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Dkengne - MASTAT

1. 47 4 1 Mod lisation et pr visions des d bits naturels journaliers par un processus multiplicatif 59 4 3 Mod lisation des d bits moyens mensuels par un mod le de type SARIMA 67 Conclusion g n rale 74 ANNeEXE 75 Bibliographie 1 01 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 11 Table des figures 1 1 Syst me de production hydro lectrique de la Sanaga 24 1 2 Stations hydrologiques de la Sanaga 27 2 1 Evolution des d bits naturels journaliers 30 2 2 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 1988 1994 31 2 3 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 1994 2000 31 2 4 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 2000
2. 64 4 17 Ajustement des d bits y 65 4 18 Courbes des d bits r els et des pr visions 66 4 19 Courbe des d bits moyens mensuels 67 4 20 Autocorr logrammes du processus Y 68 4 21 Autocorr logrammes du processus Z 68 4 22 Diagnostic des r sidus amp 70 4 23 Ajustement des d bits moyens mensuels 71 4 24 4 25 Courbe des d bits journaliers simul s 73 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 13 Liste des tableaux 2 1 D bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga Songmbengu 102 2 2 S rie des d bits moyens mensuels du B V L de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu 75 4 1 Param tres estim s du mod le ARIMA 4 1 1 53 4 2 Param tres estim s du mod le ARIMA
3. Ann e 2001 2002 Ann e 2002 2003 eo S S m courbe r elle 2 M courbe r elle a M courbe pr dite o i courbe pr dite 2 2 8 E 5 TT T T T o 100 200 300 o 100 200 300 jours jours Ann e 2003 2004 Ann e 2004 2005 eo courbe r elle courbe r elle a courbe pr dite Fe Lo courbe pr dite PE 7 5 5 S amp kag e o 100 200 300 o 100 200 300 jours jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 67 4 3 Mod lisation des d bits moyens mensuels du B V I de la Sanaga par un mod le de type SARIMA Nous mod liserons dans cette partie les d bits moyens mensuels correspondants aux d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station hydrologique de Songmbengu Nous pr sentons sur la figure 4 19 obtenue en utilisant la commande C 41 en annexe la courbe de ces d bits moyens mensuels On remarque sur cette courbe que la chronique des d bits moyens mensuels est aussi domin e par les variations saisonni res Consid rons le processus Y dont les observations forment la chronique des d bits moyens mensuels Nous pr sentons sur la figure 4 20 obtenue en utilisant la commande C 42 en annexe le corr logramme et le corr logramme partiel de ce processus L autocorr logramme nous
4. 28 Chapitre 2 Identification et description des donn es 29 2 1 Identification et obtention des donn es 29 22 Description des donn es 30 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Table des mati res 10 Chapitre3 Outils statistiqUes 33 3 1 Mod les d terministes 33 3 2 Un algorithme de mod lisation d une chronique 35 3 3 Mod les stochastiques 38 3 4 M thodologie mod le ARIMA p d q 41 3 4 1 Identification priori et estimation 41 3 42 V rification posteriori et choix du mod le 42 3 5 Un mod le de simulation mod le markoviens du premier ordre 43 3 6 Evaluation d un mod le 44 3 6 1 Erreurs d ajustement et de pr vision 44 3 6 2 Une m thodologie d valuation posteriori d un mod le 45 Chapitre 4 Applications et r sultats
5. nn viii Table des figures 11 Liste des tableaux 13 Introduction g n rale 14 R sum ex cutif 15 Chapitre 1 Contexte et probl matique 20 1 1 Pr sentations des activit s de AES SONEL 20 1 1 1 Activit de production de l nergie lectrique 21 1 1 2 Activit de transport de l nergie lectrique 21 1 2 Pr sentation du bassin versant de la Sanaga 21 1 3 Am nagements hydro lectriques de la Sanaga 22 1 3 1 Les ouvrages de production d nergie lectrique 22 1 3 2 Les ouvrages de r gularisation du d bit de la Sanaga 22 1 3 3 Les stations hydrologiques du B V I de la Sanaga 23 1 4 R gularisation de la Sanaga 25 1 5 Probl matique G n rale
6. Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I la station de contr le de SONGMBENGUE DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe 76 La s rie des figures ci dessous repr sente l volution journali re des d bits naturels du B V I suivant un d coupage mensuel FIG 2 5 D bits du mois de D cembre par ann e 2000 d bits 1500 1000 500 Jours FIG 26 D bits du mois de D cembre par ann e d bits FIG 2 7 D bits du mois de D cembre par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 1500 2000 d bits 1000 500 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Annexe H d bits 600 d bits 200 400 600 800 1000 SE FIG 28 D bits du mois de Janvier par ann e 1000 800 400 200 U 10 15 20 25 30 jours FIG 2 9 D bits du mois de Janvier par ann e A 1994 1995 A 1995 1996 A 1996 1997 A 1997 1998 A 1998 1999 A 1999 2000 jours FIG 2 10 D bits du mois de Janvier par ann e gt TE A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 c gt A 2003 2004 A 2004 2005 gt nr oo LL gt gt m gt sS jours Mod lisat
7. t lt cas_pair serie p t Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 94 Ensuite nous utilisons successivement les commandes suivantes serie moy moy mob cent ts bvi p 365 plot ts bvi xlab Ann es ylab d bits lines serie moy col 2 legend x 1988 y 8500 1egend c courbe des d bits courbe des moyennes mobiles centr es col 1 2 text col 1 2 fill 1 2 title main list F1G 4 11 S rie des moyennes mobiles d ordre 365 cex 1 col 4 font 2 C 28 Obtention du tableau 4 14 Nous utilisons d abord la fonction suivante Ce programme prend en entr e une s rie temporelle serie et retourne les coefficients saisonniers corrig s ainsi que la s rie corrig e des variations saisonni res Ceci en d saisonnalisant cette s rie l aide d une moyenne mobile centr e d ordre p et en supposant que le mod le est de type multiplicatif desaisonnalisation lt function serie p rapp sais serie lt serie moy mob cent serie p calcul des rapports saisonniers cl lt matrix transform rapp sais serie ncol frequency serie byrow TRUE coef_sais lt apply c1 2 mean na rm TRUE coefficients saisonniers coef sais corr lt coef sais mean coef sais coefficients saisonniers corrig s cvs lt serie coef sais _corr s rie corrig e
8. d EDEA EEA P1263 MW FIG 1 1 Syst me de production hydro lectrique de la Sanag Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V T de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 25 1 4 R gularisation de la Sanaga L ensemble des trois barrages r servoirs pr sent s dans la section 1 4 2 permet de r guler le d bit de la Sanaga Le d bit naturel de la rivi re est donc remplac par un d bit artificiel r pondant une r gle de gestion bien pr cise d finie par le gestionnaire en l occurrence AES SONEL Ainsi suivant le d bit disponible l entr e des ouvrages de production le niveau de la demande en nergie lectrique et l tat des stocks d eau dans l ensemble de ces trois barrages r servoirs des l chers d eau sont effectu s pour augmenter le d bit au niveau des usines de production en vu de r pondre la demande en nergie Cependant les stocks d eau de ces trois barrages r servoirs ne sont pas g r s selon les m mes consignes Le barrage de Mbakaou a une capacit tr s petite devant les apports moyens de la rivi re en amont du site c est dire que le volume total d eau r colt par son bassin versant au cours d une ann e est tr s sup rieur la quantit d eau maximale que le barrage peut stocker Ainsi la mise en r serve au moment de la crue an
9. et tel que pour fix appartenant T X est une variable al atoire v a sur Q A Par extension on crira un processus sous la forme d une famille de v a indic es par t not e X t e T ou plus simplement X La loi du processus est l image P de P par X Lorsque Q R le processus est dit unidimentionnel ou univari Lorsque T Z le processus est dit en temps discret Nous consid rerons dans la suite les processus stochastiques univari s et temps discret D finitions 3 5 Les mod les de simulation sont des mod les qui ne cherchent pas reproduire une partie de la r alisation d un processus mais g n rer des sc narios possibles d un processus dont on connait une r alisation Leur principe est d utiliser les g n rateurs de variables al atoires qui devront respecter la structure statistique des processus reproduire D finition 3 6 Les mod les de pr vision sont les mod les qui cherchent un instant donn t pr voir pour les instants Af le devenir d une r alisation connue jusqu t gt D finition 3 7 L op rateur retard B est un op rateur qui un processus X associe le processus Y tel que Y BX X D finition 3 8 On dit que X est strictement ou fortement stationnaire si pour toute suite finie d instants l ments de Z et tout entier r Z les lois jointes de x X et de x A e A sont les m mes lois joint
10. planifier l exploitation courante du syst me hydro lectrique en vue de r pondre aux besoins de la production et de respecter certaines contraintes inondation environnement etc Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE viii Abstract The increase of the Cameroonian population as well as the creation of new activities impose to AES SONEL only supplier of electric energy of the country to take arrangements to assure the quality and the continuity of its service and this while limiting to the maximum its expenses It must optimize the management of its water resources therefore The work that we did in the Direction of the Studies and the Scheduling of the AES SONEL society is based on a statistical analysis of the daily natural flow of the basin pouring intermediate of the Sanaga in the station of control of SONGMBENGUE In first analysis we standardized this time series then we have modelled the resulting time series by a process ARIMA 11 1 1 In a second analysis we did a modelling of these flows by a multiplicative composition diagram and this after elimination of the seasonal component of this time series by the moving average method Quadratic relative averages errors er and the quadratic averages errors em of the adjustment and the a posteriori forecasti
11. 2005 32 2 5 2 6 2 7 D bits du moi de D cembre par ann e 76 2 8 2 9 2 10 D bits du moi de Janvier par ann e 77 2 11 2 12 2 13 D bits du moi de F vrier par ann e 78 2 14 2 15 2 16 D bits du moi de Mars par ann e 79 2 17 2 18 2 19 D bits du moi Avril par ann e 80 2 20 2 21 2 22 D bits du moi de Mai par ann e 81 2 23 2 24 2 25 D bits du moi de Juin par ann e 82 2 26 2 27 2 28 D bits du moi de Juillet par ann e 83 2 29 2 30 2 31 D bits du moi d Ao t par ann e 84 2 32 2 33 2 34 D bits du moi de Septembre par ann e 85 2 35 2 36 2 37 D bits du moi d Octobre par ann e 86 2 38 2 39 2 40 D bits du moi de Novembre par ann e 87 4 1 Evolution des d bits standardid s 48 4 2 Corr logramme des d bits standardis s 48 4 3 ACF des d bit
12. AES SONEL Rapport de mission 4 DROESBEKE J J FICHET B amp TASSI P 1995 S ries chronologiques th orie et pratique des mod les ARIMA Economica 5 MAYAP Marie Ad le 2005 Analyse Statistique et Calcul des Probabilit s d Incidents cas du R seau Interconnect Sud de A ES SONEL M moire de master de statistique appliqu e ENSP Yaound 6 M DANECH PA J OUH 2003 Les mod les de pr vision du dispositif de Bison fut et leur volution INRETS Institut National de Recherche sur le Transport et leur S curit 7 NINO Sylverio 2005 S ries chronologiques Polycopi de cours me 8 Organisation M t orologique Mondiale 5 dition 1994 Guide des pratiques Hydrologiques 9 P DUBREUIL J C OLIVRY J GUISCAFRE J F NOUVELOT 1975 Monographie Hydrologique ORSTOM le bassin de la rivi re Sanaga Paris Vol 3 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e
13. DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Annexe 89 C 3 Obtention de la figure 2 3 Nous utilisons successivement les commandes matplot matbvi 7 12 type 1 xlab jours ylab d bits ylim range matbvi legend x 250 y 8000 1egend c A 1994 1995 A 1995 1996 A 1996 1997 A 1997 1998 A 1998 1999 A 1999 2000 col 1 6 fi1l 1 6 text col 1 6 title main list FIG2 3 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 1994 2000 col 4 cex 0 75 font 2 C 4 Obtention de la figure 2 4 Nous utilisons successivement les commandes suivantes matplot matbvi 13 17 type 1 xlab jours ylab d bits ylim range matbvi legend x 250 y 8000 legend c A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 col 1 5 fill 1 5 text col 1 5 title main list FIG 2 4 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 2000 2005 col 4 cex 0 75 font 2 C 5 Obtention de la figure 4 1 Nous utilisons successivement les commandes suivantes sd apply bvi 1 sd moy apply bvi 1 mean tableau des d bits standardis s bvi stand bvi moy sd transformation du tableau des d bits standardis s en une s rie temporelle ts bvi stand ts as vector as matrix bvi stand start c 1988 1 frequency 365 trac de la courbe des d bits standardis s plot ts bvi stand xlab ann es ylab d bits standardis s t
14. On montre que l erreur de pr vision diminue avec cette variance Cf 1 Nous fondons notre choix sur ce crit re pour la simple raison que l objectif principal vis dans cette tude est de d terminer un mod le permettant de faire de bonnes pr visions 3 5 Un mod le de simulation en hydrologie mod le markovien du 1 ordre Pour faire des simulations nous utiliserons le mod le markovien du premier ordre d crit dans 8 Ce type de mod le est appropri pour la simulation des volumes de l coulement journalier mensuel ou annuel Il s appuie sur une structure de Markov du premier ordre C est dire l coulement pour tout intervalle de temps est d termin par celui de l intervalle pr c dent et par une impulsion al atoire Un mod le de simulation de ce type appliqu un processus d coulement dont la fr quence des observations est journali re et la p riodicit est annuelle peut s exprimer comme suit ee GE X X p Xi Xn e ip j dans laquelle i 1 2 n j 1 2 365 n est le nombre d l ments de la simulation que l on d sire effectuer X est coulement du terme num ro i de la chronique simuler dont les termes sont num rot s cons cutivement partir de 1 quels que soient le jour de l ann e j est le num ro du jour de l ann e correspondant la valeur num ro i simuler X est coulement moyen pour le jour num ro j de l ann e o est l
15. Rappelons que la forme g n rale de l quation de ce type de mod le est Y C xS XE o y est la s rie des d bits que nous tudions C est la composante tendancielle S est la composante saisonni re est la composante r siduelle La figure 2 1 du chapitre 2 nous montre clairement que cette chronique des d bits est quasiment form e des variations saisonni res C est dire sa tendance varie tr s peu Ainsi afin d expurger cette s rie de ses variations intra annuelles p riodiques c est dire de d saisonnaliser cette s rie nous utilisons comme technique math matique la m thode des moyennes mobiles centr es qui l avantage de ne faire aucune hypoth se priori sur la forme de la tendance estimer L ordre de la moyenne mobile que nous utilisons pour d saisonnaliser cette chronique est de 365 En effet la saisonnalit ou la p riode de cette s rie est de 365 jours La figure 4 11 pr sente la courbe d crite par la s rie des moyennes mobiles centr es d ordre 365 et celle de la s rie des d bits naturels Cette figure est obtenue en utilisant la commande C 27 dans l annexe Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 60 FIG 4 11 S rie des moyennes mobiles d ordre 365 oo s courbe des d b
16. T T T T 1990 1995 2000 2005 ann es Pour la mod lisation du processus Z nous suivrons la d marche pr sent e dans la Ai section 3 4 du chapitre 3 En vu d identifier l ordre de diff rentiation d observons l auto corr logramme graphe de l ACF de la s rie Z figure 4 2 Voir commande C 6 en annexe pour son obtention FIG 4 2 Corr logramme des d bits standardis s 08 ACF 06 04 02 00 Ce corr logramme montre une d croissance lente de la fonction d auto corr lation On peut donc penser que le processus Z 7 6 Z n est pas stationnaire Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 49 Observons alors l auto corr logramme du processus Y 1 B Z sur la figure 4 3 Voir commande C 7 en annexe pour son obtention FI1G 4 3 ACF des d bits standardis s et diff renci s ACF Lag Ce corr logramme montre que la fonction d autocorr lation d cline rapidement vers 0 On peut donc penser que le processus Y est stationnaire une d croissance rapide vers 0 de la fonction d auto corr lation est une m thode pratique d identification des processus stationnaires conf re 4 La probabilit critique du test de non stationnarit de Phillips Perron est 0 01 C
17. alors X est int gr d ordre au moins 1 On effectue nouveau ce test avec le processus Y 1 B X etc La valeur de d est celle pour laquelle le processus 1 B X est stationnaire t Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 42 Deuxi me phase de l identification choix de p et q On suppose que l on a d j d et on travaille ventuellement sur Y 1 By X T On assimile Y a un processus ARMA p q On se propose donc de d terminer p et q t Approche empirique on cherche ici d terminer la valeur de P et Q telle que Y est un ARMA P 0 et un ARMA 0 Q ce qui est peu pr s quivalent pour K grand r k 0 et po h 0 pour P 1 lt k lt K et Q 1 lt h lt K K est le nombre maximal des autocorr lations que l on d sire calculer Une fois P et Q d termin s Box et Jenkins proposent en g n ral de traiter s par ment toutes les possibilit s des couples p q major s par P Q Estimation A l issue des phases pr c dentes on a choisi d et divers couples p q compatibles avec les donn es Le mod le s crit B A X 0 B e o amp est un bruit blanc de variance o et B I B B B O B II 0 B 0 B 0B Les param tres estimer sont 4 4 6 0 et G
