Année scolaire 2014/2015 PCSI ds6 Le 7 février 2015 Devoir
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1. l ordre n en 0 1 k 1 4 On pose S x D CD et RA x f x S x on se propose d tudier la suite S x k 1 n a crire Rn x sous forme d une d une int grale b Soit x 0 1 fix r t geti i Apr s avoir montr que Vt 0 x on a 0 lt lt z t montrer que R x lt Ter n 1 ii En d duire que Yz 0 1 lim Rn x 0 puis conclure sur lim Sn x NES iii E ticuli t li iii En particulier que vaut pL c Pour x 1 0 Montrer de m me que la suite x converge et trouver sa limite Exercice 5 Concours Agro 2010 puis To t Tn 1 VTLn 1 a On pose pour x R g x yz x tudier le signe de g x Soit un r el strictement positif On d finit la suite n par l b Montrer que si t gt 1 on a Yn E N 1 lt n 1 lt n En d duire que x converge et d terminer sa limite c Etudier n sit lt 1 2 On consid re les deux suites un et vn d finies par 1 n Yn EN m etna 1 E Tn Tn a Exprimer pour n N un 1 Un en fonction de x 1 en d duire le sens de variation de un b D terminer le sens de variation de vn c Montrer que Yn N Uun Un gt 0 d Montrer que les suites un et un sont convergentes et montrer qu elles convergent vers la m me limite que l on notera L e Pour n N donner un encadrement de L l aide de un et v2. f b HET ee SEAT t h f t 2 Soit g la fonction d finie par g t HET montrer que g est d finie et continue sur a b ou b a et en d duire l existence d un r el d de Ja b ou b a tel que m g d 3 Conclure par le th or me des accro issements finis
3. Ann e scolaire 2014 2015 PCSI ds6 LE 7 F VRIER 2015 Devoir surveill n 5 Dur e 4 heures Calculatrice interdite Quelques recommandations e Attention la pr sentation des calculs et la r daction Les exercices sont de niveaux diff rents e exercice classique et consid r comme facile e xx plus difficile e xxx difficile Les exercices sont eux m mes gradu s Mode d emploi 1 les tudiants qui ont moins de 9 de moyenne traitent le cours et les exercices 1 2 3 et 4 2 Ceux qui ont entre 9 et 15 traitent le cours et les exercice 3 4 et 5 3 Ceux qui ont plus de 15 de moyenne font les exercices 3 4 5 et 6 Cours 1 Soit f une fonction continue sur 0 1 strictement positive sur 0 1 montrer qu il existe gt 0 tel que Vz 0 1 f x gt A Calculer un quivalent pour x tendant vers 00 de In noncer la formule de Leibnitz hypoth ses comprises noncer le th or me de Rolle Enoncer le th or me des accroissements finis Exercice 1 On consid re h d finie par h x I 0 1 2 A dt di t2 e t 1 Justifier l existence de h x pour x R Quel est le sens de variation de h Montrer que Yz R h x lt 5 ba x 2x 4 2 Calculer un quivalent pour x tendant vers oo de el el 1 x Conclure sur la limite de h x en 00 en prenant soin d noncer pr cis ment le th or me utilis Ann e
4. eux solutions distinctes on les note Un et Un avec Un lt Un Montrer que 0 lt Un lt N lt Un 2 tude de la suite un a Montrer que Yn gt 3 1 lt Un lt b Montrer que fn un 1 ln un 1 puis en conclure que un est d croissante c Montrer que un converge et montrer en utilisant Inu que lim u 1 q 8 n 00 1 d En d duire en utilisant un quivalent du cours que ln un Un 1 puis que uy 1 7 n 00 n 00 n 3 tude de la suite vn a Calculer lim vn n 00 b Calculer f nlnn puis montrer que Yn gt 3 nlnn lt vn Ann e scolaire 2014 2015 PCSI ds6 LE 7 F VRIER 2015 c Soit la fonction g d finie sur RT par g x x 21nx tudier g et donner son signe En d duire que Yn E N n gt 2Inn d En d duire le signe de f 2ninn puis tablir que ninn lt vn lt 2nlnn e Montrer en utilisant encadrement pr c dent que un ninn n 00 Exercice 4 puis On consid re la fonction f x In 1 x d finie sur 1 oof 1 D riv es successives de f a Calculer pour x 1 les d riv es f x f x x et f x b Etablir une conjecture pour l expression de f x pour x 1 o0 et d montrer cette conjecture 2 Rappeler la formule de Taylor Lagrange avec reste int gral sans en oublier les hypoth ses 3 Soit n N et x 1 crire le d veloppement de Taylor Lagrange de In 1 x
5. n En d duire que 1 VE gt 0 os Ann e scolaire 2014 2015 PCSI ds6 LE 7 F VRIER 2015 3 Comme L d pend de t on consid re la fonction f d finie sur R par f t L Pour t gt 0 et n N on pose n t Zn Un t Un Un t Un pour indiquer que ces r els d pendent aussi de t t a D terminer f 1 et calculer lim T En d duire que f est d rivable en 1 et donner f 1 b i Montrer que Y t1 t2 R Vn N n t t2 Zn t1 Tn t2 ii En d duire la valeur de lim un t1 t2 Un t un t2 n 00 iii Donner une relation entre f t1 t2 f t1 et f t2 h c Montrer que Yt R Vhtel que t h ER ft h ft f d En d duire que f est d rivable sur R et d terminer f t pour toutt RT e En justifiant votre r ponse exprimer la fonction f l aide des fonctions usuelles 4 Exprimer pour tout n N x en fonction de n et de t Retrouver directement le r sultat de la question pr c dente Exercice 6 Soit f une fonction continue et d rivable sur un intervalle ouvert I on veut montrer que la fonction d riv e f v rifie la propri t des valeurs interm diaires c est dire que si a et b sont deux l ments de I et m un r el v rifiant f a lt m lt f b alors il existe c a b ou b af tel que f c m 1 Montrer qu il existe un r el h tel que a h et b h appartenant I et que a h fla b h
6. scolaire 2014 2015 PCSI ds6 LE 7 F VRIER 2015 ugo 0 Exercice 2 On se propose d tudier la suite un d finie par eur ARE Un 3 Soit f l application de 0 1 dans R d finie par f x z 1 tude de la fonction f 2 4 5 e a Calculer f x f x On v rifiera que f x C ue A x 3 3 b tudier le sens de variation de f quelle est l image du segment 0 1 noncer le th or me employ c Montrer que Yz 0 1 f x lt 2 d tablir que l quation f x x admet une solution unique dans l intervalle 0 1 on note cette solution 2 Convergence de la suite a Montrer que Yn N un existe et un 0 1 b tude de la convergence de un Premi re m thode i Quel est le sens de variation de cette suite ii Conclure sur sa convergence et donner la limite c tude de la convergence de un Deuxi me m thode 9 i Montrer que l on a Yn N un 1 4 lt TL ii En d duire que Vn N us lt 5 iii Conclure sur la convergence de un iv Soit p gt 0 fix trouver en fonction de p n pour lequel un est valeur approch e de la pr cision p pr s Exercice 3 puis Pour tout entier naturel n sup rieur ou gal 3 on note fn la fonction d finie par Yx R fa x x nlnx 1 a tudier cette fonction et dresser son tableau de variations b En d duire que l quation f x 0 a dans R d
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