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1 a - Sistemas SET - Universidade de São Paulo

1. 2 9 3 4 Arquivo PREFIX ST O arquivo de sufixo ST contem informa es a respeito das tens es e ou esfor os que ocorrem nos elementos um arquivo n o formatado de acesso direto com registros de 104 bytes Sua estrutura e um pouco mais complexa que a dos arquivos anteriores e porisso sera apresentada por partes Os primeiros registros s o montados no programa principal e tem a seguinte estrutura nge nc nge n meros 112 onde nge n mero de grupos de elementos I4 nc numero de casos de carregamento 14 r E DE N nri a nrn numero do registro onde tem inicio a grava o das tens es ou esfor os para cada grupo de elementos 14 H Apos esses registros iniciais s o gravadas as tens es es e ou esfor os propriamente ditos Esses valores sao gravados por elemento para cada caso de carregamento e S y fa para cada localiza ao existentes Um registro generico para essa parte do arquivo seria o seguinte ne ne nlnti TE C TE 2 sTE ntI onde ne n mero do elemento 14 nc n mero do carregamento 14 NL n mero da localiza o 14 ntl n mero de tens es ou esfor os 14 TE valores das tens es ou esfor os RB Tomando se como exemplo uma situa o espec fica de um grupo de apenas um elemento com seis tensoes e ou esfor os em dois locais e supondo a existencia de dois Casos de carregamento os registros para esse grupo seriam os s
2. A mS A KA M M ers mn sm me nl A a a rr ne Cortantes nas Vigas do Pav T rreo KN HA A M a M a e a M a M o A M mi A A ee e e a ae oe ee am Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Visa 28 60 30 50 32 76 V15b 28 68 30 01 31 03 Visa 40 72 39 15 47 66 Vi b 21 73 24 94 33 08 Vi7 23 10 25 18 32 03 Vida 11 72 13 02 17 76 na qr e e M rE M e Ry dd SS e e a MM o a e e tabela 4 15 374 Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Vida 56 00 59 60 65 46 V15b 55 30 58 01 59 13 Viba 65 42 63 75 76 26 V16b 51 13 58 14 78 68 V17 45 00 49 50 66 83 V19a 37 32 41 92 56 06 tabela 4 16 Pav Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Terreo 0 25 2 38 2 23 12 Tipo 2 77 2 98 4 18 2 Tipo 1 42 1 71 6 24 32 Tipo 2 14 2 50 8 33 42 Tipo 2 88 3 32 10 42 59 Tipo 3 62 4 13 12 49 62 Tipo 4 33 4 90 14 53 72 Tipo 5 00 5 64 16 53 82 Tipo 5 62 6 33 18 47 92 Tipo 6 20 6 97 20 36 102 Tipo 6 71 7 55 22 19 112 Tipo 7 16 8 06 23 95 122 Tipo 7 56 8 53 25 66 132 Tipo 7 91 8 93 27 30 14 Tipo 8 20 9 29 28 91 Cober 8 46 9 62 30 47 tabela 4 14 375 Para a estrutura do Ed Arte 5 a influencia da flexibilidade da funda o e sensivel
3. 2 6 4 1 Considera es Iniciais A presente estrat gia encontra se explicada com maiores detalhes em 2 18 O procedimento de trabalho e extremamente simples Trata se de iniciar a renumera o dos n s tomando como semente cada n da estrutura Entretanto essas renumera es podem n o chegar aO final pois o algoritmo preve O c lculo da diferen a nodal obtida passo a passo Caso tenha sido obtida uma diferen a maior que a maior diferen a de uma renumera o ja pronta O esquema e abandonado passando se a uma outra semente Como se pode perceber a seguran a do processo e bastante grande pois ao passar por todos os nos da estrutura gerando esquemas de renumera o para Cada um deles o algoritmo garante a obten o de um esquema de banda m nima ou pelo menos muito pr xima da minima Ja o 73 tempo de processamento que a primeira vista deveria ser muito grande revela se bom em compara o com os obtidos por outros processos derivados da estrategia Cuthill Mckee Isso porque aquelas estrat gias demandam um grande trabalho computacional para determinar as sementes enquanto o presente algoritmo passa imediatamente a gerar esquemas sem essa preocupa o 2 6 4 2 Gera o de Esquemas de Renumera o Para mostrar se O procedimento da presente estrat gia na geracao de esquemas de renumeracao vai se tomar a mesma estrutura j considerada no metodo anterior e que se encontra mostrada na figura 2 9 Conforme f
4. 315 Xs Superficie livre de forgas fig 4 8 Espa o semi infinito de Boussineq Cerruti el fig 4 9 Dominio adicional Q no ponto S 316 referida equa o Para a primeira integral quando o referido limite e considerado s torna se evidente que 4 113 x p lim P 8 0 u CG dr ca hs Pi Ou Ca ar ca eb r P r notando se entretanto que devido ao tipo de singularidade de 2n essa integral necessariamente deve ser analisada no sentido de valor principal Ja a segunda parcela precisa ser analisada com maior cuidado Em primeiro lugar a integracao do tensor PI no contorno Fa depende do dom nio Q considerado Considerando o dom nio infinito os valores de P sao da ordem de 1 82 enquanto que o resultado da ete sobre a superficie e da ordem de s Consequentemente a integral n o tem valor definido quando e mas produz um termo independente que pode ser calculado pela substitui o das equa es 4 19 e a consideracao de que o ponto S est numa superficie sem angulosidade Assim sendo pode se escrever 4 11 x E lim Pic mu maria e Te E l x u 0 lim Puy SAT 0 s gt 0 r r 1 i u CQ l EE 2d T FS ik u Q A terceira parcela de modo semelhante primeira resulta 317 i x x lim Ui 8300 p Q ar U S e Ca dP G o gt r P r Com a quarta parcela ainda considerando se o dominio re x N infinito os valores de Uik sao da ordem
5. o 92 inc gnitas no caso os deslocamentos e uma etapa que demanda um procedimento menor e mais simples do que a triangularizagao Trata se da aplica o da equa o 2 6 da linha neq ate a linha 1 A unica complica o adicional aqui verificada diz respeito ao fato do vetor de cargas estar particionado em blocos De maneira semelhante a etapa de triangulariza o onde havia a necessidade de se alterar elementos que n o faziam parte dos blocos em mem ria central neste caso tambem ocorre de se necessitar de valores de deslocamentos j calculados e que se encontram em outros blocos do vetor de carga Novamente essa situa o ocorrera quando em termos aproximados a largura da faixa for maior que o n mero de equa es por bloco Para se contornar essa dificuldade o programa carrega na mem ria central apenas um bloco da matriz de rigidez e do vetor de cargas No espa o restante definida uma vari vel de nbs 1 neqb nc posi es Onde estar o armazenados os deslocamentos calculados para blocos interrelacionados Desse modo a retrosubstitui o ser executada normalmente em mem ria central para cada bloco resultando num tempo de processamento relativamente reduzido Ap s conclu da a retrosubstitui o nos nb blocos do sistema s o conhecidos os deslocamentos de todos os nc casos de carregamento Ent o no arquivo ARQ2 esses deslocamentos estar o gravados para utiliza o na rotina que os Organiza
6. o de analises procurar se a discutir o assunto em dois t picos distintos O primeiro diz respeito aos tempos de processamento total e por etapas observados exclusivamente com a utiliza o do programa LS Para tanto ser o definidas uma s rie de estruturas representativas e os tempos verificados nessas an lises ser o mostrados e discutidos Numa segunda etapa procurar se uma comparacao entre os tempos totais obtidos com a utiliza o do programa LS e os demais programas ja mencionados anteriormente atraves da solu o de uma mesma estrutura em um mesmo computador Ressalta se que a compara o com os programas SAPBQ e SAP9 torna se mais complicada do que com o programa SUPERSAP S o dois os principais motivos para essa dificuldade Em primeiro lugar os programas SAP n o possuem os recursos de gera o dos programas LS e SUPERSAP 143 dificultando a modelagem das estruturas Depois durante a analise os programas SAP emitem relatorios extensos na tela do computador aumentando muito o tempo de processamento Para um usuario experiente em computa o possivel atuar a nivel de sistema operacional e atrav s de um redirecionamento das saidas conseguir que as mensagens nao sejam apresentadas Isso torna a comparacao desejada mais viavel em termos te ricos Entretanto talvez n o seja a correta ao se pensar em um usu rio padr o Para a apresenta o dos tempos de processamento total e por etapas do progra
7. 2 11 2 Acuidade Numerica Este topico diz respeito a precisao numerica envolvida na solu o do sistema de equa es globais N o se analisa aqui a aproxima o conseguida com este ou aquele tipo de elemento em particular Essa aproxima o ser estudada caso a caso no pr ximo cap tulo O programa LS parte de um princ pio diferente da maioria dos programas de an lise estrutural Essa maioria utiliza reais de 8 bytes em todas as etapas da analise No caso do programa LS isso nao acontece Apenas as vari veis para as quais opera es de multiplica o ou divis o mal condicionadas possam levar a ocorr ncia de erros s o definidas como reais de 8 bytes Todas as Outras onde essa circunst ncia n o est presente s o definidas como reais de 4 bytes Essa providencia leva a duas vantagens significativas aumento na capacidade do programa e redu o do tempo de processamento verificado numa an lise Entretanto necess rio um bom controle a respeito desse item pois a ocorr ncia de erros num ricos um fato muito grave Ela leva a resultados totalmente mascarados e inaceitaveis em especial por tratar se de um programa cuja utiliza o indevida pode ocasionar graves acidentes O procedimento cl ssico para realizar o controle mencionado verificar o comportamento do programa para a solu o de estruturas muito flex veis Nesses casos a matriz de rigidez global come a a apresentar valores muito discrepantes em sua
8. 4 4 3 Sapatas Isoladas 4 4 3 1 Sapata im x im centrada sem rotacao O exemplo aqui apresentado encontra se na figura 4 16 A matriz de rigidez obtida para o centr ide da sapata sem simetriza o e a seguinte 6729 o o 534 o 6729 534 e 2 2 2 89096 0 2 2 46 o 2620 e e 46 e e o 2620 2 2 2 y o g 4151 A primeira observacao importante a respeito da matriz apresentada e quanto predomin ncia da diagonal principal Essa preponderancia indica que para uma sapata isolada centrada sem rotacao em relacao ao Sistema giobal de referencia as repercussoes realmente importantes devidas a uma determinada acao vao ser medidas segundo a sua propria coordenada de atua o Esse dado e muito importante devido ao processo de simetriza o da matriz a ser efetuado n q posteriormente pela considera o do erro minimos ou 347 elemento medio Assim sendo pode se concluir que pelo menos no Caso especifico aqui estudado essa simetrizacao ri T nao deve ter consequencias muito danosas para os resultados a serem obtidos Para continuar a analise desenvolvida apresenta se a H e X Seguir a matriz de rigidez ja simetrizada de acordo com o procedimento mencionado 6729 a 0 244 6729 244 o 0 o 8096 a 244 a 2620 o 244 a o 2620 a a 4151 Como pode se observar na matriz apresentada existem apenas quatro elementos nao nulos fora da diagonai O valor da primeira linha
9. 42 a 66 2 2 a 2 a 2 17 2 1741 102 0 3 18 827 a a 24 100 5348 222 17 0 1045 195 96 a 0 4916 10 385 0 179 1090 100 a 2 7 6201 23 a a a 8 125 24 2 2 154 23 1522 a 2 2 a 2 42 a 661 o 102 e 3 18 17 0 0 0 1741 Como pode se observar o nivel de intera o obtido e realmente muito semelhante ao do primeiro esquema gt aed comprovando se aqui tambem o que ja se tinha notado em uma serie de outros exemplos 4 4 5 Influencia das Sapatas na Superestrutura Este item e de grande import ncia para o estudo aqui realizado Nele tenta se responder pelo menos parcialmente a pergunta qual a importancia para os esfor os nas estruturas da considera o da flexibilidade das funda es N o e um objetivo f cil de ser alcan ado Entretanto e fundamental que a tentativa seja feita de maneira seria e profissional e para isso foram adotados alguns procedimentos muito bem definidos que encontram se explicitados a seguir Inicialmente adotou se a utiliza o de exemplos reais Ou seja de estruturas que efetivamente tenham sido projetadas e construidas Procurou se tambem manterem se os principais procedimentos observados nos bons escrit rios de projetos de modo que os resultados obtidos sejam por eles influenciados Ressalta se que n o se procura uma situa o ideal que por estar distante da pr tica cotidiana n o permitiria a obten o da
10. 5 EXPLICA ES SUCINTAS 2 AREA PARA ENTRADA DOS DADOS REA PARA DESE NHOS EM ALTA RESO LU O 3 MENU DE CONTROLE 4 AREA DE MENSAGENS iL mo eS gt fig 2 31 Divis o da tela em reas distintas 129 formata o do video ser sempre a mesma segundo O esquema de seis sub regioes apresentadas pela figura 2 31 Todas as linhas limites s o tra adas em alta resolu o formando regi es com tamanhos e destina o pr definidas de modo que o usu rio possa acostumar se rapidamente ao layout utilizado A seguir s o apresentadas algumas explica es sobre O tamanho e a fun o de cada uma dessa reas 2 10 7 2 rea 1 Regi o destinada a saidas em baixa resolu o com tamanho de 1 linha por 89 colunas Sua fun o e apresentar o titulo da rotina que esta em uso Os nomes que aqui aparecem s o as op es contidas nos diversos menus apresentados nas figuras de 2 22 a 2 30 Por exemplo COORDENADAS NODAIS GERACAO TRIDIMENSIONAL ELEMENTO 1 INCIDENCIAS ELEMENtO 3 TEMPERATURA DE REFERENCIA etc 2 10 7 3 rea 2 Local destinado a entrada dos dados propriamente ditos Seu tamanho total e de 16 linhas por 36 colunas Nessa regi o O programa escreve as vari veis que devem ser fornecidas e d toda a ajuda ao usu rio para que esses dados sejam corretamente digitados 2 10 7 4 rea amp rea destinada coloca o do menu de controle Seu tamanho total e de
11. A area do tri ngulo Pjk A area total 123 Como pode se perceber as referidas Coordenadas sao valores adimensionais obtidos pela rela o de areas convenientes Por uma quest o de clareza a figura 3 58 apresenta o desenvolvimento das fun es h h e hs em todo 1 2 o dominio triangular do elemento Resta agora explicitar em fun o de coordenadas dos n s do elemento como calcular essas fun es para um determinado ponto de coordenadas x e X Considerando se que X D represente uma determinada coordenada do n n pode se escrever ir i sa Ci bx ax eee 3 2136 267 io E x a i 1 1 RR E i 2 2 Ex x Dk _ xh Gi 1 4 2 1 2 da E E T E A area do triangulo 5 b a b a fy i P4 Ressalta se que para as express es anteriores esta N Pot DET A sendo considerada uma permutacao ciclica dos indices i j e k de modo que i 1 j k 3 i 22 j 3 1 i 3 j 1 2 interessante deixar claro que as coordenadas homoge eas definidas s o as fun es de interpola o da geometria dos elementos triangulares a serem desenvolvidos Pode se perceber isso com facilidade pela simples observa o da figura 3 58 onde essas fun es aparecem desenhadas Assim sendo as coordenadas de um ponto qualquer do elemento podem ser determinadas em fun o dos a my valores nodais atraves das express es 1 2 3 h h h a tri 274 Es T4 3 137 1 2 3 2 hi x ho x h
12. IR N 1 restricao do n segundo o grau de liberdade TX IR N 2 restricao do no segundo o grau de liberdade TX IR N 3 restri o do n segundo o grau de liberdade TX IR N 4 restricao do n segundo o grau de liberdade RX IR N S t restri o do n segundo o grau de liberdade RX 52 IR N 6 restricao do no segundo o grau de liberdade RX Xx OD coordenada nodal segundo o eixo X X5 N coordenada nodal segundo o eixo X5 X N coordenada nodal segundo o eixo ks T N temperatura do no Dessa lista as coordenadas nodais nodais Xie Xoo Xs e a temperatura T s o valores cujo significado e bvio E N i E a Apenas sobre as restricoes nodais seria necess rio tecer algumas considera es adicionais Esses seis n meros inteiros podem assumir valores de tr s tipos o n tem o grau de liberdade ativo ou seja montada i E f x uma equa ao de equilibrio para a coordenada considerada 1 o no tem o grau de liberdade restrito ou seja n o p a 4 q montada a equacao de equilibrio que seria correspondente a coordenada considerada NN gt 1 o deslocamento nodal e constrangido ou seja a rigidez a ser alocada para o n considerado nesse grau de liberdade amp transferida para a equa o do grau de liberdade correspondente do no NN Esta op o e valida somente para n s ligados a elementos barra Deve se notar que o n ao qual algum grau de liberdade ser constrangi
13. a 1 onde s e q ene Q lt FP 314 A equa o 4 25 conhecida por Identidade Somigliana 4 9 Ela fornece para o ponto interior s os deslocamentos segundo os eixos de referencia dados pela integra o dos valores dos deslocamentos e for as de superf cie no contorno T e for as volumetricas no dom nio Q Entretanto para um equacionamento mais eficiente dos problemas a serem resolvidos seria interessante escrever uma equacao integral que relacionasse deslocamentos e for as de superf cie apenas para pontos do contorno Para conseguir se esse intento far se uma amplia o do dom nio original Q T considerando se um acr scimo infinitesimal a 5 de raio e com contorno Po Dessa maneira o ponto de contorno S passa a ser considerado como ponto interno 4 103 conforme apresenta se na fiqura 4 9 Para o novo dominio N LE com contorno P TT Pa pode se reescrever a Identidade Somigliana obtendo se a x representa o integral dos deslocamentos da maneira como se segue ee x 7 x u 8 Pix 8 u Or P tS 0 u CG ar a r F a x x UK C99 p Ca dP Q Ui COO p COD gP CQ r r e x x Ui Ss Db Cada Ui Sa b qd dQt q tes ta 4 26 Obviamente apos a extens o do dominio que visou transformar S em ponto interior deve se calcular o limite da equa o 4 26 quando raio de Qos tende a zero Para isso serao analisados separadamente os 6 termos da
14. hr E 5 1i r 1 s 1 tt ha 5 1 r 1 5 1 t As 1 r 1 s 1 t h ler Les 1 t hj E dor des at ha 1 r 1 s i t di De modo semelhante tambem os deslocamentos serao expressos atraves dos valores nodais de acordo com as equa es k i U r s t YE hi U i 1 E i Vir s t YE Aj V 3 105 i l a i Wir s t E hi W i 1 Desse modo a rela o entre as derivadas do sistema Global e as derivadas do sistema natural pode ser escrita como sendo o a aX2 axa 3 Br ar Qr axi a i ax Xa a a r 35 We a 3 106 9 axa axz axa a at et at at aXa Ou ainda pile de to 244 2 3 107 x A 2 E w onde a matriz J e o jacobiano da transforma o A determina o do jacobiano e muito simples de ser feita quando considera se um ponto de coordenadas Pis 5 8 tk Basta efetuar derivadas das express es 3 104 em N N rela ao a r s e t substituindo se entao os valores das coordenadas naturais do ponto considerado Nesse caso sera utilizada a nota o Jig Outra caracteristica importante e o determinante do jacobiano tambem de c lculo trivial e que ser notado por det Jigs 3 8 3 Matriz da Relacao Deforma es Deslocamentos A matriz que relaciona deforma es com deslocamentos e construida com derivadas convenientes das fun es de a ind Y se interpola o No caso tridimensional as express es das deforma es em f
15. id A tecnica utilizada para a solucao do sistema de f H equacOes baseia se no processo de Gauss Inicialmente a matriz de rigidez e vetores de cargas s3o triangularizados e posteriormente atrav s de um processo de retrosubstituicao os valores das incognitas s o determinados 0 algoritmo utiiizado quando na fase de triangularizacao trabaiha por iinha da matriz de rigidez Considerando se um sistema de tp equa es e tp inc gnitas com matriz sim trica e ainda c vetores de carga figura 2 15 as expressoes gerais das modifica es operadas podem ser escritas com sendo li is Fig Bi rij 2 49 11 li fik fik E fik 2 9 11 onde l linha que esta sendo triangularizada de 1 a n 1 k n mero do vetor de cargas operado de 1 a c Como pode se observar na pr pria figura 2 15 quando uma determinada linha da matriz de rigidez est sendo trianguiarizada todo o tri ngulo composto pelos elementos abaixo da linha e direita da diagonal principal precisa 88 ser alterado J a segunda etapa do processo a retrosubstituicao nada mais que o c lculo das inc gnitas D para um sistema R D F sendo a matriz R triangular superior A fy d expressao que permite esse calculo e a que se segue n dorm et 2 Cu das cy NN 2 6 l i 1 onde linha da inc gnita calculada de n a 1 i k n mero do vetor de Cargas considerado de 1 a c Desse modo
16. interessante observar que ao se chegar a etapa 4 montagem do sistema de equa es globais uma serie de provid ncias de grande import ncia ter o sido cumpridas Inicialmente a entrada das caracter sticas nodais e numera o das equa es por grau de liberdade existente armazenada na matriz IR Logo ap s a forma o de todas as matrizes e vetores dos elementos presentes Desse modo a matriz de rigidez RE o vetor de cargas PE o vetor de contribui o no sistema global IC a matriz tens es e ou esfor os por deslocamentos TD e ainda a matriz de tens es e ou esfor os iniciais TI ter o sido montados e gravados para esta posterior utiliza o Por fim caso essa tenha sido a op o do usuario as rotinas de minimiza o de banda da matriz global ja ter o alterado a matriz IR e o vetor IC de modo a expressar uma renumera o das equa es previamente numeradas em sequ ncia Portanto tudo est preparado para essas timas etapas que tratam da obten o dos resultados propriamente Lal H ditos e que se encontram discutidas nos proximos sub itens so 2 7 2 Armazenamento do Sistema de Equacoes Globais Existem muitas formas de se armazenar a matriz de rigidez e vetor de cargas qlobais de uma estrutura Normalmente esse armazenamento est intimamente relacionado ao processo adotado para a solu o do sistema respeito desse tema encontra se vasta literatura do mais alto nivel As referencias 2 13 2
17. vid nn i No caso do programa LS o usuario pode optar por ate 5 pontos onde as tens es ser o apresentadas Assim sendo cada vez que a equa o 3 87 for aplicada para um determinado ponto escolhido estar o sendo montadas tres linhas da matriz Portanto a matriz TD tem dimens o vari vel podendo apresentar de tres a quinze linhas sempre Com doze colunas Como exemplo se os resultados das tens es forem apresentados em apenas um ponto de coordenadas Fi e Sjo pode se escrever a matriz TD da seguinte forma TD CB A z 3 88 1J 4 2 6 2 Vetor de Tensoes Iniciais O vetor de tens es iniciais contem apenas O efeito da varia o da temperatura Tanto o carregamento na face como me o peso proprio n o contribuem para sua forma o Desse 209 modo pode se escrever ZI m o x 1 3 89 onde iw Da to 1 deformacoes iniciais fornecidas pela expressao 3 77 e Como pode se perceber essas tens es iniciais sao constantes para qualquer ponto do elemento Apenas a ressaltar que para cada Caso de carregamento da estrutura deve existir um vetor de tens es iniciais TI De modo semelhante a matriz TD para cada ponto onde os resultados sejam apresentados e necessario montar tres posi es no vetor TI Assim sendo para um elemento com os resultados sendo calculados num nico ponto o vetor TI seria TI 2 C ei 3 90 3 6 10 Modos Imcompati veis Foi mencionado no item 3 6 1 que o
18. 3 182 w D E P 1 onde a Bo paramentros adimensionais respectivamente para carga distribuida e concentrada deslocamento do ponto central fator de rigidez a flex o da placa Q P cargas respectivamente distribuida e concentrada 1 dimens o do quarto de placa discretizado 288 Xi fig 3 61 Deslocamentos e rota es no elemento placa PI IN a b fig 3 62 Discretiza es 1 e 4 H BR fig 3 63 Discretiza es 2 e 5 289 gt Para um bom acompanhamento da convergencia foram consideradas seis discretiza es Discretizacao 1 1 elemento retangular fig 3 62a Discretizacao 2 4 elementos retangulares fig 3 43a Discretiza o i 16 elementos retangulares fig 3 64a Discretiza o 4 2 elementos triangulares fig 3 62b Discretiza o 9 8 elementos triangulares fig 3 63b Discretiza o 6 32 elementos triangulares fig 3 64b Os resultados encontram se organizados nas tabelas 3 13 a 3 16 Nelas s o apresentados os valores obtidos para os diversos exemplos considerados e ainda o valor da solu o exata para efeito de compara o Pela observa o desses valores pode se perceber que o elemento considerado apresenta sempre uma converg ncia perfeitamente monotonica Alem disso o quadrilatero mostra uma convergencia relativamente rapida para o resultado exato J os tri ngulos apresentam uma converg ngia mais lenta necessitando de redes mais refina
19. 82 002 3 68 Randomico Nao Form 82 222 6 27 Sequencial Binario 82 200 3 57 Randomico Binario 82 202 6 15 Sequencial Formatado 82 000 38 40 Randomico Formatado 82 000 42 35 tabela 2 1 J quanto ao tempo de processamento as diferencas s o extremamente significativas Pode se perceber que os arquivos sequenciais n o formatados e bin rios foram escritos e lidos em pouco mais da metade do tempo dos seus respectivos arquivos diretos J quanto aos formatados o tempo de processamento e muito superior aos obtidos para os casos n o formatados e bin rios Algumas conclus es podem ser tiradas dos resultados obtidos Em primeiro lugar os arquivos formatados devem ficar restritos as entradas e sa das do programa e outros usos onde seja absolutamente invi vel a utiliza o de estruturas n o formatadas comunica o com programas compilados em outras linguagens por exemplo Entre as estruturas n o formatadas e bin rias as ltimas apresentam uma certa vantagem tanto em tamanho quanto em tempo de processamento Ja quanto ao acesso o sequencial e mais adequado para os casos onde possa ser usado sem grandes prejuizos ate porque a possibilidade de uso de registros de tamanho vari vel e muitas vezes bastante interessante 39 3 ESQUEMA GERAL DE FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA 2 3 1 Introducao O modulo de analise do programa LASER e composto atualmente por um programa principal e 69 sub rotinas e fun es perfazendo um total
20. Apresenta o dos Menus A partir deste ponto vai se procurar apresentar alguns detalhes a respeito desses menus mencionados Entretanto devido ao espa o exiguo tentar se a um resumo que A s N certamente deixara muitas informa oes em suspenso 121 Ao ser carregado para a memoria o programa gerente de edi o a tela e limpa e formatada segundo o esquema apresentado pela figura 2 20 Pode se ver na referida figura algumas das Caracteristicas usadas para facilitar ao maximo a entrada dos dados Nota se por exemplo que o campo onde deve ser digitado o nome do arquivo de dados j esta definido por tra os horizontais Dentro desse campo qualquer caracter nao permitido sera recusado soando um alarme para indicar o erro O mesmo alarme soa quando se tenta ultrapassar o campo definido Alem disso O programa coloca uma pequena explica o a respeito do dado a ser digitado tornando muito improvavel a ocorr ncia de erros mesmo para o usu rio inexperiente Ja na parte inferior do video pode se observar um dos chamados menus de controle com fun es para entrada do dado volta de cursor com apagamento dos caracteres e limpeza do campo e abandono do programa Ap s a digita o do nome do arquivo a ser usado no armazenamento dos dados pode ocorrer que o arquivo forneciso exista ou n o no diret rio corrente Caso exista o programa realiza a sua leitura carregando as informa es contidas para serem modificadas Se
21. Libera o de Deslocamentos e Rota es Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais Vetor de Cargas do Elemento Matriz da Rela o Tens o Deslocamento Vetor de Esfor os ou Tens es Iniciais Constrangimento de Graus de Liberdade Desempenho Exemplos Elemento Tipo 3 Contorno 3 5 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 Caracteriza o do Elemento Elemento Atuando Segundo Eixos Globais Elemento Atuando Segundo Dire o Qualquer Desempenho Elemento Tipo 4 Membrana 3 4 14 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 7 3 6 B 3 6 9 3 6 18 3 6 11 Caracterizacao do Elemento Coordenadas Locais e Globais Fun es de Interpola o Matriz da Rela o Deforma es Deslocamentos Matriz de Constantes El sticas Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais Vetor de Cargas Matriz da Rela o Tens o Deslocamento Vetor de Tens es Iniciais Modos Incompat veis Elementos de Forma Triangular 3 6 12 Desempenho 3 6 13 Exemplo 143 145 165 146 167 149 169 171 173 175 175 176 177 179 180 181 182 187 187 188 189 191 193 193 195 19 198 199 200 201 206 206 207 209 210 2135 3 7 3 8 Elemento Tipo 5 Plano 3 7 1 Caracterizacao do Elemento 3 7 2 Coordenadas Locais e Globais Sa leds Funcdes de Interpolacao 3 7 4 Matriz da Rela o Deforma es Deslocamentos 3 7 5 Matriz de Constantes El sticas 3 7 6 Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais 3 7 7 Vetor de Cargas 3 7 8
22. Matriz da Rela o Tens o Deslocamento 3 7 9 Vetor de Tens es Iniciais 3 7 10 Modos Incompat veis 3 7 11 Elementos Triangulares 3 7 12 Desempenho 3 7 13 Exemplo Elemento Tipo 6 S lido 3 8 1 Caracterizacao do Elemento 3 8 2 Fun es de Interpola o 3 8 3 Matriz da Rela o Deforma es Deslocamentos 3 8 4 Matriz de Constantes El sticas 3 8 5 Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais 3 8 6 Vetor de Cargas 3 8 7 Matriz da Rela o Tens o Deslocamento 3 8 8 Vetor de Tens es Iniciais 3 8 9 Modos Incompat veis 3 8 10 Desempenho 3 8 11 Exemplo Elemento Tipo 7 Placa Casca 3 9 1 Caracteriza o do Elemento 3 9 2 Considera es Gerais Sobre a Formula o do Elemento 3 9 3 Coordenadas Homog neas Triangulares 3 9 4 Matriz de Constantes El sticas 3 7 5 Elemento Triangular de Membrana 3 9 6 Elemento Triangular de Placa 3 9 7 Matrizes e Vetores em Coordenadas Globais 3 9 8 Desempenho 222 222 224 224 225 226 228 228 230 231 231 231 232 235 240 240 242 244 246 247 248 252 233 254 255 257 263 263 265 266 268 269 272 283 285 3 9 9 Exemplos 3 10 Referencias Bibliogr ficas CAPITULO 4 Elemento Sapata Rigida 4 1 4 2 4 4 4 5 4 6 Introdu o Metodo 4 2 1 4 2 2 4 2 3 dos Elementos de Contorno Teoria da Elasticidade Equa es Governantes Solu es Fundamentais Equa es integrais para Pontos Interiores
23. McKee J Reducing the Bandwidth of Sparse Symmetric Matrices Proc 24th National Conference of the Association for Computing Machinery 3 New York 1969 2 8 King I P An Automatic Reordering Scheme for Simultaneous Equations Derived from Network Systems International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 2 1970 149 2 9 George A Computer Implementacion of the Finite Element Method STAN CS 71 208 Computer Science Dept Stanford University Stanford 1971 2 10 Collins R J Bandwidth Reduction by Automatic Kenumbering International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 6 1973 2 11 Roberts E Relabeling of Finite Element Meshes Using a Random Process TM X 2660 NASA Lewis Research Center Cleveland 1972 2 12 Gibbs N Poole W G Stockmeyer P K An Algorithm for Reducing the Bandwidth and Profile of a Sparse Matrix SIAM J Numer Anal Vol 13 No 23 1976 2 13 Irons B M A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 2 1970 2 14 Soriano H L Sistemas de Equa es Algebricas Lineares em Problemas Estruturais Seminario 280 LNEC Lisboa 1981 2 15 Ida N Lord W Solution of Linear Equations for Small Computer Systems International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 203 1984 2 16 Zisserman A Program F Matinv for
24. Tanto a matriz RE quadrada como o vetor de cargas PE tem 97 dimensao NGL Considerando se que a rotina que realiza a montagem do sistema de equa es globais e Unica e trabalha com todos os tipos de elementos e importante que tanto a matriz como o vetor sejam construidos em rela o ao sistema global de A E A N referencia Assim sendo para levar essas contribui es ao sistema de equa es globais basta saber em que graus de liberdade deve se dar cada contribui o 2 5 3 Vetor de Contribui o na Matriz Global fundamental que o montador do sistema de equa es globais conhe a em que graus de liberdade da estrutura a matriz de rigidez de um determinado elemento contribui No esquema adotado por este programa isso se da atraves de um vetor onde esses graus de liberdade ter o seus n meros armazenados O vetor assim obtido e chamado de IC e tem dimens o NGL O vetor IC e montado a partir da matriz IR mencionada no item 2 4 e dos n s que definem o elemento Tome se como exemplo a discretiza o no plano XX mostrada na figura 2 6 S o dois elementos placa P1 e P2 e quatro elementos barra B1 B2 B3 e B4 As incidencias desses elementos s3o as fornecidas na tabela 2 4 J as restricoes nodais para este problema aparecem na tabela 2 5 Ap s o processamento na rotina PRCNOD a matriz IR resultante sera a apresentada pela tabela 2 6 58 83 X2 Bl B2 X Xs B4 9 fig 2 6 discretizac
25. aguardando O momento oportuno de serem carregadas para a memoria central Para um programa 5 complexo que envolve a execucao de variadas tarefas nao simult neas o ganho muito grande Essa vantagem e tao significativa que programas de analise estrutural que ndo se utilizam dessa tecnica precisam ser repartidos em m dulos estanques comandados por um gerenciador Entretanto essa separa o acarreta que toda e qualquer transmiss o de dados entre os diversos modulos componentes precisa ser feita atrav s das referidas mem rias perif ricas pois ao ser carregado um novo m dulo toda a area de dados do anterior estara perdida Evidentemente essa n o parece ser uma situa o das mais interessantes para a eficiencia do processamento Com o uso do overlay a rea de dados permanece inalterada havendo troca do c digo presente na mem ria central e por consequ ncia em execu o num determinado momento Se for feito com efici ncia o uso dessa t cnica pode ser equivalente a troca de m dulos mencionada no par grafo anterior obviamente com a vantagem de n o haver perda da area de dados O FORTRAN 4 01 possui uma maneira muito efici nte de utilizar se a tecnica aqui descrita Desse modo O programa desenvolvido nesta pesquisa procurara no limite do possivel lan ar m o desse recurso sendo que maiores detalhes a respeito dessa utiliza o estar o em item subsequente deste cap tulo 2 2 6 Estruturas de Arquivo
26. considerado o problema de uma viga em balan o mostrada na figura 3 22 Como dados adicionais pode se citar 20 000 KN cm v 0 25 GO 8 000 KN cm O acompanhamento dos resultados obtidos sera realizado para seis diferentes discretiza es cujas redes sao definidas da maneira que se segue Discretizacao 8 elementos retangulares fig 3 23a fig 3 24a fig 3 25a fig 3 23b fig 3 24b fig 3 25b Discretizacao 32 elementos retangulares Discretiza o 128 elementos retangulares Discretiza o elementos triangulares Discretiza o 5 64 elementos triangulares Cor WAN B H o Discretiza o 256 elementos triangulares Alem disso tanto para os elementos retangulares como Eq para os triangulares a analise foi realizada come sem a Dd ER E inclusao dos modos incompativeis Desse modo espera se um diagn stico relativamente completo sobre as potencialidades do elemento mostrado Tratando se o problema em quest o de uma viga com 214 TESTE NNNNNNNSSISINNSINNININ IWAVNAANNAAWNNINAWANWNWNWQ fio 3 24 Discretiza es 2 e 5 a SANNANANASNSISANSANSNSSNNNS AAKRKAKAAAARARARARARRAS DOS SSSSSASASDBSSS ASAS NNNVAAASAAAASAYYYYYS AN INAAIAIANRAY SANNSANANSN NASAARAAN NON N N N SSSSNS N fig 3 25 Discretiza es 3 e 6 em 1336 32 Led 320 fig 3 26 Convergencia dos resultados 215 rela o altura sobre v o de 1 8 ser o con
27. elemento se igual a 1 rigidamente impedida deslocamento prescrito tu rotacao prescrita 3 5 2 Elemento Atuando Segundo os Eixos Globais Para o caso de atua o segundo os eixos globais da estrutura a montagem das matrizes e vetores do elemento e absolutamente trivial Isso se da pois as coordenadas locais s o perfeitamente coincidentes com as globais conforme mostra se na figura 3 9 Pode se come ar pela matriz de rigidez global RE que resulta simplesmente diagonal A 5 RE 3 K 22 e 3 40 eG X Ja para a determina o do vetor de cargas um para cada carregamento da estrutura pode se escrever T 3 PE k 3 41 E D Quanto a matriz da rela o dos esfor os com os 188 deslocamentos para O caso aqui considerado ela resulta exatamente igual a matriz de rigidez ou seja TD RE 0 3 42 n e Por fim deve se mencionar que os vetores de esforcos N iniciais TI serao simplesmente carregados com zeros 3 5 3 Elemento Atuando Segundo Direcao Qual quer No caso do elemento atuar segundo uma direcao qualquer do espa o o equacionamento e um pouco diferente Inicialmente menciona se que est definido um eixo local x orientado do no de atuacao para o no de referencia na direcao do elemento As coordenadas locais apresentadas na figura 3 10 juntamente com a referencia local comp em se de apenas dois valores Um deslocamento e uma rota o respectivamente
28. em OVERLAY fig 2 2 Esquema para aloca o do c digo 48 entre os nove restantes significando uma grande economia em rela o a condi o de carregamento simult neo de todo o codigo A memoria n o utilizada para armazenamento de c digo pode ser utilizada para a rea de dados aumentando se a capacidade do programa Se por um lado a vantagem em termos de mem ria economizada evidente o esquema utilizado n o prejudica o tempo de processamento Apesar de maiores detalhes a respeito do fluxo de processamento estarem colocados no pr ximo item pode se adiantar que de acordo com o fluxo definido todos os blocos em overlay s o carregados para a mem ria apenas uma vez Assim sendo para os processamentos usuais o tempo de carregamento do programa para a mem ria deve ser reduzido em rela o ao que seria verificado se todo o c digo fosse carregado Isso se d pois o bloco s carregado no momento de sua utiliza o se ela realmente ocorrer Assim sendo quando uma determinada estrutura nao utiliza todos os tipos de elementos ou mesmo o minimizador de banda isso se traduz em uma vantagem os m dulos n o utilizados n o s o em momento algum trazidos para a mem ria Outra vantagem significativa do procedimento adotado quanto a futuros desenvolvimentos do programa como por exemplo a introdu o de novos elementos Esses desenvolvimentos n o ir o alterar significativamente a capacidade do p
29. em torno de XX e Xz Para o c lculo dos coeficientes de rigidez deve se impor a cada um desses graus de liberdade de forma independente um movimento unit rio conforme mostra se na figura 4 14 Cada movimento sera ent o transformado em tres deslocamentos para cada um dos quatro nos que definem a sapata Os vetores para Os seis carregamentos mencionados podem ser expressos em sua forma transposta da maneira que se segue E ndo E H qnd S S D S 8 D S 8 D 8 8 P 352 4 44 onde Ui e o vetor correspondente ao i esimo carregamento de Me uma determinada sapata Ja os parametros A B C e D sao distancias dadas pelas express es t Ai z X no i X centroide Bo X centr ide X n i 4 45 Ci x centroide X no i Di X4 mo sT D X centroide Apos essa etapa o conjunto formado pelos deslocamentos obtidos para os n s da sapata considerada e mais tres valores nulos para cada n de outras sapatas constitui um vetor que deve ser levado ao sistema 4 41 Quando todos os movimentos unitarios tiverem sido considerados ter se a um total de 6N vetores a solu o do sistema e realizada pelo processo de triangulariza o de Gauss com os 6N vetores independentes considerados simultaneamente Assim pode se conhecer os valores das for as de superficie para cada no de todas as sapatas valores esses organizados em um vetor para cada movimento unit rio A integra
30. eu 21 e membrana elementos 200 4 17 Rede de 231 nos fig elementos barra 350 De qualquer modo todos esses efeitos que n o dizem respeito ao deslocamento ou rota o na propria coordenada onde a a o se verifica s o muito pequenos em termos relativos n o devendo ter grande import ncia na variabilidade dos esfor os na superestrutura 4 4 3 2 Sapata Im x im centrada com rotacao de 45 O exemplo aqui analisado encontra se mostrado na figura 4 20 Trata se da mesma sapata do exemplo anterior somente que com uma rota o 8 45 em rela o ao sistema global de referencia Para tal caso a matriz de rigidez obtida em rela o ao centr ide e a que se apresenta a seguir 6729 a a 534 6729 a 534 8096 o a 46 2620 46 2620 Pa 4151 Como esperado a matriz id ntica obtida para o exemplo anterior Na verdade a sapata quadrada comporta se da mesma maneira qualquer que seja o ngulo de rotacao que apresente em relacao ao sistema de refer ncia global Isso se verifica pois os momentos de in rcia da sua area s o invariantes em rela o a referencia adotada Portanto o presente exemplo serve apenas como verifica o de que o algoritimo adotado esta produzindo resultados consistentes 351 AA ee HAIR LA HTH fig 4 18 Deformada sob forca horizontal fig 4 19 Deformada sob acao de um momento 352 4 4
31. matriz quadrada de ordem seis e simetrica Neste trabalho devido a necessidade de se resumir esta apresenta o deixa se de ta apresentar essas 21 expressoes 3 9 5 3 Vetor de cargas A nica solicita o que deve ser levada em considera o para Q calculo do vetor de cargas consistente f te do elemento membrana e a varia o de temperatura ao longo 272 do elemento A express o b sica para esse c lculo a 3 76 sendo o vetor de tens es iniciais dado pela equa o 3 101 Devido ao fato da matriz B ser uma constante o vetor de cargas resulta p ace Jar 3 145 w xri ou ha forma explicita b 04 9 C239 a Coo Coan arto 2 094 C 9 p 5 a Ca Ca 3 146 2 01294 22 Dall Ciga az C 99 Co 3 9 5 4 Matriz da Rela o Tens es Deslocamentos Conforme foi mencionado o elemento apenas possui saida de resultados para o seu centroide A express o que possibilita esse c lculo e o CBu r 3 147 Portanto percebe se Que a matriz que se procura determinar e que ser chamada de td devido ao fato de referir se a coordenadas locais pode ser encontrada simplesmente multiplicando se a matriz de constantes el sticas pela matriz B Em termos explicitos esse procedimento resulta 273 C b 1 Ciz Cida Croaz Cys Cy gas C Cb 11 14 td ag Coby Coya Creda Coza Coby Cosas C538 Cssd Css o CuQQb2 lyzaz C33 3 3
32. n corre ao da analise realizada 219 3 27 Paredes Interceptadas fia o das paredes 3 28 Discretiza fig 4 fig 3 29 Tens o normal m xima na parede 1 220 fig 3 30 Tens o de cisalhamento na parede 1 fig 3 31 Tens o normal m xima na parede 2 fig 3 32 Tens o de cisalhamento na parede 2 221 3 7 ELEMENTO TIPO 5 PLANO 3 7 1 Caracterizacao do Elemento O elemento plano usado para a analise de estados planos de tens o deforma o e axissimetrico Pode ser um quadrilatero ou um triangulo sendo entretanto obrigatoriamente definido no plano principal X AX s t conforme mostra se na figura 3 33 O elemento tem apenas dois graus de liberdade que sao as transla es de seus pontos nodais no referido plano X4X Seu sistema local de refer ncia composto por tr s elxos X Ka e x apresentados na figura 3 34 Ressalta se que esses eixos locais s o paralelos aos eixos globais da estrutura O elemento permite a considera o de material ortotropico Nesse caso e necessario que os eixos de simetria do material coincidam com os eixos locais dos elementos Isso significa tamb m serem paralelos os eixos globais X1 X e Xz Os parametros a Serem fornecidos para 2 3 n os materiais dos elementos sao peso especifico do material opcional Y E m dulo de elasticidade longitudinal segundo xit E m dulo de elasticidade longitudinal segundo x Ez modulo
33. o num rica desses valores sempre em rela o ao centroide e tendo como refer ncia o sistema global produz a matriz de rigidez do elemento Ap s o procedimento aqui descrito resta apenas operar 333 as ultimas transformacoes na referida matriz e realizar sua montagem na matriz de rigidez global da superestrutura 4 3 0 Translacao da Matriz de Rigidez Uma rigidez calculada para um determinado ponto pode ser transferida para outro atraves de transforma es convenientes 4 16 Supondo os pontos O e o separados por dist ncias AX gt dX e aX e referenciados respectivamente pelos sistemas XiX5X4 e XX aXe conforme mostra se na figura 4 15 pode se escrever para a transferencia de for as e momentos atuantes em O para 0 P 1 0 a a a P p 0 1 0 a a 0 o oS a es nui o dx u dX E 1 0 0 M Mm dX 0 AX a 1 M a dX dX 0 a 1 Ms 4 46 Resumidamente tem se 4 47 eU i e e Ul onde s o as forcas e momentos atuantes em O ep el s o as for as e momentos atuantes em O 334 fig 4 14 Movimentos unitarios da sapata dx fig 4 15 Transferencia de rigidez 335 T e a matriz que realiza a transformac o mencionada matriz T pode ser subdividida em quatro submatrizes de acordo com o que se segue n T 4 48 E ts J a sua inversa pode ser escrita simplesmente como ta es Poe 4 49 E
34. se o usuario tentar definir um gradiente de temperatura para um elemento ainda P E nao definido O programa acusara um erro 2 10 7 Rotinas para Entrada dos Dados 2 10 7 1 Considera es Iniciais Em todas as rotinas para entrada dos dados a 124 a lt lt MENU CARACTERISTICAS NODAIS gt gt COORDENADAS NODAIS COORDENADAS GERACAO UNIDIMENSIONAL COORDENADAS GERACAO BIDIMENSIONAL COORDENADAS GERACAO TRIDIMENSIONAL RESTRICOES NODAIS RESTRICOES NODAIS GERACAO TEMPERATURAS NODAIS TEMPERATURAS NODAIS GERACAO A B c D E F 8 H ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA OPERACIONAL OPCAO fig 2 22 Menu de Caracteristicas Nodais lt lt MENU ELEMENTO TIPO 1 TRELICA gt gt PARAMETROS DE CONTROLE CARACTERISTICAS ELASTICAS E QEOMETRICAS MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS INCIDENCIAS MATERIAL TEMPERATURA DE REFERENCIA ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA OPERACIONAL OPCAO E fig 2 23 Menu do Elemento Tipo 1 125 lt lt MENU ELEMENTO TIPO 2 BARRA gt gt PARAMETROS DE CONTROLE PROPRIEDADES DOS MATERIAIS PROPRIEDADES GEOMETRICAS MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS CONJUNTOS DE CARREGAMENTO INCIDENCIA MATERIAL PROPRIEDADE GEOMETRICA CARREGAMENTO NOS ELEMENTOS LIBERACOES DE DESLOCAMENTOS E ROTACOES A B G D E F G H I J ORIENTACAO AO US
35. tij gt espessura do elemento no ponto de coordenadas ri e sj para OS quais a matriz esta sendo calculada Bote fun o interpoladora h calculada no ponto ri e S j A respeito do valor de t s Seria interessante ressaltar que devido ao fato da f acus da estrutura ser de um radiano seu valor ser sempre igual distancia do ponto ao eixo X conforme a j referida figura 3 35 Nesse caso fica evidente que pode se calcul lo atraves da expressao isj k t p aH VQ x 3 93 ij k 1 k onde Bere valor de Pi no ponto de coordenadas ri e si a Caso o valor de tij resulte zero ou seja caso o 226 227 Ponto considerado esteja no eixo X_ a deformacao normal ao 3 plano do elemento sera igual a deformacao s Nesse caso basta montar na quarta linha da matriz os coeficientes j calculados para a primeira linha obtendo se desse modo a matriz B completa de quatro linhas por oito colunas Entretanto se a an lise realizada pelo elemento for f Mm E Li um estado plano de tensao ou deforma ao a matriz B sera obtida simplesmente pela expressao 3 57 sem qualquer altera o 3 7 5 Matriz de Constantes El sticas Este um ponto onde os elementos tipos 3 e 4 s o completamente diferentes Isso se da pois o material admitido para este caso pode ser ortotr pico e portanto a relacao entre as tens es e as deforma es s o completamente alteradas em rela o ao elemento anterior Alias para cada tip
36. tus Portanto a tranforma o inversa escreve se TI HT eo P 224 50 Considerando se agora a transfer ncia dos f deslocamentos e rota es que ocorrem em O para o ponto O tem se t T U T U 4 51 ue Me onde Ueu s o os deslocamentos e rota es em O e 0 respectivamente qe a transposta da matriz T apresentada em 4 46 Para o ponto O considerando se S como a matriz de rigidez que relaciona as for as e deslocamentos pode se escrever 336 e 0 Cf il Ul 4 52 Atraves da utilizacao das equa es 4 50 e 4 51 obtem se situ T pe 4 53 ou ainda eT TST u Pp 1 0 4 54 Chamando se de matriz S aquela que relaciona as for as m deslocamentos para o ponto O tem se 4 55 en ii en en e A express o 4 54 mostra como transladar uma matriz de rigidez calculada inicialmente num ponto 0 para um ponto O Aqui a expressao sera utilizada para transladar a matriz de rigidez do elemento montada em rela o ao centr ide de cada sapata para os n s da superestrutura Somente ap s essa transla o que ela ser adicionada matriz de rigidez global Para se realizar essa transla o deve se lembrar que a matriz total e composta de N submatrizes sendo N o n mero de sapatas ou de nos da superestrutura conforme mostra se no esquema sequinte 337 0i iN B onde e a submatriz de ordem seis que relaciona I
37. v v e e w T T T Ao ra Ao Ao re lo Ao rs ko RE ne ne v ne ne T T Ao t4 Ao Ao r2 Ao sim v e Ar Ar Ao ra Ao e e ae 3 32 A expressao 3 32 representa uma forma otimizada de se calcular a matriz de rigidez global dos elementos Isso por A fa que as operacoes de multiplicacao que teoricamente teriam que ser realizadas para matrizes de ordem 12 na verdade restringem se a opera es com submatrizes de ordem 3 3 4 6 Vetor de Cargas do Elemento Ds carregamentos aplicados no elemento barra sao de dois tipos Inicialmente O peso proprio com fra es fornecidas pelo usu rio segundo os eixos globais Depois as for as e momentos de extremidade p a P12 definidos pelo usuario em relacao aS coordenadas locais e que podem simular a existencia de Qualquer tipo de carregamento sobre o elemento Essas forcas e momentos nas extremidades precisam ser expressas em rela o s coordenadas globais do elemento Para tanto basta fazer P Ap ce 3 33 Desse modo o vetor de cargas PE para cada caso de 177 carregamento e calculado atraves da express o ey Pi a P 2 2 x nS 2 Pa 0 P 3 YAL Q Pa PE o a P s s 3 34 2 1 7 az Pa 9s Po 0 Pig 0 Poa 2 Pio onde a a e a fra es do peso pr prio a serem consideradas segundo os eixos Xi x e X Posses P a es de engastamento perfeito nos extremos 1 12 em coordenadas globais 3 4 7 Matriz da Relac
38. 1 000000 1000 24E 11 3149348 4718692 0 946398 1 000000 VE TOTO om o me ma Sm e die eh Sm A Sy e e a a ua e o o ry cd ms Lea TL em ts is e a m mm o mm ee ee o e eo ee m tabela 2 10 onde Elem n mero de elementos da discretiza o Max Min rela o entre o m x e o m n elemento da diag 51 rotacao na extremidade livre a deslocamento Na extremidade livre Mos momento fletor na extremidade fixada Vef cortante na extremidade fixada A observa o dos resultados apresentados permite considerar muito bom o desempenho do programa em rela o a a N N acuidade numerica na solu ao do sistema de equa es global 142 claro que apenas esse exemplo n o garante o bom funcionamento do programa Entretanto ele representativo das situa es encontradas em todos os outros casos pesquisados Lajes cogumelo e cascas de grande flexibilidade p rticos tridimensionais de altura relativamente elevada e algumas outras situa es desfavor veis foram testadas e o comportamento em todos os casos revelou se excelente Apenas como informa o adicional todos os outros programas testados apresentaram resultados satisfat rios quanto ocorrencia de erros num ricos Merece destaque o programa SUPERSAP onde a precis o num rica conseguida revelou se excepcional constituindo se em um dos seus pontos fortes 2 11 4 Tempo de Processamento Quanto ao tempo de processamento gasto para a realiza
39. 1 5 Outro marco importante no desenvolvimento dos metodos T a z P numericos aplicados as estruturas foi o aparecimento de uma linguagem computacional de alto nivel Ate 1957 as dificuldades de utiliza o dos computadores eram relativamente grandes pois o pesquisador tinha a necessidade de programar o seu algoritmo em linguagem de m quina Nesse ano surgiu o FORTRAN FORmula TRANslation linguagem computacional de alto nivel desenvolvida para Oo IBM 704 que simplificou muito essa utilizacao Com o desenvolvimento dessa linguagem ja no in cio da decada de 60 qualquer pesquisador utilizando qualquer computador podia escrever seus programas em uma linguagem nica e padronizada o que propiciou um desenvolvimento rapid ssimo a essa rea de pesquisa Nesse ponto o advento dos computadores ja n o significava apenas uma redu o do tempo necessario para o desenvolvimento de uma determinada an lise mas sim a possibilidade de se realizar calculos utilizando se modelos matem ticos mais complexos Esse sem d vida o grande beneficio das tecnicas computacionais de an lise estrutural permitir que os resultados obtidos possam representar com muito maior acuidade o comportamento real das estruturas desde que o modelo matem tico corresponda ao real desempenho estrutural A partir dessas condi es surgiram os grandes sistemas de analise de estruturas por computador Inicialmente pode se Citar o STRESS STRuctural En
40. 14 2 15 2 16 2 17 e 2 18 sao apenas alguns exemplos a serem mencionados No programa LS o sistema de equa es globais e montado considerando se a matriz de rigidez simetrica em faixa de banda fixa e armazenada por blocos O vetor de cargas tamb m e armazenado por blocos sendo o n mero de equa es de cada uma deles igual aos da matriz de rigidez A figura 2 13 mostra esquematicamente essa tecnica de armazenamento Para maior clareza e concis o do assunto aqui apresentado a nomenclatura dos parametros importantes a que se seque neq n mero de equa es do problema nC 3 n mero de casos de carregamento lb largura da semi banda da matriz de rigidez neqb n mero de equa es por bloco nb n mero de blocos A tecnica utilizada para a montagem e solu o do sistema global de equa es no programa LS baseada na dos programas SAP4 e SAPS desenvolvidos para grandes computadores Obviamente que foram realizadas algumas modifica es para tornar os algoritmos eficientes para utiliza o em microcomputadores Mesmo assim essa providencia economizou um tempo consider vel no desenvolvimento do sistema A verdade e que a procura de um bom procedimento para essas etapas demandaria um grande trabalho de pesquisa Ja De a o mencionado algoritmo encontra se a disposicao para uso e 81 sem d vida nenhuma pode ser considerado eficiente e seguro mesmo lembrando se que t cnicas mais modernas e refi