18. d bits naturels journaliers moyen terme est indispensable Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e 29 CHAPITRE 2 IDENTIFICATION ET DESCRIPTION DES DONNEES 2 1 Identification et obtention des donn es Nous identifierons les apports naturels aux d bits naturels L apport naturel n est pas mesur directement et il est obtenu partir de l quation du bilan hydrique qui fait intervenir plusieurs composantes donn es mesur es ou d duites d quations approximatives reposant sur diff rentes hypoth ses concernant les comportements hydrauliques Ces valeurs peuvent tre entach es d erreurs importantes pouvant se traduire par des variations excessives irr alistes et des biais syst matiques dans les s ries d apports Vu la complexit des m thodes d obtention des d bits naturels reconstitu s nous analyserons ces derniers sans tenir compte de la correction des observations qui peuvent tre consid r es comme aberrantes Comme la pr diction des d bits d un cours d eau ne demande pas la connaissance exacte de tous les processus de g n ration des coulements sur le bassin versant les donn es que nous utiliserons pour r aliser cette tude sont les d bits naturels journaliers du bassin versant interm diaire de la Sanaga la station de Songmbengu cal
19. il lui est plus important de conna tre les pr visions journali res Nous pouvons continuer cette derni re mod lisation en cherchant pr dire les d bits naturels journaliers l int rieur des diff rents mois sous la contrainte que les d bits moyens de ces mois sont connus Mais le temps qui nous a t imparti dur e du stage ne nous a pas permis de pousser cette analyse un peu plus loin Nous terminons ce chapitre en concluant que la mod lisation des d bits naturels journaliers du B V I Sondmbengu par un mod le faisant intervenir un processus de type ARIMA apr s une standardisation de cette chronique de d bits ne semble pas tre diff rente de la mod lisation de ces m mes d bits par un mod le multiplicatif apr s une d saisonnalisation de cette chronique par la m thode des moyennes mobiles dans la mesure o les erreurs quadratiques de l ajustement global ainsi que les erreurs quadratiques de la pr vision a posteriori de ces deux mod les aux donn es r elles sont quasiment quivalentes Ainsi nous avons crit un programme R qui permet de faire des pr visions des d bits naturels journaliers de la Sanaga la station hydrologique de Songmbengu Ce programme est bas sur le principe de la premi re mod lisation Voir commande C 54 dans l annexe pour le code de ce programme Par ailleurs nous avons ajout cette tude un programme R permettant de faire des simulations des d bits naturels journaliers
20. lt gt U m 415 20 prae 30 jours FIG 2 22 D bits du mois de Mai par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 d bits so 10 4150 o q l t DEDO 5 10 15 20 25 30 jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 82 FIG 2 23 D bits du mois de Juin par ann e A m 1988 19089 EE 2 m A 1989 1990 nd N Ea A 4 gar g A1 m A1 m A1 gt gt Trel 2 PR ro EL gt gt Ea gt gt rei T T T T T T o 5 10 15 20 pei 30 jours d bits Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE 1000 41500 200 500 o tt l FIG 2 24 D bits du mois de Juin par ann e jours FIG 2 25 D bits du mois de Juin par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 Le 10 15 20 25 30 jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe d bits d bits d bits 83 FIG 2 26 D bits du mois de Juillet par ann e lt a gt cs gt gt T T T T T T oO 10 15 20 D 30 jours FIG 2 27 D bits du mois de Juillet
21. model4 arima ts debit moy order c 1 0 2 seasonal list order c 1 1 1 period 12 C 46 Obtention du tableau 4 10 suite round confint model4 4 C 47 Obtention du tableau 4 11 model5 arima ts debit moy order c 1 0 1 seasonal list order c 1 1 1 period 12 C 48 Obtention du tableau 4 11 suite round confint modelS 4 C 49 Obtention du tableau 4 12 model6 arima ts debit moy order c 1 0 0 seasonal list order c 1 1 1 period 12 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 98 C 50 Obtention du tableau 4 12 suite round confint model6 4 C 51 Obtention de la figure 4 22 Nous utilisons successivement les commandes suivantes par mfrow c 2 2 plot model6 res xlab mois ylab d bits main Courbe des r sidus acf model res main R sidus lag 36 pacf model6 res main R sidus lag 36 plot box ljung model6 res k 30 C 52_Obtention de la figure 4 23 plot ts debit moy xlab Ann es ylab d bits lines ts debit moy model6 res col 2 legend x 1988 y 7000 legend c courbe des d bits moyens mensuels courbe des d bits moyens ajust s col 1 2 text col 1 2 fill 1 2 title main list FIG 4 23 Ajustement des d bits moyens mensuels cex 1 col 4 font 2 C 53_Obtention du tableau 4 13 Nous utilisons successivement les commandes s
22. pr dire les erreurs de pr visions posteriori de l ann e k partir du mod le obtenu pour ces erreurs de pr vision 3 troisi mement pr dire les d bits naturels journaliers de l ann e k partir de l un des deux mod les obtenu dans cette tude 4 quatri mement corriger ces pr visions des d bits naturels journaliers de l ann e k en leurs ajoutant les erreurs de pr diction posteriori pr dites pour l ann e k Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e 79 Annexe TAB 2 2 S rie des d bits moyens mensuels du B V I de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1988 1320 81 2272 00 3789 03 5332 13 2510 17 1107 19 1989 457 71 179 50 102 13 241 17 794 13 1143 33 1602 32 3246 94 4638 40 4876 35 2395 17 839 26 1990 431 101 222 04 59 03 135 97 579 52 1021 63 1590 16 3351 10 4439 33 4978 74 3582 20 1506 03 1991 675 16 290 18 249 10 541 33 1068 23 1723 47 2187 58 3416 16 4131 03 4347 35 3021 57 1074 39 1992 450 55 204 64 136 29 340 00 534 45 1053 93 1645 19 3243 16 4987 00 5117 39 3818 60 1177 81 1993 565 03 217 04 235 77 232 90 562 03 1264 73 2194 26 3647 35 4735 27 4928 10 2821 03 1275 16 1994 516 00 2
23. s S 8 wW p s s e 3 p amp o o o 100 200 300 o 100 200 300 jours jours Ann e 2003 2004 Ann e 2004 2005 pa s pi m courbe r elle courbe r elle ea courbe pr dite ne Lo courbe pr dite Pe S 5 5 D 2 la S o Le o 100 200 300 o 100 200 300 jours jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 59 4 2 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers par un mod le multiplicatif La deuxi me approche que nous allons adopt e pour mod liser les d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu consiste caract riser ces derniers par un mod le multiplicatif en partant d une d saisonnalisation de cette chronique l aide de la m thode des moyennes mobiles centr es Pour y parvenir nous suivrons la m thode d crite la section 3 2 du chapitre 3 La droite de r gression des carts types en fonction des moyennes des d bits de chacune des ann es tudi es a pour quation o 0 89X 129 7 o le coefficient 0 89 est tr s significatif sa probabilit critique est 0 000373 voir commande C 26 en annexe pour l obtention de ces r sultats Ce qui sugg re d adopter effectivement un sch ma de composition multiplicatif pour ces d bits naturels journaliers
24. 0211 0 0465 mal 0 9997 0 992 0 9842 o 0 07103 TAB 4 2 Param tres estim s du mod le ARIMA 13 1 1 25 97 5 arl 0 9493 0 9755 1 0016 ar2 0 0134 0 0482 0 0829 ar3 0 1574 0 122 0 0879 ar4 0 0418 0 0767 0 1116 ar5 0 0184 0 0166 0 0515 ar6 0 0881 0 0531 0 0182 ar7 0 0337 0 0013 0 0363 arg 0 0662 0 0313 0 0037 ar9 0 0113 0 0236 0 0585 arl0 0 0646 0 0298 0 0051 arll 0 0155 0 0193 0 0540 ari2 0 0153 0 0194 0 0542 arl3 0 0294 0 0039 0 0216 mal 0 9988 0 9905 0 9822 2 0 07106 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 54 Le tableau 4 3 ci dessous obtenu l aide des commandes C 16 et C 17 en annexe contient les param tres estim s ainsi que les intervalles de confiance des coefficients du mod le ARIMA 12 1 1 Ce tableau montre que le coefficient ar12 est non significatif et que le coefficient mal l est Ce qui sugg re un mod le ARIMA 11 1 1 TAB 4 3 Param tres estim s du mod le ARIMA 12 1 1 25 97 5 arl 0 9495 0 9756 1 0018 ar2 0 0134 0 0481 0 0829 ar3 0 1574 0 1226 0 0878 ar4 0 0417 0 0766 0 1115 ar5 0 0182 0 0167 0 0517 ar6 0 0881 0 0531 0 0182 ar7 0
25. 1 colonne b Importer les pr visions dans le logiciel Excel en ex cutant les instructions suivantes i s lectionner et copier les 2 colonnes obtenues comme r sultat de la section 4 a ci dessus ii ouvrir le logiciel Excel iii coller la copie dans une feuille Excel NB Les 2 colonnes copi es dans R s affichent dans Excel l int rieur d une seule colonne Afin de les faire appara tre aussi sur 2 colonnes dans Excel il faut suivre la proc dure suivante cliquer sur la bulle qui s affiche l extr mit inf rieure droite de la colonne l int rieur de laquelle on a coller la copie dans Excel cocher la case Utiliser l Assistance Importation de Texte cette fen tre s ouvre cocher la case D limiter puis cliquer sur Suivant cocher la case Espace puis sur Terminer NB Les donn es s affichent alors sur 2 colonnes distinctes Les num ros des jours sont alors s par s des valeurs des d bits pr dits On pourra supprimer la colonne contenant les num ros des jours d une ann e et exploiter la colonne contenant les valeurs des pr visions des d bits Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 20 CHAPITRE 1 CONTEXTE ET PROBLEMATIQUE 1 1 Pr sentations des activit s de AES SONEL Cette partie est inspir e de
26. 3 1 1 53 4 3 Param tres estim s du mod le ARIMA 12 1 1 54 4 4 Param tres estim s du mod le ARIMA I 1 1 54 4 5 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le final aux d bits 57 4 6 Erreurs quadratiques des ajustements et des pr visions posteriori 58 4 7 Param tres estim s du mod le ARIMA 6 1 1 63 4 8 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le final aux d bits y 65 4 9 Erreurs quadratiques des ajustements et des pr visions posteriori 66 4 10 Param tres estim s du mod le SARIMA L 0 2 L1 1 69 4 11 Param tres estim s du mod le SARIMA L 0 1 L 1 1 70 4 13 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le aux d bits moyens mensuels Y 71 4 14 Coefficients saisonniers Corrig s 100 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 4 PA 14 INTRODUCTION GENERALE L hydrologie est la science qui traite de la pr sence et de la distribution des eaux sur la terre
27. 30 Jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe 87 FIG 2 38 D bits du mois de Novembre par ann e 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 D Bed T T T T T T oO 10 135 20 ms 30 Jours FIG 2 39 D bits du mois de Novembre par ann e Le pg amp 3 gt Jours FIG 2 40 D bits du mois de Novembre par ann e 2 m A 2000 2001 A 2001 2002 2 A 2002 2003 2 m A 2003 2004 A 2004 2005 o gt re ue gt G E 3 S 3 a o gt a gt oO N p T T T T T T o 5 10 15 20 25 30 Jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 88 Commandes et programmes R utilis s Lecture des donn es dans la console du logiciel R Les donn es sont dans un tableau ayant 365 lignes et 17 colonnes Ce tableau est enregistr dans l ordinateur dans le r pertoire courant de R dans un fichier nomm d bits journaliers du bvi txt Ce tableau est import dans la console de R l aide de la commande bvi read table d bits journaliers du bvi txt C 1 Obtention de la figure 2 1 Nous convertissons le tableau bvi en une s rie temporelle univari e l aide de la commande tsbvi
28. 5 AES signifie All energy service AES SONEL est une entreprise dont les principales activit s sont e La production de l nergie lectrique e Le transport et la gestion du r seau de transport de cette nergie e La distribution et la vente de l nergie lectrique Nous pr sentons dans la suite les activit s de production et du transport de l nergie lectrique 1 1 1 Activit s de production de l nergie lectrique La production d nergie lectrique au Cameroun par AES SONEL est assur e la fois par un syst me de production hydraulique et un syst me de production thermique La production d nergie lectrique d origine hydraulique est effectu e partir des barrages hydro lectriques Elle repr sente l essentiel de la production d lectricit de AES SONEL Le parc de production hydraulique comprend les centrales hydro lectriques de Song Loulou Ed a et Lagdo respectivement d une puissance de 400 265 et 72 MW les barrages r servoirs de r gulation du d bit du fleuve Sanaga Il s agit des barrages de Mbakaou Bamendjin Map et Lagdo Le syst me de production thermique fonctionne base des combustibles tels que le fuel lourd et le fuel l ger Il est constitu des centrales thermiques d Oyomabang Bassa Logbaba Bafoussam Limb et de Djamboutou de 31 centrales thermiques au diesel isol es Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers d
29. 7 Nous utiliserons cette quation sous la forme suivante pour estimer les valeurs de la chronique de ces d bits Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 65 365 ax as pr i l o les amp sont les valeurs du processus lt estim es par le mod le ARIMA 16 1 1 Nous pr sentons sur la figure 4 17 obtenue en utilisant la commande C 37 dans l annexe l ajustement de ce mod le final la chronique des d bits r els FIG 4 17 Ajustement des d bits y courbe des d bits r els a mm courbes des d bits estim s Oo O m wO 2 Fe o 3 2 T oO oO N oO 1990 1995 2000 2005 Ann es Nous pr sentons dans le tableau 4 8 obtenu en utilisant la commande C 38 dans l annexe les erreurs quadratiques li es cet ajustement Notons que la chronique de ces d bits s tend sur 6205 jours TAB 48 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le final aux d bits y Nombre er em de jours m 15 Ajustement 6205 5 1 126 8 Pour faire les pr visions des d bits naturels journaliers d une ann e k fix e not e nous utilisons la formule suivante 365 ak A a oi Ak TnS e i l Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 200
30. DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 57 Nous utiliserons cette quation sous la forme suivante pour estimer les valeurs de la chronique de ces d bits Lise o v 1 2 17 T 1 2 365 les VA sont les valeurs du processus Z estim es par le mod le ARIMA 11 1 1 Nous pr sentons sur la figure 4 9 obtenue en utilisant la commande C 22 dans l annexe l ajustement de ce mod le final la chronique des d bits r els FIG 4 9 Ajustement de la s rie des d bits X par le mod le final m courbe des d bits E courbe des d bits ajusts 8000 6000 d bits 4000 2000 0 T T T T 1990 1995 2000 2005 ann es Nous pr sentons dans le tableau 4 5 obtenu en utilisant la commande C 23 dans l annexe les erreurs quadratiques li es cet ajustement Notons que la chronique de ces d bits s tend sur 6205 jours TAB 4 5 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le final aux d bits X Nombre er em de jours m Is Ajustement 6205 4 91 120 3 Pour faire les pr visions des d bits naturels journaliers d une ann e k fix e not e X rz nous utilisons la formule suivante X kr O Zkr Us Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de c
31. SIELENOU Pascal UY 1 ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE _R sum ex cutif o ooo O source nom du fichier contenant le programme de pr diction txt qui est par exemple ceci source prog pred txt dans le cas o le nom du fichier contenant ce programme de pr diction propos a t utilis puis valider cette instruction en cliquant sur la touche du clavier Entr e d importer le tableau des d bits dans la console de R en ex cutant la commande suivante bvi read table nom du fichier contenant les d bits txt qui est par exemple ceci bvi read table d bits journaliers du bvi txt dans le cas o le nom du fichier contenant ce tableau des d bits propos a t utilis puis valider cette instruction en cliquant sur la touche du clavier Entr e 4 Ex cution de la pr vision des d bits naturels journaliers du B V I a Effectuer la pr vision en utilisant la commande suivante programme pr diction bvi puis valider cette instruction en cliquant sur la touche du clavier Entr e NB Le r sultat s affiche sur 2 colonnes La 1 colonne contient les chiffres allant de 1 365 qui repr sentent les num ros des jours d une ann e compt s partir du 1 Juillet La 2 colonne contient les valeurs des pr visions des d bits naturels associ s aux diff rents jours de l ann e dont les num ros sont indiqu s par la
32. cart type des coulements du jour num ro j de l ann e p est le coefficient de corr lation entre les coulements du jour num ro j et ceux du jour num ro j 1 de l ann e les s sont les r alisations ind pendantes d une variable al atoire qui suit une loi normale centr e et r duite Vu l quation de simulation il suffit de choisir une valeur initiale de l coulement pour simuler une chronique de longueur voulue Nous utiliserons la chronique de nos donn es c est dire la chronique des d bits naturels journaliers dont nous disposons pour estimer les param tres X P de ce mod le Dans les formules ci dessus chacun des termes x k 1 2 365 1 2 17 repr sente le d bit du jour k de l ann e Nous rappelons que notre chronique s tend sur 17 ann es Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 44 a 1 17 X RE j 1 2 3 365 l 1 1 1 17 A n a mA j 1 2 3 365 l 1 17 DA is X Ces X3 1 1 PTE W Je Des 365 Il l 2 17 A 2 Ze E X Xas B Xa l 1 A P 17 W A pa xX 2 X i l jal j 1 2 3 365 Nous avons jug ce mod le markovien du premier ordre appropri pour faire les simulations de nos d bits naturels journalier
33. d nergie lectrique d origine hydraulique n cessite une bonne connaissance des d bits des cours d eau qui alimentent ces usines Dans le but de suivre l volution effective des l chers d eau effectu s au niveau des barrages r servoirs un r seau de stations de jaugeages a t construit en aval de ces barrages r servoirs pour le contr le des d bits La figure 1 2 de la page 17 pr sente les stations hydrologiques du B V I de la Sanaga Notons que la station hydrologique de Songmbengu est le dernier point de contr le des d bits Elle est situ e 4 heures de la centrale hydro lectrique de Song Loulou Ainsi le d bit mesur cette station est exactement celui de l eau qui alimentera cette centrale Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 24 Nous pr sentons sur la figure suivante le syst me de production hydro lectrique du bassin de la Sanaga SYSTEME DE PRODUCTION HYDROELECTRIQUE DE LA SANAGA LAC TCHAD L gende _ BV Bassin Versant t 12 Cu Capacit utile Pi Puissance install e Barrage de MBAKAOU BV 20 200 km Cu 2 600 hm 10 Barrage de MAPE BV 3 760 km Cu 3 200 hm 0 75 150km Barrage de BAMENDIJIN BV 2 190 km Cu 1 800 hm U OU NDE OCEAN ATLANTIQUE
