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PROBLEMES 2000

1. 2 R soudre l in quation 9 3x gt 4 5 3 Quelles sont les positions du point M sur le segment OC pour lesquels l aire du triangle AM B est sup rieure ou gale 4 5em D Le FUR 7 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Nice 2000 Dans ce probl me l unit de longueur est le centim tre et l unit d aire le cm La figure ci dessous est donn e titre d exemple pour pr ciser la dispostion des points Ce n est pas une figure en vraie grandeur A ABC est un triangle tel que AC 20cm BC 16cm AB 12cm E F est un point du segment BC La perpendiculaire la droite BC passant par F coupe CA en E On a repr sent sur la figure le segment BE Partie A 1 D montrer que le triangle ABC est rectangle en B 2 Calculer laire du triangle ABC 3 D montrer que en s aidant de la question 1 que la droite EF est parall le la droite AB Partie B On se place dans le cas o CF 4em 1 D montrer que EF 3cm 2 Calculer laire du triangle EBC Partie C On se place dans le cas o F est un point quelconque du segment BC distinct de B et C Dans cette partie on pose CF x x tant un nombre tel que 0 lt x lt 16 3 1 Montrer que la longueur EF exprim e en cm est gale 1 2 Montrer que laire du triangle EBC exprim e en cm est gale 6x 3 Pour quelle valeur de x laire du triangle EBC exprim
2. re que le plan perc peut se d placer verticalement tout en restant parall le au sol ainsi la distance AO varie On note cette distance x AO 1 Entre quelles valeurs varie x 5 2 Montrer que O E 2x 3 En d duire que l aire de la surface clair e au sol est gale Hu 8 4x2 D Le FUR 20 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Partie C On a repr sent graphiquement la distance O E en fonction de la distance x s parant le plan perc de la source lumineuse graphique 1 laire de la surface clair e au sol en fonction de la distance x graphique 2 i f Graphique 1 4 3 2 4 1 4 0 cm R 1 2 4 5 distance AO LY raire deta Graphique 2 rsurface clair m x 2 f Ppa rm 1 2 3 4 5 distance AO Par simple lecture sur l un ou l autre des graphiques r pondre aux questions suivantes 1 Y a t il proportionnalit entre le rayon du disque repr sentant la surface clair e au sol et la distance x Justifier la r ponse 2 Quelle est l aire de la surface clair e au sol lorsque le plan perc se trouv
3. un escalier Le prix pay pour cet escalier est P pour le tarif n 1 P gt pour le tarif n 2 P3 pour le tarif n 3 Exprimer P P gt et P3 en fonction de x Dans le plan muni d un rep re orthogonal on prendra sur l axe des abscisses 1cm pour repr senter 2 marches et sur l axe des ordonn es 1cm pour repr senter 1000F Sur une feuille de papier millim tr on placera l origine du rep re en bas et gauche de la feuille tracer les droites suivantes a D d quation y 300z b D2 d quation y 500x 2 000 c D3 d quation y 800x 3 000 Sachant que les escaliers propos s ont toujours un nombre de marches compris entre 10 et 20 c est dire 10 lt x lt 20 colorier en rouge sur le graphique les parties des droites D D2 et D3 correspondant cette situation Utiliser le graphique pr c dent pour r pondre aux questions suivantes faire appara tre les trac s ayant permis de r pondre a Madame Dunoyer a pay 8000F pour un escalier droit en bois combien cet escalier avait il de marches b Quelle est la diff rence de prix entre un escalier en b ton de 20 marches et un escalier droit en bois de 20 marches R pondre par le calcul la question 5 a Monsieur Duch ne a un budget qui ne peut pas d passer 14 000F Il veut un escalier tournant en bois a R soudre l in quation 800x 3000 lt 14000 b Quel est le plus grand nombre possible de marches pour l escalier de mons
4. e en cm est elle gale 33 4 Exprimer en fonction de x l aire du triangle EAB Pour quelle valeur exacte de x l aire du triangle EAB est elle gale au double de l aire du triangle EBC D Le FUR 8 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Orl ans Tours 2000 Dans tout ce probl me les figures donn es ne sont pas l chelle L unit de longueur utilis e est le cm l unit d aire le cm et n de volume le cm On consid re une pyramide r guli re base carr e ABCD et de sommet principal S On nomme O le centre du carr ABCD et M le milieu du segment BC On rappelle que le triangle OSM est rectangle en O On donne OS 12 et AB 6 Partie A 1 a En utilisant le triangle ABC d montrer que OM 3 b Dessiner en dimensions r elles le triangle OSM 2 Placer sur le segment OS un point O et sur le segment SM le point M tel que O M soit parall le OM a On pose O S x x d signant un nombre positif inf rieur ou gal 12 Exprimer la longueur OO en fonction de x b D montrer que O M 0 25x Partie C On coupe la pyramide SABC D pr c dente par un plan parall le la base et passant par le point O du segment OS On nomme B C D les intersections respectives des segments SA SB SC et SD avec le plan de coupe A partir du carr A B O D on construit le parall l pip de A B C D HGFE tel que EFGH soit dans le plan de l
