Home

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3`eme

1. Cov X Y 2 gt 79 Cov X Y X b Y KALANG Var X e A Var X Donc e a b est minimum pour a a et b 0 i e b E Y E X e Cov xr _ 2 et ce minimum vaut Var Y Va Var Y 1 p X Y o Cette proposition implique que p X Y 1 ssi Y aX b p s 46 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires 4 5 Vecteurs al atoires 4 5 1 Notations i On note pour x 1 ta RI x x x2 1 2 ii On note LE X X1 Xa Xk v a r elles et E ii Si X L on note E X E X1 E X4 X P lt 00 4 5 2 On appelle vecteur al atoire toute v a valeurs Rt On remarque d abord que X X Xa est un vecteur al atoire ssi pour k 1 d Xy est une v a r Soit X X1 Xa un vecteur al atoire Les lois y u s appellent les lois marginales de X Proposition 4 5 1 Soit X un vecteur al atoire de densit q Alors Xk a pour densit qklu faes cs Tk 1 U Tk 1 ta dti se dig 1d2g 1 HE dza Preuve On suppose d 2 Alors pour 4 B R E H X1 f p z q 21 22 did f gla J qe 22 dua der o On sait th 4 4 2 que les composantes X1 X4 sont ind pendantes ssi py Hx 8 Hy On en d duit imm diatement Proposition 4 5 2 Soit X X1 Xg un vecteur al
2. 5 3 3 Le cas non d g n r On dit que la loi Na m K est non d g n r e si det K 0 Dans ce cas Th or me 5 3 7 Si X Nafm K et si det K Z 0 X admet la densit hn x 27 2 det K 2 exp 5 x m KT m Preuve Soit A une matrice dx d telle que K AAT on a det A det K 2 et A 2 est inversible Soit Y N4 0 14 un vecteur gaussien de densit 27 4 2 exp UM On a lem 5 3 2 Y m AY Na m K et pour f BT R d 2 E f X E f m AY 27 2 f iont aew ay On effectue le changement de variable y AT z m on a 58 det A7 et E f X 27 2det A 5 ft z exp x m ATHTAT x m dx Comme A AAT A 1 TA L on a la formule annonc e Chapitre 6 Convergence des suites de variables al atoires 6 1 Modes de convergence 6 1 1 Principaux modes de convergence D finition 6 1 1 Soient X et X des v a valeurs R i On dit que Xn converge en probabilit vers X si pour tout gt 0 P Xn X gt E gt n 0 ii On dit que Xn converge presque s rement en abr g p s vers X si pour tout w N N n gligeable Xy w gt n X w iii On dit que Xn converge vers X dans LP 1 lt p lt 00 si Xn et X sont dans LP et si E Xn XIP gt n 0 La convergence dans L s appelle aussi la converge
3. i On suppose E X1 lt 00 Posons Xklixj lt k n X Xp Alors vu le lem 6 4 2 SO P X Re YO P X gt k XO P X gt k lt EUX lt o k k k n Donc Borel Cantelli Xy X partir d un certain rang p s et Sa 0 ps On est donc ramen tudier la limite de Sa Pour cela on utilise la prop 6 3 5 76 Convergence des suites de variables al atoires D une part vu le lem 6 4 3 Var X E X2 Ne gt n2 oD a gt Hal lt 2 E X11 lt 00 n gt 1l n gt 1l n gt 1 D autre part comme E X4 EX l ixuI lt k E Xil x 1 lt gt k E X1 Lebesgue lE 6 gt n E X1 Finalement Sa gt n E X1 p s et il en est de m me de Sa Passons la convergence dans Lt On peut supposer E X1 0 On a pour tout M gt 0 Nit Sn Le Te Elz D lt Elz X Xklix lt m E e z XO Xrl x gt m k 1 kzi D une part vu la premi re partie et que 0 E X1 E Xi lix lt m tE X l x gt m 1 i z X Xrlyxeml gt n E X lixu E X xm k 1 p s en restant born par M et donc aussi dans Lt D autre part IK ie edz X Xklix gt m EI XO Xilgxlm lt E Xillgxi gt m k 1 a D o
4. f i Sn lim sup e z lt E Xiljxjmp E Xillixjmy lt 2 Xi lix m n Mais cette derni re quantit est arbitrairement petite puisque E X 1 x 1 gt m3 0 lorsque M Lebesgue Sn ii Supposons que n 1 Sn 1 HE 0 p s Ceci implique que P limsup X gt n 0 et donc prop 4 1 2 que D P IXn gt n lt oo On a alors lem 6 4 2 converge p s Donc cor 6 2 2 En gt n C p s et Xn Sa R X lt 1 YO P X gt n 1 9 P Xal gt n lt 00 o n n Remarque 1 Tradtionnellement le th 6 4 1 s appelle la loi forte des grands nombres On r serve le nom de loi faible des grands nombres la convergence en probabilit de Sn n vers E X1 qui est videmment une cons quence de la loi forte Remarque 2 Soit u une probabilit sur un espace mesurable E E Le tirage d une suite de points de selon u peut se repr senter par une suite de v a ind pendantes 77 de loi u Soit Les v a 14 X1 14 X2 14 X sont ind pendantes de m me loi d esp rance u A On a donc p s nombre de k lt n tels que Xy A A 1 n A im 2 140 im On retrouve l la justification fr quentielle de la notion de probabilit s Remarque 2 En raisonnant composante par composante le th 6 4 1 se g n ralise imm diatement aux v a valeurs R 6 4 2 Nombres au hasard On revient sur la question pos e en 4 8 1
5. k 1 k 1 k 1 k 1 6 3 3 On peut maintenant tablir le r sultat principal Th or me 6 3 3 Soit X1 X une suite de v a r elles ind pendantes de carr int grable Si les s ries X E Xn et X Var Xn convergent Sn converge p s et dans L Preuve Supposons d abord les X centr es Appliquant la prop 6 3 2 la suite Xm 1 Xmtk ON 1 m n 2 x 2 Bimar Sm k Sm gt P max DES gt p D2 XZ p T E X2 m On en d duit 1 P sup Sm k Sm gt p lim P max X Smte Sml gt pP lt XO E X gt m 0 k gt 1 00 1 lt k TEA Donc prop 6 1 5 Sn converge p s et aussi prop 6 3 1 dans L Pour le cas g n ral il suffit d utiliser 6 1 Remarque On peut se demander si le th 6 3 3 admet une r ciproque Sans hy poth se suppl mentaire il n en est rien En effet soit X1 X une suite de 74 Convergence des suites de variables al atoires v a r ind pendantes telles que P X an pn P Xn an pn et P Xn 0 1 2p avec an gt 0 0 lt Pn lt 1 On a D P Xn 0 2 Pn Donc si X Pn lt 0 d apr s Borel Cantelli p s Xn 0 partir d un certain rang et Sn gt Xk converge p s alors qu on peut avoir DE X2 25 pna oo prendre par exemple pn n7 et a n Pour plus de pr cisions voir 6 5 6 3 4 On s int resse maintenant la convergence de
6. Il s agit la vue du point x tir selon Py 0 inconnu de d cider si 0 Ho ou non Cela s appelle tester hypoth se Ho contre l hypoth se H1 Un test de Ho contre H est donc un sous ensemble W de appel r gion critique 112 Notions de statistique ou r gion de rejet Si le point tir x appartient W on rejette l hypoth se A5 si x W on l accepte Il y a deux types d erreur i Si 0 Ho Pa W repr sente la probabilit de rejeter tort Ho c est l erreur de premi re esp ce Si 0 H Po W 1 Py W repr sente la probabilit d accepter tort Ho c est l erreur de deuxi me esp ce Dans la th orie classique des tests on fixe un seuil maximum l erreur de premi re esp ce savoir 0 1 0 05 0 01 ce qui conduit la d finition D finition 8 4 1 Soit W la r gion critique d un test de Ho contre H La quantit a a W sup Po W 8 16 0H s appelle le niveau du test La fonction de H dans 0 1 0 Py W s appelle la fonction puissance du test Le niveau tant fix il s agit de trouver des r gions W telles que pour 0 Hi P W soit le plus grand possible Comme en estimation il est quasiment impossible de trouver un test optimal si on ne restreint pas la classe consid r e D finition 8 4 2 Soit W la r gion critique d un test de Ho contre H On dit que le test est sans biais au seuil a s il est de niveau inf rieur ou
7. n gt 0 n gt 0 n gt 0 On conclut facilement On peut continuer et si E X lt 00 p N gP 1 E X X 1 X p 1 Supposons E X lt 00 Alors Var X E X E X E X X 1 E X E X g 1 9 1 lg 0 Le lecteur est invit calculer l esp rance et la variance des lois binomiale et de Poisson par cette m thode Consid rons la loi g om trique G a 2 3 1 On a a 2a a tan g 1 E X g 1 Ten Var X 1 a g s l as l a 2 3 3 Somme de v a ind pendantes 22 Espace de probabilit discret Proposition 2 3 4 Soient X et Y deux v a valeurs N ind pendantes On a pour tout s 0 1 Ix y s 9x s Jy s Preuve On a utilisant le th 2 2 4 Ixy 8 E s TY E s 8 E s E s gx 8 gy 8 Exemples i Soient X et Y deux v a ind pendantes de loi P A et P u On a s e s 1 et s 1 Q A u s 1 Jx y et donc prop 2 3 2 X Y P A n ii Soient A1 An des v nements ind pendants de m me probabilit p P Ax Soient Sn 14 14 le nombre d v nements r alis s g la fonction g n ratrice commune de 14 et gn la fonction g n ratrice de Sn On a g s E s14 14e ps 1 p Donc gn s g s ps
8. J une partition de I on a Der jeg D er Gi iii Si bi i IT est une autre famille sommable de nombres complexes et si a B C la famille aa Bb i I est sommable et X aa Bbi a Qi DD bi icl icl icl Preuve On pose pour a R a max a 0 a max a 0 On a a a t a7 et a a a Pour a C on a a R a iS a Alors pour tout i I PR lt Jail Ra lt lail SC lt Jail Sla lt lail Ecrivant nN n n n S X Ras X Ras i D Sla id Saw k 0 k 0 k 0 k 0 on est ramen au cas positif 2 2 Espace de probabilit discret 2 2 1 Probabilit sur d nombrable Soit un ensemble d nombrable Une prob abilit sur E est une famille p a a E de r els v rifiant 0 lt pla gt pla acE On pose alors pour C E P A aca pla P est une application de P E dans 0 1 v rifiant P E 1 P A U B P A P B si AN B prop 2 1 3 et P A T P A si An T A prop 2 1 2 Ceci implique que P A est o additive i e que pour toute famille An n N de sous ensembles de Q deux deux disjoints on P UA D P An En effet N P UAh lim w P U An lim w gt P An XO P An 0 R ciproquement si une application de P E dans 0 1 A gt P A v rifie P E 1 et est o additive on a posant p a P a 0 lt pla lt 1 et gt epp a 1 Ici encore on appellera probabilit
9. Preuve Comme toujours on peut supposer E X 0 Soit V Im K X Si dim V d il n y a rien montrer Supposons dim V r lt d Il existe a1 aq r Ker X tels que x V ssi ax 0 k 1 d r pour voir cela il suffit de se placer dans une base o K X est diagonale On a alors vu la prop 4 5 4 E aiX Var aiX K a X ai K X ay 0 d o af X 0 p s et X V p s 4 6 Calcul de lois Soit X une v a valeurs R Une probabilit u sur R est la loi de X ssi pour toute f B RI E f X J f du soit encore compte tenu de la prop 3 5 4 et du cor 3 5 6 ssi pour toute f positive de CZ E f X fton 4 21 4 6 1 Commen ons par deux exemples l mentaires Exemple 1 Soit X une v a r de densit loi de Cauchy q x EN On pose Y e Quelle est la loi de Y Soit f Or arbitraire on a posant y e F E e a e7 o dr Z n dy FOYN E F D J res FO Go Donc 4 21 Y a pour densit O0 LRH y Exemple 2 Soit X une v a r de densit N1 0 1 On pose Z X Quelle est la loi de Z De m me pour f or arbitraire F E mol T aae A Z EU T fael du L application x x n tant pas une bijection de R sur R on ne peut pas poser brutalement z x mais on a 00 3 oo z D E E f eaf or Vz Donc 4 21 Z a
10. 1 J F 1 2 du2 x2 est B mesurable et rot f f x1 2 d x1 est B2 mesurable 33 Th or me 3 5 1 Soient E1 B1 p1 et E2 B2 12 deux espaces mesur s avec u et u2 o finies Il existe une unique mesure sur B1 Q B2 not e 1 Q u2 et appel e mesure produit de u1 et u2 telle que pour tous A1 B1 A2 B2 lu Q Ai X A2 u lA u A2 De plus pour toute f B1 8 B2 I f din pe i f f 22 dpa 21 du2 22 Fi f FC 22 dpa 22 dua 21 Preuve i Unicit On applique la prop 3 2 2 C A A A x 4 A B A2 B2 A1 lt 0 u A2 lt 00 i Existence On applique la prop 3 4 1 D f SIS f 1 2 d x1 dua x2 ce qui donne existence Mais on peut aussi appliquer la prop 3 4 1 D f SIUS f x1 2 duo x2 du z1 et vu lunicit on a F D F Si f LE u2 on peut appliquer le th or me pr c dent R f IR S f T et S f et l on obtient le th or me de Fubini Th or me 3 5 2 Soit f L amp u Q u2 Alors f x1 x2 du2 xo lt oo m p p f f 1 2 du x1 lt u2 p p et posant di x1 f f x1 x2 dua xo olx f f 1 2 dui z1 di Lu po L u2 et J ram ou J olea du2 2 f nedam 3 5 2 Tout ceci s tend sans trop de peine au cas de n espaces mesurables Il y a quelques v rifications fastidieuses faire du type u1 8 u2 Q u3 ua 8 u2 8 u3 De plus dans la formule d
11. 9 1 1 lorsque s 1 Sur 0 1 la fonction g s est convexe et strictement convexe si qo gi lt 1 De plus la s rie enti re X qns a un rayon de convergence R gt 1 Donc g s est ind finiment d rivable sur 0 Ha 1 et aN s a D nnsS g i s D n gt 2 n n 1 qns Enfin nlqh g 0 d o Proposition 2 3 2 La fonction g n ratrice g d termine la loi de X En fait Exemples 21 a Loi binomiale B n p On a s X P X k s X Chp s 1 p ps 1 p k k 0 b Loi de Poisson P A On a k AE ok A s 1 s y P X k s e gt m e s k c Loi g om trique G a On a SO P X s Ya ajat st g k 2 3 2 Calcul des moments Rappelons 2 2 4 que E X lt 00 implique E X1 lt oo pour tout q lt p Proposition 2 3 3 i E X lt oo ssi g est d rivable gauche en 1 et dans ce cas on a E X g 1 ii E X lt o ssi g est deux fois d rivable gauche en 1 et dans ce cas on a E X X 1 g 1 Preuve i On a utilisant la prop 2 1 2 lorsque s 1 D D 1 8 t D nn E X n gt 0 n gt 0 n gt 0 et le r sultat cherch ii On remarque d abord que si E X lt 00 E X lt 00 et g 1 lt 00 Alors lorsque s 1 LS Eng Ena 1 87 1 n n 1 an E X X 1
12. On a donc lim sup An w w pour une infinit de n 5 14 00 et Liimsup A lim sup 14 ce qui justifie la d nomination Proposition 4 1 2 Soit An n gt 0 une suite d v nements i Si D P An lt 00 P limsup An ii Si les A sont ind pendants et si 3 P A 00 P lim sup An 1 Preuve i On a P limsup An lim n P Ur gt nAx lt lim gt D P A 0 k n Vu l in galit 1 u lt e et l ind pendance des Af on a m m P Ok nAk r P A C P Ax lt exp 2 P 40 k n donc P NZ A lim m P O 4 0 si XO P An Passant au compl mentaire on a P UX 4x 1 et P limsup An 1 4 2 Variables al atoires 4 2 1 Soient Q A P un espace de probabilit et E un espace mesurable D finition 4 2 1 On appelle variable al atoire en abr g v a valeurs E E toute application mesurable de Q A dans E Si E est d nombrable et P E on parle de v a discr te si E R et B R t on parle de v a positive si E R et B R on parle de v a r elle v a r si E Rd et B R on parle de v a vectorielle si E C et B C on parle de v a complexe 4 2 2 Loi d une v a Soient X une v a valeurs E E et IT Rappelons qu on note X eT w X w r X7 T 39 On pose alors ux T P X El TEE 4 1 Evidemment u T lt 1 et
13. Preuve Soit A F X avec P A gt 0 On pose Q B ETa Q est une probabilit sur F X Si B F X B et A sont ind pendants puisque A F 1 X On a donc P B Q B pour tout B C Un gt 1Fn X Cette classe tant stable par intersection finie et engendrant F X on a cor 3 2 3 P B Q B pour tout B F X et en particulier pour B A Donc P A Q A 1 Soit F t P Y lt t Par hypoth se Y lt t F X et donc F t 0 ou 1 ce qui implique qu il existe a R tel que F t 1ja oof t et donc Y a p s o BE Fo X Corollaire 6 2 2 Soit X1 Xh une suite de v a r elles ind pendantes Alors i X Xn converge p s ou diverge p s ii si bn est une suite de r els tendant vers 00 Xi Xn diverge p s ou converge vers une constante p s Preuve On a vu que 5 Xn converge F X d o i De m me A A Xn converge F X donc P A 0 ou 1 Supposons que P A 1 Soit Z limp X Xn Vu que bn n 0 on a aussi pour tout p Z limn Xp Xn et donc Z F X d o Z constante p s 6 3 Somme de v a ind pendantes Soit X1 Xn une suite de v a r elles de carr int grable On pose Sn X1 Xn et Yn Xn E Xn On a alors Sn Yr E xx 6 1 k 1 k 1 et E Yx 0 E Y Var Y Var X Donc pour tudier la convergence de Sp il suffit pour l essentiel de s int resser au cas
14. chercher pour tout x X pour quelle s valeur s 4 L x 0 ou ce qui revient au m me 0 log L x 0 est maximum Si est un ouvert de Rf si L x 0 0 lorsque 0 tend vers le bord de et si L est d rivable en 0 ces valeurs sont chercher parmi les solutions de log L x 0 1 d 1 gg 8L 0 0 1 d 8 13 108 Notions de statistique L quation 8 13 s appelle l quation de vraisemblance Pour un chantillon de taille finie il est difficile de justifier cette m thode Par contre pour un chantillon de taille infinie X1 X et sous des hypoth ses relativement g n rales il existe une suite Tn consistante voir 8 2 5 d estimateurs de 0 Tn tant un e m v associ au n chantillon X1 X 8 2 8 Exemples i Soit X1 X un n chantillon de la loi sur R de densit 0e 0 gt 0 inconnu Prenant u A A mesure de Lebesgue sur R7 on a L x 0 L z1 n 0 pre 0i 2n et posant T t x ss n Alors log L x 0 nx 0 pour 0 1 7 Vu que L x 0 0 lorsque 0 0 et 0 00 cette valeur correspond un maximum est 1 7 est l e m v de 8 ii Soit X1 X un n chantillon de Ni m o 0 m o inconnu On a n n Le log L x 0 log L z1 n 0 log 2r 3 log o 362 2 2s m 2 On en d duit on consid re a comme une variable n 1 9m 108 L x 8 TA o n 1 2 302 108 L x 6
15. d une loir Il inconnue et on veut tester Ho m p contre H m p Posant X 12 8 18 k l Pearson a propos un test partir des fr quences iN d observation des points j j 1 r qui repose sur A Proposition 8 4 7 Soit Xn n gt 1 une suite de v a ind pendantes valeurs E de m me loi n On pose T 1 y Ni np 5 Sa p 8 19 j 1 i Sir p Tn converge en loi vers X _ ii Si n p Tn converge p s vers 00 Preuve i Supposons 7 p On a DL E Ur re pi CO 115 Les vecteurs al atoires U1 Uh sont ind pendants de m me loi avec E U 0 et un calcul facile montre que K U1 I aa a Vp spi Le th 7 3 1 implique que 5 Up converge en loi vers N 0 I aa Alors Jn 2k 1 prop 7 2 3 Tna Un converge en loi vers Y o Y N 0 1 aa Vu que a 1 il existe une matrice A orthogonale r x r telle que Aa 0 01 T et posons Z AY Ona REPARER TESA E To et Y Z x2 4 ii Supposons 7 p D apr s la loi des grands nombres N f Pj gt n Tj pj qui est 0 pour au moins un j et Tn gt n 00 p s Consid rons maintenant la r gion critique Wn Tn gt c o c c a est tel que P X gt c a X x2 On a vu les prop 8 4 7 et 7 2 4 P Wn gt n a et pour T p Pr Wn n 1 On a construit un test consistant de niveau asymptotique a def 8 4 4 de
16. du s dt b f fines lt Uni lt b t duls dit ist lt 0 lt saute dt _ 2p 13 p lt 3 f fis DKE duts dt EER 7 4 3 Il reste montrer 7 5 On a les in galit s classiques suivantes pour x gt 0 x gt x 1 x pour z lt 0 d x gt z P x En effet pour x gt 0 on a d river 7 a De 7 dt gt 1 x T Par sym trie on obtient le cas x lt 0 On suppose b gt 0 Le cas b lt 0 se traite de fa on analogue mais on voit facilement rempla ant U par U qu il suffit de montrer 7 1 pour x gt 0 On remarque d abors que b B 1 x b p z la i On suppose x gt b Alors f x Do EEE 1 do 1 lt f x lt 0 pour x gt b falx pour x lt b falx 96 Convergence en loi ii On suppose 0 lt x lt b Alors f x 1 b Da b d o 0 lt filz lt gtx 1 b FE G x lt 1 D b G x lt 1 iii On suppose x lt 0 lt b Alors f x 1 D b 1 zE 1 b lt 1 d o 0 lt f x lt Le calcul pr cedent montre que f x atteint son maximum en b On a donc 0 lt f x lt SOGO lt 1 En effet FOIE lt 20 lt 1 si b gt bo avec bo lt 0 8 amp b 1 b et pour 0 lt b lt bo 5 S pO lt HE lt HG EL 7 5 Compl ment comportement asymptotique de la m diane empirique La lecture de cette section suppose que l on a lu l
17. 1 ic IA itz a CT ma iac i itza CT pa 1 ia x a PT PR e a e a d o y t 1 puisque 0 1 Noter que pour a N on prend la d termination continue valant 1 en 0 Si X G a c et Y G b c X Y ind pendantes alors X Y G a b c En particulier si X1 Xn sont des v a ind pendantes de m me densit Xe lg et donc de loi G 1 A Sn X1 X G n et a pour densit eoe 2 lie 66 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens e Loi normale MNi m o Si Y N1 0 1 t e 2 lem 5 1 4 Soit X m o alors X Ni m o et E e e E et Y d o la formule 1 x t explitm zo P X Ni m o 5 8 On en d duit imm diatement Proposition 5 2 7 Si X Ni m o et Y Nil o X Y ind pendantes alors X Y N m l o p f Loi de Laplace C est la loi d une v a X de densit q x eTl On a L Pr Se E 1 1 sit LTY eah 1 g e e d f e datif e dx g Loi de Cauchy de param tre 0 C est la loi d une v a X de densit q x Co Vu que ce L on a d apr s f et le th 5 2 2 ii TE iaa a 1 1 itx pe x dt 27 J 1 2 On en d duit Le A Ti dt el t jT r x 6 T Je eni x 5 3 Vecteurs gaussiens 5 3 1 On dit qu une probabilit u sur R est gaussienne si elle a pour densit 4 13 ou si u m Il est normal d adjoindre les mesures de Dirac aux
18. 6 5 et Y1 n une suite de v a r ind pendantes de loi v d finies sur Q A P On pose En Y Yn On v rifie facilement que notant E Z pour f Z dP E Y1 lt 00 et que E Y1 frw 7t o fror du x G o q 82 Convergence des suites de variables al atoires D autre part pour toute f BT R E f 5 l fn due dulan p o f t1 m e it g a du xn X0 E f En e 2 On en d duit que pour tout 0 l Sn Sn LL R 0 n PAT al lt 6 gt PU al lt p h E pen _ajce e EE n D o Ao e nado Ge A gt A Ne EP al lt D o Lien a lt 6 gt a o G 0 0 log P a lt n n n n et puisque a o G Ao I a et que P 2 a lt gt n 1 loi des grands nombres 1 n iani eh e eaa aae n n n Ce qui tablit la proposition dans ce cas ii On suppose qu il existe Ag E Ag 00 tels que Z a limk Axa G Ap On a alors e710 Jim ee a lim f eo du x k k Puisque f_o 60 dule gt r 0 fia so dula x e77 9 ce qui implique vu que e 4 F 00 sur Ja 00 que u a oo 0 et donc que e 4 u a Alors Sh n nI a PAL al lt 8 gt PX Xn a alfaj O et la minoration cherch e Supposo
19. 9 Qi Tn Politis X ee k EN zil Ln Puisque Ey X1 0 X ne X est un e s b de 4 Soit U U x1 n k N telle que Eg U 0 On a alors pour tout 8 gt 0 OELH FEn T1 En TL1 Tn D rivant 8 7 en 0 on a pour tout 6 OTL1H HEn gt U x1 En 1 n ad 0 Tl Un soit encore Eg UX 0 On applique la prop 8 2 4 et X est un e s b v m de 6 ii Soit X1 Xn un n chantillon de la loi normale N1 m o 0 m a inconnu On veut estimer m et a On sait que la densit de X1 Xn est 1 n qolT1 En 270 2 exp 573 xx m k 1 105 Posant z3 1 n 2 2 Tk S0 Lk XL 0 n l k ki k 1 k 1 si 1 ET DRE on a puisque lem 8 1 6 Pz k m Pg k T n x m dela 20 P exp p n 156 no E m Soit U U x1 2n telle que Eg U 0 Alors pour tous m p Ju Zn exp p n 1 s np T m dei d n 0 8 8 D rivant 8 8 en m on a pour tous tous m p Ju Tn f m exp p n 1 58 np T m dr1 dxn 0 8 9 Soit encore Eg U X m 0 et vu que Eg U 0 Eg UX 0 Comme X est un e s b de m la prop 8 2 4 implique que c est un e s b v m D rivant 8 9 en m on a pour tous tous m p
