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1. Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 8 2 6 La cotangente gt D finition A La cotangente de l angle C est not e cotan ou cotg C ce qui se lit cotangente de C ou cotangente C La cotangente d un angle est l inverse de la tangente de cet angle c B Donc cotg ee tgC AB rapport entre la longueur du c t adjacent C et la longueur du c t oppos C gt Exemple A Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB 3 5 BC 4et AC 5 3 a EE C B gA 4 4 3 longueur c t adjacent A AB 3 ou cotg A _ longueur c t oppos A BC 4 cotg 1 1 4_ 3333 tC 3 3 x longueur c t adjacent BC 4 longueur c t oppos C AB 3 Vous constatez que 1 comme la tangente la cotangente de ces angles n est pas obligatoirement un nombre inf rieur 1 2 cotg inverse de cotgC ce sera toujours le cas pour un triangle rectangle TAC 7 Dans le triangle rectangle donn au TAC 4 la page 5 triangle DEF rectangle en E avec DE 3 EF 5 et DF 5 83 calculez cotgD et cotgF crivez les calculs Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 9 3 ANGLE DE PENTE La notion de pente est utilis e fr quemment la pente d une toiture la pente d une route l inclinaison de2. ou EL cela vous donne la X tangente de l angle 3 vous appuyez sur la touche qui varie selon les machines ou T ou 2 4 ou une touche de couleur g n ralement avec un F Calculatrice programmable 1 vous appuyez sur la touche INV ou M ou 2 puis vous appuyez sur la touche tan 3 enfin vous appuyez sur la touche 1 x 4 vous introduisez le nombre trigonom trique M me remarque que ci dessus Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique
3. 7 2 6 La cotangente erpii iekea tokiari ennemie ee 8 3 Angede pente minsa oriei a a a a a ea 9 3 11 Exemple israr a Na E e a ESN 9 CAE IE To Io E AEA EA EEA AE 9 3 3 Calcul de l angle de pente ne ui RAR MR dite taahtts 10 Mode d emploi de la calculatrice 344 u Pent d un droite fassent naaiemmnnanduint en annees 11 4 Ange AU CMS en na A te ee ne ent te a 12 4 1 Angle inscrit dans un Cercle sn en A de ft And ire diet ee 12 4 2 Angl au Centres usractenneann indemne nets ten hateees 12 4 3 Une propri t importante des angles au centre sssneseeeeee nenene eneee nenne nnen nn nenene 13 aare Ee EID E T 13 Cercle trigonom tig e nen a a ara Ee eaaa a in de a aaa a aa a aata Eai 15 6 1 Rappel plan muni d un syst me d axes orthonorm s ssssseesseeseeesseeseeeereerreeeeene 15 6 2 Cercle trigonom trique san nr nn Le la rl 17 6 3 Repr sentation des angles dans le cercle trigonom trique 19 7 VEeS quadrants is RS tt 21 8 Repr sentation des nombres trigonom triques dans le cercle trigonom trique 22 Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base 8 1 1L e COSINUS ss a haine a a nn ET En 22 0 27 M GTSINUS 25 n ce nets ets te RIT sense E A A a ns enr T 23 8 3 Coordonn e d un point du cercle trigonom trique 24 84 La tangenten
4. _oppos C Le c t BC est appel le c t de l angle droit adjacent C C Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique O N gt gt u Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 4 Remarque angles adjacents deux angles sont adjacents s ils ont le m me sommet et un c t commun et s ils sont situ s de part et d autre du c t commun AOB et BOC sont deux angles adjacents e ils ont le m me sommet O ils ont le c t OB commun A e ils sont situ s de part et d autre de OB AOB et AOC ne sont pas deux angles adjacents e ils ont le m me sommet O ils ont un c t commun OA e MAIS ils sont situ s du m me c t de OA c t adjacent un angle dans un triangle rectangle le c t adjacent un angle est le c t de l angle droit qui est aussi un c t de l angle consid r voyez la page pr c dente TAC 3 Voici le triangle XYZ rectangle en Y A X Dans ce triangle quel est le c t oppos X quel est le c t de l angle droit adjacent K YZ est le c t Z XY est le c t Z Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 5 2 3 Le cosinus gt D finition Le cosinus de l angle C est not cos C ce qui se lit cosinus de ou cos C cos rapport entre la
