Exercices d`algèbre 1 - Ceremade - Université Paris
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1. Exercice 3 26 Sans justifier pour chacune des applications suivantes dire si elle est injective sur jective bijective ni injective ni surjective 1 g1 0 7 gt 1 1 2g 0 gt 1 1 3 gs 1 3 5 gt R Ag l 3 3U3 TR HR COST HR COST x gt tanz x gt tanz Exercice 3 27 a Existe t il une application f N N strictement d croissante b Donner un exemple d application f N N injective mais non strictement croissante c Donner un exemple d application f N N involutive f o f Idy mais diff rente de l identit d relativement difficile Soit f N N une application injective Montrer que f n oo quand n 00 Exercice 3 28 relativement difficile Soit un ensemble et f E E une application telle que fo f f Montrer que f est injective ou f est surjective si et seulement si f 1dg Exercice 3 29 relativement difficile Soit un ensemble et f E E une application telle que fofof f Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective 4 Relations Exercice 4 1 x relations On consid re la relation R d finie sur R par pour tous r els x et y zRy ssi x y lt 10 Cette relation est elle reflexive transitive sym trique antisym trique totale Est ce une relation d quivalence Est ce une relation d ordre Exercice 4 2 cours quivalence Soient et F des ensembles Soit f E F une application Soit R la relation sur E d f2. Exercice 8 4 Soit aij ajenxn une famille de r els index e par N x N Soit n N Expliquer informellement ce que repr sentent les sommes suivantes et pourquoi elles sont gales n k n n i n n j S Durs D ous B gt us k 0 i 0 i 0 j 0 j 0 i 0 Exercice 8 5 Soient a en et b en des suites de r els Soit n N Parmi les expressions suivantes lesquelles sont toujours gales Si e h Sah 83 Sous i 0 i 0 i 0 i 0 j 0 Exercice 8 6 Soit n N Calculer min i j et max i j 1 lt i j lt n 1 lt i j lt n on pourra montrer que la premi re somme est gale X gt k 17 9 Arithm tique Exercice 9 1 Tous TD Algorithme d Euclide pour la recherche du PGCD Soient a et b des entiers naturels avec b non nul Voici une m thode pour trouver le pgcd de a et de b On commence par poser ro b puis Etape 1 on appelle r le reste dans la division euclidienne de a par b Si r 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape 2 on appelle rz le reste dans la division de ro par r Si r2 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape 3 on appelle r3 le reste dans la division de r par ro Si r3 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante Etape k pour k gt 2 on appelle r le reste dans la division de r4_2 par r4 1 Si rx 0 on s arr te sinon on passe l tape suivante L algorithme s arr te forc
3. 1 n une matrice de Min 1 V rifier que les deux produits UX et XU sont possibles et calculer les Exercice 12 4 Soit A une matrice de Mnp a Si I est la matrice unit d ordre n montrer que A A puis que AZ A b Soit F la matrice l mentaire de M dont tous les coefficients valent 0 sauf celui situ sur la ligne et la colonne j qui vaut 1 Calculer E A On note ici F la matrice l mentaire de M d finie de mani re analogue Calculer AF Exercice 12 5 a D terminer deux matrices et B de IML R telles que 1 2 0 1 sod aar b Calculer AB et BA A t on A B A 2AB B Exercice 12 6 Tous TD Puissance de matrice et formule du bin me Soit A une matrice de Mn On d finit les puissances de par r currence A I A AetVpeN AY A AA On dit que deux matrices et B de M commutent si AB BA Montrer que si A et B commutent la formule du bin me de Newton est vraie 2 p k 4k pp k he e re A B D avec a io 1 0 0 Exercice 12 7 Tous TD Soit A 0 1 1 et J A Iz Pour n entier naturel calculer J 1 0 1 puis A 23 cos x sin x sin x cos x Exercice 12 8 Tous TD Soit x R et A Calculer A pour tout n gt 1 Exercice 12 9 Tous TD Soient et B deux matrices de M Effectuer les produits A B A B A B A B AB et 1 A AF I A Exercice 12 10 Soient A et B deux matrices de
4. Soit P la proposition Pour tout r el x dans A x gt 12 Nier P On suppose maintenant que A La n gation de P est elle vraie ou fausse P est elle vraie ou fausse Exercice 1 4 x n gation d nonc s avec quantificateurs Nier en fran ais courant les propositions suivantes 1 Il y a au moins un tudiant qui aime le tennis 2 Tous les tudiants aiment lire 3 Dans toutes les mati res il y a au moins un tudiant qui travaille r guli rement 4 Il y un tudiant qui travaille r guli rement dans toutes les mati res Exercice 1 5 propri t s du OU et du ET Soient A B C D des propositions Montrer que A ou B et C ou D est quivalent A et C ou A et D ou B et C ou B et D Application trouver les couples de r els x y tels que l z 1 y 2 0 x 2 y 3 0 Exercice 1 6 Tous TD compr hension et n gation d implications Dire si les propositions sui vantes sont vraies ou fausses et les nier 1 Pour tout r el x si x gt 3 alors z gt 5 2 Pour tout entier naturel n si n gt 1 alors n gt 2 3 Pour tout r el x si x gt 1 alors x gt 2 4 Pour tout r el x x gt 1 est quivalent x gt 1 pour le 4 on pourra se rappeler qu une quivalence est une double implication Exercice 1 7 x ordre des quantificateurs importance de l ensemble auquel appartiennent les l ments Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses
5. en fonction de A et T 0 1 1 Exercice 12 21 Tous TD Soit la matrice A 2 1 1 0 1 1 a Calculer A puis A b A est elle inversible c On note T la matrice identit de M3 R En utilisant la formule du bin me de Newton calculer A 1 Exercice 12 22 suite des noyaux Soit n dans N Pour toute matrice A de M R On pose appelle noyau de et on note KerA l ensemble des vecteurs colonnes X n composantes tels que AX 0 KerA X Mna R AX 0 Soit A une matrice de M R 1 Montrer que pour tout k dans N Ker A C Ker A t 25 2 Soit k un entier naturel tel que Ker A 1 Ker Af Montrer que pour tout entier q gt k Ker A1 Ker Af 3 En d duire que si pour tout X dans M 1 R AX 0 amp AX 0 alors pour tout entier k gt 1 et pour tout X dans M R on a AX amp AX 0 Exercice 12 23 racines carr s de matrices D finition Soit A et M des matrices de Ma C On dit que M est une racine carr e de A si M est bien d finie et M A a Soit M une matrice Montrer que le produit MM n est d fini que si M est une matrice carr e En d duire que si une matrice a une racine carr e ou cubique d ailleurs alors A est carr e il b Montrer que la matrice suivante n a aucune racine carr e dans M C 0 0 0 deux racines carr es dans M2 C d Dans Ma R montrer que la matrice I gt a une infinit de racines carr es dont l
