Pierre Ageron. Dix-sept chameaux, huit galettes et quatre
Contents
1. existence d un lien entre le probl me des chameaux et la question des d compositions en fractions gyptiennes de num rateur 1 Toute solution a b c n N4 de l quation telle que 1 lt a lt b lt c lt net a b c divisent n fournit d ailleurs une variante n 1 chameaux du probl me On peut montrer ce que je laisse comme divertissement au lecteur qu il en existe exactement sept Indication encadrer a puis b Des variantes d un autre type ont t consid r es par Henri Bareil dans un de ses derniers articles je soumets celle ci au lecteur comment le sage peut il partager soixante cinq chameaux en une moiti l a n un tiers au cadet un quart au benjamin Il semble n exister ni analyse didactique ni tude historique du probl me des dix sept chameaux l une et l autre seraient pourtant largement justifi es par sa notori t Du point de vue historique se pose notamment la question est ce une fantaisie r cente ou un authentique probl me traditionnel arabe Il m a suffi de taper en arabe sab ata ashra jamalan ou sab ata ashra ba ran dix sept chameaux dans un moteur de recherche sur Internet pour r aliser que c est la deuxi me r ponse qui vaut et que le sujet est immense J ai alors commenc un travail exhaustif de recherche et confrontation des sources Bien Dany Jack Mercier L preuve d expos au CAPES math matiques Paris 2006 p 88 et 4462. Henri Bareil Des chameaux sans conflits ni confits Bulletin de l APMEP 472 2007 p 648 656 qu il soit loin d tre fini j ai pens utile de pr senter d s maintenant aux lecteurs du Miroir des maths quelques indications sur l origine et la circulation de ce probl me Deux grandes routes semblent distinguer l une va du Moyen Orient la Grande Bretagne l autre de l Afrique du nord la France a Les dix sept chameaux du Moyen Orient la Grande Bretagne C est au sein d une tr s ancienne tradition musulmane qu est cont e l anecdote des dix sept chameaux Le r le du sage y est g n ralement tenu par Al bin Ab T lib On sait peut tre que Ali mort en 661 fut la fois le cousin le gendre et le quatri me successeur khalifa du proph te de l Islam et qu il est particuli rement v n r chez les musulmans chiites Au fil des si cles s est constitu e une riche litt rature sur les paroles et les vertus attribu es Ali dans laquelle furent entre autres mises en avant ses dispositions pour les math matiques Ces ouvrages lui attribuent la r solution de divers probl mes d arithm tique juridique dont les plus c l bres sont le probl me du minbar la chaire le probl me des dinars le probl me des huit galettes 4 le probl me de la femme qui accouche apr s six mois le probl me de l antre du lion et le probl me des dix sept chameaux J esp re faire un jour une tud
3. collect e en 1947 en Mauritanie par Paul Dubi administrateur des colonies 18 C est donc semble t il ind pendamment de la Grande Bretagne et par des r cits venus d Alg rie que le probl me des dix sept chameaux p n tra en France Hormis le livre de Paul Wachi et l article du Figaro d j signal s l anecdote apparut entre 1889 et 1900 chez divers sp cialistes des divertissements math matiques Alphonse Rebi re 1 douard Lucas 20 Charles Bergmans tienne Ducret 22 mile Fourrey Dans la premi re dition du livre de Rebi re 1889 l anecdote tait mutil e de ce qui lui donne son sel le pr t du chameau suppl mentaire Les choses furent heureusement r tablies dans la deuxi me dition 1893 l image des versions maghr bines les versions fran aises consid rent en g n ral les hommes comme trois fr res et remplacent l im m Ali par un cadi Ducret se singularise cependant en parlant de trois personnes et d un voisin Le p re est un Arabe pour Rebi re Lucas et Fourrey mais un Turc pour Bergmans Ce dernier auteur est par ailleurs celui qui indique le plus clairement qu il ne s agit de rien d autre dans ce probl me que de proportionnalit Chez Lucas on lit que le probl me provient des trait s d arithm tique des math maticiens arabes ce dont je n ai trouv aucune confirmation Au total la multiplicit des versions montre que le transfert de cette nigme
4. me somme Si je parle ici de carr s magiques c est parce qu ils sont l objet d une tr s ancienne tradition math matique arabe Ainsi Ab l Waf al Buzj ni 940 977 et Ibn al Haytham 965 1039 donnent les carr s magiques d ordre 9 suivants construits l un par une succession de carr s magiques concentriques autour du coefficient m dian et l autre par un placement diagonal un peu particulier des nombres cons cutifs de 1 81 33 32 33 Bert John Vos Materials for German Conversation With Notes and Vocabulary New York 1900 p 88 89 Jacques Sesiano Les carr s magiques dans les pays islamiques Lausanne 2004 p 24 et 121 9 8 80 78 76 75 12 14 16 10 67 22 64 62 61 26 28 24 15 69 55 32 52 51 36 34 27 13 71 57 47 38 45 40 35 25 11 73 59 49 43 41 39 33 23 9 5 19 29 42 37 44 53 63 77 3 17 48 30 31 46 50 65 79 1 58 18 20 21 56 54 60 8l 72 2 4 6 7 70 68 66 74 37 78 29 70 21 62 13 54 5 6 38 79 30 71 22 63 14 46 47 7 39 80 31 72 23 55 15 16 48 8 40 81 32 64 24 56 57 17 49 9 41 73 33 65 25 26 58 18 50 1 42 74 34 66 67 27 59 10 51 2 43 75 35 36 68 19 60 11 52 3 44 76 77 28 69 20 61 12 53 4 45 Cela dit il n est peut tre pas judicieux de rapprocher notre probl me de la tradition des carr s magiques Des probl mes voisins de celui des quatre vingt un palmiers existaient dans les math matiques europ ennes m di vales qui ignoraient presque totalement les carr s magiques Le plus proche sembl
