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Barycentres

1. Remarquez que a appartient ET Notre but est maintenant de transformer cette d finition g om trique en une d finition analytique nous nous donnons un rep re affine a b c de E o a est choisi comme origine Nous allons caract riser les points de E d abord par leurs coordonn es cart siennes puis par leurs coor donn es barycentriques dans le rep re a b c Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 24 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 4 3 2 amp Dans le rep re affine a b c on suppose que l quation de la droite bc est donn e par la forme affine f cf IV 2 6 5 m bc amp f m 0 et que f a est positif On veut montrer mE Et amp f m gt 0 Soient m un point de E et m la fonction de R dans R d finie par Pm t f a tan i Montrez que m est une fonction polyn me de degr au plus 1 Pour quels points m est elle constante En d duire qu une quation de la droite A passant par a et parall le bc est f m f a ii Soit m tel que m n est pas constante quand m s annule t elle Etudier son signe En d duire que si m n appartient pas A la droite am rencontre bc en un point unique pet que ET est l ensemble des points m qui v rifient f m gt 0 Explicitez cette criture en coordonn es cart siennes iii Montrez l aide des d finitions g om triques que si m n est pas sur A on
2. a b sont concourantes en un point g si et seulement si g est barycentre de a et b de a et b de a et de b il n est pas tonnant que la propri t d associativit du barycentre entra ne des r sultats de concourance Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt lt 4 gt Page 14 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 REP RES AFFINES ET COORDONN ES 3 1 La remarque de base Proposition Soient k 1 points ao a1 ag de E Le sous espace affine Aff ao a1 ag est de dimension au plus k D monstration Par d finition la dimension de Aff ao a1 ag est celle de sa direction D apr s 1 4 3 la direction de Aff ao a1 ax est le sous espace vectoriel Vect aoa i aoak S KA gt qui admet donc un syst me g n rateur de k vecteurs aoai aoax sa dimension est alors au plus k 3 1 1 Remarque On notera la diff rence avec les espaces vectoriels il faut k 1 points pour engendrer un sous espace affine de dimension k c est normal il faut une origine en plus 3 2 Points affinement ind pendants D finition Soient ao a1 ap des points de E On dit que ao a1 gt ak sont affinement ind pendants si le sous espace affine engendr par les a est de dimension k 3 2 1 Remarque On notera que cette notion est ind pendante de l ordre des a 3 2 2 Exemples 1 Deux points distincts sont aff
3. Eon Sommaire gt gt gt Page 1 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter GEOMETRIE AFFINE Document de travail pour la pr paration au CAPES Deuxi me partie BARYCENTRES Marie Claude DAVID Fr d ric HAGLUND Daniel PERRIN Marie Claude David math u psud fr 8 d cembre 2003 Dans cette deuxi me partie nous tudions la notion de barycentre qui est la traduction en affine du concept de combinaison lin aire dans un espace vectoriel Le lecteur verra que c est un outil tr s efficace pour faire de la g om trie et notamment pour montrer que des points sont align s ou que des droites sont concourantes Faites des dessins encore des dessins toujours des dessins copyleft LDL Licence pour Documents Libres 2 CONTENU DU COURS UNIVERSIT I Espaces affines II Barycentres II Convexit Acuei IV Applications affines Page de Titre Dans l introduction vous trouverez le mode d emploi de ce document et les conseils de navigation S SUD Dans cette partie E est un espace affine Page 2 de 25 Table des mati res pan 1 D finitions et propri t s 4 il Fointpondere ME NE OR NE a a NE t2 a Massetotle raa e a E E E 4 ENEE ES Barycente a a a a a a a E a a 4 lA Remarques e a e A e S E E E E E A 5 Fermer LST Seement PE EE E E E E a E A 7 16 T lsoparycentre ER E E E 7 Quitter 17 Parall lopranime oon n s ea a a a E a EC EE 8 1 8 Associativit du barycentre 8
