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Circuitos de Corrente Alternada - Sites do IFGW

1. 1 00 0 75 Frequ ncia de corte o 1 RC 8 0 50 a Inclina o 20 dB d cada 0 25 Filtro RC passa altos 0 00 log RC Figura 4 4 Filtro RC passa altos e sua Transmit ncia em escala linear esquerda e diagrama de Bode direita A transmit ncia 3 dB em rela o Tmax 0 dB para q Wo Dicas experimentais 1 Fazendo bons diagramas de Bode Para que os pontos experimentais em um gr fico em escala logar tmica fiquem aproximadamente equidistantes no eixo horizontal logf bvio que medindo para 10 Hz 100 Hz 1 kHz 10 kHz etc os pontos estar o eguidistantes no eixo horizontal Mas com esta escolha teremos apenas um ponto por d cada s vezes queremos mais pontos por d cada Em geral se queremos N pontos por d cada e eqiiidistantes na escala logar tmica devemos medir para valores de f na segii ncia 10 1008 10 etc Na pr tica raramente precisamos medir mais do que dois ou tr s pontos por d cada Os valores exatos para dividir uma d cada em tr s partes iguais seriam 10 2 15 e 10 4 64 ou seja a seqii ncia 1 2 15 4 64 10 e para dividir em duas partes iguais 10 3 16 ou seja 1 3 16 10 Isto por m dif cil de lembrar Se quiser 2 pontos por d cada siga a seq ncia 1 3 10 j que log 3 0 48 Por exemplo 10 30 100 Hz 1 kHz 3 10 30 kHz etc Se quiser 3 pontos por d cada siga a seqti ncia 1 2 5 10 j que log 2 0 30
2. gt jo 0 gt jo j0 q ae di 3 ete RP Feynman R B Leighton and M Sands The Feynman Lectures on Physics Vol 2 Mainly Electromagnetism and Matter Addison Wesley Reading 1964 HM Nussenzveig Curso de F sica B sica Vol 3 Eletromagnetismo Edgar Bl cher S o Paulo 1997 NH Robinson Electricity in The New Encyclopedia Britannica Macropedia Knowledge in Depth Vol 6 pp 537 610 15 Ed H Hemingway Benton Publisher London 1974 8 Circuitos de Corrente Alternada Por exemplo a equa o diferencial 2 11 vira a equa o ordin ria n o diferencial jOoRI 0 LI 1 C joV onde V eye 0 Resolvendo para J obtemos I j V j R 0 L 1 C Para obter a corrente real basta tomar a parte real de Z i t RefI t a O cos mt q VR 0 L 1 CY 2 comes o tan ao L 1 C OR A Figura 2 1 mostra a representac o da voltagem e corrente no plano complexo A corrente e a voltagem s o vetores que rodam com velocidade angular mantendo o ngulo q fixo Em qualquer instante de tempo os valores reais de corrente ou voltagem podem ser determinados pela proje o do vetor correspondente sobre o eixo real eixo imagin rio eixo real Figura 2 1 Voltagem e Corrente no plano complexo em a t 0 e b t 0 Exerc cio 2 1 Um pr dio alimentado com tr s fios vivos de 127 V eficazes e fases 1 d gt e 3 A diferen a de fase entre dois vivos qu
3. A C Hugo CURSOS ac Livro2010a docx Impresso em 23 02 10 Conceitos b sicos 1 1 Conceitos b sicos Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada c a s o os Geradores de c a e elementos passivos e lineares que s o uma combina o de Resistores Capacitores ou Indutores em s rie ou em paralelo Alguns circuitos poder o ter ainda transformadores mas excluiremos os casos em que os transformadores exibam histerese ou satura o j que esses seriam elementos n o lineares igualmente excluiremos outros elementos como diodos que s o n o lineares e amplificadores a transistores que n o s o passivos A Figura 1 1 mostra dois circuitos de corrente alternada simples O da Figura 1 1 a um circuito de uma malha o da Figura 1 1 b de duas malhas Figura 1 1 Exemplos de circuitos de corrente alternada Z Z e Z3 indicam elementos como resistores capacitores ou indutores Um Gerador de c a gera uma voltagem senoidal amp t que em geral caracterizada pela frequ ncia angular a amplitude tamb m chamada valor pico ou de crista e a fase inicial bo e t o cos t do 1 1 Para que a amplitude e a fase sejam univocamente definidas impomos que a amplitude seja positiva e que a fase esteja entre T e T Exerc cio 1 1 Escreva as fun es abaixo na forma da eq 1 com e y positivo e r lt dy lt T 1 e 100V cos of Resposta 100V cos t 7 2 amp t 10V sin or R
4. de del 1 dt 7 23 aN 7 23 A rela o 7 23 especifica matematicamente o significado de lentamente vari vel A Figura 7 4 ilustra a solu o exata 7 22 para o caso de uma onda de entrada quadrada Note como medida que o periodo diminui em rela o a t a solu o se aproxima da derivada de em todos os pontos exceto nas transi es em t 0 e t 7 2 Nestes pontos especiais f varia muito e a rela o aproximada 7 16 deixa de valer A onda quadrada ideal matematicamente falando tem derivada infinita nesses pontos N o devemos nos preocupar muito com isto j que um gerador real n o pode fazer transi es descontinuas a voltagem em qualquer indut ncia parasita interna ao gerador seria infinita o que produziria um arco em qualquer material isolante O aluno pode verificar no laborat rio expandindo a escala de tempo no oscilosc pio que as transi es de um gerador de onda quadrada tem tempos de subida e descida n o nulos De todos modos f cil ver da eq 7 22 que a varia o Av que sofre v devida a uma descontinuidade Ag em amp f sempre e n o apenas no caso de onda quadrada Av AE 7 24 Podemos entender este resultado lembrando novamente que o circuito diferenciador um filtro passa altos e que qualquer varia o brusca tem um espectro de frequ ncias muito altas Portanto as varia es bruscas passam pelo filtro sem serem atenuadas Utilizando este tipo de argumento o
5. o caso dos oscilosc pios que sempre medem em rela o terra por isso nunca ligue a entrada do oscilosc pio linha voc poder estar ligando o terra do oscilosc pio ao vivo ou ao neutro mas voc saber se ligou ao vivo s depois de ouvir a explos o Se n o suporta a curiosidade e quiser mesmo ver a forma de onda da linha fa a o seguinte na presen a do professor utilize uma ponta de prova atenuadora de pelo menos 10x verifique que a imped ncia da ponta de prova alta maior que 1 MQ e n o ligue o terra da ponta de prova geralmente um conector tipo jacar a nenhum dos pontos da tomada Assim pelo menos voc poder medir as voltagens em rela o ao terra do oscilosc pio de cada ponto da tomada e descobrir qual o vivo e qual o neutro Se quiser medir a diferen a de potencial entre vivo e neutro voc deve utilizar um oscilosc pio de dois canais e subtrair os sinais no oscilosc pio Fa a o seguinte na presen a do professor utilize um oscilosc pio de pelo menos dois canais que tenha modo de soma ADD e de invers o INVERT utilize tamb m duas pontas de prova n o ligue as terras das pontas uma em cada canal do oscilosc pio ligue uma ponta CH1 no vivo e a outra CH2 no neutro e fa a a subtra o no oscilosc pio ou seja CH1 CH2 Se n o entendeu porque ainda n o deve intent lo Note que sempre que for medir voltagens de linha dever utilizar pontas de prova atenuadoras para que a
6. o rigorosa como 0 gt oe at B 14 a assim chamada delta de Dirac A eq B 13 o an logo continuo do resultado B 9 para o espectro discreto Do mesmo modo a transformada de Fourier de v t Vo cos wot parece n o existir Mas se notamos que cos at e e 0 2 ent o V nV 8 og 09 B 15 Ou seja o espectro de um co seno puro com frequ ncia wo cont m uma delta em e outra em q Isto se deve a que a transformada de Fourier definida para frequ ncias positivas e negativas 25 G B Arfken and HJ Weber Mathematical Methods for Physicists 4 ed Academic Press San Diego 1995 74 Circuitos de Corrente Alternada Comparando a B 15 com a B 10 vemos que a delta de Dirac de certo modo an loga a delta de Kroenecher no caso discreto A antitransformada de uma fun o espectral constante proporcional delta de Dirac no dominio do tempo l edo B 16 Em teoria de circuitos el tricos e em geral de sistemas lineares importante conhecer a resposta a um impulso ou resposta impulsiva ou seja a resposta de um circuito ou sistema linear a uma excita o na forma de um pulso muito curto idealmente representado como uma delta de Dirac no tempo v t AS t B 17 onde 4 a rea do pulso de excita o As vezes a delta de Dirac como fun o do tempo chamada tamb m fun o impulsiva A transformada de Fourier do pulso
7. na 7 7 o0 VA v Y Refy 0 04 n onde V v e h a amplitude complexa da componente de frequ ncia n Lembrando o que falamos na se o 4 1 a raz o entre as amplitudes das voltagens de sa da e de entrada a uma frequ ncia a fun o de transfer ncia do circuito H w portanto V H w E e Uge H 0 e Temos ent o que o H Osa Y Ref H o E e t Kid n Como exemplo deste tipo de an lise consideremos o filtro RC passa baixos Figura 4 2 excitado por uma onda quadrada cuja expans o em s rie de Fourier est apresentada na Figura 7 2 a A fun o de transfer ncia deste circuito H 1 1 j t onde t RC Portanto a voltagem no capacitor ser 2g oo ent m2 v t Ego ER Y 7 9 a n l impar Jo Un O an lise utilizando s ries de Fourier pode decepcionar alguns alunos pois dif cil intuir qual o resultado da soma infinita Por exemplo no caso particular da eq 7 9 se T lt lt t ent o para todos os harm nicos e a fundamental temos 7 1 gt gt 1 e como consequ ncia E ppl y cos not 2 2 T T n l impar n V t Ege 7 10 que n o diz muito al m do que j sabemos os termos da s rie da voltagem de sa da caem mais rapidamente com n do que a os termos da fun o de entrada como cabe esperar de um filtro passa baixos Mas se olharmos s s ries de Fourier da Figura 7 2 e notarmos que cos n f cos n t 1 perceberemos qu
8. que instalar fios mais grossos Em outros casos Campinas por exemplo h duas ou tr s fases de 127 V com uma diferen a de fase entre elas de 120 A diferen a de potencial entre dois fios vivos quaisquer novamente 220 V Na Europa e alguns pa ses latino americanos Argentina por exemplo o vivo de 220 Vea diferen a entre dois vivos que est o defasados em 120 de 381 V Isto barateia o custo das instala es das redes el tricas pois os fios s o mais finos do que em pa ses com linhas de 110 V mas encarece as instala es dentro das casas pois necess rio um melhor isolamento e mais cuidados com a seguran a Outra diferen a que a frequ ncia de linha nos pa ses com 220 V de 50 Hz e nos pa ses com 110 V de 60 Hz No Brasil a voltagem de linha depende da cidade e at da casa Por exemplo em Bras lia uma casa pode estar ligada em 220 V e outra em 110 V independentemente da ideologia pol tica do propriet rio n o tem l gica mesmo Em Campinas 127 V 60 Hz Note que a voltagem pico a pico de uma linha de 127 V de 359 V Nas viagens bom perguntar qual a tens o de linha local antes de ligar o seu secador de cabelos ou o barbeador el trico E antes de comprar um aparelho motorizado na Europa verifique se este n o tem um motor s ncrono que funciona em sincronismo com a frequ ncia da linha 50 Hz na Europa mas 60 Hz no Brasil Nos laborat rios existe outra lan a aterrada bem perto
9. 80 kHz sem 800 kHz com ponta de prova 3 3 Pot ncia m dia A pot ncia instant nea dissipada em um circuito el trico sempre dada por Past v Di t 3 8 e deve ser calculada utilizando as correntes e voltagens reais No caso de corrente alternada a pot ncia instant nea varia periodicamente com o tempo A pot ncia m dia dissipada em um per odo T 27 q P 1 o v ni dt 1 Voly cos 3 9 Utilizando os valores eficazes 16 Circuitos de Corrente Alternada Vos Vo 2 e 3 10 Lef 1y V2 obtemos P Vo Ly cosh RIZ GV 3 11 Na eq 3 11 escrevemos a pot ncia m dia dissipada em uma impedancia Z de tr s formas equivalentes e que destacam similaridades e discrep ncias em rela o as f rmulas an logas dos circuitos de corrente cont nua A primeira forma na eq 3 11 se parece com a express o P VI do caso cont nuo exceto pelo importante fator cosh tamb m chamado fator de pot ncia E ane E E EN 2 A segunda forma na eq 3 11 id ntica pot ncia dissipada em um resistor P RF no caso cont nuo e mostra que a parte real de Z respons vel pela dissipa o de pot ncia A terceira forma na eq 3 11 mostra uma assimetria em rela o ao caso de corrente cont nua onde P V R No caso de c a a pot ncia GV e n o Vo R A eq 3 11 nos leva a conclus es gerais ainda mais importantes Dado que um elemento passivo s pode dissipar pot ncia i e n o pode ser P lt 0 em cujo cas
10. E Veja por exemplo a se o 6 18 do livro de Ramo e Whinnery ref 12 resist ncia s rie r Figura 6 1d Quanto mais finas s o as l minas de Al maior a resist ncia s rie Valores t picos de r est o entre 0 1 e 1 Q A resist ncia s rie mais importante a altas frequ ncias j que a reat ncia Xc 1 C pode ser muito pequena Para baixas frequ ncias a resist ncia s rie tem pouca ou nenhuma import ncia mas agora a resist ncia paralelo r entra no jogo Figura 6 1c O filme diel trico geralmente um pl stico mas pode ser um papel impregnado em leo capacitores para alta tens o ou em solu o de eletr litos capacitores de alto valor C mas com polaridade Os capacitores reais apresentam fugas de corrente pela superf cie do isolante no caso de isolantes pl sticos ou pelo volume no caso de papel impregnado A fuga total pode ser caracterizada por uma condut ncia g 1 r ou pela assim chamada tangente de perdas a uma dada frequ ncia geralmente 60 Hz tand gXc 1 or C 6 4 Note que a fase da imped ncia complexa de um capacitor ideal y 7 2 enquanto que para um capacitor real q tan 1 tan 1 2 8 Valores t picos s o rp gt 100 MO e 6 lt 10 rad 60 Hz Outro tipo de capacitor muito utilizado pelo seu baixo custo o capacitor cer mico feitos de uma cer mica de alta constante diel trica na forma de disco Estes capacitores s o pouco indutivos mas a alta constante
11. Loc EE amp Z e depois utilizando Zeg Varlec 3 2 Imped ncia interna de geradores e instrumentos de medi o No laborat rio devemos sempre ter presente que os geradores e instrumentos de medi o t m imped ncia interna Em todos os casos antes de utilizar um instrumento pela primeira vez o aluno deve ler o Manual do usu rio do instrumento e entender as especifica es do fabricante ou consultar o professor Nem sempre o professor sabe o significado de todas as especifica es t cnicas de um instrumento principalmente dos sofisticados instrumentos modernos mas isto n o deve desanimar o aluno se o professor n o sabe algum detalhe provavelmente um detalhe n o muito relevante Os geradores de alta pot ncia incluindo a linha de alimenta o t m baixa imped ncia interna Z n lt 5 Q e em geral complexa Os geradores de fun es para instrumenta o tem uma imped ncia interna 12 Circuitos de Corrente Alternada geralmente de 50 Q real e independente da frequ ncia varia o dentro de 1 Q em toda a faixa de frequ ncias de opera o do instrumento tipicamente Em medidas de voltagem sempre necess rio que o m dulo da imped ncia interna Z do instrumento de medi o seja muito maior que o da imped ncia do circuito Caso contr rio dizemos que o instrumento carrega o circuito e a voltagem medida n o reflete fielmente a voltagem no circuito sem estar ligado ao instrumento Se ligarmos
12. Notemos que a corrente de magnetiza o est 90 fora de fase em rela o voltagem e portanto n o dissipa pot ncia Se tocarmos um transformador ligado na tomada com o secund rio em aberto perceberemos por m que o transformador esquenta Isto devido a tr s fatores 1 ao aquecimento do fio do enrolamento prim rio que tem uma resistividade n o nula 2 s correntes de Foucault o material do n cleo tamb m tem uma resistividade n o nula e 3 histerese da magnetiza o Os dois ltimos efeitos aquecem o n cleo Al m do calor ao tocar no transformador muitas vezes percebemos tamb m uma pequena vibra o mec nica e em certos casos percebemos tamb m um som de 60 Hz Isto devido ao efeito de magnetostri o que tende a contrair as espiras do enrolamento e as l minas do n cleo quando o campo magn tico aumenta Chapas de ferro ou outro material magn tico nas proximidades do transformador tamb m podem vibrar pela a o do campo que vaza do n cleo Todos esses efeitos produzem perdas de energia que podem ser representadas por resistores Podemos representar a perda hmica no fio de cada enrolamento como uma resist ncia r Fy respectivamente em s rie com Lp e Ls As outras perdas correntes de Foucault histerese etc s o geralmente pequenas e s o representadas por um resistor grande R em paralelo com o transformador ideal como ilustrado na Figura 9 9 Geralmente frequ ncia de opera
13. indut ncia apreci vel Um indutor tem uma resist ncia s rie devida a resistividade do fio e se tiver n cleo de ferro ter uma resist ncia adicional devido s perdas hmicas das correntes de Foucault e uma capacit ncia entre espiras adjacentes Um capacitor tem uma resist ncia em s rie devido resistividade dos metais das placas e uma resist ncia em paralelo devido condutividade dos diel tricos etc Por outro lado a resist ncia depende intrinsecamente da frequ ncia devido a dois efeitos nos condutores um que a pr pria resistividade do material depende da frequ ncia e o outro o efeito pelicular comentado abaixo Vemos ent o que os elementos de um circuito sempre t m imped ncia complexa com partes real e imagin ria que dependem da geometria e da frequ ncia Para complicar ainda mais a nossa vida existem tamb m imped ncias parasitas nos fios e conex es utilizados nos circuitos Levar em considera o todos os efeitos teoricamente poss vel se conhecemos exatamente as geometrias e as propriedades el tricas e magn ticas dos materiais mas formidavelmente complicado mais vi vel usar o bom senso e obter estimativas razo veis dos par metros relevantes que podem influir em um dado circuito Neste curso trabalharemos com frequ ncias de at 10 MHz Vamos ent o comentar apenas o comportamento t pico de resistores indutores e capacitores na faixa de frequ ncias de 0 at 10 MHz A Figura 6 1 mostr
