Topologie et maillage des surfaces paramétrées `a partir d
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1. 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 5 Exemples d applications Dans un premier exemple nous consid rons un avion d affaires de type Falcon construit par Dassault Aviation Sa surface d finie ici par 14 carreaux param tr s a t maill e par le logiciel BLSURF 10 en respectant diverses sp cifications Tous les temps CPU constat s pour les g n rations de maillages de surfaces sont de l ordre de quelques secondes ces dur es tant bien inf rieures celles des simulations num riques effectu es La figure 3 illustre une g n ration de maillage uniforme Le milieu et le haut de cette figure repr sentent respectivement le maillage d un domaine de param tres et du carreau associ correspondant au fuselage Comme expliqu plus haut le maillage anisotrope du domaine plan produit un maillage isotrope de la surface gauche Sur le domaine de param tres de forme trian gulaire on peut identifier la pointe gauche correspondant au nez de l avion les deux trous correspondant aux emplacements de la voilure et du support de nacelle et l chancrure cor respondant l emplacement de la d rive En bas de la figure un maillage de l assemblage de tous les carreaux a t r alis comportant 6 717 triangles pratiquement quilat raux Ce type de maillage est utile des tudes de r flexion radar La figure 4 en haut repr sente un maillage g om trique de l appareil L2. cart angulaire maximal entre un l ment triangulaire et les plans tangents en ses trois sommets a t fix 8 degr s Du fait de fortes variations de la courbure de la surface et donc de la taille requise en tout point de cette surface des triangles tr s tir s sont g n r s Sur la figure du bas cet effet est att nu gr ce un lissage de la carte de tailles La gradation est de 1 3 ce qui signifie que le rapport entre les longueurs de deux ar tes adjacentes ne peut exc der ce seuil Le nombre de triangles est de 9 107 pour le premier maillage et de 17 703 pour le second ces derniers tant visiblement plus r guliers Un tel maillage surfacique permet de mailler un volume ext rieur l appareil en vue de calculs en m canique des fluides dont la convergence et la pr cision d pendent fortement de la qualit du maillage Le deuxi me exemple a t fourni par Lectra soci t sp cialis e dans les quipements mat riels et logiciels pour mat riaux souples Ses march s sont la mode l habillement la distri bution le transport les tissus industriels et le composite Le mailleur surfacique BLSURF a t int gr dans le logiciel DesignConcept bas sur TopSolid distribu par cette soci t La figure 5 repr sente un appuie t te et la figure 6 un si ge automobile La r gularit des maillages obte nus assure le d roulement normal d un algorithme de mise plat qui g n re automatiquement des patrons a
3. tapes 2 4 peuvent tre r it r es dans le cas d un ph nom ne volutif ou d une boucle de remaillage adap tatif Dans les sections suivantes les trois premi res tapes du processus de maillage reconstitu tion de la topologie discr tisation des courbes et maillage des surfaces sont d taill es Concer nant l tape ventuelle de maillage volumique le lecteur pourra consulter l article joint 1 2 R paration CAO afin d obtenir un assemblage topologiquement conforme de carreaux Pour pouvoir mailler une surface sa description doit comprendre des informations la fois g om triques et topologiques Les informations g om triques comprennent en particulier les quations param triques des courbes et des carreaux qui composent cette surface Les infor mations fopologiques indiquent par exemple si deux carreaux sont adjacents ou non Dans le cas le plus favorable ces informations topologiques sont maintenues tout au long du proces sus de conception Le principe est d associer alors un m me num ro de r f rence tag une extr mit commune plusieurs courbes ou une courbe partag e par plusieurs carreaux Si ces informations sont absentes l objectif est de les reconstituer partir des seules informations g om triques Ce probl me de reconstitution de la topologie est difficile lorsque la mod lisation g om trique de l objet est de pr cision m diocre Dans ce cas deux carreaux th orique
