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Exercices d`algèbre 1 - Ceremade - Université Paris

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Contents

1. zRt si et seulement si g7 z lt g t R est elle r flexive transitive une relation d ordre 14 Exercices compl mentaires sur les complexes Ces enonc s qui proviennent du site Exo7 ont pour but de permettre aux charg s de TD de revenir sur certains points si cela semble utile et aux tudiants de s entra ner sur des exercices dont le sujet et le niveau sont adapt s au cours Exercice 5 20 Mettre sous la forme a ib a b R les nombres 3 6i fl i 3 6i 2 5i 2 5 Jedi Bd 1 144 Exercice 5 21 Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants ainsi que de leurs conjugu s 1 1 i 1 V2 2 410 24V5 i 1 v5 tan i tan g i o y est un angle donn Exercice 5 22 Repr senter sous forme trigonom trique les nombres 1 iv3 Vi Exercice 5 23 D terminer le module et l argument des nombres complexes 1l i 144698 VvV3 i e et e e Exercice 5 24 D terminer le module et l argument de iti Calculer 6 Exercice 5 25 Calculer les puissances n i mes des nombres complexes 1 iv3 21 143 22 9 Z3 B l itan0 1 itan0 Exercice 5 26 Mettre sous forme trigonom trique 1 e o 6 r r Donner une interpr tation g om trique Exercice 5 27 R soudre dans C les quations suivantes 2 2 1 0 22 1 2 z2 i 1 0 22 V3z i 0 z2 5 14i z 2 5i 12 0 2 3 4i z 1 5i 0 42
2. A I A AetVpeN A A AX On dit que deux matrices et B de M commutent si AB BA Montrer que si A et B commutent la formule du bin me de Newton est vraie p A BP gt C AFDE avec C k 0 p k p k 27 1 0 Exercice 12 8 x Soit A 0 1 et J J3 Pour tout n N calculer J puis A 1 1 O cos x sin x sin x cos x Exercice 12 9 Tous TD Soit x R et A Calculer A pour tout n gt 1 Exercice 12 10 Tous TD Soient A et B deux matrices de Mp Effectuer les produits A BY A B A B A BP ABP e amp t I A A I A Exercice 12 11 Soient A et B deux matrices de M triangulaires inf rieures Montrer que leur somme et leur produit sont aussi triangulaires inf rieures Exercice 12 12 Cours Soit A a une matrice carr e de Mp On appelle trace de et on note tr A le nombre r el tr A N am k 1 Montrer que VA Mn VB Mn VA E R tr A B tr A tr B tr AA tr A tr AB tr BA Exercice 12 13 Soient A et B deux matrices carr es r elles de format n x n avec tr A 1 D terminer les matrices X M a R telles que X tr X A B Exercice 12 14 Tous TD 1 Soit X une matrice colonne coefficient r els Calculer XTX Montrer que XTX 0 si et seulement si X 0 2 Soit A une matrice coefficient r els et X une matrice colonne coefficient r els tell
3. on dit alors que p est congru q modulo n Montrer que R est une relation d quivalence et que pRa si et seulement si le reste de la division euclidienne de p par n est le m me que le reste de la division euclidienne de q par n Quelles sont les classes d quivalences de la relation R Exercice 6 6 Sur l ensemble des parties de N on consid re la relation R d finie par pour toutes parties et B de N ARB si et seulement s il existe une bijection de A dans B Montrer que R est une relation d quivalence Exercice 6 7 relations Soit un ensemble non vide D terminer toutes les relations sur qui sont la fois des relations d quivalence et des relations d ordre Exercice 6 8 relations Sur l ensemble des parties finies de N on d finit la relation R par pour toutes parties finies et B de N ARB si et seulement si CardA lt CardB La relation R est elle une relation de pr ordre d ordre d quivalence Exercice 6 9 ordre Soient A et B deux parties non vides de R muni de la relation d ordre usuelle admettant chacune une borne sup rieure i Montrer que AU B a une borne sup rieure et que sup A U B max sup sup B ii On d finit A B xEeR lableAxB x a b Montrer que B a une borne sup rieure et que sup B sup sup B Exercice 6 10 Tous TD ordre On munit R des deux relations binaires x y Ra x y amp x lt x et y lt y ordre produit x y Ra x
4. 2z 1 0 zf 102 169 0 2 22 4 0 Exercice 5 28 1 Pour quelles valeurs de z C a t on 1 iz 1 izl 1 z 7 1 ia l1 iz 1 ta o a R Montrer sans les calculer que les solutions de cette quation sont r elles Trouver alors les solutions 2 On consid re dans C l quation 3 Calculer les racines cubiques de vit 15 Exercice 5 29 D terminer les nombres complexes z C tels que les points d affixes z 2 et 1 2 soient sur un m me cercle de centre O Exercice 5 30 1 Calculer cos 50 cos 80 sin 60 sin 90 en fonction des puissances de cos 0 et sin 8 2 Calculer sin 8 sinf 8 cos 8 cosf 0 l aide des cosinus et sinus des multiples entiers de 8 Exercice 5 31 Montrer que tout nombre complexe z non r el de module 1 peut se mettre sous la forme o r R Exercice 5 32 Que dire de trois complexes a b c non nuls tels que a b c a b el Exercice 5 33 On d finit une fonction f de C i dans C 1 en posant z z i p 1 On suppose z r el Quel est le module de f z 2 Trouver les nombres complexes z tels que f z z Exercice 5 34 Montrer que les solutions de l quation 1 z 2 2 1 nz sont de module inf rieur ou gal 1 6 Relations Exercice 6 1 x relations On consid re la relation R d finie sur R par pour tous r els x et y zRy ssi x y lt 10 Cette relation est elle reflexive
5. soit P Xpo ak X K X suppose t on implicitement que deg P n que deg P lt n rien du tout M me question quand on crit soit P Xpo aX K X avec an 0 Exercice 9 4 Soient et B des polyn mes coefficient r els qu on peut donc voir comme des polyn mes coefficient complexes particuliers On suppose B 0 Soient Q et R des polyn mes coefficients complexes tels que BQ R Les polyn mes Q et R sont ils forc ment coefficients r els Qu en est il si de plus deg R lt deg B Exercice 9 5 x Soit B K X un polyn me non nul On consid re la relation R suivante sur K X pour tous polyn mes P et Q dans K X P RQ amp B P Q Montrer que PRQ si et seulement si P et Q ont m me reste dans la division euclidienne par B En d duire que R est une relation d quivalence Exercice 9 6 x Soit A et B des polyn mes non nuls Montrer que si B A alors degB lt degA En d duire que B est constant si et seulement si pour tout A dans K X BA Exercice 9 7 Tous TD sauf si cela a d j t fait en analyse Soient f et g deux fonctions de K dans K Montrer par r currence la formule du bin me de Newton Vn N EO o ma k 0 Exercice 9 8 Tous TD Soient a et b deux r els distincts et P un polyn me de R X Calculer le reste de la division euclidienne de P par X a X b en fonction de a b P a et P b Calculer le reste de la division euclidienne
6. transitive sym trique antisym trique totale Est ce une relation d quivalence Est ce une relation d ordre Exercice 6 2 cours quivalence Soient et F des ensembles Soit f E F une application Soit R la relation sur E d finie par pour tous x et y dans E xRy ssi f x f y Montrer que R est une relation d quivalence Exercice 6 3 Tous TD quivalence Montrer que les relations suivantes sont des relations d qui valence on pourra utiliser l exercice pr c dent Pr ciser les classes d quivalence a sur R Ry lt cos x cos y b sur R tRy lt cos x cos y et sin x sin y c sur R Ry gt E x E y o E x d note la partie enti re de x d sur Z x Z p q R p q pq p q Exercice 6 4 quivalence On consid re une partition P d un ensemble E c est dire une famille A er de sous ensembles non vides de E telle que On d finit alors la relation R sur E par rRyS I x A et y Montrer qu il s agit d une relation d quivalence Quelles en sont les classes d quivalence q 8 q 16 Exercice 6 5 Tous TD quivalence Notation si n et p sont des entiers relatifs on dit que n divise p et on note nlp s il existe un entier relatif k tels que p kn Par exemple 6 divise 12 et 30 mais ne divise pas 10 Soit n N Soit R la relation sur N d finie par pour tous entiers naturels p et q pRq amp n p q