6. qui tout n de N associe 1 si n est pair et 1 si n est impair Exercice 3 5 x Pour chacune des applications 1 2 3 et 5 de l exercice pr c dent calculer f 2 0 2 FU FL 1 Exercice 3 6 x Les applications suivantes sont elles bien d finies Si oui sont elles injectives surjectives bijectives 1 f R R 2 f R R 3 f3 RR Hfi re 5 fs R gt R za za za LT gt r r Exercice 3 7 M me exercice pour les applications suivantes 1 g R N 2 g Z N 3 g3 N R 4 ga R N x r zx r er Exercice 3 8 Tous TD Soient E et F de parties de E Soit f E F une application Soit y un r el Expliquer informellement comment l on trouve partir du graphe de f les solutions dans de l quation f x y Comment lit on sur le graphe de f que f est injective surjective bijective Attention ceci a pour but de vous faire comprendre les notions d injectivit de surjectivit et de bijectivit Mais r pondre lors d un examen l application f est injective car son graphe a telle propri t sans prouver rigoureusement que le graphe a cette propri t ne vous vaudra pas tous les points Exercice 3 9 Soit f une application de vers B D montrer que A U fy yEB Exercice 3 10 Cours Soit f une application de E vers F Soient A et des parties de Soient B et B des parties de F Montrer que
7. 1 X X 1 X n 1 P 1 2040 A 0 tn 0 Faire un raisonnement par r currence Exercice 10 16 Tous TD Montrer qu un polyn me r el de degr 3 admettant une racine double dans C X a toutes ses racines dans R Exercice 10 17 Soient p et q deux r els fix s et C X le polyn me A X pX q Montrer que admet au moins une racine r elle D terminer en fonction de p q le nombre de racines r elles de Exercice 10 18 Soient n un entier sup rieur 3 et P un polyn me de degr n coefficients r els tel que P 0 1 et P 1 0 a Montrer qu il existe un unique polyn me Q de R X tel que P XQ 1 b Montrer que Q 1 Q 1 0 n 1l Q c Montrer que Q X X 2 Q 1 gt z k 2 d En d duire qu il existe des r els uniques a1 an 1 tels que pa n P 1 aX X 2 X X 1 ak k 2 Eo Il Exercice 10 19 Tous TD Factoriser dans C X et dans R X les polyn mes suivant DA PKK S GX FN ENIN EN ET NX EN Nas A Xaris 5 X X 1 6 X X 1 7 X4 2X cos 2a 1 o aeR 8 17X 34X 17 20 Exercice 10 20 Tous TD D terminer le degr du polyn me P X 1 X7 1 Montrer que P est divisible par X j o j e D terminer deux racines r elles enti res de P en pr cisant les ordres de multiplicit En d duire la factorisation de P dans C X puis dans R X Exercice 10 21 x Soit P X 3X 1 et soient a b c les trois
8. M triangulaires inf rieures Montrer que leur somme et leur produit sont aussi triangulaires inf rieures Exercice 12 11 Tous TD Soit a une matrice carr e de Mp On appelle trace de et on note tr A le nombre r el tr A E Akk k 1 Montrer que VA Mn VB Mn VA E R tr A B tr A tr B tr AA tr A tr AB tr BA Exercice 12 12 Soient A et B deux matrices carr es r elles de format n x n avec tr A 1 D terminer les matrices X M R telles que X tr X A B Exercice 12 13 Tous TD 1 Soit X une matrice colonne coefficient r els Calculer XTX Montrer que XTX 0 si et seulement si X 0 2 Soit A une matrice coefficient r els et X une matrice colonne coefficient r els telle que le produit AX existe Montrer que AX 0 si et seulement si XTATAX 0 3 Montrer qu ainsi nonc ces r sultats sont faux pour des matrices coefficients complexes Comment peut on les g neraliser au cas des matrices coefficients complexes Exercice 12 14 a Montrer que pour toute matrice A de Mnp les produits A AT et AT A sont des matrices carr es sym triques Soit E i Calculer AAT et ATA b Montrer que toute matrice carr e B peut s crire de fa on unique comme la somme d une ma 2 3 1 trice sym trique S et d une matrice antisym trique T D terminer S et T si B 5 4 l1 1 3 2 12 2 Inverse de matrices Exercice 12 15 a La som
9. P Q F PQ k 0 Exercice 10 9 Soient a et b deux r els distincts et P un polyn me de R X Calculer le reste de la division euclidienne de P par X a X b en fonction de a b P a et P b Calculer le reste de la division euclidienne de P par X a en fonction de a P a et P a Pour n N quel est le reste de la division de P X X b par X a 19 Exercice 10 10 Calculer le reste de la division euclidienne de A par B o n gt 2 A X X 1 et B X 1 Pour p et q entiers tels que p gt q quel est le reste de la division de XP X1 1 par X X Exercice 10 11 Soit A X5 X4 aX bX 5X 2 et B X 2X 1 Peut on d terminer a et b pour que B divise Exercice 10 12 Soit o n est un entier strictement positif a Montrer que les n 1 premi res d riv es de P sont nulles pour x 0 et x 2 b Ecrire la formule de Taylor pour P au point 0 et au point 2 c En d duire que toutes les d riv es de P prennent des valeurs enti res pour x 0 et x 2 Exercice 10 13 Tous TD Soit n gt 3 D terminer un polyn me P de R X de degr n tel que P 1 3 P 1 4 P 1 5 et P 1 3 si k 3 n Un tel polyn me est il unique Exercice 10 14 D terminer les polyn mes de degr 3 de R X divisibles par Q X 1 et dont les restes des divisions euclidiennes par X 2 X 3 et X 4 sont gaux Exercice 10 15 Factoriser le polyn me r el X X X
10. P n est vraie pour tout n gt 1 Question subsidiaire pour quelles valeurs de n l implication P n P n 1 est elle vraie Voyage sur l le de Puro Pira faire la maison les solutions seront mises en ligne Le type d nigme qui suit a t popularis par le logicien Raymond Smullyan dont je vous conseille vivement les livres Vous vous trouvez sur une le un peu trange l le de Puro Pira Vous savez qu part vous on y trouve deux cat gorie de gens les Purs qui ne disent que des choses vraies et les Pires qui ne disent que des choses fausses Alice et Bernard sont deux habitants de l le de Puro Pira Il se peut que ce soient deux Purs deux Pires une Pure et un Pire Tout est possible De plus les questions sont ind pendantes donc il se peut que Bernard soit un Pire dans la question 1 et un Pur dans la question 2 Sauf indication contraire votre but est de d terminer le type des habitants que vous rencontrez Cela ne sera pas toujours possible mais presque Pour vous aider les r ponses aux quatres premi res questions sont donn es dans les notes de bas de page On rappelle que Si P alors Q veut dire non P ou Q Donc si un Pur dit Si P alors Q c est que P est fausse ou Q est vraie Si un Pire dit Si P alors Q c est que P est vraie et Q est fausse D autre part dans ce qui suit et comme toujours en math matiques le ou est inclusif Rencontre 1 Bernard vous dit Nous som
11. Soient n N et t1 Tn Tn 1 des r els positifs tels que z1 8n n 1 lt n 1 Montrer que 1 Ln 1 z n lt na o a 1 n n c D montrer par r currence Vn N Vx R4 V n R4 Ti Hte En lt N gt T12 En I1 sl d Soient n N et z1 n des r els positifs Comparer leur moyenne g om trique 1172 7 et leur moyenne arithm tique x1 n n 16 8 Sommes doubles Exercice 8 1 chauffement Soit ax ren une suite de r els Soit n N Parmi les sommes suivantes lesquelles sont toujours gales quels que soient l entier n et la suite az Ken n n 1l n 1 n 1 S gt ai 92 X Qi 93 X Qiy 94 X An i i 1 i 0 i 0 i 0 n 1 n 2n 1 2n S5 gt An i S6 X An i S7 X Q2n i Ss X Q2n i i 0 i 1 i n i n 1 Exercice 8 2 Soit a j a jenxyn une famille de r els index e par N x N Soit n N Expliquer informellement ce que repr sentent les sommes suivantes et pourquoi elles sont gales S D Qij J da S Y ay 3 E L n x 1 n i 1 j 1 j 1 i 1 n n l n n 1 S4 X X Qin j S5 gt X An 1 in 5 i 1 j 0 i 1 j 0 Exercice 8 3 Soit a j jyenxn une famille de r els index e par NxN Soit n N Parmi les sommes suivantes lesquelles sont toujours gales i j n n n n S X X Qij S2 X X Qij 93 X gt Qij 3 X X Qij i 0 j 0 j 0 i 0 i 0 j i j 0 i j