4. dans la direction orthogonale et varie de mani re monotone entre ces deux directions En d finissant une m trique M P en tout point P du domaine Q on obtient un champ anisotrope permettant de contr ler la fois la taille et la forme des l ments g n r s qui seront plus ou moins tir s selon l excentricit de l ellipse Ce champ de m triques d finit un espace riemannien sur le domaine Q Une m trique peut galement tre d finie en tout point d un carreau de R dans le plan tangent ce carreau Cette m thode permet de sp cifier la taille et la forme des l ments selon la g om trie de la surface et ou selon le probl me physique trait Dans les r f rences 8 et 9 nous montrons comment d finir des m triques isotropes ou anisotropes dans le but de g n rer un maillage g om triquement proche de la surface Pour contr ler la taille des l ments d un maillage isotrope une fonction de taille P h P est d finie en tout point P de Q ou interpol e dans le cas discret La m trique M P d finie plus haut prend alors la forme particuli re 1 EP M P 8 RP Une m trique quelconque tant d finie sur un carreau il est possible d en d duire la m trique correspondante dans le domaine des param tres en utilisant la premi re forme fondamentale de o Un maillage plan est alors construit l aide d une approche combin e frontale Delaunay dans un contexte riemannien 8
5. entre tout sommet de l une des deux lignes polygo nales et une ar te de l autre doit tre inf rieure s et vice versa Pour traiter le cas des courbes se chevauchant partiellement il est pr alablement n cessaire de projeter chaque extr mit P sur toute courbe C appartenant un autre carreau et voisine distance inf rieure 2 Si la longueur du segment courbe compris entre le point projet P et l une des extr mit s de C est inf rieure 1 le point P et cette extr mit sont consid r s comme tant communs Sinon la courbe C est subdivis e en P et les points P et P sont consid r s comme tant communs Par exemple la figure 1 repr sente trois carreaux gauche num ros des points sur la fronti re de ces trois carreaux droite num ros des courbes Initialement les points et les courbes sont num rot s de mani re s quentielle Ainsi des num ros apparaissent superpos s gauche de la figure lorsque deux extr mit s de courbes sont g om triquement confondues Cet effet est visible sur le rectangle inf rieur dont les c t s sont d extr mit s respectives 1 2 3 4 5 6 et 7 8 et sur la fronti re du carreau de gauche resp droite comprenant les segments 9 10 11 12 21 22 resp 23 24 25 26 35 36 La partie droite de la figure montre les num ros des courbes tous diff rents de 1 18 Sur la figure 2 les extr mit s et les courbes communes ont t identifi
6. es pour des valeurs de et 2 suffisamment grandes De plus les points 9 10 et 24 ont t projet s sur le c t sup rieur du rectangle Un maillage totalement conforme des trois carreaux pourra donc tre g n r Nous pouvons ainsi restaurer automatiquement la conformit d un assemblage de carreaux dont certaines courbes fronti res ne se recouvrent que partiellement Il est beaucoup plus diffi cile de traiter efficacement le cas de courbes qui s intersectent celui de carreaux partiellement superpos s et celui de carreaux qui s intersectent Diverses recherches sont men es dans cette direction voir en particulier 2 3 Discr tisation des courbes fronti res de carreaux Apr s avoir identifi les courbes communes plusieurs carreaux ou propres un seul car reau ces courbes fronti res sont discr tis es en respectant les sp cifications de tailles souhait es uniformes g om triques ou physiques Cette tape de discr tisation des courbes pr c de celle du maillage des carreaux de mani re assurer la conformit du maillage final Chaque courbe est param tr e c est dire d finie par une application continue d un inter valle 7 a b de R vers l espace tridimensionnel Ainsi une courbe T de l espace est d finie 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 FIG 1 Num rotation initiale des points et des courb
