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Université de Nice Sophia

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1. J l Je 15 2 0 2 Jc 0 1 0 0 0 L F F 2 1 Yc 1 L L 0 1 0 1 YC 0 d pre b o iii BEE ERREGER 0 Ye 0 1 701 0 7 Yc 0 1 F 0 2 l 10 5 0 H 0 0004 0 0 2 0 1 0 04 Ye 0 0002 ee ae 71002 0 1 1 1 1 T 1 1 T 0 0 02 N 1 0 04 T ic 2 1 0 ee en po open 0 Yy 1 0 agag 0 002 g ot J 16 F JE 7 0 02 0 004 F Te a 0 PA B BRETT EI ee 0 ee a i So 0 04 0 002 7 TT 1 1 qe F M 4 0 02 0 004 F E 1 1 1 1 1 1 1 1 0 10 5 0 5 10 5 0 5 10 H H Fic 3 11 Contributions des diff rents modes K a au coefficient bistatique q 3 191 du canal h h Dans le cas des diffuseurs dipolaires ponctuels le c ne est largement domin par le mode scalaire 0 0 noter la diff rence d chelle Dans le cas de la transition d g n r e J 3 Je 4 le poids relatif des modes scalaire antisym trique et sym trique est d termin par les valeurs propres du vertex crois atomique cf 3 193 En pointilles modes ne contribuant pas au facteur d amplification l origine La contribution de couplage yc n est pas n gligeable 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 161 anisotropres ne contribuent pas a l origine M 0 Dans le cas des diffuseurs dipolaires J 0 J 1 la contribution du mode scalaire en haut gauche est largement d
2. _ __ 1 73 52 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE dont la solution formelle est G z 1 0 u 1 1 74 Holz 22 La ressemblance de la serie 1 73 avec 1 33 et de la solution 1 74 avec 1 35 est le r sultat d une strategie commune aux deux approches L introduction de Vop rateur irr ductible 2 permet de resommer la s rie formellement et d obtenir un r sultat non perturbatif pour le propagateur exact 74 75 Bien entendu on ne sait pas valuer exactement la self nergie qui rec le toutes les difficult s du calcul Cependant des approximations contr lees sont possibles sur z et donnent des r sultats non perturbatifs pour le propagateur moyen G z 1 2 2 Self nergie L op rateur de self nergie H z d fini dans l quation de Dyson 1 71 se construit par la somme de tous les diagrammes irr ductibles moyenn s sans pro pagateur ext rieur Elz N 4 N N 1 ar 1 75 En effet on se convainc que dans la limite thermodynamique N L oo avec n N L constante la s rie 1 73 redonne bien la s rie 1 68 Le volume L contenu dans l expression 1 45 fait partie de la d finition 1 51 m me de l operateur de diffusion sur les tats photoniques quantifi s Dans l approximation de diffusion ind pendante independent scattering ap proximation ou first order smoothing approximation on ne retient que le premier terme D z N Tul2 1 76
3. H H Fic 2 11 Signal CBS l ordre deux q 2 124 en fonction de l angle de diffusion r duit u k 0 pour le diffuseur dipolaire J 0 Je 1 et la transition J 3 Je 4 Dans les canaux lin aires l intensit d pend de langle entre la direction d observation et la polarisation Sa valeur l origine est F 0 In 2 La fonction Y4 u dans 2 117 et 2 119 est un facteur 9 4 pres donn e par F u Dans le tableau 2 115 les coefficients c4 correspondants sont des constantes ind pendantes de l angle de polarisation amp et de l angle polaire x cos Nous comprenons donc que la fonction F u est le coefficient bistatique crois de la diffusion double pour une onde scalaire diffus e par un milieu semi infini de diffuseurs ponctuels A partir de 2 111 2 106 et 1 168 on peut tracer le signal CBS l ordre deux u Tea ao u D 1 FERRER 2 124 en fonction de langle de diffusion r duit u k 0 et pour un angle de polarisation 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 111 amp donn pour toute transition atomique J Je La Fig 2 11 montre le pic de r trodiffusion coh rente pour les diffuseurs dipolaires J 0 Je 1 et la transi tion J 3 Je 4 Les facteurs d amplifications correspondent la Tab 2 1 La forme du pic est tr s voisine des pics classiques avec des largeurs mi hauteur variant de 4 10 suivant le canal et la direction d observatio
4. i Ajk PTT 3 66 Aj 2771 Ones OlR Ole En effet la sym trie 3 62 du projecteur interdit un couplage entre les compo santes sym trique et antisym trique mais rien n interdit un couplage scalaire sym trique Ce couplage survit la transformation de Fourier moment q 0 Dans l espace des vecteurs d onde le couplage scalaire sym trique est associ a la brisure d isotropie et doit tre pris en compte Les composantes irr ductibles du propagateur transverse G q sont alors ob tenues par l int gration 3 59 GEEK a a r ER eux 3 pia 3 67 q x J re a r e dont nous adoptons la notation condens e GA gq 1 GRAF 3 68 q KK 7 2 Dans les expressions de GY jk F on peut classer les termes suivant le nombre de fois qu apparaissent les composantes 7 du vecteur unit Op TT TT TT 3 69 Par la suite nous allons int grer chacun de ces termes scalaire quadratique et quartique s par ment 130 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Termes scalaires Pour les termes qui d pendent uniquement des 6 comme la composante purement scalaire 3 63 l int grale 3 67 est simplement celle du cas scalaire 3 12 Ces termes acqui rent donc un pr facteur 1 5 540 3 70 proportionnel a la fonction de transfert scalaire __ arctan p A p 3 71 valu au moment r duit p gf La composante purement scalaire du propaga teur transverse est donc
5. Ys 1 169 CO M M Ceci est la g n ralisation du r sultat pour diffuseurs ponctuels classiques 32 83 e 1 170 E e cl _ 3 Ys Lors de la diffusion vers l arri re les contractions entre vecteurs de polarisation dans les quatre canaux habituels sont Al lh ALh it isi E e 0 1 1 0 1 171 le e 1 0 1 0 En explicitant les poids w donn s par 1 146 on peut alors repr senter lin tensit de diffusion simple r tror fl chie en fonction de J pour les trois types de transition et les quatre canaux de polarisation Fig 1 7 Pour des diffuseurs ponctuels dipolaires J 0 Je 1 le coefficient bistatique prend sa valeur maximale yg 3 4 dans les canaux h Lh et L l les canaux h h et 1 LI sont alors interdits ys 0 Lorsque J gt 0 des transitions Raman d g n r es de viennent possibles et ouvrent les canaux classiquement ferm s cf Fig 1 3 Le premier signal est obtenu dans _L pour J 1 2 et dans h h pour J 1 correspondant au transfert d une ou deux unit s de moment angulaire respective ment Des transitions de type J J existent partir de J 1 2 des transitions de type J J 1 existent partir de J 1 Dans le cas de la transition A J 1 J 0 les contributions sont identiques dans tous les canaux ys 1 4 Ceci refl te l galit des coefficients de Clebsch Gordan associ s aux t
6. 1 2 1 2 0 0 3 180 ae 0 1 2 1 2 Suivant la transition consid r e les diff rents modes du champ peupl s avec les poids eq sont propag s avec une efficacit d crite par leurs valeurs propres Contrairement la diffusion double les valeurs propres Ax J Je du vertex ato mique chelle ne sont pas factorisables dans les expressions 3 176 M me si un terme d ordre m de la s rie de diffusion multiple est un polyn me d ordre m des valeurs propres le r sultat de la resommation est au del de tout ordre pertur batif 152 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Pour la serie croisee toutes les contractions 3 148 non nulles avec les tenseurs 3 177 dependent des canaux 1 ie too glee t gle EP D 1 1 ich se e l I 5 le 2 1 Je e l 3 181 NT tc E le e l et valent hih ALR Ud Ill icy iA 0 1 3 0 1 i 1 2 0 0 tiga Bi 1 6 o 1 6 0 ig 0 1 1 2 1 2 tc V2 6 0 v2 6 0 Dans les canaux parall les les poids crois s sont gaux aux poids chelle 3 180 comme impos par la r ciprocit Le coefficient bistatique crois dans la direction vers l arriere est donc 1c 0 5 489 0 t62 Fe 0 te 3 183 Kya o les coefficients 15 0 et Yc 0 sont obtenus par l int gration 3 171 des fonctions propres 3 146 162 0 f dp D p X ka p 3 184 ol ande ct Zo T Comme pour le cas chelle
7. 5 w w m k e 1 40 o la somme est valu e l aide des relations 1 4 1 8 1 9 1 17 ainsi que A 13 et A 14 de l annexe A La partie imaginaire d une nergie propre est 46 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE l inverse du temps de vie du niveau consid r A r sonance w wo on obtient ainsi la largeur naturelle de l tat excit Be dw 3TEo 1 41 Conform ment a la remarque sur la r gularit de la self nergie l approximation qui consiste remplacer I w par sa valeur r sonance est excellente pour une excitation quasi r sonnante telle que 6 w wo lt w et sera d sormais sous entendue L nergie de l tat fondamental n acquiert pas de partie imaginaire parce qu il n y a pas d tat d nergie plus basse vers lequel il peut se d sint grer Par cons quent les corrections radiatives des tats atomiques entrant et sortant ne font que d placer les niveaux d nergie d une quantit r elle que nous supposons int gr e dans la d finition de l nergie du fondamental on parle d tats asymptotiques exacts 74 1 1 4 Op rateur t de diffusion simple L l ment de matrice 1 30 de la diffusion simple r sonnante s crit l aide des relations 1 29 1 39 1 15 1 8 et 1 9 comme ke Jm 2 g i k k w Need ilk k r 1 42 X Es Unie Ale dm 1 42 Jm k e o le facteur de couplage gu d est la fr quence de Rabi tel
8. Cette approximation n glige tous les v nements de diffusion r currente et n est valable que dans un milieu de faible densit Avec 1 51 un l ment de matrice de la self nergie est donn par k e w ke N t w e Ces tire La moyenne externe sur le milieu infini donne 04 4 la self nergie X est diagonale dans l espace des vecteurs d onde soulignant que le milieu d sordonn infini pos s de l invariance statistique par translation La moyenne interne de l op rateur de diffusion atomique 1 44 d pend de la matrice de densit atomique du niveau fondamental Avec la matrice de densit scalaire 1 58 le calcul de la moyenne est l mentaire en utilisant la relation de fermeture A 14 des coefficients de Clebsch Gordan et on trouve E t w e t w My E 1 78 1 2 AMPLITUDE LUMINEUSE MOYENNE 53 o t w est donn par 1 45 et o l on d finit le rapport entre les multiplicit s des niveaux atomiques 2Ja 1 30740 p iLO Le produit scalaire entre les vecteurs de polarisation dans 1 78 montre que la self nergie vue comme un op rateur dans l espace de Fock est proportionnelle a Videntit Ceci refl te invariance par rotation de la matrice de densit atomique La self nergie est alors purement diagonale k eq W KE xs Ogs On Dw 1 80 avec 3 r 2 T __ 1 81 SER eT apa On rappelle que n N L est la densit de diffuseurs Nous trouvons a
9. k k k i k n 1 k I bala 184119 1 136 o l objet en accolades est un symbole 67 gt 86 Deux applications successives de cette formule donnent 1 2 2 OR de 1 2H F a 1137 Coefficients Les coefficients dependants des vecteurs libres sont aoo K xa23 e EAU OO on tro 109 ee So Mara 2a Les prefacteurs de cette derniere expression se simplifient avec 1 137 et il reste expliciter le produit scalaire entre les parties irr ductibles Ces contractions sont l mentaires en utilisant l envers la d composition 1 132 pour les composantes cart siennes 1 47 0 0 raza r221 5 a1 2 w5 24 1 xarg aoa sila L4 2 3 1 L3 2 4 1 139 D 1 leer 23 2 u m a 2 2 1 3 1 2 T2 3 TA Tata 2 zor Ces expressions montrent clairement que les parties scalaire antisym trique et sym trique sans trace de l op rateur de diffusion se combinent avec leur quivalent dans le produit direct pour donner une contribution l intensite R sultat de la trace En collectant tous les r sultats la fonction de trace d intensit est donn e par T x 2 x 1 140 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 65 o les coefficients sx sont sx 3 1 4 Ss 1 141 oN et les contractions entre vecteurs libres t a m L2 3 4 1 142 t a
10. 0 4 wi la 2 100 Poole 0 4 wi ws er e 0 p wiw ca e 9 p wy w3 wa ce 9 p wi cale 9 p 2 101 Ici les sommes w wi et w w3 de 2 72 et 2 80 ont t compl t es au carr pour simplifier les expressions ult rieurement ce point nous avons r ussi a condenser tout l impact de la structure atomique dans les poids w Par lin a rit il ne reste plus qu effectuer l int gration 2 98 des fonctions l et c Ces fonctions sont donn es par les contractions entre les vecteurs de polarisation et le projecteur transverse A par exemple l c A e Pour faciliter l int gration il est utile de sp cifier leur d pendance angulaire dans les quatre canaux de polarisation Dans les canaux d h licit on peut choisir la polarisation incidente avec h licit positive e ie V2 Ce choix est arbitraire car rien ne d pendra du signe de l h licit incidente La polarisation d analyse est dans le canal h Lh et e dans le canal A h Grace la sym trie par rota tion autour de l axe de propagation d une polarisation circulaire le r sultat ne d pend pas de l angle y Dans les canaux lin aires la polarisation incidente r elle E cosde sinde d finit un angle avec la direction d observation Fig 2 6 La polarisation d analyse est e e dans le canal l et e singe cosoe dans le canal
11. 1 94 Ceci correspond la d tection d un paquet d ondes gaussien d extension Ak qui se deplace avec vitesse c 1 le long de l axe des z Si le champ volue en presence des diffuseurs l operateur d volution moyen est donn par 1 88 et on d finit une volution moyenne par U t b X Ch expl iwrt t 24 1k0 1 95 En supposant un paquet d onde quasi monochromatique Ak lt T on obtient un taux de photocomptage fictif calcul avec l tat U t W proportionnel exp Ak z t t 4 1 96 Ceci correspond la d tection d un paquet d ondes gaussien d extension Ak qui se d place a la vitesse c 1 le long de l axe des z et qui est att nu sur une chelle de temps et de longueur On s aper oit ainsi que correspond au libre parcours moyen d extinction du mode initial de la lumi re Notre approche d crit de la diffusion purement lastique Toute extinction du mode initial est alors due une diffusion dans d autres modes Nous allons voir dans la section suivante que cette interpr tation est pr cis e par le th or me optique 1 106 L exemple du paquet d ondes est destin donner une interpretation phy sique de la self nergie De plus il permet d tablir la correspondance entre le 56 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE formalisme des tats de Fock et une description du champ en termes d ondes Par contre il ne faut pas confondre le taux
12. 3 f m fs 3 2p 3 1 p A p s p 2 3 86 4 p f dze Ap 3 86 3 3 i T m 3 3A 8s p 7 dg e s x n Gp De nouveau ces fonctions sont li es aux fonctions des int grales scalaire et quadratique En effet par contraction des indices k et dans l expression 3 85 on doit retrouver 3 79 ce qui implique 81 p 483 p S4 p 2 p 284 p 5 p 3 87 On d cide de garder les trois fonctions ind pendantes So p 2 p et 3 p et de remplacer So P 5 A ap 50 p u 855 3 88 85 p o p 282 p 883 p Avec l ensemble des transformations scalaire 3 70 quadratique 3 79 et quar tique 3 85 on obtient A R 5 5 didn 2 p Pi Pki So p 82 p PQ Qi Prt q 2 Sa p Pi Pa 2 Po 3 89 So p en e P Qu 5 perm 883 p Qi Qui 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 133 Le projecteur dans l espace r el de d part est le produit direct A Ay Remar quons que la transformation de Fourier ne conserve pas cette structure Travailler dans l espace des vecteurs d onde apporte l avantage de pouvoir chainer des op rateurs diagonaux cf 3 4 et de transformer l quation int grale de diffusion multiple en une s rie g om trique Le prix payer est un couplage compliqu entre les diff rents vecteurs de polarisation Partie antisym trique Dans la partie antisym trique 3 64
13. H Go z Go z VGo z 1 24 peut donc s crire G z Go z Go z T z Go z 1 25 Par cons quent conna tre la r solvante totale est quivalent conna tre l opera teur de transition T z V VG z V 1 26 Ces concepts peuvent tre exploit s dans notre cas de la diffusion d un photon par un atome vue comme la collision entre un photon initial et un tat atomique initial D ventuels scrupules seront apais s selon la devise any formal mani pulations that are not obviously wrong will be assumed to be correct gt 77 des pr cautions tant prises sur les deux points suivants Premi rement l tat de Fock un photon ke est totalement d localis et il para t impossible de d finir une libert asymptotique N anmoins la libert asymptotique peut tre simul e dans le temps par un branchement adiabatique de l interaction dans le pass lointain 1 1 AMPLITUDE DE DIFFUSION SIMPLE 43 et son d branchement dans le futur lointain 74 En cas d ambiguit s ou d appa rition de divergences pourtant seule l utilisation de paquets d ondes d extension finie garantit des r ponses correctes tout comme en th orie des collisions habi tuelle Deuxi mement le calcul des l ments de matrice de l operateur T donne les m mes r sultats pour des quantit s physiques observables quel que soit le couplage minimal p A ou dipolaire d E pourvu que l on reste sur la couche d
14. Tuir contribue l intensit mais le terme d interference 2ReT evTair est nul Le contraste global d interf rence est maxi mal si et seulement si pour chaque paire de s quences directe et renvers e les amplitudes sont gales Mais dans la somme sur toutes les s quences possibles les amplitudes gales ne peuvent regagner en contraste ce que les amplitudes diff rentes ont perdu le r sultat sera toujours une baisse de contraste lo lt Ty 2 28 et un facteur d amplification r duit a lt 2 2 29 2 1 2 R ciprocit et structure interne Une question in vitable se pose ce point le d s quilibre d amplitudes Trev Z Tair viole t il le th or me de r ciprocit 65 La r ponse est non le syst me complet atomes et champ ob it toujours a une relation de r ciprocit mais celle ci n implique pas Ty Tair La relation de r ciprocit classique 9 traduit l invariance de la dynamique fondamentale sous le renversement temporel Dans le cas d atomes avec structure interne les nombres quantiques magn tiques m deviennent des variables dynamiques La r ciprocit doit prendre en compte ces variables et s nonce 65 T ke m gt ble m JE MTL tm ke m 2 30 Cette relation montre qu partir d un processus de diffusion le processus r ci proque est obtenu en inversant les tats de la lumi re comme dans la situation classique Fig 4 en p 28 mais qu en plus il fa
15. ckap P ll Arbr Arcka Akalp 3 155 Dans le mode scalaire seulement nous avons Ao 1 et b 1 et donc un vrai p le de diffusion en p 0 Pour les modes antisym triques et sym triques les coefficients constants sont b 1 2 et bo 7 10 respectivement Comme dans tous les cas 0 lt x lt 1 le d nominateur est toujours de la forme p dp avec 6p 1 Ax bx Cxa gt 0 L influence des nouveaux p les 7 dp sur la propagation spatiale est valu e en prenant la transform e de Fourier inverse dig er 1 bp rope 3 156 I 27 p dp Arl r j Au d placement idp du p le de diffusion est ainsi associ un libre parcours moyen effectif Sr BT EM a l as 3 157 En th orie des champs ce m canisme est bien connu dp est appel la masse effec tive du mode en question 75 et est la port e de l interaction v hicul e par cette particule Plus la valeur propre Ax et la constante bx sont petites plus le libre parcours moyen effectif est petit signifiant une extinction rapide de ce mode Pour des diffuseurs dipolaires classiques on trouve en 0 77 em 0 44 eo 0 606 EP 0 78 et 6 1 04 Les modes non scalaires sont forte ment att nu s l chelle du libre parcours moyen et l approximation de diffusion devient clairement caduque Ensuite toutes les valeurs propres atomiques pos sibles sont inf rieures 4 1 cf Fig 3 1 et diminuent encore le libre parcours moye
16. 00 420 ao ay de d terminant o A 1 Xoo 1 A20 AoA2 3 134 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 141 Les coefficients de la serie sommee dans les modes couples sont alors 1 A20 Jr _ _ Br _ 2 1 Te Tap Cp CR En rassemblant toutes les contributions la s rie chelle resomm e 3 126 se d compose sous la forme Ant EAT RTD 010 K a o les coefficients Axa p J Je sont Ao 1 Ai Xi _ ho 00 A bj 11 Th 12 1 As 0 A el ler Ak Ago Aa 1 A A 00 Ao I SE An 1 se A2 AT 3 137 Les valeurs propres chelle Ax J J du vertex atomique sont donn es sous diff rentes formes dans la section 3 1 2 Les fonctions propres Axa p J Je et x p J Je sont donn es par 3 125 Les tenseurs T q sont contenus dans 3 118 et les tenseurs de couplage TKK g dans 3 121 D apres la definition 3 19 des tenseurs de rang quatre ils sont contracter avec les vecteurs des polarisations entrantes et sortantes 4 1 E2 E3 k Eat TE Gurk 3 138 1 Gr i 1 E2 j E3 k Ea T Ainsi les diff rents modes de propagation sont peupl s suivant le canal de pola risation choisi et la s rie chelle somm e est we LE Aral 4 Rp A Ao p 7 8139 S rie crois e atomique L argument de la s rie g om trique crois e est le produit du propagateur trans verse avec le vertex atomique crois
17. 1 Gi a Ge p Alp 3 ddr 3 72 ou encore en utilisant la d finition du tenseur de base scalaire 3 48 GO p A p TO 3 73 Il est rassurant bien s r que le mode purement scalaire ne fasse intervenir que la fonction A p du cas scalaire Termes quadratiques L int grale angulaire des contributions quadratiques de type f f est calcul e par une m thode de fonction g n ratrice 2 1 si AT r 949g qr On notera le sinus cardinal s x L rq 3 75 d 5 2 s x i 45 3 76 cae D gt On voit que la d rivation ou Vint gration angulaire quivalente engendre une contribution de en plus des termes quadratiques qq auxquels on pouvait s attendre D finissons les deux projecteurs orthogonaux ei Qij i 3 77 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 131 qui se compl tent pour l unit Pi Qi dij et qui satisfont Firn mi Fija Cr Qij Pro QimPmj 0 3 78 Comme la difficult de la diffusion multiple vectorielle provient de la contrainte de transversalit sur le champ rayonn ces projecteurs sont les objets naturels utiliser et rendent les expressions le plus simples L integrale des termes quadra tiques prend ainsi la forme fits 80 Pa 50 Qus 3 79 q o les coefficients des projecteurs sont les transform es de Laplace 3 CO a Vg 3 3p 2 f drer EL SE 1 4 PAD 2p Jo x Ap 3 80 A 3 i x 7 3 ip
18. 3p Fl B u cos 26 9 ya u zF H e Ill 2 120 3 32 176p 84u 180 y u SG py 32 1764 84u 184 22 144 17uf V1 u 34 48 161 3p F u Ao u Non 9 PU pl u 3 y1 F u 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 109 0 8 0 6 0 2 20 10 0 10 20 u Fic 2 10 Pic CBS de la diffusion double scalaire q 2 122 Toutes les autres contributions y sont nulles comme indiqu dans la table 2 115 Dans les canaux lin aires le poids des contributions anisotropes provenant de 2 116 est donn par Alu 28u 2x2 B 48 5y8 4 1812 A 154 VT pP 124 16 8u Gu 5 F p Aslu u 224 76u 64u 244 10648 3540 48 17612 2224 885 11148 VT 3u4 8 24u 3u F u B u n 2 Au Aut 2 Su VT p 2 pF 2 121 Dans toutes ces expressions la fonction auxiliaire F u est F u 2 arg cosh arg cosh vi p 2 122 Sous cette forme il n est pas vident que F u est une fonction r elle de u On peut la r crire sous la forme 2 Vl 2 1 arg sinh vn 1 2 pour p lt 1 1 u V 2p F u 2 1 2 1 arcsin NER ZN 7 1 pour u gt 1 u2 1 V2 2 123 110 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE 21 5 21 5
19. Cette valeur moyenne est nulle pour des diffuseurs ponctuels et les deux chelles de longueur et 4 coincident 39 Dans notre cas d une transition atomique dipolaire avec r partition statistique la section efficace diff rentielle 1 160 montre galement que le diagramme de rayonnement est quilibr entre l avant et l arriere et les deux libres parcours moyens seront identifi s par la suite lin 1 164 1 4 Fond de diffusion simple du signal CBS Nous avons tudi la propagation lumineuse dans un milieu d sordonn de taille beaucoup plus grande que toute autre chelle longueur d onde A libre par cours moyen distance moyenne n 3 entre diffuseurs Exp rimentalement on mesure l intensit lumineuse diffus e par un milieu d sordonn de taille finie Par la suite nous allons d crire l intensit diffus e par un milieu semi infini Fig 1 6 On caract risera l intensite mise par le coefficient bistatique 31 32 4r do i lim ke k e 1 165 On m ge ge Ke 1 165 Cette quantit sans dimension d pend des deux angles de direction incidente et diffus e u cos et u cos Le coefficient bistatique est proportionnel l intensit r trodiffus e mesurable et g n ralise ainsi la notion de section efficace diff rentielle un milieu compos d un grand nombre N de diffuseurs A est la 1 4 FOND DE DIFFUSION SIMPLE DU SIGNAL CBS 71 FIG 1 6 Diffusi
20. L1 Les fonctions l et c dans 2 100 2 101 sont des fonctions trigonom triques simples de l angle polaire de l angle azimuthal et de l angle amp de la polarisa 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 101 tion lin aire incidente Par exemple sin pour h h 1 29 ER hags jF Ages il es DOU CEA 109 1 sin d cos p pour Z 1 sint V sin 4 cos p pour LI 2 3 3 Le contraste CBS l ordre deux L information la plus importante contenue dans 2 98 est le contraste d in terf rence de la diffusion double 0 K2 Yeal 722 2 103 Ce rapport k2 0 1 traduit l efficacit de l interf rence des amplitudes de r trodiffusion coh rente ka 0 d note l absence de toute interf rence et ka 1 signifie l interf rence parfaite Nous allons calculer le contraste analytiquement pour toute transition atomique J Je Dans la direction vers l arri re u 0 l int grale 2 98 se simplifie a ar in Yr2 0 a de dv mn Pro e e 0 p 2 104 Dans les canaux d helicite l int grand ne d pend pas de y ni de amp Dans les canaux lin aires l integrand ne d pend que de la diff rence p amp cf 2 102 Dans les deux cas l int grale sur y est l mentaire et le r sultat ne d pend plus de amp par sym trie le signal dans la direction vers l arri re ne peut d pendre de l orientation de la polarisation L in
21. Universite de Nice Sophia Antipolis Ecole doctorale Sciences Fondamentales et Appliquees These de cotutelle pr sent e pour obtenir le titre de Docteur en Sciences Sp cialit Physique Localisation faible de la lumi re dans un gaz d atomes froids r trodiffusion coh rente et structure quantique interne Schwache Lokalisierung von Licht in einem Gas kalter Atome koh rente R ckstreuung und interne Quantenstruktur Binationale Dissertation der Fakult t f r Physik der Ludwig Maximilians Universit t M nchen vorgelegt von Cord Axel M LLER aus Bremerhaven M nchen den 16 Mai 2001 Soutenue publiquement le 26 7 2001 devant le jury compos de Andreas Buchleitner Privatdozent LMU Codirecteur de these Jean Dalibard Directeur de recherche ENS Paris Examinateur Theodor H nsch Professeur LMU President Christian Miniatura Charg de recherche CNRS Codirecteur de these 1 Gutachter Priv Doz Dr A Buchleitner 2 Gutachter Prof Dr Eric Akkermans Tag der m ndlichen Pr fung 26 7 2001 il Zusammenfassung Experimentelle Daten zur koh renten R ckstreuung von Licht an kalten Atomen zeigen da der Interferenzkontrast im Vergleich zu klassischen Streumedien deutlich reduziert ist In der vorliegenden theoretischen Ar beit untersuchen wir den Einflu der Entartung des atomaren Dipol ber gangs auf die schwache Lokalisierung von Licht Die nicht skalaren Kom pone
22. kommt sie im Fall des atomaren bergangs bereits erstaunlich nahe an die experimentellen Ergebnisse heran vgl auch Tab 2 1 auf S 105 Z 3 Vielfachstreuung Nach der Diskussion von Einfach und Doppelstreuung in den Abschnitten Z 1 und Z 2 wollen wir jetzt die gesamte Streureihe aufsummieren Dadurch erhalten wir die L sung der Bethe Salpeter Gleichung 3 1 auf S 116 in der Boltzmann N herung als Summe 3 2 aller Leiterdiagramme Die Interferenz der schwachen Lokalisierung wird dann durch die Summe 3 5 aller Kreuzdiagramme beschrie ben Diese L sung gilt f r ein unendliches Streumedium das im Mittel invariant unter Translationen des Ortsraumes ist statistische Translationsinvarianz Die L sung f r den Halbraum der CBS Konfiguration konstruieren wir dann mit der Bildmethode die es erm glicht Verst rkungsfaktoren und CBS Signale bis auf eine letzte Integration analytisch zu berechnen Summierung der Leiter und Kreuzreihe Das Summierung der Vielfachstreureihe kann in drei Klassen zunehmender Schwierigkeit eingeteilt werden die der Streuung von skalaren Wellen an Punkt streuern die der Streuung von elektromagnetischen Vektorwellen an punktf r migen Dipolstreuern und zuletzt die der Streuung von Vektorwellen an beliebigen Streuern W hrend das skalare Modell aus der Lokalisierungstheorie der Festk r perphysik wohlbekannt ist und als zufriedenstellend gel st gelten kann 36 37 kennt man f r die Streuung von
23. nergie 28 Le passage vers un temps d interaction infini n cessite notamment que les tats initial et final de m me nergie soient stables Ceci implique dans notre cas que l atome effectue une transition entre des tats Jm et Jm du fondamental L amplitude de probabilit 1 19 pour le processus de diffusion Jw Jm ke b Jm k e 1 27 dans le cas i W est par cons quent Wilson 42d w w WT w on 1 28 Puisque le niveau fondamental est d g n r la conservation d nergie implique que les photons incident et mis ont la m me fr quence w w la diffusion de la lumi re est purement lastique L l ment de matrice de l op rateur de transition T w peut tre valu partir de 1 26 IT ws Idi mike VG w V Jm ke 1 29 Le terme lin aire en V dans le d veloppement de T est nul comme tous les termes de puissances impaires de V parce que l op rateur dipolaire doit tre appliqu un nombre pair de fois pour faire revenir l atome dans l etat fondamental En ins rant l identit entre les potentiels d interaction V et le propagateur G w on obtient deux contributions distinctes ke Jm ke Jm ke Jm Jm k e Jm k e Jm k e la contribution r sonnante l absorption suivie par l mission et la contribution antir sonnante l mission suivie par l absorption 1 1 3 Propagateur exact de l tat atomique excit Dans 1 30 le
24. sll 24 amp 2 3 1 23 82 4 OLE Sen 24 2 3 21 2 22 u fr Regles de selection Les symboles 6j ou coefficients de Wigner 86 qui d terminent les coefficients sx sont les quantit s scalaires naturelles qui peuvent tre construites partir des ingr dients de base J Je 1 l ordre tensoriel de l operateur dipolaire et K l ordre des composantes irr ductibles du tenseur de diffusion Ces symboles 67 sont repr sent s par un diagramme qui visualise des r gles de s lection tr s utiles i ii iii A J J lt 1 L op rateur dipolaire est un op rateur tensoriel d ordre 1 et peut connecter deux tats de moment angulaire au plus diff rent de 1 en unit s de En d autres termes le photon est porteur d un moment angulaire unit 0 lt K lt 2 Le tenseur de diffusion est le produit tensoriel de deux op ra teurs dipolaires et il se d compose sur les ordres irr ductibles K 0 1 2 1 47 Lors de la diffusion d un photon le transfert de moment angulaire l atome est alors limit 2 0 lt K lt 2J La d g n rescence de l tat fondamental d termine quel ordre irr ductible du tenseur de diffusion peut entrer en jeu Pour J 0 seule la partie scalaire K 0 intervient et induit des transitions Rayleigh m m 0 Fig 1 2 Pour J 1 2 des transitions Raman d g n r es avec m m 1 deviennent possibles A partir de J
25. tre la raison pour laquelle la diagonalisation du propagateur d intensit transverse a t explicit e seulement l approximation de la diffusion 38 40 Avec une strat gie de calcul bas e sur les composantes irr ductibles cependant le calcul exact devient abordable D composition du projecteur dans l espace r el La transformation de Fourier 3 59 et la d composition en partie irr ductibles sont des op rations lin aires et leur ordre peut tre choisi par commodit En partant du projecteur transverse dans l espace r el Gij f Ai An 3 60 d terminons d abord ses composantes irr ductibles par paires COR TEOG T Jayr 3 61 La sym trie d echange i j lt L k dans 3 60 implique que la somme des ordres irr ductibles K K doit tre paire BR ps K K fa ena P Gee P KR K r2 RP 3 62 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 129 par parit des composantes sym triques K 0 2 et antisym trique K 1 Cette condition d couple les parties sym triques de la partie antisym trique En appliquant les projecteurs de base 3 48 on trouve la partie scalaire BR 2 GEREP g fia 3 63 la partie antisym trique 1 Gia P 5 AyAn AA 3 64 la partie sym trique trace nulle 2 2 7a l 1 2 Gy F 5 AyAn AxAj z OA 5x dj A a 9 Ji0 jks 3 65 ainsi que deux termes mixtes scalaire sym trique 0 2 Ge f 2 0 x Gen f
26. wa w3 L expression 1 143 montre que wa w3 si et seulement si le coefficient s s annule coefficient qui provient de la partie antisym trique K 1 du tenseur de diffusion Comme l analyse qualitative de la Sec 2 1 l a d ja montr c est la partie antisym trique du tenseur de diffusion qui est responsable de la diff rence entre les contributions chelle et crois e dans les canaux parall les et donc de la reduction du facteur d amplification Le r sultat essentiel de cette th se peut se formuler A A A gt lt Nah 4 2 84 2 3 R trodiffusion double exacte Au cours de ce chapitre nous avons analys la diffusion d un photon par deux atomes isol s Sec 2 1 puis calcul la contribution de la diffusion double lin tensit moyenne dans le milieu infini Sec 2 2 Une exp rience de r trodiffusion coh rente permet de mesurer l intensite de la lumi re r fl chie mais source de lumi re et d tecteur se trouvent bien s r l ext rieur du milieu Dans cette sec tion nous passons la g om trie d un espace semi infini Gr ce cette g om trie simple la moyenne de configuration peut tre effectu e analytiquement et nous obtenons l expression exacte du pic de r trodiffusion coh rente pour toutes les polarisations et toutes les transitions atomiques 2 3 1 Configuration CBS Les vertex d intensit moyenne de diffusion double la contribution chelle 2 66 et la
27. 127 169 171 K Blum Density Matrix Theory and Applications Plenum Press New York 1981 61 62 169 A Messiah M canique Quantique vol 2 Dunod Paris 1964 2 ed 61 127 169 D M Brink and G P Satchler Angular Momentum Clarendon Press Oxford 1968 2 ed 62 G C Wick The evaluation of the collision matrix Phys Rev 80 268 1950 67 B Gao Effects of Zeeman degeneracy on the steady state properties of an atom interacting with a near resonant laser field Analytic results Phys Rev A 48 2443 1993 70 B Gao Effects of Zeeman degeneracy on the steady state properties of an atom interacting with a near resonant laser field Resonance fluorescence Phys Rev A 50 4139 1994 70 P Milonni and P Knight Retardation in the resonant interaction of two identical atoms Phys Rev A 10 1096 1974 78 B van Tiggelen and A Lagendijk Resonantly induced dipole dipole inter actions in the diffusion of scalar waves Phys Rev B 50 16 729 1994 78 O Morice Atomes refroidis par laser du refroidissement sub recul la recherche d effets quantiques collectifs Ph D thesis Universit Paris VI 1995 78 186 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 BIBLIOGRAPHIE O Morice Y Castin and J Dalibard Refractive index of a dilute Bose gas Phys Rev A 51 3896 1995
28. 3 En comparant les arguments des amplitudes il est clair que le processus renvers de CBS correspond au processus r ciproque dans 9 si et seulement si k k e E 10 0 2 ATOMES FROIDS LA SURPRISE EXPERIMENTALE 29 hhl hLh aye iL Diffusion simple nulle o o e galit d amplitudes o o Facteur a 2 e o o o TAB 1 Conditions pour l amplification CBS maximale remplies oui e ou non o par des diffuseurs dipolaires ponctuels dans les diff rents canaux de polarisation Par cons quent dans la direction vers l arri re et dans les canaux de polarisa tion parall les h h et I les amplitudes CBS sont gales 66 Dans ce cas le contraste d interference est maximal En dehors de la direction vers l arri re ou dans un canal perpendiculaire la relation de r ciprocit 9 reste valable en soi mais ne dit rien sur la relation entre les deux amplitudes CBS qui interf rent Sans ce lien de sym trie profonde les amplitudes sont donc en g n ral diff rentes et le facteur d amplification est diminu a lt 2 Les deux conditions pour un facteur d amplification maximal dans le cas des diffuseurs dipolaires sont r sum es dans la Tab 1 C est dans le canal A h que l on peut observer le facteur d amplification maximal a 2 0 une pr diction th orique 19 40 v rif e exp rimentalement avec grande pr cision 20 0 2 Atomes froids la surprise ex
29. Ac q G q X 3 140 La d composition 3 53 du vertex crois permet de d velopper le produit imm diatement 2 Vite TE Zen 3 141 142 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE avec des coeflicients Kalb Le gKalp XK p J Je XK J Je IP 3 142 Le message de ces expressions n est pas moins clair que celui de 3 125 une fois r solu le cas de la s rie chelle le passage au cas crois est ais parce que la structure tensorielle est strictement la m me et il suffit de remplacer les valeurs propres Ak gt XK La s rie crois e ne commence qu avec le terme de diffusion double C q XAc q 1 Ac g AZ q XAc q 1 Ac q 3 143 L op rateur invers 1 Ac est le m me que celui de la s rie chelle au rempla cement des valeurs propres pres De plus il n est m me pas n cessaire de calculer son produit tensoriel avec le terme factoris dans 3 143 si l on utilise Ac 1 Ac 1 Ac 1 1 3 144 Par analogie avec le cas chelle 3 136 on obtient sans effort suppl mentaire le d veloppement de la s rie crois e somm e C q X XkaT H KT XTC 3 145 K a Les coefficients Xxa p J Je sont fe u Xoo Xo X20 _ 1 Xu X1X11 Xos X1X12 X X2X0 IX les lex L X2X xox Xm x2 ge 1 Xn p Xn 5 X une 3 146 o le d terminant de la matrice de couplage crois est X 1 xoo 1 X20 XoXa 3 147 L
30. compte de la variation 3 188 dans les int grales exacte image Les contrac tions des vecteurs de polarisation avec les projecteurs Q 44 acqui rent alors une d pendance Lorentzienne e q 2 qi Fg 3 189 l qi q l De m me dans les tenseurs 3 118 il faut distinguer les termes d ordre Q 8 0 1 2 qui prennent des facteurs ff respectivement lors des contractions avec 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 157 1 4 Simple et double az 2 Exp rience Qexp Series somm es a a 424 F 1 m 1 Ha T pi E i E 11 1 T yl 11 pl 1 E 11 yt it 1 1 i it hh hLh AIR LI FIG 3 9 Comparaison des facteurs d amplification exp rimentaux et th oriques pour J 3 Je 4 q 3 187 les vecteurs de polarisation Les contractions 3 148 des vecteurs de polarisation avec les tenseurs d pendent maintenant des facteurs de projection 3 189 EUD D Fana El 3 190 6 0 1 2 et de m me pour les modes de couplage Evidemment les composantes d ordre B 0 ne d pendent pas de ce sont justement ces coefficients io qui sont tabul s dans 3 182 Les valeurs explicites de tous les poids tensoriels dans les quatre canaux de polarisation sont contenues dans la Tab 3 3 Par symetrie les poids des canaux d h licit ne d pendent plus de la direction observation q et le signal de r trodiffusion coh rente est donc isotrope dans le plan q dx
31. du projecteur transverse les termes quar tiques totalement sym triques se simplifient En utilisant l int grale 3 82 du projecteur transverse on obtient la partie antisym trique du propagateur d in tensit GW a gu p Ti 8 map T9 3 90 Les tenseurs de base d pendent de la direction q 1 5 Pi Pet P kPj 2 3 91 PQr ee Piki Orb TP ask 1 A T OP 5 Grace aux relations 3 78 on v rifie que ces tenseurs sont des projecteurs ortho gonaux pour le produit horizontal 3 24 TOT So 1 3 92 Par construction l antisym triseur T commute avec les deux tenseurs antisy m triques moment q 0 TOTO TP TP ATO 3 93 Les valeurs propres sont fonctions de p q gu p 2 p So _ 8o p 82 p _ 3 1 1 p A p gi2 p 9 u 4p i 3 94 Il est instructif de consid rer la limite isotrope de moment nul Pour q 0 toute d pendance en doit dispara tre dans 3 90 En effet les deux valeurs propres 1 3p gu p 37 T O p T 3 95 ft P 4 gi2 p 10 O p 134 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE ont la limite commune g a 0 1 2 et la somme des deux tenseurs antisym triques A Pi 1 T Hanse TEP Danse 5 Gij t i051 I 3 96 donne naturellement le tenseur antisym trique isotrope 3 48 A moment nul le propagateur d intensit est alors simplement GAD 9 TM 3 97 Les trois valeu
32. k et donc galement n gligeable Un concept aussi sophistiqu que la self nergie peut sembler d mesur pour le r sultat relativement modeste que nous en tirons ici Cependant cette formulation est un point de d part pour le calcul syst matique des effets de diffusion r currente qui deviennent importants dans la limite kl 1 et qui sont commun ment interpr t s comme pr curseurs de la localisation forte 32 83 De plus elle nous a permis de v rifier que l impact de la structure interne quantique sur les propri t s de l amplitude moyenne est tr s faible En effet les parties non scalaires du tenseur de diffusion 1 47 disparaissent dans la moyenne avec une matrice de densit scalaire Mais il ne faut surtout pas en conclure hati vement que la structure interne n influence pas la localisation de la lumi re dans le milieu atomique La localisation est un ph nom ne d interference sur l inten site et nous allons voir par la suite que les parties non scalaires de l op rateur de diffusion peuvent survivre dans la moyenne de l intensite 1 3 Vertex d intensit de diffusion simple La connaissance de la moyenne de l amplitude de transition suffit pour calcu ler la self nergie et donc l amplitude moyenne du champ Le th or me optique 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 59 FIG 1 3 Diffusion simple vers l arriere par une transition d g n r e L axe de quan tification
33. le r sultat de l int gration d pend des valeurs propres xx J Je du vertex atomique crois M thode exacte image et diffusion double exacte Au lieu d integrer les fonctions propres des series resomm es on peut y substi tuer les fonctions propres des diagrammes chelle IGI et crois XGX de la diffusion double Akalp kIKalp XKa P gt XkIKalP _ f 3 185 Ao p A2 p 2A0A2 9 P Xo p X2 p gt 2X0X2 IP 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 153 V Je J 1 0 Je J Abe FIG 3 6 Contraste de diffusion double q 2 103 en fonction du moment angulaire J Symboles et tirets r sultats analytiques exacts qs 2 106 2 109 Lignes conti nues m thode exacte image q 3 171 Dans tous les canaux et pour toutes les transitions les courbes se superposent presque parfaitement Les poids tensoriels 3 178 3 179 et 3 181 ne d pendent que des polarisations entrantes et sortantes et sont les m mes quel que soit l ordre de la s rie que lon consid re c est bien l l int r t de conna tre les modes propres de la propa gation Ainsi on peut comparer les r sultats de la methode exacte image aux r sultats exacts de la section 2 3 La Fig 3 6 montre que le contraste de diffusion double 2 103 co ncide remarquablement bien pour toutes les transi tions atomiques Le facteur d amplificati
