peut-on douter des mathématiques - Espace culturel protestant à
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1. L explosion des math matiques dit e en 2003 par les deux Soci t s math matiques de Frances disponible sur internet pour s en convaincre Bernard Le Bouyer ou Le Bovier de Fontenelle crivait en 1699 On appelle d ordinaire inutiles les choses que l on ne comprend pas C est une esp ce de vengeance et comme g n ralement les math matiques et la physique ne sont pas comprises elles sont d clar es inutiles Mais Depuis 2500 ans les math matiques sont utilis es pour d crire certains ph nom nes naturels le plus ancien et le plus g nial tant Archim de Depuis le dix septi me si cle avec les travaux de Galil e les math matiques sont consid r es comme le langage avec lequel sont crites les lois de la Nature Historiquement l un des premiers mod les fut celui des picycles de Ptol m e qui d crivait le mouvement du soleil et les r trogradations des plan tes alors connues Les math matiques sont devenues c t du microscope et du t lescope un instrument d observation r volutionnaire qui nous r v le chaque jour de nouvelles et myst rieuses facettes de notre Univers sans parler des r sultats obtenus en particulier dans le cadre de la M canique Quantique et de la Relativit g n rale Mais ces succ s ne font que rendre plus myst rieuses la nature profonde des math matiques et la cause de leur redoutable efficacit Que sont donc les nos math matiques Soit elles ne sont2. curis ou un chiffrement asym trique on parle alors de cryptographie sur les courbes elliptiques ou ECC de l acronyme anglais Elliptic curve cryptography L usage des courbes elliptiques en cryptographie a t sugg r de mani re ind pendante par Neal Koblitz et Victor 3 Miller en 1985 P ADDITION SUR LES COURBES ELLIPTIQUES Q illustrations des diff rents cas possibles P Q 0 2P 0 10 Les cl s employ es pour un chiffrement par courbe elliptique sont plus courtes qu avec un syst me fond sur le probl me de la factorisation comme RSA De plus l ECC procure un niveau de s curit quivalent ou sup rieur aux autres m thodes Un autre attrait de l ECC est qu un op rateur bilin aire peut tre d fini entre les groupes Cet op rateur se base sur le couplage de Weil ou le couplage de Tate Les op rateurs bilin aires se sont r cemment vus appliqu s de nombreuses fa ons en cryptographie par exemple pour le chiffrement bas sur l identit Un point n gatif est que les op rations de chiffrement et de d chiffrement peuvent avoir une plus grande complexit que pour d autres m thodes La r sistance d un syst me fond sur les courbes elliptiques repose sur le probl me du logarithme discret dans le groupe correspondant la courbe elliptique Les d veloppements th oriques sur les courbes tant relativement r cents la cryptographie sur courbe elliptique n est pas tr s connue et souffre d un grand n
3. la conjecture de Poincar Dunod 2007 SAUTOY du Marcus La symphonie des nombres premiers Points Sciences 2005 SINGH Simon Le dernier th or me de Fermat Hachette Pluriel 1998 STEWART lan Dieu joue t il aux d s Les math matiques du chaos Champs Flammarion 1998 THUILLIER Pierre D Archim de Einstein Les faces cach es de l invention scientifique Fayard poche 1988 13
4. que le fruit de notre esprit soit elles existent ind pendamment de nous Formul diff remment le math maticien est il un cr ateur c est dire celui qui tire du n ant ou bien un explorateur celui qui parcourt en observant Pour le math maticien contemporain Donal O SHEA il est inconcevable qu il n y ait pas quelque part en dehors de notre petit monde d autres intelligences peut tre tr s diff rentes de la n tre avec lesquelles on pourra un jour communiquer sur des objets ou th or mes math matiques Un contact avec d hypoth tiques intelligences extra terrestres en supposant qu un dialogue quitable est possible l verait certainement un petit coin du voile dans Contact roman de science fiction publie en 1985 Carl Sagan faisait implicitement l hypoth se platonicienne en donnant en particulier la vedette aux nombres premiers et au nombre T Mais peut tre la r ponse est elle que le math maticien est la fois cr ateur et explorateur certaines structures probablement parmi les plus l mentaires existeraient ind pendamment de nous les nombres entiers ordinaux et cardinaux par exemple alors que d autres seraient notre uvre un peu comme il existe dans l Univers un certain nombre de mol cules naturelles et que nos chimistes en ont cr de nouvelles partir des l ments de base que sont les atomes De plus chaque g n ration de math maticiens r interpr te et red finit le cadre
