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1. 2 o ss 5 2 25 143 aa 31 3 o se 6 6 2 6 2 6 145 s 6 2 e s x 2 5 6 2 o ss 6 4 6 4 21 2 6 147 1 1 1 BE ha 2 s s z s 0 149 2 22 26 o 150 2 151 2 5 6 2 5 6 24 Simulation en algorithme Cr ons un programme permettant de v rifier la valeur th orique B I L7 EJ x Ea joa EC SIA x Es Step 1 5 1 2 5 2 1 2 1 1 ESE 2 Min A T Perdu ext Print Resultat exp rience amp 2 G print soit Editeur Programme Capture 4 1 Step 1 randt 1 2 2 1 6146 ESC Perdu ext Print Resultat experience 2 G print sait Editeur Programme Capture 4 2 Dossier main T Nom 025 T7 Param tre Capture 4 3 Capture 4 1 Dansle menu principal choisissons le mode Programme Nous allons proposer le choix du nombre de lancers input N Nombres de lancers La boucle For va permettre l ex cution du programme pour le nombre de simulations voulues For To Step Next Capture 4 2 Programmons le tri des valeurs tir es Capture 4 3 Il suffit de lancer le programme ici pour 10002. A n Rechercher Encore Tout effacer W n Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Dansle menu principale choisissons le mode Tableur Capture 1 2 Lafonction Rand permet de faire un tirage pseudo al atoire Ici nous avons privilegie directement le tirage d un nombre entier entre 1 et 6 A2 rand 1 6 Nous aurions pu utiliser cette fonction sans param tre et d finir la case sous la forme A2 int 6 x rand 1 Ici la fonction rand renvoie un nombre al atoire entre 0 et 1 Capture 1 3 L utilisation du stylet permet de s lectionner classiquement les cases pour g rer des copier coller ad quats Nous avons donc un tirage al atoire en A2 B2 et C2 de trois d s 18 cat Eun Forme Eons saisi E ST TES Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Dansles colonnes D et E commengons notre classement en faisant apparaitre le minimum et le maximum D2 min A2 C2 E2 max A2 C2 Capture 2 2 Pour retrouver le d interm diaire nous pouvons utiliser une astuce Il suffit d additionner les trois d s et d enlever les extr mums F2 sum A2 C2 D2 E2 Capture 2 3 Comme noustravaillons avec un nombre impair de d s il est plus int ressant de choisir la fonction median F2 median A2 C2 Fich Edit Graph Calc T s 9 G H Ll ES NN E
3. La repr sentation graphique est alors possible directement capture 1 3 ms Edit zoom Analyse x Edit Graphique E Edit Graphique arll CSH 42555 rc H 31 Capture 1 4 x Tx El FT ET EE re Capture 1 5 x TUKI fixa Capture 1 6 Capture 1 4 une fois la courbe repr sent e il est possible de faire effectuer quelques calculs directement Par exemple on peut chercher le maximum On trouve une valeur approch e qui semble connue x 0 71 Capture 1 5 l utilisation du tableau de variation present dans la calculatrice permet de retrouver une valeur exacte Soit Partie 2 un outil de v rification et validation dans le mode CAS Yr Edit Action Interactif X A hea earl El Define FCxJ x x 2 la done fixi D 7 mth 2D XXE Ll ee bileet Ells El SE Ala Standard R el Rad mm Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 llest possible de d finir la fonction directement sur la calculatrice capture 2 1 Ce qui nous permet rapidement de pouvoir interagir entre les diff rents modes Ainsi on peut sans contraintes faire sa repr sentation graphique dans le mode Graph capture 2 2 en d finissant la courbe d quation y f x Un calcul rapide permet de v rifier l galit propos e dans la question 1 a en indice capture 2 3 Yr Edit Action Interactif 1 Yr Edit Action Interacti
4. Fich Edit Graph Calc 3 0 2 E F o JE Remplir plage Formule cellif F1E1 D Plage G1 0216 mth abc cat 20 A Els Capture 3 6 Capture 3 4 La fonction remplir plage permet directement de retrouver dans la colonne D le minimum de chaque tirage Capture 3 5 Faisons de m me pour les colonnes D et E qui vont repr senter le maximum et le m dian Capture 3 6 L utilisation des plages que l on remplit automatiquement permet aussi de g rer directement notre colonne G de gain avec la formule conditionnelle Edit Aff Type Calc lt ww Edit Aff Type Calc lt E r3 Fd dq hi m JA HJ 53 M Fd Li hi A I celliftFi Ei D1 1 8 X Fil F2 mirc r3 IE r3 r3 J KJ KJ ead D J sumti61 621 PEN 217 51 Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 Capture 3 7 Comptons le nombre de tirages ayant une issue favorable 111 P roba jeu favorable 216 Soit environ 514 Capture 3 8 On peut l illustrer par un diagramme circulaire en s lectionnant les valeurs trouv es Capture 3 9 L illustration en histogramme permet de ne pas avoir calculer la somme des cas favorables Elle apparait directement en choisissant la colonne G 22 Liste et tirages 1 114 Tirages il Tirages 1117 Tirages 11
5. Par Jean Philippe Blaise CASIO WWww casio education fr sm f f i am 1 Eka x N TEY zd Hilda share Edito Quelques mots pour vous pr senter ce manuel d di au ClassPad 330 PLUS Dans un premier temps notez qu il ne s agit ni d un mode d emploi pour une prise en main de la calculatrice ni d un manuel purement math matiques J ai pris le parti de ne pas detailler totalement ni les d monstrations mises en jeu dans chacun des probl mes que vous allez rencontrer ni les actions effectuer sur la calculatrice pour aboutir aux diff rentes captures d crans que j ai utilis es en illustration Ainsi ce manuel a plusieurs lectures vous pouvez le feuilleter pour voir tr s rapidement le champ op rationnel de l outil qui va du calcul formel la g om trie dynamique en passant par un tableur performant et des outils de r solutions d quations parfaitement adapt s des probl mes complexes cette liste n tant pas exhaustive Vous pouvez vous arr ter sur chacun des probl mes pour n en lire que les nonc s et vous faire une id e de votre chemin de r solution La calculatrice nous offre ainsi un pr texte pour illustrer un axe de d monstration pour chacun des sujets tudi s dans cet ouvrage Ainsi nous allons aborder d s le premier chapitre un mode CAS performant et une analyse d une fonction jusque dans son tableau de variations Puis Mains
