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d`Albrecht Dürer (1500) - art

1. La croix dor e premier exemple dor La bissectrice AE de l angle en A est dite dor e parce qu elle porte la proportion dor e tr s exactement entre le sommet A et le point R o elle coupe le cercle inscrit au triangle AR 2 4 droite ce visuel de haute d finition permet de constater que l index de l artiste touche au pixel le cercle de rayon 1 p Ce cercle en jaune partage l unit du rayon en petite et moyenne raison soit en termes contemporains 1 1 p 1 C est une autre fa on d noncer l quation caract ristique du nombre d or p l I La pr cision graphique d Albrecht D rer d fie les logiciels d infographie IT Ce visuel accr dite le placement du cercle primaire et du premier triangle HI Les rapports de D rer et du nombre d or trouvent au bout de son index un argument la taille d une preuve La mesure de 2 AR peut tre confront e l indication de l index de D rer Un sch ma accessible ici droite explique les nombreuses possibilit s de cette borne de mesure Ce n est pas une simple exposition de la divine proportion Implicitement D rer induit ses d veloppements au del de la mission esth tique primaire auquel il est souvent confin il ne suffit pas d enfermer un objet dans un rectangle dor pour qu il se change en or La magie de ce nombre est la hauteur de la complexit de ses combinaisons D rer pointe du doigt cette v rit cardina
2. l astronome Giovanni Bianchini Regiomontanus constate que ni Ptol m e ni aucune science astronomique connue son poque ne r ussissent expliquer les ph nom nes observ s C est avec son appel pour une collaboration internationale capable d y parvenir que Regiomontanus appara t comme l homme qui fixa l agenda pour une r volution th orique en astronomie qu accomplira ensuite Johannes Kepler De surcro t dans ses bagages Regiomontanus am ne Nuremberg une collection exceptionnelle de manuscrits Il projette notamment d y fonder sa propre imprimerie et de publier ses manuscrits r f renc s dans un prospectus tabli vers 1473 Cette collection rare et prestigieuse est alors sans pareil par sa teneur scientifique on y trouve les uvres d Archim de par Jacobus Cremonsis quatre codex euclidiens dont une version des El ments ayant appartenu Bessarion et traduite au d but du XII me si cle par Abelard de Bath le De arte mensurandi de Jean de Murs De la Quadrature du Cercle de Nicolas de Cuse o encore le De speculis cimburrentibus d Alhazen parmi beaucoup d autres Poursuivant sa correspondance avec Paolo Toscanelli 1397 1482 Regiomontanus et son l ve Bernhardt Walther 1430 1504 laborent et font imprimer Nuremberg les fameuses ph m rides pour la p riode 1475 1506 qui de pair avec la fameuse carte de Toscanelli permettent d intr pides navigateurs t
3. l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 16 sur 36 IV Les d veloppements du nombre d or Le pentagramme partir du point Le rectangle de hauteur w et de largeur 1 engendre une verticale la ligne qui s pare le carr inscrit droite du rectangle La m me op ration produit une seconde verticale en calant le m me rectangle tout gauche du cadre peint Ces deux verticales passent entre les pupilles qui se retrouvent de fait la m me distance du milieu du tableau Le photomontage suivant m lange l image du portrait de D rer son sym trique selon l axe vertical Outre l effet trange qui gomme litt ralement la personnalit de l artiste cette fa on new age pr te m me sourire le principal r sultat est dans la transformation du regard 1l se portait sur le c t et d sormais 1l regarde droit devant D rer ne dispose pas de l infographie il ne saurait tre tenu responsable de toutes les cons quences de cette op ration Cette sym trie des yeux sera utilis par la suite en hommage D rer avec beaucoup moins de bonheur Cette op ration se r clame du 2 Celui de la dualit mais encore celui de l Inspiration Avec une logique de peintre cherchons avant tout l ombre et la lumi re Le point le plus clair de la toile est le petit triangle blanc qui sort du col de fourrure Par la sym trie d sormais ils sont deux et surtout les deux triangles entrent dans un rectangle accord la V3
4. me signe e Quatri me signe En bas du pav typographique l arc de cercle s arr te sur la verticale A que nous avons vu au d but de ce texte Elle passe gauche du trait horizontal cinqui me signe qui couvre le XXVIII Celui ci ne sert absolument rien L arabesque a un c t d coratif mais pas ce trait l enfoui dans un maquis de lettres au risque de l alourdir C est manifestement un signe une marque de composition e Sixi me signe Un point flotte juste apr s les chiffres du cartouche Tenons le en observation faute d explication pour l instant Il ne saurait tre gratuit e Septi me signe Deux tirets d signent une droite 45 que l on pourrait croire approximative premi re vue C est par cette droite appel e W que nous allons commencer la traduction graphique du carr didactique Le grand carr du tableau Septi me signe Les points 7 et 7b1s esquissent 45 la diagonale Y d un carr Les deux diagonales de ce carr se croisent exactement l angle du triangle blanc sur la poitrine de D rer Voil le blanc Alb dont parlent les hypot nuses Le c t horizontal T2 en bas passe pr s des points d intersection des triangles inscrits et des cercles jumeaux 6 Cette proximit avait pour un temps gar l tude ZA J nf Or N J A 7 ps tv na 7 y A N 1 1N atr 1 N atir 5 nE A IF y rfr 11 A S 11 a 4 11 71 4 L ar AND TA 9 cia JA 2 Yvo Jacquier G om trie co
5. re fraction de sa largeur Le bois se r tracte selon cet axe et quasiment pas selon sa longueur Le vieillissement du support se traduit par 7 pixels de chaque c t du tableau soit 1 11 mm 4 5 o Cette diff rence n affecte absolument pas l tude ce pour plusieurs raisons concr tes Les principaux l ments sont situ s au centre de l oeuvre o la d formation reste n gligeable Ensuite les indications qui r clament une r elle pr cision concernent la hauteur Enfin les indications de largeur se fondent dans le flou des ombres model du visage ou arri re plan plong dans la p nombre ou encore les cheveux D rer ne peut ignorer un probl me affront de tous temps par les artistes D ailleurs 1l fait r f rence explicite ce temps dans son cartouche quand 1l emploie les termes de couleurs inalt rables pour pr senter son oeuvre Dans cet auto portrait les figures qui servent de base la construction sont exactes sur le plan g om trique Elles le sont par construction par d finition Pour autant la composition de peinture n est pas math matique au sens stricte c est une science appliqu e Existe t il une science qui ne s applique pas Cette expression de science appliqu e m rite d tre pr cis e La science utilise les math matiques pour rendre compte de la r alit selon des lois Mais pour appliquer v rifier observer ces lois 1l faut passer par la mesure Et autant la p
6. re que les droites qui formalisent un triangle un cercle ou un carr Le choix du vert pour mat rialiser les bissectrices est opportun le chakra du coeur rayonne cette couleur D Les rectangles constatent une r alit C est souvent le point de d part d une composition son champ E Les cercles inscrits d finissent un message un propos intime dans le cas du triangle 3 4 5 Circonserits ils en pr cisent le contexte l espace L association du cercle au C leste n est pas plus automatique que celle d un nuage la temp te cela d pend de sa taille F Le triangle 3 4 5 Figure m re de la g om trie sacr e il est important de souligner que dans les grands syst mes 1l s implique en r seau Dans La Sainte Trinit comme dans les tarots sept triangles la d nomination astrologique se trouvent li s par une homoth tie Cet ensemble pr figure les fractales G L hexagramme C est toujours un facteur d quilibre dans une oeuvre et l expression de cette volont H Le pentagramme C est toujours l expression du choix humain et du probl me qu il pose I L heptagramme C est une des grandes figures de l iconographie byzantine russe Il est trop t t pour conclure de fa on docte son propos Annexe VI D rer et la biblioth que de Regiomantanus Extrait de Albrecht D rer contre la M lancolie n o platonicienne par Karel Vereycken http www solidariteetprogres org Albrecht Dure
7. cadres r el peint et th orique composition et elle r sulte de la propri t des cercles primaire ombre constitu s en vesica piscis p 25 I Les principales mensurations des figures p 26 II Consid rations de peintre D 27 IT Le cercle de diam tre 2 dit du Pape p 30 IV La pr cision et l exactitude p 32 V L interpr tation symbolique p 35 VI D rer et la biblioth que de Regiomantanus Annexe Les principales mensurations des figures Matheux vos calculs Les liaisons g om triques expos es comme telles sont exactes par construction Que ce soit propos de Y h D etc Fichier d tude 3087 x 4327 pixels Accessible l adresse Wikipedia Un autre fichier de meilleure qualit objective aurait n cessit une retaille pour l tendre or cette tude veut conserver sa source inchang e D autre part cet autre fichier est plus sombre trop pour les visuels didactiques Cadre du tableau H 4 x 1082 px 4 328 px L 2 V3 2 2 866 0254 3 101 px g 1 V3 2 0 133 9746 145 px L e 3 3 246 px L 2 4 43 2 3 133 9746 3 391 px Autre L 5 7 x 4 2 857 1429 La proportion de ce tableau est proche de 5 7 9 o L amande primaire entre les cercles de base fait V13 2 de haut 1 802 7756 1 951 px Carr didactique V3 4 0 433 0127 468 5 px K est la hauteur 2V3 3 4 2 714 1016 2 937 px e 5 5 o M est la hauteur 3 4 3NV3 1 3 147 1143 3 40