5. res lignes sont particuli res d une part elles sont reli es entre elles par des traits entrecrois s qui apparient leurs termes de fa on bijective d autre part elles sont suivies d une dixi me ligne o figurent les indices 1 9 dans l ordre suivant 6 7 8 9 1 2 3 4 5 en lisant de droite gauche Il y a l une forme d indexation indirecte dont mon interpr tation est la suivante l h ritier re oit outre les sept arbres dont les num ros sont sur les sept premi res lignes de la colonne i l arbre dont le num ro est sur la neuvi me ligne au dessus de l indice et celui dont le num ro est sur la huiti me ligne et reli par un trait au pr c dent Ce mode de lecture semble d ailleurs confirm par le peu que je comprends des explications qui suivent le tableau Il l est surtout lorsqu on crit ce qu on obtient en r tablissant les deux derni res lignes 9 8 amp 8 7 6 5 4 3 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 27 26 25 24 23 22 21 20 19 28 29 30 31 32 33 34 35 36 45 44 43 42 41 40 39 38 37 46 47 48 49 50 51 52 53 54 63 62 61 60 59 58 57 56 55 65 67 69 71 64 66 68 70 72 76 75 74 73 81 80 79 78 77 car c est bien l une autre solution du probl me Comment expliquer la diff rence entre les solutions donn es dans mon manuscrit et dans celui qu examina S lih Zeky On peut penser que pour Ibn Hamza la r solution de ce probl me soumis par des savants trangers avait constitu une sort
6. 40 Londres 1872 p 450 12 K Some puzzles Knowledge 9 Londres 1886 p 305 13 14 L orientaliste Louis Massignon a signal qu un des sens anciens du mot F tima est jeune chamelle sevr e Je signale quand m me l anecdote dans l dition am ricaine du livre de Fletcher Philadelphie 1850 p 206 et dans la rubrique Amusement for winter evenings The New Dominion Monthly Montr al d c 1869 p 46 3 de la justice en tant que curieux exemple de jugement de cadi 15 En 1895 un certain Louvet la pr senta aux lecteurs du Figaro comme un conte narr par un magistrat musulman du Sud alg rien Dans sa version les trois fr res avaient pour la premi re fois des noms Hassein sic Mohamed et Mustapha quant au sage c tait un derviche sur le chemin de retour de la Mecque Du point de vue math matique Louvet fit de mani re peu exacte le lien entre la m thode du derviche et la r gle de fausse supposition et conjectura tort que d autres nombres que 17 et 18 ne conviendraient pas 16 On dispose aussi du t moignage de l crivain marocain Driss Chra bi qui son p re raconta le probl me la fin des ann es 1930 dans une version avec dix sept chevaux et un ermite puis demanda malicieusement de le soumettre son professeur de math matiques ce qui ne manqua pas de d stabiliser l enseignant fran ais 17 J ai enfin rep r une version avec dix sept chameaux et un cadi
7. de simples galettes de pain mais de plats vari s un vrai mezze pour deux personnes comme dans les restaurants libanais mais sans vin Plus s rieusement le mot denier rend peut tre ici le mot dinar qui a la m me origine latine Dans l Islam ancien le dinar est la monnaie d or et le dirham la monnaie d argent La quatri me version fran aise aussi est celle d mile Fourrey publi e en 1899 t Deux Arabes partagent huit pains avec un voyageur qui leur laisse huit pi ces d or leur diff rend est arbitr par un cadi c est dire un juge musulman a Miles Bland Algebraical problems producing simple and quadratic equations Cambridge 1812 p 321 Ce livre a t r dit de nombreuses fois beaucoup comment traduit en fran ais et allemand 23 La r ponse num rique donn e par Bland a plusieurs fois t crue fausse Le traducteur francophone Henri Faucherres Lausanne 1847 alla jusqu modifier les donn es du probl me afin de la retrouver Son erreur facile reconstituer tait de r partir la somme laiss e par l tranger proportionnellement aux provisions des muletiers 39 Claude Gaspard Bachet de M ziriac Probl mes plaisants et d lectables troisi me dition revue et compl t e par A Labosne Paris 1874 p 181 Les deux premi res ditions 1612 1624 ne contenaient pas notre probl me qui se trouve en t te du suppl ment de Labosne en 1874 81 mile Fourrey R cr atio
