Liste des sujets de TER 2010-2011
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1. monostable ou bistable Ce probl me se ram ne l tude d un syst me dynamique dans le plan R pour lequel l existence de solutions h t roclines peut tre obtenue par une m thode de tir On pourra ensuite analyser sur des exemples des syst mes de r action diffusion plus complexes R f rences D G Aronson et H F Weinberger Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics Advances in Mathematics 30 1978 33 76 A I Volpert V A Volpert et V A Volpert Traveling wave solutions of parabolic systems Translations of Mathematical Monographs 140 American Mathematical Society Providence RI 1994 18 Op rateur dans C Une m thode classique en analyse complexe pour r soudre un probl me pos dans le cadre holomorphe consiste r soudre le m me probl me dans la classe des fonctions de classe C puis corriger la solution trouv e en r solvant une quation du type u a 9 Il s agira dans un premier temps d tudier la r solubilit de l quation S dans les ouverts de C et d en d duire des d monstrations des th or mes de Mittag Leffler et de Weierstrass On introduira ensuite la notion de domaine d holomorphie et on prouvera gr ce au th or me de Wei erstass que tout domaine de C est un domaine d holomorphie Pour finir on essaiera d largir les probl matiques pr c dentes au cas de C avec n gt 2 R f rences E Ammar et E Matheron Ana2. me de repr sentation conforme de Riemann 33 Th orie classique des collisions 34 Th orie de la bifurcation 35 Transformation de Fourier dans un groupe ab lien fini 36 Transport optimal Mode d emploi La liste d taill e des sujets ainsi qu une description du travail demand l occasion de PUE TER sont disponibles sur le site du Master M1 Math matiques l adresse www fourier ujf grenoble fr enseignement On demande chaque tudiant de choisir trois sujets num rot s de 1 3 par ordre d croissant de pr f rence et de communiquer ce choix Laurence Garcia par mail lt Laurence Garcia ujf grenoble fr gt ou en passant au bureau 24 en tout cas avant le vendredi 7 janvier 2011 On rappelle qu en fonction des choix des uns et des autres un sujet pourra tre affect un tudiant ne l ayant pas s lectionn Universit Joseph Fourier Master Math matiques Informatique UFR de Math matiques Ann e M1 majeure Math matiques Sujets de TER 2010 2011 1 la d couverte des immeubles de Tits Comme leurs homonymes de la vie courante les immeubles au sens de Tits ont des chambres et des appartements Par contre une de leurs particularit s est que deux chambres d un m me immeuble sont toujours contenues dans un appartement Ces objets ont t introduits par Jacques Tits pour tudier les groupes de fa on g om trique Le but du stage sera de comprendre la d finition g om triq
3. rentiel R f rence J Stillwell Geometry of surfaces Springer 8 Graphes al atoires Le graphe d Erd s R nyi de taille n est un graphe sur V 1 n non orient tel que deux sommets i et j sont connect s par une ar te avec probabilit p n 3 Diverses propri t s de ce graphe al atoire seront abord es notamment l apparition ou non d une composante g ante quand n tend vers linfini suivant la valeur de 9 In galit s de concentration en estimation non param trique Les in galit s de concentration contr lent la d viation d une fonction de variables al atoires ind pendantes g n ralisant ainsi les in galit s connues pour la fonction somme Sous certaines conditions la variable al atoire obtenue se concentre autour de son esp rance ou de sa m diane Ces in galit s sont devenues un outil standard d analyse en statistique Il s agira de comprendre l approche diff rence de martingales pour tablir des in ga lit s de concentration et de les utiliser en statistique non param trique statistique de Kolmogrov Smirnov estimation de la densit etc R f rence Devroye L Exponential inequalities in nonparametric estimation Disponible sur le web l adresse cg scs carleton ca 7eluc spetses1991 pdf 10 Introduction la th orie ergodique La th orie ergodique s est d velopp e initialement dans le but de justifier rigou reusement un postulat de base de la m canique