5. et AB 8 1 1 Construire ce triangle l chelle T 2 Tracer la hauteur qui passe par le sommet S Cette hauteur coupe le c t AB au point T a Expliquer pourquoi IA 4 b Calculer le cosinus de l angle AS c En d duire la valeur arrondie au degr de langle LAS 3 Le point 4 est le milieu du c t SA et le point B est le milieu du c t SB a D montrer que les droites 4 B et AB sont parall les b D montrer que A B 4 Partie B On rappelle que l unit de longueur est le m tre La figure ci contre n est pas l chelle Un fare potee a la forme d un parall l pip de rec tangle surmont d un toit pyramidal Ce fare potee est repr sent ci contre par le pa rall l pip de rectangle ABCDEFGH et la pyra mide SABCD de base carr e AB 8 SA 6 AE 3 1 ABCD est un carr de centre O Calculer AO Donner la valeur exacte de AO sous la forme avb a et b entiers 2 Sachant que le triangle SOA est rectangle en O calculer SO 3 Pour la suite on prendra SO 2 Bxh 3 On rappelle que le volume d une pyramide est donn par la formule v Calculer le volume VA du parall l pip de rectangle ABCDEFGH Calculer le volume V2 de la pyramide SABC D En d duire le volume V3 de ce fare potee On donnera les valeurs arrondies au m D Le FUR 28 28 15 septembre 2003
6. peut choisir la profondeur SB de son ap pentis Partie A Dans cette partie on suppose que la profondeur SB de l appentis est gale 1 2m 1 Justifier que la mesure de AOB est gale 40 En d duire la mesure de l angle STO 2 Dessiner l chelle 1 50e la face ABST de l appentis faire figurer le point O sur ce dessin 3 On travaille nouveau avec les dimensions r elles a Calculer OS et OB arrondi au em b Calculer AB si n cessaire arrondir au cm c Calculer une valeur approch e du volume de l appentis Partie B Dans cette partie on ne conna t pas la profondeur SB de l appentis Monsieur Ferdinand d sire que le volume de son appentis soit sup rieur 8m la hauteur minimale AB de son appentis soit sup rieure 1 60m On d signera par x la longueur de SB exprim e en m tre On utilisera OS 3 6m 1 Exprimer OB en fonction de x 2 Montrer en utilisant le th or me de Thal s que AB 3 5 3 R soudre l in quation 3 ES 1 6 1 2 Volume en m p 12 4 Le graphique ci apr s repr sente le volume de l appentis exprim en m en fonction de 8 x En observant ce graphique donner cinq valeurs de x pour lesquelles le volume de l ap pentis est sup rieur 8m 5 En utilisant les r ponses obtenues aux ques tions 2 3 et 4 de cette partie B donner une 4 valeur de SB qui corresponde aux d sirs de M
7. positif inf rieur 6 a Exprimer en fonction de le volume du coussin b Exprimer en fonction de z le volume que peuvent occuper les bonbons dans la bo te 3 On consid re la fonction affine f x 1350 225x a Repr senter graphiquement cette fonction affine pour x positif et inf rieur 6 on prendra 2cm pour unit sur laxe des abscisses et 1cm pour 100 unit s sur l axe des ordonn es Dans la pratique x est compris entre 0 5 et 2 5 b Colorier la partie de la repr sentation graphique correspondant cette double condition c Calculer f 0 5 et f 2 5 d On vient de repr senter graphiquement le volume que peuvent occuper les bonbons dans la bo te Indiquer le volume minimal que peuvent dans la pratique occuper les bonbons Partie C A l occasion d une f te le confiseur partage chacune de ses bo tes en trois compartiments pour y mettre trois sortes de bonbons Pour cela il supprime le coussin et place deux s parations verticales comme le montrent les figures ci apr s C 9 E B C E B H I I 12 12 D po i D G 9 A Vue en perspective Vue de dessus On a CE AG 9 et CF AH 12 1 Calculer la longueur EF 2 Indiquer la forme et les dimensions des deux s parations verticales plac es dans la bo te 3 Deux compartiments sont des prismes droits base triangulaire a Montrer que le volume du prisme de base CEF est 324cm b Calcule
8. quation y 40x 1000 D d quation y 3 000 Une personne dispose de 1600F pour l utilisation des installations de ce club D terminer graphiquement le nombre de s ances auquel elle pourra participer a si elle choisit le tarif A b si elle choisit le tarif B On fera appara tre clairement sur le graphique les traits utilis s Soient M le point d intersection des droites D et D2 et N celui des droites D et D3 a Lire sur le graphique les coordonn es de M b Calculer les coordonn es de N D terminer graphiquement selon le nombre de s ances annuelles le tarif le plus avantageux D Le FUR 22 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Besan on septembre 1999 Partie A Le dessin sera fait sur une feuille de papier millim tr On consid re deux droites D et D d quations Diiy stet D2 y 4 5 1 Repr senter graphiquement ces deux droites dans un m me rep re orthonormal en prenant le centim tre comme unit On placera l origine du rep re dans le coin inf rieur gauche de la feuille de papier millim tr 2 Calculer les coordonn es du point E intersection des droites D et D2 Placer ce point E sur le dessin Partie B L unit de longueur est le centim tre A x M B La figure ci contre a t r alis e selon les hypoth ses suivantes ABCD est un rectangle tel que AB 8 et AD 6 M est un point du segment AB et on note x la longueur AM On a donc 0 lt zx lt 8 La droite
9. 00 Centres trangers 12 2000 Les trois parties du probl me sont ind pendantes Les figures ci dessous ne sont pas en vraie grandeur On sait que MATH est un carr de centre E et de 12cm de c t O est le milieu du segment MH S appartient EO et SO 4em Les droites EO et MH sont perpendiculaires Partie A A T 1 Faire la figure en vraie grandeur 2 Montrer que le triangle MSH est isoc le en S 3 a Calculer la valeur exacte de SM JS b Montrer que la valeur exacte du p rim tre du triangle MSH est 12 2y 52 T0 Partie B Soit N un point du segment SO on pose NO x exprim en cen tim tres On note A laire du triangle HNO et A2 l aire du triangle MSN ex prim es en cm 1 Montrer que A 3x 2 Exprimer SN en fonction de x 3 Montrer que A2 3 4 x On pourra remarquer que MO est une hauteur du triangle MSN 4 Pour quelle valeur de x a t on A1 342 Partie C F est un point quelconque du segment TH Prouver que le point d intersection 7 des segments FM et EO est le milieu du segment MF D Le FUR 18 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Centres trangers 13 2000 On se place dans le plan muni d un rep re orthonorm O I J L unit graphique est le centim tre 1 Sur la feuille de papier millim tr placer les points A 4 4 B 4 1 et C 2 3 2 a Calculer les longueur
