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Comportement dynamique non-linéaire de la Source - Ltas-s3l

1. K w c Mode 3 selon X et Y 156 Hz FIGURE 2 10 Premiers modes de la Source Laser de PHARAO modes de suspensions Ils ont t calcul s partir du modele l ments finis lin aire r alis Les d formations sont amplifi es afin de les rendre visibles Repr sentations tir es de 28 58 Reality of Interest Abstraction Conceptual Model Physical Modeling Mathematical Modeling Validation Experiment S d 4 Code amp Experimentation Pre test Calculations Implementation Calculation Verification A Revise Model Experimental sae or Experiment Data Uncertainty Uncertainty Pere Model Pe tificati En EN tificati Quantification a ds MER le Quantification Experimental Quantitative Simulation Outcomes Comparison Outcomes Acceptable Agreement No Modeling Simulation amp Experimental Activities Next Reality of Interest FIGURE 2 11 Processus de V rification amp Validation de mod les telle qu elle est pr sent e dans 35 de V rification s attarde plut t sur les aspects math matiques des simulations quations r solues m thodes de r solutions En d autres mots le mod le r solu correspond t il effectivement au mod le conceptuel que nous d sirons r soudre La Validation quant elle se concentre sur la comparaison mo d le e
2. Effet du changement des crit res de convergences utilis s et des tol rances fix es sur l ac c l ration calcul e pour le mod le 1 DDL Figure 1 2a par MSC Nastran Le pas de temps est gal 107 s Les autres param tres d int gration utilis s sont ceux d crits la Tables 2 5 Ba a o A ad Aue St ONE a Ste an ah ace Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous ja ent au syst me 1 DDL initial Figure 1 2a par le module d analyse non lin aire SOL 129 de MSC Nastran et par l algorithme d int gration lin aire de SAMCEF Mecano en utilisant un pas de temps gal 107 s La solution analytique du syst me est galement repr sent e Pour MSC Nastran le crit re de convergence utilis est celui bas sur 1 quilibre des forces et la tol rance a t fix e 1077 Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous jacent au syst me 1 DDL initial Figure 1 2a par le module d analyse non lin aire SOL 129 et le module d analyse lin aire SOL 109 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s Les r sultats sont compar s la solution analytique disponible Pour la SOL 129 le crit re de convergence utilis est celui bas sur l quilibre des forces et la tol rance a t fix e 1077 Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous ja ent au syst me 1 DDL initial Figure 1 2a par le nouveau module d anal
3. 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 Exposant i b Zoom sur les exposants compris entre 0 et 1 1 1 1 12 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 Exposant i c Zoom sur les exposants compris entre 1 et 1 7 FIGURE 3 16 Evolution de la valeur du coefficient de raideur non lin aire identifi en fonction de Vexposant i de la composante non lin aire de la raideur 90 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 Exposant i FIGURE 3 17 Evolution de la Mean Square Error commise sur la force interne en fonction de l exposant i de la composante non lin aire de la raideur a B y N m N s m N m1085 Param tres 7 identifi s LW 1 6 10 1 63 10 danter 2 3 103 4 78 ne LS pe d importance MSE 0 046 TABLE 3 9 Valeurs des coefficients a B et y et des facteurs d importances sg estim s par la Restoring Force Surface lors de la seconde identification pour un exposant associ a la raideur non lin aire pris a 1 085 comme l encourageait les r sultats pr c dents 91 e 10 Comportement identifi e Comportement pr sent par la surface de Crawley 8 O Donnel Erreur relative 5 0 E a T 3 5 5 o 10u 15 _20 2 2 5 D placement m FIGURE 3 18 Comparaison entre la courbe de raideur trac e partir de la r ponse l excitation CHIRP calcul e par MSC Nastran et celle identifi e par la Restoring Force Surface en supposant
4. Enfin le sch ma de l acc l ration moyenne constante modifi y 5 a et B 1 a offre la possibilit d ajouter un amortissement num rique repr sent par le param tre a au syst me Cet amortissement a pour but de faire disparaitre les composantes hautes fr quences de la r ponse En 24 B Limite de Erreur Erreur de Y stabilit d amplitude p riode ee wh Purement explicite 0 0 0 ae om 2 1 w2h2 Diff rence centr e 3 0 2 0 24 Fox amp Goodwin 14 gt b 2 45 0 O h Acc l ration lin aire 5 1 3 46 0 wth 2 6 24 Acc l ration moyenne 1 1 0 w2h2 constante 2 4 12 Acc l ration moyenne Lig i 1 a es ar wh constante modifi e 2 4 2 24 TABLE 1 1 Valeurs couramment utilis es pour les param tres a et 8 tir es de 12 effet la discr tisation d une structure r elle continue en l ments finis discrets implique une mauvaise valuation des fr quences propres lev es Ces derni res ne sont plus physiques et doivent tre limin es afin de ne pas perturber la r ponse observ e Cette d marche est d autant plus justifi e que l on s int resse g n ralement aux ph nom nes faisant intervenir les premi res fr quences propres de la structure Pour rester consistant amortissement num rique introduit ne peut donc alt rer de mani re trop importante ces composantes afin de conserver une haute pr cision Il est impo
5. Erreur relative ee EE 15 2 2 5 3 35 4 D placement m FIGURE 3 19 Comparaison entre la courbe de raideur identifi e par la Restoring Force Surface en supposant un exposant associ la raideur non lin aire gal 1 085 et la courbe de raideur statique calcul e par le module d essais statiques non lin aire SOL 106 de MSC Nastran une courbe de raideur obtenue avec une nouvelle loi mat riau La diminution de l erreur est significative et t moigne d une bonne corr lation La Figure 3 21 compare les lois mat riaux Globalement la loi implicitement identifi e est moins rigide que la loi r ellement pr sente dans le mod le La Table 3 10 liste les fr quences de r sonance obtenue avec celle nouvelle loi Le comportement est comme nous l avons remarqu trop souple et les fr quences trop faible L erreur commise sur les fr quences est de l ordre de 10 L identification n est donc pas optimale 3 7 Conclusion Tout au long de ce troisi me et dernier chapitre nous nous sommes engag s dans l tude de la pro bl matique soulign e au Chapitre 2 Dans un premier temps nous avons pris soin de r aliser un mod le l ments finis de l amortisseur incluant des l ments lastiques non lin aire et dont les conditions aux limites devaient correspondre aux essais exp rimentaux r alis s par le constructeur GAMMA lors de la conception et la validation de Vamortisseur Le modele initialement r alis p
6. 17 5 16 5 0 984 0 986 0 987 0 988 0 989 0 99 0 991 0 992 Temps s 0 985 FIGURE 1 11 Comparaison des acc l rations calcul es pour le premier mod le 1DDL et pour le second mod le plusieurs degr s de libert par SAMCEF Mecano Le pas de temps est fix 107 s Les crit res de convergence et les tol rances sont ceux qui avaient t choisis au d but de ce chapitre savoir dt 107 s crit re de convergence bas sur 1 quilibre des forces et tol rance fix e 1077 1 4 2 Deuxi me mod le plusieurs degr s de libert Le second mod le Figure 1 2b tudi apporte un suppl ment de r alisme mais aussi de complexit au mod le un degr de libert Il ne cherche pas pour autant repr senter un cas r el En effet les caract ristiques du mod le module de Young coefficient d amortissement structurel coefficient de Poisson ont t adapt s de mani re assurer une correspondance parfaite avec le mod le un degr de libert Ils sont num r s la Table 1 2 Sur base de l exp rience acquise en traitant le cas pr c dent les analyses seront galement men es en faisant appel au nouveau module d int gration implicite de MSC Nastran SOL 400 La Figure 1 11 a pour but de d montrer l quivalence des deux mod les en comparant les acc l rations calcul es par SAMCEF Mecano pour chacun d eux Les deux solutions sont quasiment identiques ce qui n
7. introduiront aucun amortissement num rique D autre part le sch ma cod sous MATLAB ne faisant appel qu un crit re de convergence bas sur l quilibre des forces nous ferons en sorte qu il en soit de m me dans MSC Nastran et SAMCEF Mecano Les diff rents logiciels feront d s lors appel au m me sch ma d int gration la m thode directe de Newmark conservative La dur e totale de la simulation sera de 2 secondes ce qui correspond a 28 p riodes d excitation Cette dur e est suffisante pour faire disparaitre les effets transitoires et voir persister la r ponse stationnaire Concernant le pas de temps il est d usage d imposer au moins entre 20 et 30 points d valuation par p riode ce qui signifie notre fr quence d excitation tant gale 14 Hz un pas de temps d environ 3 10 s Une marge suppl mentaire sera prise en prenant un pas de temps trois fois plus petit soit dt 107 s Nous ferons varier ce pas de temps pour constater le ph nom ne de convergence La tol rance li e au crit re de convergence bas sur l quilibre des forces sera quant elle fix e 1077 Les autres param tres n ont pas un effet directe sur la pr cision de la r ponse calcul e et seront laiss s leurs valeurs par d faut La Table 1 3 synth tise les valeurs donn es aux param tres d int gration pour chaque logiciel 1 4 Analyse des r sultats 1 4 1 Premier modele un degr de libert Comme nous l avons d
8. pap Rhee a chaque it ration tandis qu un m thode modifi e conserve la m me matrice durant plusieurs it rations cons cutives ce pour permettre un gain en temps de calcul Les crit res de convergence disponibles permettant d ajuster la pr cision d sir e sont tr s similaires ceux pr sents dans MSC Nastran On en d nombre trois un crit re bas sur le d placement un bas sur l quilibre des forces et enfin un bas sur le travail Une fois tous ces crit res inf rieurs leurs tol rances fix es par l utilisateur respectives le logiciel consid re la proc dure it rative termin e et passe au temps suivant Ces crit res prennent les formes suivantes Pour le d placement pi Ida 2 ql QREF Pour l quilibre des forces mR Ru gt Ppl Cana Frill Ma TREF Pour le travail He qi qi R le Winell W inert Wezel EREF 27 Les variables QREF TREF et EREF sont choisies par l utilisateur et constituent des valeurs de r f rences pour respectivement le crit re sur le d placement le crit re sur l quilibre des forces et le crit re sur le travail Ils sont particuli rement utiles lorsque les forces les nergies ou les d placements sont tr s petits et impliqueraient une explosion de l erreur Dans le cas des forces cela se produirait par exemple lors d une analyse purement cin matique ou lors d un d chargement de la st
9. ses origines MSC Nastran est galement devenu un standard dans les domaines de l a ronautique et du spatial On estime que quasiment tous les engins spatiaux avions et v hicules d velopp s dans les 40 derni res ann es l ont t en faisant usage de ce logiciel 17 MSC Nastran offre une large gamme de solveurs chacun adapt une t che particuli re dont voici une liste non exhaustive 4 Analyse statique SOL 101 Analyse modale SOL 103 Analyse dynamique transitoire lin aire SOL 109 Analyse dynamique transitoire non lin aire SOL 129 Analyse dynamique par superposition modale SOL 112 Analyse a ro lastique SOL 146 Analyse thermique temporelle SOL 159 Le module d analyse dynamique transitoire non lin aire SOL 129 se base sur l algorithme d int gration implicite de Newmark non lin aire 30 Cette proc dure permet d int grer l quation du mouvement 1 1 dont les matrices de masse M d amortissement C et des forces internes lin aires ou non F sont valu es grace a la m thode des l ments finis Plusieurs m thodes sont disponibles en fonction des param tres d finis M C F q P t 1 1 Les m thodes d int gration type Newmark permettent donc de d terminer chaque pas de temps discret At les d placements q les vitesses q et les acc l rations q de chaque degr de libert du syst me tudi satisfaisant l q
10. t test par le concepteur GAMMA lors de la qualification Nous avons dans un premier temps compl t et adapt le mod le l ments finis repr sentant l amortisseur Nos connaissances tr s limit es sur l lastom re utilis nous a forc formuler de nombreuses hypoth ses quant la masse volumique son coefficient de Poisson et son coefficient d amortissement Ces param tres influencent directement l identification et il est donc pr f rable d obtenir une estimation fiable de ceux ci L id al aurait t d avoir la fiche technique du mat riau ou du moins un chantillon de ce dernier Sur base des conclusions tir es au Chapitre 1 les param tres de calcul et d int gration ont pu tre d finis La premi re tape importante consista recaler la loi lastique non lin aire o f e associ e au mat riau lastom re sur base des donn es obtenues gr ce aux essais Par une proc dure d estimation correction nous avons pu construire une loi lastique permettant de repr senter 3 pr s le comportement r el de Vamortisseur La pr cision atteinte cette tape nous semble suffisante et ne n cessite pas d approfondis sement cons quents Ensuite en prenant en consid ration les conseils et remarques quant la proc dure d identification le syst me a t simul pour une excitation CHIRP Celle ci m ne en effet une tr s bonne couverture de l espace d tat q q et favorise une bonne ide
11. travers le champ micro onde mais galement d augmenter la dur e d interaction avec ce dernier 49 i FIGURE 2 1 Repr sentation de la charge utile ACES fix e l ext rieure du module Columbus de la Station Spatiale Internationale Source http smsc cnes fr PHARAD Fr GP_platform_aces htm 10 10 10 10 10 A0 A0 time s 1 day 10 days FIGURE 2 2 Comparaison des stabilit s en fr quence de diff rentes horloges l oscillateur quartz Voscillateur cryog nique UWA le SHM et Vhorloge atomique PHARAO 7 est le temps mesur tandis que t est la dur e sur laquelle la mesure est effectu e Source http smsc cnes fr PHARAO Fr GP_ science htm 50 FIGURE 2 3 Cycle de fonctionnement d une horloge atomique Source http smsc cnes fr PHARAO Fr GP_instrument htm PHARAO est donc compos de 5 sous syst mes Le tube a vide ou Tube C sium dans lequel la majorit du processus lieu Le banc optique ou Source Laser qui permet la capture le lancement le refroidissement et surtout leur s lection et leur d tection La source micro onde qui g n re le champ micro onde L unit de gestion de bord qui analyse les r sultats mesur s corrige si n cessaire la fr quence appliquer la source micro onde et synchronise les instruments L unit lectronique qui g re le champ magn tique pr sent dans le tube Enfin le logiciel de vol co
12. A u 0 v 0 Qui lorsqu elle est r solue pour tous les instants peut tre mise sous forme matricielle f a Aa avec A 1 q a qd Cette matrice A est enti rement connue gr ce aux s ries temporelles mesur es et le vecteur est enfin d termin en r solvant les quations normales au sens des moindres carr s PRN er a ATA ATf En pratique les termes crois s tels que qq ont peu d influence et sont n glig s De m me le terme constant 1 est vinc car il introduirait une charge statique ou un d placement r siduel dans le modele tudi De plus les termes pairs tels que q ou a ne sont pas repr sentatifs d un comportement 61 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 D placement m x 10 FIGURE 2 12 Exemple de courbe force interne en fonction du d placement permettant de d terminer le mod le math matique supposer On voit clairement apparaitre l allure de la courbe de raideur physique c est pourquoi ils sont g n ralement remplac s par sign q q ou sign q qui sont eux impairs Suite ces remarques la matrice A peut se r crire sia q A a sign q q En g n ral la masse associ e au degr de libert tudi est connue Cependant il peut exister des cas o cette information n est pas accessible Elle doit alors tre estim e et ce de mani re pr cise afin de ne pas mettre mal l identification des autres param
13. Le lecteur int ress pourra se tourner vers le Handbook for Nonlinear Analysis de MSC Nastran 29 3 4 Recalage de la loi lastique non lin aire La premi re tape de cette tude consiste d terminer la loi de comportement lastique non lin aire o f e du mat riau lastom re pr sent dans l amortisseur A priori nous n avons aucune information concernant de cette loi ni m me une estimation de son module de Young tr s faible d formation Le recalage sera effectu sur base des donn es exp rimentales savoir l volution de la fr quence de r sonance du mode selon Z en fonction du niveau d excitation al atoire Celles ci sont rappel es la Table 3 4 Nous travaillerons par essai erreur A nsi la loi mat riau sera construite point par point par un proc d d estimation correction Partant d un niveau d excitation tr s faible nous estimerons une premi re partie 75 Param tres d int grations dt s 1074 Crit re Variation de d placement U Tol rance 107 Number of converged bisection between stiffness updates Limit on number of iterations for each time step Limit on the number of diverging conditions before assuming divergence Maximum number of quasi Newton 10 correction vectors to be saved Maximum number of line searches per iteration Fraction of effective stress used to limit the subincrement size in the material 0 2 rou
14. SOL 129 ou thermiques SOL 153 SOL 159 Il est destin pouvoir apporter des solutions tous types de cas non lin aires non lin arit mat rielles g om triques contacts flambement mais aussi pouvoir traiter des probl mes multi physiques Pour les simulations temporelles la SOL 400 propose l utilisateur de nouvelles strat gies de mise jour de la matrice de raideur tangente mais aussi de nouveaux algorithmes d int gration MacNeal 3 Dans le cas tudi ici cela reviendrait imposer dt 3 1074 s 40 MSC Nastran Crit re P Tol rance 10 1 MSC Nastran SOL 109 X Solution analytique Um MNI Acc l ration m s 0 997 0 9975 0 998 0 9985 0 999 0 9995 Temps s FIGURE 1 7 Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous jagent au syst me a 1 DDL initial Figure 1 2a par le module d analyse non lin aire SOL 129 et le module d analyse lin aire SOL 109 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s Les r sultats sont compar s la solution analytique disponible Pour la SOL 129 le crit re de convergence utilis est celui bas sur l quilibre des forces et la tol rance a t fix e 1077 Schwendler Corportation se tourne d sormais vers la m thode a g n ralis e que nous avons d crite a la section 1 2 2 Il est en effet d sormais possible de d finir les valeurs des deux coefficients de dissipation a et
15. crit ce premier mod le Figure 1 2a se veut tr s basique et simpliste Il correspond a un simple oscillateur 1 DDL sujet une raideur cubique et un amortissement lin aire Les caract ristiques sont num r es a la Table 1 2 1 SAMCEF Mecano ne permettant pas le choix des crit res de convergence Les tol rances des crit res non d sir s seront fix s des valeurs relativement lev es afin qu elles ne conditionnent pas la convergence 34 MATLAB dt s 1073 Crit re Equilibre des forces Tol rance 1077 SAMCEF Mecano dt s 1073 Equilibre des forces Crit re Variation du d placement Travail Tol rances 1077 107 1078 MCS Nastran dt s 10 3 Crit re Equilibre des forces Tol rance 1077 Number of converged bisection between 1 stiffness updates Limit on number of iterations for each 20 time step Limit on the number of diverging 9 conditions before assuming divergence Maximum number of quasi Newton E 0 correction vectors to be saved Maximum number of line searches per 0 iteration Fraction of effective stress used to limit the subincrement size in the material 0 2 routine Maximum number of bisections allowed 0 Time step skip factor for automatic time 0 step adjustment Number of steps to obtain the dominant 40 period response Define bounds for maintainint the same time step for the stepping function 0 6 du
16. e ou le nombre optimal d fini ou la variation maximale un nouveau pas de temps est calcul Le pas de temps minimum trouv pour ces cinq tests est alors conserv pour la prochaine it ration si du moins il satisfait aux valeurs maximales et minimales impos es par l utilisateur 1 2 3 Code MATLAB La deuxi me comparaison sera effectu e au moyen d un code sous MATLAB de la m thode directe de Newmark non lin aire Celui ci est bas sur l algorithme tr s basique pr sent la Figure 1 1 Les param tres 6 et y ont t choisis de mani re garantir pour les syst mes lin aires du moins la stabilit inconditionnelle soit 1 1 a Mz Le sch ma d int gration est donc conservatif Le principal inconv nient est que cet algorithme n est second par aucune tude l ments finis Le traitement de structure complexe n est donc pas envisageable puisque les coefficients de raideur de masse et d amortissement doivent tre connus pour chaque degr de libert trait De plus il n est ni quip d un algorithme de bissection ni d une proc dure d adaptation automatique du pas de temps Le calcul de la correction quant lui est r alis au moyen de la m thode de Newton Raphson pure Enfin il est important de constater que le crit re de convergence utlis est ici unique et correspond un test sur l quilibre des forces Rail lt C n 1 F nit 28 Connaissant M F
17. enti ret de sa bande passante ainsi qu un comportement tr s lisse dans sa bande stop pante N anmoins la d croissance au del de la fr quence de coupure est relativement lente Les autres filtres disponibles tels que les filtres de Chebyshev de type I et IT ou le filtre elliptique pr sentent quant eux des transitions plus abruptes toutefois cela implique la pr sence d oscillations plus ou moins im portantes Les comportements de ces diff rents filtres sont illustr s aux Figures 2 16 2 17 2 18 et 2 19 Il est donc n cessaire de r aliser un compromis entre transition abrupte et absence d oscillations Sauf dans le cas o les fr quences d int r t et les fr quences parasites sont tr s proches on se tournera vers le filtre de Butterworth qui garantit une tr s bonne conservation de ces premi res Enfin pour ne pas introduire de d phasage on veillera filtrer en avant puis en arri re Soulignons pour terminer qu il est vivement conseiller de filtrer l ensemble des signaux utilis s lors de la proc dure d identification c est dire acc l ration vitesse d placement et force appliqu e 65 Amplitude dB Phase rad ay 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 0 7 0 8 0 9 AE i 6 Fr quence normalis e FIGURE 2 16 Amplitude et phase du filtre de Butterworth Amplitude dB S wo 5 A0 _50k 60 0 1 0 2 0 3 0 4 i 0 6 0 7 0 8 0 9 Fr quence normalis e FIGURE 2 17 Ampl
18. est pourquoi nous n oublierons pas d introduire le coefficient d amortissement structural de laluminium dans la carte MAT1 Les propri t s de la couche d lastom re seront quant elle d finie par l association d une carte MAT1 et MATS1 La carte MAT1 contiendra le coefficient d amortissement structural le coefficient de Poisson la masse volumique mais aussi le module de Young utilis pour la premi re it ration La loi de comportement o f e de lastom re est d finie par la carte MATS1 Malheureusement nos connaissances sur l lastom re pr sent dans les amortisseurs sont tr s limit es 1 Valeur choisie sur base de ce qui est donn dans le logiciel CES 71 Fr quence Hz FIGURE 3 3 Evolution du module de Young E et de l angle de perte en fonction de la fr quence d excitation et les valeurs de ces propri t s nous sont priori inconnues En effet l amortisseur a t concu sur mesure pour r pondre pr cis ment aux exigences formul es dans le cahier des charges Il s agit d un amortisseur unique dont les caract ristiques ne sont pas r pertori es dans un catalogue Il sera donc n cessaire d estimer au mieux ses propri t s La seule information dont nous disposons est que l lastom re utilis consiste en un m lange de deux lastom res base de silicone le SILASTIC 55U 40 et le SILASTIC 75U 60 Alors qu une fiche technique concernant le SILASTIC 5
19. lastom re en rose entour e de rouge a t ins r e De plus les conditions aux limites ont t adapt es D abord la base de la partie interne qui est fix e au pied du banc grace une longue vis centrale et une rondelle la base a t encastr e rosace rose Ensuite les quatres coins de la partie externe qui sont fix s au banc optique sont reli s par des l ments rigides ligne noire 4 une masse ponctuelle prafaitement centr e point jaune correspondant 1 4 de la masse totale du banc optique soit 2 629 kg Aluminium 6061 T6 p kg m 3104 5 E MPa 69 10 y 0 33 n H 0 0005 TABLE 3 1 Propri t s de aluminium 6061 T6 constituant les parties interne et externe de l amortisseur visualis e la Figure 3 2 Le mod le comporte alors 1289 l ments dont 392 correspondent la couche d lastom res ce qui repr sente 1415 noeuds soit 8490 degr s de libert Les parties interne et externe de la suspension sont compos es d aluminium 6061 T6 dont les propri t s sont list es la Table 3 1 Ces derni res seront d s lors d finies dans MSC Nastran au moyen d une simple carte MAT1 Rappelons que lors de notre prise en main du module d int gration temporelle SOL 129 il a t soulign qu il tait pr f rable pour des raisons de stabilit s d introduire un amortissement m me tr s faible pour tous les mat riaux utilis s C
20. me un degr de libert excit par la base La force appliqu e est quant elle nulle En transposant ces conclusions notre syst me o le degr de libert observ est le noeud repr sentant le banc optique et le sol le noeud situ la base de la partie centrale comme nous l avions pr sent la Figure 3 4 La masse associ e au degr de libert sera quant elle estim e la masse ponctuelle du banc optique soit 2 629 kg laquelle s ajoute la masse de la partie externe de l amortisseur 0 04 kg Cette derni re a pu tre estim e gr ce au mod le l ments finis Nous devrions galement prendre en compte une partie de la masse de l lastom re Cependant celle ci est tr s difficile valuer Heureusement vu la faible masse volumique de l lastom re elle sera clairement n gligeable par rapport la masse ponctuelle 3 6 2 Application de la Restoring Force Surface Estimation pr liminaire du mod le math matique L application de la Restoring Force Surface est une tape tr s directe pour laquelle la principale difficult est d estimer avec le plus de coh rence possible de mod le math matique partir duquel l iden tification sera r alis e Le reste n est en effet que des calculs simples r aliser au moyen de MATLAB sur lesquels l utilisateur n a pas un grand contr le Le choix du mod le math matique est en effet l tape critique de l identification Pour nous