4. Les barycentres permettent une nouvelle des cription du sous espace engendr par un nombre fini de points Proposition Soient amp o a E L ensemble des barycentres des a avec toutes les masses possibles de somme 1 est gal au sous espace affine Af ao ar engendr par les a D monstration 1 Si g est le barycentre des a affect s des masses de somme 1 on crit M g ao amp 0 ao X Aimoa E de sorte que g est bien dans le sous espace engendr par les a Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt lt 4 gt Page 13 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 R ciproquement si g est dans le sous espace engendr par les a on crit T T gt gt g ao D Aiola amp o D Aiao i 1 i 1 et en d composant chaque vecteur apa en aod ga on obtient D D i 1 i 1 et donc g est le barycentre des a affect s des masses 1 nor 1 7 Are 2 2 1 Interpr ter la proposition pr c dente dans le cas o E est l espace affine de 1 1 2 et o les points a sont les points 4 j k de 1 4 10 2 2 2 Soit une partie quelconque de E Montrer que Aff est l ensemble X des barycentres des familles finies de points de affect s de masses quelconques K En particulier si a et b sont deux points distincts de la droite ab est l ensemble de tous les barycentres de a et b Ainsi trois droites ab a b
5. si V est une partie non vide de E stable par barycentration alors V est un sous espace affine de E D D monstration 1 Supposons V affine de direction V Soient a1 a des points de V et soit g le barycentre de la famille a avec 3 1 Soit a un point de V On a donc ag se aa Comme a et les a sont dans V les vecteurs aa sont dans V donc aussi leur combinaison lin aire ag Comme a est dans V il en r sulte que g est dans V Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 12 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 R ciproquement supposons V stable par barycentration Soient a x y des points de V et un scalaire D finissons les points z et t de E par les formules a ax ay et at Xax Par d finition d un sous espace affine il s agit de montrer que z et t sont dans V Mais en utilisant la relation de Chasles on obtient les formules Z Z z ni et 1 fa XEx T qui montrent que z et t sont des barycentres des points a x y donc sont dans V Ainsi les sous espaces affines sont exactement les parties stables par barycentration Cela fournit une nouvelle m thode pour montrer qu une partie est un sous espace affine 2 1 1 amp Soit V une partie non vide de F telle que pour tous a b distincts dans V la droite ab est contenue dans V Montrer que V est un sous espace affine K 2 2 Sous espace affine engendr
6. Do Die M X5 0 Xi et cette quantit est non nulle par hypoth se Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 9 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter gt z Par d finition du barycentre on a o Hkbbk 0 soitencore o Dei gt gt 0 En appliquant la relation de Chasles bb ba a b pour i Jg on obtient DD TENTE Dait D Nab k 0 iE Jk k 0 i Jk k 0 i Jk gt gt Comme bx est le barycentre de la famille a i Jk on a D Aiaibk 0 pour tout k On en d duit gt de D d o le r sultat Cette proposition a de tr s nombreuses applications outre les r cur rences qu elle permet elle entra ne l identit d un grand nombre de ba rycentres autant qu il y a de partitions I JoU U J comme dans la proposition Les applications directes suivantes doivent tre connues 1 8 1 amp sobarycentre de trois points Soient a b c trois points non align s d un plan af fine g l isobarycentre de a b c et a b c les milieux de bc ca ab Montrer que g est le point d intersection des m dianes aa bb cc et qu il est situ au tiers de chacune gt 9 pes il d elles par exemple on a a g 34 a 1 8 2 amp Construire un triangle partir de ses m dianes Etant donn trois droites concou rantes construire un triangle admettant ces droites