10. ES 2000 Clermont Ferrand 2000 Lors d un transport exceptionnel sur route un objet est prot g dans une caisse dont la forme est un prisme droit repr sent sur le sch ma ci contre Toutes les longueurs sont exprim es en m tres On consid re une base du prisme inscrite dans le rectangle FGCD FG 12 GC 8 Sur le c t GC on a plac le point B tel que GB 3V3 Sur le c t FG on a plac le point E tel que EF EG le point A tel que GBA 30 1 3 On rappelle que sin 30 7 et cos 30 Partie A 1 Exprimer cos 30 dans le triangle AGB En d duire que AB 6 2 Exprimer de m me sin 30 dans le triangle AGB En d duire que AG 3 3 Calculer ED 4 V rifier que le pentagone ABCDE a un p rim tre gal 39 34 3 5 Sachant que le prisme droit a une hauteur de 5 m tres calculer son aire lat rale Partie B 1 Calculer l aire du rectangle FGCD 2 Calculer les aires des triangles DFE et AGB 3 En d duire la valeur exacte de l aire du pentagone ABCDE 4 Montrer que l aire totale du prisme droit est gale 339 2443 En donner une valeur arrondie au dixi me de m tres carr s pr s Partie C On souhaite recouvrir cette caisse de deux couches de peinture Un pot de peinture permet de recouvrir une surface de 25m pour la premi re couche la seconde couche n cessite 35 de peinture de moins que la premi re couche Pour des raisons pratiques
11. HS 4 5cm La surface du liquide est un disque calculer le rayon HC de ce disque on justifiera les calculs b Exprimer en fonction de x le volume correspondant du liquide en cem c On pose maintenant HS x en centim tres Montrer que le rayon HC de la surface du liquide est gal 5 Montrer alors par le calcul que le volume V de liquide est 3 TNL 3 donn en fonction de x par la formule V 7 M d En utilisant la formule pr c dente calculer le volume de liquide lorsque HS 3cm puis lorsque HS 6cm Partie B On verse ensuite le liquide contenu dans ce c ne dans un verre cylindrique de m me section de 6cm de diam tre et de m me hauteur 9cm figure ci contre 1 Montrer que le volume total du cylindre est 81rem 2 Combien de c nes remplis ras bord faudra t il ainsi vider pour remplir le cylindre 3 On d signe par y la hauteur en cm du liquide contenu dans le cylindre y GF sur le dessin a Montrer que le volume en cm du liquide contenu dans le cylindre est 9Ty b Montrer que lorsque l on verse dans le cylindre le volume 3 TT V DA du liquide contenu dans le c ne la hauteur y obtenue est reli e x par la relation 2 243y c Recopier et remplir le tableau suivant o x et y sont reli s par la relation pr c dente on donnera les valeurs d cimales approch es de y avec trois d cimales exactes x 0 112 3 4 5 617 RE RO be Em EE EE e d Repr sente
12. PROBLEMES 2000 Bordeaux 2000 L unit graphique est le centim tre La figure sera r alis e sur papier quadrill Partie 1 1 Tracer un segment AB tel que AB 12 et placer le point H du segment AB tel que AH 1 Tracer un demi cercle de diam tre AB et la perpendiculaire en H la droite AB On d signe par C leur point d intersection 2 Quelle est la nature du triangle ABC 3 Exprimer de deux fa ons le cosinus de l angle BAC et en d duire que AC 2V3 Donner la mesure arrondie au degr de l angle BAC Partie 2 1 a Placer le point D de la droite BC tel que B C et D soient dans cet ordre et que CD 6 b Calculer la mesure en degr s de langle ACD et la valeur exacte de la longueur AD 2 a Placer le point E du segment AD tel que AE 2 et le point F du segment AC tel que AEF 30 b D montrer que les droites EF et DC sont parall les c Calculer la longueur AF 3 La droite EF coupe la droite CH en K D montrer que le point K appartient la bissectrice de l angle CAB D Le FUR 1 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Caen 2000 K RKL est un triangle rectangle en R avec RK 6cm et RL 9cm B M est un point quelconque du c t RK On pose RM x x en centim tres M P est le point du segment RL tel que RP RM x P On place alors le point N pour que RM NP soit un carr 1 Ci E P L 1 Dans cette question x 2 On obtient la figure ci dessus
13. a base ABCD On pose comme en partie O S x D Le FUR 9 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 1 Exprimer en fonction de x a la longueur A B on admettra que A B 20 M b laire du carr A B C D c le volume V x du parall l pip de 4 B C D HGFE On montrera que V x 3x 0 25x3 2 Recopier et compl ter le tableau suivant vwj IS HE 3 On donne ci apr s la repr sentation graphique de V dans un rep re du plan V x est l image de x et se lit en ordonn e comme indiqu sur le graphique A Valeur de V x 50 0 1 5 10 Valeurs de x a On peut lire sur le graphique deux valeurs de x pour lesquelles V x 32 L une figure sur le tableau de la question 2 pr c dente l autre sera lue au dixi me pr s sur le graphique Quelles sont ces deux valeurs b M me question qu au a mais avec cette fois V x 50 c Sur le graphique on constate et on admettra qu il existe une valeur a de x pour laquelle le volume du parall l pip de est maximum Donner l aide d une lecture graphique une valeur approch e de ce volume maximum ainsi qu une valeur approch e du nombre a D Le FUR 10 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Paris 2000 Cette figure repr sente une fontaine en pierre il s agit d une pyramide r guli re SABCD dans laquelle on a creus une pyramide TABCD correspond
