Painlevé, une contribution trop originale à la relativité
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1. ressembler de plus en plus un combat d arri re garde st rile Painlev repris par son activit politique avait pris une position plus neutre et s tait retir du d bat apr s son article du 1 Mai 1922 cons cutif la visite d Einstein au Coll ge de France 9 Jean Le Roux avec son article La banqueroute de la th orie de la relativit fut le seul contributeur fran ais de l ouvrage Hundert Autoren gegen Einstein Cent auteurs contre Einstein 1931 cf 18 p 194 199 Jean Le Roux est cit p 198 r bibnum 17 Les contributions remarquables qui ont merg de ce d bat Ind pendamment des contributions innovantes de Painlev qui ont t d crites dans ce document d autres contributions ont montr l excellence de la communaut scientifique fran aise Fiqure 8 Le math maticien Elie Cartan 1869 1951 qui apporta d importantes contributions la relativit photo WikiCommons lie Cartan dans une note du 27 mars 1922 Sur les espaces conformes g n ralis s et l Univers optique 11 d finit les directions principales nulles d un espace temps Apr s avoir rappel les propri t s d un espace conforme Cartan crit Le cas n 4 est particuli rement important Nous pouvons convenir d appeler Univers optique d Einstein l espace conforme g n ralis normal d fini en annulant le ds de l Univers d Einstein C est conform ment aux propri t s g om triques de cet Univers o2. 37 ans r bibnum 1 LA RELATIVIT G N RALE ET L ACAD MIE DES SCIENCES 1921 1924 Einstein publie ses quations d finitives en novembre 1915 en plein conflit mondial alors qu il est professeur Berlin Inutile de dire que dans ces conditions l Acad mie des Sciences d ailleurs mobilis e pour l effort de guerre se soucie peu de cette publication La situation va commencer changer en 1921 d une part du fait que Herman Weyl grand math maticien reconnu consacre une partie de son ouvrage Zeit Raum Materie la relativit g n rale traduit en fran ais en 1922 sous le titre Temps Espace Mati re 1 et d autre part parce qu Einstein est r compens par le prix Nobel mais pas pour la relativit g n rale Vis vis de cette nouvelle th orie l Acad mie des Sciences va montrer une grande d fiance Le Roux 2 3 qui va cependant voluer dans le temps Paul Langevin convaincu que le temps de la r conciliation tait venu du moins entre scientifiques est le premier en novembre 1921 4 prendre la d fense de la th orie de la relativit g n rale Un d bat assez vif mais non st rile se d veloppe avec 12 contributions sur la relativit g n rale en 1921 19 en 1922 et 9 en 1923 Langevin ambassadeur comp tent et efficace continuera cr er progressivement un courant favorable aux id es d Einstein au sein de l Acad mie Dans ce contexte Paul Painlev se propose dans un
3. Einstein la perception des implications de la th orie de la relativit g n rale tait loin d tre claire comme en t moigne un certain manque de consid ration la proposition de Painlev qui permettait pourtant de r soudre formellement le probl me de la singularit sur l horizon se posant la relativit g n rale Ainsi va la science mais il est dommage que cette opportunit pour la communaut scientifique fran aise de valoriser son talent dans cette discipline n ait pas pu tre concr tis e Cela aurait sans doute chang le cours de leur participation au r bibnum 19 d veloppement de cette th orie et lui aurait donn une place significative dans la construction de ce pilier de la science du XX si cle CONCLUSION Painlev reconnait que si l approche d Einstein le s duisait par son audace il n tait pas pr t pour autant abandonner tout l difice de la m canique classique au profit de la relativit g n rale Sa m thode heuristique de g om trisation de la m canique newtonienne pour jeter un pont entre les deux th ories se r v le d une grande efficacit comme nous l avons soulign puisqu elle va bien au del de l objectif fix en refondant le concept de temps en m canique newtonienne S il n tait pas convaincu par l approche d Einstein c est pourtant lui qui a fait voler en clats certaines barri res qui emprisonnaient les arguments des physiciens relativistes S il n tait
4. gion en contraction trou noir le signe du terme en dr dt est invers Une forme similaire a t donn e en 1922 par Gullstrand 14 r bibnum 6 On voit que le deuxi me terme du membre de droite devient infini si a r Comme aucune grandeur physique ne saurait tre infinie ceci est ce qu on appelle une singularit la physique est impuissante la d crire La forme de m trique 2 d crivant le m me espace temps mais dans d autres coordonn es propos e par Painlev qui est orient e caract re conceptuel n a pas ce d faut ce qui montre que cette singularit n est pas physique et est li e une contrainte la non orientation du temps qu on s est ind ment impos e gN RE TEY Figure 2 Karl Schwarzshild 1873 1916 astrophysicien allemand Lieutenant d artillerie sur le front russe il prend connaissance de la th orie de la relativit g n rale d Einstein en novembre 1915 Einstein pr sente les r sultats de Schwarzschild l Acad mie des sciences de Prusse le 13 janvier 1916 Quelques mois plus tard en juin Schwarzschild meurt Potsdam des suites d une maladie contract e au front La solution de Painlev dont le terme non quadratique celui qui contient dr dt invoque une orientation de l espace temps ne sera pas comprise par ses contemporains alors que dans ce type de coordonn es sph riques cette orientation est impliqu e par le caract re unidirectionnel gt du franchiss