7. c dent a Montrer que Yx gt 1 In 1 x lt x puis que Vz gt 0 lngz lt x 1 b Soient n N et t1 Tn Tn 1 des r els positifs tels que z1 8n n 1 lt n 1 Montrer que I x tit I Ina o a 1 2H n n c D montrer par r currence Vn N Vr E R V n R4 Ti H t En lt N De En I1 le d Soient n N et z1 n des r els positifs Comparer leur moyenne g om trique 1 2 Ln et leur moyenne arithm tique x1 n n 8 Arithm tique Note aux charg s de TD certains tudiants n ont pas suivi la sp cialit math matiques en terminale et n ont donc jamais entendu parler d arithm tique au lyc e Exercice 8 1 Donner la d composition en nombres premiers de 8 12 17 495 et 1001 Exercice 8 2 x Que valent pgcd a b et ppem a b dans les cas suivants i a 6 b 12 iasg 0e 5s iii a 12 b 18 V rifier que dans ces exemples pgcd a b x ppem a b ab on admet que c est vrai en g n ral Exercice 8 3 x D terminer pgcd a b c et ppem a b c dans les cas suivants b Dac bse jii a 2 b 3 c 5 A t on toujours pgcd a b c x ppem a b c abc Exercice 8 4 x D terminer pgcd a b c dans les cas suivants i a 120 b 60 c 24 ii a 60 b 45 c 18 Exercice 8 5 Montrer que pour tout n dans N les entiers n et n 1 sont premiers entre eux i e pgcd
8. ensemble vide Soit A une partie de R Soit P la proposition Pour tout r el x dans A x gt 12 Nier P On suppose maintenant que A La n gation de P est elle vraie ou fausse P est elle vraie ou fausse Exercice 1 4 x n gation d nonc s avec quantificateurs Nier en fran ais courant les propositions suivantes 1 Il y a au moins un tudiant qui aime le tennis 2 Tous les tudiants aiment lire 3 Dans toutes les mati res il y a au moins un tudiant qui travaille r guli rement 4 Il y a au moins un tudiant qui dans toutes les mati res travaille r guli rement Exercice 1 5 propri t s du OU et du ET Soient A B C D des propositions Montrer que A ou B et C ou D est quivalent A et C ou A et D ou B et C ou B et D Application trouver les couples de r els x y tels que l z 1 y 2 0 x 2 y 3 0 Exercice 1 6 Tous TD compr hension et n gation d implications Dire si les propositions sui vantes sont vraies ou fausses et les nier 1 Pour tout r el x si x gt 3 alors z gt 5 2 Pour tout entier naturel n si n gt 1 alors n gt 2 3 Pour tout r el x si x gt 1 alors x gt 2 4 Pour tout r el x x gt 1 est quivalent x gt 1 pour le 4 on pourra se rappeler qu une quivalence est une double implication Exercice 1 7 x ordre des quantificateurs importance de l ensemble auquel appartiennent les l ments Les propos
9. n peut s crire et de fa on unique comme combinaison lin aire des polyn mes P5 Pi Pn Soit K X P K X deg P lt n l ensemble des polyn mes de degr au plus n Soit PEK X a Si n gt 1 montrer qu il existe K tel que P X P K _1 X b En d duire qu il existe des scalaires 5 X tels que P AoPo An Ph c Montrer que cette criture est unique 22 Exercices compl mentaires sur les polyn mes Exercice 9 22 Soit A X Xt aX bX 5X 2 et B X 2X 1 Peut on d terminer a et b pour que B divise A Exercice 9 23 Soit X 4 2X P n o n est un entier strictement positif a Montrer que les n 1 premi res d riv es de P sont nulles pour x 0 et x 2 b Ecrire la formule de Taylor pour P au point 0 et au point 2 c En d duire que toutes les d riv es de P prennent des valeurs enti res pour 0 et x 2 Exercice 9 24 Soient n un entier sup rieur 3 et P un polyn me de degr n coefficients r els tel que P 0 1 et P 1 0 a Montrer qu il existe un unique polyn me Q de R X tel que P XQ 1 b Montrer que Q 1 Q 1 0 n 1 k c Montrer que Q X X 2 Q 1 a OX De k 2 f d En d duire qu il existe des r els uniques a1 an 1 tels que n 1 P 1 aX X 2 X X 1 k Exercice 9 25 difficile Trouver les polyn mes P de R X tels que P X P X 2 P X 0 On mont
10. y amp x lt x ou x x et y lt y ordre lexicographique On admet que ce sont des relations d ordre i Soit a b donn dans R Identifier et repr senter les ensembles Xa x y R x y R a b et Yu x y E R x y Ra a b ii Soit 10 3 0 0 1 1 3 1 1 1 7 12 20 20 a Pour l ordre produit ordonner classer les l ments de A on pourra repr senter cet ordre en faisant une fl che d un l ment x un l ment y de pour dire que x est plus petit que y et en omettant les fl ches impliqu es par d autres fl ches et la transitivit de la relation d ordre Quels sont les l ments maximaux de A les l ments minimaux A a t il un plus grand l ment une borne sup rieure un plus petit l ment une borne inf rieure b M me questions pour l ordre lexicographique iii Montrer que dans R muni de l ordre produit toute partie non vide et major e admet une borne sup rieure Est ce vrai pour l ordre lexicographique on pourra consid rer la partie B R x R 17 Exercice 6 11 ordre On admet que l inclusion est une relation d ordre sur l ensemble des parties de R Soit A 0 1 3 10 R Z 4 7 N Ordonner les l ments de A suivant la relation d inclusion D terminer l ensemble des minorants resp majorants de A Quels sont les l ments maximaux de A les l ments minimaux L en
11. D ax k 2 k 4 k 1 k 1 kEN 2 lt k3 lt 100 kEN 1 lt 3k lt 10 Exercice 2 13 Tous TD au moins a et c r currences D montrer par r currence les galit s suivantes AS CE DAMES CRE 3 wea Exercice 2 14 indices d finitions Pour tout entier relatif k on pose Ap k k 10 Que valent les unions et intersections suivantes a UJA bD UA ANA NA kEN kEN Exercice 2 15 Tous TD indices union intersection Que valent les unions et intersections sui vantes a Uins sinz b U EMI of EMI d N En zER ze 1 00 xe 1 00 xe l Exercice 2 16 Tous TD indices propri t s de l union et de l intersection Soient A un ensemble I un ensemble d indices et B er une famille d ensembles index e par Z c est dire la donn e pour tout dans 7 d un ensemble B Montrer que aufNa Quus a an Ua Yanz icl icl ici ici Exercice 2 17 Tous TD diff rence entre l ensemble vide et l ensemble contenant uniquement l ensemble vide Soit 0 1 2 Quel est l ensemble des solutions des probl mes suivants Probl me 1 quels sont les sous ensembles de qui ont au moins 4 l ments distincts Probl me 2 quels sont les sous ensembles de inclus dans Cx E Exercice 2 18 ensembles Soient A un ensemble et X Y Z des parties de A a Donner un exemple o XUY XUZet Y Z b Donner un exemple o XAY XNZet Y Z c D montrer que XUY XUZ et XNY XNZ Y Z E
12. de C dans C d finie par 2 vz f z a Montrer que Yz C fo f z z b f est elle bijective Si oui calculer f c Soit un r el strictement positif et C le cercle z C z R Calculer f C d Quel est l ensemble z C f z 2 Exercice 5 9 Soit f l application de C dans C qui tout nombre complexe z x iy avec x et y r els associe 1 l fl DE ete a Montrer que pour tout z r el f z cos z b Soit z dans C Montrer que f z 2r f z que f z2 f z et que f 2z 2 f 2 1 c f est elle injective d Calculer f 1 0 13 Exercice 5 10 Tous TD Soit f l application de C dans C d finie par Vz C ra 2 a L application f est elle injective surjective b Calculer l image r ciproque de i par f c D terminer limage directe du cercle unit U par f d On note H le compl mentaire dans C du segment 1 1 et on note D l ensemble z C z lt 1 Montrer que l on peut d finir l application g D H z f z e Montrer que g est bijective On pourra remarquer que le produit des racines de l quation 2 4 z est 1 Exercice 5 11 x Calculer les racines carr es de 2 24 3i puis celles de 9i Exercice 5 12 Tous TD R soudre l quation 2 1 iv3 z 1 iv3 0 a Exprimer les racines z et z en fonction des nombres complexes a v3 i 2 et b 1
13. de P par X a en fonction de a P a et P a Pour n N quel est le reste de la division de P X X b par X a Exercice 9 9 x Calculer le reste de la division euclidienne de par B o n gt 2 A X X 1 et B X 1 Pour p et q entiers tels que p gt q quel est le reste de la division de X X1 1 par X X 21 Exercice 9 10 Tous TD Soit n gt 3 D terminer un polyn me P de R X de degr n tel que P 1 3 P 1 4 P 1 5et P 1 3 si k 3 n Un tel polyn me est il unique Exercice 9 11 D terminer les polyn mes de degr 3 de R X divisibles par Q X 1 et dont les restes des divisions euclidiennes par X 2 X 3 et X 4 sont gaux Exercice 9 12 Factoriser le polyn me r el X X X I X X 1 X n 1 pute RAD AORO CE ER ED Faire un raisonnement par r currence Exercice 9 13 Tous TD Montrer qu un polyn me r el de degr 3 admettant une racine double dans C X a toutes ses racines dans R Exercice 9 14 Soient p et q deux r els fix s et A le polyn me X pX q Montrer que A admet au moins une racine r elle D terminer en fonction de p q le nombre de racines r elles de A Exercice 9 15 Tous TD Soit n N Factoriser dans C X et dans R X les polyn mes suivant 1 X 1 2 2X 2 3 X 1 X 2 4X 1 4 X 1 5 X 1 Exercice 9 16 Tous TD Soit 0 R Factoriser dans C X et dans