14. aliser un patron de cette pyramide l chelle 1 100 Partie B Paul a tellement appr ci cette pyramide qu il ach te comme souvenir de sa visite une lampe huile dont le r servoir en verre la forme d une pyramide r guli re base carr e de c t 6cm et de hauteur 4cm 1 Montrer que le volume du r servoir de cette lampe est 48cm 2 Le mode d emploi de la lampe pr cise que une fois allum e elle br le 4cm d huile par heure Au bout de combien de temps ne restera t il plus d huile dans le r servoir 3 On d signe par V le volume d huile en cm restant dans la lampe et par t la dur e exprim e en heures o la lampe est rest e allum e Ecrire VY en fonction de t 4 Dans le plan rapport un rep re orthogonal placer l origine en bas et gauche de la feuille on choisit sur l axe des abscisses 1cm pour une heure sur l axe des ordonn es 1em pour 5cm Dans ce rep re construire la repr sentation graphique du volume V en fonction de t o V 4t 48 5 Comment peut on retrouver graphiquement la r ponse la question 2 6 a En utilisant le graphique trouver au bout de combien de temps il ne reste que 10cm d huile b Retrouver ce r sultat par le calcul Exprimer la r ponse en heures et minutes D Le FUR 14 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Am rique du nord 2000 Partie A Sur une feuille de papier millim tr construire un rep re orthogonal en p
15. ant au bassin qui re oit l eau SABCD a pour base le carr ABCD de centre O de c t AB 6cm et pour hauteur SO 9 Les longueurs sont donn es en dm Partie A Dans cette partie OT 6 1 a Calculer le volume du bassin TABC D b Donner sa capacit en litres 2 D montrer que le volume de pierre de la fontaine est 36dm Partie B On s int resse ici au cas o les faces lat rales de TABC D sont des triangles quilat raux 1 Donner la valeur de AT 2 Dans le triangle ABC calculer AC On donnera la r ponse sous la forme avb avec a et b entiers et b le plus petit possible 3 En utilisant la r ciproque du th or me de Pythagore d montrer que le triangle ACT est rectangle Partie C Dans cette partie OT x 1 Quelles sont les valeurs de x possibles 2 Exprimer le volume de pierre de la fontaine en fonction de x 3 Repr senter la fonction f x 108 12x sur la feuille de papier millim tr 4 Retrouver l aide de trac s en pointill s sur le graphique le r sultat de la partie A 2 5 a Par lecture graphique donner une valeur approch e de x pour que le volume de pierre de la fontaine soit 80dm b Trouver la valeur exacte de x en r solvant l quation 108 12x 80 D Le FUR 11 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 D Le FUR 12 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Poitiers 2000 Les deux parties sont ind pendantes Charg de cr er un espace c
16. dm 1 Calculer le volume Vi exprim en dm du trou creus pour loger un arbre Donner la r ponse sous la forme k x T o k est un nombre entier 2 Le volume de la terre augmente de 25 lorsqu on la d place Soit V2 le volume exprim en dm qu occupera la terre d plac e Montrer que V2 1407 3 Avec la terre d plac e on forme un c ne de volume Vz et dont le rayon mesure 6dm Calculer la hauteur de ce c ne On donnera la valeur exacte puis une valeur approch e au d cim tre pr s D Le FUR 25 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Lille septembre 1999 D C Dans ce probl me l unit utilis e est le centim tre Soit ABCD un rectangle de centre O tel que AB 8 et BC 6 voir figure ci contre O Soit un point du segment AB distinct de A et B La parall le BD passant par E coupe AD en F On appelle G le point du segment CD sym trique de E par rapport O et H le point du segment BC sym trique de F par rapport O Partie A 1 Placer les points F G et H 2 D montrer que EBGD est un parall logramme 3 Soit K le point d intersection de la droite EF et de la droite CD D montrer que BEKD est un parall logramme 4 D montrer que D est le milieu de GK a Que repr sente la droite AD pour le segment GK Justifier b En d duire que FG FK c D montrer que BD EF FG 5 a D montrer que EFGH est un parall logramme b D montre
17. du vecteur CR gt 4 Construire le point D tel que KD CK Montrer que le point D est le sym trique du point C par rapport au point K Montrer que le quadrilat re ADBC est un carr 5 Construire les points 4 B et D sym triques respectifs des points B et D dans la sym trie de centre C Quelle est la nature du quadrilat re AD B C Quels r sultats de cours permettent d arriver cette conclusion D Le FUR 19 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Europe de l est 2000 source lumineuse Un plan opaque est dispos parall lement au sol Dans ce plan on a perc un disque de 1 m tre de diam tre Une source lumineuse situ e au dessus du plan perc claire une surface au sol de forme circulaire surface clair e au sol On peut sch matiser ainsi le c ne de lumi re Dans tout le probl me BD 1m et AO 5m Partie A On suppose que la source lumineuse se trouve 1m du plan perc Autrement dit AO 1m 1 Calculer la valeur exacte en fonction de m de l aire du disque de diam tre BD O 2 Sachant que les droites OD et O E sont parall le calculer en justifiant le rapport DD 3 Le disque de diam tre CE est un agrandissement du disque de diam tre BD En d duire la valeur exacte de Taire de la surface clair e au sol Donner la valeur arrondie de cette aire 1m pr s Partie B Dans cette partie on consid
