es que n o podem ser conjuntamente verdadeiras
81. regra cite as duas subprovas e a premissa Verifique sua prova completa no bot o Verify Proof Se houver alguma marca de checagem vermelha compare sua prova com a prova mostrada acima e tente corrigir os erros 9 Quando a verifica o da prova estiver OK grave seu trabalho com o nome Proof Disjunction 1 EXDENIMENCE O ss su dr d ian os sie tao tina 1 Abra o arquivo Disjunction 2 O objetivo e provar a sentenca Cube b ASmall b v Cube b ALarge b A prova final esta quase completa ainda que nao pareca 2 Posicione o cursor em cada um dos passos vazios em sequ ncia e verifique cada passo bot o Check Step para que o Fitch preencha os com as senten as defaults das regras associadas No segundo passo vazio voc tera que terminar a senten a digitando o segundo disjunto Cube b ALarge b da sentenca Se o ltimo passo n o produzir uma senten a default porque voc n o digitou corretamente o disjunto no passo de vintro 3 Quando voc terminar verifique a prova Voc entendeu esta prova Voc conseguiria faz la sozinho 4 Grave seu trabalho com o nome Proof Disjunction 2 EXERCICIOS test a db O ea dp a q arti E TTT 6 1 N o deixe de fazer as se es Experimente 1 a 6 acima Elas s o MUITO importantes 6 2 Abra o arquivo Exiercise 6 2 que cont m uma prova formal incompleta Do jeito que ela est nenhum dos passos esta completo ou porque a regra n o foi especificada ou porqu
82. reprovado na disciplina o que diminuir tanto seu IRA que voc n o entrar em medicina Mas se voc adotar o desprezo p s moderno para com a racionalidade voc n o ser capaz de passar em qu mica org nica e em consequ ncia n o entrar em medicina Portanto em qualquer caso voc n o entrar em medicina Logo se fizer P s modernismo n o entrar em medicina Desafortunadamente para Bill ele j tinha sucumbido ao p s modernismo e portanto rejeitou o argumento de Sarah Ele foi adiante e fez a disciplina sobre p s modernismo foi reprovado em qu mica e n o entrou em medicina Ele hoje um rico lobista em Bras lia Sarah uma executiva da ind stria da Inform tica em S o Paulo Provando Bicondicionais Tamb m podemos utilizar o m todo da prova condicional para provar bicondicionais A diferen a que temos que trabalhar duas vezes mais Para provar P Q pelo metodo da prova condicional precisamos fazer duas coisas primeiro assumir P e provar Q depois assumir Q e provar P Isso nos d ambas as senten as P5 Q e Q P cuja conjun o equivalente a PQ H uma outra forma de provas envolvendo que muito comum em matem tica Os matem ticos s o aficionados em encontrar resultados que mostram que diversas condi es diferentes s o equivalentes Assim voc encontrar teoremas que fazem declara es como esta As seguintes condi es sao todas equivalentes 01 Q2 Q3 O que el
83. se cada P3 Pn j foi provado a partir dessas mesmas premissas ent o podemos afirmar Q em nossa prova Cada passo de uma prova informal deve ser significativo mas de f cil entendimento Se um passo significativo ou de entendimento f cil isso depende da audi ncia para quem a prova endere ada Os seguintes padr es de infer ncia v lidos s o geralmente utilizados em prova informais sem serem mencionados e De PAQ infere se P e De P e Q infere se PAQ e De P infere se P v Q Al m dos passos de infer ncia triviais descritos acima os conectivos booleanos propiciam dois m todos de prova inteiramente novos que s o explicitamente aplicados em todos os tipos de racioc nio rigoroso O primeiro deles o m todo de prova por casos que em nosso sistema formal F ser chamado de elimina o da disjun o Prova por Casos Vamos iniciar ilustrando uma prova por casos utilizada em um tipo de argumento muito comum em matem tica O argumento prova que 1 Existem n meros irracionais b e c tais que b um n mero racional Apenas relembrando um n mero racional se ele pode ser expresso como uma fra o n m onde n e m s o n meros inteiros Se ele n o puder ser assim expresso dizemos que um n mero irracional Ent o 2 racional pois 2 2 1 mas y2 n o mas adiante provaremos isso tamb m Segue abaixo nossa prova da proposi o 1 2 PROVA Considere o n mero so V2 Sabemos qu
84. se os valores de verdade de P e Q s o como os valores especificados na primeira linha da tabela de verdade de P Q ambos verdadeiros e falsa nos outros casos Similarmente Co ser verdadeira apenas quando P e Q t m os valores de verdade da segunda linha da tabela para P Q De forma an loga C3 e C4 correspondem terceira e quarta linhas da tabela Para construir uma sentenca que tenha uma tabela de verdade exatamente igual de P O tudo o que temos que fazer tomar uma disjun o dos Cs apropriados Por exemplo se P O verdadeira apenas nas linhas 2 e 4 ent o Co v Ca equivalente a esta senten a Isto mostra que todas as fun es de verdade bin rias s o express veis utilizando apenas os conectivos e v Apenas P A P j seria suficiente mas queremos uma senten a que use tanto P quanto Q Tamb m seria poss vel expressar esta fun o de verdade pela senten a P A P A Q Se tiver d vidas fa a as tabelas de verdade e confira 7 f cil ver que um procedimento similar nos permite expressar todas as fun es de verdade un rias poss veis Um conectivo un rio digamos 6 ter uma tabela de verdade como a seguinte DEG Se ambos os valores abaixo de eP s o FALSE ent o podemos expressar isto usando a senten a P A P Por outro lado podemos expressar P como uma disjun o de uma ou mais das seguintes senten as C1 P Co P C4 ser inclu do como um dos disjuntos se o val
85. se voc pode descobrir quais s o Cite as Se voc errar Fitch responder com um X vermelho quando voc conferir a linha 5 Agora preencha as cita es necess rias para justificar a quarta e a quinta conclus es Nestes dois casos voc que ter que invocar a regra AnaCon Voc encontrar a regra no submenu Con do menu popup Rule 6 A conclus o Final SameCol b b n o requer que qualquer premissa seja citada em seu apoio Ela simplesmente uma verdade anal tica quer dizer verdadeira em virtude de seu significado Especifique a regra e confira este linha 7 Quando voc terminar clique em Verify Proof para ver se todas as metas foram recebem a marca de confirma o Grave seu trabalho em um arquivo com o nome Proof Ana Con 1 EXEICICIOS gt sis S O oko S N IRIS iS p SE ee Pe a ga o 2 15 Se voc pulou as se es Experimente 1 e 2 volte e faca as agora 2 16 Use o programa Fitch para produzir uma vers o formal da prova informal que voce fez no Exerc cio 2 5 transitividade da identidade Lembre se que as informa es iniciais deste exerc cio est o no arquivo Exercise 2 16 e que voc dever salvar seu trabalho com o nome Proof 2 16 Para resolver os exerc cios a seguir voc precisa rodar o programa Fitch e abrir o arquivo Exercise 2 x onde 2 x corresponde ao n mero de cada exerc cio abaixo Ao terminar cada exerc cio salve seu trabalho em um arquivo com o nome Proof 2 x Seu objetivo
86. sentenca uma disjun o cujo segundo disjunto uma conjun o Na segunda os par nteses indicam que a senten a uma conjun o cujo primeiro conjunto uma disjun o Esta diferen a a mesma que encontramos em express es aritm ticas como 2 3x5 2 3 x5 Estas s o claramente duas express es diferentes O resultado da primeira 17 e o da segunda 25 Em l gica os par nteses evitam ambiguidade da mesma forma que nas express es alg bricas da matem tica Em FOL al m dos par nteses podemos usar colchetes 1 e chaves 9 Escopo da Nega o Os par nteses tamb m s o utilizados para indicar o escopo de um s mbolo de nega o quando ele aparece em uma senten a complexa As duas senten as abaixo por exemplo significam coisas bem diferentes Home claire A Home max Home claire A Home max Economizando Par nteses A primeira sentenca acima uma conjun o de literais o primeiro deles declarando que Claire n o esta em casa e o segundo que Max est em casa J a segunda senten a a nega o de uma senten a que ela pr pria uma conjun o Ela declara que Claire e Max n o est o ambos em casa Muitos livros de l gica exigem que voc coloque par nteses em volta de qualquer par de senten as unidas por um conectivo bin rio tal como A ou v Nestes livros uma senten a da forma PAQAR n o est bem escrita Seria necess rio reescrev l
87. tamb m permitir mas h casos onde Fitch permitir que voc fa a em apenas um passo coisas que levariam v rios passos em F Aplica es Default de Regras no Programa FITCH Al m disso muitas das regras de Fitch possuem aplica es default que podem economizar bastante tempo Para utilizar a aplica o default de alguma regra basta que voc especifique qual a regra e cite os passos de suporte Ent o voc clica no bot o Check Step e o programa Fitch preencher automaticamente a conclus o apropriada Ao final de cada se o abaixo explicaremos a aplica o default das regras introduzidas na se o 1 Regras para a Conjun o A As regras de elimina o da conjun o AElim e introdu o da conjun o Alntro s o os princ pios mais simples de serem formalizados Elimina o da Conjun o AElim A regra de elimina o da conjun o nos permite afirmar qualquer conjunto Pi a partir de uma senten a PLA A Pi A A Pn que j tenha sido derivada em uma prova a prop sito P pode ser qualquer conjunto incluindo o primeiro e o ltimo 1x i n O novo passo justificado citando se o passo que cont m a conjun o O seguinte esquema simboliza esta regra P AA d P er ur Pa Fa a o Tente Isto 1 da Lista de Exerc cios 5 6 para exercitar o uso desta regra no programa Fitch Introdu o da Conjun o Alntro A regra de introdu o da conjun o permite a voc afirmar a
88. trabalhando de tr s para frente O que voc faz olhar para a conclus o e pensar qual senten a ou senten as adicionais poderiam permitir que inferissemos esta conclus o Ent o voc simplesmente insere estes passos estas senten as em sua prova n o se preocupando sobre como exatamente eles ser o justificados e cite os como suporte da senten a final a conclus o Agora voc considera estes passos intermedi rios que voc acabou de inserir na prova como as senten as que precisam ser provadas e veja se consegue prov los Se conseguir sua prova estar completa 12 Vamos desenvolver um exemplo que aplica estas duas estrat gias Suponha que voc seja requisitado a fazer uma prova formal do seguinte argumento P Va Q PAQ A primeira coisa a fazer entender o significado das senten as Ao fazer isso voc ver que este argumento a aplica o em uma dire o de uma das leis de DeMorgan Portanto ele um argumento v lido Reconhecer que um argumento v lido j representou mais um passo de nossa tarefa Quando voc pensa sobre o argumento voc pode descobrir que o que lhe convence da validade do argumento a seguinte observa o que dif cil de formalizar e Sea premissa verdadeira ent o ou P ou O falsa o que torna P A Q falsa e ent o a conclus o verdadeira Embora este seja um argumento completamente convincente n o imediatamente claro como ele deveria ser traduzido em te
89. uma prova informal a partir de algumas premissas se sabemos que Q uma consequ ncia l gica das senten as P4 Ph ese cada Pa Pn j foi provado a partir dessas mesmas premissas ent o podemos afirmar Q em nossa prova 5 Cada passo de uma prova informal deve ser significativo mas de f cil entendimento 6 Se um passo significativo ou de entendimento f cil isso depende da audi ncia para quem a prova endere ada 7 Os seguintes padr es de infer ncia validos s o geralmente utilizados em prova informais sem serem mencionados e De PAQ infere se P e De Pe Q infere se P A Q e De P infere se P v Q M todo da Prova Por Casos Para provar S a partir de P4 v v Pn usando este m todo prove S a partir de cada um dos P Pn M todo da Prova Indireta ou por Absurdo Para provar S usando este m todo assuma S e prove uma contradi o LL Do Absurdo 1 Tudo se Segue A prova de uma contradi o a partir das premissas P4 Pn sem suposi es adicionais mostra que estas premissas s o inconsistentes Um argumento com premissas inconsistentes sempre v lido mas mais importante ainda sempre incorreto e Como um argumento com premissas inconsistentes sempre v lido ent o do absurdo L tudo se segue Cap tulo 6 Provas Formais e L gica Booleana Regras Formais para a Conjun o A Elimina o da Conjun o A Elim Introdu o da Conjun o A Intro Regras Formais par
90. 0 7 20 Traduza as seguintes sentencas para FOL da melhor maneira que puder Explique qualquer simbolo de predicado e de fun o que voc utilizar bem como qualquer especificidade na interpreta o que est fazendo das sentencas 1 Se Abe pode enganar Stephen certamente ele pode enganar Ulysses 2 Se voc me caluniar eu te caluniarei 3 A Fran a assinar o tratado apenas se a Alemanha assinar 4 Se Tweedledee der uma festa ent o Tweedledum tamb m dar e vice versa 5 Se John e Mary foram ao concerto juntos eles devem gostar um do outro 7 21 O Principio do Macaco Um dos usos mais estranhos de se ent o em portugu s e como uma forma indireta de expressar nega o Suponha que um amigo lhe diga Se Keanu Reeves um grande ator ent o eu sou O tio de um macaco Isto simplesmente uma forma de negar o antecedente do condicional neste caso que Keanu Reeves um grande ator Explique por que isto funciona Sua explica o deve usar a tabela de verdade para mas deve ir al m disso Fa a tambem uma tabela de verdade com o programa Boole mostrando que A gt L e equivalente a A 7 22 Suponha que Claire sustente a seguinte sentenca Max conseguiu chegar em casa Sera que isso implica logicamente ou apenas insinua socialmente que dificil para Carl chegar em casa Justifique sua resposta 7 23 Suponha que Max afirme N s podemos caminhar at o cinema ou podemos ir de carro Sera que esta
91. 2 Consequ ncia L gica e Consequ ncia Tautol gica Como voc j deve ter adivinhado as tabelas de verdade nos permitem definir com precis o a no o de consequ ncia tautol gica que uma forma restrita de consequ ncia l gica da mesma forma que nos permitiu definir precisamente tautologia e equival ncia tautol gica que s o vers es restritas das no es de verdade l gica e equival ncia l gica Considere duas senten as P e Q constru das a partir de senten as at micas utilizando apenas conectivos verofuncionais Suponha que voc queira saber se Q uma consequ ncia de P O que voc tem a fazer criar uma tabela de verdade conjunta para P e Q da mesma forma que fizemos para verificar equival ncia tautol gica Consequ ncia Tautol gica Com a tabela conjunta para Pe Q ja preenchida percorra as colunas sob o conectivo principal de cada sentenca Em particular olhe para cada linha de sua tabela na qual P verdadeira Se em cada uma destas linhas Q tamb m for verdadeira ent o diremos que Q uma consequ ncia tautol gica de P A tabela de verdade estar mostrando neste caso que se P verdadeira ent o Q deve tamb m ser verdadeira e isso devido apenas ao significado dos conectivos verofuncionais das duas senten as Da mesma forma que as tautologias s o logicamente necess rias qualquer consequ ncia tautol gica Q de uma senten a P deve tamb m ser uma consequ ncia l gica de P Podemos ve
92. 3 Likes c d v Likes d c Goals A Medium d Large c Tet d A Dodec c Likes c d y Likes d c Elim 41 Elim 42 A Intro 56 gt Elim 73 Intro 4 8 Rule Conjunction 3 1 Tet a A Tet b A Tet c A Small a y Small b Goals Tet c Tet a Small a y Small b Tet b Conjunction 4 1 Dodec a Dodec b 2 emall a A Small b 3 A Elim 1 4 A Elim 2 5 A intro 43 5 A intro 34 Disjunction 1 1 Cube c Large c v Medium c Goals Medium c y Large c Disjunction 2 1 Cube b 2 Small b Large b 3 Small b 4 antro 13 5 v Intro 4 6 KZ Large b 7 Alntro 18 s Cube b 4 Small b Cube b Large b v Intro 7 9 v Elim 23568 Goals Cube b a Small b v Cube b a Large b Elimination Exercise 2 vx Cube x Small x 3x Cube x 3x Cube x Cube c emall c 3x Small x Pad Le de Cube c Small c 3x Cube x Small x Li _ 17x Cube x Small x es 3x Cube x Small x Co j 3x Small x Taut Con 854321 Oe Goals 3 x Small x Identity 1 1 SameRow a a 2b a Goals SameRow b a Negation 1 LA Goals b A Negation 2 Cube a 2 Cube a 3a b 4 CuUbe b s Dodec a e Samesize a b 7 Larger a b s SameRow b c 9 SameRow 6 c 10 b b 11 Cube a y Larger a b 12 L Rule
93. 30 39 40 SameRow d e SameRow a a SameCol a d SameCol d e SameCol a c Adjoins a b Adjoins b c Adjoins d e Adjoins b b Between d e f Notice that this claims that block d is between blocks e and f not that e is between d and f Sentence 35 says that e is between d and f Make sure you understand the difference Between e d f Between c a f Between c d b Between c b e Between c c C Between c a e 16 Cabecalhos de Prova das Se es Experimente Ana Con 1 1 FrontOf b d 2 SameRow b c 3 SameRow a c 4 Cube b 5 SameRow e d e Cube c 7 Medium c 8 Large d 9 Samesize a d 10 SameShape c b 1 SameRow b a 12 BackOf e c 13 Samesize d a 4 Larger a c 15 SameCol b b Goals SameShape c b SameRow b a BackOf e c SamesSize d a Larger a c SameCol b b Conditional 1 KAB GO Goals BASC Provas Experimente Ana Con Ana Con Ana Con Rule Rule Rule Conditional 2 1 Tet a Small a 2 Tet a Larger b a 3 Small a a Larger b a gt LeftOf b a 4 Ka Tet a 5 B T Goals Tet a gt LeftOf b a Conditional 3 1 Goals A P gt A lt CA gt P Conjunction 1 1 Tet a A Tet b A Tet c A Small a y Small b Goals A Tet a Small a y Small b Tet c Conjunction 2 1 Dodec c Large c 2 Tet d Medium d
94. Alguns exemplos de contradi es O conjunto de senten as Q Q O conjunto de asser es Cube c Tet c A senten a aza O conjunto de asser es x lt y y x A sentenca Qa Q Conjunto Inconsistente de Sentencas Podemos portanto falar sobre a no o de um conjunto contradit rio ou inconsistente de senten as como sendo qualquer conjunto de senten as para as quais n o h nenhuma situa o ou circunst ncia que tornem todas elas verdadeiras Simbolo do Absurdo 1 O s mbolo L frequentemente utilizado como uma forma abreviada de dizer que uma contradi o foi obtida Costumamos ler o s mbolo como absurdo Mas alguns l gicos o cnamam de o falso outros de contradi o alguns ainda de bottom Qualquer que seja o nome o importante que o s mbolo indica que uma conclus o logicamente imposs vel foi obtida ou que v rias conclus es foram obtidas que tomadas conjuntamente s o imposs veis Repare que uma senten a S uma impossibilidade l gica logicamente imposs vel se e somente se sua nega o S for logicamente necess ria Portanto os m todos que temos para demonstrar que uma senten a logicamente necess ria tamb m demonstram que sua nega o logicamente imposs vel ou seja que uma contradi o Por exemplo se uma tabela de verdade demonstra que S uma tautologia ent o sabemos que S uma contradi o lembre se que S logicamente equiva
95. Cube c 5 Large c Cube c Large c Make sure you understand why this sentence is true Try playing the game committed to False Tet a gt Large a gt Tet a Large a Large d gt Small a Dodec d gt Large d Adjoins a f gt Adjoins a d Large e 6 Small b Small c a Cube a v Cube d gt Small c a Cube a v Small c A Cube d Cube b o Cube c es Large c This kind of sentence is hard to understand Play the game to help you understand it better Sentencas de Ackermann Cube a Cube b Dodec c Tet c Larger d a Larger c b BackOf c a Between b a c Medium c LeftOf a c omall d v Small e v BackOf a b BachOf a b v Cube d v Cube e Small d v Small e v Cube d Small d v Cube d Cube e Cube d Small d v Small e v Cube d v Cube e Small d v Cube d v Cube e Cube d v Cube e Cube e This represents the empty clause box Sentencas de Allan 1 3x Dodec x Large x 2 3x Dodec x gt Large x 3 vx Tet x A Small x 4 vx Tet x 2 Small x Senten as de Arist teles 1 3x Tet x Large x 2 3x Tet x a Medium x 3x Cube x Small x 3y Dodec y Large y vx Cube x gt Medium x Vx Dodec x gt Small x vx Tet x gt Small x Vy Cube y gt Tet y 3X 3y 3
96. Dodec e gt Smaller e f 3 Tet c gt Larger f e Os argumento seguintes s o v lidos Faca uma prova informal de sua validade Ou seja prove sua conclus o assumindo como verdadeiras as suas premissas Voc pode achar mais f cil traduzir os argumentos para FOL antes de tentar fazer as provas No entanto isso n o obrigat rio Indique explicitamente qualquer infir ncia que use modus ponens elimina o do bicondicional ou prova condicional 8 3 O unicornio se n o um animal mitico e um Mamifero mas se for mitico e imortal Se o unicornio for imortal ou mamifero ent o ele tem chifre Se o unicornio tem chifre ent o ele m gico O unicornio m gico 8 4 O unic rnio se tem chifre elusivo e perigoso Se for elusivo e perigoso o unicornio e raro Se for um mamifero o unicornio nao e raro O unicornio se tem chifre n o e um mamimero 8 5 O unicornio se tem chifre elusivo e m gico mas se n o tem chifre n o e nenhum dos dois Se o unicornio n o tem chifre ele n o m tico O unicornio tem chifre se e somente se for m gico ou mitico 8 6 a um tetraedro grande ou um cubo pequeno b n o pequeno Se a um tetraedro ou um cubo ent o b grande ou pequeno a um tetraedro apenas se b m dio a pequeno e b e grande 8 7 b pequeno a menos que seja um cubo Se c pequeno ent o ou d ou e tamb m e Se d pequeno ent o c n o e Se b um cub
97. Dodec x Small x vy Dodec y Small y gt x y 3z Dodec z Medium z vu Dodec u Medium u 5 z LeftOf x z Smaller c a v Smaller a c Larger d b Larger f d A Larger e d v Larger d e Sentencas de Sch nfinkel 1 Adjoins y y You can make this a sentence by adding a single quantifier and variable Home carl a Home claire Write the negation normal form of 1 here oimilarly for the other sentences that follow Tet w gt Large w Here too Happy max Likes carl claire v Likes claire carl Tet a 2 Large w Since you can t add parentheses you ll have to put the quantifier in the right place 44 2 Home max v Home carl Tet w gt Large w Happy max v Happy carl How many quantifiers do you need here Remember you can t add parentheses Large x gt Larger y x Sentencas de Sheffer Vx y Cube x Cube y gt Larger x y 1 Tet a A Small a V Cube a Remember you are only to add quantifiers or variables or both No changing the a The resulting sentence is odd but we ll explain what it means later 2 3 Tet a Small a 4 vx Tet y 2 Small x The quantifier here is not doing anything It doesn t bind the y wrong variable and it doesn t bind the x wrong scope o Tet a o Small a 6 7 Cube b A Cube c gt Small b
98. Ellen Mary Ellen s World Mundo de Montague Montague s World Mundo de Mostowski Mostowski a World Mundo de Ockham Okham s World Mundo de Peano Peano s World Mundo de Pearce Pearce s World Mundo de Ramsey Ramsey s World Mundo de Reichenbach 1 Reichenbach s World 1 Mundo de Reichenbach 2 Reichenbach s World 2 Mundo de Ron Ron s World Mundo de Russell Russell s World Mundo de Sherlock Sherlock s World Mundo de Skolem Skolem s World Mundo de Socrates Socrates World Mundo de Thoralf primeiro Thoralf s First World Mundo de Thoralf segundo Thoralf s Second World Mundo de Venn Venn s World Mundo de Wittgenstein Wittgenstein s World Mundo Submeta me 1 World Submit Me 1 Tabelas a Predicados da Linguagem dos Blocos b Predicados Coloquiais Tabela 1 2 Predicados da Linguagem de Blocos 1 ik kaa Medium a a m dio Large a a grande SamesSize a b a tem o mesmo tamanho que b SameShape a b a tem o mesmo formato que b Larger a b Smaller a b a menor que b a e maior que b SameCol a b a est na mesma coluna que b a est na mesma linha que b 2 rela es bin rias SameRow a b Adjoins a b LeftOf a b RightOf a b a est mais pr ximo da borda direita que b a e b est o em
99. L gica CONTE DO LANGUAGE PROOF AND MODULO 1 LOGIC JON BARWISE amp JOHN ETCHEMENDY Tradu o Resumida da 1 Parte 1 Texto da Introdu o e Capitulos 1 a 8 2 Resumo Geral dos Cap tulos 3 Todos os Mundos do programa Mundo de Tarski 4 Tabela com os Predicados da Linguagem dos Blocos e Tabela 1 2 de Predicados Coloquiais 5 Tabela com Descri o das Regras do Sistema F Texto da Parte do Livro l gica e investiga o racional l gica e conven o leis da l gica Introdu o O Papel Especial da L gica na Investiga o Racional O que os campos da astronomia economia finan as direito matem tica medicina f sica e sociologia t m em comum Com certeza n o muito com rela o ao assunto E definitivamente nada com rela o metodologia O que eles de fato t m em comum uns com os outros e com muitos outros campos sua depend ncia de um certo padr o de racionalidade Em cada um destes campos assume se que os participantes podem diferenciar entre argumenta o racional baseada em princ pios e evid ncias assumidas de especula o livre ou non sequitur afirma es que de modo algum seguem se das evid ncias assumidas Em outras palavras todos estes campos pressup em uma aceita o subjacente de princ pios de l gica Por esta raz o toda investiga o racional depende de l gica da habilidade das pessoas em raciocinar corretamente a maior parte do tempo e quando fa
100. L gicas c TT Possibilidades Cube a A Cube a contradi o TT possibilidades Tet a v Cube a v Dodec a TW possibilidades Larger a b Analogamente tanto o conceito de TT possibilidade quanto o de TW possibilidade s o tentativas de tornar precisa a no o vaga de possibilidade l gica O diagrama acima mostra como a defini o de TW possibilidade muito restritiva Ela garante que tudo o que for TW poss vel ser logicamente poss vel no entanto ela incompleta pois n o consegue captar todas as possibilidades l gicas para a linguagem dos blocos Existem claramente senten as logicamente poss veis que n o s o TW poss veis ex Tet a v Cube a v Dodec a O diagrama tamb m mostra que a defini o de TT possibilidade muito permissiva Ela garante que todas as possibilidades l gicas s o TT poss veis no entanto admite como TT possibilidade senten as que n o reconhecemos como logicamente poss veis ex a a Note que como todas as TW necessidades s o TW possibilidades se f ssemos encadear os dois diagramas acima o diagrama de necessidade ficaria dentro do n vel mais interno do diagrama de possibilidade O diagrama geral seria como lt TT possibilidades gt lt Possibilidades L gicas gt lt TW possibilidades gt lt TW necessidades gt lt Necessidades l gicas gt lt Tautologias gt Prova e Necessida
101. L a partir destas mesmas premissas utilizando apenas as regras Booleanas 4 Nos passos restantes as senten as citadas como suporte para 2 deles s o contradit rias em virtude do significado do simbolo Quais s o estes passos Modifique a justificativa destes passos para a regra FOCon e verifique os Para derivar o 1 destas premissas voc precisa das regras da identidade Elim em um caso e Intro no outro 5 Verifique que os passos restantes n o podem ser justificado por nenhuma das seguintes regras Intro TautCon ou FOCon Troque a justificativa destes passos para a regra AnaCon e verifique os 6 Grave sua prova com o nome Proof Negation 2 EX Der Mei Ce O ear usos gor CE IC OO T1275 12 RREO EIS eee El 1 Ocorre com frequ ncia ao fazermos provas usando a regra vElim de querermos eliminar de fato um ou mais disjuntos porque eles se contradizem com outras hip teses A forma da regra vElim n o permite isso A prova que construiremos aqui mostra como contornar esta dificuldade Um conjunto de senten as TT contradit rio quando em uma tabela de verdade conjunta para todas as senten as n o existe nenhuma linha em que todas as senten as s o simultaneamente verdadeiras 2 z 3 qe Regras Booleanas s o as regras de introdu o e elimina o para os operadores A v e L 2 Com o programa Fitch abra o arquivo Negation 3 Usaremos a regra vElim e duas regras para o para provar P a partir das p
102. Larger a b v Larger a b 10 SameCol a b A SameRow a b 4 9 Depend ncias L gicas Use o programa Mundo de Tarski para abrir o arquivo Weiner s Sentences 1 Para cada uma das dez senten as neste arquivo construa uma tabela de verdade no programa Boole e indique se ela uma senten a TT possivel Grave suas tabelas com os nomes Table 4 9 x onde x o numero da senten a em quest o Use os resultados para preencher a primeira coluna da seguinte tabela Senten a TT possivel TW possivel N UJ ANA UI os N 00 No o 2 Na segunda coluna da tabela coloque SIM se voc acha que a sentenca e TW possivel ou seja se e possivel construir um mundo com o programa Mundo de Tarski em que a senten a seja verdadeira Caso considere que a senten a n o seja TW poss vel coloque N O na segunda coluna para ela Para cada senten a que voc considerar TW possivel construa de fato um mundo no qual ela seja verdadeira e grave este mundo com o nome World 4 9 x onde x o numero da senten a As tabelas de verdade que voc construiu anteriormente poder o ajud lo na constru o destes mundos Experimente 3 Existe alguma senten a que TT possivel mas n o TW possivel Explique por que isso pode acontecer Existe alguma senten a TW possivel mas n o TT possivel Exlplique por que n o 4 11 Este Dif cil Suponha que S seja uma tautologia construida a partir de tr s senten as
103. O para expressar nem P nem Q Este conectivo assim definido sozinho verofuncionalmente completo Para ver isso note que P pode ser expressa como PJ P que representa a afirma o nem P nem P Analogamente P AQ pode ser expressa como P 4 P 4 Q V Q que representa a afirma o nem n o P nem nao Q Assim em teoria poder amos usar apenas um conectivo verfofuncional e com ele expressar qualquer coisa que podemos expressar usando os nossos cinco conectivos atuais A V gt As Desvantagens da Economia H duas desvantagens em economizar nos conectivos Primeiro conforme j dissemos quanto menos conectivos utilizarmos mais dif cil ser de entender nossas senten as Mas ainda pior que isso que nossas provas se tornar o muito mais complicadas Por exemplo sempre expressarmos A em termos de e v uma simples aplica o da regra Alntro deveria ser substitu da por dois usos de Intro um uso de vintro e um uso de lntro veja o exerc cio 7 26 E por isso que n o estamos economizando nos conectivos LEMBRE SE Um conjunto de conectivos verofuncionalmente completo se tais conectivos nos permitirem expressar cada uma das fun es de verdade V rios conjuntos de conectivos incluindo os conectivos booleanos s o verofuncionalmente completos H em outros textos de l gica v rias nota es alternativas para os s mbolos conectivos verofuncionais O quadro a seguir resume as
104. OL e Cada constante individual deve nomear um objeto existente e Nenhuma constante individual pode nomear mais de um objeto e Um objeto pode ter mais de um nome ou mesmo nenhum nome Predicados Em FOL e Cada simbolo de predicado tem uma nica e fixa aridade um n mero que diz a voc quantos nomes ele necessita para formar uma senten a at mica e Cada predicado interpretado por uma propriedade ou rela o determin vel da mesma aridade que o predicado Senten as At micas Em FOL e Senten as at micas s o formadas colocando se um predicado de aridade n na frente de n nomes cercados por par nteses e separados por v rgulas e Senten as at micas tamb m s o constru das a partir do predicado de identidade usando nota o infixa os argumentos s o colocados em cada um dos lados do predicado e Aordem dos nomes crucial na forma o de senten as at micas S mbolos de Fun o Em uma linguagem com s mbolos de fun o e Termos complexos s o tipicamente formados colocando se um s mbolo de fun o de aridade n na frente de n termos simples ou complexos e Termos complexos s o usados exatamente como os nomes termos simples na constru o de senten as at micas e Em FOL assumimos que os termos complexos tamb m se referem a um e apenas um objeto Cap tulo 2 A L gica das Senten as At micas Validade de Argumentos e Consequ ncia L gica 1 Um argumento uma s rie de afir
105. OS LANGUAGE PROOF AND MODULO 2 LOGIC JON BARWISE amp JOHN ETCHEMENDY Traducao Resumida da 1 Parte 1 Traducao dos Exercicios dos Capitulos 1 a 8 2 Quest es Importantes Conceituais e Gerais 3 Todos as Senten as do programa Mundo de Tarski 4 Alguns Cabe alhos de Provas das Se es Experimente 5 Diagramas para Desenho de Mundos Todos os Exercicios da Parte Exerc cios do Cap tulo 1 Senten as At micas EXPOTIMENTS rated keo AAA A dod ed A oodd A 1 Esta na hora de testar se usando o Mundo de Tarski Neste exercicio voce usara o Mundo de Tarski para familiarizar se com as interpreta es das senten as at micas da linguagem de blocos Antes de come ar entretanto voc precisa aprender como iniciar o Mundo de Tarski e executar algumas opera es b sicas Leia as se es apropriadas do manual do usu rio que descreve o Mundo de Tarski antes de continuar 2 Inicie o Mundo de Tarski e abra os arquivos Wittgenstein s World Mundo de Wittgenstein e Wittgenstein s Sentences Senten as de Wittgenstein Voc vai encontr los na pasta de TW Exercice Files Nestes arquivos voc vera alguns blocos no mundo e uma lista de senten as at micas Nos acrescentamos coment rios a algumas das senten as Coment rios s o prefaciados por um ponto e virgula que diz para o Mundo de Tarski ignorar o resto da linha 3 Mova se pelas senten as usando as teclas de seta em seu teclado enquanto ava
106. Premissas Uma prova sem premissas mostra que sua conclus o uma verdade l gica Cap tulo 7 Condicionais Defini o da Implica o Material ou Condicional 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P gt Q tamb m 2 A senten a P Q falsa em apenas um caso se o antecedente P verdadeiro e o consequente Q falso Caso contr rio ela verdadeira Tradu es do Condicional 1 As seguintes constru es em portugu s s o todas traduzidas para P gt Q Se Pent o Q Qse P P apenas se Q Q dado que P ou Dado que P Q 2 A seguinte constru o traduzida para P gt Q e Qamenos que P ou A menos que P Q Interpretando Conseq ncia L gica via Implica o Material 1 Q uma consequ ncia l gica de P1 Pr se e somente se a senten a P1 A A Pn gt Q for uma verdade l gica Defini o da Biimplica o Material ou Bicondicional 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P O Q tamb m 2 Asenten a PQ verdadeira se e somente se P e Q t m o mesmo valor de verdade Insinua es Sociais Conversational Implicatures Se a asser o de uma senten a carrega consigo uma sugest o que pode ser cancelada sem contradi o por alguma elabora o adicional do falante ent o a sugest o apenas uma insinua o social mas n o parte do conte do da senten a original Completude Verofuncional 1 Um conjunto de conectivos verofuncionalmente completo se tai
107. Q e a subprova como um todo mas n o podemos citar itens individuais 10 internos subprova tais como R ou S Pois estes passos dependem de suposi es que n o est o mais dispon veis foram descartadas Uma vez que a subprova tenha sido finalizada elas n o s o mais acess veis Este foi o erro que cometemos no passo 8 da prova falaciosa que apresentamos anteriormente Citamos um passo interno a uma subprova que j tinha sido finalizada o passo 3 A senten a naquele passo B tinha sido provada com base na suposi o BA A uma suposi o que hav amos feito apenas temporariamente para resolver um dos casos de um argumento por casos A suposi o B A A n o esta mais em vigor no passo 8 e portanto n o pode ser utilizada neste ponto Esta proibi o n o nos impede de citar a partir do interior de uma subprova passos anteriores fora da subprova desde que n o ocorram no interior de outra subprova j terminada Por exemplo na prova esquem tica apresentada acima a justifica o de S poderia muito bem incluir o passo que cont m Q J a justifica o de T n o pode incluir o passo que cont m S Esta observa o se torna mais sugestiva quando voc est trabalhando em uma subprova de uma subprova Ainda n o vimos nenhum exemplo em que precis ssemos de subprovas dentro de subprovas mas tais exemplos s o bastante f ceis de encontrar Aqui est um em que provamos uma das dire es da primeira lei de DeMorgan PAG
108. Sentencesn Tente explicar por que cada sentenca par tem sempre o mesmo valor de verdade que a senten a impar que a precede 3 18 Equival ncias na Linguagem dos Blocos Na linguagem dos blocos usada no programa Mundo de Tarski ha um n mero de formas equivalentes de expressar alguns predicados Abra o arquivo Bernays Sentences Voc encontrar uma lista de senten as at micas onde todas as senten as pares est o em branco Em cada um destes espa os escreva uma senten a que equivalente senten a imediatamente acima mas n o use o predicado usado na senten a Ao fazer isso voc poder pressupor todos os fatos gerais que sabe sobre o programa Mundo de Tarski como por exemplo que os blocos t m apenas tr s formas tr s tamanhos Se suas respostas estiverem corretas as senten as pares ter o exatamente os mesmos valores de verdade das senten as impares imediatamente anteriores a elas em qualquer mundo Verifique se isso ocorre tamb m nos mundos Ackermann s World Bolzano s World Boole s World e Leibniz s World Grave o arquivo se senten as que voc modificou com o nome Sentences 3 18 3 19 Equival ncias em Portugu s H tambem formas equivalentes de expressar predicados em portugu s Para cada uma das seguintes senten as de FOL encontre uma senten a at mica em portugu s que expresse a mesma coisa Por exemplo a sentenca Man max A Married max poderia ser expressa em portugu s atrav s da senten a at mi
109. T para cada P1 Pn tamb m atribui T para Q 2 Se Q uma consequ ncia tautol gica de P1 Pn ent o O tamb m uma consequ ncia l gica de P1 Pn 3 Algumas consequ ncias l gicas n o s o consequ ncias tautol gicas exemplo a c consequ ncia l gica mas n o consequ ncia tautol gica de a b A b c Consequ ncia Tautol gica no Programa FITCH Verificar se uma senten a Q consequ ncia tautol gica de de P4 Pn um procedimento mec nico Se as senten as s o grandes pode requerer um monte de trabalho tedioso mas n o requer absolutamente nenhuma originalidade exatamente este tipo de tarefa em que os computadores s o bons Por causa disso constru mos um mecanismo no programa Fitch chamado TautCon O Mecanismo TautCon TautCon similar ao mecanismo AnaCon com a diferen a que ele verifica se uma determinada senten a consequ ncia tautol gica das senten as citadas como suporte TautCon assim como AnaCon n o de fato uma regra de infer ncia mas til para rapidamente testar se uma senten a se segue tautologicamente de outras Fa a o Tente Isto 2 da Lista de Exerc cios 4 para experimentar a utiliza o do mecanismo TautCon no programa Fitch Os Mecanismos TautCon FOCon e AnaCon TautCon FOCon e AnaCon s o tr s mecanismos que o programa Fitch proporciona para verificarmos a rela o de consequ ncia l gica 15 TautCon o mais fraco deles Dada uma s
110. Tente Isso 4 da Lista 5 6 Par nteses e as Regras da Conjun o Ao aplicar a regra de introdu o da conjun o voc precisa ser cuidadoso com os par nteses Se um dos conjuntos ele mesmo uma conjun o ent o claro que n o h necessidade de coloc lo entre par nteses antes de formar a conjun o maior a menos que voc queira Por exemplo as duas seguintes aplica es da regra Alntro s o corretas A primeira delas a que o mecanismo default de Fitch lhe daria JE A A B Correto D LADA A Intro 1 2 le A A B Correto o AA AE A Intro 1 2 No entanto se um dos conjuntos ele pr prio uma disjun o ou alguma senten a complexa para evitar ambiguidade voc deve coloc lo entre par nteses na senten a resultante Assim o primeiro exemplo abaixo correto mas o segundo est errado uma vez que a senten a final amb gua 1 AVB Correto D 3 AV BJAC Intro 1 2 1 AVB Errado 9 amp O AVBAC A Intro 1 2 2 Regras para a Disjun o v Est bem sabemos que as regras da conjun o d o t dio de t o simples Mas as da disjun o n o Especialmente a regra de elimina o da disjun o Introdu o da Disjun o vintro A regra de introdu o da disjun o permite a voc inferir a partir de uma sentenca Pi qualquer disjun o que tenha Pi entre os seus disjuntos constituintes digamos P4 v v Pi v v Pn Sua forma esquem tica P DI PEM OPEM E Va
