INTRODUCTION A L`ECONOMETRIE
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1. ni Standardisation M Si X est une variable normale de param tres m et g la variable al atoire Z est normale et admet respectivement O pour oF esp rance et 1 pour cart type c est une variable al atoire centr e r duite on dit que l on a standardis X On passe d une variable normale NW u 0 N 0 1 par le changement de variable d fini par X Z E o Les propri t s de l esp rance et de la variance permettent d affirmer que cette variable al atoire Z admet O pour esp rance et 1 pour 1 cart type autrement dit que Z suit la loi normale centr e r duite on a en effet Z X m donc E Z E X m o 1 1 1 2 EX Et E mm 0e X z vV X 2 il o ej o o o a Ne Th or me X gt N m0 amp Z TN 0 1 Si nous reprenons l exemple des notes suivant une loi normale de moyenne 11 5 et d cart type 3 5 nous allons pouvoir calculer X 10 115 15 P X lt 10 il faut d abord transformer cette condition en Z Z 2a donc X 10 quivaut Z o 3 5 3 5 43 et on doit donc calculer P Z lt 0 43 P Z gt 0 43 1 P Z lt 0 43 1 0 6664 0 3336 on en conclut qu environ 33 3 6 des candidats ont une note inf rieure ou gale 10 a i 8 11 5 Calculons P 8 lt X lt 10 on effectue de m me la transformation en Z X 8 quivaut Z gt 1 On doit calcule2. E E Y X Exemple E E Y X P X 0 E Y X 0 P X 1 E Y X 1 0 50x0 56 0 50x0 14 0 35 E Y f Ind pendance PENES f 2 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE Intuitivement deux variables al atoires sont ind pendantes si la valeur de l une d entre elles n influe pas sur la distribution de Pautre i Cas discret X et Y sont ind pendantes si et seulement si P X z A Y y P X z P Y yy ii Cas continu X et Y sont ind pendantes si et seulement si la fonction de r partition du couple F est donn e par F x y Fx x Fy y soit P X lt N Y lt y P X lt 2 P Y lt y g Variance Covariance et Corr lation V aX b a V X o aX b la o X 1 On a les propri t s ii Covariance d un couple de variables al atoires On d finit Cov X Y E XY E X E Y E X E X Y E Y Cov X Y souvent not e Ory On note que la covariance est de signe quelconque et qu elle repr sente la moyenne du produit moins le produit des moyennes Cov X Y Cov Y X et Cov aX Y aCov X Y Cov X X V X On rappelle que si X et Y sont ind pendantes alors Cov X Y 0 mais que la r ciproque est fausse Variance et addition a ii V X Y V X V Y 2Co X Y On note que la variance est en g n ral non add
3. L adoption de sch mas lin aires pour repr senter la liaison entre variables conomiques peut appara tre comme une simplification loign e de la r alit L exp rience nous montre que cette hypoth se est tr s souvent raisonnable par ailleurs la simplicit des calculs auquels conduit l hypoth se lin aire est souvent d terminante dans son choix Enfin la notion de lin arit doit tre pr cis e quand on parle de mod le lin aire en conom trie on voque la lin arit par rapport aux param tres que l on doit estimer Au regard de cette remarque un mod le du type C aR b est lin aire il suffit de poser R R pour obtenir C aR b Le mod le est donc lin aire si ses param tres apparaissent dans les quations la puissance 1 contrario le mod le C a R b n est pas lin aire Enfin n oublions pas que de nombreux mod les non lin aires par rapport aux variables peuvent tre lin aris s Y AeP donne par passage au logarithme n p rien ln Y ln A BX soit en posant Z In Y 7 a bX II RAPPEL DE PROBABILITES 1 LOIS DISCRETES 1 Discret ou continu it is UFR 14 Comme en statistique nous serons amen s en probabilit PA uer les distributions discrl MRS TO qu con Ente 2 INTRODUCTION A PECONOMETRIE Une variable al atoire discr te est une variable qui prend des valeurs isol es c est dire dont l ensemble des valeurs est un ensemble fini ou d nom
4. m E XT Y piz On a donc m1 E X g n ralement not e py et m2 E X On appelle moment centr d ordre r ou moment autour de la moyenne uy d une variable al atoire discr te X l esp rance de X E X ainsi la variance est le moment centr d ordre 2 Hr E X E X El X ux 2 Loi continue a C Le principe est le m me mais les 5 sont remplac s par des int grales 00 0 me Ex asada E X E0OY1 EG Fajas Li 69 00 On notera les deux cas particuliers fondamentaux E X J xf x dx OO 00 0 v Em na fade BOP o 00 Aplatissement et Asym trie Les moments centr s d ordre 3 et 4 sont tr s utiles pour mesurer la forme des distributions et entrent dans la d finition de deux coefficients introduits par Karl Pearson 1857 1936 et destin s mesurer si une distribution s loigne de la normalit On d finit ainsi les coefficients suivants qui sont sans unit donc ind pendants de l unit de mesure gr ce la division par o et ogy 3 EX i Le coefficient d asym trie skewness 3 Ox Ox si gt 0 la distribution a une longue queue droite tandis que A lt 0 caract rise les distributions tal es gauche Si A est proche de 0 la distribution est approximativement sym trique Si la distribution est sym trique par rapport sa moyenne loi normale ce coefficient est n
5. Calculer P X lt 3 P X lt 4 P X lt 1 P 0 lt X lt 45 P X gt 0 P X gt 5 P 0 lt X lt 2 Le nombre moyen d accidents de vols commerciaux par an dans le monde est de 25 En supposant que le nombre d accidents par an suit une loi de Poisson calculer la probabilit qu il y ait sur une ann e 20 accidents 25 En utilisant une approximation calculer la probabilit qu il y en ait strictement moins que 25 au moins 28 Selon un expert t moignant dans un proc s en attribution de paternit la dur e d une grossesse en jours c est dire le laps de temps entre la conception et la naissance est de distribution approximativement normale et de param tres m 270 et de variance 100 Un des p res putatifs est en mesure de prouver son abscence du pays pendant une p riode s tendant entre le 290 i me jour et le 240 i me pr c dent la naissance Quelle est la probabilit qu il puisse tre le p re de l enfant Une agence de recrutement constate que 6 commerciaux sur 10 falsifient leur C V On note X le nombre de fichiers fasifi s dans le fichier comportant 460 commerciaux a Pr ciser la loi de probabilit de X b Donner le nombre moyen de fichiers falsifi s c D terminer l cart type de X d Montrer que X peut tre approch e dans les calculs par une variable al atoire Y dont on pr cisera la loi de probabilit Calculer P Y gt 285 et P 262 lt Y lt 290 Un distributeur d essence arrondit les
6. MS o a o a E E E E E E E Mo 27 a a a a a a a Mossos esto E E E B o uo oun ua a me AS NS a es es ee din a 0 US OS a a a a a a a en Mis z Srsezs mm mi EE oa o eS PA A A NN A A de a en S dE OR S M2 gt 22 SN O a ES Mo a E T ES IIS D E E ne 2 RS 2 Ea da ee M 25 E ESE ETE SES SS ES ERES E TITS 322332 ee me Me 2 HS Sie Fe Eee ar rss Eroticos MG E a a il TR RS a as EE 222 E a e a Mo 2222 Saa o o aa o o o OS Suso io o co co co os so o gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt gt S Se gt gt HS TES Sr ess ee mes ee D 2 DUE TAE MM A a a e a a OGC EEE 0000000000 mrreemeremmm NON ON ON ON ON CON ON ON CON eo eo 0 09 0 0 co co co om Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 page 19 TABLE DU KH 20 INTRODUCTION A PECONOMETRIE V est le nombre de degr s de libert et CL le seuil de tol rance Q z 11 1 probabilit 0 05 Pour 5 degr s de libert Q voir test du 2 sera sup rieur 11 07 dans seulement 5 des cas 3 84 6 64 10 83 5 99 9 21 13 82 7 82 11 35 16 27 9 49 13 28 18 47 15 09 20 52 12 59 16 81 22 46 14 07 18 48 24 32 15 51 20 09 26 13 16 92 21 67 27 88 18 31 23 21 29 59 19 68 24 73 31 26 21 03 26 22 32 91 22 36 27 69 34 53 23 69 29 14 36 12 25 00 30 58 37 70 26 30 32 00 39 25 27 59 33 41 40 79 28 87 34 81 42 31 3
