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Ma1: Manuel complet 2010

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1. 3 cm Calculer l aire de cette figure revient donc calculer l aire d un rectangle de largeur 3 cm et de longueur 6 cm A 3 x 6 18 L aire de cette figure est 18 cm2 Exemple 2 calculer l aire de la figure suivante 4 cm Pour calculer l aire de cette nt figure on rep re des figures simples qui la constituent 6 cm PEA 4 cm puis on calcule l aire de chacune des figures simples trouv es Un triangle dont un c t Un rectangle de largeur Un demi disque de rayon mesure 8 cm et la hauteur 6cm et de longueur 2 cm relative ce c t mesure 4 CM A 113 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles NE 16 Ar 6 x 8 48 Ap 2r L aire de la figure est obtenue en additionnant l aire du triangle et l aire du rectangle puis en retranchant au r sultat l aire du demi disque A 16 48 2r 64 2T7 L aire exacte de cette figure est 64 2 TT cm2 En prenant 3 14 comme valeur approch e du nombre r on obtient A 57 72 cm2 LESTIE Le temps des premiers lots d ductifs Thal s Aucun texte de Thal s ne nous est parvenu Pour tablir les grandes tapes de son existence comme de ses travaux nous devons nous appuyer sur les opinions qui furent r dig es parfois bien apr s sa mort C est ce qu on appelle tablir la doxographie d un auteur ou d une uvre Selon ces opinions Thal s serait n en 640 av
2. Exemple trianguler le syst me On cherche liminer une inconnue y par exemple de la seconde quation 3X 2Y 8 On multiplie les deux membres de la seconde 3 X 3Y 33 quation par 3 3X 2Y 8 On obtient ainsi des coefficients oppos s devant 3X 9y 9 x dans les deux quations 2y 9y 8 9 On ajoute membre membre les deux quations aa du syst me ainsi obtenu pour liminer x On 1ly 17 obtient une nouvelle quation que l on peut Xz utiliser pour avoir un syst me quivalent a a z lt Le nouveau syst me obtenu est triangul e ee ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 2 04 Chapitre 13 Syst mes d quations Edition 2010 M thodes et notions essentielles R soudre un syst me par substitution 3X y 9 Exemple r soudre le syst me E 4 4X 3y 17 par substitution m On exprime y en fonction de x l aide de la PES DX premi re quation 4x 3 9 3x 17 On remplace substitue y par 9 3x dans la deuxi me quation 4x 27 9x 17 5x 10 lt X 2 On r sout l quation une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de x y 9 3x 2 y 9 6 lt y 3 On remplace x par 2 dans l quation trouv e la premi re tape pour trouver la valeur de y On v rifie ensuite que le couple 2 3 est une solution effective de ce syst me R soudre un syst m
3. d On cherche l quation d une parabole passant par les points A 2 3 B 0 1 et C 3 3 Si les trois inconnues sont les 2 10 Chapitre 13 Syst mes d quations Edition 2010 Sav Sav cesse ses Dee o Pr sent e sous forme math matique l erreur acquiert un grand prestige Gustave Le Bon 1841 1931 ir d finir expliquer justifier illustrer Conna tre le vocabulaire relatif aux quations tre solution ensemble de solutions quations quivalentes Savoir d finir un syst me d quations avec l id e de simultan it v Conna tre la forme de la solution cherch e couple triplet etc Savoir reconna tre les situations particuli res sans solutions ou avec une infinit de solutions v Vocabulaire particulier quations lin aires syst me triangul vy Comprendre la repr sentation graphique d un syst me de deux quations lin aires deux inconnues Pouvoir expliquer les diff rentes m thodes de r solution alg brique d un syst me de deux quations lin aires deux inconnues substitution addition triangulation Conna tre les diff rentes tapes de la r solution d un probl me l aide des syst mes d quations lin aires irs faire v tre capable de tester si un couple un triplet propos est solution d un syst me donn Pouvoir repr senter graphiquement un syst me de deux quations lin aires deux inconnues v Pouvoir r soudre alg briquement tou
4. 1 Les Egyptiens utilisaient diff rentes unit s de longueur la petite coud e valait 6 palmes et chaque palme valait 4 doigts Cette petite coud e correspondait 45 de nos centim tres La coud e royale valait 7 palmes soit environ 52 3cm Puis venait le khet ou verge valant 100 coud es et finalement l iterou ou rivi re d une longueur de 2000 coud es royales Les unit s de surface les plus courantes taient l aroure ou s tat correspondant un carr d un khet de c t et le kh valant 10 khet L unit de volume la plus utilis e tait l h kat ou boisseau qui valait 4 54 de nos litres Edition 2010 Chapit 8 Des Egyptiens Thal s Pr reavis et activit s de d couverte ae LATE Thal s historique EM Quand et o Thal s a t il v cu Qui tait il Pourquoi est il c l bre e o o o EJ Lire attentivement les deux textes suivants Histoire naturelle 36 82 in Dumont p 28 eee eee e o o o o Le banquet des Sept Sages 2 p 147 A in Dumont p 29 a En d duire la d marche suivie par Thal s pour estimer la hauteur des pyramides gyptiennes de Giseh e o o o o b Qui taient les Sept Sages e Yat G om trie euclidienne une approche moderne E D finir et illustrer les termes suivants plan point droites droites parall les droites s cantes droites perpendiculaires demi droite segment de droite longueur d un segment de droi
5. Commentaire sur le premier livre des El ments d Euclide 250 20 e Enoncer et d montrer le th or me qui dit que les diagonales d un parall logramme se coupent en leur milieu 132 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T Xa MEN Droites remarquables du triangle avec GeoGebra EM Le logiciel GeoGebra a GeoGebra est un logiciel dynamique libre gratuit et multi plateformes de math matiques r unissant g om trie alg bre et calcul diff rentiel GeoGebra a re u plusieurs distinctions internationales dont les prix europ en et allemand pour les logiciels ducatifs b Pour l utiliser lancer le navigateur Firefox l adresse http www geogebra org puis cliquer sur D marrage en ligne Commencer par supprimer l affichage des axes Menu Affichage Axes gt et la fen tre Objet libres objets d pendants FA Bissectrices d un angle a D finition la bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles gaux b Construire avec GeoGebra la bissectrice d un angle que vous avez construit faire bouger dynamiquement la construction c Choisir un point quelconque situ sur la bissectrice et mesurer les distances entre ce point et chacune des demi droites sur lesquelles est construit l angle Faire bouger la construction afin de pouvoir noncer une conjecture au sujet de ces distances en identifiant clairement hypoth se s e
6. 181 Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique M thodes et notions essentielles L ensemble des points du plan est IRXIR x y x YER 2 4 ERXR r 0 ERXR attention rm 0 0 7 Remarque IR XR est le premier quadrant R_ xIR est le troisi me quadrant R xR est le deuxi me quadrant IR xIR est le quatri me quadrant Remarque ne pas confondre le couple 2 3 qui repr sente un point du plan et l ensemble 2 3 qui contient les deux nombres 2 et 3 EF Repr sentation graphique d une quation Relation entre l alg bre et la g om trie On consid re une quation E deux inconnues x et y Soit 5 l ensemble de tous les couples de nombres a b qui v rifient cette quation c est dire que S est l ensemble des solution de E Si on repr sente dans un rep re tous les points de 5 on obtient une repr sentation graphique de l quation E Tout point dont les coordonn es sont solution de l quation appartient la repr sentation graphique de l quation r ciproquement tout point qui appartient la repr sentation graphique est solution de l quation Exemple 2 k i 2 2 Prenons l quation 2 inconnues x y Les couples 2 0 0 1 1 2 2 entre autres v rifient cette quation Pour an repr senter l ensemble des solutions de cette quation il faut placer tous les points dont la seconde coordonn e est gale la 0 0 premi re 7 2
7. Combien de fois se r p te le dernier chiffre de 627 la fin de ce nombre Source principale pour les l ments historiques Martin Cu nod DIP GE 1 En t l chargement libre l adresse http sesamath ch manuel degre12 Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte aiii D o vient ce th or me connu e 0e ee ee 0e 0e ee ee 0 e Lire le texte ci dessous Cit par Proclus Commentaire sur le premier livre des El ments d Euclide I XXXII Ed Friedlein 379 2 a Quel est le th or me dont il est ici question b Qu est ce qu un p ripat ticien a Ww LE th or me e e e e e e e e e e 128 Les civilisations m sopotamiennes avec leur syst me de num ration sexag simale de position taient bien outill es pour d gager des algorithmes alg briques On consid re du reste la M sopotamie comme le berceau de l alg bre Comme nous l avons vu au chapitre pr c dent une tradition remontant aux Grecs fait en revanche de la civilisation gyptienne le lieu de naissance de la g om trie Cit par Proclus Commentaire sur le premier livre des El ments d Euclide I XLVII d Friedlein 426 6 a lllustrer le texte par une figure explicative b Enoncer le th or me de Pythagore en identifiant clairement hypoth se s et conclusion s c Visionner la d monstration suivante http www kangmath com swf pythagore html d Enoncer la r
8. 1 100000 par ordre croissant 100000 Racines EFJ Calculer lorsque cela est possible donner s il y a lieu le r sultat sous la forme d une fraction irr ductible a 36 25 16 b V545 de AT EFJ En utilisant des d compositions en produits de facteurs premiers extraire les racines carr es suivantes a 784 c 9801 b 7056 d 12321 4 EEJ Transformer Tg Pour obtenir une expression sans racine au d nominateur puis simplifier au maximum 1 Transformer r tenir EZI ansforme T516 pour obte une expression sans racine au d nominateur puis simplifier au maximum EJ Simplifier au maximum BLL 1000 Edition 2010 Exercices d entra nement EXA vrai ou faux Justifier a 17 3 7 3 7 9_ 9 35 Du LA da a Classer par ordre croissant a un r el strictement positif Li 1 1 1 a te dd a a a Calculatrice EFJ Effectuer les calculs suivants avec la calculatrice Donner un r sultat arrondi au milli me 3211 08 432 44 61 7 1 12 0 56 93 1 12 345 905 78 EZ on consid re le nombre F 10 4 10 10 2 10 8 b a Le calculer l aide de la calculatrice l aide d une identit 105 2 10 c En utilisant le r sultat du b et sans utiliser la calculatrice calculer F b D velopper remarquable le nombre d Comparer avec le r sultat du a et conclure EUX Calculer l aide de la calculatrice le nombre D 1
9. 137 Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide M thodes et notions essentielles Triangles isom triques E 0 0e 0 0e 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e D finition Deux triangles AABC et AEFG sont isom triques si et seulement si ils peuvent tre superpos s l un l autre cela est quivalent dire que tous leurs c t s et tous leurs angles ont des mesures gales deux deux Dans ce cas on note AABC AEFG Axiomes Cas d isom trie des triangles Axiome C C C c t c t c t Axiome C A C c t angle c t Soit deux triangles AABC et AEFG Si les longueurs des trois c t s du AABC sont gales aux longueurs des trois c t s du AEFG alors les deux triangles sont isom triques Soit deux triangles AABC et AEFG Si les longueurs de deux c t s et de l angle adjacent ces deux c t s sont gales dans les deux triangles alors les deux triangles sont isom triques Axiome A C A angle c t angle Soit deux triangles AABC et AEFG Si la longueur d un c t et des deux angles adjacents ce c t sont gales dans les deux triangles alors les deux triangles sont isom triques Remarque les situations suivantes ne permettent pas dans tous les cas d affirmer les que les triangles sont isom triques A A A C A C avec un des deux c t s non adjacent l angle Droites remarquab
10. 14 2 4 3 4 3 6 7 3 14 2 4 3 12 3 14 2 4 3 12 3 14 14 14 14 Chapitre 1 Calcul num rique Edition 2010 M thodes et notions essentielles R gle des signes plus fois plus gale plus moins fois plus gale moins plus fois moins gale moins moins fois moins gale plus PETC Puissances Rappels Dans 10 10 est la base et 5 l exposant 10 10 10 lorsqu on multiplie deux puissances qui ont la m me base on additionne s les exposants d 57 i SRRA e 10 lorsqu on calcule une puissance de puissance on multiplie les exposants e e Remarque ces propri t s des puissances seront retravaill es sp cifiquement plus tard e D finition b La pyramide de puissances 10 s interpr te comme 10 e e e e Comparer des grands nombres Pour comparer deux grands nombres on essaye de les transformer pour qu ils aient soit la m me base soit le m me exposant Exemple comparer 32 et 251 25190 52002 512100 5200 donc 251 gt a Estimer un grand nombre Pour estimer un tr s grand nombre que la calculatrice ne permet pas de manipuler error on peut essayer de le comparer une puissance de 10 On peut par exemple utiliser le fait que 2 1024 1000 10 Exemple estimer 2210 Dao z p Oeon 2 10 Ma 10 1053 Z Edition 2010 Chapitre 1 Calcul num rique Ex
11. 3 8 c Calculer cos et sin x sachant que tan amp 6 d Calculer cos x et tan sachant que sin 4 3 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect 169 Exercices d entra nement F J Un ballon vole une altitude de 700 m en survolant un lac Si les angles de d nivellation des rives du lac sont 48 et B 39 trouver la largeur L du lac R ponses des exercices suppl mentaires La longueur de l ombre est de 9 4 m BEA lt RST 28 93 et RS 22 26 cm ET La longueur de la ficelle est de 15 3 m ET La largeur de la rivi re est de 133 m A 2 1 3 rain XX ar _ sin a 360 2 360 2 PZJ On doit percer un tunnel pour une nouvelle autoroute travers une montagne de 3225m de haut A une distance de 2000m de la base de la montagne l angle d l vation est de 36 Sur l autre face l angle d l vation une distance de 1500m est de 60 b A 9 06 cm a sin a VT cosaj 1 6 75 Calculer la longueur du tunnel _ sin _ V33 et MRR A _455 Z 3 _3 55 b OBS et an s 1 _V37 6 137 c cost nF 3T et sin amp w N H Soit le triangle AMTS tel que MS 23cm et TM 15 cm Les droites AH et MS sont parall les d impossible car sin a gt 1 FAI L 1495 m FZ La longueur du tunnel est d env 2801 m a AATH AMTS O ac TA AH_TH M donc par Thal s TM MS TS a crire les rapports de long
12. D montrer les conjectures nonc es dans les points pr c dents au sujet des intersections des droites remarquables du triangle EX Constructions la r gle et au compas Toutes ces constructions peuvent tre r alis es la r gle et au compas Voir le compl ment au chapitre sur ce sujet Droite d Euler Qu observe t on propos des points d intersections des droites remarquables du triangle LATE Aller plus loin Facultatif constructions la r gle et au compas voir le document ad hoc 134 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 M thodes et notions essentielles Pythagore et l cole pythagoricienne Pythagore en grec ancien MuBay pas Pythag ras serait n aux environs de 580 av J C Samos une le de la mer Eg e au Sud Est de la ville d Ath nes on tablit sa mort vers 497 av J C l ge de 83 ans Il fonda l cole pythagoricienne une cole philosophique de l Antiquit qui dura neuf ou dix g n rations L enseignement pythagoricien tait divis en deux parties une pour Inon encore initi s et l autre pour les initi s les math maticiens Cet enseignement tait oral et secret La transmission du savoir entre disciples tait indissociable du respect des r gles morales de la fraternit dans son ensemble r gle du silence respect du grade d initiation des disciples L cole pythagoricienne tait ainsi une confr rie tant religieuse que scientifique
13. De Pythagore Euclide Pr requis et activit s de d couverte dynamiquement la construction d Choisir un point quelconque situ sur la m diatrice et mesurer les distances entre ce point et A et B Que penser de ces distances Faire bouger la construction afin de pouvoir noncer une conjecture en identifiant clairement hypoth se s et conclusion s e D montrer la conjecture nonc e au point pr c dent Indication utiliser les cas d isom trie des triangles f Repr senter avec GeoGebra les trois m diatrices d un triangle quelconque faire bouger dynamiquement la construction Qu observe t on g Quelle conjecture peut on noncer quant ces trois m diatrices h Qu a t on d montr ce stade quant cette conjecture EM Cercle circonscrit a Soit AABC un triangle l intersection de ses m diatrices et r la distance entre I et A b Repr senter la situation avec GeoGebra et tracer le cercle C de centre J et de rayon r c Quelle conjecture peut on noncer quant C Hauteurs d un triangle a D finition les hauteurs d un triangle sont les droites qui passent par un sommet et qui coupent le c t oppos perpendiculairement b Repr senter avec GeoGebra les trois hauteurs d un triangle quelconque faire bouger dynamiquement la construction c Quelle conjecture peut on noncer quant ces trois hauteurs d Qu a t on d montr ce stade quant cette conjecture EX D montrer
14. E ee 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0e 150 Chapitre 10 Angles et cercles Edition 2010 M thodes et notions essentielles Longueur d un arc et aire d un secteur La longueur de l arc L la mesure de l angle au centre x en degr et le nombre de tours x qu a parcouru un point P sur le cercle sont des grandeurs proportionnelles on a a _ L _X tours 360 2rr 1 tour L aire A du secteur S et la mesure de l angle au centre x en degr sont des grandeurs PEE E j A proportionnelles et on a alors l galit entre les rapports suivants a F TT alors l galit suivante entre rapports EMI Angles au centre et angles inscrits D finition Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les c t s coupent le cercle en des points distincts du sommet La portion de cercle comprise entre les deux c t s de l angle s appelle l arc de cercle intercept Exemple 1 donner le nom des arcs de cercle intercept s par les angles inscrits dans le cercle ci dessous E L angle inscrit REO intercepte le petit arc de cercle RO R L angle inscrit SEC intercepte le petit arc de cercle C L angle inscrit SAC intercepte le grand arc de cercle SC A Exemple 2 les angles UNE AVE et ANS sont ils des angles inscrits dans le cer
15. Exemple Simplifier l quation suivante 5 On d veloppe d abord puis on r duit chacun des deux membres de l quation 10 2 _ 2 __10 8x s 2x 1 e5x2r 5x1 3 XFS 8x 8x H H 4 it 7 5 4 5 7 5 3 Soit 88 Chapitre 7 Equations Edition 2010 M thodes et notions essentielles 10 _ 8 lt On r duit d abord chaque terme de l quation au x 5 Xx 3 A z mir 3 5 m me d nominateur ici 15 50 75 24 45 On multiplie chaque membre par 15 pour simplifier i l tion EAT 15 15 quation 50x 75 24x 45 lreste r soudre l quation 50x 75 24x 45 R soudre une quation du premier degr Pour r soudre une quation du 1 degr il faut isoler l inconnue Pour cela on transforme l quation en une autre quation qui lui est quivalente Exemple R soudre l quation suivante 7x 2 4x 9 7x 2 4x 9 On cherche liminer les termes en x B dans le membre de droite en 7x 2 4x 4x 9 4x retranchant 4x aux deux membres 3x 2 9 0x On cherche isoler le terme inconnu 3x 2 2 9 2 lt dans le membre de gauche en retranchant 2 aux deux membres 3x 7 3x 7 a 3 3 On cherche la valeur de l inconnue x 7 lt en divisant les deux membres par 3 X 3 7 7 Ainsi 7x 2 4x 9 pour dr On v rifie ensuite que 3 est une solution effective de l quation initiale 7x 2 4x 9 g Equations du deuxi me degr D finition Une
16. PET Ren Descartes Graphique de x y Ren Descartes n le 31 mars 1596 La Haye en Touraine localit rebaptis e Descartes par la suite et mort Stockholm dans le palais royal de Su de le 11 f vrier 1650 est un math maticien physicien et philosophe fran ais II est consid r comme l un des fondateurs de la philosophie moderne En physique il est consid r comme le fondateur du m canisme et en math matiques de la g om trie analytique Sa m thode philosophique et scientifique se caract rise par sa simplicit Descartes la r sume en peu de r gles quatre en tout dans le Discours de la m thode et prend pour mod le la m thode math matique L influence de Descartes sera d terminante sur tout son si cle les grands philosophes qui lui succ deront d velopperont leur propre philosophie par rapport la sienne soit en opposition Hobbes Pascal Spinoza Leibniz soit en accord Arnauld Malebranche Source http fr wikipedia org wiki Ren C3 A9_Descartes Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 M thodes et notions essentielles Les droites D finition pente entre deux points du plan Soient P x y et P x y deux points du plan non align s verticalement Yi La pente p entre P et P est d finie par par 2 A1 Exemple calculer la pente entre les points P 2 5 et P 4 2 one s ae en p 22A 2 2 on peut galement calculer ainsi p re ne
17. Suivant moi l hypocrisie tait impossible en math matiques et dans ma simplicit juv nile je Edition 2010 Chapitre 1 Calcul num rique Pr reavis et activit s de d couverte de pensais qu il en tait ainsi dans toutes les sciences o j avais ou dire qu elles s appliquaient Que devins je quand je m aper us que personne ne pouvait m expliquer comment il se faisait que moins par moins donne plus C est une des bases fondamentales de la science qu on appelle alg bre On faisait bien pis que ne pas m expliquer cette difficult qui sans doute est explicable car elle conduit la v rit on me l expliquait par des raisons videmment peu claires pour ceux qui me les pr sentaient M Chabert press par moi s embarrassait r p tait sa le on celle pr cis ment contre laquelle je faisais des objections et finissait par avoir l air de me dire Mais c est l usage tout le monde admet cette explication Euler et Lagrange qui apparemment valaient autant que vous l ont bien admise Nous savons que vous avez beaucoup d esprit vous voulez apparemment vous singulariser Quand a M Dupuy il traitait mes timides objections timides cause de son ton d emphase avec un sourire de hauteur voisin de l loignement Je me rappelle distinctement que quand je parlais de ma difficult de moins par moins un fort il me riait au nez tous taient comme Paul Emile Teisseire et apprenaient par co
18. d un nombre pair est toujours un nombre pair b Conjecture Si n est pair alors n est pair c Conjecture Si n est pair alors n est pair d Conjecture Un multiple de 24 est souvent un multiple de 16 Sont elles vraies ou fausses Justifier Xai ERE Pas dans n importe quel sens Compl ter chaque expression par le symbole correct de telle sorte qu elle soit vraie x y et z sont des nombres entiers relatifs a x 3 ety 2 uasan x y d X y 0 an x 0ety 0 bj S4 O anai x 2 e XY I o ounn x 1ety 1 c x gt 0ety lt 0 na xy lt 0 f Deux droites sont perpendiculaires ces droites sont s cantes EM Pour chacune des conjectures ci dessous d terminer si elles sont vraies ou fausses crire la r ciproque et la contrapos e a Si je prends mon bain alors je suis tremp e b Si un nombre naturel est divisible par 7 alors il se termine par 7 c Si un nombre naturel n est un multiple de 9 alors n est un multiple de 3 d Si un nombre naturel n est pair alors n 1 est un nombre impair e Six y 0 alors x 0 et y 0 EJ D terminer si les conjectures r ciproques et contrapos es nonc es ci dessus sont vraies ou fausses EM tablir la relation de v racit entre une conjecture et sa r ciproque entre une conjecture et sa contrapos e Activit 12 Absurde Pourquoi sait on que 1 1 2 Et que ab ba Edition 2010 Chapitre 3 Argumenter M thodes et
19. entra nement Rationnels EX Les conjectures vraies Justifier suivantes sont elles a Le produit de deux nombres rationnels est il n cessairement rationnel est il b L inverse d un nombre rationnel n cessairement rationnel D terminer le nombre rationnel x tel que _256 1225 EFJ D terminer la fraction irr ductible z telle que 2 1 223 R els F J Repr senter dans un diagramme de Venn les nombres suivants L _ 13 32008 009 0 0 5 5 9 23454 2 2 123 009 7 5 12 2 9 Puissances P Simplifier au maximum a un nombre r el non nul BJ Simplifier le plus possible en donnant une r ponse sous forme de fraction irr ductible A 18 14 d 64 2 42 3 P 2 9355 b 2 2 2 i 1l 1 7 57 27 2 3 5 C 10000 FJJ Simplifier au maximum les puissances dans les expressions suivantes 4a b 5a b 5 5 i ab 2f US b Er 2 y 6x y Ex y Cl b a rss s r Chapitre 4 Autres nombres Simplifier le plus possible et de sorte qu il n y ait aucun exposant n gatif dans la r ponse a et b des r els b non nul bY ab 8 b b J b P EJ Soit a 0 0004 Ecrire en notation scientifique a c a e 10a b a d a f 10257 a5 PXJ Ecrire en puissances de 10 et simplifier a 0 07 3000 0 002 0 1 50 b 0 000025 20000 0 0003 0 004 7000000 EJ Classer 101 10 1020 1000001
20. est impair Chapitre 3 Argumenter Edition 2010 Exercices d entra nement EJ Programmes On consid re suivants les programmes de calcul a Tester ces deux programmes avec comme nombres de d part 4 1 et 0 b Quelle conjecture pouvez vous faire c D montrer cette conjecture F1 Que penser des valeurs de n n pour N un entier relatif Sont elles toujours multiple d un entier connu noncer une conjecture EX Comparaison Soient deux carr s de c t a b a et b sont des nombres positifs Comparer les aires des surfaces colori es b 4 b a a b les quadrilat res violets sont des carr s Justifier 4 Soit n est un nombre entier naturel On consid re les conjectures suivantes Les crire sous la forme Si alors Sont elles vraies ou fausses Justifier a La somme de trois entiers cons cutifs est un multiple de 3 b La somme de cinq entiers cons cutifs est un multiple de 5 c 4n est un nombre pair Edition 2010 d n 3 est un nombre pair e 2n 3 est un multiple de 3 f 3n 3 se termine par 3 g 3n 3 est un multiple de 3 h n 4 est un nombre pair i 2n 1 2n et 2n 1 sont trois nombres cons cutifs IJ Conjecture Si x est un entier alors x x 1 x a tx tx x x t a l a Cette conjecture est elle vraie Justifier votre r ponse est divisible b En d duire que 101
21. o a et b sont deux nombres entiers positifs b tant le plus petit possible C 162 i Tei A On fait appara tre le produit d un carr parfait le C 4x2 plus grand possible par un entier c V4 x2 Jz 3 On d compose la racine carr e du produit puis on C 4xv2 412 applique la d finition d une racine carr e 36 0 56 2u B 25 0 08 Exemple 3 simplifie les nombres A RCE EEE PE ETES ETES 10 08 0 08x100 8 0 0 ee 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E O 0 0e Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles ee 0 ee O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0e 0 0 0 E 0 Exemple 4 crire C PE sous la forme d un quotient sans radical au d nominateur c Z 125 _ 5I On d compose la racine carr e du quotient afin de AF y y simplifier le num rateur c 2x V7 SNE gt On multiplie le num rateur et le d nominateur par 7 V7 x V7 7 puis on applique la d finition d une racine carr e R duire une somme diff rence de racines carr es Exemple r duire la somme A 15 215 715 On remarque que 5 est un facteur commun aux gt gt trois termes de la somme A 15 215 715 A 1 2 7 5 gt On factorise par A 61 5 On donne l criture d
22. 1 par 100 KJ Conjecture La diff rence des carr s de deux nombres pairs cons cutifs est toujours un multiple de 4 Cette conjecture est elle vraie Justifier votre r ponse Arithm tique Un entier relatif tant choisi d montrer la propri t suivante Le produit de l entier qui le pr c de par l entier qui le suit augment de 1 est le carr de cet entier EX R ciproques et contrapos es On suppose l implication suivante vraie si j aime le jazz alors j coute souvent des disques de jazz a Vous constatez que je n coute pas souvent des disques de jazz Vous dites alors que je n aime pas le jazz b Vous constatez que j coute souvent des disques de jazz Vous dites alors que j aime le jazz Dans chacun des cas indiquer s il s agit de la r ciproque ou de la contrapos e EX Pour x et y des r els donner la contrapos e et la r ciproque des implications a x lt y implique x lt y b x lt x implique x lt 1 c x lt 0 implique x lt 0 Chapitre 3 Argumenter 29 EXERCICES SUPPLEMENTAIRES EU Pour un nombre n entier d montrer les conjectures suivantes a Tout nombre pair peut s crire sous la forme 4n b 2n 3 est un nombre impair c n 1 est un nombre impair d 2n 2n 2 est un multiple de 4 e 1000n 56 est un multiple de 8 h h 5 se termine par 5 g 6n 3 est un nombre premier h L expression 2n 1 1 est un multiple
23. 2 3 25 3n 4 e 4y 3 4y 2 3 y 1 R soudre les quations suivantes x x 6 2x 3 _ x 1 a 35475 or aa 14 5x 3 _ 7x d 2y Laiapea ba 8 10 40 5 9 9 5 R soudre les quations suivantes a 2x 7 5x 12 c 54 3x 0 b PE d 18 X 45 e 2 x 1 6 2 x x 7 x 4_ x 4 _3 3 1 3 5 15 f FEJ R soudre les quations suivantes X 1 8 0 5x 3 6 x 0 11 8x 3x 7 0 7 x x 7 0 2x 3x 2 3x 1 0 x x 2 x 3 0 2x 3 3x 1 0 h o Q Nn ST wWDw Edition 2010 EJ R soudre les quations suivantes a 5x 1 8 x 0 b 3x 1 7 x 0 8 3x x 3 0 d 3 10x x 23 0 e 6 y 3 2 y 1 0 A FJJ R soudre les quations suivantes a xX 10x 16 0 d x 5x 6 b x 3x 4 0 c 36 x e x 8x 7 7 R soudre les quations suivantes 2 7 2 x 3 0 x 81 5x 3x c d x 1 x 1 0 e f o 9 xX 3 X x 3 x 3x 4 x2 2x 3 0 FAJ R soudre les quations suivantes a xX 4x 11x b xt 3x5 x2 x2 7 0 c 3x 5x 2 0 F J R soudre les quations suivantes 3x2 47 2 15x 20 25 0 2x 37 2x 2 0 X2 5 3 2x 0 2x 3 3 4x2 9 0 3 3x 2 2 9x 4 0 o 9 0 a n FZ R soudre les quations suivantes a xf 81 18x b xt 10x 25 PJJ Le cin club d un village propose deux tari
24. 2 4 D terminer de quelle s quation s chaque couple est solution 3x 2y 1 e 3x y 2 5y Tys 2 b Peut on en d duire un couple de solutions pour chacun des syst mes suivants 1 2 3X 2y 5X 7y 1 2 3X 2y 3X y EJ Combien de couples sont solutions des syst mes suivants a x y 1 X y 1 xX y 1 5x 5y 5 Tia oi dune x y 5 3X 3y 5 I Tracer les droites correspondant aux couples d quations suivantes et d terminer graphiquement les coordonn es du point d intersection a Y 3x1 X 3y 2 y 2x 3 2X 7y 6 X 3y 2 X 3y 2 2X 6Y 4 2X 7Y 6 Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations R solutions alg briques KJ on consid re les trois droites suivantes a D terminer par lecture du graphiques les points d intersection b D terminer les quations correspondant chacune de ces droites c Poser les syst mes d quations permettant de d terminer alg briquement les coordonn es des points d intersection d Calculer les valeurs exactes de ces points R soudre les syst mes suivants dans un premier temps avec la m thode par substitution et dans un deuxi me temps avec la m thode par addition 2X 5y 14 4X 3y 7 7 3 X 3Y 2X 5Y a Compter le nombre d tapes n cessaires pour chaque r solution b Formuler un crit re qui permette de choisir judicieusement la m thode utilise
25. 3 2 et perpendiculaire la droite d quation 2x 3 y 1 0 Pade Cercles 1 EM Quelle est l quation d un cercle de H Quelle est l quation g n rale d un cercle de centre C 0 0 et de rayon r centre C X Yo et de rayon r Col Xo Yo EM D terminer l quation du cercle c de centre C 2 4 et tangent l axe des ordonn es Donner 4 points qui appartiennent ce cercle EM Si cela est possible d terminer le centre C et le rayon r des cercles suivants a c x y 25 0 c c x y 4x 2y 9 0 b c x y 36 0 d c 2x 2y 2x 10y 11 0 EM D terminer les points de coordonn es a a qui sont une distance 3 du point P 2 1 78 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T Xai Nouvelles courbes EM Repr senter toutes les quations suivantes a ix 2 b y x 3 C y x 5 d y x 3 EM Qu en d duire quant la repr sentation graphique des quations de la forme y x Kk o k est une constante r elle quelconque x et y des variables r elles EM Repr senter toutes les quations suivantes a y 3 x 2 b y 8 x 2 c y 0 5 x 2 d y 2 x 2 EM Qu en d duire quant la repr sentation graphique des quations de la forme y a x k o k et a sont des constantes r elles quelconques x et y des variables r elles EM Repr senter toutes les quations suivantes a y 2 x 2 1 b y 2 x 2 3 c y 2 x 2 1 5 d y 2 x 2 3
26. 4 d 7ab c a 2ac 4b EU a 2x 3y f non factorisable 2 x 6 x 2 6 g x 6 x 2 h x 13 x 1 i x 2 x 7 d 7x 2 j x 4 x 5 e x 1 21 a 7x 1 x 2 e 7 2x 11 b x 1 8x 5 f 4x 3 x c 8x 3 5x 3 g 7 x 2 x 1 d 2x 1 3x 25 h x 4 x 22 a x 7 x 7 2x 1 2 x 2 b 2x 9 x 2 f x 1f x 4 c 3x 2 2x 1 g 13x 3 7 x 9 d 5x 2 x 3 h x 7 Edition 2010 Sav Sav Ne t inqui te pas si tu as des difficult s en maths je peux t assurer que les miennes sont bien plus importantes Albert Einstein 1879 1955 ir d finir expliquer justifier illustrer v Le vocabulaire relatif aux expressions alg briques tudi es ici somme produit terme facteur v Le lien entre la distributivit et la mise en vidence v Le vocabulaire relatif aux manipulations des expressions alg briques d velopper r duire et factoriser La raison pour laquelle on factorise v Les outils pour d velopper v Les outils pour factoriser v Les identit s remarquables comme des th or mes que l on sait d montrer irs faire lt Distinguer une expression sous forme de somme ou sous forme de produit lt Rep rer les termes et les facteurs lt D velopper et r duire une expression alg brique donn e v Factoriser compl tement une expression alg brique donn e en ma trisant les diff rentes techniques propos es CE
27. BC c Montrer que l aire des lunules les parties en orange ci contre est gale l aire du triangle ABC Les mesures de la figure sont en cm la figure n est pas en vraie grandeur a Quelle est l aire du carr bleu b Proc der de la m me fa on pour construire un carr d aire 10 cm2 Edition 2010 Exercices d entra nement Exercices suppl mentaires EFJ Un massif de fleurs a la forme d un triangle rectangle et le jardinier veut l entourer d une cl ture Au moment de l acheter il s aper oit qu il a oubli de mesurer un des c t s de l angle droit Les deux seules mesures dont il dispose sont en m tres 6 75 et 10 59 a A t il besoin manquant b L aider calculer la longueur de la cl ture qu il doit acheter EFJ Le cric d une voiture a la forme d un losange de 21 cm de c t 32 quelle hauteur ER soul ve t il la voiture lorsque la diagonale horizontale mesure 32 cm Arrondir au mm EEJ D montrer NR EI N d aller mesurer le c t a m 13 5 que Justifier toutes les tapes 6 cm R 10 5 cm l TSF est un triangle isoc le en S tel que ST 4 5cm et TF 5 4 cm a Calculer la longueur de la hauteur relative la base TF b En d duire l aire de ce triangle Sur un mur vertical Arnaud a install une tag re pour y poser des pots de fleurs Les mesures qu il a utilis es sont les suivantes AT 42 cm AE 58 cm et TE 40
28. Dans le cercle C l angle inscrit CIL et l angle au centre COL interceptent le m me arc CL a Donc l angle au centre COL mesure le double de l angle inscrit CIL ne ne L COL 2XCIL 2 x 76 152 L angle au centre COL mesure 152 e 152 Chapitre 10 Angles et cercles Edition 2010 Exercices d entra nement Compl ter les lignes du tableau suivant pr cision 2 d cimales FENSNENSE EP RS w bee O hem he FA Calculer l aire et le p rim tre des surfaces ombr es Le c t du carr mesure 4 m Le c t du carr mesure 8 mm Le diam tre du grand demi cercle vaut 14m Edition 2010 Le c t du triangle quilat ral mesure 5 cm EX L aiguille des minutes d une horloge a 6 cm de long Quelle est la longueur de l arc d crit par l extr mit de l aiguille R ponse en cm a en 20 minutes b en 35 minutes EX 0 est le centre du cercle D terminer les valeurs manquantes en indiquant les propri t s et th or mes utilis s Chapitre 10 Angles et cercles 153 Exercices d entra nement Exercices suppl mentaires KJ L extr mit d un pendule de 35 cm de long d crit un arc de cercle de 15 cm Quel est l angle d crit au cours d une oscillation du pendule La figure ci dessous repr sente un cercle de centre S D terminer en justifiant la mesure de l angle NOA EJ Sur la figure ci dessous les droites NC et AE se coupent en
29. Elle croyait la m tempsycose soit le passage le transvasement d une me dans un autre corps qu elle va animer Elle se pr occupait d arithm tique tout est nombre les choses sont des nombres ou les choses consistent en nombres ou les choses imitent les nombres qui seraient des principes ou les choses ont des nombres un certain flou demeure La science des nombres est la fois arithm tique donc scientifique et arithmologie donc symbolique Chaque unit est figur e par un point de sorte qu on a des nombres plans 1 4 9 16 sont carr s 1 3 6 10 sont triangulaires rectangulaires solides cubiques pyramidaux lin aires polygonaux Le premier nombre pyramidal est 4 selon Philolaos les pythagoriciens associent le 1 au point le 2 la ligne le 3 la surface la figure g om trique deux dimensions cercle triangle carr le 4 au solide la figure g om trique trois dimensions cube sph re pyramide etc Chaque nombre est aussi symbole la justice est quatre la vie et le mariage est cinq la perfection est dix le 6 l me le 7 l esprit la sant et la lumi re 8 l amour l amiti la ruse et l intellection le 10 la perfection Les pythagoriciens s int ressaient galement la g om trie entre autres le fameux th or me de Pythagore la musique Pythagore a d couvert les lois de l harmonique la m decine la science politique et l astronomie Sour
30. Les nombres n gatifs ne se rencontraient donc que comme auxiliaires de calcul et n taient pas consid r s comme des solutions possibles un probl me donn Comme nous le verrons plus loin dans les math matiques grecques les nombres rest rent toujours li s une interpr tation g om trique De ce fait des nombres n gatifs ne furent pratiquement jamais envisag s contrairement aux nombres irrationnels Les nombres n gatifs r apparaissent bien plus tard en Inde D s le huiti me si cle les Hindous montrent une parfaite connaissance de ces nombres et de leur manipulation essentiellement dans des probl mes commerciaux Mais la justification d une r gle telle que le n gatif multipli par le n gatif est positif reste absente En Occident les nombres n gatifs apparaissent relativement tard et il faudra attendre plusieurs si cles avant que les math maticiens ne les acceptent en tant que nombres r els Michael Stifel 1487 1567 connaissait parfaitement leurs propri t s et les introduisit en 1544 dans son Aritmetica Integra mais il les appelait numeri absurdi J rome Cardan 1501 1576 les acceptait comme solutions de certains probl mes mais il les qualifiait de nombres fictifs Albert Girard 1595 1632 fut le premier en donner une interpr tation g om trique le signe s explique en g om trie en r trogradant et les solutions par reculent l ou les solutions par avancent Blaise Pascal 16
31. Sont les stars de l expression consid r e en c e D velopper et r duire le plus possible x 3 2 x 2 x 4 x x 9 f Factoriser le plus possible x 3 2 x 2 x 4 x x 9 Padi Des trucs Factoriser le plus possible a 3xy 6xy 1 3y c 3 x y z 97 y x b y 12x 36 4z7 4x d x 5 4x Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral M thodes et notions essentielles KE D velopper une expression Vocabulaire Les termes sont les l ments qui constituent une somme Les facteurs sont les l ments qui constituent une produit Un mon me est une expression alg brique ne comportant qu un seul terme et dont la les variable s sont des puissances uniquement enti res positives Dans un mon me une variable une fois celui ci r duit le plus possible son degr est l exposant de la variable et son coefficient le facteur num rique Exemples 1 Dans l expression E 2x 3 x 4 2x 3 et x 4 sont les facteurs Dans l expression F 2x 3 2x et 3 sont les termes Exemples 2 ro Ei IX y zi RCE et V2t sont des mon mes D 2 _ PXOY 2 Z2X U et JIE ne sont pas des mon mes 2x est de degr 3 et de coefficient 2 2x 3x est de degr 27 et de coefficient 18 y est de degr 1 et de coefficient 1 Remarque une constante est dite de degr 0 D finitions La distributivit est une propri t de la multiplication qui permet d effectuer le produit d un nombre et d une s
32. ciproque du Th or me de Pythagore e Est elle vraie f Une autre illustration d monstration tout aussi visuelle ne n cessite quant elle qu une seule figure Elle se trouve dans le livre de Chou Pei Suan King 40 av J C L expliciter Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte LAS Les pythagoriciens Voir la pr sentation pts 1 9 http www canal educatif fr Video Sciences 007Pythagore player html a Quand a v cu Pythagore b O a t il v cu c Citer un math maticien contemporain de Pythagore d Pourquoi les math matiques ont elles commenc se d velopper Babylone e Citer trois domaines auxquels Pythagore s est int ress f Citer trois d tails de sa vie qu on peut qualifier de particuliers g Pourquoi les gyptiens se servaient de la corde 13 noeuds h Que signifie le mot h catombe i Comment s appelle le livre consid r comme le livre majeur de la g om trie Qui l a crit j Comment s appelle le symbole par lequel on pense que les Pythagoriciens se reconnaissaient k Qu est ce que le disciple Hyppase de M taponte a r v l au monde Pourquoi cela a t il eu autant de r percussions chez les pythagoriciens Xai Applications Au XIlle si cle le fils d un certain Bonacci L onard de Pise dit Fibonacci crivit un livre expliquant aux marchands italiens les connaissances mat
33. de 8 Indiquer pour chacun des nonc s suivants s il est vrai ou faux et argumenter a La somme de quatre nombres naturels cons cutifs est un multiple de 4 b La somme de deux impairs cons cutifs est un multiple de 4 c Le carr d un nombre pair est un multiple de 4 d La somme de deux nombres naturels cons cutifs est impaire e Le produit de deux nombres naturels cons cutifs est impair f Le produit de deux impairs cons cutifs est impair g La diff rence des carr s de deux nombres impairs cons cutifs est un multiple de 8 h Le produit de trois entiers cons cutifs est un multiple de 6 On suppose l implication suivante vraie s il pleut quand je sors alors je prends mon parapluie a Vous constatez je n ai pas mon parapluie Vous dites alors que il ne pleuvait pas quand je suis sortie b Vous constatez que j ai mon parapluie Vous dites alors que il pleuvait quand je suis sortie Chapitre 3 Argumenter Exercices d entra nement Dans chacun des cas indiquer s il s agit de la r ciproque ou de la contrapos e EEJ On suppose l implication suivante vraie si il fait noir alors je ne peux pas lire un livre a Vous constatez que je ne lis pas de livre Vous dites alors que il fait noir b Vous constatez que je lis un livre Vous dites alors que il ne fait pas noir Dans chacun des cas indiquer s il s agit de la r ciproque ou de la contrapos e R PONSES DES EXERCIC
34. donn es fournies FA La distance entre deux points A et B sur Terre se mesure le long d un cercle dont le centre C est au centre de la Terre et dont le rayon est gal la distance de C la surface voir figure Le rayon moyen de la Terre est selon les mesures contemporaines d environ 6341 Km a Calculer la distance en kilom tre entre A et B si l angle ACB 60 b Si deux points A et B sont loign s de 1000 Km d terminer l angle ACB en degr s EX La Terre effectue une rotation compl te autour de son axe en 23 heures 56 minutes et 4 secondes Son rayon moyen est selon les mesures contemporaines d environ 6341 Km a Calculer de combien d e degr s la terre tourne en un e seconde b Calculer la distance parcoure en m tre pendant une seconde par un point P situ sur l quateur d la rotation de la Terre Chapitre 10 Angles et cercles 4 Une roue pour une petite voiture a un diam tre de 56 cm Si le v hicule se d place une vitesse de 96 km h calculer le nombre de tours que la roue fait par seconde E Un cylindre droit qui tourne autour de son axe est un mod le simple du coeur d une tornade Si une tornade a un coeur de 60 m de diam tre et que la vitesse maximale du vent la p riph rie du c ur est de 290 km h ou 80 m s calculer le nombre de tours que le coeur fait chaque seconde KA on consid re la situation suivante a Si le pignon de rayon r tourne d un
