Propagation des incertitudes et calcul de courbes [...]
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1. Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 5 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 2 2 Processus stochastiques L op rateur GENE FONC ALEA U4 36 05 permet de g n rer des trajectoires d un processus stochastique stationnaire gaussien multi Vari mono dimensionnel i e plusieurs composantes et index sur une seule variable partir de sa densit spectrale de puissance Dans le cas d un calcul dynamique transitoire on peut ainsi g n rer des chargements temporels stationnaires connues par leur matrice interspectrale On peut consulter le cas test ZZZ7180a V1 01 180 pour un exemple d utilisation de GENE FONC ALEA dans une boucle de Monte Carlo Dans d autres cas on peut disposer d une base de donn es contenant des signaux qui mod lisent un ph nom ne physique al atoire C est le cas en analyse sismique o on peut tre amen mod liser l excitation sismique par un processus stochastique non stationnaire via la donn e d acc l rogrammes Ces acc l rogrammes peuvent tre mesur s ou produits par un logiciel d di Propagation des incertitudes par simulation de Monte Carlo 3 1 La simulation de Monte Carlo consiste tirer ns r alisations des variables matrices et processus al atoires ce qui permet de faire ns calculs Dans Code Aster ceci est possible l aide d une boucle Python dans le fichier2. savoir CU ES Indice du premier ordre eu 2 FA f US E Indice total 1 5 x V y 5 2 4 Exemple de mise en uvre avec Code_Aster A titre d exemple on choisit comme variable d int r t le maximum du spectre de r ponse oscillateur SRO amp obtenu par un calcul dynamique transitoire cf 84 1 On a trois sources d incertitudes savoir les matrices g n ralis es MATM MATK MATD de sorte que m 3 On cherche hi rarchiser ces sources d incertitude par rapport la variable d int r t Plus pr cis ment on souhaite si possible r duire la variabilit des sources d incertitudes contribuant le plus la variance totale C est dire qu on s int resse aux indices du premier ordre S yarm gt S marg S marp Dans ce qui suit on reproduit les principales lignes d un fichier de commandes pur donc permettant d valuer les indices de sensibilit s du premier ordre D abord on initialise MATM None 2 MATK None 2 MATD None 2 U1 None m EO 0 0 VO 0 0 Puis on peut crire f for kl in range 1 ns 1 g n ration d une MATMI O GENE MATR ALEA MATR MOYEN MASSE DELTA 0 2 r alisation MATK O GENE MATR ALEA MATR MOYEN RIGID DELTA 0 2 des donn es MATD O GENE MATR ALEA MATR MOYEN AMORT DELTA 0 2 d entr e A a g n ration de la MA
3. Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 a Evaluation l aide de l op rateur CALC FONCTION des contributions aux ak estimateurs des moyennes m L O j et des moments d ordre deux pour les spectres normalis s x RO j k 1 mm i ail o RO Elne oj ME D J RO o j se SRO o j k 1 ar A ail o ROC EL oj ME o jRO Eo j b Calcul du maximum du spectre de r ponse en un point N1 amp SRO N1 c est la grandeur d int r t pour Phi rarchisation des incertitudes via INFO FONCTION et valuation de la moyenne et du moment d ordre deux Mk voir 5 2 3 0 On d termine l indicateur caract risant le niveau sismique pour l acc l rogramme ici le PGA en utilisant la commande INFO FONCTION NOCI SEISME On d termine la contrainte maximale dans la section et on teste si la valeur admissible Saam et d pass e ou non c est dire qu on v rifie si on a d faillance ou non On pose valx 1 si on d faillance et valx 0 sinon On crit dans table de r sultat Si k 1 TABI CREA TABLE sinon TABI CALC TABLE reuse TAB1 Sinon Calcul du maximum du spectre de r ponse en un point N1 gt SRO N1 c est la grandeur d int r t pour l hi rarchisation des incertitudes via INFO FONCTION et valuation l aide de l op rateur CALC FONCTION des contributions aux estimateurs pour les indices de se
4. de commande Aster cf U1 03 01 Utilisation de boucles en Python La boucle python en elle m me commence par la commande for et englobe toutes les lignes de m me indentation for k in range 1 1000 COMMANDE 1 for m in range 1 500 COMMANDE 2 COMMANDE 3 Dans cet exemple on trouve deux boucles python embo t es La premi re sur la variable k permet d ex cuter 999 fois les instructions COMMANDE la deuxi me boucle python et COMMANDE3 La deuxi me boucle python interne sur la variable m permet COMMANDE2 d tre ex cut 499 fois pour chaque k allant de 1 499 Attention 1 Il ny a pas d instruction de fin de boucle Les indentations seules marquent le corps de l instruction for 2 Si l utilisateur n indique rien d autre la num rotation des indices dans Python commence partir de z ro et non partir de un Si on crit par exemple for k in range 1000 alors k prendra les valeurs 0 1 999 On ex cute alors 1000 fois la commande Post traitement statistique Estimateurs statistiques classiques D un chantillon de ns r alisations de la quantit d int r t on peut d duire les estimations de grandeurs statistiques comme la moyenne l cart type La documentation R7 10 01 donne plus d l ments sur le post traitement statistique de r sultats de calcul Dans ce qui suit on note E X l esp rance math matique la moyenne d une variable al atoire X et V X sa varianc
