le cube magique hongroi:
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1. F a pour ordre 63 F D a pour ordre 105 V DLE PROBLEME FONDAMENTAL Il s agit partir une position srhitraire e retrouver la position ini tiale ou achev e c est dire celle o chaque free ert colori e uniform ment Plu sieurs m thodes peuvent tre utilis es Dans tous les cas les couleurs sont impos es par le centre des faces l re m thode x a On place d abord correctement les cubes de coins en faisant abstraction des mouvements des cubes m dians Pour cela on tudiers l effet des mouvements sui vants l l 1 2 l l 3 PODO FD F PD Pp rD b On place ensuite les cubes m disns en tudiant l effet des mouvements z 2 3 y2 x gep as y i Dans la th orie des groupes ons remarque que l un des mouvements est le conju eu de l autre Fa fa r c Au cours des manipulations pr c dentes on est amene modifier la position 3 3 alement D ST du cube pour que les faces idoines soient en S D ou F Il faut luer le nombre e transposition sur les l ments modifier Il est quelquefois int ressant d effectuer queloues mouvemente pr rl hles simples dane le but de situer les petits cubes en des endroits plus apr ables 2 me m thode Placer correctement l ta e sup rieur en tenant compte des bords comte sur le croquis ci contre ceci est facile ssns aucune connaissance Placer correctement le deuxi me tage e2. c est un tout autre probl me de colorier correctement les six faces du cube Y passer ses loisirs pendant une dizaine de jours semble tre une bonne moyenne condition d avoir quelques connaissances des rotations dans l espace et de th orie des groupes I R ALISATION ET CONSTRUCTION Une des preni res questions qui vient l esprit d s que l on a tourn les trois faces indiqu es ci contre c est comment sont accroch s les cubes les uns aux autres en particulier ceux des sommets Comment fonctionne m caniquement le cube magique Pour le comprendre le plus simple est de le d monter Mais par o commencer Aucune vis aucun trou apparent Et pourtant il a bien du tre nont en usine En r alit le dernier petit cube introduit l a t en force et il faut tr s l g rement forcer pour assemblage de quelques cubes sans le fri dre central gt E A T EEA pe Ma M A l i i t i E 7 i 2 Fri dre central la parlie ombree est Fixe les centres des faces pivotant autour de leur axe l ter condition de choisir l angle convenable Tourner la face sup rieure du cube d environ 15 209 de fa on amener un petit cube m dian hachurer ci dessus la hauteur de la s paration verticale de deux petits cubes des tages inf rieurs En s aidant d un tournevis ou d une lame soulever le cube m dian en le basculant vers
3. faces crois es et 4 faces telles que p Y T faces en CC ky b Le carr du sous groupe sandwich 2 2 n 2 ERORE C est celui engendr par 5 S Il est encore plus simple que le pr c dent en particulier il est conmutatif Sa table de pythagore est tr s rapide e e c Le sous groupe enti seandrich Ce sera celui obtenu partir de mouvements du type D G G D Ce groupe est plus d licat tudier mais son carr est le m me que celui du sous sroupe sandwich f a Autres exemples et Nous laissons le soin au lecteur de trouver d autres sous groupes engendr s t t s E m gt 4 tar ts par quelques l ments tels que Cu ee FD En exploran rentes voies le lecteur aura remarqu qu il est possible d changer deux paires de cubes m dians en laissent tous les sutres cubes fixes ou d changer deux paires de cu bes de coin en laissant galement toutes les autres pi ces fixes Par contre conme D il a t d montr il est impossible de n changer qu une paire de cubes On peut aussi changer simultan ment une paire fe cubesde coin et une paire de cubes m dians c est asser conpliqu ou bien faire tourner sur place une paire de cube n diarm ou une paire de cubes de coin Une autre direction de recherche consiste rechercher le nombre d l ments de certains sous groupes comme par ple ceux ensen r s par un seul l ment ou par deux s