8. en ce d but de XXI si cle L aspect magique de la solution l exotisme du contexte les nombreuses lectures possibles de l anecdote lui valurent d tre ins r e dans d innombrables livres articles sites ou blogs de r cr ations math matiques bien s r mais aussi et m me davantage de philosophie de psychologie de sociologie de psychanalyse d conomie de science politique ou de droit Dans le domaine litt raire elle apparut notamment dans les Kalendargeschichten Histoires de Monsieur K de Bertolt Brecht 1948 et dans O Homem que calculava L homme qui calculait de J lio C sar de Mello e Souza alias Malba Tahan 1949 Le psychanalyste Jacques Lacan joua un r le s minal dans sa transmission le philosophe Jean Pierre Dupuy la tenait de lui le sociologue allemand Niklas Luhmann la tenait de Dupuy le juriste belge Fran ois Ost la tenait de Luhmann le psychanalyste argentin Mauricio Tarrab de sa coll gue Marie Jos Duffau qui la tenait de Lacan etc Tous ces auteurs lont abondamment comment e J ai constitu principalement partir de l Internet un corpus provisoire d une cin quantaine de versions contemporaines du conte en langues europ enne Certaines sont tr s contemporaines d autres sugg rent l existence de sources ant rieures qui m auraient chapp La variation observ e est ample et instructive Le personnage du sage ne s appelle dans aucun cas Ali mais parfois Hicham Ibrahim
9. mais cinq r parties en trois et deux et l explication du jugement ici absente le lecteur tant enjoint de s y coller R fl chis y mon fr re Cette version atypique se trouve dans la quarante sixi me p tre des Ikhw n al saf4 Fr res de la puret nom d une soci t secr te philosophique isma lienne active Bassorah Irak dans la seconde moiti du X si cle Bauden conclut qu il y eut passage sans qu on puisse dire dans quel sens d une forme narrative une autre l nigme de type math matique et initiatique d une part le r cit hagiographique port e juridique d autre part J ai cherch les occurrences occidentales de l anecdote des galettes ant rieures au XX si cle et n en ai jusqu pr sent trouv que cinq une m di vale et quatre contemporaines C est un corpus trop limit pour pouvoir esquisser des routes de circulation mais il donne une id e de la complexit du sujet La premi re version occidentale que j ai trouv e est dans le Liber abaci de Leonardo Fibonacci Pisano d but du XIII si cle 27 Aupr s d une source deux hommes partagent cinq pains avec un soldat qui leur laisse cinq besants monnaie d or byzantine Aucun juge n intervient car Fibonacci demande son lecteur de r soudre lui m me le conflit Le nombre de pains et accessoirement la pr sence de l eau rapprochent cette version de la seule version arabe cinq galettes cell
10. tous trois aient un gal nombre de tonneaux et gale quantit de vin Claude Gaspard Bachet de M ziriac Probl mes plaisants et d lectables 1614 p 161 164 10 toujours vivace leur poque dans le monde islamique vers 1600 l gyptien Muhammad Shabr mallisi y consacra encore un trait Le probl me pos par le mollah indien tait la v rit plus facile qu une construction de carr magique et Ibn Hamza ne fut pas long en trouver une solution Il l int gra alors sous le nom de probl me de la Mecque la fin du gros trait d arithm tique auquel il mettait la derni re main Il avait choisi d crire ce trait en langue turque ottomane mais de lui laisser un titre arabe tuhfat al a d d li al dhawi al rushd wa al sad d c est dire Le tr sor des nombres pour qui est dot de raison et de bon sens Achev en 1591 l ouvrage semble avoir connu un certain succ s et circul jusqu en gypte deux copies en sont aujourd hui au Caire Cependant il resta inconnu des historiens des math matiques jusqu ce que S lih Zek jeune ing nieur turc form en France et passionn d histoire des sciences en d couvrit une autre en 1888 au Grand bazar d Istanbul il en d crivit le contenu dans son histoire des math matiques As r 1 B kiye Les vestiges qui restent Istanbul 1913 insistant notamment sur le probl me des quatre vingt un palmiers et la solution fournie par Ibn Hamza Voici
11. Mokhtar Il peut tre non seulement comme dans les versions du XIX si cle un juge un sheikh du voisinage ou un pauvre b douin mais encore le moukhtar maire du village une vieille femme l oncle des trois fr res le plus jeune des trois Pour L preuve d expos au CAPES ouvrage d j voqu c est un vieux ca d chef d agglom ration moins d une confusion entre les mots cadi et ca d Dans un ouvrage p dagogique suisse ce n est autre que Nasr al d n personnage r current des histoires burlesques dans le monde turc et ottoman depuis le XV si cle Le chameau qu il pr te peut tre d une grande beaut ou au contraire borgne et puant Les trois fr res ont souvent des noms tr s variables puis s dans une gamme de noms musul mans classiques Quant leur p re d funt totalement absent des sources m di vales simple p re arabe anonyme dans les versions du XIX si cle il se nomme au XX Abdellah Is mael Omar Ahmed ou Ali et est tour tour un vieil Arabe du temps des Mille et une nuits un fakir c est dire un pauvre ou un grand vizir premier ministre un marchand de chameaux ou un mir du Moyen Orient un chef d une tribu touareg de l A r Niger ou un honorable caravanier de Boukhara Ouzb kistan 2 Jean Pierre Dupuy L autonomie et la complexit sociale in Science et pratique de la complexit Paris 1984 p 303 Niklas Luhmann La restitut