20. C et lAl k P A TO n ng EOE n Posant p n1 n on obtient P X k Chpt p k 0 1 r P X k 0sik gt r 1 7 Cette loi s appelle la loi binomiale car 1 gt o P X k n est rien d autre que la formule du bin me 37524 CEP 1 p p 1 p 1 Evidemment si n et n2 sont tr s grands par rapport r le fait de tirer sans remise ou avec remise modifie peu le r sultat et dans ce cas la loi binomiale est une bonne approximation de la loi hyperg om trique C est ce que montre le calcul suivant o k r sont fixes et o n1 no 00 avec n1 n p Alors Ok La _ rin ni 1 ni k 1 na n2 1 n2 r k 1 cr nfn 1 n r 1 kl r k ning n Nip Se ASU TAS Ta 1 2 6 G n ralisation On suppose maintenant que S S1 U S2 U U Sm avec les S deux deux disjoints S nj n n nm On appelle l ments de type j les l ments de S j 1 m On tire sans remise resp avec remise r l ments de S r lt n dans le premier cas et soit X le nombre d l ments de type j obtenus On veut calculer P X1 k1 Xm km k km r ona a Tirage sans remise ca km aG PCA kis Xm km Vi ki lt nj ki km r 0 sinon n Nj b Tirage avec remise On pose p 7 Alors r k Un e k km r 0 sinon Rm POG En Xm km pe 11 Si m 2 il s agit des formules pr c
21. Hn 0 1 1 et u 0 1 0 et donc en ce sens Hn ne converge pas vers u C est pourquoi on introduit la notion de convergence troite 7 1 1 D finition D finition 7 1 1 Soient un u E Mi On dit que un converge troitement vers u si pour toute f Co f dun gt n J fdp Un crit re tr s utile est le suivant Rappelons que H C Co est total si e v H est dense dans Co pour la norme f sup f x Proposition 7 1 2 Soient un M Si pour toute f H H total dans Co f f din gt n f fdu Un converge troitement vers pm Preuve Montrons d abord que pour toute f Co f f dun gt n f fdu Soit V e v H On a V Co et pour toute g V f gdun f gdu Soient f Co et g V on a Fam f fan Fam f adunt 1 f odum odui 1 fodun ffan alf gll adm f odul IA IA On a donc limsup f f dun f fdu lt 2 f g Cette derni re quantit tant arbitrairement petite f f dun gt f f du 86 Convergence en loi Ceci fait on a pour f E Cp et gE Ck O0 lt g lt 1 Edun f au lt 1 f fau f fodunl l f fodun f toant f fodau f fanl SIAI Jadun 1 f fodun f fodit la f oan On a donc lim sup f f dun f f du lt 2 fI 1 f g du Vu qu il existe gn Cp 0 lt gn lt 1 tels que gn 1 et qu alors f gn du f 1du 1 1 f gdu est arbitrairement petit et f f dun gt n f f du Ceci montre que y converge troitement vers p
22. Tn P X D1 P X Dn 2 12 Enfin il r sulte du th 2 2 4 que si X1 X2 Xn sont ind pendantes i il en est de m me Y g X1 Yn J9n Xn O g Ei gt Fi 20 Espace de probabilit discret ii il en est de m me de X 11 X n pour toute permutation r 1 r n de A 1 n yarei iii il en est de m me pour tous 1 lt m1 lt lt Mp n de Y1 Yp o Yi Xi lt Xi Y2 Xmi 1 3 Xma 3 Yp Xmp 1 1 lt 3 Xn Par exemple si X1 X2 X3 X4 sont des variables al atoires r elles ind pendantes il en est de m me de X1 X3 X2 X4 de Y X1 X3 et Y X2 X4 et de U cos X X2 et Ua eX2X4 Exemple Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs N de lois P A et P u Cherchons la loi de S X Y On a k k PS A hA PA EY Ek P k j k k Al ui 1 ED X H 4 u X J k j _ u e E A e a a C Aiu j e D j 0 Donc S P A y 2 3 Fonctions g n ratrices Dans cette section on ne consid re que des v a valeurs N 2 3 1 D finition Soit X une telle v a Notons d abord que vu le th 2 2 1 on a pour tout s gt 0 Xo P X n s E s avec la convention s 1 si s 0 D finition 2 3 1 On appelle fonction g n ratrice de X la fonction g s 9x 5 5ra E s 0 lt s lt 1 On pose qn P X n On a g 0 qo gx 1 1 et vu la prop 2 12 gx s
23. Universit Pierre et Marie Curie Licence de Math matiques 3 ann e Ann e 2004 2005 Probabilit s Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopi est destin aux tudiants de la Licence 3 me ann e de Math matiques de l Universit Pierre et Marie Curie En principe ces tudiants ont d ja suivi un cours de th orie de la mesure et d int gration Nous commen ons par l tude des probabilit s sur les ensembles finis chapitre 1 puis sur les ensembles d nombrables chapitre 2 avant de pr senter chapitre 3 les r sultats d int gration utilis s par la suite Le chapitre 4 introduit les principales notions de probabilit s dans leur cadre g n ral Le chapitre 5 traite des fonctions caract ristiques et des vecteurs gaussiens Les th or mes limites sont abord s dans les chapitres 6 avec en particulier la loi des grands nombres et 7 avec en particulier la convergence en loi vers la loi normale Enfin le chapitre 8 pr sente quelques notions de statistique Les compl ments situ s la fin de certains chapitres ne sont pas au programme de lexamen Ce polycopi est divis en chapitres sections et sous sections Ainsi 3 2 4 renvoie au chapitre 3 section 2 sous section 4 et 5 4 renvoie chapitre 5 section 4 A l int rieur d une m me section les nonc s sont num rot s en continu Ainsi d apr s le th 5 4 6 renvoie au chapitre 5 section 4 nonc 6 Quant aux galit s elles so
24. ion gg 2 Ame M Alors log L x 0 g log L x 0 0 a pour solution n n zer l 1 1 m y ar M p T n n n k 1 k 1 k 1 On v rifie que ces valeurs correspondent bien un maximum L e m v de m a est donc X 82 o 82 15 Xp X 2 Noter que 82 282 n est pas sans biais 8 3 Intervalle de confiance On consid re un mod le statistique X A Ps gce et une application mesurable f de dans R Plut t que d estimer f 0 par un nombre T x qui est probablement voisin de f 0 mais pratiquement jamais gal f 0 on peut envisager de r pondre 109 f 0 I x I x tant un intervalle d pendant du point tir x et de pr ciser cette r ponse en disant que f 0 I x avec une probabilit au moins gale 0 9 ou 8 3 1 Ceci conduit D finition 8 3 1 On appelle intervalle de confiance de niveau 1 a pour f 0 une famille d intervalles I x x X telles que pour tout 0 Po f 8 I X gt 1 0 Evidemment une deuxi me notion intervient pour juger de la qualit d un inter valle de confiance savoir sa longueur et plus on voudra a petit plus l intervalle sera long 8 3 2 Fonction pivotale On pr sente un proc d relativement g n ral pour construire des intervalles de confiance On appellera fonction pivotale monotone une application mesurable g x u de x R dans R telle que i pour tout 0 O la v a g X f 0
25. m 2 6 La variance donne une id e de l cart de X par rapport sa moyenne m comme le montre Proposition 2 2 2 In galit de Bienaym Tchebychev On suppose que E X lt oo et soit m E X Alors pour tout gt 0 1 P LX m gt lt za Var x Preuve On a Var X E X m X X w m plu gt J X w m p w wen wE X m gt A gt X p w XP IX m 2 gt o wE X m ZA 2 2 5 Lois usuelles Loi binomiale On l a d j rencontr en 1 7 Soit n N C est la loi d une v a valeurs 0 1 n telle que P X k C pf i p k 0 1 n 0 lt p lt 1 2 7 Elle est appel e loi binomiale de param tre n p et not e B n p On crit X B n p En particulier si X B 1 p on dit que X est une v a de Bernoulli Calculons la moyenne et la variance de X B n p D une part 2 n k T HWE Y PSSA O p MD pi 1 1 p k 1 i k gt 0 np X Cip lp np p 1 p np 18 Espace de probabilit discret D autre part AXE SPP k k 1 CF p 1 p E 3 kP X k k gt 0 k 2 k 1 n n 1 p 2 E PT p 1 p pn n 2 n n 1 p i 0 On a alors Var X n n 1 p pn np np 1 p Supposons que k soit fixe et que n 00 avec p p n tel que np n Alors vu que log 1 p n nlog 1 p n np n X on a
26. normale loi 4 3 1 pivotale fonction 8 3 2 Poisson loi de 2 2 5 presque partout 3 2 2 presque s rement 3 2 2 4 1 1 probabilit 3 2 1 puissance fonction 8 4 1 Radon Nikodym th or me de 3 4 2 r gion critique 8 4 1 rejet m thode de 4 8 4 r partition fonction de 4 3 2 r partition empirique 8 1 1 r partition empirique fonction de 8 1 2 risque quadratique 8 2 1 sans biais estimateur 8 2 1 sans biais test 8 4 1 Schwarz in galit de 3 3 5 sommation par paquets 2 1 5 sous population 1 2 3 statistique 8 1 4 Stone Weierstrass th or me de 3 5 5 Student loi de 8 4 3 test 8 4 1 totale partie 3 5 5 transform e de Fourier 5 1 2 tribu 3 1 1 tribu asymptotique 6 2 1 tribu engendr e 3 1 1 3 1 6 uniforme loi 4 3 1 variable al atoire 4 2 1 variance 2 2 4 4 2 4 variance empirique 8 1 3 vecteur al atoire 4 5 2 vecteur gaussien 5 3 1 vraisemblance fonction de 8 2 7 vraisemblance quation de 8 2 7
27. 1 p et prop 2 3 2 Sn B n p 2 3 4 Crit re d ind pendance Soient X et Y deux v a valeurs N On d finit pour u v 0 1 G y MA m Y u a 2 13 m n Jix y Toujours avec la convention 0 1 Alors Ixy s appelle la fonction g n ratrice du couple X Y Proposition 2 3 5 Les v a valeurs N X et Y sont ind pendantes ssi pour tous u v 0 1 Iex y uv 9x u gy v 2 14 Preuve Si X et Y sont ind pendantes 2 14 r sulte du th 2 2 4 R ciproquement 2 14 s crit IPX m Y n u u SO P X m u SPY SU mn Appliquant De 0 0 aux deux membres on obtient que pour tous m n P X m Y n P X m P Y n i e l ind pendance de X et Y o La prop 2 3 5 s tend facilement au cas de n v a Chapitre 3 Mesure Int gration Dans ce chapitre on rappelle les r sultats de la th orie de la mesure et de l int gration qui seront utilis s par la suite 3 1 Tribus 3 1 1 Soient E un ensemble et B C P E On dit que B est une alg bre resp une tribu si B si B est stable par passage au compl mentaire et par r union et intersection finies resp d nombrables Un couple E B B tribu sur E s appelle un espace mesurable S il est souvent possible de d crire les l ments d une alg bre il n en est pas de m me pour ceux d une tribu On remarque que P E est une tribu et que l intersection d une fa
28. 1 t tels que F t1 F t2 u et B 0 1 A Noter que est d nombrable et que pour tout u B y lt Fl u F y lt u et y gt Ftu F y gt u On en d duit que pour tout u B Fy u gt n F u En effet soient u B et y C F tels que y gt F l u on a F y gt u et aussi th 7 2 10 pour n assez grand Fa y gt uet y gt Fz u ce qui implique C F tant dense limsup Fy u lt Fl u Consid rant y C F tel que y lt Flu on a par un argument sym trique que liminf F l u gt Flu D o lim F u Flu si u B On consid re alors l espace de probabilit 0 1 B 0 1 mesure de Lebesgue et soit U la v a U u u On pose Yp F7 U Yx FU D apr s la prop 4 3 2 Yn et Xn ont m me loi et pour tout u B Ya u Fzt u gt n Yolu Fl u et comme A B 1 Yn gt n Yo p s 7 2 6 Th or me de Levy S il est souvent facile de montrer que t gt n o t il est plus d licat de montrer que t est une fonction caract ristique De plus ce n est pas toujours vrai Donnons un exemple Soit X une suite de v a r de loi uniforme sur n n On a 4 0 1 et pour t 0 N e J e E 2N J_ nt Donc t gt n 1 0 t qui n est pas une fonction caract ristique puisque pas con tinue en 0 En fait pour f C4 il est imm diat que f fdux n 0 et uy converge en un sens affaiblie vers 0 La r ponse ce probl me est
29. Il y a deus exemples particuli rement int ressants d ensemble total dans Co savoir l espace C cor 3 5 6 et la famille g x a o gt 0 a Rd lem 5 1 3 7 1 2 L exemple introductif montre que un peut converger troitement vers u sans que un A converge vers u A La question est de savoir pour quels ensembles on a RE oO cette convergence On note 0 A A A la fronti re topologique de i e la fermeture moins l int rieur Proposition 7 1 3 Soient un M On suppose que un converge troitement vers u Alors pour tout A B R tel que OA 0 n A gt u A Preuve Il existe f 9 CF telles que gp 1x fp Le alors f g du u A et Jp du T A D o vu l hypoth se gp fp du gt p 0 Soit gt 0 Il existe donc f g Cp telles que f lt 14 lt g et f g f du lt On a alors ftom J adu lt mA uA lt f odum ffau d o lim sup Un 4 u A lt f g f du lt Ceci montre que un A u A o 7 1 3 On a enfin le r sultat tr s important suivant Th or me 7 1 4 Soient un u Mi La suite un converge troitement vers u ssi pour tout t R An t gt n A t Preuve La condition est videmment n cessaire puisque f t et Cy R ciproquement d apr s 5 5 et le th or me de Lebesgue T go a dun 27 f g atje lt gt in t dt pn 2r f alone ato dt IEC a du Puisque H g x a
30. Ja b F b F a Il est facile de d crire l alg bre engendr e par C on a A A UE l ag bk oo lt a1 lt bi lt a2 lt lt bn 1 lt an lt bn lt 00 27 en convenant que si bn 00 lan bn an oo On d finit u sur A par u A DE F bk Fax o F 00 limg gt o F x F co lims_ _ F x Il est facile de montrer que u est additive sur un peu plus d licat de montrer que y est o additive sur mais cela se fait On a donc construit une mesure u sur telle que u la b F b F a Pour passer B R on utilise le th or me de Carath odory Th or me 3 2 4 Soit u une mesure sur une alg bre alors u se prolonge en une mesure sur o A De plus si u est o finie ce prolongement est unique Tout ceci donne puisque dans notre cas o A B R Th or me 3 2 5 Soit F une application de R dans R continue droite et croissante Il existe une et une seule mesure u sur B R telle que pour tous a lt b la b F b F a Si on choisit F x x on obtient l existence et l unicit d une mesure sur B R v rifiant pour tout intervalle 7 A T I C est la mesure de Lebesgue sur R Si N est la classe des ensembles n gligeables B R o B N s appelle la tribu des ensembles Lebesgue mesurables elle est beaucoup plus grosse que B R et se prolonge sans peine B R comme en 3 2 2 3 3 Int gration Soit E B u un
31. Ju Zn 1 2np F m exp p n 1 s np T m dz dEn 0 d o Eg 1 2np X m U 0 et Eo X m U 0 D rivant 8 8 en p on a pour tous tous m p Joan 088 n 5 m0 exp p n 1 s np 7 m dx dr 0 i e Ee U n 1 s n X m 0 o 5 Pga Xr X On a vu que Eg X m U 0 on a donc Eg Us 0 On sait 8 1 2 que s est un e s b de o c est donc un e s b v m prop 8 2 4 8 2 5 Consistance Soit X A Ps oce un mod le statistique D finition 8 2 5 Une suite Tn d estimateurs de f 0 est dite consistante si pour tout 0 O Ty gt n f 0 Po p s Il est clair que cette d finition a un sens si f est valeurs R et alors 7 est une suite d applications de dans R Elle est surtout utile pour un mod le statistique associ voir la def 8 1 8 un chantillon de taille infinie X1 Xn d une loi uo et des estimateurs Tn de la forme Tn n X1 Xn Par exemple si u est une loi sur R admettant un moment d ordre 2 Xn et Sn sont des estimateurs consistants de la moyenne et la variance de y 106 Notions de statistique 8 2 6 M thode des moments Soient ug 0 une famille de probabilit s sur RA X Po oco le mod le statistique associ un chantillon de taille infinie de po def 8 1 8 et f R On veut estimer f 0
32. M lt i e Mn gt n ps 97 Th or me 7 5 2 On suppose que u a une densit p x qu il existe un unique tel que F X que p est continue en et que p X gt 0 Alors Zn V2n 1 Mn converge en loi vers N 0 0 Preuve Nous allons montrer que la densit g u de Zn converge vers celle de N 0 7705 uniform ment sur tout compact ce qui montrera le th or me vu la prop 7 2 2 en choisissant H Ck D apr s 4 33 la densit de M est ne Drap FC Un changement de variable montre que celle de Z est u V 2n D 2n 1 1 u u an E TTT balu 4FA A F X Ze Utilisant la formule de Stirling n 7 V27n on voit que ay gt n V2 Fixons A gt 0 L criture on u o 2 signifie que an Pn u n 0 uniform ment en u lt A 1 On a alors puisque F p et F A 3 gnu an Yn u pA u u 2F A 1 rA 1 At 14 PO o u u A ES A O E e E NE FA A 1 ol d o log du nf pA x o 1 2u2p2 o 1 nlog n u n mi H o 2u p o 1 Finalement gnl gt WN e2 P uniform ment en ul lt A V2T Mais cette derni re expression est la densit de N1 0 o pour o PN 7 5 3 Dans bien des cas le th 7 5 2 peut remplacer avantageusement le th 7 3 1 Par exemple soit X1 X n 1 un 2n 1 chantillon de la loi de Cauchy de densit i 1 a l z 0 2 pe x Cet
33. On a E X Y A A ply 2je WU dydz 2 A elx yje drdy et X Y a pour densit h x y Ve L ocyez La densit de X est alors ql Ye 7 va dy Xxe six gt 0 q x 0 six lt 0 Finalement pour x gt 0 noter que P X lt 0 0 h x y hula FEF ton La la loi conditionnelle de Y sachant que X x est donc la loi uniforme sur 0 x et 1 e x IX 0 f hyla gt f 7 E TL 0 2 qui est videmment la moyenne de la loi U 0 x 4 8 Simulation Soit u une probabilit sur R Simuler la loi u c est construire une suite 71 42 n de points de R cens s tre le r sultat de tirages ind pendants de points de Rd selon la loi u i e les valeurs prises par une suite X1 X2 Xh de v a ind pendantes de loi y 55 4 8 1 Nombres au hasard En g n ral la fonction random d un ordinateur fournit une suite de nombres entre 0 et 1 cens s tre le r sultat de tirages ind pendants selon la loi uniforme sur 0 1 Ces nombres sont obtenus par un algorithme qui fournit des nombres ayant les m mes propri t s qu une suite de tirages ind pendants selon U 0 1 ce sujet voir la sous section 6 4 2 Le probl me est donc de construire partir d une suite U1 U2 Un de v a ind pendantes de loi U 0 1 une suite X1 X2 Xn de v a ind pendantes de loi y 4 8 2 Simulation de v a r elles Soit u une probabilit sur R de
34. On a alors h g o f avec g gi l gi lt 0 92l g lt o0 A Plus g n ralement si fi i I est une famille d applications de dans des espaces mesurables F F on note o f i I et on appelle tribu engendr e par les fi la plus petite tribu sur rendant toutes les f mesurables On a donc o fi i I o f7 4 Ai Fa i I 3 2 Mesures 3 2 1 Soit E B un espace mesurable D finition 3 2 1 On appelle mesure sur E B toute application u de B dans RF telle que i 0 0 ii pour tous An B deux deux disjoints u Un An X H An Le triplet E B p s appelle un espace mesur Propri t s i si A B B et A C B u A lt u B ii si An B UnAn lt 5 H An iii si An B et si An T A i e 14 14 An T u A iv si n B si An A i e 14 14 et si pour un no Ano lt 00 u An p A Si E UnEn avec En B et En lt 00 la mesure p est dite finie Si u E lt 00 la mesure u est dite born e Si u E 1 la mesure pu est appel e une probabilit Exemple Soit a E alors 6 A 14 a d finit une mesure sur E B appel e mesure de Dirac de a Plus g ralement tant donn s an E et An gt 0 y Jn Andan est une mesure sur E B prop 2 1 2 Remarque La propri t ii de la def 3 2 1 s appelle o additivit Si dans la def 3 2 1 on suppose que B est seulement une alg bre la d finition
35. P X a Y b P X a P Y b Plus g n ralement D finition 2 2 8 Les v a X1 X2 Xn valeurs E1 E2 En discrets sont ind pendantes si pour tous ai E1 a2 Eo an En P X1 a1 X2 Q2 Xn an P X1 a1 P X2 a2 P X an Th or me 2 2 4 Les v a X1 X2 Xn valeurs E1 E2 En discrets sont ind pendantes ssi pour tous f E R E fi X1 fn Xn E A X1 E fn Xn 2 11 Dans ce cas si fi E R v rifie E f X lt i 1 2 n on a que E fi X1 fa Xn lt et 2 11 est satisfaite Preuve On se limite n 2 Si 2 11 est satisfaite on a l ind pendance de X et X en choisissant f 146 3 f2 l ap et en utilisant 2 5 R ciproquement si X et X2 sont ind pendantes et f gt 0 f2 gt 0 vu la prop 2 1 3 et 2 4 E f A1 2 XL fila fela P X1 a X2 a2 a1 a2 gt filar fola2 P X1 a1 P X2 a2 a1 a2 fia P X a D fo a2 P X2 a2 E f X1 E F2 X2 Dans le cas r el on a vu la premi re partie E f1 X1 f2 X2 E fi X1 E f2 X2 1 lt et la calcul ci dessus reste valable Prenant fi 1r on a utilisant 2 5 que si X1 X2 Xn sont ind pendantes pour tous C E P X Di Xn
36. P X1 k P X2 k 4 La loi de X1 et de X2 est donc la loi uniforme sur 1 2 3 4 5 6 Soit qk k 2 3 12 la loi de S Ci dessus on a calcul q5 De la m me fa on on obtient 5 6 1 2 3 4 q2 02 zg 83 QU zg 44 q0 56 DT zg GB zp q7 35 3 On met au hasard trois boules distinctes a b c dans trois urnes L ensemble des issues possibles est Q abc labc abc ablc On a A 3 27 et les issues tant quiprobables P w 5 Soit A l v nement la premi re urne contient deux boules la seconde une boule v nement qu on note 2 1 0 On a A ab c ac b bcla d o P A pa Soit B l v nement chaque urne contient une boule v nement qu on note 1 1 1 On a B alblc blalc alclb clalb blcla clbla et P B Par sym trie On a P 3 0 0 P 01310 F 0I0I3 P 21110 P 11210 P 21011 P 110I2 P 01211 P 01112 P N 4 On met au hasard trois boules indistinctes dans trois urnes L ensemble des issues possibles est Q 31010 0 310 01013 21110 11210 21011 110 2 0 211 01112 111 1 8 Espace de probabilit fini Mais vu l exemple pr c dent Q doit tre muni de la probabilit 1111111111 272727 9 99999727 et non de la probabilit uniforme Bien sur Q muni de la probabi
37. espace mesur 3 2 1 esp rance 2 2 3 4 2 3 estimateur 8 2 tag e fonction 3 1 5 v nement 4 1 1 Index des termes famille sommable 2 1 Fatou lemme de 3 3 3 Fubini th or me de 3 5 1 gamma fonction 4 3 1 gamma loi 4 3 1 Gauss loi de 4 3 1 g om trique loi 2 2 5 Glivenko Cantelli th or me de 8 1 2 H lder in galit de 3 3 5 hyperg om trique loi 1 2 4 ind pendance v nements 1 3 2 4 3 2 ind pendance variables al atoires 4 4 1 indicatrice fonction 3 1 5 intervalle de confiance 8 3 1 Jensen in galit de 4 2 4 Kolmogorov in galit de 6 3 2 Kronecker lemme de 6 3 4 Laplace loi de 4 3 1 Lebesgue mesure de 3 2 3 3 5 3 Lebesgue mesurable 3 2 3 Lebesgue th or me de 3 3 3 3 5 3 Levy th or me de 7 2 5 limite centrale th or me de la 7 3 1 loi d une variable al atoire 4 2 2 loi des grands nombres 6 4 1 loi 0 1 6 2 2 Markov in galit de 4 2 4 maximum de vraisemblance 8 2 7 mesurable application 3 1 2 mesure 3 2 1 mesure born e 3 2 1 mesure de densit h 3 4 2 mesure o finie 3 2 1 Minkowski in galit de 3 3 5 mod le statistique 8 1 4 moments 2 2 4 4 2 4 moments empiriques 8 1 3 moyenne 4 2 4 moyenne empirique 8 1 3 Monte Carlo m thode de 6 4 3 n gligeable ensemble 3 2 2 4 1 1 Neyman Pearson lemme de 8 4 2 niveau d un intervalle de confiance 8 3 1 niveau d un test 8 4 1 nombres au hasard 4 8 1 6 4 2
38. gal a et si pour tout 0 H Po W gt q D finition 8 4 3 Un test de r gion critique W de niveau a de Ho contre H est dit uniform ment plus puissant sans biais en abr g U P P S B s il est sans biais au seuil a et si pour tout test de r gion critique W sans biais au seuil a de Ho contre H on a pour tout 0 H Pa W gt Po W Terminons ces g n ralit s par un mot de la th orie asymptotique D finition 8 4 4 Une suite de tests de Ho contre H de r gion critique Wn est dite consistante de niveau asymptotique si pour tout 0 Ho Po Wn gt n a et si pour tout 0 Hi Po Wn n 1 8 4 2 Le lemme de Neyman Pearson Dans le cas d hypoth ses simples i e r duites un point il est facile d avoir un test optimal Lemme 8 4 5 On suppose 00 01 et Pa ho u Po h1 u Alors W x hi x gt Aho x est pour tout gt 0 la r gion critique de 0 bo contre 0 le plus puissant son niveau 113 Preuve Soit D la r gion critique d un autre test tel que Po D lt Pa W On remarque que 1w 1p hk1 Aho gt 0 d o f 1w 1p h ho du gt 0 et Po W Pe D Jaw 1o du gt x Jaw 1o he du X Pa W P3 D gt 0 Le test de r gion critique W est plus puissant que le test de r gion critique D Pour utiliser le lem 8 4 5 tant donn a on d termine par la condition Pa l gt Mo 7 hodu a hi gt Xho 8 4 8 Tests
