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PASSER AU GLOBAL : LE CAS D`ÉLIE CARTAN, 1922

1. il marque explicitement qu il s agit la d un emprunt la th orie des fonctions alg briques plus pr cis ment la th orie de Riemann puis Poincar empruntant les voies topologiques plut t que purement alg briques de ce que Weyl d signe 3 Weyl l affirme sans d monstration Un argument l mentaire est donn par Hawkins repris d un article de Cartan que nous pr sentons plus loin Hawkins 483 de fa on g n rale comme la th orie de l uniformisation Cette th orie demeure en 1925 chez Weyl l arch type des th ories globales par ses concepts comme par ses m thodes On voit Weyl beaucoup plus allusif sur les aspects plus classiquement issus de la th orie de Lie qui sont souvent repris sans grande modification ainsi Weyl peut il continuer parler de l application exponentielle comme du r sultat de l it ration des transformations infinit simales Ce double standard se comprend en tenant compte du genre du texte dans cet article de recherche les concepts et m thodes sont introduits mesure que s embo tent les l ments d une imposante d monstration ce n est pas le lieu d un travail de r criture didactique de tout l difice de la th orie des groupes et alg bres de Lie virtuosit d un cheminement hybride et non refondation Comme nous le notions plus haut la rencontre entre des probl matiques issues de la th orie des groupes de Lie au sens o elle reposent de m
2. tx 32 Suivant la pr sentation de la th se de Cartan Weyl obtient une telle alg bre en consid rant le noyau de ad to pour un l ment t de g choisi en position g n rale c est dire ayant un nombre maximal de racines distinctes Weyl 1925 609 Le th or me de structure des alg bres semi simple montre entres autres que la restriction du crochet h est nulle et qu il existe une base e d un suppl mentaire de h form e de vecteurs propres pour tout h h C est ce r sultat que Weyl rappelle ici Weyl 1925 618 dki 0 i 12 n dtu ats Weyl 1925 629 On remonte ensuite dans le groupe fini La transformation finie e de qui en r sulte par it ration x EME 1 qu il sera commode de noter e s exprime dans ces param tres par K Ki Ta se Ad 2 Les l ments principaux forment un sous groupe ab lien n param tres de Weyl 1925 629 Les param tres o sont imaginaires purs lorsque e appartient amp leur partie imaginaire est l analogue des angles servant param trer les rotations dans les cas usuels Si Jusqu ici la rapide mise en place des liens entre transformations infinit simales et transformations finies ne se soucie pas d articuler explicitement les aspects locaux et globaux les tapes suivantes nature du rev tement universel expression de la mesure invariante sur le groupe reposent sur un th or me de repr sentation qui d
3. Cartan 1925d 542 L etude de l exponentielle vers G est men e selon le m me plan et c est comme l annon ait Cartan un r sultat alg brique sur le liens entre les poids principaux des deux repr sentations exponentielles de l alg bre de Lie qui fournit l argument de finitude Cartan 1925d 544 On voit donc Cartan utiliser des outils de topologie g n rale connexit par arc compacit ou relative compacit sans leur accorder une pr f rence syst matique sur les arguments alg briques ou analytiques Il vite par contre tout recours la topologie au sens de l Analysis situs il faut reconna tre que l tude du groupe de Poincar des groupes de Lie sous la simple hypoth se de semi simplicit de l alg bre rel ve en effet d licate le travail men sur ce point par Weyl dans les cas des quatre classes usuelles n cessitait d j une grande ma trise de ces aspects et sa d monstration dans le cas g n ral est un peu allusive Au del du choix des outils Cartan aborde dans cet article les aspects globaux dont le travail de Weyl lui a montr le caract re essentiel compacit de la vari t du groupe propri t s d injectivit et de surjectivit de l application exponentielle lien entre deux groupes de m me alg bre de Lie On va voir que cette prise de conscience de la sp cificit et de l importance des aspects infinitesimalen Gruppe operiert bleibt zu w nschen gl
4. Cette definition des Dans la conf rence de 1935 sur La topologie des espaces repr sentatifs des groupes de Lie Cartan 1936 gt Nous appellerons vari t n dimensions un ensemble d l ments ou points tels qu on puisse d finir un syst me de sous ensembles appel s voisinages satisfaisant aux conditions suivantes vari t s topologiques ouvre un premier chapitre consacr la notion de groupe topologique On y retrouve l essentiel de la pr sentation de Schreier les rev tements y sont en particulier introduits partir de la distinction de deux types d isomorphismes de groupes topologiques Un groupe G est dit isomorphe d un groupe G s il est possible de faire correspondre un l ment de G un l ment d termin de G de telle sorte que si A B C sont trois l ments de G satisfaisant A B C les trois l ments correspondants A B C de G satisfassent AB C Cartan 1930 1175 On voit Cartan conserver le vocabulaire ancien isomorphisme pour ce que nous nommons homomorphisme pour distinguer ensuite les isomorphismes holo driques et m ri driques L essentiel tient toutefois dans l introduction de la notion cousine Deux groupes finis et continus de m me ordre G et G sont dit localement isomorphes si l on peut tablir une correspondance biunivoque continue entre les l ments d un voisinage Vo de G contenant son int rieur l
5. partir la g om trie projective 1 4 Un deuxi me th me r concilier les points de vue de Klein et de Riemann Cette construction th orique impressionnante par sa g n ralit comme par l unit de ses moyens conduit Cartan tudier deux autres probl mes reposant sur la notion de groupe celui de la d composition des tenseurs en tenseurs irr ductibles celui du groupe d holonomie qui joueront tous deux un r le important dans l introduction des probl matiques globales L introduction partir de 1925 du groupe d holonomie s accompagne du d veloppement d un nouveau th me celui d une g om trie et d une physique purement locales s ajoute celui de la conciliation des points de vue de Klein et de Riemann ce nouveau th me n est plus comme l tait le pr c dent directement h rit de Weyl et Einstein 1 4 1 Repr sentations tensorielles et tenseurs irreductibles Contrairement Einstein Levi Civita ou Weyl Cartan n utilise pas fondamentalement le calcul tensoriel et la notion de tenseur Les tenseurs interviennent toutefois dans la deuxi me partie de l article sur Les vari t s connexions affines mais les longues mises en place th oriques de Weyl sont remplac es par une br ve introduction toujours guid e par les principes de l article de 1915 sur la g om trie et les groupes continus Consid rons dans un espace affine un tre g om trique ou plut t un
6. TA Ty quipollence de seconde esp ce associ e l action du groupe sur lui m me gauche ou droite respectivement En calquant les d finitions sur celles de la g om trie affine Cartan d finit les g od siques et montre que cette notion co ncide avec celle de sous groupe un param tre L action du groupe sur lui m me gauche ou droite permet aussi de d finir un transport des vecteurs sans courbure qui permet d obtenir une nouvelle entr e dans le dictionnaire g om trie des espaces g n ralis s groupes de Lie au niveau infinit simal cette fois la torsion du c t g om trique correspond le crochet de Lie du c t groupes de Lie les transformations infinit simales tant identifi es des translations infiniment petites Une troisi me connexion est d finie moyenne arithm tique entre les deux premi res ou encore l unique connexion affine sans torsion ayant les sous groupes un param tres comme g od siques qui pr sente une courbure mais pas de torsion la rotation infinit simale associ e au parall logramme infinit simal de c t s U et V est alors le crochet avec U V autrement dit le groupe d holonomie est le groupe d riv du groupe adjoint Dans le cas semi simple cette connexion peut tre associ e une structure riemannienne sur l espace du groupe la forme quadratique tant non d g n r e mais non n cessairement d finie On comprend qu
7. absence de certaines structures syntaxiques Dans le cas d Elie Cartan l volution est rapide aux niveaux th orique et th matique plus lente au niveau rh torique La maturation progressive ce dernier niveau sur la p riode 1925 1930 franchit une tape gr ce au changement de genre que repr sente le passage d articles de recherches une monographie de r f rence des l ments exog nes fournis ici par le travail de Schreier jouent alors un r le central BIBLIOGRAPHIE Abr viations usuelles Ann Sci ENS Annales scientifiques de l Ecole Normale Sup rieure Bull AMS Bulletin of the American Mathematical Society Bull Sc Math Bulletin des Sciences Math matiques Bull SMF Bulletin de la Soci t Math matique de France CRAS Comptes rendus de l Acad mie des Sciences France Ens Math L enseignement Math matique Encyclop die Encyclop die der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen G tt Nachr Nachrichten von der K nig Ges Der Wissenschaft zu G ttingen JDMV Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung J de Math Journal de Math matiques JMPA Journal de Math matiques Pures et Appliqu es MA Mathematische Annalen MZ Mathematische Zeitschrift Proc NAS Proceedings of the National Academy of Sciences USA Akivis M Rosenfeld B 1993 lie Cartan 1869 1951 AMS Providence 1993 Blaschke W 1923 Vorlesungen ber Differentialgeometrie und geometris
8. de validit infinit simale de la g om trie au sens de Klein et du caract re par nature centr es des g om tries ainsi obtenues si un espace de Riemann ne poss de pas d homog n it absolue il poss de cependant une sorte d homog n it infinit simale au voisinage imm diat d un point donn il est donc assimilable un espace euclidien Toutefois si deux petits morceaux voisins d un espace de Riemann peuvent tre assimil s chacun un petit morceau d espace euclidien ces deux petits morceaux sont sans liens entre eux ils ne peuvent pas sans convention nouvelle tre regard s comme appartenant un seul et m me espace euclidien Autrement dit un espace de Riemann admet au voisinage d un point A une rotation autour de ce point mais une translation m me consid r e dans les effets qu elle produit sur une r gion tr s petite de l espace n a pas de sens Cartan 1925b 893 Cette formulation du probl me des connexions en termes de translations lui permet de relire le travail de Levi Civita en montrant que ce n est pas le transport parall le des vecteurs qui est fondamental il est appel dispara tre en g om trie conforme par exemple mais la r introduction des translations dans le cadre Riemannien Dans cette conf rence Cartan ne pr sente aucun des aspects techniques ne fait pas m me allusion au rep re mobile au calcul diff rentiel ext rieur et ne fait pas le lien explici
9. la pointe de cette th orie Apr s cette rapide mise en place alg brico g om trique Cartan passe en quelques lignes de l espace affine aux vari t s connexion affine Consid rons maintenant une vari t connexion affine n dimensions Nous appellerons tenseur attach un point m de cette vari t un ensemble de quantit s qui subiront une transformation lin aire lorsqu on changera le syst me de r f rence d origine m attach l espace affine tangent en m Il existe deux tenseurs remarquables attach s un point m de la vari t c est le tenseur de torsion dont les composantes sont les coefficients Ag et le tenseur de courbure dont les composantes sont les coefficients A Cartan 1925e 934 iap La question qui int resse Cartan est celle de la d composition de ces tenseurs en tenseurs irr ductibles et l interpr tation g om trique de chacune des composantes La notion de base est la suivante Les composantes de tout tenseur attach au point m subissent une substitution lin aire et homog ne quand on effectue un changement de syst me de r f rence d origine m Le tenseur sera dit irr ductible lorsqu il sera impossible de trouver un certain nombre de combinaisons lin aires coefficients constants des composantes du tenseur donn formant pour elles m mes un tenseur Cartan 1925e 934 Nous n entrons pas ici plus avant dans la pr sentation de ces questions Il nous suffit d
10. ce n est que dans article ult rieur que la perspective de cet article est r trospectivement qualifi e de purement locale On voit que le travail sur l espace du groupe bien que trouvant son point de d part dans l utilisation de propri t s topologiques globales par Weyl peut aussi prendre une forme locale il s accompagne de travaux globaux sur la topologie des groupes dont la monographie de 1930 pr sente un premier bilan Si l on revient notre article sur la g om trie des groupes Cartan y exploite l action du groupe sur lui m me pour tablir un dictionnaire avec les propri t s des espaces g n ralis es mises en place dans la p riode 1922 1925 On se souvient que l une des critiques que Cartan adressait aux g n ralisations de la notions d espace de Riemann telles que celle propos e par Weyl tait qu elles reposaient de mani re essentielle sur la notion de vecteur alors que dans la perspective des espaces g n ralis s la g om trie de Klein infinit simalis e n a pas agir sur un espace dans lequel la notion de vecteur ait un sens ainsi en g om trie projective Ici Cartan appuie sa description d une g om trie des groupes de Lie sur une notion de vecteur mais en la red finissant un vecteur est un couple de points de l espace du groupe deux vecteurs a b et a b tant quipollents si on a l galit des transformations T T Tv quipollence de premi re esp ce ou T Ty
11. de d veloppement dans un espace de g om trie donn e au sens de Klein le long d un chemin Cartan d montre comme premier r sultat que la structure de ce groupe ne d pend pas du point m puisqu chaque chemin reliant deux points de la vari t implicitement suppos e connexe est associ e un isomorphisme des groupes associ s aux extr mit s le choix du groupe d holonomie comme objet central d tude constitue apr s la technique du d veloppement dans un espace au sens de Klein une deuxi me voie pour tudier l espace comme un tout et non plus une collection de voisinages infinit simaux C est ce groupe d holonomie qui est au centre des r flexions de La th orie des groupes et les recherches r centes en g om trie diff rentielle apr s avoir pr sent les espaces connexions projectives ou conformes Cartan r pond l interrogation sur laquelle il ouvrait son expos En r sum dans les g n ralisations pr c dentes l id e directrice est la suivante Dans un espace holonome au sens de M F Klein tout est command par le groupe fondamental et ses diff rentes op rations Ce sont ces op rations qui font de l espace un tout organique Dans les espaces non holonomes ce sont encore les op rations qui sont un principe d organisation mais uniquement de proche en proche C est pr cis ment en analysant ce que cette organisation a d incomplet que nous allons arriver au r le tout fai
12. il introduit le point de vue de la relativit g n ralis e Il suffit pour que l on puisse formuler les lois de la physique que les deux conditions suivantes soient r alis es 1 On dispose pour mesurer les grandeurs d tat physiques d un syst me de r f rence susceptible pour le petit morceau d espace temps o se trouve l observateur de jouer le r le d un vrai syst me de Galil e 2 On conna t la connexion affine de l espace temps c est dire on sait comment doivent tre compar s les observations faites par rapport deux syst mes de r f rence de Galil e d origine infiniment voisines Cartan 1923 692 Comme chez Weyl ce changement de vue sur la g om trie invitant la mise en place d une nouvelle structure la connexion est pr par par une relecture de la physique classique quations de Maxwell pour Weyl mises en contraste avec l action distance chez Coulomb pour Cartan caract risation du champ gravitationnel E par rot E 0 et l Equation fondamentale de Poisson x er 22 4Arp Cartan 1923 669 x y Oe il importe de remarquer que le point de vue nouveau auquel nous nous sommes plac nous oblige noncer les lois de la M canique sous une forme exclusivement locale c est dire tout ramener la M canique des milieux continus nous ne savons pas en effet ce que sont deux syst mes de r f rence quipollents lorsque leu
13. l tude s articule en deux temps tr s nets une partie infinit simale infinitesimaler Teil suivie d une tude int grale integraler Teil Dans le cas des groupes de rotations l analogue de la r duction unitaire am ne consid rer les groupes r els SO n R compacts dont Weyl montre qu ils ne sont pas simplement connexes mais que leur rev tement universel n est qu deux feuillets pour n23 la compacit est donc pr serv e Weyl 1924a 466 Le cas de SO 2 R illustre le r le de la topologie dans les questions de r ductibilit des repr sentations lin aires Ce groupe tant hom omorphe au cercle son rev tement universel n est pas compact ce qui interdit d utiliser la m thode int grale de formation d invariants Weyl montre qu il ne s agit pas l d un simple obstacle technique interne la d monstration le r sultat de compl te r ductibilit n est en fait pas valide pour cette alg bre de Lie Si T est un g n rateur de cette 1 0 alg bre qui est une droite vectorielle r elle alors T d est une repr sentation poss dant un sous espace invariant mais non d composable en somme de deux repr sentations irr ductibles Weyl 1925 562 2 1 2 Le cas g n ral repr sentations lin aires des algebres semi simples Dans les chapitres 3 et 4 de l article de 1925 26 Weyl entreprend d tendre le th or me de compl te r ductibilit aux repr sentations de t
14. ralisation du cas affine est assez directe au lieu de consid rer que le rep re mobile est donn par une transformation affine dont les composantes dans un rep re arbitraire fix sont des formes lin aires en les du on va consid rer que le rep re mobile d une g om trie de groupe G est donn par une transformation infinit simale du groupe dont les composantes sont des formes lin aires en les du on peut lire cette transformation infinit simale variable comme associant chaque translation infinit simale sur la vari t des observateurs un changement infinit simal de rep re dans l espace E compatible avec sa g om trie de groupe G Soulignons encore que ce qui appara t dans les formule ce n est pas l espace E ni m me le groupe G seules les transformations infinit simales apparaissent le reste rel ve du cadre g om trique d interpr tation En suivant le mod le du raisonnement propos dans le cas affine la recherche de conditions d int grabilit am ne consid rer la d riv e ext rieure de OX Xf Lo l criture de cette d riv e faisant appara tre des l ments d int grale double dans lesquels interviennent les constantes de structure Cpgs du groupe Mais il nous importe surtout de remarquer que le passage du cas affine au cas plus g n ral permet de mieux comprendre le lien entre les diff rents espaces impliqu s ainsi que les conceptions sous jacentes des notions d
15. t sont ici explicit s ce qui permet en retour de mieux comprendre la d marche de Cartan dans le cas affine Outre l explicitation du r le des diff rents espaces le cas g n ral pr sente aussi un changement de point de vue important par rapport au point de vue initial sur le cas affine Alors il semblait essentiel de comprendre qu chaque point correspond un espace affine diff rent d o la question de la connexion au sein d une collection d espaces affines Dans le cas g n ral le point de vue est renvers il n y a qu un espace E qui peut tre un espace affine et la vari t initiale ne joue que le r le de vari t des param tres des rep res mobiles on passe d un point de vue dans lequel la vari t est l objet principal et les espaces attach s secondaires un point de vue dans lequel l espace E est unique et la vari t des observateurs l une des possibles parmi un infinit d autres On peut bien s r dire que ce changement de point de vue exprime la trivialit locale des fibr s en question mais ce n est pas l la question de Cartan Ce changement de point de vue qui avait d ailleurs d j t pr sent dans le passage consacr au cas affine permet de mieux comprendre certaines des constructions de Cartan On avait vu dans le cas affine l interpr tation infinit simale des notions de courbure et de torsion Le changement de point de vue consistant fixer l espace E
16. voisinage N he arbitraire de l l ment unit th or me I Ceci n est vrai dire pas directement contenu dans le second th or me fondamental de Lie lorsqu il s agit d un groupe de Lie car pour d montrer le deuxi me th or me fondamental on tire des th or mes d existence de la th orie des quations diff rentielles de sorte qu on doit se restreindre un voisinage suffisamment petit de l identit on n y obtient donc que le r sultat partiel il existe un voisinage de l identit dont la totalit des l ments peuvent tre form s d l ments arbitrairement proches de l identit I Un groupe continu R en d termine un second R tel que tout groupe continu co ncidant im kleinen avec R est univoquement isomorphe un groupe facteur de R Th or me I Appliqu aux groupes de Lie cette proposition nous apprend la relations qu entretiennent deux groupes de m me structure gleich 4 l D zusammengesetzt c est dire dont les constantes de structure c coincident Nous obtenons en m me temps un certain aper u de la structure topologique des groupes continus proposition 11 Schreier 1926 Lat L absence de distinction claire entre les transformations infinit simales d un groupe de Lie et les transformations finies appartenant un voisinage de l identit fait perdre aux consid rations du point I une partie de leur pertinence mais le c ur de l article n est
17. 1922 Ici encore la g n ralisation semble d couler naturellement des choix techniques du rep re mobile et du calcul diff rentiel ext rieur les groupes de Lie du moins l espace vectoriel form par leurs transformations infinit simales s ins rent naturellement dans le cadre comme Cartan le faisait d j remarquer en 1915 la fin de l article de l Encyclop die consacr e La th orie des groupes continus et la g om trie Ainsi lit on dans Sur les vari t s connexions affines Consid rons un groupe fini et continu quelconque G n variables x1 x2 Xn CE groupe tant par exemple d fini par r transformations infinit simales ind pendantes X1f Kat X f Cartan 1923 717 Rappelons que les variables x d signent ici les coordonn es dans l espace sur lequel agit le groupe et non celles de l espace du groupe aussi appel espace des param tres comme chez Lie la consid ration d un groupe de Lie fait d embl e intervenir deux espaces diff rents celui du groupe ici de dimension r et celui sur lequel le groupe agit C est ce second espace qui est tout d abord mis en avant le groupe intervenant non par son espace de param tres ce que nous appelons aujourd hui le groupe de Lie mais par ses g n rateurs infinit simaux X X base de ce que nous appelons l alg bre de Lie du groupe pr sent s ici comme chez Lie comme des op rateurs diff rentiels lin
18. Ar tes dans une triangulation privil gie une classification en termes de disciplines Analysis situs g om trie diff rentielle Riemannienne Weylienne etc th orie des groupes de Lie aux interactions riches et in dites une classification dont local global serait l axe central 3 RENOUVELLEMENT DU QUESTIONNAIRE ET REFONTE DU CADRE TH ORIQUE 1926 1930 Le passage au global n est bien entendu pas la substitution d un questionnaire un autre il y a enrichissement du questionnaire et dans le cas de Cartan un enrichissement qui frappe par la continuit des outils et des objets Formes diff rentielle groupe d holonomie et invariants int graux demeurent les outils centraux mais il semble que leur port e et la doctrine d emploi a chang ils ne parlent plus uniquement d invariants diff rentiels et de conditions d int grabilit ils permettent aussi une exploration globale des espaces tudi s compacit groupe de Poincar nombres de Betti Quant aux objets nous avons montr que la r flexion de Cartan sur les g n ralisations de la notion d espace tait tout enti re guid e par le noyau de la th orie de Lie classique l o Lie consid rait deux familles de variables les coordonn es dans l espace sur lequel le groupe agit les param tres des transformations finies du groupe Cartan introduisait une troisi me famille de param tres et rel chait les conditions d int grabilit p