7. cionom trie enqu tes de satisfaction etc Prenons pour exemple la fonction de consommation Consid rons par exemple la fonction de consommation des m nages liant le revenu et la consommation sous l hypoth se d une liaison lin aire entre la consommation C et le revenu R on peut crire C aR b La consommation C est dite variable endog ne ou d pendante ou expliquer en ce sens qu elle est interne au mod le Le revenu est dit variable exog ne ou ind pendante ou explicative c est une variable ext rieure au mod le qui est observ e On peut aussi affiner le mod le en introduisant une troisi me variable par exemple X le niveau de liquidit s avec le mod le C bo 61 R B X avec deux variables explicatives plus g n ralement le mod le de r gression multiple prenant en compte un nombre n de variables explicatives Les param tres La fonction f choisie pour repr senter le mod le comporte en g n ral des param tres inconnus qu il faudra estimer l aide de di verses m thodes de la statistique par exemple l aide d un chantillon et de la statistique inf rentielle droite de r gression et m th odes des moindres carr s ordinaires par l utilisation des informations du pass et du pr sent dans le cas des s ries chronologiques etc Dans l exemple de la consommation le mod le C aR b pr sente deux param tres estimer a et b leurs estimateurs seront
8. partition F x P X lt fo f t dt je Mdt e Xl 1 e six gt 0 F x 0six lt 0 F x 1 e six gt 0 s 1 E X Me ESE Esp rance et variance 1 A r sultat admis pour amateurs faire une IPP v Exemple si l on reprend l exemple introductif la probabilit pour que le temps coul entre deux clients soit compris entre 2 et 1 3 2 31 t A spa 3mnest P Q lt X lt 3 f je 5 dt e 5 e 5 0 1215 soit 12 15 La loi exponentielle est sans m moire Supposons que la dur e de vie d une ampoule est distribu e suivant une loi exponentielle de param tre et supposons que l ampoule fonctionne depuis ty heures quelle est la probabilit qu elle fonctionne encore t heures En clair si X d signe la dur e de vie de l ampoule on veut calculer P X gt t to X gt to effectuer ce calcul et d montrer que le r sultat est e7 amp c est dire P X gt t autrement dit la distribution de la dur e de vie additionnelle est la m me que celle de la mise en service elle ne se souvient pas de son pass Repr sentations graphiques densit et fonction de r partition Exemple X gt Exp 0 2 6 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE Densit de la loi exponentielle de param tre 0 2 Fonction de r partition IV LA REINE DES LOIS la loi de Laplace Gauss W m 0 IV1 Introductio
9. un tableau de contingence Le principe est de mesurer la distance entre une distribution observ e et une distribution th orique celle de l ind pendance On note O les effectifs observ s et C les effectifs calcul s ou th oriques ceux de l ind pendance et on utilise la quantit suivante 2 Xcal O1 C O2 Co On _ Oy C C2 Cn qui suit approximativement une loi du khi deux avec v degr s de libert si chantillon est assez grand n gt 30 Il reste pr ciser le degr de libert Le calcul du degr de libert est donn par v l 1 c a l d signe le nombre de lignes et c le nombre de colonnes du page Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 16 INTRODUCTION A PECONOMETRIE tableau L ind pendance est bas e sur l ind pendance probabiliste A et B sont ind pendants si et seulement si Pp A P A Exemple On a relev dans une ANPE ces observations issues d une enqu te sur le sexe et la dur e du ch mage La dur e du ch mage est elle li e au sexe Moins d un an Plus d un an Masculin 501 539 F minin 428 6582 all Plan a b c Formulation des hypoth ses Ho et H Choix du seuil de signification 5 Calcul des effectifs th oriques ou calcul s que nous noterons C avec comme condition que chaque C doit tre au moins gal O Ci Ci l D terminer le ddl degr de li
10. e r duite suit approximativement la loi normale N 0 1 pour n OX Jno suffisamment grand n gt 30 peut suffire oa X E X X m poa la charge moyenne centr e r duite 1 suit approximativement la loi normale N 0 1 pour n suffisam o o y ment grand n gt 30 peut suffire c Exemples i on lance 30 d s honn tes et l on cherche la probabilit pour que la somme soit comprise entre 100 et 110 Si X d signe le 1 2 4 5 6 39 Eos r sultat du i me d E X re 6 gn et V X D l application du TCL donne 30 Y 100 110 30 x 3 5 iros CT A Ny ARO ee mue T 35 30 5 30 35 30 12 12 12 2 2 soit P ne lt Z lt ERa P a lt Z lt 2 soit en notant II la fonction de r partition de la loi N 0 1 175 175 7 7 V 2 Va 2 211 A 1 2M 0 53 1 2 x 0 7019 1 0 4038 X Learning by doing 1 Une variable al atoire suit une loi uniforme sur 5 9 Calculer sa moyenne Calculer les probabilit s suivantes P X lt 3 P X lt 6 P 2 La dur e d une conversation t l phonique mesur e en mn est une variable al atoire exponentielle de param tre 0 1 Quelle est la probabilit qu une conversation t l phonique dure moins de 10mn plus de 5mn soit comprise entre 10 et 20mn page 17 niversit Paris 8 Saint Denis UFR 14 18 10 11 INTRODUCTION A PECONOMETRIE Soit X une variable al atoire normale de param tres respectifs m 3 eto 2
11. not s A et b et un estimateur de C sera alors GR b et le mod le C Bo 1R B X donnera pour estimateur C B 8 R BoX 4 Les diff rents types de modele a Modele statique ou dynamique Le modele pr sent sur la consommation est un modele statique au sens ou il fait les diff rentes variables au m me instant Dans un mod le dynamique le temps t joue un r le explicite et on tudie l encha nement temporel des diff rentes variables exemple mod le pr visionnel des ventes pour la semaine t Y 5 Y _1 PS b Mod les d terministes ou stochastiques Nous avons vu que la th orie qui explique la consommation par le revenu n est qu approch e on peut videmment trouver dans un chantillon d une population des familles ayant le m me revenu et des consommations diff rentes en fait on peut mesurer pour chaque couple la diff rence entre la valeur observ e de la consommation et la valeur estim e par le mod le cette diff rence est not e e c et est appel e erreur ou r sidu On adoptera alors comme criture du mod le C aR b e e d signant une variable appel e r sidu et qui rassemble les variables autres que le revenu qui expliquent la consommation Si l on assimile l cart e une variable al atoire le mod le devient un mod le al atoire et les param tres seront alors estim s en utilisant la th orie de l estimation statistique c Lin aire vous avez dit lin aire