111. Tet d A FrontOf a d Cube c Cube e SameRow c e VX Vy x y 2 SameCol x y There is only one party Between b d f A Between b e f VX Vy x y gt SameCol x y Large d Large e Notice that the negation sign applies to the whole expression that follows it because of the parentheses YX avy x 4 y gt SameCol x y vx Vy x 4 y gt SameCol x y Larger e f a Larger b f sentencas de Ludwig SameSize d c Large c 1 vx Large x 4BackOf c e A BackOf e d Notice that this sentence is a conjunction of two sentences each starting with a negation sign 2 Large a Large b Large c 3 3y Small y Small f A Small a 4 Small a v Small b v Small c Adjoins b f A SameRow b f This one is a bit tricky It is a negation of a conjunction the first conjunct starts with a negation but the second does not Sentencas Mixed misturadas 1 vx 3y SameRow x y 2 3y vx SameRow x y Senten as de Montague 1 vx Cube x gt vx Cube x gt x is to the left of every tet 2 vx Cube x A Small x gt vx Cube x a Small x gt x is in back of a large cube 3x Cube x A x is in front of every tet 3x Cube x Large x A 3x Cube x Large x x is in front of a small cube vx X is larger than everything Vx Cube x Large x vx Cube x x is
112. a se segue Deveria se seguir 4 Quando achar que j entendeu os usos da regra de elimina o da conjun o feche o arquivo menu File Close mas n o grave as modifica es que fez no passo 3 EXDEFUMENCE Prom ke Kondo Be epus et E egere rra EL OE ik rk ro EO Es get 1 Abra o arquivo Conjunction 4 Posicione o cursor no primeiro passo em branco da prova logo em seguida das premissas Note que este passo tem uma regra especificada e tambem uma sentenca de suporte a esta regra citada Verifique este passo pressionando o botao Check Step para ver qual e a sentenca default que o programa Fitch gera 2 Em seguida posicione o cursor no passo seguinte tente predizer qual a senten a default que ser preenchida e verifique o passo Os dois ltimos passos apresentam diferentes resultados porque as suas senten as de suporte foram citadas em ordens diferentes 3 Quando tiver verificado todos os passos grave sua prova com o nome Proof Conjunction 4 4 Sinta se a vontade para experimentar um pouco mais com os valores defaults das regras Assim voc perceber melhor em que ocasi es seu uso sera til xem sman Gedera opaj DR a a A gt os Sia 1 Abra o arquivo Disjunction 1 Voce sera solicitado a provar a sentenca Medium c v Large c a partir da sentenca Cube c A Large c v Medium c Vamos executar passo a passo a construcao desta prova que ao final tera o seguinte aspecto 1 Cube c A Large c V M
113. a Tet a 3 Em seguida clique em Rule para abrir o menu de regras escolha Elimination Rules e selecione A 4 Se voc tentar verificar este passo no bot o check step voc notar que a checagem falhara porque voc ainda n o citou as senten as de suporte a este passo Neste exemplo voc precisa citar apenas a premissa como suporte desta aplica o de regra Fa a isso clicando na premissa e verifique este passo clicando novamente no bot o check step 5 Voc deve agora ser capaz de provar similarmente cada uma das outras senten as cada uma delas atrav s de uma nica aplica o da regra AElim Quando voc provar estas senten as verifique suas provas clicando no bot o Verify Proof e grave seu trabalho com o nome Proof Conjunction 1 Experimente Last rra ES don a o l es e A de a da vla EE ae a ee eee ee 1 Abra o arquivo Conjunction 2 Vamos provar as duas senten as metas utilizando as regras de introdu o e elimina o da conjun o 2 A primeira meta e Medium d A Large c Adicione um passo a prova ctrl A e entre esta senten a Lembre se que voc pode copiar e colar a senten a 3 Acima do passo que voc acabou de criar adicione 2 passos mais ctrl B e entre cada uma das partes dessa conjun o em cada passo adicionado um deles ter Medium d e o outro Large c Se voc conseguir provar estes dois passos a conclus o se seguir por Alntro Esco
114. a a Disjun o v Elimina o da Dijsuncao v Elim Introdu o da Disjuncao v Intro Regras Formais para a Nega o Elimina o da Nega o Elim Introdu o da Nega o Intro Subprovas e Ao justificar um passo em uma subprova voc pode citar qualquer passo anterior contido na prova principal ou em qualquer subprova cuja suposi o ainda esteja em vigor Voc n o pode jamais citar um passo individual interno a uma subprova que j tenha sido finalizada e Fitch lhe imp e estas restri es automaticamente ao n o permitir a cita o de passos individuais internos a subprovas que j tenham sido finalizadas M todo para Avaliar a Validade de Argumentos fazer provas Ao avaliar a validade de um argumento use o seguinte m todo Entenda o que as senten as est o dizendo Decida se voc acha que a conclus o se segue das premissas ou n o Se voc acha que ela n o se segue ou n o tem certeza tente encontrar um contraexemplo Se voc acha que ela se segue tente fazer uma prova informal Se o exerc cio pede uma prova formal use a prova informal para gui lo na sua busca por uma prova formal OY GU dos en SION IEA Ao fazer provas de consequ ncia tanto formais quanto informais n o se esque a da t tica de trabalhar de tr s para frente 7 Ao trabalhar de tras para frente sempre verifique se suas metas intermedi rias s o consequ ncia da informa o dispon vel Provas sem
115. a com uma das formas abaixo P Q AR P Q AR A vers o de FOL que estamos usando neste livro n o t o exigente Em primeiro lugar ela permite que voc fa a conjun es de qualquer n mero de senten as sem utilizar par nteses desde que o resultado n o seja amb guo e o mesmo vale para disjun es Em segundo lugar ela permite que voc deixe de fora os par nteses mais externos de uma senten a uma vez que eles n o servem a nenhum prop sito Voc no entanto pode adicionar par nteses extras o quanto quiser para facilitar a leitura das senten as LEMBRE SE Os par nteses devem ser utilizados sempre que possa haver ambiguidade caso sejam omitidos Na pr tica isto significa que conjun es e disjun es precisam ser envolvidas por par nteses sempre que estiverem combinadas com outros conectivos Formas Equivalentes de Dizer as Coisas Em qualquer linguagem h muitas formas de dizer as mesmas coisas FOL n o uma exce o a esta regra Por exemplo a linguagem dos blocos n o perderia seu poder expressivo se retir ssemos dela o predicado RightOf pois tudo o que podemos dizer atrav s do predicado RightOf pode ser dito de outra forma com o predicado LeftOf As senten as RightOf a b e LeftOf b a por exemplo representam duas formas diferentes de dizer a mesma coisa na linguagem de blocos As senten as complexas PAQ e QAP tamb m expressam a mesma coisa em qualquer linguagem de primeira o
116. a mesma linha coluna ou diagonal 7 Quando voc terminar n o salve as altera es que fez nos arquivos Wittgenstein iga e ETT SE a LP Al a EAIA O 1 1 N o deixe de fazer a se o Experimente acima Os exerc cios destas se es s o em geral f ceis mas cruciais Neste caso a id ia voc se familiarizar com as senten as at micas da linguagem dos blocos Se estiver usando o computador siga rigorosamente as instru es acima Caso esteja fazendo os exerc cios manualmente abra as apostilas de mundos e senten as nas p ginas do Mundo de Wittgenstein e das Senten as de Wittgenstein e responda quais destas senten as que s o verdadeiras neste mundo 1 2 Copiando algumas senten as at micas Este exercicio lhe dar alguma pr tica com a janela Keyboard do programa Mundo do Tarski como tamb m com a sintaxe de senten as at micas Na lista abaixo h apenas senten as at micas de nossa linguagem de blocos Inicie uma nova janela de senten as e insira nela a lista abaixo Use o bot o Verify em cada formula depois que voc inseri la para confirmar que uma sentenca Se voc cometer um erro corrija o antes de continuar Certifique se de utilizar o comando Add Sentence entre as senten as e n o a tecla ENTER Se voc fizer isto corretamente as senten as ser o numeradas e separadas por tra os horizontais 1 Tet a 6 Between a b c 2 Medium a 7 a d 3 Dodec b 8 Larger a b 4 Cube c 9 Smaller a c
117. a possivel grave seu trabalho com o nome Proof Taut Con 2 EXERCICIOS ssa at aa a a CLEAR ELES LA AE A Para cada um dos argumentos a seguir decida se a conclus o uma conseg ncia tautol gica das premissas Se for fa a uma prova que estabele a a conclus o utilizando uma ou mais aplica es de TautCon N o cite mais de duas senten as em cada aplica o de TautCon Se a conclus o n o for consequ ncia das premissas fa a um contraexemplo no Mundo de Tarski mostrando que o argumento n o v lido Lembre se que como AnaCon mais forte do que TautCon se voc colocar em todos os passos AnaCon como justificativa a verifica o de todos eles ser correta No entanto o que queremos aqui que voc identifique qual a regra mais fraca de todas que justifica cada um dos passos Assim onde for poss vel justificar com TautCon esta regra que voc deve usar 2 Lembre se que um contra exemplo deve ser apresentado atrav s de dois arquivos do programa Mundo de Tarski um arquivo de Mundo e um arquivo de Senten as No arquivo de senten as devem estar todas as senten as do argumento no arquivo de Mundo deve ter um mundo em que todas as premissas do argumento s o verdadeiras e a conclus o falsa 4 4 26 Se voc pulou as se es Experimente 2 e 3 para que voc consiga fazer os pr ximos exercicios 4 27 Cube a V Cube b Dodec c V Dodec d Cube a V Dodec c Cube b
118. a prova Esta utilidade se tornar evidente quando estivermos fazendo provas formalizadas no cap tulo seguinte e nos pr ximos LEMBRE SE A prova de uma contradi o L a partir das premissas P4 Ph sem suposi es adicionais mostra que estas premissas s o inconsistentes Um argumento com premissas inconsistentes sempre v lido mas mais importante ainda sempre incorreto Cap tulo 6 Provas Formais e L gica Booleana Dedu o Natural O sistema dedutivo F que estamos utilizando conhecido como um sistema de Dedu o Natural Pretende se que tais sistemas sejam modelos para os princ pios v lidos de infer ncia usados nas provas informais Neste cap tulo apresentaremos as regras de infer ncia de F que correspondem aos princ pios de infer ncia booleanos que discutimos no cap tulo anterior Voc reconhecer com facilidade as regras aqui apresentadas como sendo as contrapartes formais daqueles princ pios de infer ncia Apesar de tentarem modelar nossas infer ncias informais sistemas de dedu o natural como o sistema F reproduzem estas infer ncias em vers es relativamente longas e um pouco exageradas Por exemplo dissemos que ao fazer uma prova informal voc sempre pode pressupor passos que voc e sua audi ncia saibam que s o logicamente v lidos Assim se uma determinada equival ncia l gica n o o objeto em quest o de uma prova voc pode simplesmente aplic la em um passo nico de uma pr
119. acima fica assim disposto no formato de Fitch Todos os atores ricos s o bons atores Brad Pitt um ator rico Brad Pitt um bom ator As senten as acima da linha horizontal chamada de barra Fitch s o as premissas e a senten a abaixo a conclus o LEMBRE SE Um argumento uma s rie de afirma es na qual uma chamada de conclus o tomada como consequ ncia das outras cnamadas de premissas Um argumento v lido se a conclus o for verdadeira em qualquer circunst ncia na qual as premissas s o verdadeiras Diremos que a conclus o de um argumento logicamente valido uma consequ ncia l gica de suas premissas Um argumento correto se for v lido e suas premissas forem todas verdadeiras 2 2 M todos de Prova Apesar de sua clareza nossa descri o acima da rela o de consequ ncia l gica n o operacional Ou seja ela n o nos indica como mostrar que uma dada conclus o S se segue ou n o se segue de algumas premissas P Q R Os exemplos que vimos eram bastante bvios mas nem sempre isto ocorre Neste curso voc aprender os m todos fundamentais para comprovar quando afirma es se seguem de outras afirma es e quando elas n o se seguem Ou seja quando a conclus o de um argumento consequ ncia l gica de suas premissas e quando ela n o A t cnica fundamental para mostrar que uma determinada conclus o n o se segue de algumas premissas encontrar uma circunst ncia poss
120. adeiras peixes de aqu rio s o sabidamente mortais Assim no segundo argumento a conclus o n o consequ ncia l gica das premissas Argumentos Logicamente V lidos Grosseiramente falando um argumento logicamente v lido se e somente se sob a hip tese de que suas premissas s o verdadeiras sua conclus o obrigatoriamente verdadeira Note que isto n o significa que as premissas de um argumento t m que ser verdadeiras para que ele seja v lido Nosso primeiro argumento continuaria sendo um argumento v lido mesmo se descobrissemos que S crates ao inv s de ser humano n o passasse de um personagem criado por Plat o Mesmo nesta hip tese continuaria sendo imposs vel s premissas serem verdadeiras e a conclus o falsa Neste caso ainda que o argumento seja logicamente v lido n o poder amos garantir que sua conclus o verdadeira uma vez que ele tem uma premissa falsa Um outro argumento logicamente v lido que envolve a linguagem dos blocos o seguinte Suponha que lhe digam que Cube c e que c b Ent o disso se segue que Cube b Note que n o h possibilidade de a conclus o ser falsa na hip tese das premissas serem verdadeiras Podemos reconhecer este fato mesmo sem sabermos se as premissas s o de fato verdadeiras O que garante a validade do argumento nossa capacidade de reconhecer sem sombra de d vidas que se as premissas forem verdadeiras a conclus o tamb m ser Argumentos
121. aire Max o pai de seu filho O filho mais velho de John e Nancy mais novo que o filho mais velho de Jon e Mary Ellen Ui d amp tw Na 1 19 Quais das seguintes senten as at micas da linguagem de primeira ordem da teoria dos conjuntos s o verdadeiras e quais s o falsas Considere a como o nome do n mero 2 b como o nome do conjunto 2 4 6 c como o nome do n mero 6 e d como o nome do conjunto 12 7 2 4 61 1 aec 4 bed 2 aed 5 ced 3 bec 6 ceb 1 20 Mostre que as seguintes express es s o termos na linguagem de primeira ordem da aritm tica Fa a isso explicando quais as clausas da defini o se aplicam e em qual ordem A quais n meros cada uma das senten as se refere 1 0 0 2 0 1x0 3 1 1 1 1 x 1 1 4 1x1 x 1 x 1 1 21 Encontre uma forma de expressar o fato de que tr s menor do que quatro em uma sentenca da linguagem de primeira ordem para a aritm tica 1 22 Mostre que h infinitamente muitos termos da linguagem da aritm tica de primeira ordem que se referem ao n mero um Exerc cios do Cap tulo 2 A L gica das Senten as At micas ExercicioS se uoce de DG Br DE SOS gundo GG de GS RE tec ee eds DE M 2 1 Validade e Corre o Classificando argumentos Abra o arquivo Socrates Sentences Senten as de Socrates Este arquivo cont m oito argumentos separados por linhas tracejadas com r tulos indicando as premissas e conclus es de cada um dele
122. al as senten as se referem A corre o de um argumento por outro lado depende de ambos do argumento e do mundo 2 2 Classificando Argumentos Para cada um dos argumentos abaixo identifique as premissas e conclus es colocando o no Formato Fitch Ent o diga se o argumento valido ou n o Para os primeiros cinco argumentos tambem d sua opini o sobre se eles s o corretos Lembre se que apenas argumentos validos podem ser corretos Se algumas de suas avalia es dos argumentos depender de interpreta es especificas sobre os predicados explique estas depend ncias 1 Qualquer um que ganha um Oscar famoso Meryl Streep ganhou um Oscar Ent o Meryl Streep famosa Harrison Ford n o famoso Afinal de contas atores que ganham Oscar s o famosos e ele nunca ganhou um O direito a portar armas a liberdade mais importante Charlton Heston disse isso e ele jamais est errado Al Gore deve ser desonesto Afinal de contas ele um pol tico e dificilmente qualquer pol tico honesto Mark Twain morou em Hannibal no Missouri pois San Clemens nasceu l e Mark Twain Sam Clemens Ningu m com menos de 21 anos comprou cerveja aqui a noite passada oficial Afinal est vamos fechados ent o ningu m comprou nada aqui noite passada Claire deve morar na mesma rua que Laura uma vez que ela mora na mesma rua que Max e ele e Laura moram na mesma rua 2 3 Para cada um dos argumentos abaixo identifique
123. alguma subprova para mostrar que a suposi o da subprova leva a uma contradi o O nico caso em que voc ser capaz de derivar L em sua prova principal quando as premissas do argumento que est querendo provar forem elas pr prias inconsistentes Provas Formais de Inconsist ncia De fato assim que fazemos uma prova formal de que um determinado conjunto de premissas inconsistente Uma prova formal de inconsist ncia portanto uma prova que deriva L em seu nivel principal Fa a o Tente Isto 7 da Lista de Exerc cios 5 6 para praticar a aplica o das regras LIntro e Intro Nos referimos a prova principal ou n vel principal em oposi o a subprova Prova principal a prova mais externa que cont m subprovas O simbolo L funciona exatamente da mesma forma que qualquer outra sentenca em uma prova Em particular se voc est raciocinando por casos e obt m em cada uma de suas subprovas ent o voc pode utilizar vElim para derivar 1 em sua prova principal Veja como exemplo uma prova que mostra que as premissas A v B A e B s o inconsistentes LAV B 2 mA 3 B 4 i903 1 Intro 4 2 6 B ale 1 Intro 6 3 8 V Elim 1 4 5 6 7 O fato importante a ser notado aqui o passo 8 onde aplicamos vElim para extrair o simbolo do absurdo de nossas duas subprovas e coloc lo na prova principal Este passo est claramente justificado uma vez que mostramos que assumin
124. amente S como uma premissa e mostrar que isso leva a uma contradi o das premissas P1 Pn juntamente com S segue se uma contradi o POR QUE Por que a prova de uma contradi o a partir de S P1 P demonstra que S consequ ncia l gica de P1 Pr Pense com calma Ao chegar a uma contradi o voc provou que as senten as S P4 Pn n o podem ser todas elas simultaneamente verdadeiras pois caso sejam a contradi o tamb m ser verdadeira e isso n o pode ocorrer pois violaria algum princ pio l gico Portanto em qualquer circunst ncia na qual P4 Pr sejam verdadeiras S deve ser falsa E isso o mesmo que dizer que sempre que P P forem todas verdadeiras S deve tamb m ser verdadeira Ou seja S consequ ncia l gica de P1 Pn Vejamos um exemplo simples assuma como premissas Cube c v Dodec c e Tet b e vamos provar b c PROVA Para provar b c vamos mostrar que admitir b c como premissa leva a uma contradi o Da primeira premissa sabemos que ou Cube c ou Dodec c verdadeira Logo assumindo b c sabemos que ou Cube b ou Dodec b verdadeira por Elim Ent o caso valha Cube b temos uma contradi o com a segunda premissa que afirma Tet b Analogamente caso valha Dodec b tamb m temos uma contradi o com a segunda premissa Tet b Assim a ado o da hip tese b c leva inevitavelmente a uma contradi o Portanto temos uma prova
125. anas N s especificamos uma combina o Booleana de palavras como um crit rio para encontrar documentos p ginas web que contenham ou n o contenham aquelas palavras Uma outra generaliza o das opera es Booleanas se refere a objetos espaciais Na Figura 3 1 abaixo mostramos quatro formas de combinar um cilindro vertical A com um cilindro horizontal B de modo a formar um novo solido Escreva uma explica o intuitiva sobre como os conectivos Booleanos est o sendo aplicados neste exemplo da figura Ent o descreva como deveria ser o objeto A A B e explique porque n s n o apresentamos a voc uma figura deste s lido Figura 3 1 combina es Booleanas dos s lidos A v B AA HB A AB e A AB Exerc cios do Cap tulo 4 A L gica dos Conectivos Booleanos 0 NNN ies salta sl aka js ES AD mk A a ale oc Sr oj 1 Abra o programa Boole Vamos usa lo para construir a tabela de verdade para a sentenca A A A v B C A primeira coisa a fazer e entrar a sentenca na parte superior direita da tabela Para fazer isso use a barra de ferramentas para entrar os simbolos logicos e o teclado para digitar as letras A Be C Voc tamb m pode digitar os simbolos a partir do teclado utilizando as teclas amp para A para ve para Sempre que entrar os simbolos pelo teclado separe os das letras e par nteses com espa os Se a senten a digitada for bem formada o pequeno 1 que aparece acima da senten a se
126. ar Uma vez que n mpar podemos escrev lo da forma 2m 1 Mas ent o como j mostramos n 2 2m2 2m 1 que tamb m impar Finalmente provaremos que 1 gt 3 Se n par pode ser expresso como 2m Ent o n 2m 2 4m que divis vel por 4 Isto completa o ciclo mostrando que as tr s condi es s o de fato equivalentes LEMBRE SE 1 M todo da Prova Condicional para provar P gt Q assuma P e prove Q 2 Para provar um n mero de bicondicionais tente arranj los em um ciclo de condicionais Regras Formais para gt e Vamos agora estudar os an logos formais dos m todos de prova envolvendo o condicional e o bicondicional Novamente vamos incorporar no Sistema F regras de introdu o e elimina o para cada conectivo Regras para o Condicional implica o A regra de modus ponens ou elimina o do condicional gt Elim facilmente formalizada Elimina o do Condicional Elim Se voc provou ambos P Q e P ent o voc pode asserir Q citando os dois passos anteriores como justificativa O seguinte esquema simboliza esta regra de Introdu o do Condicional intro A regra de introdu o correspondente a contrapartida formal do m todo da prova condicional Ela vai exigir a utiliza o de subprovas Para provar uma senten a da forma P gt Q iniciamos uma subprova com P como suposi o e tentamos 4 provar Q Se conseguirmos fechamos a subprova e conclu
127. ar uma tal subprova em Fitch voc precisa apenas selecionar New Subproof no menu Proof quando j estiver dentro da primeira subprova 11 LEMBRE SE e Ao justificar um passo em uma subprova voc pode citar qualquer passo anterior contido na prova principal ou em qualquer subprova cuja suposi o ainda esteja em vigor Voc n o pode jamais citar um passo individual interno a uma subprova que j tenha sido finalizada Fitch lhe imp e estas restri es automaticamente ao n o permitir a cita o de passos individuais internos a subprovas que j tenham sido finalizadas 5 Estrat gias e T ticas Alguns estudantes tentam construir provas formais tentando cegamente ao acaso juntar sequ ncias de passos permitidos pelas regras de introdu o e elimina o Um processo n o mais racional do que jogar paci ncia Esta abordagem pode at ocasionalmente funcionar mas em geral falha ou de qualquer modo torna mais dif cil a tarefa de construir uma prova Nesta se o apresentaremos alguns conselhos sobre como agir quando estiver tentando fazer uma prova e a solu o n o estiver pulando diante de seus olhos Os conselhos consistem em duas estrat gias importantes e uma m xima essencial M xima Essencial Tenha sempre bastante claro em sua mente o significado das senten as de sua prova Ao prestar aten o no significado das senten as com que est trabalhando voc evitar MUITAS armadilhas entre elas a de te
128. ara as ci ncias mas para virtualmente todos os aspectos da vida di ria Uma de nossas maiores preocupa es neste livro foi examinar esta no o de consequ ncia l gica conforme ela se aplica especificamente linguagem FOL Mas ao fazer isso n s aprenderemos tamb m muito sobre a rela o de consequ ncia l gica nas linguagens naturais Nosso interesse principal ser aprender como reconhecer quando uma afirma o espec fica se segue logicamente de outras e reciprocamente quando ela n o se segue Esta uma habilidade extremamente valiosa mesmo se voc nunca tenha oportunidade de utilizar FOL outra vez depois deste curso Muito tempo de nossas vidas gasto tentando convencer outras pessoas de certas coisas ou sendo convencido de certas coisas por outras pessoas independentemente se o assunto infla o desemprego que tipo de carro comprar ou como aproveitar uma noite A habilidade de distinguir racioc nio bom de ruim ir ajud lo a reconhecer quando seus pr prios argumentos poderiam ser fortalecidos ou quando os argumentos de outros deveriam ser rejeitados a despeito de sua plausibilidade superficial N o sempre bvio quando uma afirma o consequ ncia l gica de outras mas m todos poderosos t m sido desenvolvidos para tratar deste problema pelo menos para a linguagem FOL Neste livro exploraremos o m todo das provas como podemos provar que uma afirma o consequ ncia l gica de outra e tamb m
129. arecer nas senten as at micas S o os s mbolos de fun o Os s mbolos de fun o nos permitem construir termos do tipo dos nomes a partir de nomes Eles nos permitem expressar usando senten as at micas afirma es complexas que n o poderiam ser t o bem expressas utilizando apenas nomes e predicados Os principais exemplos do portugu s s o as frases nominais Al m de nomes como Max e Claire as frases nominais incluem express es como O pai de Max A m e de Claire Toda garota que conhece Max Nenhum garoto que conhe a Claire Algu m e assim por diante Cada um destes exemplos quando combinados com uma frase verbal singular tal como gosta de pipoca sem manteiga forma uma senten a diferente A m e de Claire gosta de pipoca sem manteiga Nenhum garoto que conhe a Claire gosta de pipoca sem manteiga Estas s o duas senten as distintas com propriedades l gicas distintas em que duas frases nominais diferentes ambas envolvendo Claire s o combinadas com a mesma frase verbal Elas t m propriedades l gicas distintas pois a primeira senten a afirma que um indiv duo espec fico gosta de pipoca sem manteiga J da segunda senten a n o podemos tirar esta conclus o Termos Devido a suas propriedades l gicas diferentes as frases nominais s o tratadas diferentemente em FOL Aquelas que como A m e de Claire intuitivamente se referem a um indiv duo s o chamadas de termos e se
130. artir das premissas P4 P que utiliza apenas as regras de introdu o e elimina o para v gt e Ll Corre o de Fr Se S n o uma consequ ncia tautol gica de Pa Pn ent o nao existe prova de S a partir das premissas P4 Pn que utiliza apenas as regras de introdu o e elimina o para v gt e Ll Note que os itens 1 e 2 acima afirmam que S consequ ncia tautol gica de Pa Pr se e somente se existe uma prova em Fr de S a partir de Pa Pn 10 Todos os Mundos do Programa Mundo de Tarski Todos os Mundos Mundo de Ackermann Ackermann s World Mundo de Anderson primeiro Anderson s First World Mundo de Anderson segundo Anderson s First World Mundo de Bolzano Bolzano s World Mundo de Boole Boole s World Mundo de Cantor Cantor s World Mundo de Carroll Carroll s World Mundo de Claire Claire s World Mundo de Cooper Cooper s World Mundo de Edgar Edgar s World Mundo de Finsler Finsler s World Mundo Game Game s World Mundo de G del Godel s World Mundo de Henkin Henkin s World Mundo de Kleene Kleene s World Mundo de K nig Konig s World Mundo de Leibniz Leibniz s World Mundo de Lestrade Lestrade s World Mundo de Maigret Maigret s World Mundo de Malcev Malcev s World Mundo de Mary
131. as premissas e P forem verdadeiras Q tamb m ser Vejamos um exemplo mais interessante que utiliza tanto a prova condicional quanto a prova por contradi o Provaremos que Par n2 gt Par n PROVA O m todo da prova condicional nos permite fazer esta prova assumindo a suposi o de que Par n e provando a partir disso que Par n Ent o assuma que n par Para provar que n par usaremos o m todo da prova por contradi o Assumiremos ent o que n n o par ou seja que impar e mostraremos que isso leva a uma contradi o Se n impar podemos express lo como 2m 1 para algum m 1 Temos ent o n 2m 1 n 2m 1 4m 4m 1 2 2m2 2m 1 Mas isso mostra que n impar contradizendo nossa primeira suposic o Esta contradic o mostra que n n o impar ou seja que par Portanto pelo m todo da prova condicional provamos que Par n2 gt Par n Todo n mero que pode ser expresso pela forma 2m 1 n o divis vel por 2 Portanto todo n mero mpar pode ser expresso desta forma para algum m 2 Voc se perdeu tentando entender esta prova Ela de fato tem uma estrutura bastante complicada N s primeiramente assumimos Par n2 tendo em vista o m todo da prova condicional Depois assumimos Par n tendo em vista provar Par n pelo m todo da prova indireta por absurdo Em seguida obtivemos Par n2 que contradiz nossa primeira suposi o Provas deste tipo s o
132. as premissas e conclus es colocando o no formato Fitch e decida se o argumento v lido Se sua avalia o depender de interpreta es particulares dos predicados explique estas depend ncias 1 Muitos dos estudantes do curso de cinema participam de testes para filmes Consequentemente deve haver muitos estudantes no curso de cinema 2 H poucos estudantes no curso de cinema mas muitos deles participam de testes para filmes Ent o h muitos estudantes no curso de cinema 3 H muitos estudantes no curso de cinema Afinal de contas muitos estudantes participam de testes para filmes e apenas estudantes no curso de cinema participam destes testes 4 H trinta estudantes na minha disciplina de l gica Alguns dos estudantes entregaram hoje seus trabalhos a tempo A maioria dos estudantes foi a festa ontem a noite Ent o algum estudante que foi a festa conseguiu entregar o trabalho a tempo 5 H trinta estudantes na minha disciplina de l gica Algum estudante que foi a festa ontem a noite deve ter entregado o trabalho a tempo Pois alguns estudantes entregaram seus trabalhos a tempo e todos eles foram festa 6 H trinta estudantes em minha disciplina de l gica A maioria dos estudantes entregou o trabalho a tempo hoje A maioria dos estudantes foi a festa ontem noite Ent o algum estudante que foi a festa entregou o trabalho a tempo 2 4 Validade e Verdade Pode um argumento v lido ter a premissas falsas
133. as t m as mesmas condi es de verdade Mas esta no o de equival ncia l gica da mesma forma que a no o de necessidade l gica um tanto vaga Podemos no entanto como fizemos anteriormente introduzir conceitos precisos que se aproximam desta no o intuitiva e nos ajudam a entend la melhor Um destes conceitos o de equival ncia tautol gica Equival ncia Tautol gica Duas senten as s o tautologicamente equivalentes quando elas s o equivalentes em virtude apenas dos significados de seus conectivos verofuncionais Como seria de se esperar podemos verificar equival ncia tautol gica utilizando o m todo das tabelas de verdade Tabelas de Verdade Conjuntas Suponha que queiramos verificar se duas senten as S e S s o tautologicamente equivalentes O que fazemos construir uma nica tabela de verdade em que na coluna de refer ncia est o todas as senten as at micas que ocorrem nas duas senten as originais S e S A direita das colunas de refer ncia colocamos estas duas senten as separadas por uma linha vertical e preenchemos os valores de verdade abaixo de seus conectivos da forma usual Chamamos a isto de tabela de verdade conjunta para as senten as S e S Com a tabela preenchida comparamos a coluna sob o conectivo principal de S com a coluna sob o conectivo principal de S Se estas colunas forem id nticas ent o sabemos que as condi es de verdade destas duas senten as s o id nticas e d
134. asa ent o Claire est na biblioteca por Home max Library claire Nesta disciplina sempre traduziremos se ent o usando o s mbolo mas h de fato muitos usos desta express o no portugu s que n o s o bem traduzidos pela implica o material Considere por exemplo a senten a Se Max estivesse em casa ent o Miau tamb m deveria estar Esta senten a pode ser falsa mesmo se Max n o est em casa Basta supor que quem a proferiu pensou erroneamente que Miau estivesse com Max quando na verdade Miau est com Claire no veterin rio Mesmo com Max fora de casa sob esta circunst ncia a senten a falsa pois Miau n o estava com Max ent o n o verdade que se Max estivesse em casa Miau tamb m deveria estar Mas a senten a na linguagem de primeira ordem FOL Home max gt Home miau automaticamente verdadeira se Max n o est em casa Basta ver a tabela de verdade J vimos que o conectivo porque n o uma fun o de verdade verofuncional uma vez que ele expressa uma conex o causal entre o antecedente e o consequente A constru o em portugu s se ent o tamb m pode expressar um tipo de conex o causal entre antecedente e consequente isso que parece estar ocorrendo no exemplo acima Como consequ ncia muitos usos de se ent o em portugu s simplesmente n o s o verofuncionais A verdade da senten a completa nestes casos depende de algo mais do que apenas a
135. aso haja alguma Fa a o Tente Isto 3 da lista de exerc cios 3 para testar por si mesmo como o jogo funciona com a disjun o LEMBRE SE 5 Se P eQ s o senten as de FOL ent o Pv Q tamb m 6 A sentenca P v O verdadeira se e somente se P verdadeira ou Q verdadeira ou ambas s o verdadeiras A tabela abaixo resume as regras do jogo de Henkin Hintikka para os conectivos A e v Escolher uma das senten as P ou Q que seja verdadeira qualquer que seja NIN Substituir P por P e trocar o compromisso Ambig idade e Par nteses A sentenca PAQ Escolher uma das sentencas P ou Q que seja falsa Max esta em casa ou Claire esta em casa e Carl esta feliz pode ser interpretada de duas formas bem diferentes Em uma delas a sentenca afirma que Ou Claire est em casa e Carl est feliz ou max est em casa Outra interpreta o para a senten a seria Max ou Claire est o em casa e Carl est feliz Considere a situa o circunst ncia em que Max est em casa e Carl est infeliz Nesta circunst ncia a primeira interpreta o da senten a verdadeira e a segunda falsa Voc percebe isso Este tipo de ambiguidade evitado em FOL atrav s da utiliza o dos par nteses Assim em FOL n o h uma senten a com dupla interpreta o mas duas senten as diferentes Home max v Home claire A Happy carl Home max v Home claire A Happy carl Os par nteses na primeira indicam que a
136. b a Para podermos aplicar a regra Elim ter amos que ter uma igualdade a b mas temos b a Como resolver este problema simples Em primeiro lugar j vimos que a identidade sim trica ou seja se a b claro que b a Em segundo lugar vimos acima uma prova formal deste princ pio Logo para construir a prova que queremos temos primeiramente que repetir a prova da simetria da identidade obtendo a ba partir de b a e em seguida aplicar a regra de Elim prova ficaria como 1 SameRow a a 2 b a 3 b b Intro 4 a b Elim 3 2 5 SameRow b a Elim 1 4 Este exemplo mostra muito bem como os sistemas formais s o r gidos e muitas vezes chatos e mostra tamb m porque na maioria das vezes mais f cil e mais natural fazermos provas informais do que provas formais 2 4 Construindo provas com o Programa Fitch A nossa sorte que utilizaremos o Programa Fitch para construir provas formais que ameniza um pouco esta rigidez dos sistemas formais tornando a tarefa de construir e verificar provas um pouco mais agrad vel O Programa Fitch Al m de tornar menos dolorosa a tarefa de construir provas formais o programa Fitch tamb m verifica as suas provas indicando Ihe se elas est o corretas ou n o e caso n o estejam indicando exatamente quais os passos em que voc cometeu erros Programa Fitch x Sistema F O programa Fitch mais flex vel que o sistema F Ele
137. c Small d v Small e d V SameRow d c Small d Small c SameRow d b SameRow d a Cube b Small e SameRow d c Small c Small b SameRow d a SameRow d c SameRow d a SameRow d b 8 37 Cube a V Dodec a V Tet a 7 Small a V Medium a V Large a Medium a Dodec a Tet a Large a Cube a Small a 8 38 Use o programa Fitch para fazer duas provas formais de necessidade l gica provar uma senten a a partir de nenhuma premissa Na primeira prove P A O P e na segunda prove P AQ v P Note que esta segunda senten a equivalente primeira Os cabe alhos destas provas est o nos arquivos Exercise 8 38 1 e Exercise 8 38 2 Apos fazer estas provas acho que voc n o ter mais d vidas sobre por que conveniente introduzir em FOL ao inves de defini lo atrav s dos conectivos booleanos Decida se os dois argumentos seguintes s o prov veis demonstrdveis em Fr sem de fato tentar fazer suas provas Fa a isso construindo tabelas de verdade no programa Boole para avaliar a validade tautol gica dos argumentos Grave suas tabelas e escreve uma explica o clara com base nos teoremas da corre o e completude de porque o argumento ou n o prov vel AA B V AA V C A D 8 40 A A B V A V C A D A A A D d EA DV AA BVD AAB NE Dv A BY D Na prova do Teorema da Corre o n s tratamos apenas tr s das
138. ca que conjun es e disjun es precisam ser envolvidas por par nteses sempre que estiverem combinadas com outros conectivos Formas Equivalentes de Dizer Coisas Dupla Nega o e Leis de DeMorgan Para quaisquer senten as P e Q 1 Dupla nega o P e P 2 DeMorgan PAQ MP v aQ 3 DeMorgan Pv Q MP a Q Tradu o Correta portugu s FOL Para que uma senten a de FOL seja uma boa tradu o de uma senten a do portugu s suficiente que as duas senten as tenham os mesmos valores de verdade em todas as circunst ncias poss veis ou seja que elas tenham as mesmas condi es de verdade Sutilezas das Tradu es Limita es de FOL 1 Aexpress o e do portugu s algumas vezes sugere ordem temporal A express o A de FOL nunca d este tipo de sugest o 2 As express es do portugu s mas por m todavia contudo entretanto no entanto s o todas variantes estilizadas da express o e 3 As express es do portugu s ou ou e ambos s o frequentemente usadas como par nteses para evitar poss veis ambiguidades das senten as Cap tulo 4 A L gica dos Conectivos Booleanos Necessidade e Possibilidade L gicas No es Vagas Possibilidade L gica uma afirma o logicamente poss vel se h alguma circunst ncia logicamente poss vel ou situa o ou mundo na qual a afirma o verdadeira Necessidade L
139. ca Max solteiro FatherOf chris alex v MotherOf chris alex BrotherOf chris alex v SisterOf chris alex Human chris A Adult chris A Woman chris Number 4 A Odd 4 Person chris A Odd chris mother mother alex mary v mother father alex mary Note que mother e father sao simbolos de funcao ov U RUN 3 20 Descrevendo um Mundo Simples Abra o arguivo Boole s World Inicie um arguivo de sentenca novo onde voc descrever algumas caracteristicas deste mundo Verifique cada uma das senten as bot o Verify para certificar se de que seja de fato uma senten a e verdadeira neste mundo 1 Note que f o dodeca dro largo no fundo n o est na frente de a Use a primeira senten a para afirmar isto Note que f est a direita de a e a esquerda de b Use sua segunda senten a para dizer isso Use sua terceira senten a para dizer que f est ou atr s ou menor do que a Expresse que o fato de que ambos e e d est o entre c e a Note que nem e nem d maior do que c Use sua quinta senten a para dizer isso Note que e n o nem maior nem menor do que d Afirme isso com sua sexta senten a Note que c menor do que a mas maior do que e Declare este fato Note que c est na frente de f e al m disso menor do que f Diga isso com sua oitava senten a p du BE E al a 4 3 21 Algumas tradu es O Mundo de Tarski oferece uma forma bastante til de verificar se sua tradu o de uma da
140. captura a fun o de verdade expressa pela express o nem nem rper tms Uma vez que h apenas 16 maneiras diferentes de preencher a coluna final de uma tabela com duas colunas de refer ncia h apenas 16 fun es de verdade bin rias e portanto o n mero de conectivos verofuncionais bin rios poss veis tamb m 16 Poder amos olhar para cada uma destas tabelas e mostrar como expressar sua fun o de verdade com os conectivos que temos a nossa disposi o Por exemplo express o P v Q resulta em uma tabela id ntica tabela acima o que mostra que P v 0 e nem P nem Q correspondem mesma fun o de verdade Portanto o significado da express o nem P nem Q expresso em FOL por P v Q Mas ao inv s de termos todo este trabalho com estas 16 tabelas h uma forma mais geral e sistem tica de mostrarmos isso Suponha que estejamos pensando em introduzir um conectivo verofuncional bin rio novo digamos se Ele tera uma tabela de verdade como a que se segue com um dos dois valores de verdade em cada linha Se todos os quatro valores forem falsos ent o podemos claramente expressar P Q atrav s da senten a PA PAQA Q Suponha agora que pelo menos um dos valores seja TRUE Como dever amos expressar P Q Uma forma poderia ser esta Considere C1 Ca as seguintes quatro conjun es C4 PAQ Co PA Q C3 P A 0 C4 P A Q Note que a senten a C1 ser verdadeira
