Software Tutorial de apoyo al aprendizaje de los métodos básicos
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1. B Bakahvalov N M todos Num ricos Editorial Paraninfo Madrid 1990 Balfour A y Beveridge W T An lisis Num rico B sico con Algol Compa a Editorial Continental S A Primera edici n M xico 1987 Burden Richard y otros An lisis Num rico Grupo Editorial Iberoam ricana M xico 1985 Chapra Steven C y Canale Raymond P M todos Num ricos para Ingenieros con aplicaciones en computadoras personales McGraw Hill S A de C V Primera edici n M xico 1988 Cutlip Michael B y Schacham Mordechai Problem Engineering in Chemical Engineering with Numerical Methods Prentice Hall International 1st Edition New York 1999 Enciclopedia Microsoft Encarta 2001 1993 2000 Microsoft Corporation Reservados todos los derechos Hildebrand F B Introduction to Numerical Analysis Second Edition McGraw Hill New York 1974 Merayo G F lix y Nevot L Antonio An lisis Num rico Editorial Paraninfo Primera edici n Madrid 1992 Nakamura Shoichiro An lisis num rico y visualizaci n gr fica con MATLAB Prentice Hall Hispanomericana S A Primera edici n M xico 1997 Purcell Edwing J y Varberg Dale C lculo con Geometr a Anal tica Prentice Hall Hispanoamericana S A Cuarta edici n M xico 1987 Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 132. ingreso al manual de usuario Descripci n de los formularios presentados para la soluci n de los principales m todos num ricos Ra ces de funciones Uno de los problemas m s b sicos del an lisis num rico el problema de la b squeda de ra ces consiste en encontrar los valores de las variable x que satisfacen la ecuaci n F x 0 para una funci n f dada A una soluci n de este problema se le llama un cero de F o una ra z de F x 0 Los m todos num ricos presentados se usan para encontrar aproximaciones a las soluciones de ecuaciones cuya soluci n exacta no se puede encontrar por m todos algebraicos Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 5 Lo Newton R aphson a x a a 2 TINAD Universidad Ablerta y JN PE y Naclonal a distancia Funci n F 69 Editar Valor inicial X 0 ho Calcul Minimo Error aicular Valor de la ra z L J a E Regla Falsa Ez Universidad Ablerta y JAD Naclonal a distancia Ed F 9 Editar WYalores iniciales Yalor de la funci n Minimo Error Valor Inicial X 1 fi Y 1 po Valor Inicial X 2 f2 Y 2 A d b Figura 5 Ventanas para acceder a los m todos de soluci n de ecuaciones no lineales a Newton Raphson b Regla Falsa La soluci n se expresa en un formulario de respuesta con el objeto de reconocer las diferencias e
3. Software Tutorial de apoyo al aprendizaje de los m todos b sicos de An lisis Num rico para la soluci n de problemas de ingenier a Jes s Alfonso Torres Ortega Escuela de Postgrados Universidad Nacional Abierta y a Distancia Bogot Colombia Correo electr nico jatorresorO unal edu co Resumen Numericals es un software tutorial de apoyo al aprendizaje de las t cnicas utilizadas para el An lisis Num rico mediante la programaci n de los principales m todos num ricos para la soluci n de problemas de ingenier a Los m todos num ricos son t cnicas mediante las cuales es posible formular problemas matem ticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritm ticas Aunque hay muchos tipos de m todos num ricos comparten una caracter stica com n invariantemente se debe realizar un buen n mero de tediosos c lculos aritm ticos No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y r pidas el papel de los m todos num ricos en la soluci n de problemas de ingenier a haya aumentado en forma considerable en los ltimos a os Adem s de proporcionar un aumento en la potencia de c lculo la disponibilidad general de las computadoras y su asociaci n con los m todos num ricos ha influido de manera muy significativa en el proceso de la soluci n de problemas de ingenier a Palabras claves An lisis Num rico Software C lculo Tutorial Abstract The software Numericals is a tutorial for sup
