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1. en t rminos de f por flt O lt t lt NT f l 1 3 O en cualquier otro caso la transformada de Fourier Flo de esta funci n truncada es F 0 fe dt 1 4 Haciendo los cambios de variable Y gt nQ dt gt T puede aproximarse la ecuaci n anterior por Algunos autores emplean definiciones algo diferentes a sta y la sumatoria puede ser dek 1ak N N tese que T se usa aqu como el intervalo entre muestras N I jnQkT FnQ f kT e T 1 5 k 0 Las ecuaciones 1 2 y 1 5 muestran que F 0 10 TF nQ 1 6 De la comparaci n con la transformada continua se ve que las dos son an logas si 1 la se al A se trunca en el intervalo 0 M7 2 en ese intervalo la se al A aparece como una secuencia de valores igualmente espaciados y 3 el intervalo se extiende peri dicamente produciendo las frecuencias arm nicas discretas nQ 27m NT N tese que la segunda condici n implica que los espectros de frecuencia calculados son peri dicos con periodo MQ Para probar esto consid rese el calculo de F nQ para n gt N siendo run entero tal que n 1IV n n lt N Aplicando esto a la ecuaci n 5 2 se obtiene N 1 F ON n S ET je 1 7 k 0 Pero puede hacerse e IN 3 de forma que F 0N n 0 y UD PE F n Q 1 8 k 0 O sea que cualquier valor de F nQ para n gt rN puede expresarse en t rminos de un argumento menor n Q donde n n m dulo M En otras2. A Doy 2 gt Dn O D o a ESENDAL DE ENOLOGIA 1 Conocer que es la Transformada de Fourier Discreta y sus aplicaciones 2 Resolver problemas que involucren la Transformada de Fourier Discreta 3 Obtener la transformada de Fourier discreta de se ales reales usando la tarjeta de sonido 1 Computador con sistema operativo Windows y el programa MATLAB 1 LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER El creciente uso de m todos digitales para la computaci n y para aplicaciones al procesamiento de se ales ha hecho resaltar la versi n discreta de la transformada de Fourier Este t pico se examinar brevemente aqu centrando el inter s en la relaci n entre la transformada de Fourier discreta y la continua Repres ntese una secuencia de M muestra igualmente espaciadas en el intervalo 0 M7 por F KT K0 KT K2D A N DT 1 1 la transformada de Fourier discreta TFD se define como la secuencia de M muestra complejas en el dominio de las frecuencias dada por N I AMQ X f kT e 7 n 0 1 M1 1 2 20 Donde Q 27 NT N tese que QT 27 N y Q y Tno aparecen expl citamente en la TFD Estos par metros solo entran como factores de escala para interpretar los resultados y no se necesitan en los pasos de la computaci n Al hacer la aproximaci n num rica de la transformada de Fourier es necesario restringir el intervalo de observaci n a una longitud finita Para ello se definir la funci n truncada f
3. palabras n 2 es peri dica con periodo NQ Debido a la periodicidad de F n 2 la exactitud del c lculo de la transformada de Fourier continua queda afectada por el alias al usar la TFD Estos efectos pueden minimizarse por medio de una raz n de muestreo alta es decir 7 peque o Los coeficientes de la serie exponencial de Fourier pueden calcularse de la TDF multiplicando despu s por 1 M el componente de mayor frecuencia que puede determinarse corresponde a n M2 N 2 Q 2T Hz Esto concuerda con el teorema del muestreo Por analog a la transformada inversa de Fourier discreta TIFD es 1 N 1 JT y LF 1 9 n 0 La TFD y la TIFD forman un par exacto de transformada es en la comparaci n con la transformada continua con las restricciones enunciadas Como ejemplo la TIFD del producto de la TFD de dos secuencias es la convoluci n de las secuencias aunque la convoluci n resultante es peri dica De hecho como la TIDF es b sicamente de la misma forma que la TDF todas las funciones que tengan TDF se extienden peri dicamente con periodo N7 Para una funci n truncada una manera conveniente de reducir los efectos de la periocidad es agregar ceros como puntos adicionales de muestra a la secuencia Estos ceros se llaman ceros de aumento padding with zero y se colocan al final de la secuencia Esto reduce el espaciamiento de las frecuencias Un n mero se escribe como m dulo N expresando el residuo despu