34. on analytique exacte Cette approche relativement simple permet une interpr tation intuitive et directe des sommations exactes pour diffuseurs ponctuels dipolaires par la th orie de transfert radiatif l aide de la m thode de Wiener Hopf Allant bien au del d une simple r interpr tation notre approche permet de g n raliser ces r sultats exacts tous les diffuseurs dont on conna t les valeurs propres irr ductibles Les atomes avec structure interne se pr sentent ainsi comme une classe de diffuseurs 166 CHAPITRE 4 RESUME ET PERSPECTIVES modeles qui permet le calcul microscopique exact de la serie de diffusion multiple vectorielle ainsi que de la correction de localisation faible associ e 4 2 Questions ouvertes Cette these tente de d crire de facon consistante et complete l effet de la structure interne quantique sur la diffusion multiple de la lumi re dans un gaz d atomes froids Cependant ou plutot fort heureusement de nombreuses ques tions demeurent ouvertes Pour clore le travail th orique on peut penser chercher la solution exacte analytique de la diffusion multiple dans le milieu atomique semi infini en appli quant la m thode de Wiener Hopf pour la r solution de l quation de transfert radiatif 12 43 Ainsi la solution pour diffuseurs dipolaires ponctuels serait g n ralis e des diffuseurs ponctuels quelconques atomes avec transitions d g n r es inclus Ensuite une tude des effet
35. ponse impul sionnelle du syst me la fonction de Green P r t La solution retard e est en trois dimensions donn e par 39 113 2 3 151 P r t Gr DD EXP a ou H t est la distribution de Heaviside En int grant sur le temps t on trouve la fonction de Green stationnaire P r pares Ar Dr 3 152 qui satisfait DV P r r 3 153 Dans la repr sentation de Fourier la fonction de Green stationnaire est PQ gt 3 154 Tu Le p le caract ristique q 0 de cette fonction de Green est appel p le de diffusion Dans le cadre de la diffusion multiple de la lumi re la s rie chelle 3 136 d crit Vintensit moyenne diffus e multiplement l int rieur du milieu infini un certain moment q dans la repr sentation de Fourier Pour remonter aux propri t s de la propagation dans l espace r el il est donc int ressant de discuter le comportement de la s rie somm e dans l approximation de diffusion qui consiste 144 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE d velopper les fonctions propres l ordre p o p d Les fonctions de couplage AK p 3 125 et 3 120 s annulent quadratiquement l origine Par cons quent le couplage entre les modes scalaire et sym trique s annule l approximation de la diffusion A 1 Ago 1 Azo O p Toutes les fonctions propres 3 137 proches de l origine sont alors de la forme K l cka 1 x bx
36. sordre sur la propagation coh rente d une onde lumineuse dans un gaz d atomes froids Mais nous en comprenons aujourd hui les raisons profondes la structure interne quan tique des diffuseurs atomiques r duit le contraste de l interf rence d tect e dans la r trodiffusion coh rente La suite du chapitre 0 introduit a la diffusion multiple de la lumiere dans un milieu d sordonn rappelle brievement les r sultats exp rimentaux a l origine de ce d veloppement th orique et pr cise les principales hypotheses de travail 0 1 Ondes et d sordre Dans un environnement ordonn l interf rence d ondes est un ph nom ne physique subtil et familier a la fois comme par exemple dans le battement de fr quences lors de l accordage d un instrument de musique Au dela du quotidien la propagation d ondes et l interference sont des concepts partag s par des domaines de la physique aussi diff rents que l optique l acoustique l hydrodynamique et la physique quantique Lors de la propagation d une onde dans un environnement d sordonn la fi gure d interference d pend de la configuration al atoire du systeme Le travail du physicien consiste expliquer ou pr dire le plus grand nombre de ph no menes a partir des hypotheses les plus simples Dans le cas d un systeme qui n est pas connu avec certitude ou dont la connaissance exacte s av rerait inutile en pratique on adopte un point de vue stati
37. 0 J 1 le tenseur de diffusion atomique n a qu une composante scalaire 1 50 L analyse des ampli tudes de transition Sec 2 1 1 ou encore le principe de r ciprocit Sec 2 1 2 montrent que les amplitudes internes dans ce cas sont quilibr es et assurent un contraste d interf rence maximal D autre part la d g n rescence de la transition atomique permet des transitions Raman d g n r es entre diff rents tats m 4 m du m me niveau fondamental Les transitions Raman d g n r es sont elles donc seules responsables de la r duction du contraste d interf rence En effet on pourrait tre tent d avancer que la lumi re issue des transi tions Raman d g n r es a perdu la coh rence de phase lors de mission sponta n e Dans le cadre de notre description cette interpr tation n est pas pertinente Certes la lumi re issue d une transition Raman d g n r e ne peut interf rer avec la lumi re de r f rence simplement parce que les tats finals atomiques sont or thogonaux En d autres termes les deux processus ke m k e m et ke m k e m 2 32 sont discernables pour m m et leurs amplitudes n interferent pas Ceci est un argument de type quel chemin which path 101 102 103 Par contre un photon diffuse de facon lastique dans une sequence directe interfere tres bien avec le m me photon diffuse dans la sequence renvers e du moment que ces s
38. 1 an TA 1 35 Gelw Cependant tous ces r arrangements formels ne r solvent pas le probleme for midable de calculer le propagateur exact En effet aucune des s ries pour Ge T ou Xe n est calculable exactement et il faut se r soudre tronquer le d veloppement un certain ordre Mais 1 35 montre que l introduction de la self nergie apporte un avantage consid rable m me un calcul approch de Xe donnera toujours un r sultat non perturbatif pour G Le propagateur est obtenu par une resommation partielle de la s rie et le r sultat contient de l information jusqu un ordre ar bitraire en interaction Plus pr cis ment les p les du propagateur Go z sont les valeurs propres de Hy et donc les fr quences d volution du systeme non couple Il est vident dans 1 35 que la self nergie d place les p les de Go z et d crit 1 1 AMPLITUDE DE DIFFUSION SIMPLE 45 ainsi directement la correction de la fr quence d volution due au couplage d ot son appelation op rateur de d placement dans ce contexte 74 Dans ce sens calculer la self nergie respecte naturellement la structure analytique du propa gateur De plus par construction les diagrammes irr ductibles ne contiennent pas le d nominateur r sonnant 1 31 La self nergie I w varie donc en g n ral peu autour de la fr quence de r sonance permettant des approximations bien mieux contr l es que sur T ou Ge directement Le pr
39. 179 Zusammenfassung Waves are everywhere around us 1 Wellen sind berall um uns herum aber wie kann man abstreiten da vor allem Unordnung herrscht Die vorliegende Arbeit zeugt von einem Sieg der Un ordnung ber die koh rente Ausbreitung von Lichtwellen in einem Gas kalter Atome die interne Quantenstruktur der atomaren Lichtstreuer reduziert den In terferenzkontrast der in einem Experiment koh renter R ckstreuung beobachtet wird Die Methoden der Quantenphysik erm glichen es uns die Vielfachstreuung einer Lichtwelle in einem Gas kalter Atome analytisch zu beschreiben und die Verminderung des Interferenzkontrastes exakt zu berechnen Die folgenden vier Abschnitte fassen jeweils das entsprechende Kapitel des ausf hrlichen franz sischen Teils zusammen Abschnitt Z 0 f hrt in die Frage stellung der schwachen Lokalisierung von Licht ein erinnert an die experimen tellen Ergebnisse denen diese theoretische Untersuchung ihre Entstehung ver dankt und pr zisiert die Arbeitshypothesen der Hauptkapitel Im Abschnitt Z 1 bestimmen wir die elementaren Bausteine der Vielfachstreuung die mittlere Am plitude des Lichtfeldes und die Intensit t der Lichtstreuung am einzelnen Atom Die detaillierte Berechnung der Doppelstreuung ist Gegenstand des Abschnitts 7 2 Abschnitt Z 3 beschreibt die geschlossene Summation aller Ordnungen der Streureihe inklusive der Interferenzterme Ein Blick in den Schlu abschnitt Z 4 gestattet sich vor
40. 2 Im k e T w Jm ke 1 114 Jm k e T w Jm ke 1 113 L op rateur de transition T w agit sur les tats atomiques et photoniques la fois On peut d finir son l ment de matrice partiel sur les tats du champ T ke k e w k e T w4 ke 1 115 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 61 Ceci d finit un op rateur agissant seulement sur les tats atomiques et l on peut r crire la section efficace differentielle comme do Lew i or T ke k e w T ke k e w4 1 116 Cette expression montre clairement que c est la valeur moyenne du carr de l am plitude de transition qui d termine le signal diffus et non pas le carr de la moyenne Avec 1 51 on identifie T ke k e w4 E t w er 1 117 et la section efficace diff rentielle 1 116 est donn e par de L w nr Au eE t u e 1 118 Avec 1 44 et 1 45 on peut faire apparaitre la section efficace totale 1 107 1 u ar E d d E d e d 1 119 La t che accomplir est maintenant la moyenne interne sur le carr de l operateur de diffusion Dans les s quences de la diffusion multiple nous aurons besoin de la m me moyenne mais avec d autres vecteurs la place de e et Il est donc utile de calculer la moyenne pour des vecteurs libres x 1 2 3 4 quelconques 1 3 2 Vertex d intensit simple g n ralis Il faut valuer la fon
41. 2 directement En profitant de l invariance de l espace semi infini dans le plan perpendiculaire z on peut garder la d pendance en q qx qy et n expliciter que la coordonn e spatiale longitudinale z A F q 75 EZE F q 2 z ee ema 3 162 o F q z fer F r etr 3 163 Dans l integrale non bornee 3 162 le propagateur ne d pend que de la diff rence 21 22 traduisant l invariance statistique par translation du milieu infini Passer au milieu semi infini de la configuration CBS n cessite de trouver le propagateur FS q 21 22 qui satisfait une condition au bord et d pend alors s par ment de 21 et 22 La solution exacte de l quation de transfert radiatif 43 par la m thode Wiener Hopf 108 montre que la densit d nergie s annule sur un plan z 29 L paisseur de la couche de surface 29 skin layer thickness pour un milieu de diffuseurs ponctuels est donn e par zo amp 0 718 3 164 que ce soit pour la diffusion multiple d ondes scalaires zo 0 710466 ou vecto rielles 29 0 712110 43 115 L annulation du propagateur F 9 q 21 22 sur le plan z 2 peut tre impos e par soustraction du propagateur libre jusqu au point image par le plan cf Fig 3 4 Fes q 21 22 F q1 z1 2 F q 1 21 22 220 3 165 L utilisation de cette m thode d image est souvent associ e l approximation de la diffusion Cependant nou
42. 22 E Corey M Kissner and P Saulnier Coherent backscattering of light Am J Phys 63 560 1995 24 L Tsang and A Ishimaru Backscattering enhancement of random discrete scatterers J Opt Soc Am A 1 836 1984 24 M Born and E Wolf Principles of Optics Pergamon Press Oxford 1980 6 ed 25 71 78 97 D S Wiersma Light in strongly scattering and amplifying random media Ph D thesis Universit Amsterdam 1995 URL http www science uva nl research scm theses 27 L Onsager Reciprocal relations in irreversible processes II Phys Rev 38 2265 1931 28 H B G Casimir On Onsager s principle of microscopic reversibility Rev Mod Phys 17 343 1945 28 D S Saxon Tensor scattering matrix for the electromagnetic field Phys Rev 100 1771 1955 28 82 L Landau and E Lifchitz M canique Quantique vol 3 of Physique Th o rique Editions Mir Moscou 1975 28 81 166 B van Tiggelen and R Maynard Reciprocity and coherent backscattering of light in R Burridge G Papanicolaou and L Pastur eds Waves in Random and Other Complex Media vol 96 pp 247 271 Springer 1997 29 83 S Etemad R Thompson and M Andrejco Weak localization of photons Universal fluctuations and ensemble averaging Phys Rev Lett 57 575 1986 29 M Kaveh M Rosenbluh I Edrei and I Freund Weak localization and light scattering from diso
43. 7 _ 23p 4 g22 p 8p 10 70 son Les valeurs propres en p 0 ont t utilis es par Akkermans et al 39 dans une valuation qualitative des effets de la polarisation sur le pic de r trodiffusion coh rente bas e sur un mod le d ondes scalaires l approximaion de diffusion Les expressions approch es l ordre p ont t trouv es avec une erreur dans le coefficient de g20 par Stephen et Cwilich 38 qs 7 4 4 9 et MacKintosh et John 40 q 4 16 Finalement les fonctions propres ont t calcul es exacte ment par Ozrin 42 6q 3 16 Sous une forme voisine elles apparaissent gale ment dans la th orie de transfert radiatif vectoriel r solue exactement par Amic Luc et Nieuwenhuizen 43 qs 3 8 3 15 Par contre ces derniers travaux r solvent l quation de transfert radiatif pour la matrice 9 x 9 sans une analyse explicite en termes irr ductibles Ils n ont pas obtenu les tenseurs propres associ s qui sont en fonction de Pj di did et Qij dis 1 0 _ en a Oi10 jks 1 Ti ir gt Pis Pa PPj 1 Ty Q itjk 5 PQ GP QirPi i 3 118 2 a To das ga 2Qit Piz 2Q r 7 1 T ijk 5 Pi Qe orten 1 1 T ijk 5 Pi5 Pet PP 5Pufjk Pour le produit tensoriel horizontal 3 24 ces tenseurs forment une algebre de projecteurs orthogonaux TOT Sr 3 119 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 139 C
44. 73 iR 5 94 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE La connaissance analytique du vertex Z permet de calculer un diagramme d ordre quelconque suivant les m mes lignes L int grale spatiale dans 2 66 est l mentaire dans la limite L R Il est inutile de le faire explicitement ici parce que notre but est de decrire la r trodiffusion par un espace semi infini Dans ce cas la g om trie restreinte n cessite plus de travail Ce programme est r alis dans la section 2 3 ot la moyenne sur le demi espace est effectu e analytiquement partir de l expression 2 66 2 2 5 Diagramme croise double Langer et Neal 35 ont t les premiers r aliser qu il existe une correction interf rentielle l approximation du type chelle qui persiste en moyenne quelle que soit la densit de diffuseurs En termes de diagrammes cette correction est donn e par les diagrammes maximalement crois s et dans le r gime de localisa tion faible on est amen consid rer la s rie c me or he 2 74 Cette correction traduit l interf rence d amplitudes qui parcourent le m me che min de diffusion multiple mais dans l ordre oppos Au lieu de pousser les d ve loppements perturbatifs syst matiques 1 75 et 2 44 de la self nergie H z et du vertex irr ductible U 21 22 plus loin nous nous contentons ici de calculer une classe de diagrammes dont le choix est motiv par une vidence exp rimenta
45. 78 M P van Albada and A Lagendijk Vector character of light in weak localization Spatial anisotropy in coherent backscattering from a random medium Phys Rev B 36 2353 1987 79 L Landau and E Lifchitz Electrodynamique des milieux continus vol 8 of Physique Th orique Editions Mir Moscou 1990 82 83 A S Martinez and R Maynard Faraday effect and multiple scattering of light Phys Rev B 50 3714 1994 82 B van Tiggelen R Maynard and T Nieuwenhuizen Theory for multiple light scattering from Rayleigh scatterers in magnetic fields Phys Rev E 53 2881 1996 82 166 M O Scully and K Driihl Quantum eraser A proposed photon corre lation experiment concerning observation and delayed choice in quantum mechanics Phys Rev A 25 2208 1982 84 W M Itano J C Bergquist J J Bollinger D J Wineland U Eichmann and M G Raizen Complementarity and Young s interference fringes from two atoms Phys Rev A 57 4176 1998 84 Y Abranyos M Jakob and J Bergou Interference and partial which way information A quantitative test of duality in two atom resonance Phys Rev A 61 013804 1999 84 T Jonckheere Diffusion d ondes en milieu atomique chaos quantique et diffusion multiple Ph D thesis Universit Paris 2001 85 D Vollhardt and P Wolfle Diagrammatic self consistent treatment of the Anderson localization problem in d l
46. Fig 2 3 en voulant jongler avec trop de balles il perd le contr le de son jeu La relation de r ciprocit classique 9 est d montr e en utilisant les qua tions de Maxwell dans un milieu di lectrique pourvu que ses tenseurs constitu tifs constante di lectrique perm abilit et conductivit soient sym triques 64 Dans le cas pr sent le tenseur de diffusion atomique a une partie antisym trique Les atomes avec des transitions d g n r es constituent donc un milieu qui n ob it pas la r ciprocit classique et une r duction d interference n est pas surprenante apr s tout 2 1 3 Analogies et diff rences avec l effet Faraday Dans le contexte de la localisation faible des ondes de mati re la r duction des effets d interf rence par l application d un champ magn tique ext rieur est bien connue 9 Dans le contexte de la propagation de la lumi re on est alors na turellement amen consid rer l effet Faraday i e la rotation d une polarisation lin aire dans un milieu en pr sence d un champ magn tique 98 La suppression de la r trodiffusion coh rente dans un milieu avec effet Faraday a t sugg r e et tudi e en d tail dans la litt rature 40 46 47 99 100 Il est alors instructif de souligner les similitudes et diff rences entre le cas du milieu Faraday et le cas de la structure interne quantique Le tenseur di lectrique d un milieu avec effet Faraday acquiert une
47. G p 140 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Le message de ces expressions est clair pour g n raliser la diffusion multiple vec torielle au cas des atomes il suffit de multiplier les fonctions propres vectorielles par les valeurs propres atomiques correspondantes La s rie chelle 3 3 est sous forme tensorielle L q 1 1 Az q A g 1 1 Ar g 3 126 Sommer la s rie revient inverser le tenseur 1 A q Ce tenseur doit avoir les m mes propri t s de transformation que A q Videntit 1 tant invariante Nous essayons alors l ansatz 1 A ar TY GTO GTO 8 107 Kya L identit se d compose comme lay TSS TE 3 128 K a K et on a donc 1 Az I 1 Ara TH AgTO Ag TO 3 129 Kya Par d finition t A Az 3 130 ce qui fixe les coefficients du d veloppement 3 127 en fonction des Aka Consid rons d abord les modes non coupl s i e tous sauf K 0 a 0 et K 2 a 0 Pour ces modes l quation pr c dente est simplement quivalente _ 1 1 2ko en accord avec notre strat gie 3 28 de resommer la s rie vectorielle mode par mode de fa on scalaire Il nous reste inverser la partie coupl e En expli citant 3 130 on trouve deux systemes d coupl s pour les quatre inconnues es A o 22 AT o 3 132 La matrice 2 x 2 de couplage est 1 Aoo gt A 1 io ie 3 133 Oka 3 131
48. Hi digae s r f ndr exp 21 22 gt 0 1 u 2 90 Nous allons d crire le pic de retrodiffusion coh rente dans une plage angu laire dont l ordre de grandeur est 1 kl Dans le r gime de localisation faible kl gt 1 langle 0 est typiquement de l ordre du milliradian et on peut approxi mer u 1 0 0 1 De m me l intensit varie tr s lentement avec l angle d incidence autour de l incidence normale loi de Lambert 60 et nous prenons u 1 O0 0 1 Avec ces simplifications les amplitudes des cas chelle et crois sont att nu es de la m me facon et la seule d pendance angulaire du pic de r trodiffusion coh rente est contenue dans le moment qc k k Avec la relation 1 114 entre la section efficace diff rentielle et le carr moyen de l operateur de transition que repr sente F gt ainsi que la definition 1 165 du coefficient bistatique 2 89 et 2 90 donnent le coefficient bistatique de la diffusion double chelle F L ou crois e F C _ 9 d r d r Ha e E P j eiar 2 91 Yr2 IF I6rAR 1d T2 z FF F2h 812 Ti 21 22 gt 0 98 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE FiG 2 5 La contribution d interference la r trodiffusion coh rente double Les amplitudes sont att nu es avec exp x 20 le long d un chemin de longueur x Les angles d incidence et de diffusion sont parametres par ui cos 0i u cos 0 en fonction des diagr
49. Le vertex de polarisation 2 67 est le produit de deux vertex de diffusion simple Z connect s par le projecteur transverse Le diagramme est valu tres simplement en utilisant la definition 1 148 du diagramme l mentaire chaque ruban donne trois contractions une horizontale avec poids w une diagonale avec poids wa et une verticale avec poids w3 Le diagramme double est alors une combinaison lin aire de contractions avec des poids w w Par exemple la double contraction horizontale donne e A w w e A e 2 68 E A e Les contractions mixtes horizontale diagonale donnent e A E AE ra IS si 2 ww P po WoW a 2wiw2 E A e 2 69 Dans les contractions mixtes la verticale on peut utiliser amp e 1 et la propri t de projecteur A A A e A E A wiws tww X wit we ws A 2 2 70 E A E we 208 2 71 E A En rassemblant toutes ces contributions le projecteur de polarisation pour le diagramme d chelle d ordre deux est alors Prole e w w le A e 2wiwe A el 2 72 wi we w3 E A amp A e 2w2 Les diffuseurs dipolaires ponctuels sont d crits par la transition l mentaire J 0 J 1 Dans ce cas seule la contraction horizontale survit w1 wa w3 1 0 0 et on r cup re le projecteur classique cf q 2 21 83 32 a e A e 2
50. Manuskript bin ich ihm zutiefst verbunden Wesentliche Teile der Arbeit sind am Max Planck Institut f r Physik kom plexer Systeme in Dresden entstanden Ich m chte all denen danken die mei ne Besuche dort zu einem Vergn gen haben werden lassen insbesondere Klaus Hornberger Christian Siedschlag Thomas Wellens und Sandro Wimberger Ein herzlicher Dank auch an Andreas Krug f r die freundliche Aufnahme in M nchen und die Wanderungen in Ringberg und Ein Gedi sowie Dank an meine Eltern Merci Manal sans qui tout ceci n aurait pas t un tel plaisir vi Imaginons un homme dont la fortune n aurait d egale que l indifference ce que la fortune permet g n ralement et dont le desir serait beaucoup plus orgueilleusement de saisir de decrire d puiser non la totalit du monde projet que son seul nonc suffit ruiner mais un fragment constitu de celui ci face l inextricable incoh rence du monde il s agira alors d accomplir jusqu au bout un programme restreint sans doute mais entier intact irr ductible Georges Perec La Vie mode d emploi vil vill Table des matieres Zusammenfassung Z0 Dokalisierune von Licht se ece be u 24 Een a a 21 ESS oso ee Se ee na Era ee na 2 2 Doppelte o core aa ed tte ed ea 2 3 Wiellschetreuune s 2 au md sat wi va da ade Z4 Res mee und Perspektiven zu occ Es dd ah et 0 Introduction 0 1 ides si dessrdie s
51. Maret Theoretical study of the coherent backscattering of light by disordered media J Phys France 49 77 1988 13 26 70 79 115 138 143 154 167 182 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 BIBLIOGRAPHIE F C MacKintosh and S John Coherent backscattering of light in the pre sence of time reversal noninvariant and parity nonconserving media Phys Rev B 37 1884 1988 13 19 29 79 82 83 115 128 138 Y Barabanenkov and V Ozrin Diffusion asymptotics of the Bethe Salpeter equation for electromagnetic waves in discrete random media Phys Lett A 206 116 1995 13 144 V D Ozrin Exact solution for coherent backscattering of polarized light from a random medium of Rayleigh scatterers Waves Rand Media 2 141 1992 13 15 16 115 116 134 138 139 153 154 166 E Amic J Luck and T Nieuwenhuizen Multiple Rayleigh scattering of electromagnetic waves J Phys I France 7 445 1997 13 16 115 116 138 148 154 166 V D Ozrin Exact solution for coherent backscattering of polarized light from a random medium of anisotropic scatterers Phys Lett A 162 341 1992 13 116 D Delande communication priv e 2001 17 161 A A Golubentsev Suppression of interference effects in multiple scatte ring of light Sov Phys JETP 59 26 1984 19 31 82 R Lenke and G M
52. Physik Akade mie Verlag Berlin 1991 7 ed 7 11 L Tsang and A Ishimaru Radiative wave and cyclical transfer equations for dense nontenous media J Opt Soc Am 2 2187 1985 9 24 70 B van Tiggelen Multiple Scattering and Localization of Light Ph D thesis Universit Amsterdam 1992 URL http www science uva nl research scm theses 9 53 58 70 72 93 111 112 T Jonckheere C A Miiller R Kaiser C Miniatura and D Delande Multiple scattering of light by atoms in the weak localization regime Phys Rev Lett 85 4269 2000 10 C A Miiller T Jonckheere C Miniatura and D Delande Weak locali zation of light by cold atoms the impact of quantum internal structure Phys Rev A 64 053804 2001 11 85 J Langer and T Neal Breakdown of the concentration expansion for the impurity resistivity of metals Phys Rev Lett 16 984 1966 11 86 94 P de Vries D V van Coevorden and A Lagendijk Point scatterers for classical waves Rev Mod Phys 70 447 1998 13 32 46 115 M C W van Rossum and T M Nieuwenhuizen Multiple scattering of classical waves microscopy mesoscopy and diffusion Rev Mod Phys 71 313 1999 13 48 53 86 M J Stephen and G Cwilich Rayleigh scattering and weak localisation Effects of polarization Phys Rev B 34 7564 1986 13 112 115 128 138 154 E Akkermans P Wolf R Maynard and G
53. Struktur des atomaren Dipol bergangs keinen Einflu auf die mittlere Lichtausbreitung hat und die verringerten CSB Verst rkungsfaktoren offenbar nicht zu erkl ren ver mag Die koh rente R ckstreuung jedoch ist eine Interferenzerscheinung f r die mittlere Intensit t die keineswegs einfach gleich dem Betragsquadrat der mittle ren Amplitude ist Wir m ssen zun chst die Intensit t berechnen und sie dann der Mittelung ber die internen atomaren Freiheitsgrade unterwerfen In diesem Fall k nnen sich auch die nicht skalaren Komponenten des Streutensors im Ten sorprodukt der Intensit t zu skalaren Komponenten koppeln und einen Beitrag liefern der ganz entscheidend von der internen atomaren Struktur abh ngt Intensit tsvertex Die bergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit f r den Streuproze ke k e bestimmt sich aus dem Betragsquadrat der bergangsamplitude vgl 1 112 auf S 60 Der differentielle Wirkungsquerschnitt 1 119 berech net sich deshalb aus dem Mittel ber die internen atomaren Freiheitsgrade des Quadrats des atomaren Streutensors Der Streutensor bildet den Anfangs auf den Endpolarisationsvektor ab sein mittleres Quadrat ist daher eine lineare Ab bildung von zwei Anfangs auf zwei Endvektoren und definiert einen Vier Punkt Vertex Z z s 1 120 auf S 61 Da wir eine skalare Dichtematrix annehmen kann dieser Vertex nur eine Funktion der Skalarprodukte der freien Vektoren x 1 2 3 4 in
54. Vektorwellen an punktf rmigen Dipolen bislang entweder recht ungenaue L sungen in der Diffusionsn herung 38 39 40 41 oder exakte L sungen der Transfer Gleichung mit Hilfe der Wiener Hopf Methode 42 43 die jedoch nicht leicht nachzuvollziehen und noch weniger leicht zu verall gemeinern sind Dar ber hinaus ist das dritte Problem der Streuung von Vektor wellen an anisotropen Punktstreuern zwar aufgeworfen 44 aber nicht allgemein gel st worden 14 ZUSAMMENFASSUNG Strategie der Summierung Mit der Streuung von Licht an Atomen mit interner Quantenstruktur treten wir in der dritten Schwierigkeitsklasse an Die internen Freiheitsgrade sind ja gerade an die transversale Polarisation des Lichtfeldes gekoppelt und schlie en per de finitionem die Dipoln herung J 0 aus Bei der Analyse der Einfachstreuung haben wir mit Hilfe der Theorie irreduzibler Tensoren den atomaren Intensit ts vertex f r beliebige J Je analytisch bestimmen k nnen Unter diesem Eindruck formulieren wir jetzt unsere Strategie f r die Summation der Streureihe 1 Die Leitersumme L der vielfach gestreuten mittleren Intensit t in der Boltzmann N herung ist die geometrische Reihe L ho fe Z 9 deren Argument der Vier Punkt Vertex 1 lt J Aul jk G Niljr Z 10 durch das Produkt von mittlerem Feldpropagator Gjj 3 58 auf S 128 und atomarem Vertex li j W1 jj r W2 did y W3 040 gegeben ist 2 Die Eigenmode
55. adresser un remerciement sp cial Son ouverture son honnetete et son respect des autres m ont profond ment impressionn et continuent d tre une r f rence pour moi Son enthousiasme et ses appr ciations ont balay mon propre scepticisme et mes doutes bien souvent inutiles Ainsi j ai eu le privil ge d avoir t encadr de fa on exemplaire par quelqu un de dynamique dou et courageux et je le remercie de tout mon c ur Merci Jean Claude Bernard et Jean Charles Bery de m avoir aid effica cement lors de mes rares passages dans les ateliers et d avoir su cacher leur amusement devant les bricoles certes ridicules d un th oricien Je remercie galement Karim Bernardet et Fr d ric H bert d avoir partag pendant longtemps un bureau qui n tait pas vraiment fait pour accueillir trois personnes et pour les innombrables tasses de th qui agr mentent les apr s midis Avant m me de commencer le travail de th se j ai profit des discussions avec Bart van Tiggelen qui a jou un role important pour toute la suite C est lui qui a vu d embl e que les r sultats exp rimentaux indiquaient une dominance de la diffusion double De plus sa th se d sormais classique dans le sens le plus noble du terme ainsi que son appr ciation de nos r sultats me sont une source d inspiration et de motivation constante Je voudrais remercier ric Akkermans de m avoir accueilli au Technion Haifa et d avoir pris
56. approximation ne d crit pas completement l interaction dipolaire courte distance On peut montrer 95 que la partie divergente de 2 13 est la distribution delta transverse 28 Cette interaction de contact assure le bon comportement de l interaction dipolaire a courte distance notamment elle per met d obtenir la formule de Lorentz Lorenz 60 96 Par contre cette contribution est n gligeable dans le r gime de faible densit parce que les atomes se trouvent dans leur champs lointains respectifs Ici il suffit alors de retenir la partie r gula ris e de 2 13 qui est alors valu e par la m thode des r sidus On obtient ainsi l interaction dipolaire transverse du champ lointain ikr gi riw u An 2 14 El amp ments de matrice internes L l ment de matrice 2 8 de la sequence directe s crit alors T Teone i k r1 k r2 de ny tair 2 15 avec un l ment de matrice sur les degr s de libert internes A Ag tair Z ta ma m w A ti m miw E 2 16 Pour la s quence renvers e on obtient les l ments de matrice en changeant le r le des atomes 1 et 2 st eikr 2 1 er i k ra k r t 2 17 4g2 kr a Trev avec trey E t1 m1 m1 w A t2 ma myw 2 18 Les amplitudes 2 15 et 2 17 d crivent deux r alisations indiscernables du m me processus de diffusion double 2 1 et interf rent l l ment de matrice de 2 1 AMPL
57. atome avec vitesse Av se d place bien moins que la longueur d onde optique Les atomes sont alors suffisamment froids pour que leur mouvement thermique ne d truise pas l interf rence entre les am plitudes directe et renvers e ce qui est possible pour des diffuseurs plus rapides o les deux amplitudes contrapropageantes ne sondent pas la m me configuration 46 Pour la raie de r sonance D2 du Rubidium on estime ainsi que la dispersion en vitesse ne doit pas d passer 5 m s bien au del de la vitesse de recul de 6mm s Ces grandeurs n cessitent un refroidisse ment par laser mais peuvent tre obtenues de fa on standard par un pi ge 32 CHAPITRE 0 INTRODUCTION magn to optique Fig 5 o la vitesse typique est la vitesse Doppler de l ordre du cm s Par la suite les positions atomiques seront suppos es fix es pendant le temps d interf rence CBS 6 Les atomes sont distribu s ind pendamment et avec une densit uniforme dans un volume tridimensionnel infini Ceci est quivalent l invariance statistique par translation 7 Les atomes sont distribu s ind pendamment et avec une probabilit uni forme sur les sous tats Zeeman du fondamental de la transition dipolaire sond e Ceci est quivalent a l invariance statistique par rotation Diffuseurs r sonnants avec structure interne quantique Les atomes poss dent des raies de r sonance tres fines dans le visible Le facteur de qualit wo T d une r
58. avec les pr cautions mentionn es dans la section 2 1 1 inclusion du photon antir sonnant et r gularisation par la fonction delta transverse On trouve la repr sentation en espace r el du propagateur transverse G r w eitr r 2 A 2 62 Irr des termes du champ proche O kr pr s et o le projecteur transverse est Aj ij fifj C est essentiellement l interaction dipolaire r sonnante 2 14 entre deux atomes dans le vide mais en incluant la renormalisation de la fr quence d volution par la self nergie Elle est ici repr sent e par le libre parcours moyen qui traduit ainsi l crantage de la port e de l interaction dipolaire en moyenne dans le milieu d sordonn L expression du diagramme chelle Avec 2 62 et 2 60 le diagramme d chelle 2 58 de diffusion double devient 5 wur w r e 3 Ar Gross r o le vertex de polarisation est Lo ke L Prole Pek 2 63 r2 A E92 Pra e f 2 64 E4 A E3 Pour le processus de diffusion k e k e on identifie les arguments selon 2 38 Notamment qd k k 0 2 65 et donc avec l expression 2 53 de u w 9 3 elt los L E 16130282 d rz P zle e f 2 66 La dependance en polarisation est cod e dans E A Pio e e f 2 67 A 2 2 INTENSITE LUMINEUSE MOYENNE 93 Evaluation du vertex de polarisations
59. composantes standard a d 20 de 1 129 Les composantes irr ductibles d un produit direct AW BU AP B de deux op rateurs irr ductibles sont donn es par AU BW q kk pr Ko APB 1 130 pr En utilisant l orthogonalit A 14 des coefficients de Clebsch Gordan on peut inverser cette relation pour exprimer le produit de deux composantes en fonction des composantes du produit n 4K AVBE Y kk pr Ka Kae 1 131 Kq 2 Avec cette relation et la forme 1 129 du produit scalaire on obtient la d com position de l op rateur 02 3 SE Tro dal 1 132 K 0 q K L application de la relation 1 131 au produit O 04302 donne la d composition red faa 1 133 m De D JE HE m PAGES m K K L m L op rateur O est donc une somme d op rateurs d compos s en composantes irr ductibles selon 1 123 O ame RIOOUK K 1 134 K K L m La trace tant une op ration lin aire on peut appliquer 1 127 chacun de ses termes sachant que la trace sur la matrice de densit scalaire ne selectionne que les termes diagonaux K K 0 1 2 TrpO a JO K J 1 135 64 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE El ments de matrice r duits Les trois l ments de matrice r duits J O K J sont calcul s en utilisant la formule g n rale pour le produit direct de deux op rateurs irr ductibles agissant sur le m me syst me 86 FAR BENET et a 1
60. de comptage fictif 1 96 calcul a l aide de l tat moyen 1 95 et une moyenne du taux de comptage qui serait mesurable exp rimentalement En effet le propagateur moyen 1 82 est purement diagonal sur les tats photoniques I ne peut donc d crire de la diffusion dans un mode autre que le mode initial pour cela il faudra d terminer l intensit moyenne au lieu de amplitude moyenne cf Sec 1 3 Tout l int r t des ph nom nes d inter f rence dans des milieux d sordonn s vient du fait que la moyenne du produit des amplitudes n est pas gale au produit des amplitudes moyennes 1 2 4 Milieu effectif Habituellement on caracterise un milieu pour la propagation de la lumiere par son indice de r fraction n ou encore sa constante di lectrique 84 Il est donc utile d expliciter le lien entre ces grandeurs et les objets peut tre moins familiers tels que l op rateur de diffusion t w et la self nergie U w A partir de la moyenne de l op rateur de diffusion simple on obtient la pola risabilit atomique 79 AL a w u t w 1 97 La polarisabilit mesure l influence d un champ lectrique ext rieur sur le dipole atomique moyen 74 p 578 En explicitant la trace sur les tats du fondamental dans le cas g n ral d une matrice de densit quelconque 1 56 a w au PmtJmlt w Jm 1 98 m il est vident que seules les transitions Rayleigh m m entrent dans la defini
61. der allgemeinen Form 1 121 sein Wir repr sentieren den Intensit tsvertex durch das Diagramm 1 2 2 1 2 1 2 1 T x w tw X w 2 2 4 3 43 os 4 3 Die Gewichte w der drei m glichen paarweisen Kontraktionen lassen sich analy tisch mit den Mitteln der Drehimpulsalgebra berechnen vgl Abschn 1 3 2 Sie sind lineare Kombinationen 1 143 sogenannter 6j Symbole 18 die n tzliche Auswahlregeln definieren vgl S 65 Im Fall des Dipols J 0 Je 1 lassen die 6j Symbole lediglich die waag rechte Kontraktion im Vertex Z 2 zu w1 wo w3 1 0 0 und der diffe rentielle Wirkungsquerschnitt f r die Streuung eines Photons ist einfach durch Z 1 EINFACHSTREUUNG 9 do 30 tot _ 3C tot le el dQ 8r a e 8r Z 3 gegeben Bei einem Dipoliibergang beliebiger Entartung aber gleichverteilter Zeeman Zust nde wird der differentielle Wirkungsquerschnitt zu do 30 tot dQ u 81 E E Z 4 Wir sehen also da die nichtskalaren Komponenten des Streutensors wegen der Entartung des Dipol bergangs zur Intensit t beitragen im Intensit tsvertex er weitert sich die einfache Linie zu einem zweidimensionalen Band Hintergrundintensit t der Einfachstreuung Die r ckgestreute Intensit t kann durch den sogenannten bistatischen Koeffizien ten y der den differentiellen Einzelstreuquerschnitt auf ein optisch dichtes Me dium verallgemeinert als d
62. des milieux prometteurs pour atteindre la locali sation forte de la lumi re 48 49 Mais les faibles facteurs d amplification exp rimentaux de la Fig 6 indiquent que cette description est trop simplifi e En effet la lumi re dans une exp rience de diffusion multiple sonde une transition dipolaire atomique caract ris e par les moments angulaires J et Je des tats fondamental et excit Fig 7 En absence d un champ magn tique ces tats sont d g n r s en leurs nombres magn tiques quantiques m et Me Il existe alors des transitions purement lastiques entre sous tats identiques m m qu on appelera transitions Rayleigh ainsi qu entre sous tats diff rents m m qu on appelera transitions Raman d g n r es 0 2 ATOMES FROIDS LA SURPRISE EXPERIMENTALE 33 Plan de la these Nous allons montrer que la d g n rescence de la transition atomique explique les faibles facteurs d amplification La question centrale peut alors se reformuler de maniere plus pr cise Quel est l impact de la structure interne quantique des diffuseurs ato miques sur la localisation faible et la r trodiffusion coh rente de la lumi re Le calcul de la diffusion multiple de la lumi re par des diffuseurs ponctuels di polaires sera g n ralis au cas d une transition atomique dipolaire ferm e J Je avec d g n rescence arbitraire Nous obtenons des expressions analytiques exactes pour le pic de r trodiffusi
63. die effektive freie Wegl nge der skalaren Mode der Kreuzreihe Lediglich f r den klassischen Dipol J 0 divergiert sie Insbesondere f r ber g nge des Typs J J 1 wird die effektive freie Wegl nge deutlich kleiner als die mittlere freie Wegl nge und zeigt da die Diffusionsn herung zusammenbricht Die Ausbreitung der Intensit t mit Hilfe der Leiterterme wird weiterhin im wesentlichen von der Diffusionsn herung beschrieben und die Diffusionskonstante ist D x 3 unabh ngig von der internen Struktur der atomaren Streuer Die interne Quantenstruktur zerst rt jedoch die quivalenz von direkter Intensit t und Interferenz und reduziert die schwache Lokalisierung Koh rente R ckstreuung Ausgehend von dem summierten Leiter und Kreuzpropagator f r den transla tionsinvarianten unendlichen Raum erhalten wir die jeweilige L sung f r den Halbraum mit Hilfe der Bildmethode durch Subtraktion des Propagators zum Bildpunkt s Fig 3 4 auf S 147 Ohne auf die Diffusionsn herung zur ckzu greifen k nnen wir somit die bistatischen Koeffizienten der Leiter und Kreu zintensit t durch eine einzige Integration 3 171 auf S 149 ber die Tiefe des Halbraums berechnen Wir benutzen die einfache Bildmethode deshalb f r die aufsummierte Reihe weil deren analytische Integration ber den Halbraum nicht m glich erscheint Der Vergleich der exakten Verst rkungsfaktoren der Doppel streuung mit den entsprechenden fast identische
64. du c ne le signal d interference est moyenn z ro lorsque la difference de phase typique devient de l ordre de l unit Pour la contribution de la diffusion double N 2 la distance entre les deux diffuseurs r12 r T2 est donn e en moyenne par le libre parcours moyen La difference de phase 5 en premier ordre en 0 lt 1 est alors Ad kl Par cons quent Ic 0 d croit vers zero sur une chelle interf rentielle 1 kl qui est tr s petite en r gime de localisation faible L intensit I varie g om triquement avec langle par rapport la normale la surface du milieu loi de Lambert 60 Sur l chelle 1 k Vintensit de fond Tz peut tre consid r e constante Dans une s quence de diffusion d ordre plus lev le premier et le dernier diffuseur sont plus loign s l un de l autre Ces ordres lev s contribuent donc a Vintensit Ic avec une largeur angulaire plus petite Pour un milieu semi infini 26 CHAPITRE 0 INTRODUCTION FIG 3 Deux raisons d une r duction du facteur d amplification 1 Une amplitude de diffusion simple ne peut contribuer l interference 2 Les amplitudes directe et renversee de diffusion multiple sont desequilibrees de diffuseurs ponctuels non absorbants Akkermans et al 14 ont montr que la somme infinie des contributions donne le c l bre c ne de r trodiffusion coh rente un pic d intensit avec une singularit triangulaire dans la direc
65. en tenseurs irr ductibles la s rie de diffusion multiple cette in galit des s ries chelle et crois e s exprime de fa on quivalente sur les valeurs propres des modes irr ductibles des vertex chelle et crois e pour J gt 0 cf Sec 3 1 2 p 121 I K 1 J J Ak 3 2J 1 l ELJ xk 3 2J 1 1 J ade gt 4 2 m K 1 1 Notamment pour les transitions de type Je J 1 le mode scalaire d interfe rence est alors att nu avec un libre parcours moyen effectif et tr s court devant l cf Sec 3 1 5 p 143 Par cons quent le facteur d amplification CBS dans les canaux parall les dont la valeur classique 2 0 est principalement due l quiva lence des modes scalaires chelle et crois chute dramatiquement d s que J gt 0 cf Sec 3 2 2 en p 150 D un point de vue technique le calcul analytique du vertex atomique de dif fusion simple nous a fourni naturellement le cadre de la th orie des op rateurs tensoriels irr ductibles une analyse syst matique en termes de repr sentations irr ductibles du groupe des rotations Cette analyse permet de trouver des ex pressions analytiques compactes surtout dans le cas d une matrice de densit atomique scalaire qui implique une isotropie statistique i e une invariance sta tistique sous des rotations L application de ces m thodes la s rie de diffusion multiple nous a permis de resommer les s ries chelle et crois e de fa