14. min R Z onde o igual acontece s se uma das imped ncias nula Nota na demonstra o necess rio usar o fato que a parte real de qualquer imped ncia sempre gt 0 Este fato ser provado na se o 3 3 Exerc cio 3 3 resolvido Compensa o da ponta de prova de oscilosc pios A imped ncia de entrada de um oscilosc pio de 1 MQ e t m uma capacit ncia parasita de 20 pF Uma ponta de prova que atenua por um fator 10 vezes ligado a este oscilosc pio atrav s de um cabo coaxial de capacit ncia C 250 pF O circuito da ponta de prova mostrado na Figura 3 4 Quanto devem ser R e C para que atenue por um fator 10 independentemente da frequ ncia Solu o Suponhamos que queremos medir uma voltagem a uma frequ ncia e amplitude V A voltagem medida pelo oscilosc pio a voltagem V sobre a sua resist ncia interna R 1 MO e queremos que seja V V 10 independentemente de q Para simplificar o problema notemos que a capacit ncia do cabo est em paralelo com a capacit ncia interna do oscilosc pio de modo que podemos esquematizar o circuito como na Figura 3 5 onde substitu mos o cabo e o capacitor parasita do oscilosc pio por um nico capacitor de capacit ncia C C 20 pF 270 pF 20pF C v Z lv Figura 3 5 Esquema simplificado do circuito da Figura 3 4 O problema agora o de um divisor de tens o ou seja V ZV 1 Z Zy com impedancias Z e Z dadas por _
15. rio excitando o circuito com uma onda quadrada de per odo muito maior que a constante de tempo do circuito Como veremos nesta se o os transientes n o repetitivos t m grande import ncia te rica Vamos analisar aqui transientes n o repetitivos em um circuito ressonante s rie produzidos imediatamente ap s ligar uma voltagem constante O circuito est representado na Figura 5 1 p gina 23 onde o gerador fornece uma forma de onda que vale 0 para t lt 0 e uma constante para positivo ou seja E t E ppt onde o 0 set lt 0 8 1 u t 1 set gt 0 a assim chamada fun o degrau ou fun o de Heaviside A resposta de um circuito e mais geralmente de qualquer sistema linear a uma transi o abrupta uma caracter stica muito importante na teoria de sistemas lineares e recebe o nome de resposta fun o degrau step function response A equa o de malha do circuito RLC s rie dg dq L R q C 8 U4 8 2 de Berd pp onde q q t a carga instant nea no capacitor A 8 2 uma equa o diferencial de segundo grau e portanto a solu o depende de duas condi es iniciais No caso da fun o degrau onde a voltagem na posi o do gerador zero para todo t lt 0 o capacitor n o poderia estar carregado nem poderia estar passando corrente em t 0 Portanto as condi es iniciais s o q 0 0 e 0 0 8 3 dt 0 A eq 8 2 a equa o de um oscilador harm nico amor
16. 5 4 f tdt f 0 C 5 No limite se comporta como a delta de Dirac e escrevemos S t lim 5 C 6 n o A sequ ncia C 4 n o a nica que se comporta como uma delta no limite Outras sequ ncias de fun es que tendem a delta de Dirac s o 2 2 S x 2 e gaussiana C 7 Vn x lorentziana C 8 n l n x x Al sech nx secante hiperb lica sech x 1 cosh x C 9 x sinc C 10 TX S aL f ar C 11 0 x lt 0 x exponencial de um lado s C 12 ne x gt 0 Ao longo de sua carreira o a aluno a de f sica ou engenharia ver que estas fun es aparecem em muitos problemas A gaussiana C 7 e a lorentziana C 8 aparecem por exemplo na espectroscopia at mica A fun o sinc sinc x sin x x aparece na difra o por uma fenda e no espectro de um pulso quadrado A secante hiperb lica ao quadrado C 9 utilizada para representar um pulso curto realista j que como fun o do tempo x t cont nua e decai exponencialmente com t e ha boas raz es para esperar que isto aconte a no sinal el trico produzido por um gerador de pulsos realista ou um pulso de luz emitido por um laser interessante notar que a transformada de Fourier do pulso quadrado C 4 proporcional fun o sinc C 10 e que a transformada da exponencial de um lado s C 12 proporcional lorentziana C 9 Isto n o casualidade se uma sequ ncia
17. C A capacit ncia do cabo ligado entrada do oscilosc pio est em paralelo com Cin Figura 3 3 e geralmente maior a capacit ncia do cabo coaxial normalmente utilizado em instrumenta o o RG 58U de uns 100 pF por cada metro de cabo A imped ncia interna do instrumento oscilosc pio cabo Zin Rin Ce Cin Com 1 metro de cabo coaxial esta imped ncia interna do oscilosc pio cai de 1 MQ a frequ ncia zero para menos de 500 KQ a frequ ncias acima de 1 kHz aproximadamente 3 2 3 Oscilosc pio com ponta de prova A presen a de capacit ncia na imped ncia interna do instrumento faz que a voltagem medida dependa da frequ ncia Portanto a forma de onda mostrada na tela do oscilosc pio deformada no caso de um sinal n o senoidal e imprecisa ou seja de amplitude diferente daquela que ter amos se o circuito n o estivesse ligado ao oscilosc pio Utiliza se ent o uma ponta de prova que consiste de um cabo de 1 a 2 metros com um resistor de precis o R e um capacitor vari vel C em paralelo com R Ajustando o valor de C podemos conseguir que a forma de onda no oscilosc pio seja pouco distorcida Os oscilosc pios s rios t m um gerador interno que uma onda quadrada de 1 kHz de alta precis o Para o ajuste ligamos a ponta de prova na sa da do sinal de calibra o e variamos C at que a forma de onda observada seja quadrada Figura 3 2 c Uma ponta de prova ajustada deste modo chamada uma ponta compen
18. DO 6 1 RES iaa 29 6 2 Indutores we Jl 6 3 CAPACI ONES si Fe ee Samay 32 6 4 RESSONANCIAS ESPUNLAS A dada 33 CIRCUITOS DE C A COM GERADOR DE FUNCAO ARBITR RIA Zal Circuito TNL ESTA ita 7 2 Circuito Mn e a TRANSIENTES NO CIRCUITO RESSONANTE S RIE 8 1 Estudos avan ados sed A taa A a EN ED TRANSFORMADORES ose cssssvssosaesesssoseonsseaseasoonsscassassavasevsssvesonnsseasoassduesesosussesscesdenadensnseesonsdenassoseousosassesasusseassessaveses L 9 1 Generalidades citaron ai rre Edda ie ii rae tiie cede elec doler 51 9 2 Transjormadoridedl ssa sont AA E E it IA eee ed 52 9 3 Alguns Tipos de Transformadores cccccceeceescesesseetetssesecuseeecsecseesecseesecseeecceeseesesseeseeaeeseeaesneveeeeseeaees 53 QA Impedancia refletida 55 sescxs stecvasiessepieels eo E tl shen ea eee 9 5 Transformador real 10 LINHAS DE TRANSMISS O sscscocsssssacsisoscbacessssonsssssccesesevtscstsosssesesseteosseescbssssecsscsteccsdessscdionssecs sbeesiosdoassesecdesssssionsoceses OL 10 1 Imped ncia caracter stica cececccccccecesccsseesceseeseeeeeesecseeececeeseeseeseeseseseecseeseeseeseesecseeaecaeeeecnseeseeaeeaeeas 61 10 2 Imped ncia Caracter stica de um Cabo Coaxial 7 10 3 Coeficiente de Reflexao tac A Ge chaste hs da Rial ela ca O void da ala tela id 63 10 4 Propaga o de ondas em linhas de transmiss o cccccccccccecceesceee cece tee teeta eetaeeeeeeseeeaeesseenseenseenseeeenaes 64 TOI Atendas RO 65
19. Kroenecher que eles facilitam o entendimento de uma das fun es mais teis em f sica e engenharia a delta de Dirac discutida no Ap ndice C As s ries de Fourier n o fazem sentido para fun es n o peri dicas Fun es n o peri dicas podem ser representadas no dom nio da frequ ncia atrav s da integral de Fourier v Vodo B 11 onde V a Transformada de Fourier de v t definida como V E Une dt B 12 A fun o V o espectro cont nuo e V w o espectro de pot ncia da fun o v t A fun o v t a Transformada de Fourier Inversa ou Antitransformada de V Um espectr metro ptico mede o espectro de pot ncia de uma fonte de luz Note que a transformada de Fourier se define para frequ ncias positivas e negativas Se v t real ent o V w V se v t real onde indica o complexo conjugado Obviamente a transformada de Fourier faz sentido se a integral B 12 existe N o vamos discutir aqui ees o e e DS as E A as condi es matem ticas de sua exist ncia Para algumas fun es simples tais como uma constante ou um co seno a integral C 2 parece n o existir Por exemplo se v t const Vac a B 12 parece n o existir Por m olhando para a B 11 V w deve ser tal que se anula para todo exceto em 0 e que a sua integral deve valer 210 Esta fun o V 21v O 0 B 13 onde que definimos veja o Ap ndice C para uma defini
20. R b Wacy A condi o de resson ncia o 0 1 4LC 5 5 Na resson ncia s rie temos que e a imped ncia m nima Z o R e areatancia nula L em s rie com C age como um curto circuito X o 0 e a corrente maxima o Vo R e e a pot ncia transferida ao circuito m xima A largura de banda da resson ncia definida como o intervalo de frequ ncia dentro do qual a pot ncia P maior ou igual que a metade do valor maximo Em radianos s Aw RIL 5 6 O fator de m rito O do circuito ressonante s rie caracteriza a acuidade da curva de resson ncia Figura 5 1 O L R 0 A0 5 7 5 2 Resson ncia paralela A imped ncia do circuito ressonante paralelo ou circuito tanque visto pelo gerador Figura 5 2 LIC OL a E 5 8 joL 1 joC LC dl e a corrente V eito I V Z De 5 9 2 J i R or 1 0 LC onde q a fase da imped ncia Z dada por iss 5 10 R 1 0 LC l Circuitos ressonantes 25 DOOU P o P 0 Figura 5 2 Circuito tanque e pot ncia normalizada para v rios valores de O A pot ncia dissipada no resistor 2 LRV R or 1 a Lc A condi o de resson ncia a mesma do que no caso de circuito ressonante s rie o 0 1 4LC 5 12 5 11 2 P ef Vef cos q RI Na resson ncia no circuito paralelo temos que e a imped ncia maxima Z p e areatancia infinita
21. RijoC _ R PC R 1 jaC 1 jo RC R joC _ R 27 R 1 joC 1 joR C Em geral o fator de atenua o deste divisor j Z 1 Z Z R 1 joRC Ea Z R 1 joR C depende de mas se RC R C ent o esse fator n o depende de e vale Z Z Z 1 R R 10 Substituindo pelo valor de R obtemos R 9 MQ O valor de C que satisfaz a condi o RC R C ent o C 1 MQ x 270 pF 9 MQ 30 pF Exercicio 3 4 Influ ncia da imped ncia interna do oscilosc pio em medidas de voltagem Com ilustrado na Figura 3 3 a imped ncia de entrada de um oscilosc pio formada por um resistor Ry de 1 MQ em paralelo com um capacitor Cp de 20 pF Este oscilosc pio utilizado para medir a voltagem de sa da de um gerador com imped ncia interna de Z 50 Q real e independente da frequ ncia atrav s de um cabo coaxial RG 58 100 pF m de 30 cm Para baixas frequ ncias o oscilosc pio mede corretamente a fem j que Ro gt gt Zin se diz que o instrumento de medi o n o carrega o gerador por m medida que aumentamos a frequ ncia acima de uns poucos kHz a imped ncia interna do oscilosc pio come a a cair devido a Co 1 90 Ro para f 7 96 kHz A precis o de um oscilosc pio tipicamente de 1 At que frequ ncia a voltagem medida no oscilosc pio igual a fem do gerador dentro de um erro de 1 Quanto se no lugar do cabo de 30 cm utilizarmos um ponta de prova devidamente compensada de 10x Resposta
22. cabo ser da ordem de 250 nH mx15 7cm 40 nH levando a resson ncia esp ria para uns 800 kHz Por mais cuidados que tenhamos resson ncias esp rias s o inevit veis Afortunadamente na maioria dos casos de interesse neste curso elas n o s o um grande problema porque geralmente temos um resistor em s rie que faz o Q da resson ncia esp ria ser lt lt 1 Para ilustrar isto suponhamos que a resist ncia do circuito R 50 Q ent o no caso da espira com L 0 35 uH e fo 270 kHz temos O 21f L R 0 012 e no caso L 40 nH e fo 800 kHz temos O 0 004 Circuitos reais est o cheios de efeitos esp rios em altas frequ ncias Projetar circuitos de alta frequ ncia que funcionem bem uma arte dominada por poucos 16 O cabo coaxial que se utiliza geralmente no laborat rio RG 58U tem 250 nH m e 100 pF m Veja a seg o 10 2 7 Circuitos de c a com gerador de func o arbitr ria Nesta se o consideramos um circuito de corrente alternada excitado por uma voltagem g t n o senoidal como o produzido por um gerador de fun es operando no modo de onda quadrada ou de onda triangular Vamos supor que s uma fun o arbitr ria do tempo mas peri dica com per odo T 1 f A frequ ncia f chamada frequ ncia fundamental A voltagem v t em qualquer elemento de um circuito linear alimentado por este gerador ser tamb m peri dica com per odo T O valor m dio ou valor dc do ingl s direct current de v defin
23. com a dist ncia devido ao fator e 0x 2 A pot ncia transportada sendo proporcional ao quadrado da amplitude da onda cai como e ax O coeficiente a chamado coeficiente de atenua o e geralmente expresso em unidades de decib is por cada 100 m de cabo a dB 100m om 10 loge 434 a m 4 Valores tipicos para f 10 MHz s o de 1 a 10 dB 100m Fazendo r lt lt L e g lt lt C obtemos para o coeficiente de atenua o a r Zo 8gZo 10 25 0 0 onde Zo a imped ncia caracter stica sem perdas eq 10 5 Na maioria dos casos de interesse pr tico a condut ncia g pode ser desprezada O coeficiente de atenua o ent o a r Zo 10 26 A eq 10 26 indica que h vantagem em utilizar linhas com imped ncia caracter stica grande mas isto implica quase sempre em cabos mais grossos A resist ncia s rie aumenta aproximadamente em forma proporcional raiz quadrada da frequ ncia devido ao efeito pelicular se o 6 1 1 o que limita grandemente o uso de linhas de transmiss o el trica para comunica o em altas taxas Se um cabo de um determinado comprimento atenua 3 dB 50 a 1 MHz ent o a 100 MHz a atenua o ser aproximadamente 10 vezes maior ou 13 dB Com outras palavras 13 dB de perda significa que apenas 5 da pot ncia injetada transmitida ao fim do cabo Cabos coaxiais e cabos de par tran ado especiais podem ser utilizados at umas poucas centenas de Mb s em dist ncias menores qu
24. da frequ ncia Este procedimento se chama compensa o A ponta de prova tamb m facilita medidas em baixa frequ ncia com acoplamento ac como por exemplo quando queremos medir o ripple de uma fonte de corrente cont nua Se Rin 1 MO uma ponta de prova de 10x tem um resistor R 9 MQ No acoplamento de entrada ac os sinais lentos s o fortemente deformados A frequ ncia de corte se o 6 sem ponta de prova de 10 Hz tipicamente mas com a ponta de prova de 10x a frequ ncia de corte cai para 1 Hz Os oscilosc pios podem medir at frequ ncias especificadas pela largura de banda dele geralmente escrita no painel Valores t picos para oscilosc pios de 1 MQ s o 10 ou 20 MHz podendo chegar a 100 MHz nos modelos mais caros Oscilosc pios de 50 podem chegar at uns 50 GHz Uma pergunta natural que muitos alunos se fazem a seguinte se o oscilosc pio do laborat rio de ensino que geralmente t m 1 MQ 20 pF atenua sinais de frequ ncias acima de uns 8 kHz como que a largura de banda do oscilosc pio muito maior A resposta que a largura de banda determinada pelo amplificador da entrada vertical que vem logo ap s a imped ncia de entrada Qualquer sinal el trico que aparecer na entrada do amplificador vertical ser amplificado sem deforma o at a frequ ncia especificada pela largura de banda Note bem que isto n o significa que esse sinal de entrada seja igual ao que h no circuito que quer
25. de fun es representa a delta ent o a sequ ncia formada pelas transformadas de Fourier tamb m representa uma delta A gaussiana e a sech secante hiperb lica n o fogem desta regra a transformada de Fourier de uma gaussiana uma gaussiana e a de uma sech uma sech A C 11 essencialmente a transformada de Fourier de um sinal continuo 1 jot 8 0 gt lar C 13 ou a antitransformada de um espectro constante 1 f jot b fe do C 14 Muitas fun es descontinuas podem ser representadas como limite de uma sequ ncia de fun es cont nuas Um exemplo importante a fun o degrau ou fun o de Heaviside O O set lt 0 C 15 u t A 1 set gt 0 que pode ser representada como u t lim u 0 no un 1 5 1 tanh nt C 16 A C 17 empregada na an lise de circuitos excitados por um degrau realista j que impossivel no laborat rio gerar uma forma de onda idealmente descontinua A derivada de u du a 2 sech nt 8 t C 17 uma representa o da delta de Dirac veja a C 9 e escrevemos ent o du t a C 18 Ou seja a derivada da fun o degrau a delta de Dirac A Fig C 2 mostra as sequ ncias C 16 e C 17 78 Circuitos de Corrente Alternada a b 1 L u x 5 1 tanh nx 9 E E 8 x Se E i 2 cosh nx 7 E 0 6 6 5 0 4 4 3 0 2 2 4 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 2 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 Fig C 2 a Representa o da fun o degr
26. do pr dio ligada a um fio chamado terra ou terra de seguran a A voltagem do neutro em rela o ao terra depende da corrente ou seja do consumo e da resist ncia do fio neutro at o ponto onde ele est aterrado e n o deve ser maior que uns 5 a 10 V mesmo assim o fio neutro n o deve ser tocado Normalmente n o passa corrente pelo fio terra Na tomada do laborat rio temos ent o Figura 1 2 um vivo um neutro e um terra O gabinete met lico de todo instrumento eletrodom stico ou computador deve estar conectado a terra de modo que possa ser tocado com seguran a Conceitos b sicos 3 Pr dio de laborat rios Linha de alta tens o caixa de neutro distribui o transformador d terra tomada neutro Tomada detalhe Terra Figura 1 2 Esquema da linha de alimenta o el trica do laborat rio V rias tomadas s o alimentadas por cada fase No detalhe uma tomada com ponto de terra Uma conven o que o neutro deve ficar direita do vivo e a terra embaixo Outra conven o que o fio vivo deve ser preto cor da morte o neutro branco e a terra verde Estas conven es n o s o muito respeitadas no Brasil Alguns instrumentos como voltimetros eletr metros e alguns tipos de fontes podem ter entrada ou sa da flutuante que significa que nenhum dos contatos de entrada ou sa da est ligado a terra Este n o
27. e dependendo do valor de O a amplitude da voltagem no capacitor ou no indutor pode ser maior que a de entrada Isto ilustrado pelo pico de resson ncia que aparece na Figura 5 3b no caso O 5 Nesse pico a voltagem de saida maior que a de entrada De fato f cil mostrar que na resson ncia a voltagem no capacitor O vezes maior que a de entrada primeira vista pode parecer que h algo esquisito pois esse circuito passivo no entanto apresenta ganho N o h nenhum princ pio f sico violado por m Circuitos passivos podem ser amplificadores de voltagem embora n o de pot ncia Na pr tica o comportamento de um filtro real se afasta do previsto no modelo com elementos de circuito ideais devido s indut ncias capacit ncias e resist ncias parasitas presentes nos elementos e circuitos de c a seg o 6 Exercicio 5 1 Mostre que a transmitancia do filtro ressonante RLC s rie com sa da no capacitor Figura 5 3 b 2 ro 8 2 2 2 0 07 0 0 00 e que na resson ncia vale T O Qual o comportamento do filtro para 0 09 lt lt 1 e w a gt gt 1 6 Resistores capacitores e indutores reais praticamente imposs vel fabricar resistores capacitores ou indutores ideais Os resistores sempre tem uma reat ncia que depende da frequ ncia devido a capacit ncia e indut ncia parasitas inerentes a geometria Por exemplo se um resistor fabricado na forma de um arame enrolado ele ter uma
