Analyse des transitoires par masques de Gabor - LMA
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1. De plus nous avons trait seulement deux transformations dans le plan temps fr quence la modulation et la translation mais d autres transformations sont possible comme la dilatation ou encore la rotation Bien que l on ne puisse pas traiter ces transformations par les multiplicateurs de Gabor elles n en restent pas moins fondamentales en acoustique En effet si on prend l exemple d une note de musique la repr sentation dans le plan temps fr quence d une autre note jou e sur le m me instrument est peu de chose pr s la m me mais dilat e Le formalisme des multiplicateurs en ondelettes para t donc incontournable pour la suite 30 Bibliographie 1 2 3 4 5 K Shnass Gabor multipliers a self contained survey rapport de Mas ter universit de Vienne 2004 T Tolonen V Valimaki and M Karjalainen Evaluation of modern sound synthesis methods rapport 48 Helsinki university of Technology Departement of electrical and communications engieering Laboratory of acoustics and audio signal processing Mars 1998 L Daudet A review on techniques for the extraction of transients in musical signals rapport CMMR universit Pierre et Marie Curie Paris 6 Laboratoire d accoustique musicale 2005 F J Harris On the use of windows for harmonic Analysis with the dis crete Fourier transform Proceedings of the IEEE Vol 66 NO 1 Janvier 1978 P L Sondergaard The linear time frequency2. es en fonction 1 Pour l enveloppe du temps que met l enveloppe pour passer de 0 1 cette variable sera appel e temps d attaque et not e 7 dans la suite du rapport du retard du signal par rapport l origine des temps not R c est dire l instant positif o l enveloppe commence cro tre 2 Pour la partie stationnaire de la fr quence de l exponentielle complexe not e ensuite v de la phase initiale de cette exponentielle 2 2 2 Nouvelles formules Pour chaque enveloppe les formules ont t exprim es en fonction du temps d attaque 7 les expressions suivantes n tant toujours valables que de t R t R T l enveloppe rectangulaire a un temps d attaque nul pour l enveloppe lin aire on 1 S t t R 2 1 T le probl me de l enveloppe exponentielle est qu elle n arrive jamais 1 On est alors oblig de faire une approximation La pr cision tant fix e 1078 on obtient alors L226 10 gt gt b RI In103 t R RE gt S t e 2 2 l enveloppe parabolique n c ssite un autre param tre controlant sa cour o S bure c ae on a alors S t FERRER t R 2 3 NIO lexceptionellement l enveloppe sera donc prolong e la valeur 0 999 pour t gt 7 afin de ne pas cr er de discontinuit pour l enveloppe en cosinus on passe de 0 1 en une demi p riode soit F si
3. quivalent bo dans la formule donn e ci dessus equation 3 1 ainsi que le nombre de modulations M c est dire le nombre de fr quence pour lesquelles le programme doit calculer les valeurs de la transform e En effet la transform e est calcul e avec une approche en bancs de filtres et on aura donc M filtrages lors du calcul 1 Afin de pouvoir regarder les r sultats des tests il a fallu coder une fonction plot_ttf m qui prend en entr e le vecteur des temps celui des fr quences et une transform e calcul e par dgt m et qui trace le module de cette transform e dans le plan temps fr quence Ensuite nous avons tout d abord test le r sultat obtenu avec une impulsion situ e t quelconque s t t c est dire s t 0 si t to et s to 1 On obtient avec ce signal une transform e de Gabor trac e dans la figure 3 1 avec to 0 5 s On remarque que la transform e est tr s localis e dans le temps et tal e en fr quence Cela correspond ce que l on attendait pour une impulsion De plus on observe la forme de la fen tre temporelle le long de la transform e Puis nous avons regard la r ponse de la fonction une exponentielle complexe 1000 Hz cette fois ci on est bien localis en fr quence et tal en temps cf figure 3 2 Ce signal nous a permis aussi de v rifier que la formule de la gaborette fen tre d analyse translat e en temps et en fr quence gx Mir To g t g t
4. adapt on peut proc der par optimisation en essayant de minimiser vg s1 vg Th so Cela revient chercher le maximum de vg s1 vg Tr 1 80 Cest a dire macy X vg s1 k Dvg s0 k k 1 Ven 27 Dvok bo k l 25 ath v Cso m AG frequency Hz a frequency Hz n as 1 05 L e i 0 z i i 1 f f d 0 0 1 02 03 04 0 5 06 0 7 08 09 1 0 0 1 02 0 3 04 05 06 0 7 08 0 9 1 time s time s g ve Tarso x10 4 J 35 J 3 J Pa 2 g 2 zy D 15 4 1 05 k ft 0 O1 02 03 04 05 06 07 08 09 1 time s FIG 4 3 exemple de recalage par centre de gravit on pris ici un signal de d part 440 Hz sans retard et un signal cible 4400 Hz retard de 0 2 seconde Les centres de gravit de chaque transform e sont marqu s d une croix L expression entre parenth ses correspond au calcul de la fonction xcorr2 m C xcorr2 A B sous Matlab au terme exponentiel pr s En effet c est une corr lation crois e entre les deux transform e Donc si on travaille avec les modules il suffit d utiliser cette fonction et de trouver les indices de la valeur maximum de la matrice de sortie pour avoir k et I Cette m thode donne de bons r sultats m me pour les signaux de la figure 4 4 mais elle est beaucoup trop co teuse en temps de calcul car les matrices des transform es sous Matlab ont des dimensions trop importantes Une soluti