14. et seulement si f I dp Exercice 3 30 relativement difficile Soit un ensemble et f E E une application telle que fofo f f Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective 4 Ensembles finis et infinis Exercice 4 1 x note aux charg s de TD ne faire que quelques questions un corrig sera distribu R pondre aux questions de la feuille Injections et surjections dans la vie quotidienne Exercice 4 2 Pourquoi est il quivalent de dire qu il existe une bijection de dans F et de dire qu il existe une bijection de F dans E 11 Exercice 4 3 note sans doute fait en probabilit s discr tes n y revenir que si cela semble utile Montrer en revenant la d finition qu une r union d ensembles finis est finie on pourra commencer par la r union de deux ensembles disjoints puis de deux ensembles quelconques Exercice 4 4 Montrer qu un ensemble en bijection avec un ensemble d nombrable est d nombrable Montrer qu un ensemble en bijection avec un ensemble non d nombrable est non d nombrable Exercice 4 5 Cours le r sultat est conna tre pas la preuve Soit E un ensemble fini ou infini Montrer qu il existe une injection de dans P E Montrer qu il n existe pas de surjection de E dans P E indication soit f E P E une application Consid rer l ensemble x E x f x En d duire que P N n est pas d nombrable Exercice 4 6 ensembles infini
15. f z 0 Exercice 5 1 Montrer que si a et b sont deux nombres complexes de module 1 tels que ab 1 a alors est r el 5 Exercice 5 2 x Que dit la formule de Moivre Soit 4 R et n N Calculer D _ cos k8 Xo Sin k0 Xpo C cos k0 indication cos k0 Re e Calculer Yg p e Exercice 5 3 Tous TD Soit x R et n N Calculer D cos x 2kr n et Xp sin x 2kr n Exercice 5 4 Soit f l application de C C 0 dans C d finie par In z z gt f z T i On pose z re avec r R 0 et t R Calculer le module et largument de z f z L application f est elle injective ii Soit R un r el strictement positif On pose E z C z R D terminer l image directe f E de E par f Donner une interpr tation g om trique de ce r sultat Exercice 5 5 D montrer l galit du parall logramme Y a b C a b a b 2 la b Exercice 5 6 Tous TD Soient r la rotation de centre A 1 i d angle 7 2 et r la rotation de centre B 1 i d angle 7 2 a D finir les transformations complexes correspondant r et ro b Calculer r o r2 et r2 0 r1 et les caract riser g om triquement c Calculer r or20r et la caract riser g om triquement Exercice 5 7 Trouver l ensemble des nombres complexes z tels que les points d affixes z 2 2 soient align s Exercice 5 8 Soit f l application
16. i3 2 b D terminer le module et l argument de ces racines En d duire les valeurs de cos 5r 12 sin 57 12 cos 117 12 et sin 11r 12 Exercice 5 13 x Soit une racine carr e du nombre complexe z Trouver les racines carr es de z 1 i z et 2 en fonction de 6 Exercice 5 14 Tous TD R soudre dans C l quation 2 2 1 0 Exercice 5 15 Soit n N R soudre l quation d inconnue x R x 1 x i Exercice 5 16 x Ecrire sous forme d une application de C vers C les transformations g om triques suivantes a rotation de centre A 1 i d angle r 4 b homoth tie de centre B 2i de rapport 1 3 c sym trie orthogonale par rapport la droite y a a R Exercice 5 17 Tous TD Soit 0 R D velopper cos 0 i sin 0 en d duire que cos n est un polyn me en cos 0 et calculer ce polyn me pour n 1 2 3 Exercice 5 18 Tous TD Exprimer cos 5x sin 3x en fonction de sin x et cos x Exercice 5 19 Tous TD Soit U le cercle unit de C priv du point 1 U z C z 1 z 1 On consid re l application f R C ORES f z E i Calculer pour tout r el x le module de f x L application f est elle surjective injective Peut on avoir f x 1 ii Soit g l application de R dans U telle que Vz ER g x f x Montrer que g est bijective iii On consid re la relation R d finie sur U par
17. injective alors h est injective b On suppose f et g surjectives A t on forc ment h surjective c Montrer que si h est surjective alors f et g sont surjectives d Donner un exemple o h est injective mais ni f ni g ne sont injectives Exercice 3 18 Soient f R gt R T 2e h R gt R f vi Re ZT a l application h o f est elle bien d finie b Prouver que f et h sont bijectives et d terminer leur r ciproques Exercice 3 19 Soient E F G des ensembles Soient f E F et g F G des applications a Montrer que si g o f est injective et f est surjective alors g est injective b Montrer que si g o f est surjective et g injective alors f est surjective Exercice 3 20 x L application suivante est elle injective surjective bijective f NxN gt N n p n p D terminer f 1 3 f N x 2 et f 2N x 3N o kN kn n N Exercice 3 21 Soient E F G H des ensembles et f g h des applications telles que Ap G gt H Montrer que si go f et ho g sont bijectives alors f g et h sont bijectives 10 Exercice 3 22 x Soit f R R une application strictement monotone Montrer que f est injective Donner un exemple d application de R dans R injective mais non monotone Exercice 3 23 L application f RxR gt RxR x y x y zy est elle injective surjective bijective Exercice 3 24 Sans justifier pour ch
18. n n 1 1 Y a t il d autres entiers k N tels que pour tout n dans N n et n k sont premiers entre eux Exercice 8 6 Tous TD Soient a b c des entiers naturels non nuls D montrer que pgcd a b c pgcd pgcd a b c et ppem a b c ppem ppem a b c 19 Exercice 8 7 Tous TD Algorithme d Euclide pour la recherche du PGCD Soient a et b des entiers naturels avec b non nul Voici une m thode pour trouver le pgcd de a et de b On commence par poser ro b puis Etape 1 on appelle r le reste dans la division euclidienne de a par b Si r 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape 2 on appelle r le reste dans la division de r par r Si r 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape 3 on appelle r3 le reste dans la division de r par r2 Si r3 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape k pour k gt 2 on appelle r le reste dans la division de r4_2 par r4 1 Si rx 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante L algorithme s arr te forc ment En effet tant que r 0 rn41 lt rn 1 donc r lt ro n Donc au bout d au plus b tapes on obtient un reste nul et l algorithme s arr te Nous allons montrer deux choses d une part le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul donc rp si l algorithme s arr te l tape k d autre part il existe des entiers relatifs a et 8 tels que pgcd
19. z 2 4 5 4 mr y 2 1 PR Din m 2 3 m 1 y 32 b Y 26 12 Matrices 12 1 Calculs l mentaires sur les matrices 1 Exercice 12 1 x On donne les matrices A 1 2 1 B 1 C a 0 0 1 1 1 0 en RE trsi g i e 01 0 sl l Effectuer tous les produits de ces matrices deux deux lorsqu ils existent Exercice 12 2 x Comparer AB et BA pour les deux matrices suivantes 6 2 LS re sel a Di 3 8 4 5 2 Exercice 12 3 x Soient A et B deux matrices A quelle condition les matrices AB et BA existent elles toutes les deux A quelle condition ont elles le m me format 1 Exercice 12 4 Soit U une matrice de Mn et X z1 n une matrice de Min 1 V rifier que les deux produits UX et XU sont possibles et calculer les Exercice 12 5 Soit A une matrice de Mnp a Si In est la matrice unit d ordre n montrer que A A puis que Al A b Soit FE la matrice l mentaire de M dont tous les coefficients valent 0 sauf celui situ sur la ligne et la colonne j qui vaut 1 Calculer A On note ici F la matrice l mentaire de M d finie de mani re analogue Calculer AF Exercice 12 6 a D terminer deux matrices et B de M3 R telles que 1 2 0 1 E ere b Calculer AB et BA A t on A B A 2AB B Exercice 12 7 Tous TD Puissance de matrice et formule du bin me Soit A une matrice de Mn On d finit les puissances de A par r currence
20. Exercice 6 15 Soit E lt un ensemble ordonn Soit A une partie de E Montrer que si a un plus grand l ment alors a un et un seul lement maximal Plus difficile la r ciproque est elle vraie Exercice 6 16 On munit N de la relation de divisibilit d finie par Vx y N x N zly 4 gt Jk E N y kx On admet que est une relation d ordre sur N Calculer s ils existent le plus grand l ment le plus petit l ment l ensemble des majorants et des minorants des sous ensembles suivants A 4 8 12 B 14 2 3 C 2 3 4 5 6 7 D 4 2 3 6 9 18 Exercice 6 17 On d finit sur l ensemble des mots finis l ordre correspondant l ordre de la num ration en chiffres arabes un mot vient avant un autre s il a strictement moins de lettres ou si il a autant de lettres et vient avant dans l ordre usuel du dictionnaire Expliquer rapidement pourquoi cela d finit bien une relation d ordre et en quoi cet ordre corres pond la num rtion en chiffres arabes Ordonner suivant cet ordre les mots de la phrase suivante on ne tient pas compte des accents Manon et Micka l sont de tr s beaux b b s 18 7 Divers Exercice 7 1 Cours moyenne arithm tique et moyenne g om trique Soient a et b des r els po sitifs Montrer que T5 lt a t b on dit que la moyenne g om trique est inf rieure la moyenne arithm tique Exercice 7 2 g n ralise le r sultat de l exercice pr