34. dans cette tude un programme R dont l algorithme s appuie sur un processus de Markov du 1 ordre qui pourra permettre AES SONEL d effectuer des simulations des d bits naturels journaliers de la Sanaga Songmbengu Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE R sum ex cutif 18 MODE D EMPLOI DU PROGRAMME DE PREVISION DES DEBITS NATURELS JOURNALIERS DU B V I DE LA SANAGA A LA STATION DE CONTR LE DE SONGMBENGUE 1 T l chargement et installation du logiciel R Le logiciel R est une version non commerciale de S plus T l charger ce logiciel sur le site Internet http lib stat cmu edu R CRAN ou sur le site http cran ch r project org installer ensuite ce logiciel dans un ordinateur 2 Cr ation d un r pertoire de travail a Cr er un dossier de travail dans l ordinateur o est install le logiciel R On pourra par exemple cr er ce dossier dans la racine C et le nommer outils pour la pr vision des d bits b copier dans un fichier Bloc notes vide le programme de pr diction C 54 se trouvant en Annexe du m moire Enregistrer ensuite ce fichier dans le dossier de travail pr c demment cr en le nommant par exemple prog pred c on suppose maintenant que les d bits naturels journaliers du B V I sont enregistr s dans l o
35. de cette mod lisation Nous terminons cette partie en disant que l quation finale estim e du mod le v rifi par la chronique de nos d bits moyens mensuels Y est 8 1 0 3381B 1 0 24418 1 0 99998 s o est un bruit blanc de variance estim e 6 144849 Sur la figure 4 23 obtenue en utilisant la commande C 52 dans l annexe on peut voir la courbe des d bits moyens mensuels sur laquelle est superpos e celle ajust e par ce mod le Le tableau 4 13 contient les erreurs quadratiques relatives cet ajustement Voir commande C 53 en annexe pour l obtention de ce tableau FIG 4 23 Ajustement des d bits moyens mensuels a oO e E courbe des d bits moyens mensuels 2 M courbe des d bits moy ns ajust s B a ED E O l pa 2 i _ 3 2 C gt O ae N gt y e A T T T T 1990 1995 2000 2005 Ann es TAB 4 13 Erreurs quadratiques de l ajustement du mod le aux d bits moyens mensuels Y Nombre er em de jours m Is Ajustement 204 15 4 369 2 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 72 Notons que la pr vision des d bits moyens mensuels ne pr sente pas un grand int r t pour AES SONEL tant donn qu
36. des variations saisonni res sortie list Coefficients Saisonniers Corrig s coef sais corr S rie Corrig e Des Variations Saisonni res cvs sortie Puis la commande suivante des desaisonnalisation ts bvi p 365 des 1 C 29 Obtention de la figure 4 12 Nous avons effectu s successivement les commandes suivantes plot ts bvi xlab ann es ylab d bits lines des 2 col 2 t l length des 2 t l length des 2 reg1 Im c des 2 t abline reg1 col 4 legend x 1988 y 8500 1egend c courbe des d bits courbe de la s rie corrig e des variations saisonni res courbe de la tendance globale estim e text col c 1 2 4 col c 1 2 4 fill c 1 2 4 C 30 Obtention de la tendance C s summary reg1 C 31 Obtention de la figure 4 13 Nous utilisons successivement les commandes suivantes res est c ts bvi rep reg1 coefficients 1 des 1 17 ts res est ts as vector as matrix res est start c 1988 1 frequency 365 plot ts res est xlab ann es ylab r sidus main F1G 4 13 Graphe des r sidus Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 95 C 32 Obtention de la figure 4 14 acf ts res est lag max 150 main FIG 4 14 R sidus estim s C 33 Obtention de la figure 4 15 acf diff ts res est lag max 150 main R s
37. estimation tient compte des donn es suivantes a Etat des stocks des r servoirs au d but de la p riode de calculs b Volume et dur e des l chers d eau c Volume et dur e des r tentions d eau dans les r servoirs Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Lexique et abr viations VI d Pertes dues l exploitation temps de man uvre des organes vaporation fuite etc e Apports dus aux pluies sur le bassin versant interm diaire c est dire entre les barrages r servoirs et le point o l on cherche calculer le d bit reconstitu f Comportement et volution des volumes d eau l ch s le long du parcours Ainsi le d bit naturel reconstitu est le r sultat d un calcul complexe faisant appel un tr s grand nombre de mesures diff rentes Turbine c est un dispositif rotatif destin utiliser la force vive de l eau et transmettre le mouvement un alternateur pour qu il soit transform en nergie lectrique Usine de production d hydro lectricit c est une usine qui permet de transformer l nergie de chute d un cours d eau c est dire la variation brusque d altitude d une masse d eau en nergie m canique l aide d une ou de plusieurs turbines puis en nergie lectrique traver
38. et 1751 ont pour probabilit s critiques respectives 0 14 et 2x107 Ce qui permet de conclure que la pente de cette droite n est pas significative et que son ordonn e l origine est tr s hautement significative au seuil de 5 Nous avons utilis la commande C 30 en annexe pour obtenir ces r sultats L quation g n rale de ce mod le est 365 2 i x i _ 1 sit correspond au jour i yY Pt x 7 Si X E ou S a d i l Compte tenu des r sultats qui pr c dent ce mod le estim alors la forme suivante 365 y 1751x 2 5 gt i o les coefficients sont stock s dans le tableau 4 15 La question que l on pourrait se poser est celle de savoir si les r sidus r sultant de l ajustement des d bits par ce mod le estim forment un bruit blanc Pour r pondre cette PE Ta question tudions dont le processus travers ses valeurs estim es Y FIG 4 13 Graphe des r sidus co 5 722 N gt T T T T 1990 1995 2000 2005 ann es Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 62 La figure 4 13 ci dessus pr sente le graphe des r sidus estim s amp Elle est obtenue en utilisant la commande C 31 dans l annexe Le graphe des autocorr lations pr sent es sur la figure 4 1
39. k n ont pas la m me longueur pour k gt 1 Proposition 3 1 Si une s rie chronologique une composante saisonni re de p riode p alors une moyenne mobile d ordre p absorbe cette composante saisonni re c est dire l annule Cf 1 3 2 Un algorithme de mod lisation d une chronique Nous pr sentons dans cette partie un algorithme permettant de caract riser une chronique par un mod le d terministe Pour simplifier l expos nous pr sentons cette d marche en l appliquant une chronique dont la fr quence des observations est mensuelle Cette m thodologie sera appliqu e au chapitre 4 pour mod liser une chronique dont la fr quence des observations est journali re Soit une s rie chronologique Olic Y j Jiz n est le nombre de mois partir de la date 0 7 est le num ro de l ann e j est le num ro du mois dans l ann e i Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 36 1 On estime la tendance en liminant la composante saisonni re l aide des moyennes mobiles centr es dont l ordre est la p riode de la saisonnalit C MMC k t p i 1 j i 12 n j 1 2 p 2 On identifie le mod le de composition sch ma additif ou multiplicatif a Cas d un mod le additif On exclut les valeurs extr
40. pe par aj 8 s rie corrig e des variations saisonni res CVS 4 On calcule la s rie ajust e a Cas d un mod le additif Y C S ou ec rS b Cas d un mod le multiplicatif Y C xS ou Yij C xS 5 Calcul des variations accidentelles ou r siduelles a Cas d un mod le additif E Sfera t b Cas d un mod le multiplicatif Y t Ei R h Y t On a ainsi d compos la s rie chronologique Y en 3 composantes sa tendance C ses variations saisonni res S et ses variations accidentelles qui se combinent de la mani re suivante a pour le sch ma additif Y C S b pour le sch ma multiplicatif Y C x S X Le mod le tant retenu on peut faire des pr visions tr s facilement On pr voit la C tendance en calculant C TE apal puis selon le mod le de composition on ajoute ou on multiplie par le coefficient saisonnier du mois correspondant Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 38 3 3 Mod les stochastiques Soit 9 A P un espace probabilis FEE et 2 A deux espaces mesurables D finition 3 4 Un processus stochastique est une application X d finie sur Q x T valeurs dans Q associant au couple t la r alisation X t encore not e X amp
41. tableau 4 2 suite round confint mode12 4 C 16 Obtention du tableau 4 3 model3 arima ts bvi stand order c 12 1 1 C 17 Obtention du tableau 4 3 suite round confint model3 4 C 18 Obtention du tableau 4 4 model4 arima ts bvi stand order c 11 1 1 C 19 Obtention du tableau 4 4 suite round confint model4 4 C 20 Obtention de la figure 4 7 La fonction suivante prend en entr e une s rie chronologique ou un vecteur z et trace le graphe des p valeurs du test de Ljung Box en fonction des ordres maximaux de d calages fix s jusqu a un certain rang k ventuellement pr cis plot box ljung lt function z k 15 main p valeur du test de Ljung Box p lt rep NA k for i in 1 k p i lt Box test z i type Ljung Box p value plot p type h ylim c 0 1 Iwd 3 main main xlab d calages maximaux ylab probabilit s critiques abline h c 0 05 lty 3 abline 0 05 0 col 2 abline 0 01 0 col 4 EE Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 91 Nous effectuons successivement les commandes suivantes pour avoir les graphes de la figure 4 7 residus model4 residuals par mfrow c 2 2 plot residus xlab ann es ylab acf residus lag max 150 pacf residus lag max 150 plot box ljung
42. tr s d licate En effet les centrales hydro lectriques sont tr s loign es des barrages r servoirs de r gularisation Le temps mis par un volume d eau l ch Mbakaou pour parvenir aux sites de production est d environ une Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 26 semaine De plus le train d eau lib r par le r servoir a une tendance s aplatir et s amortir le long du lit naturel de la rivi re Enfin les pr cipitations perturbent et compliquent cette gestion En effet de fortes pr cipitations survenant apr s un important l cher auraient pour cons quence premi re de provoquer un apport suppl mentaire d eau sur le bassin versant interm diaire de la Sanaga Cet apport venant s ajouter au l cher aurait pour cons quence de saturer les capacit s de production aux usines Une partie des apports serait donc d vers e sans tre turbin e Ainsi de l eau stock e aurait t l ch e inutilement et terme les barrages r servoirs pourraient se vider pr matur ment avant la fin de la saison des basses eaux A l inverse des l chers trop faibles sans pluies importantes provoqueraient une baisse significative de la puissance disponible Pour assurer une bonne exploitation de l eau des retenues on doit pr
43. 0334 0 0015 0 0364 arg 0 0663 0 0314 0 0036 ar9 0 0116 0 0233 0 0583 arl0 0 0640 0 0293 0 0055 arll 0 0157 0 0191 0 0538 ar12 0 0097 0 0158 0 0413 mal 0 9987 0 9908 0 9829 2 0 07106 TAB 4 4 Param tres estim s du mod le ARIMA 1 1 1 1 2 5 97 5 arl 0 9488 0 9751 1 0013 ar2 0 0128 0 0476 0 0823 ar3 0 1569 0 1222 0 0874 ar4 0 0412 0 0761 0 1109 ar5 0 0182 0 0167 0 0516 ar6 0 0889 0 0539 0 0190 ar7 0 0332 0 0017 0 0366 ar8 0 0651 0 0302 0 0047 ar9 0 0134 0 0214 0 0561 arl0 0 0632 0 0285 0 0062 arll 0 0081 0 0337 0 0593 mal 0 9979 0 9897 0 9815 2 0 07108 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 55 Le tableau 4 4 ci dessus contient les param tres estim s ainsi que les intervalles de confiance des coefficients du mod le ARIMA 11 1 1 et est obtenu en utilisant les commandes C 18 et C 19 dans l annexe Ce tableau montre que les coefficients ar11 et mal sont significatifs Ce qui nous permet de retenir finalement le mod le ARIMA 11 1 1 V rifions l hypoth se de bruit blanc des r sidus La courbe d crivant l volution des r sidus l auto corr llogramme et l autocorr
44. 1067 2 643617 2 918597 1 0610290 0 4475260 N Lea 0 2090153 0 09459257 0 11279848 0 2313367 0 4763008 0 6887207 1 1459181 1 947258 2 626748 2 902766 1 0478197 0 4392489 N N 0 2041904 0 08778002 0 10864843 0 2373260 0 4890303 0 7101340 1 1581093 2 012211 2 669540 2 790362 0 9769205 0 4291174 N CO 0 2023214 0 08815043 0 11222525 0 2583998 0 4942380 0 7277065 1 2003363 2 023916 2 669323 2 750257 0 9546143 0 4179543 N O 0 1981582 0 11132725 0 2587246 0 4851266 0 7403042 1 2774254 2 027334 2 624087 2 734349 0 9307758 0 4125014 w 0 1931589 0 10621591 0 2621816 0 4859664 0 7453815 1 2718017 1 997396 2 641230 2 672499 0 8922683 0 4108620 0S Len 0 1854052 0 11885289 0 4783964 1 2919044 2 003036 2 681767 0 3941446 100 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I la station de contr le de SONGMBENGUE DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e 101 Bibliographie 1 ARTHUR Charpentier 2004 S rie Temporelles th orie et applications polycopi de cours 2 BOX amp JENKINS 2002 Application des mod les de type ARIMA en hydrologie 3 COYNE amp BELLIER 2002 Arbitrage Alucam
45. 1787 2 579796 2 949320 1 5876058 0 5603451 r N 0 2577130 0 10725076 0 09989598 0 1838451 0 3758604 0 6153249 0 9816387 1 776321 2 620607 2 966830 1 5141602 0 5625515 o0 0 2513348 0 10881096 0 09523547 0 1902555 0 3775258 0 6082985 0 9955796 1 830646 2 648335 3 041485 1 4460294 0 5292506 KO 0 2340351 0 10988175 0 10241467 0 1855213 0 3958276 0 6146208 1 0052062 1 827777 2 608349 3 043789 1 3741714 0 5166074 N pa 0 2357549 0 10232998 0 09951134 0 2030447 0 4145044 0 6292879 1 0229634 1 845726 2 597904 3 037069 1 3009844 0 5120561 N 0 2282904 0 10013647 0 10430767 0 2055439 0 4308500 0 6414542 1 0580221 1 829238 2 608833 3 031778 1 2392199 0 4871893 N N 0 2297083 0 09950772 0 11244868 0 2074276 0 4375365 0 6402054 1 0694532 1 848485 2 599073 3 019597 1 2088604 0 4767820 N 0S 0 2180623 0 09732462 0 11516615 0 2190924 0 4342693 0 6572354 1 0991195 1 880121 2 572153 2 931348 1 1577355 0 4705400 N EN 0 2167725 0 09738838 0 12486925 0 2326665 0 4445290 0 6661133 1 1370143 1 912336 2 614463 2 911541 1 1001274 0 4556433 N Un 0 2110205 0 09259230 0 11744997 0 2307602 0 4530725 0 6728180 1 1328172 1 92
46. 4 montre que le processus lt n est pas stationnaire d croissance lente des autocorr lations amp n est dont pas un bruit blanc Cette figure est obtenue en utilisant la commande C 32 dans l annexe FI1G 4 14 R sidus estim s ACF 06 08 04 02 TA A POETE EL EN PEU A PEER EPL CEE EEE O TUE AE EEE CEE EEE CIE PTE EE EE CU EEE ME LOUER ELA CU FATAL CE TEE EE OEIL 00 T T T T T oo 0 1 o2 03 O4 Lag Nous pr sentons sur la figure 4 15 le corr logramme et le corr logramme partiel du processus w 1 B e Ces graphes sont obtenues en utilisant la commande C 33 en annexe FIG 4 15 Corr logrammes du processus w R sidus diff renci s R sidus diff renci s 2 2 5 co oO tO D Le ee 5 A E aa N Q ia L e 2 3 S QA re o mini n o EEO TS D S oo 01 O2 03 04 Door 02 03 04 Lag Lag Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 1 PEA Applications et r sultats 63 Le processus w para t stationnaire vu les graphes de la figure 4 15 Nous nous proposons alors de mod liser le processus par un mod le ARIMA p 1 q L observation des auto corr logrammes de figure 4 15 permet de majorer les couples p q possibles par le couple 40 33 Apr s de multiples mod lisations avec diff rentes va
47. 45 36 137 35 250 40 748 52 1110 13 1973 74 2845 26 5451 50 5686 71 2985 80 935 87 1995 422 61 183 86 176 29 271 23 588 23 944 13 1308 39 2381 19 3138 53 3753 35 3068 47 860 74 1996 359 90 150 86 213 55 401 03 611 65 1406 50 2223 13 2905 71 3812 20 6886 71 2389 00 900 87 1997 445 97 178 29 87 03 420 13 743 13 882 87 1600 10 2702 19 3935 83 3295 97 2697 87 921 81 1998 469 74 203 61 73 16 136 17 491 84 806 97 1493 55 3351 45 4206 50 5822 65 2379 03 959 74 1999 476 84 349 25 313 52 371 00 1060 52 1284 97 1739 90 2643 61 4222 70 5879 16 4309 80 1447 65 2000 658 26 336 07 182 03 443 50 819 32 1282 20 1776 71 3199 10 3714 63 4790 42 2047 17 763 77 2001 364 81 176 36 188 81 269 07 602 19 901 43 1696 90 2610 23 3495 27 4635 61 1492 03 574 23 2002 305 32 137 86 155 84 363 17 587 52 867 73 1791 84 2667 29 5315 37 4990 45 2833 83 879 39 2003 442 90 249 18 201 77 294 17 390 65 609 07 1616 87 3094 00 4709 50 5953 19 3447 30 961 35 2004 510 32 261 79 183 52 254 83 517 48 748 70 1552 97 2681 90 3717 47 4496 84 3811 90 1289 13 2005 589 35 365 32 357 71 331 77 813 81 1126 73 Minimum 305 32 137 86 59 03 135 97 390 65 609 07 1308 39 2272 00 3138 53 3295 97 1492 03 574 23 Maximum 675 16 365 32 357 71 541 33 1068 23 1723 47 2223 13 3647 35 5451 50 6886 71 4309 80 1506 03 Moyenne 478 92 232 42 179 58 311 64 677 25 1069 32 1724 38 2956 39 4261 15 5045 36 2918 29 1027 91 Ecart type 99 73 68 68 80 65 106 31 189 22 272 41 278 31 395 33 644 59 859 26 714 72 246 37
48. 47 2 834839 2 2445962 0 7042345 SININ IRIS ID I 0 3222885 0 15210029 0 08587963 0 1339892 0 3355491 0 5489923 0 9129189 1 522616 2 278948 2 841860 2 2115854 0 6836169 KO 0 3137040 0 14082236 0 08443435 0 1319943 0 3328437 0 5679330 0 9049363 1 552810 2 319541 2 846886 2 1497290 0 6652021 a 0 3062055 0 13622946 0 07882675 0 1462823 0 3553160 0 5626541 0 9149925 1 598358 2 369724 2 845882 2 0460343 0 6300033 En j 0 2963720 0 12789888 0 07550963 0 1519665 0 3497938 0 5733967 0 9174243 1 640178 2 450489 2 851674 1 9291075 0 6149559 N 0 2796069 0 12700800 0 07546442 0 1618654 0 3545699 0 5830151 0 9447402 1 661589 2 532675 2 874701 1 8729537 0 5964258 j i 0S 0 2729070 0 13246670 0 07326114 0 1586335 0 3492717 0 5809153 0 9607911 1 730141 2 490435 2 911207 1 8261835 0 5863441 j EN 0 2710539 0 12691137 0 07963552 0 1749035 0 3553345 0 5794510 0 9612762 1 738214 2 505495 2 987601 1 7359054 0 5840215 Un 0 2644890 0 11624821 0 08555810 0 1792428 0 3705559 0 5937129 0 9583124 1 695944 2 565288 2 983950 1 6548473 0 5665892 O 0 2636139 0 11338837 0 09396589 0 1878837 0 3807479 0 5991211 0 9590220 1 72
49. 6 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 66 o 1 1 2 365 sont les pr visions des d bits de l ann e k effectu es avec le mod le ARIMA 16 1 1 dont les coefficients sont stock s dans le tableau 4 7 Evaluation a posteriori de la fiabilit du mod le Afin d valuer la fiabilit de ce mod le final nous allons suivre le principe d crit dans la section 3 6 2 du chapitre 3 Les r sultats sont stock s dans le tableau 4 9 obtenu en utilisant la commande C 39 dans l annexe TAB 4 9 Erreurs quadratiques des ajustements et des pr visions a posteriori Ajustement Ajustement Ajustement Pr vision Pr vision Pr vision Ann es Nombre de jours er em m s Nombre de jours er em m s 2001 2002 4745 5 2 130 4 365 20 6 417 3 2002 2003 5110 5 3 129 4 365 23 9 600 8 2003 2004 5475 5 2 129 0 365 30 4 823 3 2004 2005 5840 5 2 128 0 365 21 9 506 6 Chacun des graphiques de la figure 4 18 ci dessous obtenue en utilisant la commande C 40 en annexe pr sente la courbe des d bits r els sur laquelle est superpos e celle pr dite par le mod le d crit par l quation o les param tres B y et ceux du mod le ARIMA 16 1 1 sont r estim s suivant le principe d crit la section 3 6 2 du chapitre 3 FIG 4 18 Courbes des d bits r els et des pr visions