7. une courbe avec ou sans construction pr alable d un support S T en respectant des sp cifications de tailles uniformes Le cas de sp cifications quelconques isotropes ou anisotropes est trait de mani re semblable gr ce l emploi de m triques Ces m thodes de discr tisation d une courbe sont d taill es dans la r f rence 4 et la notion de m trique est introduite dans la section suivante 4 Maillage de la surface compos e de carreaux La surface mailler est compos e de carreaux dont les fronti res ont t discr tis es comme indiqu pr c demment Pour obtenir un maillage conforme de cette surface chaque carreau doit tre maill en respectant la discr tisation de ses fronti res Il existe essentiellement deux ap proches pour mailler un carreau param tr Dans la premi re approche dite directe le maillage du carreau est g n r directement dans l espace tridimensionnel Ce type d approche englobe les m thodes par arbre 5 par avanc e de front 6 ou par pavage 7 Dans la deuxi me ap proche dite indirecte le domaine des param tres du carreau est maill et le maillage r sultant est envoy dans l espace 3D Cette approche indirecte est conceptuellement simple puisqu un maillage plan est g n r et elle est donc g n ralement plus rapide et plus robuste qu une m thode directe Cependant deux probl mes principaux doivent tre r solus le report de la discr tisation des courbe
8. 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 Topologie et maillage des surfaces param tr es partir d une mod lisation B Rep Patrick Laug INRIA Rocquencourt projet Gamma BP 105 78153 Le Chesnay Cedex France patrick laug inria fr R sum La simulation num rique de ph nom nes physiques occupe une part de plus en plus importante dans la concep tion d un produit industriel La plupart des syst mes de CAO conception assist e par ordinateur utilisent une mod lisation B Rep boundary representation o la fronti re surfacique de l objet est repr sent e par une juxta position de carreaux de formes quelconques Chaque carreau est lui m me d fini par une application d un domaine param trique plan vers l espace tridimensionnel Une simulation par la m thode des l ments finis MEF sup pose la g n ration d un maillage de la surface de l objet tudi et ventuellement de son volume La qualit du maillage g n r est cruciale pour la convergence de la simulation et la validit de la solution Cet article pr sente une m thodologie pour g n rer automatiquement des maillages de calcul partir d un mod le B Rep Abstract The numerical simulation of physical phenomena takes an increasing part in the design of an industrial product Most of CAD computer aided design systems use a B Rep boundary representation modelization where the surface boundary of the object i
9. ds in Engineering CNME 20 11 869 876 2004 P Laug H Borouchaki and P L George Discr tisation adaptative des courbes Revue internationale de CFAO et d informatique graphique RCFAO 11 6 617 634 1996 M S Shephard and M K Georges Automatic three dimensional mesh generation tech nique by the finite octree technique Int J Numer Methods Eng 32 709 749 1991 R L hner Regridding surface triangulations Jour of Comput Phys 126 6 1 10 1996 E Hartmann A marching method for the triangulation of surfaces The Visual Computer 14 95 108 1998 H Borouchaki P Laug and P L George Parametric surface meshing using a combined advancing front generalized delaunay approach International Journal for Numerical Methods in Engineering NME 49 1 2 233 259 2000 P Laug and H Borouchaki Interpolating and meshing 3 d surface grids International Journal for Numerical Methods in Engineering IJNME 58 2 209 225 2003 P Laug and H Borouchaki BLSURF mailleur de surfaces compos es de carreaux pa ram tr s manuel d utilisation Technical Report RT 0232 INRIA 1999 et http www rocql inria fr gamma cdrom www blsurf INDEX html 2005 12
