Lire l`Analyse Non Standard
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1. singuli re ou r guli re Ce genre d id e est galement l oeuvre dans d autres domaines tels que l tude des moir s Harthong Reeb et diff rents probl mes relatifs l infographie Holin Il existe en analyse non standard bien d autres types de m thodes signalons toute une classe de techniques qui reposent sur l id e de discr tisation Par ce moyen E Nelson ram ne l tude des probabilit s aux seules probabilit s discr tes 23 D autres techniques utilisant la discr tisation sont plus proches de l analyse num rique citons l approximation des r els par des rationnels non standard r els de Hartong Reeb ou la repr sentation des op rateurs lin aires dans les espaces fonctionnels par des matrices de dimension i grande Delfini Ben El Mamoun Enfin les techniques de stroboscopie version infinit simale de la m thode d Euler dans la r solution approch e des quations dif rentielles sont utilis es dans les probl mes d oscillation rapide et de moyennisation Callot Sari 28 8 M Goze et A Makhlouf se servent des techniques non standard en g om trie alg brique 21 ainsi que pour la classification des alg bres de Lie Cette liste est loin d tre exhaustive Insistons sur le fait que nous n avons mentionn ici que les travaux fond s sur l approche Nelsonienne de l ANS L importante cole engendr e par l approche Robinsonienne a abord encore d autres sujets2. E Isambert l nonc de trois sch mas d axiomes qu on rajoute ceux de la th orie ZFC Zermelo Fraenkel Axiome du Choix L introduction de st am ne distinguer plusieurs sortes de formules celles qui peuvent s crire sans utiliser le pr dicat st autrement dit celles qui sont exprimables dans le langage de ZFC sont appel es formules internes les autres qui contiennent le pr dicat st ou ses d riv s sont appel es formules externes De plus on s autorise rajouter aux formules des param tres d signant certains objets de l univers ensembliste o on se place Les formules internes dont tous les param tres d signent des objets standard sont appel es formules standard C est le seul moment moment de cet article o il est un petit peu question de Logique formelle la seule capacit requise en cette mati re est de savoir distinguer si une propri t ou un nonc peut ou non s exprimer par une formule standard ou par une formule interne et pour cela en g n ral le bon sens suffit Collections externes Les propri t s et nonc s internes ob issent aux m mes r gles que dans ZFC il n en est pas de m me des nonc s externes ainsi le Sch ma de Compr hension de ZFC qui dit que pour tout ensemble X et toute formule x il existe un ensemble d fini comme x X x ne s applique qu aux formules internes par exemple la collection des entiers standard n est pas un ensemble pa
3. infinit simal Un peu de vocabulaire Deux r els x et y sont i voisins si x y est i petit on crit alors x y et naturellement x 0 est une notation pour x est i petit x est limit s il n est pas i grand x est appr ciable s il n est ni i petit ni i grand En particulier tout r el standard est limit et tout r el standard non nul est appr ciable Deux exemples L Analyse Non Standard permet tr s souvent de reformuler les notions classiques de fa on plus proche de l intuition on verra cependant que ces nouvelles d finitions ne sont quivalentes aux anciennes que si on les applique des objets espaces fonctions suites standard Par exemple Une suite standard u converge vers un standard l si et seulement si un l pour tout n i grand Une fonction standard f est continue en un point standard x si et seulement si f x f xo pour tout x xo 2 Formalisation Pr cisons maintenant les r gles qui r gissent l utilisation de la propri t tre standard ces r gles se traduisent formellement par l introduction dans le langage de la th orie des ensembles d un nouveau pr di cat une place st La formule st x est une notation pour x est standard propri t que poss dent certains l ments de lunivers 3 Abr viation si on veut de infiniment grand mais nous pr f rons plut t le terme d id alement grand 32 V Gautheron
4. matique de France 1983 29 A K Zvonkin and M A Shubin Non standard analysis and singular perturbations of ordinary differential equations Russian Math Surveys 39 2 69 131 1984 Laboratoire Analyse G om trie et Applications Institut Galil e Universit Paris XIII F 93430 Villetaneuse France
5. en un point x si pour tout y E x y f x f y Exemples w d signera un entier i grand un r el positif infinit simal la fonction f R R d finie par f x 0 si x lt 0 f x si x gt 0 est S continue en 0 xt x n est pas continue en w x gt sin wx n est S continue en aucun point Soit D C E Une fonction f est S continue sur D si pour tout x presque standard dans D f x est presque standard et f est S continue en zx La fonction x x est donc S continue sur R ainsi que toute fonction standard continue La fonction x efr e o x d signe la partie enti re de x est S continue sur R Remarquons qu une fonction standard est bien continue si et seulement si elle est S continue sur son domaine et uniform ment continue sur J si elle est S continue en tout point de J Il devient alors totalement vident qu une fonction standard continue sur un compact standard est uniform ment continue et par Transfert cette propri t est vraie pour toute fonction et tout compact 3 4 Ombres Pla ons nous dans un espace m trique standard E d Si A est une partie standard de E on a vu que les points standard adh rents A sont ceux qui appartiennent hal A comme est un ensemble standard il en r sulte que est le standardis de hal A Une S notion correspondante est la notion d ombre si est une partie interne ou externe de E l ombre de A est l ense
