Chapitre 3 : Théor`emes limites Introduction : rappels sur la valeur
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1. Soit p une probabilit inconnue Soit S de loi B n p qui repr sente le nombre de succ s lors de n preuves ind pendantes 3 M thode utilisant le th or me central limite Comme on utilise une approximation cette m thode ne donne pas un v ritable intervalle de confiance Elle n est valide que pour les grands n On parle alors d intervalle de confiance 33 Sn np Vnpq le calcul on va faire comme si la loi exacte tait W 0 1 asymptotique On pose Z qui suit approximativement la loi M 0 1 Pour faire Exemple num rique On lance 1000 fois une pi ce qui donne 523 fois pile Trouver gr ce au TCL au niveau de confiance 0 95 un intervalle de confiance pour p IP la pi ce donne pile On commence par chercher un r el a gt 0 tel que P Z lt a amp 0 95 Par sym trie de la courbe en cloche on devrait avoir P 0 lt Z lt a 9 25 0 475 D apr s la table 1 960 0 4750 On choisit a 1 96 On affirme donc que dans au moins 95 des cas Z lt 1 96 Ici la valeur exp rimentale S1000 w de la variable al atoire de loi B 1000 p est 523 Alors en substituant cette valeur la place de Sn dans au moins 95 des cas ed lt 1 96 c est dire 523 1000p lt 1 96 x T000pq Nos 1 Apr s division par 1000 0 523 p lt 1 96 x 71000 V PA On utilise maintenant l astuce pour tout p dans 0 1 p 1 p est plus petit que F Pour le v rifier on tudie les variations2. me possible de donner en L2 une d monstration compl te de ce th or me Enonc Soit une suite X K gt 1 de variables al atoires ind pendantes de m me loi On suppose que E X et var X1 existent On pose comme d habitude Sn X 1 Xr Alors pour tout r el a strictement positif et qui ne d pend pas du hasard on a l in galit dite in galit de Bienaym Tchebychev var Sh P Sh E Sh gt a lt a2 Exemple fondamental On suppose que suit la loi bin miale B n p Alors P S np gt a lt LS a On en d duit en posant 8 le Explications compl mentaires en amphi 29 Corollaire 1 IP Sa pq Li EE n n gt 8 lt 2 Cons quence de ce corollaire Quand n tend vers linfini le majorant FE tend vers 0 Cela prouve que Sa tend se concentrer en p plus pr cis ment si r est un rayon fix la probabilit que Sa appartienne l intervalle de centre p et de rayon r est de plus en plus proche de 1 quand n est grand Cette in galit sert majorer la probabilit d v nements anormaux 2 tend s carter de p Compl ment Variables al atoires de carr int grable D finition On dit dit qu une va r elle est de carr int grable ssi IE X est finie Cela quivaut dire qu elle poss de une variance finie Ceci se prouve gr ce l in galit de Cauchy Schwarz In galit de Cauchy Schwarz E X lt IE X II Le th or me central l
3. 5 0 523 p est plus grand que 8 En choisissant le meilleur 5 qui est r 0 071 et en passant au compl mentaire on obtient l intervalle de confiance pour p de centre 0 523 et de rayon 0 071 On obtient l intervalle J 0 452 0 594 plus mauvais que 7 J contient T Conclusion Remarquer que les deux m thodes fournissent des intervalles de rayon pro portionnel NT qui sont de plus en plus pr cis quand n cro t Toutefois comme W d cro t 34 assez lentement ces intervalles ne sont pas extraordinaires Pour diviser le rayon par 10 il faut centupler le nombre d observations 39