4. P Billingsley Ergodic Theory and Information Wiley New York 1965 M Reed et B Simon Methods of Modern Mathematical Physics Volume 1 Func tional Analysis Academic Press 1980 11 Localiser les racines d un polyn me par des m thodes hybrides On souhaite localiser les racines complexes d un polyn me coefficients rationnels sans racines multiples par des m thodes hybrides num riques exactes Ces racines sont aussi les valeurs propres complexes de sa matrice companion M On peut donc appliquer la matrice M des algorithmes num riques par la m thode QR on factorise M sous forme de Schur M P71SP o P est unitaire et S diagonale sup rieure En approchant P par une matrice exacte P on peut essayer de contr ler la loca lisation des valeurs propres de M partir des coefficients diagonaux de S et de la taille des coefficients sous diagonaux de P M P3 12 Loi g n ralis e des valeurs extr mes La th orie des valeurs extr mes a pour but d tudier la loi du maximum d une suite de variables al atoires r elles m me si cette loi n est pas exactement connue Pour tout n gt 1 soit M le maximum de n variables al atoires ind pendantes et identiquement distribu es de loi donn e Un des r sultats fondamentaux de la th orie est un r sultat tabli en 1928 par Fisher et Tippett qui de fa on analogue au th or me central limite montre qu on peut trouver des constantes de normali sation a s
5. R f rence William Feller An introduction to probability theory and its applications Volume 2 Wiley 1971 10 23 Processus de Poisson et files d attente M M s Il s agit d tudier les files d attente dont les temps de service et les temps inter arriv es suivent des lois exponentielles Les techniques markoviennes permettent alors d analyser compl tement le comportement de ces files Ce sujet devrait in t resser en priorit les tudiant e s suivant le cours de Processus stochastiques du second semestre Pr requis Le cours de Probabilit s du premier semestre R f rences La bibliographie est vaste Pour avoir une id e du sujet on pourra consulter J F Delmas B Jourdain Mod les al atoires chapitres 8 et 9 M Roussignol D Flipo Files d attente et fiabilit cours disponible en ligne l adresse daniel flipo free fr cours ffa pdf 24 Quelques r sultats d irrationnalit et de trans cendance Apr s avoir tudi quelques d monstrations classiques comme celles du fait que les nombres e et m sont transcendants on se penchera sur le cas des nombres 2p et de 3 R f rences S Lang Algebra Springer Verlag F Beukers note on the irrationality of C 2 and 3 Bulletin London Mathe matical Society 11 3 1979 268 272 Sur le web www math u bordeauxi fr 7emolin notes zeta_3 pdf 25 Repr sentation de surfaces alg briques Une quation alg brique tant donn e
6. optimisation li s ces permutations probl me des secr taires et des applications en g n tique formule d chantillonnage d Ewens Certains des r sultats pourront aussi mais pas obli gatoirement tre illustr s par des simulations sur ordinateur Pr requis Le cours de probabilit s du premier semestre R f rence R Arratia A D Barbour S Tavar Logarithmic combinatorial structures essen tiellement le chapitre 1 21 Probl me de Galois inverse Il s agit de savoir si un groupe fini donn est le groupe de Galois d une extension galoisienne de Q ou non On propose une premi re approche l mentaire et dans le cas de certains groupes particuliers de cette question encore ouverte ce jour On s int ressera notamment au cas des groupes ab liens des groupes sym triques et de quelques groupes simples Pr requis L alg bre vue en L3 en particulier la th orie de Galois 22 Probl me des moments Soit Mh h gt 0 une suite de nombres r els telle que mo 1 quelle condition m est elle la suite des moments d une variable al atoire r elle d une variable al atoire positive d une variable al atoire valeurs dans 0 1 Lorsque c est le cas la loi de cette variable al atoire est elle d termin e par les moments L objet du TER est d aborder la r ponse ces questions Pr requis Th orie de la mesure fonctions holomorphes un peu transform e de Fourier un peu
7. Universit Joseph Fourier Master Math matiques Informatique UFR de Math matiques Ann e M1 majeure Math matiques ND ND ND ON NE EEE EE EE EE He NASON AONB Or 0 ES O OU LE Ou Nr Liste des sujets de TER 2010 2011 la d couverte des immeubles de Tits Alg bres semi simples Courbes alg briques planes D nombrement des arbres couvrants Files d attente en temps discret Forme d une goutte d eau G om trie des surfaces Graphes al atoires In galit s de concentration en estimation non param trique Introduction la th orie ergodique Localiser les racines d un polyn me par des m thodes hybrides Loi g n ralis e des valeurs extr mes M thodes de d nombrement M thode de Laplace et m thode de la phase stationnaire Mod le auto r gressif Nombres de Bernoulli et formule d Euler Mac Laurin Ondes progressives et syst mes de r action diffusion Op rateur dans C Permutations al atoires Ph nom ne d extension de Hartogs Probl me de Galois inverse Probl me des moments Processus de Poisson et files d attente M M s Quelques r sultats d irrationnalit et de transcendance 25 Repr sentation de surfaces alg briques 26 Repr sentations lin aires des groupes finis 27 R seaux 28 Solutions p riodiques d quations diff rentielles 29 Stabilit de syst mes de boussoles 30 Th or me de Helly 31 Th or me de Krein Milman 32 Th or