5. droites en d terminant deux angles internes dont la somme soit diff rente de deux angles droits alors les deux droites se coupent dans le demi plan pour lequel la somme est inf rieure deux angles droits ce qui est quivalent l nonc bien connu dit POSTULAT DES PARALL LES Par un point donn on peut mener une et une seule parall le une droite donn e Cette forme de l axiome d Euclide est due au math maticien Antique Proclus Elle est connue sous le nom de postulat des parall les Au XIXe si cle avec les recherches des grands math maticiens Lobatchevski Bolyai Gauss Riemann Beltrami Klein et Poincar on a pu trouver d autres g om tries possibles et non contradictoires en conservant les axiomes de la g om trie Euclidienne sauf le postulat des parall les ces nouvelles g om tries sont appel es non euclidiennes L histoire de cette d couverte est un pisode fascinant de l histoire de la g om trie On trouve deux mani res diff rentes de pratiquer la g om trie sans l axiome des parall les 1 Dans la premi re la somme des angles d un triangle est sup rieure 180 On l appelle g om trie elliptique ou sph rique 2 Dans l autre elle est inf rieure 180 C est la g om trie hyperbolique ou g om trie de Lobatchevski Par exemple en modifiant le cinqui me axiome ainsi Par un point ext rieur une droite on peut faire passer une infinit de droites parall les cett
6. int r t pour le 5 postulat gagna la philosophie et la presse populaire C est pourquoi Gauss tait m fiant et ne souhaitait pas publier ses r sultats sur ce postulat dans le cas sph rique ils auraient fait sensation et il ne voulait ni la publicit ni le tracas Il nourrissait galement de sains soup ons quant aux philosophes quand un philosophe dit quelque chose de vrai c est une chose triviale Quand un philosophe dit quelque chose de non trivial c est faux Bolyai y travailla en 1820 et ses carnets de note montrent qu il avait commenc d velopper ce que nous connaissons sous le nom de g om trie hyperbolique En 1823 il crivit son p re qu il tait en train de cr er un autre un nouveau monde partir de rien semble avoir termin en 1824 Mais il n eut pas la reconnaissance souhait e Gauss s y tant oppos mourut en 1856 suite une s rie d attaques c r brales Quant Lobatchevski il publia ses r sultats sur les g om tries non euclidiennes en 1829 Mais il rencontra des d boires car son article fut rejet par le plus grand math maticien russe de l poque Mikha l Vasilevitch Ostrogradski et ce qu il publia par ailleurs passa compl tement inaper u Ses derni res ann es furent g ch es par plusieurs soucis familiaux sans compter son isolement dans la recherche qu il poursuivait sans se faire reconna tre me En conclusion m me en 1850 peu de monde reconnai
7. la bonne cette fois cf La symphonie des nombres premiers de Marcus du Sautoy p 349 Mais au d but des ann es 1980 ce genre de projet n int ressait pas les entreprises commerciales Les gens n avaient pas encore d ordinateur chez eux Donc pas de brevet commercial en vue Seuls les services de renseignements s inqui t rent du d veloppement de toute cette technologie et ont tout fait pour ralentir son d veloppement Placer la vie de leurs agents entre les mains des math maticiens leur paraissait dangereux Le projet fut mis au rancart Pourtant dans les dix ans qui suivirent le code RSA fit la preuve de sa valeur non seulement pour prot ger la vie des espions mais aussi dans le monde public du commerce POUR LES CURIEUX CE COMPL MENT SUR L UTILISATION DES COURBES ELLIPTIQUES EN CRYPTOGRAPHIE par exemple pour l envoi de SMS priv s De fa on l mentaire on peut d finir les courbes elliptiques en 1 2 tant que courbes alg briques du troisi me degr cubiques dont l quation peut se ramener la forme y x ax b Selon le choix des coefficients a et b les graphes correspondants ont essentiellement deux formes possibles Voici par exemple les graphes r els associ s deux courbes elliptiques dans le plan affine y r r y x x 1 En cryptographie les courbes elliptiques des objets math matiques peuvent tre utilis es pour des op rations asym triques comme des changes de cl s sur un canal non s
8. math maticien vit longtemps et reste jeune les ailes de son me ne fl chissent pas de bonne heure et ses pores ne sont pas obstru s par la poussi re qui s l ve des grandes routes poudreuses de la vie vulgaire James Joseph Sylvester 1814 1897 Dieu a cr les nombres entiers le reste est l uvre de l homme Leopold Kronecker 1823 1891 La math matique poss de cette particularit de n tre pas comprise par les non math maticiens Andr Weil 1906 1998 Les Math matiques sont froides sans plaisir sans passion Andr Weil 1906 1998 Math matiques dess chent le c ur Dictionnaire de Gustave Flaubert 1821 1880 La Science est bien la fille des math matiques Henri Bergson 1859 1941 La science ne pense pas Martin Heidegger Victor HUGO 1802 1885 Quelques vers J tais alors en proie la math matique Temps sombre Enfant mu du frisson po tique On me livrait tout vif aux chiffres noirs bourreaux On me faisait de force ingurgiter l alg bre On me tordait depuis les ailes jusqu au bec Sur l affreux chevalet des x et des y H las on me fourrait sous les os maxillaires Le th or me orn de tous ses corollaires MATHS L ECOLE Une BD http laffingboi blogspot com 2007 08 math is religion html Posted by Laughing Boy at 8 21 2007 Traduction Tu sais je ne pense que les maths soient une science je pense que c est une religion Une religion Ouais Toutes c