35. es de sont solution de l quation de d soit 1 2 2 13 1 13 5 2 q9e5 qeq 5 q Conclusion l quation r duite de d est Y x 3 3 3 3 3 3 On obtient une quation cart sienne ainsi A a ex 3y 13 0 Exemple 4 d terminer l quation r duite de la droite d perpendiculaire la droite d d quation 2y 6y 1 0 et passant par le point A 2 5 L quation r duite de d est de la forme y px q o p est la pente et q l ordonn e l origine Comme d est perpendiculaire d elles ont des pentes inverses et oppos es 2 1 1 1 d terminons celle de d 2x 6y 1 0s6y 2x 1 y Men 0e douipente 1 de d 3 et donc pente de d 3 soit d y 3x q reste d terminer q Comme AEed on sait que les coordonn es de sont solution de l quation de d soit 5 3 2 q q 11 Conclusion l quation r duite de d est d y 3x 11 185 Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique M thodes et notions essentielles ARE Les cercles Cercle centr l origine Le cercle le plus simple est celui de rayon r centr l origine j PO Y Question Qu est ce qui caract rise un point Pp qui appartient Pa au cercle c R ponse Peced O P r SE Dire qu un point appartient c est quivalent dire que la distance entre ce point et l origine vaut r Alg briquement d O P r x y r L quation du cercle c centr l origine et de rayon r est donc x y r Si un po
36. gales entre elles Donc le triangle ABC est quilat ral Df 20 et il est construit sur la droite limit e donn e AB Donc sur une droite limit e donn e un triangle quilat ral est construit Ce qu il fallait faire Les El ments T 1 pp 194 95 Faire une analyse pr cise du texte ci dessous afin d en d gager le d roulement du discours argumentatif Pr ciser les tapes de ce discours EJ La g om trie non euclidienne htto fr wikipedia org wiki G C3 A9om C3 AItrie non _euclidienne EX Les solides de Platon Philolaos A 15 A tius ler s ap J C Pour Pythagore il existe cinq figures de volumes qu il appelle encore math matiques le cube qui selon lui a produit la terre la pyramide qui a produit le feu l octa dre qui a produit l air l icosa dre qui a produit l eau et le dod ca dre qui a produit la sph re de l univers Opinions Il VI 5 in Dumont p 257 On parle de poly dres r guliers parce que 143 Exercices d approfondissement toutes leurs faces sont constitu es par la m me figure polygonale r guli re Pourquoi n y a t il que cinq poly dres r guliers possibles Confronter votre r ponse celle donn e par Euclide dans le texte qui suit Euclide environ 325 250 Je dis alors qu en plus des cinq figures susdites il ne sera construit aucune autre figure contenue par des figures planes quilat rales et quiangles gales entre elles En
37. http trucsmaths free fr KY Edition 2010 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Exercices d entra nement 168 EJ Dans chaque cas calculer la valeur arrondie au dixi me des longueurs manquantes a c S FA Construire un tringle AABC tel que AB 4 5 cm lt BAC 27 et lt CBA 63 a Ce triangle est il rectangle Pourquoi b Calculer les longueurs AC et BC arrondies au dixi me EJ Dans chaque cas calculer la mesure de l angle lt MNO donner la valeur arrondie au degr EM l aide des informations de la figure calculer la mesure arrondie au degr de l angle lt AIO A 3cm M 4 5 cm 6 cm E Quand le sommet de la tour Eiffel est vu d une distance de 60m partir de la base l angle d l vation est de 79 2 Estimer la hauteur de la tour Eiffel au m tre pr s Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Ses ess enuueecus ace son Sd a es oo diese s des 0 5e 66 0 0 5 6 eee 2 0e eo 0 ee 0 cie 0 0 0 KA Relations entre sinus cosinus et tangente Soit AMOT un triangle rectangle en M a Que peut on dire des angles lt MTO et lt TOM b Exprimer le sinus le cosinus et la tangente des angles lt MTO et lt TOM en fonction des c t s MO OT et MT c Utiliser la question b pour crire trois galit s d D duire de ces galit s deux propri t s sur les angles compl mentaires d un triangle rectangle S
38. mentaires NSA 180 CSA 180 92 88 Enfin NSA est un angle au centre du cercle NOA est inscrit dans le m me cercle et ces 2 angles interceptent le m me arc NA donc NOA est gal la moiti de NSA 88 Noa NSA gt 44 2 On a donc EJ NSE et sont 2 NIE angles inscrits du m me cercle et ils interceptent le m me arc donc ces 2 angles sont gaux NIE et AIC sont oppos s par leur sommet car NC et AE se coupent en donc ces 2 angles sont gaux Edition 2010 Enfin AIC et ARC sont 2 angles inscrits du m me cercle et ils interceptent le m me arc AL donc ces 2 angles sont gaux Il en r sulte que tous les angles pr c dents sont gaux et en particulier NSE ARC EX RSE et RAE sont 2 angles inscrits du m me cercle et ils interceptent le m me arc RE donc ces 2 angles sont gaux RAE et NRA sont alternes internes car d termin s par la s cante RA qui coupe les droites NR et AE et comme NR et AE sont parall les ces 2 angles sont gaux Enfin NRA et NCA sont 2 angles inscrits du m me cercle et ils interceptent le m me arc NA donc ces 2 angles sont gaux Il en r sulte que tous les angles pr c dents sont gaux et en particulier RSE NCA On sait que RSE 40 donc NCA 40 EU EAC et ERC sont 2 angles inscrits du m me cercle et ils interceptent le m me arc EC donc ces 2 angles so
39. point d intersection des cercles et I Sur la figure la main lev e ci dessous les droites AC et BD se coupent en E Expliquer pourquoi NSE ARC E Sur la figure ci dessous les droites NR et AE sont parall les Les cercles et se a Calculer la mesure de l angle AED puis coupent en R et A celle de l angle ADB Justifie ta d marche b Le point E est il le centre du cercle Justifier D terminer en justifiant la mesure de l angle ES NCA 0 00 0e 0 0 0 0 0e Pe zZ S m un 154 Chapitre 10 Angles et cercles Edition 2010 Exercices d entra nement EYJ Sur la figure ci dessous les droites EB et CN se coupent en R point d intersection des cercles et Le point O est le centre du cercle N l angle NOB mesure de Justifie ta d marche Calculer la R ponses des exercices suppl mentaires EH 2457 CSA _est un angle au centre du cercle CEA est inscrit dans le m me cercle et ces 2 angles interceptent le m me arc CA donc CSA est gal au double de CEA On sait que CEA 46 donc CSA 2 x 46 92 Par ailleurs les points C S et N sont align s qu en pensez vous donc les angles CSA et NSA sont suppl
40. quation du 2e degr ou quation de degr 2 est une quation quivalente une quation de la forme ax bx c 0 o x est une variable r elle et a b et c sont des constantes r elles avec a non nulle Exemples 2x 3 3x x 1 et mx 3V2 x 1 sont des quations du 2e degr 1 e 2x 3 3x 1x 1 et ue 2 ne sont pas des quations du 2e degr Edition 2010 Chapitre 7 Equations M thodes et notions essentielles Le cas particulier de l quation x a Th or me Les solutions de l quation x a pour a gt 0 sont x Va et x vVa R soudre une quation de degr 2 par factorisation Si p et q sont des expressions alg briques alors pq 0 lt gt p 0 ou q 0 Autrement dit Un produit de facteurs est nul si l un au moins des facteurs est nul Cette propri t permet de trouver toutes les solutions d une quation de degr 2 lorsqu une factorisation est trouv e Attention il faut qu un des membres de l quation soit nul c est dire le nombre 0 doit appara tre d un c t de l quation Exemple R soudre l quation 2x 3x x x 21 2x2 3x x x 21 x x 21 On commence par rendre nul le xX 4x 21 0 membre de droite x 3 x 7 0 On factorise le membre de gauche Si un produit est nul alors l un de ses facteurs au moins est nul On en d duit que x 3 0 ou x 7 0 x 3 ou x 7 On teste les valeurs trouv es Pour x 3 x 3 x
41. re poss dant au moins une paire de c t s parall les Un parall logramme est un quadrilat re poss dant deux paires de c t s parall les Un losange est un parall logramme dont les c t s sont de m me longueur Un rectangle est un parall logramme dont les angles sont de m me grandeur Un carr est un rectangle dont les c t s sont de m me longueur Le sch ma ci dessous montre la classification des quadrilat res en fonction de leurs caract ristiques Quadrilat res 0 ue Une paire de c t s parall les v L autre paire Tr cot s parall les C Parall lo grammes Les c t s de m me longueur Les angles de m me grandeur Losanges Rectangles Les angles de m me grandeur Les cot s de m me longueur 1 08 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles Exemples de quadrilat res B C B A C A trap ze D B losange C B D parall logramme C A A rectangle D D D finitions Un polygone 5 c t s est un pentagone Un polygone 6 c t s est un hexagone Un polygone 8 c t s est un octogone Un polygone 10 c t s est un d cagone Un polygone 12 c t s est un dod cagone Le p rim tre d une figure g om trique est la longueur de la ligne qui d limite cette fi ure L aire d un figure g om trique est la mesure de la surface
42. rence y a t il entre les touches INS DEL et CLEAR 7 15 Mettre 15 dans la premi re m moire puis utiliser cette m moire pour calculer 7 15 puis Comment r initialiser la calculatrice TR XxX y xX On consid re l expression YX a La calculer l aide de la calculatrice pour x 10 et y 10 b La calculer l aide de la calculatrice pour x 10 et y 10 c La r duire alg briquement le plus possible pour x et y quelconques d Que peut on conclure des calculs pr c dents 39 Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles LEE Multiples diviseurs D finitions Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que a b k o k est un entier naturel On dit que a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a Exemple 12 est divisible par 3 3 est un diviseur de 12 12 est un multiple de 3 L Le PGCD de deux entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun L Le PPCM de deux entiers est leur Plus Petit Commun Multiple L Deux entiers sont premiers entre eux si leur ppcm est gal 1 Un entier est premier s il est diff rent de 1 et seulement divisible par 1 et par lui m me L Un entier qui n est pas premier est compos L Le quotient est le r sultat de la division 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ARE V0 A Division euclidienne D finition i Effectuer la division eu
43. s de la hauteur d un triangle quilat ral de c t 7 cm En d duire son aire E Un triangle EFG est rectangle en E EG 7 cm et FGE 45 a Calculer la mesure de l angle EFG b Calculer en justifiant EF et FG arrondir au mm KJ Rectangle ou non a Le triangle XYZ est tel que XY 29 8 cm YZ 28 1 cm XZ 10 2 cm Expliquer pourquoi il n est pas rectangle b Soit le triangle ALE tel que AL 13 1 cm LE 11 2 cm EA 6 6 cm Est il rectangle Justifier ABC est un triangle tel que BC 25 cm AB 24 cm et AC 7 cm D montre que le triangle ABC est un triangle rectangle Quentin a r dig sur sa copie le texte Chapitre 9 De Pythagore Euclide Briels Que penser de ce raisonnement EJ On consid re le parall logramme STOP ci contre dessin main lev e S 7 cm T E 5 25 em P O D montrer que le parall logramme STOP est un rectangle EX Les lunules d Hippocrate ABC est un triangle rectangle en A On a construit les demi cercles de diam tres AB AC et BC comme le montre la figure A ci contre a Exprimer l aire totale de la figure en fonction de AB AC et BC b Montrer que l aire du demi disque bleu est gale la somme des aires des demi disques verts En d duire que l aire totale de la figure est gale la somme des aires du triangle ABC et du disque de A diam tre
44. s de d couverte ahs Xai Retour au probl me introductif le r soudre Du sommet d une tour haute de 36 m tres au dessus du niveau de la mer un bateau est observ avec un angle de d pression de 16 A quelle distance se trouve de bateau de la tour Xat D autres probl mes La ficelle tendue d un cerf volant mesure 200 m tres Elle fait un angle de 63 avec l horizontale A quelle hauteur se trouve le cerf volant EH Un constructeur d sire riger une rampe de 7 2 m de long qui atteigne une hauteur de 1 5 m par rapport au sol Calculer l angle que la rampe devrait faire avec l horizontale Un v lideltiste vole 1200 m au dessus du sol Il voit un clocher dans une direction qui fait un angle de 40 au dessous de son horizontale La hauteur du clocher est de 30 m A quelle distance de la girouette situ e au sommet du clocher se trouve t il Val it WA Valeurs exactes Pour certains angles on peut d terminer les valeurs exactes du sinus du cosinus et de la tangente Angle de 30 et angle de 60 a Le triangle AABC est un triangle quilat ral de c t 1 et le poit H est le milieu du c t BC En d duire la longueur de BH b Calculer la valeur exacte de AH c Dans le triangle AABH rectangle en H d terminer les valeurs exactes de sin 30 cos 30 tan 30 sin 60 cos 60 et tan 60 FA Angle de 45 a Le quadrilat re DEFG est un carr de c t 1 donc le triangl
45. soudre les syst mes suivants par triangulation 7X 12Y 3 X Y 16 5X 8Y 31 13x 11y 16 Soient deux nombres Si on ajoute au premier les du second on obtient 14 Mais si on retranche au triple du second les du p3 Quels sont premier on obtient la fraction 2 ces deux nombres Alexia dit Christel Dans 5 ans j aurai 5 fois le quart de ton ge actuel Et Christel de lui r pondre Tiens tu n as que 5 ans de plus que moi Calculer l ge des deux amies la boulangerie Matteo ach te deux parts de pizza et quatre parts de flan p tissier Il paie 12 Salim ach te trois parts de pizza et deux parts de flans p tissiers Il paie 9 80 Quel est le prix d une part de pizza Quel est le prix d une part de flan p tissier Perrine a 100 Elle souhaite acheter des disques et des livres Si elle ach te quatre disques et cinq livres il lui manque 9 50 Si elle ach te trois disques et quatre livres il lui reste 16 Calculer le prix d un disque et celui d un livre ELA Mendi et Martial ont achet des stylos plume et des cartouches la papeterie Mehdi paie 15 pour deux stylos et cinq lots de cartouches Martial paie 10 20 pour un stylo et quatre lots de cartouches a Quel est le prix d un stylo Et celui d un lot de cartouches b Une semaine plus tard la papeterie solde 10 sur les stylos et 15 sur les lots de cartouches Quels prix Mehdi et M
46. tu en prendras le tiers ce qui fait six chameaux A toi le plus jeune reviendra un Chapitre 4 Autres nombres neuvi me du tout soit deux chameaux Chacun d entre aura donc re u plus qu il n en esp rait et si je compte bien cela fait dix sept Le chameau restant qui n est autre le mien que je le reprendrai Ass nant quelques rapides coups de talons dans les flancs de son bourricot il disparut bien avant que tous les auditeurs eurent appr ci la sagesse de ses paroles Source Alg bre mode d emploi G Charri re Ed LEP Expliquer cette apparente contradiction EJ Le taux de change du jour est de 1 euro pour 1 675 chf Combien faut il d euros pour obtenir 2000 chf EX En France la vitesse maximale autoris e sur autoroute est 130 km h Convertir cette vitesse en m s EFJ Exprimer la vitesse de chaque plan te sur leur orbite en m s et en km h Le tableau suivant donne la longueur de l orbite de quatre plan tes de notre syst me autour du Soleil en km ainsi que le nombre de jours qu elles mettent pour parcourir cette orbite a Exprimer la vitesse de chaque plan te sur leur orbite en m s et en km h Edition 2010 Exercices d entra nement b Fausse contre exemple 15 est divisible par 3 et 5 mais par par 30 R PONSES DES EXERCICES SUPPL MENTAIRES EPA ombres parfaits _ 491 a 1 2 3 et 6 209 b 6 581 37 j D B 2500 a 30 c Cette somme est gale au nombre initial
47. 0e 0 0 0 0 Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles Utiliser ou d terminer un pourcentage Exemple 25 filles et 20 gar ons de deux classes de 2 ont effectu un devoir commun 60 des filles et 50 des gar ons ont obtenu la moyenne Calculer le pourcentage d l ves qui ont obtenu la moyenne dans l ensemble de ces deux classes 1 On calcule le nombre de filles qui ont obtenu la moyenne 60 r 60 25 a 25h 100 5 filles filles 15 filles 2 On calcule le nombre de gar ons qui ont obtenu la moyenne 50 _ 50 20 z3 100 20 gar ons Too gar ons 10 gar ons 3 On calcule le nombre total d l ves dans les deux classes 25 20 45 l ves On calcule le nombre d l ves ayant eu la moyenne 15 10 25 l ves mo Sir L galit des produits en croix donne HE 45n 25x100 al Donc n 25x100 45 ojs Ja n 56 Yy o Donc environ 56 des l ves des deux classes ont obtenu la moyenne Utiliser les formules de la vitesse Si un mobile parcourt une distance d en un temps t alors la vitesse moyenne v de ce mobile est le quotient de d part v ou d vt Exemple sur un parcours de 60 km la vitesse moyenne d un cycliste est de 30 km h l aller et de 20 km h au retour Calcule sa vitesse moyenne V sur le trajet aller retour d d d gt 60 km 60 km 120 km lt lt O
48. 2 x 1 c x 3 x 3 5 2x 5 2 x d x y y x x y e 3x 5x 7 x 4 2x 8x 3 x 4 f 3 2x 1 3 5x x 1 5 3x 5 3 x g 2x 3x y h 2 b Mettre en vidence le plus de facteurs possibles a 4a 7a 3a b x X x C 4v z 16v z 8vz 16vz d 7a b c 14a b c 28ab c EX Factoriser l aide des identit s remarquables a 4x 12xy 9y f xa b a ast g x 8x 12 4 PIPES h x 14x 13 c 25x y i x2 5x 14 d 49x 28 x 4 ai j x x 20 e x 2x 1 77 Chapitre 6 Calcul litt ral Exercices d entra nement plus possible les FF Factoriser le expressions suivantes a 7x 1 2x 3 3x 1 7 x 1 b 3x 2 x 1 4 1 x 5x 3 x 1 c 7x 8x 3 3 8x 2x 5 16 x 6 d 8x 4 x 5 x 5 2x 1 e x 2 x 9 f 4x 3 x 1 4x 3 g x 2 3 x 2 4x x 2 h 4 x x 1 2x 8 x x 4 A Factoriser le expressions suivantes plus possible les a x 49 2x 5 4x 28 x 7 b x 3x 10 x 2 x 8 c 2 3x x 1 3x 2 d 25x 5x 2 x 1 5x 2 4 e x 4 2 x 4 x 2 f 2x 5 x 1 x 1 g 4 5x 3 9 x 1 h x 4 2 x 4 2x 3 2 x 3 R PONSES DES EXERCICES SUPPL MENTAIRES a 2x d x y b 2x 3 e 5x 9x 22x 16 c 5x 34 f 8x 4x 31 g 8x 36x y 54x y 27X y h 35 33b 323 b b y Chapitre 6 Calcul litt ral a a 3bc 7b 2 3c b a ab 6a b b a c 4vz v 4v z 2z
49. 3 est 77 3 D finition division des fractions Diviser par une fraction non nulle c est multiplier par son inverse Exemple calculer A a E et donner le r sultat en simplifiant le plus possible 8 5 On s occupe d abord du signe le r sultat est positif A 7 S 7 5 carily a un nombre pair de facteurs n gatifs A Le 4 On multiplie par l inverse de la deuxi me fraction 15 NE 8 3 _ 24 lt On multiplie les num rateurs entre eux et les 75 35 d nominateurs entre eux en simplifiant si possible D finition Une fraction est irr ductible lorsque son num rateur et son d nominateur sont premiers entre eux D finition Amplifier une fraction c est multiplier le num rateur et le d nominateur par un m me entier non nul Simplifier une fraction c est diviser le num rateur et le d nominateur par un m me diviseur commun z Th or me Quand on amplifie ou simplifie une fraction on obtient une nouvelle fraction gale celle de d part 0 0 ee 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0e 0 0 0 0 0 0e 42 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 M thodes et notions essentielles Proportions R soudre une situation de proportionnalit Dans une situation de proportionnalit la quatri me proportionnelle est le quatri me nombre x calcul partir de trois autres nombres d j connus
50. 5 i P a b 44 0 4 BL a SF 2 f i Ai 62D D oi re va a 80 dia 3 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6 x 2 5 2 al gt 44 EA 4 4 si Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 M thodes et notions essentielles Distance entre deux points e Th or me Soient P x y et P x y deux points du plan Alors la distance q entre P et P est d V x x y y i 7 Exemple D terminer la distance entre les points A 3 5 et B 4 1 pn i d A B V 4 3 1 5 V658 06 ns 1 B HHA Fa a Milieu entre deux points Th or me Soient P x y et P X3 y deux points du plan E noa Xi X Alors le point m situ entre les deux points P et P est MOa a i x y o Exemple 1 i D terminer les coordonn es du point milieu entre A 2 3 et a Te ER 1 N B 4 4 M 4 8 2 2 Ds de K BEEF ol pi Fm Le produit cart sien D finition Soient et B deux ensembles de nombres r els Le produit cart sien de par B not AxB est l ensemble de tous les couples dont la premi re coordonn e appartient et la deuxi me coordonn e appartient B Exemples O Soient A 1 2 et B 1 1 alors le O Soient C 1 2 et D 1 1 alors le produit cart sien de par B est d finit produit cart sien de C par D se par AxB 1 1 1 1 2 1 2 1 repr sente par le rectangle suivant
51. 5x gt m 2 CE pente de la droite d2 perpendiculaire d1 Ea m _2 2 5 y 2 d2 pee x n d2 passe par 2 4 4 2 24n gt n 9 Finalement d2 y 2x 9 EX R p x 3 7 2 72 a x y 7 lt gt x y 49 0 Edition 2010 intersection avec 0x 7 0 et 7 0 intersection avec Oy 0 7 et 0 7 b x 3 y 3 lt gt x y 6x 6 0 intersection ac 0x 3 43 0 et 3 3 0 intersection avec 0y c x 2 P y 2 2 lt gt x y 4x 4y 4 0 intersection avec 0x 2 0 intersection avec Oy 0 2 d x a y 2a 5a lt gt x y 2ax 4ay 0 int avec 0x 1 5 a 0 et 1 5 a 0 int avec Oy 0 2 45 a et 0 2 V5 a a C 2 3 etr 7 c C 0 2 etr 11 b C 4 5 etr 2 d C 2 1 etr 0 a intersection avec 0x 0 0 et 4 0 intersection avec 0y 0 0 b int avec 0x 3 V10 0 et 3 10 0 intersection avec 0y 0 1 c int avec Ox 0 et 2 0 intersection avec 0y 0 24 a y x 2 4 pas de forme factoris e b y x 3 2 pas de forme factoris e c y 2 x 3 4 pas de forme factoris e 1 2 5 M vf v lt 1 M g vV 60 75 gt sommet 60 75 a abscisse du sommet 60 km h b ordonn e du sommet 75 km Chapitre 12 G om trie analytique 195 La science a eu de merveilleuses applications mais la science qui n aurait en vue que les applications ne serait plus de la science elle ne serait plus que de la cuis
52. ALIO comme LP O P LO alors le triangle ALIO est rectangle en gt Les diagonales du parall logramme LOSA sont perpendiculaires gt LOSA est un losange Propri t du losanges Un losange est un parall logramme dont les diagonales sont perpendiculaires ET Comme AC BC AB alors le triangle A ABC est rectangle en C Donc le mur est bien perpendiculaire au sol Chapitre 9 De Pythagore Euclide 141 Exercices d approfondissement 142 EN Visionner tout ou partie du DVD Donald au pays des math magiques F1 Pythagore et la musique voir par exemple http www kulturica com pymusique htm EX 39 d monstrations du th or me de Pythagore http www cut the knot org pythagoras index shtml EX La philosophie au temps de la Gr ce Antique http hist geo grece ac orleans tours fr php5 themes philo htm H Les El ments d Euclide e Les Axiomes ou Notions communes Euclide dans son organisation s inspirant des travaux d Aristote commence par pr senter les axiomes ou notions communes qui sont au nombre de 9 Il s agit d affirmations non d montr es r glant la logique d un discours d ductif Ces affirmations sont si videntes qu elles s imposent d elles m mes De plus elles s appliquent toutes les formes de discours logique et ne sont pas sp cifiques une science particuli re sauf peut tre la notion commune 9 qui explicite que le domaine tudi est celu
53. Ahm se calcule l aire d un triangle R 51 in Couchoud S Math matiques gyptiennes pp 44 45 F aa LT lea e nfiomiter QT OL e LUE 7 Ar E DT E AD AT L 9999 hogz H oo 2 gt Peet The Rhind Mathematical Papyrus planche XV a G n raliser la proc dure en justifiant votre r ponse b Qu tait un scribe EM Signalons que l on trouve en M sopotamie des proc dures semblables de calculs relevant de pr occupations g om triques Les Babyloniens l image des Egyptiens savaient calculer les surfaces des quadrilat res r guliers et approcher celles des polygones Ils taient capables d approximer le volume de certains corps prismes pyramides troncs de pyramide base carr e et troncs de c nes Ils approximaient le p rim tre d un disque en multipliant par 3 ou 3 125 la p riode s leucide le diam tre On a retrouv le trac de quelques polygones r guliers hexagone et pentagone notamment avec la mention du rapport des mesures du c t et de la hauteur Les Babyloniens avaient cern la teneur de ce que nous appelons le th or me de Pythagore et de sa r ciproque ainsi que celle des grandeurs proportionnelles notre th or me de Thal s Activit A Calculs d aires EM Quelle diff rence y a t il entre aire et surface EM D finir puis donner la formule de calcul d aire pour les figures suivantes triangle trap ze parall logramme losange rectangle et carr
54. Ar naire est r dig sous la forme d une longue lettre dans laquelle Archim de d trompe le roi G lon de l id e que l on ne pourrait crire un nombre assez grand pour repr senter la quantit prodigieuse de grains de sable que contiendrait une sph re aussi grande que la sph re toil e et il d montre que ce nombre ne d passerait pas en d finitive le nombre qui dans notre syst me de num ration serait repr sent par 1 suivi de soixante trois z ros L Ar naire se termine ainsi je con ois roi G lon que ces choses para tront incroyables la plupart de ceux auxquels les math matiques ne sont point famili res mais ceux qui y sont vers s et qui ont m dit sur les distances et les grandeurs de la Terre du Soleil et du Monde entier les admettront apr s ma d monstration Et c est pourquoi j ai cru qu il n tait pas hors de propos que toi aussi tu en prennes connaissance 2 Chapitre 1 Calcul num rique Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte Des nombres encore plus consid rables apparaissent dans l astrophysique actuelle Certains astrophysiciens ont calcul que dans 10 ann es toutes les toiles seront teintes que dans 10 ann es toute la mati re se m tamorphosera en boules de fer et que dans 10 ann es lors d un gigantesque feu d artifice toute la mati re de l Univers s vaporera en lumi re Les math maticiens de leur c t font encore mieux Dans des probl mes de
55. Ce document est con u collaborativement par et pour des enseignants sur le mod le propos initialement par l association Sesamath http www sesamath net et qui existe d sormais galement en Suisse romande http www sesamath ch Il est publi sous licence libre GFDL et est ce titre int gralement t l chargeable gratuitement aux formats pdf et odt g n r par OpenOffice3 depuis l adresse suivante http sesamath ch manuel degre12 Vous trouvez aussi cette adresse toutes les informations relatives ce projet et l association Sesamath Tous commentaires et contributions bienvenus Copyleft 2009 11 Permission est accord e de copier distribuer et ou modifier ce document selon les termes de la Licence de Documentation Libre GFDL GNU Free Documentation License version 1 1 ou toute version ult rieure publi e par la Free Software Foundation Cette licence libre offre l utilisateur de nombreux droits libert d utilisation de modification de copie et de distribution des copies elle lui impose aussi de donner ces m mes droits pour toute version ult rieure Le D partement de l Instruction Publique Gen ve DIP recommande la publication de contenu p dagogique num rique sous licence libre http www ge ch sem cc en savoir plus sur le monde du libre http icp ge ch gelibredu 10 11 12 13 Trois chapitres suppl mentaires facultatifs sont disponibles en libre t l chargement l adresse http
56. D finitions On appelle un syst me d quations un ensemble d quations qui doivent tre r solues en m me temps Les quations composant le syst me peuvent comporter plusieurs inconnues Un syst me d quations lin aires est un syst me dont toutes les quations qui le composent sont du premier degr 3X 2Y 5Z 14 est un syst me de deux quations lin aires trois X 2Y 2Z 3 Exemple inconnues Une solution d un syst me est un objet qui d pend du nombre d inconnues du syst me Si le syst me a deux inconnues c est un couple not x y avec x yEelR qui v rifie toutes les quations simultan ment si le syst me a trois inconnues c est un triplet not X y Z avec x y ZElR qui v rifie toutes les quations simultan ment etc 3X 2y 5Z 14 X 2Y 2Z 3 3 1 2 3 5 1 14 et que 1 2 3 2 1 3 mais ce n est pas la seule par exemple 43 0 23 en est une autre Exemple le triplet 1 3 1 est solution du syst me ar Deux syst mes sont dits quivalents s ils ont le m me ensemble de solutions Un syst me est dit triangul si chaque quation de ce syst me poss de une inconnue de moins que l quation pr c dente et que la derni re quation n a qu une seule inconnue Exemples 5X 6y 2Z X 2Y deux inconnues 8 R PERN 5 n est pas un syst me triangul car la derni re quation a 3X 5yY 7Z 56 X 8y 3 est un syst me triangul 5X 15
57. EM Quelles sont les coordonn es du point C s il est align verticalement avec le point et horizontalement avec le point B 74 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte e EM Quelles sont les coordonn es des points M et M s ils sont les milieux respectifs de BC et AC EM Quel argument est n cessaire pour prouver que le point M est bien le milieu du segment AB Terminer la d monstration EM Quelles sont les coordonn es des points milieu des segments AB suivants a A 4 2 B 4 8 c A 15 9 8 31 1 b A 61 149 B 1228 73 EA Trouver le point B tel que M 4 8 soit le milieu du segment AB avec A 3 4 1 Activit c Des quations et des courbes EM On consid re une quation deux inconnues y 3x 2 Une solution de cette quation est un couple de nombres x y qui v rifie cette quation Trouver deux solutions de cette quation EM Compl ter le tableau suivant qui contient des solutions de l quation EX Sur une feuille de papier quadrill e construire un rep re orthogonal et placer avec un maximum de pr cision tous les points de coordonn es x y de ce tableau EM Que constatez vous Est ce que cela a un sens de relier les points entre eux Justifier votre r ponse EM On consid re une quation deux inconnues y x 2 2x 1 Trouver deux solutions de cette quation EM Compl ter le tableau suivant
58. On appelle ordonn e l origine d une droite q la seconde coordonn e du point d intersection entre q et Oy D terminer l ordonn e l origine de chacune des repr sentations et tablir le lien avec les quations de d part d Classifier toutes les quations possibles de droites du plan AA IWA Droites perpendiculaires EM Prenons deux droites perpendiculaires passant par l origine d y m x et d y mM X Faire un croquis de la situation et placer deux points Ped et P ed diff rents de l origine EM Si x est la premi re coordonn e de P et x celle de P d terminer les secondes coordonn es de ces deux points EM D terminer la distance entre l origine et le point P puis entre l origine et P EM D terminer la distance entre les points P et P EM D velopper et r duire afin de conclure Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique Pr reavis et activit s de d couverte ahs PXA Le B A BA EM D terminer une quation cart sienne de la droite passant par les points A 1 2 et B 3 2 EM D terminer une quation cart sienne de la droite passant par les points C 3 2 et D 3 4 EM D terminer une quation cart sienne de la droite passant par les points E 4 2 et F 3 6 EM D terminer une quation cart sienne de la droite passant par le point G 3 2 et parall le la droite d quation 2x 3 y 1 0 EM D terminer une quation cart sienne de la droite passant par le point G
59. Quelqu un a achet une pi ce de drap En la revendant 12 Frs le m tre il gagnerait 100 Frs et en la revendant 9 Frs le m tre il perdrait 23 Frs Quelle est la longueur de la pi ce EFJ Le tiers d un capital est plac 5 et le reste 4 L int r t annuel est de 130 Frs Quel est ce capital Lu 4 EEJ Trouver une fraction gale dont la 3 somme du num rateur et du d nominateur est gale 63 Appeler x le num rateur de la fraction recherch e EZ on transforme un carr en un rectangle en ajoutant 4 5 cm la longueur d un de ses c t s et en retranchant 2 cm la longueur d un autre a Quelles doivent tre les dimensions du carr initial pour que le double de son p rim tre soit gal au p rim tre du rectangle b Quelles doivent tre les dimensions du carr initial pour que son aire et celle du rectangle soient gales Chapitre 7 Equations EF Le m tal de la livre anglaise est un alliage cuivre argent 7 5 de cuivre Combien de grammes de cuivre pur et combien de grammes d alliage de la livre devrait on utiliser pour pr parer 200 grammes d alliage cuivre argent 10 de cuivre EXA Dans un certain test m dical destin mesurer la tol rance aux hydrates de carbone un adulte boit 7 cl d une solution 30 de glucose Lorsque le test est administr un enfant la concentration de glucose doit tre ramen e 20 Combien de solution 30
60. Remarque Si P x y et P x y sont align s verticalement c est dire si x x alors la pente entre P et P n est pas d finie z D finition pente d une droite du plan Soient q une droite non verticale du plan P x y et P x y deux points quelconques de 4 La pente p de 4 est d finie par part 2 1 Remarques e si d est verticale c est dire si x x pour tout choix de P et P alors la pente de d n est pas d finie e si d est horizontale c est dire si y y pour tout choix de P et P alors la pente de d est nulle e deux droites non verticales sont parall les si et seulement si elles ont la m me pente Exemple soit la droite q passant par les points P 0 1 et P 3 2 ER d est de pente P 767 Remarque c est gr ce au th or me de Thal s que cette d finition un sens D finition ordonn e l origine d une droite du plan On appelle ordonn e l origine d une droite 4 la seconde coordonn e du point d intersection entre q et Oy Exemple 1d Soit 4 la droite repr sent e ci contre Son ordonn e l origine est environ de 1 44 Ordonn e l origine 1 44 0 0e 0 0e 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 0 0 183 Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique M thodes et notions essentielles Th or me quation d une
61. Remarque nous traiterons principalement de syst mes d quations lin aires c est dire que les quations qui composent les syst mes sont du premier degr 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NME R soudre un syst me triangul Exemple r soudre le syst me X 3y 4X 12 D terminer une des inconnues On commence par r soudre la derni re quation qui par d finition ne contient qu une seule inconnue 203 Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations M thodes et notions essentielles X 3Y 3 On divise les deux membres de l quation par 4 ax 12 5 pour obtenir x 3 D terminer la deuxi me inconnue F t i z a lt On utilise le r sultat dans la premi re quation n Pg lt On r duit l quation ainsi obtenue 3y 6 On r sout la premi re quation qui pr sent w e 9S lt ne contient plus qu une seule inconnue y 2 Conclusion 5 Ce syst me Y 2 aune unique solution qui est S 3 2 4 z X BS ECTS Trianguler un syst me En multipliant les deux membres d une quation par un m me nombre non nul on obtient une quation quivalente En additionnant une quation d un syst me une autre quation du m me syst me on obtient un syst me quivalent Remarque on additionne les quations membre par membre 3X 2Y X 3Y 3 Il
62. T44 it Des conclusions Dr les de chats Les deux premi res affirmations sont vraies Qu en est il de la conclusion Tous les chats ont de longues griffes Tous les animaux qui ont de longues griffes sont noirs Conclusion tous les chats sont noirs Pauvres commer ants Les deux premi res affirmations sont vraies Qu en est il de la conclusion Aucun picier n est riche Quelques commer ants ne sont pas des piciers Conclusion quelques commer ants sont riches Yaw A Pr voir l avenir Choisir un nombre ajouter 25 ce nombre multiplier le r sultat par 2 retrancher le double du nombre choisi au d part diviser le r sultat par 50 a Effectuer cette suite d instructions avec plusieurs nombres b noncer une conjecture quant au r sultat puis la d montrer EXAAIEE E Prendre position Voici une conjecture Quelque soit le nombre entier naturel n que je choisisse l expression n n 41 est un nombre premier Est elle vraie Justifier Conjectures Soit n un nombre entier naturel Les conjectures suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier a Z ro est un nombre pair b Tout nombre pair peut s crire sous la forme 4n c 4n est un nombre pair d 2n 3 est un multiple de 3 e 1000n 56 est un multiple de 8 24 Chapitre 3 Argumenter Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T PaE D montrer On consid re les conjectures suivantes a Conjecture Le carr
63. _ 1233109 d 1 2 4 8 16 31 62 124 248 496 a 999000 e 28 est le seul parfait entre 20 et 30 EEJ Nombres divisibles par 7 532 5 a 30 d 33 a 35 5 7 et 6300 900 7 b 6335 6300 35 900 7 5 7 7 5 900 b 101 27889 99 8100 c Si hyp X et y sont deux nombres entiers divisibles par 7 alors concl leur somme 112 X y est divisible par 7 99 D monstration 1 1 1 17 2 3 9 18 e x ety sont divisibles par 7 par hyp e doncil existe k et m entiers tels que 1194 03 euros x 7 k et y 7 m par d f de multiple de 7 36 1 m s e donc x y 7 k 7 m 7 k m donc x y est bien multiple de 7 par d f de multiple de 7 d Fausse contre exemple 3 7 est divisible par 7 mais ni 3 ni 7 le sont e Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le r sultat de la soustraction du nombre de dizaines ne pas confondre avec chiffre des dizaines par le double du chiffre des unit s est divisible par 7 633 2 5 623 f 62 2 3 56 56 est un multiple de 7 g 6349147 6300000 49000 140 7 h 777777717777111 ETA 40 ES Multiples de 30 a D monstration x mult de 30 par hyp e donc il existe k entier tel que x 30 k par d f de mult de 30 donc x 3 10 k 5 6 k e donc x est bien multiple de 3 et de 5 par d f de multiple de 55 Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Exercices d approfondissement EPA un peu d histoire Des fouilles arch ologiques e
64. angle de 4 degr trouver l angle de rotation amp en degr correspondant du pignon de rayon T 2 b Un cycliste exp riment peut atteindre une vitesse de 64 Km h Si la transmission par pignons a r 13 cm r 5 cm et si la roue a un diam tre de 71 cm valuer combien de tours par minute du pignon avant produira une vitesse de 64 Km h Indication convertir d abord 64 Km h en cm s Edition 2010 O math matiques s v res je ne vous ai pas oubli es depuis que vos savantes le ons plus douces que le miel filtr rent dans mon coeur comme une onde rafra chissante Lautr amont Les chants de Maldoror 1869 Savoir d finir expliquer justifier illustrer v cercle centre rayon disque s cante tangente un cercle diam tre arc de cercle secteur de disque segment circulaire v angle inscrit dans un cercle angle au centre Savoirs faire v d terminer des angles dans des cercles savoir noncer et d montrer v th or mek angles inscrits th or me angles au centre et inscrit v r soudre des probl mes en utilisant les outils ad hoc 0 0 eee Bees Dee 157 Edition 2010 Chapitre 10 Angles et cercles Edition 2010 Chapitre 10 Angles et cercles Chapitre 11 Trigonom trie tr rect La r gle de Ptol m e Source http www col camus soufflenheim ac strasbourg fr Les cinq maisons Le probl me d Einstein 5 hommes de nationalit s diff rentes
65. b c tels que a b c Comme on n a retrouv aucune trace de sa d monstration cela est rest une conjecture Cette conjecture de Fermat est certainement la plus fameuse de l histoire de l Arithm tique ceci pour deux raisons fort diff rentes D une part c est celle pour laquelle le plus grand nombre de preuves incorrectes a t publi D autre part les travaux qu elle a suscit s ont conduit au d veloppement de domaines enti rement nouveaux des math matiques Les plus grands math maticiens y ont contribu et des livres par centaines y sont consacr s Cependant cette conjecture bien que v rifi e dans de tr s nombreux cas pour tous les exposants inf rieurs 150000 par exemple est rest e un probl me ouvert pendant plus de trois cent cinquante ans Enfin en juin 1993 le math maticien Andrew Wiles professeur l Universit de Princeton et sp cialiste de la th orie des nombres annonce que la conjecture de Fermat est d montr e Six mois plus tard il faut d chanter La d monstration ne r siste pas aux v rifications de d tail faites par quelques experts elle pr sente une lacune f cheuse Finalement en octobre 1994 la communaut math matique apprend qu Andrew Wiles a triomph des difficult s la conjecture de Fermat est devenue un th or me Une r f rence pour aller plus loin Le Dernier Th or me de Fermat 1999 de Simon Singh Poche Chapitre 1 Calcul num riqu
66. ch manuel degre12 Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ae LATE Les maths peuvent rapporter gros La l gende rapporte que le jeu d checs aurait t invent par un sage indien Sessa fils de Daher qui voulait rappeler son souverain trop orgueilleux les principes de justice et d quit avec lesquels il devait gouverner Dans ce jeu en effet le Roi quoique la pi ce la plus importante a toujours besoin de toutes ses troupes m me du plus humble de ses fantassins pour se d fendre et vaincre l ennemi dans une bataille Le prince aurait t si enchant d une le on donn e de si belle mani re qu il aurait manifest le d sir de remercier son ing nieux conseiller par un don exceptionnel Pri de fixer lui m me sa r compense le sage aurait alors demand 1 grain de bl pour la premi re case de l chiquier 2 grains pour la deuxi me 4 pour la troisi me et ainsi de suite en doublant toujours le nombre de grains jusqu la soixante quatri me et derni re case Selon la l gende encore le prince ordonna de satisfaire imm diatement une demande si modeste Et vous auriez vous demand plus Indication on pourra utiliser l estimation 2 1024 10 Xadi wA Puissance s Selon les Indiens le nombre de fils de Bouddha est dix mille milliards de milliards de milliards de milliards Ecrire ce nombre comme une puissance de 10 EM Quel est le nombre le plus grand 2 ou 101 a Essayer ave
67. cm L tag re d Arnaud est elle horizontale Justifier LOSA est un parall logramme tel que LO 58mm LS 80 mm et OA 84 mm D montrer que LOSA est un losange Pour apprendre son m tier un apprenti ma on a mont un mur en briques de 0 90m de hauteur Son patron arrive pour v rifier son travail il marque un point B sur le mur 80 cm du sol et un point A 60 cm du pied du mur I mesure alors la Edition 2010 distance entre les points A et B et il obtient 1m L apprenti a t il bien construit son mur perpendiculaire au sol Justifier R ponses des exercices suppl mentaires a Non il s agit d un triangle rectangle donc il peut calculer le c t manquant l aide du th or me de Pythagore b Le 3 me c t mesure 8 16 m et donc la longueur de la cl ture est de 25 5 m EFJ Le cric soul ve la voiture de 27 2 cm BE Le triangle ARIE est rectangle en alors RE RI E F 10 5 6 Le triangle ANRE est rectangle en R alors NR RE NE gt NR VNE RE 13 5 10 5 62 6cm Donc NR EI 6 cm c h 3 6 cm d aire 9 72 cm Comme AT TE AE alors le triangle AATE est rectangle en T Donc l tag re est horizontale EIJ Propri t du parall logramme Les diagonales d un parall logramme se coupent en leur milieu Soit le point o les diagonales du parall logramme LS et OA se coupent Alors LI 1S 40 mm et OI 1A 42mm On consid re le triangle