19. Berlin 1923 Weyl H 1924a Das Gruppentheoretische Fundament der Tensorrechnung G tt Nachr 1924 p 218 224 Gesammelte Abhandlungen 2 p 461 467 Weyl H 1924b Zur Theorie der Darstellung der einfachen kontinuirlichen Gruppen Sitzungsbericht der Preu ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1924 p 338 345 Gesammelte Abhandlungen 2 p 453 460 Weyl H 1925 Theorie der Darstellung kontinuirlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen I ILII resp MZ 23 1925 p 271 309 MZ 24 1926 p 328 376 MZ 24 1926 p 377 395 Gesammelte Abhandlungen 2 p 543 647 Weyl H 1929 On the Foundation of Infinitesimal Geometry Bull AMS 35 1929 p 716 725 Gesammelte Abhandlungen 3 p 207 216
20. Gruppen U U stetige isomorph Kugelumgebungen der betreffenden Einheiten Wir ordnen jedem Element U aus U ein Symbol U zu insbesondere der Einheit E das Symbol E Jeder Beziehung U U U zwischen drei Elementen von U ordnen wir die Relation U U U zu Die durch die Symbole U erzeugte und durch die eben angegebenen Relationen definierte Gruppe nennen wir Ry R pour des diviseurs normaux discrets alors ils sont aussi isomorphes im kleinen Schreier 1926 23 C est dans un second temps que Schreier largit la question maintenant que l on sait deux groupes continus localement isomorphes en associer un troisi me dont ils sont tous deux quotients peut on associer fous les groupes continus d une classe d isomorphisme local un unique tel groupe Le passage n est pas trivial si la classe est infinie lorsque dans des couples R R gt o R est fix on laisse Rz parcourir la classe des groupes localement isomorphes R chaque R se voit associ un voisinage de l unit dans R mais rien ne garantit que l intersection de cette infinit de voisinages en est encore un Schreier l ve cette difficult et peut affirmer l existence d un objet qu il nomme ainsi A D finition 8 Le groupe continu R se nomme un groupe revetement berlagerungsgruppe du groupe continu R ou encore la classe de R lorsque chaque groupe isomorphe im kleinen R est contin ment isomorphe au L groupe facteur de
21. Jedes Elemente t von a l t sich in der Form bringen t u e u 3 wo u sowohl wie das Hauptelement e gleichfalls zu a geh ren In den Kapitel I und II behandelten Sonderf llen traf dieser Satz mit bekannten algebraischen Tatsachen zusammen Hier soll er allgemein mittels der Kontinuit tsmethode durch die gleichen Rechnungen begr ndet werden die uns fr her zur Volumenbestimmung dienten reprendre des arguments topologiques permettant d tablir la surjectivit d une application abstraite Weyl commence par calculer le d terminant de l application qui u et amp associe w e u et il montre qu il est non singulier si ne l est pas au sens suivant aucun des e n est gal 1 autrement dit aucune des rotations n est un tour complet Il en d duit que lorsque u varie librement et que varie parmi les l ments principaux non singuliers les B GE a u e u forment un domaine Gebiet T nous dirions un ouvert Puisque a est ferm les l ments au bord de T sont de la forme u e u lorsque e est singulier TT Weyl tablit ensuite que ce bord t est de codimension 3 dans 4 donc ne le d connecte pas il remarque que la multiplicit des amp singuliers est n 1 dimensions et que si est un l ment singulier fix l ensemble des u donnant le m me u e u d pend de deux param tres ind pendants Weyl 1925 630 Weyl ne d taille pas la fin du raisonnement sur
22. R par un diviseur normal discret Schreier 1926 24 Schreier remercie en note Artin pour avoir sugg r le terme de groupe rev tement L unicit du groupe rev tement isomorphisme continu pr s est tablie Une des originalit s de la d marche de Schreier du point de vue de la topologie vient de l importation de modes de raisonnement typiques de la th orie abstraite des groupes dont il est sp cialiste groupes d finis par g n rateurs et relations recherche des extensions d un groupe donn suites de composition etc L expos de l ann e suivante La corr lation des groupes continus im Grofen revient sur la construction du rev tement par g n rateurs et relations en utilisant cette fois les classes de chemins L expos devant l Union des Math maticiens Allemands fait en septembre 1926 ne contient bien s r pas autre chose mais permet de mieux situer le contexte de ces travaux Schreier commence un peu rh toriquement d plorer le peu d int r t pour les groupes continus certes importants dans les d veloppements r cents de la g om trie qu on pense aux articles de l Encyclop die sur les invariants diff rentiels ou aux manuels de Blaschke ils y sont un rappelons que isomorphe seul signifie pour nous homomorphe Par contre contin ment isomorphe contient une condition de bijectivit Schreier 1926 16 7 Satz 10 Sind R Rz im kleinen isomorph kontinuirlichen Gr
23. Weyl identifie ici une difficult qui n apparaissait dans aucune des tudes se limitant l un des deux niveaux Il la pr sente rapidement dans la note des G ttinger Nachrichten apr s r duction unitaire Je pars du groupe infinit simal g n dimensions et de sa repr sentation y a N dimensions D apr s l id e fondamentale de Hurwitz on ne consid re tout d abord dans le groupe G que le groupe Gu des transformations unitaires de d terminant 1 Le groupe infinit simal associ gu est form de toutes les matrices Qix pour lesquelles ir aki 0 gt oi 0 A partir des op rations du groupe infinit simal Yu correspondant la partie gu de g on obtient d apr s Lie une repr sentation Pu de tout le groupe continu Gu Il reste se demander si la vari t Ta recouvre la vari t Gu une fois ou plusieurs fois peut tre une infinit de fois dans ce dernier cas la m thode de Hurwitz serait en chec car Tu ne serait pas une figure ferm e Weyl 1924a 464 7 F hrt man die kontinuirlichen Gruppen mit Lie auf ihre infinitesimalen Operationen zur ck so formuliert sich das Darstellungsproblem allgemein folgenderma en die Elemente einer inf Gruppe bilden eine lineare Vektormannigfaltigkeit innerhalb deren eine distributive kommutator Multiplikation ab erkl rt ist welche den Rechnenregeln gen gt ba ab ab c bcJa ca b 0 Sind die Elemente Matrizen so ist ab ab
24. associ s un groupe de Lie de transformations Le traitement est lui aussi abstrait on partira d objets d finis par des propri t s caract ristiques qu on ne se soucie plus de baptiser axiomes pour en d duire les principales propri t s les exemples d objets satisfaisant ces d finitions ne sont donn s que dans la derni re partie du texte On retrouve la lecture cette impression famili re de pur jeu de l esprit libre et un peu gratuit il ne s agit pas comme chez Weyl en 1924 et dans une large mesure en 1913 de se r approprier tout un monde de complexit en le coulant dans un moule plus pur profilage de l h ritage profilage par le dialogue avec le pass Cette gratuit de l approche de Schreier n est toutefois qu apparente l tude est motiv e par une question adress e la th orie dont on h rite dans quelle mesure un groupe est d termin par son comportement im kleinen Cette question tait aussi bien s r centrale dans les articles de Weyl sur la repr sentation lin aire des alg bres de Lie mais elle tait rencontr e comme un obstacle dans le cours d une d monstration obstacle dont Weyl soulignait certes au passage la nature g n rale Schreier peut quant lui partir de la question g n rale elle n a pas tre autrement motiv e au jeune math maticien pour qui l alg bre abstraite quoique pas encore dans sa version structurale post van der W
25. ba zu setzen Es soll jedem Elemente a einer gegebenen inf Gruppe eine Matrix A so zugeordnet werden aA da allgemein auf Grund von a A b B den Elementen Aa eine Zahl a b ab die Matrizen AA A B AB korrespondieren Es handelt sich also um reine Algebra Ich gehe aus von der inf Gruppe g in n Dimensionen und ihrer Darstellung y in N Dimensionen Nach dem Grundgedanken von Hurwitz betrachtet man innerhalb G zun chst nur die Gruppe G der unit re Transformationen von der Determinante 1 Die zugeh rige inf Gruppe g besteht aus allen Matrizen x f r welche ou Au 0 2 Qu 0 ist Aus den Operationen der inf Gruppe y welche innerhalb y dem Ausschnitt La formulation est ici un peu archa que Yu resp lu d signe les images de gu resp Gu dans gl n C resp Gl n C le passage de gu Yu est univoque mais nous dit Weyl pas n cessairement le passage induit de Gu Lu c est cette association de plusieurs l ments de T un m me l ment de Gu que Weyl d crit dans le langage du 19 si cle comme un recouvrement a priori en un sens informel du terme un nombre ventuellement infini de feuillets Weyl est un peu plus explicite en 1925 expliquant qu une repr sentation lin aire de l alg bre du groupe n induit de repr sentation univoque du groupe que sur un voisinage de l l ment neutre repr sentation dont le prolongement tout le groupe peut faire appara tre un probl me de mul
26. continues groupes de Lie connexes se trouvent les groupes mixtes par exemple les groupes orthogonaux Lie 1888 pr face Apres cette mise en place fondamentale distinguant la g om trie locale des propri t s d Analysis situs et montrant le double codage dans la structure du groupe d holonomie Cartan d roule une courte serie d exemples texte bref et exot rique il s agit de rendre sensible sur de petits cas concrets les grandes articulations qu on vient de mettre au jour et de d indiquer trait l ger les chantiers de recherche qui s ouvrent La bande de M bius la bouteille de Klein et le tore m triquement plat servent illustrer la non int grabilit de certains transports d une orientation d un talon de longueur La fin de l expos introduit d autres l ments d Analysis situs que le groupe fondamental sans sortir toutefois des notions bien classiques Cartan donne les grandes lignes de la preuve qu une surface localement euclidienne et ferm e est de genre 1 il suffit d valuer le genre au moyen d une d composition en triangles suffisamment petits Ce r sultat classique ouvre la voie de nouveaux travaux portant sur les notions les plus r centes relatives aux connexions Un raisonnement du m me genre montre que dans un espace deux dimensions ferm connexion m trique avec torsion simplement connexe le parall lisme absolu des directions est impossible car on
27. d une mani re que les successeurs reconna tront comme parfaitement rigoureuse le texte est de bout en bout et explicitement articul autour du couple local global ou plut t im Kleinen im Grossen les techniques de d finition intrins que par mod le local de recollement des morceaux ou d utilisation de rev tements sont mises en place avec la plus grande clart Autrement dit dans les ann es 1920 Weyl travaille dans un univers math matique qui est d j structur techniquement et conceptuellement par une polarite local global Il en va tout autrement de celui d Elie Cartan nous nous attacherons l tablir dans la premier partie de cet article Nous montrerons entre autres que Cartan prolonge dans des directions in dites des th ories math matiques largement structur e techniquement comme conceptuellement par la polarit infinit simal fini Nous souhaitons montrer que l enrichissement apparemment progressif du questionnaire s accompagne partir de 1925 d une r organisation d ensemble de l architecture des math matiques chez Elie Cartan de nouvelles questions apparaissent les sens de certains termes tels vari t ou groupe se modifie profond ment le r le de certaines techniques est repens au plus pr s du texte on note que certaines formulations font leur apparition mesure que d autres implicitement locales se voient peu peu rel gu es du c t de
28. enrichissement progressif du questionnaire Cartan formulerait la th orie locale des espaces g n ralis s dans la p riode 1922 1925 puis acqu rant progressivement la ma trise des outils de la topologie aborderait les aspects globaux partir de 1925 Nous proposons toutefois une lecture articul e autour d une discontinuit fondamentale Avant 1925 le questionnement s articule autour d une polarit infinit simal fini le mode de r daction est universellement et implicitement local Des outils dont on voit apr s 1925 qu ils jouent un r le fondamental dans l tude globale sont utilis s de mani re implicitement locale La cl ture de cet horizon local est attest e par la mani re dont certains aspects locaux sont pr sent s avant 1925 en th orie des groupes de Lie ou en th orie des invariants int graux par l volution de la doctrine d emploi des outils apr s 1925 et par la requalification en 1930 de formulations classiques comme des erreurs Derri re la stabilit des termes le sens de voisinage vari t ou groupe change compl tement apr s 1925 Voisinage pouvait d signer indiff remment des voisinages finis nos voisinages au sens topologique actuel et des voisinages infinit simaux Le terme de vari t est avant 1925 essentiellement un moyen de parler g om triquement de familles de coordonn es susceptibles de changements diff rentiables ce cadre suffit relier
29. ensemble d tres g om triques se d duisant l un de l autre par une transformation affine Si l on choisit un syst me de coordonn es affines cet tre g om trique est d fini analytiquement par un certain nombre que nous supposerons fini de quantit s y1 y2 Yp que nous appellerons ses coordonn es Lorsqu on fait un changement de coordonn es ces quantit s subissent une transformation et toutes les transformations qui correspondent tous les changements de coordonn es possibles forment videmment un groupe Nous dirons que l ensemble des quantit s y constitue un tenseur p composantes Nous r servons plus sp cialement le nom de tenseurs au cas o le groupe des transformations effectu es sur les y est lin aire Les coordonn es d un point les composantes d un vecteur les coefficients de l quation d une quadrique etc constituent autant de tenseurs Cartan 1925e 933 Voil pour la mise en place alg brique la g om trie affine c est dire celle du groupe affine d finit des classes stables de figures g om triques dont le rep rage par des coordonn es invite porter le regard sur les repr sentations lin aires du groupe de d part Il est inutile de rappeler ici que Cartan est aussi sp cialiste de la repr sentation lin aire des groupes du moins des alg bres de Lie et que ses travaux de 1913 1914 sur les repr sentations irr ductibles des alg bres de Lie r elles sont
30. espaces et de g om tries Dans le cas affine le r le des transformations affines tait la fois central et implicite et pour des raisons videntes la distinction entre transformations infinit simales et transformations finies ne s imposait pas l espace attach chaque point tait l espace tangent de m me dimension que la vari t La g n ralisation tout groupe de Lie fait appara tre plus clairement les r les de trois espaces diff rents l espace E le groupe de Lie lui m me d crit soit par ses transformations infinit simales soit par ses transformations finies et la vari t des H Rappelons leur d finition Xp Xx s ChksXs 8 Si en effet on se place dans l espace vectoriel des matrices carr es r elles le groupe Gl n R en est un ouvert son espace tangent en l identit est assimilable l espace vectoriel ambiant les deux espaces celui du groupe et l espace tangent en Id coincident de plus enti rement au voisinage de l identit il n y a aucune raison de les distinguer si comme Cartan on adopte un point de vue universellement local observateurs la vari t des observateurs est un espace de dimension quelconque qui joue le r le d espace de param tres de rep res mobiles dans l espace E mobile selon les lois prescrites par le groupe G La plupart des liens qui allaient de soi dans la description classique des espaces tangents une vari
31. est v rifi e l int gration donne le changement de variable permettant de retrouver la nature affine de l espace la vari t est elle m me un espace affine Cartan 1923 699 Aux outils pr s le questionnement local est ici le m me que celui qu on trouvait chez Weyl dans sa lecture de l annulation de la courbure de la connexion ou chez Riemann en 1854 comment savoir si un espace d crit par un syst me de coordonn es curvilignes est en fait l espace ordinaire du moins un ouvert de cet espace Lorsque les quations sont non int grables Cartan tire tout naturellement de son calcul ext rieur deux cons quences importantes Premi rement la non int grabilit signifie que les d riv e ext rieures dm et de ne sont pas nulles il dit que les formes ne sont pas exactes posant dmy OI et Q e Q e il nomme ce vecteur la torsion de la vari t connexion affine donn e de m me avec dei D e1 Qi e2 Q ez les formes Qj d finissent ce qu on appelle la courbure de la vari t connexion affine donn e Cartan 1923 702 Deuxi me cons quence le calcul diff rentiel ext rieur garantit que les diff rentielles ext rieures des formes de torsion et de courbure sont elles m mes nulles Cartan en propose des interpr tations en termes de lois de sym trie ou de lois de conservation Cartan 1922b 614 Signalons deux prises de distance par rapport la th orie de Weyl Premi reme
32. fait intervenir les aspects globaux est consacr au caract re non n cessairement continu du groupe d holonomie et au sens topologique pour la vari t de ce nouveau degr de complexit dans la structure du groupe 1 5 Un horizon local On voit que Cartan saisit les espaces de mani re la fois implicite et syst matique au niveau local comme chez Weyl dans RZM la probl matique est construite autour d un polarit infinit simal fini sous forme d un aller retour n cessit tout d abord de formules de mani re locale i e techniquement infinit amp simale les lois de la physique et de la g om trie travail ensuite de passage de l infinit simal au fini d un fini implicitement local Si cette saisie universellement et implicitement locale ne d coule pas du choix des outils les m mes seront mis au services d un questionnement global apr s 1925 elle ne r sulte pas non plus d une ignorance ou d une na vet C est bien plus un cloisonnement de traditions de recherches que l on peut mettre en vidence la g om trie diff rentielle n est pas la th orie de l uniformisation des fonctions alg briques ou analytiques la th orie des invariants int graux n est pas l Analysis situs Le sens du terme vari t d emploi constant chez Weyl et Cartan illustre parfaitement le cloisonnement des horizons probl matiques Notons tout d abord que ce terme de vari
33. global est d embl e celui qui guide l tude comme le montre l introduction du premier expos Nous donnons dans ce qui suit une d finition des groupes continus abstraits abstraits au sens o nous ne faisons aucune hypoth se sur la nature des l ments du groupe On d duit ensuite certaines propri t s fondamentales de ces groupes et on tudie en particulier la question de savoir dans quelle mesure un groupe est d termin par son comportement im kleinen Schreier 1926 Lat Abstrakte kontinuirlichen Gruppen Schreier 1926 Die Verwandschaft stetiger Gruppen im Gro en Schreier 1927 ber neure Untersuchungen in der Theorie der kontinuirlichen Gruppen Schreier 1928 Im foldenden wird eine Definition f r abstrakte kontinuirliche Gruppen gegeben abstrakt in dem Sinn da ber die Natur der Gruppenelemente keinerlei Voraussetzung gemacht wird Sodann werden einige grundlegende Eigenschaften dieser Gruppen abgeleitet und insbesondere die Frage untersucht inwieweit eine kontinuirliche Gruppe durch ihr Verhalten im kleinen bestimmt ist Il semble inutile de souligner les traits structuralistes qu on devine dans ce passage et que confirme la suite de la lecture le groupes sont abstraits en particulier parce qu ils sont consid r s en eux m mes et non comme des groupes de transformations ce qui demeurait le cas chez Weyl lorsqu il introduisait fid le Lie le groupe des param tres
34. globales font appara tre un autre groupe le rev tement universel du premier On voit la question topologique s enrichir peu peu dans un premier temps seule la compacit jouait un r le la question de la compacit du rev tement universel d un groupe de Lie compact fait ensuite intervenir ce que Hurwitz nommait les zusammenhangsverh hltnisse sans en avoir en 1897 l usage Si l on particularise au probl me des repr sentations lin aires l aller retour entre groupe et alg bre montre qu il y a en g n ral plus de repr sentations lin aires univoques pour l alg bre que pour le groupe de d part quand bien m me un th or me de compl te r ductibilit des repr sentations lin aires serait valide pour le groupe il ne s tendrait pas imm diatement l alg bre Une fois la probl matique g n rale mise au jour il reste tudier le cas particulier ici en jeu celui des repr sentations lin aires de l alg bre sl n C Weyl d montre alors la simple geschlossene stetige Kurve stetig in einen Punkt zusammenziehen l t Das st rkste unverzweigte unbegrenzte berlagerungsgebilde die universelle berlagerungsfl che welche in der Uniformisierungstheorie eine so gro e Rolle spielt ber einem gegebenen Gebilde ist einfach zusammenh ngend Diese universelle berlagerungsgebilde g ber g ist erst die wahre abstrakte Gruppe um deren Darstellungen es sich handelt Su ist nur eine ih
35. il m le des l ments h rit s de diff rentes traditions de recherche dans lesquels le couple local global ne jouait pas de r le central ni explicite pour livrer un ensemble dans lequel il intervient dans chacune des articulations majeures lien entre le groupe comme vari t et le groupe des transformations infinit simales question de surjectivit de l exponentielle r le du rev tement universel d un groupe de Lie donn etc Non seulement ce travail reprend les notions centrales en 1913 en particulier le rev tement universel mais c est explicitement que Weyl emprunte des concepts la th orie de l uniformisation 2 1 1 Des grandeurs lin aires simples la topologie de groupes usuels Nous tudions ici deux textes de Weyl deux communications de 1924 sur La th orie de la repr sentation continue des groupes continus simples et Le fondement groupe th or tique du calcul tensoriel nous aborderons au paragraphe suivant le long article publi en plusieurs parties dans Mathematische Zeitschrift en 1925 sur la Th orie de la repr sentation des groupes continus semi simples par des transformations lin aires Nous centrons l tude sur la d monstration du th or me de compl te r ductibilit des repr sentations lin aires des alg bres de Lie semi simples en laissant de c t une large part du travail de Weyl par exemple celui consacr la caract risation des repr sentations irr ductibl
36. l d rivation covariante pour l un rep re mobile pour l autre l innovation th orique consistant en grande partie proposer des sch mas d interpr tation g om trique mettant au premier plan les questions de lieu de validit En termes anachroniques o cela vit il De quel espace cela me donne t il une propri t Ces questions ne se donnent pas d elles m mes dans le simple jeu des formules ces formules on peut enti rement les lire dans une grille relevant du monde de la grandeur dans un univers math matique organis par les notions de grandeur et de relation de grandeurs primitives et d riv es de changements de variables admissibles et d invariants ce titre ces travaux de la p riode 1918 1925 bien qu implicitement locaux et ant rieurs l emergence explicite des probl matiques globales chez Weyl et Cartan marquent un changement radical de cadre probl matique porteur de possibilit d interrogations globales On a vu Weyl voquer plusieurs reprises l espace tangent la nature de ses l ments son r le de voisinage infinit simal ou son lien avec la vari t laquelle il est tangent peuvent sembler selon les passages exprim s par des m taphores fluctuantes mais ce qui importe au d veloppement de la th orie c est moins de pr ciser la nature de ces espaces que de faire ressortir comme fondamental leur caract re centr le fait qu ils sont par nature attach
37. laquelle est d finie une multiplication commutateur distributive ab satisfaisant aux r gles de calcul ba ab fable bc a ca b 0 7 Nous laissons ce point de c t dans notre pr sentation il est sans lien direct avec notre probl me Lorsque les l ments sont des matrices on doit poser ab ab ba On doit associer chaque l ment a d un groupe infinit simal donn une matrice A a A de sorte qu en partant de a A et b B aux l ments Aa un nombre a b et ab correspondent les matrices AA A B AB C est donc une question purement alg brique Es handelt sich also um reine Algebra Weyl 1924a 4621 Weyl rappelle la solution alg brique de Cartan en la rapprochant des travaux de Frobenius Young sur la d termination des repr sentations lin aires irr ductibles des alg bres de Lie semi simples ces travaux tablissent la validit de la seconde conjecture toutes les repr sentations irr ductibles de l alg bre de Lie du groupe sp cial lin aire tant de type tensoriel au sens que Weyl donne ce terme Il reste franchir le foss s parant les r sultats infinit simaux de classification et les r sultats obtenus par la m thode transcendante d int gration Weyl 1925 559 il faut donc pouvoir faire des allers retours entre repr sentations lin aires d un groupe ici le groupe sp cial lin aire et repr sentations lin aires de son alg bre et
