Home

VI Congreso Iberoamericano de Cabri

1. Figura 3 Constru o da parte 5 da atividade 1 feita por Gui O aluno tece as seguintes considera es que bem comprovam a import ncia do Cabri para suas conclus es a respeito de visualiza o no espa o 5 1 Usando o bot o direito do mouse podemos visualizar o plano de diferentes perspectivas e ent o visualizar o ponto fora do plano ou construir um plano paralelo ao plano Z passando por A usando a ferramenta de perpendicularismo 5 2 Usando a ferramenta de perpendicularismo conseguimos garantir que a reta perpendicular ao plano Podemos garantir 297 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica que essa reta n o est contida no plano usando a ferramenta de pontos de intersec o Como explanado anteriormente as limita es de texto impedem que se fa a a descri o das outras duas atividades Entretanto pode se concluir da experi ncia realizada que o software Cabri 3D um recurso importante para o desenvolvimento de habilidades visuais bem como da aquisi o e ou retomada dos axiomas de pertin ncia no espa o Referencias Alsina C et al 1997 Por qu Geometria Propuestas did cticas para la ESO Madri Editorial S nteses S A Borba M C and Villarreal M 2006 Humans with media and the reorganization of mathematical thinking information and communication technologies modeling experimentation an visualization USA Springer Leivas J C P 2009
2. Mete 2 cartas en cada circulo Cuidado tienes que completar exactamente 10 puntos sui 0 f Two books are not in place Place the first one where it belongs on the shelf and check your answer Then place the second book gt Cepyoghi Cabrio Fig 11 La roue des 10 Fig 12 Les livres sur une tag re Les r troactions aux actions et r ponses des l ves peuvent ainsi tre en termes du contexte et tre plus visibles pour les l ves Donnons un exemple tir d un cahier d une collection en cours dans le canton du Tessin en Suisse Gruppo Ticino http www e sco ch botteghe CE Home html cr e par des enseignants de ce canton avec Cabri Elem Creator Il s agit de cr er sur un carr blanc quadrill une forme verte qui soit telle que l ensemble des cases restantes blanches constitue une forme superposable la forme verte comme dans l exemple ci dessous Fig 13 Lorsque les l ves cr ent une forme verte ils ont ensuite des outils de Cabri Elem qui leur permettent d obtenir un distributeur de telles formes Ils peuvent ainsi obtenir deux formes Fig 14 et les placer dans le carr en effectuant un demi tour Fig 15 de l une d elles de fa on v rifier si elles s emboitent bien pour refaire tout le carr Fig 16 L objectif math matique du cahier est l apprentissage du demi tour ou sym trie par rapport un point Il est ici contextualis dans un probl me de formes qui
3. Figura 3 Campo sobre una esfera y campo gradiente 183 Talleres enr De AR Figura 4 Campos vectoriales en el plano Las derivadas parciales Para dar una interpretaci n geom trica de de las derivadas parciales recuerde que la ecuaci n no representa una superficie es un valor la gr fica es una superficie Si entonces el punto est situado sobre S Si hace est enfocando la atenci n en la curva C en la cual el plano vertical corta a S de igual manera el plano vertical corta a S en una curva C2 Observe que la curva Ci es la gr fica de la funci n j de modo que la pendiente de su tangente T en es La curva C es la gr fica de la funci n de modo que la pendiente de su tangente T2 en P es Por lo tanto que las derivadas parciales y se pueden interpretar en forma geom trica como las pendientes de las tangentes en a las trazas C y C de S enlos planos y Figura 5 Derivada parcial como pendiente de la recta tangente 184 Tratamiento metodol gico de las funciones de varias variables Integrales iteradas Suponga que es una funci n de dos variables que es integrable en el rect ngulo Se usa la notaci n para indicar que se mantiene fija y se integra con respecto a de a Este procedimiento se llama integraci n parcial con respecto a Ahora es un n mero que depende del valor de Si ahora se integra la funci n A con respecto a de a se obtiene 2 Nx y 1 0 5X2 y
4. Dificultades obst culos y errores en el aprendizaje de las Matem ticas en la Educaci n Secundaria cap 5 pp 113 141 en L Rico y otros La educaci n Matem tica en la Ense anza Secundaria Ed Horsori en prensa Soca M M y otros 1989 Iniciaci n al Algebra S ntesis Madrid Soca M M y Palarea M M 1987 Las fuentes de significado los sistemas de representaci n y errores en el algebra escolar Uno n m14 pp 7 24 Barcelona Ve o 0 Sd e 131 Un acercamiento al concepto de funci n a trav s de la manipulaci n de objetos geom tricos donde se presentan patrones funcionales de dependencia y de generalizaci n utilizando el Cabr Jose Francisco Puerto Monterroza Instituci n Educativa Antonio Lenis Universidad de Sucre Sincelejo Sucre Colombia jopuermon gmail com Experiencias educativas con asistencia de cabr Resumen Con este taller se pretende mostrar como con el uso de cabr se puede favorecer un acercamiento significativo al concepto de funci n a trav s de actividades funcionales y de generalizaci n y una movilidad por los diferentes sistemas de representaci n verbal tabular gr fico y algebraico Se inicia haciendo la construcci n de un cuadrado tri ngulo o c rculo a partir de un segmento dado y mediante la manipulaci n de este se puede establecer una relaci n funcional de dependencia entre una variable inicial segmento y una variable final tama o p
5. Resumen Este taller se dedicar a la construcci n de diversas actividades de aprendizaje y de evaluaci n que girar n alrededor del tratamiento de los distintos registros semi ticos de representaci n El conjunto de ejercicios por desarrollar abarcan temas de matem ticas elementales hasta avanzadas entre otros reconocimiento de figuras y cuerpos geom tricos trucos aritm ticos tablas con problemas algebraicos complementaci n de textos ejercicios de asociaci n entre descripciones de figuras y sus ecuaciones etc Por otra parte se busca impulsar la construcci n de ambientes en los que el entorno inform tico almacene las respuestas correctas y sirva para evaluar el desempe o del estudiante en las actividades Palabras clave registro semi tico complementaci n autoevaluaci n Eje tem tico Experiencias educativas con asistencia de Cabri Introducci n La articulaci n de registros semi ticos de representaci n es una de las metas de las lecciones de matem ticas el estudiante comprende mejor un concepto matem tico cuando transita coherentemente entre los diversos registros de representaci n verbal algebraico anal tico num rico gr fico Duval 1993 Entornos inform ticos como Cabri II plus permiten llevar al aula lecciones que promuevan el tr nsito entre los registros de representaci n ilustraremos algunos ambientes con actividades basadas en este enfoque Ambientes de aprendizaje con nfasis
6. 1 En lenguaje verbal En lenguaje matem tico Si yo te tomara un saco mi carga ser a el doble que la tuya Aqu se establece una primera ecuaci n Y si te doy un saco tu carga se igualar a la m a Aqu se establece una segunda ecuaci n Problema 3 En esta actividad se han eliminado algunas palabras y expresiones algebraicas del texto del problema y su soluci n originales Se provee al estudiante de una gran miscel nea de alternativas para que intente reconstruir al original El entorno cambia a modalidad de evaluaci n al usar el bot n Soluci n el cual dar luz verde a cada palabra o expresi n correcta Instrucciones Completa con palabras simbolos o c lculos la soluci n del sgwente razonarmento matematico Divisibilidad por 11 El lgebra facilita en gran medida la b squeda de indicios que permiten prever sin recurrir a la divisi n si determinado n mero es divisible por uno u otro divisor os La divisibilidad por 2 3 4 5 6 8 9 y 10 es ampliamente conocida El caso del 11 es muy sencillo y pr ctico ea Bot n Soluci n h 8 Desarrollo escondido N Supongamos que en N n mero de varias cifras a cifra de las unidades _qie ala 9 164 la de las decenas __ le las centenas ___ la de las unidades de millar ___ etc es gt me decir mismo N a 10b 1000d a 10 __ i A donde los suspensivos representan la suma las cifras siguientes
7. 350 d C um comentador do in cio do quarto s culo fornece nos informa es a respeito desses s lidos em sua obra composta de oito livros denominada Cole o Matem tica apenas no quinto livro da obra que Pappus atribui a Arquimedes a descoberta dos treze s lidos Pappus organizou essas informa es de acordo com o n mero total de faces de cada poliedro arquimediano No entanto n o os nomeia e nem os ilustra dessa maneira que o primeiro estudo matem tico dos S lidos Arquimedianos p s Arquimedes realizado Esse estudo matem tico parece que foi s retomado no s culo XV com 204 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Kepler talvez o primeiro a sistematiz lo No livro II de sua obra Harmonices Mundi de 1619 Kepler demonstrou que existem apenas treze S lidos Arquimedianos e lhes atribuiu nomes Entretanto no per odo do Renascimento diversos artistas e matem ticos se interessaram pelo estudo e representa o desses s lidos Esses artistas para variar seus desenhos cortavam cantos e arestas de s lidos plat nicos o que naturalmente produzia alguns S lidos Arquimedianos como resultado O processo mais utilizado por esses artistas que deu origem a essa redescoberta chamado de truncamento elimina o de partes de um s lido de forma sim trica que pode ser feita a partir de seus v rtices ou a partir de suas arestas Field 1997 assinala que cinco ren
8. Moreno Gordillo J A Rodriguez Gallegos R Laborde C Equations diff rentielles dans Cabri II Plus Atti della 146 Cabri C lculo y F sica Conferenza Internationale CabriWorld 2004 del settembre 2004 a Rome Italia in via di pubblicazione Preprint in spagnolo sul sito http www iam imag fr Rodriguez Ruth_fichiers PaperCW2004 pdf Orear J Fisica generale 1970 Zanichelli Bologna Sabbadini R 2005 FisiCabri 2005 Principato Milano Sabbadini R Cabri G om tre un potente strumento per la didattica della fisica in Progetto Alice vol IV n 11 II tr 2003 Sabbadini R 2005 Da Keplero a V Panisperna passando per Rutherford quattro secoli di modelli planetari in Progetto Alice vol VI n 16 I tr 2005 R Sabbadini R 2005 Rendere visibile la matematica Analisi Calcolo delle Probabilit e Fisica si mettono in mostra in Ipotesi Anno 8 n 1 2005 Sabbadini R 2006 Vedere la matematica e la fisica la soluzione di equazioni differenziali con Cabri G om tre in Progetto Alice Anno III vol VII n 21 Editrice Pagine Roma 547 560 Tomasi L 2002 Cabri G om tre II Plus novit e potenzialit dell ultima versione del software CabrIrsae Ottobre 2002 Ve oo 0 e e 147 Ambientes de aprendizaje con nfasis en la articulaci n de registros de representaci n Eugenio D az Barriga Arceo Facultad de Ingenier a Universidad Aut noma del Estado de M xico eugeniuxO hotmail com
9. es necess rias determina o da raiz da equa o usamos novamente as ferramentas alg bricas dispon veis no Cabri G om tre Determinadas as ra zes e variando os coeficientes mais uma vez pudemos verificar que curvas essas ra zes descreviam claro que se o coeficiente percorrer todo o plano complexo as ra zes tamb m o far o Dessa forma restringimos a variac o dos coeficientes a retas no plano complexo Descobrimos que a Quando o coeficiente a varia as ra zes descrevem curvas que lembram um 8 b Quando o coeficiente varia as ra zes descrevem curvas simples ou duplas mas que n o s o not veis c Quando o coeficiente varia as ra zes descrevem hip rboles no plano complexo Conv m ressaltar que o que j hav amos descoberto para a equa o do segundo grau com coeficientes reais manteve se aqui como caso particular Foi interessante observar que no caso real a variac o do coeficiente fazia as ra zes n o reais da equa o percorrer duas retas o eixo das abscissas e uma outra reta perpendicular a ele Considerando os coeficientes complexos a varia o de faz as ra zes n o reais da equa o percorrer hip rboles Descobrimos que as duas retas percorridas no caso real s o na realidade as ass ntotas das hip rboles do caso complexo Para maiores informa es e a demonstra o rigorosa do que foi exposto aqui por favor consulte a p gina do Curso de Matem tica do Centro Universit ri
10. 2000 Proof explanation and exploration An overview Educational Studies in Mathematic Special issue on Proof in Dynamic Geometry Environments 44 1 2 5 23 Copyright 2001 Recuperado de http www fing edu uy imerl didactica matematica Docu mentos 2008 Hanna 2000 pdf Hanna G Sidoli N 2007 Visualization and proof a brief survey of philosophical perspectives ZDM The International Journal on Mathematics Education 39 1 2 73 78 Stewart J 2002 C lculo Trascendentes tempranas 4ta ed Bogot Thomson Learning Ve ats 0 e gt 177 Tratamiento metodol gico de las funciones de varias variables Luis Alberto Callo Moscoso Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Universidad Nacional de Ingenier a Per luis calloOupc edu pe Resumen Este taller est dirigido a profesores del nivel medio superior que imparten la asignatura de C lculo de varias variables y p blico en general Su prop sito es mostrar actividades las cuales son parte de un proyecto de investigaci n sobre el aprendizaje y la ense anza del c lculo de varias variables en las que se emplee un software de geometr a din mica como Cabri Geometry Il Plus En este taller los participantes explorar n recursos estrat gicos que permitan analizar y caracterizar las concepciones de los estudiantes en torno a los conceptos matem ticos relacionados con el c lculo tales como e las derivadas parciales e el M todo d
11. Impreso en el Per Printed in Per Presentaci n El Congreso Iberoamericano de Cabr 2012 IberoCabri 2012 se desarroll en el Campus de la Pontificia Universidad Cat lica del Per los d as 6 7 y 8 de agosto de 2012 El congreso estuvo centrado en los usos y aplicaciones de Cabri en la geometr a y en reas afines Los Congresos Iberoamericanos de Cabri convocan bienalmente a investigadores profesores y estudiantes de Iberoam rica Francia Italia M xico Argentina Uruguay Brasil Colombia y otros todos ellos interesados en el uso aplicaciones e investigaciones que puedan realizarse utilizando el programa de geometr a din mica Cabri La organizaci n del VI IberoCabri se enmarca dentro de las actividades que desarrolla el Instituto de Investigaci n sobre la Ense anza de las Matem ticas IREM en coordinaci n con la Maestr a en la Ense anza de las Matem ticas de la Pontificia Universidad Cat lica del Per PUCP en su l nea de investigaci n Tecnolog as y medios de expresi n en ense anza de las matem ticas y cuyo principal problema de investigaci n consiste en identificar bajo qu condiciones el uso de las tecnolog as digitales permiten un acceso m s democr tico y eficiente al desarrollo de contenidos y competencias Objetivos Divulgar las experiencias internacionales sobre el uso de Cabri en distintas disciplinas Mostrar y difundir el uso de programas de geometr a din mica como el
12. Propuestas de actividades Construcci n de un elipsoide de revoluci n Construiremos una elipse con el men de Cabri 3D para recordar las condiciones de su determinaci n Seguidamente se los invitar a construir otra elipse sobre un plano Se observar la variaci n de los par metros y sus efectos Luego propondremos la construcci n del elipsoide de revoluci n que constituye una de las cu dricas m s simples Se muestran en las figuras Fig 1 y Fig 2 De esta forma podremos describir las propiedades del elipsoide considerado como lugar geom trico y analizarlo como un caso especial de la definici n que dice lo siguiente Elipsoide ecuaci n reducida Burgos J 1994 En el espacio euclideo y respecto de los ejes rectangulares se consideran los puntos A a 0 0 A a 0 0 B 0 b 0 B 0 b 0 C 0 0 c y C 0 0 c donde a gt 0 b gt 0 c gt 0 son dados Sean las elipses cuyos ejes son BB y CC CC y AA AA y BB respectivamente Se llama elipsoide que tiene por v rtices a A A B B Cy C al lugar geom trico definido entre otras de las siguientes maneras equivalentes s ll Mm IN i i Fig 2 Elipsoide de revoluci n 97 Talleres 1 Lugar geom trico que describe una elipse variable situada en un plano perpendicular al eje 2 Lugar geom trico que describe una elipse variable situada en un plano que contiene al eje que tiene sus v rtices en C yC Dicho elipsoide ref
13. e Responder Cu ntas caras tiene el tetraedro Qu pol gono regular conforman sus caras C mo se calcula el rea de una de sus caras C mo se calcula el rea de toda la superficie del tetraedro Ao ESSE a SITI Figura 2 e Se sigue la secuencia anterior con el hexaedro octaedro dodecaedro e icosaedro e Exponen sus resultados manipulando sobre la pizarra digital Resultados Ambas experiencias reportaron resultados satisfactorios al consolidar los aprendizajes de reas de pol gonos y rea superficial de poliedros aplicadas a situaciones nuevas Los alumnos lograron pasar del nivel de visualizaci n a un nivel de an lisis haciendo un buen uso de las herramientas tecnol gicas empleadas en cada una de las actividades La pizarra digital 170 Uso de la Pizarra digital interactiva en la ense anza de la geometr a permiti adem s de mostrar la manipulaci n de las herramientas de CABRI analizar las soluciones manipulando las herramientas de la pizarra interactiva potencializando las situaciones de aprendizaje Referencias Guti rrez A 2007 Ense anza de las matem ticas en entornos inform ticos CABRI M dulo Optativo del plan de estudios de Maestro Universidad de Valencia Departamento de did ctica de las Matem ticas Marqu s Pere 2006 La pizarra digital en el aula de clase Posiblemente el mejor instrumento que tenemos hoy en d a para apoyar la renovaci n pedag
14. instrumentation avec la g om trie dynamique Les param tres ici au lieu d tre la position relative du plan de projection par rapport au plan frontal qui caract rise laxonom trie orthogonale sont la position du centre de la projection et la position relative de l objet par rapport ce centre et au plan de projection Projection centrale param tr e par la position du centre de la projection et par la position de l objet projeter Ici aussi m me si certaines constructions peuvent tre m moris es pour ensuite tre r utilis es les principes g om triques la base de cette construction sont proches de ceux utilis s avec la planche dessin compas parall lisme intersection r gle Conception et fabrication num rique Cette ann e nous avons mis en place une nouvelle exp rimentation dans l utilisation de Cabri celle de 241 Reportes de investigaci n l apprentissage de la vraie grandeur et de la fabrication de la maquette 3D le projet consiste partir d un r glement d urbanisme et d un plan de cadastre a demand de fabriquer des enveloppes l chelle 1 200 me Traditionnellement et historiquement le travail est instrument graphiquement via des techniques de g om trie descriptive il est aujourd hui largement support par des modeleurs 3D Nous rencontrons des difficult s p dagogiques la fois dans l apprentissage de la g om trie descriptive que les tudiants
15. progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras nivel 2 de an lisis hacia el razonamiento informal de las figuras y sus propiedades nivel 3 de deducci n informal avanzando hacia un razonamiento axiom tico formal acerca de las propiedades de las figuras nivel 4 de deducci n formal y culminando en un estudio abstracto y riguroso nivel 5 de rigor Las cinco fases secuenciales de aprendizaje informaci n orientaci n dirigida explicitaci n orientaci n libre e integraci n fueron dise adas con la finalidad de favorecer el desplazamiento del alumno de un nivel al inmediatamente superior mediante la organizaci n de 160 Superficies de revoluci n con Cabri 3D las actividades de ense anza aprendizaje En este taller mostraremos actividades que permiten llegar hasta el nivel 3 de razonamiento Tambi n consideramos los aportes de la teor a de Registros de Representaci n Semi tica de Duval 1995 pues en ella se se ala la importancia de un registro figural en el estudio de la geometr a ya que contiene sistemas que propician la visualizaci n de los objetos geom tricos Adem s se considera que existen diferentes tipos de aprehensiones sobre una figura perceptual operatoria discursiva y secuencial de las cuales las tres primeras se relacionan con la visualizaci n y la ltima con el proceso de construcci n o descripci n de la construcci n de una figura En este taller se incorpora
16. 32 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D A8 E para um cuboctaedro qualquer de aresta medindo x como ficaria a f rmula para o volume Nestas atividades os alunos devem levantar a hip tese de que o octaedro regular ou mostrar e que a medidas de cada aresta porque a diagonal de um quadrado de lado ou ainda observando o paralelismo na face do octaedro Da mesma maneira que fizeram em atividades anteriores concluir que o volume do cuboctaedro ou ainda que ou seja o cuboctaedro tem cinco oitavos do volume do octaedro A generalizac o ser obtida observando que ou seja e que portanto a medida do volume de um cuboctaedro qualquer pode ser dada por A9 O cuboctaedro pode ser obtido a partir de cortes nos pontos m dios das arestas de um cubo Construa o e caracterize esse poliedro Nesta atividade os alunos obter o a figura 6 e poder observar que o cuboctaedro tem 14 faces sendo 8 faces triangulares tri ngulos equil teros e 6 faces quadradas Figura 6 Cuboctaedro obtido a partir de um cubo A partir dessas duas situa es o professor pode solicitar aos alunos que abram o poliedro utilizando o Cabri 3D e que construam um modelo para esse s lido em cart o ou ainda dar essas situac es como um projeto para ser desenvolvido em grupos e apresentado como um semin rio o que seria excelente para a forma o inicial de professores por exemplo
17. 33 Conferencias Situa o 3 Volume de um icosaedro regular Descreva um processo para desenvolver uma f rmula que determine o volume do icosaedro regular Figura 7 Icosaedro regular Esta situac o foi desenvolvida com alunos do Ensino M dio POSSANI 2012 e embora n o tivessem todos os conhecimentos pr vios necess rios para chegar solu o conseguiram obt la com a ajuda do pesquisador a partir da decomposi o do icosaedro regular em 20 pir mides Situa o 4 Geometria das Transforma es Salazar 2009 mostrou que poss vel trabalhar com as transforma es geom tricas no Cabri 3D com alunos do Ensino M dio da rede particular A1 Crie um balan o com seu suporte conforme figura abaixo 4 A2 Crie a sombra do balan o anterior Escolha uma dire o qualquer Esta uma situa o em que os alunos foram instrumentados com algumas ferramentas e recursos do Cabri que possibilitaram 4 Atividade adaptada de CABRILOG www cabri com download cabri 3d html 34 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D sua utiliza o na resolu o de v rios problemas como os dessas atividades Situa o 5 atividades de manipula o Em caso de cursos a dist ncia de Matem tica como o que coordenamos atualmente tivemos que substituir as atividades diretas com o Cabri 3D por situa es de manipula o utilizando o c digo html e o plug in Nesse caso o professor constr
18. Imagina o Intui o e Visualiza o a riqueza de possibilidades da abordagem geom trica no curr culo de cursos de licenciatura de matem tica Tese Doutorado em Educa o Universidade Federal do Paran Curitiba 2009 294 p Leivas J C P 2010 Construindo o conceito de alturas de tri ngulos com o Cabri G om tre Il verticalidade ou perpendicularidade proporcionalidad Boletim Gepem 56 117 133 Papert S 1994 A m quina das crian as repensando a escola na era da inform tica trad Sandra Costa Porto Alegre Artes m dicas Ve 0 ot e e 298 Propuesta de actividades sobre c nicas con Cabri Juana Contreras S Instituto de Matem tica y F sica Universidad de Talca Chile Resumen La integraci n de recursos computacionales en el proceso de ense anza y aprendizaje de la matem tica es una cuesti n que preocupa tanto a investigadores en Did ctica de la Matem tica como a docentes de todos niveles educativos El uso de software de prop sitos geom tricos como recurso de apoyo a la ense anza y aprendizaje de la geometr a ha sido objeto de numerosas investigaciones y experiencias educativas las que progresivamente se han incrementado con la aparici n de programas de geometr a din mica siendo Cabri geom trico el primero de este grupo El desarrollo de estos programas ha permitido explorar nuevas posibilidades para trabajar en geometr a Las herramientas que ofrecen permiten gen
19. Resumen El estudio de la par bola que est dirigida a los alumnos de educaci n secundaria de nuestro pa s usualmente se aborda bajo el enfoque de la Geometr a Anal tica De acuerdo a su desarrollo hist rico en el estudio de la par bola ameritar a rescatar en un inicio su concepto geom trico previo al tratamiento algebraico El presente trabajo tiene como objetivo mostrar una forma de trabajo a trav s de actividades de aprendizaje de modo que los alumnos asocien las caracter sticas de una secci n c nica como lo es el objeto par bola como lugar geom trico la identificaci n de sus elementos b sicos y su relaci n con el lenguaje de la Geometr a Anal tica con apoyo del software CABRI II y CABRI 3D Teniendo en cuenta una metodolog a adecuada la propuesta did ctica se orienta a poner en pr ctica conceptos relativos a la par bola tales como lugar geom trico recta directriz foco entre otros de sus componentes y lleva al alumno a reflexionar sobre otros adicionales como lo son distancia de un punto a una recta mediatriz de un segmento la construcci n de la par bola y de su ecuaci n en sus casos m s elementales Palabras clave par bola situaciones did cticas Cabri Justificaci n Seg n el Dise o Curricular Nacional de Educaci n B sica Regular que rige en los colegios de ense anza p blica y privada en el Per desde el a o 2009 el estudio de la par bola figura dentro del contenido tem tico de la G
20. Tomando como referencia que 6 de los 9 estudiantes finalizaron adecuadamente la propuesta adem s de los resultados obtenidos en cada una de las actividades que conforman la propuesta did ctica se afirma que dicha propuesta cumple con el objetivo que los estudiantes construyan y formalicen las reglas de los signos Lo anterior se sustenta considerando los resultados de las actividades de las 252 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas Hojas de Trabajo de verificaci n de aprendizaje que no se describen en este documento En general la propuesta permite establecer un significado a las reglas de los signos de la multiplicaci n mediante la representaci n geom trica del producto Cuando se habla de un significado para las reglas de los signos se hace alusi n a que el estudiante tenga una manera de argumentar el porqu de las reglas de los signos y no limitarse a la simple memorizaci n es decir se pone de manifiesto que la implementaci n de la propuesta did ctica en el aula de clases ser a una alternativa para propiciar el aprendizaje de este contenido pues esclarece de una forma ordenada y coherente una justificaci n a las reglas de los signos Por otro lado considerando que 3 de los 9 estudiantes presentaron dificultades en la implementaci n de la propuesta la intenci n estar a encaminada a realizar un redise o de la propuesta en funci n de presentar las instrucciones de forma m s clara
21. a anal tica s lidos arquimedianos figura 2 y medida de volumen de s lidos 105 Talleres Algunas reflexiones Esperamos que el taller permita a los profesores identificar las ventajas que el Cabri 3D posee para explorar propiedades de objetos espaciales Por otra parte deseamos resaltar que el desarrollo de contenidos de Geometr a Espacial solamente usando l piz y papel no permite por ejemplo visualizar todas las caras de un poliedro mientras que al utilizar este ambiente de geometr a din mica espec ficamente el recurso cambiar el punto de vista esta dificultad puede ser superada pues este recurso favorece identificar las caracter sticas de un poliedro As resaltamos la importancia de emplear este ambiente de geometr a din mica para crear situaciones en las que su uso sea pertinente Las actividades que presentamos en el taller movilizan nociones elementales de Geometr a Espacial como punto recta plano s lidos arquimedianos etc Se alamos que algunos objetos ya est n pre definidos en las diferentes cajas de herramientas del software y que la combinaci n de estos permite construir otros objetos geom tricos Adem s las actividades promueven establecer relaciones entre el software y los conocimientos matem ticos de los profesores En ese sentido brindan indicios del proceso de G nesis Instrumental porque las acciones de los profesores al trabajar las actividades durante las dos sesiones del
22. com ele o que nos leva a confirmar o Cabri 3D como um habitat para o estudo do s lido arquimediano cubo truncado na escola Referencias Chevallard Y 1991 La transposici n did ctica del saber s bio ao saber ense ado Tradu o Claudia Gilman Buenos Aires Aique Grupo Eves Howard Geometria t picos de hist ria da matem tica Para uso em sala de aula Traduc o Hygino H Domingues S o Paulo Atual 1992 Field J V 1997 Rediscovering the archimedean polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci Albrecht D rer Daniele Barbaro and Johannes Kepler Archive for History of Exact Sciences 50 241 289 Gil A C 2009 Como elaborar projetos de pesquisa 3th ed S o Paulo Atlas Kepler J 1864 Harmonices mundi libri V Linz Lakatos E M A amp Marconi M A 2001 Fundamentos da metodologia cient fica S o Paulo Atlas 210 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Pappus 1876 Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt e libris manu scriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit Fredericus Hults Tradu o Weidmannos Berolini Veloso E Geometria temais atuais materiais para professores Desenvolvimento curricular no ensino secund rio 11 Portugal Instituto de Inova o Educacional 1998 Ve 0 0 e e 211 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas geom tricos Mart n E
23. la carga puntual ubicada en el centro de la luz se distribuye en la cercha y es concentrada en los nodos de tal elemento Se aplic la construcci n de la recta pendiente al arco en el punto de tangencia se trazo una recta perpendicular y esta ilustr de forma precisa los puntos en los cuales se deb an disponer los cables a tensi n Metodolog a seguida El dise o de un puente funcional y estructural fundamentado en conceptos geom tricos posteriores al planteamiento del rea de la ingenier a fue realizado en el software CABRI este fue llevado a un modelo f sico a escala y despu s se analiz su comportamiento en el laboratorio 228 Dise o y construccion de una estructura civil puente con fundamentos E 5 pa Figura 4 Se realiz la aplicaci n al modelo de forma f sica representada en una maqueta con una escala de 1 50 para ser construido utilizando madera balso alfileres c amo y pegamento para madera empleando un dise o que cumpliera con ciertas condiciones dimensionales y generara la mayor utilidad posible cumpliendo una serie de requisitos totalmente l gicos en el dise o estructural Figura 5 Grado de avance de la investigaci n En Desarrollo Resultados Se comprob experimentalmente que conceptos de Geometr a Euclidiana aplicados al tema definen comportamientos f sicos de una estructura y que la metodolog a es eficaz mediante una maqueta la cual particip en el X
24. la poblaci n de nuestro pa s tambi n cambia el volumen de un recipiente que se llena con agua va cambiando etc En todos estos fen menos hay siempre cosas que cambia esas cosas cambiantes como la distancia la temperatura la poblaci n y el volumen pueden ser medidas y suelen llam rseles Magnitudes Variables pero estas magnitudes no var an por si solas sino que dependen de la variaci n de otras La finalidad de llegar a determinar con precisi n como var an ciertas magnitudes que dependen de otras es lo que da origen al estudio de las funciones entendi ndose de forma intuitiva a una funci n matem tica Como una ley que regula la dependencia entre cantidades u objetos variables Uno de los conceptos matem ticos con aplicaciones directas en la vida diaria es el de funci n A trav s de las funciones podemos modelar matem ticamente un fen meno de la vida real y describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripci n verbal o c lculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo Las diferentes representaciones de las funciones nos permiten obtener informaci n r pida para resolver problemas 133 Talleres Por sus m ltiples aplicaciones el concepto de funci n es fundamental en el estudio de cualquier rama cient fica Por esto se pretende con este trabajo y mediante el software CABRI presentar una estrategia did ctica que permita un ace
25. n y an lisis a priori de las situaciones did cticas la etapa de experimentaci n y la etapa de an lisis a posteriori y evaluaci n El tr nsito por las dos primeras etapas contribuy en el dise o de la propuesta Dise o de la propuesta Considerando el an lisis epistemol gico el tratamiento utilizado para abordar las reglas de los signos es por medio de la representaci n geom trica del producto de n meros con signos donde las dimensiones del rect ngulo representan los signos de los factores y el rea del rect ngulo representa el producto resultante de la multiplicaci n Tomando en consideraci n el an lisis did ctico y motivando al estudiante a involucrarse en la resoluci n de las actividades se decidi inventar una historia ficticia en una poca de caballeros y princesas donde est inmersa la transposici n did ctica de las reglas de los signos As se construy la ambientaci n de la historia en la interface del software Cabri Geometry II Plus pues dicho software proporciona dinamismo y movimiento a las actividades adem s permiti colocar im genes mostrar y ocultar informaci n mover objetos trazar trayectorias sombrear colorear reas y 248 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas presentar escenas consecutivas En general la propuesta se conforma de ocho escenas algunas de las cuales son de utiler a A continuaci n se describen cada una de las escenas y los objetivos de
26. p 65 um experimento realizado para descobrir algo para verificar a veracidade de uma hip tese a fim de aceitar ou rejeit la ou para fornecer exemplos ilustrar de uma verdade conhecida todas as ac es que nem matem ticos nem estudantes poderia dizer que nunca fez Assim entendemos que promover em sala de aula atividades investigativas num software para reconstruir te ricamente elementos de geometria espacial torna se motivador para a aprendizagem dos alunos em qualquer n vel de escolaridade O Cabri 3D em nosso entendimento um software que oferece ao estudante e tamb m ao professor in meras posibilidades de constru o espacial mesmo no sentido axiom tico muitas vezes rejeitado pelas dificuldades visuais que indiv duos apresentam A esse respeito definimos visualiza o como um processo de formar imagens mentais com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito matem tico com vistas a auxiliar na resolu o de problemas anal ticos ou geom tricos LEIVAS 2009 p 22 Em nossa pr tica profissional e em nossas pesquisas temos comprovado que o Cabri um recurso did tico facilitadorr deste proceso de constru o mental mais do que outros recursos como os materiais concretos No IberoCabri de 2010 realizado na cidade de Quer taro no M xico apresentamos resultados de uma investigac o para ilustrar a construc o do conceito de altura de tri ngulos utilizando o Cabri Plus t
27. quiz Figura 5 Construcci n de una superficie c nica con doble hoja Figura 6 Construcci n de una superficie formada por dos troncos de cono En esta parte se reconocer los elementos y propiedades que presenta cada una de las superficies de revoluci n obtenidas Por ltimo utilizaremos el Cabri 3D para construir modelos que representan objetos que se encuentran en nuestro entorno como por ejemplo Figura 7 Objetos con formas cil ndricas c nicas y esf ricas 163 Talleres Resultados esperados Al finalizar el taller se espera que los participantes reconozcan la potencialidad que posee el Cabri 3D para elaborar representaciones din micas de superficies de revoluci n cuya manipulaci n permite reconocer las caracter sticas y propiedades que poseen estas figuras geom tricas Tambi n se espera promover el inter s por buscar e incorporar nuevas estrategias que desarrollen el pensamiento geom trico y faciliten la adquisici n de conceptos geom tricos Finalmente creemos que las herramientas que ofrece el Cabri 3D ayudan a que los estudiantes participen en la construcci n de sus conocimientos geom tricos elaborando conjeturas sobre las propiedades de las figuras y visualizando de manera m s r pida la soluci n de los problemas Referencias Duval R 1999 Semiosis y pensamiento humano Registros semi ticos y aprendizajes intelectuales Colombia Universidad del Valle Gutierrez A 19
28. s atividades os participantes podem reconhecer nomenclatura axiomas e rela es entre pontos retas planos e espa o Atividade 1 Represente tr s pontos quaisquer no espa o usando o Cabri 3D e os denomine por A B e C Esta atividade tem por objetivo explorar as primeiras constru es de ponto reta cor de ponto e de reta estilo de ponto e de reta tamanho de ponto e raio de curva bem como 110 O Cabri 3D como ferramenta para desenvolver visualiza o dos explorar o registro das construc es utilizando nova vista de texto Espera se que os participantes sejam capazes de identificar axiomas de incid ncia no espaco pertencer ou n o pertencer Para tal proposta a sequ ncia de construc es a seguir 1 Existe reta passando pelos tr s ao mesmo tempo 1 1 Qual estrat gia usar para responder Registre a em uma nova vista de texto 1 2 Tracar retas r s t passando por cada dois dos pontos representados x Em caso de responder n o pergunta 1 existe plano contendo os tr s Do contr rio deslocar um dos pontos de modo a n o estarem os tr s alinhados 2 1 Registre sua justificativa em nova vista de texto 2 2 Ostr s pontos est o nos limites visuais do plano 2 3 Em caso negativo sua ltima resposta movimente os de modo a que fiquem na parte sombreada ou seja nos limites visuais do plano 2 4 O que podes concluir sobre os pontos antes e depois de moviment
29. tica p g 61 97 Una empresa docente amp Grupo Editorial Iberoam rica Dreyfus T Hillel J Sierpinska A 1998 Cabri based linear lgebra transformations Proceedings of the First Conference of the European Society for Research in Mathematics Education pp 209 221 Recuperado el 12 de junio de 2012 en 21 Conferencias http www fmd uni osnabrueck de ebooks erme cerme1 proceedings papers g2 dreyfus et al pdf Eves H 1969 Estudio de las geometrfas Tomo I M xico Uni n Tipogr fica Hispano Americana Falsetti Marino Rodr guez M 2004 Validaci n en Matem tica en situaci n de aprendizaje Actas del VI Simposio de Educaci n Matem tica UNLU Argentina Formato CD Gonz lez V y Rodr guez M 2006 Un modelo para evaluar la validaci n matem tica Revista Educaci n Matem tica M xico Vol 18 N 3 2006 pp 103 124 Guill n Soler Georgina 1997 El mundo de los poliedros Espa a S ntesis Hern ndez Sampieri Roberto et al 2001 Metodolog a de la Investigaci n 22 ed M xico D F McGraw Hill Hillel J Sierpinska A amp Dreyfus T 1998 Investigating linear transformations with Cabri Proceedings of the International Conference on the Teaching of Tertiary Mathematics Samos Greece In J L Dorier ed L Enseignement de T Alg bre Lin aire enQuestion Panorama de la Recherche en Didactique sur ce Th me pp 249 268 Grenoble France La Pens e Sa
30. trie En instrumentant la g om trie descriptive dans Cabri il est possible de passer d une repr sentation avec une double vue la 242 Taller digital con Cabri G metra vue plus naturelle en axonom trie Passage d une repr sentation conventionnelle une autre ici le passage s effectue de l pure vers l axonom trie L axonom trie est d termin e par l image par projection parall le d un rep re orthonorm Les coordonn es mesur es dans l pure sont tout simplement report es graphiquement dans l axonom trie la possibilit de m moriser des constructions g om triques permet d automatiser ce passage et d viter son c t r p titif et fastidieux Du plan la vraie grandeur La fabrication de la vraie grandeur peut s effectuer via Cabri soit en utilisant la distance dans l espace soit par des techniques de g om trie descriptive Le patron d velopp de la forme peut ensuite tre d fini imprim et fabriqu Conclusion Nous avons voulu dans cet article la fois relater les diff rentes exp riences d utilisation de la g om trie dans nos diff rents enseignement l cole d architecture de Nancy mais aussi questionner les fondements d un enseignement de la g om trie dans une cole d architecture nous sommes convaincus de l int r t p dagogique de l utilisation de la g om trie dynamique et graphique dans une cole d architecture car elle permet des act
31. trouvent trop abstraite et dans celui des outils informatiques de mod lisation et de transformation des mod les en vue de la fabrication notamment au niveau des chelles qui plus est quand les tudiants ne disposent pas d une culture g om trique suffisante Pourtant la mod lisation et la production architecturale contemporaine est aujourd hui une fervente utilisatrice de ces logiciels de mod lisation et de fabrication Aussi nous avons d cid de nous situer cette ann e un niveau interm diaire celui de l utilisation de la g om trie dynamique dans un contexte de mod lisation et fabrication num rique et c est l tudiant de fabriquer son outil num rique Nous esp rons que ce travail sera une bonne introduction l utilisation de modeleurs et d outils de fabrication sp cifiques et d di s Shadkhou S amp Bignon J C en cycle master Echelle cartographique mesure g om trique En utilisant un fond de plan dans la page de Cabri G om tre on peut instrumenter la saisie digitale des parcelles et l on est confront aux m mes problemes d chelle qu avec un outil d di cependant comme le travail s effectue dans le contexte de la g om trie l embrayage vers ce domaine est plus op rant Extrait du parcellaire sur lequel les tudiants travaillent mise en place d un syst me d aide la saisie assist par Cabri qui s appuie sur une distance qui respecte l chelle cartographique Du plan la volum
32. Cabr Pertinencia del tema abordado Nuestra intervenci n en Iberocabri 2012 pretende ilustrar como un conjunto de conceptos te ricos de las ciencias b sicas abordados en primeros semestres de ingenier a pueden ser empleados como herramientas que esculpen esos visos de creatividad paridos por nuestras pasiones Aprender a palpar las matem ticas a hacerlas conscientes en el diario vivir es un procesos que se logra en la medida en que por Reportes de investigaci n iniciativa propia se desea incursionar en la realidad de sus sue os y se buscan experiencias de aprendizaje significativos Desde la perspectiva de un estudiante que inicia un curso de geometr a asediado por las malas calificaciones de sus ex menes pero motivado por maestro con iniciativa y visi n como lo es Luis Albeiro Zabala un ser que genera un vicio constante en ti por descubrir respuestas y que se ocupa por encender la chispa de la intriga Puedo afirmar que ganar materias de matem ticas ha sido una tarea constantemente dif cil pero descubrir matem ticas para la vida y enaltecer su importancia en la historia de la humanidad ha sido realmente el examen diario m s f cil de ganar gracias a las motivaciones que implica el ser apasionado La catedra fue mi gran reto y la pasi n el energizante que lo hizo alcanzable Objetivos de la investigaci n Determinar mediante el recurso de Geometr a Din mica y usando el software CABRI II PLUS los requer
33. Ciencias del Hobre UNAM direcci n general del CCH rea de matem ticas 2003 Programa de estudios de matem ticas M xico Vygotski L 1993 Obras escogidas Espa a Visor Ve 0 0 e e 258 COMUNICACI N DE EXPERIENCIAS O PROPUESTAS DE INNOVACI N DID CTICA Estudo das transformac es no plano uma situa o de aprendizagem L cia Helena Nobre Barros Secretaria de Educa o do Estado de S o Paulo Brasil luciahnobre gmail com Katia Vigo Ingar Pontificia Universidade Cat lica de S o Paulo Brasil kvingar21 gmail com Francisco R gis Vieira Alves Instituto Federal do Cear Brasil fregis ifce edu br Resumo Apresentamos neste trabalho as rela es institucionais existentes para uma situa o de aprendizagem de simetria axial ou reflex o e rota o O objetivo criar um ambiente educacional com o uso do software Cabri manipulando os recursos dispon veis que provoque ao estudante a identifica o das principais transforma es no plano Dessa forma estudamos as rela es institucionais esperadas via Curr culo Unificado do Estado de S o Paulo e as rela es institucionais existentes que s o desenvolvidas por meio dos Cadernos do professor e do aluno utilizados na pr tica pedag gica na 6 s rie do Ensino Fundamental desse estado Observamos que nesse material did tico encontramos as tarefas e t cnicas associadas s justificativas tecnol gicas e te ricas que pode
34. De acordo com Veloso 1998 p 235 se na defini o que demos de poliedro regular mantivermos a condi o das faces serem pol gonos regulares mas n o a de serem todas congruentes obtemos uma fam lia mais ampla de s lidos estudada por Arquimedes 287 212 a C As arestas s o todas congruentes e os v rtices tamb m As faces s o pol gonos regulares mas enquanto nos plat nicos eram apenas de um tipo aqui poder o ser de v rios tipos ainda necess rio acrescentar a condi o de que todo o v rtice pode ser transformado noutro v rtice por uma simetria de poliedro A estes s lidos habitual chamar arquimedianos ou semi regulares A car ncia de informa es a respeito do objeto matem tico S lidos Arquimedianos no Brasil bem como a dificuldade de encontrar materiais na Escola B sica que discorram mais detalhadamente sobre os mesmos pode ser uma poss vel causa para que muitos desconhe am sua exist ncia Nesse sentido nossa investiga o teve por objetivo revisitar o objeto matem tico s lidos arquimedianos por meio de suas constru es no ambiente de Geometria Din mica Cabri 3D Assim para alcan ar nosso objetivo recorremos a um estudo bibliogr fico desenvolvido com base em material j elaborado constitu do principalmente de livros e artigos cient ficos De acordo com Gil 2009 p 44 embora a pesquisa bibliogr fica seja considerada como a primeira etapa de toda a pesquisa cient fica h pe
35. En la segunda sesi n las actividades ser n orientadas a construcciones m s complejas para soluci n de problemas de geometr a espacial en las que haremos uso de diversos recursos inclusive de animaci n que el Cabri 3D posee Por fin se har una reflexi n sobre la importancia del buen uso de la tecnolog a inform tica en nuestro caso del Cabri 3D en la ense anza y aprendizaje de geometr a espacial Talleres Palabras clave Geometria Espacial S lidos Arquimedianos Geometria de las Transformaciones Eje tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Introducci n Uno de los actuales problemas en el mbito de la investigaci n en Did ctica de las Matem ticas es analizar las potencialidades del uso de tecnolog as en particular los software como herramientas para la ense anza y el aprendizaje de la matem tica En ese sentido a pesar de que algunas investigaciones se alan ventajas cuando los profesores trabajan con tecnolog as en las clases de matem tica sabemos que no est n del todo incorporadas en la pr ctica docente Es as que a n es posible encontrar profesores que no tienen un computador porque no tienen los recursos o porque lo rechazan o encontrar aquellos que lo tienen y lo utilizan en clase solamente como un tutorial es decir que presentan a sus alumnos una serie de pasos a ser seguidos pues esto los mantiene solamente controlando sus producciones Para el taller como pensamos trabajar c
36. Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Figura 5 Esfera que pasa por Referencias Lehmann Ch 1990 Geometr a Anal tica Limusa Stewart J 2000 C lculo Multivariable cuarta edici n Thomson Learning http www cabri com es cabri 3d htmlCabri 3D o o e gt eo 326 ndice de Autores Adv ncula Clemente Elizabeth 159 306 Albeiro Zabala Luis 225 Barriga Arceo Eugenio D az 148 Beteta Salas Marisel 165 278 Bonilla Mar a del Carmen 172 Callo Moscoso Luis Alberto 178 Camou Font Bernardo 78 186 189 Carazas Machaca Tomasa 269 Carvalho Silva de Almeida Talita 202 Castillo Padilla Juana 257 Chan Dom nguez Jos 245 Conteau Denis 237 Contreras S Juana 299 D az Barriga Eugenio 66 Duchanois Gilles 237 E Acosta Mart n 212 Fay Alicia Noem 15 93 Fay Mar a Cristina 93 Fern ndez Mosquera Edinson 223 Ferreira da Silva Maria Jos 23 101 202 Flores Salazar Jes s 101 278 306 Gaita Iparraguirre Cecilia 278 G mez Oskar 237 Hanser Damien 237 Jardim do Prado Hallan 197 Jones Troy 305 Joris Mithalal Joris 142 Laborde Colette 38 140 Laborde Jean Marie 56 141 Lecl re Philippe 237 L onard Daniel 237 L pez Patifio Alejandro 257 L pez Torres Edgar 257 Luna Valenzuela Maritza 286 Mech n Martinez Janeth 313 Medina Garc a Nelida 319 Mej a Palomino
37. La infalibilidad de las matem tica como un obst culo para su http www dpmms cam ac uk piers F I G_opening_ppr pdf Vergnaud G 1990 La th orie des champs conceptuels Recherches en Didactique des Math matiques 10 2 3 133 170 Vygotski L 1930 Mind in Society The development of higher psychological processes Edited in 1978 in Cambridge Massachusets Warfield M V 2007 Invitation to Didactique Bloomington IN Xlibris Corporation Windslow C 2007 Didactics of mathematics an epistemological approach to mathematics education The Curriculum Journal Vol 18 No 4 December 2007 pp 523 536 Ve e 0 e gt 89 La Geometria el Cabri y los amores a primera vista Francisco Ugarte Guerra Pontificia Universidad Cat lica del Per Departamento de Ciencias Secci n Matem ticas fugarte pucp edu pe Resumen En eta conferencia hablar un poco de mi experiencia con el Cabri y de mi ltimo reencuentro con l para la comprensi n de las transformaciones del plano Ejemplificar la construcci n de la m quina de Pit goras el inversor de Newton la variante de Hart y c mo podemos utilizarlas en la construcci n de cu dricas y cu rticas Ve o 0 LOS TALLERES C mo es que las trayectorias de las c nicas pueden generar las cu dricas Alicia Noem Fay Mar a Cristina Fay Universidad Tecnol gica Nacional Facultad Regional General Pacheco Universidad Naci
38. Shadkhou S amp Bignon J C 2009 Design Fabrication Digital Between digital design and digital fabrication 27 me conf rence eCAADe 2009 Computation The new realm of architectural design 16 19 September Istanbul Turkey Monge G 1799 G om trie descriptive Le ons donn es aux Ecoles normales 3 me ann e Paris Baudouin Ecole Nationale Sup rieure d Architecture de Nancy 1995 Cours de g om trie descriptive 2 me ann e Nancy Ve 0 0 e gt 244 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas de los signos de la multiplicaci n Jos Benjam n Chan Dom nguez Facultad de Matem ticas UADY M xico benjac100O hotmail com Genny Roc o Uicab Ballote Facultad de Matem ticas UADY M xico uballote uady mx Resumen En el presente trabajo se describe una secuencia de actividades dise adas en el software Cabri Geometry II Plus que tiene como objetivo la construcci n y formulaci n de las reglas de los signos de la multiplicaci n a partir de la representaci n geom trica del producto La secuencia se conforma de tres actividades distribuidas en ocho escenas estructuradas en una historia ficticia de un caballero al rescate de una princesa enmarcadas en la Teor a de Situaciones Did cticas de Brosseau en la cual se espera que el estudiante por medio de un proceso de experimentaci n formulaci n y explicaci n en la soluci n de las actividades en Cabri sea el enc
39. Si esta expresi n la asociamos con podemos escribirla en forma param trica Ejemplo la ecuaci n Algunos ejemplos adicionales 2 sqri 1 5 2 4 cos t s I sqri f s 2 4 sin A ANS Coe N ion m x a Figura 1 Elipsoide 181 Talleres En ES de M todo de Multiplicadores de Lagrange El prop sito fundamental de estas animaciones es proveer al estudiante con una versi n gr fica y animada de este concepto te rico mostrando una visualizaci n del resultado de Lagrange procurando que las animaciones ofrezcan la mayor y mejor cantidad de detalles para entender el concepto visualmente Es m s f cil explicar el fundamento geom trico del m todo de Lagrange para funciones de dos variables Maximizar sujeta a es encontrar el valor m s A de tal que la curva de nivel corte a Al parecer esto sucede cuando las curvas se tocan apenas es decir cuando tienen una recta tangente comin De lo contrario el valor de podr a incrementarse m s esto quiere decir que las rectas normales en el punto donde se presentan son id nticas de modo que los vectores gradiente son paralelos es decir para alg n escalar 6 Por ejemplo optimizar la funci n sujeta a la condici n que los puntos satisfagan la ecuaci n de la circunferencia As la condici n est dada por la ecuaci n Este problema se ilustra en la figura 2 que es una posici n instant nea de la animaci n 1 hecha en cabri geometry
40. actividad inicial en el estudio de la elipse es apoyada con un archivo Cabri que contiene la figura de la curva y elementos caracter sticos e Se describen los elementos principales de esta c nica focos v rtices centro ejes radios vectores cuerdas circunferencia principal etc e Se verifican propiedades y relaciones b sicas Por ejemplo representando la suma constante como y la longitud del eje menor y la distancia focal por y respectivamente se establece la relaci n entre y y el valor de la excentricidad Se verifica que los puntos medios de cuerdas paralelas son colineales y la recta que determinan pasa por el centro de la elipse Nota Se trabajan actividades similares relacionadas con la hip rbola y la par bola IL Construcciones de c nicas como lugares geom tricos en el plano Construcci n 1 Construcci n de una c nica considerando la definici n usual de cada curva e Elipse Dados dos puntos F y F focos una elipse es el lugar geom trico de los puntos P del plano tal que FP F P es una distancia fija constante 300 Propuesta de actividade sobre c nicas con Cabri e Hip rbola Dados dos puntos F y F focos una hip rbola es el lugar geom trico de los puntos P del plano tal que FP F P es constante e Par bola Dada una recta L directriz y un punto F foco una par bola es el lugar geom trico de todos los puntos P del plano que equidistan de F y de la recta L Cons