5. analysis toolbox rapport non classifi www univie ac at nuhag php Itfat universit de Vienne 2006 31
6. de degr 2 avec S t at bt c une enveloppe en forme de cosinus soit S t 9s 4 On peut voir des exemples des ces enveloppes dans la figure 2 1 enveloppe rectangulaire enveloppe lin aire enveloppe exponentielle 2 D omn aoo amp o ae amplitude o a o D a o D o o o o o N o o i o o N a 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 time s time s time s o I 4 enveloppe polyn miale enveloppe en cosinus 2 T T T T T T T 18 18H 4 16 16 a 06 ast a4 oap X 4 SA a 1 2 3 4 a 05 1 15 2 25 3 35 4 time s time s Fic 2 1 Exemples d enveloppes avec un retard R 0 5 s s teignant de fa on sym trique par rapport leur naissance Le transitoire sera obtenu en multipliant ces enveloppes un signal quel conque Pour les diff rents tests elles ont t appliqu es des exponentielles complexes fr quences donn es car cela nous permet d obtenir des signaux ca libr s plus faciles interpr ter 2 2 Param tres prendre en compte 2 2 1 Choix des param tres Les diff rentes fonctions donn es ci dessus doivent toutes tres r gl es par des param tres afin de modifier leur forme Nous avons choisi de ne pas garder les param tres de la formule math matique mais de nous int resser d autres param tres ayant un sens plus perceptif Les formes d attaque seront donc ex prim
7. gauche repr sente la transform e de d part et celle de droite la transform e filtr e passe bas puis sous chantillonn e avec un pas de 10 on ne fait alors plus attention au d tails hautes fr quences lors du calcul de la corr lation recalage ne suffira pas et s ne sera reconstruit que partiellement dans l exemple pr c dent on ne reconstruira alors qu une seule harmonique Nous avons donc mis en place un algorithme qui consiste soustraire le signal reconstruit au signal cible s afin d obtenir un r sidu r puis de calculer un nouveau masque pour passer de sp r ainsi que des nouveaux d calages Le signal s est alors vu comme une combinaison lin aire de masques appliqu s so recal On peut r p ter le processus qui m ne l algorithme it ratif suivant forme de l algorithme Si on note m masque a b la fonction de calcul du masque pour passer de la transform e du signal a la transform e du signal b alors on obtient Pour p de 1 Niter faire My masque so Tp 1 Srp Mm Tr r 80 Tp Tp 1 r p Finpour 28 frequency Hz frequency Hz 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 transform e du signal de r f rence 01 02 03 04 05 06 07 08 09 time s transform e du premier r sidu 0 1 0 2 03 04 05 06 07 08 09
8. time s _ transform e du signal cible frequency Hz a1 02 03 04 05 06 07 08 09 time s transform e du second r sidu 10000 9000 frequency Hz 8 8 8 8 8 8 amp g 8 8 6 8 8 8 8 o 01 02 03 04 05 06 07 OB 09 time s F1G 4 6 Application de l algorithme it ratif pour retrouver un signal trois harmoniques partir d un signal n en poss dant qu une seule 29 Conclusion Les formes de transitions simples ont permis de tester et valider la m thode de recalage par centre de gravit Nous parvenons donc maintenant 4 exprimer un transitoire en fonction d une somme de multiplicateurs appliqu s un signal de r f rence Cela nous permet d observer les transformations 4 appliquer pour passer d un transitoire 4 un autre et ainsi de les caract riser Mais la m thode s av re plus g n rale et elle pourra permettre de caract riser des types de sons bien d finis En effet lors de mon stage j ai aussi travailler en collaboration avec un autre tudiant dont le travail tait de caract riser des sons li s 4 un mouvement Lors des deux prochains mois il faudra ensuite travailler sur des signaux r els en les comparants avec les signaux calibr s que nous avons puis entre eux Il faudra aussi traiter le cas de l estimation d un masque partir de plusieurs r alisations car cela nous permettra d obtenir un seul masque pour des signaux de m me type