38. le lien entre les parties T t et le groupe l appellation de m thode de continuit devant peut tre renvoyer le lecteur un type de raisonnement connu Ce r sultat de repr sentation des l ments de 4 sous la forme u e u permet d tablir que le rev tement universel de n est qu un nombre fini de feuillets Weyl l obtient en montrant que le nombre de classes d homotopie extr mit s fixes de chemins ferm s de est fini Les arguments sont ici encore plus laconiques que dans la d monstration du r sultat pr c dent et Hawkins doit s appuyer sur un cours ult rieur de Weyl pour les reconstituer au c ur de l argument l id e que le parcours d un chemin ferm dans 4 ne rencontrant pas le lieu singulier les angles param trant ne sont pas n cessairement ramen s leur valeur initiale mais que la liste des valeurs propres revenant la liste initiale ces angles ne peuvent conna tre qu une permutation il y a donc au plus r n feuillets o r est le nombre total de param tres et n la dimension de h Weyl 1925 632 Weyl peut en d duire la compacit du rev tement universel de donc apr s unitarian trick la compl te r ductibilit de toute repr sentation lin aire d une alg bre de Lie semi simple complexe a Weyl 1925 633 Relevons que lorsque Weyl introduit en th orie des groupes de Lie les rev tements ou les preuves par continuit
39. montre qu il n a pas toujours t organis ainsi La mise en contexte de travaux montre combien d autres grilles de lecture que la grille local global ont pu tre utilis es non moins l gitimement et par des math maticiens non moins soucieux de questions d architecture des math matiques Notre objet premier n est donc pas l histoire des th ories g om triques globales mais l mergence de la polarit local global dans les th ories g om triques Le cas d Elie Cartan pr sente pour cette enqu te un int r t qui ne d rive pas de la seule valeur math matique de ses travaux on le saisit mieux en esquissant la comparaison avec le travail de Hermann Weyl sur la m me p riode Cette comparaison s impose Cartan situe syst matiquement ses travaux sur les espaces g n ralis s par rapport ceux de Weyl sur les connexions affines la sym trie de jauge et l id e de g om trie purement infinit simale partir de 1925 les travaux de Cartan sur la topologie des groupes de Lie simples et semi simples trouvent leur premi re impulsion dans les articles de Weyl sur la repr sentation lin aire des alg bres semi simples complexes Mais au del de l entrelacement des travaux nos deux auteurs diff rent par leur position historique relative l mergence du couple local global Dans son Id e de surface de Riemann Weyl 1913 Weyl met en place les structures d espace topologique et de vari t analytique
40. pas l Bien que soucieux de faire le lien avec les applications possibles en th orie des groupes de Lie c est une th orie des groupes continus qu il d veloppe aucune consid ration infinit simale n y entre en jeu Schreier d finit les notions d homomorphisme il parle de groupes isomorph et de groupe quotient par un sous groupe Schreier parle diviseur normal ferm L innovation principale se trouve notre sens dans le paragraphe 3 dans la notion de groupes localement isomorphes im kleinen isomorph Gruppen I Alle Elemente einer kontinuirlichen Gruppe k nnen aus Elementen zusammengesetzt werden die in bEliebiger N he des Einheitselements liegen Theorem I Dies ist brigens selbst dann nicht unmittelbar in Lies zweitem Fundamentalsatz enthalten wenn es sich um eine Liesche Gruppe handelt dem zum Beweis des zweiten Fundamentalsatzes werden Existenzs tze aus der Lehre von den Differentialgleichungen herangezogen so da man sich auf eine hinl nglich kleine Umgebung der Identit t beschr nken mu man erh lt also von hier aus blo das Teilergebnis Es gibt eine Umgebung der Identit t deren s mmtliche Elemente sich aus Elemente zusammensetzen lassen die der Identit t bEliebig nahe liegen II Eine kontinuirliche Gruppe R bestimmt eindeutig eine zweite R von der Art da jede kontinuirliche Gruppe die mit R im kleinen bereinstimmt mit einer Faktorgruppe von R einstufig isomor
41. permet d associer tout chemin dans la vari t des observateurs un rep re mobile dans E les deux rep res associ s aux deux extr mit s du chemin dans la vari t des observateurs diff rent d une transformation finie de G qui peut ne pas se r duire l identit lorsque le chemin est ferm On comprend en particulier pourquoi le chemin peut tre ferm dans la vari t initiale celle des observateurs et ne pas l tre dans E ce que mesure la torsion On comprend que le mod le g n ral qui guidait d j la pr sentation du cas affine n est pas tir de la g om trie diff rentielle classique ni de la th orie des invariants diff rentiels ou du calcul diff rentiel absolu le mod le sous jacent est celui du lien entre un groupe de Lie et l espace sur lequel il agit Cartan prend d ailleurs ce cas comme premier exemple de sa conception g n rale apr s avoir pr sent analytiquement les conditions d int grabilit il commente La circonstance particuli re qui vient d tre tudi e se pr sentera en particulier si nous prenons pour vari t V la vari t des param tres du groupe Si Dans son cours sur La g om trie des espaces de Riemann Cartan pr sente cela comme le d veloppement de la vari t sur l espace de r f rence E Cartan 1925a 18 Xi BU Xn Q1 Qr sont les quations finies de la transformation T la plus g n rale du groupe G on pourra regard
42. richesse est d ailleurs visible dans l volution des concepts et des formulations sur la p riode 1918 1923 En comparaison le style de Cartan surprend par son caract re direct et l unit de ses moyens le calcul sur les formes diff rentielles le produit ext rieur la d rivation ext rieure et son interpr tation g om trique par la formule de Stokes et la formulation en termes de rep re mobile sont les seuls outils tout semble d couler naturellement de leur usage Le sch ma de pr sentation adopt par Cartan se conserve sur la p riode 1922 1925 retenons en les grands traits Cartan commence par pr senter le formalisme du rep re mobile en g om trie affine Imaginons que l on fasse correspondre chaque point m de l espace un syst me de r f rence cart sien d origine m soient ee les trois vecteurs qui d finissent avec m ce syst me de r f rence Nous pourrions m me imaginer qu chaque point corresponde une infinit de tels syst mes de r f rence Nous aurons ainsi un ensemble de syst mes de r f rence d pendant d un nombre de param tres pouvant aller jusqu 12 nous appellerons u ces param tres Lorsqu on fait varier infiniment peu les param tres le point m et les vecteurs ee e subissent des variations infiniment petites qui sont des vecteurs et qui sont par suite exprimables lin airement au moyen de ee es Soit dm w e e w e 0 de wle ote je d
43. ristique d une substitution lin aire quelconque G du groupe G sont des produits de puissances de certaines racines de l quation caract ristique de la substitution correspondante T du groupe adjoint T les exposants tant des nombres rationnels d termin s la substitution T tant donn e cela ne permet pour les racines de B qu un nombre fini k de combinaisons chacune desquelles correspond une seule substitution B Le nombre k se d termine dans chaque cas avec la plus grande facilit sans qu on ait sortir du domaine des transformations infinit simales Cartan 1925d 534 Le projet de Cartan ne se place pas sous le seul th me de la g n ralit dans sa correspondance avec Weyl il explique qu il souhaite proc der sans tre oblig de se livrer des tudes d analysis situs toujours d licates cit par Hawkins Hawkins 2000 493 Si ses pr ventions l gard de la topologie ne sont pas celles de Weyl les auteurs se rejoignent sur la question de puret des m thodes la question de r ductibilit compl te des repr sentations lin aires des alg bres de Lie est d une nature purement alg brique devoir remontrer de l alg bre au groupe et s appuyer sur la topologie de ce dernier introduit des l ments topologiques et transcendants a priori trangers Weyl d j concluait son article sur le fondement groupe th or tique du calcul tensoriel sur ce v ux propos des quatre cas semi
44. s chacun un point et que le lien entre espaces attach s des points diff rents est probl matique Dans ce dernier paragraphe Cartan r pond ce m me enjeu de cr ation d un cadre probl matique centr sur la question du lieu tout en adoptant une autre d marche que celle de Weyl Ce dernier posait d embl e la question de la connexion entre espaces tangents deux points infiniment proches Cartan part de la possibilit g n rale de faire correspondre par la pens e chaque point m un espace affine contenant ce point pour formuler en fin de paragraphe la condition laquelle cet espace peut tre vu comme l espace tangent Par del les diff rences d outils privil gi s entre Weyl et Cartan on trouve dans leurs travaux de g om trie diff rentielle de cette p riode un mode d criture pr sentant des nombreux traits communs moins des d finitions certainement pas des d finitions de structures qu un art de faire parler les formules une herm neutique g om trique Le texte entrem le deux types d l ments des formules qui g n ralisent souvent des formules bien connues et des explications cherchant guider le lecteur vers le bon point de vue les objets ne sont pas ceci ou cela ils sont vus comme Cette dialectique est n cessaire l intelligence du texte dans une suite de formules de plus en plus g n rales le lien n est pas directe d une formule l aut
45. son groupe infinit simal donn e par t tx Le d but du chapitre 4 relit ces associations rebours sans s attarder sur les questions de passage du local au global mais en s attachant illustrer la sp cificit des alg bre semi simples Ici les l ments not s h appartiennent une sous alg bre r soluble maximale h 2 L l ment infinit simal h h A1 X2 n du groupe adjoint conf re un l ment arbitraire x h K1 K2 Kn a Tote o de a de param tres principaux x et de param tres secondaires Ta l accroissement dx hx donn par les formules a bedeutet eine infinitesimale halb einfache Gruppe von r Parametern a dijenige infinitesimale Gruppe welche aus ihr durch die am Schluss des Vorigen Kapitels gekennzeichnete unit re Beschr nkung hervorgeht Die zu ihrem Elementen a adjuntierten infinitesimalen linearen Transformationen dx ax erzeugen eine kontinuirliche Gruppe linearer Transformationen bzw a Da zu a nach Kapitel III Satz 6 eine invariante definirte quadratische Form geh rt ist a eine geschlossenes Gebilde TT En formulation contemporaine en identifiant l alg bre de Lie g du groupe G l espace tangent en l identit 16 l action de G sur g est d finie par la diff rentielle en Le de la conjugaison Ad G gt Gl g T Ad T duet X gt T XT 3 En diff renciant Ad en 1 on obtient ad g gt gl g 1 x
46. tement est plusieurs feuillets Weyl 1925 560 gu aus g entspricht erh lt man nach Lie eine Darstellung T der ganzen kontinuirlichen CG Doch bleibt zun chst fraglich ob T die Mannigfaltigkeit G einfach oder mehrfach vielleicht unendlich vielfach bedeckt im letzten Fall w rde die Hurwitz sche Methode versagen da dann T kein geschlossenes Gebilde w re 3 Aus einer Darstellung der infinitesimalen Gruppe g von n reellen Parametern erh lt man durch Integration nach Lie die zugeordnet Matrix T f r alle diejenige t von g welche einer gewissen Umgebung des Einheitselements e angeh ren Aber w hlt man ein t in dieser Umgebung so kann man die Darstellung fortsetzen auf diejenige Umgebung von t in welche die erste Umgebung durch die Translation von e nach ty bergeht Der zu iterierende Proze der Fortsetzung st t offenbar niemals gegen eine Grenze aber T braucht nicht auf g eindeutig zu sein sondern erst auf einem berlagerungsgebilde das sich unverzweigt und unbegrenzt ber g hinzieht Ich nenne eine Gebilde einfach zusammenh ngend wenn sich auf ihn jede La formulation pr cise du probl me fait donc appara tre une tension entre le local existence d une repr sentation univoque d un voisinage de e relevant la repr sentation de l alg bre de Lie et le global la formulation classique en termes de prolongement fait naturellement appara tre les rev tements Weyl est encore ici
47. trouvaient leur source directe dans les travaux de Levi Civita et Ricci Curbastro Bien plus que le calcul diff rentiel absolu ce sont les th ories des groupes selon Lie des surfaces selon Darboux et des invariants int graux selon Poincar qui forment l arri re plan de ce travail de Cartan Si passionnante que soit la pr sentation de Weyl quelle que soit l unit que lui donne la poursuite syst matique de l objectif d infinit simalisation sa pr sentation est en partie rendue complexe par le mode m me d exposition consistant formuler avec soin les diff rentes tapes de la th orie peser sur les plans math matiques et pist mologiques leur degr de n cessit et l intimit de leurs liaisons les unes aux autres d o une profusion de formulations et d outils dont la validit est parfois provisoire d o aussi une certaine difficult discerner chez ce math maticien philosophe dans ces tapes et ces allers retours ce qui rel ve de la n cessit math matique stricte de ce qui rel ve de l analyse Nous utilisons cette abr viation entr e dans l usage pour d signer l ouvrage Raum Zeit Materie de Hermann Weyl Weyl 1919 et Weyl 1922b Par exemple dans Sur les r sidus des int grales doubles Poincar 1887 ou dans le tome III des M thodes nouvelles de la M canique C leste Poincar 1899 Ces travaux forment le point de d part des Le ons sur les pist mologique Cette
48. une forme II dont le degr est inf rieur d une unit celui de Q Cartan 1922a 71 Apr s une page de d monstration Cartan glisse la Remarque Si les coefficients de la forme Q sont uniformes dans un certain domaine la condition Q 0 n est pas toujours suffisante pour assurer l existence d une forme IT uniforme dans ce domaine et dont Q soit la d riv e ext rieure Consid rons par exemple le domaine ferm et sans fronti re deux dimensions form par les points d une sph re et soit Q une forme de degr 2 uniforme dans ce domaine coefficients admettant des d riv es partielles du premier ordre continu La d riv e Q est manifestement nulle N anmoins s il existait une forme o lin aire dont la d riv e om f t gale Q on aurait en int grant deux fois o le long d un m me grand cercle de la sph re dans deux sens diff rents fje o l int grale tant tendue toute la surface de la sph re L quation pr c dente donne une condition suppl mentaire pour que Q puisse tre regard e comme d riv e exacte d une forme uniforme sur toute la sph re Cartan 1922a 73 Nous citions int gralement cette remarque pour souligner plusieurs points Tout d abord la parfaite conscience qu a Cartan de l existence de contraintes topologiques mais aussi l absence de terme sp cifique pour d signer ce type de probl me ou en retour pour qualifier les nonc s pr c
49. 64 666 Cartan E 1927f Sur les formes riemanniennes des g om tries groupe fondamental simple CRAS 185 1927 p 96 98 uvres Compl tes I 2 p 670 672 Cartan E 1927g Sur les g od siques des espaces de groupes simples CRAS 184 1927 p 862 864 uvres Compl tes 1 2 p 661 663 Cartan E 1928a Le ons sur la g om trie des espaces de Riemann Gauthier Villars Paris 1928 Cartan E 1928b Sur les nombres de Betti des espaces de groupe clos CRAS 187 1928 p 196 198 uvres Completes 1 2 p 999 1001 Cartan E 1929 Sur les invariants int graux de certains espaces homog nes clos et les propri t s topologiques de ces espaces Ann Soc Pol Math 8 1929 p 181 225 Euvres Completes 1 2 p 1081 1126 Cartan E 1930 La th orie des groupes finis et continus et l Analysis situs Memorial des Sciences Math matiques XLU Gauthier Villars Paris 1930 uvres Completes 1 2 p 1165 1226 Cartan E 1931 Notice sur les travaux scientifiques uvres Completes I 1 p 1 98 Cartan E 1952 1955 uvres Completes Gauthier Villars Paris 1952 1955 Cartan E Einstein A 1979 Lettres sur le parall lisme absolu 1929 1932 R Debever ed J Leroy J Ritter trad Acad mie Royale de Belgique et Princeton University Press Bruxelles 1979 Chorlay R 2007 L mergence du couple local global dans les th ories g om triques de Bernhard Riemann la th orie des faisceaux 1851 1953 Th se de doctorat Unive
50. 860 uvres Compl tes II 1 p 622 624 Cartan E 1922f Sur les quations de structure des espaces g n ralis s et l expression analytique du tenseur d Einstein CRAS 174 1922 p 1104 1107 uvres Compl tes IIL 1 p 625 628 Cartan E 1923 Sur les vari t s connexions affines et la th orie de la relativit g n ralis e Ann Sci ENS 40 1923 p 325 412 uvres Completes IIL 1 p 659 746 Cartan E 1924a Les r centes g n ralisations de la notion d espace Bull Sc Math 48 1924 p 294 320 uvres Completes II 1 p 863 890 Cartan E 1924b Sur les vari t s connexions affines et la th orie de la relativit g n ralis e suite Ann Sci ENS 41 1924 p 1 25 uvres Completes III 1 p 799 824 Cartan E 1924c Sur les vari t s connexions projectives Bull SMF 52 1924 p 205 241 uvres Compl tes II 1 p 825 862 Cartan E 1925a La g om trie des espaces de Riemann M morial des Sciences Math matiques IX Gauthier Villars Paris 1925 Cartan E 1925b La th orie des groupes et les recherches r centes en g om trie diff rentielle conf rence faite au Congr s de Toronto en 1924 Ens Math 24 1925 p 1 18 uvres Compl tes UI 1 p 891 904 Cartan E 1925c Les groupes d holonomie des espaces g n ralis s et l Analysis Situs Assoc Av Sc 49 1925 p 47 49 uvres Compl tes IU 1 p 919 920 Cartan E 1925d Les tenseurs irr ductibles et les groupes lin aires si
51. PASSER AU GLOBAL LE CAS D ELIE CARTAN 1922 1930 Renaud Chorlay R SUM Apr s avoir enrichi la notion de connexion entre 1922 et 1925 lie Cartan jette entre 1925 et 1930 les bases de l tude topologique et g om trique globale des groupes de Lie et vari t s homog nes Nous voulons montrer que ce passage aux questions globales s accompagne d une r organisation compl te aux niveaux th orique th matique et rh torique autour d une polarit local global jusque la absente des travaux de Cartan elle remplace selon nous une polarit infinit simal fini h rit e du 19 si cle Nous proc dons par une lecture chronologique attentive aux modes d critures en comparant syst matiquement avec des auteurs tels Hermann Weyl ou Otto Schreier Nous montrons en particulier combien derri re l apparente stabilit des termes voisinage vari t ou groupe prennent partir de 1925 des sens radicalement diff rents ABSTRACT After his work on connections and generalised spaces between 1922 and 1925 lie Cartan began laying the foundation of the topological and geometric study of Lie groups and homogeneous spaces 1925 1930 We will endeavour to establish that the emergence of global questions is but part and parcel of a thorough restructuring around the epistemological polarity between local and global a restructuring that occurs at three levels a theoretical level a thematic level and a r
52. The History of Differential Forms from Clairaut to Poincare Historia Mathematica 8 1981 p 161 188 Katz V 1985 Differential Forms From Cartan to De Rham Archive for History of Exact Sciences 33 1985 p 321 336 Klein F 1893 Conferences sur les math matiques Congr s de Math matiques de Chicago 1893 Trad Laugel Hermann Paris 1898 Lie S 1888 Theorie der Transformationsgruppen I unter Mitwirkung von Dr F Engel r impression de la seconde Edition Chelsea Pub Co NY 1970 Poincar H 1887 Sur les r sidus des int grales doubles Acta Math 9 1887 p 321 380 uvres 3 p 440 489 Poincar H 1899 Les m thodes nouvelles de la m canique c leste tome II Gauthier Villars Paris 1899 Rham G 1981 uvres Math matiques ditions de l Enseignement Math matique Gen ve 1981 Sharpe R W 1997 Differential Geometry Cartan s Generalization of Klein s Erlangen Program Graduate Texts in Mathematics Springer New York 1997 Scholz E 1980 Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriff von Riemann bis Poincar Birkh user Boston 1980 Scholz E 1999 Weyl and the Theory of Connections Gray 1999 p 260 284 Scholz E ed 2001a Hermann Weyl s Raum Zeit Materie and a General Introduction to his Scientific Work Birkh user Basel Boston 2001 Scholz E 2001b Weyls Infinitesimalgeometrie 1917 1925 Scholz 2001a p 48 104 Schreier O 1926 Abstrakte kontinuirlichen Gruppen Ab
53. a p riode 1925 1930 Ainsi la nature locale de nombreux travaux peut elle demeurer implicite Un exemple est donn par un article de 1926 r dig avec J A Schouten sur Les geometries riemanniennes parall lisme absolu Cartan Schouten 1926 Un r sultat central de d composition en composantes irr ductibles est nonc et d montr sans mention de son caract re local c est en 1931 dans la Notice sur les travaux scientifiques qu il r dige pour l Acad mie des Sciences que Cartan reformule ainsi ce r sultat Il suffit de trouver les solutions irr ductibles du probl me une solution r ductible tant fournie par un espace de Riemann qui serait au moins localement le produit topologique de deux espaces de Riemann satisfaisant chacun aux solutions du probl me Cartan 1931 Autre cas de figure lorsque le couple local non local vient qualifier des l ments d un m me article ce n est souvent qu apres coup Ainsi en 1927 dans Sur la possibilit de plonger un espace riemannien donn dans un espace euclidien Cartan 1927d Cartan peut il garder pour la derni re phrase de l article la remarque Il est du reste inutile de faire remarquer que la r alisation d un espace de Riemann donn dans un espace euclidien est purement locale Cartan 1927d 1097 Prenons comme dernier exemple l article de 1926 sur Les groupes d holonomie des espaces g n ralis s Cartan 1926b La quasi totalit de l article est
54. aerden et la topologie ont foujours t l la question se pr sente d elle m me Il ne s agit plus de s arracher au syst me d vidences qui guidait par exemple Lie et Cartan mais de s tonner qu une question si naturelle et centrale ait pu chapper aux anciens Indice prosa que Schreier ne pense pas m me utiliser guillemets majuscules ou italiques lors de la premi re apparition de im kleinen encore moins en expliciter le sens la m me poque Morse est encore conscient d utiliser un terme en partie m taphorique et extra math matique Schreier ne fait qu utiliser une cat gorie usuelle dans le raisonnement math matique Laissons Schreier pr senter les deux principaux r sultats de son premier article dans l unique passage dans lequel il indique les liens avec les notions issues de la th orie de Lie Quelques mises au point de vocabulaire continu signifie entre autres connexe groupe facteur Faktorgruppe d signe un groupe quotient et un isomorphisme univoque einstufig isomorphism est ce que nous appelons un isomorphisme 48 On sait l importance particuli re des math maticiens du s minaire de Hambourg Artin van der Waerden et de G ttingen Hopf Emmy Noether dans la formation et l exportation du mod le structural d exposition des th ories Par exemple Corry 1996 I Tous les l ments d un groupe continu peuvent tre form s partir d elements d un
55. aires d o la pr sence d un f d signant une fonction g n rique sur laquelle les op rateurs agissent Cartan poursuit en rappelant le cadre d interpr tation g om trique qui tait d j celui de l article de 1915 fusion des points de vue de Lie et Klein Il aborde ensuite la mani re de faire correspondre de tels espaces aux points d une vari t mais la pr sentation est ici un peu diff rente de celle choisie dans le cas des connexions affines Cela pos imaginons un ensemble continu d observateurs r duits des points et dont chacun adopte un syst me de coordonn es pour l tude de l espace E ces syst mes tant naturellement tous quivalents entre eux La vari t form e par ces observateurs points est je suppose p dimensions chaque point tant d fini d une mani re quelconque par p coordonn es u Up Si l on passe d un point m de la vari t un point infiniment voisin m on passera dans l espace E d un certain systeme de coordonn es un autre que nous supposerons infiniment voisin autrement dit on passe des coordonn es x utilis es par l observateur m aux coordonn es x utilis es par l observateur m en effectuant une certaine transformation infinit simale du groupe G soit OX Xf OX en d signant par 1 r des expressions lin aires en dus du avec des coefficients fonctions de u up Cartan 1923 718 La g n