12. plus faible que les instruments de mesure sont performants poids des lingots d or produits par une machine d termin e en une journ e Le caract re tr s g n ral de la loi normale conduit la consid rer comme une loi quasi universelle Il ne faut pas pour autant penser que les distributions qui suivent d autres lois de probabilit sont anormales Supposer que la distribution d un caract re est normale c est supposer que la distribution est d termin e par le hasard Le caract re gaussien d une distribution traduit l homog n it de la population vis vis du caract re tudi Admettre pour normale une distribution qui ne l est pas c est gommer l abscence d homog n it de la population tudi e Cette op ration purement math matique peut parfois ne pas tre id ologiquement neutre La loi normale est la loi des ph nom nes courants la loi des grands nombres Une variable al atoire est normale lorsque les valeurs qu elle prend r sultent de l addition de nombreuses causes ind pendantes aucune n tant pr pond rante 1 E 2 3 a a y is 1 73 Cette loi est caract ris e par ses deux param tres sa fonction de densit de probabilit est donn e par f x an 2 E T mais comme pour toutes les lois continues notre instrument de travail sera la Fonction de r partition not e F et d finie par F x P X lt x l it m ET o d Fx il e t oo OV 2T La f
13. 0 14 36 19 43 82 31 41 37 57 45 32 32 67 38 93 46 80 33 92 40 29 48 27 35 17 41 64 49 73 36 42 42 98 51 18 37 65 44 31 52 62 38 89 45 64 54 05 40 11 46 96 55 48 41 34 48 28 56 89 42 56 49 59 58 30 43 77 50 89 59 70 20 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14
14. 500 euros pour ces indemnit s Quelle est la probabilit pour que cette somme permette d indemniser les 120 assur s Lors d une enqu te sur l alimentation on a pos la question suivante Avez vous une pr f rence prononc e pour la cuisine de votre pays les sond s ayant le choix entre 3 r ponses A OUI B NON et C SANS OPINION On a obtenu les r sultats pr sent s dans le tableau de gauche pour des individus de 4 pays On veut r pondre la question suivante Au niveau de risque a de 5 peut on estimer qu il y a une liaison significative entre la nationalit des individus et leur r ponse A B C Chine 1094 150 258 France 822 302 415 Inde 1242 160 133 USA 784 293 480 18 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 INTRODUCTION A PECONOMETRIE Master1 XI BILAN APPROXIMATIONS P np Correction de continuit N np npq Continue N lt 5 p lt 0 1 et np ifn gt 50 et N B n p Correction de continuit p lt 0 6 OR npq gt 18 ifn gt 50 et 0 4 lt Discret if gt 18 a xv XIIFONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE D SIS E TRES nee Mo 32 222 2222 22 2 12 e o 22 gt
15. A HI RAPPEL 2 LOIS CONTINUES Une variable al atoire continue peut prendre toutes les valeurs d un intervalle r el on retrouve en probabilit la m me distinction qui existe en statistique entre les caract res discrets exemple nombre d enfants qui prend des valeurs isol es et les caract res continus taille d un individu qui prennet toutes les valeurs d un intervalle Une loi de probabilit continue sera repr sent e par la repr sentation graphique de sa densit de probabilit cette densit de probabilit est une fonction qui doit poss der certaines propri t s elle doit notamment tre positive ou nulle et l aire situ e entre la courbe et l axe des x repr sentant la probabilit de l univers doit tre gal 1 Pour amateurs cette aire est donne par 00 f x dx 1 00 En fait l instrument de travail privil gi pour ces lois est la fonction de r partition qui correspond la notion de fr quences a cumul es croissantes cette fonction tant d finie par F a P X lt a Pour amateurs J f x dx et qui repr sente l aire situ e entre la courbe et l axe des x gauche de la droite x a 1 La loi uniforme a Une variable al atoire suit la loi uniforme sur a b si sa densit de probabilit est une fonction constante sur a b et nulle ailleurs c est dire f x size a b f x 0 si x 20 a U b o0 On se retrouv
16. Khi deux La table du Khi deux donne les valeurs du khi deux qui d pendent du degr de libert y et du seuil de signification a Exemple pour un degr de libert y 8 et pour un seuil de signification a de 0 05 5 la table donne un x 15 5073 ce qui signifie que P x gt 15 5073 0 05 donc que P x lt 15 5073 0 95 1 a Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE pe q P X lt x 1 0 Pr X gt x 0a 3 Test du Khi deux a Introduction Le test du Khi deux s inscrit dans la th orie g n rale des tests d hypoth ses Il s agit de construire une d marche qui va fournir une r gle de d cision permettant sur la base de r sultats d un chantillon de faire un choix entre deux hypoth ses statistiques On appelle hypoth se nulle not e Ho hypoth se de diff rence nulle l hypoth se que l on effectue sur la population parente deux caract res sont ind pendants le nombre de clients suit une loi de Poisson etc toute la d marche du test s effectue en consid rant cette hypoth se nulle comme vraie le rejet ventuel de l hypoth se nulle conduit l acceptation de l hypoth se alternative contre hypoth se H1 On doit noter que m me si l hypoth se nulle est v rifi e sur l chantillon tir les fluctuations d chantillonnage peuvent conduire une mauvaise conclusion On doit donc tablir des r gles de d cision qu
17. Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE F vrier 2010 I L ECONOMETRIE L conom trie est souvent d crite comme la partie de l conomie qui s occupe de la mesure du quantitatif Elle applique les m thodes statistiques aux donn es empiriques issues de l conomie H riti re la fois des math matiques de l conomie et des statistiques elle se fonde sur des mod les conomiques qu elle vient confronter un ensemble de donn es observ es donn es de panel s rie temporelle etc L conom trie vise estimer les param tres de ces mod les et en v rifier la validit T Le mod le C est la formalisation d id es ou de th ories sur les m canismes conomiques Il revient la th orie conomique de sp cifier le mod le d en s lectionner les variables pertinentes et d tablir priori une distinction entre les variables suivant leur r le dans l explication des faits L ensemble des variables et le syst me de relations qui les lient quations in quations constituent le mod le Les variables lt La loi psychologique fondamentale c est qu en moyenne et la plupart du temps les hommes tendent accro tre leur consommation mesure que leur revenu cro t mais non d une quantit aussi grande que l accroissement du revenu John Maynard Keynes conomiste britannique 1883 1946 Le comportement du consommateur a t tr s t t un sujet de pr dilection pour l