8. du triangle 3 4 5 Elle prend naissance en A l ext rieur du cadre peint et passe par O centre du cercle inscrit au triangle Maintenant nous abordons la diagonale d un rectangle dor Elle passe par O elle aussi mais ce n est pas la m me chose Cette autre droite que nous avons rep r dans le carr de c t V3 2 propos de la main toujours elle coupe le bord du cadre physique en un point que l on appelle simplement sa hauteur sur le cadre est le nombre d or Le grand c t du rectangle ainsi dessin a en cons quence pour largeur L IR Q xo p I Observons la chevelure de l artiste elle s tale sur l horizontale de L ongle de l index vient jouer avec la seconde diagonale du rectangle dor Le majeur quant lui acquiesce du bout du doigt Ces jeux de mains s appliquent souvent aux cordes de la composition chez D rer Ainsi celles des musiciens prennent des positions souvent non conformes leur instrument pr f rant ce jeu c leste C est le cas de l Ange au Luth de La Vierge au rosaire 1506 Si la main gauche est acad mique la droite se pr te un double exercice Attp www melencoliai org vierge 2 008 jpg Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 10 sur 36 Un autre d tail intrigue juste l angle droit en bas gauche du rectangle dor Il faudra cette fois encore un fichier de tr s haute d finiti
9. il use de deux syst mes pour traiter le m me sujet Mais il donne toujours suffisamment de cl s pour reconstituer les modalit s de cette dualit En cette oeuvre le meilleur argument qui montre le retournement de la tradition laquelle il se r f re est dans la position de sa main ostensiblement tourn e vers sa poitrine c est le geste de quelqu un qui se signe en aucun cas celui d une b n diction D rer ne se prend pas pour le Christ soyons s rieux Tout fait tir par les cheveux Face la g om trie de toutes les mati res le poil est la plus souple Faisant cho au pinceau qui assume le contact entre le cr ateur et sa cr ation le poil barbe cheveux sourcils fourrure et m me celui qui vient jusque dans l oeil de l artiste le poil donc permet tout l orf vre qu est D rer C est ce poil qui pr cise le rendez vous des diagonales du grand carr le bord du triangle d Albe que nous avons trouv C est en boucles qu il se pose sur le premier rectangle dor en hauteur par en largeur C est encore lui le poil qui remplit le grand triangle du Feu Il guide les pentagrammes et une petite touffe de fourrure claire vient encore caresser le grand triangle de l Eau sur la droite La moustache son heure trouvera galement sa place et pour achever cette s rie difiante quelques cheveux au sommet de la t te ponctuent la structure dor e qui encadr
10. peut ne pas en saisir tout l int r t voire m me la l gitimit apr s un si cle marqu par la vitesse et l acc l ration une poque de zapping o le bit du timing est r gl sur huit secondes une telle approche r clame un authentique conditionnement N anmoins quand l un de nos contemporains rend visite son m decin traitant 1l ne s offusque pas de le voir d ployer une m thodologie comparable dans l tude des signes du corps humain particuli rement quand le corps est le sien Au besoin le m decin ordonnera des analyses d taill es qui comporteront une foule de mesures et de donn es tout fait comparables aux analyses graphiques de la g om trie compar e Personne ne trouve pour autant le travail du m decin besogneux ou fastidieux Beaucoup posent des questions et se montrent tr s patients et attentifs devant l nonc des r ponses Pl t aux anges qu il en soit ainsi quand le corps est celui du Christ s crierait D rer e G om trie compar e La confrontation des oeuvres La comparaison des oeuvres souvent d poques diff rentes permet de mettre en vidence un vocabulaire g om trique et num rique commun dont la stabilit devient preuve de fiabilit La comparaison de ces cas parall les permet de reconstituer son sens explicite la symbolique des structures de composition Une m me forme pr sente dans nombre d oeuvres propos d un m me th me avec les m mes valeurs de mesure d voile l
11. primaire du m me c t est dee 1 V3 2 Selon quoi les point issus du chemin qu entreprend la bissectrice dor e engendre les triangles quilat raux des cercles ombres Premi re propri t remarquable Selon quoi le triangle 3 4 5 d passe du cadre peint de exactement Seconde propri t remarquable Ainsi la figure des trois cercles n attend pas que l on pose le grand hexagramme pour pr senter de fortes particularit s des lien caract ristiques de la g om trie sacr e Ces liens portent le sens m me de la symbolique IT Ensuite plusieurs expressions du nombre d or se greffent sur ces premiers cercles de rayon 1 Les accords de figures sont typiques de la logique dor e avec aux points de rencontre une pr cision de quelques milli mes de carreau Le principal d veloppement est celui du troisi me cercle de rayon D ailleurs D rer le signe par la lumi re de ses yeux autant que de sa bouche close par ce tour de force 1l fait parler le silence R sum de cette logique dor e le grand cercle de l hexagramme vient prendre son diam tre au point o la bissectrice porte cette mesure Et le grand et le petit cercle se rejoignent au point d or R III Ce tableau est pour l instant le seul a pr senter des l ments qui rendent explicite sa construction symbolis s par un carr didactique La mensuration de ce carr V3 4 fixe les formats des
12. qui tient l oeuvre Sur ce champ pr cis un premier principe se confirme Les oeuvres de ma tre s appuient sur une structure qui fait appel au vocabulaire g n rique de la g om trie sacr e mais se distingue par une sorte de personnalit remarquable math matiquement constatable Ainsi la cr ation ne commence pas avec l ex cution des motifs peints ni m me par le choix de ces motifs elle se revendique d s la g om trie qui servira les construire L id e que notre monde moderne se fait de la cr ation artistique subit un choc Le fantasme d un talent qui permettrait des rimes de retomber sur leurs pieds par enchantement s vapore Il n a d ailleurs jamais concern que la peinture Un chor graphe ou un musicien ne se permettraient pas de d cider de leur harmonie ou de leur diapason en fonction d un simple arbitraire La libert artistique r clame une v ritable culture et aucun art ne peut m priser longtemps sa gravit Quelle est la sp cificit de la structure g om trique de ce tableau I La figure dite des trois cercles apparait en plusieurs tapes par maillons successifs Les cercles primaires se croisent de fa on ce que leurs triangles quilat raux s unissent pour moiti V3 2 Les cercles appel s ombres se placent de fa on s unir avec le primaire oppos selon un vesica piscis le centre de l un sur le cercle de l autre Le d calage entre ombre et
13. utilisaient les Anciens pour permettre une lecture saine de leurs oeuvres Les d bats dans l absolu doivent donc c der syst matiquement devant ceux qui manent de la confrontation aux oeuvres Les nombres du triangle 3 4 5 Tout est nombre 1 I le Un rayon du cercle inscrit La premi re id e est celle d une unit originelle Unit peut suffire dans ce premier temps L est la pr occupation des Anciens qui veulent mesurer le monde particuli rement les Grecs L unit est le premier pas vers la mesure Pour les Anciens le fait que le monde soit mesurable autant que le fait que l on y parvienne proc de de la Magie Le 1 est donc Magie 2 II le Deux diam tre du cercle inscrit Le 2 de la dualit est avant tout celui du discernement base de toute inspiration pour les Sages Le cercle inscrit spot l essentiel l intimit d une situation Image le texte que l on prend le temps de m diter l action de lire ne suffit pas 1l faut apprendre relier 3 III le Trois c t du triangle Le 3 est f minin et C leste D une certaine fa on cette valeur est intemporelle car f conde Le 3 de la Trinit montre la complexit des choses du Ciel 4 ITI le Quatre c t du triangle Le 4 est masculin et Terrestre Cette valeur est essentiellement temporelle Sa racine est 2 enti re et accessible Il est noter que beaucoup de symbolistes se m la
14. 5 px TT 5 5 o fi L 7V3 11 4 0 281 089 304 px Y est la hauteur 1 V13 4 1 901 388 2 057 px Coordonn es de points importants Q au centre du cadre physique la hauteur 3 4 4 au bord droit du cadre physique la hauteur 4 E au bord droit du cadre physique la hauteur 3 2 A au bord gauche du cadre physique la hauteur 0 R par rapport A X 4p 5 Y 20 45 N yr Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 25 sur 36 Annexe II Consid rations de peintre L on doit prendre en compte quelques consid rations de peintre Ils semblent chapper bien des discours sur cette oeuvre L auto portrait est une double image Celle d un tre humain et celle de soi Les premi res valeurs num riques de la composition t moignent d un profond mysticisme V3 D rer va jusqu plonger son annulaire dans l ombre il est pr occup essentiellement par le sens de la g om trie qu il d ploie Le souci de sa personne intime s effa ant au profit d un expos de type religieux le principe de l auto portrait lui permet une grande latitude Personne ne viendra lui demander de comptes il reste juge de sa propre image Bien videmment ce principe a ses limites D rer a une image d fendre et son abn gation ne saurait d passer certaines marges Dans cette mesure l on peut admettre que les parties identifiables de sa personne resten
15. Ce m me rectangle plac la verticale vient chercher la tache sombre en losange qui nait du croisement des mains de l artiste Ce losange sombre marque m me le carr inscrit au rectangle Pour achever de nous surprendre les mains dessinent un coeur l envers avec toute cette sym trie n en soyons pas tonn s Ce losange est en dehors des surfaces et des bandes la forme la plus sombre du tableau en tous cas celle que l artiste exhibe ostensiblement en croisant les doigts Le 2 nous a conduit au 3 plus exactement son myst re tel que l exprime sa racine L image compos e met en vidence la pointe d un pentagramme Le cercle qui lui convient est de diam tre V3 D rer traite par la lumi re la symbolique de son orientation Debout 1l s appuie sur le cot clair de la fourrure invers 1l s appuie sur les ombres et rejoint l annulaire De nombreux l ments graphiques accompagnent cette figure Une boucle de cheveux vient caler le cercle en haut et tout en bas deux petits traits anodins pr cisent o 1l doit se poser Le revers pouse galement ce cercle et son angle marque celui du pentagone debout Le pentagramme invers appuie sa barre horizontale sur le haut de cette manche et ses branches se croisent entre le pouce et l index La largeur du buste du moins sur la gauche du tableau prolonge le discours du revers Enfin le pli du v tement est tangent au cercle Yvo Jacquier G om trie compar e In