21. ponse un incr ment de d placement le pas de temps maximal permettant de rendre cette derni re pr cis ment we Aq K Aq x Aqn Fn E F 1 Aq 7M Aq Aq M Aq o Aqn qn Gn_i est l incr ment de d placement observ et F F _1 la variation de force interne directement accessible Il est judicieux de noter que ce rapport peut tre fauss par des termes de masse M et ou de raideur K particuli rement lev s ou faibles pour certains degr s de libert C est le cas par exemple d une masse importante munie d une grande raideur pour repr senter le sol dans le cas d une excitation par la base ou d un jeu dans le mod le L algorithme proc de alors une limination de ces degr s de libert particuliers avant le calcul de la fr quence dominante Le nouveau pas de temps est alors d fini en multipliant le pas de temps actuel par un facteur d chelle t _ 127 1 Atn Mun Atn o m est un param tre permettant de d finir le nombre de pas de temps d sir s par p riode De mani re viter une adaptation du pas de temps chaque it ration qui serait particuli rement consommatrice en temps de calcul on introduit la fonction f r telle que Atn 1 SHAG 21 f r prenant les valeurs suivantes f 005 si r lt 05R foie si Dore R f 1 si Ry lt r lt 2 3 f si lt r Ro 3 i lt f si Reo Ry tant un param tre fix par Putilisateur
22. rents crit res de convergences Les r sultats sont compar s la solution de r f rence obtenue avec SAMCEF Mecano ainsi qu a la r ponse pr c demment calcul e par la SOL 129 avec un pas de temps identique Pour rappel le crit re P est celui bas sur l quilibre des forces et U sur la variation de d placement De mani re rendre la Figure plus lisible seul un point sur dix de l acc l ration calcul e par SAMCEF Mecano ont t repr sent s MSC Nastran SOL 129 j MSC Nastran SOL 400 20P NX SAMCEF Mecano 19 55 gt co Acc l ration m s 185 f 18H 17 5 0 988 0 989 0 99 0 991 0 992 0 993 Temps s 0 983 0 984 0 985 0 986 0 987 FIGURE 1 10 Comparaison des acc l rations calcul es pour le mod le non lin aire 1 DDL Figure 1 2a par le nouveau module d analyse non lin aire SOL 400 et son pr d cesseur SOL 129 de MSC Nastran Le pas de temps le crit re de convergence et la tol rance sont ceux qui avaient t choisis au d but de ce chapitre savoir dt 107 s crit re de convergence bas sur l quilibre des forces et tol rance fix e 107 Les r sultats sont compar s la solution de r f rence obtenue avec SAMCEF Mecano pour des param tres d int gration identiques 43 E i SAMCEF Mecano Mod le 1DDL 20b y Ju Ak SAMCEF Mecano Mod le plusieurs DDL Acc l ration m s
23. sentent les param tres respectivement a B et y identifi s pour les diff rents exposants i Nous constatons que pour les exposants sup rieurs 1 les valeurs identifi es pour les param tres satisfont les contraintes que nous nous sommes fix es Pour un exposant i compris entre 0 706 et 1 par contre nous voyons apparaitre une raideur lin aire n gative ce qui n est pas un comportement admis En dessous de i 0 706 le coefficient de raideur lin aire est nouveau positif comme le coefficient de raideur non lin aire Le coefficient d amortissement conserve globalement une valeur identique pour tous les exposants L volution de la Mean Square Error calcul e est quant elle illustr e la Figure 3 17 et montre que l erreur minimale est commise pour i 0 78 ce qui se trouve dans la zone non admise Nous devrons d s lors opter pour un autre mod le Il est important de souligner que la puret des signaux d entr e permet d obtenir une erreur commise sur la force interne toujours inf rieure 1 soit une corr lation excellente En pratique ce ne sera bien entendu pas le cas car le bruit et les proc dures d int gration et de filtrages perturberont les signaux De mani re identifier une raideur lin aire similaire celle observ e sur la courbe de raideur du syst me nous sommes tent s de consid rer un exposant de 1 085 pour la raideur non lin aire Dans ces conditions les coefficients les facteurs
24. tres Deux m thodes apportent une solution ce probl me une premi re propos e par Al Hadid et Wright 21 une seconde par par Worden et Tomlinson 17 Bien entendu le choix des termes apparaissant dans la matrice A qui correspond au mod le ma th matique choisi pour repr senter le comportement du syst me est laiss l utilisateur En effet en fonction de la connaissance du syst me nous pourrons minimiser le nombre de param tre identifier En d autres mots si l on suppose la pr sence d une raideur cubique le terme q devra tre pr sent dans la matrice A tandis que les termes sign q q sign 4 et 4 pourront tre vinc s Moins le nombre de param tres identifier est lev plus les valeurs obtenues pour ces derniers seront repr sentatives Pour nous aider choisir les param tres ins rer dans le mod le math matique les courbes repr sentant la force interne en fonction de la vitesse la force interne en fonction du d placement ainsi que la surface de Crawley amp O Donnell sont particuli rement utiles Notons que pour ces deux premi res courbes il est pr f rable de ne consid rer les mesures pour lesquelles respectivement le d placement ou la vitesse seront nuls La surface de Crawley amp O Donnell quant elle repr sente en trois dimensions la force interne en fonction du d placement et de la vitesse Des exemples de ces trois courbes obtenues pour un c
25. un noeud central qui lui sera encastr Le corps de l amortisseur est quant lui fix au banc optique au moyen de quatre plus petites vis Les quatre noeuds repr sentant ces derni res seront li s au moyen d l ments parfaitement rigides d une part leurs premiers noeuds voisins pour prendre en compte l effet de la t te de vis et d autre part la masse ponctuelle repr sentant le banc L ensemble de ces conditions sont repr sent es la Figure 3 2 Enfin le module d int gration temporelle SOL 129 utilis pour les simulations ne permettant pas d imposer une acc l ration en un noeud il est n cessaire d introduire une masse sismique de masse bien sup rieure celle du syst me tudi li e au mod le par un ressort extr mement raide La masse sismique pourra tre excit e en force et l acc l ration r sultante sera transmise au mod le MSC Nastran conseille que la masse de la masse sismique soit 106 fois sup rieure la masse totale du mod le Dans notre cas elle sera donc fix e 106 kg Le ressort quant lui se doit d tre suffisamment raide En nous r f rant ce qui avait t r alis pour une tude pr c dente 6 nous imposons une raideur de 101 N m Afin de s assurer que l excitation sera bien uniquement dirig e selon l axe Z la masse sismique est contrainte ne pouvoir se d placer que dans cette m me direction De m me ses rotations sont emp ch es L
26. 0 02 Vitesse m s D placement m 4 0 04 FIGURE 2 15 Surface de Crawley O Donnell obtenue pour un syst me excit par une sinuso de d amplitude et de fr quence constante La surface est trou e et ne permet pas d estimer le mod le math matique le plus adapt pour l identification du syst me une sinusoide d amplitude et de fr quence constante les points mesur s sont tous situ s dans une m me boucle et la surface est perc e ce qui rend difficile son analyse Pour palier ce probl me une m thode d interpolation complexe a t propos e par Worden et Tomlinson 16 Une autre solution introduite par Duym et Schoukens 5 se concentre sur la conception d un signal d excitation optimis permettant de couvrir plus uniform ment l espace d tat Afin de rendre l identification plus pr cise il est pr f rable d purer au maximum les signaux d en tr es i e Pacc l ration la vitesse le d placement et la charge appliqu e de mani re en enlever toute information qui pourrait tre consid r e comme parasite Le filtrage des signaux pour en liminer le bruit ou le fen trage pour en liminer les effets transitoires apparaissant en d but de simulation par exemple constitue un pr traitement b n fique Videntification D autre part il est important que les signaux trait s contiennent un maximum d information et pr sentent un comportement non lin aire C est pour quoi pour
27. 107 a Comparaison entre la courbe de raideur identifi e et les courbes d essais statiques obte nues d abord avec la loi lastique initiale recal e ensuite avec une loi r adapt e pour faire correspondre les comportements observ s Erreur relative Erreur relative entre la courbe rec Erreur relative entre la courbe r ad 2 D placement m x10 b Erreurs entre la courbe de raideurs identifi es et celles obtenues avec la SOL 106 pour les deux lois lastiques FIGURE 3 20 D termination de la loi lastique non lin aire implicitement repr sent e par le syst me identifi 94 Contrainte o MPa 0 0 05 Loi recal e sur base des essais exp rimentaux oi r adapt e implicitement repr sent e par le syst me identifi 0 1 0 15 0 2 D formation e 0 25 0 3 0 35 0 4 FIGURE 3 21 Comparaison entre entre la loi mat riau lastique non lin aire recal e au d but de ce chapitre et la loi implicitement repr sent e par le syst me identifi m quences Fr quences Erreur relative Niveau exp rimentales R calcul es Hz Hz Tr s bas RFR 211 199 59 5 4 12 dB 176 166 02 4 6 9 dB 166 153 81 7 3 6 dB 156 141 13 9 53 3 dB 146 129 39 11 37 0 dB 140 123 29 11 94 TABLE 3 10 Comparaison entre les fr quences identifi es de mani re exp rimentales et celles calcul es num riquement pour la l
28. Donnell n est plus repr sentable La m thode se base sur l quation du mouvement d un syst me un degr de libert qui peut s crire sous la forme discr te pour l instant t mi fi di qi pi 60 o fi di qi est la force interne de rappel du syst me fonction du d placement q et en pr sence de dissipation de la vitesse Dans le cas d un syst me lin aire amorti elle s crira fi di qi kqi ea Connaissant la valeur de l acc l ration q et de la charge appliqu e p en chaque pas de temps la force interne est connue pour tout t fi Gis qi pi m s Il ne nous reste donc qu trouver l expression math matique de f q q pour connaitre les caract ristiques raideur amortissement du syst me tudi Pour ce faire Masri et Caughey construisait un mod le param trique bas sur l utilisation d une double s rie de Chebyshev E SD u 0 v 0 o Ty q est le polyn me de Chebyshev d ordre u Ceux ci pr sentaient l avantage d tre orthogonaux et donc les coefficients identifi s taient ind pendant des ordres u et v choisis Une augmentation de ces derniers n impliquait d s lors pas de devoir recalculer l ensemble des coefficients Toutefois une approche plus simple plus rapide et surtout plus pr cise a t propos e par Al Hadid et Wright 20 Celle ci repose sur l utilisation de la simple expression polynomiale suivante f a q 5 5 Awg
29. Niveau inject la base 8 1 Face sup rieure du pied 20 4 71 11 94 2 77 Suspension du banc optique 21 N K MIN K AIK 0 57 9 57 2 44 Excitation selon l axe Z Position Direction Niveau gRMS 0dB Niveau inject la base 10 91 Face sup rieure du pied 20 9 5 9 1 10 15 Suspension du banc optique 21 N K MIN K MIN 1 68 1 13 12 64 57 Niveau d excitation Direction 0 dB 3 dB 6 dB 9 dB 12 dB RFR 136 139 151 154 163 171 142 151 154 157 163 170 136 139 145 154 162 185 Amortisseur seul XY 156 162 178 184 188 211 Amortisseur seul Z 140 146 156 166 174 211 TABLE 2 2 Fr quences Hz de r sonance mesur es aux positions 20 et 21 pour les diff rents niveaux d excitation al atoire Sont galement pr sent es les fr quences de r sonance mesur e pour l amortisseur seul isol du reste de la structure Il est important de souligner que le niveau inject la base de l amortisseur seul est identique au niveau inject la base de la Source Laser et non le r el niveau mesur la position 20 lors des essais Ce tableau montre que le comportement observ pour la maquette est similaire celui observ pour la suspension seule D s lors c est bien elle qui en est responsable Fr quences tir es du rapport d essais 9
30. ap au moyen des param tres NDAMPM et NDAMP respectivement Par d faut la m thode de Newmark classique est utilis e pour les cas lin aires la m thode d Hilber Hughes Taylor pour les probl mes non lin aires et la m thode de Wood Bossak Zienkiewicz pour les probl mes impliquant du contact Toute fois ce choix est laiss l utilisateur La SOL 400 int gre galement deux nouvelles options V et N concernant le crit re bas sur la variation de d placement U et celui bas sur l quilibre des forces P La premi re impose que la v rification de convergence soit effectu e uniquement sur base de la plus grande composante des vecteurs compar s par exemple le vecteur des d placements si U est le crit re s lectionn tandis que la seconde v rifie la convergence sur base de la longueur au sens de la racine carr e de la somme des composantes au carr des vecteurs Pour toute information suppl mentaire nous r f rons le lecteur int ress au d finition de la carte TSTEPNL et des param tres NDAMPM et NDAMP du Nastran Quick Reference Guide 4 Dans cette tude les param tres d int gration choisi pour le module SOL 400 sont identiques ceux utilis s pour la SOL 129 a savoir Strat gie de mise jour de la matrice de raideur tangente identique Plusieurs pas de temps tudi s 107 s 1074 s et 1075 s Trois cas ont t trait s Cas 1 Crit re bas sur l quilibre des forc
31. c 10 N m s a galement t introduit Le syst me est encastr au sol et son mouvement transversal est emp ch Enfin afin d viter de voir apparaitre une rotation de la masse ponctuelle ses inerties dans les trois directions ont t fix es des valeurs tr s lev es 108 kg m Le syst me est d s lors bien un syst me non lin aire un seul degr de libert Il s agit d un mod le classique trait de multiple reprise dans la litt rature pour lequel l algorithme de Newmark simple i e sans proc dure compl mentaire ni amortissement num rique a fait ses preuves Dans MSC Nastran le couple ressort amortisseur non lin aire est introduit au moyen des cartes CBUSH1D et PBUSH1D Il s agit d un l ment unidirectionnel dont les propri t s de raideur et de dissi pation sont donn es au moyen des quatres grandeurs dF aid Praideur u E dF Famort v gt qui peuvent tre d finies soit directement par une quation soit par une table de valeur de type TABLE1D Il est galement important de souligner pour les lecteurs int ress s que selon MSC Nastran l l ment 30 Acier Mat riau lastique non lin aire b Repr sentation du deuxi me a Repr sentation du mod le tudi premier mod le tudi FIGURE 1 2 Mod les tudi s CBUSH1D est align selon l axe X du rep re dans lequel il est d fini Dans notre cas o le mouvement est supppos s effec
32. calcul e par le module d essais statiques non lin aire SOL 106 de MSC Nastran 3 20 D termination de la loi lastique non lin aire implicitement repr sent e par le syst me O else ao tnd 3 21 Comparaison entre entre la loi mat riau lastique non lin aire recal e au d but de ce cha pitre et la loi implicitement repr sent e par le syst me identifi 10 93 Liste des tableaux 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3 3 4 3 9 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 Valeurs couramment utilis es pour les param tres a et p tir es de 12 Caract ristiques et propri t s des deux mod les tudi s Param tres d int gration utilis s pour les diff rents logiciels Les param tres associ s MSC Nastran n ont pas t d taill s Nous r f rons le lecteur int ress au manuel d utili sateur 4 pp 3398 3404 pour les d finitions pr cises de ces param tres Valeurs gRMS des niveaux 0 dB inject s la base de la Source Laser dans les trois direc tions ainsi que celles mesur es en dessous position 20 et au dessus position 21 de la suspensi n Valeurs tir es de 9 Ps chon an a AR Ti nr OD Suey dr Fr quences Hz de r sonance mesur es aux positions 20 et 21 pour les diff rents niveaux d excitation al atoire Sont galement pr sent es les fr quences de r sonance mesur e pour l amortisseur seul isol du reste de la
33. ce qui t moigne d une corr lation excellente 87 3 6 3 Seconde identification Cette seconde identification a pour but d identifier les coefficients associ es un mod le math matique plus physique que lors que la premi re identification tout en conservant une correspondance inf rieure 1 L estimation pr liminaire du mod le math matique et la premi re identification ont montr que l amor tissement pr sent est lin aire Tandis que la raideur comporte une composante lin aire laquelle s ajoute une raideur adoucissante non lin aire Nous utiliserons donc un mod le math matique de la forme f aq B ysign q ql ou 7 est un exposant identifier galement sous les contraintes a gt 0 B gt 0 y lt 0 ssi 2 gt 1 y gt 0 ssi 2 lt 1 En effectuant l identification de ces param tres pour diff rentes valeurs de l exposant i nous pourrons d terminer l exposant permettant de minimiser l erreur MSE commise tout en satisfaisant les contraintes que nous nous sommes fix es Nous ferons varier i de 0 01 3 5 avec un pas de 0 01 Au del la matrice A repr sentant le mod le math matique utilis e pour durant l identification exhibe des probl mes num riques de d ficience de rang ce qui conduit des erreurs importantes Rappelons enfin que le coefficient a avait t estim sur base de la courbe de raideur illustr e la Figure 3 12 1 107 N m Les Figures 3 14 3 15 et 3 16 pr
34. cessaire la m thode de la Restoring Force Surface en vue d une identification de la non lin arit que nous venons d introduire Les r sultats obtenus seront discut s et la capacit de la m thode valu e Enfin nous synth tiserons les conclusions tir es tout au long de ce travail et sugg rons des tapes suppl mentaires visant compl ter cette tude 16 Chapitre 1 Simulations temporelles sous MSC Nastran 1 1 Introduction Ce premier chapitre a pour but de bri vement pr senter au lecteur le logiciel MSC Nastran utilis dans le cadre de ce travail et en particulier son solveur destin a l analyse temporelle de syst mes non lin aires Deux mod les tr s simples seront r alis s et simul s Les r sultats obtenus seront compar s ceux obtenus avec d autres logiciels tels que SAMCEF ou au moyen d un algorithme de Newmark non lin aire cod sous MATLAB Nous d taillerons les m thodes employ es par ces diff rents solveurs Dans le but de permettre au lecteur int ress de b n ficier de l exp rience acquise durant ce travail dans l utilisation du solveur d analyse temporelle non lin aire de MSC Nastran nous soulignerons tout au long de ce chapitre les particularit s de cet outil et les commandes cl s qui lui sont associ es Nous n en trerons cependant pas dans des d tails qui pourraient alourdir la lecture C est pourquoi nous conseillons fortement aux lecteurs int ress s de s
35. courbe de raideur identifi e a ensuite pu tre compar e avec la courbe obtenue avec ce module Dans ce cas des erreurs relativement importantes sont apparues N anmoins vu les difficult s rencontr es au Chapitre 1 nous suspectons des probl mes de simulations qui ont conduit l identification d une loi erron e Nous avons enfin r adapt la loi mat riau lastique non lin aire pour estimer la loi implicitement identifi e par la m thode de la Restoring Force Surface Celle ci est globalement trop souple et m nent des fr quences de r sonance entre 5 et 10 trop peu lev es En conclusion il est difficile d estimer si la m thode d identification utilis e a rempli ou failli son r le En effet notre confiance mitig e en l algorithme d int gration implicite propos par MSC Nastran nous fait douter des observations r alis es Celles ci d coulent elles d erreurs dues la SOL 129 ou de la m thode en elles m mes Si nous n avions aucune information sur la loi lastique non lin aire r ellement pr sente dans le syst me et si l excitation CHIRP tait le seul signal disponible nous pourrions conclure que la m thode effectivement identifi le syst me avec une pr cision acceptable Cependant lorsque l on compare les courbes de raideur obtenues avec celle calcul e au moyen du modules de chargements statiques de MSC Nastran SOL 106 des erreurs relativement importantes apparaissent et la capaci
36. cours Toutefois plusieurs tudes men es actuellement au C N E S tentent de prendre en compte ces non lin arit s dans la mod lisation afin de pouvoir estimer leur influence sur la structure tudi e d ja lors des phases de simulations num riques C est dans cette d marche que s inscrit cette tude Imm diatement il a pu tre mis en vidence que la non lin arit mise en jeu ici est un comportement lastique non lin aire caract re adoucissant de l lastom re utilis dans les amortisseurs supportant le banc optique Ces observations tant en accord avec ce qu il est connu du comportement dynamique des lastom res savoir une loi lastique adoucissante pour des d formations mod r es puis un comporte ment raidissant pour de grandes d formations Les objectifs de ce travail sont les suivants Tout d abord sur base des donn es exp rimentales d crivant la non lin arit nous t cherons de int grer cette derni re au mod le l ments finis d j existant Cela fait la deuxi me tape sera de simuler la lumi re des conclusions tir es dans le chapitre 1 la r ponse du modele afin de connaitre les s ries temporelles n cessaires au processus d identification Enfin une m thode d identification sera mise l preuve quant la bonne valuation de la non lin arit int gr e et donc connue La m thode d identification utilis e a enfin t d taill e Une base bibliographi
37. d importance ainsi que l erreur MSE prennent les valeurs pr sent es a la Table 3 9 L erreur MSE commise reste tr s faible Comparaison avec le mod le l ments finis De mani re confirmer la loi de raideur identifi e nous pouvons la comparer avec la loi de raideur trac e a la Figure 3 12 a partir de la simulation effectu e Cette comparaison est pr sent e a la Figure 3 18 On remarque une tr s bonne correspondance entre les deux courbes m me si elles ne sont pas parfaitement identiques On constate une erreur relative maximale d environ 15 pour de tr s petits d placements environ 0 2 107 m Celle ci s explique par le fait que le nombre de points dans cette zone reste faible par rapport au reste de la courbe et le comportement est donc relativement mal percu lors de Videntification Ce probl me pourrait tre viter consid rant une excitation permettant de mieux couvrir 88 a N m 0 0 5 1 1 5 l 2 5 3 3 5 Exposant i FIGURE 3 14 Evolution de la valeur du coefficient de raideur lin aire identifi en fonction de l exposant i de la composante non lin aire de la raideur 1993 49 0 5 1 1 5 yee 2 5 3 3 5 Exposant i FIGURE 3 15 Evolution de la valeur du coefficient d amortissement lin aire identifi en fonction de Vexposant i de la composante non lin aire de la raideur 89 0 0 5 1 2 5 3 3 5 1 5 2 Exposant i a Evolution pour l ensemble des exposants i
38. eos SNe ines hoa Age ak usta 3 13 Comparaison entre la force interne du syst me simul e par MSC Nastran et celle identifi e durant cette premi re identification La Mean Square Error commise est de 0 07 ce qui t moigne d une corr lation excellente 3 14 Evolution de la valeur du coefficient de raideur lin aire identifi en fonction de l exposant i de la composante non lin aire de la raideur 3 15 Evolution de la valeur du coefficient d amortissement lin aire identifi en fonction de l ex posant i de la composante non lin aire de la raideur 3 16 Evolution de la valeur du coefficient de raideur non lin aire identifi en fonction de l expo sant i de la composante non lin aire de la raideur 3 17 Evolution de la Mean Square Error commise sur la force interne en fonction de l exposant i de la composante non lin aire de la raideur 3 18 Comparaison entre la courbe de raideur trac e partir de la r ponse l excitation CHIRP calcul e par MSC Nastran et celle identifi e par la Restoring Force Surface en supposant un exposant associ la raideur non lin aire gal 1 085 3 19 Comparaison entre la courbe de raideur identifi e par la Restoring Force Surface en sup posant un exposant associ la raideur non lin aire gal 1 085 et la courbe de raideur statique
39. la plage 21 1800 Hz et donc peut tre facilement g n r gr ce MATLAB avec une grande pr cision Les niveaux interm diaires 3 6 9 et 12 dB sont quant eux g n r s sur base du m me spectre fr quentiel mais dont le niveau global est divis par V2 pour chaque r duction de 3 dB La Table 3 6 liste 77 Fr quence Hz Niveau g Hz 20 0 017 33 0 028 36 0 059 41 0 059 45 0 038 48 0 041 55 1 70 1 73 1 88 80 1 88 98 0 445 115 0 445 125 0 067 150 0 067 155 0 085 170 0 085 180 0 067 350 0 067 2000 0 012 Niveau global 10 92 gRMS TABLE 3 5 Spectre fr quentiel du niveau de qualification 0 dB Valeurs tir es de 8 78 Niveau Valeur gRMS gRMS Tr s bas RFR 0 3536 12 dB 2 73 9 dB 3 8608 6 dB 5 46 3 dB 7 7216 0 dB 10 92 TABLE 3 6 Valeurs gRMS associ es chaque niveau d exciation al atoire les valeurs gRMS associ es chaque niveau al atoire Notons que pour galement saisir correctement la fr quence de r sonance de 211 Hz mise en vidence par l excitation RFR une excitation al atoire de niveau quivalent a t g n r e Enfin soulignons que afin de r colter suffisamment d informations et en particulier de laisser le pre mier mode apparaitre de mani re vidente les excitations al atoires seront appliqu es durant 3 secondes 3 4 2 Loi lastique recal e et corr lations La loi lastique
40. lastique non lin aire de l lastomere 80 Fre quences Fr quences Erreur relative Niveau exp rimentales 7 calcul es Hz Hz Tr s bas RFR 211 205 69 2 5 12 dB 176 175 78 1 02 9 dB 166 162 35 2 20 6 dB 156 158 08 1 33 3 dB 146 146 48 0 33 0dB 140 136 72 2 34 TABLE 3 7 Comparaison entre les fr quences identifi es de mani re exp rimentales et celles calcul es num riquement Les erreurs relatives commises sont inf rieures notre objectif de 5 Des excitations particuli res et complexes 4 mettre en oeuvre ont t d velopp es 5 de mani re a garantir un balayage uniforme et optimal de l espace d tat Toutefois parmi les excitations classiques le sinus balay permet d obtenir les meilleurs r sultats tout en restant tr s simple g n rer que ce soit num riquement ou en pratique C est d s lors vers ce choix que nous nous tournerons Soulignons que Vexcitation consistera comme lors d essais exp rimentaux en une acc l ration impos e a la base du systeme Une plage s talant de 120 a 180 Hz sera balay e une vitesse de 4 octaves par minute ce qui correspond une excitation longue de 8 7744 s Notre but tant de balayer de mani re optimale l espace d tat mais aussi de parcourir une grande partie de la loi lastique recal e le sinus balay sera descendant En effet pour une non lin arit adoucissante telle que celle p