28. e log 5 0 70 Estas seqii ncias se bem aproximadas sao faceis de lembrar 2 Barras de erro nos diagramas de Bode Nos gr ficos de Tap versus logf a barra de erro vertical 22 Circuitos de Corrente Alternada din T d log T ATap 10 AT 101 dB E og e aT T 10log e L Experimentalmente T determinada como o quociente entre duas voltagens V e V medidas com erros AV e AV respectivamente T V y e 2 2 AT 2A i 2AV T Y Vo Geralmente acontece que as voltagens s o medidas com o mesmo erro relativo i e AV V AV2 V2 AVIV e temos ent o AT a Av T V A ATip 20log e V2 25 Por exemplo se o erro em V for de 4 t pico de oscilosc pios ent o a barra de erro ser de AT 0 5 dB para todos os pontos do gr fico Por outro lado a barra de erro na horizontal Alog f log e Aln f lox 0 434 Geralmente tamb m as fregii ncias s o medidas sempre com o mesmo erro relativo Se Af f 0 2 um valor t pico em oscilosc pios digitais a barra de erro horizontal de Alog f 0 0009 para todos os pontos do gr fico Note que esta barra de erro menos de um mil simo de uma d cada n o pode ser representada seria menor que a espessura do trago do l pis ou caneta se o gr fico abarcar 1 ou mais d cadas Resumindo para medidas com oscilosc pio digital a barra de erro horizontal desprez vel e a vertical de 0 5 dB
29. em particular para analisar transientes n o repetitivos em circuitos excitados com geradores de pulsos Fun es n o necessariamente peri dicas podem ser representadas no dom nio da frequ ncia atrav s da integral de Fourier vide Ap ndice B vA f Voe do 8 15 onde V w a Transformada de Fourier de v t definida como V o vOe dt 8 16 A fun o V chamado espectro cont nuo da fun o v t e v t chamada a antitransformada de Fourier de V Note que se v t tem unidades de volts a transformada tem unidades de V Hz Para qualquer circuito linear de imped ncia Z Z w excitado por um gerador de voltagem amp t a transformada de Fourier da corrente i t simplesmente I E Z Y E o 8 17 onde E w a transformada de Fourier de e Y 1 Z 0 a admit ncia Vemos ent o que o formalismo da imped ncia complexa pode ser empregado diretamente a qualquer circuito linear com geradores de fun es arbitr rias Isto mostra o poder da transformada de Fourier 19 f hes s A resposta a um impulso tamb m chamada em muitos problemas de F sica fun o de Green 48 Circuitos de Corrente Alternada A corrente real como fun o de tempo pode ser determinada pela antitransformada de Fourier da 8 17 que da o produto de convolu o Ap ndice B o e yet dr onde y a antitransformada de Fourier de Y w Como vimos na se o 4 1 podemos caracteri
30. m vezes o comprimento do fio independentemente do seu di metro e diminui com a frequ ncia devido ao efeito pelicular A indut ncia interna de um objeto condutor obtida utilizando a igualdade para a energia do campo magn tico LL wPar onde a integral sobre o volume interno do objeto e H o campo magn tico produzido pela corrente i No caso de um fio de se o circular com a corrente uniformemente distribu da no seu volume e comprimento o resultado I 8T Se o fio for de metal magn tico ferro a o etc ent o a indut ncia interna poder ser grande a baixas frequ ncias devido ao alto valor de u A malha de todo circuito em si mesma uma espira e portanto possui uma auto indut ncia Esta indut ncia pode ser estimada assumindo uma espira circular L x Lg pr In 8r ea valida se o quociente entre o raio da espira e o raio do fio r a gt gt 1 Assim por exemplo uma espira sem n cleo u uo de di metro 2r 10 cm e feita de um fio de di metro 2a 0 5 mm tem uma indut ncia de uns 0 35 uH 6 3 Capacitores Os capacitores s o confeccionados geralmente com filmes de alum nio separados por filmes diel tricos isolantes e enrolados para fazer um pacote compacto A resistividade do Al e a resist ncia das soldas entre os filmes de Al e os fios de cobre que fazem os contatos externos contribuem Na literatura inglesa as correntes de Foucault s o denominadas eddy currents
31. muito elevadas a atenua o da linha deve ser considerada Se a linha tem uma resist ncia s rie r e condut ncia g por unidade de comprimento ent o a imped ncia s rie e a admit ncia paralela de um elemento de linha de comprimento dx s o dadas por dZ r joL dx 10 20 dr g joC dx 10 21 23 Er E Ra E a E Em rigor o ndice de refra o depende da frequ ncia Mesmo assim o conceito de linha n o dispersiva n o uma utopia j que na pr tica a varia o do ndice de refra o dos diel tricos utilizados em linhas de transmiss o na faixa de frequ ncias necess ria para descrever pulsos el tricos de dura o razo vel desprez vel 66 Circuitos de Corrente Alternada Neste caso seguindo o mesmo argumento que nos levou a deduzir a eq 10 5 obtemos que a imped ncia caracter stica complexa e depende da frequ ncia segundo me 10 22 g joC Por outro lado seguindo o mesmo argumento da se o 10 4 obtemos uma constante de propaga o complexa k o LC rg jo Lg rC 10 23 que pode ser escrita na forma k k ja 2 10 24 Em contraste com o caso sem perdas a parte real de k n o mais proporcional frequ ncia e portanto a linha se torna dispersiva ou seja a velocidade de propaga o depende da frequ ncia Em consequ ncia os pulsos se deformam ao se propagarem na linha Da eq 10 24 vemos que a amplitude de uma onda viajando na dire o x cai exponencialmente
32. na bola como no taco de bilhar ou na raquete respons veis pela transfer ncia de momento e energia e constataremos que em nenhum instante a forga infinita ou descont nua A delta de Dirac um artif cio muito til para descrever matematicamente a resposta impulsiva seja porque n o estamos interessados nos detalhes da intera o ou porque n o dispomos de instrumentos com a resolu o temporal necess ria para ver a forma do pulso Do mesmo modo uma estrela distante pode ser pensada como uma fonte de luz pontual e representada como uma delta mesmo que na realidade a estrela em quest o possa ser muito maior que o nosso Sol A delta de Dirac pode ser introduzida rigorosamente como o limite de uma sequ ncia de fun es os matem ticos chamam uma sucess o de fun es como uma distribui o Consideremos por exemplo pulsos de dura o 7 n e amplitude n T Jo se t gt 7T 2n _ TEN ETA n 1 2 C 4 Estes pulsos est o mostrados na Fig C 1 para n 1 5 e 20 Quando n gt a dura o tende a zero e a amplitude tende a infinito mantendo a rea dos pulsos constante es 6 dt 1 76 Circuitos de Corrente Alternada 5 0 0 5 0 0 5 t T Fig C 1 Pulsos definidos na eq C 4 para n 1 5 e 20 Para n muito grande teremos uma representa o da delta de Dirac A sucess o de fun es A 95 1 tende delta de Dirac no sentido que para qualquer fun o A t bem comportada lim
33. o di Riso s s 2 1 dt C que cont m a integral da inc gnita i t dado que q t pi dt q 0 ou 2 pep pl 2 2 d d C dt Em circuitos com N malhas teremos N equa es diferenciais ordin rias de segunda ordem acopladas Para resolver este tipo de equa es que aparecem frequentemente em circuitos de corrente alternada utilizaremos o formalismo de imped ncia complexa Apesar do nome este formalismo n o tem nada de complexo muito pelo contr rio como veremos simplifica muitos problemas de circuitos de corrente alternada j que as equa es diferenciais se transformam em equa es alg bricas n o diferenciais As equa es de malha do tipo da 2 1 e 2 2 podem ser escritas como a parte real de uma equa o entre n meros complexos Utilizamos para isto a f rmula de Euler vide Ap ndice A e cosx jsinx onde j 1 e introduzimos a voltagem e corrente complexas V e Vo el 2 3 I t 1 e de modo que as voltagens e correntes reais v t e i t podem ser recuperadas atrav s das rela es v t Re V 0 Re y ef p cos ot a i t Re I t Refly e 1 cos ot O simbolo Re indica a parte real do numero complexo dentro de Trabalhar com correntes e voltagens complexas tem a vantagem de que as equa es diferenciais que descrevem os circuitos de c a se transformam facilmente em equa es ordin rias Para isto basta substituir d d gt d S jo
34. o R pode ser ignorado Figura 9 9 Circuito equivalente similar ao da Figura 9 8 mas com resist ncias em s rie representando as resist ncias dos enrolamentos prim rio e secund rio e uma resist ncia em paralelo R representando a perda de energia no n cleo A corrente no circuito prim rio por m a corrente no prim rio do transformador ideal al O modelo de transformador real da Figura 9 9 s vezes chamado de circuito equivalente completo embora n o leve em considera o as n o linearidades e a depend ncia com a frequ ncia dos componentes Mesmo assim bastante til para entender as caracter sticas b sicas de transformadores reais Por exemplo no caso do secund rio em aberto fazendo Zp 0 e R 0 Vo Pp JOLy Min 1 0 e a pot ncia m dia dissipada no enrolamento prim rio vale p P V gl cos Vp m pom i 2 2 No 0 Lp Transformadores 57 Geralmente r lt lt L e temos que PV Imp o Lp Vemos ent o que quanto maior Lp menor ser a perda hmica Para uma dada frequ ncia a forma de diminuir as perdas aumentar o valor da indut ncia Esta a raz o pela qual os transformadores t m muitas voltas nos seus enrolamentos Isto explica tamb m porque os transformadores das fontes de pot ncia s o volumosos As fontes de pot ncia modernas como as utilizadas nos microcomputadores chamadas fontes chaveadas tem transformadores relativamente pequenos O truque q
35. o e menos restritiva que a primeira Como veremos na se o 7 se o circuito linear ent o vale o princ pio de superposi o e ainda podemos aplicar o formalismo de imped ncia complexa mas combinado com s ries de Fourier para expressar as voltagens como soma de fun es senoidais Do mesmo modo que uma combina o de resistores em s rie e em paralelo pode ser representada por um nico resistor equivalente um circuito contendo uma combina o arbitr ria de resistores indutores e capacitores pode ser representado por uma imped ncia total Z O L lt D 99 E o X x oO eixo real Figura 3 1 Representa o da imped ncia no plano complexo Z um ponto neste plano Em geral podemos escrever Z na forma cartesiana ou polar Figura 3 1 10 Circuitos de Corrente Alternada Z R jX Z e t Imped ncia complexa 3 3 onde R Re Z a parte real da imped ncia complexa X Im Z a parte imagin ria de Z chamada Reat ncia Z o m dulo de Z s vezes tamb m chamada de imped ncia e 4 a fase de Z Para passar da forma cartesiana polar podemos utilizar as rela es IZ yR X 3 4 b tan X R 3 5 Podemos ver que coincide com a diferen a de fase entre a voltagem sobre Z e a corrente sejam estas complexas como na eq 3 1 ou reais como na eq 2 2 Se X gt 0 dizemos que a reat ncia do tipo indutiva e se X lt 0 dizemos que a reat ncia capacitiva Mostrare
36. para V x do Linhas de Transmiss o 65 seguinte modo no elemento diferencial dx Figura 10 1 a queda de voltagem no indutor joLdkxI portanto escrevendo a voltagem em x dx como V x dx V x dV temos que dV jwLdxl ou dV mio 10 14 X A corrente que passa pelo capacitor V dV j Cdx VjoCdx portanto dl ViwCdx ou joc 10 15 X Derivando a 10 14 em rela o x novamente e usando a 10 15 obtemos 2 U LCV 0 10 16 dx A corrente I x tamb m satisfaz a eq 10 16 Esta equa o mostra diretamente que V viaja como uma onda A solu o geral de 10 16 uma superposi o de duas ondas contrapropagantes da forma V x t V Hot yeot 10 17 onde k oVLC 10 18 a assim chamada constante de propaga o A velocidade de propaga o v o k 1 VIC 10 19 No caso do cabo coaxial substituindo as eqs 10 6 e 10 7 em 10 18 obtemos que v 1 eug c n onde c a velocidade da luz no v cuo e n 9 o ndice de refra o do isolante interessante notar que a velocidade de propaga o independente da frequ ncia uma linha de transmiss o com esta propriedade se denomina linha n o dispersiva Dado que um pulso uma superposi o de ondas de diferentes frequ ncias transformada de Fourier conclu mos que em linhas n o dispersivas os pulsos el tricos se propagam sem deforma o 10 5 Atenuac o No caso de linhas muito compridas ou frequ ncias
37. pio para medir a corrente deve estar aterrado O NM iY At 3 76 ms ACTIVA ee AE A ger ANAN RA O AHN COAT CA GAIA NA EN E 1 ft d Figura 1 3 Medida da diferen a de fase entre duas sen ides V e V2 com um oscilosc pio de dois canais Tela da esquerda Primeiramente medimos o per odo que neste exemplo T 8 6 ms A seguir medimos a diferen a de tempo At em que as sen ides cruzam subindo ou descendo a linha horizontal de V 0 Neste exemplo At 3 76 ms alguns oscilosc pios como o ilustrado aqui disp em de cursores verticais para medir diferen as de tempo a leitura indicada no canto superior direito da tela Finalmente a fase dada por 4 2nAt T 2 75 rad ou q 360At T 157 Tela da direita Para diminuir a incerteza da medida podemos expandir a escala vertical duas vezes neste exemplo de modo que apenas a regi o central das sen ides mostrada no oscilosc pio Na regi o central as sen ides s o aproximadamente retas e os pontos de cruzamento com o eixo V 0 s o mais evidentes expandindo ainda mais a escala vertical a retas viram quase verticais e a incerteza a m nima poss vel Vejamos qual a rela o entre voltagem e corrente nos tr s elementos b sicos resistor capacitor e indutor Em um resistor vale sempre a lei de Ohm v t Ri t 1 4 onde R a resist ncia e no caso de corrente alternada isto com i na forma da eq 1 1 obtemos v t Rh cos a
38. que a imped ncia caracter stica depende ligeiramente da frequ ncia 10 2 Imped ncia Caracter stica de um Cabo Coaxial O exemplo t pico de linha de transmiss o um cabo coaxial Figura 10 3 A capacit ncia e indut ncia por unidade de comprimento s o dadas por C 2ne In b a 10 6 e L 10 27 In b a 10 7 Substituindo em 10 5 obtemos Zo 10 2T In b a 10 8 Figura 10 3 Cabo coaxial O condutor central di metro a rodeado por um isolante de constante diel trica e e di metro b Sobre o diel trico tem um segundo condutor de blindagem de espessura fina geralmente uma malha e sobre este uma camada plastica isolante para prote o No caso do cabo RG 58U as dimens es do fio condutor interno e da malha s o respectivamente a 0 9 mm e b 2 9 mm o isolante polietileno com constante diel trica 2 1 e substituindo em 10 6 10 8 obtemos L 250 nH m C 100 pF m e Z 50 Q O cabo RG 58 o mais utilizado em instrumenta o e redes de computadores Exerc cio 10 1 O cabo coaxial RG 59U utilizado em TV a cabo id ntico ao RG 58U exceto pelo di metro da malha externa b 4 5 mm Determine L Ce Zp 10 3 Coeficiente de Reflex o As reflex es em linhas de transmiss o de dados digitais produzem pulsos esp rios que causam erros nas redes de computadores Para evitar reflex es deve se colocar um resistor de imped ncia igual a Zo Neste caso a linha se diz terminada
39. se conhece como efeito pelicular A amplitude da densidade de corrente no interior dos condutores reais resistividade n o nula cai exponencialmente a partir da superf cie A dist ncia dentro do condutor para a qual densidade de corrente vale 1 e do valor na superf cie dada por 6 2p uo 6 2 onde u a permeabilidade magn tica para metais n o magn ticos u Ho 4nx10 H m e pa resistividade do metal a baixa frequ ncia e Veja por exemplo The Feynman Lectures on Physics op cit vol 2 sect 32 11 2 S Ramo and J R Whinnery Fields and Waves in Modern Radio 2 Ed Wiley New York 1960 Figura 6 3 Efeito pelicular A baixas frequ ncias esquerda a corrente passa por toda a seg o transversal de um fio condutor e a altas frequ ncias direita passa apenas por uma camada de espessura 6 A resist ncia de um fio de comprimento e raio a pode ser estimada como R pl S onde S a rea efetiva da seg o por onde efetivamente passa a corrente S na a baixa frequ ncia f lt lt p una e S 27146 a alta frequ ncia f gt gt p una O efeito pelicular importante se 6 lt lt a o que acontece para frequ ncias acima de certo valor f p ua que depende da condutividade do metal e do di metro do fio Por exemplo para o cobre p 1 8x10 Q m temos de 6 2 5 m 0 07 F H2 e a resist ncia por unidade de comprimento de um fio de 1 mm de di metro aumenta de 0 02 Q m a b
40. sen ide caiba na tela do oscilosc pio onde geralmente cabem 80 volts Se a tens o eficaz de 127 V a voltagem pico a pico 359 2 Volts 1 2 Voltagem e corrente reais Nos circuitos de c a alimentados por um nico gerador ideal as correntes reais que passam pelos diferentes elementos s o senoidais A corrente real i t que passa por um dado elemento de um circuito est relacionada com a diferen a de potencial ou voltagem nesse elemento v t Tanto i f como v t s o fun es do tempo com a mesma forma que a eq 1 1 cada um com sua amplitude e fase mas com a mesma frequ ncia Sem perda de generalidade podemos escolher a origem dos tempos de modo que a fase inicial da corrente seja nula 4 Circuitos de Corrente Alternada i t Ip cos of 1 2 v t Vo cos wt 6 1 3 onde q a diferenga de fase entre a voltagem e a corrente Note que a fase de uma sen ide sozinha n o tem muito sentido f sico sempre poss vel escolher a origem dos tempos de modo de fazer ela zero Por outro lado a diferen a de fase entre duas sen ides n o depende dessa escolha A Figura 1 3 mostra duas sen ides na tela de um oscilosc pio para ilustrar como se mede a diferen a de fase A corrente pode ser medida com oscilosc pio medindo a voltagem sobre qualquer resistor do circuito que proporcional a corrente Cuidado por m porque o oscilosc pio somente mede em rela o terra e portanto o resistor ao qual ligamos o oscilosc
41. voltagem V sobre o capacitor V O J V Edt 1 RC 9 8 proporcional ao campo de indu o magn tica B CH1200mV CH2 200mV xy J Figura 9 10 a Circuito para observar a curva de histerese de um transformador utilizando um oscilosc pio operando no modo XY A voltagem sobre R proporcional corrente no prim rio e portanto ao campo magn tico aplicado H ligada entrada X do oscilosc pio R e C formam um integrador para frequ ncias f lt lt 1 27RC A voltagem sobre C ligada entrada Y ent o proporcional a integral da fem induzida no secund rio portanto proporcional ao campo de indu o magn tica B b Curva de histerese t pica observada para f 15 Hz Neste exemplo a rea da curva de histerese aproximadamente 4 11 quadrinhos x 200 mV x 200 mV 0 44 V Ligando as voltagens V e V a um oscilosc pio operando no modo XY podemos visualizar o ciclo de histerese onde as grandezas nos eixos X e Y s o proporcionais respectivamente aos campos H e B 58 Circuitos de Corrente Alternada Vejamos quais s o os fatores de proporcionalidade pelo menos de forma aproximada assumindo que esses campos s o uniformes no n cleo do transformador O campo H devido a corrente no prim rio pode ser estimado utilizando a lei de Ampere Nlp 9B di He onde o comprimento m dio das linhas de campo no n cleo Figura 9 11 Temos ent o H x Np Rif Vx 9 9 NC W l Figura 9