8. erential equations and dynamical systems M W Hirsch S Smale et R L Devaney Differential equations dynamical systems An introduction to chaos 12 29 Stabilit de syst mes de boussoles En pr sence d un champ magn tique ext rieur fix une boussole s oriente suivant la direction de ce champ par contre plusieurs boussoles rassembl es sur un r seau sont sensibles la pr sence de leurs voisines Le but de ce TER est comprendre les quations du mouvement d une boussole puis d un syst me de plusieurs boussoles L enjeu serait pour des syst mes trois bous soles d exhiber les configurations stables et instables et ventuellement d effectuer des simulations num riques en vue d illustrer des r sultats th oriques 30 Th or me de Helly Il s agit d tudier les sous ensembles convexes d un espace vectoriel ventuellement de dimension infinie On s int ressera au th or me de Helly qui affirme que si on se donne une famille finie d au moins n 2 parties convexes de R telle que lin tersection de n 1 quelconques d entre ces parties est non vide alors l intersection de toutes est non vide R f rence Berger M G om trie dition Cedic Fernand Nathan Paris 1978 volume 3 section 11 7 31 Th or me de Krein Milman Il s agit d tudier les sous ensembles convexes d un espace vectoriel ventuelle ment de dimension infinie On s int ressera au th or
9. g om trique de param tre Les clients arrivent au guichet des instants entiers et le nombre de clients qui entrent dans la file un instant donn suit une loi g om trique de param tre p Le but du TER sera de d montrer les versions discr tes des th or mes de Burke et Pitman Le th or me de Burke dit que si A lt u le nombre de clients sortant de la file d attente chaque instant suit aussi une loi g om trique Si le temps le permet on abordera certaines applications des techniques et des r sultats de la th orie des files d attente 6 Forme d une goutte d eau Quelle est la forme d une goutte d eau au repos Ce probl me peut para tre simple si la goutte est en apesanteur mais il se complique dans le cas de contacts ou de flux d air stationnaires Le but du stage est de comprendre la mod lisation du probl me et d tudier les outils math matiques en vue de sa r solution Des simulations num riques pourront tre envisag es 7 G om trie des surfaces On commencera par tudier les trois surfaces mod les le plan euclidien courbure 0 le plan hyperbolique courbure 1 et la sph re unit de R courbure 1 On verra ensuite comment construire d autres surfaces via la th orie des groupes partir des exemples fondamentaux pr c dents Le stage se veut une initiation aux g om tries non euclidiennes Pr requis Les cours de L3 de topologie alg bre et calcul diff
10. lentement convergentes et par Colin Ma claurin pour calculer des valeurs approch es d int grales Les nombres de Bernoulli quant eux forment une suite de nombres rationnels d abord t tudi s par Jacques Bernoulli dans le but de trouver des formules expri mant les sommes k pour diff rentes valeurs de l entier n Ils apparaissent ga k 1 lement dans de tr s nombreuses applications depuis la formule d Euler Maclaurin jusqu l approche par Kummer du dernier th or me de Fermat Le but sera d tudier cette formule et cette suite de nombres R f rence Jean Pierre Demailly Analyse num rique et quations diff rentielles Presses uni versitaires de Grenoble 17 Ondes progressives et syst mes de r action dif fusion Les syst mes de r action diffusion sont des quations aux d riv es partielles para boliques semi lin aires qui interviennent dans la mod lisation de nombreux ph no m nes en chimie et en biologie notamment On s int ressera une classe importante de solutions de ces syst mes les ondes progressives qui sont stationnaires dans un r f rentiel en translation uniforme Ces solutions s obtiennent en r solvant une quation ou un syst me d quations diff rentielles ordinaires dans lequel la vitesse de propagation qui n est pas connue a priori intervient comme un param tre On commencera par traiter en d tail le cas d une quation scalaire avec non lin arit