6. par exemple les espaces de Banach 19 la th orie des nombres 26 En tout tat de cause l Analyse Non Standard n est pas une sp cialit en soi Elle fournit avant tout des techniques et un tat d esprit applicables dans des domaines tr s divers et nous ne saurions parler avec comp tence de domaines qui nous sont loign s R f rences 1 Mich le Artigue V ronique Gautheron et Emmanuel Isambert Une notion non standard d attracteurs les fleuves In M Diener and G Wallet diteurs Math matiques Finitaires et Analyse Non Standard pages 191 208 Publications Math matiques de Paris VII 31 2 1989 2 Eric Benoit Relation entr e sortie C R Acad Sci Paris 293 S rie 1 293 296 1981 3 Eric Benoit Jean Louis Callot Francine Diener and Marc Diener Chasse au canard Collectanea Mathematica Barcelone 31 1 3 37 119 1981 4 Imme P Van den Berg Nonstandard Asymptotic Analysis volume 1249 of Lecture Notes in Mathematics Springer Verlag 1987 5 Imme P Van den Berg On solutions of polynomial growth of ordinary differential equations J Diff Equ 81 368 402 1989 6 Imme P Van den Berg Extended use of IST Annals of Pure and Applied Logic 58 73 92 1992 7 Fran ois Blais Fleuves critiques C R Acad Sci Paris 307 S rie 1 439 442 1988 48 8 10 11 rar 12 13 14 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 V Gauthero
7. perte de rigueur d viter certains retours en arri re dans les d monstrations et aussi de diminuer le nombre de variables mobiles manier simultan ment dans l exemple ci dessus on n est plus oblig de changer de x pour chaque valeur de a D un point de vue syntaxique cela se traduit la plupart du temps par une diminution du nombre de quantificateurs dans les formules de nombreux exemples en seront fournis par la suite Pour arriver un tel r sultat il existe actuellement deux fa ons de proc der Dans la premi re on consid re que les l ments du corps des r els R ou d une structure plus compliqu e contenant aussi les parties de R les fonctions de R dans R etc sont tous standard et par une m thode reposant sur les ultraproduits on construit un certain sur corps R de R et les extensions correspondantes P R de P R etc et on appelle r els non standard les l ments de R R Cette fa on de faire est la plus ancienne c est celle du fondateur de ANS Abraham Robinson 27 et de ses successeurs directs rest s assez proches de la Th orie des Mod les Luxemburg Stroyan 22 Une autre fa on de proc der dont l invention plus r cente est due Edward Nelson 24 et dont l usage s est r pandu notamment sous l impulsion de Geoges Reeb nous semble d un abord plus facile pour la majorit des math maticiens c est celle que nous allons pr senter ici Elle consiste au c
8. Lire l Analyse Non Standard V ronique GAUTHERON Emmanuel ISAMBERT L Analyse Non Standard est aujourd hui utilis e dans de nombreux domaines des Math matiques syst mes dynamiques calcul asymptotique probabilit s alg bre espaces de Banach Elle s est r v l e un outil la fois efficace et agr able utiliser ce dont t moignent de nombreux articles publi s appliquant l ANS ces domaines Malheureusement trop souvent des math maticiens sp cialistes de ces m mes domaines qui n ont pas eu l envie ou le temps de se plonger dans les bases de la th orie non standard sont rebut s par un vocabulaire diff rent du leur et un point de vue qui peut leur para tre trange voire absurde ou inutile Cela conduit de regrettables coupures ou incompr hensions entre math maticiens travaillant pourtant sur des sujets voisins et qui gagneraient certainement des changes mutuels Nous tentons ici d exposer avec le minimum d investissement th orique les notions d ANS qui nous paraissent essentielles un math maticien classique pour comprendre les id es l oeuvre dans un expos non standard proche de leur sp cialit Pour plus de d tails nous conseillons la lecture de 12 Commen ons par un exemple na f En supposant que nous parlons des r els positifs il est courant dans un style oral un peu informel d employer des phrases du type on peut prendre x plus petit que tout a donn x