42. 11 Transformador ilustrando o comprimento m dio e a se o reta do n cleo S Na aproxima o de campo uniforme o fluxo pode ser escrito simplesmente como BS onde S a rea da se o reta do n cleo Figura 9 11 de modo que a voltagem no secund rio dD dB V t N N S 5 S dt S dt e substituindo na eq 9 8 obtemos Vy t N B t S RC ou finalmente ignorando o sinal que pode ser escolhido trocando os terminais do prim rio ou do secundario B t RC SN WV 0 9 10 A curva de histerese define duas grandezas importantes que caracterizam nucleos de transformadores o campo remanente B e a for a coercitiva H Se n o h corrente aplicada 1 0 o n cleo pode ficar com um capo permanente B tal como um im Para zerar esse campo magn tico necess rio aplicar um campo H no sentido oposto Estas grandezas podem ser determinadas a partir de seus equivalentes V e Ve na curva de histerese medida da Figura 9 10b A energia dissipada por ciclo de histerese para alinhar desalinhar e realinhar os dominios magn ticos do material do n cleo pode ser escrita como Uhist Vol BdH Multiplicando pela frequ ncia e pelo volume do n cleo Vol S obtemos a pot ncia m dia dissipada Prise SC BAH Transformadores 59 Utilizando as rela es 9 9 e 9 10 podemos expressar BdH em termos da rea V dv da figura de histerese observada na tela do oscilosc pio O resu
43. B 17 V A Ou seja o espectro da delta uma constante O espectro de um pulso muito curto cont m todas as componentes de Fourier A antitransformada de Fourier de um produto de fun es de q H F o G m B 18 onde F w e G s o respectivamente a transformada de Fourier de At e g t dada por no fg nar B 19 Esta integral se conhece como produto de convolu o de fe g O contr rio tamb m verdade se uma fun o h t o produto de convolu o de At com g t ent o vale a B 18 Este resultado se conhece como Teorema da Convolu o ou Teorema de Faltung que n o o nome de nenhum matem tico famoso apenas uma palavra do alem o que significa dobra Este teorema tem muitas aplica es Em particular a lei de Ohm generalizada para uma imped ncia Z tem a forma V Z 0 0 e portanto oA f NiE V Z I B 20 onde z 1 a antitransformada da imped ncia A B 20 nos da a voltagem sobre Z para uma corrente i t arbitr ria n o necessariamente senoidal Outro exemplo a determina o da voltagem de sa da de um filtro el trico com fun o de transfer ncia H para um sinal de entrada arbitr rio v t dado que V H V temos que vs 0 1 h t 1 dr onde A t a antitransformada de H o C Fun o delta de Dirac A fun o delta de Dirac 5 x definida em termos de suas propriedades S x 0 x 0 C 1 JES dx 0 C 2 o
44. Circuitos de Corrente Alternada Notas de F sica Experimental Prof Hugo L Fragnito Unicamp IFGW Campinas Setembro de 2000 ltima revis o Mar o de 2010 Conte do CONCEITOS B SICOS wsscsscsscsssscssennsscsecassscahesssacsusssducsbenssecducosancshensbesducasdacdsensdasducosascabensdasdnsssaacabeasaasdncosancabsossaranvecs 1 1 Alinha de alimentacdO lt lt a ad 2 1 2 Volt gem e corrente reais ia 3 VOLTAGEM E CORRENTE COMPLEXAG scccsssosssscscscoscsccscscesccecscscesccscnseoscsscsesesscsscsesssscescsssescsscscssoscsscscssoscsscsesen 7 IMPED NCIA COMPLEX A oissssasssssssocsdeassaseancsstessectnssuaccosesadeonassedsesedecaessadeecsbeseosdenacadedwssesedendiscdi aves ro SESE voite si iaeoe O 3 1 Equivalente Theveninin is ia 11 3 2 Imped ncia interna de geradores e instrumentos de MedigdO oooonnnninniinnninvinnonnconcncnccnccncncnn 11 3 3 POEMA doc E 15 4 1 Fun o de transfer ncia e Transmit ncia ccccccccccccecesscesecseeseesseseenecseesecuseeeceseeseesesseeaeceseeenseesenaeeseeaees 19 CIRCUITOS RESSONANTES ssascissscessassSessscessssessbeceacciossoossececsassesssoocseussdcedessconecacdeecedeebeonsececedseueseeacssecdsosssessesaseseves 2 5 1 Resson ncia Sia decada Saloma dente doves 23 5 27 Resson ncia Parral A A espiao iara sonar au diana 24 5 3 Filtros ressonantes RESISTORES CAPACITORES E INDUTORES REAIS ssssccssssscccssssccesssccccsssccccssscccecssscccsssaccscssssccecsacsccsssaccscssssssesses
45. Nesta se o vamos analisar o caso geral de uma linha terminada com uma imped ncia de valor arbitr rio Zr Quando um sinal el trico atinge o fim de uma linha de transmiss o ele pode se refletir A reflex o de um sinal el trico depende da imped ncia encontrada Zr 22 Embora o cabo RG 58 pode ser utilizado em redes Ethernet ele n o recomendado Os cabos coaxiais de 50 2 especiais para Ethernet possuem blindagem dupla e capa pl stica com baixa produ o de fumo durante um inc ndio Geralmente o diel trico de polietileno celular 8 2 1 64 e a capacit ncia de 82 a 86 pF m O cabo Ethernet fino com atenua o de 4 6 dB 100m 10 MHz usado para dist ncias de at 100m O cabo Ethernet grosso com 1 7 dB 100m 10 MHz pode ser usado at 500 m 64 Circuitos de Corrente Alternada Figura 10 4 Linha de transmiss o terminada em uma imped ncia Zp e sinais el tricos viajando em dire es opostas Consideremos ent o o caso em que enviamos um sinal na dire o x Ap s um tempo teremos tamb m um sinal viajando na direg o x Em geral em qualquer ponto da linha temos que a voltagem e a corrente s o dadas pela soma alg brica de duas ondas viajando em dire es opostas V V V e fer sr 10 9 y onde os supra ndices e indicam sinais el tricos viajando nas dire es x e x respectivamente A raz o entre as amplitudes destes dois sinais define o coeficiente de reflexao p V V 10 10 Da
46. Q a 10 MHz Portanto se R for pequeno neste exemplo menor que 100 Q e em geral se R for compar vel ou menor que X a indut ncia deste tipo de resistor dever ser levada em considera o O valor preciso de J depende de N sendo que N varia muito entre resistores de diferentes valores de R e entre resistores de diferentes fabricantes e A l Filme de helicoidal de carbono depositado Tampa met lica Figura 6 2 Resistor de filme de carbono O circuito equivalente para alta frequ ncia um resistor ideal em s rie com um indutor Alguns resistores de alta pot ncia gt 5 W s o feitos de arame met lico enrolado sobre uma cer mica estes s o altamente indutivos e n o devem ser utilizados em frequ ncias acima de 1 kHz Se precisar de um resistor de baixo valor de R baixa indut ncia e alta pot ncia voc mesmo pode fazer um a partir de arame O truque para diminuir a indut ncia dobrar o arame na metade do comprimento e enrolar o fio duplo sobre a cer mica tomando cuidado para que o arame n o se toque Deste modo o campo magn tico devido corrente nas espiras tem um sentido at a metade do arame e sentido oposto na segunda metade 6 1 1 Efeito pelicular Para frequ ncias acima de algumas dezenas de kHz se observa que a resist ncia dos fios met licos aumenta com a frequ ncia devido a que quase toda a corrente passa apenas por uma camada fina perto da superf cie Este fen meno
47. Z garante apenas que a amplitude da voltagem ser medida fielmente mas n o necessariamente a fase 3 2 1 Imped ncia interna de volt metros Muitos voltimetros de c a de agulha s o na realidade galvan metros de D Arsonval em s rie com uma resist ncia para transform lo em voltimetro e um retificador para transformar c a em corrente cont nua a imped ncia depende da escala e se especifica em kQ V por exemplo 10 kQ V significa que na escala de 3 volts de fundo de escala a imped ncia interna de 30 k 2 Estes instrumentos s o utilizados para frequ ncias baixas lt 1 kHz pois a imped ncia interna depende muito da frequ ncia A leitura diretamente em volts eficazes mas precisa somente se a forma de onda for senoidal Outro tipo de instrumento bastante utilizado o volt metro eletr nico de precis o que pode ter imped ncia interna de 100 MQ e pode medir volts eficazes de formas de onda arbitr rias em alguns modelos mas ainda de baixa frequ ncia 3 2 2 Imped ncia interna de oscilosc pios O instrumento mais utilizado para medir voltagens em circuitos de c a o oscilosc pio Os oscilosc pios t m uma imped ncia interna geralmente R 1 MQ e uma capacit ncia parasita em paralelo Cin de uns 20 pF em oscilosc pios de alta frequ ncia gt 100 MHz os valores t picos s o Rin 500 e Cin 7 pF Para poder medir sinais alternos pequenos com um nivel de corrente cont nua grande os oscilos
48. a alguns circuitos equivalentes de capacitores e indutores utilizados geralmente para entender o comportamento destes elementos a baixa e alta frequ ncias Devido s capacit ncias e indut ncias parasitas os indutores e capacitores reais apresentam resson ncias geralmente em altas frequ ncias gt 10 MHz Figura 6 1 Circuitos equivalentes de a indutor a baixa frequ ncia b indutor a alta frequ ncia c capacitor a baixa frequ ncia e d capacitor a alta frequ ncia Exerc cio 6 1 Escreva a imped ncia complexa para cada caso da Figura 6 1 6 1 Resistores Nas frequ ncias que nos interessam a maioria dos resistores podem ser considerados ideais exceto talvez alguns resistores de pequeno valor nominal R nas frequ ncias mais altas Os resistores mais comuns para circuitos de baixa pot ncia lt 5 W s o feitos de filme de carbono depositado em forma helicoidal sobre um cilindro cer mico Figura 6 2 A corrente ent o passa por um solen ide de comprimento d e rea A 77 Se N o n mero de voltas a indut ncia parasita aproximadamente l uoN A d 6 1 Veja por exemplo B M Oliver and J M Cage Electronic Measurements and Instrumentation Mc Graw Hill New York 1971 30 Circuitos de Corrente Alternada Para termos uma id ia concreta suponha d 12 mm 2r 4 5 mm e N 7 valores t picos para alguns resistores de Y2W A indut ncia ser ent o de 82 nH que representa uma reat ncia X 5
49. a voltagem de sa da uma onda triangular com amplitude pico a pico v 7 4t Esta rela o entre as amplitudes pode ser utilizada para medir ou C conhecendo R Exerc cio 7 2 Utilizando a s rie de Fourier de uma fun o peri dica demonstre a eq 7 11 Sugest o utilize o fato que E a P eJ Ont ju en dt eJOnto 0 7 2 Circuito diferenciador A Figura 7 4 mostra dois circuitos diferenciadores Os dois s o filtros passa altos Os integradores e diferenciadores s o caracterizados pela constante de tempo t que no caso do circuito RC vale t RC em 40 Circuitos de Corrente Alternada tanto que para o circuito RL t L R Ao igual que no caso do integrador o diferenciador RL pouco utilizado exceto a frequ ncias muito altas Os circuitos da Figura 7 4 se comportam como diferenciadores se t lt lt T no seguinte sentido se amp f varia pouco em qualquer intervalo de tempo de dura o menor que 7 ent o a voltagem de sa da d amp t dt v t 1 T lt lt T E f lentamente vari vel 7 16 Diferenciador RC C t lt lt T t 7 40 e t t gt gt T t 407 0 T 2 T Figura 7 4 Circuitos diferenciadores RC e RL e resposta destes circuitos a uma onda quadrada de amplitude pico a pico para os casos em que t muito menor compar vel ou muito maior que T as rela es exatas entre t e T para as quais as formas de onda foram calculadas est o indicad
50. abela 8 I mostra explicitamente o resultado das express es 8 11 nos tr s casos de amortecimento Transientes no circuito ressonante s rie 45 Subamortecido Cr tico Sobreamortecido Q gt Y O O lt 2 V E in wt i f lee MESS i d4 e ger paa FR EE Epp OT T PAET IN E E e sin ot 2t te lt e sinh Bt pp OT Bt 7 f L ew os op dl tige e 7 coshBt eines pp of Bt ot 407 1 o 0 Bt 4 1 40 Tabela 8 I Voltagens transientes no capacitor resistor e indutor para o circuito RLC s rie Exerc cio 8 2 Demonstre cada uma das express es da Tabela 8 I A Figura 8 1 mostra as voltagens sobre o resistor capacitor e indutor nos tr s casos de amortecimento sub sobreamortecido e amortecimento cr tico interessante notar que no caso de amortecimento subcr tico o n mero de oscila es dentro de uma constante de tempo ou seja t To onde To 271 00 de acordo com 8 6 O m Ou seja O m vezes o n mero de oscila es contadas dentro de uma constante de tempo Este fato muitas vezes utilizado no laborat rio para estimar rapidamente o Q do circuito 0 2 0 0 0 2 1 0 0 5 Vi Ey 0 0 0 5 5 Capacitor Resistor Indutor 0 2 4 6 tempo t Capacitor Resistor Indutor tempo t t Figura 8 1 Transientes no circuito RLC s rie para os casos de amortecimento subcritico esquer
51. age como um circuito aberto X o e acorrente minima Iwo 0 e e a pot ncia transferida ao circuito m nima P 9 0 Para 0 ou gt a pot ncia dissipada no resistor m xima e igual a P 0 iy R Se o 0 toda a corrente passa pelo indutor e para passa pelo capacitor A largura de banda da resson ncia definida como o intervalo de frequ ncia dentro do qual a pot ncia dissipada menor ou igual que a metade do valor m ximo Em radianos s AQsanque WRC 5 13 O fator de m rito Otanque que caracteriza a acuidade da curva de resson ncia do circuito tanque Figura 5 2 dado por Osanque Og RC Wo A0rangue 5 14 Note que Qranque J 1 Q s rie Qs rie o Q dado pela 5 7 26 Circuitos de Corrente Alternada 5 3 Filtros ressonantes Os circuitos ressonantes s o utilizados principalmente como filtros Filtros ressonantes passa banda s o utilizados por exemplo em circuitos de sintonia de r dio e televis o para selecionar uma esta o transmissora e rejeitar as frequ ncias dos outros canais vizinhos Filtros rejeita banda tamb m chamados notch filters s o utilizados em instrumenta o cient fica para rejeitar frequ ncias indesej veis como por exemplo a frequ ncia de linha que sempre se acopla aos circuitos atrav s dos cabos Um exemplo de filtro rejeita banda o circuito tanque Figura 5 2 com sa da no resistor Para entender rapidamente o que
52. aisquer de 120 Represente as tr s voltagens no plano complexo e mostre que a diferen a de potencial entre dois vivos quaisquer AV cosa onde AV 311 1 Volts pico ou 220 Volts eficazes 3 Imped ncia complexa A voltagem entre os terminais de um resistor indutor ou capacitor pode ser escrita na forma complexa V ZI 3 1 onde nos casos de resistor capacitor e indutor respectivamente temos AMD Z R JU Z joL 0L ei 3 2 Z l im joC aC Trabalhar com o formalismo de imped ncias complexas tem a enorme vantagem de que podemos aplicar quase tudo que aprendemos da teoria de circuitos de corrente cont nua Por exemplo a associa o de elementos em s rie ou em paralelo se trata com as mesmas rela es que se utilizam para resistores em circuitos de corrente cont nua e as leis de Kirchoff se aplicam diretamente para as correntes e voltagens complexas em cada n ou cada malha Devemos ter presente apenas duas coisas 1 O formalismo de imped ncia complexa til para tratar rela es lineares como por exemplo uma equa o de malha mas n o para rela es n o lineares como a pot ncia que uma fun o quadr tica da corrente 2 Este formalismo pode ser aplicado diretamente a circuitos com geradores de onda realmente senoidais e n o por exemplo se o gerador de onda quadrada Para correntes de forma arbitr ria devemos utilizar em princ pio as voltagens e correntes reais Esta condi
53. aixa frequ ncia lt 500 kHz at 2 7 O m a 1 GHz Exercicio 6 2 A partir de qual frequ ncia o efeito pelicular deve ser levado em considerac o para um fio de grafite condutividade 0 12 S m de 1 mm de di metro Exerc cio 6 3 Para diminuir as perdas hmicas em instala es de alta pot ncia e redes de transmiss o de energia el trica se utilizam cabos de cobre grossos Se a frequ ncia de 60 Hz a partir de que valor aproximadamente n o adianta aumentar o di metro do cabo 6 2 Indutores Os indutores s o confeccionados enrolando um fio de cobre envernizado sobre um objeto de se o cil ndrica ou retangular A resist ncia do enrolamento representa uma resist ncia s rie que relativamente mais importante a baixas frequ ncias Figura 6 1a Esta resist ncia s rie depende essencialmente do comprimento total e di metro D do fio Consideremos o seguinte exemplo Um indutor com n cleo de ar na forma de um solen ide de comprimento d 3 cm rea m dia A n7 12 em e com N 1000 voltas tem uma indut ncia L oN A d 50 mH O per metro m dio de cada espira 277 12 3 cm o que d um comprimento total 123 metros Se o fio de cobre resistividade p 1 8x10 Qcem de di metro D 0 25 mm rea da se o transversal S nD 4 ent o a resist ncia s rie desse indutor rs p lo S 45 Q Para uma frequ ncia de 100 Hz a reat ncia X 2nfL 32 Q que menor que a sua res
54. aluno pode mostrar que para um circuito diferenciador temos sempre vp 0 7 25 C 42 Circuitos de Corrente Alternada independentemente do valor dc de entrada E interessante discutir o comportamento dos circuitos integrador e diferenciador em termos da s rie de Fourier do sinal de entrada eq 7 6 Para o integrador se t gt gt T ent o w t gt gt 1 para todos os harm nicos e o circuito integra todos os termos da s rie Por outro lado para o diferenciador se t lt lt T n o est garantido que 1 lt lt 1 Neste caso para que o circuito diferencie corretamente necess rio que as amplitudes dos termos de alta frequ ncia sejam desprez veis frente aos de baixa frequ ncia ou seja necess rio que a s rie convirja rapidamente Uma propriedade geral das s ries de Fourier vide Ap ndice B que quando temos descontinuidades os termos sucessivos da s rie caem lentamente de fato caem como 1 n e o diferenciador n o funcionar bem nessas descontinuidades Se amp for continua mas com derivada descont nua como por exemplo no caso da onda triangular os termos caem como 1 n e o diferenciador j funciona um pouco melhor mas ainda a sa da uma fun o cont nua no caso de una onda triangular de entrada a sa da n o exatamente uma onda quadrada sendo que na regi o onde a derivada do sinal de entrada pula a sa da sobe ou desce exponencialmente com tempo de subida ou de descida da ordem de 7 E