50. 99 0 8102 o 142797 Le tableau 4 12 contient les param tres estim s du mod le SARIMA L 0 0 1 1 1 ainsi que les intervalles de confiance correspondants Voir les commandes C 49 et C 50 dans l annexe pour son obtention On note sur ce tableau la significativit de tous les coefficients du mod le TAB 4 12 Param tres estim s du mod le SARIMA 1 0 0 1 1 1 25 97 5 arl 0 2043 0 3381 0 4719 sarl 0 3849 0 2441 0 1032 smal 1 1926 0 9999 0 8074 2 a 144849 FIG 4 22 Diagnostic des r sidus lt Courbe des r sidus 1000 d bits 0 150 T T T 1990 1995 2000 2005 mois R sidus Partial ACF 015 005 005 20 05 101195 20 25 39 Lag Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE 10 R sidus ACF 06 02 02 Lag p valeur du test de Ljung Box probabilit s critiques 4 o 5 T T T T T 10 15 20 25 30 d calages maximaux DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Applications et r sultats 71 V rifions pr sent l hypoth se de bruit blanc des r sidus du mod le SARIMA 0 0 1 1 1 On observe sur le graphes de la figure 4 22 ci dessus obtenue en utilisant la commande C S1 en annexe que ces r sidus forment effectivement un bruit blanc Conclusion g n rale
51. KENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 64 V rifions l hypoth se de bruit blanc des r sidus 77 de ce mod le On observe sur les graphes de la figure 4 16 obtenue en utilisant la commande C 36 en annexe que ces r sidus forment effectivement un bruit blanc FIG 4 16 Diagnostic des r sidus 7 Courbe des r sidus R sidus 2 o u wo oO Li gt gt Q a oO 1990 1995 2000 2005 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 Ann es Lag R sidus p valeur du test de Ljung Box oO un 5 o Le lt e et S 3 2 2 oo 3 o band oO 0 0 0 1 0 2 0 3 04 o 5 MS 02002 78 Lag d calages maximaux Compte tenu de la non significativit des coefficients ar5 ar6 ar7 ar9 ar10 ar12 ar14 ar15 tableau 4 7 le mod le d fini par le processus a finalement pour quation 1 B 1 0 97356B 0 0895B 0 1939B 0 1033B 0 0494B 0 0358B 0 0416B 0 0394B z 1 0 9918B r 2 o 7 est un bruit blanc de variance o 0 0089 Conclusion g n rale de cette mod lisation Nous terminons cette partie en disant que l quation finale du mod le v rifi par la chronique de nos d bits naturels journaliers y est 365 421 y a pt x Xy x i l o est un processus qui suit le mod le ARIMA 16 1 1 dont les param tres sont stock s dans le tableau 4
52. MODELISATION ET PREVISION DES DEBITS NATURELS JOURNALIERS DU B V I DE LA SANAGA A LA STATION DE CONTR LE DE SONGMBENGUE Par DKENGNE SIELENOU Pascal Ma tre s Sciences Dirig par Dr Eug ne Patrice NDONG NGUEMA Charg de Cours l Ecole Nationale Sup rieure Polytechnique de Yaound et de M ATANGANA Martin Analyste Junior Charg du Risque Hydrologique AES SONEL de Douala Octobre 2006 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE il D dicaces Je d die ce m moire tous les membres de la famille SIELENOU et de la famille DJAMBONG pour vos sacrifices vos encouragements et pour votre soutien permanent Recevez ce travail en guise de reconnaissance pour votre amour et labeur que vous n avez cess de m apporter Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e iii Remerciements Eu gard aux nombreuses difficult s relatives ce sujet ce m moire serait encore un r ve aujourd hui si je n avais pas b n fici de l assistance morale et scientifique de nombreuses personnalit s et amis qui je tiens exprimer la marque de ma profonde gratitude Je tiens t moign
53. O Pour obtenir des informations sur les m thodes d estimation de ces param tres cf 4 3 4 2 V rification posteriori et choix du mod le V rification posteriori e Tests sur les param tres Dans cette partie on effectue g n ralement le test Ho 4 0 contre l hypoth se alternative H 0 et le test H 0 0 contre l hypoth se alternative H 0 0 Si ou n est pas significatif on relance l estimation en rempla ant p par p 1 ou q par q 1 Pour plus de pr cisions sur ces tests cf 4 e Test sur les r sidus Les r sidus estim s savoir sont ils compatibles avec l hypoth se de bruit blanc de pour cela on effectue le test du Portmanteau propos par Box Pierce dont la statistique a t am lior e par Ljung Box Ce test s crit H amp est un bruit blanc contre l hypoth se alternative H n est pas un bruit blanc Pour plus d informations sur ce test cf 4 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 43 Choix du mod le A l issue des phases d estimation et de v rification il reste en g n ral plusieurs mod les possibles pour repr senter les donn es Nous choisirons dans cette tude le mod le pour lequel la variance des r sidus o est la plus petite
54. Sanaga Les am nagements hydrauliques du bassin de la Sanaga sont de 2 types les ouvrages de production de l nergie hydro lectrique les ouvrages de r gularisation du d bit du fleuve 1 3 1 Les ouvrages de production d nergie lectrique A l heure actuelle il y a deux sites de production situ s sur le bras inf rieur de la Sanaga la centrale d Ed a c est historiquement le premier site hydro lectrique les travaux de construction ont d but en 1933 et se sont achev s en 1958 La puissance install e a progressivement atteint la valeur de 263 MW la centrale de Song Loulou cette usine situ 55 km en amont d Ed a a t quip e en deux phases 1980 et 1988 pour atteindre une puissance install e de 384 MW Ces deux usines fonctionnent au fil de l eau ainsi toute diminution temporaire du d bit du fleuve au dessous des besoins des groupes en service se traduit par une baisse imm diate de la puissance disponible 1 3 2 Les ouvrages de r gularisation du d bit de la Sanaga Le d bit naturel de la Sanaga Ed a pr sente de grandes variations Il peut d passer les 7000 m s en p riode de crues pour descendre sous 250 m s en p riode de basses eaux Ce r gime hydraulique irr gulier a rendu n cessaire la construction de grands barrages r servoirs d eau en amont des usines permettant la r gularisation des d bits du fleuve En p riode de crue l exc dent de d bit permet
55. Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 97 plot bvif 16 xlab jours ylab d bits main Ann e 2003 2004 type 1 lines p3 col 4 legend x 120 y 6000 1egend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 plot bvif 17 xlab jours ylab d bits main Ann e 2004 2005 type 1 lines p4 col 4 legend x 120 y 6000 1egend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 C 41 Obtention de la figure 4 19 Nous supposerons ici qu on a un vecteur nomm debitmoy contenant la s rie des d bits moyens mensuels commen ants partir du moi de Juillet Nous utilisons les commandes suivantes ts debit moy ts as vector as matrix t debitmoy start c 1988 1 frequency 12 eda ts ts debit moy bands TRUE title main list FIG 4 19 Courbe des d bits moyens mensuels cex 1 col 4 font 2 C 42 Obtention de la figure 4 20 Nous utilisons les commandes suivantes par mfrow c 2 1 acf ts debit moy lag 50 main Auto corr logramme pacf ts debit moy lag 50 main Auto corr logramme partiel C 43 Obtention de la figure 4 21 Nous utilisons les commandes suivantes Par mfrow c 2 1 acf diff ts debit moy main Auto corr logramme lag 50 pacf diff ts debit moy main Auto corr logramme partiel lag 50 C 44 Test de Phillips Perron sur le processus Z 7 PP test diff ts debit moy lag 12 C 45 Obtention du tableau 4 10
56. _ A 2001 2002 Ur Fa a E R E A2002 2003 Va ra m A 2003 2004 MT A 2004 2005 gt gt r gt ne gt gt N gt o jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 1 PEA Annexe 80 A 1988 1989 de m A 1989 1990 A 1990 1991 H A 1991 1992 p A 1992 1993 A 1993 1994 A Es 3 g ares T 2 g e gt a T T T T T T o 5 10 15 20 25 30 jours FIG 2 18 D bits du mois d Avril par ann e T Boa gt FIG 2 19 D bits du mois d Avril par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 gt p a Le B a Oo paed pa gt o N oO jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 81 FIG 2 20 D bits du mois de Mai par ann e A 1933 1939 A 1989 1990 A 1990 1991 A 1991 1992 A TS92 71993 AA 1500 1993 1994 gt T gt gt A p gt gt gt t gt jours FIG 2 21 D bits du mois de Mai par ann e nie 2 m A 1994 1995 g hia oaa m A 1995 1996 pi ipa a m A 1996 1997 e7 PAE A 1997 1993 ka A 1993 1999 s A 1999 2000 gt gt z gt gt gt Eg D EL gt gt
57. a Sanaga Songmbengu peut tre caract ris e par le mod le SARIMA 0 0 1 1 1 dont les param tres sont stock s dans le tableau 4 19 du m moire 6 CONCLUSION GENERALE Nous avons soulev au d part le probl me de la d termination d un programme permettant de faire des pr visions journali res des d bits naturels du fleuve Sanaga Songmbengu sur une p riode d un an A cet effet nous avons commenc par caract riser la chronique des d bits naturels journaliers Songmbengu par 2 mod les distincts d finis par les quations et Ces 2 mod les sont quasiment quivalents en termes de leurs erreurs quadratiques d ajustement et de pr vision a posteriori Notons que les erreurs quadratiques relatives moyennes d ad quation de chacun de ces 2 mod les aux donn es ont une moyenne de 5 tandis que les erreurs quadratiques relatives moyennes de pr visions des d bits naturels journaliers d une ann e venir ont une moyenne de 23 Nous avons ensuite mis au point un programme R dont l algorithme s appuie sur le mod le d fini par l quation Ce programme pourra d sormais permettre AES SONEL de faire des pr visions des d bits naturels journaliers Songmbengu sur une p riode d un an Le mode d emploi de ce programme de pr diction se trouve directement la suite de ce r sum Nous ne saurons terminer ce r sum sans toute fois signaler que nous avons aussi mis au point
58. a r sultante de diff rentes composantes fondamentales e La tendance ou trend C repr sente l volution long terme de la s rie e La composante saisonni re ou saisonnalit S correspond un ph nom ne qui se t r p te intervalles de temps r guliers ph nom ne p riodique En g n ral c est un ph nom ne saisonnier d o le terme de variations saisonni res La composante saisonni re est donc p riodique de p riode p etil suffit de conna tre ses p premi res valeurs S 5 8 par p riodicit ona S S pour tout f e La composante r siduelle ou bruit ou r sidu 6 repr sente les fluctuations irr guli res en g n ral de faible intensit mais de nature al atoire Les composantes ci dessus peuvent se combiner selon diff rents mod les a Mod le additif Y C S 6 avec t 1 2 n Hypoth ses Sa Q et e 0 j l t 1 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Outils Statistiques 34 b Mod le multiplicatif t Y C x S xE avec 1 1 2 n n P 1 Hypoth ses DS p et 5 e 1 j l n y Pour effectuer l analyse d une s rie chronologique on essaie d abord de d terminer si les composantes de cette s rie peuvent tre combin es selon un mod le additif ou un mod le multiplicatif Afin de faire cette d
59. a s rie des moyennes Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 35 mobiles sont des entiers naturels En revanche lorsque k est pair k 2m la s rie moyenne mobile est calcul e entre les dates des observations de la s rie initiale Ainsi les dates de la s rie des moyennes mobiles ne sont pas des entiers naturels Ainsi une moyenne mobile d ordre pair se calcule des dates qui ne co ncident pas avec les dates des observations Si l on veut comparer la s rie des moyennes mobiles avec la s rie initiale on a besoin d avoir des valeurs pour les m mes dates d observation On d finit les moyennes mobiles centr es pour pallier cet inconv nient des moyennes mobiles d ordre pair D finition 3 3 En gardant les notations ci dessus on d finit la s rie des moyennes mobiles centr es d ordre k 2m not e MMC Kk par 0 5x Y n Y 0 5xY MMC k J t m l n m m et d ordre k 2m 1 par RE ae testy MMC k EE t m l n m 2m 1 n est le nombre total des observations de la s rie initiale Remarque 3 2 Si k 2m ou k 2m 1 m observations sont perdues chaque extr mit de la s rie des moyennes mobiles centr es d ordre k Ainsi la s rie initiale et la s rie des moyennes mobiles centr es d ordre
60. bits d bits 85 FIG 2 32 D bits du mois de Septembre par ann e Sa B lt D gt 3s lt gt T T T T T T oO 5 10 15 20 Peai 30 Jours FIG 2 33 D bits du mois de Septembre par ann e gt gt gt E gt gt gt oo B gt gt lt gt Jours FIG 2 34 D bits du mois de Septembre par ann e gt A 2000 2001 me A 2001 2002 A 2002 2003 s A 2003 2004 A 2004 2005 gt oo gt paed gt O gt gt gt lt T p gt gt lt gt Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE Jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe d bits d bits d bits 86 FIG 2 35 D bits du mois d Octobre par ann e 3000 4000 5000 6000 7000 8000 FIG 2 36 D bits 15 20 25 30 jours du mois d Octobre par ann e A 1994 1995 A 1995 1996 A 1996 1997 A 1997 1993 _ A 1993 3000 4000 5000 6000 7000 8000 o l _ f h DLL FIG 2 37 D bits du mois d Octobre par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 A 2004 2005 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE 15 20 25
61. bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 1 PEA Applications et r sultats 69 Le processus Z tant stationnaire on prendra alors D 1 Par ailleurs puisque nous n avons pas eu besoin de diff rencier le processus Y dans le but d en liminer ventuellement une variation tendancielle lin aire et significative on prendra alors d 0 Si nous observons la fonction d auto corr lation du processus Z figure 4 21 dans l intervalle 0 12 c est dire dans le premier intervalle de longueur gale la p riode du processus Y on remarque qu elle ressemble celle d un processus qui suit un MA 2 Par ailleurs la fonction d auto corr lation partielle du processus Z vu dans l intervalle 112 ressemble celle d un processus qui suit un AR 1 Cela nous sugg re alors de prendre p letq 2 Nous choisissons P 1 et Q 1 En effet nous avons remarqu apr s plusieurs estimations des param tres de ce mod le dans lequel les ordres P et Q sont strictement sup rieurs 1 que les coefficients les des mon mes du plus haut degr des polyn mes de degr P et Q sont non significatifs L quation g n rale du mod le SARIMA I 0 2 1 1 1 est 1 B 1 ar1B 1 sarlB r 1 malB ma2B 1 smalB e o est un bruit blanc de variance o B est lop rateur re
62. bl matique e le deuxi me chapitre quant lui est une pr sentation et une description des donn es e le troisi me chapitre repose sur un rappel de quelques notions statistiques indispensables la r alisation de cette tude e le quatri me chapitre est r serv l application des diff rentes m thodes pr sent es au troisi me chapitre aux donn es et la pr sentation des diff rents r sultats obtenus Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 15 R sum ex cutif 1 SUJET Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du Bassin Versant Interm diaire B V I de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu 2 PROBLEME Au Cameroun la Soci t AES SONEL produit de l nergie lectrique au moyen d un syst me hydraulique et d un syst me thermique La production d nergie lectrique d origine hydraulique permettant d alimenter le r seau Sud c est dire les provinces du Centre du Sud du Littoral de l Ouest du Nord Ouest et du Sud Ouest est faite dans les centrales hydro lectriques de Song Loulou et d Ed a Le d bit de l eau alimentant ces centrales d pend directement des d bits naturels du fleuve Sanaga la station de contr le de Songmbengu et des l chers d eau effectu s au niveau de
63. cul s sur la p riode allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2005 Le choix de cette station est motiv par le fait qu il s agit du dernier point de contr le du d bit du fleuve provenant du bassin versant de la Sanaga et se dirigeant vers les ouvrages de production d nergie lectrique Le choix de 1988 comme date de d but de la chronique est guid par le fait qu il s agit de l ann e partir de laquelle le calcul de ces d bits naturels la dite station tient compte de l influence simultan e des trois barrages r servoirs situ s en amont Ces d bits naturels proviennent des apports naturels du bassin versant de la Sanaga et sont en r alit les d bits naturels reconstitu s C est dire les d bits qu aurait parcouru le fleuve si celui ci n avait pas t quip des barrages r servoirs Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Identification et description des donn es 30 Ces donn es sont stock es dans un tableau au format Excel de 365 lignes qui repr sentent les jours d une ann e et de 17 colonnes qui repr sentent les ann es d observations ou de calculs La chronique s tend du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2005 2 2 Description des donn es Tout au long de ce travail nous utiliserons le logiciel R version non commerciale de S plus t l chargeabl
64. d marche nous avons caract riser cette chronique des d bits naturels journaliers Songmbengu par un mod le multiplicatif tout en lui appliquant une moyenne mobile centr e pour la d saisonnaliser 5 RESULTATS Il ressort de nos analyses que la chronique de nos d bits naturels journaliers Songmbengu peut tre caract ris e par l une des quations et suivantes Los O r Hi v 1 2 17 7 1 2 365 o X est le d bit du jour num ro r de l ann e num ro v u est la moyenne empirique des d bits du jour num ro 7 sur les 17 ann es d observations o est la variance empirique des d bits du jour num ro 7 sur les 17 ann es d observations Z est un processus qui suit le mod le ARIMA 11 1 1 dont les param tres sont stock s dans V T le tableau 4 7 du m moire es a Sins re Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE R sum ex cutif 17 1 si correspond au jour i 0 sinon avec Si o 1751 2 0 0059 les coefficients y sont stock s dans le tableau 4 22 du m moire est un processus qui suit le mod le ARIMA 16 1 1 dont les param tres sont stock s dans le tableau 4 11 du m moire Par ailleurs la chronique des d bits moyens mensuels correspondants aux d bits naturels journaliers de l
