5. ANALYSE ÉLÉMENTAIRE ET FONCTIONS USUELLES
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1. p 7 4 1 D finition de Arccos Arcsin et Arctg 4 2 D riv es variations et graphes 4 3 Techniques de manipulations alg briques quelques formules EXErCICES is M Eaa E A E SE E nes nee na p 92. lna In a 1 21na Il existe un r el unique tel que In A 1 on le note e on a e 2 718281828459 1071 pr s on montrera en Sp que e est irrationnel La fonction In est croissante stricte puisque sa d riv e 1 x est positive on en d duit l existence d une fonction r ciproque In que l on note x exp x ou plus fr quemment x e et on d montre ce qui justifie la notation que e v rifie toutes les formules donn es plus bas si x est rationnel On g n ralise de m me la notation a au cas o x est r el et l utilisation de In aboutit la formule d finitionnelle a7 era avec a gt 0 Les formules suivantes qui g n ralisent les formules classiques dans Z s en d dui sent T PE E EU 7 aY T a a a t a ab ab ab 5 x lan ab et on ne peut pas obtenir d autres relations simples en particulier pour a b On montre directement l existence d une bijection r ciproque de a not e log x et on a donc d apr s les formules pr c dentes lng loga lna on v rifie que log a les m mes propri t s que In et on a les formules de r ciprocit eP y x gt 0 lne x toujours vrai alat y x gt 0 los a toujours vrai Dans les applications pratiques on a longtemps utilis log x qu on notait simple ment log x et la fonction In se notait alors Log x ainsi on
3. 7 xx Montrer que Arc cos 2x 1 2 Arc cos g si x appartient un certain inter valle que l on pr cisera Que se passe t il en dehors de cet intervalle 8 xx Montrer que Arctg 2 Arctg3 nT 4 o n est un entier que l on pr cisera 9 xxx D montrer la formule de Machin rn 4 4Arctg 1 5 Arctg 1 n o n est un entier que l on pr cisera 10 xxx Construire sur le mod le de l exercice 10 des formules de transformation analogues pour 2 Arcsin x 3 Arccosx et 3 Arcsinx D terminer dans chaque cas les intervalles de validit 5 ANALYSE L MENTAIRE ET FONCTIONS USUELLES Plan 1 tude classique des fonctions usuelles p 1 1 1 Introduction 1 2 Repr sentation graphique 1 2 1 Propri t s l mentaires 1 2 2 Ant c dents restrictions et prolongements 1 2 8 Bijections bijections r ciproques 1 3 Le plan d tude g n ral 1 4 Formules de base 2 Logarithme exponentielle et fonctions analogues p 4 2 1 D finitions de In z e a log x 2 2 D riv es graphes limites usuelles chelles de comparaison 2 3 Trigonom trie hyperbolique 2 3 1 D finition de ch z sh z thx 2 3 2 tude analytique 3 Fonctions trigonom triques p 6 3 1 P riodicit et sym tries des graphes des fonctions circulaires 3 2 D riv es comportement 4 Fonctions trigonom triques inverses
4. B On peut consid rer que b xy d finit une nouvelle fonction allant de B vers A on l appelle la bijection r ciproque de f et on la note fl Autrement dit pour x A et y B x fly y f x Le graphe de la bijection r ciproque de f est dans un rep re orthonormal le sym trique du graphe de f par rapport la premi re bissectrice la droite d quation Y X Ces notions vont tre illustr es dans les paragraphes suivants tout particuli rement en 5 puis pr cis es et compl t es au chapitre 9 TRS 1 3 Le plan d tude g n ral Le plan d tude qui suit doit tre compris comme s appliquant toute fonction comme tel certaines de ses rubriques doivent tre saut es on ne cherche pas la p riode d un polyn me il est inutile de rechercher les branches infinies d une fonction d finie sur 0 1 d autre part la mise en application de ce plan sur des exemples sera faite en classe mais en r alit nous ne pourrons justifier rigoureusement certains des r sultats obtenus tels ceux utilisant les chelles de comparaison qu la fin du chapitre 11 Enfin il arrive qu un nonc ne demande qu une tude rapide ou m me seulement une tude des variations d une certaine fonction et il suffira alors de traiter les points 1 4 et 6 du plan un exemple int ressant en est donn dans l exercice type n 5 Enfin ce plan avait popur objectif premier de permettre le tr