9. Analyse des transitoires par masques de Gabor gr gori Robinson le 29 juin 2007 Table des mati res Introduction 3 I Mod les simples de transition 4 1 Introduction 5 Il D roulement p sac sori VP ON ee Be Jr 5 1 2 Int r t de la cr ation de formes simples d attaque 5 2 Choix et cr ation des formes de transition 6 2 1 Choix des formes d enveloppe 6 2 2 Param tres prendre en compte T 2 2 1 Choix des param tres 7 2 2 2 Nouvelles formules 8 2 3 Mode d emploi des fonctions de cr ation de formes d attaque 9 2 3 1 Fonction genere transm 9 2 3 2 Script recup_ donneem 10 IT Analyse des transitoires en Gabor 12 3 Th orie des masques de Gabor 13 3 1 Bases sur l utilisation des transform es temps fr quence en ana lys synth se Ji neue Lei US AR a Bee AP Se ys 13 3 2 La transform e de Gabor 14 3 2 1 Rappels sss songe Geta aa ah nt hante eee BS 14 3 2 2 Toolbox utilis e tests 14 3 3 Les multiplicateurs de Gabor 19 3 3 1 D finition 4 24 24 2 as p gas D D ie ren 19 3 3 2 Utilisations sister a Mans 4 Daai ce teens ne PB 19 4 Optimisation des masques de Gabor pour caract riser les tran sitoires 21 4 1 Int r t pour caract riser les transitoires 21 4 2 Calcul du masque sans recala
10. De plus on remarque que lorsque le module de v s1 est tr s petit devant alors c est qui prend le dessus au d nominateur et emp che ainsi m de diverger Mais le probl me est que si les signaux ne sont pas reca l s entre eux dans le domaine temps fr quence le masque ne pourra pas cr er de l nergie l o il n y en a pas et par cons quent l approximation sera tr s mauvaise cf figures 4 3 Calcul du masque avec recalage On suppose maintenant que pour recaler le signal s signal de r f rence avec le signal s signal cible on doit lui appliquer un op rateur T qui r alise une translation en temps de k bp et une modulation de I v telles que la diff rence d nergie entre s et s recal soit la plus petite possible On cherche alors le multiplicateur M n m tel que s Mg pmTe v s0 22 frequency Hz 0 ON 02 03 04 05 06 OF 08 09 1 time s Fic 4 1 module du masque entre deux signaux non recal s le masque ne peut pas reconstruire le signal de fa on ad quate car il n y a pas d energie l ou il est calcul On a alors un masque nul partout sauf dans les basses fr quences autour de 0 2 s On remarquera que le masque n est calcul que pour les fr quences de 0 Fs F tant la fr quence d chantillonnage du signal ceci pour all ger les calculs et viter les probl mes de m moire En appliquant la m me m thode que pr c demment on trouve l expressio
11. al Tous ces r sultats sont donn s dans les annexes au paragraphe tests sur la toolbox ltfat Fonctions de g n ration des fen tres de synth se et d analyse Ici nous allons voir les diff rentes fonctions de la toolbox permettant de calculer les fen tres d analyse la fonction pgauss m g pgauss L tfr permet de g n rer une fen tre gaussienne sym tris e figure 3 4 de longueur L et ayant un rapport entre les supports temporel et fr quentiel de tfr4 L cart type de g est donc calcul en fonction de la valeur de tfr En effet si tfr gt 1 alors g aura un support plus grand que sa transform e de fourrier discrete et l inverse si tfr lt 1 c est la transform e de g qui aura le plus grand support fon appel supports temporel et fr quentiel les longueurs effectives des fen tres respective ment en temps et en fr quence 17 Bags 8888 j di 5 8 o BES HE 1 phase de la transform e en radians Al an time 9 Fic 3 3 volution de la phase au cours du temps pour lvo 970 2 Hz en haut et lvo 0 Hz en bas les pentes sont positives de valeurs respectives 27r lvo 186 2 radians s et 27 amp 6283 radians s la fonction candual m gamma candual g a M permet de calculer la fen tre duale canonique de g c est dire la fen tre de synth se de la transformation inverse de Gabor On voit que cette fen tre d pend de la longu
12. al est un param tre important Cet tale ment du spectre des transitoires dans les sons d pend du nombre de d riv es continues que poss de la forme d enveloppe et donc de la classe de la fonction qui la d crit Plus la classe de la fonction d enveloppe est lev e et plus la pente du spectre va diminuer en valeur absolue on aura ainsi un spectre plus tal pour des transitions de classe petite que pour des transitions de classe lev e Pour bien repr senter les principales possibilit s il a fallu choisir des enveloppes de classe Co pente 6 dB octave en puissance C1 pente 12 dB octave en puissance et C2 pente 18dB octave en puissance et trouver des expressions math matiques les caract risant Sachant que ces expressions ne sont valable que dans l intervalle de dur e de l enveloppe c est dire que l on part de t R o elle a une valeur nulle et qu elle redevient constante lorsque sa valeur arrive 1 voici les formules des diff rentes enveloppes s lectionn es Pour la classe Co la fonction rectangulaire a bien entendu t choisie cf figure 2 1 Les fonctions de classe C1 ont t repr sent es par des attaques lin aire et ex ponentielle les formules math matiques de ces enveloppes sont Bien videmment S t at b pour l attaque lin aire et S t 1 e pour l attaque exponentielle Pour les fonctions de classe C2 on a choisi une enveloppe parabolique polyn me