41. alumnos tienen la oportunidad de observar c mo un simple dise o cuadrado puede variar si se gira cu ntas posibilidades existen si se usan dos colores y colorear distintas colchas formando un patr n visualmente atractivo El taller est dirigido a maestros de Educaci n Primaria con conocimientos b sicos de Cabri no excluyente y constar de dos partes la primera para presentar la propuesta realizada en el aula con los alumnos y la segunda instancia donde los participantes podr n aprender a crear dise os con Cabri II Plus y a preparar los archivos que los ni os utilizaron durante la actividad Reportes de investigaci n Palabras clave figuras tri ngulos patr n dise o transformaci n Eje tem tico Equivalencia de figuras y reconocimiento de patrones geom tricos Todos los docentes sabemos que la ense anza de los temas en cualquier asignatura no puede realizarse como una mera transmisi n de los conocimientos sino que el aprendizaje se logra a trav s de la construcci n de los mismos Pretender ense ar al ni o por ejemplo el tri ngulo mostr ndole la figura diciendo este es un tri ngulo y nombrando sus elementos nicamente no alcanza para que se apropie del concepto Es necesario crear las situaciones para que los alumnos manipulen creen prueben construyan armen y desarmen observen y reflexionen sobre las figuras encuentren relaciones entre ellas etc para que su aprendizaje sea significa
42. ambiente ilustra ee re Len a 3 4 Eder re E 9 40 41 12 13 14 15 16 Ambiente 3 Problema algebraico 1 Problema tomado del texto lgebra Recreativa de Yakov Perelman En esta actividad se ha considerado central que el estudiante pueda arrastrar expresiones algebraicas dentro de las celdas vac as adem s de las expresiones soluci n se tienen expresiones incorrectas frecuentes entre los estudiantes con el prop sito de que la actividad sea m s demandante desde un punto de vista cognitivo 151 Talleres rsucoonss Cometa la soluci n del problema descrbiendo cada parte de la narraci n en lenguaje algebrico Narraci n Lenguaje algebraico 2x Caminante Aqui fueron sepultados los restos de Diofanto Y los n meros pueden mostrar joh milagro cu n larga fue su vida x x 6x 12x 7x 15 7 4 n a 25 80 cuya sexta parte constituy su hermosa infancia 82 Hab a transcurrido adem s una duod cima parte de su vida cuando de vello cubri se su barbilla Pas un quinquenio m s y le hizo dichoso el 6 gt oak E AR x n nacimiento de su precioso primog nito x E SABE 3 TA que entreg su cuerpo su hermosa existencia a la 6 12 7 tierra que dur tan s lo la mitad de la de su padre Y con profunda pena descendi a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro anos al deceso de su hijo Dime cu ntos anos habia vivido Diofanto cuando le lleg la muerte n 7x 9
43. anticiper les buts et sous buts atteindre et de d cider des r gles d action en situation Les connaissances math matiques et sur les outils constituent ces invariants Dans l exemple l une des inf rences faites par les l ves est que si la roue ne suit pas la voiture c est qu elle n est pas li e la voiture inf rence utilisant des invariants op ratoires issus du quotidien et non de connaissances math matiques Les l ves utilisent ensuite la r gle d action selon laquelle dans Cabri pour lier le cercle la voiture il faut cliquer sur le point d attache L intervention de l enseignant demande en un second temps aux l ves d utiliser des invariants relevant des math matiques le centre du cercle est le milieu de deux points extr mit s d un diam tre Elle demande aussi de savoir mettre en uvre cette connaissance dans l environnement en construisant d abord le centre comme milieu de deux points puis le cercle qui repr sente la roue En la siguiente la exposici n ilustra la manera como la tecnolog a Cabri Elem proporciona herramientas y medios de expresi n que pueden ser utilizados para crear interactividad Los ejemplos han sido tomados de cuadernos de actividades elaborados por varios profesores en diferentes pa ses 1 3 La tecnolog a Cabri Elem Cabri Elem es una tecnolog a Cabri con dos ambientes Cabri Elem Creator para los autores de los recursos Cabri Elem Player para los alumnos y
44. atravesamos por un proceso de transformaci n de metodolog as que pretenden incorporan en el aula las nuevas herramientas tecnol gicas con las que actualmente puede contar un docente en el aula ordenadores port tiles tablets equipo multimedia pizarra digital interactiva inclusive se estudia la posibilidad de incorporar los equipos de comunicaci n m viles para lograr mejorar el proceso de ense anza En un comienzo cuando se empezaron a introducir las tecnolog as a la educaci n fue la matem tica quien potencializo su uso a trav s del uso de las calculadoras cient ficas y gr ficas softwares como el excell para realizar el tratamiento y an lisis de datos otros software como derive y graficadores de funciones apareciendo luego los softwares de geometr a din mica que no s lo permiten el trazo de objetos de la geometr a plana y del espacio haciendo uso de nociones de la geometr a sino que adem s posibilitan la demostraci n de postulados y teoremas as como la comprensi n de ideas matem ticas Muchas de las experiencias con estos softwares y herramientas tecnol gicas como los ordenadores y equipo multimedia se desarrollaron en los laboratorios de c mputo Hace algunos a os apareci una nueva herramienta tecnol gica la pizarra digital interactiva PDI y su lugar se encuentra en el aula y de acuerdo a una serie de investigaciones ya realizadas su uso potencializa el aprendizaje en los alumnos ello exige en el doc
45. commeares 1 1 N o posse construir uma reta por tres poros pos para determinar uma reta preciso dois pontos e o terceiro pode ou n o pertencer a n 2 1 Existe uma piano pois tres pontos n o colineares formam um plano 22 n o 23 Quando acontece o movimento percebe se que o ponto pertence ao piano pois lantenormente n o era perceber 3 0 Axoma nos dk que tres pontos n o cotineares formam um piano la poaa an ts pente pe pate aa paa pa aia n o pertencem Pode se ter retas que est o contidas no piano e retas que n o est o no piano Uma reta contida num as quei sera MO ue e nn po a e qu Al pato ao piano porque esta reta est paraleta ao piano Figura 2 Registro de Lau sobre os quatro primeiros itens da Atividade 1 296 Una experiencia no cabri 3D na apreens o de axiomas de Gui que havia respondido sim ao item 2 2 justifica Ao movimentar os pontos no espa o movimentamos junto o plano pois o plano foi definido por esses tr s pontos Podemos perceber que dependendo da posic o dos pontos eles ficam fora do limite de visualizac o do plano mas isso n o quer dizer que estejam fora desse plano Escolhemos a construc o e a explicac o de Gui figura 3 para ilustrar a parte 5 da atividade 1 na qual foi utilizada a estrat gia de medir o ngulo entre a reta construida ortogonalmente ao plano e esse obtendo o valor de 90 como previsto pelo professor na sequ ncia a ser realizada no Cabri 3D
46. de Matem tica Educativa Cinvestav IPN 22 impresi n Azcarate C y Deulofeu J 1988 Funciones y gr ficas Editorial S ntesis Madrid Escalante C C 1979 Graficaci n de funciones con C lculo Secci n de Matem tica Educativa Cinvestav IPN Mason J 1999 Rutas hacia el lgebra Traducci n por Cecilia Agudelo Valderrama Universidad Pedag gica y Tecnol gica de Colombia Ministerio de Educaci n Nacional 2003 Est ndares B sicos de calidad Matem ticas Ministerio de Educaci n Nacional 1998 Lineamientos curriculares Matem ticas Rojas P 2000 Transici n Aritm tica algebra Actividades para potenciar las diferentes interpretaciones de la letra XVII Coloquio Distrital de Matem ticas Socas M 1996 Iniciaci n al lgebra Editorial S ntesis Madrid Ve 0 0 e gt 139 Diff rents types de t ches avec Cabri 3D reliant les aspects g om triques num riques et alg briques d objets de l espace Colette Laborde Cabrilog Grenoble France colette laborde cabri com Abstrait L objectif de l atelier est de relier les propri t s g om triques d objets de l espace etleurs mesures comme aire ou volume ou leurs repr sentations alg briques coordonn es quations l aide de t ches de construction ou de justification pour diff rents niveaux d cole secondaire Les t ches choisies utilisent les fonctionnalit s de Cabri 3D qui permettent de donner u
47. de geometr a en el espacio vistos durante el a o 2012 1 Los temas que se abordan son Pir mide Cono y Esfera Los objetivos que se logran con estos planteamientos son mejorar la visualizaci n de los diferentes s lidos geom tricos mediante la herramienta din mica de Cabri 3D desarrollar capacidades para la propuesta y resoluci n de problemas y ampliar la visi n geom trica de los estudiantes Palabras clave Geometr a Cono Pir mide Esfera Eje tem tico Experiencias educativas con asistencia de Cabri Introducci n Se presenta la visualizaci n de dos situaciones de solidos geom tricos con la herramienta din mica de Cabri 3D que fueron abordadas en el curso de Introducci n a la Matem tica Universitaria En la primera de ellas se debe determinar el rea lateral de una pir mide no regular La segunda se debe determinar el volumen de un cono circunscrito a dos esferas tangentes Visualizaci n de diferentes s lidos geom tricos usando Cabri 3D Marco te rico De acuerdo con Duval 1996 la actividad matem tica se realiza necesariamente en un contexto de representaci n y es de fundamental importancia en el funcionamiento cognitivo la distinci n entre un objeto y su representaci n y la comprensi n de la matem tica como una actividad que moviliza una variedad de registros de representaci n semi tica Adem s teniendo presente que el razonamiento de los estudiantes pasa por una serie niveles de r
48. de representaci n semi tica en especial el registro de representaci n verbal Un primer an lisis de dichos resultados apunta a en el sentido de que la tarea de estructurar coherentemente el registro verbal marca poderosamente el tr nsito entre los diversos registros de representaci n Se busca profundizar el an lisis de los protocolos de las sesiones para clarificar la relaci n entre las representaciones escritas sean simb licas o con palabras con la expresi n espont nea de los estudian Palabras clave registro semi tico verbal complementaci n autoevaluaci n cabri Introducci n Un problema educativo dentro de las aulas de matem ticas que se ha hecho muy notorio en particular en la Facultad de Ingenier a de la UAEM es la gran dificultad que tienen los alumnos para interpretar adecuadamente los enunciados de los problemas que se les proponen Esta no es sino una m s de las secuelas que en el mbito educativo se arrastran con las deficiencias al trabajar las habilidades lectoras en los estudiantes Un registro semi tico importante en la evaluaci n de actividades en los diferentes niveles educativos previos a la formaci n universitaria donde en la prueba PISA 2000 M xico se ubica en el ltimo lugar de lectura entre los miembros de la OCDE y para la evaluaci n de OCDE y UNESCO M xico se encuentra entre los ltimos lugares de los 43 pa ses participantes G mez 2008 Para explorar el desempe o de lo
49. de todos y cada uno de los procesos que se llevan a cabo desde la identificaci n de datos los tanteos num ricos la exploraci n de las relaciones cuantitativas en el problema la selecci n de una estrategia de resoluci n la interpretaci n de los resultados parciales y totales Einstein afirmaba que si no lo puedes explicar de forma simple es que no lo entiendes lo suficiente 67 Conferencias Para alcanzar un manejo gradual del registro verbal podriamos partir de actividades en que la expresi n oral y escrita de los estudiantes es cerrada hasta la construcci n de ensayos libres En las actividades que presentamos aqu hemos preferido iniciar con el estudio de c mo se realiza la reconstrucci n de textos matem ticos m s que la construcci n total y libre de dichos textos tarea que puede ser cognitivamente m s demandante para los estudiantes Dentro de las actividades que se han propuesto para establecer una mejor forma de iniciar los mencionados cursos de lgebra se encuentran la b squeda de ra ces sufijos y prefijos en las palabras matem ticas la complementaci n de textos matem ticos y la asociaci n de p rrafos con algunas expresiones algebraicas que los representen La primera actividad se plantea como una b squeda de los significados de prefijos como bi tri poli semi y sufijos como gono edro triz entre otros adem s se solicita que el estudiante aporte un par de ejemplos matem ticos pre
50. dicho es estudiar problemas an logos de geometr a plana y del espacio As como para todo tri ngulo existe la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita para todo tetraedro regular o no existe una esfera circunscrita y una esfera inscrita como podemos apreciar en la Figura 5 y la Figura 6 Figura 5 Esfera de centro E circunscripta al tetraedro ABCD Figura 6 Esfera inscripta a un tetraedro cualquiera 84 La infalibilidad de las matem tica como un obst culo para su El aceptar la necesidad imperiosa de usar multirepresentaciones para estudiar geometr a del espacio es t citamente aceptar el hecho que trabajamos con aproximaciones falibles del objeto matem tico ideal y exacto En nuestros curriculums liceales existe un 80 de geometr a plana contra tan s lo un 20 de geometr a del espacio e No nos dediquemos a intentar tornar infalible un peque o territorio matem tico cuando tenemos todo un rico mundo el de la geometr a del espacio inexplorado lleno de maravillosas aventuras por experimentar y con fant sticos tesoros por descubrir e Uno de dichos formidable resultados es la f rmula de Euler C V A 2 que establece que en un poliedro la suma del n mero de caras m s los v rtices menos las aristas es siempre igual a 2 Otro formidable resultado es el llamado Teorema de Descartes para la suma de los defectos de los v rtices de un poliedro El defecto en un v rtice es la diferencia en
51. doivent s emboiter permettant ainsi des r troactions imm diatement perceptibles par les l ves et porteuses d informations 48 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit EVANS 12 EN o gt Fig 13 La t che de construire une Fig 14 Cr ation d une seconde forme moiti du carr identique Fig 15 Demi tour de la seconde forme Fig 16 Les deux formes ne s emboitent pas Si la forme cr e ne convient pas les formes ne s emboftent pas Fig 16 Il y a conflit entre ce que les l ves attendent et ce qu ils observent dans le placement des formes De plus la juxtaposition des formes permet aux l ves de rep rer pourquoi les formes ne se raccordent pas En particulier le mouvement de demi tour d une des formes montre aux l ves que ce qui est en haut dans la forme verte doit tre identique ce qui est en bas dans la partie blanche du quadrillage Les l ves prennent ainsi conscience de ce que devient une forme dans un demi tour ce qui leur permet d anticiper dans la cr ation de la forme verte qu une fois la rang e horizontale du haut de la forme verte choisie la rang e horizontale du bas est d termin e comme compl ment la rang e blanche obtenue par demi tour de la rang e verte du haut 49 Conferencias 2 4 Extension de la notion de contexte La notion de contexte peut tre tendue au del du contexte r el Un contexte peut tre un cont
52. el error de sintaxis o de programaci n por la cual no se obtiene el resultado esperado y lo que menos interesa es el concepto que se quiere ense ar En algunas circunstancias el alumno no utiliza el software para contextualizar conceptos ni para demostrarlos num ricamente conjeturar o formular hip tesis sino que se convierte en una herramienta de simple comprobaci n impidiendo as el avance del alumno hacia la independencia autorregulaci n y autonom a Es decir no se privilegia el desarrollo de diferentes formas de pensamiento En contraste con lo anterior el software CABRI GEOMETRE II PLUS SCG abre alternativas para construir figuras cambiar su tama o rotarlas y moverlas o arrastrarlas para comprobar sus propiedades ofreciendo al usuario opciones creativas para el desarrollo y representaci n de los conceptos geom tricos 232 Aprendizaje basado en problema en didactica de la matem tica La regla sin marcas y el comp s colapsible de Euclides herramientas te ricas que a pesar de no servir para hacer mediciones le permitieron a Euclides mediante la aplicaci n de sus postulados construir pol gonos regulares rectas paralelas perpendiculares n meros etc encuentran espacio nuevamente en el cuaderno de notas interactivo de geometr a de Jean Marie Laborde Franck Bellemain con la ventaja de que con ellos se puede poner las figuras en movimiento y construir c nicas Para hacer esto posible es
53. en la articulaci n de registros Las actividades dise adas para este taller buscan que el usuario final de ellas en este caso el estudiante dentro del entorno inform tico s lo realice acciones como las de desplazar ampliar o disminuir una imagen una palabra una expresi n algebraica o un objeto para que la versatilidad de la interfase no lo distraiga demasiado de la tarea cognitiva que tiene frente a l El dise o contempla que las respuestas correctas puedan almacenarse y agruparse con un bot n ocultar mostrar para que el ambiente pueda cambiarse entre la modalidad de resoluci n de los problemas y la modalidad de evaluaci n de la actividad Anteriormente hemos descrito la construcci n de macros con Cabri II plus y esta ser una herramienta que utilizaremos en este trabajo D az Barriga E 2006 D az Barriga E 2010 D az Barriga E 2011 Enumeraremos a continuaci n las macros que usaremos como recursos y que pondremos en juego para construir los ambientes a Herramientas en Cabri II plus i Objetos condicionales a C rculo en luz verde para una palabra Objetos iniciales Punto m vil y circunferencia permanente Objetos finales Circunferencia llena en color verde Din mica de la construcci n al introducir el punto m vil dentro de la circunferencia permanente aparece sobre esta una circunferencia del mismo tama o llena de color verde si el punto m vil se encuentra fuera de la circunferenci
54. estilo hachuras finas e esconda o ponto A atividade avan a nas ferramentas dispon veis no Cabri 3D na medida em que s o exploradas aqui cor espessura e estilo de superficies no caso do plano a 1 Represente dois pontos distintos quaisquer P e Q no espa o na cor azul e no estilo diamante 2 Construa o segmento de reta PQ vermelho com raio da curva muito fino 3 O segmento PQ atravessa o plano Use os recursos do Cabri para justificar como verificas isso 3 1 Caso n o tenha conseguido obtenha a intersec o entre o segmento de reta e o plano nomeando a por A eSe o ponto n o aparecer movimente uma das extremidades do segmento at ele surgir eSe o ponto A j apareceu na sua constru o movimente uma das extremidades do segmento at ele desaparecer 3 2 A partir dessa explora o defina semi espa o 112 O Cabri 3D como ferramenta para desenvolver visualiza o dos 3 3 Fa a uma analogia plano semi espaco espaco de forma similar a feita com ponto semirreta reta Espera se que as atividades aqui propostas possam contribuir para a pr tica docente dos participantes uma vez que podem ser aplicadas a classes de estudantes que iniciam o estudo de geometria espacial sem conhecimentos pr vios tanto do software quanto de geometria fornecendo assim uma contribuic o did tica do Cabri 3D ao ensino que poder vir a contribuir para um melhor aproveitamento na aprendizagem dessa rea do conhecimento
55. et al 2004 A geometria no Ensino Fundamental reflex es sobre uma experi ncia de forma o envolvendo professores e alunos Revista Brasileira de Educa o n 27 Dispon vel em lt http www scielo br pdf rbedu n27 n27a06 pdf gt Brousseau G 1986 Fondaments et m thodes de la didactique des Math matiques Recherches em Didactique de Math matiques 7 2 33 115 Duval R 2011 Ver e ensinar a matem tica de outra forma entrar no modo matem tico de pensar os registros de representa es semi ticas Tradu o Marlene Alves Dias Proem Editora S o Paulo Brasil Duval R 1995 Semiosis et pens e humaine registres s miotiques et apprentissages intellectuels Peter Lang Duval R 1999 Representation vision and visualization Cognitive functions in mathematical thinking Basic issues for learning In F Hitt M Santos Eds Proceedings of the 21st Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Cuernavaca Morelos Mexico 1 3 26 Ferraz M C 2010 Prisma e pir mide um estudo did tico de uma abordagem computacional Disserta o de mestrado em Educa o Matem tica Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo dispon vel em 36 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D http www pucsp br pos edmat mp FERRAZ_marcelo_ca rdoso html Gatti B A Barreto E S S 2009 coord Pro
56. explica el mundo Nunca una teor a matem tica pura podr decirnos nada del universo real La Matem tica estudia los modelos La nica ciencia que no estudia el mundo es la Matem tica ella estudia los modelos ideales Los esperamos para construir juntos estos magn ficos modelos en Cabri 3D Talleres Palabras clave cu dricas c nicas y cu dricas cu dricas con Cabri generaci n de cu dricas trayectoria de c nicas Ejes tem ticos Geometr a plana y espacial con Cabri Experiencias educativas con asistencia de Cabri Marco te rico La Geometr a necesita un proceso visual que podemos clasificar de largo proceso que tiene como finalidad la formaci n de im genes mentales Poco a poco como una filigrana con asociaciones con otras im genes anteriores acumuladas en la memoria se construye la representaci n que nos interesa Los est mulos visuales y los h bitos de concebir interiormente la imagen contribuyen desde el comienzo a las representaciones mentales de los objetos Seg n Claudi Alsina Carme Burgu s y Joseph Fortuni 1975 En la construcci n del proceso visual interviene nuestra experiencia previa haciendo asociaciones con otras im genes mentales almacenadas en nuestra memoria El desarrollo completo del proceso visual es esencial para lograr una adecuada percepci n espacial De hecho es un primer paso para obtener un conocimiento de las estructuras espaciales que nos rodean y hacen refe
57. forma algebraica de la ecuaci n diferencial o la forma del campo de pendientes no se observ que utilizaran mucho el recurso de ampliar o reducir los campos de pendientes que deb an probar para asociarlo al texto correspondiente Y tambi n fue palpable que no hubo grandes debates sobre la forma algebraica de la ecuaci n diferencial asociada a las actividades ni exploraciones num ricas en ella parec a que ya se le reconoc a una vez reconstruida la descripci n del texto y elegido el gr fico del campo de pendientes 73 Conferencias Reiteramos que a pesar de la aparici n del registro verbal en estos problemas en ning n caso se verbaliz la exploraci n de lo que ocurrir a en el plano si se dieran valores a la ecuaci n diferencial ni tampoco se pens en el comportamiento de la ecuaci n diferencial sobre objetos geom tricos como rectas o circunferencias f ciles de identificar en el plano como o Pensamos que la complementaci n dirigida del texto limit en este sentido lo que el estudiante podr a realizar espont neamente Actividad Complementaci n de la Tabla peri dica de los elementos En esta actividad se han omitido los s mbolos de diversos elementos dentro de la tabla peri dica y se pide a los estudiantes que los identifiquen y reubiquen en sus posiciones Para que en la actividad no puedan resolverse los ltimos elementos por eliminaci n se han colocado s mbolos adicionales que no corresponden a n
58. g om trie en jouant avec Cabri G om tre A P M E P 303 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Dahan Jean 2005 La d marche de d couverte exp rimentalement m di e par Cabri G ometre en math matiques U Joseph Fourier France D az B Eugenio 1997 Explorando las c nicas con el CABRI Geom tre Revista IPN Ciencia Arte Cultura 13 Garcia I Arriero C 2000 Una experiencia con Cabri las curvas c nicas Revista Suma 34 Holzmuler G 1950 Tratado met dico de Matem ticas elementales Tomo segundo 3ra edici n Editorial Labor Ve 0 0 e e 304 Comunicaciones de experiencias Troy Jones Westlake High School EE UU tjones alpinedistrict org Resumen Se presentar propiedades de los puntos de concurrencia notables del tri ngulo y sus puntos equivalentes en un tetraedro Se espera de que los participantes se maravillen de las relacciones resultantes de puntos de concurrencia en un tetraedro y lleguen a una comprehension firme de la construcci n de los mismos Adem s de las construcciones y representaciones en dos y tres dimensiones que se har n en Cabri 3D mostrar con material did ctico asequible a todos los resultados de estas observaciones Palabras clave Geometr a del plano geometr a del espacio recta de Euler Referencias Altshiller Court Nathan 1952 College Geometry Barnes amp Noble Inc Altshiller Court Na
59. generalizaciones hasta llegar a la modelizaci n y la formalizaci n de leyes e Fomentar el desarrollo del razonamiento inductivo deductivo e Propiciar el desarrollo de la competencia comunicativa e Crear espacios para el trabajo cooperativo e Propiciar un aprendizaje significativo Resultados que se esperan obtener Afianzar la comprensi n de las operaciones matem ticas b sicas El desarrollo de valores como la autoestima la responsabilidad la autonom a la solidaridad la creatividad y el emprendimiento La ceraci n de nuevas ideas a partir de lo concreto para interiorizar conceptos abstractos El desarrollo de competencias para la identificaci n de regularidades num ricas para su generalizaci n y modelaci n Familiarizar al estudiante con el manejo del lenguaje gr fico tabular algebraico Desarrollar en los alumnos habilidades de orden superior como explorar conjeturar razonar reflexionar y comunicar matem ticamente as como habilidad para usar efectivamente sus habilidades cognitivas y metacognitivas en la soluci n de problemas rutinarios 137 Talleres Minimizar las deficiencias que se presentan en el proceso de transici n de la aritm tica al algebra Fomentar el trabajo cooperativo Estandares a desarrollar Pensamiento num rico y sistemas num ricos 1 Reconocer significados del n mero en diferentes contextos medici n conteo comparaci n codificaci n localizaci n
60. haber razonado mal durante alg n tiempo con buenas figuras Referencias Abbot E A 1885 Flatland a romance of many dimensions University of Michigan Libraries Accascina G amp Rogora E 2006 Using Cabri 3D Diagrams for Teaching Geometry International journal for Technology in mathematics Education Volume 13 No 1 Bainville E 8 Laborde J M 2004 Cabri 3D Cabrilog Grenoble France Bak M 2003 Different projecting methods in teaching spatial geometry In Proceedings of the Third Conference of the European society forResearch in Mathematics Education Balacheff N 1995 Conception connaissance et concept Denise Grenier Ed Seminaire Didactique et Technologies cognitives et Mathematiques pp 219 244 Grenoble Bronshtein I amp Semendiaev 1976 Manual de Matematicas para Ingenieros y Estudiantes Ediciones Sapiens Buenos Aires Brousseau G 1998 La Th orie des Situations Didactiques In N Balacheff M Cooper R Sutherland amp V Warfield Eds Grenoble France La Pens e Sauvage Bruner J 1977 The Process of Education Cambridge Massachusetts Harvard University Press 87 Conferencias Bruner J 1973 Beyond the Information Given New York W W Norton amp Company Inc Camou B 2006 Diario de un Profesor de Matematica Montevideo Uruguay Ediciones Brio Chaachoua H 1997 Fonctions du dessin dans l enseignement de la g om trie dans l espace Etude d un
61. la autoridad acad mica que matem ticos encumbrados ejercen sobre otros matem ticos m s humildes o desconocidos Si cada uno de nosotros es subjetivo si cada ser humano es falible Podemos nosotros los seres humanos construir una ciencia infalible Pero adem s de ense ar la matem tica como si fuera infalible se la ense a adem s como si fuera completa es decir como si todas absolutamente todas las propiedades y teoremas sobre un tema se supieran Y justamente Kurt G del demostr que en todo sistema axiom tico existen proposiciones indecidibles o sea que existen proposiciones que no podemos demostrar ni que son verdaderas ni que son falsas Esta visi n abstracta general infalible y completa de la matem tica tiene implicaciones muy perjudiciales para la ense anza y el aprendizaje ya los aspectos concretos particulares falibles e incompletos son desde ados y tratados a lo sumo como males necesarios para llegar a la perfecci n de la matem tica Nos concentramos s lo en la parte visible del iceberg que est sobre el agua olvid ndonos que la 80 La infalibilidad de las matem tica como un obst culo para su mayor parte del iceberg no est a la vista por estar sumergido bajo el agua El camino que parte de lo concreto de lo particular que est lleno de aproximaciones de ensayos y errores de hip tesis o pruebas fallidas es lo que genera el conocimiento matem tico y lo que da sentido al resultado final E
62. las figuras La propuesta consiste en introducir los conceptos relacionados con el rea y el volumen de las pir mides usando construcciones previamente elaboradas que permitan formular conjeturas sobre este objeto matem tico modelar y resolver problemas Se espera que el docente pueda incorporar el uso del Cabri 3D en la ense anza de conceptos de geometr a espacial como las pir mides para lo cual debe estar instrumentado con las herramientas y recursos de este ambiente Lo que permitir que la aprehensi n secuencial y operatoria de la figura se logre con facilidad Palabras clave Pir mide rea volumen Eje tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Introducci n El inter s por elaborar esta propuesta did ctica surgi al observar que los estudiantes presentan muchas dificultades en el aprendizaje de la geometr a en general espec ficamente en el aprendizaje de las pir mides cuando se les pide que calculen el Piramides Una propuesta de ense anza con Cabri 3D rea o volumen Es por ello que deseamos presentar una alternativa para la ense anza de este objeto matem tico incorporando el uso del ambiente de geometr a din mica Cabri 3D Esta propuesta consiste es mostrar dos actividades en las que se use el Cabri 3D como instrumento facilitador del aprendizaje del concepto de pir mide ya que este ambiente permite una mejor visualizaci n de la pir mide en tres dimensiones y una manipulaci n directa de l
63. las mismas Escena 1 Introducci n Se presenta una breve rese a de la historia y las instrucciones para realizar las actividades Imagen 1 Los elementos caracter sticos de esta escena son el t tulo de la actividad Rescatando a la princesa Angie informaci n acerca del manejo de los botones relato de la historia reglas de los movimientos para cada actividad respectivamente y un mapa de la ubicaci n de los castillos Rda aa ur Imagen 1 Escena 1 Presentaci n de las actividades disefiadas en el software Cabri Geometry II Plus Escenas 2 y 4 Desarrollo En estas escenas se presenta la situaci n que involucra a las reglas de los signos por medio de dos actividades Actividades 1 y 2 en dichas actividades el caballero Ham debe llegar a determinados castillos para intentar rescatar a la princesa para ello debe ir seleccionando caminos hasta llegar a los castillos La selecci n de los caminos se realiza por medio de un movimiento que consiste en un desplazamiento horizontal y uno vertical sin importar el orden as cuando el caballero selecciona caminos que conducen al castillo se sombrean reas de un mismo color haciendo alusi n impl citamente a las reglas el producto de dos n meros con signos iguales es positivo y cuando selecciona caminos que no conducen al castillo se sombrean reas de otro color lo anterior relacionado a la regla 249 Reporte de investigaci n el prod
64. les taches de la coccinelle et que toutes les gommettes de la bo te soient bien utilis es Fig 7 Dans cette page il n est plus possible de mettre directement les gommettes sur les taches de la coccinelle les gommettes sont rejet es par la coccinelle Fig 8 Le logiciel permet en effet la coccinelle de reconna tre les gommettes et de les rejeter 44 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit Roso G Fig 7 La t che de pr parer les Fig 8 Une gommette rejet e gommettes C est dans cette limitation d action que le probl me math matique trouve sa source L l ve doit laborer un moyen pour mettre un nombre de gommettes gal celui des taches de la coccinelle Plusieurs strat gies diff rentes peuvent conduire la solution Une strat gie visant cr er une collection de gommettes quipotente la collection de taches en reproduisant par exemple la configuration des taches de la coccinelle Une strat gie de mise des gommettes une par une dans la bo te en marquant chaque fois avec le crayon une tache de la coccinelle Ou encore des strat gies de comptage des taches Les outils disponibles crayon curseur bande num rique sont videmment essentiels dans la mise au point de strat gies L l ve peut dans la page qui suit v rifier si la collection de gommettes pr par es convient car cette fois il peut prendre les gommettes de la bo te et les placer sur les ta
65. matem tico Para finalizar enunciamos os axiomas de Hilbert 2003 os quais esperamos que sejam retomados durante a oficina Grupo 1 axiomas de incid ncia pertencer ou n o pertencer 1 Para cada dois pontos A B h sempre uma reta que est associada com os dois 2 Para dois pontos A B n o h mais do que uma reta que est associada com os dois 3 Sobre uma reta h sempre pelo menos dois pontos H pelo menos tr s pontos que n o est o sobre uma mesma reta 4 Para quaisquer tr s pontos A B e C que n o est o sobre uma mesma reta h sempre um plano a que est associado com os tr s Para cada plano h sempre um ponto que est associado com ele 5 Para cada tr s pontos que n o est o sobre uma mesma reta n o h mais do que um plano que est associado com qualquer dos tr s pontos A Be C 6 Se dois pontos A e B de uma reta r est o num plano a ent o cada ponto de r est no plano a 7 Se dois planos a e B t m um ponto comum A ent o t m pelo menos mais um outro ponto em comum 8 H pelo menos quatro pontos que n o est o no mesmo plano 113 Talleres Refer ncias Borba M C and Villarreal M 2006 Humans with media and the reorganization of mathematical thinking information and communication technologies modeling experimentation an visualization USA Springer Fischbein E 1987 Intuition in science and mathematics an educational approach Dordrecht Reid
66. muitos temas geom tricos 1997 p 126 Com o objetivo de verificar a influ ncia do software na formulac o dos axiomas foram propostas tr s atividades a serem realizadas em laborat rio informatizado quando os alunos ao mesmo tempo em que adquiriam destreza no uso das ferramentas do Cabri exploravam e redigiam suas conclus es geom tricas utilizando a ferramenta Nova vista texto no cone Documento Pode se concluir da experi ncia realizada que o software foi um facilitador para a ocorr ncia da apreens o dos axiomas de incid ncia no espa o proporcionando o planejamento com seu uso nos pr ximos passos do desenvolvimento de conte dos program ticos Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Palabras clave axiomas de incid ncia geometr a espacial Cabri 3D Eixo Geometr a plana y espacial con Cabri Corpo do documento A Geometria uma das reas da Matem tica que sofreu muitas mudan as desde suas origens Por sua vez ela proporciona uma variedade de posibilidades de trabalho para os diversos campos do conhecimento que a humanidade necessitou e necesita para melhorar sua qualidade de vida Neste sentido passou da geometria grega geometria anal tica por exemplo e mais recentemente pela geometria fractal e geometria din mica Na d cada de 70 com a denominada Matem tica Moderna ela assumiu um car ter eminentemente formal no qual havia acentuado interesse pelo processo de
67. n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Problemas complementarios de autoevaluaci n Cuando se dice que dos rectas en el plano son paralelas de un ejemplo Cuando su intersecci n es vac a Dos rectas que se cruzan paralelas corresponda s o no son No En la siguiente figura nombrar los ngulos correspondientes Los ngulos 9 y 13 11 y 15 10 y 14 12 y 16 Dado un punto Q exterior a la recta trace por Q la paralela a A 3 En la siguiente figura nombrar los Alternos externos ngulos alternos externos y alternos a internos Alternos internos e Una transversal a 2 rectas en el plano Corta es una recta que las en dos puntos diferentes 276 Geometria plana y espacial con Cabri Bibliografia Brihuega J Molero M Salvador A 2000 Did ctica de la Matem tica Edit Complutense Madrid Carazas T 2009 Ense anza Programada de la Geometr a plana Publicado por Indecopi Dolciani M y otros 1997 Geometr a Moderna Edit Trillas M xico Perry p Camargo L Samper C y Rojas C 2006 Actividad demostrativa en la formaci n inicial del profesor de matem tica Bogot Fondo Editorial de la Universidad Pedag gica Nacional Polya G 1992 C mo plantear y resolver problemas Edit Trillas M xico Samper C Perry P Echeverry A y Molina O 2008 Aprendizaje de la demostraci n de la geomet
68. ngulos exteriores Los ngulos 3 4 5 6 son ngulos interiores c Los ngulos 1 y 5 uno interno y el otro externo pero situados en el mismo lado de la transversal y con v rtices diferentes se llaman ngulos correspondientes Tambi n son ngulos correspondientes 2 y 6 4y8 3y 7 d ngulos alternos internos son pares de ngulos internos los situados en lados opuestos de la transversal y con v rtices iguales como por ejemplo los ngulos 3 y 6 4 y 5 e ngulos alternos externos son pares de ngulos externos situados en lados opuestos de la transversal y con v rtices diferentes por ejemplo los ngulos 1y8 2y7 A continuaci n responda las siguientes preguntas y escriba lo que falta en el espacio en blanco 274 Geometria plana y espacial con Cabri Una transversal es una que interseca Recta a dos o m srectas en puntos diferentes En la siguiente figura trace una Transversal transversal determine el n mero de Determina 8 ngulo que forma ngulos PA QA Donde E Si a los ngulos anteriores ha denotado por n meros nombrar cada uno de los ngulos e ngulos internos e ngulos externos e ngulos correspondientes e ngulos alternos externos e ngulos alternos internos En la siguiente figura nombrar los ngulos alternos internos y ngulos alternos externos Alternos internos cyfidyf Alternos externos ayh byg 275 Comunicaci
69. para determinar a medida de seu volume levantando conjecturas comprovando as ou n o enquanto desenvolve a solu o do problemas apresentado Trataremos ainda de algumas situa es em que as transforma es geom tricas n o trabalhadas na escola sejam utilizadas para solucionar problemas No caso dos s lidos a escola apresenta simplesmente prismas e pir mides e os s lidos de Plat o outros tipos n o s o tratados A possibilidade de fazer truncaturas uma das vantagens do ambiente din mico Cabri 3D pois permite por exemplo a constru o de s lidos arquimedianos esquecidos no ensino brasileiro desde o s culo passado bem como a determina o de medidas de volumes por decomposi o de s lidos como os de Plat o Conferencias Palavras chave Cabri 3D Tecnologia Situac es de ensino Geometria Introdu o Almouloud et al 2004 constataram a partir de uma forma o continuada que embora o conceito de dist ncia fa a parte do curr culo desde as s ries iniciais os professores apresentam dificuldades que se originam pela exist ncia de concep es n o est veis a respeito de linha reta perpendicularismo e altura que interferem diretamente na constru o do conceito de dist ncia Al m disso parecem ter mais facilidade em lidar com situa es concretas do que com situa es que envolvem processos mais abstratos o que dificulta a condu o dos alunos a um pensamento mais gen rico mais formal o
70. plano XY los alumnos emplearon expresiones tales como 281 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica e Vaa estar en solo dos dimensiones x e y por lo tanto no contendr valores en el eje z z 0 e Su tercera coordenada siempre ser 0 e Solo tendr n como coordenadas pares ordenados x y En esa misma actividad la mayor a de estudiantes reconoci cu les eran las ecuaciones de los otros dos planos de coordenadas x 0 e y 0 Tambi n identificaron que la posici n relativa entre ellos era la de ser perpendiculares ver figura 2 Sus argumentos se basaban en lo que observaban La tarea adicional en la que deb an construir planos paralelos a los planos de coordenadas permiti reforzar la conexi n entre la representaci n geom trica y la ecuaci n respectiva PAX utero RIGA RN IZ COSTA LEZEZZA REA LTS RAS 3 SI see sed So gt e pS Figura 2 Planos perpendiculares entre si y sus ecuaciones En la tercera actividad los estudiantes deb an manipular un objeto previamente construido y determinar de qu tipo de figura se trataba como mostramos en la figura 3 Esto deb a hacerse reconociendo la posici n relativa entre las caras as como las dimensiones de estas llegando a concluir que se trataba de un cubo La mayor a de estudiantes logr realizar exitosamente la tarea bas ndose para ello en caracter stic
71. professores e em pesquisa ainda em andamento constatamos que nenhum deles j trabalhou com tecnologia com seus alunos Por outro lado em nossa viv ncia com professores do Ensino M dio 15 a 17 anos percebemos que o trabalho com a geometria espacial acontece de forma bastante prec ria baseada em s lidos como prismas e pir mides s vezes a esfera mas totalmente voltado para a m trica com a disponibilizac o de f rmulas Os poliedros de Plat o ou os poliedros regulares s o apenas definidos para que os alunos memorizem que todo poliedro regular poliedro de Plat o Eventualmente entregam a planifica o de alguma superf cie para que os alunos construam um modelo em cart o Dessa forma temos tentado mostrar o Cabri 3D como ferramenta que auxilia o ensino e a aprendizagem de geometria Em termos de pesquisas temos resultados em Ferraz 2010 que utilizou o programa em uma forma o de professores para entendessem o Princ pio de Cavalieri e obtivessem f rmulas para o c lculo da medida do volume de prismas e pir mides Em suas considera es contata que esses professores conseguiram reconstruir v rios conhecimentos a respeito desses s lidos inclusive justificar suas f rmulas para o c lculo de volumes Em uma segunda pesquisa surgiu o interesse pelos s lidos arquimedianos Almeida 2010 iniciou o estudo desses poliedros e constatou que esse conte do j fez parte do Ensino B sico na disciplina de Desenho e que desa
72. s lo la mitad de la de su padre Y con profunda pena descendi a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro a os al deceso de su hijo Dime cu ntos a os habia vivido Diofanto cuando le lleg la muerte o N 7x 90 Ri 84 Problema 2 Actividad similar a la anterior Algunas de las celdas tienen comentarios que eventualmente ayudan a la soluci n del problema El entorno cambia a modalidad de evaluaci n al usar el bot n Soluci n el cual se encuentra escondido 70 Un registro semi tico importante en la evaluaci n de actividades El caballo y el mulo n A PRET y da FER pe y 2 x 1 x 1 y 1 He aqu un antiguo ejercicio muy sencillo y f cil de traducir al idioma de lgebra x 1 Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos y 1 Lamentaba el jamelgo su enojosa carga a lo que el mulo le dijo De qu te quejas y 1 2 1 1 i i i io si y 1 Si yo te tomara un saco mi came el doble que la tuya En cambio si te doy un J Mulo y 1 Caballo x 1 saco tu carga se igualar a la mia Cu ntos sacos llevaba el caballo y cu ntos el mulo x 1 y 2G 1 Suponga que x representa la carga de sacos del caballo y que y representa la carga de y 1 2G 1 sacos del mulo Plantee y resuelva el problema completando primero la columna x 1 y A i correspondiente al lenguaje matematico y resolviendo el modelo resultante si is y y Mulo y 1 Caballo x
73. sabiendo que es igual a 125 de la superficie total Resultados esperados Al utilizar el Cabri 3D el profesor termina instrumentado con las herramientas y recursos de este ambiente Y los alumnos se instrumentalizan con el concepto de pir mide espec ficamente con el c lculo del rea y volumen En el sentido de Duval 1999 el Cabri 3D permite que la aprehensi n secuencial y operatoria de la figura se logre con facilidad La potencialidad del arrastre que posee el Cabri 3D permite que los alumnos comprueben que las relaciones para calcular el rea total y el volumen de las pir mides se mantienen Adem s la manipulaci n de las figuras en este ambiente permite una mejor visualizaci n de las representaciones de los objetos trabajados Referencias Duval R 1999 Semiosis y pensamiento humano Registros semi ticos y aprendizajes intelectuales Colombia Universidad del Valle Rabardel P 1995 Les hommes et les technologies approche cognitive des instruments contemporains Paris Armand Colin Adv ncula E Chau N Mestanza A Villogas E 2012 Introducci n a la Matem tica Universitaria Lima PUCP Ve 0 0 e e 312 Propuesta did ctica para apoyar el aprendizaje de la par bola usando el software Cabri Janeth Mech n Martinez Pontificia Universidad Cat lica del Per rimechanO gmail com Jose Luis Mor n Valdivia Pontificia Universidad Cat lica del Per jlmoronvOgmail com
74. tal que PG es perpendicular a L 302 Propuesta de actividade sobre c nicas con Cabri IV Problemas 1 Construcciones de c nicas dados algunos elementos de la misma 2 Dada una c nica figura construir los elementos fundamentales v rtices focos ejes etc 3 Verificar que el lugar geom trico de la trayectoria de un punto de un segmento cuyos extremos se desplazan sobre rectas perpendiculares es una elipse 4 Trazar tangentes a una c nica por un punto exterior a la curva 5 Dado un cuadrado de lado 2a Se construye una elipse con centro O con eje mayor el lado del cuadrado y eje menor 2b con b lt a que se desliza tangente a dos lados consecutivos del cuadrado Encontrar el lugar geom trico que describe el centro La ense anza y aprendizaje de las c nicas con apoyo de un programa de geometr a din mica favorece la comprensi n del tema en opini n de los profesores que participaron en el taller El uso de un software como Cabri obliga a profundizar en el tema y motiva a innovar en metodolog as para su ense anza y de otros temas de geometr a Referencias Charri re P M 1996 Apprivoiser la g om trie avec Cabri G ometre Monographie du Centre informatique p dagogique CIP Gen ve Courant R Robbins H 1954 Qu es la Matem tica Ed Alda Buenos Aires Coxeter H S M 1971 Fundamentos de geometr a Editorial Limusa Willey M xico Cupens R 1996 Faire de la
75. tecnol gico Para que pase de ser potencial a ser efectivo el medio debe ser cuidadosamente preparado Todo lo que pase en l debe ser significativo y para ello el recurso Geometr a din mica debe ayudar a la exploraci n la discusi n y la incorporaci n de los conceptos El inter s en esta exposici n es dar a conocer diferentes aplicaciones de la Geometr a din mica para trabajar en las clases desde el nivel secundario hasta la universidad y aportar experiencias muy sencillas a la investigaci n cient fica en Educaci n Matem tica Describir algunas situaciones en la que podemos observar estas experiencias Con respecto a los trabajos que citar En primer lugar har menci n de un trabajo cuyo tema fue c mo obtener a partir de los poliedros regulares dos tipos de cortes Tipo I es decir aquellos que se obtienen de los plat nicos por medio de cortes por los puntos medios de sus aristas y en segundo lugar los de Tipo Il que corresponden a los arquimedianos es decir con cortes hasta obtener caras con pol gonos regulares Para ello se utilizan transformaciones geom tricas en el espacio 17 Conferencias Figura 1 Tetraedro Truncado En segundo lugar seleccion otro trabajo sobre el concepto de inversi n por qu se desarroll este estudio y la manera de encarar la investigaci n sobre la mantenci n de la congruencia de ciertos ngulos que le da la categor a de Geometr a Conforme Ce inmesitnr
76. tricos con respecto a MN y esta es paralela a FG entonces IJ es perpendicular a FG Pero FG es un eje de simetr a de 01 por lo tanto la intersecci n de FG con IJ es el punto medio de la cuerda que define IJ con respecto a 01 y por lo tanto es punto medio de los dos puntos I e T de intersecci n de IJ con o ver Figura 8 As construimos el c rculo que pasa por C F y L que denotamos como y Nuevamente este c rculo corta 01 en dos puntos S y U pero el que nos interesa es S que ser el punto de tangencia del c rculo Czcon 01 ver Figura 9 218 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas Figura 9 Construimos entonces el c rculo Cz a partir de S y verificamos como antes que es tangente tambi n al c rculo o2 ver Figura 10 Figura 10 Hasta aqu hemos resuelto de manera experimental el problema 3 Formalizaci n Ahora debemos demostrar que las construcciones hechas son efectivamente las soluciones al problema Tenemos que demostrar que 1 El lugar de C con respecto a O es un c rculo y el lugar de C con respecto a 0 es un c rculo 2 Estos c rculos pasan por tres puntos conocidos determinados anteriormente 219 Reportes de investigaci n Definici n Dados dos c rculos el eje radical es el lugar de todos los puntos que tienen igual potencia con respecto a los dos c rculos ver Moise Observaci n Dados dos c rculos secantes la rect
77. tuve la oportunidad de experimentar dicho enfoque con 134 alumnos liceales de dos diferentes nacionalidades uruguaya y estadounidense El experimento consisiti en ense ar durante dos semanas un curso de geometr a del espacio donde se us diferentes 81 Conferencias representaciones para los poliedros regulares Dichas representaciones incluyeron entre otras modelos 3D en cartulina figuras Cabri 3D y dibujos Se trabaj con la relaci n de Euler con los ngulos diedros las reas y vol menes de los poliedros adem s de construir poliedros arquidemianos con Cabri 3D y figuras con regla y comp s En la prueba diagn stica inicial se comprob una hip tesis inicial los alumnos de los dos pa ses de edades entre 16 y 18 a os desconoc an en su gran mayor a lo que es un poliedro regular Ante la pregunta de Qu es un octaedro regular al inicio de la experimentaci n los resultados pueden ilustrarse con la Figura 2 Pretest 12 96 4 Figura 2 El 96 de los alumnos no pudieron dar una respuesta aceptable y s lo el 4 pudieron dar una respuesta satisfactoria Luego de la experimentaci n donde construyeron en cartulina el octaedro regular lo construyeron con Cabri 3D lo dibujaron en papel y jugaron con dados poli dricos ante la misma pregunta en la evaluaci n final los resultados fueron los que podemos observar en la Figura 3 82 La infalibilidad de las matem tica como un obst culo p
78. um octaedro e de um cuboctaedro a partir de um cubo e desenvolvimento de f rmulas para o volume Em uma an lise pr via devemos buscar o que um cuboctaedro e como pode ser constru do Esse poliedro um dos treze s lidos arquimedianos mostrados na figura 2 e um dos m todos de constru o por truncaturas Existem dois tipos de truncaturas no primeiro o corte se realiza por planos que passam pelos pontos m dios das arestas do poliedro plat nico de partida que concorrem em um v rtice no segundo o corte se realiza por planos determinados por pontos que est o a uma dist ncia conveniente de cada v rtice do poliedro plat nico de partida truncaturas diretas Esta dist ncia deve permitir que o resultado dos cortes seja um pol gono regular Dos treze s lidos sete deles podem ser obtidos a partir dessas t cnicas Ou seja o cuboctaedro e o icosidodecaedro podem ser obtidos a partir de truncaturas do tipo 1 j o tetraedro truncado o cubo truncado o octaedro truncado o dodecaedro truncado e o icosaedro truncado s o obtidos por truncaturas do tipo 2 2 Neste momento estamos na fase de elabora o de situa es que tratam dos s lidos arquimedianos para trabalhar com professores do Ensino B sico 3 sf Ato ou efeito de truncar Mineralogia Substitui o de uma aresta por uma faceta num cristal Sin troncatura 29 Conferencias 1 Cubo achatado 2 Cuboctaedro 3 Rombicuboctaedro 4 Dodecaedro achatado
79. var an A los problemas generados por la f sica y especialmente al estudio del movimiento se deben a adir las numerosas situaciones que se pueden encontrar en el medio y en las otras ciencias incluidas la propia matem tica 134 Acercamiento al concepto de funcion a trav s de la manipulaci n de La idea de funci n nace a partir del estudio de los fen menos de cambio y la finalidad de llegar a determinar con precisi n como var an ciertas magnitudes que dependen de otras es lo que da origen al estudio de las funciones El estudio de las funciones es un tema que presenta diferentes dificultades en torno a su aprendizaje Hist ricamente es un concepto que evolucion en el tiempo Dentro de las definiciones que registra dicho proceso podemos enunciar a la funci n como una f rmula la funci n como una regla de correspondencia la funci n como un conjunto de parejas ordenadas todas las cuales pueden ser exploradas dentro del ambiente inform tico Cabr G om tre La metodolog a a utilizar en este taller esta fundamentada en el uso del software de geometr a din mica Cabr que permite a trav s de construcciones geom tricas modelar y explorar problemas que conllevan a desarrollar en los alumnos los pensamientos matem ticos El trabajo se inicia con la construcci n a partir de un segmento de un cuadrado y se empieza a explorar la variaci n que sufren el per metro y el rea Se hace una tabulaci n de estos dato
80. zes da equa o do segundo grau que s o as outras ra zes da equa o do terceiro grau Descobrimos que a Quando o coeficiente d varia a curva formada pelas ra zes n o reais da equa o do terceiro grau uma hip rbole ou s o duas retas b Quando o coeficiente c varia a curva formada pelas ra zes n o reais semelhante a uma Conchoide de Nicomedes Conv m explicar que a curva fica realmente muito parecida com a conchoide mas provamos que nossos olhos nos enganavam e se tratava de uma outra curva n o not vel c Quando o coeficiente b varia a curva descrita pelas ra zes n o reais lembra uma cardi ide d Quando o coeficiente a varia a curva descrita pelas ra zes n o reais lembra circunfer ncias ou um 8 n o aparentando ser uma curva not vel Finalmente voltamos nossa aten o para as equa es do 2 grau com coeficientes complexos Tratamos o plano cartesiano utilizado pelo Cabri G om tre como se fosse o plano complexo e nele representamos os pontos correspondentes aos valores dos coeficientes da equa o do 2 grau Nosso desafio era determinar as ra zes da equa o com no ambiente Cabri G om tre Calculamos o valor de utilizando as ferramentas alg bricas 199 Reportes de investigaci n dispon veis Para calcular combinamos a utiliza o das ferramentas alg bricas com as geom tricas principalmente a bissetriz dispon vel no Cabri G om tre Para o restante das opera
81. 0 6x 12x Y la s ptima parte de su existencia transcurri en un matrimonio est ril x 15 Ek 84 Ambiente 4 Problema algebraico 2 Actividad similar a la anterior Algunas de las celdas tienen comentarios que eventualmente ayudan a la soluci n del problema El caballo y el mulo ARR Eu i y 2G 1 341371 He aqui un antiguo ejercicio muy sencillo y f cil de traducir al idioma de lgebra x 1 Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos yet Lamentaba el jamelgo su enojosa carga a lo que el mulo le dijo De qu te quejas y 1 2x 1 Si yo te tomara un saco mi carga seria el doble que la tuya En cambio si te doy un saco tu carga se igualar a la mia Cu ntos sacos llevaba el caballo y cu ntos el mulo Suponga que x representa la carga de sacos del caballo y que y representa la carga de sacos del mulo Plantee y resuelva el problema completando primero la columna correspondiente al lenguaje matem tico y resolviendo el modelo resultante 1 Caballo x 1 y 2 x 1 y 1 2G 1 y Mulo y 1 Caballo x 1 En lenguaje verbal En lenguaje matem tico Si yo te tomara un saco mi carga seria el doble que la tuya Aqu se establece una primera ecuaci n Y site doy un saco tu carga se igualar a la m a Aqu se establece una segunda ecuaci n Ambiente 5 Complementaci n de un texto matem tico Problema
