Comment aborder la division au cycle 3
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1. Un souci peut intervenir cette tape c est le fait que certains l ves ne connaissent pas bien les tables de multiplications Pour contourner l obstacle on peut leur proposer de se servir de leur calculatrice mais avec interdiction absolue de se servir de la touche L utilisation de la calculatrice pose probl me Autant son utilisation peut pallier un manque r soudre des situations dont l outil est absent d s le cycle 2 autant son utilisation trop syst matique induit des travers Les professeurs de coll ge d plorent souvent le faible niveau des l ves en calcul mental en fait en calcul automatis Il ne faut donc pas abandonner tout calcul r fl chi en se remettant la calculatrice mais l utiliser de mani re raisonn e et limit e pour ce qu elle est un outil expert de remplacement ou une b quille occasionnelle mais pas un outil permanent ni un pansement miracle Un rapport de l Inspection G n rale de 2006 pr conise dans ses conclusions qu il faut d une part s assurer de la connaissance des tables par c ur et d autre part faire une plus large part au calcul instrument L utilisation de techniques connues d j pr sentes pour r soudre la situation va tre institutionnalis e comme une premi re tape dans la construction d une technique de r solution des situations de partages de mani re tre identifi e par l l ve en tant que telle L entra nement dans ces activ2. Des l ves qui ne construisent pas la notion risquent de tenter de faire comme les grands quitte aborder la technique op ratoire sans la comprendre On risque de voir les l ves adopter une technique m caniste d nu e de toute compr hension de cette m me technique voire m me sans aucun lien avec le sens de l op ration y compris si celui ci est acquis Cet cueil pourrait arriver apr s un expos magistral de la technique sans lien avec les repr sentations des l ves Comment ne pas perdre le sens en construisant la technique Des l ves peuvent avoir des techniques na ves diff rentes Mis face une situation probl me relevant de la division des l ves vont utiliser leurs repr sentations parfois diff rentes pour tenter de r soudre cette situation avec des techniques non expertes qui vont aboutir Il faut pour l enseignant prendre en compte ces techniques na ves diff rentes pour les faire voluer vers la technique de r f rence Une autre difficult pour l enseignant va tre de d terminer la situation de d part pour introduire la technique op ratoire A quel moment est ce pertinent D s l abord du sens Une fois que le sens est acquis A partir de quelle situation simple ou complexe de partage ou de groupement commence le travail sur la technique op ratoire Certains l ves vont entrer tout de suite dans la technique op ratoire de r f rence et en comprendre le fo
3. un groupe d l ves est in vitablement inad quate pour une partie d entre eux Pour quelques uns elle est trop facilement maitrisable pour constituer un d fi et provoquer un apprentissage D autres l ves au contraire ne parviennent pas comprendre la t che donc s y impliquer M me lorsque la situation est en harmonie avec le niveau de d veloppement et les capacit s cognitives des l ves elle peut leur sembler d nu e de sens d enjeu d int r t et n engendrer aucune activit intellectuelle notable donc aucune construction de connaissances nouvelles ni m me aucun renforcement des acquis Philippe Perrenoud La p dagogie diff renci e des intentions l action ESF 1997 L objectif atteindre est unique apprendre une technique op ratoire de la division Cependant les repr sentations des l ves ne sont pas les m mes Les mani res d apprendre ne 11 sont pas les m mes Les types d intelligences ne sont pas les m mes certains l ves forte dominante visuelle vont avoir un sch ma mental de la situation d autres non Pour certains seule la manipulation rendra compte d un partage Enfin les l ves ne vont pas tous au m me rythme et il faut respecter ce rythme si on veut esp rer que chacun construise effectivement la notion Philippe Meirieu rapporte dans L cole mode d emploi un proverbe qu il avait formul avec ses l ves Il faut beaucoup de chemins pour que tout le monde
4. Quelques points de cette volution sont int ressants analyser abandon des m thodes trop na ves abandon des m thodes additives et enfin chec de certains l ves BERD E Les l ves utilisant initialement les d marches d crites dans les trois premi res colonnes ont vite abandonn les techniques na ves Le fait que les nombres utilis s d s les premiers travaux soient cons quents leur a montr par l exp rience que leur d marche m me si elle pouvait arriver un r sultat juste tait trop longue mettre en uvre et beaucoup moins performantes que celles de certains de leurs camarades On peut s int resser la rapidit de l abandon des techniques additives Je pense que d s que la technique op ratoire de la division a t montr e par l enseignant en parall le toutes les techniques existantes les l ves ont bien compris que malgr l annonce faite que 20 chaque l ve avait la possibilit d utiliser la technique qui tait la sienne ou celle qui lui semblait la plus ais e et efficace la d marche par soustractions tait celle qui se rapprochait le plus de la technique de r f rence Ils ont chemin vers celle ci Le fait que le passage des additifs la d marche par soustraction se soit fait si rapidement tient potentiellement au fait qu en CM1 pour la plupart des l ves il est bien compris que la soustraction est l oppos de l addition D autre part le
5. l ves de mani re diff renci e en respectant leurs repr sentations et en explorant le concept de division tout en construisant la technique op ratoire semble avoir r pondu aux difficult s des l ves sur ce point pr cis L objectif principal n tait pas tant qu ils fassent un lien entre la technique op ratoire et le sens de l op ration mais bien qu ils mettent du sens dans la technique op ratoire Le gage d une bonne compr hension de cette technique est qu ils puissent la retrouver ult rieurement en partant du sens de l op ration Plus g n ralement ce travail rend compte d un apprentissage math matique dans une d marche constructiviste avec d un point de vue p dagogique l utilisation de la diff renciation et d un point de vue didactique l utilisation d une d marche par tapes se basant sur une situation probl me avec une exploitation longue des repr sentations initiales des l ves L utilisation de diff rents aspects de cette d marche g n rale peut tre transf rable d autres apprentissages en math matiques l cole l mentaire 23 6 Bibliographie Programmes de l cole primaire 2008 Programmes de l cole primaire 2002 Programmes de l cole primaire 1995 Ermel CM1 Apprentissages num riques et r solution de probl mes Apr s la lecture le calcul L enseignement de la division en question par G rard Morin 13 d cembre 2006 Cahiers P dagogiques Dic
6. ne la d couragera pas certaine qu elle est d arriver un r sultat Cette m thode a le m rite de montrer une repr sentation claire de la situation mais elle sera jug e tr s peu efficace Additions it r es Jessica tente d additionner 6 le nombre de fois qu il faudra pour arriver au r sultat Cette d marche co teuse en temps ne sera en g n ral essay e qu une fois et dispara t apr s confrontation avec d autres Additions it r es de multiples Dylan tente d abord d additionner 6 le nombre de fois requis puis additionne 12 puis 60 le nombre de fois n cessaire La difficult de cette technique est de retenir d crire en parall le le nombre de groupements afin de les comptabiliser Soustractions it r es Nathan de la m me mani re que Jessica va soustraire 6 le nombre de fois n cessaire D marche aussi co teuse que la premi re cependant elle a le m rite de ne s int resser qu au reste Elle est dans une d marche du point de vue de celui qui donne et pas du point de vue de celui qui re oit Soustractions it r es de multiples Antoine utilise naturellement cette m thode C est la m thode qui se rapproche le plus de la m thode classique de la division enseign e Bien entendu m me inconsciemment l enseignant aura tendance valoriser cette m thode T tonnement par Multiplication Chlo et certains autres l ves souvent performants en calcul mental vont proc d