65. de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 52 r gion de confiance au niveau 95 commune tous les estimateurs des auto corr lations partielles Remarque 4 1 Notons qu il existe cependant d autres m thodes permettant d estimer conjointement les valeurs de p et q Conf re 1 et 4 une premi re m thode dite m thode du coin et une seconde m thode dite m thode SCAN Ces m thodes ne sont pas ou du moins notre connaissance impl ment es dans le logiciel R La deuxi me m thode est impl ment e dans le logiciel SAS mais ce dernier est payant Le temps imparti notre tude ne nous a pas permis d impl menter la premi re m thode dans Apr s de multiples mod lisations nous avons constat que le couple 14 1 fait partie des couples p q major s par 75 13 ayant rendu possible l estimation des param tres du mod le ARIMA p 1 q par le logiciel R De plus la variance estim e des r sidus pour le processus ARIMA 14 1 1 est la plus petite C est en fait le crit re que nous nous sommes fix s dans la section 3 4 2 du chapitre 3 pour le choix d un mod le Nous poursuivons alors cette mod lisation en supposant que p 14 q 1 et d 1 Le mod le ARIMA 14 1 1 d fini par le processus Z a pour quation 14 GB Xans z 1 maB e i l o est un bruit blanc de variance o B est lop rateur retard d ordre p Les valeurs n r S 2
66. de la Sanaga la station de contr le de Songbemgu Ce programme est bas sur un principe markovien du premier ordre d crit la section 3 5 du chapitre 3 Voir commande C 55 en annexe pour le code de ce programme Nous pr sentons sur la figure 4 24 et sur la figure 4 25 les courbes des d bits naturels journaliers obtenus par deux simulations distinctes l aide de ce programme de simulation Notons que nous avons simul les d bits naturels de 17 ann es soit de 6205 jours et que la premi re valeur simul e est celle du 1 Juillet Voir commande C 56 dans l annexe pour la r alisation de ces deux simulations Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 173 FIG 4 24 Courbe des d bits journaliers simul s d bits 4000 6000 8000 2000 0 o 1000 2000 3000 4000 5000 6000 jours FIG 4 25 Courbe des d bits journaliers simul s d bits 4000 6000 8000 2000 0 T T T T T T T o 1000 2000 3000 4000 5000 6000 jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 74 Conclusion g n rale Dans le but de ma triser le co t de la d pense en volume de combustibles n ces
67. de remplir les barrages r servoirs Puis en p riode de basses eaux des l chers d eau sont effectu s aux barrages r servoirs pour augmenter progressivement le d bit du fleuve Le bassin de la Sanaga est actuellement quip de trois barrages r servoirs situ s en amont des sites de production le barrage de Mbakaou mis en service en 1970 sur le cours du Djerem ce r servoir a une capacit de 2 6 milliards de m tres cubes et permet de r gulariser les apports du versant sud de l Adamaoua La dur e de propagation des clus es entre Mbakaou et Song Loulou est de 7 jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 23 le barrage de Bamendijin mis en service en 1974 sur le cours du Noun ce r servoir a une capacit de 1 8 milliards de m tres cubes La dur e de propagation des clus es entre Bamendjin et Song Loulou est de 5 jours le barrage de Map mis en service en 1987 sur le cours de la Map ce r servoir a une capacit de 3 2 milliards de m tres cubes La dur e de propagation des clus es entre Map et Song Loulou est de 5 jours 1 3 3 Les stations hydrologiques du B V I de la Sanaga Environ 80 de l nergie lectrique camerounaise est produite partir des usines hydro lectriques La gestion de la production
68. des donn es 31 FIG 2 2 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 1988 1994 e D i A 19383 1939 A 1989 1990 A 1990 1991 a A 1991 1992 pE A 1992 1993 A 1993 1994 2 8 8 e p N o 100 200 300 jours a m A 1994 1995 A 1995 1996 A 1996 1997 mn A 1997 1998 2 A 1998 1999 A 1999 2000 2 8 8 T E N E o 100 200 300 jours Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Identification et description des donn es 32 FIG 2 4 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 2000 2005 oO s a m A 2000 2001 m A 2001 2002 z m A 2002 2003 m A 2003 2004 2 m A 2004 2005 p 2 lt e gt ED oO oN oO Nous remarquons des figures ci dessus que le d bit naturel de la Sanaga Songmbengu a une volution cyclique dont la p riode est de 12 mois chaque cycle est form d une succession de 2 phases e une phase de crue ou croissance des d bits qui s tend du mois d Avril au mois d Octobre o le d bit maximal est atteint Cette valeur maximale du d bit est RS E 3 g n ralement sup rieure 6000 M e une phase d tiage ou de d croissance des d bits qui s tend du mois de Novembre au mois de Mars de l ann e suivant
69. e A l issue de cette troisi me tape nous obtenons ainsi les erreurs d ad quation du mod le aux donn es r elles relatives l ann e 2003 2004 4 Nous utiliserons quatri mement la chronique des d bits allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2004 pour r estimer les param tres de ce mod le que nous utiliserons pour faire les pr visions de la p riode allant du 1 Juillet 2004 au 30 Juin 2005 Nous calculons l erreur quadratique relative moyenne et l erreur quadratique moyenne de l ajustement de ce mod le r estim cette chronique Puis nous calculons ces m mes erreurs pour la pr vision effectu e A l issue de cette quatri me tape nous obtenons ainsi les erreurs d ad quation du mod le aux donn es r elles relatives l ann e 2004 2005 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 47 CHAPITRE 4 APPLICATIONS ET RESULTATS 4 1 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers par un processus ARIMA Nous adopterons la d marche propos e dans 2 par Box et Jenkins pour mod liser une s rie chronologique pr sentant de fortes variations saisonni res comme la n tre figure 2 1 Nous pr sentons cette d marche en l appliquant la chronique de nos d bits qui n est en fait qu une s rie chronologique s tendan
70. e contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 56 FI1G 4 8 Histogramme des r sidus standardis s 2 gt Lee Cd cs oO gt til nitro r T T T T T 1 6 4 2 o 2 A 6 r sidus standardis s Nous pr sentons sur la figure 4 8 ci dessus obtenue en utilisant la commande C 21 en 1 E 7 annexe l histogramme du processus 7 o est l cart type du processus stationnaire amp Cet histogramme pr sente l allure d une distribution normale Vu la non significativit des coefficients ar5 ar7 ar8 ar9 et ar10 tableau 4 4 nous concluons que le processus Z suit un mod le ARIMA I 1 1 1 dont l quation est 1 0 97518 0 0476B 0 1222B 0 0761B 0 0539B 0 0337B Z 1 0 9897 B e o amp est un bruit blanc de variance estim e 6 0 07108 Nous pouvons pr sent estimer le processus Z par le mod le ARIMA II 11 et par la suite l aide de la transformation X 2 44 estimer la chronique de nos d bits X Conclusion g n rale de cette mod lisation Nous terminons cette partie en disant que l quation finale du mod le v rifi par la chronique de nos d bits naturels journaliers X y Est 7 E O Zor L o Z est un processus qui suit le mod le ARIMA II 1 1 dont les param tres sont T stock s dans le tableau 4 4 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du
71. e longue chronique P riode de basses eaux p riode d tiage ou saison s che c est la p riode de l ann e o le d bit naturel d un fleuve est inf rieur son module P riode de hautes eaux de crue ou saison humide c est la p riode de l ann e o le d bit naturel du fleuve est sup rieur son module Ann e moyenne ann e au cours de laquelle une variable hydrologique observ e a une valeur voisine de la moyenne de cette variable calcul e sur une longue chronique Ann e hydrologique p riode continue de 12 mois alternant une p riode de crue et une p riode d tiage Bassin versant d un cours d eau il correspond la surface au sol o toute pr cipitation tomb e va alimenter ce cours d eau et l ensemble de ses affluents Par extension toute pr cipitation tombant l ext rieur du bassin versant alimentera d autres cours d eau Bilan hydrique ou hydrologique bilan d eau fond sur le principe que pendant un certain intervalle de temps le total des apports un bassin versant doit tre gal au total des sorties plus la variation positive ou n gative du volume d eau stock dans le dit bassin Bassin versant d un barrage r servoir il correspond la surface au sol o toute pr cipitation tomb e va alimenter ce r servoir Par extension toute pr cipitation tombant l ext rieur du bassin versant alimentera d autres cours d eau ne se dirigeant pas vers ce
72. e o le d bit minimal est atteint Cette valeur PA s cr 3 3 est g n ralement inf rieure 100 771 IS Ainsi l ann e hydrologique ici est la p riode allant du mois d Avril au moi de Mars de l ann e suivante Les courbes pr sentant les volutions journali res des d bits naturels du B V I de la Sanaga Songmbengu suivant un d coupage mensuel sont pr sent es sur les figures 2 5 2 40 dans l annexe Le tableau contenant les d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga Songmbengu ainsi que les valeurs des param tres de dispersion et de tendance centrale correspondants ces d bits est pr sent dans l annexe tableau 2 1 Le tableau contenant les d bits moyens mensuels correspondants ces d bits naturels journaliers est pr sent dans l annexe tableau 2 2 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE 33 CHAPITRE 3 OUTILS STATISTIQUES 3 1 Mod les d terministes D finition 3 1 Une s rie chronologique Y t ET est une suite d observations index es par un ensemble ordonn T ft A On supposera dans toute la suite que les dates sont quidistantes et donc nous adopterons la notation simplifi e pour l ensemble d indices T sn Ainsi la s rie s crira Yt Len On consid re qu une s rie r est l
73. e sur le site internet http lib stat cmu edu R CRAN aussi bien pour faire les calculs num riques les graphiques que pour faire les pr visions et les simulations Tous les commandes R utilis es sont stock es en annexe Notons aussi que la premi re valeur des hydrogrammes de chapitre correspond la valeur du d bit du 1 Juillet La figure 2 1 pr sente l volution des d bits naturels journaliers reconstitu s du B V I de la Sanaga la station hydrologique de Songmbengu sur toute la p riode d tude C est dire du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2005 Voir commandes C 1 pour son obtention FIG 2 1 Evolution des d bits naturels journaliers d bits 4000 6000 8000 2000 0 1990 1995 2000 2005 ann es On remarque que la tendance de cette chronique est presque inexistante ou du moins varie tr s peu Donc cette chronique para t essentiellement compos e des variations saisonni res Les trois figures suivantes pr sentent les volutions journali res des d bits naturels de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu par an Notons que les d bits d une ann e vont du 1 Juillet au 30 Juin de l ann e suivante Voir commandes C 2 C 3 C 4 pour leur obtention Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Identification et description
74. ement bvi 1 17 les diff rentes lignes de ce tableau sont obtenues en ex cutant les instructionsuivantes el sortiel 2 e2 sortie2 2 e3 sortie3 2 e4 sortie4 2 C 25 Obtention de la figure 4 10 Nous utilisons successivement les commandes suivantes pl c sortiel 1 p2 c sortie2 1 p3 c sortie3 1 p4 c sortie4 1 par mfrow c 2 2 plot bvi 14 xlab jours ylab d bits main Ann e 2001 2002 type 1 lines p1 col 4 legend x 120 y 6000 legend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 plot bvi 15 xlab jours ylab d bits main Ann e 2002 2003 type 1 lines p2 col 4 legend x 120 y 6000 legend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 plot bvi 16 xlab jours ylab d bits main Ann e 2003 2004 type 1 lines p3 col 4 legend x 120 y 6000 legend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 plot bvi 17 xlab jours ylab d bits main Ann e 2004 2005 type 1 lines p4 col 4 legend x 120 y 6000 legend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 93 C 26 Obtention de la droite de r gression des carts types en fonction des mo
75. enons ainsi les erreurs quadratiques d ad quation du mod le aux donn es r elles relatives l ann e 2001 2002 2 Nous utiliserons deuxi mement la chronique des d bits allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2002 pour r estimer les param tres de ce mod le que nous utiliserons pour faire les pr visions de la p riode allant du 1 Juillet 2002 au 30 Juin 2003 Nous calculerons l erreur quadratique relative moyenne et l erreur quadratique moyenne de l ajustement de ce mod le Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 46 r estim cette chronique Puis nous calculons ces m mes erreurs pour la pr vision effectu e A l issue de cette deuxi me tape nous obtenons ainsi les erreurs d ad quation du mod le aux donn es r elles relatives l ann e 2002 2003 3 Nous utiliserons troisi mement la chronique des d bits allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2003 pour r estimer les param tres de ce mod le que nous utiliserons pour faire les pr visions de la p riode allant du 1 Juillet 2003 au 30 Juin 2004 Nous calculerons l erreur quadratique relative moyenne et l erreur quadratique moyenne de l ajustement de ce mod le r estim cette chronique Puis nous calculons ces m mes erreurs pour la pr vision effectu
76. er ma profonde gratitude M ATANGANA Martin analyste junior charg du risque hydrologique AES SONEL au Dr Eug ne Patrice NDONG NGUEMA qui malgr leurs nombreuses occupations taient toujours disponibles suivre ce travail Ma reconnaissance va naturellement au professeur Henri GWET et M Isidore PRISO KOTTO qui ont permis que je fasse mon stage AES SONEL Ma reconnaissance et mes sinc res remerciements vont la collaboration AMMSI African Mathematics Millenium Science Initiative pour la main forte qu elle m a pr t e pour la r daction de ce m moire travers le professeur David BEKOLLE Je tiens galement exprimer ma reconnaissance et mes sinc res remerciements Mme KENNE Emilie Mme MAPA Sidonie Mile Alvine TENKEU Aldoph TAKAM Patrice MAHIANE Guy WHEGANG Solange KOUAMO Olaf TOUSSILE Wilson DJIMEFO Georges Parfait TCHIDA Emmanuel FOTSING R n tous mes camarades de promotion et enfin au Seigneur tout puissant qui je dois tout Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE iv Lexique et abr viations Hydrologie science qui tudie les propri t s de l eau et sa circulation naturelle la surface de la terre Module d un cours d eau c est la valeur du d bit moyen annuel de ce cours d eau calcul e sur un
77. es invariantes par r r t 99999 r ty t translation dans le temps D finition 3 9 Un processus X est stationnaire au second ordre ou faiblement stationnaire si ses moyennes et ses covariances sont invariantes par translation C est dire 4 E X t t t j Z 4 VED E X a X a r S Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 39 Dans la suite stationnaire signifiera stationnaire au second ordre Supposons que X est un processus stationnaire au second ordre D finition 3 10 7 est appel fonction d autocovariance Remarque 3 3 var X 0 pour tout t Z Th or me 3 1 1 D 7 7j pourtout j eZ Gi 7 0 gt 0 iii y est une fonction d finie positive c est dire DS 7H 1 2 2 20 Vn gt 0 Y t z eR j 1 k l On pose pour tout j Z p j 70 y0 D finition 3 11 p est appel fonction d autocorr lation Corollaire 3 1 La fonction d autocorr lation a toutes les propri t s de la fonction d autocovariance et satisfait la condition suppl mentaire p 0 l On pose cov X P X Xa P Xia r k 0 pour E Z var X Fy D e 2 A o Ex A1 et Ex A Lu sont respectivement la r gression ou la projection de X respectivement de sur le sous espace engendr par
78. et leurs propri t s chimiques biologiques et physiques ainsi que leur interaction avec l environnement physique En tant que telle elle est le fondement de la r solution des probl mes pratiques d inondation de s cheresse d rosion de transport des s diments de la pollution des eaux et de la production de l nergie L nergie lectrique est l un des facteurs les plus importants de d veloppement conomique de la soci t moderne L nergie lectrique d origine hydraulique est une source d nergie renouvelable Les ouvrages de production hydro lectrique varient selon le site le climat et la demande en nergie En ce qui concerne les ouvrages de production hydro lectrique de AES SONEL la connaissance l avance des d bits naturels journaliers de la Sanaga juste l entr e des usines hydro lectrique est essentielle pour programmer l exploitation des eaux stock es dans les barrages r servoirs situ s en amont de ces usines Mais dans la pratique fournir ce genre d information est loin d tre aussi simple L objet de notre tude la Direction de l Etude et de la Planification de la soci t AES SONEL est bas sur la mod lisation et la pr vision des d bits naturels journaliers du Bassin Versant Interm diaire de la Sanaga en amont de la station hydrologique de Songmbengu Notre tude s articule autour de quatre chapitres e au premier chapitre nous pr sentons le contexte et la pro
79. ette valeur tant inf rieure 0 05 on rejette alors l hypoth se de non stationarit du processus Y avec un risque de se tromper de 5 Voir commande C 8 en annexe pour la r alisation de ce test Nous retenons alors d 1 comme l ordre de diff rentiation du processus Z Rappelons ici quelques r sultats pratiques conf re 4 nous permettant d apporter une justification suppl mentaire pour le choix du nombre 1 comme ordre de diff rentiation du processus Z 1 Les observations d un processus stationnaire fluctuent autour d une valeur moyenne 2 Si l auto corr lation de d calage 1 est gale 0 ou est n gative le processus n a pas besoin d tre diff renci Si l autocorr lation de d calage 1 est inf rieure 0 5 le processus est sur diff renci Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 50 V rification graphique de ces deux r sultats On voit clairement sur la figure 4 3 que l autocorr lation de d calage 1 n est pas significative En effet cette valeur est l int rieur de la r gion de confiance au niveau 95 d limit e par la bande en pointill bleue La courbe montrant l volution du processus Y est pr sent e sur la figure 4 4 ci dessous voir commande C 9 en annexe pour son obtentio