7. a l qui valence me t 4 gt me fpa On cherche maintenant une condition n cessaire et suffisante sur les coordonn es bary centriques a B y de m dans le rep re a b c pour que m appartienne ET e Appliquer les r sultats pr c dents au cas o le rep re choisi est b c a d terminer f et f a f Caract riser les points de A et de ET par leurs coordonn es barycentriques 2 g D crire l ensemble des points v rifiant 3 Accueil Page de Titre Sommaire 44 Page 25 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 4 4 Barycentres aires et triangle Soit un triangle abc dans un plan affine P Soit m un point du plan Une base B de P tant donn e on appelle aire alg brique du triangle za 1 e construite sur les vecteurs m et mb dans cet ordre le nombre r el gt detg m mb que l on notera Aalg mab On pose ao Aalg mbc o Aalg mca et yo Aalg mab 4 4 1 Montrer que m est barycentre de a ao b Bo et c Yo 4 4 2 On se place maintenant dans le plan affine euclidien et on suppose que m est dans l int rieur du triangle Pour retrouver le r sultat pr c dent Utiliser le produit vectoriel en Terminale Utiliser la d finition de l aire g om trique d un triangle l aide de la hauteur au col l ge On pourra commencer par le cas o m est sur un c t du triangle 4 4 3 Application Montrer que les m dianes
8. dit masse totale de la famille de points pond r s a1 A1 a2 2 ar Ar 1 3 Th or me et d finition Soit a1 A1 a2 2 a r une fa mille de points pond r s de masse totale non nulle Il existe un unique point g de E qui v rifie l une des conditions quivalentes suivantes r _ PF i D io Aga 0 i Ya E R gt aga 0 s 120 r j EE D A gt Xiali i A iv ve E S a 30 bar Chacune de ces conditions doit tre sue et utilis e selon le contexte il est maladroit de se contenter d en apprendre une et de red montrer les autres quand celles ci donnent le r sultat directement Chacune correspond un choix particulier d origine dans iv Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 5 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter Le point g est appel barycentre des points a affect s des masses ou barycentre de la famille a1 A1 a2 A2 ar Ar D monstration Montrons d abord que les conditions sont quivalentes Il est clair que i et ii sont quivalentes et que iv implique iii Pour voir que i implique iv on crit la relation de Chasles avec un point b quelconque ni z iga Ai gb bai gb 5 bas iU i 0 i 0 i 0 d o le r sultat La d monstration du fait que iii implique i s obtient en lisant le calcul pr c dent l envers L existence et l u
9. droites plans etc Cependant les coordonn es cart siennes font jouer un r le particulier l origine cette dissym trie peut compliquer inutilement une d mons tration Pour traiter analytiquement un probl me o tous les points jouent le m me r le il vaut mieux utiliser les coordonn es barycen triques que nous introduisons ci dessous 3 7 Coordonn es barycentriques Proposition et d finition Soient ao a des points de E affinement ind pendants de sorte que ao a est un rep re du sous espace affine engendr V Aff ao a Alors tout point m de V s crit de ma ni re unique comme barycentre des points a affect s de masses v rifiant X o A 1 Les r els s appellent les coordonn es barycentriques de m sur le rep re ao ar de V D monstration Il reste prouver l unicit de l criture de m comme barycentre D apr s la d finition iv du barycentre supposons qu on ait la fois r r r r gt gt 3 aom J Ai aoa et aom J Hi aoQ i O J y Hill i 1 i 1 i 0 i 0 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 19 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter Alors comme ao ar est un rep re les vecteurs aoa sont lin airement ind pendants de sorte que l on a y pour 1 r Enfin on en d duit o po gr ce la relation 3 Xi Da bi 1 3 7 1 amp Voici le genre de manipu