55. and Measurement Macmillan New York 1992 Chapter 1 Idealmente a onda quadrada e a rampa s o fun es descont nuas e a onda triangular tem derivada descont nua a derivada da onda triangular uma onda quadrada Os geradores de fun o reais por m produzem sempre uma fung o cont nua e com derivada cont nua Os geradores t m uma imped ncia interna baixa tipicamente 50 Q e segundo as especifica es dos fabricantes em toda a faixa de frequ ncias de opera o do gerador a imped ncia interna real e do mesmo valor dentro de 10 tipicamente Sabemos por m que alguma indut ncia parasita sempre existe e por menor que ela seja produziria uma voltagem infinita que nenhum isolante suportaria se a corrente sofresse uma descontinuidade Do mesmo modo a capacit ncia parasita torna impossivel uma descontinuidade na voltagem A eq 7 6 nos diz que a voltagem no gerador uma soma de voltagens produzidas por geradores senoidais de diferentes frequ ncias amplitudes e fases todos ligados em s rie Em virtude do princ pio de superposi o a resposta de um circuito a soma das respostas a cada um dos termos da s rie A resposta a cada termo da s rie pode ser calculada utilizando o formalismo de correntes complexas da se o 2 e a fun o de transfer ncia da se o 4 1 Para isto escrevemos as s ries de Fourier do gerador voltagem de entrada e de v voltagem de sa da da seguinte forma o0 E t E Y Releet
56. artes 1 A L e 1 k L s o indutancias em s rie representando os vazamentos de fluxo Figura 9 8 Figura 9 8 a Fluxo magn tico em um transformador com perda de acoplamento Algumas linhas de campo n o s o concatenadas pelo enrolamento secund rio b Circuito equivalente com um transformador ideal indut ncias em s rie representando os vazamentos de fluxo magn tico e uma indut ncia kL em paralelo no circuito prim rio por onde passa a corrente de magnetiza o Im quando o secund rio est em circuito aberto 1 0 Note que com 0 a indut ncia medida entre os terminais de entrada do transformador Lp Se fizermos um curto circuito no secund rio V 0 a indut ncia 1 A L aparecer refletida no prim rio do transformador ideal em paralelo com kL e de acordo com a eq 9 5 com valor 1 0Ly a A indut ncia medida entre os terminais de entrada neste caso KL 1 k L a KL 1 k L a Li 1 k L Notando que as indut ncias s o proporcionais ao quadrado do n mero de voltas Ly La ea express o acima se simplifica 56 Circuitos de Corrente Alternada Ly 1 EL secund rio em curto circuito V 0 9 7 Esta ent o a indut ncia medida no prim rio com um curto circuito no secund rio Assim com duas medidas da indut ncia no prim rio isto com o secund rio em aberto e em curto podemos determinar experimentalmente o coeficiente de acoplamento k Perdas hmicas
57. au como sucess o tangentes hiperb licas eq C 16 e b da delta de Dirac como sucess o de secantes hiperb licas ao quadrado eq C 17 Para cada valor de n 1 5 e 20 a fun o em b a derivada da fun o correspondente em a Na C 15 n o definimos o valor do degrau de Heaviside em 0 Na sucess o C 16 temos sempre u 0 4 raz o pela qual algumas pessoas definem u 0 Y A derivada da delta de Dirac 5 x definida em termos de suas propriedades d x 0 x 0 C 19 JES dx f0 C 20 onde f x qualquer fun o bem comportada cont nua e deriv vel em x 0 e a integral inclui a origem Como caso particular de C 20 dx 0 C 21 E interessante ver qual a antitransformada de Fourier de uma impedancia No caso de um resistor R temos Z Re z Z o e do R3 0 C 22 No caso de um indutor Z j L e N 1 joLe do ue e Mdo 18 0 C 23 No caso de um capacitor Z 1 j0C e oo t 00 iat t 20 rE El E he do 4f Sdr Eu t C 24 Nos tr s casos R L e C temos que z t O para t lt 0 Esta uma propriedade geral de um tipo importante de sistemas lineares que representam sistemas fisicos obedecem ao principio de causalidade Na lei de Ohm generalizada eq B 20 a voltagem no instante t depende em geral da corrente i t em todos os instantes anteriores a t mas n o pode depender dos valores da corrente em tempos futuros na eq B 20 deve ser
58. c pios possuem um recurso que bloquear o n vel cont nuo Este recurso chama se acoplamento ac ac alternate current e consiste em intercalar na entrada um capacitor em s rie C relativamente grande 10 a 15 nF O acoplamento ac n o deve ser utilizado em medidas precisas O modo normal de 5 T FEES a Para uma introdu o aos princ pios de funcionamento do oscilosc pio visite o site http www if ufr br teaching oscilo intro html ade ri 6 opera o de um oscilosc pio com acoplamento dc Vamos comentar sobre alguns cuidados que devem ser observados no modo normal C Figura 3 3 Impedancia interna de um oscilosc pio O oscilosc pio mede sempre a voltagem que aparece sobre Rin No modo de acoplamento dc o sinal a medir aplicado diretamente sobre Rinn mas h sempre um capacitor em paralelo Cin No acoplamento ac o sinal a medir passa primeiro por um capacitor em s rie Cy que bloqueia frequ ncias baixas lt 10 Hz No modo de acoplamento dc Figura 3 3 a imped ncia interna depende da frequ ncia Lint Rim Cini Rim a JOR ni int e cai em valor absoluto de 1 MQ q 0 a menos de 500 kQ para frequ ncias gt 7 96 kHz isto para um oscilosc pio com Rin 1 MQ e Cim 20 pF Al m disso para medir precisamos ligar o oscilosc pio ao circuito teste atrav s de algum cabo Este cabo faz parte do instrumento e devemos incluir a sua capacit ncia
59. cionar fun es do tempo aos espectros correspondentes era antigamente uma tarefa rdua e demorada mas se transformou em uma tarefa simples e corriqueira com a ajuda dos computadores Os programas de c lculo cient fico para computadores incluem sempre um algoritmo muito eficiente de c lculo do espectro discreto de uma fun o qualquer chamado FFT Fast Fourier Transform Um instrumento muito til em laborat rio de eletr nica o Analisador de Espectros parecido a um oscilosc pio mas que mostra na tela diretamente o espectro do sinal de entrada Atualmente a maioria dos oscilosc pios digitais s o tamb m analisadores de espectro j que estes possuem um computador interno que utilizam rotinas de FFT para calcular rapidamente o espectro discreto do sinal de entrada E interessante mostrar para o aluno como o espectro de duas fun es particulares uma fun o constante e uma co sen ide pura No caso de uma fun o constante VC Vac temos Cn Ude Ono B 9 onde nm a assim chamada delta de Kroenecher definida como nm 0 se n m e Sun 1 Ou seja o espectro discreto de uma constante uma delta de Kroenecher na frequ ncia zero n 0 No caso de uma fun o co seno v t Vo cos mt temos cn F Volp 87 1 B 10 Ou seja o espectro discreto de uma fun o co seno puro tem duas deltas de Kroenecher uma em q n 1 e outra em o n 1 O interessante destes espectros contendo deltas de
60. critos por equa es diferenciais como a 8 14 O termo inomog neo da equa o que descreve o sistema se denomina excita o e a solu o da equa o a resposta a essa excita o Comparando a eq 8 2 com a eq 8 14 vemos que a voltagem sobre o capacitor proporcional a carga representa a resposta a uma fun o degrau entanto que a voltagem no resistor proporcional corrente 18 Matematicamente falando a delta de Dirac n o realmente uma fun o pois o seu valor n o est definido em t 0 Nesse instante o seu valor um infinito muito especial e tal que a integral sobre qualquer intervalo de tempo que contenha t 0 1 Veja mais sobre isto no ap ndice C Transientes no circuito ressonante s rie 47 representa a resposta a uma fun o impulso Se utilizarmos um oscilosc pio para observar a voltagem sobre o capacitor estaremos visualizando a resposta a um degrau e se observamos a voltagem sobre o resistor estaremos vendo a reposta a um impulso A Figura 8 1 mostra o que observar amos na tela do oscilosc pio em cada caso A resposta a um impulso e a resposta a um degrau s o obviamente equivalentes pois a corrente 6 a derivada da carga Esta rela o vale para qualquer sistema linear a resposta a um impulso proporcional a derivada da resposta a um degrau Qualquer uma delas pode ser utilizada para descrever completamente as propriedades de um sistema linear e s o portanto de grande import ncia em f sica
61. da e amortecimentos cr tico direita O 0 5 e sobreamortecido direita O 0 3 No caso de amortecimento subcr tico a voltagem no capacitor oscila excedendo a voltagem da fonte Em algumas aplica es estas oscila es s o indesej veis por exemplo no caso de instrumentos de medi o o instrumento fica oscilando e devemos esperar a sua estabiliza o e se evitam aumentando o valor da resist ncia at matar as oscila es O gt 4 Como ilustra a Figura 8 1 direita para 0 40 capacitor se carrega em tempo m nimo sem exceder a voltagem de entrada em nenhum instante Outra 46 Circuitos de Corrente Alternada caracter stica interessante do amortecimento cr tico em comparag o com o caso sobreamortecido que a corrente proporcional a voltagem sobre o resistor um pulso de durag o e amplitude m nimas e representa portanto o caso de menor dissipa o de pot ncia Note na Figura 8 1 que a voltagem sobre o indutor sempre descont nua em t 0 Esta uma caracter stica geral de todo circuito excitado por uma fun o degrau como a soma das voltagens sobre todos os elementos do circuito s rie deve ser igual voltagem da fonte pelo menos uma das voltagens da soma deve ser descontinua 8 1 Estudos avan ados Todo curso b sico de f sica experimental o a aluno a realiza uma experi ncia que consiste em observar no oscilosc pio os transientes do circuito ressonante RLC s rie Geralmente os alunos descobre
62. diel trica devida a que o material est perto de uma transi o fase pelo que a capacit ncia varia muito com a temperatura S o utilizados em alta frequ ncia e alta tens o mas n o em circuitos de precis o A constante diel trica elevada implica tamb m em alta condutividade que resulta em tangentes de perdas altas a baixas frequ ncias Finalmente os capacitores apresentam sempre uma indut ncia parasita Esta preocupante apenas nos circuitos de alta frequ ncia ou nos circuitos de pulsos de curta dura o A indut ncia de um capacitor de placas paralelas pode ser estimada como 1 uold w 6 5 onde d a espessura do isolante e e w s o respectivamente o comprimento e a largura das placas Exerc cio 6 4 Estime a capacit ncia C a indut ncia e resist ncias s rie rs e paralelo r de um capacitor de fitas de alum nio p 2 8x10 Qem com w 2 cm de largura t 5 um de espessura e 2 m de comprimento separadas por um filme pl stico 30 pF m p 1 2x10 Qcm de espessura d 10 um Note que a indut ncia parasita e resist ncia s rie dependem de se os contatos forem soldados s fitas de alum nio pelos extremos ou pelos lados ap s enroladas calcule e r nos dois casos 6 4 Ressonancias esp rias A indut ncia parasita n o faz muito mal em circuitos ressonantes que j possuem uma indut ncia grande mas pode ser terr vel em circuitos que supostamente n o deveriam ser ressonantes c
63. do a 300 MHz temos 1 m neste caso a diferen a de potencial entre dois pontos de um mesmo fio apreci vel se a dist ncia entre eles for de apenas alguns cent metros Nos casos em que a frequ ncia suficientemente alta de modo que os efeitos de propaga o sejam relevantes as imped ncias dos circuitos devem ser vistas como de par metros distribu dos Por exemplo suponhamos um resistor de 3 O feito com um arame de comprimento total de 30 cm se a frequ ncia for de 1 GHz A 10 cm um sinal que chega em um determinado instante de tempo ao inicio do arame n o ver o fim do fio e n o saber que a resist ncia total do arame de 3 Q at que n o chegue ao fim Em rigor as imped ncias est o sempre espacialmente distribu das e uma quest o da frequ ncia ser suficientemente elevada para que este fato venha tona Nas redes de computadores mais comuns Ethernet a taxa de bits de 10 Mb s ou mais Cada bit nessa taxa um pulso el trico de 100 ns que ocupa aproximadamente 25 metros de cabo A rede inteira pode ter 100 m cabo coaxial fino ou at 500 m cabo grosso Claramente nestas redes os efeitos de propaga o s o relevantes 10 1 Imped ncia caracter stica Os cabos que ligam os computadores de uma rede local e os que ligam a antena de TV ao televisor s o exemplos de linhas de transmiss o Qualquer par de condutores utilizado para transportar corrente de alta frequ ncia u
64. e 100 m Para taxas de dados mais altas e ou dist ncias mais longas a fibra ptica a nica tecnologia dispon vel A atenua o de uma fibra ptica de comunica o de dados menor que 1 dB km e n o depende da taxa A capacidade de transmiss o das fibras pticas limitada por dispers o n o por atenua o Nas redes locais de computadores como no interior de um pr dio se utilizam fibras pticas chamadas multimodo que permitem taxas de uns poucos Gb s Gigabit segundo para dist ncias da ordem de 1 km J em telecomunica es de longa dist ncia se utilizam fibras chamadas monomodo onde as perdas s o da 24 comum em engenharia el trica expressar o coeficiente de atenua o para a voltagem a 2 em neppers metro Np m Linhas de Transmiss o 67 ordem de 0 2 dB km e possuem pouca dispers o permitindo enlaces de mais de 100 km a taxas de dezenas de Gb s por laser centenas de lasers em diferentes comprimentos de onda podem ser transmitidos simultaneamente em uma nica fibra ptica provendo assim uma taxa agregada de dezenas de Tb s O aproveitamento da imensa largura de banda fornecida pelas fibra pticas motivo de intensas pesquisas em F sica e Engenharia AP NDICES A A F rmula de Euler A f rmula de Euler e cosx jsinx A 1 pode ser demonstrada facilmente considerando a fung o f x cosx jsinx A 2 A derivada de f df be y Ze sinx jcosx j jsinx cosx jf x lx e
65. e a eq 7 10 coincide com a expans o da uma onda triangular de amplitude pico a pico 38 Circuitos de Corrente Alternada Upp ppT 47 Note que a onda triangular proporcional a integral da onda quadrada Como veremos PP na se o 7 1 o filtro RC passa baixos um circuito integrador para frequ ncias altas gt gt 1 7 Para as fun es t picas de um gerador de fun es ondas quadrada retangular rampa e triangular as equa es de Kirchoff de circuitos simples de uma malha podem ser resolvidas facilmente integrando uma equa o diferencial Este procedimento leva a solu es anal ticas mais f ceis de analisar do que uma s rie de Fourier Como exemplos vamos resolver a seguir alguns problemas simples mas de grande import ncia pr tica 7 1 Circuito integrador A Figura 7 3 mostra dois circuitos integradores O integrador RC o mesmo que o filtro RC passa baixos da se o 3 O integrador RC caracterizado pela constante de tempo t RC em tanto que para o integrador RL t L R Os dois circuitos s o filtros passa baixos com a mesma frequ ncia de corte 1 t Na pr tica o circuito integrador RL pouco utilizado pois os indutores s o mais volumosos e caros que os capacitores Al m disto um capacitor mais perto do ideal que um indutor j que dif cil fabricar um indutor com resist ncia s rie pequena O integrador RL encontra aplica es apenas em frequ ncias muito altas gt 100 MHz Inte
66. e engenharia Vimos na se o 4 1 que um circuito el trico e mais geralmente falando qualquer sistema linear completamente caracterizado pela sua fun o de transfer ncia ou resposta espectral Agora estamos afirmando que tamb m completamente caracterizado pela resposta a um impulso A resposta espectral referida como uma descri o no dom nio da frequ ncia e a resposta a um impulso uma descri o no dominio do tempo As duas descri es s o completamente equivalentes demonstramos formalmente na se o 8 1 2 que a resposta em frequ ncia a transformada de Fourier da resposta a um impulso o que razo vel j que o espectro de um impulso cont m todas as frequ ncias Em circuitos el tricos e em muitos outros casos de sistemas lineares mais f cil medir a resposta a um impulso do que a resposta espectral 8 1 2 An lise de transientes utilizando a Transformada de Fourier Vimos na se o 7 que os transientes repetitivos podem ser analisados utilizando s ries de Fourier As desvantagens desse m todo s o que a somente se aplica a fun es peri dicas e b geralmente conduz a express es que s o s ries de dif cil interpreta o No caso de um gerador de fun o arbitr ria mesmo se a fun o n o peri dica podemos utilizar o m todo da transformada de Fourier A transformada de Fourier uma ferramenta poderosa de an lise de circuitos e em geral de sistemas lineares E muito til
67. e sa da uma s vez na tela do oscilosc pio F cil Mas o que a antitransformada de uma constante Como mostramos no ap ndice B essa fun o a delta de Dirac Se vt AS t a sua transformada de Fourier ser Vo Af 50 di 4 ou seja o seu espectro ser uma constante Portanto da 8 20 teremos que os 1 ANO o que demonstra que a resposta a um impulso proporcional antitransformada de Fourier da fun o de transfer ncia Isto significa o seguinte se excitamos o circuito com um pulso el trico de durag o infinitesimal ou seja excitamos com uma delta ent o na tela do oscilosc pio teremos uma fun o do tempo que a resposta a um impulso A transformada de Fourier dessa fun o ser a fun o de transfer ncia Como j dizemos no laborat rio mais f cil medir a resposta a um impulso do que a resposta espectral e por isto que os transientes s o t o importantes Mas convenhamos que medir a resposta Transientes no circuito ressonante s rie 49 espectral n o demasiado dif cil Os circuitos el tricos s o privilegiados no sentido que f cil medir as coisas tanto no dominio do tempo como no dominio da frequ ncia Em contraposi o em ptica mais f cil medir o espectro do que medir a reposta impulsiva A dificuldade experimental que o tempo que caracteriza a relaxa o extremamente pequeno femtossegundos e dever amos ent o utilizar pulsos de luz de dura o menor que esse tem
