Convexité
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1. 1 de ses points affect s de Plein cran masses positives il contient le barycentre de r de ses points affect s de masses positives or X contient tout segment dont il contient les extr mit s par r currence on a donc obtenu la Fermer propri t ii iii Soit C er une famille quelconque de convexes et C leur intersection Si a et b sont deux points de cela signifie que a et b sont dans chacun des C Par hypoth se chaque C o Omer est convexe donc pour tout T on a ab C C4 L inclusion ayant lieu pour tout T on a Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 6 de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter en fait ab C C Ainsi C est bien convexe Ainsi une partie est convexe si et seulement si elle est stable par ba rycentration masses positives On notera l analogie avec les sous espaces affines 2 ENVELOPPE CONVEXE 2 1 D finition Soit X une partie de E L intersection des convexes contenant X est un convexe et c est le plus petit convexe contenant X On l appelle l enveloppe convexe de X et on le note Conv X 2 2 Remarques 2 2 1 Notez l analogie avec le sous espace affine engendr le sous espace vectoriel en gendr mais aussi avec le sous groupe engendr l adh rence i e le ferm engendr la tribu engendr e 2 2 2 Pour d terminer l enveloppe convexe de X on choisit un convexe pas trop gros X q2. A N Conv B et Conv Conv A N Conv B 2 6 3 amp Si une partie finie est contenue dans une droite D montrer que Conv A est l union des segments d extr mit s appartenant A Montrer que le r sultat reste valable avec non n cessairement finie crire comme l union de ses parties finies 2 6 4 amp Suite et fin de 114 5 e Montrer que F est contenu dans l enveloppe convexe C des points a1 a2 b1 b2 C1 C2 f Montrer que F est convexe et conclure Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 9de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 CONVEXIT ET TOPOLOGIE La topologie et la th orie des convexes sont souvent troitement li es La raison principale de ce fait est que la topologie de R est d finie l aide des boules associ es une norme or celles ci sont des convexes Nous rappelons ci dessous quelques faits importants 3 1 Normes Rappelez les axiomes d finissant une norme sur R On montre que toutes les normes sur R sont quivalentes rappelez ce que cela signifie Cela implique que les ouverts 1 e r unions de boules ouvertes pour ces normes sont les m mes 3 1 1 amp Soit une norme sur R Montrez que les boules ouvertes et ferm es de R sont convexes 3 1 2 amp Montrez que l enveloppe convexe d une partie born e de R est born e Ecrire la d finition d une partie born e d
3. rep re On consid re trois nombres r els positifs ao Bo yo et leur somme go On pose alors T o Bo 70 p E ap gt ao Bp gt bo Yp Z 0 a Identifier T 0 0 0 et T 1 0 0 b Montrer que T ao Bo yo est convexe et qu il est non vide si et seulement si oo lt 1 Que dire lorsque o0 1 c Montrer que si oo lt 1 alors T ao Bo Yo est le triangle pqr avec Bp Bo Yp Yo Qq Q0 Yq Vos Ar Qo t Br Po Comparer les directions des cot s de abc et pqr Accueil Page de Titre Sommaire 44 Page 11 de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 3 4 Si un convexe C de R est d int rieur non vide alors il est contenu dans l adh rence de son int rieur Cas o C est ferm 3 3 5 Si une partie F de R est ferm e et stable par milieux i e pour p q dans F le milieu de pq est aussi dans F alors F est convexe 3 3 6 Montrer que l enveloppe convexe d une partie finie de R est compacte on peut par exemple proc der par r currence sur le cardinal de la partie finie et utiliser 2 5 3 Ainsi un triangle un t tra dre ou un cube pleins sont compacts