10. e seconde approche section 3 2 dans laquelle la courbe I est pr alablement ap proch e de mani re tr s pr cise par une ligne polygonale S T Les sommets de la discr tisation cherch e M T sont ensuite plac s sur cette ligne polygonale S T appel e ainsi support 3 1 Discr tisation sans utilisation de support L algorithme de la section pr c dente pr sente deux difficult s essentielles chacune de ses deux tapes comment valuer la fonction s t pour t donn dans lin tervalle a b la deuxi me tape comment obtenir le param tre t tel que s t s o s est un r el donn compris entre s a 0 et s b L Pour valuer la fonction s t il est n cessaire de calculer l int grale de l quation 2 par un calcul formel ou si ce calcul n est pas possible par une m thode d int gration discr te de type trap zes ou Simpson adaptatif Pour r soudre l quation g n ralement non lin aire s t s la m thode de Newton Raphson semble la plus ad quate Elle permet en effet de trouver efficacement le param tre t tel que la fonction f t s t s s annule connaissant la d riv e f t 4 t Cependant dans notre contexte l valuation de la fonction f et de sa d riv e f est g n ralement co teuse en temps CPU Il est donc pr f rable d utiliser le mod le discret pr sent ci dessous 3 2 Discr tisation avec utilisation d un support Dans cette seconde a
11. es FIG 2 Num rotation montrant la topologie de l assemblage conforme de carreaux par une application y de la forme y I a b R t q t 1 Rappelons que l abscisse curviligne s t d un point q t sur la courbe I est donn e par la relation t f IBO du 2 En particulier la longueur totale L de la courbe I est b L s0 OI 6 Notre objectif est d obtenir une discr tisation M T de la courbe T c est dire de trouver une suite croissante de param tres t i 0 n avec to a and tn b tels que chaque segment courbe ou arc y ti Y ti 1 ob isse certaines sp cifications de tailles Par exemple dans 4 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 le cas simple d une discr tisation uniforme la courbe T doit tre subdivis e en un nombre donn n d arcs de m mes longueurs La m thode de discr tisation comprend alors deux tapes principales 1 Calculer la longueur totale L s b de la courbe I LL l 2 D terminer les param tres t tels que s t i pour i 0 n avec to a et tn b les abscisses curvilignes s t tant donn es par l quation 2 La section 3 1 pr sente une approche dans laquelle ces deux tapes sont r alis es en utili sant directement les quations 2 et 3 Cependant ce proc d est g n ralement co teux en temps calcul d o un
12. fin de piloter des machines de d coupe grande vitesse 6 Conclusion Une m thodologie pour le maillage d une surface compos e de carreaux param tr s a t pr sent e La topologie de la surface est reconstitu e le cas ch ant puis les courbes interfaces sont discr tis es et les carreaux sont maill s par une approche indirecte Le maillage respecte des sp cifications de tailles pouvant d pendre de la g om trie de la surface et du probl me phy sique Les exemples pr sent s et surtout ceux que nous avons pu observer dans diverses appli cations industrielles ou universitaires prouvent l efficacit de cette m thode Nos th mes de re cherche dans ce domaine s orientent actuellement vers les surfaces p riodiques et ou d g n r es ainsi que les l ments courbes quadratiques 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 i dl put al M M cn RNN ON I ni MoN ll oi I l oia CON ll AVAVA Any mii VASTAVAT RSA j SAL PAK il y f Van rl ti he al 2 a AAA AAA Taa DOUTE an Aal AAA Amar A ATAYA YA P A AA OER V Det RS S h av ja aa ANS ERINOKO 7 D SAVVA FIG 3 Avion d affaires de type Falcon Dassault Aviation En haut maillage uniforme du carreau correspondant au fuselage Au milieu maillage anisotrope du m me carreau dans son domaine de param tres En bas mailla
13. ge uniforme de l avion entier ou plus pr cis ment de sa partie droite compos e de 14 carreaux 17 ME Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 om trique 2 d importants s en raison chocs de tailles En bas maillage respectant une carte de tailles liss e avec une gradation de 1 3 2 2 ts sont tir certains l men s FIG 4 Avion d affaires de type Falcon Dassault Aviation En haut maillage g angle de 8 degr avec une tol rance d 10 Troyes septembre 2005 17 ME Congr s Fran ais de M canique VAT AYS A VA TATA NAN A VAT A T4 AA EE PAPA VA VAT TATAN D Pa PAPA YAVA YATA A VAVA VA T2 Ava TAVAYA PEATA va PATATE T AT AV a aS S TO RER AVATA i ne I FIG 5 Appuie t te Lectra ile Lectra 11 6 Si ge automob FIG 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 R f rences 1 2 9 10 P L George Sur la construction de maillages 17 Congr s Fran ais de M canique CFM 2005 Troyes France 2005 W D Henshaw Generating composite overlapping grids on CAD geometries 8 Inter national Conference on Numerical Grid Generation in Computational Field Simulations Honolulu Hawaii USA 2002 P Laug and H Borouchaki Curve linearization and discretization for meshing composite parametric surfaces Communications in Numerical Metho