5. mes est hors programme Exercices 1 tudes de fonctions et applications 1 xx tudier la fonction x 1 x x ze f x on sera amen tudier bri vement les variations de la fonction auxiliaire g x 2x 4x x 1 qui n cessitera elle m me l tude de celles de h x 5x 6x 1 2 xx tudier la fonction x f x 2 puis la fonction x g x x sin 2xz singz 3 xx tudier la fonction x f x sing 7 3 3 z T6 Montrer que pour tout x gt 0 on a encadrement x lt sing lt x on tudiera les variations des fonctions f x f x x sing et g x gt g x r xz sinx 6 2 In x 4 xxx tudier la fonction x en d duire le nombre de solutions de l quation a x discuter suivant a Montrer qu il n y a qu un couple d entiers distincts m et n tels que M n 5 xx D terminer les formules de duplication pour sh z ch et thx 2 Fonctions trigonom triques et r ciproques 5 x Quelle est la p riode de cos x 5 sin x 3 6 xxx La fonction cos x est elle p riodique Et la fonction cos x cos x 2 Justifiez rigoureusement vos r ponses Analyse l mentaire fonctions usuelles p 10 T x T7 Montrer que pour tout t non nul Arctgt Arctg A signe t a l aide d une tude de fonction T b directement en utilisant la relation entre tan a et tan s qa
6. doivent tre prouv es la preuve rigoureuse de ce que l on a d termin la plus petite p riode passant g n ralement par l tude des variations Le domaine d tude des fonctions s en d duit en n oubliant pas d exploiter les sym tries dues la parit D autres sym tries des graphes se d duisent des identit s classiques ainsi la rela tion cos r x cosx montre la sym trie du graphe de cos par rapport au point r 2 0 et la relation cos x 7T 2 sin x montre l identit par translation des graphes de sin et cos on reverra ces r sultats au chapitre 8 Analyse l mentaire fonctions usuelles p 7 3 2 D riv es comportement Si on part de la d finition g om trique il est difficile d obtenir rigoureusement la valeur de la d riv e de sinx ce sera fait au chapitre 10 mais on peut remarquer que la d riv e de l exponentielle complexe vue dans l interlude pr c dent en est une g n ralisation il convient de retenir les d riv es usuelles sin ax b acos ax b cos ax b asin ax b EEE ro a d o on tire tan ax b cos2 ax 5 et on remarquera aussi la propri t de d phasage sinz sin x 7 2 cos cos x 7 2 qui se g n ralise aux d riv es n s sin z sin x nr 2 Le comportement de sin cos et tan s en d duit ais ment linterpr tation g om trique sur le cercle unit permet d ailleurs de le retrouver on o
7. et tanh s appellent respectivement cosinus hyperbolique sinus hyperbolique et tangente hyperbolique On v rifie ais ment que chx shz 1 et donc que le point de coor donn es chx sh appartient la courbe d quation X Y 1 comme en rep re orthonormal celle ci est une hyperbole quilat re l analogie avec les fonctions circulaires les fonctions trigonom triques usuelles justifie le nom de trigonom trie hyperbolique Attention x ne repr sente aucun angle 2 3 2 tude analytique L tude de ces fonctions sera faite en classe retenir ch est paire sh et th sont impaires lim thz 1 x 00 1 shy chz chx shz thry 1 thx ne chg Attention on remarquera mais on pensera aussi s en m fier que les analogies avec cos sin et tan sont compl tes au signe pr s 3 Fonctions trigonom triques 3 1 P riodicit et sym tries des graphes des fonctions circulaires Les fonctions circulaires ont pour p riode 2r tanx a aussi pour p riode 7m une tude soign e des variations montre que ce sont les plus petites p riodes On en d duit ais ment par changement de variable la p riode d une fonction telle que tan ax b gale n a mais d autres combinaisons de fonctions circulaires ne permettent pas en g n ral de faire mieux que deviner une p riode gale au PPCM des p riodes des constituants d ventuelles simplifications