4. GEOMETRIE AFFINE Document de travail pour la pr paration au CAPES Troisi me partie CONVEXIT Accueil Marie Claude DAVID Fr d ric HAGLUND Daniel PERRIN Sommaire Marie Claude David math u psud fr RE 8 d cembre 2003 EAE Dans cette troisi me partie nous tudions la notion de convexit Il s agit d une notion tr s intuitive intimement li e celle de barycentre FAN que lon rencontre au moins implicitement d s le coll ge dans les questions qui touchent aux cas de figures Attention les d monstrations Retour des propri t s de convexit m me lorsqu elles semblent videntes ne sont pas toujours faciles Plein cran Faites des dessins encore des dessins toujours des dessins Fermer copyleft LDL Licence pour Documents Libres Quitter 2 CONTENU DU COURS UNIVERSIT I Espaces affines II Barycentres II Convexit Acuei IV Applications affines Page de Titre Dans l introduction vous trouverez le mode d emploi de ce document et les conseils de navigation S SUD Table des mati res 1 D finition et propri t s 4 Page 2 de 11 M DEnntGon PES EE 4 1 2 Exemples 4 TES EEr ICES E E AE E A E E E D T E E 4 __ Peor LEA PrOpDO SUON RE RE a E CT 5 Plein cran 2 Enveloppe convexe 6 2 Detinition MN a E E E E 6 PERR DD Remarques a a 6 2 3 PTOPOSIHON NE Ne A E a e E E ion A el 6 24 Tranele o a a a 7 Quitter POT EEPE EEE on E 8 F4 UNIVERSIT PARI
5. S SUD 2 6 Exercices Convexit et topologie 3 1 Normes SD IN I TEUTIUNATANS IE ER RE CS 3 3 Exercices HR SU Accueil Page de Titre Sommaire m eE Page 4de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 D FINITION ET PROPRI T S 1 1 D finition Une partie X de E est dite convexe si pour tous points a et b de X le segment ab est contenu dans X 1 2 Exemples D montrez les affirmations suivantes m me si elles vous semblent videntes 1 2 1 amp Pour tous points a et b de E le segment ab est convexe L int rieur du segment ab not ab est le segment priv de ses extr mit s Montrez que c est un convexe 1 2 2 amp Un sous espace affine de E est convexe 1 2 3 amp Dans R les parties a col et a oo sont convexes 1 2 4 amp Dans un plan affine un demi plan ouvert ou ferm est convexe voir 11 3 7 2 et 1 4 3 1 3 Exercices 1 3 1 amp Jonction de deux convexes Soient et B deux convexes non vides de E On appelle jonction de deux convexes et B l ensemble J A B d fini par J A B 4 z E x A 3y B ze zy Montrer que C est convexe Que peut on dire quand A n est pas convexe 1 3 2 Montrez qu une union croissante de convexes index s par N est convexe Plus g n ralement si C er est une famille de convexes telle que pour tous 1 j il existe k avec Ci U Cj C Cr alors l union des C est
6. convexe 1 4 Proposition 1 Si une partie est stable par barycentration masses positives elle est convexe ii Soient X un convexe de F r un entier naturel non nul et a1 A1 a2 A2 Accueil ar r une famille de points pond r s de X de masse totale non nulle Si les masses sont toutes positives ou nulles alors le barycentre de la famille Page de Titre appartient X iii L intersection d une famille de convexes est un convexe D monstration Sommaire 1 r sulte de la d finition ii Nous allons d montrer ce r sultat par r currence sur r X gt gt a La propri t est vraie pour r 1 et r 2 par d finition b Soient a1 A1 a2 2 ar Ar une famille de points pond r s de X de masse totale non nulle et g son barycentre Si l une des masses est nulle le barycentre g de gt est le m me que celui d une famille de r 1 points donc si le barycentre de r 1 points affect s de masses positives est dans X celui de l est aussi Sinon n est pas nul et la Page 5 de 11 famille A _1 a1 A1 a2 A2 ar 1 Ar 1 est de masse totale non nulle Si X v rifie la propri t pour r 1 points affect s de masses positives le barycentre g de RE est dans X Alors par l associativit des barycentres g appartient au segment g ay et donc o Por X On a donc montr que si X contient le barycentre de r
