SYNTHESE LOGIQUE COMBINATOIRE -FIPMECA 1- - E
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1. b a b a b c a b c a a b a b a b c a b c I 9 D finition du th or me de De Morgan Compl ment d une somme logique Compl ment d un produit logique a b a b a b a b Y X1 X2 X3 Xn NI X2 Xn V XIX2X3 _Xn X1 X2 Xn Les lois de De Morgan montrent qu une fonction ET peut tre fabriqu e partir des fonctions OU et NON De m me une fonction OU peut tre obtenue partir des fonctions ET et NON ll Les principaux modes de repr sentation de la logique combinatoire II 1 La forme canonique d une quation logique La forme canonique d une fonction est la forme totalement d velopp e des quations Elle est issue directement de la table de v rit Pour exemple b C C a b c 4 b c a b c a b c Forme simplifi Forme canonique II 2 Le logigramme d une quation logique Un logigramme est un sch ma lectrique base de portes logiques Pour effectuer un logigramme il suffit de suivre quation logique en rep rant les termes prioritaires un ET est prioritaire devant un OU Remarque Deux sorties ne peuvent jamais tre connect es entre elles Exemple S a b c a b c a b c 1 amp 5 amp II 3 Le sch ma lectrique le graphe contact ladder d une quation logique Une quation logique peut tre repr sent e l aide d un sch ma lectrique ou d un graphe contact Ladder Par exemple la fonction2. de sortie Par convention les variables d entr e sont en minuscules a b c les variables de sortie sont en majuscules X Y Z I 6 Combien de fonctions logiques peut on r aliser avec n_ variables d entr es On peut r aliser 2 fonctions logiques Variables d entr es Fonction logique e Etat des variables __ Etat de la fonction Da G IF o e I 7 D finition la logique combinatoire La logique combinatoire l aide de fonctions logiques permet la construction d un syst me combinatoire Un syst me est dit combinatoire quand il est de type boucle ouverte c est dire qu aucune des sorties n est boucl e en tant qu entr e A chaque combinaison d entr e correspond une seule sortie Les syst mes combinatoires sont les plus simples et peuvent se repr senter par une table de v rit indiquant pour chaque tat d entr e quel est l tat de sortie correspondant I 8 Les propri t s de l alg bre de Boole utilis es en logique combinatoire Propri t s de la somme Propri t s du produit N gation O 0 0 0 0 O 1 0 1 1 1 1 O 1 O d 1 d 1 0 1 0 1 a a a 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Commutativit Associativit Distributivit a b b a a b c a b c a b c a b a c a b b a a b c a b c a b c a b c a Propri t s compl mentaires Theoreme de De Morgan a a b a a a
3. logique S A B F a pour sch ma lectrique quivalent iii H et a pour sch ma contact quivalent HT 11 4 Le chronogramme Le chronogramme est une repr sentation graphique de l volution temporelle d un signal lectrique ou d un tat Niveaux Logiques 4 10 t1 t2 t3 t4 U ll li i 1 0 e i li i Temps a IT 5 La table de v rit Une table de v rit repr sente une fonction logique Elle donne l tat de la fonction pour toutes les combinaisons des tats des variables Elle comporte 2n lignes n repr sentant le nombre de variables Elle permet d tablir l quation logique de la fonction Exemple de table de v rit a et b variables logiques F fonction logique ie Etat des variables Etat de la fonction III Les fonctions logiques de base entr e 1 autres 0 ou 1 toutes les entr es 1 entr es inhib es 0 autres 1 1 entr e 1 1 entr e a 0 autres a0 ou 1 toutes les entr es 0 oo sch 1 seule entr e 1 autres 0 0 1 1 0 GTS 0 0 1 toutes les entr es au m me tat 0 ou 1 IV Les fonctions logiques universelles Une fonction est universelle lorsqu elle permet elle seule d exprimer les fonctions de base OUI NON ET OU IV 1 Fonction NAND Forme canonique Chronogramme ortie compl ment e IV 2 Foncti