5. oriei een E iE Ei peer EA TEET AEE S 24 8 5 La c tangente nna e ea A en E E A E 25 to o i AAA ETE OLA ale AEE E E E T E N A E 26 9 Valeurs remarquables 28 10 Une propri t importante du sinus et du cosinus 28 11 Valeurs possibles pour les nombres trigonom triques 29 11 T Le COSINUS E ns den en E E E d fie ent Ait 29 A RU ETa LE A IL I 30 11 3 Latandgente ss is eee UE te nt i ekesta 31 11 4 Larcotangente ass te Eos AAE E EAA RAEN EAEE OTE E 32 DEVOPERNI E A EEE 33 Corrig des PAG A E A E ETS 34 Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 1 1 QUELQUES RAPPELS 1 1 Les triangles Il existe diff rents types de triangles Le triangle scal ne ses 3 c t s sont de longueurs diff rentes AB BC z AC Le triangle isoc le deux de ses c t s ont la m me longueur lt lt AB AC ou AB BC ou BC AC C Le triangle quilat ral B ses 3 c t s ont la m me longueur AB BC AC ses 3 angles ont la m me amplitude A A B C 60 C Le triangle rectangle B un de ses angles est un angle droit A 1dr C amplitude 90 A Remarque un triangle rectangle peut tre isoc le Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de bas
6. MATH MATIQUE enseignement secondaire 2 degr TRIGONOM TRIE notions de base AC Tan Module 322 LS GN Enseignement distance Administration g n rale de l Enseignement et de la Recherche scientifique Direction de l Enseignement Distance Minist re de la Communaut fran aise Boulevard du Jardin botanique 20 22 1000 Bruxelles T l phone 02 690 82 82 Fax 02 690 82 99 E mail ead cfwb be a D x z m oQ l N D A S 3 T ri T fe Fe 5 2 S a ke D S gt Lo 3 e aa l o S O D s S C D D Q G gt 2 o 2 re 2 fa Q a ro 2 z ro TD sui D p t l gal D 2007 10930 5 Reproduction interdite sans autorisation Trigonom trie Module 322 Introduction Notions de base p 1 INTRODUCTION Le but de ce module n est pas de vous proposer un cours de trigonom trie mais seulement les notions de base qui vous seront indispensables pour comprendre certaines le ons de G om trie cours 269 Vous ne recevrez que cette seule s rie dans laquelle vous trouverez toutes les explications n cessaires des TAC et un devoir Ce dernier permettra votre professeur de v rifier votre bonne compr hension des notions Comme dans tous nos modules sur support papier le corrig des TAC se trouve la fin de la le o
7. culs comme d habitude e si la r ponse est 20 votre calculatrice ex cute les op rations au fur et mesure vous devrez introduire des parenth ses pour indiquer les priorit s Pour le calcul cit en exemple vous devrez donc taper 2 K 3 fel 4 Di 2 D terminez le mode degr radian ou grade Selon les machines vous avez soit une touche DRG chaque fois que vous appuyez sur cette touche vous passez au mode suivant D degr R radian G grade Une lettre D R ou G dans l cran d affichage confirme le mode choisi e soit une touche mode en appuyant sur cette touche vous avez un choix faire g n ralement l aide des fl ches directionnelles du clavier soit les 3 possibilit s vous cochez le mode dans lequel vous allez travailler Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Notions de base Notes sur l utilisation d une calculatrice scientifique p 2 3 D terminez comment calculer une fonction Votre machine tant en mode degr tapez la machine affiche 1 dans ce cas pour calculer la valeur d une fonction vous devez introduire d abord le nombre puis ensuite appuyer sur la touche fonction comme vous venez de le faire la machine affiche autre chose que 1 effacez puis tapez sin 90 o la machine affiche 1 dans ce cas pour calcu