41. les composantes non lin aires ne sont plus n gligeables face aux composantes lin aires C est pourquoi l excitation correspond un sinus d une fr quence de 14 Hz et d une amplitude maximale de 5 10 N Ces valeurs sont rappell es la Table 1 2 Pour le mod le plusieurs degr s de libert la charge a t r partie sur l ensemble de la face sup rieure du cube d acier En effet application de la force en un noeud le point central de la face par exemple impliquerait l apparition d une singularit dans le calcul des contraintes d formations pouvant mener des instabilit s Param tres d int gration Les param tres d int gration sont choisis par l utilisateur au moyen de la carte TSTEPNL Vu la com plexit de l algorithme d int gration en particulier en raison des proc dures ajout es l algorithme de base les param tres sont nombreux et nous n avons pas entrepris de d terminer l influence de chacun d eux sur la r ponse obtenue ou le temps de calcul Le premier mod le correspond au cas classique de Poscillateur de Duffing beaucoup trait dans la litt rature et pour lequel l algorithme d int gration directe de Newmark tel qu il est pr sent la Figure 1 1 a fait ses preuves Sa simulation ne devrait des lors poser aucun probl me Dans le but d tablir une base commune entre les diff rents logiciels nous d sactiverons les proc dures d adaptation du pas de temps et n
42. les ph nom nes que l on d sire tudier gr ce ce mod le ne les font intervenir d aucune fa on 59 La premi re tape de ce travail consistera d s lors utiliser les donn es exp rimentales dont nous disposons pour introduire la non lin arit pr sente au niveau du mat riau lastom re dans le mod le l ments finis d j r alis Nous verrons malheureusement que nos connaissances concernant l lastom res sont tr s limit es et plusieurs estimations devront tre faites Le mod le d sormais non lin aire sera ensuite simul temporellement au moyen du module d int gration implicite SOL 129 de MSC Nastran pour en extraire les s ries temporelles de plusieurs de ses noeuds Celles ci seront post trait es au moyen d une m thode d identification tr s simple mettre en oeuvre appel e la Restoring Force Surface la section suivante La RFS nous conduira l obtention d un syst me un degr de libert contenant l effet de la non lin arit Par un proc d it ratif nous pourrons enfin estimer la loi de comportement lastique non lin aire identifi e par la m thode et comparer celle ci celle r ellement pr sente dans le mod le Sur base des donn es que nous poss dons deux cas pourront tre trait s Nous commencerons par celui d un amortisseur seul soumis 1 4 de la masse du banc optique Ensuite la proc dure sera appliqu e une mod lisation plus compl te faisant intervenir les
43. nous permettront de d terminer lesquels des coefficients a estim s sont influents et lesquels peuvent tre cart s L identification sera effectu e sur la quasi enti ret des signaux calcul s pour l excitation CHIRP seule la partie transitoire sera vinc e Les coefficients a ainsi que les facteurs d importances correspondants sont synth tis s la Table 3 8 On remarque la grande influence des param tres de raideur Notons ce propos que le coefficient a20 est positif tandis que le coefficient ago est n gatif En d autre mots la raideur d ordre 2 adoucissante est raidie par une raideur cubique Ce r sultat nous pousse penser que l exposant non lin aire de raideur n a pas t choisi correctement Le coefficient de raideur lin aire gal 3 4 10 N m est quant lui bien inf rieur celui estim sur la courbe de raideur 1 107 N m Enfin les coefficients d amortissements ont d une mani re g n rale une tr s faible influence sur la r ponse Cependant nous savons qu un amortissement est pr sent dans le mod le et qu il ne serait pas physique de ne pas consid rer d amortissement C est pourquoi nous conserverons le coefficient d amortissement lin aire En comparant les valeurs des facteurs d importance et en t chant de r aliser une identification ration nelle nous conserverons les coefficients des raideurs lin aire carr e et cubique ainsi que celui d amor tissement lin aire L
44. pics associ s aux premiers modes de suspension selon les trois directions sont l gerement pench s vers la gauche ce qui t moigne de la pr sence d une non lin arit adoucissante Figures tir es de 9 8 A4 45 46 46 50 50 51 52 52 53 53 54 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 3 1 3 2 3 3 3 4 3 9 3 6 3 7 3 8 Premiers modes de la Source Laser de PHARAO modes de suspensions Ils ont t calcul s partir du mod le l ments finis lin aire r alis Les d formations sont amplifi es afin de les rendre visibles Repr sentations tir es de 28 58 Processus de V rification amp Validation de mod les telle qu elle est pr sent e dans 35 59 Exemple de courbe force interne en fonction du d placement permettant de d terminer le mod le math matique supposer On voit clairement apparaitre l allure de la courbe de PAU A A ett Fk Ree ae Gh Se A a 62 Exemple de courbe force interne en fonction de la vitesse permettant de d terminer le mod le math matique supposer Bien que l on voit apparaitre une direction principale nous ne pouvons distinguer pr cis ment l allure de la courbe d amortissement 63 Exemple de surface de Crawley amp O Donnell permettant de d terminer le mod le math iMmatiqu SUPpOsers Bet name ie ee Rete eo ee de Dat pele le 63 Surface d
45. qui est fix e au pied du banc gr ce une longue vis centrale et une rondelle la base a t encastr e rosace rose Ensuite les quatres coins de la partie externe qui sont fix s au banc optique sont reli s par des l ments rigides ligne noire une masse ponctuelle prafaitement centr e point jaune correspondant 1 4 de la masse totale du banc optique s0i0 2 629 ka as dant an de ple hte ea le 71 Evolution du module de Young E et de l angle de perte 6 en fonction de la fr quence d xcitation sseui dsi eee ee ne La A Dr de te ne tue a ln R Pt a 72 Id alisation du mod le l ments finis complet en un syst me un degr de libert quivalent 74 Spectre fr quentiel du niveau de qualification 0 dB En bleu spectre utilis lors des essais exp rimentaux En rouge spectre adapt pour nos simulations 77 Recalage de la loi lastique non lin aire de l lastom re 80 D formation du pic due la pr sence d une non lin arit adoucissante et ph nom ne de saut rencontr lors du parcours des deux branches stables la branche sup rieure et la branche inf rieure Afin de r colter un maximum d informations et de couvrir au mieux l espace d tat nous nous tournerons vers une excitation CHIRP descendante dont l amplitude aura t adapt e pour ne pas induire des d formations sup rieures celles qui ont t observ es pour le recalag
46. savoir dt 107 s crit re de convergence bas sur l quilibre des forces et tol rance fix e 1077 Les r sultats sont compar s la solution de r f rence obtenue avec SAMCEF Mecano pour des param tres d int gration identiques Hee ik ee eae A oe es es Pe is Bnd dhs 39 40 41 42 43 1 14 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 Comparaison des acc l rations calcul es pour le premier mod le 1DDL et pour le second mod le plusieurs degr s de libert par SAMCEF Mecano Le pas de temps est fix 107 s Les crit res de convergence et les tol rances sont ceux qui avaient t choisis au d but de ce chapitre savoir dt 107 s crit re de convergence bas sur l quilibre des forces et tol rance fix e 1077 2 os deh de Se a eh a Acc l rations calcul es pour le second mod le plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran Le pas de temps est fix 10 s et le crit re de convergence est celui bas sur l quilibre des forces La tol rance impos e est quant elle gale 1077 s Les solutions sont comme toujours compar es la r ponse calcul e par SAMCEF Mecano Acc l rations calcul es pour le second mod le plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran pour diff rents pas de temps et diff rentes tol rance Le cri
47. t GAMMA conceptrice de l amortisseur Dans le cadre de notre tude il est n cessaire de remplacer les ressorts par des l ments volumiques auxquels sera associ e une loi de comportement non lin aire En pratique nous avons d abord trac le profil de la discr tisation en nous basant sur la discr tisation du mod le initial sans ins rer de nouveaux noeuds Puis gr ce une op ration de r volution l enti ret de la couche a t cr e Elle peut tre 69 a Vue compl te External part Internal part CBAR elements used to join the external to the internal part yellow lines partiy Elastomer stiffness 6 CELAS2 b Vue d une coupe FIGURE 3 1 Mod le l ments finis r alis par la soci t Mecano ID Il s agit d un mod le lin aire o la couche d lastom re a t remplac e pas une s rie de ressorts en jaune dont les raideurs ont t adapt es de mani re positionner le premier mode de suspension selon Z 140 Hz ainsi que le premier selon X et Y 156 Hz Ce choix est bas sur les essais effectu s par le concepteur de la suspension la soci t GAMMA On distingue tr s clairement les parties interne ou noyay en rose et externe ou corps en bleu de amortisseur Figure tir e de 28 7O FIGURE 3 2 Mod le l ments finis de l amortisseur r alis pour cette tude Les parties interne et externe de la suspension sont inchang es La couche d
48. t Granta propose une importante base de donn es de mat riaux utilis s dans de nombreux domaines Nous choisirons les propri t s du mat riau lastom re qui nous occupe ici partir des informations propos es par CES Selector concernant les lastom res base de silicone Le logiciel donne g n ralement une fourchette de valeurs pour chaque caract ristique N ayant priori aucune piste pour le choix des propri t s nous consid rerons des valeurs interm diaires Celles ci sont synth tis es la Table 3 2 Il est important de souligner ici que ce manque d information p nalisera directement l exactitude de la loi lastique recal e sur base des donn es r sultant des essais exp rimentaux C est pourquoi une connaissance m me approximative de ces param tres est fortement recommend e Certains comme la masse volumique peuvent tre tr s facilement estim es condition d avoir acc s un chantillon du mat riau ce qui malheureusement n tait pas notre cas Les mat riaux ayant t d fini il nous reste imposer les conditions aux limites du mod le Rappelons que l tude de l amortisseur seul se base sur les r sultats des essais r alis par le constructeur GAMMA lors de la validation de sa suspension A nouveau nous n avons pas d informations pr cises concernant 72 Elastom re p kg m 1200 v 0 48 nH 0 1 TABLE 3 2 Propri t s de l lastom re pr sen
49. tudes Un cas concret et r el a pu tre trait celui du banc optique de la Source Laser du module PHARAO L objectif tait de mettre a l preuve la capacit ou non de la m thode d identification Restoring Force Surface pr sentant les avantages d tre simple pr cise et robuste quant identification d un comportement non lin aire Ce dernier tait du aux couches d lastom res pr sentes dans les amortisseurs supportant le banc Comme l on montr de nombreuses tudes les lastom res pr sentent un comportement particuli rement complexe d pendant de nombreux facteurs Nous nous sommes limit s ici a la consid ration d une loi lastique non lin aire Cependant il est important de garder a l esprit que ce comportement d pend galement de la temp rature un facteur important dans le domaine spatial Le premier chapitre de ce travail consistait en une priori simple prise en main du logiciel utilis au sein du C N E S MSC Nastran De mani re nous familiariser mais aussi de familiariser le lecteur int ress avec le module d int gration temporelle adapt aux syst mes non lin aires nous avons pris le temps de d tailler les algorithmes et les commandes utilis es Deux cas d applications tr s simples ont t trait s le premier a un seul degr de libert le second a plusieurs degr s de libert et les r sultats compar s avec ceux obtenus au moyen d autres logiciels tels que SAMCEF Mecano et
50. un exposant associ la raideur non lin aire gal 1 085 le comportement pour de faibles d placements et de faibles vitesses Ensuite l erreur tend croitre Vextr mit de la plage de d placements balay e pour les m mes raisons Ce ph nom ne montre que le mod le identifi ne sera utilisable que sur cet m me intervalle de d placements les r sultats calcul s pour des d placements plus importants seront erron s Rappelons que la loi lastique non lin aire n a pas t recal e au del de ces valeurs de d placement Simuler le syst me hors de cet intervalle n aura donc pas beaucoup de sens Avec une erreur inf rieure 5 sur une grande majorit de la courbe ces r sultats sont encourageant et t moignent de la capacit de la Restoring Force Surface identifier une non lin arit de ce type Gr ce MSC Nastran il est possible d obtenir directement la courbe de raideur de l amortisseur mod lis Celle ci est calcul e au moyen du module SOL 106 en appliquant une force progressive sur le noeud repr sentant le banc optique La courbe obtenue compar e celle identifi e est pr sent e la Figure 3 19 Bien que l allure g n rale soit similaire on observe une diff rence relativement importante L erreur relative atteint un maximum de 22 pour les petits d placements et est comprise entre 7 5 et 15 pour sur la majorit de la courbe Cette erreur reste importante et ne t moigne donc pas d
51. un ressort lin aire Partant de l quation de comportement d un ressort liant la force exerc e et le d placement observ Fraideur k U 31 o F est la force appliqu e k le coefficient de raideur du ressort et u l Ip la variation de longueur du ressort Nous d sirons transformer cette relation en une expression liant la contrainte o et la d formation o B e 1 9 ceux ci tant d fini de la mani re suivante l lo u Ei lo lo A tant la section droite de l chantillon En rempla ant ces d finitions dans 1 9 on trouve une relation liant E et k Oo klo E P de A Pl Dans le cas non lin aire qui nous importe ici la force exerc e par le ressort suit 3 Fraideur k u k3 Y En y injectant les d finitions de la contrainte et de la d formation e on trouve la relation o f e lo 13 ke 2k oO A e A 3 Soit l expression de la raideur _ 00 b ie BS ae ght sa kg Comme nous pouvions nous y attendre la raideur quivalente d un mat riau d pend non seulement de son module de Young mais aussi de sa section Or cette derni re sera en raison de la striction variable au cours de la simulation Ce ph nom ne n tant pas consid r dans le d veloppement ci dessous il n apparait pas Afin d tre le plus complet possible nous devrions d finir le module de Young E comme une fonction des trois param tres E f e k v Toutefois ce
52. unique solution viable que nous avons pu mettre en vidence consiste a n activer que et seulement que le crit re U bas sur la variation de d placement et de choisir la m thode de mise jour de la matrice de raideur tangente ADAPT identique celle utilis e dans la SOL 129 Le service technique de MSC Nastran n a pas pu nous clairer ce sujet et les observations ont t relay es aux programmeurs A Vheure ot ces lignes sont crites d autres membres du Service de Structure et M canique du C N E S ont constat le comportement hasardeux de l algorithme d int gration temporelle non lin aire utilis par MSC Nastran Le besoin d une m thode plus fiable a quant a lui t soulign et est actuellement a P tude 1 5 Conclusion Au long de ce premier chapitre nous avons pris en main les modules d int gration implicite propos s par MSC Nastran la SOL 129 et la SOL 400 Ceux ci ont t appliqu s deux mod les non lin aire quivalents Le premier consistait en un simple oscillateur un degr de libert tandis que le second une complexification du premier tait constitu de deux cubes discr tis s en huit l ments hexa driques chacun La non lin arit consid r e tait une raideur cubique Ces deux syst mes n aspiraient pas tre repr sentatifs d un cas r el toutefois des parall lismes peuvent tre facilement r alis s Les param tres d int gration initiaux avaient t choisi
53. 5U est accessible aucune donn e n a pu tre trouv e concernant le second ni m me concernant ce m lange En 2007 un essai de caract risation des suspensions a t r alis 7 Ces essais consistaient notam ment en l extraction des courbes de raideurs statiques de l amortisseur selon les trois directions Pour ce faire la partie externe de l amortisseur est maintenue fixe pendant qu un effort est appliqu sur la partie interne La loi Force D placement est ensuite trac e et la raideur en N m extraite N anmoins ces essais t moignaient de comportement quasiment parfaitement lin aire pour des d placements allant jusqu 1 mm sachant que la couche d lastom re poss de une paisseur d environ 5 mm et qu il est le seul se d former de mani re non n gligeable cela correspond des d formations relativement importantes Le comportement non lin aire n a donc pas pu tre mis en vidence par ces essais et ils ne pourront tre utilis s lors de notre recalage Ce ph nom ne est explicable par le fait que le module de Young comme le coefficient d amortissement des lastom res est d pendant de la fr quence d excitation 32 Il est illustr la Figure 3 3 Bien que les caract ristiques de chaque lastom re lui sont propres tous suivent un comportement assez similaire Un essai statique n est donc pas repr sentatif du comportement dynamique Le logiciel CES Selector commercialis par la soci
54. 6 34 une diff rence d amplitude mais aussi un certain d phasage par rapport a la solution de r f rence taient pr sents L unique solution trouv e pour contrer ce probl me consiste ne choisir que le crit re bas sur la variation de d placement Seul ce dernier semble mener une solution correcte Pour les autres crit res ni une diminution du pas de temps ou des tol rances impos es ne m nent une r ponse en accord avec la solution calcul e par SAMCEF Mecano Ce premier chapitre nous a donc permis tout d abord de se familiariser avec MSC Nastran et ses modules d analyse temporelle Nous avons pu cerner les fondements des m thodes appliqu es et souligner l importance et la signification de certains param tres et de certaines cartes En outre en vue des futures simulations il a t possible de d terminer un set de param tres d int gration menant dans ces premiers cas d essais une r ponse correcte L utilisation du nouveau module d int gration implicite SOL 400 est fortement conseill d abord parce qu il n est pas sujet aux erreurs syst matiques cit es ci dessus ensuite car param tres identiques il conduit des r sultats plus pr cis AT 48 Chapitre 2 Probl matique et solution envisag e 2 1 Introduction Dans ce second chapitre nous d crirons la structure trait e l horloge atomique PHARAO Apr s quelques g n ralit s nous nous plongerons au coeur m me du compo
55. 9 dt 10 s Crit re P Tol rance MSC Nastran SOL 129 dt 107 s Crit re P Tol rance MSC Nastran SOL 129 dt 107 s Crit re P Tol rance MSC Nastran SOL 400 dt 107 s Crit re P Tol rance SAMCEF Mecano dt 1073s Acc l ration m s 0 85 0 95 1 Temps s FIGURE 1 12 Acc l rations calcul es pour le second mod le plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran Le pas de temps est fix 107 s et le crit re de convergence est celui bas sur l quilibre des forces La tol rance impos e est quant elle gale 1077 s Les solutions sont comme toujours compar es a la r ponse calcul e par SAMCEF Mecano que ni une diminution du pas de temps ni une r duction des tol rances ne permet de s approcher de la solution de r f rence donn e par SAMCEF Mecano D une mani re g n rale lors de nos essais il tait tr s difficile de pr dire l effet d une modification de un ou plusieurs param tres d int gration sur la solution obtenue Aucun ph nom ne de convergence vers une unique r ponse n tait visible Outre le pas de temps et les tol rances les pr cisions de d finition du signal d excitation et de la loi mat riau la strat gie de mise jour de la matrice de raideur tangente et les crit res de convergence choisis ont une influence Comme le montre la Figure 1 14
56. ATLAB la r duction du pas de temps ne modifie fondamentalement pas la r ponse obtenue comme en t moigne la Figure 1 4a De plus les logiciels m nent aux m mes solutions Nous prendrons donc pour les simulations futures les r sultats calcul s par SAMCEF Mecano comme r f rence Sur MSC Nastran Figure 1 4b par contre une erreur qui semble syst matique apparait mesure que le pas de temps est r duit Le comportement observ est totalement perturb et la qualit de la solution grandement d grad e Ni une diminution des tol rances ni m me un changement des crit res de convergence ne semble r soudre ce probl me La Figure 1 5 pr sente les r sultats obtenus en diminuant la tol rance associ e au crit re bas sur l quilibre des forces 1078 soit la limite avant que l algorithme n prouve de r elles difficult s converger Sont aussi repr sent s les solutions calcul es pour la combinaison de crit re UW crit re sur le d placement U et crit re sur le travail W qui avait t identifi e dans une pr c dente tude 6 comme la plus efficace Ces nouveaux choix de param tres ne modifient pas la r ponse calcul e L origine de l erreur est donc autre Etude du mod le lin aire sous ja ent De mani re s assurer que ces erreurs ne sont pas dues la pr sence de la non lin arit m thode de mise jour de la matrice de raideur tangente le syst me lin aire sous ja
57. CEF Mecano pour le syst me initial non lin aire est pr sent e a la Figure 1 9 Deux crit res ont t test s le crit re bas sur l quilibre des forces et celui d fini partir de la variation du d placement calcul Comme pour les simulations pr c dentes les tol rances ont t fix es 1077 On remarque imm diatement que la solution propos e par SOL 400 comme pour le syst me lin aire n est pas entach e des erreurs pr sentes avec la SOL 129 En outre elle est en concordance quasiment parfaite avec la r ponse calcul e par SAMCEF Mecano Enfin comme on peut le constater grace a la Figure 1 10 la SOL 400 m ne a des r sultats plus pr cis que son pr d cesseur pour un pas de temps plus raisonnable gal 107 s et des crit res de convergence identiques 42 20 2 MSC Nastran SOL 400 Crit re P Tol rance 10 i S MSC Nastran SOL 400 Crit re U Tol rance 10 je MSC Nastran SOL 129 Crit re P Tol rance 10 SR a O SAMCEF Mecano Crit re P Tol rance 10 NO o a a D o a nm a Acc l ration m s o Z pci a TS puc 0 987 0 9872 0 9874 0876 Temps s 0 9864 0 9866 0 9868 FIGURE 1 9 Acc l ration calcul e pour le mod le non lin aire 1 DDL Figure 1 2a par le nouveau module d analyse non lin aire SOL 400 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s pour diff
58. P q et do Calcul de Go Go M P F qo do Incr ment de temps tno En At Phase de pr diction n 1 An y At Gy CA E a An 1 An At n 5 4 At n Gn 1 0 Evaluation du vecteur des efforts r siduels far M n T Fria Pais Test de convergence Ilrnesll lt LEA Calcul de la correction S Qn 1 Aq Tn 1 Phase de correction An 1 An 1 Aq a j Y n 1 n MTS 7 7 1 n 1 n pars FIGURE 1 1 Sch ma de la m thode de Newmark non lin aire 12 29 o e est la tol rance choisie par l utilisateur L effort r siduel est donc compar aux forces internes du syst me 1 3 Essais pr l minaires De mani re pouvoir correctement prendre en main MSC Nastran en vue des simulations futures nous avons entrepris d effectuer des simulations temporelles de deux mod les non lin aires tr s simples Afin de pouvoir confirmer les mouvements calcul s les r sultats seront compar s avec ceux obtenus au moyen de SAMCEF Mecano d une part et du code MATLAB d autre part Pour rendre les r sultats comparables il est important d tablir une base commune de comparaison Ainsi nous n autoriserons aucune adaptation du pas de temps Le code MATLAB n tant dot que du crit re sur l quilibre des forces c est ce dernier qui sera choisi dans MSC Nastran et SAMCEF La tol rance sera fix e 1077 De la m me fa on le sch ma d int g
59. UNIVERSITE DE LIEGE e cnes FACULT DES SCIENCES APPLIQU ES 8 CENTRE NATIONAL D ETUDES SPATIALES Universit de Li ge TRAVAIL DE FIN D ETUDES Comportement dynamique non lin aire de la Source Laser de l horloge atomique PHARAO Travail de fin d tudes r alis en vue de l obtention du grade de Master Ing nieur Civil en A rospatiale par CLAES CEDRIC Ann e acad mique 2011 2012 Remerciements Ce travail a t r alis au sein du service de Structure et M canique du Centre National d Etudes Spatiales Toulouse Je tiens tout d abord exprimer ma gratitude au Professeur Ga tan Kerschen ainsi qu Fabrice Buffe pour m avoir permis de r aliser ce travail et ce stage au C N E S Je tiens les remercier pour leur aide leurs conseils et leur suivis tout au long de ce travail Je remercie galement Jean Philippe No l doctorant au sein du L T A S et Aur lien Hot membre du service de Structure et M canique du C N E S pour leur aide et le temps pass r pondre mes nombreuses questions Je salue tous les membres du service de Structure et M canique et plus particuli rement Didier Gangloff chef du service pour leur accueil chaleureux et pour l excellente ambiance de travail Ce s jour m a permis d acqu rir de nombreuses nouvelles comp tences ainsi qu une solide exp rience professionnelle Enfin je suis tout particuli rement envers ma famille et mes proches pour leur s
60. Une erreur inf rieure 4 5 t moigne d une bonne corr lation Lorsqu elle est plus petite qu un pourcent les r sultats sont jug s excellents Il est galement possible d aller plus loin et de simuler au moyen d un sch ma d int gration directe de Newmark par exemple le syst me identifi puis de comparer le comportement calcul avec celui observ lors des essais La m thode de la Restoring Force Surface se montre efficace fiable et tr s simple mettre en oeuvre Aucune connaissance priori de la non lin arit n est n cessaire grace a la pr sence des outils num riques comme les facteurs d importance qui mettront en vidence les facteurs participant de mani re significative la r ponse du syst me N anmoins la moindre connaissance pr alable par exemple avoir une estimation de la raideur lin aire du syst me permettra d identifier de mani re plus pr cise et coh rente les autres param tres Cette proc dure pr sente n anmoins l inconv nient de n cessiter la connaissance de l acc l ration la vitesse le d placement du degr de libert tudi ainsi que la force qui lui est appliqu e En effet en pratique ces donn es sont difficilement accessibles g n ralement seules l acc l ration et la force appliqu e sont connues Des proc dures d int gration ou de d rivation permettant partir de l une des trois s ries acc l ration vitesse ou d placement de