41. 148 3 9 5 5 Vetor de Tensoes Iniciais Tamben aqui apenas o efeito da variacao de temperatura deve ser levado em conta Isso muito simples de ser feito bastando seguir se a equa o 3 89 com o vetor de deforma es iniciais dado pela express o 3 101 Esse calculo resulta C E 12 ti AT E 2 C529 3 149 11 y 3 9 6 Elemento Triangular de Placa 3 9 6 1 Elemento Completo e Sub triangulos Componentes Para desenvolver o elemento LCCT 9 adotado para a obten o da rigidez de placa e necess rio dividir o elemento em mais tr s sub triangulos Para se evitar confus es sempre que se referir ao elemento todo mencionar se a a expressao elemento completo Ja quando a men o dizer respeito as partes ser o utilizadas as express es sub tri ngulos ou sub elementos Os deslocamentos e rota es para O triangulo completo s o as apresentadas na figura 3 61a onde tamb m sao mostrados os mencionados sub triangulos definidos pelos 274 pontos nodais e o centroide do elemento completo Nesses sub triangulos tamb m estar o presentes os deslocamentos e rota es ja mostrados para o elemento completo alem de mais tr s valores no centroide conforme s o apresentados na figura 3 61b Para que as rela es geometricas deduzidas no item 3 9 3 continuem a ser utilizadas para cada sub tri ngulo necess rio uma renumera o dos pontos nodais Essa renumera o mostrada entre parente
42. 16 bits para encontrar a posi o de um item dentro de uma vari vel Isso se d pois todas os itens de Uma mesma variavel ocupam o mesmo segmento Caso O modo de armazenamento seja Huge existem menos restri es mas tambem menos eficiencia Neste caso cada vari vel pode ultrapassar individualmente as fronteiras de um segmento Desaparece ent o a limita o de 64 Kbytes para uma determinada matriz ou vetor Entretanto isso faz com que o compilador al m de ter a necessidade de gerar endere os completos de 32 bits passe a trabalhar tamb m com uma aritim tica de 32 bits Isso porque os tens de uma mesma variavel podem ocupar dois ou mais segmentos diferentes Entao apesar de ser O modo de armazenamento menos restritivo tamb m o menos eficiente se bem que em testes realizados essa diferen a revelou se para os casos usuais pouco significativa Entretanto recomenda se que a utiliza o de vari veis Huge seja feita com cuidado limitando se o seu emprego apenas aos Casos em que sejam realmente necess rias Como ltima informa o importante a respeito do armazenamento dos dados deve se ressaltar os casos de dimensionamentos auto ajustados e variaveis passadas como par metros Quanto aos dimensionamentos auto ajustaveis 34 deve se verificar se a variavel pode ultrapassar o limite de 64 Kbytes Caso isso aconte a necess rio informar ao compilador a possibilidade dessa Ocorrencia definindo se a variav
43. 3 elementos de casca 9 elementos axissimetricos 9 elementos de barra 9 e elementos tridimensionais 14 completam esse total Para todos esses elementos os resultados consistem nos esfor os ou tens es nas extremidades do mesmo nao importando o n mero de pontos nodais internos que eventualmente ele possua Finalmente e importante mencionar se que o ASKA possui o recurso da sub estruturacao ou seja e possivel analisar se uma estrutura formada por modulos id nticos com grande economia de tempo de processamento Nesse caso Um grande n mero de opera es repetidas deixam de ser realizadas 1 2 3 O Programa NASTRAN NASTRAN NAsa STRuctural ANalysis um programa baseado no M todo dos Elementos Finitos e distribuido pela COSMIC Universidade da Georgia mediante um pagamento simbolico Como o proprio nome sugere foi desenvolvido por diversos centros de pesquisa ligados a NASA Esse desenvolvimento come ou em 1964 e custou em seus primeiros cinco anos aproximadamente quatro milh es de dolares produzindo um sistema computacional de mais de 150 000 comandos em FORTRAN Detalhes a respeito dos in meros recursos desse sistema podem ser encontrados nas refer ncias 1 1173 1 123 1 133 1 143 1 15 e 1 16 Um pequeno resumo dessas informa es e apresentado a Seguir O sistema NASTRAN e composto por varios m dulos funcionais independentes comandados por um sistema executivo Sua capacidade de an lis
44. 3 3 Sapata im x im excentrica segundo X1 e Xo O exemplo que se desenvolve neste iteme o da figura 4 21 Trata se da mesma sapata do item 4 4 3 1 apenas com a inclusao da excentricidade em relacao aos eixos X e X5 Evidentemente a matriz de rigidez em relacao ao seu centr ide sera a mesma l obtida A diferen a diz respeito a matriz quando referida ao ponto nodal ou seja ap s as transforma es de transla o mostradas no item 4 3 6 Nesse caso a matriz de rigidez resulta na seguinte 6729 a Q0 534 3364 O0 6729 534 3364 e O0 8096 4046 4048 o o 46 40480 4644 2024 23 46 4048 2024 4644 23 3364 3364 2 267 267 7515 O primeiro detalhe que deve ser destacado e a existencia de valores fora da diagonal principal de mesma ordem de grandeza dos que nela se encontram Entretanto ts E esses valores sao produzidos pelas transforma es de transla o e s o perfeitamente sim tricos em rela o diagonal Os valores que nao apresentam simetria continuam sendo muito menores que os diagonais indicando que tamb m o x nd e ro neste caso a simetrizacao da matriz nao faz com que se perca grandes informa es a respeito do comportamento da sapata Interessante aqui e observar os coeficientes produzidos pela excentricidade da sapata Note se por n exemplo que a acao de uma forca segundo o eixo Xx produz A i Dd N nao apenas deslocamento na propria direcao X1 e rota ao em relacao a Xo confor
45. 42 e 3 43 Deve se lembrar que no caso de se considerar o problema em quest o como um estado unidimensional de tens es o valor das tens es longitudinais deve variar de 2 KN em no cilindro menor para 0 5 KN cm no maior Exatamente como se processa essa variagao eo que as referidas figuras est o mostrando Inicialmente observa se que as tens es radiais apresentam valores relativamente baixos aproximadamente 10 do valor longitudinal Ainda assim esses valores encontram se concentrados numa pequena regi o de aproximadamente 20 cm cujo centro e exatamente o ponto de varia o das se es Quanto s tens es longitudinais 0 que pode se perceber e que 48 cm abaixo do ponto de varia o das se es seu valor j estar estabilizado no novo patamar Antes de tudo isso e uma confirma o do princ pio de Saint Venant Que neste caso sugere que as perturba es devem ocorrer apenas ate uma distancia equivalente a dimens o transversal da peca 238 pa fig 3 42 Tens o radial fig 3 43 Tens o longitudinal 239 Ca rot 3 9 ELEMENTO TIPO 6 S LIDO 3 8 1 Caracteriza o do Elemento O elemento solido utilizado para an lise de estruturas tridimensionais definido por oito nos formando um hexa dro com arestas retas Essas faces podem estar em dire es quaisquer do espa o Um esbo o de uma poss vel forma do elemento aqui analisado apresentada pela figura 3 44 O elemento tem tres graus de
46. 64 Discretizac fig do pavimento N 3 65 Discretizacao 7 fig 293 convencionais Como resultados s o apresentadas nas figuras 3 64 e 3 67 as curvas de isomomentos em KN x m m e segundo os eixos locais e e s respectivamente interessante de se observar por essas curvas que a exist ncia de pilares e vigas destaca as regi es que num procedimento de calculo tradicional seriam consideradas como lajes independentes Entretanto em outros pontos do pavimento verifica se uma situacao mais complexa podendo se prever dificuldades para o dimensionamento que L4 se baseasse nessas hipoteses tradicionais 3 9 9 2 Parabol ide Hiperb lico Para este exemplo onde demonstra se a utiliza o de elementos para an lise de cascas foi escolhido um parabol ide hiperb lico em concreto armado Trata se de uma estrutura que foi projetada para a orla maritima de Vit ria ES servindo de cobertura para bares e lanchonetes Suas dimens es s o apresentadas na figura 3 68 J para a discretiza o da estrutura mostrada em perspectiva na figura 3 69 foram utilizados 256 elementos casca Como dados adicionais do c lculo podem ser citados e espessura da casca 0 08 m E 1 70 x 10 KN m 6 28 G 0 71 x 107 KN m O carregamento para este exemplo composto apenas pelo peso pr prio mais uma carga uniformemente 2 distribuida segundo o eixo X de 1 KN m 3 Como resultados aprese
47. 7 839 4 693 comp 2 500 2 564 3 467 8 280 5 411 viga 3 750 tabela 3 5 Um ltimo coment rio pode ser feito em relacao ao valor da tens o tangencial Pode se perceber que apenas com uma discretizacao um pouco melhor segundo a altura da peca e que se pode obter bons resultados Quando sao utilizados 217 apenas um ou dois elementos segundo essa dire o os resultados afastam se bastante do valor obtido com a teoria de vigas 3 6 12 2 Tempo de Processamento Quanto ao desempenho em rela o aos tempos de processamento o elemento tipo 4 comporta se muito bem Podem ocorrer algumas pequenas varia es dependendo da 2 M tu m r 2 e inclusao ou nao de modos incompativeis e do n mero de ty tens es a serem calculadas como resultado Entretanto como valor m dio admite se 0 40 seg para a montagem e grava o das matrizes e vetores e 11 seg para o c lculo das tens es resultantes 3 6 13 Exemplo O exemplo aqui discutido e o apresentado na figura 3 27 Trata se de duas paredes de alvenaria interceptadas em ngulo reto e submetidas a carregamentos diferentes situa o muito comum em edif cios de alvenaria auto portante Nesse Caso costumam aparecer tens es de tra o nas imedia es da liga o que provocam fissuras nas paredes Neste exemplo vai se mostrar como essas fissuras poderiam ser perfeitamente previstas com a utiliza o de uma analise atraves de elementos finitos Os dados adicionais para o ma
48. Antes da determina o da matriz de rigidez do elemento em relac o aos eixos globais de referencia e interessante que inicialmente sejam desenvolvidas considera es sobre a matriz de rigidez para as coordenadas locais Essa e a matriz que relaciona as for as e deslocamentos nessas referencias segundo a equa o f ru cos 3 13 Considerando se os parametros elasticos e geometricos Ny a A do elemento sua expressao pode ser obtida da referencia 3 2 como sendo r ooo 3214 164 onde L comprimento do elemento Entretanto como o objetivo final e a determina o da matriz de rigidez em rela o s Coordenadas globais utilizando se as express es 3 11 e 3 13 pode se escrever 2 gt F r AU 20 3 15 Verificando se que no caso particular agui estudado a matriz A e de rotacao sendo portanto sua inversa igual a transposta tem se EF A raU 3 16 Ou seja a matriz de rigidez do elemento em rela o aos eixos de refer ncia global resulta RE ra aa 3 17 Calculando se a expressao 3 17 tendo em vista as equa es 5 12 e 3 14 obt m se o o A E E ui RE _ 3 18 o a L r onde 1 im an o a ro Im im mn In mn n 165 3 3 4 Vetor de Cargas do Elemento O vetor de cargas do elemento e calculado de modo N s trivial Na verdade nao e apenas um vetor mas sim um vetor para cada caso de carregamento da estrutura Foi mencionado qu
49. Cuthill indica a estrat gia apresentada no item 2 6 3 Collins 1 o algoritmo original desenvolvido por R Collins Ja Collins 2 indica o 78 algoritmo de Collins por m com as modifica es propostas por este trabalho Pela observa o dos resultados pode se concluir que a diferen a de nos obtida com os tr s processos apresenta poucas varia es Entretanto a estrat gia Collins 2 apresentou em todos os exemplos processados a menor diferen a ora igualando se a Cuthill nh maior parte das vezes Ora igualando se a Collins 1 apenas duas vezes ou mesmo conseguindo um valor inferior as duas tambem duas vezes Quanto ao tempo de processamento os valores verificados para Collins 1 e Collins 2 praticamente se equivalem Entretanto quando se compara esses valores com os obtidos para Cuthill verifica se que a vantagem conseguida pelos primeiros bastante significativa situando se em torno de 33 4 Como conclus o geral menciona se que a estrat gia adotada foi a de R Collins sendo entretanto implementadas as modifica es que constam no item 2 6 4 4 79 2 7 MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL E C LCULO DOS RESULTADOS 2 7 1 Introdu o Neste item ser o discutidas com maiores detalhes as etapas 4 5 e 6 do fluxo de processamento apresentado no item 2 3 Trata se da montagem e solu o do sistema de equa es globais e ainda c lculo e apresenta o das tens es e ou esfor os nos elementos
50. Elemento Tipo 5 127 lt lt MENU ELEMENTO TIPO 6 SOLIDO gt gt PARAMETROS DE CONTROLE PROPRIEDADES DOS MATERIAIS CARGAS DISTRIBUIDAS DE SUPERFICIE MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS INCIDENCIAS NUMERO DE PONTOS DE INTEGRACAO MATERIAL 7 CARREGAMENTO NOS ELEMENTOS OPCAO DE APRESENTACAO DE RESULTADOS TEMPERATURA DE REFERENCIA C unomnm wvolnu V ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA x lt 4a o i OPCAO fig 2 28 Menu do Elemento Tipo 6 MENU ELEMENTO TIPO 7 PLACA CASCA gt gt PRESSAO LATERAL TEMPERATURA DE REFERENCIA GRADIENTE DE TEMPERATURA A PARAMETROS DE CONTROLE B PROPRIEDADES DOS MATERIAIS C MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS D INCIDENCIAS E MATERIAL F ESPESSURA a H 1 ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA x uuwo SUA OPCAO fig 2 29 Menu do Elemento Tipo 7 128 lt lt MENU ELEMENTO TIPO B SAPATA gt gt A PARAMETROS DE CONTROLE B PROPRIEDADES DOS MATERIAIS C INCIDENCIA D DIMENSOES E DISTANCIAS AO CENTROIDE F ANGULO G PROFUNDIDADE O ORIENTACAO AO USUARIO P PREFIXACAO DE VALORES S SALVA DADOS V VOLTA MENU PRINCIPAL X SISTEMA SUA OPCAO Y fig 2 30 Menu do Elemento Tipo 8
51. P12 9 479 2 3 908 0 i 986 0 P15 19 2 71 1 460 0 P17 925 6 1 694 4 1 939 4 PIE E Dodo o be IA a 678 8 tabela 4 8 Cortantes nas Vigas do Pav T rreo KN Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 V2b 8 21 15 68 62 28 V2c 33 05 4 64 12 83 V4 66 46 37 16 98 06 tabela 4 9 Momentos nas Vigas do Pav Terreo Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 V2b 28 71 54 77 216 18 V2c 44 70 5 51 14 75 V4 116 95 65 36 180 04 tabela 4 10 367 A A de A a mu o o cH UT a ee ta AN RR Me rum m EY Hm A rum n T A o cm OD eue O ewe T A o m m ree ite mies m o m ape me Pav Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Terreo 0 15 2 43 4 64 1 Tipo 0 57 1 14 9 08 22 Tipo 1 09 1 95 13 04 32 Tipo 1 74 2 88 17 09 42 Tipo 2 51 3 93 21 23 5 Tipo 3 36 5 07 25 42 6 Tipo 4 29 6 30 29 66 7 Tipo 5 27 7 57 33 92 8 Tipo 6 30 8 89 38 20 92 Tipo 7 36 10 25 42 49 102 Tipo 8 45 11 63 46 77 112 Tipo 9 56 13 02 51 05 122 Tipo 19 67 14 42 55 31 13 Tipo 11 79 15 82 59 55 14 Tipo 12 91 17 21 63 78 15 Tipo 14 02 18 60 67 98 162 Tipo 15 12 20 00 72 16 172 Tipo 16 21 21 33 76 31 182 Tipo 17 28 22 67 80 43 192 Tipo 18 34 24 00 84 55 202 Tipo 19 39 239 31 88 62 212 Tipo 20 42 26 60 92 88 Cober 21 44 27 89 96 73 tabela 4 11 Observando se os resultados obtidos nota se que a influencia da considera o da flexibilidade da funda o nos esfor os da superestrutura muito grande Mesmo considerando se o modulo de elasticidade de 120 00
52. PE ax dx10x2 Encontrado o campo de curvaturas para cada sub triangulo pode se calcular as curvaturas nodais desses sub triangulos Para isso basta desenvolver a matriz 1H com as respectivas coordenadas desses pontos Assim fazendo pode se escrever i i at Tl la 3 166 a aA a Agora as curvaturas internas podem ser expressas em funcao dos valores nodais por meio das fun es de interpola o desenvolvidas no item 3 9 3 Matricialmente pode se escrever lil q x i ves 3 167 onde hi hz ha a a hi ha ha a a o o ha hz he Ressalta se que da maneira como encontra se Organizada a matriz as curvaturas nodais estao dispostas de modo que nas primeiras posi es est o as derivadas em Ld X 5 para os tres nos logo apos as derivas em x e 2 finalmente as derivadas em x e X 3 9 6 6 Matriz de Rigidez Para o calculo da matriz de rigidez deve se lembrar que a energia acumulada e obtida pela integragao na area do elemento das curvaturas multiplicadas pelos momentos 281 fletores Ja os momentos fletores quando o elemento tem espessura constante t podem ser escritos em fun o das proprias curvaturas da maneira que se segue il i m DAM e e 3 168 N Mo wN onde 1 il i ij ios l Tk Ec m2 3 t y 1 2 x C matriz de constantes elasticas do item 3 9 4 Portanto desenvolvendo se a integracao mencionada obt m se como contribuicao
53. Pavimentos em estrutura convencional com lajes apoiadas ou engastadas e pavimentos em laje cogumeio constituem as principais utiliza es Alem disso existem ainda as cascas propriamente ditas como as de revolu o de transla o parabol ides hiberboloides etc 264 3 9 2 Consideracoes Gerais Sobre a Formulac o do Elemento Ao contr rio dos elementos anteriormente definidos neste caso existe uma diferenciacao bastante acentuada entre os elementos triangulares ou quadrangulares Em Ultima analise o programa utiliza se exclusivamente de elementos triangulares montando os quadrangulos a partir da jun o de quatro triangulos com posterior condensa o est tica do n central A figura 3 56 ilustra esse procedimento O usu rio define o elemento quadrangular normalmente atraves dos pontos nodais I J K e L O programa calcula a posi o do centr ide do quadrilatero fornecido O e divide a rea em quatro tri ngulos Ent o s o calculadas as matrizes e vetores para cada um desses tri ngulos Posteriormente faz se a condensa o est tica dos graus de liberdade do n 0 obtendo se as matrizes e vetores agora apenas para os n s I J K e L O elemento a ser utilizado para a determina o da rigidez de membrana e o CST Constant Strain Triangle Trata se de um elemento isoparametrico cuja formulacao foi deduzida no item 3 6 Entretanto naquele caso a dedu o das matrizes e vet
54. Po A Po 3 82 Como ltima contribui o existe o peso proprio De acordo com o que foi feito em outros elementos o peso proprio n o sera calculado como carga consistente mas 207 simplesmente colocado segundo as dire es giobais de acordo M E ar com fra es fornecidas pelo usuario Desse modo e necessario o calculo do volume area x espessura associado a cada um dos quatro nos Esse volume de Vi a MD pode ser determinado pela expressao Y E tw det J n 1 4 3 83 k don ij alj k 1 3 onde now representa a fun o interpoladora n calculada para o ponto ri e S T 2 A Desse modo o vetor de contribui o do peso proprio ja em coordenadas globais resulta are V4 2 V4 9s v2 M4 V2 92 P y 2 s 3 84 Vs a Vs Vz as Va a Va a5 Va as onde M vi z x 81 95 8 a sao as fra es do peso proprio a serem consideradas segundo os eixos Xi X e X Portanto para o vetor de cargas do elemento obtem se 3 85 208 3 6 8 Matriz da Relacao Tensao Deslocamento A matriz que relaciona as tens es com os deslocamento e montada em fun o dos pontos do elemento nos quais os resultados ser o apresentados Considerando se as equa es 3 11 3 55 e 3 59 muito simples concluir que o CBAXU 3 86 u a v Imaginando se que as tens es sejam calculadas num ponto de coordenadas ri e 5 tem se t ad CB AU 3 87 alJ
55. Ser obtidas Para tanto optou se por um estudo por etapas de modo a cobrir o maior n mero poss vel desses pontos de forma conclusiva O primeiro ponto a ser analisado e a acuidade num rica conseguida e os tempos de processamentos verificados A import ncia deste t pico explica se pelo fato da integra o do contorno ser feita num ricamente por Gauss Assim sendo de acordo com o n mero de pontos utilizados pode se obter maior ou menor precis o nos resultados e evidentemente maior ou menor tempo de processamento Logo ap s essas analises passa se a discutir uma serie de matrizes de rigidez obtidas para sapatas isoladas Dessa forma pretende se ter uma boa avali o a respeito de alguns detalhes fundamentais do elemento Pode se citar por exemplo efeitos devidos a rota o da sapata em rela o aos eixos globais efeitos devidos a transia o imprecis es devidas simetriza o da matriz influ ncia da considera o da sapata como imersa no terreno etc ap s esses resultados para sapatas isoladas discute se os resultados obtidos para a matriz de rigidez 342 de grupos de sapatas Nesse caso o ponto de fundamental import ncia e realmente o afastamento com o qual essas intera es passam a ser significativas Alem disso alguns dos itens mencionados para sapatas isoladas tamb m ser o analisados Finalmente como ponto de grande import ncia para o trabalho tem se o estudo da variabilidade dos esfor os
56. System For Kinematic Analysis ASKA Part I Proc IUTAM Colloq High Speed Comput of Elastic Structures Universidade de Liege Belgica 1970 3 7 Argyris J H Bronlund O E Computer Aided Structural Analysis The Machine independente System ASKA Nord Data 70 Conf Copenhagem 1970 1 8 Argyris J H 3 Grieger I Schrem Es Strutural Analysis by Problem Oriented Languages 23rd Ann General Meeting of the Aeronaut Soc of India Indian Inst of Technol Kanpur ndia 1971 23 1 9 Schrem E ASKA User s Reference Manual ISD Rep no 73 Stuttgart 1971 11 101 Bernhardt K Streiner P Gio A Set of ASKA Processors Providing Direct Access to Internal Data Institut fur Statik und Dynamik der Technische Hockschule Stuttgart Stuttgart 1971 1 11 The NASTRAN Theoretical Manual NASA SP 221 1970 1 12 The NASTRAN User s Manual NASA SP 222 1970 1 13 The NASTRAN Programmers Manual NASA SP 2233 1970 1 14 NASTRAN Demonstration Problem Manual NASA SP 224 1970 1 15 A Technical Evaluation of the NASTRAN Computer Program The Boeing Co Seattle 1971 1 16 Beste D H Herness E D Ice M W A Capabilities Guide to the NASTRAN Computer Code Scientific Systems Rep Boeing Comput Services Seattle 1971 1 171 Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics Ed S Fenves N Perrone A Robinson e W Schnobrich Academic Press Londres 1973 1 18 L
57. a estrat gia de minimiza o mais 69 utilizada e testada desde que esses algoritmos passaram a ser desenvolvidos A estrategia de Cuthill Mckee basea se na teoria dos grafos Em poucas palavras consiste em determinar uma certa quantidade de nos que tenham boas condi es de tornarem se sementes de esquemas eficientes Logo em seguida esses esquemas s o gerados e o melhor dentre eles y E E E seja para a obtencao da banda minima ou perfil minimo E P E utilizado para a definicao dos numeros das equacoes 2 6 3 2 Determinacao das Sementes Na presente estrategia os nos a serem usados como sementes s o aqueles que possuem a menor quantidade de n s da estrutura a igual distancia Isso quer dizer que sao os nos de extremidades da estrutura ou observando se o grafo correspondente aos vertices de extremidade Tomando se o referido exemplo da figura 2 9 pode se definir como grafo correspondente o apresentado na figura 2 10 Atraves da observa o desse grafo onde cada vertice um n da estrutura pode se definir a dist ncia entre dois n s como sendo o menor n mero de segmentos entre v rtices que ligam esses dois n s ou os v rtices correspondentes a esses n s No caso a distancia entre os n s 4 e 7 e tr s pois tr s o menor n mero de Segmentos a serem percorridos para ir se do n ou v rtice 4 ao n ou v rtice 7 Assim sendo os n s que ter o o menor n mero de n s a mesma distancia ser o
58. area comum nao aparece no programa principal utilizada apenas para transferencia de informa es entre as rotinas componentes do bloco de um determinado elemento usada nos seguintes elementos barra bloco BR 3 membrana e estados planos bloco PL 3 s lido bloco SL placa ou casca bloco PC Portanto n o se utilizam desta rea comum os elementos trelica contorno e sapata nos quais o presente COMMON sequer esta definido Seu tamanho definido e de 10 000 bytes e como se pode perceber pelas informa es colocadas no par grafo anterior um COMMON que tem duplo objetivo salvar rea de mem ria para outras utiliza es e tornar o programa mais organizado 2 8 2 5 rea com r tulo CTL No COMMON chamado CTL est o as variaveis escalares que precisam ter seus valores conhecidos e as vezes alterados em diversas etapas do processamento do inves de 101 serem passadas como par metros para tal ou qual rotina que delas necessitasse optou se por este procedimento que se gt P t acredita que melhore a organiza o do programa Atraves da area comum CTL podem ser acessadas por todas as rotinas que necessitem variaveis como n mero de pontos nodais numero de elementos de um determinado grupo numero de equa es do problema semi banda da matriz de rigidez global variaveis de controle de processamento variaveis de controle de dispositivos de saida op es de minimiza o etc Portanto nao uma
59. bem que os retangulares o fa am de uma maneira mais acentuada Conclui se portanto que como regra geral deve se preferencialmente utilizar os elementos quadrangulares Se isso n o for possivel os elementos triangulares podem ser utilizados entretanto sem a inclus o dos modos incompativeis 216 A oe A saia re rom om A me TO sr e as cu UT cas te PT Gain Lass Nes OUD O A a up aa O Se A OUTO Ar as ut HUM anes br MP core HT UU O a ee Um HS ane P CN Mto a a a SC HH a a ams a A o as emm ER AO mm ta e a OA nt St SA rr tam Sn ap Sie Sane Sy ns Hs ME atte Ae a inst SH MH o a me MUS fumes i Mss Manes pm eum s UR ME seno o em to io erm uae ar emo em ry Ne ca ca ren el O A GD ont futon QD Qt GI sets em Acomp 1 54484 1 54518 1 54520 69213 1 54533 2 21345 comp 1 05826 1 38605 1 50798 34370 84233 1 27448 viga 1 53690 do sam a co que ps OT NS I que que e Ve ore ao Ge eum o o we Oaie m Mais as ag MA A ur UH HE o a ca Hr cuts at HM TUM cent str cant ant anf cats sass a Se un uu m ae ae ra am ame a a e UM A ame GOTO oon ye omma He Atty O 0 dy aa O ry A O AN e ars A am Ge ter ewww SITU eH tin nt Mare S HH aate A Gown UP 0 anim aate m erre TUTTA rm o ra uri o lt i o sn on py cama srs ur an alu a a o ii ci a al AA AS ann aida ecb ins mai ei b gt Rcomp 97 49 101 22 105 80 43 58 98 35 145 60 comp 78 91 93 71 105 808 23 64 96 39 89 13 viga 97 50 191 25 106 88 97 90 101 25 106 88 E Disc 1 2 3 4 5 amp ncomp 2 500 2 500 3 430
60. de 1 s enquanto a e 2 integracao no contorno Da produz e Assim pode se concluir que 1i u s 0 p aria 0 m ik Pk 0 r e Quanto s duas ltimas parcelas verifica se facilmente que quando a integral em Q representa todo o conjunto pois a parcela em a tende a zero Desse modo o equa o 4 26 pode ser generalizada para E f diversos dominios e pontos colocados no interior ou contorno da seguinte forma Ex x Ci 18 us 8 Jio ms ceno x I U S G p CG dP Q ik k r x U S g b q da q ce 4 27 ik k n onde Ci 18 para os casos que interessam mais especificamente a este trabalho pode ser definido como 4 123 Solu o de Kelvin ou Mindlin Sen 2 S Gir 4 28 Ser c 8 1 26 318 Solu o de Boussinesq Cerruti Sen Ej GG ae Ser gt Ci 18 ik 4 29 ressaltando se que nos pontos do contorno deve haver necessariamente um unico plano tangente Obviamente a resolu o anal tica da express o 4 27 muito trabalhosa e n o representa um caminho interessante para a solucao de um problema elastico Muito mais interessante e a subdivis o do contorno de um determinado dominio em um numero finito de regides definindo se uma fun o aproximadora de modo que essas integra es possam ser realizadas com facilidade Ent o a aplica o da equa o integral a pontos dessa regiao produzir um sistema de equa es lineares
61. de 16 bits chamado endereco do offset o qual da a posi o do item em rela o a base mencionada Portanto para um endereco completo no 8886 e necess rio um total de 32 bits sendo 16 bits para o endere o do segmento e outros 16 bits para o endere amento do chamado offset 2 2 3 Modelos Basicos de Armazenamento O FORTRAN 4 01 da Microsoft possui 3 modelos b sicos de armazenamento Medium Model Large Model e Huge Model 0 modelo default utilizado sempre que uma declara o explicita n o estiver presente definido durante a instala o do compilador e pode ser Medium ou Large Entretanto esse default pode ser alterado no instante da compila o atraves de uma diretiva geral ou atraves de comandos para vari veis em particular valendo nesse caso qualquer um dos tres modos anteriormente mencionados Quando um determinado programa possui apenas um segmento para o c digo e um segmento para os dados o enderecamento da memoria pode tornar se mais simples e eficiente Isso se da pois o processador ja possui o endere o b sico para o segmento que cont m os c digos CS e os dados DS Portanto qualquer item a ser referenciado necessita apenas de um endere o de 16 bits o que significa uma vantagem em relac o ao endereco completo de 32 bits pois demanda menos espaco de memoria e tempo de processamento Nesse caso O modelo de armazenamento mais 31 adequado o Medium Model Co
62. de elasticidade longitudinal segundo Xa 12 coeficiente de Poisson no plano X Xe P coeficiente de Poisson no plano x x 13 i 3 v Coeficiente de Poisson no plano x x 23 B 23 812 modulo de elasticidade transversal no plano xa a coeficiente de dilata o t rmica segundo x opc a coeficiente de dilata o termica segundo x ope As Coeficiente de dilata o termica segundo Na opc 222 importante mencionar que o elemento aqui analisado e aquele apresentado no item anterior com a denomina o de membrana sao muito semelhantes Ali s o bloco de rotinas que realiza as duas montagens e O mesmo As diferen as mais significativas dizem respeito exatamente aos t picos ja mencionados ou seja capacidade de an lise de estados planos de deforma o e axissimetrico Obrigatoriedade de estar contido no plano principal xXx e possibilidade de uso de material ortotropico De resto as outras caracter sticas s o comuns para os dois tipos Pode se mencionar a possibilidade de inclus o de quatro modos incompat veis de deslocamentos for as de superf cie constantes segundo os eixos locais na face IJ variacao de temperatura e ainda peso proprio agora apenas segundo os eixos globais Xo e Xz Alguns outros pequenos detalhes de modelagem est o relacionados aos estados plano de deforma o e axissimetrico No caso do estado plano de deforma o e importante mencionar que o programa sempre vai assumir a espess
63. de maneira an loga ao caso das rota es Depois e necessario que as rota es do n senhor que podem estar a ele relacionadas tornem se graus de liberdade do elemento implicando num aumento das 181 dimens es da matriz de rigidez Por exemplo se um determinado n n tem o seu deslocamento segundo Xy escravizado a um outro no m as rota es de m em torno de X e X5 tornam se graus de liberdade do elemento que 2 Di contem o no n Nessas novas linhas da matriz de rigidez N um E sao colocadas as rigidezes do grau de liberdade escravo multiplicadas pelas dist ncias convenientes Alem disso e necessario fazer se uma alteracao na matriz TD Essa altera o consiste numa amplia o do n mero de colunas de modo a compatibilizar a matriz com o aumento do n mero de graus de liberdade do elemento Nessas novas colunas estar colocada a coluna correspondente ao grau de liberdade escravizado multiplicada pelas distancias respectivas Com essas altera es a montagem da matriz de rigidez global a obten o dos deslocamentos nodais e ainda o calculo dos esfor os ou tens es nos elementos ser o normalmente processados como se os constrangimentos n o estivessem sendo definidos 3 4 10 Desempenho Quanto a precisao dos resultados obtidos o elemento barra tem comportamento semelhante ao elemento trelica A fun o de deslocamentos e exata para suas condi es de utiliza o Ja com resp
64. desse deslocamento ao longo da altura da estrutura resultando aproximadamente linear para este caso espec fico Pav No Trans X Trans Xz Rota o X1 Rotacao Xo Terreo 21 0015825 0090919 0009765 2000089 12 Pav 41 0055564 0001782 0816611 0000148 22 Pav 61 0107579 0002541 0021146 0000203 32 Pav 81 170115 0003255 0024352 0000261 42 Pav i01 0239922 8003917 0026500 00020512 52 Pav i21 314400 0004524 0027798 0000359 6 Pav 141 0391463 0085073 0028416 0000401 72 Pav 161 0469449 0005566 0028488 0000437 8 Pav 181 0546991 0006003 0028123 U000469 92 Pav 201 8 623853 0006385 0027413 0000497 10 Pav 221 0696782 0006715 0026434 0000520 112 Pav 241 07675356 0006997 0025251 0000539 122 Pav 261 0834841 0007234 0023925 00 555 132 Pav 281 0898384 0001609 0022645 0900490 142 Pav 301 0958004 0007587 0021070 0000577 152 Pav 321 1013702 0007712 0019657 0000584 16 Pav 341 1065651 0007806 0018544 0000588 17 Pav S l 1114218 0007874 0017196 0000604 18 Pav 381 1159998 0007919 00163543 0000532 192 Pav 401 1203868 0007943 0015755 0001000 tabela 3 2 186 3 5 ELEMENTO TIFO 3 CONTORNO 3 5 1 Caracterizacao do Elemento O elemento contorno e utilizado para a implementa o de condi es de vincula o especiais e calculo de rea es em nos da estrutura Basicamente sua aplica o estende se
65. diferente sendo seu conte do compartilhado entre v rias rotinas Mais especificamente quando se trabalha com FORTRAN as vari veis locais s o aquelas que usadas dentro de uma determinada sub rotina n o se encontram em COMMON nem passadas como parametro As vari veis globais por sua vez s o as que se encontram em COMMON ou passadas por parametros entre os m dulos de programa o O importante de se observar e que uma variavel local apesar de ter sua existencia restrita a apenas um m dulo de programa o continua ocupando O mesmo espa o Na memoria durante toda a 97 execu o do programa Assim sendo O programador experiente deve restringir o seu uso ao minimo poss vel No caso do programa LS o uso de variaveis locais praticamente esta abolido Alem das matrizes e vetores utilizados ocuparem areas comuns a todas as rotinas ate mesmo a grande maioria dos escalares segue esse principio Obviamente que os nomes dessas variaveis s o muitas vezes alterados de procedimento para procedimento mantendo se somente a mesma area de armazenamento Esse tipo de a o leva a uma economia significativa da quantidade de memoria a ser utilizada com os dados de carater geral sem nenhum P f b prejuizo a clareza dos comandos 2 8 2 Definicao dos COMMON s do Programa 2 8 2 1 Considera es Iniciais Como foi mencionado no item anterior um perfeito gerenciamento da area reservada aos dados fundamental para que o
66. do programa LS os blocos apresentados no item anterior ja foram montados levando se em conta tais considera es A figura 2 1 esquematiza o procedimento adotado Atraves dela pode se perceber que o nico bloco que permanece na mem ria durante todo o processamento e o bloco PR Assim foi definido pois est o contidos nesse segmento o programa principal e as rotinas utilizadas em diversas partes do programa Caso esse segmento tivesse que Sair da memoria em algum instante logo adiante teria que ser recarregado Desse modo o processamento teria seu tempo aumentado sem que a memoria economizada fosse t o significativa o bloco PR compreende apenas 15 dos comandos do programa Todos os demais nove blocos definidos s o carregados para a mem ria apenas no instante de sua execu o A figura 2 2 mostra esquematicamente como o compilador trata esse fato Em termos de mem ria alocada ao carregamento do c digo existe uma parte destinada ao bloco PR que estara sempre na memoria Quanto aos demais O compilador reserva apenas um espa o suficiente para o carregamento do maior dos outros blocos Desse modo percebe se que a quantidade total de memoria alocada para armazenamento do c digo e equivalente ao tamanho do bloco PR e ao do maior bloco 47 ROTINAS PERMANENTEMENTE EM MEM RIA CENTRAL ROTINAS EM OVERLAY fig 2 1 Organiza o dos blocos Mem ria para aloca o do c digo Bloca PR Quantidade correspondente ao maior bloco
67. dos Materiais Ed Harper amp Row do Brasil S Paulo 1984 3 6 Bathe K Finite Element Procedures in Engineering Analysis Ed Prentice Hall Inc Englewood Clifs N J 1982 3 7 Brebbia C 0 Connor J J Metodos de los Elementos Finitos en la Ingenieria Civil Ed Colegio Oficial de Ingenieiros de Caminos Canales y Puertos Madrid 1975 3 81 Zienkiewicz 0 C The Finite Element Method Ed Mc Graw Hill London 1985 13 9 Hinton E Owen D R J Finite Element Programming Ed Academic Press London 1977 3 101 Strang 6 3 Fix G 3 An Analysis of the Finito Element Method Ed Prentice Hall Englewood Clifs N J 1973 299 3 111 Rubinstein M F Rosen R Substructure Analysis by Matrix Decomposition Journal of Structural Division Proc ASCE New York 1970 13 181 Jaeger C Rock Mechanics and Engineering Ed Cambridge University Press Combridge 1972 3 13 Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics Ed S Fenves N Perrone A Robinson e MW Schnobrich Academic Press London 1973 3 14 Clough R W Felippa C A 3 A Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending Proc 2nd Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics Wright Peterson Air Force Base Ohio 1968 3 13 Clough R W Tocher J L Finite Element Stiffnoss Matrices for the Analysis of Plate Bending Proc Conference on Matrix Methods in Structu
68. e a Logo pode se escrever i i T z In A eee 5 p LI f 9 3 175 onde i 0 o 1 o 1 0 0 A D 1 m d 0 1 a i gt 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 9 6 8 Matriz da Relacao Momentos Deslocamentos Para a determina o da matriz de relacao momentos com deslocamentos sera necessario trabalhar por sub tri ngulos Determinar se a para Cada um desses sub elementos o vetor dos momentos no centroide Para o c lculo em rela o ao elemento completo basta realizar uma m dia dos valores determinados Considerando se as express es 3 166 3 167 e 3 168 pode se escrever mi D pee 3 176 onde Eae De no Ressalta se que na matriz os valores de hy gt ho e he s o os dos centr ide ou seja 20 3 Portanto a matriz para o elemento completo resulta v v tae gt tot tot2l gabe ASA 284 3 7 6 9 Vetor de Momentos Iniciais O vetor de momentos iniciais somente recebera contribui o do gradiente de temperatura Sua determina o e trivial podendo se escrever 3 178 onde m e fornecido pela equa o 3 174 2 9 7 Matrizes o Vetores em Coordenadas Globais Ap s a montagem dos elementos triangulares de membrana e placa ou apenas placa se esse for o caso e necess rio verificar se o elemento definido pelo usu rio era triangular ou quadrangular No caso de tri ngulo o procedimento e um pouco mais simples bastando ao programa transformar as
69. e considera o autom tica de peso pr prio Quanto a o sobre as faces ela deve ser constante Caso seja do tipo 1 atua na dire o normal face carregada Caso seja tipo 2 podem ser fornecidos tr s valores j em rela o aos eixos de refer ncia global Seus sentidos positivos s o referenciados no caso de tipo 1 pelos coordenadas homog neas r s e t mostradas na figura 3 46 Para cada face a a o ser positiva quando na dire o do eixo homog neo correspondente No caso do tipo 2 os sentidos positivos ser o os dos eixos de refer ncia A considera o desse carregamento depende da face de atua o Por exemplo Considerando se uma a o tipo 1 positiva atuando na face r 1 conforme mostra se na figura 3 47 amp integra o dessa tens o na area correspondente feita de acordo com a express o P HT um dS 2 3 117 ie we A matriz H e um arranjo conveniente das fun oes de ee E b f interpola o de modo a conseguir se a seguinte rela o 249 1 V T ub V H 22 3 118 W 8 418 QD Pode se escreve la H H H H H H H H H sa 3 119 onde 8 a i H a wi 1 a h J o ndice s que aparece na matriz H da expressao 3 117 apenas indica que ela sera calculada para uma determinada face no caso a face onde r 1 Logicamente nesse caso as fun es interpoladoras ter o apenas os eixos s e t como vari veis Para o calculo do vetor Re quando
70. e do Contorno Formula o do Elemento Sapata R gida 4 3 1 Introdu o 4 3 2 Forma e Fun o Aproximadora 4 3 3 Par metros Internos em Fun o dos Valores Nodais 4 3 4 Discretiza o da Equa o Integral 4 3 5 C lculo da Rigidez das Sapatas 4 3 6 Transla o da Matriz de Rigidez 4 3 7 Simetriza o da Matriz de Rigidez An lise de Resultados 4 4 1 Introdu o 4 4 2 Integra o Num rica e Tempo de Processamento 4 4 3 Sapatas Isoladas 4 4 4 Sapatas com Intera o 4 4 5 Influencia das Sapatas na Superestrutura Conclus es Refer ncias Bibliogr ficas 289 299 301 302 302 304 310 320 320 322 323 326 329 332 336 342 342 344 347 355 358 383 387 CAP TULO 1 Introducao 1 1 OS COMPUTADORES E OS M TODOS NUM RICOS O aparecimento dos computadores no final da d cada de 40 e inicio da d cada de 50 provocou uma verdadeira revolu o nos processos de analise de estruturas Essa revolu o deu se basicamente em dois niveis maior rapidez na execu o de calculos e aprimoramento dos modelos matem ticos utilizados para as an lises Numa etapa inicial os maiores benef cios advindos do seu aparecimento estiveram concentrados a nivel pr tico numa agiliza o significativa dos procedimentos de c lculo Assim sendo num primeiro momento os modelos matem ticos utilizados sofreram poucas altera es tornando se a computa o uma ferramenta de otimiza o d
71. em centimetros encontram se organizados na tabela 3 1 onde Em representa os deslomentos devidos exclusivamente ao momento fletor e Suey fletor e da forca Cortante te a fd os devidos a consideracao do momento Pela observa o da tabela 3 1 pode se concluir que a varia o dos resultados n o e muito significativa Mesmo para rela o H L igual a 1 3 onde seria esperada a maior diferen a pois a parcela devida a for a cortante e relativamente maior a diferen a da ordem de 5 183 e em raso cem as tatoo ae Gute a re VA O SY O O a ao o a enh a mes a a a PO O GO a e e e e e ee vee O A e km RUN M MV 12x100 1 3 0 0450 0 0474 9 3 12x50 1 6 0 3500 0 3648 1 3 12x30 1 10 1 6667 1 6746 0 5 tabela 3 1 3 4 11 2 Edificio Sob Carga Horizontal Neste exemplo v o ser apresentados alguns resultados obtidos da an lise de um edif cio de 1 pavimento t rreo e mais 19 pavimentos tipos com um total de 55 m de altura submetido a o do vento A estrutura discretizada com 422 n s e 640 elementos barra e apresentada em perspectiva na figura 3 8 O m dulo de elasticidade do material componente das pe as e de 2x107 KN m e foram definidas 15 propriedades de se es Quanto ao carregamento ele atua segundo o eixo X com base na NBR 6123 gt e foi calculado interessante mencionar que todos os n s de um pavimento foram for ados a apresentar um mesmo deslocamento segundo o eixo X Isso foi feito mediante a escraviz
72. esfor o na tentativa de pelo menos se aproximar desses limites Por outro lado para a compara o da acuidade de resultados e do tempo de processamento existe a dificuldade de se executar an lises com uma mesma estrutura e Num mesmo computador utilizando se os programas entre os quais se deseja a compara o Mesmo assim tentar se a seriamente estabelecer essas compara es e a partir dai desenvolver algumas conclus es a respeito dos resultados obtidos na presente pesquisa Devido as dificuldades mencionadas no par grafo anterior a referida compara o sera sempre que possivel realizada entre o m dulo LS e apenas mais tres programas de an lise o SUPERSAP da Algor Interactive Systems Inc e SAP8 SAP92 desenvolvidos pela Computers amp Structures Inc A execu o dos processamentos foi realizada em computadores compat veis com IBM AT com coprocessador matem tico 80287 e frequencia de 12 MHertz 137 Faz se necessario agradecer as seguintes empresas pela gentileza da cess o de seus programas para os testes executados Fran a e Ungaretti Consultoria e Projetos de S o Paulo e Est dio 3 Projetos Estruturais de Porto Alegre 2 11 2 Capacidade de Analise capacidade do programa LS para analisar grandes estruturas esta ligada basicamente a duas express es Pode se apresenta las da seguinte maneira nn 10 009 2 10 6 nn 2 neqb nb s 100 000 2 11 onde nn n mero de pontos nodais
73. maneira diferente da qual foram gravados Sendo t o importante uma correta avali o sobre o desempenho dessas estruturas de arquivos optou se pela montagem de um pequeno programa onde essas condi es pudessem ser analisadas a nivel quantitativo Consiste op referido programa num conjunto de instru es que realiza um mesmo trabalho b sico de grava o e leitura de um arquivo de dados utilizando se as seis estruturas mencionadas Para todas elas O programa executa mil vezes a grava o de um conjunto de vinte n meros reais de quatro bytes Em seguida realizada a leitura desses mil conjuntos contando se inclusive o tempo de retorno do ponteiro ao inicio do arquivo para os casos de acesso sequencial No caso de arquivos formatados foi adotado o formato F4 i que deveria resultar num tamanho correspondente ao dos arquivos n o formatados Quanto aos arquivos rand micos O tamanho do registro definido foi de BB bytes 28 vezes quatro bytes Os resultados obtidos foram organizados na tabela 2 1 Pela observa o dos tamanhos de arquivos obtidos pode se concluir que n o existe uma diferen a significativa de efici ncia entre as diversas estruturas quanto a esse particular Apenas a mencionar Que os arquivos formatados normalmente resultariam maiores pois o formato utilizado 38 E B gt E neste teste dificilmente seria satisfatorio para os casos pr ticos Estrutura Tamanho bytes Tempo seg Sequencial Nao Form
74. matrizes e vetores desenvolvidos em rela o as coordenadas locais para as coordenadas globais Essas coordenadas globais s o as mesmas j consideradas por exemplo para o elemento tipo 2 No caso generico s o tr s transla es e tr s rota es para cada no do elemento Neste ponto talvez seja interessante ressaltar que o elemento casca tem efetivamente apenas cinco graus de liberdade Entretanto para efeito de compatibilizacao com o restante do programa e como se fossem considerados seis graus de liberdade No caso a rota o segundo o eixo Ra fica sem contribui o A tranformacao das matrizes e vetores escritos em rela o as coordenadas locais para as coordenadas globais e feita por meio da mesma matriz A ja mencionada em outros elementos No presente caso considerando se li m en i respectivamente cossenos diretores do eixo local x em 285 relacao aos eixos globais Xi Xo e ks pode se escrever a matriz de transforma o para os elementos definidos com tr s n s Au 2 2 A Q Ao a en 3 179 e e w ry lj Z AQ onde 1 Ro 1 n n5 ES Mo OS A matriz de tranforma o ser utilizada para alterar a matriz de rigidez segundo a expressao 3 17 Quanto ao vetor de cargas a equa o a ser utilizada a 3 33 Por fim no caso da matriz de rela o momentos deslocamentos a equa o sera a seguinte TD td e 3 180 Menciona se ainda que o vetor de momentos iniciais n o necessita de al
75. montada com os cossenos diretores dos eixos locais x x e x2 em relac o aos eixos globais Xie x e X A figura 3 7 mostra esses cossenos e esclarece a nomenclatura adotada Desse modo a matriz A pode ser expressa da maneira que se seque o o 3 24 e i 28 27898 29 2 o 20 28 2 28 O 24 20 209 o er 26 78 8 onde 172 fig 3 4 Sistema local do elemento barra fig 3 5 Coordenadas locais fig 3 6 Coordenadas globais 173 3 4 3 Matriz de Rigidez em Coordenadas Locais A matriz de rigidez do elemento barra em rela o as coordenadas locais tambem esta deduzida com detalhes na referencia 5 2 Em termos de submatrizes pode ser expressa da seguinte maneira ra ra r1 r2 v ra re rs r e a ae 22 3 239 s ra ra sim E id ra As submatrizes de ordem 3 que compoem a matriz de rigidez local tem as seguintes express es ER e L 12EI4 ri 3 26 L Cite 12E 1 3 2 L GL SElz r2 o lt a 3 27 L Cito 6E I a g 2 L lite 174 GI a a Es 4 P El ra i e e Oo 3 28 de L 1 4 EI 0 0 2 3 L 1 o o SEL r EIA TER 3 29 L 1 EI e o L lite i o e L 2 EI oy a DNE Mu a 3 30 L 1 2 89 El und Num Liltz Os par metros 5 z representam a influencia da forca cortante Se forem admitidos iguais a zero a matriz toma a forma mais usual levando em c
76. montagem e solu o do sistema de equa es global que a primeira vista deveriam causar as maiores limita es praticamente n o influem no limite da capacidade do programa Isso porque pode se chegar a ter apenas duas equa es em cada bloco do sistema Para se ter uma ideia do que isso significa basta fazer o n mero de equa es por bloco igual a dois nas express es 2 1 2 2 e 2 3 no item 2 7 Verifica se dessa maneira que muito antes de serem atingidos aqueles limites as express es 2 10 e 2 11 j indicar o a impossibilidade da analise Convem ressaltar que esses limites poderiam ser modificados de modo a permitir a an lise de estruturas ainda maiores Por exemplo na leitura dos pontos nodais n o haveria uma necessidade absoluta da matriz e dos vetores mencionados estarem simultaneamente na rea de trabalho acontecendo o mesmo na entrada das cargas nodais Entretanto caso isso n o ocorresse sem d vida o acesso aos arquivos em disco e por consequencia o tempo de processamento iriam crescer de modo significativo Deve se notar que esse acrescimo seria verificado para qualquer estrutura grande ou pequena Lembrando se que os limites apresentados nas express es 2 10 e 2 11 permitem com folga a an lise da imensa maioria das estruturas que se 139 possa imaginar nao seria l gico tomar esse tipo de provid ncia Para maior clareza a respeito das limita es verificadas pode se mencionar que as seguintes estrutu
77. n s a ele conectados MBMVIG Realiza o calculo do grau de cada n armazenando essa informa o no vetor IG Entende se por grau de um n o numero de n s a ele conectados MBPMMC Opera sobre a matriz de conex es nodais MC de modo a organizar as conex es de cada n de acordo com uma ordem crescente de graus MBCOMP Indentifica os componentes de uma estrutura criando um vetor onde o componente de cada n armazenado Entende se por componente um conjunto de n s conectados apenas entre si MBMBND Calcula a maxima diferen a de numera o entre dois nos conectados A banda da matriz est relacionada a essa 44 diferenca MBGMIN Gera o esquema de renumera o propriamente dito baseando se em matrizes e vetores criados pelas rotinas anteriores MBPMIR Le modifica e grava a matriz IR que cont m os n meros das equacoes para cada grau de liberdade Atua somente quando se consegue a redu o da banda original MBPVIC Le modifica e grava o vetor IC que contem os n meros das equa es onde as rigidezes dos elementos v o contribuir na forma o da matriz global De forma semelhante a rotina anterior atua somente quando se consegue a redu o da banda da matriz 2 3 2 5 Bloco SO O conjunto de rotinas agrupadas neste bloco diz respeito a montagem e solu o do sistema global de equa es e ao calculo e apresenta o dos resultados obtidos G total de linhas de program
78. na superestrutura pela considera o da intera o com a funda o Nesse caso vai se procurar mostrar qual e o grau dessa variabilidade pelo calculo sucessivo da mesma estrutura considerando se a funda o totalmente rigida ou flexivel com pelo menos dois valores de m dulo de elasticidade A respeito dos par metros que descrevem o comportamento el stico linear do solo m dulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson e fato not rio que sua determinacao e um assunto muito complexo Entretanto o enfoque principal desejado por esta pesquisa continua sendo a estrutura Desse modo apenas serao apresentados alguns valores medios para essas caracteristicas sem que este ponto tenha o tratamento cuidadoso que mereceria se o enfoque n o fosse o mencionado Assim apresentam se nas tabelas 4 1 e 4 2 respectivamente os valores para v e E 4 22 Solo P Argila saturada 0 40 a 0 50 Argila parcialmente saturada 0 10 a 0 30 Argila arenosa 0 20 a 0 50 Silte 0 50 a 0 35 Areia compacta 0 20 a 0 40 Areia compacta grossa 0 15 Areia compacta fina 0 25 tabela 4 1 343 TO O at a a SENS ID O NG FO e A ne it ams ene ster a mew ewes ME RA ween wer eer em Solo E KN m Argila muito mole 300 a 3 200 Argila mole 2 000 a 4 022 Argila media 4 500 a 9 220 Argila dura 7 000 a 20 000 Argila arenosa 30 000 a 42 500 Silte 2 000 a 20 O00 Breia siltosa 5 400 a 20 O00 Breia fofa 10 000 a 25 2900 Areia compacta 50 000 a 100 200 Areia compacta e
79. necessario impor en ae Considerando se que O mesmo tratamento deve ser dispensado aos nos 7 e 8 pode se organizar essas expressoes em forma matricial da maneira que se seque 11 13 11 131 o E AA j 1 3 11 3 8 dg dg das dao 2 3 1589 11 13 19 3 dg do des M doo ou ainda u ne D D 9 3 159 Portanto os valores de ug Que levam compatibilidade desejada podem ser expressas por u pi Do D u L 4 e 3 160 e e e Desse modo a equa o 3 155 pode ser reescrita agora apenas em fun o dos deslocamentos e rota es ua da seguinte maneira mee Res NIS 4 He E pa L Ue id qu 5 QU Ms 1033 ou ainda 278 w QC 2i JU 3 162 51 ls ve onde no Wi Py 85 2 9 5 05 Ws Bis 05 0 9 0 Portanto as fun es de interpola o 4H s o totalmente compat veis e permitem que se escreva o campo de deslocamentos em fun o dos graus de liberdade do elemento completo Essas fun es que demandam um grande trabalho alg brico para serem explicitadas tamb m s o apresentadas pela refer ncia 3 14 na pagina 440 De modo semelhante as interpola es n o compat veis tamb m n o se reproduzir essas express es neste trabalho 3 9 6 4 Elimina o dos N s de Meio de Lado Apos a obten o da express o 3 162 ainda necess rio eliminarem se os graus de liberdade 94 E 9s e 95 para obter se o elemento LCCT 9
80. o PY da coordenada homogenea r pode ser escrita q t t t r lcm x itr 3 99 onde ti espessura do elemento no n I igual a X5CI ty espessura do elemento no n J igual a X2 9 Desse modo substituindo se o valor de t dado pela express o 5 99 na equa o 3 73 e realizando se a devida integra o obt m se p 2t ti J p 2t ty p fti 2tj D t 2t _ 1 2 J P1 igg amp wee 3 100 S GG sum Gutra parcela que tambem apresenta se alterada e a correspondente aos efeitos de variacao de temperatura 230 inicialmente e necess rio uma alterac o no vetor de deforma es iniciais 6 de modo a se considerar os diferentes coeficientes de dilata o termica nas dire es x e s Essa alteracao resulta ed u 1 AT 4 a 3 101 Tambem a espessura que no tipo anterior era sempre constante precisa ser considerada vari vel quando tratar se de problemas axissimetricos Isso simples de ser realizado bastando a substitui o do valor de tij fornecido pela equa o 3 93 na express o 3 80 Desse modo a parcela das cargas resulta Y to Mio To 3 102 P2 ij ij wij E i j Finalmente menciona se que a contribui o do peso pr prio tamb m ser alterada para os casos de problemas axissim tricos novamente por efeito da varia o da espessura No caso essa altera o verifica se na express o 3 83 c lculo dos volumes ass