4. e start ai d t getdata ai con lo cual se crean las variables tiempo t y datos d en MATLAB las cuales poseen los datos digitalizados Grafique los datos usando el comando stem gt gt hold off gt gt stem t d Encuentre la transformada de Fourier discreta de la se al capturada usando el comando fft agregue una cantidad de ceros de forma que la longitud de la se al sea ahora de 65536 muestras Grafique la magnitud y la fase de la transformada de Fourier discreta usando la funci n stem Salga del programa apague todo el equipo Cu l es la utilidad de emplear la transformada de Fourier discreta Cu l es la raz n de agregar ceros a la secuencia de n meros en el numeral 3 de la parte 1 Por qu es necesario el uso de las ventanas rectangulares y de Hanning Qu ventana considera que es mejor la rectangular o la de Hanning Explique Imprima una copia de la transformada de Fourier discreta de la se al de voz que digitaliz en la pr ctica Investigue sobre el comando fourier que posee la caja de herramientas de Matem tica Simb lica MATLAB Investigue otros tres tipos de ventanas que existen Investigue acerca de las propiedades de la DFT como una matriz Documentar la forma de obtener la transformada discreta de Fourier de una se al continua utilizando SCILAB y demostrarla con un archivo ejecutable en SCILAB Sistemas de Comunicaciones Stremler Ferrel G Alfa omega The MathWorks Inc Manual del
5. entes empleando tanto una longitud par como impar b Calcular las partes par e impar de un v n sbo v nmod N 1 vo n zro v nmod N y a continuaci n la DFT de cada una de ellas c Extraiga las partes real e imaginaria de las DFTs obtenidas en el apartado anterior y compare DFT b n vrs Re y DFTlv n vrs Im V Halle la transformada TFD de las secuencias siguientes a 1 0 1 07 b 1 1 0 0 Soluci n En MATLAB escriba la siguiente secuencia gt gt a 1 0 1 0 gt gt Fdl fft a gt gt b 1 1 0 0 gt gt Fd2 fft b Calcular la magnitud de la transformada de Fourier de f t sen 21 0 1sen7m en el intervalo 0 2 usando la TFD con 32 puntos de muestra y a una ventana rectangular y b una ventana de Hanning Soluci n Q 2m 2 z PL 32 16 donde f kT sen 2k 16 0 1sen 77k 16 para la ventana rectangular se tiene F nQ Y f kt recikk 16 32 6 y para la ventana de Hanning Fp nQ 1S rah cos k 16 16 Jgurnio en MATLAB el c digo para la ventana de Hanning se escribir a as gt gt k 0 31 gt gt fkT sin sqrt 2 k 16 0 1 sin 7 pi k 16 gt gt f fkT 1 cos pi k 16 16 2 gt gt Fd fft f gt gt n 0 15 gt gt semilogy n abs Fd n 1 g gt gt axis 0 15 1e 4 1e2 para la ventana rectangular ser gt gt hold on gt gt Fd fft fkT gt gt semilogy n abs Fd n 1 r gt gt hold off l
6. os efectos de las crestas laterales m s bajas as como la m s amplia cresta principal de la ventana de Hanning resultan evidentes PARTE II LA DFT COMO UNA MATRIZ 1 La DFT puede expresarse de forma function b dftmtx n DFTMTX Discrete Fourier Transform matrix DFTMTX N is the N by N complex matrix of values around The unit circle whose inner product with a column vector of length N yields the discrete Fourier transform of the vector DFTMTX LENGTH X X is the same as FFT X The inverse discrete Fourier transform matrix is CONJ DFTMTX N N See also FFT and IFFT Author s Denham 7 21 88 Copyright c 1988 93 by The MathWorks Inc Revision 1 3 Date 1993 08 19 21 48 59 f 2 pi n Angular increment w 