66. est parall le aux vecteurs d onde incident et diffus Le photon incident a une h licit s 1 Traits pleins un photon diffus avec l h licit oppos e s s 1 provient d une transition Rayleigh sans changement d tat interne m m Traits pointill s un photon diffus avec la m me h licit s s 1 provient d une transi tion Raman d g n r e avec changement d tat interne m m 2 s appuyant sur le puissant principe d unitarit de la matrice S permet d extra poler ce r sultat pour calculer la section efficace totale Par contre l amplitude moyenne ne suffit pas pour calculer la section efficace diff rentielle et c est la section efficace diff rentielle qui d termine l intensite dans une certaine direction et avec une certaine polarisation Un exemple l mentaire de cette situation est la mesure de la lumi re diffus e par une transition atomique d g n r e avec analyse en polarisation Supposons la lumiere incidente polaris e circulairement et une detection de la lumiere diffus e vers l arriere Fig 1 3 Si l axe de quantification est parallele aux vecteurs d onde incident et diffuse la conservation de moment angulaire s crit m s m s 1 110 o m et m sont les nombres quantiques magn tiques initial et final de l atome et s et s sont les h licit s initiale et finale du photon Le signe devant s s explique par le renversem
67. la localisation A trois dimensions il existe un seuil de d sordre au dela duquel la localisation a lieu donn approximativement par le crit re de Ioffe Regel 7 le caract re ondulatoire peut sensiblement changer les propri t s de transport si le libre parcours moyen dans le milieu devient comparable la longueur d onde A 20 ki La th orie de la localisation dans les milieux solides d sordonn s reste difficile cause de l interaction coulombienne forte entre les porteurs de charge 51 En se tournant vers des ondes sans interaction S John 52 53 value la possibi lit de localiser la lumi re Depuis une recherche active s emploie caract riser Vinfluence de l interf rence sur la propagation de la lumi re dans des milieux d sordonn s 54 Augmenter la densit de diffuseurs pour satisfaire le critere de loffe Regel augmente en m me temps l absorption de l onde lumineuse ce qui va l encontre de la localisation par interf rence La localisation forte de la lumi re dans une poudre de mat riau semiconducteur est annonc e en 1998 par Wiersma et al 55 mais demeure l objet d une discussion sur le r le de absorption dans l interpr tation des donn es 56 Localisation faible Cependant m me avant l inhibition complete de la propagation d une onde Veffet de l interference sur les propri t s de transport peut tre d tect dans le r gime de localisation faible kl gt gt 1 D
68. le facteur wa 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 67 Fic 1 4 Diagramme de rayonnement d un dip le classique A gauche polarisation incidente lin aire q 1 154 A droite polarisation incidente circulaire q 1 155 pondere la contraction diagonale a 3 2 4 et le facteur w3 pond re la contraction verticale 1 3 a2 x4 Dans cette formulation le vertex ressemble au theoreme de Wick 90 qui permet de d crire une moyenne d un produit d op rateurs comme la somme sur toutes les contractions par paires 75 Contraire ment au th oreme de Wick cependant dans notre cas les contractions ne sont pas toutes quivalentes mais pond r es par les wi 1 3 3 Diagrammes de rayonnement Diffuseur dipolaire Consid rons d abord le diffuseur dipolaire classique J 0 J 1 Fig 1 2 en p 47 La moyenne interne dans l expression 1 119 de la section efficace diff rentielle sur le seul tat 00 est l mentaire et on trouve do 30 tot dQ 8r ld el 1 149 correspondant l amplitude de transition 1 49 En effet on v rifie l aide de 1 146 que les poids des diff rentes contractions dans le vertex deviennent w1 We w3 1 0 0 J 0 Je 1 1 150 Dans le cas du dip le seule la contraction horizontale contribue donc au vertex de 3o E dQ 81 E e 1 151 68 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE L intensit totale dans
69. m M jamz jatl HR ji ja m ma J M Les relations d orthogonalite sont gt jajomame JM j jam ma JM 637 dum m m2 A 14 X jijzm m JM j1j2mimolJM Omim mam J M o les arguments doivent satisfaire aux r gles de s lection Symbole 3j On d finit aussi le symbole 37 J _ J j2a M o mm u rem A qui est invariant par permutation circulaire des trois colonnes Il est multipli par 2 2 losque l on permute deux colonnes ou change le signe des mi ma M Ses relations d orthogonalit sont y J1 J2 Ja J a js 1 en m Mo Ms Vu m m 41 Be A 16 J J2 J3 J J2 J3 gt 2j T 1 M ma M3 mi m mz u Oma mami J3 m3 172 ANNEXE A OPERATEURS TENSORIELS IRREDUCTIBLES Produit tensoriel Les composantes irr ductibles d un produit direct de deux op rateurs irr duc tibles sont donn es par K 1 Ew Be kk pr Ka AM Be A 17 q pr En utilisant l orthogonalite des coefficients de Clebsch Gordan on peut inverser 1 130 pour exprimer le produit de deux composantes en fonction des compo santes du produit n A B Y kk pr Ka 4 amp Be A 18 Kq 2 Si les op rateurs A et B agissent sur le m me syst me l l ment de matrice r duit de leur produit direct est donn par A 8 BONOJ EHER 1 k k K ET ge SOAP HINO 8 29 J Symboles 6j Ici on utilise un symbole 67 qui contient de l inf
70. masse nulle ont deux degr s de libert spinorielle donc deux polarisations ind pendantes par vecteur d onde Leur relation d orthogonalit est Eks Eks 0 4 et les vecteurs de polarisation peuvent tre choisis dans une base lin aire s 1 2 ou circu laire s 1 Dans ce dernier cas s mesure l h licit la projection du moment angulaire du photon sur son axe de propagation A partir du vide de photons 0 un tat un photon est obtenu en appliquant l operateur de cr ation correspondant Les a 0 ke 1 1 Dans l criture simplifi e du membre de droite l orthogonalite entre k et est sous entendue Les op rateurs de cr ation et d annihilation ob issent la relation de commutation canonique ices a Oss Ok 1 2 Le hamiltonien du champ lectromagn tique quantifi libre est donn comme la somme des hamiltoniens des oscillateurs Has DR 1 3 k s Avec le choix d unit s naturelles A c 1 wp k est l nergie du mode ks En crivant ce hamiltonien l origine d nergie est prise au vide de photons Hem 0 0 Ce choix est r alis par une renormalisation ici par la soustraction de la somme infinie mais constante des nergies fondamentales w4 2 On dit de 1 1 AMPLITUDE DE DIFFUSION SIMPLE 39 fa on quivalente que les op rateurs de cr ation et d annihilation apparaissent dans l ordre normal ata Les propri t s de diffusion que nous allon
71. mittlere freie Wegl nge innerhalb des Streumediums auf die Gr enordnung der Wellenl nge 27 k sinkt Doch selbst im Regime der schwachen Lokalisierung kl gt 1 kann Interferenz nicht unter allen Umst nden vernachl ssigt werden In diesem Parameterbereich bewegt sich die Welle in einem ungeordneten Medium fort das aus Streuzentren mit Einzelstreuquerschnitt Crot in einer so geringen Volumendichte n besteht da die mittlere freie Wegl nge 1 no4 sehr viel gr er ist als die Wellenl nge Nach der semi klassischen Beschreibung wird die einfallende Welle dann in ei ne Vielzahl von Partialwellen gestreut deren Amplituden durch die Pfade von Streuer zu Streuer bestimmt sind Fig 1 auf S 23 illustriert die verschiedenen M glichkeiten f r die Streupfade zweier interferierender Partialwellen Sind die zwei Streupfade identisch so beschreibt man die Ausbreitung der Intensit t in der die Information ber die relative Phase und damit die Interferenz verloren ist Verlaufen die Pfade ber unterschiedliche Streuzentren so wird diese Interferenz durch stochastische Mittelung ber alle Konfigurationen ausgel scht K Watson 8 wies jedoch darauf hin da es Paare von Amplituden gibt die sich zwar entlang der gleichen Streuer aber in umgekehrter Richtung aus breiten Bei Streuung genau in R ckrichtung weisen diese Amplituden keinen Phasenunterschied auf unabh ngig von der Position der Streuzentren Die kon struktive Inter
72. oppos dans les deux types de transition Fig 3 3 Pour les transitions Je J 1 la valeur propre chute quadratiquement avec J ce qui implique une diminution en J du libre parcours moyen effectif associ Le mode scalaire crois dans ce cas est att nu tr s efficacement et on s attend une correction de localisation faible de plus en plus faible Par contre pour les transitions Je J la valeur propre tend vers 1 et le libre parcours moyen augmente lin airement avec J Dans la limite J oo on retrouve la correspon dance entre les modes diffusifs chelle et crois Mais pour tout J fini la structure interne quantique diminue la localisation faible tr s efficacement 3 2 R trodiffusion coh rente La s rie chelle somm e 3 136 constitue la solution de l quation de Bethe Salpeter 2 40 l approximation de Boltzmann La s rie crois e somm e 3 145 donne la correction de localisation faible La sommation analytique de ces s ries n a t possible que grace a la diagonalit des op rateurs dans l espace des vec teurs d ondes ce qui est quivalent l invariance statistique du milieu d sordonn infini sous les translations Par contre le signal de r trodiffusion coh rente est la r ponse d un milieu avec une interface Comme dans le chapitre 2 on choisit la g om trie la plus simple l espace semi infini d fini par z gt 0 Le propagateur d intensit pour l espace semi infini
73. ou d autres quantit s relatives l amplitude moyenne ne sont pas aptes estimer les effets d interference en pr sence d une structure interne d g n r e En vue de l int r t consid rable que suscitent les condensats de Bose Einstein dans la physique quantique fondamentale et appliqu e une tude syst matique des effets de la structure interne et de la quantification des degr s de libert externes pour la diffusion multiple de la lumi re para t souhaitable Cette these se limite l analyse des effets statiques i e elle d termine la r ponse du milieu expos une onde monochromatique dans la limite du temps d interaction infini L impact de la structure interne quantique sur tout un ven tail d effets dynamiques reste encore explorer 39 119 120 121 122 Les effets dynamiques dans le domaine de Fourier sont cod s dans les d pendances fr quentielles Comme la d pendance fr quentielle du tenseur de diffusion essentiel lement le d nominateur de r sonance w wo i1 2 1 factorise enti rement de la structure interne on peut raisonnablement esp rer combiner analytiquement les r sultats connus des diffuseurs dipolaires ponctuels avec les r ponses appor t es ici sur la structure interne Les libres parcours moyens effectifs d att nuation seraient alors transform s en temps de relaxation effectifs 6 Dans cette perspec tive notre syst me atomique fournit un mod le microscopique exact s
74. polarisations interm diaires L k d finit le projecteur transverse P selon la r gle 28 8381 bj kjh Pi 2 9 elk La somme sur k peut tre transform e en int grale gr ce 1 4 et d finit le tenseur d interaction 2 ikr 2 3 ik r u gg PSE d I d k kP e r w 2 10 gi r w w k 0 2eo J 2r w k i0 el valu e en r r32 r r2 L integration angulaire sur le projecteur transverse est l mentaire Pk ik r L L72 0 dk ik r T Pose u ax ee am An A Olr 2 11 o on note le projecteur transverse dans l espace direct Il suffit de retenir le terme en 1 kr du champ lointain parce que dans le r gime de localisation faible kl gt gt 1 les diffuseurs successifs sont s par s en moyenne de pel gt i 78 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Ensuite on constate que l int grale radiale de 2 10 k sin kr 2 1 w k oO 2 n est pas d finie car elle ne converge pas l infini Cette divergence ultraviolette traduit le fait que l interaction entre deux atomes plus proches que la longueur d onde optique n est pas limit e l change d un seul photon r sonnant 93 D une part il faut sommer sur un nombre infini de photons r sonnants chan g s ce sont les termes de la diffusion r currente dans 2 3 94 D autre part l approximation r sonnante l approximation du champ tournant RWA pour ro tating wave
75. quences d crivent bien la m me transition m m peu importe qu il s agisse des transitions Rayleigh ou Raman d g n r es Le poids relatif des transitions Rayleigh et Raman d g n r es d pend du canal de polarisation Regardons d abord le canal h h Dans ce canal le premier et le dernier diffuseur des s quences directe et renvers e font obligatoirement des tran sitions Rayleigh m m parce qu ils doivent satisfaire la fois m gt m dans l une et m lt m dans l autre sequence cause de cette regle de selection la contri bution d interference c de la diffusion double ne contient que des transitions Rayleigh L intensit J contient la m me contribution Rayleigh les amplitudes 2 1 AMPLITUDES DE DIFFUSION DOUBLE 89 Atome 1 Atome 2 FIG 2 4 galit des amplitudes directe et renvers e diffusion double vers Varri re dans le canal h h par des transitions Raman d g n r es sur J Je 1 2 La sym trie d change et la relation de r ciprocit q 2 30 impliquent que l amplitude directe fl ches solides et l amplitude renvers e fl ches en tirets sont gales directe et renvers e sont gales mais une contribution des transitions Raman en plus Ainsi les transitions Raman paraissent seules responsables pour la baisse de contraste global Ceci est consistant avec le fait que les transitions Raman contribuent l intensit de diffusion simple dans les cana
76. qz Dans les canaux lin aires le pic CBS pr sente une aniso tropie contenue dans une d pendance des poids de l angle amp entre la direction d observation et la polarisation incidente cf Fig 2 6 en p 100 Ces propri t s d anisotropie nous sont famili res depuis la diffusion double exacte dans le canal I 1 les vecteurs de polarisation introduisent un axe privil gi ce qui implique une sym trie d ordre deux et une d pendance en cos Dans le canal L 1 les deux vecteurs de polarisation orthogonaux induisent une sym trie d ordre quatre et une d pendance en sin 2 En somme le coefficient bistatique de la s rie crois e est yolu p n tn 4 3 191 158 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE h h ELA 112 AR ANo 1 2 Jo 142 4 0 1 WERE too 4 O O JO O o 2 4 o ojojoj 0 toig 4 4 0 0 0 0 O 0 o 4 42 0 torg 0 01 0 oO OF Oo 0 o o 0 to 313 10 0 e e ee tl 0 4 11011 1 0 28 24 0 83 tas 0 0 s 1f 1 sf 5 ad gt f 3 3 te 2 2 0o Jolo lo l2 22 o ojoj o TAB 3 3 Poids t des modes tensoriels q 3 190 Dans les canaux lin aires le poids d pend de Vangle amp entre la direction d observation 4 et la polarisation incidente via a e q cos et sin 2 ou n est l ensemble des indices K C a 8 modes de couplage inclus
77. ral r ductible La d composition 1 47 correspond la d composition de Clebsch Gordan en repr sentations irr ductibles du produit direct r ductible de deux repr sentations de rang 1 du groupe des rotations DY DY DO gD ED A 9 Th or me de Wigner Eckart L int r t principal des op rateurs tensoriels irr ductible r side dans leur trans formation bien d finie sous des rotations Ceci est exprim par le th or me de Wigner Eckart _ 2K T Jm T r J m Los T I TOT JINI Kmq Jm A 10 Fi Deer INT IK q Jm A 10 Ici T est un ensemble de nombres quantiques qui d terminent l l ment de matrice r duit r J T 7 J de l op rateur une quantit scalaire Toute information angulaire est contenue dans le coefficient de Clebsch Gordan J Km q Jm 171 Coefficients de Clebsch Gordan Les coefficients de Clebsch Gordan sont les coefficients de la transformation unitaire qui donne les tats propres JM d un systeme de deux moments angu laires j1771 ja M2 j1J2m1Mz coupl s j2 IM X jrjomime JM jijomime A 11 MIM Un coefficient de Clebsch Gordan jijam m JM est non nul uniquement pour ma mM M Gu Jo Sf lt ji jo A 12 Avec la convention de phase habituelle 86 il est r el Sous l change de ces arguments il devient jijomimelJM TRY jujimam JM og dl de tme JjaM m j m 271 1 A 13 jm 2J 1 Dun g id
78. rayonnement cf les Figs 1 4 et 1 5 ce qui implique une diminution de l anisotropie Par contre cette diminution reste modeste Les valeurs limites de Q J pour J oo sont 21 40 Je J 1 et 18 40 J J tr s proches de la valeur classique Le degr d anisotropie dans le canal est 3 w ws J Je cu i 3 w w3 32W1W3 2 132 Pour la transition J 3 Je 4 les degr s d anisotropie prennent les valeurs y 3 4 20 54 C1 3 4 0 58 2 133 Pour des transitions de type Je J on a w w pour tout J Le degr d anisotropie est donc 3 11 ind pendamment de J ce qui est vident dans la Fig 2 13 Ceci est aussi la valeur limite des deux autres types de transition Je J 1 Par contre pour la transition J 0 Je 1 du diffuseur dipolaire classique on s apercoit que le degr d anisotropie est 1 Ceci correspond justement l annulation de la composante en u dans les directions 0 7 2 Une propri t de sym trie apparente dans la Fig 2 13 est J Je Je J les courbes des transitions J J 1 et Je J 1 sont translat es de AJ 1 l une de l autre Chapitre 3 Diffusion multiple Dans les chapitres et 2 nous avons analys les contributions de la diffusion simple et de la diffusion double respectivement au signal de la r trodiffusion coh rente La sommation de la s rie de diffusion multiple fait l objet du chapitre pr sen
79. self nergie du champ lectromagn tique 1 71 5i Otot section efficace totale 1 107 57 To paisseur r duite de la couche de surface 3 172 149 XK valeur propre du vertex crois 3 57 127 wW fr quence angulaire de la lumi re 1 3 38 Wo fr quence angulaire de r sonance atomique iF 39 Lettres latines A aire de la surface du milieu diffuseur 1 165 70 A p fonction de transfert scalaire 3 12 118 Az q tenseur de transfert chelle 3 123 139 Ac q tenseur de transfert crois 3 140 141 C2 q diagramme crois de diffusion double 2 75 94 D op rateur dipolaire sure 1 6 39 d l ment de matrice r duit de lop rateur dipolaire 1 14 41 d op rateur dipolaire r duit use 1 15 4 D constante de diffusion 3 150 143 D p noyau d int gration exacte image gt 3 172 149 E r champ lectrique sinken 1 5 39 Eu force du champ lectrique 1 5 39 F q diagramme chelle crois de diffusion double 2 85 96 G z r solvante du hamiltonien total 1 24 42 Go z r solvante du hamiltonien non coupl 121 2 go z r solvante moyenne nue du champ 1 62 50 Symbole Signification D f P Ge w propagateur exact de l
80. skalare Kreuzeigenwert yo f r berg nge des Typs Je J 1 sehr schnell auf Null abf llt und damit einen drastischen Verfall des Verst rkungsfaktors ank ndigt w h rend yo f r berg nge des Typs Je J im Gegenteil stark gegen den klassischen Wert von Eins strebt und damit ein Retablissement des Interferenzkontrastes im Limes J oo verspricht Eigenstruktur des Intensit tspropagators Dank der skalaren atomaren Dichtematrix l t sich der Intensit tsvertex in rein isotrope Komponenten zerlegen d h unabh ngig von der Raumrichtung F r den Intensit tspropagator 3 58 auf S 128 gilt dies leider nicht mehr sobald man die Interferenz der Intensit t in eine Richtung au erhalb der direkten R ckrich tung g k k Z 0 beschreiben will Durch Analyse der irreduziblen Kompo nenten finden wir jedoch die sechs unterschiedlichen Eigenfunktionen s Fig 3 2 auf S 137 die bereits bekannt sind 42 sowie die zugeh rigen Eigentensoren s S 137 die in dieser Allgemeinheit nach unserer Kenntnis noch nicht herge leitet worden sind Summation der Reihen Die Zerlegung in Eigenmoden gestattet nun die Leiter und Kreuzreihe gem unserer Strategie Mode f r Mode analytisch exakt aufzusummieren vgl Ab schn 3 1 4 f Die Verallgemeinerung der Streureihe von klassischen Dipolen auf beliebig entartete berg nge ist jetzt einfach dadurch erreicht da man die Ei genfunktionen des Propagators mit den entsprechenden Eig
81. t den Kontrast dann sinken im Fall des bergangs Je J 1 sogar bis auf niedrige Werte um 1 2 im klassisch optimalen Kanal h h F r berg nge des Typs Je J erreicht der Kontrast im Limes J oo in den parallelen Kan len wieder seinen Maximalwert In diesem quasiklassischen Limes zeigen die Clebsch Gordan Koeffizienten eine Symmetrie die den antisym metrischen Teil des Streutensors verschwinden lassen Fig 2 9 auf S 106 zeigt den CBS Verst rkungsfaktor bis zur Streuung zweiter Ordnung d h mit Ber cksichtigung des Hintergrundes der Einfachstreuung Wir sehen da Kontrastverlust und Einfachstreuung so zusammenwirken da der 2 8 Z 3 VIELFACHSTREUUNG 13 Verst rkungsfaktor in allen F llen unter 1 4 bleibt mit einziger Ausnahme des Dipols J 0 Insbesondere best tigt die Theorie klar den experimentellen Befund da der kleinste Verst rkungfaktor f r den bergang J 3 Je 4 im Kanal A h zu finden ist Im Abschnitt 2 3 5 leiten wir exakte analytische Ausdr cke f r die kompletten CBS Intensit tsprofile der Doppelstreuung an beliebigen Dipol berg ngen her Fig 2 11 auf S 110 zeigt den Vergleich zwischen den theoretischen CBS Signalen der Doppelstreuung an klassischen Dipolen und atomaren berg ngen J 3 Je 4 W hrend die Doppelstreuung an klassischen Dipolen offenbar kein gutes Modell zur Beschreibung der experimentellen Daten eines klassischen Mediums wie Styropor darstellt vgl Fig 6 auf S 34
82. tat atomique excit 1 32 44 G q tenseur propagateur transverse d intensit 3 58 128 g r w interaction dipolaire transverse 2 14 78 Gs facteur de couplage fr quence de Rabi 1 43 46 JKa P fonctions propres du propagateur transverse 3 117 138 gx p fonctions du couplage du propagateur transverse 3 120 139 Hy hamiltonien atomique une san aan 1 60 50 For hamiltonien du champ lectromagn tique 4 9 38 T x fonction de trace de l intensit 1 120 61 l tenseur vertex chelle rear 3 18 119 J Je moments angulaires des tats fondamental et excit 1 7 39 k vecteur d onde ee 1 1 38 L volume du syst me url sale read 1 4 39 L2 q diagramme chelle de diffusion double 2 55 91 L q tenseur serie chelle u a a 3 19 119 libre parcours MOYEN nasser 1 87 53 be libre parcours moyen de transport 1 162 70 My rapport des multiplicit s des tats atomiques 1 79 52 M Me nombres magn tiques quantiques 1 7 39 Pr projecteur transverse 2 9 77 Pra vertex de polarisation du diagramme chelle double 2 67 92 Poz vertex de polarisation du diagramme crois double 2 79 95 Pij projecteur transverse sauna era done 3 77 130 p Moment r duit inc Aria nd
83. tudiera pas par la suite Toute la richesse de la r trodiffusion coh rente provient du fait que la moyenne de l intensit n est pas gale au produit des amplitudes moyennes Les effets int ressants d pendent donc de la moyenne connexe T a 8 T z T z 8 T 22 T a 8 T 2 2 39 o l on a retir de l intensit totale le carr de l amplitude moyenne D apr s 2 33 et 1 82 ce terme d crit la diffusion vers l avant et n intervient pas dans la diffusion vers l arri re Par d finition dans la moyenne connexe ne figurent que des termes avec au moins une connexion entre l amplitude directe et l amplitude conjugu e Par analogie avec la self nergie D z dans 2 34 nous introduisons le verter irr ductible U z1 22 T a 8 T z2 U 21 22 U a1 22 G a 8 G z T a 8 ner 2 40 88 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE L analogie est plus frappante avec 2 35 en representation diagrammatique ter u4 u rer 2 41 Ceci est l quation de Bethe Salpeter introduite en lectrodynamique quantique 106 et utilis e sous le m me nom en th orie des champs et des probl mes N corps 79 81 Elle d crit ici la propagation de l intensit diffus e moyenne dans le milieu d sordonn La pr sence des propagateurs moyens G w de l amplitude trait pais du haut et de l amplitude conjugu e trait pais du bas dans les dia grammes d inten
84. u p lq kld est l angle de diffusion r duit amp est l angle entre la direction d observation et le vecteur de polarisation lin aire incidente t sont les poids des modes impos s par la polarisation Tab 3 3 4 sont les fonctions CBS r solues en modes calculables par l integrale exacte image en DE FW XL 8 192 a partir de D p le noyau de la m thode exacte image 3 172 f p le poids de la projection sur le plan transverse 3 189 et a p les fonctions propres de la propagation vectorielle atomique crois e 3 146 modes de couplage inclus Ces expressions permettent de tracer le pic de r trodiffusion coh rente pour toute transition atomique J J dans les quatre canaux de polarisation habituels et pour toute direction d observation par rapport a une polarisation lin aire incidente La Fig 3 10 montre les signaux CBS pour le diffuseur dipolaire ponctuel J 0 J 1 et pour la transition J 3 Je 4 tudi e exp rimentalement L echelle est multipli e par 10 pour les diffuseurs atomiques On voit clairement l impact de la structure interne atomique le facteur d amplification est beaucoup plus petit dans tous les canaux Le plus frappant reste la chute du facteur 2 0 dans le canal A h vers 1 02 Les courbes en pointill s montrent la contribution de la diffusion double dans les signaux Alors que la diffusion double ne contribue 3 2 RETRO
85. um Interferenzeffekte zu untersuchen aber nun bleibt zus tzlich der Einflu der Quantisierung der u eren Freiheitsgrade und der Quantenstati stik auf die Lokalisierung von Licht zu kl ren Abgesehen von den hier angesprochenen station ren d h zeitunabh ngigen Gr en k nnen nat rlich auch dynamische Effekte untersucht werden Da die Resonanzbedingung f r den entarteten Dipol bergang als Ganzes gilt kann man erwarten da sich die Theorie zeitabh ngiger Ph nomene an resonanten Dipol streuern mit den hier erhaltenen Ergebnissen kombinieren l t Die effektiven freien Wegl ngen des Interferenzverlustes w rden dann zu effektiven Dekoh renzzeiten wie sie in der Festk rperphysik und mesoskopischen Systemen zur Beschreibung des Koh renzverlust durch Kopplung an die Umgebung bekannt sind 6 Die Lichtstreuung an Atomen ist wom glich ein exaktes mikroskopi 20 ZUSAMMENFASSUNG sches und analytisch l sbares Modell von spin orbit und spin flip Prozessen 9 Die Thematik der Lokalisierung von Materiewellen in ungeordneten Festk r pern der Ausgangspunkt unserer berlegungen k nnte somit ihrerseits durch experimentelle und theoretische Studien der Lichtstreuung in atomaren Gasen bereichert werden Chapitre 0 Introduction Waves are everywhere around us 1 Des ondes nous entourent mais comment nier que le d sordre regne davan tage Le present travail de these t moigne d une victoire du d
86. zj de Faite ap 17 AE La premi re int grale est soluble en passant par les fonctions hyperg om triques la seconde directement par parties De loin le plus confortable reste MATHEMA TICA Les trois fonctions 9 p S p et 2 p ne sont pas ind pendantes La contrac tion des indices et j dans l expression 3 79 doit en effet donner le r sultat de l int grale scalaire 3 70 et on v rifie que So p 281 p 82 p 3 81 l aide des int grales scalaire 3 70 et quadratique 3 79 ainsi que la r gle de somme 3 81 on obtient alors la transform e du projecteur transverse Ja PTS py 418000 820 Qu 3 82 Terme quartique L int grale angulaire du terme quartique est donn e par dF Sa a fat Est 3 83 On obtient apr s quelques lignes de calcul 1 N s aiusta Papa 2verm Ru Sperm s 2 Or 3 84 132 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Le r sultat est totalement sym trique par rapport aux permutations des indices Ceci est indiqu par nperm o il faut simplement compl ter par les n permutations distinctes possibles L int grale du terme quartique prend la forme tir 83 p Pi Pia 2 perm 4 p P Qu 5 perm q 5 p QiQu o les coefficients des projecteurs sont des transformations de Laplace connues par MATHEMATICA 3 85 j 1SN 8 5p 3 1 2 drerit EN _ 3 5p 3 nD AD 2p Jo x 16p
87. zumindest immer das Einfachstreusignal durch Polarisationsanalyse zu minimieren Deshalb kann der Einfachstreubeitrag allein nicht erkl ren warum der atomare CBS Verst rkungsfaktor f r J 3 J 4 10 ZUSAMMENFASSUNG ausgerechnet im Kanal h seinen kleinsten Wert annimmt Hierzu m ssen auch die Interferenzeigenschaften des atomaren Streumediums untersucht werden Z 2 Doppelstreuung Die Vielfachstreuung beginnt mit der Doppelstreuung diese enth lt bereits alle wesentlichen Elemente der koh renten R ckstreuung ist jedoch einfach genug um eine vollst ndige analytische L sung zu erm glichen Zun chst zeigen wir am Beispiel der CBS Streuamplituden an zwei Atomen da die nichtskalaren Kom ponenten des atomaren Streutensors in der Tat den Interferenzkontrast senken Die Verallgemeinerung der diagrammatischen Theorie der Vielfachstreuung auf den Fall atomarer Streuer erm glicht es uns dar berhinaus Verst rkungsfaktoren und CBS Signale f r beliebige Dipol berg nge exakt zu berechnen Ungleiche Amplituden der Doppelstreuung Die bergangsamplitude der resonanten Streuung eines Photons an zwei Atomen ist durch Verkn pfung zweier resonanter Einfachamplituden gegeben vgl 2 5 auf S 76 Die beiden Streupfade erst die direkte Streuung an Atom 1 dann an Atom 2 oder in umgekehrter Reihenfolge definieren die zwei CBS Amplituden die in R ckrichtung ohne geometrischen Phasenunterschied interferieren Die bei den Ampli
88. 0 auf S 3 f r die Gleichheit von Streuamplituden in dem parallelen Polarisationskanal A h nicht 2 2 DOPPELSTREUUNG 11 mehr g ltig sein kann In der Tat mu das Reziprozit tstheorem f r Systeme mit internen Spinfreiheitsgraden verfeinert werden denn unter der Zeitumkehr wechselt auch der Spin sein Vorzeichen 18 8140 vgl Fig 2 2 auf S 82 Un ter allen m glichen Paaren von Streuamplituden gibt es wohl solche die einen Vorzeichenwechsel der atomaren magnetischen Quantenzahlen bewirken aber die Mehrzahl wird dies nicht tun so da der mittlere Interferenzkontrast verringert wird Fig 2 3 auf S 83 interpretiert diesen Kontrastverlust in anschaulicher Wei se die Symmetrieoperation der Zeitumkehr kann nach Einf hrung der internen Freiheitsgrade die Gleichheit der interferierenden Amplituden nicht mehr gew hr leisten Ausbreitung der mittleren Intensit t Nach Beschreibung der mittleren Amplitude des Lichtfeldes Abschn Z 1 S 7 wollen wir nun in systematischer Weise die Ausbreitung der mittleren Intensit t im Streumedium berechnen Die Intensit t wird durch das Quadrat der Am plituden ermittelt In direkter Analogie zur Dyson Gleichung 1 71 auf S 51 wird das mittlere Produkt der bergangsoperatoren durch die Bethe Salpeter Gleichung 30 8125 beschrieben 2 41 auf S 88 Wie auch die Selbstenergie berechnen wir den irreduziblen Vertex oder kompaktes Eckteil 2 44 in der N herung unabh ngiger Str
89. 1 toutes les transitions m m lt 2 sont admises Fig 7 66 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE Expressions explicites des poids Le regroupement des contractions 1 142 dans la forme 1 121 donne alors les poids S0 S2 S2 S1 S1 32 Wy T3 wa ee w3 1 143 en fonction des coefficients sx donn s par 1 141 Comme il n y a que deux param tres ind pendants J et Je les trois poids w doivent tre lies On peut v rifier qu ils ob issent la r gle de somme Wy Wa 3W3 1 1 144 Explicitement les poids des diff rentes contractions sont donn s par Ni J Je iJ Je e 1 145 o Ni Je J 1 ed Je J 1 i 1 6 17J 10 2J2 2J 1 J 1 J 1 i 2 4J J 2 2J2 2J 4 4 J 1 J 1 i 3 J 6J 7 27 2J 1 J 1 6J 1 10 J 1 2J 1 10J J 1 10J 2J 1 1 146 Dans la limite J oo les poids prennent des valeurs limites finies 1 8 2 3 dl lim w1 w2 w3 ies Don 1 147 J 00 10 2 2 2 pour h J Repr sentation diagrammatique Nous introduisons une repr sentation diagrammatique de la fonction de trace 1 121 1 2 2 1 2 1 2 1 T x Ww wa a w 1 148 a AS ns 4 3 Ceci est le vertex d intensit de diffusion simple Il connecte les quatre vecteurs libres comme la somme pond r e des trois contractions par paires possibles Le facteur w pondere la contraction horizontale x1 2 3 a4
90. 3 8 montrent le facteur d amplification dans les diff rents ca naux et pour les diff rents types de transitions en fonction de J La structure interne quantique induit une perte d amplification spectaculaire dans les canaux parall les A h et I Dans le cas de la transition J 1 2 Je 3 2 le fac teur d amplification pr dit est a 1 04 dans le canal h h et a 1 15 dans le canal 1 Dans les canaux parall les on observe la jolie remont e du contraste d interference dans la limite J Je cause de la suppression de la partie antisym trique du tenseur de diffusion atomique Contrairement au cas du diffu seur dipolaire J 0 J 1 le facteur ne tend pas vers 2 0 parce que la diffusion simple persistera dans les deux canaux cf Fig 1 7 Dans la Fig 2 8 de l ampli fication de diffusion double la remont e de l amplification est moins visible parce que le poids de la diffusion simple est surestim Dans les canaux perpendicu laires h Lh et 1 L1 le faible facteur d amplification est davantage r duit par la structure interne quantique La comparaison des valeurs th oriques de diffusion double Tab 2 1 de dif fusion multiple 3 174 et des valeurs exp rimentales 25 26 montre que les pr dictions th oriques encadrent les valeurs exp rimentales cf aussi la Fig 3 9 J 3 Je 4 hlk ALA Ue ILE a2 1 17 1 21 1 20 1 20 Qexp 1 06 1 20 1 12 1 10 a 1 02 1 09 1 07 1 05 3 18
91. 37 sur p pz 3 OO un dp D p Axalp 0 JE i f7 AD Re Rar T 3 176 Ces int grales peuvent tre valu es num riquement tant donn es la r gularit et la d croissance rapide du noyau D p sans recourir l approximation de la 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 151 diffusion Par contre la valeur de l int grale d pend de la transition atomique J Ja consid r e Les poids ie et tz des diff rentes int grales sont les contractions 3 138 des vecteurs de polarisation avec les tenseurs propres 3 118 donn s en fonction des projecteurs Pi i Gq et Qi i Dans la configuration CBS les vecteurs de polarisation sont dans le plan transverse de q qz qy Pour les coefficients bistatiques chelle et crois a l origine la d pendance de la direction d obser vation q disparait alors cf Sec 3 2 3 pour une justification plus rigoureuse Les tenseurs de contraction sont obtenus partir de 3 118 par la substitution Fra gt rs et Qrs E 0 0 1 1 1 1 Ts ase 3 O0 To 3 dij Ont 7 dikOjt Toa 0 1 1 Te g Jus Le gt isda dimdz Su zr Toat o a Tor pee 1e 5 Oil0jk 3 177 Ind pendamment des canaux de polarisation on a alors 1 1 x 2 Ol l Wo o B 817 3 6 6 Les polarisations n interviennent que dans a la op 112 le l lee 1 3 179 zle le e P 1 et leurs contractions valent dans les quatre canaux hilh hor ua toe
92. 4 15 16 17 18 19 23 24 25 26 BIBLIOGRAPHIE E Akkermans P Wolf and R Maynard Coherent backscattering of light by disordered media Analysis of the peak line shape Phys Rev Lett 56 1471 1986 3 26 150 M B van der Mark M P van Albada and A Lagendijk Light scattering in strongly scattering media Multiple scattering and weak localization Phys Rev B 37 3575 1988 erratum PRB 38 5063 1988 3 26 E E Gorodnichev S L Dudarev and D B Rogozkin Coherent wave backscattering by random medium Exact solution of the albedo problem Phys Lett A 144 48 1990 3 26 L Mandel and E Wolf Optical Coherence and Quantum Optics Cam bridge University Press Cambridge 1995 3 6 27 37 54 L Landau and E Lifschitz Quantenmechanik vol 3 of Lehrbuch der Theo retischen Physik Akademie Verlag Berlin 1979 4 8 10 M I Mishchenko Enhanced backscattering of polarized light from discrete random media calculations in exactly the backscattering direction J Opt Soc Am A 9 978 1992 4 27 29 30 85 D S Wiersma M P van Albada B A van Tiggelen and A Lagendijk Experimental evidence for recurrent multiple scattering events of light in disordered media Phys Rev Lett 74 4193 1995 4 29 76 M I Mishchenko On the nature of the polarization opposition effect ex hibited by Saturn s rings As
93. 7 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 155 2 i i TI i i T i i 2 hlr hLh 1 8 L 418 1 6 Ie 4 16 a io 4 1 4 7 14 1 2 JV ee 2 Weis a Vv y oov u FYI KARSUEREN 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 2 T T T T T T T T T T T T 2 f al Ill 18 y J 418 164 Jo jk 1 6 a l 9 et 414 i e 12 rt 7 JE 12 Vw Bee yg CET SERRE REE ES 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 J J V Je J 1 moO Je J 4 A Je J 1 FIG 3 7 Facteur d amplification CBS q 3 174 en fonction du moment angulaire J dans les diff rents canaux de polarisation La structure interne quantique cause une chute spectaculaire du facteur d amplification dans les canaux parall les Les transitions Je J regagnent en contraste dans la limite J oo cf Figs 3 3 et 3 1 Dans les ca naux perpendiculaires la structure interne diminue le facteur d amplification classique En effet le milieu atomique n a pas la g om trie de l espace semi infini Dans une premi re approche le nuage atomique a un profil de densit gaussien sym trie sph rique et une densit optique de l ordre de 10 Ce nuage interpole entre un milieu peu dense o la diffusion double domine et un milieu semi infini o les ordres sup rieurs contribuent notablement Il est raisonnable de penser que le pr sent calcul peut tre appliqu au cas d un milieu en g om trie de t
94. 7 polarisation e d crit la direction du champ lectrique E La polarisation e du champ incident et celle du champ diffus e d finissent quatre canaux de polari sations orthogonaux par paires Dans le cas d une lumi re polaris e lin airement la lumi re diffus e est d tect e dans le canal de la m me polarisation 1 ou dans le canal de la polarisation orthogonale lL Dans le cas d une lumi re polaris e circulairement il est utile de sp cifier l h licit i e la projection du moment angulaire sur laxe de propagation 17 La lumi re diffus e peut tre analys e dans les canaux d h licit conserv e h h ou d h licit renvers e h Lh Dans tous les cas les vecteurs de polarisation sont norm s par amp e amp e 1 Dans la direction vers l arri re les diff rents canaux d finissent les produits scalaires suivants entre les polarisations entrantes et sortantes rh lath tel isi el 0 1 lo 8 e 1 0 1 0 Soulignons que le canal A LA d h licit renvers e correspond la r flexion d une onde polaris e circulairement par un miroir le sens de rotation du champ lec trique ne change pas mais la direction de propagation est invers e Pour la m me raison la lumi re r trodiffus e par un diffuseur dipolaire n est d tect e que dans les canaux l et h Lh les canaux l Lz et h h sont interdits Diffusion simple Une excepti
95. A ijki 1 lt i j k 1 lt 3 Unit s On choisit des unit s naturelles c 1 L analyse dimensionnelle naturelle est alors longueur temps fr quence energie Grandeurs importantes Symbole Signification D f P Lettres grecques a facteur d amplification CBS 7 26 ag facteur d amplification CBS de diffusion double 2 110 104 a w polarisabilit atomique 4444 etat puis 197 56 T largeur naturelle de l tat atomique excit 1 41 45 y u coefficient bistatique iind 1 165 70 Az projecteur transverse 212 FF d saccord de la sonde la r sonance atomique 11 32 E vecteur de polarisation transverse QE 38 degr anisotropie untere 2 129 113 176 ANNEXE B CONVENTIONS ET NOTATIONS Symbole Signification Def P Ka contraste d interf rence CBS de diffusion double 2 103 101 Ak valeur propre du vertex atomique chelle 3 38 122 Akalp coefficients propres de la s rie chelle somm e 3 137 141 u angle r duit de diffusion 2 99 99 EY libre parcours moyen effectif 3 157 144 angle d observation par rapport la polarisation 2 102 101 matrice de densit atomique 1 56 49 Po matrice de densit atomique scalaire 1 58 49 Delw self nergie de l tat atomique excit 1 35 44 D z
96. Collision Theory Wiley New York 1967 41 42 60 A Galindo and P Pascual Quantum Mechanics vol II Springer Berlin 1991 42 58 60 V Berestetski E Lifchitz and L Pitayevski Electrodynamique Quantique vol 4 of Landau and Lifchitz Physique th orique Editions Mir 1989 46 51 56 57 86 88 T M Nieuwenhuizen A Lagendijk and B A van Tiggelen Resonant point scatterers in multiple scattering of classical waves Phys Lett A 169 191 1992 46 U Frisch Wave propagation in random media in A Bharucha Reid ed Probabilistic Methods in Applied Mathematics vol 1 Academic Press New York 1968 48 51 75 86 88 89 BIBLIOGRAPHIE 185 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 F M Ismagilov and Y A Kravtsov Backscattering enhancement polari zation effects on a system of two small randomly oriented scatterers Waves Rand Media 3 17 1993 49 B van Tiggelen A Lagendijk and A Tip Multiple scattering effects for the propagation of light in 3D slabs J Phys Condens Matter 2 7653 1990 53 58 72 93 111 112 J Jackson Classical Electrodynamics Wiley New York 1975 2 ed 56 68 R Loudon The Quantum Theory of Light Clarendon Press Oxford 1973 56 60 A R Edmonds Angular Momentum in Quantum Mechanics Princeton University Press Princeton 1960 61 64 65 122 123
97. DIFFUSION COHERENTE 159 Fic 3 10 Facteur d amplification CBS q 3 174 en fonction de langle de diffu sion r duit u kl0 pour diffuseurs dipolaires ponctuels J 0 Je 1 et la transition d g n r e J 3 Je 4 Notez le facteur 10 d chelle entre les deux cas Dans les ca naux lin aires les scans sont parall les la polarisation incidente 0 En pointill s contribution de la diffusion double q 2 111 au signal total que pour 6 5 dans le c ne classique en A h elle domine avec 67 dans le pic atomique correspondant La raison est la chute rapide de la valeur propre xo du vertex atomique crois cf Fig 3 1 et l att nuation extremement efficace de ce mode Il est inutile de discuter la dependance en du signal ici dans les ailes le signal est totalement domin par la diffusion double et les conclusions de la section 2 3 6 s appliquent toujours la structure interne atomique r duit l aniso tropie en m langeant les polarisations Notamment la d croissance de l intensit en y dans le canal ll parall lement aux polarisations est att nu e en u partout Les contributions des diff rents modes K a au coefficient bistatique crois 3 191 du canal h h sont montr es dans la Fig 3 11 Suivant les signes des poids de polarisation Tab 3 3 elles sont positives ou n gatives Les modes 160 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE
98. FASSUNG Leiterdiagramms annimmt A ie M Z 6 A A Dies garantiert die Gleichheit von direkter Intensit t J und Interferenzbeitrag Ic und damit einen bis auf die Einfachstreuung optimalen Verst rkungsfaktor 2 1 Der Versuch das gleiche Reziprozit tsargument auf den Fall der atomaren Streuer anzuwenden mi lingt A A A K X LA 4 Z 7 Beim Drehen der umgekehrten Amplitude verdreht sich das Vertexband so da Kreuz und Leiterdiagramm auch bei Gleichheit der Polarisationsvektoren ver schieden bleiben Die Verdrehung des Bandes kann deswegen nicht aufgehoben werden weil die diagonale und die senkrechte Kontraktion im Vertex Z 2 nicht das gleiche Gewicht haben wa w3 Wie aus Gl 1 143 auf S 66 ersicht lich r hrt der Unterschied der beiden Gewichte von dem antisymmetrischen Teil K 1 des atomaren Streutensors her Damit ist klar da der antisymmetrische Teil des atomaren Streutensors die Verringerung des CBS Interferenzkontrastes in den parallelen Polarisationskan len zu verantworten hat Exakte Doppelr ckstreuung Duch geeignete Mittelung ber den Halbraum der CBS Konfiguration vgl Fig 2 5 auf S 98 berechnen wir analytisch den Interferenzkontrast der Dop pelstreuung K2 a0 YL2 Fig 2 7 auf S 103 zeigt den Kontrast als Funktion von J Nur im Fall des Dipols J 0 Je 1 erhalten wir den optimalen Kontrast ka 1 Die Entartung des Grundzustandes f r J gt 0 l
