Generación de trayectorias para un robot manipulador utilizando
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1. n se tenga se obtiene mejor calidad en las im genes y por consiguiente el procesamiento se simplifica Cabe se alar que en ste trabajo no se profundiza en el tema de visi n s lo en el procesamiento ya que hablar de visi n implica el conocimientos de diferentes equipos y t cnicas tales como la ptica y la iluminaci n que son campos de estudio muy amplios 2 2 Generaci n de contorno El proceso para la obtenci n de contorno del objeto cuenta con dos fases que a continuaci n se describen gt En la primera fase se umbraliza la imagen para resaltar a n m s las caracter sticas del objeto sobre el fondo al umbralizar se obtiene una imagen binaria representada por ceros y unos que corresponden a los colores negro y blanco respectivamente 4 En la figura 2 se observa el resultado de la umbralizaci n Figura 2 Im genes de objetos binarizados gt En la segunda fase se desarroll un algoritmo propio para generar el seguimiento del contorno que consiste en asignar la direcci n de b squeda sentido horario o antihorario hacer un barrido para buscar un punto inicial seguir todos y cada uno de los puntos del contorno y guardarlos en un par de vectores x y los cuales nos representan la ubicaci n en el plano del contorno y son necesarios para obtener las splines En la figura 3 se muestran los resultados de este proceso En la misma figura para el contorno del objeto de la izquierda se generaron 1555 par2. tica inversa primero hay que conocer la trayectoria que debe seguir el robot en funci n de la trayectoria se encuentra la orientaci n del eje de coordenadas 6 la herramienta con respecto al eje de coordenadas 0 la base esta orientaci n junto con cada punto de la posici n de la trayectoria px py pz forman la matriz de transformaci n deseada T4 que se muestra en la formula 8 NX OX ax px q PY ay py 8 nz oz az pz 0 0 0 1 Donde los vectores n o y a representan la orientaci n del eje de coordenadas 6 con respecto al eje O y el vector p la posici n en el espacio igualmente referenciado al eje 0 Para resolver la cinem tica inversa basta igualar la matriz de transformaci n deseada con la matriz de transformaci n original T4 T y resolver para los ngulos ql q2 q3 q4 y q5 1 La orientaci n de la herramienta en el espacio esta determinada por la trayectoria que se obtuvo de las curvas param tricas de las splines y de la ubicaci n de stas en el espacio de trabajo del manipulador El espacio de trabajo para este manipulador se muestra en la figura 8 Espacio de Trabajo proa Le o o Le o sae E E rl w 20 m w 200 400 EJE Y mm 600 600 EJE X mm Figura 8 Espacio de trabajo del manipulador Para ejemplificar los resultados de la cinem tica inversa se muestran dos casos Para el caso A la orientaci n de la herramienta es constante apuntando en direcci
3. n del eje z negativo como se muestra en la figura 9 El robot sigue la trayectoria manteniendo la herramienta en la misma direcci n por lo que los vectores n o y a de la matriz de transformaci n deseada var an muy poco simplificando el calculo de la cinem tica inversa Figura 9 Trayectoria caso A Para el caso B la orientaci n de la herramienta es en direcci n normal a la trayectoria por lo que en la matriz de transformaci n deseada Td los vectores n o y a est n determinados por los vectores normales de la trayectoria a seguir que son los vectores normales que se obtuvieron con ayuda de las splines En la figura 10 se muestra un instante en el que el manipulador est siguiendo la trayectoria con la herramienta siempre en direcci n normal a la trayectoria Figura 10 Trayectoria caso B Una vez que se resuelve la cinem tica inversa hay que considerar las restricciones del manipulador y en funci n de las restricciones llevar al robot de su posici n inicial al punto inicial de la trayectoria hacer que la siga y regrese a su posici n inicial cuidando las colisiones En la figura 11 se muestran las graficas de posiciones y velocidades para las articulaciones q1 q2 q3 y q4 de la trayectoria para el caso A donde la posici n de la articulaci n q5 es constante por lo que no se muestra en stas graficas En las graficas se pueden observar las posiciones y las velocidades que desarrolla el manipulador durant