12. Pierre Ageron Dix sept chameaux huit galettes et quatre vingt un palmiers Circulation et mouvance de trois probl mes arithm tiques de la tradition arabe 1 Le probl me des dix sept chameaux Un p re mourut en laissant dix sept chameaux ses trois fils Son testament pr voyait que l a n h riterait de la moiti des chameaux le cadet du tiers et le benjamin du neuvi me Le partage semblant impossible on consulta un sage Celui ci ajouta un chameau lui ap partenant aux dix sept formant l h ritage Le partage fut alors facile neuf chameaux pour l a n six pour le cadet et deux pour le benjamin Comme ceci ne faisait au total que dix sept le sage put reprendre possession de son chameau Cet apparent paradoxe arithm tique est aujourd hui un grand classique des manuels de coll ge fran ais on le trouve m me dans un livre de pr paration au CAPES de math matiques Il s agit en fait d un probl me de proportionnalit qu on pourrait r soudre mais on y perdrait beaucoup sans faire intervenir le chameau du sage en disant simplement que les nombres de chameaux revenant aux trois fr res doivent tre respectivement 5 5 et t ce que 17 est la somme i 3 i La surprenante inutilit a posteriori du dix huiti me chameau s explique justement par le fait que z lt 1 et plus pr cis ment que 2 3 9 18 est solution de l quation 1 1 1 1 a i b z c i no x ce qui montre l
13. aient cinq petites galettes de pain dont trois taient la propri t de A et une bouteille de vin qui tait B Un tranger venant passer dans ce moment ils l invit rent partager leur repas qui tait juste suffisant pour trois personnes L tranger satisfait de cet accueil leur donna en les quittant toute la monnaie espagnole qu il avait sur lui qui se montait 6 shillings et 53 pence partager quitablement entre eux note un shilling douze pence Avec autant de shillings qu une galette co te de pence et quatre pence de plus on pourrait acheter la ville voisine six de ces galettes et quatre bouteilles du m me vin Quand l argent fut divis B re ut 1 shilling et 104 pence de plus que A Quel tait le prix de chaque galette et celui d une bouteille de vin R ponse une galette co te 7 pence et une bouteille de vin 114 pence Le Liber Abaci de Fibonacci rest manuscrit jusqu en 1854 n a probablement pas inspir cette version il faut sans doute postuler des versions europ ennes interm diaires avec ou sans bouteille de vin La troisi me version que j ai rep r e celle d un professeur de math matiques fran ais nomm Labosne date de 1874 3 Deux Arabes partagent huit plats de m me valeur avec un troisi me Arabe qui leur laisse huit deniers c est encore au lecteur d arbitrer leur diff rend On voit que l ordinaire est nouveau am lior puisqu il ne s agit plus
14. aussi le R v rend Fletcher arriv Mossoul en 1842 Dans ses souvenirs publi s en 1850 il fit conna tre notre anecdote ses compatriotes sous une forme atypique mettant en jeu des chevaux au lieu de chameaux et rempla ant A par un anonyme cadi q di juge musulman Les trois fr res ravis du jugement s exclament Mashallah Que la volont de Dieu soit faite cadi ta sagesse gale celle de notre Seigneur Suleiman Ibn Daood le roi Salomon Par la suite divers journaux britanniques vou s l instruction populaire publi rent d autres versions avec chameaux dont plusieurs pr sentent des particularit s int ressantes Dans l une d elles 1 pr sent e comme persane le sage est d sign comme mollah ma tre savant forme persane typique des pays chiites et traite les trois fr res qui se querellent d hommes de Belial nom d un d mon biblique Dans une deuxi me t il est nomm Mohammed Ali puis simplement Ali ce qui me semble tre un vestige de la version chiite de l histoire Dans une troisi me 1 il est nouveau un cadi anonyme mais dont le chameau favori accord aux fr res pour faciliter le partage porte un nom plut t surprenant ce chameau s appelle Fatima Dans l histoire de l Islam F tima est la fille pr f r e de Muhammad et l pouse de Ali Tout se passe donc ici comme si Al avait pouss la g n rosit jusqu pr t