18. X pizi et V X n eto X V X s 2 Du gt n n 4 La loi binomiale To be or not to be a Loi de Bernoulli On appelle preuve de Bernoulli une exp rience al atoire admettant deux r sultats possibles que l on pourra noter S succ s et E S chec On note p la probabilit du succ s et q 1 p la probabilit de 1 chec p P S etq P 5 p est appel le param tre de l preuve Si l on note X la variable al atoire prenant pour valeur 1 en cas de succ s et O en cas d chec on dit que X est une variable de Bernoulli et qu elle suit page 3 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 4 INTRODUCTION A PECONOMETRIE la loi de Bernoulli de param tre p not e B 1 p et d finie donc par P X 1 p P X 0 1 p q E X petV X E X E X p p p 1 p px q b Sch ma de Bernoulli Jacobi Bernoulli 1654 1705 est un des huit math maticiens que donna la famille Bernoulli sur trois g n rations de 1650 1800 son c l bre ouvrage de probabilit Ars conjectandi fut publi en 1713 quelques ann es apr s sa mort On appelle sch ma de Bernoulli une suite de n preuves de Bernoulli identiques et ind pendantes on note X le nombre de succ s l issue des n parties L univers image est X Q 0 1 2 np On a pour k entier naturel variant de 0 n P X k p On dit que X suit la loi binomiale B n p On retrouve ici la pa
19. aleur du risque d erreur qui conclut cette liaison significative on peut avec Excel utiliser la fonction LOT KHIDEUX 4 11 1 qui nous renvoie la probabilit critique p de 4 26 que l on appelle le degr de signification ou valeur p Si l on a fix un seuil de signification a on rejette Ho sip lt a Plus p est proche de z ro plus forte est la contradiction entre Ho et les donn es de l chantillon IX Theoreme Central Limite T C L 1 L id e du th or me la somme d un grand nombre de variables al atoires ind pendantes suit une distribution approximativement normale ce th or me est l un des plus remarquables r sultats de la th orie des probabilit s ce th or me explique entre autres que de nombreux ph nom nes naturels admettent une distribution en forme de cloche c est dire normale a b Cas particulier g n ralisation de ce que l on a vu pour deux variables Soient X1 X2 Xn des variables al atoires ind pendantes suivant toutes la m me loi normale N m 0 alors X1 X la distribution de la variable al atoire X peut tre approch e par la loi normale N m I quand n est n n grand n gt 30 e i Xit XX Th or me la distribution de la variable al atoire ana NE 2 tend vers la loi normale N 0 1 quand n tend oyn vers linfini Cas g n ral Dans le cas particulier nous avons suppos que les variables al atoires ind p
20. bert v c 1 x l 1 o 1 et c d signent respectivement le nombre de lignes et de colonnes des donn es de l chantillon c est dire le nombre de modalit s de chaque caract re 5 et calcul du Khi x Y Lire le Khi de la table cette valeur est dite critique et permet de d finir les r gions de rejet et d acceptation de Ho R gle de d cision bas e sur les valeurs observ es de l chantillon Si la valeur du Khi calcul est inf rieure ou gale au Khi de la table valeur critique seuil limite de la r gion de non rejet de Ho on ne peut rejeter Ho par contre si x gt X ble ON rejettera l hypoth se d ind pendance statistique des deux caract res D cision on applique la r gle de d cision d finie pr c demment et on conclut partir des donn es de l chantillon l existence ou l abscence d un lien statistique entre les caract res Valeur p p value ou degr de signification Le choix d un seuil de signification de 5 peut sembler arbitraire 25 prolonge le tast par me information pr cieuse le degr de signification Dans l exemple propos on trouve x 4 11 et x 05 1 3 84 XZ gt X0 05 1 On est donc conduit au seuil de 5 rejeter Ho et accepter l hypoth se H d une liaison significative entre le sexe et la dur e du ch mage La question se trouve alors pos e de l arbitraire du seuil de 5 et on peut rechercher la plus petite v
21. brable Un ensemble est dit d nombrable si l on peut compter ou num roter ses l ments Une variable continue peut prendre toutes les valeurs d un intervalle de R Ainsi par exemple la taille d un individu peut prendre une infinit de valeurs non d nombrables par exemple les valeurs en cm de l intervalle 150 200 2 Esp rance Variance et Ecart type d une variable al atoire discr te a D finitions On rappelle que E X X pizi que E X S piz et que la variance est d finie par V X E x E cor E X E X MC CM moyenne des carr s moins carr de la moyenne et que o X 4 V X On rappelle galement qu une variable al atoire est dite centr e si son esp rance est nulle jeu quitable b Exemple l esp rance de vie On consid re un individu de 105 ans et l extrait de la table de mortalit Calculer son esp rance de vie appel e esp rance de vie abr g e l aide de l extrait de la table TH 00 02 fourni ci dessous o l x d signe le nombre de survivants l ge x NA nr 244 c Desp rance est lin aire E X Y E X E Y E aX aE X On en conclut que l esp rance est lin aire ce qui signifie si X et Y d signent deux variables al atoires ona E aX bY aE X bE Y quels que soient les r els a et b On utilise souvent notamment E aX b aE X b d Variables simultan es distributions condi
22. de de tables num riques ou sur excel gr ce la loi normale cumulative 2 3 5 dt que nous ne chercherons pas calculer mais que nous d terminerons tout cette aire est donn e par IV2 La loi normale centr e r duite M 0 1 1 C est la loi normale de r f rence loi normale standard dans Excel Pour faciliter les calculs on utilise en fait une table qui correspond au cas particulier d une variable gaussienne de moyenne nulle m 0 variable centr e et d cart type o 1 N T a Los Densit cette loi est not e M 0 1 et elle correspond la fonction de densit f x e 2 v 27 5 5 La loi N 0 1 Sa fonction de densit est paire et la courbe est sym trique par rapport l axe 5 des ordonn es Pour amateurs on d montre facilement que la courbe admet deux points d inflexion qui ont respectivement pour abscisse 1 o 1 e es et 1 et qui correspondent donc o et o Son maximum est f 0 I 0 40 L aire situ e entre la courbe et l axe des x vaut T 2 00 ES dl videmment 1 et on a donc e 2dr 1 Lo Vr On voit d apr s ces propri t s que P X lt 0 0 50 et P X gt 0 0 50 autrement dit que cette distribution sym trique a naturellement une moyenne et une m diane gales 2 La fonction de r partition de la loi normale centr e r duite a F a P X lt a Comme toutes les fonctions de r partition c est
23. des billes la sortie suivant une distribution normale bien identifiable par la belle courbe en cloche C est au 17 me et 18 me si cle 50 ans d intervalle que d abord Abraham de Moivre puis le marquis Simon de Laplace in troduisirent la reine des lois continues la loi normale encore appel e loi de Laplace Gauss Comme l ont not de nombreux auteurs malgr la grande pr cocit de Gauss il est peu probable qu il ait contribu cette d couverte l ge de trois ans mais cette loi a souvent t attribu e Gauss car il a prouv en 1821 que le r sultat de De Moivre et de Laplace n tait qu un cas particulier d montrant ainsi le caract re universelle de laloi normale L apport de De Moivre est fondamental en probabilit s son ouvrage Doctrine of chance paru en 1718 est la plus importante publication dans ce domaine apr s les travaux de Pascal et Fermat vers 1650 De Moivre est le premier s int resser la convergence page 7 niversit Paris 8 Saint Denis UFR 14 8 INTRODUCTION A PECONOMETRIE des variables al atoires en posant la probl matique suivante dans quelle mesure peut on tre s r que lorsque l on lance un grand nombre de fois un d la fr quence observ e d apparition du nombre six tend vers la probabilit th orique comment valuer simplement la probabilit d obtenir au cours de 1000 lancers de pi ce un nombre de pile compris entre 495 et 510 C est u