9. ad Sci Paris 307 S rie 1 41 46 1988 V ronique Gautheron et Emmanuel Isambert Nonstandard dynamical systems Shadows of trajectories and abstract rivers Collectanea Mathematica 45 3 205 243 Barcelone 1994 Karel Hrbacek Nonstandard set theory Math Monthly pages 659 677 1979 Albert Hurd editor Nonstandard analysis Recent developments Springer Lecture Notes in Mathematics 983 1983 Emmanuel Isambert Non smooth Ducks and regular perturbations of Rivers para tre dans Journal of Mathematical Analysis and Applications 1996 Robert Lutz et Michel Goze Non standard analysis a practical quide with applications volume 881 of Lectures Notes in Math Springer 1982 W A J Luxemburg et K D Stroyan Introduction to the theory of infinitesimals London Academic Press 1976 Edward Nelson Radically elementary probabilities Edward Nelson Internal set theory Bull Amer Math Soc 83 1165 1198 1977 Alain Robert Analyse Non Standard Presses polytechniques romandes 1985 A Robinson et P Roquette On the finiteness theorem of Siegel and Mahler concerning diophantine equations Journal of Number Theory 7 121 176 1975 Lire l Analyse Non Standard 49 27 Abraham Robinson Non standard analysis North Holland Amsterdam 1966 28 Tewfik Sari Sur la th orie asymptotique des oscillations non stationnaires In IIe rencontre de g om trie du Schnepfenried pages 141 158 Ast risque 109 110 Soci t Math
10. ard et la Standardisation pour assurer l existence des parties standard et des ombres ce dernier principe joue galement un r le dans la d finition des S notions tout cela sera explicit plus loin Rapports entre IST et ZFC Il est important de signaler deux r sultats de Logique qui rassurent sur lintro duction des nouveaux axiomes et l gitiment l utilisation de techniques non standard pour d montrer des r sultats exprimables par un nonc classique ces r sultats sont d montr s dans 24 Tout nonc non standard poss de une traduction classique au sens suivant si P x1 7 est un nonc du langage de IST on peut par un algorithme syntaxique d Nelson obtenir un nonc standard V x1 7 qui est quivalent d s que x1 x sont standard Tout th or me classique qui est cons quence de ZST est en fait d j cons quence de ZFC on dit que IST est une extension conservative de ZFC On en d duit que si ZFC ne poss de pas de contradiction LST n en a pas non plus Il en r sulte que tout th or me de IST par traduction donne un th or me de ZFC ce qui ne veut pas dire qu une notion naturelle ou un r sultat parlant dans le cadre non standard se traduira en langage classique par une notion ou un nonc ayant les m mes qualit s Disons quelques mots de l autre approche de PANS voqu e plus haut que nous nommerons approche Robinsonienne on se donne tou
11. ble en tout point il suffit de le faire aux points standard Le sch ma d Id alisation a notamment les cons quences suivantes Il existe un entier plus grand que tout entier standard et tout entier non standard est plus grand que tous les entiers standard Dans un espace topologique la relation d inclusion entre les voisinages d un point x donn tant S concourante il existe un voisinage de x inclus dans tout voisinage standard de x c est ce qu on appelle un voisinage infinit simal de Tout ensemble infini poss de des l ments non standard et un ensemble n a que des l ments standard si et seulement si il est standard et fini Une cons quence de la Standardisation qui se d montre avec l Axiome du Choix est le Principe de Saturation soient X Y deux ensembles standard B une relation interne ou externe telle que Wtx X ty Y B x y alors il existe une application standard f de X dans Y telle que x X B x f x Une autre cons quence est que pour tout r el x limit il existe un r el standard n cessairement unique tel que x pour d montrer cette existence on prend X S yEeR y gt z et x inf X Notons que des trois sch mas ci dessus le plus souvent utilis explicitement est de loin le Transfert dans les applications courantes l Id alisation est utilis e 34 V Gautheron E Isambert essentiellement pour assurer l existence d l ments non stand
12. d x n o est une propri t interne On appelle halo un pr halo qui est externe De fa on analogue on dit qu une sous collection G de E est une pr galaxie si il existe un ensemble standard 1 et une famille interne A e7 de parties de E tels que l on ait Ge A iel St i On peut dire aussi que G est une pr galaxie si elle est d finie par G rxeE n d x n o est une propri t interne On appelle galaxie une pr galaxie qui est externe Exemples Dans un ensemble standard infini les standard forment une galaxie et les non standard forment un halo Les r els i grands resp i petits forment un halo les r els limit s resp appr ciables forment une galaxie Les r els d finis par rE R x gt 0our 0 etr lt letzg l ne forment ni un halo ni une galaxie D crivons maintenant quelques sous collections de R que l on rencontre souvent en asymptotique non standard On note Lire l Analyse Non Standard 39 e hal 0 x ER x e 0 e gal 0 x ER x Ee limit e microhal 0 x R Yk N x ef 0 e microgal 0 x R atk N z lt e4 E Nelson a d montr que toute partie d un ensemble standard A est soit interne soit un halo soit une galaxie soit enfin de la forme x A Ytu Itv P x u v Ces derniers peuvent encore s crire x A Su Vo d x u v Tant qu on se place l int rieur d un ensemble standard ce q