15. ce qu un peu moins s duisant il reste n anmoins assez frappant et sa valeur didactique me semble sup rieure Le raisonnement du juge est qu il est juste de d dommager les deux hommes proportionnellement non pas au nombre des galettes qu ils poss daient mais au nombre de celles qu ils poss daient et n ont pas mang 5 T pour lun et 3 n pour l autre Pour dissimuler les fractions on peut supposer d abord toutes les galettes coup es en trois et raisonner sur les vingt quatre parts obtenues Les probl me des huit galettes comme celui des dix sept chameaux fait partie des cas juridiques d licats dont la tradition musulmane notamment chiite attribue avec foi la r solution Alf le gendre du proph te Muhammad Sa mouvance textuelle dans le monde arabo musulman a d j fait l objet d une belle tude savante et prudente laquelle je renvoie le lecteur int ress celle de l islamologue Fr d ric Bauden men e partir de vingt cinq sources tant chiites que sunnites crites entre 900 et 1900 26 Vingt quatre de ces vingt cinq sources mentionnent Ali Mais la derni re en fait l une des plus anciennes offre une version de l anecdote qui diff re de toutes les autres sur plusieurs points sa localisation au bord d un fleuve le personnage du juge qui n est pas Ali mais un anonyme juge appartenant aux ma tres de la loi le nombre de galettes non pas huit
16. e tre celui des neuf tonneaux de vin issu du livre de calcul d une abbaye b n dictine allemande au milieu du XV si cle 34 neuf tonneaux dont les contenances sont de une urne deux urnes jusqu neuf urnes doivent tre r partis entre trois personnes de sorte que toutes b n ficient du m me nombre de tonneaux et du m me nombre d urnes de vin La solution donn e sous forme de tableau carr non magique ne laisse pas deviner un mode de construction g n ralisable 35 2 8 9 6 3 5 7 4 1 En Orient l histoire du probl me des quatre vingt un palmiers est celle ci Il avait t pos et cherch en vain par des savants vivant en Inde quand l un d eux qu on appelait le mollah mul Muhammad le soumit l occasion du grand p lerinage la Mecque de l ann e 998 apr s l H gire 1590 apr s J C un fameux math maticien qui vivait alors dans cette ville Ibn Hamza originaire d Alger et qui avait longtemps v cu Istanbul L un et l autre ignoraient apparemment tout des carr s magiques bien que la tradition en f t 34 Practica des Algorismus Ratisbonensis Kurt Vogel d Munich 1954 p 182 39 Comparer aussi avec ce probl me pos par Tartaglia repris notamment par Bachet de M ziriac puis mile Fourrey Trois hommes ont partager 21 tonneaux dont il y en a sept pleins de vin sept vides et sept pleins demi Je demande comment peut se faire le partage en sorte que
17. e 1941 Plusieurs r ditions 37 Deux exemples r cents Muhammad dil Sawd n et S m Chalhoub Ibn Hamza al Maghrib al maws a al arabiyya Encyclop die arabe Damas 2005 5 p en ligne en arabe Ab Bakr Khalid Sa adall h Ibn Hamza al Jaz ir q 10 H 16 G muddaris al riy diyy t f makka al mukarama majallat al d ra 3 p 105 116 en arabe 11 K t phanesi j en connaissais l existence gr ce mon coll gue tunisien Mahdi Abdel jaouad 38 Premi re surprise il ne s agissait pas de celui qu avait achet et d crit S lih Zeki dont je mwai pas pu retrouver la trace mais d une copie post rieure 1605 apr s J C dont les diverses parties ont t copi es dans le d sordre Cependant et bien que que je ne lise pas le turc la forte densit de mots arabes m a permis de localiser l nonc des quatre vingt un palmiers la mention du nom et de la nationalit de celui qui l a pos et la date correspondante puis la solution sous forme de tableau Mais seconde surprise la solution propos e n est pas celle d crite plus haut sa place un autre tableau rempli en chiffres arabes orientaux la premi re ligne se trouvent de droite gauche les nombres de 1 9 la seconde de gauche droite les nombres de 10 18 la troisi me de droite gauche les nombres de 19 27 et ainsi jusqu au nombre 63 sur la septi me ligne Les deux derni
18. e d taill e des sources arabes anciennes du probl me des dix sept chameaux les sources arabes contemporaines que j ai pu consulter se r f rent soit Muhammad Mahd al Nir q Iranien 1716 1795 soit Sharaf al d n Ism l Ibn al Muqri Y m nite 1353 1433 7 mais l existence de sources plus anciennes encore ne fait gu re de doute Point commun entre ces deux auteurs s ils parlent bien de trois hommes en litige au sujet de dix sept chameaux il ne pr cisent aucunement que ces hommes sont des fr res ni que les chameaux constituent un h ritage peut tre parce que la validit d un testament aussi bizarre serait fort douteuse en droit islamique La seule diff rence notable entre les deux versions r side dans l expression math matique de la condition essentielle du partage l une dit qu il ne doit pas y avoir de reste ou de chameau non attribu l autre qu il ne doit pas y avoir de fraction impliquant le sacrifice d un chameau Je connais cependant une troisi me version arabe apparemment une expansion des pr c dentes qui pr cise qu il s agit de partager un h ritage entre trois fr res selon les dispositions du testament de leur p re et est riche encore d autres d tails comme Il Al appela son serviteur Qundur lire probablement Qanbar et lui dit Tu vas ajouter notre chameau roux ces chameaux 3 Selon al Yafrash XII si cle AIT aurait appris