39. int grations successives les variables peuvent tre int gr es dans tous les ordres possibles ce sujet le grand principe est soit f mesurable si f est positive tout est permis si f est de signe quelconque ou complexe on consid re d abord f et on commence par montrer que f est int grable 3 5 3 Mesures de Lebesgue sur Rd Lemme 3 5 3 B R 9 B R 8 B R B R Preuve Soit B84 B R B R 8 amp B R i Si est U un ouvert de R4 U Un Pa Pa pav ouvert ie Pa _ ax bl Donc U B84 et B R1 c B84 ii Soient X1 X2 Xa les projections canoniques de Rt sur R Les X sont con tinues donc mesurable de Rt B R dans R B R d o B 4 o X1 Xa C B R o Soit la mesure de Lebesgue sur R B R On d finit alors sur R4 B R a AD QA On peut appliquer la prop 3 2 2 d CsA AS Paral 00 lt a i lt bi lt 00 i 1 34 Mesure Int gration On obtient que q est l unique mesure sur B Rd telle que pour tous o0 lt a lt bi lt 00 d d Aal Tia t IT a i 1 i 1 On appelle q la mesure de Lebesgue sur R 3 5 4 Produit de convolution Soient u v deux mesures born es sur Rd On pose pour f B Rd 1 f f f x y du v x y On v rifie facilement que f I f satisfait les hypoth ses de la prop 3 4 1 Il existe donc une unique mesure sur B R not e u v et appel e produit de convolution de y et v
40. m o Pola lt n pe lt b P o n i n DE D 1 a 8 3 4 Intervalle de confiance asymptotique Un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 a pour f 0 est une suite de familles d intervalles 1 x x telle que pour tout 0 Po f 0 IX n 1 Pour construire de tels intervalles on peut utiliser rappelons que X et sn ont t d finis en 8 4 et 8 5 Proposition 8 3 5 Soit Xn n gt 1 une suite de v a r de carr int grable ind pendantes et de m me loi On pose m E X1 o Var X1 qu on suppose gt 0 Alors JR Lam 0 converge en loi vers N1 0 1 Sn Preuve On a Xn m Xn m n 2a Sn sn gt 0 D une part yn a converge en loi vers N1 0 1 th 7 3 1 D autre part Sn gt n p s 8 1 3 et donc amp 1 s gt 0 gt n 1 p s On conclut par la prop 7 2 7 Sn Soit Xn n gt 0 un chantillon de taille infinie d une loi u sur R de densit q de moyenne m avec f x du x lt 00 On a alors P X1 X2 0 et a fortiori P sn gt 0 1 On choisit c c a tel que 2r 1 2 frere dt 1 a Donc vu les prop 8 3 5 et 7 2 4 IXn m 7 En CSn Peyn ET lt e P m EX Xat On a construit un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 amp pour m gt n1 a 8 4 Tests 8 4 1 G n ralit s Soit 4 A Ps oce un mod le statistique On suppose que Ho U H avec Ho N H
41. o C 3 1 1 o fi iel 3 15 dx 5 2 1 x2 8 4 3 Q A P 4 1 1 A 7 1 2 lt 3 4 3 I Ilp 6 1 1 Annexe B Index des termes 1 2 3 renvoie chapitre 1 section 2 sous section 3 absolument continue mesure 3 4 2 ad quation test d 8 4 4 alg bre d ensembles 3 1 1 alg bre de fonctions 3 5 5 Bayes formule de 1 3 1 Beppo Levi th or me de 3 3 3 Bernouilli v a de 2 2 5 Bienaim Tchebychev in galit de 4 2 4 binomiale loi 1 2 5 Borel Cantelli lemme de 4 1 3 bor lienne tribu 3 1 2 caract ristique fonction 5 2 1 Cauchy loi de 4 3 1 centr e v a 4 2 4 centr e r duite v a 4 2 4 chi carr loi du 8 4 3 conditionnelle densit 4 7 3 conditionnelle esp rance 4 7 1 4 7 3 conditionnelle loi 4 7 1 4 7 3 conditionnelle probabilit 1 3 1 4 1 2 consistante suite d estimateurs 8 2 5 convergence dans LP 6 1 1 convergence en loi 7 2 1 convergence en probabilit 6 1 1 convergence troite 7 1 1 convergence monotone th or me de 3 3 3 convergence presque sure 6 1 1 convolution produit de 3 5 4 corr lation coefficient de 4 4 4 covariance 4 4 3 covariance matrice de 4 5 3 crit re des trois s ries 6 5 2 densit de probabilit 4 3 1 d rivation sous le signe f 3 3 3 Dirac mesure de 3 2 1 chantillon avec r p tition 1 2 2 chantillon d une loi 8 1 1 chantillon sans r p tition 1 2 1 espace de probabilit 4 1 1 espace mesurable 3 1 1
42. prop 4 8 3 pour simuler des v a de densit f mais en fait on a directement Proposition 6 4 5 Soient f g deux densit s sur R telles que f lt ag Yn n gt 1 et Un n gt 1 deux suites de v a ind pendantes de lois respectives g et U 0 1 et ind pendantes entre elles Alors pour toute LI F A a n D PE Hatol lt A Y gt n i p x f x dx p s ur Preuve Les va Yk LtaU g Y lt f Yp p K Z 1 tant ind pendantes il suffit d appliquer la loi des grands nombres vu que E d Mi luu gv lt f ifef d pour gt 0 lem 4 8 4 puis par diff rence pour Li f A Pour tre complet il faudrait consid rer les vitesses de convergence On dit que an converge vers a la vitesse si a an O 4 Vu le th 7 3 1 qu on verra au chapitre suivant cette vitesse est en g n ral de l ordre de T ce qui fait que pour des petites valeurs de d cette m thode est peu comp titive par rapport aux m thodes classiques d analyse num rique mais que pour des valeurs assez grandes de d elle devient int ressante 79 6 5 Compl ment crit re des trois s ries 6 5 1 On examine la r ciproque du th 6 3 3 Proposition 6 5 1 Soit X1 X une suite de v a r ind pendantes On sup pose qu il existe M gt 0 tel que pour tout n Xn lt M p s Alors si Sn X p Xk converge p s les s ries D E X et X Var Xn sont convergentes Preuve Elle repo
43. suit une loi u ind pendante de 0 ii pour tout x X ur g x u est strictement monotone On choisit alors a lt b tels que u a b 1 a on a donc pour tout 0 Po g X f 0 Ela b u la b 1 a Mais vu la monotonie g X f 8 la b f 0 EJA X B X et I x A x B x est un intervalle de confiance de niveau 1 a pour f 0 Exemple Soit X1 X un n chantillon de N1 0 02 o tant connu et 0 inconnu Alors X N 0 a et Re OU Donc g x 0 yn z o est une fonction pivotale monotone Etant donn a on choisit c c a dans une table de loi normale telle que ee dt 1 a et on a pour tout 0 R p a A lt c P 0 X CO Co X 1 a TX D n est pas connu On peut envisager de X 0 remplacer par son estim s ce qui conduit tudier la distribution de yn Evidemment dans la plupart des cas 0 8 3 3 Echantillons gaussiens D finition 8 3 2 Soit X1 X un n chantillon de N1 0 1 On appelle loi de chi carr n degr s de libert et on note x2 la loi de X X2 On sait 4 6 1 que X G 4 donc 5 2 2 d X X G 5 et la densit de la loi x2 est p x e r l lgt 8 14 110 Notions de statistique D finition 8 3 3 Soient X et Y deux v a r ind pendantes avec X N1 0 1 et Y x2 On appelle loi de Student n degr s de libert et on note tn la loi de X Y n
44. une suite de v a r elles ind pendantes et K gt 0 On pose XK Xnlyx lt k I y a quivalence entre i Xi Xk converge p s ii Les s ries D P Xn gt K X E XE 5 Var X convergent Preuve i Supposons que _ Xn converge p s Alors X P Xn gt K lt oo car si X P Xn gt K 00 on a p s prop 4 1 2 Xn gt K infiniment souvent et Sn diverge p s Alors la convergence de P Xn gt K implique prop 4 1 2 que p s 80 Convergence des suites de variables al atoires Xn gt K wa lieu qu un nombre fini de fois Les s ries 5 X et XK sont donc p s de m me nature et Ho converge p s Puisque X lt K on peut appliquer la prop 6 5 1 et E XK et 5 Var X convergent ii Supposons que les trois s ries convergent Vu la prop 6 5 1 5 XX converge p s et comme ci dessus la convergence de X P Xn gt K implique que les s ries X Xn et 3 XK sont p s de m me nature Donc 57 Xn converge p s 6 6 Compl ment grandes d viations 6 6 1 Soit X1 Xh une suite de v a r ind pendantes et de m me loi u avec E X lt On pose m E X Si a gt m il r sulte du th 6 4 1 que posant Sn Xi Xn Sn P n 0 a aN On voudrait pr ciser la vitesse de convergence On sait que plus une v a r poss de de moments finis plus on peut esp rer des estimatuions pr cises On pose donc P A E e a du z
45. 0 Sn nm lt b 1 f _ 2 n e oyn V2T Ja Preuve Ceci r sulte du th 7 3 1 et de la prop 7 2 4 P a lt Exemple Soient X1 Xn une suite de v a r elles ind pendantes et de m me loi de Poisson P 1 et Sn X1 Xn On sait 2 3 3 que Sn P n et 2 2 5 que E Sn n Var Sn n Posons D apr s le th 7 3 1 Y converge en loi vers Z N1 0 1 Soit h x x A0 h est continue donc DOD 7 2 3 Y h Yn converge en loi vers Z7 h Z Vu que E Y lt E Y 4Var Sn 1 on a prop 7 2 9 E Y gt n E ZT Mais nE E Y7 E Dee ED p 5 k e n A e7 m4 os ag k pars nl n k 1 et x 1 Fe z2 1 to E Z J x e 2 dx xe 2 V 2T 5 V2T Jo 1 V 2T njo J 1 mo 2 dx d e7 z zl e do EER 7 Le n V2rne n formule de Stirling n 7 3 8 Vitesse de convergence Pour d 1 le th or me de la limite centrale nous dit nm que pour n assez grand la loi de i e de Sn centr e r duite est proche de la loi N 0 1 Pour tre vraiment utile un tal r sultat doit tre accompagn de pr cisions sur la vitesse de convergence A ce sujet on a le th or me de Berry Esseen que nous montrerons section 7 4 Th or me 7 3 4 Soit Xn une suite de v a ind pendantes et de m me loi avec E X1 3 lt 20 On pos
46. 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 1 2 8 Sous population On tire en une fois r l ments de S r lt n On obtient ce qu on appelle une sous population de taille r de S C est un sous ensemble s 5 8 de r l ments de S n cessairement distincts l ordre n intervient pas qu on crira simplement Si Siz Si L ensemble des issues possibles est donc RSR NN Si ES i lt ia lt lt ir On a i n Q O i ri n r Q est le nombre de sous ensembles r l ments d un ensemble n l ments Ev idemment chaque sous population a la m me probabilit et rl n r PH n Exemple On suppose S 1 2 3 4 et r 2 Alors Q 6 et Q 12 13 14 23 24 34 1 2 4 Loi hyperg om trique On suppose que S S1 U S2 avec S1N S2 Q Si n S2 n2 n n n2 On appelle l ments de type 1 les l ments de S1 l ments de type 2 ceux de S2 On tire sans remise r l ments de S r lt n Soit X le nombre d l ments de type 1 obtenus On se place dans le cadre de 1 2 1 et il s agit de calculer la loi de la v a X On doit calculer A o A X k Evidemment P A 0 si k gt n ou si r k gt no Sinon on construit un l ment de en se donnant un chantillon sans r p tition de taille k de S il y en a A puis en se donnant un chantillon sans r p tition de taille r k de S2 il y en a A et en faisant
47. 2 41 X Ni tim t Kt et px t E eX pr 1 explittm LTKt d o 5 9 ii Supposons 5 9 Alors 6 u Leur X exp iuaTm Ju aTKa donc a X est une v a r gaussienne et X un vecteur gaussien Toute loi gaussienne sur R est donc d termin e par sa moyenne m et sa matrice de covariance K On note Na m K une telle loi On a vu exemple ii que N 0 Ia existe mais on n a pas tabli l existence dans le cas g n ral Pour cela on utilise Lemme 5 3 4 Soit K une matrice d x d sym trique semi d finie positive Il existe une matrice d x d sym trique semi d finie positive A telle que K A Preuve Soient 1 4 les valeurs propres de K elles sont gt 0 Il existe une matrice orthogonale C i e CTC T telle que CTKC D diag 1 Ag o diag A1 Aq d signe la matrice diagonale ayant Aq sur la diagonale On a alors CDCT K Soit diag VAa On pose A CACT On a A CACOAC CA C CDC K o Appliquant le lem 5 3 2 on a que si X Na 0 Ia Y m AX Nj m K On a montr Th or me 5 3 5 Etant donn s m R et une matrice d x d sym trique semi d finie positive K il existe une et une seule loi gaussienne sur R de moyenne m et de matrice de covariance K 5 3 2 Vecteurs gaussiens et ind pendance Th or me 5 3 6 Soient X X1 Xa un vecteur gaussien i Les v a r X1 Xaq sont ind pendantes ssi la m
48. 2 2 lt OT 7 1 On consid re pour b R notant N h f h t t dt Poe l TO S EE 7 2 00 La fonction f est d rivable en tout x b d o posant f b bf b 1 N h pour tout x ER fi x rfi x h x N hp 7 3 On a donc P Un lt b S b F E f Un Un fo Un 7 4 94 Convergence en loi 7 4 2 On admet pour l instant que pour tout x ER f lt 1 fi x l lt 1 7 5 On dira que f C si f B R et s il existe f B R telle que pour tous x lt y f y f x fS F t dt Soit f C Vu la sym trie l ind pendance et Fubini n n 1l Unf Un DCE SO Y Vi EM D Y Yn i 1 j i i 1 n f EAU 9 du s n f BE Una 3 FUn 1 dls s 0 n ff 0 dtduts nef f PUn 0 dtdu s s gt 0 J30 s lt 0 Js On obtient donc posant Ken sduls 120 K nf sdu s t lt 0 T6 co t Un f Un E fUna DA dt fec 7 7 Vu l ind pendance 7 4 peut s crire P Un lt b b af fU 5 fiUn 1 t K t dtdu s 7 8 Donnons quelques propri t s de K t Lemme 7 4 1 K t est une densit de probabilit v rifiant f t K t dt _ et Sigo KE dt gt 1 2 Preuve Evidemment K t gt 0 Par Fubini sur R et R7 f t K t dt f s du s D o f K t dt nE Y 1
49. On consid re des fonctions g1 9r de R dans R telles que pour tout 0 et pour 1 r Eg g X1 lt oo et on pose m 0 Ey gi X1 On suppose que f 4 peut s crire f 0 p m1 0 m 0 avec continue D apr s la loi forte des grands nombres z3 gil Xk gt n mlO Po p s k 1 pour tout 0 O pour i 1 r my sle Donc si on pose pour tout 0 O Tan gt n f 0 Po p s i e T est une suite consistante d estimateurs de f 0 Donc si n est asez grand on peut utiliser Tn comme estimateur de f 0 Si d 1 on peut choisir g u u golu u grlu u et l on a m 0 Ep XT d o le nom de m thode des moments Exemple 1 Soit X1 X un n chantillon de la loi sur R G a c 0 a c inconnu On a voir 4 3 1 d A a a m 0 Eo X1 7 m2 0 Eo X o 0 Varg X1 m2 8 m 0 z Donc o m0 mu o 0 o 0 On a mu 13 Xr X Mo X X et posant 1 Le 22 __ a 2 2 3 2e F mu Dom D X k 1 k 1 on obtient comme estimateurs de a et c NS xX pe z2 C 52 Exemple 2 Soit X1 Xn un n chantillon de la loi sur R de densit qe donn e par qalx 0 q x 1 0 qo x o q et q2 sont des densit s connues et 0 0 1 un param tre inconnu qu on veut estimer Soit A i 1 r une partition de R en intervalles
50. T 3 Un calcule facile montre que la loi tn a pour densit PE t an H a4 8 15 vn 1r 5 n Th or me 8 3 4 Soit X1 X un n chantillon de Ni m o Alors X et 3 d finis par 8 4 et 8 5 sont ind pendants X Ni m A et n ie x2_ En particulier y n im tn 1 h t Preuve A On suppose m 0 et o 1 Alors X X1 Xn Nn 0 In Soient A une matrice orthogonale n x n de la forme et Y Y1 Yn AX On a Y N 0 1 puisque K Y AK X AT AA h Yn FX Xn Vn X et vu que X AX Y 12 n 1 a DES x 27 D xt 00 5 v NY k 1 k 1 Ceci implique que X Ya N1 0 7 et est ind pendant de n 1 s 3752 i Y qui suit X21 B On revient au cas g n ral On pose Z o Xy m Alors Z Z1 Z un n chantillon de N1 0 1 X m aZ et n n 1 s X X X zP Z o n 1 s3 k 1 D o gynan N 0 1 n 1 x2_ et sont ind pendants Appliquant la def 8 3 3 on obtient la derni re affirmation Application Soit X1 Xn un n chantillon de Ni m o 0 m a inconnu On cherche des intervalles de confiance pour m et o 111 i On choisit c c a tel que P IT lt c 1 a o T tn _1 Alors th 8 3 4 pour tout 0 m 0 X m us CS lt 6 Pome X mit Ua Po vn ii On choisit a lt b tels que P a lt Y lt b 1 a o Y x _ Alors th 8 3 4 pour tout 0
51. Y u v 5e Le couple X Y a pour densit 1p x y Donc prop 4 6 1 U V Y X Y a pour densit Le t2H 21 uv ep 1h p p 2 e e 27 27 27 4 6 5 Exemple 4 Soit X Y un couple de v a r ind pendantes de m me loi N1 0 1 On pose T noter que P X 0 0 Quelle est la loi de T Evidemment on ne peut pas appliquer directement la prop 4 6 1 On choisit d abord une v a U f X Y telle qu on puisse utiliser la prop 4 6 1 pour obtenir la densit de T U puis on obtient la loi de T comme marginale Ici on peut choisir U X Soit Y x y gt t y x u x Alors est un diff omorphisme de D R x R sur A R x R On a z u y tu et J Y u v u Le couple X Y a pour densit e7 21 p x y Alors prop 4 6 1 T U X Y a pour densit PEA Aa aa Donc T a pour densit 00 1 7 3 1 00 gt 3 1 dd t 2 Tu 1 t 2 q t T F ul du e udu TENTE La v a T suit donc une loi de Cauchy En fait il est souvent plus rapide de calculer directement E f T Ici par exem ple passant en coordonn es polaires on a B mi OEE Nu s GT I Fe 40 dedy f tan e p d dp 51 sde TA FO dz 7 J s res 1 4 6 6 Exemple 5 Soit X Y un couple de v a r ind pendantes de m me loi N 0 1 On pose U X V X Y Quelle est la loi du couple U V L application x y x x y w tant pas une bijecti
52. atoire de densit q Les composantes X1 X4 sont ind pendantes ssi q tis Ta 1 qal a p p o qg est la densit de Xg En fait pour montrer l ind pendance de X1 Xa on utilise plut t Corollaire 4 5 3 Soit X X Xa un vecteur al atoire de densit q Les composantes X1 Xaq sont ind pendantes ssi q t1 Ta gi t1 ga Ta p p et alors Xy a pour densit q u gk u fg gk v dv Preuve d 2 On suppose que q x1 2 g1 x1 g2 x2 La densit q de X est donc q z J entendons des ag 1 ai J ole da De m me q2 2 a2g2 x2 a2 f ale dz Mais 1 IEGES dx dzz J aleno dx dzz J olei dm f e2 des 4142 47 On conclut facilement 4 5 3 Matrice de covariance ou de dispersion On note MT la matrice transpos e de la matrice M Alors on peut repr senter x R par un vecteur colonne i e une matrice d x 1 et on crira indiff remment x x1 q ou x1 q Pour x z1 a et y y1 Ya on a gly z1y TaYa lt T y gt et xy est la matrice de terme g n ral xiyj Pour X iR on d finit K X E X E X X E X E XX E X E X 4 20 K X s appelle la matrice de covariance ou la matrice de dispersion de X On a Var X Cov X1 X2 fre RE pa Cov X1 Xa Cov X2 X1 Var X2 LU ee ee Cov X2
53. de probabilit fini c est l v nement A n a pas lieu De m me AU B est l v nement A ou B a lieu et AN B est l v nement A et B ont lieu Enfin Q est l v nement certain et est l v nement impossible Noter c est la moindre des choses que P 0 puisque vu que QN 1 P Q P Q U 0 P Q P0 1 P0 Donnons quelques cons quences faciles de 1 1 On a AU A Q et AN A donc 1 P Q P A P A d o P A 1 P A 1 2 Si A C B on note B A BNA On a alors B AU B A avec AN B A Di si AC B P B A P B P A 1 3 En particulier dans ce cas P A lt P B Enfin on AUB ANB U A ANB U B ANB ces ensembles tant deux deux disjoints On a donc P AUB P ANB P A ANB P B ANB P ANB P A P ANB P B P ANB d o P AU B P A P B P ANB 1 4 On note A le cardinal de i e le nombre d l ments de A Un cas particulier important d espace de probabilit fini Q P est celui o P est la probabilit uniforme sur Q d finie par 1 P w ror Ke On a alors P A og Ce cas est tr s fr quent mais n est pas le seul envisager voir l exemple 4 de 1 1 4 1 1 3 Variables al atoires Soit Q P un espace de probabilit fini On appelle vari able al atoire en abr g v a valeurs E toute application X de Q dans E Puisque X Q est fini on peut supposer E fini c est ce qu on fera par la suite Po
54. donn e par le th or me de L vy Th or me 7 2 12 Soit Xn une suite de v a telle que pour tout t RI Px t gt n olt Si p est continue en 0 il existe une probabilit u sur R telle que et Xn converge en loi vers p Preuve On a besoin du r sultat d analyse suivant que nous admettons On dit qu une suite Un My converge faiblement s il existe u M telle que pour toute f Co f f dun gt n f fdu Alors Th or me 7 2 13 Soient un Mp telles que A sup un RT lt alors il existe une sous suite Jin convergeant faiblement Ceci fait on note y la loi de X Puisque un R 1 il existe th 7 2 13 une sous suite Un telle que un converge faiblement vers y Mp On pose ui Jing D apr s 5 5 on a pour tout a Rd f go a duh x 27 f ea g ou fh u du 91 Passant la limite en k on a justifier J ace o dula 27 f e lt gt gi ouotu du On a donc vu 5 5 pour tout a R4 anoni du aone du D o th 5 1 2 A u g ou u gi ou p p et g tant gt 0 Alu lu p p Soit E on a E 0 Il existe donc x E tel que zn 0 On a pour tout n tn n et les deux fonctions tant continues en 0 u RT 0 0 limn fin 0 1 Donc u Mi et prop 7 1 2 y converge troitement vers y On en d duit que 9 et que un converge troitement vers u 7 3 Convergence vers la loi
55. du x lt 00 si A lt o o gt 0 On pose Ce E I u aaaea AER Alors on a 1 S pour tout ferm F de R limsup log P F lt inf I x n n n xeF U 1 pour tout ouvert G de R liminf log P G gt inf I x n n n xeG Preuve La minoration est une cons quence imm diate de la prop 6 6 3 car six G il existe gt 0 tel que y y x lt C G et P 2 EG gt p 22 x lt Passons la majoration Supposons que FT FN m 00 0 et F7 FN m 4 Soient bt inf F N m o0 et b sup FN m On a vu la prop 6 6 2 et la monotonie de I sur m et m 00 pe r F lt p2 n gt bt lt exp n1 b lt exp n inf I x r N3 n EF lt P PC F lt P TE FT P lt b7 exp n1 b lt exp n inf I x Sn n 3 U eE g F7 lt 2exp n inf I x 3 On conclut facilement puisque log2 0 Si F7 resp F il suffit de consid rer la majoration ci dessus pour F resp F7 o 84 Convergence des suites de variables al atoires Corollaire 6 6 5 Sous les hypoth ses du th 6 6 4 si T est continue au point a r lt a I a 1 S gt a I a sia lt m lim log P 1 sia gt m lim log P nn n Preuve Supposons a gt m D une part lim sup log p 2 gt a lt I a et
56. et posons pour a lt x lt b F x f7 f t dt int grale au sens usuelle et G x f fa a f d mesure de T sur R On sait que F a 0 F est continue sur a b et que sur a b F est d rivable avec F f Il est facile de v rifier que G a les m mes propri t s Ceci implique que F G sur a b et en particulier que f t dt Jeu d Par additivit cette formule est encore vraie si f est continue par morceaux sur a b Sn maintenant une application f de R dans R continue par morceaux telle que Es t dt soit absolument convergente Lorsque a c et b T 00 d une part par PG f IF dt TESIR IF dt lt et i JG dt TS F t dt d autre part f Lia pjl f d J f d convergence monotone ce qui implique que f L puis f Lia bjf dA f f d th or me de Lebesgue puisque 1 pfl lt f TIOJ Donc m iie ra Par contre si Fe f t dt est convergente mais pas absolument convergente par exemple f x f LIA 3 3 5 Espaces LP Soit E B u un espace mesur On note l ensemble des appli cations B mesurables de E dans R finies p p On dit que f g si f g p p Alors est une relation d quivalence sur On note L 0 En fait L est l espace des classes de fonctions B mesurables d finies un p p pr s Puisque f g p p implique f f du f gl du et f f du f gdp si f et g sont dans on peut d finir sans ambigu t pou