68. emos medir responsabilidade do operador garantir que isto aconte a para isto ele deve se assegurar de que a imped ncia equivalente do circuito teste vista desde a ponta do cabo ou da ponta de prova seja Z lt lt Zin para todas as frequ ncias dentro da largura de banda do oscilosc pio Por exemplo se medimos sobre um capacitor de 1 uF e n o estiver em paralelo com um indutor ent o a capacit ncia do cabo e a interna do oscilosc pio s o irrelevantes j que 1 uF em paralelo com 100 ou 200 pF continua sendo 1 uF Neste caso a voltagem medida pelo oscilosc pio igual do capacitor a qualquer frequ ncia alta exceto talvez a frequ ncia O ou muito baixa se o capacitor estiver em s rie com um resistor de valor gt 1 MO Exerc cio 3 1 Mostre que a imped ncia equivalente de um resistor R em paralelo com um indutor L Z Ro L joLR R 0212 Este um exemplo onde R depende de o Exerc cio 3 2 A resist ncia equivalente de dois resistores em paralelo sempre menor que cada uma das resist ncias R Ry lt Ry e Ri R lt Ry No caso de impedancias complexas o m dulo de Z Z n o sempre menor que o m dulo de Z ou de Z2 Por exemplo um indutor e um capacitor em paralelo tem uma imped ncia cujo m dulo oL w LC 1 pode ser muito maior que L ou maior que 1 wC ou maior que ambas dependendo do valor N o obstante isso se uma das imped ncias um resistor R ent o mostre que R Z lt
69. enas a palavra ohm escrita ao contr rio 3 1 Equivalente Th venin O teorema de Th venin que o aluno j conhece de circuitos de corrente cont nua v lido tamb m para corrente alternada e formalmente id ntico ao caso de circuitos de corrente cont nua mas com imped ncias voltagens e correntes complexas todo circuito contendo geradores e uma combina o de imped ncias pode ser visto entre dois pontos quaisquer A e B como uma caixa preta ou equivalente Th venin contendo um gerador Ee e uma imped ncia em s rie Ze onde Ec Vaz a voltagem de circuito aberto isto sem ligar em nenhum instrumento de medi o e Zog Vas Hees onde ec a corrente de curto circuito Como no caso de corrente cont nua Ze pode ser obtida tamb m como a imped ncia que ter amos entre A e B fazendo um curto circuito em todos os geradores do circuito a Zi b Zi c a A Leg x EA Z ED Le Eeg B B B Figura 3 2 Um circuito de corrente alternada a e seu equivalente Th venin c O circuito intermedi rio b serve para calcular a corrente de curto circuito Lec A Figura 3 2 mostra um exemplo de circuito e seu equivalente Th venin entre os pontos A e B Neste exemplo a voltagem entre os pontos A e B vale Z Var eg ED E e a impedancia equivalente Zog Za Zi Zi Za Zi Zo A imped ncia equivalente tamb m pode ser calculada achando primeiro a corrente de curto circuito Figura 3 2 b
70. endendo da escolha da origem dos tempos As ondas triangular e quadrada s o exemplos deste tipo de fun es No caso geral mesmo se a parte ac da fun o n o mpar nem par ainda podemos representar v t como uma s rie de co senos defasados V t vo gt va Cos O t B 3 n l onde o termo com frequ ncia zero Vo Va e para n 1 2 0 ae b B 4 o tan b ay Esta forma B 3 de representar a s rie de Fourier tem a vantagem de que as amplitudes v n o dependem da origem dos tempos O conjunto dos coeficientes y como fun o de f n 0 1 2 chamado espectro de pot ncia discreto da fun o v Ainda outra forma de representar a s rie de Fourier atrav s de coeficientes e exponenciais complexas 72 Circuitos de Corrente Alternada w Y celo B 5 n 00 onde T 2 j Cy io ale Ton gp B 6 O conjunto de coeficientes c como fun o de o espectro discreto da fun o v O espectro de uma fun o real em geral complexo mas real se v t real e par Note que a s rie B 5 inclui termos com frequ ncias negativas 0 n Para uma fun o v t real temos c_ C C9 V0 Vde B 7 e Cy love B 8 O an lise espectral tal vez a ferramenta de an lise de fun es mais poderosa que existe A maioria dos grandes avan os cient ficos dos ltimos dois s culos foram devidos s v rias formas de espectroscopia experimental Rela
71. es de interesse pr tico estamos mais interessados na amplitude e menos na fase O quadrado do m dulo de H T o H o f 4 2 denominada Transmit ncia ou Resposta em pot ncia Geralmente a transmit ncia expressa em decib is Tap 10log 7 4 3 Por exemplo para o filtro RC passa baixos Figura 4 2 20 Circuitos de Corrente Alternada H o Vjoc 1 R 1 j C 1 j RC e i 4 4 To RES 1 RC Este filtro possui transmit ncia m xima Tax 1 para 0 e cai para zero como 1 RCY na medida em que gt oo Para 1 RC a transmit ncia cai metade do maximo Este comportamento mais f cil de visualizar em um diagrama log log tamb m chamado diagrama de Bode como o da direita na Figura 4 2 Para lt lt mp a resposta do filtro praticamente plana e a transmit ncia de O dB para Do transmit ncia 3 dB 10 log 2 3 0103 e para gt gt q a transmit ncia cai a uma taxa de 20 dB dec decib is por d cada 10 log 1 oRCy 20 log w const y chamada frequ ncia de corte ou de cotovelo e a faixa de frequ ncias entre O e chamada largura de banda do filtro Note que no diagrama de Bode a depend ncia com 1 0 em alta frequ ncia muito mais evidente do que no gr fico em escala linear Frequencia de corte 1 RC Inclinagao 20 dB dec T Filtro RC passa baixos Diagrama de Bode 1 0 1 2 3 4 log RC Fi
72. esposta 10V cos at 1 2 Muitos oscilosc pios modernos possuem recursos para medir automaticamente a amplitude pico a pico Epp 289 e o per odo T 21 w ou a frequ ncia f 1 7 Outros instrumentos como volt metros de c a e mult metros medem o valor eficaz Epp Eo V2 Assim por exemplo 110 Volts eficazes correspondem a uma amplitude de 155 6 V e uma amplitude pico a pico de 311 V O aluno pode medir a voltagem de linha com um mult metro A maioria dos oscilosc pios medem voltagens at 80 V Para medir voltagens maiores que 80 V se utilizam pontas de prova atenuadoras mas mesmo com uma ponta atenuadora o a aluno a nunca deve intentar medir a voltagem de linha com um oscilosc pio leia antes a se o 1 1 sobre a linha de alimenta o 2 Circuitos de Corrente Alternada 1 1 A linha de alimenta o Antes de fazer experimentos importante que o a aluno a tenha conhecimentos b sicos do que h por tr s de uma tomada de alimenta o el trica Vou discutir aqui a linha de alimenta o dos laborat rios de ensino do Instituto de F sica da Unicamp que uma linha de 127 V O professor de outra regi o deve adaptar esta discuss o para o caso da sua sala de aula A energia el trica produzida em alguma usina hidroel trica nuclear o de outro tipo geralmente muito remota A energia transportada atrav s de linhas de transmiss o de muito alta voltagem centenas de quilovolts pudendo chegar at megavolts A raz o d
73. etida Para os efeitos de analisar a corrente no prim rio o transformador ideal e a carga no secund rio podem ser substitu das por uma imped ncia equivalente Figura 9 7b A imped ncia vista desde o prim rio tamb m chamada imped ncia refletida dada por Z Vp lp Vp Vs Ls Ip V ss Np Nsy Zs ou Z Z la a Ny Np 9 5 o que mostra outra fun o do transformador como transformador de imped ncias Os transformadores de imped ncias s o utilizados para casar imped ncias em linhas de transmiss o evitando assim reflex es e nos casos que se deseja m xima transfer ncia de pot ncia de um circuito a outro Um exemplo de transformador cassador de imped ncias o utilizado para acoplar as antenas de TV onde o sinal vem por um cabo de 300 Q no caso de fios paralelos aos aparelhos de video que utilizam cabos coaxiais de 75 Q Do mesmo modo o gerador a imped ncia no prim rio e o transformador ideal podem ser substitu dos por uma fonte equivalente com fem for a eletromotriz a e imped ncia interna Z p g Zp no circuito secund rio Figura 9 7b Figura 9 7 a Um transformador ideal com corrente passando no secund rio b circuito equivalente com imped ncia do secund rio refletida no prim rio Z Za c circuito equivalente com uma fem amp a e s Ss com a imped ncia do prim rio refletida no secund rio Zp a Zp Transformadores 55 9 5 Transformador real Com o secund r
74. grador RC o t lt lt T t T 40 R Ep Ede ASAS SEL Se ree a ss ee a c N e t C v t Figura 7 3 Circuitos integradores RC e RL e resposta destes circuitos a uma onda quadrada de amplitude pico a pico para os casos em que t muito menor compar vel ou muito maior que T as rela es exatas entre t e T para as quais as formas de onda foram calculadas est o indicados entre par ntesis Note portanto que as escalas verticais n o s o as mesmas Veja o Exerc cio 7 1 Mostraremos aqui que para frequ ncias altas ou seja quando a voltagem de sa da pequena comparada com a de entrada os circuitos da Figura 7 3 se comportam como integradores no seguinte sentido em qualquer intervalo de tempo de dura o t fo lt lt t a voltagem de sa da v t 1 e dt v to t t K lt t 7 11 Vamos demonstrar a eq 7 11 explicitamente para o circuito integrador RC no caso do integrador RL os passos da dedu o s o diferentes mas o resultado final o mesmo A equa o de malha do circuito RC amp t Ri t v t 7 12 Como v t q t C e i dq dt temos que i co ou Ri 2 Portanto a eq 7 12 pode ser escrita como pag ag exato 7 13 dt Mas notemos que o circuito um filtro passa baixos Portanto para frequ ncias angulares 27 T muito maiores que dy 1 t a voltagem de sa da v muito menor que a de entrada Da eq 7 12 vemos que aa dv l esta cond
75. gura 4 2 Filtro RC passa baixos e Transmit ncia como fun o da frequ ncia em escala linear esquerda e logar tmica direita A transmit ncia de outros tipos de filtros como o passa altos e passa faixa est esquematizada na Figura 4 3 A banda passante de um filtro passa faixa definida como o intervalo de frequ ncias onde a transmit ncia em dB se mant m acima de 3 dB ou seja acima de 50 em uma escala linear em rela o ao m ximo Em mem ria de Hendrick Bode 1905 1982 pesquisador da Bell Laboratories USA e primeiro a utilizar estes diagramas nos anos 1930 Filtros 21 max T dB log f log f log f Figura 4 3 Transmit ncia de filtros passa baixos esquerda passa altos centro e passa faixa direita O passa faixa caracterizado pela frequ ncia central f a largura de banda Af da faixa passante e as taxas em dB dec de subida roll on e de descida roll off Exerc cio 4 1 Filtro passa altos Mostre que a fun o de transfer ncia e a transmit ncia do filtro da Figura 4 4 est o dadas por H o 1 1 j RC e To 141 1 oRCY Este um filtro RC passa altos com frequ ncia de corte p 1 RC A transmit ncia como fun o de est representada na Figura 4 4 em escala linear e na forma de um diagrama de Bode Complete a informa o levantando um gr fico da fase de H como fun o de log RC
76. i o implica Ri gt gt v Assim se T lt lt 211 a eq 7 13 aproximadamente Ri P Ou seja t at T lt lt 27T 7 14 dt Integrando a eq 7 7 entre os instantes to e t obtemos a eq 7 11 A eq 7 13 v lida no caso geral mesmo se a condi o T lt lt t n o satisfeita e para os dois circuitos da Figura 7 3 Essa equag o pode ser integrada facilmente O resultado exato t tg t v t al Meg U ty Je exato 7 15 A eq 7 15 se transforma na eq 7 11 se t fp lt lt 7 j que nesse caso podemos aproximar por 1 as duas exponenciais que aparecem na 7 15 A Figura 7 3 ilustra a solu o exata 7 15 v lida tanto para o integrador RC como para o integrador RL no caso de uma onda de entrada quadrada Note como medida que o per odo diminui em rela o a t a solu o se aproxima da integral 7 11 Exerc cio 7 1 Mostre por integra o direta da eq 7 15 que para uma onda quadrada de periodo T Sii se0 lt t lt T 2 g t min r E seT 2 lt t lt T max a voltagem de saida nos dois circuitos da Figura 7 3 ee Emax 1 01 seO0 lt t lt T 2 v t mare O up ae seT 2 lt t lt T onde Vmax Vde Upp 2 Umin Vde Upp 2 sendo Vac Ede Upp Epp tanh 7 4t com Epp Emax Emin Note que o valor de de de sa da igual ao de entrada pois os circuitos da Figura 7 3 s o filtros passa baixos Note tamb m que se t gt gt T ou seja quando os circuitos integram
77. ido como Figura 7 1 D 04 E odt 7 1 v t Figura 7 1 Forma de onda periddica gen rica Frequentemente estamos interessados nas varia es de voltagem em torno da m dia A parte alternada ou parte ac de alternate current de v t Vaclt V t Vie 7 2 ou seja o que ver amos num oscilosc pio no modo de acoplamento de entrada ac A parte alternada caracterizada pela amplitude pico a pico Unp 0 Pp max Y 7 3 min gt onde Umax Umin S o respectivamente os valores m ximo e m nimo de v t Outra forma de caracterizar a varia o da parte alternada de v atrav s do seu valor eficaz ou valor rms de root mean square definido como 5 go Vef Vrms VT o Mat 7 4 O valor eficaz til para calcular pot ncias A pot ncia m dia dissipada em um resistor R com uma voltagem arbitr ria mas peri dica P v R O aluno n o deve confundir os valores eficazes com os valores medidos com um volt metro de corrente alternada A maioria destes instrumentos principalmente os de agulha medem um valor Vac proporcional m dia do valor absoluto de v t V ya nl v 1242 onde E T ol Jo Plat 7 5 Somente no caso de um sinal senoidal Vyac Vey 36 Circuitos de Corrente Alternada Em geral as fun es peri dicas podem ser representadas atrav s de S ries de Fourier V t 0 e y U cos not 0 7 6 n 1 onde 21f e os coeficientes da
78. ig 9 2 a Figura 9 2 S mbolo de um transformador com n cleo de material ferroso Em baixas frequ ncias lt 1kHz o material mais utilizado para n cleo de transformadores o ferro laminado O formato laminado serve para minimizar as perdas por correntes de Foucault as l minas s o envernizadas ou propositadamente oxidadas para isol las eletricamente uma das outras Para altas frequ ncias se utilizam ferrites ou outros materiais especiais Na eq 9 1 o sinal da fem induzida no secund rio vem determinado pelo sentido dos enrolamentos Quando necess rio esse sentido indicado com um ponto grosso Figura 9 3 Se as correntes no secund rio e no prim rio saem ou entram ambas pelo ponto o sinal positivo caso contr rio o sinal negativo 52 Circuitos de Corrente Alternada o e dl dl lp M I 4M Ss dt p E a lt O Figura 9 3 Conven o para o sinal da fem induzida no secund rio As equa es de malha dos circuitos prim rio e secund rio Figura 9 4 s o V 1 Z V e 9 3 0 IZ o E gt onde V e V s o as voltagens nos enrolamentos prim rio e secund rio respectivamente Note que a voltagem medida entre os terminais do enrolamento secund rio n o coincide em geral com a fem pois pode haver perdas Figura 9 4 Correntes de malha nos circuitos prim rio e secund rio 9 2 Transformador ideal Um transformador ideal tem acoplamento de 100 k 1 linear n o e
79. io em circuito aberto Z a corrente no secund rio zero Z 0 Em um transformador ideal a corrente no prim rio tamb m zero Em um transformador real por m h uma corrente de magnetiza o no material do n cleo al m de perdas essencialmente hmicas por correntes de Foucault e por histerese Analisemos primeiro o efeito da corrente de magnetiza o sem considerar perdas hmicas Se Z 0 a corrente no prim rio a corrente de magnetiza o 7 I e as voltagens no secund rio e prim rio m valem respectivamente V tjo ML V j0 Ly 9 6 Podemos estimar a corrente de magnetiza o usando a express o de L para um solen ide de se o reta S e comprimento l L uN2S l Para 25 cm S 4 cm N 400 e material do n cleo com p 1000 uo temos uma indut ncia de aproximadamente L 1000x471 10 7x4002x 4 10 4 25x10 2 300 mH Quando ligado em 110 volts e 60 Hz a corrente de magnetiza o de uns 97 mA O acoplamento imperfeito k lt 1 devido a que nao todas as linhas de campo geradas pela corrente no prim rio s o concatenadas pelo enrolamento do secund rio e vice versa Isto pode ser levado em considera o separando L em duas indut ncias em s rie L kL I K L e analogamente L kL 1 A L As partes kL e kL formam um transformador ideal sem perda de acoplamento e com a mesma indut ncia m tua que a do transformador real M JCAL KL As p
80. ist ncia interna Por outro lado para uma frequ ncia de 10 MHz X 3 2 MQ gt gt r mesmo considerando o efeito pelicular que daria r 132 Q 32 Circuitos de Corrente Alternada Apesar disto em certos casos principalmente em circuitos ressonantes r n o poder ser ignorada mesmo que a frequ ncia seja alta A frequ ncias mais altas necess rio considerar a capacit ncia parasita entre as espiras da bobina c em paralelo com o indutor Figura 6 1b A rela o entre a reat ncia a uma dada frequ ncia de trabalho e a resist ncia s rie chama se fator de m rito ou O da bobina Op 0L r 6 3 Note que a fase da imped ncia complexa de um indutor ideal y 1 2 enquanto que para um indutor real q tan Oj Indutores com n cleo de ferro possuem uma resist ncia parasita em paralelo que representa as perdas por correntes de Foucault e por histerese O efeito das correntes de Foucault depende pouco da frequ ncia mas depende muito do material sendo m nima em materiais de gr os sinterizados ou laminados J o efeito de histerese diminui com a frequ ncia mas depende da corrente e portanto um efeito n o linear 6 2 1 Indut ncia interna de fios e indut ncias parasitas em circuitos Para frequ ncias acima de 1 MHz frequentemente necess rio levar em considerag o a indut ncia parasita dos circuitos Todo fio de se o circular possui uma indut ncia interna Lo que a baixa frequ ncia vale 50 nH
81. isto obvia a perda nos cabos proporcional ao quadrado da corrente e resist ncia do cabo e para uma dada pot ncia de consumo diminuir a corrente significa aumentar a voltagem Estas linhas terminam em alguma esta o distribuidora onde a voltagem reduzida para algo entorno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais do tamanho de uma cidade Subesta es distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais 3 a 11 kV e alimentam redes menores do tamanho de bairros ou de um campus universit rio Transformadores espalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tens o de linha entre 110 e 220 V eficazes pr dios individuais ou um conjunto de poucas casas Destes transformadores saem geralmente dois ou tr s fios vivos e um fio de retorno ou neutro que geralmente aterrado perto do transformador Aterrado significa exatamente isto o fio neutro ligado a uma lan a condutora que est enterrada a alguns metros de profundidade na terra onde a condutividade alta Os fios vivos s o tamb m chamados fases Em alguns casos Estados Unidos por exemplo h duas fases de 110 V eficazes e a diferen a de potencial entre elas de 220 V Assim uma casa pode ter 110 V para as tomadas e 220 V para alguns eletrodom sticos que consomem muito tais como chuveiro el trico fog o el trico lavadoras etc lembre sempre que a corrente deve ser baixa menor que 40 A caso contr rio haver