24. diants pr sents P X lt 100 P Y lt 100 5 P z lt Y 82 5 P Z lt 2 95 0 9984 Y variable al atoire suivant la loi normale M 82 5 6 1 et Z Sn suivant la loi normale N 0 1 b Exemple 2 Soit une variable al atoire X suivant la loi B 100 0 3 npq 100 x 0 3 x 0 7 21 on peut donc prendre pour approximation de la loi B 100 0 3 la loi M 30 V21 soit N 30 4 5826 Cas important P X 25 pour la loi normale on utilise le changement de variable Z 3 Z suivant la loi N 0 1 Loi Binomiale Ca 0 3 x 0 77 0 04956 Loi normale P 24 5 lt X lt 25 5 P Z5 lt Z lt BF P 1 2002 lt Z lt 0 98198 Soit en utilisant la fonction de r partition F 1 2002 F 0 981 98 soit P 1 2002 lt Z lt 0 981 98 F 1 20 F 0 98 0 8849 0 8365 0 0 484 avec la table de la loi normale centr e r duite page 13 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 14 INTRODUCTION A PECONOMETRIE On peut calculer de m me P X lt 25 avec la loi normale on prendra P X lt 25 5 P Z lt 325730 F 0 981 98 1 F 0 981 98 1 0 8365 0 1635 E P X lt 25 on prendra P Y lt 24 5 P Z lt 42 F 1 2002 1 F 1 20 1 0 8849 VIISomme de variables ind pendantes 1 Rappel a b si X et Y sont ind pendantes ona V X Y V X V Y i En particulier si X1 X
25. e Poisson est appel e la loi des v nements rares elle s av re particuli rement utile pour d crire le comportement d v nements dont les chances de r alisation sont faibles Elle a de nombreuses applications dans des domaines tr s vari s gestion industrielle nombre d accidents du travail contr le d acceptation recherche op rationnelle tude des files d attente nombre d appels re us un standard t l phonique circulation routi re nombre de v hicules se pr sentant un poste de p age d mographie naissances multiples physique d sint gration de particules recherche m dicale Elle constitue galement sous certaines conditions une tr s bonne approximation de la loi binomiale Une variable al atoire X qui peut prendre comme valeur tout nombre entier naturel positif ou nul avec les probabilit s k P X k e RE N gt 0 est dite distribu e selon une loi de Poisson de param tre A o e 2 718 Comme une variable binomiale une variable de Poisson est une variable discr te mais elle peut prendre une infinit de valeurs alors qu une variable binomiale B n p ne prend que n 1 valeurs 0 1 n Une loi de Poisson ne d pend que d un seul nombre appel son param tre on la notera P A i f f 4 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE Loi de Poisson P A E X V X o X V
26. e dans un cas semblable celui d une classe d une distribution statistique d un caract re quantitatif continu qui est repr sent e dans l histogramme par un rectangle b Fonction de r partition F x P X lt x ce qui repr sente si x a b Paire du rectangle de base x a et de hauteur 1 b a F x 0six oo al F x si x a b F x 1six b 00 Pour amateurs f f t dt S f t dt ff dt El si x a b On a repris ci dessous l exemple 1 des notes correspondant une loi uniforme sur 5 15 Fonction de r partition loi uniforme On peut y lire directement par exemple que 70 des can didats ont moins de 12 N page 5 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 INTRODUCTION A PECONOMETRIE Mode d emploi P c lt X lt d F d F c on lit sur le graphique que P 7 lt X lt 12 F 12 F 7 0 70 0 20 0 50 donc 50 des candidats ont une note comprise entre 7 et 12 Esp rance E x ab ce qui est conforme l intuition sur notre exemple moyenne de 10 b je b 1 1 b 1 A 1 b a tf t dt t dt tdt Es pt Ja in pale a b a 2 5 37 3 3_g3 9 Variance V x E x E x Ttf t dt se 5 5 s 3 b a 13 b ab a 4 ig 3 2 2 Exercice Le m tro entre la stati
27. endantes qui intervenaient taient distribu es selon une loi normale le cas g n ral rend cette hypoth se superflue Th or me Central Limite Si X1 X2 Xn sont n variables al atoires ind pendantes et identiquement distribu es d esp rance commune m et de variance o alors la distibution de la variable al atoire Xi Xn oyn MT tend vers la loi normale N 0 1 quand n tend vers l infini Une illustration du th or me central limite Nous prenons 5500 nombres entiers al atoires de 0 10 Le premier graphique repr sente cette distribution et ce diagramme en b tons montre une loi uniforme Ensuite les nombres ont t r partis de fa ons al atoires en 550 chantillons de 10 pour chacun desquels nous calculons la moyenne le deuxi me graphique montre que la distribution des moyennes suit une loi tr s proche de la loi normale 16 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE wm s a a o 2 Application pratique du TCL a Version pratique La moyenne d un chantillon extrait d une population quelconque est distribu e selon une loi pratiquement normale quand la taille de P chantillon est suffisamment grande b En pratique si X1 X2 X sont n variables al atoires ind pendantes et identiquement distribu es d esp rance commune y et de variance o on a la charge totale centr
28. gt X sont des variables al atoires ind pendantes de m me esp rance m et de m me variance V et donc de m me cart type o on a EN X nxm VOIX nVv EX oyn Exemple pour tablir son tarif un assureur proc de une mod lisation du risque Il en ressort que les montants qu il aura r gler pour les sinistres d c s constituent pour les trois ann es venir trois variables al atoires ind pendantes de moyennes respectives 10000 20000 30000 et d cart types identiques o 1000 D terminer l esp rance et l cart type de Y la variable al atoire donnant le total des montants verser sur la p riode de trois ans puis de Z repr sentant le montant moyen annuel de ses versements 2 Addition de variables al atoires ind pendantes a Variables al atoires binomiales Si X suit la loi B n1 p et X la loi B na p et si X1 et X2 sont des variables al atoires ind pendantes alors Xy X2 suit la loi B n n2 p Variables al atoires poissonniennes Si X suit la loi P A1 et X2 la loi P A2 et si X1 et X sont des variables al atoires ind pendantes alors Xy X2 suit la loi P Oy Aa A Variables al atoires normales Si X et X sont des variables al atoires normales ind pendantes de moyennes respectives met ma et d cart types o1 et 02 alors S X X est distribu e suivant une loi normale et E S M1 Ma a S y 04 0
29. i conduisent sans quivoque au non rejet ou au rejet de Ho La d cision de favoriser telle hypoth se est bas e sur les r sultats d un chantillon et donc labor e partir d une information tr s partielle il est impossible d tre s r de prendre la bonne d cision on peut seulement limiter la probabilit de prendre une d cision erron e l 8 La d cision prise l issue du test comporte deux risques rejeter Ho alors que cette hypoth se est vraie et accepter Ho alors que cette hypoth se est fausse On notera qu accepter Ho ne signifie pas que l on a prouv qu Ho est vraie mais uniquement que les donn es de l chantillon ne sont pas suffisamment contradictoires avec Ho pour pouvoir rejeter Ho Le cas de la justice est loquent le principe de pr somption d innocence stipule que tout accus est pr sum innocent Ho accepter ou plut t ne pas rejeter Ho c est acquiter faute de preuves Les deux risques Le premier risque not a est appel le risque de premi re esp ce c est le rique consenti l avance de rejeter tort l hypoth se nulle la d marche des tests va permettre de contr ler a c est dire de rejeter tort une hypoth se nulle vraie dans une faible proportion de cas s appelle le seuil de signification les seuils les plus utilis s tant 0 05 et 0 01 Ce risque celui en justice de condamner un innocent est grave mais n anmoins in vitable