5. k 1 ps 7 0 M E o Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster derak Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 7 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 4 2 Il n est alors pas n cessaire de stocker tous les ns r sultats de calcul La nouvelle estimation est obtenue au fur est mesure que les r alisations sont produites Elle est stock dans M2_3 laide des mots cl s PUISSANCE et COMB de la commande CALC FONCTION U4 32 04 des fonctions interm diaires M2_0 et M2 1 et de la commande DETRUIRE U4 14 01 Tous les diff rents concepts produits MATM MATK MATD DYNA SPO ACC1 doivent tre d truits la fin de chaque it ration l exception de M2_3 bien entendu Remarque 1 ll peut tre utile de stocker les estimations interm diaires DA pour v rifier la convergence de l estimation finale Pour ce faire on cr e en d but du ficher hors la boucle une liste vide de taille ns M2 1 None ns 1 qu on remplira au fur et mesure M2 1 k CALC FONCTION L estimateur de la variance se d termine partir de l estimation des moments m et M w m par la formule classique variance empirique corrig e PISRO E m
6. num rique i on a deux issues possibles soit on a atteint le niveau critique et on a d faillance x 1 soit on n a pas d faillance x 0 De m me pour chaque simulation on peut d terminer la valeur de l acc l ration maximale a L estimation des param tres d une courbe de fragilit peut se faire par la m thode du maximum de vraisemblance La fonction de vraisemblance maximiser pour ce probl me s crit Xi N 1 L H P u a 1 P a Dans cette expression la r alisation x de X prend donc la valeur 1 si on a d faillance ou 0 s il n y a pas d faillance pour le chargement l acc l ration maximale a Ces v nements arrivent avec la probabilit P ja donn e par l expression 1 Les estimations des param tres J et A m sont ceux qui minimisent In Z 8c A argmin In L Cette tape peut tre mise en uvre en post traitement des r sultats de calculs Dans le fichier de commande Code_Aster il faut pour chaque simulation v rifier si on a d faillance ou non Si le crit re de d faillance consiste en une contrainte admissible on v rifie si la contrainte maximale calcul e d passe cette contrainte Puis on fait crire laide de CREA TABLE et CALC TABLE les r sultats des simulations dans une table de r sultats Cette table doit contenir deux colonnes PARA NOCI et DEFA qui renseignent respectivement la valeur a la valeur PGA ou tout autre indicateur et la va
7. ou un groupe de donn es d entr e Les indices de sensibilit globaux s obtiennent par une d composition de la variance totale Si on introduit au total m sources d incertitude diff rentes on peut crire V Y DV DDr gt V gatt Vo i i i lt j i i lt j lt k o bib2 V VIE YIX V V E YIX X V v nr 7 Va 0 A partir de cette formulation on peut d terminer les indices de sensibilit du premier ordre ou encore les indices totaux La d finition de ces indices ainsi que leur mode d utilisation sont expliqu s dans ce qui suit Indices de sensibilit d ordre 1 Le classement des incertitudes l aide des indices du premier ordre permet de r pondre la question de savoir quelle variable ou matrice il faut fixer pour avoir la plus grande r duction de variance Il s agit en gros de la quantit de variance qui serait enlev e de la variance totale si on connaissait la vraie valeur de X L Les indices de sensibilit du premier ordre S i 1 m peuvent s exprimer comme S VIV Y Cet indicateur est utile si l on souhaite identifier les variables les plus influentes afin d affiner leur mod lisation ou de r duire les incertitudes sur ces variables par exemple en collectant de nouvelles donn es afin de r duire le manque de connaissance initial Ceci conduit finalement une r duction des incertitudes sur la grandeur d int r t 5 1 2 Indices de sensibilit totaux D autre part
8. simulation de Monte Carlo est d crite plus en d tail dans 5 2 3 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 13 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 5 2 2 Expression num rique pour le calcul des indices totaux On peut d terminer l indice total par l expression Sa l fa Fr A o bib2 y V U E Y et de 1 y a r r r A FLR Nra K A A re ts a r l Le calcul pratique des par simulation de Monte Carlo est d crite plus en d tail dans 5 2 3 Comme pour les indices du premier ordre la moyenne E Y et la variance empiriques V Y s obtiennent par leurs estimateurs classiques voir ci dessus 5 2 3 Evaluation des expressions num riques par simulation de Monte Carlo La d marche suivante peut tre adopt e pour le calcul pratique des indices S et S Dans un premier temps il est n cessaire de choisir le nombre ns de simulations qu on souhaite effectuer c est la taille de l chantillon de base Remarque Dans le choix de la taille de base de l chantillon ns il convient de v rifier que au moins l estimation de la variance V y a converg e Ensuite dans une boucle on effectue it ration 1 ns e G n ration de deux r alisat