10. est de dimension k 1 Mais alors comme ap n est pas dans Xo l espace X engendr par ao ax est strictement plus grand que Xo donc de dimension gt k donc gale k en vertu de 3 1 et on a prouv que les points sont affinement ind pendants ii gt i On raisonne par r currence sur k Pour k 1 la propri t est vidente gr ce 3 2 2 i Passons de k 1 k Pour gt 0 le point a n est pas dans le sous espace affine engendr par a1 4 ag Par l hypoth se de r currence les points a1 ax sont donc affinement ind pendants L implication iii i permet alors de conclure Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 16 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter En vertu de 4 3 on a pour tout 4 X Aff ao ax a Vect a j i a VW Cela montre aussit t i iv L implication iv v est vidente Enfin si on a v avec l indice on applique la formule x L espace vectoriel V est de dimension k et on en d duit que X est un sous espace affine de dimension k ce qui montre i Les propri t s iv ou v montrent que si les points ao ax sont affinement ind pen dants il en est de m me de toute sous famille de points Combin avec i ii cela ach ve de montrer i iii 3 3 1 amp Expliciter les conditions dans le cas de quatre points 3 3 2 Remarque L assertion Ji 0 k a
11. masse par un m me nombre non nul On peut donc supposer que la masse totale J gt _o de la famille est 1 en prenant 1 4 7 Notation Lorsque 5 1 on notera parfois le barycentre gt _o a Cela revient consid rer les points comme des vecteurs en vectorialisant partir d un quel conque de ses points C est la formule iv 1 4 8 amp Soit a1 A1 a2 2 ar une famille de points pond r s de R o a est le couple x yi et o la masse totale Ta n est pas nulle Alors le barycentre de la famille a1 A1 a2 2 ar est le point x y tel qu on ait 7 i i z i i r Lis T et D Li y s 1 4 9 amp G n ralisez ce dernier r sultat R3 R 1 4 10 amp Dans l espace affine de l exemple I 1 2 d terminer le point m barycentre des points 1 0 0 j 0 1 0 et k 0 0 1 affect s des coefficients a b c avec a b e Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 7 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 4 11 Les fonctions scalaires c est dire m D Aima et vectorielle c est S A n gt ns nee 3 dire mt _ Asmai de Leibniz que vous avez rencontr es dans le secondaire et qui se calculent l aide de barycentres sont au programme du CAPES et notamment de l oral Vous devrez donc les avoir revues pour le concours 1 5 Segment Gr ce a
12. 0 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 7 3 amp Soit E le plan de R d quation x y z 1 cf I 1 2 et 1 4 10 Si m x y z est un point de E quelles sont ses coordonn es barycentriques dans 4 j k 3 7 4 Coordonn es barycentriques et triangle On note q 8 y les coordonn es barycentriques d un point m du plan sur le rep re a b c a On suppose que m n est pas situ sur les droites bc ca ab Traduire cette condi tion sur a b y b On suppose les droites am bm cm respectivement non parall les bc ca ab Traduire cette condition sur a B 7 c Sous les hypoth ses pr c dentes on d signe par a b c les intersections de am bm c avec bc ca ab Calculer les coordonn es barycentriques de a b c sur a b c puis celles de m sur a a b b c c 3 7 5 de Th or me de C va Soient a b et c trois points affinement ind pendants d un plan affine E i e tels que dim Aff a b c 2 cf 3 2 On consid re trois points a b et c sur les droites bc ac et ab on suppose a amp b c b fa c et c a b Montrer que les droites aa bb et cc sont concourantes ou parall les si et seulement 00 ue Ci sr si le produit x x vaut 1 cf IV 4 1 pour la d finition du rapport de deux ae ba b vecteurs Lorsque chaque rapport vectoriel vaut 1 on retrouve un r sultat connu
13. Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 3 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 19 Leth oreme de double associativit e c m a mn eee e a e Barycentres et sous espaces affines 2 1 Caract risation des sous espaces atfines o ooe ooe e m ee e oee e aa 22 Sous espace afine engendie a ee aena e ea Rep res affines et coordonn es 3e Laremargue debase e naa a E ETES PE E TEE E 3 2 Points affinement independants e a n e e e e 33 Crit res diindependance atine lt e a a a a e JA D NIORT a A a A A E DS Proposito n Aan ER Te T 3 6 Coordonn es cart siennes selon umtep re a e eer e oeeo e 3 7 Coordonn es barycentngues e e r eea onee ea a Compl ments sous forme d exercices 4 1 amp Equation barycentrique d une droite PM DEMI ATONES A RE A E E A E E Aora Demi plans EN RE TE E E E E E E S A Aa Barycentes ames etirniansie en a a a Rd C0 T S Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt lt 4 gt Page 4 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 D FINITIONS ET PROPRI T S 1 1 D finition On appelle point pond r un couple a o a est un point de FE et un r el Le nombre est appel le poids ou la masse de a A L intuition de points affect s de masses est excellente mais attention contrairement ce qui se passe en physique ici les masses peuvent tre n gatives 1 2 D finition Le r el _o est