141. car suas afirma es em termos de afirma es menores componentes da afirma o inicial at que a disc rdia se reduza ao valor de verdade de uma senten a at mica Neste ponto eles podem examinar o mundo e verificar se senten a at mica verdadeira ou falsa resolvendo a disc rdia Mais adiante descreveremos detalhadamente como o jogo funciona H uma implementa o dele no software Mundo de Tarski onde voc pode jogar com o computador Simbolo de Nega o O s mbolo ser usado para expressar nega o em nossa linguagem FOL Em l gica de primeira ordem sempre aplicaremos este s mbolo na frente da senten a que queremos negar Traduzimos a sentenca John n o esta em casa em FOL por uma do tipo Home john Esta sentenca ser verdadeira se e somente se Home john n o for verdadeira Ou seja exatamente no caso em que John n o est em casa Voc pode por um s mbolo de nega o na frente de qualquer senten a Inclusive de uma senten a que j contenha uma nega o Por exemplo a senten a Home john nega a sentenca Home john Portanto a primeira ser verdadeira se e somente se John estiver em casa Literais Diremos que uma senten a um literal se ela for uma senten a at mica ou a nega o de uma senten a at mica Assim Home john e Home john s o literais mas Home john n o Simbolo de n o identidade Considere uma senten a at mica que afirma
142. casos indique que est fazendo isto Voc n o precisa ser explicito sobre o uso de passos simples A prop sito em geral h mais de uma forma de se provar um resultado 9 1 Home max V Home claire 9 8 LeftOf a b V RightOf a b a Home max V Happy carl ha BackOf a b V LeftOf a b Home claire V Happy carl FrontOf b a V RightOf a b Happy carl SameCol c a A SameRow c b BackOf a b 5 9 Assuma as mesmas quatro premissas do Exerc cio 5 8 A sentenca LeftOf b c uma conseq ncia l gica destas premissas Se for faca uma prova informal Se n o for apresente um contraexemplo no Mundo de Tarski 5 10 Suponha que o time de baskete favorito de Max o Chicago Bulls e que seu time favorito de futebol americano o Denver Broncos John o pai de Max est voltando de Indian polis para S o Francisco pela companhia United Airlines e prometeu que ele compraria para Max um souvenir de um de seus times favoritos no caminho Explique o raciocinio de John que o assegura que ele conseguir comprar um souvenir de um dos times favoritos de Max apelando para o fato significativo de que todos os v os da United entre Indian polis e S o Francisco fazem escala em Denver ou Chicago Torne expl cito o papel da prova por casos nesta infer ncia 5 11 Suponha que a policia esteja investigando um roubo e descubra os seguintes fatos Todas as portas da casa foram trancadas pelo lado de dentro e n o apresentam ne
143. clus o consequ ncia tautol gica das premissas Por exemplo bvio que A B gt A uma tautologia ent o pelo Teorema da Completude sabemos que deve haver uma prova sem premissas de A gt B gt A Similarmente a senten a B A D uma consequ ncia tautol gica de A A B gt C v D ent o sabemos que deve ser poss vel provar a primeira a partir da segunda O Teorema da Corre o por outro lado nos oferece um m todo para dizer que um argumento n o tem uma prova em Fr basta mostrar que a conclus o n o uma consequ ncia tautol gica das premissas Por exemplo A gt A gt B n o uma tautologia ent o n o poss vel construir uma prova desta senten a em Fr nao importa o quanto voc tente Similarmente a senten a B A D nao uma consequ ncia tautol gica de A v B gt CA D ent o n s sabemos que n o ha prova disso em Fr Tet a v Tet a Figura 8 2 Completude e corre o para Fr nos dizem que todas e apenas as tautologias s o prov veis sem premissas em Fr 11 Tirando Proveito do Mecanismo TautCon Sabemos que o mecanismo TautCon verifica se uma senten a consequ ncia tautol gica das senten as citadas em suporte Conforme o que vimos acima podemos ent o utilizar este mecanismo para nos ajudar a saber se poss vel fazer uma determinada prova usando apenas as regras de Fr Se TautCon diz que uma determinada senten a uma consequ ncia tauto
144. com as suas tradu es Caso isso n o ocorra com suas tradu es corrija as que estiverem erradas Em seguida gire este mundo de Wittgenstein modificado 90 graus no sentido hor rio CTRL J Agora as senten as 5 6 8 9 e 11 devem ser as nicas verdadeiras Vamos agora verificar suas tradu es em um outro mundo Abra o arquivo Boole s World As nicas senten as em portugu s verdadeiras neste mundo s o as senten as 6 e 11 Verifique se o mesmo se d com suas tradu es todas falsas com exce o da 6 e 11 Corrija suas tradu es caso haja necessidade Agora modifique o Mundo de Boole trocando os objetos b e c de posi o Com esta troca as senten as em portugu s 2 5 6 7 e 11 se tornam verdadeiras enquanto que o resto falso Verifique se o mesmo ocorre com suas tradu es Este exerc cio apenas uma checagem O nico arquivo a gravar e o arquivo Sentences 3 21 do exerc cio anterior eventualmente corrigido pelas verifica es que voc fez aqui 3 23 Inicie um arquivo de senten as novo e traduza o seguinte em FOL Use os nomes e predicados presentes na Tabela 1 2 nos Exerc cios do Capitulo 1 1 Max um estudante n o um animal de estima o Claire alimentou Folly as 2 pm e ent o dez minutos depois deu a para Max Folly pertencia a Max ou Claire as 2 05 pm Nem Max nem Claire alimentaram Folly as 2 pm ou as 2 05 pm 2 00 pm est entre 1 55 pm e 2 05 pm Quando Max deu Folly a Claire as 2 pm Fo
145. comportam como as constantes individuais De fato as constantes individuais representam os termos mais simples Termos mais complexos s o constru dos a partir destes atrav s do uso dos s mbolos de fun o J frases nominais como Nenhum garoto que conhe a Claire s o manipuladas atrav s de dispositivos bem diferentes conhecidos como quantificadores Termos Complexos A forma an loga em FOL para a frase nominal O pai de Max o termo father max Ele formado colocando se o simbolo de fun o father na frente da constante individual max O resultado um termo complexo que usaremos para nos referir ao pai da pessoa referida pelo nome max poss vel repetir constru es deste tipo quantas vezes quisermos formando termos mais complexos ainda tais como father father max mother father claire mother mother mother claire O primeiro termo se refere ao av paterno de Max o segundo av paterna de Claire e assim por diante Estes s mbolos de fun o s o chamados un rios porque como os predicados un rios t m apenas um argumento Os termos resultantes funcionam exatamente como os nomes e podem ser usados para formar senten as at micas Por exemplo a senten a Taller father max max afirma que o pai de Max mais alto do que Max Assim em uma linguagem que cont m s mbolos de fun o a defini o de senten as at micas precisa ser modificada para permitir que termos complexos tamb m sejam util
146. conectivos verofuncionais o m todo das tabelas de verdade til LEMBRE SE Sejam S e S senten as de FOL constru das a partir de senten as at micas utilizando se apenas conectivos verofuncionais Para verificar se s o equival ncias tautol gicas constru mos tabelas de verdade conjuntas para as duas senten as 1 S e S s o tautologicamente equivalentes se e somente se cada linha da tabela de verdade conjunta atribui os mesmos valores para S e S 2 Se Se S s o tautologicamente equivalentes ent o eles s o logicamente equivalentes 3 Algumas senten as logicamente equivalentes n o s o tautologicamente equivalentes Consequ ncia L gica o Conceito Fundamental da L gica Nosso interesse principal neste livro com a rela o de consequ ncia l gica Necessidade l gica equival ncia l gica e possibilidade l gica podem ser entendidas como casos especiais de consequ ncia l gica Veja como Necessidade L gica uma senten a logicamente necess ria ou uma necessidade l gica quando for consequ ncia l gica de qualquer conjunto de premissas Equival ncia L gica duas senten as s o logicamente equivalentes se cada uma for consequ ncia l gica da outra Possibilidade L gica uma senten a S logicamente poss vel ou uma possibilidade l gica quando sua nega o S n o for consequ ncia l gica de qualquer conjunto de premissas Ou seja quando S nao for uma necessidade l gica 1
147. conjun o P4 A A Pn contanto que voc j tenha estabelecido cada um de seus conjuntos constituintes P4 at Pn em uma prova Simbolizaremos esta regra da seguinte forma Py F FL P gt P4 A AP n A notacao U P n Apenas indica que cada um dos P4 ate Pn deve aparecer na prova antes de que voc possa afirmar a conjun o deles Eles n o precisam aparecer em ordem nem em uma sequ ncia compacta um logo depois do outro Eles apenas precisam ocorrer em alguma parte anterior da prova Veja um exemplo simples de uso conjunto das duas regras da conjun o E uma prova de CAB a partir de A A B A C 1 A A B A 2 B A Elim 1 i i A Elim 1 E SB Intro 3 2 Pratique a utilizacao destas regras no programa Fitch fazendo o Tente Isto 2 da Lista de Exercicios 5 6 Usos Generosos das regras A em FITCH Como dissemos o programa Fitch generoso em sua interpreta o das regras de infer ncia de F Por exemplo Fitch considera o seguinte exemplo um uso aceit vel da regra AElim 17 Tet a A Tet b A Tet c A Tet d 26 Tet d A Tet b A Elim 17 O que fizemos aqui foi pegar 2 conjuntos da conjun o do passo 17 e asserir a conjun o deles no passo 26 Tecnicamente F deveria requerer que n s deriv ssemos os dois conjuntos separadamente fazendo duas aplica es de AElim e ent o com uma aplica o de Alntro junt ssemos os dois na conjun o da linha 26 Fitch permite que fa amos isso em
148. correta uma senten a com o mesmo significado da que est sendo traduzida Mas o que significado FOL lida com esta quest o reduzindo a no o de significado no o de condi es de verdade O que necess rio para uma tradu o correta em FOL que a senten a traduzida seja verdadeira exatamente nas mesmas circunst ncias que a senten a original Se duas senten as s o verdadeiras exatamente nas mesmas circunst ncias dizemos que elas t m as mesmas condi es de verdade Para as senten as do Mundo de Tarski isto significa que as senten as ser o verdadeiras exatamente nos mesmos mundos qualquer mundo que torne uma delas verdadeira torna verdadeira tamb m a outra LEMBRE SE Para que uma senten a de FOL seja uma boa tradu o de uma senten a do portugu s suficiente que as duas senten as tenham os mesmos valores de verdade em todas as circunst ncias poss veis ou seja que elas tenham as mesmas condi es de verdade Diante disso dada uma senten a do portugu s e uma boa tradu o dela em FOL digamos S qualquer outra sentenca S que for equivalente a S tamb m ser uma tradu o aceit vel de uma vez que S e S t m as mesmas condi es de verdade Mas h uma quest o de estilo Algumas tradu es aceit veis s o melhores do que outras Queremos senten as que mantenham os conectivos de FOL t o pr ximos quanto poss vel da senten a em portugu s Por exemplo uma boa tra
149. d est esquerda de e outra premissa Consequentemente c est esquerda de e pois estar esquerda uma rela o transitiva Esta a conclus o desejada 2 3 Provas Formais Sistemas Dedutivos Nesta se o iniciaremos a constru o de nosso sistema formal para apresenta o de provas Nosso sistema dedutivo O Sistema F Existem muitos estilos diferentes de sistemas dedutivos O sistema que ser apresentado nas duas primeiras partes deste livro ser chamado de sistema F um sistema de dedu o natural ao estilo dos sistemas criados pelo l gico Frederic Fitch No sistema 7 uma prova de uma conclus o S a partir das premissas P Q e R se parece muito com um argumento apresentado no formato Fitch A diferen a principal que a prova apresenta al m da conclus o S todas as conclus es intermedi rias Sa Sn que derivamos das premissas para chegar a S un DOU Justification l E Justification n Justification n 1 un importante notarmos as duas linhas a vertical e a horizontal A linha vertical direciona nossa atencao para o fato de que temos uma nica prova que consiste de uma seq ncia de v rios passos A linha horizontal chamada de barra Fitch indica a divis o entre as afirma es que estamos assumindo nossas premissas e aquelas que se seguem delas as conclus es intermedi rias e final Assim como P Q e R est o acima da barra Fitch isso indica que elas s o as premi
150. da sentenca do portugu s esta correta Se ela estiver correta ent o ela tera sempre o mesmo valor de verdade que a senten a em portugu s n o importa em que mundo as duas senten as sejam avaliadas Ent o quando voc estiver em d vida sobre uma de suas tradu es simplesmente construa alguns mundos onde a senten a em portugu s verdadeira e alguns onde ela falsa e verifique se sua senten a traduzida tem os mesmos valores de verdade para estes mundos Voc deve sempre usar esta t cnica quando tiver d vida em qualquer exerc cio de tradu o Inicie um arquivo de senten as novo e traduza nele as seguintes senten as do portugu s em FOL utilizando apenas os conectivos A e v eos predicados da Linguagem dos Blocos e Ou a pequeno ou b e c sdo ambos grandes d e e est o ambos atr s de b d e e est o ambos atr s de b e s o maiores que ele d e c s o ambos cubos no entanto nenhum deles pequeno Nem e nem a est a direita de c e a esquerda de b Ou e n o grande ou ele est atr s de a c n o estd entre a e b nem na frente deles Ou a e e s o ambos tetraedro ou a e f que s o Nem d nem c est na frente de c ou b c est entre d e f ou menor que ambos N o o caso que b est na mesma linha que c 12 b est na mesma coluna que e que est na mesma linha que d que por sua vez est na mesma coluna que a Op OO LN Or ES O Grave seu arquivo de senten as c
151. dade da Identidade Se a b e b c ent o a c Os ltimos dois princ pios se seguem dos dois primeiros 2 2 2 Provas Envolvendo Outros Predicados e Rela es Algumas vezes ocorrem certas depend ncias l gicas entre os predicados de uma linguagem de primeira ordem Depend ncias similares s que acabamos de discutir envolvendo o s mbolo de identidade Este o caso por exemplo para os predicados de nossa linguagem dos blocos Quando isso ocorre as provas podem ter que explorar estas depend ncias e rela es Rela es Transitivas Por exemplo a senten a Larger a c uma consequ ncia de Larger a b e Larger b c Isto ocorre porque a rela o maior que expressa por Larger da mesma forma que a identidade transitiva por isso que em qualquer mundo no qual que as duas ltimas senten as s o verdadeiras a primeira tamb m ser N o h como catalogar todas as infer ncias leg timas envolvendo s mbolos de predicado e rela es em todas as linguagens que podemos criar Mas o exemplo da identidade nos d algumas refer ncias dos tipos de propriedades que temos que procurar Muitas rela es ser o reflexivas por exemplo claro que a senten a SameSize a a sempre verdadeira Muitas rela es ser o sim tricas Se SameShape a b verdadeira ent o tamb m SameShape b a Rela es Inversas Voc poderia ser informado de que b maior que c e solicitado a inferir que c menor do qu
152. das estas senten as sejam verdadeiras Conforme trabalha voc se ver constantemente modificando o mundo que esta criando Sempre que fizer uma mudan a no mundo tenha cuidado para n o tornar falsa nenhuma sentenca anterior que ja estava verdadeira Quando terminar verifique se todas as senten as ficaram realmente verdadeiras Grave seu trabalho no arquivo World 3 13 3 14 Par nteses Mostre que a senten a Small a v Small b n o consequ ncia da sentenca Small a v Small b Voc far isto construindo um mundo com um contra exemplo em que a primeira senten a conclus o falsa e a segunda premissa verdadeira 3 15 Mais Par nteses Mostre da mesma forma que no exerc cio anterior que a senten a Cube a A Cube b v Cube c n o conseq ncia da senten a Cube a A Cube b v Cube c 3 16 Equival ncias de DeMorgan Abra o arquivo DeMorgan s Sentences Construa um mundo onde todas as senten as impares sejam verdadeiras Note que n o importa como voc fa a isto as senten as com n meros pares tamb m se tornaram verdadeiras Grave este mundo com o nome World 3 16 1 Em seguida construa um mundo em que todas as senten as impares sejam falsas Novamente n o importa como voc fa a isto as senten as pares tamb m se tornar o falsas Grave este mundo com o nome World 3 16 2 3 17 No exercicio 3 16 voc percebeu um importante fato sobre as senten as pares e impares do arquivo DeMorgan s
153. das tabelas de verdade muito grosseiro para reconhecer que a linha contendo F n o representa uma possibilidade genu na Voc deve ser capaz de perceber que um grande n mero de senten as n o s o tautologias e apesar disso parecem logicamente necess rias Por exemplo a senten a Larger a b A Larger b a n o pode ser falsificada No entanto uma tabela de verdade n o mostrar isso A sentenca sera falsa na linha em que se atribui valor T para Larger a b e para Larger b a Voc percebe isso TW Necessidade Se limitarmos a defini o de necessidade l gica aos mundos que podemos construir com o programa Mundo de Tarski chegamos defini o de TW necessidade Uma senten a uma TW necessidade se for verdadeira em todos os mundos nos quais ela tem algum valor de verdade isto nos mundos em que todos os nomes que ocorrem na senten a referenciam objetos TI Necessidade As tautologias tamb m s o chamadas de TT necessidades 2 Ou seja uma senten a que tenha valor de verdade T em todas as linhas de sua tabela de verdade chamada tanto de tautologia quanto de TT necessaria TT Possibilidade Analogamente quando uma sentenca verdadeira em pelo menos uma linha de sua tabela de verdade ela chamada de TT possivel Nenhum destes conceitos corresponde exatamente s no es vagas de necessidade l gica e possibilidade l gica Mas h importantes rela es entre estas no es Do lado da necessida
154. de L gica H de fato outro m todo utilizando a t cnica de provas para mostrar que uma senten a uma verdade l gica Intuitivamente uma senten a uma contradi o quando n o existem circunst ncias que a tornem verdadeira Neste caso espec fico estamos nos referindo a senten as TT impossiveis Se voc conseguir construir uma prova para uma senten a sem usar nenhuma premissa ent o a senten a logicamente necess ria Nos cap tulos seguintes apresentaremos a voc s alguns m todos de prova que o habilitar o a provar que senten as s o logicamente necess rias sem construir suas tabelas de verdade LEMBRE SE Seja S uma senten a de FOL constru da a partir de senten as at micas utilizando se apenas conectivos verofuncionais Uma tabela de verdade para S mostra como o valor de verdade de S depende dos valores de verdade de suas partes at micas 1 S uma tautologia se e somente se toda linha da tabela de verdade para S leva o valor TRUE 2 Se S uma tautologia ent o S uma verdade l gica ou seja logicamente necess ria 3 Algumas verdades l gicas n o s o tautologias 4 S TT poss vel se e somente se pelo menos uma linha de sua tabela de verdade tem o valor TRUE Equival ncia L gica Vimos no cap tulo anterior que duas ou mais senten as s o logicamente equivalentes quando t m os mesmos valores de verdade para cada circunst ncia poss vel Neste caso dizemos que as senten
155. de Lo e LeftOf a b a est mais pr ximo da borda esquerda que b RightOf a b a est mais pr ximo da borda direita que b FrontOf a b a est mais pr ximo da borda da frente que b BackOf a b a est mais pr ximo da borda de traz que b CIT a e b nomeiam o mesmo objeto a be c est o na mesma linha coluna ou diagonal 3 rela o Incerteza vaguidade Em portugu s os predicados s o muitas vezes vagos Isso ocorre quando n o muito claro se um indiv duo particular tem a propriedade em quest o ou n o Por exemplo Claire que tem dezesseis anos jovem Algu m que tenha 96 anos certamente n o jovem mas n o h uma idade determinada que defina quando algu m deixa de ser jovem Isto um processo gradual Propriedade Determin vel FOL no entanto assume que todo predicado interpretado por uma propriedade ou rela o determin vel E por uma propriedade determin vel entendemos uma propriedade para a qual dado qualquer objeto existe um fato definido que indica se o objeto tem ou n o a propriedade por isso que dizemos que os predicados da linguagem de blocos s o um tanto consistentes com seus predicados correspondentes em portugu s ou ingl s mas n o s o necessariamente id nticos a eles LEMBRE SE Cada s mbolo de predicado tem uma nica e fixa aridade um n mero que diz a voc quantos nomes ele necessita para formar uma senten a at mica Cada predicado interpr
156. de conectivos e quantificadores Conectivos Booleanos Neste cap tulo abordaremos os tr s conectivos mais simples conjun o disjun o e nega o que correspondem aos usos simples das express es portuguesas e ou e n o o caso que George Boole foi o primeiro l gico a estud los sistematicamente no in cio do s culo XIX Da o nome booleanos Conectivos Verofuncionais Os conectivos booleanos s o chamados de verofuncionais porque o valor de verdade de uma senten a complexa constru da pelo uso destes conectivos depende apenas do valor de verdade das senten as mais simples utilizadas na constru o da senten a complexa Matematicamente eles podem ser descritos como fun es de verdade verofuncionais Tabelas de Verdade Por serem fun es de verdade os conectivos booleanos podem ser descritos atrav s de uma tabela de verdade que mostra como o valor de verdade de uma senten a constru da com o conectivo depende dos valores de verdade de suas partes imediatas O Jogo de Henkin Hintikka Uma forma interessante de entender o significado dos conectivos booleanos atrav s de um jogo conhecido como o de Henkin Hintikka O jogo simples Imagine que duas pessoas por exemplo Maria da Paz e Daniel descordem sobre o valor de verdade de uma senten a complexa Da Paz acha que a senten a verdadeira e Daniel acha que ela falsa Os dois se desafiam repetidamente a justifi
157. de n s sabemos que todas as tautologias s o logicamente necess rias e que todas as necessidades l gicas s o TW necessidades Repare o diagrama abaixo Diagrama da Necessidade Tautologias c Necessidades L gicas c TW necesidades Cube a Larger a gt conting ncia Tet a v Cube a v Dodec a Small b v Medium b v Large b Tanto o conceito de tautologia quanto o de TW necessidade s o tentativas de tornar precisa a no o vaga de necessidade l gica tamb m chamada de verdade l gica O diagrama acima mostra como a definic o de tautologia muito restritiva Ela garante que tudo o que for tautologia ser uma verdade l gica no entanto ela incompleta pois n o consegue captar todas as verdades l gicas Existem claramente senten as logicamente necess rias que n o s o tautologias ex a a b b 2 25 b TT vem de truth table a express o inglesa para tabela de verdade Intuitivamente uma senten a uma conting ncia quando em determinadas circunst ncias ela verdadeira e em outras ela falsa O diagrama tamb m mostra que a defini o de TW necessidade muito permissiva Ela garante que todas as verdades l gicas da linguagem dos blocos s o TW necessidade no entanto admite como TW necessidade senten as que n o reconhecemos como necessidades l gicas ex Tet a v Cube a v Dodec a Diagrama da Possibilidade TW Possibilidades c Possibilidades
158. do condicional intro para derivar A gt A Usos Generosos das regras em FITCH A regra Elim n o se importa com a ordem em que voc cita as senten as de suporte A regra Intro n o exige que o consequente do condicional deduzido seja o ltimo passo da subprova citada embora ele usualmente seja Al m disso o passo da suposi o pode ser o nico passo de uma subprova como em uma prova de uma senten a com a forma P 9 P 1 2 E p 3 PoP Intro 2 Aplica es Default das Regras em Fitch As aplica es default das regras do condicional funcionam exatamente como se poderia esperar Ao voc citar as senten as ou subprovas de suporte para a aplica o da regra o programa Fitch preenche automaticamente a conclus o para voc Fa a o Tente Isto 2 da Lista de Exerc cios 7 8 para praticar os usos generosos e aplica es default das regras para o condicional Regras para o Bicondicional biimplica o As regras para o bicondicional s o exatamente o que voc deveria esperar dadas as regras para o condicional Elimina o do Bicondicional Elim A regra de elimina o do bicondicional pode ser formulada esquematicamente como segue P Q or Q gt P Ja Isto significa que voc pode concluir Q se tiver estabelecido anteriormente na prova P e um dos dois bicondicionais indicados Introdu o do Bicondicional lt Intro A regra de introdu o para o bicondicional P
159. do livro conforme formos aprendermos mais sobre FOL 2 1 Argumentos V lidos e Corretos Argumentos Premissas e Conclus es Um argumento qualquer s rie de declara es afirma es na qual uma chamada de conclus o supostamente se segue ou justificada pelas outras chamada de premissas Argumentos aparecem em todas as formas de discurso cient fico e racional al m de editoriais de jornais livros escolares nossas conversas romances 2 dl 2 hh 2 dl 27 27 dl 27 Express es como por isso consequentemente assim deste modo portanto ent o sao usadas para indicar que o que segue a conclus o de um argumento Express es como porque desde que j que uma vez que afinal de contas s o usadas para indicar as premissas Exemplos 1 Todos os homens s o mortais S crates homem Ent o S crates mortal 2 Lucrecius um homem Afinal de contas Lucrecius mortal e todos os homens s o mortais Consequ ncia L gica Diremos que o primeiro argumento acima logicamente v lido ou que sua conslus o uma consequ ncia l gica de suas premissas O motivo disso que no primeiro argumento imposs vel para a conclus o ser falsa se as premissas s o verdadeiras Em contraste a conclus o do segundo argumento acima poderia ser falsa suponha que Lucrecius o nome de meu peixe ainda que as premissas sejam verd
160. do qualquer um dos dois A ou B n s imediatamente chegamos a uma contradi o Como as premissas nos dizem que um ou outro deve ser verdadeiro ent o as premissas s o inconsistentes Outras Formas de Introduzir L A regra LIntro reconhece apenas as contradi es mais descaradas aquelas onde voc estabeleceu uma sentenca P e sua nega o P O que acontece se no decorrer de uma prova voc encontrar uma inconsist ncia de alguma outra forma Por exemplo suponha que voc deriva uma senten a nica que TT contradit ria como A v HA ou duas senten as como A v B e A AB que juntas formam um conjunto TT contradit rio mas que n o s o uma a nega o da outra Ocorre que se voc pode provar qualquer conjunto TT contradit rio de senten as ou qualquer senten a TT contradit ria as regras que j apresentamos a voc lhe permitir o provar L Isso pode at exigir bastante trabalho e criatividade mas poss vel Mais adiante provaremos este resultado mas por enquanto apenas acredite Introduzindo l com TautCon Uma forma de checar se algumas senten as s o TT contradit rias tentar derivar L delas usando uma nica aplica o do mecanismo TautCon Em outras palavras entre o simbolo L escolha TautCon como regra e cite as senten as que quer verificar se s o contradit rias Se TautCon lhe disser que se segue das senten as citadas ou seja se ao clicar check step a resposta OK ent o pode ter
161. dos no discurso matem tico tanto formalmente quanto informalmente como em um apontamento de aula Neste contexto voc encontrar elementos de FOL intercalados com portugu s ou com a linguagem matem tica nativa Se voc alguma vez fez um curso de c lculo provavelmente j viu f rmulas como Ve gt 0 Jo gt O Aqui as letras tortas incomuns foram tiradas diretamente de FOL Em filosofia FOL e algumas de suas expans es s o usadas de duas maneiras diferentes Como em matem tica a notac o de FOL utilizada quando claridade absoluta rigor e aus ncia de ambiguidade s o essenciais Mas ela tamb m usada como um estudo de FOL abrevia o da express o inglesa first order language linguagem de primeira ordem Em portugu s muito comum utilizar a abrevia o da express o traduzida LPO N do T l gica e intelig ncia artificial l gica e ci ncia da computa o linguagens artificiais l gica e linguagem comum consequ ncia l gica caso para a transforma o de no es informais como gramaticalidade significado verdade e prova em defini es precisas e rigorosas Suas aplica es em ling istica se originam deste uso uma vez que a lingu stica se ocupa em grande medida com o entendimento destas no es informais Em intelig ncia artificial FOL tamb m utilizada de duas formas Alguns pesquisadores aproveitam se da estrutura simples das senten as de FOL para us la como uma
162. dose regras de Fr Os pr ximos tr s problemas pedem para voc tratar mais algumas regras 8 41 Fa a o caso da prova do Teorama da Corre o referente a regra Elim Seu argumento dever ser bastante similar ao apresentado para a regra SElim 8 42 Fa a o caso da prova do Teorema da Corre o referente a regra intro Seu argumento dever ser similar ao apresentado no texto para a regra Intro 8 43 Fa a o caso da prova do Teorema da Corre o referente a regra vElim Nos exerc cios seguintes h v rios argumentos na linguagem dos blocos Para cada um deles avalie se logicamente v lido ou n o Se for v lido construa uma prova formal que mostre isto ATEN O s permitido o uso de AnaCon para derivar 1 a partir de senten as at micas Qualquer outro uso de AnaCon proibido Se o argumento for inv lido construa um contraexemplo com o programa Mundo de Tarski SameRow a c Cube b c V Cube c 8 44 Adjoins a b A Adjoins b c 8 45 45 QO Small a A Medium b V Large c Medium b FrontOf a b Large c Tet c Tet c Small c Cube b Small c Small b Cube a Small b 46 Cube a v Cube b Tet c 8 47 a Tet c FrontOf c b QO Large c Tet c SameCol b c A Small b Dodec b Small a Tet c FrontOf a b SameCol a c SameCol b c Dodec a Small b Cube b Cube a Cube c D
163. du o da senten a N o verdade que Claire e Max est o ambos em casa poderia ser Home claire A Home max Esta sentenca de acordo com a primeira lei de DeMorgan equivalente sentenca abaixo que portanto tamb m uma tradu o aceit vel da sentenca em ingl s Home claire v Home max No entanto claro que o estilo da primeira tradu o melhor pois se aproxima mais da senten a original Afinal de contas a senten a original est escrita como uma nega o de uma conjun o e n o como uma disjun o de nega es N o h regras exatas que determinam a melhor tradu o de uma senten a Al m disso h muitas sutilezas estil sticas do portugu s que nada t m a ver com as condi es de verdade de uma senten a e portanto n o podem ser capturadas por uma tradu o em FOL Veja o seguinte exemplo Carl est com fome mas est feliz Esta senten a nos diz duas coisas que Carl est com fome e que ele est feliz Ent o poderia ser traduzida em FOL por Hungry carl A Happy carl Mas por m contudo todavia no entanto Quando consideramos apenas as condi es de verdade mas expressa a mesma fun o de verdade que e No entanto claro que mas carrega uma sugest o adicional que e n o carrega a sugest o de que o ouvinte poderia ficar um pouco surpreso com a segunda parte da senten a dadas as expectativas criadas pela primeira parte
164. e f a v Cube c LeftOf e f v RightOf e f mLeftOf e a v RightOf e a o bvokb e fvesf ALarge a Sentencas de Leibniz ds 10 TE A T3 14 19 16 17 18 19 20 yx ay x y gt X d Do you see what this is trying to say about the world Notice the names You can t express that in the blocks language Negate the whole sentence YX Vy Cube x a Cube y az Between z x y Now this sentence tries to make a reasonable claim Why is it false Play the game and see Then fix it so it says what was intended Vx Between x d c gt x b vx ay Between x y c gt x b vx ay Between x y c gt Large x vx ay 3z Between x y z gt Large x VX ay az Between x y z gt Tet x Wx 3y LeftOf y x gt x a YX 3y LeftOf y x A 3y FrontOf y x gt x a vx ay 3z Between x y z Tet y Tet z X 6 vx ay 3z Between x y z A Cube y Cube z gt x b Vy ax az Between x y Z a x b gt y avy c vx vy Tet x A Small x A Tet y A Small y gt X y Do you see what this says yx vy Dodec x A Small x a Dodec y A Small y gt X y If you understood the last one you see why this is true as well vx Dodec x gt x b This may look like a dumb thing to say but make sure you understand it Why is it true vx Dodec x o x
165. e anaj co E a ra aba Si o opu ced ie 1 Inicie o programa Fitch e abra o arquivo Taut Con 1 Neste arquivo voc encontrar um argumento que tem a mesma forma do argumento do exerc cio 4 23 Ignore as duas metas na janela de baixo mais tarde nos ocuparemos delas Posicione o cursor de foco no ltimo passo da prova No menu Rule escolha a regra TautCon 2 Agora cite as tr s premissas como suporte para este senten a e verifique o passo A verifica o deve ter retornado um erro uma vez que esta senten a n o uma consequ ncia tautol gica de suas premissas conforme voc deve ter descoberto ao fazer o Exerc cio 4 23 que tem a mesma forma que esta infer ncia 3 Substitua esta ltima senten a da prova por Home max v Hungry carl Esta senten a uma consequ ncia tautol gica de duas das premissas Descubra quais s o cite as e verifique o passo Se voc acertou a verifica o deve retornar OK Experimente 4 Adicione outro passo prova e insira nele a seguinte senten a Hungry carl v Home max A Hungry pris Use TautCon para ver se esta sentenca e uma conseq ncia tautol gica das tr s premissas Pressione Verify Proof Voc descobrir que mesmo com os passos OK a meta final falhou Isto se d porque foi colocada uma restri o especial para o uso de TautCon neste exerc cio 5 Pressione o bot o Goal Constraints Voc descobrir que nesta prova permitido usar TautCon citando no max
166. e b Isto seria v lido porque maior que e menor que s o rela es inversas Tabela de Depend ncia de Predicados A tabela abaixo apresenta um exemplo de depend ncias mais comuns que as rela es expressas por predicados podem possuir Ela tamb m indica quais os predicados da linguagem dos blocos que possuem cada uma destas depend ncias NOME DEPEN NCIA EXEMPLO NA LINGUAGEM DOS BLOCOS Transitividade Se valem P a b e P b c ent o vale P a c o E MEN wat a A e Pl i N o reflexividade N o vale P a a Larger Smaller Adjoins LeftOf RightOf FrontOf BackOf Between Antissimetria Se vale P a b ent o n o vale P b a Larger Smaller LeftOf RightOf FrontOf BackOf kuj Nao verdade que Se valem Nao transitividade P a b e P b c ent o vale Pla c Adjoins P a b vale se e somente se Larger Smaller LeftOf RightOf FrontOf Rela es Inversas p a tamb m vale P Q s o inversos BackOf Mais um exemplo de prova informal Suponha que voc seja solicitado a provar o seguinte argumento RightOf b c LeftOf d e p u LeftOf c e Uma prova informal poderia ser como a seguinte Prova Uma das premissas que b est direita de c Ent o c deve estar esquerda de b uma vez que estar a esquerda e estar a direita s o rela es inversas E como b d premissa ent o por indiscernibilidade de id nticos c est esquerda de d Mas tamb m sabemos que
167. e claim that c is not a cube This is true in Boole s World since c is a tet Tet c atbAbscAasc Larger a b Larger a c 3X Small x Vx Small x 2 Cube x Tet a 4 Dodec b Dodec c 3x Dodec x 3y az Tet y Tet z Between x y Z VX Medium x gt ay FrontOf x y vx ay FrontOf x y gt Medium x vx LeftOf x c gt Dodec x v Large x vx ay BackOf x y gt x avx bvx c Sentencas de Cantor 1 vx vy Cube x Cube y gt LeftOf x y v RightOf x y 2 3x 3y Cube x Cube y Sentencas de Carnap vx LeftOf x b gt RightOf b x vx Small x A BackOf x c gt Dodec x VX Cube x x b gt Larger x b v Smaller x b Dodec d gt vx x d gt Dodec x 3y Smaller a y A Smaller y b Smaller a b vx Larger x c gt x c vx Between x a d v Between x a d vx Between x a d v Between x d a vx Dodec x gt x d v Small x vx Cube x gt LeftOf x e gt 3y Cube y LeftOf y e Sentencas de Church 1 vx Large x 2 Large a Large b Large c 3 3y Small y 4 Small a v Small b v Small c Sentencas CNF 1 LeftOf a b v BackOf a b Cube a 2 Write a sentence in disjunctive normal form DNF that is logically equivalent to the CNF sentence in 1 Do the same thing for the sentences below
168. e conclus o falsa b premissas falsas e conclus o verdadeira c premissas verdadeiras e conclus o falsa d premissas verdadeiras e conclus o verdadeira Para os itens que voc respondeu sim de um exemplo de um tal argumento Para os itens que voc respondeu n o explique por que 2 5 Transitividade da Identidade Escreva uma prova informal do argumento seguinte usando apenas Elim Indiscernibilidade dos id nticos Certifique se de apontar qual nome est sendo substitu do por qual e em qual senten a p E a o a c 2 6 Faca uma prova informal de que o argumento seguinte e valido Se voce provou a transitividade da identidade no Exercicio 2 5 entao voce pode utilizar nesta prova este principio Caso contrario utilize apenas a indiscernibilidade de identicos Elim SameRow a a a p E SameRow c a 2 7 Considere as seguintes sentencas e responda 1 Max e Claire n o s o parentes 2 Nancy a m e de Max 3 Nancy n o a m e de Claire a A senten a 3 consequ ncia de 1 e 2 b A senten a 2 consequ ncia de 1 e 3 c A senten a 1 consequ ncia de 2 e 3 Em cada caso se sua resposta foi n o descreva uma possivel circunst ncia na qual as premissas s o verdadeiras e a conclus o falsa Para cada um dos argumentos a seguir avalie sua validade Se o argumento for v lido apresente uma prova informal Se for invalido construa um mundo em que
169. e consequ ncia l gica concordar que qualquer senten a consequ ncia l gica de um conjunto inconsistente de premissas POR QUE Imagine um argumento com um conjunto inconsistente de premissas e uma conclus o Se as premissas s o contradit rias ent o n o h circunst ncias nas quais elas sejam todas verdadeiras Portanto qualquer que seja a senten a da conclus o n o h circunst ncias nas quais as premissas sejam verdadeiras e a conclus o falsa Logo qualquer senten a consequ ncia l gica de um conjunto inconsistente de premissas Esta conclus o nos leva a mais um passo de infer ncia v lido Do Absurdo Tudo se Segue Se partindo de um conjunto de premissas conseguirmos estabelecer uma contradi o L ent o estamos justificados a estabelecer qualquer senten a deste conjunto de premissas Muitos estudantes consideram este m todo de argumenta o bastante esquisito E por uma boa raz o um argumento deste tipo apesar de v lido jamais ser correto Vamos lembrar Um argumento correto quando for v lido e tiver premissas verdadeiras Portanto mesmo sendo v lidos os argumentos com premissas inconsistentes n o s o jamais corretos pois n o h circunst ncia em que suas premissas sejam todas verdadeiras Por esta raz o um argumento com um conjunto inconsistente de premissas n o tem muito valor por si pr prio Argumentos Com Premissas Inconsistentes N o Garantem a Verdade de Sua Conclus
