Exercices sur la p-valeur – Risques d`erreur et puissance d`un
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1. PE gt 11 5 La p valeur repr sente la probabilit sous Ho d observer une valeur de X au moins aussi extr me dans la direction indiqu e par H que la valeur 11 5 effectivement observ e Plus la valeur observ e de X est extr me dans la direction indiqu e par H ici l extr mit droite et plus la p valeur est petite Plus la p valeur est petite et plus la conviction que H est fausse est forte Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 5 R ponse La r gion de rejet de Ho RC contient les valeurs les plus extr mes de X dans le sens indiqu par H1 Le niveau a du test en fixe le pourcentage La valeur observ e de X est dans la r gion critique si sa p valeur est strictement inf rieure a Pour le test effectuer on rejette Ho si dobs lt amp soit pour tout a gt 3 84 on conserve Ho si obs gt amp soit pour tout a lt 3 84 a est le risque d erreur maximum consenti pour accepter H4 Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 6 R ponse La p valeur du test bilat ral est repr sent e en bleu sur le graphique suivant 15 16 7 Elle est gale au double de la p valeur du test unilat ral droit repr sent e en bleu ci dessous Xobs 15 16 7 Pour le test unilat ral droit on a donc obs 2i 4 7 Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 7 R ponse Pour le test unilat ral au niveau 5 amp obs 3 8 lt 52. 3 84 ii On conserve Ho si a gt 3 84 a lt 3 84 c Indiquer la d cision prendre pour les niveaux a suivants G a 1 on conserve Ho on rejette Ho Gi a 5 on conserve Ho on rejette Ho 2 Indiquer la d cision prendre dans les situations de test suivantes a a 1 et amp obs 2 8 on conserve Ho on rejette Ho b a 5 et dobs 5 6 on conserve Ho on rejette Ho c dobs 0 18 et a 1 on conserve Ho on rejette Ho 3 On effectue un test bilat ral sur la moyenne La valeur th orique test e est 15 et la moyenne observ e sur l chantillon tir au sort est Xobs 16 7 La p valeur du test est obs 9 4 Pour le test unilat ral droit correspondant la p valeur est gale 9 4 18 8 4 7 4 La p valeur d un test unilat ral est gale 3 8 a Au niveau a 5 on conserve Ho on rejette Ho b Pour le test bilat ral correspondant au m me niveau a 5 on conserve Ho on rejette Ho Cliquer sur ou pour acc der aux compl ments de r ponse Exercice 2 1 L exemple du juge Un juge doit choisir entre H accus est innocent et H1 l accus est coupable a L erreur de premi re esp ce consiste acquitter un coupable condamner un innocent b L erreur de deuxi me esp ce consiste acquitter un coupable condamner un innocent c Minimiser le risque d acquitter un coupable c est minimiser le risque de premi re esp ce le risque de deuxi me esp ce 2 P
3. PLPSTA31 Statistiques 2 Tests d hypoth ses statistiques Exercices sur la p valeur Risques d erreur et puissance d un test Mode d emploi pour les exercices 1 et 2 Pour d marrer un exercice il faut cliquer sur D but Pour afficher le score obtenu au questionnaire et les r ponses correctes il faut cliquer sur Fin puis sur le bouton R ponse le signe Y indique que la r ponse donn e est correcte le signe X indique que la r ponse donn e est incorrecte les r ponses correctes manquantes sont marqu es par Pour certaines questions les r ponses sont d taill es cliquer sur un des symboles verts ou pour acc der aux compl ments de r ponse Attention il peut y avoir plusieurs propositions correctes dans une liste Il faut toutes les cocher pour que la r ponse la question soit consid r e comme exacte Exercice 1 1 On teste Ho u 10 contre H u gt 10 un niveau a donn Sur l chantillon de taille n 32 tir au sort on observe la moyenne Xobs 11 5 La p valeur ops est gale 3 84 a La p valeur est la probabilit sous Ho d observer sur un chantillon de taille 32 tir au sort dans la population une valeur de X sup rieure ou gale 10 inf rieure ou gale 10 sup rieure ou gale 11 5 inf rieure ou gale 11 5 b Pour un test au niveau a i On rejette Ho et on accepte H si a gt 3 84 a lt