8. 5 ANALYSE L MENTAIRE ET FONCTIONS USUELLES 1 tude classique des fonctions usuelles 1 1 Introduction L analyse est la partie des math matiques qui tudie les fonctions La d finition g n rale de cette notion sera faite au chapitre 8 nous allons ici rappeler les m thodes usuelles d tude des fonctions num riques d finies par des formules par exemple la 3x 2 cos x ln ln x d une tude de ce genre puissent devenir consid rables on ne rencontre pas le plus souvent de difficult s th oriques telles que les m thodes plus rigoureuses qui seront vues plus tard deviennent n cessaires L objectif principal du plan d tude qui va suivre tait le trac du graphe du temps o les moyens informatiques n avaient pas rendu ce travail sans int r t Toutefois si cet objectif utilitaire semble avoir perdu sa raison d tre les questions qu on doit se poser pour tudier une fonction restent les m mes on verra que pour des fonctions non l mentaires ce sont encore celles qui permettent d obtenir des informations que le calcul brutal ne donnerait pas fonction f d finie par x f x bien que les complications pratiques 1 2 Repr sentation graphique La repr sentation la plus int ressante d une fonction classique est son graphe dans un rep re cart sien bien choisi on prend toujours des axes orthogonaux mais il est parfois utile de choisir des unit s in gales et cert
9. Dig J 9 f g fg f 9 f a fg 9 f ax b af ax b f nfl frot gof f g o f voir ch 9 et les d riv es des fonctions classiques qui seront rappel es plus bas te nat Ingy ii sing cosg etc D autre part les limites usuelles division par 0 limites linfini On retiendra que la limite d un quotient de la forme N x D x o D x tend vers 0 et N x ne tend pas vers 0 est toujours infinie il suffit de d terminer le signe du quotient que la forme 0 0 peut poser des probl mes difficiles on les verra aux cha pitres 9 et 10 qu l infini il suffit en g n ral de ne garder que les termes les plus grands ce qui se montre en factorisant ces termes et en v rifiant que les limites n glig es sont bien nulles et les limites des fonctions classiques des sections suivantes Analyse l mentaire fonctions usuelles p 4 2 Logarithme exponentielle et fonctions analogues 2 1 D finitions de nx e a log x On sait et on en reverra une justification rigoureuse lors du cours sur l int gration qu il existe une primitive unique de la fonction x 1 x qui soit d finie sur 0 oof et qui soit nulle pour 1 en d autres termes telle que f x 1 x et que f 1 0 On la note In x et on d montre les formules suivantes pour tous a et b gt 0 ln ab Ina lnb In a b lna nb In a blna voir plus bas In 1 a
10. ac rapide du graphe on pourrait penser que les outils de calcul actuels rendent cela inutile mais on verra en particulier en TD que certaines fonctions pas si complexes et rentrant dans notre d finition telles que x Inln Inx ou x sin 107x sont tr s mal repr sent es par les calculettes Analyse l mentaire fonctions usuelles p 3 Plan d tude Etapes suivre 1 Domaine de d finition les valeurs de x pour lesquelles la fonction existe 2 Parit p riodicit d o l on tire le domaine d tude 3 Continuit elle est automatique pour les fonctions usuelles 4 Limites aux bornes celles du domaine d tude on peut en profiter pour mentionner les asymptotes qui en r sultent 5 Existence et calcul par application des formules de la d riv e 6 Signe de la d riv e et calcul des extremums et tableau de variation on pensera aussi rappeler les limites dans le tableau 7 Branches infinies voir aussi la fin du chapitre 9 8 Points exceptionnels rares pour les fonctions usuelles voir chapitre 11 9 Mise en place trac des extremums et des asymptotes et trac du graphe 1 4 Formules de base La mise en uvre pratique du plan qui pr c de n cessite la connaissance de quelques formules d une part les formules g n rales de d rivation des op rations l men taires r sum es dans l encadr suivant Fonctions D riv es Lee FaR eak f g F g f g