57. f est bor lienne i e mesurable pour les tribus bor liennes De plus cette notion est transitive i e la compos e de deux applications mesurables est mesurable Quand l espace d arriv e est R R R Rd C il est toujours suppos muni de sa tribu bor lienne 3 1 4 Soit E B un espace mesurable Pour qu une application num rique soit mesurable il suffit que pour tout a R f gt a x f x gt a B On peut aussi consid rer f lt a f lt a f gt a Ceci implique que si f g fn sont des fonctions num riques mesurables il en est de m me de f sup f g inf f g f sup f 0 fT sup f 0 sup fn inf fn limsup fn liminf fn lim fn si elle existe Rappelons que notant fn T f resp fn f si pour tout x E f x cro t resp d cro t vers f x lim sup f x lim sup f x liminf f x lim f inf fk x 3 1 4 k gt n n gt n ces quantit s tant valeurs R et que f lim f ssi lim sup fn liminf f f Soient f g des fonctions num riques mesurables Alors x gt f x g x est mesurable de E B dans R puisque 9 A x B f 4 ng B Ceci implique que si H est une application bor lienne de R dans R H f g est mesurable On en d duit que f g fg si elle existe sont mesurables 3 1 5 Pour A C B on appelle fonction indicatrice de A et on note 14 la fonction valant 1 sur et 0 sur A on note A le compl mentaire de A On a laas Tia
58. fonction de r partition F On pose Flu inf t F t gt u On sait prop 4 3 2 que si U U 0 1 FT U a pour loi u Donc si Un n gt 1 est une suite de v a ind pendantes de loi U 0 1 F l Un n gt 1 est une suite de v a ind pendantes de loi y Exemple Soit px k 0 n une probabilit sur 0 1 n Soit F t sa fonction de r partition On pose ao 0 a1 Po a2 Po P1 An Po Pn 1 An 1 1 On a F t 0 asit lt 0 Ff msi0 lt t lt 1 F t asi2 lt t lt 3 et Flu k si ag lt u lt ak k 0 1 n Si u f F t 1e f x dx Il n est pas toujours en fait pas souvent possible de calculer F et F71 C est en particulier le cas pour la loi N1 0 1 4 8 3 Simulation de v a gaussiennes r elles Soit Un n gt 1 une suite de v a ind pendantes de loi U 0 1 on pose pour n gt 1 Xon 1 y 2 log Uon 1 coS 27Uon X n y 2 log Uon 1 sin 27Uo Alors d apr s la prop 4 6 3 Xn n gt 1 est une suite de v a ind pendantes de loi N1 0 1 Pour simuler la loi Ni m 0 il suffit de remarquer que si Y N1 0 1 alors X m 0oY Ni m o 4 8 4 La m thode de rejet Soient Zn n gt 1 une suite de v a valeurs E E et B E On consid re v inf n gt 1 Zn B avec la convention inf 00 Alors v w est la premier n tel que Zn w B et si pour tout n Zn w B v w 0 v est donc une v a valeurs N Si P v l
59. g n ral Variables al atoires d Loi gamma de param tres a c a gt 0 c gt 0 not e G a c Rappelons que la fonction 00 Fa e dg 4 11 0 est d finie pour tout a gt 0 et que l on a 1 1 F a 1 al a int grer par parties d o l n n 1 Donc EF a x gnele pga e nla 4 12 est une densit de probabilit sur R La loi de densit ga S appelle la loi G a c On a si X G a c E X a c Var X a c En particulier pour a 1 on obtient la loi G 1 c de densit ce loi exponentielle de param tre c qu on appelle e Loi normale ou de Gauss N m o On appelle loi N m o la loi sur R de densit fm o2 2 e 2 4 13 Si X Ni m o E X m Var X o Noter que si X N1 0 1 m aX Ni m o 4 3 2 Fonction de r partition On a vu en 3 2 3 que si u est une probabilit sur R la fonction F t u t est croissante de 0 1 et continue droite et que r ciproquement si une fonction F a ces propri t s il existe une probabilit u sur R unique telle que F t u o0 t La fonction F s appelle la fonction de r partition de u D finition 4 3 1 Soit X une v a r elle de loi uy On appelle fonction de r partition de X la fonction Fy t P X lt t px t Il r sulte du rappel que F cro t de 0 1 et est continue droite Elle a donc une limite ga
60. golote lt e gt tant 270 f go o t e sat gt Je au dt not gu o2t e lt e gt ae dt d o 5 5 puisque o g a t g ot ii Si LI A golou Alt L XG et on a vu que g o t 2r0 25 t Joe a dula mot golote ae dt 2m f emete f e lt gt golu dudt 2 J ET f gt A t didu 27 f resi et p t dida On a pos u a x et utilis que go gol Fin de la preuve Soit H go a o gt 0 a R Si on a vu 5 5 pour toute f H f f du f f dv d o H tant total u v prop 3 5 4 ii De m me si L posant h x 27 4 f e i lt gt A t dt on a vu 5 6 pour toute f H Jfdu f fhdX d o p h 5 2 Fonctions caract ristiques 5 2 1 Soit X une v a valeurs R de loi py On a alors vu le th 4 2 4 t Fete du x E e lt tX7 Ceci conduit D finition 5 2 1 Soit X une v a valeurs R La fonction xli ES Ay t s appelle la fonction caract ristique de X Premi res propri t s i 4 est continue En effet si tn t eSt X gt et lt tX gt en ayant un module born par 1 Il suffit d appliquer le th or me de Lebesgue ii Pour a R et b RI p t lt gt p at En effet e bus t 2 permets _ er lt bb gt pie re 2 i lt t b gt D S ii D_X t E e
61. h Remar quer que si u h h Alors 62 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens Th or me 5 1 2 i Soient u v E My Si D v ii Soit u My telle que L X On a alors u h X avec Ha Se e_i lt te gt A t dt 5 3 Preuve On pose z go x 210 exp 2 Heat du 5 4 Lemme 5 1 3 La famille g x a o gt 0 a R est totale dans Co R Preuve Soit V l espace vectoriel engendr par les fonctions g 7 a o gt 0 a Rd Vu que 2 2 2 2 ob x a g x b C g c avec T pe T a V est une alg bre On v rifie imm diatement i et ii du th 3 5 5 d o V Co Lemme 5 1 4 On a o t exp 2r02 2g o t Preuve Soit t 2r 2 fette du t R Vu que Ze lt Jul L e7 2 A on peut appliquer la prop 3 3 7 et on a o t i 2r 71 2 J e t d e 27 t f ete 2 du to t d o p t Ce 2 e t 2 puisque 0 1 Alors th 3 5 2 d _ _l2 202 e 2 92 2112 2x0 ala f etct re Izl2 20 Jy IL er 1 aiia aa geas e A g k 1 Lemme 5 1 5 Soit u E My On a Jacte o dula En lona at 55 Si de plus L Y f Sedan C pen f cie p t dide 5 6 Preuve Notons d abord que vu le lem 5 1 4 gola 270a 5 mot goloe dt 57 63 i On a puisque o t dtdu x lt 00 i puisque f f gol u J o2 o dula mot
62. imsup fn du lt fims fn du ii implique le c l bre th or me de Lebesgue Th or me 3 3 5 Soit fn LL telles que fn f p p avec fn lt g L alors im f du fau Ce th or me a une version continue tr s utile Corollaire 3 3 6 Soit f t U une famille d l ments de Lk U ouvert de Rd On suppose que limy_ ft f p p et que pour tout t U fi lt g L alors lims_ Jh du J f du Preuve Il suffit de remarquer que lims_4 f fr du f f du ssi pour toute suite tn tendant vers to lim J ftn du f f du et d appliquer le th 3 3 5 Donnons un exemple d utilisation de ce corollaire Proposition 3 3 7 Soient E B u un espace mesur I un intervalle ouvert et f x t I une famille d l ments de Lk u On pose pour tout t I o t J f x du x On suppose que pour tout x A tr f t x est d rivable sur I que pour tous xEe Aettel far 2 lt g x que g L u et que u A 0 Alors est d rivable sur I et t f oF t x du x Preuve On a 1 1 KOCA 90 FOE Ra Ft dula D apr s la formule des accroissements finis on a pour x RU ha SEa EO x lt ga si h est assez petit et ROUE h a 10 2 gt r Elt a 30 Mesure Int gration On peut appliquer le cor 3 3 6 et f ZOE ne Fa dute gt o f Eta dute f Et adua o 3 3 4 Lien avec l int grale a Soit f une fonction r elle continue sur a b
63. laa 14 infla 104 sup14 n Une application f de E muni de la tribu B dans R est dite tag e si elle s crit f aklA Ak B On notera B l ensemble des fonctions r elles B mesurables bB l ensemble des fonctions r elles mesurables born es B l ensemble des fonctions B mesurables valeurs R eB l ensemble des fonctions tag es positives Le r sultat suivant est la base de la construction de l int grale Proposition 3 1 2 Toute f B est limite d une suite croissante de fonctions de eBt Preuve Il suffit de consid rer n27 1 k fala y on H lt fa Ek F nli fan 3 2 k 0 3 1 6 Soit f une application de dans un espace mesurable A A On note o f et on appelle tribu engendr e par f la plus petite tribu sur E rendant f mesurable On a donc o f f 4 A A 25 Proposition 3 1 3 Soient f E A A eth E R resp E R Alors h est o f mesurable ssi il existe g A resp g AT telle queh go f Preuve Evidemment si h gof h est o f mesurable transitivit R ciproquement supposons d abord h elo f ona h Yp axlp avec Bg o f et donc By fT Ak Ak A Vu que 1g 14 f on a h go f avec g Xg axl4 Si h o f on a h lim hn avec hn elo f et donc hn gn 0 f gn AT On en d duit h go f avec g limsupgn AT Si h f on a h ht h et h gof h go f avec gi AT
64. lt gt x t iv Si u_x Hx i e si la loi de X est sym trique est r elle Ceci r sulte de iii Le th 5 1 2 devient 64 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens Th or me 5 2 2 Soient X et Y des v a valeurs Rd i Si pour tout t D t y t X et Y ont m me loi ii Sid Li py h X avec h x 27 f ei lt te gt g t dt Quant prop 5 1 1 elle s nonce Th or me 5 2 3 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs R On a xy Preuve En fait cela se montre imm diatement gr ce au th 4 4 4 Dai t 2 E etStX H Y Hier ASE E etS6X gt E etStY gt px ETOM t o 5 2 2 Crit re d ind pendance Th or me 5 2 4 Des v a X1 Xn valeurs R R sont ind pendantes ssi pour tous t E R tn E R Pogra Ets EE x t1 Px tn Pra yeri prop 4 4 2 ind pendance de X1 Xn 5 2 3 Calcul des moments Proposition 5 2 5 Soit X une v a valeurs R i Si X L 6 est d rivable et x t E iX lt t gt En particulier 7x 0 i E Xk 2 ii Si X L2 p est deux fois d rivable et ane l E X Xp lt t gt En 2p particulier agt 0 E X jX i lt t X gt z Preuve i On remarque que le X L et on applique la prop 3 3 7 ii On continue Il est
65. m On admet lexistence d une telle probabilit PJ qui est unique vu le cor 3 2 3 appliqu C Uno X1 Xn 8 2 Estimation Soient X A P oco un mod le statistique et f une application mesurable de dans R On veut estimer f 0 la vue de x r sultat d un tirage selon Po 0 inconnu Un estimateur de f 0 est donc une application mesurable T de dans R Si on a tir x on estime f 0 par T x Il reste pr ciser ce qu est un bon estimateur 8 2 1 Risque quadratique 103 D finition 8 2 1 Soit T un estimateur de f 0 On appelle risque quadratique de T la fonction Rr 0 Eol T f 8 1 8 6 Soient S et T deux estimateurs de f 0 On dit que T est au moins aussi bon que S si pour tout 0 Rr 0 lt Rs 0 On dit T est meilleur que s il est au moins aussi bon et si pour un 0 Rr 4 lt R 0 Enfin on dit que T est admissible s il n existe pas un meilleur estimateur Il faut noter que comparer des estimateurs c est comparer des fonctions de 0 et qu en g n ral il n y a aucune raison pour que l un soit meilleur que l autre Par exemple soit a et T f a Alors Rr a 0 et en a cet estimateur aura un risque plus faible que tous les autres alors que pour d autres valeurs de 0 son risque sera lev Pour avoir un estimateur optimal on est donc amen restreindre la classe des estimateurs consid r s C est pourqu
66. population des hommes A celle des femmes et B celle des fumeurs Si on tire au hasard un l ment de Q la probabilit d obtenir un fumeur est lal Si on observe que l l ment tir est un homme la probabilit que ce soit un fumeur est Aa c est ce qu on appellera la probabilit conditionnelle de B sachant A Ceci conduit D finition 1 3 1 Soit A C Q tel que P A gt 0 On appelle probabilit conditionnelle de B sachant A et on note P B A la quantit P AB P A On a donc P AB P A P B A Noter que B P B A est une probabilit sur Q 12 Espace de probabilit fini Proposition 1 3 2 Formule de Bayes Soient A B des v nements tels que P A gt 0 P A gt 0 P B gt 0 On a P A P B A P A P B A P A P B A P A B Preuve Par d finition P A B P AB P B D une part P AB P A P B A D autre part P B P BA P BA P A P B A P A P B A D o le r sultat TRS Proposition 1 3 3 Soient A1 A2 An des v nements tels que P A1 A2 An gt 0 On a P A1 40 An P A1 P 4o A1 P 43 A1 42 P Anl A1 42 An_1 Preuve Par d finition P A1 A2 P A1 P A2 A Supposons la formule vraie au rang n Alors P A142 A A 1 P A149 Ah P A 1l 4142 An et il suffit d appliquer la formule au rang n pour conclure 1 3 2 Ev nements ind pendants Si P B A P B i e P AB P A P B savoir si a eu lieu ou non ne m
67. pour densit Je 2 1m 2 ie Z G 4 4 4 6 2 Rappelons la formule de changement de variables dans Rd Si est un diff omorphisme de l ouvert U sur l ouvert V on a pour toute f B Rd f o do f f b u J 6 u du 4 22 V U 49 o J est le d terminant de la matrice des aa Rappelons galement que J u J 1 p u Il en r sulte Proposition 4 6 1 Soit X un vecteur al atoire de densit h On suppose que X D p s D ouvert de R Soient y un diff omorphisme de D sur un ouvert et Y Y X alors Y a pour densit AT UIIA Preuve On a pour toute f BH R E f E X L F W x h x de ro fu YIJU du o Une premi re cons quence de 4 22 est la suivante voir aussi 5 1 1 Proposition 4 6 2 Soient X et Y deux v a valeurs R ind pendantes de densit respectives f et g Alors la v a S X Y a pour densit h f x g d finie par u f0 glu v Preuve On a pour toute CF f serno D dedy f o g u v dudu tuh du Application Soient X et Y des v a r ind pendantes de m me loi la loi uniforme sur 0 1 Quelle est la loi de S X Y Soit h la densit de S On a attention aux fonctions indicatrices I 1 M tonton 00 f pyu odo tuig de SiO0 lt u lt 1 h u f dv u si1 lt u lt 2 hk u J dv 2 u et videmment h u i 2 4 6 3 Exemple 3 Soient X et Y
68. r 2 On a sous Ho i e si m m2 Pa W P IT gt c a et W est la r gion critique d un test de niveau a de m m2 contre m1 M2 On peut montrer que ce test est U P P S B Remarque Le lecteur peut noter une grande ressemblance entre la construction de tests et celle d intervalles de confiance Cela n a rien d tonnant En effet tant donn un mod le stastique X A Po oce soit Wa a R une famille de sous ensembles de avec Wa A mais nous n insistons pas sur ce point On pose pour x S x a x Wa Evidemment Wa x a amp S x et pour tout 0 O et tout a ER Po Wa Po x a S x 1 Po x a S x 8 17 Soit f R Il r sulte de 8 17 que si pour tout a Wa est la r gion critique d un test de niveau a de Ho f 0 a contre H f 0 a alors S x a x Wa est une r gion de confiance de niveau 1 pour f 0 c est la m me d finition que celle d un intervalle de confiance mais a priori S x n est pas un intervalle De m me si S x x X est une r gion de confiance de niveau 1 a pour f 0 Wa x a amp S x est la r gion critique d un test de niveau a de Ho f 0 a contre H f 0 a 8 4 4 Test d ad quation Soient un ensemble fini qu on peut supposer tre 1 r et IT l ensemble des probabilit s sur F On fixe p IT telle que pour tout j p gt 0 On consid re un chantillon X1 Xn
69. res P Y n X p P X p Y n P X p La loi de densit h y x s appelle la loi conditionnelle de Y sachant que X x et pour E L uy IX 2 f twn yla s appelle l esp rance conditionnelle de Y sachant que X x Si d 1 on peut choisir y y on obtient l esp rance conditionnelle de Y sachant que X x L nonc suivant est comparer au lem 4 2 6 Proposition 4 7 2 Soit X Y un couple de v a valeurs R xR de densit h x y avec Y L Alors if E Y FX f Lux EY F0 o f x E YIX 2 54 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Preuve Pour toute g L y on a E Y f X g X 0 En effet sur q x gt 0 f x n J yh x y dy et vu la remarque 1 E Yy X i ya e h e y drdy f gajal yh a y dy dx 0 a gt 0 a a g x q dz E g X X 4 gt 0 On en d duit ELY GO ELY AX X F ES X EAX FX EY FONG CO et le r sultat cherch Exemple Soient Y Z des v a r ind pendantes de m me densit Xe 1r y On pose X Y Z On veut calculer la loi conditionnelle de Y sachant que X x et E Y X z Pour appliquer la def 4 7 1 il faut calculer la densit du couple X Y
70. sur chantillons gaussiens 1 Soit X1 X un n chantillon de Ni m 0 avec 0 m a inconnu Soit mo R fix Il s agit de tester Ho m mo contre H m mo On sait def 8 3 3 que yn ie tn 1 Consid rons WE pa a gt ce Sous Ho i e si m mo Pe W P IT gt c o T tn 1 On d termine c c a comme solution de P IT gt c a l aide d une table de la loi de Student et W est la r gion critique d un test de niveau a de m mo contre m mo On peut montrer que ce test est U P P S B 2 Soient X1 X un n chantillon de Ni m1 0 et Y1 Y un r chantillon de N m2 0 On suppose X 1 lt i lt n et Yj 1 lt j lt r ind pendants On a 0 m m2 0 inconnu Il s agit de tester Ho m mo contre H m mo On pose r _1Y 2 1 2 v_1Y 2 1 72 a ee x Ke yi a m0 i 1 j 1 j 1 Lemme 8 4 6 Sous les hypoth ses ci dessus on a si m1 m2 Z tnr 2 ee X Y V n 1 5 Preuve D une part X aMi Mis Bzy Y Ni mo al et vu l ind pendance prop 5 2 7 Tr X Y Nifmi mo a z et si m mo X N1 0 1 L 1 T r 1 s2 2 2 D autre part n 1 amp x21 r 1 3 x et vu l ind pendance 2 2 n 1 r 1 2 y Xarea Puisque X Y est ind pendant de s2 s2 on peut appliquer la def 8 3 3 114 Notions de statistique Posons W Z gt c o P IT gt c a T ty
71. u E 1 Soient l des ensembles deux deux disjoints Vu que entier TA XX HU Un X En les ensembles X T sont deux deux disjoints d union X U l On a donc Hy UnTn P X Unln D PX ln D x ln Ceci montre que y est une probabilit sur E D finition 4 2 2 Soit X une v a valeurs E La probabilit u d finie par 4 1 s appelle la loi de X 4 2 3 Esp rance D finition 4 2 3 i Soit X une v a positive On appelle esp rance de X et on note E X la quantit X dP ii Soit X une v a complexe telle que E X lt On appelle esp rance de X et on note E X la quantit XdP Vu 3 3 on a pour toute v a positive X n27 1 E X limf Y EME AA AIE S 4 2 k 0 2e 27 Plus g n ralement soient X une v a valeurs E et f E R mesurable alors f X est une v a r elle et on peut consid rer E f X si f gt 0 ou si E f X lt oo Alors Th or me 4 2 4 Soit X une v a valeurs E de loi ux on a pour toute f ETUL E E u E f X fran 4 3 Preuve Si f 1r c est la d finition de uy Donc 4 3 est vraie pour f tag e puis limite croissante pour f Et Enfin pour f LI E E uy il suffit d crire ou Exemples Il y a deux situations fondamentales i X est discr te i e E est d nombrable La loi 4 est alor
72. De AR Os CESR k p n p n 1n n 1 n k 1 A 1 E Tk A apr pln pln gt eA Noter que hAfe k N est une probabilit sur N Loi de Poisson C est la loi d une v a valeurs N telle que k P X k gt keN gt 0 2 8 Cette loi est appel e loi de Poisson de param tre et se note P A Calculons sa moyenne et sa variance D une part es AE as AE _ X X m ee k gt 0 k 0 k l D autre part comme ci dessus AF AE m2 2 LL LE X gt RP X k k k 1 e TF2 ke El k gt 0 k gt 0 k gt 0 2a o 2 e 3 k2 On a alors Var X AX X2 On a vu qu on peut approximer la loi B n p par la loi de Poisson P np si n est tr s grand et p tr s petit Loi g om trique C est la loi d une v a valeurs N telle que P X k 1 a a kEN 0 lt a lt 1 2 9 19 Cette loi est appel e loi g om trique sur N de param tre a et se note G a On calculera sa moyenne et sa variance en 2 3 On rencontrera aussi la loi g om trique sur N de param tre a not e G a d finie par P X k 1 a ai l keN O lt a lt l 2 10 2 2 6 Variables al atoires ind pendantes Il est naturel de dire que deux v a discr tes X et Y sont ind pendantes si pour tous a X Q b Y Q les v nements X a et Y b sont ind pendants voir 1 3 2 i e si pour tous a X Q b Y Q
73. G log A A A b A lt 6 2 et on suppose que 0 est un point int rieur de A La fonction est stricte ment positive et vu que Ya lt b lt c lt d Yn gt 0 IM YA b c x e lt M e e A est un intervalle 6 est ind finiment d rivable sur et P A f x e du x d apr s la prop 3 3 7 En particulier 0 1 0 f x du x m oO La fonction tant strictement positive G est aussi ind finiment d rivable sur A oO et l on a pour EA PA Enfin G est convexe puisque pour 0 lt a lt 1 vu l in galit de H lder 0e ere yev CQ qu y G 0 m Hla La f etel qua lt eve dur ex dula Ga 1 a 2 lt alog 1 1 a log p A2x aG 1 1 a G A2x 6 6 2 Majoration On a alors pour a gt m et tout gt 0 Sn n P gt a P e gt et lt e E e n e7 A exp n aa G d o PC gt a lt exp n one G A 6 3 81 Ceci conduit s int resser la fonction I x RUE G LER 6 4 Cette fonction s appelle la transform e de Legendre de G Elle joue un r le important en analyse convexe Indiquons quelques propri t s Lemme 6 6 1 La fonction I x est positive convexe v rifie I m 0 est d croissante sur m et croissante sur m oo Pour x gt m I x sup so Ax G Preuve Vu que pou
74. Ho m p contre H1 m p Ce test est susceptible de nombreuses g n ralisations pour lesquelles nous ren voyons aux ouvrages sp cialis s Par exemple soit X1 Xn un chantillon d une loi u inconnue sur E E On veut tester u uo contre u uo Ho probabilit donn e On peut partager E en r ensembles disjoints 1 E d union E on a int r t choisir po Ej voisin de et tester l aide du test pr c dent Ho u E o E pour j 1 r contre H u E uo Ej pour au moins un j 116 Notions de statistique Annexe A Index des notations 1 2 3 renvoie chapitre 1 section 2 sous section 3 AT A matrice 4 5 1 14 3 1 5 A 1 1 2 B n p 2 2 5 B 3 2 2 B bB B 3 1 5 B R 3 1 2 B R 3 1 2 B R 3 1 2 B B2 3 5 1 Co 3 5 5 C 7 1 Ck 3 5 5 CR 3 5 5 Cov X Y 4 4 3 e s b v m 8 2 1 eBt 3 1 5 F 43 2 F X 6 2 1 Jo x 5 1 2 gx 2 3 1 Ga c 4 3 1 G a 2 2 5 h u 3 4 3 J 4 6 2 K X 4 5 3 lim sup 4 1 3 limsup fn 3 1 4 liminf fn 3 1 4 LP LE 3 3 5 LE 4 5 1 L x 0 8 2 7 LP 3 3 5 M 8 1 3 M 7 1 M 5 1 2 118 Index des notations Ni m o 4 3 1 Na m K 5 3 1 p p 3 2 2 p s 3 2 2 4 1 1 P A 2 2 5 S Sn 8 1 3 tn 8 4 3 U P P S B 8 4 1 v a 4 2 1 v a r 4 2 1 Aro X ET 4 2 2 X A Po oce 8 1 4 T a 4 3 1 a 3 2 1 D l2 ly 4 2 2 Li H2 3 5 1 u v 3 5 4 p X Y 4 4 4
75. On pose Wii qi u du m q2 u du 107 et on suppose Hi1 Hi pour tout i On choisit gi u liuca et on a mi 0 Po X Ai Opi 1 0 pi 2 Il y a de multiple fa on d exprimer 4 comme fonction des m 0 puisque pour chaque 10 HE Lt mO m On choisit Hi 1 Hi 2 LR mi 6 ju 0 O Li Hil Hi 2 On obtient alors comme estimateur de 6 aO L5 Mi pi 1 2 1 a Dre pi Re 8 2 7 M thode du maximum de vraisemblance Consid rons le mod le statistique suivant 41 2 O 01 60 1 1 9 9 Po x1 Po z2 Po 1 a21 Top Pa 2 Top Pe Too On tire un point de selon P9 1 2 inconnu Supposons qu on obtienne x1 Il est naturel d estimer 0 par 02 Qu a t on fait On a compar Po x1 1 et Po x1 2 et on a choisi la valeur de 4 rendant maximum la fonction 9 Py x1 C est le principe de la m thode du maximum de vraisemblance Soit X A Ps oce un mod le statistique On suppose qu il existe une mesure o finie u sur X A telle que pour tout 8 Po fo u et on pose L 2 0 fola 8 11 La fonction 0 gt L x 0 s appelle la fonction de vraisemblance associ e x D finition 8 2 6 Soit T X O On dit que T est un estimateur du maximum de vraisemblance de 0 en abr g e m v si pour tout x E X L x T x sup L x 0 8 12 LAC Pour calculer un e m v on est donc amen