81. o a biblioteca de elementos Pesquisas ja desenvolvidas estao ampliando a possibilidade dos elementos Pode se destacar a considera o de diafragmas rigidos e efeito de n o linearidade geometrica para os elementos trelica e barra O desenvolvimento de um novo tipo de elemento placa inclusive com crit rios de plastifica o do material E ainda trabalha se na otimiza o do processamento de estruturas com elementos de geometria repetida Desse modo com o concurso de alguns pesquisadores ligados aos metodos num ricos espera se corrigir eventuais defici ncias existentes no desenvolvimento ate aqui realizado 148 2 12 REFER NCIAS BIBLIOGRAFICAS 2 1 FORTRAN 4 01 User s Guide Microsoft Corporation 1987 2 2 FORTRAN 4 01 Reference Manual Microsoft Corporation 1987 2 2 Alway G G Martin D W An Algorithm for Reducing the Bandwidth of a Matrix of Simetric Configuration Computer Journal Vol 8 1965 12 4 Akyus F 0 Utku S An Automatic Relabeling Scheme for Bandwidth Minimization of Stiffness Matrices Journal of the American Institute of Aeronautics and Astronautics Vol 6 1968 2 8 Rosen R 3 Matrix Bandwidth Minimization Proceedings of the 23rd National Conference Association for Computing Machinery Brandon Systems Press Princeton NJ 1968 2 6 Grooms H R Algorithm for Matrix Bandwi dth Reduction ASCE J Structural Division Vol 98 1972 2 71 Cuthill E
82. o dinamica de vari veis Atrav s desse procedimento todos os dados j adquiridos se encontram em mem ria central podendo ser acessados com grande rapidez e efici ncia sem que se nesessite recorrer a perifericos Ro final da entrada ou em qualquer momento que se desejar esses dados podem ser armazenados em disquetes ou discos r gidos atrav s de um simples comando que indique a necessidade de se salvar as entradas j feitas Al m dessas considera es deve se mencionar que para 117 se obter um processamento altamente eficiente torna se necessaria a subdivis o do programa em um determinado n mero de subprogramas comandados por um gerenciador Isso proporciona um carregamento muito mais rapido para a memoria central pois os modulos nao utilizados n o s o carregados e permite que se adicione recursos extras ao programa sem um comprometimento da quantidade de memoria central disponivel ao armazenamentodos dados Essa substitui o dos programas em execu o se faz atraves da tecnica de Overlay ja mencionada em tens anteriores deste cap tulo Como ltimo detalhe a ser mecionado tem se a quest o das mensagens e textos de ajuda que s o opcionalmente oferecidas aos usuarios Essas mensagens se encontram armazenadas em arquivo e se assim for determinado s o carregadas para a memoria passando a ser armazenadas na area de Heap atraves de aloca o dinamica Caso um Comando de ajuda seja acionado essas mensa
83. o esquema adotado esse calculo limita se a algumas opera es simples com matrizes e vetores previamente montados A opera o come a no programa principal Para cada grupo de elementos existente e chamada a rotina de comando do tipo de elemento a ele correspondente sendo indicado que se deseja o c lculo das tens es e ou esfor os Desse 95 modo agora para cada elemento do grupo a rotina de comando faz a chamada do procedimento SOTENS que efetivamente executa o calculo das tens es e ou esfor os Essa rotina inicia se com a leitura para o elemento considerado da matriz de rela o tens es e ou esfor os por deslocamentos TD e matriz de tens es e ou esfor os iniciais Tl Alem disso acessado tamb m o vetor de contribui o do elemento IC que relaciona o grau de liberdade local do elemento ao grau de liberdade geral da estrutura A partir dai considerando se que os deslocamentos nodais ja se encontram armazenados na area de trabalho desde a etapa anterior basta realizar o c lculo propriamente dito para cada caso de carregamento a ser ia tv considerado atraves da expressao TE TD DE TI wee 2 9 e e onde TE tens es e ou esfor os calculados DE deslocamentos dos nos do elemento A saida dos valores calculados realizada pela pr pria rotina de comando de cada tipo de elemento atrav s de formatacao conveniente Alem disso realiza se a montagem da maior parte do arqu
84. os deslocamentos resultariam E wil HEt Heid e wae 3 154 0 Ressalta se que os sub vetores pti e Het s o m w ij compostos pelas mesmas funcoes que compoem ut com as adapta es necess rias ao novo arranjo do graus de 276 liberdade Equa es semelhantes podem ser montadas para os sub tri ngulos 2 e 3 resultando no seguinte conjunto eu quid atta ne NO RM HZI H2 e 3 155 ne nO uS ES aI ESI 3 9 6 3 Compatibilidade de Rota es Internas A express o 3 155 nao representa um estado de deslocamentos compat veis Apesar dos deslocamentos tranversais serem os mesmos quando se trata de um lado comum entre dois sub triangulos as rota oes normais diferem necess rio portanto alterar as fun es de interpola o para que essa compatibilidade seja garantida Considere se por exemplo a jun o entre os sub elementos i e 2 Verifica se na figura 3 61a que o ponto nodal 9 est contido nessa interface Nesse caso a rota o normal a essas faces pode ser calculada atraves de rela es desenvolvidas para cada um dos sub triangulos adjacentes Considerando se o sub elemento 1i tem se u 131 _ 13 t1 ne oft apr Qn ake 3 156 Mo onde atid atid i e ie a doe T RS e doc 79 calculados para o no 9 Ja com a considera o do sub elemento 2 tem se 277 u ats ap a5 Re ws 3 157 e Pe O Entretanto para que a compatibilidade seja mantida
85. os deslocamentos nodais obtidos no processamento e posterior adi o de eventuais tens es e ou esfor os iniciais Para esse procedimento necess rio que as rotinas dos elementos construam a matriz que relaciona tens es e OU esfor os com deslocamentos chamada TD e o vetor de tens es e ou esfor os iniciais TI A matriz TD genericamente falando e retangular de dimensdes NTE x NGL Ja o vetor TI tem dimens o NTE Informa es sobre a montagem dessa matriz e desse 61 vetor podem ser encontradas no capitulo 3 que detalha as rotinas para cada tipo de elemento Alem disso detalhes dos c lculos a serem realizados para a obtencao dos esforcos e ou tens es finais aparecem no item 2 4 5 deste cap tulo 62 2 6 MINI MIZACAO DA SEMI BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL 2 6 1 Introdu o A matriz de rigidez de uma estrutura analisada pelo M todo dos Elementos Finitos quadrada e sim trica Alem disso em situa o normal os elementos diferentes de zero distribuem se preferencialmente em torno da diagonal principal conforme mostra se na figura 2 7 Dessa maneira muito interessante que o armazenamento da matriz seja realizado de forma a evitar se esse grande n mero de elementos nulos e ainda aproveitando se da simetria Uma dessas formas de armazenamento considerar apenas a faixa da matriz mostrada na pr pria figura 2 7 atrav s da rea escurecida A semi banda da matriz quantidade de elementos n o nulo
86. os n s posicionados nas extremidades no caso 3 e 7 Portanto no caso considerado as sementes para D i r E OS esquemas a serem gerados ser o os dois nos mencionados 2 6 3 3 Geracao de Esquemas de Renumera o A gera o dos esquemas de renumera o de nos da 70 estrutura ou vertices do grafo e basicamente a mesma para qualquer algoritmo desse tipo Trata se de adotado o no ou vertice de partida seguir as conex es armazenadas na matriz MC A numera o e feita em sequencia de um n para as sua conex es imediatas ate que todos os nos estejam numerados No caso da estrategia Cuthill Mckee a sequencia de conex es para um determinado no e montada seguindo uma certa hierarquia inicialmente s o considerados os n s de menor grau Considerando se ainda o exemplo da figura 2 9 pode se tentar explicar O algoritmo de gera o mostrando se os esquemas obtidos atraves da considera o das sementes 3 e 7 No caso esses esquemas s o apresentados na figura 2 11 a para O n 3 e b para o n 7 Em ambos Os casos a maior diferenca entre dois nos conectados foi de tr s Assim sendo qualquer dos dois esquemas pode ser utilizado para a renumeracao dos n s da estrutura Sobre esse esquema definido e que se daria a numera o das equa es do problema 2 6 3 4 Pontos Negativos da Estrat gia O primeiro ponto negativo dessa estrategia de minimiza o e o grande trabalho computacional envolvido na determina o d
87. placa casca O quinto cuida do nico elemento tridimensional definido no programa O s lido Por fim o sexto modulo e que permite a entrada dos elementos que podem ser vistos como especiais contorno e sapata Essa organiza o se revelou eficiente pois permite ao usu rio um acesso rapido a qualquer rotina de entrada sem que todas elas estejam presentes simult neamente em mem ria central Entretanto e importante ressaltar que durante o uso do programa praticamente nao se percebe essa divisao sendo que todo o procedimento de comando desta ou daquela rotina feito a nivel de m dulo gerente sem qualquer atua o do usu rio A figura 2 19 ilustra esquematicamente a organiza o adotada 2 10 8 Organiza o dos Menus Dentro do programa editor existem basicamente dois tipos de menus Os menus de op o assim chamados pois permitem ao usu rio optar por uma dentre as v rias fun es de um m dulo e os menus de controle assim chamados pois executam dentro de cada op o as fun es de controle como 119 DADOS ALOCA O DIN MICA PROGRAMA EDITOR DE 9490 ARQUIVO DE DADOS PLM IIL LT AF a ae r fig 2 18 Esquema de funcionamento MODULO GERENTE ELEMENTOS ELEMENTOS ELEMENTO ELEMENTOS NODAIS TIPOS 1 e 2 TIPOS 3 406 TIPO 5 TIPOS Te 8 fig 2 19 Organiza o do programa 120 por exemplo limpar um campo salvar um campo pedir uma mensagem ex
88. por n s da estrutura Isso feito por blocos em ordem decrescente de maneira que inicialmente s o gravados os deslocamentos relativos a todos os carregamentos e que estejam armazenados no ltimo bloco Logo ap s os deslocamentos do pen ltimo bloco e assim por diante ate que todos os valores tenham sido gravados 93 2 7 5 Saida dos Deslocamentos Nodais A saida dos deslocamentos nodais realizada pela rotina SODESL um procedimento bastante simples baseado na leitura dos deslocamentos nodais do arquivo ARQ2 e da matriz IR que apresenta os n meros das equa es do problema para cada grau de liberdade da estrutura e esta armazenada no arquivo ARQ8 Interessante de se mencionar e que o programa realiza um controle do n mero de casos de carregamento que ser possivel tratar simult neamente considerando se a ja mencionada rea de trabalho de 400 Kbytes Isso porgue nas rotinas que realizam esses ultimos procedimentos do programa deve permanecer em mem ria central uma variavel bidimensional de reais 8 bytes com tamanho relativamente grande Essa vari vel D contera os deslocamentos nodais organizados por grau de liberdade e por caso de carregamento Assim sendo O n mero de linhas ser negb x nb numero de equa es em todos os blocos e o n mero de colunas igual ao n mero de casos de carregamento cujas saidas estar o sendo providenciadas ncc Entretanto a vari vel D n o estar ocupando sozinha
89. que a capacidade do programa possa ser relativamente grande sem a necessidade de se trabalhar com estruturas de dados mais complexas Em rela o a capacidade de analise as informa es dispon veis n o s o claras pois o manual do usu rio n o menciona esses limites Entretanto em folhetos de publicidade lan ados no Brasil mencionado para o SAPSB o limite m ximo de 10 000 graus de liberdade sem qualquer explicacao adicional sobre o n mero de elementos ou pontos nodais permitidos Quanto aos tipos de elementos disponiveis ao uSuario O programa define apenas tres um elemento de barra um elemento de casca e um elemento s lido A barra permite a modelagem de trelicas e p rticos pianos ou espaciais alem de grelhas O elemento de casca possibilita a an lise de estados planos de tens o placas alem das cascas propriamente ditas Finalmente o elemento solido hexaedrico e utilizado preferencialmente para modelagem de estruturas tridimensionais 14 A montagem do sistema de equa es global e feita por blocos e por altura efetiva de colunas Esse procedimento produz um bom resultado em termos de tempo de processamento principalmente porque o primeiro modulo executado realiza uma renumera o dos n s da estrutura de modo a produzir uma otimiza o desse perfil Quanto a solu o do sistema propriamente dita O processo utilizado o da elimina o de Gauss A entrada dos dados do SAP9 que e id ntica a do SAP8
90. rea definida com o intuito de economizar memoria utilizada mas sim de tornar o acesso s vari veis que o comp em poss vel de qualquer rotina do programa 2 8 3 Variaveis Locais Como j foi mencionado praticamente n o existem variaveis de carater local no programa LS Rigorosamente todas as matrizes e vetores presentes no programa est o alocadas em reas comuns a todas as rotinas Algumas poucas excess es dizem respeito aos indices de procedimentos repetidos escalares para acumula o parcial de opera es e variaveis auxiliares Mesmo assim para conseguir se uma organiza o mais adequada definiu se um certo roteiro para dar nomes a essas variaveis Algumas das principais regras nesse sentido s o destacadas a seguir ndices de procedimentos repetidos do DO mais externo para o mais interno s o usados ndices de apenas um caracter reservando se para tanto as letras do alfabeto que o FORTRAN por default define como variaveis inteiras ou seja i j k 1 m e n nessa ordem 102 Variaveis auxiliares para O caso de variaveis inteiras s o usadas IAUX ou IAUX1 IAUX2 etc No caso de reais AUX ou AUX1 AUX2 etc ndices auxiliares quando algum indice auxiliar definido em fun o de dois ou mais indices ja definidos anteriormente procura se combinar os nomes dos ja existentes para formar o nome do auxiliar Apenas como por exemplo pode se citar IJ 2XI J Variaveis para acumul
91. rela o ao elemento tipo 4 a consideracao da espessura correta para cada ponto a ser considerado na integra o num rica Assim sendo no caso de um estado axissimetrico a expressao 3 64 do elemento anterior fica da seguinte maneira ro Es Da Raua 3 97 a E ij ME nij 1 3 onde tij espessura do elemento no ponto ri e S ver equacao 3 93 r fy Ja para os estados planos de tens o e deforma o a espessura continua constante sendo tis t e tij 1 respectivamente 3 7 7 Vetor de Cargas Os tipos de carregamento sobre o elemento s o exatamente os mesmos do elemento anterior As altera es a serem feitas s o devidas a considera o do problema axissimetrico e ao fato de que a face IJ n o mais se encontrar sempre sobre o eixo local Xe Quanto ao carregamento sobre as faces o vetor ta ser alterado pois as forcas normais e na dire o da face n o estar o corretamente orientadas segundo os eixos locais Considerando se Q como o angulo entre o eixo local x e a dire o da face IJ positivo no sentido anti hor rio pode se escrever 229 3 98 onde P p cos8 p 8ene Pao PI p for a de superf cie na dire o da face fig 3 20 sene p cose forca de superficie normal face fia 3 20 Outra altera o diz respeito a varia o da espessura que no caso anterior era sempre constante Agora em casos de problemas axissimetricos a espessura em fun
92. s lido para ser dada a sa da desses deslocamentos etapa 6 inativo 2 9 2 4 Arquivo ARQ3 Arquivo de formato bin rio e acesso sequencial Sua a A y utilizacao e a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 se a minimiza o da banda da matriz est ativada e gravado com os pares de n s conectados pelos elementos Caso contr rio recebe o vetor de contribui o dos elementos IC etapa 2 se a minimizacao est ativa e lido para obten ao 1806 dos pares de n s conectados e posteriormente gravado com os novos vetores de contribuicao dos elementos modificados a gt a w E M N r N pela minimiza ao Caso a minimiza ao nao esteja em a o permanece inativo etapa 4 e lido para obten o do vetor de contribui o dos elementos IC etapa 5 inativo etapa 6 lido para obten o do vetor de contribui o dos elementos IC 2 9 2 5 Arquivo ARQ4 Arquivo de formato binario e acesso sequencial Sua utiliza o a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 se a minimiza o da banda da matriz est ativada gravado com o vetor de contribui o dos elementos IC Caso contr rio permanece sem utiliza o etapa 3 se a minimiza o esta ativa lido para obten o dos vetores de contribui o dos elementos IC que ser o modificados e gravados no ARQ3 Caso a minimiza o n o esteja em a o permanece inativo etapa 4 gravado com os blocos da matriz de rigide
93. sapata Se por exemplo fossem adotados oito n s conforme a figura 3 32 a integra o representaria com maior fidelidade as forgas de superf cie resultantes Desse modo a rigidez estimada deveria ser mais pr xima da real Entretanto isso ocasiOnaria um tempo de processamento sensivelmente superior aos obtidos para a aproxima o aqui desenvolvida sendo necess rio um estudo cuidadoso que pese com muito criterio os benef cios e custos envolvidos Essa an lise um dos pontos interessantes para a continua o deste trabalho Dutra conclus o geral de import ncia diz respeito aos efeitos da considera o da flexibilidade da funda o nos f a esfor os obtidos para as superestruturas de edificios Atraves dos exemplos desenvolvidos ficou relativamente e w n Claro que esses efeitos sao realmente importantes principalmente para edificios com pilares de grandes dimens es e submetidos a cargas horizontais De qualquer modo os exempios analisados ate agora indicam certas tendencias gerais que podem estar presentes com maior ou menor intensidade dependendo do caso considerado Entre essas tendencias pode se destacar para os 384 eaten pine ape cr ponet fig 4 32 Vista lateral das forcas de superficie numa sapata 6 7 8 4 5 l 3 2 fig 4 33 Discretizacao da sapata por 8 pontos nodais 385 casos de solicita o horizontal a homogeneiza o dos esfor os nos pilares o aumento dos esfor os das viga
94. tratar se de uma a E m T carga tipo 1 e necessario a definicao de um versor normal face no ponto considerado Isso pode ser feito da maneira que se segue lo ETA xa exa as as as ol ax 4 0x2 axa Bb 3t JE Ft eee 3 128 x Y ar yay Considerando se Mai va e Vs como as coordenadas do A z vetor v e p como a for a distribuida pode se escrever tos E 250 pv f p Ys coa 3 121 PMs Para a carga tipo 2 o procedimento simplifica se pois 1 N E N os valores Py P e Pz ja sao fornecidos nas dire oes globais Assim sendo o vetor Ta e constante para toda a face e pode ser escrito como A e Py ees 3 122 7 Finalmente deve se lembrar que a integra o sera realizada em fun o das coordenadas homog neas e portanto deve se escrever ds det J_ ds dt NS onde o determinante de Js e o m dulo do vetor n apresentado nas express es 3 120 Ap s o que foi colocado basta que se fa a integra o numerica da equa o 3 117 no caso com utiliza o de quatro pontos de Gauss Desse modo a expressao resulta PT E wj AD Cf det 2 ds dt 0 3 123 ij S ij S ij a consideracao do efeito de uma varia o de temperatura sobre o elemento e dada por uma equa o identica a 3 76 Entretanto neste caso o vetor de deforma es iniciais resulta 251 2 p cc 3 125 h Lad n gt 4 ses d nN N x Nao se pode esque
95. ultrapassada pela estrutura que se est analisando Caso isso ocorra emite mensagem e aborta o processamento PRCNOD faz a leitura das caracteristicas nodais da estrutura ou seja coordenadas restri es e temperaturas nodais PRTREL comanda a chamada das rotinas de montagem de um elemento tipo treli a Calcula tens o e esfor o normal nesses elementos PRBARR comanda a chamada das rotinas de montagem de um elemento tipo barra Calcula tens es e esfor os nesses elementos PRCONT comanda a chamada das rotinas de montagem de um elemento tipo contorno Calcula o esfor o nesses elementos PRPLAN comanda a chamada das rotinas de montagem dos elementos tipo menbrana ou plano Calcula tens es nesses elementos PRSOLD comanda a chamada das rotinas de montagem de um iv elemento tipo solido Calcula tensoes nesses elementos 42 PRCASC comanda a chamada das rotinas de montagem dos elementos tipo placa ou casca Calcula tensdes e esfor os momentos nesses elementos PRFUND comanda a chamada das rotinas de montagem de um elemento tipo funda o 2 3 2 3 Blocos TR BR CT PL SL PC e EU Nesses blocos encontram se agrupadas as rotinas que realizam os calculos da matriz de rigidez vetor de cargas consistente matriz de rela o tens o e ou esfor o com deslocamentos e vetor de contribui es no sistema global para cada tipo de elemento S o as seguintes suas N Ey destinacoes esp
96. um trabalho pioneiro de Cuthill e McKee 2 7 o desenvolvimento do tema deu se por procedimentos baseados na teoria dos grafos Isso porque realizar permuta es de linhas e colunas de uma matriz corresponde a renumerar os vertices de um grafo Desse modo o desenvolvimento dos processos de minimiza o passou a ter uma base teorica mais consistente a teoria dos grafos ao mesmo tempo que algoritmos mais eficientes foram gerados Como exemplos desse desenvolvimento t m se as referencias 2 8 2 9 2 10 2 11 e 2 12 Neste trabalho em especial quando se menciona a minimiza o de banda de uma matriz se esta pensando em processos baseados na teoria dos grafos 66 2 6 2 Princ pios B sicos Matriz de Conex o Os algoritmos de renumeracao de nos partem sempre de uma filosofia b sica praticamente comum A partir de um determinado n chamado semente O novo esquema de numera o come a a ser construido no por n conex o por me 4 Conexao ate que toda a estrutura esteja numerada O problema e saber se a renumera o que come ou numa determinada semente foi ou n o eficiente para a obten o de uma banda realmente pequena Os pr ximos sub itens deste trabalho tecer o muitas considera es a respeito dessas estrategias de renumeracao Entretanto existe um ponto comum a todas elas Trata se de uma matriz que cont m os interrelacionamentos entre os n s da estrutura a ser analisada aqui chamada matriz de
97. 0 permite uma certa flexibilidade ao usuario pois s o usados formatos livres com titulos identificadores Alguns recursos de gera o tamb m est o disponiveis se bem que de eficiencia relativa quando se trata de elementos de casca ou s lidos faltando ao programa alguns modu los pr processadores que potencializem ainda mais as gera es dessas redes Finalmente quanto saida dos resultados al m dos j mencionados p s processadores que permitem o desenho dos esfor os e tens es nos elementos O programa oferece tambem a cria o de arquivos formatados com esses resultados Nesses arquivos podem ser encontrados os deslocamentos nodais esfor os ou tens es nos elementos e ainda rea es para todos os deslocamentos restritos na estrutura 1 3 3 O Programa SUPERSAP O SUPERSAP um sistema de propriedade da Algor Interactive Systems Inc composto por um grande n mero de m dulos representados por p s e pr processadores al m dos modulos de analise propriamente ditos As informa es constantes deste item foram obtidas mediante a utiliza o do sistema e da refer ncia 1 32 O modulo de analise para estruturas est ticas e montado numa filosofia bastante diversa do SAP90 15 constituindo se num unico programa que ao ser carregado para a mem ria traz uma parte b sica de gerenciamento que administra a chamada das demais partes num esquema de Overlay Desse modo na vers o 7 52 do mencionado progr
98. 0 KN m portanto um solo muito rigido a variacao em alguns casos bastante significativa indicando que pelo menos na 368 estrutura analisada a influencia da flexibilidade da fundacao deveria estar sendo considerada no dimensionamento de suas pecas Nos pilares como regra geral os esforcos normais e momentos tendem a uma redistribuicao que torne os seus valores menos dispares Isso pode ser observado com mui ta Clareza nas tabelas 4 7 e 4 8 onde os menores valores tendem a aumentar e os maiores a diminuir Alem disso as mudan as nesses valores s o realmente muito significativas bastando observar se por exemplo o comportamento da normal nos pilares P4 e P7 e do momento nos pilares P12 e P15 No caso da for a normal o P7 sofre uma redu o de 89 e o P4 um aumento de 4439 Quanto aos momentos o P12 apresenta uma redu o de 64 e o P15 um aumento de 2196 Quanto ao comportamento das vigas do pavimento Terreo nao se pode por este exemplo tirar uma conclus o mais definida principalmente devido ao fato de existirem muito poucas pe as trabalhando para resistir ao vento na dire o considerada Para O deslocamento dos pavimentos na dire o da a o aplicada verifica se que a funda o tambem influencia de forma marcante Pode se afirmar que para um m dulo de elasticidade de 50 Qoo KN m precisamente o valor estimado para o solo neste caso a flecha no topo seria pelo menos o dobro do valor calculado com a fu
99. 1 percebe se claramente que e muito vi vel a utiliza o de microcomputadores para a analise de estruturas Considerando se que os exemplos escolhidos s o do porte dos que comp em o dia a dia de um bom escrit rio de projetos percebe se que a utiliza o de um modelo matem tico relativamente sofisticado n o implica na obten o de tempos computacionais elevados Quanto aos tempos devidos as etapas de processamento percebe se que a maior parcela do esfor o computacional concentra se na solu o do sistema de equa es etapa 5 Em m dia metade do tempo total e em alguns casos at mais e destinada essa solu o Esse o motivo de ser t o importante um cuidado extremo na defini o do algoritmo de solu o Logo ap s em ordem decrescente de importancia situa se a montagem da matriz de rigidez dos elementos Corresponde a algo em torno de 15 a 20 do tempo total Em seguida a montagem do sistema global de 5 a 10 e depois a minimiza o da largura da banda e c lculo e impress o das tens es e ou esfor os nos elementos menos de 54 do total A etapa que corresponde a entrada das caracter sticas 145 nodais praticamente nada significa perante o total gasto Ja para a compara o de tempos de processamento do programa LS em rela o aos tempos de processamento obtidos com outros programas de analise estrutural ira se adicionar mais duas pequenas estruturas ao conjunto das seis media
100. 11 voltando as matrizes e vetores a apresentarem a dimens o original Esse processo de condensa o nada mais e do que uma triangulariza o da vari vel considerada operando sobre as linhas correspondentes aos graus de liberdade a serem condensados Desse modo nas posi es restantes ficam os graus de liberdade verdadeiros ja com a adi o dos efeitos desejados Com o procedimento descrito elementos retangulares podem representar com mais precisao casos onde exista uma solicita o t pica de momento fletor melhorando se sobremaneira a convergencia dos resultados Entretanto a adi o desses graus de liberdade n o relacionados as coordenadas nodais conduz a obten o de deslocamentos incompativeis entre os elementos Desse modo n o existe garantia de convergencia monot nica ou mesmo garantia de 211 converg ncia Apesar disso toda a experiencia de utiliza o desses modos imcompativeis tem mostrado que as vantagens desse procedimento quando corretamente utilizado sao indubitaveis Para uma discuss o a niveis mais praticos vai se desenvolver no item correspondente um exemplo com f cos e sem a utiliza o desses recursos permitindo se algumas se conclusoes interessantes 3 0 11 Elementos de Forma Triangular O fato de se ter um elemento de formula o isoparametrica permite que te ricamente ele seja degenerado formando tri ngulos pela simples provid ncia de se atribuir a dois extr
101. 18 H p a p s a FRCS onde nos tensores i e ae o primeiro indice corresponde a direcao da carga unitaria e o segundo a componente do deslocamento ou forca conforme se mostra mas figuras 4 4 e 4 5 Na forma matricial o tensor dos deslocamentos fundamentais pode ser escrito como x x x Uii Uiz ris x 7 x x x U Cs q Bs 5 Lum x x x Usi s Uss J o tensor das forcas de superficie resulta x Pii Pi2 Pis N x x Presa Pot Poe Pos x x x P31 P32 P33 fig 4 5 Componentes do tensor de for as de superficie fundamentais 308 E t mM C Nos proximos itens serao discutidas as solucoes particulares que se pode ter para esses tensores em suma 7 iv m a solu es da equa o 4 17 Mais especificamente para os r interesses deste trabalho essa discuss o se limitar s m f M E re a solucoes para dominios tridimensionais 4 2 2 2 Solucao Fundamental de Kelvin A cl ssica solucao fundamental de Kelvin e obtida da resolucao da equa o 4 17 para um dom nio tridimensional el stico linear homog neo e infinito 4 5 As solu es para os deslocamentos e for as de superf cie resultam _ it Vis 7 BREA A Co a a PI L Es 1 24 6 r if5j Br l v r cos 4 19 onde r e a dist ncia entre os pontos s e q sendo A mn N importante salientar que as deriva es sab relativas ao ponto q ou seja ponto onde s o observados os e
102. 3 linhas por 36 colunas Esse menu tambem ser sempre o mesmo em todas as rotinas oferecendo Ad as seguintes op oes 139 lt ENTER gt Tecla que comanda a entrada do dado digitado Ate que ela seja pressionada o usuario podera digitar apagar voltar a digitar qualquer caracter permitido dentro do campo fixado para a entrada lt BASPC gt Back Space Comanda o retrocesso do cursor realizando o apagamento dos caracteres ja digitados e restaurando os tra os horizontais inferiores que demarcam o campo de entrada Quando pressionado com o cursor na primeira posi o do campo da acesso ao campo imediatamente anterior lt TAB gt Comando usado para limpar totalmente os caracteres digitados sobre um determinado campo restaurando os tra os horizontais e colocando o cursor na primeira posi o lt ESC gt Produz o encerramento da execu o da rotina permitindo ao usu rio acessar o menu imediatamente anterior Ressalta se que ao se pressionar esta tecla os dados ate ent o fornecidos continuam em mem ria central prontos para novas altera es 8 Comando usado para salvar ou seja quardar em arquivo os dados ja fornecidos Esse comando faz com que o programa arquive todos os dados ja digitados e n o somente os fornecidos pela rotina em uso J Provoca a apresenta o de uma p gina de informa es sobre os dados a serem fornecidos na rotina em uso Essas explica es vem praticamen
103. 4 Fluxo de Processamento Entrada das Caracter sticas Nodais 2 4 1 Sistema de Refer ncia e Graus de Liberdade 2 4 2 Par metros a Serem Lidos 2 4 3 N mero das Equacoes Para Cada Grau de Liberdade 2 4 4 Exemplo Montagem das Matrizes e Vetores dos Elementos 2 5 1 Consideracoes Gerais 2 5 2 Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas 2 5 3 Vetor de Contribuicao na Matriz Global 2 5 4 Matriz Tensao por Deslocamento e Vetor de Tens es Prescritas Minimizacao da Semi Banda da Matriz de Rigidez Global 2 6 1 Introdu o 2 6 2 Princ pios B sicos Matriz de Conex o 2 6 3 A Estrategia Cuthill Mckee 2 6 4 A Estrat gia R Collins 2 6 5 Compara o de Resultados Montagem do Sistema Global e Calculo dos Resultados 2 7 1 Introdu o 2 7 2 Armazenamento do Sistema de Equa es Globais 2 7 3 Montagem do Sistema de Equa es Globais 2 7 4 Solu o do Sistema de Equa es Globais 2 7 5 Sa da dos Deslocamentos Nodais 2 7 6 Tens es e ou Esfor os nos Elementos rea de Armazenamento dos Dados 2 8 1 Introdu o 2 8 2 Defini o dos COMMON s do Programa 36 40 40 41 46 48 52 32 52 53 54 57 57 57 58 61 43 63 66 48 71 74 80 80 84 87 91 92 97 97 98 2 8 3 Variaveis Locais 2 9 Arquivos em Disco R gido 2 9 1 Introducao 2 9 2 Arquivos Temporarios 2 9 3 Arquivos Acessados Pelos P s Processadores 2 9 4 Arquivos de Sa da de Dados e Resultados 2 10 Arquivo Par
104. 6 e bastante an logo ao definido para os elementos tipos 4 e 5 Desde a altera o das fun es interpoladoras ate a posterior elimina o desses graus de liberdade adicionais em determinadas matrizes e vetores 0 procedimento adotado e bastante semelhante Entretanto aqui ser o em n mero de nove os termos adicionados nas fun es de interpola o sendo tr s para cada eixo homogeneo Desse modo as referidas fun es resultam 3 13 8 i Q4 _ a or U r s t RN hi u a 1 ro a 1 Ss az 1 t 9 1 2 2 z Vir s t R3 hi V 8 or Boti s BytI t 2 i z z z W r s t E hi W i r S5 1 s 7 1 t oe 3 134 A inclusao desses modos incompativeis pode melhorar de forma notavel a convergencia dos resultados principalmente para casos onde se verifica a atua o de momentos fletores Considerando se que o esfor o computacional a ser desenvolvido para a an lise de uma estrutura bem discretizada e bastante grande a inclus o desses graus de liberdade adicionais pode ser muito importante 255 3 9 10 Desompenho 3 8 10 1 Convergencia de Resultados Para examinar a converg ncia do elemento solido ser considerado o problema da viga em balanco mostrada na figura 3 22 Inclusive os dados de caracter sticas elasticas serao os mesmos do item 3 6 12 1 O acompanhamento dos resultados obtidos sera realizado 2 2 N N para tres diferentes discretizacoes cujas redes sao defini
105. 8 8808 1402 2000 2000 3 0000 20000 1 234 0000 10000 0000 4 2000 1402 0000 3 826 2000 2000 9 1402 0000 8008 2000 3 829 1000 6 0000 0000 2000 2000 0000 2 401 tabela 4 5 Inicialmente pode se estranhar o fato de uma for a r horizontal segundo X ou Xo provocar tambem uma rotacao em 1 torno de X ou Xie Entretanto pode se comprovar tal fato pelos menos qualitativamente atraves de um modelo em elementos finitos Para fugir se dos elementos tridimensionais normalmente muito custosos em termos de tempo de processamento adota se um esquema plano conforme o que se apresenta na figura 4 17 A rede composta de 200 elementos membrana tipo 4 tem ainda dois elementos barra ligando os nos 22 a 221 e 221 a 222 Esses elementos apresentam uma rigidez relativamente alta em rela o dos elementos membrana Nesse modelo aplicando se uma for a horinzontal no no 221 observa se o deslocamento mostrado na figura 4 18 Por ela pode se confirmar a tend ncia ao giro apresentada pela formula o do elemento sapata Se por outro lado for aplicado um momento o deslocamento ser o da figura 4 19 Tambem pode se observar a transla o obtida se bem que em termos relativos muito menor que a rota o do caso anterior Essa rela o alias pode ser observada na matriz de rigidez da sapata antes da simetriza o 349 N fig 4 16 Sapata im x im centrada sem rotacao 231 220 221 222
106. E elemento sobre os eixos locais X 9 Xy Sao as seguintes as expressOes dessas tensoes N 2 e t 1 A Wo M N 2 e izz A W 3 36 2 de Ag INS oy Ms 3 A Wo po N Ms VA gt S TW 179 Nesse caso considerando se que as mencionadas tens es s o calculadas nas duas extremidades do elemento a matriz TD sera aumentada em 8 linhas Essas novas linhas ser o obtidas por combina o linear das doze originais O roteiro de tal altera o mostrado a seguir 19 linha o 12 linha 1 linha 20 linha 2 linha e 12 linha 13 linha je bal A e 58 Pinna 2 149 linha o 1 linha AT o 59 linha 2 152 linha 18 linha 6 linha 2 162 linha E e 19 linha e 62 linha 2 17 linha A e 7 linha Ar gt 112 linha 2 18 linha o e 7 linha Ar o 115 linha 2 1 1 SA gt 1 1 Tz cos 3 37 3 4 8 Vetor de Esfor os ou Tensoes Iniciais Tambem agui de modo semelhante ao vetor PE para cada carregamento considerado deve ser montado um vetor de esfor os e tens es iniciais Esse vetor pode ter doze elementos caso os m dulo de resistencia a flex o n o tenham sido fornecidos ou vinte elementos se os m dulos foram fornecidos Entretanto sua montagem e trivial Caso os m dulos n o tenham sido fornecidos seus doze elementos ser o exatamente os valores de cargas prescritas em coordenadas globais mul
107. EBRE tem uma proposta de certo modo diversa das verificadas para a maioria dos programas aqui analisados Trata se de um sistema que tem como caracteristica assumida o objetivo de ser uma estrutura basica para desenvolvimentos posteriores a serem implementados por Fe diversos pesquisadores seguindo apenas uma padroniza o 11 geral Percebe se que uma grande importancia foi dada as rotinas de entrada de dados de modo a torna las acessiveis 4 x N 7 aos usuarios nao especialitas Todos os comandos tem grande flexibilidade de montagem e procuram facilitar ao maximo a E OM tarefa de definicao da geometria e do carregamento dispondo se inclusive de recursos de geracao dos dados O LEBRE na sua vers o I A apresenta um total de 16 tipos de elementos S o cinco elementos para estruturas de barras treli a plana e tridimensional grelha e p rtico plano e tridimensional quatro elementos para estados pianos de tens o e defoma o triangulo e quadrilatero de primeira e segunda ordem dois elementos para s lidos axissimetricos quadrilateros de primeira e segunda ordem um elemento tridimensional isoparametrico de primeira ordem dois elementos para analise de placas retangular nao conforme e triangular hibrido e dois elementos para an lise de cascas retangular nao conform e triangular h brido A montagem e a solucao do sistema de equa es geral da estrutura s o feitas considerando se o armazenamento da matri
108. Essa modifica o feita com muita facilidade escrevendo se os graus de liberdade a serem eliminados em fun o das rota es dos n s vizinhos Desse modo tem se a b 1 3 1 3 94 z 91 0 ig E 85 922 Bee ud ee ey nd 3 163 E o DE 13 ES 2 29 23 E is a b 1 2 1 2 Be 5 yy 94 ES 7 953 971 cS 279 de onde a calculados no item 3 9 3 el s o Os par metros para o elemento completo Com essas expressoes volta se a equa o 3 162 e eliminam se as tres ltimas colunas da matriz de fun es de P w E wv interpola o Apos essa elimina o a equa o que permite o calculo do campo de deslocamentos em fun o dos graus de liberdade dos nos 1 2 e 3 pode ser escrita como sendo w Hu 2 3 164 onde ae wetd EZI ESI H matriz de fun es interpoladoras compat veis em E rela o aos graus de liberdade nos n s 1 2 e 3 u7 E 1 911 a 9 52 922 yz 23 3 9 6 5 Campo de Curvaturas Interno Para a determina o da rigidez e outros parametros que dizem respeito ao elemento em questao e necessario que se conheca a matriz que relaciona os deslocamentos e rota es nos n s de extremidade com as curvaturas num determinado ponto interior do elemento Essas curvaturas podem ser estabelecidas pela diferencia o do campo de deslocamentos da maneira que se segue alil 2 fil 2 3 165 onde A CN AN ai ax 14 amp xa Ox 10x2 280 Aree anti anti 5 ant m
109. LEMENTO TIPO PLANO ELEMENTO TIPO SOLIDO ELEMENTO TIPO PLACA CASCA ELEMENTO TIPO SAPATA MULTIPLICADORES DE ACOES O00 amp oy B c D E F a H I J K ORIENTACAO AO USUARIO SALVA DADOS SISTEMA OPERACIONAL orcao fig 2 21 Menu Principal 123 realizar a leitura de multiplicadores para as a es do casos de carregamento definidos Esses multiplicadores s o utilizados por exemplo para definir combina es de carregamento Entretanto todos os outros caracteres de B a J conduzir o a novos menus Uma observa o desses menus permitira uma verdadeira vis o panor mica a respeito da diversidade de fun es embutidas no programa Segue uma rela o dos menus e do n mero das figuras que os apresenta t a a sempre em rela o ao caracter digitado B Menu de Caracteristicas Nodais figura 2 22 C Menu Elemento Tipo 1 Trelica figura 2 23 D Menu Elemento Tipo 2 Barra figura 2 24 E Menu Elemento Tipo 3 Contorno figura 2 25 F Menu Elemento Tipo 4 Membrana figura 2 26 G Menu Elemento Tipo 5 Plano figura 2 27 H Menu Elemento Tipo Tridimensional figura 2 28 I Menu Elemento Tipo 7 Placa Casca figura 2 29 J Menu Elemento Tipo 8 Sapata figura 2 30 As op es oferecidas podem ser usadas em qualquer ordem com alguns cuidados Por exemplo n o se pode definir as restri es de um n sem que anteriormente esse n tenha sido definido Da mesma maneira
110. LS A sequencia de grava o e a seguinte par metros globais da estrutura caracter sticas nodais coordenadas temperatura e restri es dados relativos aos grupos de elementos Carregamentos nodais e multiplicadores para os casos de Carregamento Ap s estar completo o trabalho de grava o o programa fica aguardando o pr ximo comando do usu rio Se os dados continuarem a ser fornecidos o processamento continua normalmente com todos os valores anteriormente fornecidos ainda na memoria central Caso o pr ximo comando seja a volta para O sistema operacional o programa imediatamente executa seu procedimento de saida retirando se da mem ria central do computador 136 2 11 CAPACIDADE DESEMPENHO E CONCLUS ES 2 11 1 Introdu o Neste item ser o apresentados alguns detalhes a respeito de tres t picos que ajudam a caracterizar um programa de an lise estrutural S o eles a capacidade em termos de n mero de pontos nodais e graus de liberdade a acuidade dos resultados obtidos e finalmente o tempo de processamento gasto para as an lises Atrav s dessas caracter sticas procurar se a uma compara o com outros programas de analise estrutural desenvolvidos para microcomputadores compat veis PC Essa compara o n o e simples de ser realizada Quando se considera a Capacidade de an lise isso se verifica pois os programas existentes n o deixam claro seus recursos a esse respeito sendo necess rio um grande
111. M TD SISTEMA PARA AN LISE DE ESTRUTURAS CONSIDERANDO INTERACAO COM MEIO EL STICO AUTOR PROF MARCIO ANTONIO RAMALHO ORIENTADOR PROF DR WILSON SERGIO VENTURINI UNIVERSIDADE DE S O PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE S O CARLOS AREA DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS SISTEMA PARA ANALISE DE ESTRUTURAS CONSIDERANDO INTERA O COM MEIO EL STICO PROF MARCIO ANTONIO RAMALHO Tese apresentada Escola de Engenharia de S o Carlos da Universidade de S o Pau lo como parte dos requisitos para a ob ten o do titulo de Doutor em Engenha ria de Estruturas ORIENTADOR PROF DR WILSON SERGIO VENTURINI S O CARLOS JUNHO DE 1990 Para minhas filhas Paula e J lia AGRADECIMENTOS Agradeco a todas as pessoas que direta ou indiretamente tornaram poss vel a elabora o desta pesquisa Em especial agrade o a Wilson S Venturini e M rcio R S Correa pela orienta o pelo apoio e pela dedicada amizade absolutamente fundamentais para a realiza o deste trabalho RESUMO Este trabalho trata da montagem de um sistema computacional para an lise elastica linear de grandes estruturas em microcomputadores de i16 bits poss vel considerar se a intera o da estrutura analisada com um meio el stico semi infinito atrav s de um procedimento baseado no metodo dos elementos de contorno O sistema permite a defini o de ate 18 088 pontos nodais ou 33 008 graus de liberdade oferecendo um total de oito diferent
112. Pela imposi o das condi es de contorno em cada ponto ou os deslocamentos ou as for as de superficie sao conhecidos O sistema obtido tera o mesmo n mero de incognitas e equa es Assim sendo sua resolu o permitir o conhecimento de todos os par metros de interesse para Os problemas el sticos Quando procede se da maneira assim descrita esta se tratando da solu o num rica da equa o 4 27 Este e o conceito b sico do M todo dos Elementos de Contorno que se e a x Lal x desenvolvera para o dominio semi infinito nos proximos itens 319 4 3 A FORMULACAO DO ELEMENTO SAPATA R GIDA 4 3 1 Introducao Para a defini o do elemento sapata duas condi es foram de fundamental importancia o tempo de processamento e a facilidade na entrada dos dados Isso porque o objetivo principal deste elemento realizar a intera o solo estrutura de edif cios sobre funda o direta tem um enfoque bastante pr tico Este enfoque estaria comprometido se a entrada dos dados requeresse muito trabalho e o tempo computacional de execu o do programa crescesse demais Deve se lembrar que exatamente essas condi es s o que inviabilizam a utiliza o do elemento s lido tipo 6 na considera o da intera o desejada Assim sendo procurou se Com a defini o deste elemento atraves do Metodo dos Elementos de Contorno uma forma simples e Sobretudo r pida de considerar se a mencionada intera o A caracter
113. Tanto para o elemento triangular como para o quadrangular s o definidos os sistemas locais de referencia mostrados na figura 3 55 Essa refer ncia composta por um eixo x definido do no I para o n J e ainda x e x respectivamente no plano e normal ao plano do elemento formando um sistema dextrorso O materiais a serem definidos para os elementos podem ser ortotropicos desde que seus eixos de simetria coincidam com os eixos locais de referencia dos elementos my gt Nesse caso serao os seguintes os parametros a serem fornecidos Y peso espec fico do material opcional E i m dulo de elasticidade longitudinal segundo x E 3 m dulo de elasticidade longitudinal segundo Xx 12 Coeficiente de Poisson no plano X a G modulo de elasticidade transversal a coeficiente de varia o termica segundo X1 opcional mo coeficiente de varia o termica segundo x opcional O elemento tipo 7 quando utilizado na modelagem de cascas pode receber quatro tipos de carregamento Em termos de for as pode se definir uma carga distribuida constante normal ao piano do elemento e consideracao automatica de peso proprio de acordo com os detalhes ja definidos para os outros tipos Alem disso sao permitidas acoes termicas de variacao de temperatura no plano do elemento e um gradiente de temperatura na direcao normal ao plano A utilizacao do presente elemento esta muito ligada a pavimentos de edificios
114. UARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA AO MENU PRINCIPAL SISTEMA OPERACIONAL Xx lt n vo OPCAO amp fig 2 24 Menu do Elemento Tipo 2 a M rr lt lt MENU ELEMENTO TIPO 3 CONTORNO gt gt PARAMETROS DE CONTROLE MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTO INCIDENCIAS OPCAO DE DESLOCAMENTO OPCAO DE ROTACAO DESLOCAMENTO ESPECIFICADO ROTACAO ESPECIFECADA CONSTANTE ELASTICA xO 8 OO Bw ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA Xx lt nm o 1 OPCAO amp fig 2 25 Menu do Elemento Tipo 3 126 lt lt MENU ELEMENTO TIPO 4 MEMBRANA gt gt PARAMETROS DE CONTROLE B PROPRIEDADES DOS MATERIAIS c MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS D INCIDENCIAS E MATERIAL F PRESSAO LATERAL g OPCAO DE APRESENTACAO DE RESULTADOS H ESPESSURA o ORIENTACAO AO USUARIO P PREFIXACAO DE VALORES s SALVA DADOS v VOLTA MENU PRINCIPAL x SISTEMA SUA OPCAO 2 Q 3m OO wD fig 2 26 Menu do Elemento Tipo 4 MENU ELEMENTO TIPO 5 PLANO gt gt PARAMETROS DE CONTROLE PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MULTIPLICADORES DE ACOES NOS ELEMENTOS INCIDENCIAS MATERIAL TEMPERATURA DE REFERENCIA PRESSAO LATERAL OPCAO DE APRESENTACAO DE RESULTADOS ESPESSURA ORIENTACAO AO USUARIO PREFIXACAO DE VALORES SALVA DADOS VOLTA MENU PRINCIPAL SISTEMA OPCAO E fig 2 27 Menu do
115. Visa 0 93 6 39 5 42 Vi15b 2 98 11 82 27 17 Vi a 3 80 29 41 96 91 V16b 2 35 20 40 76 41 V17 3 25 38 19 121 53 Vida 1 90 19 56 104 50 tabela 4 17 380 Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Pi 2 80 0 31 3 06 P3 0 00 55 5 18 PS 0 00 0 20 2 69 P6 4 00 0 23 3 02 P7 0 00 0 31 3 85 P11 o o00 0 71 6 23 Pis 0 00 0 29 2 91 Pi4 o o0 0 49 4 05 P15 0 00 0 75 3 96 P19 o o00 0 23 2 85 P20 0 00 0 38 3 40 P21 0 00 0 32 3 91 P22 0 00 0 42 3 87 P27 6 62 26 3 56 nae em te tum rem rem rem rem ato M ey SN Ah ry mae mao rr me mee tabela 4 18 a observac o dos resultados apresentados nas tabelas anteriores levam conclus o que mesmo tratando se de a es verticais a influencia da flexibilidade da funda o e bastante sensivel N o representa esse fato um resultado esperado e muito menos desejavel Para as a es horizontais a considera o dessa flexibilidade exige apenas alguns recursos adicionais de programa o mas n o uma altera o completa dos procedimentos de trabalho sendo que o mesmo n o se d para as a es verticais Neste Caso a considera o dessa flexibilidade exigiria uma modifica o bastante profunda dos metodos tradicionais de an lise pois o calculo dos pavimentos de forma independente e um processo de analise utilizado de maneira absolut
116. a o 2 dos graus de liberdade segundo X de todos os n s do 2 pavimento em rela o ao primeiro onde atua a carga total do n vel Desse modo a laje de concreto estar sendo considerada como um diafragma rigido sendo esse um bom modelo para o calculo de um edificio nessas condi es Os resultados da an lise realizada encontram se organizados na tabela 3 2 S o apresentados deslocamentos e rota es para O primeiro n de cada pavimento ou seja Oo n onde todos os graus de liberdade segundo X5 est o f escravizados Os deslocamentos estao em metros e as 184 m E Xa 3 7 Cossenos diretores dos eixos locais fig A A tava EE NEG WD NE DEOR RE RS A 4949149101918 409401940491948484949 49 48498 4 4 46 48 AN 4E 45 426 GE GE 46 48 AN AN AB 2B PALO TIA RA IATA SA TIA TIA A LU ATA i IIA ZA 12 A NA 1108 177 148 WSS F PU uw www Ww oy y v w Y Y W WA i 1 v VN VY VY YV YV YV YV VY VY YN NVV VY Y tico tridimensional do p r w 3 8 Discretizacao fig 185 rota es em radianos Devido a escraviza o dos graus de liberdade qualquer no do pavimento tem o mesmo deslocamento segundo X Entretanto os demais valores de deslocamentos e rota es s o diferentes Observando se os resultados percebe se que o edificio apresenta pela atua o do carregamento devido ao vento uma flecha na extremidade superior da ordem de 12 cm Tambem pode ser verificada a varia o
117. a rea de trabalho de 100 000 posi es de 4 bytes Devem ser consideradas ainda mais duas variaveis Elas dependem do n mero de casos de carregamento definido pelo usu rio ne que para estes casos nao estar sendo alterado Assim sendo o limite para ncc ser o seguinte 100 008 4 nc 2 negb nc NCC E _ _ _ eea 2 8 2 neg nb Se o valor calculado pela equa o 2 8 for menor que nC O programa n o poder processar todos os casos de carregamento simultaneamente Nesse caso inicialmente s o considerados apenas os ncc primeiros Casos de carregamento Depois os pr ximos hcc casos e assim por 94 diante ate que todos tenham sido processados Simplificadamente os comandos executados para a obten o do vetor DD de seis posi es que quarda os x E vu deslocamentos ja organizados para um determinado no s o os seguintes ide 1 at nc j de 1 ate nn ji k de l ate 6 DD k 1 IR j k se 1 x ent o DD k D 1 i jj 1 se jj 1 ent o imprime j DD Al m da impressao do vetor DD na unidade de saida dos resultados escolhida pelo usuario a SODESL monta um arquivo com os valores dos deslocamentos para ser acessado por p s processadores Esse arquivo com sufixo SD est detaihado no item 2 9 2 7 6 Tensoes e ou Esforcos nos Elementos Como ltima etapa de processamento do programa LS tem se o calculo das tensdes e ou esforcos nos elementos De acordo com
118. a AP o o0 0 o Ei Yoo 3 112 onde 2 A 1 Vos E7 Ez B Pa Py aUas ES Es C 1 E E v E E B A 1 53 13 3 52 D vis 5 B A C E 7C Cio 7 B A E i bits Coo EJ A B A Cy Cos UpgEQ A B A Cy 247 Css 7 Eg Piglia Palos C44 812 Css 6 3 C 6 66 23 3 8 9 Matriz de Rigidez om Coordenadas Globais A matriz de rigidez do elemento pode ser calculada N pela expressao RE B C B dV cc 3 1143 Entretanto para realizar se a integracao em fun o 4 E das coordenadas naturais e necessario que se escreva 3 dV det J dr ds dt one 3 114 Portanto tem se RE fece det J dr ds dt a 3 115 V Considerando se a integragao numerica pelo processo de Gauss pode se escrever t RE to R 2 3 116 A i34 k ijk ijk onde Wijk fator de peso para o ponto Pis S e tee T An det J T HR Bi e ere 248 A integra o numerica por default e feita por 8 pontos utilizando se as formulas de Gauss Caso o elemento seja muito distorcido o usuario pode optar ainda pela utiliza o de 27 ou mesmo 64 pontos Entretanto conforme sera discutido no item correspondente o desempenho do elemento em termos de tempo de processamento sofre uma queda apreci vel 3 8 6 Vetor de Cargas Foi mencionado que os elementos podem receber solicita es de for as distribuidas sobre as faces varia o de temperatura
119. a Entrada dos Dados 2 10 1 Introducao 2 10 2 Linguagem Computacional Adotada 2 10 3 Filosofia Geral do Programa 2 10 4 Organiza o do Programa 2 10 5 Organiza o dos Menus 2 10 6 Apresentacao dos Menus 2 10 7 Rotinas Para Entrada dos Dados 2 10 8 Grava o do Arquivo de Dados 2 11 Capacidade Desempenho e Conclus es 2 11 1 Introdu o 2 11 2 Capacidade de An lise 2 11 3 Acuidade Numerica 2 11 4 Tempo de Processamento 2 11 5 Conclusoes Gerais 2 12 Referencias Bibliograficas CAPITULO 3 Biblioteca de Elementos 3 1 Introducao 3 2 Conceitos B sicos Sobre o M todo dos Elementos Finitos 3 2 1 Energia Potencial Total 3 2 2 Principio dos Deslocamentos Virtuais 3 2 3 Subdivis o do Dom nio 3 2 4 Montagem das Equa es de Equil brio 3 3 Elemento Tipo 1 Trelica 3 3 1 Caracteriza o do Elemento 3 3 2 Coordenadas Locais e Globais 102 104 104 104 110 114 115 115 116 117 118 119 120 122 127 137 137 138 141 143 147 149 152 155 155 155 156 157 161 161 162 3 4 3 5 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 Matriz de Rigidez Global Vetor de Cargas do Elemento Matriz da Rela o Tens o Deslocamento Vetor de Esfor os ou Tens es Iniciais Desempenho Elemento Tipo 2 Barra 3 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 S 4 6 3 4 7 3 4 8 3 4 9 4 10 3 4 11 Caracteriza o do Elemento Coordenadas Locais e Globais Matriz de Rigidez em Coordenadas Locais
120. a central do computador seja esgotada Lidos esses conjuntos de n s conectados eles s o utilizados pelo programa para a montagem de MC que para o presente exemplo resulta na seguinte matriz de 9 linhas por 38 colunas 9 8 2 0 o 1943 20 2 4 90 Q 29 3 5 Me Dt d 4a 879 50 2 8 6 B 1967 9 D i B 2 E 0 68 A linha n da matriz MC armazena as conex es do en zimo no da estrutura Por exemplo tomando se a linha quatro verifica se que o no 4 esta conectado aos nos 2 9 3 e 5 Um conceito de grande importancia ligado as conex es E n bind nodais e o grau Define se como grau de conexoes de um no ou simplesmente grau de um no o n mero de nos a ele conectados Assim sendo para os nos da estrutura mostrada na figura 2 9 o n n mero 1 tem grau 3 o 2 grau 4 e assim por diante Os graus de todos os nos de uma estrutura est o no programa LS armazenados em um vetor chamado 16 Para o exemplo em quest o o vetor 16 resulta CPENDAANBPN DGY Apos a montagem da matriz MC resta discutir a X x i w y estrategia de minimiza ao a ser adotada Os proximos sub itens tratar o exatamente desse particular 2 6 3 A Estrategia Cuthill McKee 2 6 3 1 Considera es Iniciais Esta estrategia de minimiza o aparece originalmente concebida em 2 7 Posteriormente sofreu algumas e A alterardes visando especificamente a minimiza o de perfis 2 9 Talvez seja
