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1. Ce probl me est un exemple de l une des proposi tions formul es par le groupe de r flexion mandat par COROME pour laborer un projet de moyens d enseignement de math matiques pour les degr s 7 8 9 Mattemallauas 7 8 9 Travail dans IN La recherche s effectue dans un ensem ble discret et les l ves proc dent par essais successifs lls obtiennent par exemple un tableau de valeurs dont les r sultats ne seront pas n cessairement organis s de mani re structur e Dans ces conditions le maximum an nonc sera probablement de 60 m ce qui correspond un loignement de la fa ade de 5 ou 6 m tres largeur m 2 x largeur longueur m MATH ECOLE h 190 d cembre 1997 Ce tableau suscite un certain nombre de remarques sur les diff rentes relations qui existent entre les grandeurs en pr sence plus la largeur est petite plus la lon gueur est grande lorsque la largeur augmente la lon gueur diminue le p rim tre est constant alors que l aire varie aire augmente avec la largeur elle passe par un maximum puis elle di minue avec la longueur Les objectifs vis s ici touchent avant tout la sensibilisation aux notions de fonc tion et variable Travail dans IR Une observation plus fine ventuelle ment sugg r e par une relance du ma tre montre qu il existe une sym trie r Hi 20 f 2 wy 36 f 3 8 48 fa
2. ECOLE Le potager d Alo s i 1 80 Etonnantes galit s math matiques Le jeu de la bo te d cembre 1997 SLEP Loisirs et P dagogie CABRICOLAGES ge ms 14 M a Cabricolages Ma tre Michel Chastelain Serge Lugon Livre disquette Code 918202 Format 17x24 Nb de pages 144 PVP 64 50 Cabricolages Michel Chastelain Serge Lugon Code 918201 Format 15x21 Nb de pages 68 PVP 9 50 Alg bre mode d emploi L ALGEBRE G rard Charri re L ALGEBRE Code 903202 MODE D EMPLOI MODE D EMPLOI Format 20x25 Nb de pages 472 PVP 50 dans les lyc es Alg bre mode d emploi Indications m thodologiques D Le Roy S Rudaz Y Giroud Code 903203 Format 21x29 7 Nb de pages 40 PVP 28 50 Mathematica Robert Cabessa Livre disquette Code 920024 Format 20x28 Nb de pages 304 PVP 45 En Budron B 12 1052 Le Mont s Lausanne T l 021 653 53 37 e Fax 021 653 57 51 e e mail edlep vtx ch MATH ECOLE 36e ann e 5 num ros par an Adresse R daction de Math Ecole Case postale 54 CH 2007 Neuch tel 7 Administration Institut romand de Recherches et de Documentation P dagogiques Fbg de l H pital 43 CH 2007 Neuch tel 7 CP 54 T l 032 889 6970 Fax 032 889 6971 Fondateur Samuel Roller R dacteur responsable Fran ois Jaquet Comit de r daction Michel Br chet Jacques Andr Calame Michel Chastellain Claude Danalet Roger D lez Nicolas Dr
3. l valuation en commun des copies l analyse des solutions Organisation pratique Pour la Suisse romande et le Tessin le 6e Rallye math matique transalpin s organisera selon quatre tapes une preuve d essai en d cembre 1997 ou janvier 1998 pour d terminer l int r t de la classe et d cider de son ins cription Cette tape est plac e sous l enti re responsabilit des ma tres qui choisissent les probl mes les proposent selon les principes du rallye en discu tent avec leurs l ves s occupent de l inscription et de son financement la date limite pour l inscription est le 31 jan vier 1998 une premi re preuve entre le 19 et le 25 f vrier 1998 selon entente entre les ma tres concern s titulaires et sur veillants une deuxi me preuve entre le 15 et le 23 avril 1998 une finale le mercredi apr s midi 27 mai 1998 regroupant les classes romandes ayant obtenu les meilleurs scores dans les deux preuves Yverdon les Bains Si les inscriptions sont suffisantes il y aura peut tre une finale tessinoise 1 Pour constituer une preuve d essai on peut reprendre des probl mes du 5e Rallye math matique transalpin publi s cette ann e dans Math Ecole no 176 pp 39 42 premi re preuve no 177 pp 16 33 35 et 36 deuxi me preuve no 178 pp 37 42 finale On trouve encore de nombreux probl mes dans les nu m ros plus anciens de Math Ecole L