82. 010 y Calix 2007 quienes desarrollaron actividades de ense anza para revisar propiedades y conceptos propios de la geometr a con apoyo el software CABRI como recurso did ctico Objetivos De acuerdo con el planteamiento inicial de nuestra propuesta did ctica que determina el eje tem tico elegido se alamos los siguientes objetivos A Objetivo general Dise ar actividades de ense anza del objeto par bola como lugar geom trico la identificaci n de sus elementos b sicos en 314 Propuesta did ctica para apoyar el aprendizaje de la par bola su aspecto gr fico y anal tico usando como herramienta el software CABRI B Objetivos espec ficos Determinar los conceptos previos de los estudiantes en referencia a la medici n trazado y construcci n de una par bola Dise ar y aplicar una secuencia de actividades de ense anza para abordar el concepto de par bola como lugar geom trico en su aspecto gr fico y anal tico usando el software CABRI Evaluar si el alumno conjetura posibles v as de soluci n para resolver los problemas planteados en base a los resultados obtenidos y luego de la aplicaci n de la secuencia de actividades previas con apoyo del software CABRI Descripci n de las Actividades dise adas En un primer momento el objetivo de esta secuencia de actividades es guiar a los estudiantes en el nuevo conocimiento de la par bola como lugar geom trico y sus elementos m s importantes
83. 2 A 4 o x gt 4 g Fig 9 On pilote la grenouille en Fig 10 On ne peut voir les voyant les obstacles Obstacles 8s Chaque fois que l l ve se trompe il peut recommencer l activit et voir ainsi nouveau le quadrillage et les obstacles pendant un temps limit La limitation apport e par le nuage oblige les l ves soit m moriser rapidement la place des obstacles ce qui est possible dans les premi res pages soit se cr er un quadrillage sur papier avec un codage des cases par exemple A1 A2 B1 et y noter les cases portant un obstacle pendant que le nuage n est pas sur le quadrillage Notons que la progression dans la difficult est due la fois au masquage par le nuage au temps laiss pour voir le quadrillage et la place plus ou moins complexe des obstacles Enfin dans la derni re page le nuage ne dispara t jamais Probl me impossible r soudre s exclament parfois des enseignants d couvrant le cahier Trouver le chemin qui conduit au cabri est tout fait possible comme dans un labyrinthe r el mais une d marche au hasard ne permet pas d y arriver Il faut 46 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit laborer une strat gie syst matique d avancement de la grenouille 2 3 Placer le probl me dans un contexte Placer les activit s dans un contexte familier des l ves ou compr hensible facilement par eux est un moyen de donner sens
84. 5 Icosidodecaedro 7 Dodecaedro truncado 3 Octaedro truncado 6 Tetraedro truncado 11 Rombicosidodecaedro 12 Cuboctaedro truncado 13 Icosidodecaedro truncado Figura 2 Os treze s lidos arquimedianos Assim dependendo da quantidade de v rtices que concorrem em um v rtice podemos obter pol gonos diferentes Por exemplo a truncatura feita a partir de um v rtice de um tetraedro ou de um cubo obtemos um tri ngulo se for um octaedro obteremos um quadril tero e no caso de um icosaedro obteremos um pent gono como mostra a figura 3 Para tais atividades temos que determinar os pontos na aresta e determinar o plano que passa por tr s desses pontos pS Figura 3 Pol gonos obtidos pela opera o de truncatura em um poliedro Outros quatro s lidos arquimedianos cuboctaedro truncado rombicuboctaedro icosidodecaedro truncado e rombicosidodecaedro s o obtidos por uma truncatura a partir de um s lido plat nico para se obter um s lido intermedi rio e a seguir por nova truncatura truncaturas modificadas Os dois faltantes cubo achatado e dodecaedro achatado s o obtidos por uma opera o que de acordo com Veloso 1998 consiste em 30 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D afastar todas as faces de um poliedro plat nico gir las 45 e preencher os espacos vazios resultantes com tri ngulos A situa o A1 Construir utilizando o Cabri 3D um cubo A2 A partir desse cubo con
85. 5 Validaci n en lgebra en un entorno de Geometr a Anal tica 19 Conferencias Sobre ella mostrar diferentes registros de la investigaci n y algunas conclusiones a las que hemos llegado por el momento Estas observaciones me animaron para proponer una experiencia con c nicas y cu dricas en la materia lgebra y Geometr a Anal tica de la carrera de ingenier a electr nica en otra universidad donde trabajo la Universidad Nacional de Moreno Caracterizar la situaci n y comentar mis observaciones Figura 6 Paraboloide eliptico Lo expuesto me llev a querer compartir estas experiencias con mis colegas para reflexionar sobre la imaginaci n como factor indispensable en la creaci n de estrategias Acrecentemos la imaginaci n jugando con la belleza de la Matematica sinti ndonos cautivados y desafiados por ella buscando los caminos para que nuestros alumnos desde sus inicios la disfruten del mismo modo que lo hacemos nosotros Referencias Alderete M J Peralta M E 2005 Hacia la Investigaci n Cient fica Introducci n a los Fractales Libro digital Maestr a de la Ense anza de la Matem tica Universidad Nacional de Cuyo Argentina Artigue M 2002 Ingenier a Did ctica Cu l es su papel en la investigaci n did ctica de hoy Les dossiers des Sciences de l Education Didactiques des disciplines scientifiques et tecnologiques concepts et m thodes Revue Internationale des Sciences de l Ed
86. 91 para promover a articula o entre a an lise epistemol gica e a an lise did tica al m de apontar caracter sticas outras que determinam a sobreviv ncia do objeto matem tico S lidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino A escolha metodol gica pela pesquisa bibliogr fica contribuiu para o alcance do objetivo desejado visto que nos permitiu encontrar o truncamento procedimento matem tico realizado por renascentistas para a obtenc o de s lidos arquimedianos a partir de cortes nas arestas de s lidos plat nicos A partir das an lises das construc es pudemos constatar que o Cabri 3D se confirma como um habitat para o estudo dos S lidos Arquimedianos na medida em que reconhece como objeto todos os saberes que determinam a exist ncia desse objeto matem tico enquanto objeto de ensino Palavras chave S lidos Arquimedianos Cabri 3D Transposi o Did tica Truncamento O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Considerac es Iniciais Os S lidos Arquimedianos n o est o presentes na matem tica ensinada na Escola B sica brasileira embora apare am em materiais did ticos paradid ticos e de apoio ao professor por meio de exemplos e exerc cios em geral relacionados Rela o de Euler e convexidade mas sem qualquer defini o ou mesmo nomea o correspondente O icosaedro truncado o s lido arquimediano que mais aparece provavelmente por ser associado bola de futebol
87. 98 Tendencias actuales de investigaci n en Geometr a y visualizaci n En Ponencia en TIEM Recuperado el 30 de mayo de 2012 de http www uv es Angel Gutierrez archivos1 textospdf G ut98b pdf Gutierrez A amp Jaime A 1991 El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometr a Un ejemplo Los Giros Revista Educaci n Matem tica 3 2 pp 49 65 Laborde C 1996 Cabri G ometre o una nueva relaci n con la geometr a En Puig L amp Calder n J Investigaci n y did ctica de las matem ticas Ministerio de Educaci n y Ciencia CIDE Madrid Vo o ot Sd 164 Uso de la pizarra digital interactiva en la ense anza de la geometr a din mica Marisel Roc o Beteta Salas Colegio Internacional Hiram Bingham de Lima Per mariselbetetasalasOgmail com Resumen El taller esta dirigido a los docentes de matem tica de ense anza secundaria y superior Se presentar el uso de la pizarra digital interactiva como instrumento tecnol gico que ofrece a la matem tica potenciar habilidades de visualizaci n descripci n an lisis reflexi n evaluaci n y resoluci n de problemas favoreciendo su aprendizaje Actualmente se vienen desarrollando softwares que faciliten la ense anza y aprendizaje de la geometr a deseando recuperar la relevancia de esta rea de la matem tica que promueve el uso de las dem s reas de la matem tica La Sociedad Espa ola de In
88. A seguir fizemos o mesmo estudo para equac es do terceiro grau com coeficientes reais e finalmente para equa es do segundo grau com coeficientes complexos Palavras chave Func es polinomiais n meros complexos c nicas Eixo tem tico Matem tica avancada com Cabri Artigo Existe um modo geom trico de se determinar as ra zes reais de uma func o real de 2 grau basta determinar a interse o de seu gr fico com o eixo x Por m o que fazer caso essa fun o possua apenas ra zes complexas Nesse caso tamb m existe um m todo geom trico para se determinar essas ra zes devemos refletir o gr fico da fun o na Reportes de investigaci n reta paralela ao eixo x que passa pelo seu v rtice Se tra amos a circunfer ncia com centro que passa pelas ra zes do reflexo do gr fico as ra zes complexas de ser o a interse o desta circunfer ncia com eixo de simetria do gr fico de Esse m todo nos permite utilizar o Cabri G om tre para mostrar como as ra zes de se comportam quando os coeficientes a b e c variam Descobrimos que a Quando o coeficiente a varia a curva formada pelas ra zes n o JA reais uma circunfer ncia de centro e raio Esses valores obrigam que a circunfer ncia tangencie o eixo das ordenadas b Quando o coeficiente b varia a curva formada pelas ra zes n o reais uma circunfer ncia com centro na origem e raio Observe que implicitamente estamos consider
89. Acosta Carolina Mej a Carlos W Rodr guez Universidad Industrial de Santander Colombia cwrodriguez matematicas uis edu co Resumen En la Escuela de Matem ticas de la Universidad Industrial de Santander Bucaramanga Colombia hemos estado intentando aplicar las ideas de la matem tica experimental utilizando como herramienta fundamental Cabri Geometry en sus versiones 2D y 3D para la soluci n de problemas geom tricos de construcci n Utilizamos Cabri para realizar procesos de experimentaci n en los que producimos dibujos aproximados formulamos conjeturas y las verificamos para llegar a procedimientos de construcci n exactos Una vez encontrada una construcci n exacta repetimos el proceso de experimentaci n para buscar argumentos te ricos que nos permitan demostrar los resultados obtenidos Las posibilidades de arrastre de Cabri su precisi n en las medidas y las herramientas de traza y lugar geom trico son instrumentos valiosos e incluso indispensables en algunas ocasiones para realizar dicho trabajo de experimentaci n Queremos presentar en este congreso algunos ejemplos de los problemas trabajados que nos permiten concluir que el trabajo experimental en geometr a y en particular el uso de Cabri para la experimentaci n contribuye a desarrollar una intuici n espacial necesaria para la formulaci n de conjeturas y su verificaci n pero tambi n contribuye a una mejor comprensi n de la teor a geom trica en la b squ
90. CONCURSO DE 229 Reportes de investigaci n ESTRUCTURAS EIA donde ocup el primer puesto en su categor a demostrando su funcionalidad constructiva y su buen comportamiento mec nico ante su falla en laboratorio En el marco de la V Feria de la creatividad el proyecto fue el ganador del evento como Mejor Proyecto Creativo y en el nodo de semilleros REDCOLSI nodo Antioquia en 2012 obtuvo un puntaje de 98 67 en su calificaci n siendo esta la m s alta Conclusiones 1 El estudio de la geometr a de un elemento estructural fundamentado en herramientas din micas optimiza la capacidad de su an lisis y del planteamiento de posibles hip tesis estructurales 2 Un par metro fundamental de cualquier estructura es su forma y optimiza su funcionalidad sin tener que ver con el tipo de material utilizado 3 Se puede comprobar experimentalmente que conceptos de Geometria Euclidiana aplicados al tema definen comportamientos f sicos de una estructura 4 Se defini el dise o de un puente en arco con bondades din micas en su modelo se postulan tres construcciones geom tricas cuyas caracter sticas de forma contienen aplicados conceptos estructurales ya demostrados por la f sica Un par metro fundamental de cualquier estructura es su forma y optimiza su funcionalidad sin tener que ver con el tipo de material utilizado Referencias lvarez C Emiliano 2003 Elementos de geometr a Editorial Universidad de M
91. Cabri en todos los niveles educativos Plantear temas de investigaci n centrados en c mo incorporar las tecnolog as digitales para desarrollar habilidades matem ticas Compartir experiencias y lecciones aprendidas en los procesos de incorporaci n de tecnolog as en el proceso de ense anza aprendizaje en todos los niveles educativos Mostrar el estado de inserci n del uso de Cabri en la Web 2 0 en libros electr nicos en pizarras digitales entornos virtuales de aprendizaje etc Formar redes de especialistas en la construcci n de ambientes tecnol gicos que sean compartidos y utilizados por todos los miembros de la red Contribuir con la mejora de la calidad de la ense anza de la geometr a en Iberoam rica Este libro contiene los res menes de las propuestas aceptadas para el congreso 10 conferencias 18 talleres 8 reportes 1 socializaci n de experiencias en reas afines 11 propuestas de innovaci n did ctica o comunicaci n de experiencias Francisco Ugarte Presidente del Congreso Responsables del Congreso Convocan Departamento de Ciencias de la Pontificia Universidad Cat lica del Per PUCP Cabrilog Organizan Instituto de Investigaci n para la Ense anza de las Matem ticas IREM Per Maestr a en Ense anza de las Matem ticas Escuela de Posgrado de la PUCP Colaboran Facultad de Educaci n de la Pontificia Universidad Cat lica del Per Centro de Investigaciones y Ser
92. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SECCION MATEMATICAS VI Congreso Iberoamericano de Cabri 6 7 y 8 de agosto de 2012 IBEROCABRI 2012 ACTAS Conferencias Talleres Reportes de Investigaci n Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Didactica Socializaci n de Trabajos en reas Afines a la Matem tica Departamento de Ciencias le ET4 Secci n Matem ticas IREM PUCP Maestr a en Ense anza de las Matem ticas SANOS a Editores Francisco Ugarte Guerra fugarte pucp edu pe Hayd e Zenaida Azabache Caracciolo hazabac pucp edu pe VI Congreso Iberoamericano de Cabri Actas 2012 IBEROCABRI 2012 Primera edici n noviembre 2012 Tiraje 100 Editores Francisco Ugarte Guerra Hayd e Zenaida Azabache Caracciolo Dise o de car tula Direcci n de Comunicaci n Institucional de la PUCP DCI PUCP Diagramaci n de interiores Carlos Enrique Iman Ancajima O Editado y publicado por la Pontificia Universidad Cat lica del Per Departamento de Ciencias 2012 Avenida Universitaria 1801 Lima 32 626 2000 anexo 4151 E mail iberocabri2012 pucp edu pe irem pucp edu pe Direcci n URL http www congreso pucp edu pe iberocabri http www pucp edu pe irem index html Derechos reservados prohibida la reproducci n de este libro por cualquier medio total o parcialmente sin permiso expreso de los editores ISBN 978 612 45391 9 0 Hecho el Dep sito Legal en la Biblioteca Nacional del Per 2012 15109
93. Figura 2 ngulos en la inversi n En tercer lugar comentar sobre la Geometr a Fractal con el rbol de Pit goras las estrategias de un alumno profesor para obtener su movilidad y la vinculaci n del tema como inspiraci n para el arte 99 04 e BR ty 2 Purto Desnsatse Figura 3 rbol de Pit goras 18 Imaginacion geometr a din mica y Cabri En cuarto lugar abordar la vinculaci n de la Geometr a con la Astronom a la modelizaci n de ciertos fen menos en Cabri 3D para facilitar el estudio de de la Astronom a de posici n tema encarado por el Profesor Pablo Viveros para obtener su t tulo de Licenciado en Ense anza de la Matem tica Figura 4 Geometr a y Astronomia Finalmente a nivel universitario citar dos experiencias en una de las materias que m s preocupa a los profesores por el grado de abstracci n que requiere de parte de los estudiantes En nuestro pa s lgebra y Geometr a Anal tica se dictan como una sola asignatura lo que lleva por razones de tiempo a desestimar la visualizaci n de los conceptos que ofrece la Geometr a La primera constituye una investigaci n que comenz en el 2009 y culmina este a o El tema que se abord fue La Validaci n Matem tica en Transformaciones Lineales basada en un ambiente de Geometr a Din mica Se realiz en un primer a o de las carreras de ingenier a mec nica de la UTN Facultad Regional General Pacheco Figura
94. Grenoble Ve 0 0 58 Cabri C lculo y F sica Ruben Sabbadini Liceo Farnesina Roma Italia rusabba tin it Resumen Cabri non solo geometria ma anche analisi matematica calcolo delle probabilit fisica Io ho scritto un libro FisiCabri Principato Milano Italia con circa 150 applicazioni Cabri io chiamo cos le mie figure dinamiche che simulano altrettanti fenomeni fisici E uno strumento portentoso per la didattica si possono mostrare cose che una figura statica su una pagina di libro non potrebbero far vedere Ad esempio un onda dipende da due parametri spazio e tempo e in una figura statica o si mostra la dipendenza dallo spazio o quela dal tempo In una applicazione Cabri invece si vede contemporaneamente la dipendenza dallo spazio quella dal tempo l onda e la particella di materia che si muove di moto periodico Si pu facilmente disegnare una funzione in Cabri con lo strumento Trasporto di misura lo insegner nel taller Si pu facilmente calcolare la derivata e l integrale della funzione e se ne possono tracciare i grafici Si possono dimostrare graficamente e in maniera didatticamente efficace i teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilit il teorema di De Moivre Laplace e la Legge dei grandi numeri Palabras clave Cabri Fisica Analisi Matematica Cabri es un instrumento sensacional para aprender la fisica Se pueden realizar cosas como estas Conferencia
95. Mar a F 223 Mej a Carolina 212 Miranda Alves Laurito 197 Mithalal Joris 57 Moreno Armella Luis 77 157 Moreno Montoy Luis F 225 Mor n Valdivia Jos Luis 313 Mosquera Urrutia Martha 231 Nobre Barros Luc a 261 Pinto Leivas Jos Carlos 108 291 Ponce Hern ndez Fernando 257 Puerto Monterroza Jos Francisco 123 132 Sabbadini Ruben 59 144 Sarmento Campos Wilbert 197 Ugarte Guerra Francisco 90 Uicab Ballote Genny 245 Uzuriaga L pez Vivian 231 Vargas Villar Lilian del C 115 Vieira Alves Francisco 261 Vigo Ingar Katia 261 Villalobos Villar Mar a F 115 W Rodr guez Carlos 212 Zunino Beatriz 189 Edici n y diagramaci n e impresi n EDITORIAL HOZLO S R L Psje Santa Rosa 191 501 Lima Per Telefax 428 4071 99999 2148 e mail guzlopster gmail com Noviembre 2012 PUCP ACULTAD DE EDUCACION JELA POSGRADO NS E INVESTIGACION SOBRE LA ENSENANZA DE LAS MATEM TICAS INVESTIGACIONES t 978 81 ISBN Y SERVICIOS EDUCATIVOS VICERRECTORADO DE NV INVESTIGACI N 917861240539 1508 top RIM E z En SMART Board QG
96. Mathematics Education Balacheff N 1995 Conception connaissance et concept Denise Grenier Ed Seminaire Didactique et Technologies cognitives et Mathematiques pp 219 244 Grenoble Brousseau G 1998 La Th orie des Situations Didactiques In N Balacheff M Cooper R Sutherland amp V Warfield Eds Grenoble France La Pens eSauvageBrousseau G 2003 Bruner J 1977 The Process of Education Cambridge Massachusetts Harvard University Press Camou B 2006 Diario de un Profesor de Matematica Montevideo Uruguay Ediciones Brio Chaachoua H 1997 Fonctions du dessin dans l enseignement de la g om triedans l espace Etude d un cas la vie des probl mes de construction et rapportsdes enseignants ces probl mes Th se de doctorat Universit J Fourier Grenoble Grenier D et Tanguay D 2008 L angle di dre notion incontournable dans les constructions pratiques et th oriques des poly dres r guliers Petitx 78 26 52 Lakatos 1 1976 Proofs and Refutations The logic of Mathematical Discovery London Cambridge University Press 187 Talleres Parzysz B 1991 Representation of space and students conceptions at high school level Educational Studies in Mathematics 22 575 593 University of Cambridge 2002 Why do we study geometry Answers through the ages Retrieved from http www dpmms cam ac uk piers F I G pening ppr pdf Vergnaud G 1990 La th orie d
97. Se desarrollaron actividades que permitieron el descubrimiento conceptualizaci n visualizaci n y deducci n de las propiedades geom tricas de la par bola Cabe mencionar que el profesor cumple el rol de orientador permanente ante los posibles cuestionamientos de los alumnos y la reflexi n acerca de las posibles dificultades que se le presenten Actividad 1 Despu s de una breve explicaci n de los principales comandos del programa CABRI esperamos que en corto tiempo el alumno utilice el programa convenientemente La intenci n de esta actividad es que los estudiantes visualicen la construcci n de la par bola como lugar geom trico usando los objetos geom tricos pertinentes Actividad 2 En esta actividad los alumnos reconocer n los principales elementos de la par bola foco recta directriz eje focal v rtice 315 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica lado recto y descubrir las relaciones entre los elementos representados gr ficamente Actividad 3 Los estudiantes confirman que el lugar geom trico de la par bola cumple la propiedad de simetr a respecto del eje focal Asimismo puede ubicar los puntos R y S puntos sim tricos a los puntos R y S respectivamente que tambi n se encuentran sobre la par bola Actividad 4 Se repasan conceptos como distancia de un punto a una recta y distancia entre dos puntos previo a definir la par bola como lugar geom trico que equi
98. _ A 0 0 Tax ry t mere LD 72 Un registro semi tico importante en la evaluaci n de actividades tas rectas y 1 x a Campo plano en 4 regiones por ____ de TER ambas rectas al concatenar vectores observamos curvas c ncavas hacia arriba y debajo de ambas rectas forman curvas hacia abajo la la izquierda de ambas ta concavidad se orienta hacia la ya la derecha de ambas rectas _ concavidad se orienta hacia la derecha alejarnos del punto de intersecci n de rectas los vectores din micos concatenados se m s a estas rectas izquierda debajo Y Xx y x 1 rectas CONvexas las por alejan y 2x de acercan Ecuaci n din micos concaves Diferencial a 2 a E ES T ED dx 2 dx gt dx 1 y Las actividades de planteamiento de problemas algebraicos En el curso de lgebra Superior las actividades exploradas permitieron observar deficiencias en la estructuraci n de textos matem ticos por parte de los estudiantes Sin embargo hay que se alar que hubo mucho xito para la reconstrucci n total de los problemas 1 y 2 mientras que el problema 3 al ser m s extenso y mezclar texto con expresiones algebraicas su comprensi n y reconstrucci n fue m s dif cil Las actividades del curso de Ecuaciones Diferenciales Al resolver las actividades dise adas se observ que los estudiantes dialogaban m s sobre la reconstrucci n del texto que acerca de la
99. a Latinoamericana de Estudios Educativos Vol XXXVII N m 3 4 2008 pp 95 126 Centro de Estudios Educativos A C M xico Duval R 1993 Registres de repr sentation s miotique et fonctionnement cognitif de la pens e Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 5 37 65 Moreno J Rodr guez R Laborde C 2004 Ecuaciones Diferenciales en Cabri II Plus Equipo de trabajo Inform tica y Aprendizaje de las Matem ticas IAM MAGT Grenoble Francia Moreno J 2006 Articulation des registres graphique et symbolique pour l tude des quations diff rentielles avec Cabri G om tre Analyse des difficult s des tudiants et du r le du logiciel Th se de doctorat Universit Joseph Fourier Grenoble France Perelman Y 1978 lgebra recreativa Editorial Mir Mosc Pluvinage F 1988 Complementaci n de textos matem ticos Cuadernos de Investigaci n Secci n de Matematica Educativa Centro de Investigaci n y de Estudios Avanzados del IPN Ve 0 0 e e 76 La demostraci n y sus contextos Luis Moreno Armella Cinvestav IPN M xico ImorenoarmellaO gmail com Resumen La presencia de la tecnolog a digital no ha resultado enteramente compatible con los usos y costumbres de los sistemas educativos pues estos son producto de la cultura est tica del papel Consecuentemente la tecnolog a digital no ha encontrado una atm sfera de bienvenida incondicional no olvidemos que las or
100. a de los estudiantes que se inician en un curso de geometr a anal tica en el marco de construcciones Reportes de investigaci n geom tricas de las c nicas como lugares geom tricos desde lo puntual y lo global Para dar respuesta a esta cuesti n se propusieron los siguientes objetivos 1 Dise ar desde los referentes de la TSD Brousseau 2007 y de la micro ingenier a did ctica una secuencia de situaciones did cticas para el estudio de las c nicas como lugares geom tricos en el Cabri G om tre II Plus 2 Analizar la actividad matem tica de los estudiantes de un curso universitario de geometr a anal tica cuando se aborda la construcci n geom trica de las c nicas en el enfoque puntual y global mediado por el Cabri G ometre II Plus Esta investigaci n se realiz en el contexto de las actividades de un curso de geometr a anal tica con 25 estudiantes del programa de la Licenciatura en Matem ticas en una Universidad del suroccidente Colombiano La informaci n recolectada y su an lisis evidenci que las situaciones did cticas planteadas desde las construcciones geom tricas puntuales permitieron emerger construcciones geom tricas globales en el Cabri G ometre II Plus y que a su vez este ambiente permiti retroalimentaciones que permitieron a los estudiantes caracterizar algunas de las propiedades geom tricas de las c nicas El dise o de las situaciones restituye el sentido geom trico de las C nicas sin desl
101. a misma que favorece la elaboraci n de conjeturas sobre sus propiedades Enfoque te rico Para el desarrollo de esta propuesta nos basamos en el Enfoque Instrumental de Rabardel 1995 y en la teor a de Registros de Representaci n Semi tica de Duval 1995 pues deseamos observar el papel de las representaciones din micas cuando se trabaja con los conceptos relacionados con el rea y el volumen de las pir mides usando construcciones previamente elaboradas que permitan formular conjeturas sobre este objeto matem tico Para Rabardel 1995 la transformaci n de artefacto a instrumento llamado proceso de g nesis instrumental es espec fica para cada sujeto Este enfoque describe las relaciones que existen entre el sujeto el artefacto material o simb lico y los esquemas mentales del sujeto Para el autor la instrumentaci n es la adaptaci n del sujeto a las dificultades que constituyen el artefacto y sus funciones constitutivas relativas a la aparici n y evoluci n de los esquemas de utilizaci n Este aspecto del enfoque es el que queremos resaltar y observar con las actividades que presentamos Por su parte Duval 1995 afirma que en geometr a el registro figural puede mostrar de manera m s r pida y clara la soluci n de una situaci n problema Este registro posee cuatro aprehensiones perceptiva discursiva secuencial solicitada en la construcci n de una figura geom trica con la ayuda de un instrumento y operat
102. a permanente no ocurre nada b Celda en luz verde para un objeto Objetos iniciales punto m vil y v rtices de un rect ngulo pol gono Objetos finales Rect ngulo con borde en verde o lleno en color verde Din mica de la construcci n al introducir el punto m vil dentro del rect ngulo permanente se superpone un rect ngulo de las mismas dimensiones con borde de 149 Talleres color verde si el punto m vil se encuentra fuera del rect ngulo permanente no ocurre nada c Segmento condicional Objetos iniciales punto condicional y dos puntos permanentes y diferentes Objetos finales segmento entre los dos puntos permanentes al que se le vincula un objeto gr fica ecuaci n pal bra p rrafo tabla num rica Din mica de la construcci n al introducir el punto m vil dentro de la circunferencia permanente aparece sobre el segmento que une los dos puntos permanentes y el objeto vinculado a l si el punto m vil se encuentra fuera de la circunferencia permanente no ocurre nada ii Bot n de ocultar mostrar El bot n de ocultar mostrar puede usarse para cambiar la modalidad de la construcci n de modalidad de ejercitaci n a modalidad de evaluaci n la cual puede realizar la interfase bajo el dise o did ctico del profesor b Herramientas inform ticas de apoyo Editor de expresiones matem ticas de Word Geometr a Interactiva a Cabri ll plus b Cabri 3D Captura de im genes y texto Paintbru
103. a que contiene la cuerda com n a los dos c rculos es el eje radical Lema 1 Dados tres c rculos no todos tangentes en un mismo punto los tres ejes radicales son concurrentes Demostraci n Sean a 02 y a s los tres c rculos dados Llamemos r el eje radical de a1y az y rz el eje radical de az y a3 Como oi az y 3 no son tangentes en un mismo punto entonces r y rz son diferentes y se cortan en un punto R Note que R tiene igual potencia con respecto a a y a az y tambi n con respecto a az y a qz por lo tanto R pertenece al eje radical r3de q y a3 Los tres ejes concurren en R ver Figura 11 Figura 11 Lema 2 Dado un haz de c rculos tangentes en un punto y un c rculo a que no est en el haz las rectas que contienen las cuerdas comunes de a y cualquier c rculo del haz pasan por un punto fijo Demostraci n Observe que la recta tangente com n a todos los c rculos del haz es el eje radical de todos estos c rculos Sean s y s2 dos c rculos tangentes que pertenecen al haz y a el c rculo exterior al haz Por el Lema 1 sus ejes radicales se cortan en un punto R Si reemplazamos sz por cualquier otro c rculo sz de la familia el eje radical de s3 y a tambi n debe pasar por R puesto 220 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas que R es la intersecci n del eje radical de s y sz y el eje radical de si y a ver Figura 12 Figura 12 Lema 3 Dado P u
104. ablas de datos expresiones ecuaciones o descripciones verbales para representar una relaci n simple descubren que representaciones diferentes dan lugar a diferentes interpretaciones de una situaci n Esta propuesta se fundamenta en lo descritos anteriormente y se plantean actividades de generalizaci n de patrones num ricos geom tricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los n meros y las figuras se involucra la visualizaci n exploraci n y manipulaci n de los n meros y las figuras en los cuales se basa el proceso de generalizaci n como lo propone Mason 1992 Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcci n de la expresi n algebraica a trav s de la formulaci n verbal de una regla recursiva que muestre c mo construir los t rminos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patr n que los gu e m s o menos directamente a la expresi n algebraica De esta manera el pensamiento algebraico surge como generalizaci n del trabajo aritm tico con modelos num ricos en situaciones de variaci n La metodolog a a utilizar en este taller esta fundamentada en el uso del software de geometr a din mica Cabr y la inmersi n en el fascinante mundo de los fractales que permite a trav s de construcciones geom tricas modelar y explorar problemas que conllevan a desarrollar en los alumnos los pensamientos matem ticos Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje sig
105. aci n de equivalencia es decir cumplen las tres propiedades siguientes e Reflexiva e Sim trica si e Transitiva si Tambi n pueden ser paralelos los segmentos rayos o rayos con rec Segmentos y una recta Ejemplo A B O P Li oo 4 C D O Q O R Ml ABEICD LB A continuaci n en cada ejercicio en el espacio en blanco escribe la palabra s o s mbolo s que faltan para completar el enunciado Cuando las rectas coinciden las rectas son Paralelas Si Ly y L2 son dos rectas que se intersecan No en un solo punto Garantiza el paralelismo de ambas rectas Responde si o no Dos rectas en el plano son paralelas si s lo coinciden Vac a S o su intersecci n es Escriba la notaci n del paralelismo de las rectas Ly y L Una recta sobre el pizarr n y una recta en se cruzan 0 se el piso intersecan 273 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Contenido Rectas paralelas cortadas por una transversal Antes de empezar este tema estudiaremos las terminolog as nuevas en este caso transversal Transversal Es una recta que interseca a dos o m s rectas en puntos diferentes la palabra transversal se usar si cuando todas las rectas est n en el mismo plano En la siguiente figura t es una recta transversa de las rectas m y n que las rectas forma ocho ngulos distribuidos de la siguiente manera a Los gulos 1 2 3 7 8 son
106. actividades en Cabri Il plus relacionadas con la definici n de l mites de funciones de una manera intuitiva en primer lugar y luego la definici n utilizando el psilon y el delta En la segunda sesi n primero se construir gr ficamente la definici n de derivada de la funci n en un punto y su interpretaci n geom trica como la pendiente de la recta tangente en ese punto y a continuaci n se construir n algunos ejemplos de aplicaci n de la derivada a situaciones de optimizaci n Los participantes deber n tener conocimientos elementales de C lculo Diferencial La propuesta did ctica se basa en investigaciones en el campo de la filosof a de la matem tica y su relaci n con la Educaci n Matem tica que establecen una distinci n entre pruebas matem ticas que prueban y pruebas matem ticas que explican Visualizando los l mites de funciones y las derivadas con geometr a Hanna 1989 as como en la visualizaci n exploraci n y heur stica que fomentan la comprensi n de las nociones matem ticas Hanna 2000 Palabras clave L mite de funciones derivadas visualizaci n pruebas explicativas heterog neas Eje tem tico Matem tica avanzada con Cabri Introducci n En el desarrollo de la pr ctica matem tica en las tres ltimas d cadas se ha establecido nuevos tipos de prueba y argumentaci n cambi ndose las normas establecidas en el rea Hanna Jahnke y Pulte 2006 Los cambios se han producid
107. ades que propiciaran la adquisici n progresiva de estos niveles A continuaci n se describen dichas tareas Para garantizar la adquisici n del nivel GO donde deb a darse un reconocimiento inmediato del objeto en tres dimensiones se propusieron las siguientes actividades Identificar si algunos puntos dados estaban o no sobre un plano identificar a partir de un gr fico s lidos como cubos Tambi n se plantearon preguntas para que con argumentos basados solo en el gr fico reconocieran la forma que ten an curvas que resultaban de cortar la esfera con planos que pasaban por el centro de esta Para el nivel G1 que se caracteriza por ser aquel en el que los objetos todav a son considerados a trav s de sus representaciones bidimensionales se plantearon preguntas que implicaban reconocer vectores perpendiculares planos paralelos planos perpendiculares planos que contienen caras de un cubo entre otras en todas ellas los argumentos dar los estudiantes para ser considerados en este nivel deb an estar apoyados en lo que se pod a observar Para propiciar la evoluci n al nivel G2 donde se deb a evidenciar un reconocimiento de propiedades o caracter sticas de los objetos tridimensionales se plantearon preguntas referidas a 280 Introducci n a la geometria analitica espacial con Cabri 3D encontrar condiciones que satisfacian puntos que se encontraban sobre planos paralelos a los planos de coordenadas Entra las preguntas
108. al R 1993 Registres de repr sentation s miotique et fonctionnement cognitif de la pens e Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 5 37 65 Faddiev D Sominski I 1971 Problemas de lgebra Superior Editorial Mir Mosc Gamow G 1949 Uno dos tres infinito Editorial Espasa Calpe Gardner M 1980 Circo matem tico Alianza editorial No 937 Miternique M 1998 Exercices de musculation en math matiques Editions Ellipses Perelman Y 1968 lgebra recreativa Editorial Mir Mosc Perelman Y 1968 F sica recreativa Libros 1 2 Editorial Mir Mosc Ve e 0 e e 156 Geometr a y argumentaci n din micas Luis Moreno Armella Cinvestav IPN M xico ImorenoarmellaO gmail com Resumen La Geometr a Din mica a ade a la geometr a hecha sobre papel una nueva dimensi n el movimiento En este taller desarrollaremos actividades de modelaci n geom trica que el profesor puede poner en marcha en el sal n de clases con miras a disminuir la fragmentaci n del conocimiento matem tico escolar En gran medida esta situaci n surge de una introducci n inadecuada de los sistemas de representaci n tradicionales Emergen dificultades artificiales para los estudiantes que ellos no pueden solventar Un problema de geometr a por ejemplo se aborda exclusivamente desde la representaci n anal tica eludiendo un enfoque sint tico que podr a arrojar luz sobre el pr
109. al e rotacional favorecendo a amplia o de tarefas com o objetivo de familiarizar o estudante na interpreta o e apreens o das no es em jogo envolvidas na tarefa Dessa forma verificamos que uso de um software para essa tarefa poder auxiliar o estudante a melhor identificar as simetrias e como estas podem ser consideradas como conhecimento pr vio para o estudo do plano coordenado quando levamos em conta as atividades que podem ser trabalhadas com a familiariza o do sistema de representa o de pontos Considera es finais Na tentativa de melhor compreender as propostas institucionais escolhidas associadas s rela es institucionais esperadas e existentes para o ensino e aprendizagem das transforma es no plano em particular as simetrias axial e rota o buscamos favorecer a percep o de regularidades matem ticas e o desenvolvimento de estrat gias de resolu o de situa es problema estimulando a descoberta de por meio da otimiza o das tarefas sugeridas nos materiais did ticos selecionados usando o software Cabri como pano de fundo Assim verificamos que os cadernos podem atender as condi es de um determinado grupo de estudantes por meio das tarefas que lhes s o apresentadas possibilitando o desenvolvimento de uma sequ ncia progressiva de estudos que objetiva a aquisi o de conceitos b sicos para melhor compreender o processo de percep o visual de simetrias e movimentos no plano Compr
110. alizaci n y provocar el uso de la geometr a axiom tica Joris Mithalal IUFM de Paris Laboratorio de Did ctica Andr Revuz Francia joris mithalalO paris iufm fr Resumen En este taller se trabajar sobre la base de situaciones evocadas en la conferencia Utilizar ese tipo de software permite cambiar el uso de los dibujos por los alumnos la visualizaci n en el espacio es mucho mejor que una visualizaci n con perspectiva paralela puesto que al contrario de la geometr a plana no se pueden leer los resultados en los dibujos Es por eso que la geometr a axiom tica permite resolver problemas que los alumnos comprenden al leer los dibujos inform ticos Se estudiar en este taller c mo y por qu se pueden concebir con Cabri 3D situaciones muy simples que provocan el uso de geometr a axiom tica Para eso ser preciso estudiar primero las caracter sticas principales del software con respecto al tipo de representaciones empleadas y tambi n dalas primitivas de construcci n Tendremos tambi n que describir precisamente la actividad geom trica de los alumnos en este contexto con la visualizaci n Duval 2005 y la g nesis instrumental Rabardel 1995 Luego analizaremos dos situaciones que ilustran nuestros resultados para comprender por qu es necesario utilizar geometr a axiom tica Para el an lisis de las situaciones y de la actividad de algunos alumnos identificaremos las caracter sticas m s impo
111. ando que a e c possuem o mesmo sinal pois se isso n o ocorrer as ra zes s o reais c Quando o coeficiente c varia as ra zes n o reais formam uma reta paralela ao eixo das ordenadas cortando o eixo das abscissas no ponto Explicado o comportamento das ra zes n o reais da equa o do 2 grau com coeficientes reais partimos para voos mais altos e nos perguntamos como se comportam as ra zes do polin mio com coeficientes reais de terceiro grau Para que o Cabri G om tre nos mostrasse as ra zes desse polin mio do terceiro grau nos inspiramos no m todo inicialmente desenvolvido por Omar Kayyan Dada a equa o fazemos As solu es da equa o do terceiro grau s o as solu es do sistema 198 Comportamiento das ra ces de fun es polinomiais com a varia o Como a curva descrita pela primeira equac o uma par bola e pela segunda uma hip rbole utilizamos a ferramenta C nicas do Cabri G om tre para representar essas curvas e descobrir o ponto de interse o entre elas A abscissa desse ponto de interse o uma das ra zes reais da equa o Como se trata de uma equa o do terceiro grau com coeficientes reais sempre existe ao menos um ponto de interse o entre as duas c nicas De posse dessa raiz usamos o algoritmo de Briott Ruffini para abaixar o grau da equa o A partir da utilizamos mais uma vez o m todo descrito no in cio desse artigo para determinar as ra
112. anecen al hacerlo es decir no se potencia el pensamiento variacional Para abordar el estudio de las variables inicialmente se trabajaron problemas y construcciones sobre el papel construcciones con regla y comp s y se realizaron plenarias en las cuales el papel del docente consisti en hacer evidentes las situaciones y enfrentar a los alumnos futuros docentes a ellas buscando que propusieran alternativas de soluci n ajustadas a las competencias de sus aprendientes En esta situaci n por ejemplo se les pidi a los estudiantes que formularan una pregunta o problema en cuya resoluci n se hiciera necesario el uso comprensivo del teorema de Pit goras Entre todas las que formularon se escogi una construir un cuadrado de rea 6 cm en tama o real y se les pidi a los 234 Aprendizaje basado en problema en didactica de la matem tica estudiantes que adem s de resolver el problema prepararan una explicaci n para los estudiantes del grado s ptimo Figura 1 En este caso fig 1 el estudiante asocia una soluci n de tipo algebraico sin sentido ya que a los tres lados del tri ngulo los llam pero a su vez indica que el ngulo del lado inferior izquierdo del tri ngulo es recto o sea que seg n las propiedades que el estudiante exhibe el tri ngulo es rect ngulo y equil tero en segundo lugar plantea que al resolver dic
113. ano usando como pano de fundo os materiais did ticos trabalhados nas escolas p blicas do estado de S o Paulo Brasil Para tal escolhemos como referencial te rico da pesquisa a Teoria Antropol gica do Did tico definida por Chevallard 1992 em particular as no es de rela es institucionais como ferramenta de an lise na tentativa de compreender e repensar melhor as pr ticas docentes quando se pretende introduzir um novo conceito ou seja identificar quais conceitos que podem ser considerados intrinsecamente ligados quando se deseja trabalhar uma nova no o em ambientes educacionais usando tecnologia da informa o Dessa forma para introduzir a no o de transforma es no plano em particular as interpreta es de simetria axial ou reflex o e rota o selecionamos algumas tarefas somos sabedoras que para isso ser o necess rias diferentes abordagens e estas n o se reduzem as que aqui est o apresentadas por m a escolha dessas tarefas est relacionada ao fato de que podem ser facilmente manipuladas e com pequenas mudan as em seu enunciado poder possibilitar ao estudante a apreens o desses conceitos por meio do software Cabri considerando que o mesmo traz recursos din micos que o 262 Estudo das transforma es no plano uma situa o de aprendizagem material did tico trabalhado nas escolas p blicas do estado de S o Paulo dificilmente possibilitaria Na sequ ncia apresentamos uma breve
114. anos fazendo os reviver no sistema educativo No que segue apresentaremos algumas situa es problemas que poderiam ser desenvolvidas com o Cabri 3D Situa o 1 Caracterizando poliedros A1 Construa utilizando o Cabri 3D um dodecaedro e caracterize esse poliedro A2 Considere os pontos m dios das arestas desse e por um plano que passa pelos pontos m dios de tr s arestas consecutivas fa a o corte do poliedro determinado a partir de cada um dos v rtices A3 O corte realizado em torno de um v rtice acrescenta quantos v rtices no novo poliedro A4 Caracterize o novo poliedro Nesta situa o o professor apresenta aos alunos um s lido arquimediano e pode solicitar que pesquisem a respeito Os alunos na situa o percebem que o dodecaedro possui 30 arestas 20 v rtices e 12 faces pentagonais pent gonos regulares e que o icosidodecaedro possui vinte faces triangulares e doze faces pentagonais regulares e ainda tem 60 arestas comuns a um tri ngulo e a um pent gono tem ainda 30 v rtices comuns a dois tri ngulos e dois pent gonos a figura 8 mostra as duas constru es solicitadas Os alunos podem movimentar o plano de base para observar a figura de v rios pontos de vista e poder determinar os pontos e ainda utilizar cores para ajudar a contagem 28 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D Figura 1 Representa o do dodecaedro e do icosidodecaedro Situa o 2 constru o de
115. ar grandes alturas Hoy en d a el descubrimiento de otros materiales aptos para la confecci n de modelos han llevado a otras disciplinas a considerar superficies especiales que permiten utilizar recursos existentes y optimizar eficientemente su uso Introducci n Es innegable la importancia de la ense anza de las c nicas debido a que trasciende los l mites del estudio de la Matem tica modelizando un sinf n de situaciones de otras disciplinas Sin embargo en los mbitos tanto de educaci n media como superior terciaria o universitaria en nuestro pa s no se dedica el tiempo ni los recursos adecuados para su ense anza Por otra parte los profesores no est n exentos de seguir las modas que lamentablemente se impusieron en el mundo relegando a la Geometr a en pos de otros conceptos que no la incluyen y tienden muchas veces al mecanicismo Es as que los estudiantes se han viso impedidos de incorporar estos conocimientos y por lo tanto al ver objetos de la actualidad desde un parapente a una turbina consideran que estas formas ex ticas son creadas por un dise ador o un artista sin reconocer la matem tica que subyace en ellas 95 Talleres Fig 1 Generaci n de c nicas Como docentes debemos investigar espec ficamente d nde est n las dificultades para tratar de subsanarlas y remediar los huecos de la ense anza Es as que despu s de una experiencia llevada a cabo el a o pasado en la universidad en la
116. ara su ROSHESE a 30 emo E Yo en 1 2 Figura 3 Ahora solamente el 30 no suministr una respuesta aceptable mientras que el 70 de los alumnos fue capaz de dar una respuesta satisfactoria a la pregunta de Qu es un octaedro regular MAT propone que para poder conceptualizar correctamente un objeto matem tico 3D es imprescindible utilizar un conjunto de representaciones utilizando diferentes tecnolog as Cada representaci n aproxima el objeto en una forma diferente y la integraci n del conocimiento obtenido con cada representaci n produce la conceptualizaci n La integraci n adem s se produce entre diferentes ramas de la matem tica como geometr a lgebra y trigonometr a y entre la geometr a 2D y 3D Un ejemplo de c mo una aproximaci n creciente e integrada contribuye efectivamente en la conceptualizaci n del objeto es el ngulo diedro de los poliedros regulares Comenzamos estimando el ngulo como podemos ver en la Figura 4 y midi ndolo luego con un semic rculo o transportador Figura 4 83 Conferencias Luego medimos dicho ngulo diedro con Cabri 3D para finalmente calcular el ngulo utilizando trigonometr a La posibilidad de hallar el ngulo diedro en forma independiente usando tres diferentes representaciones refuerza el concepto a medida que el alumno obtiene respuestas similares con los tres distintos procedimientos El otro aspecto de la integraci n como hemos
117. argado de construir conjeturar y posteriormente mediante una Hoja de Trabajo y la institucionalizaci n por parte del profesor formalizar el enunciado de las reglas de los signos Palabras clave Reglas de los signos propuesta did ctica Teor a de Situaciones Did cticas medio did ctico Eje tem tico Experiencias educativas con asistencia de Cabri 1 Introducci n El conocimiento se transmite en el aula de clases mediante una transposici n did ctica que el profesor construye selecciona para facilitar el aprendizaje de los estudiantes Bajo ese referente se dise y elabor un ambiente de aprendizaje en la interface del software Cabri Geometry II Plus para la Reporte de investigaci n construcci n y formalizaci n de las reglas de los signos mediante el concepto de rea de regiones rectangulares donde las dimensiones del rect ngulo largo y ancho denotan los factores de la multiplicaci n y el rea que encierra el rect ngulo denota el producto Para plasmar lo anterior se estructur un escenario en la interface Cabri Geometry II Plus que da lugar a una historia ficticia donde un caballero Ham tiene la encomienda de rescatar a una princesa Angie y en esa traves a debe recorrer caminos de diferentes colores que lo guiar n hacia la princesa 2 Problema y objetivo de investigaci n Hoy en d a en las aulas de clases algunos conceptos matem ticos carecen de un significado para los estudiantes tal e
118. aron con conceptos matem ticos de una forma diferente a la que est n acostumbrados en el aula de clase se observ que mostraron sorpresa pues no esperaban ese tipo de actividades las cuales resultaron ser agradables para ellos Algunos estudiantes en primera instancia ten an cierto temor para contestar las actividades sin embargo en el transcurso de la misma fueron perdiendo el miedo y se concentraron en la soluci n de las actividades al grado que lograron conjeturar la noci n de las reglas de los signos de esta forma los estudiantes tuvieron confianza en trabajar con nociones matem ticas Finalmente este tipo de propuestas did cticas donde el conocimiento en cuesti n se encuentra inmerso en un juego problema contribuye a que el estudiante pueda conjeturar las nociones y conceptos matem ticos por otro lado facilita la comunicaci n entre el profesor y el estudiante Referencias Brousseau G 1986 Fundamentos y m todos de la Did ctica de la Matem tica Universidad Nacional de C rdoba Facultad de Matem tica Astronom a y F sica Serie B Trabajos de Matem tica No 19 versi n castellana 1993 Douady R 1996 Ingenier a did ctica y evoluci n de la relaci n con el saber en las matem ticas de coll ge seconde Ve 0 0 e e 254 SOCIALIZACI N DE TRABAJOS EN REAS AFINES A LA MATEM TICA Las curvas de Bezier en 3D aplicaciones y perspectivas Juana Castillo Padilla juanacp hotmail com A
119. as de los objetos involucrados tales como caras perpendiculares sin restringir su respuesta a la apariencia de la figura En relaci n a la pregunta en la que se ped a que establecer a el efecto en la forma de la figura al manipular uno de sus v rtices se encontr que la mayor a de estudiantes se al que el cubo crec a ya que sus caras crec an y que por lo tanto las 282 Introducci n a la geometria analitica espacial con Cabri 3D ecuaciones de las seis caras tambi n cambiar an Un estudiante manifest que al manipular el punto C uno de los v rtices de la figura el cubo crec a tanto que sus caras se sal an de los planos con esta explicaci n el estudiante evidencia que todav a se encuentra en el nivel G1 ya que su argumento se basa en lo que ve es decir tiene una concepci n de plano como un conjunto acotado que coincide con la representaci n del plano como un paralelogramo Figura 3 El Cubo La actividad 4 permiti que los estudiantes se familiaricen con la condici n geom trica que define a una esfera ver figura 4 solo unos pocos estudiantes ubicaron el centro de la esfera de manera incorrecta lo que origin que se obtuvieran ecuaciones que luego no pudieron explicar Figura 4 La esfera Y en relaci n a la actividad 5 dado que el Cabri 3D no proporciona ecuaciones de curvas que resultan de intersecar dos objetos los alumnos se vieron en la necesidad de observar la intersec
120. as en el prisma trasladar cada una de ellas utilizando la caja de herramientas de transformaciones traslaci n Luego calcular el volumen de cada poliedro utilizando la caja de herramientas de medida volumen como se muestra en la figura 7 Volumen del prisma 44 596 cm c Vp 14 865 cm Vpy 14 865 cm Vp2 14 865 cm Figura 7 Volumen del prisma d Considerando los vol menes obtenidos en la parte anterior responder lo siguiente i Cu l es la relaci n entre el volumen de cada pir mide y el volumen del prisma ABC EDF ii Calcular el volumen de una de las pir mides utilizando la siguiente relaci n donde es el rea de la base y es la altura y verificar este resultado con el obtenido en la parte anterior iii Utilizando el arrastre del Cabri 3D mover un v rtice cualquiera del prisma y verificar que la relaci n se mantiene al calcular el volumen de las pir mides Algunas aplicaciones 1 A qu distancia del v rtice de un tetraedro regular de 12 cm de altura debe trazarse un plano paralelo a la base para que el tetraedro quede dividido en dos s lidos equivalentes 311 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica 2 Un queso viene en un envase que tiene la forma de un tronco de pir mide regular de bases cuadradas cuyas aristas de las bases miden 4 cm y 6 cm y cuya arista lateral mide 5 cm Hallar el volumen del envase y el rea de papel de la envoltura
121. as en las regularidades num ricas que se presentan entre los elementos constitutivos del fractal que en la construcci n formal de los conceptos fractales El trabajo con actividades sobre reconocimiento de patrones y su generalizaci n proporciona la oportunidad de acordar nuevas formas de comunicaci n en las que prevalece y se le da sentido al lenguaje algebraico como una forma sucinta para expresar conjeturas y someterlas a verificaci n y refutaci n Las actividades planteadas sobre generalizaci n posibilitan el desarrollo de habilidades como la predicci n y la 127 Talleres sistematizaci n las cuales se deben explicitar para propiciar la discusi n sobre su importancia no solo en las matem ticas sino en situaciones cotidianas El prop sito de este proyecto de aula es mostrar como con el uso del Cabr y a trav s de la manipulaci n de objetos geom tricos y la identificaci n de regularidades num ricas se puede mejorar el tratamiento del proceso de transici n de la Aritm tica al Algebra trabajando dos aspectos centrales el desarrollo del Pensamiento Num rico y el Pensamiento Algebraico Se pretende abordar la ense anza aprendizaje de las nociones de variable la letra con sentido algebraico expresiones algebraicas y ecuaciones integrando contextos num ricos pensamiento num rico y geom tricos pensamiento geom trico en un marco del lgebra como lenguaje en un medio ambiente inform tico de apren