21. Exprimer en fonction de f4 et de fpg les fonctions caract ristiques de C amp A AN B AUB et A B Exercice 3 15 L application g R R T Te x est elle injective surjective On pourra avec profit construire le tableau de variation de g et utiliser des r sultats d analyse Calculer g e g 1 g R et g R Exercice 3 16 Tous TD retour sur la logique Soient f et g deux applications de R dans R On suppose que pour tout r el x f x et g x sont positifs Soit A x R f x lt g x On consid re les deux propositions suivantes P1 Pour tout x dans f x lt g x P2 Il existe x dans tel que f x lt g x a La proposition P1 est elle forc ment vraie c est dire vraie pour toutes fonctions f et g satisfaisant les hypoth ses de l nonc b La proposition P2 est elle forc ment vraie Si oui le prouver sinon donner un contre exemple c est dire un exemple d applications f et g pour lesquelles la proposition est fausse c Soit un ensemble et pour tout x dans E soit P x une proposition On suppose que la proposition Pour tout x dans E P x est vraie Donner une condition n cessaire et suffisante sur E pour que la proposition Il existe x dans E tel que P x soit vraie 7 Exercice 3 17 Soient f R gt R et g R R des applications On consid re l application h R R x f x g x a Montrer que si f ou g est
22. R X les polyn mes suivant 1 X 2X X 2 2 XS X 2XS 2X7 X 1 3 X X 1 4 X8 X lt 1 5 X 2X cos 0 1 6 X4 2X cos 20 1 7 17X 34X 17 Exercice 9 17 Tous TD D terminer le degr du polyn me P X 1 X 1 Montrer que P est divisible par X j o j e 3 D terminer deux racines r elles enti res de P en pr cisant les ordres de multiplicit En d duire la factorisation de P dans C X puis dans R X Exercice 9 18 x Soit P X 3X 1 et soient a b c les trois racines de P dans C X On ne cherchera pas calculer ces racines Montrer que a b et c sont distinctes Calculer A a b c B ab ac bc et C abc Exercice 9 19 Quel est l ordre de multiplicit de 1 en tant que racine du polyn me P X nX 4 nX 1 Exercice 9 20 Trouver une condition n cessaire et suffisante pour que le polyn me coefficients complexes P X aX b admette une racine multiple Exercice 9 21 Tous TD Soit n N Soient P P1 P dans K X tels que pour tout k 1 n deg P k On dit qu un polyn me P est une combinaison lin aire des polyn mes P5 Ph s il existe des scalaires o n tels que P oP An P Dans ce cas on dit que cette criture est unique si pour tous scalaires Ho Un tels que P uoPo UnPn ON a Uk Ak pour tout k 1 n Le but de cet exercice est de montrer que tout polyn me de degr au plus
23. Universit Paris Dauphine DUMRE Alg bre 1 2010 2011 Exercices d alg bre 1 Mode d emploi bon nombre d exercices ne seront pas trait s en TD les exercices pr c d s de Tous TD ou Cours doivent tre faits dans tous les groupes de TD les r sultats des exercices pr c d s de Cours sont conna tre et peuvent tre utilis s directe ment lors des contr les comme s ils figuraient dans le cours les exercices pr c d s de x sont en g n ral assez faciles et doivent tre pr par s la maison C est un strict minimum et il est conseill de pr parer galement d autres exercices il faut apprendre son cours avant d essayer de faire les exercices d autre part il est plus forma teur de comprendre fond quelques exercices que d en comprendre beaucoup moiti 1 Exercices sur la logique et nigmes Exercice 1 1 sens et n gation du OU et du ET Jean est blond et Julie est brune Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses puis les nier 1 Jean est brun ou Jean est blond 2 Jean est roux et Julie est brune 3 Jean n est pas blond ou Julie est brune 4 Il n est pas vrai que Jean n est pas blond Exercice 1 2 x n gation du O et du ET Soit x un r el Nier les propositions suivantes Lz 1louzx Ii 2 0 lt x lt 1 ce qui veut dire par d finition 0 lt x et x lt 1 3 x 0 ou z 1 et x gt 0 Exercice 1 3 nonc s avec l
24. a b aa Gb 1 Soit r le reste dans la division euclidienne de a par b a Montrer que si r 0 alors pgcd a b b b Soit d N Montrer que d divise a et b si et seulement si d divise b et r En d duire que pgcd a b pgcd b r c Montrer qu il existe des entiers relatifs a et 5 tels que r aya Gb 2 Montrer que pour tout k dans N si l algorithme ne s arr te pas avant l tape k non incluse alors pgcd rk rg 1 pgcd a b et il existe des entiers relatifs az et Bp tels que rk apa Bb 3 Soit n l tape o l algorithme s arr te on a donc r 0 et r _1 0 Montrer que pgcd a b rn 1 et qu il existe des entiers relatifs et 8 tels que pgcd a b aa 8b 4 D terminer en utilisant l algorithme d Euclide le pgcd de 91 et 247 et des entiers relatifs et 8 tels que pgcd 91 247 91a 2476 Exercice 8 8 Tous TD Th or me de B zout Soient p et q dans N Montrer que pgcd p q 1 si et seulement s il existe des entiers relatifs et 8 tels que ap 8q 1 on pourra utiliser l exercice pr c dent Exercice 8 9 Soient a b c des entiers naturels non nuls D duire du th or me de B zout que si pgcd a b 1 et pgcd a c 1 alors pgcd a bc 1 Exercice 8 10 Soient a et b dans N Montrer que si a et b sont des nombres premiers distincts alors pgcd a b 1 Exercice 8 11 Soit q N et p p des nombres premiers dans N Soient a1 et 1 Bq des entiers
25. acune des applications suivantes dire si elle est injective sur jective bijective ni injective ni surjective 1 fi R R 2 f2 R gt 1 1 3 fs 3 5 R 4 fa l 53 gt 1 1 zr gt sing zr gt sing TE sing zr gt sing Exercice 3 25 M mes questions que dans l exercice pr c dent pour les applications suivantes a g 0 7 1 1 bg 0 5 gt 1 1 cg 53 R djy 1 5 FU Fe R 2 2 2 29 2 2 2 H COST HR COST x gt tanz x Rtanx Exercice 3 26 Soit f une application de E vers F D montrer les quivalences suivantes f est injective amp VA C E A f f A f est surjective SYB C F B f f7 B Exercice 3 27 Soit f une application de E vers F et A une partie de E a D montrer qu il n y a en g n ral pas d inclusion entre f Cx A et Cr f A b Toutefois d montrer f bijective amp VA P E f Ce A Cr f A Exercice 3 28 a Existe t il une application f N N strictement d croissante b Donner un exemple d application f N N injective mais non strictement croissante c Donner un exemple d application f N N involutive f o f Idy mais diff rente de l identit d relativement difficile Soit f N N une application injective Montrer que f n 00 quand n 00 Exercice 3 29 relativement difficile Soit un ensemble et f E E une application telle que fo f f Montrer que f est injective ou f est surjective si
26. ar un Pur mais aussi par un Pire TR ponse un Pur ne pourrait pas dire a Donc Bernard est un Pire Donc ce qu il dit est faux Donc Alice et Bernard ne sont pas tous les deux des Pires Or Bernard est un Pire Donc Alice est une Pure 2R ponse la seule chose que l on puisse en d duire c est qu Alice et Bernard ne sont pas tous les deux des Purs SR ponse Alice est une Pure et Bernard est un Pire Supposons qu Alice soit une Pire Alors ce qu elle dit est vraie rappelez vous que si P est fausse alors nonP est vraie donc nonP ou Q est vraie donc par d finition si P alors Q est vraie Donc Alice est une Pure Contradiction Notre supposition initiale tait donc fausse Donc Alice est une Pure Donc ce qu elle dit est vraie Donc Bernard est un Pire Alice et Bernard sont tous les deux des Pires En effet supposons qu Alice soit une Pure Alors il y a deux cas ler cas Alice et Bernard sont tous les deux des Purs Alors Bernard dit la v rit donc il ne peut pas dire Nous ne sommes pas du m me type Contradiction 2 me cas Alice est une Pure et Bernard est un Pire Alors Bernard ment toujours Donc il ne peut pas dire Nous ne sommes pas du m me type puisque c est vrai Contradiction Donc supposer qu Alice est une Pure m ne une contradiction Donc Alice est une Pire Donc ce qu elle a dit est faux Donc Alice et Bernard sont tous les deux des Pires Rencontre 6 Alice dit Je ne suis ni une Pure n