13. alage est n cessaire Utilisation de la transform e de Gabor Si on revient au produit scalaire v s1 v9 Tr1 s0 on voit que d apr s la conservation de l nergie par transform e chercher son maximum revient chercher le maximum en k l de 51 Tr 180 Or ce produit scalaire n est autre que la transform e de Gabor du signal s en utilisant comme fen tre d analyse le signal so Donc pour trouver k et il ne reste plus qu trouver les coordonn es du maximum Ce calcul est beaucoup plus rapide que le calcul de corr lation crois e et il reste pr cis Il faut par contre faire attention aux valeurs de bo et v que l on choisies afin de trouver les bonnes valeurs des d calages 4 5 Algorithme it ratif On a vu que lorsque la transform e du signal sg et la transform e du signal s n avaient pas leur nergie au m me endroit dans le plan temps fr quence le masque n arrivait pas reconstruire correctement le signal s Ceci est valable notamment lorsque v so est moins tal e que v s1 par exemple si so poss de une seule composante harmonique et que s en a plusieurs Dans ce cas le 27 4600 4 aor J 4000 350 3600 4 3000 J 3000 H 4 g 2500 a 20 J z s a a 2000 4 2000 4 150 4 150 4 a a f f f L L L 1 1 fi fi 1 0 Of 02 03 04 05 06 OF 08 09 1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 time s time s F1G 4 5 La figure de
14. de modulation de fr quence v et Tp l op rateur de translation d un temps b on a alors Ug s k l s Mivo Tkbo 9 Reconstruction Si on veut ensuite reconstruire le signal s gr ce sa transform e de Gabor on utilise la transform e inverse s X v s hr 3 2 kl O h est la fen tre de synth se duale de g et hp h t kbo e2i7lr0t 3 2 2 Toolbox utilis e tests Lors de ce stage j ai essentiellement utilis une toolbox temps fr quence d velopp e par Peter L Sondergaard au NUHAG Numerical Harmonic Analysis Group de l universit de Vienne la toolbox LTFAT Linear Time Frequency Analysis Toolbox 5 Une r f rence bibliographique utile pour la compr hension de la toolbox est le rapport 1 L int r t de cette toolbox est qu elle contient toutes les fonctions utiles de calcul des fen tres de synth se et d analyse de calcul de transform e de Gabor directe et inverse ainsi que d autres outils per mettant de travailler sur les masques de Gabor Afin de nous familiariser avec cette toolbox et d en v rifier certaines propri t s pr cises ainsi que la d finition des outils utilis s nous avons effectu diff rents tests l aide des signaux calibr s g n r s dans la premi re partie 14 Tests sur la fonction dgt m La fonction dgt m est la fonction qui calcule la transform e de Gabor d un signal s en utilisant la fen tre d analyse le pas d chantillonnage
15. ec une impulsion to 0 5 s sur le zoom on voit que l on observe la forme de la fen tre travers le signal fen tre g tant r elle En effet cette phase volue lin airement avec une pente de 27 A lvo pour gz et avec une pente de 27 pente qui ne d pend pas de lvo pour gx Avec le signal pr c dent la phase evolue clairement en 27 lvo cf figure 3 3 et on a donc la confirmation que la transform e est bien calcul e avec Jk l Enfin les derniers tests ont t effectu s avec des signaux calibr s dont on 3sous Matlab la phase est calcul e entre 7 et m l aide de la fonction atan2 m Afin de mieux voir son volution on utilise alors la fonction unwrap m qui permet de d rouler cette phase 16 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 frequency Hz 3000 2000 1000 01 02 03 04 05 06 OF 08 09 time s Fic 3 2 module de la transform e de Gabor d une exponentielle complexe de fr quence 1000 Hz avec une attaque lin aire l energie est localis e autour de 1000 Hz sur toute la dur e du signal a fait varier le temps d attaque ou encore le rapport temps d attaque sur p riode du signal Nous avons aussi v rifi partir de quel seuil une variation de fr quence tait d tectable Pour cela il a fallu coder une fonction test m qui r cup re les noms des fichiers g n re les signaux demand s calcule et trace la transform e de Gabor de chaque sign
