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Reference Manual

1. 3 Funciones b sicas Las funciones b sicas son la base para la localizaci n de equilibrios y puntos fijos Por lo general se utilizan para corregir las predicciones en la localizaci n de ramales en sistemas multiparam tricos y no param tricos Dentro de las funciones b sicas se encuentran m todos de Newton Raphson secante Seidel y Bolzano Para la localizaci n de equilibrios en sistemas din micos continuos se han implementado los m todos de Newton Raphson y Secante en las siguientes funciones Newton NewtonMp Secant SecantMp Para la localizaci n de puntos fijos se ha implementado el m todo de Seidel en la funci n e Seidel e SeidelMp Un m todo de utilidad para la detecci n bien de un punto fijo o de un equilibrio es el de Bolzano implementado en la siguiente funci n e Bolzano 3 1 Newton 3 1 1 Prop sito Resolver un sistema de ecuaciones no lineales de la forma f x 0 a partir de un vector inicial xo 3 1 2 Sintaxis X F newton FUN GRADFUN X0 DELTA EPSILON donde F X 0 3 1 3 Descripci n X F NEWTON FUN GRADFUN X0 inicia en el vector xo e intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN FUN es un archivo m que calcula el valor de X F FUN X GRADFUN es el nombre del archivo m que contiene el Jacobiano de la funci n FUN y que calcula las derivadas dF dx en X GF GRADFUN X X F NEWTON FUN
2. las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PSECANTD PLIM FUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos s es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes Cuando s no est dado se toma por defecto una fracci n de 1 50 de los l mites de la gr fica PSECANTD PLIM FUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 PSECANTD PLIM FUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los puntos fijos encontrados Por defecto PREC 4 M todo recomendado solo para sistemas din micos 2D 4 9 4 Ejemplo Es posible detectar una bifurcaci n flip para sistemas din micos discretos mediante la funci n PSECANTD Si se define el Jacobiano de la forma normal de esta bifurcaci n en el archivo FLIPJD M As mismo se definen est
3. GRADFUN X0 DELTA EPSILON permite especificar las tolerancias DELTA y EPSILON para el criterio de convergencia por tama o de paso DX y por valor de la funci n F x respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 Esta funci n est limitada a sistemas din micos continuos de la forma f x 0 No admite sistemas con par metros independientes Para ser usada con sistemas din micos discretos estos deben plantearse como un sistema continuo de la forma Ax x g x donde x1 g x 3 1 4 Ejemplo Para una funci n f x x 2x 1 descrita en el archivo test1 m as 10 function fdx testl x fdx x 2 2 x 1 y cuyo Jacobiano fp x 2x 2 se describe en el archivo test13 m as function fpdx test1j x fpdx 2 x 2 es posible utilizar el m todo de Newton Raphson para determinar la ra z de f x a partir de un punto inicial xy 4 por ejemplo La sintaxis es la siguiente x newton test1 test13 4 Se obtendr como resultado la soluci n fue encontrada dentro de las tolerancias x 2 41421356237311 f 4 707345624410663e 014 3 1 5 Algoritmo Utiliza la iteraci n Fr parak 1 2 Xk Donde f x es el Jacobiano de la funci n 3 1 6 Ver tambi n NEWTONMP SECANT SECANTMP 3 1 7 Referencias Cap tulo 5 11 3 2 NewtonMp 3 2 1 Prop sito Resolver un sistema de ecuaciones no lineales con par metros indepen
4. x f x 0 xeR a e R 110 El vector de entrada x a es de dimensi n n m y contiene n variables de estado y m par metros independientes El vector de respuesta x es de dimensi n n y contiene el estado de las n variables de estado 7 1 4 Ejemplo La manera en la que se presenta el sistema din mico continuo que describe la forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker cos a sen a fx a be O a cos o ca kea 0 Cs se describe en el archivo SACKER M de as function yp sacker y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 A cos teta sin teta sin teta cos teta B 1 alfa x1 x2 C x1 2 x2 2 a b b a x1 x2 5 yp A B C x1 x2 7 1 5 Ver tambi n GRADFUN FUNP GRADFUNP FUND GRADFUND 7 1 6 Referencias Cap tulos 3 y 4 7 2 GradFun 111 7 2 1 Prop sito Con base en esta plantilla se crea la el Jacobiano de la funci n que describe el sistema din mico continuo 7 2 2 Sintaxis I9 2 ValPr GRADFUN Y 7 2 3 Descripci n En este archivo se describe el Jacobiano de la funci n continua del sistema din mico en estudio d n m J fx a xeR aeR dx El Jacobiano J es una matriz n x n que eval a las derivadas de las funciones del vector de funciones que describen el sistema din mico continuo respecto a las n variables de estado x La matriz Z de dimensi n n x m consigna las derivadas de la funci n continua respecto a l
5. 105 6 1 TFun 6 1 1 Prop sito Identificar bifurcaciones en sistemas din micos continuos de forma directa 6 1 2 Sintaxis flag out tfun eigl eig2 6 1 3 Descripci n TFUN es la funci n de prueba para la identificaci n de bifurcaciones en sistemas din micos continuos Retorna si no hay bifurcaci n en bifurcaci n fold en bifurcaci n de Hopf en bifurcaci n desconocida DON 0O0 Las funciones de prueba no son de gran utilidad cuando se utilizan por s solas En el IGB estas funciones acompa an los m todos de continuaci n para identificar bifurcaciones en un ramal Por esta raz n las funciones de prueba son poco flexibles en el sentido que sus par metros de entrada deben ser siempre los valores propios de los equilibrios o puntos fijos eig1 eig2 y que sus valores de retorno deben ser los establecidos 6 1 4 Ejemplo Una bifurcaci n de fold puede identificarse directamente con la funci n de prueba TFUN as flag out tfun 1 1 flag out 1 Una bifurcaci n de Hopf puede identificarse directamente con la funci n de prueba TFUN as flag _out tfun 1 i 1 1 1 i 1 i flag_out 2 106 6 1 5 Algoritmo o if isreal eigl amp isreal eig2 Ssi los e valores son reales if eigl eig2 lt 0 tf 1 SBifurcaci n FOLD end else if sum real eigl sum real eig2 lt 0 tf 2 SBifurcaci n HOPF end end 6 1 6 Ver tambi n TFUND 6 1 7 Referencias Cap tulo 6
6. Es posible determinar un punto fijo del sistema con el m todo de Seidel a partir del punto inicial 0 1 de la siguiente forma x x seidel test2 0 1 La soluci n fue encontrada despues de 8 iteraciones x 0 22221280911430 0 99380851324262 fx 0 22221475322798 0 99380851324262 3 5 5 Algoritmo El algoritmo utilizado en cada iteraci n es fax fix fori 1 length fdx x i fdx i Jax fx end 3 5 6 Ver tambi n SEIDELMP BOLZANO 3 5 7 Referencias Cap tulo 5 21 3 6 SeidelMp 3 6 1 Prop sito SEIDELMP localiza puntos fijos en sistemas din micos discretos con m ltiples par metros independientes de la forma x a g x xeR acR 3 6 2 Sintaxis function Y F k cond seidelmp FUN Y0 PPAR TOL donde FUN Y Y 3 6 3 Descripci n Y F k cond SEIDELMP FUN Y0 inicia en el vector yo e intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN archivo que calcula el valor de y T F FUN X Esto es equivalente a utilizar la funci n s IDEL FUN XO F permite conocer el valor de la funci n en el punto y encontrado k permite conocer el n mero de iteraciones utilizado cona permite conocer la condici n del c lculo Si cond 0 el n mero m ximo de iteraciones fue excedido Si cond 1 la soluci n fue encontrada dentro de las tolerancias SEIDELMP FUN X0 PPAR permite especif
7. GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es el tama o de paso longitud de arco Su signo indica hacia donde se da el primer paso Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 Utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 100 CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Con este m todo no se puede sobrepasar la bifurcaci n de fold y en general ning n ramal que tenga una recta tangente con pendiente infinita En este punto la funci n entra en un loop 5 8 4 Ejemplo La funci n 2 xhHDQar tx x que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold en un sistema din mico discreto se encuentra descrita en el archivo FOLDD M as function yp foldd y x y 1 alfa y 2 yp alfa x x 2 La funci n equivalente como sistema din mico continuo se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El J
8. este sistema mediante la funci n csco as sca 1 T 1 Fold EoldJ FoldJd TE ND AL l 2 11 2r 0s 0001 70 alfa Figura 12 Funci n CSCD en el IGB Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUND M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos puntos fijos Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 5 0 E un ARCHIVO DE RESULTADOS 8 May 0 M todo Predictor Secante Discreto Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo del Jacobiano FoldJd Archivo de la funci n de prueba TFunD Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n DESCONOCIDA entre Y 1 1 e valor 1 Y 0 9999 0 9999 e valor 0 9999 Bifurcaci n FOLD entre los puntos fijos Y 0 001412 1 993e 006 e valor 0 9972 Y 0 002769 7 667e 006 e valor 1 006 71 5 2 5 Algoritmo Los valores iniciales de los dos puntos necesarios para efectuar el m todo de continuaci n con predictor secante se calculan con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del siguiente modo E yl newto
9. 107 6 2 TFunD 6 2 1 Prop sito Identificar bifurcaciones en sistemas din micos continuos de forma directa 6 2 2 Sintaxis function tf tfund eigl eig2 6 2 3 Descripci n TFUND es la funci n de prueba para la identificaci n de bifurcaciones en sistemas din micos discretos Retorna si no hay bifurcaci n en bifurcaci n fold en bifurcaci n flip en bifurcaci n Neimark Sacker en bifurcaci n desconocida 0ODO0N_A0Oo Las funciones de prueba no son de gran utilidad cuando se utilizan por s solas En el IGB estas funciones acompa an los m todos de continuaci n para identificar bifurcaciones en un ramal Por esta raz n las funciones de prueba son poco flexibles en el sentido que sus par metros de entrada deben ser siempre los valores propios de los equilibrios o puntos fijos eig1 eig2 y que sus valores de retorno deben ser los establecidos 6 2 4 Ejemplo Una bifurcaci n de fold en un sistema din mico discreto puede identificarse directamente con la funci n de prueba TFUND as flag _out tfund 1 1 0 09 flag_out 3 Una funci n de flip as flag_out tfund 1 1 0 9 flag_out 4 108 Finalmente una funci n de Neimark Sacker puede identificarse directamente as por ejemplo eigl 0 9 cos pi 4 i1 0 9 sin pi 4 0 9 cos pi 4 1 0 9 sin pi 4 eig2 1 1 cos pi 4 1 1 1 sin pi 4 1 1 cos pi 4 1 1 1 sin pi 4 flag out tfund eigl eig2 flag_out 5 6 2 5 Algoritmo if prod siz
10. 2 0 00 01 Fold 0 5 0 D5 alfa Figura 15 Funci n CTC en el IGB Para la identificaci n gr fica de esta bifurcaci n en particular la funci n crc debe ser ejecutada dos veces tal como se aprecia ya que con este m todo no se puede rebasar el punto de bifurcaci n Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUN M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos equilibrios Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt 86 IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACIONES ver 5 0 ARCHIVO DE RESULTADOS 9 May 0 M todo Predictor Tangente Continuo Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 0002951 8 707e 008 e valor 0 0005902 Y 0 0002829 1 216e 007 e valor 0 0005658 5 5 5 Algoritmo El primer punto fijo se calcula a partir del punto inicial yo mediante el m todo de Newton Raphson de la siguiente forma yl1 newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n tangente es