5. Allgemeine L sung des statischen Eink rper problems in der Einsteinchen Gravitations theorie Arkiv Mat Astron Fys 16 8 1 15 15 Eisenstaedt J 1982 Histoire et Singularit s de la Solution de Schwarzschild 1915 1923 Archive for History of Exact Sciences Vol 27 Nb 2 pp 157 198 16 Martel K amp Poisson E 2000 Regular coordinate systems for Schwarzschild and other spherical spacetimes ArXiv gr qc 0001069 v4 18 Oct 2000 17 Hamilton A amp Lisle J 2006 The river model of black holes ArXiv gr qc 0411060v2 31 Aug 2006 18 Moatti A 2007 Einstein Un si cle contre lui Ed Odile Jacob r bibnum 21
6. appara t naturellement avec un facteur i par rapport l espace i2 1 Ceci montre que quand on veut unifier le temps et l espace dans les quations ces deux concepts se diff rencient par cette propri t comme en relativit G N RALISATION DE CE FORMALISME LA RELATIVIT G N RALE Painlev g n ralise ce formalisme la relativit g n rale 7 en l adaptant un espace non euclidien la m trique spatiale euclidienne tant remplac e par une m trique spatiale non euclidienne Sa g n ralisation sera incorrecte ce qui montre que la th orie newtonienne et la th orie einsteinienne sont diff rentes La ph nom nologie relativiste inclut un auto couplage entre la masse active et la masse passive d un corps et impose une vitesse finie constante la lumi re impliquant que le ds2 contienne la coordonn e temporelle et converge localement vers celui de la relativit restreinte propri t s absentes en m canique classique Mais ces deux th ories sont quivalentes pour cette solution pour les g od siques suivies par la lumi re du fait qu elle chappe ces diff rences Cette quivalence signifie que la structure causale est identique La forme relativiste de Painlev D s son premier article Painlev propose une forme nouvelle de m trique alternative celle propos e par Schwarzschild Cette hypoth se admise les einsteiniens parviennent au ds quatre variables aujourd hui c
7. que ce terme devient infini et que cette formule devient singuli re et du moins on peut se demander quel peut bien tre cette signification physique et comment cela pourrait il se produire dans la nature Ce n est pas le cas du Soleil mais ce serait peut tre le cas d une toile qui pourrait tre beaucoup plus massive que lui Einstein ne cache pas le fait que cette question profonde est quelque chose qu il trouve tr s embarrassant et il confirme que si ce terme peut effectivement devenir nul quelque part dans l univers ce serait un d sastre inimaginable pour la th orie et qu il serait difficile de dire a priori ce qui pourrait advenir du point de vue physique car cette formule cesserait d tre valable Ce serait une catastrophe qu Einstein en r bibnum 12 plaisantant appelle la catastrophe d Hadamard gt et dans ce cas on se demande quels pourraient bien en tre les effets physiques Charles Nordmann intervient alors pour donner quelques pr cisions sur des toiles tr s massives connues comme B telgeuse dont le diam tre vaut 300 Soleils mais qui est loin de satisfaire au crit re redout Il signale que selon les travaux de l astronome anglais Eddington quand la masse d une toile a tendance s accroi itre de plus en plus du fait de l attraction gravitationnelle la temp rature int rieure de cette toile cro t de fa on importante et le rayonnement produit tend la faire exploser En cons quenc
8. sym trie sph rique afin de permettre une comparaison efficace de la gravitation newtonienne et de la gravitation relativiste comme cette derni re est une th orie g om trique de la gravitation Painlev propose un formalisme galement g om trique mais strictement spatial sans r f rence au temps pour la gravitation newtonienne Ainsi dans son article de novembre 1921 il indique Il suit de l comme on voit qu on peut donner la th orie de la gravitation newtonienne la forme suivante principe de la moindre action Les trajectoires du point P sont les g od siques du ds2 ds2 U h dx2 dy dz h constante arbitraire o U est une fonction de x y z qui s annule l infini dont le AU est nul l ext rieur de la sph re S et est gal une constante n gative dans S U est le potentiel newtonien et h une constante On remarque que cette quation purement spatiale sans facteur temps d crit le ds2 euclidien affect du facteur conforme U h Facteur conforme Les quations 1 et 2 pages suivantes par exemple sont des formes de m trique strictement quivalentes qui d crivent le m me espace temps mais dans des coordonn es diff rentes On peut s int resser aussi des espace temps non identiques mais qui ont par exemple en commun une ph nom nologie importante comme la structure causale Les m triques de ces espace temps vont tre li es par un facteur conforme qui est simplement