8. e p 2 TAC 1 Un triangle rectangle peut il tre quilat ral Justifiez votre r ponse 1 2 Somme des amplitudes des angles int rieurs d un triangle La somme des amplitudes des angles int rieurs d un triangle quel qu il soit est gale 180 ampl ampl B ampl 180 ce que nous noterons plus simplement C A B C 180 A Cas particulier Dans le cas d un triangle rectangle en B B dans l exemple les 2 angles non droits A et de ce triangle sont des angles aigus X 7A TAC 2 Dans le triangle XYZ rectangle en Z si X 63 quelle est l amplitude de Y Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 3 2 NOMBRES TRIGONOM TRIQUES D UN ANGLE INT RIEUR D UN TRIANGLE RECTANGLE 2 1 Pr liminaire Dans les d finitions nous consid rerons toujours un triangle rectangle en B Les angles aigus sont donc les angles etC Ce sont ces deux angles qui sont appel s ici angles int rieurs AR 2 2 Vocabulaire Soit le triangle ABC rectangle en B gt AC est le c t oppos l angle droit B Ce c t est appel l hypot nuse du triangle hypot nuse rectangle en B gt Consid rons l angle Le c t BC est appel le c t oppos Le c t AB est appel le c t de l angle droit adjacent B gt Consid rons l angle Le c t AB est appel le c t
9. la Tour de Pise C est une notion intuitive nous allons voir quoi elle correspond exactement en math matiques 3 1 Exemple Un enfant fait rouler sa petite ambulance sur un plan inclin entre un point A et un point B 3 2 D finition En math matiques l angle de pente est l angle de sommet B si on consid re AB comme l hypot nuse d un triangle rectangle La pente est d finie comme tant le rapport entre la variation d altitude et la distance horizontale variation d altitude distance parcourue horizontalement pente Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 10 3 3 Calcul de l angle de pente Supposons que AC 15 cm et BC 50 cm D apr s la d finition de la page pr c dente variation d altitude pente distance parcourue horizontalement Ae Des BC 50 Ici la pente est donc gale AC CB Or dans le triangle ABC rectangle en C AC est le c t oppos l angle B BC est le c t de l angle droit adjacent B Z est la formule permettant de calculer tgB Donc pente de AB tgB alz La calculatrice nous aide calculer l angle de pente que nous arrondirons au degr si tgB 0 3 alors 16 70 en degr s d cimaux 17 Vous trouverez sur la feuille suivante quelques notes concernant l utilisation de la calculatrice scie
10. ler la valeur d une fonction vous devez appuyer d abord sur la touche de fonction puis ensuite vous entrez le nombre o la machine affiche une erreur dans ce cas vous avez probablement une calculatrice programmable Quand vous appuyez sur l affichage est sin ou sin le nombre doit tre contenu dans une paire de parenth ses 4 D terminez comment acc der aux fonctions principales sur la touche elle m me et secondaires des touches inscription souvent au dessus de la touche Pour acc der la fonction secondaire vous devez avant appuyer sur une autre touche qui varie selon les machines ou ou ou une touche de couleur g n ralement avec un F Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base TABLE DES MATI RES 1 Quelques rappels AE E E E A TE 1 1 1 Les trangles sinistre nitenetntentes 1 1 2 Somme des amplitudes des angles int rieurs d un triangle 2 2 Nombres trigonom triques d un angle int rieur d un triangle rectangle 3 PAA M PTOlIMINAITS 4 sr ere dr asie lodereseseteec tetes dt de din ane dans tneee fnac tra tete tte R tele tee 3 2 2 NVOCabulairessssssssssnenie nee prendre ne a nain pe tenter Pets airs R nn tem rare tentent 3 2 93 IEE COSINUS 45 fais MM a de RE A PT A A nn Rte 5 2 tEeSNUS mhae e ea a E a E 6 2 56 E E rae ESAN E A T A E E A A en te de