18. e 1 5m de la source lumineuse D Le FUR 21 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Amiens septembre 1999 Un club de gymnastique propose pour l utilisation de ses installations les trois tarifs suivants Tarif A 80F par s ance Tarif B abonnement annuel de 1 000F puis 40F par s ance Tarif C forfait de 3000F donnant droit autant de s ances que l on d sire Partie A 1 Recopier et compl ter le tableau suivant Nombre de s ances annuelles 10 10 60 Coat avoctetat A C 2 3 4 Co t avec le tarif B J J J Ca t avec le tant ra Exprimer en fonction du nombre x de s ances annuelles a le co t P4 pour un utilisateur ayant choisi le tarif A b le co t Pg pour un utilisateur ayant choisi le tarif B Une personne d sire d penser 2400F dans l ann e pour l utilisation des installations de ce club A combien de s ances aura t elle droit si elle choisit le tarif B Soit l in quation 80x lt 1 000 40x a La r soudre b Donner une interpr tation du r sultat trouv Partie B Le plan est muni d un rep re orthogonal On consacrera une page enti re au graphique et on placera l origine O du rep re en bas gauche de la feuille Sur l axe des abscisses Lem repr sentera 5 unit s Sur l axe des ordonn es 1cm repr sentera 200 unit s 1 2 3 4 Tracer les droites D d quation y 80x D d
19. e de s jour D H G C 1 Exprimer en fonction de x laire de MBCG salle de s jour et celle de AMGD salon 2 a Pour quelle valeur de x les deux aires sont elles gales b Quelle est alors la valeur de chaque aire 3 On se propose de repr senter graphiquement cette situation l aide de deux fonctions affines f et g f est d finie par f x 5x 10 pour l aire de AMGD g est d finie par g x 5x 30 pour l aire de MBCG a Sur une feuille de papier milli tr construire un rep re orthogonal en abscisse prendre 2cm pour 1 unit 2cm pour 1m en ordonn e prendre 1cm pour 2 unit s 1cm pour 2m Repr senter les fonctions affines f et g b Par lecture graphique retrouver la valeur de x telle que f x g x et laire correspondante Mettre en vience ces valeurs sur le graphique pointill s couleur 4 Pour le reste du probl me on prendra x 1 a Par lecture graphique ou par un calcul d terminer laire du salon AMGD et celle de la salle M BCG b Le salon AMGD est rev tu du parquet au prix initial de 300F le m D artisan accorde un rabais de 5 Calculer le co t global apr s rabais pour le parquet c La salle MBCG est recouverte de carrelage L artisan accorde galement un rabais de 5 le montant global apr s rabais pour le carrelage est de 4275F Calculer le prix pour un m de carrelage avant rabais D Le FUR 17 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 20
20. ert un paysagiste propose d implanter deux massifs de fleurs l un ayant la forme d un triangle quilat ral et l autre celle d un rectangle Son projet est illustr sur le sch ma suivant M est un point du segment AB de part et d autre du segment AB sont repr sent s un triangle quilat ral AMC un rectangle MDEB L unit de longueur est le m tre On a AB 13 et BE 4 On note AM x E Partie A Dans un premier projet le paysagiste fixe x 6 On a donc AM 6 et MB 7 On appelle 7 le milieu du segment AC Le paysagiste se demande si les points 7 M et E sont align s 1 Quelle est la mesure en degr s de l angle AMT Justifier 2 Calculer la tangente de langle DME En d duire une mesure 0 1 degr pr de l angle DME 3 a D duire des questions pr c dentes une mesure 0 1 degr pr s de TME b Les points 7 M et E sont ils align s Justifier Partie B Souhaitant entourer par des bordures ces deux massifs le paysagiste s int resse leurs p rim tres en fonction de la longueur AM x 1 Calculer en fonction de x le p rim tre du triangle AMC On appelle f la fonction qui x associe ce p rim tre 2 a Calculer BM en fonction de x b On appelle g la fonction qui x associe le p rim tre du rectangle M DEB Montrer que la fonction g est d finie par x 34 2x 3 Le plan est muni d un rep re orthogonal O I J Sur une feuille de papier m
21. ieur Duch ne Madame Dufr ne a dans sa maison un escalier en bois dont le volume total est 4 60m Sachant que le volume de bois achet par l artisan est de 95 sup rieur au volume de l escalier il y a des pertes et que le bois utilis co te 4200F le m3 calculer le prix du bois achet par l artisan pour fabriquer cet escalier D Le FUR 24 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Groupement I 2000 Un paysagiste doit planter des arbres Chaque arbre est plac dans un trou cylindrique Il est ensuite maintenu au sol l aide de c bles comme le montre le dessin ci dessous Dans le probl me l unit de longueur choisie est le d cim tre Toutes les r ponses seront justifi es Partie A On donne les informations suivantes les points B et C d terminent un triangle rectangle en AB 18 AC 9 2 D est un point du segment AB tel que AD 34B E est un point du segment AC les droites BC et DE sont parall les 1 a Calculer la valeur exacte de AD AE 2 Ac 3 En d duire la valeur exacte de AE 2 a Calculer la valeur exacte de BC L crire sous la forme av5 o a est un nombre entier b Prouver que DE 6v5 3 D duire des questions pr c dentes le p rim tre du quadrilat re DBC E b Prouver que 4 Calculer la mesure arrondie au degr de langle ADE Partie B Le rayon r du trou creus dans le sol mesure 4dm La profondeur p du trou mesure 7