121. a defini o Na primeira basta fornecer o eixo global da estrutura ao qual o eixo local x paralelo Entretanto se esse paralelismo n o existir o usu rio pode fornecer um terceiro n na figura 3 4 o ponto K que define juntamente com os n s I e J o plano que contem o eixo x A partir dai o sistema local dextrorso estar constru do sendo o eixo adotado normal ao plano formado pelos dois anteriormente definidos Os materiais a serem fornecidos para os elementos Pe necessitam dos seguintes parametros 169 m dulo de elasticidade longitudinal G modulo de elasticidade transversal y peso especifico opcional Quanto s propriedades das se es s o as seguintes 0 Nx LAE as definicoes necessarias A rea da se o tranversal Ac rea resistente a cortante segundo Xx opcional Ac rea resistente a cortante segundo x opcional I momento de inercia torcor 15 momento de inercia em torno do eixo ra I 3 momento de in rcia em torno do eixo Xx Wo m dulo de resist flex o em torno de x opcional W 3 modulo de resist a flex o em torno de x opcional interessante mencionar que as reas que efetivamente atuam na rigidez a forca cortante podem ou nao apresentar valor diferente de zero dependendo da intencao do usuario de considerar ou nao essa rigidez nos seus calculos De modo semelhante O usuario tamb m decide se deseja ou n o o c lculo das tens es d
122. a envolvidas nessas opera es de 831 tamb m 10 do total A seguir uma rela o das rotinas presentes e um resumo das suas principais fun es SOVRFC verifica todos os graus de liberdade presentes na estrutura definida Caso encontre algum no qual nenhuma rigidez tenha sido alocada atribui para a diagonal da zo equa o correspondente o valor 10 SOMONT realiza a montagem da matriz de rigidez global da estrutura e dos vetores de carga em fun o das coordenadas globais Trabalha com a matriz e a vetor divididos por blocos dois de cada vez cujo tamanho e definido levando se em Conta a situa o mais desfavoravel a ser 45 encontrada em termos de utiliza o da memoria central da maquina SOSOLC resolve o sistema de equa es gerais da estrutura Tambem aqui a matriz de rigidez e os vetores de carga s o particionados por blocos para possibilitar a solu o de grandes estruturas Produz como resultado de suas opera es os deslocamentos nodais em fun o do sistema global de referencia SODESL rearranja e imprime os deslocamentos nodais para os Casos de Carregamento definidos na estrutura SOTENS calcula as tens es e ou esfor os para cada elemento existente na estrutura atraves da multiplica o de matrizes e vetores previamente preparados 2 3 3 Implementacao dos Blocos em Esquema de Overlay J foi mencionado no tem 2 2 5 deste capitulo que a t cnica de overla
123. a nao foi pressionada a tecla ENTER Por essa razao o campo ainda esta demarcado Mostra tambem o t tulo da rotina o menu de controle as explica es sucintas e um conjunto de n s desenhados na rea de alta resolu o definida para esse fim Logicamente seria impossivel a apresenta o de todas as rotinas dispon veis no programa Entretanto todas elas tem a mesma filosofia de utiliza o variando se apenas os par metros a serem lidos 2 10 8 Gravacao do Arquivo de Dados Quando o usu rio d por encerrada a sua sess o de trabalho ou simplesmente aciona de algum ponto do programa o comando de salvar os dados digitados modulo editor 134 Wabesuay v RATOS Qi eden dou BETE 2 86 30 A 7 oxra Opunbas epeuapuooo A Oxia opunbas epeuapuoos 868 X X oxia opunbas epeuapuooa OU OP OlaWnu CT WH ON dod Oy EpeayUy StepOY sepeuapaooy 2 32 Tela para entrada de coordenadas nodais fig 135 realiza algumas tarefas Em primeiro lugar verifica se existe um arquivo j gravado com nome coincidente com o que esta sendo digitado Caso isso seja verdadeiro o programa realiza uma copia do arquivo alterando o nome com a adi o do sufixo BAK A partir dai come a a compilar os dados que se encontram em memoria central transferindo os para o arquivo comandado Obviamente essa transferencia se d em ordem pre determinada exatamente a ordem em que os par metros ser o lidos pelo programa
124. a todos os casos que possam ser simulados pela atua o de um mola sobre um ponto nodal Assim sendo vincula es rigidas ou elasticas e ainda deslocamentos e rota es prescritas segundo os eixos globais ou uma dire o qualquer do espa o podem ser facilmente simulados atraves da utiliza o do elemento Nesse caso as rea es nodais advindas desse impedimento ou prescri o s o calculadas e apresentadas como resultado O elemento pode ser praticamente dividido em dois casos basicos Em primeiro lugar a situa o onde a atua o dos impedimentos ou prescri es faz se segundo os eixos de refer ncia global da estrutura Nesse caso s o as seguintes f as caracteristicas a serem fornecidas como dados ponto nodal ao qual liga se o elemento Ky a Ko constantes de mola que atuam segundo os seis graus de liberdade do no se o valor fornecido for 1 o grau de liberdade Correspondente considerado rigidamente impedido D aD deslocamentos e rota es prescritas segundo os seis graus de liberdade do elemento Caso o elemento esteja atuando segundo uma dire o x e qualquer oS parametros a serem fornecidos sao diferentes N ponto nodal ao qual liga se o elemento NR ponto nodal que define a dire o de atua o 187 K constante de mola para o deslocamento na dire o do eixo do elemento se igual a 1 rigidamente impedido K_ constante de mola para a rota o em torno do eixo do
125. a uma provid ncia que pode ser importante no caso de problemas com um grande n mero de elementos e um grande n mero de blocos Em primeiro lugar define se como proximos conjuntos de dois blocos a serem e E montados a parte inteira da expresao Y nb 2 1 Assim sendo ao identificar elementos que contribuem para blocos abrangidos por essa regra de proximidade o programa grava esses elementos num arquivo tempor rio rascunho no caso ARQ7 Depois enguanto a rotina estiver montando esses blocos pr ximos as leituras ser o feitas do arquivo rascunho ARQ7 reduzindo se o acesso ao disco r gido e ganhando se tempo de processamento Esta claro que todo esse procedimento poderia ser 86 ui H evitado se os arquivos que contem as matrizes e vetores dos elemento fossem de acesso direto ou randomico Nesse caso poder se ia montar vetores que definissem quais elementos m t contribuem em quais blocos e o acesso ao disco rigido poderia ser bastante reduzido Entretanto esse procedimento tem grandes dificuldades para ser implementado Em primeiro lugar o tempo de acesso a arquivos rand micos praticamente o dobro do verificado para arquivos de acesso sequencial ver item 2 2 Para os problemas menores que normalmente constituem maicria dos processamentos de um programa desse tipo isso representaria uma perda importante Alem disso o arquivo rand mico possui o comprimento de registro fixo No caso de uma sistema
126. abaixo de i cm Entretanto quando considera se o menor valor do m dulo de elasticidade seus valores crescem muito variando de 2 65 cm para o PS at 6 23 cm para o P11 Essas difern as que levam os esfor os nas vigas a apresentarem os valores que foram constatados 382 4 5 CONCLUSOES O objetivo deste item e estabelecer algumas conclus es sobre o desenvolvimento e a utiliza o do elemento sapata rigida O primeiro ponto a ser analisado a facilidade de utiliza o Pensa se que a respeito desse particular os objetivos do trabalho foram perfeitamente alcan ados A utiliza o do elemento simples e rapida encaixando se com perfei o dentro do esquema inicialmente tra ado Guanto aos resultados obtidos eles parecem ser satisfat rios Entretanto deve se reconhecer que nao e simples estabelecer compara es A utiliza o de outros m todos num ricos fica muito restrita limitando se quase que exclusivamente aos aspectos qualitativos Por mais que se tentasse n o foi possivel modelar se com fidelidade os dom nios semi infinitos atraves de metodos aiternativos como por exempio os elementos finitos Nem mesmo a compara o com solu es anal ticas foi possivel de maneira direta Essas tratam geralmente da aplica o de carregamento uniforme ou linear sobre os dom nios considerados 4 23 4 24 Como no presente caso as sapatas sao r gidas acontece que o carregamento resulta numa forma diferente da l
127. acao parcial para um acumulador inteiro ISOM ou ISOM1 ISOM2 etc Para O caso de reais SOM ou SOMi SOM2 etc 103 2 9 ARQUIVOS EM DISCO R GIDO 2 9 1 Introducao O programa LS trabalha basicamente com dois tipos de arquivos em disco r gido arquivos tempor rios e arquivos permanentes Os arquivos temporarios sao aqueles criados pelo programa durante o processamento para armazenamento de dados e apagados automaticamente no final da analise J os arquivos chamados de permanentes ou seja que nao sao apagados no final da an lise podem ser subdivididos em mais dois tipos arquivos n o formatados montados pelo programa com informacoes a serem acessadas pelos p s processadores e arquivos formatados a serem acessados pelo usuario para verificacao dos dados fornecidos e resultados obtidos A sequir sao fornecidas informacdes mais detalhadas como nomenclatura conte do e utiliza o para cada um desses tipos mencionados Ressalta se que os dados a serem fornecidos para a analise tambem s o lidos de um arquivo em disco Entretanto a respeito desse t pico em especial tratara o item 2 10 2 9 2 Arquivos Tempor rios 2 9 2 1 Considera es Iniciais Os arquivos temporarios como foi mencionado no item anterior s o usados para armazenamento de dados durante a execu o de uma analise sendo criados e apagados automaticamente pelo programa sem que o usuario deles tome 104 conhecimento Entretanto da efic
128. ado para a solu ao do sistema de equa es globais do programa n o opera em todos os elementos armazenados na faixa da matriz de rigidez Isso porque normalmente existem muitos elementos zero numa coluna da matriz de rigidez antes que O primeiro elemento n o nulo seja encontrado 2 13 A opera o que envolve esses elementos pode e deve ser descartada No procedimento aqui utilizado isso e feito atraves de 83 neqb b n blocos neq S fig 2 13 Esquema da matriz de rigidez e vetor de cargas fig 2 14 Biocos 3 e 4 da matriz e do vetor 84 um vetor auxiliar calculado para cada bloco e que contem a tima posi o n o nula dentro de uma determinada coluna a partir da diagonal Desse modo o algoritmo armazena todo a faixa mas consegue uma redu o no n mero de opera es executadas reduzindo o tempo de processamento 7 3 Montagem do Sistema de Equa es Globais O montador a ser utilizado e perfeitamente geral em termos de utiliza o para os elementos presentes no programa Ele trabalha com dois arquivos em disco gravados durante o processamento das rotinas dos elementos Trata se dos arquivos ARQ2 e ARQ3 descritos com mais detalhes no item 2 9 Eles contem a matriz de rigidez e o vetor de cargas RE e PE de cada elemento e ainda o vetor de contribui es na matriz de rigidez IC Conforme mencionado a matriz de rigidez e montada por blocos sendo que dois deles estar o simultaneam
129. ado vem demonstrar que o parametro que deve ser considerado para a decis o de considerar se ou n o a intera o entre sapatas realmente a distancia entre os centr ides e n o a simples distancia entre os extremos das sapatas Para tanto vai se tomar o conjunto de duas sapatas de 5m x im separadas de 2 5m segundo os seus menores lados conforme a figura 4 26 ou segundo os seus maiores lados conforme a figura 4 27 Considerando a primeira hipotese a matriz de rigidez obtida e a que se seque 5489 0 11 o 230 0 1201 g 180 o 96 0 4762 O 371 8 632 OD 34 28 ii 6172 8 188 1 22 35 o 155 1520 o o 37 0 8 0 0 45 0 8 661 18 42 3 7 o o 1740 O 57 0 7 o oF 1201 180 a 6 8 5489 o 11 o 230 o 632 OD 34 58 4762 371 e 8 188 1022 35 11 6172 8 o 37 o 8 o 155 1520 o 18 42 3 45 8 661 o 97 0 7 9 o 7 o 0 1740 Ja se o esquema adotado for o da separacao segundo os y wN maiores lados portanto com uma separacao entre extremos de apenas 1 5m ao inves dos 2m do caso anterior a matriz resulta 361 2 5m X2 1m X2 fia 4 26 Sapatas separadas de 2 5m segundo Xi Xe 1m e X2 X4 1m fig 4 27 Sapatas separadas de 2 5m segundo Xo 362 mai 5348 0 222 17 827 e 0 24 100 4916 10 385 e 0 1045 195 96 0 0 eo 7 6201 23 e 179 1090 100 0 0 B 154 23 1522 2 a 2 8 125 24 a a
130. ados No quarto cap tulo apresentado o elemento sapata r gida que possibilita a considera o da intera o entre a superestrutura e o solo Apos uma breve introdu o coloca se um resumo do Metodo dos Elementos de Contorno que serve de base ao desenvolvimento do elemento Logo apos e apresentada a formula o propriamente dita com detalhes sobre o desenvolvimento da matriz de rigidez 2 N H a N Depois sao analisados resultados obtidos com a utilizagao do elemento desenvolvendo se considera es sobre sua caracteristicas mais marcantes Por fim em seguida as we conclusoes gerais sobre o elemento san apresentadas as refer ncias bibliogr ficas mencionadas 22 1 6 REFER NCIAS BIBLIOGRAFICAS 1 11 Courant R Variational Methods for the Solutions of Problems of Equilibrium and Vibrations Bull Am Math Soc 3 vol 49 1943 1 2 Langefors B Analysis of Elastic Structures by Matrix Transformation with Special Regard to Semi monocoque Structures J Aeron Sci vol 19 1952 1 3 Levy S Structural Analysis and influence Coeficients for Delta Wings J Aeron Sci vol 20 1953 1 4 Argyris J H Kelsey S Energy Theorems and Strutural Analysis Aircraft Engineering Oct Nov 1954 Feb May 1955 1 5 Turner M J Clough R W Martin H C Topp L J Stiffness and Deflections Analysis of Complex Structures J Aeron Scis vol 23 1956 1 6 Schrem E Roy J R An Automatic
131. ados exclusivamente numericos e que v o ser acessados por um outro programa ou parte subsequente do mesmo tambem escrito em FORTRAN Ja no formato bin rio o armazenamento feito byte a byte em ASCII ou hexadecimal O acesso deve ser realizado da mesmo maneira em que se deu a gravacao tambem em ASCII ou hexadecimal dependendo do caso espec fica J quanto ao acesso pode se escolher entre duas formas poss veis sequencial e rand mico tamb m chamado de acesso direto O arquivo de acesso sequencial um conjunto de registros de comprimentos vari veis colocados como o pr prio diz sequencialmente no disco um acesso com menor tempo de processamento que o rand mico mas n o permite que um dado registro seja lido sem que todos os anteriores o tenham sido Assim sendo e um modo de acesso 37 adequado a conjuntos de dados que serao gravados e lidos de acordo com a mesma sequ ncia Para o acesso direto ou rand mico existem algumas diferen as a serem consideradas em rela o ao sequencial Em primeiro lugar ao contr rio do caso anterior os registros n o podem apresentar comprimentos variaveis Ser o Sempre comprimentos fixos definidos previamente pelo usuario Em compensacao O acesso de um determinado registro dentro do arquivo pode ser realizado de forma direta sem Que tenham que ser lidos os anteriores uma forma de armazenagem adequada a conjuntos de dados que precisam ser acessados eventualmente de
132. afo Assim sendo e provavel que a renumeracao caminhe de uma forma mais consistente com a propria teoria adotada resultando em menores valores para a banda 2 6 5 Compara o de Resultados Da leitura cr tica da vasta bibliografia existente sobre o assunto de minimiza o da banda de uma matriz de rigidez realmente pareceu que os dois metodos aqui apresentados podem ser considerados relativamente bons Nesse caso a avalia o deve envolver par metros como simplicidade efici ncia e tamb m a seguran a de que o processo n o apresente resultados absurdos para determinados problemas especificos Assim sendo foram testados os algoritmos mencionados para uma variada gama de problemas existentes Nesses testes foram controlados o tempo de processamento e a m xima diferen a nodal obtida no processo N o se comparou diretamente a banda da matriz pois essa grandeza depende de alguns fatores que extrapolam a atua o dos minimizadores Por exemplo as restri es nodais de um problema tridimensional complexo influem nesse valor mas os procedimentos de minimiza o n o costumam levar em conta esses detalhes Desse modo o trabalho foi realizado controlando se o par metro que realmente interessa as rotinas de minimiza o que a m xima diferen a de numera o entre dois n s conectados Os resultados obtidos est o organizados na tabela 2 8 S o 23 estruturas bastantes variadas elementos com dois tr s e quatro nos c
133. ama o modulo de analise ocupa aproximadamente 650 Kbytes para seu armazenamento Quanto a capacidade de analise novamente as informa es n o s o fornecidas no manual do usu rio Apenas pela utiliza o do programa que apresenta algumas informa es a respeito da percentagem de mem ria utilizada em cada passo do processamento pode se perceber que o n mero m ximo de n s deve situar se em torno de 4400 Dutra conclus o que pode ser estabelecida agora pela formata o dos resultados apresentados que podem ser usados no maximo 9999 elementos O programa coloca a disposi o do usu rio um total de 10 tipos de elementos Perfazem esse total um elemento de treli a tridimensional um elemento de p rtico tridimensional um elemento de membrana um elemento para analise de estados planos de tens o deforma o e axissim tricos um elemento s lido hexa drico um elemento de placa e casca um elemento para imposic o de condi es especiais de contorno um elemento de casca espessa de B a 21 n s um elemento geral para carregamento de uma matriz de rigidez qualquer diretamente na matriz de rigidez global da estruturas e finalmente um elemento tubular tridimensional O SUPERSAP prove um renumerador de pontos nodais da estrutura definida que pode ou n o ser acionado de acordo com a op o do usu rio Esse renumerador atua internamente sendo que todos Os dados e as saidas de resultados sao em rela o a numera o or
134. amente generalizada 381 Para as forcas normais dos pilares apresentadas na tabela 4 15 as modofica es mais significativas nos valores ocorrem para Os pilares P27 com varia o de 49 e pilar Pis com 31 Entretanto esses valores dizem respeito a varia o da funda o rigida a calculada com E 2 w 10 000 KN m Caso considere se apenas a variacao entre a rigida e a com E 100 200 KN n esses valores serao de respectivamente 8 e 74 Portanto para os valores de m dulos de elasticidade usuais a diferen a das normais obtidas em rela o a funda o r gida pode variar de 20 a 30 o que n o de todo desprez vel Guanto aos esfor os atuantes nas vigas do pavimento t rreo pode se perceber que os valores obtidos com a funda o r gida cortantes de 2 KN e momentos de 3 KNem s o muito pequenos se comparados com aqueles usuais para uma estrutura desse tipo Entretanto quando considera se a flexibilidade mesmo com o vator do modulo mais aito os esfor os passam a ser significativos for a cortante na viga Vi a resulta 18 4 KN e momento fletor na viga V17 38 2 KN x m Com o m dulo de 10 KN m esses valores crescem ainda mais chegando respectivamente aos valores 58 6 KN e 121 5 KN x m Para finalizar comentam se os resultados mostrados na tabela 4 18 gue sao os deslocamentos verticais das bases dos pilares Para o modulo de elasticidade 100 000 KN m2 eles s o relativamente pequenos e todos
135. ano o elemento tamb m s resiste a carregamentos contidos nesse plano E as cargas atuantes podem ser de tres tipos Em primeiro lugar e possivel a defini o de carregamento distribuido constante na dire o normal e na pr pria dire o do lado IJ de cada elemento Efeitos t rmicos tamb m s o permitidos sendo a varia o de temperatura calculada como a diferen a entre um valor de refer ncia dado para cada elemento e a m dia entre as temperaturas nodais envolvidas Por fim e admitido o c lculo automatico de peso pr prio atrav s de fracoes atuantes segunda os eixos globais da estrutura A utiliza o do elemento aqui analisado tamb m bastante ampla incluindo se nessa rela o todos os casos de estruturas bidimensionais carregadas exclusivamente no seu pr prio plano Vigas paredes chapas diversas e demais estruturas que se enquadrem na especifica o mencionada anteriormente podem ser citadas como exemplo Como ltimas informa es deste item introdut rio e necess rio ressaltar que todo o desenvolvimento das matrizes e vetores relativos ao elemento estudado ser feito para o elemento quadrangular Em item espec fico H a N mais a frente serao discutidas as implicacoes de se ter um 194 X3 K L J J I T X2 X1 fig 3 12 Elementos membrana de tres e quatro nos X2 K X2 K I 2 J J Ea Xi I fig 3 13 Sistema locais de refer ncia Ce Cs Ce A g v Cy fig 3 14 Coor
136. antes as do caso anterior ou seja duas para cada no S o as apresentadas na figura 3 36 Quanto as coordenas globais neste caso elas ser o as mesmas do sistema local Isso ocorre pois os sistemas de referencia sao paralelos Alem disso devido ao fato do elemento desenvolver se no plano global X4X s nao ha necessidade da coordenada segundo o eixo global Xie Desse modo a matriz de tranforma o de coordenadas do sistema local para o global e a identidade Todos os vetores e matrizes calculados em rela o ao sistema local podem ser considerados em rela o ao sistema global sem qualquer alteracao 3 7 3 Fun es de Interpola o w B FR Todas as expressoes deste sub item sao id nticas as correspondentes do elemento tipo 4 229 3 7 4 Matriz da Rola o Doforma es Doslocamentos Para a determina o da matriz que relaciona as deforma es com os deslocamentos s o necess rias algumas altera es em rela o ao elemento anterior quando se tratar de analice de um estado axissimetrico Nesse caso alem dos valores E Ee y presentes nos estados planos de tens o e deforma o existe ainda a deforma o normal ao plano do elemento Es Assim sendo a matriz B ser composta pelas tr s linhas apresentadas na express o 3 57 e mais uma quarta linha que pode ser determinada por B a eo 3 92 ix plied pli 3 piss pli j E z 1292 O d lt a t t t t 1j ij 13 ij onde
137. ao Tens o Deslocamento Para o elemento barra a matriz que relaciona os esfor os e tens es com os deslocamento pode ter duas dimens es diferentes Caso n o tenham sido fornecidos valores de m dulos de resist ncia flex o ela ser quadrada de ordem doze Isso porque apenas os esfor os solicitantes nas coordenadas locais ser o considerados Nesse caso as saidas para cada uma das extremidades f conterao os seguintes valores N esfor o normal V for a cortante segundo o eixo local xo 178 Y forca cortante segundo o eixo local Kos Tos esforco torcor Mo momento fletor em torno do eixo local Hai M momento fletor em torno do eixo local x 8 A matriz TD quando os modulos de flex o n o s o definidos e simplesmente calculada pela equacao 3 28 Assim basta p s multiplicar a matriz de rigidez local do elemento pela matriz de transformacao A O resultado em termos de submatrizes sera o que se segue ra Ao rz Ao t1 Ao r2 Ao ra Ao rs o rs Ao TD wow mr e tiia 3 35 ra Ao rz Ao Sim L ra o j Entretanto se os m dulos de flex o forem fornecidos a eu N com valores diferentes de zero nao serao apenas os esfor os solicitantes nas coordenadas locais que devem estar presentes na saida dos resultados O programa tamb m e T N providencia o calculo das tensOes em quatro pontos da se o transversal Esses pontos s o as extremidades da se o do a
138. ao no plano XX Elemento No 1 No 2 No 3 P1 1 2 3 P2 i 3 Bi 1 2 B2 4 3 B3 1 4 B4 2 3 tabela 2 4 N IR N 1 IR N 2 IR N 3 IR N 4 IR N S IR N 6 1 1 1 1 o o 1 2 1 1 1 o 1 3 1 1 1 0 1 4 1 1 1 2 a 1 tabela 2 5 59 N IR N 1 IR N 2 IR N 3 IR N 4 IR N 5 IR N 6 1 a 1 2 2 2 0 0 3 4 0 3 a a 5 6 2 4 7 8 tabela 2 6 O elemento placa tem 3 graus de liberdade por n No caso considerado respectivamente a transla o segundo X 4 e as rota es em torno de X e X elemento P1 o vetor IC resultara no seguinte Assim sendo para o J para o elemento P2 tem se O elemento tipo barra ao contr rio possui seis graus de liberdade por n ou seja transla es e rota es segundo X4 5X e X Portanto para o elemento Bi pode se 2 3 escrever t J para o elemento B2 tem se eo e u A a a S p N a Es O r3 M a 8 e Finalmente para o B4 escreve se Dentro do vetor IC cada n mero representa a equacao onde a rigidez correspondente do elemento deve contribuir Os valores nulos indicam a rotina montadora que a rigidez do elemento correspondente aquele grau de liberdade nao precisa ser carregada pois na verdade a equacao nao existe 2 5 4 Matriz Tensao por Deslocamento e Vetor de Tens es Prescritas As tens es e ou esfor os para os elementos s o obtidos Pela simples multiplicacao de uma matriz que relaciona essas grandezas a serem calculadas com
139. apatas e influencia da considera o da flexibilidade da funda o em algumas superestruturas de edif cios Para finalizar o capitulo s o apresentadas algumas w E E P m breves conclusoes gerais a respeito dos topicos discutidos 301 4 2 M TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 4 2 1 Teoria da Elasticidade Equacoes Governantes Pode se supor um corpo Q FP onde NQ e uma regi o tridimensional aberta e F e seu contorno conforme apresenta se na figura 4 1 O material que constitui esse corpo suposto el stico linear e isotr pico pode ser definido atraves de duas constantes independentes E m dulo de elasticidade e p coeficiente de Poisson Para simplificar o equacionamento define se mais duas constantes G m dulo de elasticidade transversal e A Constante de Lame que podem ser escritas em fungao das duas primeiras da maneira que se segue E s 2 1 r 4 1 pE 1 p 1 2p 4 2 Visando a obten o de express es mais compactas adotou se neste item a nota o indicial 4 1 Por quest o de clareza define se a seguir a conven o utilizada para a deriva o e somatorio a f i j x sb ab a b a b A partir dessa introducao inicia se o equacionamento proposto 4 2j apresentando se as equa es de equilibrio b 4 3 302 onde ei s o componentes de tensao e b forcas de volume as relacoes entre os deslocamentos e as deformacdes 2 5 especificas pode
140. aqui tv faz se o calculo da estrutura considerando se a fundacao r gida a funda o flex vel com E 100 000 KN M e finalmente a funda o flex vel com E 10 000 KN m Os principais resultados obtidos est o nas tabelas 4 15 a 4 18 apresentadas a seguir Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E210000 Pt 1 059 2 1 078 3 1 083 2 P3 2 246 2 2 211 4 2 050 7 PS 630 5 693 2 916 4 P6 1 298 7 1 410 6 1 827 3 P7 1 850 35 2 051 1 2 518 2 P11 3 306 2 3 226 3 2 833 2 PAS i 673 3 1 609 9 1 606 6 P14 2 386 3 2 212 5 1 844 5 P15 4 087 2 3 794 3 2 799 6 P19 880 2 942 9 1 147 7 P20 1 088 1 1 193 0 1 366 6 P21 1 377 2 1 444 3 1 596 8 P22 1 493 2 1 448 3 1 336 9 P27 9959 4 1 039 3 i 432 4 uomo om aa ey e auum num a m T m m ai ai ms a m m am T mms OR ia Aig as Tai HT dr es am tabela 4 15 379 A A o aee M que ua o A O O A A a UDO tate A a were ee me ee A e cm Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 V3a 2 93 1 68 8 92 V3b 0 93 2 26 17 64 V3c 2 48 2 45 13 75 V7a 0 94 6 72 33 13 Vila 0 66 2 88 18 39 Vilb 0 39 1 34 9 17 Vlic 0 19 3 90 13 12 visa 0 46 3 20 2 66 ViSb 1 53 6 03 13 90 Vi a 2 31 18 38 58 60 V16b 2 99 8 60 32 20 V17 1 49 17 27 62 47 V19a 2 59 6 85 32 82 Viga Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E i10000 V3a 1 86 3 57 20 15 V3b 2 24 5 21 39 64 V3c 1 47 7 52 43 16 V7a 2 50 17 98 89 01 Vila 1 32 5 66 36 75 Vilb 0 70 2 85 10 28 Viic 0 39 8 47 28 74
141. ara numerosos aperfei oamentos futuros e de interesse adotar se uma linguagem conhecida por quase todos os pesquisadores da area Dentro dessas considera es colocadas um bom e completo compilador FORTRAN foi realmente a solu o ideal Este cap tulo est organizado de modo que logo ap s esta introducao vem uma compilacao dos principas recursos do FORTRAN 4 1 da Microsoft A seguir e apresentado o esquema geral de funcionamento do sistema computacional que comp e o modulo de analise com apresentacao das rotinas componentes fluxo de processamento etc Depois sao mostrados detalhes a respeito das diversas fases existentes como entrada das caracter sticas nodais montagem dos elementos e do sistema global minimiza o da P id ta gt semi banda da matriz solu o do sistema e calculo de esfor os e tens es Em sequencia s o discutidos o tratamento dado a area de dados e aos arquivos em disco 28 utilizados no processamento Por fim s o apresentados detalhes a respeito da capacidade e efici ncia de utiliza o do programa montado com compara es em rela o a outros programas similares existentes Essas informa es poss bilitar o determinadas conclus es gerais sobre os t picos discutidos 29 2 2 CONCEITOS B SICOS DO FORTRAN 4 01 DA MICROSOFT 2 2 1 Introducao Dentro deste item estar o colocadas algumas das principais caracteristicas da linguagem FORTRAN adotada D para uso
142. as N N Nao e mencionado o recurso de sub estruturacao mas O A a a N sistema prove um renumerador de nos para a diminui o da semi banda da matriz de rigidez Isso possibilita uma modelagem mais eficiente pois o usu rio nao precisa se preocupar com as conex es resultantes 1 2 5 O Programa STRUDL O STRUDL STRUctural Design Language tamb m conhecido como ICES STRUDL um subsistema do integrated Civil Engineering System ICES e foi desenvolvido pelo M I T Civil Engineering System Laboratory No presente trabalho estaremos examinando rapidamente algumas caracteristicas do ICES STRUDL II que pode ser conhecido com maiores detalhes atrav s das refer ncias 1 181 1 19 1 20 1 21 1 22 Este programa tem como caracteristica positiva sua entrada de dados considerada muito eficiente Trata se da POL Problem Oriented Language que coloca a disposicao do usu rio uma s rie de recursos que facilitam bastante a comunica o com a m guina De maneira semelhante ao programa do item anterior aqui tamb m pode se definir os dados da geometria e carregamento do problema a ser analisado sem a necessidade de seguir se uma ordem pre estabelecida Alem disso oO programa possui valores padr o para os diversos parametros necess rios a Uma determinada analise diminuindo significativamente a quantidade de dados a serem fornecidos V rios elementos est o disponiveis para os usuarios do programa Podem ser d
143. as Verticais Os dois exemplos anteriores tiveram por objetivo mostrar o comportamento de estruturas submetidas a cargas horizontais interagindo com a funda o Entretanto os edificios s o ainda submetidos a pelo menos um outro carregamento muito importante Tratam se evidentemente das a es verticais que dizem respeito ao peso pr prio e demais sobrecargas atuantes Para tentar verificar se qual a influ ncia da flexibilidade da funda o com rela o a esse carregamento tomou se o mesmo edif cio do exemplo anterior Sua estrutura cuja forma apresenta se na figura 4 30 continua sendo discretizada pelo portico la mencionado somente que agora e solicitado pelo conjunto das cargas verticals Para tanto os nos do portico tridimensional foram carregadoscom as rea es nos pilares obtidas para O calculo do pavimento feito de maneira independente Esse 377 PAVIMENTO 14 13 122 n 10 S fusd Rig V4 T ES Fund Flex E 100000 S Fund Flex E 210 000 DESLOC cm 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 fig 4 31 Deformadas do eixo vertical do Ed Arte 5 378 procedimento que absolutamente n o faz parte do roteiro normal de c lculo dos escrit rios de projeto deve permitir que se estime o erro que se comete nos esforcos dos pilares e vigas pelo c lculo dos pavimentos como se fossem independentes entre si e independentes da fundacao De modo semelhante ao casos anteriores tambem
144. as e deslocamentos s o duas uma para cada extremidade O sistema e as coordenadas locais encontram se mostradas na figura 3 2 Nessas coordenadas podem ser definidos os vetores de for as e deslocamentos locais f eu f u f 1 e u 1 oe A 3 9 i f2 Us Quante s coordenadas giobais ou seja for as e deslocamentos segundo o sistema de refer ncia global da estrutura a situa o a apresentada pela figura 3 3 Observando se a referida figura percebe se que Os vetores de for as e deslocamentos ter o agora seis elementos e podem ser escritos como sendo cc 3 10 n m on mom m C o 5 WN P Cc C C Cc C OC oU b UNP a rela o entre esfor os e deslocamentos locais e globais pode ser definida atraves de uma matriz de T4 transformacao X segundo as relacoes que se seguem 162 NO J X2 fia 3 1 Elemento trelica Xs n X1 m X2 Ci Xi md fig 3 2 Coordenadas locais e seus cossenos diretores Xy X2 C A 3 I A EA Ca Cy fig 3 3 Coordenadas alobais 163 3 11 e A matriz A que relaciona esfor os ou deslocamentos globais com esfor os ou deslocamentos locais e calculada pelos Cossenos diretores do eixo local x enm rela o aos eixos globais Xi x5 e Xa A j referida figura 3 2 mostra esses cossenos chamados de 1 m e n respectivamente Dessa maneira a matriz A pode ser escrita como se segue A eee S212 3 3 3 Matriz de Rigidez Global
145. as sementes Para que essa escolha seja realizada necess rio que para cada n da estrutura seja calculada a dist ncia a todos os outros n s A partir da que se pode definir o m ximo n mero de n s a igual dist ncia sendo esse dado utilizado para a sele o do n ou dos n s que possuem o menor n mero de n s a igual distancia Esses nos e que ser o armazenados como as sementes dos esquemas a serem gerados Outro ponto negativo e que para cada semente feita uma renumera o completa de todos os nos da estrutura Ap s a gera o de todos esses esquemas e que sera escohido o que 71 a Semente 3 b Semente 7 fig 2 11 Esquemas de Renumera o Cuthill Mckee 72 melhor se adapta ao objetivo de gerar se uma pequena banda na matriz de rigidez Existem problemas para os quais podem ser selecionadas um grande n mero de sementes causando um grande tempo de processamento Essas deficiencias foram percebidas por alguns pesquisadores que propuseram caminhos alternativos Um exemplo disso e o trabalho de Gibbs Poole e Stockmeyer 2 12 Entretanto mesmo que o tempo de processamento seja significativamente reduzido sempre existe a possibilidade de uma falha na determina o das sementes principalmente quando 30 consideradas algumas situa es muito particulares Desse modo podem ser gerados esquemas que se afastem da banda m nima tornado se o algoritmo pouco eficiente 2 6 4 Estrategia R Collins
146. aso aqui analisado onde os coeficientes da diagonal s o bastante preponderantes em rela o aos que nela nao se posicionam O procedimento do erro m dio parece ser defens vel Levando se em conta sua grande simplicidade e o fato de n o se necessitar de altera es no algoritimo de solu o do sistema de equa es foi essa a solu o adotada Portanto pode se escrever simplesmente 1 S5 5 S S cu 4 57 onde Si s o os elementos da matriz de rigidez obtida para a linha i e coluna j Ap s este procedimento de simetriza o resta a montagem da matriz de rigidez obtida na matriz de rigidez global da superestrutura Essa montagem sera efetuada pela rotina montadora geral ja descrita em cap tulo anterior atraves de um vetor de contribui o Portanto um procedimento perfeitamente analogo so realizado para os outros sete tipos de elementos existentes 341 4 4 AN LISE DE RESULTADOS 4 4 1 Introducao O objetivo deste item e discutir uma serie de resultados obtidos com o elemento desenvolvido para a modelagem de sapatas rigidas Desse modo espera se um diagn stico relativamente claro sobre as principais qualidades e deficiencias apresentadas pela formuiacao proposta Al m disso algumas informa es interessantes a respeito de itens espec ficos como por exemplo a import ncia da considera o da intera o solo estrutura ou o n vel de intera o entre as sapatas de uma funda o devem
147. cer ainda que dV det J dr ds at 3 126 4 Desse modo tambem por integra o numerica nos mesmos pontos da montagem da matriz de rigidez obtem se da Jim T Po E oc B C det Jij 3 127 i i j k ijk ijk jk Finalmente existe a considera o do peso pr prio Do mesmo modo que nos outros elementos ele sera adicionado diretamente aos nos correspondentes multiplicado pelos fatores definidos pelo usuario para cada eixo global Para tanto o programa calcula o volume associado a um determinado no do elemento de Vi a Va de acordo com a expressao i j k i E 9 Wet Jijel i 3 128 i j k onde n funcao interpoladora h calculada para o ponto l ri Sj e ter Assim sendo a parcela devida ao peso pr prio resulta 252 lt lt lt e e re WA N t 5 127 w lt lt lt e ac f a C N e onde m f P a a e az fracoes do peso proprio a serem consideradas AA 7X segundo os eixos X1 2 3 Obtendo se para o vetor de cargas do elemento PE Pi n ES eee 3 130 3 8 7 Matriz da Rela o Tens o 7 Deslocamento A matriz que relaciona as tens es locais com os deslocamentos globais e montada levando se em conta em quais pontos do elemento os resultados ser o apresentados Isso e feito por uma expressao muito semelhante a considerada nos elementos tipos 4 e 5 Entretanto neste caso todos os vetores e matrizes deduzidos j refer
148. clarece a nomenclatura adotada Desse modo a matriz A pode ser expressa da maneira que se segue o 0 a 0 Ao a 0 AR E wee 3 51 0 Ao 0 2 a Xo onde 3 1 m n Ao i E e Q 2 2 2 0 0 3 6 3 Fun es de Interpola o O elemento adotado e isoparametrico ou seja utiliza as mesmas fun es para aproximar a geometria e os deslocamentos Para a defini o dessas fun es foi adotado um sistema de dois eixos naturais ou homog neos como referencia auxiliar Esses eixos aparecem na figura 3 18 juntamente com O sistema local de refer ncia e a indica o de deslocamentos u e v A interpola o e feita em fun o dos valores nodais dos par metros Assim sendo pode se escrever 198 202 onde x valor da coordenada x do no n pode ser x ou x uM lor da deslocamento u do n n pode sr d are A 5 I rJj tf s ho itr 1 s hz A 1 r 1 5 ha 7 1 r 1 s fj E rela ao entre as derivadas do sistema local e as derivadas do sistema homog neo pode ser escrita como sendo o Ox it Oxz a EE donas e a o or ES arc ar xa Z s as s 3x2 a onde a matriz J e o jacobiano da transforma o Em c lculos posteriores devido utiliza o de integra o num rica interessara o valor do jacobiano para um ponto especifico de coordenadas ri e Sj Assim sendo obter se a Jij cujos componentes ser o muc na ditos x DD pr
149. com a quinta coluna indica que ao P hd rs D aplicar se uma a ao segundo O eixo X obtem se uma rota o i em torno de X5 Para o elemento da segunda linha e quarta Dd coluna a situa ao e semelhante uma for a segundo Xo produzira uma rotacao em torno de X Ja para a valor da quarta linha e segunda coluna conclui se que um momento em torno de X1 produz uma transla o segundo X semelhante ao oe elemento da quinta linha e primeira coluna que indica que um momento em torno de X tem como consequ ncia tamb m uma translac o segundo Xp Para maior clareza a respeito desses interrelacionamentos pode se aplicar sobre o n ao qual essas rigidezes est o associadas for as e momentos segundo os eixos de referencia Adotando se apenas por uma questao de melhor visualiza o dos valores resultantes for as iguais a 19 KN e momentos iquais a 10 KNem os resultados obtidos sao os apresentados na tabela 4 5 importante ressaltar que CAR indica o n mero do carregamento respectivamentefor as segundo FL x e Xx 348 d A H sao as translacoes segundo os eixos de referencia em RX e RX momentos em torno de X Xo e Xa Os valores TX N N metros e RX sao as rota es em torno dos 1 3 eixos de referencia em radianos ma n o A fu mien cms mY SY SS Sy a a er mas mas mas mas EO US A AM ery Se A o a a E LL SENA Ei opus Ni NER al ne m3 1 1 488 0000 2000 2000 1402 0000 2 8200 1 48
150. como seria de se esperar tambem para Sapatas com interacao a simetrizacao posterior da matriz de rigidez n o traz maiores imprecis es O ponto de grande import ncia a ser discutido com o exemplo aqui apresentado e o n vel de intera o entre as sapatas A separa o entre os centr ides dessas sapatas consideradas e de 2 5 vezes a dimens o dos seus lados Entretanto como pode se notar pelos valores apresentados pela matriz a intera o e relativamente forte w principalmente quando consideram se acoes de for as segundo 358 os eixos X4 X5 e Xa Nesses casos os coeficientes obtidos tu mn para uma Sapata pela aplica ao das a oes na outra sao da ordem de 25 dos obtidos para a propria sapata onde e tu Hi apiicada a a ao Ja para os momentos pode se concluir que tu ns E A y x E a interacao nao e significativa Logicamente os comentarios m r x 5 w A sao validos para a referida separa o entre centroides 4 4 4 2 Duas sapatas im x im separadas de 5m A figura onde mostra se o presente exemplo e a 4 25 Trata se de um esquema muito semelhante ao do item anterior com a ressalva de que a separa o entre os centr ides das sapatas o dobro ou seja 5 vezes a dimens o da sapata A matriz de rigidez obtida a seguinte 6881 D 6 yg 546 102 171 2 89 6792 o 538 2 6 648 o 40 o 61 6 o 8208 8 168 2 934 o 47 48 2620 o 0 o 15 2 3 o 47 2 7 2621
151. conex o Essa matriz contem para cada n da estrutura todos os n s com que se relacionam verdadeiramente tra ando o caminho da renumera o que se deseja executar a partir de uma determinada semente Tome se o exemplo mostrado na figura 29 as incidencias dos oito elementos triangulares l existentes podem ser resumidas na tatela 2 7 TO ee cs tdo a a cr co o a e O o ma o he Uy a o o e ad a o e a a o O cd ma a as we em ae cn mm sn sta n gt m AY o me Elemento No 1 No 2 No 3 1 1 9 8 2 1 2 9 3 2 4 9 4 2 3 4 5 8 6 7 6 8 9 6 7 9 5 6 8 9 4 5 tabela 2 7 67 De alguma maneira essas incidencias sao passadas a rotina de minimiza o que atraves delas pode montar a matriz de conexao No caso do programa LS essas conexies sao lidas de um arquivo em disco As rotinas que realizam a montagem de vetores e matrizes dos elementos passam para o arquivo os pares de nos conectados No presente exempla ter se ia o seguinte conjunto de dados elemento 1 1 9 1 8 9 87 elemento 2 1 2 1 9 2 9 elemento 3 2 4 2 9 4 9 elemento 4 2 3 2 4 3 47 elemento 5 8 6 8 7 6 7 elemento 6 8 9 8 6 9 6 elemento 7 9 5 9 6 5 6 4 elemento 8 9 4 9 5 49 5 A matriz de conex o matriz MC tem NN linhas e NMC colunas sendo NN o n mero de pontos nodais e NMC o n mero m ximo de conexOes inicialmente definido como 38 Caso esse n mero inicial n o seja suficiente ele ser aumentado automaticamente pelo programa LS at que a mem ri
152. cos Existem algumas maneiras de resolve lo dentre as quais vai se destacar as seguintes a Desenvolver a formula o do Metodo dos Elementos de Contorno de modo a obter se matrizes simetricas a exemplo do que acontece com o Metodo dos Elementos Finitos 4 173 4 18 4 19 b Fazer com que as equa es correspondentes a regido discretizada atraves do Metodo dos Elementos Finitos sejam condensadas nos pontos nodais de interface adicionando se 339 essas contribui es ao sistema nao sim trico montado para a regiao discretizada atraves do Metodo dos Elementos de Contorno A solucao desse sistema nao simetrico fornece resultados para toda a regi o de M E C interface inclusive e os deslocamentos da regiao de M E F podem ser encontrados por retrosubstituicao 4 20 c Operar de forma independente nos sistemas de equa es que dizem respeito ao Metodo dos Elementos Finitos e M todo dos Elementos de Contorno montando um terceiro conjunto de equa es para os pontos nodais da interface Resolvido esse terceiro sistema voltar aos dois sistemas originais e fu fa completar a solu o das equa es d Simetrizar a matriz obtida atraves do Metodo dos Elementos de Contorno posteriormente com a utiliza o de um processo qualquer definido para esse fim Ap s esse procedimento realizar normalmente a adi o a matriz simetrica da superestrutura 4 21 Evidentemente todos esses processos t m suas vanta
153. da estrutura neqb n mero de equacoes por bloco do sistema global nb numero de blocos A express o 2 10 e correspondente a entrada dos pontos nodais da estrutura Nesse momento estar o em mem ria central na j mencionada rea de trabalho de 400 Kbytes a matriz de restri es IR de dimens o nn x 6 e os tres vetores de coordenadas mais um vetor de temperatura nodais todos de dimens o nn Portanto o maximo n mero de n s da estrutura a ser analisada precisa ser 10 000 Ja a express o 2 11 diz respeito entrada das cargas nodais Nesse momento tambem na referida rea de trabalho estar o armazenados a mesma matriz IR e na hipotese mais otimista um vetor F de negb x mb elementos reais de 8 bytes Diz se na hipotese mais otimista pois sup e se que se esteja considerando apenas um caso de carregamento Se o 138 n mero de casos de carregamento nc for maior que 1 na verdade o vetor F deveria ter neqb x nb x nc elementos Entretanto essa n o e uma limita o que impe a a an lise pois o programa verifica O n mero de casos de carregamento gt w que podem ser considerados atraves da expressao 100 000 6 nn ne amp 14 42 12 2 neqb nb Caso o n mero de carregamentos fornecido seja maior que o valor calculado na express o 2 12 0 programa e executado apenas com os nc carregamentos que a mem ria comporta sendo emitida uma mensagem correspondente Quanto as fases de
154. das da maneira que se seque Discretizacao i 8 elementos fig 3 48 Discretiza o 2 16 elementos fig 3 49 Discretizacao 3 128 elementos fig 3 50 Como ser3o utilizados somente elementos paralelepipedicos em um problema onde a acao predominante um momento fletor a analise sera feita exclusivamente com a inclus o dos modos incompativeis Alem disso como ja foi feito no item 3 6 12 1 vai se controlar os valores do deslocamento na extremidade livre apresentados em cm na tabela 3 9 a tens o normal na extremidade superior de uma se o pr xima ao engaste em KN cm na tabela 3 10 e ainda da tens o tangencial no eixo da peca tamb m em KN cm na tabela 3 11 A observacao dos resultados anotados nas referidas tabelas mostra de forma absolutamente clara que a discretiza o mais apurada para o problema em quest o somente tem utilidade no calculo da tens o de cisalhamento Essa tendencia ali s j havia sido notada desde que o mesmo exemplo foi resolvido com o elemento membrana quadrangular n o conforme Aqui esta tendencia torna se ainda mais clara podendo se perceber quase que uma degrada o dos resultados devido ao excesso de graus de liberdade 256 1 ra perficie do tipo 1 na face r 7 3 47 Forca de su fig 1 w 3 48 Discretizacao F fiq 2 e cao F 3 49 Discretiza fig 257 utilizados na solucao Apenas para a tens o de cisalhamento cons
155. das para a obten o de bons resultados De qualquer maneira tomando se a discretiza o 2 que pode ser considerada relativamente pobre verifica se que no pior dos casos o quadrilatero afasta se apenas 8 5 do valor exato Ja para os dois elementos triangulares a situa o sensivelmente pior situando se essa diferen a A t na casa dos 30 para a discretizacao 5 1974 3 951 3 935 4 035 3 449 3 915 4 025 Exato 4 060 tabela 3 13 290 tom saem ee mat came A ED O io a CN iin e A O mt mt GT ED CC CCC om A GC toe LG Sov NE GED MP SP O O GERD O O temp emp SY O GD GRD GRD WD Disc 1 2 3 4 9 6 107a 1 130 1 156 1 233 0 185 1 007 1 194 004 o amma amme mmp aan aan aro v s aame nem memo cats She GA name cum aame aan amme A voe man amo amme e AP e e o aame o LS am amo aama RC iram aama A SN OA wt ade wins aan 10 a 10 802 10 963 11 391 8 820 10 483 11 230 Exato 11 600 de tema aee am A migo o em cr mame nama nam mam SA I SO A a a a rm Te Sete my AA A wren mama mama o Gm PESA UA ie mm hres meme a o US sah MAO a Sey Sams a qa q FO Phy UND Pier seis amy noms mo AON Disc 1 2 3 4 5 6 19 4 519 5 154 5 399 1 008 4 215 5 159 Exato 5 600 mim mia mia mia ami cansa ceia ceia A e ee aa ams aa em o A A AA a ree eo ems o Am PD O A ma mamme a e AN PD SO a a a mamn Am NN a Wm mi ip o mater seh wes mam name samme tabela 3 16 3 9 8 3 Tempo de Processamento Quanto ao desempenho em rela o aos tempos de processamento o elemento q
156. de 32 bits exceto para o caso de se estar trabalhando com Medium Model Entretanto o usuario pode for ar que um determinado conjunto de rotinas que se interrelacionam ocupe um mesmo segmento basta que elas estejam num mesmo m dulo ou seja num mesmo arquivo fonte Desse modo atraves de comandos espec ficos pode se informar ao compilador essa situa o conseguida e pela gera o de endere os de 16 bits conseguir se uma redu o da quantidade de mem ria e tempo de execu o Portanto cabe ac programador estudar convenientemente os modulos a serem montados de modo a se conseguir uma maior efici ncia para O programa Quanto aos dados O tratamento varia bastante de acordo com o armazenamento definido Para o Medium Model 33 a situa o e a mais simples e eficiente Todas as variaveis s o alocadas no segmento default DS Desse modo oa compilador pode simplesmente gerar endere os de 16 bits para todas essas posi es Quando se trata do armazenamennto Large a situacao altera se um pouco Nesse caso de modo semelhante ao que ocorre com os c digos o total da area de dados pode ultrapassar 64 Kbytes Entretanto tamb m aqui cada vari vel individualmente precisa estar alocada dentro de um mesmo segmento Isso restringe o tamanho de cada vari vel a 64 Kbytes mas permite ao compilador apesar de gerar endere os de 32 bits para as variaveis alocadas fora do segmento default trabalhar com uma aritimetica de
157. de 7818 linhas de programa o em FORTRAN Para facilitar a referencia a esse conjunto usar se no decorrer deste trabalho o nome de chamada desse m dulo que e LS Todo sistema estrutural apresenta algumas caracter sticas comuns e Outras pr prias Dentre aquelas que dizem respeito a um determinado sistema em particular destaca se a chamada biblioteca de elementos O programa LS em sua vers o atual possui cito diferentes tipos de elementos implementados a seguinte a rela o desses tipos tipo 1 elemento treli a tipo 2 elemento barra tipo 3 elemento contorno tipo 4 elemento membrana tipo 5 elemento plano estado plano de tens o deforma o e axissimetrico tipo elemento tridimensional tipo 7 elemento placa ou casca tipo 8 elemento sapata Al m disso tamb m como caracter stica especial O programa coloca a disposi o do usuario um minimizador da semi banda da matriz de rigidez global que atua opcionalmente sobre as estruturas 40 2 3 2 Divisao do Programa em Blocos de Comandos 2 3 2 1 Considera es iniciais Os comandos do programa LS est o divididos em dez blocos distintos Todos os blocos tem nomes de apenas dois caracteres e re nem um conjunto de sub rotinas e fun es que tem objetivos relacionados Cada sub rotina ou fun o tem como primeiros caracteres de seu nome o nome do bloco que a contem Desse modo mesmo com um grande n mero de segmentos torna se
158. de refer ncia conforme mostra se na figura 4 3 Note se que para cada dominio ar com condicoes de contorno pr prias deve se obter uma solucao fundamental Por exemplo para o dominio infinito tem se a solu o de Kelvin Para O semi infinito as solu es de Mindlin e Boussinesq Cerruti e assim por diante O problema pode ser matematicamente colocado atraves da substitui o das for as de volume pela express o x bi a A s q F s 4 11 onde A s q Delta de Dirac e definido como i A s q A s Qq q ses Qq cce 4 12 e vy Ats q dv 1 ses za Substituindo se as rela es 4 11 em 4 3 as equa es de equilibrio para o problema fundamental resultam x x Aisy A s q F 5 4 13 Para as relacoes deforma o deslocamento tem se PR i Ts Sir a 4 14 1 z 1 7 J4u1 A lei de Hooke resulta x ko x a oso 64 15 ij MEC iy 266 306 Para as forcas de superficie pode se escrever x X x 24 x PES u on u Nn 4 Pi G a Ue i3 i 2p 5 34 4 16 Jaa equa o de Navier do problema fundamental pode ser escrita como sendo x 1 x 1 k u o F eee 4 17 urai ic2p Ur 14 5 A s q j 4 17 Neste trabalho os deslocamentos ur e as forcas de superficie p que acontecem no ponto q devidos as forcas concentradas do ponto s serao apresentados na sua forma tensorial 4 4 x x x uta U 5 9 F 5 4
159. de se analisar a influencia da considera o da solu o fundamental de Mindlin A sapata que se toma como exemplo e a mostrada na figura 4 22 id ntica do primeiro exemplo interessante ressaltar se que o programa seleciona automaticamente a solu o fundamental a ser utilizada Se o 354 asm 05m fig 4 21 Sapata 1m x 1m excentrica segundo Xi e x plano livre de tens es lm fig 4 22 Sapata im x im com C 0 355 parametro C tem valor zero e utilizada a solu ao de Boussinesq Cerruti caso contr rio usa se a solucao de Mindlin Assim inicialmente adotar se um valor muito Pequeno para o parametro C de modo a ter se uma compara o com os resultados ja obtidos no item 4 4 3 1 Fazendo se C 0 001 m tem se a seguinte matriz de rigidez no centroide sem simetrizacao 6741 533 6741 o 533 o Va a 8101 o o o 38 2623 o o 38 o 2623 0 o o o 4165 Como era esperado para esse caso os resultados sao praticamente identicos aos obtidos para O primeiro exemplo j que para C a solu o fundamental de Mindlin e Boussinesg Cerruti devem apresentar o mesmo valor Agora para Se verificar a influencia da distancia C nos resultados obtidos toma se por exemplo C 2m obtendo se a seguinte matriz 12289 o o o 85 o 12289 o 85 o o 12682 o o o 8 35599 o Ba o o 5599 o o o o 8425 O que se pode perceber que os coeficientes da diagonal prat
160. denadas locais 195 elemento triangular Por fim menciona se que esses desenvolvimentos foram feitos com base em diversas publica es apresentadas como referencias 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 3 6 2 Coordenadas Locais e Globais No item anterior foi definido um sistema local de referencia As coordenadas do elemento segundo esse sistema local s o as apresentadas na figura 3 14 De modo semelhante ao que foi feito para os elementos anteriores pode se definir para os elementos de quatro nos os seguintes parametros f ui f2 uz f E e u wee 3 49 f5 37 fa ug Quanto ao sistema de refer ncia global as coordenadas do elemento sao apresentadas na figura 3 15 No caso sao tres parametros Para cada n resultando portanto nos seguintes vetores Fy E F 2 uU F z e U 3 50 11 Uii 12 12 196 fig 3 15 Coordenadas globais X2 fig 3 16 Sistemas local e global fig 3 17 Cossenos diretores dos eixos locais 197 Tambem aqui ser importante a defini o de uma matriz que relacione os esfor os e deslocamentos globais aos esfor os e deslocamentos locais Essa rela o e realizada atraves de uma matriz de transforma o A de oito linhas por doze colunas segundo as equa es 3 11 A matriz A montada com os cossenos diretores dos eixos locais x e aa em rela o aos eixos globais Xj X e X A figura 3 16 mostra o comportamento geral e a 3 17 detalha esses cossenos e es