0 f 2 pi f 2 sqrt 1 Column x 0 n 1 Row b exp w x Exponentiation of outer product Realice la prueba de la funci n dftmtx anterior En MATLAB escriba la siguiente secuencia gt gt a rand 10 1 debe ser un vector columna gt gt Fd1 fft a gt gt Fd2 dftmtx length a a PARTE III CAPTURA DE LOS ARCHIVOS DE DATOS AL PROGRAMA MATLAB 1 Ejecute el programa MATLAB y utilice los comandos para capturar una se al desde la tarjeta de sonido que cre en las practicas pasadas de la siguiente manera ai analoginput winsound 0 addchannel ai 1 AE Gu a 5 ai SampleRate 8000 ai SamplesPerTrigger 40000 ai TriggerType Immediat
7. rma muy r pida el c lculo de la DFT y por lo tanto no se trata de una nueva transformada En MATLAB siempre se emplea la funci n fft para calcular la DFT y no podemos encontrar ninguna funci n llamada dft De forma an loga la funci n ifft siempre se emplea para calcular la DFT inversa Por lo tanto podemos considerar aceptable emplear indistintamente los t rminos DFT y FFT para referirnos al resultado del c lculo Gu a 5 PARTE I OBTENCION DE LA TFD DE UNA SECUENCIA DE NUMEROS 1 Encienda la computadora y corra el programa MATLAB 2 Pulsos Se trata de se ales que solo contienen unos y ceros Aunque en los siguientes ejercicios podemos representar las partes real e imaginaria de la DFT resultan m s interesantes las graficas del m dulo y la fase a Se al impulso unitaria xi 1 0 0 0 0 0 0 0 se corresponde con la siguiente definici n matem tica l1n 0 n 0 n 1 2 N 1 obtenga la DFT de 8 puntos de la se al impulso unitario es decir tome M 8 En general Cu l es la DFT de N puntos de fa gt gt xi 1 0 0 0 0 0 0 0 gt gt Fxi fft xi b Se al con todos unos x1 1 1 1 1 1 1 1 1 Podemos observar como este ejemplo junto con el anterior ponen de manifiesto la propiedad de dualidad de la DFT gt gt x1 1 1 1 1 1 1 1 1 gt gt Fx1 fft x1 c Impulso desplazado xish 0 0 0 1 0 0 0 0 Represente el m dulo de la DFT gt gt xish 0 0 0 1 0 0 0 0 gt gt Fxish fft xish gt gt n 0 7 g
8. s de sustraer todos los m ltiplos enteros de N es decir 14 m dulo 4 es 2 14 m dulo 5 es 4 etc 3 La convoluci n peri dica se llama a menudo convoluci n circular Gu a 5 arm nicas y los efectos del alias en una onda determinada a expensas de mayor tiempo de computaci n En el ejemplo en la gu a se ilustra su empleo Se ha supuesto que los datos se muestrean con los enteros k 0 1 2 M 10 o bien k 1 2 3 N Cuando una transformada continua se aproxima por la TFD puede asignarse muestras para valores negativos del tiempo al intervalo 1 2 M Las relaciones de simetr a resultantes aparece en la figura 1 1 si se usan ceros de aumento pueden agregarse sim tricamente con respecto a k M2 en el dominio de las frecuencias discretas rigen relaciones de simetr a an loga salvo que los componentes de frecuencia negativa y positiva son conjugados complejos para A real Simetr a Par 0 AKT t PS yA kT 0 0 NT NT Simetr a Impar 0 AKT 1d kT A NT NT Figura 1 1 Relaciones de simetr a para la transformada discreta de Fourier A menudo interesa hacer una estimaci n lo mejor posible de los componentes de frecuencia de F bas ndose en los datos del intervalo 0 M7 Para funciones de duraci n finita puede elegirse el intervalo de computaci n de forma que corresponda a o sea mayor que la duraci n de la funci n 4 Este es el caso del ejemplo que se presen