14. Aff ao 4 amp ag n impli que pas l ind pendance affine des k 1 points amp Donnez un exemple 3 4 D finition Soient E un espace affine de dimension n et V un sous espace affine de dimension k Un rep re affine de V consiste en la donn e d une suite de k 1 points amp o az affinement ind pendants de V 3 4 1 amp Montrez qu alors le sous espace affine AfF ao az est gal V 3 4 2 V rifiez que les points i j k forment un rep re affine de E cf 1 1 2 et 1 4 10 Comme dans les espaces vectoriels un rep re est donc libre et g n ra teur mais attention il faut un point de plus Attention un rep re affine est une suite ordonn e de points Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 17 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 4 3 Montrez qu un rep re affine d une droite est un couple de points distincts de la droite un rep re affine d un plan un triplet de points non align s du plan un rep re affine de l espace de dimension 3 un quadruplet de points non coplanaires de cet espace 3 5 Proposition Soient V un espace affine de dimension k et ao ak des points de V Les assertions suivantes sont quivalentes 1 amp o ak forment un rep re affine de V ii apai ao forment une base de V iii Pour tout 0 k le point a n appartient pas AfF ao Gi ak n est pas barycent
15. Lequel 3Les techniques de ce paragraphe sont tr s utiles pour r soudre de nombreux probl mes de concours de droites ARST Accueil Page de Titre Sommaire A EME Page 21 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter Contrairement au th or me de Thal s le r sultat pr c dent n est pas explicitement au programme du CAPES Il appara t cependant tr s fr quemment dans les preuves crites sous une forme plus ou moins dissimul e 3 7 6 amp Application Soit a b c un rep re du plan affine On consid re les points a b et c de coordonn es barycentriques respectives 0 2 3 1 3 3 4 0 1 4 et 3 5 2 5 0 Les droites aa bb et cc sont elles concourantes Si oui donner les coordonn es barycentriques du point de concours 3 7 7 amp Th or me de Gergonne M me situation que C va on suppose aa bb cc concourantes en m Montrer que l on a gt gt gt am bm cm Un a a b b CE 4 COMPL MENTS SOUS FORME D EXERCICES 4 1 amp Equation barycentrique d une droite Soient E un plan affine et a b c un rep re de E On appelle x et y les coordonn es cart siennes d un point m de E dans ce rep re ami xab ya et a B y les coordonn es barycentriques de m sur ce rep re a 5 7 1 On consid re trois points m1 M2 Mmg du plan Posons T T2 T3 A1 Q2 Q3 D ly y2 y et A B b2 3 1 1 1 DIMM Accueil Page de Titre S
16. Utiliser un d terminant pour donner une d monstration du Th or me de M n laus 1V 7 7 2 4 2 Demi droites D finition Soient a et b deux points distincts de La demi droite ab Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 23 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter est l ensemble des points p de ab tels que le segment semi ouvert bp bp p ne contienne pas a Soit m un point de ab On a donc am ab avec r el a Montrez que ab est l ensemble des points m de ab tels que soit positif ou nul on note TT cf IV 4 1 b Montrez que ab est l ensemble des points de ab dont la coordonn e barycentrique sur b dans le rep re a b est positive c Montrez enfin que si a b c est un rep re affine d un plan affine alors ab est l ensemble des points m dont les coordonn es barycentriques sont de la forme a 8 0 avec 5 gt 0 4 3 Demi plans D finition Soient a b et c trois points non align s d un plan affine E Le demi plan ferm d limit par bc et contenant a not E dans la suite est eut des points m de E tels que bc ne coupe pas am i e bc A am 4 3 1 Faites un dessin pour vous convaincre que cette d finition correspond bien g o m triquement l intuition d un demi plan Qu obtiendrait on si dans la d finition on rem pla ait ne coupe pas am par ne coupe pas am