99. ITE LUMINEUSE MOYENNE 89 Pour tre consistantes avec l identit de Ward les approximations sur D z et U z 22 doivent correspondre au m me ordre en perturbation L approximation de diffusion ind pendante 1 76 consiste ici 4 ne retenir que le premier terme de 2 44 ud 2 45 Dans cette approximation dite de Boltzmann 27 ou first order smoothing approximation 81 la s rie 2 43 prend la forme d chelle ladder a 2 46 2 amp Cette structure en chelle montre que les amplitudes directe et conjugu e visitent les m mes diffuseurs dans le m me ordre Ainsi c est l intensit du champ qui est propag e et toute information sur la phase a disparu comme on pourra le v rifier dans 2 66 Une quation de propagation d intensit de type chelle m ne une th orie de transport la Boltzmann ou une th orie de transport radiative 4 Dans la limite des distances grandes devant le libre parcours moyen lastique l intensit se propage alors dans un mouvement diffusif pourvu que l absorption ne soit pas dominante cette chelle cf Sec 3 1 5 C est cette description qui a t d velopp e au d but du si cle pour d crire la propagation de la lumi re dans les poussi res interstellaires ou l int rieur d une toile comme le soleil 3 4 Les m me concepts ont t employ s avec succ s en physique de la mati re condens e pour d cri
100. ITUDES DE DIFFUSION DOUBLE 79 l operateur de transition 2 3 pour le processus de diffusion 2 1 est la somme coh rente Tyir Trey L intensit associ e ce processus est alors Tir We 2Re To 2 19 Le contraste d interf rence deux ondes 4 est maximal si les amplitudes sont gales Dans la direction vers l arriere k k il n y a pas de diff rence de phase entre les l ments de matrice 2 15 et 2 17 et il faut alors comparer les amplitudes internes 2 16 et 2 18 Diffuseurs dipolaires Il est utile ce point de faire un rappel sur le r le de la polarisation dans le cas des diffuseurs dipolaires ponctuels diffuseurs Rayleigh 39 40 97 La polarisation d une onde vectorielle diffus e par un dipole dans la direction est projet e en E1 xe x Aa E 2 20 Apres la diffusion successive par N dip les l amplitude de diffusion vers une polarisation d analyse e est la projection amp A aes AVE Ap 2 21 N N 11 Pour la s quence renvers e il faut inverser l ordre des diffuseurs FAm AnA e 2 22 N 1 N Dans le cas de la diffusion double N 2 ces deux amplitudes sont gales parce que la m me projection A3 Ap intervient dans les deux s quences Par cons quent le contraste d interference vers l arriere est maximal k2 1 pour la diffusion double dipolaire quel que soit le canal de polarisation partir de
101. Ji Explicitement h h hLh Lill Ill ay a 13 t 3 2 cos d 3 cost a sin 2 a 3 0 l 2 128 a 3 5 1 cos 6 0 a4 1 1 0 112 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE ail ge bill ge Fic 2 12 Composante asymptotique du signal CBS q 2 125 normalis e en fonc tion de l angle entre la direction d observation et la polarisation incidente Traits pleins transition J 3 Je 4 Tirets diffuseur dipolaire J 0 Je 1 La structure interne diminue l anisotropie En l1 l la d croissance de l intensit comme u le long des directions des polarisations est r duite en u dans toutes les directions Le coefficient a est connu des diffuseurs dipolaires dans les qs A 5 de 83 et 2 53 de 32 il manque un terme 3 sin 26 mais dont l absence n affecte pas leurs conclusions Dans les canaux d h licit l intensit d croit comme wu quelle que soit la transition atomique J Je Ceci est le r sultat de la diffusion double pour des ordres plus lev s notamment dans l approximation de diffusion une d croissance en u a t pr dite pour des diffuseurs classiques 38 Les polarisations lin aires induisent une anisotropie i e une d pendance de l intensite de l angle amp entre la polarisation incidente et la direction d observation Fig 2 12 Dans le canal l intensit est maximale dans la direction 0 le long des polarisa
102. LE ET CROISEE 117 formellement j b 1 ee le 38 ES 2 Puisque la moyenne de configuration est prise sur un milieu infini la conservation d impulsion 2 57 est valable vertex par vertex et pour chaque terme de la serie Ainsi la somme peut s crire sous la forme LR e k ka katk L q Eh qi k k4 3 4 La correction de la localisation faible l interf rence des amplitudes contrapro pageantes est d crite par la s rie crois e C y x ee 3 5 Par la conservation d impulsion 2 76 elle peut s crire C k e u k tka katk ge Ic k ks 3 6 Le but de la sommation des s ries est d obtenir les expressions analytiques de L q te et Cac e Sommation des s ries scalaires En respectant l ordre des difficult s le principe de sommation des series chelle et crois e peut tre appr ci le plus simplement dans le cas scalaire Pour simuler la diffusion multiple d ondes scalaires sur diffuseurs ponctuels nous supprimons dans notre formalisme toute information sur les polarisations ce qui en m me temps supprime l impact de la structure interne atomique Pour obtenir des gran deurs scalaires on somme sur les polarisations finales et on moyenne sur les polarisations initiales ainsi que sur les directions de diffusion finales k En uti lisant les r gles de sommes 2 9 et 1 144 le vertex d intensit simple est
103. La valeur propre unit exprime simplement la conservation du nombre de photons ici quivalente la conservation de l nergie ou encore a l unitarit de la matrice S Les coefficients horizontaux Ax ont t obtenus par recouplage des quatre vecteurs de polarisation Dans la th orie du moment angulaire 86 le recouplage entre quatre moments angulaires d finit des regles de transformation compactes faisant intervenir des symboles 3nj On v rifie en effet qu il existe une relation lin aire entre les coefficients verticaux 3 33 et horizontaux 3 38 Ak DER 0 z sw 3 40 Ceci est un cas particulier de la regle de somme de Biedenharn Elliott A 23 86 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 123 Lad 1 Je J J J 1 Is 1 1 1 n J 2 1 J 1 HJ IIF 23 227 5 AP 47 3 I 1 07 3 WIFE FI WIFS1 AGE TAB 3 1 Valeurs propres du vertex atomique chelle qs 3 38 et 3 47 Structure propre du vertex chelle Il est instructif de faire le lien avec les poids w 1 143 des contractions l mentaires des vecteurs de polarisations En composantes cart siennes le vertex atomique 3 32 est le tenseur de rang quatre i J lijk i N W1 Oijdkt W2 dix ji W3 Oi1d K 3 41 Ses composantes irr ductibles VE par rapport aux indices de gauche 7 1 et de droite j k sont d finies selon A 8 On trouve ainsi la comp
104. ab mit den Ergebnissen vertraut zu machen Z 0 Schwache Lokalisierung von Licht in einem Gas kalter Atome Wellenausbreitung und Interferenz sind den verschiedensten Gebieten der Physik gemeinsam In einem ungeordneten Streumedium jedoch erwartet man naiver weise da Interferenz im Mittel zerst rt wird Die Interferenzfigur zu einer be stimmten Systemkonfiguration h ngt von den zuf llig verteilten Phasen der Ele mentarwellen ab und eine Mittelung ber alle m glichen Konfigurationen l t die Interferenzterme verschwinden Unter dieser Annahme wurden seit Beginn des vergangenen Jahrhunderts der elektrische Strom durch die Elektronengas Theorie 1 2 ZUSAMMENFASSUNG von Drude 2 und die diffuse Lichtausbreitung durch eine Transporttheorie f r die Intensit t beschrieben 3 4 Schwache Lokalisierung P W Anderson zeigte jedoch 1958 5 da eine Wellenfunktion die zun chst auf einen Punkt eines ungeordneten Gitters konzentriert ist f r gen gend gro e Un ordnung in der Umgebung dieses Punktes lokalisiert bleibt Diese grundlegende Arbeit zur Unterdr ckung diffusiven Transports duch quantenmechanische In terferenz die seither die Bezeichnung Anderson Lokalisierung tr gt l ste eine Vielzahl von Folgearbeiten zum Metall Isolator bergang in ungeordneten Fest k rpern aus 6 Nach dem Ioffe Regel Kriterium 7 kann das Transportverhalten einer Gr e durch ihren Wellencharakter grundlegend ver ndert werden wenn die
105. acher une signification physique immediate aux modes en termes de combinaisons scalaire antisym trique ou sy m trique des vecteurs de polarisation Cette r ussite de notre strat gie pour les vertex atomiques est un encouragement de l appliquer galement au propagateur transverse du champ entre les v nements de diffusion 128 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE 3 1 3 Modes propres du propagateur transverse La structure irr ductible des vertex atomiques est entierement d termin e par les d compositions 3 46 et 3 53 et les valeurs propres 3 38 et 3 57 Par la suite il nous reste a d terminer la d composition en modes irr ductibles du propagateur transverse de l intensite introduit dans 2 60 Gijn q uw dr Gyulr w Gufr w err 3 58 Le pr facteur u w 37 2L w provenant du vertex atomique est inclus dans cette definition pour manipuler une quantit adimensionn e Avec l expression 2 62 du propagateur moyen transverse il faut donc valuer G I fee A Apel 3 59 un CE Are 3 59 La comparaison avec la formule analogue 3 12 du cas scalaire montre que toute information sur le caractere vectoriel du champ est contenue dans le produit direct des projecteurs transverses A 0 f f Pour le vertex atomique la matrice de densit scalaire assure une d composition isotrope La d pendance du propagateur transverse en q brise l isotropie et conduit a des expressions assez complexes Ceci doit
106. acteur d amplification dans tous les canaus 2 3 4 Facteurs d amplification l ordre deux Le facteur d amplification 7 est maximal si le fond de la diffusion simple ys est minimal et le contraste d interf rence maximal Pour quantifier influence du fond de diffusion simple sur le contraste s de diffusion double on peut consid rer le facteur d amplification d ordre deux 2 110 Ce facteur d amplification d ordre limit permet de suivre en d tail comment le fond de diffusion simple et la r duction de contraste uvrent ensemble pour donner un pic de faible hauteur Soulignons toutefois que sa valeur ne peut tre compar e directement au r sultat exp rimental Ou bien le milieu diffuseur est assimilable un espace semi infini mais dans ce cas les ordres de diffusion plus 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 105 J 3 J 4 h h ih Lh il Ll Diffusion simple yg 0 040 0 510 0 348 0 201 Yr2 0 131 0 216 0 180 0 167 Yca 0 028 0 154 0 108 0 075 Contraste Ka 0 217 0 715 0 599 0 449 a 1 17 1 21 1 20 1 20 Gex 1 06 1 20 1 12 1 10 Diffusion double Amplification TAB 2 1 Coefficients bistatiques dans la direction vers l arriere pour la transition atomique J 3 Je 4 arrondis 107 et comparaison des facteurs d amplification aux valeurs exp rimentales 25 26 lev s doivent tre pris en compte Ou bien le m
107. aires de l op rateur de diffusion 1 47 interviennent dans le vertex de l intensit amp de diffusion simple ou la ligne en pointill du diagramme classique devient un ruban _ 1 158 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 69 FIG 1 5 Diagramme de rayonnement de la transition J 3 Je 4 A gauche polarisation incidente lin aire q 1 160 A droite polarisation incidente circulaire q 1 161 La section efficace de diffusion 1 156 toutes polarisations confondues dans la direction k est en 30 tot dQ 8m Pour une polarisation incidente lin aire on obtient Cu w 1 e k 2ws 1 159 do Stot dQ 9 8T o est l angle entre la direction d observation et la polarisation incidente C est la superposition d un rayonnement isotrope avec poids 2w3 et d un rayonnement dipolaire avec poids w wa On voit dans 1 146 que la seule transition sans composante isotrope w3 0 est la transition dipolaire l mentaire J 0 J 1 Si la transition est excit e avec une polarisation circulaire on obtient 2w w we sin 1 160 E y Inst W3 wy ws cos 4 1 161 167 o w est langle entre la direction d observation et la direction d incidence Il existe trois transitions parfaitement isotropes w1 w2 0 J J 1 2 J 1 Ja 0 et J 3 2 Je 1 2 La Fig 1 5 contient les diagrammes de rayonnement de la t
108. alors remplac par dk 3 7 2 lle 7 e Lk E et le premier terme de la s rie chelle 3 2 le vertex irr ductible 2 52 devient le vertex scalaire isotrope 2 y u T zulw 73 27 3 8 118 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE L argument de la s rie g om trique 3 3 le produit du propagateur moyen d intensit avec le vertex est d apr s 2 58 o gt Ala Li X G k w G Ik ql w 3 9 C k en fonction du propagateur scalaire moyen 1 G k 3 10 Oi ay 3 10 Le propagateur moyen en espace r el 2 62 sous forme scalaire est Ww ikr r 2 G r w e 3 11 arr Avec la relation de Plancherel Parseval 2 60 l argument de la serie g om trique est explicitement 1 a or sin qr AGO eg f br eer Pare SO 3 12 arctan ql en 7 Cette fonction de transfert ne d pend que du moment r duit p ql 3 13 la variable adimensionn e naturelle de la diffusion multiple La s rie chelle 3 3 se resomme alors imm diatement Ly er 3 14 A partir de la s rie chelle la s rie croisee scalaire est obtenue en inversant le sens de l amplitude conjugu e si l on sait calculer un terme d ordre n gt 2 de la s rie chelle scalaire L p on obtient le diagramme crois du m me ordre par Cn p Ln p 3 15 La s rie crois e ne commence qu avec le terme de diffusion double mais se re somme
109. ammes de polarisation 2 67 et 2 79 Remarquons que la definition 2 89 est bien consistente avec l int grale spa tiale de la configuration CBS 1 166 du coefficient bistatique de diffusion simple En effet la diffusion simple k e k e est d crite par le vertex irr duc tible 2 54 qui ne d pend pas du moment q En utilisant 2 85 on trouve sa representation dans l espace direct Li ri2 r 2 2 92 La distribution de Dirac signifie simplement que dans la diffusion simple le pre mier et le dernier diffuseur sont identiques La moyenne de configuration CBS 2 89 est alors l mentaire et nous trouvons bien 1 169 2 93 gt ww M Mm Ys 11 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 99 2 3 2 Integration sur l espace semi infini L int grand dans 2 91 est invariant sous des translations dans le plan x y de la surface du milieu La surface A se simplifie avec le pr facteur et 9 abat er T12 YralQF 167 1672 dz dza e dzizdyi2 Prole e P12 Tip 21 22 gt 0 2 94 Avec le changement de variables 21 22 gt 212 21 22 2 21 22 on peut effectuer l int gration sur z dze g eTa 2 95 212 de sorte que l int grale sur r12 r porte maintenant sur l espace entier e lz1 2 yr2lqr Prole E P eE 2 96 327l La comparaison avec 2 85 montre que la g om trie restreinte et l att nuation des ampl
110. amp 0 71 o To 2o l est l paisseur de la couche de surface en unit s de libre parcours moyen Le coefficient bistatique est alors donn comme une seule int grale sur la composante p du moment r duit p q art fh aS dp D p F a Pf 3 171 0 T o le noyau d int gration est obtenu en r arrangeant 3 170 __ sin Top pcos Top D p oo ae 3 172 La fonction paire D p varie quadratiquement autour de l origine D p 1 To p O p et d croit comme p l infini Comme le montre la Fig 3 5 elle est concentr e autour de 7 A ce stade deux v rifications l mentaires de coh rence sont possibles Pre mierement l application de la m thode exacte image au terme de la diffusion simple dans la s rie chelle Li u w Z donne exactement le coefficient bista tique ys 1 169 obtenu dans la section 1 4 En effet dans ce cas le param tre z n intervient pas car le propagateur d intensit est proportionnel la distribu tion de Dirac 6 z z2 cf la remarque p 98 autour de 2 92 Par cons quent l image du seul diffuseur par rapport au plan z z ne contribue pas a l inte grale 3 168 150 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Deuxi mement lorsque l on int gre un propagateur scalaire avec p le de dif fusion 3 Im 1 1 exp 270p_ dp D p 14 3 173 i a Fr 21 4 p PL l on obtient par construction la forme du c ne de r trodiffusi
111. ans ce r gime des diffuseurs avec section efficace Ctog sont distribu s avec une densit n telle que le libre parcours moyen L 1 no ot entre les diffuseurs successifs est tr s grand devant la longueur d onde 2r k Dans ce r gime londe se propage presque librement l int rieur du milieu et une description semi classique est possible 57 L onde est diffus e en 0 1 ONDES ET DESORDRE 23 b S S c S S Fic 1 Paires de s quences de diffusion multiple la s quence conjugu e est a gale la s quence directe b diff rente de la s quence directe c gale la s quence renvers e une multitude d ondes partielles et son amplitude T est la superposition T S Ts 1 S des amplitudes associ es aux chemins de diffusion S d finis par les positions des diffuseurs successifs Fig 1 Si les v nements l mentaires de diffusion sont lastiques ces ondes partielles interferent La figure d interference d pend de la position de tous les diffuseurs comme observ dans les tavelures speckles d un faisceau laser diffus Naivement on s attend ce que l interference soit brouill e par une moyenne d ensemble sur les r alisations de d sordre qui peut tre due par exemple au mouvement thermique des diffuseurs L intensit moyenne I T se s pare en deux contributions 1 So T D oT 2 SHS la somme des intensit s l m
112. ansition moyen T z a un habillage par la r solvante libre go z pr s Comme c est coutume en th orie des champs 75 79 nous allons nous concentrer par la suite sur les quantit s 2 2 INTENSITE LUMINEUSE MOYENNE 87 essentielles les vertex amput s de leurs propagateurs ext rieurs Avec 2 33 l equation de Dyson 1 71 prend la forme T z 32 E 2 90 2 P 2 34 ou encore en repr sentation diagrammatique T e e T 2 35 Apres avoir determine l amplitude moyenne nous devons maintenant d crire Vintensit moyenne Techniquement il est utile de doubler l espace des tats pho toniques Ike k1 1 Q k4 4 k e k2e2 Q kses 2 36 On peut alors onsid rer l amplitude directe k1e1 k2e2 et l amplitude conju gu e k3 3 k4 4 ind pendamment Les op rateurs d intensit moyenne agissent maintenant dans Hem Hem Leurs l ments de matrice sont de la forme kaea k3 3 A B k1 1 Q k4 4 Alk e k2 B k3e3 k4 4 2 37 L application au processus de diffusion ke k e est faite en identifiant les arguments kie1 kse4 ke k2 2 k3 3 k e 2 38 comme par exemple dans 1 116 en p 60 Plus g n ralement choisir des tats ind pendants permet de calculer des fonctions de corr lation et notamment des r ponses dynamiques que l on n
113. aret Magnetic field effects on coherent backscattering of light Eur Phys J B 17 171 2000 19 82 166 D Sornette and B Souillard Strong localization of waves by internal re sonances Europhys Lett 7 269 1988 19 32 167 T M Nieuwenhuizen A Burin Y Kagan and G Shlyapnikov Light propagation in a solid with resonant atoms at random positions Phys Lett A 184 360 1994 19 32 167 E Abrahams P Anderson D Licciardello and T Ramakrishnan Scaling theory of localization Absence of quantum diffusion in two dimensions Phys Rev Lett 42 673 1979 22 P A Lee and T V Ramakrishnan Disordered electronic systems Rev Mod Phys 57 287 1985 22 167 S John Electromagnetic absorption in a disordered medium near a photon mobility edge Phys Rev Lett 53 2169 1984 22 S John Localization of light Physics Today pp 32 40 1991 22 BIBLIOGRAPHIE 183 54 99 56 97 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 P Sheng ed Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media World Scientific Singapore 1990 22 D S Wiersma P Bartolini A Lagendijk and R Righini Localization of light in a disordered medium Nature 390 671 1997 22 F Scheffold R Lenke R Tweer and G Maret Nature 398 206 1999 22 S Chakravarty and A Schmid Phys Rep 140 193 1986
114. artie r elle de la self nergie renormalise la fr quence d volution du mode lumineux Rew w Aw La partie imaginaire de la self nergie introduit une dur e de vie finie de l tat consid r Dans les deux sections suivantes nous allons identifier comme le libre parcours moyen Notre approche perturbative est consistente si la correction apport e par la self nergie la fr quence nue est petite En effet ceci est vrai pour sa partie imaginaire 1 87 par la d finition m me du r gime de localisation faible kl gt gt 1 De m me la correction r elle est tr s petite Aw lt w pour une excitation quasi r sonnante 1 2 3 volution moyenne d amplitude partir du propagateur moyen 1 83 la moyenne de l op rateur d volution temporelle U t d un tat un photon est obtenue par une int gration dans le plan complexe 74 p 215 Pour t gt 0 1 prooro U t dz G z e exp iwt t 20 1 88 27 J_oo io en appliquant le th or me des r sidus au p le w k et en n gligeant la correction Aw lt w Pour tablir une interpr tation physique de la grandeur consid rons une superposition lin aire des tats un photon Io So Cul les 1 89 Ceci est aussi un tat un photon son volution libre sans couplage a des diffuseurs est simplement lWo t gt Cy expl iwrt 1xs 1 90 Pour interpr ter cet tat en termes d ondes lectromagn tiques il ne su
115. ation de reciprocit q 9 pour les amplitudes de diffusion de la lumi re polaris e en g n ral la diffusion simple diminue le facteur d amplification dans tous les canaux de polarisation R ciprocit La deuxi me condition pour une amplification maximale l galit des ampli tudes directe et renvers e est bien plus d licate valuer que celle de la diffusion simple En toute g n ralit il n y a aucune raison pour que deux amplitudes associ es a des processus de diffusion diff rents soient gales Mais dans le cas des s quences directe et renvers e elles sont li es par une sym trie profonde la sym trie par renversement du temps 62 63 Dans le contexte de la th orie de la diffusion cette sym trie s exprime par le th or me de r ciprocit 64 65 Pour un processus de diffusion de lumi re polaris e ke k e la relation de r ciprocit s nonce T ke gt k e T K E gt k 9 Cette relation repr sent e dans la Fig 4 montre que le processus r ciproque est obtenu en inversant le r le des tats entrant et sortant tout en gardant l h licit fix e par rapport 4 une direction de propagation invers e Ces deux amplitudes d crivent des processus de diffusion diff rents et n interferent pas En revanche la r trodiffusion coh rente est l interference entre les deux amplitudes Tair rev ke k e associ es aux m mes tats initial et final cf Fig
116. ation faible est diminu e tr s efficacement D a 3 158 Le facteur de proportionnalit est la vitesse de transport de la densit d ner gie comme soulign par Lagendijk et van Tiggelen 27 une tude des propri t s de transport stationnaires comme la notre ne peut d terminer la valeur de cette quantit dynamique Par contre nous avons bien v rifi cf Sec 1 2 4 que l echelle spatiale naturelle est bien le libre parcours moyen 1 no44 pour le milieu atomique dilu comme pour les diffuseurs dipolaires classiques Pour les diffuseurs dipolaires classiques nous savons d ja que les s ries chelle et crois sont quivalentes la diffusion simple pres parce que le tenseur de diffusion est purement scalaire et les vertex chelle et crois coincident Cette quivalence est la base m me de la localisation faible la diminution de la constante de diffusion due a l interference constructive des amplitudes contrapropageantes vers l arriere L impact de la structure interne atomique sur la localisation faible peut tre estim par la valeur propre scalaire xo du vertex crois en fonction de J D apres 3 157 on y associe un libre parcours moyen effectif 0 _ nn mn 146 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE l aide de la Tab 3 2 on voit que le comportement du libre parcours moyen effectif pour J gt 1 est 3 160 ray a pour J J 1 l a J pour Je J et est donc exactement l
117. attering Localization and Mesoscopic Phenomena Academic Press San Diego 1995 1 21 48 P Drude Annal d Phys 1 566 and 3 369 1900 2 22 89 A Schuster Astrophys J 21 1 1905 2 22 89 S Chandrasekhar Radiative Transfer Dover New York 1960 2 22 89 P Anderson Absence of diffusion in certain random lattices Phys Rev 109 1492 1958 2 22 E Akkermans G Montambaux J L Pichard and J Zinn Justin eds Mesoscopic Quantum Physics Les Houches 1994 Elsevier Amsterdam 1995 2 19 22 167 A Ioffe and A Regel Non crystalline amorphous and liquid electronic semiconductors Progr Semicond 4 237 1960 2 22 K M Watson Multiple scattering of electromagnetic waves in an under dense plasma J Math Phys 10 688 1969 2 23 G Bergmann Weak localization in thin films Phys Rep 107 1 1984 2 19 24 82 86 166 G Maret Lokalisierung von Licht durch Vielfachstreuung Phys BI 48 161 1992 2 Y Kuga and A Ishimaru Retroreflectance from a dense distribution of spherical particles J Opt Soc Am A 1 831 1984 3 29 P Wolf and G Maret Weak localization and coherent backscattering of photons in disordered media Phys Rev Lett 55 2696 1985 3 4 29 M P van Albada and A Lagendijk Observation of weak localization of light in a random medium Phys Rev Lett 55 2692 1985 3 4 29 179 180 1
118. ayonne ment lectromagn tique dans le domaine de l optique est ainsi couple a la struc ture lectronique de l atome 29 Les nombres quantiques pertinents pour notre probleme qui d crivent l tat atomique sont j et m associ s au carr J du moment angulaire total J et asa projection J sur une axe de quantification ar bitraire Suivant la transition consid r e J d signera indiff remment le moment angulaire lectronique L S ou le moment angulaire L S I incluant le spin nucl aire Si la lumi re sonde est monochromatique et proche d une r sonance atomique seulement deux niveaux atomiques avec une fr quence de transition wo interviennent un niveau fondamental caract ris par un moment angulaire J et un niveau excit caract ris par un moment angulaire Je En absence d un champ magn tique ext rieur ces niveaux sont d g n r s dans leurs nombres quantiques 40 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE magn tiques tels que m lt J et m lt Je Le hamiltonien atomique libre est alors Je Ha w D Jeme Jemel 1 7 Me Je L interaction V provoque des transitions entre les etats propres du hamiltonien non coupl Ho Hat Hem Sp cifions les transitions l mentaires possibles entre un tat sans photon jm 0 jm 0 et un tat un photon jm ke Puisque le champ lectrique 1 5 d pend lin airement des op rateurs de cr ation et d annihilation il y a deux transitions l mentaires
119. comme la s rie chelle o 1 L A p C p L a 1 3 16 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 119 Enfin en passant de la s rie chelle a la s rie croisee il faut respecter la regle d evaluation des moments qr k k ge k tks 3 17 qui reprend simplement la definition des moments qz introduits dans les sec tions 2 2 4 et 2 2 5 A part le terme de la diffusion simple les deux s ries chelle 3 14 et crois e 3 16 sont gales pour pz po ce qui contient l amplification interf rentielle de l intensit vers l arri re Strat gie de sommation des s ries vectorielles L intensit moyenne de la lumi re est d crite par les vertex quatre pattes qui connectent les quatre vecteurs de polarisation entrants et sortants En expli citant les produits scalaires des vecteurs de polarisation avec les vertex on d finit alors des tenseurs de rang quatre par exemple le tenseur du vertex atomique de diffusion simple 1 148 E T e _ E1 1E2 jE3 kE4 l lijkt 3 18 E4 E3 Dans cette expression comme par la suite on applique la convention de somma tion d Einstein des indices cart siens r p t s sont sommer De m me la s rie chelle somm e 3 4 d finit un tenseur de rang quatre par L q uw 1 amp 2 jEsr amp a Lijr Q 3 19 Le pr facteur u w 37 2L w ala dimension d une nergie au carr laissant l
120. contribution crois e 2 78 peuvent tre mis sous la forme commune P q 2 dr Fa r e e er 2 85 avec 9 et re Prole E f Fe L C 2 86 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 97 en fonction des vertex chelle 2 67 et crois 2 79 de polarisation D apr s 2 65 et 2 77 le moment est 2 87 u k k pour F C r lo pour F L Fy r e e est le vertex d intensit double dans la repr sentation de l espace di rect l argument r repr sente le vecteur r a r T2 entre les deux diffuseurs cons cutifs L int grale 2 85 est alors simplement la moyenne sur l espace entier des deux positions P gr e e L i d r d ra Fo riz e tr 2 88 Dans le cas d un milieu semi infini le domaine d int gration spatial doit tre restreint l espace semi infini 21 22 gt 0 En tenant compte de l att nuation des amplitudes entrantes et sortantes et de la g om trie semi infinie on d finit la moyenne spatiale de configuration CBS cbs 21 23 ee 1 drar exp La r 2 amp 2 89 Fe dep Z La rinee 280 21 22 gt 0 Ici u cos 6 et u cos 0 param trisent l angle d incidence et l angle de diffusion par rapport a la normale a la surface Les amplitudes des contributions chelle et croisee ne parcourent pas les m mes chemins Pour la contribution crois e Fig 2 5 la moyenne de configuration CBS est z 22 1 20
121. ction de trace 1 T x 1 mim d 3 d 2 d x d 1 120 sur la matrice de densit 1 58 du niveau fondamental atomique Cette fonction doit prendre en compte la d g n rescence de la transition atomique De plus elle refl te la r partition sur l tat fondamental Puisque nous supposons la r partition statistique uniforme la trace doit tre invariante par rotation et ne peut d pendre que des produits scalaires entre les vecteurs libres T x VW xy 29 23 4 Wo ay 13 aq T4 W3 xy 24 2 3 1 121 Pour calculer les poids w nous employons les m thodes standards des op rateurs tensoriels irr ductibles 86 87 88 dont quelques formules utiles sont rappel es dans l annexe A 62 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE D composition de la trace La fonction de trace 1 120 peut s crire Hier 00 1 122 My avec l op rateur O x4 d 3 d 2 d x d D apr s Sec 1 1 op rateur dipolaire r duit d D d est un op rateur vectoriel irr ductible atomique dont le seul l ment de matrice r duit est par d finition J d J 2J 1 Les vecteurs 2 commutent avec J J et d Ce sont donc des tenseurs irr ductibles d ordre 1 mais ils ne font pas partie de l algebre des op rateurs atomiques Il est donc clair qu il suffit d evaluer l action de la trace sur les op rateurs dipolaires d Admettons que l op rateur O soit developp O Y amO 1 123 L
122. d un W Georges Perec La Vie mode d emploi Cord Axel M LLER geboren am 2 8 1971 in Wohnsitz Schule 1978 1982 1982 1984 1984 1988 1988 1989 1989 1991 1991 1991 1992 Studium 1992 1994 1994 1993 1998 1994 1995 1995 1995 1998 1998 Promotion 1998 2001 Bremerhaven 33 bis Boulevard de Cimiez F 06000 Nice Johannes Grundschule in Bremerhaven Orientierungsstufe in Schiffdorf Gymnasium Weserm nde in Bremerhaven Brandywine High School in Wilmington DE USA Gymnasium Weserm nde in Bremerhaven Abitur Note 1 0 Grundwehrdienst Marine Albert Ludwigs Universit t Freiburg Vordiplom in Physik sehr gut Stipendiat der Studienstiftung des deutschen Volkes Universite du Languedoc Montpellier Licence de physique gut Magist re Interuniversitaire de Physique Ecole normale sup rieure Paris gut Dipl me d Etudes Approfondies de physique th orique Ecole normale sup rieure Paris gut Binationale Promotion Universit Nice Sophia Antipolis und Ludwig Maximilians Universit t M nchen Betreuer Dr Ch Miniatura Laboratoire Ondes et Desordre Nice und Priv Doz Dr A Buchleitner Max Planck Institut f r Physik komplexer Systeme Dresden Resume Des r sultats recents de retrodiffusion coh rente CBS de la lumiere sur un nuage d atomes froids ont montr que le contraste d interference est fortement r duit par rapport aux milieux d
123. dans cette these value l impact de la struc ture interne quantique des diffuseurs atomiques sur la propagation de la lumiere dans un gaz d atomes froids Nous supposons que les atomes sont des diffuseurs ponctuels classiques distribu s uniform ment dans un milieu de taille infinie La lumi re est quasi r sonnante avec une transition dipolaire J Je de d g n res cence arbitraire et nous supposons que les atomes sont distribu s uniform ment sur les tats internes du fondamental Sous ces conditions d finissant un milieu d sordonn pour la propagation de la lumiere nous calculons analytiquement l amplitude moyenne ainsi que l intensit moyenne dans le r gime kf gt 1 de lo calisation faible ou milieu dilu Des propri t s interf rentielles sont tudi es a l aide du cone de r trodiffusion coh rente qui est calcul analytiquement a l ordre de diffusion double Une analyse syst matique en termes de tenseurs irr ductibles permet la sommation analytique de la s rie de diffusion multiple de la lumi re a l approximation de Boltzmann s rie chelle La correction de localisation faible s rie crois e en est obtenue par une r gle d change qui trouve une image dia grammatique elegante dans la torsion du ruban du vertex atomique Enfin l association de la m thode de l image avec une int gration du propagateur exact la m thode exacte image donne l intensit moyenne diffus e par un espace semi i
124. die Selbstenergie ist die Polarisierbarkeit dem mittleren atomaren Streutensor proportional s 1 97 auf S 56 und durch Gl 1 101 gegeben Der Imagin rteil der Selbstenergie beschreibt die endliche Lebensdauer des Feldzustandes und definiert damit die mittlere freie Wegl nge der Lichtausbrei tung gem 1 87 auf S 53 Da wir verlustfreie Streuung annehmen ist die Ab nahme der mittleren Amplitude nur durch Streuung in andere Moden zu erkl ren Dies ist der Kern des optischen Theorems 1 106 auf S 57 das den Imagin rteil des Streuoperators mit dem Streuquerschnitt Crot verkn pft 30 871 Die mittlere freie Wegl nge ist deshalb 1 notot Mittelung ber die internen Freiheitsgrade hei t Spurbildung mit der inter nen Dichtematrix Da wir annehmen da die Atome ber die internen Zust n de statistisch gleichverteilt sind ist die entsprechenden Dichtematrix rein skalar vgl 1 58 auf S 49 Die skalare Operation der Spurbildung ber eine skalare 8 ZUSAMMENFASSUNG Dichtematrix w hlt nun zwangsl ufig die skalare Komponente des gemittelten Operators aus Das bedeutet da nur die skalare Komponente des Streuopera tors in die Definition von Selbstenergie und Polarisierbarkeit einflie t Damit sind diese Gr en isotrop vgl 1 81 und 1 99 und die Entartung des atomaren Dipol bergangs spielt f r die mittlere Amplitude letztlich keine Rolle An diesem Punkt k nnte man voreilig schlie en da die interne
125. e tenseur de rang quatre L 4 q sans dimension La s rie chelle 3 2 sous forme tensorielle est L g 1 1A q 1A q 1 1 A q 3 20 L argument de cette s rie g om trique est comme la fonction A p du cas scalaire 3 9 le produit du propagateur de l intensit avec le barreau de l chelle Ave 3 21 Dans la s rie de diffusion multiple ces tenseurs sont contract s dans le sens horizontal ZT 77 7 Ark ne 3 22 120 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Pour accentuer l importance de ce couplage horizontal on regroupe les indices par paires gauche droite Ask Ask 3 23 de sorte que le produit de deux tenseurs A et B est explicitement AB itj iin nak 3 24 La strategie pour sommer la serie geometrique de diffusion multiple consiste a diagonaliser les tenseurs de rang quatre par rapport a ce produit tensoriel horizontal Plus concretement on cherche une d composition du vertex atomique sous la forme AT 3 25 B telle que les tenseurs de base forment une algebre de projecteurs orthogonaux TATE 6597 3 26 De m me on cherche la d composition de argument de la s rie g om trique A 5S _ aT 3 27 B Si cela est possible le s rie g om trique se resomme de fa on scalaire mode par mode D LE 19 3 28 n 0 B n 0 E ag Le tenseur A q d pend du moment q Par construction dans sa d composition 3 27 les fonctions propres scalaires ag n
126. e par rapport l axe de quantification z sont e ie ex ie o z e41 on e 1 or A 3 Ils sont orthonormalis s Ela A 4 leur complexe conjugu tant amp e_ Dans la base sph rique le produit scalaire entre deux vecteurs est A B A B A 5 169 170 ANNEXE A OPERATEURS TENSORIELS IRREDUCTIBLES Definition d un op rateur tensoriel irr ductible Un op rateur tensoriel irr ductible est un ensemble de 2K 1 op rateurs T a q E K K qui satisfont aux relations de commutation suivantes avec les composantes standard du moment angulaire J Jars TY VK K 1 dat Tan A6 N a L op rateur moment angulaire tant le g n rateur des rotations ces relations pr cisent que l operateur TX se transforme de fa on irr ductible sous des rotations Pour K 0 la seule composante To reste inchang e c est un scalaire Pour K 1 il s agit d un vecteur T de R ou op rateur tensoriel d ordre 1 Le produit direct de deux vecteurs et B est un tenseur de rang 2 Ti A Bj 4 B A 7 Cette matrice 3 x 3 peut tre d compos e en sa trace sa partie antisymetrique et sa partie symetrique sans trace 1 1 1 1 Ty Ta F Ea 7 Et Tyi 3 0ijTik A 8 ee eee PO PY TP ij ij 19 contenant 1 3 5 3 x 3 9 l ments ind pendants En effet le produit direct de deux repr sentations irr ductibles d un groupe est en g n
127. e peuvent d pendre que du module du moment r duit p ql Les tenseurs propres T par contre peuvent tre anisotropes et d pendre explicitement de la direction du moment La somme 3 20 des diagrammes chelle sous forme tensorielle est alors L q F 8 1 3 29 7 1 alp La s rie crois e est obtenue ensuite en appliquant des r gles du retournement de l amplitude conjugu e partir d un terme d ordre n gt 2 de la s rie chelle L qr e on obtient le diagramme crois C qc e du m me ordre par qr k k qo ki tks 3 4 4 s 3 30 We W3 gt w3 ws 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 121 La premi re r gle reprend l change 3 17 de moments La seconde r gle signi fie l change des vecteurs de polarisation correspondants La troisi me r gle est sp cifique au cas des atomes avec structure interne Elle signifie l echange des contractions diagonale we et verticale w3 1 143 dans la torsion quantique des vertex atomiques retourn s cf Sec 2 2 5 bes x 3 31 Forts de notre experience avec l analyse du vertex atomique en termes de tenseurs irr ductibles nous proposons d appliquer cette m thode la diffusion multiple L ingr dient cl de notre approche est la d composition 3 25 ou 3 27 sous forme de composantes irr ductibles par paires horizontales des indices i l et j k Le tenseur A q est le produ
128. eant les r les des vecteurs 3 et amp dans 3 32 En utilisant la d finition A 20 des symboles 67 on montre alors que l 11 K OK f ae Hai 3 56 K une relation qui ressemble au facteur de signe pr s la r gle de somme 3 40 de Biedenharn Elliott Les valeurs propres chelle Ax sont elles m me donn es par 3 38 en fonction des symboles 67 On reconna t alors dans la relation pr c dente la d finition A 24 d un symbole 9j J J 1 een 3 57 Ho u 1 1 K D un point de vue conceptuel les expressions 3 38 et 3 57 des valeurs propres chelle et crois es sont pleinement satisfaisantes car on a atteint la formulation irreductible la plus concise D un point de vue calculatoire les formules 3 56 ou 3 54 pour les valeurs propres crois es sont plus utiles parce qu on trouve plus facilement les valeurs des coefficients 67 86 88 et notamment MATHEMATICA Un produit direct de deux vecteurs de polarisation a neuf composantes ind pendantes Les vertex atomiques peuvent alors tre repr sent s par des matrices 9 x 9 Les valeurs propres de ces matrices sont pr cis ment les Ax et xx avec une d g n rescence d ordre 2K 1 1 3 5 9 3 x 3 Au lieu de manipu ler une matrice 9 x 9 il est avantageux d analyser les composantes irr ductibles horizontales gt parce que l on trouve facilement leurs valeurs propres et les ten seurs propres T associ s De plus on peut att
129. einlichkeit in einen anderen Endzustand k e Jm ist durch das Matrix element 1 28 der Streumatrix S s S 43 gegeben Aufgrund der Entartung des atomaren Grundzustandes ist die Streuung des Photons vollst ndig elastisch Das Matrixelement 1 29 des bergangsoperators T wird perturbativ durch die Born sche Reihe 1 23 berechnet Durch partielle Summation der Reihe erhalten wir die renormierte Ubergangsfrequenz wo die wir mit der urspr nglichen Gr e identifizieren sowie die nat rliche Breite des angeregten Zustandes s 1 41 auf S 45 die Einheiten sind so gew hlt da c 1 Wir erhalten so das Matrixelement s 1 51 auf S 48 des Ubergangsoperators f r den Photonen streuproze in Resonanzn herung Entscheidend f r das folgende ist nun die Rolle des Streuoperators t w defi niert in 1 44 auf S 46 der als atomarer Operator den bergang Jm Jm Z 1 EINFACHSTREUUNG 7 bewirkt und als 3x3 Matrix den Vektor der Anfangs auf den Vektor der Endpola risation abbildet 30 859 Der Streuoperator koppelt mithin die internen atoma ren Freiheitsgrade an die Polarisation des Lichtfeldes Falls der Streuproze den atomaren Zustand unver ndert l t m m sprechen wir von einem Rayleigh bergang Die Entartung des Grundzustandes erm glicht jedoch auch entartete Raman berg nge zwischen unterschiedlichen Grundzust nden m 4 m Als 3 x 3 Matrix kann der Streuoperator in seine irreduzib
130. emier terme du d veloppement 1 34 de la self nergie d crit un proces sus r sonnant l atome dans un tat excit passe dans un tat fondamental en mettant un photon virtuel qu il r absorbe ensuite pour revenir dans l tat excit de d part Les termes suivants d ordre quatre en interaction d crivent des contri butions non r sonnantes o l atome dans l tat fondamental met un deuxi me photon Ces contributions sont par cons quent nerg tiquement d favorables et on peut ne retenir que le terme d ordre deux en V be 1 36 Le propagateur de l tat atomique excit est alors obtenu par la resommation de la s rie infinie G w4 N t AI 4 1 37 que l on peut crire explicitement d apres 1 35 1 Gelw 1 38 o la partie r elle de la self nergie d place la fr quence de transition de Aw de sorte que amp o wo Awo est la fr quence de transition habill e par les fluctuations du vide Ceci est la seule fr quence de transition r ellement observable Adoptant le point de vue de la th orie des perturbations renormalis e 75 nous supposons d sormais toutes les nergies habill es et identifions les deux grandeurs amp wo Le propagateur de l tat atomique excit pour la transition r sonnante peut alors s ecrire Gl a 1 39 La partie imaginaire de la self nergie fait apparaitre dw 3TEo T w 2r X X Jeme 0V Jm k e