9. s sur une m me droite mais tait ce vrai ou faux C est ainsi que l hypoth se de Riemann tait n e Enrico BOMBIERI en 1997 fit croire ce n tait qu un poisson d avril que quelqu un avait r ussi d montrer l hypoth se de Riemann La fausse nouvelle fit l effet d une bombe Une telle d monstration aurait elle des cons quences catastrophiques sur le monde fragile du commerce lectronique Le cryptage des donn es sensibles utilise en effet les nombres premiers et sp cialement l impossibilit de les calculer pour prot ger les transactions financi res sur Internet D couvrir l ordre que Riemann laisse entrevoir remettrait il en question les m thodes de chiffrement les plus utilis es telles que le syst me RSA Pour les initi s Jacques Hadamard et Charles de la Vall e Poussin ont d montr le th or me dit des nombres premiers qui donne un ordre de grandeur du nombre de nombres premiers inf rieurs un tr s grand nombre Plus pr cis ment si N q d signe le nombre de nombres premiers inf rieurs ou gaux l entier q alors N q q log q d ailleurs l hypoth se de Riemann est quivalente N q q log q O q log q En fait l hypoth se de Riemann r siste encore aujourd hui la d monstration Mais celui qui la d montrera gagnera le million de dollars offert par l institut Clay de Cambridge LA CRYPTOGRAPHIE Exemple d utilisation des nombres premiers et des courbes ell
10. PEUT ON DOUTER DES MATH MATIQUES Causerie ECP le 14 mai 2012 Julianne UNTERBERGER QUELQUES CITATIONS de math maticiens philosophes et crivains Le math maticien est un oiselier capturant dans une voli re des oiseaux aux brillantes couleurs Platon 427 347 av J C Les Math matiques sont consid r es comme le langage avec lequel sont crites les lois de la Nature Galil e Les sch mas du math maticien comme ceux du peintre ou du po te doivent tre beaux les id es comme les couleurs ou les mots doivent s assembler de fa on harmonieuse La beaut est le premier test il n y a pas de place durable dans le monde pour les math matiques laides Godfrey Harold Hardy 1877 1947 A quoi servent les math matiques C est pour l honneur de l esprit humain Carl Gustav Jakob Jacobi 1804 1851 Un math maticien n est pas une machine d duire mais un tre humain Paul Halmos 1916 2006 Je veux conna tre la vraie pens e de Dieu le reste n est que d tail Albert Einstein 1879 1955 Ma religion c est la certitude profond ment ressentie qu il existe une Raison Sup rieure qui s ouvre nous dans le monde accessible la connaissance Albert Einstein 1879 1955 Les lois de la nature sont math matiques Dieu est g om tre lan Stewart 1945 Il n y a pas au monde d tude qui mette toutes les facult s de l esprit plus harmonieusement en action que les math matiques Le
11. aines et en math matiques dans les apparitions de singularit s et d horizons En outre l infini a toujours eu des connotations th ologiques qui ont jou un r le dans le d veloppement des concepts qu on avait de l infini en math matiques en philosophie en religion Tous ces courants de pens e ont converg dans la vie et l uvre du math maticien allemand Georg CANTOR 1845 1918 II fut le fondateur de la th orie des ensembles partir de 1874 Avant lui le concept d ensemble tait plut t basique et avait t utilis implicitement depuis les d buts des math matiques depuis Aristote Personne n avait compris que cette th orie avait des l ments non implicites Avant Cantor il n y avait en fait que les ensembles finis qui sont ais s comprendre et les ensembles infinis qui taient plut t sujets discussion philosophique En prouvant qu il y a une infinit de tailles d ensembles infinis Cantor a tabli que les bases de cette th orie taient non triviales La th orie des ensembles joue ainsi le r le d une th orie fondatrice pour les math matiques modernes parce qu elle interpr te des propositions relatives des objets math matiques par exemple nombres et fonctions provenant de toutes les disciplines des math matiques comme l alg bre l analyse et la topologie en une seule th orie et fournit un ensemble standard d axiomes pour les prouver ou les infirmer Les concepts de b
12. ase de celle ci sont aujourd hui utilis s dans toutes les disciplines des math matiques Mais il s agit l vraiment d un langage Certains comme Galil e avaient d j remarqu qu un ensemble infini comme les carr s des nombres entiers pouvait tre mis en correspondance avec un ensemble infini le contenant strictement en l occurrence tous les entiers Il y a d une certaine fa on autant de carr s de nombres entiers que de nombres entiers Cantor est le premier donner un sens pr cis cette remarque l aide de la notion de bijection qu il introduit sous un autre nom l occasion puis la syst matiser Par exemple Cantor montre qu il y a autant de nombres rationnels ceux repr sent s par des fractions que de nombres entiers Cantor va plus loin et d couvre qu il y a plusieurs infinis au sens o ils ne peuvent tre mis en correspondance entre eux par une bijection il montre en 1874 que la droite r elle contient plus de nombres transcendants beaucoup plus que de nombres alg briques solutions d quations polynomiales coefficients rationnels il d couvre aussi cette ann e l sa grande surprise Je le vois mais je ne le crois pas crit il Dedekind que l on peut mettre en bijection la droite et le plan autrement dit qu il y a autant de points dans un petit segment que dans l espace entier Entre 1879 et 1884 Cantor publia une s rie de six articles dans les Mathematische Annal