68. d Euclide Les noncer comme un th or me avec hypoth se s et conclusion s Encore une d monstration En s aidant du th or me d Euclide montrez que AB AC BC L AAiXSA Un probl me Etablir une liste de la bo te outils actuelle d f ax thm notre disposition pour d montrer de nouveaux r sultats EM Soit ABCD A B un rectangle 80 D lt gt C 140 D terminer MP en justifiant toutes les tapes des calculs 130 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T LAS Euclide ou le temps des l gislateurs Avec Euclide la g om trie entre dans une nouvelle re Les nombreux r sultats g om triques accumul s au cours des si cles ant rieurs au I si cle et dont nous avons donn quelques exemples dans les activit s et dans le chapitre pr c dents ont exig une structuration une pr sentation rigoureuse afin de montrer les liens qui pouvaient les unir On assiste avec Euclide la premi re tentative d organisation rationnelle d un savoir la premi re tentative d axiomatisation EM Vie d Euclide La personnalit d Euclide nous est pratiquement inconnue Quelques renseignements nous sont fournis par les Commentaires de Proclus texte d j cit et qui sert de r f rence historique Commentaires au livre des El ments d Euclide in Les El ments vol 1 pp 89 92 a Quels sont les personnages princ
69. d montr s Un th or me est compos d une ou plusieurs hypoth ses et d une ou plusieurs conclusions Il arrive souvent que certaines hypoth ses ne soient pas exprim es sp cifiquement dans l nonc du th or me mais qu elles soient implicites compte tenu du contexte on parle alors d hypoth ses implicites Exemple Si n estun entier naturel sup rieur ou gal 3 alors il n existe aucun a b etc entiers relatifs tels que a b c est un c l bre th or me le th or me de Fermat nonc dans la premi re moiti du XVIIe si cle et d montr seulement en 1994 par Andrew Wiles Si n est un entier naturel sup rieur ou gal 3 est l hypoth se alors il n existe aucun a b etc entiers relatifs tels que a b c est la conclusion Si on avait nonc le th or me ainsi Si n23 alors il n existe aucun a b etc entiers relatifs tels que a b c lefaitque n doive tre entier naturel aurait t consid r comme une hypoth se implicite Remarque il faut bien faire la diff rence dans l utilisation du terme hypoth se en math matique o il s agit d l ment s qu on accepte afin d en d duire un ou des conclusions et en sciences exp rimentales o il s agit de la v rifier exp rimentalement Carr et parit z 28 Th or me Soit Nn un entier relatif On a N est pair n est pair Soit Nn un entier relatif On a N est impair n
70. d autre ne se rencontrent pas ni d un c t ni de l autre Etude d une proposition des El ments L objectif d Euclide est d utiliser ces seuls axiomes postulats et d finitions pour d montrer un certain nombre de propositions et tablir ainsi les l ments d une construction intellectuelle Nous allons suivre Euclide dans une de ses propositions mais nous verrons que la lourdeur du style comme de l argumentation euclidienne nous ferons regretter le formalisme actuel Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide 12 Sur une droite limit e donn e fil s agit de construire un triangle quilat ral Soit AB la droite limit e donn e Il faut construire un triangle quilat ral sur la droite AB Que du centre A et au moyen de l intervalle AB soit d crit le cercle BCD Dem 3 et qu ensuite du centre B et au moyen de l intervalle BA soit d crit le cercle ACE Dem 3 et que du point C auquel les cercles s entrecoupent soient jointes les droites CA CB jusqu aux points A B Dem 1 Et puisque le point A est le centre du cercle CDB AC est gale AB Df 15 ensuite puisque le point B est le centre du cercle CAE BC est gale BA Df 15 Et il a t d montr que CA est gale AB donc chacune des droites CA CB est gale AB or les choses gales une m me chose sont aussi gales entre elles NC 1 et donc CA est gale CB donc les trois droites CA AB BC sont
71. de la forme y ax bx c alors y sa repr sentation graphique est une parabole elle admet un axe de sym trie FT da b elle admet un sommet au point 23 elle est convexe c est dire de forme U si a gt 0 et concave c est dire de forme L quation d une parabole peut s crire sous diff rentes formes A Aa s appelle la forme standard Cette criture est toujours possible elle permet d obtenir facilement le sommet s A de la parabole y a x x x x est la forme factoris e Cette criture n existe que si 420 elle permet d obtenir facilement les intersections de la parabole avec l axe Ox savoir les deux points x 0 et x 0 si A gt 0 ou l unique point x 0 si A 0 y ax bx c s appelle la forme d velopp e Cette criture est toujours possible et elle permet d obtenir facilement l ordonn e l origine 0 c 0 ee 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 0 0 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 M thodes et notions essentielles 0 0 ee 0e 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M thode g n rale pour repr senter graphiquement une quation du type y ax bx c illustration avec y 2x x 6 On cherche l intersection avec l a
72. demie je con ois la m me chose partag e en deux parties si je dis un tiers il faut concevoir la m me chose partag e en trois parties tant que je n ai qu une fraction cela va bien mais quand je veux les comparer cela n est pas ais et vous verrez que parmi les personnes qui n ont pas exerc leur esprit compter il y en aura peu qui puissent vous dire sur le champ de combien un demi est plus grand qu un tiers de combien un quart est plus grand qu un cinqui me et vous avez vu parce qu on vous a dit qu il faut faire un certain calcul pour les r duire au m me d nominateur notre esprit ne con oit et ne compare facilement que les nombres fractionnaires dont le d nominateur est le m me parce qu il regarde le d nominateur comme un tout dont il voit les diff rentes parties Cet inconv nient n a pas lieu dans l arithm tique d cimale Joseph Louis Lagrange 1736 1813 a Qui tait Joseph Louis Lagrange b Illustrer avec nos notations son propos 35 Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Activit s de d couverte EX Calculer la main et avec la calculatrice et donner une r ponse sous forme irr ductible 3 5 120 56 4 9 2 a e 49 144 42 3 5 12 102 100 3 04 be p _ 147 9 21 15 23 34 j 323 0 ce 3 25 aeS urar 4 1 5 6 36 16 k 13 75 2041 a 3 25 h 33 51 12 415 6 3466 9 14_17 1 EM Calculer LE directement l aide de la calculatrice donner le r s
73. die EM Reporter sur une frise chronologique les dates personnages et lieux voqu s ci dessus Et vous que dites vous de la r gle des signes LUAAE E Brahmagupta Une dette moins z ro est une dette Un bien moins z ro est un bien Z ro sh nya moins z ro est nul kham Une dette retranch e de z ro est un bien Alors qu un bien retranch de z ro est une dette Le produit de z ro par une dette ou par un bien est z ro Le produit de z ro par lui m me est nul Le produit ou le quotient de deux biens est un bien Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien Le produit ou le quotient d une dette par un bien est une dette Le produit ou le quotient d un bien par une dette est une dette Source Brahmagupta Br hmasphutasiddh nta cit par Ifrah G Histoire universelle des chiffres T 1 p 976 Qui tait Brahmagupta Quand et o a t il v cu EM Facultatif faire une recherche autour de l histoire du z ro Edition 2010 Chapitre 1 Calcul num rique M thodes et notions essentielles ETid Des entiers D finitions 0 1 2 3 4 5 6 7 8 et 9 sont les chiffres avec lesquels on construit les nombres 0 1 2 3 sont des entiers naturels 2 1 0 1 2 sont des entiers relatifs La somme de deux entiers est le r sultat de leur addition Le produit de deux entiers est le r sultat de leur multiplication La diff rence de deux entier
74. es sont des entiers strictement compris entre 3 et 2 b les deux coordonn es sont des r els compris entre 3 et 2 c la premi re coordonn e est 2 d la premi re coordonn e est inf rieure ou gale 2 e le produit des coordonn es est nul f le produit des coordonn es est sup rieur ou gal 0 g la somme des coordonn es est nulle h la somme des coordonn es est inf rieure ou gale 0 FA Repr senter dans un rep re du plan les ensembles de couples suivants a 1 3 x 0 2 c Rx 1 2 b 1 3 x 0 2 d 1 2 xR e 5 3 x 1 0 2 f 2 1 x 2 o g 3 0 u 1 2 x 2 0 u 2 3 h R 0 2Dx R 1 1 EX crire 1 a 1 b 1 c sous forme de produit cart sien EJ crire les ensembles d finis dans l exercice 1 sous forme de produit cart sien quand c est possible E Trouver les coordonn es des projections sur l axe des abscisses et des ordonn es des points A 2 3 B 5 1 etC 3 4 KJ Trouver les coordonn es des points sym triques aux points A 2 3 B 5 1 et C 3 4 par rapport l axe Ox et l axe Oy Trouver les coordonn es du point sym trique au point A 2 3 par rapport l origine du rep re EJ D terminer dans quel s quart s de plan se trouve le point P a b si b b lt 0 C a a 2 ab gt 0 Chapitre 12 G om trie analytique d a b 0 e a b gt 0 f b 4 E Calculer la distance entre les points A 3 8 et B 2 1 EU D
75. et 4 ne constituent pas un produit ce sont les termes d une somme LE ee 0 0e 0e Pourquoi factoriser L int r t de la factorisation est le suivant e connaissant les signes de a et b on ne contr le pas le signe de a b o de a b par contre gr ce la r gle des signes on contr le celui de a b il est donc souvent int ressant lorsqu on s int resse au signe d une expression que celle ci soit factoris e lorsqu on sait que a b 0 ou a b 0 on ne peut pas en d duire grand chose propos des valeurs de a et b hormis bien s r qu elles sont soit oppos es soit gales par contre quand a b 0 on est certain que soit a 0 soit b 0 Exemple Si on souhaite trouver tous les x tels que x 2x 15 0 c est bien difficile Par contre si on factorise l expression gauche x 2x 15 x 5 x 3 le probl me devient trouver tous les x tels que x 5 x 3 0 ce qui est facile r soudre soit x 5 0 soit x 3 0 c est dire soit x 5 soit x 3 o ee 0 0 0 0 0 ee 0 M thodes pour factoriser EN Mise en vidence La mise en vidence est une technique fondamentale de factorisation qui consiste utiliser la distributivit dans l autre sens si a b et c sont des variables r elles alors ab ac a b c ab ac Salb c Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral M thodes et notions essentielles Exemple 1 faire appara tre un facteur commun dans l e
76. gle de Ptol m e En Orient l indien Aryabhata l Ancien 476 550 utilise la demi corde et donne les premi res tables de sinus On retrouve la configuration du sinus dans le triangle rectangle telle qu elle est enseign e aux coll giens aujourd hui Aryabhata est le premier voir la trigonom trie hors du cercle D s le Xille si cle les arabes tel que le perse Mohammed al Khwarizmi 780 850 traduisent les ouvrages provenant d Orient Mohammed al Battani 850 929 introduit les tables de tangentes et de nouvelles formules puis apr s lui Muhammad Abu l Wafa 940 998 pr cise encore ces tables Avec le perse al Tusi 1201 1274 la trigonom trie se s pare de l astronomie Plus tard l astronome et math maticien Regiomontanus de son vrai nom Johann M ller d veloppe la trigonom trie comme une branche ind pendante des math matiques Il serait l origine de l usage syst matique du terme sinus Au XVle si cle le fran ais Fran ois Vi te 1540 1607 conseiller d Henri IV fera Regiomontanus voluer la trigonom trie pour lui donner le caract re qu on lui conna t aujourd hui De nos jours la trigonom trie trouve des applications tr s diverses particuli rement dans les sciences physiques La propagation des ondes par exemple est transcrite par des fonctions trigonom triques Source http ymonka free fr maths et tiques index php histoire des maths geometrie la tr
77. habill s en rouge dans chaque groupe il doit y avoir le m me nombre de figurants habill s en noir le nombre d quipes doit tre maximal Quelle sera la composition d une quipe EJ Parmi les nombres 12 30 27 246 325 4 238 et 6 139 indiquer ceux qui sont divisibles a par 2 c par 5 b par 3 d par 9 4l Lors d un spectacle d une compagnie de danse tous les danseurs font un premier num ro quatre par quatre simultan ment puis un second six par six tous ensemble encore Pourront ils tous participer un num ro pour lequel il faut des groupes de 24 Justifier EX D montrer que la somme de deux entiers impairs cons cutifs est un multiple de 4 A t on la m me propri t pour la somme de deux entiers pairs cons cutifs KA Trouver les nombres entiers de trois chiffres multiples de 5 dont la somme des chiffres est 21 Soit n un entier naturel a D montrer que si n est impair alors 8 divise n 1 b Le nombre 1 3 est il toujours pair c D montrer que 2 2 est divisible par 3 EJ Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de a 63 par 4 c 3245 par 135 b 218 par 12 d 32 par 50 EX Effectuer la division euclidienne de 934856 par 30464 Eg Dans le roman de Jules Verne Phil as Fogg doit faire le tour du monde en 80 jours Combien cela repr sente t il de semaines S il part un jeudi quel jour reviendra t il Edition 2010 EFJ Trouver tous les
78. habitent 5 maisons de 5 couleurs diff rentes Ils fument des cigarettes de 5 marques distinctes et boivent 5 boissons diff rentes Ils l vent des animaux de 5 esp ces diff rentes La question laquelle il faut r pondre est Qui l ve les poissons Voici 15 indices Indice 1 Le Finlandais habite la premi re maison Indice 2 L Allemand habite la maison rouge Indice 3 La maison verte est situ e juste gauche de la maison blanche Indice 4 Le Turc boit du th Indice 5 Celui qui fume des Poison habite c t de celui qui l ve les chats Indice 6 Celui qui habite la maison jaune fume des Bad Indice 7 Le Suisse fume des Beurk Indice 8 Celui qui habite la maison du milieu boit du lait Indice 9 Celui qui fume des Poison a un voisin qui boit de l eau Indice 10 Celui qui fume des Schlecht l ve des oiseaux Indice 11 Le Su dois l ve des chiens Indice 12 Le Finlandais habite c t de la maison bleue Indice 13 Celui qui l ve des chevaux habite c t de la maison jaune Indice 14 Celui qui fume des Mala boit de la bi re Indice 15 Dans la maison verte on boit du caf 98 de la population mondiale est suppos e incapable de le r soudre A vous de contredire cette l gende Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ae Tail it SN Probl me introductif Du sommet d une tour haute de
79. hypoth nuse AB on dit sinus de alpha _c t adjacent _ AC hypoth nuse AB cos a on dit cosinus de alpha c t oppos _ BC c t adjacent AC on dit tangente de alpha Ces d finitions ont un sens gr ce au th or me de Thal s puisque quel que soit le triangle BC 2B AB et AC sont constants et ils ne d pendent que de l angle on peut donc les nommer respectivement sin a rectangle en C tel que lt CAB amp les rapports cos amp tan a Remarque On note aussi la tangente de alpha tg x la place de tan x Trucs mn motechniques sin opp hyp cos adj hyp tan opp adj gt sinopip cosadgip tanopadg sin opp hyp cos adj hyp tan opp adj gt SOHCAHTOA attention de mettre les H au bons endroits Th or me Si0 lt lt 90 alorsona 0 lt sin lt 1let 0 lt cos lt 1 E ee 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 164 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 M thodes et notions essentielles LEA Utiliser les relations liant angles et longueurs Calculer des longueurs Exemple 1 on consid re un triangle ALEO rectangle en E tel que LO 5 4 cm et ELO 62 O Calculer la longueur du c t EL arrondie au millim tre o E On cite les donn es de l nonc qui p
80. le quart de 4 7 6 76 0 95 la r ponse h SQL pr c dente 38 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Activit s de d couverte EJ Effectuer les calculs suivants en utilisant l criture scientifique de la calculatrice 7 28 10 3 10 7 28 10 3 10 49005 6030 EX Simplifier le plus possible l aide de la calculatrice EM Calculer zt l aide de la calculatrice en donnant un r sultat irr ductible A u EM Convertir A en nombre d cimal puis exprimer le r sultat sous forme de fraction irr ductible EM Utiliser la machine pour obtenir directement une estimation de 2 n arrondie au milli me Trouver le ppcm de 3644 et 4568 et le pgcd de 23456656 et 2234544 EM Comment la calculatrice traite t elle l ordre des op rations Effectuer des calculs pour v rifier si l ordre des op rations est le m me que celui convenu par les math maticiens EM Comment effectuer cette suite de trois calculs le plus efficacement possible avec la calculatrice a 33 b 339 C 13 39 Peut on retrouver r utiliser modifier un calcul effectu pr c demment Comment fait on pour r cup rer le r sultat du dernier calcul par exemple pour le r utiliser dans un nouveau calcul Comment effectuer la r p tition successive de la m me op ration par exemple calculer les 8 premi res puissances successives de 2 Comment efface t on un message d erreur ou la ligne en cours d dition Quelle diff
81. le syst me sexag simal comme nous pour notre syst me d cimal La division du degr en 60 parties gales date de cette poque 3000 ans avant J C Chez les Romains le d nominateur tant 12 chaque quantit fractionnaire est convertie approximativement en douzi mes L as la plus ancienne monnaie romaine tait l unit par excellence Le douzi me de l as tait l once uncia et les cinq douzi mes le quincunx quinque uncia origine du mot quinconce Dans son Art po tique Epitre Il Horace d crit ainsi une le on dans une cole romaine Dis moi fils d Albinus si de cinq onces tu tes une once que reste t il si dequinconce remota est uncia quid superat R ponds donc Le tiers d un as Tr s bien Tu sauras d fendre ton patrimoine Et si on ajoute une once Un demi as Source Alg bre mode d emploi Charri re LEP 199755 a V rifier que 16 3 5 est bien solution du probl me n 24 b D terminer la d composition de y puis de E en fractions unitaires c V rifier le calcul propos par Horace EJ L essentiel dans l usage des nombres c est de s en former une id e nette quand je dis un j ai id e d une seule chose existante et isol e quand je dis deux c est la m me chose prise deux fois trois c est la m me chose prise trois fois et ainsi de suite Il n en est pas de m me des fractions l esprit les con oit bien moins facilement que les nombres entiers si je dis une
82. m diterran en et mergence de la construction math matique et de la d monstration v personnage historique Thal s v figures du plan carr rectangle losange et calculs d aires v notions fondamentales point plan droite v d finitions et notations des objets g om triques de base du plan droites demi droites angles segments triangles pour les triangles sommets c t s longueurs des c t s v angles particuliers angles plats pleins droits suppl mentaires compl mentaires oppos s correspondants alternes internes v triangles particuliers isoc le quilat ral rectangle v triangles semblables c t s correspondants Savoirs faire v calculer des aires simples et par d coupages v th or mes savoir noncer et d montrer Thm AnOpp Thm AnALT INT Thm 180 Thm cercle de Thal s 2x Thm Aires triangle Thm Thal v th or me savoir noncer et accept s sans d monstration Thm RecTha v r soudre des probl mes de g om trie l aide des outils disponibles en particulier avec le th or me de Thales et sa r ciproque v interpr ter des textes historiques en suivant les calculs propos s esse esse eee 126 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide NS NES compl ment 3 Constructions a regle et au compas L cole d Ath nes par Raffael 1511 Probl me
83. mani re suivante a Calculer l aire de la figure b Calculer le p rim tre de cette figure EJ Mathcity l metteur de radio centre a une port e de 10 km a Calculer la superficie de la zone de r ception au km pr s b partir du mois de septembre prochain le conseil municipal instaure une taxe de 10 par km Combien paiera radio centre c La direction pr voit de changer l metteur pour multiplier la port e par 3 La nouvelle taxe sera t elle aussi multipli e par 3 E1 Un pare brise rectangulaire de 1 50 m sur 0 80 m est balay par un essuie glace de longueur 0 65m Trouver une valeur approch e du pourcentage de la surface balay e par rapport celle du pare brise Cercle de Thal s E Interpr ter et illustrer le texte suivant pour en extraire un th or me fort connu l noncer en langage moderne et le Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s d montrer Remarque pour d autres parmi lesquels l arithm ticien Apollodore le m rite en revient Pythagore Vies 1 24 25 in Dumont p 12 Triangles 6 On suppose que BC DE et lt BCA 90 et lt DEC 90 ue E Identifier les triangles semblables et les c t s correspondants On suppose que lt DEA 90 et lt ACB 90 A D C Identifier les triangles semblables et les c t s correspondants EJ On suppose que BE 4F E A B C Identifier les triangles
84. me m diatrice d un segment v Enoncer et utiliser bon escient v th or me r ciproque de Pythagore v th or mes droites remarquables du triangle v Utiliser ces th or mes pour d montrer de nouveaux r sultats 00 0 0 00 Des 145 Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide ER lt T bas Chapitre 10 Angles et cercles Le th or me des 5 cercles Les droites port es par les c t s du pentagone Q Q Q Q4 Q ont leurs points d intersection R Ro R3 R R situ s sur les cinq cercles Dans chacun des probl mes les deux cercles C et C sont donn s ainsi que les points A B C D et E M et M sont des points variables l un sur C et l autre sur C Construire M et M tels que E c EM EM soient c t s ABMM soit C soit milieu de MM d un carr parall logramme Source principale Serge Piccione DIP GE Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ahs Padi A Pendule Un pendule oscille au bout d une corde de 60 cm Sachant que l angle d crit est de 64 trouver la longueur de l arc d crit Quel est l angle d crit au cours d une oscillation du pendule Padi WA Secteur RE 7 L r Expliciter illustrer et d montrer la formule suivante AE Xadi ea Aire Calculer l aire et le p rim tre de la surface ombr e Le c t du carr mesure 5 cm X
85. me de deux quations du premier degr deux inconnues Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations Pr reavis et activit s de d couverte ai T44l iit Probl me Salom propose une petite nigme sa petite s ur Dans un levage de poules et de lapins j ai compt 2 171 t tes et 4 368 pattes Combien y a t il de poules Combien y a t il de lapins a Combien ce probl me poss de t il d inconnues b Traduire ce probl me par un syst me d quations du premier degr c R soudre le syst me par la m thode de votre choix d V rifier que le couple trouv est bien la solution du probl me pos et conclure e Est il possible d avoir compt dans cette basse cour 2171 t tes et 5 367 pattes Justifier f Et 2 171 t tes et 2 368 pattes c est possible Justifier g Et 2 171 t tes et 8 684 pattes Justifier YU Des syst mes plus complexe 59 R soudre le syst me suivant de trois quations et trois inconnues 4 75 y Z 32 Xa MWA Un type de syst mes R soudre les syst mes suivants 2X 3y 8 c X t6y 2 5X 5 3y 1 2X 3y 5Z 8 2X 3y 5Z 4 b X Y 1 d 3Y Z 0 3X 3 2y 2 EM D crire les syst mes ci dessus et expliquer en quoi leur r solution est simple EM Vocabulaire on appelle ces syst mes des syst mes triangul s 202 Chapitre 13 Syst mes d quations Edition 2010 M thodes et notions essentielles
86. nombres pour lesquels le quotient et le reste sont gaux dans la division euclidienne par 5 Fractions FA Ecrire sous forme de nombre rationnel 2 2 31 45 9 7 0 34 453 b 56 d g f 8g FEJ Ecrire sous forme de fraction irr ductible a 0 375 c 0 027 e 0 249 b 1 2 d 0 65 f 10 013 EEJ Exprimer en heures et fractions d heures a 30 secondes 18 minutes b 30 minutes 1 seconde Proportions EIJ la halle aux fruits le kilogramme de cl mentines est vendu 2 20 chf Repr senter graphiquement le prix payer en fonction de la masse de cl mentines achet es prendre 1 cm pour 1 kg en abscisse et 1 cm pour 1 chf en ordonn e ETJ Pour faire un g teau je fais fondre une tablette de 100 g de chocolat dont la teneur en cacao est de 70 avec une tablette de 200 g dont la teneur en cacao est de 85 a Calculer la masse de cacao contenue dans le m lange ainsi constitu b Quel est le pourcentage de cacao dans ce m lange Un TGV parcouru 540 km 240 km h de moyenne Calculer la dur e du trajet BEA Vrai ou faux Les deux offres publicitaires ci dessous sont quivalentes a BOUM SUR LES PRKX 20 de r duction b B OFFRE SPECIALE 25 de produit en plus ELJ Trois ma ons montent un mur de 600 briques en une heure En combien de temps avec une efficacit identique cinq ma ons monteront ils un mur de 1200 briques 51 Chapitre 4 Autres nombres Exercices d
87. occup e par cette figure z D finition distance d un point une droite Soit un point et une droite d Pour trouver la distance de d que l on note d 4 d on commence par tracer la droite p perpendiculaire d et passant par A puis on nomme le point d intersection de d et p La distance de au point H est not e AH On d finit la distance de d est gale AH et on crit da AH 109 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles D finition distance entre deux droites Pour d terminer la distance entre deux droites parall les on trace une droite perpendiculaire ces deux droites et on mesure la longueur du segment d fini par les points d intersections des parall les avec la perpendiculaire On d finit la distance entre d et d est gale JK et on crit dia a JK Vocabulaire Attention de ne pas confondre les objets g om triques segment ligne surface et leurs mesures qui sont des nombres r els positifs Dimension Objet g om trique Mesure 1 ligne Longueur 2 surface Aire 3 Volume Volume Pour mesurer il faut disposer d une unit de mesure SI celle ci n est pas explicite on note parfois u pour une longueur u pour une aire Axiome aire d un rectangle Soit un rectangle dont les c t s mesurent D lt a respectivement a et b Nous admettrons que
88. or me racine de deux ne peut pas s crire comme une fraction v savoir choisir le bon outil entre calcul la main ou avec calculatrice de t te ou pos approch ou exact v savoir utiliser correctement la calculatrice en vitant les arrondis interm diaires et en utilisant les m moires employer une notation appropri e pour un r sultat exact ou un r sultat approch savoir arrondir au 10e 100e Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Chapitre 5 Ensembles Probl me C est dans une contr e recul e que se passe cette histoire Le roi Dromadus premier ruin et d chu poss de comme unique fortune un fils un chameau et 3000 dattes Dans un ultime effort pour sauver son royaume il confie son fils l exp dition suivante amener le chameau et les dattes l autre bout du royaume c est dire une distance de 1000km de l endroit o nous nous trouvons C est l que se trouve le seul acheteur int ress Comme si cela ne suffisant pas le chameau de Dromadus premier n est pas vraiment bien portant et il ne peut porter plus de 1000 dattes sur le dos Pire encore il mange une datte par kilom tre parcouru Comment faire alors pour amener le plus de dattes possible destination Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte AUTRE Ecrire en langage math matique J EM L ensemble comprenant les nombres 2 5
89. pair s il peut s crire sous la forme n 2k o kest un entier relatif il est impair s il peut s crire sous la forme n 2k 1 o k est un entier relatif Soit N un entier relatif Mm est un multiple de Nn s il peut s crire sous la forme m k n o k est un entier relatif TLIE Somme des n premiers entiers Th or me n n 1 Soit n un entier naturel non nul Alors ona 1 2 3 4 n 2 15 Edition 2010 Chapitre 2 Des nombres aux lettres M thodes et notions essentielles Traduction fran ais math matique Exemple traduire en expression litt rale le tiers de la diff rence de x et de l unit WI x 1 Exemple traduire en fran ais a b a b a b La diff rence des carr s de a et b est gale au produit de leur somme et de leur diff rence TCU Traduire une situation en expression alg brique Exemple Sur le sch ma ABCD estun carr et AABE estun triangle rectangle en tel que AE 6cm Tous les points sont distincts Exprimer l aire du carr ABCD ainsi que celle du triangle AABE par rapport la longueur du c t du carr ABCD tape n 1 Choisir l inconnue Soit X la mesure en cm du c t du carr ABCD On rep re la grandeur inconnue parmi celles exprim es dans l nonc On la note x Comme les points sont distincts alors x gt 0 Donc AB BC CD DA x tape n 2 Utiliser l inconnue pour exprimer les grandeurs demand es Aygco AB A
90. pour qu il n y ait aucune confusion EX Les faux amis Le risque consiste passer trop vite sur ce passage des nombres aux lettres il n est en effet pas si anodin comporte son lot de surprises et de difficult s qui peuvent tre source de probl mes de compr hension qui poursuivront l tudiant en math matique tout au long de ses apprentissages Prenons par exemple une des conventions qui a t utilis e dans le cadre de la notation des nombres la juxtaposition des symboles consid rons le nombre vingt trois qui s crit en base dix comme 23 ce que la convention habituelle permet d interpr ter comme tant gal 2 10 3 1 Imaginons qu on utilise la lettre e pour repr senter un nombre entre 0 et 9 et la lettre t pour repr senter un autre nombre entre 0 et 9 Qu en est il de et Qu est ce que cela repr sente On se rend vite compte que dans le contexte de lettres repr sentant des nombres les conventions utilis es sont toutes autres Le juxtaposition des symboles ici signifie e t et correspond une multiplication On remarque d s lors des confusions dangereuses et te alors que 23432 Changeons encore de contexte dans le cadre de la langue fran aise et et te forment deux mots ayant chacun leur propre signification On pourrait alors crire etzte EM Pas un signe a Est il possible que et soit un nombre n gatif b Est il possible que tt soit un nombre n gatif c Est il possible que ee soit apr
91. qui contient des solutions de l quation Sur une feuille de papier quadrill construire un rep re orthogonal et placer avec un maximum de pr cision tous les points de coordonn es x y de ce tableau EM Que constatez vous Est ce que cela a un sens de relier les points entre eux Justifier votre r ponse EM Exemples plus complexes avec GeoGebra tracer une repr sentation graphique des quations suivantes a 2x2 3y2 4x 12y 13 b 2x2 6y2 4x 24y 25 Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique Pr reavis et activit s de d couverte ai Padia Pentes EM On consid re les situations suivantes Donner la d finition et la valeur de la pente entre les points P et pP et entre les points P et P EM D terminer la pente des segments dont les extr mit s sont a A 2 3 B 4 5 b A 4 6 B 8 4 c A 4 0 B 3 5 EM Quelle est la pente d une droite horizontale Et celle d une droite verticale EM Un t l ph rique part de la station du village l altitude de 1200m pour arriver la station du somment 3457m Quelle est la pente entre les deux stations Donner aussi la r ponse en Xadi Repr senter des quations avec GeoGebra EM Le logiciel GeoGebra a GeoGebra est un logiciel dynamique libre gratuit et multi plateformes de math matiques r unissant g om trie alg bre et calcul diff rentiel Pour l utiliser lancer un navigateur par exemple Firefox l adresse htt
92. qui intervertit dans C le chiffre des centaines avec celui des unit s Additionner C et D Effectuer cette suite d instructions avec plusieurs nombres Enoncer une conjecture quant au r sultat puis la d montrer Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ai LATE II faut se m fier de ce que l on voit ER EE sta note ote n LE T sut nta ntn sets alu a sut a nt LE sets uote nue sut nta ntn A H H i H D D L A Illusion de Titchener Comment semblent positionn es les lignes de la premi re image les unes par rapport aux autres EM Que dire de la taille des deux disques oranges de la deuxi me image Xaa Il faut se m fier de ce qui n existe pas Que voit on Illusion de Kanizsa EM On consid re les deux figures ci dessous PNR ununu Po m HERO ne EEHEEHE Baingio Pinna a Qu aper oit on l intersection des lignes de la figure de gauche Est ce r el b Bien fixer le point au centre de la figure de droite tout en s approchant et en s loignant de la page Un effet surprenant se produira Chapitre 3 Argumenter Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T Paii ea Il faut se m fier des vidences R soudre les probl mes a Une bouteille d huile d olive co te 6 CHF L huile d olive co te 5 CHF de plus que la bouteille Combien co te la bouteille vide b Le prix d un meuble est diminu de 50 puis augment de 50 Qu
93. rep re tracer les droites passant par le point P 2 3 et de pente a m 1 C m 3 e m 0 1 3 7 b gt d m 5 f m 3 Les points suivants sont ils align s a P 1 2 Q 5 5 et R 15 6 b P 2 4 Q 3 2 et R 13 2 c P r V5 Q r 4 3 v45 et R 8 r 6 V5 FJJ Quel est l angle d inclinaison par rapport l axe Ox de la droite passant par les points a A 1 3 et B 4 6 b A 2 6 et B 4 0 EJ Dessiner la droite passant par Aet B et calculer sa pente a A 3 2 et B 5 4 b A 2 5 et B 7 5 c A 3 2 et B 3 5 EX on consid re les droites suivantes D terminer une quation cart sienne de chacune d entre elles Chapitre 12 G om trie analytique 191 EFJ Donner la pente et l ordonn e l origine des droites suivantes a X 2y 3 0 c X y 3 0 b 2x y 4 0 EFJ D terminer l quation de la passant par A 3 2 et B 3 2 droite EEJ Donner l quation cart sienne de a la droite qui est de pente 1 et dont Tan sat 5 l ordonn e l origine vaut 8 b la droite qui passe par le point 4 4 et dont l ordonn e l origine vaut 8 c la droite qui passe par le point 1 2 et de 1 pente 5 d la droite qui passe par les points 1 2 et 5 9 EZ Donner l quation cart sienne de a la droite d qui passe par le point 2 3 et qui est parall le la droite d d quation y 9x 1 b la droite d qui passe par le point 2 3 et qui est
94. s avoir effectu l op ration le nombre 5 Les r ponses ces questions d pendent souvent de conventions implicites L conomie de moyens est une force du langage math matique qui ne s acquiert que par une utilisation r guli re En contrepartie cette conomie exige une attention toute particuli re Edition 2010 Chapitre 2 Des nombres aux lettres Pr reavis et activit s de d couverte ae Tail it MU Des nombres aux lettres Nombres triangulaires e Voici les quatre premiers nombres triangulaires o e e o e e o e 0o e ee e o o e00 o 1 3 6 10 a Calculer le 1000e nombre triangulaire e ee o o o b Trouver une formule permettant de tous les calculer c Facultatif faire une recherche pour identifier d autres nombres g om triques EH Nombre de droites D terminer le nombre maximal de r gions que l on d limite sur un plan en y tra ant a deux droites d 10 droites b trois droites e 100 droites c quatre droites Activit A Aller plus loin Calculatrice digitale e e o o Pour calculer 6 8 J r me a vu son professeur de math matiques op rer de la fa on suivante a V rifier que cette astuce fonctionne pour 7 9 et pour 66 l ventuelle retenue de la multiplication s ajoute la somme des doigts lev s b Quels sont les calculs que l on peut r aliser ainsi c D montrer cette m thode de calcul de ab avec les doigts pour a et b compris e
95. sesamath ch manuel degre12 Table des mati res Calcul num rique Des nombres aux lettres Argumenter D autres nombres Ensembles Calcul litt ral Equations Des gyptiens Thal s De Pythagore Euclide Cercles Trigonom trie dans le triangle rectangle faire G om trie cart sienne Syst mes d quations Il s agit de Ch1 Compl ment Syst mes de num ration 12p Ch7 Compl ment Histoire de l alg bre 18p p l p 11 p 21 p 33 p 61 p 69 p 81 p 101 p 127 p 147 p 159 p 173 p 198 Ch9 Compl ment Constructions la r gle et au compas 3p Notes personnelles Chapitre 1 Calcul num rique Voir aussi e compl ment Syst mes de num raton gt E R ZIA OTLa Chiffres devanagari Inde IF VA ge EE Chiffres des Arabes d Orient TITI d 7927 Chiffres gobar Arabes d Occident FPS Y v An 9 0 Chiffres de Maxime Planude TF qGpr8 26 Apices de Bo ce IX si cle I TIZI LPS Co Chiffres du XIIF si cle T3LRG TT AIQIo Chiffres du XII si cle 254 678390 Chiffres du XVI si cle w Source www cosmovisions com chiffresChrono htm Probl me On note 3 on prononce 3 factorielle le produit 1 2 3 on note 4 le produit 1 2 3 4 et ainsi de suite Si on calculait le produit 17 que trouverait on pour les trois derniers chiffres 1 En t l chargement libre l adresse http sesamath
96. terminer le milieu du segment AB avec A 3 8 et B 2 1 EFJ Soient A 8 5 B 1 2 et C 3 2 Montrer que le triangle ABC est rectangle et calculer son aire EF A 3 8 tant donn calculer les coordonn es du point B tel que M 5 10 soit le milieu du segment AB FEJ Dans les cas suivants C est il sur la m diatrice du segment AB a A 4 3 B 6 1 etC 5 11 b Af 3 2 8 1 13 et C 7 7 EZ tablir une formule qui exprime que P a b est une distance 5 de l origine D crire l ensemble de ces points EIJ D terminer tous les points de l axe des ordonn es qui sont une distance 6 de P 5 3 EJ D terminer tous les points de l axe des abscisses qui sont une distance 5 de P 2 4 D terminer le point du troisi me quadrant de coordonn es 2a a qui est une distance 6 de P 1 3 EEJ Quels sont les points P x y du plan tels que d OP 4 et y 2 ET Soit le triangle d fini par les points A 0 0 B 2 3 et C 1 5 Calculer les coordonn es des points milieux de ses c t s Repr sentation d quations EX Prendre position conjectures suivantes propos des a Conjecture 1 Si E est l quation 2x 3y 0 alors 1 3 est solution de E b Conjecture 2 Si E est l quation 2x 3y 11 alors 1 3 est solution de E c Conjecture 3 Si E est l quation 2x 3y 1 alors 2 1 est l ensemble des solutions de E Edition 2010 Exercices d entra nement d Conjec
97. tiers au plus jeune le neuvi me Mais tr s rapidement les fils r alis rent l impossibilit du partage Comme l accoutum e en fin d apr s midi ils se rendirent la maison de th et demand rent conseil Les r ponses fus rent Vendez les chameaux et partagez vous l argent Le testament est nul et non avenu ses dispositions sont inex cutables Vous devez rester collectivement propri taires du troupeau Ce testament pose un probl me insoluble Faites le partage qui se rapproche le plus des volont s de votre p re Donnez donc les chameaux plus pauvre que vous A la tomb e du jour la discussion interminable et oiseuse n avait toujours pas apport une solution satisfaisante les trois fr res d sirant avant tout respecter le plus scrupuleusement possible les indications de leur p re C est alors qu apparut califourchon sur son ne Nasreddin Affandi l homme consid r comme le plus sage de tout le Khworezm Tous estim rent qu il serait bon de s en remettre son jugement On lui demanda donc son avis sur l affaire Il r fl chit longuement tout en caressant sa belle barbe fris e Son ne impatient se mit braire C est alors que Nasreddin prit la parole en s adressant aux trois h ritiers Je ne poss de qu un seul chameau mais je l ajouterai volontiers au dix sept qui vous reviennent Toi l a n tu en recevras la moiti soit neuf chameaux Toi le deuxi me
98. tre et les radicaux sont not s R Edition 2010 Exercices d approfondissement Le symbole radical appara t la premi re fois en 1525 dans la Matrice Coss par Christoff Rudolff 1499 1545 employe v pour les racines carr es Il est l auteur du premier manuel d alg bre en langue allemande Certains avancent que l origine du symbole radical moderne vient d une d formation de R puis r la premi re lettre dans du latin radix racine base source fondement C est l opinion de Leonhard Euler dans ses Differentialis de calculi d Institutiones 1775 Cependant Florian Cajori auteur d une histoire des notations math matiques n en est pas convaincu En 1637 DESCARTES utilise v ajoutant la barre en haut dans sa G ometrie e ee eee e Voici un autre exemple de notations utilis es par G rolamo CARDAN Pavie 1501 Rome 1576 tir de son ouvrage Ars Magna 1545 9 Notation de Cardan Ars magna Cardan crit l galit 5 VTIS 5 VZT5 25 15 40 sous la forme 5p Rm 15 5m Rm 15 25m m 1 qd est 40 Il note V7 VI4 sous la forme R V 7p R14 Le signe V indique que tout ce qui suit est sous le signe radical 8 Notations cossiques 2 Christoph Rudolff introduit en 1525 la notation v pour la racine carr e yW pour la racine cubique et 44 pour la racine quatri me M Stife
99. une parabole poser le syst me de trois quations trois inconnues qui permet de d terminer l quation de cette parabole et r solvez le EN R soudre les syst mes suivants avec la m thode de votre choix ES I 223 j x 7 28 173 4 2 x 3 5_2y 2l 1 j se e 10 A FA R soudre par triangulation les syst mes suivants 2X y 14 a 5X Y Z 9 7X 5Y 6Z 118 2X 6Y Z 20 b 3X 4Z 11 X 6 Y 3Z 10 5X 3Y 60 c 5Y17Z 3 2X 3Y 4Z 17 EX Farid dit Yasmina J ai trois fois l ge que tu avais quand j avais l ge que tu as Yasmina dit Farid Quand j aurai ton ge nous aurons 42 ans nous deux D termine l ge de Farid et l ge de Yasmina EJ est recommand de consommer 110 mg de vitamine C par jour La maman de Julien ach te du jus d orange qui contient 52 mg de vitamine C pour 100 mL et du jus de pomme qui en contient 12 mg pour 100 mL Pour suivre les recommandations tout en variant sa consommation de fruits Julien souhaite boire un peu des deux dans un verre de 250mL le matin au petit d jeuner Quelle quantit de chaque jus devra t il m langer pour b n ficier de son apport quotidien en vitamine C avec ce seul verre EA Leia dispose de deux tablettes de chocolat L une contient 60 de cacao et l autre 92 de cacao Quelle masse de chaque tablette doit elle m langer pour obtenir un m lange de 400 g dont la teneur en cacao est de 72
100. x x x x A si A 0 2 J4 l unique solution de ax bx c 0 est donn e par x Z a l expression ax bx e se factorise ax bhx c a x x on parle de solution double EJ si A lt o 2 ax bx c 0 n a pas de solution ax bhx c ne peut pas tre factoris e Exemple R soudre l quation 2x2 5x x 8 2x 5x xX 8 x2 8 3x 5x 8 0 Ici a 3 b 5 c 8 A b 4ac 5 43 8 121 gt 0 Cette quation a 2 solutions distinctes x P VA _ 5 V121 _ 5 11 ke 2a 2 3 6 91 Edition 2010 Chapitre 7 Equations M thodes et notions essentielles EVOL R soudre un probl me l aide d une quation Exemple factoriser l expression 4x 4x 1 Iia 4 b 4c 1 A b 4ac 4 441 0 De san 2a 82 1 2 On peut factoriser 4x 4x 1 4 x 5 Remarque on a aussi r solu l quation 4x 4x 1 0 S 3 Exemple r soudre l quation 4x 4x 3 0 Ici a 4 b 4 c 3 et A b 4ac 4 44 3 32 lt 0 Il n y a pas de solution S g Remarque on a aussi d montr que l expression 4x 4x 3 n est pas factorisable Mettre en quation un probl me Mettre en quation un probl me c est traduire son nonc par une galit math matique Remarque lorsque la r solution d un probl me par l arithm tique devient fastidieuse voire impossible utiliser une quation s av re souvent n cessaire Exemple trouver le nombre tel que son quintuple augment de 7 soit gal so