4. ils essaient de rep rer com ment l enseignant peut modifier le contenu de la bo te cela laisse supposer que les enfants n ont pas imm diatement une cons cience nette de la permanence du contenu et ce m me si l enseignant d clare Je n ai rien ajout je n ai rien enlev c est tou jours la m me bo te Le comptage des objets de la bo te toujours identique pendant la premi re partie du jeu n branle pas les certitudes des enfants Tout se passe comme s ils n utilisaient pas leur v rification comme une donn e stable dont ils doivent tenir compte Puis un enfant affirme tre s r de sa r ponse il est invit donner et d fendre son point de vue il dit sa certitude qu il ne peut y avoir que 7 rouges puisqu on vient de les compter et que rien n a chang Le groupe v rifie son id e le doute s installe mais tous les enfants ne sont pas n cessai rement convaincus faudra encore une fa miliarisation plus longue pour que les en fants d gagent avec conviction la certitude de la permanence du contenu De m me la pr gnance de la solution comp tage va persister longtemps lorsque les enfants ont d nombr les objets rouges pour conna tre la quantit d objets qui ne sont pas rouges la seule possibilit envisa g e et envisageable reste le comptage des objets restants le compl ment 27 de 7 27 a fait 20 sera la marque d une tape interm diaire avant de proposer et d
5. siste pour que tous les l ves soient d ac cord et qu ils se donnent les moyens de v rifier et d tre s rs de la r ponse Jeu 3 1 Combien de formes carr es y a t il dans la bo te 2 Combien de formes qui ne sont pas car r es 3 Combien de formes qui ne sont ni rou ges ni bleues 4 Combien de formes rectangulaires 5 Combien de formes qui ne sont pas rec tangulaires Apr s chaque s rie de questions le rituel de v rification est propos Un bilan des r sultats est sollicit Qui a gagn Combien de r ponses justes L enseignant coute mais ne contr le pas le bien fond des r ponses et laisse aux l ves la responsabi lit de savoir s ils ont gagn ou non Le lendemain ou quelques jours plus tard le jeu de la bo te est propos deux fois par semaine est un bon rythme Les enfants sont persuad s qu ils vont gagner coup s r La reprise des m mes questions ne leur permet pas n cessairement de r ussir et l enseignant a toute latitude pour soumettre de nouvelles questions leur sagacit Le choix de ces derni res va varier selon les r ponses des enfants l enseignant pro pose soit de reprendre les m mes ques tions soit de continuer prendre en compte les diff rents crit res possibles du contenu de la bo te De m me il varie la formulation des ques tions ce qui reste si on enl ve les formes bleues combien de formes si je mets en se
6. me La formation des enseignants une formation d adultes lors de l Assembl e g n rale le 15 novembre 97 Les projets ne manquent pas si l on se r f re aux activit s que l association entend menerconform ment ses statuts suivre Pour tout renseignement ou pour participer au prochain d bat M Cattin 18 av des Libellules 1219 Le Lignon Rep rer les comp tences des l ves entrant en 1P Janine Cosandey maitresse d appui Bjonay Pas facile de trouver le temps en d but d an n e scolaire pour faire ces rep rages avec vingt quatre nouveaux petits l ves de 6 ans comme le recommande ERMEL CP pp 49 52 1 En tant que ma tresse d appui pour donner un coup de main mes trois coll gues de 1P j ai test 69 l ves individuellement pen dant 8 minutes environ Ils venaient pour me montrer tout ce qu ils savaient d j Les mots nombre compter calcul math etc ont t soigneusement vit s Je vous rends compte du premier test L enfant recourt il spontan ment au d nom brement pour r soudre un probl me ERMEL op cit et Commentaires didacti ques 2 p 50 ll importait vraiment de mettre ce test en pre mier avant que l enfant puisse s apercevoir qu on l interrogeait sur les nombres On pr sente donc l enfant un quadrillage de 3 sur 4 1 ERMEL Apprentissages num riques et r so lution de probl mes Cours pr paratoire Hatier Pa