22. illim tr on placera l origine en bas gauche de la feuille et on prendra comme unit s graphiques sur l axe des abscisses 1cm pour 1 unit sur l axe des ordonn es 1cm pour 2 unit s On fera figurer les explications utiles pour effectuer les repr sentations graphiques demand es ci dessous a Repr senter graphiquement la fonction f pour 0 lt x lt 13 b Sur le m me graphique repr senter la fonction g pour 0 lt x lt 13 4 a Calculer la valeur de x pour laquelle les deux massifs ont le m me p rim tre b V rifier graphiquement le r sultat pr c dent on tracera les pointill s utiles la lecture 5 Le paysagiste d cide de n entourer que le massif rectangulaire M DEB Il dispose de 25m de bordure a R soudre l in quation 34 2x lt 25 b En d duire la plus petite valeur de AM pour laquelle le paysagiste peut border compl tement le massif rectangulaire D Le FUR 13 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Rennes 2000 Partie A Paul en visite Paris admire la Pyramide r alis e en verre feuillet au centre de la cour int rieure du Louvre Cette pyramide r guli re a une base carr e ABCD de c t 35 m tres et pour hauteur le segment SO de longueur 22 m tres 1 Calculer la valeur arrondie au m tre pr s de la longueur de la diagonale du carr ABC D 2 Calculer la longueur de l ar te SA en donner une valeur arron die au m tre pr s 3 R
23. la ant l origine en bas gauche Prendre sur l axe des abscisses 1cm pour 5 unit s sur l axe des ordonn es 1cm pour 20 unit s Construire les repr sentations graphiques des fonctions suivantes pit 2 5r p x 20 2z On se limitera aux valeurs positives de x Les deux repr sentations graphiques se coupent en A 1 Trouver graphiquement les coordonn es de A en utilisant des pointill s 2 Retrouver par le calcul les coordonn es de A Partie B Afin de financer de nouvelles activit s les l ves du coll ge d cident d organiser la vente de petits pains Ils ont le choix entre deux tarifs Ier tarif prix du petit pain 2 50F 2nd tarif chaque l ve verse une cotisation de 20F puis chaque petit pain sera pay 2F Soit x le nombre de petits pains achet s par un l ve 1 Ecrire en fonction de x le prix pay par l l ve pour chaque tarif 2 En utilisant le graphique indiquer partir de combien de petits pains le 2nd tarif est le plus int ressant Partie C Le tableau ci dessous indique le nombre de petits pains vendus chaque jour pendant 4 semaines 1 Compl ter ce tableau EE Mad Merad eadi Vendredi ou Semano nr 120 0 0 20 Semame n3 130 15 9 135 120 620 2 Finalement les d l gu s d l ves adoptent un 3 me tarif 2 30F le petit pain Sachant que le prix d achat d un petit pain est de 2F quel est alors le b n fice r ali
24. on prendra pour valeur de l aire totale 298m Calculer 1 Le nombre de pots n cessaires pour la premi re couche r sultat arrondi l unit pr s 2 Le nombre de pots n cessaires pour la seconde couche r sultat arrondi l unit pr s 3 Le nombre de pots indispensables pour les deux couches r sultat arrondi l unit pr s D Le FUR 3 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Grenoble 2000 Un artisan r alise des bo tes m talliques pour un confiseur Chaque bo te a la forme d un parall l pip de rectangle base carr e elle n a pas de couvercle L unit de longueur est le cm l unit d aire est le cm l unit de volume est le em Partie A Les c t s de la base mesurent 15cm la hauteur de la bo te mesure 6cm 1 a Pr ciser la nature des faces lat rales de la bo te et leurs dimensions b Montrer que l aire totale de la bo te est 585cm 2 L artisan d coupe le patron de cette bo te dans une plaque de m tal de 0 3mm d paisseur La masse volumique de ce m tal est 7g cm ce qui signifie qu un centim tre cube de m tal a une masse de 7 grammes Calculer la masse de cette bo te Partie B 1 Calculer le volume de cette bo te 2 Le confiseur d cide de recouvrir exactement le fond de la bo te avec un coussin Ce coussin est un parall l pip de rectangle Le c t de sa base mesure donc 15cm et on note x la mesure en cm de sa hauteur variable x est un nombre
25. on remarque que le point N se trouve l int rieur du triangle RKL a Calculer laire du triangle RKL b Calculer l aire A du carr RM NP Calculer l aire B du triangle KMN Calculer l aire C1 du triangle N PL Calculer A1 B C1 V rifier que l aire du quadrilat re RK NL est inf rieure l aire du triangle RKL 2 Dans cette question x 5 a Faire une figure pr cise b O se trouve maintenant le point N par rapport au triangle RKL c On appelle maintenant Ao l aire du carr RM NP B laire du triangle KMN et C2 l aire du triangle NPL Calculer ces trois aires et v rifier que l aire de RK NL est sup rieure celle du triangle RK L 3 On prend maintenant x quelconque a Calculer l aire A3 du carr RM NP en fonction de x Calculer l aire B3 du triangle KMN en fonction de x Calculer l aire C3 du triangle NPL en fonction de x 15x b Montrer que A3 B3 C3 z xw On cherche s il existe une valeur de x pour laquelle le point N se trouve sur le segment KL Pour cela r soudre l quation obtenue en crivant A3 B3 C3 aire du triangle RK L c xw Conclure 15x 4 a Dans un rep re orthogonal O I J repr senter la fonction x z POW g compris entre 0 et 6 On prendra en abscisses 5cm pour 3 unit s en ordonn es 1cm pour 3 unit s 15 b R soudre graphiquement l quation 575 27 Commenter D Le FUR 2 28 15 septembre 2003 PROBLEM