131. ence du syst me coupl mati re lumi re Notamment la correspondance directe entre les s ries chelle et crois e par la r ciprocit ne peut plus tre invoqu e La prise en compte de la structure interne introduit in vitablement l analyse en termes de tenseurs irr ductibles Comme la structure interne est coupl e la polarisation du champ vectoriel il est naturel d appliquer les m thodes des ten seurs irr ductibles au probl me de la diffusion multiple vectorielle Ces m thodes nous permettent en effet de sommer analytiquement les s ries chelle et crois e dans le milieu infini quelle que soit la transition atomique consid r e Comme corollaire simple cette sommation inclut aussi le cas limite du diffuseur dipolaire ponctuel 3 1 1 Strat gie de sommation Notre point de d part est la solution it rative de l quation de Bethe Salpeter rier u u lu 3 1 Le vertex irr ductible U z1 22 est donn lui m me perturbativement par 2 44 Dans l approximation de Boltzmann 2 45 consistante avec l approximation de diffusion ind pendante 1 76 on remplace le vertex irr ductible par U 21 22 2 52 le barreau de la s rie chelle en 3 2 ri amp Comme le propagateur moyen exact 1 73 en fonction de la self nergie lin tensit moyenne exacte est donn e par une s rie g om trique que lon resomme 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHEL
132. ende Grundannahmen die durch die experimentellen Bedingungen motiviert sind e Das Licht der koh renten R ckstreuung ist quasiresonant mit einem atoma ren Dipol bergang Die Verstimmung 6 w wo zwischen Lichtfrequenz w und Resonanzfrequenz w ist so klein da nur ein Dipoliibergang angeregt ist e Das atomare Gas ist nicht so kalt da die u eren Freiheitsgrade quan tisiert werden m ssten Die de Broglie Wellenl nge ist deutlich kleiner als die optische Wellenl nge Insbesondere ist die Teilchendichte n so klein da quantenstatistische Effekte vernachl ssigt werden k nnen e Der R cksto effekt des Photons auf das streuende Atom spielt f r CBS in R ckrichtung keine Rolle da der Impuls bertrag f r beide gegenl ufige Amplituden gleich ist Die u eren Freiheitsgrade der Atome sind also durch die klassischen Positionsvektoren beschrieben e Das Atomgas ist kalt genug da der Dopplereffekt die Resonanzbedingung nicht beeinflu t ku T Hier bezeichnet k 27 X den Betrag des Wellen vektors des gestreuten Lichts v die Breite der atomaren Geschwindigkeits verteilung und die Breite der atomaren Resonanz Hierzu quivalent ist die Forderung da sich ein Atom bei der resonanten Streuung eines Pho tons in der Zeit um deutlich weniger als eine Wellenl nge bewegt Diese Interferenzbedingung ist der Grund daf r da CBS bislang nur an gek hl ten Atomen nachgewiesen werden konnte F r die Lichtstreuung k
133. ent du sens de la propagation Si l on d tecte la composante d h licit oppos e s 5 l atome a n cessairement effectu une transition Rayleigh sans changement d tat interne m m Par contre si l on d tecte la composante de la m me h licit l atome a n cessairement effectu une transition Raman d g n r e avec un changement d tat interne de m m 2 Comme explicit dans 1 98 la d finition de la polarisabilit ne fait intervenir que les transitions Rayleigh qui conservent l tat interne atomique et ceci va de m me pour la self nergie 1 102 et le propagateur moyen 1 82 qui d crivent 60 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE l amplitude moyenne Calculer l intensit moyenne provenant de transitions Ra man d g n r es n cessite donc d aller au del de l amplitude moyenne Plus g n ralement la polarisabilit atomique donc la moyenne du tenseur de diffusion ne suffit pas pour d crire la propagation de l intensit dans un milieu atomique il faut connaitre la valeur moyenne du carr du tenseur de diffusion La section pr sente est par cons quent consacr e d terminer le vertex d intensit moyenne de diffusion simple pour toute polarisation et toute transition dipolaire d g n r e La technique des op rateurs tensoriels irr ductibles permet d obtenir le vertex analytiquement Ce r sultat sera utilis dans la Sec 1 4 pour calculer l intensit de dif
134. entaires et les termes d interf rence entre ampli tudes de chemins diff rents la barre d note la conjugaison complexe Diff rents chemins al atoires impliquent diff rentes phases al atoires et la contribution in terf rentielle devrait s annuler en moyenne Ts Ts Ceci est certainement vrai pour les v nements de diffusion simple o chaque chemin est d fini par la position al atoire du seul diffuseur Dans le contexte de la diffusion multiple d ondes lectromagn tiques Watson 8 a soulign qu chaque s quence S 1 2 N de diffusion multiple N gt 2 est associ e une s quence renvers e S N N 1 1 des m mes diffuseurs mais parcourue dans l ordre oppos Fig 1c Ces deux amplitudes d crivent deux processus distincts mais indiscernables et interf rent 24 CHAPITRE 0 INTRODUCTION Interference a deux ondes L interference des amplitudes directe et renversee rappelle l experience des deux fentes de Young une interf rence deux amplitudes l mentaires T et T2 L intensit associ e a ces deux amplitudes est h T D 1 x cos Ag 3 o Ip T1 T2 est la somme des intensit s l mentaires Ad est la diff rence de phase entre les deux amplitudes et le contraste est donn par _ 277 K em 4 P np 4 Deux propri t s essentielles de ces expressions seront importantes par la suite Premi rement l interf rence est constructive si le dephasa
135. enwerten des Vertex multipliziert vgl 3 125 auf S 139 und 3 142 auf S 142 Wir erhalten so die aufsummierte Leiter und Kreuzreihe f r die Streuung polarisierten Lichtes an Atomen mit beliebig entarteten Dipol berg ngen s 3 139 auf S 141 und 3 149 auf S 143 16 ZUSAMMENFASSUNG Diffusionsn herung Eine erste Diskussion dieser Ergebnisse ist im Rahmen der Diffusionsn herung m glich Ein diffusives Ausbreiten der Intensit t im Ortsraum vgl 3 150 auf S 143 wird durch einen Propagator im reziproken Raum mit quadratischem Pol p q beschrieben vgl 3 154 Die Diffusionsn herung besteht dar in den Nenner des Propagators bis zur Ordnung p zu entwickeln Einer Kon stanten dp in der quadratischen Entwicklung dp p wird durch die Fourier Transformation 3 156 eine effektive freie Wegl nge dp zugeordnet Ei ne divergierende effektive freie Wegl nge entspricht einem echten Diffusionspol p 0 w hrend eine endliche effektive freie Wegl nge eine ged mpfte Ausbrei tung beschreibt Schwache Lokalisierung und koh rente R ckstreung beruhen auf der Gleich heit der Leiter und Kreuzreihe in R ckrichtung Insbesondere entspricht der diffusiven Ausbreitung der Intensit t dank 1 das diffusive Verhalten der Interferenzsumme im Fall klassischer Dipolstreuer f r die ebenfalls xo 1 Nun ist jedoch f r entartete Dipol berg nge eben diese quivalenz zerst rt Fig 3 3 auf S 145 zeigt
136. ependant comme soulign par Ozrin 42 il reste un couplage irr ductible g p amp moment p gt 0 entre les modes purement scalaire X 0 et sym trique K 2 a 0 avec TO use du Pie 20 3 121 Sols T 2 0 itsjk Pa 2Qi1 Ojk D gt La table de multiplication des tenseurs de couplage est TEOT UR LG Peal ae TT dat o 3 122 TOTO Gig TEEN L analyse en modes irr ductibles ne fournit pas directement la structure com pletement diagonalisee En effet le transfert de moment q introduit une direction privil gi e et couple des modes qui sont bien distincts dans le cas isotrope Pour la sommation de la serie ce couplage n est pas un obstacle majeur car il n imposera que la diagonalisation d une matrice 2 x 2 3 1 4 Sommation des s ries atomiques chelle et crois e Serie chelle Comme annonc dans la section 3 1 1 la s rie chelle de diffusion multiple est une serie g om trique d argument Az q qui est le produit du propagateur transverse 3 116 avec le vertex atomique 3 46 Ar q G q I 3 123 Le vertex atomique est donn par la d composition 3 46 sur les tenseurs iso tropes TK avec les valeurs propres Ax J Je Compte tenu des propri t s pro jectives des tenseurs T le produit est imm diatement valu Arla I Aka TR Ag TO Ag TO 3 124 Kya avec des coefficients AKalP J Je Ak J Je JKa P 3 125 x p J Je A J Je
137. es argu ments changes Poole F w w3 amp A el 2wiw3 e A e A 2 w w3 ule e E A amp e e A e Quple el 2 80 Relation entre les vertex chelle et crois Evidemment le vertex crois 2 79 et 2 80 n est pas gal au vertex chelle 2 67 et 2 72 Quelle est la relation entre eux Dans le cas de diffuseurs dipo laires isotropes le diagramme crois est simplement ae 2 81 E Ane En retournant la ligne du bas i e en utilisant le renversement temporel on obtient le diagramme chelle A 2 82 e Ai e Cette galit entre les diagrammes classiques est vraie quelles que soient les po larisations ceci est caract ristique pour la diffusion double uniquement cf Sec 2 1 1 Pour un ordre quelconque de diffusion les diagrammes chelle et crois sont identiques dans les canaux parall les e E Ceci est la signature diagrammatique de la r ciprocit en CBS cf Sec 2 1 2 Dans le cas atomique par contre si l on 96 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE essaie d appliquer l astuce du retournement d amplitude au diagramme 2 79 on obtient Poole f ux oe 2 83 Ceci est different du diagramme chelle 2 67 m me pour Le ruban qui a remplac la ligne du diagramme classique se tord et bloque le diagramme crois Il bloque parce que les contractions diagonale et verticale n ont pas le m me poids
138. es par effet de recul 74 Les faisceaux puissants de pi ge doivent alors tre 30 CHAPITRE 0 INTRODUCTION bobines gradient B chantillon E gt SB lentille u camera CCD FIG 5 Sch mas exp rimentaux du montage de r trodiffusion coh rente avec analyse en polarisation et du piege magn to optique Dessins G Labeyrie pieges eteints pendant la phase de la mesure CBS En alternant des phases de capture et de mesure assez rapidement on accumule des donn es sur une succession de r a lisations diff rentes Le r sultat de mesure est alors d emblee l intensit moyenne La surprise exp rimentale La Fig 6 montre le signal de r trodiffusion coh rente en fonction de langle de diffusion sur un chantillon de polystyrene expans et sur le nuage d atomes froids Le milieu diffuseur en polystyrene ob it la relation de r ciprocit classique 9 et on obtient un pic de 1 70 dans A h et de 1 65 dans La diff rence la pr diction th orique 2 0 en h h provient vraisemblablement de la diffusion simple En ce qui concerne les atomes l paisseur optique au centre du nuage atomique est mesur e 20 avec un libre parcours moyen au centre de l ordre de 0 25 mm On observe bien un pic de r trodiffusion coh rente dans la direction vers l arri re d une largeur mi hauteur de l ordre de 1 k Mais les hauteurs de ces pics ne suivent pas le comportement attendu des di
139. es valeurs propres yx J J du vertex atomique crois sont donn es sous diff rentes formes dans la section 3 1 2 les fonctions propres XKalP J Je et Xx p J Je sont donn es par 3 142 et les tenseurs T sont toujours les m mes 3 118 Les contractions des polarisations entrantes et sortantes avec les tenseurs 3 118 doivent respecter la r gle d echange 3 30 1 1 2 j E4 k E3 T dae 3 148 wO En E2 j E4 k E3 TOCE age IX IX 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 143 Ainsi la population des modes est determinee par les polarisations entrantes et sortantes mais elle est independante de la transition atomique consideree La population des modes de la s rie crois e est diff rente pour 3 amp 4 de celle de la s rie chelle 3 138 La serie croisee somm e est alors Cla uw DI Xralp 2G X2 p iE a Ron amp 8 149 Une premiere discussion qualitative du r sultat de la resommation des series peut tre faite dans le cadre de l approximation de la diffusion 3 1 5 Approximation de la diffusion Bien connue en thermodynamique hors quilibre 112 l quation de diffusion 0 DV P r t t r 3 150 d crit l volution d une quantit conserv e dans un milieu effectif partir d un d s quilibre local D est la constante de diffusion La pr sence des distributions de Dirac qui repr sentent une excitation l mentaire d finit la r
140. est construit partir de la solution du milieu infini par la m thode de l image Nous montrons que le calcul du signal CBS peut tre r duit une seule int gration sur la composante q des fonctions propres as soci es aux modes du propagateur Cette int grale peut tre faite analytiquement dans l approximation de la diffusion dans le cas g n ral o l approximation de diffusion n est pas suffisante on peut n anmoins valuer l int grale num rique ment Cette m thode que nous appelons exacte image permet un calcul pr cis des facteurs d amplification et des pics CBS sur un milieu semi infini pour toute transition atomique 3 2 1 M thode exacte image Dans le cas de la diffusion double le propagateur transverse de l intensit intervient une seule fois cf 2 56 et 2 75 Il est inutile de calculer sa repr sentation de Fourier parce que l int grale spatiale dans 2 60 sert d finir la moyenne de configuration CBS 2 89 et 2 90 Par contre les s ries de diffusion 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 147 multiple chainent les propagateurs et leur sommation n est possible qu en repr sentation de Fourier o les propagateurs sont diagonaux Certes les expressions 3 139 et 3 149 des series somm es qu on notera sous forme commune F q peuvent tre formellement crites 1 F q a ener F ry 47 F L C 3 161 mais elles sont trop compliqu es pour pouvoir calculer F r
141. euung Die Streureihe f r die Intensit t erh lt somit die Leiterstruktur 2 46 in der beide Amplituden den gleichen Streupfad zu r cklegen In dieser N herung ist jede Information ber Phase und Interferenz verloren und man beschreibt die Lichtausbreitung durch eine effektiven Trans porttheorie der Intensit t In der Reihe der Leiterdiagramme beschreibt der Term erster Ordnung 2 45 den Beitrag der Einfachstreuung und ist im wesentlichen durch den Intensit ts vertex Z 2 gegeben vgl 2 52 auf S 90 Der Term zweiter Ordnung 2 55 beschreibt den Beitrag der Doppelstreuung und kann explizit berechnet werden 2 63 Die interne Quantenstruktur flie t nur in die Kopplung der einlaufenden und der gestreuten Polarisationsvektoren ein s 2 67 auf S 92 Mit Hilfe der Kontraktionsregel Z 2 l t sich das Doppeldiagramm leicht explizit berechnen Abschn 2 2 4 auf S 93 ff 34 Die Interferenz von direkter und umgekehrter Amplitude wird durch die Reihe 2 74 der sogenannten Kreuzdiagramme der schwachen Lokalisierung beschreiben 35 Das Kreuzdiagramm der Doppelstreuung 2 75 wird ganz analog zum Lei terdiagramm berechnet Abschn 2 2 5 auf S 94 ff Allerdings werden jetzt die Polarisationsvektoren durch die Bandvertizes ber Kreuz verkn pft s 2 79 Im Fall der klassischen Dipolstreuer zeigt man durch das Reziprozit tsargument da das Kreuzdiagramm durch Drehen der umgekehrten Amplitude die Form des 12 ZUSAMMEN
142. ferenz von Paaren gegenl ufiger Amplituden berlebt demnach die Mittelung und f hrt zu einer Erh hung der diffusen Streuintensit t in R ckrich tung Eine Erh hung der Intensit t in R ckrichtung entspricht einer verringerten Transmission und so wird diese sogenannte schwache Lokalisierung als Vorl ufer der Anderson Lokalisierung angesehen 9 10 Koh rente R ckstreuung von Licht Der Nachweis der schwachen Lokalisierung in Form der koh renten R ckstreuung von Licht CBS f r coherent backscattering war die erste direkte experimentel le Messung von Interferenzeffekten bei der Wellenausbreitung in ungeordneten Z 0 LOKALISIERUNG VON LICHT 3 Medien 11 12 13 Fig 2 auf S 25 zeigt den charakteristischen Konus der In tensit t als Funktion des Streuwinkels aus der Riickrichtung Akkermans et al 14 konnten zeigen da sich die Beitr ge aller Streuordnungen zu einem Konus mit unstetiger erster Ableitung im Ursprung aufsummieren 15 16 Im Regime der schwachen Lokalisierung ist die Intensit t nach Mittelung als Funktion des Streuwinkels durch die Summe 11 Ic 0 von direk ter Intensit t und Interferenzbeitrag gegeben Hier bedeutet Iz die Summe der Betragsquadrate aller gestreuten Amplituden und Jc steht f r die Summe der Interferenzterme gegenl ufiger Amplituden Die Indizes L und C verweisen auf die Struktur der zugeh rigen Leiter und Kreuzdiagramme vgl 3 2 und 3 5 auf S 116 f Der Verst rkungsfa
143. fficients chelles et crois s sont identiques l c Ceci est la signature de la r ciprocit cf sec 2 1 2 En effet lorsque la partie antisym trique du tenseur de diffusion atomique s annule wz w3 on a l galit yc2 0 yr2 Dans les canaux perpendi culaires il n est pas tonnant de ne trouver aucune trace de la r ciprocit Fig 2 7 montre le contraste K2 en fonction du moment angulaire J de l tat fondamental Trois r sultats principaux sont souligner ici Premi rement un contraste maximal amp 2 1 n est obtenu que pour le diffuseur dipolaire J 0 Je 1 que ce contraste maximal apparaisse dans les quatre canaux de polarisation est caract ristique de la diffusion double cf Sec 2 1 1 La structure interne r duit le contraste d interference consid rablement des que J gt 0 dans tous les canaux Par exemple dans le canal h h et pour une transition Je J 1 triangles pleins vers le bas dans Fig 2 7 le contraste chute 0 32 d j pour J 1 2 Deuxi mement le contraste peut tre plus grand dans le canal perpendiculaire h Lh que dans le canal parall le h h suivant le type de transition et la d g n rescence consid r e Ceci va lencontre d une intuition bas e sur la r ciprocit classique qui attribuerait un r le privil gi aux canaux parall les A h et I 1 Troisiemement les courbes des transitions Je J 1 convergent vers les m mes valeurs limites finies qua
144. ffit pas de calculer la valeur moyenne de l op rateur champ lectrique la valeur moyenne de E dans tout tat propre de l op rateur nombre est nulle D apres la theorie de la photod tection 17 74 la probabilit de photod tection par unit de temps un endroit r dans un tat du champ w t est proportionnelle WELES r Era 1 91 1 2 AMPLITUDE LUMINEUSE MOYENNE 59 Ici ET et E correspondent la partie de l op rateur champ lectrique 1 5 contenant l op rateur cr ation a et annihilation a respectivement Leur position dans l l ment de matrice correspond l ordre normal a a qui assure que la probabilit de photod tection dans l tat du vide 0 est nulle Le taux de comptage dans l tat 1 90 est alors proportionnel 2 gt CE expli k r wgt 1 92 Prenons comme tat une superposition d ondes planes parall les k k avec une faible dispersion Ak lt kp en nombre d ondes autour de ko par exemple sous forme gaussienne Cr C k 0 k 0 expl k ko 2AK 1 93 Cette superposition d crit un paquet d ondes planes localis sur une largeur Ak le long de l axe des z La somme sur tous les modes dans 1 92 devient par la r gle 1 4 une int grale gaussienne Pour un paquet d ondes quasi monochromatique Ak lt ko la force du champ E w E wo peut tre factoris e et on obtient un taux de comptage proportionnel exp Ak z t
145. ffuseurs ponctuels dipolaires Tab 1 Le pic le plus faible est obtenu dans le canal h h avec un facteur d amplification de 1 05 seulement Par contre le signal le plus fort est recueilli dans le canal h_Lh avec un facteur de 1 20 Dans les canaux de polarisation lin aire la difference entre les valeurs 1 12 dans et 1 10 dans lL est moins prononc e Mais l encore le facteur d amplification du canal est contraire la pr diction pour diffuseurs classiques o seule la contribution de diffusion simple baisse le facteur d amplification jusqu 1 75 19 Ce comportement surprenant des facteurs d amplification est la raison d tre de cette th se 0 2 ATOMES FROIDS LA SURPRISE EXPERIMENTALE 31 Hypoth ses de travail La motivation essentielle du pr sent travail est de r pondre une seule ques tion Quelle est l explication des facteurs d amplification inhabituels obser v s sur le nuage d atomes froids Pour r pondre cette question avec les moyens de la physique th orique nous utilisons les hypoth ses de travail suivantes qui sont motiv es par les conditions exp rimentales 1 La sonde monochromatique CBS est quasi r sonnante avec une transition dipolaire atomique Seule cette transition dipolaire ferm e intervient 2 L intensit du laser sonde est tr s inf rieure l intensit de saturation La diffusion de la lumi re par l atome peut tre calcul e au premier ordre de per
146. fusion simple vers l arriere qui constitue le fond du signal de retrodiffusion coh rente 1 3 1 Section efficace diff rentielle La probabilit de la transition 1 27 est le carr de son amplitude 1 28 Formellement on peut manipuler le carr de la distribution de Dirac 77 2r 5 w w 2r sw w e dt 2r 5 w w f dt 1 111 00 00 oO et interpr ter l integrale divergente comme le temps total d interaction La pro babilit de transition par unit de temps finie est obtenue en divisant par cette int grale w 2r w w Jm k e T w4 Jm ke 1 112 L energie re ue par unit de temps et par angle solide dQ dans la direction finale k est dW L3u dQ m et on sous entend d sormais que la diffusion est lastique wg wp On retrouve ici la r gle d or de Fermi 78 la densit d tats du champ lectromagn tique quantifi s tant L w 27 La section efficace diff rentielle est obtenue en divi sant le flux d nergie par angle solide par le flux d nergie entrant L atome dans le fondamental 0 n y contribue pas et le flux associ un photon d nergie w dans le volume L est la densit d nergie w L 85 De plus comme l tat ato mique final n est pas contr l il faut sommer sur m et enfin effectuer la moyenne sur l tat initial On d duit alors la section efficace diff rentielle moyenne pour la transition 1 27 6 2 g Le r
147. ge Ad s annule mo dulo 27 A l aide de la Fig 1c l on peut v rifier que la difference de phase vaut Ag k k ri ry 5 o k et k sont les vecteurs d ondes entrant et diffuse et r et ry la position du premier et dernier diffuseur des deux s quences La diff rence de phase s annule exactement dans la direction vers l arri re o k k Dans ce cas l intensit totale est plus grande que la somme des intensit s l mentaires J12 a Ip o le facteur d amplification est a 1 k Deuxi mement le contraste prend sa valeur maximale x 1 si et seulement si les deux amplitudes sont gales en module Ti 7 gt Dans ce cas l amplification est galement maximale et vaut a 2 Pour cette interf rence deux ondes l ensemble des diffuseurs du milieu res semble une collection al atoire de fentes de Young 58 Mais la difference de phase s annule vers l arriere ind pendamment de la position des diffuseurs qui d finissent la s quence Par cons quent cette interf rence constructive n est pas affect e par la moyenne sur les r alisations du d sordre L intensit diffus e vers Varri re est alors augment e par interf rence Ce phenomene appel r trodif fusion coh rente ou CBS pour coherent backscattering a constitu la premiere preuve exp rimentale directe des effets d interf rence dans des milieux d sordon nes 59 31 Une intensit augment e vers l arrie
148. h CBS Signalprofile am Halbraum f r beliebige Dipol berg nge in allen Polarisati onskan len berechnen vgl Abschn 3 2 3 Fig 3 10 auf S 159 vergleicht das R ckstreusignal von Dipolen mit dem der atomaren berg nge J 3 Je 4 Die Intensit t f r die Atome ist zehnfach berh ht dargestellt Die punktierten Linien zeigen den Beitrag der Doppelstreuung zum Gesamtsignal Wir sehen deut lich wie im Kanal A h die Doppelstreuung an klassischen Dipolen weniger als 7 des Gesamtsignals ausmacht im Fall des entarteten Dipol bergangs jedoch beinahe 70 Die Interferenz wird im letzteren Fall so sehr gest rt da nur die niedrigsten Streuordnungen berhaupt einen nennenswerten Beitrag leisten Dies ist der Grund daf r da das Modell der Doppelstreuung bereits eine sehr gute N herung des vollst ndigen Signals ist Eine Aufl sung des CBS Signals im Kanal h h in die Eigenmoden ist in Fig 3 11 auf S 160 dargestellt W hrend das klassische CBS Signal fast ganz allein aus der skalaren Mode gespeist wird was deutlich zeigt da die skalare Diffusionsn herung f r diesen Fall exzellent ist ist dies f r den atomaren bergang J 3 Je 4 gerade umgekehrt Dieses Verhalten erkl rt sich zwanglos aus den Keuzeigenwerten des atomaren Intensit tsvertex s Fig 3 1 auf S 126 die Eigenwerte xx der drei irreduziblen Komponenten K 0 1 2 verhalten sich wie Xo X1 X2 1 4 19 mit offensichtlicher Schw che der ska
149. i i i i 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 J J FIG 3 1 Valeurs propres horizontales du vertex atomique en fonction du moment angulaire J de l tat fondamental gauche vertex chelle q 3 46 droite vertex crois q 3 53 L unit de la valeur propre Au 1 du mode scalaire refl te la conser vation d nergie Pour J gt 0 les modes antisym trique K 1 et sym trique sans trace K 2 ne sont plus conserv s ceci traduit la d polarisation due aux transitions Raman d g n r es Pour le vertex crois la valeur propre scalaire Xo chute rapidement de sa valeur classique 1 avec J gt 0 pour Je J 1 signifiant une importante perte de contraste d interference Vice versa pour Je J co la limite Xo 1 signifie le r tablissement du contraste d interference CBS maximal cf Fig 2 7 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 127 Je J Une valeur propre crois e n gative par exemple yp 1 3 pour Je J 1 2 signifie une perte de contraste encore plus rapide comme on peut s en convaincre symboliquement en consid rant la s rie de diffusion multiple de ce mode seul 1 1 lea 1 xgl xK lt 0 3 55 So xk n 0 Les valeurs propres crois es 3 54 ont t obtenues par d composition du tenseur Xij en partant des contractions l mentaires par analogie avec les qs 3 42 3 44 du cas chelle On peut employer la m thode de recouplage en chang
150. ibre Y vers un tat asymptotiquement libre W est donn e par Sb Le concept de libert asymptotique est intuitif dans le cas d une particule massive interagissant avec un potentiel V r localis dans l espace les 42 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE etats entrant et sortant correspondent a la particule libre loin du centre d interac tion La matrice S d crit alors l volution temporelle engendr e par le hamiltonien complet H Ho V r dans la limite de la dur e d interaction infinie Dans la formulation de la th orie de collision formelle 77 78 l l ment de la matrice S entre tats propres de Ho est W S lY i 2r E E W IT E i0 ly 1 19 Le produit scalaire et la distribution de Dirac E E montrent que l nergie reste conserv e au cours de la collision on dit de fa on quivalente que la matrice S est d finie sur la couche d nergie Dans le membre de droite on a s par la partie sans interaction de l op rateur de transition T On note T E 10 T E lim T E ie 1 20 e 0 Introduisant la r solvante du hamiltonien non perturb Go z 2 Ho 1 21 on peut montrer que l op rateur de transition satisfait une quation de type int grale T z V VGo z T z 1 22 En iterant cette quation T est construit par la serie de Born T z V VGo z V VGo z VGo z V 1 23 Formellement la resolvante du hamiltonien complet G z z
151. ication est observ e D un point de vue th orique on peut d crire les effets du plus bas ordre en B en appliquant les m thodes des tenseurs irr ductibles au cas o le champ magn tique faible n a pas encore lev la d g n rescence sur l chelle de la largeur naturelle Au del de ce regime d autres m thodes de calcul ou encore la simulation num rique devront tre n cessaires Nous avons trait les atomes comme des diffuseurs ponctuels classiques en ce qui concerne leurs degr s de libert externes Mais dans un gaz d atomes refroi dis en dessous de la limite de l nergie de recul les positions des atomes doivent tre quantifi es En effet dans ce r gime la longueur d onde thermique Atn des 4 2 QUESTIONS OUVERTES 167 atomes devient comparable a la longueur d onde optique et le diffuseur atomique appara t d localis Pour des densit s lev es nA O 1 les effets de statis tique quantique entrent en jeu conduisant a la condensation de Bose Einstein La d tection des condensats ainsi que leur manipulation emploient couramment la diffusion de la lumi re De plus des gaz denses d atomes froids ont t sugg r s comme milieux adapt s la localisation forte de la lumi re 48 49 Le pr sent travail de th se indique que l impact de la structure interne quantique ne doit pas tre sous estim dans ces consid rations Notamment nous tenons souligner que l indice de r fraction moyen
152. if ou deux op rateurs Ta g successifs correspondent n cessairement a des diffuseurs diff rents a 8 Puisqu on suppose que les atomes sont sta tistiquement ind pendants la valeur moyenne d un produit de deux op rateurs Ts diff rents est simplement le produit des moyennes individuelles De plus la moyenne 1 67 de l operateur de transition ne d pend plus de a parce que tous les diffuseurs sont distribu s identiquement Le d veloppement 1 68 s crit alors G z N N N 1 1 69 Mais partir de l ordre suivant du d veloppement on moyenne un produit o le m me op rateur peut apparaitre deux fois gt x x N N 1 N 2 of pty FY 1 70 N N J 2 Par convention la ligne pointill e d signe l apparition r p t e du meme diffuseur M me en absence de corr lations entre diffuseurs diff rents ce moment d ordre deux d un m me op rateur ne factorise pas Le diagramme connect correspond a une amplitude diffus e deux fois par le m me diffuseur et visitant un autre diffuseur entretemps on parle de diffusion r currente 27 Introduisant la self nergie z comme la somme de tous les diagrammes irr ductibles par d finition le propagateur moyen exact satisfait l quation de Dyson 79 81 G z 9 2 go z z G z 1 71 El Or 1 72 Par it ration le propagateur est donn par la s rie g om trique
153. ilieu diffuseur a une g om trie finie qui supprime les ordres lev s de diffusion mais dans ce cas le poids relatif des diffusions simple et double est chang La Fig 2 8 montre aa en fonction du moment angulaire J de l tat fonda mental dans les quatre canaux de polarisation Dans le canal h h les transitions Je J 1 ne donnent qu un signal faible de diffusion simple cf Fig 1 7 mais le contraste est galement tr s faible cf Fig 2 7 Le facteur d amplifica tion correspondant est faible et varie peu autour de 1 2 Le contraste tr s faible des transitions Je J 1 est diminu encore plus par la diffusion simple et l amplification reste essentiellement en dessous de 1 1 Le contraste croissant des transitions J J est contrebalanc par une contribution de diffusion simple qui cro t galement avec J r sultant en des facteurs d amplification en dessous de 1 4 En somme le facteur d amplification classique 2 dans le canal h est perdu irr vocablement d s que J gt 0 Dans le canal Lh le contraste d interference est souvent plus grand que dans le canal A h mais la diffusion simple l est galement Les facteurs d ampli fications correspondant restent alors en dessous de 1 31 et varient peu autour de 1 2 Les facteurs d amplification des canaux lin aires se comportent comme ceux des canaux d h licit Avec la seule exception du dip le J 0 J 1 dans le canal l tous les facteur
154. imensionslose Funktion von Einfalls und Streuwinkel angegeben werden 31 32 Ausgehend vom differentiellen Wirkungsquerschnitt Z 4 ergibt sich jetzt der Beitrag der Einfachstreuung zur gesamten r ckgestreu ten Intensit t durch geeignete geometrische Mittelung ber das endliche Medium Wir w hlen die m glichst einfache Geometrie des Halbraums z gt 0 Die Definition des geometrischen Mittels in der CBS Konfiguration 1 166 auf S 71 ber ck sichtigt sowohl die endliche Geometrie als auch die D mpfung der einlaufenden und gestreuten Amplituden mit mittlerer freier Wegl nge vgl Fig 1 6 auf S 71 F r senkrechten Einfall und kleine Streuwinkel erhalten wir den Beitrag der Einfachstreuung E ys Z 5 CO Fig 1 7 auf S 73 zeigt ys als Funktion des Gesamtdrehimpulses J in den vier blichen Polarisationskan len und f r die drei m glichen bergangstypen Folgen de Schlu folgerungen lassen sich ziehen F r J gt 0 verschwindet die Einfachstreu ung in keinem der vier Polarisationskan le mit der einzigen Ausnahme J 1 2 und A h Dieser Hintergrundbeitrag zum Signal der koh renten R ckstreuung kann somit nicht durch Polarisationsanalyse unterdr ckt werden und verringert den Verst rkungsfaktor vgl Abschn 7 0 S 3 Andererseits bleibt die Intensit t in den klassisch verbotenen Kan len A A und l Ll stets kleiner als in den Kan len h Lh und l Es gelingt also
155. internes Le vertex de diffusion simple contient toute l information sur un v nement de diffusion l mentaire Dans l approximation de la diffusion ind pendante la diffusion multiple est vue comme l alternance d v nements de diffusion simple et de propagation libre dans le milieu effectif Cette description conduit naturellement a sommer les contributions de la diffusion simple de la diffusion double et ainsi de suite Dans cette section nous allons d terminer la contribution de la diffusion double En suivant le d veloppement perturbatif sys t matique de la diffusion multiple 37 81 105 nous introduisons des nouveaux diagrammes de type chelle adapt s au cas de la structure interne ainsi que des diagrammes crois s de la localisation faible 9 35 Les diagrammes sont faciles a calculer grace a l invariance statistique par translation du milieu infini dans la repr sentation naturelle ke des tats de la lumi re 2 2 1 Equation de Bethe Salpeter L evolution de l amplitude moyenne est d termin e par le propagateur moyen G w Par 1 25 la r solvante moyenne G z est reli e la moyenne de l ope rateur de transition G z 90 2 90 2 T 2 90 2 2 33 Ici T z est l op rateur de transition 1 22 d fini pour l interaction 1 59 de l ensemble des N atomes constituant le milieu Conna tre la r solvante moyenne G z est ainsi quivalent conna tre l operateur de tr
156. it du propagateur moyen transverse de Vintensit avec le vertex atomique La d pendance en q du propagateur transverse introduit une complexit de calcul assez importante Il est donc plus astucieux de se familiariser avec l analyse en composantes irr ductibles en traitant d abord le vertex atomique 3 1 2 Structure propre des vertex atomiques Recouplage du vertex chelle D apres 1 142 le vertex atomique de la s rie chelle est donn par la somme T e gt sr E12 ee 3 32 Les contractions entre les composantes irr ductibles des produits directs e122 Q E2 sont pond r s par 2 sx 3 2Jo 1 F 3 33 En comparant 3 32 avec le diagramme ruban 3 18 il est vident qu on a choisi un mode de couplage vertical les composantes irr ductibles du pro duit tensoriel 162 provenant de l amplitude directe sont connect es aux com posantes irr ductibles de e3 amp 4 provenant de l amplitude conjugu e Les contrac tions ne se font qu entre des composantes irr ductibles d ordre K gal parce que la matrice de densit atomique est scalaire La s rie chelle 3 2 cha ne les diagrammes de fa on horizontale Il est donc naturel de chercher les modes propres horizontaux qui d crivent comment les composantes irr ductibles des polarisations de gauche e amp 4 sont connect es 122 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE celles de droite 2 3 Par d finition
157. itudes sont encod es dans l exposant 219 L int gration peut tre faite en coordonn es sph riques Fig 2 6 Le vertex Pro e e v p ne d pend que de la direction sin cos p sin sin y cos entre les deux diffuseurs Ici V est l angle polaire entre l axe z normal la surface et r L angle azimuthal y est pris par rapport l axe x choisi le long de la direction d observation do k k kbe O 6 2 97 L integrale radiale sur r est alors l mentaire et on obtient 9 sind Prole e 0 4 En 9 2 98 Vrai 167 de f d 1 cos u2 1 cos cos p l en fonction de l angle de diffusion r duit F _ H pour C 2 99 0 pour F L On voit que l intensit crois e varie avec l angle d observation 0 sur une chelle naturelle de 1 k qui est tr s petite dans le r gime de localisation faible Cette loi d chelle interf rentielle elle d pend de la longueur d onde 27 k justifie que nous avons pu n gliger toutes les corrections g om triques 1 0 0 pour arriver 2 98 100 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE FIG 2 6 Choix des angles dans la configuration CBS L angle de diffusion 0 amp 1 nest pas montr l chelle Les vertex de polarisation 2 72 et 2 80 sont des formes quadratiques des poids atomiques w Prole e 8 p un wa lile 9 p wiw lo e 0 p wy w2 w3 I3 e
158. ktor Ic 0 0 1 a 0 a Z 1 als Quotient von Signalmaximum 0 und Hintergrundniveau Ir ist ein Ma f r die Effizienz der koh renten R ckstreuung Sein Maximalwert 2 wird nur dann erreicht wenn alle Amplituden die mit ihrem Betragsquadrat zu Tz beitragen eine Interferenz mit optimalem Kontrast zu Ic beisteuern Mit anderen Worten wird der Verst rkungsfaktor durch 1 Amplituden der Einfachstreuung die keinen Interferenzpartner mit umge kehrtem Streupfad besitzen sowie 2 Ungleichheit interferierender Amplituden die den Interferenzkontrast redu ziert verringert Fig 3 auf S 26 veranschaulicht diese beiden Punkte Wir werden in den Abschnitten Z 1 und Z 2 sehen da im Falle von atomaren Streuern beide Gr nde zur Verringerung beitragen Polarisation und Reziprozit t Bei der Streuung von transversalen Wellen wie Licht spielt die Polarisation ei ne entscheidende Rolle Die Polarisationsvektoren und von einfallender und gestreuter Welle definieren vier jeweils paarweise orthogonale Streukan le Bei linear polarisiertem einfallendem Licht kann man das gestreute Licht in R ck richtung im Kanal l der parallelen oder im Kanal l Ll der orthogonalen Pola risierung analysieren Bei zirkular polarisiertem Licht ist es sinnvoll die Helizit t zu verwenden d h die Projektion des Spins auf die Ausbreitungsrichtung 17 Das gestreute Licht kann im Kanal h h der gleichen oder im Kanal h Lh der
159. la diffusion triple les projections successives sur des plans diff rents ne commutent pas et les amplitudes sont in gales dans les canaux perpen diculaires Seulement le projecteur transverse 2 9 est sym trique As As ji As y 2 23 On peut alors relier les amplitudes directe et renvers e g Ar Anz en Ze Am Ans A A RNIN PNN1 A i Ai E 2 24 Dans les canaux parall les h h et o amp e cf 1 171 les amplitudes 2 21 et 2 22 sont donc gales Par cons quent les amplitudes CBS pour des diffuseurs dipolaires sont gales dans les canaux h h et quel que soit l ordre de la diffusion et le contraste d interference est maximal 80 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Atome 1 Atome 2 FIG 2 1 D s quilibre des amplitudes directe et renvers e diffusion double vers l ar ri re dans le canal h h par des transitions Rayleigh sur J Je 1 2 Fleches solides dans la sequence directe l atome 1 peut diffuser le photon incident vers l atome 2 qui le diffuse vers l arriere avec h licit positive Fleches en tirets la sequence renvers e est impossible parce que l atome 2 ne peut absorber le photon incident Amplitudes d s quilibr es des diffuseurs atomiques Les amplitudes atomiques 2 16 et 2 18 montrent que la polarisation in cidente est transform e par le produit t tg Le tenseur de diffusion ta ta ma mi w n est pas
160. laren Mode K 0 und deutlicher Dominanz der symmetrisch spurlosen Mode K 2 18 ZUSAMMENFASSUNG Ausblick auf einen quantitativer Vergleich mit dem Experiment Mit unseren Resultaten zur Zweifachstreuung und der geschlossenen Summation der Streureihe sind wir im Rahmen der vorliegenden Arbeit so weit gegangen wie es mit Hilfe analytischer Rechnungen m glich erschien Ein genauer quantitativer Vergleich mit den experimentellen Daten kann sich allerdings nicht auf Resultate f r den Halbraum beschr nken sondern mu auch die endliche Geometrie und die ortsabh ngige Dichte der atomaren Wolke ber cksichtigen Numerische Monte Carlo Studien dazu sind in Vorbereitung 45 Z 4 Res mee und Perspektiven Einflu der internen Quantenstruktur In der vorliegenden Arbeit wird der Einflu der Entartung des atomaren Dipol bergangs auf die schwache Lokalisierung von Licht in einem Gas gek hlter Atome untersucht Die systematische Anwendung von diagrammatischen Methoden und die Zerlegung in irreduzible Komponenten bez glich der Rotationstransformati on gestattet es einen analytischen Ausdruck f r den differentiellen Wirkungs querschnitt der Einfachstreuung herzuleiten und die gesamte Vielfachstreureihe inklusive der Interferenzterme aufzusummieren Der Einflu der Entartung auf die station ren Eigenschaften der Lichtausbreitung kann in drei Kategorien nach zunehmender Wichtigkeit eingeteilt werden Eigenschaft Ei
161. larisations est alors triviale le produit scalaire e dans 1 49 traduit simplement la transversalit du champ et conduit au diagramme de rayonnement du dip le isotrope cf Sec 1 3 1 Dans le cas plus g n ral d une transition dipolaire d g n r e Fig 7 sur p 35 l atome possede des propri t s de diffusion plus riches L amplitude de transition est alors ke Jm X Jm E t w e Jm EEE 1 51 Jm k e Toutes les parties irr ductibles 1 47 du tenseur de diffusion entrent en jeu et nous allons voir par la suite que ce sont pr cis ment les parties irr ductibles non scalaires qui sont responsables pour les facteurs d amplification inhabituels qui ont motiv cette analyse 1 2 Amplitude lumineuse moyenne Notre but est de d crire la propagation de la lumi re dans un milieu d sor donn d atomes qui sont d crits par leur position rg a 1 N et leur nombre quantique interne Ma Pour chaque r alisation du d sordre la propa gation sera diff rente et le seul espoir est de d gager des r sultats valables en moyenne sur un grand nombre de r alisations diff rentes Le point de vue adopt ici est donc celui de la propagation dans un milieu effectif obtenu par une moyenne statistique c est dire une op ration de trace sur les degr s de libert atomiques Les degr s de libert externes r sont des variables al atoires classiques et la moyenne est obtenue par int gratio
162. le l existence du pic de r trodiffusion coh rente Stricto sensu cette approche n est pas consistante dans le sens de l identit de Ward 2 42 Dans le cas de la diffusion d lectrons dans un m tal avec impuret s Vollhardt et W lfle 105 par contre somment les diagrammes chelles et crois s dans une approche diagrammatique auto consistante L objet de cette section est de calculer explicitement la contribution crois e la diffusion double Cr eo Sa 2 75 En rempla ant les modes 1 u 3 d et u 2 d 4 dans 2 52 on obtient la conser vation d impulsion sous la forme Oki ks kutkalkutka kztk k ks k2 ka4 Okado ku 2 76 ku ka ku ka mais le moment transf r est maintenant qo k k3 le propagateur de l amplitude conjugu e tant pair en ka la diff rence de signe avec 2 57 est 2 2 INTENSITE LUMINEUSE MOYENNE 95 sans importance Par cons quent le diagramme croise double pour la diffusion k e k e est valu au moment qo k kz k k 2 77 qui est non nul en dehors de la direction vers l arriere contrairement 2 65 Le diagramme crois correspondant 2 66 est alors donn par f 9 a I 5 qa Os gc amp ce z Pole e P e10 2 78 Le caract re crois est manifeste dans le vertex de polarisation E CA Poole f u oo 2 79 BEER Il est valu par les r gles diagrammatiques 2 68 2 71 mais avec d