7. s aux classes dans les meilleurs d lais Apr s chaque preuve le ma tre est li bre de photocopier les solutions produite par la classe d exploiter les probl mes de les discuter de les reprendre et d ana lyser les r sultats avec l ensemble des l ves En r sum le rallye propose aux l ves de faire des math matiques en r solvant des probl mes d apprendre les r gles l mentaires du d bat scientifique en discutant et d fen dant les diverses solutions propos es de d velopper leurs capacit s aujour d hui essentielles travailler en quipe en prenant en charge l enti re respon sabilit d une preuve de se confronter avec d autres camara des d autres classes Pour les ma tres associ s toutes les ta pes dans la mesure de leurs disponibilit s le rallye permet d observer des l ves les leurs lors de l preuve d essai et ceux d autres clas ses en activit de r solution de pro bl me d valuer les productions de leurs pro pres l ves et leurs capacit s d organi sation de discuter des solutions et de les exploiter ult rieurement en classe d introduire des l ments de renouvelle ment dans leur enseignement par des changes avec d autres coll gues et par l apport de probl mes stimulants de s engager dans l quipe des anima teurs et de participer ainsi la pr para tion la discussion et au choix des pro bl mes
8. dans cette bo te 2 Combien de formes rouges 3 Combien de formes qui ne sont pas rou ges 4 Combien de formes bleues 5 Combien de formes qui ne sont pas bleues Des exclamations des interrogations fusent Les entants sont encourag s r pondre chaque question A la fin de la premi re s rie de questions la phase de v rification est propos e La bo te est ouverte et tour de r le deux enfants vont v rifier ce que contient la bo te Ils or ganisent le contr le comptage recomptage s il y a lieu Pas d intervention de l enseignant m me en cas d erreurs Celui ci se contente de noter le r sultat au tableau comme les r en enfants le lui demandent par exemple 27 7 20 9 18 Les enfants de la classe con tr lent ensuite leurs crits sur leur feuille personnelle ou celle de l quipe Puis le jeu continue les formes sont remi ses dans la bo te Celle ci est ferm e avec l lastique et l enseignant pr cise Je n ai rien ajout je n ai rien enlev Jeu 2 1 Combien de formes y at il dans la bo te 2 Combien de formes jaunes 3 Combien de formes qui ne sont pas jau nes 4 Combien de formes bleues 5 Combien de formes vertes La v rification s effectue selon les modali t s pr c dentes Il arrive souvent que des erreurs de comptage apparaissent L ensei gnant n intervient pas dans le d bat pour confirmer ou infirmer les r sultats mais il in
9. dans un premier temps la construction de la figure qui permettra d tudier dans un deuxi me temps tous les cas possibles Quel que soit le choix retenu voici les diff rentes tapes de la construction MATH ECOLE n 180 d cembee 1907 Mathenntiques 7 8 9 tracer le p rim tre aa 22 construire m milieu de aa tracer le segment am placer b point sur objet du segment am construire b sym trique de a par rapport b tracer en gras les segments ab et a b a b m b a Les segments ab et a b repr sen tent respectivement la largeur et la longueur du potager d Alo s Ces deux dimensions varient l une en fonction de l autre suivant la position prise par le point b Comme b ne se balade que sur le seg ment am l image b du point a ne peut pas sortir du segment aa En modi fiant la position de b on obtient par exemple a b b m a La suite de la construction consiste repor ter d une part ab perpendiculairement aa en ab et d autre part a b en ab avec comme support le segment aa Pour y parvenir il faut successivement tracer C a abj Construire b intersection de C avec la perpendiculaire P au segment aa tracer C a a b D terminer les points b intersection de la perpendiculaire aa par a et b in tersection de P avec l