9. Code Aster Pa default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 1 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 Mod lisation des incertitudes en m canique par simulation de Monte Carlo propagation et hi rarchisation des incertitudes calcul de courbes de fragilit R sum Ce document donne les l ments pour la mise en uvre de simulations num riques de Monte Carlo partir du fichier de commande et d op rateurs de g n ration al atoire Les quatre principaux ingr dients sont e Une boucle Python e Un g n rateur de variables al atoires GENE VARI ALEA et ou un g n rateur de matrices al atoires GENE MATR ALEA pour la dynamique et ou un g n rateur de fonctions al atoires GENE FONC ALEA e Le calcul d estimateurs statistiques classiques CALC FONCTION et estimation de param tres de courbes de fragilit POST DYNA ALEA avec les arbres de d faillances et les courbes d al a sismiques les courbes de fragilit constituent les principaux ingr dients pour les tudes probabilistes de s ret EPS sismique e __ Hi rarchisation des sources d incertitude Le domaine d application principal pr sent ici est l analyse sismique mais les m thodes d passent bien videmment ce cadre restreint Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calcu
10. M E w S ns Remarque 2 Le calcul de spectres de r ponse et de leur enveloppe peut galement se faire par la macro commande MACR SPECTRE U4 32 11 D termination de courbes de fragilit Les courbes de fragilit donnent la probabilit conditionnelle de d faillance d une structure ou d un composant en fonction du niveau d excitation sismique La mod lisation et la propagation des incertitudes d crites ci dessus permettent galement la d termination des courbes de fragilit Il suffit d introduire un crit re de d faillance et de v rifier chaque calcul de Monte Carlo si la d faillance est atteinte ou non 4 2 1 Les ingr dients principaux pour l tablissement de courbes de fragilit par simulation num rique sont les suivants D termination de l excitation sismique consid rer base de donn es d acc l rogrammes D finition de crit res de d faillance Mod lisation des incertitudes et propagation par simulation num rique Monte Carlo Estimation des param tres m diane et cart type logarithmique de la courbe de fragilit associ e au crit re de d faillance Mod le log normal pour les courbes de fragilit La courbe de fragilit d un composant est d finie partir de la notion de capacit La capacit d un composant est la valeur du param tre repr sentatif de l action sismique partir de laquelle le composant est d faillant L approche courante consiste mod li
11. MASSE DELTA 0 2 RIGID DELTA 0 2 w m EH Z Il G n ration d une r alisation MATD GENE MATR ALEA MATR MOYEN AMORT DELTA 0 2 al atoire du DYNA DYNA_TRAN_MODAL MASS_GENE MATM spectre RIGI_GENE MATK d oscillateur do ATD ACCI RECU FONCTION RESU GENE DYNA SRO CALC FONCTION SPEC OSCI F NATURE ACCE FONCTION ACC1 if k 2 3 CALC FONCTION PUISSANCE F FONCTION SRO EXPOSANT 2 Calcul elses de FFS Nan 2u R N FONCTION SRO EXPOSANT 2 M 2 1 CALC FONCTION COMB _F FONCTION M2_0 COEF k 1 l it ration k _F FONCTION M2 3 COEF k 1 k 1 DETRUIRE CONCEPT F NOM M2 3 M2 0 M2 3 CALC FONCTION COMB F FONCTION M2 1 COEF 1 DETRUIRE CONCEPT F NOM M2 1 DETRUIRE CONCEPT F NOM MATM MATK MATD DYNA SRO ACC1 Lorsque k 1 on initialise la fonction M2 3 avec le carr de la premi re r alisation produite La puissance ni me dune fonction est effectu e par le mot cl PUISSANCE de la commande CALC FONCTION La premi re estimation m w est gale la valeur SRO calcul l tape k 1 l S RO oY Ensuite on utilise une formulation r cursive afin d valuer la nouvelle valeur de l estimateur chaque it ration k SRO Co Es
12. PARA PARA NOCI LISTE R PGA _F PARA DEFA LISTE I xi else TAB1 CALC TABLE reuse TABl TABLE TAB1 ACTION F OPERATION AJOUT NOM PARA PARA NOCI DEFA VALE PGA xi ti D On peut ensuite d terminer les param tres de la courbe de fragilit l aide de l op rateur POST DYNA AL en choisissant le mot cl FRAGILITE voir U4 84 04 FI TAB POST POST_DYNA ALEA FRAGILITE F TABL RESU TAB1 y LIST PARA Ir 7 AM INI 0 3 BETA INI 0 1 FRACTILE 0 0 0 05 0 5 0 95 1 0 NB TIRAGE sns r 7 TITRE courbe l INFO 2 On donne des valeurs initiales des param tres Am et BB estimer point de d marrage pour l algorithme d optimisation via AM INI etBETA INI Si l on renseigne le mot cl FRACTILE on d termine galement les fractiles intervalles de confiance demand s par une m thode de r chantillonnage dite m thode de bootstrap Dans l exemple on d termine donc les courbes enveloppes fractiles 1 0 et 0 0 ainsi que les fractiles 0 05 et 0 95 Le r chantillonnage consiste tirer de nouveaux chantillons partir des valeurs de l chantillon original Ces tirages s effectuent avec remise voir bib1 pour plus de d tails Ensuite on d termine les param tres de la courbe de fragilit pour chaque chantillon bootstrap ce qui donne un chantillon de courbes de fragilit s On d t
13. TM 1 GENE_MATR_ALEA MATR_MOYEN MASSE DELTA 0 2 deuxi me MATK 1 GENE MATR ALEA MATR MOYEN RIGID DELTA 0 2 r alisation B MATD 1 GENE MATR ALEA MATR MOYEN AMORT DELTA 0 2 Calcul de la r DYNA DYNA TRAN MODAL MASS GENE MATM 0 ponse partir de la r alisation RIGI GENE MATK 0 AMOR GENE MATD 0 A VEIREL ACC1 RECU FONCTION RESU GENE DYNA SRO CALC_FONCTION SPEC_OSCI _F NATURE ACCE FONCTION ACC1 Calcul du maximum SROMA max SRO Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Co d e A ster Version default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 15 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 TSROMAX INFO FONCTION MAX F FONCTION SRO SROMA TSROMAX I SRO 2 Evaluation de la moyenne E0 et fki float k1 de la variance E0 SROMA fk1 k1 1 fKk1 EQ VO empirique V0 SROMA 2 fk1 fk1 1 fk1 Vv0 DETRUIRE CONCEPT _F NOM MATM MATK MATD DYNA SRO ACC1 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Co d e A ster Version default Titre Propagation des incertitudes