163. le de d g n rescence pour p gt 0 Comme pour le mode antisym trique il persiste une d g n rescence par paires qu on attribue a la parit du propagateur Pour assurer la bonne definition du propagateur la limite isotrope q 0 ce Te 3 106 136 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE la somme des tenseurs 3 101 est ind pendante de et donne naturellement le tenseur sym trique isotrope y Tan Ta 3 107 a 0 1 2 Le sym triseur A trace nulle T commute avec les trois tenseurs sym triques A trace nulle TOT g TI TP T 3 108 a parce que son action sur des tenseurs d ja sym triques a trace nulle est triviale Parties mixtes scalaire sym trique Finalement les composantes mixtes scalaire sym trique 3 66 du propagateur d intensite sont donn es l aide des r gles 3 70 et 3 82 G q 3p TO A 2 3 109 GCO gq g p T A avec les tenseurs Bit v2 TO are Fi bit Pir 2Q5x 3 110 as 5 dur ru Pa 20a dk Ces tenseurs ne sont pas des projecteurs parce que leurs carres s annulent par construction T029 T 02 _ T20T 20 _ 0 3 111 Leurs produits crois s renvoient aux modes scalaire 3 73 et sym trique 3 98 TJ 0 2 F 2 0 To 2 0 3 112 T20TO2 _ TO 3 112 Les facteurs de normalisation dans 3 110 sont choisis pour rendre ces relations alg briques les plus simples possible Ce sont ces tenseurs mixtes qui couplent les deux modes scalai
164. le que dw ur 1 43 Les vecteurs d ondes interviennent dans l l ment de matrice 1 42 seulement dans le facteur de phase expli k k r Ceci signifie simplement que l atome conform ment l approximation dipolaire agit comme un diffuseur ponctuel Par contre les vecteurs de polarisation sont reli s de mani re consid rablement plus compliqu e que dans le cas d un diffuseur ponctuel dipolaire En effet dans 1 42 on reconnait un l ment de matrice de l op rateur t de diffusion simple 79 d fini en composantes cart siennes par Sa d pendance en fr quence t w est celle la normalisation des tats du champ quantique dans le volume fini L pr s d un diffuseur ponctuel classique proche de r sonance 36 80 g _ 3m T 2 6470 2 Lw2 iT 2 1 45 1 1 AMPLITUDE DE DIFFUSION SIMPLE 47 Fic 1 2 La transition dipolaire non degeneree J 0 Je 1 Fleches seules des transitions Rayleigh conservant l tat atomique m 0 sont possibles D composition en composantes irr ductibles L op rateur de diffusion 1 44 est un op rateur lin aire sur l espace produit du niveau fondamental atomique et des polarisations Pour une transition m m donn e les l ments de matrice atomique tiz m m w Jm lt w Jm 1 46 d finissent un tenseur de rang deux appel e la matrice t qui connecte la pola risation entrante la polarisation sortante 27 Cette matrice 3
165. le temps pour des discussions qui ont t extr mement b n fiques pour l avancement du sujet Sa comp tence et ses encouragements m ont permis de sortir d une approche quelque peu na ve de la diffusion de la lumi re et de chercher l impact de la structure interne quantique dans la vraie th orie de diffusion multiple Il a de plus accept d tre le rapporteur de ce manuscript de th se et je lui en sais sinc rement gr Aucun des r sultats pr sent s dans cette th se et je p se mes mots n aurait vu le jour sans les id es visionnaires et le savoir faire solide de Dominique Delande Pour repr senter fid lement ses contributions au pr sent travail j aurais d noter le vertex de diffusion simple D e le pic CBS de diffusion double scalaire Dz u et le noyau de l int gration exacte image D3 p En me pliant aux usages de notre profession je wai retenu qu un seul D lisez donc le reste pour savoir lequel mais je garde une admiration profonde une gratitude sans bornes et le souvenir cher de nombreuses discussions qui ont t pour moi un triomphe de la science Danksagungen Mein herzlicher Dank gilt Andreas Buchleitner dessen unerm dliches Enga gement diese binationale Promotion erst erm glicht hat Seine Offenheit seine Entschiedenheit und sein Humor haben dar ber hinaus ganz entscheidend zum guten Gelingen beigetragen F r seine ausgezeichneten Verbesserungsvorschl ge zum vorliegenden
166. le vertex atomique est la moyenne interne L E a oles d 3 d amp d e d 3 34 Ici la matrice de densit lai 1 os P 3 39 2J 1 J 1 Jm Jm po Simm EE est proportionnelle au projecteur Py sur l tat fondamental Le recouplage ver tical vers horizontal est alors l mentaire parce que l on peut changer les roles des niveaux fondamental et excit le projecteur P du niveau excit d finit ga lement une matrice de densit scalaire pe 2J 1 P Par cyclicit de la trace 23 1 T e mery Ve d E2 d e d E4 d 3 36 En appliquant la formule de trace 1 142 cette expression on obtient I te 2x e 4 es amp _ 3 37 ou Dr 7 l F 3 38 Ces coefficients Ax d crivent l efficacit avec laquelle un v nement de diffusion simple connecte horizontalement les composantes irr ductibles des vecteurs de polarisation De nouveau le caract re scalaire de la matrice de densit atomique assure que seules les composantes d ordre K gal sont connect es La d pendance des valeurs propres en J est explicit e dans la Tab 3 1 en p 123 et montr e dans la Fig 3 1 en p 126 La valeur propre du mode scalaire est identiquement No 1 3 39 quels que soient J Je par vertu de la r gle de somme 1 144 En effet dans le cas de la diffusion ke k e le mode scalaire d crit le passage 1 E e e 1
167. len Komponenten bez glich der Rotationen des Ortsraumes zerlegt werden die skalare Komponen te oder Spur die antisymmetrische Komponente und die symmetrisch spurlose Komponente s 1 47 Das Matrixelement des Streuoperators im nicht entarte ten Grundzustand des reinen Dipols J 0 Je 1 h ngt allein von der skalaren Komponente ab vgl 1 49 auf S 47 Dagegen sind entartete berg nge J gt 0 dadurch ausgezeichnet da auch die nichtskalaren Komponenten des Streutensors eine Rolle spielen Effektives Medium Unser Ziel ist es die Lichtausbreitung im Mittel zu beschreiben d h nach Spurbil dung ber alle atomaren Freiheitsgrade Die Mittelung der bergangsamplitude definiert zun chst ein effektives Medium f r die Amplitude des Photonenzu standes Die Selbstenergie D w definiert durch die Dyson Gleichung 1 71 auf S 51 beschreibt die Renormierung der Ausbreitungsfrequenz des Lichtes auf grund der Wechselwirkung mit dem atomaren Medium In der N herung unab h ngiger Streuung ist die Selbstenergie dem gemittelten Streuoperator proportio nal s 1 76 Das effektive Medium f r die Lichtausbreitung wird blicherweise durch die Dielektrizit tskonstante e w beschrieben In einem Medium resonanter Streu er deren Dichte durch die Bedingung der schwachen Lokalisierung kl gt 1 auf nA lt 1 begrenzt ist ist die Dielektrizit tskonstante durch e w 1 na w mit der atomaren Polarisierbarkeit a w verkn pft Wie
168. ltzmann 2 2 3 Vertex irr ductible d intensit 2 2 4 Diagramme chelle double 225 Diagramme crois double 22 4 44 24 2 un 4e 2 3 Retrodiffusion double exacte 251 COR DAMON OBO nee ad als eM Bee 2 3 2 Int gration sur l espace semi infini 2 3 3 Le contraste CBS l ordre deux 2 3 4 Facteurs d amplification l ordre deux 2 3 5 Pic CBS exact de diffusion double 4 4 22 gt 44 s 200 Lesailes du pie CBS 44 446 24884 e4 ARR gs Diffusion multiple 3 1 Sommation des s ries chelle et crois e HT Strat gie de sommation er are 3 1 2 Structure propre des vertex atomiques 3 1 3 Modes propres du propagateur transverse 3 1 4 Sommation des series atomiques chelle et crois e 3 1 5 Approximation de la diffusion 3 2 R trodiffusion coh rente 3 2 1 M thode exacte image gt 22 Facteurs d armphhestim 4 4 24 4 2856 4 6 kur 3 2 3 Pic CBS sur milieu atomique semi infini R sum et perspectives 4 1 Impact de la structure interne quantique 42 Questions OU etes na rh des ee Eds her DE A Op rateurs tensoriels irr ductibles B Conventions et Notations Bibliographie 115 115 116 121 128 139 143 146 146 150 156 163 163 166 169 175
169. lytical expressions for the single and dou ble scattering contributions to the CBS signal for arbitrarily degenerate atomic dipole transitions Furthermore we sum up the series of ladder and crossed diagrams that describe the average scattered light intensity and the weak localisation corrections respectively We find that the de generacy of the atomic transition has negligeable impact on the average light amplitude small impact on the average intensity but decisive im pact on the interference corrections The internal degrees of freedom very effectively reduce the interference leading to weak localisation and therefore the CBS signal for any degenerate atomic dipole transition ill iv Remerciements Ce travail de these qui se mat rialise entre vos mains n aurait pas t pos sible sans l aide et l encouragement de tres nombreuses personnes que je voudrais remercier avec une profonde gratitude Tout a commenc au DEA de Physique Th orique Paris o l quipe en seignante a su me d voiler les beaut s de la physique th orique et m inspirer une motivation qui ne m a plus quitt depuis Merci surtout douard Br zin et Alain Comtet pour leurs cours brillants et leurs conseils judicieux Je suis galement reconnaissant Jean Dalibard pour m avoir indiqu le groupe d atomes froids Nice lorsque j tais la recherche d un sujet de stage de DEA et de th se De plus je le remercie d avoir accept de fai
170. m o toute la d pendance des vecteurs libres est contenue dans les coefficients apm du d veloppement et o toute la partie op ratorielle est concentr e dans les composantes irr ductibles OW La moyenne de cet op rateur par une matrice de densit p peut alors s crire 89 ALm L IN THIOL Trp0 I PT IOI 1 124 D aea Data Dans cette expression toute information angulaire sur m est contenue dans les coefficients ap et les composantes irr ductibles pE J JY gt Em TT mm Lm Im p I m 1 125 de la matrice de densit vue comme un tenseur statistique 87 Dans le cas de la matrice de densit scalaire 1 58 sa seule composante non nulle est 1 v2J 1 Pour effectuer la trace 1 124 il suffit alors de conna tre le coefficient aoo et l l ment de matrice r duit J O J Dall J 1 126 400 0 Trp90 J O J 1 127 po TR JOU 1 127 Nous allons d abord d composer l operateur O selon 1 123 puis d terminer son l ment de matrice r duit J O J et enfin expliciter le coefficient apo en fonction des vecteurs libres a 1 3 VERTEX D INTENSIT DE DIFFUSION SIMPLE 63 D composition de l op rateur O Commencons par considerer l operateur 02 2 E d z d 1 128 Notre but est de d terminer ses composantes irr ductibles op ratorielles qui d pendent de l op rateur dipolaire On rappelle l expression A 5 du produit sca laire en fonction des
171. m me potentiel V dans l op rateur de transition T z Va Go z VaGo z On arrive alors l quivalent de 1 68 T T T Ti GoTo ToGol T1GoleGol ToGol Golo ee 2 3 impl doubl t simple ouble recurren L l ment de matrice 2 2 pris sur les deux premiers termes de 2 3 decrit la dif fusion simple par un atome ou l autre atome reste spectateur Cette contribution a t calcul e dans le chapitre 1 Maintenant nous allons analyser la diffusion double o le photon est diffus d abord par un atome puis par l autre et ensuite quitte les deux diffuseurs Les deux atomes tant les seuls diffuseurs pr sents le propagateur entre eux est simplement le propagateur nu Go w L change de plu sieurs photons interm diaires par les deux atomes est appel diffusion r currente 27 Dans le r gime de faible densit nA lt 1 les diffuseurs ont une distance r gt et n apercoivent que le rayonnement du champ lointain La diffusion r currente est alors n gligeable 20 et sera ignor e par la suite 2 1 1 Amplitudes des sequences directe et renvers e Convenons d appeler sequence directe la diffusion d abord par l atome 1 puis par l atome 2 L l ment de matrice pour la transition 2 1 en sequence directe est alors Tair Im Jm k e Do w Go w Ti w Jmo Jmi ke 2 4 Dans l approximation de r sonance 6 lt w le diagramme de Feynman dominant de cette amplit
172. n 2 3 6 Les ailes du pic CBS L expression 2 96 du signal CBS de diffusion double peut se lire comme la transform e de Fourier de la distribution des paires de diffuseurs cons cutifs on retrouve ici le concept des fentes de Young voqu dans l introduction p 24 Par transformation de Fourier un petit angle de diffusion sonde des grandes distances transverses entre le premier et le dernier diffuseur Par contre les grands angles de diffusion u gt 1 sondent les chemins les plus courts associ s la diffusion double 32 83 A nsi les ailes du pic de r trodiffusion coh rente sont donn es par la diffusion double et les pr dictions d un calcul de diffusion double peuvent tre confront es l exp rience 110 Le coefficient bistatique total yo u pour u gt 1 est donn par la contribution asymptotique de la diffusion double 2 111 Ir yolu Bu w w3 a d wiwsas wi w3 w2a3 w5a4 0 u 2 125 Les coefficients a peuvent s obtenir en d veloppant les expressions 2 117 2 123 en puissances de 1 Il est plus simple cependant de d velopper 2 114 1 u 0 2 6 dx ai i 7 2 126 Les fonctions c u 0 x amp d finies en 2 115 sont des polyn mes pairs d ordre au plus quatre en x L int grale 2 126 est valu e facilement l aide de l int grale trigonometrique 1 2 pourn 0 1 4 pourn 1 2 127 3 16 pour n 2 1 ft x dx ah
173. n Nous supposons que les atomes sont r partis 1 2 AMPLITUDE LUMINEUSE MOYENNE 49 ind pendamment et uniform ment dans le volume L de sorte que N ee Ile rc 1 52 L3N A Les atomes sont ainsi trait s comme des diffuseurs ponctuels et nous pouvons employer les m thodes habituelles du d veloppement syst matique de la diffusion multiple 1 37 81 La nouveaut du cas pr sent r side dans le r le de la structure interne En effet la moyenne sur le d sordre porte aussi sur les nombres quantiques internes ceci tant l analogue du cas des particules non sph riques o l on doit moyenner sur l orientation de chaque diffuseur 82 Pour les atomes la moyenne interne est donn e par la trace sur la matrice de densit des N atomes dig dr 1 53 Nous supposons que les atomes sont pr par s dans leur niveau fondamental J de facon ind pendante de do 1 54 et de fa on identique Geh Wels N 1 55 Ceci suppose que la r partition interne ne d pend pas de la position de l atome une hypothese raisonnable pour des atomes refroidis dans un piege magneto optique et quelque temps apres coupure des faisceaux de piege La matrice de densit d un atome peut tre diagonalis e dans une base appropri e pas n ces sairement celle sugg r e par la lumiere incidente p pmldm Im 1 56 OU Pm gt 0 est la population t e la probabilit d occupation de l tat Jm La condition de normalisa
174. n Resultaten der Bildmethode in Fig 3 6 auf S 153 zeigt da die Bildmethode auf die ganze Reihe angewendet werden kann Z 3 VIELFACHSTREUUNG 17 Verst rkungsfaktor Fig 3 7 auf S 155 zeigt den CBS Verst rkungsfaktor Z 1 f r die aufsummierte Streureihe des Halbraums F r den klassischen Dipol J 0 Je 1 erhalten wir Werte die den Resultaten der exakten L sung 42 43 mit einer Genauigkeit von 10 nahekommen s 3 186 auf S 154 Wie erwartet kann die Diffusi onsn herung in den orthogonalen Polarisationskan len die nicht der Reziprozi t tsbedingung unterworfen sind keine quantitativ genauen Vorhersagen machen Im Falle atomarer Streuer zeichnet sich f r den Verst rkungsfaktor ein d steres Bild die interne Struktur reduziert ihn drastisch Mit Ausnahme der berg nge Je J ergeben sich typische Verst rkungsfaktoren in der Gr enordnung von 1 2 bis 1 02 Der Vergleich mit den experimentellen Werten f r J 3 J 4 in Fig 3 9 auf S 157 zeigt da die theoretischen Werte der Doppelstreuung eine obere und die der summierten Streureihe eine untere Absch tzungen sind In allen drei F llen wird die relative H he der Faktoren richtig wiedergeben der mit Abstand kleinste Faktor tritt im Kanal h h auf bereits f r die Doppelstreuung und f r beliebige J gt 0 wie die Fig 3 8 im Falle der berg nge Je J 1 eindeutig zeigt CBS Profile Mit der Bildmethode zum exakten Propagator lassen sich nun auc
175. n effectif La structure interne atomique ne fait qu acc l rer l att nuation Ceci peut tre attribu aux transitions Raman d g n r es elles renforcent encore le m lange des composantes vectorielles par les projections transverses lors de la propagation Les transitions Rayleigh ont le meme diagramme de rayonnement que le diffuseur dipolaire et ne d polarisent donc pas plus Pour le mode scalaire Ao 1 et le libre parcours moyen effectif diverge dans le langage de la th orie des champs il s agit d un mode de Goldstone de masse nulle 114 Cette propri t est ind pendante de la transition atomique consid r e L approximation de diffusion est donc bien adapt e pour d crire la propagation de l intensit 41 La comparaison de 3 152 et 3 156 montre que le coefficient de diffusion associ est comme pour les diffuseurs dipolaires classiques 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 145 3 T u vJ J 1 a J J 2 Ris 2 4 a 0 J DE sl a Lt K vo A i tpg ee 0 1 2 i j J FIG 3 3 Libre parcours moyen effectif du mode scalaire crois q 3 159 Il diverge dans le cas du diffuseur dipolaire isotrope J 0 Je 1 garantissant l quivalence des modes scalaires crois et chelle Pour les transitions Je J 1 il chute en J pour les transitions Je J il cro t lineairement avec J et diverge ainsi linfini Pour J fini la localis
176. n mit Bezug auf das horizontale Tensorprodukt in der Streureihe 7 9 suchen wir durch die Analyse in irreduziblen Komponenten der Indexpaare il und jk in der Form Ana arT TT ax dk TE Z 11 K 3 Die Summation der geometrischen Reihe ist dann in jeder Eigenmode ele mentar O0 he 1 K VAN Fr ie Z 12 K n 0 4 Die Summe der Kreuzdiagramme ergibt sich als Korollar aus der Summe der Leiterdiagramme im wesentlichen durch die Substitution X Z 13 Z 3 VIELFACHSTREUUNG 15 Eigenstruktur des atomaren Vertex F r den atomare Intensit tsvertex der Leiterdiagramme finden wir in der Tat eine Zerlegung in der Form Z 11 wobei die Eigenwerte Ax wiederum durch 6j Symbole gegeben sind s 3 38 auf S 122 Desgleichen finden wir f r den verdrehten Kreuzvertex Eigenwerte xx die sich in kompakter Form durch 9j Symbole schreiben lassen s 3 57 auf S 127 Fig 3 1 auf S 126 zeigt die Leiter und Kreuzeigenwerte als Funktion von J Der konstante Leitereigenwert A 1 der skalaren Mode ist Ausdruck der Unitarit t der Streumatrix und besagt da die Streuung verlustfrei ist Die Ei genwerte Ax lt 1 weisen auf ein Abklingen der nicht skalaren Feldmoden hin d h auf eine nderung der Feldpolarisation durch entartete Raman berg nge Kreu zeigenwerte Xg Ag ungleich den zugeh rigen Leitereigenwerten bedeuten einen Kontrastverlust bei der Interferenz So finden wir insbesondere da der
177. nd J oo Ceci refl te simplement la convergence 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 103 lv 1 I pun u VL i rl Low hh 0 8 F re Vv 0 8 Li Eu L V V V y 7 y 0 6 m lp lee Pra 106 Ra i J L x A fe A 04 m ei 0 4 vy Boece 02 ee A J 0 2 ae 4 4 4 4 0 1 0 Qt 2 3 4 59 1 2 3 4 5 g T T z a u a h T T T T 08 y Elle R ILI J gg vV F i J 06 y Y a ye FM 106 K2 L a J V Z y 9 v J L 7 L yV NV V 0 4 2 FT A A E Y 0 4 L ak i A A A e TA ar CE Ag a ao Do2 A 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 De t 2 2 4 5 0 2 3 4 5 J J Y V Je J 1 moO Je J 4 A J 1 FIG 2 7 Contraste de diffusion double q 2 103 en fonction du moment angulaire J La structure interne r duit le contraste d interference d s que J gt 0 des poids w vers les m mes valeurs 1 147 Par contre le comportement des transitions Je J est diff rent Notamment on voit dans les canaux parall les que le contraste tend vers 1 lorsque J Je oo En effet les poids wa et w3 convergent vers la m me valeur limite 1 147 et l galit de ces poids des contractions diagonale et horizontale implique que les rubans du diagramme crois 2 83 peuvent tre d t
178. ne description par la diffusion double est alors presque suffisante pour reproduire quantitativement le facteur d amplification exp rimental Notamment nous pouvons affirmer que le signal le plus faible est bien obtenu dans le canal h h contrairement toute intuition classique 2 3 5 Pic CBS exact de diffusion double Non seulement la valeur de l intensit dans la direction vers l arriere mais aussi le profil entier du pic CBS de la diffusion double peut tre calcul analytiquement D apr s 2 98 et 2 101 le signal crois en fonction de l angle de diffusion r duit u k 0 est donn par qozlu 6 wi ws y u 6 wiws yolu wi w3 we y3 u D w3 yaly 2 111 o nous avons calculer 9 u a sind C p ld e av ap an T Jo 0 1 cos u 1 cos cos p 2 112 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 107 dans les quatre canaux de polarisation L int grale sur y est faite en utilisant oe 2n do S 2np _ 27 Va b Va a b gt 0 nEN 0 at bcos y a a b b 2 113 Il reste alors une derni re int grale 7 d x L a 7 2 114 7 1 x p 1 x o les fonctions c u x sont donn es par h h hLlh Ill LLI a 244 rer ae Pa OHA ara A Co 2x 0 0 2x C3 li 0 1 2 B C4 2 0 2 2 115 Dans les canaux lin aires l intensit d pend de l angle amp entre la direction d ob serva
179. nfini de fa on quasi indiscernable du r sultat exact Ainsi nous pouvons calculer les facteurs d amplification de m me que les pics CBS de la diffusion multiple vec torielle pour toutes les polarisations toutes les directions d observation et toutes les transitions dipolaires atomiques Les propri t s stationnaires de la propagation de la lumi re peuvent tre clas s es en trois cat gories suivant l impact croissant de la structure interne quantique Tab 4 1 L amplitude moyenne n est gu re affect e En effet l amplitude moyenne est d crite l aide de la self nergie w ou encore de la polarisabilit atomique 163 164 CHAPITRE 4 RESUME ET PERSPECTIVES Proprietes Impact Grandeurs caract ristiques Sec p o self nergie X w 12 2 52 Amplitude o libre parcours moyen hr 1 2 4 56 o section efficace oo 1 n 1 2 4 56 diffusion simple ys gt 0 1 4 70 Intensit d polarisation accrue Ax lt 1 3 1 2 121 o constante de diffusion D 3 3 1 5 143 contraste d interference ky lt 1 2 3 3 101 Interf rence libre parcours moyen effectif et L 3 1 5 143 e facteur d amplification a 1 amp 1 3 2 2 150 TAB 4 1 Impact de la structure interne quantique de la transition dipolaire sur les propri t s stationnaires de propagation de la lumi re dans un gaz dilu d atomes froids changement qualitatif oui e ou non o pa
180. nflu Charakteristische Gr e Abschn S O Selbstenergie U w 2 1 T Amplitude o Mittlere freie Wegl nge Z 1 7 o Wirkungsquerschnitt ot 1 n Z 1 T e Einfachstreuung yg gt 0 Z 1 9 Intensitat Depolarisierung Ax lt 1 2 3 14 o Diffusion D x 3 2 3 15 Interferenzkontrast ka lt 1 A 12 Interferenz e effektive freie Wegl nge lt 2 3 19 e Verst rkungsfaktor a 1 lt 1 Lo 16 o schwach e stark Der Einflu auf die mittlere Amplitude ist verschwindend weil die Mittelung ber die skalare Dichtematrix auf die klassische skalare Komponente des ato maren Streutensors projiziert Eine R ckstreuintensit t in allen Kan len und Depolarisierung des Lichtes werden durch die nicht skalaren Komponenten des 2 4 RES MEE UND PERSPEKTIVEN 19 Streutensors verursacht sind indes auch f r klassische anisotrope Streuer zu er warten Der Kontrastverlust der Interferenz in R ckrichtung jedoch und damit die St rung der schwachen Lokalisierung ist eine Folge der antisymmetrischen Komponente des atomaren Streutensors die in Abwesenheit eines u eren ma gnetischen Feldes keine klassische Entsprechung hat Offene Fragen Auch wenn die vorliegende Arbeit mit dem Ziel verfa t wurde eine m glichst voll st ndige und konsistente Beschreibung der Lichtausbreitung in atomaren Gasen zu liefern so bleiben doch gl cklicherweise viele Fragen ungekl rt Drei Felder von Fragestellungen sollen hier erw hn
181. nnen wir die Atome also als unbewegt ansehen e Die Lichtintensit t ist so klein da die Streuung am Atom in streutheore tisch erster Ordnung beschrieben werden kann Damit ist der Streuproze f r das Licht elastisch und S ttigungseffekte oder eine nderung der atoma ren Subniveauverteilung durch optisches Pumpen sind nicht erfa t In der Tat kann man selbst f r lange Wechselwirkungszeiten mit der CBS Sonde erwarten da optisches Pumpen im Innern der optisch dichten Atomwolke durch die isotrope Vielfachstreuung verhindert wird e Die Atome sind voneinander unabh ngig in einem dreidimensionalen Raum Poisson verteilt Wir vernachl ssigen allen Einflu der endlichen Geometrie oder der inhomogenen Dichte der Atomwolke Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung statistischer Translationsinvarianz e Wir ber cksichtigen ausdr cklich die Entartung des Dipol bergangs neh men jedoch an da die Atome unabh ngig voneinander und zuf llig auf die entarteten Zeeman Zust nde ihres Grundzustandes verteilt sind Dies bedeutet statistische Rotationsinvarianz 6 ZUSAMMENFASSUNG Unter diesen Bedingungen k nnen wir zeigen da die interne Quantenstruktur der atomaren Streuer d h die Entartung des Dipol bergangs aufgrund der Dreh impulsquantisierung s Fig 7 auf S 35 f r den CBS Kontrastverlust verant wortlich ist Die zu beantwortende Frage lautet deshalb genauer Wie h ngen schwache Lokalisierung und koh rente R ckstre
182. nten des atomaren Streutensors sind charakteristisch f r die interne Struktur des Dipol bergangs und modifizieren insbesondere die Inter ferenzeigenschaften Eine systematische Entwicklung nach irreduziblen Tensoren gestattet es die Einfach und Doppelstreuung an Atomen mit beliebiger Entartung analytisch exakt zu berechnen und die Reihe der Leiter und Kreuzdiagramme f r die mittlere Intensit t sowie die Interfe renzterme der schwachen Lokalisierung geschlossen aufzusummieren Es zeigt sich da die Entartung des atomaren Dipol bergangs f r die mitt lere Lichtamplitude unerheblich ist und die mittlere Lichtintensit t nur wenig beeinflu t Dagegen werden der Interferenzbeitrag der schwachen Lokalisierung und damit das koh rente R ckstreusignal drastisch verrin gert in sch ner bereinstimmung mit dem experimentellen Resultat Abstract Recent experimental results show that the interference contrast observed in coherent backscattering CBS of light by cold atoms is drastically reduced with respect to classical disordered media In the present theo retical contribution we study the impact of the degeneracy of the atomic dipole transition on weak localisation of light The non scalar compo nents of the atomic scattering operator are characteristic of the internal structure and strongly modify the interference properties of multiple light scattering A systematic analysis in terms of irreducible tensors permits to calculate exact ana
183. nterm diaire 1 82 le dia gramme d chelle de diffusion double est Qa L U Gta u 2 55 Ses l ments de matrice entre quatre tats ke sont obtenus en sommant sur les modes libres internes u ku u de l amplitude directe et d ka q de Vamplitude conjuguee 1 2 OURENSE A 2 56 valuation du propagateur interm diaire Les deux vertex U sont valu s par substitution des modes 1 u d 4 et u 2 3 d dans 2 52 Puisque chaque vertex conserve l impulsion totale cf 2 50 le diagramme d chelle conserve l impulsion totale On ka ku ka Ru k3 ko ka k k3 k2tka4 ka ku q 2 57 ku ka ku ka o qr k ky En utilisant la repr sentation 2 52 des vertex UM le dia gramme 2 56 est donc r Ei G ku w E2 La kie u w Oki ks ko ha _ de 2 58 ku k 4 G ka w 3 Ici nous avons utilis la regle 2 9 de sommation sur les polarisations transverses dans 1 83 pour faire apparaitre le propagateur moyen transverse P G k w w k i 20 2 59 92 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE La somme sur les moments internes dans 2 58 peut s crire comme une int grale spatiale en utilisant la relation de Plancherel Parseval 108 L gt G k w G k q w Jar G r w 8 G r w e 7 2 60 La transformation de Fourier inverse ikr d k ik r Gr LE ee ee 261 k se fait
184. of the atomic scattering operator are characteristic of the in ternal structure and strongly modify the interference properties of mul tiple light scattering systematic analysis in terms of irreducible tensors permits to calculate exact analytical expressions for the single and double scattering contributions to the CBS signal for arbitrarily de generate atomic dipole transitions Furthermore we sum up the series of ladder and crossed diagrams that describe the average scattered light intensity and the weak localisation corrections respectively We find that the degeneracy of the atomic transition has negligeable impact on the average light amplitude small impact on the average intensity but decisive impact on the interference corrections The internal degrees of freedom very effectively reduce the interference of weak localisation and therefore the CBS signal for any degenerate atomic dipole transition
185. oluble pour des m canismes tudi s depuis longtemps en physique de la mati re condens e La diffusion d ondes vectorielles correspondrait ainsi la diffusion spin orbite des lectrons sur des impuret s compte tenu de leur spin la diffusion d une onde vec torielle sur atomes avec degr s de libert internes correspondrait la diffusion spin flip d lectrons sur impuret s magn tiques 51 La diffusion multiple d ondes de mati re dans les solides la probl matique qui a t l origine de notre travail pourrait tre son tour enrichie d un point de vue th orique et exp rimental par la diffusion multiple de la lumi re dans les gaz atomiques 168 CHAPITRE 4 RESUME ET PERSPECTIVES Annexe A Operateurs tensoriels irreductibles Cette annexe rappelle quelques r sultats standards de la th orie des groupes qui ont t utilis s au cours de cette these Toutes ces notions sont d velopp es en d tail dans les ouvrages standards tels que les livres de Messiah 88 Edmonds 86 Blum 87 et beaucoup d autres Moment angulaire Soit J l operateur moment angulaire total et J sa composante le long d un axe de quantification Les tats propres associ s sont Jm tels que J Jm J J 1 Jm J Jm m Jm AA dans des unit s naturelles telles que A 1 Les composantes standard ou sph riques du moment angulaire sont d finies par J e J A 2 o les vecteurs de la base sph riqu
186. ominante dans la somme de toutes les contributions en bas a droite Ceci est en accord avec le fait que l approximation de diffusion scalaire est excellente pour d crire le pic Dans le cas de la transition J 3 Je 4 tous les modes sont att nu s par rapport au cas classique Maintenant ce sont les modes sym triques 2 qui dominent dans le pic CBS suivis par les modes antisym triques 1 a avec une contribution n gative conform ment au signe n gatif des poids dans Tab 3 3 environ vingt fois plus faible en module et enfin deux cents fois plus petit que les modes sym triques le mode scalaire Cet ordre est d termin tout simplement par l importance relative des valeurs propres xg correspondantes du vertex atomique crois Tab 3 2 et Fig 3 1 pour la transition J 3 J 4 le rapport des valeurs propres est Xo X1 X2 1 4 19 3 193 ce qui souligne la faiblesse du mode scalaire et l importance des modes sym triques Puisque c est le mode scalaire qui constitue le c ne classique on com prend pourquoi le facteur d amplification est particuli rement bas dans le canal h h Vice versa la table Tab 3 3 montre que dans le canal h Lh uniquement les modes sym triques interviennent Ceci est la raison pour laquelle le facteur d amplification est maximal dans ce canal La raison d tre de cette th se est un constat exp rimental les faibles fac teurs d amplification de r trodiffusion coh rente sur un ga
187. on l ordre deux as est reproduit avec la m me pr cision parce que la m thode image exacte donne le r sultat exact de la diffusion simple Facteurs d amplification de la s rie somm e Pour J 0 nous retrouvons avec une grande pr cision les facteurs d ampli fication des diffuseurs dipolaires isotropes calcul s par Ozrin 12 et Amic Luck 154 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE et Nieuwenhuizen 43 l aide de la m thode de Wiener Hopf J 0 Je 1 h h hlhj I ill Image exacte 2 0 1 24 1 76 1 12 Ozrin exact 42 2 0 1 25 1 76 1 12 3 186 ALN exact 43 2 0 1 251 1 752 1 120 SC vect diff 38 1 9 1 2 AWMM scal diff 39 2 0 1 14 Pour comparaison on donne aussi les valeurs obtenues par Stephen et Cwilich 38 par une diagonalisation des modes vectoriels du champ l approximation de la diffusion ainsi que les valeurs obtenues par Akkermans Wolf Maynard et Maret 39 par l inclusion ph nom nologique des effets de polarisation dans une approche d ondes scalaires l approximation de la diffusion Alors qu elle donne des r sultats qualitativement corrects l approximation de diffusion n est pas adapt e pour des pr dictions quantitatives dans des canaux orthogonaux Pour la m me raison l approximation de la diffusion n est pas adapt e pour pr dire quantitativement des facteurs d amplification dans le cas des atomes Les Figs 3 7 et
188. on a l interf rence par paires est fournie par les s quences qui n ont pas de renvers es distinctes d elles m mes Ceci est notamment le cas de la diffusion simple ot il n y a qu une amplitude pour r aliser la diffusion sur le dif fuseur unique Fig 3 Un v nement de diffusion simple ne peut donc contribuer l intensit d interference Io Lorsque l on s approche du seuil de la localisation forte kl 1 la diffu sion multiple r p t e sur les m mes diffuseurs devient importante l on parle de diffusion d pendante 27 Dans ce r gime il faut tenir compte de la diffusion r currente entre les m mes diffuseurs 61 plus g n ralement l on doit prendre en compte un nombre divergent de contributions et l approche perturbative na ve perd son efficacit Par contre dans le r gime de localisation faible kl gt 1 l ap proximation de la diffusion ind pendante est valable et il suffit de tenir compte des v nements de diffusion simple D apres les relations 8 pour les diffuseurs dipolaires la contribution de la diffusion simple peut tre rejet e par analyse de polarisation dans les canaux et h h Pour des diffuseurs anisotropes une contribution de diffusion simple dans tous les canaux fait d croitre le facteur d amplification 19 Nous allons voir dans la Sec 1 4 que la structure interne atomique pr sente la m me caract ristique 28 CHAPITRE 0 INTRODUCTION Fic 4 Rel
189. on classique dans l approximation de diffusion tel qu il a t trouv par Akkermans Wolf et May nard 14 Par cons quent l approximation de la diffusion nous obtenons ana lytiquement le pic CBS de diffusion multiple vectorielle sur le milieu atomique comme la somme des pics associ s aux modes du propagateur avec un libre par cours moyen effectif fini 3 157 pour chaque mode Cependant l approximation de diffusion n est pas valable pour les modes qui sont att nu s rapidement comme c est le cas pour tous les modes du propaga teur crois atomique qui d terminent la r ponse CBS En gardant les expres sions exactes des fonctions propres nous allons voir cf Fig 3 6 que la m thode exacte image appliqu e au cas de la diffusion double donne des r sultats qui sont presque identiques aux solutions exactes de la section 2 3 4 Reconfort s par ces v rifications nous proc dons alors au calcul exacte image des facteurs d amplification 3 2 2 Facteurs d amplification L information primordiale a obtenir est le facteur d amplification dans la di rection vers l arriere Yc 0 VE Dans l approche exacte image le coefficient bistatique chelle est donn par l in t gration 3 171 du propagateur L g 3 139 en q 0 a 1 3 174 2 ee te Ant 3 175 Les coefficients do et 7 sont obtenus par l int gration exacte image 3 171 des fonctions propres 3 1
190. on de la lumi re par un milieu semi infini La contribution de la diffusion simple dans la direction 0 est montr e avec l att nuation des ondes entrante et sortante On suppose un faible angle de diffusion 0 lt 1 et un milieu tr s dilu n lt 1 surface transverse du milieu qui tend vers le plan z 0 dans la limite ther modynamique N A oo prise densit n N L constante Nous supposons Vincidence normale u 1 Dans le cas d un milieu semi infini le domaine d int gration spatiale doit tre restreint l espace semi infini z gt 0 De plus les amplitudes lumineuses entrantes et sortantes s att nuent par e sur un chemin de longueur x Fig 1 6 Pour tenir compte de cette att nuation du flux et de la g om trie semi infinie on d finit la moyenne spatiale de configuration CBS du coefficient bistatique de diffusion simple ys m d r e77 Z er 1 166 z gt 0 Comme la section efficace moyenne de diffusion simple 1 156 ne d pend pas de la position l int grale est l mentaire valuer 3 Ys X wi el wale e ws 1 167 1 1 p En n gligeant la variation angulaire g om trique proche de la normale loi de Lambert 60 u 1 le coefficient bistatique de diffusion simple vers l arri re pour une transition dipolaire quelconque est 3 way wy amp e wole e ws 1 168 72 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE Avec le vertex 1 148 il s crit
191. on double dans un milieu demi infini De plus cette ap proche nous permet de sommer la s rie de diffusion multiple a l approximation de Boltzmann des diagrammes chelle ainsi que la s rie des diagrammes crois s de la localisation faible et de tracer les pics CBS correspondants Dans le chapitre 1 nous d terminons le maillon de base de la diffusion mul tiple c est a dire la diffusion simple Le chapitre 2 pr sente l analyse complete de la contribution de diffusion double a la r trodiffusion coh rente La somma tion de la s rie de diffusion multiple correction de localisation faible incluse est contenue dans le chapitre 3 Le lecteur d sireux de se familiariser d abord avec les r sultats principaux est invit a consulter le r sum contenu dans le chapitre 4 Les conventions de notation sont pr cis es dans l annexe B 34 CHAPITRE 0 INTRODUCTION Polystyrene ph 1 2 l 2 Alla shih 1 5 re F a L so gt 1 1 pra tn ananas som 1 ehlh a FR Jia 8 et A 1 Ill a L gt 11 R ed ee 1 elll Q H 7 E 4 7 1 1 L r CA 1 el e h N 1 10 5 0 5 10 6 4 2 0 2 4 6 0 mrad 0 mrad FIG 6 Signal CBS en fonction de Vangle de diffusion sur un chantillon de po lystyr ne expanse et sur un nuage d atomes froids ici sur la raie D2 de la transition 3 4 du Rb 25 26 Datas G Labeyrie Les facteur
192. ons wi wo w3 1 0 0 et donc Ay Ay Aa 1 Les tenseurs irr ductibles TA dans 3 46 se recombinent d apr s 3 50 et le vertex du diffuseur dipolaire est simplement l identit Le j i ij Rt 3 51 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 125 Ti rs 1 P J 1 1 OFDD JU D JF 1 M 2J 1 g 2J 1 6J 12J 5 2J2 2J 1 67 1 2 TEDE SAIF 5J2J 1 TAB 3 2 Valeurs propres du vertex atomique croise qs 3 54 et 3 57 Structure propre du vertex crois Dans les diagrammes crois s de diffusion multiple avec amplitude conjugu e retourn e c est le vertex tordu a J Aue i X i W1 dj W3 dip jt Wa il jk 3 52 qu il faut chainer et dont il convient de trouver la structure propre La compa raison avec le vertex chelle 3 41 montre que les m mes tenseurs propres 3 48 interviennent K Les valeurs propres crois es xx peuvent tre obtenues partir des valeurs propres chelle Ax par l application de la r gle d change 3 30 Xo w 3wa ws X1 w W3 3 54 X2 w wa Leur dependance en J est explicitee dans la Tab 3 2 en p 125 et montr e dans la Fig 3 1 en p 126 Pour le diffuseur dipolaire ponctuel J 0 J 1 toutes les valeurs propres chelle et crois es coincident Ax xx 1 En effet le vertex classique 3 51 peut tre crois sans diminuer le contraste d interf
193. ordus pour donner le diagramme chelle 2 67 En d autres termes dans cette limite les coefficients de Clebsch Gordan montrent une sym trie qui supprime la partie antisym trique du tenseur de diffusion Avec un tenseur de diffusion sym trique la r gle de r ciprocit s applique et on trouve un contraste parfait dans les canaux parall les Cette propri t reste valable quel que soit l ordre de diffusion et c est dans la limite J oo sans doute que l on doit chercher la correspondance avec des diffuseurs macroscopiques pour lesquels la r ciprocit classique est valable 109 104 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE 2 r r Rs lt p 2 h h h f hLh 1 8 J F 1 8 1 6 IL 116 Q2 La J L J E L 4p um E 14 gt V LL vs 7 GV V V yyy 1 2 NY y a WY 1 2 1 A A A a 4 4 3 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 2 T T T T VY T T r T T r 2 a d IL 1 8 F 7 Mi 7 1 8 1 6 m u Lt 1 6 Q2 L Lo 14 rus 7 14 gun g 12 I Frv TILI 6 VVYVVVyy y12 1 f i A i i f 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 S J vr J J 1 mo Je J A4 A Je J 1 FIG 2 8 Facteur d amplification de diffusion simple et double q 2 110 en fonc tion du moment angulaire J D s que J gt 0 le fond de diffusion simple Fig 1 7 et la r duction de contraste Fig 2 7 r duisent le f
194. ormation sur les deux fa ons distinctes de coupler trois moments angulaires A partir des symboles 37 les symboles 6j sont d finis par A hR j h BZ j J3 A f Aa 5 M M2 mg M M3 m M3 M ma Mi ma m M1 Mo Mg3 my sma 1 j J2 Js bpa nams SET te dy dey o s Ji Jo J3 M Ma M3 Le symbole 67 est invariant lorsque l on change ou bien deux colonnes ou bien deux l ments de la premi re ligne avec les deux l ments correspondants dans la deuxi me ligne Les r gles de s lection que doivent v rifier les arguments sont repr sent es par un t tra dre Jh j2 Ja l oL A 21 La relation d orthogonalite est Santos sign A 22 x 173 La r gle de somme de Biedenharn Elliott est S os x ols at b ct td e ftgth jt e Symboles 9j Les symboles 97 param trisent le recouplage de quatre moments angulaires En fonction des symboles 67 ils sont d finis par 31 a Ji 3 e A J J J J J 22 2 1 J 92 1 J3 Ja 92 3 A A 24 3 n a gt 22 i hz J a h Bm l z j js Ce T 174 ANNEXE A OPERATEURS TENSORIELS IRREDUCTIBLES Annexe B Conventions et Notations Symboles galit par definition G complexe conjugue vecteur unitaire x y produit scalaire de deux vecteurs A B produit direct de deux tenseurs Les vecteurs de R sont repr sent s par des caract res gras x1 2 3 Les tenseurs de rang quatre sont not s sans s rifs A
