Una alternativa para la determinación de las fórmulas de suma
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1. i Tnn On tIn iy i 1 Una manera m s r pida de probar el modelo matricial propuesto es mediante el apoyo de la calculadora graficadora simb lica y programable Para ilustrar esto hemos elaborado un programa el cual se anexa que permite visualizar la matriz de coeficientes figura 1 y el vector columna figura 2 de manera inmediata una vez que se ha incorporado el exponente de la suma posteriormente proporciona y factoriza el polinomio resultante figuras 3 y 4 Como ejemplo n consideramos la f rmula Ni i l UNA ALTERNATIVA PARA LA DETERMINACI N DELAS FORMULAS DE SUMA 0 Prgm OESTE PROGRAMA ES PARA GENERAR LAS FORMULAS DE SUMA DelVar tata n vecol matecof ClrlO Output 20 30 PROGRAMA PARA DETERMINAR Output 30 30 FORMULAS DE SUMA DE Pause setMode Angle RADIAN setMode Exact Approx EXACT Lbl maxi Dialog Title FORMULA DE SUMA Request EXP DE LA SUMA k es EndDlog expr es gt es CIrlO newMat es es gt matecof newMat es 1 gt vecol For 1 es For j 1 es n es j 1 es j 1 gt matecofli EndFor EndFor CIrlO Disp MATRIZ DE COEFICIENTES Disp Disp matecof Pause For 1 es For j 1 1 gt i es i 1 1 11 es 1 es 1 gt vecolli j EndFor EndFor CIrlO Disp VECTOR COLUMNA Disp Disp vecol Pause simult matecof vecol gt rese Define chocol n 0 For 1 es reseli 1 gt 0to i EndFor n es 1 es 1 gt tata For i 1 es tata oto i n es i 1 es i 1 gt tata EndFor tata gt s n2. 39974 381876 3749966 37567596 382090214 3932252676 4 0852E 10 12 78 650 6084 60710 630708 6735950 73399404 812071910 9092033028 1 0277E 11 13 91 819 8281 89271 1002001 111562759 136147921 1627802631 1 9697E 10 2 4063E 11 14 105 1015 11025 127687 1539825 19092295 241561425 3103591687 4 0358E 10 5 2988E 11 15 120 1240 14400 178312 2299200 30482920 412420800 5666482312 7 8801E 10 1 1065E 12 Ahora probemos la estrategia propuesta para determinar la f rmula para N i Como k 5 i l tenemos que la funci n polinomial es n n n n n S n a a a 4 tan 6 5 4 3 92 M DE LAS FUENTES L O ZAVALA G C VALDEZ G El sistema de ecuaciones correspondiente es 1 zg t tae ES a E 2 1 E p Pan 2a 20 qu 5 4 3 6 243 81 27 27 729 5 a A a F a A a 3a A 1024 256 64 4096 a a 74 8a 4a 1300 5 4 3 6 12 2 12 2 2 Tygge ha la EAE E 5 4 3 2 6 l 1 por lo que al resolverlo obtenemos las soluciones a 60 a 10 a 0 a e y a 0 Luego el polinomio es n n 4 3 1 n S n 60 10 0 6 5 4 31 62 el cual puede reducirse a la expresi n nf n 5 1 SM 2n p 6 2 Factorizando tenemos que S n mon 6n 5n 1 Por divisi n sint tica no es muy dif cil encontrar que 2n 6n 5n 1 n D 2n 2n 0 por lo que finalmente
3. ClrlO Disp POLINOMIO RESULTANTE Disp exponente k Output 12 80 es Disp Disp s n s n Pause CIrlO Disp Disp POLINOMIO FACTORIZADO Disp factor s n n gt ss n Disp ss n Pause clrio Dialog Title FINALIZACI N DEL PROGRAMA Request REINICIAR SI o NO str2 EndDlog f str2 si Then Goto maxi Endlf CIrlO Output 40 55 FIN DEL PROGRAMA EndPrgm Conclusiones 1 4715 Zi 43 2 2 Bl 40 2748 92 2 3 4 3243 32743 8 623 z25 125 24 24 E 22 5 EAD EXACT POLINOMIO FACTORIZADO ninj lant Etilen 24 EHD EXACT Figura 4 93 Hemos pretendido plantear el procedimiento y el modelo matricial de la manera m s completa y expl cita posible sin embargo detr s de esta s ntesis existe una cantidad significativa de planteamientos y c lculos que por espacio no es posible mostrar Aunque el procedimiento exhibido pudiera no tener un car cter formal matem ticamente hablando creemos que si se trata de un procedimiento aplicable para la determinaci n de las f rmulas de suma el cual no requiere del conocimiento de la f rmula anterior como ocurre con el modelo algebraico Bibliograf a TI 92 Manual del usuario Texas Instruments 1996 TI 89 Voyage 200 Referencia t cnica Texas Instruments 2002 Purcell Varberg Rigdon C lculo Octava Edici n Prentice Hall 2001