9. une fonction des coordonn es Ainsi si ds elle l une d entre elles l autre dS2 sera de la forme dS2 f2 X ds2 o x d signe les coordonn es utilis es pour d crire les deux espace temps r bibnum 3 Ce facteur joue ici le r le d une jauge au sens o H Weyl le d finit cette poque En effet si l on d finit souvent la g om trie spatiale de la trajectoire plane en coordonn es polaires par l quation r on peut aussi la d finir de mani re param trique r A et A o est le param tre affin de cette trajectoire Comme l quation r suffit d finir la courbe spatiale le param tre est libre et Painlev peut y appliquer U h comme jauge ce qui rend proportionnel au temps propre T d un corps r el d crivant cette trajectoire On peut montrer que dans ce cas ne d pendant pas du temps o l nergie est conserv e sous r serve de poser T j o 1 cette formulation unifi e pourtant strictement spatiale donne le m me r sultat spatial des coniques et temporel T t que celui de la m canique newtonienne qui n cessite deux quations dont l une d pend du temps universel newtonien t loi des aires TROIS PROPRI T S REMARQUABLES S EN D DUISENT 1 Le formalisme est unifi Une seule quation d crit la g od sique au lieu de deux En formalisme newtonien o le temps est universel et ind pendant de l espace deux quations sont n cessaires pour d crire le
10. 74 176 r bibnum 9 rent L ILLUSTRATION wema 01 LA r wE EA rrn F amp n 14 Po Un me s bus qa mme bbp we de me a 0 Ma E g y 4 ee ss me Es hi y teig ene gt hummm un l l me me 22 l _e Lu ee fe ss Figure 3 g Couverture de L Illustration du samedi 1 avril 1922 lors de la visite d Einstein Paris avril 1922 dr Paul Langevin et Einstein au cours de cette visite L estime d Einstein pour l cole scientifique fran aise brillamment repr sent e par Langevin et ses amis dont Painlev est r ciproque t moin un groupe d acad miciens dont Painlev militaient au sein de l Acad mie des Sciences pour proposer Einstein un poste de correspondant qui allait tre vacant prochainement au grand dam d un membre influent de l Acad mie qui estimait qu il tait hors de question d offrir cela celui qui a d truit la m canique Paris Einstein fera l effort de s exprimer en fran ais et adoptera une attitude r solument dialectique argumentera de mani re contradictoire avec ses interlocuteurs les laissera d battre entre eux sous son arbitrage dans le souci d aller au fond des choses et de pas laisser de zone d ombre La s ance d ouverture le 30 mars se d roulera devant un public nombreux et enthousiaste le Coll ge de France ayant largement ouvert ses portes aux hommes de sciences mais aussi des tudiants r bibn
11. Painlev une contribution trop originale la relativit g n rale pour avoir t comprise l poque par Jacques Fric Ing nieur docteur en histoire et philosophie des sciences L histoire de la relativit g n rale ne comporte pas de trace de contributions de scientifiques fran ais Est ce dire qu ils sont compl tement pass s c t de ce pilier de la physique contemporaine Au contraire mais peut tre ont ils eu le tort d avoir eu raison trop t t comme en atteste la contribution de Painlev entre autres dont tout l int r t n a t compris que dans les ann es 2000 Paul Painlev math maticien et homme politique Fiqure 1 Paul Painlev 1863 1933 ca 1923 photo agence de presse Meurisse collections BnF Connu comme homme politique puisqu il a occup diverses fonctions minist rielles importantes sous la III r publique ayant t entre autres deux fois pr sident du Conseil 1917 1925 et pr sident de l Assembl e 1924 1925 Il meurt en octobre 1933 Apr s des fun railles nationales il est inhum au Panth on El ve de l cole normale sup rieure agr g de math matiques en 1886 il suit les cours d Hermann Schwarz et de Felix Klein G ttingen et retourne enseigner en France comme professeur Universit de Paris Polytechnique Coll ge de France ENS Ses brillants travaux sur les quations diff rentielles lui valent d tre lu l acad mie des Sciences en 1900
12. c la m canique newtonienne sans s y confondre pour autant ce titre la forme de Painlev peut tre consid r e comme une passerelle entre la m canique classique et la relativit g n rale Cette opportunit a t manqu e et la forme remarquable de Painlev sera mise aux oubliettes de l histoire pour 80 ans environ La forme de Painlev aujourd hui Cette forme de m trique pour cet espace temps la premi re non singuli re sur l horizon pr sente des caract res newtoniens ce qui n est sans doute pas tranger au choix de Painlev Son quation du mouvement radial libre vitesse nulle l infini ob it aux m mes quations que celles de la m canique newtonienne une forme est associ en g n ral un observateur rep re qui dans ces conditions est en situation quasi newtonienne Ceci fait que les calculs se simplifient consid rablement dans cette solution Si pour autant la solution reste relativiste et ne se confond pas totalement avec la solution newtonienne ceci a suscit r cemment un int r t comme en t moignent les articles de Lake 1994 Martel et Poisson 16 2000 Taylor et Wheeler 2000 qui l appellent le r f rentiel de la pluie Doran 2000 et Hamilton et Lisle 17 2006 lt River model tous soulignant et exploitant ce caract re pseudo newtonien pour proposer des descriptions simples de cet espace temps LES D BATS L ACAD MIE DES SCIENCES Comme nous l avons