13. existe y tel que ar abus de langage on parle parfois d ensembles externes mais nous viterons cette terminologie trompeuse Lire l Analyse Non Standard 33 Vz Z B x y Le sch ma d id alisation dit qu une relation interne B x y est S concourante si et seulement si on a y x B x y Standardisation Pour toute formule F interne ou externe et tout ensemble standard X il existe une partie standard Y de X telle que vtz e X x Y amp F x Autrement dit pour toute partie interne ou externe A de X il existe une partie standard B de X qui a exactement les m mes l ments standard que A L ensemble B est alors appel le standardis de et on note B SA La th orie obtenue en rajoutant ZFC le pr dicat st et les trois sch mas pr c dents s appelle JST Internal Set Theory et est d e Nelson Par opposition au langage non standard ou langage de IST utilisant le pr dicat st on parlera de langage classique ou d nonc s classiques pour d signer le langage de ZFC ou les nonc s qui peuvent s crire sans faire appel la propri t st Commentaires Il d coule du Transfert que tout objet qui peut se d finir de mani re unique par une formule standard 3 sin G 7 C etc est standard Il r sulte aussi de ce sch ma que toute fonction standard prend des valeurs standard aux points standard ou encore par exemple que pour v rifier qu une fonction standard est d riva
14. h nom ne des canards d couvert par M et F Diener E Benoit et J L Callot au d but des ann es 80 3 Ce sera l occasion de pr senter quelques outils d analyse non standard loupes d veloppements en ombres qui ont videmment bien d autres applications Nous nous placerons dans la situation la plus simple Consid rons dans le plan une quation diff rentielle ey F x y e 1 o F est une fonction standard suffisamment r guli re et un i petit positif 5 1 Courbe lente Supposons que F x y 0 0 d finisse une courbe T n cessairement standard En dehors du halo de I y est i grand positif ou n gatif Dans le cas g n rique OF et notamment si ZE y 0 0 sur T F x y change de signe en traversant le y halo de F et prend des valeurs limit es sur une partie de ce halo On dit alors que T est la courbe lente de l quation 1 et que 1 d finit un champ lent rapide Consid rons une partie 4 de I sur laquelle FPE y 0 ne change pas de signe y et telle que T soit le graphe d une fonction y p x pour x a b il y a alors deux cas de figure Si g eg 0 est n gatif alors dans un voisinage standard V de T1 y est a n gatif au dessus du halo de 4 et i grand positif au dessous En restreignant au besoin V on voit qu une trajectoire issue d un point o Yo de V entre dans le halo de T4 imm diatement c est dire avec une ombre verticale e
15. it I est alors attractive puis r pulsive En g n ral les trajectoires attir es par T sur Ja b sont violemment ject es du halo de F dans le halo de b Dans certains cas il se produit des ph nom nes de surstabilit certaines solutions attir es par T et donc restant dans son halo sur un intervalle 56 b continuent longer F sur une partie appr ciable de sa partie r pulsive une telle solution est appel e un canard exemple que Lire l Analyse Non Standard 43 5 3 Valeurs canards Un i petit positif tant maintenant fix consid rons une famille d quations ey F x Y a la Supposons que pour a ao standard F x y ao 0 pr sente un point selle par exemple l origine o on aurait F 0 0 0 I pr sente alors un point double l origine et en g n ral dans un voisinage standard de 0 une des branches de I est attractive pour x lt 0 et r pulsive pour x gt 0 cf fig 3 yT FiG 3 Point de Morse canards Quand a ag la courbe lente de 14 est la m me que pour ao On appelle valeur canard une valeur de a pour laquelle 14 poss de des solutions canard Une tude de la bifurcation du champ quand a traverse le halo de ag montre par un raisonnement du type valeurs interm diaires que sous certaines conditions de r gularit il existe n cessairement des valeurs canard dans le halo de ag cf fig 4 6 Les valeurs canards sont extr mement rares au sen
16. jours une structure M formant un ensemble typiquement M contiendra N R et sera close par l op ration X P X La structure tendue M dite largissement en Anglais enlargement de M contient pour chaque X M une extension X de X les l ments de X qui sont dans X sont dits standard ceux de X X sont dits non standard On a toujours P X P X et les parties de X qui appartiennent P X sont dites internes les autres externes Cela dit les objets standard internes et externes ainsi construits poss dent des propri t s tout fait semblables celles qui d coulent dans l approche Nelsonienne des axiomes de IST voir par exemple 27 22 Un point de vocabulaire les Robinsoniens nomment finis resp hyperfinis ce qui correspond dans JST aux ensembles de cardinal limit resp fini 3 Dictionnaire 3 1 Compl ment de vocabulaire Dans un espace m trique E d on crit x y et on prononce x i voisin de y si d x y 0 Si x E on appelle halo m trique de x not hal x la collection g n rale ment externe des y i voisins de x Lire l Analyse Non Standard 39 Six E on dit que x est presque standard dans E s il existe un point standard de E i voisin de x un tel standard s il existe est n cessairement unique On l appelle partie standard de x et on le note Rappelons que dans R tout r el limit est presque standard Plus g n ralemen
