Chapitre 5
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1. 18 Activit s math matiques Premi re S Asa ne a pa 14 14 14 14 3 BX A 0 B 0 5 C 1 D 1 5 4 PX Y AS B 2 c D aucune des 3 r ponses 112 56 112 pr c dentes 1 6 3 ECE 2008 exercice 5 Une urne contient sept boules rouges et trois boules blanches Une preuve consiste tirer de mani re ind pendante successivement quatre boules avec remise dans lurne apr s chaque tirage On consid re la variable al atoire X qui associe toute preuve le nombre de boules rouges tir es a Il y a 10 preuves possibles Vrai Faux b L ensembles des valeurs prises par X est 0 1 2 3 4 Vrai Faux 3 7 Xele N Vrai Fau GAASI 10 10 4 74 d LR A ER Vrai Faux 10 1 6 4 ECE 2008 exercice 12 Dans une population adulte d une ville il y a 55 d inactifs 80 des actifs sortent le dimanche et 20 le samedi 90 des inactifs sortent le samedi et 20 le dimanche a 47 des adultes de cette ville sortent le dimanche Vrai Faux b 48 5 des adultes de cette ville sortent le samedi Vrai Faux Un habitant est choisi au hasard On constate qu il sort le samedi c La probabilit pour qu il soit inactif est d environ 0 85 Vrai Faux d La probabilit pour qu il soit actif est d environ 0 80 Vrai Faux 1 6 5 ECE 2008 exercice 14 On admet que dans une famille pour toute naissance d un2. Alors a Il est impossible que n 50 Vrai Faux b n est n cessairement sup rieur 150 Vrai Faux c n est n cessairement un multiple de 3 Vrai Faux d Si n 210 alors une des cartes vaut 10 points Vrai Faux e Si n 210 alors une des cartes vaut 30 points Vrai Faux 1 6 16 ESIEE 2002 Exercice 6 On consid re un tableau de 16 cases avec des pions qui sont blancs ou noirs Sachant que si un pion blanc est sur une case aucun pion noir ne peut tre sur une case adjacente horizontalement verticalement ou en diagonale alors 22 Activit s math matiques Premi re S Vrai F a S il y a un 5 pions blancs il peut y avoir 6 pions noirs Kai aux b S il y a un unique pion blanc par ligne et par colonne il peut Vrai Faux O y avoir 2 pions noirs Vrai F c S il y a au plus 12 pions blancs il peut y avoir un pion noir i Eii Vrai F d Sily a 9 pions noirs il ne peut y avoir 2 pions blancs Li D e S il y a au moins 13 pions noirs il ne peut pas y avoir de pion Vrai Faux blanc Ci dessus un exemple les pions noirs ne peuvent tre sur les cases gris es 1 6 17 ESIEE 2002 Exercice 18 On consid re 4 cases align es num rot es de 1 4 et 4 boules une rouge R une bleue B une verte V et une noire N 1 2 z i On range une boule par case de fa on c
3. a Qu une rainette soit mang e par le h ron est A f Vrai Faux b Qu une grenouille verte soit mang e par le h ron est Vrai Faux c Qu une grenouille soit mang e par le h ron est 5 L Vrai Faux d Qu une grenouille soit une rainette et mang e par le h ron est RA Vrai Faux e Qu une grenouille mang e par le h ron soit une rainette est Vrai Faux 1 6 22 Fesic 2008 Exercice 13 Soient b et n deux entiers naturels tels que b gt 2 et n22 Une urne contient 2 boules blanches et b 2 boules noires indiscernables au toucher On tire au hasard une boule de l urne on rep re sa couleur et on la remet dans l urne On r p te ainsi n fois cette exp rience 24 Activit s math matiques Premi re S On d signe par p la probabilit de tirer une boule blanche et une seule lors des 1 premiers tirages et une boule noire au i me tirage 2 l a p A Vrai Faux 2 1 n 1 b p 1 2 Vrai Faux b b c lim In p 0 Vrai Faux d lim Z 1 Vrai Faux 0 N 1 6 23 Fesic 2008 Exercice 14 Un jeu consiste lancer trois fois de suite et de fa on ind pendante un d cubique quilibr dont les faces sont num rot es de 1 6 On obtient ainsi une partie compl te en trois manches chaque lancer constituant une manche Le joueur gagne la partie s il obtient 1 ou 2 chaque lancer Il perd dans les autres cas La partie co te 1 eu
4. 1 6 12 ESIEE 2005 Exercice 19 On dispose d un clavier ayant 8 touches 3 lettres I J K et 5 chiffres 1 2 3 4 et 5 Un code est compos d une lettre suivie de 3 chiffres les chiffres ne sont pas n cessairement distincts Remarque K233 et K323 sont deux codes distincts Alors avec ce clavier on peut cr er exactement a 53 codes commen ant par K Vrai Faux b 10 codes commen ant par K et dont les chiffres sont tous distincts Vrai Faux c 12 codes commen ant par 12 Vrai Faux d 15 codes se terminant par 12 Vrai Faux e 72 codes contenant les chiffres 1 et 2 Vrai Faux 1 6 13 ESIEE 2005 Exercice 20 Une enqu te aupr s d tudiants sur les trois langues anglais espagnol et russe donne les r sultats suivants 300 tudiants parlent au moins l anglais 250 tudiants parlent au moins l espagnol 150 tudiants parlent au moins le russe 100 tudiants parlent au moins l anglais et l espagnol 75 tudiants parlent au moins l anglais et le russe Probabilit s et statistiques 25 50 tudiants parlent au moins l espagnol et le russe On interroge un de ces tudiants au hasard alors 1 La probabilit qu il parle espagnol sachant qu il parle anglais est Vrai Faux 2 La probabilit qu il parle espagnol sachant qu il parle russe est Vrai Faux 3 La probabilit qu il parle rus
5. On obtient 4 fruits distincts 2 Certains r sultats permettent de gagner de l argent 690 50 pour 4 fruits identiques 5 pour 3 fruits identiques 1 pour 4 fruits distincts 0 pour les autres r sultats Soit X la variable al atoire qui chaque r sultat associe le gain indiqu diminu de la mise Calculer l esp rance math matique de X Le jeu m rite t il son surnom dans ce cas 3 Reprendre l exercice avec 3 puis 5 rouleaux en adaptant les v nements E F et G su 2 On jette un astragale 5 fois de suite Calculer les probabi 8 fois exactement la face n 1 8 fois exactement une m me face uniquement les faces n 1 ou n 2 Breughel l ancien anciens jeux d enfants 1560 1 3 17 La chauve souris merci J M Bigard 1 3 16 L astragale Les Grecs et les Romains utilisaient la place des d s des osselets d agneaux appel s astragales Ces osselets sont l origine du jeu d osselets beaucoup jou dans les cours de r cr ation Les astragales pouvaient retomber sur une de leurs 4 faces num rot es 1 2 3 4 Des exp riences statistiques ont permis d tablir que PO p2 pe p4 et p0 46 1 Calculer ces 4 probabilit s l mentaires lit s d obtenir 3 fois exactement la face n 3 au moins une fois la face n 4 Une porte est munie d un clavier portant les touches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
6. 1 a En utilisant la calculatrice donner la valeur affich e par celle ci de l effectif total des filles ainsi que les arrondis 0 1 pr s de la moyenne et de l cart type des masses des filles la naissance b Reporter ces valeurs dans le tableau Pour les gar ons l effectif total est de 1250 D autre part la masse moyenne 0 1 pr s des gar ons la naissance est de 3424 8 g et l cart type vaut 509 7 On note m la moyenne des masses la naissance de tous les enfants filles et gar ons r unis a En utilisant les valeurs des cellules B9 C9 B10 et C10 quelle formule placeriez vous dans la cellule D10 pour calculer cette moyenne m b Effectuer alors ce calcul 8 La colonne E donne la r partition en pourcentage de chaque classe d enfants filles et gar ons r unis Ces pourcentages sont donn s 0 1 pr s Quelle est la formule qui permet de donner le r sultat de la cellule E2 Calculer les r sultats manquants de la colonne E 1 2 2 D apr s bac L Am rique du Sud novembre 2002 L entreprise Bon Fondu fabrique des bo tes de fromage fondu sur un m me site Elle utilise trois machines diff rentes A B C La fabrication du fromage fondu et le conditionnement sont automatis s Le service qualit est charg du suivi statistique de la production afin de garantir au mieux le respect des r gles pr vues par la l gislation en vigueur Partie A La fabrication d une journ e
7. 1 1 Je connais mon cours 1 Probabilit s et statistiques D finitions et probabilit s associ es Univers des possibles v nement l mentaire v nement certain v nement impossible v nement Intersection d v nements R union d v nements v nements ind pendants D finition Variable al atoire Distribution Esp rance math matique D monstration de E X Y E X E Y D monstration de E aX 4E X Variance D monstration de Var aX a Var X cart type 2 Activit s math matiques Premi re S 1 2 Exercices de base en statistiques 1 2 1 D apr s Bac L Pondich ry avril 2001 Voici un tableau de donn es cr sous tableur donnant la mesure des masses la naissance des filles et des gar ons dans une maternit durant l ann e 2000 A B D E 1 masse M en g gar ons filles totaux Pourcentages 2 M lt 1500 3 4 0 3 3 1500 lt M lt 2000 9 9 4 2000 lt M lt 2500 34 46 3 3 5 2500 lt M lt 3000 156 256 16 8 6 3000 lt M lt 3500 504 536 42 4 7 8500 lt M lt 4000 402 288 28 2 8 M gt 4000 142 61 9 Total 1250 100 10 Moyenne 3424 8 11 Ecart Type 909 7 506 1 On prendra 1200 g comme masse moyenne des enfants de masse inf rieure 1500 g et 4300 g comme masse moyenne des enfants de masse sup rieure 4000 g