17. barycentre des a on a ER Xjgai gb en vertu de 1 3 iii Mais comme g est le barycentre des bj u4 on en d duit que le vecteur X _o vi ga est nul d o la conclusion par 1 3 i Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 11 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 9 1 amp Soit g l isobarycentre d un triangle abc Ecrire le milieu de ag comme bary centre des points a b et c 1 9 2 amp En utilisant 1 3 2 ou la double associativit du barycentre montrer que les tri angles abc et a b c ont m me isobarycentre si a resp b c est le milieu de bc resp ca ab L exercice suivant sera repris tout au long de ce chapitre 1 9 3 Soient abc un triangle a un point du segment bc b un point du segment ac et c un point du segment ab On veut d terminer l ensemble F des isobarycentres des points a b et c a Ecrire ces hypoth ses comme en 1 5 a un point du segment bc i e a est barycentre de b a c 1 a b Ecrire l isobarycentre de a b et c comme un barycentre de a b et c suivre en 4 5 2 BARYCENTRES ET SOUS ESPACES AFFINES 2 1 Caract risation des sous espaces affines Proposition Soit V un sous espace affine de Alors V est stable par ba rycentration i e le barycentre de toute famille finie de points de V pond r e de fa on quelconque est encore dans V R ciproquement
18. comme m dianes utiliser 1 7 1 1 8 3 de Centre de gravit d un t tra dre Soient a b c et d quatre points non coplanaires de E ces points d terminent un f tra dre leur enveloppe convexe cf II1 2 1 dont ils sont Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt lt 4 gt Page 10 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter les sommets et g leur isobarycentre On note 1 j k i j k les milieux des segments ab ac ad cd bd et bc Montrer que les droites ii jj et kk sont concourantes en g Que dire des droites joignant un sommet du t tra dre au centre de gravit de la face oppos e ce sommet Que dire des 6 plans Aff abi Aff acj Aff adk Aff cdi AF bdj AF bck Donner des constructions g om triques du centre de gravit d un t tra dre 1 9 Le th or me de double associativit Proposition Soient amp o a et bo b deux familles de points de E Pour tout j 0 r on suppose que b est barycentre des points a affect s des masses avec 5 1 pour tout j Soit g le barycentre des points b affect s des masses u avec De uj 1 Alors g est barycentre des points a le a a affect s des masses v j 0 Li Suppos es non nulles D monstration Notons d j qu on a DD D aa ut i 0 i 0 j 0 j 0 i 0 j 0 On a aussi les relations n iti T n Dem nas Duh Zas i 0 5 0 j 0 i 0 i 0 Comme b est le
19. et les c t s d un triangle d finissent six petits triangles de m me aire 4 5 amp Suite de 1 9 3 Pour k gal 1 ou 2 on pose k k k ax b zbe be RC ck a Tab c Montrer que F contient les points a1 a2 b1 b2 C1 C2 d Donner un encadrement des coordonn es d un point g de F dans le rep re affine a b c Montrez que F est contenu dans un hexagone intersection de 6 demi plans que l on dessinera A suivre en II 2 6 4
20. idienne cette caract risation est tr s importante Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 8 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 6 2 amp Donnez les coordonn es du milieu de deux points de R puis de l isobarycentre de n points de R D terminer l isobarycentre des points i j k de 1 4 10 1 7 Parall logramme 1 7 1 amp Montrez que aba b est un parall logramme cf 1 6 4 si et seulement si les seg ments aa et bb ont m me milieu 1 7 2 amp Soient trois points non align s a b et c et un point d dans bc Construire un point m sur la droite ab tel que le milieu n de cm soit sur la droite ad 1 8 Associativit du barycentre Le r sultat suivant permet de remplacer dans la recherche d un bary centre un groupe de points pond r s par leur barycentre affect de la somme de leurs masses si elle n est pas nulle Proposition Soit Z 0 1 n Supposons qu on ait une partition de T soit Z JoU U J les Jg tant disjoints Soient ao a des points de E et Ao des scalaires de somme non nulle Pour chaque k 0 1 r on suppose que uk J e J Ai est non nul et on note b le barycentre de la famille a i Jk Alors X o Hk est non nul et le barycentre b des points bx affect s des masses ux k 0 r est aussi le barycentre de la famille a i I D monstration On a Doux