19. e de titre de gloire il a pu prendre plaisir repenser la question et en trouver ainsi une deuxi me solution en un sens plus simple qu il a fait le choix d enseigner la place de la premi re 9 Il s agit du manuscrit Esad Efendi 3151 1 Voir aussi Pierre Ageron Ibn Hamza a t il d couvert les logarithmes Actes du XVII colloque inter IREM d histoire et pist mologie des math matiques IREM de Basse Normandie para tre Dans la copie que j ai consult e un feuillet adventice coll face crite sur un des feuillets du livre laisse voir par transparence une autre grille de 81 cases garnies de nombres elle est malheureusement peu lisible mais il pourrait bien s agir d une troisi me solution 12 Quoi qu il en soit je laisse au lecteur le plaisir et la gloire d en trouver d autres encore 13
20. e des Fr res de la puret On sait l int ress le raconte lui m me dans l introduction du Liber abaci que Fibonacci a t en contact avec le monde arabe initi aux math matiques au Maghreb central pendant son adolescence il a ensuite voyag dans plusieurs pays d Orient il n est pas impossible qu il ait rencontr quelque savant musulman lecteur des Fr res de la puret pourquoi pas par exemple le grand mystique Muh al d n Ibn al Arabi son contemporain 26 Fr d ric Bauden Comment diviser huit en trois parts gales de l anecdote au r cit nigme dans la tradition arabe in Le r pertoire narratif arabe m di val transmission et ouverture Li ge 2008 p 87 105 27 Fibonacci s Liber abaci trad anglaise de Laurence Sigler New York 2002 p 403 De duobus hominibus habentibus panes La deuxi me version que j ai trouv e est anglaise et date de 1812 8 L anecdote a t transf r e dans l exotique et myst rieuse Espagne et compliqu e plaisir pour tre pr texte une mise en quations Sous un arbre deux muletiers espagnols partagent cinq galettes et une bouteille de vin avec un tranger qui leur laisse 6 shillings et 54 pence Je le traduis int gralement pour le lecteur qui trouvera s rement agr ment le r soudre Deux muletiers espagnols A et B taient assis sous un arbre pour d ner en examinant leurs provisions ils trouv rent qu ils av
21. er sa propre femme sous la forme d un tr s beau chameau 13 avant bien s r de la reprendre En effet aucun des trois fils ne retrouve Fatima parmi les chameaux qui lui reviennent ce qui les fait na vement conclure Sans doute El Shaitan Satan l a transform en un chameau d aspect moins noble De Grande Bretagne les dix sept chameaux atteignirent vite l Am rique du nord je laisse aujourd hui cette route de c t 14 pour aller les retrouver en Afrique b Les dix sept chameaux de l Afrique du nord la France L anecdote des dix sept chameaux est certainement arriv e anciennement au Maghreb Je ne connais pas pour l instant de sources crites mais j ai trouv des attestations de sa circulation orale datant de l poque coloniale Dans ces pays sunnites la glorification des m rites de Ali est visiblement pass e au second plan et sa personne a t remplac e par un personnage anonyme le plus souvent un cadi juge ou un derviche homme religieux vivant pauvrement qui pr te ou qui emprunte un dix huiti me chameau Le militaire fran ais Paul Wachi l ins ra dans ses Souvenirs d Alg rie la suite d un tableau du fonctionnement 9 James Phillips Fletcher Narrative of a Two Years Residence at Nineveh and Travels in Mesopotamian Assyria and Syria Londres 1850 vol 2 p 15 17 10 The Leisure hour Londres 1869 p 319 14 Chambers s Journal of Popular Literature Science and Arts
22. ion du douzi me chameau du sens d une analyse sociologique du droit Droit et soci t 47 2001 p 15 et seq traduction d un texte in dit de 1988 suivi de plusieurs articles d autres auteurs sur le th me du douzi me chameau Fran ois Ost Le douzi me chameau ou l conomie de la justice in Liber amicorum Guy Horsmans Bruxelles 2004 p 843 867 douze analyses de l anecdote Mauricio Tarrab Dans le cartel on peut obtenir un chameau La Cause freudienne Nouvelle revue de psychanalyse 51 2002 p 138 142 traduction d un texte espagnol de 1998 25 G rard Charri re Alg bre mode d emploi Lausanne 1995 5 Certaines des variantes num riques qu autorise le probl me sont aussi en circulation la version onze chameaux celle que racontait Lacan plus rarement celle vingt trois chameaux et aussi celle trente cinq chameaux que l on trouve dans L homme qui calculait fortement d viante en ce sens qu elle ne redistribue que trente quatre chameaux et permet ainsi au juge de se r mun rer Il existe encore des versions transplant es dans d autres lieux ou d autres cultures par exemple dans une communaut juive des Balkans dans un ranch du Texas ou la cour d un maharadja il ne s agit plus alors de chameaux mais de chevaux de vaches ou d l phants Qu en est il sur l Internet arabophone Le probl me des dix sept chameaux y est tr s fortement pr sent mai