4. Royaume Uni 8 d cembre 1864 Ballintemple Irlande est un logicien math maticien et philosophe britannique Boole est l un des pr curseurs de la logique moderne Son alg bre de la logique l alg bre de Boole qu il exprime en 1854 dans son trait An investigation of the laws of thought sur les lois de la pens e est aussi utilis e de nos jours en lectricit en lectronique et dans la mise au point des algorithmes des machines automatiques George Boole meurt d une pneumonie le 8 d cembre 1864 I 4 La variable bool enne ou logique Soit l ensemble E constitu de deux l ments L l ment nul not O L l ment unit not 1 On a donc E 0 1 Un l ment quelconque de E est d sign par un symbole exemple une lettre A B a b ou chacun peut prendre la valeur ou 1 On dira que A etc sont des VARIABLES BINAIRES Il existe deux types de variables Entr es minuscules Sorties majuscules I 5 Qu est ce qu une fonction logique Une fonction logique est le r sultat de la combinaison logique combinatoire d une ou plusieurs variables logiques reli es entre elles par des op rations math matiques BOOLEENNES bien d finies la valeur r sultante de cette fonction d pend de la valeur des variables logiques mais de toute fa on cette r sultante ne peut tre que O ou 1 Une fonction logique poss de donc une ou des variables logiques d entr e et une variable logique
5. SYNTHESE LOGIQUE COMBINATOIRE FIPMECA 1 Table des mati res keete teen EE 4 I 1 L histoire de la logique combinatoire 4 1 1 1 re des m caniciens c cccssscscssssssseccecscscsssccecscscssscsavecscscessavavsceevserseacsasecsaseasneees 4 1 1 2 re des LeC 16 EE 4 ne EE 4 Lee pr curseur de E eee tete 4 LA La variable bool enne ou logique 5 E35 Qu estcequunetonction logique EE 5 1 6 Combien de fonctions logiques peut on r aliser avec variables d entr es 5 I 7 D finition de la logique combinatoire 6 I 8 Les propri t s de l alg bre de Boole utilis es en logique 1 6 LO D finition du th or me de De Morgan 6 IT Les principaux modes de repr sentation de la logique combinatolre 7 II 1 La forme canonique d une quation logique 2 Le logigramme d une quation logique II 3 Le sch ma lectrique le graphe a contact ladder d une quation logique 8 TE Le CMP OM OS FAI eeneg 8 LES A table de Vere EN 9 INI ves TONCHOMS logiques Ce DASE mrico 10 IV Les fonctions logiques universelles oe 20 De i 11 FV al OTC HOT IN AUN 11 2 EF0nctiron NOR 12 3 Exemples de fonctions de bases obtenues l aide de portes univers
6. elles 13 IV 4 Exemples d une fonction Y d b a c obtenue partir de portes universelles 14 NOR cata dd 14 NAN E 14 V Les fonctions logiquescompl exes MN 15 Vele RE 15 NZ N OR a ds 15 61621816 SR et dd P MEA te un 15 KE 15 VIT Les tableaux de Karnat EE 16 VI 1 Repr sentation d un tableau de Karnaugh 16 VI 2 Mode d emploi d un tableau de Karnaugh 17 V1 3 Simplification l aide d un tableau de Karnaugh 18 VI 4 Exemples d utilisation des tableaux de Karnaugh 19 l Introduction I 1 L histoire de la logique combinatoire 1 1 1 des m caniciens Les d buts de l automatique sont associ s l apparition des premiers r gulateurs de niveaux La technique a ici encore une fois pr c d la th orie titre d exemples nous pouvons citer L horloge eau ou clepsydre de Ktesibios au IIIe si cle avant J e La fontaine vin H ron d Alexandrie si cle avant J e Le syst me de r gulation de niveau des fr res Banu Musa au IXe si cle Apparaissent ensuite les premiers r gulateurs de temp rature avec e Cornelius D
7. mploi dun tableau de Karnaugh A partir de la table de v rit d une fonction logique quelconque 4 combinaisons e Lacase 1 correspondant la combinaison a 0 b 0 gt D 0 e Lacase 2 correspond la combinaison a 1 b gt 0 e Lacase 3 correspond la combinaison a 0 b 1 gt 1 e Lacase 4 correspond la combinaison a 1 b 1 gt 1 Table de v rit Tableau de Karnaugh VI 3 Simplification l aide d un tableau de Karnauah Une fois le tableau de Karnaugh obtenu la simplification de la fonction logique correspondante s obtient en regroupant les 1 ou les O du tableau Les regroupements sont possibles uniquement avec des cases adjacentes identiques et par groupe de 2 n devant tre le plus grand possible comme le montre la figure ci dessous L quation logique de chaque regroupement correspond au produit logique des variables dont il d pend Le regroupement bleu est ind pendant de b Y 1 pour b gale O ou 1 Le regroupement rouge est ind pendant de c Y 1 pour c gale O ou 1 Le regroupement noir d pend des quatre variables d entr e L quation globale de la fonction logique simplifier correspond la somme logique des quations de chaque regroupement La fonction logique correspondante devient Y a c d a b d a b c d VI 4 Exemples d utilisation des tableaux de Karnaugh tablissons les tableaux de Karnaugh que nous ti