122. as pendientes din micas construidas los campos de pendientes y las curvas soluci n Se propuso la experimentaci n de un conjunto de 3 actividades en las cuales los estudiantes deb an realizar dicha asociaci n debiendo primeramente completar un breve texto que describ a la forma gr fica que presentaba el campo de pendientes 69 Conferencias Los problemas Problema 1 En esta actividad se ha considerado central que el estudiante pueda arrastrar expresiones algebraicas dentro de las celdas vac as adem s de las expresiones soluci n se tienen expresiones incorrectas frecuentes entre los estudiantes con el prop sito de que la actividad sea m s demandante desde un punto de vista cognitivo El entorno cambia a modalidad de evaluaci n al usar el bot n Soluci n el cual se encuentra escondido Narraci n Lenguaje algebraico 2x Caminante Aqui fueron sepultados los restos de Diofanto Y los mimeros pueden mostrar joh milagro cu n larga fue su vida x x 6x 12x 7x 15 5 4 25 80 cuya sexta parte constituy su hermosa infancia Habia transcurrido adem s una duod cima parte de su vida cuando de vello cubri se su barbilla Y la s ptima parte de su existencia transcurri en un matrimonio est ril Pas un quinquenio m s y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primog nito x gt Es 15 gt 4 que entreg su cuerpo su hermosa existencia a la 6 12 7 2 tierra que dur tan
123. ascentistas Piero della Francesca 1412 1492 Luca Pacioli 1445 1517 Leonardo da Vinci 1452 1519 Albrecht Diirer 1471 1528 e Daniele Barbaro 1513 1570 descreveram em suas obras os S lidos de Arquimedes sem o conhecimento do estudo de Arquimedes relatado por Pappus em escritos que foram impressos em 1588 e seus manuscritos n o estavam dispon veis antes de 1560 Para Field 1997 a hist ria da redescoberta de poliedros arquimedianos durante o Renascimento n o a de recupera o de um texto cl ssico perdido diz respeito redescoberta da matem tica real matem tica figurada por profissionais que exerceram atividades outras que n o a de matem ticos o que neste caso poderia ter sido puramente racional No entanto de acordo com o autor n o h qualquer explicita o ou esquematiza o do estudo das rela es entre S lidos Plat nicos S lidos Arquimedianos e os diferentes processos de constru o a partir de truncaturas O Cabri 3D como habitat para os s lidos arquimedianos Yves Chevallard desenvolveu a teoria da Ecologia Did tica com o objetivo de abordar os problemas que se estabelecem entre os diferentes objetos do saber a ensinar A ecologia did tica se ap ia nas ideias da ecologia biol gica nicho habitat ecossistema para tentar explicar as rela es entre os objetos matem ticos e 205 Reportes de investigaci n no estudo do pr prio objeto matem tico A ideia de ecossistema uti
124. azonamiento que son secuenciales Reconocimiento An lisis Abstracci n Deducci n y ordenados de tal manera que no se puede saltar ninguno Asimismo en cada nivel se supone la comprensi n y utilizaci n de los conceptos y definiciones de una manera distinta lo cual se manifiesta en una manera diferente de reconocerlos definirlos clasificarlos y en la realizaci n de construcciones o planteamientos todo esto como resultado del proceso de aprendizaje como indica L pez R La herramienta del Cabri 3D hace posible la construcci n manipulaci n y calculo de diversos s lidos como pir mides conos esferas etc Objetivos de la experiencia e Interpretar y analizar los datos de la situaci n e Mejorar la visualizaci n de los diferentes s lidos geom tricos mediante la herramienta din mica de Cabri 3D e Desarrollar capacidades para la propuesta y resoluci n de problemas o situaciones e Ampliar la visi n geom trica de los estudiantes Situaci n 1 Una pir mide tiene como base un cuadrado de lado 4 cm y su v rtice se encuentra sobre la recta perpendicular a su base y pasa por un de los v rtice del cuadrado Si la altura de la pir mide mide 4 cm calcula su rea lateral 287 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Planteamiento De la informaci n tenemos la construcci n de la pir mide no regular como se muestra en la Figura 1 y donde no es posible visualizar las caras posterio
125. bri Alicia Noem Fay 15 A constru o de situa es problemas utilizando o Cabri 3D Maria Jos Ferreira da Silva 23 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit rendus posibles par les technologies Cabri Colette Laborde 38 Interactivity in dynamic mathematics environments what does that mean Quelque exemples tir s de Cabri Jean Marie Laborde 56 Utilizar la geometr a axiom tica para analizar los dibujos en Cabri 3D Joris Mithalal 57 Cabri C lculo y F sica Ruben Sabbadini 59 Un registro Semi tico importante en la evaluaci n de actividades matem ticas El registro verbal Eugenio D az Barriga Arceo 66 La demostraci n y sus contextos Luis Moreno Armella 77 La infalibilidad de las matem ticas como un obst culo para su ense anza y su aprendizaje Bernardo Camou Font 78 La Geometr a el Cabri y los amores a primera vista Francisco Ugarte Guerra 90 TALLERES C mo es que las trayectorias de las c nicas pueden generar las cu dricas Alicia Noem Fay Mar a Cristina Fay 93 Cabri 3D na sala de aula Maria Jos Ferreira da Silva 101 O Cabri 3D como ferramenta para desenvolver visualizac o dos primeiros axiomas de geometria euclidiana no espaco Jos Carlos Pinto Leivas 108 Una propuesta did ctica a partir de la construcci n de mandalas en Cabri Il para potenciar las estrategias de aprendizaje en geometr a Lilian del C Vargas Villar 115 El Uso de los fractales para p
126. bservar que la actividad logr cumplir con sus objetivos sin embargo es necesario facilitar una computadora por alumno y tener las respuestas y gr ficos m s precisos Palabras clave Rectas paralelas Geometr a plana y del espacio Cabri 3D Eje tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Planificaci n Pedag gica del Proyecto Contenidos Bloque 1 Contenidos comunes Interpretaci n de informaci n de car cter cient fico y utilizaci n de dicha informaci n para formarse una opini n propia Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica expresarse con precisi n y argumentar sobre problemas relacionados con la geometr a mediante el uso del cabri 3D Bloque 2 Aplicaci n de la geometr a plana mediante el cabri 3D Exploraci n de rectas paralelas en el plano Qu objetos matem ticos observas en las rectas y planos paralelos APLICACIONES EN EL AULA Antes de introducir la presentaci n part de lo que ya sab an y de sus experiencias Para introducirles en el tema empec preguntando c mo se organizan y se aplica el cabri 3D en Geometr a Plana y en otras ciencias como la F sica y la Geometr a Anal tica mediante el siguiente procedimiento e El docente facilita la informaci n preliminar de las distintas posiciones que adoptan las rectas en el plano rectas que se cruzan rectas que se intersecan rectas alabeadas y rectas paralelas en el plano tal como se observa en la
127. bservar que los estudiantes tienen dificultades para determinar representaciones anal ticas asociadas a objetos tridimensionales Introducci n a la geometria analitica espacial con Cabri 3D aun cuando estos son elementales como es el caso del punto la recta el plano y las superficies cuadr ticas En este contexto se consider pertinente dise ar una secuencia de ense anza en donde los estudiantes tuvieran la oportunidad de explorar posiciones relativas entre objetos elementales en tres dimensiones y de asignarles representaciones anal ticas haciendo uso del Cabri 3D El principio en el que se apoy el dise o fue aprovechar las potencialidades que ofrece el Cabri 3D tales como la opci n de cambiar de punto de vista para estudiar un objeto la determinaci n de posiciones relativas como el paralelismo o la perpendicularidad de rectas y planos la construcci n de objetos que verifiquen condiciones dadas y la asignaci n de ecuaciones o coordenadas a objetos elementales Adem s las herramientas y recursos que posee Cabri 3D permitieron por ejemplo la ubicaci n de puntos dadas sus coordenadas de planos paralelos y perpendiculares entre s y que los estudiantes identificaran las ecuaciones de estos planos Modelo te rico utilizado Se tuvo en cuenta el modelo te rico presentado por Parsysz 1988 para la ense anza de la Geometr a en el que destaca cuatro etapas en el desarrollo del pensamiento geom trico Geometr a
128. bter poliedros com todas as faces regulares Sabemos que onze dos treze poliedros arquimedianos podem ser produzidos por uma sucess o de cortes truncaturas em poliedros plat nicos Nesse trabalho apresentamos a constru o no Cabri 3D do cubo truncado O S lido Arquimediano cubo truncado se origina em um cubo em que se realizam cortes por uma dist ncia adequada de cada v rtice de tal forma que cada face do cubo se transforme em uma 206 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes face octogonal regular O truncamento realizado nos conduz a elimina o de cantos do cubo A elimina o de cada canto do cubo nos apresenta um tri ngulo como face do cubo truncado como mostra a Figura 1 uma vez que em seus v rtices concorrem tr s arestas Para respeitar a regularidade das faces do cubo truncado os pontos de corte na face quadrangular devem ser encontrados por um procedimento matem tico Considerando uma face ABCD do cubo de origem representamos por P4 e P2 os pontos de corte na aresta AB Pz e P4 os pontos de corte na aresta BC Ps e Pos pontos de corte na aresta CD P7 e Pgos pontos de corte da aresta AD a a aresta da face e por d a dist ncia entre um v rtice e um ponto de corte como pode ser visto na Figura 1 Ay Pi Pa q B DA Ps Pe E Figura 1 Pontos de corte na face do cubo Precisamos encontrar o valor da dist ncia d Como o tri ngulo AP1Pg ret ngulo pois podemos apl
129. c tedra de lgebra y Geometr a Anal tica decidimos compartir en un taller nuestra experiencia Nos hemos apartado de la idea cl sica de construir las cu dricas generadas como superficies regladas ya que Cabri nos da la posibilidad de crearlas en 3D mediante desplazamientos de las c nicas Esta forma de concebirlas brinda la posibilidad de diferenciar las generadas por rotaci n alrededor de un eje de las que no lo son Las primeras son llamadas superficies de revoluci n en donde toda secci n perpendicular al eje de revoluci n es una circunferencia mientras que las que no son de revoluci n son generadas por c nicas de diferentes excentricidades constituyendo aquellas un caso particular de estas ltimas Desarrollo del taller Objetivo interpretar construir y visualizar la generaci n de las cu dricas PRIMER ENCUENTRO Temas a desarrollar Cu dricas generadas por la revoluci n de c nicas alrededor de un eje Presentaremos el tema mediante un video mostrando la presencia de las cu dricas en el mundo Visualizaremos en l las 96 Como es que las trayectorias de las c nicas pueden generar cu dricas cu dricas e identificaremos las c nicas que les dan origen Seguidamente intercambiaremos con los participantes maneras de enfocar la ense anza de las cu dricas en los distintos pa ses Luego para comenzar a trabajar repasaremos la formaci n de c nicas en una superficie c nica intersecada por un plano
130. cas la vie des probl mes de construction et rapports des enseignants ces probl mes Th se de doctorat Universit J Fourier Grenoble Chevallard Y 1985 La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseign La Pens e sauvage Grenoble deuxi me dition augment e 1991 Grenier D et Tanguay D 2008 L angle di dre notion incontournable dans les constructions pratiques et th oriques des poly dres r guliers Petit x 78 26 52 Lakatos I 1976 Proofs and Refutations The logic of Mathematical Discovery London Cambridge University Press Margolinas C 1998 Relations between the theoretical field and the practical field in mathematics education In A Sierpinska amp J Kilpatrick Eds Mathematics education as a research domain search for identity Dordrecht Kluwer Academic Publishers Parzysz B 1991 Representation of space and students conceptions at high school level Educational Studies in Mathematics 22 575 593 Schoenfeld A H 1992 Learning to think mathematically Problem solving metacognition and sense making in mathematics In D A Grouws Ed Handbook of research on mathematics teaching and learning pp 334 370 New York Macmillan Shulman L S 1986 Those who understand Knowledge growth in teaching Educational Researcher 15 2 4 14 University of Cambridge 2002 Why do we study geometry Answers through the ages Retrieved from 88
131. ches de la coccinelle Comme on le voit la source du probl me et l interactivit qui s tablit entre les outils du logiciel et les actions de l l ve r sident dans la limitation de d part Une action de l l ve rendue impossible g n re un probl me math matique r soudre pour d passer cette limitation 2 2 Le jeu sur les limitations Des probl mes math matiques peuvent donc tre pos s aux l ves en cr ant des limitations dans leurs actions Ce principe peut tre utilis pleinement dans un cahier de plusieurs pages 45 Conferencias o les limitations peuvent varier selon les pages cr ant ainsi une progression de diff rents probl mes Le cahier La grenouille et le cabri de la collection 1 2 3 Cabri illustre bien une telle progression dans les limitations Dans les premi res pages la grenouille qui peut tre pilot e l aide de fl ches doit rejoindre le cabri sur un quadrillage avec des obstacles visibles Fig 9 Plus loin dans le cahier un nuage masque une partie du quadrillage et des obstacles sauf pendant 8 secondes au d but de l activit Fig 10 pas La rana y el cabrito Parte 1 read oniy Bi pao La rana y el cabrito Parte 1 read only H Da Ayuda a la rana a llegar hasta el cabrito 22 ee Una nube esconde una parte del laberinto 1 9 Ayuda a la rana a llegar hasta el cabrio gt ei n TT Nombre f err TA i LE 4 y 13
132. ci n de la esfera y el plano desde otra perspectiva desde la cual intuyeron que se tratar a de una circunferencia ver figura 5 283 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica vaga 3 Figura 5 Curva de intersecci n y cambio de punto de vista del observador Algunos estudiantes formalizaron su afirmaci n colocando un punto en el eje z y midiendo la distancia del candidato a ser el centro de la esfera a un punto de la curva y confirmaron que estas distancias se manten an constantes De esta manera justificaron que la ecuaci n de la curva resultado de esa intersecci n era de la forma siendo y constante Este resultado se obtuvo sin manipular algebraicamente las ecuaciones la conexi n entre la representaci n geom trica y la algebraica se dio casi naturalmente Algunas consideraciones En general las actividades propuestas en las que se hizo uso del Cabri 3D favorecieron la evoluci n de los niveles de pensamiento GO a G1 y en algunos casos tambi n del G1 al G2 contribuy a este hecho la posibilidad de manipular los objetos as como el poder posicionarse en distintas ubicaciones cambiando de perspectiva en la observaci n de los objetos Adem s las herramientas y recursos que posee Cabri 3D permitieron por ejemplo la ubicaci n de puntos dadas sus coordenadas de planos paralelos y perpendiculares entre s y que los estudiantes identifiquen las ecuaciones de estos planos a
133. concreta nivel GO en esta etapa se parte de la realidad de lo concreto y es donde los objetos son materializados Geometr a espacio gr fica nivel G1 es la geometr a de representaciones figurales y gr ficas en este nivel los objetos son bidimensionales como por ejemplo los dise os producidos utilizando Cabri 3D La justificaci n de las propiedades es hecha por lo que se ve Geometr a pro axiom tica nivel G2 en este nivel los conceptos son objetos te ricos y las demostraciones de los teoremas son hechas a partir de premisas aceptadas por los estudiantes de manera intuitiva y no hay necesidad de explicitar un sistema de 279 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica axiomas Aqu es posible que lo que se sabe se apoye todav a en lo que se ve Geometr a axiom tica nivel G3 es el nivel en el que los axiomas son explicados completamente De acuerdo con Parsysz 1991 en los niveles GO y G1 los objetos son concretos y las justificaciones y validaciones son perceptivas En los niveles G2 y G3 los objetos son te ricos y las validaciones son deductivas El autor afirma que para los profesores es dif cil distinguir los niveles de adquisici n G1 y G2 y como consecuencia de esto en muchos casos no consiguen distinguir validaciones perceptivas de validaciones te ricas Teniendo en cuenta los supuestos de este marco te rico se consider pertinente incorporar en la propuesta activid
134. cosas fenomenales tambien por la Matematica no solo geometria sino tambien Analisis Calculo de las probabilidades y mucho mas Sucede como con los hijos cuando son ni os uno espera sera inge ero como el papa profesora como la mama y despues van por su proprio camino La tradicional pizarra y tambien el retroproyector se pueden ayudar con otros instrumentos de aprendizaje para las materias cientificas Por ejemplo A ver como se dibuja el grafico de una funcion Se calcula la funcion y se pone aqu q Estesepone aqui con transferenciasdemedidaen lt abriq Seutilizala opcion lugar geometricoclicandosuestoultimo puntoy sul punto x tambienf 62 Cabri C lculo y F sica O O cade to Las Se dibuja la funcion como antes 2 Se dibuja un segmento h para calcular el valor de la funcion en el punto x h h 1 Enfin se dibuja la recta secante Come exemplo de esto en el taller hacimos tratado la derivata de una parabola y x como ne la seguinte figura h imh 0002 y x2 y 2 de o o Se dibuja la parabola como antes Se dibuja un segmento h para calcular el valor de la parabola en alnuntavs h Fattore discala assey 1 aseye 1 Enfin se dibuja la recta secante Con lo serramiento de Cabri pendentia tenemos il valor de la pendentia de la recta secant
135. ctaedro qualquer Uma solu o seria perceber que a aresta do octaedro mede pois a diagonal de um quadrado de lado e buscar o valor de x em func o de a isto que substitu do na f rmula obtida anteriormente nos d o volume A resolu o destas atividades s poss vel com a convers o do registro figural para o registro alg brico O professor pode solicitar aos alunos que verifiquem se a f rmula funciona utilizando a ferramenta medida de volume e a calculadora do Cabri esclarecendo que esse procedimento n o demonstra formalmente a veracidade da f rmula encontrada A5 Determine os pontos m dios de tr s das arestas do icosaedro em torno de um v rtice Determine um plano por esses tr s pontos Recorte o poliedro determinado a partir desse v rtice para isso clique no plano de corte e no poliedro com o v rtice Esconda o plano A6 Faca o mesmo para os outros v rtices O s lido que voc obteve chamado de cuboctaedro Nestas atividades o aluno deve obter figuras semelhantes s mostradas na figura 5 Observe que parte do octaedro desapareceu mas utilizando a ferramenta poliedro convexo voc pode reconstru lo a partir de seus v rtices A7 Observe as arestas do cuboctaedro e desenvolva uma f rmula para determinar o volume desse cuboctaedro em fun o de a Relacione o volume do octaedro com o do cuboctaedro Figura 5 Processo de constru o do cuboctaedro por truncatura
136. cular no que diz respeito a Geometria Espacial Em geral estudantes n o compreendem facilmente os axiomas de incid ncia e de ordem base para a edifica o do arcabou o geom trico e professores t m dificuldades de criar atividades para seu ensino A oficina tem por objetivo divulgar e realizar constru es no Cabri 3D que facilitem tal compreens o ao mesmo tempo em que ir explorar as ferramentas do software Pretende se propor atividades de reconhecimento de caracter sticas do plano e da reta como entes geom tricos infinitos e ilimitados posi es relativas entre retas planos e constru o de conceito de dist ncia entre eles O Cabri 3D como ferramenta para desenvolver visualiza o dos Palavras chave visualizac o geometria espacial Cabri 3D grupos de axiomas Eixo tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Geometria quando estudada com metodologias alternativas aos m todos dedutivos convencionais torna se atrativa e prazerosa para os estudantes Nesse sentido o uso das tecnologias oferecidas pelos softwares de geometria din mica muito t m a contribuir possibilitando que a mesma se torne tema integrador para o desenvolvimento de outras reas do conhecimento Para Almeida 2000 p 20 muitos dos desafios enfrentados atualmente t m a ver com a fragmentac o do conhecimento que resulta tanto de nossa especialidade quanto e principalmente do processo educacional do qual participamos O softwa
137. d de Nari o Pasto Colombia edi454 yahoo com edinfer udenar edu co Mar a Fernanda Mej a Palomino Escuela Normal Superior Farallones de Cali y rea de Educaci n Matem tica Instituto de Educaci n y Pedagog a Universidad del Valle Cali Colombia mafanda12160yahoo com ar maferme univalle edu co Resumen Esta investigaci n se asume como una intervenci n did ctica en el aula que se ubica dentro del contexto del aprendizaje de las c nicas vistas como lugares geom tricos con la mediaci n del Cabri G om tre II Plus En la misma se estudi una secuencia de situaciones did cticas donde se plantearon problemas de construcci n geom trica de estas curvas desde el enfoque puntual hacia el global La secuencia se dise con el prop sito que los estudiantes realizaran en primera instancia construcciones punto por punto de cada una de las c nicas y luego construcciones geom tricas donde se utilizara la figura desde un punto de vista global para caracterizar geom tricamente cada una de las ellas La metodolog a de la investigaci n se sustent en un micro ingenier a did ctica Artigue 1995 En el dise o de las situaciones se efectu un an lisis preliminar fundado en tres dimensiones la did ctica la cognitiva y la hist rico epistemol gica La pregunta que orient esta investigaci n fue Qu fen menos did cticos genera la mediaci n del Cabri G ometre II Plus en la actividad matem tic
138. da de alternativas para facilitar el aprendizaje de los conceptos de cilindro cono y esfera generadas por revoluci n encontramos que el Cabri 3D resulta ser un instrumento muy til para esta tarea ya que permite una representaci n din mica de las superficies de revoluci n y favorece la visualizaci n de los elementos y propiedades que presentan estas figuras geom tricas Por ello en este taller se busca explorar y realizar construcciones de superficies de revoluci n con formas cil ndricas c nicas y o esf ricas que se obtienen al girar una curva alrededor de un eje de rotaci n Para lo cual usamos el Cabri 3D como instrumento facilitador del aprendizaje de estos conceptos as como del desarrollo del pensamiento geom trico reflexionando sobre la potencialidad de las herramientas que ofrece este ambiente de geometr a din mica Enfoque te rico Para el desarrollo de este taller hemos tomando en cuenta los aportes de la Teor a de Van Hiele 1986 ya que esta propuesta fue creada para comprender y orientar el desarrollo del pensamiento geom trico de los estudiantes a trav s de cinco niveles de razonamiento geom trico y cinco fases de aprendizaje que promueven el paso de un nivel a otro Los cinco niveles de razonamiento describen los distintos tipos de razonamiento geom trico de los estudiantes que va desde el razonamiento intuitivo que empieza con el reconocimiento de figuras nivel 1 de visualizaci n o reconocimiento
139. de al plano en dos Campo regiones concatenamos vectores din micos hay tres casos el es que los vectores din micos dicha recta el segundo es cuando conjunto de vectores cae por debajo ella donde forman curvas c ncavas hacia el tercero es cuando el conjunto de est por encima de dicha formando curvas c ncavas hacia arriba n los el AE de siguen Y abajo primero cuando cortan A Y 4 x y x curvas Vectores Ecuaci n ltimo recta Diferencial dy _ xy a 2 2 e dy dx x y de iy dx E Actividad 9 Operaciones elementales con matrices Esta actividad est contemplada como una actividad t pica de autoevaluaci n para un curso de lgebra Lineal En ella se pide al estudiante que asocie a cada descripci n verbal del efecto de la multiplicaci n EM con la matriz E correspondiente de tama o 3 por 3 En otras palabras el alumno asocia la descripci n del efecto multiplicativo EM con la matriz E que lo produce La actividad busca reforzar la noci n de operaci n elemental en una matriz 154 Ambientes de aprendizaje con nfasis en la articulaci n de registros Operaciones Matrices Instrucciones Asocia las matrices con las operaciones que se describen Multiplicar por el rengl n 2 6 RCE e e PIE RICO RES 1 00 Intercambiar los renglones 1 y 3 Es i 0 01 Permutar los renglones 1 y 3 1 0 0 1 0 a 5 010 o 0 1 0 1 1 Multiplicar por 2 el rengl n 1 y
140. de cultiver leur vision dans l espace Certes les outils de mod lisation g om trique professionnels instrumentent aujourd hui les op rations qui taient r alis es hier la main sur la table dessin Faut il pour autant renoncer l apprentissage de ces op rations qui permettent de comprendre et ma triser les questions d chelles d laborer la mise en relation de l imaginaire avec le r el mais aussi de cultiver la vision de et dans l espace Leur formalisation de mani re analytique ou leur r alisation au travers d un langage de programmation ne pr sentent aucun int r t pour des tudiants en architecture En revanche leur formalisation avec le support d objets graphiques et leur intersection dans le cadre de la g om trie dynamique nous paraissent prometteur et formateur Nous relatons ici une exp rience d utilisation de Cabri dans le cadre d un enseignement de 1 re ann e de g om trie descriptive cet enseignement se termine par un travail de r alisation de maquettes partir d un plan cadastral repr sentant un terrain sur lequel est implant e la volum trie d une maison d habitation Reportes de investigaci n Qu il s agisse du d velopp du terrain fabriqu partir des donn es du plan cadastral ou de celui de l enveloppe de la volum trie de l habitation et de son axonom trie toute ces op rations peuvent tre instrument es informatiquement avec Cabri en utilisant les m thod
141. de varias variables Luis Alberto Callo Moscoso 178 Geometr a del Espacio con Cabri 3D Bernardo Camou Font 186 Construyendo una colcha de retazos con Tangramas y Cabri Beatriz Zunino 189 REPORTES DE INVESTIGACI N Comportamento das ra zes de func es polinomiais com a variac o dos coeficientes Laurito Miranda Alves 197 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Talita Carvalho Silva de Almeida 202 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas geom tricos Mart n E Acosta Carolina Mej a Carlos W Rodr guez 212 Situaciones para la ense anza de las c nicas como lugar geom trico desde lo puntual y lo global integrando Cabri G om tre II Plus Edinsson Fern ndez Mosquera 223 Dise o y construcci n de una estructura civil puente con fundamentos de geometr a din mica Luis Fernando Moreno Montoya 225 Aprendizaje basado en problemas en did ctica de la matem tica caso el teorema de pit goras y algunas extensiones mediado por Cabri Geometre II Plus Vivian Libeth Uzuriaga L pez 231 Taller digital con Cabri g metra Daniel L onard Oskar G mez Denis Conteau Damien Hanser Gilles Duchanois Philippe Lecl re 237 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas de los signos de la multiplicaci n Jos Benjam n Chan Dom nguez 245 SOCIALIZACI N DE TRABAJOS EN REAS AFINES A LA MATEM TICA Las curvas de Bezier en 3D aplicaciones y perspectiva
142. dista de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada recta directriz Actividades 5 El objetivo de esta actividad es la resoluci n de problemas en el cual el estudiante use las opciones del CABRI para justificar su soluci n La par bola como lugar geom trico y sus elementos if Cabri G om tre II Plus Figura n 2 N Archivo Edici n Opciones Sesi n Ventana Ayuda Tazo del Luga 316 Propuesta did ctica para apoyar el aprendizaje de la par bola Eje focal o eje de simetria Los puntos son equidistantes Recta Directriz Referencias Calix C amp Alvarado J 2007 Ense ando las c nicas con el empleo del CABRI como recurso did ctico Un entorno virtual interactivo Recuperado el 27 de Junio del 2012 de www utn edu ar aprobedutec07 docs 80 doc De La Rosa L 1996 La par bola Una propuesta para el tratamiento del aprendizaje de las c nicas Universidad Aut noma de M xico Matem ticas Recuperado el 15 de junio del 2010 de www cch unam mx ssaa new sites default files parabola pdf Douady R 1995 Ingenier a did ctica en educaci n matem tica Un esquema para la investigaci n y la innovaci n en la ense anza y el aprendizaje de las matem ticas Grupo Editorial Iberoam rica Pedro G mez editor Fern ndez E 2009 C nicas como lugares geom tricos desde um enfoque puntual y global en cabri Recuperado el 3 de octubre Del 2009 de http funes unia
143. dizaje Objetivo general Favorecer un acercamiento significativo a conceptos fundamentales del lgebra como expresiones algebraicas y ecuaciones desde actividades funcionales y de generalizaci n Objetivos espec ficos 1 Fomentar el uso de las TICs en el desarrollo de los procesos de aula 2 Propiciar en los estudiantes el desarrollo de competencias para observar medir valorar analizar e interpretar situaciones num ricas 3 Desarrollar en los estudiantes competencias para ver relaciones y establecer conexiones hacer predicciones y generalizaciones hasta llegar a la modelizaci n y la formalizaci n de leyes 4 Fomentar el desarrollo del razonamiento inductivo deductivo 5 Propiciar el desarrollo de la competencia comunicativa 6 Crear espacios para el trabajo cooperativo 128 Uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento 7 Mejorar los procesos de ense anza y de aprendizaje de las matem ticas Resultados que se esperan obtener Afianzar la comprensi n de las operaciones matem ticas b sicas El desarrollo de valores como la autoestima la responsabilidad la autonom a la solidaridad la creatividad y el emprendimiento La ceraci n de nuevas ideas a partir de lo concreto para interiorizar conceptos abstractos El desarrollo de competencias para la identificaci n de regularidades num ricas para su generalizaci n y modelaci n Familiarizar al estudiante con el manej
144. do Estado de S o Paulo S o Paulo Secretaria de Educa o do Estado de Sa Paulo SEE SP S o Paulo 2009 Caderno do Professor Matem tica Ensino Fundamental 62 s rie v 2 S o Paulo Secretaria de Educa o do Estado de Sa Paulo SEE SP S o Paulo 2010 Caderno do Aluno Matem tica Ensino Fundamental 62 s rie v 2 S o Paulo Secretaria de Educa o do Estado de Sa Paulo SEE SP Ve 0 0 LOC e 268 Geometria plana y espacial con Cabri Tomasa Carazas Machaca Centro de Educaci n B sica Alternativa Comercio 41 del Cusco Per tcarazas vahoo es Resumen Esta experiencia se realiz con alumnos del 4 del ciclo avanzado de Educaci n B sica Alternativa Comercio 41 del Cusco en el primer bimestre del a o 2012 Los objetivos de dicha experiencia fueron construir las rectas paralelas y el teorema de Thales utilizando el programa Cabri 3D mediante este software los estudiantes logran visualizar de forma r pida y eficaz las propiedades b sicas de las rectas paralelas en el plano Pensamos que esta experiencia es valiosa ya que es necesario estudiar la geometr a en forma din mica Se utiliz en las sesiones de clases las fichas programadas de las rectas paralelas y rectas paralelas cortadas por una secante luego los estudiantes con el uso del ordenador en el programa Cabri 3D logran trazar las paralelas rectas coincidentes y las rectas cortadas por una secante Finalmente se puede o
145. dutivo e talvez por isso deixou de ser ensinada por um grande n mero de professores A aprendizagem matem tica ficou bastante prejudicada uma vez que os alunos n o manifestavam interesse por tal forma de ensino A constru o do conhecimento geom trico por meio do uso de instrumentos convencionais como r gua e compasso n o mais atrativa para a maioria dos estudantes e muitos deles chegam Licenciatura em Matem tica no Brasil sem conhecer e sem saber fazer uso de um transferidor por exemplo Essas construc es quando n o s o feitas corretamente exigem que o aluno retome o trabalho em geral de seu in cio desperdigando o que j foi feito bem como perda de tempo Nesse sentido com o desenvolvimento da linguagem computacional parece que houve um interesse maior e atualmente crescente tanto por parte dos aprendizes quanto dos professores bem como mundan as consubstanciais entre os conservadores e os n o conservadores do ensino Papert 1994 p 18 afirma A maioria dos Conservadores honestos est trancada na suposic o de que o estilo da Escola o nico estilo pois jamais 292 Una experiencia no cabri 3D na apreens o de axiomas de viram ou imaginaram alternativas para a capacidade de comunicar determinados tipos de conhecimento Realizar novas experimenta es quanto ao ensino em Geometria pode ser alternativa para uma melhor compreens o e apreens o do conte do Para Borba e Villarreal 2006
146. e esto valor se puede dibujar como una otra funcion 63 Conferencias Ahora modificando la medida del vector h se puede veher facilmiente que la recta roja tende a sobraponerse a quela azul Hamos dibujato la derivata de una funcion reduciendo h la secante tende a la recta tangente y il nuestro dibujo a la derivada de la parabola Ami 0 002 Fattore discala s 1 0 Fattore discala A E Fattore discala 548 y 1 asse ye 1 y 2x I Lo mismo se puede hacer para una qualunque function Lo unico limite es la potencia del computador porque funciones mucho complicades necessitan un trabajo mui grande por parte del software abri Referencias Atkins P W 1984 Il secondo principio Zanichelli Editore Bologna Italy Gnedenko B V 1979 Teoria della Probabilit Editori Riuniti Edizioni MIR Roma Italy La Fisica del Berkley 1971 Elettricit e Magnetismo Parte prima Zanichelli Bologna Moreno Gordillo J A Rodriguez Gallegos R Laborde C Equations diff rentielles dans Cabri II Plus Atti della Conferenza Internationale CabriWorld 2004 del settembre 2004 a Rome Italia in via di pubblicazione Preprint in spagnolo sul sito http wwwm imag fr Rodriguez Ruth_fichiers PaperCW2 004 pdf Orear J Fisica generale 1970 Zanichelli Bologna Sabbadini R 2005 FisiCabri 2005 Principato Milano 64 Cabri C lculo y F sica Sabbadini R Cabri G om tre un potente strumento
147. e Multiplicadores de Lagrange e procedimiento para c lculo de integrales iteradas e superficies param tricas y e campos vectoriales en el plano y en el espacio Asimismo se presentar a los asistentes un conjunto de animaciones 5 que muestran gr ficamente la interpretaci n de estas nociones El prop sito fundamental de este recurso es proporcionar a los estudiantes una visi n gr fica y animada de estos conceptos matem ticos muy abstractos Entre los objetivos de este taller est n dise ar actividades que les permitan a los estudiantes visualizar e interpretar las pendientes de las rectas tangentes a una superficie como la Las animaciones que se presentan fueron producidas con el software Cabri geometry II plus Tratamiento metodol gico de las funciones de varias variables rapidez de cambio de Z en direcci n de los ejes x e y visualizar los resultados del m todo de los multiplicadores de Lagrange interiorizar el proceso del c lculo de integrales iteradas graficar y parametrizar superficies y visualizar campos vectoriales en el plano y en el espacio para ello se orientar en la elaboraci n de materiales did cticos y actividades para la ense anza aprendizaje del c lculo de varias variables y la potencialidad del Cabri En conclusi n el Cabri tiene la ventaja de recrear procesos de simulaci n en tiempo real con poco consumo de recursos Palabras clave C lculo multivariado multiplicadores de Lag
148. e al eje quetiene sus v rtices en y sus extremos del eje imaginario son El hiperboloide de una hoja referido a los ejes admite por ecuaci n Nota a este hiperboloide se lo llama tambi n hiperboloide reglado o hiperboloide hiperb lico Fig 4 Paraboloide hiperb lico Orientaremos a los participantes para construir el a Hiperboloide de dos hojas 99 Talleres b Paraboloide eliptico c Paraboloide hiperb lico Resultados esperados Como logros del taller esperamos la posibilidad de parte de los asistentes de e Identificar las cu dricas por sus propiedades geom tricas e Dada una consigna construir la cu drica correspondiente Referencias Alsina C Burgu s C Fortuni J Invitaci n a la Did ctica de la Geometr a Madrid Espa a S ntesis Burgos Juan de 1994 Algebra Lineal Madrid Espa a MacGarw Hill Duval A 1993 en Saiz I Acu a N 2006 Ministerio de Educaci n Argentina La inserci n de las tecnolog as puede cambiar las pr cticas matem ticas actuales Recuperado el 20 de junio de 2012 de http aportes educ ar matematica autores php Laborde C 1999 A dynamic and visual approach of the teaching of functions with Cabri Geometre Seminario Internacional XXIV Jornadas de Resoluci n de Problemas C rdoba Argentina Olimp adas Matem ticas Argentinas OMA Saiz I Acu a N 2006 Ministerio de Educaci n Argentina La inserci n de las tecnolog a
149. e d exploration avec des questions en t te comme Pourquoi le sym trique du disque violet n est pas l o il croyait L exploration intervient comme un tayage face un probl me au sens de Wood et al d j cit plus haut De fa on g n rale les r troactions en termes de voix du professeur se situent dans la Zone Proximale de d veloppement au sens de Vygotsky Elles sont l pour permettre aux l ves d apprendre suite une difficult rencontr e 4 Conclusion le cycle de l interactivit revisit Deux types de r troaction ont t pr sent s des r troactions en terme de milieu de situations adidactiques et des r troactions correspondant des interventions de l enseignant Ce second type peut tre vu comme une expansion du milieu au sens de Assude Mercier et Sens vy 2007 Le milieu est alors envisag comme un syst me de contraintes et de ressources mat rielles ou symboliques dans lesquelles voluent le professeur et les 53 Conferencias l ves Il nous semble que les ressources informatiques doivent combiner ces deux types de r troaction si elles veulent pouvoir favoriser des apprentissages Le cycle de l interactivit peut donc tre revisit en ins rant le professeur Fig 22 El ciclo de la interactivitad revisado Fig 22 Le cycle de l interactivit revisit La conception de telles ressources n est pas facile car il faut trouver le degr optimum d intervent
150. e l leve sur lequel ce dernier peut agir et dont il tire des informations de par ses r troactions Elle est aussi tr s proche de la notion de co action d velopp e par Moreno Armella et Hegedus 2009 justement pour l usage de technologies dynamiques d apprentissage The notion of co action describes how the user of a dynamic environment guides the actions upon the environment and is guided by the environment as a fluid activity The student and the medium re act to each other and the iteration of this process is what we call co action between the student and the medium Cette interpr tation est aussi fortement inspir e de la notion de sch me Vergnaud 1990 en ce qu elle mod lise le fonctionnement du sujet cognitif en situation probl me Un sch me est une organisation invariante de conduites pour une classe de situations donn es une totalit dynamique fonctionnelle d pendant d une intention d un but li au cours temporel de l action autour des composants 42 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit Anticipations du but et sous buts atteindre R gles d action en situation de prise d information et de contr le Invariants op ratoires qui constituent la conceptualisation n cessaire l action Possibilit s d inf rence en situation Les invariants permettent de s lectionner les traits jug s pertinents de la situation et de faire des inf rences qui permettent d
151. e l environnement dispose de moyens d expression des r troactions Le moyen d expression de Cabri est ici le d placement qui conserve toutes les propri t s g om triques donn es la construction et celles qui en d coulent Mais il faut aussi comme on le voit apr s la r troaction la seconde construction que l l ve puisse interpr ter la r troaction Il a donc besoin de certaines connaissances sur l environnement et sur les math matiques pour se livrer une interpr tation et en tirer des cons quences sur les nouvelles actions r aliser pour construire une roue qui reste attach e la voiture C est dans ce deuxi me cycle qu en g n ral les l ves n arrivent pas mettre en uvre dans l environnement les connaissances math matiques sur le centre du cercle et que l intervention de l enseignant est n cessaire mise en uvre qui 41 Conferencias requiert la coordination de connaissances math matiques et de connaissances sur l usage des outils Ces diff rentes composantes du cycle de l interactivit sont r sum es dans le sch ma suivant Fig 6 Medios de expresion de las retroalimentaci nes Herramientas para la acci n Fig 6 Sources des interactions dans le cycle de l interactivit Cette interpr tation en termes de cycle est fortement inspir e de la notion de milieu de la th orie des situations didactiques Brousseau 1998 qui mod lise dans la situation le syst me antagoniste d
152. e la fase de validaci n de acuerdo al marco te rico 250 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas Imagen 3 Actividad 3 Fase de validaci n El caballero Ham debe elegir la ruta adecuada para rescatar a la princesa en un solo intento La trayectoria se alada en blanco conduce al rescate Para dar continuidad y motivaci n a la historia se construyeron unas escenas denominadas de utiler a Escenas 3 y 5 Las escenas 3 y 5 contienen un mapa que se ala la trayectoria recorrida por el personaje Ham y un pergamino con informaci n que encadena la historia Imagen 4 Estas escenas enlazan las Actividades 1 y 2 a mme PERA SA Bau aa EJ Imagen 4 Escena 3 Motivaci n para que el estudiante contin e con la actividad Escena 6 Se presentan las instrucciones para realizar la Actividad 3 para ello se incluyen tres botones que al accionarlos muestran informaci n que contienen pistas para resolver la actividad siguiente Imagen 5 251 Reporte de investigaci n ES ES seront Imagen 5 Pistas para resolver la Actividad 3 Escena 8 Se muestran dos pergaminos que contienen el final de la historia y las instrucciones para guardar el archivo Imagen 6 E Imagen 6 Final de la historia Resultados La propuesta did ctica denominada Rescatando a la princesa Angie fue aplicada a 9 estudiantes del segundo grado de secundaria de edades entre 12 a 16 a os
153. e la suma de los defectos en sus v rtices As como para todo tri ngulo existe una circunferencia circunscripta y una circunferencia inscripta an logamente en el espacio para todo tetraedro regular o no existe siempre una esfera circunscripta y una esfera inscripta las cuales se aprender n a construir con Cabri 3D Luego de estudiar diversas propiedades de los cinco poliedros regulares se aprender a truncarlos con el software para obtener los poliedros arquimedianos Se construir n poliedros que teselan el espacio en forma an loga a como algunos pol gonos teselan el plano El taller constar de dos sesiones de 90 minutos Est orientado principalmente a profesores de Secundaria pero puede ser de inter s para profesores de matem tica de cualquier nivel Palabras clave Geometr a del Espacio Cabri 3D poliedros regulares poliedros arquimedianos Geometria del Espacio con Cabri 3D Eje tem tico Geometr a 3D Referencias Artigue M 1990 Ing nierie didactique Recherches en Didactique desMath matiques 9 3 281 308 Accascina G amp Rogora E 2006 UsingCabri 3D Diagrams for Teaching Geometry International journal for Technology in mathematics Education Volume 13 No 1 Bainville E amp Laborde J M 2004 Cabri 3D Cabrilog Grenoble France Bak M 2003 Different projecting methods in teaching spatial geometry In Proceedings of the ThirdConference of the European society for Research in
154. e le centre du cercle de fa on tre s r que le cercle passe toujours par le deuxi me point d attache alors qu on n a cliqu que sur l un des deux points La solution r side dans la construction du centre comme milieu des deux points d attache Dans cet exemple on peut observer comment la r troaction de l absence de d placement de la roue simplement pos e et non li e la voiture conduit les l ves changer leur strat gie de construction de cette roue manquante C est ce qui est sch matis dans le paragraphe suivant par le cycle de Pinteractivit 40 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit 1 2 Le cycle de l interactivit Nous consid rons qu il y a interactivit quand un cycle d actions et de r troactions se produit entre l environnement informatique dans lequel est donn e la t che et l l ve au cours de la r solution de la t che L l ve agit dans l environnement re oit une ou des r troactions qu il interpr te il tire des inf rences pour prendre des d cisions sur les nouvelles actions r aliser dans l environnement pour obtenir le comportement attendu de la voiture cf Fig 5 Fig 5 Le cycle de l interactivit Pour que ce cycle puisse fonctionner il faut que l l ve puisse agir sur l environnement et qu il re oive des r troactions visibles de l environnement Il faut donc que les l ves disposent d outils dans l environnement et qu
155. e los signos En esta teor a intervienen tres elementos fundamentales estudiante profesor y el medio did ctico que interact an entre s en una situaci n denominada did ctica que es construida intencionalmente a trav s de un conjunto de relaciones establecidas expl cita y o impl citamente entre un estudiante o un grupo de estudiantes un cierto medio y un sistema educativo representado por el profesor con la finalidad de lograr que estos estudiantes se apropien de un saber constituido o en v as de constituci n Brousseau 1982 En particular la situaci n did ctica se presenta al estudiante mediante una situaci n problema en la cual el estudiante maneja una estrategia inicial ya disponible en l para resolver el problema para que el estudiante logre construir el conocimiento debe transitar por diferentes fases propias de la Teor a de Situaciones Did cticas e Fase de acci n que consiste b sicamente en que el estudiante interact a con el medio did ctico para llegar a la resoluci n de problemas y a la adquisici n de conocimientos a trav s de esta interacci n con el medio el estudiante formula prev y explica el problema e Fase de formulaci n en la cual el estudiante debe plantear hip tesis que evidencien los elementos matem ticos en la soluci n al problema encaminados a conjeturar la estrategia ptima de soluci n e Fase de validaci n en ella estudiante debe comprobar sus conjeturas es decir la pro
156. e os pontos Antes e depois de moviment los Qual a caracter stica principal do plano que isso sugere 3 Enuncie o axioma que relaciona ponto e plano ou seja determina o do plano 4 Considerando o axioma correspondente ao anterior para ponto e reta quando do estudo de Geometria Plana como enuncias o axioma que relaciona ponto reta plano no espa o 5 Obtenha uma reta r num plano a Modifique sua cor para amarelo e espessura muito largo Altere a cor do plano e o estilo para vazio 5 1 Crie um ponto A fora do plano a Como saber se o ponto pertence ou n o ao plano Argumente 5 2 Obtenha a reta t passando por A e perpendicular ao plano a Como garantir que a reta foi constru da corretamente Elabore uma estrat gia e comprova Figura 1 Atividade 1 proposta aos alunos Todos os alunos responderam ao item 1 dizendo n o haver reta contendo os tr s pontos uma vez que em suas constru es tomaram os pontos n o alinhados no plano e exploraram seu conhecimento da geometria plana no qual bastam dois pontos distintos para definir uma nica reta As justificativas registradas aludiam axiom tica para o plano e especialmente pela constru o dos pontos no espa o utilizando o Cabri Com rela o ao item 1 2 houve a possibilidade de confrontar se os pontos construidos de fato estavam no plano pela movimenta o desse plano e a verifica o de que as tr s retas construidas unindo os pontos dois a do
157. e reflexiona sobre el trabajo que la actividad produce un mayor fruto Otra manera interesante de enriquecer la actividad es usando el programa de Geometr a Din mica Con las propuestas de Cabri se logra profundizar y completar tareas que de otra forma resultar an casi imposibles por un tema de tiempo y por las dificultades que el trabajo manual podr a causar Una de las actividades para realizar con Cabri es la que muestra la figura 1 donde se le pide a los alumnos pintar las seis posibilidades de conseguir un patr n con los tres tri ngulos y usando dos colores Luego con la herramienta girar los ni os advierten c mo se ver a cada dise o despu s de un cuarto un medio y tres cuartos de giro Otras propuestas se pueden apreciar en las figuras 2 3 y 4 En esos casos se les solicita repetir el patr n para armar las colchas de nueve o m s parches Una vez que los alumnos se familiarizan con el programa y comprenden el trabajo se les puede pedir crear su propia colcha d ndoles un modelo similar al de la figura 2 pero sin colores que indiquen el patr n RS po 9348 A K AK Figura 1 Seis patrones 191 Reportes de investigaci n Fees Figura 2 Colcha de nueve parches 1 AS I Figura 3 Colcha de nueve parches 2 Li RTE TE Figura 4 Colcha de diecis is retazos 192 Comportamiento das ra ces de fun es polinomiais com a varia o Los participantes del ta
158. e tablas a dos columnas donde la primera columna presenta en lenguaje verbal alg n fragmento del problema desde una oraci n hasta un p rrafo y en la segunda columna se dejan espacios vac os que el estudiante debe llenar con expresiones algebraicas o respuestas num ricas se propone una mezcla de expresiones algebraicas y respuestas num ricas correctas e incorrectas para que el estudiante las utilice asoci ndolas con los fragmentos del problema propuesto En estas actividades se hace nfasis en el tr nsito entre los registros verbal num rico y algebraico de un problema dado Como anexo a un curso de Ecuaciones Diferenciales del Instituto Tecnol gico de Tuxtla Guti rrez se trabaj la presentaci n de la representaci n de las pendientes din micas asociadas a una ecuaci n diferencial de primer orden en el entorno de geometr a din mica que ofrece Cabri II plus Un resultado importante de un anterior estudio con estudiantes en la misma instituci n revelaba que a pesar de la familiarizaci n en esta tarea los estudiantes a n presentaban ciertas limitaciones para asociar los campos de pendientes a sus ecuaciones diferenciales pues a n no obten an logros significativos al operar con el registro gr fico de las ecuaciones diferenciales Moreno J Rodr guez R Laborde C 2004 Una conjetura al respecto es que las limitaciones pueden ser debidas entre otras causas a una escasa verbalizaci n de las relaciones entre l
159. e utilizaci n y que en general exige adaptaci n y la instrumentalizaci n orientada hacia el artefacto 103 Talleres y que est determinada por las posibilidades que el sujeto le da a ste y que van m s all de las que el creador le atribuy As en un primer momento el Cabri 3D es un artefacto para aquel sujeto que nunca tuvo contacto con el software sin embargo despu s de explorar algunas de sus herramientas y o funciones para desarrollar una determinada tarea ste se puede transformar en instrumento Por su parte la Teor a Antropol gica de lo Did ctico TAD de acuerdo con Bosch y Chevallard 1999 permite analizar describir y estudiar las pr cticas institucionales considerando la organizaci n del saber matem tico que est en juego Para Chevallard 2002 el primer aspecto de esa organizaci n se caracteriza por el saber hacer Las actividades matem ticas componen una tarea t de un cierto tipo T por medio de al menos una t cnica t El segundo aspecto caracteriza el saber en un sentido restringido considerando una cierta tecnolog a 0 que justifica le t cnica y permite por un lado pensar al respecto de la t cnica y por otro producir nuevas t cnicas Adem s considera una teor a que justifica la tecnolog a De acuerdo con Bittar 2011 el enfoque Instrumental permite comprender mejor como el profesor aprende e incorpora la tecnolog a en su pr ctica pedag gica Es en ese aspect
160. e validez del patr n Mason Socas Sessa Butto y Rojano Por otra parte las reglas del lgebra constituyen expresiones que expresan generalidades pero los patrones que se observan aparecen en las mismas colecciones de n meros y en las operaciones comunes que se hacen con estos n meros o como modelos que describen situaciones El lgebra es el lenguaje con que se expresa dicha generalidad Para aprender el lenguaje del lgebra es necesario tener algo que decir se debe percibir alg n patr n o regularidad y luego tratar de expresarlo en forma sucinta para poder comunicarlo a alguien Rutas hacia el lgebra John Mason y otros 1999 Es as como el mayor reto en la ense anza del lgebra es promover la percepci n de la generalidad que esta detr s de los s mbolos para lo cual es necesario ampliar la notaci n del lenguaje aritm tico y utilizar las propiedades caracter sticas de los sistemas num ricos De esta manera el pensamiento algebraico surge como generalizaci n del trabajo aritm tico con modelos num ricos en situaciones de variaci n Una manera propicia de experimentar con procesos de generalizaci n y b squeda de patrones entre otros es 126 Uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento aprovechar las posibilidades que brindan la incorporaci n de las TICs en el aula y muy especialmente el software de geometr a din mica CABRI por que permite el descubrimiento la experim
161. eda de formalizar los resultados encontrados de manera intuitiva En algunos casos se trata de construir alguna figura geom trica sometida a unas condiciones dadas en otros el problema consiste en encontrar el lugar geom trico de los puntos que satisfacen cierta condici n que se da a un objeto geom trico y en otros hemos utilizado la Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas herramienta lugar geom trico de Cabri para encontrar la soluci n al problema planteado Palabras clave Matem tica experimental geometr a din mica lugar geom trico construcci n Eje Tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri 1 Problema En nuestra investigaci n hemos estudiado diferentes tipos de problemas geom tricos En algunos casos se trata de construir alguna figura geom trica sometida a unas condiciones dadas en otros el problema consiste en encontrar el lugar geom trico de los puntos que satisfacen cierta condici n que se da a un objeto geom trico y en otros hemos utilizado la herramienta lugar geom trico de Cabri para encontrar la soluci n al problema planteado Para abordar estos problemas adoptamos el punto de vista de la matem tica experimental seg n el cual es importante difundir las pr cticas experimentales en matem ticas sin abandonar completamente la meta del rigor m ximo de la demostraci n Proponemos como hip tesis fundamental la posibilidad de formalizar a posteriori los p