13. d tre vraiment objectif c tait une tentative estimable et qui comme nous l avons vu s est r v l hautement constructive Elle a pu servir de pivot aux r actions qui ont suivi La controverse men e par Le Roux La controverse nourrie peut tre illustr e par quelques exemples d changes assez vifs entre les chefs de file des deux camps Pour donner le ton citons le d but du premier article de Jean Le Roux 1863 1929 professeur la facult des sciences de Rennes en mai 1921 2 On a consid r comme une confirmation clatante de la th orie de la relativit la d couverte d une loi de la gravitation susceptible d expliquer le mouvement du p rih lie de Mercure Une critique judicieuse constate que ce r sultat a bien t obtenu propos de la th orie de la relativit mais qu il n en est pas une cons quence et ne constitue m me pas un argument en sa faveur Le Roux poursuivra sa critique destructrice dans de nombreux autres articles par exemple en novembre 1922 3 Les r sultats fournis par la th orie de la gravitation d Einstein ont sembl au premier abord concorder remarquablement avec l observation particuli rement dans le cas du mouvement s culaire du p rih lie de Mercure Cependant pour arriver cette conclusion on est oblig d admettre que les perturbations dues aux actions mutuelles des plan tes conservent dans la th orie d Einstein les m mes valeurs que dans la m canique classi
14. du p rih lie de Mercure C R A S Note T 172 1227 1230 3 Le Roux J 1922 Sur la gravitation dans la m canique classique et dans la th orie d Einstein C R A S Note T 175 809 811 4 Langevin P 1921 Sur la th orie de relativit et l exp rience de M Sagnac C R A S Note T 173 831 834 5 Painlev P 1921a La m canique classique amp la th orie de la relativit C R A S T 173 677 680 6 Painlev P 1921b La gravitation dans la M canique de Newton et dans la M canique d Einstein C R A S T 173 873 887 7 Painlev P 1922 La th orie classique et la th orie einsteinienne de la gravitation C R A S T 174 1137 1143 8 Nordmann C 1922 Einstein expose et discute sa th orie Revue des deux mondes tome IX p 129 166 9 Soci t Astronomique de France Bulletin et revue mensuelle avril 1922 10 Brillouin M 1922 Gravitation einsteinienne et gravitation newtonienne propos d une r cente note de M Le Roux C R A S Note T 175 923 11 Cartan E 1922 Sur les espaces conformes g n ralis s et l Univers optique C R A S Note T 174 857 860 12 Sauger M 1922 Sur une co ncidence remarquable dans la th orie de la relativit C R A S Note T 174 1002 1003 13 Chazy J 1922 Sur les v rifications astronomiques de la th orie de la relativit C R A S Note T 174 1157 1160 14 Gullstrand A 1922
15. e il semble qu il soit dans la nature des choses qu une limite insurmontable soit atteinte dans l accroissement de la masse d une toile ce qui devrait nous prot ger contre la catastrophe d Hadamard gt qui ne devrait jamais se produire parce que les conditions d existence de telles toiles ne pourraient jamais tre satisfaites Einstein r pondit qu il n tait pas enti rement rassur par ces calculs qui impliquent diff rentes hypoth ses Il pr f rait s appuyer sur d autres moyens pour chapper aux inconv nients de la catastrophe d Hadamard repr sent s dans cette th orie Effectivement dans la session suivante le 7 avril il apporta le r sultat d un calcul qu il avait fait concernant ce point particulier qui montre que si le volume s accro t ind finiment sans accro tre la densit ce qui serait le cas pour une sph re d eau la pression au centre de la masse deviendrait infinie et cela arriverait bien avant que les conditions de la catastrophe d Hadamard soient remplies Dans ces conditions conform ment la th orie de la relativit g n rale les horloges se figent et plus rien ne peut se produire ce serait la mort gt et en cons quence tout changement capable d apporter la catastrophe d Hadamard deviendrait impossible Monsieur Hadamard dans ces conditions se d clara lui m me satisfait et pensait qu il tait impossible que cette catastrophe si redout e se produise Painlev saisit cette occasion po
16. e l enthousiasme des participants a g n r une certaine confusion dans ces d bats et que les probl mes sur l horizon que la forme de Painlev permettait de supprimer n ont pas t trait s en profondeur mais lud s au motif que la formation d un horizon n tait pas possible physiquement Cette forme dont le terme non quadratique implique une orientation de l espace temps n cessaire dans ce type de coordonn es pour tre non singuli re sur l horizon puisque celui ci se comporte comme une membrane unidirectionnelle peut tre franchi dans le sens entrant mais pas sortant n a pas t comprise l poque Elle offre pourtant une description naturelle de la solution du champ du corps unique sym trie sph rique et en r v le les 8 Cette photo a fait l objet d une nigme polytechnicienne propos e par Pierre Boulesteix qu il en soit ici remerci dans La Jaune et la Rouge n 631 2008 lien o il faisait deviner les autres convives la droite de Langevin Charles Fabry 1867 1945 Charles Edouard Guillaume 1861 1938 prix Nobel de physique 1920 puis deux personnes non identifi es puis Paul Appell 1855 1930 la gauche d Einstein Louis Lapicque 1866 1952 Marie Curie En bas gauche de la photo sous un fort clairage Emile Borel 1871 1956 gendre d Appell et Jean Becquerel 1878 1953 fils d Henri Becquerel r bibnum 14 sym tries profondes et certains attributs qu elle partage ave