17. loppements limit s D finitions Soit e un i petit fix a un r el limit et n un entier standard On dit que a poss de un d veloppement en ombres l ordre n s il peut s crire sous la forme a ago Ea1 E an 6 o a1 an sont des r els standard et o d signe un i petit On dit que a poss de un d veloppement illimit en ombres s il existe une suite standard an telle que pour tout n standard on ait a ag EM E an A De m me on dit qu une fonction x y x est d veloppable en ombres l ordre n sur un intervalle I s il existe des fonctions standard 1 pn telles que px pols ei x e on x 2 pour tout x standard de I Notons qu un r el limit n est pas toujours d veloppable en ombre tout ordre ainsi y et 1 log ne sont m me pas d veloppables l ordre 1 On montre que si en plus des conditions assurant l existence de valeurs canards la fonction Fest C alors les valeurs canards poss dent toutes le m me d veloppement en ombre ainsi que les solutions canard et que si F est seulement C ils sont d veloppables l ordre r Notons qu en g n ral les d veloppements illimit s obtenus ne convergent pour aucun gt 0 Cependant si F est analytique on peut d montrer qu ils sont de type Gevrey 1 et donc resommables au sens de Borel Laplace 46 V Gautheron E Isambert 5 5 Les lou
18. mble standard A Shal A Quelques propri t s des ombres si est standard A A si est interne A est ferm Lire l Analyse Non Standard 37 si E est localement compact et interne et limit A est compact et c est la partie standard de au sens de la semi distance de Hausdorff si de plus A est connexe A galement Remarques et exemples si x est presque standard dans E x soit 0 l ombre de e 1 e est 0 1 on voit que l on n a ni A C A ni A C si n a aucun point standard A Q AU B AU B et AN B C AN B si x R x 0 A R on voit que si est externe A n est pas toujours ferm si A est le graphe de y sin x e pour x 1 1 A 1 1 si est le graphe de y arctg x e pour x R A est compos de R x 2 U 0 x x 2 2 U R x 7 2 Remarquons que dans ces deux derniers cas est un graphe de fonction mais pas A cela est d au fait que la fonction n est pas S continue Cette remarque nous am ne un r sultat important le th or me de l ombre continue qui peut s noncer ainsi Th or me Soient E et F deux espaces m triques standard f une fonction de DCE dans F et G le graphe de f Alors si f est S continue sur D G est le graphe d une fonction standard continue si pour tout x presque standa
19. n E Isambert Jean Louis Callot et Tewfik Sari Stroboscopie infinit simale et moyennisation dans les syst mes d quations diff rentielles solutions rapidement oscillantes In I D Landau diteur Outils et mod les math matiques pour l automatique l analyse des syst mes et le traitement du signal tome 3 pages 345 353 Editions du CNRS 1983 Andr Deledicq et Marc Diener Lecons de calcul infinit simal Collection U Armand Colin Paris 1989 Francine Diener D veloppements en ombres In I D Landau diteur Outils et mod les math matiques pour l automatique l analyse des syst mes et le traitement du signal tome 3 pages 315 328 Editions du CNRS 1983 Francine Diener et Marc Diener Fleuves 1 2 3 mode d emploi In Marc Diener and Guy Wallet diteurs Math matiques Finitaires et Analyse Non Standard pages 209 216 Publications Math matiques de l Universit de Paris VIT 31 2 1989 Francine Diener et Georges Reeb Analyse Non Standard Hermann 1989 Marc Diener Loupes d singularisantes et fleuves SIAM Journ Math Anal 25 148 173 1993 Marc Diener et Georges Reeb Champs polyn miaux nouvelles trajectoires remarquables Bull Soc Math Belgique 38 131 150 1987 Marc Diener et Guy Wallet diteurs Math matiques finitaires et analyse non standard Publications math matiques de l universit Paris 7 1989 Vol 31 1 31 2 Augustin Fruchard Canards discrets C R Ac
20. ontraire consid rer que dans R lui m me et dans les ensembles infinis en g n ral certains l ments peuvent avoir une propri t non d finissable en termes classiques celle d tre standard d autres au contraire peuvent tre non standard D usage de cette nouvelle propri t tre standard est r glement par de nouveaux axiomes rajout s ceux de la th orie des ensembles Il existe un th or me qui prouve par une m thode d ultraproduits la coh rence de ces nouveaux axiomes avec les anciens on peut lire ou non cette d monstration mais elle est faite une fois pour toutes et on n a pas besoin de la connaitre pour suivre correctement les r gles d emploi du pr dicat standard C est pourquoi la th orie de Nelson est sans doute plus facile utiliser pour des non logiciens 1 Avant go t A partir du moment o on se donne le droit d utiliser la nouvelle propri t tre standard on peut d finir de nouvelles notions d analyse allant dans le sens du but intuitif qui nous guide savoir donner une d finition rigoureuse des notions troubles telles que r el infinit simal entier infiniment grand etc Enon ons donc dans le cadre de N et R quelques notions et propri t s l men taires qu on s attend trouver pour des notions coh rentes d infiniment grand et infiniment petit 2Cette d marche n est pas nouvelle qui d ent