11. longueur du c t de l angle droit adjacent C et la longueur de l hypot nuse C B o a Be AC gt Exemple A Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB 3 5 BC 4et AC 5 3 A u A longueur c t adjaceni A _ 3 _ 0 6 longueur hypot nuse 5 C B ato longueur c t adjacent C 4 0 8 longueur hypot nuse 5 Vous constatez que le cosinus de ces angles est un nombre inf rieur 1 Ce sera toujours le cas Nous expliquerons pourquoi par la suite TAC 4 Le triangle DEF est un triangle rectangle en E tel que DE 3 EF 5 et DF 5 83 Calculez cos D et cos F crivez les calculs Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 6 2 4 Le sinus gt D finition Le sinus de l angle C est not sin C ce qui se lit sinus de C ou sin sin C rapport entre la longueur du c t de l angle droit oppos C et la longueur de l hypot nuse TA 8 AB AC gt Exemple A Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB 3 5 BC 4et AC 5 3 _ le gt sin longueur c t oppose A D 4 0 8 c B longueur hypot nuse 5 4 ice longueur c t oppos C L 3 _ 0 6 longueur hypot nuse 5 Vous constatez que 1 le sinus de ces angles est un nombre inf rieur 1 Ce sera toujours le cas Comme pour le cosinus nous expliquerons pourquoi par la suite 2 sin cos C et sin co
12. n En voici le contenu gt Notes sur l utilisation d une calculatrice scientifique Quelques rappels La d finition des nombres trigonom triques des angles int rieurs d un triangle L angle de pente Les angles inscrits dans un cercle les angles au centres Les angles orient s Le cercle trigonom trique La repr sentation des angles orient s dans le cercle trigonom trique La repr sentation des nombres trigonom triques dans le cercle trigonom trique VNVNNNNNNN Y Les valeurs remarquables valeurs des nombres trigonom triques de quelques angles particuliers Vous trouverez une table des mati res d taill e au d but de la le on Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Introduction Notions de base p 2 Prenez votre temps ce module est assez long il vaut donc mieux ne pas vouloir le voir enti rement en une fois A la fin de ce module vous trouverez gt une notice individuelle compl ter et renvoyer avec votre devoir elle est n cessaire votre professeur correcteur gt une valuation que nous vous demandons de compl ter n oubliez pas le num ro de votre professeur correcteur et de renvoyer aussi avec votre devoir elle nous est indispensable Connaissances pr alables requises Il est souhaitable de ma triser les savoirs les savoir faire et les comp tences du premier degr de l enseignement secondaire e
13. ntifique comme pour les notes donn es dans l introduction conservez soigneusement cette feuille elle pourra vous servir plus tard _ pour calculer les nombres trigonom triques d un angle donn e pour calculer un angle au degr pr s connaissant l un de ses nombres trigonom triques TAC 8 Calculez a l angle de pente arrondi au degr si la longueur horizontale correspondant la distance parcourue par la petite ambulance est de 70 cm et si A est 25 cm plus haut que B b les nombres trigonom triques associ s l angle de pente Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base Mode d emploi de la calculatrice Feuille d tacher et conserver Mode d emploi de la calculatrice scientifique Attention Dans ce module nous n utiliserons que le degr comme unit de mesure des angles donc commencez par mettre votre calculatrice en mode degr 1 Calcul des nombres trigonom triques d un angle donn gt Calcul du sinus du cosinus et de la tangente d un angle Selon votre calculatrice allez revoir le paragraphe 3 de la page 2 du mode d emploi e soit vous entrez l amplitude a de l angle puis la fonction donc 90 sin ou al cos ou a tan e soit vous entrez d abord la fonction puis l amplitude donn e donc sin 90 ou e soit si votre calculat