16. En position centrale il ne rend compte que de la hauteur de l index toujours et encore lui Il nous faut alors d caler ce carr pour comprendre la main Sur la gauche le trait vertical le place l origine du pli de la manchette Deux diagonales dor es extraites de la mise en croix grecque de ce carr expriment la direction du pouce le doigt le plus fort et de la premi re phalange du majeur le doigt le plus long L index le plus bavard des cinq doigts se contorsionne jusqu prendre une place dans ce discours Telles qu elles jouent avec les cordes de la composition les mains de D rer sont un sujet d anthologie Le carr est la figure de la concr tude elle exprime au mieux le champ de l action Pour un orf vre y placer sa main droite con ue par la tradition comme masculine rel ve du bon sens Diff rents aspects de l action s accordent alors au diapason dor ce cadeau de s Dieu x aux hommes pour cr er l harmonie Dans ce cas pr cis trois aspects de l action les artistes sont par essence des hommes d action se trouvent orient s selon la diagonale d un rectangle dor vers le haut Le pouce de la pr hension l index du choix et le majeur du prolongement Si le majeur s carte de la trajectoire c est pour viser et souligner la diagonale sup rieure Ensuite le carr qui tient le tout est de mensuration V3 2 Le myst re c leste rencontre l inspiration au d nominateur D rer montre en cela autant de m
17. La croix dor e premier exemple dor p 8 La racine de 3 et le carr didactique L art de la composition et celui de la d composition p 9 Les rectangles et le carr de largeur V3 2 Le carr de V3 figure de liaison p 10 Interm de virtuose sign Albrecht D rer Le point appel Phi La logique du rectangle dor II Le carr didactique de D rer p 12 Le pav typographique Le grand carr du tableau Septi me signe p 13 La ligne A et la particularit des cercles Sp culation sur les lettres II Ach vement de la structure La figure des trois cercles p 14 Qu est ce qu une structure p 15 Confrontation des cercles de rayon La croix en cercle p 16 l abri du silence Le cercle des yeux et ses rencontres IV Les d veloppements du nombre d or p 17 Le pentagramme p 18 Les points de rendez vous R E etc p 19 Autre figure dor e celle d Albrecht D rer p 20 Le sens des co ncidences p 21 Le second grand hexagramme Les d veloppements dor s de p 22 Le visage d Albrecht D rer La promesse du silence V La conclusion de cette tude p 23 Quelle est la sp cificit de la structure g om trique de ce tableau I Le triangle sacr 3 4 5 et le nombre d or L unit La premi re tape de toute analyse graphique consiste trouver l unit de mesure Elle est d finie par un quadrillage et permet de relier des formes g om triques tr s th oriqu
18. La g om trie compar e et la g om trie sacr e L autoportrait mystique d Albrecht D rer 1500 mm Y VO JACOIUI ET A Ibertus Durerus Noricus ipsum me propriis sic effin gebam coloribus tatis anno XXVIII Autoportrait la fourrure Autoportrait 28 ans Albrecht D rer 1500 dit Autoportrait la fourrure Huile sur panneau de tilleul 66 3 49 cm ou 67 1x48 7 cm Alte Pinakothek de Munich lbrecht D rer de Nuremberg ainsi me suis repr sent avec d in _ alt rables couleurs l ge de vingt huit ans Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 2 sur 36 Introduction La g om trie compar e n est pas seulement une discipline nouvelle Elle en r v le une autre beaucoup plus complexe la g om trie sacr e sur laquelle le peu que l on croit savoir nous conduit penser qu il vaudrait mieux ne rien savoir Esprit de proportions et de canons rigides organisations carr es ou r p titives dignes d une parade militaire calculs besogneux ou sommaires rien n aura t pargn cette magnifique culture qui depuis l gypte ancienne jusqu la Renaissance a fondu dans ses arts visibles une conception du monde bas e sur des math matiques que les sages consid raient comme la langue de s Dieu x Les tentatives qui prennent le risque d expliquer la g om trie sacr e sont particuli rement d cevante
19. Peut tre sur le chemin trac par ces parall les les lettres vont elles se mettre parler Avis aux amateurs de r bus L existence en cette oeuvre d une sorte de puzzle de lettres reste tr s sp culative Certes la pr sence du mot urerus se rappelle du feu combien d alchimistes y verront une invitation Il subsiste n anmoins une sensation dissonante la g om trie expos e dans le tableau est d une grande pr cision et d une parfaite clart Un jeu de lettres tenant de l esprit de parchemin confinerait au calembour face au discours des lignes D rer s il tait tent par l exercice y mettrait sans doute une anecdote voire un fait miser sur ce petit argument en dehors de sa mission vang lique didactique serait trahir sa foi en la g om trie autant que sa capacit la d montrer Nous y reviendrons peut tre dans le futur Certaines pistes restent l tude pour l instant Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 13 sur 36 HI Ach vement de la structure La figure des trois cercles La figure principale peut enfin s achever Les ma tres de la g om trie sacr e ne pratiquent pas une g om trie de somme Avant d entreprendre une oeuvre ils mettent au point une structure comme celle ci savoir plusieurs figures li es entre elles par des relations qui ont du sens particuli rement sur le plan symbolique La cr ation n est pas u
20. acer sa m diatrice et sa diagonale La bissectrice de l angle que fait la diagonale avec la verticale trouve la limite du rectangle dor vertical sur la m diatrice http www art renaissance net triangle sacre 301 jpg Ce principe fondamental manifestement connu des Anciens bien avant la trigonom trie se produit sur ce tableau Le cercle primaire est dans l angle a que d crit le visuel 301 en lien ci dessus Et sa tangente partant de est la diagonale d un double carr vertical L id e de bon sens est qu il fasse toute la hauteur soit quatre carreaux Le cercle Q se trouve sur sa diagonale et plusieurs rep res du tableau confortent la figure le pav typographique prend appui sur lui Le monogramme semble appr cier galement Une autre co ncidence se produit une des spirales dor es issue des d veloppements du premier rectangle de que nous montrerons plus loin passe tr s exactement au milieu du carr sup rieur en plein dans l oeil de l artiste pr cis ment l o il a pris le soin de repr senter un poil De toutes les signatures que D rer a pos es sur ce tableau celle ci est la plus tonnante Ne disposant pas d un fichier de tr s haute d finition de l ensemble seulement de ce d tail n1 des outils informatiques qu il faudrait de toutes fa ons savoir piloter le champ des possibilit s est longtemps rest tr s large Jusqu ce que cette image paraisse Le sens des co ncid
21. artie th orique pure pratique l exactitude autant chaque contact avec la mati re pose un probl me de pr cision Cet aspect de la science appliqu e se traduit par une jolie expression la marge de mesure Il n y a pas d peu pr s n1 d environ pour la science 1l y a des faits encadr s avec certitude L exactitude math matique est impraticable en ce sens nous vivons dans un monde d erreur Le premier travail du scientifique est de reconna tre ses erreurs et de les apprivoiser de les pr ciser par des marges Les adeptes de la g om trie sacr e n ont pas attendu nos d bats pour pr parer la science sur la base de leur bon sens ce propos le mot empirisme est tellement galvaud qu il ne leur sied pas Ils ont manifestement affront le probl me de la pr cision sous tous ses aspects Par exemple sur le plan strictement th orique la r v lation de l infini jusque dans les nombres irrationnels fut v cu comme un cataclysme par les Grecs Mais c est sur le plan pratique qu ils montr rent v ritablement leurs capacit s Leurs monuments et leurs oeuvres d art sont encore assez de preuves pour ne pas en douter La g om trie compar e met en vidence des pratiques normalis es dans l application de la g om trie aux oeuvres d art Le simple fait de peindre partir d un sch ma que l on entend respecter implique une marge d approximation d erreur dont les artistes avaient le souci P
22. ation s impose Certes il n y a pas de manuel crit sur la g om trie sacr e aucune source L antique culture de l image s est progressivement cach e de toutes les formes de convoitises au fil de sa longue histoire mais son langage est rest dans ses oeuvres Parfois m me et c est la particularit de l Autoportrait la fourrure de Albrecht D rer l auteur a pris le soin d y placer un mode d emploi tel un gage envers nous i est d sormais possible sinon d viter au moins de r pondre clairement cette question pourquoi n y a t il aucune source sur la g om trie sacr e Regardons attentivement les murs de nos mus es nous y verrons ce que les Anciens y ont crit Les sources sont l il suffit d apprendre les lire Deuxi me objection il y aurait d autres approches de l art que celle de la g om trie Pas pour cet art l Nous avons la preuve qu il s est construit sur un langage symbolique impliquant les math matiques Nier cette r alit revient le trahir Cette g om trie proc de de la volont m me des auteurs elle ne saurait se soumettre notre arbitraire Un article rassemble des exemples concrets de marques de composition sur les oeuvres http www art renaissance net EDL Signes geometrie sacree pdf TABLE DES MATI RES I Le triangle sacr 3 4 5 et le nombre d or p 5 L unit Les cercles de rayon 1 p 6 Le triangle sacr Chercheurs d or p 7