21. inement ind pendants ii Trois points non align s sont affinement ind pendants D montrez i et ii Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 15 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 3 Crit res d ind pendance affine Proposition Les assertions suivantes sont quivalentes 1 Les points ao amp 1 ag Sont affinement ind pendants ii Vi 0 k a Af ao amp ax o la notation si gnifie qu on omet le point a ii bis Vi 0 k a n est pas barycentre des points ao amp ak iii Les points ao 1 ax_1 Sont affinement ind pendants et ay n ap partient pas AF ao ap 1 i e n est pas barycentre des points ao ag iv Pour tout i 0 k les vecteurs aga a1 j_1 Q10 t sont lin airement ind pendants v Il existe 0 k tel que les vecteurs a a 1 Gi 10 a410 soient lin airement ind pendants D monstration L quivalence de ii et ii bis r sulte de 2 2 Montrons i ii On a vu en 3 1 ci dessus que le sous espace Xi Af ao NOTE k engendr par k points est de dimension lt k 1 Si a est aussi dans X le sous espace engendr par ao ax est gal X donc de dimension lt k 1 ce qui contredit i iii i Comme les points ao ax_1 sont affinement ind pendants l espace Xo Af ao ax _1
22. lations qu il faut savoir effectuer Dans le plan R on consid re les trois points a 3 1 b 1 2 et c 0 1 Montrez que a b c est un rep re affine de R D terminez les points p et q de R dont les coordonn es barycentriques dans a b c sont respectivement 4 4 4 et 4 4 4 Quelles sont les coordonn es barycentriques dans a b c du point r de IR dont les a coordonn es cart siennes dans a ab a sont 2 1 Enfin donnez les coordonn es barycentriques dans a b c du point g barycentre de p 1 g 2 r 5 3 7 2 Le th or me de double associativit sur les barycentres cf 1 9 se traduit en termes de coordonn es barycentriques sous la forme suivante Proposition Soit ao an un rep re affine de E et soient bo b des points de On suppose que b a pour coordonn es barycentriques i 0 n sur le rep re ao an Soit g le barycentre des b affect s des coefficients uj avec 2 u 1 Alors les coordonn es barycentriques de g sur le rep re ao an sont les nombres v X 5o HA x Si de plus on a r n et si bo bn est aussi un rep re affine de E de sorte que les u sont les coordonn es barycentriques de g sur le rep re bo bn la formule d crit comment varient les coordonn es bary centriques de g dans le changement de rep re Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 2
23. nicit du point g sont claires avec iii si on choisit a E quelconque X r i et si on pose J o i On a g a aa E i 0 1 3 1 amp Soient a b et c trois points non align s d un plan affine Soient g le barycentre de a 6 b 2 et w le barycentre de a 2 b 1 2 c 1 2 Sur une figure placer les points a b c g et w 1 3 2 amp Montrer que les triangles abc et a b c ont m me isobarycentre si et seulement si gt 3 aa bb cc 0 1 4 Remarques 1 4 1 Le barycentre est une moyenne des points pond r s la barycentration est ana logue une int gration et s utilise souvent de mani re analogue 1 4 2 Le barycentre ne d pend pas de l ordre des points pond r s Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 6 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 4 3 On ne demande pas que les points a soient deux deux distincts 1 4 4 amp Existe t il dans le plan affine quatre points a b c et m tels que m soit barycentre du syst me a 1 b 1 c 1 et barycentre du syst me a 2 b 0 c 2 1 4 5 Si est nulle alors le barycentre de la famille a1 A1 a2 2 an An est le barycentre de la famille a1 A1 a2 2 an 1 An 1 1 4 6 Tr s important Gr ce ii on voit qu on ne change pas le barycentre quand on multiplie chaque