11. aines fonctions n cessitent plusieurs rep res d origines appropri es 1 2 1 Propri t s l mentaires Par d finition le graphe de f not g n rale ment 9s est l ensemble des points de coordon n es x f x quand x parcourt le domaine de f un grand nombre de propri t s de f ont une inter pr tation graphique souvent tr s visible pour les fonctions usuelles l existence d une asymptote par exemple signifie que le graphe vu de loin c est dire avec une chelle assez petite res semble une droite On verra toutefois par tir du chapitre 8 qu il faut se m fier des r sultats ainsi lt devin s d s que la fonction n est plus aussi simple Des d monstrations rigou reuses utilisent la mise en quation telle que par exemple celle qui donne la position relative de deux courbes par l tude du signe de MP o M et P sont deux points repr sentatifs ayant m me abscisse X on voit qu il suffit d tudier le signe de g X f X De m me la valeur de g X f X correspond la distance MP ce qui permet d interpr ter sa limite nulle comme le signe d un rapprochement asymptotique des deux graphes M X f X P X g X 1 2 2 Ant c dents restrictions et prolongements La d finition m me du graphe implique la possibilit de r soudre graphiquement certaines quations la lecture directe donne la valeur de f a qui s appelle l image d
12. antes Aresna resing V1 7 V1 x Cette derni re d riv e donne donc une primitive de 1 1 2 comme pour la fonction ln primitive de 1 x il n est pas possible d obtenir une formule n utilisant que des fonctions d j connues ou d crire Arctg comme combinaison d autres fonctions Arc cos x Arctgzx 1 7x2 Ces trois d riv es tant de signe constant on voit que les trois fonctions sont monotones c tait d ailleurs vident d apr s leur d finition Les graphes sont obtenus par sym trie autour de la premi re bissectrice Y X1 de ceux des fonctions circulaires ou plus pr cis ment de leur restriction aux intervalles de d finition on a Arc cos x Arcsin x T 2 r 2 Analyse l mentaire fonctions usuelles p 9 4 3 Techniques de manipulations alg briques quelques formules Toutes les formules trigonom triques peuvent tre invers es la m thode g n rale consiste exprimer les angles intervenant dans la relation sous forme de fonctions ces ne T i s T r ciproques Ainsi de cos x sin x on tirera Arc cos x Arcsin mais le plus souvent ces formules ne sont valables que dans certains intervalles o On trouvera dans la fiche d exercice type n 7 ainsi que dans les exercices 10 13 des m thodes pour obtenir ces formules et pour les d montrer mais la connaissance des formules elles m
13. btient sin croissante sur 7T 2 x 2 cos d croissante sur 0 7 tan croissante sur 7T 2 7 2 Les autres variations s en d duisent par sym trie et p riodicit les graphes cor respondants sont bien connus et seront r tablis en classe On verra enfin comment tudier des fonctions simples obtenues par combinaison de fonctions circulaires les techniques de transformations vues au chapitre 4 s av rent souvent utiles 4 Fonctions trigonom triques inverses 4 1 D finition de Arccos Arcsin et Arctg On vient de voir que cos est continue d croissante sur 0 7 on montrera au chapitre 9 que cela entra ne que c est une bijection de 0 7 vers 1 1 la bijection r ciproque est donc d finie sur 1 1 c est une fonction d croissante dont le graphe est sym trique de celui de cos par rapport la premi re bissectrice Y XJ on note cette fonction Arccos ou Acos et sur les calculettes elle est not e cos On lit arc cosinus de x Arccos x est donc langle ou plus rigoureusement sa mesure en radians compris entre 0 et m et dont le cosinus vaut x ainsi on a si 1 lt x lt 1 cos Arccosx x hors de l intervalle 1 1 la formule n est pas d finie L autre formule de r ciprocit Arccos cosx x n est valable que si 0 lt x lt 7 l tude pr cise de la fonction Arc cos cos x et d autres fonctions analogues sera faite en exercice elle repose sur les