27. e de ou inclusif et un exemple de ou exclusif En math matiques le ou est il inclusif ou exclusif Exercice 1 13 Soit un ensemble Soient P x respectivement Q x un nonc qui pour toute valeur donn e x dans E est soit vrai soit faux D montrer les propri t s suivantes 1 Vz E P x ou Yz E Q x Vz E P x ou Q x 2 S il existe x dans E tel que P x ou Q x alors il existe x dans E tel que P x ou il existe x dans E tel que Q x Les r ciproques de ces propri t s sont elles vraies Exercice 1 14 Tous TD Un probl me courant dans la r daction des r currences Supposons qu on veuille d montrer par r currence que pour tout entier naturel n on a 2 lt 3 Corrigez la r daction suivante Soit P n la propri t pour tout n N 2 lt 3 P 0 est vraie car blah blah Soit n dans N Supposons P n vraie Alors blah blah blah donc P n 1 est vraie Donc par r currence 2 lt 3 pour tout entier naturel n Exercice 1 15 Une r currence erron e On consid re des bo tes de crayons de couleurs Pour tout entier n gt 1 soit P n la proposition Dans une bo te quelconque de n crayons de couleurs tous les crayons sont de la m me couleur Le raisonnement suivant prouve t il que P n est vraie pour tout entier naturel n gt 1 Sinon o est l erreur Dans une bo te d un seul crayon les crayons ont bien s r tous la m me couleur Donc P 1 est vraie S
28. e que le produit AX existe Montrer que AX 0 si et seulement si XTATAX 0 3 Montrer qu ainsi nonc ces r sultats sont faux pour des matrices coefficients complexes Comment peut on les g neraliser au cas des matrices coefficients complexes Exercice 12 15 a Montrer que pour toute matrice A de Mpp les produits A AT et AT A sont 1 1 des matrices carr es sym triques Soit 3 2 Calculer AAT et ATA b Montrer que toute matrice carr e B peut s crire de fa on unique comme la somme d une ma 2 3 1 trice sym trique et d une matrice antisym trique T D terminer S et T si B 5 4 l1 1 3 2 12 2 Inverse de matrices Exercice 12 16 La somme de deux matrices inversibles est elle toujours inversible Exercice 12 17 D terminer l inverse quand il existe des matrices suivantes par la m thode du pivot de 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Hors B 6 4 44 Ge pe 2 l f ES RE 28 1 2 Exercice 12 18 a Soit A 3 6 Calculer 4 En d duire que A n est pas inversible Calculer A pour tout entier naturel n 5 4 b Soit B La N I N En d duire que B est inversible et calculer son inverse puis Bl D terminer la matrice N telle que B I N puis calculer I 5 a Calculer A En d duire que A est inversible et d terminer son inverse b Calculer A pour n N c D terminer en fonction de n et des termes initiaux les suites r el
29. e repr sentent les sommes suivantes et pourquoi elles sont gales S Qij J da da 7 E L n x 1 n i 1 j 1 j 1 i 1 n n l n n 1 S4 X X Qin j S5 gt gt An 1 i n j i 1 j 0 i 1 j 0 Exercice 10 3 Soit a 6 5enxn une famille de r els index e par N x N Soit n N Parmi les sommes suivantes lesquelles sont toujours gales n J Y ay S X ay S X ay w Y amp i 0 j 0 j 0 i 0 i 0 j i j 0 i j Exercice 10 4 Soit aij jjenxn une famille de r els index e par N x N Soit n N Expliquer informellement ce que repr sentent les sommes suivantes et pourquoi elles sont gales n k n n i n n j S Durs ous B gt us k 0 i 0 i 0 j 0 j 0 i 0 Exercice 10 5 Soient a en et bi ien des suites de r els Soit n N Parmi les expressions sui vantes lesquelles sont toujours gales Si e h Sah 83 Sos i 0 i 0 i 0 i 0 j 0 Exercice 10 6 Soit n N Calculer min i j et max i j 1 lt i j lt n 1 lt i j lt n on pourra montrer que la premi re somme est gale Xog k 25 11 Syst mes lin aires Exercice 11 1 D terminer le rang et l ensemble des solutions des syst mes lin aires suivants 1 S Exercice 11 2 D terminer en fonction de la valeur des param tres a et b le rang et l ensemble des solutions des syst mes lin aires suivants f al Exercice 11 3 Un syst me lin aire peut il avoir exactement trois sol
30. es dans C Exercice 9 38 X 2X cos 0 1 divise X 2X cos n0 1 Montrer que X 2X cos 0 1 divise X 2X cos n0 1 Exercice 9 39 D montrer que 1 X X n a que des racines simples Exercice 9 40 Preuve du th or me de Gauss 1 Lemme Soient P C X non constant et zo C tel que P z0 0 Montrer que Ve gt 0 22 D 20 z C z zo lt P 2 lt P z0 Indications Ecrire P 20 h P 20 Se dis m zo o k est le plus petit entier strictement positif tel que P zo 0 On se propose de d montrer le th or me de d Alembert Gauss tout polyn me non constant coeffi cients complexes admet une racine complexe 2 Expliquer pourquoi le minimum de la fonction z P z est atteint sur un disque centr en 0 mettons D 0 R et expliquer pourquoi Jz C P z0 inf P 2 z C 3 Montrer avec le lemme que P 20 0 24 10 Sommes doubles Exercice 10 1 chauffement Soit ap ken une suite de r els Soit n N Parmi les sommes sui vantes lesquelles sont toujours gales quels que soient l entier n et la suite ax xen n n 1l n 1 n 1 S gt ai h Qi 83 X Qiy 94 X An i i 1 i 0 i 0 i 0 n 1 n 2n 1 2n S5 X An i S6 An i S7 X Q2n i Ss X Q2n i Exercice 10 2 Soit a j ajenxn une famille de r els index e par N x N Soit n N Expliquer informellement ce qu
31. es que le syst me lin aire AX B ait au moins une solution D terminer le noyau et l image des matrices suivantes A chaque fois calculer la somme du nombre de degr s de libert du noyau et de l image et comparer avec le nombre de colonnes de A Que constatez vous D a a 2 a 3 iel 1 4 a T 111 Eii fs 5 A 111 6 A 121 n 4 i56 LT 0 0 0 Exercice 12 26 Pour les matrices carr es de l exercice pr c dent donc toutes sauf la 7 d ter miner les r els tels que le syst me lin aire AX X ait au moins une solution X non nulle Pour chacune de ces valeurs de r soudre le syst me AX AX 30 12 3 Variations sur une erreur courante Exercice 12 27 Soient A et B les matrices suivantes de M2 R 0 0 0 1 aa P 1 Calculer A et B 2 Montrer que pour tout X M21 R AX 0 amp BX 0 3 A t on pour tout X M21 R A X 0 amp B X 0 Exercice 12 28 Soient A et B les matrices suivantes de M2 R 0 1 0 0 A E a 1 Calculer A et B 2 Montrer que pour tout X M21 R A X 0 amp B X 0 3 A t on pour tout X M21 R AX 0 amp BX 0 Exercice 12 29 Soient A B C les matrices suivantes de M2 R TE o 1 Montrer que B et C sont inversibles et calculer leur inverses 2 Calculer AB et AC 3 Montrer que pour tout X Ma1 R BX 0 amp CX 0 4 A t on pour tout X M21 R ABX 0 amp ACX 0 Exercice 12 30 Soient A et B C
32. i une Pire Bernard dit C est vrai Rencontre 7 Chlo est une habitante de l le de Puro Pira Vous Est ce que Bernard et Chlo sont tous les deux des Purs Alice Oui Vous Est ce que Bernard est un Pur Alice Non Rencontre 8 Entre Alice Bernard et Chlo l un des trois est le chef du village Alice C est moi le chef Bernard C est moi le chef Chlo Au plus l un de nous trois dit la v rit Qui est le chef Question 9 difficile Sur l le des Purs et des Pires on a vol un cheval Il y a 4 suspects dont un et un seul est coupable Alice Bernard Chlo et David Les 3 premiers sont pr sents au tribunal le 4 me David n a pas encore t pris Le juge qui est un Pur et raisonne parfaitement pose la question Qui a vol le cheval Voici les r ponses Alice C est Bernard qui a vol le cheval Bernard C est Chlo qui a vol le cheval Chlo C est David qui a vol le cheval Alors l un des 3 accus s dit Les 2 autres mentent Le juge r fl chit et apr s quelques instants il d signe l un des 3 et lui dit Vous ne pouvez pas avoir vol le cheval vous tes libre Qui est ce L audience se poursuit apr s le d part de l innocent Le juge demande l un des 2 si l autre est un Pur et apr s qu on lui a r pondu par OUI ou par NON il sait qui a vol le cheval Qui est ce Des Espions sur l le de Puro Pi