162. edades al manipularlas directamente Este taller se divide en dos momentos en el primero se realiza una exploraci n de las herramientas del Cabri 3D necesarias para la construcci n del cilindro cono y esfera generadas por revoluci n como por ejemplo transformaciones geom tricas trayectoria y animaci n que permiten construir modelos animados Y en el segundo momento se realizan construcciones de superficies de revoluci n m s complejas que incluyen formas cil ndricas c nicas o esf ricas y representan objetos que se encuentran en nuestro entorno Este taller est orientado a profesores del nivel secundaria y superior ya que busca contribuir con la ense anza de las superficies de revoluci n incorporando el uso del Cabri 3D y reflexionando sobre la potencialidad de las herramientas que ofrece este ambiente Palabras clave Superficies de revoluci n Cabri 3D visualizaci n Eje tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Introducci n El inter s por abordar el tema de superficies de revoluci n espec ficamente cilindro cono y esfera generados por revoluci n surgi al observar que los estudiantes presentan muchas dificultades en el aprendizaje del concepto de superficies que se obtienen al girar una curva alrededor de un eje de rotaci n esto en parte debido a las limitaciones que tenemos al tratar de representar una figura tridimensional usando un plano Talleres est tico como la pizarra En la b sque
163. edell n Jean Rodolphe Perronet 2003 La construcci n de puentes en el siglo XVIII Editorial Reverte p g 234 D az Barriga E 2006 Geometr a din mica con Cabri G om tre Editorial Kali Ve 0 0 e e 230 Aprendizaje basado en problemas en did ctica de la matem tica caso el teorema de pit goras y algunas extensiones mediado por Cabri Geometre II Plus Vivian Libeth Uzuriaga L pez Universidad Tecnol gica de Pereira UTP Pereira Colombia vuzuriaga utp edu co Martha Cecilia Mosquera Urrutia Universidad Surcolombiana USCO Neiva Colombia martha mosquera usco edu co Resumen Se presentan resultados de investigaci n en los que se evidenciaron algunos problemas que se presentaron al mediar la ense anza de conceptos por CABRI GEOMETRE II plus resultados que son pertinentes para los profesionales que trabajan en la formaci n de profesores Se ilustrar n algunos problemas para cuya soluci n se requiere de un uso comprensivo del Teorema de Pit goras las dificultades encontradas al trabajarlos en la clase de Did ctica de la Matem tica y las alternativas de soluci n a las mismas en el marco del Aprendizaje Basado en Problemas ABP Asimismo se mostrar n ejemplos de actividades desarrolladas en el aula de clase por estudiantes del programa de la Licenciatura en Matem ticas de la Universidad Surcolombiana que permiten evidenciar las dificultades encontradas Entre los logros a obtener a pa
164. eedback provided to students will be analyzed It will be shown that the degree of interactivity may greatly vary and that interactivity affects many aspects of the use of such environments The discussion will be illustrated by the various Cabri technologies Mots cl s Interactivit r troactions probl me math matiques dynamiques 1 Le cycle de l interactivit 1 1 La roue manquante Partons d un exemple d activit avec Cabri Elem d j bien connu Il s agit de la construction de la roue manquante d une voiture activit con ue par H C Argaud et C Fini Restrepo 2008 p 60 avec Cabri II plus et qui est maintenant transpos e dans Cabri Elem La premi re page du cahier montre une voiture avec ses roues que les l ves peuvent faire avancer sur une route en pente en la prenant directement avec la souris et en la d pla ant Il n est nul besoin de dire aux l ves qu ils peuvent d placer la voiture ils le font tr s rapidement apr s ouverture du fichier Fig 1 Page suivante la m me voiture appara t mais une roue manque Une analyse didactique de diff rents types d interactivit Fig 2 La t che de l l ve est de remettre une roue la voiture en utilisant les outils disponibles cercle segment milieu Hay un coche abajo El coche perdio su rueda trasera Cuando se arrastra con el mouse se mueve a Puedes remplazarlo lo largo de la carretera con todas sus Fig 1 La voiture c
165. eendemos portanto que um dos objetivos dos Cadernos do Professor e do Aluno de oferecer subs dios para o desenvolvimento do trabalho do professor sobre o ensino e aprendizagem das no es matem ticas ali sugeridas articulado ao trabalho esperado dos estudantes Dessa forma o professor faz parte de modo integrado proposta considerando que ao planejar a forma de trabalho 267 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica mesmo que relacionada s rela es institucionais esperadas podem possibilitar a avalia o do desenvolvimento dos estudantes orientando os na constru o do conhecimento levando em conta as rela es institucionais existentes Nobre Barros 2011 p 7 Refer ncias Chevallard Y 1992 Concepts Fondamentaux de la Didactique perspectives apport es par une approche anthropologique Recherches en Didactique des Math matiques Grenoble La Pens e Sauvage ditions v 12 1 73 111 Chevallard Y 2011 Notas do Curso de Altos Estudos Inicia o a Teoria Antropol gica do Did tico S o Paulo UNIBAN Nobre Barros L H 2011 As rela es pessoais esperadas dos estudantes no processo de ensino e aprendizagem da no o de derivada de uma fun o In Anais da XII Confer ncia Interamericana de Educa o Matem tica Recife UFPE CD ROOM 1 9 S o Paulo Estado Secretaria de Educa o do Estado de S o Paulo 2008 Proposta Curricular
166. el 1987 Hilbert D 2003 Fundamentos da geometria Lisboa Gradiva Leivas J C P 2009 Imaginac o Intuic o e Visualizac o a riqueza de possibilidades da abordagem geom trica no curr culo de cursos de licenciatura de matem tica Tese Doutorado em Educa o Universidade Federal do Paran Curitiba 2009 294 p Presmeg N Research on visualization in learning and teaching mathematics In Gutierrez A Boero P Ed 2006 Handbook of research on the psychology of mathematics education past present and future Rotterdam Sense Publishers p 205 235 Sancho J M Hern ndez F 2006 Tecnologias para transformar a educa o Porto Alegre Artmed 2006 Zimmermann W Cunningham S 1991 Visualization in teaching and learning mathematics a project sponsored by the Committee on Computers in Mathematics Education of The Mathematical Association of America Washington USA Mathematical Association of America Ve e 0 gt e 114 Una propuesta did ctica a partir de la construcci n de mandalas en Cabri Il para potenciar las estrategias de aprendizaje en geometr a Lilian del C Vargas Villar Universidad de Concepci n Campus Los Angeles Chile lilivargas udec cl Mar a F Villalobos Villar Universidad de Concepci n Campus Los Angeles Chile mvillalo udec cl Resumen Este taller nace con el prop sito de abordar la ense anza de la geometr a desde una perspectiva psicopedag
167. el uso del Cabri 3D ya que este permite una construcci n secuencial de las superficies de revoluci n y la manipulaci n de estas figuras facilita la soluci n de problemas Actividades Las actividades a desarrollar en este taller se dividen en dos momentos En un primer momento se realizar la exploraci n de algunas herramientas del Cabri 3D necesarias para la construcci n del cilindro cono y esfera generados por revoluci n como las transformaciones geom tricas trayectoria o traza y animaci n que permiten construir modelos animados como podemos observar en las siguientes figuras Figura 1 Construcci n de una superficie cil ndrica 161 Talleres Figura 3 Construcci n de una superficie esf rica En esta parte se reconocer los principales elementos de cada superficie de revoluci n como generatriz radio de la base altura directriz etc Adem s en el caso del cilindro y el cono de revoluci n con ayuda de las herramientas de medida del Cabri 3D se verificar la relaci n que existe entre la generatriz el radio de la base y la altura y se calcular el rea y el volumen correspondientes En un segundo momento del taller se realizar la construcci n de otras superficies de revoluci n que incluyen formas cil ndricas c nicas o esf ricas como observamos a continuaci n Figura 4 Construcci n de la superficie de un tronco de cono 162 Superficies de revoluci n con Cabri 3D
168. en ella se observa que mientras que los puntos recorren la circunferencia los valores de generan cuatro puntos cr ticos Para determinar valores extremos de sujeta a la restricci n busque valores de y tales que y 6 Stewart 2008 182 Tratamiento metodol gico de las funciones de varias variables Figura 2 fx y y g x y 0 Tangencia de las cuervas de nivel y g x y 0 Campos vectoriales El prop sito de estas animaciones es mostrar al alumno de manera visual el comportamiento de los campos vectoriales que son funciones que asignan vectores a puntos en el espacio En particular para definir las integrales de l nea las cuales se pueden usar para encontrar el trabajo que efect a un campo de fuerzas al mover un objeto a lo largo de una curva luego definir las integrales de superficie las cuales se utilizan para determinar el caudal que pasa por una superficie Mostrar c mo se puede graficar campos vectoriales en el plano y en el espacio para luego dise ar actividades que permitan a los estudiantes comprender estos conceptos La figuras 3 muestra un campo sobre la superficie de una esfera y un campo gradiente sobre la superficie de un paraboloide circular en el primer octante en la figura 5 se ve dos campos vectoriales en el plano xysqrx 2 y 2 z 2 3 campo gradiente W sqn x 2 y 2 2 213 2 x sqr1 4 x 2 4 y 2 1 4 2 yM sqru4 x 2 4 y 2 1 4 2 sqrupe 2 y 2 2 2 3 AE s 5 IVsqr ax 2 4 y 2 1 4
169. en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gr fica de la funci n en el punto de abscisa x a a Derivadas Laterales Derivada por la izquierda Se llama derivada por la izquierda de la funci n f en el punto x a al siguiente l mite si es que existe 175 Talleres b Derivada por la derecha Se llama derivada por la derecha de la funci n f en el punto x a al siguiente l mite si es que existe Evidentemente una funci n es derivable en un punto s y s lo s es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales AS Figura 3 Problema de optimizaci n Un recipiente de almacenamiento sin tapa debe tener 60 m3 de volumen La longitud de su base es el doble de su ancho El material de la base cuesta S 10 por m2 y el de los lados S 6 por m2 Calcular el costo m nimo de los materiales para tal recipiente Tomado de Examen Final del Curso C lculo Diferencial del verano del 2010 ERIC o Figura 4 176 Visualizando los l mites de funciones y las derivadas con geometr a Referencias Hanna G 1989 Proofs That Prove and Proofs That Explain En G Vergnaud J Rogalski amp M Artigue Eds Proceedings of the Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education 13th Paris France July 9 13 1989 2 45 51 Recuperado de http www eric ed gov PDFS ED411141 pdf Hanna G
170. endo por conclus o que indiv duos relacionam este conceito verticalidade e n o perpendicularidade ao lado oposto ao v rtice A pesquisa completa se encontra em LEIVAS 2010 O presente trabalho tem por objetivo relatar uma experi ncia realizada na disciplina Fundamentos de Geometria Plana e Espacial oferecida a um Mestrado Profissional em Ensino de 293 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Z F sica e de Matem tica no Brasil na qual o investigador o pr prio professor O experimento ocorreu no primeiro semestre letivo do ano de 2012 num encontro de quatro horas aula num laborat rio informatizado com o Cabri 3D instalado envolvendo 12 alunos todos eles professores atuantes na escola b sica brasileira Apenas um dos estudantes tinha conhecimento pr vio do software O professor j havia constru do uma plataforma na qual os alunos postavam as atividades que realizavam durante as aulas Solicitou que cada um criasse uma pasta com o nome acrescido da palavra Cabri a fim de distinguir das demais atividades que estavam sendo realizadas O investigador fez um passeio pelo menu do Cabri 3D abrindo e explanando superficialmente as potencialidades de cada ferramenta dando aten o especial documento nova vista de texto uma vez que os alunos deveriam fazer seus registros naquele espa o para posterior encaminhamento Foram propostas tr s atividades sequencialmen
171. entaci n la exploraci n la construcci n de modelos la formulaci n de hip tesis la demostraci n la responsabilidad la creatividad el an lisis el trabajo colaborativo en fin la actividad del estudiante sobre el objeto conocimiento desde diferentes aristas Cervantes amp Viquez 1994 144 es decir ver la matem tica de una manera mas activa y din mica la matem tica experimental Este taller se fundamenta en este software y en la hoy naciente GEOMETR A FRACTAL que es una poderosa herramienta que permite modelar fen menos impredecibles y fascinantes de la naturaleza y que fue dada a conocer al mundo en los a os setenta por Beno t Mandelbrot El t rmino fractal fue acu ado por el y hace referencia a la idea de partido o fracturado Como caracter stica fundamental se considera la autosemejanza o autosimilaridad de su forma la reiteraci n o iteraci n en la formaci n de su modelo la dimensi n que intenta describir su tama o o densidad y el concepto de atractor para caracterizar la figura cuando el proceso de iteraci n tiende al infinito Esta idea es suficiente para pensar en figuras que por ejemplo tienen rea finita y per metro infinito Quiz s algunos conjuntos ya cl sicos puedan resultar familiares y que podr an servir de ejemplos bastante sencillos para estas caracter sticas como el conjunto de Cantor el tri ngulo de Sierpinski o la curva de Koch Cabe indicar que este trabajo se centra m
172. ente capacitarse en su uso y potencializar sus sesiones de clase Los software de geometr a din mica como el caso de CABRI II plus y CABRI 3D se potencializan en la PDI al trabajar sobre una superficie interactiva permitiendo al docente generar nuevas estrategias de aprendizaje donde el objetivo de la clase no s lo ser el trazo correcto del objeto matem tico sino pasar a nivel de 166 Uso de la Pizarra digital interactiva en la ense anza de la geometr a pensamiento m s elevados como la consolidaci n aplicaci n demostraci n y el an lisis de ideas nociones teoremas y postulados de la geometr a Modelo Te rico Utilizado El modelo te rico utilizado en las experiencias en este taller se encuentra sustentado en la teor a de Van Hiele demostrando la posibilidad de introducir el uso de la pizarra digital en la ense anza de la geometr a din mica fomentando un trabajo geom trico de car cter cualitativo que asegure la formaci n de conceptos y la imaginaci n espacial Seg n la teor a de Van Hiele los contenidos geom tricos han de ser tratados c clicamente en niveles de complejidad creciente La secuenciaci n de dichos contenidos a trav s del curr culo estar determinada por el an lisis de cada t pico o tema en funci n de la estructura del modelo lo que determinar un tratamiento distinto en cada nivel avanzando desde los aspectos cualitativos alos cuantitativos y abstractos En el modelo de Van H
173. eo del Cabri Geometry mostrando algunas animaciones construidas con el prop sito de dise ar actividades para transmitir los aspectos muy abstractos y hacer que los aprendices puedan visualizarlos a trav s de la manipulaci n de estos objetos Desde el punto de vista del impacto de la utilizaci n de los programas de c lculo simb lico como herramienta did ctica ya que mejora la compresi n de la tem tica desarrollada y aumenta la motivaci n y el inter s de los alumnos En este sentido tambi n puedo resaltar la potencialidad del programa Cabri Geometry para la graficaci n posibilitando que el alumno pueda visualizar y analizar los resultados obtenidos Si bien los problemas y ejemplos de aplicaci n motivan a los alumnos al mostrarles la utilidad de las herramientas matem ticas la implementaci n de los mismos debe realizarse en forma cuidadosa A continuaci n voy a mostrar algunas de las tem ticas trabajadas con la ayuda del programa Es una actividad para que el profesor logre hacer que los estudiantes visualicen y entiendan los principios geom tricos que est n involucrados detr s del concepto Superficies cu dricas Para graficar una superficie cu drica es preciso escribir la ecuaci n en forma est ndar de esta manera Elipsoide se puede asignar a cualquiera de las variables x y o z un par metro por ejemplo le damos esta forma 180 Tratamiento metodol gico de las funciones de varias variables
174. eometr a Anal tica y bajo este Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica enfoque los programas curriculares no presentan los conceptos relacionados con la par bola a partir de sus propiedades geom tricas sino a partir del punto de vista de la Geometr a Anal tica y ecuaciones Dentro de este contexto Calix 2007 se ala que entre las principales dificultades que presentan los alumnos del bachillerato en este tema se encuentran reconocer las c nicas como lugares geom tricos identificar y describir sus elementos caracter sticos establecer la relaci n entre los par metros de la ecuaci n y la representaci n gr fica c mo la variaci n de los par metros determina la transformaci n de la gr fica de la curva y apreciar sus potencialidades para modelar fen menos de la realidad Por nuestra experiencia docente se sabe que los estudiantes no responden de manera un voca a los problemas y ejercicios porque su aprendizaje responde a procesos de reflexi n y experimentaci n distintos Es la propia reflexi n acerca de determinado objeto lo que conduce al alumno al dominio del mismo y no s lo como resultado de un proceso de ense anza Si un alumno s lo puede asimilar una parte del concepto que le es presentado los profesores deber n dise ar actividades que les permita alcanzar un mejor conocimiento Asimismo hemos encontrado diversos investigadores tales como Fern ndez 2009 Gonz les 2
175. er metro o rea del cuadrado tri ngulo o c rculo posibilit ndose as la visualizaci n y el reconocimiento de patrones de variaci n y cambio entre magnitudes Se hace un registro tabular lado vs per metro o lado vs rea que nos permita determinar de una manera cuantitativa la relaci n de dependencia entre variables en este caso geom tricas Finalmente se hace un registro gr fico que permite ver de manera cualitativa las caracter sticas globales de la funci n lo que facilitara la identificaci n y caracterizaci n de un modelo funcional y su correspondiente expresi n algebraica Acercamiento al concepto de funcion a trav s de la manipulaci n de El cabr es por tanto el software ideal para el desarrollo de este trabajo por que permite el estudio de fen menos de cambio y su expresi n a trav s de diversos sistemas de representaci n Esta dirigido a docentes de todos los niveles y tiene una duraci n de 90 minutos Palabras Clave variable inicial variable final patrones funcionales generalizaci n funci n Pertinencia Es muy dif cil comprender nuestro mundo circundante si lo consideramos sin movimiento sin cambio de hecho no existe fen meno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fen meno del cambio Nuestra vida diaria y el mundo que nos rodea son siempre cambiantes por ejemplo en las carreteras los autos recorren distancias cambiantes la temperatura ambiental cambia peri dicamente
176. era la curvatura de un tri ngulo se calcula como el exceso de 1800 de la suma de los tres ngulos interiores del tri ngulo As la curvatura del tri ngulo esf rico de la Figura 1 es 208 44 180 28 440 lo equivale a 0 4964 radianes La curvatura de un cuadril tero esf rico es el exceso sobre 3600 la suma para un cuadril tero plano de la suma de los 4 ngulos interiores del cuadril tero Vemos en la Figura 7 un cuadril tero alrededor del v rtice de un octaedro regular Resultado 480 009 Figura 7 La suma de los cuatro ngulos del cuadril tero de la Figura 7 es 4800 por lo que su exceso es 480 360 1200 O sea que la curvatura alrededor de un v rtice de un octaedro regular es 1200 y en la p gina anterior vimos que 1200 tambi n era el defecto en el v rtice O sea que simplemente calculando los defectos en los v rtices de los poliedros estamos calculando tambi n la curvatura de la superficie alrededor de dicho punto 86 La infalibilidad de las matem tica como un obst culo para su Para finalizar mencionar una frase que dijo alguna vez un ilustre matem tico La geometr a es el arte de razonar bien sobre una mala figura Dicen que una verdad a medias puede ser una gran mentira y este es el caso La frase anterior no es ni suficientemente abstracta ni suficientemente concreta Modestamente yo la corregir a diciendo La geometr a es la ciencia de razonar bien sin ninguna figura luego de
177. erar ambientes adecuados para desarrollar actividades de exploraci n y descubrimiento de propiedades afianzar conceptos y abordar situaciones problem ticas En este trabajo se presenta una propuesta de actividades en el tema de las c nicas con apoyo del programa Cabri II Plus experiencia realizada con profesores de matem tica de ense anza media La propuesta considera actividades de construcci n de las c nicas construcciones cl sicas de exploraci n de sus propiedades fundamentales y de resoluci n problemas con apoyo del programa Las herramientas que ofrece Cabri junto con la posibilidad de implementar applet hacen del programa un poderoso recurso para apoyar un estudio de estas curvas y sus propiedades Palabras clave Geometr a din mica Cabri C nicas Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Propuesta de actividades La propuesta considera actividades elementales para iniciar un estudio de las c nicas con apoyo del programa geom trico Cabri El uso de un software con caracter sticas din micas favorece la integraci n de conceptos geom tricos involucrados en las c nicas la construcci n enfatizando el concepto de lugar geom trico que caracteriza a estas curvas la verificaci n de propiedades y elaboraci n de conjeturas En esta propuesta las c nicas son consideradas como lugares geom tricos en el plano I Definici n y propiedades b sicas Estudio de una c nica Una
178. erenciales de primer orden tambi n se observa que la complementaci n de textos dirigida contextualiza el problema aunque al mismo tiempo lo segmenta Un redise o de estas actividades podr a aclarar que textos pueden los estudiantes construir por su propia iniciativa y cuales es mejor impulsar mediante instrucci n Referencias Booth L 1984 Algebra Children s Strategies and Errors Windsor Reino Unido nfer Nelson D az Barriga E 2011 Conferencia Cabri en auxilio de la resoluci n de problemas algebraicos Ill Congreso Internacional en Formaci n y Modelaci n en Ciencias B sicas Medell n Colombia Filloy E Rojano T 1985a Obstructions to the Acquisition of Elemental Algebraic Concepts and Teaching Strategies en L Streefland ed Proceedings of the Ninth Annual Conference for the Psychology of Mathematics Education Utrech Holanda State University of Utrecht pp 154 158 Filloy E Rojano T 1985b Operating unknown and models of teaching A clinical study with 12 13 years old with a high 75 Conferencias proficiency in pre algebra en S K Domarin y M Shelton eds Proceedings of the Sixth Annual Meeting for the Psychology of Mathematics Education North American Chapter Columbus Ohio EUA Ohio State University pp 75 79 Gardner M 1983 Aj Editorial Labor G mez L 2008 El desarrollo de la competencia lectora en los primeros grados de primaria Revist
179. erido a ejes rectangulares admite por ecuaci n a Fig 3 Elipsoide de Revoluci n Construcci n de un paraboloide Terminada la actividad descripta continuaremos proponiendo a los asistentes la construcci n de un paraboloide de revoluci n Construcci n de hiperboloides Finalizaremos con la construcci n de un hiperboloide de una hoja y de dos hojas siempre de revoluci n SEGUNDO ENCUENTRO Construcciones de cu dricas que no son de revoluci n Construcci n de un hiperboloide de una hoja Realizaremos esta construcci n para la cual tendremos en cuenta la definici n de Burgos J 1994 98 Como es que las trayectorias de las c nicas pueden generar cu dricas En el espacio euclideo y respecto de los ejes rectangulares se consideran los puntos A a 0 0 A a 0 0 B 0 b 0 B 0 b 0 C 0 0 c y C 0 0 c donde a gt 0 b gt 0 c gt 0 son dados Sean la elipse cuyos semiejes son AA y BB y H y H las hip rbolas cuyos ejes reales son AA y BB y su eje imaginario es CC para ambas Se llama hiperboloide de una hoja que tiene por ejes reales a AA BB y por eje imaginario CC al lugar geom trico definido entre otras de las siguientes maneras equivalentes entre s 1 Lugar geom trico que describe una elipse variable situada en un plano perpendicular al eje y que tiene sus v rtices en las hip rbolas 2 Lugar geom trico que describe una hip rbola variable que contien
180. es champs conceptuels Recherches enDidactique des Math matiques 10 2 3 133 170 Vygotski L 1930 Mind in Society The development of higher psychological processes Edited in 1978 in Cambridge Massachusets Warfield M V 2007 Invitation to Didactique Bloomington IN Xlibris Corporation Ve 0 0 gt 188 Construyendo una colcha de retazos con Tangramas y Cabri Beatriz Zunino Colegio Seminario Liceo N 10 Uruguay beazuninoO hotmail com Bernardo Camou Font Colegio Seminario Liceo N 10 Uruguay bcamou adinet com uy Resumen Cuando la geometr a se presenta desde lo l dico d ndole al ni o la posibilidad de manipular y crear su aprendizaje se torna no solamente placentero sino tambi n significativo El presente taller se propone comunicar una forma de trabajar la geometr a con alumnos de 6 a 8 a os en donde pueden lograr aprender importantes conceptos geom tricos a medida que realizan la actividad La tarea de los ni os consiste en la realizaci n de colchas con parches de papel de forma cuadrada bas ndose en los patrones que ellos mismos han dise ado previamente trabajando con los tri ngulos de sus Tangramas De esta propuesta manipulativa y las producciones art sticas se pasa a la discusi n en la clase sobre los diferentes dise os y la descripci n de los mismos as como los resultados de las decisiones tomadas Luego en el aula de inform tica trabajando con Cabri los
181. es graphiques traditionnelles Cette approche alliant tradition et modernit nous semble la plus prometteuse et porteuse de sens pour un enseignement de g om trie dans une cole d architecture Variations p dagogiques et questionnement Il est d sormais banal d affirmer que les outils num riques de mod lisation ont pris une place d terminante dans le processus de conception et de fabrication et l architecture n chappe pas cette volution Les g om tries qu elles reposent sur la notion de distance euclidiennes et non euclidiennes affines ou topologiques et les algorithmes de transformation qu elles sous tendent sont au c ur de ces outils Il para t tout autant indiscutable d affirmer que la mod lisation de ces g om tries notamment les g om tries m triques dans le cadre de l informatique est essentiellement analytique Pourtant le dessin g om trique que nous appellerons ici construction g om trique et qui repose sur une g om trie classique du trac nous para t tre un l ment essentiel la formation des architectes Ainsi Il para t naturel au moins dans le cycle licence d appuyer l enseignement de la g om trie en privil giant les objets g om triques classiques droite courbe plan surface espace se fondant dans une tradition qu il est convenu d appeler la g om trie pure cette g om trie peut se satisfaire aujourd hui pleinement de la g om trie dynamique qui repose certes su
182. esarrollarlo Presentan un escrito sobre el trabajo realizado que si es aprobado los habilita para exponerlo ante sus pares Seg n la licenciada en Ciencias de la Educaci n Alejandra Trillo 2000 la imaginaci n es el uso de todos los sentidos con la finalidad de generar ideas im genes y soluciones poco convencionales Mar a Judith Aderete y Mar a Eugenia Peralta 2005 expresan al respecto No hay modo de crear nuevos conocimientos sobre un tema de resolver los peque os o grandes enigmas de nuestro mundo si no se tiene intuici n e imaginaci n si no se exploran con mente abierta los diversos caminos que pueden llevar a la respuesta Pero esa disposici n creativa que es verdaderamente 16 Imaginacion geometr a din mica y Cabri indispensable de nada sirve si no se la encausa en un verdadero proceso de an lisis de organizaci n de material disponible de ordenamiento y de cr tica a las ideas pues no obtendr amos un conocimiento cient fico sino simples opiniones Como Profesores nuestro compromiso actual es presentar la Matem tica en forma atrapante accesible sin dejar de ser rigurosos y para eso se necesita imaginaci n Ante cada grupo de estudiantes nuestra misi n es estudiar sus caracter sticas sus saberes previos c mo encaran el estudio en qu estima tienen a esta ciencia y a partir de all intuir imaginar y crear las estrategias La Geometr a din mica se transforma en potencial recurso
183. essa forma devemos desenvolver situa es em que o problema matem tico seja escolhido no sentido de conduzir o aluno a agir falar refletir e evoluir por conta pr pria no sentido de produzir conhecimentos O professor assim deve assumir o papel de mediador criando as condi es para que o aluno seja o principal ator na constru o de seus conhecimentos Nesse sentido entenderemos uma situa o problema como a escolha de quest es abertas ou fechadas em uma situa o que envolva um campo de problemas apresentados em um ou v rios campos de conhecimentos matem ticos Sua fun o principal a utiliza o impl cita e depois expl cita de novas ferramentas matem ticas por meio das quest es que o pr prio aluno assume quando busca as respostas Al m disso os alunos devem compreender facilmente o que for dado poder explorar o problema com os conhecimentos que disp em embora sejam insuficientes para a resolu o imediata e perceber que existe uma resposta poss vel Outro ponto que deve ser considerado na constru o dessas situa es problemas o registro de representa o que ser utilizado os tratamentos s o poss veis e ainda se a convers o para um outro registro poder ocorrer ou n o Para Duval 2011 p 84 a Matem tica o nico dom nio em que o progresso dos conhecimentos est estreitamente ligado inven o de novos sistemas semi ticos Como trataremos de constru o de figuras 26 A construc
184. etc Describir comparar y cuantificar situaciones con diversas representaciones de los n meros en diferentes contextos Identificar regularidades y patrones num ricos las propiedades de los n meros sus relaciones y operaciones utilizando calculadoras o computador Pensamiento espacial y sistemas geom tricos 1 Diferenciar atributos y propiedades de objetos bidimensionales y tridimensionales Comparar y clasificar objetos bidimensionales y tridimensionales de acuerdo con sus componentes y caracter sticas Hacer conjeturas y verificar los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y anal ticos 1 Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos num rico geom trico etc Predecir patrones de variaci n en una secuencia num rica geom trica o gr fica Describir y representar situaciones de variaci n relacionando diferentes representaciones diagramas expresiones verbales generalizadas y tablas Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio variaci n 138 Acercamiento al concepto de funcion a trav s de la manipulaci n de 5 Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas 6 Modelas situaciones de variaci n con funciones polin micas Referencias Alarc n J Escalante C C 1986 Graficaci n de funciones sin C lculo Secci n
185. explana o do referencial te rico escolhido 1 Referencial te rico As an lises desse estudo est o fundamentadas como fora dito anteriormente em algumas no es pertencentes Teoria Antropol gica do Did tico TAD definida por Chevallard 1992 2011 Assim para o te rico o ensino da Matem tica corresponde o estudo do ser humano em confronto com a mesma ou seja a atividade matem tica dentro do conjunto de atividades humanas e das institui es sociais designado antropologia do conhecimento matem tico conduzindo a uma atividade matem tica como uma atividade de estudo Para tal ele parte do seguinte princ pio tudo objeto cadeira mesa l pis pessoas institui es etc e partindo de dois tipos espec ficos de objetos as institui es I e as pessoas X ele considera que o objeto ao ser reconhecido por uma pessoa X dito rela o pessoal e se este reconhecido por uma institui o I denominado rela o institucional o que ele denominou de elementos primitivos Dessa forma entendemos que as ferramentas acima descritas podem auxiliar a compreender qual o trabalho que se espera que seja desenvolvido na etapa escolar selecionada isto o que podemos assim atingir quando se deseja introduzir uma nova no o por meio de um conjunto de tarefas e pr ticas para desenvolver em ambiente educacional os conceitos de simetria axial e reflex o Ap s a descri o do referencial te rico escolh
186. exte interne aux math matiques tels un contexte g om trique ou un contexte num rique Une source de probl mes est justement constitu e par le passage d un domaine math matique un autre En effet chaque contexte facilite certains traitements math matiques et en rendent plus difficile d autres Les contextes num riq3ue et g om trique diff rent de par les caract ristiques math matiques qu ils mettent au premier plan et rendent accessibles L criture num rique d une fraction comme 2 5 donne sa valeur exacte Sa repr sentation g om trique comme une partie d une barre gale 1 ne fournit pas sa valeur exacte dans la seule estimation visuelle En revanche la repr sentation g om trique de deux fractions sur la m me barre permet de les comparer ais ment par la perception alors que ce n est pas toujours imm diat dans le contexte num rique il n est pas imm diat de comparer 108 221 et 266 541 sans calculatrice Ces diff rences entre contextes math matiques peuvent tre exploit es pour poser des probl mes et fournir des r troactions visibles aux l ves Un cahier de la m me collection du Tessin demande aux l ves de d limiter la partie d une barre gale une fraction donn e sous forme num rique Fig 17 L l ve peut ensuite v rifier sa r ponse en obtenant l affichage de la place correcte de la d limitation Fig 18 Il peut voir imm diatement si sa r ponse est loign e ou proche de la r p
187. ferentemente expresiones algebraicas o f rmulas que tengan que ver con combinaciones de ellos Esta actividad es grupal y se socializan los ejemplos encontrados el docente invita a los participantes a buscar tanto los ejemplos m s cotidianos como los m s raros La complementaci n de textos matem ticos ya ha sido tratada anteriormente Pluvinage 1988 en nuestro caso hemos fragmentado textos matem ticos siguiendo los lineamientos generales de la investigaci n mencionada con la salvedad de que hemos dado al estudiante un conjunto de palabras y expresiones algebraicas una sopa de palabras n meros y expresiones dentro de las cuales se encuentran aquellas que complementan el texto correctamente mezcladas con otras que son distractores o alteran el sentido del texto hemos llamado a esta tarea complementaci n de textos dirigida Se ha contrastado con la complementaci n de textos libre de la investigaci n mencionada Se busca que las mezclas propuestas incluyan errores frecuentes en el manejo algebraico Booth 1984 Filloy E Rojano T 1985 y palabras cuyo significado pueda eventualmente requerir una consulta a un diccionario 68 Un registro semi tico importante en la evaluaci n de actividades En la tercera actividad hemos elegido algunos problemas algebraicos de textos recreativos cl sicos Perelman 1978 Gardner 1983 para que los estudiantes los planteen Los problemas son presentados regularmente en forma d
188. fessores do Brasil impasses e desafios Bras lia UNESCO Laborde C 2007 The role and uses of technologies in Mathematics Classrooms between challenge and Modus Vivendi Canadian Journal of Science Mathematics and Technology Education Manrique A L Silva M J F amp Almouloud S A 2002 Conceitos Geom tricos e Formac o de Professores do Ensino Fundamental 252 Reuni o da ANPED Caxambu MG Possani J F 2012 no prelo Uma sequ ncia did tica para a aprendizagem do volume do icosaedro regular Disserta o de Mestrado em Educa o Matem tica Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo Salazar J V F 2009 G nese Instrumental na intera o com Cabri 3D um estudo de Transforma es Geom tricas no Espa o Tese de doutorado em Educa o Matem tica da Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo Ve 0 0 e e 37 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit rendus posibles par les technologies Cabri Colette Laborde Cabrilog Grenoble France colette laborde cabri com Abstract It is commonly accepted that an important feature of technology and technology based tasks lies in their interactivity and in the possibility of providing feedback to students actions The talk will adress the notion of interactivity and feedback from a didactic perspective In particular the design of tasks based on dynamic mathematics environments and of different types of f
189. ganizaciones curriculares requieren cierto grado de estabilidad para evaluar sus virtudes y sus defectos Empero no podemos hacer como si la presencia de la tecnolog a digital fuese solamente una pr tesis que produce alivio pasajero a los problemas de la cotidianidad educativa como si fuese una lupa un mediador cuyo papel equivale a permitirnos hacer mejor lo que de todas formas pod amos hacer sin l Entonces las matem ticas a cuyo auxilio vendr a esta tecnolog a queda intocada La tecnolog a digital tal como est encarnada en un medio semi tico como Cabri va m s lejos Su sistema de representaci n permite rebasar el nivel de la mera ilustraci n visual y acceder al nivel de las estructuras Cabri es un microscopio matem tico y escolar Las consecuencias son de varios tipos aparte de la erosi n curricular del conocimiento est tico hay consecuencias profundas de corte cognitivo y epist mico Nuestra presentaci n versar sobre las consecuencias cognitivas y epist micos para la demostraci n que emergen del nuevo orden din mico y estructural La escuela como mediador protag nico del conocimiento no puede renunciar a las consecuencias de este nuevo orden que en cierta medida subvierte el establecido hasta hoy Palabras clave demostraci n epistemologia cognici n curriculum La infalibilidad de las matem ticas como un obst culo para su ense anza y su aprendizaje Bernardo Camou Font Academia Bolzano
190. gica en las aulas En Revista Did ctica Innovaci n y Multimedia 20 lt http www pangea org dim revista gt P rez Sanz Antonio 2007 Programas Inform ticos para la ense anza de la geometr a Gaceta de la Real Sociedad Matem tica Espa ola 10 2 301 514 Ve 0 0 e gt 171 Visualizando los limites de funciones y las derivadas con geometr a din mica Mar a del Carmen Bonilla Asociaci n Peruana de Investigaci n en Educaci n Matem tica mc bonilla hotmail com mbonilla pucp edu pe Mar a Elena Villanueva Pinedo Universidad Nacional Agraria La Molina UNALM villanuepi lamolina edu pe Rocio Consuelo Delgado Aguilar Universidad Nacional Agraria La Molina UNALM Per dare lamolina edu pe Resumen La propuesta did ctica fue aplicada en el curso de C lculo Diferencial de la UNALM y puede utilizarse en cursos de C lculo de Bachillerato Institutos Superiores y Universidades El objetivo principal que se persigue es lograr la comprensi n de las nociones de l mites de funciones y derivadas Stewart 2002 a trav s de la exploraci n y visualizaci n de las gr ficas presentadas en Cabri II Plus Las actividades dise adas podr an constituir pruebas explicativas de car cter heterog neo Hanna 8 Sidoli 2007 de las definiciones de l mites de funciones y de derivadas En el taller de dos sesiones de 90 minutos cada uno los participantes aprender n en la primera sesi n a elaborar
191. gica que contribuya al desarrollo de las capacidades cognitivas de los alumnos as y al logro de los objetivos actitudinales asociados a esta La construcci n de mandalas utilizando el software CABRI II permite al alumno desarrollar habilidades visuales b sicas como la coordinaci n visomotora percepci n figura fondo etc habilidades de comunicaci n ampliando su lenguaje geom trico desarrollando conceptos y relaciones geom tricas a trav s del dibujo y la construcci n La propuesta pedag gica propone situaciones de aprendizaje utilizando CABRI II en la construcci n de mandalas El mandala es un arte milenario que permite por medio de un soporte gr fico llegar a la meditaci n y a la concentraci n para exprimir nuestra propia naturaleza y creatividad Est constituida por un conjunto de figuras y formas geom tricas conc ntricas Estas situaciones de aprendizaje fueron aplicadas con alumnos de pregrado de Educaci n General B sica de la Universidad de Concepci n Campus Los ngeles y pueden ser desarrolladas desde sexto a o b sico de acuerdo a los programas de estudio Talleres oficial del MINEDUC donde se incorporan conceptos geom tricos como construcci n de pol gonos inscritos en una circunferencia construcci n de circunferencias tangentes interiores a una circunferencia dada construcci n de una circunferencia tangente a los lados de un ngulo simetr as rotaciones traslaciones homotecias etc El ta
192. ha ecuaci n obtiene que es decir que y finalmente lleg a la conclusi n pero como finalmente concluye que todo es ra z de seis o seis Adem s de las dificultades que presenta la construcci n el sistema de representaci n y el manejo algebraico sobre el papel en el aula de inform tica se pone en evidencia la dificultad para dibujar un tri ngulo rect ngulo un cuadrado cuya rea se conoce y una vez que se logra dibujar esas figuras c mo comprobar sus propiedades Por ello inicialmente las unidades se desarrollan desde la reconstrucci n de los conceptos b sicos de la geometr a euclideana 235 Reportes de investigaci n De hecho esta metodolog a implica un cambio de roles en el aula de clase el reconocimiento de los errores y la construcci n de soluciones a partir de ellos Las clases de did ctica en el aula de inform tica resultan muy agradables aunque se presenta una tendencia marcada de algunos estudiantes por abandonar la tarea y conectarse a las redes sociales o jugar en el computador Cuando se utilizan las calculadoras gr ficas algunas dificultades se hacen mucho m s evidentes el arrastre la comprobaci n de propiedades Los espacios de clase en los que se analizan los aciertos y errores de los estudiantes y la posibilidad de interactuar con docentes en ejercicio y estudiantes permiten que desde los primeros semestres los estudiantes para profesor desarrollen capacidades para ident
193. i a figura e faz quest es que se baseiam na manipula o direta A Geometria Espacial Movimente os vetores que tem a mesma cor do tetraedro para arrast los para o interior da estrutura do prisma figura 9 O que voc pode concluir a respeito dos volumes do prisma e dos tetraedros O objetivo que observem a trissec o do prisma e que os tr s tetraedros t m mesmo volume Figura 9 Trissec o do prisma Considera es finais Estas situa es nos mostram que o Cabri 3D um ambiente favor vel para o estudo de s lidos que n o fazem parte do curr culo de Geometria espacial Tratamos aqui de s lidos arquimedianos mas n o h limite para os tipos de s lidos que podem ser tratados No Ensino Fundamental as truncaturas poderiam ser utilizadas para obter s lidos mais simples para que os alunos busquem a f rmula do volume a partir da decomposi o do s lido inicial Muitos dos conte dos do Ensino 35 Conferencias B sico poderiam ter o Cabri 3D como ferramenta para a constru o de aprendizagens desde que os professores estivessem formados e instrumentados para constru rem e analisarem pr via e posteriormente situa es adequadas para esse fim Refer ncias Almeida T C S 2010 S lidos Arquimedianos e Cabri 3D um estudo de truncaturas baseadas no renascimento Disserta o de Mestrado em Educa o Matem tica Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo S o Paulo Almouloud S A
194. ia ma anche analisi matematica calcolo delle probabilit fisica Io ho scritto un libro FisiCabri Principato Milano Italia con circa 150 applicazioni Cabri io chiamo cos le mie figure dinamiche che simulano altrettanti fenomeni fisici E uno strumento portentoso per la didattica si possono mostrare cose che una figura statica su una pagina di libro non potrebbero far vedere Ad esempio un onda dipende da due parametri spazio e tempo e in una figura statica o si mostra la dipendenza dallo spazio o quela dal tempo In una applicazione Cabri invece si vede contemporaneamente la dipendenza dallo spazio quella dal tempo l onda e la particella di materia che si muove di moto periodico Si pu facilmente disegnare una funzione in Cabri con lo strumento Trasporto di misura lo insegner nel taller Si pu facilmente calcolare la derivata e l integrale della funzione e se ne possono tracciare i grafici Si possono dimostrare graficamente e in maniera didatticamente efficace i teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilit il teorema di De Moivre Laplace e la Legge dei grandi numeri Parole chiave Cabri Fisica Analisi Matematica Tematico De los ejes tem ticos propuestos para el congreso se alar aquel que se adapte mejor a la naturaleza del trabajo propuesto F sica qu mica e ingenier a con asistencia de Cabri En esto teller vamonos a mirar como se puede realizar las aplicationes utiles para ense a
195. icar o teorema de Pit goras e obter a medida procurada que no caso Com a distancia entre um v rtice e o ponto de corte j determinada podemos iniciar o processo de gera o do cubo truncado com a cria o de um cubo no Cabri 3D Em seguida medimos o comprimento da aresta com a ferramenta comprimento indicando uma das arestas do cubo Para inserir o valor da express o na tela do Cabri 3D que determina a dist ncia d dos v rtices em que as arestas s o truncadas utilizamos a ferramenta calculadora indicando a aresta do cubo e digitando com o aux lio do teclado os demais valores conforme mostra a Figura 2 207 Reportes de investigaci n O resultado obtido com a express o transferido para cada aresta do cubo com a ferramenta transfer ncia de medida como podemos ver na Figura 2 que mostra os pontos de corte encontrados com essa transfer ncia Figura 2 Pontos de corte do cubo Com os pontos de corte j indicados iniciamos o processo de truncamento utilizando um plano de sec o que deve ser criado com a ferramenta plano e com a indica o de tr s pontos conforme mostra Figura 4 Com a ferramenta recorte de poliedro o primeiro canto do cubo ser eliminado indicando se o plano e o canto do cubo que cont m o v rtice desejado Com o recurso esconder mostrar podemos esconder o plano O resultado mostrado na Figura 5 Figura 4 Elimina o do primeiro ca
196. iciones relativas de recta y plano dos planos intersecci n de rectas recta y plano planos esfera y plano plano tangente a una esfera Con apoyo de Cabri 3D logramos e Visualizar y representar figuras geom tricas dando nfasis al desarrollo del sentido espacial e Representar y resolver problemas de geometr a en el espacio empleando la teor a y construcciones geom tricas e Construir modelos geom tricos y utilizarlos para explorar Para obtener e Gr fica de los ejes coordenados Haga clic en el tercer bot n y seleccione Recta Construya la recta eje que pasa por el origen de coordenadas O y el extremo del vector Para ocultar este vector seleccione haga clic derecho en Ocultar Mostrar De modo similar construya el eje Y el eje Z Luego oculte el plano de base gris e Gr fica de un punto en Haga clic en el d cimo bot n y seleccione Calculadora Ingrese el n mero enter y clic izquierdo Haga clic en el quinto bot n y seleccione Transferencia de medida transfiera elvalor sobreeleje se obtiene el punto Haga clic en el quinto bot n y seleccione Paralela Grafique la recta paralela al eje Y que pasa por este punto En forma similar ingrese transfiera este valor sobre el eje y grafique la recta paralela al eje que pasa por El punto de intersecci n de las rectas obtenidas es Ingrese transfiera este valor sobre la recta paralela al eje a partir de Oculte rectas y puntos auxiliares 320 Plano
197. id Espa a De Guzm n M 1993 Tendencias Innovadoras en Educaci n Matem tica Organizaci n de Estados Iberoamericanos para Educaci n la Ciencia y la Cultura Editorial Popular Dep sito Legal M 9207 1993 Ve 0 0 e e 122 El Uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico variacional a trav s del software Cabr Del pensamiento num rico al pensamiento algebraico variacional Jose Francisco Puerto Monterroza Institucion Educativa Antonio Lenis Universidad de Sucre Colombia Jopuermon Gmail Com Resumen El prop sito de este taller es mostrar como con el uso del cabri y la construcci n de algunos fractales conjunto de Cantor el tri ngulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch se pueden identificar patrones num ricos y o geom tricos Esta propuesta se fundamenta en el desarrollo de actividades de generalizaci n de patrones num ricos geom tricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los n meros y las figuras se involucra la visualizaci n exploraci n y manipulaci n de los n meros y las figuras en los cuales se basa el proceso de generalizaci n como lo propone Mason 1992 Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcci n de la expresi n algebraica a trav s de la formulaci n verbal de una regla recursiva que muestre c mo construir los t rminos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patr n que los g
198. ido a seguir apresentamos a metodologia usada nesse estudo 2 Metodologia da pesquisa O objetivo da pesquisa criar um ambiente educacional com o uso do software Cabri manipulando os recursos dispon veis que 263 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica provoque ao estudante a identifica o das principais transforma es no plano Assim na tentativa de alcan ar o objetivo acima propomos a seguinte metodologia e An lise e coment rios da nova proposta institucional para o ensino e aprendizagem das transforma es no plano via Cadernos do Professor e do Aluno da 62 s rie do Ensino Fundamental e Sele o de algumas tarefas que podem possibilitar a articula o das atividades sugeridas com papel e l pis com o uso do software Cabri e Identificar quais as tarefas que podem favorecer o uso das novas tecnologias em ambientes educacionais Dessa maneira faremos uma an lise r pida comentada da nova proposta institucional do estado de S o Paulo buscando relacionar com as rela es institucionais definidas por Chevallard 1992 3 An lises e coment rios da nova proposta institucional do estado de S o Paulo Considerando como fator relevante as mudan as sociais a nova proposta visa tentar modificar um cen rio que outrora era para poucos para isso busca uma aprendizagem que resulte tamb m da coordena o de a es entre as disciplinas do estimulo a vida cultura
199. ido de los problemas necesarios para vivir en armon a En la construcci n de mandalas se utilizan trazos distintas formas y colores se emplean conceptos geom tricos tales como puntos segmentos 116 Una propuesta did ctica a partir de la construcci n de mandalas ngulos circunferencia pol gonos regulares pol gonos estrellados rotaciones traslaciones c rculo sectores circulares etc Para disefiar un mandala revisaremos algunas construcciones b sicas utilizando CABRI II consiguiendo objetos complejos e interesantes Construcciones b sicas Para dise ar un mandala que tenga en su interior tri ngulos equil teros hex gono y la flor de la vida formada por doce arcos de circunferencia se divide la circunferencia en seis partes congruentes Para ello primero dibujamos circunferencia con centro O y radio a elecci n Figura 1 Luego dibujamos triangulo equil tero uniendo mediante la herramienta tri ngulo los puntos A C E Aplicando rotaci n del tri ngulo ACE a 180 con respecto al punto O tenemos nuestro primer mandala AQ Re d Figura 2 117 Talleres Dibujando luego el hex gono inscrito en la circunferencia y combinando con los tri ngulos anteriores tenemos un nuevo dise o en el que podemos ahora observar nuevos pol gonos producto de las intersecciones de los pol gonos dibujados Si observamos con atenci n podemos identificar trapecios tri ngulos obtusos ro
200. iele el profesor deja de ser expositor y se convierte en un coordinador de actividades Mientras que el profesor cambia el papel de expositor a coordinador el alumno cambia de receptor pasivo de la informaci n a buscador activo de la misma Este cambio de actitudes en aula tiene como consecuencia que el profesor deba conocer y manejar el material y el modelo para poderlo llevar a cabo El modelo de Van Hiele consta de dos partes la primera son los niveles de razonamiento que se clasifican en cinco Nivel 1 visualizaci n nivel 2 de an lisis Nivel 3 clasificaci n Nivel 4 Deducci n informal y Nivel 5 de rigor La segunda parte son las fases de aprendizaje que son fase 1 informaci n fase 2 orientaci n dirigida fase 3 explicitaci n fase 4 libre orientaci n fase 5 integraci n estas est n orientadas a ayudar a progresar a un alumno desde un nivel de razonamiento al inmediatamente superior las fases constituyen un esquema para organizar la propuesta de ense anza El paso de un nivel al siguiente depende m s de la instrucci n que de la edad o 167 Talleres maduraci n biol gica del individuo Lo cual implica que el profesor debe adecuar sus ense anzas al nivel de razonamiento del alumno para el concepto objeto de estudio pues en otro caso el aprendizaje ser de tipo memor stico local perecedero y carente de significado Es por eso que se hace imprescindible implementar una t cnica que facilite al docen
201. iente relaci n donde es el rea lateral y es el rea de la base utilizando la calculadora del Cabri 3D como se muestra en la figura 3 rea de la base 34 5 cm a rea lateral de la pir mide 65 55 cm b rea total 100 04 cm ab Figura 3 rea total de una pir mide y su desarrollo Calcular el rea total de la pir mide utilizando la caja de herramientas medida de rea del Cabri 3D y verificar este resultado con el anterior rea total de la pir mide 100 4 cm Figura 4 rea total de la pir mide 309 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica e Utilizando el arrastre del Cabri 3D mover un v rtice cualquiera de la pir mide y verificar que la relaci n se mantiene Actividad 2 Volumen de una pir mide Se construye un prisma triangular usando la caja de herramientas prisma y un vector direcci n y se realizan las siguientes acciones a Para dividir el prisma en tres pir mides es necesario cambiar el estilo de la superficie del prisma a vac o como se muestra en la figura 5 _ D ui Figura 5 Prisma con estilo de superficie vacio b Dividir el prisma en tres pir mides triangulares usando la caja de herramientas poliedro convexo como se muestra en la figura 6 B gt E Figura 6 Prisma dividido en tres pir mides 310 Piramides Una propuesta de ense anza con Cabri 3D c Para visualizar las tres pir mides cread