14. calcul analytiquement par Code Aster voir U2 08 02 et aussi R4 03 04 Il s agit n anmoins d une analyse de sensibilit locale autour d une valeur de r f rence ici la valeur best estimate ou l esp rance math matique x des variables incertaines sans prendre en compte l interaction entre les variables On voit alors ais ment que cette approche peut tre satisfaisante dans le cas lin aire mais se r v le insuffisante si le mod le exhibe un comportement non lin aire D autre part elle ne permet de calculer la sensibilit que pour des variables al atoires param tres du mod le et non pour des processus stochastiques ou matrices al atoires 5 2 Calcul num rique des indices de sensibilit Dans ce qui suit on pr sente une m thode efficace n cessitant un nombre r duit de simulations pour l approximation num rique des expressions S ainsique S bib2 5 2 1 Expression num rique pour le calcul des indices du premier ordre En reprenant les notations du paragraphe pr c dent on peut d terminer les indices du premier ordre par l expression sr RC o la moyenne et la variance empiriques s obtiennent par les estimateurs classiques T l r r r D Il gt r r Fr PETA Jin FORD f x Xaser x E y p r 1 et la variance du premier ordre V peut tre estim e par la formule bib2 f 0 Y L avec A re as i Dee PAR RE PS AR AE PI PE EE OT r l1 Le calcul pratique des par
15. che non param trique e Tirage au hasard de 2 r alisations A et B des ns acc l rogrammes dans la base de donn Boucle interne pour k2 0 m sur le nombre de sources d incertitudes consid rer Si k2 0 on prend les valeurs de la premi re r alisation A uniquement Sinon L1 0 m L1 k2 1 on fait varier la source d incertitude k2 on prend les valeurs de la r alisation A sauf pour la source d incertitude k2 pour laquelle on prend la valeur de la r alisation B 1 Calcul de la k r alisation de O t Solution du syst me matriciel classique avec les donn es d entr e matrices g n ralis es raideurs acc l rogramme pr c demment d finies 1 Extraction des ddis physiques en d placement projection sur base physique via REST BASE PHYS X f j pour un ensemble de ddis JEX pr d finis et construction des spectres de r ponse SRO j pour les ddis JE Ceci peut se faire par l encha nement des op rateur RECU FONCTION et CALC FONCTION SPEC OSCI ou directement via la macro commande MACR SPECTRE Si k2 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Co d e A ster Version default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 18 19 Responsable
16. dans une boucle Python comme d crit dans les chapitres pr c dents Par ailleurs on doit disposer d une base de donn e d acc l rogrammes excitation sismique dont les l ments sont suppos s quiprobables Dans la boucle Python de la simulation de Monte Carlo on tire au hasard l un de ces acc l rogrammes Si on souhaite hi rarchiser les sources d incertitudes le nombre d valuation de la fonction c est dire le nombre de calculs dynamiques est n anmoins plus important voir 5 2 3 Dans ce qui suit on d crit l encha nement des calculs dans un fichier de commande Code Aster En ce qui concerne l hi rarchisation des incertitudes on d termine les estimateurs des indices du premier ordre uniquement le calcul des indices totaux ne pose pas de probl me suppl mentaire En total on doit alors effectuer ns m 1 calculs num riques Soit le maximum du spectre de r ponse la grandeur d int r t qui doit tre scalaire l On effectue les simulations l aide de boucles Python dont la structure est D but boucle ext rieure pour k 1 ns G n ration des deux r alisations A et B e G n ration des 2 r alisations A et B des variables al atoires mod lisant les raideurs de but e l aide de GENE VARI ALFA e G n ration des 2 r alisations A et B des matrices g n ralis es al atoires de masse de raideur et d amortissement laide de GENE MATR ALEA appro
17. du mod le m canique e Propagation des incertitudes Calcul des ns grandeurs r sultats correspondant ces donn es e Calcul des estimateurs statistiques des grandeurs recherch es e Hi rarchisation des incertitudes Dans la m thode de Monte Carlo simple ou directe que l on utilise chacun des ns calculs peut tre fait ind pendamment des autres Afin de r duire la taille m moire n cessaire les ns g n rations et calculs sont donc effectu es s quentiellement dans une boucle avec destructions des r sultats interm diaires inutiles Les m thodes d hi rarchisation des incertitudes permettent de classer les diff rentes sources d incertitudes selon leur importance On pr sente ici la m thode la plus g n rale applicable dans le cas de mod lisations comportant aussi bien des variables al atoires que des processus stochastiques et des matrices al atoires s appuyant sur la d composition de variance bib2 Les objectifs principaux d un calcul de sensibilit sont g n ralement les suivants e Identification des variables peu ou pas influentes afin de r duire la taille du mod le ces variables ne feront alors plus objet d une mod lisation probabiliste e Identification des variables les plus influentes afin d affiner leur mod lisation ou de r duire les incertitudes si possible par exemple en collectant de nouvelles donn es afin de r duire le manque de connaissance initial Ceci conduit finalement une