61. a courbe Le syst me sera ensuite simul et la composante fr quentielle dominante de la r ponse sera calcul e Sur base de cette derni re la loi sera adapt e jusqu une bonne correspondance avec les essais exp rimentaux L erreur admise sur la fr quence a t fix e 5 Il est important de noter que pour assurer une certaine continuit de pente dans la loi lastique celle ci sera construite comme une interpolation cubique des points estim s au fil du recalage D autre part nous veillerons conserver une pente d croissante sur l ensemble de la loi recal e En effet interpolation cubique peut g n rer quelques soubresauts qui sont a viter 3 4 1 D finition des excitations Les excitations al atoires appliqu es lors de cette tape ont t g n r e sur base de celles r ellement utilis es lors des essais Ces derni res sont d crites dans la description des essais m caniques et thermiques de la Source Laser de PHARAO 8 La Table 3 5 et la Figure 3 5 pr sente le spectre fr quentiel du niveau de qualification 4 0 dB Sur ce graphe est aussi pr sent le spectre utilis pour la g n ration des excitations al atoires qui seront appliqu es lors des simulations Ce spectre a t valu de mani re a avoir le m me niveau global i e 10 92 gRMS et surtout un niveau tr s proche sur la plage de fr quence qui nous int resse savoir entre 140 et 210 Hz Il pr sente Vavantage d tre constant sur
62. aider dans 84 N 04 Vitesse m s g l D placement m FIGURE 3 11 Surface de Crawley amp O Donnell trac e pour l amortisseur seul soumis une excitation CHIRP descendante entre 180 et 120 Hz Gr ce Vexcitation CHIRP la surface n est pas trou e m me si quelques impr cisions sont pr sentes au centre On remarque directement le comportement non lin aire adoucissant en fonction du d placement Cette surface nous pousse donc consid rer un amortissement lin aire et une raideur non lin aire cette tape la surface de Crawley amp O Donnell est un l ment cl La surface obtenue pour l excitation CHIRP est pr sent e la Figure 3 11 On y voit clairement apparaitre un comportement non lin aire a caract re adoucissant en fonction du d placement et un comportement lin aire selon la vitesse La Figure 3 12 montre la courbe de raideur Malgr un l ger manque de points pour de tr s faibles d placements ce graphe confirme nos observations pour la surface de Crawley amp O Donnell De plus gr ce aux points pour de tr s faibles d placements on peut estimer la valeur de la raideur lin aire pr sente 1 10 N m Sur base de ces constatations le mod le math matique repr sentant la force interne du syst me sera lin aire en la vitesse et non lin aire en le d placement Lors de l identification deux motivations peuvent tre distingu es La premi re consiste trouver le meilleur m
63. ance de 136 Hz observ e pour l excitation al atoire Cette diff rence s explique par le fait que l excitation en sinus balay est sensiblement plus prouvante que l excitation al atoire L avantage de notre cas d tude est que nous avons directement acc s a tous les signaux acc l ration vitesse et d placement la force appliqu e tant nulle vu que l excitation consiste en une acc l ration impos e la base du syst me Il n est d s lors pas n cessaire de proc der quelconque int gration et filtrage de signaux Cependant il est important de garder ces proc dures l esprit En effet lors d essais exp rimentaux g n ralement seuls les signaux d excitation et d acc l ration sont disponibles De plus nos signaux sont d nud s de bruit qui est in vitable lors de la prise de mesures exp rimentales Nous nous trouvons donc dans des conditions optimales pour l identification 3 6 Proc dure d identification 3 6 1 Pr paration des donn es n cessaires La premi re tape avant l application de la m thode de la Restoring Force Surface est de r colter les signaux et donn es n cessaires savoir la masse du degr de libert observ son d placement sa vitesse son acc l ration la force qui lui est appliqu e Dans le cas d un syst me lin aire un degr de libert excit par la base illustr la Figure 3 10 comme c est le cas ici l quat
64. ar la soci t Mecano ID a donc t compl t et valid sur base des tests de recette tablis par le C N E S Une fois le mod le l ments finis pr t la seconde tape fut de d terminer les propri t s de la couche d lastom re ins r e et en particulier de recaler sa loi lastique non lin aire sur base des r sultats exp rimentaux Malheureusement nos connaissances sur l lastom re utilis tant tres minces de nombreuses hypoth ses ont du tre r alis es concernant sa masse volumique son amortissement et son coefficient de Poisson La connaissance de ces param tres affecte bien entendu l ensemble de la r ponse du syst me tudi et pour une future tude nous conseillons vivement de pouvoir les estimer plus pr cis ment Le recalage de la loi lastique fut quant lui r alis au moyen d une proc dure simple de pr dic tion correction La loi fut ainsi construire point par point de mani re correspondre au mieux aux donn es exp rimentales qui se r sumaient aux fr quences de r sonance mesur es pour diff rents niveaux d excitation al atoire Nous avons pu pr senter une loi permettant d atteindre moins de 3 pr s ces fr quences 93 800 700 Force N A a o o o o wo oF o 2001 Courbe identifi e Courbe obtenue avec la loi lastique recal e 100 Courbe obtenue avec une loi lastique r adapt g 0 1 2 3 4 D placement m x
65. arties internes et externes de l amortisseur cf Figure 3 1 compos es d aluminium et donc de fr quences propres tr s lev es restent rigides sur la plage de fr quences tudi e La d formation n a donc lieu que dans l lastom re Cela implique que nous pouvons id aliser le noyau comme un premier degr de libert et le corps auquel est li e rigidement la masse ponctuelle repr sentant le banc comme un second Le premier repr sentera la base et sera soumis l excitation En tudiant les d placements et vitesses relatifs le syst me sera r duit un degr de libert que nous pourrons identifier avec la m thode de la Restoring Force Surface La Figure 3 4 pr sente l id alisation un degr libert du mod le l ments finis simul La masse ponctuelle repr sentant le banc optique ainsi que la partie externe de l amortisseur sont fusionn es en un noeud unique De m me la partie interne sera simplifi e en un noeud Le comportement de l lastom re sera quant lui associ par la m thode d identification un ensemble ressorts amortisseurs liant les deux noeuds 3 3 Param tres de calculs Nous d crirons dans cette section tous les param tres de calculs utilis s pour les simulations futures Les param tres d int gration ont t choisis la lumi re des conclusions tir es au Chapitre 1 Le syst me sera simul au moyen du module d int gration temporelle de MSC Nastran SOL 129 No
66. as concret sont donn es aux Figures 2 12 2 13 et 2 14 Il est important de souligner que pour que ces courbes soient compl tes et contiennent suffisamment d information il est n cessaire que les chantillons soient r partis le plus uniform ment possible dans l espace d tat q 4 Sinon la surface de Crawley amp O Donnell peut tre trou e comme le pr sente la Figure 2 15 et les courbes difficiles interpr ter Pour ce faire il est pr f rable que le syst me soit excit au moyen d un sinus balay d un bruit blanc ou si son amortissement n est pas trop important d observer sa r ponse libre Le sinus balay sur une plage de fr quence suffisamment grande est l excitation id ale La surface de Crawley amp O Donnell illustr e la Figure 2 15 correspond celle d un syst me excit par 62 0 15 0 1 0 05 0 0 05 0 1 0 15 0 2 Vitesse m s FIGURE 2 13 Exemple de courbe force interne en fonction de la vitesse permettant de d terminer le mod le math matique supposer Bien que l on voit apparaitre une direction principale nous ne pouvons distinguer pr cis ment l allure de la courbe d amortissement 803 N 604 Ni e Eh o L IRF translat 0 2 2 Vitesse m s D placement m FIGURE 2 14 Exemple de surface de Crawley amp O Donnell permettant de d terminer le mod le math matique supposer 63 O IRF translat e N ND A RO
67. bl mes soulign s dans la premi re tape de ce travail 13 14 Introduction Actuellement l industrie est de plus en plus confront e des structures pr sentant un comportement non lin aire Dans de nombreux cas ces non lin arit s peuvent tre n glig es ou vinc es et il est admis que les proc dures de dimensionnement et de mod lisation peuvent se limiter 4 des consid rations lin aires Ainsi les modeles l ment finis d velopp s pour la qualification des structures sont g n ralement lin aires Cependant il peut arriver que les essais exp rimentaux r alis s sur les structures mettent en exergue un comportement non lin aire important remettant en cause la validit des modeles lin aires La non lin arit ne peut alors plus tre vinc e et il est n cessaire de la prendre en compte lors de la mod lisation Malheureusement l exp rience industrielle dans le domaine des syst mes non lin aires est limit e C est pourquoi des tudes au sien du Centre National d Etudes Spatiales et du groupe EADS visant a valider les capacit s d int gration et de prise en compte des non lin arit s dans des mod les l ments finis sont encore l heure d aujourd hui en cours L tude DyNoLi par exemple a ainsi t ch de prendre en compte des non lin arit s de plusieurs types dans des mod les relativement simples Cette tude a conduit la formulation d une s rie de recommandations conseils et ob
68. cit a liminer les hautes fr quences non d sir es On a pu montrer que la pr cision au second ordre est obtenue si 1 VSG CT OF 25 Et la stabilit inconditionnelle pour des cas lin aires est assur e si les param tres respectent 1 aM SAF SG 1 Po OM OF 1 1 2 SE e er G aha 1 Enfin la dissipation num rique optimale des hautes fr quences est atteinte lorsque 1 B 7 1 am ar En combinant ces avantages on peut lier les quatres param tres au moyen de trois quations qui pourront tre r solues en prenant QM 1 0 La m thode d Hilber Hughes Taylor 24 correspond simplement la m thode de Chung Hulbert o l on a impos am 0 Dans ce cas le param tre ap doit tre choisis dans l intervalle 0 1 3 0 correspondant au cas conservatif et 1 3 l amortissement maximal des hautes fr quences toutefois il est g n ralement recommand de choisir une valeur interm diaire La proc dure de Wood Bossak Zienkiewicz 36 quant elle suppose apr 0 De m me on peut remarquer que le sch ma de Newmark non dissipatif d crit pr c demment est obtenu lorsque am 0 apr 0 La proc dure de Chung Hulbert constitue donc une g n ralisation de trois sch mas C est pourquoi elle est galement appel e la m thode a g n ralis M thode du point milieu g n ralis Dans cette m thode l quation d quilibre est crite en un temps tn
69. d terminer les autres ont t tudi es par Worden 37 Son article r v le que la proc dure de d rivation m ne une amplification des composantes hautes fr quences contenues dans le signal Toutefois elle implique surtout de part sa d finition de limite de r aliser un compromis entre les erreurs d approximations et les erreurs d arrondis Cette approche est donc fortement d conseill e Parmi les m thodes d int gration num riques simples telles que les m thodes du trap ze de Simpson ou de Tick la premi re se pr sente comme la plus stable En effet sa fonction de transfert est inf rieure l unit sur toute la plage de fr quences observables Elle ne m nera d s lors pas l apparition d instabilit s hautes fr quences N anmoins la proc dure d int gration implique l introdution de composantes tr s basses fr quences qui peuvent tre filtr es au moyen d un filtre passe haut La fr quence de coupure n est priori pas connue mais peut tre estim e par l utilisateur en repr sentant par exemple la densit de puissance spectrale du signal Ce choix est imp ratif En effet une fr quence de coupure trop faible n impliquerait pas la totale suppression des composantes erronn es tandis qu une fr quence trop lev e provoquerait la disparition de composantes correctes On pr f rera g n ralement utiliser un filtre de Butterworth qui assure la conservation d un gain constant sur l
70. dont la valeur par d faut est 0 75 Grace a cette multiplication ou division par 4 un pas de temps mal choisi pourra tre rapidement ajust Cependant vu que le pas de temps est d termin a partir de la r ponse calcul e et non du charge ment appliqu il peut tre n cessaire de limiter cette adaptation de mani re pouvoir saisir parfaitement des efforts de p riode beaucoup plus courte que la fr quence dominante valu e comme des impulsions Il s agit du r le du param tre MAXR Le pas de temps d termin par l algorithme d adaptation automatique est alors compris dans l intervalle DT lt dt lt MAXR DT MAXR dt lt k o DT est le pas de temps initial choisit par utilisateur lors de la d finition de la carte TSTEPNL Soulignons que le pas de temps peut tre r duit en de de cette limite par l algorithme de bissection Ce dernier a t impl ment pour surmonter les ventuels cas de divergence ou les probl mes li s un changement brusque de comportement suite une grande variation de raideur par exemple Trois situations d clenchent l activation de la bissection Lorsque l incr ment de contrainte sur la loi mat riau est sup rieur une tol rance choisie Lorsqu un cas de divergence est d tect Lorsque le nombre maximal d it rations par pas de temps est atteint sans convergence Dans un de ces cas la matrice de raideur est d abord mise jour partir d
71. e 82 Les d placements sont comparables pour les deux excitations La loi lastique non lin aire est donc balay e de la m me mani re dans les deux cas 83 9 3 9 Acc l ration en fonction de la fr quence d excitation dans le cas du sinus balay Le saut se produit aux alentours de 130 Hz soit un peu en dec de la fr quence de 136 Hz recal e dans la section pr c dente Ceci peut s expliquer par le fait que l excitation CHIRP est sensiblement plus prouvante que l excitation al atoire 3 10 Sch ma d un syst me un degr de libert excit par la base 3 11 Surface de Crawley amp O Donnell trac e pour l amortisseur seul soumis une excitation CHIRP descendante entre 180 et 120 Hz Gr ce l excitation CHIRP la surface n est pas trou e m me si quelques impr cisions sont pr sentes au centre On remarque directement le comportement non lin aire adoucissant en fonction du d placement Cette surface nous pousse donc consid rer un amortissement lin aire et une raideur non lin aire 3 12 Courbe de raideur i e force interne en fonction du d placement pour une vitesse nulle une certaine tol rance pr s trac e pour l amortisseur seul soumis une excitation CHIRP descendante entre 180 et 120 Hz La pr sence d une raideur non lin aire apparait bres clamement Ansy iia nie aia Te E
72. e Pour ce deuxi me objectif nous comparerons les d placements maximums observ s lors des excitations al atoires qui manifestement se sont produit pour le niveau le plus lev savoir celui de qualification 0 dB ceux constat s tout au long de l excitation CHIRP L amplitude de cette derni re sera d s lors adapt e pour obtenir des d placements similaires La Figure 3 8 compare les d placements observ s pour l excitation al atoire O dB d une part et d autre part pour l excitation sinus balay La repr sentation de l acc l ration calcul e en fonction de la fr quence d excitation dans le cas du sinus balay est illustr e la Figure 3 9 La pr sence du ph nom ne de saut est ici bien visible ce qui t moigne 81 H w w rad s FIGURE 3 7 D formation du pic due la pr sence d une non lin arit adoucissante et ph nom ne de saut rencontr lors du parcours des deux branches stables la branche sup rieure et la branche inf rieure Afin de r colter un maximum d informations et de couvrir au mieux l espace d tat nous nous tournerons vers une excitation CHIRP descendante dont amplitude aura t adapt e pour ne pas induire des d formations sup rieures a celles qui ont t observ es pour le recalage directement d un comportement non lin aire On remarque galement que ce saut se produit aux environs de 130 Hz qui est l g rement inf rieur la fr quence de r son
73. e Crawley amp O Donnell obtenue pour un syst me excit par une sinusoide d am plitude et de fr quence constante La surface est trou e et ne permet pas d estimer le mod le math matique le plus adapt pour l identification du syst me 64 Amplitude et phase du filtre de Butterworth 66 Amplitude et phase du filtre de Chebyshev type L 66 Amplitude et phase du filtre de Chebyshev type IL 66 Amplitude et phase du filtre elliptique ooa 67 Mod le l ments finis r alis par la soci t Mecano ID Il s agit d un mod le lin aire o la couche d lastom re a t remplac e pas une s rie de ressorts en jaune dont les raideurs ont t adapt es de mani re positionner le premier mode de suspension selon Z 140 Hz ainsi que le premier selon X et Y 156 Hz Ce choix est bas sur les essais effectu s par le concepteur de la suspension la soci t GAMMA On distingue tr s clairement les parties interne ou noyay en rose et externe ou corps en bleu de l amortisseur Figure tir e de DS Ne A A IR aay chet aaa 70 Mod le l ments finis de l amortisseur r alis pour cette tude Les parties interne et externe de la suspension sont inchang es La couche d lastom re en rose entour e de rouge a t ins r e De plus les conditions aux limites ont t adapt es D abord la base de la partie interne
74. e de supposer les pieds rigides et la base de l amortisseur encastr e 2 5 M thode de la Restoring Force Surface Une approche permettant d identifier les caract ristiques d un syst me en particulier non lin aire a t introduite par la m thode de la Restoring Force Surface aussi appel e m thode du Relev des Forces Internes Pr sent e par Masri et Caughey 25 en 1979 pour les syst mes un degr de libert la RFS a b n fici grandes am liorations au fil des ann es et a pu tre prouv e sur un grand nombre de cas parmi ceux ci nous pouvons citer l tude de joints de structures spatiales Crawley et O Donnell 22 ou de poutres encastr es soumises un impact Worden et Tomlinson 18 ou Kerschen et al 26 Elle se base sur l utilisation des s ries temporelles du degr de libert du syst me Une proc dure tr s similaire nomm e Force State Mapping fut d velopp e ind pendamment par Crawley et Aubert 10 et Crawley et O Donnell 22 en 1986 Ces derniers ont galement introduit l un des avantages majeur de la m thode la surface dite de Crawley amp O Donnell permettant de repr senter en trois dimensions la force interne du syst me un degr de libert par rapport son tat q q Enfin soulignons que des extensions aux syst mes plusieurs degr s de libert ont t propos es par Masri Sassi et Caughey 31 Toutefois dans ces cas la surface de Crawley amp O
75. e division par V2 de la valeur gRMS Rappellons que le niveau gRMS d un signal quelconque x t discr tis en N chantillons est d fini de la mani re suivante gRMS Sle Elle peut galement tre vue comme la racine carr e de l air en dessous de la courbe de densit de puissance spectrale qui s exprime lorsque le signal x t est comme ici une acc l ration en g Hz Les fr quences de r sonance obtenues pour les diff rentes directions et les diff rents niveaux sont pr sent es la Table 2 2 Les m mes excitations ont t appliqu es sur un amortisseur seul par le constructeur La Table 2 2 liste galement les fr quences mesur es pour ce nouveau cas Il est important de souligner que la valeur gRMS du niveau inject dans la suspension lors de ces essais tait la valeur inject e a la base de la Source Laser et non la valeur passant effectivement dans la suspension i e celle mesur e a la position 20 D autre part un lest parfaitement centr et d une masse quivalant 4 1 4 de la masse du banc optique est plac au dessus de la suspension On peut tout d abord remarquer que les deux cas tudi s Source Laser compl te et suspension seule t moigne du m me ph nom ne Ce dernier est d s lors bien du l amortisseur lui m me Ensuite on constate que la fr quence de r sonance mesur e diminue mesure que le niveau d excitation est lev Ceci r sulte bien de l adouciss
76. e la plus pr cise possible le comportement utilis pour l identification Cependant cela peut mener l obtention de coefficients non physiques tels que des raideurs lin aires n ga tives qui ne permettront pas de pr dire d autres comportements C est pourquoi ce but n est g n ralement pas poursuivi Ces deux tapes ont permis d tablir un mod le math matique coh rent et d noncer des conditions quant aux coefficients identifi s L exposant non lin aire a alors pu tre optimis pour satisfaire ses condi tions tout en menant une Mean Square Error commise la plus faible possible Notons toutefois que les erreurs rencontr es taient toutes tr s faibles et tous les mod les math matiques conduisaient une tr s bonne corr lation avec les signaux d entr e Cela peut s expliquer par le fait que ces signaux sont tous tr s purs En effet ils d coulent tous directement des simulations et sont d s lors d nud s de bruit ou d erreurs dues par exemple une proc dure d int gration Enfin le mod le identifi a pu tre compar d abord avec les signaux d entr e et en particulier la courbe de raideur qu il tait possible d en extraire Cette premi re comparaison s est r v l e assez prometteuse En effet l erreur commise sur la courbe de raideur tait globalement inf rieure 5 MSC Nastran offrant avec son module SOL 106 la possibilit de r aliser des chargements statiques la
77. e lin aires Tr s bri vement le module d analyse temporelle lin aire de MSC Nastran SOL 109 fait appel la m thode lin aire d int gration de Newmark trois points similaire la m thode d crite au paragraphe 1 2 1 En se basant sur la m thode de la diff rence centr e 1 An 2At dn41 Gn 1 A 1 An AR dnt 2dn qn 1 et en moyennant le d placement et la force appliqu e sur trois pas de temps cons cutifs on peut r crire V quation du mouvement sous la forme Pi P Ppa M C K 1 AP dni1 2an Gn 1 DAL Gn4i An 1 3 dn 1 An An 1 3 Soit en r organisant les termes MS q cr MBq LM AB aat 3 PHT SRE eee ag 3 A 2At 3 9 L tat du syst me au temps n 1 est ensuite d terminant en inversant la matrice 25 aap ES Enfin le syst me tant simple et lin aire sa r ponse pourra tre calcul e analytiquement et ainsi les solutions obtenues avec les diff rents logiciels pourront tre confirm es ou infirm es La Figure 1 6 compare les r sulats obtenus avec le module SOL 129 pour les diff rents crit res On peut remarquer tout d abord que la r ponse calcul e par SAMCEF Mecano est identique la solution analytique Les acc l rations calcul es par MSC Nastran par contre t moignent des m mes ph nom nes que ceux observ s pr c demment aux Figures 1 4b et 1 5 Ces erreurs ne sont donc pas dues la pr sence d u
78. e r f rer aux manuels utilisateur propos s par MSC 4 2 3 29 Nous verrons que le module d analyse temporelle propos par MSC Nastran qu il s agisse du module historique SOL 129 ou de sa nouvelle version SOL 400 demande une attention tr s particuli re En effet l une comme l autre sont sujettes des erreurs qui peuvent soit ent cher la pr cision de la solution obtenue soit dans le pire des cas mener une r ponse totalement diff rente Nos recherches nous ont men privil gier l un des trois crit res de convergence propos s ainsi qu une strat gie de mise jour de la matrice de raideur tangente pr cise Les rapports r dig s dans le cadre de l tude R amp T DyNoLi men e par EADS Astrium et le C N E S 6 34 nous serviront de base pour un premier choix de param tre mais aussi de base de comparaison avec les observations faites ici 1 2 Logiciels et m thodes utilis s 1 2 1 MSC Nastran Nastran i e NAsa STUctural ANalysis est un logiciel d velopp dans les ann es 60 initialement destin la NASA Une version public MSC Nastran a t d velopp e et commercialis e par la soci t MacNeal Schwendler Corportation Il s agit l heure actuelle du logiciel bas sur la m thode des l ments finis le plus utilis dans le monde Il est ainsi pr sent dans de nombreux secteurs tels que l automobile les nergies renouvelables la machinerie ou le domaine m dical Gr ce
79. ecano offre le choix l utilisateur des valeurs des param tres et y Il est ainsi possible d avoir un certain contr le sur les propri t s du sch ma d int gration direct en particulier sa stabilit et sa pr cision La Table 1 1 pr sente une s rie de valeurs cl s g n ralement utilis es dans la litt rature Soulignons nouveau que ces propri t s ne sont garanties que pour la version lin aire du sch ma de Newmark Ces valeurs sont donn es a titre indicatif Le lecteur int ress pourra se tourner vers la r f rence bibliographique 12 pour de plus amples informations On remarque imm diatement qu un compromis est a r aliser entre pr cision et stabilit N anmoins le d sir d assurer la stabilit de Vint grateur emporte g n ralement La m thode dite de l acc l ration moyenne constante y gt et B 3 inconditionnellement stable pour les cas lin aire et d une pr cision au second ordre est donc la plus souvent utilis e en pratique Le sch ma purement explicite y P 0 poss de la particularit d tre tr s rapide tr s simple d application et tr s peu co teux cela car il suppose que l tat du syst me au temps n 1 est enti rement et uniquement d fini par son tat au temps tn Il reste toutefois instable peu importe la valeur du pas de temps choisie C est pourquoi cet algorithme est le plus souvent destin tester de nouveaux syst mes ou de nouvelles id es