4. Chapitre 3 Th or mes limites Introduction rappels sur la valeur absolue x y repr sente la distance d x y entre deux points de l axe r el La distance entre deux points est nulle ssi x y C est une quantit sym trique d y x d x y Soit r un r el positif ou nul le rayon L ensemble t tq t m lt r est l intervalle 7 de centre m et de rayon r c est l ensemble des points t dont la distance au centre m est inf rieure ou gale r On trouve facilement que les bornes sont m r c est dire I m r m r I La loi des grands nombres et l in galit de Bienaym Tchebychev 1 Loi forte des grands nombres nonc admis Ici loi signifie th or me Enonc Soit une suite X n gt 1 de variables al atoires ind pendantes de m me loi On n Sn suppose que E X1 existe On pose comme d habitude Sp 1 Xk Alors FA converge presque s rement vers E X1 Exemple on lance n fois un d non truqu On compte le nombre de fois que le six appara t Si on d finit X 1 le premier lancer donne 6 Sn est justement le nombre de six et d apr s la loi des grands nombres la fr quence Sa des six tend vers E X 1 P le i me lancer donne 6 La probabilit d un v nement peut donc s interpr ter comme une limite de fr quences 2 Loi faible des grands nombres Comme son nom l indique c est une version plus simple de la loi des grands nombres Il est m
5. de la fonction trin me p p p sur 0 1 qui atteint son maximum au point 4 D o 0 523 p lt 1 96 x 1 V3 0 01582 v 1000 En utilisant le paragraphe fondamental de l introduction on voit que p appartient linter valle de centre 0 523 de rayon 0 01582 On en d duit l intervalle de confiance 7 0 500 54 noter que la borne inf rieure a t arrondie par d faut pour rendre l intervalle plus s r de m me la borne sup rieure a t arrondie par exc s 4 M thode utilisant l in galit de Bienaym Tchebychev Reprenons l exemple num rique pr c dent en utilisant ce coup ci l in galit de Bienaym Tchebychev la diff rence du paragraphe pr c dent on ne proc de pas une approxi mation donc cette m thode marche pour tous les entiers n mais elle peut donner des intervalles peu int ressants Gr ce l astuce p 1 p lt on d duit du corollaire 1 de l in galit de Bienaym Tchebychev que P 22 p gt 8 lt ma Rappelons que l in galit de Bienaym Tchebychev sert majorer la probabilit d un v nement anormal qui va correspondre au compl mentaire de l intervalle de confiance Donc pour avoir une probabilit plus petite que 0 05 il suffit d avoir 10007 lt 0 05 c est dire 8 gt r 41 55 0 071 D autre part en reportant la valeur exp rimentale Sn w 523 dans la formule on peut affirmer qu avec une probabilit plus petite que 0 0
6. e On d sire conna tre la valeur p inconnue d une probabilit d un v nement par exemple la probabilit qu un d suspect donne le six En faisant un nombre limit d exp riences il n est pas possible de trouver la valeur exacte de p On va trouver la place une fourchette pour p c est dire un intervalle 7 Pour cela on utilise n donn es exp rimentales Comme elles peuvent tre aberrantes jour de malchance par exemple il faut bien voir que J ne contient pas forc ment p On n aura qu une certitude probabiliste c est dire que Z contient p avec une probabilit assez grande D finition On appelle intervalle de confiance au niveau de confiance 1 a un intervalle I qui contient p avec une probabilit plus grande que le 1 Les bornes de l intervalles doivent tre des variables al atoires qui ne d pendent que des variables al atoires observ es de n et du niveau 1 a surtout pas de p qui est inconnu et le restera La d finition plus correcte demande que pour tout p dans 0 1 P p I gt 1 a En fait p figure dans la loi de probabiilit puisque les calculs sont effectu s en supposant Sn de loi B n p On utilise le plus souvent les niveaux 1 gaux 0 90 0 95 et 0 99 Remarque on note de fa on compliqu e 1 a le niveau de confiance par r f rence la quantit petite a qui appara t dans la th orie des tests d hypoth ses 2 Hypoth ses de travail