7. on peut attendre d eux pour la division Le v cu de l l ve intervient galement comment les valuations pass es au sujet des op rations et de la technique op ratoire ont elles t not es Une op ration peut tre fausse pour plusieurs raisons erreur de calcul erreur dans la technique op ratoire erreur d tourderie oubli de marquer un chiffre Il mest arriv de voir des copies d l ves dans lesquelles aucune op ration n est juste et pourtant l l ve sait assur ment poser les op rations et les mener terme Il est inconcevable de leur ass ner un non acquis et m me douteux de noter en voie d acquisition si la technique est acquise Evaluer utiliser la technique op ratoire des quatre op rations comp tence du socle commun ne saurait donc s identifier sait effectuer des op rations justes surtout lorsque ce sont d autres comp tences qui entrent en jeu comme la connaissance des tables par exemple Le fait d annoncer que chaque l ve a le temps de construire l op ration son rythme pourra galement participer apaiser les craintes des l ves et leur permettre d aborder le travail avec plus de s r nit 4 2 2 Le partage intuitif construction du sens de la division Le travail du sens de la division est d j commenc lorsque les l ves arrivent en construire la technique D s la maternelle que ce soit ou non l objectif de la s
8. 11 16 en 5 E ye A S RS eg ES es el en MESE E x10 O ZxL1O a ERI MA ANNEXE VI De mm Le restaurant MIAM MIAM peut accueillir 246 personnes Dans la salle il ny a que des tables de 6 places Le menu co te 8 euros Combien de tables y a t il dans ce restaurant Le restaurant MIAM MIAM peut accueillir 246 personnes Dans la salle il n y a que des tables de 6 places Le menu co te 8 euros Combien de tables y a t il dans ce restaurant 6xwo7T co 6x 20 720 6x30 100 6X YOYO 6 x vt Se Es Le restaurant MIAM MIAM peut accueillir 246 personnes Dans la salle il ny a que des tables de 6 places Le menu co te 8 euros Combien de tables y a t il dans ce restaurant
9. ance les l ves sont confront s des partages Lorsqu il s agit de r partir du mat riel dans des situations de travail lorsqu il s agit de donner des objets plusieurs l ves de mani re ce que chacun en ait le m me nombre lorsqu il s agit de distribuer des cartes pour un jeu les l ves commencent construire le sens d un partage Dans des jeux de cartes de type bataille qu on peut exploiter en cycle 2 avec du mat riel adapt la r partition initiale des cartes va donner lieu un partage Ce partage s il est r p t un certain nombre de fois verra l mergence de m thodes plus efficaces que la simple distribution carte par carte L encore l objectif de la s ance est peut tre autre cependant la situation de partage est pr sente de mani re consciente Les situations de d couverte de la multiplication abord es d s le CE1 continuent installer le sens du partage Sur des exemples simples de plans de classe on peut demander aux enfants de calculer le nombre de chaises dans une classe apr s avoir d nombr les tables doubles Ensuite on peut mener une r flexion sur le nombre de colonnes ou de rang es La situation est simpliste et les nombres restent mesur s Le but ici n est vraisemblablement pas de confronter l l ve une situation probl me mais on fait jouer le partage comme une situation inverse de celles relevant de la multiplication R mi Brissiaud parle d addition
10. cons quents 436 perles partager entre 4 enfants et vont proposer des situations de multiplication et de division successivement dans les m mes chapitres Pour le niveau CM1 les manuels s opposent galement sur la mani re d introduire la technique op ratoire Maths CM1 collection Quadrillage Istra propose en d couverte une activit de distribution de cartes mais propose imm diatement une d marche soustractive Le signe divis et les termes de dividende diviseur quotient et reste sont donn s dans la foul e puis on arrive tr s rapidement la potence Dans une autre d marche on trouve Cap Maths CM1 qui reprend des situations tir es des travaux d ERMEL D un c t le sens de l op ration est travaill y compris avec recours la calculatrice et apr s un travail de renforcement de la num ration la technique op ratoire est introduite apr s une tape transitoire de soustraction de multiples Pour les premiers travaux de partages menant la technique op ratoire exercice le partage des pirates il est demand aux l ves d effectuer le partage sans que le ma tre ne propose de m thode Elle sera introduite ensuite avec un sch ma mod lisant le partage qui sera ensuite reli la division pos e ERMEL souligne que l optimisation du calcul ne se fera que dans un deuxi me temps et que la technique experte finale ne concernera que le CM2 La liaison du sens et de la technique est primordiale et d
11. de trois ensembles C S I o S l ensemble des situations qui donnent du sens au concept la r f rence I l ensemble des invariants sur lesquels repose l op rationnalit des schemes le signifi py l ensemble des formes langagi res et non langagi res qui permettent de repr senter symboliquement le concept ses propri t s les situations et les proc dures de traitement le signifiant L identification par l l ve du champ conceptuel correspondant la situation va lui permettre une juste repr sentation de la situation et son traitement avec les outils ad quats En pratique et pour l op ration qui nous occupe l identification par l l ve de la classe de probl mes faisant appel la division la connaissance des outils permettant de traiter ces situations et l utilisation des mots et des symboles utiles la r solution de ces probl mes seront une cl pour que le sens de l op ration soit un savoir scolaire identifi par l l ve La typologie des situations multiplicatives propos e par M Vergnaud intervient au niveau du sens de l op ration et dans une moindre mesure pour la construction de la technique op ratoire En revanche l introduction des mots d signant les diff rents termes de l op ration fait bien partie du concept de division et nous verrons quand ils seront introduits aupr s des l ves 3 4 Diff renciation Toute situation didactique propos e ou impos e uniform ment
12. du sens de Pop ration D autre part du point de vue de la technique op ratoire c est un travail sur la notion de reste qui rend plus palpable le moment o on arr te la division quand le reste est inf rieur au diviseur 4 2 5 Poursuite du travail valuation A la suite de ce passage progressif de la plupart des l ves la technique op ratoire de r f rence provisoire il sera demand aux l ves de rejoindre la technique de r f rence en utilisant les tapes au quotient centaines dizaines unit s Mais nous arrivons aux limites du travail qui nous importe ici Une fois que les l ves ont commenc poser des divisions par eux m mes et en mettant du sens leurs pratiques le travail portera essentiellement sur la rapidit et la syst matisation dans un travail d entra nement A des l ves en g n ral forts en calcul mental qui utilisent une d marche tr s intuitive Fig a il sera demand de respecter un travail plus syst matique r f rence Fig c Pour des l ves victimes de leurs difficult s en calcul mental et en num ration Fig b le travail de ces points sp cifiques rejaillira sur leur efficacit dans la technique op ratoire de la division Les deux exemples montrent des l ves qui du pur point de vue de la liaison sens technique op ratoire ont construit une technique qui va dans le sens de la technique de r f rence 7865 1310x6 5 Fig a Fig b Fig c 19 A la
13. impasse du sens Plusieurs tapes seront n cessaires pour arriver la technique op ratoire de r f rence et ces tapes s inscriront plus largement dans une d marche g n rale qui peut se d composer en plusieurs phases Donner du sens aux apprentissages F nichel Pfaff recherche les l ves sont confront s la situation probl me formulation les l ves explicitent les d marches validation les d marches sont analys es et compar es institutionnalisation l enseignant reprend la nouvelle connaissance acquise 3 6 D clinaison de ces apports dans la situation d enseignement Le travail sur la technique op ratoire de la division commencera par une situation probl me suffisamment complexe gage de la construction du savoir vis Pour viter que les l ves abordent une technique op ratoire qu ils ne comprennent pas je vais tenter de faire que chacun construise la technique op ratoire son rythme sans que cela soit un obstacle aux travaux propos s si les techniques provisoires ne sont pas extr mement performantes Ce travail sur la technique op ratoire se fera tout au long du travail sur la division de mani re ce que le sens accompagne la technique s en nourrisse et vice versa Notamment la jonction des situations de groupements et partages sera l objet d un travail men plusieurs reprises tout au long de la s quence d apprentissage On laissera chacun le temps de fa
14. nombre de parts et il est introduit les termes dividende diviseur et quotient sans autre forme de proc s On peut imaginer qu avec un peu de bonne volont on pouvait obtenir les r ponses attendues aux questions pos es tant la r flexion para t limit e Le risque est grand que des l ves ne cr ent que peu de sens aux mots introduits et ne con oivent comme notion de ce qu est une division qu un vague inverse de la multiplication de mani re op ratoire sans bien faire le lien avec la situation de partage ou de groupement sous jacente La technique op ratoire est ensuite introduite de mani re abrupte au travers d un exemple de soustraction de multiples qui laisse place imm diatement la potence dont les soustractions auront t gomm es On peut parier que si les l ves arrivent construire le sens du partage ils ne verront la technique op ratoire que comme une recette pour venir bout de l op ration sans lien aucun avec le sens de l op ration Les programmes des ann es 1970 avec les math matiques modernes vont balayer les pratiques pr c dentes La pertinence de l introduction de la th orie ensembliste d s les petites classes n est pas le propos du pr sent m moire mais nous retiendrons que cette r forme a eu le m rite de poser la question de la didactique des math matiques R Charnay Pourquoi des math matiques l cole La mani re de consid rer les math matiques l cole va
15. par Cap Maths On peut l gitimement se poser la question quotition ou partition pour une premi re approche Les situations de partages sont plus famili res aux l ves car plus facilement transposables dans la vie courante Je pr f re donc aborder la difficult directement en me situant sur un terrain scolaire Il sera int ressant par la suite d inverser ces deux syst mes avec les bo tes ufs collection d nombrable pour la quotition et un ruban partager en longueur pour la partition Il faut que les nombres soient suffisamment grands pour que l activit ne soit pas triviale et qu une r elle r flexion soit engag e Les l ves comprennent ainsi la situation mais ne peuvent y r pondre imm diatement faute d outil expert La premi re situation individuelle laquelle sont confront s les l ves est une situation de groupement o il s agit de d couper un ruban en rubans plus petits d une taille donn e Les premi res productions des l ves vont donner lieu des changes collectifs Le but de ce premier travail va tre de casser les repr sentations fausses et de s assurer que la situation est comprise Une premi re comparaison des techniques employ es va simplement sans jugement sur leur efficacit montrer qu il existe plusieurs proc dures possibles Des l ves qui n auraient pas trouv de proc dure efficace auront un petit panel de proc dures dont ils peuvent s emparer On
16. passage du raisonnement en terme de nombre atteindre de la d marche additive celui en terme de reste de la d marche soustractive n est pas si vident de cela car il demande un changement de repr sentation Il est donc n cessaire pour ce passage que les concepts d addition et de soustraction soient bien compris afin que cette transition se fasse sans que cela d route les l ves Lors de l valuation finale Annexe VI deux l ves sont rest s sur des d marches erron es L un d entre eux a dessin une potence mais sans mettre de lien entre les nombres crits au quotient et ceux soustraits du dividende Cet l ve semble avoir c d au poids social et n a pas voulu rester sur une technique moins efficace qui tait cependant la sienne et a voulu faire semblant en singeant la division sans en comprendre le sens Un autre est rest sur une d marche m lant multiplications et additions du point de vue du dividende mais sans relation avec ce que constitue le quotient L aussi le sens de l op ration est perdu Pour les l ves restant sur des d marches multiplicatives c est le sens de la soustraction qui fait souvent d faut En discutant avec eux ce qui correspond aux dividende et quotient diviseur sont identifi s Mais il y a surcharge cognitive lorsqu ils doivent d un c t se repr senter la part de chacun ou le nombre de groupes et d un autre c t ce que cela repr sente enlever
17. sujet ont en g n ral r pondu que c tait un peu la m me chose Soit le concept d addition soustraction est effectivement ma tris et cela n a r ellement pas pos probl me soit le fait que la division vienne de la d marche soustractive a t suffisamment inducteur pour les convaincre de changer quitte perdre un peu du sens qu ils mettaient dans leur d marche Du point de vue de l enseignant le fait d avoir pris les temps de mettre plat les situations d enseignement des ann es ant rieures et de chercher les fondements de ce que mon exp rience me poussait mettre en uvre a t tr s enrichissant Pour la suite du travail sur la division le travail sur le concept de division et la classification des situations au sens de Vergnaud m a permis de mieux comprendre une autre source de difficult s chez les l ves 5 Conclusion La division l cole l mentaire a aliment nombre de d bats la suite de la parution des nouveaux programmes de 2008 L enseignement de celle ci a beaucoup volu durant la seconde moiti du si cle pass L importance symbolique de cette op ration dans le cursus scolaire de l l ve tend en faire une op ration redout e Les difficult s qui peuvent surgir lors de son apprentissage peuvent venir en partie de la perte du sens de l op ration lorsque les l ves abordent la technique op ratoire La d marche propos e ici consistant faire cheminer les
18. technique de r f rence Il va leur tre propos un travail sur des sch mas correspondant des galit s Outre le fait de retrouver une entr e autre que purement intellectuelle dans la notion un objectif de ce travail va tre de mieux cerner les situations de groupements ou de partages et leurs expressions sous forme num rique Annexe III 18 Au niveau du sens des galit s on peut remarquer qu on aurait pu varier le sens des galit s 9 3 x 3 ou 3 x 3 9 Le fait de pr senter toujours aux l ves le calcul gauche et le r sultat droite peut avoir pour effet n faste de ne pas contribuer installer la notion d galit A la suite de ces exercices globalement bien r ussis on a pu s int resser au fait que pour certaines critures plusieurs sch mas pouvaient rendre compte de la situation Par exemple 17 3x5 2 peut rendre compte du partage en 3 d un groupement par 3 d un partage en 5 ou d un groupement par 5 En revanche 13 2x5 3 ne peut rendre compte que d un groupement par 5 ou d un partage en 5 le partage en 2 ou le groupement par 2 sont exclus car ils se traduiraient par l galit 13 2x6 1 Ce travail sur le sens pur une fois le travail sur la technique op ratoire engag peut sembler un retour en arri re mais il a permis de raccrocher quelques l ves qui avaient pu rester d stabilis s par un changement de technique op ratoire dans la voie
19. va entrer par la suite dans le travail de la technique op ratoire J introduis une situation de groupement de ce type Un fermier a 207 oeufs qu il veut ranger dans des bo tes de 6 ufs Combien de bo tes va t il remplir Je prends volontairement des exemples r currents en termes de bonbons et de bo tes ufs car ce sont des r f rences simples pour les l ves La diff rence entre partition et quotition sera pour les l ves le fait de savoir si une situation est une situation de type bonbons ou de type bo te ufs Les termes groupement et partage seront introduits dans un deuxi me temps lorsqu il s agira d riger ces termes en savoirs scolaires et pas en simple connaissances intuitives ou explicites 16 L l ve va aborder la technique op ratoire avec ses propres repr sentations des partages et des groupements Si l on veut construire pour chacun une technique op ratoire qui fasse sens il faut laisser l l ve partir de celles ci si elle sont justes et le faire progresser vers la technique experte de mani re ce qu il puisse faire du lien entre sa repr sentation personnelle des partages et groupements et son expression au sein du calcul pos Les productions des l ves sont de plusieurs types voir Annexe IV Dessin Justine va dessiner 207 ronds repr sentant les 207 ufs et tenter ensuite de les grouper par 6 Le temps du dessin extr mement co teux
20. 38 4x34 2 Solution 138 4x 34 2 Chaque enfant aura 34 billes et il en restera 2 ANNEXE III DIVISION EXERCICE Fais les sch mas correspondants ou cris l galit ANNEXE IV Par soustractions Par t tonnement multiplicatif UM a gt Y SO Une m thode mixte ANNEXE V Alex 155 RE a TO sa TA 60 2o al Le Z O Ex _ y A 140 2 q a 20 Er gt e lee A o t z A a A AO tO 5 2e POTTER tes se de E 20 Ze o 6 20 mas JE ds ET a UE o ai ba Fe o pa a Ha 10 Lo So O D Aa LA O 2 o E E Une l ve qui ne multiplie pas entre le quotient et ce qu elle retire au reste his a NEA XA 37 ce Z E 7 8 105 Cr S 7 Y Se a TNE Ras ZG A 8 elo ZT Bx 30 echo Bes 232 Deux techniques utilis es en parall le soustractions it r es de multiples et multiplication MULTI PLIicAcTION g Bx lo QA To e amp o ka 24 RES 2232 bas s 292 es Se SOUSTRACTION a Pe Meca on Ne a 2 Fr 164 41 1 SIN 047 ve a G enn Des LO A Te pes ocdare Le gal P APRA atlylica tio X 1 g ta co A 7 S gt 23 1 E eces clos JE Leu LA Epasts En Byotte Eom Cie Sa u ces Mon S El alelo Y of de H Bx4o o 8 O 160 G Rat PN T puces d ou ac i T v Susto Sr da B 5 IA CZ 233 ol Cp Ig 19 2570 Als p pe 133 71 Ae el gt do y
21. J r me Bastong Ecole Marcel Pagnol 1 avenue de la Commune de Paris Les Clayes sous Bois Ann e scolaire 2008 2009 M moire de CAFIPEMF La division au cycle 3 Comment g rer les difficult s li es l articulation du sens et de la technique op ratoire Sommaire 1 Introduction 2 Exploration du sujet 2 1 D finitions math matiques 2 2 Les programmes vision historique 2 3 Champ d exp rimentation options d enseignement 2 4 Questionnement 3 Cadre th orique 3 1 Construction des savoirs 3 2 Situation probl me 3 3 Th orie de champs conceptuels 3 4 Diff renciation 3 5 Utilisation d une d marche par tapes 3 6 D clinaison de ces apports dans la situation d enseignement 4 Exp rimentation 4 1 Ce que proposent les manuels les th ories qu ils sous tendent 4 2 Exp rimentation avec les l ves 4 2 1 Annoncer ce qu on attend des l ves 4 2 2 Le partage intuitif construction du sens de la division 4 2 3 La situation de d part 4 2 4 Retour sur le sens 4 2 5 Poursuite du travail valuation 4 2 6 Difficult s rencontr es 4 2 7 Rem diation 4 3 Evaluation de la d marche 5 Conclusion 6 Bibliographie 7 Annexes 1 Introduction La division est une op ration qui interpelle l ves parents et professeurs Ayant enseign principalement au cycle 3 dans les trois classes qui le composent j ai pu recueillir les r ponses des l ves la question Qu est ce que vou
22. ans son prolongement et son renforcement dans le reste du cycle Jusqu pr sent j ai eu beaucoup de classes de CM1 souvent associ es un autre niveau et j ai eu de nombreuses reprises aborder la division avec les l ves et continuer son enseignement Un certain nombre d interrogations me sont apparues quant la mani re d aborder cette op ration La mani re de passer du sens la technique m a paru tre un point important L cole o j exerce est une cole de centre ville regroupant des l ves de quartiers essentiellement pavillonnaires ou de petits immeubles Ma classe est assez h t rog ne elle compte plusieurs l ves en grande difficult voire en difficult lourde Il m est apparu rapidement que dans un souci d efficacit et d adaptation l h t rog n it il fallait diff rencier mon enseignement le plus possible Diff rencier c est refuser l indiff rence Daniel Perrenoud Les difficult s de certains l ves sont telles qu on ne peut leur apporter un enseignement frontal sous peine de les mettre en chec syst matiquement Au del d une diff renciation naturelle de la mani re d apporter de l aide ses l ves il faut se pencher sur des diff renciations successives ou simultan es afin que chacun trouve mati re apprentissage Il m arrive quotidiennement de constater la diversit chez les l ves dans leur mani re d apprendre que ce soit au niveau
23. apacit analyser une situation du point de vue de son contenu et de sa structure la capacit reconna tre une situation ou un objet comme constitu s d un ensemble de relations donc d une certaine fa on la capacit reconstruire l objet tudi pour en examiner les principes structuraux formels 10 3 3 Th orie des champs conceptuels G rard Vergnaud dans Didactique des Math matiques Jean Brun s int resse aux situations propos es aux l ves et ce qui permet l l ve de traiter ces situations Devant une situation reconnue comme faisant partie d une classe de situations connue l l ve va faire fonctionner un sch me une mani re de traiter le probl me c est un outil fonctionnel et identifi comme tel qui permet de traiter la t che Ce sch me doit avant tout tre efficace doit tre juste et doit agir dans son champ de validit On assiste la cr ation de th or me de l l ve dont l efficacit est limit e par une classe de situations et que les l ves ont tendance parfois appliquer hors de ce champ Par exemple les l ves rigent au rang de th or me le fait que quand je multiplie un nombre par 10 je mets un z ro droite du nombre que je multiplie et malheureusement l application de ceci aux nombres virgule produit des r sultats faux Mais dans son champ de validit la proc dure est efficace Il produit la d finition du concept Un concept est un triplet
24. arrive en haut de la montagne C est une bonne m taphore pour exprimer un des probl mes actuels de l cole Dans le m me ouvrage p 97 A partir du moment o l on fait l option de fournir tous un tronc commun de connaissances g n rales quand se c toient l cole des l ves lev s dans des habitudes sociales et culturelles diff rentes munis d outils intellectuels tr s h t rog nes la diff renciation de la p dagogie s impose La diff renciation serait une r ponse la volont d une Ecole pour tous avec un objectif d enseignement unique mais des chemins divers L objet de la diff renciation est de m nager ces chemins plus longs pour certains moins longs pour d autres empruntant des rev tements de diff rentes natures parfois Cette diff renciation peut tre simultan e diff rents travaux ou diff rentes d marches en un m me temps ou successive l enseignant varie les situations pour favoriser successivement telle ou telle entr e dans la notion Les changes entre les l ves sont une source int ressante pour confronter des repr sentations des mani res de faire Le travail en groupes est une modalit de travail favorisant ces changes 3 5 Utilisation d une d marche par tapes Dans didactique des math matiques Jean Brun rapporte le texte de G Brousseau dans lequel il indique que le sens d une connaissance provient en bonne partie du fait que l l v
25. changer radicalement La massification de l enseignement am ne repenser la mani re d enseigner les math matiques on ne veut pas seulement former des citoyens aptes faire face aux probl mes de la vie courante mais l ambition est bien que l enseignement contribue un meilleur d veloppement des l ves par une compr hension r elle des notions abord es L enseignement math matique l cole primaire de la Troisi me R publique aux ann es 1960 enjeux sociaux et culturels d une scolarisation de masse Renaud d Enfert Il s ensuit un all gement des programmes au CP on n apprend plus que l addition de deux nombres entiers Les pourcentages et int r ts au CM n apparaissent plus explicitement La division prend place au CM L apport de la psychologie de l enfant va s exprimer pleinement et la construction des savoirs va devenir un enjeu important de l enseignement Les programmes de 1985 positionnent la division au Cours Moyen attribuent la ma trise de la multiplication au Cours El mentaire et soulignent la volont d appliquer des th ories didactiques de construction active des savoirs Lors de l introduction de notions nouvelles les l ves sont mis en situation d apprentissage actif ils d couvrent les notions comme des r ponses des probl mes On peut r partir ces probl mes en trois groupes ceux qui permettent la construction de nouveaux outils math matiques par exemple l in
26. ci La d finition de Wikipedia Division euclidienne dans les entiers positifs Via b ENxXN 3 gr ENxNa bg r et 0 lt r lt b deux entiers a et b avec b non nul la division euclidienne associe un unique quotient q et un unique reste r tout deux entiers v rifiant a bq r O lt r lt b En math matiques une op ration est un processus visant obtenir un nombre partir d un ou plusieurs objets math matiques Pour ce qui concerne les quatre op rations fondamentales cela consiste obtenir un r sultat somme diff rence produit ou quotient partir des deux nombres de d part Dans ce cadre la division euclidienne n est pas proprement parler une op ration dans le sens o elle produit un quotient et un reste Le langage courant dit que la division euclidienne est une op ration et il serait inutile de corriger cela aupr s des l ves En revanche il est int ressant d explorer le terme division D apr s Stella Baruk la division qu elle d finit comme tant l inverse de la multiplication recouvre deux aspects la d cision l intention d un calcul l action effectu e sur deux nombres afin d en obtenir un troisi me A l cole l mentaire on retrouve cette dualit le sens de l op ration quelle situation demande une division pour trouver la r ponse la technique op ratoire comment utiliser une technique experte pour r soudre la situation Stella Baruk dans son Dic
27. d s le CP avec les outils math matiques disponibles pour des enfants de 6 7 ans qui lui semble b n fique Regardons les programmes et les activit s propos es pour aborder la division Dans les programmes de 1882 il est crit Pour utiliser un langage actuel il s agit de rendre l leve acteur de ses apprentissages Entretenant avec les l ves un continuel change d id es le ma tre doit partir de ce que les enfants savent et les amener d couvrir de nouvelles notions en proc dant du connu l inconnu La d marche pr conis e observer comparer g n raliser participe de la construction d une v ritable culture primaire o la pratique fait partie int grante de la formation g n rale Dans les premi res le ons de calcul le maniement et l observation d objets mat riels tels que b chettes boulier etc visent r duire l usage souvent trop exclusif de la m moire au profit des capacit s d intuition des l ves Observer comparer g n raliser sont les fondements de la d marche utilis e On part de la r alit avec des exemples issus de la vie de tous les jours ou on utilise des m diateurs comme point de d part de la r flexion L enseignement des ann es 1920 est dit concentrique On revient chaque ann e sur les acquisitions des ann es ant rieures Le retour annuel sur les notions enseign es a pu vouloir garantir ces acquisitions Cela fait place un enseignement plus p
28. de leur m moire de l image mentale qu ils font d une situation ou de la formulation de cette image mentale Dans ma d marche j aurai le souci de cette h t rog n it qu elle concerne le rythme d avancement des l ves ou de la mani re par laquelle ils vont construire l op ration Dans les diff rentes d marches possibles il m est apparu que pour souhaiter la r ussite de tous les l ves 1l fallait m nager chacun la possibilit d avancer son rythme pour construire cette notion et explorer la technique 2 4 Questionnement J aborderai par la suite l tude du sens des situations de partages et de groupements point de d part de mon travail avec les l ves Mais posons nous d s maintenant les questions qui vont guider notre tude La question initiale de l articulation du sens et de la technique op ratoire va se d cliner au travers de la d marche p dagogique employ e Au chapitre 3 on explicitera les options p dagogiques retenues et les th ories sous jacentes Les situations de partages et groupements ne sont pas une chose nouvelle lorsqu on doit aborder la technique op ratoire Apr s avoir v rifi que les l ves ma trisent ces notions il faut s atteler faire une division c est dire aborder la technique op ratoire En g n ral c est l que les difficult s apparaissent Il est int ressant d analyser ce qui va poser probl me aux l ves et l enseignant
29. du dividende Il vaut peut tre mieux acter de leur positionnement ne pas les forcer utiliser une technique de mani re m caniste et reporter leur passage la division plus tard lors d ateliers de rem diation Quelques l ves utilisant la division ne trouvent pas le es quotient ef reste bon r sultat Bien souvent ce sont des probl mes de calcul pos qui sont l origine de leurs erreurs ou des faiblesses en num ration ou en calcul mental comme l l ve de la figure b du chapitre 4 2 5 Pour deux d entre eux cependant il y a un probl me plus profond En faisant des divisions ils s loignent du sens et marquent la m me chose dans la colonne de droite du quotient et celle de gauche du reste On peut penser de prime abord l tourderie mais il est bien possible que cela soit moins idyllique et que ces l ves soient en train de perdre le sens en plaquant une technique de mani re m canique Pour ceux ci la rem diation propos e a t de revenir leur technique na ve ant rieure et de refaire le cheminement qui leur a t propre vers la technique de r f rence Pour ces deux l ves un cueil ponctuel posant probl me a t contourn sans le voir plut t que d tre identifi et de demander r solution Ce sont des capacit s d autor gulation qui manquent dans ces situations Le r le de l enseignant est donc pluriel ne pas tre attentiste Il faut pousser les
30. e acquiert celle ci en s adaptant aux situations didactiques qui lui sont propos es Pour la technique de la division comme pour d autres enseignements il n existe pas de situation qui permette l l ve de fabriquer directement une conception correcte de la connaissance qu on veut lui faire acqu rir Il faudra observer plusieurs tapes Le savoir enseign dans les premi res tapes pour r soudre une situation de division sera donc provisoirement inad quat ou insuffisamment performant mais constituera un levier pour la construction d une technique experte par adaptations successives L enseignant pourra se voir reprocher par l l ve les parents ou les enseignants des classes sup rieures de ne pas enseigner la technique experte Pour les l ves on comprend le poids social que peut repr senter le fait de savoir faire une division y compris sans rien comprendre la technique op ratoire Mais il faudra user de persuasion la technique est 12 secondaire la construction de cette technique est primordiale Pour les parents c est Pangoisse de ne pas voir l l ve r ussir qui va motiver leurs r actions A l enseignant de les rassurer et de montrer un cheminement dans le travail de l l ve Pour les coll gues il faut qu une discussion au sein de l quipe apaise les reproches ventuels N anmoins c est la seule solution pour l enseignant s il veut viter un enseignement formel qui fera l
31. ensable la calculatrice la calculatrice fait l objet d une utilisation raisonn e en fonction de la complexit des calculs auxquels sont confront s les l ves Il est pr vu d aborder les probl mes de groupements et partages par 2 et 5 de nombres deux chiffres d s le CE1 Il est important qu au cycle 3 les l ves construisent une m thode solide pour effectuer une division C est une connaissance du socle commun Parmi les quatre op rations c est celle dont le sens est peut tre le plus difficile saisir et dont la technique est la moins ais e Cela m a interpell pour tenter de trouver une d marche p dagogique efficace l enseignement de la division qui s int resse au sens et la technique sans dissocier ces deux aspects Ce sont les relations entre sens et technique qui vont constituer l objet du pr sent m moire 2 Exploration du sujet 2 1 D finitions math matiques Le terme de division peut repr senter plusieurs choses D une part ce terme peut repr senter la division euclidienne celle enseign e l cole l mentaire pour les situations de partage et groupement avec reste D autre part ce terme peut repr senter la division op ration qui deux nombres associe le quotient de l un par l autre Bien entendu nous nous int resserons principalement la division euclidienne qui est tudi e au d but de l enseignement de la division lors de la construction de celle
32. er par essai erreur afin d approcher le dividende par un multiple de 6 Cette m thode est parfois tr s rapide Elle risque de perdurer longtemps et de ne pas tre prise en d faut Parfois seule l habitude sociale de la division poussera ces l ves quitter cette technique pour la technique de r f rence Apr s un premier travail individuel on identifie collectivement les proc dures employ es qu on nommera m thode par addition m thode par soustraction m thode par multiplication L enseignant se gardera d mettre un quelconque avis sur les techniques employ es On demandera alors aux l ves de se d finir parmi les proc dures expos es pour un travail en groupe Un l ve a le droit de changer de groupe d s qu il l estime n cessaire On donnera quelques situations toujours appel es bonbons situation de partage ou bo tes ufs dans un premier temps 17 On proposera par la suite le m me genre de situations pour un travail par groupes en demandant aux l ves de r soudre en choisissant deux des techniques expos es les groupes tant constitu s d l ves utilisant de strat gies diff rentes Le fait de devoir utiliser sa technique propre mais d tre oblig d utiliser galement une autre technique d un l ve du groupe participera au fait de faire cheminer les l ves comparer les diverses techniques et ventuellement en changer pour une plus efficace voir Annexe V
33. es Crahay Verschaffel p 58 59 En revanche Jean Piaget insiste sur l importance de la conservation du nombre lorsqu un enfant conservant d duit l invariance du nombre d objets d une collection apr s changement de forme de la disposition des objets Enfin on va s int resser la technique op ratoire de la division Celle qui tait pr conis e dans les documents d application de 2002 la division fran aise garde les soustractions pos es sans crire tous les z ros des multiples successifs On prendra celle ci comme r f rence Et le r sultat sera exprim par l galit 7805 27 x 289 2 2 2 Les programmes vision historique Jusque derni rement l enseignement des op rations dans la scolarit l mentaire tait rythm par niveau l addition au CP la soustraction au CE1 la multiplication au CE2 et la division aux CM1 et CM2 G rard Morin article de 2006 la division dans Les Cahiers P dagogiques Il n en a pas toujours t le cas et les nouveaux programmes de 2008 viennent de modifier le niveau d introduction des diverses op rations Il conviendra d ailleurs de distinguer comme le souligne Roland Charnay dans un article du bulletin de l APMEP bull 469 2007 l introduction de l apprentissage de la technique op ratoire dont il d conseille l introduction trop h tive et l introduction de situations de partage et groupement qui peuvent tre r solues
34. hange son syst me de repr sentation Il explique que les situations propos es aux l ves en vue d un nouvel apprentissage doivent tre assez riches et complexes pour que les l ves doivent chercher une nouvelle mani re de r soudre Si une situation de d nombrement des places dans 6 rang es de tables 4 places est propos e la solution additive est efficace et assez rapide Il n y a aucune raison pour que l l ve ressente le besoin d un nouvel outil p78 La situation probl me pour tre efficace doit tre suffisamment complexe pour d abord mettre en chec les conceptions initiales erron es de l l ve mais ne doit pas l tre trop pour permettre aux l ves ensuite d laborer une solution au probl me pos La situation probl me ici se pr sentera sous forme d une situation de partage ou groupement Cette situation doit tre suffisamment complexe par la taille du dividende et du diviseur afin qu une solution na ve soit d courag e par la lenteur de traitement ou la complexit des calculs et donc que l l ve ait besoin d un nouvel outil pour r soudre le probl me Dans un article de la revue L Ecole Valdotaine n 48 de septembre 2000 M Assuied et Mme Ragot expliquent que ce n est pas la r solution d un probl me unique qui est vis e ici En situation probl me ce n est donc pas seulement la r solution d un probl me singulier qui est recherch e mais travers elle la c
35. ire son cheminement et d utiliser la technique provisoire qui lui semblera ad quate et surtout qu il comprendra L enseignant devra accompagner les progr s de chacun et pousser vers la technique de r f rence de mani re viter l attentisme et la cristallisation de techniques non expertes Les termes propres la division partage groupement diviseur utilis s tout au long de cet apprentissage n interviendront que pour accompagner la construction du concept de division et au service du sens de ce qui est effectu 4 Exp rimentation 4 1 Ce que proposent des manuels Dans Spirales CE2 les auteurs proposent deux chapitres intitul s R soudre des situations de division Il s agit de familiariser les l ves avec des situations de partages et groupements pour arriver l criture 17 3 x Ensuite les l ves sont guid s vers une m thode soustractive simple La technique op ratoire n est pas abord e le manuel se contentant d appuyer sur le fait que des multiplications successives par t tonnement viennent bout des probl mes propos s La potence n est pas montr e ni le signe Ce manuel prend le parti de travailler avec des nombres assez petits en allant du simple vers le difficile La premi re situation propos e est celle de 5 brigands se r partissant 13 16 louis d or puis 26 La d marche est dirigiste des mod les sont propos s Les mod les de r s
36. it s va permettre des discussions au sein du groupe classe sur l efficience de telle ou telle technique et on distinguera 3 techniques principales addition de multiples soustraction de multiples et multiplication Assez tonnamment d s la deuxi me s ance de travail la solution par additions it r es n est plus employ s du tout Il y a fort parier que le parall le entre la m thode par soustractions et la m thode classique de la division a t suffisamment s duisant pour que les l ves additifs voient l int r t de changer de m thode afin de se rapprocher doucement de la m thode de r f rence Par la suite l identification des techniques additives et soustractives comme une seule et m me m thode en comparant les r sultats interm diaires verra par l intervention de l enseignant na tre la technique soustractive comme tant la technique de r f rence c t de la technique par t tonnement multiplicatif On pourra apr s quelques temps tablir un document qui institutionnalise le sens du signe et fait le point sur les techniques employ es Cela permettra aux l ves de fixer une tape dans leur apprentissage et de se situer par rapport aux mod les utilis s Annexe IT 4 2 4 Retour sur le sens Les l ves ont commenc se forger une repr sentation de la division cette tape de la s quence et explorer une technique op ratoire premi re tape d un cheminement vers la
37. l ves vers la technique op ratoire de r f rence en laissant de c t les tapes interm diaires Il faut cependant respecter le rythme de chacun sous peine de perdre certains en route L enseignant doit donc appliquer un savant m lange d exigence et de respect casser les repr sentations fausses et fournir les situations capables de donner du sens aux apprentissages Le concept de division est l un des plus difficiles acqu rir en terme d op ration Le langage est un outil privil gi pour que les l ves se saisissent 21 du concept et l enseignant aura c ur de faire parler les l ves et de faire merger des r f rences communes afin que tous puissent construire le sens de l op ration aider la formulation Le langage porteur du sens peut parfois manquer pour que les l ves expriment clairement leur pens e L enseignant en apportant de r f rences communes claires et en aidant les l ves formuler leur pens e peut esp rer qu ils produisent du sens et des repr sentations claires valuer et r guler Il faut valuer en cours d apprentissage leurs comp tences de mani re rendre intelligibles les difficult s ventuelles afin d amener les l ves les surmonter 4 2 7 Rem diation Pour les l ves qui seraient en chec vis vis de l apprentissage vis deux strat gies ont t appliqu es Tout d abord un retour en arri re a t effectu vers leurs repr
38. la technique op ratoire est exig e en CE2 pour la division un chiffre Le changement est cons quent et a suscit de vives r actions de la part de p dagogues Il faut modifier en profondeur nos approches pour suivre les orientations pr conis es Il est r p t en pr liminaire aux progressions des cycles 2 et 3 La r solution de probl mes joue un r le essentiel dans l activit math matique Elle est pr sente pas tous les domaines et s exerce tous les stades des apprentissages 2 3 Champ d exp rimentation options d enseignement Les nouveaux programmes entrant en vigueur cette rentr e 2008 les l ves de CM1 que j ai cette ann e ont suivi les programmes de 2002 jusqu pr sent et entrent dans ce niveau en n ayant eu ni en CE1 ni en CE2 d initiation la technique de la division et qu une br ve introduction aux situations de partage L introduction de la notion est donc faire compl tement D s cette ann e dans les classes de CE1 les situations de groupements et partages seront introduites et dans deux ans seulement les CM1 auront suivi le cursus pr vu dans les nouveaux programmes pour ce qui est de l op ration qui nous occupe Il est donc d licat de parler de niveau actuellement et je situerai l exp rimentation que je propose par la suite l introduction de la division pos e au cycle 3 que ce soit au CE2 ou au CM1 selon l ann e laquelle les l ves y sont confront s ainsi que d
39. naturelle pour d signer la technique utilis e pour additionner mentalement deux nombres entiers par des adultes n ayant pas appris cette 15 technique l cole On peut extrapoler en se demandant si une division naturelle existerait En parlant de Q probl mes et de E probl mes dont il emprunte la d nomination Vygotski probl mes du quotidien dont la r solution est demand e par la vie quotidienne et probl me de l cole dont la r solution n est issue que d un savoir scolaire il rapporte que des probl mes simples de multiplications de type Q probl mes sont r solus assez facilement par des gens n ayant pas fr quent l institution scolaire Il est parier que des probl mes de partage quivalents seraient galement r solus avec facilit La vie de tous les jours propose des situations de partition auxquelles les l ves sont confront s bien avant qu on aborde v ritablement et ouvertement cette notion Proposer des Q probl mes n est pas forc ment porteur d apprentissage dans la mesure o la d marche de l l ve existe d j en dehors de Pinstitution scolaire En revanche la quotition est le plus souvent r solue par essai erreur sans faire appel une repr sentation de la situation ramenant la multiplication 4 2 3 La situation de d part La premi re situation probl me que j ai retenue pour aborder la division est une situation de quotition comme celle des rubans propos e
40. nctionnement et d autres pas tout de suite et enfin d autres encore pas du tout L enseignant devra g rer cette h t rog n it sans attentisme mais en tant attentif chacun Une situation d apprentissage peut s analyser selon trois axes l ve enseignant savoir On va s int resser aux th ories p dagogiques qui pourraient r pondre ces difficult s en empruntant ces axes 3 Cadre th orique D une mani re g n rale je vais d velopper ici les grandes lignes qui cadrent mon travail au niveau de la d marche g n rale d une part et de sa d clinaison pratique d autre part 3 1 Construction des savoirs G rard Morin dans un article de 2006 consacr la division crit ceci Si enseigner la division se r sume l enseignement de la technique dans un cadre transmissif les l ves vont tre rapidement dans la recherche de virtuosit pour la technique et risquent de ne pas s approprier le sens L enseignant peut travailler des situations de partages et groupements v rifier que les l ves ont acquis le sens puis montrer la technique au tableau et exhorter les l ves reproduire le mod le Il y a fort parier que certains r ussissent voire m me une majorit si on fait r p ter le processus suffisamment En revanche qu en restera t il apr s quelques ann es Que comprennent les l ves lorsqu ils multiplient les chiffres successifs du quotient par le diviseur Quel lien fon
41. olution par soustraction ou addition des deux premiers chapitres font place une d marche multiplicative dans les suivants sans lien entre les deux techniques La d marche reste dirigiste ne fait pas appel aux repr sentations premi res des l ves et on peut rester dans la p dagogie du mod le si on se conforme aux techniques expos es en d but de chapitre Euromaths CE2 prend le parti d aborder tr s t t la notion de division deux chapitres de la p riode 2 s intitulant Multiplication et division Ils sont suivis par des chapitres s int ressant la technique de la multiplication puis de trois autres chapitres s int ressant au sens des deux op rations Dans ce manuel les situations de d couverte sont de r elles situations probl mes et la technique de la division n est pas abord e En revanche de situations sur des collections ou des longueurs sont propos es avec des situations de partition et de quotition sans mod le pr d termin Il peut para tre ambitieux d aborder le mot division si t t en CE2 mais ce n est que l introduction d un mot qui correspond bien ce qu on propose aux l ves depuis des ann es intuitivement et on laisse les l ves construire la multiplication comme des additions it r es et la division comme les l ves l entendent sans mod le pr tabli Ni la potence ni le signe ne sont introduits Les probl mes propos s vont porter sur des nombres
42. onne lieu une premi re technique na ve qui sera abandonn e par la suite Dans Cap Maths le cheminement vers la technique experte se fera notamment par un retour sur la num ration Les situations de d part trop simples ne vont pas mener une recherche de la part des l ves Les d marches qui produisent des mod les identifiables par les l ves et utilisables par mim tisme ne prennent pas en compte les repr sentations premi res des l ves Elles ne r pondent pas la d marche que je me propose d employer dans le sens o chaque l ve ne peut pas suivre sa route 14 4 2 Exp rimentation avec les l ves 4 2 1 Annoncer ce qu on attend des l ves Pour commencer j ai annonc aux l ves qu on allait aborder la division mais que le but n tait pas de savoir effectuer l op ration mais d en construire le sens En les rassurant sur le fait qu ils y arriveraient tous terme et que mes attentes ne sont pas la virtuosit dans la technique op ratoire j esp re carter les aides familiales potentielles qui pourraient interf rer avec ce que l l ve est en train de construire Il est utile ce moment l de redemander aux l ves d o vient le z ro de la multiplication pos e deux chiffres Tous ne s en rappellent pas forc ment Appuyer sur le fait que savoir d o il vient est aussi important que de savoir effectuer l op ration va tre une illustration pour les l ves de ce qu
43. positions de d part va nous permettre d valuer la d marche propos e Le fait d avoir respect les techniques premi res des l ves et de partir de leurs repr sentations semble avoir permis la plupart de construire une technique op ratoire allant vers la technique de r f rence mais surtout d y mettre du sens La situation probl me de d part et les travaux de groupe ont r ussi faire que chacun s engage dans une construction de la notion La gestion par l enseignant des diff rents cheminements des uns et des autres n a pas particuli rement pos probl me M me des l ves dont les faibles comp tences en calcul mental auraient pu tre un obstacle l acquisition d une technique ont r ussi investir celle ci Les phases collectives notamment celles o les l ves ont expliqu leurs techniques et ont compar celles ci ont conduit une objectivation des connaissances Chacun pouvait alors se situer comparer les techniques et choisir sa voie vers la technique de r f rence Des 22 validations successives des techniques employ es diff rents moments de l apprentissage ont rassur les l ves ils avan aient chacun leur rythme et leur pratique tait jug e correcte d une part par leurs camarades d autre part par l enseignant Le pourquoi du passage massif et unilat ral des l ves additifs aux soustractions it r es reste en suspens Ces l ves interpell s sur ce
44. rogressif avec les programmes de 1923 La manipulation en math matiques d coupage pliage utilisation de b chettes est le point de d part des apprentissages article de Renaud d Enfert L exp rience des l ves est mise en avant Dans les manuels d apr s guerre on trouvait l introduction de la division au cycle moyen par des exercices de r flexion dont le moteur principal tait la multiplication Les programmes de l poque asseyaient la partie calcul de l arithm tique sur la ma trise des techniques op ratoires des 4 op rations Les probl mes de r investissement allaient croissant en difficult mais n taient souvent que des exercices d application dont les nonc s centr s sur la vie quotidienne et notamment campagnarde se r p taient Les math matiques taient utilitaires et les probl mes portaient sur des sujets de la vie courante revue de l Inspection G n rale 2003 J ai trouv cet exercice introduisant l tude de la division pr sent dans un manuel de 1956 Cours d Arithm tique Ch Pugibet Annexe I Une ma tresse donne 8 cahiers chacune de ses 6 l ves du Cours Sup rieur Combien a t elle distribu de cahiers Une ma tresse distribue 48 cahiers 6 l ves Quelle est la part de chacune Une ma tresse qui a 48 cahiers doit en donner 8 chacune de ses l ves Combien a t elle d l ves Il est expliqu ensuite qu on calcule la valeur d une part ou le
45. s pensez que vous allez apprendre cette ann e et bien souvent la division tait cit e notamment pour le CM1 Lors des r unions individuelles ou collectives avec les parents souvent des questions ou des inqui tudes portent sur ce sujet Il m est arriv de demander aux parents pr sents lors des r unions de d but d ann e combien d entre eux savaient faire une division sans coup f rir En g n ral assez peu se signalaient C est tout fait normal Dans la vie courante le recours la calculatrice est quasiment automatique pour toute op ration qui ne se fait pas mentalement Leurs enfants comme eux recourront la machine d s que la division ne sera plus un apprentissage mais deviendra une op ration rencontr e au cours d un raisonnement J ai pu travers une courte exp rience de l enseignement en secondaire v rifier que les op rations taient effectu es la calculatrice d s qu elle tait autoris e souvent m me au d triment du calcul mental Cependant les programmes de 2008 mettent l accent sur la capacit des l ves ma triser la technique op ratoire pour chacune des quatre op rations Le calcul mental tables d addition et de multiplication L entra nement quotidien au calcul mental portant sur les quatre op rations favorise une appropriation des nombres et de leurs propri t s pos la ma trise d une technique op ratoire pour chacune des quatre op rations est indisp
46. sentations initiales Si celles ci taient erron es les repr sentations suivantes emprunt es aux travaux de groupes ont servi de base de d part Un cheminement pas pas a eu lieu ensuite laissant aux l ves une deuxi me chance de parcourir le chemin Cela a pu fonctionner lorsque ces l ves ont subi un chec en cours de d marche sans bien l identifier Si cette d marche n a pas su r pondre leurs difficult s il peut tre envisag de changer d entr e dans l activit Peut tre la situation initiale n a pas t suffisamment porteuse de sens pour servir de r f rence Pour les deux l ves concern s c est une r flexion sur la r gularit des multiples sur une situation de marelle Enseigner les math matiques l cole Cerquety Arberkane qui les a entra n vers une d marche multiplicative On diff rera l entr e dans la technique de la division comme expliqu plus haut Le fait de g rer des multiplications et des soustractions conjointement entra ne parfois les l ves dans des situations de surcharge cognitive Plut t que d entra ner des l ves dans ce cas faire semblant de savoir en singeant la technique sans la comprendre autant attendre que les concepts multiplicatifs et soustractifs soient mieux affermis afin de reprendre plus sereinement le travail sur la technique de la division 4 3 Evaluation de la d marche Une fois l exp rimentation r alis e un retour sur nos pro
47. t ils entre la technique et le sens Pas grand choses pour la plupart c est craindre Pour ne pas tre dans un cadre transmissif il faut que les l ves soient les acteurs de leurs apprentissages qu ils construisent les notions qu ils apprennent Le mod le piag tien insiste sur le d s quilibre initial qui va provoquer une d stabilisation de l l ve et l engager dans un nouvel apprentissage Ici cette d stabilisation va prendre la forme d une situation probl me une situation de partage ou de groupement pour laquelle l l ve n aura pas disposition la technique experte mais pourra essayer de la traiter avec les outils qu il a sa disposition addition soustraction multiplication utilisation de sch mas de dessins Pour Jean Piaget toute connaissance est le r sultat d une exp rience individuelle d apprentissage Les nouvelles connaissances vont se construire par assimilation de la nouveaut et accommodation avec les connaissances d j pr sentes La phase d apprentissage se termine avec un nouvel tat d quilibre Nouvel quilibre Accomodation Assimilation Situation probl me D s quilibre Ancien quilibre 3 2 Situation probl me Roland Charnay dans Pourquoi des maths l cole l mentaire d finit la situation probl me comme tant un probl me qui permet l l ve de comprendre que ses solutions spontan es ne conviennent pas qu il faut qu il c
48. tionnaire de Math matiques l mentaires met l accent sur le sens en montrant que l op ration tient dans la d cision d effectuer une division et que la technique selon elle n est que secondaire On peut s int resser au concept de nombre On peut mettre des critiques envers le mod le de Stella Baruk quand elle entend dissocier nombre et quantit l cole l mentaire A mon sens il faut lier nombre et quantit Pour R mi Brissiaud la quantit est la mesure de l extension d une collection Le nombre est une repr sentation non analogique de la quantit gr ce un mot nombre Une repr sentation analogique serait une collection t moin cailloux doigts ou constellations Comment les enfants apprennent calculer p 26 27 La d finition de Newton va dans le m me sens et souligne le r le de l unit et de l quivalence de la correspondance terme terme entre deux collections de m me quantit Par nombre nous entendons non pas une multitude d unit s mais plut t le rapport d une quantit quelconque une autre quantit de m me sorte que nous prenons comme unit Newton Universal Arithmetic 1728 Dans le mod le piag tien le nombre n est pas une propri t des objets qu on consid re le nombre est construit par le sujet par l abstraction de l organisation que le sujet a introduite au sein des objets Enseignement et apprentissages des math matiqu
49. tionnaire de Math matiques El mentaires Stella Baruk Enseigner les math matiques l cole F Cerquetti Aberkane Comment les enfants apprennent calculer R mi Brissiaud Pourquoi des math matiques l cole Roland Charnay L enseignement math matique l cole primaire de la Troisi me R publique aux ann es 1960 enjeux sociaux et culturels d une scolarisation de masse Renaud d Enfert Didactique des math matiques J Brun Enseignement et apprentissage des math matiques Que disent les recherches p dagogiques Marcel Crahay Lieven Verschaeffel Eric de Corte Jacques Gr goire Donner du sens aux math matiques tome 2 F nichel Pfaff L cole mode d emploi Philippe Meirieu Les enjeux didactiques dans l enseignement des math matiques Jo l Briand Marie Claude Chevalier Hatier Rapport de l Inspection G n rale n 2006 034 juin 2006 24 ANNEXES ANNEXE I Cours d Arithm tique Ch Pugibet ANNEXE II MATH MATIQUES J ai 138 billes et je veux les partager entre 4 enfants Combien de billes aura chaque enfant combien en restera t il Plusieurs m thodes Par t tonnement En fhisant plusieurs distributions Par division BOx4u AO Resta G quen d 433 4 4ox 4 4160 chacun 420 3Sv4 440 A38 30 ue 30 Ar 34 34x 4 436 310x440 A0 AC 4 Ag gt AG 12 438 muaa Jait 4 Z ponm 433 4r34 Jez 1 138 4x34 2 1
50. toute fin de la construction de la technique op ratoire un crit final reprendra dans une le on la technique experte pr sent e comme la figure c Elle diff re de la technique pr sent e au chapitre 2 1 Ici les z ros sont pr sents et le quotient est d compos en plusieurs nombres C est une pr sentation qui repr sente fid lement les calculs effectu s Plus tard une fois la technique bien acquise on pourra am liorer cette technique pour aller vers la technique de r f rence mais pour l instant elle garde le m rite de rappeler aux l ves la construction de l op ration Dans l crit de r f rence final seront introduits les termes de diviseur et dividende qui n ont pas encore t employ s Ces termes sont utiles la construction du concept mais j ai pr f r en retarder l utilisation afin que la compr hension de ce que sont ces termes dans l op ration ce qu on divise par quoi on le divise pr c de l utilisation des mots les d signant Dans le cas contraire pour les l ves nommer arbitrairement des nombres dont ils ne ma trisent pas bien le fonctionnement dans la technique employ e n est pas une aide 4 2 6 Difficult s rencontr es L volution des l ves est r sum e dans le tableau suivant Par soustractions Par addition de multiples ou d marche erron e multiplesPar soustraction d Pas de d marche mise en uvr Premi re 2 situation Travail par groupes Evaluation finale
51. troduction de la soustraction de la multiplication des nombres d cimaux ceux qui invitent utiliser des acquis en percevoir ventuellement les limites d utilisation probl mes relevant de l addition de la soustraction de la multiplication et de la division laboration dans l ensemble des d cimaux des techniques op ratoires mentales ou crites et des proc d s de calcul approch ordre de grandeur et encadrements Les programmes de 1995 continuent en droite ligne de ceux de 1985 en mentionnant les techniques op ratoires des 4 op rations tout en laissant les l ves d couvrir au coll ge la division de deux nombres virgule Les programmes de 2002 soulignent le fait que les l ves doivent comprendre les techniques op ratoires le sens des op rations doit tre au centre des pr occupations les techniques op ratoires usuelles sont mises en place sur des nombres d usage courant en s attachant assurer une bonne compr hension des tapes Les nouveaux programmes de 2008 mettent l accent sur la ma trise des op rations et notamment des techniques op ratoires calcul pos la ma trise d une technique op ratoire pour chacune des quatre op rations est indispensable La division appara t maintenant au CE1 par 2 et par 5 pour les nombres inf rieurs 100 il faut approcher de la division de deux nombres entiers partir de partage ou de groupement Une ma trise de
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