10. quipe actuelle des animateurs est compo e de six huit personnes dont la plupart participent au concours avec leur classe Elle a pu g rer l organisation des premiers rallyes L an dernier avec plus de cent classes romandes et tessinoises la t che a t trop lourde Cette ann e lef fectif augmentera encore et on ne peut plus demander une dizaine de b n voles d va luer et analyser pr s de 1000 copies ou plus en un apr s midi faut que de nouvelles personnes s engagent activement L objec tif serait d atteindre une vingtaine de mem bres dans l quipe d animation qui pour raient se r partir les t ches et all ger ainsi le travail de chacun M me si elle requiert du temps et de l nergie l animation du ral lye est une t che gratifiante et d un tr s grand int r t professionnel I faut esp rer que les ma tres des classes participantes seront nombreux s inscrire dans l quipe des animateurs en va de l avenir du con cours Bulletin d inscription retourner Math Ecole IRDP C P 54 2007 Neuch tel 7 avant le 31 janvier 1998 Je souhaite participer avec ma classe au 6e Rallye math matique transalpin Nom et pr nom du titulaire p s dans MATH AT i sje AOE pO O E a a aa A Oaah aS onani J accepte de m engager dans l quipe des animateurs valuation analyse ou r daction des preuves dans la mesure de mes disponibilit s oui non Renseignements sur ma classe Clas
11. travail a fait la d lectation des participants au congr s de Ciney POLYGONE Faudra il que toujours en mon coeur enferm Je garde mon amour enfoui tout jamais A quoi cela sert il de manier les ensem bles Si l on reste muet lorsqu on se trouve ensemble Car je ne connais plus qu une seule quation Dont cette inconnue l est la seule pas sion Avant de la conna tre j tais trop mathis Depuis que je l ai vue je suis traumatis e Pour avoir tudi les maths mort Je ne suis pas pour autant un hardi matamore Mais la voil qui vient et de ma passion Il va falloir ici faire la d monstration Il n est donc plus question de prendre la 1 in Oh moi les maths A Desmarets B Jadin N Rouche P Sartiaux Editions Talus d approche 1997 MAMEECLE 0 OPP oN tangente Si je veux la tenir en relation constante Madame en cet instant o je vous vois para tre Il est des v rit s que vous devez connai tre Mon coeur est en lambeaux par vos soins d chir s J ai des segments de coeur par vous suis partag O M diane ador e vous tes ma bissec trice Pour vous j ai d laiss ensembles et matrices Et je me d compose en de nombreux facteurs Dont l amour est le commun d nomina teur Ma passion pour vous c est fort math matique Conna t une progression toute g om tri que Pour vous je renierai jusqu aux nombres premiers Euclide et Pythagore je
12. utiliser la soustraction 27 moins les jaunes 11 a fait 16 Le choix des valeurs num riques variable didactique va influencer les strat gies des enfants si les op rations s effectuent dans le champ num rique connu les enfants vont pouvoir se repr senter les objets et les compter mentalement ou utiliser un r sultat connu de 7 27 je sais que a donne 20 Si les valeurs num riques augmentent il est difficile d avoir une repr sentation mentale de chaque l ment de la situation l enfant peut s appuyer sur l ajout successif de peti tes collections pour trouver le reste qui n est pas rouge prendre les bleus et les jaunes 37 et encore 12 37 47 48 49 o recon na tre que la situation rel ve de l addition gt JEUX Soci t et Strat gie Billard Casino Bridge Echecs Librairie MAX HACHUEL BOULEVARD HELV TIQUE 24 CH 1207 GEN VE T L FAX 736 48 56 MATH ECOLE n 180 d cembre 1897 lacunaire 20 69 ou de la soustraction 69 20 49 L enseignant modifiera donc les variables didactiques afin de faire merger les proc dures fiables s autorisera laisser les enfants expliquer comment ils donnent des r ponses en repr sentant ce que ces der niers disent afin que les processus mentaux deviennent de plus en plus conscients Le jeu de la bo te permet aux l ves de construire le savoir de la situation sous leur responsabilit