101. 11 2 et 1 EM L ensemble comprenant les nombres 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 et 12 EM L ensemble comprenant les nombres entiers compris entre 22 et 2222 EM L ensemble comprenant les nombres r els strictement compris entre 2 et 7 EM L ensemble comprenant les nombres r els plus grands ou gaux 2 et strictement inf rieurs 6 EM L ensemble des entiers relatifs n gatifs L ensemble des nombres rationnels positifs LAW Compl ter par un symbole ad quat EM n 1 2 3 4 0 EM 3 4 5 6 7 6 7 8 9 6 7 EX 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 3 4 OMIE Traduire en langage math matique EM lt L ensemble des nombres rationnels est inclus dans l ensemble des nombres r els e EM Moins trois quarts n appartient pas l ensemble des nombres entiers relatifs EJ lt L ensemble des r els inf rieurs ou gaux A4 11 25 Union intersection et diff rence Soient A et B les deux ensembles suivants A 5 3 4 6 8 9 et B 2 3 4 8 10 D terminer AUB AQB B A et A B Pai Intervalles r els Soient A et B les deux ensembles suivants A 5 3 et B 0 5 EM Repr senter A et B sur une m me droite r elle EM D terminer AUB AQB B A et A B Chapitre 5 Ensembles Edition 2010 M thodes et notions essentielles AXE Ensembles z D finitions et notations Soit Aet B deux ensembles L On note x A pour indiquer que x est un l ment de A L On note xA pou
102. 2000 ans avant notre re pour trouver les premi res traces de tables de donn es astronomiques Car la base la trigonom trie est une g om trie appliqu e l tude du monde de l univers et est indissociable de l astronomie Jean L h ritage de ces tables donn es aux grecs et la num ration sexag simale des babyloniens base 60 contribuera l introduction du partage du cercle en 360 Eratosth ne de Cyr ne 276 196 et Aristarque de Samos 310 230 utilisent ces tables pour l astronomie Eratosth ne se rendra c l bre pour avoir calcul la circonf rence de la terre avec une pr cision tout fait remarquable seulement 3 d erreur Mais on attribue Hipparque de Nic e 190 120 les premi res tables trigonom triques Elles font correspondre l angle au centre et la longueur de la corde intercept e dans le cercle Edition 2010 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Le grec Claude Ptol m e 90 160 poursuit dans l Almageste les travaux d Hipparque avec une meilleure pr cision et introduit les premi res formules de trigonom trie Ptol m e croyait au g ocentrisme le terre est le centre de l univers tous les astres gravitent autour d elle Il faudra attendre le XVIe si cle pour r tablir la v rit pourtant d j connue de Pythagore de Samos 569 475 au Ve si cle avant J C s INS CC La terre centre de l univers selon Ptol m e La r
103. 23 1662 consid rait pour sa part la soustraction de quatre z ro 4 Chapitre 1 Calcul num rique Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte Ai comme un pur non sens j en sais qui ne peuvent comprendre qui de z ro t quatre reste z ro Au milieu du dix huiti me si cle les explications donn es dans l Encyclop die au sujet des nombres n gatifs et de leur utilisation restent encore assez peu claires et l on y explique que si un nombre n gatif se trouve tre la solution d un probl me c est que ce probl me est mal pos Ainsi des si cles durant certains utilis rent les nombres n gatifs dans leurs calculs souvent avec subtilit et adresse tentant d laborer tant bien que mal des justifications concr tes tandis que d autres continu rent protester contre leur usage D s le dix neuvi me si cle les nombres n gatifs conquirent enfin un statut comparable celui des nombres positifs Mais la justification d une r gle telle que la r gle des signes ch re Stendhal ne sera donn e qu en 1867 par Hermann Hankel 1814 1899 de fa on formelle et d finitive Source Alg bre Mode d emploi G Charri re Ed LEP Qui tait Stendhal Quand et o a t il v cu Quelles sont ses oeuvres les plus connues EM Comment s appelle l cole o a tudi Stendhal De quoi s agissait il EM Que signifie jacobin EM Quel fut le destin tragique de Condorcet EM Qu est ce que L Encyclop
104. 234567899 1234567898 a Que pensez vous du r sultat b Sans calculatrice calculer le nombre D l aide de l identit remarquable diff rence de deux carr s a b a b a b c Que peut on d duire des calculs pr c dents Calculer l aide de la calculatrice le nombre E 123456789 123456787 123456791 a Poser x 123456789 et exprimer E en fonction de x b D velopper et r duire l expression trouv e ena c Que peut on d duire des calculs pr c dents Edition 2010 EXERCICES SUPPLEMENTAIRES EPA nombres parfaits a crire la liste de tous les diviseurs de 6 b Calculer la somme de tous ces diviseurs l exception de 6 c Que remarque t on On appelle nombre parfait tout entier qui a cette particularit d V rifier que 496 est un nombre parfait e Trouver tous les nombres parfaits compris entre 20 et 30 EEJ Nombres divisibles par 7 a 35 et 6300 sont ils divisibles par 7 Justifier b En utilisant la question a d montrer que 6335 est divisible par 7 c D montrer dans le cas g n ral que si X et y sont deux nombres entiers divisibles par 7 alors leur somme X y est divisible par 7 Enoncer cette conjecture sous forme si alors et identifier clairement hypoth ses et conclusions d La r ciproque est elle vraie Justifier e D montrer le m me r sultat qu en b en utilisant un crit re de divisibilit par 7 f En crivant le nombre 6349147
105. 36 m tres au dessus du niveau de la mer un bateau est observ avec un angle de d pression de 16 A quelle distance se trouve de bateau de la tour Expliquer pourquoi les outils de calcul g om trique dont nous disposons actuellement angles Pyhtagore Thales ne suffisent pas r soudre ce probl me Dadi PA Observation fondamentale Soit un angle compris entre 0 et 90 AABC un triangle rectangle en C lt CAB Q Choisir une valeur pour l angle et donner plusieurs exemples diff rents de triangles A ABC v rifiant ces conditions EM Vocabulaire le c t AB s appelle l hypot nuse C est le c t oppos l angle droit e on dit que BC est le c t oppos l angle __ on dit que AC est le c t adjacent l angle C est le c t qui n est ni l hypot nuse ni le c t oppos l angle EM Que constate t on si on consid re dans n importe lequel de ces triangles le rapport entre le c t oppos et l hypot nuse EM M me question avec le rapport entre le c t adjacent et hypot nuse et avec le rapport entre le c t adjacent et le c t oppos EM Essayer pr sent de calculer BC sans dessiner le triangle lorsque l hypot nuse mesure 16 cm et lorsque l angle correspond celui que vous avez choisi en 1 Padi tt D monstration D EM Sur la figure ci contre A et A sont deux points B de la demi droite Ox Les perp
106. 6y 4 0 d c x y 10y 9 0 e c x y 8x 6y 0 f c x y 4x 2y 9 0 g c 2x 2y 2x 10y 11 0 h c 225x 225y 600x 990y 1089 0 Paraboles EE Repr senter graphiquement les quations suivantes a y x 3x 2 e 2y x 2x 3 b y x 2x 3 f 3x 16y 0 c y x 2 g y 2x 8x 10 d y x x 4 h y 3 x 4 1 EZI On consid re les graphes des fonctions du deuxi me degr suivants D terminer l expression alg brique de chacune des Edition 2010 Exercices d entra nement fonctions repr sent es ci dessous EMA on consid re les graphes des fonctions du deuxi me degr suivants D terminer l expression alg brique de chacune des fonctions repr sent es ci dessous ET Pour chacune des quations du deuxi me degr suivantes donner le ou les intersections avec Ox l ordonn e l origine et tracer le graphe de la fonction a y x x 1 d y 3x 6x 3 b y x x 1 e y 2x 1 C y 2x 3x 4 f y x c ceR D terminer pour les l exercice pr c dent quations de le sommet e la forme standard e l axe de sym trie e la forme d velopp e EYJ Pour quelle valeur de x l expression x x 1 x 2 est elle minimale et que vaut alors cette expression Interpr ter graphiquement EX A partir d un pont situ 20m au dessus Edition 2010 d une rivi re une pierre est jet e vers le haut avec une vitesse initiale de 10 m s A partir de ce moment la haut
107. 7 3 3 3 7 0 x 10 O0 Pour x 7 x 3 x 7 7 3 7 7 10 x 0 0 Donc S 3 7 Remarque cette m thode fonctionne aussi pour une quation de degr gt 2 qu on peut factoriser R soudre une quation de degr 2 par compl tion du carr 2 gt z k i a ie Pour compl ter la carr x kx ou x kx on ajoute 5 c est dire on ajoute 2 le carr de la moiti du coefficient de x Exemple R soudre l quation x 5x 3 0 par la compl tion du carr x 5x 3 0 3 On commence par crire gauche les termes de l quation contenant x x 5x 3 2 2 xX 5x a 3 3 On compl te le carr en additionnant 5 2 3 des deux c t s Chapitre 7 Equations Edition 2010 M thodes et notions essentielles 2 2 x 3 3 On r crit la membre de gauche sous la forme d une parenth se au carr zo et on r duit le membre de droite Nlo N U N Ww A On prend la racine carr e des deux c t s s N U1 Il Ca m ajil 5 13_5 vVI3 re o On isole x Ainsi les solutions de l quation sont 2 HB et 2 5 R soudre une quation de degr 2 par la formule de Vi te Th or me ax bx c 0 une quation du 2 me degr et soit A b 4ac son discriminant Alors on a EJ si 4 0 b YA les deux solutions distinctes de ax bx c 0 sont donn es par X12 24 l expression ax bhx c Se factorise ax bhx c a
108. A B a L image qui se forme sur la pellicule a une hauteur de 40 mm FZ Dans le triangle ABC F est le milieu de AC et E est le milieu de AB Or dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux c t s alors elle est parall le au troisi me c t Donc dsr et dc sont parall les BJ Les points G K H d une part et G L F d autre part sont align s dans le m me ordre GL_2 6 26 13 D une part GE 3 30 15 GK _6 D autre part GH 7 L GK On constate que GE GH Or si les droites dy et d taient parall les d apr s le th or me de Thal s il y aurait galit Comme ce n est pas le cas les droites d et d ne sont pas parall les Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s 125 Elle la g om trie est pour ainsi dire la mesure la plus pr cise de notre esprit de son degr d tendue de sagacit de profondeur de justesse Jean le Rond d Alembert Savbir d finir expliquer justifier illustrer v diff rentier l objet g om trique angle segment surface de sa mesure un nombre positif longueur aire en utilisant des notations appropri es v statut d une figure d un sch ma en math matiques on repr sente approximativement une r alit id ale attention de ne pas en tirer de conclusions h tives o quand quoi v naissance de la g om trie en gypte au bord du Nil sur des bases d j pr sentes en M sopotamie puis d veloppement dans le bassin
109. C II s agit d un texte crit en hi ratique forme cursive des hi roglyphes sur papyrus II commence par cette introduction qui a permis de le dater Calcul exact L acc s la connaissance de toutes les choses existantes et de tous les secrets obscurs Ce livre fut copi la 33 ann e le 4 me mois de la saison de l inondation sous la majest du roi de Haute et Basse Egypte A user R un des rois Hyksos c est le scribe A h mos qui copia cet crit Ce document retrouv dans les ruines du Rameseion Th bes fut achet en 1858 par A Henry Rhind un antiquaire cossais D chiffr vers 1890 il est actuellement conserv au British Museum de Londres Le papyrus de Rhind expose la solution de probl mes nonc s de mani re fort concise portant sur divers sujets d arithm tique et de g om trie op rations utilisant les fractions partages calculs des aires de formes g om triques simples dont le cercle et des volumes de r cipients mensurations de pyramides Une fois le probl me pos le r sultat est donn directement sans indication d un raisonnement g n ral explicite la solution Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Activit s de d couverte tant simplement suivie d une v rification Par exemple le probl me n 24 Inconnue son septi me le tout est 19 Autrement dit La somme d un nombre et de son septi me est 19 quel est ce nombre La r ponse donn e suivie d une v rificat
110. Calcul num rique Edition 2010 Chapitre 2 Des nombres aux lettres R CR ATIONS MATH MATIQUES ET PHYSIQUES QUI CONTIENNENT les Probl mes e les Quefliontles plus remarquables amp c les pler propres piquer la curiofir tant des Marh matiques que de la Phyfique le cour trait d une maniere la port e des Lecteurs qui ont f ulement quelques connoilances ligere de ces Sciences Per jeu M OF ANA M de l Acad mie royale des Screncer Ge NOVVILLE EDITION ccnlemenr refais amp confdiraktement angat par Mi de G F TOME PREMIER Centensnt L ARITHM TIQUE amp la Giom Chez CL AT JOMBDERT fil a n Libraire da Rei pour le G nie amp c Artillerie M DCG LXXVIII AFEC APPRODATION ET PRIFILEGE DU ROL Ouvrage de Jacques Ozanam publication postume en 1778 Probl me Dans la prison de Sikinia il y a 200 cellules num rot es 1 2 3 200 Ces cellules sont toutes occup es et sont naturellement ferm es clef Lorsqu on tourne la clef d un demi tour dans la serrure la porte s ouvre mais si on tourne encore la clef d un demi tour la porte est nouveau ferm e et ainsi de suite Pour f ter le vingti me anniversaire de la r publique de Sinikia le pr sident d cide une amnistie et il donne l ordre suivant au directeur de la prison Vous partez de la cellule n 1 et vous tournez d un demi tour toutes les serrures Vous partez de la cellule n 2 et vous tournez d un demi tour toutes
111. Coll ge de Saussure Math matiques Premi re ann e Edition 2010 Trouver x Kez A i En collaboration avec dacu Suisse romande LE r sse Math mat S http Isesamath ch Chaque chapitre de ce manuel comporte quatre rubriques LES PAGES Les activit s font d couvrir l l ve de nouvelles P notions sur le chapitre en cours en r investissant les Acrivit s savoirs des ann es pr c dentes LES PAGES Dans cette rubrique une synth se du cours et des m thodes retenir sont propos es M THODES Des exemples illustrent les savoirs pr sent s S ENTRA NER Des exercices d application pour mettre en pratique les m thodes du cours ainsi que LES PAGES des exercices suppl mentaires avec r ponses EXERCICES APPROFONDIR Des exercices plus complexes et ou pistes de traverse LES PAGES Dans cette rubrique on r sume de fa on succincte les concepts notions et savoirs faire attendus de BILAN l l ve en fin de chapitre Auteurs Patricia Blanc Jean Marie Delley Catherine Pomezny Gen ve Cette version a t r alis e gr ce au soutien de la direction du coll ge de Saussure Certains exercices ont t repris des manuels Sesamath http manuel sesamath net d autres proviennent des cours de nombreux coll gues un grand merci tous
112. D A gco X X X On exprime les informations donn es dans l nonc en fonction de x _ AB AE ABE 2 A x 6 re EX 16 Chapitre 2 Des nombres aux lettres Edition 2010 Exercices d entra nement EM Traduire en litt rale les donn es suivantes expression a Un nombre qui se termine par 19 b Un multiple de 33 c Un nombre impair d Un nombre carr pair e Un nombre somme de trois nombres pairs cons cutifs f Trois multiples de 17 cons cutifs g Le carr de la somme du produit de 2 par x et de 3 h La diff rence des carr s de la diff rence du double de x et de 5 et de la somme de x et de 3 i Le quadruple de la somme du centuple de l unit et d un nombre pair A La grande base d un trap ze est le double de sa petite base Sa hauteur a la m me mesure que sa petite base D terminer l expression alg brique r duite de son aire EJ L aire d un rectangle est de 4a 8a Trouver sa longueur si la largeur mesure 2a EX L aire d un carr correspond l expression c 14c 49 D terminer l expression alg brique r duite pour le p rim tre de ce carr E Un rectangle a une largeur de x cm et un longueur de x 6 cm On lui enl ve un carr de 3cm de c t Quelle est l expression alg brique r duite qui repr sente l aire de la figure restante 6 Une couronne est une figure g om trique form e par la surface comprise entre deux disques concentriques l un de ray
113. ES SUPPLEMENTAIRES a Faux c Faux Vrai g Faux b Vrai d Vrai f Faux h Vrai a Faux c Vrai e Faux g Vrai b Vrai d Vrai f Vrai h Vrai a contrapos e b r ciproque a r ciproque b contrapos e Edition 2010 Exercices d approfondissement EN Calculer observer formuler une conjecture et la prouver lorsque c est possible 9 9 8 62 52 99 9 8 562 452 ES 556 445 5556 4445 FA observer conjecturer et g n raliser a 1 1 c 111 12321 b 11 121 d 1111 1234321 Puis calculer 123456789 2 9876543211 9876543209 9876543209 EJ tymologies a Quelle est l tymologie du mot math matique b Rechercher les tymologies de tous les termes li s la construction math matique travaill s dans ce chapitre EX nombres pentagonaux a Donner les huit premiers nombres pentagonaux P1 P8 et donner une expression pour le ni me nombre pentagonal b D montrer que tout nombre pentagonal est gal son c t augment de trois fois le triangulaire de rang pr c dent c D montrer le lien entre les nombres pentagonaux et triangulaires 3P 7T EJ Choisir au hasard cons cutifs a b c d et e cinq nombres D montrer que 24 b c d e est un multiple de 5 Edition 2010 KJ Les nombres premiers D finition Un nombre entier naturel n est premier s il admet exactement deux diviseurs 1 et n Tout nombre entie
114. H Qu en d duire quant la repr sentation graphique des quations de la forme y a x k m o k m et a sont des constantes r elles quelconques x et y des variables r elles Repr sentation d une quation du deuxi me degr sous forme d velopp e a Quel algorithme permet de repr senter graphiquement de fa on efficace une quation du deuxi me degr donn e sous forme d velopp e b L appliquer aux quations y 2x 6x 8 y 4x 23x 9 et y x 3x 4 Tail it M G om trie cart sienne Pourquoi appelle t on parfois la g om trie analytique g om trie cart sienne Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique M thodes et notions essentielles UE Le rep re orthonorm dans le plan 0 ee O ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 0 Deux math maticiens fran ais Ren Descartes 1596 1650 et Pierre de Fermat 1601 1665 vont avec d autres tablir un lien entre le calcul alg brique et les objets g om triques c est la g om trie analytique aussi appel e g om trie cart sienne en l honneur de Descartes D finitions Un axe est une droite munie d un point appel origine d une orientation et d une unit 7 nriant2 ion ed 4 0 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 R origine Un rep re est compos de deux axes dont les origines sont l unique point d intersection qu on appelle galement or
115. J C dans la ville d lonie de Milet actuellement situ e sur la c te de la mer Eg e en Turquie Il serait mort entre 548 et 545 av J C dans la m me ville de Milet dont il fut dit on un conseiller politique influent II serait un des premiers si ce n est le premier chercher fournir une explication naturelle aux ph nom nes Il aurait chercher expliquer l ensemble des ph nom nes physiques partir d un l ment premier et de ses transformations l eau On le consid re comme l un des sept sages Il aurait effectu des voyages en M sopotamie comme en Egypte et c est de l qu il aurait rapport une partie de ses connaissances math matiques Source www history mcs st andrews ac uk Source www math93 com Il est connu pour avoir nonc un certain nombre de r sultats math matiques dont le fameux th or me qui porte son nom E E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Voir http fr wikipedia org wiki Sept_sages 1 14 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles EU Notions modernes de g om trie D finitions Le plan peut tre mat rialis par une surface plane dont les dimensions seraient infinies Par exemple une feuille de papier pos e sur une table peut tre consid r e comme une petite portion de plan On admet conna tre les points qui sont les l ment
116. J Ecrire en langage math matique a L ensemble comprenant les nombres 21 17 et 24 b L ensemble comprenant les nombres entiers de 12 13 c L ensemble comprenant les nombres r els strictement compris entre 4 et 45 d L ensemble comprenant les nombres r els plus grands ou gaux 5 et strictement inf rieurs 46 4l Compl ter par un symbole ad quat a Zeen Q b Zocca 2 8 2 3 4 5 6 7 C 33 Z d 3 4 5 6 7 a 6 7 8 9 3 4 9 EA Traduire en langage math matique a L ensemble des nombres naturels est inclu dans l ensemble des nombres relatifs b Trois huiti mes n appartient pas l ensemble des nombres entiers relatifs c L ensemble des r els strictement sup rieurs 2 Chapitre 5 Ensembles KA Soient A et B les deux ensembles suivants A 3 2 16 18 19 et B 4 13 14 18 100 D terminer a c B A b AQB d A B EJ Soient A et B les deux ensembles suivants A 15 12 et B 2 15 a Repr senter A et B sur une m me droite r elle b D terminer AUB AOB B A et A B EJ On consid re les ensembles suivants A xI1 5 lt x lt 2 B xI0 lt x lt 5 C x1 3 lt x lt 3 D x1 3 lt x lt 3 E xix lt 2 F x 5 lt x G x1 3 lt x H x x lt 3 a Donner leur criture sous forme d intervalle b Les repr senter graphiquement c D terminer ANB AUB DAE EnG BUE FUG A C D C et G H 9 Ecrire sous forme d inter
117. M On s int resse maintenant aux couples x y qui sont solutions des deux quations simultan ment On dit d un tel couple qu il est solution du syst me de deux quations du 6X 3y 10 2X 3y 4 premier degr deux inconnues not D apr s le graphique combien de solutions admet ce syst me et quelles sont elles EM V rifier la r ponse en rempla ant x et y parles valeurs trouv es en 4 EM Vocabulaire cette m thode de r solution s appelle la m thode graphique ALES Une m thode de r solution 11 57 x y x 5y On consid re le syst me crire dans les deux quations une inconnue en fonction de l autre EM En d duire une quation une seule inconnue et le r soudre EJ Utiliser maintenant la valeur d termin e la question pr c dente pour trouver la valeur de la deuxi me inconnue dans le syst me EM Tester le couple de valeurs x y trouv et conclure EM Vocabulaire cette m thode de r solution s appelle la m thode par substitution Xai ca Une autre m thode 2010 3X 2y 3X 7y 4 25 On consid re le syst me suivant R soudre ce syst me en utilisant la m thode par substitution EM Hakim remarque qu en additionnant les deux premiers membres des quations on r ussit liminer les termes en x dans le calcul Chapitre 13 Syst mes d quations Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte a Qu obtient on en additionnant les premi
118. a b et c Le tableau ci contre est un tableau de proportionnalit b X Donc ona E q C o a b et c sont Et donc a x b c galit des produits en croix diff rents de z ro Le prix du pain est proportionnel au nombre de baguettes achet es L galit des produits en croix donne 5 x 4 25 3 4 253 12 75 Donc XET 5 5 2 55 chf Caract riser graphiquement la proportionnalit Si on repr sente dans un rep re une situation de proportionnalit alors on obtient des points align s avec l origine du rep re Exemple Le p rim tre p d un carr est proportionnel son c t c puisqu on a p 4c Repr senter graphiquement le p rim tre en fonction du c t 1 On choisit des valeurs pour le c t c 2 On calcule les valeurs correspondantes du p rim tre p dl 2 3 4 n 4 8 12 16 3 On place les points dans un rep re comme ci contre 1 23 4 C cm R ciproquement si une situation est repr sent e par des points align s avec l origine du rep re alors c est une situation de proportionnalit Exemple Ces graphiques repr sentent ils des situations de proportionnalit Justifier Oui car les points sont Non car les points sont Non car les points ne sont align s avec l origine du align s mais pas avec pas align s rep re l origine du rep re 0 0 ee 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e
119. a a a e a a a a a E a a a Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral Chapitre 7 Equations Voir aussi e compl ment histoire de alg bre gt SERAI Ce EELV FR VIETE 2A neen tito mert en foj _ 0 pme lt aj Fran ois Vi te 1540 1603 Probl me Quelle heure la seconde pr s entre 2 heures et 3 heures les aiguilles d une montre sont a Superpos es b Dans le prolongement l une de l autre c A quelle heure font elles un angle droit 1 En t l chargement libre l adresse http sesamath ch manuel degre12 Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte a T41liX Choix de l inconnue Trois personnes se partagent la somme de 316 Frs On veut trouver la part de chacune sachant que la seconde a 32 Frs de plus que la premi re et que la troisi me a 15 Frs de plus que la seconde Soit x la part de la premi re personne Mettre ce probl me en quation puis le r soudre EM Soit x la part de la deuxi me personne Mettre ce probl me en quation puis r soudre EM Y a t il une autre possibilit pour le choix de l inconnue Si oui mettre ce probl me en quation partir de ce choix puis le r soudre EM Conciure LTAAIXWE Techniques de r solution d quations Recopier puis transformer chaque galit en une galit quivalente x 6 x 4 x 1 2 as D aD 425 aD zE x 7 x 2 5 X 3 EM L
120. ai MiS Angles au centre et angles inscrits EM D finir D finir ce que sont un angle au centre et un angle inscrit dans un cercle FA D montrer A B et M sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles AMB et AOB interceptent l arc de cercle B a Enoncer une conjecture quant aux mesures de angles AMB et AOB b D monstration e Premier cas AM est un diam tre du cercle en M On d signe par x la mesure en degr de l angle AMB e Quelle est la nature du triangle AOMB Justifier lt _ Exprimer les mesures des angles du triangle AOMB en A fonction de X A B En d duire la mesure de l angle AOB 148 Chapitre 10 Angles et cercles Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte Deuxi me cas Le point O appartient au secteur angulaire AMB On appelle N le point du cercle de sorte que MN soit un diam tre M e Que dire des angles AMN et AON e Que dire des angles NMB et NOB e Montrer alors que dans ce cas la conjecture est v rifi e X A ne N Troisi me cas Le point O n appartient pas au secteur angulaire AMB e En consid rant le diam tre MN montrer comme au deuxi me cas que AOB 2 AMB AME D terminer des angles D terminer amp et y Edition 2010 Chapitre 10 Angles et cercles M thodes et notions essentielles PTL Angles et cercles D finitions Un cercle est un ensemble de points situ s une m me distance d un
121. ales R duire les expressions suivantes a 7x7 3x 4x x d a a b 2a Sa ab b 4ab 2ab 5 ab e x y z2 y x z 2 2 y P HE 2x f x 6x y x y 3z 2z 5x 3 y 12 Chapitre 2 Des nombres aux lettres Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T Paii TE Des lettres A l origine Au cours des si cles l homme a cherch tre plus efficace lorsqu il s agissait de r soudre des probl mes qu ils soient d ordre conomique commercial technique etc Ce d veloppement s est accompagn du passage d un niveau concret diff rents niveaux d abstraction il y a d abord eu l id e d num rer des objets ceci conduit au concept de nombre puis au besoin de repr senter ces nombres On crit donc un symbole ou un ensemble de symboles qui repr sente une certaine quantit ele niveau d abstraction suivant consiste remplacer les nombres par des lettres EM Comment proc der Il s agit de ne pas confondre les lettres qui repr sentent des nombres de celles que nous destinons du texte on choisit souvent par convention d criture d crire les lettres qui repr sentent des nombres sous forme italis e par exemple la place de a on crit a pour b on crit b etc La difficult s accro t lorsqu on crit la main o on ne distingue alors plus de diff rence de calligraphie Il est donc indispensable que le contexte soit suffisamment clair
122. alors que les angles sont des surfaces Mesure d un angle Nous utilisons le degr comme unit de mesure d un angle en choisissant qu un angle plat mesure 180 degr s ce qu on note 180 Diff rence entre angle et mesure d un angle Un angle est une surface alors que sa mesure est un nombre Il faudrait en principe pour ne pas induire de confusion adopter des notations diff rentes pour l angle et pour sa mesure Pourtant afin de ne pas alourdir la notation on note de la m me fa on un angle et sa mesure l aide des minuscules grecques amp B y e On dit alors par abus de langage que deux angles sont gaux s ils ont la m me mesure Mesures des angles particuliers La mesure d un angle droit x vaut 90 dans ce cas on dira alpha vaut 90 et on a 90 crira parfois a 90 pour simplifier La mesure d un angle plein vaut 360 115 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles Nommer un angle Exemple Nommer l angle marqu en violet sur la figure ci dessous H Le sommet de l angle est le point C c est la lettre centrale et les c t s de l angle sont les demi droites CH et CS ou CA C Cet angle peut se nommer HCS ou HCA A T Remarque on utilise aussi parfois la notation suivante HCS lt HCS avec la convention suivante la lettre du centre est le sommet de l angle et on tourne dans le sens inverse des aiguilles d une mo
123. angle suivant Calculer la valeur exacte de sin B et de tan 8 sachant que B est un angle aigu tel que cos B a Pour d terminer la hauteur du Mont Ticule Sophie a mesur les angles B et la distance d Calculer h en sachant que 30 B 45 et d 200m Edition 2010 Exercices suppl mentaires EF Quelle est la longueur de l ombre projet e par un arbre de 12m de haut lorsque le Soleil est lev de 52 au dessus de l horizon EJ Soit ARST un triangle rectangle en R Ona ST 25 43 cm et RT 12 30 cm Calculer lt RST et RS EJ Eisa joue au cerf volant sur la plage La ficelle est d roul e au maximum et est tendue L angle de la ficelle avec l horizontale est de 48 Elle tient son d vidoir 60 cm du sol Le cerf volant vole 12 m du sol a Faire un sch ma de la situation b Calculer la longueur de la ficelle d roul e Donner la valeur arrondie au d cim tre FJJ Monsieur Schmitt g om tre doit d terminer la largeur d une rivi re Voici le croquis qu il a r alis AB 100m lt BAD 60 lt BAC 22 lt ABD 90 Calculer la largeur de la rivi re un m tre pr s a Exprimer l aire A de la surface hachur e en fonction de r eta LULL lA 7 F VC b Calculer A lorsque r 10 cm et a 60 a Calculer sin amp amp et tan sachant que cos amp 4 7 b Calculer cos et tan sachant que sin
124. ansforme l quation en une galit vraie Exemples 1 est une solution de 2X 5X 7 car l galit 2 1 5 1 7 est vraie 3 n est pas une solution de 2X 5X 7 car 2 3 5 3 7 est fausse R soudre une quation c est d terminer toutes les solutions de l quation L ensemble des solutions d une quation est l ensemble qui contient exactement toutes les solutions de l quation Notation On note S l ensemble des solutions d une quation Lorsqu une quation n a pas de solution on note S DouS Exemples e si on consid re l quation X 5 9 alors S 4 e si on consid re l quation X 5 x 1 9 alors S 5 1 e si on consid re l quation X 1 alors S D finition Deux quations sont quivalentes si elles ont le m me ensemble de solutions e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e L 1 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Chapitre 7 Equations Edition 2010 M thodes et notions essentielles Exemples ex 5 9 et x 7 11 sont des quations quivalentes car dans les deux cas S 4 ex 5 9 et x 7 12 ne sont pas des quations quivalentes car l ensemble des solutions de x 5 9 est S 4 alors que l ensemble des solutions de x 7 12 est S 5 Notation Pour indiquer que deux quations sont quivale
125. artial auraient ils pay s s ils avaient patient F Parmi les 1 500 l ves que compte un Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations coll ge 455 d entre eux vont visiter le ch teau de Versailles Ce groupe de 455 l ves repr sente 28 des filles et 32 des gar ons du coll ge Combien y a t il de filles et de gar ons dans ce coll ge EFJ Thal s la rescousse Afin d viter les pertes d eau la mairie de R sousys souhaite installer un syst me d arrosage automatique enterr dans un jardin municipal triangulaire sch matis ci dessous par le triangle ACF Le long de BE et CF vont tre plant es deux rang es parall les de seringa espac es de 1m Le jardinier municipal a donc enterr 20 m puis 30 m de tuyaux poreux Mais il s est retrouv court de tuyau et doit encore relier E et F A o se trouve l arriv e d eau Grand tourdi il a aussi oubli son m tre AE x AF y Les points A E et F sont align s ainsi que les points A B et C Aide le d terminer les longueurs AE et AF afin qu il puisse revenir avec la quantit de tuyaux n cessaire R ponses des exercices suppl mentaires 76 28 EEJ 4 2 53753 EZI 8 0 17 EH 1 2 4 9 EU EEJ 1 90 et 2 05 ET 18 et 7 50 EX 3 et 1 80 13 05 et 8 82 FJJ 625 filles et 875 gar ons EPA AE 2m et AF 3m 209 Exercices d approfondissement coefficients a b et c de l quation d
126. ations connus Par exemple si on nous dit qu on a affaire un triangle isoc le soit par d finition un triangle qui a deux c t s gaux on ne peut pas utiliser le fait qu il a deux angles gaux seulement parce qu on le voit il faut le d montrer LESTI Lignes et longueurs surfaces et aires D finitions Une ligne polygonale est une ligne form e uniquement de segments de droites Les extr mit s des segments sont appel s les sommets de la ligne polygonale Une ligne polygonale est dite ferm e si chacun de ses sommets est l extr mit de deux segments Une ligne polygonale est dite simple si deux segments non cons cutifs n ont jamais de point commun Exemples de lignes polygonales non simple crois e G A H E 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Edition 2010 Chapit 8 Des Egyptiens Thal s 107 M thodes et notions essentielles Un polygone est une figure g om trique C est une partie finie du plan d limit e par un ligne polygonale ferm e simple Exemples de polygones B D finitions Les sommets de la ligne polygonale sont les sommets du polygone et les segments ui composent cette ligne polygonale sont les c t s du polygone Un polygone 3 c t s est un triangle Un polygone 4 c t s est un quadrilat re Un trap ze est un quadrilat
127. c t s sont de longueurs gales Un triangle est quilat ral si ses trois c t s sont de longueurs gales Un triangle est rectangle si un de ses angles est droit Th or me relation entre les angles d un triangle Si AABC est un triangle alors la somme de ses angles vaut 180 117 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles Exemple le triangle APAF est tel que PAF 67 et FPA 56 Quelle est la mesure de l angle PFA La somme des mesures des angles d un triangle vaut 180 PAF FPA 67 56 123 PFA 180 123 57 Donc l angle PFA mesure 57 z Th or me cercle de Thales Si AABC estun triangle alors la somme de ses angles vaut 180 D finition triangles semblables Deux triangles sont semblables s ils ont les m mes angles Notation pour indiquer que AABC et ADEF sont semblables on crit A ABC ADEF D finition c t s correspondants dans des triangles semblables Soit AABC et ADEF deux triangles semblables A C On dit que les c t s c et f sont des c t s correspondants car ils sont oppos s un m me angle en l occurrence l angle y de m me les c t s a et d sont des c t s correspondants car oppos s et les c t s b et e sont des c t s correspondants car oppos s g 1 18 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thode
128. c la calculatrice Que d duire b Trouver une autre piste Tail ica R ver Dire d un nombre qu il est grand n a gu re de sens Dans la vie primitive les objets usuels ou les v nements familiers se comptaient sur les doigts des mains De nos jours les multiples op rations de codage de notre vie courante du num ro min ralogique au num ro de t l phone utilisent des nombres de six chiffres ou plus Estimer les distances entre les astres du ciel ou le nombre de particules dans l Univers conduit des nombres encore plus grands V nus la d esse de l Amour a servi de marraine la plan te qui est hormis la Lune le corps c leste le plus proche de la Terre Apr s le Soleil et la Lune c est l astre le plus brillant de notre firmament Aussi la voit on souvent de jour avant m me le coucher du Soleil ou t t le matin lorsqu on part travailler Son nom populaire est l toile du Berger Sa distance au Soleil est d environ 100 millions de kilom tres Alpha Centauri est l toile la plus proche de la Terre hormis le Soleil 4 3 ann es lumi re nous s parent d elle soit environ 40 000 milliards de kilom tres Avec de tels nombres se pose la question de la notation et de l ordre de grandeur Cette id e est amorc e dans l Ar naire d Archim de 287 212 av J C Les uvres math matiques d Archim de forment un ensemble imposant malgr les alt rations et les pertes subies au cours des si cles L ouvrage intitul l
129. c un reste 0 soit retrouv un reste d j obtenu pr c demment E E 0 ee 0e 0 ee O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 M thodes et notions essentielles ARS Nombres r els Th or me 2 ne peut pas s crire sous forme de fraction D finition Un nombre r el est form de trois parties LI une partie enti re un nombre entier relatif situ avant la virgule L une virgule L une suite quelconque de chiffres apr s la virgule La diff rence entre le nombre r el et sa partie enti re est appel e partie fractionnaire Remarque la diff rence avec les nombres rationnels est donc que la suite de chiffres apr s la virgule peut se prolonger de fa on non p riodique sans jamais s arr ter D finition Un nombre r el qui n est pas un nombre rationnel est appel nombre irrationnel D finition n est le rapport constant entre la longueur d un cercle son p rim tre et son diam tre Remarque n est un nombre irrationnel la d monstration est difficile et a seulement t tablie par Lambert au XVIIIe D finition Il est majoritairement admis que si on trace une droite dans le plan alors on peut associer tout point de cette droite un nombre r el et r ciproquement tout nombre r el un point de la droite Cela signifie que les nombres r els recouvrent exacteme
130. c xX 4x 2 0 b 16x 12x 14 12x 5 d x 3x 4 EM Qui tait Fran ois Vi te Faire une recherche EM Factoriser le plus possible a 3x x 1 c x 4x 2 b 16x 24x 9 d xX 3x 4 Activit CJ Utilisation de la calculatrice Programmer la formule de Vi te avec votre calculatrice EM R soudre 2x 5x 11 et donner les r ponses sous forme exacte simplifi e au maximum Activit 10 Equations de degr s 2 et plus R soudre les quations suivantes X3 3 x2 7 2x2 0 EJ 556 x2 7 2x x V3 2 3x 0 EM 1 x2 x 20 x x x 2x 1 EM 2 2 4x 3 x2 x 3 x2 3x 1 0 AAA ER Plus dur R soudre 3x 6x 9 84 Chapitre 7 Equations Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T Xai PA Equation param trique Pour quelles valeurs de m mER l quation x x 4 m admet elle une unique solution Paikea Probl mes Un magasin de v tements faisant les soldes annonce que tous les prix ont t baiss s de 20 Si le prix d une chemise sold e est 28 quel tait son prix de vente EH Le sixi me d un piquet est enfonc dans la terre les deux cinqui mes dans la neige et le reste qui est en dehors mesure 3 25m La temp rature de l air est de 4 Quelle est la temp rature de la neige EX Une soci t d investissement a 100 000 investir pour un client et d cide d investir dans deux fonds A et B L int r t annuel attendu ou int r t sim
131. ce principale htto frwikipedia org wiki Pythagore ARE VIA L incommensurabilit D finitions Deux segments AB et CD de longueurs respectives AB et CD sont commensurables si il existe un nombre rationnel k tel que AB Kk CD Sinon ils sont incommensurables Exemples Deux segments de longueurs respectives 2 1 et 6 7 sont commensurables car il existe un nombre rationnel ici sous forme de fraction k tel que 2 1 57 6 7 Deux segments de longueurs respectives 1 et 2 sont incommensurables car il n existe aucun nombre rationnel k fraction tel que 2 k 1 soit tel que 2 Kk La d couverte de segments incommensurables par Hippase de M taponte vers 460 engendra une grave crise chez les pythagoriciens 2Pour rappel l tymologie de math matique est mathema en grec qui signifie connaissance 135 Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide M thodes et notions essentielles ATV Lis Th or mes Th or me hauteur Si le triangle AABC est rectangle en A et qu on trace la hauteur issue du sommet A alors on a AH BH CH Th or me Euclide Si le triangle AABC est rectangle en A et qu on trace la hauteur issue du sommet A alors on a AB BH AB et AC CH BC Th or me Pythagore A Si le triangle AABC est rectangle en A b alorsona AB AC BC ou b c a B Cc a Remarque dans son livre The Pythagorean proposi
132. cercle partir de tout centre et au moyen de tout intervalle Ce postulat garantit l existence d un cercle construit partir de tout point et l aide de tout segment Dem 4 Et que tous les angles droits soient gaux entre eux Euclide se donne par cette demande une unit de mesure pour les angles l angle droit Dem 5 Et que si une droite tombant sur deux droites fait des angles int rieurs et du m me c t plus petits que deux droits les deux droites ind finiment prolong es se rencontrent du c t o sont les angles plus petits que deux droits On constate que la cinqui me demande pr sente un caract re formel beaucoup moins naturel que celui des autres demandes Elle r pond de ce fait moins l exigence aristot licienne d une affirmation qui s impose par sa simplicit et son imm diatet Elle s illustre de la mani re suivante si a B lt deux droits d alors d et d se coupent du c t o sont les angles _ B d a et B e Les D finitions du Livre I Euclide fait suivre les notions communes et les demandes de d finitions Le Livre en compte vingt trois Nous citerons quelques unes de ces vingt trois d finitions Df 1 Un point est ce qui n a pas de partie Edition 2010 Exercices d approfondissement Df 2 Une ligne est une longueur sans largeur Df 3 Les extr mit s des lignes sont des points Ainsi une ligne n est elle que potentiellement infi
133. chaque sorte sachant que j ai 54CHF d J ai dans mon porte monnaie des pi ces de 2CHF et des pi ces de 1CHF soit 21 pi ces en tout Si les pi ces de 2CHF taient remplac es par des pi ces de 1CHF et inversement j aurais 3CHF de moins Combien ai je e y a 6 ans Jean avait 4 fois l ge de Marie Dans 4 ans Jean aura 2 fois l ge de Marie Quel ge ont ils maintenant Chapitre 13 Syst mes d quations f Un confiseur pr pare deux sortes de bo tes comprenant des petits macarons et des grands Dans la premi re bo te il place dix petits macarons et quatre grands cette bo te est vendue 7 20 Dans la seconde bo te il place cinq petits macarons et six grands cette bo te est vendue 7 80 Calculer le prix en euros de chaque sorte de macarons g Maria veut r duire sa consommation d eau Elle a calcul qu avec 1 m d eau elle pouvait prendre un bain et 17 douches ou bien 4 bains et 8 douches D terminer les volumes d eau utilis s pour un bain et pour une douche h Une agence de location de voitures fait payer la location en fonction du nombre de jours de location et du nombre de kilom tres parcourus Simon a lou une voiture pendant trois jours et a parcouru 650 km il a pay 145 50 Aliksan a lou une voiture pendant quatre jours et a parcouru 580 km il a pay 151 Combien paiera un client qui doit faire 600 km sur trois jours i Pour classer des photos un magasin
134. cle Si oui donner le nom de l arc intercept Le sommet de l angle UNE appartient au cercle et ses c t s U recoupent le cercle en U et E l angle UNE est un angle inscrit dans le cercle Il intercepte l arc N Le sommet de l angle AVE n est pas un point du cercle l angle AVE n est pas un angle inscrit dans le cercle E Le c t NS de l angle ANS ne coupe le cercle qu en N l angle ANS n est pas un angle inscrit dans le cercle 151 Edition 2010 Chapitre 10 Angles et cercles M thodes et notions essentielles Th or me angles inscrits Thm Anins Si deux angles inscrits dans un m me cercle interceptent le m me arc alors ils ont la m me mesure Exemple sur la figure ci dessous l angle OTE mesure 67 D terminer la mesure de l angle OLE O Les angles OTE et OLE sont inscrits dans le cercle Ils interceptent tous les deux l arc L Donc ils ont la m me mesure L angle OTE mesure 67 Donc l angle OLE mesure 67 D finition Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle Th or me angles au centre et inscrit Thm AnCen ins Si un angle au centre intercepte le m me arc de cercle qu un angle inscrit alors B 2a Remarque si x 90 on obtient le th or me du cercle de Thal s Exemple La figure ci dessous repr sente un cercle C de centre O L angle CIL mesure 76 D termine la mesure de l angle COL