33. itions suivantes sont elles vraies ou fausses 1 Pour tout entier naturel n il existe un r el x tel que x gt 2n 2 Il existe un r el x tel que pour tout entier naturel n x gt 2n 3 Pour tout r el x pour tout r el y si x y alors x y 4 Pour tout r el positif x pour tout r el positif y si x y alors x y Exercice 1 8 Tous TD implications Donner la r ciproque et la contrapos e des implications suivantes x est un r el n un entier naturel 1 Si le p re No l existe alors No l est en juillet 2 Six gt 3 alors x 2 gt 5 3 Sin gt 1 alors n gt n Exercice 1 9 Tous TD Soit F l ensemble des femmes On note P x y l expression x est la fille de y o x et y sont des femmes Ecrire les formules suivantes dans le langage des ensembles puis en criture formalis e puis les nier en criture formalis e voir exemple ci dessous 1 Toute femme a au moins une fille 2 Il y a au moins une femme qui a au moins une fille 3 Toute femme a au moins une m re 4 Il y a au moins une femme qui n a aucune fille Par exemple la premi re proposition s crit pour tout y dans F il existe x dans F tel que x est la fille de y dans le langage des ensembles et Vy F 3x F P x y en criture formalis e Sa n gation en criture formalis e est 3y F Vx F nonP x y Exercice 1 10 compr hension d nonc s avec quantificateurs importance de l ordre A l unive
34. les un et vn d finies par uo vo et la relation de r currence Exercice 12 19 Tous TD Soit A i z Un 1 2Un Un Un41 D n 2Un 2 0 3 Exercice 12 20 Soit 0 2 0 0 3 2 a Calculer A 64 12A b En d duire que est inversible et calculer A1 Exercice 12 21 Soit n dans N On note I la matrice identit de M R et 0 la matrice nulle de M R Soit une matrice de M R telle que A amp A I 0 a Montrer que A est inversible et que A7 A T b Montrer que A T c Calculer pour tout p de N 4 en fonction de A et T 0 I 1 Exercice 12 22 Tous TD Soit la matrice A 2 1 1 0 1 el a Calculer A puis A b A est elle inversible c On note T la matrice identit de M3 R En utilisant la formule du bin me de Newton calculer A 1 d On consid re les suites les suites r elles un Un et Wn d finies par wo vo et wo et par la relation de r currence Un 1 Un Un Un Un 1 2Un 2Un Wn Wn 1 Un Calculer vio quand uo 1 vo 0 et wo 1 29 Exercice 12 23 suite des noyaux Soit n dans N Pour toute matrice de M R On pose appelle noyau de et on note KerA l ensemble des vecteurs colonnes X n composantes tels que AX 0 KerA X Mna R AX 0 Soit A une matrice de M R 1 Montrer que pour tout k dans N Ker A C Ker Af 1 2 Soit k un entier naturel tel
35. les matrices suivantes de M3 R 1 0 0 010 000 A 010 B 00 1 C 010 000 000 0 0 1 1 Calculer AB AC B C 2 Montrer que pour tout X dans M31 R BX 0 amp CX 0 3 Est il vrai que pour tout X dans M3 1 R a ABX 0 amp ACX 0 b B X 0 amp C X 0 Exercice 12 31 Soit n dans N Soient A B C des matrices de M R Soient i et ii les propositions suivantes i Pour tout vecteur colonne X dans Mn R on a BX 0 amp CX 0 ii Pour tout vecteur colonne X dans M 1 R on a ABX 0 amp ACX 0 1 Montrer que si est inversible alors i amp ii 2 Est ce forc ment le cas si n est pas inversible Si oui le prouver Sinon donner un contre exemple 31 12 4 Exercices de l examen 2002 j une matrice de ML R telle que ad bc 0 Exercice 12 32 Soit A f On note s a d Soit B la matrice de M2 R telle que B sh 1 Calculer le produit matriciel AB 2 En d duire que A sA et calculer pour tout n de N la matrice A 3 Calculer B pour tout n de N Exercice 12 33 Soient n dans N et A une matrice de M R non nulle c est dire diff rente de la matrice nulle et sym trique 1 Montrer que A est sym trique 2 Exprimer les coefficients de A en fonction de ceux de A 3 Montrer que la trace de A est strictement positive puis en d duire que A est non nulle 4 Montrer que pour tout k de N AF est non nulle 32
36. n ensemble et X Y et Z des parties de A D montrer les propri t s suivantes a XU Y NZ XUY N XUZ b Ca Ca X X c Ca XUY C4 X nCa Y d X c Y 4 gt CAY c Cal Exercice 2 6 une r daction confuse conduit des erreurs Que pensez vous de la d monstration suivante Pour tout r el x x 2 x 1 0 amp x 2 x 1 or x ne peut pas tre gal la fois 2 et 1 donc pour tout r el x x 2 x 1 est non nul Exercice 2 7 ensembles quivalence Soient A et B des ensembles Montrer que A N B A amp AU B B Exercice 2 8 x preuve par contrapos e Montrer par contrapos e que pour tout entier naturel n si n est pair alors n est pair Exercice 2 9 Cours Soit x un r el positif ou nul Montrer que si pour tout r el y strictement positif x lt y alors z 0 Exercice 2 10 Tous TD preuve par l absurde Soit n N D montrer par l absurde que n 1 n est pas le carr d un entier Exercice 2 11 Tous TD au moins en partie preuve cyclique Soit E un ensemble Soient A et B des parties de E Soient A et B leur compl mentaires dans E respectifs Montrer que les 8 propositions suivantes sont quivalentes ACB Gi ANB lt A ii AUB A w ANAB b GAUB E vi BCA vi ANB B vi AUB B Exercice 2 12 Tous TD indices d finitions Pour tout entier relatif k on pose ay k Calculer les sommes suivantes 3 3 a X ar b X ar c an s d ka X a D
37. naturels pas forc ment non nuls a En utilisant les r sultats des deux exercices pr c dents montrer que si pf1p5 pq p 1 p ph alors 8 pour tout i dans 1 2 q b En d duire que la d composition en produit de facteurs premiers d un entier naturel sup rieur ou gal 2 est unique ce qu on avait admis en cours 20 9 Polyn mes Note aux charg s de TD en cours la notion abstraite de polyn me n a pas t introduite on a parl uniquement de fonctions polyn mes La notation X d signe l identit de K et X la fonction de K dans K qui tout l ment x de K associe x Exercice 9 1 x Soient ao a1 a2 et bo b des r els Pour tout entier naturel n on pose a 0 si n gt 3 et bn 0sin gt 2 Soient f R R et g R R les fonctions polyn mes d finies par pour tout r el x f x ao a1x aoz et glx bo biz a V rifier que fg est une fonction polyn me et d terminer ses coefficients comme vous l avez toujours fait b Soit n N Soit cn D pen xbn r Calculer c pour tout n dans N V rifier que c est le coefficient de degr n de fg Exercice 9 2 x Effectuer les divisions euclidiennes de A par B pour les polyn mes A et B suivants 1 A XS 6X2 2X 5 B 2X 4 2 A XT 2X 7X 15X 2 B X 2X 3 A X 1 B X 1 4 A 2X 17X 7X 2 B 2X 1 Exercice 9 3 x Soit n un entier Quand on introduit un polyn me en crivant
38. oit maintenant n dans N Prenons une bo te de n 1 crayons Si l on enl ve provisoirement un crayon il reste n crayons qui d apr s P n sont tous de la m me couleur Remettons le crayons mis l cart et enlevons un autre crayon Toujours d apr s P n les n crayons restants sont tous de la m me couleur Mais comme les crayons qui ne sont pas sortis de la bo te ont une couleur constante il s ensuit que les n 1 crayons ont m me couleur Donc P n 1 est vraie Donc par r currence P n est vraie pour tout n gt 1 Question subsidiaire pour quelles valeurs de n l implication P n P n 1 est elle vraie 3 Exercice 1 16 Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses 1 Il existe un unique entier naturel n tel que n lt 0 2 Il existe au plus un entier naturel n tel que n lt 0 3 Il existe un unique entier naturel n tel que n 1 4 Il existe au plus un entier naturel n tel que n 1 5 Il existe un unique entier relatif n tel que n 1 6 Il existe au plus un entier relatif n tel que n 1 Voyage sur l le de Puro Pira faire la maison les solutions seront mises en ligne Le type d nigme qui suit a t popularis notamment par le logicien Raymond Smullyan dont je vous conseille vivement les livres Vous vous trouvez sur une le un peu trange l le de Puro Pira Vous savez qu part vous on y trouve deux cat gorie de gens les Purs qui ne disent que des choses
39. que Ker A 1 Ker A Montrer que pour tout entier q gt k Ker A1 Ker AF 3 En d duire que si pour tout X dans M 1 R AX 0 amp AX 0 alors pour tout entier k gt 1 et pour tout X dans M 1 R on a AX amp AX 0 Exercice 12 24 racines carr s de matrices D finition Soit A et M des matrices de M C On dit que M est une racine carr e de A si M est bien d finie et M A a Soit M une matrice Montrer que le produit MM n est d fini que si M est une matrice carr e En d duire que si une matrice a une racine carr e ou cubique d ailleurs alors est carr e 1 b Montrer que la matrice suivante n a aucune racine carr e dans M C 0 c Montrer que la matrice n a aucune racine carr e dans M2 R mais a exactement 0 0 deux racines carr es dans M C d Dans AZ R montrer que la matrice J gt a une infinit de racines carr es dont les coefficients diagonaux sont nuls e D terminer toutes les racines carr es de la matrice Z2 dans M C Donner un exemple de racine carr es de I dans M C qui n appartient pas 1L R Ce qu il faut retenir de cet exercice c est que dans le monde des matrices il faut se m fier de ses r flexes Exercice 12 25 On consid re des matrices coefficients r els Soit A une matrice n x p On appelle noyau de l ensemble des matrices colonnes X Mp1 telles que AX 0 On appelle image de A l ensemble des matrices colonnes B M 1 tell