17. ement de l horizon Il est vrai qu l poque la singularit sur l horizon dans la forme de Schwarzschild semblait le d signer comme une barri re infranchissable et le souci d Einstein et des relativistes tait plut t de prouver son impossibilit physique comme nous le verrons Si la forme de Painlev avait t comprise cela aurait ouvert tout grand les portes l approche moderne de la solution Mais manifestement ce concept r bibnum 7 d orientation de l espace temps tait trop innovant m me pour son auteur qui n a pas su bien le d fendre La m thode utilis e par Painlev pour construire sa forme de m trique En tant que math maticien Painlev a bien compris comment on doit d river une quation conforme la relativit g n rale Il part donc d une forme g n rique sym trie spatiale sph rique qu il va contraindre par l quation d Einstein En vertu des postulats pr c dents si on adopte le rep rage des observateurs de S savoir les coordonn es polaires de l espace de centre O et le temps ordinaire ce ds doit tre de la forme ds A r dt 2B r dt dr C r r d0 snm 0d D r dr 3 Quelles que soient d ailleurs les fonctions A B C D de r que l exp rience nous conduirait adopter il serait toujours possible de former des conditions invariantes auxquelles devraient satisfaire les coefficients de ds quand on y remplace r 6 et t en fonction de 4 variables enti reme
18. indiqu l Acad mie des Sciences avait ignor la relativit g n rale jusqu en 1921 ann e o Einstein obtient le prix Nobel de physique qui lui sera remis en 1922 Si ce prix ne lui est pas attribu pour la relativit g n rale ce qui montre que cette th orie tait loin d tre accept e l poque cela lui conf re une notori t que l Acad mie des Sciences ne peut ignorer De par sa constitution l Acad mie des Sciences est une institution plut t conservatrice Certains membres de l Acad mie parmi les plus influents sont tr s hostiles la th orie de la relativit g n rale qu ils consid rent comme destructrice de la m canique classique Ce courant dont Jean Le Roux auteur d une multitude de notes visant disqualifier la th orie d Einstein est le membre le plus actif est majoritaire surtout au d but Mais on verra appara tre r bibnum 15 rapidement un courant anim par M Brillouin de scientifiques s duits par cette approche nouvelle et constructive de la gravitation permettant d explorer autrement l univers La contribution de Painlev d butant octobre 1921 cons cutive une critique tr s virulente par M Le Roux de la relativit g n rale avait pour objet de mod rer le d bat puisqu il se proposait de faire une tude critique comparative des deux th ories l usage de ses coll gues assez d sempar s par cette nouvelle th orie Si de par sa formation il lui tait difficile
19. ire de la relativit qui la diff rence de celle de la forme de Schwarzschild est non singuli re sur l horizon Painlev expliquera dans le deuxi me article comment il tablit cette quation Singularit de Schwarzschild La relativit g n rale est une th orie g om trique non euclidienne quatre dimensions trois d espace et une de temps de la gravitation Dans cette th orie les mouvements des corps sont les g od siques courbes de cette g om trie Le calcul des param tres de ces courbes g od siques par exemple le temps de parcours d un observateur entre deux points d une trajectoire n cessite un objet caract ristique de la g om trie appel tenseur m trique et not en g n ral ds2 Pour les calculs il est pratique d utiliser les outils de la g om trie analytique ce qui conduit d finir ce tenseur m trique dans des coordonn es arbitraires Si le r sultat du calcul du mouvement des corps ne d pend pas des coordonn es utilis es certaines vont r v ler plus clairement la structure de l espace temps L quation 1 donn e dans le texte est la m trique gt dite de Schwarzschild gt qui d crit la solution de l espace temps ext rieur g n r par un corps unique sym trie sph rique dans certaines coordonn es Ceci est une mod lisation approximative du syst me solaire 2 La forme de Painlev correspond en fait la r gion en expansion de la solution Pour la r
20. l bre dont les g od siques d finissent dans leur th orie le mouvement du point gravitant savoir O dr EREA ds 1 dt 72 82 sin 8dp 1 T 1 Ces deux conditions sont ind pendantes l une est impos e par la compatibilit locale avec la relativit restreinte pas de masse l autre est relative aux propri t s des masses relativit g n rale r bibnum 5 Mais ce ds2 n est pas le seul qui r ponde toutes les conditions einsteiniennes Il en est une infinit d autres d pendant de deux fonctions de r et le choix de la formule 1 entre toutes ces formules est purement arbitraire Parmi ces formules il en est d aussi simples que la formule 1 et qui entra nent exactement les m mes v rifications Telles que celle ci m a 7 a 7 F F F F ds 1 jat 2 dr dt dr r da sint 6 dw o a d signe une constante arbitraire que d terminera la masse du centre mat riel O Painlev tablit la premi re forme de m trique ce probl me non singuli re sur l horizon aucune valeur de r 0 ne rend l expression infinie La singularit sur lt l horizon gt de la forme de Schwarzschild donnait bien du souci aux relativistes qui cherchaient l luder en la consid rant comme un artefact math matique Eddington d clarait m me que la nature ne pouvait pas permettre une telle monstruosit La forme propos e par Painlev est la premi re dans l histo