14. ie par une application d un domaine param trique plan vers l espace tridimensionnel 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 Dans la plupart des syst mes il est possible d obtenir une mod lisation B Rep soit direc tement soit partir d une repr sentation CSG la conversion inverse de B Rep vers CSG tant beaucoup plus difficile voire m me impossible Cette mod lisation B Rep de la surface est g n ralement disponible via des requ tes appropri es La m thodologie pr sent e dans cet article permet d utiliser cette repr sentation afin de g n rer automatiquement un maillage utilisable pour un calcul par la m thode des l ments finis Ainsi le maillage doit respecter certains crit res de qualit pour assurer la convergence des calculs et la validit des r sultats Le processus de maillage propos peut tre d compos en plusieurs tapes 1 Sin cessaire r paration CAO en vue d obtenir un assemblage topologiquement conforme de carreaux 2 Discr tisation des courbes fronti res des carreaux en particulier des courbes interfaces partag es par plusieurs carreaux 3 Maillage surfacique des carreaux en s appuyant sur les discr tisations pr c dentes des courbes 4 Le cas ch ant maillage du volume de l objet en s appuyant sur le maillage pr c dent de sa fronti re surfacique Le maillage r sultant est alors utilis pour une simulation num rique Les
15. ment adjacents peuvent tre s par s par une fente ou au contraire se recouvrir partiellement Une r paration CAO CAD repair est alors n cessaire et cette op ration est le plus souvent manuelle son automa tisation restant un probl me mal r solu Cependant lorsque la pr cision g om trique est ac ceptable notre objectif de reconstitution de la topologie peut tre atteint en utilisant des seuils de tol rance Pour des raisons pratiques nous d finissons deux seuils de tol rance pour les distances propres un seul carreau et 2 pour les distances entre deux carreaux diff rents Pour un objet de taille normalis e on prendra par exemple 4 107 et e2 10 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 Ainsi pour identifier deux points communs deux cas sont envisag s S ils appartiennent un m me carreau leur distance doit tre inf rieure S ils appartiennent deux carreaux diff rents leur distance doit tre inf rieure 2 Deux courbes sont alors consid r es comme tant communes si elles v rifient les trois pro pri t s suivantes Elles appartiennent deux carreaux diff rents Les extr mit s de l une des deux courbes sont communes avec celles de l autre courbe m mes num ros globaux respectifs Leur distance de Hausdorff est inf rieure 2 En pratique chaque courbe est approch e par une ligne polygonale La distance
16. pproche notre objectif est de construire une ligne polygonale S T appel e support approchant fid lement une courbe I Une solution simple couramment uti lis e en pratique est d utiliser une subdivision uniforme de l intervalle de d finition Z de la fonction y t Cependant cette m thode peut tre inefficace car l abscisse curviligne s t n est g n ralement pas une fonction lin aire du param tre t Ainsi un mod le de support plus labor est propos permettant d effectuer des interpolations lin aires tout en utilisant un minimum de points sur la courbe I Le principe de base est de subdiviser la courbe I tant que l erreur par lin arisation d passe un certain seuil pour plus de d tails voir la r f rence 3 Muni de ce support S T l algorithme donnant la discr tisation cherch e M T est facile mettre en uvre et efficace En effet l tape 1 la longueur totale L de I peut tre ap proch e par celle de la ligne polygonale S T l tape 2 les points P peuvent tre trouv s simplement par interpolation lin aire sur S T Enfin si les param tres t correspondants sont demand s ceux c1 peuvent tre eux aussi calcul s par interpolation lin aire Cette propri t est particuli rement utile pour la m thode indirecte de maillage d crite dans la section suivante 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 En r sum nous avons montr comment discr tiser