16. eur du maillage en temps et en fr quence bo et vo correspondant ici a et 43 la fonction cantight m gamma candual g a M est utile lorsqu on souhaite se placer dans un rep re strict et donc avoir g h Elle permet de trouver partir d une fen tre g calcul e auparavant la fen tre la plus proche de g permettant d obtenir ces conditions De plus la fen tre d analyse doit tre choisie avec pr caution en fonction de ce que l on veut faire resortir du signal En effet si on choisit mal cette fen tre il se peut que l on n observe plus le signal travers la fen tre mais le contraire Par exemple le support de g en temps et en fr quence agit clairement sur la pr cision dans les deux dimensions habituelles Plus le support de la fen tre temporelle sera tal e et moins la transform e d une impulsion sera localis e en temps De m me moins le support fen tre sera tal e en temps et moins la transform e d un signal stationnaire sera localis e en fr quence cf figure 3 5 Le meilleur compromis est de prendre tfr M o bo est la longueur de grille L en temps M le nombre de modulations et L la longueur de la fen tre 5 18 0 14 0 128 0 1 0 08 0 06 amplitude 0 04 0 02 0 S A D 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 num ro d chantillon FIG 3 4 fen tre gaussienne sym tris e d une longueur de 1000 chantillons et ayant un rapport tfr 8 3 3 Les multiplicat
17. eurs de Gabor 3 3 1 D finition Etant donn une suite deux indices k l m k 1 et les fen tres g et h on d finit le multiplicateur Mg nm par Myhm s X m k l v9 8 k Ihr 3 3 k l Par d finition m est appel masque de Gabor C est une matrice ayant les m mes dimensions que la transform e de Gabor du signal On effectue donc la transform e de Gabor inverse de v s multipli e terme a terme avec le masque On remarque alors que le multiplicateur Mg h m est un op rateur dans l espace signal alors que le masque m est l op rateur lin aire correspondant dans l espace des transform es de Gabor 3 3 2 Utilisation Une des applications premi re et la raison d tre des multiplicateurs de Ga bor est de trouver la meilleure approximation d un signal s par un multipli 19 gt tfi 0 08 sat tfi 800 ch frequency Hz a o 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 of oz 03 04 05 05 07 08 09 1 time 8 time 8 mt ti 0 08 pat tfi 800 frequency F2 D o1 02 03 os 08 o6 07 os 09 4 o at 02 03 04 05 08 07 08 03 1 time s time Fic 3 5 Les deux courbes du haut montre les modules des transform es de Gabor d un signal stationnaire avec une fen tre ayant un tfr 0 08 c est dire ayant un support en fr quence 12 5 fois plus grand que son support temporel gauche et un tfr 800 c est dire ayant un support temporel 800 fois plus gra
18. f de phase e27 l rokbo permettant d viter les interf rences entre vg so k k l l et v s1 k 1 Ce terme doit tre appliqu vg so avant le calcul du masque 4 4 Les diff rentes m thodes de recalage Afin de calculer k et l nous avons utilis plusieurs m thodes qui vont tre pr sent e ci dessous Ces diff rentes m thodes ont chacune leurs avantages et leurs inconv nients Elles diff rent essentiellement par la technique d identifica tion des param tres de d calages en temps et en fr quence optimaux 4 4 1 Recalage par centre de gravit Cette premi re m thode consiste calculer le centre de gravit des trans form es des deux signaux et d caler la transform e de so afin que son centre coincide avec celui de la transform e de s cf figure 4 3 Si io jo et i1 j1 sont les indices respectifs des centres de gravit de v s0 et v s1 alors on peut calculer k et l avec ki i ig j jo Le probl me de la m thode est qu elle ne fonctionne pas bien pour des signaux dont l nergie est localis plusieurs endroits dans le plan temps fr quence cf figure 4 4 En effet dans ce cas le centre de gravit du signal peut se trouver un endroit o il y a peu d nergie On aura alors le m me probl me que si les signaux n taient pas recal s 4 4 2 recalage par corr lation utilisation de la corr lation crois e Pour obtenir un r sultat plus
19. f est la p riode du cosinus Donc la fr quence du cosinus doit tre J x La formule devient alors s t 1 cos al R 2 4 Pour obtenir la forme de transitoire voulue il faudra ensuite multiplier ces enveloppes par e 277t On obtiendra alors une forme d attaque norm e 1 Il faut aussi choisir la fa on dont le signal s teint Dans le programme nous avons choisi de proposer trois choix 1 sym triquement par rapport sa naissance 2 en exponentielle d croissante et 3 ne pas faire s teindre le signal il reste 1 jusqu la fin 2 3 Mode d emploi des fonctions de cr ation de formes d attaque Pour cr er des formes d attaque sous Matlab une toolbox a t d velopp e lors du stage On peut en retenir les deux fonctions principales la fonction genere_trans m qui g nere le signal s t correspondant la forme d attaque voulue le script recup_donnee m permettant de recup rer des donn es dans un fichier texte afin de pouvoir les utiliser avec genere_ trans m 2 3 1 Fonction genere trans m La fonction genere_trans m se pr sente sous cette forme s t genere_trans tau W F A T D Phi M Toutes les entr es sont des vecteurs ayant pour longueur le nombre de sinuso des que l on veut sommer Dans l ordre les entr es sont tau vecteur contenant le temps d attaque 7 de chaque enveloppe 2d autres fonctions sont appel es lors du