21. mouvement g od sique celle qui d crit la g om trie spatiale une conique qui peut tre d g n r e et celle qui d crit le mouvement g od sique sur cette courbe spatiale loi des aires Une seule quation est n cessaire dans le formalisme g om trique propos par Painlev 2 Le concept capital d un temps propre mergeant des quations strictement spatiales Cette contribution est remarquable Ce temps qui ne fait pas r f rence au temps universel newtonien merge de la physique puisque c est l application du facteur conforme U h sur le param tre affin agissant en tant que jauge associ e au champ gravitationnel qui le d termine Ce param tre affin temps propre d un observateur d crivant la g od sique d termin e par la gravitation en est le param tre dynamique C est une avanc e majeure dans la compr hension de la nature du temps en physique Le d bat philosophique de la primaut de deux concepts parmi ceux de temps d espace et de mouvement qui sont li s par une relation trouve ici une solution semblable celle que la relativit proposera La m thode de r bibnum Painlev imposant la m canique classique des habits relativistes pour comparer les deux th ories jette un pont formel entre elles qui en r v le certains caract res communs 3 Ce temps propre apparait comme imaginaire dans les quations confortant la forme relativiste En effet dans l quation unifi e le temps
22. nlev avait propos e dans son article d octobre 1921 ce qui montre que cette derni re quation est correcte et g n re au moins ces cas particuliers Painlev d duit donc directement de consid rations de sym trie et des quations d Einstein une classe de solutions dont certaines non singuli res sur l horizon et ceci plus de 10 ans avant Lemaitre C est un l ment totalement m connu dont il faut lui rendre justice LES D BATS AU COLL GE DE FRANCE AVEC EINSTEIN AU PRINTEMPS 1922 En novembre 1921 Painlev crit Einstein pour lui pr senter ses critiques et sa solution et l inviter en d battre avec lui et ses coll gues de l Acad mie des Sciences Dans une lettre du 7 d cembre Einstein r pond aux critiques mais ayant des engagements explique qu il ne peut pas se rendre Paris rapidement Il viendra au printemps 1922 et fera une s rie de conf rences d bats du 31 mars au 7 avril Charles Nordmann fera un compte rendu des discussions Einstein expose et discute sa th orie gt publi dans la Revue des Deux Mondes 8 Charles Nordmann commence par souligner que la prestation d Einstein au Coll ge de France l invitation de Paul Langevin a t un v nement sans pr c dent Aux tats Unis Londres en Italie o Einstein avait t re u dans les mois pr c dents il s tait content de faire un expos ex cathedra sous forme d un monologue non contradictoire 4 Cit dans 15 p 1
23. nt quelconques Painlev va contraindre sa forme g n rale par l quation d Einstein pour obtenir une solution relativiste Mais Einstein veut a priori que ces conditions invariantes soient des d riv es partielles du deuxi me ordre d une forme sp ciale qui s inspirent la fois des th ories de la gravit newtonienne en coordonn es curvilignes et de la th orie de la courbure des surfaces ordinaires Ce sont ces restrictions capitales et non le truisme pur et simple de l invariance qui parmi les ds de la forme 3 ne laissent subsister que les suivants de s dr Pr d 6 od g AH fir o u est une constante et o f r et x r sont deux fonctions arbitraires de r telles seulement que x r tende vers z ro et f r toujours positif tende vers 1 lorsque r tend vers l infini Painlev propose la forme la plus g n rale de solution au probl me pos 3 Nous avons r tabli une parenth se manquante dans l article de Painlev r bibnum 8 Cette derni re quation donne la forme relativiste la plus g n rale de la solution au probl me du champ ext rieur une masse sym trie sph rique En effet quelles que soient les fonctions f r et x r elles satisfont identiquement l quation d Einstein On peut observer que si on pose y r 0 et f r r soit f r 1 on obtient la forme de Schwarzschild et que si on pose y r 2M r 1 2M r et f r r cette forme g n rique donne la solution que Pai
24. pas non plus un relativiste m rite il tait n anmoins bon math maticien et avait assimil le mode d emploi de la relativit comme sa contribution le montre Ce d tachement vis vis de la th orie lui a permis d aborder plus facilement que les physiciens relativistes le probl me et de proposer sans tat d me des solutions qu ils s interdisaient au motif de contraintes mal ma tris es qu ils s imposaient Les contributions brillantes de ses coll gues de l Acad mie des Sciences s inscrivent sans doute dans ce m me contexte A ce titre le probl me de l horizon est difiant puisque la forme tablie par Painlev montre que c est un faux probl me alors qu Einstein dans ses conf rences au Coll ge de France invoque des arguments p riph riques visant montrer que ce cas ne peut pas physiquement se produire Ceci atteste d une compl mentarit entre les th oriciens d couvreurs de th ories et les th oriciens d fricheurs de ces th ories d couvertes les deux domaines demandant des qualit s diff rentes Le bon d veloppement de la science appelle une coop ration harmonieuse des deux avril 2014 r bibnum 20 R f rences de l article 1 Weyl H 1922 Temps espace mati re traduite de l dition 4 de Zeit Raum Materie de H Weyl par G Juvet et R Leroy Librairie scientifique A Blanchard Paris 2 Le Roux J 1921 Sur la th orie de la relativit et le mouvement s culaire