4. tentant d utiliser les couleurs de chaque face pour noter une po sition quelconque Cela serait cependant maladroit dans la mesure o d un cube l autre les couleurs ne sont pas dispos es de la m me fa on et que de plus est int ressant ce n est pas la Utilisons donc les tions noms indiqu s 2 D correspondra u demi tour ou au quart de tour dans le tout naturellement dans l ordre de l criture exemple effectue successivement D puis F Attention mais c est plus facile lire Dans certains cas nous synboliserons les mouvements l aide couleur mais le mouvement qui chang arsi ce qui e deux posi sur le croquis ci apr s S pour la face Sup rieure I Inf rieure G de Gauche D de Droite F Frontale Arri re La rotation d un quart de tour dans le sens positif d une face quelconque sera not e par la m me lettre que la face Ainsi au trois quart de tour dans le sens positif sens n gatif Une succession de mouvement sera not D r s D signifie qu on puis S puis F puis S puis F Ce n est pas la notation habituelle de la composition des spplicatiors D th Led ay o 5 n sera figur par on remarquera cependant que cette figuration ne pernet pas de noter un chongement d orientation d un petit cube On pourra parfois l indiquer sch matiquement comme par exemple sera figu r par D o les signes indiquent q
5. Le cube magique hongrois Le cube magique a t invent par un ing nieur sculpteur hongrois le professeur Ern Rubik qui a vendu tous ses droits de reproduction l industrie Les deux sp cimens que l on peut emprunter la biblioth que irem proviennent de Hongrie Il est tr s difficile de s en procurer cer la demande d passe largement l offre actuel lement x Pour ceux qui pensent que le mode d emploi est donn en hongrois sur l embal lage nous les d trompons imn diatement en donnant une traduction du texte CUBE MAGIQUE jeu spatial et logique i s Jolit echnika A IPARI SZ VETKEZET Coop rative Politechnika distribu par TRIAL Ceci est un jeu pour enfants et adultes d ve loppant la pens e logique et la visualisation spatiale Il y a 26 petits cubes de couleur attach s les uns aux autres En les tournant ils peuvent prendre pratiquement une infinit de positior relatives Sur chacue face les six couleurs peuvent tre m lang es de plusieurs fa ons Le but du jeu est de rendre chaque face unicolore L obtenir sur plusieurs faces est tr s difficile Cela n est possible qu l aide eu des connaissances des r gles de rotation Met Een jii tre 15 20 minutes pour colorier uniform ment une seule face est un bon score et d montre une A j t k a gyermekek 5 toin ilek lotus yondolko gash d r tasst teleszti t 4 oldsi il miid Hal old Egyid
6. es de longue date Seul le moment a sans doute t choisi en fonction de la conjoncture internationale Nous croyons savoir que au d but de l t dernier le pr sident de l Acad mie des sciences M Alexan drov a propos d enlev au prix Nobel de la Paix son titre d acad micien au cours d une r union des instances dirigeantes de cette institution Il n est plus possible de fermer les yeux sur les activit s d Andr Sakharov aurait il d clar en substance L exclusion est videmment une d cision grave difficile prendre qui serait sans pr c dent ce moment l un vieil homme s est lev l acad micien Piotr Kapitza prix Nobel de Physique en 1978 qui a d clar Si il y aurait un pr c dent Einstein a t exclu en 1933 de l Acad mie allemande des sciences Cette br ve r plique a suffi pour que l affaire soit class e et la question retir e de l ordre du jour Daniel Vernet
7. jtiag t bb kkil ronde enak a lorpat s trvenys enii g k f ti mo oldhato meg Egy otdalhok 15520 p te akt rep z s m r igen figyelemre melto r dri ny s j i logikai k szs gre vafl is Figyelj mon k l nb z ir nyt forga sokn l az cuyes elemek holy inele v ti H Az igy ter ismert rv niszerde gehk verelhetk a megold shoz Magyar szabad tomi 170 062 i i grande aptitude la r solution des probl mes logiques Regardez les effets des rota tions dans chaque direction sur la position de chacun des l ments Les r gles que vous pourrez ainsi d couvrir vous conduiront x la solution Brevet Hongrois n 170 062 Mat riaux T AJ KOZYATO Anyaga t s ll sztirol Mati re Styrol anti choc Propri t s s amollit la chaleur peu fragile Entretien lavege en eau ti de l g rement ssvoneuse Jellemz i H re l gyul kev sb t r keny Kezel se Langyos szappanos v zben moshat Quelques remarques a Le mode d emploi se complait en g n ralit set en banalit s Quand il annonce qu il y a une infinit de positions relatives des couleurs il n exag re pour ainsi dire pas car nous d montrerons ci dessous qu il y en a 43 25 milliards de milliards soit raison d une position par microseconde ce qui est rapide m me pour un ordinateur 1 70 million d ann es b Comne il est indiqu s il est presove facile de colorier une seule face