11. 79 CSCPD PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados 5 4 4 Ejemplo La funci n 2 xhHDQartx x que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold en un sistema din mico discreto se encuentra descrita en el archivo FOLDD M as function yp foldd y x y 1 alfa y 2 yp alfa x x 2 La funci n equivalente como sistema din mico continuo se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de la funci n discreta se encuentra definido en el archivo FOLDJD M as function J ValPr foldjd y x y 1 alfa y 2 J 1 2 x ValPr eig J El Jacobiano de la funci n continua se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr zZ foldj y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La funci n continua parametrizada respecto a la longitud de arco se describe en el archivo FOLDP M as function ypp foldp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y vpp alfa x 2 x x0 2 alfa alfa0 2 h gt 80 El Jacobiano de esta funci n continua parametrizada se describe en el archivo FOLDJP M as function Jp foldjp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y 5 5 J foladj y 2 1 daP 2 x x0 2 alfa alfa
12. Permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 107 5 CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPS ILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Para la detecci n de ciertas bifurcaciones se hace necesario utilizar un tama o de paso muy peque o para lograr la localizaci n de un equilibrio al otro lado de la bifurcaci n 5 2 4 Ejemplo La funci n 69 2 xeatxty que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold en un sistema din mico discreto se encuentra descrita en el archivo FOLDD M as function yp foldd y x y 1 alfa y 2 yp alfa x x 2 La funci n equivalente como sistema din mico continuo se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de la funci n discreta se encuentra definido en el archivo FOLDJD M as function J ValPr foldjd y x y 1 alfa y 2 J 1 2 x ValPr eig J El Jacobiano de la funci n continua se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr Z fo1ld J y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La bifurcaci n de fold en este sistema din micos discreto se puede localizar en
13. Raphson a partir de varios puntos en sistemas discretos PSECANT Continuaci n con corrector Secante para sistemas continuos PSECANTD Continuaci n con corrector Secante para sistemas discretos PSEIDEL Continuaci n con corrector Seidel para sistemas discretos M todos de continuaci n CSC Continuacion con predictor secante para sistemas continuos CSCD Continuacion con predictor secante para sistemas discretos CSGP Continuacion con predictor secante para sistemas continuos parametrizados CSCPD Continuacion con predictor secante para sistemas discretos parametrizados CTC Continuacion con predictor tangente para sistemas continuos CTCD Continuacion con predictor tangente para sistemas discretos CTCP Continuacion con predictor tangente para sistemas continuos parametrizados CTCPD Continuacion con predictor tangente para sistemas discretos parametrizados Funciones de prueba TFUN Funci n de prueba para bifurcaciones en sistemas continuos TFUND Funci n de prueba para bifurcaciones en sistemas discretos Funciones del sistema din mico FUN Plantilla para la funci n del sistema continuo GRADFUN Plantilla para el Jacobiano de la funci n del sistema continuo FUNP Plantilla para la funci n parametrizada del sistema continuo GRADFUNP Plantilla para el Jacobiano de la funci n parametrizada del sistema continuo FUND Plantilla para la funci n del sistema discreto GRADFUND Plantilla para el Jacobiano de la funci n del sistema discreto
14. 6 PMul 4 6 1 Prop sito PMUL Identificaci n de bifurcaciones mediante la identificaci n de equilibrios por aproximaci n a partir de m ltiples puntos y soluci n con el M todo de Newton Raphson 4 6 2 Sintaxis function flag stop pmul PLIM FUN GRADFUN y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC 4 6 3 Descripci n PMUL PLIMS FUN GRADFUN Y0 realiza el proceso de localizaci n a partir de puntos definidos dentro de los l mites de la gr fica dados por PLIM El punto inicial Yo especifica la l nea a lo largo de la gr fica a partir de la cual PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t sup especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n Ver el archivo GRADFUN M PMUL PLIM FUN GRADFUN YO0 PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las pr
15. A A a E a a a 118 1 6 6 GradF UND EAT TTT AT TTN 120 1 Introducci n El Identificador Gr fico de Bifurcaciones IGB es una herramienta creada para localizar valores cr ticos de par metros independientes en sistemas din micos aut nomos multiparam tricos continuos y discretos Se ha dise ado para identificar bifurcaciones locales de codimensi n 1 pero cuenta tambi n con herramientas para la localizaci n y visualizaci n de bifurcaciones de codimensi n mayor En el IGB se han implementado m todos directos funciones de prueba y m todos indirectos continuaci n te ricamente fundamentados en el cap tulo 6 Estos se han probado con funciones tipo que describen las formas normales de las bifurcaciones de codimensi n 1 fold y Hopf para sistemas continuos y fold flip y Neimark Sacker para sistemas discretos El IGB ha sido dise ado como un toolbox para MATLAB Sus funciones adem s de operar por si solas son utilizadas desde una interfaz gr fica descrita en detalle en el Manual del Usuario En este Manual de Referencia se presentan las funciones del IGB de las que se explican los siguientes aspectos Prop sito Breve descripci n de la funci n Sintaxis Muestra el formato de la funci n Descripci n Describe lo que hace la funci n las reglas para su uso y sus limitaciones Ejemplo Se muestran uno o varios ejemplos para su aplicaci n Algoritmo Algoritmo o m todo num rico central de la funci n Ver ta
16. FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n tangente es e y0 0 e length y0 1 JZe 3 Z e 1 s inv JZe e s s norm s 92 y2 y1 h s Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 6 6 Ver tambi n CTC CIEP ETCPD 5 6 7 Referencias Cap tulo 6 93 5 7 CTCP 5 7 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor tangente con parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos continuos 5 7 2 Sintaxis flag _stop ctcp PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 7 3 Descripci n CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y realiza el proceso de continuaci n tangente con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de un punto inicial Y y1 y2 calculando su derivada descrita en la funci n GRADFUN PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l
17. GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 PUNID PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los equilibrios encontrados Por defecto PREC 4 4 5 4 Ejemplo Si se define el Jacobiano de la forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker en el archivo SACKERDJ M y la expresi n de esta funci n como sistema continuo y su Jacobiano en los archivos SACKER M y SACKERJ M del siguiente modo 43 function yp sacker y x1l y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 A cos teta sin teta sin teta cos teta B 1 alfa x1 x2 C x1 2 x2 2 a bb a x1 x2 5 yp A B C x1 x2 function J ValPr Z sackerj y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 dAdx1 1l alfa x102 x2 2 a 2 x1 a x1 b x2 dAdx2 0 x1024 x2 2 b 2 x2 a x1 b x2 dBdx1 0 x1 2 x2 2 b 2 x1 b x1l a x2 dBdx2 1l alfa x1024 x2 2 a 2 x1 b x1 a x2 I 1 0 0 1 J cos teta dAdx1 sin teta dAdx1 cos teta dAdx2 sin teta dAdx2 sin teta dBdx1 cos teta dBdx1 cos teta dBdx2 sin teta
18. PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los puntos fijos encontrados Por defecto PREC 4 M todo recomendado solo para sistemas din micos 2D 4 8 4 Ejemplo Si se define en los archivos FOLD y FOLDJ la forma normal de la bifurcaci n fold y su Jacobiano as function yp fold y function J ValPr Z fold y x y 1 alfa y 2 x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J Es posible visualizar la bifurcaci n fold mediante la funci n PSECANT del siguiente modo 53 figure hold on psecant 1 1 1 1 Fold FoldJ TFun 1 1 2 1 2 0 01 psecant 1 1 1 1 Fold FoldJ TFun 1 1 2 1 2 0 01 Fold alfa Figura 8 Funci n PSECANT en el IGB El archivo TFUN M contiene la definici n de la funci n de prueba Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz 4 8 5 Algoritmo Tal como se describe en el cap tulo 5 el algoritmo utilizado es FM 51 Fx FX Xk 1 Xy 4 8 6 Ver tambi n PSECANTD FUN GRADFUN TFUN 4 8 7 Referencias Cap tulo 5 54 4 9 PSecantD 4 9 1 Prop sito PSECANTD Identificaci n de bifurcaciones mediante la localizaci n de puntos fijos a lo largo de un ramal por continuaci n con corrector basado en el m todo secante 4 9 2 Sintaxis function
19. alfa y 2 x y 1 alfa y 2 yp alfa x x 3 J alfa 3 x 2 ValPr eig J Z x Gr ficamente se puede localizar esta bifurcaci n del siguiente modo pmul 1 1 1 1 Fork ForkJ 1 1 2 1 2 0 01 0 1 47 081 08 04 0 2 0 24 DA 0 64 0 84 0 5 0 05 alfa Figura 6 Funci n PMUL en el IGB Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz 4 6 5 Algoritmo Utiliza el algoritmo del m todo de Newton Raphson para la localizaci n de los equilibrios Comprueba la estabilidad evaluando el valor propio del punto fijo localizado 4 6 6 Ver tambi n PUMULD FUN GRADFUN NEWTONMP 4 6 7 Referencias Cap tulos 5 6 y 7 48 4 7 PMulD 4 7 1 Prop sito PMULD Identificaci n de Bifurcaciones a Fuerza Bruta mediante m ltiples puntos de aproximaci n y soluci n con el M todo de Newton Raphson 4 7 2 Sintaxis function flag stop pmuld PLIM FUN GRADFUN GRADFUND y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC 4 7 3 Descripci n PMULD PLIMS FUN GRADFUN GRADFUND Y0 realiza el proceso de localizaci n a partir de puntos definidos dentro de los l mites de la gr fica dados por PLIM PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_sup especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equil
20. continuaci n con corrector basado en el m todo Secante son Para sistemas continuos e PSecant Para sistemas discretos e PSecantD El m todo de continuaci n con corrector basado en el m todo Seidel para sistemas discretos es e PSeidel 28 4 1 RFase 4 1 1 Prop sito RFASE genera el retrato de fase del sistema a partir de puntos indicados por el usuario 4 1 2 Sintaxis flag _stop rfase PLIM FUN y0 PPLT PPAR s TOL PREC flag sis 4 1 3 Descripci n RFASE PLIM FUN Y genera el reatrato de fase de la funci n FUN sistema a partir del punto inicial Y y1 y2 PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t _supl FUN es el nombre del archivo con extensi n mM donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M RFASE PLIM FUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT No es dado se plotear n las primeras variables RFASE PLIM FUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones d
21. control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 7 6 Ver tambi n CIC CTED CTCP CTCPD 5 7 7 Referencias Cap tulo 6 98 5 8 CTCPD 5 8 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor tangente con parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos discretos 5 8 2 Sintaxis flag _stop ctcepd PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 8 3 Descripci n CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y realiza el proceso de continuaci n tangente con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de un punto inicial Y y1 y2 calculando su derivada descrita en la funci n GRADFUN PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el ar