4. a interpretaci n de la soluci n y a su incorporaci n al sistema total o conciencia hol stica Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 2 Los m todos num ricos re ne dos de los instrumentos m s trascendentales en el repertorio de la ingenier a matem ticas y computadoras Podemos definir a los m todos num ricos sin ser muy estrictos como las matem ticas por computadora Las buenas t cnicas de programaci n acent an la destreza para adaptar los conocimientos de los m todos num ricos En esencia las potencialidades y restricciones de las t cnicas num ricas se advierten mejor cuando se usan estos m todos para resolver los problemas de ingenier a empleando como herramienta una computadora Los m todos num ricos son un medio para reforzar su comprensi n de las matem ticas ya que una de sus funciones es convertir las matem ticas superiores a Operaciones aritm ticas b sicas porque profundizan en los temas que de otro modo resultar an oscuros Adicionalmente esta alternativa aumenta su capacidad de comprensi n y entendimiento en el curso de an lisis num rico JNAD universidad Ablerta y Haclonal a distancia Numericals Versi n 1 0 a Realizado por a JESUS ALFONSO TORRES ORTEGA EO e a Ing amp co Magister Ingenier a Quimica UIS ISBN 958 651 479 Bogot D C 2001 Advertencia Prohibida la reproducci n total o parcial de este tut
5. cuasiones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Salir Fecha 16 12 2001 Numericals v1 0 Bienvenido a su software tutorial de la asignatura An lisis Num rico Hora 00 42 40 Figura 2 Interfaz de usuario de ingreso a los m todos num ricos Ra ces de ecuaciones ajuste de curvas integraci n ecuaciones simult neas y ecuaciones diferenciales Las teclas de acceso de una orden es la tecla del teclado que el usuario puede pulsar para ejecutar la orden Cuando el usuario abre un men en tiempo de ejecuci n la tecla de acceso de una orden est indicada por una letra subrayada en el nombre de la orden Funciones operacionales E Editor de Ecuaciones Miel A k Ya a gt AD Universidad Abierta y Saena Hacional a distancia Funciones 3 m Eal Ea i Figura 3 Editor de ecuaciones para ingreso de las funciones F x para los c lculos num ricos Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 4 Sistema de ayuda interactiva Numericals incluye una referencia interactiva que podr utilizar para aprender m s sobre el entorno del software tutorial sobre los m todos num ricos y sobre el procedimiento adecuado para encontrar la soluci n en cada caso El acceso a la informaci n de ayuda se puede realizar de varias formas El sistema de ayuda empieza con las indicaciones b sicas para guiarlo al m todo en cuesti n El sistema de ayuda interactiva e
6. erenciales Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 9 Ecuaciones no Lineales a 2 2 T TINAD Universidad Ablerta y Pe Nacional a distancia Valores iniciales Numero de Ecuaciones 5 Valor Inicial de X 5 0 Fi d x2 x3 Editar Valor Inicial de X T 0 F2 x1 x2 x3 Editar Valor Inicial de X aho 0 F3 x1 x2 x3 Editar Valor Inicial de X NN 0 F40d x2 x3 Editar Valor Inicial de X 0 F5ql x2 x3 Editar Salir Figura 10 Formulario de acceso para resolver num ricamente un sistema de ecuaciones no lineales Los m todos de iteraci n de punto fijo dominan el estudio de las soluciones num ricas de ecuaciones de la forma F x 0 El m todo que usaremos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales ser b sicamente una generalizaci n del m todo de Newton Ecuaciones Diferenciales Aunque en cualquier libro de texto sobre el tema de ecuaciones diferenciales ordinarias se encuentran m todos para hallar expl citamente las soluciones de problemas de primer orden de valor inicial en la pr ctica pocos de los problemas que se originan del estudio de fen menos f sicos se pueden resolver exactamente Estas tienen un enorme significado en la pr ctica de la ingenier a Esto se debe a que muchas leyes f sicas est n expresadas en t rminos de la raz n de cambio de una cantidad m s que e
7. integraci n c Reglas de Simpson d Cuadratura Gaussiana Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una funci n que no tiene una antiderivada explicita o cuya antiderivada tiene valores que no son f cilmente obtenibles El m todo involucrado para aproximar F x dx se conoce como cuadratura num rica y usa una suma del tipo Y a F x para aproximar F x dx Ajuste de curvas A menudo se presentar la oportunidad de ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 7 o interpolaci n Universidad Ablerta y Naclonal a distancia Interpolaci n M todo N mero de Datos Gr fica Fe Salir R Regresi n o Universidad Ablerta E Nacional a distancia Par metros Variables Independientes Orden del polinomio N mero de Datos Regresi n C Lineal M ltiple Polinomial 10 Figura 8 En la pantalla de la computadora se muestran la gr fica de datos transformados que se usan para determinar los coeficientes de la ecuaci n de potencias e Interpolaci n f Regresi n Las t cnicas que se han desarrollado para este fin pueden dividirse en dos categor as generales regresi n e interpolaci n La primera se emplea cuando hay un grado significativo de error asociado a los datos con frecuencia los datos experimentales son de esta clase Para esta estrategia es encontrar u