76. R Alors X X1 Xn est une v a de loi Hot Ceci est un cas particulier de la situation plus g n rale suivante D finition 8 1 7 On appelle mod le statistique un terme X A Po oce o Po oce est une famille de probabilit s sur l espace mesurable X A L ensemble s appelle l espace des param tres et on note X l application iden tique de dans On appellera statistique valeurs E toute application mesurable de A dans E Evidemment pour chaque 0 X A Po est un espace de probabilit On note alors Ey l esp rance pour Po Tr s grossi rement le probl me est le suivant On tire x selon Po 0 O tant inconnu et la vue du point x tir on cherche dire quelque chose sur 6 Exemple Soit X1 X un n chantillon de la loi Ni m o m et o tant incon nus D crivons le mod le statistique correspondant On a X R A B R 0 m 0 Rx 0 cof Po qg avec 1 qoli En 2ro 7 2 exp 53 k m k 1 Plus g n ralement D finition 8 1 8 Soit m 0 une famille de probabilit s sur R On ap pelle mod le statistique associ un chantillon de taille infinie de ug le mod le A Po oco o X R N z 1 tn Xe 2n A 0 Xn n gt 1 et o pour chaque 0 O Po est une probabilit sur X A telle que les v a X1 Xn soient ind pendantes et de loi
77. Sa bn tant une suite tendant m vers 00 On se ram ne au cas pr c dent gr ce au lemme de Kronecker Lemme 6 3 4 Soient pour n gt 1 bn n E R 0 lt bn n 00 et Sn z1 n Si la s rie 37 converge 0 Preuve On pose bo 0 Un bn bn 1 20 0 zn dE FE On a donc bn X a Vk t gt gt bk Zk 2x1 bnn 3 Uk k X Uk Zn Zk On en piee que pour tout p lt n n 1 3 DE 1 lt es gt i X F Z k 1 eo br k 1 EEE b l a ay Sisi m k p 1 D o puisque bn gt n 00 et D vx lt 1 pour tout p imsup LS z lt sup z n k DRZP quantit arbitrairement petite vu que z converge Proposition 6 3 5 Soient X1 Xn une suite de v a r elles ind pendantes et de carr me et bn n 00 On pose Sn X1 Xn Alors si D ua b 0 et si E 1 E Xk gt n M z gt n M p s et dans L Preuve On peut supposer les X centr es et alors m 0 Vu le th 6 3 3 3 Res Dk converge p s et donc lem 6 3 Sa n 0 p s Quant la convergence L on a 7 TE LSE Xk gt n 0 n k 1 puisque g E X converge lem 6 3 4 pour la suite b2 o k Corollaire 6 3 6 Soient X1 X une suite de v a r elles ind pendantes et de m me loi avec E X lt 00 Alors 2e n E X1 p s et dans L Preuve Il suffit de remarquer que Varta Var X J
78. Soit gt 0 On choisit f C4 telle que f a 0 et f x 1 si z a gt e Alors P IXn a gt Elyx a gt ey lt E f Xn gt n f a 0 o Le r sultat suivant sera utile Proposition 7 2 7 Soient Xn et Y des v a r elles On suppose que Xn converge en loi vers X et que Yn converge en loi vers a R alors Xn Yn converge en loi vers X a En particulier Xn Yn converge en loi vers X a et XnYn converge en loi vers aX Preuve Posons pour u v R pp E e tXn v n _E eituX va T suffit prop 7 2 2 de montrer que pn gt n 0 On a lpn lt Eje Xn 60n a eva Eet et Xn eux lt E etYn era SE P e An SERRE an bn D une part posant f y e eva f Cp et donc an E f Yh gt n fla 0 d autre part par hypoth se bn 0 La fin de la proposition r sulte de la prop 7 2 3 7 2 3 Le cas des v a enti res Proposition 7 2 8 Soit Xn X des v a valeurs N Alors Xn converge en loi vers X ssi pour tout k N P Xn k gt n P X k Preuve i Supposons que Xn converge en loi vers X et soit f Cp telle que f k 1 f 0 sur k 1 k 1 On a P Xn k E f Xn gt n E F X P X k ii Supposons que pour tout k N P Xn k gt n P X k On a pour f Ck et donc nu
79. X n 92 n0 1 0 n n 1 02 n0 X X 1 et n n 1 est un e s b et donc un e s b v m de 02 104 Notions de statistique ii Il r sulte de i et ii que Ey x 0 0 Donc xM est un e s b et aussi un e s b v m de 4 62 8 2 3 Un crit re g n ral Proposition 8 2 4 Soit T un e s b de f 0 C est un e s b u m ssi pour toute statistique r elle U telle que pour tout 0 Eo U 0 on a pour tout 0 Eo TU 0 Preuve i On suppose que T v rifie la condition ci dessus Soient S un e s b de f 0 et U S T On a Eg U 0 et Varo S Varo T U Varo T Varo U 2Cova T U gt Varo T puisque Cova T U E TU E T E U 0 ii On suppose que T est un e s b v m de f 0 Soient U telle que Eg U 0 et S T pU Evidemment S est un e s b de f 0 On a puisque Eg U 0 Varg S Varo T pU Varg T 20E TU p Varg U Supposons E TU gt 0 Choisissant p lt 0 assez pr s de 0 on a Varg S lt Var T ce qui contredit T e s b v m On fait le m me raisonnement si E TU lt 0 et finalement on obtient E TU 0 8 2 4 Applications i Soit X1 X un n chantillon de la loi de Poisson P 4 0 gt 0 inconnu On veut estimer 8 La loi de X1 X est
80. X X Var X Pour tous a b R Cov X a Y b Cov X Y ii Si les v a X et Y sont ind pendantes Cov X Y 0 i X Y Cov X Y est une forme bilin aire sym trique En particulier vu i n Var Xk X Var X 2 y9 Cov X Xx k 1 k 1 1 lt lt k lt n Remarque Cov X Y 0 n implique pas l ind pendance de X et Y Par exemple si la loi du couple X Y est donn e par P X Y 1 0 P X Y 1 0 P X Y 0 1 P X Y 0 1 i on a E X E Y E XY Cov X Y 0 et P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 4 4 4 Coefficient de corr lation Soient X et Y deux v a r elles de carr int grable non p s constantes donc Var X gt 0 Var Y gt 0 On appelle coefficient de corr lation de X et Y et on note p X Y la quantit __ Cov X Y PAT OO Ve On Noter que in galit de Schwarz p X Y lt 1 que p X Y p Y X et que p X Y 0 si X et Y sont ind pendantes De plus Proposition 4 4 6 Soit X et Y deux v a r de carr int grable non p s constantes Alors a b E Y aX b est minimum pour Cou X Y Var X b E Y E X et ce minimum vaut Var Y 1 p X Y Preuve Posant X X E X Y E Y b b E Y aE X ona ela b E aX b E a E X b 2aE X
81. Xa Cov X4 X1 sir st ex Var Xa Noter que si les composantes X1 X4 sont ind pendantes K X est diagonale Proposition 4 5 4 Soit X Li On a i K aX K X a R K X a K X a Rd KT X K X ii Pour tout Rd ATK X A gt 0 i Soit M une matrice d terministe r x d on a K MX MK X M Preuve i r sulte de la d finition 4 20 Vu i on peut supposer E X 0 Alors XK X 1 AXE X XA E XX XT EX X gt 0 i Vu i on peut supposer E X 0 Alors K MX E MX MX E MXX M ME XX M MK X M o Les points i et ii montrent que K X est sym trique semi d finie positive Th or me 4 5 5 Soient X Y Le des vecteurs al atoires ind pendants on a K X Y K X K Y En particulier sid 1 Var X Y Var X Var Y si les v a r X et Y sont ind pendantes Preuve On peut supposer E X E Y 0 Alors K X Y E X Y X Y 1 E XXT E YYT puisque vu l ind pendance E XYT E X E YT 0 et de m me E Y XT 0 o 4 5 4 La matrice de dispersion donne des renseignements sur le support de la loi de X 48 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Proposition 4 5 6 Soit X L3 On a P X E X Im X 1
82. a encore un sens en rajoutant dans ii la condition UnAn B On a ainsi la notion de mesure sur une alg bre 26 Mesure Int gration Proposition 3 2 2 Soient u et v deux mesures sur E B et C C B une classe d ensembles stable par intersection finie On suppose que pour tout A E C A v A lt et que E lim En avec En C Alors A v A pour tout A o C Preuve Supposons d abord u E v E lt 00 Soit M A B A v A On v rifie imm diatement que les hypoth ses de la prop 3 1 2 sont v rifi es On a donc o C C M Le cas g n ral se traite en appliquant ce r sultat aux mesures Un A AN En et n A v AN En Corollaire 3 2 3 Soient u et v deux probabilit s sur E B et C C B une classe d ensembles stable par intersection finie telle que o C B Si A v A pour tout A EC alors u v 3 2 2 Soit E B u un espace mesur Un sous ensemble A de E est dit n gligeable ou u n gligeable s il y a ambigu t si A C B avec B B et u B 0 Une propri t est vraie presque partout en abr g p p ou plus pr sisemment u p p si elle est vraie en dehors d un ensemble n gligeable Par exemple f g p p signifie que x E f x g x est n gligeable Si u est une probabilit on dit presque s rement en abr g p s pour presque partout On note M la classe des ensembles n gligeables Il faut noter que si An N on a UnAn N Si N C B l esp
83. a probabilit al atoire 1 n uX X x 8 1 k 1 s appelle la r partition empirique d ordre n de u On a alors Proposition 8 1 3 Presque s rement uX converge troitement vers p Preuve D apr s la loi des grands nombres pour toute f Ch fra ENX E f au ps k 1 Soit 1 p un ensemble dense dans Co On a p s f p du gt n JP du pour tout p et donc prop 7 1 2 p s u converge troitement vers u 100 Notions de statistique 8 1 2 Le cas r el On suppose d 1 et on note F la fonction de r partition de u La fonction de r partition de u s appelle la fonction de r partition empirique de y et se note FX On a donc 1 n FR 6 ma t D l ot A4 8 2 k 1 Il r sulte de 8 2 que nF t B n F t et que pour tout t FX t F t p s En fait on a un r sultat beaucoup plus fort appel th or me de Glivenko Cantelli Th or me 8 1 4 super FX t F t gt n 0 p s Preuve On pose F FX i On suppose que p est la loi uniforme sur 0 1 D apr s 8 2 et la loi des grands nombres il existe avec P A 1 tel que pour tout w tout k gt 0 et tout p gt 0 LA EE On a alors pour w pour k 1 p et pour Left k 1 k 1 1 k 1 k k k i k Fn Fn 2 lt FP t t lt es j EE z FE J 5 t a a 5 d o 7 7 i F t t lt max et Fuel t t Do oi ni p et li
84. a section 4 9 Soit u une probabilit sur R On note F sa fonction de r partition def 4 3 1 On sait que F est continue ssi u x 0 pour tout x R 7 5 1 M diane Tout r el tel que u gt et u A o0 gt s appelle la m diane de u On a donc X tant une v a de loi p P X lt gt et P X gt gt NI NI ie F A gt et F A lt Il y a donc trois cas possibles i Il existe un unique tel que F A Ce nombre est alors l unique m diane En particulier c est le cas si F est continue strictement croissante ii Il existe une infinit de tel que F A Tous ces nombres sont des m dianes et ce sont les seuls iii Il existe videmment unique tel que F A lt 4 et F A gt Ce nombre est unique m diane 7 5 2 On consid re maintenant une suite X1 X de v a r ind pendantes de m me loi u On suppose que F fonction de r partition de u est continue Soit M la m diane empirique de X1 X n 1 voir 4 29 Proposition 7 5 1 On suppose qu il existe un unique tel que F A Alors Mn n p s Preuve Soient s lt lt tet Falu 15 lj ou Xi Noter que p s Fon 1 Mn EA et ae vu l unicit de e ES lt F t Vu le th 6 4 1 Fon 1 s gt n F s lt et Fonyilt gt n F t gt p s et donc ljst Mn n 1 p s On en d duit que p s liminf M gt et limsup
85. ace mesur E B u est dit complet Si ce n est pas le cas on peut le compl ter de la fa on suivante On d finit B o B N Alors A B ssi A BUN avec Be Bet N N On peut prolonger y B en posant u A u B il est facile de voir que ceci ne d pend pas de l criture de A L espace E B u est alors complet et s appelle le compl t de E B u Enfin on v rifie ais ment que f E R est B mesurable ssi il existe g h E R B mesurables telles que g lt f lt het g h u p p 3 2 3 Construction Dans la suite la plupart du temps on partira d un espace mesurable ou d un espace de probabilit sans se soucier de sa construction Il est n anmoins indispensable de s assurer de l existence de tels objets On va s int resser aux mesures sur B R finies sur les intervalles born s Observons d abord que C a b 0 lt a lt b lt 0 est une classe stable par intersection finie et que o C B R Il r sulte alors de la prop 3 2 2 qu une mesure u sur B R finie sur les intervalles born s est d termin e par les valeurs u a b Ensuite tant donn e une telle mesure si on pose F 0 0 F x p 0 2 x gt 0 F x u x 0 x lt 0 F x est une fonction continue droite et croissante et l on a u a b F b F a On est donc ramen au probl me suivant Soit F une application de R dans R continue droite et croissante existe t il une mesure y sur B R telle que
86. ance de X On a Var X E X E X et Lemme 4 2 6 Si Y L E Y a est minimum pour a E Y et ce minimum vaut Var Y Preuve En effet si m E Y E Y a E Y m m a On note aussi o pour Var X la racine carr e positive de Var X s appelle l cart type et se note c Une v a X L est dite centr e si E X 0 Une v a X L est dite centr e r duite si E X 0 et E X Var X 1 Noter que si X L et ox gt 0 oz D E X est centr e r duite Proposition 4 2 7 i Soit X LP p gt 1 On a pour tout gt 0 1 R P P X 2 lt EXP ii Soit X L On a pour tout gt 0 1 x Preuve i On remarque que W1 x gt 14 lt X et on prend l esp rance ii On applique i X E X P IX E X gt lt Var X La premi re de ces in galit s s appellent l in galit de Markov la seconde l in galit de Bienaym Tchebichev Montrons maintenant l in galit de Jensen 41 Proposition 4 2 8 Soient X une v a r et f une application convexe de R dans R On suppose X et f X int grables Alors f E X lt E f X Preuve Soit m E X La fonction f tant convexe il existe une droite passant pa
87. artition F et X 1 Xn l chantillon ordonn associ Alors la Jonction de r partition de X x est donn e par ni F t F t Hs pi gf1 1 0 d0 4 31 En particulier formule facile obtenir directement RO 1 1 FE Falt FO 4 32 Le cas le plus important est celui o u a une densit p et dans ce cas Corollaire 4 9 2 Soit X1 X un n chantillon d une loi sur R de densit p x et de fonction de r partition F Alors la densit de Xx est donn e par ald en PONT FOA 4 33 4 9 8 En fait lorsque u a une densit p il est facile de calculer la densit de l chantillon ordonn en tant que loi marginale Th or me 4 9 3 Soit X1 X un n chantillon d une loi sur R de densit p x Alors la densit de X 1 X est donn e par f 1 n mp pad lt lt en 4 34 60 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Preuve Soit G l ensemble des permutations de 1 2 n On a pour h gt 0 E R X o Thk gt X n gt E R X 1 des X n Hxoa lt lt Xom o G h o 1 Zo n P z1 En dir dEn o G Lo lt lt To n f h z1 n p 1 pln dz dEn scES 1 lt lt En n f h 1 amp n p x1 pln dz1 dEn x 1 lt lt En A partir de 4 34 il est facile de retrouver 4 33 i e la densit qg de X x con sid r e comme une marginal
88. ation de 1 toute bijection o de N sur T Soient a i I une famille de nombres r els ou complexes et une num ration de I On pose S ag 0 ag 1 agn 2 1 2 1 3 Famille sommable positive On suppose que pour tout i I a gt 0 Alors la suite S est croissante Soit S lim T S e R Si 4 est une autre num ration de I on a pour n fix et m assez grand 04 0 4401 Gg n awy 0 t01 s Opm Y et donc S lt S2 lt S d o S lt SY Changeant le r le de D et Y on a SY lt S et finalement S S On peut noncer Th or me 2 1 1 Soit a i E I une famille de nombres positifs Alors pour toute num ration D de I la suite S d finie par 2 1 converge en croissant vers un nombre S R ind pendant de On note S Ye a Si S lt 00 la famille est dite sommable Quelques cons quences imm diates i Si In 1 I In fini Pier i T Der ti 14 Espace de probabilit discret ii Pour tout lt D jer ti il existe J C I J fini tel que D jai gt iii Si 0 lt Qi lt bi So i lt gt q bi iv Pour a gt 0 8 gt 0 a 0 b gt 0 on a X aai bbi a ai 8 bi icl icl ici icJ Remarque En fait J jez a est d fini pour a R et vaut oo si ai pour un au moins 2 1 4 Passage la limite croissante Proposition 2 1 2 Soit pour tout n N a n i I une famill
89. atrice de covariance K X est diagonale ii On pose Yi Xipe Xa Yo Xith en Nr e Yr Xa i4 Xd Les vecteurs Y1 Yr sont ind pendants ssi Kij X Cov Xi Xj 0 pour tous i j nappartenant pas au m me intervalle 1 di di 1 d dr 1 1 d 68 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens Preuve Seule la suffisance demande une preuve i Supposons K X diagonale On a K X diag o o2 o a Var Xx Alors notant m E X d d d 1 1 t exp 2 mt T5 D JI expliMktk 57h x t1 Px ta k 1 et donc prop 5 2 4 les Xz sont ind pendantes ii Supposons la condition sur les covariances r alis es Elle implique pour tous u E R us ER h et p q Cov urY ulYs 0 Donc d apr s i les v a r ulY1 ulY sont ind pendantes On a alors Lei tu E eiuiri E eiurYr et prop 5 2 4 les v a Y1 Y sont ind pendantes Remarque Attention l utilisation du th 5 3 6 On peut avoir X et Y var gaussiennes Cov X Y 0 sans que les v a X et Y soient ind pendantes Par exemple si X N 0 1 si U est une v a ind pendante de X telle que P U 1 P U 1 et si Y UX on v rifie facilement que Y N1 0 1 On a Cov X Y E XY E UX E U E X 0 et X Y donc X et Y ne sont pas ind pendantes En fait le couple X Y n est pas gaussien
90. centr 6 3 1 La convergence dans L est simple tudier Proposition 6 3 1 Soit X1 X une suite de v a r elles ind pendantes de carr int grable et centr es Alors Sn converge dans L ssi la s rie X E X2 est convergente Preuve On a pour n lt m E Sm Sn E D Xx Y EG 73 On en d duit que Sn est une suite de Cauchy de L et donc converge dans L ssi S E X lt 00 6 3 2 L outil de base est l in galit suivante due Kolmogorov Proposition 6 3 2 Soit X1 Xn une suite de v a r elles ind pendantes de carr int grable et centr es Alors pour tout p gt 0 et tout n Le P max ISkl gt p lt 2 E XE Preuve On pose maxi lt gen Sk gt p et pour k 1 n By 61 lt Sx 1l lt p Sk gt p Les ensembles B sont disjoints d union A Noter que pour k lt n E B Sh E 1B Sk Sn 8x E B Sk E 18 Sn 8x gt E B Sk puisque les v a 18 9 et Sn Sk tant ind pendantes E 1B Skl Sn Sk E 1B Sk E Sn Sk 0 On a alors vu que S2 gt p sur Bk k P z3 A PDC P B lt X E 1B 9k lt X E B S7 lt E S X E X
91. crivant f ft f o Supposons que v h1 u h2 u et que v soit born e alors h1 h2 L u et on a 3 3 3 vi h h2 u p p On voit facilement que ceci est encore vrai si v est o finie 3 4 3 Th or me de Radon Nikodym Soient u v deux mesures sur E B On cherche savoir si v a une densit par rapport u Si v h u on a videmment pour A B A 0 implique v A 0 Il est remarquable que cette propri t suffise caract riser les mesures ayant une densit par rapport p D finition 3 4 3 On dit que v est absolument continue par rapport u si A B et u A 0 impliquent v A 0 On note alors v amp u On a th or me de Radon Nikodym Th or me 3 4 4 Soient u v deux mesures o finies sur E B telles que v amp u Alors il existe h B unique un u p p pr s telle que v h y 3 5 Mesures produits 3 5 1 Soient E1 B1 E2 B2 deux espaces mesurables On d finit une tribu sur E x E2 appel e tribu produit de B1 et B2 et not e B1 Q Bo par B 8 B2 o Ai x A A B1 A B Alors si f E1 x E2 R est une fonction B1 amp B2 mesurable on a que pour tout z E E1 2 gt f 1 2 est B2 mesurable et que pour tout 2 E2 1 f z 1 2 est B1 mesurable En particulier si B1 B2 Az x1 1 2 A E B et Az t2 1 2 A B2 On en d duit facilement que si f B 8 B2 et si u est une mesure sur E Bi
92. d autre part Sn Sa liminf log P gt a gt inf I x I a n x gt a lim inf log P 6 6 5 Exemples a u m i e P X1 m 1 On a A R A e G A m I x 0six m I x o si x m b u p i 1 p o 0 lt p lt 1 i e P X1 1 p P X1 0 1 p On a A R pl pe ie 1 P G A E log pe F 1 p Ia zlog 1 log si 0 1 eds Da c u Ni m o i e du x TE exp z x m dx On a 2 12 A R exp m G m 5 z m QE en c u G 1 7 i e du x yelo 00 t dr On a A 00 y pl N lt Y G A log lt 7 G x 00 gt Y I x yx 1 log yx si x gt 0 I x o si x lt 0 Noter que u a pour support 0 00 et que pour tout a gt 0 l quation G a s crit D a et a pour solution y 0 7 La condition 6 7 est bien v rifi e dans ce cas Chapitre 7 Convergence en loi 7 1 Convergence troite On note M1 l ensemble des probabilit s sur B R1 Cp resp Co resp Ck l ensemble des fonctions continues born es resp tendant vers 0 linfini resp support com pact sur Rd Soient un u Mi On veut donner un sens un converge vers p Il semble naturel de demander que pour tout B R un A u A mais ceci est tr s contraignant Par exemple sur R si yn 01 et u o on
93. de construire une suite un n gt 1 de nombres compris entre 0 et 1 et pouvant tre consid r e comme le r sultat de tirages ind pendants selon la loi U 0 1 Soit U n gt 1 une suite de v a ind pendantes de loi U 0 1 On a loi des grands nombres pour tous 0 lt a lt b lt 1 1 n n DE Lab Ux nb a p s k 1 Mais X1 U1 U2 X2 U3 U4 Xn Uon 1 Van est aussi une suite de v a ind pendantes valeurs R de loi uniforme sur 0 1 x 0 1 et l on a pour tous 0 lt a lt b lt 1 0 lt a2 lt bo lt 1 posant D ax b x a2 b 1 n gt 1p U25 1 U2j 2 gt n b 1 b2 a2 p s j 0 Plus g n ralement pour tout k et tous 0 lt a1 lt b lt 1 0 lt ag lt bk lt 1 posant k D LLj 1laz bj n k 1 gt 1p Ukj 1 Ukj k gt n J amp aj PS j 0 j 1 Ceci conduit D finition 6 4 4 Une suite un n gt 1 de nombres compris entre O et 1 est dite k uniforme k N si pour tous 0 lt ay lt b lt 1 0 lt ax lt bk lt 1 posant D I laj dj 114 5 05 n k gt 1p Ukj 1 zas Ukj k gt n IG cr aj j 0 j 1 L id al pour qu une suite un n gt 1 puisse tre consid r e comme le r sultat de tirages ind pendants selon la loi uniforme sur 0 1 serait que cette suite soit k uniforme pour tout k mais ceci en pratique est impossible et on se contente d approximations 78 Convergenc
94. dentes Dans le cas g n ral elles se montrent de la m me fa on Exemple Le bridge se joue avec un jeu de 52 cartes de 4 couleurs Il oppose deux camps de chacun deux joueurs On distribue 13 cartes chaque joueur On dit qu une main est 5521 si elle se compose de deux couleurs de 5 cartes d une couleur de 2 cartes et d une couleur de 1 carte Quelle est la probabilit p qu une main soit 5521 La probabilit pour qu une main comprenne 5 piques 5 c urs 2 carreaux 1 tr fle est loi hyperg om trique g n ralis e CCC eC a HS SU 0 002645 C52 On obtient la probabilit cherch e en permutant les couleurs Il y a C2 fa ons de choisir les deux couleurs de 5 cartes puis deux fa ons de choisir la couleur de 2 cartes On a donc p 2C a 0 03174 Vous jouez un contrat avec pique comme atout Vous avez avec votre partenaire le mort 9 piques Quelles sont les probabilit s q1 q2 q3 que chez vos adversaires les piques soient partag s 4 0 3 1 2 2 La probabilit qu un de vos adversaires ait 4 resp 3 resp 2 piques est loi hyperg om trique 49 310 2 11 C4032 0 0478 resp ace 0 2486 resp Cats 0 40695 CH CH CH On a donc q 0 09565 q2 0 4974 q3 0 40695 1 3 Probabilit conditionnelle On consid re un espace de probabilit fini Q P On crit indiff remment AN B ou AB 1 3 1 Probabilit conditionnelle Soient Q une population A la sous