22. e y0 0 e length y0 1 JZe J Z e 1l s inv JZe e s s norm s y2 y1 h s Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multiparam trico y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 5 6 Ver tambi n ETCD CTCP CETEBD 5 5 7 Referencias Cap tulo 6 87 88 5 6 CTCD 5 6 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor tangente sin parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos discretos 5 6 2 Sintaxis flag _stop ctcd PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 6 3 Descripci n CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y realiza el proceso de con tinuaci n tangente con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de un punto inicial Y y1 y2 calculando su derivada descrita en la funci n GRADFUN PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ej
23. ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUN M 63 CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear ppLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma dimensi n de Yo que indica el tama o del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de u
24. el valor propio del equilibrio localizado 4 4 6 Ver tambi n PUNID FUN GRADFUN TEFUN NEWTONMP 4 4 7 Referencias Cap tulos 5 6 y 7 40 41 4 5 PUniD 4 5 1 Prop sito PUNID Identificaci n de Bifurcaciones mediante la localizaci n de puntos fijos a lo largo de un ramal por continuaci n con corrector basado en el m todo de Newton Raphson a partir de un punto 4 5 2 Sintaxis function flag stop punid PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 4 5 3 Descripci n PUNID Identificaci n de Bifurcaciones con el M todo de Newton Raphson a partir de un punto para sistemas din micos discretos PUNID PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN YO realiza el proceso de localizaci n de equilibrios y puntos fijos mediante el m todo de Newton Raphson a partir del punto inicial yo en sistemas din micos multiparam tricos PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo F
25. en esta plantilla se crea el Jacobiano de la funci n que describe el sistema din mico continuo parametrizada respecto a la longitud de arco 7 4 2 Sintaxis JP GRADFUNP Y 7 4 3 Descripci n En este archivo se describe el Jacobiano de la funci n continua del sistema din mico en estudio parametrizada Jp lt for a Xo Qo x xoc R a ao R se R x Es decir JZ y dp El Jacobiano de la funci n parametrizada Jp es una matriz n m x n m que eval a las derivadas de las funciones del vector de funciones que describen el sistema din mico continuo parametrizado El Jacobiano de la funci n continua J es una matriz n x n que las derivadas de las funciones del vector de funciones que describen el sistema respecto a las n variables de estado d n m J fx a xeR aeR dx La matriz Z de dimensi n n x m consigna las derivadas de la funci n continua respecto a los par metros independientes 116 Z E a x e R a e R da La matriz dp de dimensi n m x n m consigna las derivadas de la funci n de parametrizaci n p x a s respecto a las variables de estado y los par metros independientes dp a p x a s x e R a e R seR d x a 7 4 4 Ejemplo Para la forma norma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker se describe el Jacobiano de la funci n parametrizada as JZ k dp donde las derivadas de la funci n J y Z respecto a las variables de e
26. encontrado x permite conocer el n mero de iteraciones utilizado cond permite conocer la condici n del c lculo Si cond 0 el n mero m ximo de iteraciones fue excedido Si cond 1 se encontr una divisi n por cero Si cond 2 la soluci n fue encontrada dentro de las tolerancias SECANTMP FUN YO s PPAR permite identificar la posici n de los par metros independientes alfal alfa2 alfam cuando el sistema los tiene Estas posiciones se indican en el vector PPAR SECANTMP FUN Y0 s PPAR DELTA EPSILON permite especificar las tolerancias DELTA Y EPSILON para el criterio de convergencia por tama o de paso DX y por valor de la funci n F x respectivamente Por defecto estos valores son 101 5 17 A pesar de que no necesita la definici n del Jacobiano del la funci n tal como en los m todos de Newton Rapshon el m todo Secante no es apropiado para sistemas de m s de dos dimensiones 3 4 4 Ejemplo Para la funci n fx a xf descrita en el archivo o1d m as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 Es posible utilizar el m todo Secante multiparam trico para determinar un equilibrio del sistema a partir de los puntos iniciales yo 0 50 0 50 y y1 0 45 0 45 por ejemplo La sintaxis es la siguiente x f k cond secantmp fold 0 5 0 5 0 05 2 Se obtendr como resultado x 0 70710678072253 0 50000000000000 f 6 562
27. equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUN M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos equilibrios Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACIONES ver 5 0 ARCHIVO DE RESULTADOS 8 May 0 65 M todo Predictor Secante Continuo Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 001412 1 993e 006 e valor 0 002823 Y 0 002769 7 667e 006 e valor 0 005538 5 1 5 Algoritmo Los valores iniciales de los dos puntos necesarios para efectuar el m todo de continuaci n con predictor secante se calculan con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del siguiente modo yl1l newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR D y2 y1 8s y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON f JTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es h norm y2 y1 s y2 y1 norm y2 y1 yl y2 y2 y2 h s eigl eig2 Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene i
28. flag stop psecantd PLIM FUN GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 4 9 3 Descripci n PSECANTD PLIMS FUN GRADFUND TFUN Y realiza el proceso de continuaci n para la identificaci n de bifurcaciones en sistemas din micos discretos por el m todo de continuaci n con corrector basado en el m todo Secante a partir del punto inicial Y PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t sup especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n discreta Ver el archivo GRADFUND M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M 55 PSECANTD PLIM FUN GRADFUND TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables PSECANTD PLIM FUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar
29. funci n 8 X T3 0 Y lx y 0 10 10 y y 28 1llz se describe en el archivo LORENZ M del siguiente modo function yp lorenz y A 8 3 0 0 0 10 10 0 28 1 A 1 3 y 2 A 3 1 y 2 yp A y El comportamiento del atractor de Lorenz en el tiempo puede ser simulado con la funci n xvsT de la siguiente forma xvst 0 80 25 25 Lorenz 35 10 7 2 0 0 001 Figure No 1 File Edit Window Help 25 20f Lorenz 33 1olxi Figura 2 Funci n XVST en el IGB Presentando as el comportamiento de la primera variable de estado contra el tiempo Los datos graficados se consignan en el archivo REGISTRO TXT 4 2 5 Algoritmo El algoritmo usado depende del tipo de sistema para un sistema discreto simplemente calcula los puntos evaluando la funci n as Xk 1 glx Para un sistema continuo no aut nomo a partir de un punto fijo aproxima el siguiente as Xk 1 Xk Atflxi donde Af es el tama o de paso del tiempo seleccionado por el usuario 4 2 6 Ver tambi n RFASE FBRUTA 4 2 7 Referencias Cap tulos 1 y 2 34 4 3 FBruta 4 3 1 Prop sito FBRUTA genera el retrato de fase del sistema para la identificaci n de los equilibrios y puntos fijos estables mediante simulaci n 4 3 2 Sintaxis flag stop fbruta PLIM FUN y0 PPLT PPAR S ITTOT ITINI PREC flag sis 4 3 3 Descripci n FBRUTA PLIM FUN Y realiza el pr
30. la instalaci n del IGB y para la operaci n de la funciones desde su interfaz 2 Tablas de referencia Las funciones del IGB se encuentra agrupadas por categor as de acuerdo con las caracter sticas de los algoritmos utilizados para su creaci n y uso Estas categor as son funciones b sicas funciones gr ficas m todos de continuaci n funciones de prueba y funciones del sistema din mico Funciones b sicas NEWTON M todo de Newton para la localizaci n de equilibrios NEWTONMP M todo de Newton para la localizaci n de equilibrios en sistemas multiparam tricos SECANT M todo secante para la localizaci n de equilibrios SECANTMP M todo secante para la localizaci n de equilibrios en sistemas multiparam tricos SEIDEL M todo de Seidel para la localizaci n de puntos fijos SEIDELMP M todo de Seidel para la localizaci n de puntos fijos en sistemas multiparam tricos BOLZANO M todo de bisecci n de Bolzano para la localizaci n de equilibrios Funciones gr ficas RFASE Retrato de fase del sistema XVST Gr fico de tiempo solo en IGB ver 5 FBRUTA Identificaci n de bifurcaciones por fuerza bruta PUNI Continuaci n con corrector Newton Raphson para sistemas continuos PUNID Continuaci n con corrector Newton Raphson para sistemas discretos PMUL Corrector Newton Raphson a partir de varios puntos en sistemas continuos PMULD Corrector Newton
31. mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n mM donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M FUNP es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo parametrizada Ver el archivo FUNP M 94 GRADFUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo parametrizado Ver el archivo GRADFUNP M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TEUND M CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna q
32. n directamente en medio de dos equilibrios Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 5 0 T E un ARCHIVO DE RESULTADOS 9 May 0 M todo Continuaci n Tangente con Parametrizaci n Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo de la funci n parametrizada FoldP Archivo del Jacobiano parametrizado FoldJP Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 5 0 3 e valor 0 0009 Y 0 5 0 2 e valor 0 001 5 8 5 Algoritmo El equilibrio inicial se calcula con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del siguiente modo MPPAR 1length y0 1 2 length y0 1 yl1l newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es e y0 0 e length y0 1 JZe 3 Z e 1 s inv JZe e s s norm s y2 y1 h s Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico con base en la funci n parametrizada y su Jacobiano as y2 newtonmp FUNP GRADFUNP y2 y1 h MPPAR DELTA EPSILON 103 El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en
33. puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M FUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo parametrizada Ver el archivo FUNP M 73 TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUN M CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR Permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no h
34. 0 Jp J 2 0P La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n CSCPD as cscpd 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldP FoldJP FoldJD TFun 1 1 2 1 2 0 001 HS 0 05 alfa Figura 14 Funci n CSCPD en el IGB Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUND M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos puntos fijos Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACIONES ver 5 0 ARCHIVO DE RESULTADOS 8 May 0 81 M todo Predictor Secante Discreto con Parametrizaci n Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo de la funci n parametrizada FoldP Archivo del Jacobiano parametrizado FoldJP Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 5 0 3 e valor 0 008 Y 0 5 0 2 e valor 0 01 5 4 5 Algoritmo Los valores iniciales de los dos puntos necesarios para efectuar el m todo de continuaci n con predictor secante se calculan con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del s