4. seleccionan una cantidad especifica para realizar la interpolaci n por splines a mayor Splines Parametricas x t y t cantidad mejor es la aproximaci n al contorno real Por ejemplo para la imagen de la figura 4 se seleccionaron 40 puntos de 1555 que se ten an Con los puntos considerados se realiza la interpolaci n por splines parametrizando para x e y en funci n de f siendo un vector de las mismas dimensiones de x e y con incrementos constantes Por cada punto que se considero se obtienen 4 valores que son los coeficientes que componen un polinomio c bico as se obtienen tantos polinomios c bicos como puntos fueron considerados para cada vector x e y Figura 4 Puntos considerados gt Una vez que se tienen los coeficientes se forman los polinomios y se eval an para el intervalo ty lt t lt t para obtener las curvas param tricas Ver figura 5 spline param trica x t e y t Vectores Tangente y Normal x t y t Spline Parametrica y t Spline Parametrica x t Figura 5 Resultados de la interpolaci n gt Finalmente se derivan los polinomios para obtener los vectores tangentes y normales a la trayectoria del contorno los cuales ser n tiles para resolver la cinem tica inversa del robot manipulador En la parte superior derecha de la figura 5 se representan algunos de estos vectores En la parte superior izquierda de la figura 5 se muestra la comparaci n de las curva param tricas y
5. un robot manipulador industrial RV 2AJ de Mitsubishi fue dibujado en Autocad donde se obtuvieron las primitivas de cada eslab n se pasaron a C en formato de v rtices y con ayuda de las librer as de OpenGL se dibujo el manipulador y se le dio movimiento En la figura 12 se muestra un diagrama a bloques donde se representan los pasos que se realizaron para llegar a la simulaci n Binarizaci n y Contorno Adquisici n de Imagen Generaci n de Splines Cinem tica Inversa Interfaz Matlab C C Lectura de Datos Dibujar Manipulador Dibujar Trayectoria Figura 12 Diagrama a bloques para la simulaci n 6 CONCLUSIONES En el transcurso del trabajo se pudo observar c mo un procesamiento de im genes simple complementado con una herramienta matem tica como las splines fue un resultado poderoso para poder generar trayectorias suaves para un robot manipulador Dado que la cinem tica del manipulador est en funci n de las splines obtenidas del procesamiento de la imagen y dado que las splines son polinomios c bicos y pueden ser tratados sin mucho problema se pudieron obtener la derivada y el vector normal de la trayectoria de manera sencilla los cuales simplificaron los c lculos de la cinem tica inversa y as fue posible realizar una simulaci n muy parecida a la realidad En la figura 13 se muestra una foto del robot real cuando esta siguiendo una trayectoria Cabe se alar que para impl
6. 2D para cortar soldar dibujar etc La generaci n de la trayectoria puede ser extrapolada a cualquier otro robot o maquina que pueda seguir la trayectoria Los pasos a seguir en el desarrollo de este trabajo son los siguientes gt Obtener la imagen y realizarle el procesamiento digital gt Generar la trayectoria del objeto en curvas param tricas utilizando interpolaci n por splines importante en este trabajo El proceso de captura de imagen y su procesamiento cuentan con un gran numero de metodolog as y algoritmos muy estudiados El conocimiento de la aplicaci n y modo de empleo de estas herramientas son la clave para tener un resultado optimo y funcional 2 1 Obtenci n de la imagen Un proceso clave para que el procesamiento de im genes no sea tan complicado es la obtenci n de una imagen de buena calidad para los fines que convenga a la aplicaci n En la obtenci n de la imagen para sta aplicaci n son necesarias dos cosas que el objeto del cual se requiere digitalizar el contorno sea el nico en la imagen y que el contraste entre el objeto y el fondo se muy bueno Como se muestra en las im genes de la figura 1 Figura 1 Im genes de objetos a digitalizar La obtenci n de stas im genes de la figura 1 se realiz con una c mara digital est ndar que puede ser cualquier tipo de c mara digital fotogr fica Entre mejores caracter sticas fotogr ficas tenga la c mara y mejor sistema de iluminaci
7. Generaci n de trayectorias para un robot manipulador utilizando procesamiento de im genes y splines Trajectory generation for a manipulator robot using image processing and splines J A Soto Cajiga J E Vargas Soto J C Pedraza Ortega Estudiante de Posgrado Centro de Ingenier a y Desarrollo Industrial Director Facultad de Ingenier a Universidad Anahuac M xico Sur Investigador Centro de Ingenier a y Desarrollo Industrial RESUMEN En este trabajo se presenta una propuesta para generar trayectorias para un robot manipulador espec ficamente el robot manipulador RV 2AJ de Mitsubishi A partir de una imagen especifica que contenga un objeto se le aplica un procesamiento de imagen para obtener el contorno del objeto Con ayuda de ste contorno y aplicando una interpolaci n por splines se realizan los c lculos de la cinem tica inversa para generar la trayectoria del contorno del objeto que debe seguir el manipulador Se desarrolla un software de simulaci n en 3D para las pruebas del algoritmo y la visualizaci n de los movimientos del manipulador Finalmente se realizan las pruebas reales con el robot manipulador Palabras clave Splines Cinem tica Trayectoria OpenGL Robot manipulador ABSTRACT The purpose of this work is to generate trajectories for a manipulator robot specifically the manipulator RV 2AJ of Mitsubishi Beginning with a specific image that contains an object and applying image processing the object o