8. n t rminos de su magnitud Entre los ejemplos se observan desde los modelos de predicci n demogr fica raz n de cambio de la poblaci n hasta la aceleraci n de un cuerpo en descenso raz n de cambio de la velocidad Dos tipos de problemas son direccionados problemas con valor inicial y valores en la frontera Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 10 li Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Naclonal UN Universidad ga Intervalo de integraci n Punto inicial j Punto final 5 dx1 dt FI t x1 x2 x3 Jx2 Editar dx2 dt F2 t x1 x2 x3 j1 Editar dx3 dt F3 t x1 x2 x3 cfa Editar dx dt F t xl x2 x3 p 16 1Senb3 Editar Numero de Ecuaciones ja Valores iniciales Valor Inicial de X 13 78 Valor Inicial de X 230 Valor Inicial de X 39178 Valor Inicial de X 4J0 Calcular Gr fica 1 Soluci n del sistema de ODES Y1 0 844229229345331 Y2 1 19652569314667 Y3 0 830831057142517 Y4 1 1542284925028 0 la Grafica Y max 4 1 3895 Y min 4 22639 X min x alir max fo 60440 ls 39959 Actualizar 5 2 k Figura 11 Pantallas para la resoluci n de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias 1 presentaci n y captura de datos J Ventana de respuesta k Soluci n grafica Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 N
9. na curva que represente la tendencia general de los datos sin necesidad de tocar los puntos individuales En contraste la interpolaci n se maneja cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que est n relativamente libres de error Tal es el caso de la informaci n tabulada Para estas situaciones la estrategia es ajustar una curva directamente mediante los puntos y usar esta curva para predecir valores intermedios Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 8 Ecuaciones Simult neas HA Sistemas de Ecuaciones Lineales Of x JNAD Universidad Ablerta y En Maclonal a distancia gt 0luci n por Gauss Jordan M rnero de Ecuaciones E g baza Respuesta xl Soluci n del sistema Cerrar h Figura 9 Ejemplo de aplicaci n del software para un caso de ecuaciones simult neas g Formulario de entrada de datos h Ventana de respuesta Los sistemas lineales de ecuaciones se presentan en muchos problemas de ingenier a y de ciencia as como en las aplicaciones de las matem ticas a las ciencias sociales y al estudio cuantitativo de problemas de comercio y de econom a En particular se originan a partir de modelos matem ticos de sistemas grandes de elementos interrelacionados como estructuras circuitos el ctricos y redes de flujo aunque tambi n pueden encontrarse en otras reas de los m todos num ricos como el ajuste de curva y ecuaciones dif
10. ntre los m todos de intervalos Bisecci n Falsa posici n de los m todos abiertos Newton Raphson Secante as Pr Respuesta X La raiz es 0 572628749047553 El error relativo es de 1 86689651122634 Cerrar Figura 6 Ventana que presenta los resultados en los c lculos de soluci n de ecuaciones no lineales Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 6 Integraci n Tal como se representa una interpretaci n f sica de la integraci n num rica es la determinaci n del rea bajo la curva La integraci n tiene muchas aplicaciones en la pr ctica de la ingenier a empezando por la determinaci n de los centroides de objetos de formas extravagantes hasta el c lculo de cantidades totales basados en conjuntos de medidas discretas Adicionalmente las formulas de integraci n num rica juegan un papel importante en la soluci n de las ecuaciones diferenciales Z Reglas de Simpson Iof x a a i Universidad Ablerta y JAD Naclonal a distancia zj F Editar Ei de integraci n Wumen de Puntos Bo Integraci n xio x2 o ooo Simpson 173 Integral Simpson 378 c KA Cuadratura Gaussiana o f VAD Universidad Ablerta y 0000000 IATE a Naclonal ERE a a F 09 Editar Limites de la Integral xo o 0 El Calcular d Figura 7 Ventana que presenta los resultados para los m todos de
11. orial sin autorizaci n Figura 1 Presentaci n del software tutorial Numericals La interfaz de usuario El conjunto completo de pantallas e im genes utilizadas por el Tutorial se denomina interfaz de usuario del programa La interfaz incluye todos los men s cuadros de di logo botones objetos y dibujos que los usuarios ver n mientras trabajan con el programa Si ya est acostumbrado a trabajar con aplicaciones basadas en Windows reconocer la mayor a de los elementos de la interfaz de usuario Los men s contienen muchas de las ordenes disponibles en una aplicaci n basada en Windows los cuadro de di logo los botones y el puntero del rat n ayudar n al usuario a introducir informaci n en el programa y las ventanas o formularios y barras de desplazamiento permitir n al usuario ver y recorrer la informaci n que aparece en la pantalla Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 3 4 Numericals 1 0 Ra ces de Funciones Ajuste de Curvas Integraci n Sistemas de Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Ayuda cercade Salir 8 r SIDA de Funciones Regla Falsa Ajuste de Curvas Interpolaci n Regresi n o o Integraci n Ed 0 a Reglas de Simpson Cuadratura de Gauss Ecuaciones Simult neas Ecuaciones Lineales Universidad Abierta y Nacional a distancia _ Ecuaciones No Lineales E