4. donc on rejette Ho La p valeur du test bilat ral est le double de la p valeur du test unilat ral soit Aobs 2 x 3 8 7 6 Comme amp obs 7 6 gt 5 on conserve Ho Le test bilat ral est dit plus conservatif que le test unilat ral Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 8 R ponse L erreur de premi re esp ce consiste rejeter Ho alors que H est vraie Cela correspond ici rejeter tort l hypo th se d innocence de l accus c est dire d clarer coupable un innocent Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 9 R ponse L erreur de deuxi me esp ce consiste conserver Ho alors que H1 est vraie Cela correspond ici conserver tort l hypoth se d innocence de l accus c est dire acquitter un coupable Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 10 R ponse Le risque d acquitter un coupable est le risque de commettre l erreur de deuxi me esp ce Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 11 R ponse Conserver accepter Ho ne signifie pas que l hypoth se H est vraie Le risque d erreur que l on court lorsqu on conserve l hypoth se nulle est le risque de deuxi me esp ce p C est la probabilit de conserver Ho ne pas accepter H1 quand H est vraie On ne peut pas l valuer en g n ral Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 12 R ponse On dit que le
5. e du risque p plus ce risque est petit plus la puissance est grande Diminuer le risque Cest augmenter le risque B et donc r duire la puissance du test On peut am liorer la puissance d un test en augmentant la taille de l chantillon Retour au questionnaire
6. our un test le risque de deuxi me esp ce p repr sente la probabilit d accepter tort H de conserver tort Ho de ne pas accepter H quand H est vraie 3 Conclure que le r sultat d un test est significatif un niveau a donn signifie que l on a conserv Ho que l on a rejet Ho que l on a accept H que Ho est vraie que H est vraie 4 Un test est effectu au niveau a 5 Le test conduit au non rejet de H Pour cette d cision le risque d erreur est gal 5 gal 95 inconnu g n ralement 5 Un test effectu au niveau a 1 conduit au rejet de Ho Pour cette d cision le risque d erreur est gal 1 gal 99 inconnu g n ralement 6 Pour un test d hypoth ses la probabilit d accepter H quand H est vraie est appel e le risque de premi re esp ce du test le risque de deuxi me esp ce du test la puissance du test 7 Si l on r duit le niveau a d un test on agrandit l intervalle d acceptation on diminue le risque B on rejette moins fr quemment Ho on diminue l intervalle d acceptation on augmente le risque p on rejette plus fr quemment Ho 8 La puissance d un test est d autant plus grande que le risque de 1 esp ce a est faible le risque de 2 esp ce p est faible la taille de l chantillon est grande Cliquer sur ou pour acc der aux compl ments de r ponse Les r ponses aux questionnaires R ponse Ici pour H1 u1 gt 10 on a amp ops
7. r sultat d un test est significatif un niveau a donn si la d cision du test est le rejet de Ho et donc l acceptation de H1 Accepter H1 ce n est pas d montrer que H est vraie Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 13 R ponse Ici le risque d erreur est celui de deuxi me esp ce p risque de conserver tort Ho En g n ral on ne le conna t pas Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 14 R ponse Pour cette d cision le risque d erreur est celui de premi re esp ce a risque de rejeter tort Ho Ce risque est contr l ici il est fix 1 Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 15 R ponse La puissance mesure l aptitude d un test rejeter Ho accepter H quand H est vraie La probabilit compl mentaire 1 de la puissance est le risque B La puissance comme le risque B est en g n ral inconnue Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 16 R ponse Quand on diminue q on agrandit l intervalle d acceptation En diminuant a on augmente donc la probabilit que la valeur observ e de la statistique de test soit dans cet intervalle quand H est vraie la probabilit d erreur est donc plus grande Les risques a et p sont antagonistes plus le risque est petit et plus le risque B est grand Retour au questionnaire Les r ponses aux questionnaires 17 R ponse La puissance tant compl mentair
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