195. osante scalaire ou trace 1 0 0 _ bee goudjk Lease 3 42 1 w wa 3w3 FULL la composante antisym trique 1 an glam lyri lip hr 1 3 43 wy ws 5 is et Oik jt et la composante sym trique trace nulle 1 1 bar a Mt liki likjt likji g ba llrjer lekir jrllisst lissi 1 goudjk ser 3 44 1 1 w wo 5 Sis xe 0 01 3 id jk Gr ce au caract re scalaire de la matrice de densit atomique seules les combi naisons diagonales de composantes irr ductibles sont non nulles KEK EN 3 45 124 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Les qs 3 42 3 45 d finissent la d composition du vertex atomique en com posantes irr ductibles I lijk AT 3 46 l k K On v rifie que les valeurs propres sont justement les coefficients 3 38 du couplage horizontal gt Ao w1 We 3w3 1 Wi W2 3 47 A2 W Wo Les tenseurs irr ductibles de base sont 1 0 Te EI LE 1 1 5 Sis et dind 1 3 48 2 1 1 1 5 Sig Oat fiki qd Pour le produit tensoriel horizontal 3 24 ces tenseurs forment une alg bre de projecteurs orthogonaux TOTE Re TE 3 49 Leur somme donne l identit ST lije ddr 3 50 K L analyse en composantes irr ductibles fournit ainsi naturellement la structure propre adapt e la diffusion multiple Dans le cas du diffuseur dipolaire ponctuel J 0 7 1 nous av
196. ous avons ainsi calcul la constante di lectrique du milieu effectif amp 1 4 x w 1 104 et l indice de r fraction n Je du milieu effectif dilu est mais gt 1 105 La partie imaginaire 1 87 de la self nergie est l inverse d une dur e de vie En termes plus physiques elle d crit l attenuation de l amplitude moyenne d une onde lumineuse dans un milieu de diffuseurs atomiques Dans notre tude la diffusion est lastique et tout ph nom ne d absorption est exclu L att nuation d un mode est donc due a la diffusion de la lumi re dans d autres modes Cet argument est pr cis par le th or me optique 79 d montr partir de l unitarit de la matrice S Le th or me optique garantit que la section efficace totale de la diffusion est proportionnelle la partie imaginaire de l amplitude de transition vers l avant Dans le cas d un diffuseur avec degr s de libert internes le th or me optique n est valable qu en moyenne Tiot 2L Im ke T w ke 1 106 Le facteur de proportionnalit d pend de la normalisation des tats de diffusion ici des tats de Fock associ s au volume de quantification L3 La valeur moyenne du tenseur de diffusion est diagonale pour un atome de matrice de densit interne scalaire et on obtient avec 1 51 1 77 et 1 87 67 1 ac en 1 107 Prot a 1 482 T en 58 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE On y distingue trois facteurs la sec
197. p rimentale La r trodiffusion coh rente de la lumi re a t observ e exp rimentalement sur un grand nombre de mat riaux diff rents des suspensions de particules 11 12 13 aux chantillons solides 67 68 et jusqu la surface de la lune 69 et les anneaux de Saturne 21 En m me temps les techniques de refroidissement d atomes par laser taient d velopp es 23 Une manifestation de la diffusion multiple dans des gaz d atomes froids est le pi geage de rayonnement radiation trapping 24 70 reconnu pour limiter la densit maximale que l on peut atteindre dans des pi ges magn to optiques MOT pour magneto optical trap cf Fig 5 71 Des effets de la diffusion multiple coh rente dans un gaz d atomes thermiques avec une structure interne ont t tudi s 72 73 Pourtant la diffusion multiple tait plut t per ue comme un obstacle des exp riences propres et efficaces de refroidissement par laser La premi re observation de la r trodiffusion coh rente sur un gaz d atomes froids a t r alis e sur un nuage de Rubidium 85 pr par dans un pi ge magn to optique standard Fig 5 25 26 Pour pouvoir observer la r trodiffusion coh rente on alterne des phases MOT de pi geage avec des phases CBS de mesure En effet la sonde CBS op re faible intensit param tre de saturation inf rieur 0 1 pour viter de saturer la transition atomique et d acc l rer les atom
198. partie an 2 1 AMPLITUDES DE DIFFUSION DOUBLE 83 Fic 2 3 R trodiffusion coh rente avec degr s de libert s quantiques internes la r ciprocit n est plus suffisante pour assurer un contraste d interf rence maximal tisym trique et imaginaire pure avec le champ magn tique 98 On dit que le champ magn tique appliqu par l ext rieur et qu il faudrait inverser sous le retournement temporel brise la r ciprocit relative au milieu seul 66 La r ci procit ne peut plus servir pour montrer l galit des amplitudes qui interferent Ceci est tr s proche du cas d atomes avec structure interne ot le tenseur de dif fusion a une partie antisym trique r elle et les moments magn tiques locaux m sont renvers s pour le processus r ciproque Il para t alors tr s naturel que le contraste d interference d croit lorsque le moment angulaire ou le champ ma gn tique augmentent Dans ce sens la structure interne semble induire un effet Faraday en champ nul Malgr ces caract ristiques communes il y a des diff rences significatives Premi rement en milieu Faraday les amplitudes CBS des s quences directe et renvers e acqui rent une diff rence de phase cause de la partie antisym trique imaginaire pure du tenseur di lectrique Cette diff rence de phase d pend du chemin de diffusion et la moyenne de configuration brouille l interf rence Ainsi l effet Faraday r duit le contraste d interf
199. possibles l absorption d un ke photon D jm jm 0 V jm ke jm j j me D jm e 1 8 et l mission d un photon qm jm Unie Vino k e iE j m amp Dijme 1 9 Les diagrammes de Feynman associ s ces vertex l mentaires se lisent de gauche droite contrairement aux l ments de matrice o les op rateurs agissent sur les vecteurs d tats droite L op rateur dipolaire D D est un op rateur tensoriel irr ductible d ordre 1 ou op rateur vectoriel irr ductible La d finition pr cise de cette notion est rappel e dans l annexe A et il suffit de dire ici qu elle indique que D se transforme comme un vecteur sous les rotations de l espace R Ses composantes standards sont d finies par D e D 1 10 o les vecteurs de la base standard par rapport l axe de quantification z sont e tie e ie o ez ey a ci 1 11 v2 v2 Ils sont orthonormalis s e dpq et le complexe conjugu est e_ Dans la base sph rique le produit scalaire entre deux vecteurs est e D X Je D 1 12 1 1 AMPLITUDE DE DIFFUSION SIMPLE Al L valuation des l ments de matrice atomiques dans 1 8 et 1 9 est facili tee par le theoreme de Wigner Eckart 76 qui permet de s parer la d pendance angulaire de ces expressions de la partie qui est invariante sous des rotations Ap pliqu l op rateur dipolaire D ce th or me pr cise q
200. pproches bas es sur l approximation de la diffusion 38 39 40 111 jusqu la solution exacte de l quation de transfert radiatif par la m thode de Wiener Hopf 42 43 En effet lors de la propaga tion de la lumi re dans un milieu d sordonn la polarisation et la direction de propagation sont li es par la transversalit de l onde D crire rigoureusement la propagation de l intensit d un champ vectoriel dans trois dimensions implique de 115 116 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE manipuler des tenseurs de rang quatre ou encore des matrices de transfert 9 x 9 La strat gie employ e habituellement consiste appliquer les m thodes d velop p es pour le cas scalaire cette matrice de transfert Les travaux de Ozrin 12 et Amic Luck et Nieuwenhuizen 13 t moignent de la difficult du probl me et de la complexit de la solution obtenue La g n ralisation des diffuseurs anisotropes a t entreprise dans le cas d une faible anisotropie 44 une solution la fois g n rale et utile n existe pas notre connaissance Dans le cas de la diffusion multiple de la lumi re par des atomes avec structure interne nous nous pla ons d emblee dans la derni re classe de difficult les degr s de libert internes sont coupl s la polarisation du champ et l approximation de diffuseur dipolaire J 0 n est pas valable par d finition De plus la structure interne modifie les propri t s d interf r
201. r de diffusion t w Ensuite sont d termin es les deux quantit s essentielles du d veloppement de diffusion multiple la self nergie du propagateur photo nique Y w et le vertex d intensit de diffusion simple Z Une analyse syst ma tique en termes d op rateurs tensoriels irr ductibles permet de calculer le vertex d intensit analytiquement dans le cas d un m lange statistique uniforme d etats internes pour une transition dipolaire quelconque Comme premier r sultat on obtient ainsi la contribution de fond due la diffusion simple la r trodiffusion coh rente 1 1 Amplitude de diffusion simple 1 1 1 Champ atome et interaction dipolaire Notre but est d valuer l impact de la structure interne quantique des diffu seurs atomiques sur la diffusion de la lumi re Ces degr s de libert internes de l atome sont donc quantifi s par d finition Par sym trie le champ lectromagn tique sera galement d crit quantifi 17 28 c est une collection d oscillateurs ind pendants dans un volume L qui sont caract ris s par un vecteur d onde k 37 38 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE 1 1 Op rateur de diffusion t N 1 2 Self nergie 1 3 Vertex d intensit Z N 1 4 Fond de diffusion simple Yg du signal CBS FIG 1 1 Plan du chap 1 et une polarisation 7 Dans la jauge de Coulomb le champ est purement trans verse k Eks 0 Les photons en tant que bosons de spin 1 mais de
202. r rapport au diffuseur dipolaire ponctuel J 0 Je 1 a w qui sont d termin es par la moyenne du tenseur de diffusion cf Sec 1 2 4 p 56 Dans la mesure o les atomes sont distribu s uniform ment sur les tats internes la moyenne sur la matrice de densit scalaire s lectionne la partie scalaire de l op rateur de diffusion La self nergie et la polarisabilit sont alors isotropes Toutes les grandeurs relatives l amplitude moyenne correspondent celles du diffuseur ponctuel dipolaire un facteur My 2J 1 3 2J 1 proche de l unit pr s Les libres parcours moyen lastique et de transport sont identiques L ly Le libre parcours moyen et la section efficace totale sont reli s par L 1 no t comme requis par le th or me optique L intensit moyenne dans l approximation de Boltzmann i e l ordre des diagrammes chelle pr sente globalement les caract ristiques des diffuseurs ponc tuels dipolaires L intensit ob it une loi de diffusion une chelle sup rieure au libre parcours moyen cf Sec 3 1 5 p 143 La constante de diffusion est donn e par D x 3 avec comme coefficient de proportionnalit la vitesse de transport Les modes vectoriels du champ autres que le mode scalaire de l inten site sont att nu s avec des libres parcours moyens effectifs de l ordre de La d g n rescence interne atomique diminue davantage ces libres parcours moyens effectifs pa
203. ranche en effet la m thode de l image peut s appliquer par it ration des images sur les plans des deux c t s un milieu de taille tr s sup rieure au libre parcours moyen Cette tude qui n est pas achev e ce jour devrait am liorer l accord entre les valeurs th oriques et les r sultats de mesure 156 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE 209 1 10 en n Je J 1 hih J J 1 18 h milli oo oo F105 a pii P E E E i 5 5 5 2 ZZ f de oo 000 1 6 il 1 9 o e l 1 1 00 1 4 bi 1 05 E 4 L Jesu erty o 2 1 00 12 BY 3 J L y a P Mittler feg ot DES 9 O94 44 O it 2 3 4 4 1 2 3 4 5 J J Fic 3 8 Facteur d amplification CBS q 3 174 en fonction du moment angulaire J pour les diff rents types de transitions En encart valeurs pour la transition J 3 Je 4 3 2 3 Pic CBS sur milieu atomique semi infini Le coefficient bistatique crois yo q en dehors de l origine est donn par l int grale exacte image 3 171 sur le propagateur crois 3 149 Celui ci fait intervenir les fonctions propres X p et les tenseurs de polarisation T Mais lors de l int gration sur p qf le produit scalaire entre un vecteur de polarisation et le vecteur unitaire d pend de la variable d int gration 3 188 V qi qz En observant le pic CBS nous travaillons direction q fixe et il faut tenir
204. ransition J 3 Je 4 La comparaison au diagramme de rayonnement dipolaire Fig 1 4 montre que la structure interne brouille la signature du rayonnement dipolaire et r sulte en un diagramme de rayonnement plus isotrope Soulignons que ce diagramme de rayonnement ne repr sente que la diffusion d un seul photon par un atome d polaris Cette approche par la th orie des collisions d termine la r ponse du diffuseur atomique dans un milieu optiquement pais une excitation 70 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE l mentaire sachant qu en moyenne le rayonnement est isotrope Par contre un atome isol sous l influence prolong e d une irradiation laser atteindra un certain tat stationnaire par des cycles d absorption mission spontan e Cet tat peut diff rer radicalement de la r partition statistique que nous supposons ici 91 92 et son diagramme de rayonnement stationnaire sera galement diff rent Libre parcours moyen de transport Le libre parcours moyen de transport 27 fr 1 cos 4 1 162 mesure la distance moyenne au bout de laquelle la direction initiale de la propa gation de la lumiere est perdue suite a la diffusion avec un libre parcours moyen lastique En effet la valeur moyenne de l angle de diffusion sur la section effi cace d cos 0 Zo cos 0 d0 1 163 dQ mesure le d s quilibre entre la diffusion vers l avant cos 9 1 et vers l arri re cos 1
205. ransitions diagonales J 0 Me 0 gt J 1 m 1 Deux conclusions principales sont tirer de la Fig 1 7 1 La diffusion de la lumi re sur un atome avec un tat fondamental d g n r J gt 0 donne une intensit dans tous les canaux de polarisation avec la seule exception du canal h h pour J Je 1 2 Cette contribution de fond au signal de la r trodiffusion coh rente ne peut donc tre limin e par analyse de polarisation et r duit la hauteur observable du pic cf Fig 3 2 Pour une transition J Je donn e l intensit demeure plus faible dans les canaux classiquement interdits h h et _L que dans les canaux classi quement ouverts h Lh et La contribution de fond est alors toujours 1 4 FOND DE DIFFUSION SIMPLE DU SIGNAL CBS 73 1 1 Allh L ALh 08 08 06 I LV 0 6 Ys L D V V V V V F0 04 Toe aAA A A A 04 EEEN un w O B 5 90 0c Ant A 02 mA J 0 2 u A A A A 4 0 x yv v NY y Yy i 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 lt Ill 08 y 08 0 6 ur 0 6 7 ms seg At si aM 0 4 I _A A he he ER tf ee REE ERE do 0 1 1 1 1 1 Y 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 J J V V J JS 41 moO Je J 4 A J 1 FIG 1 7 Intensit moyenne de diffusion
206. rce que les transitions Raman d g n r es acc l rent la d polarisation du champ vectoriel Ax lt 1 cf Sec 3 1 2 p 121 En ce qui concerne la r trodif fusion coh rente la structure interne induit une contribution de diffusion simple dans tous les canaux de polarisation partir de J gt 1 2 seul le canal h h tant interdit pour J 1 2 cf Sec 1 4 p 70 L interference est affect e radicalement par la structure interne quantique comme le montre la r trodiffusion coh rente CBS Les nombres quantiques ma 4 1 IMPACT DE LA STRUCTURE INTERNE QUANTIQUE 165 gn tiques m deviennent des variables dynamiques du syst me coupl lumi re matiere La r ciprocit du systeme couple n est plus applicable pour pr dire l ega lit des amplitudes CBS cf Sec 2 1 2 p 81 On s apercoit alors que ces ampli tudes sont en g n ral d s quilibr es reduisant le contraste d interf rence sensible ment En d autres termes dans la moyenne de l intensit les parties non scalaires du tenseur de diffusion contribuent dans les canaux de polarisation parall les c est alors la partie antisym trique qui est responsable de la r duction de contraste d interference En introduisant des diagrammes ruban pour le vertex d intensit atomique cf Sec 2 2 4 p 91 et suivante cette r duction de contraste de la diffusion double est repr sent e par A A A x KAN p 4 1 En g n ralisant l analyse
207. rdered solids Phys Rev Lett 57 2049 1986 29 184 69 70 74 75 76 TT 78 79 80 81 BIBLIOGRAPHIE B W Hapke R M Nelson and W D Smythe The opposition effect of the moon The contribution of coherent backscatter Science 260 509 1993 29 A Fioretti A Molisch J M ller P Verkerk and M Allegrini Obser vation of radiation trapping in a dense Cs magneto optical trap Optics Comm 149 415 1998 29 D Sesko T Walker and C Weiman J Opt Soc Am B 8 946 1992 29 J P Barrat tude de la diffusion multiple coh rente de la lumi re de r sonance optique Application au niveau 6 P du mercure Ph D thesis Facult des Sciences de l Universit de Paris 1959 29 A Omont tude th orique et exp rimentale de la relaxation des niveaux atomiques de r sonance par la diffusion multiple et les collisions r sonnan tes Application au niveau 6 P du mercure Ph D thesis Universit de Paris 1967 29 C Cohen Tannoudji J Dupont Roc and G Grynberg Processus d Interaction entre Photons et Atomes InterEditions Editions du CNRS Paris 1996 29 42 44 46 52 54 56 M Peskin and D Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Addison Wesley Reading 1995 39 45 52 67 86 88 144 J Cornwell Group Theory in Physics An Introduction Academic Press San Diego 1997 40 47 M Goldberger and K Watson
208. re T et sym trique TP Les produits non nuls sont TODTO TO TOTO FOD 2 2 RAN 3 113 TETO TCO TOTO T0 La fonction de d veloppement est donn e par 3 Vals p 352 p V2 ppa BD a aA e 6 4p 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 137 IKa Fic 3 2 Valeurs propres du propagateur d intensite gs 3 117 en fonction du moment adimensionn p ql Le couplage g p entre modes scalaire et sym trique q 3 120 s annule dans la limite isotrope p 0 Proche de l origine la fonction de couplage varie quadratiquement V2p 15 p p 3 115 et le couplage dispara t la limite isotrope de moment nul g 0 0 R sum En rassemblant tous les termes on obtient la d composition du propagateur transverse 3 58 de l intensit moyenne sous la forme 2 orato TEA Tea T 3 116 Dans la somme sur les modes K a nous avons r duit les neuf valeurs propres de d part en six fonctions propres gxa p de p ql profitant d une d g n rescence 138 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE par paires dans les modes antisym trique K 1 et sym trique K 2 arctan p p solp Ap 1 7 O P _3 1 A p _1 8p 4 gulp 2p T2 10 Olp 3 1 1 P A 1 p p 2 10 3 117 Gy ea Te 920 p 4p 210 P gt __6 p 3 2 p p A p 7 13p 4 ga p Ap 10 70 O P _ 3 7p 3 1 p A p _
209. re implique que la probabilit de transmission vers l avant est diminu e Dans le contexte de la transition m tal isolant une augmentation de la probabilit de retour vers l origine est interpr t e comme un pr curseur de la localisation d Anderson et appel e localisation faible 9 Le cone de r trodiffusion coh rente Dans toute la suite nous nous placons dans le r gime de la localisation faible o l approximation de la diffusion ind pendante ISA pour independent scattering 0 1 ONDES ET DESORDRE 25 1 8 it 4 TiO 1 4 i 4 Intensit normalis e FIG 2 C ne de r trodiffusion coh rente sur un chantillon de TiO2 dans le canal h h d h licit conserv e Data G Labeyrie approximation est valable 27 Dans ce r gime l intensit moyenne diffus e dans une direction angulaire 0 par rapport la direction vers l arri re peut s crire 1 6 I Ic 0 6 I est la somme des intensit s l mentaires l indice L pour ladder faisant r f rence la structure en chelle du diagramme dans l espace des vecteurs d onde cf 3 2 p 116 Cette contribution contient notamment tous les v nements de diffusion simple La contribution interf rentielle des paires de s quences directe et renvers e est d not e Ic crossed cause de la structure crois e des diagrammes cf 3 5 Un argument simple permet d estimer l ordre de grandeur de la largeur
210. re le mouvement des lectrons dans des m taux faiblement d sordonn s La th orie de Drude 2 ou encore la loi d Ohm de la conductivit lectrique sont des r sultats qui s expliquent dans le cadre des th ories de transport de l intensit 107 2 2 3 Vertex irr ductible d intensite Le vertex irr ductible 2 45 est simplement le barreau l mentaire des dia grammes 2 46 en chelle U 21 z2 N Tia Ta 22 2 47 Ses l ments de matrice dans Hem Hem sont 1 62 UV fke w N Tu kasa k3 3 w4 Th k1e1 kses w i 2 48 4 3 90 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Ici les fleches indiquent le sens des modes entrants 1 et 3 et des modes sortants 2 et 4 On rappelle l element de matrice 1 51 de T entre des tats un photon Ty k e kae2 w Er talw 1 Eu LE 2 49 Ceci est un op rateur sur les tats atomiques et valuer 2 48 n cessite de calcu ler la moyenne de son carr La moyenne uniforme sur la position ra dans l espace infini donne la conservation d impulsion totale Ge k hes heath 2 50 La moyenne interne 1 53 s exprime naturellement en fonction du vertex de dif fusion simple 1 121 E4 talw 3 E2 talw 1 4 Malt w Z e E2 3 E14 2 51 o on rappelle My 2J 1 3 2J 1 et o t w est donn par 1 45 L l ment de matrice du vertex irr ductible est alors explicitement E1 E2 UU ke w m u w Oki k
211. re partie du jury de soutenance de th se La premi re ann e d une th se dit on est la plus dure Lorsque je me sentais le plus perdu j ai eu la chance de travailler en collaboration troite avec Thi baut Jonckheere Gr ce sa t nacit et sa patience nous avons pu dompter les distributions de Dirac au carr et la structure interne des atomes merci Thibaut Dans cette phase de notre approche de la th orie des perturbations Serge Reynaud nous a beaucoup aid Ses conseils nous ont mis sur les bons rails et je le remercie vivement Depuis ma premi re visite dans les locaux du groupe d atomes froids l INLN jusqu ce jour dans le Laboratoire Ondes et Desordre j ai eu la chance d vo luer dans un groupe de coll gues physiciens qui je tiens exprimer toute mon amiti Un grand merci Robin Kaiser pour les discussions enrichissantes est ce vraiment un effet quantique Guillaume Labeyrie pour avoir partag la passion du c ne et sans qui je n aurais jamais connu les merveilles de la nature qui entourent un laboratoire de recherche et Yannick Bidel Bruce Klappauf et David Wilkowski pour tous ces moments tr s appr ci s des r unions de groupe des repas et surtout du caf J esp re que le LOD conserve son lan face l inextricable incoh rence du monde et malgr sa structure interne quantique ou pas Mais c est Christian Miniatura mon directeur de th se que je voudrais
212. ren Pha senraumdichten Der erste experimentelle Nachweis von koh renter R ckstreuung an einem Gas kalter Atome 25 26 gelang an einer optisch dichten Wolke von Rubidium 85 in einer magneto optischen Falle vgl Fig 5 auf S 30 Fig 6 auf S 34 vergleicht experimentelle Daten eines klassischen Streumediums Styropor mit denen der atomaren Wolke Styropor erf llt das oben genannte Reziprozit tskriterium in den Kan len paralleler Polarisation und so erh lt man die h chste Verst rkung von etwa 1 70 f r h h dann 1 65 in 1 sowie schwache Verst rkung in den orthogonalen Kan len 1 20 f r h Lh und 1 10 f r I Ll Bei Atomen verhalten sich die Verst rkungsfaktoren v llig anders Der mit Abstand kleinste Wert von nur 1 05 wird in A h gemessen Der h chste Wert der jedoch 1 20 nicht bersteigt erscheint im Kanal h L h Bei den linearen Kan len ist der Unterschied weniger ausgepr gt und man erh lt Werte von 1 12 in l I und 1 10 in L Dieser berraschende Unterschied zwischen den Verst rkungs faktoren f r klassische Streuer einerseits und Atome andererseits ist die raison d tre der vorliegenden Arbeit Grundannahmen Zentrale Motivation dieser Arbeit ist eine einzige Frage Wie erkl ren sich die geringen Verst rkungsfaktoren der koh renten R ckstreuung an einem Gas kalter Atome Z 0 LOKALISIERUNG VON LICHT 5 Zur Beantwortung dieser Frage mit den Mitteln der Theorie machen wir eini ge vereinfach
213. rence Mais contrairement a Ao la valeur propre crois e du mode scalaire Xo n ob it pas une r gle de somme et est inf rieure a l unit d s que J gt 0 signifiant une perte de contraste La Fig 3 1 montre clairement cette chute de xo dans le cas des transitions Je J 1 Pour les transitions Je J la convergence de yo vers 1 est galement vidente Dans ce cas toutes les trois valeurs propres chelle et crois es tendent vers les m mes limites ce qui implique un contraste d interf rence parfait dans la limite 126 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE e o A E OXo X1 0X2 1m o 0o 6 0 15 Oe HA Je J 1 og hOB Je J 1 L ii Ta I Er Oo 0 oO o oe 2 E 2 06 Tas 061 T Om J 0 4 3 4 04 Mi 6 LL NR 0 2 b neasa 927 Oog al 0 9 8 0 0 i l Q 0 0 0 0 1 3 5 0 1 2 3 4 5 1 6 6 1 T r i L J L ar 0 8 08 R De Be ra 2 Lat te J SOG ee y J LON wg 04 gt nm 047 AForeanaon 02 M n J4 o2 L 2 gt E 4 IR i 4 ol 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 a 2t 0 4 i f i j i 0 4 O i l f 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1 0 6 6 6 1 0 8 f J J 17 7 J J 1 0 6 J 6 J 0 6 gp o 0 0 E 8 0 L ape L 2 J 04 04 a 02 02 D 4 t ee 02 J 2L poe 0 4 i i i i I i i 0 4 i i i
214. rence CBS dans le canal A d h licit conserv e Dans le cas des atomes par contre les amplitudes 2 15 et 2 17 ont la m me phase vers l arri re mais les amplitudes internes 2 16 et 2 18 sont diff rentes en module cause de la partie antisym trique r elle du tenseur de diffusion Deuxi mement l effet Faraday n affecte pas le canal h L h 40 contrairement la structure interne atomique cf Fig 2 7 qui donne une partie sym trique trace nulle au tenseur de diffusion et fait d cro tre le facteur d amplification dans 84 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE les canaux perpendiculaires cf Fig 2 7 sur p 103 dans la limite J J ou la partie antisym trique du tenseur s annule Troisiemement et principalement le tenseur di lectrique du milieu Faraday est une quantit caract risant le milieu effectif cf Sec 1 2 4 l effet Faraday est une propri t de amplitude moyenne Dans le cas de la structure interne par contre la moyenne interne uniforme 1 78 annule les parties non scalaires du tenseur de diffusion La self nergie 1 80 est purement scalaire ainsi que la constante di lectrique 1 104 Les atomes ne montrent aucun effet Faraday en champ magn tique nul La r duction d interf rence par la structure interne est un effet plus subtil qui n apparait que pour l intensit moyenne 2 1 4 R le des transitions Raman d g n r es Dans le cas du diffuseur dipolaire ponctuel J
215. rs propres que doit poss der le mode antisym trique sont d g n r es A moment nul A moment p fini la d g n rescence est lev e partiellement et nous avons deux valeurs propres distinctes g11 p et gi2 p cf Fig 3 2 La d g n rescence double restante doit tre li e a une sym trie de la propagation un candidat naturel est l invariance de toutes les expressions sous la parit q gt q Dans un langage de tenseurs irr ductibles ceci serait quivalent une d g n res cence des modes K 1 m 1 Cependant nous exprimons ici les tenseurs et leurs produits en coordonn es cart siennes qui m langent les composantes sph riques Le premier indice fait r f rence la composante anti sym trique K 1 tandis que le second a 1 2 est seulement un indice de comptage La d g n rescence peut tre attribu e la fonction g 2 p 42 Partie sym trique a trace nulle En vue des r sultats pour la partie antisym trique nous pouvons d j pr dire que la partie sym trique trace nulle doit prendre la forme GP q glp TE gn p TP gp TS 4 8 98 En effet la partie sym trique trace nulle de l identit pour le produit tensoriel horizontal est le projecteur 1 1 Ta z Sis dae 6ik6j1 ELLE 3 99 La contrainte de transversalit par rapport au vecteur q l ve la d g n rescence isotrope Chaque tenseur d identit est remplac par 6 P Qrs et on peu
216. s tudier ne d pendent pas du caract re quantique du champ introduit ici La somme sur tous les modes peut toujours s crire Bar Jay 1 4 elk et le volume de quantification L dispara tra dans toutes les expressions ayant une signification physique L op rateur champ lectrique E a une position r est donn par E r o ersanse aaa 1 5 k s Es w 2eo L3 est appel la force du champ L interaction entre les particules charg es constituant l atome et leur inter action avec le champ lectromagn tique de rayonnement est d termin e par le couplage minimal de l lectrodynamique quantique 75 Cependant la longueur d onde du rayonnement dans le domaine du visible est beaucoup plus grande que la taille d un atome habituel exception faite pour les atomes de Rydberg et on peut consid rer que le champ lectromagn tique est constant sur la taille de l atomique approximation dipolaire On montre 28 que dans l approximation dipolaire une transformation de jauge permet de passer d un couplage minimal p A un potentiel d interaction dipolaire particuli rement simple V D E r 1 6 Conform ment a l approximation dipolaire le champ lectrique E r est valu au centre de masse de l atome D apr s les hypoth ses de travail p 31 la position du centre de masse est une variable classique fix e Dans l interaction 1 6 D est l operateur dipolaire atomique Un r
217. s allons voir que la m thode de l image peut tre employ e m me au del de l approximation de la diffusion Compte tenu de la d finition 1 116 de la section efficace diff rentielle le coefficient bistatique 1 165 est alors hae Yr q F q 3 166 T 148 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Fic 3 4 Methode de l image q 3 165 En soustrayant le propagateur jusqu au point image 2 le propagateur total s annule sur le plan z 20 ou la moyenne de configuration CBS du propagateur 3 165 cbs A z1 22 p cbs F q LS dz dzo e F q 21 22 3 167 0 tient compte de la g om trie restreinte et de l att nuation des amplitudes en trantes et sortantes cf 2 89 et 2 90 Avec 3 165 le coefficient bistatique est alors um fe yr q 7 dada e Arzt F q 3 21 22 F q 3 21 22 229 3 168 0 Le propagateur d intensit tant donn en representation de Fourier F q F q q on peut remplacer dq iqzz F qi32 ef 5 FAL d ee 3 169 Dans 3 168 on peut alors effectuer la transformation de Laplace sur les variables 21 et Zo 1 1 e722 70Pz oe dzd e 1t22 E e iqz z1 z2 _ e ig 21 22 220 _ i A IS Tr Gr 3 170 3 2 RETRODIFFUSION COHERENTE 149 0 6 0 5 F FIG 3 5 Noyau d int gration de la m thode exacte image q 3 172 Les tirets indiquent la valeur de To zo L
218. s d amplification sur atomes sont tr s diff rents de ceux du milieu diffuseur classique 0 2 ATOMES FROIDS LA SURPRISE EXPERIMENTALE 39 FIG 7 Transition dipolaire atomique d g n r e ici pour J 1 Je 2 Lors de la diffusion d un photon l atome peut changer son sous tat interne Fl ches solides transitions Rayleigh conservant l tat atomique ici m m 1 Fl ches pointill es transitions Raman d g n r es avec changement d tat atomique m m 36 CHAPITRE 0 INTRODUCTION Chapitre 1 Diffusion simple La diffusion multiple de la lumiere se construit dans l approximation de dif fusion independante ISA ou independent scattering approximation comme une succession d v nements de diffusion simple 27 La diffusion de la lumiere par un seul atome est un sujet au coeur de la physique atomique et extensivement trait dans la litt rature La description th orique choisie dans ce travail de these est sugg r e par la formulation standard de la localisation faible c est la m thode diagrammatique ou d veloppement perturbatif syst matique Plutot que de r soudre le probleme du rayonnement d un atome par les quations de Bloch optiques nous employons donc la technique diagrammatique des perturbations Le present chapitre dont le plan est explicit dans la Fig 1 1 introduit d abord l objet qui caract rise l atome en tant que diffuseur de la lumi re l op rateu
219. s de g om trie finie est n cessaire pour am liorer l accord entre les pr dictions th oriques et les r sultats exp rimentaux Au del de ces extensions imm diates du m me travail il y a d autres r gimes et d autres param tres consid rer La grandeur par excellence reconnue responsable pour la suppression d ef fets d interf rence dans la diffusion multiple lastique est le champ magn tique B 9 47 100 117 Dans ce sens la perte d amplification sur les atomes avec structure interne n est pas tonnante tant donn que les variables internes sont pr cis ment les nombres quantiques magn tiques Comme le champ magn tique est un param tre exp rimental extensivement employ dans le refroidissement d atomes par laser il se pose naturellement la question de savoir ce qu il se passe lorsque l on combine structure interne et champ magn tique ext rieur Na vement l on pourrait s attendre un ajout ind pendant des deux effets de r duction d in terf rence Cependant des tudes exp rimentales pr liminaires 118 montrent que l encore des effets physiques inattendus peuvent surgir En effet appliquer un champ magn tique d place les sous niveaux atomiques effet Zeeman 65 et l ve la d g n rescence responsable de la r duction de contraste On a alors plut t affaire deux effets antagonistes et suivant la configuration choisie une augmen tation notable de certains facteurs d amplif
220. s demeurent en dessous de 1 35 La comparaison directe du facteur d amplification dans les quatre canaux de polarisation dans la Fig 2 9 montre que le canal h h non seulement n assure aucunement une amplification maximale mais de plus donne le facteur le plus faible dans le cas des nombreuses transitions Je J 1 Le tableau Tab 2 1 donne explicitement les valeurs th oriques pour la transition J 3 Je 4 qui a t tudi e exp rimentalement 25 26 Les valeurs th oriques pour le fac teur d amplification reproduisent qualitativement les valeurs exp rimentales Ceci 106 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE 1 4 ehlh Je J 1 Je J 1 1 8 willl 1 F 12 vw t g iLl TIERES et ar EEE gt aa lo 1 2 3 4 5 2 1 20 T T T T 14 E 7 0 Je ph 1 4 9 9 m oes nun ww 2 a 1 2 Ettie s ty 12 tresses 1 0 1 li 1 li 1 li li i li li ll 1 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 J J Fic 2 9 Facteur d amplification de diffusion simple et double q 2 110 en fonction du moment angulaire J Pour des nombreuses transitions Je J 1 le canal h h donne le plus faible et le canal h Lh donne le plus fort facteur d amplification En encart les valeurs pour la transition J 3 Je 4 s explique essentiellement par le fait que la structure interne supprime les ordres lev s dans la contribution d interference tr s efficacement U
221. s een 313 118 Qij projecteur longitudinal ses ae naaran 3 77 130 qp moment de transfert chelle crois 2 87 97 s indice de polarisation h licit 1 1 38 Sk coefficients de couplage vertical gt du vertex atomique 1 141 65 T amplitude de transition esse an 1 23 T z op rateur de transition lt 2cvracaavcaseandsoureuesenes 1 22 42 tw op rateur de diffusion ur adult 1 44 46 lasse amplitudes internes CBS directe et renvers e 2 16 78 TS tenseurs irr ductibles isotropes 3 48 124 TH q tenseurs irreductibles anisotropes 3 118 138 TOOK q tenseurs de couplage vun 3 121 139 178 ANNEXE B CONVENTIONS ET NOTATIONS Symbole Signification Def Pr U 21 2 vertex irr ductible d intensit 2 40 87 UV 21 22 vertex irr ductible l approximation de Boltzmann 2 47 89 u w vertex scalaire d intensit 2 53 90 V interaction dipolaire champ atomes 1 59 50 w poids des contractions dans le vertex d intensit 1 143 66 X tenseur vertex crois 3 52 125 XKa D coefficients propres de la s rie crois e somm e 3 146 142 Zo paisseur de la couche de surface 3 164 148 Bibliographie HH 10 12 13 11 P Sheng Introduction to Wave Sc
222. s ko ka 2 52 Ei E3 ou le pr facteur dimensionn est en utilisant 1 45 1 107 ainsi que 1 109 IT ulw TERIA 2 53 L expression du vertex irr ductible pour des vecteurs d onde et des polarisations quelconques peut sembler laborieuse mais elle s avere utile lorsque l on d crit la diffusion multiple en cha nant des diagrammes l mentaires Le vertex 2 52 d crit un v nement de diffusion simple La section efficace diff rentielle 1 156 du processus de diffusion ke gt k e est obtenue l aide de 1 116 et par l identification 2 36 UO ke k e w ulw 2 54 e l aide de 1 76 1 87 1 109 et 1 144 on v rifie que Videntit de Ward 2 42 se r duit dans cette approximation l mentaire au th or me optique 1 106 exactement comme dans le cas des diffuseurs dipolaires 27 2 2 INTENSITE LUMINEUSE MOYENNE 91 2 2 4 Diagramme chelle double Au lieu de r soudre l amp quation de Bethe Salpeter 2 40 proprement dit ceci quivaut a sommer la s rie de diffusion multiple et fait objet du chapitre 3 nous allons calculer ici la contribution de la diffusion double Cette contribution nous permettra de discuter les propri t s interf rentielles de la r trodiffusion coh rente sur des atomes et expliquer les r sultats exp rimentaux qui ont motiv ce travail de these Connaissant le vertex 2 52 et le propagateur i
223. s relatives au champ Ainsi on obtient imm diatement Hat Hat int ext 9 1 61 lorsque l on choisit l nergie des tats fondamentaux pour origine La r solvante nue Go z ne d pend pas de V et sa moyenne est donn e par la projection sur l tat fondamental atomique 90 2 Go z 2 Hem 1 62 De plus Vi 0 1 63 par parit de l op rateur dipolaire Plus g n ralement toute valeur moyenne d une expression contenant une puissance impaire de V est nulle La r solvante exacte G z du champ est obtenue en prenant la moyenne de la s rie de Born 1 24 o V est maintenant le potentiel d sordonn 1 59 G z 90 2 Golz VGolz VGo z 1 64 Comme pour le cas de la diffusion d un photon sur un atome on peut introduire une repr sentation diagrammatique de ce d veloppement Ge gt En sommant toutes les diffusions r p t es par un m me atome a on fait appa raitre l operateur T de la diffusion simple 1 23 O O a oe 1 65 Ta z x 0 0 o o o o 1 66 Q Q Q Q Q Q Q 1 2 AMPLITUDE LUMINEUSE MOYENNE ol dont la moyenne ne contient que les termes d ordre pair en V suite 1 63 o 1 67 Le d veloppement 1 65 devient G z 2 x Lin LES off vo 2 Par cette sommation partielle de la s rie 1 65 on arrive alors a un d veloppe ment perturbat
224. si ses da 6 na ah era erh 0 2 Atomes froids la surprise exp rimentale 1 Diffusion simple 1 1 Amplitude de diffusion simple 1 1 1 Champ atome et interaction dipolaire 1 1 2 Amplitude de transition 1 1 3 Propagateur exact de l tat atomique excit 1 1 4 Op rateur t de diffusion simple 1 2 Amplitude lumineuse moyenne 12 1 quation SL WE e o Li LS Diam LR L22 Senne Las les CENE ERREG eee ee 1 2 3 Evolution moyenne d amplitude 124 Mileneffectii ea be D HU dre ew d eee 1 3 Vertex d intensit de diffusion simple 1 3 1 Section efficace diff rentielle 1 3 2 Vertex d intensit simple g n ralis 1 3 3 Diagrammes de rayonnement 1 4 Fond de diffusion simple du signal CBS 2 Diffusion double 2 1 Amplitudes de diffusion double 2 1 1 Amplitudes des s quences directe et renvers e 2 1 2 R ciprocit et structure interne 2 1 3 Analogies et diff rences avec l effet Faraday Orr 10 13 18 21 21 29 37 37 37 Al 43 46 48 49 52 54 56 58 60 61 67 70 2 1 4 Role des transitions Raman d g n r es 2 2 Intensit lumineuse moyenne 22 1 Equation de Bethe Salpeter 2 2 2 Approximation de Bo
225. simple vers l arri re en termes du coefficient bistatique qs 1 168 et 1 169 en fonction du moment angulaire J Pour J gt 1 un signal de diffusion simple est mesur dans tous les canaux de polarisation minimis e dans les conditions qui se rapprochent le plus du cas classique une transition J J 1 et le canal A h ce point on est tent de conclure que le canal h A et les transitions Je J 1 minimisant le signal de la diffusion simple garantissent galement le meilleur signal de r trodiffusion coh rente Mais les r sultats exp rimentaux prouvent justement le contraire cf Fig 6 en p 34 Il faut alors aller plus loin et tudier les propri t s d interference associ es la structure interne atomique et montrer que d autres transitions ou d autres canaux peuvent offrir un meilleur contraste Ce programme est r alis dans le chapitre suivant 74 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE Chapitre 2 Diffusion double La diffusion multiple commence avec la diffusion double c est un mod le suffisamment riche pour decrire l essentiel de la retrodiffusion coh rente CBS et pourtant suffisamment simple pour admettre une solution analytique complete Dans la section 2 1 nous tudions les amplitudes de diffusion de la lumiere par deux atomes Cette description qui vite le formalisme abstrait de la diffusion multiple permet de discuter de fa on qualitative l influence de la structure interne atomiq
226. sit traduit l auto consistence de cette approche 105 En effet la self nergie D z et le vertex irr ductible U z1 22 sont li s par une quation exacte l identit de Ward qui exprime la conservation du flux 75 105 ImS w X U ke k e w Im G k w 2 42 Ici les arguments fr quentiels du vertex irr ductible sont choisis identiques z1 Za w pour l tude des effets stationnaires Par it ration de 2 41 la moyenne connexe est donn e par la serie r er v ul Je 2 43 M me un calcul perturbatif du vertex irr ductible engendre une solution 2 43 pour l intensit multiplement diffus e qui contient tous les ordres de diffusion cf aussi le cas de l amplitude moyenne q 1 73 2 2 2 Approximation de Boltzmann Puisqu il d crit la moyenne connexe le vertex irr ductible U 21 z2 contient des corr lations verticales entre les amplitudes directe et conjugu e Par d fini tion U z1 22 contient en plus toutes les corr lations irr ductibles horizontales dues la pr sence multiple d un m me diffuseur dans les amplitudes 105 2 oz Be aa 2 44 Cm amp Ge Identifier tous les diagrammes qui contribuent au vertex irr ductible est un dif ficile probl me combinatoire L approche diagrammatique n est r ellement avan tageuse que si l on peut se limiter au calcul d un nombre limit de diagrammes 2 2 INTENS
227. sonance atomique de fr quence angulaire w et de largeur naturelle T est typiquement de l ordre de 108 tous les chiffres num riques sont valables pour la raie D2 Ay 27 ko 780nm du Rubidium 85 sond e exp rimentalement La section efficace atomique pour la diffusion de la lumi re est alors de l ordre de la longueur d onde au carr cf q 1 107 en p 57 tres sup rieure l extension spatiale de l atome De ce point de vue un atome est la r alisation naturelle du concept math matique de diffuseur ponctuel un modele paradigmatique dans le domaine de la diffusion multiple de la lumi re 27 36 Le caractere r sonnant d une raie de transition atomique indique un couplage a un degr de libert interne qui est simplement la structure lectronique On notera w wo 11 le d saccord entre la fr quence sonde et la fr quence de la transition atomique et nous allons supposer 6 lt w wo Une simplification courante consiste supposer que les atomes n ont pas de structure interne quantique due la quantification du moment cin tique et r pondent comme des diffuseurs dipolaires un terme synonyme de diffuseur Ray leigh Si cette simplification est justifi e un gaz d atomes est un chantillon de dif fuseurs dipolaires fortement r sonnants et parfaitement monodisperses i e avec exactement la m me fr quence de r sonance Par cons quent les gaz d atomes froids ont t sugg r s comme