202. ificar y proponer alternativas de soluci n a los problemas propios de su profesi n Referencias Arriero C Garc a I 2009 Descubrir la geometr a del entorno con Cabri Narcea S A Madrid D az Barriga E 2006 Geometr a din mica con Cabri geometre 32 ed M xico Editorial Kali Godino J Batanero C Font V 2003 Fundamentos de la ense anza y el aprendizaje de las matem ticas para maestros Departamento de Did ctica de la Matem tica Facultad de Ciencias de la Educaci n Universidad de Granada Itzcovich H 2005 Iniciaci n al estudio did ctico de la geometr a De las construcciones a las demostraciones 12 ed Buenos Aires Libros del Zorzal Ve 0 0 gt e 236 Taller digital con Cabri g metra Daniel L onard Oskar G mez Denis Conteau Damien Hanser Gilles Duchanois Philippe Lecl re Ecole nationale sup rieure d architecture de Nancy Centro de investigaci n en arquitectura e ingenieria Universidad de Lorraine Francia prenom nomOnancy archi fr Introduction Avec l mergence des outils num riques et informatiques il est aujourd hui possible de renouer avec une g om trie essentiellement graphique Les m thodes traditionnelles permettant d tablir une volum trie partir de donn es sur le plan instrument e par la g om trie descriptive font partie du savoir faire et de la formation des architectes elles sont essentielles pour permettre aux tudiants
203. igarse del enfoque usual el algebraico trayendo consigo una complementariedad en los enfoques usuales para que los estudiantes comprendan las propiedades geom tricas Palabras clave c nicas lugar geom trico construcciones geom tricas enfoque puntual global situaciones did cticas Eje Tem tico Experiencia educativa con asistencia de Cabri 224 Dise o y construcci n de una estructura civil puente con fundamentos de geometr a din mica Luis Fernando Moreno Montoya Universidad de Medell n Colombia lufer angleO gmail com Luis Albeiro Zabala Universidad de Medell n Colombia Izabala udem edu com Resumen La esencia del proyecto es mostrar como la geometr a din mica puede ser utilizada de forma creativa para favorecer la comprensi n de conceptos aplicados de la ingenier a El estudio de la geometr a de un elemento estructural fundamentado en la herramienta din mica Cabr II plus optimiza la capacidad de su an lisis y del planteamiento de posibles hip tesis Qu conceptos geom tricos son tiles en el dise o estructural de un puente El objetivo es determinar utilizando el recurso del software Cabr cuales son los requerimientos geom tricos para el dise o de un puente funcional sin tener en cuenta procedimientos del c lculo estructural Palabras clave arco Cabr geometr a din mica geometr a estructural puente Eje tem tico F sica qu mica e ingenier a con asistencia de
204. iliou a elimina o dos cantos do cubo Durante a construc o percebemos tamb m relac es inter hier rquicas entre o poliedro plat nico de partida cubo e o poliedro de chegada cubo truncado Lembramos que o arquimediano cubo truncado apresenta dois tipos de faces tipo de face octogonal regular obtida a partir de truncaturas nas arestas do cubo e tipo de face triangular regular obtida a partir da eliminac o dos cantos do cubo Assim notamos que o n mero de arestas em cada face do arquimediano cubo truncado 209 Reportes de investigaci n obtido a partir de truncaturas de arestas do cubo equivale ao dobro do n mero de arestas da face do poliedro de partida cubo Al m disso o n mero total de v rtices do cubo truncado equivale ao dobro do n mero de arestas do cubo e os v rtices do cubo truncado nada mais s o que os pontos das arestas do cubo em que s o realizadas as truncaturas Identificar os saberes que o objeto matem tico cubo truncado entra em associa o importante na medida em que nos permite tamb m verificar se o ambiente Cabri 3D os reconhece como objeto dessa maneira que nos aproximamos dos saberes envolvidos e verificamos se o Cabri 3D contribui para que os S lidos Arquimedianos em especial o cubo truncado se transforme em objeto de ensino Diante do exposto o cubo truncado se tornou objeto para a institui o Cabri 3D no momento em que esta instituic o o reconheceu e se relacionou
205. imientos de construcci n de estructuras civiles sin conocimiento profundo de conceptos afines a la ingenier a civil minimizando los impedimentos a la hora de dise ar y modelar f sicamente estas estructuras Marco te rico en el que se basa el trabajo Los puentes en arco se conocen desde la mas remota antig edad y aparecen restos arqueol gicos de puentes arcos de rocas desde los Sumerios en Mesopotamia 2000 a c Por verdadero arco se entiende aquel en que las dovelas de roca se orientan radialmente y se soportan entre si Es con la civilizaci n Romana cuando los arcos de roca se generalizan y adquieren car cter de construcci n habitual en los a os 700 antes de cristo Los puentes arcos de piedra pasan por diferentes etapas Los puentes Romanos figural puente romano de M rida los puentes medievales figura 2 Puente Medieval en Fr as Burgos 226 Dise o y construccion de una estructura civil puente con fundamentos y los puentes modernos de los siglos XVI al XIX donde se cita el puente de la Concordia en Paris figura 3 Puente de la concordia el cual fue proyectado por J R Perronel a finales del siglo XVIII Representa un hito en que los arcos de piedra se abordan de manera racional y academicista Figura 1 Figura 2 Figura 3 Teor a del arco El arco transforma las fuerzas de compresi n verticales en fuerzas laterales es por esta forma que debe construirse los arcos junto a elementos que est
206. ing n elemento qu mico RTE N H z instrucciones Coloca el simbolo del elemento en su posici n dentro de la tabla peri dica Pb Mn Mx RIESI EA AA Conclusi n Las actividades que se han presentado en este documento integran el registro verbal a la discusi n de los problemas matem ticos Al menos en el caso de la experiencia en el curso de Ecuaciones Diferenciales se documentan posibilidades de una 74 Un registro semi tico importante en la evaluaci n de actividades m s completa comprensi n de las relaciones entre campos de pendientes y ecuaciones diferenciales de primer orden En el caso del curso de lgebra Superior permiten enfatizar la importancia del an lisis de los enunciados matem ticos de que el estudiante realice una reflexi n cuidadosa acerca de los significados m s relevantes que plantea el enunciado de que el estudiante identifique las palabras clave en un enunciado que pueda discriminar si cambia o no un enunciado al cambiar una palabra en l por ejemplo al cambiar una palabra por su ant nimo como en divisible por y divisible entre o al cambiar un sustantivo por otro en el contexto del problema como en recta y segmento En el caso del curso de Ecuaciones Diferenciales ha quedado patente que la integraci n del registro verbal es muy importante para ir profundizando la comprensi n de la resoluci n de problemas en el caso de las ecuaciones dif
207. instrumento con el cual es posible trazar una circunferencia con un arco arbitrario su dificultad radica en que no permite transportar las distancias o aberturas 233 Reportes de investigaci n En relaci n con las categor as de an lisis se detectaron tres variables que influyen en el logro o no de los objetivos estas fueron de tres tipos En primer lugar las relacionadas con la baja comprensi n de los conceptos la mayor a de los estudiantes no manejan los conceptos geom tricos que les permiten hacer un uso adecuado de la herramienta SCG En segundo lugar las relacionadas con el conocimiento did ctico del contenido que se evidencian en la imposibilidad de dise ar situaciones de aprendizaje o plantear problemas geom tricos que representen verdaderos desaf os para los aprendices que mantengan la motivaci n y potencien el desarrollo del pensamiento porque ellos solo se limitan al vocabulario del texto y las definiciones sin sentido Finalmente las relacionadas con la dificultad para utilizar el software como no comprenden que los objetos con los que se trabaja en geometr a son te ricos y no reales y que para dibujar esos objetos se deben poseer las herramientas para crear un sistema de representaci n en el cual se distingan las propiedades entonces puede que en algunos casos logren construir las figuras y hasta arrastrarlas pero no hacen evidentes las caracter sticas de la figura que cambian o perm
208. ion de la voix de l enseignant comme indiqu plus haut Si la voix est trop faible l l ve peut tre bloqu si la voix est trop forte le professeur tue le c ur du probl me et l l ve n a plus de probl me r soudre Savoir graduer le bon degr d intervention de l enseignant est un terrain d tude des recherches en didactique Les r troactions qu elles soient au sens de milieu adidactique ou de son expansion la voix du professeur sont objets d tude de recherches en didactique des math matiques Nul doute que la cr ation de ressources informatiques doit tenir compte des r sultats de ces recherches et que la conception de logiciels auteurs de ces ressources doit offrir des fonctionnalit s qui permettent d impl menter les r sultats des recherches R f rences Assude T Sensevy G Mercier A 2007 L action didactique du professeur dans la dynamique des milieux Recherches en didactique des math matiques Vol 27 2 221 252 54 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit Brousseau G 1998 L Moreno Armella S Hegedus 2009 Co action with digital technologies Zentralblatt f r Didaktik der Mathematik Mathematics Education 41 505 519 A Restrepo 2008 Gen se instrumentale du d placement en g om trie dynamique chez des l ves de 6 Th se de l universit Joseph Fourier Grenoble Vergnaud G 1990 La th orie des champs conceptuels Recherches en didact
209. ique des math matiques Vol 10 n 2 3 Wood D Bruner J Ross G 1976 The role of tutoring in problem solving Journal of Child Psychology and Psychiatry Vol 17 Issue 2 89 100 Ve 0 ot e e 55 Interactivity in dynamic mathematics environments what does that mean Quelque exemples tir s de Cabri Jean Marie Laborde Cabrilog France Jean Marie Laborde cabri com Abstrait Sil est un mot qui a t galvaud c est bien celui d interactivit Par exemple dans de tr s nombreuses annonces interactivit est quasiment mis pour digital dans le sens de non papier Pourtant il y a un monde entre simple interactivit de type j appuie sur un bouton ou plut t une repr sentation de bouton et une authentique manipulation directe dans un cadre d engagement direct favorisant une interaction v rtiable entre dispositif informatique et utilisateur pour nous l l ve ou le professeur Diff rents exemples dont certains historiques et d autres caract ristiques du d veloppement de Cabri Cabri I II 3D sur calculatrices ainsi que le nouveau Cabri LM viendront illustrer ce propos Mots cl s Math matqiues Dynamiques Visualisation 2D et 3D Manipulation Directe d objets math matqiues Referencias Douglas Butler Nicholas Jackiw Jean Marie Laborde and Michal Yerushalmy Design for transformative practices in Invited Panel at 17th ICMI Study 2006 Hanoi University of Technology Vietna
210. ir sur les raisons pour cela On peut ne laisser afficher la correction que pendant le seul appui sur le bouton de v rification comme dans cette activit de la collection du Tessin Fig 19 et Fig 20 sun sono a spaccio fon ale our colorata Cobra 2 sites palo Fig 19 Une r ponse erron e Fig 20 La correction visible endant l appui du bouton Une autre solution constructive pour l apprentissage consiste combiner une information l l ve sur ses erreurs et des moyens d exploration pour qu il puisse comprendre o r sident ses erreurs et comment construire une r ponse correcte Ce pourrait tre le cas dans l exemple ci dessus en ajoutant une page accessible apr s appui sur le bouton de v rification dans laquelle l l ve peut d placer les disques et observer le comportement du disque sym trique Fig 21 52 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit Puedes mover las circonferencias y observar c mo las im genes se mueven 2 eu C do lan Z Fig 21 Une page d exploration du comportement des sym triques Il est noter que l exploration venant apr s un probl me r soudre est v cue diff remment par l l ve d une page d exploration avant confrontation un probl me En effet avant tout probl me l l ve ne sait pas tirer parti de l exploration car il n a pas d objectif Apr s avoir t confront une difficult il utilise la pag
211. is se encontravam nele mesmo para os que 295 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica haviam construido pontos fora dos limites da representa o do plano Cinco dos 12 alunos responderam ao item 1 2 que os tr s pontos n o estavam nos limites visuais do plano e puderam fazer suas comprova es pela sua movimenta o percebendo que as retas unindo os pontos dois a dois se encontravam no mesmo plano Lu respondeu que n o pergunta Os tr s pontos est o nos limites visuais do plano item 2 2 Justifica sua resposta no item 24 da seguinte forma Apesar de os pontos visualmente n o estarem sob o plano eles pertencem a este pois o plano foi construido a partir destes tr s pontos O registro de Lau figura 2 que havia respondido n o ao item 2 2 indica a constru o de um plano diferente do plano base e usa a ferramenta nova vista de texto na qual justifica no item Quando acontece o movimento percebe se que o ponto pertence ao plano pois anteriormente n o era possivel perceber Van que tamb m havia respondido n o ao mesmo item se expressa da seguinte forma Antes de movimentar os pontos A Be C percebemos que visualmente estes pontos n o pertencem ao plano No entanto ao moviment los percebemos que os pontos est o contidos no plano pois os mesmos ir o origin lo E TELS AN 1 N o existe uma real passando por tr s pontos pois estes n o s o
212. ivit s bas es sur le trait plut t que sur le nombre et s inscrit naturellement dans une tradition de l utilisation et de l enseignement de la g om trie en architecture en permettant la dynamique la param trisation et la prise en compte du mouvement elle ouvre vers les productions de formes les plus actuelles Nous avons orient l apprentissage de la repr sentation architecturale l cole d architecture de Nancy en premi re ann e sur l utilisation de la feuille de papier main lev e ou la r gle et l querre l enseignement de la g om trie fait exception il est cependant une introduction et un pr alable n cessaires pour pouvoir aborder comprendre et ma triser les 243 Reportes de investigaci n logiciels sp cialis s qu ils s agissent des modeleurs volumiques et surfaciques en particulier l association Rhino et Grasshopper qui est de fait un autre logiciel de g om trie dynamique Bibliografia resumida Audin P 1995 La BRAChlIstochrome abraCAdaBRI 9 16 17 Choisy A 1899 Histoire de l architecture Tournes D 1997 Variations autour du centre de Similitude IUFM de la R union Marin P Lequay H amp Blanchi Y 2011 Thinking With Computers and Fabricating With Machines Algode 14 16 March 2011 Tokyo Japan Payne A amp Issa R 2010 Grasshopper primer http www liftarchitects com journal 2009 3 25 the grasshopper primer second edition html
213. ivo puesto que una vez construida la soluci n es necesario demostrar que realmente el lugar obtenido es el que se observ en la figura de Cabri Para esta demostraci n utilizamos Cabri para representar el problema en la forma m s general posible y buscar teoremas que permitieran su deducci n Referencias Acosta M 2005 Geometr a experimental con Cabri una nueva praxeolog a matem tica Educaci n Matem tica vol 17 num 3 Borwein J et al 2004 Experimentation in mathematics computational paths to discovery A K Peters USA Baccaglini Frank A amp Mariotti M A 2009 Conjecturing and Proving in Dynamic Geometry the Elaboration of Some Research Hypotheses In Proceedings of the 6th Conference on European Research in Mathematics Education Lyon Cuppens R Faire de la g om trie sup rieure en jouant avec Cabri G om tre Brochure APMEP n 124 8 125 Kuntz G D marche exp rimentale et apprentissages math matiques Dossiers de la VST en ligne http www inrp fr vst Dossiers Demarche experimentale sommaire htm Moise E and Downs F Jr 1964 Geometria Moderna Fondo Educativo Interamericano S A Massachusetts Vo o 0 ee 222 Situaciones para la ense anza de las c nicas como lugar geom trico desde lo puntual y lo global integrando Cabri G om tre II Plus Edinsson Fern ndez Mosquera rea de Educaci n Matem tica Departamento de Matem ticas y Estad stica Universida
214. l activit pour les l ves et de rendre les r troactions de l environnement logiciel plus visibles par ces derniers car exprim es dans ce contexte Ainsi l invalidation de la cr ation d un cercle au jug figurant une roue de voiture est imm diatement percue par les l ves L environnement Cabri Elem Creator permet ais ment de cr er des contextes de par la possibilit de repr senter des scenes de la r alit en incluant des media images 2D ou mod les 3D Cabri Elem Creator permet aussi de repr senter les objets math matiques nombres figures de g om trie expressions etc Tous ces objets math matiques ou media sont manipulables et r agissent aux actions des l ves Les objets math matiques r agissent selon des crit res math matiques La combinaison de repr sentations d objets math matiques et d objets r els permet d inclure des objets math matiques dans des contextes r els les math matiques jouant ainsi un r le de mod lisation du monde qui entoure les l ves A titre d exemple dans le cahier La roue des 10 les disques ne tournent que si la somme des points des cartons mis sur le disque est gale 10 Fig 11 Si la somme est diff rente le disque reste immobile Autre exemple Si des livres portant chacun un nombre d cimal ont rang s sur une tag re selon l ordre d cimal tout livre plac par l l ve ne respectant pas cet ordre est ject de l tag re Fig 12 47 Conferencias
215. l da escola e do fortalecimento de suas rela es com a comunidade S O PAULO ESTADO 2008 p 9 Assim com o objetivo de contribuir para melhorar a qualidade do ensino e aprendizagem de seus estudantes o governo do estado de S o Paulo prop e um curr culo unificado isto uma base comum de conhecimentos e compet ncias para os n veis de Ensino Fundamental Ciclo II e M dio institu do como a Nova Proposta Curricular hoje Curr culo Unificado Assim ap s a mudan a e a implanta o da nova proposta o governo do estado de S o Paulo espera trabalha essa proposta 264 Estudo das transforma es no plano uma situa o de aprendizagem como um suporte t cnico e auxiliar do trabalho do professor ao fazer com que o estudante da Educa o B sica desenvolva compet ncias e habilidades indispens veis para a sua inser o sociocultural e profissional Para tal o Curr culo Unificado do estado de S o Paulo disp e de material espec fico materiais did ticos a serem trabalhados pelo estudante e professor com conte dos sugeridos e pr ticas pedag gicas que indicam caminhos a serem seguidos pelo professor cujo papel atual completar o trabalho apresentado em forma de cadernos para professores e estudantes Dessa forma buscamos apresentar neste trabalho de que maneira as rela es institucionais esperadas quando se considera o documento oficial do Curr culo Unificado do estado de S o Paulo e as rela e
216. l polinomio y a su primera derivada Desde luego en algunos casos puede suceder perfectamente que dos polinomios distintos tengan la misma derivada Para dar su respuesta el estudiante utiliza el comando de texto y escribe las asociaciones al terminar se entra a la modalidad de evaluaci n oprimiendo el bot n de Soluci n que se ha escondido ex profeso Instrucciones Asocia los polinomios a b c d con s orrespondientes denvadas 1 2 3 4 sere TT cala gt Er tines Dmus mue Cole variable Ambiente 7 Operatividad dentro de un grupo La actividad consiste en solicitar la construcci n de una tabla de una operaci n binaria dentro de un grupo que tiene definidas ya algunas propiedades Al concluir se utiliza el ambiente interactivo que ya almacena la soluci n 153 Talleres e a b b a b b a cla m vil e e e a e i A e a b b a b b a bz ab e ao Explicaci n C mo se deduce retractil baa b Sa r a 95 a8 quilo encontras Ambiente 8 Descripci n del campo de pendientes de una ecuaci n diferencial Actividad que realiza el tratamiento de 3 registros de representaci n diferentes verbal gr fico y algebraico En proceso de experimentaci n en el aula este ambiente eval a el grado de apoyo que ofrece la descripci n verbal para reconocer un campo de pendientes con su ecuaci n diferencial asociada La recta divi
217. lejandro Antonio L pez Patifio westermania_21smackraw hotmail com Edgar Efr n L pez Torres certerus paribus hotmail com Fernando Ponce Hernandez f ponce93 yahoo com UNAM TESE M xico Resumen El desarrollo de las curvas de Bezier 2D y 3D han sido un elemento clave en el desarrollo de los gr ficos por computadora sus aplicaciones son variadas y han tenido influencia en todos los ramos del dise o asistido Uno de los problemas principales al momento de utilizar o dise ar aplicaciones con herramientas de Bezier es el desconocimiento de sus principios tanto algebraicos como geom tricos En nuestra experiencia como docentes e investigadores hemos descubierto una mejora significativa en el aprendizaje de este tipo de t picos al utilizar herramientas de geometr a din mica en este sentido Cabri es una herramienta id nea que permite la generaci n de una estructura mental capaz de entender las limitaciones y perspectivas de estas curvas El presente trabajo muestra el desarrollo de una serie de pr cticas enfocadas a mejorar el entendimiento de estas herramientas de dise o desde la generaci n de curvas en cabri II Plus hasta su extensi n en curvas en tres dimenciones con Cabri 3D Socializaci n de Trabajos en reas Afines a la Matem tica Referencias Hkarn D y Baker M 2006 Gr ficos por computadora con OPENGL Espa a Pearson Education Leontiev A 1978 Actividad Conciencia y Personalidad Argentina
218. lizada por Chevallard 1991 para indicar um conjunto de saberes que ali vivem e evidenciar como esses saberes interagem entre si Para Chevallard 1991 um objeto matem tico n o vive isoladamente ent o se faz necess rio identificar ou at mesmo fazer viver um complexo de objetos em torno do pr prio objeto nesse sentido que a problem tica ecol gica aparece de maneira mais expl cita uma vez que conv m examinar os diferentes espacos em que encontramos o objeto matem tico e os saberes com os quais ele entra em associa o em outras palavras seus habitats Para examinar esses diferentes habitats bem como os saberes que o objeto matem tico entra em associac o Chevallard 1991 aponta a transposic o did tica como um instrumento de an lise que pode evidenciar o percurso do saber desse objeto desde sua origem at a sala de aula indicando caracter sticas que possibilitam definir a sua sobreviv ncia enquanto um objeto de ensino Assim entendemos que o Cabri 3D um habitat para o estudo dos S lidos Arquimedianos se o reconhece como objeto bem como reconhece todos os saberes que determinam a exist ncia desse objeto matem tico como objeto de ensino An lise de uma construc o realizada no Cabri 3D As construc es no Cabri 3D foram realizadas por meio da opera o de truncamento efetuadas em poliedros plat nicos Tal opera o est aqui relacionada ao corte de cantos de poliedros plat nicos de maneira a o
219. lizadas y tablas 4 Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio variaci n 5 Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas 6 Modelar situaciones de variaci n con funciones polin micas Actividades 1 Construir mediante una secuencia de instrucciones usando Cabr el conjunto de Cantor el tri ngulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch 2 Encontrar patrones aritm ticos y algebraicos en el proceso de construcci n del conjunto de Cantor tri ngulo de Sierpinski y copo de nieve Von Koch Referencias Briggs J 1994 Espejo y Reflejo Del Orden al Caos Barcelona Gedisa Guzm n M 1993 Estructuras Fractales y sus Aplicaciones Barcelona Labor Garc a A 1995 Nuevas Tecnolog as y Ense anza de Las Matem ticas Madrid S ntesis Ministerio de Educaci n Nacional 1999 Nuevas Tecnolog as y Curr culo de Matem ticas Bogot Punto Exe editores 130 Uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento Mason J 1999 Rutas hacia el lgebra Traducci n por Cecilia Agudelo Valderrama Universidad Pedag gica y Tecnol gica de Colombia Ministerio de Educaci n Nacional 2003 Est ndares B sicos de calidad Matem ticas Ministerio de Educaci n Nacional 1998 Lineamientos curriculares Matem ticas Rosillo N 1997 Fractales con el Miniordenador TI 92 Madrid Faster Soca M M 1997
220. ller est dirigido a profesores de Educaci n B sica y media y permite a los participantes desarrollar habilidades para utilizar las herramientas de CABRI Il creando macros para dividir segmentos en raz n urea construyendo pent gonos a partir de un segmento dividido en raz n urea dibujando espirales ureos y pol gonos regulares inscritos en una circunferencia aplicando transformaciones isom tricas para dar sentido y belleza a la creaci n de los mandalas Palabras clave mandala raz n urea circunferencia transformaciones isom tricas Eje tem tico Experiencias educativas con asistencia de Cabri El mandala es un c rculo m gico con efectos relajantes que act a sobre nosotros armonizando nuestro mundo interior con el exterior Los mandalas est n inspirados en la naturaleza reproducen sus simetr as y sus colores en una estructura con forma de c rculo constituida por un conjunto de figuras y formas geom tricas conc ntricas El mandala es originario de la India pero tambi n encontramos estas representaciones en otras culturas como los ind genas de Am rica Navajos Aztecas Incas etc o los abor genes de Australia El mandala es un instrumento de pensamiento Es tambi n una forma de arte terapia Sus virtudes terap uticas permiten recobrar el equilibrio el conocimiento de si mismo intuici n creativa e interpretaci n de sus propias creaciones el sosiego y la calma interna concentraci n y olv
221. ller no s lo podr n dise ar su propia colcha como lo hicieron los ni os sino que adem s aprender n a confeccionar los archivos Cabri II Plus que fueron suministrados a los alumnos Aprender n a construir con el software un cuadrado y los tri ngulos contenidos en l Se aprender tambi n a darles el aspecto deseado y girarlos o trasladarlos a la posici n conveniente Referencias ETA Cuisenaire 2007 The Super Source Tangramas Grados K 2 Vernon Hills Illinois Luiz Marcio Imenes y Marcelo Lellis 2002 Geometria dos mosaicos Scipione S o Paulo Eric Bainville 2002 Manuel de l utilisateur Cabrilog SAS Grenoble Ve 0 0 e 193 REPORTES DE INVESTIGACI N Comportamento das ra zes de fun es polinomiais com a variac o dos coeficientes Laurito Miranda Alves lauritoalves uol com br Wilbert Sarmento Campos wilbertcam gmail com Hallan Jardim do Prado hallanprado yahoo com br UNI BH Brasil Resumo Neste trabalho utilizamos o Cabri G om tre para descobrir como se comportam as ra zes das equac es de segundo e terceiro graus com a varia o dos coeficientes Especificamente em um primeiro momento utilizamos o Cabri G om tre para mostrar no plano complexo a localizac o das ra zes das equa es do segundo grau com coeficientes reais A seguir variando cada um dos coeficientes da equa o percebemos como as ra zes se comportavam ou melhor quais curvas elas descreviam
222. los Qual a caracter stica principal do plano que isso sugere Enuncie o axioma que relaciona pontos e plano ou seja determina o do plano Considerando o axioma correspondente ao anterior para ponto e reta quando do estudo de Geometria Plana como enuncias o axioma que relaciona ponto reta plano no espa o Obtenha uma reta r num plano a Modifique sua cor para amarelo e espessura muito largo Altere a cor do plano e o estilo para vazio 5 1 Crie um ponto A fora do plano a Como saber se o ponto pertence ou n o ao plano Argumente isso numa nova vista de texto em sua constru o 5 2 Obtenha a reta t passando por A e perpendicular ao plano a 111 Talleres Como garantir que a reta foi construida corretamente Elabore uma estrat gia e comprove Atividade 2 Ilustre com uma constru o a afirma o uma reta e um ponto fora dela determinam um nico plano Esta atividade busca em uma nova construc o relacionar as descobertas axiom ticas obtidas na atividade 1 de modo que os participantes possam desenvolver argumentac es convincentes a partir dos resultados obtidos 1 Descreva a sua construc o e registre a em nova vista de texto Nomeie cada um dos objetos geom tricos constru dos 3 Voc poderia utilizar argumentos axiomas e definic es anteriores para comprovar a afirma o Atividade 3 Represente um plano a no espa o na posi o vertical ou inclinada no
223. los lados del plano del colegio opci n metros y col calas en la hoja Word Utilizando las f rmulas de rea de pol gonos determina el rea del colegio Muestra todos lo procedimientos que has utilizado f rmulas y Operaciones Con ayuda del CABRI PLUS II construye el poligono que forma el per metro del colegio trabajando a escala 1 cm 10 m y con la herramienta rea muestra el rea de colegio 239 25 cm Figura 1 Compara tus resultados con los obtenidos por el programa Hay diferencias Por qu Exponen sus resultados manipulando las herramientas tecnol gicas utilizadas sobre la pizarra digital Previo a estas actividades los alumnos han trabajado con las herramientas de software realizando actividades que involucraban en trazo de pol gonos y el c lculo de su rea En la segunda experiencia de aprendizaje Poliedros Poliedros regulares rea Superficial se muestra el uso de la pizarra digital y del software CABRI 3D organizada tambi n de acuerdo a la secuencia metodol gica basada en el modelo 169 Talleres de Van Hiele El objetivo de esta experiencia es que los alumnos haciendo uso del software CABRI 3D describan a los poliedros y calculen el rea superficial de los poliedros regulares a partir del an lisis de su desarrollo La secuencia a seguir es la siguiente e Con ayuda del CABRI 3D construye el tetraedro regular e Con la herramienta abrir poliedro abrir el tetraedro
224. m Jean Marie Laborde Playing in 3 and 4 dimensions Special session of the Mathematical Colloquium for the delivry of Honorary Degree St Olaf College Northfield MN USA 2009 dec 3 2009 Schneidermann B 1983 Direct Manipulation a step beyond programming languages EEE Computer vol 16 57 69 Ve 0 ot e gt Utilizar la geometr a axiom tica para analizar los dibujos en Cabri 3D Joris Mithalal IUFM de Paris Laboratorio de Did ctica Andr Revuz Francia joris mithalal paris iufm fr Resumen La geometria espacial es generalmente un tema muy dificil que ense ar los alumnos ya no pueden leer informaciones en los dibujos porque no hay tipo de representaci n perspectiva paralela modelos adecuado para resolver problemas de geometr a Hay dos ventajas con software de geometr a din mica espacial Primero las simulaciones inform ticas permiten leer m s informaciones en los dibujos Luego si embargo no se puede leer todos los resultados y en estos casos el an lisis matem tico es muy eficiente para tener m s informaciones Por eso se puede provocar el uso de geometr a axiom tica natural GII Houdement Kuzniak 2006 por los alumnos con situaciones mucho m s simples que en el contexto de la geometr a plana Adem s en estos casos hay menos ruptura entre los problemas de geometria natural GI y los de geometr a axiom tica natural porque GII puede permitir estudiar los dibujos info
225. m tica de la Pontificia Universidad Cat lica de S o Paulo Brasil Ve e 0 e e 107 O Cabri 3D como ferramenta para desenvolver visualizac o dos primeiros axiomas de geometria euclidiana no espaco Jos Carlos Pinto Leivas Centro Universit rio Franciscano de Santa Maria Brasil leivasjc yahoo com br leivasjc unifra br Resumo A oficina destina se a estudantes e professores de diversos niveis educativos interessados no ensino e na aprendizagem de Geometria Espacial n o exige pr requisitos a menos de pequena familiariza o com softwares de Geometria Din mica e se desenvolve em duas sess es Em Educa o Matem tica visualiza o adquire cada vez import ncia maior especialmente a partir do desenvolvimento de softwares os quais constituem uma das possibilidades para o desenvolvimento de habilidades visuais Leivas 2009 p 22 define visualiza o como um processo de formar imagens mentais com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito matem tico com vistas a auxiliar na resolu o de problemas anal ticos ou geom tricos Suas pesquisas apontam para a relev ncia do Cabri nessa constru o Autores como Zimmermann e Cunninghanm 1991 e Presmeg 2006 d o import ncia ao tema no sentido de desenvolvimento da habilidade de visualiza o com o que acreditamos poder contribuir com esta oficina num tema bastante complexo no inicio da organiza o da axiom tica de Hilbert em parti
226. m trie en tant que projection parall le orthogonale est l un des modes de repr sentation traditionnel de l architecture Choisy A L instrumentation dynamique de cette projection x permet l tudiant de pleinement prendre conscience que 240 Taller digital con Cabri G metra l axonom trie n est pas l espace mais une image de celui ci par projection Le logiciel Cabri se substitue la feuille de dessin et permet de travailler dans le plan comme on le ferait sur une table dessin Pourtant du fait de la g om trie dynamique condition cependant que la construction g om trique soit correcte la projection peut tre modifi e par rotation du rep re autour de l axe des z et des y on reconstruit ainsi les conventions habituelles de mobilit d un modeleur g om trique qui pr serve l axe des z Travail sur l axonom trie orthogonale la direction de projection est orthogonale le plan de projection est oblique il a subi deux rotations l une autour de l axe de z et l autre autour de l axe des x La construction g om trique est plane Les principes g om triques la base de cette construction sont proches de ceux utilis s avec la planche dessin compas parall lisme intersection L apprentissage de la projection centrale ou perspective conique est tout aussi efficace avec la g om trie dynamique la d marche didactique est tout fait analogue la pr c dente du point de vue de l
227. m representar uma modelagem das pr ticas sociais em uma atividade matem tica Para essas an lises o referencial te rico dessa pesquisa a Teoria Antropol gica do Did tico de Chevallard 1992 na tentativa de melhor compreender as propostas institucionais associadas s rela es institucionais esperadas e existentes para o ensino e aprendizagem das transforma es no plano Portanto buscamos favorecer a busca e percep o de regularidades matem ticas e o desenvolvimento de estrat gias de resolu o de situa es problema estimulando a descoberta de estrat gias e a investiga o de hip teses por meio da otimiza o das tarefas sugeridas nos materiais did ticos Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica selecionados Dessa forma buscamos uma situa o de aprendizagem que possa atender s condi es de um determinado grupo de estudantes por meio das tarefas desenvolvidas no Cabri onde possa possibilitar uma sequ ncia de estudos para compreender melhor os conceitos b sicos e a percep o visual de simetrias e movimentos no plano Palavras chave Transforma es no plano Rela es institucionais esperadas e existentes Uso das novas tecnologias em ambiente escolar Introdu o Este artigo tem o objetivo de apresentar algumas tarefas em um ambiente educacional com o uso do software Cabri tentando com isso provocar o estudante na identifica o das principais transforma es no pl
228. mbos trapezoides etc Figura 3 Otro modelo interesante es el dise o de la flor de la vida en este modelo se trabaja s lo con circunferencias siempre del mismo radio Figura 4 Un modelo interesante resulta de trabajar el concepto de circunferencias tangentes interiores en un ngulo cualquiera Para ello se dibuja un ngulo y se traza la bisectriz luego dibujamos un punto O cualquiera en la bisectriz y trazamos recta que pase por O perpendicular a cada lado del ngulo 118 Una propuesta did ctica a partir de la construcci n de mandalas Figura 5 Mandala dibujado con circunferencias tangentes interiores a una circunferencia dada Figura 6 Dise o de mandala con circunferencias tangentes entre s y tangentes interiores a una circunferencia mand lica Para dibujar este dise o Se divide la circunferencia dada en doce partes iguales Se traza recta tangente a la circunferencia en el punto P y prolonga el radio 01 que corta a la tangente AP en M Dibujamos bisectriz del ngulo OMP que corta al radio PO en N se describe una circunferencia que cortar a los radios 2 4 6 8 10 y P en los centros de las circunferencias Figura 7 119 Talleres Dise o de mandala utilizando pent gono regular pent gono estrellado y la raz n Aurea Primero construimos macro para dividir un segmento en raz n urea Divisi n de un segmento en raz n urea Figura 8 Sea el segmento AB tra
229. mos el punto Graficamos el plano perpendicular a y que pasa por Clic en el tercer bot n y seleccionamos Curva de intersecci n Esta es la circunferencia de centro y radio obtenidos haciendo clic en el d cimo bot n y seleccionando Coord o ecuaci n y Distancia respectivamente 323 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica e planos 7 35 x 5 f2 2 5 246 Figura 3 es tangente a en Circunferencia que pasa por tres puntos Esfera que pasa por cuatro puntos a Construir la circunferencia que pasa por los puntos Hallar el centro y radio de esta circunferencia b Construir la esfera que pasa por los puntos Hallar la ecuaci n de esta esfera Soluci n a Graficamos los puntos Graficamos el plano P que pasa por Clic en el tercer bot n y seleccionamos Segmento graficamos los segmentos y Clic en el quinto bot n y seleccionamos Punto medio obtenemos el punto medio de y El punto de intersecci n de las mediatrices de y es el centro 324 Planos y esferas con Cabri 3D de la circunferencia EI radio de esta circunferencia es la distancia de a Hallamos el centro de la circunferencia que pasa por y el centro de la circunferencia que pasa por El punto de intersecci n de las rectas perpendiculares a los planos que contienen estas circunferencias y que pasan por y es el centro de la esfera Figura 4 Circunferencia que pasa por 325 Comunicaci n de
230. n Restemos ____ N el n mero 11 b 0c 100d m ltiplo ___11 Ladiferenciaes b 10c 1000 SE daio a b 10 c Fay a b cod que dar el mismo ____ que Val dividirla 11 unos 71 Conferencias Problemas 4 al 6 Descripci n del campo de pendientes de una ecuaci n diferencial Actividades que realizan el tratamiento de 3 registros de representaci n diferentes verbal gr fico y algebraico En proceso de experimentaci n en el aula este ambiente eval a el grado de apoyo que ofrece la descripci n verbal para reconocer un campo de pendientes con su ecuaci n diferencial asociada Hay que se alar que en la descripci n verbal se busc que no se refiriera a lo que suceder a en la forma algebraica ecuaci n diferencial en puntos rectas circunferencias u alg n otro objeto espec fico del plano La recta divide al piano en dos Campo regiones concotenamos vectores dindenicos hay tres casos el es que los vectores din micos ____ dicha recta el segundo es cuendo __ comjunto de vectores cas pordebajo ____ ella donde forman curvas c ncavas hacia jel tercero es cuendo el conjunto de est por encima de dicha formando curvas concavas hacia arriba pin los En los ejes ___ los vectores din micos se hacen verticales ____ concatenar vectores din micos y alejarnos del las curvas que forman se acercan orientarse en la direcci n de las ____ y r bien guardan tangencia conei___
231. n en termes d usage des outils de g om trie et sont bloqu s Dans le d placement de la voiture le centre du cercle qui a t seulement plac sur l cran et non construit partir d autres points ne bouge pas puisqu il ne d pend d aucun point Le point d attache en revanche suit la voiture dans son d placement puisqu il a t construit en lien avec les l ments de la voiture Le rayon du cercle varie alors en fonction du d placement du point d attache Les l ves ne savent pas en g n ral d velopper une telle analyse et l intervention de l enseignant est n cessaire L enseignant peut d bloquer les l ves en reformulant le probl me en termes d usage de l outil Cercle emp chant leur frustration et centrant leur attention par un processus analogue celui qualifi par Wood et ses coll gues de signalisation des caract ristiques d terminantes marking critical features Wood et al 1976 L enseignant fait remarquer que pour cr er un cercle dans Cabri il faut cliquer sur deux points le centre et un point de la circonf rence le cercle est alors cr Mais les l ves voudraient bien pouvoir cliquer sur 3 points le centre et les deux points d attache Or comme le fait remarquer l enseignant d s que l on d place la voiture le cercle ne passe plus par le second point d attache parce qu on n a pas pu cliquer sur ce point pour signifier qu il appartient bien au cercle Le probl me est donc de construir
232. n de la courbe de B zier param tr e partir de trois points de celles des cercles supports aux points de contr le mais aussi la projection axonom trique elle m me La forme ci dessous du fait des courbes de B zier rec le une certaine complexit L tude des surfaces r gl es et ou de r volution sont un pr alable et ne posent pas de difficult Projection axonom trique d une forme obtenue par balayage sur trois rails d une courbe de B zier de degr 2 avec Cabri qu il s agisse de la courbe obtenue comme lieu de points barycentre des trois points de contr le des cercles comme lieu de points quidistants de points donn s mais aussi de la projection axonom trique sur le plan tout participe d une construction g om trique sur le plan Traditions et modernit s Nous utilisons depuis plusieurs ann es la g om trie dynamique dans un travail d apprentissage sur les projections conventionnelles qu elles soient parall les ou centrales cf ci dessous travaux d tudiants sur des perspectives construites partir de Cabri G om tre la projection de l espace sur le plan et la visualisation de l espace partir de sa projection sont des l ments d enseignement traditionnels dans une cole d architecture Tr s r cemment nous utilisons Cabri G om tre dans un autre contexte traditionnel celui de la g om trie descriptive et de la fabrication digitale Projections parall les et centrales L axono
233. n del segundo c rculo del problema C2 Al igual que para el c rculo C1 sabemos que este debe ser tangente a 01 02 y al segmento 1 Nuevamente el centro del c rculo C2 debe estar sobre la recta MN y pasar por el punto K de intersecci n entre IJ y MN Construimos un c rculo tangente a IJ en K y de centro O sobre la recta MN Al igual que para la soluci n de C vamos a considerar los dos puntos de intersecci n de este c rculo con 61 llamamos A y B y su punto medio C Cuando el c rculo de centro O sea tangente a 01 los puntos A B y C coincidir n Solicitamos a Cabri el lugar del punto C con respecto a O y constatamos que nuevamente es un arco de c rculo ver Figura 7 8 02 Figura 7 8 Ver nota 1 217 Reportes de investigaci n Los puntos de corte de ese lugar geom trico con 01 ser n los puntos de tangencia del c rculo buscado Para poder construirlos necesitamos construir el c rculo correspondiente al lugar geom trico y por lo tanto necesitamos conocer tres puntos pero en la figura s lo podemos identificar claramente dos F y C Sin embargo podemos conjeturar mirando la figura que el punto de corte de ese lugar geom trico con el lado FG es el punto de intersecci n de la recta IJ con FG que llamaremos L ver Figura 8 Figura 8 Cuando el punto 0 est en el infinito el c rculo coincide con la recta IJ Como los puntos I y J son sim
234. n la manipulaci n directa para desarrollar por ejemplo la relaci n entre la representaci n espacial de planos y su ecuaci n finalmente la ense anza de la geometr a de las transformaciones tambi n olvidada en muchos curr culos puede ser ampliada de su visi n nica en el plano para el espacio En ese sentido adaptaremos para el presente taller algunas actividades de Salazar 2009 Marco te rico Para la elaboraci n de las actividades del taller nos basamos en dos referenciales te ricos el enfoque Instrumental de Rabardel 1995 y la teor a Antropol gica de lo Did ctico TAD de Chevallard 1992 El enfoque Instrumental estudia como un artefacto se transforma en un instrumento de tal forma que se integra al sujeto para construir conocimiento matem tico Artigue 2002 De acuerdo con Rabardel 1995 el instrumento es una entidad mixta compuesta por el artefacto material o simb lico y esquemas de utilizaci n Es as que la transformaci n de artefacto a instrumento articula al sujeto con sus habilidades y competencias cognitivas al instrumento y al objeto para el cual la acci n es dirigida Este proceso de transformaci n de artefacto en instrumento es llamado por el autor de G nesis Instrumental G I Adem s Rabardel 1995 se ala que la G I tiene dos dimensiones la instrumentaci n orientada hacia el sujeto en la que el artefacto es integrado a su estructura cognitiva por medio de los esquemas d
235. n palabras de I Lakatos 1976 En el estilo deductivo todas las proposiciones son verdaderas Las matem ticas son presentadas como un conjunto de verdades eternas e inmutables El estilo deductivo esconde la lucha disimila la aventura Toda la historia desaparece Las sucesivas tentativas de formulaci n de un teorema durante el proceso de demostraci n quedan en el olvido mientras que el resultado final es exaltado y elevado a una infalibilidad sagrada Hace m s de 20 a os en mis comienzos como profesor de matem tica qued muy sorprendido por no poder resolver un problema muy sencillo de geometr a del espacio calcular el volumen de todos lo poliedros regulares Percib la incongruencia de una ense anza que hab a recibido sobre muchas temas algunos muy complejos y pr cticamente nada o muy poco sobre geometr a del espacio al punto que estos nicos cuerpos regulares en particular los de 12 y 20 caras eran completamente desconocidos para mi Esto fue el comienzo de la creaci n y desarrollo de un nuevo enfoque para aprender geometr a del espacio que he denominado ingenier a MAT integrando multirpresentaciones aproximaciones y tecnolog a Este trabajo de investigaci n me llev primeramente a la realizaci n de un Master en la Universidad J Fourier de Grenoble donde incorpor el uso del software Cabri 3D como pieza fundamental en el enfoque iMAT y luego a la realizaci n de un doctorado en la Universidad de Georgia donde
236. n punto y a un c rculo de centro O el lugar geom trico de los puntos medios de las cuerdas definidas por las rectas que pasan por P es un c rculo Demostraci n Sea l una recta que pasa por P y corta a a en A y B Sea M el punto medio de AB La recta perpendicular a AB por M pasa por el centro O Como el ngulo PMO es recto el punto M est sobre el c rculo de di metro PO ver Figura 13 Figura 13 Para la construcci n de los dos c rculos C y C2 soluci n del problema utilizamos dos haces de c rculos tangentes en un punto Para C los c rculos tangentes en N y para Cz los c rculos tangentes en K Luego consideramos el lugar geom trico de los puntos medios de las cuerdas comunes de los c rculos de estos haces y 01 De acuerdo con los lemas anteriores tenemos que todas esas cuerdas comunes pasan por un punto fijo y por lo 221 Reportes de investigaci n tanto el lugar geom trico es un c rculo Por lo tanto se tiene que los c rculos C1 y C2 son soluci n al problema propuesto 4 Conclusiones En este trabajo las posibilidades de experimentaci n con Cabri fueron determinantes tanto para la formulaci n y verificaci n de nuestras conjeturas como para la demostraci n de las mismas En particular la herramienta lugar geom trico nos permiti visualizar la forma de los lugares utilizados as como algunos puntos con los cuales construir esos lugares Esta ayuda no evita el trabajo deduct
237. n sens g om trique aux formules ou aux coordonn es et quations Les participants Les participants auront les r aliser dans Cabri 3D Aucune connaissance de Cabri 3D n est requise Mots cl s Objets de l espace volume aire coordonn es quations Th matique Repr sentations multiples dynamiques d objets de l espace Ve e ot e o Caract ristiques principales d un syst me auteur pour la r alisation d activit s math matiques huatement interactives L exemple de Cabri LM Jean Marie Laborde Cabrilog Francia jean marie labordeO cabri com Abstrait Dans cet atelier les participants pourront d couvrir et manipuler eux m mes la nouvelle technologie Cabri LM permettant comme dans un syst me auteur de cr er des activit s d apprentissage offrant l apprenant un environnement plsu contraint qu un environnement de type micro monde du type Logo dont l extr me g n ralit se dresse souvent comme un obstacle pour le professeur autnat que pour ses l ves Des t ches de type tr s vari es seront propos s allant de la familiarisation des el ves avec les formes de base de la g om trie en 2D et en 3D comme des patrons de poly dres par exemple a l apprentissage des l ments fondamentatux de la num ration Mots cl s Syst me auteur Interactivit math matiques dynamiques apprentissage Th matique Math matiques dynamiques Cabri Ve 0 et gt Cabri 3D Para mejorar la visu
238. ndes edu co 768 1 conicas pdf Gonz les M 2010 Construcci n de lugares geom tricos en un ambiente de Geometr a Din mica Pontificia Universidad Cat lica Recuperado el 13 de agosto del 2010 de http macareo pucp edu pe mgonzal publicaciones arch ivos Lug Geo y Geo Dinamica pdf Ministerio de Educaci n del Per 2009 Dise o Curricular Nacional para Educaci n Secundaria Lima Per Recuperado el 5 de Junio de 2010 de 317 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica lt http destp minedu gob pe secundaria nwdes discur nal htm gt Swokowski E 2005 Algebra y trigonometria con Geometria Anal tica 118 Edici n Editorial Thompson M xico Ve e ot LOC eo 318 Planos y esferas con Cabri 3D N lida Salom Medina Garcia Pontificia Universidad Cat lica del Per nmedina pucp edu pe Resumen El curso An lisis en Varias Variables Reales se ense a a los alumnos del segundo ciclo de la Maestr a en Ense anza de la Matem tica Pontificia Universidad Cat lica del Per Los temas vectores rectas planos y superficies cuadr ticas en R se desarrollan con apoyo del Programa Cabri 3D Ense ar lgebra vectorial y superficies cuadr ticas en R con apoyo de Cabri 3D es importante porque refuerza y potencia los aspectos intuitivo y cognitivo de los alumnos En la experiencia educativa Dado un problema de Geometr a Anal tica tridimensional relacionado a
239. necesario saber y saber hacer geometr a por esta raz n aunque el objetivo de esta investigaci n no consiste en poner de presente las causas por las cuales el trabajo geom trico ha ido perdiendo espacio y sentido en los planes de estudio y las aulas de todos los niveles educativos inclusive en los de profesores en formaci n lo que si se considera importante es llamar la atenci n sobre las dificultades que enfrenta un profesor de matem ticas cuando no posee las herramientas necesarias para explicar los conceptos en un contexto m s amplio al de solamente definiciones Para abordar el estudio te rico de estas dificultades se tomaron aspectos considerados por las autoras como significativos de las teor as del aprendizaje basado en problemas ABP la Teor a de las Situaciones Did cticas y el Conocimiento Did ctico del Contenido CDC Godino J Batanero C amp Font V 2003 en el marco de un curso de Did ctica de la Matem tica del Programa de Licenciatura en Matem ticas de la Universidad Surcolombiana con el objetivo de que el estudiante para profesor desarrolle capacidades para dise ar situaciones did cticas en ambientes mediados por el Software CABRI GEOMETRE II PLUS como herramienta did ctica para acercar a los aprendices a la comprensi n de los conceptos en este caso particular se trabajaron aspectos relacionados con el Teorema de Pit goras y su uso comprensivo 2 El Comp s colapsable colapsible es un
240. nificativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simb lico mucho antes de llegar a los primeros niveles de educaci n superior Marco teorico La generalidad es un aspecto central en la actividad matem tica a todo nivel y a la cual se puede retornar una y otra vez cualquiera que sea el tema particular de discusi n Las matem ticas comprenden muchas generalizaciones ya sea que tomen forma de m todos procedimientos o de f rmulas y estas 125 Talleres pueden ser vistas como origin ndose de la misma manera que las propias generalizaciones de los patrones hechas por los alumnos La generalizaci n es uno de los procesos que ocurren en cualquier nivel del pensamiento matem tico y que est incluido en uno m s global el proceso de abstraer To generalize is to derive or induce from particulars to identify commonalities to expand domains of validity Dreyfus 1991 p 35 La generalizaci n es fundamental para el desarrollo del pensamiento matem tico y algebraico es base de la abstracci n Mason 1985 es indudable entonces la importancia de su tratamiento Est relacionada con otros procesos propios de la actividad matem tica que podr an denominarse m s particulares como inducir observar descomponer hacer analog as e identificar caracter sticas comunes Y debe pasar por varias etapas a saber La percepci n de un patr n la expresi n del patr n el registro del patr n y la prueba d
241. nto do cubo Para a elimina o dos demais cantos criamos outro plano e utilizamos a ferramenta recorte de poliedro obtendo como mostra a Figura 6 o cubo truncado gerado 208 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Figura 6 Cubo truncado gerado no Cabri 3D De acordo com Chevallard 1991 o objeto matem tico cubo truncado existe se uma pessoa ou instituic o o reconhece mas para que esse mesmo objeto se transforme em objeto de ensino necess rio identificar onde ele pode viver isto seu habitat No entanto para identificar esse habitat alguns aspectos precisam ser considerados tais como os saberes que possibilitam sua exist ncia e as relac es inter hier rquicas entre esse poliedro e o poliedro que o originou Para realizar a constru o no Cabri 3D do s lido arquimediano cubo truncado percebemos que saberes geom tricos e alg bricos viveram e interagiram entre si Os saberes geom tricos envolvidos em todo o processo al m do teorema de Pit goras cubo medida da aresta semi reta sec o plana foram reconhecidos pela instituic o Cabri 3D por meio das ferramentas cubo comprimento semi reta e plano Cada um desses saberes apresentou uma fun o no processo de constru o O saber cubo indicou o objeto geom trico a partir do qual a truncatura se iniciou o saber semi reta possibilitou indicar em cada aresta do cubo os pontos de truncatura e o saber secc o plana aux
242. ntos e ainda a identificac o de pol gonos quando se corta o objeto por um plano Essas ac es permitir o que o objeto possa ser descontruido dimensionalmente para que se possa ver geometricamente Segundo Duval 1999 a vis o consiste em apreender simultaneamente diversos objetos e permite uma apreens o completa do objeto imediatamente mas a visualizac o enquanto atividade cognitiva que permitir ver ao olhar para poder observar e compreender o que est representado realmente Flores 2007 atribui geometria uma atividade do olhar um tanto complexa porque envolve elementos que n o est o relacionados exclusivamente s figuras em si e nem a capacidade visual de cada um Para Laborde 2007 a tecnologia tem a capacidade de oferecer diversas representa es para os objetos matem ticos e por meio 27 Conferencias de tecnologias digitais novos sistemas s o introduzidos ampliando a capacidade de manipula o e processamento Cita a capacidade de arrastar nos ambientes de Geometria din mica como um exemplo na mudan a do tipo de representa es que podem ser oferecidos para a atividade matem tica e para a constru o de significados para seus objetos Assim entendemos que o ambiente Cabri 3D poderia produzir as representa es necess rias para desenvolver a visualiza o para compreender e resolver problemas em geometria espacial e al m disso poderia ser o habitat para o estudo dos s lidos arquimedi