8. 1 Avec le tableur a Dans la cellule F1 mettre la formule A1 Dans la cellule G1 mettre la formule SI F1 G B1 Que fait cette formule b Recopier la formule de G1 en H1 et 11 Qu a t on simul dans les cellules F1 I1 c Recopier la ligne 1 jusqu la ligne 2000 d Dans les cellules A2002 A2007 mettre les titres suivants Nombre de gar ons Nombre de filles Total Proportion Gar ons Proportion Filles Nombre moyen d enfants par famille e Dans la cellule B2002 mettre la formule NB SI F1 12000 G7 Dans la cellule B2003 mettre la formule donnant le nombre total de filles dans les 2000 familles Dans la cellule B2004 mettre la formule donnant le nombre total d enfants Dans la cellule B2005 mettre la formule donnant la proportion de gar ons Dans la cellule B2006 mettre la formule donnant la proportion de filles dans la ville Observer les r sultats en faisant plusieurs tests avec la touche F9 Les proportions de gar ons et de filles semblent elles gales Dans la cellule B2007 mettre la formule donnant le nombre moyen d enfants par couple 2 Algorithmes a crire un algorithme simulant la naissance d un gar on ou d une fille avec la probabilit 0 5 On l appelle NAISSANCE et il renvoie le r sultat 0 pour un gar on 1 pour une fille b crire un algorithme simulant les 2000 naissances e
9. NE 7 Une seule de ces 4 affirmations est fausse laquelle a c Dans un jeu de 32 b Si on jouait toutes les c Dans un jeu de 32 Res ee Ea S d Que lon joue au loto cartes la probabilit combinaisons du loto cartes la probabilit es 7 g i ou pas la probabilit de d obtenir 5 cartes qui se choix de 6 num ros d obtenir les 4 as dans l gagner le gros lot est suivent dans une main de parmi 49 num ros il une main de 5 cartes est ARE i Hoog i identique au 10 5 cartes est d environ faudrait plus de 100 inf rieure un dix FRA 4 ee AE millioni me pr s 1 20 millions de tickets milli me 8 On consid re l preuve qui consiste lancer un d non truqu On gagne 20 si on obtient le 6 on perd 4 sinon L esp rance de gain pour ce jeu est a Impossible b N gative c Positive d Nulle d terminer 9 On choisit au hasard une boule d une urne contenant 3 boules rouges num rot es 1 2 et 3 deux boules vertes num rot es 1 et 2 et une boule bleue num rot e 1 On consid re les v nements suivants R La boule tir e est rouge A la boule tir e est num rot e 1 B a boule tir e est num rot e 2 Laquelle de ces 4 affirmations est vraie a p ANB p A xr B b p AnB p A p B c p AUB p R d p RAB oi 10 Dans une classe les gar ons repr sentent le quart de l effecti
10. de six cases Probabilit s et statistiques Dans un drapeau deux cases voisines ne peuvent avoir le m me motif Alors a Il y a exactement 9 fa ons de finir ce drapeau N et b Il y a exactement 27 fa ons de finir ce drapeau X c Il y a exactement 27 fa ons de finir ce drapeau d Ily a exactement 6 fa ons de dessiner un drapeau avec uniquement 2 motifs e Il y a exactement 4 x 3 fa ons de dessiner un drapeau 1 6 20 ESIEE 2000 Exercice 15 23 Sept chevaux p n trent au hasard et successivement sur la piste d un cirque trois chevaux sont blancs et les quatre autres sont noirs On note X la variable al atoire gale au rang d entr e du premier cheval noir Alors a La probabilit que le premier cheval apparu soit blanc est i Vrai Faux b La probabilit que les deux premiers chevaux apparus soient blancs est j Vrai Faux 2 BATE Vrai Faux 1 d P X 4 55 Vrai Faux ison D 8 e L esp rance math matique de X est E X 5 Vrai Faux 1 6 21 ESIEE 2000 Exercice 16 Dans une mare vivent des grenouilles vertes et des rainettes 30 des grenouilles sont des rainettes et donc 70 des grenouilles sont des grenouilles vertes Un h ron mange 10 des rainettes et 20 des grenouilles vertes de cette mare Alors dans cette mare la probabilit
11. La porte s ouvre lorsqu on frappe dans l ordre 3 chiffres distincts les lettres peuvent tre identiques Une chauve et 2 lettres qui forment un code Les chiffres sont souris souhaite se rendre chez J M Bigard au 5 tage porte D42 elle a lu le mode d emploi de l ouvre porte et sait parfaitement bien s en servir 1 Quelle est la probabilit pour que la chauve souris ouvre a Elle ignore le code b Elle se souvient seulement que les 3 chiffres du code sont pairs c De plus elle se souvient que les deux lettres sont identiques 2 La porte est quip e d un syst me d alarme se d clenchant lorsqu aucun des 3 chiffres tap s ne fait partie du code Une chauve souris arrive devant l ouvre porte en ignorant le code a Quelle est la probabilit pour qu elle provoque l alarme au premier essai b Elle effectue 4 essais successifs et ind pendants Quelle est la probabilit pour qu elle d clenche l alarme au moins une fois au cours des 4 essais la porte au 1 essai si Arrive une chauve souris Enrag e Elle est l tu vois elle bave elle est enrag e Elle est l Argglbrrll Bon Hop Elle s fout trifouiller mon code Elle est l elle trifouille Elle cherche elle cherche Si si Monsieur quand elles sont enrag es elles cherchent quand m me Elle est l elle cherche elle cherche Pan Elle tombe sur mon code Faut encore qu elle imite la voix d un gars q
12. Les tailles sont donn es dans le tableau ci dessous 48 90 5 91 5 50 92 5 50 49 53 50 a Calculer la moyenne des tailles de ces 9 nouveaux n s b D terminer la m diane des tailles de ces 9 nouveaux n s 2 Sur la totalit du mois de janvier 2003 il y a eu 57 naissances la maternit Beaux jours Les 57 tailles sont donn es dans le tableau ci dessous Tailleenem 46 475 48 485 49 495 50 50 5 51 515 52 525 53 Effectif 1 2 3 5 5 7 9 8 7 5 2 2 1 a Calculer la moyenne des tailles de ces 57 nouveau n s b D terminer la m diane des tailles de ces 57 nouveaux n s en pr cisant la d marche c Calculer le pourcentage de nouveaux n s ayant une taille inf rieure ou gale 49 cm Donner la r ponse arrondie 0 1 d Parmi toutes ces tailles d terminer la plus petite taille t telle qu au moins les trois quarts des nouveaux n s aient une taille inf rieure ou gale t centim tres Quel param tre de la s rie des tailles a t on ainsi trouv Tracer le diagramme en bo te de cette s rie statistique ci dessous 3 L tude statistique de la taille en centim tre des 64 nouveaux n s durant le m me mois de janvier 2003 la maternit Bon accueil a donn les r sultats suivants Minimum Maximum Moyenne M diane Premier quartile Teien quartile 46 53 49 3 49
13. de la population aura moins que l ge moyen f En 2050 on pr voit que la moiti de la population aura moins que l ge m dian g On pr voit que le pourcentage de la population dont l ge est compris entre 40 et 63 ans baissera environ de moiti entre 2000 et 2050 1 2 7 D apr s Bac L Am rique du Sud novembre 2003 On a demand aux 28 l ves d une classe de Premi re de prendre leur pouls au repos et de compter le nombre de battements cardiaques pendant une minute On obtient ainsi une s rie statistique partir des r sultats obtenus rassembl s dans un tableau Nombre de battements par minute 44 59 62 63 65 67 68 70 72 73 Effectifs 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Nombre de battements par minute 74 75 76 77 79 80 82 83 90 100 Effectifs 2 1 2 1 1 2 3 1 1 1 1 Repr senter la s rie statistique par un diagramme en bo te sur lequel figureront les valeurs extr mes le premier et le troisi me quartile ainsi que la m diane unit graphique 1 cm pour 5 battements par minute 2 Calculer le nombre moyen de battements x le r sultat sera arrondi au dixi me ainsi que l cart type 8 Calculer les pourcentages d l ves qui se trouvent dans les intervalles x no x no avecn 1 2 3 4 Pour tous les l ves du lyc e la m me exp rience est men e On suppose que la distribution des battements suit une loi normale de moyenne et d cart t