35. 1 1 alfa x1 2 x2 2 a 2 x1 a xl b x2 dAdx2 0 x1 2 x2 2 b 2 x2 a x1 b x2 dBdx1 0 x1 2 x2 2 b 2 x1 b x1l a x2 dBax2 l alfa x1 2 x2 2 a 2 x1 b x1 a x2 J cos teta dAdx1 sin teta dAdx1 cos teta dAdx2 sin teta dAdx2 sin teta dBdx1 cos teta dBdx1 cos teta dBdx2 sin teta dBdx2 ValPr eig J 7 6 5 Ver tambi n FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP FUND 7 6 6 Referencias Cap tulo 4
36. 161369849661e 010 k 9 cond 2 3 4 5 Algoritmo Utiliza la iteraci n FA Xp 1 Fx fx Xk 1 Xk En cada iteraci n deja el valor del par metro independiente como el del punto inicial 3 4 6 Ver tambi n SECANT NEWTON NEWITONMP 3 4 7 Referencias Cap tulo 5 18 19 3 5 Seidel 3 5 1 Prop sito SEIDEL Resuelve sistemas de ecuaciones no lineales utilizando el m todo de Seidel Localiza puntos fijos en sistemas din micos discretos de la forma xme g x xer 3 5 2 Sintaxis function X F seidel FUN X0 TOL donde FUN X X 3 5 3 Descripci n X F SEIDEL FUN X0 inicia en el vector x0 e intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN FUN es un archivo que contiene el valor de F FUN X X F SEIDEL FUN X0 TOL permite especificar la tolerancia ToL para el criterio de convergencia Por defecto TOL 10 5 Aunque es un m todo desarrollado para resolver funciones discretas de cualquier orden no puede resolver funciones con par metros independientes Para esto se ha creado el m todo SEIDELMP Con el m todo de Seidel solo se pueden identificar puntos fijos estables 3 5 4 Ejemplo Para la funci n B x y 0 5 2 x 4y 8y 4 8 descrita en el archivo test2 m como 20 function fdx test2 x p x 1 q x 2 fdp p 2 q 0 5 2 fdg p 2 4 q 2 8 q 4 8 fdx fdp fdq
37. INI Permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 Utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 FBRUTA PLIM FUN Y PPLT PPAR S ITTOT ITINI PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los puntos fijos o equilibrios localizados Por defecto PRI El C 4 FBRUTA PLIM FUN Y PPLT PPAR S ITTOT ITINI PREC flag sis cuando el sistema din mico es discreto se debe especificar un valor para flag _sis 2 Por defecto el sistema se considera continuo o sea flag_sis 1 4 3 4 Ejemplo El sistema din mico discreto definido como x a 1 x x donde a es el par metro independiente se define de la siguiente forma en el archivo logistic m function YP logistic Y x Y 1 R Y 2 YP R 1 x x Puede ser estudiado con el m todo de la fuerza bruta para identificar visualmente las bifurcaciones que se presentan en el rango 2 5 4 para el par metro independiente a partir de puntos iniciales distintos a x O puntos fijos inestables del sistema Para esto se ha seleccionado un tama o de paso s 0 005 y un n mero total de iteraciones de 500 de las cuales las primeras 250 no son graficadas fbruta 2 5 4 0 1 logistic 0 3 2 5 2 1 2 0 005 500 250 4 2 Los datos graficados tambi n se consignan en el archivo REGISTRO TXT 4 3 5 Algoritmo yp f
38. LIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y realiza el proceso de continuaci n secante con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de los puntos iniciales Y1 Y y Y2 Y sS donde s es por defecto es una cent sima parte de la longitud del eje horizontal PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M FUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo parametrizada Ver el archivo FUNP M 78 GRADFUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo parametrizado Ver el archivo GRADFUNP M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobi
39. Manual de Referencia del Identificador Gr fico de Bifurcaciones Andr s Tovar P rez Profesor Asociado Departamento de Ingenier a Mec nica y Mecatr nica Universidad Nacional de Colombia http www unal edu co optimun igb ltima revisi n Abril de 2007 Contenido 1 Introducci n ococococococonococononnonananananananananana 4 1 1 Tablas de TEN 6 1 2 FUNCIONES DaS aS r a dd 8 1 2 1 NEWTON niei a AA A e cio 9 1 2 2 Newton MP iii A a 11 1 2 3 E TEE ETATE TEE 14 A R A 16 PZS Seidel akrana a a a AO 19 126 lisina 21 1 2 7 2101P 1a OTEA TAEA T A EE 24 1 3 Funciones gr ficas cisasseesiie i EA 26 1 3 1 REIS tt E AE EE E E AE AEE EE aA ai 28 O a a a 31 1 3 3 FBrta rasato a a a 34 ad PUN AA T id 37 Tao PD a ac one a 41 LS MA td 45 CIT A a e a N 48 1 3 8 Poca tin EEE E A E E E E 51 1 3 9 aee IN i D EEE EEE AE E A AE A 54 t310 A A A 57 1 4 M todos de CONtiNUACI N ocooccocncoccoccccncnccnnncncnnncnanoncnnnnnanonnns 61 LA o e e o le edo 62 A GSC D aep a a ea a a a a aa 67 t43 OSC P enirere ANE N A 72 tiA DESC PD o a a a 77 PAS OTO maa a a a a 83 t46 CTD A A A A E EA N 88 o a a E 93 E o A A TA AE 98 1 5 Funciones de prueba oocccccconononconconcccnanononnconconannononnnnnnnnnnns 104 a AAA A A A a A 105 SI A E EE A EAE E EEE 107 1 6 Funciones del sistema diIN MICO cocccoccccccnccncincnnnncncnnncnanons 109 16 A 109 1 6 2 A 110 O OE Tal a o a AE 113 1 6 4 Gr d F NF naapa a a ea a dee 115 165 5 O
40. R es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PSEIDEL PLIM FUND GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos s es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes PSEIDEL PLIM FUND GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S TOL permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUND y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 PSEIDEL PLIM FUND Y GRADFUND TFUN PPLT PPAR S TOL PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Solo puede detectar puntos fijos estables en sistemas din micos discretos por lo que la definici n del archivo donde se define el Jacobiano y de la funci n de prueba pueden omitirse 4 10 4 Ejemplo En el caso de la forma normal de la bifurcaci n flip para sistemas din micos discretos es posible detectar los puntos fijos estables de la funci n discreta definida en el archivo FLIPD M La estabilidad puede comprobarse evaluando los valores propios en el archivo FLIPJD M defi
41. UN PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUN M 84 CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1l a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcc
42. UN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n Ver el archivo GRADFUN M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n discreta Ver el archivo GRADFUND M 42 TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivos TFUN M y TFUND M Si TFUN no est definido no podr localizar bifurcaciones por el m todo directo de la funci n de prueba PUNID PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN YO PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables PUNID PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PUNID PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos s es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes Cuando s no est dado se toma por defecto una fracci n de 1 50 de los l mites de la gr fica PUNID PLIM FUN
43. Y realiza el proceso de continuaci n para la identificaci n de bifurcaciones en sistemas din micos discretos por el m todo de continuaci n con corrector basado en el m todo Secante a partir del punto inicial y PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema discreto Ver el archivo FUND M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema discreto Ver el archivo GRADFUND M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUND M PSEIDEL PLIM FUND GRADFUND TFUN Y PPLT 58 permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables PSEIDEL PLIM FUND GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPA
44. a forma normal como funci n continua en el archivo rFLIP M de esta forma Function function J ValPr F1ipUD y yp Flip y x y 1 alfa y 2 56 x y 1 alfa y 2 J 1l alfa 3 x 2 yp 2 alfa x x 3 ValPr eig J Si la funci n psi psecantd 3 El archivo TFUN estables se gr ECATND se ejecuta del siguiente modo se obtiene 1 1 1 Flip FlipJD TEunD 0 3 2 1 2 0 01 Flip 08t 0 6t D4t D 2t 0 24 04 0 64 0 54 3 25 2 15 alfa Figura 9 Funci n PSACANTD en el IGB D M contiene la definici n de la funci n de prueba Los puntos fijos afican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz 4 9 5 Algoritmo Tal como se describe en el cap tulo 5 el algoritmo utilizado es S x Xk Xp 1 Fx FX Xk 1 Xk 4 9 6 Ver tambi n PSECANT FUN GRADEFUN TEUND 4 9 7 Referencias Cap tulos 5 y 7 57 4 10 PSeidel 4 10 1 Prop sito PSEIDEL Identificaci n de bifurcaciones mediante la localizaci n de puntos fijos a lo largo de un ramal por continuaci n con corrector basado en el m todo de Seidel para sistemas din micos discretos 4 10 2 Sintaxis function flag stop pseidel PLIM FUND GRADFUND TEFUN y0 PPLT PPAR S TOL PREC 4 10 3 Descripci n PSEIDEL PLIM FUND GRADFUND TFUN
45. a ra z elseif sign AB sign Ac B C AB AC A C AAJ AC else end 3 7 6 Ver tambi n SEIDEL 3 7 7 Referencias MATHEWS John Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering Prentice Hall 26 4 Funciones gr ficas Estas funciones generan gr ficas b sicas para el an lisis del sistema Estas gr ficas son de dos tipos simulaci n que muestra el comportamiento del sistema o trayectoria descrita por uno o varios puntos y diagramas de bifurcaci n que muestran los equilibrio o puntos fijos Las primeras funciones gr ficas implementadas para el an lisis de sistemas din micos son las de simulaci n a partir de un punto Estas gr ficas puede presentarse en funci n del tiempo o solo en funci n de las variables y par metros del sistema Las funciones que las incorporan son e RFase e XvsT El m todo de la fuerza bruta que es tambi n un m todo basado en simulaci n ha sido implementado para la localizaci n de bifurcaciones La funci n que lo incorpora es e FBruta Los m todos que utilizan el m todo de Newton Raphson para la localizaci n de los equilibrios a partir de m ltiples puntos sobre el espacio son Para sistemas continuos e PMul Para sistemas discretos e PMulD Los m todos de continuaci n con corrector basado en el m todo de Newton Raphson son Para sistemas continuos e Puni Para sistemas discretos e PUniD 27 Los m todos de
46. acobiano de la funci n discreta se encuentra definido en el archivo FOLDIJD M as function J ValPr foldjd y x y 1 alfa y 2 J 1 2 x ValPr eig J El Jacobiano de la funci n continua se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr zZ foldj y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J 101 La funci n continua parametrizada respecto a la longitud de arco se describe en el archivo FOLDP M as function ypp foldp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y vpp alfa x 2 x x0 2 alfa alfa0 2 h El Jacobiano de esta funci n continua parametrizada se describe en el archivo FOLDJP M as function Jp fold5p y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y 5 5 J foldj y 2 1 daP 2 x x0 2 alfa alfa0 Jp J 2Z dP La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n CSCPD as ctepd 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldP FoldJP FoldJD TFun 1 1 2 1 2 0 001 ctepd 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldP FoldJP FoldJD TFun 1 1 2 1 2 0 001 Fold alfa Figura 18 Funci n CTCPD en el IGB Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUND M se encuentra definida la funci n de prueba que 102 permite identificar la bifurcaci