170. e deu Pris a Max as 2 05 pm 5 Folly pertencia a Max as 3 05 pm 3 Max um estudante 6 2 00 pm mais cedo que 2 05 pm Grave seu arquivo com o nome Sentences 1 9 1 10 Traduza as senten as abaixo para o portugu s construindo senten as que soem natural Consulte a Tabela 1 2 acima 1 Owned max scruffy 2 00 3 Gave max scruffy claire 3 00 2 Fed max scruffy 2 30 4 2 00 lt 2 00 1 11 Para cada senten a da lista abaixo sugira uma tradu o para uma senten a at mica de FOL Al m de apresentar a tradu o explique a quais tipos de objetos os nomes que voc utilizar se referem e o significado que tem em mente para cada simbolo de predicado Max cumprimentou Claire com um aperto de m o Max cumprimentou Claire ontem AIDS menos contagiosa do que tuberculose A Espanha est entre a Fran a e Portugal em tamanho A mis ria adora companhia CH UNA 1 12 S mbolos de Fun o Expresse em portugu s do modo mais claro que conseguir as afirma es feitas pelas seguintes senten as de FOL Voc deve tentar construir senten as t o naturais quanto possivel A prop sito todas as senten as s o verdadeiras Taller father claire father max john father max Taller claire mother mother claire Taller mother mother max mother father max mother melanie mother claire UAWN 1 13 S mbolos de Fun o Assuma que expandimos a linguagem de blocos para incluir as fun es fm b
171. e fiz ssemos duas tabelas de verdade separadas uma para cada senten a cada tabela teria apenas 4 linhas uma vez que em cada senten a ocorrem apenas duas senten as at micas Mas a tabela de verdade conjunta tem 8 linhas pois o n mero total de senten as at micas que ocorrem nas duas senten as 3 Voc percebe isso Em segundo lugar e mais importante repare que as duas senten as n o s o tautologicamente equivalentes uma vez que seus valores de verdade diferem na segunda e terceira linhas da tabela Note que nestas duas linhas o valor de verdade de a b T enquanto que Cube a e Cube b recebem valores de verdade diferentes Devido ao significado do s mbolo de identidade sabemos que nenhuma destas linhas corresponde a uma circunst ncia logicamente poss vel pois se a e b s o id nticos ent o eles nomeiam o mesmo objeto e portanto n o faz sentido que Cube a e Cube b tenham valores de verdade diferentes Acontece que o m todo das tabelas de verdade n o detecta esta sutileza pois investiga apenas o significado dos conectivos verofuncionais As tabelas de verdade n o olham para dentro das senten as at micas e portanto n o s o sens veis ao significado dos predicados Em particular n o interpretam a identidade Quando acrescentarmos quantificadores em nossa linguagem descobriremos muitas outras equival ncias l gicas que n o s o equival ncias tautol gicas Apesar disso para muitos casos envolvendo
172. e fizemos foi o esboco de uma prova de que qualquer funcao de verdade de qualquer aridade pode ser expressa usando apenas os conectivos booleanos e v Este um fato suficientemente interessante para merecer ser destacado N s diremos que um conjunto de conectivos verofunciomalmente completo se os conectivos do conjunto sao suficientes para nos permitir expressar qualquer funcao de verdade Podemos destacar este fato importante como um teorema Um teorema n o nada mais do que uma conclus o que o autor acha suficientemente interessante para ser destacada Teorema da Completude Verofuncional Booleana TEOREMA os conectivos booleanos e v s o verofuncionalmente completos H outras cole es de operadores que s o verofuncionalmente completos Na verdade podemos nos livrar de ou de v sem perdermos a completude verofuncional Por exemplo P v Q pode ser expressa da seguinte forma usando apenas e A Isto significa que podemos nos livrar de todas as ocorr ncias de v em nossas senten as em favor de e A Alternativamente podemos nos livrar de A em favor de e v conforme voc ver no Exerc cio 7 25 da Lista de Exerc cios 7 8 E claro que em qualquer um destes casos as senten as resultantes ser o muito maiores e mais dif ceis de entender Um nico Conectivo Verofuncionalmente Completo N s de fato poder amos ser mais econ micos ainda em nossas escolhas de conectivos Suponha que us ssemos a forma P4
173. e n o h modo da ltima Q ser verdadeira sem que a primeira P tamb m o seja Esta a no o de consequ ncia l gica impl cita em toda a investiga o racional Todas as disciplinas racionais pressup em que esta no o faz sentido e que podemos utiliz la para extrair consequ ncias daquilo que j conhecemos ou de suposi es que possamos ter Esta no o tamb m usada para invalidar uma teoria Pois se uma afirma o particular consequ ncia l gica de uma teoria e descobrimos que a afirma o falsa ent o n s sabemos que a pr pria teoria deve ser incorreta de uma forma ou outra Se nossa teoria 3 prova e contraexemplo f sica tem como uma de suas consequ ncias que as rbitas planet rias s o circulares quando de fato elas s o el pticas ent o h alguma coisa errada com nossa f sica Se nossa teoria econ mica diz que a infla o uma consequ ncia necess ria da baixa taxa de desemprego mas o baixo desemprego dos dias de hoje n o tem causado infla o ent o nossa teoria econ mica precisa de reavalia o Investiga o racional no sentido que utilizamos n o est limitada s disciplinas acad micas e portanto tamb m n o est o os princ pios da l gica Se nossas cren as sobre um amigo ntimo implicam logicamente que ele nunca espalharia boatos sobre n s mas voc descobre que ele fez isso ent o suas cren as precisam de revis o Consequ ncia l gica central n o apenas p
174. e n o ha senten as de suporte as regras citadas ou porque n o ha senten as nos passos Coloque as pe as que est o faltando nesta prova e grave seu trabalho com o nome Proof 6 2 Utilize o programa Fitch para construir provas formais dos seguintes argumentos Voc encontrar arquivos nomeados como Exercise 6 x para cada um dos argumentos abaixo Grave cada uma de suas provas com o nome Proof 6 x onde x o numero do argumento abaixo 6 5 a bAb cAc d 6 4 AAB VC a CAD CVB 6 5 A A E V C 6 E 6 A A B V A A C AAB V AAC AA BVC EXDEVIMENEE Z su ana aa B a Cu SL a la KNN RIE ti de oa y S e ra ue oar d 1 Vamos ilustrar as regras de introdu o da nega o e do absurdo mostrando como provar A a partir de A Esta e a outra dire o da dupla nega o inversa a da regra Elim Com o programa Fitch abra o arquivo Negation 1 2 Vamos examinar passo a passo a construcao da seguinte prova 1 A 2 A ae Intro 1 2 A IA Intro 2 3 3 Para construir esta prova adicione um passo imediatamente apos a premissa Transforme este passo em uma subprova selecionando New Subproof a partir do menu Proof Entre a hipotese A 4 Adicione um passo novo na subprova entre 1 e selecione a regra LIntro Cite os passos apropriados e verifique este passo bot o Check Step 5 Agora finalize a subprova e entre a sentenca final A logo apos a subprova Especifique a regra como in
175. e universidades mas noticias vendedores de livros Precisamos exluir de nossa busca os endere os com ou org 3 Digite tarski s world domain com domain org no campo de busca N o esque a dos parenteses e nem dos espa os Todas as express es no par nteses s o separadas por espa os Como resultado voc obter uma lista de todos os sites que cont m a express o tarski s world e cujos endere os nao terminam em com ou em org Voc vera que o n mero de sites da lista diminui para algumas dezenas tornando possivel sua tarefa 4 Digite tarski s world domain com domain org fitch proof no campo de busca e tecle ENTER Agora voce obtera uma lista com todos os sites que cont m tarski s world n o cont m os dominios com ou org em seus endere os e al m disso cont m a palavra fitch ou a palavra proof 1 a P a y s a a Ou seja os sites da lista n o s o dom nios com comerciais nem ore organiza es Vale lembrar que mesmo as 9 universidades privadas n o t m dom nios com 5 Construa uma express o de busca para encontrar p ginas web que contenham refer ncias aos programas Tarski s World e Boole mas n o contenham refer ncias nem a Fitch nem a Submit 3 29 S lidos Booleanos Quando fazemos uma busca booleana n s estamos de fato usando uma generaliza o das fun es de verdade boole
176. e v lido P1 S crates um homem P2 Todos os homens s o mortais P3 Nenhum mortal vive para sempre P4 Todos que cedo ou tarde morrer o se preocupam com isso de vez em quando S Socrates se preocupa com a morte de vez em quando Uma prova de que a conclus o consequ ncia l gica das premissas poderia ser obtida atrav s dos passos intermedi rios S4 e So abaixo P4 S crates um homem P2 Todos os homens s o mortais P3 Nenhum mortal vive para sempre P4 Todos que cedo ou tarde morrer o se preocupam com isso de vez em quando S1 S crates mortal de P4 e Po S gt S crates cedo ou tarde morrer de S4 e P3 S S crates se preocupa com a morte de vez em quando de S2 e P4 Isto prova que S conseq ncia l gica apenas de P4 P4 porque se estas premissas forem todas verdadeiras S4 ser verdadeira Isso garante a verdade de S2 que por sua vez garante a verdade de S Assim a verdade das premissas basta para garantir a verdade de cada um dos passos intermedi rios e portanto da conclus o desejada Demanda por Rigor Uma prova de que S se segue das premissas P1 Pn pode ser bastante longa e complicada No entanto cada passo da prova deve prover evid ncia absolutamente incontest vel de que a conclus o intermedi ria se segue do que foi anteriormente estabelecido Neste ponto a l gica extremamente rigorosa N o basta mostrar que cada passo de uma suposta prova se segue quase que c
177. e voc quer traduzir Projetando Linguagens H sempre muitas alternativas ao se projetar uma linguagem Por exemplo a senten a Claire deu Scruffy a Max pode ser traduzida criando se dois nomes max e claire e um predicado de dois lugares aridade 2 ou bin rio GaveScruffy x y que significa x deu Scruffy a y Ent o a sentenca original pode ser traduzida como GaveScruffy claire max Alternativamente voc pode introduzir o predicado de tr s lugares aridade 3 ou tern rio Gave x y z que significa x deu y a z e traduzir a sentenca como Gave claire scruffy max N o h nada de errado com nenhum destes dois predicados nem com as senten as traduzidas contanto que voc especifique claramente o que o predicado significa Escolhendo Predicados claro que o predicado bin rio mais restritivo que o tern rio A senten a Claire deu Max para Scruffy n o pode ser traduzida em uma linguagem que tenha apenas o predicado bin rio GaveScruffy x y mas com o predicado tern rio Gave x y Z ela pode ser assim traduzida Gave claire max scruffy Se quis ssemos traduzir esta senten a com um predicado bin rio ter amos que criar outro tal como GaveMax x y e ent o a tradu o seria GaveMax claire scruffy Em geral quando projetamos uma linguagem de primeira ordem tentamos economizar nos predicados e para isso utilizamos os mais flex veis poss veis Em nosso exemplo Gave x y z prefer vel ao par GaveScr
178. e x a Medium x gt 3y BackOf y x 8 vx Cube x A Medium x gt 3y BackOf y x Do you understand the difference between 7 and 8 They don t mean the same thing 9 vx Cube x Large x gt 3y BackOf y x 10 vx Cube x Large x gt 3y BackOf y x 11 3x Tet x A vy Cube y gt BackOf y x 12 3x Tet x vy BackOf y x 2 Cube y 13 3x Cube x vy Dodec y gt Smaller y x 14 3x Cube x vy Smaller y x 2 Dodec y 15 vx Cube x ay LeftOf x y gt Large x 16 vx Tet x A ay FrontOf x y gt Small x 17 vx 3y BackOf y x gt Cube x 18 vx 3y FrontOf y x gt Tet x 19 vx Tet x gt 3y 3z Between x y z 20 ay vx Tet x gt 3z Between x y z How does this differ from the one above They mean very different things 21 3z vx Tet x gt Jy Between x y z 22 3y 3z vx Tet x 2 Between x y z Do you see how this can be false even though 20 and 21 are true 23 3y vx Small x SameRow x y 24 vx Small x ay x 4 y A SameRow x y 25 vx Small x Jy x y A SameCol x y Sentencas de Hercule VX 23y Smaller y x gt x cvx dvx e You might want to skip this sentence until after you have understood the implications of 2 and 3 VX x av x d o ay 3z Between x y z This will let you determine the identity of d e coa d Dodec b av Dodec v LeftOf b v
179. e y2 irracional Mas e quanto a o Ou ele um n mero racional ou irracional 2 Se V2 racional j encontramos b e c irracionais tais que be racional S o eles b c X2 B m ay Se 42 irracional considere ent o o seguinte n mero 2 Noj 2 V242 Note que RB i o ds Jo Da 2 que um n mero racional J2 J2 Mas ent o se fizermos b N2 e C V 2 como estamos considerando y 2 irracional temos bec dois n meros irracionais tais que be 2 racional 2 5 Y Ou seja para cada uma das duas alternativas que consideramos Y2 como racionale V como irracional encontramos b e c irracionais tais que be um n mero racional Isso prova o teorema O que nos interessa nesta prova n o tanto o resultado mas o m todo da prova por casos De uma maneira geral o padr o de argumentac o conhecido como prova por casos o seguinte PROVA POR CASOS desejamos provar uma afirma o digamos S e conhecemos temos como premissa uma disjun o digamos P v Q Temos ent o que mostrar duas coisas 1 que S se segue quando assumimos P como premissa e 2 que S tamb m se segue quando assumimos Q como premissa Uma vez que sabemos que uma das duas P ou Q deve ser verdadeira j que nossa premissa inicial P v Q ent o n s conclu mos que S deve ser verdadeira Na verdade n o estamos limitados a apenas dois casos Se em qualquer est gio de uma prova temos uma disjun o de n
180. edium c 2 Cube c A Large c 3 Large c A Elim 2 4 Medium c V Large c V Intro 3 5 Medium c 6 Medium c V Large c V Intro 5 7 Medium c V Large c V Elim 1 24 5 6 2 Para utilizar a regra vElim neste caso nos precisaremos de duas subprovas uma para cada um dos disjuntos da premissa Uma boa estrat gia e iniciar ja especificando as duas subprovas necess rias antes de qualquer outro passo Para iniciar uma subprova adicione um passo novo e selecione New Subproof no menu Proof as teclas ctrl P sao um atalho para executar esta tarefa O programa Fitch move o cursor para a posi o da hip tese da subprova permitindo que voc entre a senten a que deseja Entre o primeiro disjunto de sua premissa inicial ou seja entre a sentenca Cube c A Large c Esta sentenca sera a hip tese a premissa desta subprova 3 Antes de trabalhar nesta subprova vamos agora especificar o segundo caso a segunda subprova para evitar que esque amos o que est vamos fazendo Para fazer isso precisamos inicialmente finalizar a primeira subprova e iniciar a segunda Finalize a primeira subprova atraves da op o End Subproof do menu Proof um atalho para fazer isso s o as teclas ctrl E Isso colocar um novo passo fora e imediatamente seguinte subprova 4 Inicie a segunda subprova neste passo escolhendo a op o New Subproof no menu Proof ou digitando o atalho ctrl P Entre agora o segu
181. emos uma nos pr ximos minutos Ent o neste caso tamb m n o h raz o para nos apressarmos Em qualquer um dos casos n o h raz o para pressa em voltar ao carro A esposa de J respondeu com o seguinte contra argumento mostrando que muitos anos de casamento com um l gico tem l seu impacto PROVA Ou n s vamos receber uma multa nos pr ximos minutos ou n o vamos Se vamos ent o podemos evit la apressando nos em voltar ao carro o que seria uma boa coisa Se n o vamos receber uma multa nos pr ximos minutos apressarmo nos em voltar ao carro seria um bom exerc cio e tamb m demonstraria nosso respeito lei e ambas estas coisas s o boas Ent o em qualquer evento apressarmo nos em voltar ao carro uma boa coisa a ser feita A esposa de J ganhou a discuss o LEMBRE SE Prova por casos Para provar S a partir de P4 v v P usando este metodo prove S a partir de cada um dos P Pn Prova Inidireta prova por absurdo Um dos mais importantes metodos de prova e conhecido como prova por absurdo Ele tambem chamado de prova indireta redu o ao absurdo algumas vezes em latim reductio ad absurdum Sua contrapartida formal em nosso sistema F ser chamada de introdu o da nega o A id ia b sica a seguinte PROVA POR ABSURDO suponha que voc queira provar uma sentenca negativa digamos S a partir de algumas premissas digamos P Pn Uma forma de fazer isso assumir temporari
182. en as at micas s o formadas colocando se um predicado de aridade n na frente de n nomes cercados por par nteses e separados por v rgulas Senten as at micas tamb m s o constru das a partir do predicado de identidade usando nota o infixa os argumentos s o colocados em cada um dos lados do predicado A ordem dos nomes crucial na forma o de senten as at micas 1 4 Linguagens de Primeira Ordem Gerais As linguagens de primeira ordem diferem nos nomes e predicados que elas cont m e portanto nas senten as at micas que podem ser constru das O que elas compartilham s o os conectivos e quantificadores que nos habilitam a construir senten as mais complexas a partir destas partes mais simples Tradu o Quando se traduz senten as do portugu s para FOL temos algumas vezes uma linguagem de primeira ordem predefinida que precisamos usar Como a linguagem de blocos do Mundo de Tarski Quando isso ocorre temos que produzir uma tradu o que capture ao m ximo o significado das senten a original dados os nomes e predicados dispon veis nesta linguagem predefinida Outras vezes contudo voc n o ter uma linguagem predefinida na qual deve fazer a tradu o Quando isto ocorre a primeira coisa a fazer decidir que nomes e predicados ser o necess rios para fazer a tradu o Voc ter que projetar livremente uma linguagem de primeira ordem nova capaz de expressar as senten as do portugu s qu
183. enten a em uma prova que utiliza TautCon como justificativa ele verifica se esta senten a se segue das senten as citadas testando apenas ao significado dos conectivos verofuncionais Ele ignora os significados de qualquer predicado das senten as TautCon tamb m ignorar os quantificadores que s o conectivos especiais n o verofuncionais que introduziremos mais adiante FOCon que deve seu nome a first order conseq nce 5 leva em considera o os conectivos verofuncionais os quantificadores e o predicado da identidade para verificar se uma determinada senten a que utiliza FOCon como justificativa consequ ncia l gica das senten as citadas por este passo FOCon pode por exemplo identificar que a c consequ ncia l gica de a b b c Ele mais forte do que TautCon pois toda consequ ncia l gica que TautCon reconhe a FOCon tamb m reconhecer AnaCon o mais forte destes tr s mecanismos pois ele tenta identificar consequ ncias l gicas devidas aos conectivos verofuncionais aos quantificadores identidade e maioria dos predicados da linguagem dos blocos AnaCon ignora os predicados Between e Adjoins simplesmente por raz es computacionais pr ticas Qualquer infer ncia de consequ ncia l gica que possa ser feita com TautCon ou FOCon pode em principio ser feita utilizando o mecanismo AnaCon Como j dissemos anteriormente voc s pode usar qualquer um destes mecanismos Con quando o enunciado do
184. er falsa em qualquer circunst ncia onde Cube c verdadeira e uma das senten as Cube a ou Cube b falsa Esta tabela mostra que nossa senten a n o uma tautologia Ademais como h claramente mundos de blocos nos quais c um cubo e a ou b n o s o a asser o feita pela senten a original n o logicamente necess ria Vamos olhar para mais um exemplo desta vez para uma senten a da forma A A v B A C v B Iniciamos a tabela de verdade preenchendo as colunas de refer ncia para as senten as at micas e a dos conectivos que se aplicam diretamente a senten as at micas Veja A A A y BAC v B 1 7 71 4A no Ty TY A Podemos agora preencher a coluna sob a disjun o v que conecta A e B AC nos referindo aos valores das colunas que acabamos de preencher Como se trata de uma disjun o s haver F nas linhas em que ambos os seus constituintes forem falsos HA A HA BAC v B II P lt AU T T E Y nm J J ao JI Hi HH nn n Als Edd n a NA Agora preenchemos a coluna abaixo do simbolo A que ainda resta Para fazer isso precisamos nos referir aos valores da coluna de A e da coluna que acabamos de preencher Como se trata de uma conjun o s haver T nas linhas em que os dois valores destas colunas sejam T A melhor maneira de fazer isso colocando um dedo em cada uma destas colunas A e a colu
185. er ncias discutidos no Exerc cio 8 1 Alguns destes padr es s o formas v lidas de infer ncia tradicionalmente conhecidas e utilizadas Para estes fa a uma prova da conclus o a partir das premissas utilizando o programa Fitch Alguns outros n o s o padr es v lidos S o fal cias d o a impress o de serem v lidos mas n o s o Para estes traduza as senten as A B C por senten as da linguagem de blocos Por exemplo Tet a Large b e construa um contra exemplo ou seja construa um mundo no qual as tradu es das premissas sejam verdadeiras e a tradu o da conclus o seja falsa Grave suas provas ou contra exemplos 8 18 AFIRMA O DO CONSEQUENTE AB B A 8 20 FORTALECIMENTO DO ANTECEDENTE BoC An B gt C 8 22 FORTALECIMENTO DO CONSEQUENTE AB A B C 8 24 DILEMA CONSTRUTIVO AvB AC BD CvD 8 19 MODUS TOLLENS AB B A 8 21 ENFRAQUECIMENTO DO ANTECEDENTE BoC Av B gt C 8 23 ENFRAQUECIMENTO DO CONSEQUENTE AB AS B v C 8 25 TRANSITIVIDADE DO BICONDICIONAL AB Boc AC Utilize o programa Fitch para construir provas formais dos seguintes argumentos Em dois deles no 8 28 e no 8 29 voc pode se encontrar em uma situac o em que tenha que provar alguma inst ncia da Lei do Terceiro Exclu do P v P para conseguir completar sua prova Se voc esqueceu como fazer isso reveja a solu o do Exerc cio 6 33 8 26 8 27 P gt Q gt P P
186. er b a 6 16 Smaller a b v Smaller b a 4 SameSize a b 4 SameSize a b 6 17 Tente recriar a suposta prova abaixo com o programa Fitch 1 Tet a A Large c V Tet a A Dodec b 2 Tet a A Large c 3 Tet a A Elim 2 4 Tet a A Dodec b 5 Dodec b A Elim 4 6 Tet a A Elim 4 7 Tet a V Elim 1 2 3 4 6 8 Tet a A Dodec b A Intro 7 5 Qual passo Fitch n o lhe permite executar Por que A conclus o sentenca 8 e uma conseq ncia da premissa senten a 1 Explique suas respostas Use o programa Fitch para apresentar provas formais dos seguintes argumentos Voc precisar utilizar subprovas dentro de subprovas para prov los 6 18 AVB 6 19 AVB 6 20 AVB 7 NON di BVC KAE AVC A V BAC EXDEFIMENIE TT x iaa ra e kela cd e C va Sa o e ara DE ME as be es NER HEURE 1 Abra o arquivo Strategy 1 Inicie entrando a conclus o desejada em um passo novo da prova Vamos construir esta prova trabalhando de tr s para frente Adicione um passo anterior conclus o que voc acabou de entrar de tal modo que sua prova fique com a seguinte forma 1 PVa Q bo oka Rule PG Rule 2 O m todo principal que utilizaremos a redu o ao absurdo que corresponde em nosso sistema formal regra de introdu o da nega o Intro Transforme ent o o passo em branco em uma subprova com a hip tese PAQ e o simbolo de contradi o no final Tamb m adicione um passo entre estes dois para
187. er um erro jogue o jogo para ver onde voc errou Quando tiver terminado volte e transforme todas as sentencas FALSAS em VERDADEIRAS atrav s da troca de um ou mais nomes usados na sentenca 7 11 Descrevendo um Mundo Inicie o programa Tarski s World e selecione a op o Hide Labels no Menu Display Esta op o esconde n o mostra os nomes dos objetos dos mundos Abra ent o o arquivo Montague s World Neste mundo cada objeto tem um nome e nenhum objeto tem mais de um nome Note que estes nomes n o aparecer o porque a opc o Hide Labels que voc selecionou os esconde Inicie um arquivo de senten as novo no qual voc descrevera algumas caracteristicas deste mundo Verifique Bot o Verify cada uma das senten as para ver que elas s o de fato verdadeiras neste mundo 1 Note que se c um tetraedro ent o a n o um tetraedro Lembre se que neste mundo cada objeto tem exatamente um nome Use sua primeira senten a para expressar este fato 2 Note tamb m que o mesmo valido para b e d Ou seja se b um tetraedro ent o d n o e Use sua segunda senten a para expressar isso 3 Finalmente observe que se b um tetraedro ent o c n o Expresse isso Note que se a um cubo e b um dodecaedro ent o a est a esquerda de b Use sua pr xima senten a para expressar este fato 5 Use sua pr xima senten a para expressar o fato de que se b e c s o ambos cubos ent o eles est o na mesma linha mas n o est
188. ermos complexos s o tipicamente formados colocando se um s mbolo de fun o de aridade n na frente de n termos simples ou complexos e Termos complexos s o usados exatamente como os nomes termos simples na constru o de senten as at micas e Em FOL assumimos que os termos complexos tamb m se referem a um e apenas um objeto Cap tulo 2 A L gica das Senten as At micas O principal assunto em l gica o conceito de consequ ncia l gica Quando uma senten a declara o ou afirma o se segue logicamente de outras De fato uma das principais motiva es para cria o de FOL foi tornar o conceito de consequ ncia l gica t o claro quanto poss vel Neste cap tulo explicaremos o que significa dizer que uma senten a consequ ncia l gica de outras ou equivalentemente o que significa dizer que um argumento logicamente v lido Apesar de ser um conceito f cil de entender ele pode ser diabolicamente dif cil de aplicar em situa es espec ficas Os matem ticos sabem bem disso Descreveremos tamb m as principais t cnicas utilizadas para mostrar que uma determinada afirma o ou n o uma consequ ncia de outras afirma es Vamos por fim iniciar a apresenta o do que conhecido como um sistema formal de dedu o um sistema que nos permite mostrar que uma senten a de FOL uma consequ ncia de outras Este sistema continuar sendo desenvolvido nos pr ximos cap tulo
189. ertamente dos passos anteriores preciso que haja 100 de certeza em cada passo intermedi rio Em nossos argumentos do dia a dia talvez possamos abdicar dos 100 de certeza mas se quisermos demonstrar que S tem que ser verdadeiro quando P1 Pn O s o precisamos ser mais rigorosos H uma raz o pr tica para este rigor Os racioc nios passo a passo que eventualmente fazemos no dia a dia t m geralmente um pequeno n mero de passos Mesmo que pequenas incertezas sejam acrescentadas nos passos intermedi rios seu ac mulo n o compromete muito o resultado final Mas em muitos tipos de argumenta o n o este o caso Os ge metras por exemplo baseiam sua disciplina em um pequeno n mero de axiomas os 5 axiomas de Euclides V o provando conclus es a partir destes axiomas chamadas de teoremas Os teoremas j provados s o utilizados na prova de novos e mais interessantes teoremas A prova de um teorema inclui portanto as provas de todos os teoremas nela utilizados Assim se f ssemos escrev la completamente uma prova aparentemente simples poderia ter centenas talvez milhares de passos Se n s permitissemos mesmo a mais sutil incerteza nos passos individuais estas incertezas poderiam se multiplicar tanto at que uma alegada prova tornasse a verdade de sua conclus o n o mais confi vel que sua falsidade M todos de Prova Sempre que introduzirmos novos tipos de express es em nossa linguagem discutiremos
190. es querem dizer com isso que todos os seguintes bicondicionais s o verdadeiros 01 02 Q2 Q3 Q1 Q3 Provando um Ciclo de Condicionais Para provar estes tr s bicondicionais da forma padr o que vimos acima voc precisar de fazer seis provas condicionais duas para cada bicondicional Mas podemos diminuir nosso trabalho pela metade se notarmos que suficiente provar algum ciclo de resultados como o seguinte 3 Qi gt Q2 02 gt Qs Q3 gt Qi Uma prova destas declara es necessitaria de apenas tr s provas condicionais Uma vez que voc tenha provado estas declara es n o h necessidade de provar as dire es reversas das implica es uma vez que elas se seguem por transitividade de Por exemplo n s n o precisamos provar explicitamente que Qo gt Qi a dire o reversa do primeiro condicional uma vez que esta implica o se segue de Q2 gt Qs e Qs gt Q1 nossos outros dois condicionais Vejamos um exemplo bastante simples Provaremos que as seguintes condi es sobre um n mero natural n s o todas equivalentes 1 n par 2 n2 par 3 n divis vel por 4 PROVA no lugar de provar todos os seis condicionais provaremos que 3 gt 2 5 1 gt 3 Assuma 3 Se n2 divis vel por 4 ent o claro que divis vel por 2 Portanto 3 gt 2 Em seguida provaremos que 2 gt 1 atrav s da contrapositiva Assim assumiremos que n mpar e provaremos que n mp
191. es como China ndia e Brasil se recusar o a realizar esfor os conjuntos para diminuir as emiss es de di xido de carbono Como sem estes esfor os estes pa ses se desenvolvem a emiss o de di xido de carbono piorar e o efeito estufa se acelerard Como consequ ncia os oceanos se aquecer o gelo dos p los derreter o e o nivel do mar subir Neste caso as baixas reas costeiras da Calif rnia sofrer o inunda es nos pr ximos 50 anos Portanto se os EUA n o diminuir seu consumo de petr leo partes da Calif rnia ser o inundadas nos pr ximos 50 anos 8 12 Descreva uma infer ncia do dia a dia que utiliza o metodo da prova condicional 8 13 Prove que Impar n m gt Par n x m Sugest o compare este caso com o Exerc cio 5 24 8 14 Prove que Irracional x gt Irracional Nx Sugest o mais f cil provar a contrapositiva 8 15 Prove que as seguintes condi es para os n meros naturais s o todas equivalentes Use o m nimo poss vel de provas condicionais 1 n divis vel por 3 4 m divis vel por 3 2 n divis vel por 3 5 m divis vel por 9 3 n divis vel por 9 6 n divis vel por 27 8 16 Fa a uma prova informal da seguinte propriedade Se R uma consequ ncia tautol gica de P4 P e O ent o Q5 R uma consequ ncia tautol gica de P4 Pp EXPerimente 1 x55 ANTIS ROKE RE a E DUE eec ais 1 Vamos fazer passo a passo uma prova de AC partindo da
192. etado por uma propriedade ou rela o determin vel da mesma aridade que o predicado 1 3 Senten as At micas Uma senten a formada por um predicado de aridade n seguida por n nomes chamda senten a at mica Taller claire max e Cube a s o exemplos de senten as at micas Nota ao Infixa x Nota o Prefixa Para o caso do s mbolo de identidade colocaremos os dois nomes requeridos um de cada lado do predicado como em a b Isto chamado de nota o infixa Para os outros predicados usaremos a nota o prefixa o s mbolo de predicado precede os argumentos A Ordem dos nomes importante A ordem dos nomes em uma senten a at mica bastante importante Da mesma forma que Claire mais alta do que Max significa algo diferente de Max mais alto do que Claire tamb m Taller claire max significa algo completamente diferente de Taller max claire Afirma es Predicados e nomes designam propriedades e objetos respectivamente que s o partes de senten as Mas o que torna as senten as especiais que elas fazem afirma es ou expressam proposi es Uma afirma o algo que verdadeiro ou falso Valor de Verdade Verdadeiro TRUE e falso FALSE s o chamados de valores de verdade Assim por exemplo Taller daniel dapaz expressa uma afirma o cujo valor de verdade TRUE e Taller dapaz daniel expressa uma afirma o cujo valor de verdade falso LEMBRE SE Sent
193. etodo justificaria uma infer ncia invalida premissa P V Q verdadeira e conclus o S V T falsa Exerc cios do Cap tulo 8 A L gica dos Condicionais EXGICICIOS MEN de So sd TR ese DE tol ado O da GS ad te O Se E el mada 8 1 Na lista seguinte apresentamos v rios padr es de infer ncia Alguns sao validos alguns n o sao Para cada padr o decida se ele v lido ou n o Mais tarde retornaremos a estes padr es atraves de provas formais e contra exemplos Mas por agora apenas avalie sua validade AFIRMA O DO CONSEQUENTE MODUS TOLLENS ASB ASB B B A A FORTALECIMENTO DO ANTECEDENTE ENFRAQUECIMENTO DO ANTECEDENTE BC BoC Av B gt C Av B gt C FORTALECIMENTO DO CONSEQUENTE ENFRAQUECIMENTO DO CONSEQUENTE AB AS B A BAC A B v C DILEMA CONSTRUTIVO TRANSITIVIDADE DO BICONDICIONAL AvB A lt B ASC Boc B D Asc CvD 8 2 Abra o arquivo Conditional Sentences no programa Mundo de Tarski Suponha que as sentencas neste arquivo sao suas premissas Agora considere as cinco sentencas listadas abaixo Algumas delas sao consequ ncia destas premissas algumas n o sao Para as que sao fa a uma prova informal Para as que nao sao consequ ncia construa um contra exemplos em que as premissas s o verdadeiras e conclus o a senten a especifica da lista abaixo falsa Grave seus contra exemplos com os nomes World 8 2 x onde x o n mero da senten a 1 Tet e 4 Tet c gt LeftOf c f 2 Tet c gt Tet e 5
194. evem ser prov veis em nosso sistema formal Apesar de as suas provas informais serem relativamente simples suas provas formais n o o s o uma vez que necess rio provar passos bastante bvios Use o programa Fitch para construir provas formais destas senten as sem a utiliza o de premissas A prova da lei do terceiro excluido exerc cio 6 33 pode ser um bom modelo para inspira lo nestes exerc cios literais s o senten as at micas ou nega es de senten as at micas Exemplo Tet a e Larger a b 6 40 6 41 p V AAB 6 42 gx A V 3 3B A V BJ pA 10 Exerc cios do Cap tulo 7 Condicionais EEOC NO Sc ue sae MO QR ee air tol O Gn doe GS O de od O E a ew Use o programa Boole para determinar se os seguintes pares de senten as s o tautologicamente equivalentes 71 A B and AV B 7 2 A B and AA B 7 3 AGB and A 5 BJA B gt A 7 4 A B and A B V VA B 7 5 A B Cand Ao BVC 7 6 AAB gt C and AS B5 C 7 7 A B C 5 D and 78 Ao B o C o D and y ASB Cyd 7 A B e C e D 7 9 Just in case Prove que a interpreta o usual n o matem tica da express o inglesa just in case n o um conectivo verofuncional Use como caso de exemplo a senten a Max went home just in case Carl was hungry 7 10 Avaliando sentencas em um mundo Com o programa Mundo de Tarski avalie cada uma das Sentencas de Abelardo no Mundo de Wittgenstein Se voc comet
195. falsidade de uma disjun o verdadeira Ent o voc est comprometido com a falsidade de cada um dos disjuntos O programa apontar para voc que voc est comprometido com a falsidade de Cube b Mas isto est claramente errado uma vez que b um cubo Continue ate o Mundo de Tarski dizer lhe que voc perdeu 4 Jogue novamente desta vez comprometendo se com a falsidade da senten a Voc ser capaz de ganhar o jogo desta vez Se n o conseguir volte e tente novamente 5 Grave sua janela de senten as com o nome de Sentences Game 2 EX CIO cs eee ee ee de as O DR EB dE d as ee q a 3 8 Se voc pulou a se o Experimente 3 volte e fa a a agora 3 9 Abra o arquivo Wittgenstein s World e o arquivo Sentences 3 6 que voc criou para o Exerc cio 3 6 Modifique suas senten as substituindo todos os A por v Grave o arquivo modificado com o nome Sentences 3 9 Decida agora quais destas senten as modificadas s o verdadeiras Novamente anote suas escolhas Ent o utilize o programa para avaliar as senten as e checar suas escolhas CTRL F Em todos os casos que tenha errado use o jogo para ver onde cometeu o erro Caso n o tenha errado nada jogue algumas vezes mesmo assim Como no Exerc cio 3 6 encontre o n mero m ximo de senten as que voc pode tornar verdadeiras atraves da mudan a do tamanho ou da forma ou ambos do bloco f Grave o mundo modificado com o nome World 3 9 3 10 Abra o arquivo Ramsey s World e
196. forma o conectivo pode relacionar consequ ncia l gica com necessidade l gica Quest o 15 Explique as semelhan as e diferen as entre os conceitos 15 1 a Necessidade L gica b Tautologia ou TT necessidade c TW necessidade 15 2 a Possibilidade L gica b TT possibilidade ou Possibilidade Tautol gica c TW possibilidade 15 3 a Equival ncia L gica b Equival ncia Tautol gica 15 4 a Consequ ncia L gica b Consequ ncia Tautol gica Quest o 16 Quais as regras de introdu o e elimina o do sistema F para os conectivos A v gt L Quest o 17 Tf 17 2 14 9 O que significa dizer que um sistema formal o Sistema F por exemplo completo O que significa dizer que um sistema formal o Sistema F por exemplo correto Uma vez que um sistema seja correto e completo quais as consequ ncias desse fato com rela o defini o de consequ ncia l gica neste sistema Todas as Senten as do Programa Mundo de Tarski Todas as Senten as Senten as de Abelardo Cube d gt Cube f Cube d 5 Tet f Dodec d 5 Tet f Dodec d 5 Cubeff SameSize a b gt SameRow a b SameSize a b gt SameSize a c sameSize a c gt SameSize a b SameSize a c gt SameSize a d Tet a A Cube c gt Dodec d LeftOf a b gt RightOf b a LeftOf e d gt RightOf d e LeftOf a c A LeftOf c b gt Between c a b
197. funciona exatamente como uma premissa adicional Mas ap s a subprova a suposi o n o est mais em vigor Antes de apresentarmos a forma esquem tica da elimina o da disjun o vamos olhar para uma prova particular que usa a regra Ela servir como um exemplo concreto de como as subprovas aparecem em F 1 AAB V CAD 2 f A A B 3 B A Elim 2 4 BVD V Intro 3 5 CAD 6 D A Elim 5 VON LISTA v Intro 6 8 BVD V Elim 1 2 4 5 7 Se substituirmos A B C e D por Home max Happy cleo Home claire e Happy miau esta prova se torna a formaliza o da prova que apresentamos na p gina 4 do Cap tulo 5 Ela cont m duas subprovas Uma delas vai da linha 2 a 4 e mostra que Bv D obtido quando assumimos temporariamente A A B A outra vai da linha 5 7 e mostra que a mesma conclus o B v D obtida quando assumimos C D Estas duas subprovas juntas com a premissa A B v C D s o exatamente o que precisamos para aplicar o m todo da prova por casos ou conforme n s iremos cham lo a regra da elimina o da disjun o Examine cuidadosamente esta prova e compare a com a prova informal apresentada na p gina 4 do Cap tulo 5 para ver se voc entende o que est acontecendo Repare que os passos das suposi es das duas subprovas n o precisam ser justificados por nenhuma regra da mesma forma que a premissa da prova maior principal tamb m n o requer justifica o Isto porque n s n o estamos 4 reiv
198. har de voce Certifique se de entender TUDO o que acontece em todo o processo do jogo Em seguida modifique o tamanho do bloco f preveja como isto ira afetar o valor de verdade das 10 sentencas e veja se sua predicao esta correta Qual e o numero maximo destas sentencas que voce consegue tornar verdadeiras em um unico mundo Construa um mundo no qual o maximo numero de sentencas sejam verdadeiras Grave ambos os arquivos como World 3 6 e Sentences 3 6 3 7 Construindo um Mundo Abra o arquivo Max s Sentences Construa um mundo em que todas as senten as sejam verdadeiras Voc deve iniciar com um mundo com seis blocos e ir modificando o tentando tornar todas as senten as verdadeiras Certifique se de que conforme voc faz as ultimas senten as verdadeiras voc n o falsifica inadvertidamente as primeiras Grave seu trabalho como World 3 7 EXDENIMENCE O e 45 7 2 9 h bet Or o aee te e pru v d mu otc V bite dp onda 1 Abra o arquivo Ackermann s World Inicie um arquivo de senten as novo e entre a seguinte senten a certificando se de n o errar os par nteses Cube c v Cube a v Cube b 2 Jogue o jogo comprometendo se erroneamente com a verdade desta sentenca Como a sentenca uma disjun o e voc est comprometido com sua verdade voc ser solicitado a escolher um dos disjuntos que considera falso Como o primeiro obviamente falso escolha o segundo 3 Neste ponto voc se encontrar comprometido com a
199. hum objeto ao qual o termo mother ad o se refira e certamente n o h nenhum objeto ao qual mother 3 se refere Ao projetar uma linguagem de primeira ordem com fun es voc deve se assegurar de que os seus termos complexos sempre tenham refer ncia a um nico e existente indiv duo Simbolos de Fun o para a Linguagem de Blocos A linguagem de blocos conforme implementada no Mundo de Tarski n o tem s mbolos de fun o mas n s poder amos facilmente estend la para incluir alguns Suponha por exemplo que introduzimos os s mbolos de fun o fm bm Im e rm com os quais podemos formar termos complexos tais como fm a Im bm c rm rm fm d Poder amos interpretar estes s mbolos de func o como fm a se refere ao bloco mais a frente na mesma coluna que o bloco com nome a frontmost Assim se h v rios blocos na coluna de a fm a se refere ao que est mais a frente mesmo que seja o pr prio a Analogamente poder amos interpretar bm Im e rm respectivamente como backmost o bloco mais atr s na coluna leftmost o bloco mais esquerda na linha e rightmost o bloco mais direita na linha Com estas interpreta es o termo Im bm c se referiria ao bloco mais esquerda da linha em que est o bloco mais atr s na coluna do bloco c A senten a at mica Larger Im bm c c seria verdadeira se e somente se este bloco fosse maior que c LEMBRE SE Em uma linguagem com s mbolos de fun o e T