14. duir la probabilit cherch e Comparer avec la simulation 2 Reprendre le 1 a avec un groupe de n personnes de mani re trouver le nombre minimal de personnes n cessaire pour que la probabilit que parmi ces n personnes deux au moins aient la m me date anniversaire soit sup rieure 0 9 Pensez vous pouvoir effectuer ce calcul la main 1 7 5 D m A Nous voulons une fille Dans la ville de Maulamaula imaginaire bien s r il y a 2000 couples qui ont tous au moins un enfant et tous veulent une fille Cependant ils ne veulent pas plus de quatre enfants Ils appliquent donc tous la strat gie suivante ils feront un autre enfant tant qu ils n ont pas une fille ou quatre gar ons ce moment ils arr tent les frais Nous admettrons que chacun de ces couples peut avoir autant d enfants qu il le d sire qu chaque naissance ils ont autant de chance d avoir un gar on qu une fille et qu ils n ont pas de jumeaux 1 a Donner toutes les compositions de familles possibles dans cette ville b Pensez vous que le nombre de filles dans cette ville sera sup rieur inf rieur ou peu pr s gal celui des gar ons expliquez Partie informatique Nous allons simuler ce qui se passe pour 2000 couples et chercher des r ponses aux questions suivantes Quelle sera la proportion de gar ons et de filles dans cette ville Quel sera le nombre moyen d enfants par famille dans cette ville
15. enfant la probabilit d avoir un gar on est la m me que celle d avoir une fille et que lors de deux naissances s par es les sexes des enfants sont ind pendants Pour une famille de deux enfants DER 1 1 La probabilit pour que les enfants soient deux gar ons est D Vrai Faux ve NT 3 2 La probabilit pour qu il y ait au moins une fille est FL Vrai Faux EED i 1 3 La probabilit pour que les enfants soient de m me sexe est 5 Vrai Faux 4 La probabilit pour que les enfants soient de sexes diff rents est 2 Vrai Faux 1 6 6 ECE 2008 exercice 15 Soit X la variable al atoire r elle dont la loi est donn e par le tableau suivant EEEIEE REA Probabilit s et statistiques 19 1 1 3 1 1 X k in RAR REA 11 a p 1 lt X lt 4 75 Vrai Faux b p 2 lt X lt 2 U X gt 8 1 Vrai Faux 15 p X lt 4 c p e Vrai Faux d E X 2 Vrai Faux 1 6 7 ECE 2007 exercice 9 Une porte est munie d un clavier portant les touches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C La porte ne s ouvre que lorsqu on frappe dans l ordre 4 chiffres et 2 lettres qui forment un code Un signal se d clenche lorsqu aucun des 4 chiffres tap s ne fait partie du code Une personne ignorant le code mais sachant que celui ci comporte 4 chiffres suivis de 2 lettres tente d ouvrir la porte a Le nombre de codes possibles est 943
16. mes Blaise Pascal philosophe et math maticien Le premier probl me tait le suivant Qu est ce qui est le plus probable obtenir au moins un six en quatre lancers d un d ou obtenir au moins un double six en lan ant 24 fois deux d s M r compl te alors sa question en demandant combien de lancers faut il faire au minimum pour obtenir un double six avec une probabilit sup rieure 1 2 Ce premier probl me est assz facile et vous pouvez le r soudre sans aide Le deuxi me probl me tait plus ambigu deux joueurs A et B lancent une pi ce plusieurs fois apr s avoir mis parts gales une somme S pour chaque Face obtenu A re oit 1 point et pour chaque Pile B re oit un point Le premier arriv 5 points emporte la mise Mais au bout de 7 coups alors que A a 4 points et B en a 3 le jeu est arr t comment partager la mise S de la fa on la plus quitable En r alisant une simulation d terminer les probabilit s de chacun de gagner conclure en donnant la part de chacun En fait le probl me avait soulev une discussion entre Pascal et l autre tr s grand math maticien de l poque Pierre de Fermat ce dernier sugg re alors divers prolongements la question de M r 1 Il manque 2 points A et 4 points B pour gagner d finir le partage le plus quitable 2 Trois joueurs jouent un jeu similaire avec 1 chance sur 3 de marquer un point chaque lancer il manque 1
17. ont fraud les autres sont en r gle Le contr leur arrive et choisit 3 personnes au hasard 1 a Quelle est la probabilit qu il tombe pr cis ment sur les trois fraudeurs b Quelle est la probabilit qu il ne trouve aucun des trois fraudeurs c Soit X la variable al atoire gale au nombre de fraudeurs trouv par le contr leur d terminer la distribution de X son esp rance et son cart type 2 M me questions mais il y a 3n personnes dans le wagon dont 1 3 a fraud n gt 3 1 5 2 Etude de minima 1 On consid re la s rie statistique S form e des nombres 1 0 2 3 et 5 a D terminer sa moyenne sa variance et son cart type b On consid re la fonctions f qui tout x r el associe _ 1 2 2 2 2 ry f z 1 ta x 2 4 x 8 x 5 D terminer l abscisse m de son minimum que vaut f m Donner une interpr tation g om trique de l cart type de S c G n raliser les r sultats pr c dents une s rie statistique x puis une variable al atoire X i 1 n Xi Pi Ja e Vous comprenez maintenant pourquoi on appelle galement l cart type cart quadratique moyen 2 On consid re toujours la s rie statistique S form e des nombres 1 0 2 3 et 5 a Calculer la m diane de la s rie S b On consid re maintenant la fonction g qui tout x r el associe le nombre g x 2 x 1 x x 2 x 3 x 5 c Simplifiez l criture de g sur chacu
18. r sultats th oriques 4 Refaire la simulation et compl ter l tude th orique en supposant maintenant que les couples de la ville ont un autre enfant tant qu ils n ont pas une fille ou cinq gar ons
19. une famille durant la p riode du 16 juin au 15 ao t 2000 I On s int resse d abord la dur e des communications t l phoniques vers les t l phones mobiles pendant la p riode du 16 juin au 15 ao t Ci dessous figure une copie de l cran d une calculatrice o est trac un diagramme en bo te repr sentant la s rie relative la dur e de ces communications Sur ce diagramme sont entre autres indiqu s e le minimun 10 secondes e le premier quartile 50 secondes er le troisi me quartile 2 minutes 50 secondes SU rrr SE ES SE PRE EE STE e et le maximum 5 minutes 20 secondes Le pas de la graduation est de 10 secondes 1 Quelle information a t on sur le pourcentage des communications t l phoniques qui ont dur moins de 50 secondes et sur celui des communications qui ont dur plus de 2min 50 s 2 a Lire graphiquement la m diane et donner le r sultat en minutes secondes b Peut on dire qu au moins la moiti des communications ont dur moins de 2 minutes Il On s int resse ensuite la dur e des communications t l phoniques locales toujours pendant la p riode du 16 juin au 15 ao t 4 Activit s math matiques Premi re S On tudie plus particuli rement les communications t l phoniques des quinze derniers jours du mois de juin Les donn es figurent ci dessous cadre 1 On lit par exemple que le 16 juin il y a eu une communication t l phonique d une dur e de
20. 2 Vrai Faux b Le nombre de codes possibles ne contenant que des chiffres impairs est 543 Vrai Faux c La probabilit pour que la personne d clenche l alarme au premier essai est de Vrai Faux 9432 d Cette personne effectue 4 essais successifs et ind pendants les uns des autres la probabilit u yna Vrai Faux Eo pour qu elle d clenche l alarme au cours du quatri me essai est de 1 6 8 ECE 2006 exercice 15 Une urne contient cinq boules blanches deux boules noires et trois boules rouges On extrait simultan ment deux boules de l urne on suppose les tirages quiprobables On consid re le jeu suivant le tirage d une boule noire rapporte 7 points le tirage d une boule rouge rapporte 2 points le tirage d une boule blanche enl ve 2 points On d signe par X la variable al atoire qui tout tirage de deux boules associe le nombre de points marqu s a 45 tirages de deux de ces boules sont possibles Vrai Faux b L ensemble des valeurs prises par X est 4 0 4 5 9 14 Vrai Faux C HARAS Vrai Faux 45 1 d p X 0 7 Vrai Faux 1 6 9 EFREI 2010 Exercice 15 Huit judokas dont deux Fran ais participent un tournoi international Un podium est constitu d un premier un second et un troisi me a Le nombre de podiums possibles est 512 Vrai Faux b Le nombre de podiums possibles avec deux judokas fran
21. 2 22 24 juin 0 01 56 2 min lt d lt 3 min 16 juin 0 12 48 24 juin 0 01 35 3min lt d lt 5 min 16 juin 0 07 29 24 juin 0 00 17 5min lt d lt 10 min 16 juin 0 11 36 24 juin 0 00 17 10 min lt d lt 20 min 16 juin 0 09 28 24 juin 0 03 32 18 juin 0 02 30 24 juin 0 00 30 nombre total d appels 18 juin 0 02 54 24 juin 0 00 05 19 juin 0 00 10 24 juin 0 02 57 19 juin 0 05 29 24 juin 0 01 18 19 juin 0 01 05 25 juin 0 05 06 19 juin 0 01 21 25 juin 0 00 04 19 juin 0 00 18 25 juin 0 00 56 19 juin 0 13 58 25 juin 0 13 21 Cadre 3 20 juin 0 01 08 26 juin 0 01 22 moyenne 20 juin 0 07 59 26 juin 0 02 54 m diane 20 juin 0 04 31 26 juin 0 04 36 premier quartile 20 juin 0 04 53 26 juin 0 00 35 troisi me quartile 21 juin 0 00 01 26 juin 0 03 00 minimum 21 juin 0 01 53 26 juin 0 00 16 maximum 21 juin 0 01 28 26 juin 0 01 15 premier d cile 21 juin 0 01 18 26 juin 0 03 47 neuvi me d cile 21 juin 0 01 10 26 juin 0 00 30 21 juin 0 00 34 27 juin 0 07 28 22 juin 0 00 08 27 juin 0 11 29 23 juin 0 01 05 27 juin 0 01 27 28 juin 0 03 39 27 juin 0 01 00 28 juin 0 03 43 27 juin 0 00 56 Probabilit s et statistiques D apr s Bac L France juin 2003 Dans tout l exercice les tailles sont exprim es en centim tres 1 2 5 1 L quipe de soins de la maternit Beaux jours a relev la taille des nouveaux n s Pendant la troisi me semaine du mois de janvier 2008 il y a eu 9 naissances