12. X 6X 2X 5 B 2X 4 4 A Xt 1 B X 1 5 A 2X 17X 2 7X 2 B 2XS 1 Exercice 10 3 x Soit n un entier Quand on introduit un polyn me en crivant soit P gt you X K X suppose t on implicitement que deg P n que deg P lt n rien du tout M me question quand on crit soit P 3 ak X K X avec a 0 Exercice 10 4 Tous TD Soient A et B des polyn mes coefficient r els qu on peut donc voir comme des polyn mes coefficient complexes particuliers On suppose B 0 Soient Q et R des polyn mes coefficients complexes tels que BQ R Les polyn mes Q et R sont ils forc ment coefficients r els Qu en est il si de plus deg R lt deg B Exercice 10 5 x Soient P et Q dans K X Montrer que P Q si et seulement si P Q est un polyn me constant Exercice 10 6 Soit B K X un polyn me non nul On consid re la relation R suivante sur K X pour tous polyn mes P et Q dans K X PRQ amp BP Q Montrer que PRQ si et seulement si P et Q ont m me reste dans la division euclidienne par B En d duire que R est une relation d quivalence Exercice 10 7 Soit B un polyn me non nul Montrer que B est constant si et seulement si pour tout dans K X BJA Exercice 10 8 Tous TD Soient P et Q deux polyn mes de K X avec K R ou C Montrer par r currence que la formule du bin me de Newton est vraie dans K X Yn N n
13. XUZ et XNY XNZ gt Y Z Exercice 2 18 ensembles quantificateurs On consid re les ensembles 1 1 B fe e1 neNe lt i e F repivmenr lt n 1 n 1 L ensemble E a t il un une infinit ou aucun l ment M me question pour l ensemble F Exercice 2 19 Pour tout entier naturel p on note pN lensemble des entiers relatifs de la forme pn avec n dans N a Montrer que pour tous entiers naturels p et q pPNCaN amp peEqgN b Montrer que pour tous entiers naturels p et q pPN N amp p q Exercice 2 20 Soit E un ensemble et A B C des parties de E Soit A le compl mentaire de A dans Montrer les propri t s suivantes a A B C A BUC b AN AUB ANB Exercice 2 21 Diff rence sym trique de deux parties Soit un ensemble Pour A et B des parties de E on note AAB l ensemble AU B AN B Soient A B et C des parties de E Montrer que AAB A B U B A AA AAB BAA AA BAC AAB AC AN BAC ANB A ANC Exercice 2 22 note aux charg s de TD les notations min et max ne sont pas forc ments connus ce stade Soit aij i lt i lt n 1 lt j lt p une famille de r els On d finit A min max ay B max min aij 1 lt i lt n 1 lt lt p 1 lt j lt p 1 lt i lt n Montrer que B lt A Exercice 2 23 difficile Soit A perxy une famille de parties d un ensemble F Comparer N U Ay et N A iel jeJ jeJ iel Exercice 2 24 Montrer que VneNn gt 4 n gt 2 Exercice 2 25 d
14. a AU f A U f 4 b f AN A C f A Nn FM c f BUB f B Uf B d f B N B ff B n fB Donner un exemple montrant que l inclusion du b peut tre stricte Exercice 3 11 Cours Soit f une application de vers F Soient A C E B C F Montrer que AC FH F A et fF f 1 B C B Donner des exemples montrant qu il n y a pas en g n ral galit Exercice 3 12 Tous TD retour sur la logique Soient f et g deux applications de R dans R On suppose que pour tout r el x f x et g x sont positifs Soit A x R f x lt g x On consid re les deux propositions suivantes P1 Pour tout x dans f x lt g x P2 Il existe x dans A tel que f x lt g x a La proposition P1 est elle forc ment vraie c est dire vraie pour toutes fonctions f et g satisfaisant les hypoth ses de l nonc b La proposition P2 est elle forc ment vraie Si oui le prouver sinon donner un contre exemple c est dire un exemple d applications f et g pour lesquelles la proposition est fausse c Soit E un ensemble et pour tout x dans E soit P x une proposition On suppose que la proposition Pour tout x dans E P x est vraie Donner une condition n cessaire et suffisante sur E pour que la proposition Il existe x dans E tel que P x soit vraie Exercice 3 13 Cours Soient et F des ensembles finis ou infinis Montrer qu il existe une injection de E vers F si et seulem
15. elle vraie On munit N de la relation de divisibilit d finie par Vx y N x N zly Jk N y kx On admet que est une relation d ordre sur N Calculer s ils existent le plus grand l ment le plus petit l ment l ensemble des majorants et des minorants des sous ensembles suivants A 4 8 12 B 2 3 C 2 3 4 5 6 7 D 4 2 3 6 9 18 5 Cardinaux d nombrement Exercice 5 1 Cours le r sultat est conna tre pas la preuve Soit E un ensemble fini ou infini Montrer qu il existe une injection de dans P E Montrer qu il n existe pas de surjection de dans P E indication soit f E P E une application Consid rer l ensemble x E x f x En d duire que P N n est pas d nombrable Exercice 5 2 ensembles infinis on note 2N l ensemble des entiers naturels pairs Montrer que l application f N 2N n 2n est bijective Exercice 5 3 Tous TD Exercice ensembles infinis soit g N Z l application donn e par f n n 2 si n est pair et g n n 1 2 si n est impair Montrer que l application g est bijective Exercice 5 4 Tous TD Exercice ensembles infinis en admettant le r sultat des deux exercices pr c dents d terminer une bijection entre 2N et Z Exercice 5 5 une r union d nombrable d ensembles d nombrables est d nombrable On admet que N x N est d nombrable Soit Z un ensemble d nombrable Pour tout i dans I s
16. examen 2002 Exercice 12 31 Soit A b une matrice de M R telle que ad bc 0 d On note s a d Soit B la matrice de M2 R telle que A B sh 1 Calculer le produit matriciel AB 2 En d duire que 4 sA et calculer pour tout n de N la matrice A 3 Calculer B pour tout n de N 27 Exercice 12 32 Soient n dans N et une matrice de M R non nulle c est dire diff rente de la matrice nulle et sym trique 1 Montrer que A est sym trique 2 Exprimer les coefficients de A en fonction de ceux de A 3 Montrer que la trace de 4 est strictement positive puis en d duire que 4 est non nulle 4 Montrer que pour tout k de N AF est non nulle 28