95. des v a r A Me de lois respectives G a c et G b c 4 12 a b c gt 0 On pose S X Y T On veut calculer la loi du couple S T Vu l ind pendance le couple X Y a pour densit a b c c x a hx y x y TORO y y ty TMo oofl Lio f Soit lapplication x s x y t zty est un diff omorphisme de 0 oo x 0 20 sur 0 20 x 0 1 De plus me 1 s t s La densit de S T est donc prop 4 6 1 a b C heno TO Ce UN nd t Lo oo S Ljo 11 50 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Le cor 4 5 3 montre que S et T sont ind pendantes que a pour densit a b 2 C cs _a b 1 hs s ee T a Es b e S ljo of 5 i e S G a b c et que T a pour densit T a b ij b 1 R A 1 1 t Puisque hr est une densit de probabilit on a montr au passage la formule i ROO EHI H dt eus 4 23 eo T a b EP 4 6 4 L exemple suivant sera tr s utile pour simuler des v a r gaussiennes Proposition 4 6 3 Soient X Y un couple de v a r ind pendantes de m me loi U 0 1 On pose U y 2log X cos 27Y V y 2log X sin 27Y Alors les v a U et V sont ind pendantes de m me loi N1 0 1 Preuve Soit y x y u V 21og x cos 2ry v y 2 log x sin 2ry Y est un diff omorphisme de D 0 1 x 0 1 sur A R R x 0 On a J Y x y 2 et vu 2 v 21 J bT Le u v 2 T et vu que u v og x J
96. du lt o p gt 2 On note m f x du x o f x m du x On pose pour r N r lt p 1 M a duX a 45X 8 3 k 1 Alors M s appelle le moment empirique d ordre r En particulier on note I Xn M SX 8 4 k 1 quantit qui s appelle la moyenne empirique On a E Xh m Var X z2 3 3 Van Xk t loi des grands nombres Xp M p s Lemme 8 1 6 Soient a x1 2n E R et x D zk Alors nm nm X ak 7 X zk a n n T a D k 1 k 1 Preuve Il suffit de noter que D xx T 0 et d crire k T k a a T Soit 2 la variance de la r partition empirique u On a vu le lem 8 1 6 n n HES xP CX Sex PiN m m k 1 k 1 K A 2 PL z A 2 A et E 82 o T o C est pourquoi on pr f re en g n ral appel variance empirique la quantit n 1 s2 R N Xr Xn 8 5 k 1 qui v rifie E s o Noter lem 8 1 6 que n 1 7 M sa mAg ar An gt n E X m 0 p s Si n est fix on crit simplement X et s pour X et s2 102 Notions de statistique 8 1 4 Mod le statistique Soit X X1 X un n chantillon d une loi u sur R En statistique la loi u est totalement ou partiellement inconnue ce qu on mod lise en disant que y appartient la famille 9 0 O Dans ce polycopi le plus souvent on aura C
97. e Xk w l lt DE ex k m k m Vu la convergence de en ceci implique que X w est une suite de Cauchy et donc Xn w converge Corollaire 6 1 4 De toute suite Xn convergeant en probabilit on peut extraire une sous suite Xn convergeant p s Preuve Vu que pour tout k P X X gt 27 k 1 gt n 0 on peut construire une suite croissante ny telle que pour tout n gt ny P IX X gt 27 lt 2 41 On a alors PIX Xl gt 27 PR X gt 27 P Xn X gt 270 lt 27 Nk 1 71 D o prop 6 1 3 Xn converge p s Il est tr s utile d avoir des crit res de type Cauchy Proposition 6 1 5 Soit Xn une suite de v a r i Xn converge en probabilit ssi pour tout p gt 0 supg P Xn k Xn gt p n 0 ii Xn converge dans LP 1 lt p lt 00 ssi supp E Xn k Xnl gt n 0 iii Xn converge p s ssi pour tout p gt 0 P sup Xn k Xn gt p gt n 0 Preuve i Supposons que pour tout p gt 0 sup P Xn k Xn gt P gt n 0 On peut alors construire une suite croissante d entiers ny telle que P Xn 1 Xn gt 27 lt 27 et donc prop 6 1 3 Xn converge p s et a fortiori en probabilit vers une v a X Alors tant donn gt 0 P IXn X gt p lt P Xn Xn gt p 2 P X Xn gt p 2 lt pour tout n gt n si on choisit r assez grand et Xn X en probabilit Vu que P Xn k Xn gt p lt P X
98. e de X 1 X n On a donc posant A z1 lt TRADE RENE re ee qalt n f plz p k 1 pt p k 1 cor dre d k 1d k 1 dEn z e Jaaa PC d r der 1 F t PE ae COTA rO 0 Exemple Soit X1 Xn un n chantillon de la loi uniforme sur 0 1 Alors la loi de X 1 X n a pour densit n ltr lt lt en et celle de Xx 1 lt k lt n a pour densit ni And e H lolt En particulier calcul facile en utilisant la formule 4 23 E X E Chapitre 5 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens 5 1 Transform e de Fourier 5 1 1 Rappelons que le produit de convolution de deux mesures born es sur R a t d fini en 3 5 4 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs Rd On pose S X Y Cherchons la loi de S On a pour toute f B R ETS EUX Y f fe du ladut f fap On peut noncer Proposition 5 1 1 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs R On a Ps 5 Hx Hy On sait que pour calculer des produits de convolution la transformation de Fourier est un outil indispensable 5 1 2 Transform e de Fourier On note M l ensemble des mesures born es sur B R Pour u M4 on pose DE i SE Qu x tE Ri 5 1 De m me pour h L R4 mesure de Lebesgue sur R on pose TE f ei lt te gt h x dr te Ri 5 2 La fonction ji resp h s appelle la transform e de Fourier de y resp de
99. e de r els positifs On suppose que pour touti I a n T a lorsque n 00 Alors De ailn gt ai lorsque n 00 iel iel Preuve Soient S n Jer ain S lim fn S n S Jier ai Evidemment S lt S Soit lt S Il existe J fini J C I tel que ai gt A Donc pour n assez grand eg fn gt A et S gt A d o S gt Set S S o 2 1 5 Sommation par paquets On dit que Ij j J est une partition de T si les Tj sont deux deux disjoints et si I Ujeyl Proposition 2 1 3 Soient a i I une famille de r els positifs et Ij j J une partition de I On a Due iel jeJ icl Preuve Soient Kn 7 I Kn fini et Jn j J Kn A Ij 0 Kn et Jn tant finis Xas gt us bln iEKn JE Jhn iEL NKn jeJ o bj n Osi j Jn bj n Y ier nr Sij Jn D une part Dex Qi n Der et d autre part pour chaque j bj n n Der ai d o prop 2 1 2 de bj n n Dies Dier Qis 2 1 6 Le cas g n ral On consid re maintenant une famille a i I de nombres r els ou complexes D finition 2 1 4 Une famille a i I de nombres r els ou complexes est dite sommable si Der lail lt 00 15 Th or me 2 1 5 Soit a i I une famille sommable de nombres complexes i Pour toute num ration de I S d finie par 2 1 converge vers S C ind pendant de On note S J er On a X erail lt Der lail ii Soit Ij j
100. e des suites de variables al atoires On utilise fr quemment des algorithmes du type suivant On choisit M N grand de l ordre de 108 et une application g de E 0 1 M 1 dans lui m me On se donne vo E et on pose Un 1 g Un Un Vn M Les diff rents choix de vo engendrent diff rentes suites Une telle suite tant n cessairement p riodique ceci n est qu une approximation On peut prendre M 23t et g x 7 x modulo M 6 4 3 M thode de Monte Carlo Le principe de la m thode est le suivant Soient f une densit sur R4 Xn n gt 1 une suite de v a ind pendantes de densit f et L f X Alors d apr s la loi des grands nombres h EY X a RAX e o de T ps k l Donc si on sait simuler des v a de densit f on peut obtenir une valeur approch e de I Noter que I se met sous forme r cursive 1 1 In T ng 1O In ce qui rend le calcul agr able Examinons de plus pr s deux cas 1 On veut calculer fp h x dx D tant un domaine born de R et hlp int grable Soient TI ax de HD TI br ak et Xn n gt 1 une une suite de v a ind pendantes de loi uniforme sur A On peut appliquer le r sultat pr c dent f 214 hlp et on a V 1 r LIADA aV I RIDADE f aini 2 On veut calculer f x f x dx f densit et 6 L f X et on sait simuler des v a Yn n gt 1 ind pendantes de densit g avec f lt ag Alors on peut utiliser la
101. e m E X1 o E X1 m p E X1 m Alors Sn nm lt x i vriz LE oyn V2T J oyn sup P x 93 Exemple Soit Zn B n p On a Zn 5_ Xx avec X v a ind pendantes de loi B 1 p On a posant q 1 p o X1 pq p pq p q lt pq et finalement Z 1 F g 1 P E lt r Er ee y rpq V 2T J pqn On voit que cette approximation est peu fiable pour p proche de 0 ou 1 7 4 Compl ment d monstration du th or me de Berry Esseen Il s agit de montrer le th 7 3 4 En fait nous montrons un nonc un peu diff rent o la conctante C n est pas pr cis e Cette valeur de C n est pas connue on sait seulement que C lt 0 8 Th or me Il existe une constante universelle C telle que pour toute suite X de v a r ind pendantes et de m me loi avec E X1 lt 00 on ait posant m E X1 o E X g m P E X1 z ml Sn nm Her CE PE 7 4 1 Preuve D apr s Ho et Chen reprenant une m thode de Stein On fixe n et on pose Y an Un TT Y u loi de Y On a E Y 0 nE Y 1 PEYI p VnE MI lt Ilvars lt IVnMI p puisque rl gt jayi 1 On note sup P T 1 z2 1 i t2 e 7 x T2 dt eee Il s agit de montrer que sup P Un lt 2
102. espace mesur 8 3 1 Int gration des fonctions positives On va construire l int grale de f par rap port u Si f eBt c est tr s facile f s crit f D _ axla Ak B et l on pose fta hA k 1 Des consid rations l mentaires montrent que ceci ne d pend pas de l criture de f et que pour f g eB et a b R f af bg du a f f du b f gdu et que si f lt g J f du lt fgdu On a aussi le r sultat plus technique suivant qui est la cl de la construction Lemme 3 3 1 Si fh 9n eBt sont croissantes et si lim fan lim gn on a lim f f fn du lim 7 f gn dp Soit f BT Il existe prop 3 1 2 une suite fn eB telle que fn f on a alors J fn du T et on pose f f du lim T f fandu Le point important est que d apr s le lem 3 3 1 cette limite ne d pend pas de la suite fn choisie On a en particulier vu 3 2 pour f B n2 1 k Jrdu imt S Sulle E lt 0 lt RED nde He 20 33 k 0 28 Mesure Int gration Par passage la limite on obtient imm diatement que pour f g B et a b RF J af bg du a f du b g du et que si f lt g f fdu lt gdu Enfin on dira que f BY est int grable si f f du lt oo 8 8 2 Int gration des fonctions r elles ou complexes On pose L L E Bu f B Hiisi 34 Si f Lt ft et fT sont int grables et on pose fra fra fF du Il est facile de voir vu que f g
103. et f t K t dt 2E 1Y1 57 Enfin f Kb ar lt V7 It K t dt lt Ve Siro TEE l gt e vn P Jilt gt p vn P 2 La preuve repose sur une in galit de concentration pour Up 1 Lemme 7 4 2 On a pour tous a lt b P a lt Un 1 lt b lt b a 2p n Preuve On consid re la fonction f d finie par f x 5 FT siz lt a Ta 2 fa r sia IrL bt A et f r sira b A Ona 95 f x lt 22 Tn et f C avec f x lfa lt a lt bt On a alors vu 7 7 le lem 7 4 1 et que E Uh lt BORNE 1 P a lt Un 1 lt b lt a ltl lt p vn lt 2 a lfa lt Un 1 1 lt b4 23K t dt 2 a f Un 1 t K t dt 2 Un f Un lt 2 fllo lUnll lt b a 2 o On peut maintenant exploiter 7 8 Remarquons d abord que vu 7 5 LracUn_1 lt b K t dt folu s folu t lt u s folu s u t folu t halu s halu t lt lul folu s folu t s folu s lt folu t holu s hilu t lt Jul 1 t s Elisa ses ab lts lt t l b t lt u lt b s Reportant ceci dans 7 8 on obtient utilisant le lem 7 4 2 que f t K t dt 5 aie que f s du s E Mi lt 2 et que E Un 1 lt E U2 2 lt 1 sup P Un lt b b lt I I Is IED E Un 1 1 K
104. facile de voir en appliquant la prop 3 3 7 que si X LT x est m fois d rivable et qu on obtient les d riv es successives en d rivant sous le signe E R ciproquement on a Proposition 5 2 6 Soit X une v a valeurs R Si x est 2m fois d rivable en 0 m entier X pam 65 Preuve On se limite d 1 m 1 On pose 9 y et u uy On a 0 lima o 7z h h 26 0 et A h 2600 f e e 2 qua 4 f sin due Appliquant le lemme de Fatou prop 3 3 4 on a sin 22 in 2 du x gt 1 f timint TT xr du x E du x 0 0 lim4 f 5 2 4 Fonctions caract ristiques usuelles voir 2 2 5 et 4 3 1 pour les d finitions a Loi binomiale B n p Si X B n p on a HOSS Cpap ER ETa k 0 Cette formule et le th 5 2 3 montrent que si X B n p et Y B m p X Y ind pendantes alors X Y B n m p En particulier si X1 Xn sont des v a ind pendantes avec P X 1 p P X 0 1 p Sn X Xn B n p b Loi de Poisson P A Si X P A Px 0 B X Se Ti expAle 1 Donc si X P A et Y P n X Y ind pendantes X Y P A y c Loi uniforme Si X U a b a lt b 1 b si ett etta x 6 e e d Loi gamma G a c Si X G a c on a a mas TP ieg erya dy lt T a Jo l Utilisant la prop 3 3 7 et int grant par partie on obtient
105. g fa tpt dt 52 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires et V pour densit are Louf t Enfin E U V E d U E V et U et V sont ind pendantes th 4 4 4 4 6 8 Loi des min et des max Soient X1 X2 Xn des v a r elles ind pendantes de fonction de r partition F1 F2 F On pose D une part pa A II x A n A II i e IA ji et V a pour fonction de r partition F t _ F t D autre part n n HUSIA bat eE Get TI k 1 k 1 et U a pour fonction de r partition F t 1 1 Fx t Si les X ont m me loi pour tout k F t F t et F t FH POS a Fr Si de plus les X ont une densit F est d rivable et on obtient les densit s de U et V en d rivant F t et F t 4 7 Conditionnement 4 7 1 Soient un v nement tel que P A gt 0 et Y une v a valeurs Rd Posons pour I B R u T 4 P Y T A P ANn Y eT 4 24 P 4 Alors tant fix I u T A est une probabilit sur R qu on appelle loi condi tionnelle de Y sachant A De m me pour 6 L u 1 J odu EONIA pey 90e 4 25 P A JA s appelle l esp rance conditionnelle de Y sachant A 4 7 2 Consid rons une v a valeurs fini ou d nombrable telle que pour tout a E P X a gt 0 et Y une v a valeurs Rt Prenant A X a on obtient la loi c
106. gales 6 1 2 Exemples Soit X une suite de v a r ind pendantes telles que P X a Pn P Xn 0 1 pn On suppose 0 lt pn lt 1 Pn n 0 et an gt 1 a On a pour 0 1 P Xn gt P X gt pn et Xn 0 en probabilit b On a P Xn gt 0 p donc si pn lt 00 on a prop 4 1 2 que Xn gt 0 n a p s lieu que pour un nombre fini de n donc Xn gt n 0 p s R ciproquement si X Pn 0 on a prop 4 1 2 que Xn an a p s lieu pour une infinit de n donc Xn ne converge pas p s vers 0 Donc Xn 0 p s ssi D pn lt 00 Xn E Xn anpn Donc Xn gt n 0 dans L ssi anpn gt n 0 C 6 d E Xn a2pn Donc Xn gt n 0 dans L ssi a2 pn n 0 Si on choisit pn an 1 Xn converge vers 0 dans L mais pas p s Si on choisit Pn 5 an n Xn converge vers 0 p s mais pas dans L Si on choisit pn 5 an Nn Xn converge vers 0 dans L mais pas dans L 6 1 3 Crit res de convergence Proposition 6 1 3 Soit Xn une suite de v a r Si X P Xn 1 Xn gt En lt 20 pour une suite En gt 0 v rifiant X En lt 00 la suite Xn converge p s Preuve D apr s le lemme de Borel Cantelli prop 4 1 2 pour tout w N N n gligeable il existe no w tel que pour tout n gt no w XXn 1 w Xnlw lt En On a donc pour n gt m gt no w n 1l n 1 AG Xnlu lt D X
107. ira indiff remment AN B ou AB Premi res propri t s Ah A B tant des v nements i P A NEE A si A C B P A lt P B P AU B P A P B P ANB ii si An T A P An T P A iv si An A P An P A v P UA lt P A Rappelons qu un sous ensemble B de Q est dit n gligeable si B C A tel que P A 0 Une propri t d pendant de w est vraie presque s rement en abr g p s si elle est vraie en dehors d un ensemble n gligeable Notons qu un ensemble n gligeable n est pas toujours un v nement sauf si l espace Q A P est complet On peut cependant toujours se ramener ce cas Voir ce sujet 3 2 2 4 1 2 Probabilit conditionnelle Toutes les d finitions et r sultats de la section 1 3 restent valables en supposant que tous les ensembles consid r s sont des v nements i e sont des l ments de A En particulier la d finition de n v nements ind pendants def 1 3 5 est inchang e On dit alors que des v nements An nen sont ind pendants si pour tout r A1 4 sont ind pendants 38 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires 4 1 3 Lemme de Borel Cantelli On appelle traditionnellement ainsi le point i de la proposition suivante ii s appelant la r ciproque du lemme de Borel Cantelli Etant donn une suite An n N d v nements on pose lim sup An Nn Uk gt n Ap lim n Ur gt nAk
108. lit uniforme est un espace de probabilit mais il ne rend pas compte de l exp rience al atoire consid r e 1 2 Echantillon Sous population Soit S s1 2 Sn une population de taille n 1 2 1 Echantillon sans r p tition On tire un par un et sans remise r l ments de S r lt n On obtient ce qu on appelle un chantillon sans r p tition de taille r de la population S C est une suite Si Sis Si d l ments de S tous distincts L ensemble des issues possibles est donc Q sisi 8 Si E S si Sip Sij Zk On a i n Er 7 Q est le nombre d applications injectives de 1 2 r dans 1 2 n Evidem ment chaque chantillon a la m me probabilit et Q n n 1 n r 1 PAU p E n Exemple On suppose S 1 2 3 4 et r 2 Alors Q 12 et Q 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43 1 2 2 Echantillon avec r p titions On tire un par un et avec remise r l ments de S r quelconque On obtient ce qu on appelle un chantillon avec r p tition de taille r de la population S C est une suite Si Sis Si d l ments de S L ensemble des issues possibles est donc Q 5i Siz Sip si E S On a Q n Q est le nombre d applications de 1 2 r dans 1 2 n Evidemment chaque chantillon a la m me probabilit et PAU jE Exemple On suppose S 1 2 3 4 et r 2 Alors Q 16 et Q
109. lle hors de m m FX Y OPa k gt n Y ERX k E X f A k m k m On applique la prop 7 2 2 89 7 2 4 Convergence en loi et convergence des esp rances Soit X une suite de v a r elles int grables convergeant en loi vers X A t on E X gt n E X En g n ral non puisque la fonction f x x est continue mais non born e Dans le sens positif on a Proposition 7 2 9 Soit Xn une suite de v a r elles convergeant en loi vers X On suppose qu il existe a gt 0 tel que sup E Xh M lt o Alors X Lt et E Xn gt n E X Preuve Soit a gt 0 On pose falx z a ga x a V x a Noter que fas a Cr et que are ga x x lt Itll jra S D une part IX A a E fa X limE fa Xn lt E IXn 9 lt M d o pour a 00 E X 1 9 lim fa E X 1 Aa lt M D autre part E Xn E X lt E Xn ga Xn IE ga Xn E ga X E lga X XI mj 1 a a HT Egal Xn Egt SU d o lim sup E X E X lt 2M et le r sultat cherch a tant arbitrairement grand 7 2 5 Convergence en loi et fonctions de r partition Propositi
110. lois gaussiennes car la loi N m a converge en un certain sens vers m lorsque o 0 Une v a r elle est dite gaussienne si sa loi est gaussienne D finition 5 3 1 Un vecteur al atoire X X1 Xa est dit gaussien si pour tout a R at X a X aqgXa est une v a gaussienne En particulier chaque composante X est une v a r gaussienne mais cela ne suffit pas assurer que le vecteur X est gaussien On appelle loi gaussienne sur R toute loi d un vecteur gaussien Exemples i X 0 R est un vecteur gaussien Soit X X1 Xa avec X1 Xa ind pendants de m me loi N1 0 1 Alors prop 5 2 7 ai X1 aa Xa Ni 0 af a et X est un vecteur gaussien Cette notion est invariante par transformation lin aire plus pr cis ment Lemme 5 3 2 Soit X un vecteur gaussien valeurs R de moyenne m et de matrice de covariance D Pour tous b R et M matrice r x d Y b MX est un vecteur gaussien valeurs R de moyenne b Mm et de matrice de covariance MDMT 67 Preuve En effet a Y ab a M X est une v a r gaussienne On a E Y b ME X b Mm et prop 4 5 4 K Y K MX MK X MT MDM o Th or me 5 3 3 Soit X un vecteur al atoire de moyenne m et de matrice de co variance K Le vecteur X est gaussien ssi sa fonction caract ristique est donn e par x t exp it m SEK 5 9 Preuve i Supposons X gaussien Alors lem 5 3
111. lt f g que est un espace vectoriel et que f f fdu est une forme lin aire positive sur L1 De plus pour f Lt f f dul lt S Ifl du Si f est B mesurable valeurs C on pose f d signant le module LE L E B p f B mesurable complexe fis du lt 00 3 5 On d finit alors pour f LE f fdu f R f du i f S f du LE est un espace vectoriel sur C et f f f du une forme lin aire sur BE On a aussi pour f LE J f dul lt J f dp 3 3 3 Propri t s i Si f BT et si f fdu lt 00 f lt p p Si f B et si f fdu 0 f 0 p p iii Si f g L et si f lt g p p f f du lt f gdp iv Si f LE et si A B fl4E LE On pose alors fran f Faan AEB feLbuBT A v Si f L et si pour tout A E B JA fdu gt 0 alors f gt 0 p p vi Si f g L et si pour tout A B f4 fdu lt gdy alors f lt g pp Il nous reste noncer les r sultats concernant les passages la limite Le premier d o d coulent facilement les autres s appelle th or me de convergence monotone ou th or me de Beppo Levi Th or me 3 3 2 Soit fn Bt une suite croissante alors imt fadu fimt fi due 29 Corollaire 3 3 3 Soit gn B alors ZE Jondu Son Proposition 3 3 4 Lemme de Fatou i Soit fn B alors fimm fn du lt lim int f f dp ii Soit fn B avec fn lt g L alors fimin fn du lt lim int ff du lt
112. m sup Supo lt s lt 1 Fn t t lt Comme p est arbitraire ceci implique que SuPocr lt 1 Fn t t n 0 ii On suppose qu il existe des v a U1 U ind pendantes et de loi U 0 1 telles que Xn E Un o Flu inf t F t gt u Rappelons voir 4 15 que u lt a ssi k lt t On note G la fonction de r partition de U 0 1 et on pose sad 1 U Vu que Up lt F t ssi Xy lt t on a On a donc super 6 F t supier a F t lt supokiki lGn t t avec galit si F est continue car alors F R D 0 1 Ceci montre que supycr Fn t F t 0 p s et que sa loi est ind pendante de F si F est continue iii En fait on ne peut pas toujours crire que X F U mais il existe un espace de probabilit Q A P et sur cet espace des v a U U ind pendantes et de loi U 0 1 telles que les v a X F71 U soient ind pendantes et de m me loi que Xn prop 4 3 2 On conclut alors gr ce Lemme 8 1 5 Soient pour i 1 2 X n gt 1 des v a r d finies sur Q A P telles que pour tout n X X1 et X2 X2 aient m me loi et B R Alors si amp A X1L X1 gt n 0 Pl p s E X X2 gt n 0 P p s 101 Preuve Ceci r sulte de ce que Zi n X X 0 P p s ssi pour tout e gt 0 p Zie 0 aup 2 ml nl gt E gt n 8 1 3 Moments empiriques Soit u une probabilit sur R telle que f x