47. alores son 101 5 A pesar de que no necesita la definici n del Jacobiano del la funci n tal como en los m todos de Newton Rapshon el m todo Secante no es apropiado para sistemas de m s de dos dimensiones 3 3 4 Ejemplo Para una funci n f x x 2x 1 descrita en el archivo test1 m as function fdx testl x fdx x 2 2 x 1 es posible utilizar el m todo Secante para determinar la ra z de fx a partir de los puntos iniciales xy 4 y x1 4 1 por ejemplo La sintaxis es la siguiente x secant test1 4 0 1 Se obtendr como resultado la soluci n fue encontrada dentro de las tolerancias 3 3 5 Algoritmo Utiliza la iteraci n 3 3 6 Ver tambi n S ECANTMP N EWTON N x 2 41421356452856 f 6 096587235049355e 009 S x X Xp 1 Fx Fx Xk 1 Xk 3 3 7 Referencias Cap tulo 5 EWTONMP 15 3 4 3 4 1 16 SecantMp Prop sito Resolver un sistema de ecuaciones no lineales con par metros independientes de la forma fx a O a partir de dos puntos iniciales yo xo a y y4 yo s 3 4 2 Sintaxis function Y F k cond secantmp FUN Y0 s PPAR DELTA EPSILON donde F Y 0 3 4 3 Descripci n X F k cond SECANTMP FUN YO s iniciando con los puntos yo y YO s Intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN por el m todo secante F permite conocer el valor de la funci n en el punto x
48. ano de la funci n del sistema discreto Ver el archivo GRADFUND M TFUN es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUND M CSCPD PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CSCPD PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes CSCPD PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es el tama o de paso longitud de arco Su signo indica hacia donde se da el primer paso Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CSCPD PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 Utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 F
49. ay par metros independientes CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es el tama o de paso longitud de arco Su signo indica hacia donde se da el primer paso Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S DE LTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 Utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 107 5 CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S DE LTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados 5 3 4 Ejemplo La funci n 2 ar x 0 que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold se encuentra descrita en el archivo FOLD M as 74 function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de esta funci n se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr Z fo1ld3 y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La funci n continua parametrizada respecto a la longitud de arco se describe en el archivo FOLDP M as function ypp foldp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y vpp l alfa x 2 x x0 2 alfa al
50. chivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M FUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo parametrizada Ver el archivo FUNP M 99 GRADFUNP es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo parametrizado Ver el archivo GRADFUNP M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema discreto Ver el archivo GRADFUND M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TEUND M CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP
51. ci n de fold en este sistema din micos discreto se puede localizar en este sistema mediante la funci n cTCD as ctca 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldJd TFunD 1 1 21 24 0 00 01 0 5 0 D5 alfa Figura 16 Funci n CTCD en el IGB 91 Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUND M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos equilibrios Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 5 0 E E un ARCHIVO DE RESULTADOS 9 May 0 M todo Predictor Secante Discreto Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo del Jacobiano FoldJd Archivo de la funci n de prueba TFunD Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n DESCONOCIDA entre Y 1 1 e valor 1 Y 0 9999 0 9999 e valor 0 9999 Bifurcaci n FOLD entre los puntos fijos Y 0 001412 1 993e 006 e valor 0 9972 Y 0 002769 7 667e 006 e valor 1 006 5 6 5 Algoritmo El primer punto fijo se calcula a partir del punto inicial yo mediante el m todo de Newton Raphson de la siguiente forma y1l newtonmp
52. componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes PMULD PLIMS FUN GRADFUN GRADFUND Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 4 7 4 Ejemplo Es posible detectar una bifurcaci n de codimensi n dos o de doblamiento de periodo tal como la bifurcaci n flip para sistemas din micos discretos mediante la funci n PMULD Si se define el Jacobiano de la forma normal de esta bifurcaci n en el archivo FLIPJD M As mismo se definen esta forma normal como funci n continua junto con su Jacobiano en los archivos FLIP M y FLIPJ M de esta forma function function function Yp Flip y I ValPr Z FlipJ y J ValPr F1ipJD y X y 1 alfa y 2 x y 1 alfa y 2 x y 1 alfa y 2 Yp 2 talfa x J 2 alfa 3 x 2 J l alfa 3 x 2 x 3 ValPr eig J Z x ValPr eig J Para detectar la bifurcaci n se ejecuta PMULD as 50 pmuld 3 1 1 1 Flip FlipJ FlipJD 0 3 2 1 2 0 01 0 1 Flip 08 pat ost a 0 4 D2t f 0 2F X 04 N 0 6 F 5y 08H s 0 5 0 D5 alfa Figura 7 Funci n PMULD en el IGB Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea roja Cuando el punto fijo es indete
53. dBdx2 1I dAdalfa x1 dBdalfa x2 Z cos teta dAdalfa sin teta dAdalfa sin teta dBdalfa cos teta dBdalfa ValPr eig J function J ValPr SackerJD y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 dAdx1 1l alfa x1 2 x2 2 a 2 x1 a x1 b x2 dAdx2 0 x1 2 x2 2 b 2 x2 a x1 b x2 dBdx1 0 x1 2 x2 2 b 2 x1 b x1l a x2 yk dBdx2 1l alfa x102 x2 2 a 2 x1 b x1l a x2 5 J cos teta dAdx1 sin teta dAdx1 cos teta dAdx2 sin teta dAdx2 sin teta dBdx1 cos teta dBdx1 cos teta dBdx2 sin teta dBdx2 ValPr eig J Se puede localizar la bifurcaci n de Neimark Sacker utilizando la funci n PUNID del siguiente modo punid 1 1 1 1 1 1 sacker sackerj sackerd3 tfund 0 0 1 1 1 3 1 2 1 3 0 01 44 Sacker o x1 Ana alfa Figura 5 Funci n PUNID en el IGB El archivo TFUND M contiene la definici n de la funci n de prueba Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el punto fijo es indeterminado se grafica en gris cruz 4 5 5 Algoritmo Utiliza el algoritmo del m todo de Newton Raphson para la localizaci n de los equilibrios Comprueba la estabilidad evaluando el valor propio del punto fijo localizado 4 5 6 Ver tambi n PUNI FUN GRADFUN GRADFUND TFUND NEWTONMP 4 5 7 Referencias Cap tulos 5 6 y 7 45 4
54. dientes de la forma fx a 0 a partir de un vector inicial yo xo a 3 2 2 Sintaxis function Y F k cond newtonmp FUN GRADFUN Y0 PPAR DELTA EPSILON donde 3 2 3 Descripci n X F k cond NEWTONMP FUN GRADFUN X inicia en el vector x e intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN GRADFUN es el nombre del archivo que contiene el Jacobiano de la funci n FUN y que calcula las derivadas dr dX en X GF GRADFUN X F permite conocer el valor de la funci n en el punto x encontrado x permite conocer el n mero de iteraciones utilizado cona permite conocer la condici n del c lculo Si cond 0 el n mero m ximo de iteraciones fue excedido Si cond 1 el determinante del Jacobiano es cero Si cond 2 la soluci n fue encontrada dentro de las tolerancias NEWTONMP FUN GRADFUN X PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes alfal alfa2 PPAR es un vector columna que contiene las posiciones NEWTONMP FUN GRADFUN X PPAR DELTA EPSILON permite especificar las tolerancias DELTA y EPSILON para el criterio de convergencia por tama o de paso 12 DX y por valor de la funci n F x respectivamente Por defecto estos valores son 101 5 3 2 4 Ejemplo Para la funci n fx a x descrita en el archivo o1d m as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2
55. dimensi n de yo que indica el tama o del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados 5 6 4 Ejemplo La funci n 2 xeatxty que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold en un sistema din mico discreto se encuentra descrita en el archivo FOLDD M as 90 function yp foldd y x y 1 alfa y 2 yp alfa x x 2 La funci n equivalente como sistema din mico continuo se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de la funci n discreta se encuentra definido en el archivo FOLDJD M as function J ValPr foldjd y x y 1 alfa y 2 J 1 2 x ValPr eig J El Jacobiano de la funci n continua se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr zZ foldj y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La bifurca
56. dos se basa en el m todo de Newton Raphson En cuanto al predictor se utilizan dos m todos predictor secante y predictor tangente cada uno con y sin parametrizaci n Las funciones que implementan los m todos de continuaci n con predictor secante son Sin parametrizaci n para sistemas continuos y discretos e CSC e CSCD Parametrizado para sistemas continuos y discretos e CSCP e CSCPD Las funciones que implementan los m todos de continuaci n con predictor tangente son Sin parametrizaci n para sistemas continuos y discretos e CTC e CTCD Parametrizado para sistemas continuos y discretos e CTCP e CTCPD 62 5 1 CSC 5 1 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor secante sin parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos continuos 5 1 2 Sintaxis flag stop csc PLIM FUN GRADFUN TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 1 3 Descripci n CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y realiza el proceso de continuaci n secante con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de los puntos iniciales Y1 Y y Y2 Y s donde s es por defecto es una cent sima parte de la longitud del eje horizontal PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los
57. e eigl size eig2 tf 6 Sbifurcaci n DESCONOCIDA else if norm eigl 1 lt 1 amp norm eig2 1 gt 1 norm eigl 1 gt 1 amp norm eig2 1 lt 1 if isreal eigl isreal eig2 if eigl gt 0 eig2 gt 0 tf 3 SBifurcaci n FOLD dis elseif eigl lt 0 eig2 lt 0 tf 4 S Bifurcaci n FLIP else tf 6 SBifurcaci n DESCONOCIDA end elseif isreal eigl isreal eig2 tf 5 SBifurcaci n de NEIMARK SACKER else tf 6 S Bifurcaci n desconocida end end end 6 2 6 Ver tambi n TFUN 6 2 7 Referencias Cap tulo 6 109 7 Funciones del sistema din mico El sistema din mico a analizar debe ser descrito de una forma tal que pueda ser interpretado por IGB Las funciones del sistema din mico describen son la base para la identificaci n de las bifurcaciones Estas funciones deben ser creadas por el usuario con base en las plantillas creadas para este prop sito Las plantillas de las funciones de los sistemas din micos continuos son Fun GradFun FunP GradFunP Para el an lisis de sistemas din micos discretos se utilizan adem s de las plantillas de los sistemas continuos las siguientes e FunD e GradFunD 7 1 Fun 7 1 1 Prop sito Con base en esta plantilla se crea la funci n que describe el sistema din mico continuo 7 1 2 Sintaxis YP FUN Y 7 1 3 Descripci n En este archivo se describe el sistema continuo con par metros independientes dado por la ecuaci n
58. e los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes RFASE PLIM FUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma dimesi n de y que indica el tama o del 29 primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal RFASE PLIM FUN Y PPLT PPAR S TOL permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 Por defecto este valor es 10 5 RFASE PLIM FUN Y PPLT PPAR S TOL PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los puntos fijos o equilibrios localizados Por defecnto PREC 4 RFASE PLIM FUN Y PPLT PPAR S TOL PREC flag sis cuando el sistema din mico es discreto se debe especificar un valor para f1ag_sis 2 Por defecto el sistema se considera continuo osea flag_sis 1 4 1 4 Ejemplo El atractor de Lorenz definido por la funci n 8 x 23 0 yx y 0 10 10 y A y 28 1l z se describe en el archivo LORENZ M del siguiente modo function yp lorenz y A 8 3 0 0 0 10 10 0 28 1 A 1 3 y 2 A 3 1 y 2 yp A y Este atractor de Lorenz puede ser simulado con la funci n RFASE de la siguiente forma rfa