80. ement que nous suspections Les diff rences peuvent tre principalement expliqu es par le fait que la dynamique du banc optique lui m me mais aussi celle des pieds ne sont pas prises en compte dans les essais r alis s sur la suspension seule S ajoute galement cela le fait que chaque suspension n est pas soumise pr cis ment 1 4 de la masse du banc Ce dernier n est effectivement pas sym trique Les fr quences mesur es pour le niveau de qualification 0 dB sont d environ 140 Hz pour chacun des axes ce qui correspond la fr quence utilis e pour d finir les raideurs des ressorts rempla ant les couches d lastom re dans le mod le l ments finis Aucun recalage ne sera d s lors n cessaire De plus ces fr quences sont conformes aux exigences formul es La non lin arit n a par cons quent pas t jug e critique et la maquette valid e Le mod le l ments finis a permis d obtenir des repr sentations des trois premiers modes de la Source Laser les trois modes de suspension Ceux ci sont pr sent s aux Figures 2 10a 2 10b et 2 10c 2 4 Probl matique et strat gie adopt e Des travaux au sein du C N E S ont entrepris de prendre en compte les non lin arit s directement lors de la mod lisation du syst me Les tudes R amp T DyNoLi d j mentionn es 6 34 avait d j entrepris de simuler correctement des syst mes non lin aires gr ce au logiciel MSC Nastran Plusieurs cas concret
81. ence le crit re sur le d placement n cessitera au minimum deux it rations chaque pas de temps R sulats g n raux d tudes ant rieures Le Lot 3 1 de l tude R amp T men e par le C N E S et EADS ASTRIUM sur le d veloppement de m thodes d analyse de syst mes m caniques non lin aires 6 a permis de mettre en vidence la grande sensibilit de la r ponse calcul e en fonction du pas de temps utilis et des crit res de convergence choisis Les auteurs conseillent fortement d viter l utilisation de l algorithme d adaptation automatique du pas de temps en particulier lorsque la bande de fr quence tudi e est proche de la fr quence de r sonance du syst me Ce module sera d s lors d sactiv afin de garder un contr le sur ce param tre d int gration D autre part l algorithme de Newmark cod sous MATLAB n tant quip d aucun de ces modules Valgorithme de bissection sera galement d sactiv afin d tablir une base commune de comparaison des r ponses obtenues par MSC Nastran et par MATLAB Cette tude conclut galement que le crit re de convergence bas sur le d placement E semble y Fi q tre plus fiable et conduit de meilleurs r sultats que les autres crit res peu importe la tol rance fix e La combinaison d placement travail s est r v l e tre la plus efficace L tude a en outre soulign l importance d inclure de l amortissement dans le mod le afin d assur
82. ent simplement obtenu en annulant le coefficient de raideur non lin aire K3 a galement t simul Le mod le se r sume alors un simple syst me masse ressort amorti lin aire qu il est possible de simuler au moyen des modules d int gration temporelle lin aires Pour SAMCEF Mecano et la proc dure cod e sous MATLAB la solution a t calcul e au moyen de la m thode d int gration directe de Newmark pour les syst mes lin aires telle qu elle est d crite dans 12 Vu les r sultats obtenus pour le cas non lin aire pr c dent le pas de temps choisi est de 1074 s Les crit res de convergence et les tol rances n ont pas t modifi es Pour MSC Nastran la r ponse a d abord t calcul e au moyen du module d analyse temporelle non lin aire SOL 129 pour un pas de temps fix 1075 s pour constater l apparition des erreurs et les crit res de convergence et les tol rances associ es suivants Cas 1 Crit re bas sur l quilibre des forces P Tol rance 1077 Cas 2 Crit re bas sur l quilibre des forces P Tol rance 1078 Cas 3 Crit re bas sur la variation de d placement U et Crit re bas sur le travail W Tol rances respectives 1077 et 10710 Cas 3 Crit re bas sur la variation de d placement U et Crit re bas sur le travail W Tol rances respectives 107 et 107121 La solution sera galement calcul e gr ce au module d int gra
83. er une certaine stabilit Dans ce pr sent travail nous n oublierons donc pas de d finir les coefficients d amortissement structural de tous les mat riaux utilis s et ins rerons si cela se r v lait n cessaire de l amortissement num rique El ul Enfin l utilisation de super l ments g n r s dans MSC Nastran au moyen de la SOL 103 ne posant aucun probl me celle ci est vivement conseill e afin de r duire les temps de calculs qui peuvent se r v ler particuli rement longs 1 2 2 SAMCEF Mecano SAMCEF i e Syst me pour l Analyse des Milieux Continus par El ments Finis voit le jour en 1965 au sein du LTAS i e Laboratoire des Techniques A ronautiques et Spatiales l Universit de Li ge En 1986 la soci t Samtech nait et prend en charge le d veloppement et la commercialisation de SAMCEF En 2011 Samtech est rachet par la soci t LMS International et devient LMS Samtech SAMCEF offre une large gamme de solveurs vocation polyvalente capable de satisfaire un grand nombre d applications analyse statique analyse modale vibrations al atoires mouvement non lin aire D autres modules sp cialis s dans des domaines pr cis sont galement disponibles SAMCEF Rotors tudes dynamiques de rotors SAMCEF Wind Turbines d veloppment et optimisation des oliennes 23 BOSS Quatro optimisations multidisciplinaires et analyses de sensibilit Dans cette tude n
84. erreur MSE commise avec ce modele sur la force interne n est que de 0 07 ce qui t moigne d une corr lation excellente Une comparaison entre la force interne simul e par MSC Nastran et celle identifi e est pr sent e a la Figure 3 13 Bien que la corr lation soit excellente nous avons pu remarquer que le mod le math matique n est pas r ellement adapt et rationnel En effet la raideur carr e adoucissante compens e par une raideur cubique raidissante est un comportement que nous aimerions viter en d terminant un exposant i s appliquant sur le d placement plus adapt 86 Q10 Q20 Q30 Q01 Q02 03 N m N m N m Ns m N s m LN 5 m ea 3 4 106 9 6 109 1 4 1013 1 6 102 9 9 10 1 8 4 identifi s PARVON 2 7 102 1 3 102 2 5 10 4 7 107 8 6 1077 4 10 6 d importance TABLE 3 8 Valeurs des coefficients a et des facteurs d importances sg estim s par la Restoring Force Surface lors d une premi re identification sur base d un mod le g n rique On remarque la pr sence de raideurs non lin aires non n gligeables et l influence tr s l g re de amortissement 600 MSC Nastran i Identifi e 400 200 IRF N o 6 495 6 5 6 48 6 485 6 49 Temps s FIGURE 3 13 Comparaison entre la force interne du syst me simul e par MSC Nastran et celle identifi e durant cette premi re identification La Mean Square Error commise est de 0 07
85. es P Tol rance associ e 107 Cas 2 Crit re bas sur la variation de d placement U et crit re bas sur le travail W Tol rances respectives 1077 et 10710 Cas 3 Crit re bas sur la variation de d placement U Tol rance associ e 1077 La Figure 1 8 montre les acc l rations obtenues avec la SOL 400 pour les trois cas nonc s ci dessus et les compare avec d une part la r ponse obtenue avec la SOL 129 et d autre part la solution analytique On remarque imm diatement que pour le syst me lin aire sous jacent les erreurs parasites pr sentes avec 41 E MSC Nastran SOL 129 Crit re P Tol rance 107 A a a a MSC Nastran SOL 400 Crit re P Tol rance 10 D MSC Nastran SOL 400 Crit re UW Tol rances 10 et 107 MSC Nastran SOL 400 Crit re U Tol rance 10 17 28 Solution analytiqu inn a A E Cc 2 w SO 2 17 24 Q oO lt 7 TA 0 9984 0 9986 0 9988 0 999 Temps s 0 9976 0 9978 0 998 0 9982 FIGURE 1 8 Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous ja ent au syst me 1 DDL initial Figure 1 2a par le nouveau module d analyse non lin aire SOL 400 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s pour diff rents crit res de convergences Les r sultats sont compar s A la solution analytique disponible ainsi qu la r ponse calcul e par la SOL 129 avec un pa
86. est ainsi possible de d finir une loi lastique non lin aire param tre NLELAST ou une loi d crouissage param tre PLASTIC Dans notre cas la loi f e sera d finie au moyen d une table de donn es de type TABLES1 Les informations d amortissement quant a elles sont conserv es dans la carte MAT1 Afin de ne pas modifier la r partition de masse du modele et ainsi garder la m me fr quence propre la masse volumique du mat riau non lin aire sera fix e une valeur tr s faible 0 001 kg m Cette hypoth se n est certainement pas physique toutefois notre but ici est de s assurer de la bonne prise en compte d une loi lastique non lin aire par MSC Nastran Notons que lorsqu une analyse lin aire SOL 109 SOL 101 est demand e MSC Nastran se limite l utilisation de la carte MAT1 sans pr ter attention la carte MATS1 qui est alors inutile Par contre lors d une analyse non lin aire le logiciel utilise les donn es de raideur d finie dans la carte MAT1 pour la premi re it ration puis fait appel aux propri t s d finies la carte MATS1 Le passage d un couple ressort amortisseur un mat riau quivalent implique la transformation des coefficients de raideur k et kg ainsi que du coefficient d amortissement c en une quation o f e un coefficient de Poisson v et un coefficient d amortissement structural y Par soucis de simplicit nous consid rerons tout d abord le cas d
87. eux donn s par SAMCEF Mecano et un algorithme d int gration de Newmark cod sous MATLAB L tude d un amortisseur seul tel qu il a t test par le concepteur GAMMA lors des essais de qualification a t r alis e Nous d crirons la mod lisation l ments finis adopt e et soulignerons le choix des param tres de calculs La premi re tape de l tude consiste en le recalage de la loi lastique non lin aire de l lastom re pr sent dans l amortisseur sur base des donn es r colt es lors des essais Une correspondance pr sentant une erreur de moins de 3 a pu tre d termin e Le syst me ainsi recal a ensuite t soumis une excitation de type CHIRP en vue d une identi fication de la loi non lin aire pr c demment inject e La m thode d identification de la Restoring Force Surface appliqu e dans ce travail a ainsi t mise l preuve Le mod le identifi correspond assez fid lement aux r ponses calcul es En particulier la courbe de raideur d duite de la surface de Crawley amp O Donnell construite au moyen de la r ponse et celle identifi e pr sentent une diff rence moins de 5 sur leur plus grande partie Cependant la courbe de raideur d termin e par le module de chargement statique de MSC Nastran la SOL 106 pr sente un comportement plus rigide que les deux courbes pr c dentes Ce r sultat pourrait t moigner d une simulation temporelle incorrecte en raison des pro
88. eux mod les tudi s En galant la force d amortissement d finie dans le mod le un degr de libert et cette d finition E cAu SE kAu W4 o wo est la pulsation de r sonance On trouve donc la valeur donner au param tre W4 9 6 _ 2km kA W4 k 1 q At m W4 cu A W4 W4 wo 27 fo Gr ce toutes ces expressions nous connaissons d sormais les valeurs affecter chaque param tre La Table 1 2 synth tise l ensemble de ces caract ristiques pour respectivement le premier et le second mod le L analyse modale du premier mod le t moigne d un unique mode d extension compression du ressort qui correspond la fr quence de r sonance du syst me survenant une fr quence de 14 2466 Hz ce lin aire sous ja ent WO fo 227 w Vm 1 ae 14 2466 Hz 33 La m me analyse men e sur le mod le plusieurs degr s de libert fait apparaitre ce mode une fr quence de 14 2440 Hz soit quasiment identique au premier mod le Les expressions utilis es pour la d finition du module de Young ou du coefficient d amortissement structural semblent donc correctes Excitation Les mod les seront excit s au moyen d une force dirig e selon la direction verticale Z Nous savons que les effets non lin aires sont d autant plus visibles au moment de la raisonnance Cela peut s expliquer par le fait que la r sonance engendre des d placements plus importants et
89. eux parties rigides en gris l une interne l autre externe ainsi que la couche d lastom re pi g e en bleu Figure tir e de http www gamma sa fr objectifs fix s dans le cahier des charges Enfin un capot protecteur enveloppe l ensemble de la Source Laser 2 3 1 Mod le l ments finis Le mod le l ments finis de la Source Laser est pr sent la Figure 2 6 Il a t r alis par la soci t Mecano ID et est d taill dans l tude 28 Ce mod le a t valid et les tests de recette classiques ont t pass s avec succ s Il totalise 265 800 noeuds et 303 857 l ments soit 1 227 455 degr s de libert s Comme pour la plupart des mod les l ments finis il s agit d un mod le lin aire Ceci soul ve cependant une question comment repr senter l lastom re pr sent dans les amortis seurs En effet nous savons que les lastom res exhibent des comportements tr s complexes et fortement non lin aires tant au niveau de leurs propri t s lastiques que dissipatives En outre ils poss dent g n ralement un coefficient de Poisson proche de 0 5 et sont donc quasiment incompressible De nombreuses lois plus ou moins repr sentatives de ces propri t s particuli res ont t formul es cependant elles n cessitent une grande connaissance du mat riau et sont donc sauf dans des cas sp cifiques difficilement applicables Nous pouvons par exemple citer les lois de n o Hooke de Moo
90. iminue avec la d formation Comme on peut le lire dans la litt rature 19 pp 41 80 ce type de non lin arit entraine une diminution de la fr quence de r sonance observ e mesure que le niveau d excitation augmente Ceci s explique par le simple fait qu une excitation plus importante engendre de plus grandes d formations et donc une raideur per ue par le syst me moins lev e Lorsque les d formations deviennent trop impor tantes on entre alors dans la seconde partie de la courbe o e qui elle est raidissante Contrairement au cas pr c dent la raideur du syst me augmente avec la d formation entrainant le ph nom ne inverse soit une augmentation des fr quences de r sonance avec l excitation Pour le mod le l ments finis de la Source Laser pr sent ci dessus la solution choisie a donc t de remplacer la couche d lastom re pr sente dans les amortissements par un ensemble de ressorts permettant de placer le premier mode de suspension selon Z une fr quence de 140 Hz et les deux modes selon X et Y a la fr quence de 156 Hz pour le niveau de qualification Ces fr quences comme nous le verrons la section suivante sont les fr quences de r sonance identifi es pour un amortisseur seul soumis 4 1 4 de la masse du banc optique et sujet une excitation de valeurs gRMS gale celle inject e la base de la Source Laser pour le niveau de qualification 0 dB Notons n anmoins que ces raideurs devron
91. ion du mouvement s crit mi c t y k x y 0 o x est le mouvement du degr de libert et y le d placement du sol D s lors les signaux utilis s pour l identification devront tre En guise d acc l ration l acc l ration du degr de libert observ x En guise de vitesse la diff rence des vitesses entre le degr de libert observ et la base y En guide de d placement la diff rence des d placements entre le degr de libert observ et la base x y 82 D placement m 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 Temps s a D placements observ s pour l excitation al atoire 0 dB D placement m 4 5 Temps s b D placements observ s pour Pexcitation CHIRP FIGURE 3 8 Les d placements sont comparables pour les deux excitations La loi lastique non lin aire est donc balay e de la m me mani re dans les deux cas 83 300 PA Se A ee E E A AAA E S a 0 D SO Q QO EESO a 140 160 170 3005 1 30 150 180 Fr quence Hz FIGURE 3 9 Acc l ration en fonction de la fr quence d excitation dans le cas du sinus balay Le saut se produit aux alentours de 130 Hz soit un peu en dec de la fr quence de 136 Hz recal e dans la section pr c dente Ceci peut s expliquer par le fait que l excitation CHIRP est sensiblement plus prouvante que Vexcitation al atoire x t T y t 4 FIGURE 3 10 Sch ma d un syst
92. itude et phase du filtre de Chebyshev type I Amplitude dB 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 Fr quence normalis e FIGURE 2 18 Amplitude et phase du filtre de Chebyshev type II 66 Phase rad Phase rad Amplitude dB Phase rad 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 Fr quence normalis e FIGURE 2 19 Amplitude et phase du filtre elliptique 2 6 Conclusion Dans ce deuxi me chapitre nous avons pu mettre en place la probl matique qui sera trait e travers la suite de ce travail Apr s avoir pr sent le projet PHARAO et la mission ACES dans lequel s inscrit cette tude nous avons dress un bilan des informations que nous poss dons Tout d abord le mod le l ments finis lin aire utilis pour la validation de la Source Laser de l horloge atomique a t d crit Dans ce mod le la non lin arit qui tait d j connue a t contourn e en rempla ant l lastom re non lin aire par des ressorts lin aires dont la raideur a t adapt e pour faire apparaitre les m mes fr quences propres que celles suspect es pour le niveau de qualification Ensuite les r sultats des essais vibratoires ont mis clairement en vidence la pr sence de la non lin arit ainsi que son impact important sur les fr quences des premiers modes de la Source Laser des modes de suspension Ces effets n ont toutefois pas t jug critique et le projet PHARAO a pu suivre son
93. k for Nonlinear Analysis 1992 N M Newmark A Method of Computation for Structural Dynamics of ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division Vol 85 No 3 pp 67 94 Juillet 1959 H Sassi et T K Caughey S F Masri A Nonparametric Identification of Nearly Arbitrary Nonlinear Systems Journal of Applied Mechanics Vol 49 pp 619 628 1982 P Saad Mod lisation et identification du comportement non lin aire des cales en caoutchouc PhD thesis Ecole Centrale de Lyon 2003 Samtech Samcef v13 1 User Manual 2012 Realix Technologies Etude R amp T DYNOL1 Lots 2 2 Juin 2005 B H Thacker S W Doebling F M Hemez M C Anderson and J E Pepin et E A Rodriguez Concepts of Model Verification and Validation Octobre 2004 M Bossak et O C Zienkiewicz W L Wood An Alpha Modification of Newmark s Method Inter national Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 15 No 10 pp 1562 1566 Octobre 1980 K Worden Data Processing and Experiment Design for the Restoring Force Surface Method Part I Integration and Differentiation of Measured Time Data Mechanical Systems and Signal Processing Vol 4 pp 295 319 1990 100
94. l Mass in the Identification of Non Linear Single and Multi Degree of Freedom Systems Using the Force State Mapping Approach Mechanical Systems and Signal Processing Vol 6 pp 383 401 1992 E F Crawley et K J O Donnel Identification of Nonlinear System Parameters in Joints Using the Force State Mapping Technique AJAA Paper 86 1013 pages pp 659 667 1986 S H Lee et S S Hsieh Expedient Implicit Integration with Adaptative Time Stepping Algorithm for Nonlinear Transient Analysis Int J Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 81 No 22 pp 151 172 1990 H M Hilber et T J R Hughes et R L Taylor Improved Numerical Dissipation for Time Integration Algorithms in Structural Dynamics Earthquakes Engineering and Structural Dynamics Vol 5 pp 283 292 1977 S F Masri et T K Caughey A Nonparametric Identification Technique for Nonlinear Dynamic Problems Journal of Applied Mechanics Vol 46 pp 433 447 1979 J C Golinval et K Worden G Kerschen Theoretical and Experimental Identification of a Non Linear Beam Journal of Sound and Vibration Vol 244 No 4 pp 597 613 2001 D N Herting A General Purpose Nonlinear Transient Integration System Innovative Methods for Nonlinear Problems 1984 Edited by Liu W K Belytschko T and Park K C Pineridge Press Mecano ID PHARAO Laser Feed Description of the Finite Element Model Octobre 2009 S H Lee MSC Nastran Handboo
95. la proc dure d identification il est pr f rable de se concentrer sur la r ponse au niveau de la r sonance o les d placements sont plus importants et donc la non lin arit plus visible Une fois les param tres obtenus il nous faut connaitre lesquels de ces param tres sont les plus influents et lesquels peuvent tre d laiss s Cette importante est donn e par le facteur d importance ou significance factor d finit de la mani re suivante 2 sg 100 4 Ch ou og est la variance du terme a x 7 consid r et a est la variance de tous les termes a x 7 Un significance factor lev t moignera d un terme important et donc non n gligeable tandis que les termes ayant un significance factor faible n gligeable devant les autres pourront tre cart s Les coefficients identifi s peuvent ensuite tre utilis s pour r valuer la force interne du syst me sur base des s ries temporelles exp rimentales La qualit de l identification peut alors tre valu e en comparant les mesures exp rimentales aux valeurs recalcul es Pour ce faire la Mean Square Error se r v le 64 particuli rement utile Cet outil permet de comparer de mani re quantitative deux s ries temporelles La MSE d un signal x de N chantillons est d finie de la mani re suivante 100 Y v i 1 o Gy est l cart type du signal x x la valeur mesur e l instant i et la valeur pr dite par le mod le identifi
96. latives commises sont inf rieures notre objectif de 5 Valeurs des coefficients a et des facteurs d importances sg estim s par la Restoring Force Surface lors d une premi re identification sur base d un mod le g n rique On remarque la pr sence de raideurs non lin aires non n gligeables et l influence tr s l g re de l amortissement Valeurs des coefficients a 6 et y et des facteurs d importances sg estim s par la Restoring Force Surface lors de la seconde identification pour un exposant associ la raideur non lin aire pris 1 085 comme l encourageait les r sultats pr c dents Comparaison entre les fr quences identifi es de mani re exp rimentales et celles calcul es num riquement pour la loi lastique implicitement repr sent e par le syst me identifi Les erreurs relatives commises sont relativement importantes 11 39 57 58 71 73 76 77 78 79 81 87 91 95 12 R sum Comportement dynamique non lin aire de la Source Laser de l horloge atomique PHARAO C dric Claes Travail de fin d tudes r alis en vue de l obtention du grade de master Ing nieur Civil en A rospatiale Ann e acad mique 2011 2012 Actuellement l industrie est de plus en plus confront e des structures pr sentant un comportement non lin aire Dans de nombreux cas ces non lin arit s peuvent tre n glig es ou vinc es et il est admis que les pr
97. mble des param tres d int gration sont rappel s a la Table 1 3 MSC Nastran dt 10 s E MSC Nastran dt 107 s ha an MSC Nastran dt 10 gt s OSAMCEF Mecano dt 107 sl eii SAMCEF Mecano dt 10 sl Acc l ration m s 0 986 0 9862 0 9864 0 9866 0 9868 0 987 0 9872 0 9874 0 9876 0 9878 0 988 Temps s b Effet d une r duction du pas de temps sur l acc l ration calcul e pour le mod le 1 DDL Figure 1 2a par MSC Nastran Le crit re de convergence utilis est celui bas sur l quilibre des forces et la tol rance associ e a t fix e 1077 L ensemble des param tres d int gration sont rappel s la Table 1 3 FIGURE 1 4 R duction du pas de temps 38 MSC Nastran dt 10 s P Tol 107 MSC Nastran dt 10 s P Tol 10 MSC Nastran dt 107 s UW Tol 10 et 10710 SAMCEF Mecano dt 10 s Acc l ration m s Nm Nm o o D o D Ko D o pa o O1 o O1 O1 NO oO 0 9862 0 9864 0 9866 0 9868 0 987 0 9872 0 9874 0 9876 0 9878 0 988 Temps s FIGURE 1 5 Effet du changement des crit res de convergences utilis s et des tol rances fix es sur l acc l ration calcul e pour le mod le 1 DDL Figure 1 2a par MSC Nastran Le pas de temps est gal 107 s Les autres param tres d int gration utilis s sont ceux d crits la Table 1 3 M thodes d int gration temporell
98. n en ayant d fini Aqn 1 Any1 An En substituant ces expressions dans 1 6 on obtient l expression M C C Z ES Dans laquelle Fay F q 1 et Aq sont inconnus et devront tre d termin s au moyen d une m thode it rative telle que Newton Raphson ou une version de Newton modifi e La strat gie adopt e est la suivante A un nouveau pas de temps tn la variation de d placement dn Aq 1 Aqn est initialis e 0 dy Adn Ad 04 Adry Aa Le vecteur des forces internes au temps n 1 est quant lui extrapol partir de ses valeurs aux deux pas de temps ant rieurs tn et tn_1 AE SF Fa F 1 2F Fr 1 n En injectant ces deux relations dans l quation 1 7 on obtient alors une premi re estimation des efforts r siduels l instant t n 1 R P TCAA F Au cours des it rations i gt 0 di n est plus suppos nul et le vecteur des efforts r siduels prend la forme 1 1 1 0 a 1 0 R R Me el di 6 Fi Foy La correction de la variation de d placement d est obtenue en consid rant tout d abord l approximation lin aire de l quation 1 7 OR Od Rit Ra dit di 0 On a alors Vu l quation 1 7 la matrice al est donn e par z M4 C Ok Ea At 2A Ody avec K E la matrice de raideur tangente On peut montrer que la m thode d int gration t
99. n MSC Nastran 2012 Dynamic Analysis User s Guide 2011 MSC Software Corporation MSC Nastran 2012 2 Quick Reference Guide 2012 S Duym e J Schoukens Design of Ecitation Signals for the Restoring Force Surface Method Mechanical Systems and Signal Processing Vol 9 pp 139 158 1995 Section M canique EADS Astrium Etude R amp T DYNoLI Lots 3 1 Janvier 2007 7 EADS Sodern Essais de caract risation de l hyst r sis dans les suspensions apr s sollicitations Octobre 2007 8 EADS Sodern Description et plan d essais de la MSTH R Source Laser PHARAO Juin 2008 9 EADS Sodern Rapport d essais m caniques et thermiques de la MSTH R Avril 2010 E F Crawley et A C Aubert Identification of Nonlinear Strucrural Elements by Force State Mapping AIAA Journal Vol 24 pp 155 162 1986 A Cassano et A Cardona A Comparison between Three variable step algorithms for the integration of the equations of motion in structural dynamics Journal of Latin American Research 1991 M G radin et D Rixen Mechanical Vibrations Theory and Applications to Structural Dynamics John Wiley amp Sons 1997 P G Bergan et E Mollestad An Automatic Time Stepping Algorithm for Dynamic Problems Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 49 pp 299 318 1985 L Fox et E T Goodwin Some New Methods for the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations Proceedings of the Cambridge Philosophical S
100. ne non lin arit 39 MSC Nastran Crit re P Tol rance 10 MSC Nastran Crit re P Tol rance 10 MSC Nastran Crit re UW Tol rances 107 et 107 MSC Nastran Crit re UW Tol rances 10 et 1071 Mel SAMCEF Mecano module lin aire A Solution anal tique et LU 0 9974 0 9976 0 9978 0 998 0 9982 0 9984 0 9986 0 9988 0 999 0 9992 0 9994 Temps s FIGURE 1 6 Acc l ration calcul e pour le mod le lin aire sous ja ent au syst me 1 DDL initial Figure 1 2a par le module d analyse non lin aire SOL 129 de MSC Nastran et par l algorithme d int gration lin aire de SAMCEF Mecano en utilisant un pas de temps gal 107 s La solution analytique du syst me est galement repr sent e Pour MSC Nastran le crit re de convergence utilis est celui bas sur l quilibre des forces et la tol rance a t fix e 1077 Comme l illustre la Figure 1 7 le module d analyse temporelle lin aire SOL 109 m ne quant lui une r ponse correcte et pr cise parfaitement en accord avec la solution analytique ou SAMCEF Mecano Cette observation nous m ne penser que ces erreurs trouvent leur origine dans l algorithme utilis par le module d analyse non lin aire SOL 129 lui m me En effet malgr un grand nombre de pistes envisag es nous n avons pas t capable de les faire disparaitre Il est cependant noter que ces erreurs survienne