56. ani re essentielle sur l aller retour entre groupe et alg bre et des outils plus g n ralement des modes de pens e issus de la th orie de l uniformisation fait merger en th orie des groupes de Lie des articulations jusque l non pertinentes Que la th orie de Lie fut locale on a vu Engel Study ou Cartan le rappeler l occasion cela limitait certes a priori le champ des applications et invitait la prudence dans chaque cas particulier rien qui engage toutefois la structure interne de l difice Par ailleurs les travaux de Hurwitz faisaient eux intervenir les aspects globaux du groupe mais sans qu un lien pertinent avec l alg bre de Lie ne se dessine Si le travail de Weyl modifie le faci s de la th orie c est que les aspects globaux relatifs la vari t du groupe Gruppenmannigfaltigkeit compacit puis par ricochet groupe de Poincar deviennent pertinents dans un probl me qui semble relever de la pure alg bre des groupes de transformations infinit simales Le caract re purement local de la transparence de l aller retour entre groupe et alg bre n tait pas fondamentalement ignor mais il n tait pas fondamentalement pertinent il l est devenu 2 2 La r action de Cartan 2 2 1 Une r ponse au travail de Weyl sur le fondement du calcul tensoriel lie Cartan fait para tre en mai 1925 dans le Bulletin des Sciences Math matiques un article sur Les tenseurs
57. aspects alg briques i e infinit simaux et topologiques tudi s jusque l ind pendamment Bien que faisant le lien avec la th orie de Lie Hurwitz n utilise pas la strat gie fondamentale consistant traduire le probl me de groupe en un probl me d alg bre de Lie la m thode d int gration ne travaille qu au niveau du groupe dont la compacit garantit le bon comportement comme domaine d int gration Cette m thode de formation d invariants par int gration permet en formant dans l espace sur lequel le groupe agit lin airement un produit scalaire invariant un ventuel sous espace lin aire invariant sous l action du groupe poss de alors un canoniquement un suppl mentaire invariant son orthogonal on obtient ainsi le th or me de compl te r ductibilit Weyl 1925 559 et suiv On voit que la compacit est le ressort essentiel de la d monstration du r sultat alg brique on doit donc utiliser le groupe et en aucun cas son alg bre de Lie jamais compacte Cartan de son c t tudie le probl me de la repr sentation lin aire des alg bres de Lie ce que Weyl peut qualifier indiff remment de point de vue infinit simal et de question purement alg brique Si avec Lie on ram ne les groupes continus leurs transformations infinit simales le probl me g n ral de la repr sentation lin aire se formule ainsi les l ments d un groupe infinit simal forment une vari t vectorielle lin aire dans
58. ativit contenue dans le titre les volumes publi s couvrent essentiellement la g om trie diff rentielle classique des courbes et surfaces notions d ailleurs non d finies du plan et de l espace point de tenseurs connexions et autres espaces g n ralis s l inscription dans le champ de recherche moderne relatif aux invariants diff rentiels relatifs d autre groupes que celui des isom tries est sur le fond la principale innovation Le majestueux balancement rh torique entre local et global recouvre des contenus en contraste s v re richesse de la th orie locale face des r sultats globaux pars la plupart model s sur l exemple du th or me des quatre sommets on mentionnera aussi l tude des ovo des des questions de rigidit et le th or me de Gauss Bonnet pour les surfaces de l espace Du trait de Blaschke aux articles de Schreier sur les groupes topologiques c est une forme de question qui circule bien plus que des outils ou des th or mes Au m me moment Berlin et sans que nous connaissions de lien direct avec Blaschke le jeune Heinz Hopf soutient sa th se Sur des liens entre la topologie et la m trique des vari t s dont il pr sente ainsi l objet dans le premier article tir de ce travail partir de propri t s d une m trique connues im Kleinen quelles conclusions peut on aboutir sur la structure topologique auf den topologischen Bau de la vari t porteuse de c
59. bien allusif il laisse par exemple au lecteur le soin d expliciter la structure de groupe sur le rev tement universel d un groupe de Lie il ne distingue gu re ce qui rel ve de la simple structure de groupe par exemple les liens qu entretiennent un groupe de Lie son rev tement universel et son alg bre de Lie et ce qui a trait au probl me de la repr sentation lin aire Notons aussi que ce n est pas le couple im Kleinen im Grossen qui est ici mobilis le passage initial de l infinit simal au fini r sulte d une int gration aucun terme ne vient d signer ce que nous nommons l application exponentielle et son caract re d hom omorphisme local L intervention du rev tement universel n est pas comment e dans l article de 1925 mais elle l tait en 1924 la non plus ce n est pas le couple local global qui qualifie une articulation jusque l ignor e dans la th orie mais le couple alg bre Analysis situs au caract re purement alg brique du probl me de la repr sentation lin aire des alg bres de Lie fait cho quelques lignes plus loin L Analysis situs joue ici un r le d cisif Weyl 1924a 464 Le point central est toutefois acquis sans ambigu t et modifie toute la structure de la th orie des groupes de Lie les allers retours entre le groupe et son alg bre ne sont plus des op rations transparentes la transparence n est que locale et les consid rations
60. bjets qui ont eux m mes chang on le verra Deuxi mement Cartan n utilise pas le terme global ou im Grossen pour faire couple avec local dans le m me texte on voit Cartan utiliser galement non local plus tard l improbable en grand eh L objet groupe de Lie a aussi profond ment chang et l apport de Schreier est ici bien net On se souvient du mode d introduction qui pr valait depuis Lie un groupe de transformation tait donn par une s rie d quations de la forme X rs Ar d terminant une famille de transformations 1 e de transformations analytiques localement inversibles des variables x stable par composition transformations elles m mes rep r es par les param tres essentiels ai le d veloppement de Taylor par rapport aux param tres faisait appara tre les transformations infinit simales du groupes partir desquelles les transformations finies pouvaient tre obtenues par simple int gration Les trois th or mes fondamentaux de Lie identifiaient la structure alg brique propre aux transformations infinit simales et assuraient la transparence de l aller retour entre l infinit simal et le fini On est au plus loin de cette pr sentation lorsqu on lit les premi res lignes du Fascicule de Cartan la notion premi re n est plus celle de transformations d un espace mais celle de vari t pour laquelle Cartan reprend les axiomes de la Mengenlehre de Hausdorff
61. che Grundlagen von Einsteins Relativit tstheorie II Affine Differentialgeometrie IT und 2 Auflage Springer Berlin 1923 Blaschke W 1924 Vorlesungen ber Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativit tstheorie I 2 Auflage Springer Berlin 1924 Cartan E 1913 Les groupes projectifs qui ne laissent invariants aucune multiplicit plane Bull SMF 41 1913 p 53 96 Cartan E 1914 Les groupes projectifs continus r els qui ne laissent invariants aucune multiplicit plane JMPA 10 1914 p 149 186 Cartan E 1915 La th orie des groupes continus et la g om trie expos d apr s l article allemand de G Fano Encyclop die des sciences math matiques HILL r impression Gabay Paris 1991 p 1 135 uvres Compl tes IIL 2 p 1727 1862 Cartan E 1922a Le ons sur les invariants int graux 3 tirage Hermann Paris 1971 Cartan E 1922b Sur une d finition g om trique du tenseur d Energie d Einstein CRAS 174 1922 p 437 439 uvres Completes XIL 1 p 613 615 Cartan E 1922c Sur une g n ralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces torsion CRAS 174 1922 p 593 595 uvres Completes IIL 1 p 616 618 Cartan E 1922d Sur les espaces g n ralis s et la th orie de la relativit CRAS 174 1922 p 734 736 uvres Compl tes II 1 p 619 621 Cartan E 1922e Sur les espaces conformes g n ralis s et l Univers optique CRAS 174 1922 p 857
62. dents de locaux Cela se comprend dans le cadre mobilis par Cartan non pas un couple local global mais une remarque sur la question de l uniformit des fonctions en jeu Il est aussi significatif que ce point ne soit abord que sous forme d une remarque et ne joue aucun r le dans la marche de la th orie des invariants int graux pr sent e par Cartan Comme dans le travail des ann es 1922 1925 sur les connexions les questions globales sont au del de l horizon du questionnement Les traits que nous soulignions dans le cas des formes diff rentielles se retrouvent dans l expos du r le des groupes en g om trie que Cartan r dige d apr s Fano pour l dition fran aise de l Encyclop die Cartan 1915 Sur plus de cent pages on ne trouve que trois l ments ayant trait au couple local global Dans le paragraphe 2 consacr la th orie de Lie Cartan note apr s avoir introduit les transformations infinit simales On obtient les transformations finies du groupe au voisinage de la transformation identique en effectuant une infinit de fois de suite les transformations infinit simales Cartan 1915 1732 Dans le paragraphe suivant consacr la pr sentation des th ses du Programme d Erlangen il conclut sur l insertion de la g om trie diff rentielle et de la th orie des invariants diff rentiels la Lie dans l difice des g om tries Le point de vue de F Klein qui vient d tre exp
63. dres conceptuels et rh toriques est difficilement saisie par des tudes centr es sur histoire d une theorie les uns peuvent voir un Cartan g om tre les autres un Cartan sp cialiste des groupes et alg bres de Lie le passage au global est not mais difficile cerner Une difficult de ce type tait d ailleurs rencontr e par Thomas Hawkins en diff rents points de son travail monumental sur l histoire de la th orie des groupes de Lie par exemple dans le cas de Lie Hawkins 2000 p 79 87 Dans le travail de Cartan entre 1922 et 1930 on est dans un premier temps frapp par l unit et l originalit que conf re certains l ments du cadre th orique le calcul diff rentiel ext rieur l approche de la g om trie par les groupes de transformations Ces l ments distinguent sensiblement le travail d lie Cartan des autres recherches des ann es 1920 sur les connexions Des auteurs tels Weyl Schouten Veblen et Eisenhart poursuive une qu te d intrins qu it en g n ralisant la d rivation covariante alors que Cartan utilise d embl e le formalisme intrins que du calcul diff rentiel ext rieur Si les groupes jouent un r le central pour tous nos auteurs il joue pour Cartan un r le particulier la fois groupe agissant sur un espace et espace mod le partir duquel saisir les autres La stabilit de certains noyaux conceptuels et techniques pourrait plaider en faveur d une lecture en terme d
64. e we e 036 de wie we wie Les et sont lin aires par rapport aux diff rentielles dui ces douze formes de Pfaff permettent en somme de rep rer le syst me de r f rence d origine m dm par rapport au syst me de r f rence d origine m On peut dire aussi qu elles d finissent le petit d placement affine qui permet de passer de celui ci celui l Cartan 1923 694 Cartan n a pas besoin de rappeler son lecteur l origine de ces formules donnons quelques l ments pour m moire Un rep re mobile de l espace usuel est une application diff rentiable x m x e1 x e2 x e3 x x variant dans un espace de param tres un espace unidimensionnel si l on tudie la rep re mobile sur une courbe bidimensionnel si l on tudie un rep re mobile sur une surface etc On verra que le param tre x n appara t pas dans les invariants int graux profess es par Cartan Cartan 1922a Pour un aper u de l histoire des formes diff rentielles et de la formule de Stokes nous renvoyons Katz 1979 Katz 1981 et Katz 1985 gt Cartan explique quelques lignes plus que dans le cadre affine on ne peut entendre par rep re cart sien que la donn e d un point et de trois vecteurs non coplanaires formules 1 non plus que la dimension de l espace dans lequel il volue vont jouer un r le important dans la g n ralisation de la notion d espace que propose Cartan Les formules 1 s obt
65. e de Klein et Riemann deux groupes sont consid rer d une part le groupe G d crivant la g om trie au voisinage imm diat de chaque point et faisant de chaque voisinage infinit simal un espace g om trique au sens de Klein d autre part le groupe d holonomie de l espace qui est un sous groupe de G bien d fini conjugaison pr s dans G d crivant l espace dans son unit organique Cette prise en compte d un espace comme totalit au moyen des groupes ne tient pas compte de la structure globale de la vari t comme espace topologique deux points en attestent Premi rement l affirmation r p t e que la r duction du groupe d holonomie l identit caract rise les espaces affines euclidiens projectifs au sens de Klein ce qui est parfaitement coh rent avec la prise en compte purement locale des espaces sur lesquels agissent les groupes Deuxi mement Cartan a beau affirmer que le groupe d holonomie est obtenu en consid rant fous les chemins partant et revenant un point m donn il affirme syst matiquement le caract re continu 1 e connexe du groupe ainsi obtenu il ne tient en fait compte que des chemins contractiles dans la vari t et sa saisie de fous les chemins ne signifie encore nullement une prise en compte de la topologie de la vari t mesur e par exemple par son groupe fondamental au sens de Poincar x On verra justement que l un des premiers textes dans lesquels Cartan
66. e Cartan puisse r sumer ce travail par Beaucoup de th or mes fondamentaux de la th orie des groupes prennent de cette mani re un caract re g om trique inattendu Cartan 1927b 858 Ce travail sur les espaces de groupe est la matrice d o est issue une grande partie des travaux de la p riode Ainsi la connexion sans torsion sur les groupes simples ou semi simples est le point de d part de l tude des espaces riemanniens sym triques on le voit dans la conf rence sur La th orie des groupes et la g om trie Les espaces sans torsion de ces groupes font partie d une cat gorie plus g n rale d espaces riemanniens caract ris s par la propri t que le transport par parall lisme y conserve la courbure riemannienne Chose curieuse cette propri t est quivalente la suivante la sym trie par rapport un point quelconque de l espace est une transformation isom trique c est dire laisse invariant le ds de l espace Cartan 1927b 859 Ce recentrement de l attention vers les espaces permet l instauration d un nouveau jeu th orique dans une large famille de travaux on voit Cartan croiser les perspectives g om triques souvent locales et topologiques globales imposer des hypoth ses de compacit puis les rel cher faire l aller retour entre un groupe de Lie et ses espaces homog nes S il fait fond sur sa notion d espace g n ralis il s y noue entre groupe et espace une alliance t
67. e des questionnements On peut isoler une premi re famille de textes sur la g om trie et la topologie des groupes de transformations certains publi s avec Schouten Nous ne retenons ici que La g om trie des groupes de transformations de 1927 Cartan 1927a et la conf rence sur La th orie des groupes et la g om trie Cartan 1927b Dans la conception classique des groupes de Lie intervenaient trois types d l ments les transformations finies les transformations infinit simales enfin l espace sur lequel ces transformations agissent les priorit s ici changent Consid rons un groupe de transformations fini et continu G r param tres a1 a Les variables transform es par le groupe joueront dans la suite un r le tout fait accessoire Nous pouvons regarder les param tres a a comme les coordonn es d un point a dans un espace E r dimensions que nous appellerons espace du groupe Pour le moment cet espace est un simple continuum les propri t s du groupe vont nous permettre d y introduire des notions g om triques Cartan 1927a 675 C est fondamentalement sur cet espace du groupe que le groupe agit Dans ce passage la saisie de cet espace semble purement locale et elle l est en effet cet article ne traite que de propri t s g om triques locales ce qu on lit en filigrane dans l nonc des th or mes utilis s par exemple l utilisation de param tres canoniques Cartan 1927a 1 2
68. e l espace du groupe toutefois les tudes taient parfois implicitement locales et les travaux globaux ne s appuyaient pas sur une mise en place pr cise des objets Cartan utilisait encore souvent une notion d isomorphisme fond e sur l isomorphisme des alg bres de Lie Schreier lui fournit en 1930 les formulations permettant une rupture avec le sch ma h rit de Lie et le renversement des priorit s entre objets est achev on introduit d abord les espaces vari t s sur lesquels peuvent ensuite exister des structures de groupe qui peuvent en outre tre diff rentiables auxquels cas on peut introduire les transformations infinit simales ces groupes peuvent enfin agir sur des espaces autres qu eux m mes Un troisi me et dernier aspect nous semble significatif de cette reconstruction autour du couple local non local c est l effet de relecture de l histoire de la th orie Il est particuli rement visible dans le cas du troisi me th or me fondamental de Lie qui affirmait que toute alg bre de Lie complexe est l alg bre d un groupe de Lie c tait alors si notre grille de lecture est la bonne un th or me de passage de l infinit simal au fini Cartan choisit d s sa pr face d en faire un exemple illustrant l importance de la distinction entre point de vue local et int gral Dans la th orie m me des groupes de Lie signalons l insuffisance des d monstrations ordinaires du tro
69. emande tre tabli avec soin Proposition 1 Chaque l ment t de peut se mettre sous la forme t u e u 3 o u de m me que l l ment principal 2 appartiennent tous deux amp Dans les cas particuliers trait s dans les chapitres I et II cette proposition recouvrait des v rit s alg briques bien connues On doit ici la fonder en toute g n ralit au moyen de la m thode de continuit der Kontinuit tsmethode par ces m mes calculs qui nous ont servi plus haut la d termination du volume Weyl 1925 6297 Le parall le avec la m thode de continuit de Poincar en th orie de l uniformisation des fonctions alg briques est double Premi rement il s agit d une preuve par la topologie d une v rit qui appara t alg brique ou analytique Il s agit aussi au niveau plus technique de 3 Das infinitesiale Element h bt Aa Al der adjuntierte Gruppe erteilt dem willk rlichen Element x hK Ko lt Kn Xa Tea von a mit den Hauptparametern K und den Nebenparametern Ta den Zuwachs dx hx der sich aus den Formeln ergibt dk 0 i 1 2 n dTa Q To gt Die daraus durch Iteration entstehende endliche Transformation von x Ex E 1 die man zweckm ssig durch e bezeichnet lautet daher in den Parameter ausgedr ckt K K Ty e 2 Die Hauptelemente el bilden eine n parametrige Abelsche Untergruppe in 3 Satz 1
70. en d duirait la formule er incompatible avec la formule classique d Euler Il en r sulte facilement l impossibilit d attacher chaque point d une sph re et sans singularit une tangente d termin e Cartan 1925c 920 Ce dernier exemple montre que la simple connexit ne garantit pas la trivialit des interactions entre topologie et g om trie et que le groupe fondamental peut tre l alpha sans tre l om ga de la topologie Cartan trouvera mati re enrichir cet aspect dans ses travaux sur le lien entre formes diff rentielles et topologie Sur le plan du vocabulaire notons qu aucun terme de la famille de im Gro en d j stable chez les math maticiens de langue allemande ne fait couple avec le localement chez Cartan On verra que global est utilis ponctuellement sans s imposer nettement parmi d autres Sur le fond la distinction fondamentale ne passe pas entre local et global mais entre l Analysis situs et le reste on pourrait bien consid rer des propri t s topologiques locales Schreier par exemple explicite une hypoth ses de locale simple connexit et consid rer des propri t s g om triques ou analytiques globales Chez Cartan les propri t s d Analysis situs sont implicitement globales les propri t s g om triques ou analytiques on pense en anticipant un peu au comportement des formes diff rentielles sont rapport es au local Il Faces Sommets
71. er a a comme les coordonn es d un point m d une vari t V r dimensions Si a Go a l sont les param tres de la transformation identique et si m est le point correspondant de V nous admettrons que le syst me de coordonn es adopt par l observateur m se d duit par transformation T du syst me de coordonn es adopt par l observateur mo Cartan 1923 720 Il existe donc dans ce cas une connexion canonique triviale Rappelons que dans la th orie de Lie la stabilit par crochet de l ensemble des transformations infinit simales n est autre que la condition d int grabilit garantissant que les transformations finies obtenues par int gration v rifient la propri t de stabilit par composition Cartan obtient ses espaces g n ralis s en n y supposant plus la condition d int grabilit v rifi e le nouvel espace est model sur un groupe de Lie donn il en est une version moins organis e o le passage de l infinit simal au fini est moins harmonieux Techniquement le cas g n ral s obtient en introduisant une vari t des observateurs qui ne soit pas la vari t des param tres du groupes ce que Cartan explicite quelques lignes plus loin On voit que ce formalisme permet Cartan d introduire les connexions affines euclidiennes relatives un ds conformes ou projectives et pour chacune d elles de mesurer l obstruction l int grabilit par des courbures de
72. erches r centes en g om trie diff rentielle Cartan 1925b Cartan y pr sente sa th orie des espaces g n ralis s et introduit cette occasion un th me in dit celui de la rencontre des points de vue de Klein et Riemann sur la g om trie Il commence par pr senter ce qu il y a d apparemment incompatible entre les points de vue de Klein et Riemann entre la g om trie au sens du Programme d Erlangen et la g om trie au sens des Hypoth ses qui servent de fondement la g om trie Pour Klein c est un groupe sous l action duquel l espace est en un sens homog ne qui d finit les g om tries usuelles euclidienne projective cayleyennes Les espaces consid r s par Riemann ne poss dent pas eux cette sorte d homog n it Les d veloppements r cents dans la direction riemannienne sous l impulsion de la th orie d Einstein conduisent Cartan sa question principale Quel r le la notion de groupe joue t elle ou plut t doit elle jouer dans ce champ nouveau de la G om trie est il possible de faire rentrer dans ce cadre suffisamment largi du Programme d Erlangen toutes les g om tries nouvelles et une infinit d autres Cartan 1925b 892 C est bien entendu sa th orie des espaces g n ralis s que Cartan vise introduire et la possibilit qu elle offre de forger des connexions partir de tout groupe de Lie Il commence par introduire les th mes pr sents eux chez Weyl
73. es des poids et 8 Nous nous appuyons bien s r en de nombreux points sur le pr cieux livre de T Hawkins sur l histoire de la th orie des groupes de Lie Hawkins 2000 IT Zur Theorie der Darstellung der einfachen kontinuirlichen Gruppen Weyl 1924b Nous utilisons la pagination des Gesammelte Abhandlungen Das Gruppentheoretisch Fundament der Tensorrechnung Weyl 1924a syst mes de racines ou de la d termination explicite des caract res Nous utiliserons librement le vocabulaire moderne en parlant par exemple de l alg bre de Lie plut t que comme Weyl encore en 1925 des transformations infinit simales du groupe nous suivons par contre certaines notations de Weyl qui n utilise pas syst matiquement la convention consistant utiliser la m me lettre en majuscule et en minuscule pour un groupe de Lie et son alg bre de Lie ce qui cr e une petite difficult pour le lecteur inattentif Commen ons par le cas du groupe sp cial lin aire Weyl expose le motif initial de son int r t pour la th orie de la repr sentation lin aire des groupes et alg bres de Lie par son r le dans ce qu il nomme le fondement du calcul tensoriel suivons le Soit r un espace affine centr r dimensionnel soumis au groupe g SI n C ou R des transformations lin aires de d terminant 1 un syst me de nombres o a an d pendant du choix de la base dans r est le syst me des composantes d une grandeur lin ai