25. ph nom nologie des d calages spectraux radiaux tels qu on les tablit formellement dont certains r sultats peuvent para tre paradoxaux L auteur construit tr s simplement la forme de Schwarzschild partir de la relativit restreinte et de la m canique newtonienne en notant simplement que la vitesse v d un corps tombant en chute libre depuis l infini vaut v 2GM r par rapport un observateur l infini L article de Jean Chazy mai 1922 13 Sur les v rifications astronomiques de la th orie de la relativit gt est le premier tablir rigoureusement la forme de la m trique de Schwarzschild avec constante cosmologique en partant de l quation d Einstein avec constante cosmologique au lieu de celle sans constante cosmologique de laquelle partait Schwarzschild C est une contribution tr s originale totalement oubli e exposant une solution qui sera retrouv e par Lema tre dix ans plus tard Qu est il advenu de ces contributions remarquables Toutes ces contributions innovantes et fondamentales r sultant du d bat dialectique qui s est d roul cette p riode sont tomb es dans l oubli Manifestement leur importance ne s est pas impos e aux diff rents intervenants sans doute du fait qu elles r sultaient plus de travaux formels inspir s par le sujet que d une compr hension profonde de la physique qu elles sous tendaient Il est clair qu cette poque m me chez les esprits les plus brillants comme
26. premier compte rendu l Acad mie des Sciences le 24 Octobre 1921 5 de faire un tat des lieux et de comparer les deux th ories celle de Newton et celle d Einstein Ce premier article assez critique mais constructif est une annonce du travail qu il va pr senter de mani re plus d taill e dans un deuxi me article peu de temps apr s le 14 novembre 1921 6 Il en fera un troisi me en mai 1922 7 apr s un d bat avec Einstein et ses coll gues au Coll ge de France pendant la visite d Einstein Paris 30 Mars 7 avril 1922 Rappel par sa carri re politique il se retirera du d bat apr s le 1 Mai 1922 Sa contribution se sera faite sur une p riode limit e 6 mois Il a t qualifi de pi tre relativiste S il est vrai qu il n avait pas accept certains fondements de la th orie cela ne le dessert pas car en tant que math maticien il en avait compris le mode d emploi et libre de toute contrainte il bouscule les limites conceptuelles existantes l poque au point qu il sera totalement incompris de ses contemporains et que lui m me quelque peu d pass ne saura en assumer l h ritage r bibnum 2 Au del de certains aspects pol miques la contribution de Painlev comporte plusieurs propositions originales UN FORMALISME G OM TRIQUE DE LA GRAVITATION NEWTONIENNE D O MERGE UN TEMPS PHYSIQUE Pour le probl me du champ gravitationnel l ext rieur d un corps mat riel unique
27. ptique que se fait la propagation de la lumi re La courbure de rotation de cet Univers est d finie en chaque point par dix quantit s scalaires ou encore par une forme quadratique ternaire coefficients complexes qu un changement du syst me de r f rence transforme par une substitution orthogonale Au point de vue g om trique la propri t suivante m rite d tre signal e Il existe en chaque point A quatre directions optiques c est dire annulant le ds privil gi es Elles sont caract ris es par la propri t que si AA est l une d elles elle se conserve par le d placement associ un parall logramme l mentaire admettant comme c t AA et une autre direction optique quelconque issue de A Dans le cas d une seule masse attirante ds de Schwarzschild ces quatre directions optiques privil gi es se r duisent deux doubles Les deux rayons lumineux qui leur correspondent iraient au centre d attraction ou en viendraient r bibnum 18 L article de Maurice Sauger avril 1922 12 Sur une co ncidence remarquable dans la th orie de la relativit gt est int ressant plusieurs titres D une part il peut permettre de comprendre ce qui a inspir Painlev dans l laboration de sa forme originale m me si ici Sauger se r f re la forme de Schwarzschild D autre part il permet de comprendre les liens entre cette solution et l espace temps de Minkowski et donne une interpr tation claire de la