243. o por el uso de las computadoras como recurso heur stico o como medio de verificaci n por un nuevo tipo de relaci n de las matem ticas con las ciencias emp ricas y la tecnolog a y por un fuerte inconsciente en la naturaleza social de los procesos que gu an la aceptaci n de una prueba En Educaci n entre las varias funciones de la prueba la explicaci n es la primera Uno de los m s efectivos caminos para conseguirla es con el uso de la geometr a din mica Hanna 2000 porque ayuda a los estudiantes a desarrollar el pensamiento matem tico a producir evidencias v lidas a desarrollar la intuici n especulaci n y heur stica as como a mejorar la comprensi n de las nociones matem ticas La Geometr a Din mica es exitosa en mejorar la habilidad de los estudiantes en darse cuenta de los detalles a atreverse a explorar proponer y probar conjeturas reflexionar interpretar relaciones y proporcionar explicaciones provisionales y pruebas Entre los matem ticos existe el consenso de que la intuici n especulaci n y heur stica son tiles en los pasos preliminares para la obtenci n de resultados matem ticos y que el razonamiento intuitivo sin la prueba no es una rama especulativa separada de las matem ticas Con esa finalidad se han dise ado actividades en Cabri II Plus para la ense anza de las nociones de l mite de funciones y de derivadas actividades que procuran la experimentaci n el 173 Talleres a
244. o de Belo Horizonte onde um artigo completo estar dispon vel a partir de agosto de 2012 O endere o eletr nico http www unibh br graduacao cursos matematica outras informacoes 200 Comportamiento das ra ces de func es polinomiais com a variac o Refer ncias Alves Laurito Miranda 2001 The Geometry of Complex Numbers CabriWorld 2001 Lima Rosana Nogueira de 1999 Resolu o de equa es do terceiro grau atrav s de c nicas Tese de Mestrado em Educa o Matem tica PUC SP Su Francis E et al Complex Roots Made Visible Math Fun Facts http www math hmc edu funfacts Ve o ot gt gt 201 O Cabri 3D como habitat para o estudo dos S lidos de Arquimedes Talita Carvalho Silva de Almeida Universidade Federal do Par Brasil talita almeidaOyahoo com br Maria Jos Ferreira da Silva Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo Brasil zeze pucsp br Resumo O presente trabalho um recorte de uma pesquisa que teve por objetivo revisitar o objeto matem tico S lidos Arquimedianos por meio de suas constru es no ambiente de Geometria Din mica Cabri 3D Para investigar processos de construc es para esses s lidos recorremos a um estudo bibliogr fico desenvolvido com base em material j elaborado constitu do principalmente de livros e artigos cient ficos O referencial te rico baseou se na Transposic o Did tica e na Problem tica Ecol gica de Yves Chevallard 19
245. o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D geom tricas principalmente o autor afirma que a constru o de figuras por instrumento ou softwares d maior confiabilidade e objetividade porque permitem verificac es e observac es que s o atividades em que ver importante Acrescenta que o ensino deve assumir que as figuras formam um registro de representac o semi tico espec fico em que preciso descrever as opera es puramente figurais que permitir o utilizar uma propriedade matem tica e ainda transformar qualquer figura em outra Para o autor As figuras geom tricas se distinguem de todas as outras representac es visuais pelo fato de que existem sempre v rias maneiras de reconhecer as formas ou a unidades figurais mesmo que o fato de reconhecer umas exclui a possibilidade de reconhecer outras Em outras palavras para ver matematicamente uma figura ou um desenho preciso mudar o olhar sem que a representa o visual no papel ou no monitor seja modificada Ibid p 86 Quanto geometria espacial o autor afirma que h necessidade do olhar que permite ver a forma 2D duas dimens es obtida pela intersecc o de um s lido por um plano qualquer do espaco Nesse sentido entendemos que o Cabri 3D possibilita a manipulac o do plano de base que permite olhar o objeto constru do de v rios pontos de vista e ainda nos trabalhos com truncatura a determina o de pontos em arestas pela visualizac o de arestas e po
246. o de visualiza o um processo de formar imagens mentais com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito matem tico com vistas a auxiliar na resoluc o de problemas anal ticos ou geom tricos O Cabri 3D quando utilizado para desenvolver geometria espacial um facilitar deste processo de construc o uma vez que como afirmou Sancho 2006 a sala de aula deve ser ampliada de modo a tornar se um ambiente comunicativo onde professores e alunos possam atuar numa nova perspectiva do que seja interac o entre as partes As ferramentas oferecidas pelo software proporcionam ao estudante experimentac es din micas e um n mero muito grande de possibilidades de realizar constru es em curto espa o de tempo Borba e Villarreal 2005 p 75 indicam que o tratamento experimental ganha for a ao se utilizar tecnologias pois ele proporciona possibilidade de testar uma conjectura usando um n mero maior de exemplos e de oportunidades de repetir o experimento devido ao r pido feedback proporcionado pelo computador oportunidade de fornecer diferentes tipos de representa es de uma dada situa o mais facilmente Uma maneira de aprender matem tica que se alinha com modelagem e tratamento pedag gico A oficina tem por objetivo introduzir as ferramentas do Cabri 3D ao mesmo tempo em que busca realizar atividades de constru o da axiom tica euclidiana do espa o tridimensional Mediante uma sequ ncia de tr
247. o del lenguaje gr fico tabular algebraico Desarrollar en los alumnos habilidades de orden superior como explorar conjeturar razonar reflexionar y comunicar matem ticamente as como habilidad para usar efectivamente sus habilidades cognitivas y metacognitivas en la soluci n de problemas rutinarios Minimizar las deficiencias que se presentan en el proceso de transici n de la aritm tica al algebra Fomentar el trabajo cooperativo Estandares de calidad a desarrollar Pensamiento num rico y sistemas num ricos 1 Reconocer significados del n mero en diferentes contextos medici n conteo comparaci n codificaci n localizaci n etc 2 Identificar regularidades y patrones num ricos las propiedades de los n meros sus relaciones y operaciones utilizando calculadoras o computador Pensamiento espacial y sistemas geom tricos 1 Diferenciar atributos y propiedades de objetos bidimensionales y tridimensionales 129 Talleres 2 Hacer conjeturas y verificar los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y anal ticos 1 Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos num rico geom trico etc 2 Predecir patrones de variaci n en una secuencia num rica geom trica o gr fica 3 Describir y representar situaciones de variaci n relacionando diferentes representaciones diagramas expresiones verbales genera
248. o que la TAD parece complementar al enfoque Instrumental en el sentido de investigar el aprendizaje matem tico pues permite identificar en la acci n del sujeto los posibles esquemas de utilizaci n en la construcci n de una t cnica que permita cumplir una tarea propuesta El taller El objetivo del taller es concebir y explorar construcciones geom tricas espaciales utilizando el Cabri 3D y est dirigido a profesores del nivel secundario que ense an cursos que contienen temas de Geometr a Espacial El taller est dividido en dos sesiones de una hora cada una En la primera sesi n se explorar n los principales recursos y 104 Cabri 3D na sala de aula herramientas del Cabri 3D mediante la construcci n de diversos objetos geom tricos espaciales como por ejemplo en la tercera actividad llamada traslaci n de cubos figura 1 que muestra la construcci n de la letra T utilizando traslaciones Figura 1 Construcci n de la letra T trasladando cubos En la segunda sesi n las actividades ser n orientadas a construcciones m s complejas para solucionar problemas de Geometr a Espacial en las que haremos uso de diversos recursos que el Cabri 3D posee Por ejemplo en la actividad 2 de esta sesi n mostrando la figura 2 abajo se preguntar cu l ser a la f rmula para determinar el volumen del s lido arquimediano cuboctaedro Figura 2 Cuboctaedro En ambas sesiones se desarrollar n algunos t picos de geometr
249. oblema Felizmente las representaciones din micas permiten redireccionar el enfoque tradicional e integrar lo que parec an fragmentos de conocimiento ajenos entre s La propuesta did ctica no se hace esperar los objetos que tradicionalmente se han estudiado en las matem ticas escolares empiezan a adquirir facetas que los ubican en la frontera de nuevas exploraciones La capacidad expresiva de los estudiantes aumenta El conocimiento fluye por otros cauces y asimismo las l neas de argumentaci n Temas a tratar 1 La geometr a del tri ngulo 2 Teorema de Euler desde una perspectiva din mica 3 C nicas y tangentes 4 El problema de Wittgenstein y otros lugares geom tricos destacados 5 Una versi n din mica de problemas de valores extremos Talleres Palabras clave geometria abstracci n estructura argumentaci n situada Eje tem tico geometr a y argumentaci n Referencia Wentworth Smith Geometr a plana 158 Superficies de revoluci n con Cabri 3D Elizabeth Milagro Adv ncula Clemente Pontificia Universidad Cat lica del Per eadvincula pucp edu pe Resumen El presente taller tiene como objetivo explorar y realizar construcciones de superficies de revoluci n que incluyen objetos matem ticos como el cilindro el cono y la esfera utilizando el ambiente de geometr a din mica Cabri 3D ya que este favorece la visualizaci n de estas figuras y permite elaborar conjeturas sobre sus propi
250. omo parte de una familia de puntos que dependen del punto O Sean A y B los puntos de intersecci n del c rculo con centro en O y el c rculo 01 Cuando estos dos c rculos son tangentes los puntos A y B coinciden Por lo tanto podemos caracterizar el 214 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas punto de tangencia como parte de la familia de los puntos medios de los segmentos AB ver Figura 3 62 Figura 3 Construimos el punto medio C del segmento AB Trazamos el lugar geom trico del punto C con respecto al punto O usando la herramienta lugar geom trico de Cabri Observamos que al parece es un arco de un c rculo ver Figura 4 Figura 4 Si construimos este c rculo sus intersecciones con 01 ser n los puntos de tangencia del c rculo soluci n C con 01 Para construir el c rculo que coincide con este lugar geom trico necesitamos determinar tres puntos Observando la figura 7El arco faltante corresponde a los casos en los que el c rculo de centro O no corta a 01 Una manera de construir el arco faltante ser a usando las intersecciones de estos dos c rculos incluyendo las soluciones imaginarias Para estas construcciones ver Cuppens 215 Reportes de investigaci n vemos que los puntos G F y C pertenecen al lugar geom trico Evidentemente el punto C que gener el lugar pertenece al mismo Debemos examinar si los puntos F y G corresp
251. ompl te Fig 2 Une roue manque La strat gie la plus fr quente chez les l ves de 8 12 ans est d utiliser l outil Cercle en raison de la forme circulaire pr sente sur l ic ne de l outil de cr er un cercle en dehors de la voiture de taille estim e l il identique celle de l autre roue puis de d placer le cercle la place de la roue et d ajuster ventuellement sa taille L l ve d place alors la voiture qui bouge mais la roue reste immobile Fig 3 en g n ral au grand amusement de l l ve L l ve interpr te cette r troaction en termes du contexte de la voiture Bien s r je n ai pas attach la roue la voiture Il passe donc la page suivante du cahier o figurent nouveau la voiture sans la roue et les m mes outils La strat gie la plus fr quente des l ves consiste alors vouloir attacher la voiture le cercle qu ils cr ent Pour cela l l ve place au jug un premier point qui sera le centre du cercle et clique sur l un des points d attache de la roue Il ajuste ensuite le cercle en d pla ant son centre pour qu il passe par l autre point d attache Il d place alors la voiture et son grand tonnement le cercle s enfle ou diminue de taille suivant le sens du d placement de la voiture Fig 4 ses Fig 3 La roue non attach e Fig 4 La roue qui enfle ou diminue 39 Conferencias En g n ral les l ves ne savent pas interpr ter cette r troactio
252. on contenidos de Geometr a Espacial utilizaremos el Cabri 3D que como un ambiente de geometr a din mica permite la manipulaci n directa de los objetos construidos por medio del arrastre Sin embargo no podemos transponer para este ambiente las mismas tareas presentadas en los libros de texto por el contrario es necesario que las tareas sean concebidas espec ficamente para este ambiente Por otro lado la ense anza de geometr a espacial presenta dificultades para los profesores por ejemplo muchos de ellos no consiguen representar figuras espaciales y para los alumnos ya que a veces no logran utilizar sus dise os para apoyar su raciocinio Es as que nos centraremos en algunos contenidos matem ticos utilizando el Cabri 3D como por ejemplo la b squeda de t cnicas para la construcci n de s lidos arquimedianos que de acuerdo con Almeida 2010 el estudio de este tipo de s lidos ya form parte del curr culo escolar brasile o y ahora puede ser 102 Cabri 3D na sala de aula recuperado porque este ambiente de geometr a din mica permite disminuir las dificultades de representaci n la b squeda de f rmulas para la determinaci n de la medida del volumen de por ejemplo s lidos que no son los usualmente utilizados prisma y pir mide como el icosaedro un arquimediano la ense anza de la geometr a anal tica que a pesar de no tener grandes problemas de representaci n con l piz y papel puede ser enriquecida co
253. onal de Moreno Grupo XVIII Investigaci n en Matem tica Educativa Argentina aliciafayo ciudad com ar mcfayo hotlmail com Resumen A trav s de investigaciones en nuestro pa s hemos detectado que en los ltimos a os de la escuela secundaria y primer a o de la universidad se desaprovecha la posibilidad de estudiar las c nicas geom tricamente En general su estudio se realiza a trav s de sus expresiones anal ticas El alumno que encuentra cu l es el mecanismo de resoluci n termina siendo un gran calculista desconociendo el concepto y aplicaci n del tema No estudiar las c nicas en su plenitud implica desconocer todo aquello que dependa de ellas Nuestro objetivo en este taller es ense ar en una forma muy sencilla a trav s de Cabri 3D la generaci n de cu dricas como resultado de las trayectorias de las c nicas Mediante un paseo por sus aplicaciones recorreremos las obras m s notorias de los arquitectos del siglo XX Bastar recordar entre otros los modelos utilizados por Gaud No faltar n en nuestro recorrido la ingenier a mec nica las ciencias aeroespaciales hasta la astronom a que nos llevar a ver en sus dise os superficies impensables que toman como referencia los modelos de las cu dricas Nuestra orientaci n queda expresada por la respuesta dada por un matem tico a la pregunta de un asistente a su conferencia La Matem tica explica el mundo El catedr tico contest La matem tica no
254. onden a puntos medios de intersecciones de c rculos de centro O con 01 F es el centro del c rculo 01 as que ser el punto medio de alguna de las cuerdas comunes a los dos c rculos Por otro lado cuando O est en el infinito el c rculo correspondiente coincide con la recta HG Esta recta es tangente a 01 y por lo tanto en este caso los puntos A y B coinciden con G Construimos el c rculo que pasa por C F y G Llamemos este c rculo y Los puntos de intersecci n de los c rculos y y 01 son los puntos de tangencia buscados sin embargo el punto G no nos interesa en este caso ver Figura 5 02 Figura 5 Sea T el punto de intersecci n entre y y 01 El siguiente paso ser a construir el c rculo soluci n usando el punto T Basta con trazar la mediatriz entre los puntos N y T y marcar el punto de intersecci n entre esta y la mediatriz MN sea O este punto O es el centro del c rculo buscado C ver Figura 6 Para verificar que la construcci n sea correcta controlamos si el c rculo C es tangente al c rculo 02 Para ello trazamos la recta O E E es el centro de 02 y llamamos T la intersecci n de esta recta con 02 Si T est sobre C1 entonces C1 es tangente a 072 Para verificar esta propiedad usamos la herramienta pertenece de Cabri Figura 6 216 Cabri como herramienta fundamental en la soluci n de problemas Figura 6 Ahora vamos a solucionar la construcci
255. onse correcte si elle est plus grande ou plus petite La r troaction du contexte g om trique est porteuse d informations que l l ve peut analyser 50 Une analyse didactique de diff rents types d interactivit es Indovinafrazioni ds Indovinafrazioni 4 9 Fig 17 R ponse de l l ve Fig 18 La solution correcte en jaune Comme montr Fig 17 et Fig 18 un l ve repr sentant la fraction 4 9 par une barre allant au del de Y verra lors de la v rification que sa r ponse n est pas du m me c t de que la r ponse correcte et sera conduit se poser la question de la place de la fraction par rapport Y pour les fractions suivantes placer 3 Interactivit issue de la voix du professeur Les r troactions dues aux seuls objets de l environnement ne permettent pas toujours l l ve de trouver le chemin vers une r ponse correcte Dans l exemple de la roue manquante les l ves sont souvent bloqu s apr s la seconde r troaction de l environnement ils comprennent bien que leur solution n est pas correcte mais ne savent pas comment la changer pour qu elle fournisse une r ponse correcte une roue qui reste de taille invariante dans le d placement L intervention de l enseignant est n cessaire pour d bloquer la situation et reformuler diff remment le probl me sans toutefois donner la solution Il a donc t pr vu que Cabri Elem Creator permette d afficher des messages ou des bouton
256. oria corresponde a modificar la figura dada en otras sub figuras para obtener nuevos elementos que podr an ayudar en la soluci n de un problema 307 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Estamos interesadas especialmente en las aprehensiones secuencial y operatoria porque estas aprehensiones son las que facilitan la construcci n y la visualizaci n de las representaciones de objetos bi o tridimensionales Propuesta Presentamos dos actividades para introducir el rea y volumen de las pir mides Actividad 1 rea de una pir mide Se construye una pir mide cuadrangular y se realizan las siguientes acciones a Calcular el rea de la base de la pir mide Para ello se utiliza la caja de herramientas medida de rea del Cabri 3D como se muestra en la figura 1 4 0 412 Distancia Longitud Volumen ngulo Producto escalar Coord o ecuaci n Calculadora Figura 1 rea de la base de una pir mide b Calcular el rea de las caras laterales de la pir mide Para ello se crea un pol gono en cada una de las caras de la pir mide como se muestra en la figura 2 usando la caja de herramientas pol gono convexo Luego se calcula el rea de cada cara utilizando la caja de herramientas medida de rea 308 Piramides Una propuesta de ense anza con Cabri 3D Figura 2 rea lateral de una pir mide Hallar el rea total de la pir mide de acuerdo a la sigu
257. otenciar el desarrollo del pensamiento algebraico variacional a trav s del software Cabr Del pensamiento num rico al pensamiento algebraico variacional Jose Francisco Puerto Monterroza 123 Un acercamiento al concepto de funci n a trav s de la manipulaci n de objetos geom tricos donde se presentan patrones funcionales de dependencia y de generalizaci n utilizando el Cabr Jose Francisco Puerto Monterroza 132 Diff rents types de t ches avec Cabri 3D reliant les aspects g om triques num riques et alg briques d objets de l espace Colette Laborde 140 Caract ristiques principales d un syst me auteur pour la r alisation d activit s math matiques huatement interactives L exemple de Cabri LM Jean Marie Laborde 141 Cabri 3D para mejorar la visualizaci n y provocar el uso de la geometr a axiom tica Joris Mithalal 142 Cabri C lculo y F sica Ruben Sabbadini 144 Ambientes de aprendizaje con nfasis en la articulaci n de registros de representaci n Eugenio D az Barriga Arceo 148 Geometr a y argumentaci n din micas Luis Moreno Armella 157 Superficies de revoluci n con Cabri 3D Elizabeth Milagro Adv ncula Clemente 159 Uso de la pizarra digital interactiva en la ense anza de la geometr a din mica Marisel Roc o Beteta Salas 165 Visualizando los l mites de funciones y las derivadas con geometr a din mica Mar a del Carmen Bonilla 172 Tratamiento metodol gico de las funciones
258. pareceu completamente quando essa disciplina deixou de existir para dar lugar Educa o Art stica Baseando se na Problem tica Ecol gica de Chevallard conjecturou que o Cabri 3D pudesse ser o ambiente para retomar o estudo desses s lidos por favorecer a representa o de figuras espaciais como tamb m sua manipula o direta possibilitaria a explora o de conjecturas Assim a partir de um estudo hist rico encontrou no Renascimento as truncaturas de s lidos plat nicos de Piero della Francesca 1412 1492 e nele se baseou para construir no Cabri 3D alguns dos s lidos arquimedianos Atualmente baseado nesses estudos estamos desenvolvendo atividades para levar o trabalho com esses s lidos para professores S o algumas dessas 25 Conferencias ideias que apresentaremos neste trabalho al m de tratar de outros conte dos mesmo que rapidamente para melhor mostrar a compreens o de situa es problemas para o ensino de Geometria utilizando o Cabri 3D As situa es problemas e o Cabri 3D Entendemos que para o aluno aprender temos que produzir um meio de acordo com Brousseau 1986 que lhe ofere a certas dificuldades contradi es e desequil brio a fim de que a adapta o do aluno o conduza a produzir novas respostas s quest es apresentadas o que mostra a aprendizagem Nesse sentido o professor deve criar e organizar o meio em que as atividades de ensino ser o desenvolvidas para provocar a aprendizagem D
259. per la didattica della fisica in Progetto Alice vol IV n 11 II tr 2003 Sabbadini R 2005 Da Keplero a V Panisperna passando per Rutherford quattro secoli di modelli planetari in Progetto Alice vol VI n 16 I tr 2005 R Sabbadini R 2005 Rendere visibile la matematica Analisi Calcolo delle Probabilit e Fisica si mettono in mostra in Ipotesi Anno 8 n 1 2005 Sabbadini R 2006 Vedere la matematica e la fisica la soluzione di equazioni differenziali con Cabri G om tre in Progetto Alice Anno III vol VII n 21 Editrice Pagine Roma 547 560 Tomasi L 2002 Cabri G om tre II Plus novit e potenzialit dell ultima versione del software CabrIrsae Ottobre 2002 Ve 0 0 e 65 Un registro Semi tico importante en la evaluaci n de actividades matem ticas El registro verbal Eugenio D az Barriga Arceo Facultad de Ingenier a Universidad Aut noma del Estado de M xico eugeniuxO hotmail com Resumen En este documento presentamos algunos resultados preliminares de investigaciones en marcha realizadas en la Facultad de Ingenier a de la Universidad Aut noma del Estado de M xico y el Instituto Tecnol gico de Tuxtla Guti rrez referentes al desempe o de estudiantes en pruebas piloto referentes a los cursos de lgebra Superior lgebra Lineal Ecuaciones Diferenciales y C lculo de Varias Variables Los ejercicios presentes en dichas pruebas trabajaban simult neamente diversos registros
260. pia situaci n tiene que informar al estudiante si lo ha hecho bien o no si su soluci n es correcta sin tener que recurrir a la ayuda del maestro e Fase de institucionalizaci n una vez que los estudiantes han construido el conocimiento el docente retoma lo efectuado hasta el momento y lo formaliza aportando observaciones y clarificando conceptos si en la situaci n did ctica se tuvo problemas 247 Reporte de investigaci n 3 2 La ingenier a did ctica La metodolog a utilizada en esta investigaci n es la ingenier a did ctica Douady 1996 expresa que una ingenier a did ctica es un conjunto de secuencias de clase dise adas organizadas y articuladas coherentemente por un profesor ingeniero para lograr el aprendizaje de cierto conocimiento en un grupo espec fico de estudiantes A lo largo de los intercambios entre el profesor y los estudiantes el aprendizaje debe evolucionar bajo las reacciones de los estudiantes en funci n de las decisiones y elecciones del profesor As la ingenier a did ctica es al mismo tiempo un producto resultante de un an lisis a priori y un proceso resultante de un an lisis a posteriori de la puesta en funcionamiento de una secuencia acorde con las condiciones din micas de una clase El dise o de la propuesta transita por las cuatro etapas de la ingenier a did ctica es decir por la etapa de an lisis preliminares epistemol gico did ctico y cognitivo la etapa de concepci
261. profesores cuando utilizan los recursos 43 Conferencias Cabri Elem Creator permite crear cuadernos de actividades interactivas en toda la matem tica de la escuela primaria y del comienzo de la escuela secundaria Cabri Elem Creator y Cabri Elem Player son dos ambientes de manipulaci n directa No hay lenguaje de programaci n en el Creator para los autores hay solamente una programaci n visual es suficiente seleccionar con un clic desplazar representaciones de objetos te ricos y reales 2 Interactivit des objets de l environnement 2 1 Dans la donn e du probl me Los estudiantes experimentan la tarea como un verdadero problema si se enfrentan a restricciones o incidentes visibles para ellos que les impide resolver la tarea de manera habitual Nous renvoyons ici la notion de situation adidactique de Brousseau 1998 Ce sont les fonctionnalit s du logiciel qui permettent de cr er ces limitations Donnons l exemple du cahier Coccinelle destin des l ves de premi re ann e d cole l mentaire 6 7 ans cahier de la collection 1 2 3 Cabri www cabri com Dans la premi re page l l ve doit mettre des gommettes sur les taches de la coccinelle Il s agit d une t che mettant en uvre perception et motricit et ne mettant pas en jeu de math matiques Dans la seconde page on demande l l ve de pr parer exactement ce qu il faut de gommettes dans une bo te pour couvrir toutes
262. propuestas se solicit hallar las coordenadas de v rtices de cubos conociendo las ecuaciones de sus caras tambi n se plantearon actividades para reconocer los efectos en las ecuaciones de los objetos el que estos cambiaran de posici n Implementaci n del proceso de instrucci n La experiencia se desarroll en un laboratorio de c mputo donde cada estudiante interactuaba con una computadora Luego de algunas tareas que buscaban familiarizar al estudiante con el programa Cabri 3D se plantearon cinco actividades En relaci n a la primera actividad propuesta a los estudiantes en donde se ped a que ubicaran cuatro puntos en el espacio como muestra la figura 1 para que luego seg n lo que se observaba indicara si se encontraban en un mismo plano hubo distintas respuestas Esto hab a sido previsto ya que se les dio libertad para que ubicaran los puntos en cualquier lugar del espacio Sin embargo la posibilidad que ofrece el Cabri 3D de modificar la perspectiva del observador permiti que los estudiantes cambiaran su percepci n inicial y pudieran comprobar o modificar su respuesta inicial sobre la posici n relativa de los cuatro puntos Figura1 Puntos en el plano En relaci n a la segunda actividad propuesta para determinar condiciones que deb an satisfacer los puntos al encontrarse en determinados planos se obtuvieron respuestas diversas siendo algunas m s precisas que otras Por ejemplo para describir los puntos en el
263. provechando un elemento pr ctico y experimental como lo es el CABRI 3D para facilitar la comprensi n de componentes te ricos y el paso entre distintos niveles de pensamiento 284 Introducci n a la geometria analitica espacial con Cabri 3D Referencias G mez N Parada D y Romero V 2008 Geometr a Din mica Una propuesta renovada para ense ar lugares geom tricos Recuperado el 19 de Mayo de 2012 de http www jornadas virtuales revoluciontic com ar Trab_2008 NTIC geometria pdf Parzysz B 1988 Knowing vs Seeing Problems of the plane representation of space geometry figures Educational Studies in Mathematics 19 1 79 92 Parzysz B 1991 Representation of space and students conceptions at High school Level Educational Studies in Mathematics 22 6 575 593 Ve 0 ot e e 285 Visualizaci n de diferentes s lidos geom tricos usando Cabri 3D Maritza Luna Valenzuela Pontificia Universidad Cat lica de Per luna m pucp edu pe Resumen Esta comunicaci n pretende mostrar una experiencia positiva del curso de Introducci n a la Matem tica Universitaria el cual vengo dictando desde el a o 2009 en la unidad acad mica de Estudios Generales Ciencias de la Pontificia Universidad Cat lica de Per En este contexto presentar este art culo para compartir con los docentes de nivel secundario y superior algunos casos muy interesantes de planteamiento para la soluci n de problemas
264. r a din mica Reporte de investigaci n no publicado Universidad Pedag gica Nacional Bogot Ve 0 0 e e 277 Introducci n a la geometria analitica espacial con Cabri 3D Jes s Flores Salazar ivflores pucp pe Cecilia Gaita Iparraguirre cgaita pucp edu pe Pontificia Universidad Cat lica del Per Instituto de Investigaci n sobre la Ense anza de las Matem ticas IREM Per Marisel Beteta Salas Colegio Hiram Bingham mbeteta hirambingham edu pe Resumen La experiencia se desarroll en un primer curso de matem tica con estudiantes de Arquitectura en donde con ayuda del software Cabri 3D se inici el estudio de objetos elementales en la geometr a anal tica espacial Los estudiantes tuvieron la oportunidad de manipular representaciones de objetos como el punto la recta el plano y la esfera Determinaron posiciones relativas entre ellos asociaron ecuaciones a sus representaciones e hicieron deducciones sobre las formas y las ecuaciones de sus intersecciones Para el dise o de las actividades se tomaron en cuenta los niveles de pensamiento geom trico de Parzysz Las actividades con Cabri 3D favorecieron la evoluci n de los niveles de pensamiento G0 a G1 y en algunos casos tambi n del G1 al G2 Palabras clave geometr a geometr a anal tica espacial geometr a din mica Eje tem tico Geometr a plana y espacial con Cabri Introducci n A partir de la experiencia docente se ha podido o
265. r por ejemplo a la f sica o la an lisis matem tico o el calculo de la probabilidad Cabri C lculo y F sica Este los applicationes se basan en la caracter stica de la medida en Cabri y in particular de el transporte de la medida y de el lugar geometr co En un primero momento esta caracter stica non fuera emplementada en el Cabri originario no era necesario para la geometr a sintetica Pero finalmente fue insertado Cuando aprend esta caracter stica que entend a inmediatamente las grandes posibilidades esto podr a dar Usted puede dibujar una funci n sta es la primera lecci n x 6 19 em 169 2 78 cm Figura 1 Usted puede dibujar una funci n derivata sta es la primera lecci n y difdx Figura 2 Usted puede realizar una simulaci n de la bola que despide segunda lecci n 145 Talleres Figura 3 Se possibile mostrerd come trattare gli integrali e le equazioni differenziali del prim ordine RACE AR PIPETA aa AAA PEROLA O e ee A A CR RO EU E A AA AA ser E SR ET NOAA ss EA le e A ART yA gt dela AR ori ta SR nn E E A A PA y Figura Referencias Atkins P W 1984 Il secondo principio Zanichelli Editore Bologna Italy Gnedenko B V 1979 Teoria della Probabilit Editori Riuniti Edizioni MIR Roma Italy La Fisica del Berkley 1971 Elettricita e Magnetismo Parte prima Zanichelli Bologna
266. r realizar exitosamente el proceso de conceptualizaci n del objeto geom trico La presunta infalibilidad de la matem tica le cierra los caminos a todo lo que le dio origen el ensayo y el error el caso particular la aproximaci n de la representaci n y pierde as su mayor La infalibilidad de las matem tica como un obst culo para su virtud ser una maravillosa aventura intelectual para todo ser humano Palabras clave aproximaciones Cabri 3D infalibilidad representaciones geometr a del espacio Cuerpo del documento La matem tica tiene reputaci n de ser abstracta general objetiva exacta e infalible pero si reflexionamos en profundidad y analizamos su historia Es realmente as Por citar tan s lo un ejemplo hace 200 a os la geometr a euclideana era la nica estructura posible del espacio por un punto exterior a una recta exist a nicamente una recta paralela y la suma de los tres ngulos interiores a un tri ngulo era siempre 1800 Sin embargo luego de los trabajos de Lobachevski Bolyai y Riemann estas verdades infalibles y absolutas establecidas 2000 a os antes por Euclides cayeron por tierra La geometr a euclideana pas a ser s lo un caso particular donde la curvatura de las superficies es 0 Si la curvatura de la superficie es positiva la suma de los tres ngulos de un tri ngulo no es constante y es mayor que 1800 y si la curvatura de la superficie es negativa la suma de los tres ngulos de
267. r l analyse mais qui offre manipuler les l ments de la g om trie pure Ce faisant pour peu que l outil soit suffisamment souple et la construction g om trique correcte le dessin parce que param tr par les l ments de base qui le composent peut naturellement tre modifi par la variabilit des l ments de base ouvrant ainsi de nouvelles perspectives didactiques 238 Taller digital con Cabri G metra R solution par calcul ou par construction g om trique Un exemple mettant en jeu la dialectique graphique num rique est celui de la r solution et du calcul le contexte ici est celui d un enseignement de structure de premi re ann e Les m thodes graphiques pour r soudre les probl mes de cette nature comme les m thodes analytiques sont bien connues ici encore qu il s agisse de fermeture de dynamique et de calcul vectoriel la r solution sous forme graphique nous para t plus directe permet la visualisation des ph nom nes et nous para t plus pertinente pour la culture des futurs architectes pour peu que l on utilise un support dynamique permettant de faire varier les conditions initiales il devient possible de visualiser des ph nom nes et ou d approcher une solution optimale Du fait d tre support e num riquement cette approche par le graphique conduit construire des solutions aussi pr cises qu avec une approche calculatoire analytique Forme id ale d une vo te du point de vue de
268. range superficies param tricas campos vectoriales Eje tem tico Matem tica elemental y avanzada con Cabri Pertinencia del tema La aplicaci n de actividades en el aprendizaje del c lculo permite crear situaciones en las que el estudiante puede realizar algunas indagaciones y formular sus propias ideas sobre lo que sucede antes de arribar a la simbolizaci n y el manejo abstracto pues es importante que los estudiantes realicen actividades con objetos que puedan manipular y que tengan reglas sencillas de manejo de tal modo que el maestro pueda dise ar actividades con ellos y el estudiante pueda ir conformando las nociones que interesa abordar Marco te rico en el que se basa el trabajo Es muy clara la conveniencia de ejercitar nuestra capacidad de visualizaci n y de entrenar a quienes queremos introducir en la actividad matem tica en el ejercicio de la visualizaci n La visualizaci n es extraordinariamente til por consiguiente tanto en el contexto del desarrollo matem tico como en el de la ense anza aprendizaje como evidentemente en el de la investigaci n Y esto no solamente en lo que se refiere a la geometr a en la que tales ayudas deber an ser bien evidentes sino tambi n en lo que ata e al an lisis matem tico 179 Talleres Debe quedar muy claro que no pretendo desarrollar un curso completo de c lculo sino m s bien destacar algunos aspectos en los cuales es de mucha utilidad el empl
269. rcamiento significativo al concepto de funci n a trav s de la manipulaci n de objetos geom tricos donde se presentan patrones funcionales de dependencia Cuando los patrones expresan regularidades num ricas se establece una relaci n funcional general que se presenta en lenguaje natural tablas de valores gr ficos cartesianos y expresiones simb licas que recogen las caracter sticas fundamentales del patr n de variaci n Es decir que mediante este software se pueden modelizar situaciones de variaci n usando las representaciones verbales concretas pict ricas gr ficas y algebraicas tal como lo propone el NCTM 2000 Marco Teorico En 1637 el matem tico franc s RENE DESCARTES 1596 1650 revolucion las Matem ticas al unir sus dos ramas principales lgebra y Geometr a Con ayuda del plano Coordenado de Descartes los conceptos geom tricos pudieron formularse analiticamente y los conceptos algebraicos visualizarse gr ficamente Lo que gener una estrecha relaci n entre las t cnicas gr ficas y algebraicas ecuaciones En el siglo XVI el estudio del movimiento apareci como problema central de la f sica y como consecuencia de ello se desarrollaron las matem ticas que estudiaban la interdependencia de las magnitudes variables es decir el concepto de variable y de funci n As se puede afirmar que las leyes f sicas son proposiciones que describen la forma en que ciertas magnitudes dependen de otras cuando stas
270. re Cabri um dos pioneiros para o ensino e a aprendizagem em geometria apresenta uma interface que favorece e estimula a descoberta matem tica especialmente a partir dos aspectos intuitivos que o professor pode proporcionar na organiza o do processo educacional sob sua responsabilidade Para Fischbein 1987 a intui o uma forma de conhecimento que possibilita a aquisi o de confian a e certeza em fatos matem ticos que se podem ver com a pr pria mente a necessidade para uma certeza comportamental pr tica n o convencional implicitamente significativa que cria a cren a quase instintiva na exist ncia de tais certezas finais e consequentemente a busca por elas Foi provavelmente Descartes quem melhor expressou esta vis o se conhecimento sempre o produto de uma mente ativa tem se de encontrar na pr pria mente o crit rio pelo qual uma certa verdade pode ser distinguida de certas apar ncias FISCHBEIN 1987 p 7 Para o mesmo autor a percep o uma forma de conhecimento difere da intui o pois essa vai al m dos fatos percept veis necessitando uma extrapola o das informa es advindas desses fatos As representa es intuitivas das atividades podem ser obtidas na tela gr fica do Cabri e posteriomente devem ser 109 Talleres comprovadas pelo processo intuitivo Com isso a passagem da representa o visual na tela pode proporcionar a constru o de estruturas mentais que denomin
271. rectas planos esferas el alumno encuentra la soluci n realizando las construcciones adecuadas con Cabri 3D luego da las soluciones anal ticas y las interpreta geom tricamente Los objetivos relacionados a estos temas son Dar nfasis a la rigurosidad de los conceptos y sus propiedades analizar e interpretar geom tricamente resultados realizar construcciones geom tricas conocer el manejo y uso del Programa Cabri 3D Con el apoyo del Programa Cabri 3D el alumno representa vectores en R usa las definiciones y resultados te ricos para construir rectas planos esferas plano tangente a una esfera en R Los temas propuestos se desarrollan en cuatro horas dos horas de exposici n en el aula y dos horas de pr ctica en el Laboratorio donde cada alumno resuelve la tarea usando el programa Cabri 3D Los alumnos utilizaron el programa Cabri 3D en la soluci n de los Trabajos Grupales del curso 4 alumnos por grupo Adem s el Examen Parcial del curso incluy dos preguntas de Laboratorio sobre rectas planos superficies de revoluci n Palabras clave Vectores rectas planos esferas construcci n Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Planos y esferas en El estudio de rectas planos esferas cilindros conos superficies en el espacio tridimensional es m s simple usando vectores Consideramos operaciones con vectores y sus propiedades definici n de recta circunferencia plano y esfera pos
272. rencia a que llas habilidades y t cnicas de saber ver y saber interpretar para percibir objetos tridimensionales pueden ser aprendidas Irma Saiz y Noem Acu a 2006 expresan Partimos de la idea de que los objetos matem ticos son por naturaleza abstractos Duval 1993 considera que son accesibles s lo por medio de sus representaciones y que su conceptualizaci n pasa por la capacidad de identificar un concepto en diferentes registros Por lo tanto se necesita un trabajo espec fico en los estudiantes cuyo objetivo sea la articulaci n de diferentes registros alrededor de un objeto matem tico en particular Colette Laborde 1999 afirma una parte de la esencia de las matem ticas es la actividad de resoluci n de problemas y esta actividad est basada en la interacci n entre varios registros y el tratamientos en cada registro 94 Como es que las trayectorias de las c nicas pueden generar cu dricas Desde la antig edad la Geometr a coexiste con diferentes disciplinas y el arte Es as que la encontramos en la arquitectura la ingenier a el dise o hasta en el arte abstracto El saber ver es encontrar los rastros de la Geometr a El estudio de las superficies regladas alabeadas se traslad al arte la arquitectura y la ingenier a gracias al descubrimiento del hormig n armado Un genio como Antoni Gaud lo aprovech para crear los arcos las b vedas y las columnas para dise ar amplios ventanales y alcanz
273. res Figura 1 Las opciones de dinamismo del Cabri 3D permite que el alumno pueda gijar y ver los distintos caras y ngulos para finalmente dar la soluci n Figura 2 Situaci n 2 Se tienen dos esferas tangentes exteriormente cuyos radios miden 3 cm y 5 cm Calcula el volumen del cono circunscrito a ambas esferas Planteamiento De la informaci n se esboza las esferas tangentes y el cono circunscrito como se observa a continuaci n en la siguiente figura 288 Visualizaci n de diferentes s lidos geom tricos usando Cabri 3D Figura 3 Para poder dar soluci n a la situaci n es necesario tener presente la tangencia como se observa en la Figura 4 para luego establecer semejanza de tri ngulos y dar soluci n Figura 4 Las opciones del Cabri 3D facilita la visualizaci n y determinar el volumen Referencias CABRI 3D Manual do usuario Recuperado el 30 de mayo de 2012 de http es scribd com doc 6338612 Manual Cabri3d 289 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Duval R 1996 La habilidad para cambiar el registro de representaci n LA GACETA DE LA RSME Vol 9 1 P gs 143 168 Recuperado el 31 de mayo de 2012 de http cmapspublic ihmc us rid 3D1 M80 72 G9RGZN 2CG La 2520habilidad 2520para 2520cambiar 2520e 1 2520registro 2520de 2520representaci 25C3 25B 3n pdf L pez R Los niveles de Van Hiele Recuperado el 30 de mayo de 2012 de http w
274. riben la estructura a suelo firme como por ejemplo muros de contenci n Las dovelas del arco van empuj ndose entre s transmitiendo las fuerzas verticales y convirti ndolas en un componente horizontal El c lculo del empuje de un arco y poder decidir qu dimensi n deb a tener el estribo para que el arco fuera estabilizado fue uno de los problemas fundamentales en la construcci n Algunos lo han definido el enigma de la arquitectura 227 Reportes de investigaci n El primero en determinar una teor a acerca de como funciona un arco recae sobre Leonardo da Vinci pero no es hasta que en 1670 el f sico Robert Hooke formula el problema en t rminos cient ficos y menciona al final de uno de sus libros en forma de anagrama como se asemeja el arco a catenaria invertida Algunos conceptos aplicados Si se coloca un apoyo en el punto medio de la luz que forman los apoyos extremos de una viga las cargas actuantes sobre esta se distribuyen de forma m s uniforme Se aplic la construcci n y el concepto de mediatriz de un segmento Los arcos son una forma estructural que se adapta a mayores luces y permite la aplicaci n de la ley de momentos para la distribuci n de cargas gravitatorias Se aplic la construcci n de una circunferencia por tres puntos y el arco que subtend a en la circunferencia los puntos de apoyo Cuando se aplican tensiones radiales que unen la cercha en arco con la superficie de rodadura
275. riendo a conocimientos ya adquiridos Conferencias Palabras claves Investigaciones con Cabri Experiencias para el aula En la carrera Licenciatura de la Matem tica trabajamos con estudiantes que ya han cursado cuatro a os para obtener el t tulo de profesores de Matem tica La carrera tiene una duraci n de 2 a os para llegar a ser licenciados y se requiere de un a o m s para obtener el t tulo de grado realizando el primer trabajo de investigaci n que se denomina tesina A trav s del trabajo con nuestros estudiantes hemos visto que la mayor a tienen una formaci n s lida para la ense anza Por formaci n s lida entendemos que complementan los conocimientos matem ticos para ense ar en las clases la b squeda de los recursos necesarios para despertar en sus alumnos el deseo de saber o el desaf o de descubrir los nuevos conceptos En el programa est incluida la materia Fundamentos de la Geometr a y para desarrollarla modelizamos los diferentes temas con Geometr a din mica Cuando los estudiantes terminan de cursar para evaluarlos les tomamos un parcial si lo aprueban est n en condiciones de rendir el examen final El parcial trata de una peque a investigaci n sobre un tema espec fico dado por nosotros modelado con Cabri Indicamos una bibliograf a apropiada y trabajos expuestos en Internet Este material los gu a para elegir el tema a partir de ah necesitan toda la imaginaci n posible para d
276. rm ticos por si mismo M s que estudiar unas situaciones se tratar en esa conferencia de describir un posible camino entre Gl y GII Utilizar el trabajo de Duval 2005 para describir precisamente c mo los alumnos pueden utilizar los dibujos y mostrar que la d construction instrumentale desempe a un papel muy importante en el proceso de evoluci n desde GI hasta GII En efecto la d construction instrumentale permite construir dibujos concretos y por eso responde a problemas de GI utilizando objetos matem ticas te ricos que solo se puede concebir con GII Ejemplos sacados del uso de unas situaciones ilustraron la Conferencias importancia de peque as variaciones en la deconstruction instrumentale Palabras clave geometr a 3D geometr a din mica visualizaci n paradigmas geom tricos Cabri 3D Referencias Duval R 2005 Les conditions cognitives de l apprentissage de la g om trie d veloppement de la visualisation diff renciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 10 5 53 Houdement C Kuzniak A 2006 Paradigmes g om triques et enseignement de la g om trie Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 11 175 193 Mithalal J 2010 D construction instrumentale et d construction dimensionnelle dans le contexte de la g om trie dynamique tridimensionnelle These de doctorat Universit de
277. rocesos experimentales para desarrollar una demostraci n rigurosa Queremos presentar un ejemplo concreto de esta pr ctica de matem tica experimental en el campo de la geometr a elemental Las capacidades de c mputo y de representaci n visual de Cabri hacen posible una experimentaci n visual y num rica sin correr excesivos riesgos de error debidos a limitaciones de tipo perceptivo o de exactitud de representaci n gr fica El problema de nuestro ejemplo consiste en construir dos c rculos C1 y C2 de la siguiente manera El c rculo C debe ser tangente al cuadrado EFGH y debe ser tangente a los c rculos 0 y 02 el c rculo C2 debe ser tangente al segmento IJ y a los c rculos O1 y 02 como se muestra en la Figura 1 213 Reportes de investigaci n 62 ol E M pe Figura 1 2 Exploraci n experimental Observemos que la mediatriz del segmento EF corta al cuadrado en los puntos M y N y es el eje de simetr a de la figura Por esto sabemos que el centro de cada uno de los c rculos buscados estar sobre el segmento MN ver Figura 2 H N G Enf M F Figura 2 Construimos un circulo tangente a HG en N y con centro sobre la recta MN Llamemos O este centro Si movemos O vemos que en alg n momento este c rculo es tangente a 01 Existe pues una familia de c rculos dentro de la cual est una soluci n al problema Necesitamos caracterizar el punto de tangencia del c rculo soluci n con 0 c
278. rrastre de los objetos matem ticos y una mejor comprensi n de las propiedades matem ticas impl citas en la noci n 1 L mite de Funciones a Aproximaci n intuitiva Dada la funci n Calcular si existe 1 97 0 96 ERIC ES LEA Figura 1 b Definici n formal de l mite de funci n Sea f una funci n definida sobre el intervalo abierto que contiene el n mero excepto cuando se define a si misma Entonces decimos que el l mite de f x cuando x tiende o se aproximaa es L y escribimos Si para cada n mero e gt 0 hay un correspondiente n mero 6 gt 0 tal que siempre que 174 Visualizando los limites de funciones y las derivadas con geometr a Lim 3 x 1 2 3 32 ngm 3 x bte mA 0 27 lt 4 49 M 3 04 3 32 lt 0 45 3 04 3 6 27 14112 o 44 x 627 RETTE ERIC LA Figura 2 2 Derivada de una funci n en un punto El l mite si existe y es finito recibe el nombre de derivada de la funci n en el punto a y representa la variaci n de la funci n fen el punto x a Se representa por Si en la definici n anterior hacemos cuando h tiende a cero entonces xtiende a a y la derivada de la funci n en el punto a nos queda de la forma Geom tricamente si vamos acercando el punto P hacia el punto Po h tiende a cero la recta secante se transforma en tangente a la gr fica de la funci n En consecuencia la derivada de una funci n
279. rtantes para concebir otras Cabri 3D Para mejorar la visualizacion y provocar el uso de la Se organizar el taller en dos sesiones de 90 minutos La primera ser principalmente dedicada a la presentaci n del software y tambi n al estudio de c mo alumnos pueden completar un cubo con instrumentos geom tricos En la segunda sesi n intentaremos describir m s precisamente las variadas maneras de resolver problemas de geometr a lo que nos permitir analizar una situaci n relacionada con rectas en el espacio Palabras clave geometr a 3D geometr a din mica visualizaci n paradigmas geom tricos Cabri 3D Eje tem tico uso del software para concebir situaciones de ense anza Referencias Duval R 2005 Les conditions cognitives de l apprentissage de la g om trie d veloppement de la visualisation diff renciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 10 5 53 Mithalal J 2010 D construction instrumentale et d construction dimensionnelle dans le contexte de la g om trie dynamique tridimensionnelle These de doctorat Universit de Grenoble Rabardel P 1995 Les hommes et les technologies Approche cognitive des instruments contemporains Armand Collin Ve e 0 e gt 143 Cabri C lculo y F sica Ruben Sabbadini Liceo Farnesina Roma Italia rusabba tin it Resumen Cabri non solo geometr
280. rtir de esta investigaci n se espera que los estudiantes del programa de la Licenciatura dise en unidades de an lisis y gu as de clase que puedan ser contextualizadas en diferentes ambientes de trabajo y en el mediano plazo dise ar y socializar una serie de estrategias did cticas que le permitan a los docentes hacer mas eficiente el trabajo de la mediaci n con CABRI GEOMETRE II PLUS Cuerpo del documento Reportes de investigaci n Se entiende el Aprendizaje Basado en Problemas ABP como un m todo did ctico que permite al estudiante que se desempe ar como profesor desarrollar capacidades conocimientos y habilidades para identificar analizar y proponer alternativas de soluci n a los problemas de ense anza y o aprendizaje de la matem tica de manera eficaz eficiente y humana utilizando principalmente la investigaci n como estrategia pedag gica IEP Para el caso de la investigaci n los problemas objeto de an lisis fueron e La baja comprensi n de los conceptos e La dificultad para utilizar el programa e La did ctica de la matem tica Algunas de las desventajas que se tienen al incorporar un paquete matem tico o un software en el aula de clase es que ste se convierte en una carga adicional para el estudiante debido a los requerimientos de programaci n para usarlos y en otros la cantidad de comandos o sintaxis que se deben aprender para hacer uso del mismo es as como las clases se convierten en buscar
281. s Q Posizione di equilibrio 0 O RESTE SE k x0 t i i li EV dEi AA gt diri Be e RR aie PRATICARE lena HERA e cia a PT a NA li CAE 0 gt ses SEED AA AAA e 4 A gt 0 5 w CLIN ers Sd yt L ad E A ACE DR Md Mia se RICA DR eg OCR ENT PAE REBANADA funciones en 2 variables como esta tende all infinito positivo o negativo 60 Cabri C lculo y F sica Se pueden ense ar con facilidad movimientos complejos como esto Calculos complicados como estos Elongazione A 3 14 cm t y V A y 7 7 r i FI i l ig f i 1 _ Et il grafico di varie armoniche e della loro somma Para entender oh la trasformada de Fourier los calculos los hace Cabri E il grafico GN di un mudella che va viprudutlu vpersudu sull uta di HI R atu wt 61 Conferencias Pero Cabri puede hacer cosas fenomenales tambien por la Matematica no solo geometria sino tambien Analisis Calculo de las probabilidades y mucho mas Sucede como con los hijos cuando son ni os uno espera sera inge ero como el papa profesora como la mama y despues van por su proprio camino La tradicional pizarra y tambien el retroproyector se pueden ayudar con otros instrumentos de aprendizaje para las materias cientificas Cuerpo del documento Pero Cabri puede hacer
282. s puede cambiar las pr cticas matem ticas actuales Recuperado el 20 de junio de 2012 de http aportes educ ar matematica autores php Ve 0 0 Sd eo e 100 Cabri 3D na sala de aula Maria Jos Ferreira da Silva Pontificia Universidade Cat lica de S o Paulo Brasil zeze pucsp br Jes s Victoria Flores Salazar Pontificia Universidad Cat lica del Per ivflores pucp pe Resumen Este taller tiene como objetivo concebir y explorar construcciones geom tricas espaciales utilizando el Cabri 3D y est dirigido a profesores del nivel secundario que ense an cursos que contienen temas de Geometr a Espacial Resaltamos que no es necesario tener conocimientos del uso de este ambiente de geometr a din mica para participar del taller Pensamos que las herramientas y recursos del Cabri 3D se pueden transformar en instrumentos de acuerdo con Rabardel y ser el h bitat en el sentido de Chevallard para contenidos que no son trabajados en el aula con l piz y papel por lo que abordaremos espec ficamente los temas algunos t picos de Geometr a Anal tica s lidos arquimedianos medida de volumen de s lidos y Geometr a de las Transformaciones incorporando este ambiente de Geometr a din mica Las actividades del taller ser n realizadas en dos sesiones de una hora cada una En la primera sesi n se explorar n los principales recursos y herramientas del Cabri 3D mediante la construcci n de objetos geom tricos espaciales