13. ves pas tu es bien mon seul prince Je vais te le prouver c est pour toi que j en pince Notes de lecture Tous les ouvrages mentionn s dans cette rubrique Notes de lecture sont disponibles IRDP Secteur Documentation Case postale 54 CH 2007 Neuch tel 7 t l 032 889 86 14 fax 032 889 69 71 et peuvent tre emprunt s gratuitement pour une p riode de un mois raison de cing do cuments la fois Ce secteur de l IRDP regroupe dans sa bi blioth que des documents monographies p riodiques cassettes vid os dans les do maines de l ducation de la sociologie et de la psychologie Repr sentation des probl mes et r us site en math matiques un apport de la psychologie cognitive l enseignement Jean Julo Rennes PU R 1995 collec tion Psychologies Les presses universitaires de Rennes P U R nous offrent un excellent ouvrage de Jean JULO chercheur enseignant de psychologie dans le cadre de la formation initiale et continue des professeurs de ma th matiques Ce livre s adresse ceux dont le m tier est ou sera d enseigner les ma th matiques ainsi qu aux tudiants psycho logie sciences de l ducation d sireux de conna tre les applications possibles de la psychologie cognitive dans l enseignement Mais tous les formateurs et les psychologues s int ressant d une mani re ou d une autre cette question passionnante de la d cou verte des sol
14. veux les oublier Je ne serai qu vous pr t tout sacrifice Jusqu me s parer de ma calculatrice Je vous aime en secret je n ose l avouer Maintenant je l ai dit voil C Q F D MEDIANE Apr s cet expos Monsieur tout en logique Voici la r ciproque en tous points sym tri que Vous avez Polygone de nombreux bons c t s Sous tout angle en effet je vous ai mesur Vous tes droit carr en votre me on d c le MATIHECOI La sublime beaut des triangles isoc les Et dans l ensemble A qui comprend mes passions Vous tes en tous cas l l ment single ton Mon doux penchant pour vous au v tre est parall le Ma flamme votre feu est proportionnelle Elle tend vers l infini ne peut se calculer A votre gr je veux me laisser d river POLYGONE M diane ador e ma joie est int grale Fonction sans limite bonheur sans d cimale Nous ne serons plus qu un Plus de division Vous serez ma moiti je le dis sans fraction Mais pour vous faire honneur c est trop peu d un po me Pour vous j inventerai de nouveaux th or mes Et pour gage discret de nos amours en fleurs Recevez cette rose offerte avec mon coeur MEDIANE Polygone ador tu es mon seul axiome Plus fier qu un angl droit plus beau qu un polyn me POLYGONE Pincez moi je vous prie afin de me prouver Que tout ce que j entends je ne l ai point r v MEDIANE Non tu ne r
15. 2be 2cf AN AT e f7 2 ad be cf MATHECONLE n 180 decembre i r a S vs t Ta E 2ru Uy A 2SV van 4 2tw w fi v w 2 ru sv tw En tenant compte des galit s 1 et 1 on voit qu il y a galit entre 1 et Il si et seu Saa 1 4 rk EE 2 2 g lement si 3 adt bereien EN multiplication par 10 Cette condition est automatiquement v ri 10 40 40 20 20 50 fi e pour tous les triplets l mentaires 54 2 5 5 oat 3 3 6 comme nous l avons dit plus haut et con dition de pr server l ordre de chaque triplet t Par exemple pour les triplets de 114 et 122 addition a24 bET7 t27 1 S 25 1 8 12 45 45 23 23 56 d 3 e 7 f 8 u 4 Vv 5 w 9 ad be cf 12 49 56 117 multiplication par 10 ru sv tw 20 25 72 117 ig OR ka 120 450 450 230 230 560 sumons nous partir de deux solutions qui satisfont les relations 1 2 et 1 2 EN OR EUX y si la relation 3 est satisfaite alors l addi tion terme terme fournit une nouvelle so addition lution C est dire que le nombre des solu tions est pratiquement illimit Ainsi pouvons nous construire une solution avec des nombres de trois chiffres partir des triplets l mentaires de 33 54 et 62 5 Onaalors 121 455 456 232 233 567 121 455 456 232 233 567 429602 avec 121 455 456 232 233 567 1032 On pourrait multiplier les exem