17. math matiques le ou est il inclusif ou exclusif Exercice 1 13 Tous TD Un probl me courant dans la r daction des r currences Supposons qu on veuille d montrer par r currence que pour tout entier naturel n on a X go k n n 1 2 Corrigez la r daction suivante Soit P n la propri t pour tout n N Xpo k n n 1 2 P 0 est vraie car Supposons P n vraie Alors donc P n 1 est vraie Donc par r currence _o k n n 1 2 pour tout entier naturel n Exercice 1 14 Une r currence erron e On consid re des bo tes de crayons de couleurs Pour tout entier n gt 1 soit P n la proposition Dans une bo te quelconque de n crayons de couleurs tous les crayons sont de la m me couleur Le raisonnement suivant prouve t il que P n est vraie pour tout entier naturel n gt 1 Sinon o est l erreur Dans une bo te d un seul crayon les crayons ont bien s r tous la m me couleur Donc P 1 est vraie Soit maintenant n dans N Prenons une bo te de n 1 crayons Si l on enl ve provisoirement un crayon il reste n crayons qui d apr s P n sont tous de la m me couleur Remettons le crayons mis l cart et enlevons un autre crayon Toujours d apr s P n les n crayons restants sont tous de la m me couleur Mais comme les crayons qui ne sont pas sortis de la bo te ont une couleur constante il s ensuit que les n 1 crayons ont m me couleur Donc P n 1 est vraie Donc par r currence
18. que cos n0 est un polyn me en cos 0 et calculer ce polyn me pour n 1 2 3 4 Exercice 6 5 Tous TD Soit U le cercle unit de C priv du point 1 U z C z 1 z 1 On consid re l application f R C RS EE J z m i Calculer pour tout r el x le module de f x L application f est elle surjective injective Peut on avoir f x 1 ii Soit g l application de R dans U telle que Vz ER g x f x Montrer que g est bijective iii On consid re la relation R d finie sur U par zRt si et seulement si g7 z lt g t R est elle r flexive transitive une relation d ordre Exercice 6 6 x Ecrire sous forme d une application de C vers C les transformations g om triques suivantes a rotation de centre A 1 i d angle r 4 b homoth tie de centre B 2i de rapport 1 3 c sym trie orthogonale par rapport la droite y a a ER 14 Exercice 6 7 Soit f l application de C C 0 dans C d finie par In z z gt f z a i On pose z re avec r R 0 et t R Calculer le module et largument de z f z L application f est elle injective ii Soit R un r el strictement positif On pose E z C z R D terminer l image directe f E de E par f Donner une interpr tation g om trique de ce r sultat Exercice 6 8 D montrer l galit du parall logramme Y a b C Ja b a b 2
19. vol le cheval Chlo C est David qui a vol le cheval Alors l un des 3 accus s dit Les 2 autres mentent Le juge r fl chit et apr s quelques instants il d signe l un des 3 et lui dit Vous ne pouvez pas avoir vol le cheval vous tes libre Qui est ce L audience se poursuit apr s le d part de l innocent Le juge demande l un des 2 si l autre est un Pur et apr s qu on lui a r pondu par OUI ou par NON il sait qui a vol le cheval Qui est ce Des Espions sur l le de Puro Pira L le de Puro Pira a t infiltr e par des Espions Ceux ci peuvent dire la v rit mentir dire des choses paradoxales tout est possible Vous savez que parmi Alice Bernard et Chlo il y a exacte ment un Pur un Pire et un Espion Vous devez devinez qui est quoi Rencontre 10 Alice Je suis une Pure Bernard Je suis un Pire Chlo Bernard n est pas un Pur Rencontre 11 Alice Je suis une Pure Bernard Je suis un Pire Chlo Alice est une Espionne Rencontre 12 Alice Je suis une Pure Bernard Alice est une Pure Chlo Si vous me posiez la question je vous dirais qu Alice est une Espionne 2 Ensembles raisonnement indices Exercice 2 1 Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier a Yz ER x z ou x x b Yz R x z ou Yz R x z Exercice 2 2 x ensembles d finitions Soient
20. 1 Pour tout entier naturel n il existe un r el x tel que x gt 2n 2 Il existe un r el x tel que pour tout entier naturel n x gt 2n 3 Pour tout r el x pour tout r el y si x y alors x y 4 Pour tout r el positif x pour tout r el positif y si x y alors x y Exercice 1 8 Tous TD implications Donner la r ciproque et la contrapos e des implications suivantes x est un r el n un entier naturel 1 Si le p re No l existe alors No l est en juillet 2 Six gt 3 alors x 2 gt 5 3 Sin gt 1 alors n gt n Exercice 1 9 Tous TD Soit F l ensemble des femmes On note P x y l expression x est la fille de y o x et y sont des femmes Ecrire les formules suivantes dans le langage des ensembles puis en criture formalis e puis les nier en criture formalis e 1 Toute femme a au moins une fille 2 Il y a au moins une femme qui a au moins une fille 3 Toute femme a au moins une m re 4 Il y a au moins une femme qui n a aucune fille Par exemple la premi re proposition s crit pour tout y dans F il existe x dans F tel que x est la fille de y dans le langage des ensembles et Vy F 3x F P x y en criture formalis e Sa n gation en criture formalis e est 3y F Vx F nonP x y Exercice 1 10 compr hension d nonc s avec quantificateurs importance de l ordre A l universit Deuxphine il n y a que deux tudiants Jean et Julie et trois
21. A 1 2 3 4 5 6 B 3 6 2 et C 1 3 Calculer AU B BUC AN B BNC CA B et B C Exercice 2 3 x ensembles d finitions Soient A 3 5 et B 2 5 9 Calculer A x B et B x Exercice 2 4 x ensembles d finitions Soit E a un ensemble un lement D terminer P E et P P E Exercice 2 5 Cours propri t s des ensembles Soient un ensemble et X Y et Z des parties de A D montrer les propri t s suivantes a XU Y NZ XUY N XUZ b Ca Ca X X c Ca XUY CA X N CAT d X c Y 4 gt CAY c CA Exercice 2 6 une r daction confuse conduit des erreurs Que pensez vous de la d monstration suivante Pour tout r el x x 2 x 1 0 amp x 2 x 1 or x ne peut pas tre gal la fois 2 et 1 donc pour tout r el x x 2 x 1 est non nul Exercice 2 7 x ensembles quivalence Soient A et B des ensembles Montrer que AN B A amp AUB B Exercice 2 8 Tous TD preuve par contrapos e Montrer par contrapos e que pour tout entier naturel n si n est pair alors n est pair Exercice 2 9 Cours Soit x un r el positif ou nul Montrer que si pour tout r el y strictement positif x lt y alors z 0 Exercice 2 10 Tous TD preuve par l absurde Soit n N D montrer par l absurde que n 1 n est pas le carr d un entier Exercice 2 11 Tous TD au moins en partie preuve cyclique Soit un ensemble Soient A et B des
22. Universit Paris Dauphine DUMRE Alg bre 1 2009 2010 Exercices d alg bre 1 Mode d emploi bon nombre d exercices ne seront pas trait s en TD les exercices pr c d s de Tous TD ou Cours doivent tre faits dans tous les groupes de TD les r sultats des exercices pr c d s de Cours sont conna tre et peuvent tre utilis s directe ment lors des contr les les exercices pr c d s de sont en g n ral assez faciles et doivent tre pr par s la maison C est un strict minimum et il est conseill de pr parer galement d autres exercices il faut apprendre son cours avant d essayer de faire les exercices d autre part il est plus forma teur de comprendre fond quelques exercices que d en comprendre beaucoup moiti 1 Exercices sur la logique et nigmes Exercice 1 1 sens et n gation du OU et du ET Jean est blond et Julie est brune Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses puis les nier 1 Jean est brun ou Jean est blond 2 Jean est roux et Julie est brune 3 Jean n est pas blond ou Julie est brune 4 Il n est pas vrai que Jean n est pas blond Exercice 1 2 x n gation du O et du ET Soit x un r el Nier les propositions suivantes 1 x 1 ouz 1 2 0 lt x lt 1 ce qui veut dire par d finition 0 lt x et x lt 1 3 x 0 ou x 1 et x gt 0 Exercice 1 3 nonc s avec l ensemble vide Soit A une partie de R