6. crire pour x different de 0 f x x V2 b D montrer que f admet un maximum en zT et calculer ce maximum 2 Soit a un nombre r el positif ou nul Exprimer en unit s d aire et en fonction de a l aire F a de la partie du plan limit e par la courbe C l axe des abscisses et les droites d quations respectives x Oetx a Quelle est la limite de F a quand a tend vers co Pistes et interpretations un outil de verification et de validation ll est vident que les r ponses apportees par le mode CAS de la calculatrice n ont pas de valeurs dans la redaction des reponses a un sujet de BAC N anmoins il est int ressant d avoir un outil la disposition pour v rifier ou valider les d monstrations papiers avant de les r diger proprement sur sa copie Voici donc les r ponses propos es par la calculatrice pour ce sujet 2009 dans une version purement g om trique puis dans une version utilisant le calcul formel Partie 1 pr visualisation et r solution en mode g om trie Edit Zoom Analyse x HE EE z ps mth abc cat 2D J gt y El El Finance er a nn Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Dans le mode Graphique nous allons d finir directement la repr sentation de la fonction f capture 1 1 Le clavier tactile 2D permet d avoir sous les yeux la forme correspondant exactement l nonc capture 1 2 2 f x xe
7. 0010303 0 111 ell 0 s Le ele 1 s 1 8 Ne 43 5 5 5 666 5 1 BOB 1 6 s5 6 s a a s s Ans 4 5 8 6 5 5 55 6 1 46 5513 sss ar g a s a 2 a s o 9 6 54 4 sje uia s s 2 2s s Pd ssa a e e a es 6 445 445 e 5 2 9 2 2e 5 5 5 4 22 e a ejaje epg s s aja a ajs s ssa a 2 244 4e 4 5 45 6 12 5 4 3 ses 1 as eja ajaja e 1 4 1 2 2 4 4 3 6 346 16 4 33 4 s4 5 4 1 1 3 4 171614 2121146198 55 5 3 6 3156 11 4 3 4 344 8 6 4 1114 60 56 5 3 5 3 sis e 3 6 3 6 1 s7 5 3 4 3 als 2 6 3 5 3 sje 1 8 5 3 3 3131511186 4 3 1 1 3 4 2116 3 43 46 1591 5 3 2 2 3 5 0 74 2 6 2 4 6 0 2 6 3 1 1 4 2 5 245 2316 3 2121316198 61 5 2 6 2 sje g o a 2 4 24 4 6 3 6 5 2 5 2 5 202 2 3 2 9 2 6 2 6 26 66 1352 4 2 4 5 majaz 2 2 2 6 6 252 sie 1 64 52 3 2 s s o 2 4 2 1 12 2 271612 42114 619 851212 212151 1 4 13 286 2 3 2 9 6 68 5 1 1 1 144 2 14 4 3 ES El E TCE o s n EIEIENEN s s pepe EMH B 5 5 pgp s lt lt 6 RER s lt OO Espere s s 88 6 au s m o sie
8. 3 SE 765 0 506082 nin Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 Capture 3 7 Lan ons l animation Capture 3 9 On retrouve que l ellipse est l ensemble des points tel que la distance aux foyers est constante 56 Pentagone et sinus Le but de ce travail est de calculer la valeur exacte de SIN 3 et d avoir une construction la r gle et au compas d un pentagone r gulier inscrit dans un cercle dont on connait le rayon Pistes et r flexions Une construction tapes par tapes e Construire un cercle C de centre O et de rayon OB e Construire la perpendiculaire OB passant par O elle coupe le cercle C en deux points dont l un se nomme A e Soit M le milieu de OB e Construire le cercle C de centre M et de diam tre OB e Soit l intersection de ce cercle et de la droite AM e Soit C le cercle de centre A et de rayon Al e Les deux points d intersection des cercles C et C forment le premier c t du pentagone e ll suffit de reporter sa mesure pour compl ter la figure Retrouvons l galit suivante m 1 25 V5 SIN s i 3 Construction Le mode Geometrie Dynamigue de la calculatrice permet une construction rapide de la figure wv Fich Edit Aff Trac ii i ET Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 l est possible de d finir apr s construction de la figure une contrainte Ici par exemple nous prendrons comme rayon OB 1 Capture 1 1 La construction decrite perm
9. 1 Creation du carre BLON Capture 10 2 En s lectionnant les c t s l aire apparait Ouf c est environ n Capture 10 3 En ne s lectionnant qu un c t on retrouve la longueur BL 31 w Fich Edit Aff Trace 8 2 M ar La figure attendue D monstration du carr de Ramanujan Essayons de donner quelques pistes pour retrouver via le calcul l galit d finie par la construction du carr de Ramanujan Pourquoi avoir gard le radical dans cette approximation Pour garder en t te le fait que la construction propos e permet de construire un carr en partant de la longueur de l un de ses c t s et d obtenir une aire approchant m Mise en place de la d monstration 33 Figure finale Yr Fich Edit Hff Trac DX Define Edit Action Interactif D EE 0 Mom Fonct jdist De ie fl variables arbed JE Expression Caco done ist Els za Define disti bac di J a t mth 54410 20 EI 2121 11 Pete 2191 16 Jo asm Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Dans un rep re orthonorm de centre O nous d finissons le cercle d quation p x y 1 5 0 0 0 Capture 1 2 Comme le programme de construction d finit des points en fonction de leurs distances les uns par rapport aux autres nous allons avoir besoin souvent de calculer la distance entre deux points
10. Angle C IUE une AE rint Angle A 1 Print 2 1 2 Es 1 it 2 D rint approxtcos ET Print Angle C E Print cas iti a zrb z c z5 EL as b Print approxt lt cosiidoa 2 b moot dar bl Print Angle B Print cas ic ra z c z b z 32 zs Print approx amp cozsditc c zta EE Editeur Programme Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 Dans le mode programme il est possible directement de combiner les entr es sorties avec un calcul utilisant la formule d Al Kashi vue en premi re partie Notons que pour demander une valeur on note dans le programme input a Cot BC Pour la sortie on utilise la commande print qui peut tre combin e avec un calcul ainsi pour l angle en A on obtient cos c2 b a Print approx 7 Ou approx va fournir une valeur approch e du calcul Capture 4 2 On entre les valeurs du triangle 4 5 6 Capture 4 3 Dans la fen tre de sortie du mode programme on obtient pour le triangle 4 5 6 les r ponses directement Notons que pour le triangle 3 4 5 on retrouve l angle droit 47 Notes personnelles 48 Parabole et son foyer On peut d finir une parabole comme l ensemble des points quidistants un point le foyer et une droite Pistes et r flexions Nous allons illustrer ceci en utilisant la calculatrice et travailler sur un cas particulier permettant d aboutir la mise en quation de cet e