74. es de l espace euclidien Les habitants de cet espace sauront par exemple Sauf mention du contraire la pagination est celle des uvres Compl tes rep rer les points infiniment voisins d un point A au moyen d un tri dre trirectangle ayant ce point pour origine mais nous supposerons en outre qu ils ont une loi leur permettant de rep rer par rapport au tri dre d origine tout tri dre de r f rence ayant son origine A voisine de A En d finitive un tel espace sera d fini par la loi de rep rage mutuel de nature euclidienne de deux tri dres d origines infiniment voisines Cartan 1922c 616 Le probl me m me des connexions ainsi pr sent par un Cartan tr s proche ici de Weyl est celui du lien entre morceaux d espace infiniment petits et non assez petits Le vocabulaire est un peu moins strict que chez Weyl qui n employait jamais Umgebung ou im Kleinen pour d signer le niveau infinit simal chez Cartan voisinage et voisinage imm diat s changent sans autre forme de proc s et le terme infiniment peut dispara tre dans le cas de l origine A voisine de A la o Weyl ne l aurait pas omis Que le probl me se pr sente au niveau des morceaux infiniment petits d espace Cartan le fait sentir dans son article sur les Vari t s connexion affine et la relativit g n ralis e en des termes non ambigus Apr s avoir pr sent la th orie classique de la gravitation
75. ette g om trie Hopf 1926 IP La forme de question commune dans des domaines et avec des outils diff rents Blaschke Schreier et Hopf est le leitmotiv des recherches de ce dernier jusqu en 1932 en particulier dans les travaux sur la topologie des vari t s riemanniennes compl tes qu il m ne avec son l ve Rinow Chorlay 2007 p 548 555 gt Was l sst sich aus den im Kleinen bekannten Eigenschaften einer Massbestimmung auf den topologischen Bau der diese Geometrie tragenden Mannigfaltigkeit schliessen Un deuxi me l ment de contexte m rite mention qui touche d ailleurs plus directement lie Cartan On a vu Schreier proposer une notion de germe de groupe pour d signer ce qu on avait toujours appel groupe du moins du c t des groupes continus pour r server le terme de groupe aux totalit s v rifiant les axiomes alg briques Cette volution terminologique dont nous pensons qu elle indique des d placements de fond dans les syst mes d vidences corr latifs l mergence explicite de la polarisation local global on la retrouve quelques ann es plus tard dans les textes de Veblen et Whitehead sur les fondements de la g om trie diff rentielle Ces derniers pr sentent en 1931 puis plus longuement dans leur trait de 1932 la notion de pseudo groupe qu ils placent au fondement de la g om trie diff rentielle Veblen et Whitehead 1931 et 1932 On pe
76. exions affines en disant simplement la connexion affine de la vari t s exprimera par des formules identiques de forme 1 Cartan 1923 696 Se posent ensuite les questions d int grabilit que Cartan introduit sous leur forme g om trique Premi re question Les lois de la connexion affine d finissent en quelque sorte le raccord des espaces affines tangent en deux points infiniment voisins m et m Que se passe t il quand on consid re deux points quelconques de la vari t On ne peut r pondre que si l on se donne un chemin d termin allant de mo en m Cartan 1923 697 A ce chemin est associ un syst me d quations diff rentielles ordinaires l int gration est possible comme chez Lie ou m me chez Jordan dans son travail de 1867 sur les groupes de mouvements Cartan interpr te explicitement cette int gration comme une composition de transformations la composition d une infinit de transformations infinit simales donnant une transformation finie Cartan 1923 703 Deuxi me question Le raccord des espaces affines tangents en deux points quelconques m et m peut il tre d fini ind pendamment du chemin suivi pour aller dem en m Pour qu il en soit ainsi il faut et il suffit que les quations aux diff rentielles totales 1 ou 3 soient compl tement int grables Cartan 1923 699 Cette condition d int grabilit est simplement l annulation des d riv es ext rieures Si elle
77. g n ral d une alg bre semi simple le jeu d allers et retours il faudra lui associer un groupe lin aire tudier la compacit de ce groupe ainsi que le lien qu il entretient avec son rev tement universel le programme n est pas mince et va faire appara tre de nouvelles consid rations topologiques en particulier sur le comportement de la fonction exponentielle ou la r partition des l ments singuliers dans la vari t du groupe autant d l ments nouveaux qui font ressortir le caract re fondamental des tudes globales de la vari t du groupe Le chapitre 4 s ouvre ainsi Que a d signe un groupe infinit simal semi simple r param tres au le groupe infinit simal obtenu partir du premier par la restriction unitaire d finie la fin du chapitre pr c dent Les transformations lin aires infinit simales dx ax adjointes leurs l ments a engendrent erzeugen un groupe continu de transformations lin aires 77 rappelons en bri vement la definition chez Cartan si g consid r comme op rateur lin aire sur g par t u gt tu on peut former son polyn me caract ristique det t AD wan wald A Si l on choisit une base de g on montre que w est un polyn me homog ne en les composantes de f invariant sous l action de g y est en particulier une forme quadratique invariante Weyl pr f re y la forme de Killing Kt tr t o t li e
78. gion consid r e appartient encore l ensemble On a obtenu en somme un morceau de groupe op rant dans un morceau d espace Cartan 1930 1181 Cartan explique ensuite que des trois d monstrations donn es par Lie de son troisi me th or me fondamental la premi re est la meilleure qui s appuie sur le groupe adjoint Lorsque le groupe est simple ou semi simple l alg bre de Lie est celle d un morceau de groupe lin aire qui peut alors se prolonger sans probl me en un groupe On notera que dans sa relecture de l nonc et des d monstrations du troisi me th or me fondamental de Lie Cartan d nonce une insuffisance une erreur de raisonnement pas plus que Hadamard dans son tude de l uvre de Poincar Hadamard 1912 Cartan n interprete la prise en compte explicite du couple local global comme un simple changement de point de vue une volution des conventions d criture et de lecture des math matiques Quoiqu il en pense Cartan n crit pas que Lie savait bien que ses th or mes taient purement locaux et qu il ne faisait qu crire l ancienne mani re selon des conventions qu il est souhaitable de faire voluer aux vues de la r cente moisson de r sultats globaux La trajectoire d lie Cartan sur la p riode 1922 1930 fournit un cas particuli rement riche pour l tude de l mergence de la polarit local global Quant la m thode on comprend pourquoi cette volution des ca
79. handlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgische Universit t 4 Leipzig Teubner 1926 p 15 32 Schreier O 1927 Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im Gro en Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgische Universit t 5 Leipzig Teubner 1927 p 233 244 Schreier O 1928 ber neue Untersuchungen in der Theorie der kontinuirlichen Gruppen JDMV 37 1928 p 113 122 Veblen O 1927 Invariants of Quadratic Differential Forms Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 24 Cambridge UP London 1927 Veblen O Whitehead J H C 1931 A Set of Axioms for Differential Geometry Proc NAS 17 10 1931 p 551 561 Veblen O Whitehead J H C 1932 The Foundations of Differential Geometry Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 29 Cambridge UP London 1932 Weyl H 1913 Die Idee der Riemannschen Fl che Teubner Leipzig 1913 Die Idee der Riemannschen Fl che hrsg Von R Remmert Teubner Archiv zur Mathematik 5 Teubner Leipzig 1997 Weyl H 1918 Reine Infinitesimalgeometrie MZ 2 1918 p 384 411 Gesammelte Abhandlungen 2 p 1 28 Weyl H 1919b Raum Zeit Materie 2 ungeanderte Auflage Springer Berlin 1919 Weyl H 1922a Das Raumproblem JDMV 31 1922 p 205 221 Gesammelte Abhandlungen 2 p 329 344 Weyl H 1922c Temps Espace Mati re trad G Juvet et R Leroy Blanchard Paris 1922 Weyl H 1923 Mathematische Analyse des Raumproblems Springer
80. here qui lui est associ e M un point int rieur V m le point correspondant de X et o une hypersph re de centre m int rieure a X Il existe un voisinage V int rieur V tel que les correspondants dans X de tous les points de V appartiennent o D Soit M un point appartenant l int rieur ou la fronti re de V m son correspondant dans 2 V un voisinage contenant M son int rieur Il existe une hypersph re o de centre m telle que les correspondants dans V de tous les points de X qui appartiennent a soient int rieurs V E Etant donn s deux points distincts M et N on peut trouver deux voisinages ayant respectivement M et N leur int rieur et n ayant aucun point commun Cartan 1930 1167 Peu apr s est ajout par axiome l existence d un recouvrement fini ou d nombrable par des voisinages Nous nous autorisons ce terme qui n apparait pas sous la plume de Cartan Ci oi a b admettant des d riv es partielles continues des deux premiers ordres Cartan 1930 1179 La structure diff rentielle sur la vari t est install e implicitement l occasion de la formulation de l hypoth se de diff rentiabilit de la multiplication On est toutefois au plus loin de la formulation traditionnelle Dans la p riode 1925 1930 on avait vu Cartan s carter de cette pr sentation traditionnelle en minorant le r le de l espace des variables transform es x et en mettant au centre de l tud
81. hetorical level This new central polarity replaced a 19 century polarity between the infinitesimal and the finite Our chronological exposition of Cartan s work in the period between 1922 and 1930 will pay special attention to modes of writing comparing with the works of Hermann Weyl and Otto Schreier We shall see in particular that in spite of the stability of terms such as neighbourhood manifold or group the meaning of these words underwent a dramatic change after 1925 Mots cl s Cartan lie Weyl Einstein local global connexion groupe de Lie vari t Classification AMS 01A22 01A53 01A58 01A83 Pour un math maticien form apr s 1950 dans un cadre o les notions de vari t vari t fibr e groupe et alg bre de Lie poss dent des assises solides dans un cadre o la classification des outils des probl mes et des nonc s selon une polarit local global jouit d une transparente familiarit la lecture du travail d Elie Cartan dans les ann es 1920 est sans doute la source d un merveillement l gitime Entre 1922 et 1925 ce dernier contribue au renouvellement de la g om trie diff rentielle locale dans le sillage des travaux de Levi Civita Weyl et Schouten sur le cadre g om trique de la th orie de la relativit g n rale partir de 1925 il aborde les probl mes globaux relatifs la topologie et la g om trie des groupes de Lie des espaces homog nes des espace
82. idien de l espace non seulement cette interpr tation tait explicite dans l article cit mais dans un texte vocation plus p dagogique comme celui du M morial des Sciences Math matiques sur La g om trie des espaces de Riemann Cartan 1925a il tait le point de d part du questionnement la probl matique organisatrice de cet expos tait comme depuis Riemann celle des coordonn es curvilignes du probl me de la reconnaissance de situations simples cach es par des coordonn es inappropri es de la formation d invariants diff rentiels caract risant les quivalences masqu es Le Gestalt switch est complet avec la conf rence de l Association pour l avancement des Sciences et un terme pourrait en tre l embl me Cartan y parle d espaces localement euclidiens Nous n avions jamais lu sous sa plume la structure syntaxique tre localement propri t et cette nouveaut suffit r organiser la d marche autour du triplet infinit simal local global Il est significatif que Cartan aborde la question par le biais du groupe d holonomie on peut sans forcer le trait y voir l effet du travail de Weyl et de sa r ception par Cartan Si la non connexit du groupe de Lie y tait un obstacle rapidement lev il est bien clair que le groupe engendr par les transformations infinit simales est connexe elle devenait cependant un l ment qu on ne pouvait plus ne pas consid rer Le passage a
83. iennent en diff renciant cette application et en exprimant les diff rentielles par rapport au rep re mobile lui m me cela fait appara tre les formes oi et oi associant chaque variation infinit simale du param tre les composantes de la variations instantan e du rep re mobile Reprenons le fil de l expos de Cartan Il fait ensuite remarquer que les int grales de ces diff rentielles sont nulles sur un chemin ferm pour justifier que leurs d riv es ext rieures sont nulles Il ne s agit pas ici de faire sentir le r le de la topologie la d rivation ext rieure n est dans les textes de Cartan de cette p riode jamais utilis e de mani re autonome elle est syst matiquement d duite d une transformation d int grale par la formule de Stokes les diff rentielles sont encore fondamentalement des l ments d int grale et la formule de Stokes permet de donner une signification g om trique ce type de calcul diff rentiel sans que g om trique renvoie ici le moins du monde une interaction entre topologie et Analyse ou entre aspects locaux et globaux Le rappel du formalisme classique du rep re mobile permet de formuler de mani re simple le probl me de la connexion des espaces affines infinit simaux associ s deux points infiniment voisins et techniquement de se placer dans l ar ne du calcul sur les formes diff rentielles Une fois ce rappel classique effectu Cartan introduit les conn
84. il est bien s r important en tant que catalogue de r sultats globaux sur les groupes de Lie et dans une certaine mesure sur les espaces homog nes et les espaces riemanniens sym triques mais ce n est pas cette vari t de r sultats qui nous importe ici par son genre m me la monographie invite une r organisation d ensemble des connaissances une mise plat des concepts une explicitation des enjeux une refonte du lexique autant d aspects qui modifient le faci s de la th orie pour les g n rations ult rieures Cette monographie est tr s redevable aux travaux d Otto Schreier la fois pour son organisation d ensemble et pour quelques concepts cl s tels celui de groupes localement isomorphes 3 2 1 L apport d Otto Schreier Le jeune chercheur vient de Vienne o il a soutenu en 1923 une th se d alg bre abstraite sur la th orie des groupes apr s des tudes aupr s de Wirtinger Hahn Reidemeister Furtw ngler ou Vietoris On trouve son travail sur les groupes continus dans deux expos s publi s dans le cahier du s minaire math matique de Hambourg l un en 1926 sur les Groupes continus abstraits l autre en 1927 sur La corr lation des groupes continus im Grossen 5 ainsi que dans un expos la soci t des math maticiens allemands dont le texte Sur de nouvelles recherches en th orie des groupes continus para t dans le volume de 1928 du Jahresbericht der D M V Le couple local
85. irr ductibles et les groupes lin aires simples et semi simples Cartan 1925d dans lequel il d montre le th or me de r ductibilit complete des repr sentations lin aires des groupes 1 e alg bres de Lie semi simples Le lien avec les travaux de Weyl n est pas ambigu ce sont les deux articles de 1924 sur le fondement groupe theoretique du calcul tensoriel et sur la theorie de la representation lineaire des groupes simples qui motivent la r ponse de Cartan son article est par contre publi avant le grand article de Weyl 1925 sur la repr sentation lin aire des groupes semi simples comme une note nous l apprend D apr s les indications qu il a bien voulu me donner M H Weyl publiera prochainement dans la Math Zeitschrift plusieurs m moires sur la th orie des groupes continus ils contiendront en particulier une d monstration g n rale du th or me de r ductibilit compl te avec le m me point de d part que celle qui fait l objet du pr sent article Cartan 1925d 533 Ce point de d part tant les r sultats de Cartan sur la structure g n rale des alg bres semi simples et non seulement des alg bres de quatre grandes classes de tels groupes Apr s un rappel sur la question de la r ductiblit des repr sentations lin aires et la notion de tenseur irr ductible Cartan r sume ce qu il retient de Weyl tout d abord la technique de Hurwitz de formation d invariants en particulier de for
86. isi me th or me fondamental qui ne prouve l existence un systeme de constantes cu tant donn que d un morceau de groupe incapable peut tre de se prolonger pour former un groupe complet Cartan 1930 1166 Dans le texte m me Cartan analyse avec beaucoup de p dagogie l origine de cette insuffisance Il commence par r sumer la d monstration usuelle les relations entre les constantes de structure Cu garantissent l int grabilit du systeme de Pfaff d terminant les transformations finies agissant sur des variables u Il y pointe ensuite une double insuffisance Les sont des formes lin aires en du du2 du dont les coefficients sont des fonctions analytiques enti res des variables u mais le d terminant des coefficients des du n est different de z ro que dans un certain voisinage de l origine u 0 De plus le d terminant serait il partout different de z ro cela ne suffirait pas pour assurer l existence de transformations finies du groupe valable dans tout l espace des wi Cartan 1930 1181 Double insuffisance qui conduit une reformulation doublement locale du r sultat usuel On a donc d montr en d finitive l existence d un ensemble de transformations d finies pour des valeurs suffisamment petites des param tres dans une r gion suffisamment petites de l espace euclidien des ui et le produit de deux transformations de l ensemble dans le cas o ce produit est d fini dans la r
87. it que deux chemins de m mes extr mit s ne donnent pas n cessairement des d veloppement co ncidant dans l espace euclidien de r f rence c est le ph nom ne que Cartan baptise important ce terme de la M canique de non holonomie Pour une formulation plus pr cise que celle donn e dans la conf rence on peut se reporter la deuxi me partie de Sur les vari t s connexions affines Cartan y d passe le point de vue infinit simal qui pr sidait sur ces questions aux r flexions de la premi re partie Nous avons vu au chapitre II qu tant donn une vari t connexion affine tout contour ferm infiniment petit partant d un point m de la vari t et y revenant est associ un d placement affine infinit simal En g n ral ces d placements infinit simaux n engendrent pas un groupe Il n en est plus de m me si l on consid re tous les contours ferm s possibles finis partant de m et y revenant A chacun d eux est associ par le proc d indiqu au n 34 un d placement affine fini de l espace affine tangent en m Il est vident que tous ces d placements forment un groupe continu Il r sulte qu tout point m de la vari t est associ un groupe g de d placements affines Cartan 1925e 922 Le raisonnement se transpose directement aux espaces g n ralis s puisqu il n utilise que la distinction entre transformations infinit simales et transformations finies et la possibilit
88. l ment unit et ceux d un voisinage V o de G contenant son int rieur l l ment unit cette correspondance satisfaisant la condition que si A B et C sont trois l ments de Vo tels que AB C les l ments correspondants de V satisfassent A B C Cartan 1930 1175 Le passage aux rev tements est introduit par le th or me suivant si G est simplement connexe tout isomorphisme local entre G et G se prolonge de mani re univoque en un isomorphisme entre les deux C est seulement dans un deuxi me chapitre que l on passe des groupes topologiques aux groupes de Lie Nous dirons qu un groupe abstrait fini et continu est un groupe de Lie si l on peut trouver dans un voisinage suffisamment petit Vo de l l ment unit un syst me de coordonn es ou param tres r els a a gt a tels que les param tres ci de l l ment C AB r sultant de la multiplication de l l ment A de param tres a par l l ment B de param tres b s exprime par des fonctions A A chaque voisinage V est associ une correspondance biunivoque d termin e entre les points de V et les points d une hypersph re X de l espace euclidien n dimensions Les points de V qui correspondent des points int rieurs X seront dits int rieurs V les autres constituent la fronti re de V B Tout point de la vari t est int rieur au moins un voisinage C Soit V un voisinage quelconque X l hypersp
89. la forme de Cartan par y K 24 2 28 Weyl ne parle pas en 1925 de groupe de Poincar nous restons proches de ses formulations a resp amp Puisqu a est associ e par la proposition 6 du chapitre III une forme quadratique d finie invariante amp est une figure ferm e Weyl 1925 6291 La reconstitution d un groupe continu partir d une alg bre de matrices f t elle rendue possible par la pr sence du groupe ambiant Gl g est voqu e pour le moins rapidement Weyl passe rapidement sur ce point ce paragraphe introductif tant destin traduire en termes de transformations finies les r sultats sur la structure des alg bre semi simples Weyl d roule pour cela l envers les d finitions des repr sentations adjointes d un groupe de Lie et de son alg bre qui ouvraient le chapitre 3 Rappelons en les principaux l ments en restant fid le aux formulations de Weyl parlant comme Lie de tout groupe comme d un groupe agissant sur un ensemble il associe tout groupe de transformations son groupe adjoint le groupe agissant sur lui m me par conjugaison Cette action induit une repr sentation lin aire du groupe sur ses transformations infinit simales la conjugaison par T transformait un l ment X du groupe en X T XT elle transforme un l ment infinit simal x en l infinit amp simal x T xT TT Cette repr sentation lin aire du groupe induit une repr sentation lin aire de
90. les deux probl matiques d intrins qu it et de d passement de l infinit simal vers le fini En 1930 au contraire la vari t est d abord une totalit donn e les changements de carte articulent la question de l intrins que mais il suffit de consid rer les changements de carte au voisinage d un point g n rique celle de la topologie globale les changements de cartes recollent aussi les ouverts de cartes Le cas du terme groupe est le plus frappant le passage d une polarit infinit simal fini une polarit local global modifie la notion m me de groupe ainsi que le lien entre un groupe de Lie et son alg bre de Lie Ce qui se trouvait classiquement du c t fini de la polarit infinit simal fini le groupe au sens de Lie se retrouve au p le local dans la local global l ancienne notion de groupe se voit requalifi e en germe de groupe pseudo groupe ou morceau de groupe alors que le nouveau groupe qui notons le aussi n est plus avant tout un groupe agissant sur un espace est vari t au sens nouveau autant que groupe Cette discontinuit joue plusieurs niveaux et selon des temporalit s diff renci es Nous avons t amen s tudier le niveau du contenu th orique th or mes doctrine d emploi d outils techniques probl mes l gitimes le niveau th matique et le niveau rh torique conventions de r daction pr sence
91. lons localiser les ph nom nes 2 Ce continuum tant choisi quelles sont les solutions sans singularit dans ce continuum Il est tr s possible que l existence de solutions sans singularit impose des conditions purement topologiques au continuum exige par exemple que ce continuum soit ferm comme l espace sph rique 4 dimensions Cartan Einstein 1979 102 Jusque la les changes entre Einstein et Cartan sur la classifications des syst mes en involution n engageaient que le niveau local ce qui demeurait implicite dans le dialogue La notion de singularit peut encore sembler locale Einstein qui ne voit peut tre pas toute la port e du everywhere inclus dans sa demande Quoiqu il ait pens de la r ponse de Cartan il choisit de ne pas poursuivre sur ce terrain Il est par contre significatif que pour illustrer la difficult globale Cartan s appuie dans la suite de sa lettre sur l int gration des quations caract ristiques des transformations infinit simales d un groupe de Lie local 3 2 Le cours de 1930 sur la topologie des groupes de Lie Il nous semble naturel de clore cette analyse de l mergence de la polarit local global chez lie Cartan sur la monographie qu il fait para tre en 1930 sur La th orie des groupes finis et Nous citons Einstein dans la traduction de Jules Leroy et Jim Ritter C est Einstein qui souligne continus et l analysis situs Cartan 1930 Ce trava
92. m et m de la vari t cette loi permettra de dire que tel point de l espace affine attach au point m correspond tel point de l espace affine attach au point m que tel vecteur du premier espace est parall le ou quipollent tel vecteur du second espace En particulier le point m lui m me sera rep r par rapport l espace affine du point m et nous admettrons la loi de continuit d apr s laquelle les coordonn es de m par rapport au syst me de r f rence affine d origine m sont infiniment petites cela permettra de dire en un certain sens que l espace affine attach m est l espace affine tangent la vari t donn e Cartan 1923 696 On voit que l espace affine rep r par les e est tangent au sens o les changements de rep res infinit simaux d pendent lin airement des translations infinit simales dm sur la vari t C est la donn e de la connexion qui la premi re instaure une solidarit entre les espaces tangents attach s des points diff rents on est ici au plus loin de la notion de vari t fibr tangente une vari t diff rentiable En un sens tout ce paragraphe n est qu une introduction aux formules 1 d crivant le rep re mobile en particulier dm ole me es ce paragraphe illustre de mani re frappante l un des traits communs au d veloppement de ces th ories des connexions chez Weyl et Cartan nos auteurs reprennent des formules qui sont d j