4. Mosaicos Matem ticos No 11 Niveles Medio Superior y Superior Diciembre 2003 UNA ALTERNATIVA PARA LA DETERMINACI N DE LAS F RMULAS DE SUMA Maximiliano de las Fuentes Lara Olga Gonzales Zavala Carlos Valdez Gonz lez Facultad de Ingenier a Universidad Aut noma de Baja California Resumen En los cursos de c lculo integral se estudia entre otros temas el rea de una regi n plana el tratamiento inicial regularmente incluye la incorporaci n de las f rmulas de suma por lo que el trabajo en este aspecto se ve limitado ya que por una parte debe dedicarse tiempo a explicar la notaci n y simbolog a involurada y por otra calcular algunas de las sumas que son necesarias para el c lculo de reas Estas f rmulas son dadas en los textos de c lculo y se asume en los cursos que son verdaderas o pueden ser verificadas num ricamente o bien demostradas por procedimientos anal ticos El presente documento describe un algoritmo para la determinaci n precisamente de las f rmulas de suma mediante la consideraci n de diferencias y el planteamiento de un modelo matricial y su consecuente resoluci n La comprobaci n del modelo matricial se realiza con un programa de calculadora implementado en la TI 92 Introducci n En el c lculo integral las f rmulas de suma est n vinculadas a la Suma de Riemann el c lculo de reas de regiones planas c lculo de vol menes en general aquellos c lculos que involucren el concepto de integral defini
5. da Tambi n estas f rmulas son estudiadas en temas de matem ticas como son series y sucesiones En particular estamos interesados en su determinaci n y el mecanismo considerado para tal efecto son diferencias y sistemas de ecuaciones lineales Cabe se alar que el modelo matricial propuesto para la determinaci n de f rmulas de suma no ha sido ubicado desde nuestra perspectiva en libros de texto de matem ticas raz n por la cual consideramos pertinente desarrollarlo sentimos que tal contribuci n favorecer a una comprensi n m s significativa respecto del tratamiento y utilizaci n de las f rmulas de suma Hemos asumido que las f rmulas de suma pueden ser tratadas como funciones polin micas S n en donde n es la variable independiente y pertenece a los n meros enteros positivos S denota la variable dependiente as N S n A continuaci n presentamos el desarrollo i 1 propuesto para lograr el acceso al modelo matricial adem s de la verificaci n del modelo mediante un programa de calculadora Desarrollo Consideremos el caso particular para la f rmula Y i y asignemos valores de n a partir de n 1 i l hasta n 10 El problema para calcular la suma sobreviene para valores de n muy grandes lo cual ha contra do la b squeda de un modelo general para cualquier valor de n La actividad con la que hemos iniciado aqu es calcular las diferencias de los correspondientes resultados es decir las diferencias de la suma obte
6. e las diferencias y lo indicamos en la tabla siguiente UNA ALTERNATIVA PARA LA DETERMINACI N DELAS FORMULAS DE SUMA n S n Primera Segunda Tercera diferencia diferencia diferencia 1 1 2 5 4 3 14 9 5 4 30 16 7 2 9 55 25 9 2 6 91 36 11 2 7 140 49 13 2 8 204 64 15 2 9 285 Sl 17 2 10 385 100 19 2 89 Nuevamente observamos las diferencias en particular las terceras diferencias las cuales son todas iguales y con valor de 2 De esta manera el conjunto de puntos n S n lo podemos representar mediante una expresi n polinomial cuyo coeficiente de correlaci n r 1 de tercer grado Sabemos que la expresi n polinomial general de tercer grado puede escribirse como S n an bn cn d donde suponemos que los coeficientes a b c y d son n meros reales Procediendo de forma an loga al caso anterior para determinar estos coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones a b c d 1 8a 4b 2c d 5 21a 9b 3c d 14 64a 16b 4c d 30 Resolviendo el sistema y factorizando los t rminos correspondientes obtenemos la expresi n S n nQn D Mm 1 es decir i l z n n 1 2n 1 6 La realizaci n de los c lculos anteriores y adicionalmente los de otras sumas de orden superior han permitido establecer ciertas regularidades respecto del grado del polinomio el valor de la diferencia el n mero de ecuaciones y el n mero de puntos requeridos para