11. les points l infini et compter les points avec leur multiplicit On tudiera une ou plusieurs preuves du th or me ainsi que quelques exemples R f rences Fulton Algebraic curves An introduction to algebraic geometry 1969 Perrin G om trie alg brique une introduction 1995 Pr requis Le cours d Alg bre 1 du M1 et une absence d aversion pour la g om trie mais aucune formation particuli re la g om trie n est n cessaire 4 D nombrement des arbres couvrants La formule de Cayley donne le nombre d arbres couvrants du graphe complet Il existe de tr s nombreuses d monstrations de cette formule faisant appel des techniques tr s diverses Il s agira d tudier quelques unes de ces approches en particulier celles abord es dans le livre de Matousek et Nesetril Toutes ces m thodes sont l mentaires et les connaissances requises ne d passent pas l alg bre lin aire de licence R f rence J Matousek J Nesetril Introduction aux math matiques discr tes 5 Files d attente en temps discret Les outils d velopp s dans les mod les de files d attente trouvent des applications dans des domaines tr s vari s combinatoire longueur de la plus longue sous suite croissante dans une permutation al atoire percolation orient e etc On tudiera le mod le de file d attente en temps discret qui correspond un guichet o le nombre de services maximal par unit de temps suit une loi
12. lyse complexe Cassini 2004 L H rmander An introduction to complex analysis in several variables North Holland 1973 19 Ph nom ne d extension de Hartogs Au d but du vingti me si cle F Hartogs s est aper u que toute fonction holo morphe d finie au voisinage du bord du bidisque de C admet une extension ho lomorphe au bidisque tout entier Ce r sultat est faux en une variable puisque la fonction z 1 z est holomorphe au voisinage du bord du disque et n admet pas d extension m me seulement continue au disque Il s agira de prouver le r sultat plus g n ral suivant Si K est une partie compacte de C avec n gt 2 dont le compl mentaire est connexe toute fontion holomorphe sur C K se prolonge en une fonction holomorphe sur C tout entier Pour cela on sera amen tudier la r solubilit de l quation de Cauchy Riemann lorsque le second membre est support compact R f rence L H rmander An introduction to complex analysis in several variables North Holland 1973 20 Permutations al atoires Le classique probl me des rencontres concerne le nombre de points fixes d une permutation al atoire Une g n ralisation consiste tudier la d composition en cycles d une telle permutation On sera amen au passage consid rer divers al gorithmes permettant de g n rer des permutations al atoires On pourra ven tuellement compl ter cette tude par divers probl mes d
13. me de Krein Milman qui affirme que tout ensemble convexe compact est l enveloppe convexe de ses points extr maux R f rence Berger M G om trie dition Cedic Fernand Nathan Paris 1978 volume 3 section 11 6 13 32 Th or me de repr sentation conforme de Rie mann Tout ouvert simplement connexe de C distinct de C est biholomorphiquement quivalent au disque unit On introduira les notions essentielles une preuve de ce th or me et on en donnera quelques exemples repr sentation d un carr sur le disque etc R f rences H Cartan Th orie l mentaire des fonctions analytiques d une ou plusieurs va riables complexes Hermann W Rudin Real and complex analysis Mc Graw Hill 33 Th orie classique des collisions La th orie des collisions tudie le mouvement d un ensemble de particules en in teraction dans le cas o ces particules sont suffisamment loign es les unes des autres et lorsque le temps devient assez grand pour qu on puisse n gliger leur in teraction dans cette limite On cherche alors tablir une correspondance entre les tats entrants les positions et les vitesses des particules dans un pass loin tain et les tats sortants les positions et les vitesses dans un futur loign Cette correspondance est tablie par la matrice de collision une quantit ac cessible exp rimentalement qui contient des informations sur la nature des forces d inte
14. on se demande comment tracer l ensemble qui lui est associ Les m thodes pour r aliser ce programme peuvent s appuyer sur l utilisation du th or me des fonctions implicites mais aussi faire appel des techniques de factorisation de polyn mes 11 Le but de ce projet est de comprendre les diff rents outils utilisables pour r soudre ce probl me et surtout d tudier leurs avantages et leurs limitations Le travail pourra tre illustr par le d veloppement d un module de trac de surfaces alg bri ques bas par exemple sur le logiciel Maple 26 Repr sentations lin aires des groupes finis Il s agit d une introduction la th orie des repr sentations lin aires des groupes finis 27 R seaux Nous tudierons quelques propri t s des r seaux c est dire des sous groupes dis crets de R en lien avec la structure euclidienne de R Nous verrons que les r seaux sont des copies de Z et nous examinerons quelques r sultats sur la r partition des points d un r seau R f rence Tosel R seaux et th or mes de finitude RMS 2004 2005 Pr requis Cours d Alg bre 1 du M1 28 Solutions p riodiques d quations diff rentiel les On d montrera le th or me de Poincar Bendixon et on l appliquera quelques exemples classiques Une mise en uvre sur machine en guise d illustration sera la bienvenue R f rences Ferdinand Verhulst Nonlinear diff