59. es horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema discreto Ver el archivo GRADFUND M 89 TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUND M CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes CTCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma
60. eval FUN y if flag _sis EJ Figure No 1 ioj x File Edit Windows Help Logistic 1 D9F gt i lt lt ost paT w 0 7 F iii f uji fl y al Figura 3 Funci n FBRUTA en el IGB sistema continuo y yts yp elseif flag_sis 2 sistema discreto V YP end 4 3 6 Ver tambi n RFASE PUNI PUNID PMUL PMULD 4 3 7 Referencias Cap tulos 5 6 y 7 36 37 4 4 PUni 4 4 1 Prop sito PUNI Identificaci n de Bifurcaciones mediante la localizaci n de equilibrios a lo largo de un ramal por continuaci n con corrector basado en el m todo de Newton Raphson a partir de un punto 4 4 2 Sintaxis flag stop puni PLIM FUN GRADFUN TFUN y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC 4 4 3 Descripci n PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN YO0 realiza el proceso de localizaci n de equilibrios y puntos fijos mediante el m todo de Newonton Raphson a partir del punto inicial yo en sistemas din micos multiparam tricos PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con ex
61. fa0 2 h El Jacobiano de esta funci n continua parametrizada se describe en el archivo FOLDJP M as function Jp foldjp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y 5 5 J foldj y 2 1 daP 2 x x0 2 alfa alfa0 Jp J 2Z dP La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n cscp as cscp 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldP FoldJP TFun sl T TE 12 1152 0 001 Fold 05 alfa 75 Figura 13 Funci n CSCP en el IGB Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio fijo es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUN M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos puntos fijos Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 5 0 E uu ARCHIVO DE RESULTADOS 8 May 0 M todo Predictor Secante Continuo con Parametrizaci n Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo del Jacobiano parametrizado FoldJP Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 01381 0 0001906 e valor 0 02761 Y 0 0003355 1 125e 007 e va
62. i n del paso inicial s es un vector de la misma dimensi n de Yo que indica el tama o del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Con este m todo no se puede sobrepasar la bifurcaci n de fold y en general ning n ramal que tenga una recta tangente con pendiente infinita 5 5 4 Ejemplo La funci n 2 atx 0 que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y 85 x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de esta funci n se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as function J ValPr Z fo1ld3 y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n ctc as ctet 5 1 1 Eola Eoltas Eun AL T E 115 2 000015 cte 1 1 5 1 It EFold EoldJ TEunt PL EZ 1
63. ibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n Ver el archivo GRADFUN M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n discreta Ver el archivo GRADFUND M PMULD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND Y0 PPLT 49 permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables PMULD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND Y0 PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PMULD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND Y0 PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos S es un vector de dos o tres dimensiones cuyos
64. icar la posici n de los par metros independientes alfa1l alfa2 en el vector de entrada Y0 PPAR es un vector que contiene las posiciones SEIDELMP FUN X0 PPAR TOL permite especificar la tolerancia TOL para el criterio de convergencia Por defecto TOL 107 5 Con el m todo de Seidel solo se pueden determinar los puntos fijos estables 22 3 6 4 Ejemplo Para el sistema din mico discreto que describe la forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker x cos a sen a x ala b a x 5 z ls O a cos O a G saz x o ala 160 donde a a 1 b a 0 y que se describe en el archivo sackerd m as function yp sackerd y x1l y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a 1 b 0 A cos teta sin teta sin teta cos teta B 1 alfa x1 x2 C x1 2 x2 2 a b b a x1 x2 yp A B C Se puede utilizar el m todo de Seidel multipar metrico de la siguiente forma y f k cond seidelmp sackerd 0 5 0 5 1 3 y 0 0000 0 0000 1 0000 f 1 0e 108 0 0000 0 7515 k 4 cond 1 3 6 5 Algoritmo El algoritmo utilizado en cada iteraci n es Sdx fx fori 1 length fdx x i fdx i p Jdx fx Teniendo en cuenta que los par metros independientes deben permanecer constantes 3 6 6 Ver tambi n SEIDEL BOLZANO 3 6 7 Referencias Cap tulo 5 23 24 3 7 Bolzano 3 7 1 Prop sito Esta funci n utiliza el m todo de la Bisecci
65. iguiente modo MPPAR 1length y0 1 2 length y0 1 yl1 newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON y2 y1 s y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es h norm y2 y1 s y2 y1 norm y2 y1 yl y2 y2 y2 h s eigl eig2 Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico con base en la funci n parametrizada y su Jacobiano as y2 newtonmp FUNP GRADFUNP y2 y1 h MPPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 4 6 Ver tambi n CSC CSCD CSCP 5 4 7 Referencias Cap tulo 6 82 83 5 5 CTC 5 5 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor tangente sin parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos continuos 5 5 2 Sintaxis flag _stop ctc PLIM FUN GRADFUN TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 5 3 Descripci n CTC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y realiza el proceso de continuaci n tangente con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de un punto inicial y y1 y2 calculando su derivada descrita en la funci n GRADF
66. imeras variables PMUL PLIM FUN GRADFUN Y0 PPLT PPAR 46 permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PMUL PLIM FUN GRADFUN Y0 PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos s es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes PMUL PLIM FUN GRADFUN Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 PMUL PLIM FUN GRADFUN Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los equilibrios encontrados Por defecto PREC 4 4 6 4 Ejemplo Es posible detecta una bifurcaci n de codimensi n 2 tal como la bifurcaci n fork para sistemas din micos continuos mediante la funci n PMUL Si se define la forma normal de esta bifurcaci n junto con su Jacobiano en los archivos FORK M y FORKJ M as function yp fork y function J ValPr Z ForkJ y x y 1
67. ivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema continuo Ver el archivo GRADFUN M GRADFUND es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definido el Jacobiano de la funci n del sistema discreto Ver el archivo GRADFUND M 68 TFUN es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivo TFUND M CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes al a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si pPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma dimensi n de Yo que indica el tama o del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPS ILON
68. ivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el archivo FUN M XVST PLIM FUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables XVST PLIM FUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes XVST PLIM FUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma dimesi n de y que indica el tama o del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como 32 de una cent sima del eje horizontal La selecci n del tama o de paso del tiempo resulta ser un factor cr tico en la simulaci n del comportamiento en sistemas ca ticos XVST PLIM FUN Y PPLT PPAR S PREC permite especificar la precisi n para la presentaci n de los puntos fijos o equilibrios localizados Por defecnto PREC 4 XVST PLIM FUN Y PPLT PPAR S PREC flag sis cuando el sistema din mico es discreto se debe especificar un valor para flag sis 2 Por defecto el sistema se considera continuo osea flag _sis 1 4 2 4 Ejemplo El atractor de Lorenz definido por la
69. izaci n Archivo de la funci n Fold Archivo del Jacobiano FoldJ Archivo del Jacobiano parametrizado FoldJP Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO0 1 1 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FOLD Y 0 001032 1 Y 0 0003821 1 Bifurcaci n FOLD Y 0 0003821 1 Y 0 001032 1 Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios 065e 006 e valor 0 002064 46e 007 e valor 0 0007643 entre los equilibrios 46e 007 e valor 0 0007643 065e 006 e valor 0 002064 entre los equilibrios 97 Y Y 0 001032 1 065e 006 e valor 0 002064 0 0003821 1 46e 007 e valor 0 0007643 Bifurcaci n FOLD entre los equilibrios Y 0 0003821 1 46e 007 e valor 0 0007643 Y 0 001032 1 065e 006 e valor 0 002064 5 7 5 Algoritmo El equilibrio inicial se calcula con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del siguiente modo MPPAR 1length y0 1 2 length y0 1 yl1 newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es e y0 0 e length y0 1 JZe 3 Z e 1 s inv JZe e s s norm s y2 y1 h s Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico con base en la funci n parametrizada y su Jacobiano as y2 newtonmp FUNP GRADFUNP y2 y1 h MPPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un
70. izado respecto a la longitud de arco xp p x a xo Ao S x xoe R a ao e R s e R El vector de entrada est formado por n variables de estado x m par metros independientes a n condiciones iniciales de las variables es estado x m condiciones iniciales de los par metros independientes y un par metros adicional s que es la longitud de arco El vector de respuesta xp es de dimensi n n m y contiene el estado de las n variables de estado x y las m funciones adicionales que parametrizan la funci n respecto a la longitud de arco s La funci n de parametrizaci n es pea s Ve la a s jA i 1 La funci n parametrizada queda definida as i donde x f x a 114 7 3 4 Ejemplo La funci n que describe la forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker se parametriza respecto a la longitud de arco agregando el polinomio p x a s x xo a a s a la funci n Ax a cos O a sen 0 a fx a gt O a cos o Ba tala e as O Y P Esta funci n parametrizada se presenta en el archivo SACKERP M de la siguiente forma function ypp sackerp y x1 y 1 x2 y 2 alfa y 3 5 x10 y 4 x20 y 5 alfa0 y 6 s y 7 teta pi 2 a alfa b 0 yvp sacker y p x1 x10 72 x2 x20 2 alfa alfa0 2 s ypp yp pl 7 3 5 Ver tambi n FUN GRADFUN GRADFUNP FUND GRADFUND 7 3 6 Referencias Cap tulo 6 115 7 4 GradFunP 7 4 1 Prop sito Con base