11. de d finir l animation en s lectionnant le segment AB et le point M mobile sur cet ensemble ferm Capture 1 7 Capture 1 8 Capture 1 9 Capture 1 7 On lance l animation du point M Capture 1 9 Une parabole se dessine point par point od Partie 2 Lieu g om trique un cas particulier Dans un rep re orthonorm trouvez l ensemble des points quidistants d une droite AB et d un point F sachant que F 0 10 B 10 0 et C 10 0 La calculatrice calcule l quation de cette parabole Bzr rE 116343 24 EO SH 121554 5 25 in Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Reprenons l animation pr c dente en affectant les coordonn es voulues chacun des points Capture 2 2 L ensemble des points repr sentant la parabole apparait en relan ant l animation du point M Capture 2 1 Il est possible de r cup rer dans des listes les coordonn es du point P tracant la parabole Edit Aff Type Calc lt Fich Edit Graph Mi CENE R g LUE R g quadratique LUDIQUE Lian J A R quartiQue B Els logarithmigus 2 089E 12 exponentielle 5 exponentielle ab 1 de puissance ww Edit Aff Type Calc lt sinuso dale Sortie logistique percentile stdDew variance Calcul cellules Calcul Liste k Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 22 Capture 2 4 Importons via un copier coller les coordonn es du point P dans le tableur de la calcul
12. de droite Droite infinie D ami draite e Parabole Fonction Polygore Angle marqu 7 Mesure o Expression Forme sp ciale Capture 5 1 Hnnuler contraintes Tout montrer ombre Frapri t z Couper Copier Coller Tout s lectionner Supprimer Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 L onglet Trac permet de construire directement une ellipse en fonction de ses foyers Capture 3 2 L cran tactile de la calculatrice nous permet de dessiner les deux foyers en cliquant simplement Capture 3 1 En s lectionnant le point C et l ellipse ainsi cr e on peut d finir une nouvelle animation Mesures et animations wv Fich Edit AFF ss Segment de droite Droite infinie Demi draite Vecteur Cercle Arc Ellipse Hyperbole Farabole Fonction Palsyaone Direction Equation Pente Capture 3 4 1 RC22 47 2 BC 4 5 El EPR Capture 3 5 Capture 3 6 55 Capture 3 4 Il suffit d ins rer un texte repr sentant les distances du point C aux foyers Capture 3 4 Le texte est param trable on peut y noter le nom des longueurs voulues Capture 3 4 Il suffit alors d ins rer une expression Ici le calcul de la distance AC CB somme des distances du point se baladant sur l ellipse aux foyers x y 001 02 Chacune des lignes rajout es la figure dynamique est r f renc e par un num ro utilisant l arrobas dans sa d nomination Conclusion 1 94333 1 584
13. la g om trie dynamique de la calculatrice et via la formule trouv e pr c demment Enfin nous allons cr er un programme pour faire le calcul directement via diff rentes longueurs d un triangle 4 Partie 1 Formule d Al Rashi Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Yr Edit Action Interactif X Edit Action Interactif X tiep mE E alin paalo mw El E AExsinto 3 Solve BC2 2 AB AC coscAr RB sin o PES in E AC ABxcostn3 2 AB AC 2 2 AE cos o RC34 BC AE ne combinek 3 7 RB lcosto 12 2 RE RC c RE nC Bc 2 AB AC cor AExsinto 1 AExcos RB cazCa RC3 4 RB C ein simplify 2 RB AC casia RB RC Hla Standard Cplx Rad qm Ala Standard Cplx Rad dm Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Soit ABC un triangle guelcongue et soit BH la hauteur issue de B Dans le triangle ABH rectangle en H on a BC AB x Sin AH AB x Cos Et logiguement pour le triangle ABC CH AC AB x Cos On peut g n raliser le th or me de Pythagore dans le triangle BHC pour calculer BC SaVOIT BC AB AC 2 x AC x AB x cos Le calcul formel de la calculatrice nous donne directement la formule d Al Kashi pr c dente Et ainsi on peut calculer la mesure de l angle directement On trouve que AB 4 AC BC Cos AC x AB La fonction solve de la calculatrice semble sans limite d
14. menteur va nous permettre de d placer un probl me arithm tique dans la dimension des graphes Nous rencontrerons aussi la probabilit avec un axe de vision d termin o le tableur nous pr sente une r ponse sure que nous v rifierons avec un algorithme programm Un ouvrage de math matiques sans un support historique n est pas digne de ce nom C est pourquoi nous tudierons la construction du carr de Ramanujan qui va nous apporter une approximation de Pi fortement appr ciable De plus dans la d monstration de cette construction nous d couvrirons avec quelle simplicit le ClassPad 330 PLUS gr ce son mode CAS saura s adapter nos exigences M langer la g om trie dynamique avec gestion de contraintes et le calcul formel est important pour avoir un outil homog ne Et donc la loi des cosinus en sera l illustration Vous allez remarquer quel point le calcul formel est sans limite Il sera possible de calculer directement avec des param tres repr sentant des longueurs sans avoir les renom mer La d monstration d Al Rashi en sera simplement ais e Bien entendu il est impossible d avoir un outil faisant de la g om trie dynamique sans proposer un lieu c l bre Nous nous permettrons de revoir la parabole et l ellipse ainsi que leurs caract ristiques g om triques Toujours pour m langer les modes le calcul formel nous permet d avoir directement la valeur exacte de quelques sinus plus ou moins connus
15. 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Dans le mode principale il est possible d utiliser assistant pour d finir directement la fonction u x faisons de m me pour sa fonction d riv e associ e On trouve alors u x x 1 e Ainsi u x u x Ce qui repond au premier critere 62 Question 2 w Edit Action Maria 8 Transformation Avanc Calcul Complexe Cr er Liste Calcul Liste Cr er Matrice ue CE rewrite exchanae eliminate absExpand andConnect Ala Standard R el Rad dm Capture 2 1 Edit Action Interactif tese cape mr m BJ Define ulx x e done d qr ex x 1 8 O x 1 dSolvel xs v consti i Ala Standard R el Rad dm Capture 2 2 Edit Action Interactif alin oom m BJ 1 O x 1 amp x v dSolvet ua const 1 Define vix 2c amp 7 done Capture 2 3 Capture 2 1 Il est possible de demander directement dans le mode CAS la r solution d une quation diff rentielle Pour suivre le sujet nous allons nous limiter demander simplement la r solution de cette quation interm diaire v v Capture 2 2 On trouve une solution param tr e que nous pouvons d finir dans la calculatrice pour la suite du probl me v x c e OU c est une constante qui dependra des conditions initiales Capture 2 3 V rifions la solution on t