14. rice est programmable vous entrez d abord la fonction vous appuyez sur sin ou puis l amplitude donn e qui doit tre contenue dans des parenth ses gt Calcul de la cotangente d un angle 1 Vous calculez la tangente de l angle 2 vous appuyez ensuite sur la touche ou EL puisque la cotangente est X l inverse de la tangente 2 Calculer un angle arrondi au degr connaissant l un de ses nombres trigonom triques gt Calcul d un angle connaissant son sinus son cosinus ou sa tangente En g n ral 1 vous introduisez le nombre trigonom trique a 2 vous appuyez sur la touche qui varie selon les machines INV ou 2nd ou ou une touche de couleur g n ralement avec un F Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base Mode d emploi de la calculatrice Calculatrice programmable ond 1 vous appuyez sur la touche INV ou Ml ou 2 vous appuyez ensuite sur ou ou tan 3 vous introduisez le nombre trigonom trique a Remarque dans ce module nous ne vous demanderons que des amplitudes d angles au degr pr s donc vous arrondissez le nombre obtenu nombre de degr s l unit gt Calcul d un angle connaissant sa cotangente En g n ral 1 vous introduisez la valeur de la cotangente a 2 vous appuyez sur la touche 1 x
15. s ce sera toujours le cas pour un triangle rectangle TAC 5 Dans le triangle rectangle donn au TAC 4 la page 5 triangle DEF rectangle en E avec DE 3 EF 5 et DF 5 83 calculez sin D et sin crivez les calculs Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Le on Notions de base p 7 2 5 La tangente gt D finition La tangente de l angle C est not e tan C ou tg C ce qui se lit tangente de C ou tangente CE tg rapport entre la longueur du c t oppos C et la longueur du c t de l angle droit adjacent C C B AB _ BC gt Exemple A Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB 3 5 BC 4et AC 5 3 non 2 i tg E E longueur a Oppose gt A _ 4 1 3333 C B longueur c t adjacent A 3 4 tg _ tan longueur c t oppos C _3 0 75 longueur c t adjacent C 4 Vous constatez que 1 la tangente de ces angles n est pas obligatoirement un nombre inf rieur 1 alors que c tait le cas pour le sinus et le cosinus Remarque lorsqu un nombre d cimal illimit appara tra dans ce cours nous l arrondirons toujours la 4 d cimale 2 tg inverse de tg ce sera toujours le cas pour un triangle rectangle TAC 6 Dans le triangle rectangle donn au TAC 4 la page 5 triangle DEF rectangle en E avec DE 3 EF 5 et DF 5 83 calculez tg D et tg F crivez les calculs
16. t en particulier l ordre de priorit des op rations Mat riel n cessaire Outre les instruments habituels latte querre rapporteur compas vous aurez besoin d une calculatrice scientifique c est dire poss dant les touches SIN COS TAN Vous trouverez la page suivante un mode d emploi succinct de ce type de calculatrice Gardez soigneusement ce mode d emploi pour pouvoir le consulter facilement par la suite Bon travail Enseignement distance Communaut fran aise de Belgique Trigonom trie Module 322 Notions de base Notes sur l utilisation d une calculatrice scientifique p 1 Feuilles d tacher et conserver Mode d emploi succinct de la calculatrice scientifique G n ralit s La calculatrice scientifique dispose des fonctions sin cos tan et aussi In ou log e ou 10 et de leurs r ciproques Le manuel d utilisation si vous en disposez vous donnera toutes les indications n cessaires pour introduire vos calculs Si vous n en disposez plus les quelques notes suivantes devraient vous permettre d utiliser correctement votre calculatrice 1 D terminez si votre calculatrice respecte les priorit s des op rations Tapez 21 3 141 ENTER au lieu de si votre calculatrice est programmable si la r ponse est 14 votre calculatrice respecte les priorit s des op rations vous pouvez donc crire vos cal
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