13. culier aucune ethnie aucune religion aucun groupe politique Ils nous appartiennent tous La connaissance math matique se construit sur l uvre de ceux qui nous ont pr c d s Les math matiques nous rappellent quel point nous d pendons des autres la fois de l intuition et de l imagination de ceux qui nous ont pr c d s et de ceux qui maintiennent les institutions sociales et culturelles les coles et les universit s qui transmettent les id es de leur temps En levant les yeux vers le ciel nocturne vers les lointaines toiles les galaxies il est inconcevable pour moi Donal O SHEA qu il n y ait pas quelque part la dehors d autres intelligences peut tre tr s diff rentes de la n tre avec lesquelles on pourra un jour communiquer sur des objets ou th or mes math matiques LES INFINIS La nature de l infini a t un sujet de controverses depuis toujours Dans l Antiquit avec Z non d l e et son paradoxe sur la notion d infini la tortue d Achille pr c de Achille d une distance de plus en plus petite Mais alors il faut passer par une infinit de points en un temps fini La m canique de Newton r sulte du calcul infinit simal qu il a invent pour fonder la physique Au cours des XIXe et XXe si cles sont apparus d autres probl mes impliquant la notion d infini au cours du d veloppement de la th orie des ensembles fondement de presque toutes les math matiques contempor
14. des math matiques des g n rations ant rieures Apprendre les math matiques c est les r inventer Pour Michel BROU math maticien contemporain les math matiques ont un aspect dual d une part un langage extr mement pr cis et cod qui permet son application aux autres sciences d autre part une science comme les autres qui a n anmoins pour sp cificit de questionner des objets un peu particuliers puisqu il s agit d objets du monde des id es Rien n est plus f cond tous les math maticiens le savent que ces obscures analogies ces troubles reflets d une th orie l autre ces furtives caresses ces brouilleries inexplicables rien aussi ne donne plus de plaisir au chercheur Un jour vient o l illusion se dissipe le pressentiment se change en certitude les th ories jumelles r v lent leur source commune avant de dispara tre comme l enseigne la Gita on atteint la connaissance et l indiff rence en m me temps La m taphysique est devenue math matique pr te former la mati re d un trait dont la beaut froide ne saurait plus nous mouvoir w o N o o N o o N o o Dans ce qui suit nous donnons un bref aper u des id es relatives cinq th mes math matiques la plupart des d veloppements donn s ont t largement inspir s soit d articles lus sur internet soit des livres cit s dans la bibliographie LA GEOMETRIE les l ments d Euclide et les g om tries no
15. des domaines dans lesquels il faut un pionnier Ce n est que r cemment que nous avons commenc pleinement saisir ce qu il entr aper ut au tournant du XXe CONJECTURE d Henri POINCARE 1904 En voici l nonc m me s il est incompr hensible pour les non math maticiens Toute vari t tridimensionnelle compacte sur laquelle tout chemin ferm peut tre contract en un point est hom omorphe la sph re tridimensionnelle Cette conjecture de Poincar a t d sign e comme l un des 7 probl mes du mill naire en l ann e 2000 par l Institut CLAY qui a offert un prix de 1 million de dollars pour sa r solution Elle a t d montr e par Grigori PERELMAN en 2003 Mais non seulement Perelman a diffus sa premi re preuve sur internet en la mettant en ligne sur www arXiv org le serveur internet de pr publication qui est devenu le lieu d change standard pour les nombreux domaines de la physique des math matiques et de l informatique elle n a pas t soumise un Journal math matique comme le voulait la tradition mais encore il a refus le prix CLAY et la m daille Fiels 2006 ainsi que toute interview avec des journalistes C est un g nie solitaire qui vit avec son p re Saint P tersbourg Nous vivons dans l re la plus productive math matiquement de l histoire humaine Les math matiques sont l uvre d individus Mais leurs concepts et leurs th or mes n appartiennent aucune personne en parti
16. e Fermat tout indique qu il n en avait d ailleurs pas et cette nigme montrer que x y z n a pas de solutions enti res pour n gt 2 fut la plus grande nigme qui agita le monde des math maticiens pendant 4 si cles 1 Le cas n 4 fut rapidement r solu par Fermat lui m me en utilisant la m thode de la descente infinie 2 Le premier progr s important fut ensuite r alis par Euler pr s d un si cle plus tard qui en utilisant les nombres complexes vint bout du cas n 3 3 Il fallut attendre encore 75 ans pour que les math maticiens Sophie Germain Dirichlet et Legendre prouvent le cas n 5 4 Quatorze ans plus tard le math maticien Lam enrichit encore la m thode pour traiter le cas n 7 12 CONJECTUR SANS D MONSTRATION PAR PIERRE DE FERMAT AU XVIIE SI CLE CE R SULTAT A T D MONTR PAR ANDREW WILES EN 1994 Apr s avoir t l objet de fi vreuses recherches pendant pr s de 350 ans depuis l annonce de Fermat n aboutissant qu des r sultats partiels mais enrichissant diverses questions d alg bre notamment le th or me a finalement t d montr par le math maticien Andrew Wiles La d monstration publi e en 1995 recourt des math matiques parmi les plus profondes et les plus difficiles Andrew Wiles a prouv un cas particulier de la conjecture de Shimura Taniyama Weil sur les courbes x elliptiques dont on savait depuis quelque temps d j via les travaux d Yves Helleg