101. ney Rivlin d Hart Smith ou d Ogden Soulignons que ces lois sont surtout utilis es pour mod liser correctement des cas impliquant de grandes d formations jusqu plusieurs centaines de pourcents Dans le syst me tudi ici nous pouvons raisonnablement supposer que nous resterons dans la plage des petites d formations Nous reviendrons toutefois sur ce point plus tard 52 FIGURE 2 6 Modele l ments finis de la Source Laser de PHARAO Au dessus avec capot En dessous sans capot On remarquera que les quipements ont t pour la plupart remplac s par des masses ponctuelles et que les amortisseurs ne sont pas repr sent s Figures tir es de 28 o MPa ef FIGURE 2 7 Allure g n rale de la loi d lasticit des mat riaux lastom res Deux types de comportements peuvent tre remarqu s adoucissant petites d formations et raidissant grandes d formations Parce qu ils poss dent un comportement lastique fortement non lin aire la pr sence d lastom res implique une d pendance des fr quences de r sonance du syst me tudi en le niveau d excitation appli qu En effet la loi Contrainte D formation qui leur est associ e prend g n ralement une allure telle que celle pr sent e la Figure 2 7 On peut remarquer deux types de comportement D abord pour de petites d formations il est dit adoucissant c est dire que la raideur i e le module de Young d
102. non lin aire recal e ainsi que l volution du module de Young en fonction de la d formation sont pr sent es aux Figures 3 6a et 3 6b respectivement tandis que les fr quences obtenues pour chaque niveau grace a cette loi sont list es la Table 3 7 On remarque que comme nous l avions suppos il s agit bien d une loi de type adoucissante La corr lation entre les fr quences constat es exp rimentalement et les fr quences r sultant des simulations est tr s bonne et satisfait notre objectif des 5 d erreur Notons que sur base des donn es exp rimentales disponibles la loi n a pu tre identifi e que jusqu aux d formations d environ 30 4 40 Au dela elle n est pas connue et ne peut tre recal e En effet dans un cas comme celui ci MSC Nastran extrapole lin airement la loi lastique partir des deux derniers points d finis C est pourquoi il est important que le reste des simulations effectu es restent dans cette plage de d formation Une simulation impliquant des d formations plus importantes m nera une r ponse d nud e de sens Ces r sultats sont confortant Cependant soulignons que le coefficient d amortissement du mat riau n est pas connu de mani re pr cise et a d s lors t estim partir des donn es propos es par le logiciel CES Selector pour les lastom res base de silicone Or les propri t s d amortissement ont un impact d une part sur les niveaux observ s mais aussi s
103. ns ensuite le choix des param tres de calculs et d int grations Celui ci sera effectu la lumi re des conclusions tir es au Chapitre 1 En d butant cette tude nous n avons aucune information pr cise concernant l lastom re utilis dans les suspensions I est d s lors n cessaire sur base des donn es que nous poss dons mais aussi de ce qui peut tre trouv dans la litt rature d estimer les propri t s du mat riau et en particulier recaler sa loi d lasticit o f e Ce sera l objet de la troisi me section de ce chapitre Une fois le mod le l ments finis fin pr t nous pourrons entamer l tape d identification Nous simule rons tout d abord le syst me dans des conditions optimales puis appliquerons la m thode de la Restoring Force Surface pr sent e au chapitre pr c dent Enfin nous comparerons le syst me identifi avec le mod le l ments finis 3 2 Mod le l ments finis Le mod le l ments finis utilis pour cette premi re tape est extrait du mod le r alis par la soci t Mecano ID pour la Source Laser Un des quatres amortisseurs est isol et compl t En effet comme Villustre la Figure 3 1 rappelons que l lastom re n avait pas t repr sent Il avait t remplac par une s rie de ressorts lin aires dont les raideurs permettaient d avoir un premier mode selon Z 140 Hz et selon XY 156 Hz comme montraient les essais effectu s par la soci
104. nsi que du Maser Hydrog ne Spatial SHM pour Space Hydrogen Maser d velopp en Suisse par la soci t Spectra Time Lors de la qualification de la Source Laser principal sous syst me composant l horloge atomique un comportement non lin aire important a pu tre mis en vidence au niveau des amortisseurs soutenant le banc optique Heureusement il ne mettait pas 4 mal le bon fonctionnement et la validation du modele N anmoins il s agit d un cas concret r cent parfait pour l application de la m thode d identification de la Restoring Force Surface Malheureusement la connaissance des amortisseurs et en particulier de la couche d lastom re sur laquelle ils se basent sont mal connus et de nombreuses hypoth ses devront tre effectu es Le but de ce travail est des lors de d montrer la capacit ou non de la Restoring Force Surface a identifier ce type de non lin arit en vue d une introduction future dans un mod le l ments finis Ce rapport s articulera comme suit Tout d abord nous prendrons en main le logiciel d l ments finis utilis par le C N E S MSC Nastran et en particulier son module d int gration implicite adapt aux syst mes non lin aire la SOL 129 Nous pr senterons bri vement le logiciel et d taillerons les m thodes d int gration sur lesquelles ils se basent En guise d exemple et d exercices nous t cherons de simuler deux syst mes quivalents tres simples le premier
105. nt pour des pas de temps tr s faibles par rapport la fr quence du premier mode rappelons qu en pratique on impose g n ralement un pas de temps entre 20 et 30 fois inf rieur la fr quence observer et ne sont donc pas visibles pour pour un choix raisonnable L assistance technique d MSC n a pas pu non plus apporter de solution ce probl me mais a attest que ce dernier n tait pas d un mauvais choix de param tres d int gration L unique option viable est de se tourner vers d autres modules tels que l un des nouveaux modules d int gration implicite non lin aire la SOL 400 ou la SOL 600 Dans le cadre de cette tude la SOL 600 a t cart e car elle a t d velopp e pour tre pleinement compatible avec un autre logiciel bas sur MSC Nastran MSC Marc D s lors les cartes utilis es par la SOL 600 qu il s agisse des cartes destin es la d finition du mod le ou de celles utilis es pour d finir les param tres de calculs sont particuli res et ne sont pas compatibles avec les autres modules d analyses Pour plus de facilit nous nous tournerons donc vers la SOL 400 qui pr sente elle l avantage d utiliser l ensemble des cartes classiques de MSC Nastran Ce nouveau module est destin termes regrouper et remplacer une large gamme de modules d analyses en particulier ceux d analyses temporelles ou statiques qu ils soient structurels SOL 106 SOL 109
106. ntification du syst me Sur base des r ponses calcul es nous avons alors pu entamer la proc dure d identification proprement parler L tape critique de la m thode de la Restoring Force Surface consiste en la construction d un mod le math matique coh rent et adapt sur base duquel le fitting sera effectu Nous avons proc d en deux temps D abord l tude de la surface de Crawley amp O Donnell nous a permis de mettre en vidence un comportement non lin aire uniquement bas sur le d placement Ces observations ont t confirm e par la r alisation d une premi re identification partir d un mod le g n rique Fort de ces premi res conclusions nous avons alors r alis une seconde identification et une tude des coefficients identifi s en fonction de l exposant i de la composante non lin aire en le d placement Un mod le assez repr sentatif de la simulation CHIRP a ainsi t construit L erreur MSE commise sur la force interne du syst me t moignait d une corr lation excellente entre le mod le identifi et les r ponses calcul es De m me les lois de raideur d duite de ces deux s ries de r sultats correspondaient en majorit avec une erreur inf rieure 5 Cependant la courbe de raideur calcul e au moyen d un essai de charge statique SOL 106 dans MSC Nastran t moignait d un comportement plus rigide Les erreurs commises se sont alors lev s environ 10 Nous n avons pu d
107. observation du d placement relatif entre la masse sismique et le noeud repr sentant la base de l amortisseur indique pour les excitations simul es une valeur maximale d environ 1077 ce qui est bien inf rieur aux d placements observ s dans le mod le qui sont de l ordre de 1074 Les choix de la masse sismique et de la raideur du ressort d excitation ne sont donc pas remettre en question Le mod le ainsi r alis a enfin t soumis aux tests de recette classique qui ont tous t pass s avec succ s Pour rappel ces crit res ont t tablis par le C N E S et pour une tude dynamique sont les suivants Test statique application d un champ gravitationnel de 1g dans chaque direction et v rification de la loi de Newton au point d encastrement 73 FIGURE 3 4 Id alisation du modele l ments finis complet en un syst me un degr de libert quivalent Premier test dynamique dans le cas libre libre v rification que Fr quences des modes rigides 10 4 Fr quence du premier mode souple Second test dynamique dans le cas libre libre v rification que les nergies de d formation associ es aux modes rigides est inf rieures 107 J 1 Strain Energy 39 Ko ou sont les vecteurs propres correspondant aux modes rigides Ce syst me peut tre id alis par un syst me quivalent un seul degr de libert En effet il est raisonnable de supposer que les p
108. oc dures de dimensionnement et de mod lisation peuvent se limiter des consid rations lin aires Ainsi les mod les l ment finis d velopp s pour la qualification des structures sont g n ralement lin aires Cependant il peut arriver que les essais exp rimentaux r alis s sur les structures mettent en exergue un comportement non lin aire important remettant en cause la validit des modeles lin aires La non lin arit ne peut alors plus tre vinc e et il est n cessaire de la prendre en compte lors de la mod lisation Ce travail se concentre sur un cas concret observ r cemment lors des essais de qualification de la Source Laser du module PHARAO pour Projet d Horloge Atomique par Refroidissement d Atome en Orbite En effet lors de ceux ci un comportement non lin aire du aux amortisseurs comprenant une couche d lastom re soutenant le banc optique a pu tre mis en vidence Les objectifs de ce travail sont tout d abord de pr senter et prendre en main le module d int gration temporelle adapt aux syst mes non lin aire du logiciel MSC Nastran la SOL 129 La grande sensibilit de celui ci et l apparition d erreurs d j soulign es lors de pr c dentes tudes ont t rep r e Un choix de param tres d int grations adapt s permettant de faire disparaitre ces erreurs a pu tre identifi Deux mod les quivalents et tr s simples ont t trait s et les r sultats obtenus compar s avec c
109. ociety Vol 45 pp 373 388 1949 J Chung et G M Hulbert A Time Integration Algorithm for Structural Dynamics With Improved Numerical Dissipation The Generalized a Method Journal of Applied Mechanics Vol 60 No 2 pp 371 375 Juin 1993 K Worden et G R Tomlinson Developments in Force State Mapping for Nonlinear Systems Proceedings of the 6th International Modal Analysis Conference Kissimmee U S A pages pp 1471 1479 1988 K Worden et G R Tomlinson Application of the Restoring Force Surface Method to Nonlinear Elements Proceedings of the 7th International Modal Analysis Conference Las Vegas U S A 1989 K Worden et G R Tomlinson An Experimental Study of a Number of Nonlinear SDOF Systems Using the Restoring Force Surface Method Proceedings of the 9th International Modal Analysis Conference Las Vegas U S A pages pp 757 764 1991 K Worden et G R Tomlinson Nonlinearity in Structural Dynamics Detection Identification and Modelling Institure of Physics Publishing 2001 99 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 M A Al Hadid et J R Wright Developments in the Force State Mapping Technique for Non Linear Systems and the Extension to the Location of Non Linear Elements in a Lumped Parameter System Mechanical Systems and Signal Processing Vol 3 pp 269 290 1989 M A Al Hadid et J R Wright Estimation of Mass and Moda
110. od le et le meilleur ensemble de param tre permettant de minimiser l erreur commise ce au risque de trouver des param tres qui ne sont pas physiques comme une raideur lin aire n gative par exemple La seconde consiste trouver un mod le permettant de minimiser l erreur commise tout en conservant un mod le physique et rationnel au risque d avoir une erreur sensiblement plus lev e que dans la premi re d marche L inconv nient de la premi re est qu elle ne permettra de repr senter correctement que le comportement utilis pour l identification Une simulation du mod le identifi pour d autres excitations ne sera probablement pas correcte D s lors pour garantir une certaine confiance nous nous tournerons vers la seconde motivation 85 IRF N 0 D placement m x 1074 FIGURE 3 12 Courbe de raideur i e force interne en fonction du d placement pour une vitesse nulle une certaine tol rance pr s trac e pour l amortisseur seul soumis une excitation CHIRP descendante entre 180 et 120 Hz La pr sence d une raideur non lin aire apparait tr s clairement Premi re identification Pour confirmer les hypoth ses faites sur base de la surface de Crawley amp O Donnell nous effectuerons une premi re identification du syst me sur base d un mod le math matique g n rique de la forme A f 0104 0014 aosign a ao2sign a agoq ao3q Les facteurs d importances
111. oi lastique implicitement repr sent e par le syst me identifi Les erreurs relatives commises sont relativement importantes 95 L tape suivante consistait effectuer les simulations pr liminaires l identification du syst me Nous avons discut le signal d excitation choisi Ensuite nous avons pu appliquer la m thode de la Restoring Force Surface sur les donn es d coulant des simulations L tape critique de cette proc dure survient lors de la supposition d un mod le math matique sur base duquel l identification des param tres sera r alis e De mani re choisir au mieux ce mod le nous avons proc d en deux tapes Tout d abord la surface de Crawley amp O Donnell a t trac e et des observations ont pu tre faites En particulier nous avons remarqu un comportement lin aire en fonction de la vitesse et non lin aire en fonction du d placement Nous avons galement pu estimer la raideur lin aire pr sente dans le syst me La seconde tape consistait effectuer une identification pr liminaire au moyen d un mod le g n rique et d observer les facteurs d importances mais aussi les valeurs des coefficients identifi s pour pr dire un mod le math matique plus coh rent L identification a en effet t r alis e dans l optique de d terminer une loi de comportement physique Notons qu un autre objectif est d identifier un mod le de mani re pr dire de la mani r
112. oie i Stine Re D NE de SR AT ON it ee cat ne oe ANS Etude d un amortisseur seul Sol Tnitroductionss Het ei a ok ke ee ee Sa NE BO oe ok eh EE de 3 2 Mod le l ments finis 3 3 Parametres de Calculs y u es ue a Ae dieu donner Beg ede D de ge nat ee de 3 3 1 Param tres d int gration 3 3 2 Prise en compte de grandes d formations 3 4 Recalage de la loi lastique non lin aire 3 4 1 D finition des excitations 3 4 2 Loi lastique recal e et corr lations 3 5 Simulations en vue de l identification 3 6 Proc dure d identification 4 3 6 1 Pr paration des donn es n cessaires 3 6 2 Application de la Restoring Force Surface o oo 3 6 3 Seconde identification Ot COn HRO this a hp eo ane Bt BAe a RE DS nt ae 17 17 17 17 23 28 30 34 34 A4 45 49 49 49 51 52 54 56 60 67 Table des figures 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 Sch ma de la m thode de Newmark non lin aire 12 Mod les tudi s 2 Dat a OA die de ire die d rai Ha eg Premiers r sultats obtenus R duction du pas de temps
113. ordonne l ensemble des sous syst mes pour garantir la bonne ex cution du cycle Dans le cadre de notre travail nous nous concentrerons uniquement sur la Source Laser Les diverses tudes li es au projet se sont termin es courant 2011 Le projet est actuellement en fin de stade de r alisation 1 horloge atomique PHARAO tant en cours d int gration au module ACES Le lancement est quant a lui pr vu courant 2013 au moyen du v hicule japonais HTV et du lanceur japonais galement HII B En plus de valider de nombreuses nouvelles technologies l environnement spatial l objectif de la mission ACES est de d abord tester le bon fonctionnement de l horloge atomique en micropesanteur mais aussi tablir une base de comparaison du temps avec le sol L objectif le plus attendu est la r alisation de plusieurs exp riences de physique fondamentale pour en particulier v rifier le principe de la relativit nonc e par Einstein en 1905 2 3 Source Laser pr sence d une non lin arit Cette tude porte exclusivement sur la Source Laser de PHARAO Il s agit de l un des principaux sous syst mes composant l horloge atomique repr sentant pr s de 25 de sa masse totale La Source Laser compl te avec son couvercle est illustr e la Figure 2 4a le banc optique seul est quant lui sch matis a la Figure 2 4b Celui ci est compos d un plateau en aluminium portant un grand nombre d quipements lasers cellule
114. ous ferons appel au module de simulation temporelle SAMCEF Mecano Celui ci est capable de mener des analyses temporelles de syst me non lin aire avec un haut niveau de pr cision tout en gardant des temps de calculs raisonnables Il comprend galement une proc dure d analyse l ments finis permettant de traiter des probl mes complexes de grande taille La r solution temporelle de l quation du mouvement et r alis e au moyen des sch mas d int gration classiques bas s sur la m thode de Newmark un pas Quatre sch mas sont disponibles La m thode directe de Newmark La m thode d Hilbert Hughes Taylor La m thode de Chung Hulbert La m thode du point milieu g n ralis Nous ne d taillerons pas ici la m thode du point milieu g n ralis qui est particuli re et n a pas t utilis e ici Nous r f rons le lecteur int ress la documentation du logiciel SAMCEF pour de plus amples informations M thode directe de Newmark La premi re est la m thode d int gration de Newmark un pas Celle ci est identique la m thode impl ment e dans MSC Nastran pr sent e au paragraphe correspondant de la section 1 2 1 ceci pr s que SAMCEF Mecano utilise les expressions An 1 J dn as n dn 1 Qn 1 f Gn n dn 1 Plut t que leurs reformulations utilis es sous MSC Nastran Qn 1 f Gn An 1 gt Qn Gn An 1 f Gn An 1 gt Qn n D autre part SAMCEF M
115. ous montre que les caract ristiques du syst me ont bien t valu es et que les mod les sont bien comparables Les acc l rations calcul es au moyen des SOL 129 et SOL 400 pour le crit re bas sur l quilibre des forces P sont pr sent es la Figure 1 12 On constate une erreur d amplitude ainsi qu une erreur de phase par rapport la solution donn e par SAMCEF Mecano Les r ponses ne sont plus p riodiques et quelques soubresauts peuvent tre remarqu s pour la SOL 129 Ces ph nom nes sont identiques ceux observ s pour une raideur quadratique dans le rapport du Lot 3 1 de l tude R amp T DyNoLi men e par le C N E S et EADS Astrium 6 Dans ce document les auteurs remarquent la pr sence d un d phasage et d une erreur d amplitude sur la r ponse observ e Il est galement constat que cette erreur varie en fonction du pas de temps utilis et est pr sente m me sur des points loign s de la non lin arit D autres comportements similaires avaient t rep r s dans le Lot 2 2 34 A l poque aucune explication ni solution n avait t trouv e Dans nos recherches nous avons pu observer la forte d pendance de ces erreurs en fonction d un grand nombre de param tres La Figure 1 13 pr sente les r ponses obtenues pour diff rents pas de temps pour diff rentes tol rances et pour les deux modules d int gration implicite SOL 129 et SOL 400 On remarque 44 MSC Nastran SOL 12
116. outient sans rel che pour leur patience infinie pour leurs encouragements et pour leur aide et leur d vouement continus tout au long de mes tudes C est eux que je d die ce travail Table des mati res Simulations temporelles sous MSC Nastran Pel Introduction Za a A ke Dee A dep he perte ee ee ee ri ee 1 2 Logiciels et m thodes utilis s Lede MSC N StTan ri 2 ote at a o a ru she 12 2 SAMGCEF Mecano a tie a in de as a enter Se AR a af 1 2 3 Code MATA Bio 2 panuse sok nl Be Bat Rate er een Pants bats 1 3 Essais pr l minaires o s 4 44 4444 5 aan dar date mor A eh as 1 4 Analyse des r sultats 4 444 sne on eme YG due WE PR Rue es 1 4 1 Premier mod le un degr de libert 1 42 Deuxi me mod le plusieurs degr s de libert 15 Conclusion a octets A a Un Ru A en D Ra D Baha ee at Ge ru DE a Probl matique et solution envisag e 21 Introduction ss eu Balk A oe mir EURE an EES 2 2 CPHARAO go 22 es eue Sue bebe A I BO pe Aa BA BED oth Benes 2 3 Source Laser pr sence d une non lin arit 2 3 1 Mod le l ments finis ee 2 9 2 Resullats d2essaiss eri BON pe Ben eee Be ed A ee De qe fs es 2 4 Probl matique et strat gie adopt e 2 5 M thode de la Restoring Force Surface 2 0 Gonelusione 22 548 f
117. quatres amortisseurs ainsi qu un super l ment repr sentant le banc optique En plus de d montrer ou non la capacit de la m thode d identification utilis e la Restoring Force Surface saisir la loi de comportement non lin aire pr sente dans le mod le tudi ce travail aura pour but d tablir une certaine m thodologie en vue d une application pratique sur base de donn es temporelles r colt es lors des phases d essais Pr sent es pr c demment aux Figures 2 10a 2 10b et 2 10c les analyses modales men es lors de l tude du mod le l ments finis 28 ont permis de mettre en vidence la dynamique compl te de la Source Laser pour ses trois premiers modes les modes de suspension On constate ainsi que les modes impliquant un mouvement selon les axes X et Y du banc optique font galement apparaitre une d formation sensible des pieds sur lesquels sont fix s les amortisseurs Des lors l tude de ces modes n cessiterait la prise en compte de la d formation des pieds dans le mod le soit en les consid rant directement dans le mod le l ments finis soit en les remplacant par des super l ments Le mode selon Z quant a lui n implique en dehors de celle des amortisseurs qu une d formation du banc lui m me Afin de diminuer la complexit du probl me et en particulier de r duire sa taille nous nous concen trerons sur le mode de suspension selon la direction Z En effet dans ce cas il est possibl
118. que est propos e et de nombreuses remarques pratiques permettant d am liorer la qualit de l identification ont t formul es Nous avons galement abord les proc dures d int gration et de filtrage des signaux permettant a partir de la seule connaissance de l acc l ration qui est g n ralement la seule donn e disponible lors d essais exp rimentaux d obtenir la vitesse et le d placement correspondant 67 68 Chapitre 3 Etude d un amortisseur seul 3 1 Introduction Apr s avoir pris en main le module d int gration temporelle de MSC Nastran et pr sent le cadre dans lequel s tablit ce travail nous pouvons entamer l tude d un amortisseur dans la m me configuration que celle utilis e lors des essais Nous nous concentrerons sur l volution du mode de suspension selon l axe Z En effet les analyses modales ont montr que les modes selon X et Y font intervenir une d formation des pieds sur lesquels reposent les amortisseurs Pour tre repr sentatif il serait donc n cessaire de prendre en compte la dyamique des pieds dans notre analyse ce qui complexifierait fortement le modele La premi re section de ce chapitre aura pour but de d crire le mod le l ments finis utilis Celui ci se base fortement sur le mod le r alis par Mecano ID la principale diff rence tant l introduction d l ments non lin aires entre les parties internes et externes de l amortisseur Nous d taillero
119. r es avant et apr s essais pour un niveau RFR les premiers pics correspondant aux modes de suspensions selon les trois directions X Y et Z ne sont pas sym triques et tendent a pencher l g rement vers la gauche La litt rature 19 nous apprend que ce ph nom ne est d une raideur diminuant avec la d formation ce qui est en accord avec le comportement adoucissant des mat riaux lastom res pour de faibles d formations Les premi res fr quences de r sonance observ es sont Pour la direction X 174 Hz avant et 171 Hz apr s les essais Pour la direction Y 174 Hz avant et 170 Hz apr s les essais Pour la direction Z 185 Hz avant et 178 Hz apr s les essais Ces fr quences sont toutes sup rieures au crit re des 100 Hz impos s et leur stabilit a t jug e acceptable Ce comportement non lin aire n est donc pas fondamentalement probl matique pour les qualifications et ne met pas a mal la mission N anmoins il pousse tout de m me la vigilance Suite l excitation RFR la Source Laser a galement t soumise des vibrations al atoires de cinq niveaux diff rents le niveau de qualification OdB et quatre niveaux interm diaires 3 dB 6 dB 9 dB et 12 dB Chacun de ces tests a t effectu sur une dur e de 2 minutes et pour chaque axe X Y et Z Les valeurs gRMS des niveaux 0 dB inject s la base dans les trois directions ainsi que celles des r ponses mesur es en dessou