200. i da contraposicao P gt Q o Q gt P 2 Inicie sua prova esquematizando as duas subprovas que sabe que ter que fazer mais a conclus o desejada Sua prova parcial se parecer com 1 P gt Q 2 5Q P Rule 3 AQ gt P 4 P gt Q Rule 5 P Q o IQ P Intro 1 2 3 4 3 Agora que j tem a estrutura geral da prova inicie preenchendo a primeira subprova Uma vez que a meta da subprova uma afirma o condicional uma implica o esquematize uma prova condicional que lhe dar tal implica o D AP Rule 4 AQ P Intro 2 3 5 Q P 6PQ Rule 7 P Q IQ P Intro 1 4 5 6 4 Para derivar P na subprova voc precisar assumir P e derivar uma contradi o Isto algo bastante direto 1 P gt Q 2 Q 3 P 4 Q Elim 1 3 O ali Intro 4 2 D P Intro 3 5 T Q P Intro 2 6 8 Q P 9 P Q Rule 10 P Q e AQ gt P Intro 1 7 8 9 5 Isto completa a primeira subprova Felizmente voc esquematizou a segunda subprova ent o voc sabe o que tem que fazer a seguir Voc deve ser capaz de terminar a segunda subrpova sozinho uma vez que ela quase id ntica a primeira 6 Quando tiver terminado grave sua seu trabalho com o nome Proof Conditional 3 Da A 8 17 Se pulou as se es Experimente 1 e 2 acima Volte e fa a as Elas s o muito importantes Nos exercicios seguintes retornamos aos padr es de inf
201. ia O objetivo deste livro introduzi lo a alguns dos mais importantes conceitos e ferramentas da l gica Nossa meta fornecer respostas sistem ticas e detalhadas s quest es levantadas acima Queremos que voc entenda exatamente como as leis da l gica se seguem inevitavelmente dos significados das express es que usamos para fazer afirma es Conven o crucial para atribuir significado linguagem mas uma vez que o significado estabelecido as leis da l gica se seguem inevitavelmente Mais particularmente temos dois objetivos O primeiro ajud lo a aprender uma linguagem nova a linguagem da l gica de primeira ordem O segundo ajud lo a aprender sobre a no o de consequ ncia l gica e sobre como proceder para estabelecer se alguma afirma o ou n o uma consequ ncia l gica de outras afirma es aceitas Mesmo que haja muito mais em l gica do que podemos sequer mencionar neste livro ou do que qualquer pessoa poderia aprender no tempo de uma vida n s podemos pelo menos cobrir estes assuntos mais b sicos Por que aprender uma linguagem artificial Esta linguagem da l gica de primeira ordem muito importante Como Latim a linguagem n o falada mas diferentemente de Latim ela usada todos os dias por matem ticos fil sofos cientistas da computa o ling istas e praticantes da intelig ncia artificial De fato de certo modo ela uma linguagem universal a lingua franca das ci ncias
202. ias l gicas conhecidas Portanto sinta se livre em us las quando lhe for pedido para fazer uma prova informal Por exemplo voc pode usar livremente o princ pio da dupla nega o P lt P ou DeMorgan em qualquer prova informal Um caso especial desta regra inicial o seguinte REGRA INICIAL caso especial Se voc j sabe que uma determinada senten a Q uma verdade l gica necessariamente verdadeira ent o voc pode afirmar Q em qualquer ponto de sua prova J vimos este principio em a o no Cap tulo 2 quando utilizamos a regra Intro que nos permite afirmar qualquer sentenca da forma a a em qualquer ponto de uma prova Da mesma forma podemos de acordo com este princ pio afirmar verdades l gicas simples como o princ pio do terceiro exclu do P v P em qualquer ponto de uma prova Os tr s passos de infer ncia v lidos que veremos a seguir s o t o bvios que em geral s o utilizados sem sequer serem citados nas provas informais Elimina o da Conjun o De uma conjun o com qualquer n mero de senten as P4 A A Pn correto inferir qualquer um de seus conjuntos Pi 1 lt i lt n Isto porque claro que qualquer Pi consequ ncia l gica da conjun o uma vez que para ela ser verdadeira todos os conjuntos t m que ser individualmente verdadeiros n o poss vel a conjun o ser verdadeira e algum Pi individual ser falso Introdu o da Conjun o Para p
203. iblioteca verdadeiras No entanto na situa o 1 P porque Q Max est em casa porque Claire est na biblioteca verdadeira mas na situa o 2 P porque Q falsa Portanto porque n o uma fun o de verdade Quando P e Q s o ambos verdadeiros n o temos como saber se P porque Q ser verdadeiro ou falso A raz o pela qual porque n o fun o de verdade que este conectivo tipicamente afirma uma conex o causal entre os fatos descritos pelas senten as constituintes Na prova acima os valores de verdade de P e Q n o se alteraram entre as situa es O que se alterou foi que na primeira situa o uma conex o causal estava presente entre P e Q e na segunda n o estava Os conectivos l gicos e a rela o de consequ ncia l gica ao contr rio do que muita gente pensa n o estabelecem conex es causais entre as senten as A l gica uma disciplina anal tica ela n o pode nos dizer nada sobre as conex es causais dos fatos do mundo Neste cap tulo vamos introduzir dois conectivos verofuncionais novos a implica o material ou condicional material e a biimplica o material ou bicondicional material Como veremos no final do cap tulo estes novos s mbolos de fato n o aumentam o poder expressivo de FOL Eles no entanto tornam muito mais f cil dizer e provar certas coisas e portanto s o adi es v lidas nossa linguagem Implica o Material ou Condicional O s mbolo gt u
204. idade L gica Senten as logicamente necess rias tamb m s o chamadas de verdades l gicas Portanto os termos verdade l gica e necessidade l gica s o sin nimos importante n o confundir o conceito de verdade l gica com o de ser verdadeira ou mais precismante ter valor de verdade T Verdade l gica uma no o absoluta Independe do mundo pois s o verdades l gicas as senten as que s o verdadeiras em todas as circunst ncias logicamente poss veis Em todos os mundos poss veis J ter o valor de verdade T ou ser verdadeira uma no o relativa Uma senten a da linguagem dos blocos por exemplo ser verdadeira ou falsa apenas quando confrontada com algum mundo Justamente para evitar este tipo de confus o o termo necessidade l gica prefer vel ao verdade l gica Mas como os dois s o utilizados por a importante conhec los Possibilidade L gica e Necessidade L gica Intuitivamente uma senten a logicamente poss vel se ela pode ser ou poderia ter sido verdadeira Pelo menos do ponto de vista l gico Pode haver outras raz es raz es f sicas por exemplo para que uma senten a seja falsa mas se n o h nenhuma raz o l gica a senten a logicamente poss vel Por exemplo n o fisicamente poss vel mover se mais r pido que a velocidade da luz no entanto tal movimento sim logicamente poss vel Imagin lo n o viola nenhum princ pio l gico O teletransporte
205. imo duas premissas como suporte Feche a janela de metas e retorne a prova 6 A senten a que voc digitou se segue da senten a imediatamente acima dela e de apenas uma das tr s premissas Desfa a as cita es das tr s premissas cite a senten a imediatamente acima desta ltima e tente descobrir qual a premissa que falta para obtermos a consequ ncia tautol gica Quando tiver conseguido grave seu trabalho com o nome Proof Taut Con 1 EXPerIMente Sas ars dence ec o e ruko e Su bobo a le rs ee ate dt eS 1 Com o programa Fitch abra o arquivo Taut Con 2 Voc encontrar uma prova contendo 10 passos cujas regras n o foram especificadas 2 Coloque o cursor de foco em cada passo Um de cada vez Voc descobrir que os passos de suporte a cada um deles j foram citados Para cada um dos passos tente se convencer de que ele se segue das senten as citadas O passo em quest o uma consequ ncia tautol gica das senten as citadas Se for indique isso escolhendo TautCon como a regra que justifica o passo e verifique se voc est certo bot o Check Step Se n o for consequ ncia tautol gica indique a regra que o justifica como AnaCon e verifique o passo 3 Quando a verifica o de todos os passos com as regras TautCon ou AnaCon estiver OK volte e tente descobrir qual o nico passo justificado com AnaCon que voc pode trocar por FOCon 4 Quando cada passo estiver justificado com a regra Con mais frac
206. incipal de p mas tamb m s senten as que ocorrem nas subprovas n o importando qu o profundamente aninhadas elas sejam As suposi es em vigor em um dado passo sempre incluem as premissas principais mas se estamos lidando com um passo interno a subprovas aninhadas est o em vigor tamb m todas as suposi es destas subprovas O teorema da corre o consequ ncia da afirma o 1 porque se S est no n vel principal de p ent o as nicas suposi es em vigor s o as premissas P41 Pn Logo S consequ ncia tautol gica de P1 Pn Para provar a afirma o 1 usaremos o m todo da prova por absurdo Suponha por absurdo que haja um passo em p contendo uma senten a que n o uma consequ ncia tautol gica das suposi es em vigor naquele passo Chamaremos este de um passo inv lido A id ia de nossa prova olhar para o primeiro passo inv lido em p e mostrar que nenhuma das 12 regras de Fr poderia justific lo Em outras palavras aplicaremos o m todo da prova por casos para mostrar que haver uma contradi o seja qual for a regra de Fr tenha sido aplicada para justificar o passo inv lido Isso nos permitir concluir que nossa suposi o hip tese do absurdo de que h um passo em p contendo uma senten a que n o consequ ncia tautol gica das suposi es em vigor naquele passo tem que ser falsa Logo n o h passos inv lidos nas provas de Fr e portanto Fr correto S consequ ncia tautol
207. indicando que estas suposi es se sigam do que ocorre antes delas na prova mas estamos apenas assumindo as e mostrando que certas senten as se seguem destas suposi es Note tamb m que utilizamos a regra vintro duas vezes nesta prova uma vez que esta a nica forma de derivar a senten a desejada em cada subprova Apesar de parecer que estamos jogando informa o fora quando inferimos B v D a partir da afirma o mais forte B quando voc considera a prova como um todo torna se claro que BvD a afirma o mais forte que se segue da premissa original Podemos agora apresentar a vers o esquem tica da elimina o da disjun o vElim P V a da V P n E O que o esquema acima denota que se voc obteve a disjun o P4 v v Pn e mostrou que S se segue de cada um dos disjuntos de P4 at Pn ent o voc pode concluir S Novamente n o importa a ordem em que as subprovas aparecem ou mesmo se elas est o depois da disjun o Quando aplicar a regra voc deve citar o passo contendo a disjun o mais cada uma das subprovas requeridas Vejamos outro exemplo desta regra para enfatizar como as justifica es cita es envolvendo subprovas deve ser feitas Aqui abaixo temos uma prova que mostra que A consequ ncia da senten a BAA v AAC 1 BA A V A C 2 BAA 3 A A Elim 2 4 AAC 5 A Elim 4 6 A V Elim 1 2 3 4 5 A justificativa para o passo 6 mostra a forma que devemos citar subprovas A
208. inicie uma janela de senten as nova Digite as seguintes senten as no arquivo 1 Between a b c v Between b a c 3 SameRow b c v LeftOf b a 2 FrontOf a b v FrontOf c b 4 RightOf b a v Tet a Atribua valor de verdade para cada uma destas sentencas de acordo com o mundo de Ramsey Verifique suas escolhas verificando o valor de verdade que o programa atribui CTRL F Faca agora uma simples modificacao no mundo que transforma todas as sentencas em falsidades Grave o mundo modificado com o nome World 3 10 e as sentencas com o nome Sentences 3 10 3 11 Certifique se de que o programa Mundo de Tarski esteja configurado para apresentar os mundos em 3D op o 3 D View do menu Display Ent o abra os arquivos Kleene s World e Kleene s Sentences Alguns objetos est o escondidos atr s de outros tornando impossivel avaliar a verdade de algumas senten as Cada um dos seis nomes a b c d e e f nomeiam objetos do arquivo Mesmo sem ver todos os objetos algumas das senten as da lista podem ser avaliadas mesmo com as informa es incompletas que temos Avalie a verdade ou falsidade de cada afirma o se puder sem recorrer vis o 2 D do mundo Ent o jogue o jogo Se seu compromisso inicial for correto mas voc perder o jogo volte e jogue outra vez Feito isso adicione coment rios em cada senten a explicando se voc pode avaliar a seu valor de verdade no mundo em 3 D e porque Finalmente selecione a op o 2 D View do
209. ional tem os mesmos nomes nenhum simbolo de fun o e os predicados bin rios Taller e FatherOf onde FatherOf c b significa que c o pai de b Traduza as senten as at micas seguintes da linguagem relacional para a linguagem funcional Tenha cuidado Algumas senten as at micas tais como claire claire s o senten as das duas linguagens 1 FatherOf jon claire 2 FatherOf jon melanie 3 Taller claire melanie Quais das senten as at micas seguintes da linguagem funcional podem ser traduzidas em senten as at micas da linguagem relacional Traduza aquelas que podem ser traduzidas e explique o problema que ocorre com as que n o podem 4 father melanie jon 5 father melanie father claire 6 Taller father claire father jon Quando adicionarmos conectivos e quantificadores a FOL seremos capazes de traduzirmos livremente nos dois sentidos entre as linguagens funcionais e relacionais 1 16 Vamos supor que todos tenham um astro de cinema favorito Dada esta hip tese construa uma linguagem de primeira ordem para falar sobre pessoas e suas estrelas de cinema favoritas Utilize um simbolo de fun o que permita a voc se referir ao astro de cinema favorito de um individuo e mais um simbolo de rela o que permita a voc dizer que uma pessoa um ator melhor do que outra Explique a interpreta o de seus simbolos de fun o e rela o e ent o utilize sua linguagem para expressar as seguintes afirma es
210. iro exclu do Qualquer inst ncia deste princ pio uma tautologia Dito em outras palavras a substitui o de P por qualquer senten a tem como resultado uma tautologia Vejamos uma tabela de verdade mais complexa Considere a seguinte senten a Cube a A Cube b v Cube c Para simplificar a constru o da tabela abreviaremos as tr s senten as at micas presentes na senten a acima Cube a Cube b e Cube c por A Be C respectivamente Como s o 3 senten as at micas nossa tabela ter 2 ou seja 8 linhas Examine cuidadosamente a tabela abaixo e perceba que todos os arranjos poss veis para os valores de verdade das senten as at micas A B e C est o representados nas linhas da tabela Certifique se de entender tamb m por que a disjun o o conectivo principal nm u 5 8 lnu V ku V z S ku z 8 m M a u A T T T F F F F H dois conectivos na senten a alvo que se aplicam a senten as at micas A conjun o A e a nega o Podemos preencher suas colunas consultando os valores de A B e C das colunas de refer ncia e as tabelas de verdade de A e Ent o a tabela fica ma mmus VSEE S Resta apenas preencher a coluna do conectivo principal da senten a Fazemos isso usando os valores de verdade das colunas que acabamos de preencher e consultando a tabela de verdade da disjun o v Analisando a coluna final desta tabela a que est abaixo do conectivo v percebemos que a sentenca s
211. is sentence and 1 have different truth values Cube d v Tet f a Cube d v Tet f Make sure you understand why this sentence and 3 have different truth values aLarge c Larger c a Large c Larger c a Cube d Cube f Predict whether this sentence will have the same truth value as 8 or as 9 Cube d A Cube f aCube d v Cube f Cube d v Cube f Predict whether this sentence will have the same truth value as 8 or as 9 A LeftOf c f v RightOf c f Brackets and braces work the same as parentheses LeftOf a d v RightOf a d Tet a v Tet f A Tet c Tet a v Tet f A Tet c Dodec a v Dodec b v Dodec c LeftOf a c A LeftOf c b A Between c a b BackOf e b A FrontOf c b BackOf d a LeftOf d e a FrontOf b e Between c d b omaller c e v Cube a v Cube d Dodec e v Tet f Senten as de Brouwer 1 Tet a 2 Adjoins a b This claims that a is on a square adjacent to b but it is false since there is a square in between 4SameRow e d SameCol a f SameRow a b Between a d f 4 Larger f e Two negation signs in a row cancel each other out so this claims that f is larger than e LeftOf a a 44 Cube c Three negation signs in a row are equivalent to one so this sentence is equivalent to th
212. itch voc pode evitar ficar tentando provar alguma conclus o intermedi ria incorreta ao fazer uma verifica o do passo com o mecanismo TautCon No caso ilustrado acima por exemplo se voc usar TautCon no passo 2 citando a premissa como suporte voc imediatamente descobriria que n o h esperan as para a tentativa de provar A a partir da premissa dada Muitos dos exerc cios deste livro pedem a voc que determine se um argumento v lido e justifique sua resposta apresentando ou uma prova de consequ ncia ou contraexemplo uma prova de n o consequ ncia Voc deve abordar estes problemas da forma que estamos descrevendo nesta se o Primeiro tente entender as senten as envolvidas e decidir se a conclus o se segue das premissas Se voc acha que a conclus o n o se segue das premissas ou n o tem nenhum palpite a esse respeito tente encontrar um contraexemplo Se voc tiver sucesso mostrou que o argumento inv lido Se voc n o conseguir encontrar um contraexemplo esta pr pria tentativa frequentemente lhe d insights sobre porque o argumento v lido insights que podem ajud lo a construir a prova requerida Podemos resumir nossos conselhos sobre estrat gia em um procedimento de sete passos para abordar problemas deste tipo LEMBRE SE Ao avaliar a validade de um argumento use o seguinte m todo Entenda o que as senten as est o dizendo Decida se voc acha que a conclus o se segue das premissas ou
213. izados como argumentos da mesma forma que os nomes Simbolos de Fun o x Predicados Os estudantes frequentemente confundem s mbolos de fun o com predicados porque ambos t m termos como argumentos Mas h uma grande diferen a entre eles Quando voc combina uma fun o un ria com um termo voc n o obt m uma senten a mas outro termo alguma coisa que se refere ou deveria se referir a um objeto E por isso que os s mbolos de fun o podem ser reaplicados v rias vezes Como vimos a seguinte constru o perfeitamente compreens vel e faz sentido father father max J esta por outro lado completamente sem sentido Dodec Dodec a Para ajudar a evitar esta confus o as letras iniciais de todos os predicados de FOL ser o MAI SCULAS enquanto que as fun es ser o escritas com todas as suas letras min sculas Aridade dos S mbolos de Fun o FOL permite s mbolos de fun o de qualquer aridade Por exemplo podemos ter um s mbolo de fun o sum que combinado com dois termos ty e to nos d um novo termo sum ta to que se refere soma dos n meros referidos pelos termos t4 e to Assim o termo complexo sum 3 5 seria uma outra forma de nos referirmos ao n mero 8 Da mesma forma que em FOL exigimos que cada nome se refira a um objeto existente tamb m assumimos que cada termo complexo se refira a exatamente um objeto ainda que esta seja um exig ncia um tanto artificial pois talvez n o haja nen
214. izemos que elas s o tautologicamente equivalentes Fa amos com exemplo um teste para verificar se as senten as da primeira lei de DeMorgan s o tautologicamente equivalentes usando A e B como senten as at micas arbitr rias 10 Como as colunas para o conectivo principal de cada uma das senten as s o id nticas sabemos que quaisquer que sejam os valores de verdade das senten as at micas que as constituem as senten as finais sempre ter o os mesmos valores de verdade Portanto as senten as s o tautologicamente equivalentes Vejamos um segundo exemplo Ser que a senten a A v B A AC tautologicamente equivalente a A AB v C 4 I A B CIA v B A C I MA A B y C TTT T T F FP EP F FIT TIP T TOT F F FJF kur THT T EE e mj TF FF tT TOT PF F T fF FT THT T oF FLT FO FIT prre tT TT T FF jR FOF OTIT F F F T T TOT FOF FULT FO FOTO TOT OT IT Mais uma vez se percorrermos as colunas sob o conectivo principal de cada uma das senten as percebemos que elas s o id nticas o que revela que as senten as s o tautologicamente equivalentes e portanto s o logicamente equivalentes Equival ncia Tautol gica c Equival ncia L gica Todas as senten as tautologicamente equivalentes s o logicamente equivalentes mas o contr rio n o sempre verdade Equival ncia tautol gica uma forma restrita de equival ncia l gica Existem senten as que s o logicamente equivalentes mas n o s o tautologica
215. l gica das senten as citadas ent o sabemos que ser poss vel fazer uma prova da senten a utilizando as senten as citadas como premissas ainda que n o tenhamos percebido exatamente como tal prova ser desenvolvida Por outro lado se TautCon diz que a senten a n o consequ ncia tautol gica das senten as citadas ent o n o h raz o em tentar encontrar uma prova em Fr pelo simples fato de que n o existe tal prova LEMBRE SE Completude de Fr Se S uma consequ ncia tautol gica de Pa Pn ent o existe uma prova de S a partir das premissas P1 P que utiliza apenas as regras de introdu o e elimina o para v A gt e Ll Corre o de Fr Se S n o uma consequ ncia tautol gica de Pa Pn ent o nao existe prova de S a partir das premissas P1 Pn que utiliza apenas as regras de introdu o e elimina o para v A gt e Ll O Mecanismo TautCon nos ajuda a determinar qual destas alternativas ocorre Note que os itens 1 e 2 afirmam que S consequ ncia tautol gica de P4 P se e somente se existe uma prova em Fr de S a partir de P1 Pn Argumentos V lidos alguns exerc cios de revis o H sabedoria no velho ditado N o deixe que as rvores o atrapalhem de ver a floresta A floresta no nosso caso um entendimento dos argumentos v lidos As rvores s o os v rios m todos de prova formais e informais e as no es de contra exemplo tautol
216. l b v Medium b Cube a Small b A Cube b Medium b A Dodec b M m Small b v Medium b Small b Cube b 6 32 Dodec b V Cube b Medium b A Dodec b 6 33 Terceiro Excluido Abra o arquivo Exercise 6 33 Este arquivo cont m uma prova incompleta da lei do terceiro excluido Pv P Do jeito que est a verifica o da prova falhara porque est o faltando algumas senten as algumas cita es de suporte a aplica o de regras e algumas regras Preencha as pe as que faltam e grave seu trabalho com o nome Proof 6 33 Esta prova nos mostra que podemos derivar a lei do terceiro excluido sem a necessidade de nenhuma premissa Nos exercicios seguintes decida se cada senten a indicada ou n o uma verdade l gica na linguagem de blocos Caso for utilize o Fitch para construir uma prova formal desta senten a sem utilizar premissas utilize a regra AnaCon se necess rio mas aplicada apenas a literais Caso a senten a n o seja uma verdade l gica utilize o programa Tarski s World para construir um contra exemplo Aqui um contra exemplo simplesmente um mundo no qual a senten a seja falsa 6 34 6 35 a a b A Dodec a Dodec b a a b Dodec a Cube b 6 36 6 37 a b A b Cita C a b A b EAA E 6 38 7 SameRow a b SameRow b c FrontOf c a 6 39 SameCol a b A SameCol b c A FrontOf c a As senten as seguintes s o todas tautologias e portanto d
217. lembra lo de que necess rio completar esta subprova Entre tamb m a justificativa para o passo final de modo a lembrar se porque adicionou a subprova Neste ponto sua prova deve ter a seguinte forma 1 ar VA 2 PAQ o una Rule AZ Rule 5 HAPAQ Intro 2 4 3 Vamos agora mostrar que obtemos uma contradi o assumindo os dois casos dos disjuntos da premissa P e Q Como a contrapartida formal para a prova por casos a elimina o da disjun o o passo seguinte iniciar duas subprovas uma assumindo P e a outra Q sendo que as duas devem terminar ter como ultimo passo com L N o se esque a de colocar a justificativa para o passo em que voc aplica a regra vElim tamb m uma boa ideia adicionar passos vazios para lembr lo de que preciso continuar trabalhando para completar estas subprovas Veja como sua prova deve se parecer agora lam 3 P Rule 5 L Rule B AR Rule 8 Rule 5 d v Elim 1 3 5 6 8 10 P AQ 3 Intro 2 9 4 Agora ficou f cil preencher os passos que faltam Termine sua prova como sugerido abaixo 2 P f Q 3 gt P AP A Elim 2 DE 1 Intro 4 3 6 Q r A Elim 2 8 1 Intro 7 6 9 V Elim 1 3 5 6 8 10 IP AQ a Intro 2 9 5 Grave eu trabalho com o nome Proof Strategy 1 EXCICICIOS gt piso pipas ade dae Ika Ge konse os kak eee A 6 21 N o deixe de fazer a se o Experimente 11 6 22 Fa a uma prova formal espelhada na prova informal q
218. lente a S TT Contradi o O m todo das tabelas de verdade al m de poder mostrar que uma senten a uma contradi o pode tamb m mostrar que determinadas senten as s o mutuamente contradit rias Construa uma tabela de verdade conjunta para as senten as digamos P1 Pn Estas senten as s o TT contradit rias se em cada linha da tabela h pelo menos uma senten a assinalada com F Se as senten as s o TT contradit rias n s sabemos ent o que elas n o podem ser conjuntamente verdadeiras na mesma circunst ncia simplesmente em virtude dos significados de seus conectivos verofuncionais Usos da Prova Indireta em Argumenta es do Cotidiano O m todo de prova por absurdo da mesma forma que o de prova por casos tamb m utilizado com muita frequ ncia em nossos argumentos do dia a dia embora a contradi o derivada fique impl cita algumas vezes Com frequ ncia as pessoas assumem uma hip tese e ent o mostram que desta suposi o se segue uma falsidade Elas ent o concluem a nega o da hip tese originalmente assumida Este tipo de racioc nio de fato uma prova indireta Vejamos um exemplo imagine um advogado de defesa apresentando o seguinte argumento aos jurados O promotor afirma que meu cliente matou o dono do KitKat Club Assumam que ele esteja correto Voc s ouviram os especialistas da pr pria promotoria testemunharem que o assassinato ocorreu s 17 15 h N s tamb m sabemos que o r
219. lgumas vezes ao fazer um exerc cio voc pode ter se desesperado tentando encontrar uma prova para algum argumento que sabia ser v lido Nossa segunda quest o se dirige a este problema Ser que nossos sistemas dedutivos nos permitem provar tudo o que dever amos ser capazes de provar Claro que isso levanta a quest o sobre o que n s dever amos ser capazes de provar o que novamente nos confronta com a vaguidade da no o de consequ ncia l gica Mas com o Teorema da Corre o que j provamos sabemos que o m ximo que Fr nos permitir provar s o consequ ncias tautol gicas Ent o podemos reformular nossa quest o com mais precis o Seria poss vel nos convencermos de que dado qualquer conjunto de premissas P4 Ph e qualquer consequ ncia tautol gica S destas premissas nosso sistema dedutivo Fr nos permite construir uma prova de S a partir de P1 Pn Ou ser que h algumas consequ ncias tautol gicas de certos conjuntos de premissas que simplesmente est o fora do alcance do nosso sistema dedutivo Fr O Teorema da Completude nos assegura que a segunda alternativa n o ocorre Teorema da Completude de Fr Formulando o ponto acima com precis o temos Teorema Completude de Fr Se S uma consequ ncia tautol gica de Pa Pn ent o Pa Pn lb S A prova deste resultado bastante mais complicada do que a prova do Teorema da Correc o e requer material que ainda n o foi introduzido Conseque
220. lha esta regra para a senten a final e cite como suporte a aplica o desta regra as duas senten as anteriores com as partes da conjun o 4 Agora tudo o que voc precisa fazer provar cada uma desta duas senten as O que facilmente obtido utilizando se a regra AElim em cada um destes passos Fa a isso citando corretamente as senten as de suporte e verifique sua prova no bot o Verify Proof A primeira meta deve receber uma marca azul de OK 5 Prove a segunda meta de modo similar a este Quando terminar verifique sua prova e grave seu trabalho com o nome Proof Conjunction 2 EXDEIIMENIE See b KA ER SS A A 1 Abra o arquivo Conjunction 3 Note que h duas metas a serem provadas A primeira pede que voc prove Tet c A Tet a a partir da premissa Estritamente falando isso exigiria que voce utilizasse duas vezes a regra AElim seguida por um uso de Alntro No entanto o programa Fitch permite que voc fa a esta prova utilizando apenas uma vez a regra AElim Tente fazer isso e verifique com o bot o Check Step 2 Verifique que a segunda meta tamb m obtida atrav s de uma nica aplica o da regra AElim Quando tiver provado essas senten as verifique sua prova bot o Verify Proof e grave seu trabalho com o nome Proof Conjunction 3 3 Em seguida experimente outras senten as para ver se elas se seguem da senten a atraves da regra AElim Por exemplo a senten a Tec c A Small
221. lharem em raciocinar corretamente da habilidade de outros apontar as lacunas de seus racioc nios Ainda que as pessoas possam n o concordar em tudo elas parecem capazes de concordar sobre o que pode ser legitimamente conclu do de informa es dadas A aceita o desses princ pios geralmente seguros da racionalidade o que diferencia a investiga o racional de outras formas de atividade humana Quais exatamente s o os princ pios de racionalidade pressupostos por estas disciplinas E quais s o as t cnicas com as quais podemos distinguir um racioc nio correto ou v lido de um incorreto ou inv lido Mais basicamente o que que faz com que uma afirma o se siga logicamente de um dado conjunto de informa es enquanto uma outra afirma o n o se segue do mesmo conjunto Muitas respostas a estas perguntas t m sido exploradas Algumas pessoas t m afirmado que as leis da l gica s o meramente resultado de conven es Se for assim presum vel que possamos decidir mudar as conven es e adotar princ pios l gicos diferentes da mesma forma que podemos decidir qual o lado correto da estrada em que se deve dirigir No entanto h uma forte intui o de que as leis da l gica s o de algum modo mais fundamentais menos sujeitas a revoga o do que as leis do direito ou at mesmo que as leis da f sica N s conseguimos imaginar um pa s no qual a luz vermelha do sem foro signifique siga e um mundo
222. lia o valor de verdade de cada senten a mentalmente no mundo determinado Use o bot o Verify para conferir suas avalia es Como as senten as s o todas senten as at micas o bot o de Game n o sera util Se voc estiver surpreso com quaisquer das avalia es tente descobrir porque sua interpreta o diverge da correta 4 Em seguida modifique o Mundo de Wittgenstein de muitos modos de diferentes vendo o que acontece com o valor de verdade das v rias senten as O ponto principal disto o ajud lo a descobrir como o Mundo de Tarski interpreta os v rios predicados Por exemplo o que torna BackOf d c falso Duas coisas t m que estar na mesma coluna para uma estar atr s BackOf da outra 5 Brinque com o mundo e as senten as tanto quanto voc precisar at que esteja seguro de ter entendido os significados das senten as at micas deste arquivo Por exemplo no mundo original nenhuma das senten as com o predicado Adjoins verdadeira Voc deveria tentar modificar o mundo para fazer algumas delas verdadeiras Quando fizer isso voc notar que blocos grandes n o podem ficar juntos de outros blocos 6 Fazendo este exerc cio notar voc indubitavelmente que Between entre n o significa exatamente o mesmo que em seu uso na linguagem natural Isto se deve necessidade de interpretar Between como um predicado especifico Para simplicidade insistimos nos que para que b esteja entre c e d todos os tr s devem estar n
223. lly n o estava com fome mas uma hora mais tarde ela estava O VU KR U UN 3 24 Referindo se mais uma vez Tabela 1 2 Nos Exerc cios do Capitulo 1 traduza as seguintes senten as para o portugu s natural e coloquial Student claire A Student max Pet pris A Owned max pris 2 00 Owned claire pris 2 00 v Owned claire folly 2 00 Fed max pris 2 00 A Fed max folly 2 00 Gave max pris claire 2 00 A Hungry pris 2 00 v Gave max folly claire 2 00 A Hungry folly 2 00 A Angry claire 2 05 UO A UN 3 25 Traduza as seguintes senten as em FOL introduzindo nomes simbolos de predicado e de fun o conforme a necessidade Explique o significado de cada simbolo de predicado e fun o introduzido amenos que seja completamente bvio AIDS menos contagiosa do que tuberculose mas mais mortal Abel enganou Stephen no domingo mas n o na segunda feira Jean ou Brad admira Meryl e Harrison Daisy uma moendeira e mora em Salvador O filho mais velho de Poloniu n o era nem um prestat rio nem um prestamista OTA UN 3 26 Superando diferencas de dialeto Todas as sentencas abaixo s o sentencas de FOL Mas elas est o em diferentes dialetos Inicie um arguivo de sentencas no programa Mundo de Tarski e traduza cada uma destas sentencas para o dialeto gue temos utilizado 1 P amp Q 3 Pv Q P 2 WP Q amp amp P 4 P Qv RS 3 27 Traduzindo da Nota o Polonesa Te
224. los de nega o Q tenha ela sempre ter o mesmo valor de verdade que um literal ou tera o mesmo valor que P ou o mesmo valor que P Descreva um metodo simples para saber qual dos dois valores de verdade Q tera Experimente Zrii dre UE ap VO SRN EE EE ED Re ad 1 Abra o arquivo Claire s World Inicie uma nova janela de senten as e entre com a sentenca Cube a Cube b Cube c 2 Note que esta senten a e falsa neste mundo uma vez que c um cubo Jogue o jogo comprometendo se erroneamente com a verdade da senten a Voc vera que o programa Mundo de Tarski imediatamente aponta a subf rmula falsa Seu compromisso com a verdade da senten a assegura que voc perder o jogo mas durante o percurso a raz o da falsidade da sentenca se tornar aparente 3 Agora jogue novamente comprometendo se com a falsidade da senten a Quando o Mundo de Tarski lhe pede para escolher uma subformula conjuntiva que voc considera falsa escolha a primeira senten a Ela n o falsa mas selecione a assim mesmo e veja o que acontece depois de sua escolha 4 Siga com o jogo at que o Mundo de Tarski diga lhe que voc perdeu Ent o clique no bot o Back voltar algumas vezes at que esteja de volta ao ponto onde teve que escolher uma das sub f rmulas conjuntivas como falsa Desta vez escolha a sub formula falsa e continue o jogo Desta vez voc vencer 5 Note que voc pode perder o jogo mesmo quando seu palpite origi
225. m Im e rm frontmost backmost leftmost rightmost conforme explicado no texto do Capitulo 1 Ent o as seguintes f rmulas deveriam todas ser senten as da liguagem Tet Im e 6 SameRow rm c c fm c c 7 bm lm c Im bm c bm b bm e 8 SameShape lm b bm rm e FrontOf fm e e 9 d Im fm rm bm d LeftOf fm b b 10 Between b Im b rm b UAWN Complete a tabela seguinte com TRUE ou FALSE conforme a senten a indicada na linha seja verdadeira ou falsa no mundo indicado na coluna Uma vez que o programa Mundo de Tarski n o entende simbolos de fun o voc n o ser capaz de verificar suas respostas com o bot o Verify Mundo de Leibniz M de Bolzano M de Boole M de Wittgenstein ES 1 14 Como voc provavelmente notou ao fazer o Exerc cio 1 13 tr s das senten as s o verdadeiras em todos os quatro mundos Uma destas n o pode ser falsificada em nenhum mundo por causa dos significados dos predicados e simbolos de fun o que ela cont m O objetivo deste exerc cio construir um mundo em que todas as outras senten as do Exerc cio 1 13 s o falsas Grave o mundo com o nome World 1 14 1 15 Suponha que voc tenha duas linguagens de primeira ordem para falar sobre pais A primeira que chamaremos de linguagem funcional cont m os nomes claire melanie e jon o simbolo de fun o father e os simbolos de predicado e Taller A segunda linguagem que chamaremos de linguagem relac
226. m ticos em tradu es do portugu s para FOL Por exemplo muitos estudantes resistem em traduzir uma sentenca como Max est em casa a menos que Claire esteja na biblioteca por Library claire Home max Eles usualmente pensam que o significado desta sentenca em portugu s seria mais acuradamente capturado por uma afirmac o bicondicional como Library claire lt Home max A raz o para que esta ltima forma pare a mais natural que quando afirmamos a senten a em portugu s h uma certa sugest o de que se Claire est na biblioteca ent o Max n o est em casa Para resolver casos problem ticos como este frequentemente til distinguir entre as condi es de verdade de uma senten a e outras coisas que em algum sentido se seguem da asser o da senten a mas n o da pr pria senten a Vejamos um caso bvio Suponha que algu m afirme a senten a Est um dia ador vel Uma coisa que voc pode concluir disso que a pessoa que disse a senten a entende portugu s Isto por m n o uma parte do que foi dito mas uma parte do que pode ser inferido do fato da senten a ter sido dita A verdade ou falsidade da senten a n o tem nada a ver com as habilidades lingu sticas de quem a proferiu O fil sofo H P Grice desenvolveu uma teoria do que ele chamou de insinua es sociais conversational implicatures para ajudar a separar as condi es de verdade genu nas de uma sentenca de outras conclus es que
227. m FOL por uma disjun o inclusiva utilizando v Podemos agora ver que a sugest o de que esta frase expressaria uma disjun o exclusiva geralmente apenas uma insinua o social Por exemplo quando um gar om lhe sugere Voc pode ou tomar uma sopa ou comer uma Salada existe uma forte sensa o de que voc n o pode escolher as duas Mas isso claramente apenas uma insinua o social uma vez que ele poderia sem contradizer se continuar e dizer E voc pode escolher as duas se quiser Se 0u ou expressasse uma disjun o exclusiva isto seria como se o gar om tivesse dito Voc pode tomar uma sopa ou comer uma salada mas n o ambas e voc pode escolher as duas se quiser o que claramente contradit rio Voltemos agora para a sentenca Max est em casa a menos que Claire esteja na biblioteca N s acima negamos que sua tradu o correta fosse Library claire lt Home max que equivalente a conjuncao da traducao correta Library claire Home max com a seguinte afirmac o adicional que a forma contrapositiva de Home max gt Library claire Library claire Home max Ser que esta ltima sentenca uma parte do significado da sentenca em portugu s ou apenas uma insinuac o social O teste da cancelabilidade de Grice mostra que ela apenas uma insinuac o Afinal de contas perfeitamente aceit vel que o falante continue e diga Por outro lado se Claire est na
228. ma es na qual uma chamada de conclus o tomada como consequ ncia das outras chamadas de premissas 2 Um argumento v lido se a conclus o for verdadeira em qualquer circunst ncia na qual as premissas s o verdadeiras Diremos que a conclus o de um argumento logicamente v lido uma consequ ncia l gica de suas premissas 3 Um argumento correto se for v lido e suas premissas forem todas verdadeiras Provas Demonstra o 1 Uma prova para uma senten a S a partir das premissas P4 Pn uma demonstra o passo a passo que mostra que S deve ser verdadeira em quaisquer circunst ncias nas quais as premissas Pa Pa sejam todas verdadeiras 2 Provas formais e informais diferem apenas no estilo n o no rigor Princ pios Sobre a Identidade H quatro princ pios importantes v lidos para a rela o de identidade 1 Elim Se b c ent o tudo o que v lido para b valido para c Este princ pio tamb m conhecido como indiscernibilidade de id nticos 2 Intro Senten as da forma b b s o sempre verdadeiras em FOL Isto tamb m conhecido como reflexividade da identidade 3 Simetria da Identidade se b c ent o c b 4 Transitividade da Identidade Se a b e b c ent o a c Os ltimos dois princ pios se seguem dos dois primeiros Depend ncia de Predicados A tabela abaixo apresenta as depend ncias entre predicados mais comumente encontradas em linguagens formalizadas juntame