135. clidienne de a par b c est trouver deux entiers q et r alb tels que a q b r et 0 lt r lt b riq qestle quotient etr le reste de cette division euclidienne Exemple effectuer la division euclidienne de 183 par 12 e 183 12_ Ona donc 183 12 15 3 avec 3 lt 12 63 15 3 LETCE Fractions D finition Une fraction est un nombre de la forme o D est un entier relatif et q un entier relatif non nul p s appelle le num rateur et q le d nominateur de la fraction Exemples PRE SRE A 7 x F sont des fractions 7 88 2 5 L sia 0 ona 2 0 par exemple 270 On parle alors de fraction nulle El 5 n est pas d fini si a 0 par exemple et ne sont pas des fractions Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 M thodes et notions essentielles D finition galit de deux fractions a C l Deux fractions et sont gales si et seulement si ad bc b d Exemple 2_ 10 25 10 5 25 car 2 25 10 5 Additionner ou soustraire des fractions Pour additionner ou soustraire des fractions __on r duit les fractions au m me d nominateur on additionne ou on soustrait les num rateurs et on garde le d nominateur commun has ed Exemple Calculer l expression A 1 30 12 Multiples de 30 30 60 90 120 lt On cherche le plus petit multiple Multiples de 12 12 24 36 48 60 commun non nul 30 et 12 60 132 115 On amplifie chaque fracti
136. comme une somme de quatre multiples de 7 d montrer que 6349147 est un multiple de 7 g crire un nombre entier de 15 chiffres qui soit divisible par 7 EXT Combien peut on trouver d entiers naturels inf rieurs 1000 dont le reste est 12 dans la division euclidienne par 25 EE Multiples de 30 a D montrer que si un entier est multiple de 30 alors il est aussi multiple de 3 et de 5 b La r ciproque est t elle vraie EYJ Ecrire sous forme de fraction irr ductible a 2 455 c 1 3 b 0 2324 d 1 23 e 1 234343 53 Chapitre 4 Autres nombres Exercices d entra nement Effectuer les calculs suivants et donner le r sultat sous la forme d une fraction irr ductible a 1 13 4 7 d 0 45 0 3 b 0 75 0 26 e 1 85 c 70 16 EEJ il tait une fois un honorable caravanier de Boukhara qui levait ses trois fils dans un esprit empreint la fois de rigueur et de tol rance Lors d une violente temp te de sable dans le d sert du Kyzylkoum il mourut d puisement non sans avoir eu le temps de r diger son testament Les rares rescap s de cet v nement une fois de retour au caravans rail remirent ce testament aux trois fils afflig s En plus des legs obligatoires fix s par la loi ils re urent dix sept chameaux Mais ce propos les directives paternelles paraissaient tr s pr cises Vous partagerez les chameaux entre vous trois au plus vieux la moiti au deuxi me par l ge le
137. crit en notation scientifique c est dire sous la forme a x 10 o a est un nombre d cimal dont la distance z ro est comprise entre 1 et 10 10 exclu c est dire ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et o n est un nombre entier relatif Le nombre a est appel mantisse Exemple crire le nombre A 6 430 en notation scientifique A 6 430 On d place la virgule de mani re obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule puis on multiplie par la puissance de 10 de mani re avoir galit A 6 43 x 10 gt L criture scientifique de A est donc 6 43 x 10 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 M thodes et notions essentielles ARS Plus sur les racines carr es D finition La racine carr e d un nombre positif ou nul est le nombre positif ou nul dont le carr est gal ce nombre Notation La racine carr e se note avec le symbole par exemple 12 pour la racine carr e de 12 Exemples 16 4 car 4 gt 0 et 4 16 et il est donc faux de dire que 16 4 16 n existe pas car aucun nombre lev au carr est gal 16 Th or me Propri t s des racines carr es Soit a et b deux nombres r els positifs ou nuls et n un entier naturel non nul Simplifier une racine carr e Exemple 1 simplifier 3 27 et 5 0 45 V3xV27 3x27 81 9 V5x0 45 5x0 45 2 25 1 5 Exemple 2 crire le nombre C 32 sous la forme ab
138. d nombrement de la 101 0 th orie des graphes ils en arrivent consid rer par exemple le nombre de Folkman 10 Et cependant rien n emp che notre imagination de concevoir des nombres plus grands encore et de se faire ainsi une premi re id e de l infini Source Alg bre Mode d emploi G Charri re Ed LEP Combien de temps faudrait il pour aller sur Alpha Centauri si on se d pla ait 100000km h 101 EM Quel est le nom de 10 EM Quel est le plus grand nombre que vous sachiez nommer EM Facultatif faire une recherche pour comprendre comment on peut compter efficacement sur les doigts de la main CAES Ordre des op rations et parenth ses Calculer 3 2 7 11 4 3 10 2 5 2 1 7 EM Placer les parenth ses qui permettent de trouver le r sultat indiqu a 35 5 5 3 2 4 16 cC 35 5 5 3 2 4 28 b 35 5 5 3 2 4 41 d 35 5 5 3 2 4 4 Pad Voir double Sur votre calculatrice il y a deux symboles Pourquoi T44 iit Vocabulaire Compl ter 3 4 5 6 sont des entiers s e EM 1 de 5 et 8 est gale 13 EJ 67 0 et 2 sont des entiers s s sss EM a de 4 et 9 est gale 5 EX l oppos de 18 est A 1e de 8 et 6 est gale 48 Xadi WA Litt rature Mon enthousiasme pour les math matiques avait peut tre eu pour base principale mon horreur pour l hypocrisie L hypocrisie mes yeux c tait ma tante S raphie Mme Vignon et leurs pr tres
139. dations du marquis de Condorcet auteur d un projet de r forme de l instruction publique 1792 Convaincu du d veloppement ind fini des sciences Condorcet y affirme que le progr s intellectuel et moral de l humanit peut tre assur gr ce une ducation bien orient e et il crit peu avant sa mort tragique il m a paru qu en g n ral on ne devrait rien enseigner aux enfants sans leur en avoir expliqu et fait sentir les motifs Si l on peut appr cier l reintage de ses ma tres r ussi par Stendhal il faut savoir reconna tre ceux ci quelques circonstances att nuantes puis es dans une histoire bimill naire celle des nombres n gatifs La premi re apparition de nombres n gatifs remonterait aux d buts de la dynastie Han deux si cles environ avant notre re Un des plus anciens textes math matiques chinois connus le Jiuzhang suanshu L art du calcul en neuf chapitres distingue nombres positifs et n gatifs par des b tonnets de bambou ou d ivoire peints en rouge ou en noir b tonnets que les administrateurs des r gions de l empire transportaient dans leurs sacs comme instruments de calcul L ouvrage en question donne d ailleurs plus ou moins explicitement les r gles des signes pour les deux op rations fondamentales que sont l addition et la multiplication Mais pour les chinois les nombres taient toujours issus de situations concr tes un nombre repr sentant toujours une certaine quantit de quelque chose
140. de 15 triplets qui sont les exemples les plus anciens connus Source http www espritcartesien com mathematiq ues theoremefermat img plimpton322c jpg a Interpr ter les nombres de la table ci dessus sachant que les Babyloniens utilisaient une base 60 Angle Petit c t a Hypot nuse c Ligne O 59 15 1 59 2 49 1 156 56 5814 50 6 15 56 7 3121 2 O55 7 41 15 33 45 __ 11641 1 50 49 3 O 53 10 29 32 52 16 3 31 49 591 4 1148 54 140 15 137 5 1147 64140 5 19 81 6 11143 11 56 28 26 40 3811 59 1 7 41 33 59 345 13 19 20 49 8 1138 33 36 36 91 12 49 9 11135 10 2 28 27 24 26 40 1 22 41 2 16 1 10 11133 45 o 45 115 11 0 29 21 54 215 27 59 48 49 12 1127 3 45 7121 4 49 13 1125 48 5135 6 40 29 31 53 49 14 11123 13 46 40 56 53 15 b Que penser de la d nomination triplets pythagoriciens Il semble bien qu cette poque d j les math maticiens connaissaient une m thode permettant d engendrer les triplets pythagoriciens et qu ils les utilisaient comme aide la trigonom trie Histoire suivre Si Pythagore Platon ou Euclide parmi d autres math maticiens grecs donnent plusieurs si cles avant JC plusieurs r gles pour les former c est avec Diophante d Alexandrie vers 250 ap J C que leur tude prend un nouvel essor Dans le 2 me livre de son uvre ma tresse l Arithmetica il pose et r sout de fa on
141. des limites quant la pr cision des calculs qu elle peut effectuer comprendre la diff rence entre nombre saisi au clavier repr sentation du nombre en m moire et affichage du nombre sur l cran de la calculatrice v il existe diff rents outils de calcul calcul la main ou avec calculatrice de t te ou pos approch ou exact choisir le bon en fonction du probl me donn vy savoir interpr ter un r sultat Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Savoirs faire v d terminer ppcm pgcd division euclidienne avec reste savoir les utiliser bon escient comme outil de r solution de probl mes v r soudre des probl mes de proportions savoir traiter des probl mes ou plus de deux donn es varient proportionnellement Y v r duire en fraction en fraction irr ductible la main et la machine simplifier amplifier une fraction ma triser les op rations sur les fractions associer un nombre rationnel une fraction associer une fraction irr ductible un nombre rationnel puissances enti re positive nulle et n gative calculs la main et avec calculatrice racine carr e calculs la main et avec calculatrice simplifier une racine carr e Yv v v extraire les facteurs carr s modifier l criture d une expression qui contient une racine carr e au d nominateur pour qu elle n en ait plus qu au num rateur multiplier par le conjugu v noncer et d montrer le th
142. droite verticale du plan Si d est une droite verticale du plan alors son quation est de la forme x a avec x une variable r elle et 4 une constante r elle c est dire xE R a kR R ciproquement si on consid re l quation E x a avec x une variable r elle et q une constante r elle alors E est l quation d une droite verticale du plan Th or me quation d une droite horizontale du plan Si d est une droite horizontale du plan alors son quation est de la forme y b avec y une variable r elle et b une constante r elle yEIR bER R ciproquement si on consid re l quation E y b avec y une variable r elle et b une constante r elle alors E est l quation d une droite horizontale du plan Th or me quation d une droite oblique du plan Si d est une droite oblique du plan alors son quation est de la forme y px gq o p est la pente de la droite et q l ordonn e l origine de la droite La variable y s exprime l aide d une quation du premier degr en x ona y E x R ciproquement si on consid re l quation E y px q avec xety des variables r elles et p et 4 des constantes r elles alors E est l quation d une droite oblique du plan Vocabulaire cette quation s appelle l quation r duite de d cette criture est unique quation g n rale de la droite ax by c 0 Dans tous les cas de droites on peut transformer l quation de la droite en une quation quivale
143. du carr va tre l origine de la premi re grande crise de l histoire des math matiques l poque de Pythagore pr cis ment La math matique grecque ses d buts est ins parablement li e a des sp culations partie scientifiques partie philosophiques et mystiques sur les proportions les similitudes et les rapports en particulier les rapports simples exprimables par des fractions petits num rateur et d nominateur et ce fut l une des tendances caract ristiques de Chapitre 4 Autres nombres eee 00 ee 0e 0 ee 0 0 0 0e ee 0 0 0 0e 0 ee 0 0 ee 0 0e ee 0e 0 0 0e ee 0 ee ee 0 0 ee 0 ee 0 0 0 0 0 0 ee 0e ee ee l cole pythagoricienne de pr tendre tout expliquer par le nombre entier et les rapports d entiers Mais ce fut l cole pythagoricienne justement qui d couvrit l incommensurabilit du cot du carr avec sa diagonale Ne supportant pas l id e qu il pouvait exister dans l Univers certaines choses inexprimables par des nombres entiers ou des fractions ils s efforc rent de tenir cette d couverte secr te mais cela ne fut pas possible longtemps Un de leurs l ves un certain Hippasos de Metaponte r v la publiquement l existence de ce nouveau type de nombres les irrationnels Cette r v lation fut l une des causes de la fin de l cole pythagoricienne et dit on de la mort mysterieuse par noyade d Hippasos Plus tard il fut d montr que tout nombre ent
144. e Sav Y v Sav ee De Be 10 Il y a quelques ann es apr s une conf rence quelqu un me dit Vous semblez toujours lier math matiques et amusement Je fus inspir de lui r pondre Si ce n tait pas amusant pourquoi en ferions nous Ralph P BOAS ir d finir expliquer justifier illustrer Les nombres entiers naturels et relatifs Oppos d un entier La diff rence entre chiffre et nombre Nommer manipuler et repr senter des grands nombres limitations Ordre des op rations Gestion des parenth ses Le vocabulaire li aux op rations diff rencier une op ration de son r sultat Le nom des grands nombres La calculatrice ne permet pas de repr senter tous les entiers naturels Avoir conscience du temps historique qui a t n cessaire pour mettre en place de tels concepts outils notations irs faire Identifier des nombres entiers naturels et relatifs D terminer l oppos d un entier Diff rencier addition somme soustraction diff rence multiplication produit G rer des calculs complexes parenth ses imbriqu es et ordre des op rations Manipuler des puissances de 10 Nommer manipuler et comparer des grands nombres Estimer une puissance de 2 en une puissance de 10 2 10 Interpr ter une pyramide de puissances Utiliser la calculatrice pour des calculs l mentaires Lire comprendre se repr senter et r soudre des probl mes Chapitre 1
145. e a y x 4x 8 c y 2x 12x 22 b y x 6x 11 IJJ Le nombre M de km que peut parcourir une voiture avec 4l d essence en roulant une vitesse vkm h est donn e par la 1 5 m M v v formule 48 gt a D terminer la vitesse la plus conomique pour un trajet b D terminer la plus grande valeur de M c Interpr ter graphiquement R ponses des exercices suppl mentaires a AB V98 BC 32 AC Y130 Par la r ciproque du th or me de Pythagore le triangle AABC est rectangle en B b AB 145 BC V104 AC V53 Par Pythagore ce trianglen est pas rectangle a Intersection avec 0x et Oy 0 0 b intersection avec 0x 1 0 avec Oy 0 1 c intersection avec 0x 1 0 avec Oy 0 1 d intersection avec Oxet Oy 0 0 Edition 2010 Exercices d entra nement b b E 2 _D a m 70 b m 2 c mas d m 2 EZ d1 y 3x 2 d3 x 0 d2 y d4 y x BJ si P Q R sont align s alors pente o penteor 11 20 P Q R ne sont 1 a pentero 72 penteor pentero penteor donc pas align s b pentero penteor donc P Q R sont align s EJ a a 31 b 45 EYA forme g n rale de l quation r duite d une droite y mx n m 0 25 donc y 0 25x n La droite passe par 5 3 donc n doit satisfaire 3 0 25 5 n d o n 1 75 Finalement y 0 25x 1 75 a y 3x b x 3 y 8 x44 3 3 d y 2x 2 e y x C y 2 2 EJ d1 2x 5y 8 0 lt gt y
146. e A DEF est rectangle en E et isoc le b Calculer la valeur exacte de DF c D terminer les valeurs exactes de sin 45 cos 45 et tan 45 V rifier que la calculatrice donne bien les m mes r sultats mais en valeur approch e 162 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte LTAAULE E Application Calculer en valeur exacte les c t s manquants des triangles AABC rectangles en C dans les cas suivants EM amp 45 AB 7 EM amp 45 AC 7 EM 60 AC 8 EM B 60 AB 8 Xa M Relations trigonom triques D montrer les deux th or mes suivants a sin a Th or me Si 0 lt lt 90 alorsona tan ES a alors on a R 2 Th or me Si0 lt x lt 90 alorsona sin cos x 1 Remarque L expression sin sinus de alpha au carr s crit en g n ral sin LATEX Probl mes plus difficiles Simon se trouve sur une falaise 135 m tres au dessus du niveau de la mer Il mesure l angle compris entre son horizontale et l horizon visible et trouve 0 375 Il pr tend pouvoir alors calculer le rayon de la Terre Comment s y prendra t il EM Calculer l altitude h du point A et la distance vol d oiseau entre les points A et B CD 180m AC 100m BD 70m EM Quelle est la longueur du 36 me parall le terrestre remarque rayon de la Terre 6371km EM Simon remarque depuis sont balcon que la Lun
147. e but est de d terminer x dans chacune des quations suivantes Recopier puis d terminer l op rateur On r dige de la fa on suivante x 5 2 x 5 2 x 5 5 2 5 On r dige de la fa on suivante 3 3x 7 3x EJ Utiliser d abord les op rateurs pour r soudre les quations suivantes puis r diger comme ci Le gt l Ss xX dessus V rifier ensuite que la solution est juste WIN WIN N a x 5 2 2 6 b 6 5x 14 2 cC x 7 2 EM De la m me fa on mais en deux tapes r soudre les quations suivantes 2x 3 4x 7 14x 8 b 2 6 5x 1 4 a 7x 6 1 gt 82 Chapitre 7 Equations Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T LAAUTEE Interpr tation du r sultat Probl me 1 Sylvia a sept ans de plus que sa soeur Rose Dans 10 ans Sylvia aura le double de l ge de Rose Quel est l ge de Rose Appelle x l ge de Rose z Probl me 2 En 2000 Paul avait 10 ans et Louis 17 ans En quelle ann e l ge de Louis a t il t le double de l ge de Paul Appeller x la diff rence entre cette ann e et 2000 Mettre ces deux probl mes en quation Que remarque t on EM R soudre l quation EM En d duire la solution de chaque probl me et conclure PaE Produit nul R soudre les quations suivantes 3x 3x 6 x 3 0 EX x 3 4
148. e d de l objectif O a une image A B situ e une distance d de O Pellicule T Sapin i Objectif A d A Ima 0 ge renvers e B a D montrer que les droites d s et d B sont parall les p aa d _ AB b D montrer l galit d AB c Pour un certain appareil d 50 mm Un sapin d une hauteur de 12 m se trouve 15 m de l objectif Quelle est la hauteur de l image qui se forme sur la pellicule 24 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB 12 cm et AC 8 cm Le point F est le point du segment AC tel que AF 4 cm et le point E est le point de AB tel que AE 6 cm D montrer que la droite dp est parall le la droite dsc FPJJ ABCDEFGH est un parall l pip de rectangle tel que AB 7cm AD 3cm et AE 2 5 cm Le point K appartient l ar te GH et le point L appartient l ar te GF On donne GK 6 cm et GL 2 6 cm Les droites d et d sont elles parall les Justifier la r ponse Edition 2010 R ponses des exercices suppl mentaires EJ amp ie 3 cm BAM AE 2 25 cm AU 3 75 cm a La largeur de la rivi re est de 4 pas b La largeur de la rivi re est donc d environ 260 cm a Les droites de et dir sont perpendiculaires la m me droite d donc elles sont parall les entre elles b Les droites d et d4 sont s cantes en O Les droites das et das sont parall les Donc d apr s le th or me de Thal s on a d AB d
149. e est son z nith A cet instant il re oit un t l gramme de sa cousine Bernadette qui habite 9904 km de l et qui tient lui d crire le merveilleux lever de Lune sur l oc an qu elle est en train d admirer Simon se dit imm diatement qu il va ainsi pouvoir calculer la distance entre la Terre et la Lune Comment va t il proc der remarque rayon de la Terre 6371km EM Simon toujours en veil remarque alors qu il voit lui aussi la Lune II mesure l angle sous lequel il la voit et obtient 0 52 Il se dit qu il va en profiter pour calculer aussi le rayon de la Lune Comment va t il proc der en connaissant la distance Terre Lune bord bord calcul e dans l exercice 4 soit 385652 3 km environ Edition 2010 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect M thodes et notions essentielles Relations liant angles et longueurs dans un triangle Vocabulaire Soit amp un angle compris entre 0 et 90 AABC un triangle rectangle en C lt CAB Q A C On dit que BC est le c t oppos a AC est le c t adjacent a et AB est l hypot nuse du triangle AABC Remarques e Si BC est le c t oppos l angle il est le c t adjacent de l angle Un angle non droit d un triangle est d limit par deux c t s dont l un est l hypot nuse on peut donc parler sans ambigu t du c t adjacent d un angle non droit d un triangle rectangle D finitions _c t oppos _BC
150. e les quations suivantes a x 2x 1 0 b x2 4 0 d 22 5x 3 0 c x 3 D EX R soudre les quations suivantes a 3x2 7x 0 b 3 x 1 2 7 x 1 0 X2 2Xx 1 2x 3 x 1 x2 9 2x 1 x 3 2x 1 x 1 2 x x 3 x 1 2 x 5 2x x 1 x 2 A A ETJ R soudre les quations suivantes par la compl tion du carr a x 8x 9 0 c 4x 2 12x 11 0 b x2 6x 7 0 EFJ R soudre les quations suivantes en donnant un r sultat exact simplifi au maximum a 4x2 11x 6 0 b 32x 13x 29 0 2x2 7x 3 0 37x 14 15x 11x 31x 20 0 0 1 2x x g 9x 30x 25 0 h rh D Qa n X2 x 1 0 R soudre les quations suivantes puis factoriser le membre de gauche a 2x2 11x 9 0 b 13x 17x 30 0 5x2 4x 8 0 32x2 32x 8 0 e 9x2 14x 39 0 A Q Edition 2010 Exercices d entra nement EXERCICES SUPPL MENTAIRES FEJ Parmi les quations suivantes quelles sont celles qui admettent pour solution celle de l quation 7y 5 3y 8 Justifier a 4y 5 3y 8 c 14y 10 6y 16 b 7y 3y 4 d 7y 5 3y 1 EJ R soudre les quations suivantes a 5x 3x 3 f 5 6x x 9 b 8x 12x 4 c 4 7y 10y d 7x 1 4 x g 11x 3 8x 7 h 5 5x 1 5 9x 6 i 7 3 3x 2x 9 7 e 2 3x 7 3x j 5 1 x 8x 1 7 FIJ R soudre les quations suivantes a 4 x 5 10x 3 b 3 x 2 6 x 4 c 7x 5x 3 5 x 3 2 d 7 n
151. e les expressions suivantes a 4x 12xy 9y a b c b x 1 x 1 d Factoriser le expressions suivantes a b 2x a b x plus possible les a y b a x a b b x 1 a x 1 c x 1 a 1 x b x 1 a Factoriser compl tement les expressions alg briques suivantes en utilisant tous les outils disposition a 5x 45x b 2x 1 y 2 3 2y 2x 1 c x 4 x 1 x 2 x 2 d 7x 3 7x 3 3x 4 2x 4x 6 2x 2 4x 2x 3 3x 3 6x 6x 9 5x 5 f 3x 2 x 5 1 4x 2x 3 4x 1 3x 2 16x 1 h x 13x 10 x 2x 8 EIJ On donne le programme de calcul suivant a crire les calculs interm diaires et donner le r sultat fourni lorsque le nombre choisi est 2 Recommence avec 5 b crire ces deux r sultats sous la forme de carr s de nombres entiers c D montrer que le r sultat est toujours un carr quel que soit le nombre choisi au d part Impossible Calculer 34356786456 34356786447 343567864512 Edition 2010 On consid re la suite des carr s parfaits 15459516 a Calculer 4 1 puis 9 4 puis 16 9 puis 25 16 Que constatez vous b Que pouvez vous conjecturer propos de la suite des diff rences de deux carr s successifs D montrer cette propri t EXERCICES SUPPL MENTAIRES EEJ D velopper et simplifier le plus possible les expressions suivantes a 3y 2x 4y x y 2x 4y x y b x
152. e par addition Exemple r soudre le syst me 3X 4Y 8 bar addition 2X 5Y 1 D terminer une des inconnues On cherche liminer l inconnue y pour se ramener une quation du premier degr une inconnue 5X 5X 4 Y 5x8 On multiplie les deux membres de la premi re lt 4x 2X 5y 4x1 quation par 5 et ceux de la seconde par 4 25X 20y 40 On obtient ainsi des coefficients oppos s devant 8X 20y 4 y dans les deux quations a On ajoute membre membre les deux quations RE ne du syst me ainsi obtenu pour liminer y gt _4 On r sout cette quation une inconnue pour SON m CA EENE XE 3 trouver la valeur de x D terminer l autre inconnue On cherche liminer l inconnue x pour se ramener une quation du premier degr une inconnue 2x 5X 4y 2x8 On multiplie les deux membres de la premi re 5x 2X 5yY 5x1 quation par 2 et ceux de la seconde par 5 205 Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations M thodes et notions essentielles 10x 8y 16 On obtient ainsi le m me coefficient devant x 10X 25 5 dans les deux quations On soustrait membre membre les deux 8y 25y 16 5 lt quations du syst me ainsi obtenu pour liminer X On r sout cette quation une inconnue pour zl a oo U e doe y 3 trouver la valeur de y On v rifie ensuite que le couple Fe D est une solution effective de ce syst me LEE R soudre un probl
153. effet d une part il n est pas construit dans le solide contenu par deux triangles ni plus g n ralement par deux figures planes Et contenu par trois triangles c est celui de la pyramide et par quatre celui de l octa dre et par cinq celui de l icosa dre et il n existera pas d angle solide contenu par six triangles quilat raux et quiangles construits en un seul point en effet l angle du triangle quilat ral tant deux tiers d un angle droit les six seraient gaux quatre droits ce qui est impossible car tout angle solide est contenu par des angles plans plus petits que quatre droits Alors pour les m mes raisons il n est pas construit d angle solide contenu par plus de six angles plans Et l angle du cube est contenu par trois carr s mais par quatre c est impossible car de nouveau ils seraient quatre droits Et par des pentagones quilat raux et quiangles par trois c est celui du dod ca dre mais par quatre c est impossible car l angle du pentagone quilat ral valant un droit et un cinqui me les quatre angles seraient plus grands que quatre droits ce qui est impossible Assur ment un angle solide ne sera pas non plus contenu par d autres figures polygonales cause de la m me absurdit Donc en plus des cinq figures susdites il ne sera construit aucune autre figure solide contenue par des figures planes quilat rales et quiangles gales entre elles Ce qu il fallait d montre
154. el est alors son prix EM Que peut on observer propos du triangle de Penrose ci dessous EJ Faire une recherche sur les uvres du dessinateur M C Escher et en particulier sur les lithographies intitul es Belv d re Mont e et descente Mouvement perp tuel Ces dessins paraissent normaux au premier coup d il mais en y regardant de plus pr s que constate t on Xadi Logique On consid re quatre cartes recto verso chacune comportant une lettre d un c t et un chiffre de l autre On voit ceci A R Alexandre affirme S il y a une voyelle d un c t d une carte alors il y a un chiffre pair de l autre Quelles cartes faut il retourner au minimum pour pouvoir v rifier si cette affirmation est vraie AAALCES Des astronautes Voici deux affirmations qu on accepte comme vraies Une r union des astronautes du monde entier a lieu Paris eLes astronautes am ricains portent tous une chemise rouge Lire et r pondre aux questions qui suivent en justifiant a A l a roport quelqu un porte une chemise rouge Est ce un astronaute am ricain b A c t de lui quelqu un a une chemise blanche Est il astronaute am ricain c Le haut parleur annonce l arriv e d un cosmonaute russe Porte t il une chemise rouge d Dans le hall un astronaute am ricain a un manteau Porte t il une chemise rouge Edition 2010 Chapitre 3 Argumenter Pr reavis et activit s de d couverte de
155. elles Du grec axioma j estime je crois vrai l axiome est une v rit admise sans d monstration et sur laquelle se fondent les th ories math matiques Du latin postulare demander le postulat est une proposition premi re ind montrable ou ind montr e que le math maticien demande au lecteur d accepter L axiome est une vidence contrairement au postulat qui ne l est pas forc ment Dans ce cours nous nous contenterons de parler d axiome Exemple En g om trie le fait que par un point donn passe une unique parall le une droite donn e est un axiome On l accepte comme vrai sans d monstration En math matiques une d finition est un nonc qui introduit un nouveau mot ou symbole d crit l aide d autres mots ou symboles dont le sens a d j t pr cis Une d finition ne d montre rien elle donne une d nomination des objets math matiques nouveaux Exemple Un entier relatif n est pair s il peut s crire sous la forme n 2k o k est un entier relatif On d finit le nouveau mot pair en admettant que entier relatif et des critures alg briques comme n 2k ont d j t d finies pr alablement Un th or me est une conjecture qui a pu tre d montr e l int rieur d un syst me math matique Un th or me d coule des axiomes et postulats qu on a pos auparavant ainsi que sur des d finitions connues et d ventuels autres th or mes pr alablement
156. emand e dans l nonc Exemple crire B 272 718 sous la forme c d o c et d sont deux entiers relatifs d tant le plus petit possible On d compose 72 et 18 pour faire appara tre le produit d un carr parfait le plus grand possible par un m me entier B 2 36x2 719 x2 On d compose la racine carr e de chacun des produits B 2 36x 2 7 9x J2 B 2x6 2 7x3 2 On applique la d finition d une racine carr e B 12 2 21 2 gt est un facteur commun aux deux termes B 12 21 2 On factorise par B 9 2 On donne l criture demand e dans l nonc Rendre rationnel un d nominateur en multipliant par le conjugu Exemple rendre rationnel le d nominateur de En F5 18 3 et simplifier au maximum On multiplie par le conjugu et on utilise les propri t s des racines 118 3 _ 18 1 3 13 12 _118 3 1313 118 2 3 2 3412 1342132 2 544 9 36 6 9 6 3 6 6 3 6 3 6 2 6 3 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Exercices d entra nement Multiples diviseurs EN D terminer ppcm 100124 10098 FA Lors du tournage d un film le r alisateur dispose de 651 figurants habill s en noir et de 465 figurants habill s en rouge Il doit former des quipes constitu es de figurants v tus de rouge et de figurants v tus de noir de la mani re suivante dans chaque groupe il doit y avoir le m me nombre de figurants
157. endiculaires Ox B passant respectivement par A et A coupent Oy en B et B D montrer que CA 0 AU OA OB AB O A A p 160 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte T FA Cosinus et sinus d un angle aigu Le Donne oi OA _ OA a D montrer l aide de l galit pr c dente que OE A A B _ AB b D montrer que DB oB c La valeur de ces quotients d pend elle de la position de A sur Ox Si non de quoi d pend elle Conclure Tangente d un angle aigu a D montrer maintenant que A B _ AB QUE Ga O4 b De quoi d pend cette valeur Conclure Activit a A l aide de la calculatrice Calcul de la mesure d un angle 2 5 cm a Quelle est l hypot nuse du triangle ARST rectangle en T Que repr sente le c t TS pour l angle donn S 5 cm R b crire l galit reliant l angle lt TRS et les longueurs SR et TS Avec la calculatrice calculer sin 30 Comparer avec le r sultat trouv l aide de SR et TS Retrouver la mesure de l angle lt TRS en utilisant la touche sin EM Calculer x l aide de la calculatrice et donner les r sultats arrondis au milli me a b c a S 3 Nu 3 3 A EM Calculer l aide de la calculatrice et donner les r sultats arrondis au milli me a b c Z 7c 2c Edition 2010 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect A Pr reavis et activit
158. entra nement R PONSES DES EXERCICES SUPPL MENTAIRES EEJ c 14 a S ou 2 4 b S 1 si 4 zp 9 c S 77 S 7 ter d S 2 S 53 1 ee 1 e S 2 S 35 EG a S 1 m 9 b S 10 g c S EG a S ei 1 i sal a b S 3 E a S S 30 b S 188 ni c S 18 S 3 a S 1 8 2 0 1 S 3 10 3 b S 6 5 S 2 0 3 7 11 DRE esie gT Wm d S 7 ET i 5 a S 5 8 S 2 b S 3 pose S 23 Jg Edition 2010 e S 5 20 a S 2 8 d S 2 3 b S 1 4 e S 0 8 c S 6 6 21 a S 3 3 P o b S V5 v5 c S 3 V7 V7 PRRD S 3 1 1 d S 3 3 ne h S 1 3 EA a S 2 V15 0 2 V 5 b S v7 gt 0 2 V5 V7 2 c seigi a S d s 3 V5 V5 12 10 Bots e S 3 3 c S 8 f a Tarif A 99 Frs Tarif B 120 Frs b Tarif A 63 4 5x c Tarif B 15x HJ 6 s ances ELA Le nombre de d part est 7 Il y a 18 filles FJJ La distance de Gen ve Naples est de 1134 km 29 Initialement elle avait 26 25 Frs EX Le volume d eau qui a t ajout est de 10 litres EF La longueur de la pi ce de drap est de 41m EFJ Le capital est de 3000 Frs Chapitre 7 Equations 97 Exercices d entra nement EEJ La fraction recherch e est re Ne 5 a Le c t du carr doit mesurer 4 cm b Le c t du carr doit mesurer 1 cm EJ 5 4
159. ercices d entra nement Puissances de 10 EJ crire chacun des nombres suivants comme une puissance de 10 a 100000 b un milliard c 1 FJ Mille milliards de mille sabords disait le capitaine Haddock Ecrire ce nombre comme une puissance de 10 EJ Combien de temps arrondi l heure faudrait il pour crire tous les nombres de 1 un million en admettant qu on crit trois chiffres par seconde en moyenne 4l Combien faudrait il de chiffres pour crire 10 sous forme d cimale 1 g Parenth ses EX Placer les parenth ses aux bons endroits pour que les galit s suivantes soient vraies a 1 2 3 4 0 b 24 27 30 33 0 c 2 3 42 5 3 6 KJ Calculer 3 9 4 11 1 8 25 23 1 7 Comparer Quel est le 272000 ou 3431200 plus grand nombre Dernier chiffre E Par quel chiffre se terminent les nombres suivants a 210 b 11 c 172 Chapitre 1 Calcul num rique Calculatrice EX Quel est le plus grand nombre entier que votre calculatrice peut manipuler tymologies ET Rechercher les tymologies des mots chiffre nombre entier entier naturel et entier relatif HANC MARGINIS EXIGUITAS NON CAPERET Pierre Simon de Fermat 1601 1665 EM Tipiets pythagoriciens a Existe t il des triangles rectangles dont toutes les mesures de tous les c t s sont des entiers b tant donn s deux c t s quelconques est il touj
160. ermettent de choisir la relation trigonom trique utiliser Dans le triangle ALEO rectangle en E LO est l hypot nuse S EL est le c t adjacent l angle ELO On doit utiliser le cosinus de l angle ELO c t adjacent ELO E Roooteniz On crit le cosinus de l angle yp lt connu La longueur cherch e doit cos ELO EE cos ELO LO EL LO x cos ELO EL 5 4 x cos 62 EL amp 2 5 cm appara tre dans le rapport On applique la r gle des produits en croix On saisit 5 4 x 2nd gt trig gt cos 62 EL est inf rieure LO Le r sultat est coh rent Exemple 2 on consid re AKLM un triangle rectangle en K tel que KL 7 2cmet LMK 53 Calculer la longueur du c t LM arrondie au millim tre 0 ee 0e 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0e 0 0 0 0 Edition 2010 Dans le triangle AKLM rectangle en K LK est le c t oppos l angle LMK LM est l hypot nuse On doit utiliser le sinus de l angle LMK c t oppos EMK SIn LMS J hypot nuse KL sin LMK IM HE sin LMK 2 7 CE sin 53 LM 9 cm Chapitre 11 Trigonom trie tr rect On cite les donn es de l nonc qui permettent de choisir la relation trigonom trique utiliser On crit le sinus de l angle connu La longueur cherch e doit appara t
161. ers membres de ces quations b Que vaut cette somme c En d duire une quation d inconnue y et la r soudre EX Hakim se dit maintenant que pour trouver x il suffirait de pouvoir liminer y a Comment devraient tre les coefficients de y dans les deux quations pour liminer les termes en y de la m me fa on qu la question pr c dente b Que peut on faire chacune des quations pour y parvenir c Transformer les quations pour obtenir une quation du premier degr d inconnue x en proc dant de la m me fa on qu la question 2 d R soudre cette quation e Tester le couple trouv et conclure EM Comparer la m thode utilis e dans la question 1 et celle mise en uvre dans les questions 2 et 3 EM Vocabulaire cette m thode de r solution s appelle la m thode par addition Xai Un peu extr me D une extr mit l m EX y a On consid re le syst me d quations suivant 35X 7y Il N b Placer dans un m me rep re des repr sentations graphiques des deux quations Que remarque t on c D duire des questions a et b le nombre de solutions que semble avoir le syst me d Le d montrer FA l autre 12X 3y 4X y 15 a Reprendre les questions a et b de la partie avec le syst me b Que penser du nombre de solutions de ce syst me c Le d montrer EX Au final Que peut on dire du nombre de solutions que peut admettre un syst
162. es v nements historiques d couverte du z ro indien formalisation des nombres r els mesure du rayon de la Terre d couverte des nombres irrationnels naissance de l criture nombres arabes Repr senter toutes ces informations sur la chronologie fournie par le professeur et repr senter approximativement sur la carte du monde fournie les lieux o v curent les civilisations voqu es MOFA L gypte ou le temps des arpenteurs e ee o o o ee o oo o e e e e a e Les civilisations m sopotamiennes avec leur syst me de num ration sexag simale de position taient bien outill es pour d gager des algorithmes alg briques On consid re du reste la M sopotamie comme le berceau de l alg bre Une tradition remontant aux Grecs fait en revanche de la civilisation gyptienne le lieu de naissance de la g om trie C est un texte d H rodote qui attribue l origine de la g om trie des n cessit s d arpentage la suite des crues du Nil L Enqu te II 109 L explication d H rodote est reprise et compl t e par un auteur plus tardif Diodore de Sicile in Marchal P E Histoire de la g om trie pp 12 13 EM Qui taient H rodote et Diodore de Sicile EM Qu est ce qu un arpenteur EX Qu est ce qu un gnomon Chapit 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte Ai EM Lire et commenter le texte suivant qui pr sente la mani re dont le scribe
163. es aires des triangles ABC et ACD c d bh bh_ bhtbh_ b b h RE 2 2 b b h Finalement Aire du trap ze 4 base hauteur _ b b A 2 2 Th or me aire d un losange Soit le losange ABCD Les segments AC et BD sont les diagonales du losange B Pour d terminer l aire d un losange on peut le consid rer comme constitu de 4 triangles gaux Mais il est plus simple de le voir inscrit dans un rectangle comme dans la figure ci contre on voit alors que l aire du losange vaut la moiti de celle du rectangle c d d d 7 lt Aire du losange ABCD A se Remarque nous parlerons du cercle de de son aire dans le chapitre 10 Aire de polygones Les aires des autres polygones s obtiennent en d coupant ces polygones en triangles et en faisant la somme des aires de ces triangles Exemple Aire du polygone ABCDEF aire du triangle ABF aire du triangle BFC aire du triangle CFE aire du triangle CDE 1 12 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles D Remarque attention par contre le p rim tre du polygone ABCDEF n est pas gal la somme des p rim tres des triangles qui le composent Calculer une aire par d coupage simple Exemple 1 calculer l aire de la figure suivante Pour calculer l aire de cette figure on d coupe la figure en trois morceaux puis on les d place pour reconstituer une figure connue 3 cm
164. et combien d eau devra t on utiliser pour pr parer 7 cl de solution 20 On veut faire une bo te ouverte de base carr e partir d un morceau de m tal carr en coupant chaque coin un carr de 3 cm de c t et en pliant les c t s De quelle taille doit tre le morceau de m tal pour que la bo te ait un volume de 48 cm EFA D terminer le volume d un parall l pip de rectangle base carr e dont la hauteur mesure le double du c t de la base et dont le volume mesure 3 fois l aire de la base EX La distance qu une voiture parcourt entre le moment o le conducteur d cide de freiner et celui o la voiture s arr te est appel e la distance de freinage Pour une certaine voiture circulant v km h la distance de freinage d en m est donn e par d 0 2v 0 006 v a Calculer la distance de freinage quand v vaut 50 km h b Si un conducteur d cide de freiner 100 m avant un signal stop quelle vitesse doit il rouler pour s arr ter au bon endroit EUX Lorsque le prix d un lecteur de CD en vogue est 300 un magasin en vend 15 par semaine Cependant chaque fois que le prix est r duit de 10 on en vend deux de plus par semaine Quel tait le prix de vente si les revenus de la semaine sont de 7000 Une fabrique de bo tes de conserves veut faire une bo te de forme cylindrique de 20 cm de haut contenant 3000 cm Calculer le rayon int rieur r de la bo te Edition 2010 Exercices d
165. et pour n rationnel EM Simplifier le plus possible et donner une r ponse sans exposants n gatifs a et b des rationnels non nuls 5a b 25 ab b a b a bT at b b bf b EM Transformer 0 0000045789 en criture scientifique avec et sans calculatrice Xai WA Racines carr es Les conjectures suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier a Conjecture 4 2 b Conjecture 32 a EM Calculer et donner le r sultat sous la forme d une fraction irr ductible Z b 112515 10 647 d 17 75 o o e EM En utilisant des d compositions en produits de facteurs premiers extraire la racine carr e suivante 324 EM Transformer pour obtenir une expression sans racine au d nominateur puis simplifier au maximum le Z Tyer t T8 318 2 2 443 a 437 b AAA ALT E La calculatrice un outil bien ma tris Ces exercices sont con us pour la calculatrice officielle Il s agit avec cette calculatrice d tre le plus efficace et pr cis possible pour effectuer les calculs demand s en utilisant si besoin des parenth ses ou les m moires Pour chaque calcul vous devez tre capable de d crire pr cis ment par exemple en donnant la suite de touches utilis e la fa on dont la calculatrice a t utilis e Calculer l aide de la calculatrice la valeur arrondie au milli me de a 4 2 3 c 544 e 0 25 0 5 325 201569 2 82589 g 42 52 b 25 d 37 f
166. eur Je leur voyais dire souvent au tableau la fin des d monstrations Il est donc vident etc Rien n est moins vident pour vous pensais je Je fus longtemps me convaincre que mon objection sur x ne pourrait pas absolument entrer dans la t te de M Chabert que M Dupuy n y r pondrait jamais que par un sourire de hauteur et que les forts auxquels je faisais des questions se moqueraient toujours de moi J en fus r duit ce que je me dis encore aujourd hui il faut bien que par donne soit vrai puisque videmment en employant chaque instant cette r gle dans le calcul on arrive des r sultats vrais et indubitables Stendhal La vie d Henry Brulard De 14 17 ans Henri Beyle dit Stendhal tudia l Ecole centrale de Grenoble une des premi res institutions o l enseignement des math matiques dispens de jeunes l ves tait influenc par les cours de l Ecole Normale issue de la R volution fran aise Dans La vie d Henry Brulard 1835 ouvrage autobiographique reflet d une passion pour le dessin et les math matiques et d une adolescence o sa r volte contre son p re et contre la soci t le conduit se d clarer ath e et jacobin on constate que l enseignement re u ne parvint pas satisfaire la curiosit du jeune Stendhal lorsqu il voulut comprendre l origine de la r gle des signes Messieurs Chabert et Dupuy n auraient ils donc pas suivi les recomman
167. eur du projectile par rapport la rivi re en m tres au temps t en secondes est donn e par la formule h t 20 10t gt O g 10m s a A quel moment la pierre atteint elle sa hauteur maximale b Quelle est cette hauteur maximale c Combien de temps apr s son lancer la pierre retombe t elle dans l eau d Interpr ter graphiquement EX Une agence de voyage organise une excursion Le prix du billet a t fix 60 mais la compagnie a consenti dans le cas o plus de 100 personnes feraient le voyage baisser le prix de chaque billet de 25 cts par personne additionnelle Sachant qu il en co te 1000 l agence pour transporter les 100 premiers passagers et 15 par passager additionnel trouver le nombre de passagers pour lequel le b n fice net de la compagnie est maximal Interpr ter graphiquement Exercices suppl mentaires 51 Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle et calculer son aire a A 8 5 B 1 2 C 3 2 b A 6 3 B 3 5 C 1 5 EFA Repr senter graphiquement les quations suivantes et d terminer les coordonn es des points d intersection avec les axes a y Vx b y x 1 c y x 1 d x 2y EEJ Que vaut la pente de la droite passant par a 5 3 et 5 6 b 3 1 et 5 5 c 0 0 et a b a 0 d a 0 et 0 b a 0 Chapitre 12 G om trie analytique 193 IEZ on consid re les droites suivantes D terminer l quati