22. 3 14 Dominos On consid re l ensemble E 0 1 2 3 4 5 6 7 Avec deux chiffres disfincts x et y de E on cr e un unique domino not indiff remment x y ou y x Avec un chiffre z de E on forme un unique domino double not z z 1 Montrer que l on peut ainsi cr er 36 dominos 2 On tire au hasard un domino a Quelle est la probabilit d obtenir un domino constitu de chiffres pairs b Quelle est la probabilit d obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire 3 On tire au hasard et simultan ment deux dominos Un l ve affirme la probabilit d obtenir un domino double et un domino simple dont l un des chiffres est celui du domino double est gale 2 Son affirmation est elle vraie ou fausse 1 3 15 Bandit manchot Dans une salle de jeux un appareil comporte 4 roues chacune portant sa p riph rie 8 images de fruits diff rents Ananas Bananes Cerises Citrons Fraises Groseilles Oranges Raisins Probabilit s et statistiques 11 Une mise de 1 d clenche le fonctionnement de l appareil pour une partie Chacune des 4 roues affiche au hasard dans une fen tre un de ces fruits On admettra que tous les v nements l mentaires sont quiprobables 1 Calculer la probabilit des v nements suivants E On obtient 4 fruits identiques F On obtient 3 fruits identiques et trois seulement G
23. 48 50 5 a Tracer le diagramme en bo te correspondant ces tailles sur l axe D b Parmi les deux maternit s Beaux jours et Bon accueil une seule poss de un service pour les naissances pr matur es Laquelle Justifier votre r ponse c Les deux maternit s Beaux jours et Bon accueil sont les seules maternit s de la m me ville Calculer la moyenne des tailles des nouveaux n s en janvier 2003 dans les maternit s de cette ville Les donn es de l nonc permettent elles de d terminer la m diane des tailles de ces nouveaux n s Si oui la d terminer sinon expliquer pourquoi Clinique Beaux jours _ _ 46 53 D Clinique Bon accueil _ _ y 46 53 D 1 2 6 A D apr s Bac L Liban juin 2003 Le tableau ci dessous donne la r partition par classes d ge d un chantillon de 1000 personnes repr sentantif de la population fran aise en 2000 la r partition par classes d ges d un chantillon de 1 000 personnes telle qu elle est pr vue pour l ann e 2025 6 Activit s math matiques Premi re S classe d ge 7 0 20 120 60 160 66 166 76 176 86 186 100 ann e 2000 198 442 162 126 56 16 2025 136 379 212 166 821 25 Sources Tableaux de l conomie fran aise d apr s des donn es de l INSEE Une telle pr vision est utile pour planifier les investissements dans les do
24. 8 minutes et 16 secondes ce qui est not 0 08 16 1 Pour cette p riode quel est le jour o il y a eu le plus grand nombre de communications t l phoniques locales 2 Pour ce jour l calculer la dur e moyenne d une communication t l phonique locale HT On consid re maintenant l ensemble des communications t l phoniques locales durant la p riode du 16 juin au 15 ao t et on s int resse la s rie constitu e par la dur e de ces appels Dans le cadre 2 figure un tableau regroupant les appels en fonction de leur dur e 1 l aide d un tableur compl ter les r sultats du cadre 2 En utilisant les donn es de ce cadre 2 a D terminer le pourcentage des appels qui ont dur moins de 3 minutes b Justifier que la m diane de la s rie est comprise entre 1 minute et 2 minutes 3 l aide d un tableur compl ter les r sultats du cadre 3 En utilisant des donn es pertinentes de ce cadre construire un diagramme en bo te correspondant cette s rie on prendra comme chelle 1 cm pour 1 minute Cadre 1 Cadre 2 Dur e des Dur e des Nombre de Dates communi Dates communi Dur e des communications communi cations cations cations 16 juin 0 08 08 28 juin 0 01 07 0 lt d lt 305 16 juin 0 11 07 29 juin 0 00 20 30s lt d lt 1min 16 juin 0 01 00 24 juin 0 02 03 1min lt d lt 2 min 16 juin 0 1
25. ac juste devant eux Les chasseurs ne peuvent tirer qu une seule fois et ne peuvent rep rer qui tire sur tel ou tel canard Ils tirent tous en m me temps chacun choisissant sa victime au hasard Combien de canards survivront en moyenne si on r p te plusieurs fois cette exp rience douloureuse 1 R aliser une simulation en tirant dix chiffres au hasard et en comptant le nombre de chiffres qui ne sont pas tir s ces chiffres non tir s repr sentent les canards survivants par exemple le tirage donne 1 2 0 5 6 2 8 9 1 3 les chiffres 4 7 et 8 ne sont pas tir s on a donc 3 canards survivants En recommen ant de nombreuses fois on obtient une moyenne suffisamment fiable 2 Quelle est la probabilit qu un canard ne soit pas choisi par un chasseur Par dix chasseurs Conclure et comparer au r sultat obtenu au 1 3 Reprendre l exercice avec un nombre plus lev de canards 1 7 4 Les anniversaires Engel p 139 1 Dans une salle il y a 23 personnes Quelle est la probabilit qu au moins deux personnes aient le m me jour anniversaire Probabilit s et statistiques 27 a On fait des tirages de 23 nombres compris entre 1 et 365 on regarde alors si au moins deux de ces nombres sont identiques en recommen ant de nombreuses fois on obtient une approximation de la probabilit cherch e b D terminer la main la probabilit qu aucune des 23 personnes n aient la m me date anniversaire en d
26. ace au hasard ces douze jetons sur une grille de 3 lignes de 4 cases 1 a Quelle est la probabilit de lire le mot AIDE sur la deuxi me ligne b Quelle est la probabilit de lire la fois le mot BAC dans la premi re colonne et le mot AIDE dans la deuxi me ligne 2 Maintenant pour remplir les cases de la premi re ligne on tire un jeton parmi les douze on crit la lettre dans la premi re case on remet le jeton et on recommence l exp rience pour chacune des 3 autres cases Soit X le nombre de A obtenus sur cette premi re ligne D terminer la loi de probabilit de X et son esp rance math matique 10 Activit s math matiques Premi re S 1 3 11 Fl chettes Un joueur lance des fl chettes sur une cible circulaire form e de 4 r gions marqu es 1 2 5 et 10 La probabilit que le joueur atteigne la cible est de 0 6 et la probabilit d atteindre la r gion i est inversement proportionnelle 1 Calculer la probabilit d atteindre la r gion pour i 1 2 5 10 2 Si le joueur atteint la r gion i il marque points et 0 point s il n atteint pas la cible Soit la variable al atoire X gale au nombre de points marqu s lors d un lancer Calculer l esp rance math matique de X 8 Le joueur lance deux fl ches de suite les lancers tant ind pendants Soit Y la variable al atoire gale la somme des points marqu s lors des deux lancers Calculer l esp rance math matiqu
27. ais est 6 Vrai Faux c Le nombre de podiums possibles sans judoka fran ais est 120 Vrai Faux 20 Activit s math matiques Premi re S 1 6 10 ESIEE 2009 exercice 15 Un service de recrutement re oit 15 dossiers dont 6 comportent un avis favorable et les 9 autres un avis d favorable Les 15 dossiers sont class s au hasard La probabilit de l v nement a Le premier dossier est favorable et le second d favorable est Z Vrai Faux b Les deux premiers dossiers sont favorables est j Vrai Faux c Les deux premiers dossiers sont d favorables est Vrai Faux d Au moins un des deux premiers dossiers est d favorable est Vrai Faux j 56 e Dans les 8 premiers dossiers 3 sont favorables et 5 d favorables est a Vrai Faux 1 6 11 ESIEE 2009 Exercice 16 On lance deux d s dont les faces sont num rot es de 1 6 Pour chaque d les probabilit s d obtenir une des six faces sont gales On note S la somme des points des faces sup rieures Si 2 lt S lt 3 on gagne 20 points si 3 lt S lt 5 on gagne 10 points si 5 lt S lt 10 on gagne 5 points et si 10 lt S lt 12 on gagne 1 point On note X la variable al atoire donnant le nombre de points par lancer a p X 20 p X 1 Vrai Faux 5 b AXES g Vrai Faux 13 c p X lt 5 Vrai Faux 18 5 d p X 210 7z Vrai Faux aa 64 e L esp rance de X est g Vrai Faux