7. la resoluci n del sistema correspondiente de ecuaciones lineales Dicha informaci n se registra en la siguiente tabla 90 M DE LAS FUENTES L O ZAVALA G C VALDEZ G F rmula de N mero de Valor de la Grado del N mero de N mero de suma diferencia de diferencia polinomio ecuaciones puntos Suma ye 2 1 0 1 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 2 3 4 4 2 4 3 4 5 5 y qa S k k 1 k k 1 k 1 k 1 k k 1 k 2 k 2 A su vez estas regularidades y el hecho de que el ltimo t rmino independiente se hace cero en todos los casos permite una reducci n de dos ecuaciones en todos y cada uno de los casos si hacemos el planteamiento de la funci n polinomial general en forma n p Yi S n i 1 donde k 1 k no ni E E E k f EI k D E EA an 1 k La resoluci n final estriba en la determinaci n de los coeficientes 4 4 gt Aj Ay 330 a gt mediante la resoluci n del siguiente sistema de ecuaciones dr o a e k k k 1 k D k 33 1 ak k l 2k 247 9x2 93 2 yen ek L ak ES klo MENO k RO 2 2 ERA 3k ql 32 3e 3 3 eta k ss ii A A c me l k K D K D KE 3 3 x 2 2 k 1 4 ql 42 443 4 ga a k k EDO MEDIO k 31 4 243 i k 1 pk ye 2 ye k SS l kt k k 1 k 2 k 3 Luz k a a Z kal UNA ALTERNATIVA PARA LA DETERMINACI N DELAS FORMULAS DE SUMA 91 n Ahora p
8. niendo los n meros de la tabla siguiente 87 88 M DE LAS FUENTES L O ZAVALA G C VALDEZ G n S n Primera Segunda diferencia diferencia 1 1 2 3 2 3 6 3 1 4 10 4 1 5 15 5 1 6 21 6 1 7 28 7 1 8 36 8 1 9 45 9 1 10 55 10 1 Puede notarse que las segundas diferencias son constantes y tienen un valor de 1 dada esta situaci n se colige entonces que el conjunto de puntos n S n pueden ser representados por una expresi n polinomial de segundo grado cuyo coeficiente de correlaci n es r 1 Sabemos que la expresi n polinomial general de segundo grado puede escribirse como S n an bn c donde los coeficientes a b c los suponemos n meros reales y es necesario determinarlos Notemos que S a b c S Q 4a 2b c S 3 9a 3b c por lo que de acuerdo con la tabla anterior es necesario resolver el sistema de ecuaciones a b c 1 4a 2b c 3 da 3b c 6 Resolviendo el sistema por alguno de los m todos conocidos obtenemos la expresi n 2 n n S n AZ la cual se puede factorizar como S n 3n n 1 n Por otra parte como J i k S n entonces se obtiene la conocida f rmula para la suma de los i l primeros n enteros positivos Consideremos ahora el caso de la suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos que escribimos por medio de la f rmula Si y fijemos valores de n a partir de n 1 hasta n 10 i l Realizamos el c lculo d
9. robemos nuestro mecanismo para la f rmula X i 2 En este caso k 2 la epresi n i l 2 polinomial es S n a a D an y el sistema de ecuaciones por resolver es 2 4 8 7 2a 2a 3 cuya soluci n es a 1 y a 6 de tal suerte que el polinomio que se obtiene es 3 2 n n n S n 3 2 6 el cual puede escribirse como Sre ento DQn 1 i l Puede notarse que en la matriz general que se propone aparece de manera reiterativa el k t rmino J i para valores distintos de k Para mayor facilidad de visualizaci n en las distintas i l propuestas que se hacen una tabla con esta informaci n se exhibe a continuaci n n n n n n n n n n n NE y i Yi Ni yi NP Si i8 yr Ni n ia i l i l i l i l i l i l i l i l i l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 9 17 33 65 129 257 513 1025 3 6 14 36 98 276 794 2316 6818 20196 60074 4 10 30 100 354 1300 4890 18700 72354 282340 1108650 5 15 55 225 979 4425 20515 96825 462979 2235465 10874275 6 21 91 441 2275 12201 67171 376761 2142595 12313161 71340451 7 28 140 784 4676 29008 184820 1200304 7907396 52666768 353815700 8 36 204 1296 8772 61776 446964 3297456 24684612 186884496 1427557524 9 45 285 2025 15333 120825 978405 8080425 67731333 574304985 4914341925 10 55 385 3025 25333 220825 1978405 18080425 167731333 1574304985 1 4914E 10 11 66 506 4356
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