168. fiches suivantes sur les portes des deux cellules Affiche 1 Au moins une des deux cellules contient une princesse Affiche 2 Il y a un tigre dans l autre cellule Dois je faire confiance ce qui est crit demanda le prisonnier Elles disent la v rit toutes les deux on bien elles sont fausses toutes les deux affirma le roi Quelle cellule doit choisir la prisonnier pour ne pas tre d vor Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ai LATE D velopper les expressions EM Avec des trous Recopier et compl ter les expressions l aide des identit s remarquables a 4 x d 1 49x b y 6y e 8 48X c a 6 k2 f 3 100 FA Calcul mental a D velopper et r duire l expression d Calculer mentalement 102 K x 15 x 15 e Calculer mentalement 95 105 b En d duire le r sultat de 1 215 1185 f Calculer mentalement 49 c Calculer mentalement 99 g Calculer mentalement 1001 999 EX Ne rien oublier D velopper et r duire les expressions suivantes a A X 2 c C 2 3t 5 2 1 4t b B 2x 17 2x 1 8x d D 1 4y 2y 3 1 4y 2y 3 Xadi WwA Factoriser EM Une propri t connue a Recopier et compl ter k a et b sont des nombres r els q
169. fs Tarif A une carte d adh sion pour l ann e co tant 63 Frs puis 4 5 Frs par s ance Tarif B 15 Frs par d adh sion a Calculer pour chaque tarif le prix pay pour 8 s ances s ance sans carte b On appelle x le nombre de s ances Chapitre 7 Equations 95 Exercices d entra nement Exprimer en fonction de x le prix pay avec le tarif A puis avec le tarif B c Quel est le nombre de s ances pour lequel le tarif A est gal au tarif B 26 Joey pense un nombre lui ajoute 11 multiplie le tout par 3 et au r sultat obtenu il retranche 3 Joey obtient 51 Quel est le nombre de d part Dans ma classe il y a 28 l ves Le jour o Lucas tait absent il y avait deux fois plus de filles que de gar ons Combien y a t il de filles dans ma classe FJJ Mario se rend de Gen ve Naples en trois jours Le premier jour il parcourt les 5 9 de la distance totale le deuxi me jour il parcourt la moiti du reste et le troisi me jour il parcourt 252 km Calculer la distance de Gen ve Naples EZA Une personne a d pens le tiers de son argent puis le cinqui me de l argent restant et il lui reste encore 14 Frs Combien d argent avait elle initialement EX On ach te 100 litres de lait Pour le v rifier on le p se et on trouve 102 7 kg La masse volumique du lait pur est de 1030 grammes par litre Donc le lait n est pas pur Trouver le volume d eau qui a t ajout
170. g de cuivre pur et 194 6 g d alliage de la livre 14 X EXA Environ 4 67 73 cl de solution 30 et 2 33 z cl d eau Le c t du morceau de m tal carr doit mesurer 10 cm 27 EX Le volume est de 4 6 75 a La distance est de 25m b La vitesse est d environ 113 5 km h ET Le prix de vente tait de 200 Frs ESA Le rayon int rieur de la bo te est de r 6 9 cm Chapitre 7 Equations Edition 2010 d sir s L quation du bonheur bonheur Inconnu Savoir d finir expliquer justifier illustrer quation solution r soudre ensemble des solutions v la diff rence entre quation et identit comprendre ce que sont des quations quivalentes conna tre le th or me sur les quations quivalentes v forme g n rale d une quation du 1 degr v forme g n rale d une quation du 2 M degr v un produit de facteurs est nul si l un au moins des facteurs est nul conna tre la formule de Vi te th or me 0 0 0e Savo irs faire v simplifier une quation ma triser les techniques de r solution pour les quations de degr 1 degr 2 et degr s sup rieurs se ramenant au degr s 1 ou 2 v utiliser la calculatrice pour r soudre une quation avec la formule de Vi te vy comprendre la d monstration de la formule de Vi te v factoriser une expression du 2 degr avec la formule de Vi te v r soudre un probl me en le mod lisant par une quation Edition 2010 Cha
171. h matiques d couvertes et accumul es par les arabes Dans ce Livre des abaques on trouve le probl me suivant Deux tours lev es l une de 30 pas l autre de 40 sont distantes de 50 pas Entre les deux se trouve une fontaine vers le centre de laquelle deux oiseaux descendant des sommets des deux tours au m me instant se dirigent du m me vol et parviennent dans le m me temps Quelles sont les distances horizontales du ventre de la fontaine aux deux tours Tail it MU La crise des irrationnels Voir la pr sentation pts 19 24 http www canal educatif fr Video Sciences 007Pythagore player html EJ L une des cons quences majeures du th or me de Pythagore est l mergence de grandeurs incommensurables entre elles qu entend t on par l Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Pr reavis et activit s de d couverte ahs aii D autres th or mes On consid re le triangle AABC rectangle en A et on trace la hauteur issue du sommet A f En d duire les proportions suivantes A B C H Montrer que les trois triangles AABC AABH et AACH sont semblables je AH_CH D duire du point pr c dent la proportion suivante BH AH Cette proportion est connue sous le nom de th or me de la hauteur L noncer comme un th or me avec hypoth se s et conclusion s AB _ BC BH AB AC _BC et CH AC Ces deux proportions sont connues sous le nom de th or me
172. i de la g om trie plane En effet sur une sph re par exemple deux m ridiens englobent bien une aire N C 1 Les choses gales une m me chose sont aussi gales entre elles N C 2 Et si des choses gales des choses gales sont ajout es les touts sont gaux N C 3 Et si partir de choses gales des choses gales sont retranch es les restes sont gaux N C 4 Et si des choses in gales des choses gales sont ajout es les touts sont in gaux N C 5 Et les doubles du m me sont gaux entre eux N C 6 Et les moiti s du m me sont gales entre elles N C 7 Et les choses qui s ajustent les unes sur les autres sont gales entre elles N C 8 Et le tout est plus grand que la partie N C 9 Et deux droites ne contiennent pas une aire Chapitre 9 De Pythagore Euclide Essayer de traduire dans notre langage alg brique actuel ces notions communes e Les Postulats ou Demandes Aristote distingue les axiomes et les postulats dans le sens o les postulats sont sp cifiques au domaine tudi La g om trie euclidienne en distingue 5 Dem 1 Qu il soit demand de mener une ligne droite de tout point tout point Ce postulat assure l existence d une droite passant par deux points Dem 2 Et de prolonger contin ment en ligne droite une ligne droite limit e La droite est donc con ue comme un segment que l on peut prolonger ind finiment Dem 3 Et de d crire un
173. ier est soit un carr parfait soitle carr d un nombre irrationnel Au XIXe si cle enfin le math maticien allemand Georg Cantor 1845 1918 cr ateur de la c l bre th orie des ensembles d montra qu il y a beaucoup plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels Ses tonnantes d couvertes dans le domaine des ensembles infinis soulev rent de grandes controverses L opold Kronecker son ma tre et l un de ses adversaires les plus acharn s le traita de corrupteur de la jeunesse alors que David Hilbert l un de ses plus fid les partisans crivait Du paradis que Cantor a cr pour nous nul ne doit pouvoir nous chasser Source base modifi e par jmd Charri re Alg bre mode d emploi LEP EEJ origine du symbole racine carr e Source http www math93 com racine htm R est la premi re utilisation d un symbole pour repr senter la racine carr e On la trouve dans un ouvrage de Leonardo de Pise Geometriae de Practica en 1220 Nicolas Chuquet XVe si cle pratiquait d j dans Triparty en la science des nombres 1484 le plus ancien trait d alg bre crit en fran ais la notation par exposant Pour noter par exemple v 35 v15 Nicolas Chuquet crit RU 35 m R 15 o R d signe la racine carr e le U de RU signifiant qu il s agit d une racine carr e englobant tout ce qui suit Dans cet ouvrage la notation des puissances par exposant est tr s proche de la n
174. igine du rep re Si les deux axes ont la m me unit on parle de rep re norm Si les deux axes sont perpendiculaires on parle de rep re orthogonal Si les deux axes ont la m me unit et sont perpendiculaires on parle de rep re orthonorm Dans ce cas on le repr sente avec un axe horizontal appel axe des abscisses ou axe Ox et un axe vertical appel axe des ordonn es ou axe Oy Ordonn es f Illustration 5T al O Par abus de langage on parle souvent de l axe des 3 x pour parler de l axe des abscisses et de l axe des y 24 pour celui des ordonn es 1l Oridine Abscisses Le plan cart sien est divis en quatre quadrants siisti iiis num rot s dans le sens inverse des aiguilles d une E montre 27 3l al sl D finition l Soit P un point quelconque du plan e la droite verticale passant par P coupe l axe Ox en un point unique soit a la coordonn e de ce point sur l axe Ox a est appel l abscisse de P e la droite horizontale passant par P coupe l axe Oy en un point unique soit b la coordonn e de ce point sur l axe Oy b est appel l ordonn e de P Ainsi tout point P du plan peut tre associ un couple unique de nombres a b On dit que a et b sont les coordonn es du point P et on parle du point a b ou du point P a b Inversement tout couple a b d termine un unique point P de coordonn es a et b Illustration pt zl 1 3
175. igonometrie 171 Elle la g om trie est pour ainsi dire la mesure la plus pr cise de notre esprit de son degr d tendue de sagacit de profondeur de justesse Jean le Rond d Alembert Savoir d finir expliquer justifier illustrer v relations liant angles et longueurs des c t s dans le triangle rectangle sin cos tan _ sin a cos a v formules de base de la trigonom trie sin a cos a 1 tan a v relations trigonom triques entre sinus cosinus et tangente des angles compl mentaires v valeurs exactes des sinus cosinus et tangente de 30 45 et 60 Savoir faire v savoir utiliser la calculatrice pour d terminer des sinus cosinus tangente et des angles avec les arrondis et notations appropri s _ sin a cos a v savoir d montrer les formules sin cos a 1 tan a v r soudre des probl mes faisant appel la trigonom trie v utiliser bon escient les outils g om triques en fonction du probl me donn Pythagore Thal s trigonom trie 0 0 Dee Dee 1 72 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique 297 L A GEOMETRIE LIVRE PREMIER Des problefmes qu on peut conffruire ans y employer que des cercles y des bgnes droites er Ous les Problefmes de Geometrie fe Sy peuuent facilement reduire atels termes 75 qu il n eft befoin par apr que de connoi R ftre la longeu
176. ine Henri Poincar 1854 1912 Savoir d finir expliquer justifier illustrer v Conna tre le vocabulaire relatif au rep re orthonorm et au rep rage des points Vocabulaire de g om trie cart sienne origine axes abscisse et ordonn e rep re orthonorm coordonn es abscisse quadrants Produit cart sien Expliquer comment on d termine la distance et le milieu entre deux points D finir exprimer et repr senter graphiquement des produits cart siens Equations deux inconnues solutions LOS OS OS OS Comprendre le lien entre g om trie droites cercles et alg bre quations via la correspondance entre les couples solutions d une quation donn e en x et y et les points situ s sur un objet g om trique Notion de pente d une droite v Comprendre et utiliser les quations de droites verticales et horizontales Conna tre les formes cart sienne et r duites des quations de droites ainsi que l influence des diff rents param tres v Conna tre le vocabulaire et les propri t s relatifs aux droites pente ordonn e l origine droites parall les droites perpendiculaires Relation entre pentes de deux droites perpendiculaires v Expliquer comment on d terminer l quation d un cercle de centre et de rayon donn Conna tre les trois formes de l quation d une parabole et les avantages de chacune Conna tre les formules relatives au sommet l axe de sym trie et l intersection avec
177. int P x y du plan appartient au cercle c alors ses coordonn es x et y v rifient l quation x 2 y2 r R ciproquement si les coordonn es x et yd un point P x y du plan v rifient l quation x y2 r alors p appartient c Cercles quelconques De la m me mani re on peut montrer que l quation du cercle c de centre C x et olXo Yo de rayon r est donc x x y y r Remarque en d veloppant cette quation on a une autre forme P x y pour exprimer l quation d un cercle x y Ax By C 0 Col Xo Yo Exemple d terminer l quation du cercle c de centre C 2 3 passant par le point A 2 5 L quation de c est de la forme c x x y y r Comme on conna t le centre C 2 3 ona c x 2 y 3 reste d terminer r Comme A C on sait que r est la distance entre C et A r 2 2 3 5 8 Donc c x 2 y 3 8 Exemple d terminer si l quation x y 2x 8y 15 0 est celle d un cercle c Il faut essayer de transformer l quation x 3 2x 8y 15 0 pour l crire sous la forme ci x x t y y r 2 y 2x 8y 15 0S x7 2x y 8y 15 0S x 1 y 4 15 1 16S x 1 y 4 2 Donc l quation est celle du cercle de centre C 1 4 et de rayon r V2 186 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 M thodes et notions essentielles Les paraboles Nous allons maintenant nous int resser aux quations du type y E x o E x est une expression du deuxi
178. ion est 164547 La mani re qu avaient les Egyptiens d utiliser les fractions est tr s particuli re la fois primitive et sophistiqu e En effet l exception de 23 et plus rarement 34 pour lesquels ils disposaient de hi roglyphes sp ciaux ils calculaient par quanti mes c est dire que seules les fractions ayant un num rateur gal 1 leur taient d usage facile avec un symbolisme ad quat pour les repr senter Il s ensuit que l un des premiers probl mes rencontr s tait de repr senter toute quantit fractionnaire en une somme de fractions unitaires Pour ce faire les scribes se r f raient des tables et notamment des tables qui donnent pour chaque fraction de la forme 2 sa repr sentation en somme de fractions unitaires Papyrus de Rhind diff rentes Le papyrus de Rhind contient une telle table de division de 2 par tous les nombres impairs compris entre 5 et 101 21 1 2_1 1 1 2 1 1 1 2 _1 1 1 1 5 3 15 7 17 12 51 6897 56 679 776 101 101 202 303 606 Il est tr s vraisemblable que beaucoup de ces r sultats ont t obtenus par t tonnements Il est int ressant de remarquer que contrairement aux Egyptiens les Babyloniens avant eux et les Romains longtemps apr s adopt rent des expressions fractionnaires d nominateur constant 60 pour les premiers 12 pour les seconds Chez les Babyloniens les multiples et les sous multiples de l unit se succ dent en notation positionnelle suivant
179. ion qui comprend deux variables Une quation n inconnues est une quation qui comprend n variables Dans notre contexte il sera implicite si cela n est pas pr cis autrement que les variables qu on note le plus souvent par les lettres x y z t repr sentent des nombres r els Exemples e x 5 9 est une quation une inconnue x 2x 5y 3x 6 est une quation deux inconnues x et y D finition Soit une quation deux inconnues x et y Une solution d une quation en x et y est un couple a b qui lorsqu on remplace x par le nombre a et y par le nombre b donne une galit vraie Exemple Soit l quation 2y 3x 1 e Le couple 1 2 est une solution de l quation puisque si x 1 et y 2 l galit 2 1 3 1 1 est vraie e Le couple 3 5 n est pas une solution de l quation puisque si x 3 et y 5 l galit 2 3 3 5 1 est fausse C E E eee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 ee 0 0 0 0 Equations du premier degr D finition Une quation du ler degr ou quation de degr 1 est une quation quivalente une quation de la forme ax b 0 o x est une variable r elle et a et b sont des constantes r elles avec a non nulle Exemples 2x 3 3x 1 et mx 3 V2 x 1 sont des quations du premier degr 1 k Te Re et mx 3 2 x 1 ne sont pas des quations du premier degr Simplifier une quation tiere a 3 5
180. ipaux du tableau L cole d Ath nes de Raffael voir la page de garde du chapitre et pourquoi sont ils c l bres b Se servir des informations ci dessus de celles d j glan es au chapitre pr c dent et d autres que vous trouverez sur Internet pour placer les personnages suivants sur cette chronologie Euclide Thales Pythagore Th t te Proclus Eudoxe Archim de Eratosth ne Ptol m e ler mr aaa gt FA Les El ments La principale uvre d Euclide pour titre El ments Plusieurs auteurs avant Euclide ont r dig des El ments Ce titre g n rique signifie qu il s agit d un ouvrage dont la r daction a le souci d une organisation logique rigoureuse d une pr sentation structur e des connaissances accumul es dans un domaine des math matiques pr cis Les El ments d Euclide repr sentent un aboutissement dans ce type de d marche L ouvrage a ainsi servi de r f rence quasi absolue il a t au cours des si cles copi comment voire modifi et compl t mais jamais recompos avant que le grand math maticien David Hilbert ne fasse para tre en 1899 ses propres Grundlagen der Geometrie voir les exercices d approfondissement Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Pr reavis et activit s de d couverte de LATEX Triangles isom triques EM D finition Deux triangles AABC et AEFG sont isom triques si et seulement si ils peuvent tre superpos s l un l aut
181. ir en 3 heures et la pompe B utilis e seule peut le remplir en 4 heures Si les deux pompes sont utilis es simultan ment combien faudra t il de temps pour remplir le r servoir EM On veut faire une bo te ouverte de base carr e partir d un morceau de m tal carr en coupant chaque coin un carr de 3 cm de c t et en pliant les c t s De quelle taille doit tre le morceau de m tal pour que la bo te ait un volume de 48 cm La hauteur h en m au dessus du sol d une fus e jouet t secondes apr s son lancement est donn e par h 4 9t 36t Quand la fus e sera t elle 60 m du sol Edition 2010 Chapitre 7 Equations M thodes et notions essentielles UE Equations une inconnue D finitions Une quation une inconnue est une galit entre deux expressions alg briques appel es membre de gauche et membre de droite de l quation et une variable qu on note le plus souvent x mais qui peut tre repr sent e par n importe quelle autre lettre Dans notre contexte il sera implicite si cela n est pas pr cis autrement que la variable repr sente un nombre r el Exemples e X 5 9 est une quation une inconnue xX 2 5y 3y 6 est une quation une inconnue y 1 _9 7 PRAE ET A est une quation une inconnue xX D finitions Soit une quation une inconnue x Alors une solution de l quation est une valeur qui lorsqu on l attribue la variable x tr
182. ite de d est de la forme y px q o p est la pente et q l ordonn e l origine Comme la pente est donn e on a donc y 3x q reste d terminer q Comme Aed on sait que les coordonn es de sont solution de l quation de d soit 5 3 2 q25 6 q q 11 Conclusion l quation r duite de d est y 3x 11 On obtient une quation cart sienne ainsi y 3x 11 023x y 11 0 Exemple 2 d terminer l quation r duite et une quation cart sienne de la droite d passant par les points A 2 5 et B 4 1 L quation r duite de d est de la forme y px q o p est la pente et q l ordonn e re 2 JET ce et on a donc Ve Te l origine On calcule la pente p Reste d terminer q comme A d on sait que les coordonn es de sont solution de 2 4 4 11 l quation de d soit Co E 11 2 Conclusion l quation r duite de d est Y 3 XE On obtient une quation cart sienne ainsi y 2 x e3y 2x 11 2x 3y 11 0 Exemple 3 d terminer l quation r duite et une quation cart sienne de la droite d parall le la droite d d quation 2y 6y 1 0 et passant par le point A 2 5 L quation r duite de d est de la forme y px q o p est la pente et q l ordonn e l origine Comme d est parall le d elles ont la m me pente d terminons celle de d 1 2 1 1 1 2X 6yY 1 0 6 2x 1eYy g tg ous 0e d o pente de d 3 on a donc 1 d y 3X q reste d terminer q Comme AEed on sait que les coordonn
183. jecture et sa r ciproque vy Se questionner sur les r gles apprises et leur ventuelle d monstration quel statut ont elles axiome th or me Savoirs faire lt Ma triser le vocabulaire et les notations y relatives v crire une conjecture sous la forme Si alors v Identifier les hypoth ses et conclusions dans l nonc d une conjecture D montrer qu une conjecture est fausse en exhibant un contre exembple D montrer qu une conjecture est vraie en produisant une d monstration claire v noncer r ciproques et contrapos es CC LE a a a a a a a a a E E E a a E a a a T E o a a E 32 Chapitre 3 Argumenter Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Ceres ng i Le papyrus de Rhind Probl me Trouver deux entiers de 8 chiffres tels que la somme de leurs carr s puisse tre obtenue par la juxtaposition des deux nombres Par exemple les deux entiers 2 chiffres 12 et 33 sont tels que 127433 1233 Edition 2010 Activit s de d couverte LATE Multiples diviseurs Le jeu de Juniper Green a Jouez ce jeu en alternant le premier joueur b Le premier joueur prend 40 comme nombre de d part Quelle est la liste des nombres possibles pour le second joueur M me question avec 17 9 et 23 c Dans une partie deux joueurs quel nombre peut choisir le premier joueur pour tre s r de l emporter s il joue bien Trouver toutes les possibili
184. l adopte 2 pour d signer V puis plus tard il crit V Ve pour d signer V Vzz pour d signer Y Il crit AA pour x AAA pour x Pendant la Renaissance l cole allemande qui prend le nom de La Coss les termes utilis s pour d signer l inconnue par les Arabes signifient chose et racine cosa en italien coss en allemand va s efforcer d laborer une notation commode et introduit des abr viations de rex de radix de causa nom de l inconnue au Moyen Age chr tien de census carr de l inconnue dans les formules ce que l on appelle les caract res cossiques Albert Girard 1595 1632 introduit la notation racine cubique 3v Selon Cajori la premi re personne pour qui adopte la notation de Girard tait Michel Rolle 1652 1719 en 1690 dans le d Alg bre de Trait Edition 2010 e e 0 ee ee e eee eee e e ee o Chapitre 4 Autres nombres Sav 58 00 00 00 0 00 eee Dieu a cr les nombres entiers le reste est l oeuvre de l homme L opold Kronecker math maticien allemand 1823 1891 r d finir expliquer justifier illustrer ppcm pgcd division euclidienne quotient reste v diff rence entre un probl me deux donn es proportionnelles et un probl me dans lequel plus de donn es sont reli es proportionnellement v fractions num rateur d nominateur amplifier simplifier nombre rationnel p riode la longueur d une p riode est toujo
185. l aire c d un tel rectangle est gale a fois b b Aire du rectangle ABCD A a b A B Nous pouvons trouver l aire des autres polygones en n utilisant que la formule ci dessus et la d finition des polygones ainsi que quelques astuces pour transformer ces figures en rectangles z Th or me aire d un parall logramme Aire du parall logramme ABCD A base hauteur b h il 10 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles Th or me aire d un triangle gt Un triangle est toujours la moiti d un certain parall logramme D o on peut prouver que B b base hauteur b h Aire du triangle A 7 2 2 Ici la hauteur est la distance d un sommet la droite supportant le c t oppos appel base Th or me aire d un trap ze On peut montrer que l on peut toujours consid rer un trap ze comme form de deux triangles Soit le trap ze ABCD Ses deux c t s parall les sont appel s les bases et la distance entre les bases est la hauteur du trap ze b 41d B C A D nro On trace une diagonale du trap ze Elle d termine deux triangles de m me hauteur Chacune des bases du trap ze sert de base l un des triangles b altl B C 111 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles Donc l aire du trap ze ABCD est gale la somme d
186. l solution de l quation 5y 3 2y 2 Et le nombre 3 Et c Le nombre V3 est il solution de l quation 3 2x x 6 B F1 Proposer une quation a Donner une quation de degr 1 dont l ensemble de solution soit S rr b Donner trois quations de degr 1 dont l ensemble de solution soit S 2 c Donner une quation de degr 2 dont l ensemble de solution soit S 3 4 EJ Dire si les galit s suivantes sont toujours parfois ou jamais vraies a x 1 0 b x 1 x 1 c x 1 x 1 x 1 EJ On consid re les conjectures suivantes Sont elles vraies ou fausses Justifier 1 a Conjecture 1 L quation T est une quation de degr un b Conjecture 2 Une quation de degr deux a toujours au moins une solution E Contraintes a Donner une quation du quatri me degr qui admet comme solution l ensemble S 0 1 2 Y a t il plusieurs r ponses b Donner une quation qui v rifie les conditions suivantes e elle est de degr 3 et son ensemble de solutions est S 0 3 5 e elle est de degr 3 et s annule en x 4 et en x 2 c Combien d quations de degr 4 ont comme ensemble de solutions 1 AT E S al KJ R soudre les quations suivantes Chapitre 7 Equations Exercices d entra nement xX 3x 2_1 p 4 24 30 5 15 3 5 R soudre les quations suivantes a 5x 1 5x 1 b 5x 0 2x 4 2 2 X EJ R soudr
187. le des m thodes pour deviner un nombre que quelqu un aura pens ou pour en d couvrir d autres poss dant des propri t s particuli res En voici quelques exemples classiques a Si on ajoute l unit au triple d un nombre quelconque et qu on ajoute le m me nombre au triple de la somme on aura une seconde somme qui se termine par 3 b Si on te l unit du triple d un nombre quelconque et qu on ajoute le m me nombre au triple du reste on aura une somme qui se termine par 7 c Pour trouver deux nombres dont les carr s fassent ensemble un nombre carr multipliez deux nombres quelconques le double de leur produit sera l un des deux nombres qu on cherche et la diff rence de leurs carr s sera l autre nombre Au d but de son ouvrage l auteur nous a pr venus Comme je ne pr tends pas proposer des probl mes difficiles je ne pr tends pas aussi en donner les d monstrations pour ne pas embarrasser le Lecteur que je veux divertir Il se contente donc de justifier chacune de ses nombreuses propositions par un ou deux exemples num riques Reprendre les probl mes de Jacques Ozanam et contrairement lui utiliser des lettres pour poser ses probl mes et les interpr ter LATE Traduire en expression litt rale On s int resse aux identit s remarquables carr es a Les noncer enti rement en langue fran aise b Les noncer l aide du calcul litt ral Xadi ES Manipuler des expressions litt r
188. les axes d un parabole v Comprendre les d placements ou transformations dus au diff rents param tres de l quation standard de la parabole v R investir les connaissances du chapitre 7 sur les quations du deuxi me degr pour traiter les quations de paraboles Savoirs faire v Placer des points dans un rep re et lire correctement les coordonn es d un point donn v Savoir d terminer si un couple est solution ou pas d une quation en x et y donn e Savoir repr senter dans le plan tous les couples v rifiant une condition donn e quation in quation simple Savoir d crire par une quation ou une in quation simple des lieux g om triques du plan Repr senter un ensemble donn sous forme de produit cart sien Ecrire sous forme de produit cart sien un ensemble repr sent graphiquement Calculer la distance entre deux points Calculer le milieu entre deux points D terminer la pente entre deux points la pente d une droite 0e De eee LOS OS OS OS OS OS Repr senter le graphe d une quation du type ax by c Oouy mx n 196 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 LOS OS OS Edition 2010 D terminer l quation d une droite v rifiant des conditions donn es v passant par deux points v passant par un point et parall le une droite d quation donn e passant par un point et perpendiculaire une droite d quation donn e v tangente un cercle donn en un point donn Repr se
189. les deux serrures une sur 2 Vous partez de la cellule n 3 et vous tournez d un demi tour toutes les trois serrures une sur 3 Et ainsi de suite Finalement vous partez de la cellule n 200 et vous tournez d un demi tour toutes les 200 serrures une sur 200 Un prisonnier sera lib r si la fin sa porte est ouverte Question Quels seront les prisonniers qui seront lib r s Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ae LATE Traduire d une expression litt rale Bien avant les missions t l vis es de vulgarisation scientifique d authentiques savants ont eu la volont de rapprocher de leur science en douceur un public non sp cialis Dans le domaine des math matiques on voit appara tre au XVII si cle d j des ouvrages en fran ais qui proposent des probl mes et des nigmes pour instruire aussi bien que pour divertir Leur succ s est imm diat De tr s nombreux amateurs clair s font leurs d lices de probl mes arithm tiques ou g om triques n cessitant quelques raisonnements astucieux cela devient un divertissement la mode Parmi les auteurs recherch s on trouve Jacques Ozanam 1640 1717 math maticien dont la r putation lui valut d tre membre de l Acad mie Royale des Sciences Ses R cr ations Math matiques et Physiques 1694 constituent un r servoir immense o des g n rations d auteurs de ce genre d ouvrages ont largement puis Ozanam propose par exemp
190. les du triangle D finition bissectrice La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles gaux Th or me bissectrice Si un point A appartient la bissectrice d un angle alors il est gale distance des deux demi droites qui forment l angle Th or me bissectrices d un triangle Si AABC est un triangle alors ses bissectrices se coupent en un unique point Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle AABC D finition m dianes d un triangle Les m dianes d un triangle sont les droites qui passent par un sommet et qui coupent le c t oppos en son milieu Th or me m dianes d un triangle Si AABC est un triangle alors ses m dianes se coupent en un unique point Ce point est le centre de gravit du triangle AABC Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 M thodes et notions essentielles D finition m diatrice d un segment La m diatrice d un segment AB est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu z Th or me m diatrice Si un point A appartient la m diatrice d un segment alors il est gale distance des deux extr mit s du segment Th or me m diatrices d un triangle Si AABC est un triangle alors ses m diatrices se coupent en un unique point Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle AABC D finition ha
191. lit cette g n ralit s appelle une d monstration Dire qu elle est fausse signifie qu elle n est pas vraie dans au moins un cas qu on appelle contre exemple De fait une seule exception suffit donc tablir qu une conjecture est fausse Exemple Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers est une c l bre conjecture dite conjecture de Goldbach math maticien russe 1690 1764 nonc e dans une lettre Euler le 7 juin 1742 et qui n est toujours pas d montr e ce jour Une conjecture est compos e d une ou plusieurs hypoth ses c est dire les conditions n cessaires pour que le r sultat nonc se r alise assur ment et d une ou plusieurs conclusions le r sultat lui m me Si alors est une formulation souvent utilis e pour noncer une conjecture On parle alors d implication et on le note hyp concl mm _ hypoth se s gt conclusion s Exemple Si n estun nombre pair alors n s crit comme somme de deux nombres premiers ou N estun nombre pair gt n s crit comme somme de deux nombres premiers est l nonc sous forme d implication de la conjecture de Goldbach n estun nombre pair est l hypoth se et n s crit comme somme de deux nombres premiers la conclusion La r ciproque d un nonc s obtient en permutant hypoth se s et conclusion s I n y a pas de lien entre la v racit d un nonc et de sa r cipr
192. me avec deux inconnues Exemple Un mus e propose un tarif pour les adultes 7 et un autre pour les enfants 4 50 Lors d une journ e ce mus e a re u la visite de 205 personnes et la recette totale a t de 1 222 50 Retrouver le nombre d adultes et le nombre d enfants ayant visit le mus e lors de cette journ e tape n 1 choisir les inconnues Soit x le nombre d adultes et y le nombre d enfants On rep re les inconnues On les note g n ralement x et y 205 personnes ont visit le mus e donc X y 205 La recette totale a t de 1 222 50 donc 7x 4 50y 1 222 50 On exprime les informations lt donn es dans l nonc en fonction de x et de y tape n 2 mettre le probl me en quation X Y 205 L nonc se traduit donc par le syst me z lt 7X 4 5 Yy 1222 50 ci contre Ainsi tape n 3 R soudre le syst me tape n 4 V rifier que le couple 120 85 trouv est solution du probl me tape n 5 Conclure 120 adultes et 85 enfants ont visit le mus e lors de cette journ e 206 Chapitre 13 Syst mes d quations Edition 2010 Exercices d entra nement Mise en route Le couple 8 2 est il solution du syst me 7x 12y 3 3 5x 8y 31 FA Donner un syst me de deux quations deux inconnues dont l ensemble des solutions est S 2 3 EJ Jacques a trouv trois couples solutions pour les quations ci dessous 3 4 1 1 et
193. me degr une variable x c est dire aux quations du type y ax bx c avec 440 L quation du deuxi me degr la plus simple est y x qui se repr sente par la courbe ci contre L quation y x k correspond la m me courbe qu on a d plac e vers la droite horizontalement d une distance k Attention au signe de k y x k 2 x1l Dista ce h 14 2 k gt 0 k lt 0 L quation y a x k correspond la courbe qu on a d plac e horizontalement d une distance k puis qu on resserre ou qu on largit autour de l axe vertical x k en fonction de la valeur de a 2 y a x k 2 1 lt a 0O lt a lt 1 y x k 2 y x k 2 y a x k 2 1 1 lt a lt 0 a lt 1 187 Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique M thodes et notions essentielles L quation y a x k m correspond la courbe qu on a d plac e horizontalement d une distance k puis qu on resserre o qu on largit autour de l axe vertical x k en fonction de la valeur de 3 enfin on la d place verticalement d une distance m Attention au signe de m y a x k 2 1 0 lt m D finition Une repr sentation graphique d une quation du type y a x k m s appelle une parabole Th or me Si une quation est de la forme y ax bx c avec 340 alors on peut aussi crire b y a x 22 za 4a VEC A b 4ac Th or me Si une quation est
194. n calcule la distance d aller retour di vit d Icule la dur e t du trajet all 1 Vits donc t v kwa lt On calcule la dur e t du trajet aller d3 60km__ dz vit donc t S ER lt On calcule la dur e t du trajet retour t t t 3h 2h 5h lt On calcule la dur e t de l aller retour E On calcule la vitesse moyenne V sur i _ nine 24kmib le trajet aller retour Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 M thodes et notions essentielles Transformer les km h en m s 1h 3600s 1 km 1000 m Exemple convertir 54 km h en m s et 2 5 m s en km h 54 km h signifie que l on parcourt 2 5 m s signifie que l on parcourt 54 km en 1h 25M en is 54000 en 1h 0 002 5 kmen 1s ED un on 1 lt DE sum en 1h E Donc 54 km h 15 m s Donc 2 5 m s 9 km h Plus de deux grandeurs proportionnelles Si plus de deux grandeurs varient proportionnellement ou de fa on inversement proportionnelle il faut veiller ne les faire varier que deux par deux Exemple trois vaches mangent cinq kilos d herbe en 1 jour Combien de kilos faut il pour nourrir 10 vaches pendant 7 jours 3 vaches 5 kg 1 Donn e 3 vaches 35 kg 7j M me nombre de vaches 7 fois plus de temps donc 7 fois plus kg 10 M me dur e 10 3 fois plus de vaches LONCONSS a 35 kg 7j donc 10 3 fois plus de kg R ponse env 116 7 kg 10 35 116 7 3 EXT Nombres rationnels D finition Un nombre rationnel est
195. n contre exemple est un exemple qui contredit une conjecture et qui permet donc de d montrer qu elle est fausse Attention des exemples qui v rifient une conjecture m me nombreux ne suffisent pas d montrer que la conjecture est vraie sauf si la conjecture d crit un nombre de cas fini qu il est possible de tous v rifier Exemple n 41 est un contre exemple la conjecture qui affirme que n n 41 est premier pour tout n entier naturel En effet 41 41 41 41 41 1 1 n est pas premier Une d monstration est un raisonnement tablissant la v racit d une conjecture partir des axiomes pos s des d finitions connues et des th or mes d j d montr s Exemple D montrons que Si n estun nombre impair alors n est impair n estun nombre impair lt e c est l hypoth se donc nee ouketunentier relatif Par d finition connue de nombre impair re On utilise des r sultats connus n 2k 1 4k 4k 1 2 2k 2k 1 d alg bre d j d montr s puis Posons k 2k 2k d o 4 On renomme une expression n 9k 11 donc k est un entier relatif Car k l est aussi et somme et produit d entiers relatifs le sont Par d finition connue de nombre impair donc n est impair 0 0 ee O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 Edition 2010 Chapitre 3 Argumenter M thodes et notions essenti
196. n double diminu de 3 tape n 1 Choisir l inconnue On rep re la grandeur non connue parmi celles exprim es dans lt l nonc On la note g n ralement x et on l appelle inconnue Soit x le nombre cherch tape n 2 Mettre en quation Chapitre 7 Equations Edition 2010 M thodes et notions essentielles Le quintuple du nombre augment de 7 est 5x 7 On exprime les informations donn es dans l nonc en fonction Le double du nombre diminu de 3 est de x 2X 3 E La phrase de l nonc se traduit 5x 7 2x 3 lt donc par l galit ci contre tape n 3 R soudre l quation 5x 7 2x 3 5x 7 2x 2x 3 2x 3x 7 3 ian t a za y On r sout l quation l aide des ropri t s de la m thode 2 LE lt prop 3 3 O A R tape n 4 V rifier que la valeur trouv e est solution du probl me Le quintuple de 7 augment de 7 Le double de a diminu de 3 10 50 21 29 10 20 9 29 7 2 3 x 3 JU 3 Re 3 Ainsi le quintuple de augment de 7 est gal au double de 1 diminu de 3 tape n 5 Conclure Le nombre cherch est donc 2 Remarque cette m thodologie reste bien s r valable pour des probl mes qui se r solvent avec d autres types d quations 93 Edition 2010 Chapitre 7 Equations Etre solution ou non a Le nombre 1 est il solution de l quation 2x5 3xt 4x 2x 2 b Le nombre 8 est i
197. nels suivants a 2 c 12 347 e 1 4 b 0 0 d 145 789678 f 21 314 EX La conjecture suivante est elle vraie ou fausse Justifier Conjecture La somme le produit la diff rence et le quotient de deux nombres rationnels sont rationnels EVE Irrationnalit D montrer que 2 ne peut pas s crire comme une fraction EM Quel est le nombre le plus proche de 2 EM Conjecture 0 9 1 Vrai ou faux EM Qu est ce qu un nombre irrationnel Donner des exemples EM La conjecture suivante est elle vraie ou fausse Justifier Conjecture La somme le produit la diff rence et le quotient de deux nombres irrationnels sont irrationnels EM Comment sont m lang s les nombres rationnels et irrationnels D terminer les expressions qui apr s avoir t valu es donnent un nombre rationnel 2 5 n 2 50 T T 3 2 1 5 5 3 20 57 g 1024 Fa EM Qu est ce qu un nombre r el Donner des exemples Existe t il des nombres non r els Tail iit M Puissances Parmi les expressions suivantes quelles sont celles qui sont gales x Lis X a PE e 7z 12 X z 1 10 b x2 d xXx f xx Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres Activit s de d couverte EM Calculer 20522 35 8 70 260 75 q 987554821 23 BETEZ 5 2692 75 b 123456786 1 EJ D finir a pour n entier naturel non nul pour n nul pour n entier relatif n gatif pour n de 1 la forme A avec m entier naturel non nul
198. nie C est pourquoi lorsque Euclide parle de droite il faut comprendre segment Df 5 Une surface est ce qui a seulement une longueur et une largeur Df 6 Les extr mit s d une surface sont des lignes Df 10 Et quand une droite ayant t lev e sur une droite fait les angles adjacents gaux entre eux chacun de ces angles gaux est droit et la droite qui a t lev e est appel e perpendiculaire celle sur laquelle elle a t lev e En d finissant la notion de perpendicularit Euclide se donne conjointement la demande 4 une mesure absolue des angles l angle droit Df 15 Un cercle est une figure plane contenue par une ligne unique lt celle appel e circonf rence gt par rapport laquelle toutes les droites men es sa rencontre partir d un unique point parmi ceux qui sont plac s l int rieur de la figure sont lt jusqu la circonf rence du cercle gt gales entre elles Df 16 Et le point est appel centre du cercle Df 17 Et un diam tre du cercle est n importe quelle droite men e par le centre limit e de chaque c t par la circonf rence du cercle laquelle coupe le cercle en deux parties gales On attribuait Thal s la d monstration de cette affirmation qu Euclide dans sa r organisation consid re comme la d finition 17 Df 23 Des droites parall les sont celles qui tant dans le m me plan et ind finiment prolong es de part et
199. notions essentielles Raisonnement logique et construction math matique En logique aristot licienne le syllogisme est un raisonnement logique deux propositions galement appel es pr misses conduisant une conclusion qu Aristote a t le premier formaliser Les deux pr misses dites majeure et mineure sont des propositions donn es et suppos es vraies le syllogisme permettant de valider la v racit formelle de la conclusion Exemple Tous les hommes sont mortels or les Grecs sont des hommes donc les Grecs sont mortels est un syllogisme par contre Tous les chats sont mortels or Socrate est mortel donc Socrate est un chat n en est pas un Le principe du tiers exclu exprime que si deux propositions sont contradictoires l une est vraie et l autre fausse Remarque c est Aristote 384 322 qu on doit les fondements de notre raisonnement hypoth tico d ductif voir par exemple http serge mehl free fr chrono Aristote html Une conjecture est une supposition fond e sur des apparences non encore d montr e et soumise la perspicacit des math maticiens En principe lorsqu on nonce une conjecture on pense qu elle est vraie mais on peut se tromper En math matiques une conjecture est soit vraie soit fausse selon le principe du tiers exclu Dire qu elle est vraie signifie qu elle est v rifi e dans tous les cas possibles sans exception le proc d qui tab
200. nsions d un rectangle augmentent de 15 De quel pourcentage augmente son p rim tre Et son aire Chapitre 2 Des nombres aux lettres 17 Exercices d entra nement Manipuler R duire les expressions suivantes a 2x x 3x b Sx y 3x x y 2x y x G om trie a Exprimer par une formule l aire et le p rim tre de l tiquette recouvrant exactement le c t d une bo te de conserve cylindrique dont la hauteur et le diam tre de la base mesurent 2x cm b Exprimer par une formule l aire d un losange dont l une des diagonale mesure le triple de l autre R PONSES DES EXERCICES SUPPLEMENTAIRES ET Traduction a a b a b b 4n 4 n 1 4 n 2 avec n entier c 2n 1 2n 3 2n 5 avec n entier d 5n7 4 avec n entier EMA arithm tique a 2n 1 b Par 5 c Par msi m est impair Volume 32 x x 3 Pourcentages Le p rim tre augmente de 15 et l aire augmente de 32 25 Manipuler a 4x b 8x 3y G om trie a Aire 4nx P rim tre 4x n 1 3x Aire b ire gt Chapitre 2 Des nombres aux lettres Edition 2010 A canna Sav esse see se Dee Edition 2010 Chapitre 2 Des nombres aux lettres La d couverte math matique est le fruit d un m lange rare de concentration et de d sir Paul Val ry tre pouvoir expliquer ou illustrer v Passer des nombres aux lettres m rite r flexion et explication v Les r gle