40. ra L le de Puro Pira a t infiltr e par des Espions Ceux ci peuvent dire la v rit mentir dire des choses paradoxales tout est possible Vous savez que parmi Alice Bernard et Chlo il y a exacte ment un Pur un Pire et un Espion Vous devez devinez qui est quoi Rencontre 10 Alice Je suis une Pure Bernard Je suis un Pire Chlo Bernard n est pas un Pur Rencontre 11 Alice Je suis une Pure Bernard Je suis un Pire Chlo Alice est une Espionne Rencontre 12 Alice Je suis une Pure Bernard Alice est une Pure Chlo Si vous me posiez la question je vous dirais qu Alice est une Espionne 2 Ensembles raisonnement indices Exercice 2 1 Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier a Vz ER x z ou x x b vz R x z ou vz R x z c Jx R x x et x r d 3x R x z et 3x R z z e w ER z elet s le f Ge R ul et 3z R z el Exercice 2 2 x ensembles d finitions Soient A 1 2 3 4 5 6 B 3 6 2 et C 1 3 Calculer AU B BUC AN B BAC CA B et B C Exercice 2 3 Soient A 3 5 et B 2 5 9 Calculer x B et B x A Exercice 2 4 x ensembles d finitions Soit E a un ensemble un lement D terminer P E et P P E Exercice 2 5 Cours propri t s des ensembles Soient A u
41. rera que si a est racine de P alors a aussi puis que la seule racine possible est 1 Exercice 9 26 En d veloppant de deux fa ons diff rentes le polyn me P X 1 040 X 1P X 1 montrer que Vn E N Yp gt n Yq n n k k Cum OC k 0 Cette galit est connue sous le nom d galit de Van der Monde Exercice 9 27 a Factoriser dans R X1 le polyn me X 3X 4 Dans la suite de l exercice on consid re la relation binaire R sur R X d finie par VP ER X VQ RIX P RQ lt X 3X 4 P Q b Soient P et Q des polyn mes de R X Montrer que PRQ P 2 Q 2 P 2 Q 2 et P 1 Q 1 c Soient P et Q des polyn mes de R X Montrer que l on a P R Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de P par X 3X 4 est gal au reste de la division euclidienne de Q par X 3X 4 d R est elle une relation d quivalence sur R X e Soient P Q U V des polyn mes de R X tels que P R Q et U R V Montrer que PU R QV Exercice 9 28 Montrer que le polyn me P X X X 1 admet une unique racine r elle et que celle ci est irrationnelle 23 Exercice 9 29 Montrer que le polyn me nX n 2 X T1 n 2 X n admet une racine multiple Application d terminer les racines du polyn me 3X5 5X4 5X 3 Exercice 9 30 Soit P X X 1 1 V rifier que i est racine de P En d duire alors la d composition en produit de facteurs irr ductible
42. rogramme est dans le polycopi de cours On admet que N x N est d nombrable Soit 7 un ensemble d nombrable Pour tout dans Z soit un ensemble d nombrable On suppose que les ensembles sont deux deux disjoints Montrer que Ja est d nombrable iel Exercice 4 12 On admet que N x N est d nombrable Montrer que le produit de deux ensembles d nombrables est d nombrable Montrer que pour tout p N N est d nombrable Exercice 4 13 difficile Une application f R R est une fonction polyn me resp une fonction polyn me coefficients rationnels s il existe un entier n et des r els resp des rationnels ao a tels que pour tout r el x f x anz an_12 a0 Une racine d une telle fonction polyn me est un r el x tel que f x 0 On admet qu une fonction polyn me a un nombre fini de racines Montrer que l ensemble des racines de fonctions polyn mes coefficients rationnels est d nombrable On pourra utiliser qu un produit d ensembles d nombrables est d nombrable qu une r union au plus d nombrable d ensembles au plus d nombrables est au plus d nombrable et que deux fonctions polyn mes sont gales si et seulement si elles ont les m mes coefficients 12 5 Complexes Si besoin est on pourra admettre le r sultat suivant qui sera d montr dans la suite du cours si une application f C C est une fonction polyn me alors il existe un complexe z tel que
43. rsit Deuxphine il n y a que deux tudiants Jean et Julie et trois mati res alg bre analyse et conomie Les r sultats des tudiants sont les suivants TARDE Analyse Economic Soit Jean Julie l ensemble des tudiants Soit F alg bre analyse conomie len semble des mati res Pour tout x dans et tout y dans F on d signe par P x y l expression l tudiant x a la moyenne 10 ou plus dans la mati re y Oralement exprimer en fran ais courant les propositions suivantes Dire en justifiant si elles sont vraies ou fausses zre E EF P xE E VyeF P yEeF IEE P x y F Yx E nonP x y y F Yzx E P x y Par exemple la premi re proposition se lit Pour tout l ment x de E pour tout l ment y de F x a la moyenne dans la mati re y En fran ais courant on dirait Tous les tudiants ont la moyenne dans toutes les mati res C est faux puisque Jean n a pas la moyenne en analyse DEL E A O lt Exercice 1 11 Cours Soit a un r el Montrer que les propositions suivantes sont quivalentes P Si pour tout r el strictement positif on a a lt alors a 0 Q Il existe un r el strictement positif tel que a gt ou a 0 R Si a 0 alors il existe un r el strictement positif tel que a gt Montrer que R est vraie En d duire que P et Q sont vraies Exercice 1 12 Donner en fran ais courant un exempl
44. s on note 2N l ensemble des entiers naturels pairs Montrer que l application suivante est bijective f N 2N n gt 2n Exercice 4 7 Tous TD ensembles infinis soit g N Z l application donn e par f n n 2 si n est pair et g n n 1 2 si n est impair Montrer que l application g est bijective Exercice 4 8 Tous TD Exercice ensembles infinis en admettant le r sultat des deux exercices pr c dents d terminer une bijection entre 2N et Z Exercice 4 9 note aux charg s de TD preuve faite dans la section compl ments du polycopi de cours expliquer juste l id e graphiquement Soient E et F des ensembles finis ou infinis Montrer qu il existe une injection de E vers F si et seulement si il existe une surjection de F vers E Exercice 4 10 NxN est d nombrable Preuve dans le polycopi de cours section Compl ments a En raisonnant sur un dessin expliquer pourquoi intuitivement N x N est d nombrable b La bijection entre N et N x N qui se voit sur un dessin est un peu longue formaliser C est pourquoi nous allons en consid rer une autre Soit f N x N N l application donn e par pour tous n p E N x N f n p 2 2p 1 Montrer que f est bijective En d duire que N x N est d nombrable cette preuve m a t sugg r e par Saber Trabelsi que je remercie Exercice 4 11 une r union d nombrable d ensembles d nombrables est d nombrable la preuve hors p
45. s de P sur R X Exercice 9 31 Pour tout a R et tout n N d montrer que X a divise X a Exercice 9 32 Prouver que B divise o A X n 2 4 X m l y r et B X X 1 A X 1 X 2X 1 et B X X 1 2X 1 A nX t n 1 X 1 et B X 17 Exercice 9 33 Soit P un polyn me de R X tel que P x gt 0 pour tout x R Montrer qu il existe S T R X tels que P S T on utilisera la factorisation dans C X Indica tions 1 Soient a b R d terminer c d R tels que ab d v rifier que a b c d ac bd bc ad 2 R soudre le probl me pour P de degr 2 3 Conclure Exercice 9 34 Pour quelles valeurs de a le polyn me X 1 X7 a admet il une racine multiple r elle Exercice 9 35 Soit P le polyn me X4 2X 1 D terminer les multiplicit s des racines et i de deux fa ons diff rentes soit en d composant P dans C X soit en utilisant le polyn me d riv de P Exercice 9 36 Soit le polyn me P X8 2X6 3X4 2X2 1 1 Montrer que j est racine de ce polyn me D terminer son ordre de multiplicit 2 Quelle cons quence peut on tirer de la parit de P 3 D composer P en facteurs irr ductibles dans C X et dans R X Exercice 9 37 Soit P R X scind sur R racines simples 1 Montrer qu il en est de m me de P 2 Montrer que le polyn me P 1 n a que des racines simpl