23. celui dont il dit D rer sait rendre en monochromie c est dire en traits noirs que ne sait il rendre Les ombres la lumi re l clat les reliefs les creux et la perspective Mieux encore il peint ce qu il est impossible de peindre le feu le tonnerre les clairs la foudre et m me comme on dit les nuages sur le mur tous les sentiments enfin toute l me humaine refl t e dans la disposition du corps et presque la parole elle m me La promesse du silence Le voeu du silence de D rer est parfaitement r sum en ces quatre bissectrices venant de l angle droit des triangles Les quatre angles du losange central pointent la bouche la poitrine et les paules en un signe de croix qui fait cho la position de la main r alit picturale et la croix r alit g om trique qui trouve sa place exacte Au centre du losange le si ge de la parole et au sommet de ce carr qui s incline une bouche close Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 22 sur 36 V La conclusion de cette tude En dehors de la promesse de silence faite par D rer en ce tableau qui concerne VIDEMMENT la g om trie sacr e qu il pratique en ma tre ce texte vitera d achever l interpr tation de cet autoportrait voir Annexe V L interpr tation symbolique Le but de cette tude est de r v ler la g om trie de composition
24. e Ce texte tente de s appuyer sur l interpr tation symbolique pour trouver une logique accessible au lecteur Pour autant ce principe a ses limites D une part nous devons distinguer les faits probants de l interpr tation int r t final de ce travail C est ce prix que l tude reste cr dible scientifiquement La volont didactique ne doit pas fragiliser une attitude qui respecte les us et coutumes des sciences appliqu es Ensuite l interpr tation des sch mas des liens et des structures de beaucoup d aspects qui se multiplient mutuellement est toute r cente La g om trie compar e est en pleine d couverte L interpr tation symbolique est par d finition la remorque des progr s math matiques Ainsi le vocabulaire et la syntaxe qui traduisent ces fantastiques syst mes en sont encore au b aba et 1l faut rester tr s prudent dans tous les d veloppements L on doit enfin viter d orienter l tude en fonction de ce que l on sait lire interpr ter au risque de passer c t de fondamentaux qui r v leront leur sens par la suite Il faut galement viter de demander la peinture d exprimer ce que l on croit sans avoir besoin d elle Cette science dans la science appliqu e qu est la g om trie compar e n est qu ses tous d buts Et le peu de r sultats qu elle affiche va beaucoup voluer notamment se pr ciser L objectif est de reconstituer les valeurs telles que les
25. e sens qu elle porte plus s rement que toute autre forme d analogie livr e avant tout l inspiration des auteurs Le principe de base de la g om trie compar e s appuie sur des observations objectives et crois es En outre dans certains cas les preuves fournies peuvent aider l identification des auteurs Le cercle du Pape des tarots Ce type de cercle de mesure 2 se manifeste dans d autres oeuvres symboliques notamment dans l arcane majeur des Tarots intitul e Le Pape Il porte le nombre V 5 Cette observation concerne une des versions les plus connues celle de Nicolas Conver grav e en 1760 sur un mod le cr par D rer au cours des ann es 1508 1515 la g om trie compar e en apporte de nombreuses preuves Ici le v tement du pontife adopte parfaitement la courbe du cercle qui doit son nom cercle du Pape cette co ncidence Le symbole alchimique du Souffre dans les Tarots Fruit d une longue collaboration avec le symboliste Christophe de C ne voici la figure du Souffre sur l arcane du Chariot Le triangle du feu surmonte ici une croix archa que inscrite dans un carr tous deux de c t w V3 Le cercle circonscrit est semblable celui du Pape une autre place Les mensurations font intervenir et V3 selon la division ou la multiplication un seul type d op ration Cette particularit a son importance quand nous abordons le pentagramme avec ses y 3 La rencontre des de
26. e d pendent pas de viennent ponctuer le pentagramme droite l on constate que deux cercles centr s en O et O se croisent exactement sur la bouche de l artiste Cette croix orale se r p tera par la suite avec une autre figure Une id e s affirme ainsi clairement A travers ce tableau D rer s engage tenir un secret absolu Un autre cercle venant du bas vient chercher les yeux de l artiste Regardez attentivement la lumi re qui se r fl chit dans ses 1ris elle pouse la courbe Cette image est une v ritable r v lation Sans la g om trie on voit l clat mais pas cette lumi re l La croix en cercle Une troisi me image confronte les m mes cercles non plus la r alit du tableau mais celle des sch mas que nous avons tabli La croix s accroche aux cercles de de fa on exacte 3 V3 4 Q 1 V3 4 1 0 Ces confrontations mettent en communication le haut et le bas du tableau Les cercles du haut accrochent la croix du bas les cercles du bas calent des l ments essentiels du visage La g om trie sacr e est faite de liens et ce principe devient particuli rement accessible avec les cercles de rayon Autre aspect de des r sultats tr s proches partir d expressions alg briques r sultats de calculs pythagoriciens tr s diff rents en apparence Nous allons d couvrir deux exemples d cole ce sujet Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction d
27. e le visage Ces remarques ne doivent pas nous emp cher de chercher le livre qui se cache sous le manteau de D rer ceci sans aucune obligation g om trique Annexe IIT Le cercle de diam tre 2 dit du Pape Extrait de l tude de La vierge au rosaire de D rer La vierge au rosaire Albrecht D rer 1506 Venise Huile bois de peuplier 162 x 194 5 cm Narodni Galerie Prague Dr Olga Kotkova Conservatrice Trois roses vont successivement se construire dans un cercle de m me diam tre 2 hauteur du cadre terrestre initial Le centre de ce cercle est sur le ventre de Marie et le dessin initial de l enfant J sus pla ait le pli du genou cet endroit On le voit sur la reconstitution figure 18 pr sent e par Dr Olga Kotkova conservatrice de l oeuvre dans un article publi par le Burlington Magazine The Feast of the Rose Garlands what remains of D rer URL http www clarkart edu exhibitions durer content kotkova rose garlands pdf Le cercle de diam tre 2 4 place son centre au milieu du r f rentiel terrestre et il co ncide avec le ventre de la Vierge Marie Une co ncidence astrologique s ajoute celle de la g om trie puisque cette partie du corps correspond au signe de la Vierge En dehors du fait que les deux soient de D rer l imp ratrice des tarots offre de nombreux points communs avec cette Vierge La position de la main droite notamment gauche de l imp rat
28. el Christophe Colomb d largir les horizons de l humanit gr ce une nouvelle science la navigation astronomique Bien que tr s dou pour le dessin le jeune D rer est form comme artisan et m tallurgiste dans l orf vrerie de son p re En 1486 g de 15 ans il entre dans l atelier de Michael Wolgemut 1434 1519 un graveur qui illustre des publications de Regiomontanus Apr s le d c s de ce dernier en 1476 c est son disciple Walther qui h rite de sa riche biblioth que et poursuit les recherches En 1501 Walther ach te la maison de Regiomontanus qu en 1509 D rer acquiert son tour devenu membre du Grand Conseil de Nuremberg et am nage le pignon sud en plate forme d observations astronomiques Cependant D rer d pourvu d une connaissance suffisante en latin et grec pour d chiffrer ces tr sors se voit oblig de passer des soir es enti res avec le turbulent correspondant d Erasme le patricien Willibald Pirckheimer 1470 1530 et d autres humanistes de son entourage Dans le cercle de Pirckheimer l artiste fait certainement connaissance avec le neveu du duc de Milan Galeazzo de San Severino un camarade d universit de Pirckheimer r fugi Nuremberg apr s 1499 IT faut savoir que c est dans les curies de Galeazzo que L onard de Vinci tudie les proportions des chevaux de plus il est tabli que plusieurs dessins anatomiques de D rer son
29. ences voir Annexe V L interpr tation symbolique Les co ncidences interviennent en cho pour renforcer la symbolique Il n est pas de structure sans ces manifestations qui peuvent selon les cas participer directement la structure ou lui chapper en un ph nom ne d harmoniques En musique un certain nombre de notes ne sont pas sur la partition pourtant on les entend Et c est encore de la musique Dans cette oeuvre les rencontres dor es font cho la structure principale et si elles ne sont pas construites comme celles qui s investissent enti rement dans la V3 par exemple on les constate et on les ressent L harmonie est vibration donc r sonance L on revient toujours au principe de la musique des sph res Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 20 sur 36 Le second grand hexagramme Le passage de la branche de l toile pr s du point K se fait 1 pr s C est beaucoup trop pour tre retenu par les g om tres du sacr En revanche le point J donne un tout autre r sultat 0 44 pour 10 000 Les branches de l hexagramme compl mentaire au premier orient Est Ouest se coupent sur la droite gt l horizontale qui passe au sommet de la mandorle L hexagramme est ainsi confort dans sa liaison avec les cercles primaires Les d veloppements dor s de Le rectangle horizontal engendr partir de se d compose en dedans par le retrait
30. ent de la plume celle ci ne peut accoucher de la v rit du compas quand elle ignore tout des math matiques qui construisent les oeuvres par la volont des auteurs L intuition ne peut pas tout quand bien m me elle s accompagne d un travail d archives Le musicologue tudie l harmonie travers des partitions 1l ne se contente pas de r ver en musique le concert suffit au m lomane pas au musicologue La peinture de la Renaissance m rite et r clame autant d attention que de respect D rer produira une tr s belle image ce propos dans laquelle Saint G r me patron des traducteurs emprunte la main et le compas de Saint Michel Archange de Melencolia pour crire Il suffit de superposer les deux gravures http www melencoliai org 046 Chevalier et Gerome chez Melencolia jpg l ment n 3 Confrontation des cercles de rayon Q Nous avons constat l implication de la valeur 1 9 dans une croix en cercle Un motif que nous tudierons par la suite y fait cho le pentagramme La figure des trois cercles fait intervenir une fois de plus la divine proportion Soumettons ce cercle de rayon l preuve Les quatre cercles primaires d finissent quatre centres Pla ons ce nouveau cercle en ces quatre points et chaque fois proc dons avec la m thode usuelle duplication puis rotation 90 Ce qui donne deux s ries de quatre cercles en haut et en bas En bas du tableau les quatre centres m me s ils n