12. oviembre 2005 11 Depuraci n de Errores Durante la ejecuci n de algunos formularios se le presentar n algunos mensajes de ayuda cuando se han realizado errores como se muestra a continuaci n Ecuaciones Error en la formula incongruencia en los parentesis Error en la formula digitada en el editor de ecuaciones Mumericals 1 0 El valor final de la integraci n debe er mayor que el valor inicial Numericals 1 0 Ingrese la ecuaci n Humericals 10 B 11 Divisi n por cero Error matem tico tal como la divisi n por cero o el argumento excede el rango de c lculo permisible Numericalz 1 0 E AN Est seguro que desea salir Con la tecla Esc del teclado de su computadora puede llamar el mensaje de Salir permanentemente desde cualquier formulario Figura 12 Ventanas de ayuda para indicar los errores cometidos en los c lculos Recomendaciones El Software Tutorial Numericals 1 0 fue desarrollado con el prop sito de implementar el Laboratorio para el curso de An lisis Num rico y como tal no s lo se presenta como material exclusivo del curso sino que adem s puede surgir inter s en aumentar este trabajo incrementando nuevos m todos que le dar an al software un mayor alcance para este fin el Tutorial est disponible a las actualizaciones que se requieran Publicaciones e Investigaci n ISSN 1900 6608 Vol 1 No 1 Noviembre 2005 12 Bibliograf a DE B B E B B B B
13. port to the learning of the techniques used for the Numerical Analysis mediates the programming of the main numerical methods for the solution of engineering problems The numerical methods are technical by means of which it is possible to formulate mathematical problems of such form which they can be solved using arithmetical operations Although there are many types of numerical methods share a common characteristic invariantly a great number of tedious arithmetic calculations are due to make With the development of efficient and fast digital computers the paper of the numerical calculates in the solution of engineering problems has increased in considerable form in the last years Besides to provide an increase in the power of calculation the general availability of the computers and its association with the numerical methods it has influenced of very significant way in the process of the solution of engineering problems Key words Analysis Numerical Software Calculation Tutorial Introducci n Aunque las soluciones anal ticas a n son muy valiosas tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensi n los m todos num ricos representan alternativas que aumentan en forma considerable la capacidad de confrontar y resolver los problemas como resultado se dispone de m s tiempo para aprovechar las capacidades creativas personales Por consiguiente es posible dar m s importancia a la formulaci n de un problema a l
14. st dise ado para resolver las posibles inquietudes acerca del manejo correcto del tutorial de An lisis Num rico Numericals Una mirada al teclado del Editor de Ecuaciones revela que los caracteres y s mbolos est n localizados sobre las teclas Estos s accesan haciendo Click sobre la tecla requerida Haga Click en el bot n comando Editar para llamar al formulario compuesto por un conjunto de botones comandos utilizados para insertar datos o funciones en una caja de texto pantalla para los m todos num ricos que lo requieran y cuya configuraci n se muestra en la figura 4 E Ayuda X Temas C Numericals 1 0 Numericals 1 0 C Gr fica C Simpson C interpolar C Respuesta C Regresi n C Regla Falsa C Newton Raphson FF Acerca de E Numericals C Cuadratura de Gauss C Ecuaciones Lineal e AS S es A i o C Editor de Ecuaciones 2577 Software Tutorial de apoyo al aprendizaje de gt C Ecuaciones No Lineales coso los m todos b sicos de An lisis Num rico E coco para la soluci n de problemas de Ingenier a C Ecuaciones Diferenciales oa ti Se autoriza el uso de este producto a EEN PS 11111111 Facultad de Ciencias B sicas e Ingenier a Aceptar Universidad Nacional 4bierta y a Distancia A gt gt gt gt Advertencia Prohibida la reproducci n total o parcial de este software sin autorizaci n E Figura 4 Ventana de presentaci n para el
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