82. ltado hist Pog 9 11 RNs Note que nesta express o a pot ncia n o depende explicitamente das dimens es do n cleo Linhas de Transmiss o 61 dl 2 10 Linhas de Transmiss o At agora neste curso temos estudado circuitos a baixas frequ ncias onde seus componentes resistores indutores e capacitores est o concentrados em determinados pontos Os condutores que conectam esses elementos s o ideais sem imped ncias parasitas e n o h qualquer diferen a de potencial entre dois pontos de um mesmo condutor Em altas frequ ncias os circuitos devem ser analisados como circuitos de par metros distribu dos em contraste com os circuitos de baixa frequ ncia tamb m chamados circuitos de par metros concentrados ou discretos Para entender esta diferen a devemos considerar primeiro o fato que os sinais el tricos se propagam de um ponto a outro de um circuito velocidade da luz Um sinal el trico a uma frequ ncia angular tem associado a ele um comprimento de onda 271c w onde c a velocidade da luz no meio Se as dimens es f sicas do circuito s o maiores ou compar veis a ent o as voltagens instant neas em dois pontos de um mesmo condutor podem ser diferentes Para sinais de 60 Hz o comprimento de onda de aproximadamente 5000 km portanto todos os pontos da fia o da rede de energia el trica de uma cidade est o instantaneamente ao mesmo potencial Por outro lado para um computador operan
83. m rapidamente as analogias entre esse circuito e o problema de um oscilador harm nico com amortecimento mola com atrito mas poucos percebem a import ncia do que realmente est o observando As implica es desse experimento se aplicam n o somente a circuitos e molas mas a qualquer sistema linear Nos sistemas lineares existem rela es gerais entre os transientes e o espectro Nesta se o discutimos estas rela es 8 1 1 Resposta impulsiva e Resposta espectral Consideremos a equa o para a corrente no circuito RLC s rie que se obt m derivando em ambos os lados da eq 8 2 di di du LPR i C 8E p 8 12 dt dt dt A derivada da fun o degrau vale zero em qualquer instante de tempo exceto em t 0 onde tem um valor muito grande Esta funcdo denotada com 3 1 du AMD 8 13 dt aparece em muitos problemas de F sica e chamada fun o impulso ou delta de Dirac No Ap ndice C discutimos algumas propriedades desta importante fun o Utilizando as defini es 8 5 a 8 7 podemos reescrever a 8 12 como d i 2di CO 4 whi ace 8 14 dt t dt L Os circuitos el tricos s o muito utilizados para modelar outros sistemas f sicos lineares tais como molas tomos lasers e pontes Na maioria das vezes mais f cil montar circuitos el tricos e medir voltagens no laborat rio do que montar molas medir a posig o do el tron em um tomo ou medir oscila es de uma ponte Os sistemas lineares s o des
84. ma linha de transmiss o Devido a que os par metros est o distribu dos principalmente a indut ncia e a capacit ncia por unidade de comprimento existe uma rela o entre a voltagem e a corrente de um sinal el trico viajando na linha V Zol onde Zo chamada imped ncia caracter stica da linha O cabo coaxial mais utilizado em laborat rio o cabo RG 58U que tem uma imped ncia caracter stica de 50 Q Isto significa o seguinte A imped ncia em alta frequ ncia vista desde qualquer ponto da linha isto o quociente entre a voltagem e corrente viajando em uma mesma dire o por defini o a imped ncia caracter stica que denotamos com Zo Vamos relacionar Z com os par metros distribu dos da linha Para isto vamos supor que a linha n o tem resist ncia distribu da apenas indut ncia e capacit ncia Cada comprimento infinitesimal dx de uma 2 O autor agradece a colabora o de Guilherme Rios aluno de Engenharia de Computa o Unicamp turma de 1997 na elabora o deste cap tulo 21 A redes locais est o evoluindo rapidamente No novo padr o Fast Ethernet a taxa de bits de 100 Mb s Para taxas mais elevadas como no padr o Gigabit Ethernet 1 25 Gb s necess rio utilizar fibras pticas 62 Circuitos de Corrente Alternada linha de transmiss o t m associado a ele uma capacit ncia e uma indut ncia Figura 10 1 A imped ncia s rie desse comprimento dZ joLdx 10 1 onde L a indu
85. mos na se o 5 que em circuitos passivos sempre KR gt 0 A parte real da imped ncia pode ser uma fun o da frequ ncia veja Exerc cio 4 1 A reciproca da imped ncia complexa chamada de admit ncia complexa e denotada com o simbolo Y Y 1 Z G JB Admit ncia complexa 3 6 Ce ae r A E r A 4 ru A parte imagin ria B chamada Suscept ncia e a parte real G chamada Condut ncia Esta ltima deve ser positiva ou nula em circuitos passivos A imped ncia equivalente de duas associadas em s rie simplesmente a soma das imped ncias A admit ncia equivalente de duas imped ncias associadas em paralelo a soma das admit ncias Tabela 3 1 As demonstra es destas afirma es s o id nticas ao caso de resistores e corrente cont nua e vamos deix las como exerc cio para o aluno comum abreviar a imped ncia de uma associa o em paralelo como Zi Z 1 ZN Z 1 Zo 3 7 As vezes podemos at achar abrevia es como R C L C R L O significado obvio Associac o em s rie Associac o em paralelo Z Z L 1 Z 1 Z 1 22 Y Y Y E Z Z o o Es Tabela 3 I Associa o de imped ncias complexas em s rie e em paralelo 4 ELA A R El E 3 n sya A unidade de admit ncia condut ncia e suscept ncia o Siemen 1 S 1 Q Antigamente se utilizava o mho que n o um mili ho mas ap
86. na de ignic o Figura 9 5 Exemplos de autotransformadores Variac e Bobina de Rugowski Bobina de igni o de carros A bobina de igni o interessante pois ilustra um conceito diferente de funcionamento de um transformador vide Figura 9 5 normalmente o platinado est fechado deixando passar uma corrente cont nua pelo prim rio 7 Esta corrente cria um campo magn tico constante e n o h portanto voltagem induzida no secund rio Neste per odo a bobina funciona apenas como um armazenador de energia magn tica Quando o platinado abre nos carros o platinado acionado pelo rotor aquela pe a que gira dentro do distribuidor a corrente no prim rio cai a zero bruscamente e se induz uma fem de alta voltagem tipicamente 30 kV no secund rio O campo el trico produzido na vela de igni o maior que a ruptura diel trica do ar na c mara de explos o e se gera uma fa sca com uma energia praticamente igual energia magn tica armazenada previamente na bobina Nos carros modernos a igni o eletr nica n o tem platinado utiliza se um transistor para fazer o chaveamento e a energia para a fa sca armazenada 54 Circuitos de Corrente Alternada na forma de campo el trico em um capacitor A Figura 9 6 mostra um esquema poss vel de igni o eletr nica Voc pode explicar como funciona V Vela de igni o 12 V A 7 re a transistores Figura 9 6 Esquema da igni o eletr nica 9 4 Imped ncia refl
87. nde f x qualquer fun o bem comportada e o intervalo de integra o inclui a origem Como caso especial de C 2 8Q dx 1 C 3 Note que em C 1 n o definimos o valor da delta em x 0 mas em C 2 definimos o que d x faz dentro de uma integral No sentido matematicamente estrito da palavra a delta de Dirac nao realmente uma fun o porque n o est definido o seu valor num rico em x 0 N o correto dizer 6 0 oo j que um infinito muito especial tal que a C 2 deve valer A delta de Dirac utilizada para expressar matematicamente uma excitag o impulsiva tal como a for a de uma raquetada sobre uma bola de t nis uma fonte pontual de luz ou a densidade de carga de uma part cula pontual A for a de uma raquetada aplicada no instante t 0 F t Ap onde Ap a varia o de quantidade movimento da bola de t nis e a densidade de carga de um el tron na posi o vetor r 0 p r ed r ed x 8 y S Z Como fung o do tempo a delta de Dirac muito conveniente para descrever a resposta de um sistema a intera es que acontecem em uma escala de tempo grande comparada com a dura o da intera o Por exemplo em uma tacada numa bola de bilhar ou uma raquetada em uma bola t nis a forca pode ser representada como uma delta de Dirac j que geralmente estamos interessados nos efeitos dessa for a ap s a intera o Se olharmos a intera o em c mara lenta veremos deforma es tanto
88. o em z a tens o aplicada sobre Z V zI Figura 3 6 Figura 3 6 Gerador com imped ncia interna alimentando um circuito externo de imped ncia Z A corrente no circuito z Z Portanto se escrevermos z r jx e Z 9R jX a pot ncia dissipada em Z ser REZ REZ E Z r R 4 x4 XY PER Esta express o m xima para x X er ou seja Z z note que n o podemos fazer r 9R pois a parte real da imped ncia de um elemento passivo sempre positiva ou nula Neste caso J 2r P Phax Es 4r e a pot ncia total fornecida pelo gerador vale 2 Potal Esplof Ey 2r 2Pmax Portanto na condi o de m xima transfer ncia de pot ncia metade da pot ncia total dissipada na imped ncia interna do gerador e metade no circuito externo Filtros 19 4 Filtros Os filtros el tricos s o muito utilizados em instala es el tricas e equipamentos eletr nicos para rejeitar ru do e para proteger por exemplo contra transientes induzidos pela queda de raios durante as tormentas De modo geral um filtro pode ser representado como um circuito com dois terminais de entrada e dois de sa da Figura 4 1 Figura 4 1 Representa o geral de um filtro Na porta de entrada aplicamos uma voltagem V e na sa da obtemos uma voltagem V que depende da frequ ncia 4 1 Fun o de transfer ncia e Transmit ncia Todo filtro caracterizado por uma fun o de transfer ncia ou
89. o estaria gerando energia as duas ltimas formas da eq 3 11 nos mostram que sempre deve ser R20eG20 3 12 Ou seja a parte real da imped ncia e a parte real da admit ncia de um circuito passivo devem ser sempre positivas ou nulas Notemos que indutores e capacitores ideais n o dissipam pot ncia nos dois casos o fator de pot ncia nulo A pot ncia dissipada sempre nos resistores e pode ser calculada como a soma dos valores de RI 2 mas onde Js a corrente que passa por cada resistor R Na pr tica tanto capacitores como indutores possuem resist ncia interna e portanto dissipam pot ncia interessante notar que a m xima transfer ncia de pot ncia de um gerador de c a para uma imped ncia de carga ocorre quando a imped ncia interna do gerador coincide com o complexo conjugado da imped ncia de carga Isto o an logo do Teorema de m xima transfer ncia de pot ncia da teoria de circuitos de corrente cont nua e est demonstrado no Exercicio 3 5 Exerc cio 3 5 resolvido Um gerador de c a possui uma imped ncia interna z e alimenta um circuito com imped ncia total Z Mostre que a pot ncia dissipada em Z m xima se Z z indica o complexo conjugado e que neste caso metade da pot ncia total gerada dissipada no gerador Este resultado o an logo do teorema de m xima transfer ncia de pot ncia de circuitos de corrente continua Solu o O gerador produz uma fem e mas devido queda de tens
90. o instrumento a um elemento de imped ncia Z pode parecer primeira vista que a condi o para n o carregar o circuito Z gt gt Z Isto por m n o correto em geral Entre os pontos em que ligamos o instrumento todo circuito tem um equivalente Th venin e a imped ncia que ver o instrumento ser Ze n o Z Portanto a condi o para que o instrumento n o carregue o circuito que Zini gt gt Zo a O aluno deve ter muito cuidado pois neste ponto os circuitos de corrente alternada s o diferentes dos circuitos de corrente cont nua Por exemplo se medimos voltagens com um oscilosc pio de Zin 1 MQ sobre um resistor de 47 Q em um circuito de corrente cont nua n o precisamos nos preocupar com o resto do circuito j que o resto est em paralelo com este resistor e a resist ncia equivalente ser sempre menor ou igual que os 47 Q Por outro lado um indutor L 50 mH a uma frequ ncia 950 rad s tem uma imped ncia de m dulo Z 47 5 Q mas se este estiver em paralelo com um capacitor C 22 uF ent o Z 655 kQ que compar vel ao m dulo Z da imped ncia de entrada do oscilosc pio Em circuitos de corrente alternada n o verdade que a imped ncia de dois elementos em paralelo seja menor em m dulo que a de cada elemento Isto verdade por m sempre que um dos elementos seja um resistor vide Exerc cio 3 2 Finalmente sobre este assunto o fato de ser Zin gt gt
91. omo os filtros RC Para ilustrar este fato suponha um circuito cujos elementos s o conectados por um fio de 0 5 mm de di metro formando uma malha aproximadamente circular com 10 cm de di metro Como comentamos na se o 6 2 1 esta espira tem uma indut ncia parasita de uns 0 35 uH Suponha que o circuito um filtro RC passa baixo com C 1 uF ent o haver uma resson ncia esp ria em cerca de 1 2nV LC 270 kHz ou ainda menor se consideramos a indut ncia parasita interna ao capacitor Para diminuir a indut ncia parasita deve se diminuir a rea da espira utilizando fios curtos e colocando eles bem perto um de outro ou tran ando os No exemplo da espira de 10 cm de di metro o comprimento total do fio de 31 4 cm pode ser disposto como um par de fios paralelos de comprimento 15 7 cm separados por digamos b 3 mm Neste caso a indut ncia parasita ser 15 gc f a Nas frequ ncias que estamos considerando o efeito pelicular faz com que a indut ncia interna do fio possa ser desprezada comparada com a indut ncia externa 34 Circuitos de Corrente Alternada Le 1 cosh b 2a x 170 nH e a resson ncia espuria ocorrer em 390 kHz Vemos que esmagando a espira diminuimos a indut ncia parasita e levamos o problema para frequ ncias mais altas Mas n o ganhamos muito as coisas continuam da mesma ordem de grandeza Mesmo utilizando um cabo coaxial do mesmo comprimento a indut ncia do
92. os entre par ntesis Veja o Exerc cio 7 3 Vamos demonstrar a eq 7 16 explicitamente para o circuito integrador RC no caso do integrador RL os passos da dedu o s o diferentes mas o resultado final o mesmo A equa o de malha do circuito RC g t q t C 0 2 7 17 Notando que o circuito um filtro passa altos para frequ ncias 27 T muito menores que wo 1 7 a voltagem de sa da v muito menor que a de entrada Portanto se T lt lt 27171 a eq 7 17 pode ser escrita aproximadamente como e q C T lt lt 2T1 7 18 Tomando derivadas em ambos os lados na eq 7 18 temos que de _ldq_i dt Cd C T lt lt 2nt 7 19 Como v t Ri t obtemos finalmente v RCS T lt lt 27T 7 20 Dado que t RC a eq 7 20 id ntica a 7 16 No caso geral mesmo n o sendo lentamente vari vel a equa o 7 17 ainda pode ser resolvida em forma exata derivando em ambos os membros da eq 7 17 e usando v Rdq dt obtemos de dv v exato 7 21 dt dt q que v lida tanto para o diferenciador RC como RL A solu o exata da 7 21 det pm t t v t o Cat 0 exato 7 22 t A eq 7 21 nos permite entender melhor as condi es sob as quais a 7 16 v lida e em particular especificar melhor o que queremos dizer com lentamente vari vel Para que a 7 16 seja v lida necess rio que dv dt U lt lt T ou usando a 7 16
93. os filtros ressonantes fazem til imaginar que na frequ ncia de resson ncia o capacitor e indutor em s rie podem ser substitu dos por um fio ou seja um curto circuito e o capacitor e indutor em paralelo podem ser substitu dos por um circuito aberto Transmit ncia dB do o 0 01 0 1 1 10 100 Transmit ncia dB 0 0 Figura 5 3 Dois filtros ressonantes s rie com as suas curvas de transmit ncia a passa banda b passa baixos Note que o circuito b um amplificador de voltagem se O gt 1 A Figura 5 3 mostra dois filtros ressonantes s rie com as suas respectivas curvas de transmit ncia Quando a saida no resistor Figura 5 3a temos um filtro passa banda Longe da resson ncia a transmit ncia cai a 20 dB por d cada Quando a saida Figura 5 3b no capacitor temos um filtro passa baixos Este filtro rejeita as altas frequ ncias melhor que o filtro RC passa baixos Para uma melhor compara o entre os filtros passa baixos RLC e o RC na linha tracejada de Figura 5 3b representamos Circuitos ressonantes 27 tamb m a transmit ncia do um filtro RC com a mesma frequ ncia de corte No filtro RLC a transmit ncia cal com o logaritmo da frequ ncia a uma taxa de 40 dB dec enquanto que no RC a queda de 20 dB dec Note finalmente que no circuito ressonante s rie em um faixa estreita de frequ ncias em torno da resson ncia
94. para todos os pontos se as voltagens foram medidas com erro de 4 Circuitos ressonantes 23 5 Circuitos ressonantes Circuitos contendo indutores e capacitores podem exibir o fen meno de resson ncia Os circuitos ressonantes mais simples cont m apenas um indutor e um capacitor al m de resistores A resson ncia diferente se o indutor e o capacitor est o ligados em s rie ou em paralelo A resson ncia coberta em todos os livros texto e at na Internet Vamos rever as propriedades gerais destes circuitos utilizando o formalismo de imped ncia complexa 5 1 Resson ncia s rie A imped ncia complexa do circuito ressonante s rie vista pelo gerador Figura 5 1 1 Z R jl o oL 5 1 i 5 1 e a corrente j ot 0 I V Z da 5 2 JR L 1 Cy onde Vo a amplitude da voltagem do gerador e ol 1 C tang 5 3 R 0 10 E E R 100 Q 10 p 150 rad s yl 1002 0 08 0 06 vio I t R 0 04F R 20Q Q 5 R 1000 Q 1 0 02 0 00 rad s Figura 5 1 Circuito ressonante s rie e pot ncia transferida por um gerador de V 1 V para varios valores de R A pot ncia dissipada no resistor Para ver uma animac o gr fica do circuito RLC s rie brincando com os par metros do circuito visite o s tio da Internet http jersey uoregon edu vlab ntnujava rlc rlc html 24 Circuitos de Corrente Alternada P L V b RI RV 5 4 cos od nr