30. infini de la loi binomiale B n 0 5 vers une loi normale Cette distribution est souvent appel e loi des erreurs parce que les erreurs al atoires dans les r sultats de mesures sont souvent normalement distribu es La loi normale repr sente la distribution des valeurs d une grandeur soumise l influence d un grand nombre de facteurs ind pen dants les uns des autres chacun exer ant des actions de faible intensit dont les effets tendent se compenser On peut donner quelques exemples le poids d une tablette de chocolat suppos e peser 125 grammes si la fabrication est honn te on peut estimer que le poids exact d une telle tablette suit une loi normale d esp rance 125 Exemple des tailles on peut consid rer un ensemble d organismes qui en commen ant leur croissance sont dans des conditions presque identiques S ils taient soumis au m me r gime ils atteindraient des tailles tr s voisines En fait ils sont soumis un grand nombre de variables les unes favorisant le d veloppement et les autres le contrariant et ces variables ayant des valeurs diff rentes suvant les individus on se retrouve avec des tailles dispers es Si ces variables sont nombreuses ind pendantes et de faibles variations la taille suivra une loi normale D une mani re g n rale la mesure d une grandeur physique dont la valeur exacte est suppos e tre m suit une loi normale d esp rance m et dont l cart type west d autant
31. ion de r partition est le plus souvent ing rable comment calculer pour une loi binomiale P X lt 50 aN f a 12 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE ii Dans le cas d une loi binomiale relativement sym trique o n gt 50 et p compris entre 0 4 et 0 6 on approxime pour les calculs la loi binomiale par la loi normale N np npq c est dire de m me esp rance et de m me cart type que la variable binomiale On utilisera pour les calculs la loi standardis e On fait de m me si npq gt 18 a iii Exemple Consid rons dans une universit un cours auquel sont inscrits 150 tudiants et supposons qu il soit admis statistiquement que seulement 55 des tudiants inscrits assistent au cours Pr cisons la loi de probabilit de la variable al atoire X repr sentant le nombre d tudiants assistant au cours et donnons une approximation de cette loi Il est clair que X suit la loi binomiale B 150 0 55 sa moyenne est m nx p 150 x 0 55 82 5 sa variance V X npq 150 x 0 55 x 0 45 37 125 et son cart type o V X 37 125 6 1 On est dans le cas o n gt 50 et p compris entre 0 4 et 0 6 on peut donc approcher la loi de X par la loi normale W 82 5 6 1 Nous reprendrons cet exemple dans le paragraphe suivant 2 Approximation de la loi de Poisson par la loi normale a i On admet que si gt 18 la loi de Po
32. isson peut tre approch e par la loi normale de moyenne m A et d cart type o VA 3 La correction de continuit Quand on approxime une loi discr te par une loi continue on doit op rer une correction de continuit qui consiste tranformer un diagramme en b tons en histogramme cel revient repr senter la variable discr te par un histogramme chaque b ton P X k tant repr sent par un rectangle de base 1 k 0 5 k 0 5 et de m me hauteur si bien que l aire du rectangle vaut P X k et que la somme des aires des rectangles de l histogramme ainsi form vaut 1 Diagramme en b tons Histogramme Ju Diagramme en b tons a Histogramme 2 3 4 5 6 7 1 2 a 4 5 6 7 4 correction de continuit si X B n p et que les conditions d une approximation sont r unies alors si Y gt N np npq on P X gt 21 devient P Y gt z 0 5 se P X gt x devient P Y gt z 0 5 i P X lt x devient P Y lt x 0 5 P X lt x devient P Y lt x 0 5 5 Exemples a Exemple 1 Reprenons l exemple du cours o X le nombre d tudiants pr sents suit la loi B 150 0 55 et supposons que l on veuille calculer 100 5 82 5 la probabilit d avoir au maimum 100 tu
33. itive iv Cas de variables ind pendantes On retient que dans le cas particulier important de variables al atoires ind pendantes ona V X Y V X V Y v Corr lation SE OS a RAA Cov X Y La corr lation entre deux variables al atoires est d finie par le coefficient de corr lation lin aire p X Y sey o o On d montre que 1 lt p X Y lt 1 Ce coefficient mesure le degr de liaison lin aire entre X et Y Un signe positif indique que X et Y varient dans le m me sens et un signe n gatif que les deux variables varient en sens contraire Si p X Y 0 X et Y sont non corr l es c est notamment le cas quand elles sont ind pendantes jls vi Exercice reprendre l exemple du paragraphe d Donner la loi de probabilit de Y son esp rance et sa variance Donner la loi de probabilit l esp rance conditionnelle et la variance conditionnelle de Y sachant X 0 Calculer la covariance et la corr lation entre X et Y 3 La loi uniforme discr te Le hasard est gal disait Blaise Pascal On consid re une exp rience al atoire et X une variable al atoire li e cette exp rience et pouvant prendre n valeurs w1 w2 Wn 1 de fa ons quiprobables alors ona P X w n Exemple classique X r sultat du jet d un d non truqu Valeurs de X Univers image X Q 1 2 3 4 5 6 et P X w 1 7 25 L esp rance de X est E X
34. montants 5 centimes d euro pr s On consid re que les arrondis suivent une loi uniforme sur 2 5 2 5 a Expliciter la fonction de r partition de cette distribution et calculer sa moyenne et son cart type b On suppose que 1200 automobilistes ont utilis ce distributeur et on note S la variable al atoire d signant la somme totale des arrondis Citer le th or me central limite et expliciter la loi de probabilit de S Quelle est la probabilit que le gain d aux arrondis soit sup rieur 1 euro Virginie a rendez vous avec Paul la sortie des cours jeudi 20h30 mais elle ne pourra l attendre plus de 12 mn Paul qui suit ses cours l Universit de M decine estime qu il peut arriver tout moment entre 20h25 et 20h45 de fa on quiprobable Quelle est la probabilit que Paul rencontre Virginie A la suite d une enqu te effectu e par une compagnie d assurance on a tabli que le co t de r paration R en euros d une voiture accident e suit une loi normale de moyenne 4115 et d cart type o 200 D terminer la probabilit des v nements suivants R lt 4150 3900 lt R lt 4150 120 personnes se font rembourser une somme d argent par leur compagnie d assurance La somme vers e chaque personne est une variable al atoire de moyenne 50 euros et d cart type 30 euros ces variables al atoires suivent toutes la m me loi et sont ind pendantes La compagnie a budg tis 6