17. e droite et toutes diff rentes on obtient la g om trie hyperbolique Dans les g om tries non euclidiennes le th or me de Pythagore n est plus applicable La proposition ll existe des droites parall les vraie en g om trie euclidienne est aussi vraie en g om trie hyperbolique mais fausse en g om trie sph rique Le commentaire qui suit est extrait du Grigori Perelman face la conjecture de Poincar de Donal O SHEA Pouvait on d duire le postulat des parall les des autres postulats de la g om trie euclidienne ou non Ou y avait il peut tre quelque chose de plus vident prendre comme axiome Des g n rations de math maticiens furent obs d es par ces questions De 1607 1880 plus d un millier de livres et de m moires furent consacr s ce 5 postulat Aucune proposition de d monstration ne r sista un examen soign Il a fallu attendre l apr s p riode de Lumi res avec le vent qu elles faisaient souffler au d but du XIXe si cle pour r soudre ce probl me 3 math maticiens y ont contribu en allant bien au del de ce cas particulier ils devaient finalement clarifier le r le du 5 postulat et les richesses qu il recelait Ce sont Johann Carl Friedrich GAUSS 1777 1855 le math maticien le plus c l bre du d but du XIXe et l un des plus grands math maticiens de tous les temps Nikola Ivanovitch LOBATCHEVSKI 1792 1856 et J nos BOLYAI 1802 1860 Au fil des ans l
18. e l utilit des math matiques dans la vie courante L unique but des math matiques est il leurs applications aux autres sciences VNVYN Y Les Math matiques existent elles en dehors de l esprit des math maticiens et donc ind pendamment de nous Yy Le math maticien est il un virtuose des calculs et r ciproquement V Y a t il encore des r sultats trouver en math matiques ou le math maticien se borne t il enseigner le legs des si cles pass s gt Un math maticien est il un enseignant un cr ateur ou un explorateur gt Peut on douter des r sultats math matiques publi s Des r ponses gt Les math maticiens ne doutent pas des math matiques les math matiques sont ce que pratiquent les math maticiens Ils peuvent par contre douter de certaines d monstrations et aussi douter de certaines nonc s math matiques non encore d montr s gt Par contre parmi les non math maticiens on peut distinguer plusieurs attitudes l unique but des math matiques est leurs applications aux autres sciences ainsi pensaient Diderot D Alembert et Buffon par exemple Pour Diderot les math matiques avaient fait leur temps elles n ajoutaient rien l exp rience et ne faisaient qu interposer un voile entre la nature et le peuple au lieu de rendre la philosophie populaire gt On ne peut douter de l utilit des math matiques dans la vie courante Il suffit de consulter par exemple la brochure
19. en qui constituent une introduction sa th orie des ensembles En m me temps grandissait une opposition croissante ses id es men e par Kronecker qui n admettait des concepts math matiques que s ils pouvaient tre construits en un nombre fini d tapes partir des entiers qu il consid rait comme seuls donn s intuitivement Pour Kronecker la hi rarchie des infinis de Cantor tait inadmissible et accepter le concept d infini actuel ouvrirait la porte des paradoxes qui mettraient en danger l difice math matique tout entier NOTATIONS et HYPOTHESE DU CONTINU En fin de sa vie Cantor a adopt les notations suivantes les w pour les nombres ordinaux transfinis et la lettre X pour les nombres cardinaux transfinis Tous les imprimeurs allemands poss daient les lettres h bra ques dans leurs polices de caract re Par exemple le cardinal de l ensemble des entiers est not X alors que celui de l ensemble des nombres r els est not X L hypoth se du continu dit qu il n existe pas d autre cardinal entre Xo et X Mais en 1963 le math maticien Paul COHEN universit de Stanford a utilis les travaux du logicien Kurt G del pour d montrer que bien que l hypoth se du continu soit compatible avec les axiomes d une th orie standard des ensembles elle en est galement ind pendante On peut comparer avec le r le similaire que joue le postulat d Euclide en g om trie LA SYMPHONIE DES NOMBRES PREMIERS R f
20. es quations sont des miracles Tu prends deux nombres et quand tu les additionnes ils deviennent miraculeusement un nouveau nombre Personne ne peut dire comment cela arrive ou tu le crois ou tu ne le crois pas Tout le livre est plein de choses qu on doit croire sans discuter C est une religion En tant que math maticien ath iste je devrais tre dispens de a Et en plus cela se passe dans les coles publiques Appelle un avocat ONLY IN MATH PROBLEMS CAN YOU BUY GO CANTALOUPES AND NO ONE AGk WHAT THE HELL 16 WRONG WITH YOU gt Pee pe PEANUTWEETER CON YEA All THESE EQUATIONS ARE LIKE MIRACLES WW TAKE TWO NUMBERS AND WHEN YO AOD THEM THEY MAGICAL S BECOME ONE MEW NUMBER 7 NO ONE CAN SAN HOW LT HAPPENS YOU CITUER BELIEVE NT OR NW DONT YOU KNOW I DONT THINK MATH 15 SCIENCE I THINK ITS A RELIGION A RELIGION 190 Apapo ab AA On LAVE THIS WHOLE BOOK IS PAL OF THINGS THAT HAWE TO BE ACCEPTED ON FAITH TS RELIGION EXEMPLE DE MAUVAISE UTILISATION DES MATHS AU LYCEE BAC GENERAL 1998 preuve de math matiques ann e par rapport celui de l ann e pr c dente 1 Combien pesait elle 17 ans 18 ans 2 Actuellement elle a 21 ans Quel est son poids 3 Elle d cide de faire un r gime et de perdre d sormais chaque ann e pendant 5 ans 2 du poids qu elle avait l ann e pr c dente Quel sera si elle tient son e
21. iptiques Le but de la cryptographie est de trouver de bonnes proc dures de cryptage et de d cryptage Au cours du XX me si cle ce domaine est pass de l re artisanale MAMAN AI l re scientifique Dans le m me temps ses utilisateurs se sont multipli s aux TET ODES SECRETS mondes militaire et diplomatique s ajoutent d sormais les mondes de la banque ou de la finance celui du crime organis celui d Internet et du commerce lectronique etc Avec l essor des t l communications la cryptographie est gt devenue un enjeu capital pour la soci t civile Pour communiquer l abri des indiscrets il faut crypter les messages Et pour ELUPSES inventer des m thodes de cryptage ou de d cryptage mieux vaut tre math maticien Pour qu un code soit difficile d chiffrer il devait tre bas sur un probl me math matique dont la solution est difficile calculer On distingue deux types de cryptages Le premier plus classique est celui des m thodes clef secr te L autre type de cryptages est celui des codes clef publique Leur principe date de 1976 Dans ces m thodes la connaissance de la clef servant au cryptage ne permet pas de d duire facilement la clef du d cryptage La clef de cryptage peut donc tre publique non secr te tandis que la clef du d cryptage n est connue que du destinataire du message secret Le RSA du nom des 3 math maticiens qui l ont trouv voir la ph
22. n euclidiennes LES INFINIS MATHEMATIQUES les travaux de Georg Cantor LES NOMBRES PREMIERS l hypoth se de Riemann et la cryptographie 36 LE TH OR ME DES QUATRE COULEURS colorier une carte CESKA RERUBEIKE LE THEOREME DE FERMAT WILES EL MODE D EMPLOI LES PARTIES PUREMENT MATH MATIQUES PEUVENT TRE SAUT ES Q N w o N w o N w LA GEOMETRIE K KA EEE KE AK KA K KE CE K KE Ke Ke KKK 2 K K K 6 KKK KE KE K KE CE KKK KKK KKK KK KKK KR KE KKK KK K L AXIOME D EUCLIDE OU CINQUI ME POSTULAT D EUCLIDE r f WIKIPEDIA L axiome d Euclide ou cinqui me postulat d Euclide est d au savant grec Euclide n vers 325 mort vers 265 Alexandrie C est un axiome relatif la g om trie du plan La n cessit de cet axiome a constitu la question la plus lancinante de toute l histoire de la g om trie et il a fallu plus de deux mill naires de d bats ininterrompus pour que la communaut scientifique reconnaisse unanimement l impossibilit de le r duire au statut de simple th or me L nonc original est exprim dans le Livre des l ments d Euclide sous la forme suivante Si une droite tombant sur deux droites fait les angles int rieurs du m me c t plus petits que deux droits ces droites prolong es l infini se rencontreront du c t o les angles sont plus petits que deux droits En langage moderne cela pourrait donner Si une droite coupe deux autres
23. ngagement son poids 26 ans ee i EXERCICE 1 A 16 ans Julie pesait 50 kg Depuis son poids a augment de 2 chaque EXERCICE 2 1 Le 1 1 1998 Pierre a plac 20 000F au taux de 4 l an avec int r ts capitalis s chaque ann e Calculer la somme dont Pierre disposera le 1 1 2005 2 M me genre d exercice avec ric la place de Pierre et des int r ts simples la place des int r ts capitalis s Il INTRODUCTION On ne peut d finir les math matiques que par des n gations les d finitions positives que l on peut donner sont toutes fausses parce qu elles sont n cessairement r ductives Elles ne sont pas qu une technique pour faire des calculs ou pour r soudre des probl mes elles ne sont pas non plus comme on l entend dire souvent qu un langage et elles ne se r duisent pas non plus la logique Elles ne sont m me pas une activit particuli rement rationnelle et consciente On peut comparer ce m tier celui de musicien comme le mot musicien peut d signer un amateur de musique un professeur de musique un interpr te un compositeur le mot math maticien peut d signer un enseignant un utilisateur des math matiques un chercheur Dans ce texte le mot math maticien d signe un chercheur cr ateur en math matiques cela ne l emp che pas d enseigner etc Des questions gt Qui peut douter des math matiques De quoi peut on douter en math matiques Peut on douter d
24. ombre de brevets qui emp chent son d veloppement LE TH OR ME DES QUATRE COULEURS Avec des extraits de WIKIPEDIA Le th or me des quatre couleurs indique qu il est possible en n utilisant que quatre couleurs diff rentes de colorer1 n importe quelle carte d coup e en r gions connexes de sorte que deux r gions adjacentes ou limitrophes c est dire ayant toute une fronti re et non simplement un point en commun re oivent toujours deux couleurs distinctes L nonc peut varier et concerner de mani re tout fait quivalente la coloration des faces d un poly dre ou des sommets d un graphe planaire par exemple la r solution du Sudoku peut se ramener un probl me de coloration de graphe Dans le cas du coloriage d une carte g ographique chacune des r gions doit recevoir une couleur diff rente si les r gions sont deux deux adjacentes c est le cas par exemple de la Belgique du Luxembourg de l Allemagne et de la France dans une carte politique de l Europe D o la n cessit des quatre couleurs dans le cas g n ral Par ailleurs il ne peut exister cinq r gions connexes deux deux adjacentes c est la partie facile du th or me de Kuratowski HISTOIRE Le r sultat fut conjectur en 1852 par Francis Guthrie int ress par la coloration de la carte des r gions d Angleterre La premi re mention publi e date toutefois de 18792 Deux premi res d monstrations furent publi es respectivement
25. oto est encore le syst me cryptographique cl publique le plus utilis de nos jours Son invention est due au hasard au d part Rivest Shamir et Adleman voulaient prouver que tout syst me cl publique poss dait une faille Cet algorithme servait encore en 2002 prot ger les codes nucl aires de l arm e Adi Shamir Ron Rivest Len Adleman am ricaine et russe Le principe de ce code est bas sur le PETIT TH OR ME DE FERMAT qui dit que pour les initi s si x est un nombre entier et si p est un nombre premier alors x x est un multiple de p Rivest informaticien au MIT depuis 1974 s int ressait l interaction entre la th orie abstraite et les machines r elles I commen a par puiser dans la masse de probl mes que les ordinateurs mettraient selon lui longtemps r soudre complexit calculatoire Au MIT se trouvaient pr s de lui deux math maticiens Leonard Adleman et Adi Shamir isra lien de passage avec qui il discutait sans arr t du probl me C est ainsi qu ils s inspir rent des id es de la th orie des nombres Un soir alors que tous les trois avaient t invit s chez un tudiant pour c l brer la premi re nuit de Pessah l illumination leur vint Adleman ne boit pas mais il se souvient que Rivest descendait un verre apr s l autre du vin du seder Il rentra chez lui vers minuit Peu apr s le t l phone sonna c tait Rivest J ai une autre id e C tait
26. ouarch Gerhard Frey Jean Pierre Serre et Ken Ribet qu elle impliquait le th or me La d monstration fait appel aux formes modulaires aux repr sentations galoisiennes la cohomologie galoisienne aux repr sentations automorphes une formule de traces La pr sentation de la d monstration par Andrew Wiles s est faite en deux temps en juin 1993 en conclusion d une conf rence de trois jours il annonce que le grand th or me de Fermat est un corollaire de ses principaux r sultats expos s Dans les mois qui suivent le manuscrit de sa d monstration circule aupr s d un petit nombre de math maticiens Plusieurs critiques sont mises contre la d monstration que Wiles a pr sent e en 1993 presque toutes de l ordre du d tail et r solues rapidement sauf une qui met en vidence une lacune en octobre 1994 apr s plusieurs mois de nouvelles recherches et en collaboration avec Richard Taylor Wiles r ussit contourner le probl me soulev Le document final est publi en 1995 BIBLIOGRAPHIE DEHAENE Stanislas La bosse des maths DIEUDONN Jean Pour l honneur de l esprit humain Les math matiques aujourd hui Hachette Pluriel 1987 EINSTEIN Albert Comment je vois le monde Champs Flammarion 1979 KOYR Alexandre Du monde clos l univers infini Gallimard 2003 KOYR Alexandre l ments d histoire de la pens e scientifique Gallimard 3e d 1990 O SHEA Donal Grigori Perelman face
27. par Alfred Kempe en 1879 et Peter Guthrie Tait en 1880 Mais elles s av r rent erron es les erreurs ont t relev es seulement en 1890 par Percy Heawood et en 1891 par Julius Petersen Ironiquement la fausse preuve de Kempe contient le sch ma g n ral de la vraie preuve La fausse preuve fournit en fait une d monstration du r sultat analogue mais avec cinq couleurs au lieu de quatre aujourd hui connu sous le nom du th or me des cinq couleurs dont l unique int r t 11 est d admettre une courte preuve donn e dans Gonthier 2000 comme l a remarqu Percy Heawood en 1890 Dans les ann es 1960 et 1970 Heinrich Heesch s int resse la possibilit de prouver informatiquement le th or me des quatre couleurs Finalement en 1976 deux Am ricains Kenneth Appel et Wolfgang Haken affirment avoir d montr le th or me des quatre couleurs Leur d monstration partage la communaut scientifique pour la premi re fois en effet la d monstration exige l usage de l ordinateur pour tudier les 1478 cas critiques plus de 1200 heures de temps machine de calcul Le probl me de la d monstration du th or me se trouve alors d plac vers d autres probl mes d une part de la validation de l algorithme d exploration d autre part de la v rification de la justesse du programme et enfin de la v rification de la justesse de son ex cution C est un probl me d une grande complexit sans demander appa