113. mille non vide quelconque de tribus est une tribu Donc tant donn C C P E on peut consid rer la plus petite tribu contenant C c est l intersection de toutes les tribus contenant C Cette tribu se note o C et s appelle la tribu engendr e par C Le r sultat suivant appel th or me de classe monotone sera tr s utile par la suite Proposition 3 1 1 Soient C C M C P E On suppose que C est stable par inter section finie que E M que A B E M et A C B impliquent B AE M et que M est stable par limite croissante Alors o C C M 3 1 2 Supposons E R et soit O la classe des ouverts de E La tribu o s appelle la tribu bor lienne de Rd et se note B R1 Il est facile de voir qu elle est aussi en gendr e par les ferm s par les boules par les pav s et m me par les pav s co ordonn es rationnelles cette derni re famille ayant l avantage d tre d nombrable Si d 1 on consid rera outre B R B R A B R A c R B R a B R 00 00 et B R o B R 00 On tend les op rations usuelles R en posant 00 x 0 0 x 00 0 3 1 3 Soient E1 B1 et E2 B2 deux espaces mesurables Une application de E dans F gt est dite mesurable si pour tout A B2 f A B1 Il est facile de voir que pour cela il suffit que f _ A B pour tout A C avec o C B2 Ceci 24 Mesure Int gration implique que si f est continue de R dans R
114. n L lt 0 et d appliquer le th 6 3 3 Le cor 6 3 6 tablit la loi des grands nombres lorsque X a un moment d ordre deux fini 75 6 4 La loi des grands nombres 6 4 1 On d montre la loi des grands nombres dans le cadre g n ral Th or me 6 4 1 Soit X1 Xh une suite de v a r elles ind pendantes et de m me loi On pose Sn X Xn i Si E X1 lt converge p s et dans L vers E X1 ii Si amp converge p s E X1 lt 00 n D abord deux lemmes relatifs X v a r elle Lemme 6 4 2 On a D P IX gt n lt E X lt 1 n gt 1 P X gt n Preuve Soit x 3 gt 1 l x gt n On a pour x R d x lt x lt 1 x D o XO P X gt n E _ lixjzn lt EUX lt 14E lyxizn 149 P X gt n n gt 1 n gt 1 n gt 1 n gt 1 Lemme 6 4 3 On a 3 21 EX 1 xleny lt 2 E X Preuve Vu que 2 2 2 Z PS alte gt zsir f dr 1 k n k n k 1 on a tout tant positif CO X2 o9 a X 1 gt Ex Hixi lt n DE ss xt D Ellt icixl lt ry XD n2 n 1 n 1 k I k l n k 00 CO 1 CO lt D Elleigxtee gt 75 lt D Ell icixl lt e l k 1 n k k 1 lt D Elle ixiery 2 IX lt 2 E X o k 1 Revenons la d monstration du th or me
115. n k X gt p 2 P Xn X gt p 2 la r ciproque est imm diate Ceci n est rien d autre que la compl tude de L voir 3 3 5 iii Supposons que pour tout p gt 0 P sup Xn k Xn gt p gt n 0 Soit V SUP j gt n X X alors Vn V et Xn converge p s ssi V 0 p s crit re de Cauchy Mais P V gt p lt P supg gt 1 Xn x Xn gt p 2 gt n 0 ce qui implique que V 0 p s R ciproquement si Xn converge p s supp Xn k Xn n 0 p s et aussi en probabilit 6 2 Loi 0 1 6 2 1 Soit X1 Xn une suite de v a valeurs Rt On pose Fn X o X1 tes Xn Fo X o X R Xn i o Un gt 1Fn X F X 0o Xn Xn 1 Xn F X On gt 1f X Evidemment F X C Fool X La tribu F X s appelle la tribu asymptotique ou tribu de queue de la suite Xn Exemple Soit X1 X une suite de v a r elles Les v nements 1 X Xn converge 9 Xn lt 00 lim sup Xit Xa lt 1 sont dans F X En effet il suffit de v rifier que pour tout p ils sont dans FP ce qui est imm diat 6 2 2 En fait si les Xn sont ind pendantes un v nement de F X est de proba bilit 0 ou 1 C est la loi 0 1 72 Convergence des suites de variables al atoires Proposition 6 2 1 Soit X1 Xh une suite de v a ind pendantes valeurs R Alors pour tout A F X P A 0 ou 1 De plus si Y est une v a r FR X mesurable Y constante p s
116. nce en moyenne la conver gence dans L s appelle aussi la convergence en moyenne quadratique On v rifie imm diatement que X X X converge vers X X1 X en un des sens ci dessus ssi pour k 1 d XE converge vers X dans le m me sens On ne consid rera donc plus que des v a r elles 1 Rappelons qu on note pour X v a r X p E X r Vu l in galit de H lder 3 7 on a pour 1 lt p lt q X lp lt X 4 et donc la convergence dans L4 implique la convergence dans LP En particulier la convergence dans L implique la convergence dans Li Proposition 6 1 2 La convergence dans L implique la convergence en probabilit la convergence p s implique la convergence en probabilit Preuve i D apr s l in galit de Markov prop 4 2 7 P IXh X gt lt e tE X ce qui montre le premier point Xn 70 Convergence des suites de variables al atoires ii Supposons que X converge p s vers X Alors pour tout gt 0 1 x _x gt e n 0 p s et est manifestement born par 1 donc th de Lebesgue P IX X gt E L xy x1 gt e gt n 0 0 Notons que si X converge en probabilit vers X et vers Y on a P X Y gt lt P X Xnl gt P Xn Y gt gt n 0 et donc P X Y gt 0 0et X Y ps Ceci implique vu la prop 6 1 2 que les limites de X en les diff rents sens d finis ci dessus sont p s
117. nement 52 LS CS SIMUlATION SE SLR EA EU AN SE MIS OR SR Ne se 54 4 9 Compl ment chantillons ordonn s 58 5 Fonctions caract ristiques Vecteurs gaussiens 61 5 1 Transform e de Fourier 61 5 2 Fonctions caract ristiques 63 D3 V cteuts CAUSSES ooi 8 a E 0 pod De ane th ere dr pue ver et 66 TABLE DES MATI RES Convergence des suites de variables al atoires 69 6 1 Modes de convergence 69 6 27 LODEL Lis ae AS A mr LU a QE ae ne th a 71 6 3 Somme de v a ind pendantes 72 6 4 La loi des grands nombres 75 6 5 Compl ment crit re des trois s ries 79 6 6 Compl ment grandes d viations 80 Convergence en loi 85 7 1 Convergence troite 85 7 2 Convergence en loi 87 7 3 Convergence vers la loi normale 91 7 4 Compl ment d monstration du th or me de Berry Esseen 93 7 5 Compl ment comportement asymptotique de la m diane empirique 96 Notions de statistique 99 8 1 Echantillon Mod le statistique 99 8 2 ESTIMATION soa a mb dun gun de ho de en dec La ue des 102 8 3 Intervalle de confiance 108 SA TESTS SA RE Sn A D Se RE de E re ca 111 A Index des nota
118. normale 7 3 1 Le th or me de la limite centrale Th or me 7 3 1 Soit Xn une suite de v a valeurs R ind pendantes et de m me loi On suppose que E X1l lt et on pose m E X1 K K X1 Sn X1 Xn Alors 7x Sn nm converge en loi vers Na 0 K Preuve Il suffit de consid rer le cas o m E X1 0 On pose t t Vu la prop 5 2 5 37 9 0 0 a290 K On a donc 1 t 1 5t Kt t e t avec lim le 6 On en d duit t ER E esa 615 0 osl AD l pt Kt n Ha J Ceci d apr s le lem 7 3 2 ci dessous Donc Sn converge en loi vers Na 0 K d apr s 1 n exp 5t Kt la prop 7 2 2 Lemme 7 3 2 Soient zn z C tels que zn gt n z alors on a 1 7 gt n 7 Preuve Pour zn R le r sultat est classique Remarquant que pour a b C on a ja b lt nja b si a lt 1 b lt 1 on a 8 Fe er 1 2 er DAMES l Er CENTS Er ET n n g n s kl li 1 1 jen 14 n lame 0tik atle alt o zl Izl a les a l l en n 92 Convergence en loi Zn jn Donc lt n S et vu que 1 lajn gt n ll 1 a n on 7 O Enlyn 7 3 2 Le cas r el Corollaire 7 3 3 Soit X une suite de v a r ind pendantes de m me loi de carr int grable On pose Sn X1 Xn m E X1 o Var X1 qu on suppose gt 0 Alors pour lt a lt b lt
119. ns pour tout R Ta du x E e lt 00 6 6 Alors A R G A est partout finie et A A Aa G A est une fonction concave C sur R et on est n cessaiement soit dans le cas i soit dans le cas ii ce qui prouve la proposition sous cette hypoth se Une autre situation int ressante est la suivante Rappelons que le support S de u est le plus petit ferm F tel que u F 0 On pose inf S Bu sup S les valeurs infinies ne sont pas exclues Consid rons l hypoth se pour tout a Elay Bul il existe EA tel que G a 6 7 83 Si a Elay ul on est dans la cas i Supposons 6 lt et a gt B On a pour tout gt 0 fe du x f e du x lt ea lt 00 2 8u ce qui implique que R C A Mais sur G f xe du x f e du x lt By lt a 00 6 00 84 La fonction A A a G A est donc croissante sur D R h est gt 0 et on a I a sup Aa G lim Aa G ACA A gt 00 On est dans le cas ii Noter que si a gt B4 I a puisque u a 0 Enfin on a le m me r sultat pour a lt en consid rant la suite X ce qui montre la proposition sous l hypoth se 6 7 Il reste examiner quelques situations sp ciales que nous admettons 6 6 4 Le th or me de Cramer Th or me 6 6 4 Soit X1 Xh une suite de v a r ind pendantes et de m me loi u On suppose que f
120. nt num rot es entre parenth ses et en continu au sein d un m me chapitre Ainsi vu 3 5 r f re la cinqui me galit num rot e du chapitre 3 Le signe indique la fin d une preuve Ce polycopi se termine par un index des notations et un index des termes Table des mati res 1 Espace de probabilit fini 5 1 1 Notions fondamentales 5 1 2 Echantillon Sous population 8 1 3 Probabilit conditionnelle 11 2 Espace de probabilit discret 13 21 Famille sommabl s oa reaa a te pe A TE a ie A S 13 2 2 Espace de probabilit discret 15 2 3 Fonctions g n ratrices 20 3 Mesure Int gration 23 dl METIDUS 225 218 2 RNA RE MAR EE es LES he Ron Ave 23 3 2 Mesures sis ue Anar sn Air au drain 25 3 3 Int gration emie 4 e a dans 0 at Se eg hs TR Lin re 27 3 4 Mesures densit 31 3 5 Mesures produits 32 4 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires 37 4 1 Espace de probabilit 37 4 2 Variables al atoires 38 4 35 Probabilit ssur IR 224 fes Riu adieu caen ts dits 41 4 4 Variables al atoires ind pendantes 43 4 5 Vecteurs al atoires 46 AE Cakul d lois 2 24 208 RE a ne ne er mn ce PE G 48 4 7 Condition
121. nt vers f dans Co Vu que f fn du f f du lt fn fll uI f fa du n f f du De m me f gn dv gt n f g dv d o f f du f f dv pour toute f Co On applique ii 35 Pour montrer qu une partie de Co est dense le th or me de Stone Weierstrass est un outil pr cieux Rappelons qu une sous alg bre V de Co est un sous espace vectoriel tel que f g V implique fg V Alors Th or me 3 5 5 Soit A une sous alg bre de Co v rifiant i pour tous x y R x y il existe f A telle que f x f y ii pour tout x R il existe f A telle que f x 0 alors Co Notant CZ l espace des fonctions ind finiment d rivables support compact sur Rd on a Corollaire 3 5 6 CZ est dense dans Co Preuve Soit pour t R t 1jo o t exp On v rifie facilement que C R On pose pour p gt 0 a R et x RI fp alx p p x af On a foa CZ foala gt 0 foa t 0 si x a gt p On peut alors appliquer le th 3 5 5 36 Mesure Int gration Chapitre 4 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires 4 1 Espace de probabilit 4 1 1 On peut maintenant aborder le cas g n ral D finition 4 1 1 On appelle espace de probabilit un triplet Q A P o Q A est un espace mesurable et P une probabilit sur A Les l ments de s appellent des v nements Pour des v nements A et B on cr
122. ntillon ordonn Soit X1 Xn n v a r ind pendantes de loi u On appelle X1 Xn un chantillon de taille n ou n chantillon de la loi u Les X1 X rang s par ordre croissant qu on note X 1 X n s appelle alors un chantillon ordonn de taille n de la loi u En particulier X 1 min X Xin max Xi 1 lt i lt n 1 lt i lt n Par exemple si X1 w 4 Xo w 5 Xa w 1 Xa w 2 X5 w 4 Xe w 4 X7 w 2 Xg w 3 on a Xow 1 Xo w 2 Xi w TEE X 4 w 3 Xow 4 X lo 4 X 7 w 4 Xal 5 Supposons F continue on a alors pour i j PG X f f ten lejano ff onto data dut 0 et donc P Uiz X X et Xa lt lt Xin ps Si on a un un chantillon ordonn de taille 2n 1 de la loi u on pose Mn X n 1 4 29 59 et M s appelle la m diane de l chantillon ou la m diane empirique 4 9 2 Loi de Xp Soit X1 Xn un chantillon de taille n d une loi u On pose n Ne de 4 30 i 1 Alors N B n F t et X lt t N gt k On a donc notant F la fonction de r partition de X 4 BOX lt t P N gt k E CFO FE r k Vu que pour 0 lt 0 lt 1 d n z n k 1 Lk r n r 1 n d D Amen do nie Cr quand on d rive tous les termes se d truisent deux deux sauf le premier on obtient finalement Proposition 4 9 1 Soient X1 X un chantillon de taille n dlune loi u de Jonction de r p
123. o gt 0 a R est totale dans Co on conclut gr ce la prop 7 1 2 87 7 2 Convergence en loi Dans cette section Xn X d signent des v a valeurs Rt Rappelons qu on note lx la loi de X et 6 sa fonction caract ristique 7 2 1 Convergence en loi des v a D finition 7 2 1 On dit qu une suite de v a Xn converge en loi vers une probabilit p resp une v a X si la suite py converge troitement vers u resp vers Hy La distinction entre convergence en loi vers u ou vers X est une simple affaire de langage car en fait c est la loi de Xn qui converge vers u et donc vers la loi de X pour toute v a X de loi u Vu la prop 7 1 2 et le th 7 1 4 on a Proposition 7 2 2 Soient X des v a valeurs R et u Mi Il y a quivalence entre i Xn converge en loi vers n ii pour toute f H H total dans Co E f Xn gt n J f du iii pour tout t E RI D t gt n En particulier X converge en loi vers X ssi pour tout t Rf x t Elet n Qy t E e 7 Proposition 7 2 3 Si X converge en loi vers X et si R R est continue Yn D X converge en loi vers Y X Preuve Soit f Cy R alors f o R et E F Yn E F E Xn gt n E F X E F Y Enfin la prop 7 1 3 devient Proposition 7 2 4 Soit Xn une suite de v a convergeant en loi vers u P
124. odifie pas la probabilit de B Il est alors naturel de dire que les v nements et B sont ind pendants d o D finition 1 3 4 Les v nements A et B sont ind pendants si P AB P A P B Supposons et B ind pendants on a P AB P A P AB P A P A P B P A 1 P B P A P B Donc A et B sont ind pendants On voit facilement qu il en est de m me de A et B et de A et B Donc posant pour F C Q o F 9 F F 1 8 on a que A et B sont ind pendants ssi P C D P C P D pour tout C o A et tout D o B Ceci conduit D finition 1 3 5 Les v nements A1 A2 An sont ind pendants si pour tout C o A1 tout C2 o A2 tout Cn A P C1C2 Cn P C1 P C2 PC On montre alors facilement Proposition 1 3 6 Les v nements A1 A2 An sont ind pendants ssi pour tout Miserere Chapitre 2 Espace de probabilit discret Dans ce chapitre on introduit les espaces de probabilit d nombrables Pour cela on a besoin de la notion de famille sommable 2 1 Famille sommable Dans toute cette section J d signe un ensemble d nombrable 2 1 1 Notations Soient un ensemble An C E et fn E R On crit An T A si An C An et A UAn An si An D An et A NAn fn f si fn lt fn 1 et f sup fn alors f lim fn fn L f si fn gt fayi et f inf fn alors f lim fa 2 1 2 Enum ration On appelle num r
125. oi on introduit D finition 8 2 2 On dit que T est un estimateur sans biais de f 0 en abr g e s b si pour tout 0 O Es T f 0 C est une qualit qu il est naturel d imposer un estimateur Cependant cette condition est assez contraignante ce qui est un avantage on aura assez facilement des estimateurs sans biais optimaux parmi les e s b et un inconv nient on laisse chapper de tr s bons estimateurs Si T est un e s b de f 4 alors Rr 6 Eol T f 8 Eel T Eo T Vare T ce qui conduit la d finition suivante D finition 8 2 3 Soit T un estimateur de f 0 On dit que T est un estimateur sans biais de variance minimum de f 0 en abr g e s b v m si T est un e s b de f O et si pour tout S e s b de f 0 on a pour tout 0 O Varo T lt Varo S 8 2 2 Exemple Soit X un 1 chantillon de B n 0 0 lt 0 lt 1 inconnu On veut estimer f1 0 0 f2 0 2 f3 0 0 02 Notons d abord que si 1 et 2 sont deux e s b de f 8 on a posant 1 pour tout 0 Ey a X 0 soit 0 5 CHE 1 0 a k 1 0 5 ok talk k 0 k 0 Donc pour tout u 0 1 go Cha k u 0 et a 0 i e 1 p2 Un e s b est donc unique et c est un e s b v m i On sait que E X nf d o est un e s b et donc un e s b v m de 4 ii On sait que Varg X n9 1 0 d o E
126. on on ne peut utiliser la prop 4 6 1 Soit f C R arbitraire On a E F U V E X X Y fetes tx AH dedy O 1 2r Jrxr 2m Jrxr Consid rons l application x y u z v z y C est d une part une bijection de R x R sur T u v v gt u et alors z u y vv u et d autre part une bijection a R x R sur T et dans ce cas x u y Vv u Dans les deux cas J NOEN On obtient e 2 2 E f U V Ju dude SAM Ir u v 4 6 7 Exemple 6 On ne rencontre pas toujours des v a ayant une densit par rapport la mesure de Lebesgue Soit X une v a r de densit e 1r x On pose U X V X X o zx d signe la partie enti re de x Quelle est la loi de U V Quelles sont les lois de U et de V Les v a U et V sont elles ind pendantes Soit f C R arbitraire On a Le couple a donc pour densit 00 FEV fla ae dr pk 1 co al k x k e dx k tje e dt gt FRE je z 2 f k tje e dt Si on note v la mesure sur N d finie par v k 1 et la mesure de Lebesgue sur 0 1 ce calcul implique que la loi de U V est la probabilit e e t v Prenant f u v u on a E b U X g k e 1 e7 X k e71 1 e7 k 0 k 0 et U suit une loi g om trique de param tre e Prenant f u v y u on a ky et 1 1 t Eee
127. on 7 2 10 Soient Xn une suite de v a r elles de fonctions de r partition Fn et u une probabilit sur R de fonction de r partition F Alors Xn converge en loi vers u ssi pour tout t point de continuit de F Falt gt n F t Preuve i Soit t un point de continuit de F On a donc u t F t F t 0 Soit A t OA t et u 0A 0 donc prop 7 1 3 Fa t Hx 2 t gt n 4 00 t F8 Si Fah t gt n F t pour tout t point de continuit de F on a les points de discontinuit de F tant au plus d nombrables puisque F est croissante Fa gt n F p p Soient un la loi de Xn et H ci H tant total dans Co pour montrer que Xn converge en loi vers y il o prop 7 1 2 de montrer que f f dun gt n f f du pour toute f H Si f H f x ffo f t dt et on a Fubini et Lebesgue Franf Tn PO drame f ne 7 roa r a T FOQ F Dat f fan o On en d duit un cas particulier d un r sultat d Skorokhod 90 Convergence en loi Corollaire 7 2 11 Soit Xn une suite de v a r convergeant en loi vers X Il existe des v a r pas n cessairement d finies sur le m me espace de probabilit Yn 1 lt n lt oo telles que pour 1 lt n lt 00 loi de Yn loi de Xn et Yn n Y presque s rement Preuve Soient F et F les fonctions de r partition de Xn et X et C F l ensemble des points de continuit de F On pose Flu inf t F t gt u Soient A u 0 1
128. onditionnelle de Y sachant que X a d finie par u T X a P Y T X a P X a Y T 4 26 P X a 53 et pour Ll u l esp rance conditionnelle de Y sachant que X a d finie par ROYI a En J r OR 4 27 4 7 3 Consid rons maintenant une v a X valeurs R de densit q x et Y une v a valeurs Rd Les formules 4 26 et 4 27 n ont plus de sens puisque pour tout a P X a 0 Supposons que X Y ait une densit continue h x y et que x f h x y dy gt 0 Soient B a 6 la boule dans R de centre a et de rayon et B a son volume On a lorsque 0 P X B a 6 Y ET _ Jatasyxr T9 dedy P X B a Jg assy 2 dr 7 l Joan h T LEF h a y B a 1 foia 5 4 x dx r qla Il est donc naturel d appeler loi conditionnelle de Y sachant que X a la loi de densit h a y q a Ceci conduit P Y eT X B a dy D finition K 7 1 Soient X Y un couple de v a valeurs R x R de densit h x y et q x f h x y dy la densit de X On appelle densit conditionnelle de Y sachant lt X x la fonction h x y h y z a si q x gt 0 densit arbitraire si q x 0 qlz Remarque 1 Noter que P X q 0 E q x dz 0 Remarque 2 On voit donc que h y x est le quotient de la densit de X Y par la densit de X C est tout simplement l analogue de la formule pour des v a enti
129. our fk ET k l2 E f1 X1 f2 X2 fn fetes du xy es 22 f hedhe dux 1 dux 2 f filen dux E f Pate dus 22 E XDE X Enfin si E fk Xk lt 00 k 1 2 E f XD X2 E f X1 et le calcul ci dessus reste valable JE f2 X2 lt 20 On en d duit facilement comme en 2 2 6 que si les v a X1 X2 Xn sont ind pendantes a Pour toute permutation r1 r de 1 n les v a X 1 Xr n sont ind pendantes b Pour toutes gx Ep les v a g1 X1 9n Xn sont ind pendantes c Posant Yi X1 3 Xr Y2 Xr Xro eee Yp Xrp 1 1 3 Xrp s les v a Y1 Yp sont ind pendantes 4 4 2 On s int resse plus particuli rement aux v a r elles Les prop 4 4 2 et 3 5 4 impliquent imm diatement Proposition 4 4 5 Soient X1 X des v a r elles Il y a quivalence entre i Les v a X1 Xn sont ind pendantes ii Va lt bp P a lt Xi lt b i 1 n Ika P a lt X lt bi iii V fi Or E f Xi fa Xn EU es ER 4 4 3 Covariance Soient X et Y deux v a r r elles de carr int grable On appelle covariance de X et Y et on note Cov X la quantit Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y 4 18 45 Propri t s i Cov
130. our tout A B R tel que u A 0 on a P Xn A gt n u A 7 2 2 Examinons le lien entre la convergence en loi et les convergences des v a tudi es dans la section pr c dente Proposition 7 2 5 Si X converge en probabilit vers X alors Xn converge en loi vers X Preuve Il suffit prop 7 2 2 de montrer que pour toute f Ck E f Xh gt n E f X f fdu Soient donc f Ck et gt 0 Il existe f tant uniform ment continue amp gt 0 tel que f x f y lt si x y lt a On a alors E f Xn EXD lt EC Xn FX lix xI lt a HE F Xn F X llixn xi gt a lt 2 FTP IXn X gt a 88 Convergence en loi d o lim sup E F Xn E F X lt et E F Xn gt n E F X Exemple Soir Xn une suite de v a r telle que P Xn 1 pn et P Xn 0 1 p avec 0 lt pn lt 1 Xn gt n 0 en probabilit ssi pn 0 Xn 1 en probabilit ssi Pn n 0 et sinon ne converge pas en probabilit tandis que vu que E f X Pnf 1 pn f 0 Xn converge en loi ssi ph gt n p Ceci montre qu en g n ral la convergence en loi n implique pas la convergence en probabilit On a cependant Proposition 7 2 6 Si X converge en loi vers a R alors Xn converge en prob abilit vers a Preuve
131. qui montre que les v a Z k gt 1 sont ind pendantes et de m me loi En pratique soit 21 Zn une suite de tirages ind pendants selon la loi 4 On consid re z1 Si z1 B on pose z z1 k 1 Sinon on consid re z2 Si z2 B on pose 1 22 k 2 Sinon on consid re z3 Si z3 B on pose x 23 k 3 On construit ainsi x1 k1 On consid re alors 24 1 Si 2x 1 B on pose 2 24 41 k2 k 1 Sinon on consid re 24 42 Si 2 B on pose 2 Zk 2 k2 k 2 Sinon on consid re 24 3 Si 24 3 B on pose 2 2 3 k2 k 3 On construit ainsi 2 k2 On continue et on obtient une suite 1 n de tirages A ANB ind pendants selon la loi v A La Remarque 1 Vu 4 28 la v a v 1 suit une loi g om trique de param tre 1 y B et on a E r1 16 Il est intuitif et facile v rifier que les v a v1 V2 n1 D Vr 1 57 sont ind pendantes et de m me loi On a donc E ri E r2 n E r 0 D ML Donc si B est tr s petit cette simulation risque de prendre du temps 4 8 5 Simulation de la loi uniforme sur un domaine de mesure de Lebesgue finie Soit D un domaine de R tel que A D lt 00 tant la mesure de Lebesgue sur R On appelle loi uniforme sur D la probabilit de densit A D l1p La prop 4 8 1 donne imm dia