7. e R en terme de boules 3 2 Int rieur d un triangle 3 2 1 Proposition L int rieur topologique du triangle abc est l ensemble des points m de R dont les coordonn es barycentriques a 3 7 dans le rep re a b c sont strictement positives D monstration Soit P resp P P le demi plan ferm m R a gt 0 resp 8 gt 0 y gt 0 Le triangle abc est l intersection des trois demi plans de P P et P donc son int rieur topologique est l intersection des trois demi plans ouverts int rieurs de Pa Pp et Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 10 de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter P c est dire l ensemble des points m de R dont les coordonn es barycentriques a 8 y dans le rep re a b c sont strictement positives 3 2 2 L int rieur de abc est encore convexe 3 2 3 amp Si un point m est situ sur un segment ap avec p bc alors m est dans l int rieur de abc R ciproque 3 3 Exercices 3 3 1 amp Montrer que l adh rence d un convexe est convexe 3 3 2 Montrer que l int rieur d un convexe est convexe Si est convexe que x et y appartiennent son int rieur et z au segment xy on utilisera l homoth tie de centre y qui envoie x sur z 3 3 3 amp Soit a b c un rep re d un plan affine E On note a Bp Yp les coordonn es barycentriques d un point p de E dans ce
8. ositifs Donc p X 2 4 Triangle 2 4 1 D finition Soient a b et c trois points affinement ind pendants d un plan affine Le triangle plein abc est l enveloppe convexe des points a b et c Les sommets du triangle abc sont les points a b et c Les c t s de abc sont les segments ab ac et bc 2 4 2 Corollaire Le triangle abc est l ensemble des points m dont les coordonn es barycen triques dans le rep re a b c sont positives ou nulles D monstration R sulte de la proposition 2 3 et de la d finition des coordonn es barycen triques Page de Titre Sommaire 44 gt gt lt 4 gt Page 8 de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 5 Exemples 2 5 1 amp Montrer par l exemple du triangle plein qu en g n ral l enveloppe convexe d une partie X n est pas l union des segments d extr mit s appartenant X On a cependant 2 5 2 amp Montrez que si et B sont convexes J A B voir 1 3 1 est l enveloppe convexe de U B 2 5 3 amp Montrer que si A est convexe et b un point de Conv A U b est la r union des segments ab o a est dans A 2 6 Exercices 2 6 1 D terminer Conv A si A est la r union de la droite x y y 0 et du point 0 1 dans R L enveloppe convexe d une partie ferm e de R est elle toujours ferm e 2 6 2 amp Soient et B deux parties de E tudier les inclusions entre Conv AN B Conv
9. ui contient X et on essaye de montrer qu il est contenu dans tout convexe contenant X la d monstration de la proposition suivante donne un exemple de ce proc d 2 3 Proposition L enveloppe convexe de X est l ensemble des barycentres des familles finies de points de X affect s de masses positives Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 7 de 11 Retour Plein cran Fermer Quitter D monstration On note X l ensemble des barycentres des familles finies de points de X affect s de masses positives D apr s la propri t 1 4 ii des convexes X est contenu dans Conv X Evidemment X contient bien X les singletons tant des parties finies parti culi res Pour conclure il reste montrer que X est convexe Soient a et b deux points de X il existe donc deux suites finies de points ao an et bo bm ainsi que deux suites finies de r els strictement positifs S0 Sn t Lo tm avec X7 osi ot 1 tels que a EF opsiai et b El 5t b Un point p du segment ab est de la forme p a 1 b avec 0 1 Nous pouvons appliquer ici le th or me de double associativit pour les barycentres nous obtenons que p est le barycentre de la famille ao ah bo bm affect e des coefficients s0 A Sn 1 t0 1 t En particulier p est barycentre d une famille finie de points de X affect e de coefficients strictement p
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