28. c 2000 Exercice 19 Un autoradio est muni d un code de s curit constitu de 4 chiffres chacun de ces chiffres est compris entre 0 et 9 seul le premier ne peut pas tre nul Lorsque le poste est enlev de son emplacement dans l automobile il faut pour le r installer composer le code de s curit Lorsque le premier code compos est inexact il faut attendre deux minutes pour pouvoir composer un nouveau code Si celui ci est inexact il faut nouveau attendre 4 minutes pour composer le code suivant et ainsi de suite le temps d attente tant multipli par deux chaque fois 26 Activit s math matiques Premi re S On admet que l on peut renouveler l op ration autant de fois que l on veut et on n glige chaque fois le temps mis pour composer le code a En 24 heures on a le temps de faire au maximum 10 essais Vrai Faux On suppose que l on compose les codes au hasard sans r p tition jusqu obtention du code correct b La probabilit pour que le code ne soit exact qu au quatri me essai est Vrai Faux 8997 ioi 1 c La probabilit pour que le code correct soit trouv en moins de 24 heures est 900 Vrai Faux d La probabilit pour que le code correct soit trouv au cours du deuxi me jour est Vrai Faux 8990 1 7 Informatique 1 7 1 Un algorithme indispensable crire un algorithme disant si tous les l ments d une liste de nombres sont dis
29. candidats sont des gar ons qui ont suivi l enseignement de sp cialit de math matiques en terminale a On interroge un candidat au hasard La probabilit que ce soit une fille qui ait suivi f iaie Ps des x Vrai Faux l enseignement de sp cialit de math matiques en terminale est de 30 b On interroge un gar on qui est candidat La probabilit qu il ait suivi l enseignement de face JEES N o Vrai Faux sp cialit de math matiques en terminale est de 20 c 38 des candidats ont suivi l enseignement de sp cialit de math matiques en terminale Vrai Faux d On interroge un candidat qui a suivi l enseignement de sp cialit de math matiques en Vrai Faux terminale La probabilit qu il s agisse d une fille est 1 6 27 Fesic 2002 Exercice 15 Soit un entier sup rieur ou gal 2 Une urne contient e une boule num rot e 0 e une boule num rot e 1 e 2 boules num rot es 2 e 2 boules num rot es 3 e 2 boules num rot es n Les boules sont indiscernables au toucher On extrait au hasard une boule de l urne et on note X la variable al atoire gale au num ro de la boule tir e a L urne contient 2 1 boules Vrai Faux b Pour tout entier naturel k tel que 1 lt k lt n ona P X k 2 1 Vrai Faux c On a pour n22 Je n 1 2 1 Vrai Faux k 1 d Ona E X n 1 2 1 Vrai Faux 1 6 28 Fesi
30. e de Y 4 Le joueur lance trois fl ches de suite Quelle est la probabilit qu il marque au moins 25 points 5 Reprendre les questions 1 4 en consid rant que la probabilit que le joueur atteigne la cible est 0 6 et la probabilit d atteindre la r gion est proportionnelle l aire de la r gion i 1 3 12 Billes Un jeu consiste lancer une bille dans un circuit comportant 5 portes A B C D et E rapportant respectivement 1 2 3 4 et 5 points Au d part la bille passe au hasard par B ou C De elle va au hasard vers B D ou E De B elle va vers D ou E De C elle va vers E de D ou E elle sort du circuit 1 Faire un sch ma du circuit indiquant tous les trajets possibles 2 Les choix de chacune des portes tant quiprobables calculer la probabilit du trajet A B D 3 Calculer la probabilit de chacun des trajets 4 Soit X la variable al atoire gale au nombre de points marqu s lors du trajet Donner la loi de probabilit de X et calculer son esp rance math matique 1 3 13 Urnes et d s On dispose de deux urnes U et U L urne U contient trois boules blanches et une boule noire l urne U contient une boule blanche et deux boules noires On lance un d non truqu Si le d donne un num ro inf rieur ou gal 2 on tire une boule dans l urne U sinon on tire dans l urne U les boules sont indiscernables au toucher Calculer la probabilit de tirer une boule blanche 1
31. e que les trois conditions suivantes soient v rifi es 1 Si la case 1 contient la boule verte alors la case 4 contient la boule bleue 2 La case 2 contient la boule rouge ou la boulme noire 3 Si la case 3 contient la boule rouge alors la case 1 contient la boule verte et la case 4 la boule bleue a On peut avoir V R N B Vrai Faux b On peut avoir B N R V Vrai Faux c Il y a exactement 2 rangements possibles avec la boule verte dans la case 1 Vrai Faux d Il y a exactement 4 rangements possibles avec la boule bleue dans la case 1 Vrai Faux e Il y a exactement 9 rangements possibles Vrai Faux 1 6 18 ESIEE 2002 Exercice 20 On dispose de deux jeux de cartes l un rouge et l autre bleu Le jeu rouge est constitu de 6 cartes num rot es de 1 6 et indiscernables au toucher Le jeu bleu est constitu de 6 cartes indiscernables au toucher deux cartes portent le num ro 2 deux cartes portent le num ro 4 et deux cartes portent le num ro 6 On tire une carte du jeu rouge et une carte du jeu bleu on note X le num ro de la carte rouge et Y celui de la carte bleue a p X 4Y 2 5 Vrai Faux 1 b PRSA EA a Vrai Faux c p X Y 3 p X Y 4 Vrai Faux d p X Y 6 p X Y 8 Vrai Faux 1 e p XHY 7 Vrai Faux 1 6 19 ESIEE 2000 Exercice 14 On dispose des quatre motifs un arbre de un ballon une rose et un bateau pour dessiner un drapeau compos
32. est de 10 000 bo tes avec la r partition pr cis e dans le tableau suivant Tableau N 1 les masses sont exprim es en tonnes Machine A B Totaux Bo tes sans d faut 1 800 4 500 2 500 Bo tes avec d fauts de fabrication 180 400 200 Bo tes avec d fauts de conditionnement 20 100 300 Totaux Probabilit s et statistiques 3 1 Compl ter le tableau pr c dent Dans les questions suivantes les r sultats demand s seront arrondis 107 pr s 2 a Pour la machine A quel est le pourcentage des bo tes pr sentant un d faut de fabrication b Pour la machine B quel est le pourcentage des bo tes sans d faut c Parmi les bo tes sans d faut quel est le pourcentage des bo tes fabriqu es par la machine B Partie B La masse nette de fromage inscrite sur les bo tes est de 320 grammes Afin de v rifier que la production est conforme la d claration figurant sur les bo tes le service qualit pr l ve un chantillon de 20 bo tes produites par la machine B Les valeurs en grammes ordonn es sont les suivantes 315 5 315 5 316 321 322 323 323 5 323 5 324 324 324 325 325 5 326 326 327 328 5 329 329 329 1 Calculer la moyenne m de cette s rie statistique ainsi que son cart type 2 La production issue d une machine est consid r e comme conforme si au moins 95 des bo tes de l chantillon ont une masse appartenant l interval
33. f Une fille sur trois a eu son permis de conduire du premier coup alors que seulement un gar on sur dix l a eu du premier coup On interroge un l ve gar on ou fille au hasard La probabilit qu il ait eu son permis du premier coup est gale a 0 043 b 0 275 c 0 217 d 0 033 11 Dans la classe de la question 10 on interroge un l ve au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup La probabilit que cet l ve soit un gar on est gale a 0 100 b 0 091 c 0 111 d 0 25 12 Un tireur sur cible s entra ne sur une cible circulaire comportant trois zones d limit es par des cercles concentriques de rayons respectifs 10 20 et 30 centim tres On admet que la probabilit d atteindre une zone est proportionnelle l aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible La probabilit d atteindre la zone la plus loign e du centre est gale Ta T E 14 7 3 M KORES 1 6 2 QCM Variables al atoires Concours Avenir 2010 On tire 2 lettres successivement et avec remise d un sac contenant les lettres M A T et H et on consid re X la variable al atoire associ e au nombre de voyelles tir es Par ailleurs Y est une variable al atoire ind pendante de X prenant pour valeurs 2 1 et 3 avec des probabilit s proportionnelles aux carr s de leurs valeurs 1 PX 0 pe ae n 16 16 16 16 2 P Y 3
34. fera sec demain avec la probabilit 0 8 S il fait humide aujourd hui alors il fera humide demain avec la probabilit 0 6 1 Aujourd hui nous sommes dimanche et il fait sec Quelle est la probabilit d avoir a mardi sec b mercredi humide c jeudi sec d toute la semaine prochaine s che 2 crire un algorithme permettant de dire la probabilit qu il fasse sec ou humide dans jours suivant le temps aujourd hui 3 Que pouvez vous dire sur vos pr visions lorsque devient grand 1 4 4 Au soleil Parmi quinze appareils quatre sont destin s des pays chauds et ont t tropicalis s L op rateur charg de l empaquetage a oubli d tiqueter de mani re distincte les appareils tropicalis s Il a devant lui quinze paquets identiques et doit retrouver les quatre appareils tropicalis s Ils les ouvre jusqu ce qu il ait obtenu les quatre 1 Il ouvre quatre paquets Quelle est la probabilit pour qu il retrouve les quatre appareils tropicalis s 2 Quelle est la probabilit pour qu il soit oblig d ouvrir au moins cinq paquets 3 Quelle est la probabilit que les appareils soient les derniers paquets ouvrir loi dite de Murphy ou de la Tartine 4 Quelle est la probabilit qu il soit oblig d ouvrir tous les paquets sauf le dernier 1 4 5 Keno On s int resse au jeu Keno de la Fran aise Des Jeux L une des fa ons de jouer est la suivante dan