16. E Hla D cimal R el Rad dm Ala Standard R el Rad dm Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Dans le menu choisissons l ic ne Principale Capture 1 1 pour faire directement les calculs L onglet Action permet d avoir la fonction solve qui va r soudre de suite l quation suivante x x 1 2 avec n 100 La seule solution positive valable pour ce probl me est 3 89 1 2 14 65 Il est impossible de ne pas avoir un nombre entier de participants donc Jean s est tromp I 12 Partie 2 Nombre de poign es de mains ad quate Int ressons nous au nombre n qui aurait pu fonctionner dans cette r union Pour quelle valeur proche de 100 le dialogue aurait t favorable Jean 2 I suffit de calculer le nombre de poign es de mains en fonction du nombre de participants On cherche n x Posons x nombre de participants n nombre total de poign s de mains Ici x x 1 2 Edit Graphique lt TCE er en e san 2 3 4 S E a a 1h 11 1z joi NN Comunica Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Dans le menu choisissons l ic ne Suites Capture 2 1 pour g rer le nombre de participants en fonction de n D finissons la suite a de facon explicite Capture 2 2 n n 1 an Comme n est un nombre entier les solutions propos es sont toutes coh rentes Capture 2 3 On trouve donc deux solutions proches de 100 x 7 15 Dans sa r u
17. ER LN I p DI 1 I r3 H r3 r3 L 57 a a E F J A 31 in mu LI m a 5 El 7 Essen I mq iii UU EN RR RN Eneas 6124 PEN B125 6 520323252033 E Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 19 Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Posons dans la colonne G gain une condition permettant de verifier si nous avons gagn 1 ou perdu 0 Le choix de proposer les nombres 1 ou 0 permet de pouvoir ult rieurement faire un calcul de moyenne G2 cellif F2 gt E2 D2 1 0 Nous retrouvons ici le calcul de la diff rence entre le d maximum et le d minimum Puis une v rification de la condition de jeu Attention dans cet exemple nous ne gagnons que si notre d m dian est strictement sup rieur la diff rence L utilisation du stylet permet nouveau de g rer quelques copier coller pour r p ter ce tirage al atoire sur les lignes suivantes I suffit de calculer la moyenne de cet ensemble de tirages al atoires F2 mean G2 G124 Par exemple pour nos 123 lignes de tirages nous trouvons une probabilit de gain d environ 52 ll est vident que ce nombre n est gu une approximation pour un echantillon r duit et qu il ne refl te que la mise en place d une simulation et non une d monstration que ce jeu est favorable celui qui privil gie le d m dian 20 D monstr
18. ESIENENEN s s s 6889 lt 69 JAN 4 HH o E gt HHH ADA ow w 9 un EN EI 2 Liste et tirages 115 216 EE dim Tirages dim Tirages 1 s Mihai 1 s 2 Le PAAAAAA CARA AA AMA AF oss HEHE s 2 s o m s a s s a s 3 3 s s Blue 2 s 118 me s s 2 z s s o s z a s 2 a 6 oluos a ajajaljaja me s s s s s spo ss 2 2 5 m 1 a s a s s 11 a s 2 3 a MM ss 3 12 s Bis a a 2 2 2 a o so s omo s s s s s so 2 1622 41 s o ou u s a a Le 2 Bises me s a s s s 4 0 seu z s s 2 s s Oo D 2 9 lo ss 6 313 3 316 127 110 s1 16 2 313 2 s 3 3 1283 2 205 La bala s jo 26 1 v s 8 2 1 s 3 3 3 3 10 o 27 1 2 4 1 2 6 2 2 6 2 2 1 s o 28 1 v s s 2 2 Bo 8 31 12 HANNE ja MESE 2 32 2 2 2 3 2 2 5 135 Milma 2 2 AA SAE sala 2 1 1 2 3 o me 2 a s o 3 1 BBB 211 0 315 5 1 3 uo
19. Nous allons retrouver l un d entre eux lors de la construction d un pentagone Enfin par un sujet du BAC nous allons finir par une fonction de la calculatrice qui permet rapidement de r soudre des quations diff rentielles Encore une fois la vitesse de calculs et la facilit d utilisation sont l honneur dans ces exemples Math maticalement votre Jean Philippe Blaise CASIO ducation Sommaire Partie 1 Sujet de BAC un outil de v rification et de validation 5 Partie 2 Mains menteur een 11 Partie 3 Des d s RER 17 Partie 4 Approximation de x l aide d une construction g om trique 21 Partie 5 D monstration du carr de Ramanujan 33 Partie 6 Triangle et formule d Al Rashi 0 41 Partie 7 Parabole et son foyer sss 49 Partie 8 Pentagone et sinus ooo 57 Partie 9 Sujet de BAC fonction dsolve solun 61 Classpad 330 PLUS un outil de v rification et de validation D apr s le sujet de BAC Inde 2009 exercice 1 partie A preuve commune tous les candidats EXERCICE 1 partie A Soit f la fonction d finie sur l intervalle 0 par f x xe On d signe par C la courbe repr sentative de la fonction f dans un rep re orthonormal O i j du plan Cette courbe est repr sent e ci dessous Capture 1 3 1 a D terminer la limite de la fonction f en o 2 On pourra
20. ans la gestion des lettres Ainsi on demande directement la valeur de la mesure de l angle par l expression 42 solve BC AB AC 2 x AC x AB x cos A A Et on retrouve N gt AC BC Cos ii aa x 2 x AC x AB E di Avec k un nombre entier 43 Partie 2 R solution direct dans le mode dynamique Un premier pas avec le triangle gyptien Fich Edit Aff Trace Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Le mode de g om trie dynamique avec la gestion des contraintes permet de construire la figure directement On y fait apparaitre un triangle quelconque Capture 2 2 En s lectionnant chacun des c t s on peut imposer la longueur voulue Ici le but est de construire le triangle 3 4 5 si celebre Capture 2 3 En s lectionnant deux c t s on peut lire l angle form On retrouve ici que l angle B est un angle droit Notre cas d tude wv Fich Edit AFF sis PM wv Fich Edit Aff Trac Point Segment de droite Droite infinie Demi droite Vecteur Cercle Arc Ellipse Hyperbole Farabole Fonction Folygone Texte eSUFe k Expresslon Forme zp ciale k Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 44 Capture 2 1 Faisons de m me pour le triangle 4 5 6 en imposant ces longueurs un triangle quelconque La s lection directe de deux c t s nous fait afficher une valeur pour la mesure de l angle B B 82 82 Capture 2 2 Dans l onglet trace il e