20. fichier data gt gt recup_donnee F1G 2 2 fen tre de commande 10 Le fichier de donn es doit avoir un format bien pr cis on en montre un exemple ci dessous o tous les types d enveloppe et de fin de signal sont repr sent s att amp ex po sig cst lin FIG 2 3 fichier de donn es Une fois les donn es r cup r es il suffit d appeler la fonction genere_trans m pour g n rer les signaux voulus 11 Deuxi me partie Analyse des transitoires en Gabor Chapitre 3 Th orie des masques de Gabor 3 1 Bases sur l utilisation des transform es temps fr quence en analyse synth se Lorsqu on a besoin de connaitre la fois les propri t s en temps et en fr quence d un signal on ne peut alors plus observer ni le signal temporel ni sa transform e de Fourrier L id e qui vient alors est d observer la transform e de Fourrier travers une fen tre qui volue dans le temps afin de trouver l volu tion de la fr quence au cours du temps On aboutit alors aux transform es dans le plan temps fr quence Cette transform e varie bien videmment en fonction de la fen tre choisie que l on nommera fen tre d analyse Lorsqu on regarde maintenant un signal discret la transform e d pend alors non seulement de cette fen tre d analyse mais aussi des param tres de maillage du plan temps fr quence En effet si ces param tres sont trop grand alors on perdra de l in
21. formation et la transformation ne sera pas inversible alors que si ils sont petits on aura une redondance d information ce qui n est pas un probl me en soi Dans le cas o la transformation est inversible on arrive reconstruire le signal en comparant sa transform e non pas avec la fen tre d analyse mais avec une fen tre r sultant de l application d un op rateur R7 d pendant du maillage du plan temps fr quence sur la pr c dente fen tre R n est inversible que si la transformation l est Cette nouvelle fonction est appel e fen tre de synth se Lorsqu on se place dans le cas o l on n a pas de redondance mais o la trans formation est quand m me inversible le maillage de la grille est la limite R est alors gal l op rateur identit On dit que l on se place dans un rep re strict et on a galit entre la fen tre de synth se et la fen tre d analyse 13 3 2 La transform e de Gabor 3 2 1 Rappels Nous allons d abord faire un petit rappel sur la transform e de Gabor d un signal D finition Soit s t un signal dans L R et g une fen tre d analyse La transform e de Gabor de s associ e la fen tre g est vg s k l s gr1 fost kbg e7 0t dt 3 1 ou gralt g t kbo e2iTlrot Elle peut donc s interpr ter comme la corr lation du signal s avec la fen tre translat e en temps et en fr quence Si on d finit M comme l op rateur
22. ge 21 4 3 Calcul du masque avec recalage 22 4A Les diff rentes m thodes de recalage 25 4 4 1 Recalage par centre de gravit 25 4 4 2 recalage par corr lation 25 45 Algorithme it ratif 27 Conclusion 30 Introduction Au cours de mon ann e de Master 2 en signal et trajectographie UFR des sciences et techniques de l universit du sud Toulon Var jai t amen a ef fectuer un stage de quatre mois au Laboratoire de M canique et d Accoustique LMA du CNRS Centre National de la Recherche Scientifique de Marseille Le sujet de mon travail s intitule Etude et caract risation des transitoires d at taque par des m thodes temps fr quence Monsieur Richard Kronland du LMA et Monsieur Philippe Depalle de l univer sit de McGill m ont encadr s pendant toute la dur e du stage qui a t r alis en collaboration avec Monsieur Bruno Torresani du LATP de Marseille Pour caract riser un son on peut le d composer en trois parties additives la partie tonale o sinuso dale la partie transitoire localis e en temps et tal e en fr quence et la partie stochastique stationnaire 2 La partie transitoire contient toutes les variations rapides du signal Il est ca pital de savoir la mod liser correctement en audio car elle peut influencer la perception que l on a d un son Cela nous perme
23. kbo e2 Tlot est bien celle utilis e En effet il existe une autre fa on de calculer la transform e de Gabor cela depend de Vordre d application des op rateurs de translation et de modulation sur la fen tre g On peut alors prendre comme gaborette k Tb Miva g t g t kbo e227 v0 t kbo Si on calcule les deux transform es possibles pour ex t e7 on obtient avec gg s t gr1 dr kbo dt _ e2im lvo kb0 ny A et avec Bea s t Gna ANG bb ne e2ir kb G Lup _ A Pour determiner quelle est la gaborette utilis e il faut donc observer l evolution de la phase de la transform e au cours du temps et une fr quence donn e la 1On peut faire un rapprochement entre M et vo par M ae F tant la fr quence d chantillonnage du signal on remarquera que si gk est la gaborette utilis e pour le calcul de la transform e de Gabor d un signal s t alors vg s k l s gk 15 impulsion 0 5 s x10 Module de la transform e de l impulsion 18 4 16 35 a 3 525 gs S 15 06 we oa 1 02 05 o o 4 0 0 1 02 03 04 05 06 07 08 09 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 time s time s x10 zoom sur le module de la transform e de l impulsion T 7 T T T T gl 4 35 3F ad 25 e P 8 2 A LE 4 ab al DSe 4 o L 1 L L 1 1 0 494 0 496 0 498 05 0 502 0 504 0 506 0 508 time s Fic 3 1 r sultats obtenus av