132. r 0 Ax G 0 I x gt 0 La fonction I tant un sup de fonctions affines elle est convexe De plus d apr s l in galit de Jensen FO E X gt eE 2 om dl d o pour tout Am lt G A et donc I m lt 0 et Z m 0 De plus la fonction 7 tant positive convexe et nulle en m elle croit sur m co et d croit sur 00 m Enfin la fonction A A Asx G A est concave d rivable au voisinage de 0 et v rifie h 0 0 h 0 x G 0 x m gt 0 et donc sup so Ar G supier AT G On en d duit imm diatement les in galit s de Chernov Proposition 6 6 2 On a i pour tout a gt m 1 gt a e me ii pour tout a lt m P lt a lt e a Preuve i r sulte de 6 4 et du lem 6 6 1 pour a gt m et est vident pour a m puisque m 0 ii s obtient en appliquant i la suite X 6 6 3 Minoration Proposition 6 6 3 On a pour tousa E R et gt 0 mae log P 2 a lt gt I a n n n Preuve Si I a 00 il n y a rien montrer On suppose donc I a lt co La preuve repose sur l tude de plusieurs cas selon que h A a G A atteint son maximum ou non i On suppose qu il existe Ao EA tel que I a oa G o La fonction h tant d rivable sur on h o 0 i e G Ao a Soient v la probabilit sur R d finie par dv x 97 Ao e du x
133. r m f m et situ e sous le graphe de f i e une fonction affine a x a x m f m lt f x pour tout x R On a donc a X m f m lt f X et prenant l esp rance f m lt E f X Corollaire 4 2 9 Soient u une probabilit sur R f une application convexe de R dans R et g B R On suppose g et f o g u int grables Alors r I g du x lt J f x dula Preuve On choisit Q R A B R P u X g et on applique la prop 4 2 8 o 4 3 Probabilit s sur R 4 3 1 On a vu en 2 2 des exemples de lois discr tes sur R On consid re maintenant quelques lois densit s Une application bor lienne q de R dans R est une densit de probabilit si q x gt 0 ke q x dr 1 4 7 On dit alors qu une v a valeurs R X a pour densit q x si la loi de X est de densit q par rapport la mesure de Lebesgue sur R ce qu on crit Ux q Dans cette section on suppose d 1 a Loi uniforme sur a b not e U a b a b R C est la loi sur R de densit dle z leale 48 a Si X U a b E X ate Var X Enr b Loi de Cauchy de param tre a gt 0 C est la loi de densit ule 4 9 Noter que si X suit une loi de Cauchy E X 20 c Loi de Laplace C est la loi de densit q x PAL 4 10 Noter que si X suit une loi de Laplace E X 0 E X 2 42 Espace de probabilit
134. r f L f f du puis si f f du lt 00 f f du Par abus de langage dans toute la suite nous noterons de la m me fa on une fonction et sa classe d quivalence On pose alors pour 1 lt p lt o et f L fl f IFP au et pour p 00 le inf M f gt M 0 On a deux in galit s fondamentales Pour f g L IF gllp lt flo Ilgllp 1 lt p lt 3 6 qui s appelle l in galit de Minkowski et 1 1 gli lt Ilfllellglla 1 lt p lt oo 1 3 7 P q 31 qui s appelle l in galit de H lder Notons que pour p q 2 3 7 implique l in galit de Schwarz f iola lt f Pau odn On note L ffel f IFP du lt o IP f EI f fPap lt o Alors LP muni de la norme p est un espace de Banach et L est un espace de Hilbert pour le produit scalaire lt f g gt fton On peut aussi consid rer le cas des fonctions valeurs complexes On d finit de la m me fa on LR IR E B u Il faut noter que L est associ au produit scalaire lt fg gt fadu Proposition 3 3 8 Pour1 lt p lt 00 E f f Pi axla Ak B Ak lt 00 est dense dans LP E B u Preuve Il suffit de consid rer f gt 0 Alors il existe prop 3 1 2 une suite f eBT telle que fa T f Vu que f lt fP e L fa On a puisque f lt p p f fal 0 p p et f f P lt fP L donc th de Lebesgue f f fa du 0 3 4 Mesure
135. s x E2 E1 Q E2 Sa loi est alors d finie par Ti X T2 P X Eli 2 T Hx x2 Il r sulte donc du th 3 5 1 que X et X2 sont ind pendantes ssi Hy x Hx 8 Hx Il en est de m me pour n quelconque et on peut noncer Proposition 4 4 2 Les v a X1 X sont ind pendantes ssi Hexa xn Ex 8 Hyp Le r sultat suivant un peu technique est tr s utile Proposition 4 4 3 Soit Ck C Ek une classe contenant Eg stable par intersection finie et telle que o Ck Ek k 1 n Si pour tous l y E Ck P X1 ET1 Xn E Fn P X E T1 P Xn Th les v a X1 Xn sont ind pendantes Preuve Soit C T T x xXIn Tk Ck Alors C est stable par intersection finie et o C E amp 8 8 En en effet Er X X Ek 1 X Tk X Ek X X En EC si T Ck et donc Ei x X Ep_1 X Ik X Epry X X En o C si l x Par yery 44 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Th or me 4 4 4 Les v a X1 Xh sont ind pendantes ssi pour toutes fi Er E f Xi Fa Xn EA A1 E fn Xn 4 17 Dans ce cas si pour k 1 2 n E fk Xx lt oo on a E f1 X1 fn Xn lt et 4 17 est satisfaite Preuve On suppose n 2 i Si on a 4 17 il suffit de choisir f 1r f2 lr pour avoir l ind pendance de X et X ii Supposons X et X ind pendantes On a p
136. s densit 3 4 1 Soit u une mesure sur E B On peut lui associer une application 1 de B dans R en posant 1 f f fdu f Bt L application T a les propri t s suivantes 1 f g I f 1 g I af al f a E RF et I fn TICF si fn T f R ciproquement on a Proposition 3 4 1 Soient E B un espace mesurable et I une application de B dans R telle que i si f g BT I f 9 I f 1 g si f BT eta E R I af al f si fa BY et si fa TS Ifa 1 ICP Alors u A I 14 A B d finit une mesure sur B et on a pour toute f B I f f du Preuve Soient An B des ensembles deux deux disjoints d union on a 14 Xn lAn lim D l4 et u A 14 I m f D 14 im f D 14 im f Xa D H An k 1 k 1 k 1 32 Mesure Int gration Ce qui montre que y est une mesure On a alors pour toute f eBt I f f f du On conclut facilement en utilisant la prop 3 1 2 3 4 2 Mesures densit Proposition 3 4 2 Soient E B u un espace mesur et h B La formule v A J hdu A B d finit une mesure sur B appel e mesure de densit h par rapport u et not e h u On a pour toute f BF I Fe hdi 3 8 De plus f B est v int grable ssi fh est int grable et l on a dans ce cas 3 8 Preuve On consid re la fonctionnelle I f f fhdu f BY et on applique la prop 3 4 1 La derni re assertion est pure routine en
137. s vu la prop 2 1 3 E F X DC FX W pt D D AXW Wen aCE w X w a Y ON aE f a E pt Y f a P X a aEE w X w a acE w X w a acE On a donc pour f r elle E f X f a P X a et si cette quantit est finie le calcul ci dessus est encore valable th 2 1 5 Soient X1 X2 des v a valeurs E et E2 discrets Alors X1 X2 est une v a valeurs E x Es et on a pour toute f E x Eo R positive ou telle que E f X1 X2 lt 00 E X X O f a a P X a X2 a 2 4 a1 a2 E E1 xX E2 Si A C Q on appelle fonction indicatrice de A et on note 14 la fonction d finie par 14 w 1 si w 14 w 0 si w A Alors notant p w P w E 14 D La w p w p w P A 2 5 wEQ wEA 17 2 2 4 Moments Dans cette sous section X d signe une v a valeurs E CR E discret Soit p N Si E X lt 00 E X s appelle le moment absolu d ordre p de X et E X s appelle le moment d ordre p de X D apr s le th 2 2 1 E LXIP la P X acE Noter que pour 1 lt q lt p E X P lt oo implique E X 1 lt oo puisque X 1 lt 1 XPP Supposons E X lt 00 alors m E X qu on appelle aussi moyenne de X existe et on d finit la variance de X par Var X E X m E X
138. s d termin e par la famille ax a a E o py a ny a P X a et l on a pour toute f gt 0 E f X X f a ux a 4 4 aE 40 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires ii X est vectorielle i e valeurs R et uy h tant la mesure de Lebesgue sur R4 3 5 3 On dit alors que X est une v a de densit h Dans ce cas on a pour toute f BT R E f X Jr d 4 5 4 2 4 Moments Dans la suite L d signe LP Q A P On ne distinguera pas deux v a r gales p s ce qui fait qu on d signe par X aussi bien la v a X que sa classe d quivalence dans L En particulier on crira indiff remment X LP aussi bien que X LP Notons que si 1 lt q lt p LP C L4 puisque X lt 1 X En fait d apr s 3 7 on a le r sultat plus pr cis HXHP RIX A q lt p D finition 4 2 5 Soit X une v a r Pour p 1 00 E X s appelle moment absolu d ordre p de X pour p N si X LP E X s appelle moment d ordre p de X Notons que d apr s 4 3 E X P f x du x E X f x du x Les deux moments les plus importants sont le moment d ordre 1 qui n est rien d autre que l esp rance de X on dit aussi la moyenne de X et le moment d ordre 2 On pose pour X L Var X E X E X 4 6 qu on appelle la vari
139. se sur le lemme suivant Lemme 6 5 2 Soit X une v a r centr e v rifiant X lt M p s On pose a E X et on note t sa fonction caract ristique alors si t lt MT IP lt exp 302 Preuve Puisque E X lt 00 on a t i E X eftX et O H lt E X 3 lt Mo Vu que 0 0 et 0 a on a dt 1 a r t avec fr t lt 3 3 HE supra eye lb s lt H Mo Alors si t lt MT ot lt o M7 lt 1 et 2 3 2 2 2 Q t 2 o o C a o 2 l 2 9 H lt 1 Mo lt 1 e H Mo H Nl M lt expl ot o Wols 1 Zett mosi TPt o Te lt exp iot On pose Yk Xp E X alors Yp lt 2M p s o Var Xx Sn X1 sat Xn Sn Y Yn et on note n et Yn les fonctions caract ristiques de Sn et Sn Puisque t exp itE Sn Yn t on a d apr s le lem 6 5 2 pour t lt 2M nll Ia O JT p I lt epe S oR k 1 k 1 Supposons que 37 0 00 Alors pour tout t tel que t lt 2M g t L oy t Mais par hypoth se Sn converge vers S p s et donc Lebesgue t P t d o pour tout t n t t qui est continue On a donc 7 o lt 00 Comme o Var Xn Var Yn et que E Yn 0 Xpo lt oo implique th 6 3 3 que Y converge p s Mais alors X Xn et X Xn E Xn convergent p s donc par diff rence X E Xn converge o 6 5 2 Crit re des trois s ries Th or me 6 5 3 Soient X1 Xn
140. sur aussi bien la famille p a a E que la fonction d ensembles P A 16 Espace de probabilit discret 2 2 2 Un couple Q P o Q est un ensemble fini ou d nombrable et P une probabilit sur Q s appelle un espace de probabilit discret Toute application X de Q dans E s appelle une variable al atoire valeurs On peut supposer d nombrable puisque X Q est d nombrable Alors vu la prop 2 1 3 la famille q a a E o qla P X a est une probabilit sur E appel e loi de X 2 2 3 Esp rance Soient Q P un espace de probabilit discret et X une variable al atoire valeurs E discret i e fini ou d nombrable On pose p w P w a On suppose E C R On pose E X 5 40 X w p w E X qui est un l ment de 0 20 s appelle l esp rance de X b On suppose FE C R Alors si E X X X w p w lt on appelle esp rance de X la quantit E X Juego X w plw c On suppose E quelconque et soit f E R Si f gt 0 ou si E f X Due lf Xw lpw lt 00 on a E F X D F X w p w 2 2 wen Th or me 2 2 1 Soient X une variable al atoire valeurs E discret et f E R Si f gt 0 ona E F X Y f a P X a 2 3 acE De plus E f X lt oo ssi Xa f a P X a lt et dans ce cas on a 2 3 Preuve Supposons d abord f gt 0 Alor
141. t 00 1 on peut d finir une v a Z par Zy w Zn w sur w v w n La m thode de rejet repose sur Proposition 4 8 1 Soient Zn n gt 1 une suite de v a ind pendantes valeurs E de m me loi u et B avec u B gt 0 On pose v inf n gt 1 Zn B Ir inf n gt Vr 1 Zn B Alors pour tout r gt 1 P w7 lt 1 et Zn r gt 1 est une suite de v a ind pendantes de loi p donn e par ANB jaya UAn B EAEn H B 56 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires i e p est donc la loi conditionnelle de Z1 sachant que Z1 B Preuve Notons d abord que Pan k P Z E BuZa dB Ze B B lu B 428 d o P r1 lt 00 351 P r1 k 1 Supposons que P v lt 1 alors P v lt 00 X Piva k vr lt 00 S P vr 1 k vr k j k gt 1 j k gt 1 P v 1 k Zk 1 B Zk j 1 B Zk j B j k gt 1 35 hany Ce DD oe k gt 1 j gt 1 k gt 1 De m me P Zu A X_ P n k Zg AN B k gt 1 AQB PA B Zi B Zr ANB YOU uB ans D k gt 1 k gt 1 y Supposons que P Z 41 2 A _1 AD _ HE alors P Z A1 Zv Ar 1 Zu Ar X P Zn A1 22 Arr tri k Zepi B Zpij 1 B Zk4j ANB jk gt 1 X P Z A1 2 Ari k D 1 B u A N B k gt 1 321 H A NB _ II u AiN B i l H AN E EE GA l Se TT B ce
142. te loi n a pas de moyenne mais a 0 pour m diane De plus po 0 L Dans ce cas Mn n 0 p s et V2n 1 Mn 0 tend en loi vers N1 0 mj Plus g n ralement soit p x une fonction d finie sur R positive paire continue au voisinage de 0 et d int grale 1 On suppose que a p 0 gt 0 et que f x p x dx o lt 98 Convergence en loi 00 On consid re un 2n 1 chantillon de la loi de densit pg x p x 0 cette loi a pour moyenne 0 et pour m diane 0 Pour estimer 0 on peut utliser aussi bien X 2 41 mT yeer X que Mn Pour comparer ces estimateurs on peut observer que d apr s les th 7 3 1 et 7 5 2 X n41 et M sont pour n assez grand approximativement gaussiens de moyenne 0 et de variances 5 et gg n FD On peut suivant les cas pr f rer l un ou l autre Chapitre 8 Notions de statistique 8 1 Echantillon Mod le statistique 8 1 1 R partition empirique Soit u une probabilit sur R D finition 8 1 1 On appelle chantillon de taille n ou n chantillon de la loi u une suite X1 X de n v a ind pendantes et de loi u On appelle r alisation du n chantillon le r sultat de n tirages ind pendants selon la loi u C est une suite x1 de R Par extension on appelle chantillon de taille infinie de la loi u une suite de Xn n gt 1 de v a ind pendantes et de loi y D finition 8 1 2 Soit X X1 X un chantillon de taille infinie de la loi u L
143. telle que ioduro etda FEBRA B9 Propri t s G u v R URIURI ii u v v x m u v p pux v p iii Si u v X mesure de Lebesgue sur R on a u v x y avec d x ole y b y dy 3 10 3 5 5 On termine ce chapitre par un r sultat tr s utile On note Ck l espace des applications continues support compact de R dans R et C l espace des applications continues de R dans R tendant vers 0 linfini On munit Co de la norme de la convergence uniforme f sup f x Rappelons qu une partie H de Co est totale dans Co si l espace vectoriel engendr par H est dense dans C9 Proposition 3 5 4 Soient u v deux mesures born es sur B R1 On a u v d s que l une des conditions suivantes est satisfaite i Vai bi ER ai lt bi lai b1 x ae X ag bal Tai b1 x E x aa bal ii V fie Cr f fi x1 es falza du 1 ere ta J fi x1 Gross falta dv z er dx iii il existe un ensemble H total dans Co tel quey f H f f du f f dv Preuve Supposons i et soit C A B R A lai bi x xX ag bal C est stable par intersection finie et a C B R Donc cor 3 2 3 u v Supposons ii Puisque pour tous a lt b 14 5 lim fn avec fn C7 i implique i convergence monotone et le r sultat cherch Supposons iii et soit V e v H On a pour toute f V f fdu f fdv Soient f Co et fn V tenda
144. tement Corollaire 4 8 2 Soient D C A deux domaines de R avec X A lt 00 et Zn n gt 1 une suite de v a ind pendantes de loi la loi uniforme sur A On pose v inf n gt 1 Zn D or inf n gt w 1 Zn D Alors pour tout r gt 1 P v lt 00 1 et Zv r gt 1 est une suite de v a ind pendantes de loi la loi uniforme sur D Preuve Il suffit de remarquer que si y est la loi uniforme sur A la loi de X est SA RD ANR 200 ARR uD A A A A AD i e la loi uniforme sur D En pratique si D est born on choisit ai b1 x x ag ba et il est tr s facile de simuler la loi uniforme sur A et donc sur D 4 8 5 Soit D x y 0 lt y lt f x C R o f est une densit de probabilit sur R Si X Y est un couple de v a de loi uniforme sur D alors X est une v a r de densit f R ciproquement si X est une v a r de densit f et si U est une v a r de loi U 0 1 ind pendante de X alors X U f X suit la loi uniforme sur D et plus g n ralement X aUf X a gt 0 suit la loi uniforme sur A x y 0 lt y lt af x Ceci fournit une m thode sachant simuler une loi de densit g pour simuler une loi de densit f si f lt ag n cessairement a gt 1 Plus pr cisemment Proposition 4 8 3 Soient p une mesure a finie sur F F et f g F telles que fdp fgdp 1 et f lt ag p p p Soient Yn n gt 1 une suite de v a ind pendantes vale
145. tions 117 Index des termes 119 Chapitre 1 Espace de probabilit fini Dans ce premier chapitre on pr sente les premi res notions de probabilit dans un cadre l mentaire 1 1 Notions fondamentales 1 1 1 Probabilit sur un ensemble fini Soit un ensemble fini Une probabilit sur E est une famille p a a E de r els v rifiant O lt pla lt 1 Dp a 1 aE On pose alors pour C E P A aca pla P est une application de P E dans 0 1 telle que P Q 1 P AU B P 4 P B si AN B 1 1 On voit imm diatement par r currence que si A1 Ar sont des sous ensembles de Q deux deux disjoints alors T P U 45 X P 4 1 i 1 R ciproquement si une fonction d ensembles P A AC E v rifie 1 1 et si on pose pour tout a E p a P a on a 0 lt p a lt 1 et X acp pla 1 puisque les ensembles a sont videmment deux deux disjoints d union E En conclusion on appellera probabilit sur aussi bien la famille p a a E que la fonction d ensembles P A 1 1 2 Espace de probabilit fini Un couple Q P o Q est un ensemble fini et P une probabilit sur Q s appelle un espace de probabilit fini Un sous ensemble de Q s appelle un v nement et P A est la probabilit que l v nement ait lieu L l ment w s appelle alors un v nement l mentaire On note 4 le compl mentaire de 6 Espace
146. uche en tout point not e F x De plus on a P a lt X lt b P X lt b P X lt a F b F a En particulier P a lt X lt a F a F a d o lorsque 0 Hx ap P X a Fy a Fy a Etant donn e une fonction de r partition F on pose pour u 0 1 F u inf t F t gt u 4 14 Proposition 4 3 2 Soit u une probabilit sur R de fonction de r partition F et U une v a r de loi uniforme sur 0 1 Alors FT U est une v a de loi m 43 Preuve Consid rons pour u 0 1 fix Z u t F t gt u Puisque F est croissante c est un intervalle de la forme F u oo ou F u o0 Soit tn Fl u Alors F t gt u et continuit droite F F l u gt u i e F l u I u Ft u 00 On a donc u lt F t t gt FT l u 4 15 Finalement P FH U lt t P U lt F t F t En conclusion X FU a pour fonction de r partition F i e a pour loi y 4 4 Variables al atoires ind pendantes 4 4 1 Dans cette sous section X1 Xn d signent des v a valeurs E1 E1 En En D finition 4 4 1 Les v a X1 X sont dites ind pendantes si pour tous l x Ek P X1 ET1 Xn ln P X1 ET1 P Xn l a 4 16 La suite Xn n N est dite ind pendante si pour tout n les v a X1 X sont ind pendantes Supposons n 2 On peut consid rer X1 X2 comme une v a valeur
147. un chantillon sans r p tition de taille r de S i e en choisissant la place des l ments de S dans l chantillon total il y a donc CF possibilit s Finalement A A An OF et OJA m no rl nr CCE O JQ nmi kl no r k Ekl r k l nl Cr En fait il est plus simple de se placer dans le cadre de 1 2 3 et de supposer qu on tire une sous population de taille r On a alors A X k sous population de taille k de S1 sous population de taille r k de S2 et A CE CF d o P A k Nr k Chi Chrz Cr n P X k convenant que Ci 0sii gt j 1 6 10 Espace de probabilit fini Cette loi s appelle la loi hyperg om trique 1 2 5 Loi binomiale On suppose encore que S S1 U S2 avec S1 U S2 Q Si n Sol n2 n n n On tire avec remise r l ments de S r quelconque et soit X le nombre d l ments de type 1 obtenus On se place dans le cadre de 1 2 2 et il s agit de calculer la loi de la v a X On doit calculer A o A X k Evidemment P A 0 si k gt r Sinon on construit un l ment de A en se donnant un chantillon avec r p tition de taille k de S il y en a n puis en se donnant un chantillon avec r p tition de taille r k de S2 il y en a n5 et en faisant un chantillon avec r p tition de taille r de S i e en choisissant la place des l ments de S dans l chantillon total il y a donc C possibilit s Ceci donne A n n
148. ur a E et T c E on pose X a X a w X w a X Er X ME w X w E T 1 5 On d finit alors pour tout a E q a P X a On a 0 lt q a lt 1 et les ensembles X a a EF tant deux deux disjoints d union Q acg 4la P Q 1 Les q a a E sont donc une probabilit sur not e u appel e loi de la v a X Alors pour tout I C E D 3 a D o ET aer w X w eT 1 1 4 Exemples 1 On lance une pi ce trois fois de suite L ensemble des issues possibles est Q PPP PPF PFP PFF FPR FPE FFP FFF On a A 2 8 Les issues tant quiprobables on munit Q de la proba bilit P w x Soient A l v nement on obtient exactement deux faces et B l v nement on obtient au moins deux faces On a A PFF FPF FFP B PFF FPF FFP FFF A 3 B 4 P A P B 4 I Il 2 On lance deux d s un rouge et un bleu L ensemble des issues possibles est Q 11 21 12 66 iiz 1 lt i i2 lt 6 On a A 6 36 Les issues tant quiprobables on munit Q de la proba bilit P w A Soit A l v nement la somme des r sultats vaut 5 On a A 14 23 32 14 et P A 35 Soient X le r sultat du d rouge X2 le r sultat du d bleu et S la somme Ce sont des variables al atoires et on a X iii2 Xo iit2 t2 S iri2 i i2 X iii2 Xo ito Il est imm diat que pour k 1 6
149. urs F F de loi g p et Un n gt 1 une suite de v a r ind pendantes de loi U 0 1 et ind pendantes de Yn n gt 1 On pose v inf n gt 1 aUng Yn lt f Yn Vr inf n gt vr 1 00400 Ta es Alors les v a Y r gt 1 sont ind pendantes de loi f p Preuve Soient Zn Yn Un et T y u a u g y lt f y On a alors n inf n gt 1 Zn ET Lemme 4 8 4 Pour toute p E FT E Yi lizer EY lavig S owt dp y 58 Espace de probabilit g n ral Variables al atoires Preuve Notons que fl g 0 lt agl g 0 0 p p p Alors COMITE u 1r u ugly Lgo V do y du f soin f tueg udeo f oo 2 IC ag y 1 J olu f u doly Prenant 1 dans le lem 4 8 4 on obtient P Z T gt 0 et on peut appliquer la prop 4 8 1 Les v a Z r gt 1 resp Yp r gt 1 sont ind pendantes de m me loi que Z resp Y Enfin on a prop 4 8 1 et lem 4 8 4 J Eno f dp y et Y a pour loi f p Remarque 2 Vu que P Z1 T d apr s la remarque 1 E z1 E vp vr 1 a Si a est trop grand cette m thode est co teuse en temps 4 9 Compl ment chantillons ordonn s Dans cette section on consid re une probabilit u sur R On note F sa fonction de r partition def 4 3 1 On rappelle que F est continue ssi u x 0 pour tout xzER 4 9 1 Echa

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3`eme

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Universit&eacute; Pierre et Marie Curie Licence de Math&eacute;matiques (3`eme

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3`eme