21. ation Pour r pondre la question directement Nous allons r f rencer tous les cas possibles r Fich Edit Graph Calc 270 cn A F3 o 1 7 LI 7 53 CTI Fil co on 3 1 3 i si mi Capture 3 1 B c r3 EN ET 3 ET PE EE a Dal F3 m JO A AAA la 156 El 2 188 Capture 3 2 E A Ca a al F2 desse Li n ON 1 c m Do Los Capture 3 3 Capture 1 1 Untravail autour du r f rencement des cas est envisager Comment faire apparaitre tous les cas possibles La colonne C va nous aider Il suffit de faire apparaitre les nombres de 1 6 Et de d marrer les autres colonnes 6 Capture 3 2 Nous obtiendrons 216 lignes de possibilit s 63 216 Capture3 3 Alaligne 37 6 36 il suffit de changer la valeur du premier d colonne 1 E c X 8 Remplir plage E3l ee TEC SE Ells Capture 3 4 A37 A1 1 Fich Edit Graph Calc sc dS lA p E F p IT ra e e EI e EB El a Hill S VO 11 1 1 ER 2 1 3 2 n La m JT in US LER li LI 5 6 7 5 4 6 3 3 nn 32 6 9 ss 4 Pur Capture 3 5 21
22. atrice Et tra ons l ensemble des points par le menu Graph nuage de points Capture 2 5 Cherchons l quation cart sienne de cet ensemble de points via une r gression quadritique Capture 2 6 On trouve que cette parabole a pour quation 45 YT ag Retrouvons l quation via le calcul direct ww Edit Action Interactif ix Fd m BH ESC lui 2 y2 x 4 v 18 expandty 22x 4 y 18 4 y 2 x 2442 28 y 188 solvety Z 2x74 u 18 2 y von t Hla Standard Cplx Deg qui Capture 2 7 Capture 2 8 Capture 2 9 Capture 2 7 Soit le point G tel que GF soit perpendiculaire PM Posons P x y Et M x 0 GF PG 10 x Comme le triangle MPF est isocele en P PF yl Capture 2 8 On peut utiliser la propri t de Pythagore dans le triangle PGF rectangle en G Ainsi PF PG GF y 10 y x y 100 20y y x 20y 100 x 03 Capture 2 9 On retrouve donc es VT ag Retournons dans le mode de g om trie pour faire afficher la courbe repr sent e par cette quation La superposition du lieu recherch dans l nonc initial et de la courbe repr sentant la parabole nous permet d avoir une confirmation visuelle 54 Partie 3 Lieu g om trique Pellipse Dans cette derni re partie illustrons simplement l aide de la g om trie dynamique l ensemble des points repr sentant une ellipse Construction Segment
23. dans ce rep re MN xy xy Ym Yu Capture 1 3 Lacr ation de la fonction dist a b c d va nous tre utile dist a b c d J a c b d Notons qu il est possible sans grande difficult de cr er une fonction avec plusieurs param tres sur notre calculatrice On a de plus 34 Define disti diSt done Els La B S Dou x 2e9 221 x24 l xa T 20 2001403 J z mejila e tys 11x75 5 17217171 Ala Standard R el Rad dm Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 TC N 2 Capture 2 1 Le point D est d fini comme tant sur le cercle et d abscisse connue x Capture 2 2 Dansle mode 2D du clavier tactile il est possible de faire r soudre des quations li es avec diff rentes contraintes Recherchons les coordonn es du point D telle que D est sur le cercle p A L abscisse de D vaut 7 Soit x 4y52R1 2 Capture 2 3 On trouve directement une solution positive ad quate 35 1 distix gt b 1070101010 0 ES BARE Hla D cimal R el Rad que Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 Pour d finir le point E il nous faut deux quations Le fait qu il soit sur le cercle et la longueur BE CD ce que nous pouvons traduire par dist x y 1 0 CD Capture 3 2 Le calcul de la longu
24. e 2 nous avons l galit suivante _ x x 1 mE Or une division par 2 apparait Avons nous toujours un nombre n entier pour chaque valeur enti re de x Edit Graphique 2D nee EEE E dE N CE CI E c hd ee Gi 0 O0 D ON HE OO P2 expandi O Hla Standard R el Rad que Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Le nombre de participants ne peut tre que de pair ou impair donc de la forme x 20 ou 20 1 Avec a un nombre entier Retournons dans le mode Principale Capture 4 1 et proposons le calcul en utilisant une astuce visible dans le clavier 2D avec l utilisation de la barre affectant une variable une valeur pr cise Ici calculons Ux D 2 avec x 2a On trouve pour x pair ou impair deux expressions valeurs enti res Ce que nous avions d j constat dans la partie 2 Capture 4 3 Il semble evident que ce guestionnement ne s applique qu artificiellement pour ce probl me vu que pour un nombre entier de personnes se serrant la main il parait vident que le nombre de mains serr es soit aussi un nombre entier 15 Partie 5 Pour aller plus loin Exemple 1 graphe Soit n points combien avons nous de segments reliant chacun des points entre eux 2 Capture 5 1 Capture 5 2 Capture 5 3 Cette version g om trique est quivalente notre probl me des mains Pour un nombre n de points n 1 2 n 1 on retrouve segments traces Exemple 2 d finisso
25. el que AG AO Soit le milieu du segment AO Placer le point K sur le segment BG tel gue BK BI Soit le point L du segment BF tel que KL FG 10 Il suffit de dessiner le carr de c t BL PA lere Partie Construction explicative wv Fich Edit Aff Trac Li 33804 0 9342552 ni Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 On dessine un segment AB puis son milieu que l on renomme directement en O Ensuite il suffit de s lectionner le segment AB pour lui affecter la longueur 2 unit s Capture 1 2 Cr ation du cercle puis on pose sur AB un point que l on renomme C Inutile de chercher d couper le segment car on va pouvoir lui affecter la longueur voulue Capture 1 3 En s lectionnant le point O et le point C on obtient un onglet longueur permettant M 2 d y faire figurer les A attendus Fich Edit Aff Trace Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Pour ce faire il suffit de placer un point D sur le cercle et de dessiner le segment CD Capture 2 2 En s lectionnant le diam tre AB et le segment CD la mesure de l angle apparait Capture 2 3 Il suffit de la modifier pour avoir la perpendiculaire attendue 28 wv Fich Edit Aff Trac Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 A nouveau d posons l aide du stylet un point E sur le cercle Capture 3 2 En s lectionnant le segment CD on peut copier la longueur CD Capture 3 3 Il suffi
26. es 67 Notes personnelles 68 ducation PALAISEAU iance casio fr y Mardinli lippe Blaise ation Arc ad asion Professei le math matiques exclusiveme