14. d finit en Chimie le pH par la formule pH l0g9 1 H logio H7 Analyse l mentaire fonctions usuelles p 5 2 2 D riv es graphes limites usuelles chelles de comparaison On refera l tude au sens de 1 2 en exercice il faut surtout retenir Les d riv es lngy 1 x eY e or na a Les limites usuelles lim Inx lim e 00 00 lim Inx lim e 0 x 0 T 00 Les graphes ils seront tablis en classe y y e Les chelles de comparaison usuelles il s agit de la taille relative des fonctions usuelles quand x tend vers une des bornes du domaine cette question sera appro fondie au chapitre 11 On retiendra ce sujet Les limites suivantes lim it 0 x 00 lim e z lim a x gt 0 im zx ln a z a gt 0 lim x Inx 0 a gt 0 lim z e 0 Les classements intuitifs gt pour a gt 0 lng amp r K e lng amp 1 x e amp 1 z o 00 OO 00 La signification exacte et le mode d emploi du signe seront pr cis s au chapitre 11 a Analyse l mentaire fonctions usuelles p 6 2 3 Trigonom trie hyperbolique 2 3 1 D finition de ch x sh x thx Par analogie avec les formules d Euler on d finit arbitrairement def e77 Fe mn a E C shr e 1 i ee Fe 2 2 ht e 1 Ces fonctions que les calculettes notent cosh sinh
15. e a par f en coupant le graphe par la droite d quation X a les graphes Analyse l mentaire fonctions usuelles p 2 sont par cons quent soumis la restriction de n avoir qu un point au plus sur chaque verticale r ciproquement la r solution de l quation f x b o b est un para m tre s appelle la recherche des ant c dents ventuels de b et s obtient en coupant le graphe par la droite horizontale Y b Il est fr quent en pratique comme on va le voir qu on ne s int resse ce probl me que pour certaines valeurs de b ou qu on ne recherche qu une partie des ant c dents on est alors amen restreindre la fonction f certains intervalles La notation g f qui se lit g est la restriction de f I et I J gt o I et J sont des intervalles signifie ainsi que l on prend comme domaine de d fi nition de g l intervalle I et que pour x 1 on pose g x f x si f x appartient J inversement on dira alors que f est un prolongement de g 1 2 3 Bijections bijections r ciproques Soit f une fonction Dans de nombreux cas par exemple si f est monotone sur un intervalle on peut d montrer que pour deux intervalles et B bien choisis on a pour chaque b de B un ant c dent et un seul dans A autrement dit Vb B x A f x b Dans ce cas on dit que f ou sa restriction A est une bijection de vers B Soit alors xy unique ant c dent de b
16. m thodes de s paration en intervalles qu on verra plus loin TT De m me sin est continue croissante de vers 1 1 la bijection r ci 22 proque se note Arcsin ou Asin ou sin elle est croissante d image l intervalle T T o 51 et on a formules de r ciprocit sin Arcsinx x si 1 lt x lt 1 T T et Arcsin sin x x si E De z Analyse l mentaire fonctions usuelles p 8 T T Enfin tan est continue croissante de lg gl vers R la bijection r ciproque not e Arctg ou Atan ou tan est d finie sur R tout entier elle est impaire croissante et lim Arctgr 2 lim Arctgx 7 gz 00 2 T O00 2 On verra aux chapitres 7 et 9 les justifications de ces diff rents r sultats et leurs g n ralisations d autres types de fonctions Il est important de remarquer que les trois intervalles choisis sont dans une certaine mesure arbitraires m me si d autres choix para traient artificiels il en r sulte que ces intervalles font partie constitutive de la d finition de Acos Asin et Arctg en d autres termes on aurait pu inventer une autre fonction Asin par exemple de m me domaine de d finition 1 1 mais dont les valeurs seraient gt 7 2 et qu il convient par cons quent de les savoir par c ur 4 2 D riv es variations et graphes On montrera intuitivement en classe puis rigoureusement au chapitre 10 que ces fonctions ont les d riv es suiv
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