46. semble A a t il une borne inf rieure un plus petit l ment une borne sup rieure un plus grand l ment Exercice 6 12 pr ordre Soit E un ensemble qui a au moins deux l ments Sur l ensemble des parties de on d finit la relation R par pour tous et B dans P E ARB si et seulement s il existe une injection de vers B Montrer que R est une relation de pr ordre Exercice 6 13 Tous TD pr f rences en micro conomie On s int resse aux pr f rences d un consommateur sur des paniers de biens contenant x unit s du bien 1 et y unit s du bien 2 o x et y sont des r els Un tel panier est not x y et assimil un point de R On notera lt 1 2 3 les relations de pr f rences sur R d finies ci dessous et correspondant des pr f rences possibles du consommateur 1 x y x x y S zy lt x y 2 x y 32 x y amp x y lt x y biens parfaitements substituables 3 x y 32 x y amp min x y lt min z y biens parfaitement compl mentaires V rifier que chacune de ces relations est une relation de pr ordre mais pas une relation d ordre Pour chacune de ses relations donner l allure de l ensemble des paniers de biens x y a pr f r s 1 2 b tels que l agent pr f re 1 2 x y c tels que l agent est indiff rent entre 1 2 et x y Exercice 6 14 Donner un exemple de partie d un ensemble ordonn qui n a aucun l ment maximal
47. urjectives bijectives note aux charg s de TD c est l occasion d expliquer comment on lit sur le graphe de f les solutions dans de l quation f x y et si f est injective surjective ou ni l un ni l autre Attention r pondre lors d un examen l application f est injective car son graphe a telle propri t sans prouver rigoureusement que le graphe a cette propri t ne vaudra pas tous les points b Pour celles qui sont bijectives quelle est leur application r ciproque c Pour chacune de ces applications d terminer l image et l image r ciproque de l intervalle 2 3 l fi R R 2f R R 3 f R R 4 fa R R 5 f5 R R rer x r xrm 1 rer l x 1 x Exercice 3 7 Les applications suivantes sont elles bien d finies Si oui sont elles injectives surjec tives bijectives 1 g R N 2 g Z N 3 g3 N R 4 ga R N TH Ta Ti Tri Exercice 3 8 Soit f une application de A vers B D montrer que A U fy YEB Exercice 3 9 Cours note aux charg s de TD pas fait en amphi mais fait dans le polycopi n y revenir que si cela semble utile Soit f une application de vers F Soient A et des parties de F Soient B et B des parties de F Montrer que DACIA 2 f fF B CB 3 F AU A f A U f 4 ANANE A a 5 f BUB f B Uf 8 D BNB f B N AE Donner des exemples montrant que les incl
48. usions du 1 du 2 et du 4 peuvent tre strictes Exercice 3 10 x Soient f E F et g F G des applications pas forc ment bijectives Soient A C E et C C G Montrer que go f A g f A et que go f C f l g 1 C Exercice 3 11 Tous TD Soit f E E telle que f o f f Soit x E Montrer que f x x si et seulement si x f E Exercice 3 12 x Sans justifier dire quelles applications de R dans R correspondent aux trans formations du plan suivantes le plan est suppos muni du rep re orthonorm usuel a la sym trie orthogonale par rapport la premi re bissectrice du plan b la sym trie orthogonale par rapport la seconde bissectrice du plan c la rotation de centre l origine et d angle 7 2 d La projection sur l axe des ordonn es e La translation de vecteur 21 J o et j sont respectivement les vecteurs directeurs usuels de l axe des abscisses et de l axe des ordonn es Exercice 3 13 Tous TD Soient I et J des parties de R et f I J une application bijective Montrer que le graphe de f7 est l image du graphe de f par la sym trie orthogonale d axe la premi re bissectrice du plan Exercice 3 14 Fonction caract ristique Soit un ensemble A toute partie de E on associe l application fa de E dans 0 1 d finie par fa x 1six Aet fa x 0 sinon L application f4 est appel e fonction caract ristique de A Soient et B deux parties de E
49. utions Pourquoi D 10 21 6 2i 4 4 2i ro 2 T 2x1 T 2x1 1e T1 2 D PA To 2 9 To 2 9 D 0 b 2axz T aT 2x1 Sie 4x Sje T2 2 9 ax2 2 9 Exercice 11 4 Un syst me lin aire de n quations n inconnues a t il toujours exactement une solution au moins une solution au plus une solution Exercice 11 5 a Consid rons un syst me lin aire de 7 quations 5 inconnues dont le rang est 4 Ce syst me a t il n c ssairement au moins une solution au plus une solution Ce syst me peut il avoir une solution unique b M mes questions pour un syst me de 7 quations 5 inconnues de rang 5 c M mes questions pour un syst me de 5 quations 7 inconnues de rang 4 puis pour un syst me de 5 quations 7 inconnues de rang 5 Exercice 11 6 R soudre les syst mes lin aires figurant dans le polycopi sur les syst mes lin aires i e pour vous entra ner r soudre vous m me les syst mes du polycopi et ne v rifier en regardant les solutions qu la fin Exercice 11 7 R soudre les syst mes valeur des param tres r els a b et m suivants pour les deux derniers r soudre en fonction de la 2r y 2z 7 2 y D TE 1 4 y z 4 2 y 2z 4 2x y 2z 4 2r y z 3 x 2y 3z 4t 4 y z 3 z 3y 3t 1 r 2y z 4 4 e E z y 2m 1 z 1 T 2y
50. vraies et les Pires qui ne disent que des choses fausses Alice et Bernard sont deux habitants de l le Il se peut que ce soient deux Purs deux Pires une Pure et un Pire Tout est possible De plus les questions sont ind pendantes donc il se peut que Bernard soit un Pire dans la question 1 et un Pur dans la question 2 Sauf indication contraire votre but est de d terminer le type des habitants que vous rencontrez Cela ne sera pas toujours possible mais presque Pour vous aider les r ponses aux quatres premi res questions sont donn es dans les notes de bas de page On rappelle que Si P alors Q veut dire non P ou Q Donc si un Pur dit Si P alors Q c est que P est fausse ou Q est vraie Si un Pire dit Si P alors Q c est que P est vraie et Q est fausse D autre part dans ce qui suit et comme toujours en math matiques le ou est inclusif Rencontre 1 Bernard vous dit Nous sommes tous les deux des Pires Qu en d duisez vous Rencontre 2 Alice vous dit Je suis une Pure et Bernard est un Pire Que peut on en d duire Rencontre 3 Alice vous dit Si je suis une Pure alors Bernard est un Pire Qu en d duisez vous 3 Rencontre 4 Alice dit Je suis une Pure ou Bernard est un Pur Bernard dit Nous ne sommes pas du m me type 4 vous de r soudre les nigmes suivantes Question 5 a trouver une phrase que ni un Pur ni un Pire ne peut dire b trouver une phrase qui peut tre dite p
51. x r indexation d une somme Soient x un r el et n un entier naturel Calculer les sommes 57 gk 2 et YOTI g2 3 Applications Exercice 3 1 Soient A 0 1 2 et B 0 1 Donner des exemples d applications de A dans B Combien y a t il de telles applications M mes questions pour les applications de B dans A Exercice 3 2 x Soit application f R R donn e par pour tout r el x f x x D terminer a f 1 1 F 10 3 F R et F R_ b f 2 0 N10 2 et f 2 0 n 10 2 comparez c f l0 3 f 1 10 3 et FT R_ Exercice 3 3 Tous TD Soit l application g R R donn e par pour tout r el x g x sin z Sans justifier donner a g 0 27 g R g 0 100 et g 0 5D b g7 12 oof g gt R g 1 1 et 97 1 1 Exercice 3 4 x Les applications suivantes sont elles bien d finies Si oui sont elles injectives surjectives bijectives 1 f 0 1 2 1 8 1 24 telle que f 0 1 f 1 24 f 2 1 2 f Z gt Z n n 3 f N gt N n n 1 4 f N gt N ne n l 5 f N 1 1 qui tout n de N associe 1 si n est pair et 1 si n est impair Exercice 3 5 x Pour chacune des applications 1 2 3 et 5 de l exercice pr c dent calculer F2 F0 2 FU FL 1 Exercice 3 6 Tous TD a Quelle est l allure du graphe des applications suivantes Ces applica tions sont elles injectives s
52. xercice 2 19 ensembles quantificateurs On consid re les ensembles 1 1 E x 0 1 Jn N x lt p et F 4 x 0 1 Yn N z lt n 1 n 1 L ensemble E a t il un une infinit ou aucun l ment M me question pour l ensemble F Exercice 2 20 Pour tout entier naturel p on note pN l ensemble des entiers relatifs de la forme pn avec n dans N a Montrer que pour tous entiers naturels p et q pPNCaNSpEqN b Montrer que pour tous entiers naturels p et q PN qN ep q Exercice 2 21 Soit E un ensemble et A B C des parties de E Soit A le compl mentaire de A dans Montrer les propri t s suivantes a A B C A BUC b AN AUB ANB Exercice 2 22 Diff rence sym trique de deux parties Soit un ensemble Pour et B des parties de E on note AAB l ensemble AU B AN B Soient A B et C des parties de E Montrer que AAB A B U B A AA AAB BAA AA BAC AAB AC AN BAC ANnB A ANC Exercice 2 23 note aux charg s de TD les notations min et max ne sont pas forc ments connus ce Dr Pin A min max aij B max min aij 1 lt i lt n 1 lt lt p 1 lt j lt p 1 lt i lt n Montrer que B lt A Exercice 2 24 difficile Soit A j ajerxz une famille de parties d un ensemble Les ensembles N U Ai et N Ai sont ils gaux D un est il inclus dans l autre iel je jeJ iel Exercice 2 25 Montrer que VneNn gt 4 n gt 2 Exercice 2 26

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