71. las zonas que se encuentran lejos de esta 5 8 6 Ver tambi n CTC STEED CTCP 5 8 7 Referencias Cap tulo 6 6 Funciones de prueba 104 Los m todos directos para la identificaci n del tipo de bifurcaci n se basan en las funciones de prueba desarrolladas para el IGB Las funciones de prueba pueden ser programadas por el usuario Para que puedan ser correctamente interpretadas por el IGB deben retornar como primer valor un flag que cumpla Valor del flag de retorno Significado no hay bifurcaci n Bifurcaci n FO LD continua Bifurcaci n HO PF Bifurcaci n FO LD discreta Bifurcaci n FLIP Bifurcaci n NEIMARK SACKER DOM 0D Njej o bifurcaci n DESCONOCIDA Los par metros de entrada tampoco pueden ser modificados Para esta versi n del IGB estos par metros deben ser los valores propios de los equilibrios o puntos fijos en medio de los cuales se desea saber la existencia de una bifurcaci n El usuario es libre de modificar el tratamiento de los par metros de entrada pero no puede agregar m s As mismo el usuario debe conservar nomenclatura de los datos de salida para que el IGB pueda interpretar la bifurcaci n en el momento de generar el archivo de resultados El IGB tiene implementadas dos funciones de prueba por defecto TFUN para sistemas din micos continuos TFUND para sistemas din micos discretos
72. lor 0 000671 5 3 5 Algoritmo Los valores iniciales de los dos puntos necesarios para efectuar el m todo de continuaci n con predictor secante se calculan con el m todo de Newton Raphson multiparam trico del siguiente modo MPPAR 1length y0 1 2 length y0 1 yl1 newtonmp FUN GRADFUN y0 PPAR DELTA EPSILON y2 y1 8s y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR D E TA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es h norm y2 y1 s y2 y1 norm y2 y1 yl y2 y2 y2 h s eigl eig2 76 Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico con base en la funci n parametrizada y su Jacobiano as y2 newtonmp FUNP GRADFUNP y2 y1 h MPPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 3 6 Ver tambi n ESC CSCDyz ESCPD 5 3 7 Referencias Cap tulo 6 T7 5 4 CSCPD 5 4 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor secante con parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos discretos 5 4 2 Sintaxis flag _stop cscpd PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 4 3 Descripci n CSCPD P
73. mbi n Refiere a otras funciones relacionadas Referencias Documentaci n para ampliar explicaci n El Manual de Referencia se divide en las siguientes secciones Tablas de Referencia Contiene la descripci n resumida de cada una de las funciones del IGB Funciones b sicas Estas funciones son la base para la localizaci n de equilibrios y puntos fijos Son las que se utilizan para corregir las predicciones en la localizaci n de ramales en sistemas multiparam tricos y no param tricos M todos indirectos Son funciones que utilizan a su vez las funciones b sicas b sicos Erice E para la localizaci n de ramales Tambi n incluyen las funciones para la simulaci n del comportamiento del sistema din mico M todos indirectos En estas funciones se han implementado las t cnicas de de continuaci n a f continuaci n basadas en el m todo de predictor corrector con y sin parametrizaci n para sistemas din micos continuos y discretos Funciones de prueba Los m todos directos para la identificaci n del tipo de bifurcaci n se basan en las funciones de prueba desarrolladas para el IGB Funciones del El sistema din mico a analizar debe ser descrito de una sistema din mico l forma tal que pueda ser interpretado por IGB En esta secci n se presentan las plantillas y la sintaxis que se debe seguir en su descripci n El Manual del Usuario que se encuentra en al cap tulo siguiente recoge las instrucciones para
74. mplementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 1 6 Ver tambi n CSCD CSCP CSCPD 5 1 7 Referencias Cap tulo 6 66 67 5 2 CSCD 5 2 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor secante sin parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos discretos 5 2 2 Sintaxis flag _stop cscd PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 2 3 Descripci n CSCD PLIM FUN GRADFUN GRADFUND TFUN Y realiza el proceso de continuaci n secante con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de los puntos iniciales y1 Y y y2 Y s donde s es por defecto es una cent sima parte de la longitud del eje horizontal PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n M donde se encuentra definida la funci n del sistema continuo Ver el arch
75. n de Bolzano para encontrar una ra z de la ecuaci n 0 FUN X en el intervalo A B 3 7 2 Sintaxis function C cond bolzano FUN A B DELTA EPSILON 3 7 3 Descripci n C cond BOLZANO FUN A B recibe los puntos A y B y la funci n FUN tales que FUN A y FUN B son de signo opuesto y retorna la ra z c y la condici n cond Si cond 0 el n mero m ximo de iteraciones fue excedido Si cond 1 los signos de FUN A Y FUN B son iguales Si cond 2 la soluci n fue encontrada sin problema C cond BOLZANO FUN A B DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia con la que se desea determinar la ra z DELTA es la tolerancia por tama o de paso y EPSILON por valor de la funci n Por defecto estos valores son 10 5 El m todo de la Bisecci n de Bolzano es apropiado solo para sistemas unidimensionales 3 7 4 Ejemplo Considerando la funci n f x cos x 1 x definida en el archivo test3 m as function fdx test3 x fdx cos x 1 x Se puede determinar una ra z en el intervalo 0 8 1 6 por el m todo de la Bisecci n de Bolzano del siguiente modo 25 c cond bolzano test3 0 8 1 6 c 1 4000 cond 2 3 7 5 Algoritmo A partir de los puntos A B que definen el intervalo se determina la ra z c de f x con unas tolerancias DELTA y EPSILON mediante el siguiente algoritmo C A B 2 if AC lt EPSILON cond 2 se ha encontrado l
76. n del sistema continuo Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n Ver el archivo GRADFUN M PSECANT PLIM FUN GRADFUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables 52 PSECANT PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1l a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes PSECANT PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos S es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes Cuando S no est dado se toma por defecto una fracci n de 1 50 de los l mites de la gr fica PSECANT PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 107 5 PSECANT PLIM FUN GRADEFUN TEUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON
77. na cent sima del eje horizontal CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN Y utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 CSC PLIM FUN GRADFUN TFUN Y PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Para la detecci n de ciertas bifurcaciones se hace necesario utilizar un tama o de paso muy peque o para lograr la localizaci n de un equilibrio al otro lado de la bifurcaci n 5 1 4 Ejemplo La funci n 2 a x 0 que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold se encuentra descrita en el archivo FOLD M as 64 function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de esta funci n se encuentra definido en el archivo rOLDJ M as function J ValPr Z fold3 y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n csc as esct 1 r 1 Eold FoldJ TEUA 1 1 2 1 2 0 0001 Fold 0 5 0 D5 alfa Figura 11 Funci n CSC en el IGB Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el
78. nction J ValPr Z fold y x y 1 alfa y 2 J 2 x Z 1 ValPr eig J La funci n continua parametrizada respecto a la longitud de arco se describe en el archivo FOLDP M as function ypp foldp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y vpp alfa x 2 x x0 2 alfa alfa0 2 h El Jacobiano de esta funci n continua parametrizada se describe en el archivo FOLDJP M as function Jp foldjp y x y 1 alfa y 2 x0 y 3 alfa0 y 4 h y 5 5 J foladj y 2 1 daP 2 x x0 2 alfa alfa0 Jp J 2Z dP La bifurcaci n de fold se puede localizar en este sistema mediante la funci n CTCP as ctcp 1 1 1 1 Fold FoldJ FoldP FoldJP TFun 1 1 1 2 1 2 0 0001 GECP EL 1 1 1 Fold EFoldJ Eoldr EoldJP TEUD tp 1 1 2 1 2 0 0001 96 alfa Figura 17 Funci n CTCP en el IGB Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz En el archivo TFUN M se encuentra definida la funci n de prueba que permite identificar la bifurcaci n directamente en medio de dos equilibrios Este resultado se consigna en el archivo RESULTADOS TXT type resultados txt IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 5 0 T E un ARCHIVO DE RESULTADOS 8 May 0 M todo Predictor Tangente Continuo con Parametr
79. nidos as 59 function yp FlipD y function J ValPr FlipJD y x y 1 alfa y 2 x y 1 alfa y 2 yp 1 alfa x x 3 J 1 alfa 3 x 2 ValPr eig J Si la funci n PSEIDEL se ejecuta del siguiente modo se obtiene pseidel 3 0 1 1 FlipD FlipJD TFunD 0 1 9 2 gt Ll Zi 0 0 TL 102 5 FlipD 08t D 6t D4t 0 2f 0 24 DA 0 64 0 84 3 25 2 15 1 05 0 alfa Figura 10 Funci n PSEIDEL en el IGB Los puntos fijos estables se grafican en azul l nea continua El archivo TFUND M contiene la definici n de la funci n de prueba Este archivo puede omitirse ya que no hay cambio en la estabilidad de los puntos fijos detectados Lo mismo con el archivo del Jacobiano ya que todos los puntos fijos hallados ser n estables 4 10 5 Algoritmo Se utiliza el algoritmo del m todo de Seidel es decir fdX feval fname X for i 1 length fqx Xp 1 aX 1 fdX feval fname Xp end X Xp 4 10 6 Ver tambi n SEIDELMP 4 10 7 Referencias Cap tulo 5 60 61 5 M todos de continuaci n El IGB identifica los valores cr ticos de los par metros independientes de un sistema din mico continuo o discreto por medio de funciones para la localizaci n de equilibrios y puntos fijos a lo largo de ramales Estas t cnicas se basan en los m todos de continuaci n predictor corrector El corrector utilizado en todos estos m to
80. nmp FUN GRADFUN y0 PPAR D y2 y1 8s y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON TA EPSILON El algoritmo utilizado para la predicci n secante es h norm y2 y1 s y2 y1 norm y2 y1 yl y2 y2 y2 h s eigl eig2 Finalmente la correcci n se hace utilizando el m todo de Newton Raphson multimparam trico y2 newtonmp FUN GRADFUN y2 PPAR DELTA EPSILON El algoritmo tiene implementado un control de paso que le permite disminuir su tama o cerca de los puntos de bifurcaci n y aumentarlo cuando en las zonas que se encuentran lejos de esta 5 2 6 Ver tambi n CSC CSCP CSCPD 5 2 7 Referencias Cap tulo 6 72 5 3 CSCP 5 3 1 Prop sito Localizar bifurcaciones por continuaci n con predictor secante con parametrizaci n y corrector basado en el m todo de Newton Raphson para sistemas din micos continuos 5 3 2 Sintaxis flag _stop cscp PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN y0 PPLT PPAR s DELTA EPSILON PREC 5 3 3 Descripci n CSCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y realiza el proceso de continuaci n secante con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de los puntos iniciales Y1 Y y Y2 Y S donde s es por defecto es una cent sima parte de la longitud del eje horizontal PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los