23. is l aspect magique de la solution et l orientalisme de pacotille de l habillage si l on fait sentir la vraie nature math matique du probl me et le vrai contexte de sa formation et de sa circulation alors il peut repr senter une occasion inattendue et mon sens bienvenue d irruption de la math matique et de la culture arabo musulmanes dans le cours de math matiques du coll ge 2 Le probl me des huit galettes Deux hommes allaient manger ensemble cinq galettes de pain que poss dait l un et trois galettes que poss dait l autre quand un voyageur demanda partager leur repas Ils accept rent et mang rent avec lui les huit galettes tous mangeant autant En d dommage ment le voyageur leur laissa huit dirhams Celui qui avait cinq galettes estima qu il lui en revenait cinq et trois son compagnon Mais celui ci pensait qu il devait revenir quatre dirhams chacun Ils port rent l affaire devant un juge qui incita celui qui avait trois galettes accepter la proposition de l autre Devant son refus le juge lui signifia qu en vertu du droit il n aurait qu un seul dirham son compagnon empocherait les sept autres Comme le probl me des dix sept chameaux dont j ai parl dans le num ro pr c dent ce probl me des huit galettes pr sente l int r t de faire mettre en uvre un raisonnement de proportionnalit dans un contexte inusuel Il est apparemment moins r pandu en France 6 peut tre par
24. l alg bre en cinq jours bien avant qu al Khuw rizm n en m t les l ments par crit Voir Ahmed Djebbar L alg bre arabe Paris 2005 p 41 42 a Ce probl me fera l objet d un article dans le prochain Miroir Ahmad Muhammad Jaw d Muhsin ilm al his b ind al im m Al alayhi al sal m La science du calcul chez l im m Ali 1967 article en arabe en ligne sur plusieurs sites 6 Ahmad Amin al tak mul fi al isl m 1963 vol 4 p 159 citant mushkil t al ul m Les probl mes des sciences de al Nir q Husayn Ali al Shaf al haqq al mubin f qad amir al mu minin A bin Ab T lib La v rit clatante sur la justice du Commandeur des croyants Ali bin Ab T lib 1962 p 115 citant sharh bad at Ibn al Muqri 8 Zahid Badr al d n tar if wa naw dir f l m d wa l h dir Fac ties et bons mots du pass et du pr sent 1992 p 79 Cit d apr s la traduction de Jean Jacques Schmidt dans Le livre de l humour arabe Paris 2005 p 26 Quand l Europe s est elle appropri le probl me des dix sept chameaux Il me semble que ce n est pas avant la deuxi me moiti du XIX si cle et que c est en Grande Bretagne qu il p n tra d abord en provenance du Moyen Orient Les Britanniques taient alors tr s pr sents dans cette r gion du monde pour leurs int r ts conomiques un missionnaire de l glise d Angleterre s y trouvait
25. math matico juridique du monde arabe l Europe ne doit pas tre consid r comme un fait unique et datable mais comme un faisceau dense d v nements largement ind pendants 15 paul Alphonse Amable Wachi Kiva En Alg rie Souvenirs Paris 1894 p 106 chapitre dat de 1882 16 Louvet Probl me des chameaux Conte arabe Le Figaro suppl ment litt raire 21 et 28 septembre 1895 LT Driss Chra bi Vu lu entendu Paris 1998 p 59 61 18 Paul Dubi Lergat devinettes probl mes Mauritanie Notes Africaines 33 Dakar 1947 p 15 19 Alphonse Rebi re Math matiques et math maticiens Pens es et curiosit s Paris 1889 p 239 2 dition Paris 1893 p 482 29 douard Lucas Les appareils de calcul et les jeux de combinaisons Revue scientifique Revue rose 45 1890 p 8 9 21 22 Charles Bergmans Trait d arithm tique l mentaire Paris 1890 p 151 tienne Ducret Les passe temps intellectuels r cr ations math matiques g om triques physiques chimiques m ca niques musicales artistiques et litt raires Paris 1892 p 51 23 mile Fourrey R cr ations arithm tiques Paris 1899 probl me 208 p 159 4 dans la deuxi me moiti du XIX si cle c Au XX si cle les dix sept chameaux dans tous leurs tats Le probl me des dix sept chameaux connut au XX si cle une fortune extraordinaire dans tout le monde occidental non d mentie
26. ns arithm tiques Paris 1899 probl me 209 p 160 8 La cinqui me version se trouve dans un manuel am ricain de conversation allemande publi en 1900 3 Aupr s d une source An einer Quelle deux voyageurs en Arabie partagent huit pains avec un tranger qui leur laisse huit pi ces d or Goldst cke leur diff rend est arbitr par un juge Richter Ces trois derni res versions sont assez proches mais ne peuvent d river l une de l autre puisque chacune contient un l ment la source le cadi absent des pr c dentes et pr sent dans les sources anciennes Je suis tent de rapporter les versions fran aises des sources orales venues de l Alg rie coloniale ind pendamment de la tradition europ enne m di vale qui passe par Fibonacci C est aussi on l a vu par l Alg rie que le probl me des dix sept chameaux a t connu en France fin du XIX si cle et le fait qu il pr c de imm diatement le probl me des huit galettes dans les R cr ations de Fourrey pourrait tre l indice d une origine commune Nul doute quoi qu il en soit que cette petite histoire de galettes a embarqu bien plus d une fois vers le monde occidental 3 Le probl me des quatre vingt un palmiers Un p re meurt en laissant quatre vingt un palmiers ses neuf fils Le premier palmier produit une livre de dattes par an le deuxi me produit deux livres et ainsi de suite jusqu au quatre vingt uni me Comment