120. r sente ici le pic de l amplitude de la FRF H w symbolisant le mode penche vers la gauche un tel point que l on peut distinguer trois branches une branche sup rieure une branche inf rieure et une branche instable La branche instable ne peut tre atteinte sauf dans des conditions tr s particuli res et on observe un ph nom ne de saut d une branche stable l autre entrainant une augmentation ou une r duction brusque du niveau de r ponse au moment de la bifurcation Le sens de balayage montant ou descendant va influencer le parcours du mode comme le pr sente la Figure 3 7 Pour couvrir une partie plus large de l espace d tat il est donc pr f rable de consid rer un balayage descendant qui m ne galement une bien meilleure perception de la fr quence de r sonance le saut se produisant plus tard Cependant la position du saut d pend des conditions d excitation En effet il peut se produire plus ou moins t t en fonction du type d excitation et dans notre cas de la vitesse de balayage Une vitesse de balayage tr s faible permettant de suivre plus longtemps la branche avant que le saut ne se produise Rappelons n anmoins que notre but ici n est pas de suivre la branche sup rieure sur une longue p riode En effet notre int r t premier est de couvrir de la mani re la plus homog ne possible l ensemble de l espace d tat tout en parcourant l ensemble de notre loi lastique non lin air
121. rance gale 1077 s Deux pas de temps ont t envisag s 107 s et 1074 s Les solutions sont compar es a la r ponse de r f rence calcul e par SAMCEF Mecano 46 m mes crit res et des m mes tol rances De mani re confirmer les r sultats obtenus les syst mes ont galement t simul s au moyen de SAMCEF Mecano et de l algorithme d int gration directe Newmark cod sous MATLAB Les r ponses calcul es par ces deux logiciels menant quasiment parfaitment aux m mes r sultats la solution donn e par SAMCEF Mecano a t prise comme r f rence pour cette tude Lors des simulations du premier mod le nous avons pu constater que la SOL 129 avait tendance introduire des erreurs au caract re assez syst matique d autant plus importantes que le pas de temps tait r duit Elles n ont pu tre corrig es qu en utilisant la nouvelle version du module d analyse temporelle la SOL 400 D une mani re g n rale nous avons remarqu que ce nouveau module permettait d obtenir crit res de convergence tol rances et pas de temps identiques une meilleure pr cision que la SOL 129 Le second mod le quant lui nous a permis de mettre en vidence la grande sensibilit des algorithmes utilis s par MSC Nastran qu il s agisse de la SOL 129 ou de la SOL 400 par rapport au choix des param tres d int gration En effet comme il l a t pr c demment observ lors de tude R amp T DyNoLi
122. ration directe de Newmark utilis dans le code MATLAB tant conservatif aucun amortissement num rique ne sera introduit dans les mod les Mod les tudi s Cette premi re tude a t effectu e dans le but de pouvoir prendre correctement en main le logiciel et de pouvoir identifier un set de param tres conduisant une simulation correcte Les mod les test s sont simplistes et n aspirent pas repr senter des cas r els mais restent possibles Partant d un premier mod le 1 degr de libert tr s basique Figure 1 2a nous augmenterons sa complexit en tudiant un syst me quivalent plusieurs degr s de libert Figure 1 2b Les propri t s de raideur d amortissement et de masse devront d s lors tre identiques pour pouvoir comparer les r sultats Le mod le un degr de libert se pr sente comme un noeud auquel est affect une masse ponctuelle de 62 4 kg ainsi que d un ressort non lin aire comportement cubique d quation F u k u kz u o u est le d placement k est la raideur lin aire sous jacente et k3 la composante cubique ajout e Leur valeurs ont t respectivement fix es 5 10 N m et 5 10 0 N m Celles ci ont t choisies de mani re rester raisonnables tout en garantissant l apparition de ph nom nes propres aux syst mes non lin aires Afin de dissiper la r ponse transitoire et d isoler la composante stationnaire un amortissement de coefficient
123. res y et 6 quant elles ne sont plus valables Cependant elles constituent tout de m me un bon point de d part Ainsi lorsqu aucun amortissement num rique n est consid r MSC Nastran consid re l algorithme dit de l acc l ration moyenne constante 1 1 AS 2 p 4 MSC Nastran offre galement l opportunit d introduire de l amortissement num rique dans le mod le Dans ce cas l quation 1 2 est alors remplac e par expression suivante r 2 20 y An 1 At 9n 1 Gn 1 2a Un ou a est le coefficient d amortissement num rique Ce dernier permet d augmenter la stabilit de l int grateur sans avoir r duire le pas de temps Toutefois fix des valeurs lev es il modifie galement la r ponse obtenue C est pourquoi MSC Software conseille de ne pas d passer une valeur de 0 1 pour ce param tre M thode d int gration trois points La m thode d int gration trois points galement disponible dans la SOL 129 se base sur le calcul du r sidu au temps ty ou Fn et Pin sont respectivement des pond rations des forces internes et externes sur les trois pas de temps tn 1 tn et tn 1 F BF qn 1 ES 1 28 F qn BF qn_1 Py BP dn41 F 1 28 P qn BP dn 1 6 tant un param tre En utilisant les formules de la diff rence centr e on peut exprimer l acc l ration et la vitesse tout instant comme 1 An Ar Aqn 1 Aqn 1 1 Qn 2At Adn41 F Aq
124. ring the adaptative process Maximum ratio for the adjusted incremental time relative to the time 32 step allowed Tolerance on displacement increment below which a special provision is made 0 1 for numerical stability Maximum value of incremental rotation allowed per iteration to activate bisection a TABLE 1 3 Param tres d int gration utilis s pour les diff rents logiciels Les param tres associ s MSC Nastran n ont pas t d taill s Nous r f rons le lecteur int ress au manuel d utilisateur 4 pp 3398 3404 pour les d finitions pr cises de ces param tres 39 Les Figures 1 3a et 1 3b pr sentent les acc l rations calcul es par les diff rents logiciels pour le mod le un seul degr de libert illustr la Figure 1 2a Les param tres utilis s sont ceux d taill s la Table 1 3 On constate que les r sultats correspondent parfaitement pour MATLAB et SAMCEF Mecano Etonnam ment les acc l rations obtenues avec MSC Nastran pr sentent une amplitude l g rement moins lev e Bien que la diff rence ne soit pas importante cette observation est interpellante En effet le syst me si mul est simpliste et les algorithmes utilis s identiques Les r ponses devraient tre quasiment les m mes Deux param tres sont donc directement remis en question pour la simulation sous MSC Nastran le pas de temps utilis et les tol rances admises Sur SAMCEF Mecano et M
125. rois points est moins sujettes aux probl mes de stabilit que la m thode d int gration directe Cependant aucun amortissement num rique ne peut y tre introduit pour contrer une ventuelle instabilit Cette proc dure reste donc moins recommend e et peu utilis e en pratique Algorithme d adaptation automatique du pas de temps Dans le but d augmenter les performances de l algorithme d int gration directe de Newmark et de sim plifier sa prise en main plusieurs fonctionnalit s suppl mentaires ont t ajout es telles qu un algorithme de mise jour de type quasi Newton et une m thode de recherche de direction d optimisation 27 En particulier un algorithme d adaptation automatique du pas de temps ainsi qu une proc dure de bissec tion en cas de divergence sont disponibles Ils ont pour but de rendre l algorithme d int gration presque compl tement automatique tout en garantissant l obtention d une solution pr cise chaque probleme pour un cotit de calcul r duit Les pr mices de cette proc dure ont t tablis par Bergan et Mollestad 13 en 1985 puis ont t consid rablement am lior s dans les versions suivantes du logiciel 23 m me si quelques difficult s peuvent toutefois survenir lors d un brusque changement de raideur comme lors d un jeu ou d une entr e en plasticit L algorithme de pas de temps adaptatif calcule sur base de la fr quence dominante contenue dans la r
126. rtant de souligner galement que cet amortissement num rique poss de galement un effet stabilisant emp chant l apparition d instabilit s en particulier lors de l tude de ph nom nes non lin aires Cependant on peut montrer le sch ma d int gration direct de Newmark dissipatif n est pr cis qu au premier ordre contrairement au sch ma conservatif M thodes de Chung Hulbert d Hilbert Hughes Taylor et de Wood Bossak Zienkiewicz Motiv s par les am liorations apport es par l introduction d amortissement num rique beaucoup d autres sch mas ont t d velopp s sur base de la m thode d int gration dissipative un pas de Newmark afin de dissiper de la mani re la plus optimale possible les ph nom nes hautes fr quences non d sir s tout en assurant une pr cision d ordre deux Le sch ma de Chung Hulbert 15 r crit quation d quilibre au temps n 1 et fait apparaitre deux nouveaux param tres de pond ration am et ap 1 am M n amM n 1 ap FM 0pE n 1 ap FS arFn Cette m thode repose donc sur l utilisation de quatre param tres les deux param tres du sch ma de Newmark y et B ainsi que les deux nouveaux param tres de pond ration am et ap refl tant l amortisse ment num rique introduit dans le mod le Les valeurs donn es a ces param tres d finiront les propri t s de l algorithme d int gration en particulier sa pr cision sa stabilit et sa capa
127. rtement probl matique tudier Nous d crirons ensuite bri vement les mod les l ments finis disponibles et noncerons les informations dont nous disposons Sur base de celles ci nous d crirons sans entrer dans trop de d tails le plan de travail ainsi que les objectifs fix s Nous pr senterons galement la m thode de la Restoring Force Surface mise l preuve ici et soulignerons ses exigences notamment concernant l excitation appliqu e 2 2 PHARAO PHARAO 1 pour Projet d Horloge Atomique par Refroidissement d Atome en Orbite est un pro gramme men par le C N E S depuis 1999 dans le cadre de la mission europ enne ACES Atomic Clock Ensemble in Space de European Space Agency ACES est une charge utile destin e a tre fix e en posi tion nadir l ext rieur du module Columbus de la Station Spatiale Internationale Figure 2 1 Elle sera compos e d instruments complexes a la pointe du progr s et combine deux l ments principaux l horloge atomique PHARAO d velopp e par le C N E S ainsi que du Maser Hydrog ne Spatial SHM pour Space Hydrogen Maser d velopp en Suisse par la soci t Spectra Time ACES a pour but d tablir un temps de r f rence stable et pr cis pour permettre des comparaisons avec le sol La combinaison des deux instruments SHM et PHARAO permet en effet de garantir une tr s haute pr cision de mesure du temps sur une large gamme de dur e le SHM tant
128. ructure Pour emp cher d interrompre le calcul en cas de l g re divergence trois autres tol rances sont d finies Lorsque le nombre maximal d it rations est atteint sans satisfaction des crit res de convergence l algo rithme peut tol rer une erreur plus importante caract ris es par ces tol rances sp ciales et continuer la simulation Adaptation automatique du pas de temps SAMCEF Mecano est galement quip d un algorithme de bissection ainsi que d un algorithme d adaptation automatique du pas de temps Le premier divise le pas de temps par la valeur maximale de r duction du pas de temps entre deux pas de temps valeur qui est d finie par l utilisateur et recommence depuis le dernier pas de temps converg Le second fonctionne de mani re beaucoup plus complexe et nous conseillons au lecteur int ress de se r f rer la documentation du logiciel 33 Sans entrer dans trop de d tails lorsque la convergence est atteinte ou qu une l g re divergence est tol r e le logiciel sur demande de Putilisateur va tester cinq points cons cutivement Erreur commise par l algorithme d int gration Erreur commise par le sch ma d int gration des contraintes Nombre d it ration effectu e avant convergence Variation du d placement sur le pas de temps Variation de la rotation des noeuds sur le pas de temps A chaque test si la valeur obtenue est sup rieur l erreur accept
129. s c sium obturateurs m caniques m canismes de miroirs reposant via quatre pieds sur une base servant d interface avec le reste du module ACES L ensemble pateau quipements forme le banc optique De mani re garantir le bon fonctionnement des dispositifs optiques tout au long de la mission mais aussi s assurer de leur survie au lancement il tait n cessaire d isoler dynamiquement le banc optique du reste de la structure Pour ce faire des amortisseurs base d lastom re ont t plac s entre les pieds et le plateau du banc Illustr la Figure 2 5 amortisseur maintenant le banc optique se pr sente comme deux pi ces en aluminium l une interne l autre externe aussi appel es respectivement le noyau et le corps entourant une couche d lastom re de forme bic nique d environ 5 mm d paisseur Il a t r alis sur mesure par la soci t GAMMA D s lors ses propri t s sont uniques et adapt es aux 51 Optical Fibers Inputs Slave Lasers Master Lasers Electronics Slave Lasers Acousto optical Modulator Cesium Cells b Mod le CAO du banc optique seul a Photographie de la Source Laser de PHA RAO FIGURE 2 4 Source http smsc cnes fr PHARAO Fr source_laser htm q FIGURE 2 5 Illustration de l amortisseur utilis sur la Source Laser de PHARAO On distingue ais ment les d
130. s ont t tudi s avec plus ou moins de succ s et une s rie de recommandations pu tre dress e Toutefois aucun travail ne s est encore attel la t che d identifier une non lin arit partir de mesures prises sur une structure pr sentant un comportement non lin aire en vue d un possible recalage du mod le l ments finis Le cas de la Source Laser de PHARAO et de ses amortisseurs fortement non lin aires constitue un candidat de choix Cette probl matique s inscrit dans la m thodologie de V rification Es Validation de mod les telle qu elle est pr sent e la Figure 2 11 d taill e dans un document Cette tape vise garantir l utilisa tion de mod les repr sentatifs du cas r el en lesquels l utilisateur peut avoir confiance et surtout peut quantifier cette confiance du moins dans les conditions pour lesquelles le mod le a t r alis L tape 56 TABLE 2 1 Valeurs gRMS des niveaux 0 dB inject s la base de la Source Laser dans les trois directions ainsi que celles mesur es en dessous position 20 et au dessus position 21 de la suspension Valeurs tir es de 9 Excitation selon axe X Position Direction Niveau gRMS a 0dB Niveau inject la base 8 34 Face sup rieure du pied 20 12 41 9 27 Suspension du banc optique 21 N K MIN K KIX Excitation selon l axe Y Position Direction Niveau gRMS 0dB
131. s afin d tablir une base commune entre les diff rents logiciels utilis s en effet nous devions garantir l utilisation d un m me pas de temps des 45 MSC Nastran SOL 129 dt 10 s Crit re P Tol rance MSC Nastran SOL 129 dt 107 s Crit re P Tol rance w MSC Nastran SOL 129 dt 107 s Crit re P Tol rance MSC Nastran SOL 400 dt 107 s Crit re P Tol rance SAMCEF Mecano dt 1073s Acc l ration m s 0 85 0 9 0 95 1 05 1 1 7 Temps s FIGURE 1 13 Acc l rations calcul es pour le second mod le plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran pour diff rents pas de temps et diff rentes tol rance Le crit re de convergence est celui bas sur l quilibre des forces P Les solutions sont compar es la r ponse de r f rence calcul e par SAMCEF Mecano 20 5 MSC Nastran SOL 129 dt 107 DS E MSC Nastran SOL 400 dt 10 Y MSC Nastran SOL 129 dt 10 O MSC Nastran SOL 400 dt 107 x SAMCEF Mecano Acc l ration m s 0 989 0 99 0 991 0 992 0 993 Temps s 0 985 0 986 0 987 0 988 FIGURE 1 14 Acc l rations calcul es pour le second modele plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran en utilisant le crit re bas sur la variation de d placement et une tol
132. s de temps identique Pour rappel le crit re P est celui bas sur l quilibre des forces U sur la variation de d placement et W sur le travail la SOL 129 ont disparu et que la r ponse calcul e par la SOL 400 correspond quasiment parfaitement la solution analytique Une sensible erreur est cependant visible pour le crit re bas sur l quilibre des forces toutefois celle ci reste acceptable A propos des crit res de convergence nous avions pr c demment soulign que le crit re bas sur le d placement U vu sa d finition requi rait au minimum deux it rations par pas de temps Dans la SOL 400 par contre si ce crit re est utilis en combinaison avec l un des deux autres crit res P ou W le test de convergence ne tiendra pas compte du crit re U lors de la premi re it ration Ce qui implique qu au temps n une solution satisfaisant le crit re P et ou en fonction du choix de l utilisateur W la premi re it ration de correction pourra tre retenue m me si elle ne satisfait pas le crit re U A la seconde it ration par contre la solution devra imp rativement satisfaire tous les crit res demand s par Putilisateur C est pourquoi si le crit re de convergence U est d sir par l utilisateur il est pr f rable de ne le combiner avec aucun autre crit re Etude du syst me non lin aire Une comparaison des acc l rations obtenues au moyen de la SOL 129 SOL 400 et de SAM
133. s et au dessus de la suspension observ e sont synth tis s la Table 2 1 Les niveaux 1 RFR pour Recherche de Fr quences de R sonance est une excitation de type CHIRP de tr s faible niveau typiquement d un amplitude de 0 5 g servant uniquement a rep rer les positions des fr quences de r sonance du syst me Une large gamme de fr quences est balay e entre 20 et 2000 Hz La vitesse de balayage est impos e 2 octaves minute 54 1 0e 3 FIGURE 2 9 Acc l rations mesur es au niveau de l acc l rom tre 21 plac au dessus d une des suspensions du banc optique en fonction de la fr quence d excitation Cette derni re est un niveau RFR uniquement destin mettre en vidence les fr quences de r sonance de la structure On peut remarquer que les pics associ s aux premiers modes de suspension selon les trois directions sont l g rement pench s vers la l 10 0 Object20 Harmo 21X X Object20 Harmo 21X X jj ii 103 ff fs ff a 1 0e 3 1 Object21 Harmo 21Y Y Object21 Harmo 21Y Y 1995 a b Direction Y 1 Object22 Harmo 21Z Z Object22 Harmo 21Z Z le Hz 1996 c Direction Z gauche ce qui t moigne de la pr sence d une non lin arit adoucissante Figures tir es de 9 55 interm diaires sont quant 4 eux obtenus grace au fait qu une r duction de 3 dB quivaut un
134. servations quant la simulation temporelle de syst mes non lin aires au moyen du logiciel MSC Nastran En outre des comparatifs des diff rents logiciels de calcul l ments finis ont pu tre dress s Ces d marches s inscrivent dans la proc dure de V rification et Validation des mod les notamment d velopp e par le Los Alamos National Laboratory Celle ci est destin e garantir l utilisation de mo d les repr sentatifs du cas r el en lesquels l utilisateur peut avoir confiance Elle propose aux ing nieurs une m thodologie compl te leur permettant de r aliser une mod lisation fiable avec des indicateurs de confiance quantifiables En particulier l tape de recalage est cruciale Elle consiste introduire dans les mod lisations sur ordinateur les comportements non lin aires observ s lors des essais Elle implique donc la comparaison des r ponses donn es par le mod les celles mesur es exp rimentalement C est alors qu entrent en jeux les m thodes d identifications telles que la m thode de la Restoring Force Surface qui sera prouv e dans ce travail Son but est de quantifier et d estimer le comportement non lin aire afin de pouvoir rendre le mod le l ments finis plus repr sentatif de la r alit Cette m thode se distingue par sa simplicit de mise en oeuvre et la pr cision des r sultats obtenus Non seulement elle d tecte la pr sence d une non lin arit mais permet d estimer
135. situ entre tn et tn 1 Ma 0 Cdh10 Eno Ph 9 1 8 Le d placement au temps interm diaire t 19 est suppos tre une interpolation lin aire des d placements entre les instants tn et tn 1 dn 1 0 An 09 41 De plus on crit E Lo zs An 0 At dn 1 y dn An 1 An At A a 0 Gn au 04741 26 La strat gie adopt e pour cette m thode consiste d terminer l tat du syst me au temps t 9 pour ensuite en d duire l tat au temps t 1 En injectant ces expressions dans l quation 1 8 on trouve l expression des efforts r siduels 1 1 2 Rato Pn o rem an 9Atg gag Mano Can o Fn o Le proc d it ratif de correction permettant de satisfaire une tol rance pr s l quilibre des forces est r alis partir de l quation 1 es 2 ae gag K Adare Ross K tant la matrice de raideur tangente courante La m thode est inconditionnellement stable pour les cas lin aire lorsque 0 1 2 1 Ce sch ma ne sera pas utilis dans le cadre de cette tude et nous nous concentrerons sur les sch mas de Newmark Hilber Hughes Taylor et Chung Hulbert Crit res de convergence Comme dans MSC Nastran le calcul de la correction Aq 41 peut tre effectu e soit au moyen de la m thode de Newton Raphson pure ou au moyen d une m thode modifi e La m thode pure implique le calcul d une nouvelle matrice Jacobienne S _ M C KkK
136. structure Il est important de souligner que le niveau inject la base de l amortisseur seul est identique au niveau inject la base de la Source Laser et non le r el niveau mesur la position 20 lors des essais Ce tableau montre que le comportement observ pour la maquette est similaire celui observ pour la suspension seule D s lors c est bien elle qui en est responsable Fr quences tir es du rapport d essais Propri t s de l aluminium 6061 T6 constituant les parties interne et externe de l amortisseur Propri t s de l lastom re pr sent dans l amortisseur I s agit d un m lange de deux las tom res base de silicone Ces propri t s ont t choisie partir d informations propos es par le logiciel CES Selector pour les lastom res base de silicone 2 Param tres d int gration utilis s pour les simulations temporelles li es l tude de lamor GISSCUT seul Lg A a ae A et ea en ek eee Boas Fr quences Hz de r sonance de l amortisseur seul mesur es les d essais exp rimentaux par le constructeur GAMMA L amortisseur est sujet 1 4 de la masse du banc optique Spectre fr quentiel du niveau de qualification 0 dB Valeurs tir es de 8 Valeurs gRMS associ es chaque niveau d exciation al atoire Comparaison entre les fr quences identifi es de mani re exp rimentales et celles calcul es num riquement Les erreurs re
137. sur la Source Laser de PHARAO On distingue ais ment les deux parties rigides en gris l une interne l autre externe ainsi que la couche d lastomere pi g e en bleu Figure tir e de http www gamma sa fr Modele l ments finis de la Source Laser de PHARAO Au dessus avec capot En dessous sans capot On remarquera que les quipements ont t pour la plupart remplac s par des masses ponctuelles et que les amortisseurs ne sont pas repr sent s Figures tir es de 28 Allure g n rale de la loi d lasticit des mat riaux lastom res Deux types de comporte ments peuvent tre remarqu s adoucissant petites d formations et raidissant grandes d formationss 22 2 sg stop aoe eee A Qik aa a Lin Let eee ke es Positions indicatives retenues pour la fixation des acc l rom tres L ensemble totalisait 16 mesures Le rep re de r f rence utilis pour celles ci est galement illustr Les positions qui nous int ressent particuli rement ici sont les positions 20 et 21 En effet elles encadrent la suspension dont le comportement est manifestement non lin aire Figure tir e de 9 Acc l rations mesur es au niveau de l acc l rom tre 21 plac au dessus d une des suspen sions du banc optique en fonction de la fr quence d excitation Cette derni re est un niveau RFR uniquement destin mettre en vidence les fr quences de r sonance de la structure On peut remarquer que les
138. t de la m thode est mise mal L id al serait donc de pouvoir s assurer que les donn es temporelles utilis es pour l identification sont bien correctes 96 Conclusion Depuis plusieurs ann es en raison de la recherche toujours plus pouss e de performances l industrie est de plus en plus confront e a des structures pr sentant un comportement non lin aire Ce dernier taient dans de nombreux cas n glig s ou viter permettant ainsi de se limiter la r alisation de modeles lin aires Cependant comme ce fut le cas pour la Source Laser de PHARAO il peut arriver que les essais exp rimentaux r alis s mettent en exergue un comportement non lin aire important remettant en cause la validit des modeles lin aires Pour palier ce probl me Centre National d Etudes Spatiales en partenariat avec notamment EADS Astrium m nent des tudes au visant valider les capacit s d int gration et de prise en compte des non lin arit s Par exemple l tude DyNoLi a t ch de prendre en compte des non lin arit s de plusieurs types dans des modeles relativement simples Cette tude a conduit la formulation d une s rie de recommandations conseils et observations quant la simulation temporelle de syst mes non lin aires au moyen du logiciel MSC Nastran En outre des comparatifs des diff rents logiciels de calcul l ments finis ont pu tre dress s Ce travail se positionne dans la continuit de ces
139. t tre adapt es si d autres niveaux d excitation doivent tre tudi s 53 FIGURE 2 8 Positions indicatives retenues pour la fixation des acc l rom tres L ensemble totalisait 16 mesures Le rep re de r f rence utilis pour celles ci est galement illustr Les positions qui nous int ressent particuli rement ici sont les positions 20 et 21 En effet elles encadrent la suspension dont le comportement est manifestement non lin aire Figure tir e de 9 2 3 2 R sulats d essais Les essais vibratoires men s en novembre 2011 sur la maquette structurale et thermique de la Source Laser ont r v l la pr sence d une non lin arit adoucissante au niveau des amortisseurs L ensemble des tests et les conditions dans lesquelles ils ont t r alis s sont d crits dans le rapport 9 Huit acc l ro m tres ce qui repr sentait 16 mesures tous les acc l rom tres n tant pas tridirectionnels ont t dispos s de mani re pouvoir rendre au mieux le comportement dynamique de la Source Laser La Figure 2 8 pr sente ces positions retenues et l orientation du rep re de r f rence utilis En particulier les acc l rom tres 20 et 21 qui eux taient triaxiaux taient fix s de part et d autre de l amortisseur responsable de la non lin arit pr sente dans le syst me Comme le t moignent les Figures 2 9a 2 9b et 2 9c comparant pour chaque direction les acc l rations mesu