26. onsieur Ferdinand 0 1 2 3 4 x longueur SB en m D Le FUR 16 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Inde 2000 On consid re le triangle ABC tel que AB 8cm BC 6cm et AC 10cm 1 Faire la figure que l on compl tera au fur et mesure des questions 2 a D terminer la nature du triangle ABC b D terminer la mesure au degr pr s de l angle BCA 3 Placer le point D sur la demi droite AC tel que AD SAC Tracer la perpendiculaire la droite BC passant par le point D Elle coupe BC en E a Montrer que la droite AB est parall le la droite DE b Montrer que DE 4em 4 Pr ciser la position du centre du cercle C circonscrit au triangle ABC puis tracer ce cercle C 5 On appelle F le sym trique du point D par rapport la droite BC et P le point d intersection de la droite AF et du cercle C distinct de A a Montrer que les quatre points P C E et F sont sur un m me cercle C dont on pr cisera le centre b Comparer les angles EPC et EFC Asie 2000 La figure ci dessous est une vue de la surface au sol d une pi ce d une maison d habitation Une partie sera recouverte g de parquet le salon et lautre de carrelage la salle de s jour z M ABCD est un trap ze rectangle tel que AB 6m BC 5m CD 10m M est un point du segment AB on pose AM x x est une distance ex prim e en m tre 0 lt x lt 6 sall
27. qui passe par M et qui est parall le la droite BD P coupe le c t AD en P 1 Calculer BD 2 a Exprimer les longueurs AP et MP en fonction de z b Exprimer les longueurs DP et MB en fonction de x 3 On appelle p le p rim tre du triangle AMP et p le 5 k p rim tre du trap ze PM BD D montrer que P 3x et que p2 24 Partie C On utilise dans cette partie la repr sentation graphique de la premi re partie 1 Que repr sente pour les deux p rim tres p et p2 l abscisse du point E sur le graphique 2 D terminer graphiquement les valeurs de x 0 lt x lt 8 pour lesquelles on a p gt po D Le FUR 23 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Grenoble septembre 1999 Un constructeur de maisons individuelles propose ses clients trois types d escaliers dont le prix est calcul partir du nombre de marches Le client se voit ainsi proposer trois tarifs Tarif n 1 escalier droit en b ton le client paie 300F par marche Tarif n 2 escalier droit en bois le client paie 500F par marche plus 2000F pour la pose de l escalier Tarif n 3 escalier tournant en bois le client paie 800F par marche plus 3 000F pour la pose de l escalier 1 2 3 4 5 6 7 8 Monsieur Dubois a besoin pour sa maison d un escalier de 15 marches Calculer le prix que payerait monsieur Dubois pour chacun des trois tarifs On d signe par x le nombre de marches d
28. r graphiquement les huit points obtenus dans le ta bleau on prendra 1cm comme unit sur l axe des abscisses et 10cm comme unit sur l axe des ordonn es l origine du rep re sera plac e sur le bord inf rieur gauche de la feuille 6 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Nantes 2000 Dans toute cette partie l unit de longueur est le centim tre Partie A 1 Tracer un cercle de centre O et de rayon 3 Tracer un diam tre AB et un rayon OC perpendiculaire au diam tre AB 2 D montrer que le triangle ACB est un triangle rectangle et isoc le en C 3 Calculer laire du triangle ACB Partie B On consid re un point M sur le segment OCT et on pose CM x 1 Quelle est la nature du triangle AM B On justifiera la r ponse 2 a Recopier et compl ter l encadrement lt x lt b Exprimer OM en fonction de x 6 3 c On pose A x laire du triangle AM B d montrer que A x a D montrer que l aire A x du triangle AMB est fonction affine de x 3 a Pour quelle valeur x laire du triangle AMB est elle gale 3cm b D montrer que pour la position du point M correspondant cette valeur de x les aires des triangles AMC AMB et BMC sont gales Partie C 1 Sur le quadrillage r aliser en couleur une repr sentation graphique de la fonction affine qui x fait correspondre 9 3x
29. r le volume du compartiment central D Le FUR 4 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Limoges 2000 Soit O I J un rep re orthonormal du plan d unit le cm 3 9 1 On donne la fonction affine f d finie par x gt 37 et la fonction affine g d finie par x gt 3x 9 2 a Calculer f 0 g 0 f 2 g 2 b Quel est le nombre dont l image par g est 5 c Tracer les repr sentations graphiques d1 de f et d2 de g 2 Dans la figure ci dessous le rectangle ABCD est tel que AB 6cm et AD 3cm F est le milieu de AB E et G sont deux points de DC tels que DE GC On pose DE x A F B D E G C a Calculer les aires de EFG AFED et FBCG lorsque x 2 b Les points D E G et C doivent rester dans cet ordre entre quelles valeurs varie x c Exprimer en fonction de x les aires de EFG AFED et FBCG d Utiliser la premi re partie du probl me pour d terminer graphiquement pour quelle valeur de x le rectangle est partag en trois parties gales e V rifier ce r sultat par le calcul D Le FUR 5 28 15 septembre 2003 Nancy Metz 2000 Se D Le FUR PROBLEMES 2000 Partie A La partie sup rieure d un verre a la forme d un c ne de 6cm de diam tre de base et de hauteur AS 9em 1 Montrer que le volume du c ne est 27rem 2 On verse un liquide dans ce verre comme indiqu ci contre le liquide arrive la hauteur du point H a On suppose que