21. out x E standard ou non et tout n i grand f x f x Si E est localement compact fn tend vers f uniform ment sur tout compact si et seulement si fa x f x pour tout n i grand et tout x presque standard dans E Topologie sur un espace m trique Soient E d un espace m trique standard et un sous ensemble standard de E A est ouvert si et seulement si il contient le halo de tous ses points standard A est ferm si et seulement si pour tout x presque standard dans A un point standard y est adh rent A si et seulement si hal y N A ou encore si et seulement si y hal A 36 V Gautheron E Isambert A est compact si et seulement si tout point x de est presque standard dans A c est dire que existe et est dans Le langage non standard permet ainsi de reformuler d une fa on souvent plus simple les notions de base de l analyse On remarque que les nouvelles caract risa tions ne sont valables que pour les objets standard Pour les objets non standard on dispose donc de notions a priori distinctes la notion classique et une notion non standard ou S notion correspondante obtenue en applicant les d finitions ci dessus tous les objets standard ou non Etudions par exemple la S notion la plus naturelle qui correspond la continuit 3 3 S continuit Soient et F deux espaces m triques standard On dit qu une fonction f E Fest S continue
22. pes Pour calculer explicitement ces d veloppements on utilise une technique tr s courante en analyse non standard les loupes D finition 1 On appelle loupe un changement de variable qui op re dans une direction au moins un grossissement de facteur i grand Par exemple une homoth tie de rapport i grand centr e en un point permet de rendre visible ce qui se passe dans une partie du halo de ce point De m me pour examiner plus finement ce qui se passe dans le halo d une portion T de courbe lente d quation y wo x on peut utiliser le changement de variable Y w y volx wi grand qui est une loupe autour de T Dans le cas d un champ lent rapide si la courbe lente T ne contient pas de singularit en posant w 1 on obtient en g n ral un nouveau champ lent rapide avec une nouvelle courbe lente Y w1 x Dans un cas assez g n ral on peut montrer que les solutions lentes du champ initial suivent galement le halo de la courbe lente cette nouvelle chelle et l on en d duit que le d veloppement des solutions lentes cette nouvelle chelle est px polz E w1 6 Si l quation initiale est C on peut recommencer ind finiment ce qui procure sous quelques hypoth ses suppl mentaires un d veloppement illimit en ombres des solutions lentes Dans le cas o la courbe lente de l quation initiale ey F x y a poss de un point de Morse avec des solu
23. r commodit on crira aussi x X x pour des formules externes mais les l ments de X ainsi d limit s peuvent ne pas constituer un ensemble en ce cas on dira qu on a d fini une partie externe de X ou collection externe et on s autorisera la noter par un symbole C par exemple et crire x C au lieu de x X et P x ainsi qu pratiquer sur ces collections les op rations bool ennes l mentaires intersection r union Les th or mes classiques des math matiques ne peuvent pas en g n ral s appli quer aux collections externes ainsi le fait que toute partie non vide de N admet un plus petit l ment ne s applique pas la collection des entiers non standard ce qui montre bien que cette collection est externe ainsi que son compl mentaire de m me la collection des r els infinit simaux est major e mais n a pas de borne sup rieure Quantificateurs externes On crit Vx F x pour Vr st x F x ce qui se lit pour tout x standard F x et de m me txG x signifie il existe z standard tel que G x Les sch mas d axiomes sont les suivants Transfert Pour toute formule standard F x o x est une variable libre on a l implication VWixF x VrF x ou de fa on quivalente 7F x xF x Id alisation Une relation B x y deux variables libres est dite S concourante si elle a la propri t que pour tout ensemble standard fini Z il
24. rd dans D f x est presque standard et si G est le graphe d une fonction g alors g est standard et continue f est S continue De plus pour tout x presque standard dans D f x g x La fonction g est celle qu on obtient par standardisation de la relation y f x sur les l ments standard de D on la note f et on dit que g est l ombre de f Notons qu une telle fonction peut tre d finie m me dans des cas o f n est pas S continue mais qu alors son graphe est toujours strictement inclus dans G Signalons galement que le th or me d Ascoli se d duit tr s facilement de ce th or me l ombre continue est en quelque sorte une version non standard d Ascoli 4 Collections externes et principes de permanence On se replace dans le cadre g n ral de la th orie des ensembles ZST 38 V Gautheron E Isambert 4 1 Halos et galaxies Dans le cas o E est un espace m trique on aurait pu d finir le halo d un point x comme intersection externe de boules hal r B z 1 n nEN St n ou encore hal z B z e e gt 0 St e Plus g n ralement dans un ensemble interne pas n cessairement m trique ni topologique on dit qu une sous collection H de E est un pr halo si il existe un ensemble standard T et une famille interne A e7 de parties de tels que l on ait H Q 4 iel St i D une fa on quivalente H est un pr halo s il est d fini par H reE Vm