8. e su recorrido y con ayuda de la tabla 1 se pueden comparar las graficas con las restricciones del manipulador y as poder aumentar o disminuir las velocidades seg n se requiera sin exceder los limites Tambi n de las graficas se obtiene el tiempo aproximado que tardar a el robot en recorrer sta trayectoria que est en funci n de las velocidades m ximas de cada articulaci n Velocidades q1 q4 Posiciones q1 q4 2 Segundos Segundos Figura 11 Graficas para la trayectoria caso A 5 SIMULACI N La simulaci n fue desarrollada a la par con el modelo matem tico para ir comprobando los resultados obtenidos Fue desarrollada en dos ambientes Matlab y C con librer as de OpenGL en Matlab se realizo el procesamiento de la imagen la interpolaci n de las splines los c lculos de la cinem tica y la simulaci n grafica stos resultados se exportaron a C donde se desarrollo la simulaci n en 3D del sistema Se trabajo en dos ambientes Matlab y C ya que Matlab es muy til para resolver sistemas donde se involucra el manejo de matrices tal como el procesamiento de im genes o el calculo de la cinem tica por otro lado en C con ayuda de las librer as de OpenGL 5 6 que son librer as libres la simulaci n en 3D se facilita adem s que actualmente existen diferentes t cnicas para realizar interfases entre diferentes ambientes de programaci n incluyendo C y Matlab 2 El robot es una replica de
9. ementar la trayectoria en el robot s lo se cargan los puntos considerados del contorno y el robot interpola para stos puntos con su propio algoritmo por lo que los algoritmos de interpolaci n por spline solo sirven para el calculo de la cinem tica inversa la simulaci n y por supuesto para cuestiones de dise o Figura 13 Foto del robot siguiendo una trayectoria En este trabajo la nica limitante fue el robot manipulador ya que es un robot industrial b sico y son limitadas las aplicaciones que se pueden desarrollar tal como modificar la posici n en tiempo real 7 TRABAJO FUTURO En un futuro se pretende trabajar en la predicci n de la trayectoria para un robot manipulador en el cual se pueda modificar la trayectoria en tiempo real con alg n sistema de retroalimentaci n ya sea visi n o alg n sensor especial Por otro lado el desarrollo de la simulaci n en 3D ha sido de gran inter s debido a que para poder programar un robot industrial normalmente es necesario el sistema f sico y el software de programaci n del mismo que normalmente son de un costo no muy accesible especialmente para instituciones de educaci n publica media y superior Por lo que se pretende trabajar en la simulaci n en 3D de diferentes configuraciones de robots industriales utilizando comandos de programaci n lo m s parecidos a los reales de sta forma los estudiantes podr n tener un entrenamiento y acercamiento a la programaci n de r
10. es ordenados x y y para el de la derecha 1339 pares ordenados Figura 3 Im genes de contorno de objetos 3 INTERPOLACI N POR SPLINES La mayor a de los robots manipuladores realizan trayectorias curvas por la interpolaci n de tres puntos esto ahorra memoria trabajo y tiempo ya que no es lo mismo almacenar y programar 1555 puntos que 40 puntos La interpolaci n por splines no es del todo necesaria para la programaci n del robot manipulador ya que el controlador del robot cuenta con sus propios algoritmos de interpolaci n sin embargo si se desea dise ar y o desarrollar una maquina o un robot las splines pueden ser la soluci n para las interpolaciones 3 adem s que ayudan a suavizar el contorno del objeto y a tener una representaci n matem tica del mismo Existen dos caracter stica por las que se utiliza la interpolaci n por splines y no otro tipo de interpolaci n La primera es porque las splines que se manejan son polinomios c bicos los cuales son f ciles de derivar La segunda y m s importante es porque la derivada del punto final de un polinomio c bico es la misma que la del punto inicial del siguiente polinomio c bico por lo que el resultado obtenido es una serie de funciones c bicas en un intervalo determinado que juntas forman una sola funci n continua para todo el intervalo El proceso para obtener las splines es el siguiente gt De los puntos de pares ordenados del contorno del objeto se