7. et graphe de Y 6 Compl ments sur la lecture de table Si x gt 4 on prend x 0 5000 De m me par imparit si x lt 4 on prend Y x 0 5000 Pour les valeurs n gatives on utilise l imparit de Y 7 Lois gaussiennes premi re approche D finition On dit qu une variable al atoire Z poss de la loi normale cent e r duite b t2 ssi pour tous les r els a lt b P a lt Z lt b 1 exp dt 1 a V2T 32 On dit aussi loi gaussienne centr e r duite en abr g W 0 1 Autrement dit IP a lt Z lt b Y b Y a La table s appelle donc un peu abusivement table de la loi W 0 1 D finition Soient m un r el quelconque et o sigma un r el strictement positif On dit qu une variable al atoire X poss de la loi normale de moyenne m et d cart type o ssi Z X m est une variable al atoire de loi M 0 1 Remarques a On verra dans le chapitre suivant que m est lesp rance de X et que est bien son cart type Par cons quent Z est la variable al atoire obtenue en centrant et en r duisant X b Les calculs pratiques se font en revenant la table M 0 1 Si u lt v u lt X lt v quivaut lt Z lt 7 o Donc P u lt X lt v PE LE 2m 22 e pe o IHI Recherche d intervalles de confiance pour une proportion Il y a deux m thodes En g n ral le choix est impos par l nonc 1 Position du probl m
8. imation est suffisante pour les besoins usuels Ce crit re exprime que plus p s loigne de plus n doit tre grand C est facile expliquer 1 quand p est loin de 5 les p sont fortement asym triques ce qui donne une courbe bien diff rente de la courbe en cloche Avertissement ne pas perdre de temps en tentant des calculs inutiles On ne conna t pas de primitive explicite de la fonction t exp On se sert donc d une calculatrice ou d une table 4 Utilisation de la table distribu e en L2 31 1 P dt Donc la limite dans b 1 t l nonc du TCL f RT exp dt est V b Y a formule de Chasles D finition On pose pour tout x V x f 0 On lit dans la table des valeurs approch es de Y x pour x gt 0 Cela repr sente une valeur approch e de l aire sous la courbe en cloche entre 0 et x hachur e ci dessus Mode d emploi l intersection de la ligne 2 1 et de la colonne 7 0 07 on lit la valeur approch e de 2 17 0 4850 5 tude de la fonction Y Gr ce au th or me de d rivation d une int grale fonction de sa borne sup rieure on trouve 2 o o x que est d rivable avec Y x expl Te Donc Y est strictement croissante impaire On admet que 1 lim x z z 00 Cela quivaut la formule expliqu e dans le chapitre suivant 00 2 1 t exp dt 1 Lo V2T 2 Tableau de variation
9. imite admis 1 Enonc Th or me central limite en abr g TCL Soit une suite Xx x gt 1 de vari ables al atoires ind pendantes de m me loi On suppose que E X et var X existent et que var X gt 0 c est dire X de carr int grable On pose comme d habitude Sn Ne X 4 Alors pour tous les r els a lt b quand n tend vers l infini Sn nE X oj 2 P la lt 5 ME lt b converge vers I exp dt n var X1 a V2T 2 On verra dans le chapitre suivant que la fonction t H exp 5 est la densit de la variable al atoire gaussienne centr e r duite La courbe repr sentative de la fonction 2 exp 5 s appelle la courbe en cloche de Gauss voir le dessin page 31 30 Remarque se souvenir que les variables Zn NE figurant dans le TCL sont centr es et r duites puisque E S n IE X et var S n var X 2 Cas particulier Moivre Laplace On suppose que la loi de X4 est de Bernoulli B 1 p avec 0 lt p lt 1 Ici S a la loi B n p Le th or me central limite prend donc la forme Sn np T 1 t P a lt lt b converge vers exp dt 3 Utilisation pratique du th or me central limite l approximation gaussienne Supposons que S a pour loi B n p et a lt b Quand n est grand on approxime 2 dt b 1 Pla lt 22 lt p ar sa limite dans le TCE f exp VRP Crit re pratique si np gt 10 et nq gt 10 l approx
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