95. po e algum instrumento o equivalente do oscilosc pio capaz de medir a resposta temporal com resolu o de femtossegundos Como consequ ncia quase tudo que sabemos das propriedades pticas de materiais v m da espectroscopia Transformadores 51 9 Transformadores 9 1 Generalidades A corrente que circula pelo enrolamento prim rio produz um campo magn tico na regi o do enrolamento secund rio e se o fluxo deste campo atrav s do enrolamento secund rio varia no tempo se induz uma for a eletromotriz fem proporcional varia o de corrente no prim rio Figura 9 1 dl E ME 9 1 Zp EMO Figura 9 1 Voltagem no secund rio de um transformador onde M a indut ncia m tua Em geral a indut ncia m tua dada por M k L L 9 2 onde L e L s o respectivamente as auto indut ncias dos enrolamentos prim rio e secund rio e k uma constante de proporcionalidade chamada fator de acoplamento Se todas as linhas de campo produzidas por atravessam ou s o concatenadas por as espiras do enrolamento secund rio ent o k 1 se nenhuma dessas linhas de campo concatenada pelo enrolamento secund rio ent o k 0 Em geral k um n mero entre O e 1 Um transformador com n cleo de alto valor de u ferro ferrites etc tem acoplamento maior que 95 k gt 0 95 pois as linhas de campo s o for adas a permanecer dentro do n cleo O s mbolo de um transformador com n cleo mostrado na f
96. portanto df Be A3 Es If A 3 ou df jdx f Esta equag o pode ser integrada facilmente e obtemos In f x In f O jx Mas de A 2 f 0 1 e como In 1 0 temos Inf f fae o que prova a f rmula de Euler Se na A 1 trocarmos x por x teremos e cosx jsinx e combinando este resultado com A 1 temos as f rmulas jx jx cos x o A 4 ei sinx E A 5 Note que na dedu o n o falamos nada sobre x ser real ou n o Portanto as formulas A 1 A4 e A 5 s o v lidas tamb m para x complexo Em particular se escrevemos x ju ent o obtemos 70 Circuitos de Corrente Alternada cos ju coshu A 10 u u sin ju E jsinhu A 11 2j B S rie e Transformada de Fourier Uma fun o peri dica com um n mero finito de descontinuidades no intervalo 7 2 7 2 pode ser representada como uma s rie de Fourier v t tao y a cos 2nf t b sin 27 t B 1 n l onde f nf n T e T 2 On F 19 VW cos 21 1 dt an B 2 b 4 e V t cos 2mf tdi Obviamente o valor m dio da fung o ou parte dc Ude ao 2 e a parte alternada 00 Vac 1 Y a cos o t b sin 0 t n l onde 2mf Se a fun o impar v t v ent o os coeficientes a se anulam e a s rie vira uma s rie de senos Se a fun o par v t v t ent o os coeficientes b se anulam e temos uma s rie de co senos A parte ac de algumas fun es pode ser par ou impar dep
97. pr pria definig o de imped ncia caracter stica temos que Zy V it V IT 10 11 de modo que o coeficiente de reflex o pode ser escrito alternativamente como p T 1 j que r rv vt 1 It vr It Za P Zo P No fim de uma linha terminada com uma imped ncia Zy temos gt EE ba MP E 10 12 I p r l p Resolvendo a eq 10 12 para p obtemos Zr Z pp 10 13 Zr Zo Podemos ver da eq 10 13 que para uma linha terminada em um curto circuito Zr 0 temos p 1 Isto pode ser entendido se pensamos que o sinal passa do fio vivo para o neutro e retorna efetivamente invertendo se No caso de circuito aberto Zr temos p 1 o sinal volta pelo mesmo fio sem invers o Quando Zr Zo temos p 0 ou seja n o h sinal refletido Neste caso a linha se diz terminada Podemos pensar que quando Zr Zo a imped ncia Zr se comporta como uma continua o da linha ou seja equivalente a terminar a linha com outra linha id ntica e de comprimento infinito Neste caso tudo acontece como se o sinal nunca encontrasse o fim da linha de transmiss o 10 4 Propagac o de ondas em linhas de transmiss o instrutivo mostrar que tanto a corrente como a voltagem que se propagam em uma linha satisfazem uma equa o de ondas Consideremos uma linha alimentada por um gerador de frequ ncia A voltagem Jot complexa no ponto x da linha ter a forma V x e Podemos construir a equa o
98. s caixas de som s o tipicamente de 8 2 e exigem muita corrente Por exemplo um aparelho est reo de 50 watts por canal implica em 2 5 amp res Os aparelhos de som a v lvulas utilizavam um transformador de sa da para alimentar cada caixa com a corrente necess ria Os aparelhos de som modernos t m transistores de sa da que operam como amplificadores de corrente podendo gerar correntes de dezenas de amp res e s o mais baratos e compactos que os transformadores Se Np N as voltagens prim ria e secund ria s o iguais e temos um transformador de isolamento Os transformadores de isolamento s o utilizados quando se deseja aterrar um ponto do circuito sem alterar a tens o de linha perigos ssimo e rigorosamente proibido aterrar um dos pontos da tomada Em quase todo transformador os enrolamentos est o isolados eletricamente o que permite que um dos pontos do secund rio possa ser aterrado com seguran a Por m cuidado Nem todos os transformadores t m os enrolamentos isolados Alguns transformadores t m um nico enrolamento autotransformadores com deriva es para conectar os circuitos prim rio e secund rio Dois exemplos comuns de autotransformadores s o o Variac que fornece voltagem de sa da vari vel e a bobina de igni o tamb m chamada bobina de Rugowski dos motores a explos o ex autom veis Estes est o ilustrados na Figura 9 5 Platinado Vela de igni o y p 12V V vari vel D Variac Bobi
99. s rie v e 4 est o definidos no Ap ndice B A frequ ncia f nf chamada de harm nica de ordem n da fundamental a onda quadrada oo _ 2 E 1 Eg E 7 cos not 5 n l impar b onda triangular oo E 1 E4 Epp DX Sr cos not m A n n n l impar c onda retangular oo _ 2sin nnt T E t Ege E yy De COSNOL n 1 d onda dente de serra T2sin nat T nn T 1 oo El Eg FE pp 2 cos n t FE 5 e onda rampa oo 1 E t Ege Epp 2 cos not 5 n 1 0 T Figura 7 2 Formas de onda n o senoidais b sicas de um gerador de fun es e s ries de Fourier correspondentes A Figura 7 2 mostra as s ries de Fourier das formas de onda de um gerador de fun es t pico Um gerador de fun es produz al m de ondas senoidais v rias formas de onda peri dicas n o senoidais tais como a onda quadrada triangular dente de serra rampa e retangular ilustradas na Figura 7 2 Geralmente podemos controlar o per odo T a amplitude e o nivel dc Ey A onda retangular e til para estudar o comportamento de circuitos para pulsos el tricos Nos geradores de onda retangular podemos controlar a dura o do pulso q atrav s de um bot o indicado no painel do instrumento como asymmetry ou como duty cycle que a fra o t T em percentagem um duty cycle de 20 significa t 0 27 17 D Buchla and W McLachlan Applied Electronic Instrumentation
100. sada Se a ponta de prova n o est devidamente ajustada a onda quadrada aparecer deformada como nos tra os da Figura 3 2 a e b O sinal na entrada do oscilosc pio id ntico ao sinal visto pela ponta de prova compensada e atenuado por um fator 1 R Rin que n o depende da frequ ncia Exerc cio 3 3 Por m isto n o significa que o sinal visto pela ponta seja igual ao que queremos medir ou seja o sinal que temos no circuito sem 6 E RD ie E dc abreviatura de direct current Em portugu s utilizado cc corrente cont nua mas se confunde com curto circuito e complexo conjugado Nestas notas utilizaremos as abreviaturas ac e dc 7 Em princ pio devemos considerar tamb m a indut ncia do cabo Lc mas na imensa maioria dos casos esta indut ncia t o pequena por exemplo uns 250 nH por metro para o cabo RG 58U que n o afeta medidas para frequ ncias de at 10 MHz 14 Circuitos de Corrente Alternada estar ligado ao oscilosc pio Para isto necess rio sempre que o m dulo da imped ncia do instrumento incluindo o cabo ou a ponta de prova Zim R C Rin C Cinr seja muito maior que a do circuito Exercicio 3 4 C Ca Oscilosc pio LALA LE Le Figura 3 4 Ponta de prova atenuadora ligada a um oscilosc pio Na pr tica a capacit ncia parasita do oscilosc pio varia de um instrumento a outro C ent o um capacitor vari vel e se ajusta para dar um fator de atenua o independente
101. t 1 5 Em um indutor a rela o geral entre v e i Conceitos b sicos 5 v t Ldi dt 1 6 onde L a indut ncia unidade henry H No caso de corrente alternada v t oLlysin ot oLl cos t D 1 7 Ou seja a amplitude da voltagem vale Vo oLh e a fase 1 2 Finalmente em um capacitor a voltagem proporcional carga no capacitor q v q C 1 8 onde C a capacit ncia unidade farad F e dado que i dq dt a rela o geral entre ve i u t pi t dt C 0 0 1 9 onde v 0 a voltagem no capacitor em 0 No caso de corrente alternada To Lo T v t sin t cos wt 5 1 10 1 E sinon cos ot 3 1 10 Vemos ent o que no caso do capacitor a amplitude da voltagem vale Vo 1y wC e a fase 4 1 2 A Tabela 1 I resume o que acabamos de falar Elemento Voltagem real Amplitude Fase Resistor v Ri Vo Rh 0 Indutor v Ldi dt Vo Ll q 1 2 Capacitor v q C Vo Ip C b 7 2 Tabela 1 I Rela o entre voltagens e correntes reais em elementos de circuito de corrente alternada 2 Voltagem e corrente complexas A rela o entre voltagem e corrente reais em um circuito de uma malha contendo resistores capacitores e indutores em geral uma equa o integro diferencial de primeira ordem ou uma equa o diferencial ordin ria de segunda ordem Por exemplo no circuito RLC s rie Figura 1 1a esta equa
102. t ncia por unidade de comprimento e a frequ ncia angular A admit ncia em paralelo devida a capacit ncia e pode ser escrita como dY joCds 10 2 onde C a capacidade da linha por unidade de comprimento Ldx AT Cdx do To t B dx Figura 10 1 Linha de transmiss o formada por indutores e capacitores uniformemente distribu dos ao longo do comprimento da linha Podemos calcular Zo com ajuda do circuito equivalente da Figura 10 2 Nessa figura substituimos a linha menos um elemento de comprimento infinitesimal dx pela sua imped ncia equivalente Zo A imped ncia vista quando inclu mos o elemento dx novamente Zp Temos portanto que Zo dZ AY WZ 10 3 cuja solu o Z az dZ 4dZ dr 10 4 dz I j i i Zo i i gt i i i dx Figura 10 2 Circuito equivalente para o c lculo da imped ncia de uma linha de transmiss o dZ e dY s o respectivamente a imped ncia s rie e admit ncia paralela de um elemento da linha de comprimento infinitesimal dx Substituindo as eqs 10 1 e 10 2 na eq 10 4 e fazendo dx gt 0 obtemos no limite Z Zo df 10 5 dr NC Linhas de Transmiss o 63 Note que na aproxima o de linha sem perdas a imped ncia caracter stica n o depende da frequ ncia Se incluirmos resist ncias s rie e paralelo para levar em considera o a atenua o de sinais ao longo da linha vide se o 10 5 veremos
103. tecido onde a forma da solu o depende do fator de m rito do circuito O definido na se o 5 eq 5 7 Se O gt oscilador subamortecido a solu o com as condi es 8 3 q t CE l e cosot sin t Q gt 8 4 PP OT onde yV1 1 407 8 5 44 Circuitos de Corrente Alternada 1 2L R 20 8 6 Se o fator de m rito O gt Y ent o o circuito oscila com a frequ ncia natural de oscila o Note que sempre menor que a frequ ncia de resson ncia wo As oscila es s o amortecidas exponencialmente com constante de tempo 1 Se o fator de m rito O lt Y oscilador sobreamortecido ent o imagin rio puro jp onde 1 Bao ql 8 8 e podemos escrever a solug o da 8 2 como q t Ce ppll e cosh Br 3 sinh Bo O lt 8 9 No caso de amortecimento cr tico O 4 temos 0 e a solu o da eq 8 2 q t Ce 1 t de O 8 10 Exerc cio 8 1 Mostre que a 8 4 representa a solu o geral ou seja v lida para qualquer valor de O Sugest o para chegar 8 9 a partir da 8 4 utilize cos jx cosh x e sinjx jsinhx vide ap ndice A para chegar 8 10 ache o limite da eq 8 4 para 0 utilizando a regra de L Hospital Uma vez determinada a carga as voltagens sobre o resistor Vg o capacitor Vc e indutor Vz s o dadas por Ve q C Va RL e 8 11 2 v L dt A T
104. tros nomes empregados s o resposta espectral e resposta em frequ ncia H w definida a seguir Suponha que ligamos um gerador de frequ ncia vari vel nos terminais de entrada e medimos a amplitude das voltagens de entrada V e de sa da V e a fase relativa d entre V e Ve como fun o da frequ ncia do gerador A fun o de transfer ncia ent o Vs _ Vo V 0 Jao 70 e 4 1 H 0 A fun o de transfer ncia pode ser definida para frequ ncia zero como o quociente entre as voltagens de corrente cont nua Neste caso um indutor atua como um curto circuito e um capacitor como um circuito aberto Como consequ ncia H 0 real e a fase 0 s pode ser O H 0 positivo ou x H 0 negativo A import ncia do estudo das propriedades gerais de filtros que todo circuito pode ser pensado como um filtro no qual a voltagem de entrada a do gerador e a de sa da a voltagem sobre um elemento do circuito Se o gerador n o senoidal ainda podemos escrever amp f como uma superposi o de fun es harm nicas atrav s da decomposi o em s rie de Fourier ou atrav s da transformada de Fourier no caso pulsos e sinais n o peri dicos A voltagem de sa da se obt m multiplicando cada componente de Fourier pela fun o de transfer ncia calculada na frequ ncia correspondente e somando sobre todas frequ ncias Na se o 7 mostraremos como isto feito Na maioria das situa
105. ue primeiro transformam os 60 Hz da linha em uma frequ ncia de 10 kHz ou mais utilizando para isto um circuito de chaveamento da o nome de fonte chaveada e o transformador agora trabalha em alta frequ ncia onde L pode ser pequeno mantendo o produto Lp grande Em frequ ncias muito altas VHF UHF radiofreq ncias etc a resist ncia do fio dos enrolamentos aumenta efeito pelicular e a indut ncia diminui pois a permeabilidade magn tica diminui Por m as perdas no n cleo diminuem pois o campo magn tico menor e n o h histerese O efeito global que em frequ ncias muito altas as perdas diminuem Por exemplo um material de Ferro pode ter u 1000 uy a baixa frequ ncia e para uma frequ ncia de 60 MHz o mesmo material tem u Ly Ou seja mil vezes menor que a 60 Hz de fato a 60 MHz tanto faz um n cleo de ferro como de ar Por m a frequ ncia um milh o de vezes maior e se o coeficiente acoplamento for o mesmo o produto oL ser mil vezes maior a 60 MHz Os transformadores de frequ ncia muito alta s o relativamente pequenos Histerese A histerese do n cleo de um transformador pode ser observada experimentalmente com ajuda do circuito da Figura 9 10a Aqui a voltagem sobre R proporcional corrente no prim rio 1 V R que por sua vez proporcional a campo magn tico aplicado A No circuito secund rio R e C formam um integrador para frequ ncias f lt lt 1 2nRC de modo que a
106. xerc cio 7 3 Mostre por integra o direta da eq 7 22 que para uma onda quadrada de per odo 7 e Ema se0 lt t lt T 2 Eiin seT 2 lt t lt T a voltagem de sa da nos dois circuitos da Figura 7 4 E O se0 lt t lt T 2 Pio EI seT 2 lt t lt T onde Vmax Epp 1 et Epp Emax Emin Verifique tamb m que a descontinuidade em 7 2 satisfaz a eq 7 24 Note que a amplitude pico a pico de sa da v 20max tende ao valor 2 quando t T gt 0 e ao valor quando 1 7 oo Exercicio 7 4 Determine a voltagem de saida de um circuito diferenciador no caso de uma onda de entrada triangular Transientes no circuito ressonante s rie 43 8 Transientes no circuito ressonante s rie Na se es 7 1 e 7 2 vimos exemplos de transientes repetitivos na resposta de circuitos RC alimentados por uma onda quadrada Uma onda quadrada pode ser pensada como duas baterias de voltagens Emax Emin que s o ligadas alternadamente em cada semiperiodo Quando alimentamos um circuito com um gerador de onda quadrada ap s cada transig o abrupta da onda quadrada o circuito exibe a resposta transiente produzida quando ligamos uma bateria mas com condi es inicias determinadas por como ficou o circuito no semiper odo anterior Estes transientes se repetem indefinidamente Se ligarmos uma bateria e a deixamos ligada para sempre teremos um transiente n o repetitivo Os transientes n o repetitivos podem ser estudados no laborat
107. xibe satura o nem histerese e n o tem perdas hmicas O fato de n o termos perdas de acoplamento implica que o fluxo magn tico no prim rio concatenado integralmente pelo circuito secund rio de modo que as voltagens no transformador s o dadas por dd sai ay e dD V N S S dt onde N e N s o respectivamente os n meros de voltas dos enrolamentos prim rio e secund rio Temos ent o que V V N N O fato de n o termos perdas de nenhum tipo nem de acoplamento nem hmicas implica que toda a pot ncia entregue ao prim rio transferida para o secund rio Voh IYL Das equa es acima temos finalmente IVA Va WL NIN transformador ideal 9 4 Transformadores 53 9 3 Alguns Tipos de Transformadores Se Np lt Ns a voltagem no secund rio maior que no prim rio e dizemos que temos um transformador de alta e se Np lt lt Ns temos um transformador de alta tens o Se Np gt Ns temos um transformador de baixa que utilizam virtualmente todos os aparelhos para transformar os 110 volts de linha em tens es compat veis com os componentes eletr nicos Um transformador ideal pode ser ligado ao contr rio invertendo os pap is de prim rio e secund rio e portanto os adjetivos de baixa e alta Note se que um transformador de baixa um amplificador de corrente Antigamente os aparelhos de som eram a v lvulas que operam como amplificadores de voltagem mas fornecem baixas correntes A
108. z t t 0 para gt t Portanto z t 0 para t lt 0 C 25 Fun es que satisfazem C 25 s o chamadas fun es causais
109. zar um filtro atrav s da fun o de transfer ncia H A fun o de transfer ncia nos permite determinar a voltagem de sa da de um filtro quando na entrada colocamos um gerador de fun o arbitr ria Para isto calculamos primeiro a transformada de Fourier de v t V e utilizamos V H o V o 8 18 onde V w a transformada de Fourier de v t A seguir calculamos a antitransformada v f Y o e do 2 H oY oje do 8 19 Em particular se a voltagem de entrada tem um espectro independente da frequ ncia V const A a voltagem de sa da v t proporcional antitransformada da fun o de transfer ncia A t v 3 4 7 H oJe do gt 34M1 8 20 onde A t a antitransformada de Fourier da fun o de transfer ncia no Heda 8 21 Note que H w adimensional e A t tem unidades de s Se utilizarmos um gerador de frequ ncia vari vel e medirmos a amplitude e fase da voltagem de saida como fun o de mantendo a amplitude da voltagem de entrada constante teremos uma medida da fun o de transfer ncia Esta sera uma tarefa demorada pois deveremos mudar e medir Vw mudar de novo e repetir a medida um grande n mero de vezes at termos uma caracteriza o completa do filtro A eq 8 19 sugere uma forma mais r pida de medir H Para isso excitamos o filtro com um gerador cuja voltagem seja a antitransformada de uma constante e medimos a forma de onda da voltagem d

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