80. h i estim es des param tres ar ma et o ainsi que leurs intervalles de confiances respectifs sont stock s dans le tableau 4 1 de la page suivante Ce tableau est obtenu en utilisant les commandes C 12 et C13 en annexe Ce tableau nous montre d une part que le coefficient ar14 n est pas significatif et d autre part que le coefficient mal l est Ce qui nous sugg re de choisir plut t un mod le ARIMA 13 1 1 Le tableau 4 2 obtenu en utilisant les commandes C 14 et C 15 dans l annexe contient les param tres ainsi que les intervalles de confiance des coefficients du mod le ARIMA 13 1 1 Ce tableau montre que le coefficient ar13 n est pas significatif et que le coefficient mal l est Ce qui nous sugg re de prendre un mod le ARIMA 12 1 1 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 33 TAB 4 1 Param tres estim s du mod le ARIMA 14 1 1 2 5 97 5 arl 0 9509 0 9770 1 0030 ar2 0 0130 0 0478 0 0825 ar3 0 1578 0 1231 0 0883 ar4 0 0425 0 0774 0 1124 ar5 0 0189 0 0161 0 0511 ar6 0 0874 0 0525 0 0175 ar7 0 0337 0 0013 0 0363 ar8 0 0651 0 0302 0 0048 ar9 0 0117 0 0233 0 0583 arl0 0 0662 0 0312 0 0037 arll 0 0130 0 0219 0 0568 arl2 0 0164 0 0184 0 0532 arl3 0 0582 0 0235 0 0113 arl4 0 0044 0
81. i t AES SONEL est bas sur une analyse statistique des d bits naturels journaliers du bassin versant interm diaire de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu En premi re analyse nous avons standardis cette s rie chronologique puis nous avons mod lis la s rie r sultante par le mod le ARIMA 1 1 1 1 En seconde analyse nous avons effectu une mod lisation de ces d bits par un mod le de type multiplicatif et ceci apr s une d saisonnalisation de cette s rie l aide d une moyenne mobile En vue de comparer les r sultats de ces deux mod lisations les erreurs quadratiques relatives moyennes er et les erreurs quadratiques moyennes em de la pr vision a posteriori de l ajustement ont t valu es Ces mod les paraissent quivalents en termes de ces deux erreurs En troisi me analyse nous avons mod lis les d bits moyens mensuels correspondants ces d bits naturels journaliers par le mod le SARIMA 1 0 0 1 1 1 Enfin en quatri me analyse nous avons tabli un mod le de simulation bas sur un processus markovien du premier ordre Ce travail va ainsi permettre la soci t AES SONEL partir d un programme de pr vision annuelle des d bits naturels journaliers r alis base du mod le de pr vision retenu de ma triser le co t de la d pense en volume de combustibles n cessaire pour la production de l nergie lectrique partir des centrales thermiques
82. idus diff renci s pacf diff ts res est lag max 150 main R sidus diff renci s C 34 Obtention du tableau 4 7 model3 arima tsr2 order c 16 1 1 C 35 Obtention du tableau 4 7 suite round confint model3 4 C 36 Obtention de la figure 4 16 Nous utilisons les commande suivantes plot model3 residuals xlab Ann es ylab r sidus main Courbe des r sidus acf model3 res main R sidus lag max 150 pacf model3 res main R sidus lag max 150 plot box ljung model3 res k 30 C 37 Obtention de la figure 4 17 Nous utilisons successivement les commandes suivantes res estl ts res est model3 res ts bvi esti regl coefl 1 rep des 1 17 res est1 plot ts bvi xlab Ann es ylab d bits lines ts bvi est1 col 2 legend x 1988 y 8500 1egend c courbe des d bits r els courbes des d bits estim s col 1 2 text col 1 2 fill 1 2 C 38 Obtention du tableau 4 8 Nous utilisons les commandes suivantes r ts bvi ts bvi est1 er sgrt sum r 2 sum ts bvi 2 100 em sqrt sum r 2 6205 C 39 Obtention du tableau 4 9 Nous utilisons d abord le programme suivant Ce programme prend en entr e par exemple un tableau de d bits pr dit sa derni re colonne et calcule les erreurs quadratiques de l ajustement et de la pr vision Ceci en mod lisant la chronique obtenue avec le reste des donn es de ce tableau par un mod le multiplicatif tout en d saisonnalisant cette chronique par la m thode de
83. igine hydraulique permettant d alimenter le r seau Sud Pour une bonne compr hension de la production de cette nergie il est n cessaire de conna tre le bassin versant de la Sanaga ainsi que ses am nagements hydrauliques 1 2 Pr sentation du bassin versant de la Sanaga Ces informations sont issues de 9 La Sanaga est le plus grand fleuve du Cameroun Le bassin de la Sanaga est dans sa quasi totalit sur le territoire Camerounais une infime partie 200 km P Est se trouve en R publique CENTRAFRICAINE R C A Il s tend de la latitude 3 32 N la latitude 7 22 N Son point le plus Occidental se trouve sur le m ridien 9 45 E vers l Est il atteint le m ridien 14 57 E Sa superficie est d environ 133000 km soit plus de 25 de la superficie totale du pays On distingue dans le cours de la Sanaga 3 grandes divisions la Sanaga sup rieure repr sent e par le Djerem la moyenne Sanaga repr sent e par le Mbam Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 22 la Sanaga inf rieure c est la partie du fleuve situ e apr s les chutes d Ed a et se dirigeant vers l oc an Atlantique Les informations des parties 1 3 1 4 et 1 5 sont issues du document 3 1 3 Am nagements hydro lectriques de la
84. ion et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe d bits d bits d bits Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE 20 W M 100 400 300 200 100 FIG 2 11 D bits du mois de F vrier par ann e FIG 2 12 A 1933 1939 A 1989 1990 A 1990 1991 A 1991 1992 A 1992 1993 A 1993 1994 jours D bits du mois de F vrier par ann e si A 1994 1995 AA99S 1996 A 1996 1997 m A 1997 1998 mw A 19983 1999 MA1 999 2000 0 FIG 2 13 10 15 20 jours D bits du mois de F vrier par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 A 2003 2004 AS 2004 2005 jours 78 DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe 79 FIG 2 14 D bits du mois de Mars par ann e gt gt lt E gt gt lt gt E Poy D L Pam gt wN gt a T T T T T T o 10 1 20 25 30 jours d bits d bits Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de FIG 2 15 D bits du mois de Mars par ann e jours FIG 2 16 D bits du mois de Mars par ann e A 2000 2001 VE r K
85. istinction nous pr sentons une m thode d identification d crite dans 7 en supposant que la s rie a une p riodicit annuelle M thode d identification du type de sch ma 1 On calcule d abord les moyennes et les carts types pour chacune des p riodes consid r es C est dire par exemple pour une chronique ayant une p riodicit annuelle on calcule les moyennes et les carts types des observations pour chacune des ann es de cette chronique 2 On calcule ensuite la droite des moindres carr s ax b C est dire on calcule la droite de r gression de ces carts types en fonction de ces moyennes 3 Enfin si a est significativement non diff rent de 0 un seuil que l on s est fix par exemple 5 nous pouvons conclure que le mod le de composition est additif sinon le mod le de composition est multiplicatif D finition 3 2 Une s rie des moyennes mobiles d ordre k not e MM k est la s rie des moyennes de k observations cons cutives et elle prend ses valeurs aux dates moyennes correspondantes Plus pr cis ment on calcule les moyennes de termes cons cutifs teitt ne Pet r X 1 pour les dates re puis E E jusqu AE E a CU k 2 2 et pour la variable d int r t Y Y He Y Y n E E Tatha teth k Remarque 3 1 Si est impair k 2m 1 la s rie moyenne mobile est calcul e aux m mes instants que les observations initiales Ainsi les dates de l
86. itle main list FIG 4 1 Evolution des d bits standardis s col 4 cex 1 font 2 C 6 Obtention de la figure 4 2 acf ts bvi stand main F1G 4 2 Corr logramme des d bits standardis s lag max 100 C 7 Obtention de la figure 4 3 acf diff ts bvi stand main F1G 4 3 ACF des d bits standardis s et diff renci s lag max 150 C 8 R alisation du test de Phillips Perron PPtest diff ts bvi stand Ishort F C 9 Obtention de la figure 4 4 Nous utilisons successivement les commandes suivantes plot diff ts bvi stand xlab ann es title main list FIG 4 4 Evolution des d bits standardis s et diff renci s col 4 cex 1 font 2 C 10 Obtention de la figure 4 5 Nous utilisons successivement les commandes suivantes d diff diff ts bvi stand acf d main F1G 4 5 ACF des d bits standardis s et diff renci s 2 fois lag max 150 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 90 C 11 Obtention de la figure 4 6 pacf diff ts bvi stand main FIG 4 6 PACF des d bits standardis s et diff renci s lag max 150 C 12 Obtention du tableau 4 1 modell arima ts bvi stand order c 14 1 1 C 13 Obtention du tableau 4 1 suite round confint model1 4 C 14 Obtention du tableau 4 2 model2 arima ts bvi stand order c 13 1 1 C 15 Obtention du
87. its ii E courbe des moyennes mobiles centr es S WWO 2 8 LE oo o oO T T T T 1990 1995 2000 2005 Ann es Les coefficients saisonniers corrig s sont stock s dans le tableau 4 15 en annexe Ils sont obtenus en utilisant la commande C 28 dans l annexe La figure 4 12 ci dessous pr sente la s rie corrig e des variations saisonni res qu une estimation de la tendance globale long terme de la chronique des d bits Cette figure est obtenue en utilisant la commande C 29 en annxe FIG 4 12 Graphe de la s rie corrig e des variations saisonni res a m courbe des d bits Se courbe de la s rie corrig e des va afiations saisonni res courbe de la tendance globale estim e CD co 2 2 S ki 1 M r LINT MR Ra ii j DU h Adli MALE i Mi j i i i W l nt 1990 1995 2000 2005 ann es Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 6l On voit clairement sur la figure 4 12 que la tendance globale long terme de cette chronique est presque constante Cette tendance a t estim e en effectuant la r gression de la s rie corrig e des variations saisonni res en fonction du temps L quation de cette tendance estim e est C 0 0059 1751 o les coefficients 0 0059
88. les variables al atoires 4 D finition 3 12 7 est appel fonction d autocorr lation partielle D finition 3 13 Un bruit blanc est un processus amp t Z centr tel que 1 sit s E e 6 avec S CO gt Q 0 sinon Proposition 3 2 Un estimateur empirique de la fonction d autocorr lation ACF p est se PU d finie par D lt 0 y0 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 40 DES X X X si0 lt k lt n 1 n 0 sik 2n o 7 Proposition 3 3 Un estimateur empirique de la fonction d autocorr lation partielle PACF r s obtient en r solvant le syst me de Yule Walker suivant en a ss Ar PO a D p 2 p k j 12 k et en prenant P k amp k Z Cf 1 D finition 3 14 X est un processus ARMA p q autor gressif moyenne mobile s il est stationnaire et v rifie B X 0 B amp t1 eZ o est un bruit blanc B I B B B 0 et O B I 0 B 0 B 0 B 0 0 0 et sont des polyn mes de degr q et p respectivement et donc les racines sont de module sup rieur 1 et ne sont pas communes D finition 3 15 Un processus auto r gressif d ordre p not AR p est un processus ARMA p q avec q 0 D finition 3 16 Un p
89. leurs du couple p q v rifiant cette condition nous avons retenu le couple 16 1 comme celui pour lequel la variance des r sidus du mod le est minimale Le mod le ARIMA 6 1 1 v rifi par le processus amp a pour quation g n rale 16 l ar Bi Be 1 maBM i l o y est un bruit blanc de variance 6 gt les param tres estim s de ce mod le ainsi que les intervalles de confiance correspondants son stock s dans le tableau 4 7 ci dessous Ce tableau est obtenu en utilisant les commandes C 34 et C 35 dans l annexe On peut noter sur ce tableau que les coefficients ar16 et mal sont significatifs On peut noter sur ce tableau que les coefficients ar16 et mal sont significatifs TAB 4 7 Param tres estim s du mod le ARIMA 16 1 1 25 97 5 arl 0 9474 0 9736 0 9997 ar2 0 0548 0 0895 0 1242 ar3 0 2287 0 1939 0 1592 ar4 0 0682 0 1033 0 1384 ars 0 0627 0 0275 0 0076 ar6 0 0472 0 012 0 0232 ar7 0 0846 0 0258 0 0610 ar8 0 0846 0 0494 0 0143 ar9 0 0064 0 0288 0 0640 ar10 0 0613 0 0261 0 0091 ar11 0 0007 0 0358 0 0710 ar12 0 0270 0 0082 0 0434 ar13 0 0767 0 0416 0 0065 arl4 0 0315 0 0033 0 0380 arl5 0 0527 0 0180 0 0166 arl6 0 0135 0 0391 0 0646 mal 0 9999 0 9918 0 9838 2 0 0089 7 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du D
90. logramme partielle des r sidus voir figures 4 7 obtenue en utilisant la commande C 20 en annexe permettent de conclure que le processus est stationnaire En vue de v rifier l hypoth se de non corr lation des r sidus nous effectuons le test de Ljung Box dont l hypoth se nulle est la nullit de tous les auto corr lations de d calages inf rieurs ou gaux un certain ordre que l on pr cise lors de la r alisation de ce test dans le logiciel R Ainsi pour v rifier l hypoth se d ind pendance entre les r sidus nous construisons un graphe pr sentant les valeurs des probabilit s critiques du test de Ljung Box en fonction des ordres maximaux de d calages fix s figures 4 7 On observe sur ce graphe que ces probabilit s critiques sont toutes sup rieures 0 05 ce qui nous permet alors de ne pas rejeter l hypoth se nulle au seuil 5 Nous pouvons dont conclure que ces r sidus forment effectivement un bruit blanc FIG 4 7 Diagnostic des r sidus du mod le ARIMA 11 1 1 Evolution des r sidus Series residus nn o oO 2 bad oO t e a gt ae ET ss 1990 1995 2000 2005 ann es Lag Series residus p valeur du test de Ljung Box ce oO 8 z oe 2 2 amp F 2 Q o me nl 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 o 5 10 15 20 25 30 Lag d calages maximaux Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY 1 ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station d
91. mes perdues lors du calcul de la s rie des moyennes mobiles centr es Puis on calcule les donn es sans tendance ou diff rences saisonni res Y C on calcule la moyenne des donn es sans tendance du mois j surles 7 ann es ceci pour chacun des mois Ce sont les coefficients saisonniers D o S ue C N iz J on calcule la moyenne des S S y S i P ja Si S 0 on corrige les S S S y b Cas d un mod le mulptiplicatif _ Y On calcule les donn es sans tendance ou rapports saisonniers C t on calcule la moyenne des donn es sans tendance du mois j sur les n ann es ceci pour chacun des mois ILE S gt S nTa Ciy J on calcule la moyenne des S S s a P ja Si S 1 on corrigeles S S On obtient la fin de cette 27 tape la s rie des variations saisonni res 9 Pour tout i S S ceci pour tous les mois j LJ J p Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 37 3 On calcule la s rie corrig e des variations saisonni res CVS a Cas d un mod le additif D Y S Y S LJ b Cas d un mod le multiplicatif i Fo D Siy S On peut r valuer la tendance l issue de cette 3 tape par ajustement global de la p
92. montre clairement la pr sence des variations saisonni res dont la p riode est de 12 mois Ce processus n est par cons quent pas stationnaire FIG 4 19 Courbe des d bits moyens mensuels d bits moyens 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 LEE er pg Ri 1990 1995 2000 2005 ann es On pourra ainsi se servir d un mod le SARIMA p d qXP D 0 pour caract riser ce processus En vue de d terminer l ordre D nous tudions le processus Z 1 B Y Les corr logrammes pr sent s sur la figure 4 21 obtenue en utilisant la commande C 43 en annexe nous permettent de penser que le processus Z est stationnaire Ce r sultat est confirm par les tests de non stationnarit de Phillips Perron pour lequel la probabilit critique est de 0 01 Voir commande C 44 en annexe pour la r alisation de ce test Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 68 FIG 4 20 Autocorr logrammes du processus Y Auto corr logramme O LL LE O lt RON RE T 0 1 2 3 4 Lag Auto corr logramme partiel co S lt 2 o En br o 1 2 4 Lag FIG 4 21 Autocorr logrammes du processus Z Auto corr logramme re Li x re TF o 1 2 3 Lag S z 3 _ G Lag Mod lisation et pr vision des d
93. mulation tab bvi qf 1400 tf 1 n 6205 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe TAB 4 14 Coefficients saisonniers corrig s Janvier F vrier Mars Avril Mai Juin Juillet Ao t Septembre Octobre Novembre D cembre 0 3796690 0 18493876 0 08587659 0 1057755 0 2697603 0 4951706 0 7530991 1 317714 2 002241 2 687462 2 6032219 0 8732004 0 3761328 0 17933059 0 08419594 0 1112016 0 2802059 0 5105538 0 7607697 1 345310 1 974055 2 695277 2 5368281 0 8521936 0 3635125 0 17512521 0 08767996 0 1118542 0 2733742 0 5113827 0 7963744 1 362327 2 043516 2 709429 24591116 0 8128188 0 3508398 0 17490494 0 08692630 0 1143066 0 293147 0 5444097 0 8299763 1 409952 2 087100 2 730005 24181327 0 7856386 0 3463216 0 16469434 0 08386257 0 1135146 0 2999013 0 5291337 0 8511784 1 426061 2 129695 2 763001 2 3685970 0 7569524 0 3315193 0 17137307 0 08297303 0 1185111 0 3082965 0 5402105 0 8790408 1 436476 2 161386 2 802147 2 2996309 0 7282198 0 3252176 0 15495350 0 08424114 0 1217768 0 3100021 0 5526233 0 8941734 1 471021 2 2208
94. n On voit clairement sur cette figure que les observations de ce processus fluctuent autour de la valeur moyenne 0 FIG 4 4 Evolution des d bits standardis s et diff renci s baaa N re gt Es 2 e gt Eae Li gt Q gt T5 gt E gt T x re z T T T T 1990 1995 2000 2005 ann es Consid rons le processus X 1 B Z 1 B Y Son autocorr logramme est pr sent sur la figure 4 5 ci dessous voir commande C 10 en annexe pour son obtention On voit clairement sur cette figure que l autocorr lation de d calage 1 est inf rieure 0 5 Ce qui traduit une sur diff rentiation du processus Z FIG 4 5 ACF des d bits standardise s et diff renci s 2 fois 05 n L gt j T T T T T oo o 1 o2 O3 o4 Lag Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 51 Les r sultats pr c dents confirment le choix de la valeur 1 comme ordre de diff rentiation du processus Z En vu de d terminer les ordres p et q nous tudions le processus Y tout en supposant qu il est un ARMA p q Pour cela nous proc dons par une approche empirique qui consiste d terminer un couple P Q tel que Y est approximativement un AR P et un MA OQ Pui