201. nt gaux ERC et NRB sont oppos s par leur sommet car EB et CN se coupent en R donc ces 2 angles sont gaux Il en r sulte que tous les angles pr c dents sont gaux et en particulier EAC NRB On sait que EAC 62 donc NRB 62 Enfin NRB est inscrit dans le cercle de centre O et NOB est un angle au centre du m me cercle et ils interceptent le m me arc B donc NOB est gal au double de NRB Ainsi NOB 2 x 62 124 Chapitre 10 Angles et cercles 155 Exercices d approfondissement EN Le math maticien et astronome Eratosth ne environ 280 198 av J C avait valu le rayon de la Terre partir des observations suivantes midi le jour du solstice d t dans deux villes de l actuelle gypte Sy n e ville qui s appelle aujourd hui Assouan sur le Nil et Alexandrie il observe les ombres A Sy ne le Soleil est au z nith les rayons du Soleil sont verticaux et l on peut voir l image du Soleil au fond d un puits Alexandrie ville situ e sur le m me m ridien que Sy ne mais 800 km plus au nord le Soleil est tr s haut dans le ciel mais pas au z nith L ombre d un ob lisque vertical permet de d terminer que le soleil est 7 5 de la verticale Comme Eratosth ne vous avez tous les l ments pour d terminer approximativement le rayon puis le diam tre et le p rim tr e de la Terre Expliciter le mod le choisi pour utiliser les
202. nt la droite Une telle droite est alors appel e la droite r elle E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e KE VIA Puissances D finition Puissance enti re positive Soit a un nombre r el et n un entier naturel non nul Alors on d finit a a a a a n fois a est appel la base et nl exposant de l expression q Remarques a se lit a au carr en r f rence l aire d un carr de c t a a se lit a au cube en r f rence au volume d un cube d ar te a D finition Puissance nulle 0 Soit a un nombre r el non nul Alors on d finit a 1 Remarque 0 n est pas d fini Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles D finition Puissance enti re n gative Soit a un nombre r el non nul et n un entier naturel non nul Alors on d finit Exemple calculer 2 On utilise les d finitions des puissances et l ordre des op rations Cl Soit a un nombre r el non nul et n et m des entiers naturels non nuls alors sauf dans les cas du type 0 ou 4 On a n m Exemple Comparer 5 5 5 et 5 On ram ne tous les nombres une m me base ou un m me exposant pour pouvoir les comparer facilement ea 5 3 59 l e e ES donc E lt 5 lt s en crire en notation scientifique Tout nombre rationnel non nul peut tre
203. nte de la forme ax by c 0 o x et y sont des variables r elles et a b et c des constantes r elles Vocabulaire cette quation s appelle une quation cart sienne de d Remarques e si a 0 et b 0 l quation ax by c devient c 0 Elle est soit toujours v rifi e soit jamais Cette quation ne se repr sente pas comme une droite mais le plan entier ou un ensemble vide ce qui se repr sente par Sn e si a 0 et bz0 l quation ax by c devient by cey une droite horizontale 0 e si a40 et b 0 l quation ax by c devient our Ce qui se repr sente par une droite verticale e lorsqu on consid re une quation r duite par exemple y 2x 1 on sait imm diatement que la pente de la droite est gale 2 et non 2x 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 Droites perpendiculaires Th or me Deux droites de pentes p et p sont perpendiculaires p p 1 1 84 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 M thodes et notions essentielles EU D terminer l quation r duite ou cart sienne de d 0 0 ee 0e 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 0 Exemple 1 d terminer l quation r duite et une quation cart sienne de la droite 4 de pente 3 passant par le point A 2 5 L quation r du
204. nter un cercle partir de son quation D terminer l quation d un cercle donn D terminer si une quation donn e est celle d un cercle D terminer l quation d une parabole donn e partir du sommet et d un point v partir des intersections avec l axe Ox et d un point Repr senter une parabole partir de son quation R soudre et interpr ter graphiquement des probl mes d intersection v entre deux droites entre deux paraboles entre une droite et une parabole entre un cercle et une droite verticale ou horizontale LOS OS S entre un cercle et une droite oblique Chapitre 12 G om trie analytique 197 Edition 2010 trie analytique 4 z eome Chapitre 12 G ee 0 1 Chapitre 13 Syst mes d quations Intersection de trois plans dans l espace Probl me Et vous quel est le probl me math matique int ressant que vous connaissez Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte ahs Xa De mani re approch e Avec un graphique On consid re l quation 6x 3y 10 o x et y sont les deux inconnues et on cherche des valeurs de x et de y qui v rifient cette galit EM Quel est le nombre de solutions de l quation 6x 3y 10 En citer quelques unes puis tracer dans un rep re une repr sentation graphique de cette quation EX Reprendre les questions 1 et 2 avec l quation 2x 3y 4 et repr senter graphiquement dans le m me rep re que pr c demment E
205. ntersection et diff rence e e a p ensemble vide e ensembles de nombres entiers naturels relatifs nombres rationnels r els et leurs sous sd ensembles entiers naturels strictement positifs entiers relatifs n gatifs e e P v quels ensembles sont inclus dans lesquels J v diagrammes de Venn e L r P v in galit s e v intervalles r els ouverts ferm s e e e e e e oirs faire e e v utiliser les bonnes notations ensemblistes e v effectuer des op rations entre ensembles union intersection diff rence inclusion et les E repr senter L v repr senter des nombres dans des diagrammes de Venn e 3 v repr senter des intervalles r els sur la droite r elle e v traduire du fran ais vers des notations ensemblistes et vice versa e e L e e e e e e e e e L 1 L e e Chapitre 5 Ensembles Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral Premi re page de Kita al moukhtasar fihisab al jabr ou Abr g du calcul par la restauration et la comparaison publi en 825 par Al khwarizmi Probl me Le roi fit venir le premier prisonnier et lui expliqua que chacune de ses deux cellules contenait soit un tigre soit une princesse et que toutes les combinaisons taient possibles il pouvait y avoir un tigre dans chaque cellule une princesse dans chaque cellule ou un tigre et une princesse Le roi fit apposer les af
206. ntes on utilise le symbole Exemple 2x 5 1 2x 6 x 3 ou autre criture 2x 5 1 e 2x 6 X 3 Th or me sur les quations quivalentes sans d monstration Si on additionne ou on soustrait aux deux membres d une quation un m me nombre on obtient une nouvelle quation quivalente Si on multiplie ou on divise les deux membres d une quation par un m me nombre non nul on obtient une nouvelle quation quivalente Exemples x 5 2 si on additionne le m me nombre r el aux deux membres d une gt x 5 5 2 5 quation on obtient une nouvelle quation quivalente la x 7 premi re X 2 9 si on soustrait le m me nombre r el aux deux membres d une X 2 2 9 2 quation on obtient une nouvelle quation quivalente la gt XS premi re 2 EA Si on multiplie par le m me nombre r el non nul les deux 300 membres d une quation alors on obtient une nouvelle 2 3 i 3 quation quivalente la premi re xX 4 x 3 2 2 5 x 6 3x 12 Si on divise par le m me nombre r el non nul les deux membres 3x_12 d une quation alors on obtient une nouvelle quation 3 3 quivalente la premi re gt x 4 ETYCE Equations plusieurs inconnues D finitions Une quation est une galit entre deux expressions alg briques le membre de gauche 87 Edition 2010 Chapitre 7 Equations M thodes et notions essentielles Une quation deux inconnues est une quat
207. ntre D finition angles suppl mentaires Dans cette situation o la somme des deux angles amp et est un angle plat on dit que x et B sont B suppl mentaires 2AF Th or me angles suppl mentaires Si deux angles amp et B sont suppl mentaires alors amp 180 D finition angles compl mentaires Dans cette situation o la somme des deux angles d dLd et B est un angle droit on dit que x et B sont compl mentaires Q d Th or me angles compl mentaires Si deux angles amp et 8 sont compl mentaires alors amp 90 D finition angles oppos s Dans cette situation o les deux droites sont s cantes on dit que et B sont oppos s Th or me angles oppos s Si deux angles amp et B sont oppos s alors a 8 D finition angles correspondants Dans cette situation o les deux droites d et d sont parall les on dit que et B sont correspondants d a d Axiome angles correspondants Si deux angles et sont correspondants alors amp 116 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles D finition angles alternes internes Dans cette situation o les deux droites d et d sont parall les on dit que et 8 sont alternes internes d Th or me angles alternes internes Si deux angles et sont alternes internes alors Triangles D finition Des p
208. ntre 5 et 9 e ooe ee e ee 14 Chapitre 2 Des nombres aux lettres Edition 2010 M thodes et notions essentielles EI Des nombres aux lettres e o o ee ee 0e 0 0 ee ee 0 0 0 0 0 0 ee 0e 0e el D finitions Une variable num rique est une lettre ou un symbole qui repr sente n importe quel nombre En g n ral on pr cise de quel type de nombre il s agit par exemple les entiers aturels si ce n est pas le cas c est le contexte qui l indique implicitement Une constante num rique est une lettre ou un symbole qui repr sente un nombre fix Une expression alg brique est le r sultat obtenu en faisant subir au moins une variable et ventuellement des constantes et ou nombres des additions multiplications soustractions et divisions en les levant des puissances ou en extrayant des racines Exemples e x est une constante appel e pi toujours gale 3 14159265 elle est d finie comme le rapport constant entre le p rim tre et le diam tre d un cercle e 2xy 5y v2x et a sont des expressions 2xy 5y 2 n est pas une expression Remarques e Une lettre peut aussi bien repr senter un nombre positif qu un nombre n gatif e Les occurrences diff rentes de la m me lettre repr sentent toujours le m me nombre ou la m me expression D 5 3 d 2 ka o rF 3 ay z D D finitions Un entier relatif N est
209. ntreprises partir du milieu du XIXe si cle en M sopotamie ont livr plus de 500 000 tablettes d argile marqu es de signes cun iforme Environ 300 d entre elles concernent les math matiques et rel vent en majorit de la p riode pal o babylonienne c est a dire sont contemporaines de la dynastie d Hammourapi vers 1700 av J C L tude de ces documents permet d appr cier les connaissances math matiques des habitants du Croissant fertile Nous avons d j rencontr une telle tablette lors de l tude du syst me de num ration babylonien en base 60 et des triplets pythagoriciens Sur une autre petite tablette qui fait actuellement partie de la Yale Babylonian Collection sous la cote YBC 7289 on voit trac un carr avec ses deux diagonales Source http www math ubc ca people faculty cass Euclid ybc ybc html Sur le cot on peut peut traduire et trouver le nombre 30 et sur une diagonale les nombres 1 24 51 10 et 42 25 35 a Interpr ter ces nombres en base 10 On constate donc que les g om tres babyloniens qui nous l avons d j vu taient familiers avec le th or me de Pythagore plus de mille ans avant Pythagore savaient valuer la racine carr e de 2 avec une pr cision remarquable En effet l approximation 1 24 51 10 correspondant 1 414212963 en notation d cimale la pr cision est de l ordre du millioni me b V rifier ce calcul Ce probl me du calcul de la diagonale
210. oints du plan sont colin aires si ils sont sur une m me droite Notations Un triangle de sommets 4 B et C o A B et C sont des points non colin aires du plan est la r union des segments de droites AB BC et CA Ces trois segments sont appel s les c t s du triangle On note ce triangle AABC a d signe l angle de sommet A not lt BAC d signe aussi la mesure de l angle B d signe l angle de sommet B not lt ABC d signe aussi la mesure de l angle y d signe l angle de sommet C not lt BCA y d signe aussi la mesure de l angle a est la longueur du c t oppos l angle elle est aussi not e BC b est la longueur du c t oppos l angle elle est aussi not e AC c est la longueur du c t oppos l angle y elle est aussi not e AB Remarque comme pour les angles et leurs mesures on confond souvent les c t s et leurs longueurs Un c t est un segment de droite donc un objet g om trique alors que sa longueur est un nombre En principe on devrait toujours prendre garde les diff rentier en utilisant des notations sp cifiques mais comme souvent en math matiques voir pr c demment avec les angles une fois qu on a compris ces diff rences on a tendance simplifier et utiliser la m me notation pour des objets diff rents D finition triangles particuliers Un triangle est isoc le si deux de ses
211. oit AHIJ un triangle rectangle en H On a j 4 75cmet lt IJH 65 8 Calculer 7H JA et lt JIH EJ Rafa l et L o nagent pour atteindre L la bou e P Ils sont respectivement en position R et L On a BL 50m et Se lt BPL 72 Calculer la distance B P entre les deux nageurs arrondie au m tre EX Calculer l aire de ce trap ze Charlotte navigue le long d une falaise Pour des questions de s curit elle ne doit pas aller au del du point C Elle a jet l ancre au point B On a SH 100 m lt HCS 75 et lt HBS 65 Edition 2010 Exercices d entra nement quelle distance du point C le bateau de Charlotte se trouve t il Donne la valeur approch e par exc s au dixi me de m tre pr s Soit AEFG un triangle isoc le en F On a EG 42 cm et lt EFG 62 Calculer l aire de AEFG SABCD est une pyramide r guli re dont la base est le carr ABCD de c t 230 m et de centre La hauteur SI de la pyramide a pour longueur SJ 147 m M est le milieu de BC a Calculer le volume de la pyramide b Calculer les mesures des angles lt SAI et lt SMI arrondies au degr pr s EEJ Au centre d un bassin carr de 12 m tres de c t se trouve un jet d eau dont l extr mit appara t depuis l un des sommets du carr sous un angle d l vation de 52 Quelle est sa hauteur EZ Donner des approximations au dixi me des angles et longueurs manquants du tri
212. omme si a b etc sont des variables r elles alors AN 4 pe r atb o ab ac ab AME AN 4 2 gt 4 gt ne DE a La double distributivit d coule de cette premi re propri t et permet d effectuer le produit de deux sommes si a b c et d sont des variables r elles alors pe D a b c d ac ad bc bd LA d D velopper une expression alg brique c est la transformer en une somme de termes R duire une expression alg brique c est l crire avec le moins de termes possibles Exemple D velopper et r duire l expression E 2x 3 x 4 4x x 2 On commence par les multiplications ES NEA S ordre des op rations On additionne les termes de m mes 9 52 zone 2 E 2x 3x 8x 12 4x 8x degr s E 6x 13x 12 Exemple La forme d velopp e de x 1 x 3x 2 est x x13x2 5x 2 Chapitre 6 Calcul litt ral Edition 2010 M thodes et notions essentielles Identit s remarquables z Th or me Si a b et xeR alorsona EN a b a 2ab b a b a 2ab b a b a b a b x a x b x a b x ab Exemples 2x y 3x y 2x y 3 x y 4x y 9x y x 5 x 3 x 2x 15 AE Factoriser Factoriser une expression alg brique c est la transformer en produit de facteurs Exemple 3x 6x se factorise en 3x x 2 3x et x 2 sont les facteurs de 3x 6 x Remarque x x 3 4 n est pas une forme factoris e de x 3x 4 car x x 3
213. on R et l autre de rayon r Exprimer l aire d une telle couronne Aire Exprimer l aire colori e en fonction de x Quelles sont les hypoth ses implicites de cet exercice Edition 2010 EJ Rechercher les tymologies des mots alg bre variable et constante E R duire les expressions suivantes a 3x7 7x 2 4x7 5 x 3 b 3x 2 7x 4 10 x 3x 15 EXERCICES SUPPLEMENTAIRES ET Traduction Traduire en expression litt rale les donn es suivantes a La diff rence de la somme et du produit de deux nombres b 3 multiples de 4 cons cutifs c Un nombre diff rence des carr s de deux nombres cons cutifs d Un nombre somme de trois nombres impairs cons cutifs e Un nombre qui laisse un reste de 4 lorsqu on le divise par 5 EMA arithm tique a Quelle expression alg brique r duite repr sente la moyenne arithm tique de deux nombres entiers naturels cons cutifs et pairs b Par quels nombres est divisible la somme de cinq entiers naturels cons cutifs c Par quels nombres est divisible la somme de m entiers naturels cons cutifs m entier naturel EA Question de volume ABCD est un carr en carton de 12cm de c t A chaque coin on d coupe un petit carr de 2x cm de c t Donner la formule alg brique r duite qui exprime le volume du parall l pip de rectangle qu on obtient en pliant le carton ainsi d coup EEJ Pourcentages Les dime
214. on cart sienne de chacune d entre elles EMA Les points suivants sont ils align s a P 1 2 O 5 5 et R 15 6 b P 2 4 0 3 2 et R 13 2 BJ Quel est l angle d inclinaison par rapport Ox de la droite passant par les points a A 1 3 et B 4 6 b A 2 6 et B 4 0 Donner une quation de la droite passant par 5 3 et de pente 0 25 HJ Donner une quation de la droite passant par les points donn s a 0 0 et 1 3 d Det 7 D b 3 1 et 3 4 1 V3 3 et 1 43 5 c 1 2 et 3 2 KJ Quelle est l quation de la droite qui passe par A 2 4 et qui est perpendiculaire la droite 2x 5y 8 0 EX Donner l quation du cercle de centre C 3 2 et tangent la droite y 5 EX Donner la forme d velopp e d une quation du cercle centr au point C et de rayon r Calculer les coordonn es des points d intersection de ces cercles avec les axes a C 0 0 et r 7 c Ci 2 2 et r 2 b C 3 0 etr V3 d C a 2a et r 5a KFJ D terminer si possible le centre et la rayon du cercle donn par l quation Chapitre 12 G om trie analytique Exercices d entra nement a x y 4x 6y 36 0 b x y 8x 10y 37 0 c x y 4y 117 0 d x y 4x 2y 5 0 KEJ D terminer les intersections des paraboles suivantes avec les axes a y x 4x C y 6x 7Xx 24 b y x 6x 1 KZ Exprimer les quations de paraboles suivantes sous la forme standard et si possible sous la forme factoris
215. on pour A 60 nn 30 2 H 125 avoir le m me d nominateur l commun lt On r duit les fractions au m me 60 26 55 7 S e e d nominateur 60 A 60 60 60 NERE 60 26 55 lt On additionne les num rateurs et on z 60 garde le d nominateur Aa Bi U On simplifie si possible 7 60 20 Pour multiplier des fractions et obtenir un r sultat irr ductible on simplifie chaque fraction on crit la fraction comme produit des num rateurs sur produit des d nominateurs on simplifie ina 24 18 Exemple Calculer l expression A 36 32 A 24 18_2 9 On r duit les fractions 36 32 3 16 2 9 On crit la fraction comme produit AE e des num rateurs sur produit des 3 16 d nominateurs A 13 On simplifie la fraction par 3 et par L 2 3 lt On obtient la fraction finale 8 irr ductible Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles D finition Deux nombres sont inverses l un de l autre si leur produit est gal 1 _ I Tout nombre x non nul admet un inverse not x qui est le nombre x Remarque l inverse de l inverse d un nombre est ce nombre lui m me Th or me Si est une fraction non nulle a 0 et b 0 alors son inverse est la fraction IQ a o Exemple Donner les inverses des nombres 3 et i et 5 i l ii 1 Zal L inverse de 3 est 37 l inverse de est 3 l inverse de
216. ons essentielles Utiliser les formules de trigonom trie Exemple calculer la valeur exacte de sin et tan x sachant que est un angle aigu tel que cos 0 8 g lt cos a sin 1 donc sin 1 cos 1 0 8 1 0 64 0 36 Le sinus d un angle aigu est un nombre positif donc sin V0 36 0 6 sin a 0 6 e tan E 0 75 R Cor cos a 0 8 Valeurs exactes du sinus du cosinus et de la tangente de certains angles ee 0 0 ee 0e ee 0e Etymologies trigonom trie du grec treis tria trois gonia angle et metron mesure mesure des trois angles En grec le mot trigone d signe un triangle sinus du sanscrit jiva jya corde d arc utilis par le math maticien indien Aryabhata 476 550 dans son ouvrage Aryabhatiya achev en 499 Pass l arabe j ba mot qui n a pas de signification en arabe par le math maticien arabe Al Fazzari VIl me s puis par erreur ja b poche repli de v tement lors de sa traduction en latin par G rard de Cr mone 1114 1187 qu il traduit alors en latin par sinus pli courbure qui a galement donn le mot sein C est REGIOMONTANUS Allemand 1436 1476 qui utilisa au 15 me si cle le mot sinus au sens o on l entend maintenant cosinus du latin cum avec et du mot sinus tangente du latin tangere toucher Source
217. oque les deux peuvent tre vrais ensemble faux ensemble ou l un tre vrai et l autre faux Si un nonc et sa r ciproque sont tous les deux vrais on parle d quivalence ce qu on note eee 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 26 Chapitre 3 Argumenter Edition 2010 M thodes et notions essentielles Exemples La r ciproque de Si n est un nombre pair alors n est pair est Si n est un nombre pair alors n est pair Dans ce cas les deux sont vraies On peut crire N estpair n est pair La r ciproque de Si n est un multiple de 6 alors n est un multiple de 3 qui est vraie est Si n n est un multiple de 3 alors n est un multiple de 6 elle est fausse La contrapos e d un nonc s obtient en permutant hypoth se s et conclusion s et en prenant leurs n gations Il y a un lien entre la v racit d un nonc et de sa contrapos e les deux sont soit vrais ensemble soit faux ensemble On peut alors choisir de d montrer la contrapos e d une conjecture plut t que la conjecture elle m me Exemples La contrapos e de Si n est un nombre pair alors n estpair est Si n n est pas un nombre pair alors n n est pas pair Dans ce cas particulier on choisit de d montrer la contrapos e pour obtenir la v racit de la conjecture de d part U
218. originale le probl me suivant diviser un carr en deux autres carr s Alg briquement parlant on l aura devin ce probl me demande de trouver trois nombres entiers a b c tels que 4 b c ce qui en soi n est pas nouveau Mais 14 si cles plus tard entre en sc ne Pierre Simon de Fermat 1601 1665 Fermat n est pas math maticien de profession Juriste Edition 2010 et conseiller au Parlement de Toulouse il consacre ses loisirs aux math matiques Ce qui ne l emp che pas de faire d importantes d couvertes qu il publie d ailleurs rarement Selon l usage de l poque il en donne souvent communication dans des lettres ses amis A sa mort en 1665 il est un des math maticiens les plus connus d Europe Lorsque son fils se met en devoir de rassembler toutes les notes et les lettres de son p re il tombe sur un exemplaire de l Arithmetica de Diophante une traduction en latin datant de 1621 annot de la main de son p re En marge du probl me qui nous int resse on peut lire D composer un cube en deux autres cubes une quatri me puissance et g n ralement une puissance de m me nom au dessus de la seconde puissance est une chose impossible et j en ai assur ment trouv l admirable d monstration La marge serait trop exig e et ne la contiendrait pas Ce qu affirme Fermat c est que si n est un nombre entier sup rieur 2 il n est pas possible de trouver trois entiers non nuls a
219. ours possible de construire un triangle rectangle en ajoutant un troisi me c t c tant donn s deux c t s quelconques dont les mesures sont des entiers est il toujours possible de construire un triangle rectangle en ajoutant un troisi me c t qui soit aussi de mesure enti re d Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres entiers dont la somme des carr s des deux premiers est gale au carr du troisi me Donner plusieurs exemples de triplets pythagoriciens e Existe t il une infinit de pythagoriciens Justifier EFJ Pour un sondage on utilise un questionnaire choix multiple QCM A chaque question on peut r pondre par oui par non ou sans opinion triplets a Si on a 10 questions de combien de mani res diff rentes peut on r pondre ce questionnaire b Et si on a 20 questions FEJ Un automate effectue deux fonctions il l ve un nombre donn au cube et il divise un nombre donn par 8 En commen ant par le nombre 2 peut on obtenir l aide de cet automate les nombres 64 2209 Edition 2010 Exercices d approfondissement HANC MARGINIS EXIGUITAS NON CAPERET suite L histoire de la recherche de triplets pythagoriciens se confond en quelque sorte avec l histoire des math matiques Une tablette babylonienne dat e entre 1900 et 1600 avant notre re la tablette 322 de la collection Plimpton de l Universit Columbia New York contient une liste
220. p wWww geogebra org puis cliquer sur D marrage en ligne b Utiliser la ligne de saisie qui se trouve en bas de l cran pour d finir les quations que vous souhaitez repr senter par exemple taper y 2x 1 puis la touche enter FA Diff rents types d quations a Voici une s rie d quations deux inconnues y x 5 e _x y2 2y 0 y 2x 3 e y xX xX e 3x y 1 xy e 2x 2y 4 0 x 0 5 e y 3 e y x 2 0 176 Chapitre 12 G om trie analytique Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte Ai b Observer les quations ci dessus et les classer par familles selon le tableau qui suit A vous de choisir les crit res de chaque famille quations d une famille Signes particuliers des quations Garder une colonne pour de cette famille la suite c Repr senter l aide de GeoGebra toutes les quations ci dessus d Observer les courbes obtenues et compl ter la derni re colonne quations d une famille Signes particuliers des quations Signes particuliers des de cette famille courbes de cette famille ai AA Premi res courbes a Repr senter les quations suivantes avec GeoGebra e y 3x 2 y X e 2x 2y 0 y x 1 x y 1 0 E Xx 2y 3 0 b Utiliser les menus d roulants pour trouver le moyen de calculer la pente de chacune de ces droites Que peut on conjecturer quant au lien entre la pente et l quation donn e c
221. perpendiculaire la droite d d quation y 9x 1 c la droite d qui passe par le point 2 3 et qui intersecte la droite d d quation y 5x 1 sur l axe des ordonn es d la droite d qui passe par le point 2 3 et qui intersecte la droite d d quation y 5x 1 en 1 4 EE Les points P 1 1 Q 3 2 et R 0 8 sont ils les sommets d un triangle rectangle EX Les points P 5 4 Q 3 5 et R 8 1 sont ils les sommets d un triangle rectangle tablir une quation de la m diatrice du segment AB avec A 4 3 et B 6 1 Cercles EX Soit c un x 3 y 2 36 cercle d quation a Donner le centre et le rayon de c b Est ce que A 7 5 appartient c Chapitre 12 G om trie analytique Exercices d entra nement c Donner 4 points de c EJ D terminer l quation du cercle c a de centre C 4 2 et de rayon r 8 b de centre C 4 2 et passant par le point P 1 3 ELJ D terminer l quation du cercle c a tangent l axe Ox et de centre 3 2 b tangent la droite d 5 2 y 5 et de centre c de centre 1 1 et passant par 3 2 EFI Si cela est possible d terminer le centre C etle rayon r des cercles suivants a x y 6x 8y 24 0 b x y 4x 2y 6 0 c x y 20y 36 0 d x y x 3y 1 0 EFJ Si cela est possible d terminer le centre C etle rayon r des cercles suivants a c x y 25 0 b c x y 36 0 c c x y 4x
222. pitre 7 Equations Edition 2010 Chapitre 7 Equations Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s za De r N a SYRACUSE El Archimedes Hippias See inset above left NB D 1 TERRA NETA TY CYRENE Eratosthenes eus City Euclid Mathematician Modern Boundaries 2000 Encyclop dia Britannica Inc Source http www britannica com Probl me Deux mouches se posent sur l un des points d intersection de deux cercles de sucre situ s sur une table Elles partent simultan ment chacune le long de son cercle vitesse constante pas la m me dans le sens inverse des aiguilles d une montre Apr s un tour complet elles se retrouvent exactement en m me temps leur point de d part Pendant tout ce temps et sans qu elles s en doutent une araign e les guette immobile sur la table Elle a choisi un point connu d elle seule qui lui permet d tre gale distance des deux mouches chaque instant de leur p riple O la cruelle araign e est elle plac e Source principale pour les l ments historiques Martin Cu nod DIP GE Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte LATE Quelques connaissances historiques ee ee e e e On consid re a les civilisations suivantes M sopotamie Mayas gypte Romains Moyen Age Chine Gr ce Antique Inde Arabe b les personnages historiques suivants Thal s Vi te Al Khwarzimi Pythagore Platon Euclide c l
223. ple pour le fonds A est de 15 mais il y a un certain risque et le client ne veut pas investir plus de 50 000 dans ce fonds Pour le fonds B plus solide l int r t escompt est de 10 D terminer s il y a une fa on d investir l argent pour que l int r t annuel soit a 12 000 b 13 000 EM Un chimiste a 10 millilitres d une solution qui contient une concentration d acide 30 Combien de millilitres d acide pur doit il ajouter pour augmenter la concentration 50 EM Un radiateur contient 8 litres d un m lange d eau et d antigel Si 40 du m lange est de l antigel combien devrait on enlever du m lange pour le remplacer par de l antigel pour que le m lange r sultant contienne 60 d antigel EM Deux villes sont reli es par une autoroute Une voiture quitte la ville B 13 heures et roule la vitesse constante de 40 km h vers la ville C Trente minutes plus tard une autre voiture quitte B et roule vers C la vitesse constante de 55 km h Si l on ne tient pas compte de la longueur des voitures quel moment la seconde voiture rejoindra t elle la premi re On doit construire un silo grains form d un cylindre circulaire droit de 2 m de rayon et de hauteur h m et pour la base d un c ne circulaire droit de hauteur a Pour quelle valeur de h le volume V total du silo sera t il de 500 m s EJ Deux pompes sont utilisables pour remplir un r servoir d essence La pompe A utilis e seule peut remplir le r servo
224. point donn Le point donn est le centre C et la distance donn e le rayon r du cercle Un disque est une partie finie du plan d limit e par un cercle bord inclu Une droite est une s cante d un cercle si elle coupe ce cercle en deux points A et B istincts Le segment limit par les deux points d intersection d une s cante est une corde on peut la voir aussi comme l intersection d une s cante et d un disque Le terme diam tre d est utilis dans deux sens diff rents d une part c est une corde un cercle passant par le centre de ce cercle et d autre part c est la longueur de cette corde De la m me fa on le terme rayon est utilis pour un segment joignant le centre d un cercle un point de ce cercle et aussi pour la longueur de ce segment Rem d 2 r Une droite est une tangente d un cercle si elle coupe ce cercle en un seul point T Un arc de cercle est la partie d un cercle intercept e par un angle au centre c est une ligne Un secteur de disque est la partie d un disque intercept e par un angle au centre On appelle segment circulaire la portion de disque comprise entre un arc et la corde qui le sous tend Illustration s cante P rim tre et aire du disque Le p rim tre d un disque ou d un cercle est donn par la formule P 2 r r L aire de ce m me disque est donn e par la formule P r r
225. propose deux types de rangement des albums ou des bo tes L a ach te six bo tes et cinq albums et paie 57 Hugo ach te trois bo tes et sept albums et paie 55 50 Quel est le prix d une bo te Quel est le prix d un album j Alexandra a pour l instant deux notes en g ographie Une preuve qui compte triple et une r citation qui compte une fois Elle a une moyenne provisoire de 4 75 Elle pr f rerait que la r citation compte triple et l preuve une seule fois car cela lui ferait une moyenne de 5 25 Quelle est sa note d preuve k Trois l ves ach tent 45 petits pains au chocolat pour les revendre la r cr ation Ils les payent 2 20CHF pi ce et les revendent en principe 4CHF La fin de la r cr ation approche et il leur reste encore des petits pains alors ils d cident de les vendre 3CHF Finalement ils font un b n fice de 69CHF Combien ont ils vendu de petits pains 4CHF I On cherche l quation d une droite passant par les points A 2 3 et B 58 33 Siles deux inconnues sont la pente et l ordonn e l origine poser le syst me qui permet de d terminer l quation de cette droite et r solvez le Edition 2010 Exercices d entra nement Exercices suppl mentaires FEJ R soudre les syst mes suivants par substitution 2X 3y 2 5X 6Y 4 x 2y 8 3X 7y 8 E R soudre les syst mes suivants par addition 2X45 16 p BX 4y 3 3X 7Y 24 x 2y 4 EIJ R
226. que TM TE Or si les droites dx et dy taient parall les d apr s le th or me de Thal s il y aurait galit Comme ce n est pas le cas les droites d s et d ne sont pas parall les 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Montrer que deux droites sont parall les 7 H Exemple les droites LA et HT sont elles parall les i 4 3 R L A i MH _ 4 Ress D une part MA 3 D autre part ML _ 6 3 MH _ MT On constate que MA ML De plus les points A M H d une part et les points L M T d autre part sont align s dans le m me ordre Donc d apr s la r ciproque du th or me de Thal s les droites AL et HT sont parall les Remarque importante il s agit donc de bien tre au clair quant au th or me que l on est en train d utiliser soit le th or me de Thal s soit sa r ciproque 121 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Exercices d entra nement 122 Les arpenteurs gyptiens 1 Lire et commenter le texte suivant qui pr sente la mani re dont le scribe Ahm se calcule l aire d un disque G n raliser la proc dure en justifiant votre r ponse Quelle valeur le scribe emploie pour le rapport de l aire du disque et celle du carr construit sur le rayon R 50 in Couchoud S Math matiques gyptiennes pp 61 62 Aires FA e nautile est un mollusque dont la coquille est Tn spiral e et peut tre sch matis e de la
227. r El ments Livre XIII T 4 pp 468 69 Sur les 5 solides de Platon voir a http fr wikipedia org wiki Solide_de_Plato b http pagesperso orange fr therese eveilleau pages truc_mat te xtes platon htm c voir aussi les 13 solides d Archim de http fr wikipedia org wiki Solide_d Archim C3 A8de d Dessiner ces 5 solides e Expliquer avec vos mots pourquoi il ne peut pas y avoir d autres poly dres r guliers 144 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 Sav Sav Les amis sont des compagnons de voyage qui nous aident avancer sur le chemin d une vie plus heureuse Pythagore dir d finir expliquer justifier illustrer v Situer les parcours de Pythagore et son cole pythagoricienne et d Euclide l importance des El ments Incommensurabilit lt Triangles isom triques v Cas d isom trie CCC CAC et ACA les autres cas ne suffisent pas v Bissectrice d un angle m diatrice d un segment hauteurs d un triangle m dianes d un triangle droites remarquables du triangle cercle inscrit et circonscrit La bo te outils pour d montrer d f ax thm irs faire v R soudre des probl mes l aide des th or mes de Thales et Pythagore et ou de leurs r ciproques v Enoncer d montrer utiliser bon escient v th or me hauteur v th or me Euclide v th or me Pythagore v th or me bissectrice d un angle v th or
228. r sur une distance minimale de 30 m Afin de contr ler r guli rement la port e des feux de sa voiture Jacques veut tracer un rep re sur le mur au fond de son garage Les feux de croisement sont 60 cm du sol quelle hauteur doit il placer le rep re sur son mur pour pouvoir r gler correctement ses phares EYJ ABC est un triangle D est un point de AB et E est un point de AC n appartenant pas AC On donne AB 4cm AC 3 cm AD 1 2 cm et AE 0 9 cm a Alixien a crit sur sa copie Les droites EC et DB sont s cantes en A AD _1 2_12_3 PR parne ap a0 10 i AE _0 9_ 9 3 D autre part AC 3 30 10 AD _ AE Comme AB AC S les droites BC et ED sont parall les Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s 123 Exercices d entra nement Quel th or me Alixien a t il utilis Les droites AB et KI se coupent en S et de plus BI et KA sont parall les b La r ponse d Alixien est elle juste Sinon r diger la bonne r ponse EZA on a On a KA 4 5 cm KS 6 cm et SI 4 cm Calculer BI OM 2 8 cm ON 5 4 cm EAN EURO est un parall logramme tel que OS 2 7 cm EO 5 cm et OR 6 cm et OT 1 4 cm Le point P est le point de OE qui n appartient pas OE tel que EP 3 cm La droite PR coupe EU en A D montrer que les droites MN et ST sont parall les Calculer les longueurs EA et AU EEJ L unit de longueur choi
229. r de quelques lignes droites BERL pour les conftruire Etcomme toute l Anthmetique n eft compof e que comm e de quatre ou cinq operations qui font l Addition la sales Souftraction la Multiplication la Diuifion amp l Extra chmeti tion des racines qu on peut prendre pour vne efpece 3 f de Divifion Ainfi n at on autre chofe a faire en Geo aux ope metrie touchant les lignes qu on cherche pour les pre caom s pareraeftre connu s que leur en adioufter d autres ou ne enofter Oubien en ayant vne que 1e nommeray l vmt pour la rapporter d autant mieux aux nombres amp qui peutordinairement eftre pnfe a difcretion pus en ayant encore deux autres en trouuer vne quatriefme qui foit l vne de ces deux comme l autre eft al vnit ce quieft le mefme que la Multiplication oubien en trouuer yne quatriefme qui foita l vne de cesdeux comme l vnit Premi re page du livre de Ren Descartes La G om trie Probl me Une le est peupl e de sages qui disent toujours la v rit et de menteurs qui mentent toujours Un homme A rencontre sur cette le un homme B et lui demande Qui es tu B r pond Je suis un menteur B peut il tre un habitant de cette le Quelle unique question peut on poser un habitant de cette le pour d terminer s il est un sage ou un menteur F et G sont des sages A annonce que B affirme que C assure que D dit que E insiste sur ce qui F nie que G
230. r en fonction de la forme du syst me r soudre EX R soudre les syst mes suivants en utilisant la m thode par triangulation 3X 2y 18 12 9X 10y 6 3X Y 5X y l A 2X y 21 4X 3y 13 5X 4y 11 j 15X 2y 7 EJ R soudre les syst mes suivants en utilisant la m thode par substitution 2X 3y 2 5X 3y 8 2X 15y 7 2X 4y 2 2x 6y 8 3X 2y 21 207 Exercices d entra nement BIT R soudre les syst mes suivants en utilisant la m thode par addition 2X 5y 7 3X 4y 3 3X 5y 2 5X 2Y 1 2X 5y 1 3X 7Y 4 C R soudre les syst mes suivants avec la m thode de votre choix X 2y 5 a 7X 10y 1 pi SX 5y S 3x 7y 2 c 5X 6y 2 10X 3y 7 a 5 4Y B 2X 7y 31 Probl mes Poser le syst me qui permet de r soudre les probl mes suivants et les r soudre a Soient deux nombres Si on ajoute au premier nombre 3 fois le second on obtient 90 Mais si on ajoute au second nombre 3 fois le premier on trouve 70 Quels sont ces nombres b a division euclidienne de deux nombres entiers naturels donne un quotient gal 7 et un reste gal 2 La somme de ces deux nombres entiers est gale 138 D terminer ces deux nombres entiers c Dans ma tirelire j ai des pi ces de 2CHF et des pi ces de 5CHF soit 15 pi ces en tout Combien ai je de pi ces de
231. r indiquer que x n est pas un l ment de A C repr sente l ensemble vide L On note AcB pour indiquer que tous les l ments de A appartiennent aussi B il se lit A est inclus dans B C AnB est l ensemble des l ments qui appartiennent A et B il se lit A intersection B L AUB est l ensemble des l ments qui appartiennent A ou B ou non exclusif c est dire que AUB contient aussi les l ments qui sont dans A et dans B il se lit A union B L A B est l ensemble des l ments qui appartiennent A mais pas B il se lit A diff B Illustration union intersection diff rence Soit A un ensemble de nombres A A 0 est l ensemble de tous les l ments de A sauf z ro C A est l ensemble de tous les l ments de A qui sont positifs est l ensemble de tous les l ments de A qui sont n gatifs Ensembles particuliers de nombres O N 0 1 2 3 est l ensemble des entiers naturels O Z 2 1 0 1 2 3 est l ensemble des entiers relatifs E a Flpez et q Z est l ensemble des fractions L x le d veloppement d cimal de x est soit fini soit infini p riodique est l ensemble des nombres rationnels L On note R l ensemble des nombres r els 0 0 ee 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0e 0 0 0 0 Edition 2010 Chapitre 5 Ensembles M
232. r naturel poss dant plus de deux diviseurs est compos Le nombre 1 est appel une unit et n est ni compos ni premier nombres a num rer l ensemble des premiers plus petit que 100 b Les nombres suivants sont ils premiers 187 389 841 899 c laborer un algorithme permettant de prouver qu un nombre donn est premier d Questions e Existe t il une infinit de nombres premiers e Si oui comment se r partissent ils e Existe t il une formule permettant de tous les num rer e Y a t il un algorithme rapide qui permet de les identifier e Quelles relations existe t il entre les nombres compos s et les nombres premiers Aristote Faire une recherche autour du personnage d Aristote de la logique aristot licienne et de son impact sur les math matiques 31 Chapitre 3 Argumenter Il y a trois sortes de math maticiens ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas Savoir d finir expliquer justifier illustrer v Les principes de la constructions math matiques axiomes d finition conjecture d monstration th or me contre exembple lt Le principe du tiers exclu lt La structure d une conjecture hypoth se s conclusion s v Tenir compte des hypoth ses implicites v La structure d une d monstration si la conjecture est vraie v Le lien de v racit entre une conjecture et sa contrapos e l absence d un tel lien entre la con
233. r puis r duire les expressions suivantes a a 3b 1 b 2x 3 c 4x 1 x 3x 2 Soit x une variable r elle On consid re l expression suivante x x 3 x 3 4 x 9 a L expression x x 3 x 3 4 x 9 est NE vas dsentmitnonieenasts Chapitre 6 Calcul litt ral Exercices d entra nement b x x 3 x 3 et x x 3 x 3 4 x 9 sont CR de l expression compl ter d x x 3 et x 3 et sont JS ss ssusrsssasnetersiasesneese de l expression x x2 3 x 3 e D velopper le plus possible et simplifier au maximum x x2 3 x 3 4 x 9 f Factoriser le plus possible x 3 2 x 2 x 4 x x 9 EJ Factoriser le plus possible les expressions suivantes a 8a 10a 2a b 112a b c 32a b c 16a b c c y b a x b a d x x e 12 12x f a b c a a b a b a b b c EX Factoriser le plus possible les expressions suivantes a x 1 d 9x2 12x 4 b 43 4ab b e x 2x y y c x 16x 64 f 16x 49 BIT Factoriser le expressions suivantes plus possible les a E 2x 1 2x 1 b F 3 2x 3 2x 3 c G x 4 3x 4 x 4 d H 3x 7 2x 1 x 4 2x 1 EFJ Factoriser le plus possible les expressions alg briques suivantes a x 16 8x d 0 81 0 64x b x 2x 1 e x2 5x 14 c amp a l f x212x 8 4 Edition 2010 Exercices d entra nement EFJ Factoriser le plus possibl
234. re cela est quivalent dire que tous leurs c t s et tous leurs angles ont des mesures gales deux deux Dans ce cas on note AABC AEFG lllustrer cette situation FA Cas d isom trie des triangles a Quels sont les diff rents crit res n cessaires et suffisants pour que deux triangles quelconques soient isom triques b Euclide tablit trois cas d isom trie des triangles Dans notre langage cela correspond aux situations suivantes que nous consid rerons comme des axiomes Axiome C C C c t c t c t Soit deux triangles AABC et AEFG Si les longueurs des trois c t s du AABC sont gales aux longueurs des trois c t s du AEFG alors les deux triangles sont isom triques Axiome C A C c t angle c t Soit deux triangles AABC et AEFG Si les longueurs de deux c t s et de l angle adjacent ces deux c t s sont gales dans les deux triangles alors les deux triangles sont isom triques Axiome A C A angle c t angle Soit deux triangles AABC et AEFG Si la longueur d un c t et des deux angles adjacents ce c t sont gales dans les deux triangles alors les deux triangles sont isom triques Illustrer ces situations par des exemples c Montrer que les situations suivantes ne permettent pas dans tous les cas d affirmer que les triangles sont isom triques A A A e C A C avec un des deux c t s non adjacent l angle d D montrer le th or me suivant attribu Thales