8. n fonction de la valeur de b on IMPLIQUE b dans le r sultat de la valeur de X Commentaire La fonction X pr sente une valeur inverse de 1 tant que b vaut O pour n importe quelle valeur de a Le changement de la variable a est inhib e par la valeur 1 de b changement de la valeur de X impossible Utilisation en informatique op rateur de d duction pour la programmation logique Utilisation en lectricit d marrage moteur arr t prioritaire VI Les tableaux de Karnaugh Un tableau de Karnaugh sert simplifier une quation logique sans passer par les propri t s de l Alg bre de Boole VI 1 Repr sentation d un tableau de Karnaugh Les tableaux de KARNAUGH sont une autre forme de repr sentation graphique des tables de v rit La disposition est diff rente et l emploi du binaire r fl chi imp ratif pour un usage correct code GRAY Le tableau de Karnaugh tant une forme condens e de la table de v rit on retrouve dans chaque case une solution c est dire une valeur d tat de la sortie est compos de 2n cases avec n le nombre de variables d entr e Lorsqu on se d place d une case une seule variable d entr e peut changer d tat Deux cases adjacentes ne voient voluer qu une seule variable code GRAY Tableaux deux variables Tableaux trois variables Tableaux quatres variables a b 00 01 11 10 DO 01 11 10 ca VI 2 Mode d e
9. on NOR Forme canonique ort le compl ment e IV 3 Exemples de fonctions de bases obtenues l aide de portes universelles e NOR Equivalent OUT Equivalent NON e NAND Equivalent OUT Equivalent NON Equivalent ET a b po b a amp F IV 4 Exemples d une fonction Y d b a c obtenue partir_ de portes universelles Q 9 Q O SI sl V Les fonctions logiques complexes X a b X aob Forme canonique X a b a b Forme canonique X a b a b Symbolisation Symbolisation x 4 A b b b Commentaire La fonction X prend une valeur gale 1 quand l une OU l autre des variables l EXCLUSION des 2 la fois prennent une valeur gale 1 Commentaire La fonction X prend une valeur gale 1 quand l une ET l autre des variables prennent la m me valeur il est EXCLU que l une des variables soit diff rente d une l autre Utilisation en lectricit d marrage moteur 2 sens en lectronique fabrication de front Utilisation en informatique comparateur de bit gt Forme canonique X b Forme canonique X b Symbolisation d Symbolisation 2 X D Commentaire Tant que a O alors X 1 quelque soit la valeur de b on ignore la valeur de b Si a 1 alors X prendra une valeur O ou 1 e
10. rebbel au XVIIe si cle utilisation du principe de dilation d un gaz e Bonnemain au XVIIIe utilisation du principe de dilation d un m tal Les premi res r alisations de r gulateurs de vitesse sont observ es en 1787 dans les moulins Le meunier anglais Thomas Mead combine l id e du serre meule avec l utilisation d un pendule centrifuge pour mesurer la vitesse de rotation L id e du pendule centrifuge est repris par James Watt en 1787 pour r guler la vitesse d une machine vapeur 1 1 2 re des lectriciens Au d but du XX me si cle des probl mes d att nuation des signaux t l phoniques du la longueur des lignes vont entrainer l tude des amplificateurs triodes Ces amplificateurs sont alors non lin aires et dispersifs Harold Black a montr que la r troaction n gative permet de r duire la non lin arit d un organe amplificateur en augmentant le gain de boucle de ce dispositif Il transpose ainsi le concept de r tro action contre r action observ dans les r gulateurs m caniques dans le domaine de l lectricit Les travaux de Black Nyquist Bode vont permettre l mergence d une approche unificatrice de l automatique la th orie des syst mes I 2 R le de l automatique L automatique permet l automatisation des t ches par des machines qui fonctionnent sans intervention humaine c est dire sans op rateur I 3 Le pr curseur de l automatique George Boole 2 novembre 1815 Lincoln
11. rerons de la table de v rit et ce pour chaque variable de sortie V M OO oC D o D D O CA CoO D a 0 2 E E 19 f p c d f p d c
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