27. quelle est selon S lih Zeki cette solution donn e sous forme de tableau 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 18 25 24 23 22 21 20 19 27 26 33 32 31 30 29 28 36 35 34 41 40 39 38 37 45 44 43 42 49 48 47 46 54 53 52 51 50 57 56 55 63 62 61 60 59 58 65 64 72 71 70 69 68 67 66 73 81 80 79 78 77 76 75 T4 Le lecteur observera facilement la logique de construction de ce tableau elle est astucieuse mais simple et g n ralisable n palmiers Comme Ibn Hamza lui m me S lih Zeki crivait en turc ottoman Aussi ses recherches n acquirent elles la notori t dans le monde arabe que lorsque Qadri H fidh T q n pro fesseur de math matiques et homme politique palestinien en parla en 1941 dans un livre en langue arabe Cependant son information sur Ibn Hamza et le probl me de la Mecque venait exclusivement de S lih Zek Depuis les nombreux auteurs arabes qui ont c l br avec une certaine exag ration le g nie de Ibn Hamza se sont appuy s sur Qadri H fidh T q n et donc indirectement sur S lih Zek aucun n a jamais revu le manuscrit de Ibn Hamza 7 C est pourquoi j eus en 2009 la curiosit de me rendre Istanbul pour consulter le manuscrit du trait de Ibn Hamza que conserve la fabuleuse biblioth que S leymaniye S6 Qadr H fidh T q n tur th al arab al ilmi f al riy diyy t wa al falak Le patrimoine scientifique des Arabes en math matiques et en astronomie Beyrouth et le Cair
28. r partir les palmiers entre les h ritiers de sorte que tous b n ficient du m me nombre d arbres et de la m me r colte annuelle de dattes Contrairement aux probl mes des dix sept chameaux et des huit galettes objets des deux pr c dents articles de cette s rie celui des des quatre vingt un palmiers semble peu pr s inconnu en France en tout cas invisible sur l Internet On le trouve en revanche sur de tr s nombreuses pages de l Internet arabophone notamment au sein de sites scolaires ou universitaires sur les math matiques et dans un contexte de glorification des succ s scien tifiques des Arabes dans les sciences Bien qu il se pr sente encore comme un probl me de partage d h ritage sa nature math matique et son histoire diff rent profond ment de celles du probl me des dix sept chameaux Voici le r sultat de mes investigations historiques qui m ont cette fois conduit jusqu Istanbul Premi re remarque le probl me revient construire un tableau 9 lignes et 9 colonnes o apparaissent tous les entiers de 1 81 et dont toutes les colonnes ont la m me somme Un tel tableau tant construit il suffit en effet d attribuer au h ritier les palmiers dont les productions de dattes annuelles apparaissent sur la if colonne En particulier tout carr magique d ordre 9 r pond la question dans un carr magique les colonnes mais aussi les lignes et les diagonales doivent toutes avoir la m
29. s bien diff remment de ce qu on observe en Europe Il circule essentiellement sur des blogs et forums de discussion rayonnant pour la plupart partir de l Irak ou de Bahrein les deux pays arabes majorit chiite Ce n est jamais en tant que paradoxe nigme ou r cr ation math matique qu il est pr sent moins encore en tant qu apologue ou m taphore pour les sciences humaines mais en tant que r cit authentique attest par la tradition destin susciter l admiration pour l intelligence et la sagacit de l im m Ali qui a trouv la solution du d licat probl me juridique qui lui tait soumis Certaines visions plus critiques apparaissent cependant sur certains forums de discussion notamment maghr bins Pour finir je trouverais int ressant de s interroger sur le signifie le succ s du probl me des dix sept chameaux aupr s des enseignants fran ais de math matiques De quoi est il signe Il me semble que si le probl me est pos sans mise en perspective son b n fice p dagogique est mince et risque m me d tre n gatif si l l ve n en retient que le c t surnaturel de l intervention du dix huiti me chameau en l absence de tout apport de m thode Mais si on se donne la peine de l ins rer la fois dans un contexte math matique enrichi proportionnalit fractions gyptiennes et dans un contexte culturel authentique arithm tique juridique musulmane si l on d passe la fo
Download Pdf Manuals
Related Search