17. riangulaire id al tant alors un maillage dont 17 me Congr s Fran ais de M canique Troyes septembre 2005 tous les l ments sont quilat raux Le probl me est de contr ler le maillage du domaine de param tres de mani re ce que son image par l application o respecte les tailles souhait es Du fait des d formations impos es par l application g il s agit en g n ral de construire un maillage plan anisotrope dont l image par o est un maillage surfacique isotrope Pour contr ler non seulement la taille des l ments mais encore leur forme des m triques sont utilis es Une m trique M dans l espace R muni de son rep re usuel est d finie par une matrice d finie positive d ordre 2 La longueur d un segment PQ dans cette m trique M est d finie par lu PQ VPQ M PQ 6 Notre objectif est de construire un maillage unit c est dire un maillage dont chaque ar te est de longueur 1 un dans cette m trique Pour P et M fix s le lieu des points Q tels que lu PQ 1 est tel que lu PQ P x y d a Z ar 2bay ep 1 7 Cette quation est celle d une ellipse centr e en P qui peut tre caract ris e par un angle 0 entre l axe des abscisses du rep re de R et un demi axe quelconque de l ellipse par la longueur h de ce demi axe et par la longueur h du demi axe orthogonal Ainsi la taille requise pour une ar te issue du point P est gale h dans la direction 0 ho
18. s represented by a juxtaposition of patches of arbitrary shapes Each patch is itself defined by a mapping from a planar parametric domain to the tridimensional space A simulation by the finite element method FEM requires the discretization of the surface and the volume if necessary of the considered object The quality of the generated mesh is crucial for the convergence of the simulation and the validity of the solution This paper presents a methodology to generate automatically computational meshes from a B Rep model Mots clefs topologie maillage surface mod lisation B Rep carreau param tr courbe param tr e l ments finis 1 Introduction Afin de r duire les d lais et les co ts de d veloppement la phase de conception d un pro duit int gre de plus en plus de simulations num riques notamment dans les domaines de la m canique des solides et des fluides Durant cette phase de conception deux types de mod lisations sont couramment utilis es dans les syst mes de CAO La mod lisation CSG constructed solid geometry dans laquelle l objet est d fini par une suite d op rations ensemblistes union intersection soustraction etc sur des solides l mentaires La mod lisation B Rep boundary representation dans laquelle l objet est repr sent par la topologie et la g om trie des courbes et des surfaces qui recouvrent sa fronti re Chaque surface l mentaire appel e carreau est d fin
19. s tridimensionnelles sur la fronti re du domaine de param tres et le contr le de la taille et de la forme des l ments du maillage plan 4 1 Report d une discr tisation 3D vers le domaine de param tres Tout carreau param tr X est d fini par une application o o QCR R u v gt ofu v y u v 4 o Q est un domaine de R La fronti re de ce domaine est compos e de courbes planes chacune tant elle m me d finie par une application w E e EE R t 5 Ainsi toute courbe I fronti re d un carreau param tr est d finie par une application com pos e y o w Pour reporter chaque sommet de la discr tisation de l vers le domaine de param tres le probl me est de trouver son ant c dent par l application y Cependant les ap plications r ciproques o t et w t ne sont g n ralement pas connues Une premi re solution consiste r soudre une quation g n ralement non lin aire par une m thode de type Newton Raphson Une deuxi me solution utilisant un support discret S T de la courbe T est souvent pr f rable pour des raisons analogues celles de la section 3 4 2 Contr le du maillage d un domaine de param tres G n ralement les tailles des l ments g n rer sont sp cifi es dans l espace tridimension nel Dans un cas classique de calcul par l ments finis ces tailles sont isotropes afin d obtenir un maillage le plus r gulier possible un maillage t
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