30. r que son p rim tre est gal 2BD Partie B On rappelle que AB 8 BC 6 et on pose AE x 1 A l aide de la propri t de Thal s dans le triangle ABD exprimer AF en fonction de x 2 a Sans justifier donner la transformation permettant d affirmer que les triangles AFE et HOG ont la m me aire b D montrer que aire AFE aire HCG a c On admet que aire EBH aire F DH 2 12x 48 Montrer que l aire du parall logramme EFGH est gale 12x y 3 Quelle est l aire du parall logramme EFGH lorsque E est au milieu de AB 4 a D montrer l galit 24 e 4 aire ABOD Que remarque t on alors pour le point E D Le FUR 26 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Paris septembre 1999 Tracer un segment BC de longueur 6cm et construire sa m diatrice A A coupe BC en H Soit A un point de A tel que HA 4cm 1 Quelle est la nature du triangle ABC Justifier la r ponse 2 Montrer que AB 5cm 3 Soit E le point de BC tel que BE 2cm La droite d passant par E et parall le A coupe AB en F BF 2 BA 3 En d duire la valeur exacte de BF 4 Soit I le centre du cercle circonscrit au triangle ABH Montrer que Soit J le centre du cercle circonscrit au triangle ACH a D montrer que les droites IJ et BC sont parall les b Calculer 7J 5 Quelle est la nature du quadrilat re AIH J Justifier la r ponse La R union septembre 1999 Dan
31. s la premi re semaine 3 Sachant que la vente dure 30 semaines et que les l ves ont besoin de 7 200F pour r aliser leur projet combien doivent ils vendre en moyenne de petits pains par semaine Antile Guyane 2000 Le plan est muni d un rep re orthonormal O I J L unit de longueur est le centim tre On utilisera une feuille de papier millim tr pour la figure 1 Repr senter les points A 1 5 2 2 et C 3 3 2 Calculer les distances AB AC et BC 3 En d duire que le triangle ABC est rectangle en C 4 Montrer que les points et C appartiennent la droite D d quation y x 6 5 Repr senter le point E tel que B C 6 Quelle est la nature du quadrilat re ACBE Justifier la r ponse 7 Calculer l aire du quadrilat re ACBE D Le FUR 15 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Centres trangers I1 2000 Monsieur Ferdinand souhaite construire un appentis pour ranger ses outils Il a r alis le dessin ci contre L appentis est repr sent par le prisme droit ABSTCRU D La base de ce prisme est le trap ze rectangle ABST le point O est imaginaire Monsieur Ferdinand veut que le toit de l appentis soit dans le prolongement du toit de sa maison V T A et O align s Les droites T H et EB sont horizontales donc parall les Les points E O B et S sont align s Les dimensions suivantes sont impos es ST 3m BC 2 5m l angle VTH mesure 40 Monsieur ferdinand
32. s AB AC et BC et en d duire la nature du triangle ABC b Construire le point D tel que CD C CB c Quelle est la nature du quadrilat re ADBC 3 Soit E le point tel que le vecteur C ait pour coordonn es 4 2 a Placer F b Prouver que E a pour coordonn es 6 5 et que A est le milieu du segment CE c Calculer la longueur CE 4 a Construire le point F image de E par la rotation de centre C et d angle 90 dans le sens inverse des aiguilles d une montre b Calculer la mesure de l angle BCF Que peut on en d duire pour les points B C et F c Prouver que CE CB d En d duire que C est le milieu du segment BF 5 On consid re l image du triangle ABC par la sym trie de centre C suivie de la sym trie de centre a Par quelle transformation passse t on du triangle ABC son image b Construire cette image Centres trangers 14 2000 Le plan est muni d un rep re orthonormal O I J L unit de longueur est le centim tre On donne les points A 1 3 B 3 5 et C 3 3 1 Construire sur la feuille de papier millim tr le rep re orthonormal O I J et placer les trois points A B et C dans ce rep re On veillera placer le point O au centre de la feuille 2 Calculer les valeurs exactes des longueurs AC BC et AB Expliquer pourquoi le triangle ABC est un triangle rectangle isoc le 3 Montrer que le milieu K du segment AB a pour coordonn es 1 1 Calculer les coordonn es
33. s tout le probl me l unit utilis e est le centim tre On consid re un triangle ABC tel que AB 12 AC 9 et BC 15 Partie A E est le point du segment AB tel que AE 9 la parall le la droite BC passant par le point E coupe le c t ACT en F 1 Faire une figure 2 Calculer AF puis FE 3 Montrer que AFE est un triangle rectangle en 4 a Quelle est la nature du triangle ACE Pr ciser la position du centre du cercle circonscrit ce triangle b Montrer que la m diatrice du segment CE passe par A 5 Soit 1 le milieu du segment BC On appelle D le sym trique de A par rapport I Quelle est la nature du quadrilat re ABDC Justifier la r ponse Partie B M est un point du segment AB on d signe par x la longuieur AM La parall le la droite BC passant par le point M coupe le c t AC en N Sur la figure ci dessous les dimensions ne sont pas respect es 2 3 f H 1 Montrer que AN I X A 2 Montrer que MN 32 3 Exprimer MB en fonction de x 4 Exprimer NC en fonction de x 5 P d signe le p rim tre du triangle AMN et P gt d signe celui du trap ze MNC B a Calculer P en fonction de x 4 b Montrer que P gt 36 z 6 xw Pour quelle valeur de x a t on P P gt D Le FUR 27 28 15 septembre 2003 PROBLEMES 2000 Polyn sie fran aise septembre 1999 L unit de longueur est le m tre Partie A Un triangle SAB est tel que SA SB 6

PROBLEMES 2000

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