81. o SACK function yp sackerd y xl y 1 x2 y 2 alfa y teta pi 2 a alfa b 0 A cos teta sin teta s B 1 alfa x1 x2 ER M de as 3 in teta cos teta C x1 2 x2 2 a b b a x1 x2 5 yp A B C 7 5 5 Ver tambi n FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND 7 5 6 Referencias Cap tulo 4 119 120 7 6 GradFunD 7 6 1 Prop sito Con base en esta plantilla se crea la el Jacobiano de la funci n que describe el sistema din mico discreto 7 6 2 Sintaxis IJ ValPr GRADEFUND Y 7 6 3 Descripci n En este archivo se describe el Jacobiano de la funci n continua del sistema din mico en estudio d n m J fx a xeR aeR dx El Jacobiano J es una matriz n x n que eval a las derivadas de las funciones del vector de funciones que describen el sistema din mico continuo respecto a las n variables de estado x La matriz Z de dimensi n n x m consigna las derivadas de la funci n continua respecto a los par metros independientes Z e a x e R a e R da ValPr consigna los valores propios de J evaluados en x a 7 6 4 Ejemplo El Jacobiano de la funci n que describe la forma normal de la funci n de Neimark Sacker es la derivada de la funci n f x a respecto a x 121 Baa o al E fo a Y se presenta del siguiente modo en el archivo SACKERJD M function J ValPr SackerJD y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 dAdx
82. oceso de continuaci n tangente con parametrizaci n por longitud de arco de la funci n descrita en el archivo FUN a partir de un punto inicial Y y1 y2 calculando su derivada descrita en la funci n GRADFUN PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FBRUTA PLIM FUN Y PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear PPLT es un vector que contiene las posiciones de estas Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables FBRUTA PLIM FUN Y PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes FBRUTA PLIM FUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es un vector de la misma dimensi n de Y que indica el tama o 35 del primer paso Su signo indica la direcci n de este Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal FBRUTA PLIM FUN Y PPLT PPAR S ITTOT IT
83. os par metros independientes d A m Z fx a xeR aeceR da valPr consigna los valores propios de J evaluados en x a 7 2 4 Ejemplo El Jacobiano de la funci n que describe la forma normal de la funci n de Neimark Sacker es la derivada de la funci n x a respecto a x cos O a sen O a fx a a O a cos a 112 a tala sen d J LA El a Y se presenta del siguiente modo en el archivo SACKERJ M function J ValPr Z sackerj y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 teta pi 2 a alfa b 0 dAdx1 1 alfa x1 2 x2 2 a 2 x1 a xl b x2 dAdx2 0 x102 x2 2 b 2 x2 a x1 b x2 dBdx1 0 x1 2 x2 2 b 2 x1 b x1l a x2 dBdx2 l alfa x1024 x2 2 a 2 x1 b x1 a x2 I 1 0 0 1 J cos teta dAdx1 sin teta dAdx1 cos teta dAdx2 sin teta dAdx2 sin teta dBdx1 cos teta dBdx1 cos teta dBdx2 sin teta dBdx2 1T dAdalfa x1 dBdalfa x2 Z cos teta dAdalfa sin teta dAdalfa sin teta dBdalfa cos teta dBdalfa ValPr eig J 7 2 5 Ver tambi n FUN FUNP GRADFUNP FUND GRADFUND 7 2 6 Referencias Cap tulos 3 y 4 113 7 3 FunP 7 3 1 Prop sito Con base en esta plantilla se crea la funci n que describe el sistema din mico continuo parametrizado respecto a la longitud de arco 7 3 2 Sintaxis YPP FUNP Y 7 3 3 Descripci n En este archivo se describe el sistema continuo con par metros independientes parametr
84. ra localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN Y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC permite especificar la presentaci n para la representaci n de los equilibrios encontrados Por defecto PREC 4 4 4 4 Ejemplo Si se define la forma normal de la bifurcaci n de Hopf y su Jacobiano en los archivos HOPF M y HOPFJ M del siguiente modo function yp hopf y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 yp alfa x1 x2 x1 x1 2 x2 2 l ral lfa x2 x2 21 1 tx 2 2 function J ValPr zZ hopfj y xl y 1 x2 y 2 alfa y 3 J alfa 3 x1 2 x2 2 1 2 x1 x2 39 1 2 x1 x2 alfa x1 2 3 x2 2 ValPr eig J Z x1 x2 Se puede identificar una bifurcaci n de Hopf usando la funci n PUNI as puni 1 T Ti 1 1 hopf hopt t3 t tun 10 07 1 10 3 1 21 53 0 01 Hopf 0 xl Elo al alfa Figura 4 Funci n PUNI en el IGB El archivo TFUN M contiene la definici n de la funci n de prueba Los equilibrios estables se grafican en azul l nea continua y los inestables en rojo l nea discontinua Cuando el equilibrio es indeterminado se grafica en gris cruz 4 4 5 Algoritmo Utiliza el algoritmo del m todo de Newton Raphson para la localizaci n de los equilibrios Comprueba la estabilidad evaluando
85. rminado se grafica en gris cruz 4 7 5 Algoritmo Utiliza el algoritmo del m todo de Newton Raphson para la localizaci n de los equilibrios Comprueba la estabilidad evaluando el valor propio del punto fijo localizado 4 7 6 Ver tambi n PUMUL FUN GRADEUN GRADFUND NEWTONMP 4 7 7 Referencias Cap tulos 5 6 y 7 51 4 8 PSecant 4 8 1 Prop sito PSECANT Identificaci n de bifurcaciones mediante la localizaci n de equilibrios a lo largo de un ramal por continuaci n con corrector basado en el m todo secante 4 8 2 Sintaxis function flag stop psecant PLIM FUN GRADFUN TFUN y0 PPLT PPAR S DELTA EPSILON PREC 4 8 3 Descripci n PSECANT PLIM FUN GRADFUN TFUN Y realiza el proceso de continuaci n para la identificaci n de bifurcaciones en sistemas din micos continuos por el m todo de continuaci n con corrector basado en el m todo Secante a partir del punto inicial y PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci
86. se 0 507229 25 25 28 Lorenz 35 710 F 1 23 07 0 01 30 Es Figure No 1 lolx File Edt Windows Help Lorenz Figura 1 Funci n RFASE en el IGB Los datos graficados se consignan en el archivo REGISTRO TXT 4 1 5 Algoritmo El algoritmo usado depende del tipo de sistema para un sistema discreto simplemente calcula los puntos evaluando la funci n as Xk 1 5 g x Para un sistema continuo no aut nomo a partir de un punto fijo aproxima el siguiente as Xk 1 Xk Atflaci donde Af es el tama o de paso del tiempo seleccionado por el usuario 4 1 6 Ver tambi n XVST FBRUTA 4 1 7 Referencias Cap tulos 1 y 2 4 2 XvsT 4 2 1 Prop sito XVST genera la gr fica de comportamiento del sistema en funci n del tiempo 4 2 2 Sintaxis flag _stop xvst PLIM FUN y0 PPLT PPAR s TOL PREC flag sis 4 2 3 Descripci n XVST PLIM FUN Y genera el reatrato de fase de la funci n FUN sistema a partir del punto inicial y y1 y2 PLIM especifica los l mites de la gr fica donde se van a mostrar los puntos fijos y los equilibrios PLIM es una matriz 2x2 o 3x2 que contiene los l mites de cada uno de los ejes en forma de vectores fila En el caso de una gr fica 2D contendr los l mites de los ejes horizontal y vertical Para 3D contendr adem s los l mites del eje transversal PLIM h_inf h_sup v_inf v_sup t_inf t_supl FUN es el nombre del arch
87. stado y a los par metros independientes se presentan como d d J f lx a Z fx al FTA da cos O a sen 0 a fx a ls O a cos a Xy 2 2 a a O 0 i ak He o aay Ax Asimismo se presenta la derivada de la funci n de parametrizaci n dp como dp x a s E 117 p x a s x x0 a a s El Jacobiano parametrizado se consigna en el archivo SACKERJP M as function Jp sackerjJp y x1l y 1 x2 y 2 alfa y 3 x10 y 4 x20 y 5 alfa0 y 6 s y 7 teta pi 2 a alfa b 0 IJ ValPr Z sackerj y dP 2 x1 x10 2 x2 x20 2 alfa alfa0 Jp J Z dP 7 4 5 Ver tambi n FUN GRADFUN FUNP FUND GRADFUND 7 4 6 Referencias Cap tulo 6 7 5 FunD 7 5 1 Prop sito 118 Con base en esta plantilla se crea la funci n que describe el sistema din mico discreto 7 5 2 Sintaxis 7 5 3 Descripci n YP FUND Y En este archivo se describe el sistema continuo con par metros independientes dado por la ecuaci n xe f x a x e R a e R El vector de entrada x a es de dimensi n n m y contiene n variables de estado y m par metros independientes El vector de respuesta x es de de estado 7 5 4 Ejemplo dimensi n n y contiene el estado de las n variables La manera en la que se presenta el sistema din mico discreto que describe la forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker a o A se describe en el archiv
88. tensi n m donde se encuentra definida la funci n Ver el archivo FUN M GRADFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se define el Jacobiano de la funci n Ver el archivo GRADFUN M TFUN es el nombre del archivo con extensi n m donde se encuentra definida la funci n de prueba Ver el archivos TFUN M y TFUND M Si TFUN no est definido no podr localizar bifurcaciones por el m todo directo de la funci n de prueba 38 PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN Y0 PPLT permite identificar las posiciones de los par metros que se desea plotear Si PPLT no es dado se plotear n las primeras variables PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN Y0 PPLT PPAR permite identificar las posiciones de los par metros independientes a1 a2 PPAR es un vector columna que contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume 0 y se considerar que no hay par metros independientes PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN YO0 PPLT PPAR S permite especificas las distancias para calcular para determinar los puntos a partir de los cuales se determinar n los equilibrios puntos fijos s es un vector de dos o tres dimensiones cuyos componentes indican las distancias sobre cada uno de los ejes Cuando s no est dado se toma por defecto una fracci n de 1 50 de los l mites de la gr fica PUNI PLIM FUN GRADFUN TFUN YO PPLT PPAR S DELTA EPSILON permite especificar la tolerancia pa
89. ue contiene sus posiciones Si PPAR no est definido su valor se asume O y se considerar que no hay par metros independientes CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S permite especificar el tama o y la direcci n del paso inicial s es el tama o de paso longitud de arco Su signo indica hacia donde se da el primer paso Si s no es dado se asume como de una cent sima del eje horizontal CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S DE LTA EPSILON permite especificar la tolerancia para localizar las soluciones de 0 FUN y0 utilizando el criterio de convergencia por tama o de paso y valor de la funci n respectivamente Por defecto estos valores son 10 5 CTCP PLIM FUN GRADFUN FUNP GRADFUNP TFUN Y PPLT PPAR S DE LTA HEPSILON PREC permite especificar la precisi n con la que se desea presentar cada uno de los puntos fijos encontrados Con este m todo no se puede sobrepasar la bifurcaci n de fold y en general ning n ramal que tenga una recta tangente con pendiente infinita En este punto la funci n entra en un loop 95 5 7 4 Ejemplo La funci n 2 atx 0 que describe la forma normal de la bifurcaci n de fold se encuentra descrita en el archivo FOLD M as function yp fold y x y 1 alfa y 2 yp alfa x 2 El Jacobiano de esta funci n se encuentra definido en el archivo FOLDJ M as fu
90. y cuyo Jacobiano es fp x 2x descrito en el archivo fo1dj m as function J foldj y x y 1 alfa y 2 J 2 x Es posible utilizar el m todo de Newton Raphson multiparam trico para determinar un equilibrio del sistema a partir de un punto inicial y 0 5 0 5 por ejemplo La sintaxis es la siguiente x f k cond newtonmp fold foldj 0 5 0 5 2 Se obtendr como resultado x 0 70710678118734 0 50000000000000 f 1 127653526111772e 012 k 4 cond 2 3 2 5 Algoritmo Utiliza la iteraci n Xk Xk Sa para k 1 2 f x Donde f x es el Jacobiano de la funci n teniendo la precauci n de no variar el valor de los par metros independientes 3 2 6 Ver tambi n NEWTON S ECANT 3 2 7 Referencias Cap tulo 5 S ECANTMP 13 14 3 3 Secant 3 3 1 Prop sito Resolver un sistema de ecuaciones no lineales de la forma f x O a partir de dos puntos iniciales xo y x1 xo 3 3 2 Sintaxis function X F secant FUN X s DELTA EPSILON 3 3 3 Descripci n X F SECANT FUN X s iniciando con los puntos x y X s e intenta resolver el vector de ecuaciones descrito en el archivo FUN F FUN X X F SECANT FUN X s DELTA EPSILON permite especificar las tolerancias DELTA Y EPSILON para el criterio de convergencia por tama o de paso Dx y por valor de la funci n F x respectivamente Por defecto estos v

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