229. mais frequentes destas nota es Nossa Nota o Nota es Alternativas Equivalentes Lo o AN roo ro Se n o estiver convencido disso fa a as tabelas de verdade para P JP e P P 4 OV 0 tomando por base a tabela de verdade para a express o nem nem que apresentamos na p gina 7 acima Cap tulo 8 A L gica dos Condicionais Uma consequ ncia do Teorema da Completude Verofuncional Booleana p gina 8 do Cap tulo 7 que ao introduzirmos os s mbolos do condicional e do bicondicional n o aumentamos o poder expressivo de FOL Uma vez que gt e podem ser definidos atrav s dos conectivos booleanos sempre poderemos elimin los de todas as asser es substituindo os por suas defini es Assim por exemplo se queremos provar P gt Q podemos apenas provar P v Q usar a defini o e obtermos P gt Q Na pr tica no entanto esta uma p ssima id ia E muito mais natural utilizar as regras que envolvem estes s mbolos diretamente Al m disso as provas resultantes s o mais simples e mais f ceis de entender A implica o material em particular um s mbolo extremamente til e bastante utilizado em v rios tipos de infer ncias nas mais diversas reas desde matem tica at o direito e a filosofia E por isso que precisamos aprender mais a respeito sobre como provar senten as que tenham a forma P gt Q Como fizemos anteriormente com os conectivos booleanos vamos primeiro olhar
230. mbre se que serem verdadeiras no Mundo de Bolzano n o garante as suas senten as que elas sejam tradu es adequadas das senten as em portugu s Se a tradu o for correta ent o a senten a original e a tradu o ter o os mesmos valores de verdade em TODOS os mundos Ent o para melhorar nosso teste vamos verificar suas tradu es em alguns outros mundos Abra o Wittgenstein s World Aqui n s podemos ver que as senten as em portugu s 3 5 9 11 12 13 14 e 20 s o falsas enquanto as outras s o verdadeiras Verifique se o mesmo se d com suas tradu es em FOL digite CTRL F Caso haja alguma discrep ncia corrija a sua tradu o E certifique se de que a senten a que voc corrigir continua verdadeira no Mundo de Bolzano Em seguida abra o arquivo Leibniz s World Aqui as senten as em portugu s 1 2 4 6 7 10 11 14 18 e 20 s o verdadeiras e as demais falsas Verifique se o mesmo ocorre com suas tradu es em FOL Corrija o que for necess rio Finalmente abra o arquivo Venn s World Neste mundo todas as senten as em portugu s s o falsas Verifique se o mesmo ocorre com suas tradu es e corrija o que for necess rio 7 14 Descobrindo tamanhos e formas Abra o arquivo Euler s Sentences As nove senten as deste arquivo determinam univocamente as formas e tamanhos dos blocos a b e c Tente descobrir quais s o essas formas e tamanhos apenas pensando sobre o significado das senten as e utilizando os m todos de pro
231. mente equivalentes Considere as seguintes senten as 1 a b A Cube a 2 a b A Cube b A seguinte prova informal demonstra que elas sao logicamente equivalentes Leia atentamente a prova abaixo procurando entender por que ela demonstra que as duas sentencas sao logicamente equivalentes Prova Suponha que a sentenca 1 seja verdadeira Ent o a b e Cube a sao ambas verdadeiras Logo usando o princ pio de indiscernibilidade de id nticos Elim conclu mos que Cube b tamb m verdadeiro e portanto a senten a 2 verdadeira Assim provamos at agora que a verdade de 1 implica na verdade de 2 A rela o reversa tamb m v lida Suponha que 2 seja verdadeira Ent o a b e Cube b s o ambas verdadeiras Novamente por indiscernibilidade de id nticos conclu mos que Cube a tamb m verdadeiro e portanto a senten a 1 verdadeira Assim provamos tamb m que a verdade de 2 implica a verdade de 1 Logo provamos que 1 verdadeira se e somente se 2 verdadeira Ou seja 1 e 2 t m os mesmos valores de verdade em qualquer circunst ncia poss vel e s o por isso logicamente equivalentes Mas veja o que acontece quando constru mos a tabela de verdade conjunta para as senten as 1 e 2 11 I 4 a b Cube a Cube b a b A Cube a a b a Cube b T T T n H 4 4 T ul Mm mi 4 4 n m nA mi nn Em primeiro lugar repare que s
232. mentos cuja validade depende de outros elementos al m dos conectivos verofuncionais Esta limita o impede a aplica o do m todo para a grande maioria dos argumentos que fazemos em nosso dia a dia que al m dos conectivos booleanos se baseiam tamb m em outros tipos de express o Precisamos pois de um m todo para identificar consequ ncias l gicas que v al m das consequ ncias tautol gicas e que possa ser aplicado tanto a conectivos booleanos quanto a outros princ pios racionais Tal m todo ser o m todo das provas Discutiremos neste cap tulo os padr es de infer ncia leg timos que surgem quando introduzimos os conectivos booleanos em nossa linguagem e mostraremos como aplicar estes padr es a provas informais No cap tulo 6 estenderemos nosso sistema F para incluir as regras formais derivadas destes padr es A principal vantagem do m todo das provas sobre ao m todo das tabelas de verdade que seremos capazes de utiliza lo mesmo quando a validade do argumento que queremos provar depende de mais elementos do que apenas os conectivos booleanos Passos de Infer ncia V lidos EM PROVAS INFORMAIS REGRA INICIAL Ao fazer uma prova informal de Q a partir de algumas premissas se sabido que Q uma consequ ncia l gica de P1 Pn e cada uma das senten as Pa Pn j foram provadas a partir das mesmas premissas ent o poss vel afirmar Q na prova Voc j aprendeu neste curso v rias equival nc
233. meros pares e impares Sempre que fizer isso aponte explicitamente em sua prova Tamb m torne explicito qualquer uso dos m todos de prova por casos ou por contradi o 5 23 Assuma que n impar Prove que n impar 5 25 Assuma que n divis vel por 3 Prove 2 z ee 4 5 24 Assuma que n m impar Prove que nxm par que n e divisivel por 9 5 26 Uma boa maneira de se certificar de que voc entendeu uma prova tentar generaliz la Prove que 48 irracional Sugest o voc precisar utilizar alguns fatos sobre a divisibilidade por 3 tais como os expressos no Exerc cio 5 25 5 27 Fa a duas provas diferentes de que as premissas do argumento abaixo s o inconsistentes Sua primeira prova deve utilizar o metodo de prova por casos mas n o utilizar nenhuma lei de DeMorgan Ao passo que sua segunda prova deve utilizar DeMorgan mas n o o m todo de prova por casos Home max V Home claire 3Home max 3Home claire Home max Happy carl Exerc cios do Cap tulo 6 Provas Formais e L gica Booleana EXDERIMENLe eg se nnna a Balls a EE SACR ke ko DE e Ve EKAS nabo on ee 1 Abra com o programa Fitch o arquivo Conjunction 1 Existem tres sentencas que voce sera solicitado a provar Elas sao mostradas na faixa de metas na parte de baixo da janela de provas 2 A primeira sentenca que voc vai provar e Tet a Para fazer isso inicialmente adicione um passo novo na prova ctrl A e entre a senten
234. mitir a utiliza o de vElim com tanto que voc tenha provado S em cada uma delas Aplica es Default das Regras v em FITCH Quando voc cita o suporte apropriado para a regra vElim isto a disjun o e as subprovas para cada disjuto e verifica o passo sem digitar a senten a resultante Fitch olhar para as subprovas citadas e se todas elas terminam com a mesma senten a preencher esta senten a no passo final Se voc cita uma sentenca e aplica vintro sem preencher a senten a resultante Fitch insere a senten a citada seguida por v deixando o cursor de inser o logo ap s a v para que voc digite o restante da disjun o que tinha em mente Fa a o Tente Isto 6 da Lista 5 6 para praticar estas aplica es Default 3 Regras para a Nega o Para terminar as regras da nega o Veremos que a introdu o da nega o ser a mais interessante e mais complexa regra dos conectivos booleanos Elimina o da Nega o Elim A regra de elimina o da nega o corresponde ao passo de infer ncia v lido bastante trivial em que a partir de P infere se P Esquematicamente P A elimina o da nega o nos d uma das dire es do principio da dupla nega o de P obt m se P Seria razo vel esperar que a regra de introdu o da nega o nos desse a outra dire o de P obt m se P Mas a hist ria n o bem essa Introdu o da Nega o intro A regra de
235. mos que nosso sistema formal F seja um sistema de dedu o correto no sentido de que qualquer argumento que possa ser provado em F deve ser genuinamente v lido A primeira quest o que nos perguntaremos ent o se fomos bem sucedidos neste objetivo Ser que o sistema F nos permite construir provas apenas de argumentos genuinamente v lidos Tal indaga o conhecida como a quest o da corre o para o sistema dedutivo F A resposta a esta quest o pode at parecer obvia mas ela merece ser olhada mais de perto Quem nos garante que n o h nenhuma imperfei o em alguma de nossas regras oficiais Ou talvez haja problemas que est o al m das regras individuais Algo sobre a forma como elas interagem Considere por exemplo o seguinte argumento Happy carl A Happy scruffy Happy carl Sabemos que este argumento n o v lido dado que claramente poss vel a premissa ser verdadeira e a conclus o falsa Mas como sabemos que as regras que introduzimos n o permitem alguma prova bastante complicada e engenhosa da conclus o a partir da premissa Afinal de contas n o h como examinarmos todas as provas poss veis para nos certificarmos de que n o h uma com esta premissa e esta conclus o Isto porque existe uma quantidade infinita de provas poss veis Para responder nossa quest o sobre a corre o precisamos torn la mais precisa J vimos que a no o de consequ ncia l gica um tanto vaga O conceito de co
236. muito comuns e esta a raz o pela qual frequentemente mais f cil provar a forma contrapositiva de um condicional A contrapositiva de nossa declara o inicial Par n Par n2 Vejamos uma prova deste condicional PROVA Para provar Par n gt Par n n s iniciamos assumindo Par n ou seja que n mpar Ent o podemos expressar n como 2m 1 para algum m Ent o podemos ver que n 2m 1 4m 4m 1 2 2m2 2m 1 Mas isso mostra que n tamb m mpar ou seja Par n Ao provarmos a contrapositiva evitamos a necessidade de uma prova indireta por absurdo dentro da prova condicional Isto torna a prova f cil de entender e uma vez que a forma contrapositiva logicamente equivalente a nossa declara o original nossa segunda prova tamb m serve como uma prova da declara o original O m todo da prova condicional usado extensivamente em nossos racioc nios do dia a dia Alguns anos atr s Bill estava tentando decidir entre duas disciplinas optativas Portugu s IV ou P s modernismo Sua amiga Sarah declarou que se Bill fizesse P s modernismo ele n o entraria em medicina O argumento de Sarah quando foi questionada por Bill tomou a forma de uma prova condicional combinada com uma prova por casos Suponha que voc fa a P s modernismo Ent o ou voc adotar o desd m p s moderno em rela o racionalidade ou voc n o o adotar Se n o o adotar voc ser
237. n o Se voc acha que ela n o se segue ou n o tem certeza tente encontrar um contraexemplo Se voc acha que ela se segue tente fazer uma prova informal Se o exerc cio pede uma prova formal use a prova informal para gui lo na sua busca por uma prova formal Ao fazer provas de consequ ncia tanto formais quanto informais n o se esque a da t tica de trabalhar de tr s para frente Ao trabalhar de tr s para frente sempre verifique se suas metas intermedi rias s o consequ ncia da informa o dispon vel 6 Provas Sem Premissas Nem todas as provas come am com a suposi o de premissas Isso pode parecer estranho mas de fato com esse tipo de prova que nosso sistema dedutivo demonstra que uma senten a uma necessidade l gica verdade l gica Demonstrando Necessidades L gicas Uma senten a que pode ser provada sem nenhuma premissa logicamente necess ria Veja um exemplo trivial de uma prova deste tipo que mostra que a a Ab b uma verdade l gica l a a Intro 2 b b Intro 3 a aAb bD Intro 1 2 O primeiro passo desta prova n o uma premissa mas uma aplica o da regra Intro Voc poderia pensar que qualquer prova sem premissas deveria come ar com esta regra uma vez que esta a nica regra que n o necessita citar passos anteriores de uma prova Mas de fato este nem um exemplo muito representativo de provas sem premissas Um exemplo mais t pico e interessante o
238. na de v rec m preenchida e linha por linha verificar se ambas marcam T Em caso positivo preencha a coluna da conjun o com T Em caso negativo preencha com F A B CMA GA y BAC v B TT i To T T sire eel HE T F E F F TIE F F f F F m err trm T O FLT F F T T F FILET F T T F m FIE F TU F m i Agora j poss vel preencher a coluna da nega o que resta referindo se coluna que acabamos de completar Isso feito apenas trocando os valores T e F uns pelos outros y A B EA A v BaO v B TT TPF tir T T TTF TIF F F F TF T T JE FF F TF FLT F FO F F FT TPT F T T T FT FLT FT T F m FOFT T F T T F FF FIT IF T T F C Finalmente podemos preencher a coluna abaixo do conectivo principal de nossa senten a Fazemos isso atrav s do m todo dos dois dedos deslizamos os dedos pela coluna de refer ncia B e pela coluna da nega o rec m completada Como se trata de uma disjun o preenchemos a linha com F sempre que ambos os valores nestas colunas forem F caso contr rio preenchemos com T A B CIA GA v BAC v B T T T F T F T 7 OT TIT FAT E FF F To rip T T FFF F T TIF F IT FoF FoF oT FIT T IT FT t TO F T F T FT T e T EF TPT FT T E T FIFIFNT F T T FO OT Tautologia Diremos que uma tautologia qualquer sentenca cuja tabela de verdade apresenta apenas Ts na coluna abaixo de seu conectivo principal A tabela de verdade acima m
239. naCon permitir que voc estabele a contradi es que n o podem ser derivadas em F Claro que o mecanismo AnaCon s entende os predicados da linguagem dos blocos e mesmo a exclui os predicados Adjoins e Between Mas ele permitir por exemplo que voc derive das senten as Cube b e Tet b Voc pode ou fazer isso diretamente digitando L e citando as duas senten as ou indiretamente utilizando AnaCon para provar digamos Cube b a partir de Tet b Fa a o Tente Isto 8 da Lista 5 6 para praticar estas formas alternativas de introduzir L Elimina o do Absurdo _LElim Conforme comentamos no Cap tulo 5 em uma prova ou subprova se voc foi capaz de estabelecer uma contradi o obter 1 ent o voc est justificado a asserir qualquer senten a de FOL P No nosso sistema formal este passo de infer ncia modelado pela regra de elimina o do absurdo LElim Esquematicamente NH O Tente Isto 9 da Lista 5 6 ilustra as duas regras para L e apresenta uma t tica de prova que lhe ser til em v rias ocasi es no futuro Na verdade n s n o precisar amos de uma regra nova para LElim Voc consegue provar qualquer sentenca a partir de uma contradi o sem utilizar esta regra Suponha por exemplo que voc estabeleceu uma contradi o no passo 17 de alguma prova Segue um exemplo de como introduzir P e P poderia ser qualquer senten a no passo 21 sem utilizar LElim iW gael 18 P 19
240. nal sobre a verdade da senten a foi correto se voc fizer alguma ma escolha no decorrer do jogo O Mundo de Tarski sempre permite que voce volte e refa a diferentemente suas escolhas Se seu palpite original for correto sempre haver uma forma de voc ganhar o jogo Se n o for possivel para voc ganhar o jogo ent o seu palpite original estava errado 6 Grave seu arquivo com o nome Sentences Game 1 quando tiver terminado Sir STS O O ee E E Oe 3 5 N o deixe de praticar a se o Experimente 2 acima 3 6 Inicie um arquivo de senten as novo e abra o arquivo Wittgenstein s World Escreva as seguintes senten as no arquivo de senten as 1 Tet f A Small f 6 Tet f A Large f 2 Tet f A Large f 7 Tet f A Small f 3 Tet f A Small f 8 Tet f A Large f 4 Tet f A Large f 9 Tet f A Small f 5 Tet f A Small f 10 Tet f A Large f Com as sentencas digitadas decida quais voce considera verdadeiras Anote seus palpites para lembrar Agora utilize o Tarski s World para avaliar as sentencas CTRL F e verifique seus palpites Sempre que tiver errado jogue o jogo para ver em que ponto voce errou Caso nao tenha errado nenhuma o jogo nao sera muito instrutivo Mas jogue algumas vezes mesmo assim apenas por diversao Em particular experimente jogar comprometendo se com a falsidade da sentenca 9 Como esta sentenca e verdadeira no Mundo de Wittgenstein o programa ira gan
241. namente intrinseca a Elim Assim nos poderiamos provar a conclus o diretamente a partir das duas premissas usando uma nica aplica o da regra Elim o que faremos em seguida 9 Acrescente outra linha bem ao final de sua prova com a senten a de meta SameRow b a Justifique esta linha usando Elim e citando apenas as duas premissas Voc ver que o passo recebe marca de confirma o quando voc verifica a prova 10 Grave sua prova em um arquivo com o nome Proof Identity 1 Experimente assados ga de UE ood CES z DE E dE Areia 1 No programa Fitch abra o arquivo a Ana Con 1 Neste arquivo voc vera nove premissas seguida por seis conclus es que s o consequ ncias destas premissas Realmente cada uma das conclus es segue de tr s ou menos das premissas 2 Posicione o cursor de foco o pequeno tri ngulo na primeira conclus o apos a Barra de Fitch que SameShape c b A regra AnaCon foi invocada como justificativa desta conclus o mas nenhuma sentenca foi citada Esta conclus o segue de Cube b e Cube c Cite estas senten as e confira a linha Clique em Check Step 3 Agora mova o cursor de foco para a linha que cont m SameRow b a Uma vez que a rela o de estar na mesma linha SameRow sim trica e transitiva SameRow b a segue de SameRow b c e SameRow a c Cite estas duas senten as e confira a linha 4 A terceira conclus o BackOf e c segue de tr s das premissas Veja
242. ncia l gica das duas premissas seguintes Tet a gt Tet b e Tet b gt Tet c Em outras palavras vamos mostrar que o operador gt transitivo PROVA nossas premissas s o Tet a gt Tet b e Tet b gt Tet c e queremos provar Tet a gt Tet C Mantendo em mente que vamos usar o m todo da prova condicional vamos assumir temporariamente em adi o s nossas premissas que Tet a verdadeiro Ent o aplicando modus ponens em Tet a e nossa primeira premissa Tet a gt Tet b conclu mos Tet b Utilizando novamente modus ponens em Tet b que acabamos de concluir e nossa segunda premissa Tet b gt Tet c obtemos Tet c Assim admitindo condicionalmente Tet a como uma suposi o adicional conclu mos Tet c Portanto o m todo da prova condicional nos assegura que Tet a gt Tet c consequ ncia de nossas premissas originais A prova condicional claramente uma forma v lida de infer ncia uma que usaremos o tempo todo Se Q se segue logicamente de algumas premissas acrescidas da suposi o adicional P ent o podemos ter certeza que se as premissas forem verdadeiras a senten a condicional P gt Q deve tamb m ser verdadeira Afinal de contas uma implica o s pode ser falsa se P for verdadeira e Q for falsa mas a prova condicional mostra justamente que isto jamais pode acontecer pois se obtivemos uma prova de Q a partir de algumas premissas e de P ent o esta prova mostra justamente que sempre que est
243. ndo disjunto da premissa inicial a senten a Medium c Temos agora especificadas as duas hip teses dos dois casos que precisamos considerar Nosso objetivo provar que a conclus o desejada a senten a Medium c v Large c se segue destes dois casos 5 Retorne o cursor para a primeira subprova e adicione um passo logo em seguida da hip tese basta posicionar o cursor na hip tese da subprova e digitar ctrl A ou selecionar a op o Add Step After no menu Proof Use neste passo a regra AElim para provar Large c Ent o adicione outro passo a subprova e prove a senten a desejada nossa meta utilizando a regra vintro Nestes dois passos voc precisa citar adequadamente as senten as de suporte a aplica o destas regras 6 Depois de ter terminado a primeira subprova e de todos os passos terem sido verificados com o bot o Check Step mova o cursor para a hip tese da segunda subprova e adicione um novo passo Utilize a regra vintro para provar a senten a da meta a partir desta hip tese 7 Agora que j obtivemos nossa meta nas duas subprovas j estamos prontos para adicionar o passo final da prova Com o cursor no ltimo passo da segunda subprova selecione End Subproof no menu Proof ou com o cursor no mesmo passo digite o atalho ctrl E Entre a senten a da meta no passo novo que apareceu depois da segunda subprova 8 Especifique a regra do passo final como vElim Para suporte a esta
244. nhum sinal de arrombamento De fato as nicas formas possiveis de entrar e sair da casa eram atrav s de uma pequena janela do banheiro do t rreo que foi deixada aberta e uma janela do banheiro do piso superior que estava destrancada Com base nisso os detetives descartaram as suspeitas sobre um famoso assaltante Julius que pesa 120 kg e tem artrite Explique a infer ncia dos policiais 5 12 Em nossa prova de que ha n meros irracionais b e c tais que b e racional um dos passos foi afirmar que o 2 l 3 l 2 J2 ou racional ou irracional Qual a justificativa para aceitar esta afirma o em nossa prova 5 13 Descreva um raciocinio por casos que voc tenha feito ultimamente sobre algum assunto do dia a dia 5 14 Fa a uma prova informal de que se S consequ ncia tautol gica de P e tamb m uma consequ ncia tautol gica de Q ent o S uma consequ ncia tautol gica de P v Q Lembre se de que a tabela de verdade conjunta para Pv Q e S pode ter mais linhas do que a tabela conjunta para P e S ou do que a tabela conjunta para Q e S Sugest o assuma que voc est procurando por uma nica linha da tabela de verdade conjunta para P v O e S na qual P v O verdadeira Divida a prova em casos conforme se P e verdadeiro ou O e verdadeiro e prove que S deve ser verdadeiro em ambos os casos Nos exercicios seguintes decida se cada argumento apresentado v lido Se for fa a uma prova informal As provas devem ser e
245. no qual a gua flua morro acima Mas n s n o conseguimos nem imaginar um mundo no qual haja e n o haja nove planetas A import ncia da l gica tem sido reconhecida desde a antiguidade Afinal de contas nenhuma ci ncia pode ser mais certa que sua vincula o mais fraca Se h algo arbitr rio sobre a l gica ent o o mesmo deve valer para toda a investiga o racional Deste modo torna se crucial entender exatamente quais s o as leis da l gica e at mais importante por que elas s o leis da l gica Estas s o as quest es que se leva em considera o quando se estuda l gica Estudar l gica utilizar os m todos da investiga o racional sobre a pr pria racionalidade Durante o s culo passado o estudo da l gica experimentou avan os r pidos e importantes Impulsionada por problemas l gicos na mais dedutiva das disciplinas a matem tica a l gica desenvolveu se em uma disciplina independente com seus pr prios conceitos m todos t cnicas e linguagem A Enciclop dia Brit nica lista a l gica como um dos sete ramos principais do conhecimento Mais recentemente teve papel fundamental no desenvolvimento dos computadores modernos e das linguagens de programa o A l gica continua desempenhando um papel importante na ci ncia da computa o de fato tem se dito que a ci ncia da computa o apenas l gica implementada pela engenharia el trica objetivos do livro FOL l gica e matem tica l gica e filosof
246. nos permitem comunicar nossas descobertas aos outros Sendo um m todo de comunica o as provas informais podem ser feitas com mais ou menos qualidade Elas tamb m sempre envolvem aspectos estil sticos como qualquer de nossas comunica es Independentemente do estilo devemos buscar duas qualidades em cada passo de nossas provas informais ele deve ser de f cil entendimento e deve ser significativo Em outras palavras cada passo de nossas provas n o deve dar muito trabalho para ser compreendido por um leitor f cil entendimento e deve tamb m ser informativo e n o uma perda de tempo para o leitor significativo Qu o f cil o entendimento de um passo e qu o significativo ele depende da audi ncia Se voc est fazendo uma prova informal para ser apresentada em um congresso de l gica onde sua audi ncia ser de l gicos profissionais voc certamente considerar que muitas passagens dific limas a alunos iniciantes que exigiriam muita explica o s o para estes l gicos passos de f cil entendimento que podem ser rapidamente descritos J se a mesma prova fosse apresentada em uma turma de alunos iniciantes estas passagens complicadas deveriam ser subdivididas em v rios passos compreens veis aos estudantes mas que para a audi ncia especializada seriam pouco significativos LEMBRE SE Em uma prova informal a partir de algumas premissas se sabemos que Q uma consequ ncia l gica das senten as P1 Pn e
247. nsequ ncia tautol gica por sua vez uma defini o precisa que se aproxima desta no o informal Uma maneira de tornar nossa quest o mais precisa perguntar se as regras dos conectivos verofuncionais nos permitem provar apenas argumentos que sejam tautologicamente v lidos Esta quest o deixa de considerar se as regras da identidade s o leg timas mas n s vamos tratar disso mais adiante neste livro Vamos introduzir alguns s mbolos novos para tornar mais f cil expressar a declara o que queremos investigar Subsistema Formal Fr Usaremos Fr para nos referirmos por o do sistema formal F que cont m apenas as regras de introdu o e elimina o para os conectivos v gt O L Voc pode pensar no subscrito 1 de Fr como se referindo a tautologia ou truth functional Tamb m escreveremos Pa Pn I S para indicar que existe uma prova forma em Fr de S p partir das premissas P4 TP Pp 3 Teorema da Corre o de Fr Podemos agora formular nossa declara o com precis o Teorema Corre o de Fr Se P4 Pn I S ent o S uma consequ ncia tautol gica de P1 Pn Prova suponha que p seja uma prova constru da no sistema formal Fr Vamos mostrar que a seguinte afirma o verdadeira 1 Qualquer senten a que ocorra em qualquer passo na prova p uma consequ ncia tautol gica das suposi es em vigor naquele passo Isto se aplica n o apenas s senten as no n vel pr
248. nt o ele est na frente de d a est a esquerda ou a direita de d apenas se for um cubo c est entre a e e ou a e d c est a direita de a contanto que seja pequeno c pequeno c est a direita de d apenasse b est a direita de c ea esquerda de e Se e um tetraedro ent o ele est a direita de b se e somente se est na frente de b Se b um dodecaedro ent o se ele n o est na frente de d ent o ele tamb m n o est atr s de d c est atr s de a mas na frente de e 9 e est na frente de d a menos que ele e seja um tetraedro grande 10 Pelo menos um entre a b e c um cubo d Oe ee s 11 a um tetraedro apenas se estiver na frente de b 12 b maior do que ambos a e e 13 a e e s o ambos maiores do que c mas nenhum deles grande 14 d tem a mesma forma que b apenas se eles s o do mesmo tamanho 15 a grande se e somente se for um cubo 16 b um cubo a menos que c seja um tetraedro 17 Se e n o um cubo ent o ou b ou d grande 18 b ou d um cubo se a ou c forem tetraedro 19 a grande apenas se d pequeno 20 a grande apenas se e for 7 13 Verificando suas tradu es Abra o arquivo Bolzano s World Repare que todas as senten as em portugu s do Exerc cio 7 12 acima s o verdadeiras neste mundo Ent o se suas tradu es forem precisas elas tamb m dever o ser verdadeiras neste mundo Verifique CTRL F Se voc cometeu algum erro volte e corrija os Le
249. ntal da L gica Podemos definir os conceitos que temos tratados como casos particulares do conceito fundamental de consequ ncia l gica Necessidade L gica uma senten a logicamente necess ria ou uma necessidade l gica quando for consequ ncia l gica de qualquer conjunto de premissas Equival ncia L gica duas senten as s o logicamente equivalentes se cada uma for consequ ncia l gica da outra Possibilidade L gica uma senten a S logicamente poss vel ou uma possibilidade l gica quando sua nega o S n o for consequ ncia l gica de qualquer conjunto de premissas Ou seja quando S n o for uma necessidade l gica Consequ ncia Tautol gica c Consequ ncia L gica Sejam P4 Pn e Q senten as de FOL constru das a partir de senten as at micas utilizando se apenas conectivos verofuncionais Em uma tabela de verdade conjunta para todas estas senten as podemos verificar os seguintes fatos 1 Q consequ ncia tautol gica de P1 P se e somente se toda linha que atribui T para cada P4 Pn tamb m atribui T para Q 2 Se Q uma consequ ncia tautol gica de P4 Pn ent o O tamb m uma consequ ncia l gica de P1 Pn 3 Algumas consequ ncias l gicas n o s o consequ ncias tautol gicas exemplo a c consequ ncia l gica mas n o consequ ncia tautol gica de a b A b c Cap tulo 5 M todos de Prova para a L gica Booleana Passos de Infer ncia V lidos 4 Em
250. ntar provar uma senten a que na verdade n o consequ ncia das premissas Seu primeiro passo ao tentar construir uma prova dever ser sempre se convencer de que a conclus o consequ ncia das premissas Isso porque no processo de entendimento do significado das senten as e de reconhecimento da validade do argumento voc frequentemente j ter alguma id ia sobre como fazer a prova Estrat gia 1 Tente uma Prova Informal Ap s se convencer que o argumento de fato v lido a primeira estrat gia tentar fazer uma prova informal do tipo que voc usaria para convencer um colega de classe Frequentemente a estrutura b sica de seu racioc nio informal pode ser diretamente formalizada utilizando se as regras de F Por exemplo se voc se viu usando o m todo da prova indireta em sua prova informal ent o esta parte de seu racioc nio provavelmente exigir o uso da introdu o da nega o Intro Se voc usou prova por casos ent o voc quase que certamente usar a elimina o da disjun o vElim em sua prova formal Estrat gia 2 Trabalhando de Tr s para Frente Suponha que voc j se convenceu de que o argumento v lido mas est com dificuldades em encontrar uma prova informal para ele Ou ainda que voc n o consegue ver como sua prova informal poderia ser convertida para uma prova que utilize apenas as regras de F A segunda estrat gia ajuda em qualquer um destes casos Ela conhecida como
251. nte com os predicados da linguagem dos blocos em que cada uma delas satisfeita N o h regras l gicas para estas propriedades mas o mecanismo AnaCon permite inferir a maioria delas NOME DEPEN NCIA EXEMPLO NA LINGUAGEM DOS BLOCOS Simetria Se vale P a b ent o vale P b a SameSize SameShape SameCol SameRow Adjoins SameSize SameShape Larger Smaller SameCol Transitividade Se valem P a b e P b c ent o vale P a c SameRow LeftOf RIghtOf FrontOf BackOf N o reflexividade N o vale P a a RR LeftOf RightOf FrontOf Se vale P a b ent o n o vale P b a Larger Smaller LeftOf RightOf FrontOf BackOf Nao verdade que Se valem Nao transitividade P a b e P b c ent o vale P a c Adjoins Pla b vale se e somente se Larger Smaller LeftOf RightOf FrontOf BackOf Rela es Inversas v Q b a tamb m vale P Q s o inversos Regras Formais para a Identidade Elimina o da Identidade Elim Introdu o do Condicional Intro Regra Estrutural de Reitera o Elimina o da Identidade Elim Exce o aos predicados Between e Adjoins que n o s o tratados pelo mecanismo AnaCon Provas Formais e O sistema dedutivo que voc est aprendendo um sistema dedutivo do estilo Fitch chamado F e A aplica o de computador que auxilia voc na constru o de provas em F por isso chamada de programa Fitch e Quando voc escreve suas
252. nte traduzir as seguintes senten as da nota o polonesa para o nosso dialeto FOL 1 NKpq 4 NAKpAqrs 2 KNpq 5 NARApars 3 NAKpqArs 3 28 Buscas Booleanas Voc provavelmente j ouviu falar ou usou ferramentas de busca de dados na Internet que permitem buscas booleanas completas por exemplo o site Google ou o Yahoo ou o Alta Vista Isto significa que a linguagem de busca permite a voc utilizar os conectivos Booleanos que temos estudado Antes de fazer a busca no entanto voc precisa descobrir qual dialeto FOL implementado no mecanismo de busca que voc utilizara Vamos experimentar um site de busca que utiliza os simbolos sinal de menos para a nega o espa o para a conjun o e barra vertical para a disjun o Utilizando um navegador da Internet abra a p gina web do Google em http www google com Suponha que voc queira encontrar informa es sobre a utiliza o do programa Mundo de Tarski em universidades mundo a fora 1 Digite tarski no campo de busca e tecle ENTER Voc descobrir que h centenas de milhares de sites que mencionam Tarski que afinal de contas foi um famoso l gico 2 Digite tarski s world com as aspas no campo de busca e tecle ENTER Agora voc encontrar todos os sites que cont m as palavras tarski s world A quantidade diminui um pouco mas para um n mero ainda intrat vel com dezenas de milhares de sites A maioria deles n o s o sites d
253. ntemente n o a apresentaremos aqui mas apenas no Cap tulo 17 A Este resultado chamado Teorema da Completude porque nos diz que as regras de introdu o e elimina o s o completas para a l gica dos conectivos verofuncionais Qualquer argumento tautologicamente v lido v lido simplesmente em virtude do significado dos conectivos verofuncionais pode ser provado em Fr Corre o e Incompletude Note no entanto que o Teorema da Corre o implica um tipo de incompletude uma vez que as regras de Fr nos permitem provar apenas consequ ncias tautol ticas de nossas premissas Elas n o nos permitem provar qualquer consequ ncia l gica que n o seja consequ ncia tautol gica das premissas Por exemplo o Teorema da Corre o de Fr mostra que n o h maneira de provar Dodec c de Dodec b A b c em Fr uma vez que a primeira senten a n o consequ ncia tautol gica da segunda embora seja claramente consequ ncia l gica da segunda Para provar coisas como estas precisamos das regras da identidade Tamb m n o conseguimos provar Larger c b a partir Larger b c Para fazer isso precisar amos de regras sobre o predicado Larger e da utiliza o de quantificadores O que s vamos come ar a estudar a partir do pr ximo cap tulo Usos da Corre o e Completude O Teorema da Completude nos oferece um m todo para mostrar que um argumento tem uma prova sem a necessidade de fazermos de fato tal prova basta mostrar que a con
254. ntre todos nesta conven o Nesta situa o as duas premissas s o verdadeiras mas a conclus o falsa Esta situa o um contra exemplo para o argumento Ela demonstra que o argumento inv lido O que apresentamos foi nada mais do que uma prova informal de nao consequ ncia Provas Formais de N o Consequ ncia Ser que h provas formais de n o consequ ncia similares s provas formais de validade que podemos construir no sistema F Em geral n o No entanto definiremos a no o de provas formais de n o consequ ncia para a linguagem dos blocos Para a linguagem dos blocos diremos que uma prova formal de que O n o uma consequ ncia de P4 Pn consistir de um arquivo de senten as com P1 Pn rotuladas como premissas e a senten a Q rotulada como conclus o e um arquivo de mundo que fa a com que P4 Pn sejam todas verdadeiras e Q seja falsa O mundo descrito no arquivo de mundo ser chamado de contra exemplo para o argumento do arquivo de senten as 12 LEMBRE SE Para demonstrar a invalidade de um argumento com premissas P4 Pn e conclus o Q Pn sejam todas encontre um contra exemplo uma circunst ncia poss vel em que P4 verdadeiras mas Q seja falsa Tal contra exemplo mostra que Q n o consequ ncia de P4 def Pa 13 Cap tulo 3 Os Conectivos Booleanos At agora estudamos apenas as senten as at micas Para construir afirma es complexas FOL disp e
255. o 6 Agora acrescente uma linha antes da primeira linha que voc introduziu a que contem a b e insira a senten a b b Fa a isto movendo o indicador de foco o triangulo na margem esquerda para a linha que cont m a b e selecionando a op o Add Step Before no menu Proof Se a linha nova aparecer no lugar errado selecione a op o Delete Step tamb m no menu Proof Entre a senten a b b e justifique a usando a regra Intro Clique no bot o Check Step e verifique se a marca de confirma o aparece 7 Finalmente justifique a linha que contem a b usando a regra Elim Voc precisa mover o indicador de foco para esta linha e ent o citar a segunda premissa e a senten a b b Agora a prova inteira inclusive a meta deve receber a marca de confirma o Para verificar isso clique no bot o Verify Proof A prova deveria se parecer prova completada na p gina 57 com exce o da aus ncia de numeros nas linhas Selecione Show Step Numbers no menu Proof Os n meros das linhas e das justificativas devem aparecer e a prova ficar igual a do livro 8 Nos mencionamos anteriormente que o programa Fitch o deixa tomar alguns atalhos permitindo a voc fazer em uma nica linha coisas que necessitariam de v rias linhas caso n s aderissemos estritamente ao Sistema F Esta prova e um caso particular disso N s construimos uma prova adequada a F mas Fitch na verdade possui a regra de simetria de identidade inter
256. o ent o e n o pequeno Se c pequeno ent o b tambem e 8 8 d est na mesma linha que a b ou c Se d est na mesma linha que b ent o ele est na mesma linha que a apenas se ele n o esta na mesma linha que c d esta na mesma linha que a se e somente se ele esta na mesma linha que c d esta na mesma linha que a se e somente se ele n o esta na mesma linha que b 8 9 a ou um cubo ou um dodecaedro ou um tetraedro a pequeno m dio ou grande a m dio se e somente se for um dodecaedro a um tetraedro se e somente se for grande a um cubo se e somente se for pequeno 8 10 Abra o arquivo Between Sentences Determine se este conjunto de senten as satisfativel ou n o Se for construa um mundo no qual todas as senten as sejam verdadeiras Se n o fa a uma prova informal de que as senten as s o inconsistentes Ou seja assumindo todas elas derive uma contradi o 8 11 Analise a estrutura da prova informal abaixo que justifica a seguinte afirma o Se os EUA n o diminuir o consumo de petr leo rapidamente partes da Calif rnia ser o inundadas dentro de 50 anos Verifique se ha pontos fracos no argumento Indique tamb m quais premissas est o sendo assumidas implicitamente Elas s o plaus veis Prova Suponha que os EUA n o diminua seu consumo de petr leo Ent o ele ser incapaz de reduzir substancialmente sua emiss o de di xido de carbono nos pr ximos poucos anos Mas ent o pa s
257. o na mesma coluna 6 Use sua pr xima senten a para expressar o fato de que se b um tetraedro ent o pequeno 7 Em seguida expresse o fato de que se a e d s o ambos cubos ent o um est esquerda do outro Note que voc precisar de uma disjun o para expressar que um esta a esquerda do outro 8 Note que d um cubo se e somente se ele for m dio ou grande Expresse isso 9 Observe que se b n o esta nem a direita nem esquerda de d ent o um deles um tetraedro Expresse esta observa o 10 Finalmente expresse o fato de que b e c t m o mesmo tamanho se e somente se um um tetraedro e o outro um dodecaedro Grave suas senten as em um arquivo com o nome Sentences 7 11 Agora selecione Show Labels no menu Display Verifique que todas as suas senten as s o de fato verdadeiras Ao verificar as tr s primeiras preste aten o especial no valor de verdades de cada uma de suas partes constituintes Note que algumas vezes o condicional tem um antecedente falso e algumas vezes um consequente verdadeiro O que ele nunca tem um antecedente verdadeiro e um consequente falso Em cada um destes tr s casos clique no bot o Game e jogue se comprometendo com a VERDADE Certifique se de ter entendido porque o jogo procede da maneira que procede 7 12 Tradu o Traduza as seguintes senten as do portugu s para FOL Suas tradu es dever o utilizar todos os conectivos proposicionais 1 Se a um tetraedro e