23. e la relation binaire R sur R X d finie par YP RIX YQ RIX PRQ X 3X 4 P Q b Soient P et Q des polyn mes de R X Montrer que PRQ P 2 Q 2 P 2 Q 2 et P 1 Q 1 c Soient P et Q des polyn mes de R X Montrer que l on a P R Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de P par X 3X 4 est gal au reste de la division euclidienne de Q par X3 3X 4 d R est elle une relation d quivalence sur R X e Soient P Q U V des polyn mes de R X tels que P R Q et U R V Montrer que PU R QV 21 11 Syst mes lin aires Exercice 11 1 D terminer le rang et l ensemble des solutions des syst mes lin aires suivants 1 S Exercice 11 2 D terminer en fonction de la valeur des param tres a et b le rang et l ensemble des solutions des syst mes lin aires suivants f al Exercice 11 3 Un syst me lin aire peut il avoir exactement trois solutions Pourquoi D 10 21 6 2i 4 4 2i ro 2 T 2x1 T 2x1 1e T1 2 D PA To 2 9 To 2 9 D 0 b 2axz T aT 2x1 Sie 4x Sje T2 2 9 ax2 2 9 Exercice 11 4 Un syst me lin aire de n quations n inconnues a t il toujours exactement une solution au moins une solution au plus une solution Exercice 11 5 a Consid rons un syst me lin aire de 7 quations 5 inconnues dont le rang est 4 Ce syst me a t il n c s
24. ecte du cercle unit U par f 15 d On note H le compl mentaire dans C du segment 1 1 et on note D l ensemble z C z lt 1 Montrer que l on peut d finir l application g D H z fl e Montrer que g est bijective On pourra remarquer que le produit des racines de l quation z 4 z est 1 Exercice 6 15 x Calculer les racines carr es de 2 24 3i puis celles de 94 Exercice 6 16 Tous TD R soudre l quation 2 1 iv3 z 1 iV3 0 a Exprimer les racines z1 et z en fonction des nombres complexes a v3 i 2 et b 1 iv3 2 b D terminer le module et l argument de ces racines En d duire les valeurs de cos 5r 12 sin 57 12 cos 11r 12 et sin 11r 12 Exercice 6 17 x Soit une racine carr e du nombre complexe z Trouver les racines carr es de 2 1 i z et z en fonction de 6 Exercice 6 18 Tous TD R soudre dans C l quation 2f 2 4 1 0 Exercice 6 19 Soit n N R soudre l quation d inconnue x R x i x i 7 Divers Exercice 7 1 Cours moyenne arithm tique et moyenne g om trique Soient a et b des r els po sitifs Montrer que v lt T on dit que la moyenne g om trique est inf rieure la moyenne arithm tique Exercice 7 2 g n ralise le r sultat de l exercice pr c dent a Montrer que Yx gt 1 In 1 x lt x puis que Vz gt 0 Inx lt x 1 b
25. ent si il existe une surjection de F vers E Exercice 3 14 Soit f une application de E vers F D montrer les quivalences suivantes f est injective amp VAC E A fF HF A f est surjective amp VB C F B f f B Exercice 3 15 Soit f une application de E vers F et A une partie de E a D montrer qu il n y a en g n ral pas d inclusion entre f Cg A et Cr f A b Toutefois d montrer f bijective amp VA P E f Ce A Cr f A Exercice 3 16 Tous TD Fonction caract ristique Soit un ensemble A toute partie A de E on associe l application fa de E dans 0 1 d finie par falx 1six Aet fa x 0 sinon L application f4 est appel e fonction caract ristique de A Soient et B deux parties de E Exprimer en fonction de f4 et de fg les fonctions caract ristiques de Cg A AN B AUB et A B Exercice 3 17 Tous TD L application g R R T Le T est elle injective surjective On pourra avec profit construire le tableau de variation de g et utiliser des r sultats d analyse Calculer g e g 1 g R et g7H R4 Exercice 3 18 Soient f R gt R et g R R des applications On consid re l application 7 h R R x f x 9 x a Montrer que si f ou g est injective alors h est injective b On suppose f et g surjectives A t on forc ment h surjective c Montrer que si h est surjective alors f et g sont surjectives d Donner un exemple o h
26. es coefficients diagonaux sont nuls e D terminer toutes les racines carr es de la matrice Z2 dans M C Donner un exemple de racine carr es de I gt dans M2 C qui n appartient pas M2 R c Montrer que la matrice n a aucune racine carr e dans M R mais a exactement Ce qu il faut retenir de cet exercice c est que dans le monde des matrices il faut se m fier de ses r flexes Exercice 12 24 On consid re des matrices coefficients r els Soit une matrice n x p On appelle noyau de l ensemble des matrices colonnes X M 1 telles que AX 0 On appelle image de A l ensemble des matrices colonnes B M 1 telles que le syst me lin aire AX B ait au moins une solution D terminer le noyau et l image des matrices suivantes chaque fois calculer la somme du nombre de degr s de libert du noyau et de l image et comparer avec le nombre de colonnes de Que constatez vous ti 1 0 ira pi 1 ia a 2 D 3 a i 1 tri asian EE Le ES 5 A 111 AE No Sels e 00 0 Exercice 12 25 Pour les matrices carr es de l exercice pr c dent donc toutes sauf la 7 d ter miner les r els tels que le syst me lin aire AX X ait au moins une solution X non nulle Pour chacune de ces valeurs de r soudre le syst me AX AX 12 3 Variations sur une erreur courante Exercice 12 26 Soient A et B les matrices suivantes de M R 0 0 0 1 BAG 1 Calculer A et B 2 Montrer que p
27. est injective mais ni f ni g ne sont injectives Exercice 3 19 Soient f R gt R D S 2 et h R gt R4 z a l application h o f est elle bien d finie b Prouver que f et h sont bijectives et d terminer leur r ciproques Exercice 3 20 Soient E F G des ensembles Soient f E F et g F G des applications a Montrer que si go f est injective et f est surjective alors g est injective b Montrer que si g o f est surjective et g injective alors f est surjective Exercice 3 21 x L application f NxN gt N n p n p est elle injective surjective bijective D terminer f 1 3 10 Exercice 3 22 Soient E F G H des ensembles et f g h des applications telles que E pes GT Montrer que si go f et ho g sont bijectives alors f g et h sont bijectives Exercice 3 23 L application f RxR RxR x y x y xy est elle injective surjective bijective Exercice 3 24 x Soit f R R une application strictement monotone Montrer que f est injective Donner un exemple d application de R dans R injective mais non monotone Exercice 3 25 x Sans justifier pour chacune des applications suivantes dire si elle est injective surjective bijective ni injective ni surjective 1 f R R 2 f2 R 1 1 3 f3 5 5 R Af 5 5 1 1 22 xz gt sing xr Sing x Sing x sing