95. n et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e _R sum ex cutif SS oOo cette d pense Pour y parvenir AES SONEL a tabli une proc dure leur permettant d estimer ce co t Mais parmi les donn es les plus importantes dont besoin cette proc dure pour fonctionner figure une pr vision sur un an des d bits naturels journaliers Songmbengu Il en r sulte de tout ce qui pr c de qu un programme permettant de faire une pr vision annuelle des d bits naturels journaliers de la Sanaga Songmbengu est indispensable pour AES SONEL 3 DONNEES En vue de d terminer le programme de pr vision dont il est question dans cette tude Nous allons d abord chercher mod liser caract riser la chronique des d bits naturels reconstitu s et journaliers de la Sanaga Songmengu calcul s sur la p riode allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2005 4 METHODOLOGIE Nous avons utilis s dans notre analyse deux grandes m thodologies statistiques relatives aux s ries temporelles pour essayer de mod liser cette chronique a Pour la premi re d marche nous avons d abord standardiser cette chronique puis nous avons appliqu la chronique r sultante une m thodologie propos e par BOX et JENKINS en vue de caract riser cette derni re chronique par un mod le ARIMA p d q b Pour la seconde
96. ng have been estimated The first model is kept as more reliable in terms of these two errors when compared to the second model In a third analysis we have modelled the monthly average flows corresponding to these daily natural flows by the model SARIMA 1 0 0 1 1 1 In a fourth analysis we established a model of simulation based on a markovian process of the first order This work is going to allow AES SONEL thus through a program of yearly forecasting of the daily natural flows on the basis of the retained forecasting model e to master the cost of expense in necessary fuel volume for the production of electricity from the thermal power stations e to plan the daily exploitation of the hydroelectric system to meet answering the needs of the production and to respect some constraints flooding environment etc Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Table des mati res D dicaces ii Remerciements iii Lexique et abr viations iv R SUM nn vii Abstract
97. nuelle va de pair avec l vacuation d une grande partie de celle ci et le r le r gulateur est somme toute assez modeste sur le bassin aval Comme il est assur de se remplir chaque ann e au cours de la saison humide l int gralit de son stock peut tre utilis e en cours de la saison s che de la m me ann e sans prendre le risque de compromettre le remplissage du r servoir au cours de la prochaine saison Par contre les barrages r servoirs de la Map et de Bamendjin ont des capacit s de stockage peu pr s gales aux apports moyens de leurs bassins versants respectifs La cons quence est qu ils ne doivent pas tre vid s compl tement en une seule saison d tiage car leur remplissage pendant la saison humide de l ann e suivante n est pas acquis En effet pour les remplir nouveau il faudrait que l ann e suivante soit une ann e moyenne au sens hydrologique Ils assurent donc une r gularisation inter annuelle c est dire que les apports d une ann e peuvent tre restitu s les ann es suivantes Une gestion courante de ce type de parc d am nagement consisterait donc pendant la p riode s che utiliser prioritairement le barrage r servoir de Mbakaou jusqu vidange compl te de la retenue puis utiliser conjointement ceux de Map et de Bamendjin tout en y conservant un stock minimal suffisant garantissant leur remplissage l ann e suivante Dans le cas de la Sanaga cette gestion est
98. ois le contexte pr sent exposons maintenant l origine de l objet de notre tude 1 5 Probl matique G n rale Les usines hydro lectriques d Ed a et de Song Loulou fonctionnent au fil de l eau ainsi toute diminution temporaire de d bit au dessous des besoins des groupes en service se traduit par une baisse imm diate de la puissance lectrique disponible Le r gime hydrologique de la Sanaga tr s vari entra nait une production d nergie en dents de scie compl tement li e la merci de la nature Afin d assurer la production d nergie lectrique juste n cessaire pour satisfaire la demande tout en r duisant au maximum les pertes en eaux il est n cessaire de conna tre cinq jours l avance le d bit naturel de la Sanaga la derni re station de contr le de Songmbengu En effet cela permettra de planifier de fa on optimale les quantit s d eau l cher des barrages r servoirs de Map et de Bamendjin qui permettront de compenser ce d bit naturel Ceci si l on suppose que le d bit de l eau l ch e du barrage de Mbakaou est constant Depuis quelques ann es la production d nergie lectrique est en croissance Le poste de la d pense en volume de combustibles est pass au second rang des d penses globales de l entreprise Ce qui implique une planification moyen terme 12 mois de cette d pense Afin de mieux cadrer cette source de d pense en volume de combustibles une pr vision des
99. ontr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 58 o T 1 2 365 Z i sont les pr visions de l ann e k effectu es avec le mod le ARIMA 11 1 1 dont les coefficients sont stock s dans le tableau 4 4 Evaluation a posteriori de la fiabilit du mod le Afin d valuer la fiabilit de ce mod le final nous allons suivre le principe d crit dans la section 3 6 2 du chapitre 3 Les r sultats sont stock s dans le tableau 4 6 obtenu en utilisant la commande C 24 en annexe TAB 4 6 Erreurs quadratiques des ajustements et des pr visions a posteriori Ajustement Ajustement Ajustement Pr vision Pr vision Pr vision Ann es Nombre de jours er em m s Nombre de jours er em m s 2001 2002 4745 55 137 5 365 21 4 433 3 2002 2003 5110 5 4 132 5 365 22 1 555 1 2003 2004 5475 5 2 128 0 365 27 0 730 5 2004 2005 5840 5 0 124 0 365 21 3 493 8 Chacun des graphiques de la figure 4 10 ci dessous obtenue en utilisant la commande C 25 dans l annexe pr sente la courbe des d bits r els sur laquelle est superpos e celle pr dite par le mod le d crit par l quation o les param tres u et ceux du mod le ARIMA 11 1 1 sont r estim s suivant le principe d crit la section 3 6 2 du chapitre 3 FIG 4 10 Courbes des d bits r els et des pr visions Ann e 2001 2002 Ann e 2002 2003
100. par ann e gt B cs a gt Jours FIG 2 28 D bits du mois de Juillet par ann e A 2000 2001 A 2001 2002 A 2002 2003 pen A 2003 2004 2 A 2004 2005 N gt LL oO N p gt gt paea Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE Jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe 84 FIG 2 29 D bits du mois d Aou t par ann e PE A 19088 1089 ee m A 1989 1990 t TRE Z A 1990 1991 H o m A 1991 1992 A 1992 1993 Fa A 1993 1994 r gt EA 5 D En gt C gt lt gt gt gt gt oN T T T T T o 10 15 20 27 30 jours FIG 2 30 Debits du mois d AoQ Qt par ann e Z A 1994 1995 A 1995 1996 A 1996 1997 1997 1998 A 1998 1999 A 1999 2000 RE 22 E lt T T T T T T o s 10 15 20 25 30 jours FIG 2 31 D bits du mois d Ao t par ann e o pae gt co A 2000 2001 gt A 2001 2002 A 2002 2003 gt A 2003 2004 A 2004 2005 pam o L Fei D lt gt gt p gt co gt o oO N Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de SONGMBENGUE Jours DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e Annexe d bits d
101. r ellement observ es qui serviront l estimation des coefficients du mod le 2 qf est la valeur qui pr c de la premi re valeur simuler 3 tf est le num ro du jour de l ann e o l on d sire commencer la simulation 4 n est le nombre de jours des d bits simuler programme simulation function tab qf tf n QH apply tab 1 mean QH c QH 365 QH estimation des moyennes des d bits journaliers SG apply tab 1 sd SG c SG 365 SG estimation des carts types des d bits journaliers EPS rnorm n g n ration de l impulsion al atoire AC c QS c for i in 1 364 ACfi cor t tab i t tab i 1 1 calcul des 364 premiers coefficients d auto corr lation AC c AC cor t tab 365 t tab 1 la derni re valeur de ce vecteur est le coefficient d autocorr lation entre entre le ler et le dernier jour de l ann e AC c AC 364 AC 365 AC 1 364 QS 1 qf j tf i 1 while i lt n 1 QS i 1 QH j 365 1 AC 365 1 1 SG 365 1 SG 6 1 365 11 QS i QH 1 365 1 EPS i SG j 365 1 sqrt 1 AC 0 365 11 2 i i 1 j j QS QS 1 plot QS type 1 xlab jours ylab d bits title main list Courbe des d bits journaliers simul s cex 1 font 2 col 4 QS as data frame QS QS j C 56 Obtention des figures 4 24 et 4 25 Nous effectuons successivement les commandes suivantes s programme simulation tab bvi qf 1400 tf 1 n s programme si
102. r servoir Bassin versant interm diaire B V I en amont d un point situ en aval des barrages r servoirs c est la superficie totale de la zone situ e entre ce point et les barrages r servoirs Le d bit naturel du fleuve en ce point n est plus tout fait un d bit naturel mais un d bit naturel reconstitu Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Lexique et abr viations V R gime hydrologique d un cours d eau c est l ensemble des caract ristiques hydrologiques de ce cours d eau et son mode de variation Le bassin versant interm diaire de la Sanaga en amont de la station de contr le de Songmbengu c est la superficie totale de la zone situ e entre cette station et l ensemble des trois barrages de retenue situ s en amont D bit d un cours d eau repr sente le volume total d eau qui s coule travers une section transversale de ce cours d eau pendant l unit de temps Il s exprime en m s Jaugeage ensemble des op rations de calibrage d un cours d eau ayant pour but de d terminer une relation entre la hauteur et le d bit de ce cours d eau P riode de r gularisation c est la p riode pendant laquelle le d bit du fleuve est soutenu par les apports provenant des l chers effectu s partir de
103. r vision de l ann e b a 2 gt a TE 2 _ jb 2 2 j b e _L erreur quadratique moyenne em que nous crirons pour l estimation x 2 gt S Xia 2 j a em 2 n er n est la taille de la s rie utilis e pour la mod lisation et pour la pr vision de l ann e b n est le nombre de jours pr dire 3 6 2 Une m thodologie d valuation posteriori d un mod le Nous nous sommes inspir s de la m thodologie propos e dans 6 pour valuer la fiabilit d un mod le en termes d erreurs d ajustement et de pr vision On suppose qu un mod le a t pr alablement d termin sur la chronique des d bits naturels journaliers de la Sanaga la station hydrologique de Songmbengu On d sire avoir une id e sur l volution annuelle des erreurs quadratiques de pr vision et d ajustement de ce mod le aux d bits r els Pour y parvenir nous proc derons ainsi l Nous utiliserons premi rement la chronique des d bits allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin 2001 pour r estimer les param tres de ce mod le que nous utiliserons pour faire les pr visions de la p riode allant du 1 Juillet 2001 au 30 Juin 2002 Nous calculerons l erreur quadratique relative moyenne et l erreur quadratique moyenne de l ajustement de ce mod le r estim cette chronique Puis nous calculons ces m mes erreurs pour la pr vision effectu e A l issue de cette premi re tape nous obt
104. rdinateur sur la forme d un tableau de 365 lignes ces lignes sont num rot s de 1 365 et repr sentent les diff rents jours d une ann e compt s partir du 1 Juillet Ainsi les valeurs d une m me colonne correspondent aux d bits des diff rents jours d une ann e donn e S lectionner sur un tel tableau de d bits naturels journaliers ceux correspondants aux ann es allant du 1 Juillet 1988 au 30 Juin de l ann e qui pr c de celle que l on d sire pr dire les d bits On copie cette s lection puis on la colle dans un fichier Bloc notes vide Ensuite on enregistre ce fichier dans le dossier de travail pr c demment cr en le nommant par exemple d bits journaliers du bvi 3 Importation du programme de pr diction et du tableau des d bits dans la console de R a Lancer le logiciel R en double cliquant par exemple sur son ic ne b changer le r pertoire courant de R au dossier de travail pr c demment cr en ex cutant la commande suivante setwd indiquer le chemin d acc s au dossier de travail cr qui est par exemple ceci setwd C outils pour la pr vision des d bits txt dans le cas o les noms propos s ont t utilis s puis valider cette instruction en cliquant sur la touche du clavier Entr e c importer le programme de pr vision dans la console de R en ex cutant la commande suivante Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE
105. residus k 30 r sidus main Evolution des r sidus C 21 Obtention de la figure 4 8 Nous effectuons successivement les commandes suivantes residus stand residus mean residus sd residus hist residus stand proba TRUE nclass 100 xlab r sidus standardis s main FIG 4 8 Histogramme des r sidus standardis s C 22 Obtention de la figure 4 9 Nous utilisons successivement les commandes suivantes ts bvi stand est ts bvi stand residus ts bvi est ts bvi stand est sd moy ts bvi ts as vector as matrix bvi start c 1988 1 frequency 365 plot ts bvi xlab ann es ylab d bits lines ts bvi est col 2 legend x 1988 y 8500 1egend c courbe des d bits courbe des d bits ajust s text col 1 2 fill 1 2 col 1 2 C 23 Obtention du tableau 4 5 Nous utilisons successivement les commandes suivantes res ts bvi ts bvi est er sqgrt sum res 2 sum ts bvi 2 100 em sqrt sum res 2 length ts bvi C 24 Obtention du tableau 4 6 Nous utilisons d abord le programme suivant Ce programme prend en entr e par exemple un tableau de d bits pr dit sa derni re colonne et calcule les erreurs quadratiques de l ajustement et de la pr vision erreur pr vision ajustement function tab tab0 tab 1 ncol tab 1 d limitation de la partie du tableau utiliser pour la r estimation sd apply tab0 1 sd moy apply tab0 1 mean centrage r duction du tableau des donn es tabi
106. rocessus moyenne mobile d ordre q MA q est un processus ARMA p q avec p 0 D finition 3 17 Un processus X est int gr e d ordre d si les processus B X n 1 2 d 1 ne sont pas asymptotiquement quivalents un processus stationnaire mais la s rie Y 1 B yX Pest D finition 3 18 X t est un processus ARIMA p d q autor gressif moyenne mobile int gr s il v rifie une quation du type B A X 0 B e te N o est un bruit blanc A X 1 B X B I B B B 0 O B I 0 B 0 B 0 B 0 0 0 et sont des polyn mes de degr q et p respectivement et donc les racines sont de module sup rieur 1 et o les conditions initiales Z x PEE A N S sont non corr l es avec p Ejs Eppe Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 41 Proposition 3 4 Si X est un processus ARIMA p d q alors le processus Y 1 B X t est asymptotiquement un ARMA p q Cf 1 D finition 3 19 X est un processus SARIMA p d q P D Q c est dire un processus t ARIMA saisonnier s il v rifie une quation de type Ag BAS d B X 0 B 0 B e o amp est un bruit blanc S est la p riode de la saisonnalit A 1 B P Pp 0 0o sont des polyn me
107. s essayer de poursuivre la mod lisation avec tous les couples p q major s par P Q Nous choisissons Q 13 En effet c est le rang compt partir de 0 apr s lequel les autocorr lations estim es du processus Y sont non significatives au seuil de 5 sur la figure 4 3 les autocorr lations estim es dont les rangs sont sup rieurs 13 sont quasiment toutes l int rieur de la bande en pointill bleue Cette bande d finit une r gion de confiance au niveau 95 commune tous les estimateurs des auto corr lations Pour le choix de P observons la courbe de l autocorr logramme partielle graphe de la fonction d autocorr lation partielle du processus Y figure 4 6 Voir commande C 11 en annexe pour son obtention FI1G 4 6 PACF des d bits standardis s et diff renci s Partial ACF 002 000 002 004 006 004 006 T T T T T oo 0 1 O2 O3 O4 Lag Nous choisissons P 75 En effet c est le rang compt partir de 1 au del duquel les autocorr lations partielles estim es du processus Y sont non significatives au seuil de 5 sur la figure 4 6 les autocorr lations partielles estim es dont les rangs sont sup rieurs 75 sont quasiment toutes l int rieur de la bande en pointill bleue Cette bande d finit une Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le
108. s barrages r servoirs D bit r gularis c est le d bit mesur du fleuve pendant la p riode de r gularisation c est dont le d bit naturel am lior par des quantit s d eau manant des r servoirs D bit r gularis vis en fonction de la demande en nergie de la situation du parc de production puissance install e aux usines de production et aux centrales thermiques le gestionnaire des am nagements fixe un d bit r gularis en d but de saison s che qu il s estime pouvoir fournir D bit mesur c est le d bit tel qu on l observe r ellement en un point donn d un cours d eau Eclus e c est la quantit d eau qui coule entre le moment o l on ouvre les portes d une cluse et le moment o on les referme D bit naturel le d bit d un cours d eau est dit naturel lorsqu il correspond au r gime d coulement du fleuve non perturb par la pr sence de retenues artificielles telles que les barrages r servoirs Lorsque le fleuve n est pas quip le d bit naturel correspond au d bit mesur En revanche lorsqu il s agit d un fleuve quip de barrages r servoirs stockant et l chant des stocks consid rables d eau le terme d bit naturel n a plus de signification physique D bit naturel reconstitu d un fleuve c est le d bit qu aurait parcouru le fleuve si celui ci n avait pas t quip Ce d bit n est pas mesurable Son
109. s barrages r servoirs de Mbakaou de Bamendjin et de Map Le barrage de Mbakaou est situ 7 jours temps de propagation des clus s de la centrale de Song Loulou tandis que les barrages de Map et de Bamendjin sont situ s 5 jours de la centrale de Song Loulou G n ralement les vannes du barrages de Mbakaou sont maintenues ouvertes pendant une certaine p riode en jours de sorte que le d bit de l eau y sortant est constant sur toute la p riode La question qui se pose donc ici est celle de savoir quelles sont les quantit s d eau l cher des barrages de Map et de Bamendjin qui viendront s ajouter 5 jours plus tard au d bit naturel de la Sanaga Songmbengu augment du d bit constant de l eau provenant du Barrage de Mbakaou pour alimenter la centrale de Song Loulou puis celle d Ed a afin de produire une quantit d nergie lectrique juste n cessaire pour satisfaire la demande tout en r duisant au maximum les pertes en eaux Mais une planification des quantit s d eau l cher des barrages r servoirs ne pourra tre parfaite que si l on dispose des bonnes pr visions des d bits naturels de la Sanaga Songmbengu Par ailleurs le co t de la d pense en volume de combustibles n cessaire pour la production d nergie lectrique partir des centrales thermiques a une proportion non n gligeable dans le budget de AES SONEL Ce qui implique une planification annuelle de Mod lisatio