16. Finalement il suffit de chercher le lieu g o m trique du point x lorsque le point b se balade sur le demi segment aa pour ob tenir la repr sentation graphique de l aire du potager d Alo s en fonction de sa largeur comme le repr sente cette derni re illus b5 4 000 b6 tration MATH ECOLE n 180 d cembre 1997 IEAEM 50 Deuxi me annonce La premi re annonce de la 50e rencontre de la CIEAEM qui se tiendra Neuch tel du 2 au 7 ao t 1998 a paru dans le nu m ro 178 de Math Ecole La deuxi me an nonce est pr te et sera envoy e toute personne qui en fait la demande voir bulle tin ci dessous Elle contient une description d taill e du th me et des sous th mes ainsi que toutes les modalit s d inscription Tous les lecteurs de Ma th Ecole sont invi t s participer cette importante rencon tre pour changer pour se former pour partager et trouver quelques r ponses leurs pr occupations pour pr senter leurs exp riences ou des travaux de leurs l ves etc Comme le th me est pr cis ment celui des liens entre la pratique de la classe et la re cherche en didactique des math matiques gt Bulletin renvoyer CIEAEM 50 IRDP C P 54 CH 2007 Neuch tel 7 PPTEPEPECELIETECET EI CIEL TI LIT LELE CET ICT ELEC IS IT EE CII LILI LILI IIIL CUTEPEECE TETE EE ETES TN ES TEE EEE LT EEE ET ET TETE CES STE ITS TESTS STE ET ETES IIS STEEL SELECT SSII IEEE IST II
17. I III Commission internationale pour l tude et l am liora tion de l enseignement des math matiques International Commission for the Study and Improvement of Mathematics Education Information IRDP op 54 CH2007 Neuch lel 7 1 l 4 41 32 889 86 09 lax 41 32 889 59 71 E mail francois jaquet irdpunine ch Internet htipy www uninechirdp cieaern il est souhaitable que de nombreux ensei gnants viennent apporter leurs points de vue et leurs exp riences de praticiens Dans ce cadre g n ral les sous th mes aborderont plus pr cis ment les sujets suivants A Finalit s de l enseignement des math matiques B Communication et collaboration entre praticiens et chercheurs C Recherche en didactique des math ma tiques et formation des ma tres D Sp cificit s de la recherche en didacti que des math matiques E La prise en compte de r sultats de la re cherche dans les moyens et les outils pour l enseignement MATH ECOLE n 100 d cembre 197 CT Mirallie Sioeckk D apr s une situation con ue par G Brousseau pour l enseignement de la soustraction ll s agit d une situation jeu exp riment e avec des classes de 2P 4P Gen ve Cette activit se d roule sur plusieurs s an ces se module selon les r sultats qu ob tiennent les enfants et permet aux ensei gnants d exp rimenter quelques concepts de la didactique des math matiques et no tamment celui de la d volutio
18. a perpendiculaire P par b savoir la droite P Tracer C a ab et construire son intersection b avec le segment aa La construction s ach ve alors ainsi sur aa placer un point u de telle ma ni re que au 1 par b tracer une parall le au segment ub1 qui coupe P en x tracer P et P respectivement les paral l les aa et ax par x et b Chercher x intersection de P et P En fait on a reconstruit ici une machine multiplier selon la d marche longuement d crite dans l article CABRid e de MATH Ecole n 174 Comme les triangles aub et ab x sont sem blables on a C est dire ab ab fax On a ainsi repr sent l aire du potager d Alo s correspond au produit de sa lar geur ab ab1 par sa longueur a b ab l aide du segment de mesure ax que l on translate en un segment bx gr ce deux perpendiculaires P et P En modifiant la position du point b pour rap pel il appartient au segment am la lar geur du potager prend toutes les mesures possibles de O0 11 m L aire correspondante se modifie alors instantan ment et s affiche en tant que longueur du segment bx La figure peut tre encore compl t e par une repr sentations du potager rectangulaire d Alo s que l on obtient l aide d un paral l logramme a b b b 36 000 22 000 9 000