35. is 3 chacun calculer le total des gains redistribu s Prospectus Num ros Vos chances Num ros Vos chances Gain x fois Gain pour Gain pour jou s par totales de trouv s par totales de la mise une mise une mise grille gagner grille gagner de 1 5 de 3 10 1 sur 7 4 10 1 sur x200 000 300000 600 000 fum tos 9 2147184 x2500 3750 7500 8 1 sur 47238 x 100 150 300 7 1sur2571 x10 15 30 6 1 sur 261 x5 75 15 5 s x2 3 6 0 keir x2 3 6 1 sur 39 1 4 6 Bo tes et boules Une bo te contient 6 boules vertes et n boules blanches Un jeu consiste tirer simultan ment deux boules de la bo te Si les deux boules sont de m me couleur le joueur gagne 1 si elles sont de couleurs diff rentes le joueur perd 1 1 Nous supposons que n 3 Calculer les probabilit s d obtenir a Deux boules de m me couleur b Deux boules de couleurs diff rentes 2 Nous supposons n quelconque et sup rieur ou gal 2 On note X la variable al atoire qui chaque tirage de deux boules associe le gain alg brique du joueur a Exprimer en fonction de n les probabilit s de A X 1 et B X 1 b Calculer l esp rance math matique de X not e E X Nombre de faces A 2 me lancer Nombre de faces A ler lancer c Pour quelles valeurs de n a t on E X 0 E X lt 0 Dans cet exercice les r sultats sero
36. it s math matiques Premi re S 1 3 Exercices de base en probabilit s 1 3 1 Boules Une urne contient une boule blanche num rot e 1 deux boules rouges num rot es 1 et 2 et trois boules vertes num rot es 1 2 et 3 Les boules sont indiscernables On extrait successivement deux boules de l urne sans remise dans l urne de la premi re boule tir e Trouver la probabilit de chacun des v nements suivants A les deux boules sont rouges B les deux boules sont de couleurs diff rentes C le tirage comporte au moins une boule rouge D le tirage comporte exactement une boule verte E le tirage comporte une boule verte et une boule num rot e 1 F le tirage comporte une boule rouge ou une boule num rot e 1 1 3 2 Dans une urne Mille boules num rot es de 0 999 sont plac es dans une urne On tire une boule au hasard et on note X le num ro sorti 1 Calculer la probabilit des v nements A X est divisible par 5 B X se termine par 0 C X est multiple de 2 D X est divisible par 3 2 D terminer la probabilit des v nements A NC AUC BaD BYD AaD AVD AAaB CUD 1 3 3 D s 1 On lance deux d s cubiques quilibr s dont les faces sont num rot es de 1 6 1 Calculer la probabilit des v nements suivants A Obtenir exactement un 1 B Obtenir aucun 1 C Obtenir au moins un 1 D Obtenir au plu
37. le m 20 m 20 La production de la machine B est elle conforme 2 a Pour cet chantillon pr ciser la m diane le premier quartile et le troisi me quartile b Repr senter le diagramme en bo te associ cet chantillon sur lequel figureront au moins la m diane et les premier et troisi me quartiles Unit graphique 1 centim tre par gramme 1 2 3 EE D apr s Bac L Nouvelle Cal donie novembre 2002 On consid re les quatre lettres A T C G Dans cet exercice on s int resse aux mots de trois lettres mots ayant un sens ou non que l on peut former avec ces lettres Ainsi les mots CAT TTG et GAG conviennent 1 a D terminer tous les mots de trois lettres distinctes que l on peut constituer en commen ant par la lettre T b Combien de mots de trois lettres distinctes peut on constituer Justifier 2 Montrer que l on peut former 64 mots de trois lettres 3 On veut simuler des tirages de mots de trois lettres a Expliquer comment on peut effectuer une telle simulation L illustrer par une suite d exemples b Effectuer cette simulation pour vingt tirages de mots Donner les vingt mots obtenus combien d entre eux sont form s de trois lettres diff rentes Quelle est alors la fr quence d apparition des mots de cette nature 1 2 4 FE D apr s Bac L Nouvelle Cal donie novembre 2002 On tudie gr ce un tableur et une calculatrice les communications t l phoniques d
38. maines du logement des maisons de retraite des coles des h pitaux des transports On suppose que la r partition dans chaque classe est uniforme et on remplacera chaque classe par son centre 1 l aide de la calculatrice donner les r sultats arrondis 107 pr s de la moyenne de l cart type de la m diane du premier quartile et du troisi me quartile pour la s rie concernant l ann e 2025 2 On r alise le m me type de pr vision pour l ann e 2050 On souhaite alors comparer les indicateurs des ann es 2000 et 2050 Pour cela on dispose du tableau ci dessous o les r sultats sont arrondis 107 pr s indicateur 3 p moyenne cart type m diane 1 quartile 3 quartile ann e 2000 44 8 22 4 40 40 63 2050 56 4 22 2 63 40 71 Pour les s ries des ann es 2000 et 2050 r aliser les bo tes moustaches non lagu es par rapport au m me axe en les construisant l une en dessous de l autre et en prenant 1 cm pour 10 ans 8 Les phrases suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier a En 2050 on pr voit que plus d une personne sur deux aura au moins 60 ans b En 2000 il y a au moins 75 des personnes g es de 63 ans ou moins c La dispersion par rapport la moyenne des ges est sup rieure en 2000 celle pr vue en 2050 d On pr voit qu au moins trois personnes sur quatre auront 1 ans ou moins en 2050 e En 2050 on pr voit que la moiti
39. n appelle X la variable al atoire gale au nombre de fois n cessaire ce r sultat 1 On prend p q s a D terminer les probabilit s des v nements suivants X 1 X 2 X lt 3 X lt N Nentier X gt N b On d cide de s arr ter au bout de N lancers qu on ait obtenu 1 ou pas D terminer en fonction de N l esp rance math matique E X de X que devient Ey X lorsque N devient grand 2 Reprendre les questions pr c dentes avec p et q quelconques 3 crire un algorithme permettant de simuler la situation pr c dente Partie C On joue un jeu o chaque partie on a la probabilit p de gagner g 1 p de perdre chaque partie on mise une somme S si on perd on perd sa mise le gain est S si on gagne on multiplie sa mise par k et le gain est k 1 S par exemple si k 3 on gagnera 3S S 2S On mise S la premi re partie si on gagne on s arr te de jouer si on perd on rejoue en misant kS Tant qu on n a pas gagn on rejoue en multipliant la mise par k 1 Montrer que le gain est toujours S quelque soit le moment o on gagne 2 Montrer qu il arrive toujours un moment N la premi re fois o l on gagne o la probabillit de gagner est sup rieure 0 999 3 D terminer N ainsi que la derni re mise dans les cas suivants 1 1 1 S 1 k 2 p qg b S 1 k 5 p S 1 k 20 p a 1 J P q4 2 7 1 1 P 5 A c 1 1 P 20 3 Conclure 1 6 QCM et Vrai Faux Pour
40. n des intervalles 1 1 0 0 2 2 3 et 5 0f d En d duire le sens de variation de g sur R Quelle est l abscisse du minimum m de g Que vaut ce minimum e G n raliser les r sultats pr c dents une s rie statistique x _ puis une variable al atoire X x Pi Je 1 5 3 Jetons sans remise Une urne contient jetons 5 jetons rouges et n 5 jetons noirs num rot s de 1 n n25 Un joueur tire au hasard successivement et sans remise deux jetons de l urne 1 a Soit Q l ensemble de tous les tirages D terminer le nombre de tirages possibles Probabilit s et statistiques 15 b On note p la probabilit de l v nement A les deux jetons sont de couleurs diff rentes 10n 50 Montrer que p J n n 2 Le joueur gagne 2 euros s il r alise A et perd 1 euro dans le cas contraire On note X le gain alg brique du joueur n 31n 150 2 nn 2 a Donner la loi de probabilit de X et v rifier que E X b D terminer la composition de l urne pour que le jeu soit quitable Conclure 7 5 3 a tudier les variations de la fonction f d finie sur 5 par f x 10 b En d duire la ou les valeur s de n pour laquelle le joueur a le plus de chances de r aliser A Pr ciser la probabilit correspondante 1 5 4 Le probl me du Chevalier de M r En 1654 un homme de lettres qui se faisait appeler le Chevalier de M r posa deux probl
41. ns la canalisation on obtient ainsi les fr quences correspondant chacune des sorties possibles de la souris On note alors la fr quence correspondant la sortie n 1 obtenue b En effectuant 50 simulations calculer les 50 fr quences correspondant la sortie n 1 c Calculer la moyenne m de ces 50 fr quences ainsi que leur cart type Calculer le pourcentage de valeurs de la s rie des 50 fr quences situ es dans les intervalles m no m no n 1 2 8 2 On effectue ensuite deux s ries de 50 simulations l une correspondant 500 progressions de la souris l autre 1000 progressions et on obtient 50 fr quences de la sortie n 1 pour chaque s rie Le graphique ci dessous repr sente les diagrammes en bo te ou bo tes moustaches de ces deux s ries Dessiner sur le m me graphique le diagramme en bo te qui correspond la s rie des 50 simulations effectu es dans la question 1 en calculant tous les l ments n cessaires pour construire ce type de bo te 3 a l aide des trois diagrammes d terminer la s rie qui semble donner les fr quences les plus proches de la fr quence th orique b Que faudrait il faire pour s en approcher encore davantage 50 simulations de 1000 trajets 50 simulations de 500 trajets 0 25 0 26 0 27 0 28 0 29 0 3 0 31 0 32 0 33 0 34 0 35 0 36 0 37 0 38 0 39 0 4 0 41 0 42 0 43 0 44 0 45 0 46 0 47 0 48 0 49 05 8 Activ