228. sordonn s classiques Dans le present travail th orique nous tudions l impact de la d g n rescence de la transition dipolaire atomique sur la localisation faible de la lumi re Les composantes non scalaires du tenseur de diffusion ato mique caract ristiques de la structure interne modifient la diffusion multiple de la lumi re Une analyse syst matique en termes de ten seurs irr ductibles permet d obtenir des expressions analytiques exactes pour les contributions de la diffusion simple et double au signal CBS Nous resommons analytiquement la s rie des diagrammes chelle de l in tensit diffus e et la s rie des diagrammes crois s de la localisation faible pour toute transition atomique d g n r e La structure interne n a qu une influence n gligeable sur l amplitude lumineuse moyenne et une influence faible sur l intensit moyenne Par contre la d g n rescence de la transition atomique r duit drastiquement l interference de localisation faible et donc la r trodiffusion coh rente et explique ainsi les r sultats exp rimentaux Abstract Recent experimental results show that the interference contrast observed in coherent backscattering CBS of light by cold atoms is drasti cally reduced with respect to classical disordered media In the present theoretical contribution we study the impact of the degeneracy of the atomic dipole transition on weak localisation of light The non scalar components
229. stique on essaie de d gager les lois physiques qui d crivent le comportement moyen du systeme sur l ensemble de ses r alisations possibles Or dans une moyenne sur toutes les configurations on s attend intuitivement ce que l interf rence soit d truite Ce brouillage d inter f rence lors de la diffusion conduit une intensit moyenne uniforme qui nous 21 22 CHAPITRE 0 INTRODUCTION est familiere d objets naturels tels que les nuages ou le lait Sous cette hypothese deux theories de la physique la theorie cinetique du gaz d electrons dans les m taux due a P Drude 2 et la theorie du transfert radiatif de l intensite lumi neuse dans les milieux interstellaires 3 4 ont d crit avec beaucoup de succ s la propagation d ondes dans des milieux d sordonn s par une diffusion spatiale de Vintensit o l interference a disparu Localisation forte Mais P W Anderson montre en 1958 5 les limites d une telle approche en presence d un desordre assez fort les interferences peuvent annuler la diffu sion Ce phenomene desormais connu sous le nom de localisation d Anderson a jet les bases pour une recherche active sur la transition m tal isolant induite par le d sordre 6 En 1979 Abrahams Anderson Licciardello et Ramakrish nan 50 introduisent une th orie d chelle de la localisation et montrent qu en dimension inf rieure deux un d sordre aussi faible soit il induit toujours de
230. t au lieu de limiter le calcul des diagrammes chelle et crois s a la dif fusion double nous allons sommer les series entieres Ceci donne le propagateur de l intensit moyenne diffus e multiplement l int rieur du milieu infini la cor rection de localisation faible incluse Ensuite cette solution sert construire le propagateur du milieu semi infini par la m thode de l image Dans la mesure o l on ne fait pas appel a l approximation de la diffusion cette m thode exacte image permet de calculer des signaux de r trodiffusion coh rente qui sont quasi indiscernables des expressions exactes Des facteurs d amplification et pics CBS de la diffusion multiple vectorielle peuvent ainsi tre obtenus pour toute transition atomique 3 1 Sommation des s ries chelle et crois e Le probleme de la sommation de la s rie de diffusion multiple en r gime de lo calisation faible connait trois degr s de difficult croissante 39 p 95 la diffusion multiple d ondes scalaires la diffusion multiple d ondes vectorielles sur diffuseurs ponctuels dipolaires et la diffusion multiple d ondes vectorielles sur diffuseurs quelconques La diffusion multiple d ondes scalaires sur diffuseurs ponctuels est un sujet aujourd hui bien ma tris cf la revue r cente de P de Vries et al 36 La diffusion d ondes lectromagn tiques sur diffuseurs ponctuels a gard son carac tere quelque peu r barbatif depuis les a
231. t 2 dimensions Phys Rev B 22 4666 1980 86 88 94 E Salpeter and H Bethe A relativistic equation for bound state pro blems Phys Rev 84 1232 1951 88 N Ashcroft and N Mermin Solid State Physics Hartcourt Brace College Publishers Fort Worth 1976 89 P Morse and H Feshbach Methods of Theoretical Physics vol I McGraw Hill New York 1953 92 148 K A Nasyrov and A M Shalagin Polarization effects in the interaction between light and multilevel quantum systems JETP 89 232 1999 103 BIBLIOGRAPHIE 187 110 M P van Albada M B van der Mark and A Lagendijk Observation of weak localization of light in a finite slab Anisotropy effects and light path classification Phys Rev Lett 58 361 1987 111 111 Y Barabanenkov and V Ozrin Diffusion approximation in the theory of 112 115 116 117 118 119 120 121 122 113 114 weak localization of radiation in a discrete random medium Radio Science 26 747 1991 115 R Balian From Microphysics to Macrophysics vol IT Springer Berlin 1992 143 J Honerkamp and H R mer Klassische Theoretische Physik Springer Berlin 1993 3ed 143 M L Bellac Des ph nom nes critiques aux champs de jauge InterEditions et Editions du CNRS 1990 144 T M Nieuwenhuizen and J Luck Skin layer of diffusive media Phys Rev E 48 569 1993 148 S E
232. t classer les termes suivant la puissance d apparition du projecteur Q 2 Thigk 3 uQ 1 1 ue 5 Pi Qui Gy Fart PikQjt Qala 3 PuQjr QuP x 3 100 1 een ee a gf al ie N 3 1 SOMMATION DES SERIES ECHELLE ET CROISEE 135 Lorsque l on construit les tenseurs sym triques trace nulle pour chacune des trois contributions on trouve les tenseurs propres X 1 T a g 2 it Py 2Qjn Pix 1 T Gage 5 PQ OP PikQji Qui 3 101 2 1 1 T llat 5 Pin Pet PP g fakin Le premier tenseur est un produit direct grace a la structure en produit direct du projecteur Q Qu QuQjr Les projecteurs sont orthogonaux pour le produit tensoriel TOT Sen 3 102 Par construction leurs traces partielles gauche et droite sont nulles T De T eee 3 103 Q Q Les fonctions propres gxa p du d veloppement 3 98 du propagateur transverse sur ces tenseurs sont calcul es par les r gles 3 70 3 82 et 3 89 2 9 1 2 D 12p4 4 g20 p 7 0 p 2 p 1283 p pe 1 pee Ae 3 3 6 p 3 2 p pt A ga p 580 p 582 p 883 p Dei r PAD 3 7p 3 1 pP 2A g22 p 2 p 283 p p ot p p 3 104 Leur d veloppement autour de l origine est _ 7 297 a 920 P 10 210 p 7 13p Re nr O p 3 105 7 23p 922 p 10 70 O p Les valeurs propres ga sont d g n r es l origine p 0 avec une lev e partiel
233. t grale sur v est effectu e en utilisant ode xz gh M JE 3 5 RQ 0 2 105 Pour la contribution chelle F L on obtient ainsi YL wi we wiwa lg wy wo ws l3 w3 la 2 106 ou h h hLh ijt ler li m In2 2 In2 H a iy 212 2 0u 0 0 2 107 l3 2n2 3 la 21n2 102 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Pour la contribution crois e F C on obtient 9 Yo2 0 3 wi w3 cr wiw co w wz w2 C3 w3 ca 2 108 ou h h hLh Lil El C1 m In2 2 m2 3 21n2 1 0 0 2In2 1 2 109 c3 2n2 3 0 2n2 3 0 C4 21n2 0 21n2 0 Les expressions 2 106 2 109 ont les proprietes simples suivantes 1 La somme des coefficients l resp c dans les deux canaux d h licit est gale la somme des m mes coefficients dans les deux canaux lin aires Ceci exprime le fait que l intensit totale ne d pend pas de la base choisie pour d crire les polarisations 2 Les coefficients et c sont gaux dans tous les canaux Ceci est la signature des diffuseurs dipolaires classiques En effet pour les diffuseurs dipolaires seul le poids w 1 est non nul le ruban du diagramme se r duit la ligne classique cf Sec 1 3 3 L galit l c implique yc2 0 yz2 dans tous les canaux une propri t caract ristique de la diffusion double cf Sec 2 1 1 3 Dans les canaux parall les h h et les coe
234. t werden Das magnetische Feld ist bekannt als diejenige Gr e die Interferenzeffekte in elastischer Vielfachstreuung unterdr ckt 9 40 46 47 Der Kontrastverlust an Atomen mit magnetischen Freiheitsgraden ist deshalb geradezu zwingend zu fordern Man k nnte nun erwarten da das Anlegen eines u eren magnetischen Feldes w hrend der CBS Messung die ohnehin schon geringe Interferenz weiter schw cht Andererseit hebt das Feld durch den Zeeman Effekt die Entartung des Dipol bergangs auf Hat man es also eher mit zwei antagonistischen Effekten zu tun In der Tat zeigen experimentelle Vorstudien da es mit Hilfe eines magneti schen Felde gelingt die CBS Verst rkungsfaktoren in einigen Polarisationskan len zu erh hen Systematische Untersuchungen dieser Zusammenh nge scheinen deshalb geboten Lediglich die internen Freiheitsgrade der Atome wurden hier quantisiert be schrieben Bei tieferen Temperaturen wird die Quantisierung der u eren Frei heitsgrade notwendig bis dann mit der Bose Einstein Kondensation ein Phasen bergang einsetzt der die kollektiven Eigenschaften des Gases ndert Pr parati on und Manipulation von Bose Einstein Kondensaten sind ohne die Streuung von Licht nicht denkbar auch sind dichte Gase kalter Atome als aussichstsreiche Kan didaten zur Lokalisierung von Licht vorgeschlagen worden 48 49 Die interne Struktur der Streuer darf nach den vorliegenden Ergebnissen sicher nicht vernach l ssigt werden
235. te En effet la structure interne fait intervenir les contractions verticales dans les vertex atomiques w3 gt 0 ce qui fait entrer en jeu le facteur de d veloppement constant az 1 2 dans 2 128 qui assure que l intensit d croit comme u dans toutes les directions d observation On exhibe ainsi une signature forte de la structure interne non seulement le facteur de proportionnalit mais l exposant caract ristique de la d croissance de l intensit est change Pour quantifier l impact de la structure interne definissons le degr d aniso tropie AIT 1 lim read 2 129 poo maxgyc H Ce nombre 0 1 vaut 0 si l intensit ne varie pas en fonction de langle et il vaut 1 si le rapport entre le minimum d intensit et le maximum d intensit s annule donc si l intensit minimale d croit plus vite l infini que l intensit maximale Dans le canal le degr d anisotropie est alors 5 wy w3 8 w w3 W2 8 w w3 16 w w3 w 160 Q J Je 2 130 Il est montr en fonction de J dans la Fig 2 13 Le degr d anisotropie d un 114 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE diffuseur dipolaire ponctuel est obtenu pour w1 wa w3 1 0 0 cl _ 9 2 131 ci 5 2 131 On voit imm diatement que la structure interne ne fait que diminuer cette valeur Ceci est en accord avec l intuition que la d g n rescence de la transition atomique moyenne le diagramme de
236. temad R Thompson M Andrejco S John and F MacKintosh Weak localization of photons Termination of coherent random walks by absorp tion and confined geometry Phys Rev Lett 59 1420 1987 161 D Lacoste and B A van Tiggelen Coherent backscattering of light in a magnetic field Phys Rev E 61 4556 2000 166 G Labeyrie communication privee 2001 166 E E Gorodnichev and D B Rogozkin Coherent backscattering of a light pulse by a slab of disordered medium Waves Rand Media 4 51 1994 167 F C MacKintosh J X Zhu D J Pine and D A Weitz Polarization memory of multiply scattered light Phys Rev B 40 9342 1989 167 F Scheffold and G Maret Universal conductance fluctuations of light Phys Rev Lett 81 5800 1998 167 A Wax S Bali and J Thomas Time resolved phase space distributions for light backscattered from a disordered medium Phys Rev Lett 85 66 2000 167 188 BIBLIOGRAPHIE C est le ving trois juin mille neuf cent soixante quinze et il va tre huit heures du soir Assis devant son puzzle Bartle booth vient de mourir Sur le drap de la table quelque part dans le ciel crepusculaire du quatre cent trente neuvieme puzzle le trou noir de la seule piece non encore pos e dessi ne la silhouette presque parfaite d un X Mais la piece que le mort tient entre ses doigts a la forme depuis longtemps pr visible dans son ironie m me
237. tion de la polarisabilite En effet la self nergie d crit l amplitude moyenne d un mode lumineux dans un milieu diffuseur Par d finition elle ne tient compte que de la diffusion de ce mode vers lui m me Par conservation de moment cin tique les transitions Raman d g n r es sont alors interdites Dans le cas d une matrice de densit scalaire 1 58 la polarisabilit est iso trope a w alw l 1 99 En tenant compte des termes r sonnant et anti r sonnant de l amplitude de tran sition 1 30 on obtient la polarisabilit bien connue d un syst me deux niveaux 85 aowa 1 100 aM we w iD wo 1 2 AMPLITUDE LUMINEUSE MOYENNE 57 o l on suppose que T lt wo On note la polarisabilit statique ao a 0 Md eowo Les parties r elle et imaginaire de la polarisabilit sont des transfor m es de Hilbert l une de l autre elles satisfont la relation de Kramers Kronig traduisant la causalit de ce coefficient de r ponse 85 Proche de la r sonance la polarisabilit devient AgWwo 1 101 ae T u En comparant 1 76 et 1 97 on voit que la self nergie 1 81 s crit E w nalw 1 102 2 Cette relation montre que la valabilit de l approche perturbative Y w lt w peut s interpr ter comme une condition de milieu dilu nla w amp 1 1 103 Le produit de densit et polarisabilit est la susceptibilit x w na w du milieu atomique N
238. tion efficace 67 k 3X 2r d un dip le a r sonance la d pendance lorentzienne de largeur I en fonction du d saccord autour de la r sonance w wo et le rapport des multiplicit s My 2J 1 3 2J 1 La section efficace r sonnante est de l ordre de A tr s sup rieure l extension spatiale de l atome et atteint donc la limite impos e par l unitarit de la matrice S unitarity limit 78 Les atomes sont bien une r alisation naturelle des diffuseurs ponctuels r sonnants de la lumi re La relation entre la section efficace totale et la polarisabilit atomique 1 100 est simplement Otot k Im a w 1 108 Ceci justifie que la condition de milieu dilu peut s crire indiff remment n lt 1 ou nla w lt 1 proche de r sonance De m me ce r gime de basse densit co ncide avec le r gime de localisation faible kl gt 1 En effet gr ce au th or me optique et aux relations 1 87 et 1 102 le libre parcours moyen de diffusion scattering mean free path est bien 1 NO tot f 1 109 La correction apport e a la fr quence du vide par un milieu dilu est petite Par la suite nous allons n gliger la correction r elle Aw 1 86 devant w et ne retenir que le premier ordre de la correction imaginaire 1 87 donnant le libre parcours moyen Dans le r gime de localisation faible et basse densit la cor rection k apport e par une it ration suivante de 1 85 est d ordre
239. tion est Trp gt I 1 57 Pr par s dans un piege magn to optique sans pr caution particuliere les atomes sont raisonnablement bien d crits par un m lange statistique uniforme c est dire une quir partition d tats internes Pm cst Nous supposons ainsi que Veffet de pompage optique par le laser sonde est n gligeable l int rieur du nuage optiquement pais La matrice de densit correspondante 1 Po a7 mim 1 58 est alors proportionnelle l identite on parle de mani re quivalente d une ma trice de densit scalaire pour mettre en vidence son invariance par rotation Cette propri t permet des calculs analytiques et sera utilis e par la suite 50 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE 1 2 1 quation de Dyson Le champ lectromagn tique d crit par le hamiltonien 1 3 interagit main tenant avec les N atomes identiques Le potentiel dipolaire est la somme des potentiels 1 6 V gt Da E ra 1 59 et engendre l interaction dipolaire r sonnante entre les diff rents atomes par change de photons cf Sec 2 1 Le hamiltonien libre des atomes est la somme des hamiltoniens individuels 1 7 Hat I Hae 1 60 Les d veloppements perturbatifs formels 1 24 de la r solvante G z et 1 23 de l op rateur de transition T z restent valables pour le systeme coupl champ atomes En effectuant la trace sur les degr s de libert atomiques on obtient les grandeurs moyenne
240. tion et la polarisation incidente Fig 2 6 Cette information est contenue dans les expressions 4 Ay ET x 608 46 uss X cos 26 By 1 2 X cos 2 PEE IN 2 116 yai g O 1 2 1l l x Dans le canal h Lh la seule fonction non nulle est c x qui intervient aussi dans le cas classique Ceci implique que la forme du pic est exactement celle des diffuseurs dipolaires classiques En effet seules des transitions Rayleigh peuvent intervenir dans ce canal cf Sec 2 1 4 et leur diagramme de rayonnement est le m me que celui du dipole classique L int grale 2 114 peut tre calcul e l aide de MATHEMATICA Pour les 108 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE fonctions non nulles on obtient explicitement e Allh 2 117 3 32 176 84u 180 256 1 p2 4 ETO EN 22 144 17uf V1 u 3u 48 16u 3 F u nl sq ap 4 2u 3 1 p 24 W F u y u 73 2 a 4 2p 34 1 p 4 4p 3 F u 9 du GF H e hlh 2 118 3 q t Dolly 2 80 564 421 394 122 14 1270 142 3 32 64u 96u 48u 19 F u e Ill 2 119 3 u ae 48u 252u 138 y u 6 Say 288 48u 25244 13811 222 1444 237uf V1 u 192 384 1 720u 336 123 F u A u cos 29 Aa j cos 46 9 ya u p ie 2 4 2 3 14 p 4 Au
241. tion vers l arri re Fig 2 15 16 Lorsque des ordres lev s dominent la forme du c ne sa largeur est d termin e par le libre parcours moyen de transport 4 39 Pour des diffuseurs ponctuels les libres parcours moyens de transport et de diffusion co ncident L la Cette galit est galement v rifi e dans le cas des atomes cf Sec 1 3 3 p 70 et ces deux longueurs seront identifi es par la suite Facteur d amplification Le rapport entre l intensite dans la direction vers l arri re 0 I Ic 0 et l intensit de fond Tzr est le facteur d amplification Ic 0 7 7 Sa valeur maximale 2 est atteinte si et seulement si chaque amplitude qui contribue a J peut contribuer I par une interference de contraste maximal avec une amplitude renvers e En d autres termes l amplification est r duite si a 1 1 des v nements de diffusion existent qui n ont pas de s quence renvers e distincte de la s quence directe 2 les deux amplitudes directe et renvers e qui interferent ne sont pas quili br es Ces deux causes de r duction d amplification Fig 3 interviendront dans le cas des atomes avec structure interne et seront discut es dans les chapitres 1 et 2 respectivement Polarisation Dans la diffusion d une onde vectorielle telle que la lumi re la polarisation joue un role important pour l analyse du facteur d amplification Le vecteur de 0 1 ONDES ET DESORDRE 2
242. tions incidente et diffus e Ceci repr sente simplement le diagramme de rayonnement dipolaire dans le plan de Fourier la plupart des couples de diffuseurs se trouvent dans le plan perpendiculaire a la polarisation et par cons quent le pic CBS est plus troit dans cette direction Dans le canal Ll on observe une sym trie d ordre deux les deux directions orthogonales de polarisation imposent une p riode de 7 2 du signal Pour les diffuseurs dipolaires J 0 Je 1 le coefficient a dans 2 128 n intervient pas et a s annule pour 0 7 2 Dans ces directions l intensit ne d croit donc pas comme u mais comme u avec un coefficient 33 64 que l on peut calculer en poussant le d veloppement de 2 114 l ordre u dans 32 un facteur 21 64 est trouv Pour des diffuseurs atomiques avec J gt 0 la Fig 2 12 montre clairement 2 3 RETRODIFFUSION DOUBLE EXACTE 113 1 y A 1 it IN 5 LI 0 8 70O 0 8 YV HA OA Cosy VHS KVON Een h LA une E sung 04 f 104 n 0 2 1 i 1 i 1 i 1 L 1 1 i 1 i 1 i 1 i fi 0 2 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 J J vv R J 1 m Je J a A J J 1 FIG 2 13 Degr d anisotropie du signal CBS dans les canaux de polarisation lin aire I q 2 130 etl L1 q 2 132 en fonction du moment angulaire J La structure interne quantique diminue le degr d anisotropie que l anisotropie est drastiquement r dui
243. trait pais repr sente le propagateur exact G w dans l tat atomique excit Dans la contribution r sonnante la s rie 1 24 pour G w 44 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE commence avec le propagateur nu dans un tat atomique excit sans photon pr sent need ee 1 31 w wo 10 e La deuxi me contribution l l ment de matrice de transition 1 30 est le terme antir sonnant o l mission du photon sortant pr c de l absorption du photon entrant Le propagateur interm diaire est maintenant valuer dans un tat avec les deux photons pr sents et le d nominateur devient w wo 2w 10 O w t Les termes antir sonnants sont donc n gligeables par rapport aux termes r sonnants d ordre En effet le d nominateur de 1 31 tend vers z ro r sonance donnant un caractere dominant a cette contribution qui revient une infinit de fois dans la serie 1 24 Gow Jma 0 Glwy Jeme 0 1 32 Pour mettre bien en vidence cette contribution r sonnante on peut crire Par convention on a rassembl toutes les transitions qui ne passent pas par l tat JeMe 0 dans D w 0 eae eee A PS 1 34 La self nergie De w est construite par tous les diagrammes irr ductibles i e tous ceux qui ne peuvent tre s par s en deux morceaux d connect s en coupant une seule ligne On peut alors formellement sommer la s rie g om trique 1 33 pour obtenir le propagateur exact
244. trophys J 411 351 1993 4 29 J Dalibard J M Raimond and J Zinn Justin eds Fundamental Sy stems in Quantum Optics Les Houches 1990 Elsevier Amsterdam 1992 4 S Chu C Cohen Tannoudji and W Phillips Rev Mod Phys 70 685 707 721 1998 1997 Nobel Prize Lectures 4 29 T Holstein Imprisonment of resonance radiation in gases Phys Rev 72 1212 1947 4 29 G Labeyrie F de Tomasi J C Bernard C A Miiller C Miniatura and R Kaiser Coherent backscattering of light by cold atoms Phys Rev Lett 83 5266 1999 4 29 34 105 154 G Labeyrie C A Miiller C Miniatura and R Kaiser Observation of coherent backscattering of light by cold atoms J Opt B Quantum Se miclass Opt 2 672 2000 4 29 34 105 154 BIBLIOGRAPHIE 181 27 28 31 32 33 34 35 36 37 38 39 A Lagendijk and B van Tiggelen Resonant multiple scattering of light Physics Reports 270 143 1996 6 25 27 32 37 47 51 70 76 89 90 145 C Cohen Tannoudji J Dupont Roc and G Grynberg Photons et Atomes Introduction l Electrodynamique Quantique InterEditions Editions du CNRS Paris 1987 6 37 39 43 68 77 78 H Friedrich Theoretical Atomic Physics Springer Berlin 1998 6 39 V Berestetzki E Lifschitz and L Pitajewski Quantenelektrodynamik vol 4 of Landau und Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen
245. tuden unterscheiden sich lediglich durch die Reihenfolge in der die ato maren Streuoperatoren auf die Feldpolarisation einwirken vgl 2 16 und 2 18 auf S 78 Da diese Streuoperatoren nicht einfache Skalare sind wie im Fall des elementaren Dipols sondern Tensoren zweiter Stufe kommutieren sie nicht Ganz allgemein k nnen wir so erwarten da aufgrund der internen Freiheits grade die direkte Streuamplitude einen anderen Betrag hat als die umgekehrte Streuamplitude Die Fig 2 1 auf S 80 zeigt einen besonders einpr gsamen Fall ungleicher Am plituden die Rayleigh Streuung d h ohne nderung der magnetischen Quan tenzahlen beider Atome im Kanal h h an zwei 1 2 1 2 berg ngen Die um gekehrte Amplitude verschwindet die direkte Amplitude jedoch nicht Allgemein werden zwar beide Amplituden von Null verschieden aber aufgrund unterschiedli cher Clebsch Gordan Koeffizienten eben nicht identisch sein Ungleiche Streuam plituden implizieren jedoch einen Kontrastverlust vgl S 3 und erkl ren somit qualitativ die verminderte koh rente R ckstreuung 33 Dieses explizite Beispiel ungleicher Amplituden ist in doppelter Hinsicht be merkenswert Zum einen zeigt es da es reine Rayleigh berg nge gibt die einen Kontrastverlust zur Folge haben Die St rung der CBS Interferenz darf also nicht den entarteten Raman berg ngen allein angelastet werden Zum anderen wird klar da das klassische Reziprozit tstheorem vgl Abschn Z
246. turbation Les effets de saturation et de pompage optique sont n glig s M me pour un temps prolong d exposition la sonde le pompage op tique est s v rement limit par la diffusion multiple l int rieur du milieu optiquement pais 3 Le gaz d atomes doit tre suffisamment chaud pour que les positions des atomes puissent tre d crites comme des variables classiques En d autres termes la longueur de coh rence de la fonction d onde du centre de masse atomique est tr s inf rieure la longueur d onde optique De plus les effets des statistiques quantiques sont n gligeables Cette condition est remplie par un gaz d atomes issu d un pi ge magn to optique standard Les atomes sont alors des diffuseurs ponctuels classiques en ce qui concerne leurs degr s de libert externes 4 L effet de recul est le changement de l impulsion de l atome lors de l absorp tion ou de l mission d un photon Pour la r trodiffusion coh rente l effet de recul est n gligeable parce que le transfert d impulsion aux atomes est le m me dans les s quences directe et renvers e du CBS 5 Le gaz d atomes doit tre suffisamment froid pour pouvoir n gliger l effet Doppler kAv lt T o Av est la largeur de la distribution des vitesses atomiques et I la largeur de la r sonance En d autres termes pendant le temps moyen I qu il faut pour diffuser un paquet d ondes lumineux de fa on r sonnante un
247. ude de transition est k e Im Tair Jm Jm 2 5 Jm k e Il s obtient comme la concat nation de deux diagrammes r sonnants de diffusion simple 1 51 L l ment de matrice T pour la s quence renvers e le troisi me terme dans 2 3 est obtenu par l change des op rateurs T et To dans 2 4 L l ment de matrice 2 4 est valu en ins rant l identite entre les op rateurs de transition i e en sommant sur les variables internes libres ici k e du photon interm diaire eiler k r2 kir 2 Tair 3 E t2 ma Mo w wi ei k eiLk ee ee Ei t lm mi w w 2 6 2 1 AMPLITUDES DE DIFFUSION DOUBLE 77 Ici on utilise la forme 1 51 pour les l ments de matrice des operateurs de transition T avec une extension off shell de t w q 1 45 d finie par Gur Gus 5410 2 2 t w w en fonction du facteur de couplage gu d w 2eoL Cette extension est n cessaire ici parce que la somme sur les photons virtuels interm diaires s tend formellement sur toutes les nergies w Le r sultat de la sommation dans l l ment de matrice 2 6 peut s crire sous la forme Tair ta Mma ma w gi r w t1 m1 mM w E 2 8 Ww Le tenseur g r w est l interaction dipolaire transverse qui lie les deux atomes par la diffusion d un photon r sonnant interm diaire Calcul de l interaction dipolaire transverse Dans 2 6 la somme sur les
248. ue les l ments de matrice factorisent suivant FIDIL Verl Ici le coefficient de Clebsch Gordan j m j1mp contient toute l information an gulaire Il est non nul uniquement pour m m p et j j lt 1 ceci sont les r gles de s lection d une transition dipolaire j D 7 est un l ment de ma trice r duit invariant sous des rotations c est un scalaire Pour raccourcir les notations on introduit i m Dplim j m j1mp 1 13 Jell DJ d _ 1 14 V2J 1 et l operateur dipolaire adimensionn 1 d D 1 15 Nous convenons que d n a que des l ments de matrice entre les deux niveaux de la transition dipolaire J Je et son l ment de matrice r duit par d finition est Jelld J V2 1 1 16 Un l ment de matrice du processus d absorption 1 8 et vice versa pour l amp mis sion s crit alors Jemele D Jm dS e_ JemelJ img 1 17 q 1 1 2 Amplitude de transition Les processus elementaires d absorption et d mission changent le nombre de photons pr sents La diffusion d un photon d crit directement la transition v lim ke jm k e 1 18 Dans le cadre de la th orie des collisions 77 op rateur unitaire qui donne l tat sortant partir d un tat incident est la matrice S Streumatrix ou scatte ring matrix Plus pr cis ment l amplitude de probabilit de transition d un tat asymptotiquement l
249. ue sur la r trodiffusion coh rente On montre que les parties non scalaires du tenseur de diffusion 1 47 r duisent le contraste d interf rence Dans la section 2 2 nous g n ralisons le formalisme de la diffusion multiple 81 au cas atomique Des nouveaux diagrammes chelles et crois s permettent de calculer analytique ment l intensit moyenne l int rieur du milieu d sordonn Pour pouvoir d crire le signal d une exp rience de r trodiffusion coh rente nous passons dans la sec tion 2 3 un milieu semi infini En nous limitant l ordre double de diffusion nous obtenons les expressions entierement analytiques du pic de r trodiffusion coh rente pour toute transition atomique J Je 2 1 Amplitudes de diffusion double Dans la configuration de diffusion double deux atomes a 1 2 des po sitions fixes r diffusent un photon incident ke en un photon sortant k e Nous tudions alors la transition 2 IJm Jma ke Wr Jmi Jma k e 2 1 l analogue de la diffusion simple 1 27 L amplitude de transition pour 4 W2 est l element de la matrice S W152 i2n lw w 4217 w V 2 2 L operateur de transition T w T w i0 est construit par la serie de Born 1 23 pour le potentiel d interaction dipolaire 1 59 des deux atomes V Vi 75 76 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Vo l instar de 1 66 on resomme toutes les apparitions r p t es d un
250. uer entre les transitions Raman et Rayleigh Il montre en effet que les transitions Raman peuvent tre dominantes un exemple de cette situation tant le pic CBS en A h pour la transition J 3 Je 4 34 86 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE Ind pendamment de l ordre de diffusion c est la partie antisymetrique du tenseur de diffusion qui reduit le contraste d interference dans les canaux paral leles cf Sec 2 1 1 et q 2 84 Cette partie antisymetrique est pr sente pour les transitions Rayleigh comme pour les transitions Raman d g n r es La distinction entre transitions Rayleigh et Raman d g n r es n est simplement pas pertinente Par cons quent et pour r pondre a la question de d part les transitions Raman d g n r es ne sont pas seules responsables de la r duction de contraste 2 2 Intensit lumineuse moyenne L approche microscopique du chapitre nous a permis de d terminer le pro pagateur moyen G w de l amplitude lumineuse dans le r gime de faible densit Ce propagateur moyen d crit essentiellement l att nuation exponentielle du mode initial dans le milieu diffuseur Dans un milieu de taille L tr s sup rieure au libre parcours moyen le mode initial est fortement att nu et presque toute linten sit est port e par de la lumi re diffus e multiplement D autre part nous avons calcul le vertex de diffusion simple Z dans le cas d une distribution uniforme sur les tats
251. umgekehrten Helizit t analysiert werden Von einem Spiegel oder einem klassi schen Dipol wird polarisiertes Licht in R ckrichtung in die Kan le l bzw hL h gestreut 4 ZUSAMMENFASSUNG Gegenl ufige Streuamplituden sind durch Zeitumkehrinvarianz verbunden Genauer gesagt garantiert das Reziprozit tstheorem 18 8125 die Gleichheit der beiden CBS Amplituden genau dann falls die Streuung genau in R ckrichtung und in die parallelen Kan le A A und I l erfolgt s Fig 4 und Gl 9 auf S 28 Diese fundamentale Symmetrie verhindert da die konstruktive Interferenz durch Mittelung ber die Konfiguration der Streuzentren ausgel scht wird Entsprechend kann man es durch Polarisationsanalyse also erreichen im Kanal h h die Reziprozit tsbedingung zu erf llen gleichzeitig das Signal der Einfach streuung an klassischen Dipolen auszublenden vgl Tab auf S 29 und somit eine optimale Verst rkung von 2 zu erreichen Diese Vorhersage 19 wurde experimentell mit gro er Pr zision best tigt 20 CBS an kalten Atomen ein berraschendes Experiment W hrend die koh rente R ckstreuung von Licht an einer Reihe von Materiali en bis hin zu den Ringen des Saturn nachgewiesen wurde 12 13 21 wurde im gleichen Zeitraum das Fangen und K hlen von Atomen mit Licht entwickelt 22 23 Die resonante Vielfachstreuung von Licht in atomaren Gasen war zwar wohlbekannt 24 galt jedoch eher als Hindernis auf dem Weg zu gr e
252. un scalaire mais une matrice Ces matrices ne commutent pas eg ee ge ee ee 2 25 et les amplitudes internes sont en g n ral d s quilibr es Une exception vidente a cette r gle est le cas m ma mi ms o la sym trie d change t ta vient au secours de l galit Mais parmi toutes les diff rentes transitions pos sibles entre les nombres quantiques internes la plupart des amplitudes seront d s quilibr es De plus dans les canaux parall les l argument de sym trie 2 24 n est plus applicable parce que le tenseur de diffusion atomique poss de une partie antisym trique 04 t et donc tt t tye Aste x ert Aste 2 26 Cette partie antisym trique signifie physiquement qu un atome diffuse la lumiere avec une efficacit qui d pend de la polarisation de la lumiere et qui est contenue dans les coefficients de Clebsch Gordan correspondants Sauf pour la transition J 0 J 1 ot tous les trois coefficients de Clebsch Gordan sont gaux ces coefficients varient avec la polarisation incidente et diffus e Par cons quent lam plitude de la s quence directe peut tre diff rente de l amplitude de la sequence renversee Trev Tait 2 27 2 1 AMPLITUDES DE DIFFUSION DOUBLE sl Un exemple extr me du d s quilibre d amplitudes est montr dans la Fig 2 1 l amplitude du chemin renvers est nulle Tv 0 tandis que l amplitude directe ne l est pas Tair 0 D apr s 2 19
253. une certaine direction k est obtenue en sommant sur les polarisations finales A l aide de la r gle 28 X ee Om kik 1 152 elk on obtient partir de 1 149 oo Ge __ 30tot dQ 8m Pour une polarisation incidente lin aire on obtient le diagramme de rayonnement d un dip le classique 84 Fig 1 4 1 e amp 1 153 do _ 3C tot 794 ge sin 1 154 o amp est l angle entre la direction d observation et la polarisation incidente Le diagramme a une sym trie de r volution autour de l axe de polarisation Si le dipole est excit avec une polarisation circulaire on obtient da 30 tot qo ee 1 cos 1 155 o w est langle entre la direction d observation et la direction d incidence Dans ce cas le diagramme a une sym trie de r volution autour de la direction d incidence Diffuseur atomique Connaissant la fonction de trace 1 121 la section efficace diff rentielle 1 119 s obtient par la substitution 2 7 3 e 2 E do IOtot dQ 8r ou encore en utilisant la repr sentation diagrammatique 1 148 w1 E e wole e ws 1 156 do 30 tot E dQ 81 E e 1 157 La forme diagrammatique du vertex fournit naturellement une representation utile de l impact de la structure interne quantique des diffuseurs atomiques Dans le cas d une transition dipolaire d g n r e les parties non scal
254. ut renverser la projection du moment angulaire de chaque atome comme repr sent dans la Fig 2 2 Ceci tra duit le fait que le moment angulaire J change de signe sous le renversement du temps Les deux l ments de matrice Tair et Trey 2 15 et 2 17 d crivent la m me transition Tair rev M Mo ke m4 mh k e La s quence renvers e cor respond au processus r ciproque de 2 30 si et seulement si trois conditions sont satisfaites k k E E m m 2 31 Tandis que la direction d observation k et la polarisation d analyse sont contr lables exp rimentalement les nombres quantiques ne le sont pas m m dans le nuage d atomes optiquement pais que nous consid rons ici Comme dans le cas de la diffusion en dehors de la direction vers l arriere k 4 k ou vers un canal de polarisation autre que parall le e la relation de r ciprocit 82 CHAPITRE 2 DIFFUSION DOUBLE FIG 2 2 Reciprocit avec degr s de libert s internes spinoriels q 2 30 2 30 reste valable en soi mais cesse d tre utile pour pr dire l galit des am plitudes CBS Par cons quent m me s il y a quelques amplitudes dans la somme sur toutes les transitions possibles qui satisfont 2 31 la plupart d entre elles ne le font pas Par cons quent le contraste d interf rence est r duit De fa on humoristique on peut voquer le principe du jongleur trop ambitieux
255. uung von der Entartung des atomaren Dipol bergangs ab Z 1 Einfachstreuung Die unendliche Reihe der Vielfachstreuung geht in der N herung der unabh n gigen Streuung ISA oder independent scattering approximation aus der Folge unabh ngiger Einzelstreuereignisse hervor 27 Wir f hren zun chst den atoma ren Streuoperator ein der alle relevanten Informationen ber den Streuproze enth lt Daraufhin bestimmen wir die Selbstenergie der mittleren Photonenam plitude sowie den Intensit tsvertex der Einfachstreuung Als erstes Ergebnis er halten wir dann den Beitrag der Einfachstreuung zur R ckstreuintensit t f r beliebige Lichtpolarisation und beliebige atomare Dipol berg nge Atomarer Streuoperator Das elektromagnetische Feld ist in kanonisch quantisierter Form 17 28 gegeben Bei monochromatischer und resonanter Anregung hinreichend niedriger Inten sitat wird das Atom durch ein Zwei Niveau System beschrieben das iiber die Dipolwechselwirkung 1 6 auf S 39 an das Lichtfeld gekoppelt ist Der atoma re Grund und der angeregte Zustand mit Gesamtdrehimpuls J bzw J sind in Abwesenheit eines u eren magnetischen Feldes in ihren magnetischen Quanten zahlen m bzw m vollst ndig entartet 29 Der Anfangszustand von Feld und Atom sei gegeben durch den Einphotonen zustand ke charakterisiert durch Wellenvektor k und transversale Polarisation e sowie einen atomaren Grundzustand Jm Die Amplitude der bergangs wahrsch
256. ux de polarisation A h et L 1 qui sont interdits pour les diffuseurs sph riques classiques cf Sec 1 4 Dans ce sens les atomes ressemblent des diffuseurs non sph riques classiques et on s attend en effet un contraste r duit dans les canaux perpendiculaires 19 Cependant dans un ordre de diffusion plus lev les diffuseurs interm diaires peuvent effectuer des transitions Rayleigh et Raman d g n r es sans contrainte et il n est plus possible d incriminer les transitions Raman seules Dans le canal h h par contre la Fig 2 1 montre l exemple d une tran sition Rayleigh double avec des amplitudes totalement d s quilibr es et une interf rence nulle D autre part des transitions Ramans d g n r es telles que m ma m m 0 satisfont la relation de r ciprocit 2 31 et ont un contraste optimal ce qui est aussi vident partir de la sym trie d change Un exemple explicite de cette situation est donn dans la Fig 2 4 De plus m me si les transitions Raman donnent aux atomes quelques caract ristiques de dif fuseurs non dipolaires ceci n implique pas en soi un d s quilibre d amplitudes La relation de r ciprocit classique s applique des diffuseurs di lectriques quel conques et assure un contraste d interf rence maximal ind pendamment de leur forme g om trique En sommant toutes les amplitudes de transition par MA THEMATICA T Jonckheere 104 a pu disting
257. vec 1 80 et 1 81 une expression de la self nergie analogue a celle des diffuseurs ponctuels classiques 32 37 83 En effet l op ration scalaire qui consiste prendre la trace du produit de tenseur de diffusion avec une matrice de densit elle m me scalaire s lectionne uniquement la partie scalaire du tenseur cf 1 47 Et la partie scalaire reproduit justement le comportement du dip le l mentaire 1 50 Les parties non scalaires du tenseur de diffusion sont moyenn es z ro et la d g n rescence des niveaux atomiques ne contribue que par le facteur scalaire My variant peu de sa valeur M 1 pour un diffuseur dipolaire classique Par cons quent la structure interne des atomes ne modifie guere les proprietes du milieu effectif concernant l amplitude moyenne du champ Comme le propagateur nu et la self energie le propagateur moyen 1 74 est purement diagonal k ews G w kers 053 One G k w 1 82 avec 1 w k Y w Les singularit s du propagateur correspondent aux nergies d volution Plus pr cisement la fr quence d volution w k est donn e comme la solution implicite de la relation de dispersion complexe G k w 1 83 w k X e 0 1 84 La solution it rative de premier ordre est a k E k 1 85 54 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE Avec 1 81 on obtient explicitement 6x O T ih Sau ER 1 86 Ba Tr em N en Babe ee 1 87 k 1 402 7 2 La p
258. x 3 peut tre d compos e en sa partie scalaire ou trace sa partie antisym trique et sa partie sym trique trace nulle 1 1 1 1 tij ET Ae 7 Ae tji g ijtkk 1 47 1 2 0 1 2 contenant 1 3 5 3 x 3 9 l ments ind pendants Le tenseur est essen tiellement le produit direct de deux vecteurs d d qui se transforment chacun de fa on irr ductible sous la repr sentation DU du groupe des rotations de R3 Mais le produit direct de deux repr sentations d un groupe est en g n ral reductible et la d composition 1 47 correspond la d composition de Clebsch Gordan 76 DY 8 DY D g DO g DO 1 48 du produit direct en repr sentations irr ductibles Amplitudes de transition Il est instructif d expliciter le tenseur de diffusion dans le cas de la transition dipolaire l mentaire Fig 1 2 L amplitude de transition r sonnante 1 42 est 48 CHAPITRE 1 DIFFUSION SIMPLE dans ce cas ke 00 pod t w amp e er 1 49 00 k e La seule transition possible est la transition Rayleigh sur l unique tat 00 du fondamental et la matrice t devient proportionnelle l unit La comparaison de cette expression avec 1 47 montre que dans le cas du dip le l mentaire seule la partie scalaire du tenseur de diffusion intervient La partie scalaire par definition est invariante sous des rotations et donc proportionnelle la matrice unit L action du tenseur sur les po
259. z d atomes froids Pour pouvoir pousser les calculs analytiques le plus loin possible nous avons suppos un milieu atomique infini ou de g om trie semi infinie Mais la comparaison des r sultats exp rimentaux Fig 6 en p 34 et th oriques Fig 3 10 en p 159 n ces site de prendre en compte les effets de g om trie finie Dans une premi re tape la m thode exacte image Sec 3 2 1 pourra tre appliqu e un milieu en forme de tranche pourvu que l paisseur optique soit bien sup rieure l unit Nous nous attendons alors un meilleur accord quantitatif entre les facteurs d amplification exp rimentaux et th oriques Cependant pour une paisseur op tique approchant l unit ou encore pour une g om trie born e transversalement 116 les calculs analytiques doivent c der la place des simulations num riques Des r sultats pr liminaires 15 montrent que le contraste d interf rence un ordre de diffusion donn par exemple de la diffusion double Sec 2 3 3 p 101 ne d pend que peu de la g om trie par contre le poids relatif entre les diff rents ordres en d pend L analyse de la forme pr cise du pic de r trodiffusion coh rente de sa largeur dans les diff rents canaux et de l anisotropie reste donc une t che accomplir 162 CHAPITRE 3 DIFFUSION MULTIPLE Chapitre 4 Resume et perspectives 4 1 Impact de la structure interne quantique Le travail th orique pr sent

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