18. e Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Ast os ode _ASier default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 6 19 Responsable lrmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 Prenons par exemple un chantillon de spectres d oscillateurs SRO 1 lt k lt ns pour lequel nous souhaitons calculer pour chaque pulsation les moments d ordre 1 l estimateur de la moyenne et d ordre 2 Remarque En g n ral on note par Q le param tre par exemple P esp rance math matique E X et par 0 son estimateur par exemple la moyenne empirique X Ces moments ont pour expression E SRO SRO 5 sro w iSRO w SRO L Y sRo o Dans ce qui suit on crira m SRO amp w 1 1 2 pour simplifier les notations Les deux sommes ci dessus sont ais ment calculables par une formule it rative o on met jour l estimateur au fil des simulations de Monte Carlo Il est seulement n cessaire de diff rencier le cas de l initialisation et puis la mise jour de l estimation Voici par exemple un fichier de commandes pur permettant d valuer for k in range l ns 1 MATM GENE MATR ALEA MATR MOYI MATK GENE MATR ALEA MATR MOYI EA N
19. ermine alors les fractiles pour l chantillon de courbes de fragilit s obtenu En g n ral on tire autant d chantillons bootstrap qu on dispose de valeurs dans l chantillon original Ceci est fortement conseill pour avoir des r sultats fiables Il est n anmoins possible de travailler avec un nombre de tirages inf rieur en renseignant NB TIRAGE par d faut le nombre de tirages correspond la taille de l chantillon original ici ns Dans le graphique ci dessous on donne un exemple de courbe de fragilit pour A 0 68 et B 0 25 T Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 10 19 Responsable lrmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 1 B9 nement eme eme menu unes 0 7 O6 es i O PRES ne 2 a OR RARE Te ENNER i probabilit conditionnelle de d faillance Pal 0 1 i i i 0 75 1 1 25 1 5 niveau sismique PGA 0 i 1 0 0 25 0 5 Figure 4 2 2 a Probabilit conditionnelle de d faillance en fonction du PGA Remarque La valeur de contrainte admissible peut galement tre consid r e comme une variable al atoire Dans ce cas on peut tirer des r alisation de cette variable laide de GENE VARI ALEA Remarque L a
20. es du premier ordre s s sr11nrrr1rrr1nn1nane 12 5 2 2 Expression num rique pour le calcul des indices totaux 12 5 2 3 Evaluation des expressions num riques par simulation de Monte Carlo 12 5 2 4 Exemple de mise en uvre avec Code _ Aster iiisnnnnnnnnnnnnnn 13 6 Exemple en dynamique transitoire siriasi asa anaana niaaa aaa adaa ta einai 15 6T Principe ducalculdetekimiMiste sssaaa ne 15 6 2 Principe du calcul prenant en compte les incertitudes 15 FBIDIGgraphieess nn nn De ee Ta aa aa ent te 17 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster defaki Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 3 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 1 Introduction 1 1 La m thode num rique de Monte Carlo permet de calculer diff rentes grandeurs statistiques d une variable al atoire ou d un processus stochastique Dans le contexte d un calcul m canique ou thermo m canique le principe est d obtenir ns r alisations de cette variable al atoire ou de ce processus stochastique puis d en d duire les estimations statistiques recherch es Les quatre principales tapes de la m thode de Monte Carlo sont e Mod lisation des incertitudes G n ration d un chantillon de ns r alisations des donn es al atoires d entr e
21. et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 16 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 for k2 in range m L1 0 m L1 k2 1 DYNA DYNA TRAN MODAL MASS GENE MATM L1 0 RIGI GENE MATK L1 1 Evaluation de AMOR_GENE MATD 11 2 U2 Pit rationi e k1 ACC1 RECU FONCTION RESU GENE DYNA SRO CALC_FONCTION SPEC_OSCI F NATURE ACCE FONCTION ACC1 Calcul du maximum SROMAX max SRO comme d crit ci dessus if k1 1 U1 k2 SROMAX SROMA else U1 k2 SROMAX SROMA fk1 fk1 1 fk1 U1 k2 DETRUIRE CONCEPT F NOM MATM MATK MATD DYNA SRO ACC1 Puis la fin des calculs on peut valuer les indices de sensibilit Sx For k2 in range m S k2 U1 k2 E0 2 VO 6 Exemple en dynamique transitoire 6 1 Principe du calcul d terministe On s appuie sur le cas test SDNSO1a concernant la r ponse d une plaque rectangulaire avec une but e lastique soumise un chargement impulsionnel d terministe A la place de la charge impulsionnelle on consid re une excitation sismique caract ris e par un acc l rogramme L excitation sismique peut tre d finie via les commandes DEFI FONCTION U4 31 02 et CALC CHAR SEISME U4 63 01 voir aussi R4 05 01 R ponse sismique par analyse transitoire et le cas test SDLL109a On construit la soluti
22. ification et hi rarchisation probabilistes des incertitudes dans la cha ne de calcul sismique d un circuit primaire Note EDF R amp D HT 61 06 017 A 2006 bib6 Zentner l M thodes probabilistes dans les analyses sismiques Mod lisation propagation et hi rarchisation des incertitudes Communication au colloque AFPS 2007 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html
23. ion d un niveau de param tre repr sentatif de l action sismique en g n ral on prend l acc l ration maximale du sol La probabilit de d faillance du composant est obtenue apr s convolution avec la courbe d al a sismique Pour un site donn la courbe d al a sismique repr sente la probabilit annuelle du d passement de valeurs du param tre repr sentatif de l action sismique Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster deman Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 4 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 2 Mod lisation des incertitudes 2 1 Dans le cadre de la simulation de Monte Carlo la mod lisation des incertitudes passe par la g n ration de variables al atoires et ventuellement de processus stochastiques Dans ce qui suit on suppose que l utilisateur ait choisi des lois caract risant bien les param tres incertains Pour ce faire on peut avoir recours des r sultats d essais le jugement d expert ou encore le principe du maximum d entropie voir R4 03 05 Remarquons que la terminologie de variables al atoire doit tre ici prise au sens large Ces variables al atoires peuvent tre valeurs scalaires ou matricielles Le Code_Aster est capable de g n rer des variables al atoi
24. ions de l ensemble des variables d entr e X i 1 m et d finition de deux vecteurs contenant chacun un ensemble de mdonn es 12 1 1 1 tf 0 2 2 PE EUR gAn D Del vu ae Le e D finition d un vecteur M contenant toutes les valeurs de 4 sauf la i valeur qu on prend de du vecteur B et d un vecteur M avec la ie valeur de 4 et toutes les autres valeurs comme dans B Mass er E My lx pea Pea e Evaluation de la fonction f x pour les donn es 4 y f A De m me on value les expressions y f M et yn f M partir de M et respectivement de M z e Calcul des valeurs si ll sys 1 l l am 1 Uee UR INS Une Ua In I l l l ainsi que des estimateurs de la moyenne et du moment d ordre 2 pour l it ration 7 ar l l peine le y l 2 l 2 l y Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster oc default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 14 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 Enfin au bout des ns calculs on peut valuer la moyenne comme E y E la variance empirique an F 2 M E y Avec ces informations on peut calculer les indices de sensibilit selon les formules introduites ci dessus totale peut tre estim e par l expression y _
25. iques d un module d Young etc Dans ce cas on mod lise les incertitudes de mod lisation par une approche probabiliste param trique et on utilise alors GENE VARI ALEA U4 36 07 En dynamique des structures sur base modale ces variables al atoires peuvent aussi tre les matrices g n ralis es de masse de raideur et d amortissement et ou les param tres locaux du mod le aux l ments finis Dans ce cas on mod lise la fois les incertitudes de mod le et de mod lisation par une approche probabiliste non param trique et on utilise GENE MATR ALEA U4 36 06 Ces variables al atoires valeurs scalaires ou matricielles suivent des lois de probabilit s construites par l utilisation du principe du maximum d entropie et de l information disponible voir R4 03 05 On peut consulter le cas test SDNS01 V5 06 001 pour l utilisation dans un calcul de simulation de Monte Carlo Attention Les matrices g n ralis es obtenues ne sont pas diagonales et n cessitent donc un stockage plein Remarque Le module random de Python fournit une alternative la commande GENE VARI ALEA pour g n rer des variables al atoires dont les densit s ne sont pas disponibles dans cette commande Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default
26. les indices de sensibilit totaux S s expriment comme S 1 Pa Ti V Y pe FO r X VD Vato i lt j i lt j lt k lls mesurent l effet total de la variable X savoir la quantit de variance qui subsisterait si toutes les variables sauf X taient connues Ainsi si l indice total est faible alors le fait de mod liser cette source d incertitude apporte peu ou rien pour le mod le Au contraire la taille du mod le peut tre r duite en fixant le param tre X une valeur raisonnable En effet on peut fixer une Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster in default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 12 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 variable identifi e comme non influente n importe quelle valeur dans son domaine de d finition sans changer la variance totale de mani re significative et sans perte d information Remarque1 L indice de sensibilit totale pour la variable X s crit encore SSD St D Sat i lt j i lt j lt k Remarque2 Dans un cadre d terministe on peut effectuer une analyse de sensibilit via le calcul de gradients tel que oY t zy Var x Var Y i C est l approche la plus classique Un certain nombre de ces d riv es peut tre
27. leur x 1 ou O L op rateur POST DYNA ALEA U4 84 04 permet d estimer param tres de la courbe de fragilit partir de cette table Dans ce qui suit on reproduit les commandes permettant de d terminer les param tres d une courbe de fragilit selon le mod le log normal pr sent ci dessus on effectue ns simulations de Monte Carlo for k in range ns On tire au hasard l un des acc l rogrammes dans la base de donn es dont on d termine le PGA via la commande INFO FONCTION NOCI SEISME MAX INFO FONCTION NOCI SEISME F FONCTION ACCE OPTION TOUT AMOR REDUIT 0 1 PESANTEUR 9 81 PGA MAX ACCE MAX 1 Puis on calcule l excitation sismique pour cet acc l rogramme et on effectue le calcul m canique Aster on calcule notamment la contrainte maximale Smax On teste si on a eu d faillance Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 9 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 la contrainte maximale Smax est sup rieure la contrainte admissible Sadm xi 0 si on observe d faillance if Smax gt Sadm xi 1 if k 0 TABI CREA TABLE LISTE F
28. ls Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster E default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 2 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 Table des Mati res THATOCUCNE MER A aiia aiaia en a aaaea i fre etais 3 L 1 COUrDES de fragilite SISMIQUE 222 nn nn nan men ns nn aatan eaa Eiaa 3 2 Mod lisation desSiNEertuUdeS 2 2 4 iaaa a aaa aiia eaaa otimaa ATEA 4 2 1 Varnabl s et matrices Al atoires sa aaia e aaa aaa a a Aaa a 4 2 2 PrOCESSUS SIOCHAS QUES siita rairicsicnin iua oaaae iadaaa aeaa daia aata ada aA 5 3 Propagation des incertitudes par simulation de Monte Carlo 5 3 1 Utilisation de boucles en PYINON risiini atdan iaaa 5 A Post traitement statistique sisisi eiae aa Dis ni aaea aA Aaaa 5 4 2 2 Estimation des param tres d une courbe de fragilit par maximum de vraisemblance T 5 Hi rarchisation des sources d incertit dges isuioisiinniniaioi iniaiaiai aaa 10 5 1 D finition des indices de sensibilit s l bAUX Lise ene sean sommaire srsane nn tone 10 5 1 111n0dices de sensibilit d ordre Tsss 2ousinnnsnnmemune aa aa 10 512 mdices de sensibilit totau asirurririrtin dass anani himen anann aada ana ataa aaa 11 5 2 Calcul num rique des indices de sensibilit 12 5 2 1 Expression num rique pour le calcul des indic
29. nsibilit s Ui voir 5 2 3 Fin de boucle interne k2 Fin de boucle ext rieure k 2 et des indices de gt NS A ns Ans Il Evaluation la variance empirique totale V y nm n ns a _U E y sensibilit du premier ordre pour chaque source d incertitude i Ge EG A V y Ill En post traitement on peut alors d terminer les param tres de la courbe de fragilit selon le mod le log normale laide de l op rateur POST_DYNA ALEA FRAGILITE _F TABL RESU TAB1 voir 84 2 1 7 Bibliographie bib1 Saporta G Probabilit s analyse de donn es et statistique Editions Technip 2006 bib2 Saltelli A Tarantola S Campolongo E Ratto M Sensitivity analysis in practice A guide to assessing scientific models W iley 2004 bib3 EPRI Seismic Probabilistic Risk Assessment Implementation Guide Final Report 1002989 2003 bib4 Lefebvre Y de Rocquigny E Dutfoy A Delcoigne F Sudret B Cagnac A Guide M thodologique pour le traitement des incertitudes Note EDF R amp D HT 56 2007 01798 2007 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster o default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 19 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 bib5 Cambier S Quant
30. on du mod le dynamique r duit moyen d terministe l aide d un encha nement classique d op rateurs ASSE MATRICE MODE ITER SIMULT MACRO PROJ BASE Voir SDNS012a On s int resse la r ponse du syst me calcul e sur base modale par DYNA TRAN MODAL U4 53 21 et plus exactement aux spectres de r ponses normalis s et aux observations temporelles champs de d placement vitesse acc l ration contraintes etc 6 2 Principe du calcul prenant en compte les incertitudes Les raideurs de but es sont rendues al atoires ainsi que les matrices g n ralis es de masse de raideur et d amortissement Par ailleurs l excitation sismique est mod lis e par un processus al atoire non stationnaire caract ris par la donn e de na acc l rogrammes On a donc m 5 sources d incertitudes Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Ast E oae _ Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 17 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 Les r ponses transitoires sont calcul es par la m thode de simulation de Monte Carlo directe Si on choisit un chantillon de base de taille ns on doit effectuer ns tirages de la variable al atoire et des matrices al atoires Ceci se fait au fur et mesure
31. onsid re des incertitudes sur la g om trie par exemple le jeu un param tre m canique comme le module d Young et sur le chargement par exemple le s isme on peut dire que le ph nom ne al atoire qu est le s isme la tol rance de fabrication et de montage ainsi que les propri t s du mat riau utilis e ne d pendent pas l un de l autre Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster act Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 11 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 5 1 1 Dans ce qui suit et pour simplifier les notations on suppose que les variables d entr e incertaines sont des variables al atoires v a not es X m me si toute autre source d incertitudes matrice processus peut tre prise en compte La variable de sortie c est dire la grandeur d int r t Y f X est alors galement une v a La fonction f est valu e l aide de calculs Code Aster On note E X l esp rance math matique d une variable al atoire X et V X sa variance Par ailleurs on note par E et respectivement p les estimations statistiques de ces quantit s partir d un chantillon de taille ns On cherche donc d terminer la part de la variance de Y expliqu e par une variable d entr e X
32. pproche pr sent e ici poss de l avantage de n cessiter un nombre r duit de simulations par rapport un calcul direct des probabilit s de d faillance En effet dans un calcul direct sans hypoth se de loi a priori il faut d terminer des probabilit s d v nements rares les probabilit s en queue de distribution ce qui demande un nombre de simulation de Monte Carlo tr s importants Dans l approche propos e ici on utilise non seulement l information fournit par les simulations aboutissant la d faillance mais aussi l information des calculs sans d faillance Il est n anmoins clair qu il faut avoir observ un certain nombre de cas de d faillance pour que l estimation des param tres et f par la r solution d un probl me d optimisation soit pertinente et que l algorithme d optimisation converge Hi rarchisation des sources d incertitude 5 1 D finition des indices de sensibilit s globaux L analyse de sensibilit globale s int resse la variabilit de la r ponse en fonction de la variabilit des variables d entr e Cette d marche permet de hi rarchiser les diff rentes sources d incertitudes en fonction de leur contribution la variabilit totale de la r ponse Dans ce qui suit on suppose que les diff rentes sources d incertitudes peuvent tre consid r es statistiquement ind pendantes Remarque L hypoth se d ind pendance est souvent justifi e en m canique Par exemple si l on c
33. r duction des incertitudes sur la grandeur d int r t e Am lioration de la connaissance sur le mod le valuation de la qualit du mod le les incertitudes sur la grandeur d int r t rel vent elles surtout du manque de connaissance li aux param tres du mod le ou par exemple sur l excitation sismique par nature al atoire Courbes de fragilit sismique Cette documentation pr sente une m thodologie num rique permettant de d terminer les param tres d une courbe de fragilit sismique L estimation des param tres d une courbe de fragilit se situe dans le cadre du post traitement statistique le point 3 ci dessus Dans ce qui suit on voque bri vement le cadre dans lequel sont utilis es ces courbes Les courbes de fragilit constituent l un des ingr dients d une tude probabiliste de s ret EPS sismique L objet des EPS sismique est l tude du risque de d faillance d un syst me en l occurrence l installation nucl aire compos de sous structures quipements etc La probabilit de d faillance de l installation nucl aire est alors d termin e au moyen d un arbre de d faillance recensant toutes les combinaisons possibles d v nements qui conduisent la d faillance Afin de d terminer le risque de d faillance des composants sous structures et quipements il est n cessaire de d terminer les courbes de fragilit associ es qui donnent la probabilit conditionnelle de d faillance en fonct
34. res des matrices al atoires ainsi que des processus stochastiques gaussiens stationnaires respectivement par les commandes GENE VARI ALEA GENE MATR ALEA et GENE FONC ALEA A moins d une indication contraire l aide du mot cl INIT ALEA toutes les valeurs g n r es par les trois commandes GENE VARI ALEA GENE MATR ALEA et GENE FONC ALEA sont statistiquement ind pendantes entre elles l int rieur d une m me ex cution de Code_Aster A contrario d une ex cution l autre un fichier de commande strictement identique m mes appels aux trois commandes dans le m me ordre avec les m mes arguments fournira exactement les m mes r sultats Ceci est d au fait que le g n rateur de variables al atoires utilis par Code Aster est toujours initialis la m me valeur Si l on souhaite g n rer des r sultats diff rents d une ex cution l autre alors il faut utiliser le mot cl INIT ALEA avec des valeurs majorant le nombre de termes utilis s dans les ex cutions ant rieures Attention En g n ral on peut supposer que les diff rentes sources d incertitudes sont ind pendantes On peut alors effectuer des tirages al atoires Variables et matrices al atoires Les variables al atoires peuvent tre des param tres du mod le l ments finis param tres mat riaux valeurs d un jeu d une raideur de but e last
35. ser la capacit par une variable al atoire suivant une loi log normale telle que A A o est la capacit m diane et lt d signe une variable al atoire log normale de m diane unit et d cart type logarithmique B Aussi la capacit d un composant et ainsi sa courbe de fragilit est caract ris e par deux param tres qui sont la m diane capacit m diane et l cart type B Ainsi la probabilit de ruine pour un niveau d acc l ration a donn peut s crire bib3 a In a A P la f plx d p 1 o Distribution log normale Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster on default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 11 05 2009 Page 8 19 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 1318 o d signe la fonction de r partition d une variable al atoire gaussienne centr e r duite 4 2 2 Estimation des param tres d une courbe de fragilit par maximum de vraisemblance Dans ce qui suit on consid re que l acc l ration maximale a t choisie pour caract riser le niveau d excitation sismique et donc la capacit La d marche suivie consiste alors mod liser le r sultat des exp riences num riques par une variable al atoire de Bernoulli X En effet pour chaque simulation
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