110. s de degr respectif p P q Q dont les racines sont de modules sup rieurs 1 Remarque 3 4 Les processus d finis ci dessus ont la forme g n rale suivante D B X B e o D sont des polyn mes et est un bruit blanc D finition 3 20 D est appel polyn me autor gressif du processus Proposition 3 5 Si X est un processus AR p alors r k 0 sik gt p et r p 0 t t Proposition 3 6 Si X est un processus MA q alors D h 0 si gt q et plq 0 3 4 M thodologie mod le A RIMA p d q On dispose des observations X x de Comment mod liser par un mod le ARIMA p d q 3 4 1 Identification priori et estimation Premi re phase de l identification choix de d Approche empirique l autocorr logramme Si les D h restent proches de 1 ou d croissent lentement avec A alors le processus est sans doute non stationnaire Remarque 3 5 Si l autocorr logramme fait penser que X est non stationnaire alors on 8 P t tudie l autocorr logramme du processus Y 1 B X etc Approche par test de racine unit test de Phillips Perron L hypoth se nulle est l hypoth se de non stationnarit dans la s rie tudi e La non stationnarit ici est caract ris e par la pr sence d une racine unit dans le polyn me autor gressif du mod le Pour plus d informations sur ce test cf 1 et 4 Remarque 3 6 Si ce test permet de ne pas rejeter l hypoth se nulle
111. s le rotor et le stator d un g n rateur Puissance install e c est la somme totale des puissances maximales des turbines de la centrale L unit est le M ga Watt MW Quelques abr viations AES All Energy Service SONEL Soci t Nationale d Electricit B V I Bassin Versant Interm diaire AR AutoRegressive autor gressif MA Moving Average moyenne mobile ARMA AutoRegressive Moving Average autor gressif moyenne mobile ARIMA AutoRegressive Integrated Moving Average autor gressif moyenne mobile int gr SARIMA Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average autor gressif moyenne mobile int gr saisonnier er erreur quadratique relative moyenne em erreur quadratique moyenne Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE vii R sum L augmentation de la population Camerounaise ainsi que la cr ation de nouvelles activit s imposent AES SONEL seul fournisseur d nergie lectrique du pays de prendre des dispositions pour assurer la qualit et la continuit de son service et ceci en limitant au maximum ses d penses Elle doit par cons quent optimiser la gestion de ses ressources hydriques Le travail que nous avons effectu la Direction des Etudes et de la Planification Strat gique de la soc
112. s moyennes mobiles centr es erreur pr vision ajustementl function tab k ncol tab 1 tab0 tabl 1 k d limitation de la partie du tableau utiliser pour la r estimation Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 96 tstab0O ts as vector as matrix tab0 start c 1988 1 frequency 365 transformation en s rie temporelle des desaisonnalisation tstab0 p 365 r estimation des coefficients saisonniers et de la s rie corrig des variations saisonni res cvs c des 2 t l length cvs reg lm cvs t tstabO ajusti rep reg coefl1 des 1 k tstab0 ajusti ts as vector as matrix tstab0 ajust1 start c 1988 1 frequency 365 calcul de la s rie estim e par le mod le multiplicatif ts res1 tstab0 tstabO ajust1 model arima ts res1 order c 16 1 1 r estimation des param tres du mod le ARIMA 16 1 1 predi predict model n ahead 365 pred pr vision de l ann e suivante par le mod le ARIMA 16 1 1 pred reg coefl 1 des 1 pred1 pr vision de l ann e suivante derni re colonne du tableau tab ts res ajust ts res1 model res tstabO ajust tstabO ajust1 ts res ajust ajustement finale de la chronique utilis e pour la r estimation res tstab0 tstab0 ajust r sidus de l ajustement finale pred er sqrt
113. s pour la simple raison qu il prend en compte la forte corr lation que nous avons constat e existante entre les d bits du jour num ro j et ceux du jour num ro j 1 de l ann e 3 6 Evaluation d un mod le 3 6 1 Erreur d ajustement et de pr vision Notons x le d bit r el du jour j de l ann e C a le d bit estim du jour j de l ann e 4 i le d bit pr dit du jour j de l ann e D On rappelle qu un r sidu est la diff rence entre une valeur estim e ou pr dite et sa valeur r elle Pour bien analyser les r sidus il est donc n cessaire de distinguer l tude des r sidus de l estimation et celle des r sidus de la pr vision En effet il est vident que les premiers qui ne sont autres que les erreurs d ajustement du mod le aux donn es r elles sont moins importants et mieux distribu s que les seconds souvent d grad s qui expliquent pour leur part les erreurs d ajustement du mod le aux donn es pr dire Pour valuer la qualit de l ajustement du mod le nous calculerons deux types d erreur globale e _L erreur quadratique relative moyenne er que nous crivons pour l estimation 2 DA E Xha 2 j a er 2 DE j a Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Outils Statistiques 45 et pour la p
114. s standardis s et diff renci s 49 4 4 Evolution des d bits standardis s et diff renci s 50 4 5 ACF des d bits standardis s et diff renci s 2 fois 50 4 6 PACF des d bits standardis s et diff renci s 51 4 7 Diagnostic des r sidus du mod le ARIMA 1 1 1 55 4 8 Histogramme des r sidus standardis s 56 4 9 Ajustement de la s rie des d bits X y Par le mod le final 57 la station de contr le de SONGMBENGUE Master de Statistique Appliqu e Table de figures 12 4 10 Courbe des d bits r els et des pr visions 58 4 11 S rie des moyennes mobiles d ordre 365 60 4 12 Graphe de la s rie corrig e des variations saisonni res 60 4 13 Graphe des r sidus 61 4 14 ACF des r sidus estiM s 62 4 15 Corr logrammes du processus W 62 4 16 Diagnostic des r sidus 77
115. saires pour la production d nergie partir des centrales thermiques et de planifier l exploitation courante du syst me hydro lectrique en vue de r pondre aux besoins de la production la d termination d un mod le de pr vision des d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga la station de contr le de Songmbengu est recommand e Pour y parvenir nous avons tabli deux mod les de pr vision Le premier mod le de pr vision est bas sur un processus de type ARIMA 11 1 1 appliqu la s rie des d bits naturels journaliers standardis s Le second mod le de pr vision est bas sur un mod le de type multiplicatif appliqu ces d bits et ceci apr s une d saisonnalisation de cette s rie par la m thode des moyennes mobiles Les mod les de pr vision obtenus au terme de notre tude ont t jug s satisfaisants et quivalents en terme d erreurs quadratiques d ajustement et de pr vision a posteriori Par ailleurs un mod le de simulation a t mis au point Les erreurs quadratiques de pr vision obtenues dans cette tude ne sont pas assez faibles Nous proposons la d marche suivante pour corriger dans l avenir les pr visions des d bits naturels journaliers d une ann e k k gt 2005 l premi rement soumettre la s rie des erreurs de pr vision posteriori obtenue au cours de la p riode allant du ler juillet 2001 au 30 juin de l ann e k 1 une analyse chronologique 2 deuxi mement
116. sum tab ncol tab pred 2 sum tab ncol tab 2 100 pred em sqrt sum tab ncol tab pred 2 365 erreurs quadratiques de la pr vision ajust er sqrt sum res 2 sum tstab0 2 100 ajust em sqrt sum res 2 length tstab0 erreurs quadratiques de l ajustement sortie list pr visions pred erreurs c erl ajust er eml ajust em er2 pred er em2 pred em sortie Puis successivement les commandes suivantes sortiel erreur pr vision ajustement1 bvif 1 14 sortie2 erreur pr vision ajustement1 bvif 1 15 sortie3 erreur pr vision ajustement1 bvi 1 16 sortie4 erreur pr vision ajustement1 bvif 1 17 el sortiel 2 e2 sortie2 2 e3 sortie3 2 e4 sortie4 2 C 40 Obtention de la figure 4 18 Nous utilisons successivement les commandes suivantes pli c sortiel 1 p2 c sortie2 1 p3 c sortie3 1 p4 c sortie4 1 par mfrow c 2 2 plot bvif 14 xlab jours ylab d bits main Ann e 2001 2002 type 1 lines pl col 4 legend x 120 y 6000 1egend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 plot bvi 15 xlab jours ylab d bits main Ann e 2002 2003 type 1 lines p2 col 4 legend x 120 y 6000 1egend c courbe r elle courbe pr dite col c 1 4 fill c 1 4 text col c 1 4 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de
117. t sur 17 ann es dans laquelle la fr quence des observations est journali re et la p riodicit est annuelle On supposera dans toute cette tude que cette p riode est de 365 jours Cette d marche consiste 1 Premi rement liminer les variations saisonni res de la chronique par standardisation en se servant de la transformation Zz Xy h vrt gt o v 1 2 17 Tr 1 2 365 v est le num ro d une ann e r est le num ro d un jour dans une ann e X V T est le d bit du jour num ro r de l ann e num ro v y est la moyenne empirique des d bits du jour num ro 7 sur les 17 ann es d observations c est dire 1 17 z I Xv v l He g est la variance empirique des d bits du jour num ro r sur les 17 ann es d observations c est dire 17 2 2 1 RTE Xoi 2 Deuxi mement mod liser la s rie standardis e Z par un processus stochastique de type ARIMA p d q La figure 4 1 pr sente l volution des d bits naturels standardis e Z Voir commandes C 5 en annexe pour son obtention Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 48 FIG 4 1 Evolution des d bits standardis s co N peed e pe z pe Leed peA Le re T oN
118. tab0 moy sd tstabl ts as vector as matrix tabl start c 1988 1 frequency 365 transformation en s rie temporelle modell arima tstabl order c 11 1 1 r estimation des param tes du mod le ARIMA 11 1 1 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 92 predi predict modell n ahead 365 pred pr visions de l ann e suivante derni re colonne du tableau tab1 ajusti tstabl model1 residuals ajusti ajustl sd moy tstab0 ts as vector as matrix tab0 start c 1988 1 frequency 365 resi tstab0 ajustl r sidus de l ajustement pred pred1 sd moy pr visions de l ann e suivante derni re colonne du tableau tab pred er sqrt sum tab ncol tab pred 2 sum tabl ncol tab 2 100 pred em sqrt sum tab ncol tab pred 2 365 erreurs quadratiques de la pr vision ajust er sqrt sum res 2 sum tstab0 2 100 ajust em sqrt sum res 2 length tstab0 erreurs quadratiques de l ajustement sortie list pr visions pred erreurs c erl ajust er eml ajust em er2 pred er em2 pred em sortie puis nous utilisons successivement les commandes suivantes sortiel erreur pr vision ajustement bvil 1 14 sortie2 erreur pr vision ajustement bvi 1 15 sortie3 erreur pr vision ajustement bvi 1 16 sortied erreur pr vision ajust
119. tard d ordre p et les param tres estim s de ce mod le ainsi que les intervalles de confiance correspondants sont stock s dans le tableau 4 10 ci dessous Voir commandes C 45 et C 46 en annexe pour son obtention On note partir de ce tableau que les coefficients arl et ma2 sont non significatifs Ce qui sugg re d essayer un mod le SARIMA 1 0 1 L1 1 TAB 4 10 Param tres estim s du mod le SARIMA I 0 2 1 1 1 25 97 5 arl 0 0298 0 5575 1 1449 mal 0 8594 0 2602 0 3389 ma2 0 2302 0 0343 0 2989 sarl 0 3875 0 2466 0 1056 smal 1 1901 1 000 0 8099 2 o 142758 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Applications et r sultats 70 Les param tres du mod le SARIMA L 0 1 1 1 1 ainsi que les intervalles de confiance correspondants sont stock s dans le tableau 4 11 Voir les commandes C 47 et C 48 dans l annexe pour son obtention On note surtout dans ce tableau la non significativit du coefficient mal Ce qui sugg re d essayer un mod le SARIMA I 0 0 1 1 1 TAB 4 11 Param tres estim s du mod le SARIMA 0 1 1 1 1 25 97 5 arl 0 3218 0 6201 0 9185 mal 0 6778 0 3201 0 0375 sarl 0 3881 0 2475 0 1069 smal 1 1897 0 99
120. ts as vector as matirx bvi start c 1988 1 frequency 365 La fonction suivante permet de tracer la courbe d volution d une s rie temporelle tout en faisant ressortir ventuellement les diff rentes p riodes l int rieur des bandes verticales eda ts lt function x bands FALSE x est un vecteur ou une s rie temporelle univari e if lis ts x x lt ts x plot x xlab if bands a lt time x 11 lt floor min a 12 lt ceiling max a yl lt par usr 3 y2 lt par usr 4 par ylog ann es ylab d bits yl lt 10 y1 y2 lt 10 y2 for i in seq from il to i2 1 by 2 polygon c i i 1 i 1 1 c y1 y1 y2 y2 col grey border NA lines x j Nous obtenons finalement la figure 2 1 en appliquant successivement les commandes eda ts tsbvi bands TRUE title main list FIG 2 1 Evolution des d bits naturels journaliers col 4 cex 1 font 2 C 2 Obtention de la figure 2 2 Nous utilisons successivement les commandes matbvi as matrix bvi matplot matbvi 1 6 type l xlab jours ylab d bits ylim range matbvi legend x 250 y 8000 1egend c A 1988 1989 A 1989 1990 A 1990 1991 A 1991 1992 A 1992 1993 A 1993 1994 col 1 6 fill 1 6 text col 1 6 title main list FI1G 2 2 Evolution journali re des d bits naturels des ann es 1988 1994 col 4 cex 0 75 font 2 Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I
121. u DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 21 1 1 2 Activit s de transport de l nergie lectrique L activit de transport est d vacuer vers les centres de distribution ou de consommation l nergie lectrique produite par les centrales Cette vacuation est assur e par un ensemble de c bles et de transformateurs connect s appel r seau de transport interconnect Le transport de l nergie lectrique produite est assur par deux r seaux de transport interconnect s le r seau Sud et le r seau Nord e Le R seau interconnect Sud RIS Le r seau de transport interconnect Sud RIS permet d vacuer vers les centres de consommation l nergie produite par les centrales hydrauliques de Song Loulou et d Ed a et les centrales thermiques d Oyomabang Bassa Logbaba Limb et Bafoussam Il s tend sur 6 provinces Centre Sud Littoral Ouest Nord Ouest et Sud Ouest e Le R seau Interconnect Nord RIN Le r seau Nord est aliment par la centrale hydro lectrique de Lagdo et la centrale thermique de Djamboutou Il s tend sur 3 provinces l Adamaoua le Nord et l Extr me Nord On peut aussi noter que la province de l Est quant elle est aliment e par une centrale thermique isol e Int ressons nous maintenant la production d nergie lectrique d or
122. uivantes er sqrt sum model6 res 2 sum ts debit moy 2 100 em sqrt sum model6 res 2 length ts debit moy C 54 Programme de pr vision Ce programme prend en entr e par exemple un tableau de d bits pr dit les d bits de l ann suivante programme pr diction function tab sd apply tab 1 sd moy apply tab 1 mean centrage r duction du tableau des donn es tabl tab moy sd tstab1 ts as vector as matrix tab1 start c 1988 1 frequency 365 transformation en s rie temporelle modell arima tstabl order c 11 1 1 estimation des param tes du mod le ARIMA 11 1 1 predi predict modell n ahead 365 pred pr visions de l ann e suivante par le mod le ARIMA 11 1 1 pred pred1 sd moy pr visions de l ann e suivante derni re colonne du tableau tab pred as data frame c pred pred Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Annexe 99 C 55_Programme de simulation Ce programme R permet de simuler les d bits naturels journaliers du B V I de la Sanaga sur une p riode donn e Il prend en entr e 4 param tres l tab est un tableau de 365 lignes qui repr sentent les jours d une ann e la premi re ligne contient les d bits du ler Juillet et dont les colonnes repr sentent les ann es
123. voir l avance le d bit naturel de la Sanaga aux dur es de transit des clus es pour l cher des quantit s d eau juste n cessaires pour maintenir le d bit aux usines de production la valeur requise pour assurer la puissance lectrique appel e aux bornes des alternateurs La r gularisation de la Sanaga par des barrages r servoirs tr s loign s des ouvrages de production est peu pr s unique en son genre dans le monde pour les am nagements d une telle ampleur Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 B V I de la Sanaga la station de contr le de Master de Statistique Appliqu e SONGMBENGUE Contexte et Probl matique 2 ELANG L gende Emme Stations Hydrologiques ou de Cont les FRE RE D E KIKOT E Centrales Hydro lectriques ESS Barrages R servoirs E Cours d eau Mod lisation et pr vision des d bits naturels journaliers du B V I la station de contr le de SONGMBENGUE FIG 1 2 Stations hydrologiques du B V I MAPE DIEREM MENG J 7 __ MBAKAOU GOYOUM SONGMBENGUE Dans l expression J k k est la dur e en Jours de propagation des clus es par rapport la station de contr le de Songmbengu J 4H SONGLOULOU J 16H EDEA DKENGNE SIELENOU Pascal UY I ENSP 2006 Master de Statistique Appliqu e 27 Contexte et Probl matique 28 Une f
124. yennes Nous utilisons successivement les commandes suivantes ecart apply bvi 2 sd moyenne apply bvi 2 mean reg lm ecart moyenne r summary reg C 27 Obtention de la figure 4 11 Nous utilisons d abord le programme suivant Ce programme prend en entr e une s rie temporelle serie et l ordre de la s rie moyenne mobile calculer p et retourne la s rie des moyennes mobiles centr es moy _ mob cent lt function serie p if p 2 0 cas_imp lt function serie p serie vec lt c serie n lt length serie vec m p 2 k n 2 m tab matrix nrow k ncol p i 1 while p i 1 lt n tab i serie_vec i p i 1 i i 1 serie_mob1l lt apply tab 1 mean vecteur des moyennes mobiles td lt start serie 2 p 1 2 freq frequency serie serie mob lt ts serie mobl start c start serie 1 td freq td freq frequency freq transformation en s rie temporelle t lt cas_imp serie p else cas_pair lt function serie p serie vec lt c serie n lt length serie vec m p 2 k n 2 m tab matrix nrow k ncol p 1 i 1 while p i lt n tab i serie_vec i p i i i 1 tab c 1 p 1 tab c 1 p 1 0 5 serie mobl lt apply tab 1 function x a sum x p a vecteur des moyennes mobiles td lt start serie 2 p 2 freq frequency serie serie mob lt ts serie mobl start c start serie 1 td freq td freq frequency freq transformation en s rie temporelle

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