161. des de membrana sera o CST Tomando se por referencia o sistema local definido no item 3 9 1 as coordenadas do elemento s o as apresentadas na figura 3 60 Como trata se de um elemento isoparam trico as fun es interpoladoras a serem utilizadas serao as mesmas apresentadas para a geometria Desse modo pode se escrever os deslocamentos u e v para um ponto qualquer do elemento atrav s das express es 3 140 3 9 5 2 Matriz de Rigidez As rela es entre as deforma es e os deslocamentos N sao as Mesmas apresentadas pelas equa es 3 56 Desse modo a matriz B que relaciona essas grandezas pode ser escrita como ahi hz ha Ox 1 9 x 1 axa 2 J aha haz dha B a 3 2 EA o E 3 141 h1 Ghi h2 Ghz Gha ha Qx4 duna xi xi dxa axa ou seja 271 B 2 a 2 a 2 a 3 142 onde a e b tem suas expressoes apresentadas no item 3 9 3 amp matriz de rigidez pode ent o ser determinada por um expressao totalmente analoga a 3 61 Analisando se as t x H grandezas que estao sendo integradas verifica se que todas s o constantes no dominio do elemento Assim sendo tem se CB S dV ana 3 143 Lembrando se que a espessura do elemento t tambem uma constante conclui se que a matriz de rigidez resulta r Pu onde BCB At 3 144 A rea do elemento Portanto e muito simples obterem se expressdes expl citas para os termos da matriz de rigidez
162. deve se lembrar que na verdade a defini o do contorno do elemento envolve a defini o de seis planos de r4 ar conforme apresenta se na figura 4 13 Se for 6 adotada a espessura da sapata igual a zero isto e ri e Pa ocupando a mesma posicao as duas integrais restantes da equa o 4 27 anulam se para os contornos ry a FD Entretanto para os contornos T e r anulam se apenas as 1 parcelas relativas a pr pois trata se da integra o de fun es de mesmo valor e sinais contr rios na mesma rea Quanto matriz Cik 9 a soma de 1 2 i de uma superficie com 1 2 da outra produzir o proprio 6 ou k seja a matriz identidade Portanto seja usada a solu o de Boussinesg Cerruti ou Mindlin a equa o integral a ser discretizada resume se ao seguinte u S ut s 0 p ca ar a 2 2 4 37 i r ik k Com a utiliza o da express o 4 33 e considerando se que se tenha L sapatas para um determinado elemento obtem se L x kg i m f Ur ob prod i08 38 1 r onde ui e o deslocamento do ponto nodal j na dire o i Retirando se da integral os valores nodais que nao 328 4 3 4 3 I 2 1 2 fig 4 12 Funcoes interpoladoras fig 4 15 Contornos para discretizacao da sapata 329 ma M fa ev 4 variam em rela o a posi ao no elemento obtem se L 4 U y vt m gr p 0 4 39 i ik 1 k lzi r 1 A integral no contorno T pode ser calculada 1 numericamente por Gaus
163. diagonal principal aumentando muito a possibilidade de ocorr ncia de erros num ricos Um caso muito adequado a essa verifica o tomar uma viga engastada em uma extremidade e livre na outra e discretiza la com muitos elementos barra Nesse caso apenas um elemento barra forneceria o resultado correto desde que O carregamento aplicado fosse apenas nodal Entretanto dividindo se o vao em muitos elementos a 141 z be a N situacao sera muito propicia a verificacao da acuidade z gt N numerica na solucao do sistema N A Para programas em que os erros numericos sao passiveis de ocorrer a divis o do v o em 50 elementos e suficiente para o obten o de resultados completamente absurdos Na verdade a partir de 20 elementos a tendencia a divergencia vae ja e bastante clara Para se testar o Comportamento do programa LS definiu se a utiliza o de Uma viga engastada livre com todas as caracter sticas unit rias Assim sendo v o m dulo de rigidez flex o e a uma carga na extremidade livre foram feitos igual a um Nessas condi es foram montadas cinco discretiza es 1 100 258 500 e 1 000 elementos Os resultados obtidos sao apresentados pela tabela 2 18 Elem Max Min al 61 Maf Vaf 1 12E 2 0 3333333 0 5000000 1 000000 1 000000 100 24E 08 0 3334746 0 5002191 1 000000 1 000000 250 SBE 09 3267792 4899136 983635 1 000000 500 30E 10 0 3278086 0 4934319 0 977845
164. do necessita ter uma numera o maior que 1 O resultado de tal procedimento ser o mesmo deslocamento para os dois nos assim ligados sempre no grau de liberdade considerado 2 4 2 Numero das Equacoes para Cada Grau de Liberdade Apos a leitura dessas caracter sticas os vetores de coordenadas e temperaturas nodais que s o reais de quatro a Pat ar bytes n o s o alterados e ficar o na area de dados para 53 fig 2 3 Coordenadas do no N Xs TX3 RX3 RX1 e re A Me X fig 2 4 Graus de liberdade no espaco X2 X O fig 2 5 P rtico no plano X 1X5 54 lad r utilizacao posterior Ja a matriz IR composta de inteiros de quatro bytes sofre um p s processamento que e de certa forma padrao em quase todos os grandes sistemas de analise estrutural o seguinte o roteiro dessa alteracao neg i de 1 ate n mero de n s j de 1 ate 6 se IR i j ent o neq neq 1 IR i j neq se IR i j 1 ent o IR i j Q se IR i j gt 1 entao naux IR i j IR i j IR naux j Isso significa que para cada grau de liberdade da estrutura j estar calculado o numero da equa o correspondente sendo o zero indicador de grau de liberdade restrito e n mero negativo indicador de grau de liberdade constrangido Ap s essas modifica es a matriz IR al m de permanecer na area de dados escrita em arquivo em disco N para utilizacao poste
165. do sub triangulo i a seguinte D expressao t E cus n m A til 2 i fil iiJ 3 169 A matriz GLiJ e quadrada de ordem 9 sim trica e formada por sub matrizes de ordem 3 ER cuja express o resulta gti EU C n 3 170 jk 144 jk uid 1 2 r onde alem dos par metros j vistos A a rea do sub tri ngulo i Desse modo a matriz de rigidez do elemento triangular completo pode ser escrita pela simples adi o das contribui es de cada sub elemento ou seja t 282 EA pri R 12 A LUS wee 3 171 3 9 6 7 Vetor de Cargas O unico carregamento a ser levado aos nos do elemento de forma consistente e o gradiente de temperatura segundo o eixo normal ao plano do elemento A express o utilizada para esse procedimento a que se segue p f B m da 3 172 onde A m DR interessante ressaltar que esse c lculo sera feito para cada sub elemento somando se as contribui es para encontar se o vetor de cargas do elemento completo O vetor representa O campo de curvaturas iniciais provocado pelo gradiente Tg Essas curvaturas podem ser encontradas simplesmente pela multiplica o do gradiente fornecido pelo coeficiente de dilata o termica correspondente Assim sendo tem se o Tg a 2 3 173 o Ent o o momento mo resulta f ta t 11 Com yt Co C229 3 174 12 a D P Portanto na equa o 3 172 a unica matriz nao 283 constante
166. dos anteriormente esses modos produzem um aumento sensivel na rapidez de convergencia principalmente no caso de problemas submetidos predominantemente a momentos fletores Inclusive para os elementos tridimensionais essa melhora pode ser muito importante para uma redu o do esfor o computacional que costuma ser significativo Entretanto sua utiliza o continua a merecer alguns cuidados devido ao fato de se destruir a compatibilidade do elemento Quanto aos carregamentos permitidos eles podem ser divididos em tres grupos Inicialmente for a distribu da aplicada sobre as faces com dois tipos de defini o possiveis A do tipo 1 normal superf cie A do tipo 2 fornecida ja segundo os eixos globais da estrutura Qualquer um dos dois tipos podem ser aplicados em qualquer face Tambem e possivel a considera o de uma varia o de temperatura calculada como sendo a diferen a entre a media das temperaturas nodais e um valor de referencia para Cada elemento fornecido pelo usuario Por im existe a considera o autom tica do peso proprio de acordo com fra es segundo os eixos globais A utiliza o do presente elemento se d em casos de estruturas que n o tenham um ou dois eixos predominantes sendo seu comportamente tipicamente tridimensional Pode se Citar o caso de blocos de funda o barragens e ate mesmo cascas de espessura relativamente grande desde que sejam inclu dos os modos incompativeis Finalmente m
167. e de grandes estruturas e muito boa permitindo a solu o de sistemas estruturais de mais de 100 000 graus de liberdade As vari veis reais s o de dupla precis o e a decomposi o do sistema de equa es e realizada por blocos com a semi banda fixa A biblioteca de elementos possui os tipos b sicos necess rios a um programa geral de an lise Est o dispon veis elementos barra treli a estado plano de tens o dois EST gerando um quadrilatero placa dois HCT gerando um quadrilatero casta casta c nica elemento toroidal e tridimensional Al m desses tipos que podem ser chamados de convencionais est o disponiveis para uso dois elementos painel um deles trabalhando a for a cortante e outro ao momento fletor o elemento escalar para conectar pares de graus de liberdade e um elemento geral que permite ao usuar o montar uma matriz de rigidez qualquer e introduzi la no sistema de equa es da estrutura Tambem para este sistema e possivel a definicao de super elementos ou sub estruturas otimizando se o calculo de sistemas estruturais compostos por m dulos repetidos 1 2 4 O Programa STARDYNE O STARDYNE foi desenvolvido pela Mechanics Research Inc MRI e seu uso disseminado pela Control Data Corporations Cybernet System Foi muito utilizado inclusive no Brasil exatamente por estar disponivel em um grande bureau de processamento de dados uma alternativa vi vel para pequenos usu rios realizare
168. e o elemento trelica permite a N 5 N definicao de peso proprio com fragoes fornecidas pelo usu rio segundo os eixos giobais e ainda uma varia o de temperatura constante em todo o elemento Desse modo o vetor de cargas PE e calculado atraves da express o i 22 FAL ay PE EA a AT 2 35 18 x 2 1 1 a na n onde 1 a e az H fra es do peso proprio a serem consideradas segundo Os eixos Xa X e X4 3 3 5 Matriz da Rela o Tens o 7 Deslocamento No presente caso os esfor os e tens es a serem determinados s o N e o respectivamente esfor o solicitante normai e tens o normal no elemento O vetor que contem esses valores pode ser encontrado com base nas for as locais que aparecem na equa o 3 13 referenciadas aos desiocamentos tambem locais Entretanto e necessario que os deslocamentos a serem considerados sejam os globais Para tanto basta substituir a conveniente express o 3 11 na ja referida equa o 3 13 obtendo se 166 f r AU 3 20 w vw 2 73 o gt y Com as adapta es convenientes pode se escrever a matriz TD relacao entre os deslocamentos globais e o nw esfor o e a tensao a serem calculados como sendo E Al Am An Al Am An TD o 3 21 t L m n 1 m n 3 3 6 Vetor de Esfor os ou Tens es In ciais Tambem aqui de modo semelhante ao vetor PE para cada carregamento considerado deve ser montado um vetor de esfor os e tens es i
169. e o tensor de for as de superficie my e a 2 nao sera apresentado pois como se mostra no item 4 3 4 zo x od Ld nao tem importancia pratica para este trabalho Assim D sendo essas expressoes bastante extensas encontradas na refer ncia 4 6 serviriam apenas para alongar este resumo que se pretende objetivo e breve 4 2 2 4 Solu o Fundamental de Boussinesq Cerruti Caso o dominio considerado seja semi infinito portanto identico ao item anterior mas o ponto s esteja na superf cie livre de for as a solu o fundamental torna se muito mais simples Pode ser obtida das equa es 4 20 quando se faz C 0 2 0 rc Re rz Rs conforme mostra se na figura 4 8 Com essas condi es as express es resultantes para os deslocamentos podem ser escritas como 4 73 x 2 Via K i p ra x Uso K p ra r2 U K 0 5 4 r 13 x ai 312 U21 U12 x 2 Uso K i v r2 ee 4 21 Gc Sewn 9 5 23 14 r2 A Us Uis ERN Uz2 7 U33 ut K 1 33 1 p Tambem aqui o tensor das forcas de superficie nao sera apresentado devido ao fato j mencionado no item anterior 4 2 3 Equacoes Integrais para Pontos Interiores e do Contorno Vai se considerar um dominio el stico linear r isotropico e homogeneo Q definido por um contorno T r Tos onde se desenvolvem estados de deslocamentos deforma es e tens es pela aplica o de determinadas a es s repres
170. e rigidez e os vetores de cargas s o reais de 8 bytes sendo os NC vetores de quatro posi es reais de 4 bytes Assim sendo a expressao que permite o c lculo do e mn numero de equa es por bloco e a seguinte 100 000 4 nc rSo 1 2 1 neqb 4 lb nc 82 J no caso da rotina SOSOLC deve se considerar duas a d D P situa es Durante a triangulariza o estarao na memoria central dois blocos da matriz de rigidez dois blocos dos vetores de carga reais de 8 bytes e ainda um vetor auxiliar de lb neqb inteiros de quatro bytes Nesse caso o valor de neqb resulta 100 000 ib neqb emma cce 2 2 4 1b nc 1 Para a retrosubstituigao devem ser acomodados na rea de trabalho um bloco da matriz de rigidez e um bloco do vetor de cargas reais de 8 bytes o vetor auxiliar de ib neqb inteiros de 4 bytes e finalmente um vetor de lb 2 nc 2 neab nc reais de 8 bytes Desse modo O F fJ le numero de equa es por bloco pode ser escrito como 100 000 ib 2 lb 2 nc negb wee 2 3 Zib 6nce 1 Obviamente o valor adotado pelo programa ser o menor dos obtidos pelas equa es 2 1 2 2 e 2 3 Desse modo considerando se que deve se respeitar um minimo de duas equa es por bloco o probiema sera resolvido normalmente qualquer que seja a banda o n mero de equa es e o numero de vetores de carga Por fim e importante ressaltar que o algoritmo adot
171. ecificas TR elemento trelica BR elemento barra CT elemento contorno PL elementos membrana e plano SL elemento s lido PC elementos placa ou casca FU elemento sapata Todos esses tipos de elementos serao estudados com detalhes nos dois pr ximos cap tulos Assim sendo seria cansativo e pouco til que dentro deste item se fizesse uma descri o mais detalhada de todas as rotinas que comp em esses blocos Menciona se apenas que elas representam a maior parcela do c digo abrangendo um total de 5302 comandos aproximadamente 68 X do total 43 2 3 2 4 Bloco MB Neste bloco estao agrupadas as rotinas de minimiza o da semi banda da matriz de rigidez Engloba um total de 792 linhas de programa 10 do total distribuidas em 9 sub rotinas Realiza nao s as opera es de minimiza o pr priamente dita mas tamb m tanto a prepara o dos dados necess rios como a implementa o das modifica es devidas minimiza o conseguida Maiores informa es a respeito do algoritmo utilizado para a execu o da minimiza o estar o presentes em item posterior Entretando neste ponto mencionar se o as g a 4 P y rotinas utilizadas ressaltando se suas principais fun es MBCOMD Comanda a execu o da minimiza o trabalhando com um verdadeiro programa principal do bloco MBMMMC Monta a matriz de conex es chamada MC Essa matriz contem para cada no a rela o de todos os
172. eguintes 1 1 1 6 TE C 1 TE 2 TE S TE 4 TE S TE O 1 1 2 6 TE 1 TE 2 TE S3 TE 4 TE 5 TE O 1 2 1 6 TE 1 TE 2 TE 3 TE 4 TE 5 TE 6 1 2 2 6 TE 1 TE 2 TE 3 TE 4 TE 5 TE 6 113 2 9 4 Arquivos de Sa da de Dados e Resultados O programa permite que as saidas dos dados fornecidos e resultados obtidos sejam feitas via console impressora ou arquivo em disco que alias e considerado o modo default Caso a op o adotada seja realmente em disco O programa LS montar na verdade dois arquivos o primeiro de sufixo D para conter as saidas referentes aos dados fornecidos para nos e elementos e o segundo de sufixo R com Os resultados obtidos para os deslocamentos nodais e esfor os e ou tens es nos elementos Nos dois casos O prefixo sera sempre o nome do arquivo de dados da estrutura Tanto o arquivo PREFIX D como o PREFIX R s o arquivos formatados e de acesso sequencial podendo portanto serem acessados atraves de um editor de dados comum ou impressos por meio de um COPY ou comando equivalente Cabe ressaltar que para facilitar a observa o atraves do editor e permitir a impress o em papel de 890 colunas manteve se o comprimento de cada linha em 78 caracteres 2 10 ARQUIVO FARA A ENTRADA DOS DADOS 2 10 1 Introducao O arquivo que contem os dados para analise e formatado e sequencial Seu nome deve ser formado apenas por um prefixo que pode ser escolhido livremente pelo usu rio apenas co
173. eiro 1981 29 1 30 SAP80 User s Manual Computers amp Structures Inc Berkeley 1984 1 31 SAP90 User s Manual Computers amp Structures Inc Berkeley 1988 1 32 SUPERSAP User s Manual Algor Interactives Systems Inc 1987 26 CAP TULO 2 Organizacao Geral do Programa 2 1 INTRODU O O sistema LASER Linguagem para Analise de Sistemas Estruturais Reticulados um conjunto de programas voltados para as diversas etapas envolvidas em uma analise estrutural de grande porte Compreende alem do programa de an lise pr priamente dito m dulos que podem ser classificados em dois grandes conjuntos pre processadores e p s processadores Comp em os pre processadores programas de entrada e confer ncia de dados onde s o oferecidos grandes recursos de geracao automatica e permitido o uso de tela ou plotter para apresenta o de desenhos Alem disso na categoria de p s processadores existem m dulos para apresentacao de resultados que fazem desenhos da estrutura deformada e curvas de tensces e ou esforcos tambem com a utilizagao de tela ou plotter O objetivo deste cap tulo fornecer um panorama geral sobre a montagem do j referido m dulo de analise Dentro desse panorama pretende se mostrar como est o organizadas as diversas etapas do processamento seus interrelacionamentos filosofia de armazenamento do c digo dos dados e dos arquivos em disco r gido al m de outros detal
174. eito ao tempo de processamento ele pode variar dependendo do fato de estarem ou n o sendo utilizados alguns recursos especiais como libera o ou constrangimento de graus de liberdade Entretanto como valor medio pode se adotar algo pr ximo de 0 15 seg para a montagem e grava o das matrizes e vetores de cada elemento Para o c lculo dos esfor os e tens es o tempo verificado e de aproximadamente 0 065 seg 182 3 4 11 Exemplos 3 4 11 1 Viga Engastada Atraves deste exemplo muito simples procurar se a discutir a influencia da consideracao do esforco cortante nos deslocamentos obtidos Para tanto vai se adotar uma viga em balan o de 3 m de v o e submetida a uma carga concentrada na extremidade livre de 10 KN O m dulo de elasticidade adotado 2000 KN cm A referencia 3 5 traz considera es a respeito do c lculo da rea que efetivamente resiste a for a cortante Esse valor e encontrado em fun o da rea da se o transversal multiplicada por um coeficiente de ajuste que depende da forma da se o Ou seja A cA 220 3 39 Neste exemplo vai se adotar se es retangulares e o valor de c resultar aproximadamente 1 2 Para um melhor acompanhamanento da tendencia da solu o do problema ser o adotadas tres diferentes se es 12x100 12x50 12x30 em centimetros Portanto as rela es altura da se o H e v o L ser o 1 3 1 6 e 1 10 respectivamente Os resultados obtidos tambem
175. el como Huge Caso contr rio o FORTRAN 4 01 definir o armazenamento no modo default que depende de sua instala o Ja para os par metros passados como argumentos de sub rotinas e fun es e importante que os argumentos formais sejam definidos com o mesmo tipo de armazenamento dos par metros que s o passados Caso algum engano seja cometido pelo programador a respeito dos detalhes acima colocados as consequ ncias ser o extremamente danosas pois os erros da advindos s o i R assistematicos e nao avisados 2 2 8 T cnica de Overlay Umas das mais interessantes maneiras de diminuir o efeito danoso de um c digo extenso para a limita o da capacidade de um programa a tecnica de overlay Normalmente quando monta se um programa destinado a uma tarefa simples e nica a quantidade de c digo gerada pelo computador n o costuma atrapalhar de maneira significativa a capacidade do mesmo Entretanto para a execu o de tarefas mais complexas a quantidade de mem ria utilizada para armazenamento do c digo pode ultrapassar em muito o limite do suport vel Para Se resolver ou minorar esse problema e que se criou esta tecnica de grande utilidade Atraves dela pode o programador definir que partes do c digo devem estar presentes na mem ria central do computador num determinado momento do processamento As partes restantes continuam armazenadas em mem rias perifericas como discos rigidos flexiveis etc
176. elagem de edif cios sob carga horizontai onde os pavimentos devem ser considerados diafragmas rigidos em seu pr prio piano Resta destacar que a utiliza o do elemento aqui discutido e muito ampla abrangendo uma s rie enorme de estruturas P rticos de contraventamento de edificios submetidos a a es horizontais estruturas met licas com pe as submetidas a flex o e modelagens de vigas em pavimentos de edif cios s o apenas alguns exemplos dessas aplica es 3 4 2 Coordenadas Locais e Globais Foi mencionado no item anterior o sistema de refer ncia local do elemento barra Em fun o desse sistema local que se d a orienta o das 12 coordenadas onde se desenvolvem os deslocamentos ou esfor os locais presentes no elemento figura 3 5 apresenta essas coordenadas Em rela o a elas pode se definir os vetores de deslocamentos e esfo os como se segue 171 1 i to Uo f e e u cc 3 23 ft a fiz 912 J as coordenadas relativas aos eixos globais de referencia tamb m em n mero de 12 s o mostradas na figura 3 6 Em relacao a elas tambem sao montados vetores de deslocamentos e esfor os Ue F respectivamente de modo totalmente an logo aos apresentados na express o 3 23 A relacao entre esfor os e deslocamentos locais e globais e definida atrav s de Uma matriz de transforma o A quadrada de ordem 12 segundo as rela es 3 11 ja apresentadas Essa matriz A encontrada na referencia 3 2
177. elemento aqui apresentado permite a incorpora o de modos incompativeis Entretanto em todo o desenvolvimento das matrizes e vetores calculados foi propositalmente esquecido esse recurso gora se far uma explana o geral a respeito desses modos indicando os pontos a serem modificados pela sua utiliza o O conceito da implementa o bastante simples Inicialmente toma se a segunda equa o 3 52 aproxima o dos deslocamentos e adicionam se a ela mais quatro coeficientes multiplicados por termos de ordem mais elevada da fun o interpoladora Desse modo a aproxima o dos 210 deslocamentos ser feita pelas seguintes equa es mE 2 3 4 Ja a uz hju hou hau hau a 1 r e S uid 2 3 4 2 a v hy Y hav hav th 8 1 r g1 s cce 3 91 Com a utiliza o das fun es aproximadoras 3 91 obtem se a matriz B com tr s linhas e doze colunas ao inves das oito originais De acordo com as equa es deduzidas as matrizes e vetores que dependem da matriz B para serem calculados ter o suas dimens es aumentadas S o os especificados a seguir matriz de rigidez r matriz da relacao tensdes deslocamentos TD e a parcela do vetor de cargas referente a atua o de uma varia o de temperatura PA Entretanto somente existem oito graus de liberdade verdadeiros Os quatro restantes precisam ser ent o eliminados atraves de um procedimento de condensa o estatica 3
178. em se diretamente ao sistema global Desse modo n o existe a matriz de tranforma o A utilizada nos outros casos Assim ty sendo as tensoes num ponto qualquer do elemento resultam g CBU e 3 131 No caso do elemento tipo 6 o usuario pode optar por gt a e ate quatro pontos onde as tens es ser o apresentadas Assim 293 sendo cada vez que a equa o 3 131 for aplicada para um determinado ponto escolhido estar o sendo montadas seis linhas da matriz de rela o das tens es com os deslocamentos Essa matriz tem portanto dimens o variavel podendo apresentar de 6 a 24 linhas sempre com 24 colunas colunas Para o caso de tens es apresentadas em apenas um ponto de coordenadas Pi e to pode se escrever TD G B 5k 3 132 3 8 8 Vetor de Tensoes Iniciais De forma semelhante aos dois elementos anteriores o vetor de tens es iniciais contem apenas o efeito da he varia ao da temperatura Desse modo para cada carregamento definido pode se escrever TI C ey o 3 133 onde e 3 deforma es iniciais fornecidas pela express o 3 125 Tambem aqui essas tens es iniciais sao constantes para todo o elemento Finalmente menciona se que de modo semelhante a matriz TD para cada ponto onde os resultados sejam apresentados e necessario montar seis posi es no vetor TI 254 3 8 9 Modos Imcompat veis O procedimento de inclus o de modos incompativeis neste elemento tipo
179. emos do elemento o mesmo ponto nodal da estrutura Assim sendo pode se fornecer por exemplo as mesmas coordenadas para os nos I e J de um determinado elemento obtendo se ent o a forma mostrada na figura 3 21a Entretanto no programa LS essa degenera o somente pode ocorrer pelo fornecimento de um mesmo ponto nodal da estrutura para os extremos L e K ou seja para os dois ltimos nos do elemento conforme figura 3 21b Isso se verifica por procedimentos internos do programa n o sendo uma restri o relativa concep o do elemento simples perceber que seria imposs vel por exemplo degenerar o elemento pela jun o dos nos I e J Nesse caso O proprio sistema local adotado ficaria sem defini o interessante ressaltar que no caso de um elemento definido por apenas tr s pontos nodais a formula o obtida e equivalente quela encontrada por um desenvolvimento direto considerando se um campo linear de deslocamentos Esse elemento conhecido na literatura como CST Constant Strain Triangle constitui se no mais simples elemento 212 fig 3 21 Elementos triangulares LS tt Doo TY 3OkN 48 cm fig 3 22 Viga em balanco fig 3 23 Discretiza es 1 e 4 213 isoparametrico que pode ser desenvolvido para modelar estados planos de tensao 3 8 12 Desenpenho 3 6 12 1 Converg ncia de Resultados Para examinar a convergencia do elemento membrana aqui desenvolvido ser
180. enciona se que as dedu es aqui apresentadas foram desenvolvidas com base nas mesmas 241 X2 Xx fig 3 44 Elemento s lido Xs as Xi fia 3 45 Coordenadas globais Xs wW X2 V X1 U fig 3 46 Sistema local homog neo 242 referencias ja citadas para os dois elementos precedentes Alias sendo este elemento baseado em uma formula o isoparametrica em muitos casos o seu desenvolvimento pode ser entendido como uma expans o para o tridimensional dos conceitos enunciados para o plano no caso dos elementos N r iN precedentes Por essa razao sempre que possivel serao feitas referencias ao que ja foi desenvolvido para os dois ltimos elementos de modo a tornar se esta explanacao mais sucinta 3 8 2 Fun es de Interpola o Conforme foi mencionado o elemento aqui desenvolvido e isoparametrico Para a defini o das fun es interpoladoras foi adotado um sistema de refer ncia auxiliar composto por tr s eixos naturais Eles aparecem na figura 3 46 juntamente com o sistema de refer ncia e a indica o dos deslocamentos U Vy e y Assim sendo as coordenadas de um ponto qualquer do elemento podem ser escritas em fun o dos valores nodais wv de acordo com as expressoes a i X r s t hi X4 i 1 2 i X4 r s t P hi x OG 194 1 71 8 R m 1 Xz r s t E hi X1 i i onde da valor da coordenada Xn do no i n ltr 14s det 243 ho 3 ler 148 14t
181. enta es integrais desses estados podem ser obtidas a partir de equa es de residuos ponderados 4 83 Mais especificamente O erro da equa o 4 3 quando a solu o exata for substituida por uma solu o aproximada permite escrever por pondera o em todo o dom nio e imposi o de deslocamentos e for as de superf cie prescristos no contorno a seguinte express o x B x TEN DL uy da f tu up Pk ar fh p p u gr 4 22 pie KE RT A 313 x x e onde uy e P Solu es fundamentais para deslocamentos e Ed wv forcas sao as fun oes ponderadoras O contorno Pi refere se a parte de PF onde os deslocamentos s o prescristos Ja no contorno T as forcas de superficie e w que o sao A equacao 4 22 apos duas integra es por partes resulta x x X b UK dt in j k dQ f Pk k dr Pr dr N a Pi Po up dr up dr 2554 93 kPk k Pk ri ro 2 Pela soma das parcelas correspondentes a equacao 4 23 pode ser reescrita na forma uy s 0 b q dQiq f uk s 0 p 0 dr a 3 o S q u q dQ a Ps Q u q dF Q 4 24 jk 3 k k k Q p onde q um ponto do dominio Qe Q do contorno T Pela considera o da equa o de equilibrio 4 3 da distribui o Delta de Dirac e equa es 4 18 com Fr 1 a expressa 4 24 pode ser escrita como I x x u s PiSu Mra f Ui S Gp Mara r r I U ssa b Ca dq 4 25
182. ente na memoria central Alem disso tambem dois blocos de vetores de carga estar o sendo montados A figura 2 14 mostra esquematicamente as partes da matriz e do vetor carregadas na mem ria central durante a montagem dos blocos 3 e 4 de uma determinada matriz de rigidez De maneira simplificada pode se apresentar o algoritmo basico do montador pelas seguintes linhas de comando ne2b 2 x neqb i de 1 ate ngle icn 1 IC i ii IC i neqbO se ii gt O e ii lt ne2b ent o j de 1 at nc B ii j B ii ij PE i j 85 continua j de 1 ate ngle jj IC j icn se jj gt entao A ii jj A ii jj RE i j onde alem dos parametros ja apresentados tem se ngle n mero de graus de liberdade do elemento neqb n mero da ultima equa o do bloco anterior igual a zero se os blocos montados s o os primeiros A dois blocos da matriz de rigidez ne2b x lb B dois blocos do vetor de cargas ne2b x nc Logicamente que o conjunto de comandos apresentados e uma simplifica o do cerne do algoritmo aqui estudado Ele representa o processamento a ser executado para cada elemento do problema resolvido dentro de cada conjunto de dois blocos a serem montados Assim sendo admitindo se um problema com nb blocos todos os elementos definidos seriam lidos um n mero de vezes que corresponde parte inteira da express o nb 2 1 Tentanto minimizar todo esse acesso a disco o algoritmo utilizado tom
183. entes a X1 X2 X3 e T Assim sendo a capacidade do programa nessa etapa estaria condicionada rela o 10 NPN lt 100 002 ou seja no m ximo 10 000 pontos nodais O procedimento mostrado nos par grafos anteriores pode ser repetido para qualquer etapa do programa Onde isso seja interessante Como vantagens pode se citar o fato do armazenamento dos dados adquirir grande flexibilidade sem que isso importe em dificuldades maiores para a clareza dos comandos a serem definidos nas subrotinas Como ponto negativo ali s perfeitamente aceit vel resta apenas que o gerenciamento dessa aloca o precisa ser feito no pr prio programa que a utiliza 2 8 2 3 rea com r tulo PEL Trata se de uma rea comum especialmente destinada ao armazenamento de variaveis que dizem respeito aos diversos tipos de elementos Pode se citar como exemplo a matriz de 100 rigidez o vetor de cargas o vetor de incidencias a matriz tensao deformacao matrizes e vetores auxiliares do processamento etc para maiores informa es a respeito ver item 2 5 Para que essas matrizes e vetores que existem basicamente em todos os tipos de elementos n o ocupem areas diferentes da mem ria onerando a quantidade total necessaria para essa aloca o e que foi criada esta rea com fim espec fico Seu tamanho de 20 000 bytes atendendo assim as necessidades dos tipos de elementos atualmente implementados 2 8 2 4 rea com r tulo PE1 Essa
184. ento s o necessarios os seguintes parametros dX dX dX distancias entre o n da estrutura e o centr ide da sapata segundo os eixos Globais Xi Xx e X g s angulo entre o eixo global X1 eo local Xa positivo no sentido horario 1 dimens es da sapata segundo os eixos locais X Xx i 2 fu Todos esses parametros sao apresentados na figura 4 10 Como pode se observar na referida figura os eixos locais s o definidos com origem no centr ide da sapata e orientados Segundo dire es paralelas aos seus lados Ressalta se ainda que pelos parametros mencionados a sapata considerada contida num plano paralelo ao plano formado pelos eixos globais Xi e X5 podendo apenas apresentar se rotacionada em relacao a esses eixos Menciona se ainda que como sistema de referencia homogeneo auxiliar foram adotados os eixos r e s coincidentes com o sistema local de referencia X1 e x e 2 apresentados na figura 4 11 Ja quanto funcao aproximadora adotou se que tanto a f geometria como os deslocamentos u e for as de superficie 322 X3 X2 fig 4 10 A geometria da sapata fig 4 11 Numeracao dos n s e sistema homog neo 323 p s o aproximados pela mesma funcao Alem disso a sapata e discretizada por apenas quatro nos colocados em seus cantos e numerados de acordo com o esquema apresentado na ja referida figura 4 11 Qualquer par metro de um ponto interno pode ser calcu
185. entral sem qualquer tipo de expansao Entretanto e importante que seu esquema de funcionamento permita uma adaptacao extremamente simples a maiores memorias Desse moda poder se utilizar com facilidade um recurso que deve estar em breve disponivel Trata se para os computadores montados com base nos processadores 80286 e 80386 das memorias centrais de at 16 Mbytes b A cria o de arquivos tempor rios e os algoritmos utilizados nas analises devem ser otimizados de modo a viabilizar analises de grandes estruturas mesmo com a utiliza o de discos r gidos de apenas 3 Mbytes e com tempos de processamento relativamente pequenos Assim sendo e prioritaria a utiliza o de arquivos sequenciais que ocupam menor espa o no disco rigido e t m tempo de acesso reduzido em compara o com os rand micos Tamb m no sentido de otimizar os tempos de processamento pode se prever trechos em linguagem de m quina nos procedimentos cuja o iy utiliza o repetida assim O recomende c Para a discretizacao da superestrutura o sistema computacional deve prover elementos que efetivamente 19 permitam a simulacao adequada das mais diversas pe as estruturais Assim os seguintes elementos devem estar disponiveis treli a barra membrana estado plano no espa o s lido placa e casca Todos esses elementos devem ser compat veis entre si podendo portanto serem utilizados simultaneamente e constituindo um sistema computacio
186. es tipos de elemento trelica barra contorno membrana plano solido placa casca e sapata rigida No primeiro capitulo Situa se a pesquisa realizada dentro do contexto dos trabalhos desenvolvidos nesta area ate o momento No segundo tra a se um panorama geral da organizacao do programa com todas as suas etapas de processamento e recursos oferecidos J o terceiro capitulo apresenta a biblioteca de elementos baseados no m todo dos elementos finitos com a formulacao e exemplos de aplicacao Finalmente quarto cap tulo trata do elemento sapata r gida desenvolvido com base no m todo dos elementos de contorno ABSTRACT This work deals with the elaboration of a computational system for linear elastic analysis of large structures in 16 bit microcomputers It is possible to take into account the interaction of the structure under analysis with a semi infinite elastic domain using a procedure based on the boundary element method The system allows up to 10 000 nodal points or 33 000 freedom degrees with eight different types of elements truss beam boundary membrane plane solid plate bending shell and rigid footing In the first chapter the work is situated in its context of developments in this area In the second chapter a general description of the program organization is made showing all its processing parts and capabilities The third chapter gives the element library concerning with the finite element method wit
187. es e condi es especiais que praticamente exigem a utiliza o de pequenos elementos Desse modo pode haver um grande desperd cio de esfor o computacional sem qualquer benef cio a n vel de resuitados a serem obtidos Por outro lado se os elementos s o pobres a grande desvantagem apontada e a dificuldade na entrada dos dados e analise dos resultados j que devem ser utilizados muitos elementos Novamente a pratica mostra que com geradores eficientes e programas p s processadores que tratem essas saidas graficamente tais dificuldades s o completamente eliminadas Dentro dessa filosofia mencionada que se deu a escolha dos elementos a serem desenvolvidos Sempre que poss vel s o elementos isoparametricos de grande simplicidade de formula o se bem que relativamente eficientes A nica excess o o elemento adotado para as placas Nesse caso nao e possivel a ado o de um elemento nessas condi es e a escolha necessariamente teve que se basear em outros crit rios Para encerrar se este item introdut rio menciona se que o cap tulo esta organizado de uma forma bastante simples Incialmente apos esta introdu o e apresentado o breve resumo a respeito do Metodo dos Elementos Finitos cuja exist ncia ja se mencionou Logo ap s cada um em seu pr prio item est o os elementos desenvolvidos com sua formula o considera es sobre o desempenho e exempios de interesse Quanto ao desempenho todos os tempos me
188. essante mencionar que ao contrario dos elementos baseados em conceitos de pura an lise matricial de estruturas para os elementos finitos tem se muitas formula es para resolver um mesmo problema Como o metodo baseia se na discretiza o do dom nio total atrav s da aplica o de fun es aproximadoras por subdom nios fica claro que para cada fun o havera um compor tamento diferente gerando por sua vez resultados que podem estar mais ou menos pr ximos dos valores exatos Portanto se as fun es aproximadoras de um determinado elemento s o pobres necess rio uma discretiza o em maior n mero de elementos Em caso contrario a rede pode ser menos densa mas sempre havera necessidade de um maior esfor o computacional para tratar cada elemento em particular Na verdade O que se ganha por um lado se perde por outro Neste programa por uma quest o de filosofia de trabalho sempre se adotara elementos mais simples e que portanto necessitam de uma discretiza o mais fina Acredita se ser essa a solu o mais vantajosa no c mputo geral As raz es dessa cren a est o baseadas na maneira de se trabalhar com as estruturas que realmente ocorrem em 153 casos pr ticos A verdade e que dificilmente s o analisadas estruturas cujas condi es de geometria e carregamentos permite O uso disseminado de grandes elementos Pelo contr rio em casos usuais O que se verifica e a necessidade de discretiza o de detalh
189. essantes de serem examinados s o exatamente as ja referidas tens es tangencias Mesmo com a aplica o do carregamento na se o da extremidade livre e a considera o do engaste na outra extremidade esses valores pouco variam ao longo do comprimento da pe a Entretanto por uma quest o de maior fidelidade vai se tomar os valores obtidos para os elementos m dios em rela o ao comprimento Esses valores encontram se desenhados em graficos nas figuras 3 53 tens o tangencial no plano XXa e 3 54 tens o tangencial no Plano Xi a O que se pode perceber pela analise desses resultados e que realmente os maiores valores de solicitacao ocorrem nos pontos de meio de lado da secao sendo os cantos da mesma os pontos de extremidade menos solicitados Evidentemente que no centro da se o a tens o rigorosamente zero Por fim e interessante mencionar que pela observa o das curvas pode se concluir que o maximo valor da tens o tangencial na se o deve ser da ordem de 0 90 KN cm Esse valor est pr ximo do m ximo previsto pela solu o por serie que resulta em torno de 0 95 KN cm 261 fig 3 53 Tens o tangencial no plano X X4 horizontal 3 DL 7 fig 3 54 Tensao tangencial no plano XX vertical 262 3 9 ELEMENTO TIPO 7 PLACA OU CASCA 3 9 1 Caracterizacao do Elemento O elemento tipo 7 pode ser usado para modelagens de placas ou cascas de espessura relativamente pequena Esse elemento n
190. estacados elemento trelica plana e tridimensional elemento de p rtico plano e tridimensional elemento de grelha elementos para estados planos de tensao e deformacao 12 elementos de placa 4 elementos tridimensionais 3 e casca 3 Portanto tem se um total de 27 tipos com destaque para os elementos obtidos atraves de simplifica es do elemento barra que no STRUDL 11 vers o 2 podem ser usados simultaneamente com as outros elementos do sistema Por fim menciona se que uma caracteristica interessante do programa aqui analisado e a possibilidade de fazer se o dimensionamento de pe as de a o e concreto armado com a utiliza o de rotinas embutidas no pr prio sistema 1 2 6 O Programa ADINA O ADINA um programa de propriedade da ADINA Engineering AB Suecia Foi desenvolvido em FORTRAN com base no m todo dos elementos finitos e a participacao destacada do Prof Klaus Jurgen Bathe do MIT Maiores informa es sobre o sistema aqui analisado podem ser obtidas nas refer ncias 1 23 1 24 1 25 e 1 26 sendo um breve resumo delas apresentado nos par grafos seguintes Um grande destaque deve ser dado na solu o do sistema de equa es geral da estrutura a ser analisada O ADINA monta e resolve esse sistema num esquema de armazenamento conhecido como Skyline que consiste em diversos blocos compostos apenas pelos elementos n o nulos ou que poder o tornar se n o nulos durante a solu o 1 27 Esse
191. evidas a flex o nos elementos Se os valores Wa e We forem fornecidos diferentes de zero essa opera o sera executada Caso contr rio as saidas estar o restritas aos valores dos esfor os solicitantes Em termos de carregamento nos elementos e permitida a defini o de peso proprio segundo os tres eixos globais e ainda conjuntos de a es que atuam Nas extremidades Esses conjuntos de a es s o compostos por 12 valores de esfor os que podem representar qualquer carregamento atuante no elemento inclusive cargas distribuidas de v rios tipos e efeitos termicos S o esfor os de engastamento perfeito que para facilidade do usu rio podem ser montados automaticamente pelo programa gerador do arquivo de dados apresentado no item 2 10 Para modelagem de detalhes especiais O elemento barra 170 possui dois recursos interessantes O primeiro a w libera o de deslocamentos e rota oes junto a seus nos de extremidade de acordo com op o do usu rio Desse modo 0 elemento adquire uma flexibilidade muito grande como se na verdade fosse uma serie de elementos diferentes Por exemplo pela libera o das rota es nas duas extremidades pode se modelar trelicas como se o elemento utilizado fosse do tipo 1 O segundo recurso e o constrangimento de um grau de liberdade a outro podendo se garantir o mesmo deslocamento ou rota o para os dois graus de liberdade assim ligados Esse procedimento e muito til na mod
192. feitos gt a e i considerados Esses parametros sao mostrados na figura 4 6 4 2 2 3 Solu o Fundamental de Mindlin Para o dominio semi infinito ou seja quando existe um plano livre de tens es nas mesmas condi es de homogeneidade e elasticidade do item anterior a solu o foi dada por Mindlin 4 6 O ponto s onde aplicam se as cargas concentradas estara mergulhado no dominio de uma 309 4 6 Espaco infinito de Kelvin fig Xs Superficie livre de for as C S Ed 4 7 Espaco semi infinito de Mindlin fig 310 distancia C conforme apresenta se na figura 4 7 Nesse Caso as express es para as componentes do tensor de deslocamentos podem ser escritas como 3 4 UT e x 4p 1 11 d F Bp 2 4 3 R BPN D y 3179 1 29 d ane TORERE RTRFRZ x 1 3 4u 4 1 1 2 U krr 2 AA Dt s BELTS R R R R TRE ECT eG y A179 4 29 13 d 1 pS R R R R XX U54 Urs 4 20 f z EZ Te K 3 4 1 de eZ 22 d r R 3 2 r R r2 4 1 172 EM 1 Ho MEUM PM R 3 R R RZ a k 72 Voz r Uis 1 TONNES Dg RC AP S aun CE sho 31 di ro R R R RZ r x 2 x Uso o Us 1 2 2 Uk 2k 3 eun an 3 AR 33 d r R T 3 r R onde ri x ta x 5 Ri x q x s 22 X s Xz 5 2 ae e Z Ads y Keg K itp d STE 1 1 i K E Lu 5 en i v f 4 Deve se ressaltar qu
193. gens e desvantagens Para O primeiro que a principio adimite se vantajoso para estruturas com grande regi es de M E F as principais restri es dizem respeito a grande complexidade das teorias e algoritmos ate agora desenvolvidos para obter se a simetriza o das matrizes montadas atraves do M E C Assim corre se O risco de se gastar muito esfor o computacional para a obten o de resultados de efici ncia duvidosa Quanto as alternativas b e c admite se que possam ser vantajosas para estruturas com grandes regi es de M E C 0u pelo menos com regi es de M E C e M E F equivalentes o que n o se adapta com perfei o ao caso especifico aqui estudado Para um programa geral onde espera se que a utiliza o mais frequente seja a de elementos baseados no M E F isso pode tornar se uma 540 circunst ncia desvantajosa Entretanto entre os futuros desenvolvimentos previstos para o programa aqui apresentado pretende se incluir uma avalia o mais cuidadosa desse topico O quarto processo apresentado e evidentemente o mais simples e provavelmente o menos preciso Simetrizar a matriz apos a sua montagem pode levar para os elementos fora da diagonal a resultados bastantes discrepantes Mesmo tomando se como base o procedimento de procurar o erro medio ou seja utilizar a media dos valores para coeficientes opostos em rela o a diagonal principal em certos casos isso pode n o ser recomend vel Entretanto para oO c
194. gens sao transferidas para a area reservada ao buffer de video aparecendo de modo instant neo na tela do computador Assim sendo pode se resumir a estrutura de funcionamento proposta para esse programa atraves da figura 2 18 onde se mostra a intera o entre O programa editor e os dispositivos de entrada armazenagem e saida dos dados 2 10 4 Organiza o do Programa O presente programa esta divido em seis m dulos sendo um gerente do processamento e cinco dedicados a partes especificas do arquivo a ser montado O modulo gerente Como seria de se esperar realiza todo o comando do processamento distribuindo tarefas e realizando chamadas dos modulos especificos O segundo m dulo Cuida da entrada de caracter sticas 118 nodais Essas caracteristicas coordenadas temperatura restri es e carregamentos podem ser fornecidas n por no ou atraves de rotinas de gera o Todos esses procedimentos encontram se embutidos nesse nico m dulo Os quatro m dulos restantes dizem respeito aos oito tipos de elementos cuja utiliza o e permitida pelo programa LS Eles cuidam de gerenciar as entradas relativas a materiais propriedades geometricas incidencias carregamentos e demais par metros particulares que digam respeito a um tipo de elemento em particular O terceiro m dulo cuida das entradas relativas aos elementos unidimensionais treli a e barra O quarto diz respeito aos elementos bidimensionais membrana plano e
195. gineering System Solver desenvolvido pelo Massachussets Institute of Tecnology em 1963 e largamente utilizado por mais de uma decada para analise est tica de estruturas de barras em regime el stico Depois o STRUDL tambem desenvolvido pelo M I T que surgiu em 1966 j como um sistema geral em elementos finitos Em seguida in meros programas foram sendo desenvolvidos dentre os quais pode se citar a ASKA o STARDYNE etc Alguns desses sistemas gerais de elementos finitos s o analisados com mais detalhes no pr ximo item Em fins da decada de 70 e nicio de 80 um outro fator de enorme import ncia veio novamente produzir mudan as significativas nesse campo o microcomputador Ate essa data o acesso aos computadores e portanto aos benef cios descritos nos par grafos anteriores esteve limitado aos profissionais ligados aos institutos de ensino e pesquisa e as grandes empresas Com os microcomputadores essa situa o foi radicalmente alterada tornando se possivel que Qualquer pequena firma ou mesmo o engenheiro independente pudesse ter acesso a esses recursos computacionais e e 5 portanto tambem as vantagens propiciadas por esses recursos ty 2c Novamente ocorreu uma verdadeira revolucao ja agora de forma muito mais disseminada nos padro s habituais da analise estrutural E novamente essa revolu o apresentou dois estagios evolutivos inicialmente apenas a otimiza o dos tempos necess rios as analises e pos
196. h formulation and practical examples Finally the fourth chapter deals with the rigid footing element based on the boundary element method NDICE CAPITULO 1 Introdu o 1 1 Os Computadores e os Metodos Num ricos 1 8 1 4 1 5 1 6 Sistemas Computacionais Para Grandes Computadores 1 2 1 Considera es Gerais 1 2 2 O 1 2 3 O 1 2 4 Q 1 2 5 O 1 2 6 O 1 2 7 O Sistemas Programa ASKA Programa NASTRAN Programa STARDYNE Programa STRUDL Programa ADINA Programa LEBRE Computacionais Microcomputadores 1 3 1 Considera es Gerais 1 3 2 9 1 3 3 O Programa SAP9Q Programa SUPERSAP 1 3 4 Comparacao com Sistemas Para Grandes Computadores Objetivos Gerais do Trabalho Organiza o do Trabalho Refer ncias Bibliograficas CAP TULO 2 Organiza o Geral do Programa 2 1 Introdu o Conceitos B sicos do FORTRAN 4 01 da Microsoft 2 2 1 Introdu o 2 2 2 2 2 Endere amento no Processador 8086 2 2 3 Modelos B sicos de Armazenamento 2 2 4 Armazenamento do C digo e dos Dados 2 2 5 T cnica de Overlay 20 0 4 qn n y um ig 13 13 13 15 17 19 21 23 27 30 30 30 31 32 35 e c 3 e 4 2 5 e 6 e 7 2 8 2 2 6 Estruturas de Arquivos em Disco Esquema Geral de Funcionamento do Programa 2 3 1 Introducao 2 3 2 Divisao do Programa em Blocos de Comandos 2 3 3 Implementacao dos Blocos em Esquema de Qverlay 2 5
197. hes de significancia para o perfeito entendimento do programa Portanto e um capitulo muito importante pois define toda a filosofia b sica do sistema computacional Muito mais que qualquer parte espec fica essa filosofia geral que vai ser respons vel pela capacidade que o programa apresentar para futuros desenvolvimentos Qualquer erro nessas defini es inicias comprometera totalmente o desempenho do software mesmo que sejam a ele anexadas as 27 melhores rotinas Um dos pontos mais importantes a se analisar para a elaboracao de um bom programa computacional ea linguagem a ser utilizada Essa linguagem precisa ser escolhida atraves de uma analise consciente que pese com cuidado as principais caracteristicas necessarias ao desenvolvimento do programa Neste caso apos consideracoes de diversas ordens optou se pela utiliza o do FORTRAN 4 01 da Microsoft Corporation O principal motivo que levou a essa escolha e o fato do FORTRAN ser uma linguagem quase universal para a engenharia de estruturas Esse fato e muito importante pois n o se pretende com este trabalho gastar tempo e esfor o de forma desnecess ria remontando se algoritmos ja desenvolvidos Para tanto tratou se de escolher uma linguagem computacional de modo a ser possivel um bom interc mbio de informa es facilitando se o aproveitamento de algoritmos eficientes j desenvolvidos Al m disso como pretende se que este programa sirva de esqueleto b sico p
198. hods in Elastostatics Overview of the Theory and Examples In Boundary Elements X Ed C A Brebbia vol 1 Computational Mechanics Publication 1988 4 19 Maier G Novati G Perego V Plastic Analysis by Boundary Elements In Finite Elements and Boundary Element Techniques from Mathematical and Enginering Point of View Ed E Stein and W L Wendland International Centre for Mechanical Sciences 1988 388 4 20 Meek J L Bandyopadhyay B BECOUP A Program for Coupled Boundary and Finite Element Analysis in 3 D Elasto Statics In Boundary Element X Ed C A Brebbia vol 3 Computational Mechanics Publications 1988 4 21 Brebbia C A Georgiou P Combination of Bondar y and Finite Elements in Elastostatics App Math Modelling vol 3 1979 4 221 Vilar 0 M Bueno B S Mecanica dos Solos Vel II Se o de Publica es da EESC USP S o Carlos 1985 4 231 Poulos H G Davis E H Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics John Wiley amp Sons Inc 1974 4 24 De S P A C 0 Telles J C F An lise de Problemas de Elasticidade Linear Tridimensional Pelo Metodo dos Elementos de Contorno Utilizando as Solucoes Fundamentais de Kelvi e Mindlin VII Congresso Latino Americano de M todos Computacionais Para Engenharia Sao Carlos 1986 389
199. i ncia desses acessos depende em grande parte a eficiencia do programa como um todo pois a massa de dados envolvida nessas opera es e bastante grande O programa LS utiliza um total de oito arquivos temporarios de ARQL a ARQ8 Todos foram definidos em rela o ao formato e ao acesso de modo a trabalharem com o m ximo de eficiencia durante o processamento de acordo com os conceitos apresentados no item 2 2 6 Os pr ximos itens detalham essas defini es e tamb m o conte do de cada um deles nas etapas do processamento onde s o utilizados 2 9 2 2 Arquivo ARQL H Arquivo de formato binario e acesso seguential Sua i r utilizacao e a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 e gravado com a matriz de rela o tens es e ou esforcos por deslocamentos TD e matriz de tens es e ou esfor os iniciais TI etapa 3 inativo etapa 4 inativo etapa S inativo etapa 6 e lido para obten o das matrizes TD e TI gravadas na etapa 2 195 2 9 2 3 Arquivo ARQ2 Arquivo de formato binario e acesso sequencial Sua La N d utilizacao e a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 e gravado com a matriz de rigidez e com o vetor de cargas dos elementos RE e PE respectivamente etapa 3 inativo etapa 4 lido para obtencao das matrizes e vetores gravados na etapa 2 etapa 5 gravado com os deslocamentos nodais a medida que a solu o do sistema de equa es vai se processando Logo ap
200. i 2 i r a itr 0 Considerando se ainda a equa o 3 67 deve se lembrar que dS t dl t det J dr 3 78 onde t espessura do elemento axa za axaz 1 det J_ ar ar 5 AS z Assim sendo 1 o comprimento do lado Ig pode se escrever t 1 dS gt 3 71 Ja o vetor fz pode ser escrito como 205 p f n 5 72 S Pi Portanto a equacao 3 67 pode ser reescrita na forma r t Py a a ie E um dr ses 3 73 Logo o vetor Pi resulta P Pn d p n n ves 3 74 2 a a a rah Para calcular o vetor em rela o as coordenadas globais basta fazer P1 X Py 3 79 Para o considera o do efeito de uma varia o de temperatura sobre o elemento tem se ver item 3 2 Ba m B o dV B C e dV 00 3 76 f s s Ja o vetor de deforma es iniciais devidas a um ix d s variac o de temperatura AT ser o sequinte 206 amp a AT 1 ces 3 77 Quanto equa o 3 75 deve se lembrar aue dV det J t dr ds 22 3 78 Ou seja Do B C i det J t dr ds re 3 79 id a Ou ainda considerando se integra o num rica p E t ii UT 3 80 a 14J onde t espessura do elemento wij fator de peso dado pelas express es de Gauss A matriz Tij tem como express o 3 81 Ty Para a obten o do vetor de cargas em rela o as coordenadas globais basta fazer T