24. ommaire 44 gt gt gt Page 22 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter Montrer que les trois points m1 M2 M3 sont align s si et seulement si D ou A est nul En d duire que l quation barycentrique d une droite c est dire la relation qui lie les coordonn es barycentriques de ses points est de la forme Aa u8 vy 0 avec u v non tous gaux Beaucoup de figures g om triques comme la droite cf ci dessus sont d finies par une ou plusieurs relation s portant sur les coordonn es cart siennes En passant aux coordonn es barycentriques on voit qu on peut aussi d finir la figure par une ou plusieurs relation s sur les coor donn es barycentriques Pour certains probl mes le syst me de relations ainsi obtenu est plus simple en barycentrique qu en cart sien 4 1 1 amp On reprend les notations de 3 7 4 Donner l quation barycentrique de la droite aa puis de la droite parall le bc passant par m 4 1 2 amp On appelle Da De De respectivement les droites passant par a b c et paral l les bc ca ab Caract riser sur leurs coordonn es barycentriques les points de de ces droites Soit a le point d intersection de D et De et de m me b c Calculer les coordonn es barycentriques de a b c sur a b c D terminer le milieu de b c et l isobarycentre de a b c Interpr ter ces r sultats et les comparer avec 1 9 2 4 1 3 amp
25. re des points ao amp ag D monstration Cela r sulte imm diatement de 3 3 3 5 1 amp Soit V Aff ao ax Montrez qu on peut extraire de ao ap un rep re de V Montrez que tout espace affine admet au moins un rep re affine 3 6 Coordonn es cart siennes selon un rep re Dans ce paragraphe on utilise un rep re affine ao a1 a de E mais on fait jouer un r le particulier au point ao c est l origine du rep re D finition Soit m E On a l galit m ap aom puis comme les aa forment une base de E on crit agm X _ aou Les sont appe l es coordonn es cart siennes du point m dans le rep re ao a1 an d origine ap de E Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 18 de 25 Retour Plein cran Fermer Quitter Choisir un rep re dans un espace affine de dimension n permet d as socier chaque point m ses n coordonn es cart siennes dans le rep re et ainsi d identifier E avec R L emploi des coordonn es cart siennes permet toutes les op rations u suelles de la g om trie analytique Son int r t est de ramener un pro bl me de g om trie un calcul C est une m thode tr s puissante qu on doit toujours penser employer si on ne voit pas de solution g om trique plus rapide On se reportera aux exercices pour voir comment crire en termes de coordonn es des quations de
26. ux barycentres on peut d finir la notion de segment donc donner un sens pr cis l expression m est entre a et b D finition Soient a et b deux points de Le segment ab est l ensemble des barycentres des points a et b affect s de masses positives Les points a et b sont appel s les extr mit s du segment ab 1 5 1 amp Montrez que le point m appartient ab si et seulement si il existe un r el a de 0 1 tel que m soit le barycentre de a a b 1 a K 1 5 2 amp On dit parfois que ab est le segment ferm d extr mit s a et b D finir les no tions de segments ou intervalles ouverts et semi ouverts K 1 6 Isobarycentre D finition Si toutes les masses des points pond r s consid r s sont gales et non nulles le barycentre est appel isobarycentre L isobarycentre de deux points a et b distincts est appel milieu du segment ab 1 6 1 Le milieu m d un segment ab appartient au segment ab et il est caract ris par gt la relation am tab ou par la relation quivalente ami mb 2On notera que cette notion de milieu est purement affine elle peut se d finir ind pendamment de l existence d une distance sur l espace affine consid r Dans un probl me de g om trie purement affine sans introduction d une distance on ne peut pas caract riser le milieu par les relations ma mb ab cela n a aucun sens Bien entendu en g om trie eucl

Barycentres

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