24. lancement il est donc nec ssaire de disposer de toute la toolbox pour la faire fonctionner W vecteur contenant des valeurs correspondant la forme de chaque enveloppe 1 rectangulaire 2 lin aire 3 parabolique la courbure c est demand e dans la fen tre de commande apr s le lancement de la fonction 4 exponentielle 5 cosinus F vecteur des fr quences des sinusoides vecteur des amplitudes des sinuso des T vecteur des retards D tat stationnaire c est dire le temps pendant lequel l enveloppe reste 1 apr s avoir termin l attaque Phi vecteur des phases initiales vecteur contenant des valeurs correspondant la fa on dont meure chaque signal 1 sym trique 2 exponentiel le a est demand dans la fen tre de commande 3 pas de mort le signal reste 1 Les sorties sont le signal s dont la longueur est adapt e aux entr es que l on a choisie et le vecteur temps t correspondant 2 3 2 Script recup_donnee m Ce script sera surtout utile pour les tests afin de r cup rer les donn es dans un fichiers texte contenant les param tres voulus Il permet ainsi de ne pas avoir crire chaque fois les entr es dans la fonction genere_trans m Pour lancer ce script il suffit de mettre en entr e le nom du fichier texte traiter en chaine de caract res Par exemple si on veut traiter le fichier data txt on tape Command Window gt gt nom
25. n minimiser minme XO le s D a R Te volo k DP A mlk DI k l En supposant que l on connait k et l on obtient le masque mah 1 Eer Ck Dea s D Jug Tk r s0 k DI Or vg Tk v so peut s exprimer sous forme d une int grale ce qui permet de continuer le calcul Thu so 9k 1 sot k bp e TT Pot E kbp e2 Mot dt 23 x 10 2 ew E a D 1 V 0 5 0 0 0 1 02 03 04 05 06 OF 08 09 1 time s Fic 4 2 module du masque entre deux signaux recal s le masque reconstruit bien le signal cible Ici on a pris pour signal de d part une sinuso de avec une attaque lin aire et comme signal cible une autre sinuso de avec une attaque en cosinus Le masque va alors diminuer l nergie du signal aux extr mit s ce qui explique pourquoi ses c t s ont une valeur plus petite que 1 so k bo g t Koo e U Dvot de on effectue le changement de variable t t k bo f so ta a ts k H bg jet Dl to e2iT U lvok bo so t1 g t1 k jot k by 22m U Doti qe Tr 80 98 1 Valso k k 1 1 62i7 U Dvok bo 24 Ceci nous permet d exprimer m k 1 en fonction de v s0 ezr vok ton 5g k l r vg s1 k l m k l T 2 ug so k k l V 4 2 Par rapport au r sultat obtenu sans le recalage on remarque l apparition d un terme correcti
26. nd que le support fr quentiel droite Les deux courbes du bas montrent les modules des transform es d une impulsion to 0 5 s pour les m mes valeurs detfr cateur appliqu un signal de r f rence so D autres applications sont envisa geables comme par exemple le traitement d un signal par un autre ou encore Vextraction d un param tre invariant pour une certaine classe de signaux Dans le cadre de cette tude on se place dans un rep re strict on alors l ga lit entre la fen tre d analyse et la fen tre de synth se Il reste ensuite identifier les masques correspondant a une transformation don n e Les calculs de ces masques nous serviront alors identifier les transitoires et mod liser nos signaux par une succession de transformations sur un signal de r f rence 20 Chapitre 4 Optimisation des masques de Gabor pour caract riser les transitoires 4 1 Int r t pour caract riser les transitoires L int r t de travailler avec les masques de Gabor dans l analyse des transi toires est d en avoir une nouvelle vision celle d un signal auquel on appliqu des transformations gr ce au masque de Gabor ainsi que des transpositions en temps et en fr quence Afin de calculer ces masques il est n cessaire de proc der par optimisation car on ne peut pas en conna tre la valeure exacte en raison de r gions temps fr quence potentiellement d nergie nulle Pour optimiser ces diff