28. que Si l on supprime les perturbations la concordance disparait Or il arrive que l hypoth se fondamentale d Einstein est incompatible avec l existence des actions mutuelles et des perturbations telles qu on les consid re dans la m canique classique Et concluant son article ainsi La confrontation avec l exp rience dans le cas particulier du mouvement de Mercure donne lieu aux constatations suivantes L avance s culaire constat e est de 574 La th orie de Newton qui entraine les perturbations fournit une explication satisfaisante jusqu a une limite r bibnum 16 maxima de 536 avec un r sidu minimum inexpliqu de 38 Dans la th orie d Einstein le mouvement d duit du ds calcul par Schwarzschild donnerait pour Mercure une avance s culaire de 42 9 Mais comme cette th orie exclut les perturbations dues aux actions mutuelles il subsiste un r sidu inexpliqu de 531 Tel est le r sultat brutal En attendant on doit constater que la th orie d Einstein dans son tat actuel ne permet ni d expliquer ni de pr voir m me avec l approximation la plus grossi re le mouvement s culaire de Mercure LA A 9 fu A Le Roux crira pire dans d autres articles mais d ja ce niveau ses d clarations lui valent une r ponse cinglante argument e de Marcel Brillouin en novembre 1922 10 Tout le monde sait que la th orie de la gravitation d Einstein comprend comme premi re approximation celle de Ne
29. um 10 D autres s ances plus techniques suivront devant un public plus restreint mais plus sp cialis dans le domaine et s apparenteront plut t des groupes de travail C est ainsi qu il faut consid rer les discussions avec Painlev en pr sence notamment de H Becquerel M Brillouin E Cartan T De Donder J Hadamard P Langevin et C Nordmann M Fairueve M Einstein 5 Trois s ances de discussions entre sp cialistes eurent lieu au Coll ge de France les 3 5 et 7 avril source Michel Biezunski Einstein Paris Presses universitaires de Vincennes 1991 bib 11 LE PROBL ME DE L HORIZON DANS LA SOLUTION DU CORPS UNIQUE SYM TRIE SPH RIQUE Figure 6 Einstein exposant le probl me de l horizon devant une audience restreinte attentive Painlev est assis c t de l extr mit gauche du tableau Voici des extraits de la narration que fait Charles Nordmann de cette r union de travail en cercle restreint C est Monsieur Hadamard qui est professeur de m canique c leste au Coll ge de France qui ouvre le d bat avec une question relative la formule avec laquelle Einstein exprime la nouvelle loi de la gravitation universelle Dans cette formule en utilisant la forme simple que Schwarzschild lui a donn e et qui r pond aux besoins pratiques de l astronomie il existe un certain terme qui intrigue Monsieur Hadamard du fait que le d nominateur de ce terme peut devenir nul ceci signifiant
30. ur demander Einstein des claircissements sur d autres cons quences de sa th orie en particulier sur les grandeurs mesurables physiques comme les distances au Soleil Un d bat contradictoire brillant et anim digne d une comp tition sportive s ensuivit sur la signification physique des quations Brillouin incapable de s exprimer dans ce tumulte s empare alors du tableau et craie la main y inscrit ses propres contributions restaurant l attention d un public haletant et quelque peu perturb 6 Aujourd hui son diam tre est estim 950 1200 diam tres solaires et sa masse 15 masses solaires 7 Il y a ici une erreur d interpr tation car ce n est pas la masse qui compte un trou noir peut avoir n importe quelle masse mais la compacit qui est un autre crit re On voit que la discussion s gare sur une fausse piste r bibnum 13 Einstein qui coutait silencieusement indiff rent au tumulte demanda poliment la parole Ceci d tendit l atmosph re et le silence revenu il ne lui fallut que quelques minutes pour convaincre les intervenants et r duire les principales objections pneu Tai E pen Eoi E ERAIEN pian i a Figure 7 Banquet la maison des polytechniciens en l honneur d Einstein lors de sa visite d avril 1922 On reconnait Langevin droite d Einstein et Marie Curie qui tourne la t te l objectif photo droits r serv s ESPCI LA SOLUTION DE PAINLEV IGNOR E On voit qu
31. wton La Note de M Le Roux montre qu il est n anmoins utile de le rappeler Les dix potentiels d Einstein g contiennent non seulement les coordonn es x du point de l espace autour duquel ils d finissent le ds2 mais aussi contrairement la singuli re affirmation de M Le Roux P 810 lignes 21 27 les coordonn es de tous les points singuliers de l espace c est dire de tous les points o se trouve une masse attirante fixe ou mobile ainsi que la grandeur de chacune de ces masses Lorsque ces masses sont mobiles sous leurs seules influences mutuelles on est oblig d tudier la fois les mouvements de toutes ces masses c est dire de traiter le probl me des n corps soit sous sa forme rigoureuse lorsqu on saura former exactement les gw d un espace contenant n corps mobiles en fonction des quatre coordonn es amp de chacun de ces corps soit approximativement la fa on du probl me des perturbations Au premier ordre cause de la grandeur de la vitesse de la lumi re le seul potentiel qui diff re de celui d un espace euclidien est le coefficient de dt2 g44 qui cet ordre d approximation ob it l quation de Poisson se forme comme en th orie newtonienne et fournit toutes les perturbations classiques Les critiques de M Le Roux sont d pourvues de tout fondement Cette joute oratoire durera jusqu au d but de 1924 o le rapport de force va s quilibrer et o la position de M Le Roux commence
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