93. mannien localement applicables sans tre identiques au point de vue de l Analysis situs on peut donner l exemple du plan euclidien et du cylindre de r volution Cartan 1926a 993 Dans cette conf rence de 1926 Cartan ne pr sente pas r ellement un travail de recherche au sens o il aboutirait des r sultats significatifs sur les rev tements des espaces de Riemann il semble plut t qu il choisit dans un cadre familier la situation la plus simple permettant d introduire le questionnement global celle de l isom trie locale pour d un m me geste apprivoiser les nouveaux concepts les relier aux anciens et s essayer un nouveau mode de formulation pouvant d boucher sur de nouvelles convention d Ecriture et de lecture un auteur en rodage 3 1 2 Sur le fond l exploration de l espace du groupe TT il peut arriver qu un espace de Riemann admette un groupe transitif de d placements rigides groupe d fini dans un certain domaine au voisinage de chaque point l espace dans ce cas peut tre dit homog ne Cartan 1926a 993 Il ne peut s agir ici de pr senter f t ce grands traits les travaux de p riode 1925 1930 sur la g om trie et la topologie des groupes de Lie et des espaces homog nes la moisson est vaste et la lecture ardue Nous voulons toutefois montrer sur deux points comment la nouvelle prise en compte de l espace du groupe permet une circulation in dit
94. mes quadratiques invariantes par int gration par rapport un l ment de volume qui se conserve par une transformation quelconque du groupe des param tres int gration possible pour les groupes continus dont le domaine est ferm et de volume total fini Cartan 1925d 532 ensuite On pourra donc d montrer par exemple que tout groupe lin aire param tres r els isomorphe au groupe d une forme de Hermite d finie laissera invariante une forme de Hermite d finie condition que le domaine des param tres du premier groupe ne recouvre pas une infinit de fois le domaine du second c est la m thode de M H Weyl qui d montre par des consid rations d Analysis situs appliqu es au domaine du second groupe que le domaine du premier ne peut recouvrir qu une fois celui du second Cartan 1925d 533 Le langage est encore celui de Lie la Gruppenmannigfaltigkeit est le domaine des param tres du groupe continu isomorphe est entendre dans le sens sp cifique la th orie des groupes la Lie les groupes sont de m me structure ils ont dirions nous des alg bres de Lie isomorphes Le r sultat que Cartan r sume est donc bien le suivant M Weyl a tabli que si un groupe continu G ayant la m me alg bre de Lie qu un groupe G conservant une forme de Hermite G est alors de domaine ferm et de volume fini ne poss de qu un nombre fini de feuillets au dessus de G alors il est lui au
95. mples et semi simples Bull Sc Math 49 1925 p 130 152 uvres Compl tes 1 1 p 531 553 Cartan E 1925e Sur les vari t s connexions affines et la th orie de la relativit g n ralis e 2 partie Ann Sci ENS 42 1925 p 17 88 uvres Compl tes IIL2 p 921 992 Cartan E 1926a L application des espaces de Riemann et l Analysis Situs Assoc Av Sc 50 1926 p 53 uvres Compl tes TIL 2 p 993 995 Cartan E 1926b Les groupes d holonomie des espaces g n ralis s Acta Math 48 1926 p 1 42 uvres Compl tes TIL2 p 997 1038 Cartan E Schouten J A 1926 On riemannian geometries admitting absolute parallelism Proc Amsterdam 29 1926 p 933 946 uvres Completes IIL2 p 1067 1080 Cartan E 1927a La g om trie des groupes de transformations JMPA 6 1927 p 1 119 uvres Compl tes 1 2 p 673 792 Cartan E 1927b La th orie des groupes et la g om trie Ens Math 26 1927 p 200 225 uvres Completes I 2 p 841 866 Cartan E 1927c Sur certaines formes riemanniennes remarquables des g om tries groupes fondamental simple CRAS 184 1927 p 1628 1630 uvres Compl tes I 2 p 667 669 Cartan E 1927d Sur la possibilit de plonger un espace de Riemann dans un espace euclidien Ann Soc Pol Math 6 1927 p 1 7 uvres Completes 11 2 p 1091 1098 Cartan E 1927e Sur la topologie des groupes continus simples r els CRAS 184 1927 p 1036 1038 uvres Compl tes 1 2 p 6
96. n S1 l espace de Riemann n est pas simplement connexe le groupe d holonomie n est plus n cessairement continu En particulier si le tenseur de Riemann Christoffel est nul c est dire si l espace de Riemann est ocalement euclidien le groupe d holonomie est discontinu Un exemple simple est fourni par un cylindre de r volution Cartan 1925c 919 Dans les textes pr c dents en particulier l article Sur les vari t s connexions affines et la th orie de la relativit g n ralis e que Cartan donne en r f rence la d finition du groupe d holonomie tait syst matiquement d crite comme celle d un groupe continu Nous notions qu en cela Cartan ne faisait que poursuivre la logique d un raisonnement qui ne s articulait en rien autour d un axe local global mais plus classiquement autour du couple infinit simal fini le fini tait implicitement local les chemins finis en particulier bordaient toujours des disques g n ralis s de sorte que la formule de Stokes permettait d engendrer et de justifier 38 Nous modelons ce titre fictif sur celui de la conf rence de Henri Cartan 25 ans plus tard Probl mes globaux dans la th orie des fonctions de plusieurs variables complexes Cartan 1950b g om triquement la formation d invariants diff rentiels par d rivation ext rieure Il tait alors naturel d interpr ter la nullit du tenseur de courbure comme le signe du caract re eucl
97. nn es admissibles y sont diff rentiables et parce que ce sont des invariants diff rentiels qui sont recherch s Les outils sont ceux du calculs diff rentiels mais ne n cessitent pas qu on approche les questions en faisant alterner les points de vue infinit simaux et finis Dans la conception nouvelle que Levi Civita Weyl Cartan Schouten font merger les espaces associ s chaque point sont saisis comme des voisinages infinit simaux Nous avons cherch dans notre th se Chorlay 2007 d crire ce changement de point de vue par le n ologisme d infinit simalisation pour pouvoir le comparer avec en particulier les d marches de localisation Nous ne pouvons ici qu tre allusifs sur ce point 1 2 Des choix techniques diff rents de ceux de Weyl Si le mouvement de la pens e conduisant de la reformulation des lois de la M canique par la relativit g n rale la n cessaire mise en place d une nouvelle structure g om trique connectant les structures infinit simales classiques valides en chaque point est d crit dans des termes tr s proches chez Weyl et Cartan avec toutefois une attention stricte aux termes s parant les niveaux infinit simaux et locaux chez Weyl qu on ne retrouve pas chez Cartan les outils techniques utilis s pour d crire les connexions ne sont pas les m mes chez nos deux auteurs Pr sentons dans ce paragraphe une premi re s rie de cons quences avant dans le paragraphe sui
98. nt Cartan souligne qu il ne voit pas la n cessit logique qui conduit Weyl imposer l existence de coordonn es g od siques interdisant apparition de torsion Cartan 1923 659 Le choix du calcul sur les formes diff rentielles am ne Cartan s carter de Weyl sur un autre point Lorsqu il aborde la question de l insertion de l lectromagn tisme dans l difice de la relativit restreinte dans un premier temps Cartan souligne qu on peut concevoir les quations de Maxwell de deux mani res diff rentes Soit on met en avant les quations aux d riv es partielle du premier ordre ce que fait Weyl la connexion joue alors un r le essentiel et l on peut chercher unifier la gravitation et l lectromagn tisme en largissant aux dilatations la gamme des transformations infinit simales consid r es Soit et c est le point de vue qui est pr f r par Cartan on lit la th orie de Maxwell en termes d quations int grales relatives des flux des circulations etc qui r sument un grand nombre de faits d experience et techniquement n utilisent que les op rateurs relatifs aux formes diff rentielles et la formule de Stokes Si nous adoptons ce point de vue les quations de Maxwell sont ind pendantes de toute hypoth se sur la connexion affine de l espace temps Cartan 1924b 817 La fin de cette partie de l article de Cartan est consacr la question de savoir
99. nt permis de mieux comprendre la nature propre locale de la th orie de Lie mais ne voient pas l l occasion de d signer le d passement du local comme un champ de recherche autonome et prometteur ils se contentent de reconna tre la l gitimit d autres modes de recherche en particulier la th orie des invariants alg briques Cette division des t ches avait d j t voqu e par Felix Klein en 1893 dans ses conf rences au congr s de Chicago Klein 1893 18 On doit de plus souligner qu en dehors des trois passages cit s l expos est indiff rent au couple local global et r dig selon le point de vue universellement et implicitement local usuel On voit que comme en th orie des formes diff rentielles la nature locale des r sultats peut ponctuellement tre explicit e sans affecter profond ment la construction de tout l expose 2 LE TOURNANT DE 1925 Le cheminement peut sembler paradoxal en 1924 des questions de g om trie purement infinit simales am nent Hermann Weyl examiner la question purement alg brique des repr sentations lin aires des alg bres de Lie simples et semi simples c est la th orie dont Cartan est le meilleur sp cialiste au monde depuis en particulier ses travaux de 1913 1914 C est pour d montrer une des deux conjectures qu il formule leur propos que Weyl introduit titre d outils et d tapes du raisonnement des l ments topologiques globaux relatif
100. obaux va avoir un effet d cisif sur les autres champs de recherche de Cartan quant sa premi re r ticence devant les tudes d licates d Analysis situs elle est bient t lev e 2 2 2 Le Gestalt switch de 1925 Dans un bref texte de 1925 tir d une communication au congr s de l Association pour l Avancement des Sciences Cartan 1925c on est frapp du contraste avec les textes pr c dents sur la g om trie diff rentielle Intitul Les groupes d holonomie des espaces g n ralis s et l analysis situs il aurait pu aussi bien s intituler Probl mes globaux en g om trie diff rentielle Le point d entr e est le groupe d holonomie J ai indiqu r cemment Ann ENS t XLIL 1925 p 18 29 de quelle mani re on pouvait associer tout espace de Riemann un groupe de d placements euclidiens groupe d holonomie dont chaque op ration est associ e un contour ferm ou cycle trac dans l espace de Riemann Si tous les cycles peuvent par d formation continue se r duire un point le groupe d holonomie est continu et engendr par les d placements infinit simaux Il en est ainsi si l espace de Riemann est simplement connexe S1 le d placement associ un cycle infiniment petit arbitraire est nul ce qui se traduit par l annulation du tenseur de Riemann Christoffel le groupe d holonomie se r duit au d placement identique et l espace de Riemann se confond avec l espace euclidie
101. oint d une vari t pour tudier les connexions affines ou projectives il n attache pas dans un cas l espace RI et dans l autre l espace compact et ventuellement non orientable D OR Cartan ne se d partit pas ici du point de vue classique exprim en toute clart dans l article de 1915 sur les groupes continus et la g om trie une g om trie est d finie par un groupe c est dire les transformations voisines de l unit agissant sur des s ries de variables qu on peut consid rer comme repr sentant les points ou d autres objets plans sph res d un ouvert d un espace Les notions de transformations infinit simales ou finies et de propri t s g om triques poss dent un sens technique parfaitement d fini ce n est pas le cas de l espace sur lequel le groupe agit du moins pas au sens d espace topologique L accent sur le groupe et l absence de point de vue sur l espace dans sa totalit tait d ailleurs visible d s l introduction de la notion de g om trie affine En G om trie ordinaire il existe des propri t s des figures que l on appelle propri t s affines ce sont celles qui se conservent lorsqu on effectue une transformation homographique quelconque conservant le plan l infini Cartan 1923 693 Le Programme d Erlangen n est pas loin les g om tries affines ou m triques relatives une forme quadratique non d g n r e coefficients constants s obtiennent
102. ons de citer Par exemple dans le cas du groupe adjoint apr s avoir appel l espace vectoriel sous jacent au groupe de Lie Ia espace canonique il demande Toutes les transformations du groupe adjoint sont elles de la forme e une m me transformation est elle susceptible de plusieurs repr sentations canoniques voil ce que nous nous proposons d tudier dans le cas d un groupe simple ou semi simple Cartan 1925d 535 Il s agit donc d tudier la surjectivit et de l injectivit de l exponentielle Cette tude ainsi que l tude quivalente pour G n est pas men e alg briquement Examinons quelques uns des outils utilis s dans l tude du cas de I Par exemple Cartan se soucie de r server le terme de groupe adjoint la composante connexe de l identit mais c est par un argument mi topologique mi alg brique qu il montre qu il s agit bien l d un groupe plut t qu un argument de connexit Cartan pr f re utiliser le fait qu un systeme d quations alg briques identiquement v rifi au voisinage de l identit l est enti rement sur cette plus petite vari t alg brique Cartan 1925d 538 un autre exemple du m me type p 540 Autre exemple d vitement des arguments topologiques pour montrer que toute matrice g n rale ici au 37 Ein rein algebraischer Beweis der vollen Reduzibilit t in diesen F llen welcher innerhalb der sens ayant un nombre ma
103. ons donn es Schreier 1926 21 a Schreier d finit ensuite sur Ry une notion de limite une structure de L groupe donc pour laquelle il montre que R et Ru sont localement isomorphes pour une application naturelle de Ry dans R l ensemble des l ments au dessus de E forme un sous groupe normal discret et R s identifie en tant que L groupe au quotient de Ru par ce sous groupe On peut se demander pourquoi Schreier tait parti de deux groupes R et R plut t que d un seul il pr f re formuler son r sultat sous la forme suivante Proposition 10 Soient R et R deux groupes continus isomorphes im kleinen il existe un groupe R isomorphe im kleinen aux deux tel que R et Rz sont contin ment isomorphes au L groupes facteurs de R de diviseur normal discret Reciproquement si R et R sont contin ment isomorphes au L groupes facteurs d un groupe continu 0 Definition 7 Zwei kontinuirliche Gruppen R R hei en isomorph im kleinen wenn es eine Umgebung U E der Einheit in R eine Umgebung U E der Einheit in R und eine Abblidung amp von U E auf U E von folgender Beschaffenheit 1 o ist eineindeutig und umkehrbar stetig 2 Ist UU U U U U in U E so ist aU a U aal 3 Ist U U U U U U in U E so ist a U a U oU Die Umgebungen U E und U E nennen wir stetig isomorph gt Seien nunmehr R R im kleinen isomorph kontinuirliche
104. os a l avantage de mettre en vidence la vraie nature de la g om trie diff rentielle et de montrer que cette g om trie ne s oppose pas la g om trie projective ou la g om trie alg brique Elle ne s oppose qu la g om trie de l espace complet De m me qu il y a une g om trie m trique une g om trie projective etc qui traitent des propri t s m triques projectives etc de l espace pris dans son int gralit il y a une g om trie diff rentielle m trique une g om trie diff rentielle projective etc qui traitent des propri t s m triques projectives etc de l espace pris au voisinage d un point La th orie des invariants diff rentiels est du domaine de ces g om tries diff rentielles Cartan 1915 1737 Ici ce n est plus le travail local sur l espace du groupe transformations voisines de l identite mais le travail local sur l espace des variables transform es qui est comment On a vu que cette conception de la g om trie diff rentielle comme g om trie relative des familles de diff omorphismes locaux domine encore dans les ann es 1920 Le m me th me est enfin repris au paragraphe 44 consacr aux invariants et invariants diff rentiels La th orie de S Lie a l avantage d une tr s grande g n ralit mais outre l inconv nient d exiger des int grations elle en a un autre plus grave c est de ne r soudre les probl mes relatifs aux invariants que du point de
105. our former des espaces moins coh rents que des groupes de Lie explorables par le formalisme du rep re mobile Le changement complet de point de vue sur les groupes de Lie inaugur par Hermann Weyl va conduire une profonde modification du regard sur les groupes ef sur les vari t s sans d ailleurs que le sch ma reliant les uns aux autres soit modifi la premi re vari t explor e c est la vari t du groupe les autres vari t s en sont des versions moins homog nes au sens technique comme au sens figur Mais d passer le point de vue universellement et implicitement local c est aussi modifier la mani re d crire les math matiques et sur ce point l volution de Cartan est plus lente Nous montrerons qu une tape importante dans cette volution est repr sent e par la r daction de la monographie sur La th orie des groupes finis et continus et l Analysis situs Cartan 1930 et que la mise au point d une nouvelle mani re d crire sur les vari t utilise les outils fournis Cartan par Otto Schreier dans ses articles de 1926 1928 sur les groupes topologiques 3 1 Renouvellement du questionnaire 3 1 1 Sur la forme un apprivoisement progressif La prise en compte des aspects globaux et l mergence comme objet d tude pertinent de la vari t du groupe ne conduisent pas une refonte imm diate des modes d expression et c est une volution progressive que l on assiste dans l
106. oute autre On se souvient du mod le expos en 1923 24 dans l article sur Les vari t s connexions affine et la th orie de la relativit g n ralis e d j le groupe de Lie tait le mod le fondamental partir duquel la notion d espace g n ralis tait pens e mais la saisie des espaces tait universellement et implicitement locale et le groupe de Lie intervenait essentiellement par ses transformations infinit simales C est maintenant d abord en tant qu il agit sur son espace sous jacent qu il fournit un mod le de structuration spatiale Il est significatif de voir que m me quand la d marche est locale les notions premi res ainsi celle de vecteur ne sont pas d finies par passage l infinit simal l espace des transformations finies du groupe comme ensemble de points devient le lieu de croisement des questionnements g om triques et topologiques ainsi que le mod le pour l tude des espaces associ s La prise en compte de l espace du groupe et des aspects globaux des espaces associ s ouvre une seconde piste dans laquelle d autres propri t s topologiques interviennent que celles du groupe de Poincar Cartan aborde la question des nombres de Betti des espaces de groupe clos dans une note aux C R A S de 1928 Cartan 1928b et expose rapidement un premier r sultat dans un tel espace de dimension r toute vari t qui ne rencontre pas la vari t r 3 dimensions lieu des
107. outes les alg bres de Lie semi simples complexes en suivant le mod le donn par les quatre cas tudi s pr c demment Nous reprenons ici les conventions usuelles en d signant les groupes par des majuscules et les alg bres par des minuscules Weyl peut ici encore s appuyer sur les r sultats de Cartan sur la structure des alg bre semi simples r sultats qu il reformule au passage son chapitre 3 y est consacr cette tude purement alg brique ne nous concerne pas directement Une premi re difficult de cette g n ralisation tient ce que contrairement aux cas tudi s pr c demment les alg bres de Lie ici consid r es ne sont plus donn es comme alg bres de groupes de groupes lin aires qui plus est Weyl y suppl e en utilisant la repr sentation adjointe qui est un isomorphisme d alg bre de Lie dans le cas semi simple g est donc identifi e la sous alg bre ad g de l alg bre des transformations lin aires de g L existence tablie par Cartan dans sa th se de formes r elles des alg bres semi simples complexes joue le r le de la r duction unitaire Cartan a de plus montr que le groupe adjoint conserve naturellement une forme quadratique sur g qui est de plus d finie n gative dans le cas semi simple travaillant avec la forme de Killing plut t qu avec la forme w2 de Cartan c est une forme d finie positive que Weyl utilise Apr s ce chapitre 3 Weyl peut reprendre dans le cas
108. ph ist Theorem II Auf LIEsche Gruppen angewendet lehrt dieser Satz in welcher Beziehung Gruppen stellen die gleich zusammengesetzt sind d h in den Zusammensetzungskonstanten ca bereinstimmen Zugleich erhalten wir auch einen gewissen Einblick in die topologische Struktur der kontinuirlichen Gruppen Satz 11 Definition 7 Deux groupes continus R R sont dits isomorphes im kleinen s il existe un voisinage U E de l identit dans R un voisinage U E de l identit dans R et une application a de U E sur U E telle que 1 a est biunivoque eineindeutig et inversiblement continue 2 Si U U2 U Ur U dans U E alors a U a U gt a U 3 3 Si U U U U U U dans U E alors a U Ja U a U On dit que les voisinages U E et U E sont contin ment isomorphes Schreier 1926 20 Cette clarification essentielle permet de lancer la question du rev tement universel pour laquelle Schreier choisit une construction originale Soient maintenant R et R deux groupes continus isomorphes im kleinen U U deux voisinages sph riques contin ment isomorphes des unit s correspondantes Nous associons chaque l ment U de U un symbole U en particulier le symbole E l unit E Nous associons chaque relation U U2 U entre trois l ments de U la relation U U U Nous nommons Ru le groupe engendr par les symboles U et d fini par les relati
109. propri t s im Kleinen et propri t s im Grossen Dans les deux premiers tomes de ses Le ons sur la g om trie diff rentielle et les fondements de la th orie de la relativit Blaschke 1923 et 1924 le couple local global est la structuration majeure la plupart des chapitres sont organis s par paires par exemple courbes planes im Kleinen courbes planes im Grossen de m me que certains th or mes Le cas de Blaschke illustre d une autre mani re un ph nom ne que nous soulignions chez Cartan la non n cessaire co ncidence temporelle de trois formes de polarisation autour de l axe local global On peut en effet distinguer l mergence de th ories globales comme corps de d finitions de th or mes de probl mes ouverts le theme de la polarit local global textes introductifs d signant un nouveau champ de probl mes mises en gardes contre des erreurs typiques l volution des canons d ecriture ainsi le passage d nonc s implicitement locaux des nonces qui doivent l tre explicitement sous peine de passer pour des abus de langage ou des incorrections Chez Cartan le passage au global a lieu rapidement aux niveaux th orique et th matique plus lentement dans les formes d criture Le trait de Blaschke innove sur les plans th matiques et les modes d criture alors qu il est un trait assez peu moderne sur le fond En d pit de l allusion la th orie de la rel
110. r dig e comme avant 1925 le caract re local est purement implicite le groupe d holonomie est suppos continu i e connexe etc Seul le dernier paragraphe vient apr s une quarantaine de pages jeter une lumi re r trospective sur la nature de ce qui pr c de intitul Les groupes d holonomie et l Analysis situs il reprend les exemples de la conf rence de 1925 et s ouvre sur Nous avons suppos implicitement dans tout ce qui pr c de que le groupe d holonomie d un espace G groupe fondamental G est continu Cartan 1926b 1037 On peut ici penser que l article a t r dig en plusieurs temps et que le dernier paragraphe n appartenait pas un projet initial fid le aux conceptions d avant 1925 Nous n ajoutons pas d autres exemples de crainte de devenir fastidieux mais l on peut montrer que cette mani re d explicitation r trospective ou sous forme de remarques finales est largement pr sente chez Cartan dans le travaux locaux M me apr s 1925 la nature locale des nonc s n a pas tre annonc e ni r guli rement explicitee le simple fait qu elle soit explicit e un moment f t il tardif marque cependant un net changement par rapport aux crits d avant 1925 On observe aussi des formes de transition dans la description des groupes de Lie Avant 1925 le groupe est ramen son alg bre de Lie et l isomorphisme de groupe d signe en fait l identit de structure au