27. et donc rapidement d avoir un c te affiche sur le cercle II suffit des lors de reproduire la longueur PH avec le compas pour avoir les 5 c t s du pentagone qui apparaissent Notons que nous pouvons faire apparaitre en gras la figure construite Capture 1 2 En s lectionnant un segment nous avons sa longueur directement Capture 1 3 Ainsi pour un rayon de 1 unit on trouve environ que le pentagone mesure 1 17 de c t Une longueur que l on peut retrouver par le calcul en utilisant l angle au centre et un triangle rectangle ad quat AT C t ves do 10 2 X Rayon Ici C t 2Sin v 1 18 58 Construction Le mode CAS de la calculatrice va nous permettre de r soudre rapidement quelques quations pour retrouver la longueur PH d un c t sans utiliser le sinus de l angle au centre Ainsi nous aurons un moyen de le calculer en valeur exacte Edit Action Interactif alin coe mr m BJ EE RE 2 TS Es 1 z 2 salved x 2 x 1 1 z N 2 T 0 1 mth er ui AM 20 191 lo E x eji o co gt arjarja e e EEES Ala Standard R el Rad dm Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Valeur exacte U 2 Le mode principale de la calculatrice nous offre directement la valeur exacte de SIN A nous de le retrouver via le calcul capture 2 1 Coordonn es de Cherc
28. eur CD est trivial il nous permet de v rifier notre formule d finie pr c demment dist a b c d J a c b d Capture 3 3 Laissons la calculatrice r soudre cette association d quations xy V5 dist x y 1 0 m On trouve nouveau une solution positive ad quate 13 18 V155 18 36 13 155 disti lt l Tg 18 1 a 27 ai EM Els ENS i xa x DS Ala Standard 6 Rad qui Ala Standard R el Rad qu Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 et 4 2 Dessinons les points O et C Et calculons la distance AE Dans le triangle AEB la propriete des droites des milieux nous donne 00 lt v5 2 6 Et 1 V31 00 AE 2 6 Capture 4 2 Puis en utilisant la propriete de Thales dans le triangle AEB on obtient CC x AE AB 54 31 CC 18 Capture 4 3 Enr solvant ces quations nous trouvons les coordonn es du point O y 31 AO 6 00 Vi 6 On trouve nouveau une solution avec une ordonn e positive ad quate 5 0 36 V155 36 ay jar dist i Ah x E SES Ala Standard R el Rad qm D cimal R el Rad dm Capture 5 1 Capture 6 1 Capture 6 2 Capture 5 1 Capture 6 2 Capture 6 3 Placons le point F tel quel AF O C Puis le point G sur le cercle tel que AG AO Dans le triangle AC C on peut nouveau utiliser la
29. f 1 leader bb lee Define FCxJ x x 2 la Define lt 202 done done fix fixi lim Efix ID a P 27 L salve CAL Cf GO 28 50 1 ja a oo QE Tn fe Be e fers CS Tasis EE Ala Standard R el Rad dmj Ala Standard R el Rad dmj Ala Standard R el Rad mm Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 nous trouvons la limite recherch e L indice de l nonc permettra de le prouver N P lim xe 0 XS 00 Capture 3 2 le mode CAS de la calculatrice permet de calculer la fonction derivee II suffit alors de l interroger pour r soudre l quation 20 qui nous donnera ses extremums Ici le maximum recherch 2 5 Capture 3 3 nous connaissons maintenant la valeur de x gui nous donne un maximum il suffit de la glisser dans la fonction f d finie pr c demment pour retrouver la valeur de f en son maximum J 2N 112 2 6 Ala Standard R el Rad dmj Ala Standard R el Rad dmj Ala Standard R el Rad dmj Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 le travail autour de l aire sous la courbe est en d finition un travail d int gration que nous pouvons questionner rapidement Capture 4 2 on retrouve directement la r ponse la question 2 Capture 4 3 ce calcul de limite permet de faire calculer la r ponse la question 2 dans sa forme litt rale la limite de F a lorsque a tend vers Notes personnelles Mains men
30. hons les coordonn es de I intersection de la droite AM et du cercle C On a les quations suivantes dans le rep re O B A BM y 2x 1 e Bari 2 IX 2 R solvons une quation du second degr pour trouver les coordonn es de capture 2 1 5 5 V5 10 5 Distance BI La distance BI nous donne le rayon du cercle construisant le premier c t du pentagone Or comme dans l quation d un cercle nous avons un rayon au carr il est pr f rable de calculer BI 3 95 BI 2 59 Coordonn es des points P et H Cherchons les coordonn es des points d intersection des cercles 3 et C Edit Action Interactif pe poser N 186 erpandi is z 31 zh 1 9 2409 12 2 a n 5 y 114 9741 solve 24 321 3 simplifwf y 1 5 w2 1 E mth y 2 EC S Ve 001 E T 3 dr i 5 z 45 5 7 zolvwet z wyur2 4 os SST TSS Ala Standard R el Rad qu Ala D cimal R el Rad dm Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 On a les quations suivantes Ci x y 1 3 5 Ca x Q D R solvons une quation du second degr pour trouver les coordonn es de capture 2 1 3 5 Ca 1 O 7 On trouve capture 3 1 _ 1 5 4 En injectant y dans l quation du cercle C on retrouve les coordonn es des abscisses capture 3 2 265 788 5 p 4 426 75 5 Ela 4 I suffit de conclure capt
31. nion Jean aurait d compter pour 14 participants 91 mains serr es ou pour 15 participants 105 13 Partie 3 Nombre de poign es de mains ad quate Reprenons le m me questionnement en prenant le nombre de participants en fonction du nombre de poign es de mains On cherche x n x nombre de participants n nombre total de poign s de mains Ici x x 1 n 2 v Edit Graphique v Edit Graphique mE tal EE SI EI El mE p eren sa ES EI El R currence Explicite EZ Ll 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 i pi i a PIG S Jm Fe US k Hla Standard R el Rad que Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Retournons dans le mode Principale Capture 3 1 pour calculer en fonction de n La fonction Solve permet rapidement de faire le basculement de variables ven 1 1 X 2 D finissons la suite b de fa on explicite Capture 3 2 On retrouve que pour une seule poign e de mains il n y a que deux participants Et que pour 3 on en a 3 aussi La d finition de cette suite fait apparaitre l id e que tous les nombres ne donnent pas une r ponse ad quate Capture 3 3 On trouve donc nouveau deux solutions proches de 100 x 14 15 Jacques a du faire le calcul avec sa calculatrice pour v rifier si rapidement l erreur de Jean 14 Partie 4 V rifions la notion de nombre entier Dans la parti