15. raction en jeu Il s agira de se familiariser avec les principaux concepts de la th orie des colli sions en tudiant le cas particuli rement simple de deux particules classiques dans R dont l interaction est d crite par un potentiel invariant par translation et par rotation On d finira dans ce cadre les notions de param tre d impact d angle de diffusion et de section efficace On calculera en particulier la section efficace diff rentielle et totale pour quelques potentiels classiques dont le potentiel cou lombien formule de Rutherford Une ouverture vers la th orie relativiste ou vers la th orie cin tique quation de Boltzmann est envisageable R f rences L Landau E Lifchitz M canique MIR Moscou 1982 R G Newton Scattering Theory of Waves and Particles Springer 1982 14 34 Th orie de la bifurcation De fa on g n rale la th orie de la bifurcation tudie et classifie les changements qualitatifs qui se produisent dans un syst me dynamique lorsqu on varie un para m tre de ce syst me Il s agira d tudier le cas d une quation diff rentielle ordinaire de la forme x t f x t S pour t dans R o f R x R R est un champ de vecteurs r gulier d pendant d un param tre r el On supposera que f 0 0 0 de sorte que l origine x 0 est un point d quilibre du syst me S lorsque 0 et on tudiera la dynamique de ce syst me au voisinage de l o
16. rigine lorsque est proche de z ro On passera en revue les sc narios les plus fr quents bifurcation selle noeud bifur cation fourche bifurcation de Hopf et on s efforcera aussi de comprendre pour quoi l tude de ces bifurcations locales permet d aborder la dynamique complexe de certains syst mes chaotiques R f rences J Guckenheimer et Ph Holmes Nonlinear oscillations dynamical systems and bifurcations of vector fields Applied mathematical sciences 44 Springer 1983 D Ruelle Elements of differentiable dynamics and bifurcation theory Academic Press 1989 J D Crawford Introduction to bifurcation theory Rev Mod Phys 63 1991 991 1037 35 Transformation de Fourier dans un groupe ab lien fini Il s agit d tudier la transformation de Fourier discr te et de certaines de ses appli cations Cette tude th orique sera compl t e par un algorithme de calcul et une ventuelle mise en uvre sur machine R f rence Gabriel Peyr L alg bre discrete de la transform e de Fourier Ellipses 2004 15 36 Transport optimal L histoire du transport optimal commence avec Gaspard Monge au dix huiti me si cle et son fameux probl me des d blais et remblais Monge demande quelle est la fa on optimale de transporter un m tre cube de sable pour combler un trou d un m tre cube La formulation moderne du probl me est la suivante Soient u et v deux mes
17. statistique portant sur l galit entre moyennes temporelles et moyennes d ensembles Cette branche des math matiques tudie principalement le comportement en temps long des trajectoires d un syst me dynamique poss dant une mesure invariante Soit X A u un espace probabilis et T X X une application mesurable pr servant la mesure u tant donn un point x dans X un entier N gt 1 et une application f dans L X A u on d finit la moyenne de l observable f le long de la trajectoire issue de x par pia Fra g XIe La th or me ergodique de Birkhoff 1931 affirme Pour presque tout x dans X la moyenne temporelle Fy x converge lorsque N tend vers l infini vers f x o f appartient L X A u 4 et v rifie les deux galit s f o T f et fran fran Si de plus l application T est ergodique c est dire si elle ne poss de pas de sous ensemble invariant de mesure diff rente de O ou 1 alors f est constante et gale f f du X Il s agira de se familiariser avec les concepts et les m thodes de la th orie ergodique de comprendre les d monstrations des th or mes fondamentaux de von Neumann et de Birkhoff et d tudier quelques unes de leurs cons quences On pourra gale ment consid rer quelques exemples classiques de syst mes dynamiques ergodiques R f rences V I Arnold et A Avez Probl mes ergodiques de la m canique classique Gauthier Villars Paris 1967