111. rard Scholz Scholz 2001b et Thomas Hawkins Hawkins 2000 1 L APPROFONDISSEMENT DE LA G OM TRIE INFINITESIMALE 1922 2925 Entre 1922 et 1925 les r flexions d Elie Cartan sur la relativit g n rale et les travaux de Hermann Weyl l am nent a proposer une g n ralisation de la notion de connexion affine Nous pr sentons les principaux l ments de la th orie des espaces g n ralis s telle qu il la met en place entre 1922 et 1925 en nous appuyant principalement sur les textes suivants cinq notes aux Comptes Rendus de l Acad mie des Sciences entre f vrier et avril 1922 Cartan 1922 b fl la s rie d articles Sur les vari t s connexion affine et la relativit g n ralis e Cartan 1923 1924b 1925e la conf rence La th orie des groupes et les recherches r centes en g om trie diff rentielle Cartan 1925b et le cours sur La g om trie des espaces de Riemann Cartan 1925a L objectif n est pas ici de pr senter le d tail de la gen se de ces travaux ni leur chronologie fine il suffira de noter l apparition sur la fin de la p riode de la notion de groupe d holonomie et du th me de la synth se des points de vue de Klein et de Riemann sur la g om trie Ce sont bien plus les l ments stables du cadre th orique que nous voulons souligner un cadre th orique construit autour du couple infinit simal fini implicitement local et pr sent de mani re implicitement locale Nous montrerons q
112. re lineare Gr e si tout changement de base 7 dans r induit une transformation lin aire T en les N composantes T d termine une repr sentation Darstellung de g en un groupe G de transformations lin aires Weyl parle de groupes isomorphes il s agit encore d isomorphismes m ri driques ou dans le vocabulaire actuel d homomorphismes de groupes Les grandeurs lin aires peuvent donc tre vues g om triquement comme des vecteurs Vektoren dans l espace image R Weyl d finit ensuite la notion de repr sentations quivalentes i e T ATA o A est une transformation lin aire inversible de R fix e une fois pour toute et fait le lien avec la notion d orientation qu il avait utilis e dans son analyse du probl me de l espace Viennent ensuite les notions de repr sentation irr ductible aucun sous espace vectoriel strict de R n est stable sous l action de G ou grandeur lin aire simple de somme de repr sentations et de composition produit tensoriel de repr sentations la premi re conjecture est que toute grandeur lin aire est d composable de mani re unique en somme de grandeurs simples ind pendantes ou que toute repr sentation lin aire du groupe sp cial lin aire est somme de repr sentations irr ductibles th or me de r ductibilit compl te pour ce groupe Weyl 1925 545 Ces l ments issus de la th orie classique de la repr sentation lin aire ne s
113. re une formule plus g n rale ne d coule pas d une autre formule par d duction ou calcul C est la mise en place d un nouvelle lecture de formules classique qui l gitime l introduction de formules plus g n rales En ce sens le passage sur l espace tangent que nous commentons ne se comprend que lorsqu on lit les formules g n ralis es qu il permet d introduire nous le verrons dans un instant Ce proc d th orique et rh torique poss de toutefois deux inconv nients Chercher modifier les points de vue est un art d licat on n est jamais s r de bien se faire comprendre on ne peut tre assur de convaincre Sur ce deuxi me point on peut lire en 1929 la comparaison que fait Weyl des travaux sur les espaces g n ralis s de Cartan d une part de l cole de Princeton Eisenhart Veblen Thomas d autre Du moins en g om trie diff rentielle la probl matique est bien s r globale chez Weyl dans L id e de surface de Riemann part c est peu de dire que Weyl n est pas convaincu de la pertinence du point de vue de Cartan Weyl 1929 1 3 2 Un mod le trois espaces l espace observ son groupe l espace des observateurs L attachement aux points d une vari t d un espace qui peut tre vu comme l espace tangent n est qu un cas particulier d une op ration tr s g n rale que Cartan pr sente quelques pages plus loin et qu on trouvait voqu e d s les notes de
114. rer Darstellungen und zwar eine verk rzte nicht homomorphe wenn das berlagerungsgebilde mehrbl ttrig ist Die Analysis situs spielt hier eine entscheidende Rolle connexit de gu Sl n C en crivant les l ments sous la forme u eu o u est un l ment de gu et E une matrice diagonale l id e est donc ici encore d utiliser une repr sentation param trique par les angles apparaissant dans la matrice e La non unicit de cette repr sentation le long d un chemin ferm n cessite une tude plus d taill e au voisinage des matrices singuli res dans lesquelles les valeurs propres ne sont pas toutes distinctes Nous n entrons pas plus avant dans les arguments de Weyl lui m me tant assez allusif il nous suffit de conna tre les grandes lignes d un raisonnement que nous verrons repris un niveau d abstraction plus lev dans le cas des alg bres semi simples abstraites Avant de passer un cas si g n ral Weyl indique d s 1924 la g n ralisation de sa d monstration aux classes usuelles de groupes semi simples celle du groupe complexe Komplexgruppe des transformations lin aires complexes conservant une forme bilin aire antisym trique non d g n r e Sp n C donc et celle du groupe des rotations Drehungsgruppe en un nombre pair ou impair de variables transformations lin aires complexes conservant une forme quadratique non d g n r e SO n C donc Dans chacun des cas
115. rs origines ne sont pas infiniment voisines Cartan 1922c 671 Par del la proximit th matique et les nuances de formulations importantes pour notre propos dans l introduction par Weyl et Cartan aux probl mes g om triques sugg r s par la th orie de la relativit g n rale on doit relever un commun changement de regard sur les objets de la g om trie diff rentielle Pour motiver l introduction de la notion de connexion infinit simale Cartan apr s Weyl insiste sur l association chaque point d une vari t d un espace propre et ayant une g om trie connue celle d un simple espace affine centr espace vectoriel ou d un espace vectoriel muni d une forme quadratique non d g n r e etc Le probl me est moins celui de la nature de ces espaces l mentaires attach s chaque point Cartan et Weyl divergeront d ailleurs de mani re importante sur ce point que celui de les liens qui peuvent s tablir entre les espaces attach s des points diff rents Ce nouveau point de vue cherchant articuler un premier espace une vari t une collection d espaces tous du m me type associ au premier s carte des conceptions plus usuelles en g om trie diff rentielle intrins que dans lesquelles l espace que constitue la vari t est le seul envisag Dans cette conception plus traditionnelle la g om trie est diff rentielle parce que les changements de coordo
116. rsit Paris 7 Chorlay R para tre From Problems to Structures the Cousin Problems and the Emergence of the Sheaf Concept Archive for History of Exact Sciences para tre Chorlay R para tre Math matiques globales L mergence du couple local global dans les th ories g om triques 1851 1953 coll Sciences dans l Histoire Librairie Albert Blanchard Paris A para tre Fano G 1907 Kontinuirliche geometrische Gruppen Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip Encyclop die 11 1 1 1907 1910 p 289 388 Goldstein C 1999 Local et global Dictionnaire d histoire et de philosophie des sciences D Lecourt dir PUF Paris 1999 p 571 575 Gray Jeremy ed 1999 The Symbolic Universe Geometry and Physics 1890 1930 Oxford UP Oxford 1999 Hadamard J 1912 L uvre math matique de Poincar Acta Mathematica 38 1921 p 203 287 Hawkins T 2000 Emergence of the Theory of Lie Groups An Essay in the History of Mathematics 1869 1926 Springer NY 2000 Hopf H 1925 ber Zusammenh nge zwischen Topologie und Metrik von Mannigfaltigkeiten Dissertation Friedrich Wilhelms Universit t Berlin 1925 Hopf H 1926 Zum Clifford Kleinschen Raumproblem MA 95 1926 p 313 339 Hurwitz A 1897 ber die Erzeugung der Invarianten durch Integration G tt Nachr 1897 p 71 90 Katz V 1979 The History of Stoke s Theorem Mathematics Magazine 52 1979 p 146 156 Katz V 1981
117. s abus de langages et des incorrections Nous montrerons enfin que sur la p riode 1925 1930 l volution des horizons probl matiques ne suit pas exactement la m me chronologie que celle des canons d critures Sur la forme nous proc derons donc une pr sentation chronologique en cherchant caract riser les moments successifs de cette r organisation d ensemble l approfondissement de la g om trie infinit simale 1922 1925 le tournant de 1925 l apprivoisement des questions globales et la refonte didactique 1926 1930 On con oit qu on ne pourra esquiver une part de technicit math matique du moins sur certains points n cessaires notre d monstration L attention l volution des canons d criture imposera aussi le recours r gulier au texte original pour rep rer l volution du lexique ou l apparition de structures syntaxiques telles par exemple tre localement propri t Un dernier point doit tre signal autant cet article est con u pour qu un lecteur ne sachant rien du travail d lie Cartan puisse le lire autant la comparaison r guli re et n cessaire avec les travaux de Hermann Weyl n cessite une certaine familiarit avec l uvre de ce dernier Nous pr senterons assez en d tail son travail de 1925 sur la repr sentation lin aire des alg bres de Lie semi simples complexes pour le reste nous invitons le lecteur se reporter aux travaux de r f rence de Eh
118. s aux groupes de Lie Nous devons donc dans un premier temps entrer un peu dans l architecture de preuve mise en place par Weyl pour comprendre l irruption inattendue de questions globales en th orie des groupes de Lie Weyl d cloisonne ici deux th ories celle de l uniformisation avec sa notion de rev tement celle des groupes et alg bres de Lie dont il s tait d j rendu ma tre Cartan est dans une situation bien diff rente il excelle dans 17 Cette critique fort int ressante Study 1908 est analys e dans Hawkins 2000 p 448 450 ainsi que dans Chorlay 2007 p 379 386 o de larges extraits sont traduits de l allemand plusieurs th ories toutes implicitement locales Sa r action aux articles de Weyl prudente dans un premier temps conduit la fin de 1925 a un premier petit texte dans lequel les perspectives globales semblent devoir r organiser compl tement l approche de la g om trie diff rentielle dans ses probl mes comme dans son mode d criture 2 1 Introduction de la polarit local global en th orie des groupes de Lie Weyl 1924 1925 Port par des travaux de g om trie diff rentielle largement indiff rents aux questions globales Weyl est amen par son analyse du probl me de l espace vers l tude des alg bres de Lie et de leurs repr sentations lin aires Dans une s rie d articles de 1924 1925 qui va modifier tout le faci s de la th orie des groupes de Lie TT
119. s diff rentielles que nous disons ferm es et rappelle la d finition de l ind pendance de telles formes h int grales de diff rentielles exactes sont ind pendantes si aucune combinaison lin aire coefficients constants non nuls n est la d riv e ext rieure d une forme de degr moindre on d finit de m me l quivalence des formes Lorsque l espace est homog ne sous l action d un groupe compact il est alors isogene dans la terminologie introduite par Cartan le proc d de moyennage h rit de Hurwitz permet Cartan d tablir le lien entre formes diff rentielles ferm es et invariants int graux D apr s le premier th or me toute int grale de diff rentielle exacte est quivalente un invariant int gral D apr s le second th or me tout invariant int gral quivalent z ro r sulte de la d rivation ext rieure d un invariant int gral de degr moindre d une unit Cartan 1929 1093 Si nous reformulions nous dirions que Cartan tablit que dans le cas compact les dimensions des espaces de cohomologie des formes diff rentielles si ces espaces sont de dimensions finies sont celles des R espaces vectoriels de formes invariantes dont on a vu que leur d termination est un probl me purement alg brique Le passage la topologie n cessite une deuxi me tape pour laquelle Cartan s appuie sur une conjecture Th or me A Etant donn es h int grales de diff rentielles exacte
120. s lin airement ind pendantes de degr p on peut trouver h vari t s ferm es p dimensions V vil w telles que le tableau carr des valeurs des h int grales tendues ces h vari t s ait son d terminant diff rent de z ro Cartan 1929 1097 Un tel r sultat sur l accouplement naturel par int gration des espaces de cohomologie des formes ferm es et d homologie des sous vari t s permettrait de minorer le nombre de Betti en r solvant le probl me alg brique relatif aux invariants int graux tablissant ainsi pour les espaces isog nes en particulier les groupes de Lie compacts un lien non trivial entre leur topologie et la structure infinit simale du groupe Cette conjecture est le point de d part de la th se de G de Rham sur L Analysis situs des vari t s n dimensions soutenue en 1931 2 Dans un petit texte sur Quelques souvenirs des ann es 1925 1950 de Rham rapporte A c t du Coll ge o j enseignais se trouvait la petite biblioth que de l Ecole d ing nieurs o je pouvais jeter un coup d oeil sur les Comptes Rendus de l Acad mie des Sciences Un jour ce fut la chance de ma vie je tombai sur la Note d lie Cartan intitul e Sur les nombres de Betti des espaces de groupe clos signalant quelques probl mes d Analysis situs dont il montrait la grande importance mais qui n taient pas r solus Rham 1981 658 Signalons un breve apparition du theme du passage a
121. s sym triques Il offre une premi re synth se de cette moisson de r sultats globaux dans sa monographie de 1930 sur La th orie des groupes finis et continus et l Analysis situs Cartan 1930 Nous souhaitons montrer que cette lecture d un pass pourtant proche est anachronique sur un point fondamental et masque par l m me une question historique d importance cette lecture repose sur une organisation syst matique des connaissances math matiques selon un couple local global qui n est pas celle des travaux d Elie Cartan jusqu en 1925 une organisation syst matique qu Elie Cartan par son travail de recherche et de p dagogie contribue faire merger dans la p riode 1925 1930 L organisation d une partie de l univers math matique exposer ou conqu rir autour du couple local global ne consiste pas en la juxtaposition d un grand nombre d l ments dont la quantit et les points communs manifestes susciteraient naturellement une grille de lecture en terme de local et de global Les l ments ne suscitent pas spontan ment le cadre ni n en rel vent par nature Les textes porteurs d une nouvelle grille n enregistrent pas passivement ils organisent activement par la s lection des l ments leur ordre le type de d monstration choisi le mode d emploi des outils les plus techniques les grands probl mes d sign s un univers math matique dont l tude historique
122. si cette ind pendance peut tre conserv e en relativit g n rale et au lien avec la notion de torsion 1 3 Espace s g om trie s 1 3 1 L espace tangent comme espace attach Dans RZM Weyl non seulement reformulait la r cente notion g om trique de transport parall le sur une vari t munie d un ds mais autorisait dans l infiniment petit les similitudes et non plus seulement les isom tries 1l introduisait ainsi la sym trie de jauge et une nouvelle courbure Streckenkr mmung Il enrichissait par l le jeu des structures possibles sans sortir d un cadre structur par la notion d invariance et le couple infinitesimal fini Cartan pour sa part continue a exploiter les possibilites offertes par la formulation en termes de repere mobile pour proposer au del des espaces connexion affine ou euclidienne une vaste g n ralisation de la notion d espace pour reprendre le titre d un article de 1924 On va voir comment sa description des g om tries et le mode original de formations d espaces consistant attacher chaque point d une premi re vari t un espace de g om trie donn e contribue enrichir la notion de vari t sans faire intervenir de notion topologique ou de question globale En particulier rien dans ce qu crit Cartan propos de cet attachement n voque l opposition entre une structure localement triviale sur la base la structure d un produit et
123. simples usuels Une preuve purement alg brique ein rein algebraischer Beweis de la complete r ductibilit dans ces cas op rant l int rieur du groupe infinit simal demeure souhaitable Weyl 1924a 224 Weyl l appelle de ses v ux semble nous dire Cartan je le fais S1 l argument alg brique dispense Cartan de l tude des classes d homotopie de chemins dans le domaine du groupe l architecture g n rale de la preuve ne peut se dispenser d un travail global proche de celui de Weyl sur des points essentiels En particulier les deux d monstrations reposent sur l tude de l application exponentielle le lien entre G et T est obtenu en comparant les applications exponentielles depuis leur alg bre de Lie commune et les questions d injectivit et de surjectivit jouent le r le fondamental Le but est atteint lorsque l tude des deux applications exponentielles ce que Cartan nomme la repr sentation sous la forme canonique e permet d tablir la relation suivante entre ces trois espaces Il y a donc une infinit de formes canoniques pour une m me substitution e de G mais il n y a en revanche qu un nombre fini k de substitutions canoniques distinctes e correspondant une substitution g n rale T du groupe adjoint Cartan 1925d 544 Notre objectif n est pas ici de pr senter toute la preuve de Cartan mais de consid rer les outils mis en uvre pour obtenir le r sultat que nous ven
124. ssi ferm et de volume fini les int grales de Hurwitz conduisant la d monstration de compl te r ductibilit de ses repr sentations lin aires Cartan r sume un peu vite en disant que le domaine de G ne peut recouvrir qu une seule fois le domaine de G si Weyl a tabli la simple connexit dans le cas sp cial lin aire il a aussi tabli que le rev tement universel du groupe des rotations est deux feuillets ouvrant d ailleurs la voie une interpr tation des repr sentations spinorielles que Cartan avait trouv es mais comme repr sentations de l alg bre de Lie du groupe des rotations Cartan pr sente son projet sous les auspices d une double g n ralit son r sultat s appliquant tous les groupes semi simples et tant tabli pour tous en m me temps par une unique m thode g n rale Exactement comme le fait Weyl au m me moment le groupe sp cial param tres r els sp cifique chaque cas est remplac dans l tude g n rale par la forme r elle du groupe adjoint que Cartan nomme ici le groupe de comparaison dont les travaux ant rieurs de Cartan montrent la compacit puisqu il conserve la forme d finie n gative W2 Cartan et Weyl diff rent toutefois dans la deuxi me phase celle concernant le lien fini entre le groupe donn G et le groupe de comparaison I la o Weyl utilise l Analysis situs Cartan utilise l algebre les racines de l quation caract
125. st pass quelque chose pour Veblen entre 1927 et 1931 Chorlay 2007 chapitre 13 3 2 2 Le cours de Cartan de 1930 Cinq ans apr s la conf rence de 1925 la pr face de la monographie La th orie des groupes finis et continus et l Analysis situs Cartan 1930 est de nouveau un manifeste pour les questions globales apr s avoir voqu l usage de la topologie en th orie des groupes de Lie chez Hurwitz Weyl Schreier et Poincar Cartan reformule sur un plan plus g n ral ce que ces travaux ont en commun Dans tous ces travaux qui part ceux relativement r cents de H Weyl et O Schreier sont rest s isol s les groupes finis et continus sont tudi s dans leur domaine entier d existence et non pas seulement avec S Lie au voisinage de la transformation identique ce sont des tudes int grales et non locales Le but de ce Fascicule est de passer en revue en se pla ant au point de vue int gral un certain nombre de probl mes fondamentaux que pose la th orie des groupes Cartan 1930 1166 Ceci appelle deux remarques Premi rement c est bien sur le couple local global que porte le commentaire de Cartan et non plus simplement sur le r le d une discipline l Analysis situs en th orie des groupes de Lie l interaction entre disciplines qui seule jusque la tait comment e par Cartan est ramen e une fondamentale dualit de points de vue sur les objets de la th orie o
126. structure de courbe analytique complexe que Weyl donnait en 1913 dans son dee de Surface de Riemann mais il tait dans ce contexte th orique l h ritier de soixante ans de recherches globales Cette mise en place conceptuelle de la notion de vari t est absente chez Cartan dans les textes de 1922 1925 sur la g n ralisation de la notion d espace une raison en est sans doute que le choix central du calcul sur les formes diff rentielles le dispense de v rifier syst matiquement l intrins qu it de toutes ces constructions l ind pendance des op rations alg briques et diff rentielles de ce calcul envers le choix des variables a t tablie une fois pour toute dans son cours sur les invariants int graux Cartan ne prend pas m me la peine de la rappeler ici Cartan 1922a 65 Par ailleurs on a d j soulign que la formule de Stokes jouaient un double r le de l gitimation du calcul sur les formes diff rentielles et de lien vers un domaine d interpr tation g om trico physique des formules sans aucune intervention de questions topologiques cette formule est d ailleurs utilis e indiff remment au niveau infinit simal et dans le fini et cette relative indiff rence se con oit bien dans la mesure o cette formule est plus un moyen d illustration qu un r el outil d tude de la situation math matique Enfin on pourrait se demander dans quelle mesure le choix du calcul diff rentiel ext rieur comme o
127. t est chez Cartan d emploi constant sans y tre jamais d fini Il l tait tr s rapidement dans Espace Temps Mati re de Weyl qui tenait toutefois pr senter la notion de changement de coordonn es locales et le r le de l hypoth se de diff rentiabilit des changements de carte Avec nous l avons soulign des distinctions lexicales pr sentes chez Weyl et absentes chez Cartan 12 Avec ici encore des diff rences que nous avons voqu es entre Weyl et Cartan en particulier sur le r le de la th orie de Maxwell 3 Mais il n est pas n cessaire d exiger que toute la multiplicit avec tous ses l ments soit repr sent e univoquement et r ciproquement par les syst mes de valeurs des coordonn es par exemple cela est exclu pour la sph re mais il faut que si P est un l ment de la multiplicit il existe un voisinage de P qui puisse tre repr sent univoquement r ciproquement et d une mani re continue par les syst mes de valeurs de n Le but de Weyl n tait pas alors de mettre en place une opposition entre approches locale et globale plus classiquement Weyl devait mettre l accent sur la non unicit de la repr sentation analytique locale pour introduire les grandeurs tensorielles et les probl matiques d invariance et d intrins qu it Cette pr sentation contraste de mani re radicalement avec la d finition axiomatique des vari t s bidimensionnelles munies d une
128. t nouveau que va jouer encore la notion de groupe dans les g om tries nouvelles Cartan 1925b 896 Puis exposant la notion de groupe d holonomie dans le cas euclidien ou riemannien vu comme l euclidien non holonome Le groupe d holonomie d un espace mesure en quelque sorte le degr de non holonomie de cet espace de m me que le groupe de Galois d une quation alg brique mesure en quelque sorte le degr d irrationalit des racines de cette quation Cartan 1925b 897 La th orie de Cartan permet donc de fondre dans un m me cadre largi les conceptions de la g om trie de Klein et de Riemann On pourrait dire que Klein propose une vision globale des espaces l o Riemann fait alterner les aspects infinit simaux et finis en un sens infinit simaux et locaux Mais on voit que ce n est pas le couple local global ou le triplet infinitesimal local global qui est mobilis par Cartan pour d crire cette jonction des points de vue Le caract re global du point de vue de Klein est d crit en termes d homog n it puis en parlant de l espace comme d un tout organique mais on le voit dans l article sur Les vari t s connexions affines ou d j en 1915 c est le groupe qui fait l unit l espace sur lequel le groupe agit n est pas tudi dans ses aspects globaux en particulier topologiques On voit que c est encore la notion de groupe qui sert d unificateur pour unifier les points de vu