283. s Juana Castillo Padilla 257 COMUNICACI N DE EXPERIENCIAS O PROPUESTAS DE INNOVACI N DID CTICA Estudo das transforma es no plano uma situa o de aprendizagem L cia Helena Nobre Barros 261 Geometr a plana y espacial con Cabri Tomasa Carazas Machaca 269 Introducci n a la geometr a anal tica espacial con Cabri 3D Jes s Flores Salazar 278 Visualizaci n de diferentes s lidos geom tricos usando Cabri 3D Maritza Luna Valenzuela 286 Uma experi ncia no cabri 3D na apreens o de axiomas de incid ncia no espaco com alunos de mestrado Jos Carlos Pinto Leivas 291 Propuesta de actividades sobre c nicas con Cabri Juana Contreras S 299 Comunicaciones de experiencias Troy Jones 305 Pir mides una propuesta de ense anza con Cabri 3D Elizabeth Milagro Adv ncula Clemente 306 Propuesta did ctica para apoyar el aprendizaje de la par bola usando el software Cabri Janeth Mech n Martinez 313 Planos y esferas con Cabri 3D N lida Salom Medina Garc a 319 CONFERENCIAS Imaginaci n geometr a din mica y Cabri Alicia Noem Fay Universidad Tecnol gica Nacional Facultad Regional General Pacheco Universidad Nacional de Moreno Grupo en Investigaci n Matem tica XVIII Argentina Resumen En el Iberocabri 2010 mi conferencia se titul Creatividad y Cabri Mi deseo para Iberocabri 2012 es analizar un componente m s para fomentar la creatividad En nuestra profesi n todos sabemos que lo que desc
284. s allant des pages d aide soit si les l ves font un grand nombre d essais donnant lieu des r ponses fausses soit si un temps assez long se passe sans que l l ve r ponde Il est possible aussi par une analyse a priori des erreurs possibles des l ves fond e sur des r sultats de recherche et d exp rimentation de pr voir des messages ou des aides diff rentes selon le type d erreur effectu 51 Conferencias La difficult de cr ation de telles r troactions exprimant la voix du professeur est d ordre didactique Il faut trouver l aide donner aux l ves qui leur permette d aller de lavant dans l activit sans an antir le coeur du probl me En effet l l ve apprend en construisant des r ponses des probl mes Lui donner trop d l ments de solution risque de ne plus lui demander la mise en uvre de connaissances critiques justement vis es par le probl me en question Chaque activit demande donc une tude a priori de ce qu on laissera la charge de l l ve et de ce qu on lui fournira comme l ments d information Quelques principes g n raux peuvent certes soutenir les tudes cas par cas On peut donner des l ments d information l l ve sur ses erreurs sans dire ce qu elles sont exactement par exemple donner le nombre d erreurs faites sans les indiquer de fa on pr cise indiquer que le nombre trouv est trop grand ou trop petit ce qui peut conduire l l ve r fl ch
285. s efforts application de la m thode du funiculaire avec Cabri D composition recomposition dynamique des forces dans les barres d une console la g om trie dynamique permet de dynamiser la figure et d observer les ph nom nes de traction compression Vers les formes libres Un autre exemple se rapporte aux formes libres ou complexes la conception spatiale instrument e informatiquement a vu merger depuis une vingtaine d ann es des formes nouvelles parfois qualifi es d architecture blob liquide forme libre num rique param trique ou encore non standard Il n est pas question ici d apporter un regard critique sur ces productions du point de vue g om trique en introduisant le mouvement sans connaissances pointues en programmation et en g om trie analytique en s appuyant sur l intuition il est possible d atteindre rapidement des formes dites non standard l exemple ci dessous s appuie math matiquement sur la notion de distance et celle de barycentre Il correspond la 239 Reportes de investigaci n notion de balayage d une courbe sur deux rails implant e dans des logiciels tels que Rhino et Grasshopper Payne A Issa R la diff rence de ces outils de mod lisation qui fonctionnent comme des boites noires la projection d une telle enveloppe dans le cadre de la g om trie dynamique avec Cabri est compl tement construite et ma tris e par l tudiant de la constructio
286. s el caso de las reglas de los signos En general cuando se estudia el producto de n meros con signo surge la interrogante Por qu 5 y Como matem ticos sabemos que hay dos teoremas que al demostrarse bajo los axiomas de campo de los n meros reales justifican las reglas de los signos Sin embargo un enfoque axiom tico de las reglas de los signos en un mbito educativo b sico no es quiz el camino apropiado para que el estudiante adquiera el aprendizaje de dichas reglas entonces cu l ser a el tratamiento adecuado para abordar las reglas de los signos de tal manera que garantice una apropiaci n del conocimiento por parte de los estudiantes C mo dise ar una propuesta did ctica que permita a los estudiantes construir las reglas de los signos Qu elementos se deben considerar en el dise o de una propuesta Considerando estas interrogantes el objetivo de la investigaci n se orient al dise o de una propuesta sistem tica y estructurada que permita did cticamente que el estudiante construya las reglas de los signos para la multiplicaci n mediante representaciones geom tricas 3 Marco te rico 3 1 Teor a de las situaciones did cticas 246 Cabri como ambiente de aprendizaje construyendo las reglas El dise o de la propuesta did ctica se fundamenta en la Teor a de Situaciones Did cticas pues la intenci n es que el estudiante mediante una serie de actividades construya y formalice las reglas d
287. s estudiantes de ingenier a en cuanto a la resoluci n de problemas y el tratamiento que realizan del registro verbal de los mismos se propuso la exploraci n de las siguientes actividades desarrolladas en ambientes virtuales dentro de escenarios creados con Cabri II plus En el caso de la exploraci n de las 3 actividades para el curso de Ecuaciones Diferenciales se cont tambi n con el software Camtasia que permiti recolectar los di logos entre los estudiantes y el trabajo que efectuaron en cada computadora Se ha trabajado con estudiantes de Ingenier a en Sistemas Energ ticos Sustentables de la Facultad de Ingenier a de la UAEM y con estudiantes de ingenier a del Tecnol gico de Tuxtla Guti rrez En la nueva carrera de Ingenier a de Sistemas Energ ticos Sustentables para intentar atacar esta carencia de habilidades lectoras y de resoluci n de problemas se han propuesto iniciar los cursos de lgebra Superior y de lgebra Lineal con el planteamiento de problemas matem ticos dando nfasis al an lisis de los enunciados donde stos incluso se desglosan en p rrafos se buscan significados de las palabras que se desconocen y se selecciona aquello que pueda ser relevante del problema para expresarse matem ticamente posteriormente se clasifican tem ticamente los m todos de soluci n de los problemas y eventualmente se trata su resoluci n La resoluci n de problemas matem ticos involucra profundamente la verbalizaci n
288. s institucionais existentes ao levarmos em conta os Cadernos do Professor e Aluno institu dos nas escolas p blicas desse estado quando se deseja introduzir as no es de transforma es no plano Portanto ao propormos desenvolver tais no es com o uso do software Cabri verificamos que a articula o dos conte dos com o tratamento da informa o tem como um dos objetivos desenvolver a autonomia dos estudantes ou seja permitir que estes sejam capazes de argumentar e estruturar problemas buscando respostas nos seus conhecimentos pr vios articulados aos novos Na sequ ncia apresentamos uma tarefa que habitualmente trabalhada na 62 s rie do ensino fundamental com a finalidade de reconhecer a necessidade de incorporar ao trabalho do professor a manipula o do software Cabri como ferramenta para incitar o estudante a apreens o da no o em jogo em particular a no o de simetria axial e rotacional 4 An lises e coment rios das tarefas Ao escolhermos essa tarefa apresentada na proposta paulista observamos que para desenvolv la podemos fazer uso de ambientes computacionais com o aux lio de software 265 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica possibilitando uma din mica e interac o do estudante com as noc es que desejamos introduzir em particular o uso do software Cabri para os conceitos introdut rios de transforma es no plano Dessa forma observamos que nesse ma
289. s y esferas con Cabri 3D El manual de ayuda indica la forma de obtener un objeto geom trico su ecuaci n y realizar mediciones Para activar la Funci n de ayuda interactiva para las herramientas haga clic en Ayuda Ayuda herramientas Presentamos la soluci n de algunos problemas propuestos en los Laboratorios 1 y 2 del curso An lisis en varias variables reales Plano que contiene dos vectores dados Dados los vectores y construir y hallar la ecuaci n del plano que contiene ambos vectores Determinar un vector unitario normal a este plano Soluci n Graficamos el punto hacemos clic en el tercer bot n y seleccionamos Vector con origen O origen de coordenadas En forma similar graficamos el vector Hacemos clic en el cuarto bot n y seleccionamos Plano Graficamos el plano que pasa por los extremos de los vectores y O Hacemos clic en el d cimo bot n y seleccionamos Coord o ecuaci n La ecuaci n del plano es Sabemos que es un vector normal a este plano Graficamos el vector y transferimos 1 sobre l Figura 1 Plano que contiene los vectores 321 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Proyecci n ortogonal de una recta sobre un plano Construir la proyecci n ortogonal de la recta R sobre el plano Soluci n El plano dado pasa por el punto y es un vector normal a l Hacemos clic en el quinto bot n y seleccionamos Perpendicular Graficamos el plano P perpendic
290. s y se determina la relaci n funcional que hay entre la longitud del lado con el per metro y con el rea Se hacen sus respectivas trazas y se contrasta la gr fica del lugar geom trico con la relaci n funcional obtenida de la tabla Por ultimo se determina la ecuaci n y confrontan con los resultados obtenidos Esto tambi n se hace con un tri ngulo equil tero y con un c rculo Las nuevas teor as del Aprendizaje as como las nuevas tendencias en Educaci n Matem tica han puesto de manifiesto la importancia de realizar tareas de conversi n de una representaci n a otra del concepto matem tico en cuesti n Los estudios de Matem ticas deben dar oportunidad a los estudiantes para que puedan modelizar situaciones usando representaciones verbales concretas pict ricas gr ficas y algebraicas NCTM 2000 135 Talleres En este proyecto se pretende hacer uso eficiente de las diferentes representaciones de las funciones y sus correspondientes tareas de conversi n de una representaci n a otra El proceso se realiza teniendo en cuenta siempre el siguiente esquema REPRESENTACION TABULAR Permite la validaci n o no de Gr fi equivalencias entre lt gt Representaci n r fica l E expresiones Algebr ica Representaci n P lt gt algebraicas que representan la misma secuencia En donde las flechas representan que el proceso no necesariamente se da en un orden determinado La representaci n tab
291. sh formato jpg pen gif Ejemplos de ambientes de aprendizaje y evaluaci n Ambiente 1 Reconocimiento de poliedros Los s lidos se pueden arrastrar dentro del esquema a la celda correspondiente y despu s que el estudiante ha emitido sus respuestas el entorno se cambiar a modalidad de evaluaci n en la cual conocer sus aciertos y sus errores Los s lidos fueron capturados directamente de la interfase Cabri 3D y sus im genes se vincularon a puntos del entorno Cabri II 150 Ambientes de aprendizaje con nfasis en la articulaci n de registros plus como color de fondo se eligi la imagen de la tabla vac a generada en Word con los textos ya inscritos en ella Propiedad del cuerpo T Cuerpo El Cuando es cortado por un plano las figuras de corte que se generan pueden ser tri ngulos cuadril teros pent gonos y hex gonos Cuando es cortado por un plano las figuras de corte que se generan pueden ser rect ngulos elipses o curvas que contienen arcos de elipse y segmentos Cuando es cortado por un plano las figuras de j corte que se generan pueden ser tri ngulos ae circunferencias elipses o curvas que contienen arcos de elipses par bolas o ramas individuales de hip rbolas Ambiente 2 Truco aritm tico con una matriz En esta actividad se busca que el estudiante conozca el porqu de un truco aritm tico en una matriz y que adem s dise e uno propio con las ideas que el
292. si n Objetivo Rectas paralelas Contenido Rectas paralelas Rectas paralelas cortadas por una transversal Antes de tratar rectas transversales primero estudiaremos a distintas posiciones que adoptan las rectas en el plano 271 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica b Dos rectas se cruzan cuando no est n en el mismo plano tal como se observa en la Fig 1 c Dos rectas se intersecan en un solo punto Fig 2 d Dos rectas pueden no intersecarse En este caso se llaman rectas alabeadas o sea las rectas coinciden Fig 3 Finalmente las dos rectas pueden estar en un mismo plano sin intersecarse es decir que no tienen ning n punto en com n Fig 4 Li Lo Li La sa A Fig 1 Li y L2 no son paralelas Fig 2 Lil L2 P porque ambas no se curzan Li a da Fig 3 Ls Lo A L Fig 4 L A L gt LN L2 EI 3ro Y 4to Caso garantizan las condiciones del paralelismo de la s rectas luego de las figures 3 y 4 podemos deducir la definici n Definici n Dos rectas son paralelas si y solos s coinciden o su intersecci n es vac a Notaci n El paralelismo se denota as Pl de modo que Que es la expresi n simb lica del paralelismo de 2 rectas Relaci n de Equivalencia Cuando empleamos el conectivo l gico s s lo s implica una relaci n de equivalencia 272 Geometria plana y espacial con Cabri Por consiguiente el paralelismo de 2 rectas es una rel
293. siguiente gr ficas que se adjuntan en la ficha de sesi n programada 270 Geometria plana y espacial con Cabri en el cual el estudiante con la ayuda del software cabri 3D ejecuta los gr ficos de rectas paralelas El docente realiza la definici n de rectas paralelas y su notaci n las propiedades que se cumple reflexiva sim trica y transitiva El docente les da a conocer a los estudiantes y les plantea ejercicios para completar espacios en blanco la palabra o s mbolo de los enunciados planteados El docente les plantea ngulos que se forman en dos rectas paralelas cortadas por una secante determinando las denominaciones en los pares de ngulos que se forman Asimismo los estudiantes representan y grafican utilizando el cabri 3D utilizando sus computadoras lo descrito anteriormente Una vez que los estudiantes han comprendido los casos y las denominaciones de los ngulos que se forman en dos rectas paralelas cortadas por una secante Se les plantea una matriz de preguntas para completar en los espacios en blanco El docente les plantea ejercicios complementarios de autoevaluaci n a los alumnos Finalmente el estudiante discrimina rectas paralelas y los ngulos de dos rectas paralelas cortadas por una secante de los ejercicios propuestos en una matriz y de complementaci n para su autoevaluaci n Para su mayor comprensi n adjunto una ficha de sesi n programada y las evidencias con los estudiantes en la se
294. squisas desenvolvidas exclusivamente a partir de fontes bibliogr ficas 203 Reportes de investigaci n Lakatos e Marconi 2001 assinalam que o contato direto do pesquisador com tudo aquilo que foi escrito a respeito do assunto oferece meios tanto para a defini o e resolu o de problemas j conhecidos quanto explora o de novas reas isto a descoberta de novos fatos ou dados em qualquer campo do conhecimento Nesse sentido recorrer a fontes hist ricas pode n o s auxiliar a compreens o dos processos de desenvolvimento dos s lidos arquimedianos mas tamb m evidenciar tend ncias e posturas a serem consideradas no planejamento de ensino o que traz a possibilidade de resgatar esse conhecimento para a matem tica ensinada com o aux lio da tecnologia implementada no ambiente de geometria din mica Cabri 3D Um pouco de Hist ria Alguns temas em geometria ficam esquecidos durante anos ou s culos para depois tornarem a despertar o interesse de alguns estudiosos que retomam a sua explora o e descobrem novos caminhos de estudo Um desses diz respeito aos s lidos de Arquimedes tamb m conhecidos como poliedros semi regulares De acordo com Eves 2004 os trabalhos originais de Arquimedes que tratam desses s lidos est o perdidos assim como grande parte das obras dos matem ticos gregos Seus trabalhos s o conhecidos principalmente pelas escritas de comentadores Pappus de Alexandria 290 d C
295. strua um octaedro Para isso considere apenas a superf cie do cubo altere seu estilo Para realizar as duas primeiras atividades o aluno deve construir um cubo utilizando o Cabri 3D e saber que um octaedro pode ser obtido a partir do ponto de encontro das diagonais de cada face do cubo figura 4 De acordo com Duval estamos desenvolvendo visualizac o na medida em que temos que ver al m do que enxergamos isto a princ pio enxergamos um cubo mas passamos a ver quadrados arestas e pontos nessas arestas Figura 4 Octaedro inscrito em uma superf cie c bica A3 Desenvolva uma f rmula para determinar o volume desse octaedro em fun o da medida a da aresta do cubo A4 E para um icosaedro qualquer de aresta x constru do sem a ajuda do cubo como ficaria essa f rmula Na atividade 3 o aluno pode fazer construc es auxiliares como planos e pol gonos para buscar uma solu o para o problema Pode por exemplo descobrir que em cada quarto do cubo existem dois prismas cada um com tr s tetraedros de mesmo volume sendo que um deles faz parte do icosaedro e representa um oitavo de seu volume E concluir que o cubo tem 48 tetraedros de mesmo volume e que 8 deles formam o octaedro 8 logo o volume do octaedro ser dado por ou seja Outras solu es poderiam ser encontradas em uma sala 31 Conferencias de aula A atividade seguinte solicita a generaliza o dessa f rmula ou seja reconstru la para um o
296. sumarlo al triple del tercer rengl n 60 0 o E 1 Mantener sin cambios a la matriz o 1 10 gt 6 0 0 o 0 1 original 6 di Sumar 5 veces el rengl n 1 al rengl n 2 0 0 6 001 010 1 0 0 Multiplicar por el rengl n 2 y por el 5 0 0 100 rengl n 3 1 o 6 1 o Intercambiar los renglones 2 y 3 Re 203 001 dard Permutar los renglones 2 y 3 01 o 6 Y 5 Sumar 5 veces el rengl n 1 al rengl n 2 0 01 O 0 4 100 100 E 010 o Sumar 5 veces el rengl n 1 en su 2 0 3 0 0 posici n Actividad 10 Complementaci n de la tabla peri dica La actividad tiene como prop sito dar un primer acercamiento a la tabla peri dica a trav s de completar los espacios faltantes con los elementos correspondientes RH ES 2 Instrucciones Coloca el simbolo del elemento en su posici n dentro de la tabla peri dica kr Ga Re ao Referencias D az Barriga E 2006 Geometr a Din mica con Cabri G om tre Editorial Kali D az Barriga E 2010 Notas de apoyo para el curso de L gica Editorial Kali D az Barriga E 2011a Curso de lgebra Superior Heur sticas para la resoluci n de problemas algebraicos Editorial Kali D az Barriga E 2011b Conferencia Cabri en auxilio de la resoluci n de problemas algebraicos Ill Congreso 155 Talleres Internacional en Formaci n y Modelaci n en Ciencias B sicas Medell n Colombia Duv
297. taller explorando y manipulando las herramientas y recursos del software pueden poner en evidencia algunos esquemas de utilizaci n preestablecidos o desarrollar nuevos esquemas Referencias Almeida T C S 2010 S lidos Arquimedianos e Cabri 3D um estudo de truncaturas baseadas no renascimento Tesis de Maestr a en Educaci n Matem tica Pontificia Universidad Cat lica de S o Paulo Brasil Artigue M 2002 Learning Mathematics in a CAS environment the genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work 106 Cabri 3D na sala de aula International Journal of Computers for Mathematical Learning 7 245 274 Bosch M Chevallard Y 1999 La sensibilit de l activit math matique aux ostensifs Objet d tude et probl matique Recherches en didactique des math matiques 19 1 77 123 Cabri 3D Manual do usuario Disponible en http download cabri com data pdfs manuals c3dv2 use r_manual pt br pdf Chevallard Y 2002 Organiser l tude 1 Structures amp fonctions Actes de la XIe cole d t de didactique des math matiques La Pens e Sauvage Grenoble 3 32 Rabardel P 1995 Les hommes et les technologies approche cognitive des instruments contemporains Paris Armand Colin Salazar J V F 2009 G nese Instrumental na intera o com Cabri 3D um estudo de Transformac es Geom tricas no Espa o Tesis de Doctorado en Educaci n Mate
298. te apresentadas as quais os alunos procuravam identificar as ferramentas do software ao mesmo tempo em que reelaboravam seus construtos mentais na busca de identificar axiomas de pertin ncia no espa o tridimensional Por limita o do espa o imposto apresentaremos aqui um pequeno relato correspondente primeira atividade figura 1 a qual foi constituida de cinco itens Era esperado que os alunos identificassem as seguintes rela es Tr s pontos distintos n o colineares determinam um nico plano no espa o Uma reta r est num plano x se cada ponto de r est em 7 Se dois pontos distintos est o em um plano ent o a reta que os contem tamb m est contida no plano Medir o ngulo entre a reta e o plano 294 Una experiencia no cabri 3D na apreens o de axiomas de Atividade 1 proposta aos alunos Represente tr s pontos quaisquer no espaco usando o Cabri 3D eos denomine por A Be C 1 Existe reta passando pelos tr s ao mesmo tempo 1 1 Qual estrat gia usar para responder Registre a 1 2 Tra ar retas r s t passando por cada dois dos pontos representados 2 Em caso de responder n o pergunta 1 existe plano contendo os tr s 2 1 Registre sua justificativa 2 2 Os tr s pontos est o nos limites visuais do plano 2 3 Em caso negativo sua ltima resposta movimente os de modo a que fiquem na parte sombreada ou seja nos limites visuais do plano 2 4 O que podes concluir sobr
299. te conocer el lenguaje utilizado por los estudiantes y as proponer las tareas adecuadas de aprendizaje para ayudarlos a avanzar en su nivel de razonamiento Objetivos del taller 1 Conocer la Pizarra Digital e iniciar su uso en el aula haciendo uso del CABRI II PLUS y CABRI 3D 2 Conocer y usar las herramientas de la carpeta de matem tica asociadas al aprendizaje de la geometr a del software de la pizarra digital 3 Mostrar experiencias de aprendizaje basadas en el dise o pedag gico de Van Hiele asociado al uso de software de geometr a din mica Contenidos matem ticos 1 rea y per metro de pol gonos 2 Poliedros Poliedros regulares rea Superficial Experiencias En la primera experiencia de aprendizaje rea y per metro de pol gonos se muestra el uso de la pizarra digital y del software CABRI II plus organizada de acuerdo a la secuencia metodol gica basada en el modelo de Van Hiele El objetivo de esta experiencia es que los alumnos haciendo uso del software CABRI calculen el rea del pol gono que describe la superficie de la instituci n donde estudian La secuencia a seguir es la siguiente e Con ayuda del google earth ubica el colegio observando la totalidad de su rea 168 Uso de la Pizarra digital interactiva en la ense anza de la geometr a Copia esta imagen en una hoja de word se ala el contorno del colegio Con el icono de medida de google earth determina la medida de
300. terial did tico encontramos outras tarefas que podem ser mais bem trabalhadas quando manipuladas por meio desse software auxiliando o estudante a se familiarizar com o sistema de representa o de pontos como podemos constatar a seguir Tarefa Geral Identificar transforma es no plano por meio do uso de malhas quadriculadas e pontos Atividade 7 Ha Determine as novas tos A B C De E p CE Tapo DPI ELLE I Cabri Giomite T Figura 1 Figura 1 Relac o entre uma tarefa proposta est tica e o uso das novas tecnologias trabalhadas na geometria din mica FONTE S o Paulo Estado 2010 p 31 A tarefa selecionada mostra a diversidade de rela es institucionais poss veis segundo suas caracter sticas isto quando se leva em conta a execu o da mesma seja por meio de papel e l pis ou quando se faz uso do software Pontuaremos algumas considera es quando se deseja trabalhar essa tarefa por meio de geometria din mica sendo que e O estudante poder observar as regularidades dos planos coordenados como os sinais em cada um dos quadrantes e Manipulando o mouse ele dever ser capaz de explorar mais detalhadamente os diferentes pontos bem como a percep o visual dos movimentos no plano 266 Estudo das transforma es no plano uma situa o de aprendizagem e O professor poder apresentar outras situa es em que o estudante possa identificar axi
301. than 1935 Modern Pure Solid Geometry The Macmillan Company Hernandez Antonio Hernandez 2002 Monge Libertad igualdad fraternidad y geometria Nivola libros y ediciones S L Monge Gaspard 1999 Geometria Descriptiva Traduccion y revision de la obra original en Frances por Guillermo Carcia Talavera Editorial Limusa S A de C V West Stephen Discovering Theorems Using Cabri 3 D A summary by llene Hamilton of a dinner talk given to the Metropolitan Mathematics Club of Chicago October 354 2008 in Points amp Angles Newsletter of the Metropolitan Mathematics Club of Chicago Volume XLIII No 3 November 2008 Ve e t gt LOC Pir mides una propuesta de ense anza con Cabri 3D Elizabeth Milagro Adv ncula Clemente Pontificia Universidad Cat lica del Per eadvincula pucp edu pe Jes s Victoria Flores Salazar Pontificia Universidad Cat lica del Per jvflores pucp pe Resumen Esta propuesta did ctica est dirigida a profesores de Educaci n B sica Regular que ense an cursos de Matem tica que incluyen temas de geometr a espacial Presenta una alternativa para la ense anza del tema de pir mides incorporando el uso del ambiente de geometr a din mica Cabri 3D El objetivo es presentar actividades usando Cabri 3D en las cuales se trabaja con rea y volumen de pir mides ya que este ambiente permite una mejor visualizaci n de los objetos tridimensionales y una manipulaci n directa de
302. tivo Con el Tangram y el programa Cabri encontramos una forma de conocer experimentar y gustar la Geometr a as como tambi n trabajar algunos conceptos de esta asignatura y de otros campos Algunos contenidos matem ticos a tratar Geom tricos pol gonos ngulos lados v rtices tamafio congruencia superficie rotaci n y Num ricos fracciones multiplicaciones conteo etc Esta experiencia fue pensada para alumnos de segundo afio de Primaria 7 afios pero perfectamente puede ser realizada con preescolares y en a os superiores haciendo las adecuaciones necesarias En este taller nos proponemos comunicar la experiencia realizada con los alumnos y trabajar con el programa Cabri II Plus realizando las mismas tareas que les fueron propuestas a los ni os aprendiendo a crear las figuras que se les presentaron e inventando otras La actividad realizada con los alumnos parte de un trabajo con los Tangramas En esta primera etapa los alumnos exploran las piezas del juego y van descubriendo relaciones entre ellas Luego se les pide construir un cuadrado utilizando un tri ngulo mediano y dos chicos y usando dos colores De esta forma crean 190 Comportamiento das ra ces de func es polinomiais com a variac o un patr n el que m s tarde repetir n en papel y usar n para construir una colcha de nueve retazos Esta parte manipulativa es muy importante pero no es sino hasta que se analiza se compara se comparte y s
303. tomado tambi n del texto lgebra Recreativa de Yakov Perelman En esta actividad se han eliminado algunas palabras y expresiones algebraicas del texto del problema y su soluci n originales Se provee al estudiante de una gran miscel nea de alternativas para que intente reconstruir al original 152 Ambientes de aprendizaje con nfasis en la articulaci n de registros ucoenes Completa con palabras simbolos o c lcuos la Soluci n del siguente fazonaniento matem Divisibilidad por 11 El lgebra facilita en gran medida la b squeda de indicios que permiten prever sin recurrir a la divisi n si determinado n mero es divisible por uno u otro divisor La divisibilidad por2 3 4 5 6 8 9 y 10 es ampliamente conocida El caso del 11 es muy y pr ctico Bot n Soluci n E escondido Supongamos que en N e n mero de varias cifra cifra de las unidades ie ala 9 ig de las decenas ___ la de las centenas ____ la de las unidades de millar ___ etc es e decir si N a 10b 1000d a 10 E donde los suspensivos representan la suma las cifras siguientes i Restemos Nel n mero 11 b 0c 100d m ltiplo 11 La diferencia es be 106 1004 a sai a b 10 c asbrced que dar el mismo que N al dividirla 11 ui Ambiente 6 Polinomios y sus derivadas Se propone una actividad de asociaci n entre gr ficas intra registro de representaci n en la cual el estudiante debe identificar a
304. tre 3600 y la suma de los ngulos de las caras alrededor del v rtice As el defecto del v rtice de un octaedro regular es 360 4x60 4 tri ngulos equil teros lo que da 1200 Lo que establece el Teorema de Descartes es que si sumamos los defectos de todos los v rtices el resultado siempre es 7200 En su libro Pruebas y Refutaciones I Lakatos muestra m ltiples fallas en la demostraci n que efectu el matem tico L Euler de la relaci n que lleva su nombre y sin embargo esta f rmula adem s de ser sorprendente e incre ble es permanentemente usada en varias ramas de la matem tica por su vasta aplicabilidad Algo similar sucede con el Teorema de Descartes para la suma de los defectos Ambas enuncian una propiedad simple que se cumplen para los poliedros Pero aqu chocamos con la piedra contra la cual choc Euler y otros muchos ilustres matem ticos Qu es un poliedro Leemos en Wikipedia El pecado original de la teor a de poliedros viene desde Euclides pasando por Kepler Poinsot 85 Conferencias Cauchy y muchos otros que no fueron capaces de definir lo que era un poliedro La f rmula del Teorema de Descartes adem s establece un maravilloso v nculo entre la Geometr a euclideana geometr a con curvatura 0 y la geometr a esf rica geometr a de curvatura positiva el defecto angular en un v rtice es exactamente igual a la curvatura de la superficie poli drica alrededor de dicho v rtice En la esf
305. trucci n 2 Construcci n de una c nica dados el foco y una directriz Una c nica es el lugar geom trico del centro de una circunferencia que pasa por un punto fijo F y es tangente a una recta fija o a un circunferencia fija C Nota Se puede observar que cuando el foco es interior a la circunferencia se obtiene una elipse cuando es exterior una hip rbola y cuando C es una recta la c nica es una par bola Figura 1 Construcci n 3 Construcci n de c nicas como envolvente Una c nica es la envolvente de la mediatriz de un segmento que une un punto a una circunferencia obteniendo una elipse o una hip rbola o a una recta obteniendo una par bola 301 Comunicaci n de Experiencias o Propuestas de Innovaci n Dic ctica Figura 2 Figura 3 Nota Para construir una par bola se consideran dados una recta y un punto F III Construcci n de rectas tangentes a una c nica 1 2 3 Tangente a una elipse en un punto P de la curva con focos F y PF La recta tangente a la elipse en P es la bisectriz del ngulo FPG siendo G un punto en la prolongaci n de PF Ver figura 4 ul A AS i Figura 4 Figura 5 La recta tangente a una hip rbola en un punto P de la curva con focos F y F es la bisectriz del ngulo FPF Ver figura 5 La recta tangente a una pardbola en un punto P de la curva dados el foco F y la directriz L es la bisectriz del ngulo FPG siendo G un punto en L
306. u e m s o menos directamente a la expresi n algebraica Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simb lico para mejorar el proceso de transici n de la Aritm tica al Algebra Palabras Clave patrones num rico generalizaci n sistemas algebraicos expresi n algebraica fractales Pertinencia La exposici n repetida de construcciones de formulas como expresiones que explicitan un patr n de variaci n ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las Talleres expresiones algebraicas que aparecer n despu s en el estudio del algebra Demana 1990 Diferentes investigaciones realizadas en los ltimos a os TIMSS PISA etc develan las dificultades que presentan los estudiantes de los primeros niveles de la educaci n secundaria cuando se enfrentan a problemas algebraico manipulaci n de expresiones algebraicas y significaci n de stas interpretaci n de informaci n dada en distintos lenguajes gr ficos tabulares algebraicos y soluci n de problemas de cambio y variaci n entre otros Esto se debe quiz s a que el curr culo durante los primeros grados est basado solamente en el estudio de la Aritm tica y que t picos como el Algebra que podr an ayudar a los estudiantes a desarrollar destrezas de pensamiento como observar analizar conjeturar generalizar etc son reservados para ser estudiados en los grados s
307. u mais abstrato Por outro lado Manrique Silva e Almouloud 2002 afirmam que as tecnologias contribuem para a constru o de conhecimentos pois auxiliam na visualiza o e percep o de propriedades de objetos geom tricos e observam que a maioria dos professores em um grupo em forma o continuada por n o terem acesso a uma forma o adequada em Geometria o uso de tecnologias torna se um problema a mais para resolver Uma explica o talvez esteja no relat rio de Gatti e Barreto 2009 que a partir do Censo Escolar de 2006 fizeram um balan o da situa o de forma o de professores para a educa o B sica no Brasil e constataram que dos 10 4 de horas dedicadas aos conhecimentos espec ficos para a doc ncia nos curr culos de forma o inicial apenas 2 1 p 146 referem se s tecnologias e ainda que os saberes relacionados esse assunto no ensino est o praticamente ausentes p 154 Esses dados nos conduziram a investir em forma o continuada no sentido de complementar a forma o e instrumentar o professor para que ele utilize tecnologias para o ensino principalmente de Geometria Nosso grupo de pesquisa tem 1 PEA TIC Processo de Ensino e Aprendizagem de Geometria em Ambientes Computacionais Projeto de pesquisa financiado pelo CNPq e coordenado pelo Prof Saddo Ag Almouloud 24 A construc o de situac es problemas utilizando o Cabri 3D como objetivo buscar caminhos de forma o continuada de
308. ubrimos y comprendemos nos es factible trasmitirlo pero para descubrir algo y sobre todo en Matem tica debemos contar con inter s en lo que hacemos compromiso en la b squeda ser tenaces ante la adversidad y finalmente necesitamos imaginaci n Los profesores sobre todo debemos experimentar la b squeda el redescubrimiento maravillarnos y hasta emocionarnos con el encuentro del saber sabio para luego imaginar las estrategias de la transposici n did ctica Nos preguntamos entonces Qu es imaginar D nde interviene en nuestras tareas A trav s de la conferencia analizaremos c mo colabora la imaginaci n con la investigaci n y c mo debe ser tenida en cuenta a la hora de interesar a nuestros alumnos en las clases de Matem tica Mostrar diferentes propuestas algunas para investigaciones en las universidades y otras en la Licenciatura en Ense anza de la Matem tica a profesores que trabajando con Cabri han redescubierto temas para adaptarlos a alumnos de nivel secundario terciario o universitario En la exposici n de cada experiencia realizar una peque a revisi n de conceptos para refrescar la memoria y ubicar a los asistentes luego describir en qu consisti su exploraci n Imaginar estrategias constituye un trabajo laborioso por parte de los docentes pero vale la pena la selecci n de situaciones innovadoras para el aprendizaje que fomenten la investigaci n para descubrir nuevos conceptos recur
309. ucation Presses Universitaires du Mirail N 8 20 Imaginacion geometr a din mica y Cabri Artigue M et al 1995 Ingenier a did ctica en educaci n matem tica Un esquema para la investigaci n en la ense anza y el aprendizaje de las matem ticas Coedici n Una Empresa Docente Grupo Editorial Iberoamericana Bogot Artigue Mich le 2004 Problemas y desaf os en educaci n matem tica qu nos ofrece hoy la did ctica de la matem tica Educaci n Matem tica 16 3 pp 5 28 Editorial Santillana Bell E T 2009 Los Grandes Matem ticos Buenos Aires Losada Binimelis M I 2010 Una nueva manera de ver el mundo la geometr a fractal Espa a RBA p 95 Bongiovanni V Jahm A 2009 VI Congreso de Educaci n Matem tica Explora es de poliedros no ambiente de Geometr a din mica con Cabri 3D Puerto Mont Chile Brousseau G 1986 Fundamentos y M todos de la Did ctica de la Matem tica Recherches en Didactiques de Mathematiques Vol 7 N 2 Recuperado el 12 de junio de 2012 en http servidor opsu tach ula ve profeso sanc_m Didactica Unidad 20I b rousoui_ii_ pdf Dorier J L ed 1997 L Enseignement de l Alg bre Lin aire en Question Panorama de la Recherche en Didactique sur ce Th me Grenoble France La Pens e Sauvage Douady R 1995 La ingenier a did ctica y al evoluci n de su relaci n con el conocimiento en Ingenier a Did ctica en Educaci n Matem
310. ucto de dos n meros con signos diferentes es negativo Imagen 2 Adicionalmente se incluyen unos botones que permiten al estudiante evaluar sus movimientos j i CIAO AIM a ME a ME 7 Imagen 2 Escenas 2 y 4 Actividades 1 y 2 Ejemplos de elecci n de los caminos para llegar a los castillos y evaluaci n de los movimientos Los objetivos espec ficos de las Actividades 1 y 2 son que el estudiante e Identifique las caracter sticas de los movimientos que conforman las rutas para llegar a los castillos e Establezca una relaci n entre los movimientos y el rea que determinan los caminos de la ruta para llegar a los castillos e Establezca conjeturas y plantee una estrategia soluci n En dichas actividades se pretende que el estudiante explore los diferentes caminos para llegar a los castillos no importa si selecciona los caminos por ensayo y error se conf a que conforme avance en su trayectoria encontrar estrategias que le permitan determinar de manera inmediata cu les caminos conducen hacia los castillos y en particular al rescate de la princesa Actividad 3 Lo anterior constituyen las fases de acci n y de formulaci n Escena 7 Cierre En la Actividad 3 se pretende que el estudiante seleccione de cuatro caminos proporcionados en el interior de un castillo aquel que conduce al rescate de la princesa bas ndose en las conjeturas realizadas en las fases previas Imagen 3 esta actividad constituy
311. ular al vector y que pasa por el punto Graficamos el punto y el vector Hacemos clic en el quinto bot n y seleccionamos Paralela Graficamos la recta paralela al vector que pasa por Hacemos clic en el segundo bot n u seleccionamos Puntos de intersecci n El punto de intersecci n de Py es Por el punto de graficamos una recta perpendicular a P El punto de intersecci n de ambos es Graficamos la recta que pasa por los puntos yB Figura 2 Proyecci n ortogonal de sobre 322 Planos y esferas con Cabri 3D Esfera tangente a un plano Sea una esfera tangente al plano en el punto y centro enel plano a Construir y hallar la ecuaci n de la esfera Trazar la circunferencia que se obtiene al cortar con un plano paralelo a distante unidades Dar el radio y el centro de esta circunferencia Soluci n a Hacemos clic en el quinto bot n y seleccionamos Perpendicular Graficamos el plano P perpendicular al vector y que pasa por el punto Hacemos clic en el quinto bot n y seleccionamos Recta Graficamos la recta que pasa por A y es paralela al vector Graficamos el plano El centro de la esfera es el punto de intersecci n de y el plano Hacemos clic en el cuarto bot n y seleccionamos Esfera Graficamos la esfera centrada en y que pasa por La ecuaci n de esta esfera es Clic en el d cimo bot n y seleccionamos Calculadora Ingresamos transferimos este valor sobre a partir de y obtene
312. ular en el centro da cuenta de su car cter mediador entre las representaciones de los diferentes lenguajes que anteriormente se conoc an lenguaje gr fico y habitual y un nuevo lenguaje lenguaje algebraico Por otro lado las actividades que involucran los elementos enunciados con este esquema permiten que se utilice la letra como inc gnita en situaciones donde se requiere encontrar el valor de una de las variables cuando la otra toma un valor cualquiera la letra como representante de un numero generalizado en el momento de simbolizar un patr n de generalizaci n y la letra evaluada cuando verifican la simbolizaci n que encontraron Objetivo general Favorecer un acercamiento significativo al concepto de funci n a trav s de actividades funcionales y de generalizaci n y una movilidad por los diferentes sistemas de representaci n verbal tabular gr fico y algebraico 136 Acercamiento al concepto de funcion a trav s de la manipulaci n de Objetivos especificos e Posibilitar que los estudiantes reconozcan patrones de variaci n y cambio y los expresen a trav s de diferentes representaciones que permitan su tratamiento conversi n y manipulaci n operatoria e Propiciar en los estudiantes el desarrollo de competencias para observar medir valorar analizar e interpretar situaciones num ricas e Desarrollar en los estudiantes competencias para ver relaciones y establecer conexiones hacer predicciones y
313. un tri ngulo tampoco es constante y es menor que 1800 En la Figura 1 construida con Cabri 3D podemos observar como la suma de los tres ngulos de un tri ngulo esf rico supera el ngulo llano Suma 208 44 Figura 1 Querer una matem tica infalible es una cosa que efectivamente la matem tica sea infalible es otra muy diferente 79 Conferencias Creemos que la matem tica es objetiva una verdad matem tica es cierta independientemente de la persona que la enuncie A pesar de esto la historia de la matem tica nos muestra como la subjetividad y la autoridad de los matem ticos de cada poca se han opuesto tenazmente a la aparici n de nuevas y desafiantes teor as matem ticas Nikolai Ivanovich Lobachevski tuvo que enfrentar las m s brutales cr ticas del matem tico ruso m s prestigioso en su poca Ostrogradski y Janos Bolyai no recibi del gran Gauss el m nimo reconocimiento por su magna obra sino tan s lo el mezquino comentario que l mismo ya hab a llegado a las mismas conclusiones hac a varios a os A os m s tardes George Cantor tuvo que soportar a costa de su propia salud la m s cruel de las persecuciones acad micas por parte del m s prestigioso matem tico alem n de su tiempo Kronecker por su revolucionaria teor a de los cardinales transfinitos Puede considerarse la matem tica objetiva cuando en un determinado tiempo predomina una teor a sobre otra basada solamente en la tradici n o
314. uperiores Adem s la aritm tica frecuentemente se enfoca en los resultados de los procesos de c lculo m s que en los aspectos relacionales y estructurales oponi ndose as al reconocimiento de las reglas del lgebra que constituyen expresiones que expresan generalidades donde los patrones que se observan aparecen en las mismas colecciones de n meros y en las operaciones comunes que se hacen con estos n meros o como modelos que describen situaciones El hecho de que el lgebra pueda ser vista como la formulaci n y manipulaci n de proposiciones generales sobre los n meros hace que la experiencia previa que el estudiante ha tenido con la estructura de expresiones num ricas en la escuela tenga efecto sobre la habilidad para asignarle sentido a esta Por esto el Consejo Nacional de Profesores de Matem ticas de Estados Unidos NCTM establece que se deben propiciarse actividades que involucren la generalizaci n de patrones num ricos para modelar representar o describir patrones f sicos regularidades y patrones que se hayan observado Estas exploraciones informales de conceptos algebraicos deben contribuir a que el estudiante adquiera confianza en su propia capacidad de abstraer relaciones a partir de informaci n contextual y de utilizar toda una gama de representaciones para describir dichas 124 Uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento relaciones Cuando los estudiantes elaboran gr ficas t
315. uvage Litwin E 2008 El oficio de ense ar Buenos Aires Paid s Proyecto Estalmat Castilla y Le n recuperado el 11de junio de 2012 en http www uam es proyectosinv estalmat ReunionValen cia2010 POLIEDROS REGULARES 1 pdf Trillo Perez A 2012 recuperado el 20 de junio de 2012 de http www terra es personal asstib mes creativ htm Ve 0 0 gt LOC 22 A constru o de situa es problemas utilizando o Cabri 3D Maria Jos Ferreira da Silva Pontif cia Universidade Cat lica de S o Paulo Brasil zeze pucsp br Resumo O ensino de Geometria espacial na escola b sica brasileira principalmente tratada no Ensino M dio 14 a 17 anos privilegia o estudo de medidas de volume a partir do Princ pio de Cavalieri e f rmulas Em alguns casos chega se a solicitar a memoriza o de f rmulas para as medidas de superf cies e volumes para cada tipo de pir mide As figuras s o apresentadas como ilustra o e n o solicitado ao aluno nem suas constru es nem t o pouco um tratamento que possibilite a solu o de alguma situa o problema Embora muitas a es de forma o continuada venham acontecendo os professores ainda se intimidam com a utiliza o de situa es problemas bem como de tecnologias em sala de aula Nesse sentido faremos uma an lise de algumas situa es em que o software Cabri 3D pode ser utilizado para conduzir o aluno a buscar a constru o de s lidos por truncaturas e caminhos
316. vestigaci n en Educaci n Matem tica SEIEM viene realizando investigaciones sobre procesadores geom tricos concluyendo en m s de un estudio que favorecen el aprendizaje de diversos t picos de la geom trica CABRI entre otros softwares de geometr a din mica permiten la digitalizaci n de la geometr a a trav s de la creaci n de dibujos asociados a situaciones geom tricas logrando una distinci n entre dibujar y construir En la primera sesi n del taller se tomar media hora para mostrar que a trav s de la PDI pizarra digital interactiva se potencializan experiencias pedag gicas haciendo uso de CABRI en la ense anza de reas de pol gonos en la siguiente hora se brindar las orientaciones para el uso adecuado de la PDI mostrando y ejecutando el conjunto de herramientas con los que cuenta el software de la pizarra digital para trabajar con elementos de la geometr a plana En la segunda sesi n de hora y media se mostrar y ejecutar las herramientas b sicas que tienen tanto CABRI II plus y CABRI 3D observando que en conjunto con las herramientas con las que cuenta la pizarra digital permiten dise ar actividades de aprendizaje con geometr a din mica para consolidaci n de aprendizajes en el c lculo de superficies de poliedros Talleres Palabras clave matem tica geometr a din mica pizarra digital interactiva Eje tem tico Experiencias educativas con asistencia de Cabri Introducci n Es sabido que
317. vicios Educativos del Departamento de Educaci n de la PUCP Auspician Yaku Innovative Solutions Yainso SAC Santillana Top Technologies y SmartBoard SAC Vicerrectorado de Investigaci n de la PUCP Direcci n de Gesti n de la Investigaci n Embajada de Francia Comit Cient fico Colette Laborde UJF Francia Eugenio Diaz Barriga UNAM M xico Francisco Ugarte Guerra PUCP Per Jes s Flores Salazar PUCP Per Luis Moreno Armella CINVESTAV M xico Maria Jos Ferreira da Silva PUCSP Brasil Ubiratan D Ambrosio USP Brasil Comit Organizador Local Cecilia Gaita Iparraguirre Departamento de Ciencias PUCP Elizabeth Adv ncula Clemente Secci n Matem ticas PUCP Francisco Ugarte Guerra Departamento de Ciencias PUCP Preside Hayd e Z Azabache Caracciolo Oficina del Rector PUCP Comit Consultivo Carmen Coloma Manrique Decana Facultad de Educaci n PUCP Lileya Manrique Villavicencio Directora de CISE PUCP Uldarico Malaspina Jurado Director IREM PUCP Comit de Apoyo Miguel Gonzaga Ram rez Secci n Matem ticas PUCP N lida Medina Garc a Secci n Matem ticas PUCP Comit de P gina Web Elizabeth Adv ncula Clemente Hayd e Zenaida Azabache Caracciolo Coordinadora Jes s Victoria Flores Salazar Direcci n de Comunicaci n Institucional PUCP Yainso SAC Dise o y Programaci n Tabla de contenido CONFERENCIAS Imaginaci n geometr a din mica y Ca
318. ww slideshare net rafikylopez niveles de vanhiele Torregrosa G amp Quesada H 2007 Coordinaci n de procesos cognitivos en geometr a Revista latinoamericana de investigaci n en matem tica educativa 2007 pp 275 300 do e et 290 Uma experi ncia no cabri 3D na apreens o de axiomas de incid ncia no espaco com alunos de mestrado Jos Carlos Pinto Leivas Centro Universit rio Franciscano de Santa Maria Brazil leivasjc yahoo com br leivasjc unifra br Resumen Este trabalho relata uma experi ncia realizada no primeiro semestre de 2012 com doze alunos da disciplina de Geometria de um Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matem tica no Brasil Os alunos s o todos professores que ensinam na escola b sica e apenas um deles tinha algum conhecimento do Cabri 3D Na segunda parte do programa o investigador que o professor da disciplina buscou por meio do Cabri 3D reconstruir o grupo de axiomas de incid ncia da axiom tica de Hilbert com rela o ao espa o A op o por essa tecnologia prendeu se ao fato de ser ela um recurso poderoso para o desenvolvimento de habilidades visuais como afirmou Alsina O desenvolvimento do programa CABRI tem permitido abrir novas perspectivas s experi ncias geom tricas O uso estrat gico desse programa permite diagnosticar as habilidades iniciais planejar uma aprendizagem passo a passo avaliar os progressos e tomar decis es que reorientem o ensino de
319. y Liceo 10 Uruguay bernardocamou adinet com uy Resumen La exaltaci n del car cter abstracto exacto e infalible de la matem tica en vez de favorecer su aprendizaje frecuentemente lo obstaculiza Una presentaci n que permanentemente enfatiza estos aspectos esconde el car cter concreto particular y aproximado de la construcci n del conocimiento matem tico Se subestiman las representaciones que son consideradas tan s lo elementos auxiliares de los objetos matem ticos Un claro ejemplo de subdesarrollo de una rama de la matem tica debido a los obst culos que plantea la representaci n es el de la geometr a del espacio He venido desarrollando durante los ltimos 20 a os un enfoque para ense ar y aprender geometr a del espacio que he denominado MAT integrando multirepresentaciones aproximaciones y tecnolog a Dicho enfoque ha sido implementado y evaluado con xito con 134 estudiantes de nivel Secundario de Estados Unidos y Uruguay constituyendo mi reciente tesis de doctorado en la University of Georgia El supuesto fundamental del enfoque es que para progresar en el estudio de la geometr a del espacio es necesario e ineludible utilizar un conjunto de representaciones que de diferentes formas aproximan el mismo objeto geom trico Entre la representaciones concretas modelos 3D y las abstractas dibujos 2D las representaciones semi abstractas que CABRI 3D suministra constituyen un elemento fundamental para pode
320. y proporcionar un espacio de reflexi n y an lisis entre una actividad y otra con la finalidad que el estudiante rescate los puntos importantes de cada actividad Conclusiones En este trabajo de investigaci n se present un tratamiento alternativo para abordar las reglas de los signos de la multiplicaci n en la secundaria El tratamiento se presenta a trav s de una propuesta did ctica que orienta al estudiante a la construcci n y formalizaci n de las reglas de los signos mediante una situaci n problema En esta situaci n la noci n de las reglas de los signos se aborda por medio de la representaci n geom trica del producto considerando al producto como el rea de una figura geom trica rect ngulo De los an lisis realizados se consider incluir en la propuesta elementos donde se evidencie una justificaci n a las reglas de los signos que permita a los estudiantes argumentar el porqu de dichas reglas en ese sentido la propuesta did ctica se conformar a de actividades a realizar en el software Cabri 253 Reporte de investigaci n Geometry II Plus y en la hoja de trabajo articuladas para que los estudiantes en primera instancia construyan y luego formalicen las reglas de los signos esta es una particularidad del tratamiento propuesto en este trabajo Asimismo durante la aplicaci n de la propuesta se observ que la presentaci n de las actividades result ser atractiva para los estudiantes ya que interactu
321. zamos perpendicular en B M punto medio de AB Con centro en B y radio BM dibujamos circunferencia que determina el punto C Trazamos segmento AC Trazamos arco de circunferencia de centro C y radio CB que corta AC en D Trazamos arco de circunferencia de centro A y radio AD que corta AB en I El punto I divide al segmento AB en raz n Construcci n del Pent gono regular Construye segmento AB dividido en raz n urea traza perpendicular a AB en O Dibuja circunferencia de centro O y radio OA Dibuja circunferencia de centro D y radio DB mn gt w N Ya tienes dos de los lados del pent gono DE y DF 120 Una propuesta did ctica a partir de la construcci n de mandalas 6 Con radio DE y centro en E determina el punto H 7 Con centro en F y radio FD encuentra G 8 Con Pol gono dibuja pent gono EDFGH Figura 9 Figura 10 El pent gono se construye a partir del segmento AB dividido en raz n urea en el punto O Al construir el pent gono regular EDFGH se tiene Otras construcciones utilizando hexagono regular y otros pol gonos Figura 11 Referencias Barrales Marco 2002 Taller de Geometr a con TI 92 plus En Actas Segundo Encuentro de Matem tica Colegio Alem n de Concepci n Chile 121 Talleres Carral Michel 1995 G om trie Editorial ellipses Francia Chamorro Mar a del Carmen 2005 Did ctica de las Matem ticas Editorial Pearson Educaci n Madr
322. ze fps toe yr jx b fe al ka 7 x 0 08 0 78 Figura 6 Integrales Iteradas Organizaci n del taller En la primera sesi n los participantes aprender n a realizar algunas animaciones utilizando Cabri Goemetry La segunda parte ser dedicada a la realizaci n de actividades did cticas para transmitir alg n concepto Referencia Stewart J 2008 C lculo de Varias Variables Trascendentes Tempranas M xico Cengage Learning Editores S A o 4 4 0 9 e LA D D 185 Geometria del Espacio con Cabri 3D Bernardo Camou Font Academia Bolzano y Liceo 10 Uruguay bernardocamou adinet com uy Resumen La geometria del espacio es un mundo fant stico muy poco explorado en la ense anza de la matem tica Uno de los principales obst culos para su ense anza es la complejidad que implica representar un objeto de 3 dimensiones Cabri 3D se presenta como una poderosa herramienta capaz de contribuir decisivamente en superar este obst culo En este taller se aprender a usar diversas herramientas de Cabri 3D con un enfoque integrado que hace uso de geometr a plana y del espacio de trigonometr a y de lgebra Se analizar el origen geom trico del n mero de oro en el pent gono regular y luego se lo aplicar en diversas actividades como en el c lculo del ngulo diedro y el volumen del icosaedro regular Se construir n diversos poliedros con Cabri 3D donde se estudiar la relaci n de Euler y la f rmula d

VI Congreso Iberoamericano de Cabri

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents