Suites et séries - Univers TI
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1. Ou u0 For i 1 n Define url E 9u f 0u Termin PT Leca iau EndFor FR PE EE ss ur 30 612364 For i 17 EndFunc Ur SU Bl2SBE Gur fle 7100 618022 1 3 tude symbolique des limites ventuelles des suites extraites Cette suite est d finie par une relation du type w 1 f u avec f continue d croissante sur R En 7 4 particulier f est d croissante sur 0 2 et f 0 21 f 2 0 045 c 0 2 On peut naturellement confier la TI Nspire CAS le soin de faire ces derniers calculs on remarquera qu il est possible d obtenir directement l image d une liste de valeurs On peut en d duire que tous les termes de la suite sont dans 0 2 La continuit de f entra ne que si la suite u converge cela ne peut tre que vers un point fixe de f contenu dans cet intervalle Les suites 2 et u2 1 sont toutes les deux monotones puisque d finies partir de g fof fonction croissante et continue sur 0 2 Va Mons Va Unj f tony UC a Wa SUny gt Wr Uni f u HEC f W J Ces suites sont born es on reste dans 0 2 et monotones Elles vont donc tre convergentes La continuit de fo f montre que la limite ne peut tre que l un des points fixes de cette fonction Il reste tudier les solutions des quations f x x et f f x x dans l intervalle 0 2 pour d terminer les limites ventuelles de u uzp et uzn41 T France 202. France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 9 2 2 Calcul it ratif des termes Un calcul utilisant un calcul de proche en proche l aide d une boucle est en fait nettement plus efficace en terme de temps de calcul Voici une fonction permettant de faire cela Define suite n Func Local i u If n 0 Then 1 Fe al when r 0 14elr 1 For i 1 n u 50 u u 1 u 2 Erreur D passement des ressources EndFor apelan Endlif EndFunc Ci dessus droite on trouve la d finition d une fonction it rative permettant de calculer les termes de la suite l aide d une boucle Dans l cran de droite on a commenc par utiliser la m thode d crite dans le paragraphe pr c dent mais il n a pas t possible d obtenir le calcul d un terme d indice un peu lev En revanche ce calcul a t obtenu sans probl me en utilisant la fonction it rative Voici quelques l ments pour comprendre les op rations effectu es par la fonction suite On commence par tester si l indice est gal celui du premier terme et dans ce cas on retourne la valeur de ce premier terme Dans le cas contraire on stocke la valeur du premier terme dans une variable u puis on r p te l op ration u u 1 u 2 autant de fois que n cessaire pour arriver au terme d indice n Le test sur la valeur de l indice et le choix des actions entreprendre est fait par la structure If Then Endif La r p tition de l
3. Suites et s ries de fonctions La fin de ce chapitre s adresse aux tudiants connaissant les notions de convergence simple uniforme et normale Nous allons voir ici comment traiter un exercice de concours sur ce sujet en utilisant la TI Nspire CAS 4 1 Un exemple de convergence uniforme X On consid re la suite de fonctions d finie pour n gt 1 par f x RES n 1 nx On demande d tudier la convergence de f et de f e tude de la convergence simple Elle ne pose aucun probl me Pour x 0 f x 0 f 0 converge vers 0 Pour x non nul E n x et il y a galement convergence vers 0 n x e Etude de la convergence uniforme On commence par d finir les fonctions et leurs d riv es RAD AUTO R EL ae x JEFRIITE z a P Aa 2 An x J EFHIA On peut ensuite rechercher les valeurs annulant f x T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 13 ant Anx solvelafn x 0 x Eo tso nn CRC Pour tudier les variations 1l faut tudier le signe de la d riv e et donc conna tre l expression de cette derni re Ale le dfre 2 ln oc et l Calculons galement les valeurs de f en rs et Ta on pourrait se contenter d un calcul f est n n impaire Il est galement facile de v rifier la valeur des limites l infini T France 2008 Photocopie autoris e 14 TI Nspire CAS en pr pa La norm
4. est comprise entre 0 et 1 Cela reste vrai dans le cas d une raison dont on ne pr cise pas la valeur mais il faut alors indiquer la condition sur cette raison gt rleo andp 1 n 0 amp Dans l cran ci dessus on a crit p gt 0 and p lt 1 on pouvait aussi utiliser 0 lt p lt 1 C est la m thode utiliser pour retrouver les formules au programme de classes pr paratoires sur les 2 sommes des nx et n x T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 11 R EL En revanche on n obtient pas de r sultat directement si l on indique seulement que p est compris entre 1 et 1 C est galement vrai m me pour une somme finie avec p fix num riquement Nous allons voir comment proc der dans ce cas dans la section suivante 3 2 S ries g om triques de raison n gative n k Calculons la somme gt f 0 2 Le calcul avec n fix est possible mais le calcul avec n symbolique donne un r sultat peu satisfaisant Lors de l affichage de l expression obtenue la TI Nspire CAS ne tient pas compte du fait que n d signe un entier Pour obtenir un r sultat plus simplifi on peut remplacer n par n1 L utilisation d une variable du type n1 n2 est un moyen d indiquer la machine qu elle travaille sur des entiers et elle n a aucun probl me pour trouver la somme de la s rie T France 2008 Photocopie autoris e 12 TI Nspire CAS en pr pa 4
5. et f 3 n 1 4 tude symbolique des suites extraites L tude compl te des suites extraites repose sur le fait que la suite est d finie par une relation du type u f u avec f d croissante v rifiant f x x en n et r e Les suites uzn et uz a sont toutes les deux monotones puisque d finies partir de g f o f fonction croissante comme compos e de deux fonctions d croissantes e La d croissance de f entra ne que si u lt u alors s 1 gt flu c est dire u gt u On montre 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2n 2 facilement que les suites uzn et u 5 ont des sens de variation oppos s e Siu gt alors en utilisant la continuit def f u Donc u converge vers f On peut montrer A x de la m me mani re que si uzn converge vers l alors uz g converge vers f e Sile premier terme u est dans un intervalle du type a b avec f f a a et f f b b la croissance de fof et donc de fo f permet d obtenir fof a lt fof u lt fof b c est dire a lt u lt b On reste dans a b e Si de plus f f x x est positif sur cet intervalle a b la suite u z est croissante sur cet intevalle car taza aE f S tn nu gt 0 Elle est d croissante si f f x x est n gatif sur a b Il est facile d tudier graphiquement le signe de f f x x sur 0 2 RAD AUTO R EL RAD AUTO R EL On peut justifier ce r sultat en re
6. n 2 n n n n07 N 2 N N N 4n 5n 3 l l 2 Aa c n 0 n n 2 n 2 n n 1 n07 Lan saa St et A e E b c n 0 n n 0 n n07 n0 00 2 00 00 D ue De a b c e n 0 n n 07 n on Il reste donc d terminer a b et c tels que le polyn me p n 4n 5n 3 soit gal au polyn me g n an n 1 bn c Il y a plusieurs fa ons de le faire avec la TI Nspire CAS Ici nous allons utiliser le fait qu il doit y avoir galit entre p n et q n pour n 0 n 1etn 2 T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 19 p n 4n12 5n 3 q n a n n 1 b n c solve p 0 q 0 and p 1 q 1 and p 2 q 2 a b c RAD AUTO R EL fa Termine solvelplol gk0 and plil gl1 and pl2i gl2i g and and c i Termin M g nli anmlm 1 bm e Terne lol sl and pl1l gl1 and plol gl2 a 4 and 1 and c i DOLF identialplahglr a faza ce laale On doit donc avoir a 4 a b 5et c 3 D o a 4 c 3 puis b a 5 4 5 l1 On obtient donc S 4 1 3 e 6e Ce qui est bien le r sultat trouv directement On peut le v rifier Paide de la TI Nspire CAS en demandant le calcul approch valider par Cen NG de ce nombre et en le comparant par exemple au calcul approch de la somme des 20 premiers termes de la s rie Comme on peut le voir la convergence de cette s rie est tr s rapide RAD AUTO R EL 1 230969097 08 16 3096409 708
7. rie 00 2 Calculer _ n 0 n N B La TI Nspire permet d obtenir directement le r sultat mais on vous demande de conduire les calculs comme vous le feriez sans calculatrice dans un exercice de ce type 4 Convergence d une s rie D terminer les polyn mes P coefficients r els tels que la s rie de terme g n ral u Vn 3n 3 P n soit convergente 5 Un exercice d oral 00 R soudre l quation 3n i r 0 n 0 6 Convergence normale d une s rie de fonctions 2 nx tudier la convergence simple et la convergence normale de Dire pour x gt 0 et a R n21 Calculer la somme de cette s rie Solutions des exercices D Point attractif point r pulsif Il est possible de pr voir la non convergence de la suite en tudiant la nature du point fixe de f On doit pour cela tudier la valeur absolue de la d riv e de la fonction pour ce point fixe Le point est un point attractif si cette valeur absolue est inf rieure 1 et r pulsif si elle est sup rieure 1 T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 17 La valeur absolue de la d riv e est strictement sup rieure 1 L unique point fixe est donc un point r pulsif La suite ne converge pas sauf si elle est stationnaire A Calcul des termes d une suite r currente double On sait que u a p bq avec p et q solutions de x x 1 0 et a et b d termin s par les conditions initiales u a b
8. sont dans 7 7 Cette suite est donc croissante fo f x x gt 0 major e par n et la limite est comprise entre u gt n et n et ne peut tre gale qu 7 m ou n Cette limite est donc gale z Dans ce cas la suite u est d croissante et converge vers 7 f r e Siu 0na u f n n puis u f n 7 etc e SiuE 1 2 tous les termes de la suite u 4 sont dans pr Cette suite est donc d croissante f o f x Xx lt 0 minor e par n et la limite ne peut tre gale qu 7 n ou n Cette limite est donc gale 7 Dans ce cas la suite est croissante et converge vers 7 f 7 U5n 2 Calcul symbolique des termes d une suite r currente Dans l exemple pr c dent nous n avons pas calcul les valeurs exactes des termes de la suite Cela peut cependant tre utile dans certains cas 2 1 Calcul par r currence L utilisation de la fonction when permet un calcul par r currence Pour d finir une suite de premier terme u et v rifiant u f u on peut utiliser l instruction u n when n n0 un0 f u n 1 Il suffit d indiquer la d finition de f et la valeur de n0 et un0 pour que la machine puisse faire les calculs n cessaires Voici le calcul de termes de la suite tudi e dans le paragraphe pr c dent T France 2008 Photocopie autoris e 8 TI Nspire CAS en pr pa ulal whenlr z0un0Auln 1 ad D passement des ressources 475184724216067530
9. 08 Photocopie autoris e Suites et s ries 5 RAD AUTO R EL aa delete and x 2 21 ds 2 k 2 solveldAxl cxlp 0 and x lt 2 x 18024 orx 1 17325 or x 1 61803 La TI Nspire CAS a chou dans la r solution symbolique de l quation f f x x Nous allons devoir lui donner un petit coup de main Il s agit en fait d une quation polynomiale de degr 4 ce qui explique l chec de la r solution mais nous sommes ici dans un cas tr s favorable puisque nous savons que les solutions de l quation f x x quation de degr 2 sont galement solutions de l quation f f x x Cela montre que le polyn me A x f f x x est divisible par B x f x x Il suffit donc de calculer ea puis de r soudre l quation C x 0 pour obtenir les solutions de A x 0 B x r union des solutions de B x 0 et de C x 0 5 fa hfs 2 55 25 3 40932 1 17325 ere 21 JS RE id a i 2 2 2 2 zeroslb x 3 40932 1 17325 zerosle x 618034 1 61803 En conclusion e les points fixes de fo f dans l intervalle 0 2 sont r _V21 4VS 2 La valeur m n est pas dans l intervalle e Les limites ventuelles des suites u2 et u2 1 sont gales 7 n ou 7 T France 2008 Photocopie autoris e 6 TI Nspire CAS en pr pa e La valeur r seul point fixe de f dans l intervalle 0 2 est la seule limite possible de la suite u On peut galement v rifier que f n 7
10. 1 et u ap bq l1 Il est possible de conduire tous les calculs n cessaires la calculatrice s zeros x 2 x 1 x p s 1 q s 2 u n a p n b q n cond solve u 0 1 and u 1 1 a b u 5 cond ula l ap thg cond solve 0 5 lon ul 10leond Nous avons calcul sans probl me certaines valeurs de u Attention par contre au calcul de u avec n quelconque En mode r el on retrouve les probl mes li s l valuation de la puissance d un nombre n gatif alors que la calculatrice ne sait pas que n est un entier T France 2008 Photocopie autoris e 18 TI Nspire CAS en pr pa RAD AUTO R EL ul lolcard g9 A R sultat non r el Ts I a aa E ula leond Erreur B sultat non r el Par exemple si le logiciel est r gl sur R el i 1i n est pas valide ulr Tecra Pour autoriser les calculs complexes r glez le mode R el ou Complexe sur RECTANGULAIRE ou POLAIRE tapet 2 HO 10 A Calcul non r el E Calcul de la somme d une s rie La TI Nspire CAS sait calculer directement la somme de cette s rie Nous allons effectuer en utilisant l aide de la TI Nspire CAS les calculs tels qu ils seraient fait la main Dans cet exercice une id e assez classique est de rechercher a b c tels que 4n 5n 3 a n n 1 b n c On crit ensuite que N 4n 5n 3 nn Sel SA D ap eaS a n 0 n n 0 i n 0 n 0 N 2 N N N 4n 1 al S SU n 0 n
11. 30086811079468501 Calcul impossible 644114876959713320822703650336885 20 1 62105 Le calcul d un terme par cette m thode peut donc parfois tre relativement compliqu et m me tout simplement impossible comme on peut le voir dans l cran ci dessus lors de la tentative de calcul de uso Le pr c dent calcul de usg passe directement en valeur approch e Il est important de comprendre que si un calcul de type r cursif est tr s simple programmer il peut cependant entra ner de gros calculs d autant que les r sultats interm diaires seront recalcul s plusieurs fois si l expression est mal formul e TPES ETE U 1 Prenons la suite d finie par uw 1 et u nee WE 2 Si l on utilise l instruction u n when n 0 1 u n 1 1 u n 1 2 le calcul du terme u va entra ner deux fois le calcul du terme u Ainsi le simple calcul de u entra nera 2 calculs de m 4 calculs de ug 8 calculs de ug 210 21024 calculs de u Si la machine n abandonne pas avant Il suffit d entrer la d finition de la suite en deux temps sous la forme f x x 1 x 2 u n when n 0 1 f u n 1 pour faire dispara tre ce probl me lors du calcul de on ne calcule plus qu une seule fois w _ puis la valeur obtenue est utilis e par la fonction f pour d terminer u ss l AN Une autre solution aurait t de remarquer que u 1 et donc d crire Un u n when n 0 1 1 1 u n 1 2 T
12. Suites et s ries Nous allons ici tudier la r solution symbolique de quelques exercices l aide de la TI Nspire CAS Vous trouverez galement des informations pr cieuses pour le cas o vous auriez faire des calculs utilisant des s ries g om triques de raison n gative La derni re partie de ce chapitre traite les suites et s ries de fonctions Sommaire SC Sd 2 1 1 tude directe graphique et num rique 2 1 2 Utilisation du tableur ou d un programme seseeeesseeieisisrsrrrrririninrnrnnen 3 1 3 tude symbolique des limites ventuelles des suites extraites 4 1 4 tude symbolique des suites extraites 6 2 Calcul symbolique des termes d une suite r currente 7 21 Calcular COUTER a AR 7 2 2 Calculterati des ter M S nn anne N Te 9 3 OGE Senan E A ni Ne dd pa 9 3 1 Calculs directs de sommes finies ou infinies 0 000neisieisisisneneieiernnnen 9 3 2 S ries g om triques de raison n gative 11 4 Suites et s ries de fonctions 12 4 1 Un exemple de convergence uniforme ssssssssiensisisrninnsisisrsrsrnrerenren 12 4 2 Un exemple de convergence non uniforme 14 4 3 lllustration graphique 14 Philippe Fortin Lyc e Louis Barthou Pau Roland Pom s Lyc e Ren Cassin Bayonne 2 TI Nspire CAS en pr pa 1 Suites Pour illustrer les possibilit s de la TI Nspire CAS dans ce domaine nous allons tudier la suite 2 Un V5 d finie par u 1 ave
13. T France 2008 Photocopie autoris e 20 TI Nspire CAS en pr pa 4 Convergence d une s rie Au voisinage de l infini Yn 3n n une condition n cessaire pour que la s rie de terme g n ral U Ynt 3n 3 P n converge est que u tende vers 0 l infini ce qui impose P n n et donc que P soit de la forme P n n an bn c Pour d terminer les r els a b et c pour lesquels la s rie de terme g n ral u converge il suffit de faire un d veloppement asymptotique de u Delar a b c oe 4 Sa l8 ab 27rc an ben e 3 E Blant pirl r 2 l d RE E FT 57 m plal 20 solvr el and La 3 4 af b 3 q 3 3 4 mel and b and ee 4 R 1 Le terme constant ainsi que le terme en doivent tre nuls ce qui donne les valeurs de a b et c n obtenues dans l cran de droite ci dessus c est un r el quelconque Ces conditions tant remplies le calcul ci dessous montre que u O 1 n et donc que la s rie converge On a donc P n n in e cER 5 Un exercice d oral 00 Comme on l a vu au paragraphe 3 la TI Nspire CAS calcule la somme de la s rie DB 3n 1 Tyd n 0 condition de lui pr ciser que x 10 1l Le rayon de convergence de cette s rie est 1 comme on peut 4 2 le voir en calculant lim Go M n gt o 3n 1 T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 21 RAD AUTO R EL dx 1 x 1l gt lempo
14. c uo 0 2 1 1 tude directe graphique et num rique Cette possibilit tait absente sur les premi res versions de TI Nspire CAS et il tait n cessaire d utiliser un classeur sp cifique Ce n est plus le cas sur les versions r centes Sur la version 3 01 et les versions suivantes il est possible d tudier directement une ou plusieurs suites repr sentation graphique et table de valeurs Voir manuel utilisation http education ti com calculators downloads FRANCE Guidebooks Detail id 6774 Il est possible de d finir la suite puis de choisir entre deux types de repr sentations TIME ou WEB On peut faire varier directement le point d finissant la condition initiale et obtenir un tableau donnant les valeurs de la suite es 411 11 Unsavecd w EE 2 View A 3 Graph Type L 1 Function iiA Window Zoom Hj 2 Parametric A D Trace amp 3 Polar 6 Analyze Graph H 4 Scatter Plot amp 8 4 Shapes 2 Construction TAS au 73 1 B Transformation E 2 C Hints mitali erms 0 2 fil 1 lt 7 lt 99 nsfep 1 nsaved ut initialterm 1 X z 5 gt AOIRA FREE i T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 3 1 2 Utilisation du tableur ou d un programme On peut aussi construire directement une table de valeurs l aide de l application Tableur amp listes On commence par d finir la fo
15. e infinie de f est donc gale m Ce qui prouve la convergence uniforme de la suite a l nn l AEE dndn 3 rg gt convergente c est une s rie de Riemann et l on a nyn n avec a gt gt l1 n l n n 2 On peut galement en d duire la convergence normale de X f puisque Vx eR avec 4 2 Un exemple de convergence non uniforme tudions pr sent la suite de fonctions d finie sur Z 0 of par g x nxe Pour x 0 la suite Z x est constamment nulle Pour x gt 0 elle converge vers 0 Il y a donc convergence simple de cette suite vers 0 On peut le v rifier condition toutefois de ne pas oublier la condition x gt Q E r al e Termine lim lelas undef r o tim lela xlo r iarain Je domaine du r sultat peut tre plus grand que L o l L tude des variations permet de montrer que les valeurs sont comprises entre 0 et e T l i La norme infinie de la fonction est lg et la suite de fonctions n est pas uniform ment e convergente sur 7 0 o 4 3 Illustration graphique On peut visualiser la diff rence de comportement entre les deux suites tudi es Nous allons directement construire les courbes repr sentatives de fi f2 fs puis de 281 2 amp 2 gs Il suffit pour cela de cr er une nouvelle page avec l application Graphiques amp g om trie T France 2008 Photocopie autoris e Suites
16. et s ries 15 Une id e naturelle serait de d finir cinq fonctions construire f1 x par f 1 x f2 x par f 2 x f3 x par f 3 x f4 x par f 4 x f5 x par f 5 x Mais il suffit en fait de d finir f1 x par f 1 2 3 4 5 x pour construire automatiquement les cinq courbes repr sentatives correspondant aux cinq valeurs de n donn es dans la liste Les constructions sont faites sur l intervalle 0 4 UE MN 52 RAD AUTO R EL rl Graduation des x AL m radiation dac wr Ben T ia Voici ce que l on obtient pour f 5 2 PAD AUTO R EL amp L affichage indique le nom de la fonction suivi du num ro d ordre de la courbe dans la liste Puis pour g RAD AUTO R EL 2 RAD AUTO R EL T France 2008 Photocopie autoris e 16 TI Nspire CAS en pr pa La diff rence de comportement est bien visible ici Dans le premier cas il y a convergence uniforme alors que dans le second on observe un ph nom ne typique de bosse glissante 4 Point attractif point r pulsif Dans le premier exemple de ce chapitre suite r currente page 6 nous avons montr que la suite ne converge pas sauf si elle est stationnaire Retrouver directement ce r sultat sans tudier les suites extraites A Calcul des termes d une suite r currente double Terme d ordre n de la suite de Fibonacci u 1 u4 1 Vn gt 0 up12 u Fun El Calcul de la somme d une s
17. marquant que le polyn me du quatri me degr f f x x se factorise sous la forme f f x x ne m x 7 x n x 7 Il est donc n gatif sur Yl honl et J3 o positif sur onl et ral T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries T Si l on se limite l intervalle 0 2 on a un signe positif sur 4 0 n et 4 r r n gatif sur h n n et I 7 2 i En utilisant les id es pr c dentes il est alors facile de pr ciser le sens de variation des suites extraites et de montrer que la suite ne converge pas sauf dans le cas particulier o u 7 e Si u 0 7 tous les termes de la suite u sont dans 0 7 Cette suite est donc croissante f o f x x gt 0 major e par n La suite converge et sa limite comprise entre 0 et et ne peut tre gale qu 7 m ou n Cette limite est donc gale 7 Dans ce cas la suite u est d croissante et converge vers 7 f 7 e Siu 7 0na u f puis u f f 7 etc e Si u f7 7 tous les termes de la suite u sont dans 7 7 Cette suite est donc d croissante f o f x x lt 0 minor e par y et la limite est comprise entre 4 et u lt n et ne peut tre gale qu 7 n ou z Cette limite est donc gale 7 Dans ce cas la suite u est croissante et converge vers 7 f 7 e Siu ona u f n n etc La suite u est stationnaire e Si u n r tous les termes de la suite w
18. nction utilis e pour la d finition de la suite r currente dans l application Calculs On peut utiliser une instruction define gauche ou la syntaxe abr g e droite Fe Define rune x Ermine Li TE o Il suffirait de modifier cette d finition pour travailler avec une autre suite r currente On ouvre ensuite l application Tableur amp listes et dans la premi re colonne du tableau on d finit la suite des entiers naturels de 0 30 seq i i 0 30 Dans la premi re case de la seconde colonne on entre ug dans la deuxi me f b1 et on copie vers le bas gr ce la fonction Saisie rapide re 39C3 Care Cae ES o sl On peut aussi obtenir les valeurs de termes de la suite dans l application Calculs Version r cursive On peut utiliser la fonction when pour d finir la suite de fa on r cursive l criture est tr s simple mais l efficacit limit e par le nombre d appels r cursifs On verra de plus un autre probl me au paragraphe 2 lors du calcul exact des termes d une suite d finie par r currence RAD AUTO R EL RAD AUTO R EL Termine ulal whenlz 0 2Aula 1 Termine ulol 612384 Version it rative La version it rative n cessite l criture d une fonction mais est plus rapide et permet de calculer des termes d indice plus grands T France 2008 Photocopie autoris e 4 TI Nspire CAS en pr pa Define ur n Func Local u i
19. op ration de calcul des termes et le d compte du nombre de r p titions n cessaires sont automatiquement g r s par l instruction For EndFor Si vous tes d butant dans ce domaine vous trouverez plus d informations dans le chapitre 14 3 S ries 3 1 Calculs directs de sommes finies ou infinies On entre le symbole somme soit l aide des mod les soit partir du menu Analyse Dans de nombreux cas 1l est possible d obtenir l expression symbolique d une somme de termes AA EEG COIAEIGEIE EE Fw RE C est en particulier le cas pour toutes les sommes finies classiques n mari n 2274192 gt gt le Su ce gt rer T France 2008 Photocopie autoris e 10 TI Nspire CAS en pr pa Il est donc inutile de perdre du temps recopier ce type de formules dans un fichier texte de votre calculatrice Celle ci permet aussi le calcul de nombreuses sommes infinies On peut aussi utiliser la fonction gosper_sum que vous trouverez dans la biblioth que de programmes poly disponible sur le site www universti nspire fr Elle permet d obtenir des r sultats dans certains cas o la fonction sum choue RAD AUTO R EL DOVE OEDErT_ SUN sn 13 An ten Anl a 15 32 en moi gesper sun iel En ce qui concerne les s ries g om triques il vaut mieux conna tre les possibilit s exactes de la calculatrice Le calcul ne pose aucun probl me lorsque la raison
20. s and x lt 1 EE ax2 13e 1 o ax 131 bc 1 7 Jn o E solve setHum La somme de la s rie et la fraction rationnelle trouv e dans l cran de gauche ci dessus co ncident sur 10 1 et donc pour des raisons de continuit sur tout l intervalle de convergence de la s rie 1 1 On est donc amen r soudre l quation 4x 13 1 0 ce qui est fait dans l cran de droite ci dessus On trouve deux racines dont seulement la seconde appartient 11 le r sultat final de l cran ci dessous s obtient en validant par en Gie 3 17 13 3 17 13 g 8 3 17 13 3 17 13 t 8 8 x 3 17116 orx 078835 La solution est donc x SEE 6 Convergence normale d une s rie de fonctions La convergence de la s rie ne pose pas de probl me Les termes sont tous strictement positifs et on peut par exemple utiliser le crit re de d Alembert un 1 x _ ntl x aa zi un x n Etudions pr sent la convergence uniforme On peut commencer par d finir le terme g n ral de la suite puis s int resser au signe de sa d riv e T France 2008 Photocopie autoris e 22 TI Nspire CAS en pr pa Si lt 0 il n y a pas de solutions u est n gative et la fonction est d croissante Pour n non nul la limite de u x en 0 est gale La calculatrice est en mesure de le confirmer sous r serve qu on pense lui pr ciser que n gt 0 Il ne peut donc pas y a
21. voir de convergence normale pas de majoration du terme g n ral ind pendante de x possible sur R En revanche sur un intervalle du type a co a gt 0 on peut majorer la fonction par sa valeur en a 2 et il y a convergence normale puisque Xn a e converge n21 EN V2a la 3 Si amp gt 0 la d riv e s annule en x D o La fonction est croissante sur LEA puis n n d croissante On en d duit que Yx gt 0 u x lt u x lu Ho Laissons la calculatrice le soin de calculer cette valeur re EE hate te x oo and a gt Joa 7 expand u aj En conclusion pour a gt 0 KENY a 2 RE RCE e HU U Q PEN Il y a donc convergence normale si et seulement si a 1 gt 1 c est dire pour q gt 4 La calculatrice permet d obtenir directement la valeur de la somme de la s rie sous r serve de pr ciser l intervalle de d finition de x T France 2008 Photocopie autoris e Suites et s ries 23 2 2 Xx x np avec p e On Pour comprendre ce dernier r sultat il suffit de voir que nx e OO peut donc utiliser la formule de calcul de Xn p n paja and amp lt 1 n 0 T France 2008 Photocopie autoris e
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