129. tablir le lien partir de 1924 25 chez Cartan entre la th orie des espaces g n ralis s et les questions de repr sentations lin aires 1rr ductibles des alg bres de Lie classiques Dans cette deuxi me partie de l article Sur les vari t s connexion affine une note de Cartan fait explicitement r f rence un travail r cent de Weyl sur la question Au moment de la r daction de ce M moire d cembre 1922 je regardais comme tr s vraisemblable mais sans en avoir la d monstration le th or me d apr s lequel tout tenseur attach un groupe lin aire simple ou semi simple est d composable en tenseurs 1rr ductibles M H Weyl a r ussi tout r cemment d montrer cet important th or me Das Gruppentheoretische Fundament der Tensorrechnung G tt Nachr 19241 voir aussi Zur Theorie der Darstellung der einfachen continuirlichen Gruppen Sitzungsb Berlin 1924 p 338 345 Cartan 1925e 934 La suite de l article de Cartan pr sente et prolonge ces travaux de Weyl 1 4 2 Le groupe d holonomie Cette deuxi me partie de l article Sur les vari t s connexion affine contient aussi l introduction d taill e du groupe d holonomie dans les cas affines et euclidiens mais nous nous appuierons plut t sur un texte strictement contemporain de la r daction de cet article la conf rence que Cartan donne en ao t 1924 au Congr s international de Math matiques de Toronto sur La th orie des groupes et les rech
130. te avec les g n rateurs infinit simaux des groupes continus Il choisit de mettre au premier plan des l ments que l on verra porteurs partir de 1925 de d veloppements globaux Pour l heure c est la possibilit de repr senter un espace V dans l espace E le long d un chemin dans V qui est mise en avant Ainsi dans le cas euclidien 10 Ainsi propos de la notion de parall lisme Ce serait restreindre sa port e que de n y voir comme on l a fait en g n ral qu un proc d de comparaison de vecteurs issus de deux points infiniment voisins il faut y voir au contraire un moyen d introduire dans un espace de Riemann toute la gamme des d placements de l espace euclidien du moins en ce qui concerne les effets qu ils produisent dans une r gion infiniment petite de l espace Cartan 1925b 894 Comme on le voit la notion de parall lisme de M Levi Civita permet d assimiler un vrai espace euclidien ou du moins une portion de cet espace toute la r gion d un espace de Riemann qui avoisine un arc de courbe AB trac dans l espace donn Cartan 1925b 894 Le terme avoisine tant bien s r entendre ici au sens infinit simal La diff rence entre l espace de d part et un simple espace euclidien n est plus d crite au moyen de la courbure comme elle l tait depuis Riemann et encore dans la premi re partie de Sur les vari t s connexion affine mais par le fa
131. tiformit Les notations ont chang les groupes sont d sign s par les g leurs alg bres de Lie par les g A partir d une repr sentation du groupe infinit simal g n 1 param tres r els on obtient par int gration suivant Lie la matrice associ e T pour tous les tr de gu appartenant un certain voisinage Umgebung de l l ment unit e Mais si l on choisit un dans ce voisinage on peut prolonger la repr sentation au voisinage de to sur lequel est appliqu le voisinage initial par la translation de e vers fo On voit bien que le processus de prolongement it rer ne rencontre jamais de fronti re mais T n est pas n cessairement univoque sur gu mais seulement sur une figure de recouvrement berlagerungsgebilde se prolongeant sans ramification ni fronti re au dessus de gu Je dit d une figure qu elle est simplement connexe si toute courbe continue ferm e peut sur elle tre contin ment contract e en un point La plus forte des figures de recouvrement non ramifi es non limit es au dessus d une figure donn e la surface de rev tement universel qui joue un si grand r le en th orie de l uniformisation est simplement connexe Cette figure de recouvrement universelle gu au dessus de g est le v ritable groupe abstrait dont on tudie les repr sentations gu n est qu une de ses repr sentations et en v rit une repr sentation raccourcie et non homomorphe lorsque la figure de rev
132. tous types courbure au sens de Riemann torsion courbure d homoth tie lorsque avec Weyl on passe du groupe des isom tries relatives un ds au groupe des similitudes courbure d lation dans le cas conforme Cartan 1922e 624 etc De ce cadre g n ral d coulent les tudes particuli res men es par Cartan dans cette p riode le th or me de Weyl montrant l unicit de la connexion affine sans torsion pour le dire dans le vocabulaire de Cartan compatible avec un ds ou plus g n ralement une m trique au sens de Weyl donne un premier mod le de probl mes La possibilit de d finir les g od siques pour d autres structures que les structures riemanniennes en fournit un second ainsi dans le rapprochement entre connexions conformes et propri t s optiques de l espace de la relativit g n rale Cartan 1822e 626 On doit insister sur le fait que la conception de Cartan de ce qu est une g om trie ne laisse pas de place pour les questions globales non seulement la vari t des observateurs n est consid r e que localement ventuellement le long de chemins mais alors deux chemins reliant les m mes points sont toujours implicitement suppos s former le bord complet d une surface mais ni la vari t des param tres ce que nous appelons le groupe de Lie G ni l espace E ne sont consid r s globalement Lorsque Cartan attache par la pens e des espaces affines ou projectifs en chaque p
133. transformations singuli res est r ductible un point par d formation continue les deux premiers nombres de Betti sont donc nuls Il passe ensuite au lien g n ral entre nombres de Betti et invariants int graux la note de 1928 est un peu allusive mais on trouve les r sultats d taill s en 1929 dans le cas plus g n ral des espaces homog nes sous l action d un groupe compact c est l article Sur les invariants integraux de certains espaces homog nes clos et les propri t s topologiques de ces espaces Cartan 1929 Cartan commence par rappeler la d finition d un espace homog ne et montre que si g est le stabilisateur d un point quelconque et y l ensemble des transformations du groupe adjoint correspondant celles de g le probl me transcendant consistant en la recherche des invariants int graux 1 e des formes diff rentielles invariantes sous l action du groupe est enti rement traitable comme un probl me alg brique celui de l tude des formes ext rieures et non plus diff rentielles ext rieures invariantes sous l action de y Ces aspects deviennent triviaux si on se place directement sur la vari t du groupe Pour faire le lien avec la topologie il faut lier encore les nombres de Betti aux espaces vectoriels de formes diff rentielles et tudier le r le des formes diff rentielles invariantes parmi les formes diff rentielles Cartan appelle int grale de diff rentielle exacte les forme
134. trement dit l isomorphisme des alg bres de Lie Dans une s rie de notes de 1927 le vocabulaire n est plus celui d avant 1925 mais pas encore ce qui se fixera dans la monographie de 1930 sur la topologie des groupes de Lie Ainsi dans Sur les geodesiques des espaces de groupes simples Cartan 1927g le titre indique clairement un th me de recherche tributaire du Gestalt switch de 1925 La note s ouvre toutefois sur un rappel des quatre grandes classes d isomorphie de groupes d alg bres simples et pr cise ensuite propos des espaces de groupes Tous ces espaces sont courbure riemannienne positive ou nulle Ils peuvent admettre plusieurs formes distinctes dont l une est simplement connexe Cartan 1927g 661 Groupe et isomorphisme renvoient donc encore aux groupes infinit simaux et aux classifications des structures l espace du groupe est un objet qui n est pas d fini univoquement et l on peut lire le titre de la note en comprenant qu chaque groupe sont associ s plusieurs espaces de groupes de formes i e de topologie globale distinctes On peut associer cette famille des figures de transition la conf rence de 1926 l Association pour l Avancement des Sciences Cartan 1926a Cartan y appelle encore homog ne ce que nous nommerions un espace de Riemann localement homogene mais choisit d tudier le lien topologique entre deux espaces rie
135. u global dans la correspondance entre Cartan et Einstein sur le parall lisme absolu Cartan Einstein 1979 Si cette apparition est significative pour la question qui nous int resse ici elle est marginale dans cet change Einstein est surtout demandeur d outils de classification des syst mes d quations aux d riv es partielles il cherche avant tout des crit res pour s lectionner parmi les candidats sans courbure Fernparallelismus donc celui qui incarne le plus vraisemblablement la th orie unitaire recherch e Cette correspondance de 1929 1932 concerne donc essentiellement la th orie de Cartan des syst mes en involution et de leur indice de g n ralit Dans sa recherche de conditions imposer au syst me pour s lectionner le bon candidat Einstein voque un moment la conditions suivante Jr is now my belief that for a serious and rigourous field theory one must insist that the field be free of singularities everywhere Cartan Einstein 1979 937 La r ponse de Cartan lui donne l occasion d voquer la nature globale de cette question qui ne semblait pas soup onn e par Einstein En ce qui concerne les solutions sans singularit la question est extr mement difficile me semble t il En r alit il y a deux questions en apparence ind pendantes mais en r alit intimement li es l une l autre 1 Quel est au point de vue de l Analysis situs l espace ou le continuum dans lequel nous vou
136. u groupe d holonomie est beaucoup plus riche la non connexit le caract re mixte zs de nombreux groupes tait bien connu on le voit dans l article de l Encyclop die de 1915 mais cette non connexit n tait r v latrice d aucune information pertinente ni g n rale propri t presque accidentelle de tel ou tel groupe elle n enseignait rien Il en va tout autrement lorsque Cartan montre que le caract re mixte du groupe d holonomie traduit par son aspect continu i e la composante connexe de l identit des informations sur la g om trie infinit simale et par son aspect discontinu des informations sur les propri t s d Analysis situs de l espace Le point de vue universellement local est la fois cong di syntaxiquement par l appropriation de tournures du type tre localement propri t et saisi r trospectivement comme un manque voir Cartan ne d couvre ni n invente la topologie mais quelque chose de fondamental dans son regard sur les math matiques a chang les aspects globaux n taient pas sciemment laiss s de c t ils taient tout simplement au del de l horizon dans un univers structur par le couple infinitesimal fini apr s Weyl la ligne d horizon s est d plac e 7 Rappelons la terminologie de Lie entre les groupes discontinus par exemple le groupe des translations engendr par une translation non infinit simale et les groupes
137. ue ce cadre et ce mode d criture ne d coule ni du choix des outils les m mes seront utilis s dans les tudes globales apr s 1925 ni d une ignorance des questions globales ou du r le de la topologie pour assurer ce dernier point nous largirons le champs des textes tudi s en convoquant l article de 1915 Cartan 1915 sur les groupes en g om trie ainsi que le cours sur les invariants int graux de 1922 Cartan 1922a 1 1 Une p dagogie de l exclusivement local Les termes dans lesquels Cartan pr sente la nouvelle conception de la physique plus pr cis ment de la M canique et la n cessaire volution du cadre g om trique accompagnant cette nouvelle M canique sont proches de ceux de Weyl ou d Einstein Ainsi dans la premi re note aux C R A S lit on en introduction On sait que dans la th orie de la relativit g n ralis e le tenseur qui caract rise compl tement l tat de la mati re au voisinage d un point d Univers est identifi un tenseur faisant intervenir uniquement les propri t s g om triques de l univers au voisinage de ce point Cartan 1922b 613 La nature locale des d pendances n est que la cons quence d une formulation infinit simale des probl mes et des structures le voisinage tant vite remplac par un voisinage imm diat au sens clairement infinit simal Imaginons un espace qui au voisinage imm diat de chaque point ait tous les caract r
138. uffisent pas formuler la question exacte du fondement du calcul tensoriel En effet fait remarquer Weyl les grandeurs lin aires qui se pr sentent en physique sont des tenseurs soumis donc aux repr sentations lin aires compos es de g et de puissances de la repr sentation Theorie der Darstellung kontinuirlicher halbeinfacherGruppen durch lineare Transformationen Weyl 1925 contragr diente associ e soumis des conditions de sym trie outre le nombre de composantes ce sont les conditions de sym tries qui d finissent un type de grandeur Gr enart lin aire Weyl 1924a 461 conditions de sym tries qui renvoient elles m mes la th orie de Frobenius des repr sentations lin aires des groupes de sym trie S Chaque type de tenseur d termine donc une repr sentation lin aire de g et la deuxi me conjecture fondamentale est ou neiste d autres grandeurs lin aires que les tenseurs Weyl 1925 546 Pour d montrer la validit des deux conjectures Weyl va nouer ensemble diff rents fils Weyl 1925 547 celui de la th orie des Frobenius Young celui de la th orie de Cartan des repr sentations irr ductibles des alg bres de Lie semi simples celui enfin de la m thode de formation d invariants par int gration sur un groupe de Lie cette m thode inaugur e par Hurwitz Hurwitz 1897 Weyl l apprend dans les publications de Schur du d but des ann es 20 La gageure consiste dans le rapprochement des
139. une structure globalement non triviale du point de vue topologique Bien plus on verra que le dispositif th orique ne peut m nager aucune place pour les interrogations globales relatives la nature des espaces attach s si la vari t de base est elle saisie de mani re implicitement locale l vocation des espaces attach s sert avant tout donner un contenu g om trique des formules relatives des familles diff rentiables de transformations infinit simales d un groupe de Lie donn Dans l article Sur les vari t s connexions affines la question de l attachement d un espace un autre est voqu e d s le cas affine et l on voit Cartan y pr ciser sa conception de l espace tangent en un point d une vari t Citons int gralement le paragraphe tr s riche dans lequel est pr sent e l id e g n rale de connexion affine Consid rons maintenant une vari t num rique trois dimensions dont chaque point m est suppos d fini par trois nombres u u u Faisons correspondre par la pens e chaque point m un espace affine contenant ce point et soient eu trois vecteurs formant avec m un syst me de r f rence pour cet espace La vari t sera dite connexion affine lorsqu on aura d fini d une mani re d ailleurs arbitraire une loi permettant de rep rer l un par rapport l autre les espaces affines attach s deux points infiniment voisins quelconques
140. uppen so gibt es eine mit beiden im kleinen isomorph Gruppe R so da R und R mit den Faktor L Gruppen diskreter Normalteiler von R stetis isomorph sind Sind umgekehrt R R mit den Faktor L Gruppen diskreter Normalteiler einer kontinuirlichen Gruppe R stetig isomorph so sind sie auch isomorph im kleinen Definition 8 Die kontinuirliche Gruppe R hei t eine berlagerungsgruppe der kontinuirlichen Gruppe R oder auch der Klasse von R wenn jede mit R im kleinen isomorphe Gruppe mit der Faktor L Gruppe eines diskreten Normalteilers von R stetig isomorph ist moyen plus que l objet d tude m me par ailleurs les travaux issus de l cole de Lie semblent la fois trop loin des crit res modernes de rigueur et si riches qu ils semblent avoir puis les questions qu ils se posaient L objectif de l expos est on le devine de combattre cette impression g n rale nous n y relevons que quelques points en passant Il commence par une relecture de la pr sentation la Lie un groupe de transformation tant donn par des quations de la forme X E oO hr En soulignant que dans ce cadre le produit et l inverse ne sont d finis qu au voisinage de l identit il propose que la structure d finie ainsi ne se nomme plus un groupe mais un germe de groupe Gruppenkeim r param tres Schreier 1928 114 Peut tre moins profond mais non moins significatif d une volution des syst mes d
141. ut montrer que l introduction de ce concept est signe d une volution r cente du regard sur la g om trie diff rentielle Ainsi le trait de 1932 se donne t il pour objectif principal de mettre en place un cadre axiomatique autour des notions de pseudo groupe et de vari t diff rentiable permettant la rencontre des questions traditionnelles de g om trie diff rentielle que nos auteurs appellent justement g om trie infinit simale et d Analysis situs On pourrait s attendre ce que cet objectif ait t poursuivi depuis longtemps par Veblen qui dans les ann es 1920 m ne concurremment des travaux de topologie et de g om trie diff rentielle des espaces g n ralis s On peut montrer qu il n en est rien les deux familles de recherches ne communiquaient pas chez Veblen dans les ann es 1920 les exemples qu il utilise en 1932 pour justifier l ambition de synth se sont tir s des travaux de Hopf et de Cartan Lorsqu en 1927 Veblen publie une monographie sur les invariants des formes quadratiques Veblen 1927 il le r dige encore dans le style implicitement local et nomme groupe des familles de transformations qu il nommera pseudo groupes en 1932 en 1932 il signale que sa terminologie de 1927 tait fautive This corrects an error is Q F Chap II 2 where it is stated that the set of co rdinate transformations is a group Veblen et Whitehead 1932 40 De m me que pour Cartan autour de 1925 il s e
142. util privil gi invite une attention au global dans la mesure o la condition d int grabilit O n est valide que localement On trouve encore la r ponse dans le cours sur les invariants int graux Il n y est pas distingu des formes ferm es et parmi elles des formes exactes seule la notion de forme exacte intervient caract ris e par l annulation de la d riv e ext rieure Dans le chapitre VII de ces Le ons Cartan d montre le th or me important La d riv e de la d riv e d une forme diff rentielle ext rieure quelconque est identiquement nulle Cartan 1922a 71 coordonn es Si x est un syst me de n coordonn es x un autre les valeurs des coordonn es x et x du m me l ment sont li es par des relations 3 Xi f 2x2 x i 1 2 n qui sont r solubles par rapport aux x et o les f sont continues Tant que nous ne savons rien de plus sur la multiplicit nous ne sommes pas en tat de distinguer un syst me de coordonn es d un autre Pour l tude analytique d une multiplicit continue quelconque il est n cessaire d chafauder une th orie de l invariance vis vis de toutes les transformations de coordonn es de la forme 3 Weyl 1922b 73 Puis il passe la r ciproque Ce th or me admet une r ciproque savoir Si la d riv e d une forme diff rentielle Q est nulle la forme Q peut tre regard e comme la d riv e d
143. vant de voir en quoi ces outils permettent a Cartan de multiplier les structures d espace en jouant sur la multiplicit des alg bres de Lie On est frapp en lisant en parall le RZM et Les vari t s connexion affine par l absence chez Cartan d outils qui semblaient essentiels chez Einstein et Weyl Certes Weyl introduisait des l ments de calcul sur les formes diff rentielles sur les vari t s abstraites et signalait son ind pendance envers une ventuelle structure m trique Ces l ments ne jouaient toutefois ni un r le central ni un r le bien sp cifiquement caract ris dans l architecture de la th orie Les notions de tenseur et le calcul diff rentiel absolu tenaient elles le premier r le De son c t Cartan annonce d s son introduction La lecture du M moire ne suppose pas la connaissance du calcul diff rentiel absolu en revanche elle suppose connues les r gles fondamentales du calcul des int grales multiples en particulier celles qui font passer d une int grale tendue un domaine ferm l int grale tendue au domaine une dimension de plus limit par le premier Au fond les lois de la Dynamique des milieux continus et celles de l Electromagn tisme s expriment par des quations analogues la formule de Stokes o cette formule g n ralis e Cartan 1923 663 Cartan rompt ici non seulement avec Weyl mais aussi avec l esprit original des formulations einsteiniennes qui
144. vidence alors que Schreier fait dispara tre toute marque graphique indiquant le statut m taphorique des termes im Kleinen ou im Gro en il ne peut parler de groupe infinit simal sans mettre de guillemets Schreier 1928 116 La plus grande part de l expos est consacr e au r sum des travaux r cents de Weyl Peter Weyl et Cartan en th orie de la repr sentation travaux que Schreier ne pouvait conna tre au moment de son premier expos au s minaire de Hambourg en janvier 1925 Schreier termine en faisant le lien avec les travaux de Hopf sur les points fixes des applications entre vari t s ferm es i e compactes et il en d duit la nullit de la caract ristique d Euler Poincar des vari t s de groupe Gruppenmannigfaltigkeit ferm es la question g n rale de la caract risation des vari t s de groupe par des propri t s topologiques est soulev e Signalons deux points qui sans avoir directement trait l volution court terme des cadres th oriques et rh toriques chez lie Cartan permettent de mieux cerner le contexte de P mergence de la polarit local global dans les ann es 1920 Le fait que le travail de Schreier soit men Hambourg n est sans doute pas indiff rent le ma tre des lieux Wilhelm Blaschke est notre connaissance le premier avoir choisi de structurer une monographie de r f rence en g om trie diff rentielle autour d un balancement syst matique entre
145. vue des fonctions analytiques Ses r sultats ne se rapportent en g n ral qu un certain domaine autour d un point et ne peuvent pas cause de la g n ralit m me de la th orie tre tendus tout l espace En particulier la th orie de S Lie ne peut remplacer la th orie alg brique des invariants Cartan 1915 1845 La source de cette discussion des m rites respectifs des th ories alg briques et diff rentielles des invariants est cit e en note infrapaginale c est aux critiques que Study adressait Lie en 14 Ce passage est repris sans modification de l article de Fano 15 Ce passage est repris sans modification de l article de Fano 16 Ce passage est un apport original de Cartan il ne se trouve pas dans l article de Fano 1908 que renvoie Cartan Dans un expos de synth se sur la th orie des groupes et la g om trie Cartan ne peut ignorer ces critiques et elles sont quasiment reprises telles quelles la v h mence en moins du d bat entre Study et Engel Le caract re local est explicite et rapproch du point de vue des fonctions analytiques ce point de vue est qualifi de g n ral on devine que nos auteurs con oivent que des tudes du passage au global con ues classiquement en termes de prolongement analytique et de multivocit sont possibles mais qu elles pr senteraient une infinit des cas particuliers Nos auteurs prennent acte du fait que les critiques de Study o
146. ximal de valeurs propres distinctes du groupe adjoint admet une forme canonique 1 e exponentielle c est sur la th orie des quations diff rentielles que se repose Cartan si l on se donne un chemin reliant dans I parmi les matrices g n rales Cartan a tabli la connexit dans le domaine complexe une matrice To e une matrice T l exponentielle s obtient r solvant un syst me d quations diff rentielles ordinaires et les hypoth ses de g n ralit montrent qu on ne sera jamais arr t dans le prolongement analytique de la solution Cartan 1925d 541 Apr s que cet argument d Analyse a r gl le cas des matrices g n rales du groupe adjoint le cas des matrices non g n rales est r gl par un argument topologique les matrices non g n rales sont limites de matrices g n rales et si l on se borne aux matrices r elles on peut toujours repr senter une matrice r elle g n rale par e o les composantes de S d finissent dans l espace canonique r el un point contenu dans une sph re fixe 2 Cela pos toute substitution non g n rale T pourra rev tir la forme canonique En effet on peut la regarder comme la limite d une matrice g n rale r elle T qu on peut toujours repr senter dans l espace canonique r el par un point int rieur l ensemble de ces points aura au moins un point limite A l int rieur de ou sur 2 et l on pourra poser T e

PASSER AU GLOBAL : LE CAS D`ÉLIE CARTAN, 1922

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