258. odec b Cube a Cube c 8 90 Cube b Cube a Cube c 8 91 Dodec b a b Small a Small b Small b SameSize b c Small c 8 92 pua Cube a Cube c 8 93 Small a Large a A Large c Dodec b a c SameSize b c Large c V Small c 8 48 Small a A Medium b V Large c 49 Dodec a A Dodec b r Medium b FrontOf a b d SameCol a c Small a Quest es Gerais Importantes Quest es Importantes Cap tulos 1 a 8 Quest o 1 1 1 O que um argumento 1 2 Quando um argumento logicamente v lido 1 3 Quando um argumento correto Quest o 2 2 1 O que consequ ncia l gica 2 2 O que equival ncia l gica 2 3 O que necessidade l gica 2 4 O que possibilidade l gica 2 5 Como definir equival ncia l gica necessidade l gica e possibilidade l gica atrav s do conceito de consequ ncia l gica Quest o 3 Quais as caracter sticas principais de um argumento com premissas inconsistentes quanto validade e corre o Por que Quest o 4 4 1 Quala lei do terceiro exclu do 4 2 Que dizem as leis de DeMorgan 4 3 Como definir e com atrav s dos conectivos booleanos Quest o 5 O que significa dizer que um conectivo uma fun o de verdade Quest o 6 O que significa dizer que um conjunto de conectivos verofuncionalmente completo Quest o Como se prova que um conectivo N
259. ogia e demais no es afins Os problemas nesta se o Exerc cios 8 44 a 8 53 s o planejados para lembrar nos da rela o entre a floresta e as rvores al m de ajudar nos a rever as principais id ias discutidas at aqui Uma vez que agora j sabemos que nossas regras de introdu o e elimina o s o suficientes para provar qualquer argumento tautologicamente v lido estamos liberados para usar o mecanismo TautCon em nossas provas formais para justificar passagens simples que em uma prova informal nem seriam mencionadas Assim por exemplo se para fazer uma prova voc precisar supor uma inst ncia princ pio do terceiro exclu do P v HP ent o ao inv s de repetir a prova desta verdade l gica Exerc cio 6 33 voc pode simplesmente inseri la em sua prova e justific la com TautCon Mas n o esque a por m de usar o bom senso TautCon s ajudar se voc utiliz lo para pular passos simples aqueles que em provas informais nem mencionamos ou se mencionamos nem justificamos Caso contr rio se abusar do TautCon voc n o estar estudando l gica mas apenas confirmando que o mecanismo implementado no programa Fitch funciona E isso voc j sabe Este o FIM da PARTE do livro Na PARTE II estudaremos os Quantificadores xxx Tradu o livre de Don t lose sight of the forest for the trees 12 Resumo Geral dos Capitulos Cap tulo 1 Senten as At micas Constantes Individuais Em F
260. ology 1 cele quis n faia ode moto OKO a A Ta EE o a RE cs a O a ee Neste cap tulo voc usar o programa Boole para construir tabelas de verdade Apesar de Boole ter a capacidade de construir e preencher as colunas de refer ncia automaticamente para voc n o use esta ferramenta para fazer os exerc cios deste cap tulo Em cap tulos mais avan ados tal utiliza o ser permitida uma vez que voc j tiver aprendido a construir as tabelas por si pr prio A prop sito o professor tem como saber de que forma as colunas de refer ncia foram obtidas nos exerc cios que voc s entregarem Al m disso a prova ser feita no papael ou seja sem software nenhum para construir colunas automaticamente para voc 4 1 Se voc pulou a se o Experimente 1 acima volte e fa a a Ela o ajuda aprender a utilizar o programa Boole 4 2 Assuma que A B e C s o senten as at micas Use o programa Boole para construir tabelas de verdade para cada uma das seguintes senten as e com base nas tabelas indique quais senten as s o tautologias Grave suas tabelas com os nomes Table 4 2 x onde x e o n mero da senten a 1 A AB v A v B 3 AAB vC 2 A AB v A A B 4 Av B v Av B C 4 3 No Exerc cio 4 2 voc deve ter descoberto que duas das quatro senten as s o tautologias e portanto s o verdades l gicas 1 Suponha que voc seja informado de que a senten a A de fato uma verdade l gica por exemplo a
261. om o nome Sentences 3 21 3 22 Verificando suas tradu es Abra o arquivo Wittgenstein s World Note que todas as senten as escritas em portugu s do exerc cio anterior s o verdadeiras neste mundo Ent o se voc as traduziu corretamente as senten as de FOL que voc gravou no arquivo Sentences 3 21 tamb m ser o verdadeiras neste mundo Abra este arquivo de senten as e verifique se isso ocorre Se voc cometeu algum erro corrija o No entanto como voc j sabe mesmo que uma de suas senten as seja verdadeira no mundo de Wittgenstein isso n o significa que ela uma tradu o adequada da senten a do portugu s a ela correspondente Tudo o que voc sabe com certeza que sua tradu o e a senten a original t m o mesmo valor de verdade em um mundo especifico Mas se a tradu o esta correta ela tera o mesmo valor de verdade que a senten a em portugu s em qualquer mundo Ent o para testar melhor suas tradu es iremos examin las em um n mero maior de mundos para ver se elas t m os mesmos valores de verdade que suas contrapartes escritas em portugu s em todos estes mundos Vamos iniciar fazendo algumas modifica es no Mundo de Wittgenstein Em primeiro lugar transforme todos os objetos grandes ou m dios em objetos pequenos e os objetos pequenos em objetos grandes Com estas mudan as no mundo as senten as 1 3 4 e 10 se tornar o falsas enquanto que as outras continuar o verdadeiras Verifique se o mesmo ocorre
262. or da primeira linha de 9P for TRUE e Co ser inclu do se o valor da segunda linha for TRUE Uma vez que tenhamos entendido como este procedimento funciona veremos que ele pode ser aplicado igualmente para conectivos verofuncionais de qualquer aridade Suponha por exemplo que queremos expressar o conectivo verofuncional tern rio definido pela seguinte tabela de verdade Uma tradu o bastante boa de v P Q R se P ent o Q sen o R Quando n s aplicamos o m todo acima para expressar este conectivo obtemos a seguinte senten a PA Q A R V P A Q A SR V GP A Q AR v GP A Q R Ou seja a tabela de verdade da disjun o acima exatamente a mesma de v P Q R e por isso expressam a mesma fun o de verdade Ent o a disjun o acima uma tradu o adequada em FOL da express o se P ent o Q sen o R De maneira mais geral se 4 expressa um conectivo n rio ent o podemos usar este procedimento para obter uma sentenca que seja tautologicamente equivalente a P1 Pn Primeiro n s definimos as conjun es Ci C2 que correspondem s 2 linhas da tabela de verdade que definem o conectivo Ent o formamos uma disjun o D que conter Ck como disjunto se e somente se a k sima linha da tabela de verdade tiver o valor TRUE Se todas as linhas cont m FALSE ent o fazemos D ser P1 A P41 Por raz es que j explicamos esta disjun o ser tautologicamente equivalente a P4 Pr O qu
263. os novos m todos de prova que tais express es suportam Isso ser feito atrav s de discuss es informais dos m todos de prova mais usados em matem tica ci ncia e no dia a dia seguidas pela formaliza o destes m todos incorporando os dentro do que chamamos de sistema formal de dedu o Sistemas Formais Um sistema formal de dedu o utiliza um conjunto fixo de regras que especificam o que vale como passo aceit vel de uma prova Provas Informais A diferen a entre uma prova informal e uma prova formal n o est no rigor mas no estilo Uma prova informal do tipo que os matem ticos fazem t o rigorosa quanto uma prova formal No entanto n o est escrita em um sistema formal mas em portugu s e al m disso ela pode deixar de fora alguns dos passos mais bvios Provas Formais Uma prova formal por contraste emprega um estoque fixo de regras e um m todo de apresenta o altamente estilizado Por exemplo o argumento simples que mostra que de Cube c e c b segue se Cube b ter em nosso sistema formal o seguinte aspecto Cube c LZ Eb 3 Cube b Elim l 2 Aprenderemos no decorrer desta disciplina como fazer provas tanto informais quanto formais N o queremos dar a impress o de que as provas formais s o de algum modo melhores que as informais Ao contr rio em muitas situa es os m todos informais s o prefer veis As provas formais no entanto t m sua raz o de ser Primei
264. ostra portanto que qualquer sentenca da forma A A A v BA C v B uma tautologia Fa a o Tente Isto 1 da Lista de Exerc cios 4 para aprender como criar uma tabela de verdade utilizando o programa Boole H um pequeno problema com nossa defini o de tautologia uma vez que ela assume que toda senten a tem um conectivo principal Isto ocorre quase sempre mas n o em senten as como PAQAR Apenas para os prop sitos de construir tabelas de verdade assumiremos que o conectivo principal em conjun es ou disjun es com mais de dois elementos sempre o conectivo mais direita Assim uma senten a da forma P1 A Po A P3 A A Pa deve ser interpretada como P1 A P2 A Pa A A Pa Tautologias e Necessidade L gica Toda tautologia logicamente necess ria Afinal de contas sua verdade garantida simplesmente por sua estrutura e pelos significados de seus conectivos verofuncionais Tautologias s o necessidades l gicas em um sentido bastante forte Sua verdade independente tanto do modo como o mundo quanto dos significados das senten as at micas com as quais elas s o compostas Deve ficar claro no entanto que nem todas as asser es logicamente necess rias s o tautologias O exemplo mais simples de uma afirma o logicamente necess ria que n o uma tautologia a sentenca de FOL a a Uma vez que ela uma senten a at mica sua tabela de verdade se limita a O m todo
265. ova informal Contudo o sistema F lhe dar uma cole o bastante elegante mas restrita de regras de infer ncia que voc pode aplicar na constru o de uma prova formal Muitos dos passos de infer ncia v lidos que j vimos como as lies de DeMorgan n o s o permitidos como passos nicos eles precisam ser justificados em termos de passos mais b sicos A vantagem desta abordagem magra mas significativa que ela torna mais f cil provar resultados sobre o sistema dedutivo uma vez que quanto menos regras tiver mais simples o sistema Regras de Introdu o e Elimina o Sistemas de dedu o natural como F utilizam duas regras para cada conectivo uma que nos permite provar senten as que contenham o s mbolo e outra que nos permite provar coisas a partir de senten as que contenham o s mbolo As primeiras s o chamadas de regras de introdu o uma vez que elas nos permitem introduzir estes s mbolos nas provas Por contraste as ltimas s o chamadas de regras de elimina o Este tratamento similar ao utilizado para o predicado da identidade visto no Cap tulo 2 Todas as regras formais de F foram implementadas no programa Fitch permitindo que voc construa suas provas formais muito mais facilmente do que tivesse que escrev las m o Na verdade a interpreta o de Fitch para as regras de introdu o e elimina o s o um pouco mais generosas do que em F Elas n o permitem que voc fa a nada que F n o pudesse
266. para a l gica Ela nos permitir reduzir a no o de consequ ncia l gica de verdade l gica pelo menos nos casos em que o n mero de premissas do argumento finito Sabemos que uma senten a Q consequ ncia l gica de um conjunto de premissas P1 P se e somente se imposs vel que as premissas sejam todas verdadeiras e a conclus o falsa Outra forma de expressar isso dizer que imposs vel que a senten a Q seja falsa quando P1A A Pn for verdadeira Dado o significado do conectivo sua tabela de verdade podemos ver pela defini o acima que Q uma consequ ncia de P4 P se e somente se imposs vel que a seguinte senten a seja falsa P1A A Pn gt Q Assim uma forma de verificar a validade tautol gica de um argumento com um conjunto finito de premissas construir uma tabela verdade para a senten a acima e verificar se a coluna final cont m apenas TRUE LEMBRE SE 1 As seguintes constru es em portugu s s o todas traduzidas para P gt Q e Se Pent o Q e Qse P e Papenas se Q e QdadoqueP ou Dado que P Q 2 A seguinte constru o traduzida para P gt Q e Q a menos que P ou A menos que P Q 3 Q uma consequ ncia l gica de P1 Pn se e somente se a senten a P1 A A Pn gt Q for uma verdade l gica Biimplicac o Material ou Bicondicional lt Dadas duas senten as P e 0 podemos ainda formar outra senten a com elas atrav s do
267. para provas informais que envolvem os condicionais e depois incorporaremos estes m todos de prova em nosso sistema F Passos V lidos de Infer ncia Entre os m todos informais separaremos os que s o meros passos v lidos de infer ncia dos que se configuram em importantes m todos de prova Modus Ponens ou Elimina o do Condicional O passo de infer ncia mais comum envolvendo leva o nome latino de modus ponens e tamb m chamado de elimina o do condicional A regra diz que se voc estabeleceu as senten as P Q e P ent o voc pode inferir Q Esta regra obviamente v lida Uma r pida olhada para a tabela de verdade de nos mostra isso pois em todas as linhas que PS Q e P s o ambas verdadeiras Q tamb m verdadeira Elimina o do Bicondicional H um passo de infer ncia similar ao anterior para o bicondicional uma vez que o bicondicional logicamente equivalente a uma conjun o de dois condicionais Se voc tiver estabelecido uma das senten as Q P ou PS Q e conseguir estabelecer P ent o voc pode inferir Q Este passo de infer ncia chamado de elimina o do bicondicional Contraposi o Al m destas regras simples h v rias equival ncias teis envolvendo nossos s mbolos novos Uma das mais importantes conhecida como a Lei da Contraposi o Ela estabelece que P Q logicamente equivalente a Q gt P Esta segunda senten a condicional chamada de contraposi o
268. permite que voc tome certos atalhos que s o logicamente corretos mas que estritamente falando n o seguem exatamente as regras do sistema F Um destes atalhos por exemplo que voc pode utilizar a regra Elim nos dois sentidos da identidade tornando a prova do Exemplo 2 acima t o simples quanto a do Exemplo 1 Para se familiarizar com o programa Fitch fa a os exerc cios Tente Isto da Lista de Exerc cios 2 Consequ ncia Anal tica Como j mencionamos o sistema de provas F n o tem regras para depend ncias l gicas de predicados al m das regras da igualdade 10 O programa Fitch no entanto apesar de tamb m n o ter estas regras possui um mecanismo que entre outras coisas permite nos verificar para alguns predicados da linguagem de blocos se senten as at micas s o consequ ncia de outras senten as at micas Por exemplo este mecanismo nos permitir inferir a senten a Larger a c a partir das senten as Larger a b e Larger b c uma vez que a rela o ser maior que expressada pelo predicado Larger transitiva e portanto qualquer mundo que torne as duas ltimas verdadeiras tornar tamb m a primeira Regra AnaCon Chamaremos a este mecanismo de regra AnaCon Ela nos permitir citar algumas senten as como suporte de uma afirma o se qualquer mundo que torne as senten as citadas verdadeiras torne tamb m a conclus o verdadeira em virtude do significado do predicado usado no Mundo
269. premissa AvB C Use o programa Fitch para abrir o arquivo Condicional 1 Repare na premissa e na meta Adicione um passo prova e escreva a senten a da meta 2 Inicie uma subprova antes da senten a AC Entre A como a hipotese desta subprova 3 Adicione um segundo passo na subprova e entre C 4 Mova o cursor para o passo que tem a senten a A gt C Justifique este passo utilizando a regra Intro citando a subprova como suporte Verifique o passo bot o Check Step 5 Agora precisamos retornar e preencher a subprova Adicione um passo entre os dois passos da subprova Entre a senten a AvB Justifique este passo com a regra vintro citando a hip tese da subprova 6 Agora Mova o cursor para o ultimo passo da subprova Justifique este passo usando a regra Elim citando a premissa e o passo anterior 7 Verifique se sua prova est OK bot o Verify Proof e grave seu trabalho como Proof Conditional 1 EXPerimente es spka Ea a E DE a A E a 1 Abra o arquivo Condicional 2 Confira a sentenca que queremos provar na janela de meta Coloque o cursor em cada um dos passos e verifique o passo botao Check Step Nos passos que estao vazios tente prever como o Fitch ira preenche lo com a aplicacao default da regra 2 Quando terminar certifique se de ter entendido a prova EXPerimente 3 52 949 y oka ON RG GE EARN Kodo ds 1 Abra o arquivo Condicional 3 Neste arquivo voce sera solicitado a provar sem premissas a le
270. quadros adjacentes n o diagonais da grade a est mais pr ximo da borda esquerda que b FrontOf a b a est mais pr ximo da borda da frente que b BackOf a b a est mais pr ximo da borda de traz que b a b a e b nomeiam o mesmo objeto a becestao na mesma linha coluna ou diagonal 3 rela o Nomes o o 1 J 1 1 1 1 W Max max Claire claire Folly folly O nome de um certo cachorro Carl carl O nome de outro cachorro Scruffy scruffy O nome de um certo gato Pris pris O nome de outro gato 2 00 pm 2 de janeiro de 2005 2 00 O nome de um instante do tempo 2 01 pm 2 de janeiro de 2005 2 01 Um minuto mais tarde Similarmente para outros tempos Predicados x um animal de estima o Pet x x uma pessoa Person x x um estudante Student x t mais cedo que t t lt t Mais cedo que para instantes de tempo x estava com fome no instante t Hungry x t x estava brava no instante t Angry x t x possuia y no instante t Owned x y t x deu y az no instante t Gave x y Z t x alimentou y no instante t Fed x y t Tabela 1 2 Nomes e predicados de uma linguagem Regras do Sisitema F Regras do Sistema Formal F de L gica Cl ssica AIntro vIntro Intro Intro Intro eIntro Intro 3Intro vIntro vIntro2 P S c P c n n I JxS x P c QO VxP x Vx P x gt Q x AP ADE VxS x P j i S c Nao uma regra geral da l gica Rep
271. que apresentamos abaixo que mostra que a senten a P A P uma necessidade l gica 14 1 PA P No P 3 P AE dormit PA P Note que n o h nenhuma suposi o acima da primeira barra de Fitch horizontal o que indica que a prova principal n o tem premissas O primeiro passo da prova a suposi o de uma subprova A subprova segue e deriva uma contradi o baseada em sua suposi o o que nos permite concluir que a nega o da suposi o da subprova se segue sem a necessidade de premissas Em outras palavras uma verdade l gica Quando queremos que voc prove que uma senten a uma necessidade l gica usaremos a nota o Fitch para indicar que voc deve prov la sem assumir qualquer premissa Por exemplo a prova acima mostra que o seguinte argumento v lido PAP LEMBRE SE Uma prova sem premissas mostra que sua conclus o uma verdade l gica 15 Cap tulo 7 Condicionais Existem muitas constru es l gicas importantes em portugu s al m dos conectivos booleanos v e Max est em casa se Claire est na biblioteca Max est em casa apenas se Claire est na biblioteca Max est em casa se e somente se Claire est na biblioteca Nem Max est em casa nem Claire est na biblioteca Max est em casa a menos que Claire esteja na biblioteca Max est em casa ainda que Claire esteja na biblioteca Max est em casa a despeito do fato de Claire estar na biblio
272. que voc construiu s o logicamente equivalentes s senten as impares abra alguns dos arquivos de Mundo e verifique em cada um deles se elas t m os mesmos valores de verdade 7 26 O Problema da Economia de Conectivos Tratar um simbolo como b sico com suas pr prias regras ou como s mbolo definido sem regras pr prias faz uma grande diferen a na complexidade das provas Para ilustrar isso use o programa Fitch e abra o arquivo Exercise 7 26 Neste arquivo voc solicitado a construir uma prova de A v B a partir das premissas A e B Sua tarefa e fazer esta prova Repare que uma prova da senten a equivalente A A B teria e claro um nico passo com a regra Alntro 7 28 Expressando outro conectivo tern rio Inicie um arquivo de senten as novo no programa Mundo de Tarski Utilize o metodo que n s desenvolvemos para expressar um conectivo tern rio v definido na tabela de verdade abaixo e entre digite esta defini o como a primeira senten a deste arquivo de senten as Ent o tente simplificar o resultado tanto quanto puder Entre a senten a simplificada como a segunda senten a do arquivo Esta senten a n o deve ter mais do que duas ocorr ncias de cada P Q e R e n o deve ter mais do que seis ocorr ncias dos conectivos Booleanos A A e 7 29 O s mbolo de Sheffer Outro conectivo bin rio que verofuncionalmente completo o chamado simbolo de Sheffer devido a H M Sheffer um dos l gicos q
273. rdem Leis de DeMorgan O exerc cio 3 16 da Lista 3 ilustra exemplos mais interessantes de maneiras diferentes de dizer as mesmas coisas S o equival ncias conhecidas como Leis de DeMorgan P A Q expressa exatamente a mesma coisa que logicamente equivalente a P v Q P v Q logicamente equivalente a P A Q Estas leis s o simples consequ ncias dos significados dos conectivos booleanos A e v Se escrevermos S S para indicar que S4 e S2 s o logicamente equivalentes podemos expressar as leis de DeMorgan da seguinte maneira Dupla Nega o H muitas outras equival ncias que decorrem dos significados dos conectivos booleanos Talvez a mais simples seja a que conhecida como princ pio da dupla nega o que diz que uma senten a da forma P equivalente sentenca P No pr ximo cap tulo estas e outras equival ncias ser o sistematicamente discutidas Por enquanto queremos apenas que voc as perceba antes de continuarmos LEMBRE SE Dupla Nega o e Leis de DeMorgan Para quaisquer senten as P e Q 1 Dupla nega o P P 2 DeMorgan PAQ e P v AQ 3 DeMorgan Pv Q S P AQ Traducao Estamos construindo uma linguagem artificial para estudar l gica FOL Por isso uma habilidade essencial para a utiliza o da l gica a de traduzir senten as do portugu s para FOL e vice versa Tradu o Correta Intuitivamente uma tradu o
274. remissas PvQ e Q 3 Inicie duas subprovas a primeira com a hipotese P e a segunda com a hip tese Q Nosso objetivo estabelecer P nas duas subprovas 4 Na primeira subprova podemos simplesmente usar a regra de reiteracao Reit para repetir a hip tese P 5 Na segunda subprova como vamos estabelecer P Em uma prova informal nos simplesmente eliminamos este caso porque a hip tese contradiz uma das premissas Em uma prova formal no entanto precisamos estebeleder nossa senten a meta P nas duas subprovas e aqui que a regra LElim se tornar til Primeiro utilize Lintro para mostrar que este caso e contradit rio Voc dever citar a hipotese assumida O e a segunda premissa Q Uma vez que tenha obtido I como segundo passo da subprova utilize a regra LElim para estabelecer P nesta subprova 6 Com P em ambas as subprovas voc pode terminar a prova utilizando vElim Complete a prova 7 Salve seu trabalho com o nome Proof Negation 3 Experimente P sru eo SS RS CE OA DS E O By Ge aw a ba da 1 Abra o arquivo Negation 4 Primeiro olhe para a meta para ver qual senten a estamos tentando provar Ent o concentre se em aponte o cursor para cada um dos passos da prova em sequ ncia e verifique o passo Bot o Check Step Antes de se mover para o passo seguinte certifique se de ter entendido por que a verifica o foi OK e mais importante por que est sendo feito o que est sendo feito neste passo
275. remissas s o verdadeiras e a conclus o falsa Nas duas ltimas provas voc precisar usar a regra AnaCon para mostrar que certas senten as at micas s o contradit rias umas com as outras e desta contradi o introduzir Use AnaCon apenas nestes casos Ou seja voc pode usar a regra AnaCon apenas nas duas ltimas provas citando somente senten as at micas como suporte para a introdu o do L 6 9 Cube b 6 10 Cube a V Cube b A A i Cube c A Cube b i Cube c A Cube b Cube c Cube c 6 11 Dodec e 6 12 Dodec e p Small e 7 Small e Dodec e V Dodec f V Small e Dodec e V Dodec f V Small e Dodec f Dodec f 6 13 Dodec e 6 14 SameRow b f v SameRow c f Large e id V SameRow d f Dodec e v Dodec f v Small e 2SameRow c f FrontOf b f SameRow d f A Cube f Dodec f Cube f Nos dois exerc cios seguintes determine se as senten as s o consistentes Se elas forem utilize o Mundo de Tarski para construir um mundo onde ambas as senten as s o verdadeiras Se elas forem inconsistentes utilize o Fitch para apresentar uma prova desta inconsist ncia ou seja uma prova de L tendo as senten as como premissas Voc pode utilizar AnaCon em sua prova mas apenas aplicado a literais isto as senten as de suporte a qualquer aplica o de AnaCon que voc utilize devem ser at micas ou nega es de senten as at micas 6 15 7 Larger a b A Larg
276. resenta apenas um teste rapido para saber se a sentenca em quest o uma consequ ncia tautol gica das Taut Con senten as citadas Quando for o que poderia ser verificado em uma tabela de verdade conjunta a checagem da regra no programa Fitch resulta OK Quando n o for a checagem resulta em erro N o uma regra geral da l gica Ela depende do significado do predicado Ela representa apenas um teste para saber se a senten a em quest o FO Con consequ ncia l gica das senten as citadas em virtude do significado dos conectivos verofuncionais quantifidadores e Como tal teste n o um procedimento mecanicamente decid vel como o teste para consequ ncias tautol gicas esta regra pode se enganar em alguns casos Introdu o o 10 O G E L N o uma regra geral da l gica Ela depende do significado dos predicados gue estamos utilizando Para os predicados da linguagem de blocos acima Ana Con ela pode ser utilizada para justificar uma conclus o baseada no fato de que certos predicados s o sim tricos transitivos reflexivos inversos Por exemplo de Larger a b e Larger b c e claro que Larger a c pois Larger maior que e uma rela o transitiva A regra Ana Con e utilizada para justificar este tipo de passo em uma prova Restri o a aplica o das regras VIntro vIntro2 e 3Elim gt A constante c n o deve ocorrer fora da subprova em que introduzida L gica EXERC CI
277. rificar isso fazendo uma prova informal que mostra que se Q n o for uma consequ ncia l gica de P ent o o teste da tabela de verdade falha e portanto Q n o ser uma consequ ncia tautol gica de P Prova Suponha que Q n o uma consequ ncia l gica de P Ent o com base em nossa defini o de consequ ncia l gica deve haver alguma circunst ncia poss vel em que P verdadeira e Q falsa Esta circunst ncia determinar valores de verdade para as senten as at micas de P e Q e estes valores corresponder o a uma linha em uma tabela de verdade conjunta para P e Q uma vez todas as atribui es de valores poss veis para as senten as at micas de P e Q est o representadas nesta tabela Al m disso como P e Q s o constru das a partir destas senten as at micas pelo uso de conectivos verofuncionais e como j dissemos na circunst ncia que gerou esta linha P verdadeira e Q falsa ent o P receber o valor de verdade T e Q receber o valor de verdade F nesta linha Logo Q n o consequ ncia tautol gica de P prova acima mostra que 1 Sempre que Q n o consequ ncia l gica de P tamb m n o consequ ncia tautol gica Logo claro que se Q for consequ ncia tautol gica de P tem necessariamente que ser consequ ncia l gica caso contr rio teriamos um caso em que P n o consequ ncia l gica de Q mas consequ ncia tautol gica o que claramente desobedece 1 Voc entende este argumento
278. rmos das regras de introdu o e elimina o do sistema F Vamos tentar trabalhar de tr s para frente para ver se obtemos uma prova informal que seja mais f cil de formalizar Uma vez que a conclus o uma nega o podemos prov la assumindo P AQ e derivando uma contradi o metodo da prova indireta Ent o vamos supor PA Q e tomar L como nossa nova meta Agora as coisas parecem um pouco mais claras pois das premissas sabemos que ou P ou Q verdadeira mas qualquer destes casos contradiz um dos conjuntos da conjun o que assumimos P AQ Ent o uma prova por casos vai nos permitir derivar uma contradi o Apenas para registrar mais claramente estes racioc nios segue abaixo uma prova informal que representa esta discuss o PROVA Temos como premissa P v Q e queremos provar P A 6 Objetivando fazer uma prova indireta vamos assumir PA Q e tentar derivar da uma contradi o Ha dois casos a considerar uma vez que de nossa premissa ou P ou Q verdadeira Mas cada uma destas senten as contradiz a suposi o que fizemos P AQ P contradiz o primeiro conjunto e Q contradiz o segundo Consequentemente nossa suposi o leva a uma contradi o e por absurdo conclu mos sua nega o P v Q o que termina a prova O Tente Isto 11 da Lista 5 6 ajuda voc a construir a prova formal que modela esta argumenta o informal Armadilhas ao Trabalhar de Tr s para Frente Apesar de ser
279. ro elas podem ser mecanicamente verificadas mais f cil encontrar erros em provas formais do que nas informais Segundo porque elas nos permitem provar coisas sobre a nossa pr pria capacidade de provar coisas tais como os Teoremas de Completude e Incompletude de G del que ser o discutidos na se o final deste livro LEMBRE SE Uma prova para uma senten a S a partir das premissas P1 Pn uma demonstra o passo a passo que mostra que S deve ser verdadeira em quaisquer circunst ncias nas quais as premissas P4 Pr sejam todas verdadeiras Provas formais e informais diferem apenas no estilo n o no rigor 2 2 1 Provas Envolvendo o Simbolo de Identidade Indiscernibilidade de Id nticos J vimos um exemplo de um importante m todo de prova Se pudermos provar n o importa as premissas que b c ent o sabemos que qualquer coisa que for verdadeira para b tamb m ser verdadeira para c Afinal de contas b e c s o apenas nomes diferentes do mesmo objeto Em filosofia esta simples observa o tem o pomposo nome de Principio de Indiscernibilidade de Id nticos Algumas vezes tamb m chamado de Princ pio da Substitui o Elimina o da Identidade Chamaremos a regra formal correspondente ao princ pio da indiscernibilidade de id nticos de Elimina o da Identidade que abreviaremos para Elim A raz o deste nome que uma aplica o desta regra elimina um uso de um s mbolo de identidade quando
280. rovar uma conjun o de v rias senten as P1 A A Pn basta provarmos cada um dos conjuntos Pi 1 lt i lt n separadamente Isto porque claro que P4 A A Pn consequ ncia l gica da totalidade das premissas Pa Pn j que n o poss vel que P1A A Pn seja falsa quando Pa Ph sao todas verdadeiras Introdu o da Disjun o Se voc provou uma senten a Q ent o voc pode inferir qualquer disjun o que tenha Q como um de seus disjuntos Isto porque suponha que Q seja algum Pi com 1 lt i lt n Quaisquer que sejam as outras senten as P1 Pn a disjun o Pav v Pi v v Pn consequ ncia l gica de Pi j que n o poss vel que P1 v v Pi v v Pn seja falsa quando Pi verdadeira Alguns estudantes iniciantes se confundem com este passo de infer ncia pois eles se perguntam com raz o porque algu m iria querer concluir por exemplo a senten a Cube a v Tet a quando j sabe que Cube a verdadeira Ao fazer isso n o estamos partindo de uma informa o precisa e tornando a mais imprecisa Isso verdade mas veremos mais adiante que quando combinado com os outros passos de infer ncia este passo se tornar bastante til Quest o de Estilo Provas informais servem a dois prop sitos 1 S o um m todo de descoberta elas nos permitem extrair informa o nova de informa es que j possu amos 2 S o um m todo de comunica o elas
281. s 1 Na primeira coluna da tabela abaixo classifique cada um dos argumentos como v lido ou inv lido Ao avalia los voc pode pressupor quaisquer das caracteristicas dos mundos que podem ser construidos com o programa Mundo de Tarski por exemplo que dois blocos n o podem ocupar o mesmo quadro na grade etc Argumento V lido Correto no Correto no Mundo de S crates Mundo de Wittgenstein Wu B 6 NE NN 2 Agora abra o arquivo Mundo de S crates e avalie cada uma das sentencas se verdadeira ou falsa Use o resultado de sua avalia o para preencher a coluna de cada argumento como correto ou incorreto no Mundo de Socrates Lembre se que apenas argumentos validos podem ser corretos Argumentos inv lidos s o automaticamente incorretos 3 Abra o arquivo Mundo de Wittgenstein e fa a o mesmo preenchendo a terceira coluna da tabela 4 Para cada argumento que voc avaliou como inv lido construa um mundo no qual as premissas do argumento s o todas verdadeiras mas a conclus o falsa Grave estes arquivos como World 2 1 x onde x o n mero do argumento Se voc tiver dificuldade em construir tal mundo talvez voc deva repensar sua avalia o do argumento como inv lido Este exerc cio 2 1 refor a um ponto muito importante que muitos estudantes de l gica costumam esquecer a validade de um argumento depende apenas do argumento Ela independe dos fatos especificos do mundo sobre o qu
282. s Corol rio Se S ou seja se h uma prova sem premissas de S em Fr ent o S uma tautologia A import ncia deste corol rio ilustrada na Figura 8 1 O corol rio nos diz que se uma senten a prov vel em Fr ent o ela uma tautologia O Teorema da Corre o nos assegura isso Basta que o apliquemos a uma prova sem premissas pois sabemos que tautologia e consequ ncia tautol gica de um conjunto vazio de premissas s o a mesma coisa Tautologias 222 Senten as Prov veis em Fr Tet a v Tet a Figura 8 1 O Teorema da Corre o para Fr nos diz que apenas tautologias s o prov veis sem premissas em Fr Repare nos pontos de interroga o na figura acima At agora n o sabemos se h alguma tautologia ou argumentos tautologicamente v lidos que n o s o prov veis em Fr Esta a segunda quest o que precisamos nos dirigir a quest o da completude Sistemas Dedutivos Corretos x Argumentos Corretos Antes de prosseguirmos vale a pena refor ar que o uso do termo corre o nesta se o tem muito pouco a ver com nosso uso anterior do termo para descrever argumentos v lidos com premissas verdadeiras O que corre o de fato significa quando aplicado a sistemas dedutivos que o sistema permite a voc provar apenas argumentos v lidos Seria mais apropriado usarmos o termo valida o Teorema da Valida o Mas n o assim que ele tradicionalmente chamado 10 Completude A
283. s conectivos nos permitirem expressar cada uma das fun es de verdade 2 V rios conjuntos de conectivos incluindo os conectivos booleanos s o verofuncionalmente completos Nota es Alternativas para os Conectivos Nossa Nota o Nota es Alternativas Equivalentes LG E JL Cree 0 Cap tulo 8 A L gica dos Condicionais Equival ncias L gicas entre Condicionais e Conectivos Booleanos Os seguintes pares de senten as s o logicamente equivalentes e ajudam a entender significado do condicional e do bicondicional 1 PQ Q gt P 4 P0 e P Q A Q P Passos de Infer ncia V lidos Sejam P e Q senten as de FOL 1 Modus Ponens De P Q e P infere se Q 2 Elimina o do Bicondicional De P e ou P S Q ou Q S P infere se Q 3 Contraposi o PS Q Q P M todos de Prova 1 O M todo da Prova Condicional Para provar P gt Q assuma P e prove Q 2 O M todo dos Ciclos de Condicionais Para provar um n mero de bicondicionais tente arranj los de modo a formar um ciclo de condicionais ex P4 Po gt gt Pn P4 Regras Formais para o Condicional Elimina o do Condicional Elim Introdu o do Condicional gt Intro Regras Formais para o Bicondicional Corre o e Completude de Fr Dado um argumento com premissas P4 Pr e conclus o S 1 Completude de Fr Se S uma consequ ncia tautol gica de P1 Pn ent o existe uma prova de S a p
284. s que s o aplicados apenas s senten as at micas e seguimos trabalhando com os conectivos que se aplicam a senten as cujos conectivos principais j tenham suas colunas preenchidas Continuamos este processo at que o conectivo principal de S tenha sua coluna preenchida esta coluna que mostra como o valor de verdade de S depende do valor de verdade de suas partes at micas Ent o para o nosso exemplo o primeiro passo ser calcular os valores de verdade da coluna do conectivo mais interno que neste caso a nega o Faremos isso utilizando como refer ncia os valores da coluna Cube a trocando os de acordo com o significado de Com esta coluna preenchida podemos determinar os valores de verdade que devem ficar abaixo de v Basta consultar os valores sob Cube a e aqueles abaixo de Isso porque s o eles que correspondem aos valores dos dois disjuntos aos quais v aplicado Voc entende isso Como h pelo menos um T em cada linha a coluna final da tabela de verdade marcada com a seta grossa fica assim Cube a Cube a y Cube a E Jj Nossa tabela nos mostra que a senten a Cube a v Cube a n o pode ser falsa Ela o que n s chamaremos de uma tautologia que um caso simples de verdade l gica que mais adiante definiremos com precis o Lei do Terceiro Exclu do Nossa senten a de fato uma inst ncia um caso de um princ pio P v P que conhecido como a lei do terce
285. s tais como b e e n2 e predicados como Cube Larger e Between Alguns exemplos de senten as at micas nesta linguagem s o Cube b Larger c f e Between b c d Estas senten as dizem respectivamente que b um cubo que c maior do que fe que b esta entre ce d 1 1 Constantes Individuais Constantes individuais s o simplesmente s mbolos que usamos para nos referirmos a algum objeto individual fixado Elas s o o an logo em FOL dos nomes Em geral n o s o escritos com letras mai sculas Podemos em FOL utilizar max como uma constante individual para denotar uma pessoa espec fica cujo nome Max As constantes individuais funcionam em FOL basicamente da mesma forma que funcionam os nomes em portugu s A nossa linguagem de blocos utilizar as letras a at f acrescidas de na n2 como seus nomes Nomes em FOL A principal diferen a entre os nomes em portugu s e as constantes individuais de FOL que exigido para as constantes individuais que elas se refiram a exatamente um objeto um e apenas um claro que quando usamos o nome Max em portugu s podemos estar nos referindo a muitas pessoas diferentes Em FOL isso proibido Se utilizamos o nome max ent o max se refere a exatamente UM objeto espec fico H tamb m nomes em portugu s que n o se referem a nenhum objeto que de fato exista Papai Noel por exemplo Este tipo de nome tamb m n o permitido em FOL O que poss vel em FOL que
286. scritas em senten as completas do portugu s podendo utilizar se de senten as em FOL conforme for conveniente seguindo o estilo que temos feito no texto do cap tulo Sempre que voc utilizar prova por casos ou por contradi o indique que est fazendo isto Voc n o precisa ser explicito sobre o uso de passos simples introdu o e elimina o da conjun o e introdu o da disjun o Se o argumento for inv lido construa um contraexemplo com o programa Mundo de Tarski 5 15 5 16 b um tetra dro Max ou Claire est em casa mas Scruffy ou Carl est infel c um cubo Ou Max n o est em casa ou Carl est infeliz Ou c maior do que b ou eles s o iguais Ou Claire n o est em casa ou Scruffy est infeliz b menor do que c Scruffy est infeliz E 9 17 Cube a V Tet a V Large a 9 18 Cube a V Tet a V Large a se Cube a Va b V Large a 7 Cube a Va b V Large a Large a Va c aLarge a Va c ce EN leta e cA Tetla D Large a V Tet a 5 19 Considere as seguintes senten as e responda 1 Folly era animal de estima o de Claire s 2 pm ou as 2 05 pm 2 Folly era animal de estima o de Max s 2 pm 3 Folly era animal de estima o de Claire s 2 05 pm A sentenca 3 e consequ ncia de 1 e 2 A sentenca 2 e consequ ncia de 1 e 3 A sentenca 1 e consequ ncia de 2 e 3 Em cada caso apresente ou uma prova quando a sentenca for consequ ncia das outras
