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1. Le gros point qui peut tre tir le long d une verticale elle m me g n ratrice du c ne cherch est celui qui modifiera l ouverture de notre c ne Sur les deux figures qui suivent on peut constater que le c ne coupe le plan du tableau suivant une courbe qu on peut modifier pour la rapprocher progressivement de la parabole initialement trac e Enfin on atteint une position o la courbe intersection du c ne avec le plan du tableau vient se superposer la courbe repr sentative de y x2 Cette pr sentation justifie in fine le nom de parabole qui est donn la courbe de la fonction carr e 3 Deux fa ons d aborder les patrons 3 1 La mani re directe Par un clic sur un cube pr alablement construit avec les outils sp cifiques de Cabri 3D on obtient le patron dynamique en utilisant l outil Ouverture de poly dre a n i Le patron r alis peut tre ouvert et vu sous tous les angles gr ce encore la cam ra Un clic droit sur le patron fait appara tre un menu contextuel avec la possibilit d diter le patron plat sur le m me cran qui est montr ci dessous T 2 2 Une mani re dynamique g n rant des connaissances La premi re face verticale du cube est obtenue par application d une rotation de la face inf rieure autour de l un de ses c t s Les autres en appliquant d abord la premi re face2. verticale une rotation d axe vertical et d angle caract ris par deux sommets cons cutifs de la face inf rieure et en it rant le proc d On voit droite qu on a appliqu au carr horizontal la rotation autour de l ar te horizontale sen ed amenant le centre de ce carr en direction d un nouveau point sur le cercle pr alablement trac cercle d axe le segment horizontal passant par le centre du carr horizontal Pour mod liser l ouverture du couvercle nous avons cr ce dernier comme l image de la face grands trou par une rotation d angle d fini par les deux segments sup rieurs qui est le translat de l angle des deux vecteurs verts inf rieurs L ouverture et la fermeture se font en tirant sur le point centre de la face grands trous comme elle se fait avec le patron ouvert par ouverture de poly dre On peut appliquer la m me technique en partant d un pentagone r gulier construction de Schuman Notons que dans la derni re figure il a t possible de cr er un point d intersection de deux droites qui sont donc des droites qui sont s cantes pour Cabri Nous sommes l au niveau de que l on nomme la Cabri preuve la validation de ce r sultat est une validation particuli re du domaine de l informatique La fin de la construction est r alis e en sym trisant les cinq premiers pentagones par rapport ce poi
3. Cabri 3D on acc de une page o est repr sent e une portion du plan horizontal avec un rep re indiquant les trois directions d un rep re orthonorm Il est noter une barre d outils semblable celle de Cabri 2 Plus dans sa concision mais assez diff rente dans son contenu La perspective est une perspective centrale suivant un angle de vue qui peut tre modifi tout moment par animation de la souris cliqu e droit d autres perspectives sont possibles en options Cette animation qu permet de changer les points de vue procure une approche non fig e des objets de l espace qui permet de trouver le bon angle de perception Un mode d emploi extr mement soign est accessible dans l aide cette aide contient des tutoriels sous turbo d mo d une qualit irr prochable ce sont des petits films d animations montrant le pas pas sur des probl mes classiques th or me du toit intersection d un cube par un plan perpendiculaire une diagonale de ce cube Le contenu de cet article a t pr sent comme atelier aux journ es de l APMEP de Caen IREM de Toulouse groupe de G om trie dynamique jjdahan wanadoo fr 1 2 Les outils disponibles partir de la barre d outils Les outils accessibles le sont partir de la barre d outils reproduite ci dessous Demi droite Vecteur Cercle Conique Sym trie centrale Triangle quilat ral T T tra dre r gulier Sym tri
4. Utilisation du logiciel Cabri 3D de g om trie dans l espace Jean Jacques Dahan Historiquement la g om trie dynamique plane trouve ses racines chez les grands g om tres de la tradition fran aise Clairaut en particulier C est pourquoi un outil comme Cabri permet nos l ves une pratique dynamique des math matiques en harmonie avec les techniques de ces grands g om tres l oppos il n existe pas de culture d une pratique dynamique de la g om trie spatiale et cela explique pourquoi l apparition de Cabri 3D avec ses potentialit s voisines de celles de Cabri 2 Plus et son ergonomie peut changer radicalement la mani re d aborder cette g om trie L utilisation d un tel logiciel s appuyant sur la perception r aliste du monde qui nous entoure doit aider le Professeur mieux communiquer dans un domaine o il manquait passablement d instruments de communication Il doit aussi donner l l ve le go t de la cr ation en 3D dans un environnement qui utilise des outils analogues ceux utilis s dans les jeux vid o en 3D Cet article a pour but de montrer partir de deux exemples bien particuliers qu il est possible de prendre en main Cabri 3D tr s rapidement tout en d gageant des mod les d utilisation en classe qui demandent tre affin s par la pratique Nous commencerons par une pr sentation rapide de Cabri 3D 1 Introduction Cabri 3D 1 1 La page de travail Quand on ouvre
5. e axiale Carr Cube Sym trie plane Pentagone r gulier i Octa dre r gulier Translation Hexagone r gulier Dod ca dre r gulie Rotation par axe et points Octogone r gulier Poly dre convexe Isoca dre r gulier D cagone r gulier Ouverture de poly dre Dod cagone r gulier D coupe de poly dre Pentagramme 1 3 Quelques constructions de base 1 3 1 Des points L outil point permet de cr er un point sur le plan horizontal de r f rence si ce curseur est plac sur le rectangle rep rant ce plan et dans ce cas le point ne peut en sortir sauf par red finition Le point peut n anmoins tre cr dans l espace condition d appuyer sur la touche majuscule avant de cliquer par d faut le point de l espace est plac dans le plan Dans ce cas l d s qu on tire sur ce point on voit appara tre le quadrillage du plan dans le voisinage de notre point et les quatre fl ches indiquant les quatre directions de d placement possibles dans le plan Le point cr dans l espace peut tre RS d plac verticalement si on appuie sur la touche majuscule pendant le mouvement de la souris dans ce cas on voit appara tre j la verticale sur laquelle le point se d place 1 3 2 Des droites Si on utilise l outil Perpendiculaire et a qu on approche le curseur du plan hori ar seems zontal de r f rence celui ci clignote car PRE i il est reconnu par Cabri 3D qui propose une droite perpendiculai
6. e conique avec un plan pivotant autour d une horizontale pour constater que Cabri reconna t deux types d intersection des ellipses intersection avec une seule nappe et des hyperboles intersection avec deux nappes Une autre construction permet de g n rer l intersection d une nappe conique avec un plan parall le un plan tangent au c ne et dans ce cas l Cabri 3D reconna t naturellement une parabole cette parabole Cette activit monstrative permet de faire prendre conscience tr s rapidement en utilisant la cam ra qui permet par un clic droit de modifier le point de vue que ce qui est appel ellipse hyperbole ou parabole est un type de courbes issues de la m me construction section d un c ne par un plan 2 2 Pour prendre conscience que la courbe de la fonction carr e est bien une parabole au sens de la d finition spatiale Apr s avoir quadrill un plan vertical repr sentant le plan du tableau en utili sant vecteurs translations et sym tries nous avons trac la conique passant par les cinq points 2 4 1 1 0 0 1 1 et 2 4 que Cabri reconna t comme une parabole Ce qu il va tre possible de faire maintenant et qui a t fait c est de construire un c ne dont l intersection avec le plan du tableau sera justement la courbe repr sentant notre parabole repr sent e partir des mailles du quadrillage
7. es fr products_cabri3d_tutorials php et les avatars de Claude par Kate Mackrell dans le site http www chartwellyorke com cabri3d introtocabri3d htm Enfin on peut trouver une reproduction de cet article avec les figures en couleurs sur le site de l APMEP
8. nt sp cial ET Le dod ca dre r gulier est finalement obtenu en refermant le patron c est dire en tirant sur le point pilote initialement plac sur le cercle utilis La deuxi me figure ci dessus a t obtenu en continuant de tirer sur le point pilote vers l int rieur si au d but du mouvement on a l impression d un poly dre qui s crase sur lui m me on finit par obtenir ce magnifique poly dre toil On comprend ainsi qu une figure sous Cabri est encore plus sp ciale qu une figure papier crayon une telle figure est la fois toutes les positions particuli res permises par la dynamicit du logiciel La derni re figure pr sent e montre l int rieur du dod ca dre qui peut tre visualis en vidant l une des faces 4 Conclusion Une approche compl tement nouvelle de la g om trie de l espace est possible avec ce logiciel Le pr sent article a une pr tention informative les Professeurs doivent savoir que l utilisation de cet outil change aussi bien leur appr hension de l espace que celle de leurs l ves que les probl mes peuvent tre pos s de mani re plus exp rimentale que de nouveaux probl mes sont g n r s par cet environnement Ils peuvent enfin s appuyer sur une approche ludique qui est plus motivante pour les l ves On trouvera des compl ments sur les outils de Cabri3D dans le site http www cabri com v2 pag
9. re ce plan Il suffit de cliquer pour accepter et dans la foul e Cabri propose de faire passer cette perpendiculaire par un point de ce plan Il est possible quand on voit appa ra tre ce qui va tre obtenu de tirer sur la souris pour se positionner l endroit choisi cliquer et obtenir la perpendiculai re voulue Si on tire sur la souris pour se positionner hors du rectangle repr sentant le plan horizontal de r f rence l outil Perpen diculaire toujours activ propose le trac d une perpendiculaire au plan hori zontal partir cette fois d un point de l espace positionn par d faut sur le plan horizontal F passant par un nouveau point sur plan Perpendiculaire passant par un nouveau oint dans l espace EST 1 3 3 Des cercles et de certains solides de l espace 1 3 3 1 Cercles Les cercles peuvent tre construits de deux fa ons distinctes voir figure de droite Par une approche plane en trois temps on clique sur le plan qui va contenir ce cercle on clique sur un point de ce plan pour d finir le centre et enfin on clique sur un troisi me point qui est un point d finissant le rayon Par une approche spatiale en deux temps on clique sur une droite ou un segment autour de laquelle le cercle sera d fini puis sur un point du cercle sur la figure de droite on a cr un cercle autour d une droite du plan pr alablement construite 1 3 3 2 C
10. ubes et poly dres Un cube est construit en trois temps choix du plan dans lequel est plac la premi re face choix du centre de la face puis choix d un sommet de cette face Cette mani re de faire est la m me pour les autres poly dres r guliers Sur la figure de droite un cube avec une face sur le plan horizontal a t construit suivant cette proc dure 1 3 3 3 Rotations On peut transformer ce cube par une rotation en cliquant successivement sur l axe de la rotation le cube transformer et deux points homologues de la rotation c est dire deux point caract risant la rotation Cabri affichera des textes du genre rotation de ce cube autour de cette droite d pla ant ce point ici le point d intersection du plan et du cercle visible sur la figure et enfin en direction d un nouveau point sur cercle ici le gros point Cette transformation n cessite 4 clics 1 3 3 4 Plans et sections planes Apr s avoir cr deux droites verticales nous avons cr avec l outil perpendi culaire un plan perpendiculaire l une de ces droites passant par l un de ses points Apr s avoir cr le second point d intersection du plan avec la seconde droite et apr s avoir cr le segment qui les joint un clic droit sur le plan fait appara tre un menu contextuel Ce menu contient l option masquer montrer qui va permettre de cacher le plan cr On a constr
11. uit droite un cylindre comme produit d un cercle par un vecteur un prisme comme produit d un polygone et d un vecteur un c ne par un cercle de base et son sommet et une sph re par son centre et l extr mit d un rayon La partie dessin e gauche des solides peut repr senter des poteaux de rugby Ici on a construit le plan d fini par la barre transversale des poteaux de rugby et un point du plan marqu en gros On a pu ensuite d finir les intersections des solides avec ce plan part le prisme o l intersection est facilement visualisable Cette introduction n a pas la pr tention d tre exhaustive elle a seulement pour objectif une familiarisation rapide avec cet environnement Beaucoup de fonctionnalit s n ont pas t abord es mais le manque de place ne permet pas de tout pr senter je pense en pariculier aux animations Je recommande tout particuli rement les animations ludiques cr es par Kate Mackrell de la Queens University de Kingston Ontario Canada avec son petit personnage sph rique Claude dont les aventures montrent les potentialit s normes de mod lisation de Cabri 3D ma connaissance il n existe pas de logiciel quivalent sur le march permettant ces mod lisations 2 Des sections coniques la fonction carr e 2 1 Pour prendre conscience de la notion de conique Nous avons construit une figure qui permet de g n rer l intersection d une double napp
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