32. ns la suite repr sentant les poign es de mains non plus de fa on explicite mais de fa on r currente Edit Graphique lt R currence E an 4 an n Capture 5 4 Capture 5 5 Capture 5 5 L id e est d utiliser le travail pr c dent On retrouve un questionnement quivalent si on rajoute un point sur le graphe existant Capture 5 4 Un point supplementaire permet d avoir un nombre de segments defini rapidement On retrouve des lors une solution acceptable Capture 5 5 16 Des d s Lancons trois des 6 faces Je gagne si la difference du plus grand de et du plus petit de est plus petite gue le de restant Est ce un jeu favorable pour moi Mise en place e Directement au tableur nous allons cr er une simulation de ce jeu e Detail de tous les cas pour avoir une probabilit r elle e FEnalgorithmigue nous allons lancer un grand nombre d exp rience pour v rifier l hypothese pr c dente 17 Simulation au tableur Le probl me de cet exercice vient du fait qu il va falloir classer les d s pour obtenir le d restant Options Ajustement cellule moc Largeur de colonne Format nombre Aper u cellule N Hller S lectionner plage Remplir plage Remplir suite Ins Supprimer Couper Copier Coller Tout s lectionner ru m o SS EN I Fd E 01 E G om trie ie n ppp gp n ax i i EqDiff Gra R solNum 177 Hz 3
33. nsemble de points Puis nous allons illustrer l ensemble des points repr sentant une ellipse pour ouvrir le champ d observations d autres lieux connus comme par exemple l ellipse 49 Partie 1 Lieu g om trique Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Dans le mode g om trie dessinons un segment AB et un point F repr sentant le foyer Capture 1 2 On place un point M mobile sur le segment AB L utilisation d un segment va nous permettre de d finir l animation qui se construit toujours entre un point se d pla ant sur un ensemble ferm segment cercle Capture 1 3 Dessinons la m diatrice du segment MF La notion d quidistance se retrouve dans les propri t s d une m diatrice Hnnuler contraintez Hnnuler contraintez Tout montrer Tout montrer ombre Gui Pon ombre Gui Pon Propri t s Propri t s A jouter Animation rr Animation Editer Animations Lancer tune foizi Lancer tune foiz Lancer 1 121211 5 fois Lancer plusieurs fois Lancer t et dei Lancer et dei Arr ter Hrr ter Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 La perpendiculaire AB passant par M coupe la m diatrice pr c dente en P Cette droite va nous donner l id e de distance une droite du fait de son angle droit Le triangle MPF est isoc le Ainsi le point P est sur la parabole Capture 1 5 On s lectionne le point P puis on active la trace 50 Capture 1 6 Il suffit
34. ouvons l aborder directement en faisant calculer w 0 w 0 6 Soit 6 2 2 La fonction solve de la calculatrice permet de r pondre aussi la question Il est possible d affecter directement la valeur de la constante en utilisant la barre repr sentant le sachant On fait alors calculer w x sachant que c 2 et on trouve la solution voulue x 2 e Capture 5 2 et 5 3 Une solution que la fonction dsolve nous aurait directement trouv e avec les solutions initiales 65 Question ME Edit Zoom Analyse x ww Edit Zoom Analyse x E Edit Zoom Analyse x al 2 TA E SE ET oya Linx h rar IAT Oy2 ata x Capture 6 1 Capture 6 2 Capture 6 3 Capture 6 1 Representons graphiquement la fonction h trouv e precedemment La definition dans le mode CAS est transf rable dans le mode g om trique Nul besoin de red finir la fonction ici Capture 6 2 Les conditions initiales sont respect es Capture 6 3 Il est possible de tracer la repr sentation graphique d une fonction d finie par une autre associ e sa d riv e Nous v rifions ainsi graphiquement que h x h x et Notons qu il est possible de d finir la fonction repr senter directement en gardant le param tre y3 x w x w x sachant que c 2 Feuille1 Feuillez Feuille 4 E 6 Cu sul E 1 F xz Oyd 0 j 66 Notes personnell
35. propri t de Thal s pour trouver la longueur O C y 31 O C Em Puis avoir les coordonn es du point F 1 9 A nouveau utilisons la distance et le fait que le point soit sur le cercle pour trouver les coordonn es du point G m 72 vV3503 72 38 X4 48115 113 59 1 113 32 113 Ala Standard R el Rad qm Ala Standard R el Rad dm W 48115 Capture 7 1 Capture 7 2 Capture 7 3 Capture 7 1 Soit I milieu de AO On a BI 2 Et donc par construction 3 BK 2 Capture 7 2 Il suffit de calculer les distances BG et BF dont on connait les coordonn es de tous les points qui y sont acteurs 7 13 6 Et V355 BF E Capture 7 3 A nouveau une utilisation de la propri t de Thal s va nous permettre de trouver la longueur du c t BL en utilisant les triangles BLK et BLG BK BL x BF BG Soit 355 V113 Ainsi on trouve que 355 11 7 39 Notes personnelles 40 Triangle et formule 0 1 On sait tous que le triangle 3 4 5 est un triangle rectangle Mais qu en est il du triangle 4 5 6 Peut on calculer la mesure de son plus grand angle Pistes et r flexions 2 B 72 O O Dans un premier temps nous allons retrouver la formule d Al Kashi permettant de g n raliser le th or me de Pythagore aussi appel la loi des cosinus Puis nous allons calculer la mesure des angles du triangle 4 5 6 de deux fagons directement via
36. rouve bien Ainsi v x c e v v Ce qui r pond au premier crit re 63 Question 3 Un travail autour de la d riv e d une difference permet de r pondre a la guestion directement Question 4 dSolvel tyss xav F uze consti 1 w x u x w u x Edit Action Interactif tese oco mr m BB const 1 1 iux e Define vwCr ce 7 dane A dx T T eoo teo 3 25 EE x 5 J 8 4 VECES x 7 EI BE LE EEL kx c 1 exce simplifs t expand xtc g 7 e O Hla Standard R el Rad gm Hla Standard R el Rad gui Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 On peut en d duire directement la forme des solutions pour l quation diff rentielle Soit Capture 4 2 Capture 4 3 initiale w x u x v x w x x c e V rifions w x w x Une solution que la fonction dsolve nous aurait directement trouv e I 64 Question 5 Edit Action Interactif ede D wm Hyer condition Equation h 4h2e x3 dSolvel x h x28 Var indet Var depdt Condition 0 Ww d 25 751213217 751213217 Y PLN Ala Standard R el Rad dm Capture 5 1 Capture 5 2 Capture 5 3 Capture 5 1 Lecalculdelaconstante verifiant la condition initiale est simple Nous p