28. iff rence entre l ensemble vide et l ensemble contenant uniquement l ensemble vide Soit 0 1 2 Quel est l ensemble des solutions des probl mes suivants Probl me 1 quels sont les sous ensembles de qui ont au moins 4 l ments distincts Probl me 2 quels sont les sous ensembles de inclus dans Cx E Exercice 2 26 x r indexation d une somme Soient x un r el et n un entier naturel Calculer NE la somme JR 3 Applications Exercice 3 1 Soient A 0 1 2 et B 0 1 Donner des exemples d applications de A dans B Combien y a t il de telles applications M mes questions pour les applications de B dans A Exercice 3 2 x Soit l application f R R donn e par pour tout r el x f x x D terminer a f 1 1 f 10 3 F R et F R_ b f 2 0 N 0 2 et f 2 0 n 10 2 comparez c f gt l0 3 F 10 3f et FT R_ Exercice 3 3 Tous TD Soit l application g R R donn e par pour tout r el x g x sin z Sans justifier donner a g 0 2x g R g 0 10 et g 0 3 b g 2 oof g7 gt R g 1 1 et 97 1 1 Exercice 3 4 x Les applications suivantes sont elles bien d finies Si oui sont elles injectives surjectives bijectives 1 f 0 1 2 1 8 1 24 telle que f 0 1 f 1 24 f 2 1 2 f Z gt Z n n 3 f N N n n 1 4 f N gt N ne n l 5 f N 1 1
29. inie par pour tous x et y dans E xRy ssi f x f y Montrer que R est une relation d quivalence Exercice 4 3 Tous TD quivalence Montrer que les relations suivantes sont des relations d qui valence on pourra utiliser l exercice pr c dent Pr ciser les classes d quivalence a sur R Ry lt cos x cos y b sur R xRy lt cos x cos y et sin x sin y c sur R Ry gt E x E y o E x d note la partie enti re de x d sur Z x Z p q R p q pq p q 11 Exercice 4 4 Tous TD quivalence On consid re une partition P d un ensemble E c est dire une famille A e7 de sous ensembles de E telle que E er et Viel Vjel ifj AnNA 0 On d finit alors la relation R sur E par rRy A I x et y Montrer qu il s agit d une relation d quivalence Quelles en sont les classes d quivalence Exercice 4 5 Tous TD quivalence Notation si n et p sont des entiers relatifs on dit que n divise p et on note nlp s il existe un entier relatif k tels que p kn Par exemple 6 divise 12 et 30 mais ne divise pas 10 Soit n N Soit R la relation sur N d finie par pour tous entiers naturels p et q pRq amp n p q on dit alors que p est congru q modulo n Montrer que R est une relation d quivalence et que pRa si et seulement si le reste de la division euclidienne de p par n est le m me que le reste de la di
30. la bf Exercice 6 9 Tous TD Soient r la rotation de centre A 1 i d angle 7 2 et r2 la rotation de centre B 1 i d angle 7 2 a D finir les transformations complexes correspondant r et rz b Calculer r o r2 et r2 0 r1 et les caract riser g om triquement c Calculer r or20r et la caract riser g om triquement Exercice 6 10 Trouver l ensemble des nombres complexes z tels que les points d affixes z 2 2 soient align s Exercice 6 11 Repr senter g om triquement l ensemble suivant z C z il z 1 2 Exercice 6 12 Soit f l application de C dans C d finie par VzeC f z xil N a Montrer que Yz C f o f z 2 b f est elle bijective Si oui calculer f t c Soit R un r el strictement positif et C le cercle z C z R Calculer f C d Quel est l ensemble z C f z 2 Exercice 6 13 Soit f l application de C dans C qui tout nombre complexe z x iy avec x et y r els associe F Flete ete 7 a Montrer que pour tout z r el f z cos z b Soit z dans C Montrer que f z 27 f z que f 2 f z et que f 2z 2 f 2 1 c f est elle injective d Calculer f 1 0 Exercice 6 14 Tous TD Soit f l application de C dans C d finie par Vz C ra 3 5 a L application f est elle injective surjective b Calculer l image r ciproque de i par f c D terminer l image dir
31. mati res alg bre analyse et conomie Les r sultats des tudiants sont les suivants TARDE Analyse Economic Soit Jean Julie l ensemble des tudiants Soit F alg bre analyse conomie len semble des mati res Pour tout x dans et tout y dans F on d signe par P x y l expression l tudiant x a la moyenne 10 ou plus dans la mati re y Oralement exprimer en fran ais courant les propositions suivantes Dire en justifiant si elles sont vraies ou fausses Jz E Jy F P Jz E Vy F P Vy F Jz E P x Jy F Vx E nonP x y Jy F Vx E P x y D EU E ES AD a Par exemple la premi re proposition se lit Pour tout l ment x de E pour tout l ment y de F x a la moyenne dans la mati re y En fran ais courant on dirait Tous les tudiants ont la moyenne dans toutes les mati res C est faux puisque Jean n a pas la moyenne en analyse Exercice 1 11 Cours Soit a un r el Montrer que les propositions suivantes sont quivalentes P Si pour tout r el strictement positif on a a lt alors a 0 Q Il existe un r el strictement positif tel que a gt ou a 0 R Si a 0 alors il existe un r el strictement positif e tel que a gt Montrer que R est vraie En d duire que P et Q sont vraies Exercice 1 12 Donner en fran ais courant un exemple de ou inclusif et un exemple de ou exclusif En
32. me de deux matrices inversibles est elle toujours inversible b Montrer que si une matrice A de M est inversible alors toutes les puissances de A sont in versibles Exercice 12 16 D terminer l inverse quand il existe des matrices suivantes par la m thode du pivot 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 EN B 4 441 lite de 24 ST f RE RS 1 2 Exercice 12 17 a Soit A 3 6 Calculer 4 En d duire que A n est pas inversible Calculer A pour n entier naturel 5 4 b Soit B _a N I N En d duire que B est inversible et calculer son inverse puis B1 D terminer la matrice N telle que B I N puis calculer I 5 a Calculer A En d duire que A est inversible et d terminer son inverse b Calculer A pour n N c D terminer en fonction de n et des termes initiaux les suites r elles un et vn d finies par uo vo et la relation de r currence Exercice 12 18 Tous TD Soit A i z Un 1 2Un Un Un41 D n 2Un 2 0 3 Exercice 12 19 Soit 0 2 0 0 3 2 a Calculer A 64 12A b En d duire que est inversible et calculer A7 Exercice 12 20 Soit n dans N On note I la matrice identit de M R et 0 la matrice nulle de M R Soit une matrice de M R telle que A amp A I 0 a Montrer que A est inversible et que A7 A T b Montrer que A T c Calculer pour tout p de N 4