235. re dans le rapport On applique la r gle des produits en croix On saisit 7 2 2nd gt trig gt sin 53 LM est sup rieure KL Le r sultat est coh rent LE M thodes et notions essentielles Calculer la mesure d un angle F Exemple soit AFUN un triangle rectangle en U tel que UN 8 2 cm et UF 5 5 cm TT i Calculer la mesure de l angle UNF arrondie au degr in U 8 2cm N Dans le triangle AFUN rectangle en U 7 7 F i E a l onde UNE On cite les donn es de l nonc FU est le c t oppos l angle tt qui permettent de choisir la UN est le c t adjacent l angle UNF relation trigonom trique utiliser On doit utiliser la tangente de l angle UNF c t oppos UNF tan UNEIS c t adjacent UNF On crit la tangente de l angle UF recherch tan UNF UN tan UNF lt On saisit 2nd gt trig gt tan oz 5 5 8 2 UNF 34 ATV Lis Th or mes z Th or me angles compl mentaires Si x et B sont deux angles compl mentaires alors on a sin cos cos a sin B s tan amp 1 tan B Th or me formule de la tangente a sin a Si 0 lt lt 90 alorsona tan cos amp Th or me formule fondamentale Si 0 lt lt 90 alorsona sin x cos amp 1 Notation sin sin a 166 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 M thodes et noti
236. rer c On consid re la situation suivante o BC DE C Que peut on dire des deux triangles AACB et AADE Qu entend t on alors par c t s correspondants Expliciter a Th or me de Thal s EM On suppose que A E lt ACB lt FED F lt CBA lt DFE lt BAC lt EDF Trouver DF et DE EM noncer le th or me de Thal s en identifiant clairement hypoth ses et conclusions Edition 2010 Chapit 8 Des Egyptiens Thal s Pr requis et activit s de d couverte EM illustrer puis d montrer les deux th or mes ci dessous a Th or me Si on trace dans un triangle AOAB une droite quelconque parall le AB coupant OA en A et OB en B alors on a Aire A ABB Aire A ABA b Th or me Aires gales Si on trace dans un triangle AABC une demi droite quelconque issue de A et coupant le Aire A ABI _ Aire A ACI segment BC en I alors on a re re 2 EM tudier pr cis ment la d monstration du th or me de Thal s donn e ici http www kangmath com swf thales2 html LAS Application Y Activit sA Idem AD est un diam tre d un puits de forme cylindrique Le point C est la verticale de D au fond du puits Une personne se place en un point E de la demi droite DA de sorte que ses yeux soient align s avec les points A et G On note Y le point correspondant aux yeux de cette personne On sait que AD 1 5m EY 1 7m et EA 0 6m Calculer DC la p
237. rofondeur du puits Soient M N et P trois points align s sur une droite d dans cet ordre avec MN 5cm t NP 12cm soient S etT deux autres points n appartenant pas d et tels que S N et T sont align s dans cet ordre sur une droite d avec SN 7 5cm et NT 18cm EM Soit dus la droite passant par M et S et dp la droite passant par P et T Ces deux droites sont elles parall les EM Soit dwr la droite passant par M et T et d la droite passant par P et S Ces deux droites sont elles parall les EM Quel est le th or me utilis pour r pondre ces questions 106 Chapit 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles EU Figures en g om trie Le mot g om trie vient du grec g la terre et metron mesure On ne peut pas repr senter un objet g om trique exactement comment dessiner sur une page une ligne qui n a qu une longueur et pas de largeur On se contente donc de repr senter ces objets sous forme de figure ou de sch ma qui nous proposent une repr sentation approximative d une r alit g om trique id ale qu est ce qu un point On ne peut donc jamais tre certain d une propri t g om trique partir d un tel sch ma sauf si une l gende explicite Ci dessous un carr ou des codages particuliers par exemple pour indiquer un angle droit ou des segments de m mes longueurs nous l autorisent Il s agit de d duire ces propri t s partir des inform
238. s d exercices c est vous que revient le choix du des meilleur s outil s employer Il arrive que plusieurs techniques diff rentes m nent une m me factorisation De plus vous pouvez tout moment tester l exactitude de votre factorisation en d veloppant le r sultat obtenu pour v rifier si on retrouve bien l expression initiale a Mise en vidence partielle Exemple factoriser l expression 4ac 2bc 2ad bd d 4ac 2bc 2ad bd 2c 2a b d 2a b 2a b 2c d M b Factoriser par ajout de parenth ses Exemple factoriser l expression x2 6 x 9 y x 6x 9 y x 6x 9 y x 3 y x 3 y x 3 y x y 3 x y 3 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e J e e e e e e e e e e e e e e L e e L e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Chapitre 6 Calcul litt ral Edition 2010 M thodes et notions essentielles c Factoriser par ruse de signe Exemple factoriser l expression 3 b c c d a c d d c a b c c d a c d d c a b c c d a c d c d c d a b c a c d c d b c d Factoriser par d placement de termes Exemple factoriser l expression x 2 xz z 1 xX xz z 1 x 1 xz z x 1 x 1 z x 1 x 1 x 1 z x s Un peu de m thode M me si plusieurs chemins m nent la factorisation compl te il souvent judicieux d essayer ces diff rentes technique
239. s correspondants proportionnels Utiliser Thales Calculer une longueur Exemple sur la figure ci contre les droites ds et dun sont parall les AB 3 cm AN 4 cm et AM 7 cm Calculer la longueur AC Les droites dy et de sont s cantes en A Les droites du et d c sont parall les AB AC _ BC 3 AC _ BC aM Aan mN TSA CN D apr s le th or me de Thal s on a On utilise la propri t des produits en croix pour calculer la longueur demand e Calcul de AC 7 x AC 3 x 4 soit ac It donc Ac cm Exemple sur la figure ci contre les droites d et d sont parall les On donne DG 25 mm GH 45 mm CG 20 mm et HT 27 mm Calculer GT et CD 120 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 M thodes et notions essentielles Les droites d et de sont s cantes en G Les droites d et d sont parall les re CON CR EN NN En cr D apr s le th or me de Thal s on a GT GH HT soit GT 45 27 Calcul de GT 25 x GT 45 x 20 Calcul de CD 25 x 27 45 x CD 45 x 20 25 x 27 Z DE DE Gi 25 5 45 donc GT 36 mm donc CD 15 mm Montrer que deux droites ne sont pas parall les Exemple sur la figure ci contre TR 11 cm TS 8cm TM 15 cm et TE 10 cm Montrer que les droites ds et d ne sont pas parall les Les droites dx et dy sont s cantesenT TR _11 _ 22 TS __8 24 D une part M 15 30 D autre part E 10 30 TR TS PER R On constate
240. s d un millier d ditions manuscrites des l ments ont t publi es avant la premi re version imprim e en 1482 La rigueur n y est pas toujours la hauteur des canons actuels mais la m thode consistant partir d axiomes de postulats et de d finitions pour d duire un maximum de propri t s des objets consid r s le tout dans un ensemble organis tait nouvelle pour l poque Les l ments durent leur succ s leur sup riorit d organisation de syst matisation et de logique mais pas d exhaustivit ni conique ni r solution par neusis 3 ou ajustement Les derni res recherches entreprises en histoire des math matiques tendent prouver qu Euclide n est pas le seul auteur des El ments Il tait vraisemblablement entour d un coll ge de disciples ayant tous particip leur laboration Un fragment des l ments La g om trie telle qu elle est d finie par Euclide dans ce texte fut consid r e pendant des si cles comme la g om trie et il fut difficile de lui ter cette supr matie Nicola Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier s y essayer officiellement d s 1826 suivi de J nos Bolyai mais la l gende veut qu il n ait pas t pris au s rieux jusqu la mort de Gauss lorsque l on d couvrit parmi les brouillons de ce dernier qu il avait lui aussi imagin des g om tries non euclidiennes E 0 0 0e 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e
241. s dans un ordre pr cis La mise en vidence FJ Les identit s remarquables EJ Les autres trucs et astuces de factorisation Exemple Factoriser l expression C 3x 6x 27x C 3x 6X 27x On met en vidence C 3x xf 2X 9 lt On factorise avec l identit remarquable C 3x x 3 lt On factorise avec l identit remarquable Exemple factoriser l expression x2 xz 7 1 5x 45x 5x x 9 5x x 3 x 3 Exemple factoriser l expression 2x 1 y 2 3 2y 2x 1 2x 1 y 2 3 2y 2x 1 2x 1 y 2 3 2y 2x 1 y 2 2 2y 2x 1 y 4 2x 1 y 2 y 2 Edition 2010 Chapitre 6 Calcul litt ral EJ Calculer a la diff rence de 2x 4x 15x11 et de x 3x2 2x 3 b le produit de x 2 3x 5 par 2x 3 FJ R duire le plus possible les expressions suivantes a 6x 5y 4x y 3z 2Z 5x 3y b 2a 3b 3c 5b 6c 6b 5c EJ D velopper le plus possible les expressions suivantes a 3a e 9x 3x 1 2a f 13x 2x 5 b 3p g ax b 3x c 5x2 mne h 5x x 1 d 2dx y EJ n d signe un nombre entier On pose A 3n 1 16n 26n 3 a D velopper et r duire A b Montrer que A est le carr d un nombre entier E D velopper puis r duire ces expressions le plus possible 2 2 1 3 a n d 4 2 2 1 7 b Er e 3X 2 2 2 2 c Y 5 Y 5 f 3w 5 s 2w 6 D veloppe
242. s de calcul sur les nombres s appliquent de mani re similaire sur les lettres v Vocabulaire li aux expressions litt rales variable constante expression Vocabulaire et traduction alg brique qui permet de caract riser certains nombres nombres pairs impairs multiples se terminant par etc v Utilit d une approche alg brique pour r soudre un probl me Importance du contexte pour interpr ter correctement un nonc math matique v Hypoth se implicite v Avoir conscience du temps historique qui a t n cessaire pour mettre en place de tels concepts outils notations irs faire v Transformer en langage alg brique des informations num riques donn es en fran ais v Transformer en langage alg brique une situation donn e en fran ais ou graphiquement mod liser un probl me v crire en fran ais une expressions math matique Manipuler les expressions alg briques simples v Enoncer et d montrer la formule sur la somme des n premiers entiers 19 Edition 2010 Chapitre 2 Des nombres aux lettres Le _ N Chapitre 3 Argumenter Les trois rectangles ci dessus sont ils droits Source Illusions d optiques Ed Mango Jeunesse 2004 Probl me Choisir un nombre A trois chiffres Construire le nombre B qui intervertit dans A le chiffre des centaines avec celui des unit s Soustraire le plus grand nombre l autre entre A et B on obtient un nombre C Construire le nombre D
243. s du plan et les droites Les points sont not s par des majuscules A B C Les droites sont not es par des minuscules d d d Deux droites sont parall les si elles ne poss dent pas de point commun Deux droites sont s cantes si elles ne poss dent un unique point commun Une demi droite est une partie infinie d une droite limit e par un point Pour noter la demi droite issue de A et passant par B on note AB Un segment de droite est une partie finie d une droite limit e par deux points appel s extr mit s du segment On note AB le segment qui relie les points A et B Le nombre repr sentant la longueur du segment AB se note AB ou parfois d A B ou encore AB Un angle est une partie infinie du plan limit e par deux demi droites issues d un m me point appel sommet de l angle en fait une telle situation d finit deux angles Un angle plein est un angle non vide construit partir de deux m mes demi droites Un angle plat est un angle construit partir de deux demi droites issues d un m me point et qui conjointement forment une droite Soit un angle plat de sommet S Si on coupe l angle plat en deux parties gales avec une demi droite issue de S on obtient deux angles droits Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent angle droit Remarque les droites les demi droites et les segments sont des lignes
244. s est le r sultat de leur soustraction L oppos d un entier est le m me entier auquel on a chang son signe Ordre des op rations et parenth ses Pour calculer une expression arithm tique on d cide d effectuer les diff rentes op rations en suivant l ordre indiqu par les r gles ci dessous les op rations l int rieur d une paire de parenth ses qui ne contient pas de parenth se les puissances et les racines les multiplications et les divisions de gauche droite les additions et les soustractions de gauche droite Le r le principal des parenth ses dans l criture math matique est de s parer les op rations les unes des autres Si on n avait pas de convention sur l ordre des op rations il faudrait mettre entre parenth ses chaque expression contenant une op ration et les deux nombres s y rapportant Remarque Si dans une criture sans parenth se il ne reste que des additions et des soustractions il faut effectuer ces op rations de gauche droite Exemple calculer 7 2 3 6 En effectuant la premi re multiplication on obtient 7 6 6 puis de gauche droite 7 Exemple calculer 14 2 4 6 3 4 3 1 2 6 2 1 7 3 14 2 4 6 3 4 3 1 2 6 2 1 7 3 On traite les parenth ses les plus 14 2 4 3 4 3 1 2 4 1 7 3 imbriqu es en premier 14 2 4 3 4 3 1 2 4 1 7 3 14 2 4 3 4 3 6 7 3
245. s et notions essentielles Th or mes de Thales z Th or me Si on trace dans un triangle AOAB une droite quelconque parall le AB coupant OA en A et OB en B alors on a Aire A ABB Aire A ABA Th or me Aires gales C Si on trace dans un triangle AABC une demi droite quelconque issue de A et coupant le segment BC en Aire A ABI _ Aire A ACI BI E IC alors on a A Th or me Thal s Premier nonc Si AABC et ADEF sont deux triangles semblables alors ils ont leurs c t s correspondants proportionnels Deuxi me nonc OA _OB _A B OA OB alors on a e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 119 Edition 2010 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s M thodes et notions essentielles Th or me r ciproque du th or me de Thales Premier nonc Si deux triangles ont leurs c t s correspondants proportionnels alors ils sont semblables Deuxi me nonc c_a_b Si on a les galit s suivantes dans la situation ci dessous a f d e A alors ona a d b eet g w Th or me Thales quivalence Lorsqu un th or me et sa r ciproque sont tous deux vrais on peut crire les choses ainsi AABC et ADEF sont semblables lt ils ont leurs c t
246. s nombres r els x tels que a lt x lt b b est l ensemble de tous les nombres r els x tels que X lt b a est l ensemble de tous les nombres r els x tels que a lt x est l ensemble de tous les nombres r els Repr senter graphiquement un intervalle r el Un intervalle se repr sente graphiquement de la fa on suivante exemple pour 3 5 5 4 3 2 1 O0 1 2 345678 Chapitre 5 Ensembles Edition 2010 M thodes et notions essentielles Diagrammes de Venn Un diagramme de Venn est une repr sentation d un ou plusieurs ensembles par des lignes simples ferm es dans lesquelles on repr sente les l ments en fonction de leurs appartenances Exemple 1 Dans l exemple ci contre le diagramme de Venn canol repr sente un groupe de 28 jeunes qui ont particip une journ e de plein air escalade 14 ont fait du canot 5 9 5 ont fait seulement du canot 9 ont fait du canot et de l escalade 23 ont fait de l escalade 14 9 14 ont fait seulement de l escalade 28 jeunes ont particip aux activit s Source htp www parcours qc ca imaths logique html Exemple 2 12 134 Edition 2010 Chapitre 5 Ensembles Exercices d entra nement EM Compl ter par un symbole ad quat a Q IN b Z 0 C 3333 aani IN g 2IN IS FA Repr senter dans un diagramme de Venn les nombres suivants 240 2 10 12 I34 n 12 3 0 9 E
247. s th or mes d montr s Des angles oppos s sont gaux Thm AnOpp Des angles alternes internes sont gaux Thm AnAlt Int La somme des angles dans un triangle est gale 180 Thm 180 Pythagore Thm Pyth Thal s Thm Tha Hauteur Thm Hau Euclide Thm Euc Cercle de Thal s un angle inscrit qui intercepte un demi cercle est droit Thm CerTha ARE Euclide et les El ments Euclide nait vers 325 et meurt vers 265 1 Il part en gypte pour y enseigner les math matiques Il travaille au mus e d Alexandrie et l cole de math matiques Entour de ses disciples il m ne de nombreux travaux de recherche Les l ments sont une compilation du savoir g om trique et resteront le noyau de l enseignement math matique pendant pr s de 2000 ans Il se peut qu aucun des r sultats contenus dans les l ments ne soit d Euclide mais l organisation de la mati re et son expos lui sont dus Les l ments sont divis s en treize livres Les livres 1 6 g om trie plane les livres 7 9 th orie des rapports le livre 10 la th orie de nombres irrationnels d Eudoxe et enfin les livres 11 13 de g om trie dans l espace Le livre se termine par l tude des propri t s des cinq poly dres r guliers et une d monstration de leur existence Les l ments sont remarquables par la clart avec laquelle les th or mes sont nonc s et d montr s Plu
248. semblables et les c t s correspondants Edition 2010 Exercices d entra nement EX on suppose que AB CD AB 72 CD 96 SC 84 et SD 72 A B Trouver SA et SB ET on suppose que 4B CD AB EF AC 10 CE 15 et BD 14 A E Trouver DF EF On suppose que AB CD ABIILEF AB 14 AC 28 CE 21 BD 36 et EF 35 D Trouver DF et CD FAJ Un triangle ASEL est tel que SE 6cm EL 4cm et SL 3cm Le point est le point de la demi droite LS tel que Si 5 1cm La parall le la droite da passant par coupe dx en X Calculer les longueurs SXetiX EEJ Soit APEM un triangle A est un point du segment PE et B est un point du segment PM tels que BM 30 cm AB 30 cm ME 50 cm Les droites d et dme sont parall les l aide du th or me de Thal s on obtient PM 45cm Vrai ou faux Expliquer la d marche Edition 2010 EJ Un skieur d vale tout schuss une piste rectiligne repr sent e ci dessous par le segment BC de longueur 1 200 m son point de d part C le d nivel par rapport au bas de la piste donn par la longueur AC est de 200 m Apr s une chute le skieur est arr t au point D sur la piste Le d nivel donn par la longueur DH est alors de 150 m C D a figure n est pas l chelle A H B Calculer la longueur DB qu il lui reste parcourir EIJ Les feux de croisement d une voiture permettent d clairer efficacement la route la nuit par temps clai
249. sie est le m tre A Par un beau dimanche ensoleill Julien se prom ne au pied de la montagne Sainte a Pour x 2 5 les m PAS Victoire au bord de la rivi re Arc droites AB et CD ne sont pas parall les Il se demande quelle est la largeur de cette Vrai ou faux rivi re Il prend des rep res compte ses pas Expliquer la et dessine le sch ma ci dessous d marche b Pour x 1 les droites AB et DC ne sont pas parall les Vrai ou faux Expliquer la d marche Pour consolider un b timent des charpentiers ont construit un contrefort en bois les mesures sont en m tre a En consid rant que le montant BS est perpendiculaire au sol calculer la longueur AS f b Calculer les longueurs SM et SN M c D montrer que la 1 95 20 pas 1 pas traverse MN est bien parall le au sol AB sol 2 5 a Quelle est en nombre de pas la largeur de la rivi re qu obtient approximativement Exercices suppl mentaires Julien ET Les deux c nes de r volution de rayons KA et IB sont oppos s par le sommet B SI C ne 2 b Julien estime que la longueur de son pas est environ de 65 cm Donner une valeur approximative de la largeur de cette rivi re au centim tre pr s C ne 1 124 Chapitre 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 Exercices d entra nement F J Voici un sch ma du fonctionnement d un appareil photographique argentique un objet AB situ une distanc
250. soit un sage Si A est un menteur alors combien y a t il de menteurs parmi ces sept personnes Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte Xadi Mesurer des distances pedi EM Quelle est la distance entre les points A et B repr sent s ci contre Entre Cet D e C 1 96 1 14 T T T T T z A 0 1 2 3 e D 1 96 1 82 COR EM Quelle est la distance entre les points suivants a E 13 0 et F 29 0 c 1 1 13 2 et J 1 13 2 b G 16 5 et H 3 5 DS 4 d K 0 29 8 et L 0 17 EM Quelle m thode peut on d finir pour d terminer la distance entre deux points align s verticalement ou horizontalement partir des coordonn es EM On veut d terminer la distance entre les points etc 2 e C 1 96 1 14 a Placer pour commencer un point M qui a la m me abscisse que A et la m me ordonn e que C b D terminer la distance entre M et A puis entre M et C c Finalement calculer la distance entre et C EM Donner la formule g n rale qui permet de calculer la distance entre un point A x y et A x y2 donn s EM D terminer le p rim tre et l aire des polygones dont les sommets sont a A 0 5 B 7 3 C 0 1 D 7 3 b A 6 6 B 9 2 C 2 4 c A 3 4 B 2 4 C 8 3 D 5 3 LAAUIEES Au milieu du segment On veut d terminer o se trouve exactement le point milieu du segment AB avec A x y et B x y donn s
251. sous forme de nombre rationnel Algorithme d Euclide ma T21 1 R 7 121 815 1 d o 8 On effectue la division euclidienne 13 13 lt de 121 par 15 on a d j 14l zg m quotient 8 reste 1 10 10 r 10 0 15 10 d o 15 9 On recommence en divisant 10 fois lt le reste par 15 on a d j T 8 0 quotient 0 reste 10 100 10 100 6 15 10 d o 75 tis On recommence en divisant 10 fois lt le reste par 15 on a d j 8 06 quotient 6 reste 10 100 6 15 10 d o 100 _ 410 On trouve un reste d j obtenu 15 15 pr c demment le processus va se x J21 r p ter l infini on a trouv la on a d j 8 066 e 15 p riode 121 R sultat T5 8 06 Remarques L A chaque tape le reste est toujours sup rieur ou gal 0 et strictement inf rieur 15 L Pour une fraction quelconque ce processus peut soit s arr ter dans le cas o on trouve un reste nul ce qui donnera un d veloppement d cimal fini soit tre p riodique partir d un certain rang d s qu on retombe sur un reste d j obtenu pr c demment ce qui donnera un d veloppement d cimal infini p riodique partir d un certain rang L On peut d duire de la remarque pr c dente que la longueur de la p riode est inf rieure ou gale au d nominateur de la fraction de d part puisque les restes possibles sont 0 1 2 a 1 soit r nombres diff rents Apr s r 1 tapes on est donc certain d avoir soit termin ave
252. t s EH crit res Enoncer et justifier les crit res de divisibilit par 2 3 et 5 En connaissez vous d autres EX Probl mes a Un chocolatier vient de confectionner 28313 pralin s identiques Il a pr vu de placer ces pralin s dans des boites contenant chacune 29 pralin s Combien de boites parviendra t il remplir au maximum et combien de pralin s non emball s restera t il b Un challenge sportif regroupe 105 filles et 175 gar ons Les organisateurs souhaitent composer des quipes comportant toutes le m me nombre de filles et le m me nombre de gar ons Comment les aider pour qu ils puissent constituer un nombre maximal d quipes tous les l ves doivent tre dans une quipe Donner ensuite le nombre de filles et de gar ons dans chaque quipe Expliquer la d marche Paii Wwa Fractions 34 Les Egyptiens il y a quatre mill naires d j se posaient des questions math matiques Nos connaissances sur l tat des math matiques cette poque se fondent sur quelques rares manuscrits qui attestent n anmoins d un niveau relativement lev aussi bien en math matiques qu en astronomie N oublions pas que l Egypte utilisait un calendrier de 365 jours Cependant de fa on g n rale les objectifs de la math matique gyptienne sont essentiellement d ordre pratique li s au commerce au fisc au cadastre ou l art de la construction Un des plus anciens documents qui nous soient parvenus date de 1650 avant J
253. t conclusion s d D montrer la conjecture nonc e au point pr c dent Indication utiliser les cas d isom trie des triangles e Repr senter avec GeoGebra les trois bissectrices d un triangle quelconque faire bouger dynamiquement la construction Qu observe t on f Quelle conjecture peut on noncer quant ces trois bissectrices g Qu a t on d montr ce stade quant cette conjecture Cercle inscrit a Soit AABC un triangle l intersection de ses bissectrices et r la distance entre et A b Repr senter la situation avec GeoGebra et tracer le cercle C de centre et de rayon r Imprimer et joindre au rapport c Quelle conjecture peut on noncer quant C EM M dianes d un triangle a D finition les m dianes d un triangle sont les droites qui passent par un sommet et qui coupent le c t oppos en son milieu b Repr senter avec GeoGebra les trois m dianes d un triangle quelconque faire bouger dynamiquement la construction c Quelle conjecture peut on noncer quant ces trois m dianes d Qu a t on d montr ce stade quant cette conjecture e Quelle relation y a t il entre le centre de gravit du triangle et les m dianes EX M diatrice d un segment a D finition la m diatrice d un segment b t AB est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu c Construire avec GeoGebra la m diatrice d un segment AB quelconque faire bouger Edition 2010 Chapitre 9
254. t syst me de deux quations lin aires deux inconnues Pouvoir r soudre par substitution par addition et par triangulation tout syst me de deux quations lin aires deux inconnues v tre capable de r soudre alg briquement un syst me de trois quations lin aires trois inconnues v Pouvoir reconna tre les inconnues dans un probl me et le mettre en quation l aide d un syst me d quations Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations 211 Edition 2010 Chapitre 13 Syst mes d quations
255. te Clarifier les notations e J BA Angles a D finir et illustrer les notions suivantes angle angles plein angle plat angle droit angles K oppos s compl mentaires suppl mentaires correspondants alternes internes Clarifier les i notations b Qu entend t on par mesure d un angle Quelle diff rence y a t il entre angle et E mesure de l angle g c Quelle relation y a t il entre e e deux angles compl mentaires e e deux angles suppl mentaires Justifier d On consid re le commentaire suivant e Commentaire sur le premier livre des l ments d Euclide 299 1 e e __ noncer ce r sultat sous forme de conjecture avec notre langage 104 Chapit 8 Des Egyptiens Thal s Edition 2010 Pr reavis et activit s de d couverte Ai e Identifier la les hypoth se s et la les conclusion s de cette conjecture e D montrer cette conjecture e noncer sa r ciproque Est elle vraie ou fausse Justifier e Quelle relation y a t il entre deux angles correspondants Peut on le justifier avec nos outils f Quelle relation y a t il entre deux angles alternes internes Peut on le justifier avec nos outils EX Triangles a D finir et illustrer les notions suivantes triangle sommets c t s triangle isoc le triangle rectangle triangle quilat ral Clarifier les notations b noncer une conjecture quant la relation entre tous les angles d un triangle La d mont
256. thodes et notions essentielles Exemples N 1 2 3 Z 3 2 1 0 Z 3 2 1 PETOA lt gt lt gt Soit a et b deux nombres r els O O lt a lu z ro est strictement plus petit que a et a gt 0 lu a est strictement plus grand que z ro signifient que a repr sente un nombre positif non nul CO 0 gt a lu z ro est strictement plus grand que a et a lt 0 lu a est strictement plus petit que z ro signifie que a repr sente un nombre n gatif non nul C O lt a lu z ro est plus petit ou gal z ro et a gt 0 lu a est est plus grand ou gal z ro signifient que a repr sente un nombre positif ou le nombre z ro C 0 gt a lu z ro est plus grand ou gal a et a lt 0 lu a est est plus petit ou gal z ro signifient que a repr sente un nombre n gatif ou le nombre z ro O a lt b lu a est strictement plus petit que b et b gt a lu b est strictement plus grand que a signifient que 0 lt b a O asb lu a est plus petit ou gal b et bza lu b est plus grand ou gal a signifie que O0 lt b a E E 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0e PET ea Intervalles r els Soit a et b deux nombres r els a b est l ensemble de tous les nombres r els x tels que a lt x lt b a b est l ensemble de tous les nombres r els x tels que a lt x lt b a b est l ensemble de tous les nombres r els x tels que a lt x lt b a b est l ensemble de tous le
257. tion Elisha Scott Loomis a r uni 370 d monstrations diff rentes du th or me de Pythagore A Th or me r ciproque Pythagore gt i C Si dans un triangle AABC on a AB AC BC ou b c 2 alors AABC est rectangle en A B a C 0 0e 0 0e 0 0 ee 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0e La bo te outils de base pour d montrer Des d finitions Angle angles compl mentaires suppl mentaires oppos s correspondants alternes internes Triangle triangle rectangle isoc le quilat ral Quadrilat re carr rectangle losange trap ze parall logramme polygone C t s correspondants triangles semblables triangles isom triques Arc de cercle secteur de disque angle inscrit angle au centre les puissances et les racines Des notations Angle ABC ou lt ABC ou b g d e Triangle AABC et les notations usuelles dans le triangle Triangles semblables AABC AA B C Triangles isom triques AABC AA B C Des axiomes Des angles correspondants sont gaux Ax Corr Cas d isom trie des triangles Ax C C C A C A C A C 136 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Edition 2010 M thodes et notions essentielles Des th or mes non d montr s R ciproque de Pythagore Thm RecPyth R ciproque de Thal s Thm RecTha De
258. ture 4 Si E est l quation 2x 3y 1 alors une repr sentation graphique est une droite passant par l origine e Conjecture 5 Si on consid re tous les points situ s sur un cercle centr en l origine et de rayon 4 alors son quation est x y 4 F D terminer les quations des lieux g om triques suivants a L ensemble des points situ s gale distance des points A 1 5 et B 3 5 b L ensemble des points situ s sur une parall le l axe Oy passant par le point P 2 3 c L ensemble des points situ s sur une parall le l axe Ox passant par le point P 0 2 EZA on graphique graphiques consid re la suivante qui repr sentation comprend trois a une droite b un cercle c une courbe et on donne graphiques les trois quations de ces a x 1 18 y 0 98 7 56 b 2 3x 0 45y 1 65 0 c 2 1x 1 8xy 0 3y 2 2x 1 2y 0 12 0 Regrouper les quations avec leurs repr sentations graphiques en justifiant la r ponse E J Pourquoi x y 1 ne peut pas tre repr sent e graphiquement par une droite FZ Parmi les quations suivantes trouver celles dont le graphique passe par l origine a x y 0 b x y 36 c x y 4x 6y 1 0 FJJ Trouver les points d intersection avec les axes Ox et Oy pour les graphiques des quations suivantes Edition 2010 a x y 49 b x 6 y 3 25 c x y 12x 16y 0 d x y 6x 4y 12 0 Les droites J Sur un m me
259. uelconques b Quelle est la propri t utilis e Quelle action r alise t on Comment appelle t on k c Pour chacune des expressions suivantes et en utilisant la question pr c dente indiquer quelle expression ou quel nombre peut jouer le r le de k quelles expressions ou quels nombres peuvent jouer le r le de a et de b A 7X 14 B 8y 7y C 6ab 5a D 6m 9m E 7x 5 3X 2 7x 5 x 9 F x 4 3x 5 8x 7 3x 5 d Transformer chacune des expressions ci dessus en un produit de facteurs 70 Chapitre 6 Calcul litt ral Edition 2010 Pr requis et activit s de d couverte FA Diff rences de deux carr s Factoriser ces expressions a A x 16 e E 47 25 b B 1 7y f F t 3 16 c C 100x 9 g G 2x 1 25 d D 36 817 h H 3i 7 i 5 EJ D autres identit s Factoriser ces expressions a A t 81 18t d D x 36 12x 2 2 b B 4x 4xy y eE Il ole w e P pq c C 81 16y 72y f F T 107 25 e Xadi ES Factoriser ou d velopper Soit x une variable r elle On consid re l expression suivante x 3 2 x 2 x 4 x x 9 a L expression x 3 2 x 2 x 4 x x 9 est elle une somme o un produit b x 3 2 x 2 x t 4 x x7 9 sont les sisi de l expression compl ter c L expression 4 x x 9 est elle une somme ou un produit d 4 x et x 9
260. ueurs qui sont b sin lt AHT TA gaux en justifiant AH b crire la relation donnant le sinus de es LL l angle lt AHT TM MS AH MS 23 S a TA 1 c D duire des questions a et b la mesure d o lt AHT sin pS 3341 arrondie au degr de l angle lt AHT y 3 6 V2 26 cos y 18 4 3 et tan y v6 J Calculer la valeur exacte de cos y et 4 8 4 V3 de tan y sachant que y est un angle aigu v6 V2 I tel que sin y 170 Chapitre 11 Trigonom trie tr rect Edition 2010 Exercices d approfondissement Quelques rep res historiques Quand on parle de trigonom trie on associe n cessairement le mot aux fonctions cosinus vues en 4e puis sinus et tangente vues en 3e pour le calcul de longueurs ou d angles dans le triangle Aujourd hui l usage de la calculatrice est incontournable lorsqu on applique ces fonctions Mais si l on remonte la fin des ann es 70 les coll giens ne disposaient pas encore de calculatrice et devaient se munir de tables trigonom triques pour effectuer les calculs Dans l Encyclop die 1751 le Rond d Alembert 1717 1783 d finit la trigonom trie comme l art de trouver les parties inconnues d un triangle par le moyen de celles qu on conna t C est bien la d marche qui est demand e aux l ves du coll ge Et pourtant la trigonom trie n est pas l origine un outil de calcul du triangle mais du cercle Il faut remonter jusqu aux babyloniens
261. ultat sous forme NH Le simplifi e au maximum et indiquer la s quence de touches utilis e EM Rendre irr ductible 216 b 1122 1826688 720 1496 829280 EM Exprimer en heures et fractions d heures a 75 minutes c 90 minutes e 145 minutes 16 et 35 b 55 minutes d 666 minutes Xai Ea Proportions Commenter cette annonce d un journaliste Une nouvelle hausse de 15 sur le tabac interviendra le ler septembre prochain qui ajout e la la hausse de 10 survenue le ler mars aura augment le prix du paquet de cigarettes d un quart sur l ann e EM Combien faut il changer de chf pour obtenir 350 euros au taux de change du jour le chercher sur internet EX Une poule et demi pond un oeuf et demi en un jour et demi Combien d oeufs pondront 12 poules en 12 jours EM Apr s 10 minutes de vol une fus e atteint la vitesse de 81127 et se trouve une altitude de 2000km par rapport au sol a Convertir cette vitesse en m b En admettant que sa vitesse est ensuite constante repr senter graphiquement la distance parcourue en fonction de du temps Comment appelle t on ce type de relation entre deux variables 36 Chapitre 4 Autres nombres Edition 2010 Activit s de d couverte Ta it 5 Nombres rationnels D terminer les nombres rationnels correspondants aux fractions suivantes 21 2 20 20 nier vnia x a 5 b 9 C 7 d 17 EM D terminer les fractions correspondants aux nombres ration
262. un nombre dont le d veloppement d cimal est soit fini soit infini p riodique partir d un certain rang Ceci peut aussi s exprimer ainsi un nombre rationnel est form de trois parties L une partie enti re un nombre entier relatif situ avant la virgule L une virgule L une suite de chiffres apr s la virgule qui est soit finie soit infinie p riodique partir d un certain rang La diff rence entre le nombre rationnel et sa partie enti re est appel e partie fractionnaire Exemples O 15 2 3 0 00001 1 3 98 23312 sont des nombres rationnels L dans 98 23312 98 est la partie enti re et 0 23312 la partie fractionnaire Cl m 2 0 1234567891011121314 ne sont pas des nombres rationnels Edition 2010 Chapitre 4 Autres nombres M thodes et notions essentielles Th or me relation entre fraction et nombre rationnel EN tout nombre rationnel correspond une unique fraction irr ductible FA A toute fraction irr ductible correspond un unique nombre rationnel Remarque on ne d montre pas formellement ce r sultat Exemple 1 crire x 2 34 sous forme de fraction irr ductible x 2 34 donc 10x 23 4 et On trouve deux multiples de x pour 100x 234 4 lt lesquels la p riode commence juste apr s la virgule 100x 10x 234 4 23 4 lt On soustrait les deux nombres 90x 211 lt On simplifie des deux c t s dll On trouve x on simplifie si 90 n cessaire Exemple 2 Ecrire x
263. urs finie mais peut tre tr s grande diff rence et relation entre fraction et nombre rationnel v th or me quand on associe un nombre rationnel une fraction la p riode est forc ment finie ou infinie p riodique v puissances enti re positive nulle et n gative d finitions th or mes calculs la main et avec calculatrice v racine carr e d un nombre d finition pr cise en particulier savoir et si possible avoir compris pourquoi la racine carr e d un nombre n est pas un ensemble de deux valeurs oppos es mais seulement la valeur positive v il existe des nombres non rationnels par exemple racine de 2 relation entre nombres entiers naturels entiers relatifs nombre rationnels et nombres r els v Pi d finition v avoir pris conscience qu un probl me peut tre r solu de diff rentes fa ons calcul la main calcul approch ou estim et calculatrice v comprendre la diff rence entre un r sultat exact et un r sultat approch en maths on donne sauf contre indication le r sultat exact quand cela est possible v savoir d o viennent les r gles qu on utilise v savoir les utiliser efficacement v les comprendre d monstration dans certains cas illustration dans d autres v conna tre leur statut d finition axiome th or me v les r sultats fournis par la calculatrice ne sont pas forc ment exacts ils peuvent tre m me franchement faux toute calculatrice et tout ordinateur a en effet
264. uteurs d un triangle Les hauteurs d un triangle sont les droites qui passent par un sommet et qui coupent le c t oppos perpendiculairement Th or me hauteurs d un triangle Si AABC est un triangle alors ses hauteurs se coupent en un unique point Droite d Euler La droite d Euler est la droite qui passe par les quatre points d intersection des droites remarquables du triangle 0 0e 0 0e 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 139 Edition 2010 Chapitre 9 De Pythagore Euclide Exercices d entra nement Pythagore EN Th o veut franchir avec une chelle un mur de 3 50 m de haut devant lequel se trouve un foss rempli d eau d une largeur de 1 15 m Il doit poser l chelle sur le sommet du mur Quelle doit tre la longueur minimum de cette chelle Arrondir au cm FJ La corde lastique a une longueur de 60 cm au repos a Quelle est la nouvelle longueur de la corde si on l carte de 11 cm en la tirant par son milieu Arrondir au cm b Il est conseill de ne pas tirer la corde de plus de 8 cm Quel est en cm l cartement maximal conseill EJ Sur la figure ci contre AB 1 5cm BC 12 cm AD 6cm et C a Calculer la valeur arrondie au mm de BD b Calculer en justifiant la B valeur exacte de DC A 4 Calculer la mesure approch e par exc s au dixi me pr
265. valle les ensembles suivants 543210123945 ji 8 7 6 5 4 3 2 10 12345 e 54 3 2 1012345 d 5 4 3 2 10 12345 ETJ Qu est ce que le carr de Sierpinski repr sent en premi re page du chapitre Edition 2010 Exercices d entra nement R ponses des exercices b e A a QZN S Pae b Z 0 Z a a 4 3 2 13 14 16 18 19 100 c amp 33 33 IN b 2 18 d 3 5 c 4 13 14 100 e 1 2 d 3 16 19 f 2 5 a g 3 1 b AUB 15 15 AnB 2 12 B A 12 15 A B 15 2 a A 5 2 B 0 5 C 3 3 D 3 3 E w 2 F 5 0 G 3 0 H w 3 AnB 0 2 AUB 15 5 DNE 3 2 EnG 3 2 E BUE 0 5 FUG 5 a 21 17 24 A C 5 3 D C 3 3 b 12 11 10 13 G H 3 00 C 4 45 E d 5 46 a 2 o a b 5 2 a Zc lt cQ C o 2 b Z n 2 8 2 3 4 5 6 7 d 2 3 C 3 ez d 3 4 5 6 7 u 6 7 8 9 3 4 9 a NESZ 67 Edition 2010 Chapitre 5 Ensembles Sav Sav L galit n est rien d autre qu un concept n cessaire aux math matiques Citez moi une seule chose sur cette terre qui soit gale une autre e William P Thurston e e e e e u zZ gp gpn oir d finir expliquer justifier illustrer L 1 e e v ensemble LJ v l ment d un ensemble e vy inclusion entre ensembles e s v op rations entre ensembles union i
266. x 1 x 3 0 EMA 10x 7 x 5 x 3 0 EM x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 Equations simples Trouver un nombre dont le carr additionn lui m me vaut 12 EM R soudre l quation 49x 56x 4 0 EX R soudre l quation x 9 EM R soudre l quation x 2 Tail it Bonne m thode M thode 1 L quation quivaut 5x 3 2x 3 3x 0 x 0 L quation a une solution 0 M thode 2 L quation quivaut 5x 38x 21 2x 17x 21 3x 21x 0 3x 21 0 x 7 L quation a une solution 7 Pour r soudre l quation x 7 5x 3 x 7 2x 3 des l ves ont trouv deux m thodes a Quelle m thode vous para t elle pr f rable et pourquoi b Avez vous une troisi me m thode meilleure proposer Edition 2010 Chapitre 7 Equations Pr requis et activit s de d couverte LATE Compl tion du carr R soudre l quation 9x 6x 8 0 EM Pourquoi parle t on de compl tion du carr EX R soudre les quations suivantes a 9x 6x 1 0 c 4x 5x 1 0 b 9x2 6x 8 0 d x x 1 0 aiii Formule de Vi te D monter que si a 0 les solutions de l quation ax bx c 0 sont donn es par z b Vb 4ac gt formule de Vi te en utilisant la compl tion du carr a X EM R soudre les quations suivantes avec la formule de Vi te en donnant un r sultat exact simplifi au maximum a 3X x 1 0
267. xe Oy en posant x 0 dans l quation Si x 0 alors l intersection avec Oy est y 2 0 0 6 6 On cherche la les intersection s avec l axe Ox en r solvant l quation y 0 Si y 0 l faut r soudre 2x x 6 0 0na A 49 eton obtient x 2 ou x 2 Axe de sym trie 1 On identifie l axe de sym trie X On identifie le sommet ei 2 2a 4a Sommet e 4 8 Si c est possible on obtient un point suppl mentaire du graphe par sym trie du point intersection avec l axe Oy Si x 0 alors le sym trique par rapport l axe de sym trie est x 7 Donc le point 1 Cz repr sentation graphique 6 appartient aussi la On identifie en fonction de a si on est dans un cas de parabole convexe ou concave a 2 donc a 0 donc parabole convexe c est dire u Si n cessaire on d termine encore une solution suppl mentaire de l quation ainsi que son sym trique par rapport l axe b 5 Prenons x 2 alors y 2 2 2 6 4 donc le point 2 4 appartient la parabole Par sym trie le point 2 5 4 appartient galement la parabole Toutes ces informations se placent dans le rep re et permettent de tracer la parabole Edition 2010 Chapitre 12 G om trie analytique id 0 25 6 13 189 Exercices d entra nement Rep re orthonorm EN Repr senter dans un rep re du plan tous les points dont a les deux coordonn
268. xpression A 3 21 puis factoriser A 3xy 3x7 lt On rep re un facteur commun 3 y 7 lt On factorise par mise en vidence Exemples 2 Factoriser l expression E 5X 7 9X 2 5X 7 2 E 5x 7 9x 2 5x 7 5x 7 lt On rep re un facteur commun E 5x 7 9x 2 56x 7 lt On factorise par mise en vidence On r duit l expression l int rieur E 5x 7 4x 5 lt des crochets FA Identit s remarquables Les identit s remarquables apprises par c ur permettent de retrouver la forme d velopp e de certaines expressions Exemple Factoriser l expression B 25X 20X 4 B 25X 20x 4 On observe trois termes et des signes diff rents On met en vidence l identit remarquable B 5x 2 x 5x x 2 2 lt z 2ab b a b avec a 5x et b 2 B 5x 2 lt On remplace a par 5x et b par 2 dans a b Remarque Utilis es de gauche droite les identit s remarquables d veloppent utilis es de droite gauche elles factorisent Remarque L expression x 5x 4x 20 se factorise en x 4 x 5 mais le facteur x 4 peut encore s crire sous la forme x 2 x 2 On dit alors que x 4 x 5 est partiellement factoris et que x 2 x 2 x 5 est compl tement factoris EJ Factoriser encore de bons trucs Les astuces permettant de factoriser une expression alg brique sont nombreuses et lor

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