27. on possible est de recaler par centre de gravit puis de calculer une corr lation li mit e aux termes centraux afin d affiner le r sultat Mais dans ce cas on peut parfois observer le m me probl me que celui voqu au paragraphe pr c dent Une autre alternative consiste 4 appliquer un filtre passe bas sur les deux trans form es puis de les sous chantillonner avant de calculer leur corr lation On n est alors pas aussi pr cis qu en calculant la corr lation enti re mais les endroits o l nergie est localis e sont quand m me recal s correctement entre les deux transform es Il faut alors trouver le bon compromis pour avoir un temps de cal cul minimal sans trop alt rer les r sultats il semble qu un sous chantillonnage avec un pas de 10 est raisonnable cf figure 4 5 26 a cso at AG nN in 1 frequency Hz frequency Hz in 05 A 0 5 A xK 0 o a a 1 4 1 d 0 01 02 03 04 0 5 06 0 7 08 0 3 1 5 0 1 02 03 0 4 05 06 0 7 08 0 9 1 time s time s g ve Tarso x10 4 J 35 4 3 J Bos ad 2 5 2 1 915 4 C oF 1 m j 05 ___ _ d 0 O01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 time s Fic 4 4 On est ici dans le cas o les deux transform es recal es entre elles n ont pas d nergie en commun c est dans ce cas que le masque peut diverger si on ne lui applique pas et qu une autre m thode de rec
28. puis mettre en place des routines sous Matlab afin de g n rer des signaux composites o chaque composante pos s de sa propore enveloppe temporelle Cela consiste g n rer des formes simples d attaque c est dire de transition entre deux tats stationnaires Ces formes seront aussi appel es transitoires dans la suite du document au moyen d enve loppes appliqu es ensuite des signaux quelconques 1 2 Int r t de la cr ation de formes simples d at taque Le but est de trouver tout d abord des formes d attaque enveloppe de la sinuso de permettant de cat goriser les diff rents transitoires En effet il faut au vue des transitoires habituellement dans les sons r els s lectionner les formes simples leur correspondant le mieux afin d obtenir des signaux calibr s Ces signaux calibr s serviront valuer la m thode d analyse des transitoires mise en place car ils permettent de voir si ses r sultats sont coh rents avant d effectuer des tests sur des signaux r els A nsi les r sultats sur des signaux r els plus complexes peuvent aussi tre pressentis partir des r sultats obtenus lors de ces tests Chapitre 2 Choix et cr ation des formes de transition 2 1 Choix des formes d enveloppe Les formes d enveloppe de l attaque ont t choisies afin de repr senter au mieux les diff rents transitoires En effet on travaille dans le domaine temps fr quence et donc l talement spectr
29. rents param tres on tra vaillera avec la m thode des moindres carr s afin de minimiser les diff rences d energie 4 2 Calcul du masque sans recalage On suppose tout d abord que l on applique aucune modulation ni aucune translation au signal avant d estimer le multiplicateur On cherche alors a mi nimiser la distance entre le signal cible s et le signal de r f rence so auquel on aura appliqu le multiplicateur Minm ls Mg h m S0 I en passant dans l espace des transform es on obtient cette nouvelle expression Minm Ilvo s1 mv4 s0 lI 21 La m thode pouvant donner des valeurs de masques tr s importantes dans les zones ou le signal de d part s poss de peu d nergie on la stabilise en intro duisant une contrainte sur la norme du masque minm lvp s1 mvy 80 1P Am o est le param tre de Lagrange Soit minmin X lvs s1 6 0 m k Doy so k DI Am EDP k l En d rivant cette expression par rapport chaque composante m k 1 du masque et en annulant cette d riv e pour trouver le minimum on obtient DE lvo 81 mk Dvg s0 k D A lk DP k 2wg 50 k 1 vg s1 k 1 m k 1 2Am k 1 0 mk 1 lea so k DI A vg s0 K I vg s1 k 1 vg so k l vg s1 k 1 gt m k l d so DP 4 1 On voit alors que le masque n est autre qu une fonction de transfert entre les deux transform es
30. ttra par exemple de caract ri ser la forme d attaque d une note jou e par un instrument de musique sp cifique en effet chaque type d instrument poss de une attaque qui lui est propre mais aussi de d tecter l instant de transition afin de pouvoir segmenter un morceaux o en d tecter le rythme ou le tempo Nous avons choisi de travailler en temps fr quence cause de la nature des transitoires En effet il existe une multitude de formes d attaques possibles et en temporel comme en fr quentiel des formes portant la m me information peuvent ne pas se ressembler De plus nous avons opt pour les multiplicateurs de Gabor car cette technique ayant eu des d veloppements th oriques r cents permet de travailler au maximum sur le signal et non pas sur des algorythmes informatiques et de valider les r sultats obtenus par synth se De plus cette m thode peut tre appliqu e de mani re plus g n rale tous les types de sons Nous avons donc dans un premier temps cherch g n rer des formes de transi tion simples permettant de tester les m thodes d analyse puis nous nous sommes pench s sur la probl matique des multiplicateurs de Gabor et de leur utilisation dans la caract risation des transitoires Premi re partie Mod les simples de transition Chapitre 1 Introduction 1 1 D roulement Lors de la premi re partie de mon stage il a fallu d abord choisir quelles formes typiques de transition repr senter
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