42. nt donn s sous forme de 0 fractions On dispose de deux d s t tra driques identiques les quatre 0 1 faces sont marqu es A B C et D 1 On lance les deux d s simultan ment et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des d s D terminer la probabilit des v nements suivants E ne pas obtenir la lettre A E obtenir une fois la lettre A E obtenir deux fois la lettre A 2 On organise un jeu de la fa on suivante le joueur lance les deux d s simultan ment 14 Activit s math matiques Premi re S Si les deux d s reposent sur les faces A le jeu s arr te Si un seul d repose sur la face A le joueur relance l autre d et le jeu s arr te Si aucun d ne repose sur la face A le joueur relance les deux d s et le jeu s arr te a Recopier et compl ter l arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilit correspondante b Le joueur gagne si lorsque le jeu s arr te les deux d s reposent sur les faces A Montrer que pour le joueur la probabilit de gagner est de A 256 c Pour participer le joueur doit payer 5 euros S il gagne on lui donne 10 euros Si lorsque le jeu s arr te un seul d repose sur la face A il est rembours Sinon il perd sa mise Le jeu est il favorable au joueur 1 5 Pour chercher 1 5 1 m A Les fraudeurs Dans un wagon de tramway se trouvent neuf personnes 3
43. point A 2 points B et 3 points C le jeu est interrompu quel est le partage le plus quitable 8 Le probl me plus g n ral met aux prises deux joueurs ayant les probabilit s p et 7 de marquer un point lors d un lancer ils jouent fois A a a points B a b points quelles sont les probabilit s respectives de gagner et la r partition des enjeux la plus juste 1 5 5 Smoking No Smoking EPF 2009 Un fumeur souhaite r duire sa consommation de tabac Suite de premi res observations on constate que s il reste un jour sans fumer il a 40 de chances de fumer le lendemain s il c de et fume un jour il a 20 de chances de fumer le lendemain On d signe par p la probabilit qu il fume le i me jour 1 En utilisant un arbre Exprimer p en fonction de p 1 2 Pour tout entier n on pose 4 p a Quelle est la nature de la suite 4 3 D terminer la limite de p Que peut on en conclure 1 5 6 f KE Loi g om trique Partie A Trois personnes a b et c jettent une pi ce de monnaie dans l ordre a b c a b c Le vainqueur est le premier tirer PILE Calculer les chances de victoire de chacune des trois personnes Partie B 16 Activit s math matiques Premi re S On dispose d une roulette deux num ros 0 et 1 la probabilit sur un lancer de tirer 1 est p celle de tirer 0 est q 1 p On lance la roulette jusqu ce qu on obtienne un 1 o
44. ro le joueur re oit 27 euros s il gagne la partie a La probabilit de gagner une partie est 5 Vrai Faux b Ce jeu est quitable Vrai Faux c La probabilit pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est 5 Vrai Faux d La probabilit qu un joueur gagne une partie sachant qu il a gagn la 1 manche est la z ae a Ne f A i Vrai Faux m me que la probabilit qu il gagne la 1 manche sachant qu il a gagn la partie 1 6 24 Fesic 2005 Exercice 16 Un sondage fait tat de l int r t d un certain nombre de personnes sur la lecture de trois revues appel es A B et C Tous les chiffres cit s ci dessous font r f rence ces personnes sond es Parmi les personnes interrog es 75 lisent 58 lisent B et 60 lisent C On sait de plus que 18 lisent A et B 18 lisent B et C et 15 lisent A et C Enfin 3 personnes lisent les trois revues et 5 personnes ne lisent aucune de ces revues Par ailleurs et parmi les personnes qui ne lisent que la revue A 20 sont des femmes parmi les personnes qui ne lisent que la revue B les deux cinqui mes sont des femmes parmi les personnes qui ne lisent que la revue C il ya moiti moiti d hommes et de femmes a 150 personnes ont t sond es Vrai Faux b 100 personnes lisent une et une seulement de ces trois revues Vrai Faux c On interroge au hasard une personne du sexe masculin qui ne lit que l une des trois revue
45. s Il y a 25 de chances qu il s agisse d un homme qui ne lise que la revue A Vrais Faux d On interroge au hasard une personne qui ne lit que l une des trois revues Il y a 25 de l Vrai Faux chances qu il s agisse d un homme qui ne lise que la revue A 1 6 25 Fesic 2004 Exercice 13 Une urne contient 3 boules une bleue une verte et une rouge Soit n un entier sup rieur ou gal 2 On effectue n tirages successifs d une boule avec remise interm diaire On suppose les tirages quiprobables et ind pendants et on appelle p la probabilit associ e cette exp rience On d finit de plus les v nements suivants On appelle A l v nement Les n 1 tirages ont donn la m me boule et la n boule tir e est diff rente des pr c dentes Lorsque k est un entier compris entre 1 et n on appelle B V et R les v nements respectivement associ s au tirage d une boule bleue verte ou rouge lors du k tirage Probabilit s et statistiques 25 a PB a B 1 pV NnV pR AR Vrai Faux 2 f b p A a Vrai Faux c Pour tout entier n22 ona p 4 T Vrai Faux 1 d lim p A2 pl pa e Vrai Faux h 0 1 6 26 Fesic 2003 Exercice 14 60 des candidats au concours de la FESIC sont des filles Parmi elles 30 ont suivi l enseignement de sp cialit de math matiques en terminale Par ailleurs 20 des
46. s un 1 E Obtenir deux nombres pairs F Obtenir une somme sup rieure ou gale 8 2 Expliciter l v nement EXF et calculer sa probabilit 1 3 4 La loterie Dans une loterie on vend 100 billets dont 3 sont gagnants 1 On ach te un billet Quelle est la probabilit qu il soit gagnant 2 On ach te un deuxi me billet Quelle est la probabilit de gagner au moins un lot 1 3 5 D s 2 Un d cubique parfaitement quilibr a trois faces marqu es 1 une face marqu e 10 et deux faces marqu es 100 On lance le d une fois D terminer la loi de probabilit correspondant cette exp rience son esp rance math matique et sa variance 1 3 6 D s 3 On joue avec un d pip les six faces n ont pas les m mes chances d appara tre six faces num rot es de 1 6 Soit A Il sort un nombre pair et B Il sort un nombre impair nous avons p A 7 8 avec quiprobabilit entre les num ros pairs et galement quiprobabilit entre les num ros impairs 1 Calculer la probabilit d obtenir 1 2 6 2 Soit X la variable al atoire Num ro sorti Calculer l esp rance math matique de X Probabilit s et statistiques 9 1 3 7 D s 4 On lance au hasard quatre fois de suite un d quilibr et on consid re le nombre form par les quatre num ros pris dans l ordre de sortie Q d signe l ensemble des issues possibles Calculer les probabilit s des
47. s une grille contenant une fois chacun les nombres de 1 70 on choisit 10 num ros Un tirage au sort de 20 num ros a lieu une grille est gagnante dans l un des deux cas suivants soit aucun des num ros sortis n a t trouv soit au moins cinq num ros sortis ont t trouv s Ci dessous se trouve un extrait tir des r gles figurant au dos des bulletins Sur 10 000 bulletins on a obtenu les r sultats suivants Probabilit s et statistiques 13 nombre de num ros trouv s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 254 1253 2521 2922 1962 822 220 41 5 0 0 effectif Par exemple le nombre de bulletins o on a trouv exactement deux bons num ros est de 2521 1 a Combien y a t il de bulletins gagnants en Ce pourcentage est il proche du 1 sur 7 4 annonc dans le prospectus de la FDJ 2 Sur l chantillon observ combien un bulletin contient il de bons num ros en moyenne 8 a D terminer la m diane ainsi que le premier et le troisi me quartile de la s rie r sum e par le tableau b Construire le diagramme en bo te correspondant 4 Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses a Au moins la moiti des bulletins comporte au plus 2 bons num ros b 25 au plus des bulletins comportent 4 bons num ros ou davantage c Au moins 50 des bulletins comportent de 2 4 bons num ros 6 Les 10 000 joueurs ont m