201. ia ser dispensada a analise sobre a converg ncia de resultados Na verdade como as fun es aproximadoras s o as mesmas do elemento anterior poderia assumir se as conclus es la apresentadas Entretanto vai se aproveitar a oportunidade de se avaliar o comportamento do elemento para um exemplo onde a solicita o predominante n o seja um momento fletor como O foi no caso anteriormente analisado da viga em balan o Analisa se assim O problema de um tubo de parede grossa submetido a uma press o interna conforme mostra se na figura 3 37 Os dados adicionais necess rios ao problema s o 3 E 20 2000 KN cm rv 0 25 G 8 000 Kn cm p 20 KN cm Para um acompanhamento da converg ncia ser o definidas quatro discretiza es A Discretiza o 12 elementos quadrangulares fig 3 38a Discretiza o 2 48 elementos quadrangulares fig 3 38b Discretiza o 24 elementos triangulares fig 3 39a b UN PP Discretizacao 96 elementos triangulares fig 3 39b De modo semelhante ao caso anterior tamb m ser o obtidos resultados considerando se ou n o a inclus o de modos incompat veis iN z E c H A solu o analitica pode ser obtida na referencia 3 12 Ser o comparados os valores calculados para a 234 tens o radial tens o tangencial e ainda o deslocamento radial todos no ponto P marcado na figura 3 37 Quanto aos deslocamentos radiais seus valores sao apresentados pela tabela 3 6 em cm
202. icamente dobraram de valor pelo fato da sapata encontrar se 2m dentro do dominio semi infinito Isso E a m bi significa que uma sapata nessas condi es e pelo menos teoricamente muito mais rigida que uma outra que estivesse 4 A ty na superficie livre de tensoes 356 Outra observa o muito importante que os coeficientes fora da diagonal praticamente ficaram La 2 tu e Simetricos em rela ao a ela alem de resultarem valores muito pequenos Isso quer dizer que a simetrizacao da A d x L4 B ea matriz pelo criterio do erro minimo continua nao introduzindo erros importantes 4 4 3 5 Sapata 5m x 1m centrada com rota o de 30 A figura que mostra o presente exemplo a 4 23 Trata se de uma sapata retangular com uma rota o de 307 em rela o aos eixos de referencia globais Neste caso ao contr rio do exemplo apresentado no item 4 4 3 2 tal rota o provoca altera es na matriz de rigidez em rela o ao centr ide da sapata como pode se observar pela wN R x a w apresenta ao da referida matriz sem simetriza ao 5080 233 a 64 256 o 233 4811 o 330 64 o o 5993 o o 83 102 1305 372 6 83 372 875 o o o a 1739 interessante observar se que os valores dos coeficientes que estao presentes na matriz e resultariam nulos caso o ngulo de rota o fosse zero s o tamb m muito pequenos em rela o aos da diagonal Alem disso os que apresentam valores um pouco mais sign
203. iels a L etude de L equilibre et du Movi ment des Solides Elastique Gualtier Villars Paris 1885 4 8 Brebbia C A Weighted Residual Classification of Aproximate Methods Appl Mathematic Modelling vol 2 1978 4 9 Somigliana C Sopra 1 Equilibrio di un Corpo Elastico Isotropo Il Nuovo Ciemento 1886 4 10 Lachat J C A Further Development of the Boundary Integral Techniquefor Elastostatics Ph D Thesis University of Southampton 1975 387 14 111 Brebbia C A Dominguez J Boundary Elements An introductory Course Computational Mechanics Publications 1988 14 181 Hartmann F Computing the C Matrix on Non Smooth Boundary Points In Brebbia C A ed New Developments in Boundary Element Methods CML Publ 1980 4 13 Zienkiewicz 0 C El Metodo de los Elementos Finitos Ed Reverte Barcelona 1980 4 14 Stroud A H s Secrest D Gaussian Quadrature Formulas Prentice Hall New York 1966 4 15 Ergatoudis J G Isoparametric Finite Elements in Two or Three Dimensional Stress Analysis Ph D Thesis University of Swansea 1968 4 16 Meek J L Matrix Structural Analysis McGraw Hill Kogakusha Ltd Tokio 1971 4 17 De Figueiredo T G B Brebbia C A A Hybrid Displacement Variational Formulation Of B E M In Boundary Elements X Ed C A Brebbia vol 1 Computational Mechanics Publication 1988 4 18 Dumont N A The Hybrid Boundary Element Met
204. ificativos s o simetricos em rela o a ela Portanto encerrando se esta serie de exempios de sapatas isoladas pode se concluir que neste caso o processo de simetriza o adotado n o deve prejudicar de forma sensivel Os resultados a serem obtidos para as superestruturas 357 4 4 4 Sapatas com Interacao 4 4 4 1 Duas sapatas im x 1m separadas de 2 5 m O conjunto de sapatas que se analisa neste item o apresentado na figura 4 24 Trata se de duas sapatas de im x im separadas por 2m A matriz de rigidez obtida para este caso e a apresentada a seguir 7438 e 32 B 590 B 2285 347 B 283 e o 7029 548 a 55 09 1410 66 o 268 26 8602 69 o 336 0 2000 o 229 e 58 eo 2620 e z a 52 o 35 e 2 43 o 71 eo 2630 e 40 o 268 e 59 e a 55 e 2 4163 o 258 o 25 e 21 2205 347 B 283 o 7438 o 32 o 590 e 0 1410 66 o 268 7829 3548 o 55 336 3 2000 229 oO 26 8682 e 69 e e 22 35 e 2 58 o 2620 2 40 o 268 e 59 e 43 B 71 B 2638 a 258 e 29 e 21 BD 55 e 2 4163 Observando se a matriz nota se que a exemplo de todos as sapatas isoladas que foram analisadas a simetria em relacao a diagonal principal continua aproximadamente mantida Os valores fora da diagonal e com signific ncia num rica linha um e coluna sete linha dois e coluna oito linha tr s e coluna 9 al m das posi es que lhes s o correspondentes na parte inferior da matriz s o perfeitamente sim tricos Assim
205. iginal A montagem do sistema de equa es globais da estrutura feita por blocos de semi banda fixa O n mero de equa es em cada bloco e calculado para que sejam acomodados na memoria central do computador dois blocos completos de cada 16 vez A solucao desse sistema realizada pelo processo de Gauss com todos os casos de carregamento considerados simultaneamente Quanto a entrada dos dados o programa oferece varios pre processadores que permitem a gera o automatica de redes dos diversos elementos dispon veis Esses pr processadores baseiam se no conceito de pontos Chave ou key nodes Atraves desses pontos toda a rede gerada de modo a simplificar enormemente o trabalho de defini o de geometria que teria que ser feito pelo usuario Assim a entrada dos dados torna se muito mais simples que a tradicional onde s o fornecidos separadamente nos e elementos da estrutura mesmo que atraves de recursos de gera o Finalmente para a saida dos resultados poss vel a utiliza o de p s processadores que desenham as tens es e esfor os nos elementos e os deslocamentos dos pontos nodais Entretanto al m desse recurso O programa monta arquivos que contem esses valores obtidos 1 3 4 Compara o Com Sistemas Para Grandes Computadores Talvez a mais evidente diferen a de recursos entre esses dois grupos de programas seja a quantidade de tipos de elementos dispon veis para oS usu rios Os programas desenv
206. ij E deslocamentos e forcas nos centroides das sapatas i e wj Nesse caso a transforma o da rigidez para os nos da superestrutura pode ser realizada atraves da express o mM E 4 54 com a matriz de transforma o T arranjada na forma TE o T 80 e w T E i im Sm onde Ti e a matriz da expressao 4 46 montada para a translacao da rigidez entre o centr ide da sapata i e o ponto nodal da superestrutura que ihe corresponde Finalmente resta ressaltar que a transferencia da rigidez dO elemento resume se ao seguinte S uud ia 2 4 56 338 onde 2 a x dm t Sij sao as submatrizes ja transladadas para os nos da v superestrutura iv 253 sao as submatrizes ainda em rela o aos centroides ny das sapatas j s o as matrizes de transformacao que relacionam as e rigidezes no centr ide e no n da superestrutura para a sapata j 4 3 7 Simetrizacao da Matriz de Rigidez A matriz obtida para o elemento atrav s do M todo dos Elementos de Contorno M E C tem a caracteristica de nao apresentar simetria em relacao a diagonal principal J a matriz da superestrutura obtida atrav s do M todo dos Elementos Finitos M E F tem como uma das suas principais caracter sticas exatamente essa simetria O problema de como realizar a liga o entre esses dois metodos de analise tem preocupado com frequencia cada vez maior os pesquisadores da area de metodos num ri
207. inear tornando dif cil a compara o Entretanto e possivel fazer algumas considera es a esse respeito Tomando se uma rea retangular sobre um dom nio semi infinito onde aplica se uma carga uniforme pode se encontrar atrav s das refer ncias citadas os valores dos deslocamentos nos cantos e no centr ide da rea Apos esse procedimento define se uma sapata de mesmas dimens es da area considerada e submetida a um carregamento igual a resultante da carga distribuida la aplicada Verifica se que o deslocamento obtido para a sapata e apenas um pouco superior ao encontrado para os cantos da area sendo bem inferior ao obtido para o centr ide Assim pode se 383 imaginar que a rigidez obtida para a sapata esteja sendo ligeiramente superestimada Esse efeito de certo modo era esperado pela E fe 2 n aproxima ao adotada para o elemento E relativamente simples explica lo para o proprio caso reportado no paragrafo anterior A figura 3 31 mostra atraves da linha cheia como devem ser as for as de superficie na sapata para uma vista lateral Pelo processo adotado para a montagem da matriz de rigidez considerando se pontos nodais apenas nos cantos da sapata as for as integradas podem ser representadas pela linha tracejada devendo se ter um aumento da rigidez estimada em rela o ao seu valor real Para eliminar se essa deficiencia seria recomend vel a ado o de um maior n mero de n s para a discretiza o da
208. ivo que guarda os esforcos dos elementos e ser acessado pelos p s processadores Esse arquivo de sufixo ST apresentado com detalhes no item 2 9 Com esta ltima etapa o processamento de uma estrutura que esteja sendo analisada est terminado Resta apenas ao programa principal apagar os arquivos tempor rios do disco e tomar as ltimas provid ncias para o termino do processamento 96 2 8 AREA DE ARMAZENAMENTO DE DADOS 2 8 4 Introdu o A respeito da area de armazenamento de c digo deste programa algumas informa es relativamente completas foram apresentadas nos tens anteriores Discutiu se sua divisao em blocos e o carregamento do programa para a mem ria central do computador utilizando se uma tecnica de overlay Entretanto muito pouco foi discutido ate agora a respeito de uma area da memoria que em termos de extensao seria ainda mais importante Trata se da area destinada ao armazenamento dos dados Assim sendo o objetivo deste item e apresentar toda a filosofia geral de uso da rea de dados inclusive fornecendo detalhes sobre as principais variaveis a serem utilizadas interessante ressaltar que todo programa de computador desenvolvido em linguagem estruturada normalmente possui dois tipos de variaveis definidas vari veis locais e vari veis globais As variaveis locais s o aquelas cuja exist ncia limita se a um determinado procedimento ou rotina Ja com as vari veis globais a situa o e
209. ki km ka Por fim ressalta se que de modo semelhante ao caso do 191 elemento atuando segundo os eixos globais os vetores TI ser o apenas completados com zeros 3 5 4 Desempenho A nica analise de desempenho que se pode realizar Para o presente elemento diz respeito ao tempo de processamento necessario Para a montagem e gravacao das matrizes e vetores que lhe correspondem e posteriormente o c lculo e apresentacao dos valores do esforcos obtidos Esses tempos s o extremamente reduzidos devido a simplicidade da formula o do elemento Para a etapa de montagem e grava o de matrizes e vetores pode se adotar 0 04 seg para cada elemento Ja quanto ao c lculo das tens es e apresenta o dos resultados gasta se em torno de 0 02 seg por elemento 192 3 6 ELEMENTO TIPO 4 MEMBRANA 3 8 1 Caracteriza o do Elemento O elemento membrana e utilizado para a an lise de estados planos de tens o definido por tres ou quatro pontos nodais e pode ser colocado em qualquer posi o do espa o definido pelo sistema de referencia global da estrutura conforme mostra se na figura 3 12 Genericamente falando tem tres graus de liberdade por no Eles s o as tres transla es de um ponto no espa o ja que o elemento apenas possue rigidez no seu pr prio plano O sistema de referencia local e composto por dois eixos normais x e us Esses eixos locais sao definidos pela numera o dos nos do elemento seja ele triangular
210. lado em fun o dos valores desse par metro nos n s da sapata Para isso basta que se defina fun es apropriadas a estas transforma es Essas fun es s o ponderadores cujo valor resulta 1 para o n base da fun o e zero para todos os outros Existe toda uma fam lia de fun es para os diversos tipos de elementos retangulares de diferentes n meros de n s Essa familia conhecida como fam lia Serend pita 4 13 Como foi adotado que o elemento aqui desenvolvido e discretizado por apenas quatro nos o conjunto das quatro fun es mencionadas pode ser escrito em rela o ao sistema homog neo da seguinte maneira EE re hb Lo a r 1 5 h i 1 r 1 3 4 30 TE 7 ltr 148 n i 1 r 1 45 Graficamente as funcoes 4 38 podem ser representadas conforme mostra se na figura 4 12 E r 4 3 5 Parametros Internos em Fungao de Valores Nodais Em primeiro lugar interessante ressaltar que a nota o matricial apesar de produzir express es mais ts extensas tem a vantagem de explicitar bem as opera es 324 desenvolvidas Assim sendo a partir deste ponto volta se a utiliza la em paralelo a nota o indicial sempre que se considerar necess rio imprimir maior clareza as dedu es efetuadas As coordenadas de um ponto interno ao elemento podem ser escritas em funcao das coordenadas dos pontos nodais z I atraves da expressao X cc 4 31 onde X coordenada de um po
211. lculo executado A eficiencia desse procedimento enorme Devido s defini es sobrepostas de reais de oito e quatro bytes e ainda inteiros de quatro bytes qualquer variavel passada como par metro em qualquer das rotinas do programa pode ser armazenada sem que haja desperdicio de mem ria A Unica complica o adicional diz respeito aos limites dessas vari veis sobre a rea total cujo gerenciamento precisa ser feito pelo pr prio programa Para maior clareza a respeito desse item pode se tomar um exemplo Trata se da chamada da rotina PRCNOD onde s o lidas as caracter sticas nodais da estrutura realizada pelo programa principal Os primeiros comandos da mencionada rotina sao SUBROUTINE PRCNOD NPN IR X1 X2 X3 T INTEGERX4 IR NPN 6 REALX4 X1 NPN XZ NPN X3 NPN 99 Como rapidas informa es adicionais pode se mencionar que IR e uma matriz que guarda as restric es nodais X1 X2 e X3 armazenam as coordenadas e T as temperaturas ver item 2 4 para maiores informa es Alem disso NPN o n mero de pontos nodais a serem lidos A chamada no programa principal e a seguinte N1 1 6XNPN N2 N1 NPN N3 N2 NPN N4 N3 NPN CALL PRCNOD NPN IA 1 A N1 A NZ A N3 A N4 Como pode se observar todas as vari veis da sub rotina que necessitam de uma grande capacidade de armazenamento est o alocadas dentro da rea comum PRC Inicialmente entram as 6 NPN posi es de IR e depois as 4 NPN correspond
212. liberdade por no no caso as tr s transla es de um ponto no espa o definido pelos eixos globais Nao e necess ria a defini o de sistema de referencia local Todas as matrizes e vetores podem ser referenciados diretamente as coordenadas globais que s o apresentadas pela fiqura 3 45 0 material a ser definido para os elementos pode ser ortotr pico desde que os seus eixos de simetria coincidam com o sistema de referencia adotado ou seja o sistema global da estrutura Desse modo os par metros a serem fornecidos sao peso especifico do material Y E m dulo de elasticidade longitudinal segundo Xie E modulo de elasticidade longitudinal segundo Xo Ez modulo de elasticidade longitudinal segundo Xx 12 coeficiente de Poisson no plano X Xo Pig 7 cOeficiente de Poisson no piano XX vos 7 coeficiente de Poisson no plano XoXs Gio modulo de elasticidade transversal no plano XX Gis modulo de elasticidade transversal no plano XX E 633 modulo de elasticidade transversal no plano X4X a coeficiente de dilatacao termica segundo Xe a coeficiente de dilata o termica segundo X5 240 AY coeficiente de dilatacao termica segundo kz No elemento aqui desenvolvido tamb m podem ser incluidos modos incompatives de deslocamentos No Caso ser o nove valores adicionais de graus de liberdade sem correspondencia f sica com deslocamentos nos n s Da mesma maneira que nos elementos tipos 4 e 5 estuda
213. lido praticamente dobra ao se considerar um outro nivel de integra o Essa informa o deve ser levada em conta pelo usuario de modo a n o tornar excessivamente demorada uma an lise com a considera o desse tipo de elemento Ja quanto ao calculo das tens es o tempo tamb m varia em relacao ao numero de pontos nos quais essa saida esta sendo providenciada Entretanto essa varia o pouco significativa e para o caso m dio de sa da em dois pontos pode se adotar o valor de 0 75 seg 2 8 11 Exemplo Como exemplo para o elemento solido vai se considerar um caso bastante diferente dos que tem sido analisados ate 259 fig 3 50 Discretiza o 3 10 30cm T s 200 kN cm X2 X fig 3 51 Eixo submetido a momento torcor Se o transversal Vista lateral fig 3 52 Discretiza o adotada 260 aqui Trata se de uma tor o atuando num eixo de se o quadrada conforme mostra se na figura 3 51 i E iy ty t Devido a grande variacao da tensao de cisalhamento nas Ll f z r N secoes transversais e necessario uma discretizacao relativamente fina no plano X J ao longo do eixo rar portanto segundo Xi a discretizacao pode ser pobre que os resultados nao serao afetados De acordo com essas informa es e que foi montada a rede de discretiza o mostrada na figura 3 52 Como caracteristicas adicionais pode se citar E 20 000 KN cm v 0 25 G 8 000 KN cm Os resultados inter
214. lisado neste exemplo configura se como um case onde espera se uma influencia relativamente grande da consideracao da fiexibilidade da fundacao Isso porque sendo a forma do pavimento tipo em laje cogumelo acabam prevalecendo pilares de grandes dimens es que tem a tendencia de apresentarem significativos momentos fietores na base Se a funda o n o for muito bem projetada de modo a resistir a n4 esses grandes momentos na verdade eles serao 364 o x Nw o 0 an an RSS QQ X AAA AAA ANA A LEA NS RSS SS OG YcT N EN al ra p x EA o uv a N V13 13x50 25x170 DLL P15 17x254 V7 13x50 a NNNSNNNNNNSNNNNNNNS NNNNNNNNSNNN V1 13x50 V19 13 x 50 DOY DAY AE OS XET 2A o RE EB E x x 9 A 2 fig 4 28 Forma do pavimento tipo do Ed Maison Mouette 365 redistribuidos alterando se bastante os esfor os obtidos Para uma comparacao mais efetiva dos resultados o referido portico tridimensional foi calculado para tres situa es distintas no que diz respeito ao comportamento da funda o Em primeiro lugar adotou se uma fundacao completamente rigida Apos essa analise foram ent o definidas as sapatas e adotado um solo com caracteristicas E 100 000 KN m e v 0 35 Por fim o m dulo de elasticidade foi reduzido para 10 000 kN m interessante ressaltar que esses valores de m dulo de elasticidade representam de certo modo os li
215. lizando se quatro pontos suficientes para produzir o resultado exato se o elemento tiver a forma de um paralelogramo Esses pontos est o mostrados na figura 3 19 inclusive com o valor de q a ser considerado A matriz de rigidez do elemento em rela o aos eixos de referencia globais e calculada em fun o da matriz local e da matriz de transforma o As conforme a equa o 3 17 No caso tem se RE AT ra cc 13 66 nu 3 0 7 Vetor de Cargas S o permitidos tres tipos de carregamento sobre o elemento for a de superficie atuante na face IJ ru E variacao de temperatura e ainda peso proprio Os vetores de N carga um para cada carregamento sao portanto formados pela soma de tr s parcelas Quanto ao carregamento sobre a face somente podem ser definidos valores constantes na dire o normai e na ru 3 r Led sua propria dire ao cujos sentidos positivos sao mostrados na figura 3 20 Em fun o das coordenadas locais o vetor de cargas devido as tens es sobre a face IJ pode ser encontrado pela equa o ver item 3 2 204 T H f oes Py As is ds 3 67 i S Na equacao 3 67 a matriz pa relaciona os deslocamentos nos nos com os de um determinado ponto da face IJ Qu seja u Hou 3 69 A matriz H e montada com as fun es de interpola o Considerando se que na face IJ tem se sempre s ft pode se escrever 1 r o 1 r a a a ns 65 69
216. m O cuidado de n o serem utilizados caracteres nao permitidos pelo sistema operacional O sufixo n o deve ser definido Sua montagem pode ser feita por um editor de dados comum ou atrav s da utiliza o de um pr processador do sistema LASER A montagem por um editor convencional e sempre muito trabalhosa principalmente porque apenas as caracteristicas nodais seja de geometria ou carregamento e que se mant m constante Para os elementos cada tipo a ser definido tem suas proprias caracteristicas a serem fornecidas e N n portanto necessariamente a sua propria formatacao de entrada Assim sendo pode se admitir que o usuario padr o estara muito mais propenso a utilizar se do m dulo do sistema que realiza essa montagem ou mesmo dos modulos que possuem gera o autom tica para estruturas particulares Ent o considerando se que seria cansativo e de certo modo in til apresentar extensas explica es a respeito da formata o desse arquivo de dados optou se por um procedimento diferente Trata se de apresentar o modulo pre processador que realiza essa montagem com recursos gr ficos acoplados O m dulo aqui descrito tem seu esquema b sico definido sobre o trabalho apresentado na referencia 2 19 Algumas modifica es realizadas foram fruto de experiencias adquiridas pela pr pria utiliza o do programa la apresentado 115 2 10 2 A Linguagem Computacional Adotada Para todos os pre e pos processado
217. m ele o compilador vai gerar automaticamente endere os de apenas 16 bits incorporando ao programa as vantagens anteriormente mencionadas Entretanto a maioria dos programas necessita de mais de um segmento tanto para o codigo como para oS dados Isso faz com que o compilador tenha que gerar pelo menos alguns enderecos completos de 32 bits Ent o o modelo adequado apesar de tornar o programa menos eficiente o Large Model Apenas a destacar que para este modelo apesar da possibilidade do total do c digo e dos dados ultrapassarem o limite de 64 Kbytes cada m dulo do programa e cada variavel individual devem estar dentro desse limite entende se por m dulo de programa um arquivo fonte compilado separadamente Assim sendo o programa total deve ser particionado em modulos que ocupem no maximo 64 Kbytes e cada variavel n o poder ultrapassar em nenhuma hip tese esse limite Caso seja necessario que uma determinada variavel ultrapasse O limite de 64 Kbytes o modelo de armazenamento a ser utilizado sera o Huge Model Somente ele permite que uma variavel individualmente ocupe mais do que um segmento de mem ria Entretanto conv m ressaltar que para cada modulo do programa continua sendo necess rio respeitar se O limite de 64 Kbytes 2 2 4 Armazenamento do Codigo e dos Dados Chama se c digo de um programa o conjunto de instru es execut veis em linguagem de maquina produzidas pelo compilador a partir do pr
218. m pode ser considerada razo vel Percebe se que realmente n o se deve modelar com triangulos os problemas com momento fletor predominante Ja para os quadril teros a incompatibilidade continua produzindo melhores resultados se bem que a diferen a agora seja muito pequena devido ao fato da solicita o predominante ser por for a normal De qualquer modo os resultados mesmo com a rede menos refinada ja se aproximam muito do valor te ricamente previsto pelo procedimento analitico 3 7 12 2 Tempo de Processamento O desempenho do elemento tipo 5 quanto ao tempo de processamento pode ser considerado em termos praticos o mesmo do tipo anterior 236 e fig 3 39 Discretiza es 3 e 4 P 20 20 40 40cm fig 3 40 Varia o de se o num pilar cil ndrico fig 3 41 Discretizacao em elementos axissimetricos 237 3 7 13 Exomplo O exemplo a ser aqui considerado trata da analise das perturbacoes na interface de variacao de se o de um pilar circular de concreto Para tanto sera considerada a regiao mostrada na figura 3 40 que pelas condi es particulares que apresenta pode ser muito bem discretizada atraves de elementos axissimetricos A rede utilizada aparece na figura 3 41 e alguns dados m f adicionais de interesse sao z 2 000 KN cm 0 20 833 KN cm 2 KN cm z vo tam u Como resultados sao apresentadas as tens es longitudinal e radial respectivamente nas figuras 3
219. m processamentos em elementos finitos As informa es aqui colocadas a respeito do sistema baseiam se em quase sua totalidade na refer ncia 1 17 Desse modo essas informa es n o s o t o completas como as obtidas para os outros programas citados restando se algumas lacunas sobre a sua organiza o geral e procedimento utilizado na solu o do sistema de equa es Um dos pontos mais elogiados do STARDYNE sua entrada de dados considerada de grande eficiencia Os dados relativos aos n s e elementos podem ser fornecidos em ordem aleat ria atrav s de t tulos de identifica o Al m disso a consistencia dos dados excelente evitando se que o usu rio possa perder tempo de processamento com um modelo matematico que n o represente fielmente a estrutura que se deseja analisar Uma caracter stica do programa que chama a aten o e sua relativamente pequena capacidade de an lise S o permitidos apenas 999 n s e 9999 elementos perfazendo um total de aproximadamente 6000 graus de liberdade Sem d vida e um limite pequeno principalmente quando comparado a outros programas de analise estrutural para grandes computadores O STARDYNE coloca a disposi o do usu rio elemento de barra elemento triangular de placa elemento retangular de placa elemento s lido c bico e elemento s lido tetraedrico Tamb m possibilita a definicao de ate 100 sistemas rigidos com no maximo 18 nos cada um para simulacao de diafragm
220. m ser escritas como a 7 x u Fu oe 4 4 ij 2 i j j i w eu onde Si Sao as deforma oes especificas e ui os deslocamentos Ja a lei de Hooke rela o entre as tens es e deforma es resulta Vii AE 268 j 22 e 4 5 onde alem das Grandezas ja mencionadas destaca se o delta de Kronecker 615 cujo valor e zero se ixj e 1 se i j t As condi oes de contorno para um ponto Q e P podem ser escritas como u 8 uu 0 4 6 p 0 p t8 22 4 7 onde u e P s o as componentes de deslocamentos e for as de superficie prescritas no contorno Ressalta se ainda que Pu c e EI onde n s o os cossenos diretores da normal ao plano tangente a superficie no ponto A considerado conforme mostra se na figura 4 2 O conjunto de equa es apresentado 4 3 a 4 7 define perfeitamente um problema el stico linear Pode se continuar o equacionamento proposto pela simples combina o das express es ja apresentadas Usando se a equacao 4 4 relacao deformacao deslocamento a lei de Hooke e a relacao Pp Banas pode se escrever as tensoes e forcas de 303 Xi fig 4 1 Corpo de volume e Xs X2 X fig 4 2 Componentes das for as 304 contorno DT de superficie superficie em termos dos deslocamentos ER k e M eis MUk kij G ut id a 4 8 24 6 u u n s u n 4 Pi i n Vidt d 1 2 j ji Meee onde u Uu on 1 n 1 J Substi
221. ma LS foram as seguintes as estruturas escolhidas Estrutura 1 p rtico tridimensional 422 n s 640 elementos barra Estrutura 2 viga parede 216 n s 196 elementos membrana Estrutura 3 blocO tridimensional 499 n s 320 elementos s lido Estrutura 4 pavimento de edificio 515 n s 378 elementos placa e 231 elementos barra Estrutura 5 pavimento de edif cio 1250 n s 1130 elementos placa 358 elementos barra e 5 elementos trelica Estrutura 6 parabol ide hiperb lico 295 nos 256 elementos casca e 12 elementos contorno Desse modo espera se a obten o de valores que sirvam de referencia para a estimativa de tempo de processamento de estruturas de tipos variados Os resultados obtidos encontram se organizados na tabela 2 11 onde os tempos estao anotados em horas minutos e segundos para cada estrutura mencionada e cada etapa de processamento 144 A cae id Ga mme deco ES re SER ey o SE SR Ge SO OR A RR Etp Est Estrul Estru2 Estrus Estru4 Estrus Estru Etp 1 0 00 12 0 00 07 0 00 14 0 00 16 0 00 35 0 00 07 Etp 2 0 02 25 0 01 43 0 09 20 0 10 08 0 29 38 0 07 17 Etp 3 0 00 14 0 01 16 0 00 45 0 04 10 Etp 4 0 01 44 0 00 40 0 03 04 0 01 59 0 10 50 0 01 34 Etp 5 0 06 49 0 02 12 0 29 27 0 07 26 1 28 07 0 23 19 Etp 6 0 01 22 0 00 28 0 03 14 0 00 42 0 01 31 0 00 15 Total 0 12 45 0 05 34 0 47 04 0 20 08 2 15 41 0 32 45 tabela 2 11 inicialmente pela observa o dos tempos totais da tabela 2 1
222. mais n tida a pr pria estrutura do programa seguir est o resumidas alqumas informa es a respeito do conte do de cada um desses blocos suas fun oes e outras caracter sticas de interesse 2 3 2 2 Bloco PR Contem o programa principal e mais doze rotinas chamadas de utilit rias ou seja rotinas usadas por todos os outros blocos do programa num total de 1159 linhas de programa o 15 do total O programa principal tem como fun o gerenciar todo o processamento realizando a inicializa o de vari veis abertura de arquivos em disco controle da capacidade de processamento chamada das rotinas envolvidas em cada etapa e ainda controle do tempo de processamento total e por etapas Quanto as doze rotinas a seguir e apresentada uma rela o com suas principais fun es PRCALB calcula a semi banda necessaria a montagem de um determinado elemento na matriz de rigidez global da estrutura PRCALT calcula o tempo decorrido entre dois instantes 41 distintos do processamento do programa A aquisi o dos valores necess rios a esse calculo realizada por uma sub rotina do FORTRAN diretamente do rel gio interno da maguina PRELT identifica e faz a chamada de um determinado tipo de elemento tanto para montagem das matrizes e vetores r w iniciais quanto para calculo das tensoes e ou esfor os finais PRCALC verifica para todas as etapas se a capacidade do programa n o est sendo
223. me foi visto no primeiro exemplo Ocorre tamb m uma rota o em torno de Xz De modo semelhante uma forca em XS produz deslocamento em X rotacao em torno de Xy e ainda rota ao em torno de Xa 353 Quando aplica se uma for a em ks tem se agora rota es em torno de X e X J um momento em torno de X produz agora deslocamento em Xz rota o em torno de Xo e ate uma pequena rotacao em torno de X_ Resultados semelhantes s o 3 observados pela a o de um momento em torno de X Finalmente um momento em torno de ks resulta agora em Quatro efeitos que inexistiam deslocamentos em Xa e X e 2 2 rota es em torno de X X4 Tudo isso alem da rota o em torno do pr prio Xa Tambem aqui pode se aplicar forcas e momentos segundo os eixos de refer ncia Imaginando se for as de 10 KN e momentos de 10 KN om obtem para os deslocamentos e rota es mostrados na tabela 4 6 onde o cabecalho o mesmo da anterior a HEN NM NE ju NER De SE dis 1 2 093 6022 3694 0000 1389 1 204 2 6022 2 093 0694 1389 0000 1 204 3 0694 0694 3 149 1 914 1 914 8200 4 0000 1389 1 914 3 829 2002 0002 5 1389 BABA 1 914 2200 3 829 82080 6 1 204 1 204 0000 2820 DADA 2 409 tabela 4 6 4 4 3 4 Sapata 1m x 1m centrada com distancia C Neste item pretende se analisar a influencia da considera o da sapata mergulhada no dom nio semi infinito de uma distancia C Portanto preten
224. mente a convergencia de cada componente Entretanto para o componente membrana alguns estudos ja foram realizados quando do desenvolvimento do elemento tipo 4 Isso porque o teste de convergencia la realizado quando considerou se a discretiza o em elementos triangulares sem a inclus o de modos imcompativeis e exatamente o que seria aqui considerado posto que os te elementos triangulares sao Os mesmos Apenas a ressaltar 287 que neste caso quando consideram se elementos quadrangulares isso equivale a definir quatro triangulos conforme est apresentado na figura 3 56b Ja para O componente placa elemento LCCT 9 isolado ou composto em quadrilateros nenhum estudo foi ainda realizado neste trabalho sendo o que se fara no pr ximo sub item 3 9 8 2 Converg ncia do Componente Placa Para se examinar a convergencia do elemento placa aqui desenvolvido foram considerados quatro casos classicos Placa apoiada com carga distribuida placa engastada com carga distribuida Placa apoiada com carga concentrada e placa engastada com carga cancentrada Devido a dupla Simetria foi discretizado apenas o quarto inferior esquerdo da placa completa 0 parametro controlado foi o deslocamento central e as caracter sticas de dimens es valor do carregamento e par metros elasticos adotados nao interessam diretamente pois serao apresentados valores de coeficientes adimensionais ae Bg que podem ser definidos por as w D q j 2
225. mente menor que a do exemplo anterior Assim mesmo existem algumas pe as que apresentam grandes varia e de esfor os mas varia es n o t o significativas ate porque os valores obtidos s o relativamente pequenos quando comparados com os esfor os a Ed Que devem resultar da considera o de outros carregamentos Ao observarem se com mais detalhes as mencionadas tabelas verifica se que para os pilares ainda se mant m 2 r como regra geral a tendencia de Uma maior homogeneidade di A e nos esfor os atraves da diminui o dos valores mais elevados e um aumento dos mais baixos Assim ocorre por exemplo com as for as normais dos pilares P20 e P22 e momentos fletores dos pilares P11 e P15 Mas aqui ja aparecem algumas excess es a essa tendencia como as for as normais do P e P27 e momentos fletores dos pilares P e P7 Mesmo assim as varia es extremas que podem ser observadas sao sensivelmente menores que as do caso anterior Por exemplo Quanto as for as normais a maior diminui o ocorre no P15 com 63 e o maior aumento no P22 com 131 Ja quanto aos momentos fletores a maior diminui o verifica se no P11 com 67 e o maior aumento com valores significativos no P6 com 64 Quanto aos esfor os atuantes nas vigas verifica se um aumento desses valores seja na cortante ou no momento para todas as pe as que trabalham no suporte da a o do vento Entretanto essas varia es n o se apresentam
226. mero de pontos que ofere a a precisao desejada Para chegar se a esse n mero conveniente um exemplo foi resolvido com diferentes conjuntos de pontos de integra o Os valores encontrados est o organizados na tabela 4 3 onde NP e o numero de pontos de Gauss para cada dire o TMMG o tempo de processamento para montagem da matriz 6 TT e o tempo total para solu o do elemento e 333 o valor do terceiro elemento da diagonal principal da matriz de rigidez obtida ou seja o valor da forca necessaria para se obter um deslocamento unitario segundo o NP TMMG seg TT seg S 33 2 0 11 0 33 8 397 3 16 0 44 8 174 4 0 33 20 60 8 096 5 2 50 0 82 8 asa 6 0 77 1 04 8 941 8 1 31 1 65 8 21 19 2 09 2 37 8 912 tabeia 4 3 345 Pela observacao dos resultados percebe se que o valor obtido se a integracao fosse exata deveria ser da ordem de 8 0068 Assim sendo para os prop sitos deste trabalho admite se que a integra o numerica realizada com quatro pontos por dire o oferece a precisao desejada sem que o tempo de processamento verificado seja elevado Portanto sera esse o numero de pontos de integracao a ser adotado na montagem da referida matriz G importante observar se que existem procedimentos num ricos que integram equa es com singularidade fraca do tipo 1 r com mais precis o que o procedimento de Gauss Entretanto de acordo com os resultados obtidos pode se coniuir que a utiliza o desses Outros proce
227. microcomputadores mais conhecidos em todo o mundo o SAPBD Esses programas s o de propriedade da Computers amp Structures Inc e foram desenvolvidos por Edward L Winson e Ashraf Habibullah As principais diferencas entre o SAP80 e o S0P 90 dizem respeito inclusao de um elemento tridimensional e desenvolvimento de rotinas de pos processamento que permitem ao usuario o desenho de esfor os e tens es da estrutura analisada As demais caracteristicas foram 13 mantidas inclusive a entrada dos dados como pode se notar pelo exame das referencias 1 30 e 1 31 O SAP9 e formado de diversos m dulos independendes que s o processados em sequencia e se comunicam atraves de arquivos de dados temporarios montados no disco r gido Inicialmente atua um m dulo que interpreta o arquivo formatado que contem os dados fornecidos pelo usuario e monta outros arquivos n o formatados que ser o lidos pelos demais modulos do sistema Logo ap s s o carregados na mem ria os modulos que executam a montagem das matrizes de rigidez dos elementos Em sequ ncia entra o m dulo de montagem e solu o do sistema de equa es global da estrutura inclusive com a sa da dos deslocamentos nodais Por fim atuam os m dulos que calculam esfor os e tens es nos elementos Esse sistema de funcionamento utilizado tem como desvantagem um maior acesso ao disco r gido pois todas as informa es s o passadas atraves de arquivos Entretanto permite
228. mites poss veis Entretanto dificiimente adotar se a uma funda o em sapata para solos de pequena capacidade de resistencia e consequentemente de m dulo de elasticidade muito baixo Assim sendo o valor 10 0009 KN m e apenas um valor de referencia n o se devendo considerar que estruturas reais possam encontrar se apoiadas sobre sapatas em solos t o pouco rigidos Alguns dos resultados obtidos para essas an lises est o compilados nas tabelas 4 7 a 4 11 onde os tr s niveis de rigidez mencionados s o chamados de Fund Rig F Flex E 100000 e F Flex E 10000 A A ee ee A A et te Mn im a se O a le ee MA a a M A O O ao a a aa a a a a AMA p e qa a ema ama ama ama mas aa re cao eo ee M a pe o e a e e o e A as a Sa aa pa ro Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 P1 2 278 0 1 667 1 718 8 P3 1 427 4 1 251 0 715 3 P4 742 35 6 334 7 P7 2 199 2 1 5855 245 7 P9 803 5 514 4 184 4 P12 185 3 198 8 130 3 P15 185 3 198 8 130 3 P17 637 3 770 2 1 069 7 P18 72 7 116 8 637 7 tabela 4 7 366 a A SPL by O ms A AM weve V sree ami oam m SEED cove wins A rer maa nna Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 Pi 441 5 957 9 428 3 P3 303 8 320 9 213 4 P4 1 976 9 2 417 7 1 871 6 P7 620 6 1 023 7 i 006 1 P 933 6 1 272 6 1 043 0
229. na dire o e em torno do eixo do elemento Como as coordenadas globais continuam sendo as apresentadas na figura 3 9 e necess rio a defini o de Uma matriz de transforma o de acordo com as equa es 3 11 Essa matriz e obtida pelo arranjo conveniente dos cossenos diretores do eixo local x em rela o aos eixos globais da estrutura Esses cossenos diretores sao mostrados na figura 3 11 e a matriz X resulta 1 m n eo Bo gq A ssa 3 43 ae B O 1 m n Ja a matriz de rigidez em rela o s coordenadas locais pode ser escrita como se segue 189 X3 Cs X4 Cy fig 3 9 Sistema de refer ncia e coordenadas globais NR zig C 2 fig 3 190 Sistema de refer ncia e coordenadas locais fig 3 11 Cossenos diretores de x 190 r 02 3 44 Atraves da equa o 3 16 pode se encontrar a matriz de rigidez em fun o das coordendas globais A matriz RE resulta K 12 K Im K In d d K Im K a K mn o d d d 2 Y K in K An Kan r r 2 r K Im K m K mn r r 5 Y K In K mn K n r r r O vetor de cargas tamb m pode ser montado com facilidade de acordo com a expressao que se segue K DI K Dm K Dn PE K RI 3 46 K K a a a Rm Rn FY Ja a matriz da relacao dos esforcos com os deslocamentos matriz TD pode ser obtida com a matriz de rigidez local pos multiplicada pela matriz de transforma o A Desse modo tem se 1 Km Kon 0 0 0 TD d d 8 a 3 47
230. nadas devem produzir melhores resultados em termos de tempo de processamento Entretanto julgou se que esse detalhe deveria ser deixado para um desenvolvimento posterior especifico onde um amplo estudo pudesse realmente indicar qual o procedimento mais adequado para a montagem e solucao do sistema de equa es globais do programa LS Uma provid ncia de grande importancia para a utiliza o de uma t cnica de particionamento da matriz de rigidez por blocos e exatamente o c lculo do tamanho de cada um desses blocos Ou sejas considerando se a semi banda fixa quantas equa es estar o armazenadas em cada bloco O item 2 8 trata da rea de dados do programa LS Entretanto sera importante adiantar que todo o armazenamento de grandes vetores e matrizes e feito numa rea de trabalho de 400 Kbytes Ressalta se ainda que na montagem e solu o do sistema de equa es globais sao utilizados reais de 4 e 8 bytes e inteiros de 4 bytes sendo que o calculo do numero de equa es de cada bloco deve levar em considera o esses detalhes Pela descri o do bloco SO no item 2 3 percebe se que duas rotinas do programa LS s o as responsaveis pela montagem e solu o do sistema global de equa es SOMONT e SOSOLC respectivamente No caso da SOMONT estar o ocupando a rea de trabalho de 400 Kbytes simultaneamente dois blocos da matriz de rigidez dois blocos dos vetores de carga e ainda NC vetores de quatro posi es No caso a matriz d
231. nal unico 9 Numa primeira etapa a intera o com a funda o deve ser realizada atraves de um elemento sapata pois as funda es rasas normalmente apresentam uma menor rigidez e nesse caso a considera o da intera o torna se mais importante interessante ressaltar que a utiliza o do elemento deve ser muito simples de modo que o usu rio possa realiz la de forma comoda e eficaz e De modo a facilitar a entrada dos dados das estruturas considerando a jun o de subestruturas montadas de forma independente importante que o programa possua como recurso extra e opcional uma renumera o dos n s fornecidos Essa renumera o deve estar ativa apenas nas etapas onde isso Signifique redu o da semi banda da matriz de rigidez do sistema estrutural sem que o usuario a A necessite conhece la f Toda a estrutura do programa deve ser modulada e geral prevendo se as futuras modifica es que o sistema deve sofrer para um constante aprimoramento ao longo do tempo Assim sendo entende se esta etapa como uma primeira fase de um processo de aperfei oamentos sucessivos que devem ser implementados por diversos pesquisadores que n o precisam conhecer em detalhes toda a estrutura do programa Segundo esses parametros e que se deu o gt n de N desenvolvimento da presente pesquisa cuja organiza o geral apresenta se no proximo item 20 1 5 ORGANIZACAO DO TRABALHO O presente trabalho encontra se
232. nao existir o programa procede normaimente supondo que uma nova estrutura come a a ser definida Em qualquer caso logo ap s O nome O usu rio se defrontar com O menu apresentado na figura 2 21 Trata se como j se mencionou de um menu de opcao Na verdade o menu que permite o acesso a todas as fun es de edi o dispon veis Duas dessas fun es conduzem a rotinas de leitura imediata Por exemplo imaginando se que dentro desse MENU PRINCIPAL tenha sido digitado o caracter A o usu rio tera acesso a defini o dos par metros de controle do processamento como n mero de pontos nodais n mero de grupos de elementos n mero de casos de carregamento e op o de minimiza o de banda da matriz Caso o Caracter digitado tenha sido K ent o o programa 122 LINGUAGEM ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS lt lt MODULO EDITOR gt gt Nome do Arquivo de Dados LPP RAN rr IA Rm E O nome deve der do tipo PPPPPPPP prefixo com ate B caracteres E permitida qualquer estrutura de subdiretorios desde que o total de caracteres nao ultrapasse o campo definido lt ENTER gt Entra Campo lt BKSPC gt Retrocede Cursor lt TAB gt Limpa Campo ESC Volio ao Sistema fig 2 20 Tela Inicial lt lt MENU PRINCIPAL gt gt PARAMETROS DE CONTROLE CARACTERISTICAS NODAIS ELEMENTO TIPO TRELICA ELEMENTO TIPO BARRA ELEMENTO TIPO CONTORNO ELEMENTO TIPO MEMBRANA E
233. ncionados referem se a analises feitas em microcomputador compativel IBM AT de 12 MHer tz com coprocessador matematico 80287 154 3 2 CONCEITOS B SICOS SOBRE O M TODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3 2 1 Energia Potencial Total E i Para um corpo continuo elastico linear pode se escrever a energia potencial total funcional do problema como sendo 2 s o dV B UT av Us uso SUIT E Moo o Mio v Eum eee 3 1 onde estado de deforma es o estado de tens es U deslocamentos para a situa o inicial f for as volumetricas UE forcas distribuidas na superficie Fi for a concentrada num ponto i A primeira parcela diz respeito a energia potencial interna armazenada no corpo As demais s o trabalhos realizados pelos carregamentos aplicados volum tricos distribuidos ou concentrados 3 8 2 Principio dos Deslocamentos Virtuais Um desenvolvimento equivalente a expressar o equil brio do corpo usar o princ pio dos deslocamentos virtuais Ele estabelece que o equilibrio requer que para qualquer campo de pequenos deslocamentos virtuais compativeis imposto sobre o corpo o trabalho total das 155 forcas virtuais internas deve ser igual ao trabalho total das for as externas ou seja n Isso pode se expresso D pela equacao S f f 2 adve ae dV dA dS EU F Y V S 1 2 3 2 Onde 6 deforma es virtuais u 4U deslocamentos virtuais Convem ressalta
234. ndagao rigida sendo esse acrescimo causado pelas rota es que se verificam na base da estrutura O que n o muda de forma significativa o aspecto das deformadas que sao apresentadas na figura 4 29 Provavelmente por aus ncia de um n mero significativo de vigas na dire o atuante do vento o comportamento da estrutura que era tipicamente parede com a funda o r gida n o mudou com a introdu o da flexibilidade continuando um comportamento de parede com grandes deslocamentos flecha no topo cresceu 30 para E 100 aon KN m e 350 para E 10 000 K m 369 PAVIMENTOS 212 20 192 18 172 162 10 Fund Rig Fund Flex Ez100000 5 Fund Flex Ex 10000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 fig 4 29 Deformadas do eixo vertical do Ed Maison Mouette 370 4 4 5 2 Edificio Arte 5 A o do Vento O edif cio aqui considerado tem a forma do pavimento tipo apresentada na figura 4 30 Trata se de uma obra na cidade de Goiania que possui 1 subsolo 1 pavimento terreo e 15 pavimentos tipos Para a analise da estrutura sob a a o de cargas horizontais provocadas pelo vento segundo o eixo de simetria montou se um modelo de p rtico tridimensional com 274 n s e 464 elementos barra alem de 14 elementos sapata para simular a funda o Destaca se que da mesma maneira que no exemplo anterior os nos de um pavimento tambem est o Obrigados a apresentar o mesmo desiocamento n
235. niciais Esse vetor contem N e op respectivamente esforco normal e tens o normal iniciais No elemento treli a o nico carregamento realmente interno e o efeito da varia o da temperatura O peso pr prio apenas calculado com as caracter sticas do elemento mas atua no modelo como for a nodal Desse modo o vetor TI resulta A TI Ea AT see 3 22 T 1 onde E A a AT e a for a produzida pela varia o da temperatura e E a AT a correspondente tens o normal Com este ltimo vetor o programa LS tem condi es de calcular o esfor o e a tens o finais do elemento para cada 167 caso de carregamento atrav s da rela o ja mostrada no item 2 7 T Tu TI 3 3 7 Desempenho Qs resultados obtidos com o elemento trelica nao dependem da discretizacao realizada pois a expressao dos deslocamentos ao longo do elemento e exata isto e cada barra da trelica real pode ser discretizada com apenas um elemento trelica Resta entao quanto ao desempenho apresentar uma no o do tempo de processamento necessario para a montagem e grava o das matrizes e vetores do elemento e depois para o calculo do esfor o e da tens o resultantes Esse tempo de processamento e muito pequeno em rela o a outros tipos existentes Pode se adotar o valor de 0 034 seg para Cada elemento estar com suas matrizes e vetores totalmente calculados e gravados em disco Quanto ao calculo das Le tensoes o tempo por elemento
236. no caso de uma matriz armazenada por faixa Nesse caso o N mero de blocos subsequentes a serem operados por efeito da triangulariza o da linha 1 nbs pode ser calculado em fun o da largura da faixa 1b e do numero de equa es em cada bloco neqb atraves da parte inteira da N expressao nbs 2r 1 sa 2 7 Como pode se observar na express o 2 7 se o numero de equa o s por bloco for maior que a largura da faixa menos dois nbs resultar igual a um Nesse caso apenas os dois blocos inicialmente carregados na memoria necessitar o ser operados Entretanto caso nbs seja maior que um o que ocorrera quando a largura da faixa ultrapassar o n mero de equa es por blocos existir um complicador adicional pois apenas dois blocos podem ser armazenados simultaneamente na memoria central Nesse caso o algoritmo necessita salvar o primeiro bloco auxiliar em mem ria perif rica trabalhando ent o com o pr ximo e assim sucessivamente at que os nbs blocos tenham sido modificados A figura 2 17 apresenta um fluxograma simplificado para tornar mais claro esse procedimento 2 7 4 4 Etapa de Retrosubstitui o f A retrosubstituicao de valores para a determinacao das 91 LEITURA BLOCO I ACHA ULTIMO ELEM O NAS COLUNAS TRIANGULARIZA BLOCO I LEITURA BLOCO I J LEVA MODIFICA ES SOBRE BLOCO I J GRAVA O BLOCO I J GRAVA O BLOCO I fig 2 17 Fluxograma da etapa de triangulariza
237. no programa em questao Estas caracteristicas encontradas com maiores detalhes nas referencias 2 1 e 2 2 s o importantes para que se possa compreender as solu es adotadas para determinados pontos especificos do algoritmo a ser apresentado E 2 Endere amento no Processador 8086 Inicialmente deve se fazer uma pequena explana o sobre a maneira como o processador 8086 e toda a sua fam lia trata o enderecamento da memoria Esse entendimento fundamental para uma perfeita compreens o dos recursos do FORTRAN em quest o bem como das demais linguagens a serem utilizadas nos computadores de 16 bits Normalmente o computador equipado com qualquer processador da familia do 8 86 pode endere ar apenas 64 Kbytes de mem ria Como esse limite e extremamente restritivo n o permitindo o desenvolvimento de programas mais elaborados a maneira encontrada para a supera o dessa barreira foi a divis o da mem ria total em blocos de 64 Kbytes Esses blocos s o chamados de segmentos e o ponto de partida de cada segmento na mem ria e um endereco de 16 bits O processador 8086 reserva quatro registros para enderecos de segmentos basicos CS code segment DS data segment SS stack segment e ES extra 30 segment Entretanto o endere o de um segmento aponta apenas para a base do mesmo Para que O processador refira se a um item particular dentro de um determinado segmento necessario mais um endereco
238. ntam se nas figuras 3 70 e 3 71 as tensdes normais respectivamente segundo os eixos locais 294 x e x a e na figura 3 72 o momento fletor segundo O eixo i local x e Ressalta se que as tensoes sao fornecidas em MPa e o momento fletor em KN x m m Pela observacao dos resultados apresentados verifica se que realmente a maior solicitacao para a estrutura diz respeito as tensoes normais indicando que o comportamento de membrana e preponderante Isso e bastante interessante pois para uma estrutura de concreto armado a predominancia das tens es de compress o um fato ben fico Al m disso percebe se que a simplifica o do calculo r N atraves de expressOes que consideram apenas o comportamento de membrana n o foge muito da realidade 296 X3 Xy 2 10 2 10 X 5 657 m 5 657 5 657 5 657 fig 3 70 Tens o normal segundo eixo local x 297 fig 3 72 Momento fletor segundo eixo local x 298 2 10 REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS 13 1 Meek J L Matrix Structural Analysis McGraw Hill Kogakusha Ltd Tokio 1971 3 2 Przemieniecki J S Theory Of Matrix Structural Analysis Ed McGraw Hill Kogakusha Ltd Tokio 1971 3 3 Gere J M Weaver W Analise de Estruturas Reticuladas Ed Guanabara Dois Rio de Janeiro 1981 3 4 Moreira D F Analise Matricial de Estruturas Ed da Universidade de S o Paulo S Paulo 1977 13 5 Schiel F Introdu o a Resistencia
239. nto da sapata segundo o eixo i n fun es interpoladoras definidas nas express es 4 30 xi e a coordenada segundo o eixo i do ponto nodal vs Matricialmente pode se escrever X H X ae 4 32 onde X e o vetor de coordenadas do ponto ou seja di A He a matriz de transformacao montada com as fun es de interpola o da maneira que se segue h a o H p n n a o o o t 2 He A X e um vetor que agrupa as coordenadas nodais do elemento n 325 da seguinte maneira x lt lt gt x lt e d e Ue NM x x x lt gt lt Ci 4 04 Ci CEN 0I 9 onde xi a coordenada do n j segundo o eixo i Para os deslocamentos e forcas de superficie aproximacoes semelhantes podem ser utilizadas Nesse caso f as expressQOes resultariam u r y 22 4 33 i i P p p 4 34 i i onde Us e Pi componentes dos deslocamentos e forcas de superficie para um ponto interno y e p valores nodais dos deslocamentos e forcas de superficie De forma semelhante ao que se mostrou para as ed coordenadas matricialmente as express es resultam 326 A abe 4 35 P H p 2 4 36 u onde U eP vetores que contem respectivamente os nu nu deslocamentos e forcas de superficie segundo os tres eixos coordenados para um ponto interior Un e a vetores que agrupam respectivamente os v deslocamentos e f
240. ntral apenas uma vez constituindo se esse procedimento num dos pontos que ajudam a eficiencia do programa Desse modo em termos de esquema de funcionamento resta apenas um detalhamento das fases presentes no fluxo de processamento O que sera feito em itens subsequentes 51 2 4 ENTRADA DE CARACTER STICAS NODAIS 2 4 1 Sistema de Referencia e Graus de Liberdade Para detalharem se as caracteristicas nodais de uma estrutura a ser analisada e interessante tecer alguns coment rios a respeito do sistema global de refer ncia e dos graus de liberdade de um ponto nodal no espa o Quanto ao sistema de refer ncia a figura 2 3 mostra os tres eixos cartesianos Xi x e Xs usados para a definicao do dominio tridimensional Nesse dominio o no generico N posicionado atrav s de tr s coordenadas respectivamente X N X N X N conforme tambem se mostra na figura 2 3 Ja os graus de liberdade de um ponto nodal no espaco aparecem definidos na figura 2 4 Sao tres transla es segundo Xy Xos X4 e mais tres rota es em torno de X15 X Xy respectivamente Alias o programa sempre trata os graus de liberdade de um ponto nodal no TX TX RX RX RX s T espaco nessa ordem Kio 2 1 3 2 4 2 Par metros a Serem Lidos a PRCNOD necessario m Nesta presente etapa a rotina envolvida Para cada n da estrutura a ser analisada m gt f P fornecer as seguintes caracteristicas N n mero do n
241. o ao longo do tempo tende a 116 tornar se uma verdadeira rejeicao optando o usuario por procedimentos Mais simples Para aqueles que ja possuem alguma experiencia ele continua sendo muito util para uma primeira montagem da estrutura a ser analisada Realizado o primeiro processamento eventuais mudancas podem ser realizadas no arquivo de dados atraves de um editor comum com grande facilidade e rapidez Finalmente para o usu rio de grande experiencia sua utiliza o realmente tende a ficar mais restrita Entretanto continua muito til em casos de estruturas com possibilidades de gera o e para detalhes nao rotineiros Por exemplo elementos pouco usados efeitos especiais de temperatura e muitos outros t picos que n o constituam O dia a dia do usu rio Alem disso nem e necess rio mencionar que essa armazenagem dos dados de entrada e fundamental para que n o se limite a atua o do programa a de um procedimento interativo convencional onde para cada execu o torna se nescess rio uma nova entrada de dados Evidentemente essa solu o tornaria completamente invi vel a utiliza o de um programa voltado para a an lise de grandes estruturas A cria o do mencionado arquivo texto ao final da entrada de dados chama a aten o para um detalhe de grande import ncia que O armazenamento desses dados enquanto se processa o restante das entradas O PASCAL oferece nesse ponto um recurso interessante que e a aloca
242. o 6 o 62 o 7 o o 6 o a 4151 61 2 9 o 3 1002 171 a 89 6881 o 6 546 0 648 yg 40 l D 6792 o 538 D 6 168 yg 734 2 47 D 6 8208 D 8 D o 15 o 3 o o 48 2620 0 o 6 62 7 47 o 7 2621 a l D 5 o 3 o 6 o 4151 Para este caso a intera o esta limitada a patamares bem mais modestos Os coeficientes obtidos para as posi es ja mencionadas no item anterior s o aproximadamente 19 dos valores da diagonal Alem disso os proprios valores da diagonal s o muito semelhantes aos obtidos para o exemplo do item 4 4 3 1 sapata isolada Com a informa o de que em outros exemplos pesquisados para a separa o de 5 vezes a maior dimens o das sapatas O nivel de intera o permaneceu sempre nesse mesmo patamar pode se concluir que a rigor apenas a 359 fig 4 23 Sapata 0 5m x im centrada com rota o de 307 2 5m fig 4 24 Duas sapatas de im x Im separadas de 2 5m X2 Xe X1 x 1m fig 4 25 Duas sapatas im x im separadas de 5m 360 partir dessa distancia e que se pode desconsiderar esse efeito Entretanto deve se lembrar que uma formulacao que considera o solo como um meio isotr pico homog neo e perfeitamente el stico j apresenta grande discrepancia em relacao a realidade Assim sendo nem sempre e justificavel um excesso de preocupacao com determinados pontos especificos 4 4 4 3 Duas sapatas 5m x im separadas de 2 5m O exempio aqui apresent
243. o caso do programa LS nada mais e que a composi o de um elemento utilizado para modelagem de placas fletidas e um elemento utilizado para discretiza o de estados planos de tens o Desse modo as solicita es que forem normais ao plano do elemento s o resistidas pela rigidez fornecida pelo elemento placa Ja as que estiverem contidas no pr prio plano pela rigidez de membrana Essa composi o equivale a definir sobre uma malha de n s elementos dos dois tipos com os mesmos n s de extremidade Entretanto se o desejo do usuario e a utiliza o de um elemento para modelagem de estruturas que possam ser definidas exclusivamente como placas basta que o programas avisado dessa condi o deixe de somar as equa es do problema a rigidez do elemento membrana Esta e a raz o de se mencionar o elemento tipo 7 como sendo adequado a modelagem de placas ou cascas O elemento pode ser triangular ou quadrangular estando definido em qualquer posi o do espa o No caso das cascas cinco graus de liberdade s o definidos para cada no duas transla es no pr prio plano devidas ao componente membrana e mais uma transla o normal ao plano e duas rota es devidas ao componente placa Ja para o caso de um elemento exclusivamente placa obviamente somente restar o os graus de liberdade a ele associados no caso o deslocamento normal ao plano e as rota es perfazendo um total de tres graus de liberdade para cada no 263
244. o de analise que se vai realizar existe uma dada matriz de constantes elasticas A matriz de rela o entre deforma es verificadas e as tens es atuantes ou seja a matriz C da express o 3 59 Obviamente depende de quais componentes dos estados de tens es e deforma es est o sendo consideradas Para O caso de um estado axissim trico pode se escrever e Cir 12 9 Cyy 2 2 _ fiz C22 2 la e T 2 0 C y Mes a l Cig Eog 2 la fa onde a s 1 EE a S3 227 ud t Vin f PLP E E 12 13 23 PEN 2 2 Cm d e XE VEL is E E B A D Vis Voz B A C E E Cio B A Ci Cig 7 DC Cop ES A B A C Coq UagEQ A B A Cy C44 7 83 vista Pasto Se o estado for plano de deformacao Ou seja E a basta eliminar a quarta linha e a quarta coluna da matriz da express o 3 94 obtendo se 4 11 12 4 o x amp alt Cio Co 8 2 oe 3 95 id e o Css e onde os valores Ci s o Os mesmos da express o 3 94 Ja para um estado plano de tens o com a condi o de que e e necessario operar algumas modifica es na matriz da express o 3 94 para continuar com os mesmos x gt 5 b coeficientes Cii Apos essas altera es escreve se i ETE Ci27 C 402470 4 0 e a E a 55 T sim C33 pr 2 1 3 96 228 3 7 6 Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais Quanto a matriz de rigidez dos elementos a nica modifica o deste caso em
245. o desenvolvimento do software Em seguida vem um esquema geral de funcionamento com todas as rotinas do sistema organiza o dos blocos de rotinas e etapas de funcionamento Logo apos s o apresentados os itens que detalham essas etapas de funcionamento entrada dos nos informa es gerais sobre a montagem de matrizes e vetores 21 dos elementos minimiza o da banda da matriz de rigidez global e ainda a obten o dos resultados da analise Depois sao apresentados detalhes que dizem respeito ao armazenamento dos dados e estrutura de arquivos em disco rigido inclusive O arquivo de dados Por fim e feita uma compara o entre o programa desenvolvido e outros ja existentes para microcomputadores sendo que esses resultados s o utilizados para conclus es gerais a respeito do desenvolvimento realizado O capitulo tres serve para o detalhamento da chamada biblioteca de elementos Come a com um breve resumo sobre a an lise matricial de estruturas em especial voltada para O Metodo dos Elementos Finitos Essa t cnica que ser usada para O desenvimento da maioria dos elementos presentes nesse cap tulo Logo ap s s o apresentados detalhes a respeito da montagem de matrizes de rigidez vetor de cargas matriz de rela o tens es e esfor os por deslocamentos e matriz de tens es iniciais para cada um dos sete tipos basicos de elementos disponiveis Por fim s o apresentadas as referencias bibliogr ficas dos assuntos estud
246. o nas demais rotinas 36 3 MONTAGEM DE MATRIZES E VETORES DOS ELEMENTOS 2 5 1 Consideracoes Gerais Cada tipo de elemento disponivel para uso no programa LS tem obviamente seu pr prio conjunto de c digo Portanto seus recursos e potencialidades sao muitas vezes bastante diferentes existindo entretanto determinadas caracteristicas gerais que podem ser encontradas em todos esses tipos Neste item ser o estudadas exatamente essas caracteristicas comuns deixando se as particulares para os dois pr ximos capitulos Mais especificamente o interesse deste item estar concentrado em quais s o e como ser o utilizados os vetores e as matrizes montados para todos os tipos de elementos n o interessando no momento as particularidades dessa montagem Antes de se passar a essas descri es e importante mencionar que o n mero de graus de liberdade total de um elemento sera representado por NGL e o numero de tens es e ou esfor os a serem calculados por NTE 2 5 2 Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas Em primeiro lugar tratando se de um programa baseado no processo dos deslocamentos e fundamental que ao final das rotinas relativas aos elementos tenham sido calculados a matriz de rigidez e o vetor de cargas nodais consistentes Esses dois conjuntos de dados ser o utilizados na montagem do sistema global de equa es No programa LS para qualquer elemento a matriz de rigidez ser chamada RE e o vetor de cargas nodais de PE
247. o pelo sistema de referencia global da estrutura conforme mostra se na figura 3 1 Genericamente falando tem tres graus de liberdade por no Esses graus de liberdade s o as tr s transla es de um ponto no espa o pois o elemento apenas transmite for a normal entre seus n s de extremidade O material a ser definido para os elementos necessita das seguintes caracteristicas E modulo de elasticidade longitudinal coeficiente de dilata o termica opcional y peso especifico opcional Quanto as propriedades das se es apenas deve ser fornecido o valor de A rea da se o tranversal Em termos de carregamento nos elementos e permitida a defini o de peso proprio segundo os tr s eixos globais e uma varia o constante de temperatura AT ao longo do comprimento Resta destacar que sua utiliza o principal da se exatamente nas estruturas chamadas de treli as Alem disso apenas algumas modelagens especiais como por exemplo blocos de concreto analisados sob o aspecto de estruturas compostas de bielas de concreto comprimidas e tirantes de a o tracionados Podem tambem ser utilizados para modelar tirantes em geral quando essas pe as aparecem em outras estruturas 161 3 3 3 Coordenadas Locais e Globais O elemento trelica em termos de sistema de refer ncia local possui apenas um eixo x Orientado de seu n inicial para o no final Ja as coordenadas onde se desenvolvem os par metros de for
248. o seu plano Tamb m aqui tanto a forma dos pavimentos quanto a pr pria funda o foram projetados por profissionais das respectivas especialidades A taxa de trabalho para o solo foi adotada como sendo de 550 KN m O m dulo de elasticidade e coeficiente de Poisson foram estimados em 50 009 KN m e 0 35 respectivamente Para o concreto a resistencia caracteristica compressao adotada foi de 21 MPa e m dulo de elasticidade para a es instantaneas 2 7x10 KN M A forma do pavimento tipo do edificio analisado neste item representa o que se pode chamar de uma estrutura bem Dd comportada quanto a a ao do vento Trata se diferentemente do caso anterior de uma estrutura z f E N convencional absolutamente tipica para uma edificacao nessas condi es As normais e momentos obtidos para os pilares neste caso devem ser significativamente menores que as obtidas para O exemplo anterior Pode se supor portanto que este n o e um exemplo onde a intera o com a funda o tenha especial import ncia De modo semelhante ao caso anterior O p rtico z a tridimensional tambem foi calculado para tres situa es 371 20 x 150 P20 STA fig 4 30 Forma do pavimento tipo do Ed Arte 5 372 20 x 90 20 x70 distintas de funda o Inicialmente adotou se a funda o completamente r gida Depois foram definidas as sapatas e adotados solos com caracteristicas E 100 000 KN m ek 10 200 KN m Nos doi
249. o sistema estar resolvido com todas as incognitas calculadas 2 7 4 2 Implementacao Considerando Matriz em Blocos Evidentemente tambem aqui todo o procedimento deve feito levando se em conta que apenas uma parte da matriz de rigidez e do vetor de cargas estar o carregados em mem ria central Mais especificamente dois blocos da matriz e dois blocos do vetor ser o carregados simultaneamente Cada conjunto de blocos ser lido do arquivo ARQ4 atraves de duas variaveis unidimensionais Na primeira vari vel A ficam os primeiros blocos da matriz e do vetor chamados de blocos b sicos e na segunda vari vel B Os segundos blocos Assim sendo em cada variavel A ou B as primeiras posi es s o ocupadas pela matriz de rigidez e as ltimas pelo vetor de cargas Esse armazenamento e diferente do esquema adotado pela rotina SOMONT que apenas gravou os blocos de modo a serem assim acessados na presente rotina 89 fig 2 15 Sistema n x n simetrico com c vetores fid 2 16 Altera es na triangulariza o da linha 1 90 2 7 4 3 Etapa de Triangularizacao Na verdade o programa triangulariza um bloco de cada vez O segundo bloco armazenado em mem ria central apenas recebe as modifica es decorrentes da triangulariza o do primeiro Esse processo pode ser melhor entendido quando observa se pela figura 2 16 a por o dos elementos que necessitam ser operados quando da triangulariza o da linha I
250. ociados aos n s do elemento resultando ent o i 3 k 0 3 103 t w det J h ij ij wid m Com essas altera es o vetor PE pode ser montado de modo identico ao apresentado para o elemento anterior 3 7 8 Matriz da Rela o Tens o Y Deslocamento A matriz que relaciona as tens es num ponto do 231 elemento com os deslocamentos e montada com as mesmas M i expressoes utilizadas para O elemento anterior 3 7 9 Vetor de Tens es Iniciais O vetor de tens es iniciais tamb m montado com as tu x e mesmas expressoes utilizadas para o elemento tipo 4 Apenas deve se ressaltar que o vetor de deforma es iniciais a ser utilizado e o fornecido pela expressao 3 1 1 3 7 10 Modos Imcompativeis Todo o equacionamento e altera es devidas inclus o f n La fe ti dos modos imcompativeis tambem s o identicos aos desenvolvidos para O caso anterior 3 7 11 Elementos Triangulares As condi es para a utiliza o de elementos definidos por apenas tr s pontos nodais a mesma do elemento tipo 4 Basta fornecer como dado para os n s Ket do elemento o mesmo ponto nodal da estrutura 232 X2 r PF y fig 3 36 Coordenadas nos sistemas local e global oat 1 7 p gt fig 3 37 Tubo de parede grossa submetido a press o interna fig 3 38 Discretiza es 1 e 2 233 2 7 18 Desempenho 3 7 12 1 Converg ncia dos Resultados Para o elemento tipo 5 poder
251. ogcher R D Sturman G M STRUDL A Computer System for Structural Design J Structural Div Proc ASCE3 vol 923 1970 1 19 ICES System General Description Report R67 94 Massachusetts Inst of Technology 1967 24 1 20 ICES STRUDL II Engeneering User s Manual Vol 1 Frame Analysis Report R68 91 Massachusetts Inst of Technology 1968 1 21 ICES STRUDL II Engeneering User s Manual Vol 2 Additional Design and Analysis Facilities Report R70 71 Massachusetts Inst of Technology 1970 1 221 ICES STRUDL II Engeneering User s Manual Vol 3 Reinforced Concrete Structure Report R70 353 Massachusetts Inst of Technology 1970 1 23 ADINA ADINAT e ADINA PLOT 3 User s Manual ADINA Engineering AB Vasteras Suecia 1 24 Proceedings of the ADINA Conference Report AVL 82448 6 Massachusetts Inst of Technology 1977 11 25 Proceedings of the ADINA Conference Report AVL 82448 9 Massachusetts Inst of Technology 1977 1 26 Proceedings of the ADINA Conference J Computers and Structures Vol 13 1981 1 271 Bathe K J Finite Element Procedures in Engineering Analysis Prentice Hall Inc 1981 1 28 Ferrante A J Linguagem LEBRE I A para Analise de Estruturas Manual do Usuario Publ COPPE UFRJ Rio de Janeiro 1981 1 29 Ferrante A J de Carvalho J A P Linguagem LEBRE I A para Analise de Estruturas Manual do Sistema Publ COPPE UFRJ Rio de Jan
252. ograma fonte Ja os dados n o s o instru es a Serem executadas mas simplesmente posi es da memoria utilizadas pelo programa para armazenamento de variaveis Genericamente falando todos os 32 4 is d processadores fazem distincoes entre as areas de codigo e dados Especificamente no caso do processador 8086 e sua gt 2 familia e necessario que estes conjuntos estejam alocados em segmentos diferentes Assim sendo num programa compilado pelo FORTRAN 4 01 codigo e dados s o armazenados em areas separadas da mem ria do computador e alem disso existem algumas outras caracter sticas proprias do compilador em quest o Para o codigo qualquer que seja o modelo de mem ria a ser utilizado cada modulo nao pode ultrapassar o limite de um segmento Isso significa que os m dulos nao poder o ter mais de 64 Kbytes e ser o armazenados em seus pr prios segmentos isto e nao existem modulos que come am a ser armazenados em um determinado segmento e terminam em outro Desse modo o compilador pode gerar endere os de 16 ou 32 bits dependendo do fato do m dulo em quest o estar sendo alocado dentro ou fora do segmento default Quando se tem apenas um segmento de c digo obviamente a situa o fica simplificada pois somente existira codigo alocado no segmento default e todos os endere os gerados ser o de 16 bits Para as chamadas de sub rotinas e fun es o compilador gera normalmente endere os
253. oi mencionado o algoritmo inicia renumera es para todos os n s da estrutura Essas renumera es seguem o procedimento b sico j mencionado para o caso anterior Adotado o n de partida os novos n meros s o colocados em sequ ncia para as conex es do n que se considera Entretanto ao contr rio da estrat gia Cuthill Mckee n o existe uma hierarquia entre as conex es do n sendo a numerac o realizada pela ordem em que elas aparecem na matriz MC mostrada no item 2 6 2 Tomando se O exemplo mencionado para o n n mero 1 o esquema de renumeracao seria completado obtendo se o resultado mostrado na figura 2 12 a A m xima diferen a entre n mero de n s obtida para esse esquema seria DIF 5 Para o n 2 O esquema seria abandonado na situacao mostrada pela figura 2 12 b ao ser obtida tambem uma diferenca de 5 Ja para o no 3 O esquema chegaria ao final da renumera o obtendo se DIF 4 conforme mostra se em 2 12 c A partir dai todos os esquemas seriam abandonados antes de serem completados pois as diferen as obtidas igualam ou ultrapassam o valor 4 Para um perfeito entendimento da quest o os esquema parcialmente gerados 74 DAMAS HAS ARO AA OS Y NS ANANDA XX OS DO INS ASS ANS NOS BOS NS g Semente 7 para os nos 4 3 6 7 8 e 9 tambem encontram se na figura 2 12 letras d e f g h e i respectivamente 2 6 4 3 Ponto Negativo da Estrategia Um panto negativo da presente estra
254. ois os m dulos da parte elastica ocupam arquivos de mais de 1 Mbyte Al m disso o SAPBO e SAP9 sao compostos por m dulos independentes chamadas por uma macro instru o tendo portanto a necessidade de um volume maior de acessos a disco r gido para grava o e leitura de arquivos tempor rios Mesmo para as estruturas medias o programa LS leva vantagem em velocidade de analise Aproxima se dele o programa SAP90 ficando os demais com tempos muito i superiores em media de 2 a 3 vezes maior 2 11 8 Conclusoes Gerais Todas os objetivos colocados no item 1 4 do trabalho foram alcan ados O programa apresenta uma boa capacidade de analise Uma boa acuidade de resultados tem 8 tipos de elementos a serem utilizados nas modelagens e ainda apresenta tempos de processamentos relativamente pequenos Obviamente que um programa t o complexo precisa ser constantemente atualizado Desse modo os bons par metros obtidos podem estar completamente obsoletos a medio prazo se um grande esfor o de novos desenvolvimentos n o for implementado Desse modo como fecho para este cap tulo podem ser destacados alguns tens que devem receber maior prioridade para esses desenvolvimentos pretendidos O primeiro t pico a Ser repensado e a montagem e solu o do sistema de equa es globais Pensa se poder reduzir os tempos de processamento atualmente obtidos com 147 mudan as nesse algoritmo Outro ponto que deve merecer aten
255. olvidos para microcomputadores tem como caracter stica poucos tipos de elementos sendo no m ximo um para para cada modelagem espec fica Essa situa o contrasta vivamente com os programas elaborados para os grandes computadores que oferecem diversos tipos para uma mesma aplica o Por exemplo pode se citar o programa ASKA que possui um total de 54 tipos de elementos e apresenta 14 diferentes tipos de elementos tridimensionais Alem da quantidade os elementos presentes nos sistemas 17 elaborados para microcomputadores sao em geral mais pobres em termos de funcao aproximadora Quanto aos motivos que levam a essas diferencas eles n o s o t o evidentes quanto pode se imaginar a primeira vista As diferen as de hardware n o Servem como justificativa pois os grandes computadores da decada de 70 nao tinham recursos muito maiores que os microcomputadores de hoje Parece que na verdade uma menor quantidade de tipos de elementos seja decorrente de uma necessaria simplifica o no uso dos programas muito dificil que o usuario possa ser beneficiado com um leque t o amplo de possibilidades de utiliza o exceto se for um verdadeiro especialista em elementos finitos Como j se mencionou a grande vantagem dos microcomputadores foi exatamente a de permitir que uma quantidade muito maior de pessoas tivesse acesso a bons programas de an lise de estruturas Entretanto necess rio que os programas nao sejam de uso t o c
256. omplexo Quanto ao fato das fun es aproximadoras serem em geral mais pobres trata se de uma adapta o do processo de an lise Desde que se tenha uma boa gera o para os dados da geometria prefer vel a utiliza o de redes mais refinadas e elementos mais simples Tanto para a pr pria modelagem das estruturas quanto para a utiliza o dos resultados obtidos as redes mais refinadas apresentam vantagens significativas Caso classico dessas vantagens e a correta coloca o de cargas n o uniformes atuantes sobre as estruturas Alem disso a obten o de resultados em grande n mero de pontos facilita o trabalho dos pos processadores que no caso disso nao ocorrer necessitariam de interpolacoes complexas para bem executar seus objetivos 18 1 4 OBJETIVOS GERAIS DO TRABALHO Md O principal objetivo deste trabalho e montar um sistema computacional em elementos finitos para realizar analises de estruturas em regime elastico linear com a utiliza o de microcomputadores de 16 bits Esse sistema o A N E deve permitir inclusive a consideracao da interacao com a funda o atraves de um elemento desenvolvido com base no Metodo dos Elementos de Contorno A seguir s o descritos os principais itens que comp em as especifica es do programa a O programa deve possibilitar a an lise de grandes estruturas no minimo 30 000 graus de liberdade mesmo para microcomputadores com apenas 640 Kbytes de memoria c
257. onsidera o de diafragmas rigidos etc que devem produzir um universo de an lise bastante significativo Nessa tabela s o apresentados o n mero de n s do problema N s a m xima diferen a entre nos 77 conectados antes da atuacao do minimizador Dif Orig e para os tres processos testados a diferenca consequida Dif e o tempo de execucao em minutos e segundos Tempo TA 1 m n Ss eS 5 rH se i a apt pe Orig Dif Tempo Dif Tempo Dif Tempo Se o se a o ee om wey a a ci mm o o Nt tw NNNM 1 40 37 33 92 03 36 00 01 33 00 01 2 44 41 37 00 03 40 00 01 37 00 01 3 34 15 11 00 01 14 00 01 11 00 01 4 42 39 31 00 01 32 00 01 30 00 01 5 90 87 82 00 24 86 00 06 82 00 07 6 56 53 48 00 07 52 00 02 48 00 02 7 379 116 20 00 24 21 00 17 20 00 16 8 379 365 24 00 29 24 00 20 24 00 20 9 413 384 27 00 37 27 00 26 27 00 26 18 483 440 22 00 38 23 00 26 22 00 25 11 515 438 28 00 57 30 00 45 28 00 44 12 548 507 32 00 58 33 00 43 32 00 44 13 577 391 28 00 53 29 00 39 28 00 39 14 592 501 26 1 35 27 00 41 26 00 42 15 696 524 37 01 56 37 01 16 37 01 16 16 728 622 32 01 29 32 01 02 32 01 02 17 753 658 23 02 07 22 01 17 22 01 20 18 933 720 40 02 48 39 02 11 39 02 08 19 1064 908 44 03 29 44 02 31 44 02 29 20 1115 1103 45 03 45 46 02 43 45 02 40 21 1172 1123 44 03 51 46 02 45 44 02 48 22 1179 652 43 04 46 46 02 48 43 02 35 23 1250 1079 54 05 56 54 04 05 53 04 10 Soma total 811 37 17 840 25 07 807 24 57 tabela 2 8 Resta ressaltar que
258. onta apenas a deforma o por momento fletor nas dire es x 9 x A express o dos referidos parametros e a que se segue E 12 E Iz PIX ctetu G Ac L 3 51 E 12 E I 3 2 G Ac L 175 3 4 4 Liberacao de Deslocamentos e Rotacoes Para a liberacao de deslocamentos e rotacoes junto aos nos de extremidade portanto alterando se os graus de liberdade do elemento e necessario realizar operacoes na matriz de rigidez local e nas cargas prescritas de extremidade Essas operacoes consistem em tornar nulos os elementos da linha e da columna correspondentes coordenada local que se deseja eliminar Considerando se n sempre de t a 12 O numero da coordenada a ser suprimida o roteiro dessas altera es pode ser resumido no seguinte i de 1 ate 12 RAUX i R n i i de 1 ate 12 AUX i R i n RAUX n j de 1 ate 12 R i J R i j AUX i XRAUX j i de 1 at nc paux P n i j de 1 ate 12 P j i P j i AUX j Xpaux onde R matriz de rigidez local 12 x 12 P cargas prescritas nas extremidades 12 x nc em coordenadas locais ne n mero de carregamentos 2 4 8 Matriz de Rigidoz em Coordenadas Globais A matriz de rigidez do elemento em relagao aos eixos de referencia globais calculada em fun o da matriz local 176 e da matriz de transforma o A conforme a equa o 3 17 Em termos de submatrizes pode se escrever ho ra Ao ho r2 Ao ro ra Ao ho r2 Ao e e w v w
259. orcas de superficie nodais de forma semelhante ao vetor X da expressao 4 32 Lind gt Com as aproximacoes definidas pode se passar a ps a a z Und discretizac o da equac o integral 4 27 Essa discretizacao e que resultar no sistema de equa es que resolvido permite o conhecimento dos par metros envolvidos 4 3 4 D scretizacao da Equacao Integral No final do item 4 2 3 chegou se a uma equa o integral que relaciona deslocamentos e forcas de superficie para pontos do contorno de um dado dom nio Essa equa o pode ser simplificada pela considera o de duas circunst ncias particulares Em primeiro lugar pode ser desprezada a parcela referente as for as volum tricas sem importancia para as aplica es a serem aqui desenvolvidas Depois deve se considerar que a parcela que depende de p ser sempre nula para os casos aqui tratados devido s considera es que se faz a seguir Quando a sapata a ser considerada apoiar se sobre q plano livre de tens es solu o de Houssinesq Cerruti 0 x e valor das componentes do tensor P sera zero Este 327 inclusive e o caso mais comumente encontrado na pr tica no qual a sapata ap ia se na cota do terreno escavado desprezando se o efeito de algum possivel reaterro por considerar se que essa provid ncia n o reconstitui o terreno original Caso a cota de apoio da sapata seja considerada realmente dentro do dominio semi infinito solu o de Mindlin
260. ores Exatamente sobre essa lacuna e que se posiciona este trabalho cujos objetivos estao explicitados em um dos itens subsequentes logo ap s a breve revis o feita sobre alguns programas desenvolvidos para mainframes e microcomputadores 1 2 SISTEMAS COMPUTACIONAIS PARA GRANDES COMPUTADORES 1 2 1 Considera es Gerais O principal objetivo deste item e realizar uma breve revis o sobre os mais conhecidos sistemas de analise de estruturas reticuladas desenvolvidos para grandes computadores Para n o se estender em demasia esta revis o deve se limit la a an lise est tica de estruturas em regime elastico linear que o objetivo do programa a ser elaborado nesta pesquisa importante ressaltar que os programas desenvolvidos para grandes computadores podem apresentar estruturas de funcionamento bastante diversas das encontradas nos programas desenvolvidos para microcomputadores Entretanto n o se deseja aqui estabelecer apenas uma comparacao entre essas estruturas mas sim realizar tamb m uma analise dos recursos disponiveis em cada grupo Desse modo espera se poder verificar eventuais diferencas qualitativas entre os Programas desenvolvidos para esses dois tipos de equipamento 1 2 2 O Programa ASKA ASKA Automatic System for Kinematic Analysis um programa baseado no M todo dos Elementos Finitos e comecou a ser desenvolvido pelo Prof Argyris e seus colaboradores na Universidade de Stuttgart Alemanha Imp
261. ores do elemento era feita genericamente para o elemento quadrangular obtendo se o triangular por degenera o Como aqui tem se especificamente o interesse voltado para o triangular e se est num bloco de comandos diferente o CST ser deduzido atraves de uma formula o direta Como refer ncias para esse desenvolvimento podem ser citadas as mesmas publica es j apresentadas para os outros elementos isoparametricos deduzidos J o elemento adotado para a placa conhecido como LCCT 9 Linear Curvature Compatible Triangle de 9 graus de liberdade Como o pr prio nome indica e um elemento perfeitamente conforme de nove par mentros nodais um ud E deslocamento e duas rota es para Cada no Seu 265 xa Xo K K L A J x 1 J Xy I fig 3 55 Sistemas locais de referencia O R a b fig 3 56 Divis o do quadril tero em tri ngulos fig 3 57 Coordenadas triangulares 266 desenvolvimento est baseado na referencia 3 14 Encontra se tambem deduzido em 3 15 onde chamado de HCT 3 0 3 Coordenadas Homogeneas Triangulares Tanto no desenvolvimento do elemento triangular para membranas quanto para placas interessante trabalhar com cosrdenadas homogeneas triangulares Considere se a figura 3 57 onde definido um tri ngulo com os n s numerados em um sentido conveniente Para o ponto P X xL as coordenadas triangulares podem ser definidas como sendo A i hi a 3 135 onde
262. organizado em 4 capitulos Em cada capitulo encarado como uma unidade relativamente aut noma em rela o aos demais encerra se um assunto bem definido e de certo modo estanque Assim espera se que as informa es possam ser apresentadas de forma simples e organizada Todas as equa es que aparecem no trabalho s o numeradas atrav s do s mbolo n m Por sua vez as referencias bibliogr ficas aparecem como n m i Finalmente as figuras s o numeradas por n m Em todos esses casos o numero n e o n mero do capitulo considerado enquanto m indica a ordem de aparecimento da equa o referencia bibliografica ou figura dentro desse cap tulo O primeiro capitulo que contem este item de A su E iv Organizacao do trabalho apresenta uma introducao geral a respeito do tema em estudo Inicialmente tra a se um paralelo entre o desenvolvimento dos computadores e dos metodos num ricos Em seguida s o apresentados alguns sistemas computacionais para analise de estruturas utilizando grandes e microcomputadores Ent o s o apresentados os principais objetivos da pesquisa e a seguir esta organiza o do trabalho Por fim a bibliografia referenciada neste capitulo Ja o capitulo n mero dois cont m todo o corpo basico do programa Ap s uma introdu o onde situa se o modulo de an lise dentro da filosofia geral do sistema apresentado um item com as principais caracteristicas da linguagem escolhida para
263. ortantes informa es para um conhecimento mais aprofundado do ASKA I que trata dos problemas est ticos em regime elastico linear encontram se nas referencias 1 61 1 7 1 8 1 9 e 1 10 Essas informa es est o resumidas nos paragrafos seguintes O ASKA e composto de diversos segmentos que devem estar carregados na memoria durante a execucao Esses segmentos sao divididos em um m dulo gerente e outros m dulos primarios e secundarios que sao carregados para a memoria quando necessario O bloco de dados e dividido em p ginas de comprimento fixo Quando necessario as paginas s o carregadas na mem ria e a partir dai acessadas para a recupera o de informa es O restante da rea de trabalho e utilizada para alocacao dinamica de dados temporarios ea gerencia dessa rea e realizada por subrotinas chamadas de sistema de recupera o de dados Para a solu o de grandes estruturas a matriz de rigidez do sistema dividida em blocos que s o carregados na mem ria apenas no momento de serem trabalhados Um recurso interessante a possibilidade do usuario optar pela an lise utilizando se reais de simples ou dupla precis o Assim pode se obter economia de mem ria e tempo de processamento quando os reais de simples precis o puderem ser utilizados O programa ASKA coloca a disposi o do usu rio um total de 54 elementos diferentes Elementos de treli a 2 elementos de membrana 8 elementos de placa
264. os 1 44 gres ox t ques o P 2 amp 5 2 Lear puto Base xta quer e Lace ax 0 xa n Lass ox CH ias x ques xt pues Dx CO x gar yx it iier ox 2a quer Ox CD gor pa o 1 3 54 199 3 6 4 Matriz da Relacao Def ormacoes Y Deslocamentos Muito importante para o desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento a matriz que relaciona deforma es com deslocamentos ou seja 3 55 em Y ew ec Os componentes do vetor deformacoes do elementos em fun o do sistema de referencia local podem ser escritas como e du 1 Qx1 _ v 2 3 56 du v Qu x2 Ox 4 Assim sendo considerando se as fun es de interpola o adotadas tem se para a matriz B ahs ah2 aha aha 0x1 a Ox a e 0x1 o Qx1 p gt ana aha ehe n E a axa d axa x ax4 axa urs 97 h d his ahz ahz ha ha Bhai ha Ox 1 x1 xa xa Ox 1 Qx1 x1 dOxa As derivadas que aparecem na express o 3 57 podem ser calculadas aos pares para os pontos ry e Ej Suas express es serao ans LAW axa a wt J 7s ana 4 dj eee ax2 i 208 aha i s x1 1 3 1 j ha 24 AAJ 1 xa 1 ri vee 3 589 aha ES 5 axa aga j 5j aha 4 ij ax 2 Lori aha axa agaa pte ane T ij pil 1 r x2 i 3 6 5 Matriz de Constantes El sticas Considere se a rela o entre as tens es e as deforma es g Ce ca 3 59 A matriz C e formada por constan
265. os tempos gastos nessas analises Por exemplo o c lculo de um sistema de equa es lineares de poucas inc gnitas que podia consumir horas de trabalho para sua solu o passou a ser feito em poucos minutos OL mesmo segundos Entao como consequencia dessa agilidade nos c lculos puderam ser desenvolvidos ou simplesmente aproveitados processos que ate essa data tinham sido invi veis devido ao trabalho num rico envolvido Dentro desses processos destaca se o Metodo dos Elementos Finitos Esse metodo de analise cuja origem hist rica normalmente aceita e o trabalho de um matem tico 1 1 consiste em se dividir o dominio a ser considerado em um n mero finito de subdom nios elementos adotando se para esses subdominios fun es aproximadoras Isso faz com que O comportamento do dominio analisado possa ser descrito atraves de um sistema de equa es lineares que resolvido produz como resultado os parametros desejados ponto por ponto elemento por elemento Obviamente as analises de estruturas correntes requerem a solucao de sistemas de equa es lineares com centenas ou milhares de inc gnitas n o sendo possivel sua utiliza o sem O Concurso de ferramentas computacionais Entretanto assim que essas ferramentas foram colocadas a disposi o dos pesquisadores OS trabalhos fluiram em ritmo relativamente intenso principalmente pela necessidade de um maior apuro no calculo das estruturas de avi es 1 21 1 3 1 4
266. ou quadrangular O eixo local i est colocado sobre o lado IJ de I para J J O eixo x e normal a x Conforme mostra se na figura 3 13 O elemento permite apenas a considera o de material isotr pico e os par metros a serem fornecidos s o peso espec fico do material opcional modulo de elasticidade longitudinal coeficiente de Poisson m dulo de elasticidade transversal opcional 2 0v ms it coeficiente de dilatacao termica opcional Convem ressaltar que nao sendo fornecido valor para G E E modulo de elasticidade transversal o programa realizar o calculo autom tico de acordo com a express o da teoria da elasticidade T res RE 22 3 48 2t1 v 193 Entretanto caso seu valor seja diferente de zero ele sera considerado como fornecido n o sendo mais admitida a relac o 3 48 Quanto a detalhes especiais de modelagem e interessante mencionar que o elemento permite a inclusao de quatro modos incompativeis de deslocamentos Esses modos incompativeis s o verdadeiros graus de liberdade adicionais que melhoram sensivelmente a converg ncia dos resultados para a modelagem de estruturas submetidas a momentos fletores Essa inclus o e feita normalmente sendo considerada um procedimento default Caso o usu rio n o a deseje necess rio informar ao programa atrav s de uma vari vel especifica na linha de comando do elemento Por apresentar rigidez apenas no seu pr prio pl
267. p s as dedu es aqui colocadas deve estar perfeitamente claro que se pode atraves da imposi o de deslocamentos para os pontos nodais calcular as for as de superf cie para esses mesmos pontos Esse procedimento permitira o c lculo da rigidez das sapatas pela defini o o que se encontra explicitado no pr ximo item 4 3 5 Calculo da Rigidez das Sapatas Apos a montagem do sistema de equa es 4 41 o objetivo deste trabalho e o de calcular coeficientes que simulem a presen a do solo e possam ser montados na matriz de rigidez global da superestrutura Mais especificamente para o sistema computacional aqui desenvolvido trata se de 331 determinar os referidos par metros de rigidez associados aos seis graus de liberdade de cada no com sapata associada Isso produz uma matriz de ordem N sendo N o n mero de nos da superestrutura ou de sapatas presentes no elemento Inicialmente a rigidez ser determinada sempre em rela o ao centroide da sapata mas de acordo com o sistema global de referencia Portanto a transfer ncia dessas rigidezes para o no da superestrutura envolver apenas as transforma es relativas as transla es entre o centroide e o no Essas tranforma es ser o realizadas em estagio posterior e encontram se detalhadas no pr ximo item Como foi mencionado existem seis graus de liberdade a w serem considerados para cada sapata tres translacoes segundo X X e Xz e tres rota es
268. pedregulhos 82 000 a 200 DUM tabela 4 2 Convem ressaltar que para todos os exemplos onde analisa se apenas a matriz de rigidez obtida os valores adotados foram E 4 QUO KN m e v 0 35 Ja nos outros casos esses valores encontram se explicitados 4 4 2 Integracao Numerica e Tempo de Processamento Em todo o processo descrito anteriormente para a obten o da matriz de rigidez de uma sapata existem dois pontos onde s o utilizadas integra es num ricas para a obten o de resultados O primeiro na montagem da matriz de coeficientes que relaciona deslocamentos e for as de superf cie nos pontos nodais utilizados na discretiza o a chamada matriz G do item 4 3 4 O segundo na integra o dos valores das for as de superf cie para o c lculo dos d N par metros de rigidez ne centroide das sapatas 344 A integra o das for as de superficie nao deve causar preocupa o Isso porque com apenas dois pontos de Gauss por dire o portanto quatro pontos no total a integra o num rica resulta exata j que a fun o a ser integrada de primeiro grau Entretanto nao e isso o que acontece com a primeira integra o mencionada a da matriz de coeficientes do sistema que relaciona deslocamentos e for as de superf cie no contorno Nesse caso a integra o de uma fun ao que depende de 1 r a situa o e muito diferente e torna se necessario um acompanhamento do processo para que se possa chegar ao menor n
269. plicativa abandonar a edi o etc Os menus de op o s o comandados atraves de caracteres comuns letras ou n meros sendo que os menus de controle s o ativados por caracteres de controle ou seja caracteres comuns pressionados simultaneamente com a tecla CTRL ou teclas especiais neste trabalho a tecla CTRL sera substituida pelo s mbolo Assim a press3o simult nea das teclas CRTL e S sera representada pelo simbolo S Isso ocorre pois as fun es dos menus de controle precisam ser ativados enquanto se processa a entrada de dados Portanto a ordem para execu o dessas fun es necessita de uma diferencia o em rela o aos caracteres comuns que vao sendo digitados Para se conseguir esse efeito os dados s o adquiridos n o da tela como parece ao usu rio mas sim diretamente do teclado e s depois de analisados aparecem no v deo As rotinas que possibilitam esses recursos foram montadas com fun es dispon veis no TURBO PASCAL e representam um grande avan o tambem na consist ncia dos dados pois parte dela passa a ser feita simultaneamente com a digita o Assim por exemplo se um determinado menu apresenta 3 op es que devem ser escolhidas atraves dos caracteres A B ou C apenas essas teclas poderao ser digitadas Qualquer outra que seja pressionada provocar a emiss o de um sinal sonoro de alerta e o cursor continuar solicitando a digita o de um caracter permitido ou seja A B ou C 2 10 6
270. procedimento tamb m conhecido como altura efetiva das colunas costuma ser mais eficiente que aqueles que a H ev consideram a banda constante principalmente quando nao se 18 utiliza um renumerador de nos da estrutura antes da montagem da matriz Outro ponto interessante do ADINA sua biblioteca de elementos muito completa Estao disponiveis elementos de trelica cabo barra com dois nos e isoparametrico elementos bidimensionais para estados planos de tens o e Dd r 5 P deformacao elementos tridimensionais placa casca e ainda H e isoparametrico para cascas permitindo que o usuario possa analisar de forma eficiente um variado conjunto de estruturas O programa permite ainda e tamb m com grande efici ncia o uso do recurso da sub estruturac o Pode se definir um conjunto repeti lo v rias vezes e compo lo com outras Subestruturas definidas criando a estrutura total a ser analisada 1 27 O Programa LEBRE O programa LEBRE Linguagem Educacional BRasileira para Engenharia iniciou se a partir de uma id ia muito interessante desenvolver um sistema para an lise de estruturas com enfase em aspectos educacionais Da primeira fase do projeto que iniciou se em 1978 participaram pesquisadores da UFPR da COPPE UFRI e do CPGEC UFRGS coordenados pelo Prof Agustin J Ferrante As informacdes aqui resumidas encontram se cam maiores detalhes apresentadas nas refer ncias 1 28 e 1 29 O L
271. programa seja realmente eficiente Nesse particular acredita se que grande parte da capacidade e desempenho do programa LS que podem ser considerados excelentes em compara o com os programas similares existentes no mercado devem se ao esquema de utiliza o das vari veis Esse esquema baseia se na defini o de quatro reas de COMMON onde a quase totalidade das variaveis envolvidas no processamento est o armazenadas Essas areas Fotuladas com nomes de tres caracteres PRC PEL PEI e CTL est o definidas com maiores detalhes nos sub itens a seguir 98 2 8 2 2 rea com r tulo PRO Este COMMON e uma grande rea de 400 008 bytes no total onde tres variaveis diferentes est o alocadas umas sobre as outras atraves de uma declara o posterior de EQUIVALENCE As variaveis s o as seguintes um vetor AA de 50 001 elementos reais de oito bytes um vetor A de 100 002 reais de quatro bytes um vetor IA de 100 002 inteiros de quatro bytes Nessa grande rea estar o alocadas cada uma a seu pr prio tempo a maioria das grandes matrizes e dos grandes vetores utilizados durante o processamento De modo especial nessa area encontram se todas as variaveis que dizem respeito a dados de carater global da estrutura Por exemplo pode se citar coordenadas e restri es nodais par metros dos elementos blocos da matriz de rigidez global deslocamentos nodais e mais um grande n mero de variaveis auxiliares ao ca
272. que permite a utiliza o de varios tipos de elementos isso e um ponto muito negativo Ocorre que os registros precisariam ser dimensionados para os elementos que possuem as maiores matrizes e vetores e muito espa o em disco estaria perdido para os elementos que possuem pequenas matrizes e vetores A nica solu o que poderia evitar esse desperd cio seria a defini o de um arquivo para cada grupo de elementos com registro dimensionado especificamente para as matrizes e vetores desse tipo de elemento Por todas as coloca es feitas e que Se optou pela manuten o do arquivo sequencial encarando se como mal menor o acr scimo de acesso a disco assim cbtido Entretanto esse ponto voltara a ser analisado com muito cuidado pois os beneficios de se encontrar um procedimento otimo para essa quest o sao realmente muito grandes Como ltima informa o a respeito da rotina SOMONT menciona se que a grava o dos blocos da matriz de rigidez e do vetor de cargas e feita no arquivo tempor rio ARG4 Inicialmente e gravado o primeiro bloco da matriz de rigidez logo ap s o primeiro bloco dos vetores de carga posteriormente o segundo bloco da matriz de rigidez e por fim o segundo bloco do vetor de cargas Alem disso a 87 N f zs grava ao desses blocos e feita por colunas deixando se O sistema pronto para ser acessado pela rotina de solu o 2 7 4 Solu o do Sistema de Equacoes Globais 2 7 4 1 Considera es Iniciais
273. r que O campo de deslocamentos e portanto o de deforma es dele decorrente sao compat veis e devem satisfazer as condi es de contorno em termos cinematicos 3 2 3 Subdivisao do Dominio A equa o 3 2 e extremamente importante pois w representa uma rela ao entre as grandezas a serem consideradas na solu o da estrutura mencionada Entretanto n o e pela integra o fechada de todo o dom nio que se pretende resolver o problema No caso vai se adotar a divis o desse dom nio em nuu subdominios Esses subdominios chamados elementos finitos estao interligados atrav s de N pontos nodais onde os deslocamentos que ocorrem na estrutura s o comuns Desse modo a equa o 3 2 pode ser escrita como E j zmr n y E n yin M 156 U v S NS E gina LU av 2 Po ag n UM id g oT Ui Fi 00 3 3 I 3 2 4 Montagem das Equa es de Equilibrio Pode se perceber que na equa o 3 3 as integra es a serem realizadas restringem se aos subdom nios definidos Entretanto n o e apenas essa a simplifica o pretendida Os pr prios deslocamentos que ocorrem dentro de cada elemento s o aproximados por fun es polinomiais dependentes de valores nodais sendo que para o elemento n pode se escrever utn Hin T sc 3 4 w e onde um deslocamentos em coordenadas locais do elemento por enquanto vai se supor que o sistema local esta apenas transladado em relacao ao si
274. ral Mechanics Wright Peterson Air Force Base Ohio 1968 390 CAP TULO 4 Elemento Sapata R gida 4 1 INTRODU O O objetivo deste cap tulo e fornecer detalhes a respeito da formula o do elemento tipo 8 mencionado no cap tulo anterior com a denomina o de elemento sapata Inicialmente e apresentado um breve resumo do Metodo dos Elementos de Contorno que serve de base ao desenvolvimento do elemento mencionado Esse resumo a d inicia se com as equa es governantes da teoria da elasticidade para meios homog neos e seu tratamento para a formula o da equa o de Navier A seguir s o apresentadas algumas solu es fundamentais para casos de dom nios tridimensionais Finalmente s o deduzidas equa es integrais para pontos do contorno e do interior do dom nio Quanto a formula o do elemento propriamente dito inicialmente s o discutidos alguns detalhes sobre sua defini o como por exemplo forma e fun o aproximadora adotada togo ap s e apresentada a dedu o das matrizes e vetores envolvidos na discretiza o dos dominios considerados Ent o apos o c lculo da matriz de rigidez das sapatas s o estudados alguns ltimos detalhes como transla o e simetriza o desses valores Depois s o discutidos resultados obtidos com o elemento aqui desenvolvido abrangendo aspectos como n mero de pontos de Gauss necessarios as integra es tempos de processamento intera o entre s
275. ras poderiam ser analisadas pelo programa LS treli as planas e chapas com 10 000 nos treli as espaciais porticos planos placas e s lidos com 8 300 nos cascas e p rticos espaciais com 5 550 nos Quanto capacidade de an lise dos outros programas estruturais mencionados apenas o SAPB traz uma indica o de que seu m dulo b sico que permite c lculo de estruturas de barras pode analisar ate 10 000 graus de liberdade Isso corresponderia no caso de estruturas com seis graus de liberdade por no a um limite de 1 667 nas J a SAP90 n o traz indica o de suas limita es e infelizmente n o foi poss vel utilizar o Programa de modo a estabelecer esses valores Quanto ao SUPERSAP que tambem n o tornece explicitamente suas limita es foi poss vel atrav s de informa es a respeito do andamento do processamento verificar que seu limite deve ser da ordem de 4 400 n s o que leva a um maximo te rico de 26 400 graus de liberdade Num resumo esses valores estao organizados na tabela 2 9 La verifica se que O programa LS apesar de permitir 10 000 n s n o possibilita os 60 000 graus de liberdade teoricamente poss veis TIINAN ER A A a e ii a a e a e a e q a e e o a ss e e re e e e e o ma oe Limites SaPau SAP90 SUPERSAP LS Nos X 1 667 4 400 10 000 G Lib 10 000 xx 26 400 33 330 tabela 2 9 obs calculado a partir de G Lib Pode ser maior xk calculado a partir de Nas Pode ser menor 140
276. rencia Esses deslocamentos e rota es sao ent o transformados em deslocamentos para os n s que discretizam as sapatas encontrando se como resposta as for as de superf cie nesses mesmos n s A integra o dessas for as de superficie produz como resultado uma matriz de coeficientes elasticos para cada um dos centr ides d A matrizes de coeficientes encontradas no item anterior s o ent o transportadas para os pontos nodais da superestrutura ligados a cada sapata Depois as matrizes s o simetrizadas e montadas nas devidas posi es do sistema de equa es globais da superestrutura como e feito com todos os outros tipos de elementos Ent o a estrutura e calculada de forma convencional apenas ressal tando se que nos resultados obtidos se encontra automaticamente considerada a intera o com o solo da maneira mencionada Exatamente essas etapas e que estar o descritas com detalhes nos pr ximos itens deste capitulo 321 4 3 2 Forma e Funcao Aproximadora Pode se considerar que duas especifica es sao fundamentais para a defini o deste elemento A primeira e sua forma e a segunda a fun o aproximadora a ser utilizada Quanto a primeira considerando se que a entrada de dados de maneira simples e objetiva uma caracter stica fundamental e que a grande maioria das sapatas usualmente utilizadas s o retangulares foi essa exatamente a forma adotada Assim para uma defini o completa da geometria do elem
277. res do sistema ou seja para os programas auxiliares que permitem geracao de redes de forma autom tica e desenho das deforma es tens es e esfor os na estrutura em especial para o programa aqui exposto a linguagem utilizada e o TURBO PASCAL 5 0 desenvolvido pela Borland Inc Essa linguagem muito utilizada nos meios Cientificos possui recursos de grande valia para o tratamento de telas Isso e fundamental para o desenvolvimento de um programa realmente eficiente que necessite trabalhar com os recursos graficos do microcomputador Alem disso a linguagem dispoe de recursos de alocagao dinamica de variaveis tratamento de areas de dados em enderecamento absoluto estrutura o recursiva de rotinas e outros pontos que realmente permitem a constru o de programas de grande desempenho Interessante ressaltar que as principais fontes de consulta a respeito da linguagem mencionada encontram se apresentadas como referencias 2 20 e 2 21 2 10 3 Filosofia Geral do Programa Este programa pre processador ao final de sua execu o cria o arquivo formatado a ser acessado pelo m dulo de an lise LS Essa filosofia de trabalho tem produzido timos resultados pois praticamente atende a todos os tipos de usuario do programa Para os iniciantes ele praticamente dispensa a tnd utilizacao de manuais complicados que muitas vezes desestimulam fortemente uma dtilizacio mais frequente do programa Esse desest mul
278. rior 2 4 4 Exemplo Para um perfeito entendimento sobre a entrada das restri es nodais e posteriormente das modifica es introduzidas pelo programa vai se tomar como base a estrutura mostrada na figura 2 5 Trata se de um p rtico com geometria e carregamento contidos no plano XXa Alem disso os nos ligados por elementos barra horizontais devem iv apresentar o mesmo deslocamento na direcao Xi para simular 55 a existencia de um diafragma rigido Nesse caso as restri es nodais seriam as seguintes en sr dio qua ato o A AO o VA eo qais HMM SP UH Mae MAS rem ree PU MAD ad Mim cu e HUP Mae MAR A Qua Qdo VM TEM A o AS Se PT ATO O UEM o A Um VAT A E Shh a a we we Us m N IR N 1 IR N 2 IR N 3 IR N 4 IR N 5 IR N 6 1 1 1 1 i 1 a 2 1 1 1 1 1 a 3 a a 1 1 1 o 4 3 o 1 1 1 a 5 o a 1 1 1 a 6 5 a 1 1 1 a 7 a a 1 1 1 e 8 7 1 1 1 tabela 2 2 Apos as modifica es introduzidas pelo programa na propria rotina PRCNOD a matriz IR resultar dme mem nom nie vem casa casa cosa anin anin tum anca diii At ath anan anin amam amam amam AN reer a o re a POT PU SO A a Ge a rr o O tt O te Gi ee rr rr a AA A Win iid mente o nee en ope oe wee N IR N 1 IR N 2 IR N 3 IR N 4 IR N 5 IR N 6 i o o o o o 1 2 o o 0 2 3 3 4 o o 0 5 4 3 6 a o 0 7 5 8 9 2 o a 10 6 8 11 o 2 12 7 13 14 o o 15 8 13 16 o o 17 tabela 2 3 Portanto todos os 17 graus ativos tem suas equa es conhecidas e anotadas para us
279. rograma Isso porque as rotinas que constitu rem esse novo elemento ou qualquer outro desenvolvimento a ser implementado ir o formar um novo bloco de overlay aumentando o total do c digo mas nao a L4 La area necessaria ao carregamento do programa na mem ria 3 4 Fluxo do Processamento Neste item a inten o e apresentar a maneira geral 49 como O programa organiza as suas diversas etapas de processamento para uma estrutura O esquema abaixo reproduz esse caminho de forma simplificada In cio i Etapa 1 Entrada das caracteristicas nodais Etapa 2 Montagem de matrizes e vetores p os elementos Etapa 3 Minimizacao da semi banda da matriz global Etapa 4 Montagem do sistema de equa es globais Etapa 5 Solu o do sistema de equa es globais Etapa 6 L e Calculo das tensoes e esforcos nos elementos Assim em termos dos blocos definidos no item 2 3 2 e de acordo com o esquema de overlay do item 2 5 5 tem se as seguintes configura es de codigo na memoria central no 50 decorrer das diversas etapas Etapa somente bloco PR Etapa 2 bloco PR mais um dos sete blocos correspondentes a um tipo de elemento TR BR CT PL SL PC ou FU Etapa 3 bloco PR mais bloco MB Etapa 4 bloco PR mais bloco SO Etapa 5 bloco PR mais bloco SO Etapa 6 bloco PR mais bloco S0 Ent o pode se observar que realmente todos os blocos utilizados s o carregados na mem ria ce