25. re nous pense aux constructions formelles de R chaque fois qu il manipule des r els Ce qui importe ce sont les r gles de cette manipulation Dans un registre plus avanc beaucoup de math maticiens utilisent l axiome du choix ou ses d riv s sans pour autant savoir d montrer qu il est ind pendant des autres axiomes de ZF Lire l Analyse Non Standard 31 De fa on g n rale la propri t tre standard doit tre stable pour les op rations et fonctions habituelles somme produit sinus exponentielle etc Entiers naturels standard ou non Il existe des entiers naturels plus grands que tout entier standard ces entiers sont videmment non standard et de plus tout entier non standard est plus grand que tout entier standard R els standard ou non Il existe plusieurs sortes de r els non standard les uns sont plus grands en valeur absolue que tout r el standard et leur partie enti re est un entier non standard on les nomme r els i grands d autres les inverses des pr c dents sont plus proches de 0 que tout r el standard non nul on les nomme i petits ou infinit simaux enfin il r sulte de la stabilit des standard pour l addition que si a est un standard non nul et un r el i petit a est non standard mais n est ni i petit ni i grand des axiomes venir il r sultera que tout r el non standard qui n est ni i petit ni i grand est de cette forme a a standard
26. s suivant si F est de classe C et si le point selle est r gulier les valeurs canard sont toutes dans la m me micro galaxie la distance entre deux valeurs canard est major e par e FE o k est un appr ciable positif Dans la pratique cela se traduit num riquement par le fait que m me pour des valeurs de pas tr s petites de l ordre de 1 20 par exemple il faut ajuster le param tre a avec beaucoup de pr cision typiquement avec une dizaine de d cimales pour obtenir des trajectoires qui se comportent comme des canards la chasse au canard est un sport qui requiert beaucoup d adresse On peut parfois obtenir des r sultats permettant de pr voir l endroit o les solutions canard vont sortir du halo de la courbe lente c est dire le point standard dans le halo duquel elles sortent en fonction de leur point d entr e dans ce halo c est ce qu on appelle le calcul d une fonction entr e sortie 2 5 4 D veloppements en ombres Il est naturel de chercher localiser pr cis ment ces valeurs canard priori on sait seulement qu un tel amp est dans le halo de ao c est dire de trouver des renseignements de nature asymptotique sur les valeurs canard et les solutions A4 V Gautheron E Isambert FIG 4 a lt a canard associ es On a besoin pour cela de la notion de d veloppements en c ombres quivalents non standard des d veloppements asymptotiques ou des d ve
27. t si C E A externe ou interne on appelle halo de A la collection hal A y E 3x A x y Dans un espace topologique E T on appelle halo topologique de x hal7 x l intersection de tous les voisinages standard de x cette collection est en g n ral externe Notons que m me si 7 est m trisable l galit hal x halz x n est assur e que si x est standard Par d faut le mot halo d signera le halo m trique 3 2 Traduction de notions classiques On se donne deux espaces m triques standard E et F Suites Soient 4 une suite standard dans E et l un l ment standard de E un converge vers l si et seulement si pour tout n i grand un l l est valeur d adh rence de un si et seulement si il existe n i grand tel que Un L un est une suite de Cauchy si et seulement si up uq d s que p et q sont i grands Fonctions continues Soient f une fonction standard de E dans F et o un point standard de E f est continue en x si et seulement si pour tout x zo f x f xo f est uniform ment continue sur si et seulement si pour tous x y de E x y gt f x f y Suites de fonctions Soient f une suite standard de fonctions de dans F et f une fonction standard de E dans F fn converge simplement vers f si et seulement si pour tout n i grand et tout standard zo E fh xo f xo fn converge uniform ment vers f si et seulement si pour t
28. t reste ensuite dans le halo de l tant que x est appr ciablement inf rieur b Par permanence ceci reste vrai pour certains x i voisins de b Danc ce cas on dit que T est une courbe lente attractive cf fig 1 FiG 1 Courbe lente attractive 42 V Gautheron E Isambert 0F Si au contraire x 4w x 0 est positif l est une courbe lente r pulsive y C est alors pour les x appr ciablement compris entre a et x que la trajectoire passant par o yo est dans le halo de T cf fig 2 FIG 2 Courbe lente r pulsive Remarque Nous avons dit plus haut que tout nonc non standard avait un quivalent standard Donnons titre d exemple la traduction classique de l nonc T est une courbe lente attractive Consid rons la famille d quations diff rentielles ey F z y le et supposons que sur Ja b T soit le graphe d une fonction y y x l nonc ci dessus se traduit par Il existe un voisinage V de T tel que pour tout o Yo V si Ye est la solution de 1 issue de o yo alors pe tend vers p sur xo b uniform ment sur tout compact lorsque tend vers O par valeurs positives 5 2 Canards oF Au passage d une singularit il peut arriver que x y 0 change de signe o sur une branche de I Si I est le graphe d une fonction sur a c supposons par Du Eh soit positive sur Ja b et n gative sur b c Lorsque x cro