35. n Le triangle de Galton 1822 1911 1 La loi normale est caract ris e par ses deux param tres m et o sa moyenne et son cart type et est not e N m o comme pour toutes les lois continues notre outil de travail sera sa Fonction de r partition mais nous allons voir que cette fonction de r partition est tabul e table num rique annex e au pr sent polycopi 2 La loi normale centr e r duite standard Il existe un mod le de r f rence incontournable la loi normale centr e r duite not e N 0 1 de moyenne 0 et d cart type 1 La fonction de r partition de la loi N 0 1 sera not e F et ses valeurs seront lues dans la table cit e ci dessus Pour tous les calculs nous ao X m devrons nous ramener la loi normale centr e r duite On verra plus loin que si X N m 0 alors Z gt N 0 1 o 3 Historique F Galton a invent un dispositif ing nieux repr sent ci dessus pour simuler la tendance de la loi binomiale B n p repr sent e par un diagramme b tons quand p est proche de 0 5 vers la loi normale courbe de Gauss dite courbe en cloche F Galton inventa cette machine les billes envoy es en nombre important ont en arrivant sur chaque clou une chance sur deux d aller gauche et une chance sur deux d aller droite on retrouve un sch ma de Bernoulli classique To be or not to be ce qui est fascinant c est la r partition
36. ne question essentielle r soudre pour les probl mes de mod lisation De Moivre montre en particulier que la loi binomiale tend en un certain sens vers la loi normale la fameuse loi la courbe en cloche cf planche de Galton De Moivre s int resse aussi aux applications pratiques des probabilit s et statistiques Il dresse ainsi des tables de mortalit pr cises et donne des formules qui permettent de calculer quitablement le montant d une rente viag re Une jolie l gende entoure la mort de De Moivre survenue le 27 novembre 1754 Londres dans la pauvret On raconte que De Moivre s tait rendu compte qu il dormait chaque nuit 1 4 d heure suppl mentaire S aidant de cette suite arithm tique il avait devin le jour de sa mort celui o il dormirait pendant 24 heures Il ne s tait pas tromp Pourquoi l appelle t on loi normale De nombreux caract res quantitatifs du monde r el suivent une loi normale les tailles des individus les poids la pression sanguine les notes un examen la dur e de vie de certains composants etc Cette loi doit en grande partie son importance au th or me central limite qui nous dit en gros que la somme ou la moyenne de plus de trente variables al atoires ind pendantes qui suivent la m me loi de probabilit suit approximativement une loi normale La planche de Galton consid r comme un des inventeurs de la statistique illustre la convergence quand n tend vers l
37. on Concorde et la station St Georges on suppose que le temps requis en minutes est distribu uniform ment sur l intervalle 8 12 Expliciter la loi de probabilit de la variable X repr sentant le temps n cessaire pour parcourir le trajet entre ces deux stations en donnant sa densit et sa fonction de r partition Pr cisez l esp rance de cette loi Calculer la probabilit que la rame de m tro effectue le trajet en moins de 9 mn 30 secondes Calculer la probabilit que la dur e du trajet se trouve moins d un cart type de la dur e moyenne 2 La loi exponentielle a On utilise la distribution de Poisson pour d crire des v nements rares et notamment pour calculer la probabilit d avoir x clients qui entrent dans une boutique durant un intervalle de temps donn On peut se poser la question de savoir quel intervalle de temps s coule entre deux clients ce probl me est r solu gr ce la loi exponentielle avec comme moyenne a 2 A tant le param tre de la loi de Poisson en clair s il y a 12 clients par heure et que le nombre de clients par mn est r gi par la 1 loi de Poisson de param tre gt 3 le temps qui s coule entre deux clients suit une loi exponentielle de param tre A et d esp rance a 5 1 client toutes les 5 mn La loi exponentielle de param tre A gt 0 est une loi continue de densit f x 0six lt 0 Fe ren Fonction de r
38. onction de densit est moins c l bre que sa courbe la fameuse courbe en cloche cf planche de Galton la villette au d parte ment de Math matiques elle ne permet pas de calculer directement les probabilit s mais a permis de construire des tables de la loi normale que vous utiliserez pour les calculs Vous n utiliserez donc pas la formule pr c dente qui donne la fonction de r partition et dans laquelle m repr sente la moyenne et o l cart type de X Voyons l interpr tation de cette int grale sur un exemple Supposons qu apr s quelques ann es d enseignement d un cours on ait constat que l ensemble des r sultats suivait une loi normale de moyenne 11 5 et d cart type 3 5 on obtient pour la densit de probabilit la courbe en cloche d quation 1 D Schlacther De l analyse la pr vision chez Ellipses 8 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE y 02 0 157 0 1 0 05 7 dm S 10 15 20 0 05 T ES 1 L 115 2 o1 1 1 3 5 N 11 5 3 5 e EZ La fonction de densit atteind son maximum en m ici 11 5 et ce maximum vaut soit ici 0 11 Oy 2T 3 5V 2T On peut constater que cette distribution est sym trique autour de la moyenne F 10 P X lt 10 repr sente laire du domaine situ entre la courbe et laxe des x pour x lt 10 1 t 11 5 al 10 e _o 3 5V2T l heure l ai
39. penser Pythagore e ad Dn fJ E Y ami bma dans le cas d une combinaison lin aire Y aX bX2 on a He IRER Exemples i En Syldavie 80 des l ves ont le bac Un village attend 10 naissances 6 gar ons et 4 filles on appelle respectivement X et Y le nombre de gar ons bacheliers et le nombre de filles bacheli res parmi ces naissances D terminer les lois de probabilit s de X et de Y Calculer la probabilit qu il y ait en tout 7 bacheliers ii La serveuse casse en moyenne trois verres et une assiette par mois ce de fa ons ind pendantes le nombre X d assiettes cass es et le nombre Y de verres cass s chaque mois suivant une loi de Poisson D terminer P X 2 P Y 2 puis d terminer la probabilit d avoir 4 objets cass s dans le mois Lors d un concours la note X des candidats en comptabilit suit la loi normale M 11 3 et la note Y des candidats en math matiques suit la loi normale M 13 4 Quelle est la probabilit que la moyenne d un candidat soit sup rieure ou gale 10 iii m VIILA LOI DE xy 1 D finition cette loi attribuable Karl Pearson se d duit de la loi normale centr e r duite Si Z1 22 Z sont nu variables al atoires normales centr es r duites ind pendantes alors la somme des carr s de ces y variables al atoires S Z Z2 72 Y Z suit une loi de x24 v degr s de libert i 1 Valeurs tabul es de