8. le centre Le cube magique se d monte alors sans difficult s et laisse appara tre un m canisme d une simplicit tonnante voir page hors texte Le remontage n est pas plus difficile le dernier petit cube m disn tant fortement press dans une position analogue celle du d montage Attention Pour des raisons qui vont appara tre au paragraphe suivant il faut re monter le cube magique dans la position achev e c d avec toutes les faces unicolores C est ainsi une fa on peu l gante de r soudre le probl me II G NERALITES SUR LES MOUVEMENTS Il est clair qu un cube de coin reste toujours un cube de coin et qu un cute m dian reste m dian au cours d un d placement quelconoue On peut toujours supposer que les centres des faces sont fixes en r alit ile peuvent tourner sur eux m mes conme nous l avons vu lorc du d montage mais cela importe peu pour la coloration Chague cube de coin a huit positions et dans chacune de ces huit positions il peut pr senter ses trois couleurs de trois fa ons Chaque cube m dian a douze positions dans chacune desquelles il peut pr senter ses deux couleurs de deux fa ons Il semble donc que le nombre total de positions soit 12 ND a NN 8 x 3 x12 4 039 293 878 272 000 in r alit par les diff rentes rotations toutes ces positions ne sont pas accessibles et c est Lien pourquoi il est hautement conseill de remonter le cube ma gique dans sa positio
9. me qu il peut se poser propos du cube magique hongrois Malgr les l ments de r ponses apport s il reste suffisemment de questions ouvertes pour pouvoir passer de nombreuses heures en compagnie de ce jouet qui reste le plus pou vantable casse t te que je connaisse Je lui souhaite beaucoup de plaisir D Hotes et r ferences z En dehors des deux exemplaires du cube magique hongrois que l on peut emprun ter 1 IREM il est possible d en acheter aupr s de L oeuf cube 24 rue Linn Paris 5 me x x Cette premi re m thode est expos e par David SINGMASTIR dans un fascicule intitul Notes on the magic cube que l on peut emprunter l IREM Outre des informations qui m ont fourni la moiti de cet article on y trouve lon guement d velopp es sur des exemples simples des notions sur la th orie des groupes de substitution roupes finis Jean Lefort Les entiers d Euler E EHRHART ERRATA Dans le N 20 de l Ouvert il convient de lire page 32 ligne 12 un polyn me erithm tique et non un polygone page 34 Th or me 4 Un entier N et non n age Th or 6 page 35 or me aa T Ai 2a 2 3k 1 2 ET Ne 7 et non 3x 1 9 71 page 38 Remarque 3k 7 PARU DANS LE MONDE DU 29 JANVIER 1980 Une tentative d exclusion de l Acad mie des Sciences Les sanctions d cid es contre M Sakharov n ont pas t prises brusquement mais elles ont t pr par
10. n tudiant l effet sur un cube nfdian de cet tage d un mou ment tel gt 1 1 l 1 vement tel que DI 1 D l FD I p J D Placer correctement les cubes m dians de la fa el Lo 2 inf rieure en tudient l effet sur de tels cubes ges mouvements du type r 1 E E E DED ID Iyip DEF ou du type de celui donn en b nais la puis sance 6 d Achever enfin la r solution du probl me por des mouvements comme RSR CRD Fo F onr y SIL he 2 i RE ou Oa p ei r oe irr fir Dans ce dernier mouvement on remarque 13 combinaison de celui vu en b avec un mou vement sym trique 5 me m thode La v tre obtenue pcut tre en conbinant certains des mouvements pr c dents en trouvant certains raccourcis en faisant preuve d originalit Ein appelant mouvement l mentaire la rotation d une face dans un sens ou un autre d un quart ou d un demi tour on peut estimer qu il faut environ 200 mouve ments l mentaires pour r tablir la position initiale ou achev e partir d une posi tion quelconque On conjecture m ue qu une centaine de mouvenents l mentaires au plus suffiraient La premi re m thode donn e permet un complage assez simple mais n cessite une bonne analyse des positions ce qui est moins utile dans la deuxi me m tho de qui est peut tre un peu plus longue Le lecteur gui m aura suivi jusqu ici poss de tous les l ments pour r soudre n importe quel probl