48. se sachant qu il parle anglais est Vrai Faux 4 Les donn es sont insuffisantes pour conna tre le nombre d tudiants parlant au moins une Vrai Faux des trois langues 5 Les donn es sont insuffisantes pour calculer la probabilit qu il parle anglais Vrai Faux 1 6 14 ESIEE 2004 Exercice 8 Dans un sondage aupr s de 100 tudiants on obtient les r sultats suivants 60 aiment le caf 50 aiment les jus de fruits 40 aiment le th 40 aiment les jus de fruits etle caf 10 aiment les trois boissons On interroge un de ces tudiants au hasard a La probabilit qu il aime les jus de fruits sachant qu il aime le caf est Vrai Faux b La probabilit qu il aime les trois boissons sachant qu il aime le th est Vrai Faux c La probabilit qu il aime les jus de fruits et le caf sachant qu il naime pas le th est Vrai Faux d Les donn es ne permettent pas de calculer la probabilit qu il aime les jus de fruits sachant RE 3 Vrai Faux qu il n aime pas le caf e Les donn es ne permettent pas de calculer la probabilit qu il aime le th sachant qu il aime le caf Vrai Faux 1 6 15 ESIEE 2004 Exercice 10 On dispose de 4 cartes zal Fil gt Chaque carte vaut un nombre entier strictement positif de points On donne la somme des points de 3 cartes z FE 200 points z gt 150 points z kl gt 100 points kl fpont
49. t renvoyant une liste de 0 et de 1 28 Activit s math matiques Premi re S c Am liorer cet algorithme pour qu il simule la situation d crite au d but du probl me et donne les r sultats demand s au d but Partie th orique 1 a 2000 couples ont un premier enfant quel nombre th orique de naissances de filles peut on s attendre pour ce premier enfant b quel nombre de couples avec un enfant peut on s attendre dans Maulamaula c 1000 couples ayant d j un gar on ont un deuxi me enfant quel nombre th orique de naissances de filles peut on s attendre pour ce deuxi me enfant d quel nombre de couples ayant deux enfants peut on s attendre dans notre ville 2 a Compl ter le sch ma suivant indiquant la r partition th orique des naissances pour les 2000 couples de notre ville 2000 Couples un 1 Filles enfant Gar ons a g me Filles enfant Gar ons N T gae Filles enfant Gar ons TE 4 me Filles enfant Gar ons b Pour 2000 couples donner la r partition th orique attendue Enfants F GF GGF GGGF GGGG Effectifs c D terminer le nombre th orique de filles pour les 2000 couples le nombre th orique de gar ons pour les 2000 couples le nombre th orique moyen d enfants pour les 2000 couples Comparer les simulations faites au 2 et au 3 ces
50. tincts 1 7 2 D KE Bilan Carbone Vous disposez d un fichier Geogebra avec les quantit s de CO relev es l observatoire de Mauna Loa Hawaii depuis janvier 2005 les donn es proviennent du site http esrl noaa gov gmd ccgg trends Vous avez galement un fichier Excel avec les temp ratures de la Terre depuis 1900 site Votre mission si vous l acceptez consiste pr parer un graphique avec les dates en abscisse les quantit s de CO en ordonn es sur la p riode en question ainsi que la temp rature Terrestre 1 a Am liorer la pr sentation actuelle en mettant en abscisse les dates b Mettre les dates tous les trois mois pour une meilleure lisibilit c Compl ter le graphique en lissant les variations saisonni res au moyen de la moyenne mobile 2 Augmenter la dur e de repr sentation ann e par ann e depuis 1959 gr ce aux donn es pr sentes sur le site 3 Utiliser les donn es de temp rature moyenne du globe et les mettre en regard 4 Faites une pr sentation labor e de vos calculs raw data sur www woodfortrees org voir sur http www manicore com index html ainsi que sur http www pensee unique fr indicateurs html de nombreux liens illustrations et questionnements Cet enregistrement s autod truira dans les 5 secondes 1 7 3 Les chasseurs Engel p 137 Dix chasseurs tous tireurs d lite sont l aff t aux canards devant un lac Dix canards se posent sur le l
51. tous les Vrai Faux cocher sur la grille votre r ponse 1 6 1 Un max de questions fondamentales bien s r 1 A et B sont deux v nements ind pendants tels que p A 0 2 et p B 0 3 alors p AUB a 0 06 b 0 44 c 0 5 d 0 56 2 A et B sont deux v nements alors p A nB a p A p AnB b p B p AnB c p B p ANB d p A p AnB 3 On d signe par A et B deux v nements ind pendants d un univers muni d une loi de probabilit p On sait que p AUB et p A 2 La probabilit de l v nement B est gale Y alw Sa oo C d 5 D 4 Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches On tire successivement et sans remises 2 boules de l urne La probabilit de l v nement la 2 boule tir e est noire sachant que la premi re l est aussi est gale se pa E d 4 64 14 NIA 5 Lors d une course de chevaux comportant 20 partants la probabilit de gagner le tierc choix de 3 parmi 20 dans le d sordre est combien de fois sup rieure la probabilit de gagner le tierc dans l ordre Probabilit s et statistiques 17 a 10 fois b 6 fois c 5 fois d 3 fois 6 Dans un tiroir il y a 8 paires de chaussettes de couleurs diff rentes on tire au hasard 2 chaussettes La probabilit qu elles appartiennent la m me paire est gale E b ga 3 5 6
52. ue j connais Sinon j ouvre pas moi texte J M Bigard P Palmade 12 Activit s math matiques Premi re S 1 4 Exercices interm diaires 1 4 1 My student is rich Dans une classe o tous les l ves tudient l anglais on a test le caract re visuel ou auditif de chacun d eux 70 sont des visuels et 30 des auditifs On a not que 50 des visuels de cette classe ont de bonnes notes en anglais et que 80 des auditifs de cette m me classe ont de bonnes notes en anglais On prend au hasard un nom sur la liste des l ves de cette classe D terminer la probabilit des v nements suivants E l l ve tir est un visuel qui a de bonnes notes en anglais F l l ve tir est un auditif qui a de bonnes notes en anglais G l l ve tir a de bonnes notes en anglais 1 4 2 lii Anniversaires Le professeur Laplace arrive dans une pi ce o se trouvent d j sept personnes il annonce alors je vous parie 100 contre 1 qu au moins deux personnes pr sentes moi non compris sont n es un m me jour de la semaine Prenez vous son pari s il a raison vous lui donnez 1 s il a tort il vous donne 100 1 4 3 r Wi Le temps en Oc asifrique Le temps en Oc asifrique se comporte de mani re assez pr visible dans une journ e soit il fait sec v nement S soit il fait humide v nement H S il fait sec aujourd hui alors il
53. v nements suivants A Le nombre est 4211 B Le nombre est form de quatre chiffres distincts C Le nombre est form d au moins deux chiffres identiques P Le nombre est pair I Le nombre est impair E Le nombre est impair et est form de quatre chiffres distincts F Le nombre est pair ou est form d au moins deux chiffres identiques 1 3 8 D s 5 On lance deux d s non truqu s X est la variable al atoire gale au plus grand des deux num ros obtenus 1 A l aide d un tableau double entr e d terminer toutes les possibilit s et en d duire la loi de probabilit de la variable al atoire X 2 Calculer E X o X 1 3 9 Chemises On place au hasard trois chemises de couleurs bleue blanche et rouge dans quatre tiroirs a b cet d 1 Combien y a il de r partitions possibles 2 Calculer les probabilit s des v nements suivants A Toutes les chemises sont dans le tiroir a M Toutes les chemises sont dans le m me tiroir V Les tiroirs b et c sont vides V Seuls les tiroirs b et c sont vides 3 V d signe la variable al atoire qui une r partition associe le nombre de tiroirs vides Quelle est la loi de probabilit de V 4 En moyenne combien de tiroirs restent vides lors d un grand nombre de rangements 1 3 10 Mots On dispose de douze jetons indiscernables au toucher et portant les lettres de A L On pl
54. ype inconnus Voir Wikipedia Loi Normale Crit res de normalit On trouve que 95 des l ves ont des battements cardiaques compris entre 53 et 94 a Calculer alors le nombre moyen de battements par minute puis l cart type de cette s rie b Il y a 2000 l ves dans le lyc e Quelle est la probabilit que dix l ves pris au hasard aient un rythme cardiaque sup rieur 110 Probabilit s et statistiques 7 Entr e 1 2 8 iii D apr s Bac L Liban juin 2004 Niveau 0 ET Une souris descend dans une canalisation sch matis e par la figure aboutissant aux sorties 0 1 2 3 Niveau On suppose quelle progresse vers l arriv e en se dirigeant au hasard chaque niveau vers la droite ou vers la gauche pour acc der au niveau inf rieur Niveau 2 Un parcours possible peut se coder GGD o G signifie aller vers la gauche et D aller vers la droite chacun des trois niveaux Sortie On s int resse alors au num ro de la sortie de la 0 1 2 3 souris Partie A tude th orique Trouver tous les chemins possibles ventuellement l aide d un arbre et compl ter alors le tableau des fr quences th oriques Sortie num ro 0 1 2 3 Nombre de chemins possibles Fr quences th oriques en Partie B Simulation l aide d un tableur 1 a l aide d un tableur effectuer une simulation de 100 progressions de la souris da
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