33. ment une borne inf rieure b M me questions pour l ordre lexicographique iii Montrer que dans R muni de l ordre produit toute partie non vide et major e admet une borne sup rieure Est ce vrai pour l ordre lexicographique on pourra consid rer la partie B R x R 12 Exercice 4 9 x ordre On admet que l inclusion est une relation d ordre sur l ensemble des parties de R Soit A 0 1 3 10 R Z 4 7 N Ordonner les parties de suivant la relation d inclusion D terminer l ensemble des minorants resp majorants de A Quels sont les l ments maximaux de A les l ments minimaux L ensemble A a t il une borne inf rieure un plus petit l ment une borne sup rieure un plus grand l ment Exercice 4 10 Tous TD Montrer que si un ensemble E a n l ments alors P E a 2 l ments Exercice 4 11 pr ordre Soit un ensemble qui a au moins deux l ments Sur l ensemble des parties de on d finit la relation R par pour tous A et B dans P E ARB si et seulement s il existe une injection de A vers B Montrer que R est une relation de pr ordre Exercice 4 12 Donner un exemple de partie d un ensemble ordonn qui n a aucun l ment maximal Exercice 4 13 Soit E lt un ensemble ordonn Soit une partie de Montrer que si a un plus grand l ment alors a un et un seul lement maximal Plus difficile la r ciproque est
34. ment En effet tant que r 0 rn41 lt rn 1 donc r lt ro n Donc au bout d au plus b tapes on obtient un reste nul et l algorithme s arr te Nous allons montrer deux choses d une part le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul donc rp si l algorithme s arr te l tape k d autre part il existe des entiers relatifs a et 8 tels que pgcd a b aa Gb 1 Soit r le reste dans la division euclidienne de a par b a Montrer que si r 0 alors pgcd a b b b Soit d N Montrer que d divise a et b si et seulement si d divise b et r En d duire que pgcd a b pgcd b r c Montrer qu il existe des entiers relatifs a et 31 tels que r aya 61b 2 Montrer que pour tout k dans N si l algorithme ne s arr te pas avant l tape k non incluse alors pgcd rp rg 1 pgcd a b et il existe des entiers relatifs az et Bp tels que ry aka Bb 3 Soit n l tape o l algorithme s arr te on a donc r 0 et r _1 0 Montrer que pgcd a b rh _1 et qu il existe des entiers relatifs a et 8 tels que pgcd a b aa Gb 4 D terminer en utilisant l algorithme d d Euclide le pgcd de 91 et 247 et des entiers relatifs et 8 tels que pgcd 91 247 91a 2476 Exercice 9 2 Tous TD Th or me de B zout Soient p et q dans N Montrer que pgcd p q 1 si et seulement s il existe des entiers relatifs et 8 tels que ap 5q 1 on pourra utiliser l exercice pr c dent E
35. mes tous les deux des Pires Qu en d duisez vous t Rencontre 2 Alice vous dit Je suis une Pure et Bernard est un Pire Que peut on en d duire Rencontre 3 Alice vous dit Si je suis une Pure alors Bernard est un Pire Qu en d duisez vous 3 Rencontre 4 Alice Je suis une Pure ou Bernard est un Pur Bernard Nous ne sommes pas du m me type 4 A vous de r soudre les nigmes suivantes Question 5 a trouver une phrase que ni un Pur ni un Pire ne peut dire b trouver une phrase qui peut tre dite par un Pur mais aussi par un Pire Rencontre 6 Alice Je ne suis ni une Pure ni une Pire Bernard C est vrai Rencontre 7 Chlo est une habitante de l le de Puro Pira Vous Est ce que Bernard et Chlo sont tous les deux des Purs Alice Oui TR ponse un Pur ne pourrait pas dire a Donc Bernard est un Pire Donc ce qu il dit est faux Donc Alice et Bernard ne sont pas tous les deux des Pires Or Bernard est un Pire Donc Alice est une Pure 2R ponse la seule chose que l on puisse en d duire c est qu Alice et Bernard ne sont pas tous les deux des Purs SR ponse Alice est une Pure et Bernard est un Pire Supposons qu Alice soit une Pire Alors ce qu elle dit est vraie rappelez vous que si P est fausse alors nonP est vraie donc nonP ou Q est vraie donc par d finition si P alors Q est vraie Donc Alice est une Pure Contradiction Notre supposition initiale tait d
36. oit A un ensemble d nombrable Montrer que J est d nombrable iel 13 Exercice 5 6 Avec trois chiffres distincts donn s diff rents de 0 combien de nombres distincts peut on former Exercice 5 7 Tous TD Calculer le coefficient de x y 2 dans x 2y 3z on pourra utiliser deux fois de suite la formule du bin me de Newton Exercice 5 8 Dans un jeu de 32 cartes on tire une main de 5 cartes Quelle est le nombre de mains contenant la dame de coeur exactement une dame au moins une dame Exercice 5 9 Soit n un entier naturel plus grand que 3 D terminer le nombre de diagonales d un polygone convexe de n c t s une diagonale d un polygone relie deux sommets non cons cutifs de celui ci 6 Complexes Si besoin est on pourra admettre le r sultat suivant qui sera d montr dans la suite du cours si une application f C C est une fonction polyn me alors il existe un complexe z tel que f z 0 Exercice 6 1 Montrer que si a et b sont deux nombres complexes de module 1 tels que ab 7 1 est r el I a b alors 1 ab Exercice 6 2 x Que dit la formule de Moivre Soit 4 R et n N Calculer D _ cos k8 Do sin k6 Xogo C cos k0 indication cos k0 Re e Calculer Xg p e Exercice 6 3 Tous TD Soit x R et n N Calculer X gt cos x 2kr n et Yz sin x 2kr n Exercice 6 4 Tous TD Soit 0 R D velopper cos 0 i sin 0 en d duire
37. onc fausse Donc Alice est une Pure Donc ce qu elle dit est vraie Donc Bernard est un Pire Alice et Bernard sont tous les deux des Pires En effet supposons qu Alice soit une Pure Alors il y a deux cas ler cas Alice et Bernard sont tous les deux des Purs Alors Bernard dit la v rit donc il ne peut pas dire Nous ne sommes pas du m me type Contradiction 2 me cas Alice est une Pure et Bernard est un Pire Alors Bernard ment toujours Donc il ne peut pas dire Nous ne sommes pas du m me type puisque c est vrai Contradiction Donc supposer qu Alice est une Pure m ne une contradiction Donc Alice est une Pire Donc ce qu elle a dit est faux Donc Alice et Bernard sont tous les deux des Pires Vous Est ce que Bernard est un Pur Alice Non Rencontre 8 Entre Alice Bernard et Chlo l un des trois est le chef du village Alice C est moi le chef Bernard C est moi le chef Chlo Au plus l un de nous trois dit la v rit Qui est le chef Question 9 difficile Sur l le des Purs et des Pires on a vol un cheval Il y a 4 suspects dont un et un seul est coupable Alice Bernard Chlo et David Les 3 premiers sont pr sents au tribunal le 4 me David n a pas encore t pris Le juge qui est un Pur et raisonne parfaitement pose la question Qui a vol le cheval Voici les r ponses Alice C est Bernard qui a vol le cheval Bernard C est Chlo qui a
38. our tout X M21 R AX 0 amp BX 0 3 A t on pour tout X Mo1 R A X 0 amp B X 0 26 Exercice 12 27 Soient A et B les matrices suivantes de M2 R 0 1 0 0 a in 1 Calculer A et B 2 Montrer que pour tout X M 1 R A X 0 amp B X 0 3 A t on pour tout X Ma1 R AX 0 amp BX 0 Exercice 12 28 Soient A B C les matrices suivantes de M2 R To 1 Montrer que B et C sont inversibles et calculer leur inverses 2 Calculer AB et AC 3 Montrer que pour tout X Ma1 R BX 0 amp CX 0 4 A t on pour tout X M21 R ABX 0 amp ACX 0 Exercice 12 29 Soient A et B C les matrices suivantes de M3 1 A 0 0 R 0 1 0 00 0 B 00 1 C 010 00 0 0 0 1 1 Calculer AB AC B C 2 Montrer que pour tout X dans M31 R BX 0 amp CX 0 3 Est il vrai que pour tout X dans M31 R a ABX 0 amp ACX 0 b B X 0 amp C X 0 Exercice 12 30 Soit n dans N Soient A B C des matrices de M R Soient i et ii les propositions suivantes i Pour tout vecteur colonne X dans Mn R on a BX 0 amp CX 0 ii Pour tout vecteur colonne X dans Mn R on a ABX 0 amp ACX 0 1 Montrer que si A est inversible alors i amp ii 2 Est ce forc ment le cas si n est pas inversible Si oui le prouver Sinon donner un contre exemple 12 4 Exercices de l