18. t coeffi cients al atoires Xn T AN T Bn pour n gt 1 o An Ba n gt 1 est une suite i i d valeurs dans Rt x R ind pendante de Xo vecteur al atoire fix dans R Ces mod les interviennent beaucoup en mo d lisation statistique par exemple dans la mod lisation des s ries chronologiques lorsque l quation est scalaire d 1 Il s agira de comprendre les conditions assurant l existence et l unicit d une solu tion stationnaire de l quation On regardera ensuite un cadre plus g n ral trait dans l article de Goldie donn en r f rence Pr requis On demande de conna tre les diff rents types de convergence d une suite de va riables al atoires La connaissance de la th orie des cha nes de Markov n est pas indispensable mais par contre celle de l esp rance conditionnelle l est R f rences Vervaat W 1979 On a stochastic difference equation and a representation of non negative infinitely divisible random variables Adv Appl Prob 11 750 783 Goldie Ch M 1991 Implicit renewal theory and tails of solutions of random equations Ann Appl Probab Volume 1 Number 1 126 166 16 Nombres de Bernoulli et formule d Euler Mac Laurin La formule d Euler Maclaurin ou formule sommatoire d Euler relie sommes dis cr tes et int grales Elle fut d couverte ind pendamment par Leonhard Euler pour acc l rer le calcul des limites de s ries
19. trictement positives et b r elles et une fonction de r partition H telles que pour tout nombre r el x lim P as Mn bn lt x H z Il s agira de comprendre et d analyser ce r sultat R f rence M R Leadbetter Georg Lindgren Holger Rootz n Extremes and related proper ties of random sequences and processes Springer 1983 13 M thodes de d nombrement Nous nous int resserons quelques probl mes et m thodes de d nombrement uti lisation des fonctions multiplicatives de l analyse complexe de la th orie des groupes finis par exemple On pourra commencer par le probl me qui consiste d nombrer les d compositions d un entier donn comme somme de deux carr s 14 M thode de Laplace et m thode de la phase stationnaire La m thode de Laplace est une m thode pour l valuation num rique d int grales de la forme I e y x dz o u est une fonction deux fois d rivable z est un nombre r el et les bornes a et b peuvent ventuellement tre infinies dans la limite z oo La m thode de la phase stationnaire s int resse au m me probl me quand z est un nombre imaginaire pur z it et on s int resse la limite t 00 On tudiera ces deux m thodes d valuation d int grales R f rence Claude Zuily et Herv Queffelec l ments d analyse pour l agr gation 15 Mod le auto r gressif On consid re le mod le auto r gressif lin aire AR en temps discret e
20. ue et la d finition alg brique de ces immeubles et de d montrer l quivalence des deux d finitions Pr requis Des rudiments d alg bre de L3 et de M1 et de la g om trie du plan R f rence D Cartwright A brief introduction to buildings Contemporary Mathematics vo lume 206 1997 pages 45 77 2 Alg bres semi simples Une alg bre est simple si elle n admet pas d id al bilat re non trivial un prototype en est l alg bre des matrices de taille n x n coefficients dans un corps donn On tudiera plus g n ralement la notion de semi simplicit d une alg bre associative de dimension finie On prouvera les th or mes de structure de Wedderburn Burnside Frobenius Schur etc Cette th orie s applique en particulier la r duction des endomorphismes d com position de Dunford et fournit un cadre naturel l tude des repr sentations des groupes finis R f rence Curtis Reiner Representation theory of finite groups and associative algebras cha pitre 4 3 Courbes alg briques planes Le th or me de Bezout affirme que si C4 et C2 sont deux courbes projectives planes de degr d et d d finies sur un corps alg briquement clos sans composantes communes alors le nombre de points d intersection de C4 et Ca compt s avec leur multiplicit est gal d d2 Il s agira de comprendre les hypoth ses sous lesquelles ce r sultat est vrai en particulier ce que signifie prendre en compte
21. ures de probabilit sur un espace m trique X disons pour simplifier un espace euclidien On demande s il existe une application mesurable T X X telle que Tu v et telle que T minimise f 5E Sa due parmi toutes les applications mesurables S X X telles que Su v Tr s r cem ment le transport optimal s est av r utile en analyse dans l tude des quations aux d riv es partielles en g om trie et dans l tude des syst mes dynamiques Le but du stage sera d tablir des propri t s l mentaires du transport optimal et d en tudier quelques exemples Pr requis Cours de th orie de la mesure de L3 et rudiments d analyse fonctionnelle de M1 R f rence C Villani Topics in optimal transportation 16
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