9. t gt subplot 2 1 1 gt gt stem n xish gt gt subplot 2 1 2 gt gt stem n abs Fxish Pruebe con otros desplazamientos Hay alguno para el cual la DFT sea real d Se al rectangular de 3 puntos xb 1 1 1 0 0 0 0 0 Obtenga tambi n la DFT correspondiente a la se al rectangular de cuatro puntos e Se al rectangular con simetr a xbsy 1 1 0 0 0 0 0 1 Compruebe que su DFT es real y compare los m dulos de xb y xbsy 3 Computar la transformada de Fourier de A UA U t 1 usando cuatro muestras en el intervalo 0 1 Soluci n En MATLAB escriba la siguiente secuencia gt gt f 1 11 1 1 gt gt fd fft f Lo que da como resultado la secuencia 4 0 0 0 cuando lo que se espera es una secuencia con la forma discreta de la transformada de Fourier de un pulso rectangular que es F nQ 4e Sa nr AEN en 0 4 z On 0 aa Gu a 5 para mejorar esta situaci n se sit an algunos ceros de aumento despu s de la secuencia de cuatro muestras La nueva secuencia es 1 1 1 1 0 0 0 0 Soluci n gt gt Fd fft f 8 al graficar magnitudes de la respuesta tenemos gt gt n 0 4 gt gt stem n abs Fd n 1 gt gt xlabel n gt gt ylabel Fn n0 5 Lo que demuestra la tendencia Partes Par e Impar a Genere una se al de prueba real empleando rand que sea relativamente corta por ejemplo M 15 M 16 Calcular la DFT de 7 para obtener UA e intente realizar los apartados sigui
10. ta en la parte 1 del procedimiento Otro caso interesante es cuando el intervalo de computaci n es solo una porci n de la duraci n de A Para investigar algunos efectos de este truncamiento de A 0 la ecuaci n 1 4 se rescribe como F o C f Orect t NT 2 NT dt 1 10 Escrito as el truncamiento puede verse como una ventana que permite observar solo un intervalo finito de A De ah que estas funciones como la segunda de la integral de la ecuaci n anterior se llaman funciones ventana La ecuaci n anterior puede tambi n expresarse como una convoluci n en las frecuencias _ 1 a F OJO NTSa aNT 2 e 77 1 11 T Idealmente el segundo t rmino entre corchetes debe ser una funci n impulso para dar una medida correcta de F w Sin embargo esto requiere que NT gt por lo que no es una alternativa pr ctica Como resultado de la periodicidad por extensi n los puntos de muestra k 0 y k N son id nticos Gu a 5 Para una longitud finita definida M7 una cantidad de inter s es la m nima separaci n medible entre componentes de frecuencia Esta separaci n m nima se llama resoluci n de las frecuencias en la estimaci n de F w a partir de F Si dos componentes de frecuencia adyacentes tienen amplitudes iguales la resoluci n de frecuencia se fija simplemente por la longitud definida NT AQ 2x NT 1 12 Si los dos componentes tienen amplitudes distintas es necesario tambi n que la
11. transformada de la funci n ventana decrezca r pidamente para 0 La funci n sen x x correspondiente a la ventana rectangular es relativamente pobre a este respecto dado que la cresta principal esto es cerca de Y 0 tiene magnitud unitaria y la siguiente tiene una magnitud pico de 0 217 es decir 13dB Por tanto los componentes de frecuencia adyacentes cuyas magnitudes difieran aproximadamente en m s de 5 pueden ser distinguibles aun cuando se satisfaga la ecuaci n anterior Un remedio es elegir una funci n ventana que trunca a A y cuya transformada tenga crestas laterales bajas Esto ha sido objeto de muchas investigaciones y no existe una soluci n ideal Una simple aunque efectiva funci n ventana es la ventana de Hanning 1 27 14c0s d lt NT 2 2 NT 1 13 0 gt NT 2 que se muestra en la figura 1 2 Su transformada tiene crestas laterales m s bajas que las de la ventana rectangular a cambio de una cresta principal m s amplia y alguna atenuaci n Estos compromisos son t picos en grados diferentes de las varias funciones ventana usadas com nmente en la pr ctica kT Amplitud Normalizada nNT Figura 1 2 a las funciones ventana rectangular y de Hanning y b sus transformadas de Fourier Antes de comenzar es necesario definir brevemente la diferencia que existe entre los t rminos DFT y FFT la FFT transformada r pida de Fourier es simplemente un algoritmo que realiza de fo
12. usuario de MATLAB
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