Medidas repetidas con datos faltantes: estimación de parámetros v
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1. 13 gl XB al reemplazar en 12 se tiene que el predictor g para el k simo dato faltante es igual al valor conjeturado para el k simo dato faltante menos el coeficiente de la covariable para el k simo valor faltante es decir g gl l 4p Utilizando la estimaci n de se encuentran los valores estimados para la informaci n faltante Esta predicci n es presentada en la tabla 2 Tabla 2 Resultados de la predici n de la informaci n faltante usando an lisis de covarianza k Grupo Animal Tiempo gl 1 1 1 Sem 3 527 15865 2 1 3 Sem 3 527 15865 3 2 6 Sem 3 549 82606 4 2 6 Sem 4 586 21752 2 2 Enfoque multivariado para la imputaci n de infor maci n Una alternativa para el problema propuesto consiste en imputar la infor maci n haciendo uso de un enfoque multivariado Para ello se utilizan los desa rrollos encontrados en Timm y Mieczkowski 14 quienes muestran inicialmente un modelo lineal multivariado para analizar medidas repetidas cuando no se ha perdido informaci n As en la subsecci n 2 2 1 se sigue la metodolog a presentada por ellos usando solo la informaci n de aquellas unidades que se observaron en su totalidad y posteriormente en la subsecci n 2 2 2 se utiliza toda la informaci n disponible a la vez que se encuentra una relaci n entre ellas Debido a que el segundo m todo es iterativo la relaci n se busca a nivel de la primera iteraci2. Henderson H and Searle S On Deriving the Inverse of a Sum of Matrices SIAM Review Society for Industrial and Applied Mathematics Vol 23 No 1 53 60 1981 Medidas Repetidas con Datos Faltantes 143 o 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Laird N Lange N and Stram D Maximum Likelihood Computations With Repeated Measures Application of the EM Algorithm Journal of the American Statistical Association Vo 82 No 397 1987 Laird N and Ware J Random Effects Models for Longitudinal Data Biometrics 38 963 974 1982 Liang K and Zeger S Longitudinal Data Analysis Using Generalized Linear Models Biometrika 73 1 13 22 1986 SAS Institute Inc SAS STAT User s Guide Release 6 03 Edition Cary NC SAS Institute Inc 1028 pp 1988 Searle S Linear Models John Wiley and Sons 1971 Timm N and Mieczkowski T General Linear Models SAS 1997 Tocher K The Design and Analysis of Block Experiments Journal of the Royal Statistical Society Series B 14 45 100 1952 Citado por Affifi y Elashoff 1966 Ware J Linear Models for the Analysis of Longitudinal Studies The American Statistician Vol 39 No 2 1985 Wilkinson G Estimation of the Missing Value for the Analysis of Incom plete Data Biometrics 14 257 86 1958 Citado por Affifi y Elashoff 1966 Yates F The Analysis of Replicated Experimental when the Field Results are Incomplete The Empire Jou
3. Ind 1 Ind 2 Ind 3 Ind 9 Al ordenarlo y reemplazar los datos faltantes por valores iniciales cero se tiene yt 0 0 0 455 510 467 565 610 445 580 520 590 610 So SA A AG Na pr T P q Y341 Y3 2 Y3 3 Y3 9 132 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez 010 1 o Xx e12 010 1 ba xX e32 62 ener pee 1 0 0 1 11 X34 001 1 a e13 13133 p gt X e21 X 1 0 0 1 a x e e22 001 1 gt 23 I3 J3 gt X344 Tz J3 gt X345 e 1 0 0 4 gt X46 ka Iz 1 J3 gt X347 i Ts 1 J3 gt X348 I3 1 J3 gt X3 9 93 By Y Ba Ya La ne y ZF con I matriz identidad d Bs s Y 27x4 0 23x4 ba Y4 de orden s y J vector de unos de tama o r x 1 y donde J J es una matriz aumentada El estimador m nimos cuadrados generalizados de 8 se obtiene minimizando notn la forma cuadr tica D gt Q 8 donde 2 de orden t xt es una submatriz de i l 2 de componentes de varianzas asociadas a los tiempos donde hay informaci n para Yj Si gt es conocida entonces P tiene como estimador a notn ny n 4 p F xir SP xs u Si X es desconocida la estimaci n de Pf se obtiene a partir de la expresi n notn ny n 5 p F aso 1 iy Crowder y Hand 5 muestran que si hay datos faltantes entonces no hay so luciones expl citas para B y en forma separada y as la soluci n para las ecuaciones debe hacerse en forma iterativa Para efectos de este trabajo se tom como estimaci n d
4. es esti mado como A F 1 7 32 x5Xe Xo Xw X5Xp 9 Xy Xw A A 1 A 1 iaxe 25200530 ur X 1 de x xXbXs a X Xw 07 yr x5 a Xi E YO XbXB 2 XP X71 XbXs 1 Xp F Xr XbXB o XR 459 x xr E XpXp 0 XW XW X207 yr Xb Xw yo Por facilidad en 27 se usa 25 y 26 con Q M X p Xr y P N Cov 80 xxe X Xp 0 Xy c Xi t 9 Xy E Xpy obteniendo entonces 28 B I1 NM N Xp zyr Xb 0 Xy vo 140 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez Reemplazando M y N se tiene finalmente 29 B 1 Cov 80 xr r Xr B Cov 80 XRF yr As 3 se puede expresar usando 3 y la varianza de BO Se observa en la expresi n anterior que si no hay informaci n faltante 6 es igual a 60 Por otro lado la varianza de 3 es o AN 7 lt 4 7 X 1 Cov 80 Xx XPOS Xr X5X 80 Xp Xw gt usando 27 y reemplazando a M y N se tiene finalmente que E OR O are A 2 30 Cov 6 1 Cov 80 X Xp Cou 6 Del resultado anterior se concluye que la covarianza de pa puede expre sarse en t rminos de la covarianza de 3 y si la informaci n esta completa stas coinciden Con los datos del ejemplo y Y obtenida en x se encontraron los siguientes valores de estimaci n para 84 2 80 529 7779 50 4529 9 3395 8 1188 4 8062 1 2213 En la tabla 4 se muestran los valore
5. n antes de imputar los datos Estos resultados se ilustran con los datos de la tabla 1 2 2 1 Enfoque multivariado Casos completos Timm y Mieczkowski 14 muestran que un dise o en medidas repetidas univariado con informaci n completa puede ser presentado como un modelo 136 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez lineal multivariado Partiendo de este resultado se ajusta un modelo donde solamente se tienen en cuenta los individuos que tienen informaci n completa n no y reordenando las observaciones se llega a un modelo univariado para medidas repetidas 14 yo Xop ec con E yc XoB y Cov yc In ng Y Y Ne donde yc es el vec tor de respuestas de orden t n no x 1 Xc es la matriz dise o de orden t n no x p con p p t B es el vector de par metros desconocidos de orden p x 1 ec vector de errores de orden t n no x 1 y es la matriz de covarianzas Ahora si se tiene en cuenta que el haber observado la infor maci n completa significa que todos los individuos fueron observados en todas las ocasiones de evaluaci n t tiempos entonces el vector de respuestas yo se puede escribir como una matriz Y de orden n ny filas por t columnas XcB como el producto de tres matrices Xw de orden t x t que corresponde a la matriz dise o de los tiempos en un modelo reparametrizado B de orden p x t matriz de par metros desconocidos Xp de orden n no x p matriz dise o correspondiente a l
6. resultados se observa que la SCE es igual a SCE siempre que no haya p rdida de informaci n 3 Conclusiones En este art culo se llev a cabo la implementaci n del m todo basado en el an lisis de covarianza para la estimaci n de par metros en medidas repetidas cuando se pierden datos en forma aleatoria encontrando que la estimaci n del vector de par metros 3 no depende de los valores iniciales conjeturados para los datos perdidos Tanto para el enfoque multivariado conocido en el texto como casos comple tos como para el m todo alternativo se muestran las expresiones algebraicas que permiten encontrar las predicciones para el vector respuesta las covarian zas de BO y PO y las expresiones algebraicas para las sumas de cuadrados del modelo y del error respectivamente Finalmente en la Tabla 5 se comparan los resultados de las predicciones frente a los datos originales observando que la predicci n del m todo alterna tivo es la que m s se acerca a los datos originales 3Los m todos de imputaci n se programaron en SAS IML v ase Gonz lez L M 7 142 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez Tabla 5 Resultados de la predici n de la informaci n faltante usando el m todo alternativo Grupo Animal Valores M todo de Casos M todo Tiempo originales covarianza completos alternativo 1 1 Sem 3 460 527 15865 535 6667 520 9435 1 3 Sem 3 530 527 15865 535 6667 520 9435 2
7. 6 Sem 3 560 549 82606 546 6667 553 8301 2 6 Sem 4 565 586 21752 571 6667 576 9306 Bibliografia 1 Afifi A and Elashoff R Missing Observations in Multivariate Statistics I Review of the Literature Journal of the American Statistical Association 61 595 604 1966 2 Andrade D y Singer J An lise de Dados Longitudinais VII Simp sio Nacional de Probabilidade e Estatistica Universidade de Sao Paulo Brasil 1986 3 Andreoni S Modelos de Efeitos Aleat rios para An lise de Datos Longitu dunais N o Balanceados em Relac o ao Tempo Dissertacao Apresentada ao Instituto de Matem tica e Estatistica da Universidade de Sao Paulo para Obtencao do Grau de Mestre em Estatistica Sao Paulo Brasil 1989 4 Bartlett M Some Examples of Statitical Methods of Research in Agri culture Journal of the Royal Statistical Society Supplement 4 137 183 1937 Citado por Affifi y Elashoff 1966 5 Crowder M y Hand D Analysis of Repeated Measures Chapman and Hall 1990 6 Dear R E A Principal Component Missing Data Method for Multiple Regression Models SP 86 System Developed Corporation Santa Monica California 1959 Citado por Affifi y Elashoff 1966 7 Gonz lez L M Medidas Repetidas con Datos Faltantes Estimaci n de Par metros V a An lisis de Covarianza Tesis de Maestr a en Estad stica Departamento de Estad stica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2002 9
8. Revista Colombiana de Estadistica Volumen 25 N 2 P gs 127 a 143 Diciembre 2002 Medidas repetidas con datos faltantes estimaci n de par metros via an lisis de covarianza LUZ MERY GONZALEZ LUIS ALBERTO L PEZ Resumen En este art culo se lleva a cabo la estimaci n de par metros y se obtie nen diferentes sumas de cuadrados ajustadas para dise os balanceados en medidas repetidas con informaci n incompleta a trav s de tres pro cedimientos el m todo de an lisis de varianza de Bartlett un m todo multivariado con base en los datos completos y finalmente un m todo multivariado alterno usando toda la informaci n disponible en el arre glo experimental Con los tres procedimientos anteriores se llevan acabo aplicaciones num ricas Palabras Clave An lisis de covarianza informaci n faltante da tos longitudinales medidas repetidas m nimos cuadrados generalizados an lisis multivariado Abstract In this paper the estimation of parameters and the different adjusted sums of squares for balanced designs in repetead measures with incomple te information is done through three procedures the Bartlett s method of covariance analysis a multivariate method with complete data and finally an alternative multivariate method using the available informa tion in the experimental arrangements Numerical applications using the above procedures are done Keywords Covariance analysis missing information longitudi
9. a animal fue registrado al final de las semanas 1 3 4 5 6 y 7 A cada uno de estos animales se les dio una sustancia inhibidora durante la semana uno la terapia de la vitamina E se comenzo en la semana cinco Tres grupos de animales cinco en cada grupo recibieron dosis de vitamina E cero baja y alta respectivamente Para la comprensi n de este modelo solo se registra en la Tabla 1 el peso corporal en gramos de las semanas uno tres y cuatro con cinco animales del grupo uno y cuatro animales del grupo dos eliminando en forma aleatoria cuatro datos del conjunto de informaci n Medidas Repetidas con Datos Faltantes 131 Tabla 1 Efecto de dietas suplementarias sobre las tazas de crecimiento en cerdos guinea con p rdida aleatoria de datos Semanas Grupo Animal 1 3 4 1 455 e 510 2 467 565 610 1 3 445 e 580 4 485 542 594 5 480 500 550 6 514 2 T 440 480 536 8 495 570 569 9 520 590 610 Fuente Datos Adaptados de Crowder y Hand 5 Ejemplo 3 1 p g 27 e Datos que fueron eliminados De la tabla se tiene que n 9 t 3 mo 4 no 3 p 4 61 Bo Bs par metros asociados con el efecto de semana 1 3 y 4 respectivamente y 64 par metro asociado con el efecto del grupo Inicialmente el vector respuesta esta dado por t y 455 510 467 565 610 445 580 520 590 610 oz pz SS
10. ades Experimentales Infortunadamente en muchos casos no se pueden usar las t cnicas cl sicas de an lisis porque se pierde observaciones o porque el dise o es desbalanceado por alguna raz n o porque hay covariables que var an en el tiempo Una revi si n de literatura sobre observaciones faltantes en datos multivariables puede encontrarse en Afifi y Elashoff 1 donde se resaltan los trabajos de Yates 18 en 1933 Bartlett 4 en 1937 Tocher 15 en 1952 Wilkinson 17 en 1958 y Dear 6 en 1959 entre otros como los pioneros en estudiar m todos para la estimaci n de informaci n faltante Algunos autores que han tratado este tema son Timm y Mieczkowski 14 Crowder y Hand 5 y Laird et al 9 pero no han hecho propuestas de esti maci n basados implicitamente en el m todo de Bartlett el cual es apropiado cuando se tiene poca informaci n faltante 2 Estimaci n de par metros en medidas repetidas En esta secci n se llevan a cabo los desarrollos te ricos y se muestran apli caciones de la t cnica del an lisis de covarianza como m todo propuesto para la estimaci n de par metros en dise os de medidas repetidas con informaci n faltante Inicialmente se implementa el m todo de Bartlett particionando en Medidas Repetidas con Datos Faltantes 129 forma adecuada el vector de respuestas seg n contenga o no informaci n fal tante luego se procede a la imputaci n de la informaci n faltante en forma multivariada y p
11. e la matriz de covarianza 2 las estimaciones de las Medidas Repetidas con Datos Faltantes 133 componentes dadas en el PROC MIXED de SAS y la matriz de covarianza combinada Al considerar el modelo 1 con las caracteristicas descritas y tener en cuenta que existen datos faltantes se tiene como funci n a minimizar no n no n 6 Y Qn E Y y Xib ZN Ez y Xib Ziy i l 1 Nuevamente teniendo en cuenta los resultados de Bartlett se separa la infor maci n en dos partes una con los tiempos en los cuales se presentan datos faltantes y la otra con los individuos y tiempos con datos observados es decir Sa 6 5 Es T Yo 6 5 2 A y Qi 5 5 Es y l 1 i no 1 7 xp 29 ey y x1 2 4 a gt vi Xi ZA pr vi Xi Z3 i no 1 Por la construcci n de Z la expresi n 7 es equivalente a no y y e xp z 7 y y X Zla 8 l 1 wit Y w XB BP ui X i no 1 Al minimizar la segunda parte de la expresi n 8 y tener desconocida la estimaci n de 8 se obtiene a partir de la expresi n notn 1 notn 9 a Xo x8 5 x87 i no 1 i no 1 Para los datos de la Tabla 1 se muestra la estimaci n obtenida Como se des conoce la matriz de covarianzas 2 se estima usando la matriz de covarianza combinada obtenida a partir de un procedimiento iterativo implementado en SAS IML v ase Gonz lez L M 7 el resultado de esta estimaci n es IVea
12. estra en 2 y Valores iniciales en los tiempos donde no se obtuvo gro informaci n 2 y indiviuos con la informa ci n observada 130 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez En forma equivalente a como se arregla el vector de respuestas se ordena la matriz dise o y los par metros del modelo como X a Y Bi o B x Ymo Bp Xnotn con p n mero de par metros poblacionales desconocidos X de orden t x p 1 1 2 n9 matriz dise o asociada a la informaci n faltante en los individuos donde se perdi alguna informaci n X i no j j 1 n matriz dise o de orden t x p asociada con la informaci n observada En el modelo en estudio y de orden nt x 1 es el vector de observaciones X de orden nt x p es una matriz de valores conocidos P de orden p x 1 es el vector de par metros y de orden mo X 1 es el vector de coeficientes para las covariables de los valores faltantes e de orden nt x 1 es la matriz de desviaciones e y E y no observable y Z de orden nt x my es la matriz de constantes conocidas de la forma z 100 0 n Oro ate 4 3 Z Re We 0 mo J Zno 1 tno 1xmo O amp xmo nota O Engen xmo con k ti La notaci n propuesta se ilustra con la informaci n del ejem plo 2 1 1 Ejemplo 2 1 1 La siguiente informaci n tomada de Crowder y Hand 5 presenta el efecto de una dieta suplementaria de vitamina E en el crecimiento de cerdos raza guinea El peso corporal de cad
13. m todo de estimaci n de in formaci n faltante presentado en la secci n 2 2 1 el m todo tiene en cuenta toda la informaci n disponible En este proceso de estimaci n se complementa el modelo 14 incluyendo los individuos que ten an alguna informaci n esto llev a plantear el modelo 22 y XB e con E y XB y E ee Q X En 22 se satisface que a x F con yp vector respuesta asocia yc Xc do con los individuos observados parcialmente Xr matriz dise o de los mismos individuos observados parcialmente yo y Xc como se definieron en la secci n 2 2 1 esto es Xo Xp Y Xw La matriz Q se particiona como o Gr Gre Qor Qe J donde Qp Cov yr y Qc como se defini en la secci n 2 2 1 Para efectos de este trabajo se asume independencia entre yr y yc por tanto se tiene que Orc Qor 0 El estimador de m nimos cuadrados generalizados para pa en el modelo 22 es Medidas Repetidas con Datos Faltantes 139 AO RO Xr xbXs a Xi EX 0 yr x5 a Xi E yo E Los resultados 24 25 y 26 son de Henderson y Searle 8 23 24 A UBV A7 AT I UBVAT UBVA para A matriz no singular U B y V matrices rectangulares o cuadradas 25 I P I P I P I I P P con I P no singular e I matriz id ntica 26 1 PQ P P I QP con I PQ y I QP no singulares Se puede reescribir 24 como U XL07 Xp B V IyA XL0 1X XbXp a Xi E71X y y por 25 y 26 entonces 23
14. nal data repeated measures generalized least squares multivariate analysis Profesora Asistente Departamento de Estad stica Universidad Nacional de Colombia e mail Imgong matematicas unal edu co Profesor Asociado Departamento de Estad stica Universidad Nacional de Colombia e mail alopezQ matematicas unal edu co 127 128 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez 1 Introducci n Las investigaciones con datos longitudinales involucran observaciones de un conjunto de unidades experimentales humanos lugares geogr ficos animales etc clasificados en diferentes subpoblaciones teniendo en cuenta uno o m s factores raza lugar de origen tipo de dieta etc a lo largo de diversas condi ciones de evaluaci n tiempos dosis etc En este sentido se pueden destacar los trabajos de Laird y Ware 10 Ware 16 Andrade y Singer 2 Liang y Zeger 11 y Andreoni 3 entre otros La diferencia entre un estudio longitudinal y uno de medidas consiste en que en el primero los individuos participantes son seguidos por periodos exten sos y en el segundo las observaciones son recolectadas en periodos de tiempo relativamente cortos y frecuentemente bajo condiciones experimentales Esta diferencia se puede ver m s en detalle en Crowder y Hand 5 Otra caracter stica fundamental asociada a los estudios con medidas repe tidas es la posibilidad de correlaci n no nula entre las observaciones realizadas en las mismas Unid
15. os factores en un modelo reparametrizado y ec como U n no xt Matriz de errores Con lo anterior 14 se reescribe como 15 Y XwBiX5 U El hecho de utilizar s lo los casos completos permite que la matriz asociada a estos se pueda escribir como Xc Xg Xw es decir Xc es separable entonces el mejor estimador lineal insesgado MELI de B es B Xp Xp XhZ 16 XiXe MEY Ke que es el estimador multivariado Ahora al aplicar el operador Vec a la traspuesta de la ecuaci n 16 se tiene 17 BY XXe Xb Xp Vec Por otro lado teniendo en cuenta que Xc Xp Xy el estimador univariado 2la condici n que se ala que la matriz dise o univariada X puede ser representada como el producto kronecker X Xg Xw es llamada condici n de separabilidad Medidas Repetidas con Datos Faltantes 137 de minimos cuadrados generalizados de 14 es A 1 6 1 re 4 1 A S c 30 x40 Xo xE9G yo con Y Ic E In n Q R E x 1 2 18 BY xbx2 xb Q x xw x bye Para efectos de estimaci n de BO la matriz de covarianza se puede estimar usando la informaci n completa casos completos o toda la informaci n disponible Si la matriz dise o Xw es de rango completo y Xc es separable en tonces se satisface que XtyE1X yw Xfyu X7 E Xt XtyE7 PIO Xy Este resultado muestra la equivalencia entre la estimaci n multivariada y univariada es decir 17 y 18 producen resultados id n
16. osteriormente se muestra el procedimiento para la estimaci n de los par metros as como para la obtenci n de las sumas de cuadrados del modelo y del error corregida una vez hecha la imputaci n 2 1 M todo del an lisis de covarianza en medidas repe tidas En esta subsecci n se implementa el m todo de Bartlett para la imputaci n de informaci n faltante en modelos con medidas repetidas bajo el supuesto de perdida de informaci n en forma aleatoria Se supone que se observan n individuos bajo t condiciones de evaluaci n y que se presentan mo valores perdidos en no de los n individuos iniciales ny lt mo pudiendo en este caso representar esa informaci n con el modelo de covarianza V ase 13 1 y XB Zy e siendo y el vector respuesta de orden ntx 1 ya que n individuos fueron evaluados en t diferentes ocasiones X la matriz dise o de orden nt x p el vector de par metros desconocidos de orden p x 1 Z la matriz de covariables de orden nt x mo y el vector de coeficientes para las covariables de orden ny x 1 y e el vector de desviaciones de orden nt x 1 Sin perder generalidad se puede ordenar el vector de observaciones de forma tal que las primeras componentes correspondan a los tiempos en los cuales se perdi alg n dato Si en total se tienen my datos faltantes en ng individuos entonces el resto de componentes no j con j 1 n corresponden a los individuos con al menos una observaci n en el tiempo como se mu
17. rnal of Experimental Agriculture 1 129 142 1933 Citado por Affifi y Elashoff 1966
18. s inputados por este m todo Tabla 4 Resultados de la predicci n de la informaci n faltante usando el m to do alternativo Grupo Animal Tiempo i 1 1 Sem 3 520 9435 1 3 Sem 3 520 9435 2 6 Sem 3 553 8301 2 6 Sem 4 576 9306 2 2 3 Relaci n entre sumas de cuadrados del enfoque multivariado casos completos y el m todo alternativo Finalmente se presenta en esta secci n una relaci n entre las dos propuestas del enfoque multivariado basada en la comparaci n de las sumas de cuadrados Medidas Repetidas con Datos Faltantes 141 del modelo y del error considerando nicamente la primera iteraci n es decir sin tener en cuenta los datos inputados Se inicia con la suma de cuadrados del modelo y a partir de desarrollos algebraicos v ase Gonz lez L M 7 se encuentra que SCM SCM ye Xr Oo 8 207 yr 31 sae Sorry a 1 I MN 2x20 yr MP Y la suma de cuadrados del error cuando se usan todos los datos es A A t A SCE SCEO ytQ5yp 2 8 Xy 32 ype XPNXRO yr yp OR Xr 607 Xo NMCov 80 Or yr Xt0 G yo Las ecuanciones 31 y 32 permiten encontrar una relaci n entre las sumas de cuadrados de los dos enfoques multivariados esto es se expresan las sumas de cuadrados del modelo y del error del enfoque multivariado m todo alter nativo en t rminos de las sumas de cuadrados del enfoque multivariado casos completos De estos
19. se la guia del usuario de SAS 12 134 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez 7 728 56429 917 95238 721 2 X 917 95238 2092 1905 1434 619 721 2 1434 619 1484 5429 en forma iterativa la estimaci n de 9 di los siguientes resultados 6 479 13503 540 26207 572 93697 11 21525 Estas estimaciones fueron usadas para la imputaci n de la informaci n faltan te Con este estimador y despejando de las ecuaciones normales asociadas al modelo 1 se tiene que ZY y X B y para las primeras mp componentes se satisface 10 Z 4 gf X con l 1 ng para las dem s componentes Z 0 con i no 1 no n al tenerse en cuenta que Z 0 para todo i gt no reemplazando esta estima ci n en 8 se obtiene AI l 1 y x a vi x i no 1 11 Se vi xp 7 y x i notl al minimizar 11 respecto a 3 se llega a la soluci n encontranda en 9 con esta soluci n y despejando y de 10 se halla que 0 sats 0 1 0 ae 0 a lt lt SY 1 k 1 k k 1 mo A A x P ES t Yis t s Vkl Yk Vk 4l gt Ymo Po Ke Bi as Be 12 Ay gl Xmb N tese que k 1 mo donde g es el valor inicial conjeturado para el k simo valor faltante Xix es la fila de la matriz dise o asociada al k simo Medidas Repetidas con Datos Faltantes 135 valor faltante y 4 es el coeficiente estimado de la covariable para el k simo valor faltante Como
20. ticos as 19 BO XXe Xh 9 Xi bvo BYP Obtenida la estimaci n de 8 a partir de 19 se procedio a encontrar la estimaci n del vector de predicci n a partir de la siguiente expresi n E 1 _ IX XbXz xL0 bea j 1 20 Xmo XbXn X 8 11 yo siendo X p c la matriz dise o con toda la informaci n La matriz de covarianza estimada cuando se tiene la informaci n completa es obtenida a partir de la expresi n Cov 80 eso 21 Cov 6 XXe 8 Caen siguiendo con los datos propuestos para ilustrar este trabajo se sigue que la estimaci n de la matriz de covarianzas con el conjunto completo de datos es 880 66667 1100 0833 659 33333 x 1100 0833 2259 8333 1503 8333 659 33333 1503 8333 1169 83333 y la estimaci n de 3 con la ecuaci n 19 arrojo los siguientes resultados 3 530 24167 50 91667 10 9250 6 619444 6 305556 1 119444 138 Luz Mery Gonz lez y Luis Alberto L pez Finalmente obtenida la estimaci n de BO se encontraron los valores de pre dicci n a partir de la ecuaci n 20 estos resultado se ilustran en la tabla 3 Tabla 3 Resultados de la predici n de la informaci n faltante usando casos completos Grupo Animal Tiempo of 1 1 Sem 3 535 6667 1 3 Sem 3 535 6667 2 6 Sem 3 546 6667 2 6 Sem 4 571 6667 2 2 2 M todo alternativo de estimaci n En esta secci n se propone una variante al
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