39. parties de E Soient A et B leur compl mentaires dans E respectifs Montrer que les 8 propositions suivantes sont quivalentes ACB iJANB A ii AUB A w ANAB b GAUB E vi BCA vi ANB B vi AUB B Exercice 2 12 Tous TD indices d finitions Pour tout entier relatif k on pose ay k Calculer les sommes suivantes 3 3 a D aro DJ ap c gt amsi Ad ka Xo a f D ax k 2 k 4 k 1 k 1 kEN 2 lt k3 lt 100 kEN 1 lt 3k lt 10 Exercice 2 13 Tous TD au moins a et c r currences D montrer par r currence les galit s suivantes AS CE DAMES CRE 3 wea Exercice 2 14 indices d finitions Pour tout entier relatif k on pose Ap k k 10 Que valent les unions et intersections suivantes a JA bD UA ANA NA kEN kEN Exercice 2 15 Tous TD indices union intersection Que valent les unions et intersections sui vantes a Ubinz 1 sing b U EP of eel d N Ed zER xE 1 oo xE 1 00 xE 1 oo Exercice 2 16 Tous TD indices propri t s de l union et de l intersection Soient A un ensemble I un ensemble d indices et B er une famille d ensembles index e par T c est dire la donn e pour tout dans 7 d un ensemble B Montrer que AU fn f AUB et AN Uz AN B Exercice 2 17 ensembles Soient A un ensemble et X Y Z des parties de A a Donner un exemple o XUY XUZ etY Z b Donner un exemple o XAY XNAZetY Z c D montrer que XUY
40. racines de P dans C X On ne cherchera pas calculer ces racines Montrer que a b et c sont distinctes Calculer A a b c B ab ac bc et C abc Exercice 10 22 En d veloppant de deux fa ons diff rentes le polyn me PGI Me montrer que Vn E N Yp gt n Yq n n k Nnn k Cpa T gt CC k 0 Cette galit est connue sous le nom d galit de Van der Monde Exercice 10 23 Quel est l ordre de multiplicit de 1 en tant que racine du polyn me P X nX l 4 nX 17 Exercice 10 24 difficile Trouver les polyn mes P de R X tels que P X P X 2 P X 0 On montrera que si est racine de P alors aussi puis que la seule racine possible est 1 Exercice 10 25 Trouver une condition n cessaire et suffisante pour que le polyn me coefficients complexes P X4 aX b admette une racine multiple Exercice 10 26 Tous TD Soit n N On note K X P K X deg P lt n Soient Py P P dans K X tels que pour tout k 1 n deg P k Soit P K X Sin gt 1 montrer qu il existe K tel que P P K _1 X En d duire qu il existe des scalaires 0 tels que P oP P Montrer que cette criture est unique si des scalaires Ho Hn v rifient P uoPo Un P alors ax k pour tout k 1 n Exercice 10 27 a Factoriser dans R X le polyn me X 3X 4 Dans la suite de l exercice on consid r
41. sairement au moins une solution au plus une solution Ce syst me peut il avoir une solution unique b M mes questions pour un syst me de 7 quations 5 inconnues de rang 5 c M mes questions pour un syst me de 5 quations 7 inconnues de rang 4 puis pour un syst me de 5 quations 7 inconnues de rang 5 Exercice 11 6 R soudre les syst mes lin aires figurant dans le polycopi sur les syst mes lin aires i e pour vous entra ner r soudre vous m me les syst mes du polycopi et ne v rifier en regardant les solutions qu la fin Exercice 11 7 R soudre les syst mes valeur des param tres r els a b et m suivants pour les deux derniers r soudre en fonction de la 2r y 2z 7 2 y D TE 1 4 y z 4 2 y 2z 4 2x y 2z 4 2r y z 3 x 2y 3z 4t 4 y z 3 z 3y 3t 1 r 2y z 4 4 e E z y 2m 1 z 1 T 2y z 2 4 5 4 mr y 2 1 PR Din m 2 3 m 1 y 32 b Y 22 12 Matrices 12 1 Calculs l mentaires sur les matrices 1 Exercice 12 1 x On donne les matrices A 1 2 1 B 1 C 7 0 0 1 1 1 0 D 11 1 0 LES 0 1 e 01 0 1 1 Effectuer tous les produits de ces matrices deux deux lorsqu ils existent Exercice 12 2 x Comparer AB et BA pour les deux matrices suivantes 2 6 1 5 3 2 3 1 a er er la 2 7 1 Exercice 12 3 Soit U i une matrice de M 1 et X
42. vision euclidienne de q par n Quelles sont les classes d quivalences de la relation R Exercice 4 6 relations Soit un ensemble D terminer toutes les relations sur qui sont la fois des relations d quivalence et des relations d ordre Exercice 4 7 ordre Soient A et B deux parties non vides de R muni de la relation d ordre usuelle admettant chacune une borne sup rieure i Montrer que AU B a une borne sup rieure et que sup A U B max sup sup B ii On d finit A B xeR lableAxB x a b Montrer que B a une borne sup rieure et que sup A B sup sup B Exercice 4 8 Tous TD ordre On munit R des deux relations binaires x y Ralx y amp x lt x et y lt y ordre produit x y Ra x y amp x lt x ou x x et y lt y ordre lexicographique On admet que ce sont des relations d ordre i Soit a b donn dans R Identifier et repr senter les ensembles Xa y R x y R a b Va x y R x y Ra a b ii Soit 10 3 0 0 1 3 1 1 1 7 12 20 20 a Pour l ordre produit ordonner classer les l ments de A on pourra repr senter cet ordre en faisant une fl che d un l ment x un l ment y de si et seulement si x est plus petit que y quels sont les l ments maximaux de A les l ments minimaux A a t il un plus grand l ment une borne sup rieure un plus petit l
43. xercice 9 3 Soient a b c des entiers naturels non nuls D duire du th or me de B zout que si pgcd a b 1 et pgcd a c 1 alors pgcd a bc 1 Exercice 9 4 Soient a et b dans N Montrer que si a et b sont des nombres premiers distincts alors pgcd a b 1 Exercice 9 5 Soit q N et p1 p des nombres premiers dans N Soient amp 1 ay et H1 Bq des entiers naturels pas forc ment non nuls a En utilisant les r sultats des deux exercices pr c dents montrer que si pft p3 pq p pe ph alors a B pour tout i dans 1 2 q b En d duire que la d composition en produit de facteurs premiers d un entier naturel sup rieur ou gal 2 est unique ce qu on avait admis en cours 18 10 Polyn mes Exercice 10 1 Soient ao a1 a2 et bo b des r els Pour tout entier naturel n on pose a 0 si n gt 3 et bn 0sin gt 2 Soient f R R et g R R les fonctions polyn mes d finies par pour tout r el x f x ao aix azz et g x bo biz a Montrer que fg est une fonction polyn me et d terminer ses coefficients comme vous l avez toujours fait b Soit n N Soit cn D yen Gkbn k Calculer cn pour tout n dans N V rifier que c est le coefficient de degr n de fg Exercice 10 2 x Effectuer les divisions euclidiennes de par B pour les polyn mes A et B suivants 1 A X 6X 2X 5 B 2X 4 2 A XT 2XS 7XS 15X 2 B X 2X 3 A
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