37. st possible de marquer les angles directement sur la figure Capture 2 3 Ainsi on trouve que 55 77 B 82 82 C 41 41 1 E m i gt Pres ITE X 45 Partie3 Resolution via la formule d Al Rashi MENU En Edit Action Interactif El 1 Le ie aper 15 ABxsinfo RB sinto CAC RExcostol AE cos o AC erpandi ABZ cos o 2 AB AC c ABxsin o ABxcos o f RE costa ACI 4RET zin BE AL EL zimplif c 2 HE HC 2 AB AC costa M RB RC 72 G om trie Coniques Hla Standard Cplx Rad mm D cimal Cplx Deg qui Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 Le mode Principale permet d affecter des valeurs des variables d finies m me par l utilisation de plusieurs lettres associ es Capture 3 2 Retrouvons nos calculs pr c dents BC AB AC 2 x AC x AB x cos Capture 3 3 Puis imposer les valeurs suivantes AB 4 BC 5 AC 6 Il suffit de relancer le calcul trouv pr c demment BM AB 4 AC BC ES 2 X AC x AB C 37 OS 16 On retrouve donc x 55 77 En faisant de m me pour les autres angles on obtient les valeurs trouv es graphiquement AN B 82 82 C 41 41 46 Partie4 programmation rapide ED SIA x Es Pis Cote HB Print Triangle REC cosia gi Input a Cot EC 41 40962211 Input bs Cote HC
38. t de cliquer sur les points E et B et de coller la valeur copi e Le point E se positionne directement Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 Tra ons la droite AE puis le segment EB Capture 4 2 Tracons un segment OO en glissant O sur la droite AE Capture 4 3 En remarquant que le triangle AEB est rectangle en E il suffit d imposer l angle droit au point O 29 Yr Fich Edit Capture 5 1 Capture 6 1 Capture 6 2 Capture 5 1 Faisons de m me pour le point C Capture 6 2 Tracons un segment AF et imposons l angle droit pour respecter la tangente Capture 6 3 Il suffit de copier coller la longueur O C et de l affecter au segment AF Hnnulerz R p ter Annuler contraintes Tout montrer ombre Qui Hor Propri t s b Hnimer k Couper Copier aut n Supprimer Capture 7 1 Capture 8 1 Capture 8 2 Capture 7 1 A nouveau imposons deux contraintes le point G est gliss sur le cercle et la longueur AG AO Capture 8 1 Il suffit de s lectionner les deux points A et O et de cliquer sur l onglet milieu Capture 8 2 A nouveau la manipulation se fait en quelques clics 30 8 693298 8 5237711 m Capture 9 1 Capture 9 2 Capture 9 3 Capture 9 1 Dessinons la droite FG ainsi que le segment BF Capture 9 2 Representons la parall le FG passant par le point K Capture 9 3 NommonsLl son intersection Capture 10 1 Capture 10 2 Capture 10 3 Capture 10
39. teurs Petit dialogue entre amis Hier je suis alle a une r union dit Jean Et alors r pondit Jacques On s est tous serr la main Et j ai compte 100 poign es de mains T es s r Oui Oui J ai bien compt Je pense que tu t es tromp IMPOSSIBLE Qui a tort Jean ou Jacques Pistes et r flexions J affirme que tu mens L un de nous deux ment Dans un premier temps nous allons chercher le nombre de participants cette r union en utilisant les indications de Jean Puis nous allons essayer de v rifier si n importe quel nombre de poign es de mains donnent une r ponse coh rente Enfin nous allons v rifier que pour chaque famille de nombres trouv s une solution existe 11 Partie 1 V rifions la proposition de Jean Posons x nombre de participants n nombre total de poign s de mains Ici n 100 Si un certain nombre x de personnes se serre tous la main pour se saluer Nous avons pour chacun x 1 poign es de mains Donc le nombre de poign es de mains vaut _ X x 1 ze Car si Jean serre la main Jacques il ne faut pas compter la poign e de main que fait Jacques Jean taylor x x 1 laplace 2 in vL aplace Fourier ENSE x E ET caer NEE R partition z z R part Inverse JS Finance 1 Commande z 14 6299 rlr R solMum SIREICICEJF 8 H T J
40. tirages nous trouvons 52 8 1000 25 Notes personnelles 26 Approximation de z l aide d une construction g om trique Le math maticien Ramanujan 1887 1920 est l auteur d une construction g om trique permettant d approximer zt en la construction d un carr ayant une aire proche de n Essayons de reproduire sur notre ClassPad 330 PLUS cette construction d crite ci dessous L utilisation de la g om trie de contraintes de notre calculatrice va nous permettre une construction plus rapide sans avoir faire de nombreuses figures cacher Construction NB Les points utiles la construction suivent un ordre alphab tique l exception du centre du cercle O et du milieu du segment I et des points associ s O et C 1 mM 7 8 9 Tracer un cercle de centre O et de diam tre 2 unit s et prenons un diametre AB Dessiner le point C du segment AB tel que OC OB Dessiner le point D comme l un des points d intersection du cercle et de la perpendiculaire a AB passant par C Sur le m me demi cercle placer un point E tel que BE CD La parallele a BE passant par O coupe AE en O La parall le BE passant par C coupe AE en C Placer le point F sur la tangente en A au cercle tel que AF O C et que F se trouve sur le demi plan delimite par le diametre AB ne contenant pas le point C Dans ce m me plan dessiner sur le cercle le point G t
41. ure 3 3 SP JAN 4 60 Classpad 330 PLUS fonction dsolve D apr s le sujet de BAC Metropole 2010 exercice 1 partie A preuve commune amp tous les candidats On considere l quation differentielle E Cs 1 Montrer que la fonction u d finie sur l ensemble des nombres r els R par u x xe est une solution de l quation diff rentielle E 2 On consid re l quation diff rentielle E 0 R soudre l quation diff rentielle E B Soit w une fonction d finie et d rivable sur IR Montrer que la fonction w est une solution de l quation diff rentielle E si et seulement si la fonction vv u est solution de l quation diff rentielle E 4 En d duire toutes les solutions de l quation diff rentielle E 5 D terminer l unique solution g de l quation diff rentielle E telle que g 0 2 Pistes et interpr tations un outil de v rification et de validation L utilisation de la calculatrice va permettre un travail ordonn et soign Le mode CAS va nous offrir directement les r ponses adapt es au sujet Et la grande souplesse des diff rents modes de cet outil permettra de valider les r ponses trouv es via son mode graphique 61 Question 1 E Differentiation LITE d riv Expression Variable ordre mth mth A1 SENA EEE EA C e Ala Standard R el Rad dm Capture
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