280. rquivo de formato binario e acesso sequencial Sua utiliza o a seguinte etapa 1 gravado com a matriz que relaciona o n mero das equa es com os graus de liberdade IR 109 etapa 2 inativo etapa 3 se a minimizacao de banda esta ativada a matriz IR e lida e regravada com as altera es devidas Caso 4 contrario permanece inativo etapa 4 e lido para obten o da matriz IR a ser utilizada na montagem do sistema de equa es globais etapa 5 e lido para obten o ca matriz IR a ser utilizada na impressao dos deslocamentos nodais etapa 6 inativo 2 9 3 Arquivos Acessados Pelos P s Processadores 2 9 3 1 Considera es Gerais Existem 3 arquivos montados pelo programa LS para posterior utiliza o pelos pOs processadores Todos eles possuem como prefixo o nome definido para o arquivo de dados da estrutura aqui representado pela palavra PREFIX Ja o sufixo determinado de acordo com o tipo de sa da que eles contem Os pr ximos itens fornecem informa es mais detalhadas a respeito das caracter sticas e conte dos desses arquivos ressaltando se apenas que I4 R4 e RS serao s mbolos usados para indicar inteiros de 4 bytes reais de 4 bytes e reais de 8 bytes respectivamente 110 2 9 3 2 Arquivo PREFIX SG O arquivo de sufixo SG guarda as informa es relativas a geometria da estrutura um arquivo n o formatado de acesso direto com tamanho de cada registro fi
281. rt ncia deve se ao fato de que a gera o de grandes estruturas n o pode estar condicionada por detalhes como a numera o de n s de forma conveniente obten o de uma banda relativamente pequena Pelo contr rio a numera o tem que atender as conveni ncias do usu rio n o as do programa de analise Entretanto uma banda relativamente grande para a matriz de rigidez de uma estrutura tem como consequ ncia um Significativo aumento do tempo de resolu o do sistema de equa es o tempo de solu o de um sistema de equa es proporcional ao quadrado da banda observada Por sua vez esse tempo de solu o e o maior entre aqueles devidos todas as etapas de processamento de uma grande estrutura Desse modo necess rio que a matriz de rigidez da estrutura apresente uma banda pequena sem que o usu rio seja o respons vel por essa providencia interessante ressaltar que mesmo que o armazenamento da matriz de rigidez da estrutura seja em perfil por exemplo altura efetiva de coluna o que leva a uma banda variavel o minimizador continua tendo uma fun o fundamental Isso porque se n o houver um controle da numera o dos n s tambem esses esquemas de armazenamento estar o inviabilizados Deve se lembrar que procurar a obten o da banda minima ou otimizar o perfil a ser obtido para a matriz armazenada com banda variavel s o procedimentos normalmente equivalentes necessario que fique muito claro que quando
282. s 4 14 atraves da consideracao de M pontos Desse modo pode se escrever E La H LE v E a M TC l IJI E fo u pl pl 4 40 1 DE e o jacobiano da transformacao de coordenadas de dr para drds 4 15 Esse valor no caso da sapata retangular e igual a C 4 e o fator de peso fornecido pelo processo de integracao de Gauss No caso o ponto m tem sua N r r posi ao definida de acordo com o numero de pontos a serem considerados para a integra o Aplicando se a equa o 4 40 a todos os pontos nodais de um elemento obt m se um sistema de equa es lineares que resolvido fornece os valores das for as de superf cie para os pontos onde os deslocamentos s o conhecidos Para maior clareza pode se expressar esse sistema em termos matriciais da maneira que se segue re pa M Sii 812 Sis RIDE Gin T 2 2 H Boi cog Ta o Ba E 3 3 4 41 X Ge 632 Ges em E S En n A Eo ae P Gal Gaz Ens Gan A 350 i E A Os vetores U contem os deslocamentos do no i segundo as tres dire es coordenadas ou seja 1 i u iu 4 42 M 2 sea 1 3 i w i Os vetores P sao semelhantes a U so que contendo as for as de superficie do n i J Biy e uma matriz de ordem tres que pode ser escrita como M e pl lo u e vA pee m im 1 U e a matriz de ordem tres que cont m a solu o fundamental calculada do n i ao ponto de Gauss m A
283. s a partir da diagonal principal depende do interrelacionamento entre os graus de liberdade da estrutura Tome se como exemplo uma estrutura com n graus de liberdade cuja matriz de rigidez R encontra se estilizada na figura 2 8 Vai se admitir que existe um relacionamento entre os graus de liberdade i e 3 sendo j gt i Isso trar como consequ ncia um valor diferente de zero a direita da diagonal principal na posi o Ris Ent o exclusivamente por causa desse relacionamento mencionado a semi banda da matriz de rigidez ser b j i 1 Numa estrutura real onde existam diversos graus de liberdade i e j interrelacionados a semi banda da matriz ser o maior valor b j i 1 Admitindo se que cada n da estrutura tenha gl graus de liberdade e que esses graus sejam numerados na sequ ncia de numera o dos nos entao a semi banda pode ser calculada pela express o b dif 1 k gl Nesse caso dif e a maior das 63 ELEM st O ELEM 0 fig 2 7 Matriz de rigidez quadrada e sim trica NA b j i l fig 2 8 Matriz de rigidez R e semi banda b 64 diferencas entre n meros de nos relacionados ou seja ligados atraves de um elemento qualquer Como ja foi mencionado no primeiro capitulo deste trabalho a minimiza o da semi banda da matriz de rigidez global das estruturas a serem analisadas e considerado um ponto de grande importancia para um bom programa de analise estrutural Essa impo
284. s anteriormente definidas Estrutura 7 p rtico plano 8 n s e 9 elementos barra Estrutura 8 laje 9 n s e 4 elementos placa Desse modo os tempos de processamento de cada estrutura para os programas analisados estar o apresentados na tabela 2 12 Ressalta se que para os programas SAP8 e SAP9 esses tempos foram medidos eliminando se as sa das de tela atrav s de redirecionamento TO RA t s ss doa e q e toa a oo OU ei um tm FEY o m ERS O e em a Ge e a AS ir tm cria GD am sam tam trs e q e o ms EstrutiProg SAP8 SAP90 SUPERSAP LS Estrut 1 0 26 46 0 16 02 0 31 25 0 12 45 Estrut 2 0 11 50 0 09 34 0 12 14 0 05 34 Estrut 3 s ad 1 23 49 0 47 04 Estrut 4 0 40 09 0 20 08 Estrut 5 x 3 05 03 2 15 41 Estrut 6 0 48 15 0 32 45 Estrut 7 0 00 46 0 01 26 0 00 58 0 00 08 Estrut 8 0 01 01 0 01 28 0 01 07 0 00 15 tabela 2 12 Pela comparacao dos tempos de processamento entre os programas pode se notar que para pequenas estruturas o programa LS muito mais rapido que os demais Essa enorme diferen a ocorre provavelmente porque o carregamento e 146 inicializacdes do LS sao mais eficientes Basta notar que todo o programa LS tem de codigo apenas 275 Kbytes Ja m dulo elastico linear do SUPERSAP tem 584 Kbytes e ainda necessita para O processamento de mais um modulo de 135 Kbytes No caso do SAP8BO os modulos executados para a analise el stica linear somam 575 Kbytes Para o SAP9A a situa o e ainda pior p
285. s casos manteve se o valor do coeficiente de Poisson em 0 35 Os principais resultados obtidos para esta an lise encontram se nas tabelas 4 12 a 4 16 onde os t tulos D A dos cabecalhos sao os mesmos do caso anterior ame ana aan vivir um ama ama ama mae emo e um rum rum um Hm as ciue SU A Aulas vum m um amis AM HT um ania amia aa mina aami Mere TUA ee UA mana ARA RA o A O O mane mane mane ps a UU a m m Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 PS 79 1 94 6 228 8 PS 473 3 437 4 285 6 P amp 420 5 451 1 435 0 P7 354 2 337 0 391 3 P11 225 1 234 8 255 6 P13 1 3 7 9 6 3 P14 159 3 89 5 62 3 P15 335 1 303 5 124 8 P19 453 6 435 6 320 2 P20 538 0 462 8 328 3 P21 95 2 150 0 293 1 P22 65 9 85 6 218 3 P27 225 1 234 8 255 6 tabela 4 12 373 So e es e re mm a gi a M M ma ama X A M ey ma M a a a a a A e o A rr ama ama iate tm ama ama ee ama cm eo am AA O nu eee re ama ver mm mm ma mo e e a a O a e a a a o eee o Sd a um a a q a O O nt as cado a a er mm Pilar Fund Rig F Flex E 100000 F Flex E 10000 P3 490 9 358 7 171 2 PS 111 1 131 6 110 7 P6 224 1 304 9 367 0 P7 224 1 293 5 310 1 P11 643 7 455 3 213 3 P13 147 1 204 2 283 9 P14 530 9 409 9 206 9 P15 25 7 386 0 119 2 P19 111 3 120 7 84 8 P20 112 8 141 3 137 7 P21 215 2 243 3 188 3 P22 17 3 28 3 74 4 P27 107 8 138 8 138 1 tabela 4 13 mae mm nt eat mm o aa pe
286. s conclus es desejadas Por fim menciona se que a analise dos resultados e feita apenas 363 2 cal n amp sobre os parametros principais de modo a nao se dispender esforcos com detalhes de menor import ncia 4 4 5 1 Edificio Maison Mouette A o do Vento O edificio aqui considerado tem a forma do pavimento tipo apresentada na figura 4 28 Trata se de uma obra na cidade de S Paulo que possui 1 subsolo 1 pavimento terreo e 21 pavimentos tipos Para a an lise da estrutura sob a a o de cargas horizontais provocadas pelo vento segundo o eixo de simetria montou se um modeio de p rtico tridimensional com 314 n s e 460 elementos barra alem de 9 elementos sapata para simular a funda o Destaca se que os nos de um pavimento est o obrigados a apresentar o mesmo deslocamento no seu plano de modo a simular a existencia da laje atraves de um diafragma rigido interessante ressaltar que tanto a forma dos pavimentos quanto a pr pria funda o foram projetados por profissionais das respectivas especialidades No caso a taxa de trabalho do solo foi adotada como sendo de amp 00 KN m J o m dulo de elasticidade e coeficiente de Poisson foram estimados em 50 209 KN m e 9 35 respectivamente Para o concreto a resistencia caracter stica compress o f foi estimada em 18 MPa e m dulo de elasticidade para ck a es instant neas foi adotado como sendo de 2 7x107 KN m Convem ressaltar que o edif cio ana
287. s e o fato da estrutura ter sua caracteristica de p rtico acentuada reduzindo se a contribui o das paredes Para finalizar deve se destacar que mesmo para o carregamento vertical essa intera o tambem apresenta niveis significativos constituindo se essa conclus o de certo modo numa Surpresa S o essas as principais conclusoes que se pode tirar do assunto desenvolvido devendo se entretanto ressaitar que nem todas as simula es realizadas e exemplos resolvidos foram apresentados Desse conjunto para que a explana o nao se tornasse excessivamente longa foram escolhidos apenas OS casos mais representativos 386 4 6 REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS 4 1 Borisenko A I Tarapov I E Vector and Tensors Analisys Dover Publications Inc New York 1968 4 2 Nakaguma R K Three Dimensional Elastostatics Using the Boundary Element Method Ph D Thesis University of Southampton 1979 4 2 Venturini W S Um Estudo Sobre o Metodo dos Elementos de Contorno e Suas Aplica es em Problemas de Engenharia Tese de Livre Doc ncia EESC USP 1988 4 4 Cruse T 0 Numerical Solutions in Three Dimensional Elastostatics Int J Solids Structures vol 5 1969 4 5 Love A E H Treatise on Mathematical Theory of Plasticity Dover 1944 4 6 Mindlin R D Force at a Point in the Interior of a Semi Infinite Solid Journal of Physics vol 7 1936 4 71 Boussinesg J Applications des Potenc
288. s em Disco Para um programa de grandes dimens es e relativa complexidade e fundamental a defini o de formas corretas de armazenamento de dados em disco pois evidente que nem todos os dados gerados pelo programa podem coexistir na memoria central do computador Assim sendo vari veis aque ser o utilizadas por partes subsequentes do codigo muitas 36 vezes precisam ser armazenadas para essa posterior utiliza o Considerando se que a efici ncia desse armazenamento varia muito em fun o da estrutura definida pode se concluir que a escolha de uma estrutura inconveniente e extremamente danosa a propria efici ncia do programa como um todo O FORTRAN 4 01 possui um total de seis estruturas para a utiliza o de arquivos em disco Quanto ao formato e possivel definir ate tr s situa es distintas para os dados a serem armazenados formatado n o formatado e bin rio No primeiro caso os dados s o gravados em disco em caracteres ASCII atraves de um formato definido pelo usu rio Isso significa que dentro desse arquivo est o dados que podem ser lidos diretamente atraves de um editor de textos qualquer Esse formato so deve ser utilizado em casos onde seja realmente necess rio pois e uma estrutura que requer um tempo de processamento relativamente grande para leitura ou escrita No segundo caso os dados s o armazenados sem formato em n meros hexadecimais Obviamente e uma estrutura adequada a transmiss o de d
289. se fala em renumera o de n s para obten o da banda m nima da matriz de rigidez sup e se que inicialmente as equa es do problema sejam numeradas em sequencia do no 1 ao no n 65 No caso renumerar nos Significa apenas uma maneira de executar um rearranjo nas equa es sem que na verdade a situa o dos n s seja alterada Assim sendo renumerar nos e apenas uma forma pratica de visualizar se o esquema de renumera o das equa es Alguns programas n o tem rotinas para renumera o dos nos mas definem as equa es j considerando a conectividade dos elementos o caso dos programas SAP84u e SAP90 Qs dois procedimentos mencionados em ltima analise s o totalmente equivalentes possuindo um em rela o ao outro pontos vantajosos e desvantajosos que s o bvios O primeiro gera uma numera o inicial para as equa es alterando posteriormente esse esquema se isso for realmente desejavel J o segundo em qualquer hip tese parte para a numera o das equa es visando a otimiza o do armazenamento da matriz de rigidez Existe um grande n mero de procedimentos para a minimiza o da banda de uma matriz de rigidez Inicialmente a maioria dos pesquisadores que preocuparam se com esse assunto propuseram processos que trabalhavam diretamente na matriz realizando permuta es de linhas e colunas as refer ncias 2 3 2 4 2 5 e 2 6 s o trabalhos representativos dessa fase Entretanto ap s
290. ses na pr pria figura 3 61b e tal que inicialmente s o renumerados os n s 2 externos e posteriormente o centroide 3 9 6 2 Fun es Interpoladoras Dentro de cada sub elemento os deslocamentos serao aproximados por valores de deslocamentos e rota es definidos nos pontos nodais Desse modo pode se escrever il TES uti w 3 150 e ba e onde Ir deslocamento w no sub triangulo i pd vetor de func es interpoladoras UH vetor de graus de liberdade do sub elemeto i v Por exemplo para O sub triangulo 1 pode se escrever 3 151 onde 275 w deslocamento do no i te E rotacao em torno de Nis no no j ij Ja as fun es de interpola o que comp em o vetor H podem ser encontradas na p gina 407 da referencia 3 143 e deixam de ser aqui reproduzidos para n o alongar se demais a presente explana o Apenas menciona se que sao dez express es para cada sub elemento e baseiam se nas fun es hi apresentadas pela expressao 3 136 Agora Os deslocamentos w i podem ser referenciados a um vetor qua contenha todos Os graus de liberdade presentes nos sub elementos Esse vetor dado por al 3 1 911 959 Mo 912 3 gy y 9 iu Masa ou ect t e Ye aa e 3 153 AO onde ug deslocamentos e rota es externos ug deslocamentos e rota es no centrdide Nesse caso considerando se o sub triangulo 1
291. situa se em torno de 0 020 seg gt Devido a grande simplicidade do elemento aqui considerado e a necessidade de se resumir essa M apresenta o deixa se de apresentar um exemplo de aplica o Pouca coisa de interessante poderia ser comentada sobre essa analise 168 3 4 ELEMENTO TIPO 2 BARRA 3 4 1 Caracterizacao do Elemento O elemento barra de modo semelhante ao trelica tambem e definido por dois n s de extremidade e pode ser colocado em qualquer posi o do espa o definido pelo sistema de referencia global da estrutura De mado geral tem seis graus de liberdade por n tres transla es e tres rota es perfazendo um total de 12 par metros Um ponto de grande import ncia a defini o de planos de referencia para o elemento Ocorre que de modo diverso do elemento treli a a barra trabalha n o apenas segundo seu eixo longitudinal Trabalha tamb m segundo planos ortogonais dos quais o eixo longitudinal e o tra o Assim sendo o usuario precisa definir a posi o desses planos A defini o desses planos est ligada defini o do sistema local de referencia Como pode se observar pela figura 3 4 o eixo local x definido pelo eixo longitudinal da barra com sentido orientado do n I para o n J Os outros dois eixos coincidentes com os eixos principais de in rcia da se o tranversal que precisam ser definidos pelo usu rio Existem duas maneiras de se fazer ess
292. ssos n o resultaria em ganho significativo Quanto ao tempo de processamento total para a solu o do elemento verifica se que e excelente Como forma de completar se a analise aqui desenvolvida apresenta se a tabela 4 4 onde acham se compilados valores de tempos parciais e totais para elementos compostos por diversos n meros de sapatas Nesse caso NS e o numero de sapatas interdependentes presentes no elemento TMMG o tempo de montagem da matriz G TSS eo tempo de solucao do sistema de equa es lineares TMMS o tempo de montagem da matriz de rigidez do elemento para as NS sapatas e finaimente TT o tempo totai de cada eiemento M M M M aaan mam ata mam Aa saan amm apat e M v MM aa aA M e A M M M ea aana e e o NS TMMG seq 7SS seg TMMS seg TT seg 1 0 33 0 05 0 206 0 60 2 1 32 0 66 0 22 2 98 3 2 91 2 09 0 38 6 53 4 5 22 4 88 0 66 12 64 5 8 13 9 55 1 05 21 59 6 11 65 16 31 1 54 33 51 tabela 4 4 346 Novamente deve se destacar que os tempos obtidos sao excelentes apesar do j esperado crescimento exponencial em fun o do n mero de sapatas presentes no elemento De qualquer maneira um tempo de processamento de aproximadamente 1 2 minuto para a obten o da rigidez de uma funda o onde interrelacionam se seis sapatas realmente parece bastante satisfat rio
293. stema global n H matriz de interpola o dos deslocamentos depende da fun o aproximadora escolhida U deslocamentos nos pontos nodais vetor de SXN posi es Dentro dessa vis o as deforma es tambem podem ser escritas em fun o dos deslocamentos nodais atraves da N rela ao z Ms uin E CUA S E 157 onde ar deforma es em coordenadas locais do elemento mesma observa o anteriormente feita para os deslocamentos gin matriz que relaciona os deslocamentos globais com as deforma es locais Uu deslocamentos nos pontos nodais e ev M f Ja as tensoes podem ser relacionadas as deforma es e e atraves da equa o oM MD Q0 oe 200 3 6 onde of tens es em coordenadas locais cfr matriz que relaciona as tens es com as deforma es par metros el sticos do elemento ko deformacoes em coordenadas locais gin tens es iniciais atuantes no elemento por ex efeitos t rmicos Substituindo se as rela es 3 4 a 3 6 na equa o ut pin c pin av CO U n y Cn TO E u nm po gym x n y C A i yee AUE ds g N S n Jp pint ar avi Fl eG n 00 158 Fazendo se os deslocamentos virtuais unitarios cada DT E um a seu proprio tempo tem se que U torna se uma matriz identidade Desse modo a equa o 3 7 pode ser escrita como sendo RU F 2 3 8 onde E ds p Dp Poo qui n pas n yin n F F F F F
294. stica fundamental do elemento mencionado diz respeito a sua adapta o a um programa de Elementos Finitos sem que haja um comprometimento do desempenho desse programa para todas as suas outras aplica es Desse modo optou se por um processo pouco ortodoxo mas eficiente de se utilizar o M todo dos Elementos de Contorno para a montagem da matriz de rigidez associada ao ponto onde se liga a sapata Mais explicitamente os passos principais desse processo podem ser resumidos nas seguintes etapas a Inicialmente define se o elemento como composto de uma ou mais sapatas Cada uma ligada a um ponto nodal da superestrutura Caso o elemento tenha mais de uma sapata automaticamente ser considerada a intera o entre elas Caso apenas uma sapata tenha sido definida para o elemento 320 seu comportamento ser considerado independente das demais b O programa automaticamente realiza a discretizacao dessas Sapatas calculando todos os parametros necessarios para a montagem de um sistema de equa es atraves do Metodo dos Elementos de Contorno O solo ser considerado como um dominio semi infinito isotr pico homogeneo e perfeitamente elastico e a sapata como sendo perfeitamente rigida c calculada pela defini o a matriz de rigidez correspondente a cada centr ide de sapata lsso se faz pela aplica o de deslocamentos e rota es unitarios em cada um desses centroides mas sempre em relacao ao sistema global de refe
295. t o grandes quanto nos pilares Em rela o a cortante a maior varia o ocorre na viga Vi b com 64 Considerando se o momento tem se na mesma pe a uma varia o de 54 Pode se tentar explicar essas varia es como uma mudan a de comportamento da associa o paredes e p rticos que comp e a estrutura de travamento aos esfor os horizontais Com a flexibiliza o da funda o diminuem os momentos nos pilares junto a base passando a estrutura a trabalhar preferenciaimente como portico Com isso os esfor os nas 376 vigas s o aumentados Essa suposi o pode ser de certo modo comprovada pela observa o da figura 4 31 onde mostram se as deformadas da estrutura Nota se que para E 10 000 KN n a forma da el stica junto base ja n o e t pica de uma associacao com presen a de paredes Percebe se que tamb m para os deslocamentos dos pavimentos a influ ncia da funda o e menor neste exemplo do que para O apresentado no item anterior Com rela o 4 flecha no topo da estrutura tem se para este caso um acrescimo de somente 13 para O m dulo de elasticidade de 100 000 KN m e 260 para o m dulo de 10 000 KN m Entretanto aqui ocorre uma altera o na forma da deformada quando se considera a flexibilidade da funda o com o m dulo de elasticidade mais baixo A forma t pica de uma associa o de paredes e p rticos cede lugar a uma elastica t pica de p rtico apenas 4 4 5 3 Edificio Arte 5 Carg
296. ta apresentada elementos de 1 a 3 s o baseados numa formula o tipica de analise matricial de estruturas Sendo utilizado o processo dos deslocamentos as respectivas matrizes de rigidez s o montadas diretamente por equilibrio Um procedimento t o conhecido dispensa maiores coment rios se bem que as referencias 3 1 3 2 3 3 e 3 4 apresentem muito bem os aspectos gerais sobre esse assunto Na verdade esses tres primeiros elementos formam um conjunto muito potente para a solu o de estruturas lineares Elementos de treli a e barra para as pe as propriamente ditas e o elemento contorno para a defini o de condi es de apoio especiais Aliados a grande 152 capacidade de processamento do programa podem ser muito teis na an lise de estruturas como p rticos e treli as tridimensionais com muitos graus de liberdade A partir do elemento numero 4 a utiliza o se volta para OS m ios continuos baseando se esses elementos no Metodo dos Elementos Finitos Sobre essa t cnica 5 zd i extremamente disseminada tambem nao sera necessario tecer muitos coment rios Entretanto no intuito de apenas apresentar as nota es utilizadas sera elaborado um pequeno resumo sobre a utiliza o do metodo Desse modo ficara mais comodo para cada elemento ser discutido com os desenvolvimentos sendo feitos de forma mais direta sem preocupa o com detalhes a respeito da origem das equa es utilizadas inter
297. tante em 2 900 KN cm para as discretiza es le 2 e que percebe se uma melhora significativa coer em ee ee a o q a q cr cu qr o o o ma q e ru a uum PON o a O o e a ts OU AP ME que e a qo m o m ee Disc 1 2 3 M E F 1 93379 1 53754 1 54502 Viga 1 53600 tabela 3 9 mem ga pt re iiid Disc 1 2 3 M E F 97 50 101 23 106 97 Viga 97 50 101 25 106 88 eme mea ota re A 4 me ma a a ii A A mi a mm A RS A o is a e ES A A A A ST PEP UR A a A GARD A cao a cm XA ens O a rr rr O eee SUR ater a cam mame meme SU AD aae ata mm mm ae ana SAS nr a m m ane m oaae m ms usum a A 4 um a s SL quip O im O O GO cere ens A GO A cma ma cma WOE WUE Ms A UM mms e Disc 1 2 3 M E F 2 500 2 500 3 550 Viga 3 750 tabela 3 11 258 3 8 10 2 Tempo de Processamento Quanto ao desempenho em rela o aos tempos de processamento necess rio considerar se que o elemento tipo pode apresentar valores maiores ou menores para a montagem de suas matrizes e vetores dependendo do numero de pontos de Gauss utilizados no calculo da matriz de rigidez Assim sendo esses tempos est o anotados na tabela 3 12 sendo considerados os valores poss veis de 8 27 ou 64 pontos de Gauss mem re a is O O a EE A mmm rs a a e O a o e e O O VS O ra a SP M OL a o rs we uM v a wens rm wee was ma tabela 3 12 Como pode se perceber pelos resultados anotados 0 tempo de montagem das matrizes e vetores para o elemento s
298. te eliminar a necessidade de consulta aos manuais tornando simples e r pido o periodo de adapta o do usu rio ao programa As informa es aparecem e desaparecem instantaneamente pois est o contidas em mem ria central e s o transferidas diretamente para o buffer do video 131 2 10 7 5 rea 4 Local onde sao escritas todas as mensagens do programa Seu tamanho total de 1 linha por 80 colunas Existem dois niveis de consistencia de dados a consist ncia feita simuntaneamente com a digita o dos dados e a consistencia do dado fornecido frente as informa es j recebidas que pode resultar numa mensagem de aten o Ou de erro Em qualquer caso O programa emite um alarme sonoro e apresenta uma mensagem que indica O problema detetado Assim sendo desde a digita o de um n mero real em um campo destinado a n meros inteiros como a tentativa de se fornecer cargas para um n n o definido ser o recusadas com O aviso correspondente apresentado nesta area De modo semelhante quando se redefine as coordenadas de um determinado no o programa aceita a redefini o mas apresenta uma mensagem chamando a aten o do usu rio para O fato 2 10 7 6 rea 5 Campo destinado a um resumo explicativo dos dados a serem adquiridos pela rotina em uso Seu espaco total e de 7 ou 20 linhas por 38 colunas Como j foi anteriormente mencionado O usu rio pode pedir a apresenta o de uma p gina com explica es relati
299. tegia de renumera o e o fato das conex es de um determinado n serem consideradas na ordem em que aparecem na matriz MC Essa ordem obtida depende da numera o dos elementos que interligam os n s e portanto aleat ria Assim sendo o caminho de renumera o pode ser prejudicado resultando em uma banda maior do que a que poderia ser obtida se as conex es fossem consideradas de acordo com aigum procedimento l gico defensavel 2 6 4 4 Adapta o Proposta Para a Renumera o A partir da constatacao da deficiencia mencionada no item anterior pode se sugerir um procedimento alternativo Trata se de uma reorganiza o da matriz MC colocando se as conex es nodais la armazenadas em ordem crescente de grau Assim sendo nas primeiras posi es apareciam os n s que possuem graus mais baixos ou seja que possuem um menor n mero de conex es Essa provid ncia e importante para melhorar o caminho da renumera o tornando o mais l gico e livre de condi es aleat rias indesej veis relativamente simples justificar esse procedimento se se considerar que o grau de um n indica O n mero de n s que se ligam a ele Desse modo organizar a matriz MC por ordem crescente de grau significa fazer com que durante a renumera o inicialmente sejam numerados os nos de menor grau Portanto em qualquer etapa do processo serao gt inicialmente atribuidos n meros aos nos que se encontram 76 Al E nas extremidades do gr
300. tera o Caso o elemento considerado seja um quadrilatero e necess rio que o n central definido pelo programa no centr ide do elemento seja eliminado antes da transforma o de suas matrizes e vetores para as coordenadas globais Essa elimina o e feita de forma muito simples atrav s de uma condensa o est tica 13 11 procedimento j discutido para os elementos tipos 4 5 e Naqueles casos interessava a elimina o dos modos incompat veis que tinham sido introduzidos nas fun es de interpola o Aqui interessa a elimina o de graus de liberdade de um n criado pelo programa Entretanto do y e E ponto de vista matematico a situa o e rigorosamente a 286 mesma assim como o sera O procedimento utilizado nessa P N a E elimina o Basta que se fa a uma triangulariza o parcial das matrizes de rigidez e momentos deforma es e do vetor de carga eliminando se as seis ultimas linhas que correspondem ao quinto no criado a i N wv Depois da eliminacao a transformacao para as coordenadas globais ser realizada atraves da seguinte matriz A Ao y y Ag a 2 A ite gt 2 i 35 181 e Ao o o a a Ao onde Ao e a mesma submatriz da expressao 3 179 3 9 8 Desempenho 3 9 8 1 Considera es Sobre a Convergencia de Resultados Para o presente elemento na verdade uma composicao de um elemento membrana e um elemento placa a convergencia dos resultados deve considerar separa
301. terial a ser considerado s o E 3 000 MPa v 0 20 G i 250 MPa 218 Quanto ao carregamento foram adotados para P1 e Pos respectivamente cargas sobre as paredes 1 e 2 os seguintes valores Pi 30 KN m P5 10 KN m A discretizacao da estrutura foi realizada com elementos retangulares do tipo 4 de 0 5 x 0 5 m considerando se a inclus o dos modos incompat veis No total foram necess rios 217 n s e 180 elementos sendo a rede obtida mostrada em perspectiva na figura 3 28 A aplicac o do carregamento foi feita nos pontos nodais superiores por meio de cargas concentradas Os resultados obtidos s o apresentados atrav s de curvas de isotens o para cada uma das paredes No caso ser o apresentados apenas dois tipos de tens o em KN cm para cada uma das paredes a seguinte a rela o das figuras e O que apresentam Figura 3 29 Figura 3 30 Figura 3 31 m ximas tens es de tra o na parede 1 tens es de cisalhamento na parede 1 m ximas tens es de tra o na parede 2 Figura 3 32 tens es de cisalhamento na parede 2 Pela observa o dos resultados apresentados pode se gt bj a sn perceber que existe uma grande interacao na ligacao das paredes Alem disso as fissuras por tracao devem ocorrer nao exatamente na ligac o como seria O esperado mas a ee aproximadamente a 1 m de distancia na parede 2 Pois essa e exatamente a situa o verificada na pr tica revelando a
302. teriormente a utiliza o de modelos matem ticos mais complexos e eficientes Assim num primeiro momento os microcomputadores foram usados como ferramentas que agilizavam os procedimentos de c lculo realizados manualmente com calculadoras e tabelas No caso especifico da engenharia civil Oo calculo independente de lajes vigas e pilares passou a ser realizado em tempo reduzido mas continuavam sendo lajes Au E vigas e pilares independentes e os modelos matematicos nao foram alterados Apenas num est gio posterior que foram utilizados esses recursos na Melhoria da qualidade dos procedimentos e n o apenas do tempo gasto com as an lises Assim que os pavimentos de edificios passaram a ser calculados como grelhas ou mesmo atraves de elementos finitos integrando se todas as pe as e passando se a obter resultados mais pr ximos da realidade Al m disso tamb m os modelos matem ticos de dimensionamento puderam ser mais sofisticados reduzindo se de maneira significativa Oo consumo de materiais No est gio atual de desenvolvimento dos microcomputadores pode se afirmar que praticamente qualquer an lise estrutural pode Ser neles realizada desde que se tenha o programa adequado Entretanto e necess rio reconhecer que o desenvolvimento das m quinas hardware superou em muito o desenvolvimento dos programas software Mesmo a Nivel internacional nao sao comuns os bons programas de calculo de estruturas em microcomputad
303. tes el sticas que dizem respeito ao material utilizado e tamb m so tipo de estado de tens o que se verifica No presente caso material isotr pico e estado plano de tens o a matriz C resulta da seguinte forma E 1 v E 1 0 Cc eer 1 35 Esl ise 0 3 60 a 0 G 201 2 6 6 Matriz de Rigidez em Coordenadas Globais A E is A matriz de rigidez do elemento ainda em rela ao aos eixos locais pode ser calculada pela expressao ver item 3 2 B C B dV sss 3 61 onde B matriz da rela o deforma es deslocamentos C matriz de constantes elasticas do material Mas considerando se a espessura constante UEM S pode se escrever dV det J t ar ds 2 3 62 Portanto a equa o 3 61 resulta r z BCB det J t dr ds 3 63 ne A e e ne Considerando se a integra o numerica pelo processo de Gauss tem se ro tum R 3 64 a EE ij lj 1 3 onde t espessura do elemento ex i fator de peso dado pelo processo de Gauss J a matriz Rij tem como express o 202 w 1 000 00 r 0 57735 r 0 57735 fia 3 19 Pontos de Gauss para integra o num rica n K N n N fig 3 20 Forcas de superficie sobre a face IJ 203 Nu E 29 eto Fasa onde m matriz da relacao deslocamentos deformacoes calculada no ponto de Gauss de coordenada Fi e i Jig Jacobiano calculado para o ponto Fi e 5 a integra o numerica e feita uti
304. the Solution of Sparse Linear System Ax b Advanced Engineering Software Vol 6 N 1 1984 2 17 Hazony Y A Linear Solver for Sparse Banded Matrices Advanced Engineering Software Vol 6 N 1 1984 150 2 18 Cheu T C Johnson C P Craig R R A Solution Method of Equilibrium Equations for Large Struvtural Systems Computers amp Structures Vol 20 N 1 3 1985 2 19 Ramalho M A Apresenta o de um Editor de Dados para Estruturas com Recursos Graficos Acoplados Anais do Colloquia 1987 Univ Federal do Rio Grande do Sul P Alegre 1987 12 20 TURBO PASCAL Reference Manual Borland Internacional Inc Scotts Valley CA 1984 2 21 Wood S 3 Using TURBO PASCAL Ed Osborne McGraw Hill Berkeley CA 1986 151 CAPITULO 3 Biblioteca de Elementos 3 1 Introducao Neste capitulo ser o apresentados os tipos de elementos disponiveis para utilizacao no programa LS Alias ser o apresentados os elementos tipos 1 a 7 0 elemento tipo 8 sapata rigida cujo desenvolvimento apresenta alguns aspectos um pouco diferentes da teoria tradicional est detalhado em capitulo parte Em resumo v 2 A E E x sao os seguintes os tipos de elementos aqui discutidos Elemento 1 Treii a Espacial Elemento 2 Barra Espacial Elemento 3 Contorno Elemento 4 Membrana Elemento 5 Plano Elemento 6 Tridimensional Elemento 7 Placa e Casca Os tres primeiros elementos da lis
305. tiplicadas por 1 Assim tem se 180 TI afa Po wee Pay Pie 3 38 Se os modulos de flex o tiverem valor diferente de P P4 zero simplesmente o vetor sera completado com elementos nulos da 13 202 posi o 3 4 9 Constrangimento de Graus de Liberdade Quando o elemento possui no de extremidade com deslocamento ou rota o constrangido a outro no sao necessarias algumas transforma es na matriz de rigidez RE e ha matriz de relacao tensao e ou esfor o por deslocamento TD Essas transforma es s o realizadas ap s a completa determina o dessas variaveis como ltimo procedimento antes da grava o em arquivo As mencionadas transforma es s o de natureza bastante diferentes dependendo do fato de ser um deslocamento ou uma rota o o grau de liberdade a ser escravizado a outro Mais especificamente quando se tratar de uma rota o basta colocar a rigidez que lhe seria atribu da para a equa o correspondente ao grau de liberdade do no senhor Isso e feito simplesmente pela troca do n mero da equa o na posi o correspondente do vetor de contribui es nodais do elemento Nesse caso nenhuma altera o na matriz TD ser necessaria Entretanto se o grau de liberdade a ser escravizado e um deslocamento o procedimento torna se um pouco mais complexo Em primeiro lugar as rigidezes que lhe seriam atribuidas sao agora levadas para a equa o correspondente ao novo grau de liberdade
306. trolados os valores do deslocamento na extremidade livre da tens o normal na extremidade superior de uma se o proxima ao engaste e ainda da tens o tangencial no eixo da pe a Quanto ao deslocamento da extremidade livre os resultados obtidos encontram se anotados em cm na tabela 3 3 J os valores das tensoes normais em KN cm sao apresentados pela tabela 3 4 Ressalta se que nesse caso o ponto de compara o dos valores varia em rela o s discretiza es consideradas Isso se deve ao fato de ser necess rio fugir se das perturba es causadas pelo engaste Entretanto para cada caso considerado e apresentada a respectiva tens o normal obtida pela teoria de viga Finalmente a tens o tangencial constante ao longo do eixo longitudinal apresentada em KN cm na tabela 3 5 Pela observa o dos resultados pode se concluir algumas quest es interessantes Em primeiro lugar os elementos com inclus o de modos incompat veis hcomp nas referidas tabelas apresentam comportamento completamente diverso Os retangulares apresentam uma converg ncia espetacular e mesmo com a rede mais pobre ja encontram se muito pr ximos da solu o exata J os triangulares divergem conforme pode se perceber pela figura 3 26 que apresenta o gr fico dos deslocamentos na extremidade livre para todas as an lises Quando trata se dos elementos sem a inclus o dos modos incompat veis comp nas tabelas os dois tipos acabam convergindo se
307. tuindo se a rela o tens o deforma o equa o 4 5 na equa o de equil brio 4 3 e depois utilizando se a rela o 4 4 pode se obter a chamada equa o de Navier 1 1 T ll E no a V Hi ge es 144 o V 4 10 Note se que a solu o da equa o 4 10 equa o diferencial do problema el stico linear em termos de deslocamentos permite o calculo de todos os par metros importantes para O caso de dominio tridimensional Depois de calculados os deslocamentos pode se determinar as i 3 componentes de tensoes pela equacao 4 8 for as de superficie pela 4 9 e at mesmo deforma es espec ficas pela 4 4 Evidentemente a solu o analitica da equa o 4 10 soe poss vel para alguns casos particulares Para se contornar este problema e que foram desenvolvidos os metodos numericos de solu o como o Metodo dos Elementos de ri Lad z a Contorno Os proximos itens irao explicitar esse processo 4 2 2 Sol u es Fundamentais 4 2 2 1 Equacionamento b sico Na formula o das equa es integrais do problema 395 el stico necessaria a utiliza o de uma solu o fundamental da equa o diferencial 4 10 4 3 Considerando se os pontos s e q pertencentes a um dom nio a que cont m o dom nio 2 essa solucao pode ser entendida fisicamente como as respostas em q pela aplicacao de forcas concentradas Ft em st As for as concentradas sao supostas na dire o dos eixos cartesianos
308. uadrangular gasta 1 575 seg para 2914 a montagem e gravacao das suas matrizes e vetores Para o elemento triangular esse tempo reduz se a 0 45 seg J no c lculo das tens es o quadrangular gasta 0 055 seg eo triangulo puro 0 04 seg importante ressaltar que os tempos fornecidos foram verificados para elementos onde consideraram se as rigidezes de membrana e placa No caso N de elementos exclusivamente placa observa se uma reducao de aproximadamente 20 no tempo de montagem e grava o das matrizes e vetores 3 9 9 Exemplos 3 9 9 1 Pavimento de Edif cio em Laje Cogumelo O pavimento de edificio aqui considerado do Edif cio Maisom Mouette SP e sua planta de forma mostrada na figura 4 28 no capitulo seguinte Trata se de uma laje cogumelo que possui algumas vigas para travamento quanto a esfor os horizontais A rede utilizada para sua discretiza o e feita por elementos placa e barra e encontra se apresentada na figura 3 65 Como dados adicionais para O problema mencionam se e espessura da laje 0 15 m 1 70 x 10 KN m 9 20 Ressalta Se ainda que o valor do m dulo de elasticidade transversal G foi fornecido com seu valor multiplicado por 19 7 de modo a praticamente eliminarem se os momentos volventes J o carregamento atuante o tradicional para pavimentos desse tipo compreendendo cargas permanentes e acidentais definidas por procedimentos 292 b a 3 e 6 oes r 3
309. un o de derivadas dos deslocamentos podem ser escritas como lz Ha 2 ax2 w 9 E 3 108 2 2 LI amp x N amp x ph i2 ow Y 13 Xa X i av 7 ow 23 Xa aX2 Considerando Se que no presente caso a matriz B faz a te relagao 245 Ua Va 2 Wa E B s cc 3 109 AT e r Ue 19 Va Yaa We Pode se escrever B como composta por oito submatrizes ou seja B B B B B B B B B cc 3 110 onde Bhi OX 1 9 e Bhi 2 aX 2 Bhi 2 e 0X3 ce ahi ahi fw Oz X a ahi 0 ahi da OQXz 0 ani ahi aXa aX 2 Conv m ressaltar que as derivadas das fun es N interpoladoras podem ser determinadas em rela o aos eixos N cartesianos aos grupos de acordo com a expressao ahi ahi OX 4 er ahi 1 Bhi Essa ES I Ke g 35 3 111 ani Qni axa ot 246 J as derivadas das fun es aproximadoras em rela o a tr s e t s o triviais como pode se observar pelas N fun oes correspondentes 3 8 4 Matriz de Constantes El sticas A matriz de constantes el sticas matriz C d a rela o entre o estado de deforma es e o estado de tens es para um determinado ponto Para o presente caso material ortotr pico com eixos de simetria coincidentes com os eixos globais pode se escrever 7 Cin 12 Eiz 2 9 9 T ut C12 E22 23 a 4 52 f Ciz Cos Css a o Eit 9 0C 0 a LN o0 20 qc 0 r
310. ura do elemento como unit ria j que qualquer valor para esse par metro n o teria maior significado No caso do estado axissimetrico o Programa assume que os elementos definidos representam uma parcela de um radiano da estrutura total sendo X o eixo de simetria da mesma Desse modo a espessura do elemento e vari vel e calculada em relacao a distancia do ponto considerado ao referido eixo Xz conforme mostra se na figura 3 35 Com respeito as utiliza es principais deste elemento pode se mencionar al m dos casos j citados para O elemento anterior e desde que totalmente contidos no plano XoXzs as estruturas de barragens vasos de pressao tuneis etc Conforme foi mencionado muito grande a semelhan a deste elemento com o apresentado no item anterior Para evitar se a repeti o de conceitos O elemento plano sera discutido com maiores detalhes apenas nos pontos onde 223 fig 3 33 Elementos planos de 3 e 4 n s Xi fig 3 34 Sistemas de referencia local fig 3 35 Espessuras para elemento axissim trico 224 existam diferencas significativas em relacio ao anterior Nas passagens onde essas diferen as n o se fizerem t A presentes vai se apenas fazer referencia ao que ja foi apresentado Ate mesmo em termos de bibliografia a ser referenciada os trabalhos sao exatamente os mesmos do caso anterior 3 7 2 Coordenadas Locais e Globais As coordenadas locais deste elemento s o semelh
311. utura vai tomanto com respeito as coordenadas nodais e incid ncia dos elementos A escala evidentemente depende do tamanho da estrutura mas normalmente poss vel uma boa visualiza o de sua forma geral evitando se erros grosseiros que possam ser cometidos Quando se fornecem dados de coordenadas nodais e incid ncia de elementos para uma estrutura cujos dados ja se encontram arquivados o programa realiza uma pesquisa nas coordenadas nodais definidas posicionando o desenho dentro do campo da melhor maneira possivel Assim a medida que os nos e elementos vao sendo redefinidos s o apagados os antigos e mostrados os novos 133 Entretanto quando se define pela primeira vez uma estrutura e necess rio fornecer ao programa os eixos segundo os quais se pretende o esbo o Alem disso s o necessarias as coordenadas nodais m ximas e m nimas nesses eixos Portanto ao ser digitado o nome de um arquivo n o encontrado no diret rio o usu rio ser solicitado a fornecer esses dados necessarios ao bom posicionamento do desenho da estrutura 2 10 7 8 Exemplo Para finalizar esta apresenta o das rotinas utilizadas para aquisi o dos dados vai se apresentar um exemplo Trata se de uma copia da tela durante a utiliza o da rotina para entradas de coordenadas nodais mostrada na figura 2 32 L pode se observar os valores digitados para o numero do no e para as coordenadas Xi X5 e Xs sendo que para a coordenada Xz aind
312. v S 1 c Fo m7 n n _ n Fy E H ft dV E n y om n n T n n n bo E Ha fz ds E Fe Stn f ERE pl AN qul 2 p pino n n Esse procedimento de solu o das estruturas muito interessante pois permite que a montagem do sistema de equa es seja feito elemento por elemento simplificando sobremaneira o processo e tornando o pass vel de E y automatizacao Como ltimo detalhe menciona se que o o desenvolvimento das equa es da maneira como foi mostrado costuma ser chamado m todo da rigidez direta Nesse caso a matriz de rigidez R e o vetor de cargas F s o encontrados pela simples adi o das respectivas matrizes e vetores dos elementos Isso e possivel pois todas essas variaveis 159 encontram se referenciadas a um vetor que contem a totalidade dos deslocamentos Nos elementos desenvolvidos neste trabalho essa situa o sera um pouco alterada sendo as matrizes e vetores montados em rela o apenas aos deslocamentos dos nos ligados ao elemento em quest o A correta coloca o dos valores no sistema global e realizada pela utiliza o dos j mencionados vetores de contribui o ver item 2 5 Entretanto a base dos procedimentos aqui mostrados n o ser alterada por essa mudan a 160 3 3 ELEMENTO TIPO 1 TRELICA 3 3 1 Caracterizacao do Elemento O elemento treli a e definido por dois nos de extremidade e pode ser colocado em qualquer posi o do espa o definid
313. vamente detalhadas sobre os tens a serem fornecidos para a rotina Isso entretanto pode nem ser necess rio j que se reservou este local para explica es sucintas que na grande maioria dos casos suficiente para elucidar as d vidas Em algumas rotinas a area reservada para esse resumo compreende apenas 7 linhas pois o campo definido como area 132 6 onde s o apresentados desenhos em alta resolu o esta ativado Nesse caso se enquadram todas as rotinas que definem coordenadas nodais e incidencia de elementos onde os nos ou elementos v o sendo desenhados simultaneamente 0 ty com a edicao Nas outras rotinas a area 6 nao precisa ser utilizada Portanto o espa o reservado as explica es aumenta passando a ocupar 20 linhas e mantendo as 38 colunas 2 10 7 7 rea 6 um local destinado a desenhos em alta resolu o Considerando se que a placa de video que equipa a maioria do computadores compat veis PC e a CGA Color Graphics Adapter optou se por utilizar a resolu o de 640 pontos na horizontal por 200 pontos na vertical para a apresenta o de esbo os da estrutura editada Como foi reservada 1 4 da rea total da tela para esse uso conclui se que a rea 6 tem 320 x 100 pontos Nesse espa o e que estar o representados graficamente os n s e elementos que v o sendo definidos Esse desenho possibilita ao usu rio acompanhar simultaneamente com a entrada dos dados a forma que a estr
314. x 10 As tens es radiais em KN cm estao organizadas na tabela 3 7 Finalmente as tens es tangenciais tambem em KN cn encontram se na tabela 3 9 Menciona se ainda que nas tabelas referidas o calculo com a gt N i Ea f N inclusao dos modos incompativeis aparece no titulo ncomp e sem a inclus o dos modos no titulo comp Disc 1 2 3 4 Acomp 1 3890 1 4049 1 5142 1 6679 comp 1 3820 1 4028 1 3172 1 3855 anal tico 1 4861 mee em A a e O O Mao o e A O o a rr o A a Siw M mh Ath nine en emt res mo mee MA A Ma Disc 1 2 3 4 ficomp 5 029 5 049 3 794 4 171 comp 6 838 5 472 5 787 5 284 mam cmo mm me mm ato cao 400 es UA do mete mo im mo ee q ee O M mi o q M re mm pi ea SD HS tabela 3 7 239 Disc 1 2 3 4 comp 18 075 18 295 20 395 22 680 comp 17 375 18 138 15 850 17 950 anal tico 18 519 tabela 3 8 Pela observa o dos valores obtidos pode se concluir que realmente os quadril teros continuam produzindo melhores resultados que os tri ngulos Alias nos tri ngulos com modos incompativeis inclusos o resultado novamente divergiu repetindo o ocorrido para o teste do elemento anterior Quanto aos triangulos compat veis a convergencia apresentou se um pouco mais lenta que nos quadrilateros mas ainda assi
315. xado em 44 bytes Considerando cada linha como um registro sua N q estrutura de gravacao e a sequinte nn nge 1 1R X1 X2 X3 T 2 IR X1 X2 X3 T n IR X1 X2 X3 T nte ne nmn l NI NJ 2 NI NJ NGE vezes n NI NJ onde nn n mero de pontos nodais I4 nge n mero de grupos de elementos I4 IR matriz de restri es nodais 14 X1 X2 X3 coordenadas dos n s R4 T temperatura nOdal R4 nte n mero do tipo dos elementos do grupo I4 ne n mero de elementos do grupo I4 nmn n mero m ximo de nos por elemento 14 NI NJ n meros dos n s que definem o elemento I4 Portanto atraves do acesso aos dados armazenados no arquivo PREFIX SG a geometria da estrutura analisada pode ser conhecida e utilizada por qualquer programa p s processador 2 9 5 5 Arquivo PREFIX SD O arquivo de sufixo SD guarda os resultados dos deslocamentos nodais obtidos para cada caso de carregamento um arquivo n o formatado de acesso direto com registros de 48 bytes Conforme o adotado para o item anterior considerando cada linha com um registro pode se definir sua estrutura como sendo a seguinte nn nc 1 DX1 DX2 DXS RX1 RX2 RX3 2 DX1 DX2 DXS RX1 RX2 RX3 nc vezes n DX1 DX2 DXS RX1 RX2 RX3 onde nn n mero de pontos nodais 14 nc n mero de carregamentos 14 DX1 DX2 DX3 transla es nodais segundo X1 X2 X3 R8 RX1 RX2 RXS3 rota es nodais em torno de X1 X2 X3 R8
316. y e de fundamental import ncia para uma atuacao mais eficiente de um programa de analise estrutural Neste item sera apresentado o modo pelo qual a referida tecnica foi utilizada pelo programa LS Inicialmente deve se mencionar que para uma boa utiliza o do overlay necess rio que as rotinas que comp em seus blocos estejam agrupadas por crit rios muito claros de interrelacionamento Isso se deve ao fato de que se uma determinada rotina chamada para a mem ria central do computador todo o bloco no qual ela est inserida a acompanha nesse carregamento Assim sendo caso rotinas interrelacionadas estejam em blocos diferentes o computador tera a necessidade de alojar e desalojar esses blocos sucessivamente importando esse processo numa 46 significativa perda de tempo de processamento principalmente para pequenas e medias estruturas Desse modo o programador necessita avaliar corretamente o custo e O benef cio de uma determinada divisao para que o ganho em termos de memoria nao seja suplantado pelo custo em termos de tempo de processamento interessante mencionar que no limite de utiliza o desta tecnica cada rotina que comp e o programa poderia ser um bloco de overlay Naturalmente o m dulo execut vel assim obtido seria extremamente otimizado em termos de necessidade de memoria mas seguramente inviavel por um excesso de transferencia de c digo do disco para a mem ria e da memoria para o disco No caso
317. z e vetores de cargas globais etapa 5 e lido para obten o dos blocos da matriz de rigidez e do vetor de cargas globais 107 etapa 8 inativo 2 7 2 6 Arquivo ARQS Arquivo n o formatado de acesso sequencial Sua utiliza o e a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 inativo etapa 3 inativo etapa 4 gravado e lido dentro da pr pria etapa com as cargas aplicadas em n s da estrutura etapa 5 serve para gravacao e leitura de vetor auxiliar a solu o do sistema de equa es globais etapa 6 inativo 2 9 2 7 Arquiva ARQ6 Arquivo de formato bin rio e acesso sequencial Sua utiliza o a seguinte etapa 1 inativo etapa 2 gravado com par metros relativos aos grupos de elementos como tipo n mero de elementos quantidades de materiais e de se es etc etapa 3 e lido para obten o dos par metros aravados na etapa 2 108 etapa 4 inativo etapa 5 inativo etapa 6 e lido para obten ao dos parametros gravados na N etapa 2 9 2 8 Arquivo ARQ Arquivo de formato bin rio e acesso sequencial Sua utiliza o a seguinte etapa 1 inativo etapa amp inativo etapa 3 inativo etapa 4 serve para grava o e leitura de vetor auxiliar a montagem do sistema de equa es globais etapa 58 serve para gravacao e leitura de vetor auxiliar a solu o do sistema de equa es globais etapa 6 inativo 2 9 2 9 Arquivo ARGS A
318. z em semi banda N o se obtem nas refer ncias consultadas para a elabora o deste item informa es sobre a capacidade do programa e detalhes a respeito da matriz de rigidez global Entretanto pode se supor que tanto a sua montagem bem como a sua solu o sejam realizadas por blocos sem o que a capacidade do programa seria muito reduzida Por fim deve se mencionar que como resultados do processamento pode se obter deslocamentos e rea es nodais e esfor os e ou tens es nos elementos 12 1 3 SISTEMAS COMPUTACIONAIS PARA MICROCOMPUTADORES 1 3 1 Considera es Gerais Neste item apresentar se um resumo de dois programas desenvolvidos para a utiliza o em microcomputadores de 16 bits Essa apresenta o como ja foi mencionado tem como objetivo estabelecer algumas compara es com os programas desenvolvidos para grandes computadores que foram discutidos no item anterior Para atingir se o objetivo proposto ser o apresentadas informa es t o completas quanto for poss vel sobre a estrutura de funcionamento capacidade de an lise tipos de elementos dispon veis e recursos extras de otimizacao alem de comentarios a respeito de entrada dos dados e saida dos resultados Resta ressaltar que a exemplo do item anterior essas informacdes devem limitar se a an lise est tica de estruturas em regime elastico linear 1 3 2 O Programa SAP9O O SAP90 e o sucessor de um dos programas de analise estrutural para
319. z ka Para finalizar esta apresenta o das coordenadas triangulares e importante mencionar alguns par metros que interessar o diretamente a dedu o do elemento LCCT 9 Eles encontram se apresentados na figura 3 59 Trata se dos valores de Lys Los Les comprimentos dos lados do trianqulo di do e das distancias ao ponto P medidas sobre esses lados e ainda H H e Has dimensdes do triangulo em 1 2 dire es convenientes Com esses valores e possivel ainda 268 definir 3 138 3 9 4 Matriz de Constantes El sticas Rigorosamente falando as matrizes de constantes elasticas para os elementos de membrana e placa seriam diferentes Entretanto para o caso das placas desprezam se as tens es que n o estejam no plano do elemento Desse modo para um ou outro caso a matriz resulta a mesma Considerando se o material ortotr pico definido no item 3 9 1 pode se escrever a matriz de rela o entre as tens es e as deforma es que aparece na equa o 3 59 como sendo Cir Co 2 C Cos Esa b wee 3 139 o o 33 ende e E E C a qa 1 in 12 Cia evi2U011 Co 2 es i e 2 E19 Cu 6 269 3 3 LA ZA 1 2 1 2 i ha hs NU fig 3 58 Funcoes h Hs fig 3 60 Coordenadas locais no elemento menbrana 270 3 9 5 Elemento Triangular de Membrana 3 9 5 1 Coordenadas e Fun es Interpoladoras Conforme foi mencionado o elemento a ser utilizado para avaliacao das proprieda

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