40. peut on le r duire bien s r mais on comprend bien que si l on veut se tromper tr s rarement et ne prendre aucun risque de rejeter tort Ho alors on va accepter Ho dans tous les cas et augmenter le risque d accepter Ho alors qu elle est fausse Reprenons le cas de la justice on voit bien que si l on refuse de prendre le moindre risque de condamner un innocent alors on doit accepter le risque de relaxer des coupables et augmenter ainsi l autre risque not P et appel le risque de seconde esp ce celui de ne pas rejeter Ho alors que cette hypoth se est fausse On voit donc que l on ne peut pas trop diminuer on prend le plus souvent a 0 05 c Arbre de d cision Q F Rejet Ho Erreur de 1 esp ce Ho Vraie a Pp rejeter Ho a AF Xx Non rejet de Ho Bonne d cision XY l a aide Ti Zone de rejet de 0 n 1 8 N PA Rejet H5 Bonne d cision H Vraie b Ph ne pas rejeter Ho NX Non rejet de Ho Erreur de 2 esp ce 4 B Zone de non rejet de HQ d Puissance du test La probabilit not e 7 de rejeter Ho quand cette hypoth se est fausse est appel e la puissance du test et est donn e par m 1 8 c est la capacit d un test r futer une hypoth se fausse Minimiser 5 revient maximiser la puissance du test 4 Test d ind pendance Le test du Khi deux sert notamment pour tester l ind pendance de deux caract res qualitatifs quand on dispose d
41. r P 1 lt Z lt 0 43 P 0 43 lt Z lt 1 F 1 F 0 43 0 8413 0 6624 0 1789 La repr sentation graphique est sym trique par rapport la droite x m P X lt m 0 50 et sa m diane est m L aire du domaine compris entre l axe des x et la courbe vaut 1 La sym trie implique moyenne mode m diane La loi normale est enti rement d finie par sa moyenne et son cart type Plus la variance est lev e plus la courbe est aplatie Dispersion Intervalles remarquables P m 0 lt X lt m 0 0 6826 P m 20 lt X lt m 20 0 9544 P m 30 lt X lt m 30 0 9997 Remarque importante Il n y a que 5 des observations qui s cartent de la moyenne de plus de 1 96 fois l cart type V MOMENTS DUNE VARIABLE ALEATOIRE 1 Loi discr te a Rappel On rappelle que E X X pz et que E X S piz et que la variance est calcul e par V X E x E cor E X E X faire le lien avec les statistiques MC CM moyenne des carr s moins carr de la moyenne page 11 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 12 INTRODUCTION A PECONOMETRIE On rappelle galement qu une variable al atoire est dite centr e si son esp rance est nulle jeu quitable On dit alors que E X est le moment d ordre 1 E x le moment d ordre 2 D finitions On appelle moment d ordre r d une variable al atoire discr te l esp rance de X donn e par la formule
42. tionnelles marginales Si X et Y sont deux variables al atoires discr tes on d finit la loi conjointe par P x y P X x N Y y et on d finit les loi marginales de X et Y par Px x P X zx et Py y P Y y Exemple on consid re une population d ordinateurs et les deux variables al atoires X et Y d finies ainsi X est une variable X 1 si l ordinateur est neuf i et Y d signe le nombre de pannes sur une ann e X 0 si l ordinateur est vieux 8 P de bernoulli de param tree 0 50 d finie par suivant la distribution jointe suivante Y 0 1 2 3 4 X et ent Les 0 0 35 10 065 0 05 0 025 0 01 Donner P Y 2 P X 1 P 1 2 on d finit la distribution con 1 0 45 0 035 0 01 0 005 0 01 ditionnelle de X sachant Y P X 1 Y 2 P 1 2 P Y 2 ool 0 1667 la probabilit conditionnelle de Y sachant X et les distributions marginales de X et Y e Esp rance contitionnelle On d finit l esp rance conditionnelle de Y sous la condition X x par E Y X xz gt y P Y y X x Exemple calculons sur l exemple pr c dent E Y X 1 et E Y X 0 E Y X 1 0 1P Y 1 X 1 2P Y 2 X 1 3P Y 3 X 1 0 0 035 0 50 2x0 01 0 50 3x0 005 0 50 0 14 de m me E Y X 0 O 1P Y 1 X 0 2P Y 2 X 0 3P Y 3 X 0 4P Y 4 X 0 0 065 0 50 2 x 0 05 0 50 3 0 025 0 50 4 0 01 0 5 0 56 Loi des esp rances it r es E Y
43. tte du Lion Isaac Newton k n k n p q 5 pg 1 qui donne Y P X k 1 probabilit de l univers k 0 k 0 Loi B 5 0 3 0 0 16807 0 0 16807 1 0 36015 1 0 52822 2 0 3087 2 0 83692 3 0 1323 3 0 96922 e 4 0 02835 4 0 99757 5 0 00243 5 1 Loi B 5 0 3 Fonction de r partition Rappel On appelle fonction de r partition de la variable al atoire la fonction F d finie de R dans 0 1 par Fla P X lt uz Cette fonction de r partition est rapprocher des effectifs cumul s croissants en statistique dans Excel si on utilise l assistant fonction fy dans la cat gorie statistique on dispose de la fonction LOI BINOMIALE dont le dernier argument est un bool en Cumulative la r ponse FAUX calculera P X k non cumulative et la r ponse VRAI P X lt k autrement dit ajoutera les probabilit s P X 0 P X 1 P X k c Loi binomiale loi discr te Rappel E X np et V X npq 5 La loi de Poisson La loi de Poisson doit son nom au math maticien probabiliste et physicien fran ais Sim on Denis Poisson 1781 1840 Cette loi fut propos e par Poisson l ve de laplace dans un ouvrage publi en 1837 sous le titre Recherches sur la probabilit de jugements en mati re criminelle et en mati re civile La loi d
44. ul 4 EX pa o O ii Le coefficient d aplatissement kurtosis K Ce coefficient est une mesure du caract re plus ou moins pointu de la densit On d montre que pour une loi normale quelconque K 3 Par r f rence la loi normale si K gt 3 on parle de distribution leptocurtique plus pointue que la distribution normale si K lt 3 de distribution platycurtique On garde l esprit que l hypoth se de normalit est tr s pr sente dans les tests et que l tude combin e de l aplatissement et de l asym trie permet de contr ler la normalit VI APPROXIMATIONS 1 Approximation de la loi binomiale par la loi normale Th or me limite de De Moivre Laplace a L id e du th or me Si X est une variable al atoire binomiale de param tres n et p alors elle suit approximativement quand n est grand la loi normale de param tres m np et o npq Version quivalente la variable standardis e Z P suit approximativement quand n est grand la loi centr e r duite Ce th or me ne constitue en fait qu un cas particulier du th or me central limite que nous aborderons plus loin Conditions d approximation i Int r t de l approximation La loi binomiale pose au niveau des calculs deux probl mes qui seront lev s en cas d approximation normale le calcul des coefficients binomiaux est difficile voire inextricable pour de grandes valeurs de n et surtout la fonct
45. une fonction continue de R dans 0 1 croissante de 0 1 page 9 Universit Paris 8 Saint Denis UFR 14 10 INTRODUCTION A PECONOMETRIE a 0 lt F a lt 1 La repr sentation graphique de F F a lt 0 5 a lt 0 x b Fa P lt a f Je 2e Le point I 0 0 5 est centre de sym trie de la courbe repr sentative de F La fonction F est tabul e pour a gt 0 pour a lt 0 on utilise F a 1 F a par sym trie n oW a lt X lt a 2F a pol oons omn oos ooo ora d On retrouve ici P X a P a lt X lt a F a F a 0 dans le cas d une loi continue la probabilit d une valeur donn e est nulle on comprend l importance de la fonction de r partition car on ne peut calculer des probabilit s que sur des intervalles non r duits un point e Dispersion intervalles remarquables Plages de normalit On v rifie facilement les probabilit s suivantes qui sont garder en t te P 1 lt X lt 1 0 6826 P 2 lt X lt 2 0 9544 P 3 lt X lt 3 0 9997 IV3 Cas g n ral loi normale N m 0 1 Ce graphique donne la repr sentation de densit s de diverses lois normales avec centr e sur laxe des y celle de la loi normale centr e r duite 10 Universit Paris 8 Saint Denis_UFR 14 Masterl INTRODUCTION A PECONOMETRIE 2 A E 11 116 44
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