31. ent identifiables On peut notamment distinguer les fractions simples et les 1rrationnels Il n y a pas de g om trie sacr e sans les nombres c est avec eux que l on peut traduire comme donner du sens Les marges de pr cision sont de plusieurs types Le premier est facile concevoir quand l artiste tente de retrouver les lignes d un mod le g om trique qu il a con u l avance Cette marge est celle de l ex cution Ensuite la g om trie compar e applique des m thodes d approximation dans ses observations Ce sont galement des marges qui sont cens es retrouver celles de l ex cution Un autre type de marges se r v le avec l exp rience Les g om tres acceptaient pour vrai des figures inexactes sur le plan th orique mais qui dans la pratique n en sont pas moins tr s pr cises Il ne s agit pas d incomp tence ou d incompr hension de leur part tout au contraire Dans une certaine mesure pr cis par des marges une figure est acceptable si la diff rence est aval e par l paisseur du trait le plus fin Cette logique que l on pourrait qualifier de biologique est d ordre relationnel Prenons une image tre ensemble unis n implique pas d tre coll s tant que la bouche de l un est port e de l oreille de l autre on peut consid rer que le contact est r el Il en va de m me pour certaines co ncidences graphiques et dans ces cas particuliers la pr cision est sup ri
32. er Elle est la hauteur 2V3 3 4 2 714 1016 valeur curieusement proche du nombre d Euler 5 5 o Le haut du carr adopte une valeur proche de T 3 4 33 1 3 147 1143 2 x34 elle aussi 5 5 o0 T et e sont transcendants il ne saurait tre question de les Sc I E Na construire la r gle et au compas et D rer ignorait les exponentielles Cependant ces co ncidences montrent l intuition de cette g om trie L art de la composition et celui de la d composition partir de l on a construit la diagonale d un double carr horizontal la bissectrice dor e de l angle en A du triangle Le point E est en cons quence situ 3 2 en hauteur L 3 La droite AE correspond une r alit de l oeuvre C est la direction qu indique la position du pouce premier doigt de la main observation basique Depuis E descendons vers la base du triangle sur son cot 3 Mais selon quel angle En plongeant 45 l on passe trop loin de la main quand l auteur de cette oeuvre est D rer le ma tre de la pr cision Essayons alors 30 Cet angle tr s usuel en g om trie sacr e entre dans la construction du triangle quilat ral Arriv en N poursuivons selon la m me logique remontons en direction de V Cette droite passe exactement au bout de l index de l artiste On ne saurait trouver meilleure confirmation L index est le second doigt Ensuite trois points remarquables du mo
33. es des nombres qui parlent Dans ce cas pr cis la hauteur du tableau fait exactement quatre unit s De part et d autre des huit carreaux au centre il reste juste la place pour un carr de c t V3 4 Ce carr a une r alit sur le tableau D rer donne des indications tr s pr cises pour le construire d o son nom de carr didactique La premi re observation est celle de la droite qui passe entre l arabesque du pav typographique et le trait qui surligne les chiffres romains XXVIII Ce type de calage est dans la pratique de l imprimerie offset la hauteur du point appel K la ligne qui porte le carr didactique trouve un curieux rep re sur le nez de l artiste Sa pr cision montre son importance et l on aurait pu la juger plus bas la racine du nez c est pourquoi D rer la pr cise Les cercles de rayon 1 L on construit un premier cercle de rayon 1 que l on dit primaire en bas et droite du tableau Son centre est donc V3 4 de l axe du milieu Le cadre peint est trop troit pour pratiquer la g om trie dans de bonnes conditions Un deuxi me cercle que l on dit ombre pique son centre 1 V3 4 de l axe central Il d passe de 1 V3 2 le cadre peint et d finit un cadre th orique Propri t remarquable les points d intersection S et S des deux cercles avec les verticales du quadrillage sont sur la m me horizontale Yvo Jacquier G om trie compa
34. es comme cet Autoportrait la fourrure portent en elles une sorte de mode d emploi Nous allons aborder cet aspect du tableau l interaction entre la composition et les signes laiss es dessein par l auteur Cette particularit repr sente une double chance celle de disposer de preuves la fois plus accessibles et plus bavardes par opposition aux grandes oeuvres telles Trinit de Rublev V nus de Botticelli ou Melencolia IT Le carr didactique de D rer Le pav typographique D rer n expose pas ce texte pour parader ou pour signer deux fois Cette v ritable pi ce conviction produit des indications qui permettent non seulement d attester mais encore de construire la composition Gr ce ces quelques lignes aucune erreur n est possible Nous nous concentrons dans un premier temps sur l aspect strictement graphique Il est possible qu un message cod se cache au coeur du texte Cependant devant la pr cision de cette g om trie et aussi sa g n rosit cette hypoth se ne s impose pas Observons ces signes graphiques un un e Premier signe Le sommet du par lequel passe l hypot nuse du premier triangle Les hypot nuses des triangles isolent trois lettres du pav Alb qui du latin se traduit par la blancheur Nous chercherons en cons quence le blanc du tableau e Second signe La barre du A est galement un indice tout comme la verticale gauche du pav typographique troisi
35. es du monde se r sume une confiance absolue dans les math matiques la science trouve sa place au bout de ce main stream Enfin les progr s de la pens e sur ce chemin sont le reflet du d veloppement de ces math matiques Ainsi quand Pythagore identifie la mesure du nombre d or dans le triangle gyptien 1 e quand il dite son th or me 1l remet d embl e le Ciel et la Terre leur juste place La simple lecture alg brique du Vesica Piscis attribue la valeur du 3 au f minin c leste qu il symbolise propos de V nus La figure devient explicite gr ce au th or me de Pythagore Cette g om trie sacr e initi e par Pythagore fait son chemin depuis la Gr ce jusqu Byzance et la Renaissance elle se Vesica Piscis r fugie en Italie Les progr s en pr s de deux mill naires incluant l gypte sont videmment consid rables cependant jamais on ne voit un triangle changer de propri t s en franchissant les fronti res de la g ographie ou du temps Au contraire de la langue ou encore de l poque auxquels toutes les formes de pouvoirs sont ali n s y compris l autorit intellectuelle les math matiques sont une et ind formables intemporelles Doit on s tonner que les hommes de sagesse aient tr s t t investi leur confiance dans cet art Tout l h ritage de cette civilisation de l Image reste dans le concret des oeuvres qu elle a produites Quelques tr s rares exempl
36. eure aux quatre pour mille qui nous servent de r f rence Il serait en effet dommage de se priver de cette extension du concept de v rit par la notion de plausible en symbolique Un exemple vaut mieux qu un discours compliqu Le poly dre de D rer solide de la quintessence qui a chapp au grand Kepler s inscrit parfaitement dans une sph re et le rapport entre cette sph re et celle qui est inscrite au solide est de D d V 8p 1 51 5 3 2 o pr s Les deux expressions ont chacune leur propre int r t la premi re est exacte et montre le nombre d or comme partie int grante de la construction du solide La seconde valeur est tr s pr cise et elle enveloppe le sens m me de ce poly dre par deux valeurs qui se r clament de l Humain 5 et du C leste 3 La lecture symbolique devient beaucoup plus accessible et il serait dommage de s en priver Illustration concr te de la pr cision Ce visuel concr tise une marge de 3 pixels Il permet de situer les exemples que nous tudions Par exemple le cercle du grand hexagramme et le cercle primaire se croisent sur la bissectrice dor e du triangle au point D avec une pr cision de 2 5 o Cela repr sente 0 42 mm sur la toile plus exactement sur le bois de tilleul Annexe V L interpr tation symbolique La complexit de la structure la multiplicit des liens ne facilitent pas leur pr sentation didactiqu
37. gle dor naturel et le cercle de rayon Le grand cercle de l hexagramme vient ainsi prendre son diam tre au point o la bissectrice porte cette mesure Et le grand et le petit cercle se rejoignent au point d or R Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 18 sur 36 Tous les calques de la composition marqu s par le nombre d or sont li s entre eux en des points de rendez vous d ment certifi s par D rer le denier tant le poil qui entre dans son oeil d tail tr s appr ci des sp cialistes La premi re tape est de chercher le lien entre les deux droites qui passent par O marqu es par le nombre d or une bissectrice AE triangle 3 4 5 et une diagonale rectangle dor La droite du grand triangle du Feu qui vient chercher E est presque orthogonale Dans l esprit de V nus c est une invitation Tra ons en E cette orthogonale Ainsi nous cr ons le lien entre les deux droites internes bissectrice et diagonale en partant de l une en E et en s appuyant sur l autre par l angle droit Autre figure dor e celle d Albrecht D rer Le grand hexagramme produit la structure dor e du visage C est la part de l autoportrait que D rer peut le moins d former Fort heureusement ses proportions naturelles le pr disposent cet exercice Le rectangle dor vertical fait 1 3 de c t d un triangle soit pV3 3 o 3 La raci
38. idactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 15 sur 36 l abri du silence Deux s ries de quatre cercles de rayon se d veloppent en croix partir des centres des cercles primaire Les uns dans la partie sup rieure du tableau les autres dans la partie inf rieure Dans chaque s rie on peut d signer ces cercles selon la convention gauche droite haut bas Le cercle qui pose son centre sur la bouche de l artiste est celui du bas pour la s rie sup rieure Le voici confront celui de l hexagramme qui appara t ici de fa on estomp e alors qu il emprunte son toile La chevelure de D rer serpente entre les droites de leurs deux triangles du Feu respectifs et sa t te qui d passait la pointe se retrouve d sormais bien abrit e L image est belle d une forme en toit qui prot ge la t te de l artiste qui fait voeu de silence Sur la gauche une boucle de la chevelure vient appuyer cette figure du Feu pendant que la houppette vient confirmer celle de l Eau au niveau du front La co ncidence sur la bouche du centre de ce cercle avec les courbes venant du bas qui s y croisent n est pas exacte L on calculera la pr cision de cette rencontre ult rieurement car une autre figure nous attend o cette pr cision est manifestement tonnante Le cercle des yeux et ses rencontres Le cercle des yeux appartient la s rie inf rieure venant du bas du tableau Il est selon notre convention celui du haut ga
39. le Les cercles de rayon 1 p se constituent en croix Les deux premiers ont pour centre celui des cercles primaires Ensuite ils se dupliquent pour subir une rotation d un quart de tour Ils touchent presque les bords de l amande que forment les cercles primaires Enfin un m me cercle plac au centre ach ve de r v ler cette croix dite patt e al s e arrondie Le motif est tr s ancien comme en t moigne le visuel accessible en bas droite Il montre deux st les de Caherlehillan comt de Kerry en Irlande et datant du VI VII si cle La croix dans un cercle est un symbole pr chr tien qui se r clame du soleil temps cyclique Elle est ici accompagn e de deux l ments serpentiformes L oiseau qui la domine qui chez les Celtes deviendra un paon est un symbole d immortalit cf Livre de Kells Ce symbole est enracin dans une tradition de type paganique et la g om trie sacr e montre cette occasion son origine n olithique Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 7 sur 36 La racine de 3 et le carr didactique voir Annexe I Les mensurations des figures partir de l angle en bas du cadre th orique de la composition int grant les marges de g l on construit verticalement un rectangle la proportion de V3 sur la moiti de la grande largeur du champ de composition L horizontale du sommet permet au petit carr de se pos
40. mpar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 12 sur 30 Ci droite la pr cision de D rer d passe les capacit s d un logiciel d infographie classique haute d finition Pour tre honn te avec ce travail de ma tre les angles auraient besoin de deux chiffres apr s la virgule au lieu d un seul La ligne A et la particularit des cercles Quand nous avons abord l art de la composition partir de la bissectrice dor e nous avons mis en vidence une ligne oblique NV Sa sym trique est A et elle passe par K angle du carr didactique o convergent pas moins de quatre lignes en comptant la diagonale Y du grand carr Les cercles de rayon 1 ont une relation tr s curieuse le centre d un cercle ombre est sur le cercle primaire d en face Par exemple l ombre du cercle de droite forme un vesica piscis avec le cercle primaire de gauche Seule la distance qui s pare les centres 1 V3 2 0 133 9746 le permet Ce type de lien fonde la structure que nous cherchons mettre en vidence Sp culation sur les lettres La tentation est grande de chercher quelque myst re litt raire Par exemple l on peut tracer une parall le au trait du triangle de l Eau et la faire passer par le point d intersection entre l arc et la verticale du pav Une op ration sym trique isole la barre horizontale du dans le monogramme de D rer ce qui est encourageant
41. ne de 3 passe au d nominateur L harmonie du nombre d or se trouve en quelque sorte sous contr le du myst re c leste Cet aspect ne manquera pas d tre d battu dans les ann es qui viennent Le rectangle place son carr inscrit sous la barre de l hexagramme Cette structure dor e s panouit en croix grecque avec ses diagonales et son milieu est la hauteur 3 ce qui a du sens pour poser ses yeux Les diagonales 45 viennent croiser les diagonales dor es sur la verticale en U issue de notre op ration d angle droit Par ailleurs cette oblique EU est tangente au cercle ombre En r sum la structure dor e du grand pentagramme est li e celle du rectangle dor de autant qu au r seau des triangles sacr s par le cercle ombre Chaque figure g n rique a son expression dor e et toutes se connectent entre elles selon diff rentes approches Un principe se r v le la richesse du vocabulaire dans les d veloppements Comme si tous les aspects de la syntaxe g om trique devaient tre impliqu s pour faire une phrase symbolique L Image se revendique en cela comme un langage part enti re Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 19 sur 36 Une des le ons les plus tonnantes de la g om trie sacr e est la simplicit de ses r sultats Ainsi pour construire un rectangle dor de c t 1 il suffit de prendre un double carr horizontal et de tr
42. ngent encore sur la sexualit du 3 et du 4 Or depuis Pythagore ce vocabulaire est parfaitement clair 5 V le Cinq hypot nuse entre le 3 et le 4 Le 5 est d finitivement Humain On l assimile souvent la notion de Dogme ou de Structure Il n y a que l homme pour croire que ses r gles sont parfaites et imprescriptibles Par le pentagramme 1l montre ses choix entre volution et involution entre ses pr occupations c lestes et terrestres 6 VI le Six surface Sa meilleure expression est l hexagramme Les contraires trouvent un quilibre en mettant en commun leurs centres de gravit et ceux des cercles inscrits et circonscrits Le 6 sert de mesure au temps cyclique C est la surface du triangle changement de dimension 7 VII le Sept pente de l hypot nuse en inclinant le triangle Ce chiffre est de tous le plus difficile d finir Il porte une id e de mod le clos celle d une sorte d ach vement que pr sente le sch ma d un hexagramme point en son centre Et Dieu se reposa C est la pente que prend l hypot nuse quand le triangle pivote de 45 Cette configuration particuli re intervient par exemple dans la composition de La Vierge de Vladimir et le milieu de l hypot nuse correspond au coeur de Marie V3 la Racine de Trois vesica du cercle inscrit Les racines se r f rent l origine d un nombre et au myst re qui l accompagne V3 est essentiellemen
43. niquement une fa on de g rer une structure dans l ex cution picturale la cr ation commence par la structure Les triangles de l Eau qui se croisent dans leurs cercles primaires en accueillent un plus grand multiple de D 24 l o se croisent les triangles L arc de cercle du pav typographique adoube l un des axes de l toile Une boucle de cheveux vient pouser la base du grand triangle du Feu les autres respectent la ligne du premier rectangle dor du point voir Annexe III Le cercle de diam tre 2 dit du Pape Qu est ce qu une structure Cette structure tonnante se confronte l oeuvre en tant que r alit mais aussi a ce qu elle a d j livr de sa g om trie L on peut la constater sous tous ses aspects L tude gagne en complexit ce que les math matiques expos es par D rer gagnent en coh rence et en signification TOUTES les figures entretiennent des liens Une structure n est pas une somme d l ments livr s eux m mes mais la trame construite d une vision coh rente Ainsi la symbolique des Anciens est syst mique Cette pratique se distingue de celle laquelle nous sommes habitu s en histoire de l art qui cultive les liens d analogie entre les oeuvres Or quelle que soit la nature de ce type d inspiration elle n induit que des faits subjectifs et tout fait personnels Ceux ci rendent peu compte de la symbolique du fait m me de leur interpr tation Et quelque soit le tal
44. nogramme de D rer sont sur cette ligne de mire L angle du D et ceux des deux barres du A Cette indication compl te celle que nous donne l hypot nuse rejoignant le A en haut droite D rer signe ainsi par deux fois ces premi res lignes Une logique se d voile marqu e par V3 et le triangle quilat ral parall lement celle du nombre d or en une sorte de pas de deux Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer amp sur 36 Les rectangles et le carr de largeur V3 2 Voici deux rectangles semblables verticaux et de proportion V3 Leur largeur est de V3 2 donc leur hauteur est de V3 V3 2 3 2 Le premier pose sa base entre les centre des cercles Son sommet porte la bouche de l artiste telle une st le Le second se cale l o les cercles prennent exactement sa largeur Cette fois le sommet porte les yeux du peintre La bouche et les yeux sont ainsi pos s sur des graduations franches du quadrillage soit 5 2 pour la bouche et 3 pour les yeux Et ces graduations se retrouvent li es par V3 2 aux deux cercles Symboliquement le 5 humain la parole tant son propre s associe sous les l vres au 2 de l Inspiration ce au d nominateur facteur de limite D autre part un 3 franc et c leste porte des yeux souvent qualifi s de mystiques Le carr de V3 figure de liaison Le carr de c t V3 2 est particuli rement fertile
45. ns le cas de ce tableau D rer tient nous faire savoir que d j en 1500 il ma trise tous les aspects de la Divine Proportion Nous allons trouver un pentagramme 1 inscrit dans un cercle de diam tre V3 une croix 2 issue du cercle de rayon 1 2 Nous allons construire un r seau de rectangles dor s 3 partir d un point appel droite du cadre Ce point est sur le cercle de 29 d un grand hexagramme 4 et les d veloppements de ses rectangles vont jusqu la spirale dor e La bissectrice dor e 5 premi re dans la logique de cette g om trie elle appartient au triangle sacr rencontre au point R le grand cercle de l hexagramme tout comme son triangle du Feu sur le bord du cadre Tous ces aspects et plus g n ralement tous les aspects de la composition sont li s entre eux par des points de rendez vous o se fixent les lignes Ces rencontres sont le coeur de la symbolique Pr cision la pr cision des observations ne se suffit pas compl tement des logiciels d infographie classiques L tude de cette oeuvre de D rer r clame un programme o les lignes portent en elles leurs expressions math matiques exactes Celles de l infographie sont seulement descriptives et manquent de pr cision Par exemple les angles ont besoin de pr ciser leurs deux chiffres apr s la virgule un seul ne suffit pas Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 6 sur 36