11. n achev e a Poux les cubes de coin _ Num rotons les trois faces des cubes de coin de fa on ce que l orientation induite soit la m re sur chacun d eux le destin ci contre en donne un exemple On regarde alors l effet d un mouvement l mentsire quelconque sur cette num ro tation Dane le cas de ls figure il n y a modification de cette num rotation que si l on tourne une face lat rale Si l on compare la num rotation d un cube par exemple celui en traits gras et de celui qui a la m me position apr s le mouvement on remarque que la num rotation a tourn d un tiers de tour dans le sens positif sur les quatre cubes de coin dont la num rotation a chang il y a eu exactement deux rotations d un tiers de tour dans un sens et deux dans l autre au total la somme mo ulo un tour est nulle Comme c est videmment le cas pour les faces sup rieure et inf rieure on en d duit gue le r sultat est vrai poui une suite quelconque de mouvement fn cons quence les cubes de coin ne peuvent prendre que le tiers de toutes les 30O N itions possibles on doit gt r liminer celles pour lesquelles la somme pr c dente quivaut 1 3 ou 2 3 de tour b Pour les cubes n diens ffectuons une d monstration snalogue apr s avoir num rot leurs faces comve sur ls fi gure ci contre Vu la num rotation choisie il suffit de regarcer ce qui se pasre lors d un m
12. ouvement l mentaire pour la face marou e en traits gras On remarque que le changement de num rotation n a lieu que pour deux cubes m disns done dans un mouvement quelconque que pour un nombre pair de cubes euvent m diens Ceux ci ne rendre que la moiti de toutes les positions possibles positions c Les trans On sait qu ure pernutation circulaire sur quatre l ments peut se d composer en un produit C un nombre impair de transpositions par esemple LBCD AB AC AD BCDA BA CA DA Or tourner d un quart ge tour une face revient faire la fois une permutation cir culaire sur les quatre cubes de coin et une autre sur les quatre cube m disns IL ya sir de transpositions impair plus impair gale pair donc au total un nombre r Finalement le nombre total annonc N doit tre divis successivment par 3 puis par 2 et encore par 2 soit en tout par 12 Le nombre de positions possibles des couleurs est alors celui qui a t donn en introduction et vaut exactement 45 252 005 274 420 856 000 On comprend alors que si apr s d montage on remonte le cube au hasard il n y a qu une chance sur douze pour qu on puisse arriver colorier uniforn ment chaque face Toutefois le nombre pr c dent peut tre multipli par 2048 et non pas 4096 si lon tient conpte des rotations du centre de charue face Que le lecteur d montre ce r sultat lui m me IIL NOTATIONS Il serait
13. ue les cubes de coin ont tourn d un tiers de tour dans le sens indiqu on imagine qu on les regarde naturellement de l ext rieur du grand cube IV QUELQUES IDEES DE RECHERCHE Dans le but de comprendre ce qui se passe nous allons tudier quelques sous groupes qui permettent de ne modifier la position que de certains petits cubes a Le sous groupe sandwich Il est form des mouvements de la forme D TE c est dire obtenus en tournant simultan ment deux faces oppos es en sens inverse Attention avec la no tation habituelle cela veut dire les deux faces vers l evant ou vers l arri re simultan ment Cela revient ne consid rer que la rotation de la tranche interm disire Nous roterons l aide d une petite lettre ce mouvement DS Du Mess spi On remarque que d g Ce sous groupe est engendr par trois l ments par exemple f d s IL n est pas aussi norme que le groupe complet il n a que 768 l ments ce qui est assez facile compter et il permet l obtention de jolies figures sur les faces qui sont toutes de la forme ci dessous o p et sont des couleurs En notant d la couleur diam tralement oppos e a nous pouvons facilement obtenir les configurations sui vantes 6 faces telles que a p faces centr es faces en X ou crois es i 6 faces telles que S p Y 4 faces centr es et 2 faces unicolores La lt 2
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