11. la figura real binarizada y en la figura 6 se muestran algunas ampliaciones de sta imagen en puntos determinados para visualizar la aproximaci n Figura 6 Resultados de la interpolaci n ampliados De la figura 6 se puede ver c mo la trayectoria es suavizada y la aproximaci n es muy buena Que podr a ser mejor si se consideraran m s puntos para la interpolaci n 4 CINEM TICA DEL ROBOT MANIPULADOR La cinem tica del manipulador es necesaria ya que es la base para desarrollar la simulaci n poder observar c mo el robot manipulador sigue la trayectoria y evaluar s los resultados de los algoritmos son correctos para poder pasar stos resultados al robot manipulador real No es de inter s en ste articulo el desarrollo completo de la cinem tica del manipulador pero si de dar a entender el procedimiento que se sigui para el calculo de la cinem tica inversa con base a los resultados de la interpolaci n por las splines Por lo que a continuaci n se presenta ste procedimiento 4 1 Cinem tica directa Para desarrollar la cinem tica del manipulador se utilizan matrices de transformaci n homog nea 1 en la figura 7 se muestra una imagen del robot El robot esta dibujado en C con librer as OpenGL 5 6 el cual es una replica del robot Melfa RV 2AJ de Mitsubishi Figura 7 Configuraci n del Robot El robot cuenta con 5 grados de libertad los 3 son rotacionales y cada uno tiene sus restricciones de
12. obots industriales sin necesidad del robot f sico 8 REFERENCIAS 1 Barrientos A y Balaguer C 1997 Fundamentos de Rob tica Mc Graw Hill Primera Edici n Espa a 2 Bay Y 2003 Applications Interface Programming Using Multiple Languages Prentice Hall USA 3 Burden R y Faires J 2002 An lisis Num rico Thomson Learning S ptima Edici n USA 4 Myler H y Weeks A 1993 Computer Imaging Recipes in C Prentice Hall USA 5 Neider J y Davis T 1997 ReedBook Addison Wesley Segunda Edici n USA 6 Wright R y Sweet M 1999 OpenGL Super Bible Waite Group Press Segunda Edici n USA
13. rotaci n estas restricciones y las de velocidad se muestran en la tabla 1 Tabla 1 Restricciones del Manipulador Limite de Velocidad Rotaci n M xima Deg Deg s Articulaci n Las matrices de transformaci n homog nea para la cinem tica directa son representadas por la letra A con un sub ndice que representa el eje de coordenadas inicial y un super ndice que representa el eje de coordenadas final Los t rminos qi representan el ngulo en radianes de cada eslab n partiendo desde la base y hasta el ltimo eslab n y los Li representan la longitud de cada eslab n de igual forma desde la base y hasta el ltimo eslab n considerando la herramienta cos qgl O sen ql 0 Al sen q2 O cos ql 0 1 0 1 0 El 0 0 0 1 sen q2 cos q2 0 L2sen q2 2 0 0 1 0 cos q2 sen q2 O L2cos q2 Af 0 0 0 1 A 0 0 0 cos q3 sen q3 L3 cos q3 0 0 1 0 sen q3 cos q3 0 L3sen q3 3 1 0 cos q4 O sen q4 0 A _ sen q4 O cos g4 O 4 0 1 0 0 0 0 0 1 cos g5 sen g3 O 0 45 sen q5 cos q45 0 L4 5 o 0 1 0 0 0 O 1 0 1 0 0 1 0 0 5 6 6 _ o 010 0 0 0 1 La cinem tica directa es el resultado de multiplicar todas las matrices de transformaci n homog nea para tener una matriz que va del eje de coordenadas O al eje de coordenadas 6 representada como Af 1 como muestra la formula 7 A T AA A A A A5 0 4 2 Cinem tica inversa Para los c lculos de la cinem
14. utline is obtained With the help of this outline and applying an interpolation by splines the inverse kinematics is computed to generate the trajectory of the object outline that the manipulator must follow Also 3D simulation software 1s developed for the test algorithm and visualization of the manipulator movements Finally tests with the RV 2AJ manipulator robot are made Key words Splines Kinematics Trajectory OpenGL Manipulator robot 1 INTRODUCCI N gt Con ayuda de las curvas param tricas calcular la cinem tica inversa para generar la trayectoria en La rob tica la visi n artificial y sus aplicaciones son hoy el robot manipulador en d a un campo de gran inter s Investigaciones en estos gt Realizar la simulaci n del seguimiento de la campos prometen desarrollos avanzados y novedades en trayectoria utilizando librer as de OpenGL muchos aspectos Aplicaciones de proyectos que combinan la rob tica con la visi n artificial son encontradas cada vez m s en nuestros d as y cada d a son m s interesantes complicadas y posibles 2 PROCESAMIENTO DE IMAGEN El procesamiento de im genes es b sico pero no menos La idea principal de este trabajo es generar una aplicaci n pr ctica utilizando un robot manipulador de 3 grados de libertad procesamiento digital de im genes y una herramienta matem tica como lo son las splines Dentro de las posibles aplicaciones se tienen por ejemplo la digitalizaci n de patrones en
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