46. odestie que de r alisme Cette main n ira pas au del de ce que l inspiration permet en d pit de l infinit du myst re de la Trinit L annulaire s efface dans l ombre de cette histoire Ce d tail n en est pas un D rer n entend pas nous raconter sa vie priv e elle reste dans l ombre voir Annexe V L interpr tation symbolique Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 9 sur 36 Interm de virtuose sign Albrecht D rer Le cercle de diam tre V3 2 sert de gabarit au dessin Les plis de sa manche et surtout les courbures des doigts Cette op ration de virtuosit confirme l importance et souligne le sens de cette valeur Le myst re c leste l aulne de l inspiration Le statut de la cr ation en un nombre r sum Sur le plan graphique la courbe du majeur est particuli rement impressionnante Que quelque doute nous effleure un argument du ma tre l ach ve imm diatement les portions de courbes sont r gies par des angles remarquables Tous figurent au vocabulaire usuel de la g om trie sacr e 90 45 60 et 36 63 27 qui se rapportent 9 dans la logique du pentagramme et des quasi cristaux Un fichier de tr s haute d finition sera n cessaire pour conclure une structure d ensemble de ces cercles Le point appel Phi La logique du rectangle dor Attention Nous avons tudi la bissectrice dor e
47. on pour en d cider Le A majuscule de Albrecht se lit dans l toffe de la manche Ce peut tre le r sultat d un accident de l rosion qu a subi la toile au cours de cinq si cles d exposition Mais situ cet endroit pr cis il serait int ressant d en d terminer la nature exacte Les cercles de V3 2 se d ploient galement en haut du tableau Voici une premi re rosace telle que D rer en produira beaucoup par la suite Cette structure s appuie sur l autre couple des cercles de 2 situ en haut La composition n est pas du m me ordre que les pr c dentes qui cadrent les sujets et donnent des indications pr cises sur les proportions C est un filet o l inspiration de l artiste se pose Il faut une longue pratique du dessin pour le comprendre car la main sait des choses que la raison ignore Parall le musical le compositeur n utilise pas toutes les notes de l accord pourtant la bonne oreille les devine dans la p nombre de l harmonie Cette approche se rappelle de la musique des sph res h ritage des Grecs Le concept cher Platon exprime autant qu il revendique l harmonie du monde Cette philosophie succ de elle m me gr ce Pythagore au Ma t gyptien religieux Selon quoi le sacr de D rer est l aboutissement d un chemin qui change deux fois de nom sans pour autant changer de sens religieux philosophique sacr La BASE imprescriptible de ces conceptions successiv
48. r e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 5 sur 36 Le triangle sacr Tout comptes faits L 3 Sur ce cadre th orique largi de de chaque c t nous pouvons placer un triangle 3 4 5 dont le cercle inscrit est le cercle primaire Ci droite l hypot nuse caresse le menton de l artiste et passe par le sommet de son initiale A Le centre du cercle primaire se pose au sommet de son coeur et ses doigts d orf vre entrent dans le cercle primaire Ci gauche quatre cercles prennent place aux quatre coins du cadre peint Donc quatre triangles et leurs quatre hypot nuses dessinant une croix de Saint Andr Le triangle 3 4 5 est la figure m re de la g om trie sacr e Il est indissociable du quadrillage et porte en lui le vocabulaire num rique de base de la symbolique entiers naturels de 1 7 plus le nombre d or et la racine de 3 Un article publi en avril 2012 dans la revue Rep res IREM reconstitue sa fabuleuse histoire Pythagore a trouv son th or me en r solvant la mesure de son nombre d or Le triangle r v le de nombreuses propri t s http www art renaissance net EDL La naissance de la G om trie Yvo Jacquier pdf Chercheurs d or Par exp rience la g om trie compar e sait que le triangle sacr se rattache un quadrillage de mesure et qu il produit des figures marqu es par le nombre d or not Phi p 1 V5 2 1 618 034 Da
49. r contre la D rer a achet la biblioth que de Johan M ller Regiomantanus 1436 1476 En 1471 ann e de naissance de D rer ce g ographe math maticien et astronome d cide d lire domicile Nuremberg Il est certain d y trouver ce qu il cherche des rudits comme lui et des artisans hautement qualifi s sp cialis s dans la fabrication d instruments scientifiques de pr cision en particulier pour l astronomie A la mort du math maticien viennois Georg Peuerbach 1423 61 son mentor Regiomontanus fait sienne la mission que ce dernier avait re u du cardinal Jean Bessarion 1403 1472 re traduire et publier l abr g de l Almageste de l astronome grec Claude Ptol m e 90 168 suppos donner une explication coh rente aux mouvements des plan tes du syst me solaire Ce travail achev en 1463 et imprim pour la premi re fois en 1496 sous le titre Epitoma in Amagestum Ptolomei avec des illustrations de D rer suscite de grandes controverses reprises par des astronomes tels que Copernic Galil e et Kepler Au service de Bessarion Regiomontanus parcourt l Italie de 1461 1467 IT fabrique un astrolabe crit sur la trigonom trie et la sph re armillaire A l universit de Padoue il expose les id es d al Farghani et crit une critique du Theorica Planetarum attribu G rard de Cr mone A partir de ses propres observations comme il le stipule dans une lettre
50. rdre min ral auquel on le confine n est fait souvent que de proportions et de rectangles s v res pr ts tout enfermer encore que le prix Nobel de chimie 2011 consacre les quasi cristaux de D Shechtman Le nombre d or n est pas la cl d un coffre fort mais celle de l harmonie Pr cise sans tre strictement exacte Avez vous entendu une partition ex cut e par un ordinateur Christophe de C ne nous donne en r f rence le ballet que V nus le Soleil et la Terre organisent dans le ciel http www web astrologie com 002 conjonctions soleil venus jpg Cette image est assez pr cise pour tre parfaitement lisible sans tre exacte au sens math matique Quand 1il s agit de peinture la pr cision ne peut aller au del du trait d esquisse Les purs concepts de la g om trie se projettent s incarnent m me en des traits r els Ils ont une paisseur Les anciens ont int gr cet aspect et accord leurs marges celles des figures de la g om trie et celles de la r alisation de leurs motifs D rer dernier grand ma tre de cet art au bout d une cha ne longue de deux mill naires poussera cette conception son extr me limite Aujourd hui il faut un ordinateur universitaire pour constater sa pr cision Ainsi les points R et sont sur le grand cercle Trois expressions g om triques qui int grent la logique dor e se rencontrent en ces points de rendez vous La bissectrice dor e du triangle l angle d un rectan
51. reuve en est quand les figures initiales origine des oeuvres se r v lent une marge qui vaut pour l observation d une peinture vaut forc ment pour l auteur Il faut bien mal conna tre le dessin pour croire que le talent et l intuition seuls permettent d atteindre des pr cision de l ordre de quatre milli mes sans l aide de la r gle et du compas Et il faut m priser tout autant les math matiques Oserait on pr tendre que dans le b timent l artisan peut se passer du cordeau et de la chaine d arpenteur Oserait on le clamer en congr s Pourtant d s qu il s agit d art le subjectif fait loi d sormais pour ne pas dire le m nage de tout ce qui se rapporte de pr s ou de loin l intelligence La musique serait un alli des plus pr cieux pour tablir les r gles l mentaires d un d bat sur l art Depuis son clavier bien temp r jusqu au fonctionnement de l harmonie elle est une preuve perp tuelle de ce que la r flexion peut nourrir et porter le talent Pour les Anciens l art n tait pas que subjectif et en cela ils taient vraiment honn tes et sinc res Une question est rest e longtemps sans r ponse l tude Pourquoi les artistes ont ils accord leur pratique depuis Pythagore jusqu D rer des marges de l ordre de quatre pour mille La r ponse ne s est pr cis e que tr s r cemment Les valeurs num riques qui accompagnent les figures deviennent partir de ce seuil assez facilem
52. rice deux symboles sont li s la Terre l orbe au bout de son sceptre et le dessin de l pi de Bl qui lui aussi fait r f rence au signe de la Vierge Le m me point central correspond d autre part au pli du genoux de l enfant J sus ce que le dessin original respectait compl tement Ce genou pli du Christ a une signification symbolique Le mouvement de genou flexion franchement appuy fait cho la position des deux chefs en pri re Et il est li au signe du capricorne qui s ouvre au solstice d hiver Il exprime en cette position la soumission du chevalier ou du h ros sa noble mission Enfin le genoux gauche est de polarit masculine et fait r f rence au P re Dieu le P re se manifeste ici au ventre de Marie Les signes de la vierge et du capricorne sont tout deux des signes de terre ce qui souligne le caract re terrestre du cadre dont ce premier point est le barycentre D rer ancre sa composition et verrouille son point d attache Tout au long de l tude une compl mentarit ne cessera de se confirmer entre Marie pos e au centre de ce cadre terrestre initial et J sus incarnant le mouvement Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 27 sur 36 e G om trie compar e propos des analyses du symboliste Les descriptions r clament une grande pr cision pour livrer leur sens Le regard port travers une fen tre contemporaine
53. s tout autant que les l gions de concepts que ce vide a inspir aux analystes Personne ne pourra jamais rendre compte d un art en ignorant les r alit s g om triques qui le sous tendent les syst mes hautement volu s qui portent le sens de la pens e au del de son aspect pictural ou architectural De m me on entre pas en communication avec le spirituel en multipliant l hexagramme de fa on it rative le sacr ne r sonne pas d avantage en un rectangle d s qu il se conforme la divine proportion La vie est infiniment plus complexe et le myst re des Anciens n est pas un rideau de fum e c est ce qui reste quand on a tout expliqu Une rupture s est produite la Renaissance Nous savons ce qui est apparu les lunettes et l imprimerie les canons et les colonies le syst me perspectif et la science la r forme et le pouvoir de l conomie etc Mais nous ignorons tout de ce qui a disparu nous ne disposons d aucun mode de lecture fiable pour aborder les deux mille ans d histoire qui ont pr c d Nous sommes une civilisation de l imprimerie Cette situation embarrasse la g om trie compar e Elle a pour mission d tudier d expliquer les syst mes math matiques des Anciens pas de partir en guerre contre la litt rature du XX si cle Maintenant quand une civilisation nie l existence d une autre pr textant que cette autre ne se revendique pas selon ses propres us et coutumes un minimum d explic
54. successif du carr inscrit et dans l autre sens la superposition d un grand carr qui sort du cadre La verticale gauche est la m me que celle du double carr que nous avons construit puisqu elle passe aussi par La diagonale venant de croise l horizontale T au bord du rectangle dor horizontal qui construit le visage on ne repr sente que lui pour all ger le visuel Ainsi la logique rectangulaire dor e retrouve celle du grand carr dont est la limite sup rieure en m me temps que celle de l hexagramme structure du visage Enfin la croix trouve sa place dans ces rythmes Voici la spirale qui depuis l esprit rejoint l oeil de D rer puis sa main A moins que ce soit l inverse Faire c est aussi apprendre et savoir c est aussi faire Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 21 sur 36 Le visage d Albrecht D rer Cette deuxi me spirale sym trique de la pr c dente pr sente la particularit de rejoindre le pav typographique au bout de la barre du A Si bien qu elle relie ce au D du monogramme Les spirales sont de parfaits motifs de m ditation et avec le temps de dissertation L exercice est tr s d licat pour l artiste Projeter des r gles d harmonie sans perdre la ressemblance et m me la vraisemblance ni l expression Quand Albrecht D rer arrive Anvers rasme insiste se faire portraiturer par
55. t des copies pures et simples de L onard En g om trie on pense que D rer a pu b n ficier du conseil et des explications d un autre membre du cercle de Pirckheimer le pr tre astronome et math maticien Johannes Werner 1468 1528 r put pour aimer changer et partager son savoir avec les artisans Comme on le d couvre en explorant son environnement social imm diat D rer ami d un correspondant d Erasme est initi la gravure par un proche collaborateur d un grand scientifique Regiomontanus et de plus s installe dans la maison qui abrite probablement la plus riche collection de manuscrits dont on peut r ver l poque rassembl s par Bessarion et Nicolas de Cuse On peut bien dire qu avant d aller d couvrir la Renaissance en Italie le meilleur de la Renaissance du Quattrocento italien est venu sa rencontre
56. t mystique On trouve cette valeur d s que deux cercles inscrits se conforment en vesica piscis Phi le nombre d or sur la bissectrice dor e Cadeau de s Dieu x l homme pour qu il cr e l harmonie sur Terre En ce sens la mystification de ce nombre est absurde sa magie est dans son c t tonnamment pratique Par exp rience l on peut dire qu aucun syst me de composition ne tiendrait sans lui Ph nom ne g om trique initi par les gyptiens de la premi re heure Nagada il se traduit aujourd hui par l tude des suites Cette dimension du nombre pur prolonge son histoire en quelque sorte sur un autre terrain que celui o il s est brillamment r v l la g om trie Les formes g om triques A Les points remarquables de la g om trie angles centres et intersection peuvent tre origine ou traduire une rencontre co ncidence B Les lignes d un triangle traduisent une volont Les actes suivent tr s souvent ces lignes physiquement Les c t s passent ainsi par deux points et expriment le chemin d une volont C leste pour le 3 terrestre pour le 4 et humaine pour le 5 C Les bissectrices montrent des relations intimes des liaisons profondes Ces lignes sont trac es au crayon gris Elles sont sous jacentes aux figures qui s en servent pour identifier des centres mat rialiser des directions Elles n ont pas la m me nature le m me caract
57. t pr s de leur r alit stricte quand les accessoires adoptent la libert dont l artiste a besoin pour exprimer sa g om trie Notons que la main convoite ces deux statuts de par l extraordinaire virtuosit de l artiste Ainsi ne soyons pas tonn s de voir les plis de la manche adopter la courbure des cercles de V3 2 Ni de voir la naissance de ces manches pouser le grand cercle de 24 En r gle g n rale les l ments vestimentaires font preuve d une grande flexibilit dans l art de la mise en sc ne g om trique Le visage de l artiste en revanche est abord tout autrement nous allons en avoir la preuve D rer ne saurait plier sa face en une sorte d exercice qui para trait vite douloureux Il y pose avec pudeur une longue nostalgie dans ses yeux Note 1 L allure g n rale de l oeuvre l inscrit dans une sorte de tradition Les couleurs la position etc L ensemble fait notamment r f rence la vera icon concept hybride s il en est qui traduit le passage du souci de la repr sentation selon le mode c leste des anciens avec la g om trie sacr e vers un mode plus terrestre et r aliste qui cherche en outre les lois de la perspective Le choix d une r f rence la vera icon est souvent mal interpr t En effet il tient selon ce que la g om trie d montre plus de l alibi que du fondement Comme dans beaucoup de ses oeuvres D rer pratique deux visions simultan ment
58. troduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 17 sur 36 Les points de rendez vous R E etc Le point est situ la hauteur de sur le bord droit du cadre et partir de lui il se d veloppe toute une s rie de rectangles dor s avec une spirale dor e pour conclusion partir du point A la bissectrice dor e du triangle 3 4 5 trouve son point d intersection R avec le cercle la distance de 29 puis le point E sur le cadre Le cercle du grand hexagramme passe par R et et la droite du grand triangle du Feu plonge sur E La pr cision de ces co ncidences est de R 2 5 o une unit fait 1082 pixels 3 8 o0 E 4 6 o voir Annexe IV La pr cision et l exactitude Je me souviens du jour o J ai rendu ma copie Christophe de C ne la r solution arithm tique des sph res du poly dre de D rer probl me qu il m avait soumis Apr s la seconde de f licitation r glementaire que nous avons tablie il confia qu il se trouvait rassur par la formule non triviale impliquant et proche 2 o de 5 3 Selon lui ce r sultat tait typique de la logique du nombre d or capable de construire des mod les math matiques compliqu s tout en s approchant tr s sensiblement de valeurs simples aux symboles clairs En r sum est un outil sophistiqu qui produit des choses simples au contraire de bien des machines contemporaines Cet nature biologique de r clame d tre soulign e L o
59. uche droite haut bas Son centre est d sign par Q et ce point semble au croisement des deux triangles de l hexagramme de base au centre Q Le cercle semble galement tre tangent au point M o se croisent les triangle Est Ouest de l hexagramme II le compl mentaire du premier que nous avons pos Pour une fois nous allons donner quelques l ments de calcul Jusque lors nous tions discrets voire avares de ce type de propos car les personnes qui peuvent les comprendre couramment sont en mesure de les d velopper eux m me Les autres en sont r duits faute d habitude nous faire confiance Aligner des lignes de calcul n adoucirait pas leur peine Selon quoi nous n allons pas entrer en d monstration mais exploiter la symbolique des r sultats Et tout le monde y trouvera son compte Les points Q et Q sont sur l axe du milieu X 0 on va donc comparer leur hauteur Y Pour Yo 3 4 Q et pour Yo 1 V3 4 M croisement des triangles est il sur le cercle XM QM selon X w 2 et selon Y p 1 V3 6 V3 4 1 4 OM VX Y 1 618 7693 proche de 1 618 034 7 4 10 lt 1 o Autre croisement des triangles en bas Selon Y 3 4 1 1 V3 1 433 8616 proche de Vo 1 433 0127 8 5 10 lt 1 o Dans les deux cas les expressions num riques sont tr s diff rentes et pourtant le r sultat est tr s proche Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique
60. ux grandes valeurs irrationnelles de la symbolique est une sorte d v nement g om trique Le cercle du Pape dans la Vierge de Vladimir Une autre oeuvre pr sente ce cercle de diam tre 2 4 et il est m me port par un double rectangle dor avec 4 pour grand c t il s agit de la tr s c l bre Vierge de Vladimir env 1400 l auteur anonyme pour ce texte Nous retrouvons le d veloppement en croix grecque du rectangle avec le cercle de diam tre 2 en son carr central La main droite de la vierge vient s y appuyer le v tement de l enfant J sus vient chercher le trait au bas de la croix etc La courbe droite sur le tableau de l paule de la Vierge adopte galement la forme de ce cercle Il est noter que cette structure se rattache g om triquement avec les autres d veloppements L introduction la composition de Vladimirskaya est en ligne ici http www andrei rublev com Vierge Vladimir html e G om trie compar e Le quadrillage Le triangle 3 4 5 est toujours impliqu dans le processus de quadrillage de l oeuvre L tablissement de son chelle de mesure permet d obtenir les valeurs num riques de toutes les formes g om triques et par la m me d ouvrir leur interpr tation Yvo Jacquier G om trie compar e Introduction didactique l Autoportrait 1500 d Albrecht D rer 29 sur 36 Annexe IV La pr cision et l exactitude En cinq si cles l oeuvre a perdu une l g

d`Albrecht Dürer (1500) - art

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