287. se uma explica o no estilo passo a passo sobre como podemos obter a partir destas suposi es a conclus o desejada N o h regras estritas sobre qu o detalhada deve ser uma prova informal Isso depende de para quem voc est fazendo a prova A nica regra que cada passo deve estar escrito de forma n o amb gua e sua validade deve ser aparente Na se o 3 aprenderemos como formalizar a prova acima Transitividade da Identidade Um terceiro princ pio sobre a identidade que beira a trivialidade a cnamada transitividade Ele estabelece que se a b e b c ent o a c Demonstraremos tal princ pio em um exerc cio mais adiante utilizando para isso a indiscernibilidade de id nticos Estes princ pios de identidade valem at para os termos complexos de uma linguagem que utiliza s mbolos de fun o Se sabemos por exemplo que Happy john e que john father max ent o voc pode utilizar a elimina o da identidade para concluir que Happy father max ainda que father max seja um termo complexo LEMBRE SE H quatro princ pios importantes v lidos para a rela o de identidade 1 Elim Se b c ent o tudo o que v lido para b valido para c Este princ pio tamb m conhecido como indiscernibilidade de id nticos Intro Senten as da forma b b s o sempre verdadeiras em FOL Isto tamb m conhecido como reflexividade da identidade Simetria da Identidade se b c ent o c b Transitivi
288. seja considere P Q e P porque Q tr s senten as Se existem duas situa es 1 e 2 em que os valores de verdade de P porque Q s o diferentes por exemplo na situa o 1 P porque Q verdadeira e na situa o 2 P porque Q falsa e no entanto em ambas as situa es os valores de verdade de Pe Q s o os mesmos na situa o 1 P tem o mesmo valor de verdade que na situa o 2 e o mesmo se d com Q Se isso ocorre porque os valores de verdade de P e Q n o determinam completamente o valor de verdade de P porque Q Isso significa que porque n o uma fun o de verdade Em uma tabela de verdade n o saber amos preencher o valor de verdade da senten a P porque Q apenas olhando para os valores de verdade de P e Q Vamos ent o apresentar as duas situa es Considere as senten as P Max est em casa Q Claire esta na biblioteca P porque Q Max est em casa porque Claire esta na biblioteca Vejamos agora duas situacoes em que os valores de P e Q sao constantes mas o valor de P porque Q se altera Situa o 1 Max soube que Claire esta na biblioteca e portanto n o poder dar comida a Miau Ent o Max corre para casa para alimentar Miau Situa o 2 Max esta em casa e espera que Claire chegue como de costume nos pr ximos minutos No entanto ela inesperadamente precisou ir biblioteca pegar a refer ncia bibliogr fica de um texto Em ambas as situa es temos P Max est em casa e Q Claire est na b
289. sim por diante Preenchendo as Colunas de Refer ncia As colunas esquerda abaixo das senten as at micas de uma tabela de verdade s o chamadas de colunas de refer ncia costume fazer com que a coluna de refer ncia mais esquerda tenha o valor TRUE para as linhas da metade superior da tabela e FALSE para as linhas da metade inferior A coluna seguinte divide cada uma destas metades tendo as linhas do primeiro e terceiro quarto marcadas com TRUE e as linhas do segundo e quarto quartos marcadas com FALSE Este processo de divis o pela metade se repete para as linhas mais direita e termina com a ltima coluna de refer ncia tendo alternadamente os valores TRUE e FALSE Vejamos um exemplo bastante simples Considere a seguinte senten a Cube a v Cube a Uma vez que ela constru da a partir de uma nica senten a at mica Cube a que se repete duas vezes a tabela tera apenas duas linhas uma para cada poss vel valor de verdade para Cube a Cube a Cube a y Cube a Preenchendo as Colunas dos Conectivos Uma vez que as colunas de refer ncia tenham sido preenchidas da maneira que descrevemos acima estamos prontos para preencher o resto da tabela Para fazer isso constru mos colunas com Ts e Fs abaixo de cada conectivo na senten a alvo S Estas colunas s o preenchidas uma por uma utilizando como base as tabelas de verdade para os v rios conectivos Iniciamos trabalhando com os conectivo
290. simb licas Apesar de n o ser t o frequentemente utilizada em outras formas da investiga o racional como medicina e finan as ela tamb m uma ferramenta valiosa para o entendimento dos princ pios da racionalidade subjacentes tamb m a estas disciplinas Esta linguagem atende por v rios nomes o mais baixo c lculo de predicados o c lculo funcional a linguagem da l gica de primeira ordem e FOL1 Este ltimo o nome que usaremos Certos elementos da linguagem FOL remetem se Arist teles mas a linguagem como conhecida hoje emergiu durante os ltimos cem anos Os nomes mais fortemente associados com o seu desenvolvimento s o os de Gottlob Frege Giuseppe Peano e Charles Sanders Peirce No final do s culo XIX estes tr s l gicos desenvolveram independentemente os elementos mais importantes da linguagem conhecidos como quantificadores Desde ent o tem ocorrido um processo de padroniza o e simplifica o resultando na linguagem em sua forma atual Mesmo assim ainda existem alguns dialetos de FOL que diferem principalmente na escolha dos s mbolos espec ficos usados para expressar as no es b sicas da linguagem N s utilizaremos o dialeto mais comum em matem tica no entanto durante o percurso informaremos sobre v rios outros dialetos FOL usada de diferentes formas em diferentes campos Em matem tica bastante usada de uma maneira informal Os diversos conectivos e quantificadores s o bastante utiliza
291. ssam a no o de conjun o Na l gica este conectivo sempre colocado entre duas senten as Enquanto que em portugu s sua utiliza o mais livre Por exemplo Jo o e Maria est o em casa Jo o est em casa e Maria est em casa Estas duas senten as t m a mesma tradu o em FOL Home joao A Home maria Esta sentenca ser verdadeira se e somente se Jo o est em casa e Maria est em casa Outro exemplo A sentenca Jo o dormiu e caiu Traduz se em FOL por Dormiu joao A Caiu joao Esta senten a ser verdadeira apenas se as senten as at micas Dormiu joao e Caiu joao forem ambas verdadeiras Muitas vezes uma sentenca de FOL conter o simbolo A mesmo quando n o h nenhum sinal vis vel de conjun o na senten a em portugu s correspondente 2 Como voc acha que a senten a do portugu s d um cubo grande seria na Linguagem dos Blocos Se voc sugeriu Large d A Cube d voc acertou Esta sentenca sera verdadeira se e somente se d for grande e d for um cubo Ou seja se d for um cubo grande Alguns usos da palavra e em portugu s n o sao espelhaveis com precis o pelo s mbolo de conjun o de FOL Por exemplo suponha que estejamos falando de uma noite em que Max e Claire estavam juntos tendo um encontro Se diss ssemos Max foi para casa e Claire foi dormir nossa asser o poderia estar carregando uma implica o temporal A de que Max foi para casa antes de Claire
292. ssas de nossa prova E como Sa Sn e S est o abaixo da barra Fitch isso indica que estas senten as devem ser consequ ncias l gicas das premissas Justificativa Note que direita de cada passo abaixo da barra Fitch apresentamos uma justificativa para o passo Uma justificativa indica qual a regra nos permite dar este passo e a quais passos anteriores da prova a regra aplicada Tamb m numeraremos os passos das provas para que possamos fazer refer ncias a eles em justificativas de passos posteriores Aqui est um exemplo de uma formaliza o de nossa prova da simetria da identidade l a b Z asa Intro 3 a Elim 2 1 Repare que as justificativas que aparecem do lado direito das sentencas abaixo da barra Fitch representam as regras sobre a igualdade que introduzimos na secao 2 2 1 Os n meros direita da indica o Elim na justificativa do passo 3 indicam que este passo se segue dos passos 2 e 1 atrav s da utiliza o da regra citada elimina o da igualdade Regras Intro Elim e Reit Na tabela abaixo s o apresentadas as primeiras regras do sistema F com a nota o que utilizaremos para indic las e uma descri o de sua utiliza o O simbolo gt indicar exatamente qual o passo que est sendo autorizado pela regra Primeiras Regras do Sistema Formal T Nome Notac o Descri o Regra que permite a introdu o da assercao n n para qualquer nome ou termo complexo n
293. tand the difference between this sentence and the next one vx Cube x a Medium x gt vy y x gt LeftOf y x vx Tet x A Small x gt vy FrontOf x y vx Tet x A Small x gt vy y 4 x gt FrontOf x y vx Tet x a Small x gt vy FrontOf y x vx vy BackOf x y gt FrontOf x y 23 24 29 26 27 28 29 30 3x Jy BackOf x y A FrontOf x y ix Tet x A ay 3z Dodec y Dodec z A Between x y Z 3x 3y Tet x A Tet y A 3z Dodec z Between z x y vx vy Cube x Tet y gt FrontOf x y v FrontOf y x vx vy Cube x Tet y gt LeftOf x y v LeftOf y x vx vy Cube x Cube y gt SameRow x y You may need to play the game to see why this has the truth value it does in Peano s World Compare this with 29 and 30 vx vy Dodec x Dodec y gt SameSize x y vx Vy Tet x A Tet y gt SamesSize x y Be sure you understand why this comes out as it does in Peano s World Sentencas de Post vx Cube x v Tet x v Dodec x v x Small x v Medium x v Large x vx vy Larger x y gt Large x vx vy Larger x y gt Large x v Small y 3X 3y Larger x y A Small x A Small y Vx Vy vz BackOf x z A Between y x Z gt BackOf x y 11 Senten as de Peirce Senten as Ramsey 1 vx Cube x 3X ay Tet x A Tet y A SameRow x y Yo
294. teca Max est em casa sempre que Claire est na biblioteca Max est em casa porque Claire est na biblioteca O DU do Im EE E isso apenas a ponta do iceberg H MUITO mais Algumas destas constru es s o fun es de verdade outras n o Lembre se que um conectivo uma fun o de verdade ou verofuncional se a verdade ou falsidade da senten a composta completamente determinada pelos valores de verdade de suas partes constituintes Em outras palavras um conectivo uma fun o de verdade se pode ser definido em uma tabela de verdade Conectivos N o Verofuncionais FOL n o inclui conectivos que n o sejam fun es de verdade Isto n o significa que estes conectivos n o sejam importantes mas seus significados tendem a ser vagos sujeitos a interpreta es conflitantes A decis o de n o incluir conectivos n o verofuncionais em FOL an loga exig ncia que fizemos no Cap tulo 1 de que todos os predicados de FOL devem ter interpreta es precisas Queremos com isso ser t o precisos quanto poss vel Dos conectivos listados acima um o porque claramente n o uma fun o de verdade Isso n o dif cil de provar PROVA Para provar que porque n o uma fun o de verdade basta apresentarmos duas circunst ncias nas quais uma senten a cujo conectivo principal porque tenha valores de verdade diferentes mesmo quando os valores de verdade de suas partes constituintes s o os mesmos Ou
295. ten a constru da com conectivos verofuncionais logicamente necess ria Tabelas de Verdade e Necessidade L gica O m todo das tabelas de verdades ser til para entre outras coisas mostrar que certas senten as n o podem ser falsas devido simplesmente aos significados dos conectivos verofuncionais que elas cont m O m todo das tabelas de verdade para este caso tamb m funciona apenas em uma dire o TW vem de Tarski s World Mundo de Tarski em ingl s Quando ele diz que uma senten a logicamente necess ria ent o ela definitivamente Por outro lado algumas senten as s o logicamente necess rias por raz es que o m todo das tabelas de verdade n o consegue detectar O M todo das Tabelas de Verdade Suponha que tenhamos uma senten a complexa S com n senten as at micas constituintes Au An Para construir uma tabela de verdade para S escrevemos as senten as at micas As An na linha do topo de uma p gina com a senten a S direita E costume tra ar uma coluna grossa separando as senten as at micas de S A tabela de verdade ter uma linha para cada forma poss vel de atribuir TRUE ou FALSE para as senten as at micas N mero de Linhas em uma Tabela de Verdade Uma vez que h dois valores poss veis para cada senten a at mica TRUE ou FALSE ent o com n senten as at micas teremos 2 linhas Se n 1 haver duas linhas se n 2 haver 4 linhas se n 3 haver 8 linhas e as
296. tilizado para combinar duas senten as P e Q para formar uma nova senten a P gt Q chamada de condicional ou implica o material P chamado antecedente da implica o ou do condicional e Q chamado consequente da implica o ou do condicional Antes de discutirmos as contrapartidas do portugu s para este conectivo vamos explicar seu significado A Sem ntica do Condicional A senten a P Q verdadeira se e somente se P falsa ou Q verdadeira ou ambas as coisas A seguinte tabela de verdade sumariza esta defini o Tabela de Verdade para o Condicional Regra para o Condicional no Jogo Henkin Hintikka A defini o e a tabela acima mostram que na verdade P O apenas uma outra forma de dizer P v 0 E por isso que no jogo Henkin Hintikka o Mundo de Tarski sempre substitui senten as da forma P Q para esta forma equivalente P v Q LEMBRE SE 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P gt Q tamb m 2 A senten a P gt Q falsa em apenas um caso se o antecedente P verdadeiro e o consequente Q falso Caso contr rio ela verdadeira As Formas da Implica o Material no Portugu s A senten a do portugu s Se P ent o Q aproxima se bastante deste significado de implica o material Pois n o h d vidas de que este condicional em portugu s falso quando P verdadeiro e O falso Portanto traduziremos por exemplo a senten a Se Max est em c
297. tornar verde 2 Para construir as colunas de refer ncia clique na parte superior esquerda da tabela de modo a mover o ponto de inser o para o topo da primeira coluna de refer ncia Entre C nesta coluna Ent o escolha Add Column Before no menu Table e entre B Repita este procedimento e adicione a coluna para A Para preencher as colunas de refer ncia clique abaixo de cada uma delas e digite o padr o desejado de T s e F s Lembrese Verdadeiro em ingl s e True No lugar de V voc deve colocar T 3 Clique abaixo dos v rios conectivos na senten a alvo a que queremos avaliar e note que quadros iluminados cor turquesa aparecem nas colunas cujos valores este conectivo depende Selecione uma coluna em que os quadros iluminados j estejam preenchidos e preencha a coluna com os valores de verdade apropriados Continue o processo at que sua tabela esteja completa Quando tiver terminado clique no bot o Verify Table para ver se todos os valores est o corretos e a tabela completa 4 Uma vez que voc tenha uma tabela correta e completa clique no bot o Assessment logo abaixo da barra de ferramentas Isto ira permitir lhe dizer se voc acha se a sentenca uma tautologia tautology Confirme que a senten a uma tautologia marcando o quadro correspondente e clique em OK para fechar esta janela Agora clique no bot o Verify Assess para verificar se voc interpretou corretamente a tabela Grave seu trabalho com o nome Table Taut
298. tro cite a subprova como suporte e verifique este passo Sua prova completa deve ser corretamente verificada bot o Verify Proof 6 Note que na terceira linha de sua prova voc citou um passo fora da subprova especificamente uma premissa Isto legitimo mas traz a tona uma importante quest o Exatamente quais passos podem ser citados em um dado ponto de uma prova Como uma primeira aposta voc poderia pensar que podemos citar qualquer passo anterior Mas veremos que isto est errado Veremos por que e tamb m a resposta correta mais adiante 7 Grave sua prova com o nome Proof Negation 1 BD ANA ADA o aa aj E a a Rd eon do M o re docu E UTA ON a ee 1 Abra com o Fitch o arquivo Negation 2 Voce vera uma prova incompleta Ha uma lista grande de premissas formando varios grupos contraditorios 2 Posicione o cursor em cada passo que cont m o simbolo L Voc vera que v rias senten as est o citadas como suporte destes passos Apenas um destes passos e uma aplica o da regra LIntro Qual deles Especifique a regra deste passo como LIntro e verifique 3 Entre os passos restantes voc encontrar um em que as senten as citadas formam um conjunto de senten as TT contradit rio ou Tabela de Verdade Contradit rio Qual este passo Modifique a justificativa deste passo para a regra TautCon e verifique o passo Uma vez que a verifica o esteja correta voc pode ter a certeza de que poder deduzir
299. u ainda estava trabalhando na prefeitura s 16 45 h de acordo com os testemunhos de cinco colegas de trabalho Logo meu cliente teria que ter ido da prefeitura ao KitKat Club em 30 minutos ou menos Mas este percurso na melhor das circunst ncias de tr nsito poss vel demora 35 minutos Al m disso os arquivos policiais indicam que o tr nsito estava bastante engarrafado no dia do assassinato Eu portanto declaro que meu cliente inocente Usamos argumentos como este todo o tempo assumimos alguma coisa e ent o descartamos esta suposi o com base em suas consequ ncias falsas Algumas vezes estas consequ ncias nem s o contradi es nem mesmo coisas que sabemos serem falsas mas s o apenas consequ ncias futuras que consideramos inaceit veis Voc poderia por exemplo assumir que ir ao Rio de Janeiro nas f rias de julho A voc calcula o impacto desta viagem em suas finan as e avalia sua capacidade para terminar todos os trabalhos das disciplinas que est cursando a tempo de viajar Ent o voc conclui relutantemente que n o pode fazer a viagem Quando voc raciocina assim est utilizando nada mais nada menos do que o m todo da prova indireta LEMBRE SE Prova por Absurdo ou Indireta Para provar S usando este m todo assuma S e prove uma contradi o L Argumentos com Premissas Inconsistentes O que se segue de um conjunto inconsistente de premissas Se voc pensar um pouco na defini o d
300. u only need one block to make this true 2 vx Dodec x 3X ay Tet x Tet y Larger x y BackOf x y 3 vx Small x How many blocks do you need to add to make this true 4 vx Small x Cube c A Cube d FrontOf c d 5 3x Tet x Cube c 5 Tet a 6 3x Dodec x Name one of your earlier blocks a T 3x Large x Cube d Cube e Larger d e 8 3y Large y ax Cube x Ax amp d A X e 9 3x BackOf x x 3x Tet x A Between x c d Reposition things to make this true without new 10 vx Cube x v Tet x blocks 11 vx Cube x Tet x 3x 3y Between a x y Larger a x omaller a y 12 vx Large x gt Cube x 3x Cube x X4 C A x d v Large x 13 vx Medium x gt Cube x ax 3y 3z Cube x A Dodec y A Dodec z 14 vx Small x gt Tet x Between y x z Larger x z LeftOf x z 15 3x Tet x gt ax Large x vx 4BackOf x d 16 3x Tet x A Large x vx Cube x Large x gt x e 17 3x Dodec x Small x yx LeftOf x d 18 3y Cube y Small y VX x e gt FrontOf x e v RightOf x e 19 3x Medium x A Tet x vx Tet x A Large x o x b 20 vx Small x A Large x gt Dodec x vx LeftOf x a A Cube x gt Tet x A Small x 21 3x Tet x 3y Tet y az Tet z au Tet u vx x aAX b AX d Small x 22 vx Cube x o Tet x Vx vy Medium x Medium y gt x
301. ue apresentamos na p 5 do Cap tulo 5 de b c a partir das premissas Cube c v Dodec c e Tet b Voc pode usar AnaCon apenas aplicada a literais para obter 1 6 23 Fa a uma prova informal que poderia ter sido utilizada pelos autores como base para a constru o da prova formal mostrada na p gina 11 do Cap tulo 6 Em cada um dos exercicios seguintes fa a uma prova informal da validade do argumento indicado Voc jamais pode usar o princ pio que est tentando provar em sua prova informal Por exemplo no Exercicio 6 24 voc n o deve usar DeMorgan em sua prova informal Ent o utilize o Fitch para construir uma prova formal que espelhe o m ximo possivel a prova informal que voc construiu 24 A v B 6 25 A B A MA B j 26 A V E A 2 SN BY LVD AVD A VB J 2 r AAB V Pe A D 4 BA C V DA E Cy A E Em cada um dos exerc cios seguintes voc dever decidir se o argumento v lido ou n o Se ele for utilize o programa Fitch para construir uma prova formal Voc poder utilizar a regra AnaCon mas apenas envolvendo literais para a introdu o de Se o argumento n o for v lido utilize o Tarski s World para construir um contraexemplo 6 28 Cube c V Small c 6 29 Larger a b V Larger a c A Dodec c 7 Smaller b a v Larger a c Small c Larger a b 6 30 Cube a A Cube b 6 31 Dodec b V Cube b 2 Cube b V Cube c 7 Smal
302. ue duas senten as da linguagem dos blocos s o TW equivalentes se e somente se elas t m exatamente os mesmos valores de verdade em cada mundo que pode ser constru do com o programa Mundo de Tarski 1 Qual a rela o entre TW equival ncia equival ncia tautol gica e equival ncia l gica 2 D um exemplo de um par de senten as que sejam TW equivalentes mas n o sejam logicamente equivalentes Para cada um dos argumentos abiaxo use o m todo das tabelas de verdade para determinar se a conclus o uma conseq ncia tautol gica de suas premissas A tabela do Exerc cio 4 24 ficar ENORME Mas bom para a alma construir longas tabelas de verdade de vez em quando Agrade a por poder utilizar o programa Boole para ajud lo Se for fazer as tabelas a m o Nem tente fazer o Exerc cio 4 24 Voc perder muito tempo e talvez ate o ju zo Tet a A Small a V Small b Taller claire max V Taller max claire Small a V Small b Taller claire max a Taller max claire Large a A id Cube a V Dodec a Cube a Large a V Dodec a Large a A v B AVBVC A x A x 7 BVC id C VD CvD B AE AV D DV AVE 4 25 Apresente um exemplo de duas senten as distintas A e B da linguagem dos blocos para as quais a sentenca A AB consequ ncia l gica de A v B Dica Note que A A A uma consequ ncia l gica de A v A mas aqui nos insistimos que A e B devem ser senten as distintas EXPERIMENT VA E REO lo tel
303. ue fizemos ao termino da ltima se o Acrescente uma linha nova na prova selecionando a op o Add Step After no menu Proof Na linha criada entre a senten a a b ou digitando a ou usando a barra de ferramentas acima da janela de prova Nos inicialmente iremos usar esta linha para obter nossa conclus o e ent o voltaremos e provaremos esta linha 4 Uma vez que voc entrou a b insira outra linha abaixo desta e entre a senten a da meta SameRow b a Clique com o mouse na palavra Rule que aparece a direita de SameRow b a No menu que surgiu va para as Regras de Elimina o Elim e selecione Se voc fizer isso direito o nome de regra deve estar indicando Elim Se n o estiver tente novamente 5 A seguir cite a primeira premissa e a senten a intermedi ria que voc acabou de entrar Isso feito clicando nestas duas senten as em qualquer ordem Se voc clicar em uma senten a errada apenas clique de novo e ela ser des citada Com as senten as certas citadas clique no bot o Verify Proof A ltima linha deve agora ter recebido a marca de confirma o azul uma vez que ele uma inst ncia v lida da regra Elim A linha que cont m a b n o recebeu marca de confirma o mas uma marca vermelha de erro porque que nos ainda n o indicamos de quais linhas ela se segue Nem a meta recebeu a marca de confirma o porque ainda n o completamos a prova de SameRow b a Calma Tudo a seu temp
304. ue o estudou Ele tamb m conhecido como nand n o e porque sua tabela de verdade equivalente a de P A Q Aqui esta ela Mostre como expressar as seguintes senten as utilizando apenas o simbolo de Sheffer 1 P 2 PAQ 3 PvQ Apenas como advert ncia o simbolo t m sido utilizado atualmente como uma nota o alternativa para v N o se confunda com isso 7 30 Colocando os Macacos Para Trabalhar Suponha que nossa linguagem so tenha um nico conectivo bin rio o condicional e o simbolo do absurdo L Utilizando apenas estes dois simbolos tente encontrar uma forma de expressar as seguintes senten as P PAQ e PvQ Sugest o d uma olhada no Exerc cio 7 21 7 31 Outro conectivo n o verofuncional Mostre que o valor de verdade em um instante particular da senten a Max est em casa sempre que Claire est na biblioteca n o determinado pelos valores de verdade de suas senten as at mica Max est em casa e Claire est na biblioteca neste instante espec fico Em outras palavras mostre que sempre que n o verofuncional 7 32 Disjunc o Exclusiva Suponha que tivessemos introduzido o simbolo V para expressar disjun o exclusiva Descubra se o seguinte metodo de prova valido para este conectivo PVQ T DI SVT Se voc acha que sim que um m todo de prova v lido ent o justifique sua resposta Se voc acha que n o ent o apresente um exemplo em que o m
305. uffy x y e GaveCarl x y Objetos Nomes podem ser introduzidos em uma linguagem de primeira ordem para se referir a qualquer coisa que possa ser considerada um objeto Nossa no o de objeto extremamente flex vel Qualquer coisa sobre a qual n s podemos fazer afirma es pode ser considerado um objeto Suponha por exemplo que queiramos traduzir as senten as Claire deu Scruffy para Max no s bado Domingo Max deu Scruffy para Evan Podemos introduzir um predicado de quatro lugares Gave w x y Z que signifique w deu x para y no dia z Se introduzirmos nomes para os dias particulares tais como s bado e domingo podemos ent o traduzir as duas senten as acima como Gave claire scruffy max saturday Gave max scruffy evan sunday Ou seja tanto seres humanos quanto animais quanto n meros quanto s s lidos geom tricos quanto dias da semana quanto qualquer outra coisa sobre a qual possamos falar pode ser um objeto e portanto ter algum nome que a represente em uma linguagem de primeira ordem Projetar uma linguagem de primeira ordem com apenas os nomes e predicados necess rios requer uma certa habilidade Usualmente o objetivo principal produzir uma linguagem que possa dizer tudo o que voc quer mas que use o menor vocabul rio nomes e predicados poss vel 1 5 S mbolos de Fun o Algumas linguagens de primeira ordem t m al m dos nomes e predicados outras express es que podem ap
306. um nico passo Uma vez que o programa Fitch permite que voc pegue qualquer cole o dos conjuntos de uma senten a citada e afirme a conjun o deles em qualquer ordem ent o a interpreta o de Fitch para a regra AElim permite provar em um nico passo que a conjun o comutativa Em outras palavras voc pode usar AElim para reordenar os conjuntos de uma conjun o da forma que quiser 13 Tet a A Tet b 21 Tet b A Tet a A Elim 13 Pratique estas possibilidades de aplica o fazendo o Tente Isto 3 da Lista 5 6 A regra Alntro implementada em Fitch tamb m menos restritiva do que a nossa discuss o da regra formal poderia sugerir Em primeiro lugar Fitch n o se importa com a ordem na qual voc cita as senten as de suporte Segundo se voc cita uma senten a ela pode aparecer mais do que uma vez como um conjunto da senten a resultante Aplica es Default das Regras A em Fitch Se em um passo novo de uma prova voc especifica a regra como AElim e cita uma conjun o como suporte ent o se verificar o passo clicar no bot o Check Step Fitch preencher o passo em branco com o conjunto mais esquerda da senten a citada Se voc especificar a regra Alntro e citar v rias senten as em suporte Fitch preenchera o passo em branco com uma conjun o formada pelas senten as dos passos citados na ordem em que eles foram citados Pratique estas aplica es generosas e default fazendo o
307. um determinado objeto tenha mais do que um nome Assim duas constantes individuais tais como matthew e max podem ambas se referir ao mesmo indiv duo Tamb m ser permitido lidar com objetos que n o tenham nenhum nome LEMBRE SE Em FOL e Cada constante individual deve nomear um objeto existente e Nenhuma constante individual pode nomear mais de um objeto e Um objeto pode ter mais de um nome ou mesmo nenhum nome 1 2 Predicados S mbolos de predicado s o s mbolos usados para expressar alguma propriedade de objetos ou alguma rela o entre objetos S o por isso tamb m chamados de s mbolos de rela o Como em portugu s predicados s o express es que quando combinadas com nomes formam senten as at micas Em portugu s a senten a Max ama Claire tem um sujeito Max seguido por um predicado ama Claire Sujeitos L gicos Em FOL ao contr rio encaramos esta afirma o como envolvendo dois sujeitos l gicos os nomes Max e Claire e um predicado ama que expressa uma rela o entre os referentes dos nomes Os sujeitos l gicos s o chamados de argumentos do predicado Argumentos de um Predicado Em portugu s alguns predicados t m argumentos opcionais Podemos por exemplo dizer Claire emprestou Claire emprestou Scruffy ou Claire emprestou Scruffy a Max Aqui o predicado emprestou est sendo usado com um dois e tr s argumentos respectivamente Aridade de um Predicado Mas em FOL
308. uma tima t cnica n o pense que basta aplicar mecanicamente a estrat gia de trabalhar de tr s para frente que todos os problemas ser o resolvidos E essencial que voc pare a cada passo e verifique se as novas metas que precisa provar s o razo veis Se elas n o parecerem plaus veis voc deve tentar alguma outra coisa Aqui est um exemplo de por que esta checagem constante t o importante Suponha que voc seja solicitado a provar que a senten a A VC consequ ncia de A AB v C A D Trabalhando de tr s para frente voc poderia pensar que se pudesse provar A ent o voc poderia inferir a conclus o desejada com uma aplica o de vintro Esquematizada sua prova parcial se pareceria com esta 1 A B V CA D Rule TANE V Intro Q3 IU gt O problema em fazer isso que A n o consequ ncia da premissa dada e nenhuma quantidade de trabalho far voc provar A a partir de A B v C A D Se voc n o perceber isso de in cio voc poderia gastar uma grande quantidade de tempo tentando construir uma prova imposs vel Mas se voc percebe este fato voc pode tentar uma outra abordagem mais promissora Neste caso a elimina o da disjun o claramente o caminho certo para esta prova Trabalhar de tr s para frente apesar de ser uma t tica valiosa n o substitui o bom e honesto pensamento 13 Fazendo Verifica es com os Mecanismos Con Quando voc est construindo uma prova formal em F
309. uma identidade tal como a b A nega o desta senten a a b poder ser abreviada atrav s do simbolo de n o identidade por a z b A Sem ntica da Nega o Dada qualquer senten a P de FOL at mica ou complexa existe uma outra sentenca P cujo valor de verdade ser sempre o oposto do valor de P A seguinte tabela mostra isso Tabela de Verdade para a Negacao EM EE TRUE FALSE FALSE TRUE Regra para a Negacao no Jogo Henkin Hintikka A regra muito simples pois n o ha muito a fazer neste caso Mais adiante veremos casos bem mais interessantes Uma vez que voc se compromete com a verdade de P isto o mesmo que se comprometer com a falsidade de P Similarmente se voc se compromete com a falsidade de P o mesmo que se comprometer com a verdade de P Fa a o primeiro Tente Isto da lista de exerc cios 3 para testar por si mesmo o jogo com senten as negadas LEMBRE SE Se Pe uma senten a de FOL ent o P tamb m A senten a P verdadeira se e somente se P n o for Uma senten a que ou at mica ou a nega o de uma senten a at mica chamada de literal S mbolo de Conjun o A O simbolo A ser usado para expressar conjun o em nossa linguagem FOL 27 Conjun o a no o que normalmente expressamos em portugu s atrav s da palavra e Al m de e express es como mas al m disso entre outras tamb m expre
310. undos L 4 xercicio Exerc cio L 4 xercicio Exerc cio L 4 xercicio Exerc cio L 4 xercicio Exerc cio L 4 xercicio Exerc cio
311. uso do operador bicondicional ou biimplicacao material P lt Q Uma senten a da forma P Q verdadeira se e somente se as senten as P e Q t m o mesmo valor de verdade ou seja ou ambas s o verdadeiras ou ambas s o falsas Se e Somente Se Em portugu s o bicondicional comumente traduzido pela express o se e somente se Por exemplo podemos traduzir a senten a Max est em casa se e somente se Claire est na biblioteca por Home max Library claire A Sem ntica do Bicondicional A interpretac o sem ntica do bicondicional dada pela seguinte tabela de verdade Tabela de Verdade para o Bicondicional Note que a coluna final da tabela de verdade exatamente a mesma do que a da senten as P gt 0 A 0 gt P Fa a como exerc cio exerc cio 7 3 esta tabela de verdade e confira Por esta raz o os l gicos costumam tratar a senten a P Q como uma abrevia o para P gt Q A Q gt P Regra para o Bicondicional no Jogo Henkin Hintikka O programa Mundo de Tarski tamb m utiliza esta abreviac o no jogo Henkin Hintikka Assim a regra do jogo para P lt gt Q simples Sempre que uma sentenca desta forma for encontrada ela ser substitu da por P gt Q A Q gt P LEMBRE SE 1 Se P e Q s o senten as de FOL ent o P Q tamb m 2 Asentenca PQ verdadeira se e somente se P e Q t m o mesmo valor de verdade Insinuacoes Sociais H muitos casos proble
312. va informais que ja estudamos Quando descobrir construa um mundo em que todas as senten as sejam verdadeiras Grave seu trabalho com o nome World 7 14 7 15 Mais Tamanhos e Formas Inicie um arquivo de senten as novo e use o para traduzir as seguintes senten as do portugu s para a linguagem dos blocos de FOL 1 Se a um tetraedro ent o b tamb m c um tetraedro se b for a e c s o ambos tetraedros apenas se pelo menos um deles for grande a um tetraedro mas c n o grande Se c pequeno e d um dodecaedro ent o d n o nem grande nem pequeno c m dio se e somente se nenhum entre d e e f for cubo d um dodecaedro pequeno a menos que a seja pequeno e grande se e somente se um fato que d grande se e somente se f tamb m for d e e t m o mesmo tamanho 10 d e e t m a mesma forma 11 f ou um cubo ou um dodecaedro se for grande NO 0 NO uU W h2 12 c maior do que e apenas se b for maior do que c Grave seu trabalho no arquivo Sentences 7 15 Ent o veja se voc consegue descobrir os tamanhos e formas dos blocos a b c d e e f A tarefa ficara mais facil se voc aborda la de modo sistem tico tentando preencher a seguinte tabela conforme raciocina sobre as senten as Forma Tamanho Quando tiver terminado de preencher a tabela use a como guia para construir um mundo no qual as 12 senten as em portugu s acima sejam verdadeiras Verifique que se suas tradu
313. vamente e acrescente os resultados tabela Repita o processo at dar uma volta completa no mundo Original Girado 90 hor rio Girado 180 Girado 270 Voc poderia imaginar uma senten a at mica da linguagem de blocos que produzisse uma linha da tabela acima com o seguinte padr o V F V F 2 Acrescente uma s tima senten a as Senten as de Austin que exiba o padr o anterior Ha alguma senten a at mica na linguagem que produziria uma linha com este padr o F V F F Se houver insira esta senten a em uma oitava linha Se n o houver deixe a linha 8 do arquivo de senten as em branco Ha alguma senten a at mica que produziria uma linha com exatamente tr s valores V Se houver insira esta senten a como a nona senten a do arquivo Caso contr rio deixe a linha 9 em branco 1 8 Diferentes Linguagens FOL Suponha que voc tenha duas linguagens de primeira ordem a primeira contem os predicados bin rios GaveScruffy x y e GaveCarl x y e os nomes max e claire a segunda cont m o predicado tern rio Gave X y z e os nomes max claire scruffy e carl 1 Liste todas as senten as at micas que podem ser expressadas na primeira linguagem Algumas delas podem dizer coisas estranhas como GaveScruffy claire claire mas n o se preocupe com isso 2 Quantas senten as at micas podem ser expressas na segunda linguagem Conte todas elas inclusive as estranhas como Gave scruffy scruffy scruffy 3
314. verdade de suas partes Ela depende de haver ali alguma conex o genu na entre o assunto do antecedente e o do consequente No entanto ainda que a implica o material seja inadequada para capturar algumas sutilezas dos condicionais em portugu s n o uma tradu o perfeita ela o que de melhor conseguimos fazer com um conectivo que seja fun o de verdade Saibam por m que este assunto bastante controverso entre os l gicos Se e Apenas Se Outras express es do portugu s que podemos traduzir utilizando a implica o material P gt Q incluem P apenas se Q Q dado que P e Q se P Para entender por que P apenas se Q se traduz por P Q e P se Q se traduz por Q gt P precisamos pensar cuidadosamente sobre a diferen a entre apenas se e se Condi o Necess ria Em portugu s a express o apenas se introduz o que chamado de uma condi o necess ria uma condi o que precisa ser satisfeita para obtermos alguma outra coisa Por exemplo suponha que seus am veis professores de l gica anunciem no in cio da disciplina que voc ser aprovado apenas se fizer todas as listas de exerc cios O que seus professores est o dizendo que fazer as listas de exerc cios uma condi o necess ria para a aprova o se voc n o fizer n o aprovado Mas os professores n o est o garantindo que voc ser aprovado caso fa a as listas de exerc cios claramente h outras
315. y A VZ Z7 Xv Z 7 y IX SY IZ XH VA yd Z IX ay IZ XHYAYHZAXHZ IX 3y 3Z XHy Ay HZAXHZA vu u xvu yvu z vx Large x e x a 3y vx Large x o x y 10 ay vx Dodec x e x y 11 ay vx Dodec x Medium x e x y 12 3x 3y x y A Dodec x Dodec y 13 3x Dodec x vy Dodec y gt x y 14 3x 3y X y VZ Tet z o z X v z y Sentencas de Zorn 1 vx x avx bvx CvxXx d IX K AAX DAX CAX AGA X E VX X a gt X d 3x Between x c a Ax b vx Between x c a gt x b vx Tet x a Medium x gt x VX x e gt Tet x a Medium x vx Tet x A Small x o x b Jy y e a SameRow y e Senten as de Wittgenstein l 10 TI 12 13 14 19 16 17 18 19 20 zb 22 23 24 Large d gt This sentence claims that the block named d is large Large c Large f Medium c Medium b Medium f Larger c b This claims that block c is larger than block b Larger d e Larger d f Larger a e BackOf b e This claims that block b is back of block e BackOf b f BackOf f a LeftOf b a LeftOf a b LeftOf a a RightOf a b RightOf b d SamesSize d f SameSize b c SameShape b c SameShape a b SameShape d d SameRow a d 25 26 27 28 29 30 91 32 3o 34 39 36 37
316. y miau Queremos provar que Cleo ou Miau estao felizes ou seja Happy cleo v Happy miau PROVA Assumindo a disjun o da premissa sabemos que ou Home max A Happy cleo ou Home claire A Happy miau Se a primeira alternativa verdadeira ent o claro que Happy cleo e portanto por introdu o da disjun o Happy cleo v Happy miau tamb m verdadeira Se a segunda alternativa verdadeira ent o claro que Happy miau e portanto Happy cleo v Happy miau tamb m verdadeira Logo em qualquer um dos casos obtemos a conclus o desejada Portanto nossa conclus o consequ ncia da disjun o inicial Raciocinar por casos extremamente til em argumentos do dia a dia Por exemplo um dos autores deste livro vamos cham lo J e sua esposa um dia desses perceberam que a cartela de estacionamento rea azul que tinham deixado no carro estava expirada fazia varias horas J argumentou da seguinte forma para defender a posi o de que eles n o precisavam se apressar para voltar ao carro os l gicos costumam argumentar assim n o case com um ou uma PROVA No presente momento ou j fomos multados ou n o fomos Se j recebemos uma multa n o receberemos outra durante o tempo que levar para chegarmos no carro ent o neste caso n o h raz o para nos apressarmos Por outro lado se mesmo com a cartela expirada h v rias horas ainda n o recebemos uma multa extremamente improv vel que receber
317. z Cube x A Dodec y Tet z Aix Large x vx Dodec x gt 3y Cube y BackOf x y Vx Tet x gt Jy 3z Between x y Z VX Vy vz Between x y z gt Larger x y 3X Jy X y a Yw w xv w y gt vz BackOf z w vx Cube x e xy Tet y A BackOf y x Vx vy Larger x y gt 3z Between x y Z AVX vy LeftOf x y v RightOf x y 3x 3y FrontOf x y v BackOf x y Larger a b Between c d b LeftOf c b FrontOf c b BackOf e b RightOf a b Sentencas de Bernays sameRow a b SameCol d b SameSize a b SameShape a b BackOf c b LeftOf a b Medium c Larger a b Cube a Sentencas de Bernstein 1 vx Cube x gt Small x gt This still has a free occurrence of x Fix it with some parentheses Ja Cube a Don t forget that quantifiers apply only to variables dv Cube v Medium v Larger v c du Small u Cube u 43x Larger a x Larger x a Vw SameRow w b gt SameRow b w Vx Vy vz LeftOf x y a LeftOf y z gt LeftOf x z vx Vy Larger a b gt Cube a Dodec b This one is a bit tricky The problem is some missing parentheses vx vy Cube x a Cube y gt LeftOf x y vx Cube x gt 3x Between x x y Senten as Between Between a b c gt Smaller b c Smaller b c gt RightOf b c A Between a b b

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