28. remment de concepts int ressants ce qui est exceptionnel en math matiques Le math maticien Paul Erd s pensait que le th or me des quatre couleurs tait un probl me subtil et non pas un probl me complexe D apr s lui une d monstration simple et m me tr s simple devait exister Mais pour cela il aurait fallu peut tre compliquer le probl me en le formulant pour un ensemble de points plus vaste qu un graphe planaire et incluant celui ci En tout cas aucune preuve qui ne fasse pas appel l ordinateur n a t d couverte jusqu ici cependant de nombreux amateurs continuent tre convaincus d y avoir r ussi LE TH OR ME DES QUATRE COULEURS POUR DES SURFACES PLUS G N RALES QUE LE PLAN par exemple sur la sph re le tore Par exemple un th or me d montr affirme que 7 couleurs suffisent pour colorer n importe quelle carte sur le tore et des exemples montrent que cela peut tre n cessaire Cette preuve n utilise par d ordinateur LE THEOREME DE FERMAT WILES LE DERNIER TH OR ME DE FERMAT Pierre de FERMAT un math maticien fran ais du XVIIe si cle 1601 1665 y CESKE REPUBLIKA s tait content de porter dans la marge de son cahier de travail x y z impossible si n gt 2 Il ajouta Jai trouv une merveilleuse d monstration de cette proposition Mais la marge est trop troite pour la contenir On ne retrouva jamais la preuve d
29. rence Article de Michel Alberganti paru dans l dition du Monde du 14 10 2005 L obs dante qu te du Graal des math matiques Un th me qui brise l image que la recherche en math matiques serait achev e Certains personnages se nomment Bernhard Riemann Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Carl Friedrich Gauss David Hilbert Andr Weil Andrew Wiles L intrigue une nigme sur laquelle planchent tous les math maticiens de la plan te depuis quelque 150 ans Le d cor l univers trange des nombres premiers dont l unique originalit est de n tre divisibles que par eux m mes et par un L action une succession d espoirs de fausses pistes d checs de d fis et d aventures Le livre de Marcus du SAUTOY 500 pages peut se d vorer ou se grignoter au hasard tant il regorge de richesses scientifiques et humaines peu ou mal connues Je voulais crire un roman reconna t l auteur Une gageure A priori quoi de moins excitant qu une suite de nombres Qui hormis le club ferm des chercheurs en math matiques peut se passionner pour une s rie incoh rente de chiffres Erreur Les nombres premiers n usurpent pas leur nom Ils constituent les pierres pr cieuses ench ss es dans l immense tendue de l univers infini des nombres crit Marcus du Sautoy Les math maticiens sont fascin s par ces atomes de l arithm tique ce don de la Nature Leur d couverte pourrait remonter 6 500 ans avant J C
30. si l on en croit les gravures de l os d Ishango mis au jour en Afrique quatoriale en 1960 Pourtant ils conservent aujourd hui encore une bonne part de leur myst re La fascination qu ils exercent depuis les d couvertes r alis es par les Grecs s explique simplement Tout nombre qui n est pas premier peut tre obtenu en multipliant les uns par les autres ces l ments fondamentaux Pour le math maticien une liste de nombres premiers est comme le tableau p riodique des l ments chimiques o les nombres 2 3 et 5 correspondraient l hydrog ne l h lium et au lithium La ma trise de ces l ments lui permet d esp rer d couvrir de nouvelles fa ons d tablir un cap pour parcourir la complexe grandeur du monde math matique LOI SECR TE et HYPOTHESE DE RIEMANN Euclide a d montr que les nombres premiers se poursuivent sans fin Or la liste des nombres premiers contient une nigme majeure existe t il une loi secr te r gissant la fa on dont ils s gr nent sur la ligne infinie des nombres Au cours des si cles les math maticiens n ont pas d busqu la r gle qui si elle existe leur permettrait de calculer l ni me nombre premier L un des h ros de la qu te de ce Graal des maths est sans conteste Bernhard Riemann 1826 1866 Riemann d couvrit que si la suite des nombres premiers paraissait chaotique les points sur sa carte une autre interpr tation du probl me eux semblaient tr s ordonn
31. ssait qu il pouvait exister des g om tries dans lesquelles le 5 postulat ne tenait pas Si Gauss avait parl les choses auraient t diff rentes Il a cr ou fait progresser plusieurs domaines des math matiques et de l astronomie jusqu sa mort G ttingen en 1855 sans avoir publi quoi que ce soit sur le Due postulat Mais en temps et en heure leurs r sultats entreraient dans le courant principal des math matiques Ces autres g om tries n taient pas seulement des curiosit s logiques des anomalies n es de l ventuelle incapacit des 4 premiers axiomes capturer convenablement la r alit Ces autres g om tries taient tout aussi r elles et tout aussi valables que la g om trie plane usuelle Le changement radical de vision qui devait tout clarifier et initier notre compr hension moderne fut expos en 1854 dans la soutenance d habilitation d un tudiant timide mais brillant de Gauss Bernhard RIEMANN Cette soutenance et une autre travail publi dans sa courte existence furent l un des plus grands moments dans l histoire des sciences et elle est essentielle pour notre compr hension du travail de Henri POINCARE et de toute la g om trie et la topologie modernes En conclusion Les travaux de Poincar leur tour sont devenus le terreau fertile sur lequel ont fleuri la majeure partie des math matiques du 20 si cle Quatre des probl mes du mill naire prix CLAY sont directement li s
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