140. t re de convergence est celui bas sur l quilibre des forces P Les solutions sont compar es la r ponse de r f rence calcul e par SAMCEF Mecano Acc l rations calcul es pour le second mod le plusieurs degr s de libert Figure 1 2b par la SOL 129 et la SOL 400 de MSC Nastran en utilisant le crit re bas sur la variation de d placement et une tol rance gale 1077 s Deux pas de temps ont t envisag s 10 s et 1074 s Les solutions sont compar es la r ponse de r f rence calcul e par SAMCEF MEAN A A ce She SOAR iano hd veld Pe ae Seo feo te a gah A Ae hate x Repr sentation de la charge utile ACES fix e l ext rieure du module Columbus de la Sta tion Spatiale Internationale Source http smsc cnes fr PHARAO Fr GP_platform_ aces htm Eve hiv y a ee hee a o A et Seeger a Ben i feos Comparaison des stabilit s en fr quence de diff rentes horloges l oscillateur quartz Voscillateur cryog nique UWA le SHM et Vhorloge atomique PHARAO 7 est le temps mesur tandis que t est la dur e sur laquelle la mesure est effectu e Source http smsc cnes fr PHARAO Fr GP_science htm Cycle de fonctionnement d une horloge atomique Source http smsc cnes fr PHARAO Fr GP instrument itm i 2 2S e vos arian Gh eh he ee ane chee he he Gs Source http smsc cnes fr PHARAO Fr source_laser htm Illustration de l amortisseur utilis
141. t co teuse en temps de calcul et d autres strat gies peuvent tre envisag es L activation de la m thode de Newton modifi e par exemple remplace K 41 par K ou par K qui est l une des matrices de raideur valu es aux pr c dents pas de temps Dans les quations de Newmark les param tres y et 6 ont un r le primodial d finissant les propri t s de l algorithme en particulier sa stabilit Pour un syst me lin aire il est possible de garantir la stabilit inconditionnelle lorsque les param tres choisis respectent les relations 12 1 2 gt gt 1 tes ee Malheureusement pour des cas non lin aires mat riau lastique non lin aire crouissage contact grandes d formations ces propri t s ne sont plus garanties En particulier la stabilit inconditionnelle est perdue Les valeurs des param tres y et B ci dessus L utilisation d une m thode de type Newton Raphson pour satisfaire l quilibre des forces chaque pas de temps implique que le pas de temps choisi r git non seulement la pr cision de la r ponse obtenue mais galement la stabilit g n rale de l algorithme D une mani re g n rale il doit d s lors tre r duit par rapport un cas lin aire Afin de pouvoir garantir la stabilit et la pr cision sans augmenter excessivement le temps CPU des algorithmes d adaptation automatique du pas de temps ont t d velopp s 23 11 Les valeurs cl s des param t
142. t dans lamortisseur Il s agit d un m lange de deux lasto m res base de silicone Ces propri t s ont t choisie partir d informations propos es par le logiciel CES Selector pour les lastom res base de silicone les conditions dans lesquels l amortisseur a t test Toutefois il s agirait d une simplification du cas r el d utilisation l influence du banc tant repr sent e par un lest parfaitement centr d une masse gale 1 4 de la masse totale du banc optique soit 2 629 kg Ce lest sera repr sent par une masse ponctuelle parfaitement centr e positionn e au centre de la partie interne de l amortisseur comme pr sent par le point jaune sur la Figure 3 2 L encastrement ainsi que les liaisons avec la masse ponctuelle ont t inspir e de la configuration r elle d utilisation de l amortisseur Tout d abord la partie interne est fix e au pied au moyen d une longue vis centrale Comme nous nous concentrons sur le mode de suspension selon Z dans lequel les pieds ne subissent aucune d formation la base du noyau sera encastr e Notons en outre qu une rondelle d interface est galement pr sente pour garantir une bonne adh sion entre le pied et l amortisseur C est pourquoi seuls les noeuds de la base du noyau en contact avec cette rondelle seront effectivement encastr s En pratique nous n encastrerons pas directement les noeuds mais les lierons via des l ments parfaitement rigides
143. t effet implique l apparition d effet non lin aires suppl mentaires ce qui nous carterait de notre modele initial C est pourquoi nous imposerons une coefficient de Poisson nul ce qui en d autres mots garantit la conservation de la section du mat riau Concernant l amortissement ce dernier est d fini au moyen du param tre GE contenu dans la carte MAT1 Il correspond au coefficient d amortissement structural GE 2 co 2Vkm MSC Nastran value alors la force interne d un l ment suite sa d formation sur base de l quation G GE Fing kAU kAt int a Le param tre G et un param tre permettant d injecter de l amortissement dans l ensemble du mod le il ne sera pas utilis ici Les param tres W3 et W4 pond rent quant eux l importance de l amortissement en fonction d une fr quence de r f rence Par d faut si aucune valeur n a t d finies pour W4 respectivement W3 il est consid r comme gal a 0 et le terme GEKA respectivement AA est ignor dans le calcul de la force interne 32 Mod le 1 DDL m kg 62 4 k N m 5 105 k3 N m 5 1010 c N ms 10 Modele a plusieurs DDLs m kg 62 4 E MPa 2 5 106 3 10e GE 0 179 w4 89 4977 Excitation Type Sinus Fr quence Hz 14 Amplitude N 5 10 Direction Verticale Z TABLE 1 2 Caract ristiques et propri t s des d
144. terminer la source de ces diff rences Cependant de mani re s assurer qu elles ne d coulent pas d une simulation incorrecte du syst me non lin aire par la SOL 129 Nous conseillons de simuler le syst me au moyen d autres logiciels L tape suivante de ce travail est de proc der la simulation et l identification du syst me com plet comportant quatre amortisseurs ainsi qu un super l ment repr sentant le banc optique Le mod le l ments finis a d j t r alis cependant nous n avons pas pu pour des raisons de temps de simulations mener cette tape son terme D autre part il serait int ressant de se rapprocher le plus possible des conditions d essais o les signaux temporels ne sont pas tous directement disponibles et o du bruit parasite les donn es De plus il peut tre int ressant d observer l influence dans le cas du syst me complet de la position des points de mesure En effet il est pr f rable de positionner ses acc l rom tres de part et d autre de la non lin arit Cependant dans certains cas c est impossible et les acc l rom tres seront plus ou moins loign s de la non lin arit 98 Bibliographie ao Ae N O 10 11 12 13 14 15 Centre National d Etudes Spatiales Site web d di la mission PHARAO http smsc cnes fr PHARAO MSC Software Corporation MSC Nastran 2004 Reference Manual 2003 MSC Software Corporatio
145. tine Maximum number of bisections allowed 9 Time step skip factor for automatic time step adjustment Number of steps to obtain the dominant 40 period response Define bounds for maintainint the same time step for the stepping function 0 6 during the adaptative process Maximum ratio for the adjusted incremental time relative to the time 32 step allowed Tolerance on displacement increment below which a special provision is made 0 1 for numerical stability Maximum value of incremental rotation allowed per iteration to activate bisection a TABLE 3 3 Param tres d int gration utilis s pour les simulations temporelles li es l tude de l amor tisseur seul 76 Niveau d excitation Direction 0 dB 3 dB 6 dB 9 dB 12 dB RFR Amortisseur seul Z 140 146 156 166 174 211 TABLE 3 4 Fr quences Hz de r sonance de l amortisseur seul mesur es les d essais exp rimentaux par le constructeur GAMMA L amortisseur est sujet 1 4 de la masse du banc optique 10 ee Spectre al atoire des essais exp rimentaux Spectre al atoire utilis s pour les simulations o o Niveaux 9 Hz k a 10 10 10 10 Fr quences Hz FIGURE 3 5 Spectre fr quentiel du niveau de qualification 4 0 dB En bleu spectre utilis lors des essais exp rimentaux En rouge spectre adapt pour nos simulations de l
146. tion r serv aux syst mes lin aires SOL 109 2 Il s agit des plus petites tol rances accessibles sans tre sujet plusieurs probl mes de convergences 36 Acc l ration m s 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 0 2 0 4 0 6 1 Temps s a Acc l ration calcul e pour le mod le 1 DDL Figure 1 2a par les diff rents logiciels MSC Nastran SAMCEF Mecano MATLAB en utilisant un pas de temps gal 107 s le crit re de convergence bas sur l quilibre des forces et une tol rance fix e 1077 L ensemble des param tres d int gration sont rappel s a la Table 1 3 Acc l ration m s 20 19 18 5 18 17 5 0 987 0 988 0 989 0 99 0 991 Temps s 0 985 0 986 b Zoom au niveau d un pic d acc l ration de la Figure ci dessus FIGURE 1 3 Premiers r sultats obtenus 37 SAMCEF Mecano dt 10 SAMCEF Mecano dt 1074 SAMCEF Mecano dt 10 20 1 de i MATLAB dt 10 s O MATLAB dt 104 s v E 20 05 Cc 2 8 20 SO 8 lt x 19 95 19 9 0 9868 0 987 0 9872 0 9874 0 9876 0 9878 Temps s 0 986 0 9862 0 9864 0 9866 a Effet d une r duction du pas de temps sur l acc l ration calcul e pour le mod le 1 DDL Figure 1 2a par les logiciels SAMCEF Mecano et MATLAB Le crit re de convergence utilis est celui bas sur l quilibre des forces et la tol rance associ e a t fix e 1077 L ense
147. tr s stable sur des dur es de plusieurs heures alors que l horloge atomique pr sente une stabilit exceptionnelle sur le long terme de 10000 secondes a 10 jours La Figure 2 2 pr sente les stabilit s de diff rentes horloges La seconde est d finie en 1967 comme la dur e de 9 192 631 770 p riodes de radiation correspondant a la transition entre deux niveaux de l tat de base de l atome de C sium 133 L horloge atomique PHA RAO se base pr cis ment sur cette d finition En effet elle utilise des atomes de c sium refroidis 4 une temp rature de 1K envoy s travers un champ micro onde aliment par un signal environ 9 192 GHz avec lequel ils vont int ragir Ils seront au long de leur passage s lectionn s sur base de leurs phases quantiques Les transitions subies par ces atomes ensuite sont observ es au moyen de faisceaux laser Ce cycle est r p t pour en extraire les franges dites franges de Ramsey Celles ci seront analys es pour en extraire la dur e d une seconde L ensemble de cette proc dure est sch matis la Figure 2 3 L uti lisation de cette horloge en micropesanteur est suppos permettre de gagner un ordre de grandeur de pr cision par rapport sa mise en oeuvre sur Terre soit une pr cision gale 10716 ce qui correspond une erreur d une seconde sur une dur e de 300 millions d ann es En effet la micropesanteur permet de mieux contr ler la vitesse des atomes lors de leur passage
148. tuer selon l axe Z il a donc t n cessaire de d finir un nouveau rep re dont l axe X correspondait l axe Z du rep re initial Si aucun rep re n est sp cifi mais que les deux noeuds A et B li s par l l ment ne sont pas co ncidents la direction A B est consid r e comme l axe de l l ment Enfin si aucun rep re n est sp cifi et que les deux noeuds sont co ncidents l l ment sera align selon Vaxe X du rep re absolu i e rep re initial cr par le logiciel Dans un second temps nous complexifierons ce premier mod le et en particulier remplacerons le ressort non lin aire par un mat riau de loi lastique non lin aire Ce deuxi me mod le est sch matis la Figure 1 2b Il est compos de deux cubes de 0 2 m lo 0 2 m de c t chacun pos s l un sur l autre Chacun sera discr tis en 8 l ments hexa driques de degr 1 Le cube sup rieur est un cube d acier p 7800 kg m et E 210000 MPa tr s raide et de masse gale 62 4 kg Il repr sente la masse ponctuelle Le cube inf rieur est quant lui compos d un mat riau non lin aire quivalent au ressort non lin aire du premier mod le Ses propri t s sont d finies au moyen de la carte MATS1 combin e la carte MAT1 La seconde est la carte classique de d finition d un mat riau lin aire isotropique tandis que la carte MATS1 permet de d finir la loi o f e non lin aire associer au mat riau Il
149. u dernier pas ayant converg Si cette mise jour ne permet pas la convergence la bissection a lieu ane 2 Celle ci est effectu e jusqu convergence de la solution ou atteinte du nombre limite de bissections auto ris es par l utilisateur At 2i Une fois la convergence atteinte le pas de temps At est conserv jusqu compl tion de l intervalle de temps d finie par le pas de temps initial avant bissection Si aucun probl me de convergence suppl men taire n est rencontr des proc dures visant r tablir le pas de temps sa valeur initiale sont activ es At Crit res de convergence Trois crit res de convergences sont disponibles le premier est bas sur le d placement le second sur l quilibre des forces et le troisi me sur le travail L utilisateur peut choisir l un de ces trois crit res ou toutes combinaisons de ceux ci et d finit leurs tol rances respectives Les erreurs relatives sur ces trois crit res sont calcul es au moyen des formules suivantes Pour le d placement U El _ Ila q 1 A Amar 22 Pour l quilibre des forces P b P max Fp Pnll i Pour le travail W a e gy Ri max a En a Pat Ei o est le taux de convergence donn par E Xi ES 1 F Il est important de souligner qu en raison de sa d finition faisant intervenir le taux de converg
150. uilibre des efforts Les m thodes disponibles sont au nombre de deux La m thode d int gration directe de Newmark Une m thode Newmark Beta trois points M thode d int gration directe de Newmark La premiere r crit les quations de Newmark classique 1 2 2 An 1 An 1 7 Aq yAtan 1 sous la forme 3 Y 7 o An 1 BAt dn 1 TE qn 1 3 An 1 TA Atn 1 2 gt 1 E 1 A n BAB dn 1 An Baten G 3 1 At n 1 3 Dans un cas non lin aire un processus de pr diction correction est n cessaire pour d terminer l tat du syst me aux pas de temps suivant les quations 1 2 et 1 3 peuvent alors se r crire ur 7 i 1 Ves aes dati Bag ait an 1 2 Gn 1 At n 1 4 1 1 1 i l i 1 a pS i tant l indice repr sentant les it rations de corrections i l _ ni i 1 qn 1 Andi Aq 18 La correction Aq r sulte de annulation des forces r siduelles R4 1 pr sentes dans le syst me grace a la m thode de Newton Raphson si _ ss oO 1 y 41 n l BAt M j BALS Kit Aq avec Ri Pri M i Cdi F qi 41 Il est important de souligner que la matrice de raideur tangente K 1 et donc le vecteur des forces internes change chaque it ration et correction Il est des lors n cessaire de la tenir 4 jour au moyen de la m thode des l ments finis Cependant cette op ration es
151. un mod le math matique permettant de la repr senter Pr sent e par Masri et Caughey 25 en 1979 pour les syst mes un degr de libert elle a fait l objet d une attention particuli re ce qui lui a permis de b n ficier de nombreuses am liorations Elle a pu tre prouv e dans de nombreux cas pratiques 18 26 et a montr de grandes capacit s d identification pour une faible sensibilit aux bruits des signaux d entr e Malheureusement cette m thode n cessite l obtention des signaux temporels du syst me tudi ce qui n est pas toujours vident dans des cas pratiques Toutefois les proc dures d int gration performantes ont t d velopp es et permettent partir de la seule connaissance de l acc l ration de d terminer les vitesses et d placements n cessaires la m thode 37 Ce travail se concentre sur un cas concret observ r cemment Le module PHARAO Projet d Horloge Atomique par Refroidissement d Atome en Orbite est un programme men par le C N E S depuis 1999 15 dans le cadre de la mission europ enne ACES Atomic Clock Ensemble in Space de l European Space Agency ACES est une charge utile destin e tre fix e en position nadir a a l ext rieur du module Columbus de la Station Spatiale Internationale Elle sera compos e d instruments complexes a la pointe du progr s et combine deux l ments principaux l horloge atomique PHARAO d velopp e par le C N E S ai
152. un sch ma d int gration directe de Newmark cod sous MATLAB Cette premiere tape a permis d attester des conclusions d ja tir es dans de pr c dentes tudes du projet DyNoLi savoir la pr sence d erreurs importantes dans MSC Nastran m me pour des cas simples Des param tres d int gration conduisant des r ponses correctes ont pu tre mis en vidence n anmoins sans garantie Le service technique de la soci t MSC qui d veloppe MSC Nastran n a pas pu non plus nous donner de r ponse claire pr cise et syst matique quant aux probl mes soulev s Le nouveau module d int gration propos par MSC la SOL 400 nous a sembl donner des r sultats coh rents Nous soulignons l importance d avoir acc s un logiciel fiable Le second chapitre s est attarder sur la description du probl me trait Nous y avons pr sent le projet PHARAO et en particulier ses composants Les r sultats des essais exp rimentaux ont t d taill s et la strat gie de r solution d velopp e Enfin nous avons d crit en d tails et en t chant de donner un maximum de r f rences bibliographiques au lecteur int ress la m thode de la Restoring Force Surface 97 m thode d identification appliqu e ici De nombreuses remarques conseils et solutions des probl mes r guli rement rencontr s ont t soulign s Le troisi me et dernier chapitre a trait le probl me d un amortisseur consid r seul tel qu il a
153. un seul degr de libert le second plusieurs degr s de libert Les r sultats seront compar s ceux obtenus avec d autres logiciels savoir SAMCEF Mecano d une part et un sch ma d int gration directe de Newmark cod sous MATLAB Cette prise en main nous permettra de mettre en vidence la grande sensibilit du module d int gration de MSC Nastran et les nombreuses impr cisions auxquelles il est sujet Le Chapitre 2 s attardera ensuite sur la description du probl me trait Nous pr senterons bri vement le projet PHARAO ses enjeux et ses buts Nous poserons ensuite la probl matique en d crivant les r sultats exp rimentaux obtenus pour la Source Laser et le comportement observ De plus nous d taille rons la strat gie adopt e pour proc der a l identification et terminerons d crire en d tails la m thode d identification qui sera appliqu e la Restoring Force Surface Nous proposerons au lecteur une base bibliographique riche couvrant l ensemble de la proc dure ses d veloppements et ses applications Le troisi me et dernier chapitre traitera le probl me d un amortisseur consid r seul Le mod le l ments finis et les param tres de calculs seront d taill s et justifi s La premi re tape importante consistera recaler la loi lastique non lin aire f e sur base des donn es obtenues gr ce aux essais Le syst me sera alors simul temporellement de mani re fournir les informations n
154. une bonne identification Vu les difficult s prouv es au Chapitre 1 pour simuler correctement un syst me non lin aire nous n cartons pas la possibilit d une mauvaise simulation du syst me par le module d int gration implicite SOL 129 de MSC Nastran Pour confirmer ces r sultats il serait donc judicieux de pouvoir s assurer que les simulations effectu es sont correctes par exemple en simulant le mod le avec un autre logiciel tel que SAMCEF Mecano qui a su se montrer pr cis dans le Chapitre 1 Cette r flexion est principalement motiv e par l cart important galement entre la loi de raideur d duite de la loi de Crawley amp O Donnell et donc directement d duite de la r ponse simul e et la loi calcul e par la SOL 106 N anmoins pour connaitre la loi mat riau lastique non lin aire o f e implicitement identifi e par la Restoring Force Surface nous pouvons modifier la loi recal e introduite dans le mod le l ments finis de mani re faire correspondre au mieux les courbes de raideur obtenues ci dessous Malheureusement pour des raisons pratiques d acc s au logiciel MSC Nastran nous n avons pu mener cette tape aussi loin que nous l aurions souhait La Figure 3 20 pr sente et compare avec le comportement identifi 92 ma SA Force N Erreur relative r 1 1 1 r 1 1 1 r e Comportement identifi Comportement calcul par la SOL 106
155. ur la fr quence de r sonance du syst me De m me la masse volumique de l lastom re a un effet direct sur celles ci C est pourquoi la qualit de cette loi reste discutable L id al aurait t d avoir plus d informations concernant l lastomere utilis ainsi que sur ses propri t s dynamiques 3 5 Simulations en vue de l identification Le modele l ments finis r alis et v rifi et la loi lastique recal e partir des donn es exp rimentales nous pouvons entamer le processus d identification Nous commencerons par rappeler que la qualit de Videntification au moyen de la Restoring Force Surface d pend fortement du caract re plus ou moins uniforme de la couverture de l espace d tat q q En effet une surface de Crawley amp O Donnell trou e t moignera d une mauvaise couverture et rendra la perception de la non lin arit difficile Tandis qu une surface correctement d finie favorisera le processus 79 Contrainte o MPa 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 D formation e a Loi lastique non lin aire f e recal e pour le mat riau lastom re pr sent dans l amortisseur En rouge ensemble des points ajust s lors du processus En bleu interpolation cubique des points ajust s x 10 Module de Young E MPa 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 D formation e b Evolution du module de Young E en fonction de la d formation e FIGURE 3 6 Recalage de la loi
156. us avions pu mettre en vidence l importance du crit re de convergence bas sur la variation de d placement U Ce dernier sera d s lors l unique crit re choisi et la tol rance associ e est fix e 107 Il s agit d une tol rance tr s proche de la tol rance limite avant que de s rieux probl mes de convergence ne surviennent et ne n cessitent une r duction du pas de temps La liste compl te des param tres d int grations utilis s sont synth tis s la Table 3 3 Il s agit des param tres demand s pas la carte TSTEPNL 3 3 2 Prise en compte de grandes d formations Comme nous le verrons les simulations effectu es feront apparaitre des taux de d formation jusqu aux environs de 20 D apr s la documentation de MSC Nastranm au del de cette valeur les proc dures de la th orie des grandes d formations doivent tre consid r es Le param tre LGDISP sera donc impos la valeur 1 par s curit Ce choix reste discutable car nous n entrerons pas clairement dans le domaine des grandes d formations par l nous entendons des d formations de l ordre 50 ou 100 o ces proc dures sont absolument n cessaires Cependant par s curit ces proc dures seront activ es d autant plus que le co t suppl mentaire en temps de calcul reste acceptable Nous n entrerons pas ici dans les d tails th oriques de ces m thodes Soulignons simplement qu elles se basent sur la th orie des milieux continus
157. us soulignerons galement le choix d autres param tres de calculs tels que la consid ration de grandes d formations 74 3 3 1 Param tres d int gration Comme nous l avions soulign au premier chapitre de ce travail la r gle de bonne pratique quant au choix du pas de temps utiliser est d imposer au minimum le calcul de 20 30 points par p riode de r ponse Notre but ici tant d exciter principalement le premier mode selon Z de la structure nous nous attendons une r ponse qui en fonction du niveau d excitation aura un contenu fr quentiel compris entre 140 et 210 Hz Le cas le plus critique n cessitera donc un pas de temps d environ IIe dt 1 5873 107 s 30210 Le pas de temps sera d s lors fix 1074 s pour l ensemble des simulations Au vu de la taille du mod le et des temps de calculs observ s il est difficile de raisonnablement r duire ce pas de temps L algorithme d adaptation automatique du pas de temps a t d sactiv Par contre l algorithme de bissection a t autoris de mani re pouvoir surmonter 1 un ou l autre probl me de convergence Jusqu a neuf bissections sont autoris es Compte tenu des difficult s et des instabilit s dont est sujette la SOL 129 nous introduirons par s cu rit un l ger amortissement num rique de 5 Rappelons que MSC Nastran conseille un amortissement num rique compris entre 2 5 et 10 Suite aux simulations du Chapitre 1 no
158. xp rimental mod le num rique et t che de r pondre la question le mod le num rique r alis repr sentera t il de mani re pr cise et fiable le ph nom ne r el que l on d sire tudier dans les conditions consid r es Sur la Figure 2 11 les tapes de V rification et de Validation sont mises en vidence en rouge Le processus de V rification amp Validation de mod les est important et doit tre gard l esprit pour toutes les tudes d ing nierie Il est d taill dans 35 Les m thodes d identification se positionnent au niveau du recalage du mod le num rique en vue d une meilleure ad quation entre ce dernier et le mod le exp rimental Il est important de souligner qu un mod le num rique est con u dans un but tr s pr cis de repr sentation d un ph nom ne ou d un comportement particulier En effet t cher de mod liser tr s pr cis ment une structure compl te et g n ralement complexe en allant jusqu mailler avec une grande pr cision chaque vis chaque rondelle est superflu et le plus souvent impossible r aliser L ing nieur se doit de faire des approximations des suppositions lui permettant de rendre le cas traiter plus simple et accessible La pr sence de non lin arit s dans une structure en constitue un bon exemple En effet il est inutile de s ent ter vouloir inclure ces caract ristiques de quelque fa on que ce soit dans le mod le math matique si
159. yse non lin aire SOL 400 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s pour diff rents crit res de convergences Les r sultats sont compar s la solution analytique disponible ainsi qu la r ponse calcul e par la SOL 129 avec un pas de temps identique Pour rappel le crit re P est celui bas sur l quilibre des forces U sur la variation de d placement et W sur le travail Acc l ration calcul e pour le mod le non lin aire 1 DDL Figure 1 2a par le nouveau module d analyse non lin aire SOL 400 de MSC Nastran en utilisant un pas de temps gal 107 s pour diff rents crit res de convergences Les r sultats sont compar s la solution de r f rence obtenue avec SAMCEF Mecano ainsi qu la r ponse pr c demment calcul e par la SOL 129 avec un pas de temps identique Pour rappel le crit re P est celui bas sur l quilibre des forces et U sur la variation de d placement De mani re rendre la Figure plus lisible seul un point sur dix de l acc l ration calcul e par SAMCEF Mecano Ont t repr sent s 2 cba A RRR dE Ae OR ae A a al Comparaison des acc l rations calcul es pour le mod le non lin aire 1 DDL Figure 1 2a par le nouveau module d analyse non lin aire SOL 400 et son pr d cesseur SOL 129 de MSC Nastran Le pas de temps le crit re de convergence et la tol rance sont ceux qui avaient t choisis au d but de ce chapitre

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