29. tions canard pour certaines valeurs du param tre a on utilise la m me technique des loupes successives On doit de plus ajuster chaque chelle la valeur du param tre pour que la nouvelle courbe lente ait encore un point de Morse ce qui est n cessaire pour que les solutions canard puissent passer de la partie attractive la partie r pulsive de la courbe lente Cela fournit simultan ment le d veloppement en ombres commun toutes les valeurs canard et le d veloppement commun toutes les solutions canard 10 29 Il existe d autres situations o l on est amen trouver une loupe qui transforme le champ initial non plus en un champ lent rapide mais en un champ Y F X Y o F est presque standard 13 20 Dans ce cas pour tudier le comportement des solutions cette chelle on se sert du th or me dit de l ombre courte qui assure que les solutions de l quation Y F X Y passant par des points presque standard ont pour ombre des solutions de l quation standard Y F X Y Signalons par ailleurs que la technique de loupe est aussi utilis e pour faire appara tre dans certaines quations standard des solutions particuli res qui ont un type de croissance moins rapide que les autres l infini et que l on appelle fleuves 14 1 5 11 7 Lire l Analyse Non Standard A7 5 6 Autres objets d tude Tout ce que nous venons d crire repose sur la notion de perturbation infinit simale
30. u moins jusqu un entier i grand Permanence de Fehrele Elle repose sur le principe du m me nom nonc plus haut Si X est un ensemble interne et H y une propri t de la forme V xP x y o P est interne alors y X H y est un pr halo donc si Y C X est une galaxie et que l on sait que H est v rifi e par tous les l ments de Y alors H est encore vraie pour certains l ments hors de Y On d montre par exemple ainsi le 40 V Gautheron E Isambert Lemme de Robinson Si une suite un est telle que un est i petit pour tout n standard alors il existe w i grand tel que un soit i petit pour tout n lt w De m me si deux fonctions f et g ont des valeurs i voisines pour tout x appr cia ble on peut affirmer qu il existe i petit et w i grand tels que f x g x pour tout x de e w Cette propri t est souvent utilis e dans l tude des solutions d quations diff rentielles non standard Le m me principe s applique bien s r mutatis mutandis en changeant le r le des halos et des galaxies D autre part le principe s applique encore si l on sait par exemple que y X H y est une vraie galaxie et que Y C Xest un pr halo On trouvera plus de d tails sur ces questions dans 4 et des d veloppements plus r cents dans 6 Lire l Analyse Non Standard 41 5 Les canards un objet d tude actuel Nous allons exposer maintenant aussi simplement et rapidement que possible le p
31. ui est presque toujours le cas dans les applications il y a donc trois sortes d ensembles externes les halos les galaxies et les autres La complexit des formules externes est ainsi limit e une alternance de deux quantificateurs externes De plus on d montre le principe d exclusion suivant Principe de Fehrele Aucun ensemble externe n est la fois un pr halo et une pr galaxie 4 2 Principes de permanence La distinction entre ensembles internes et collections externes ainsi que la classification des collections externes en halos galaxies et autres permettent souvent de montrer que certaines propri t s d montr es pour tous les l ments d un certain domaine s tendent en fait un domaine plus grand c est ce que l on appelle les raisonnements par permanence Permanence de Cauchy Elle repose sur la distinction entre ensembles internes et parties externes Si X est un ensemble interne et P une propri t interne alors x X P x est interne donc si Y est une partie externe de X et que l on a d montr que P est v rifi e pour tous les l ments de Y alors on peut affirmer que P est encore vraie pour certains l ments hors de Y Exemple Soit an une suite standard de r els strictement positifs et un i petit positif alors on voit facilement que la suite a c est d croissante sur les n standard Par permanence on en d duit que cette suite est d croissante a
32. v rifiant telle propri t Le mot donn n a ici aucun sens math matique formel il n est l que pour signifier qu on veut dire en r alit pour tout a gt 0 il existe x lt a tel que On pr f re souvent la premi re formulation pour obtenir des phrases plus simples et pour viter de rompre la direction g n rale du raisonnement mais le co t en est une certaine perte de rigueur formelle Il serait commode de disposer d un formalisme dans lequel on pourrait crire sans contradiction une phrase du style soit x gt 0 inf rieur tout a gt 0 donn tel que Le choix d un tel x n est bien s r possible que si on admet que certains r els n ont pas la propri t de pouvoir tre donn s explicitement tous les r els poss dant une d finition pr cise tels que m 1071 etc faisant bien entendu partie des r els donnables L ANS permet de donner un sens de telles phrases en introduisant une distinction entre objets standard et non standard le mot standard formalisant l id e de donnable explicitement Elle propose un syst me coh rent et pratique dans lequel en particulier INe pas confondre cependant les objets standard et les objets d finissables par une formule 30 V Gautheron E Isambert certains r els positifs sont plus petits que tout r el positif standard Ce nouveau langage pr sente lavantage de fournir tr s souvent des nonc s plus directs sans
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