19. ale est obtenue lorsque gip iti p a 4 et dans ces conditions b 5 p a b Quant l aire maximale elle mesure 2 _P P _P Amax 4 2 8 Informations sur le GReFE Dans le cadre d une information r ciproque sur des associations concern es par la formation des enseignants formation tant initiale que con tinue le GReFE Groupe de R flexion sur la For mation des Enseignants en Suisse romande et au Tessin se pr sente aux lecteurs de Math Ecole qui peuvent tre int ress s par les th mes qu il traite Le GReFE s est constitu le 23 novembre 1996 il compte une cinquantaine de membres individuels la possibilit d avoir des membres collectifs sera examin e en no vembre lors de la prochaine assembl e g n rale Le GReFE a pour but les changes et la r flexion sur la formation des enseignants quel que soit leur degr ou leur ordre d enseignement en Suisse romande et au Tessin Ses activit s ac tuelles l organisation de rencontres l anima tion d activit s diverses par exemple un ate lier d criture sur les pratiques quotidiennes la publication d une feuille d informations Le public qu il vise est celui des formateurs que ce soit ceux des coles normales des futures HEP des Universit s de l enseignement profession nel des coles de pr paration aux m tiers de l humain ceux des centres de perfectionne ment ou alors les enseignants ma tres de stage ou
20. des relations 4 quelles que soient les permutations de a b c et r s t tout joueur qui ne peut donner ses deux bonbons est limin A la fin du jeu personnes n a t limin et les sept amis poss dent le nombre de bon bons indiqu s sur la figure 2 Combien de fois au minimum ont ils tir la courte paille Amadou Boubakar Garba Boubakar Ciss figure 2 4 Fatima Daouda MAFH ECOLE n 180 docemhre 1447 CABRId es Lepote g Ala s 1 Michal Chastellsin SPES Vd R gle du jeu si vous n avez pas lu l article intitul Le potager d Alo s reculez de 13 pages Pour rappel la consigne propos e tait la suivante Comme chaque printemps Alo s modi fie l emplacement de son jardin potager Cette ann e il d cide de l implanter le long de la fa ade sud du rural de fa on ce qu il soit rectangulaire Pour y par venir il dispose d une cl ture de 22 m A quelle distance de la fa ade va t il plan ter ses deux piquets d angle pour obte nir une aire maximum Le recours Cabri G om tre pour r sou dre ce probl me peut tre envisag de deux fa ons diff rentes le ma tre labore la figure de base car ses l ves ne ma tisent pas suffisam ment bien les outils du logiciel ou parce qu il ne dispose pas d une dotation ho raire suffisante pour trouver le temps n cessaire ce travail les l ves r alisent
21. des savoirs Comme le relevait Andr Giordan directeur du Laboratoire de didactique et d pist mo logie des sciences de l Universit de Ge n ve l omniscience est devenue mat riel lement impossible puisque le savoir scienti fique double tous les 10 ans en moyenne que la moiti des donn es en technologie sont p rim es au bout de 5 ans et que nous ne savons pas quelles seront les connais sances de base dans les 20 ans venir Helexien les neuf dixi mes d entre elles sont encore tenues sous le boisseau de l ignorance Cet tat de fait doit nous conduire r viser nos conceptions p dagogiques du jardin d enfants l universit Cette r flexion est en cours et elle doit imp rativement se pour suivre Plus que de savoirs appris et accumu l s nous aurons besoin demain pour domi ner l expansion ph nom nale des connais sances d int grer une nouvelle culture de base fond e sur l apprentissage de d mar ches de pens e sur le tri et l utilisation des informations ne s agira plus seulement d apprendre r soudre des probl mes mais d abord de savoir clarifier des situations pour pouvoir poser correctement les probl mes Il faudra prendre conscience qu il n y a pas toujours une solution un probl me mais plusieurs et parfois aucune et qu en tout tat de cause celles ci d pendront du contexte dans lequel le probl me aura t pr alable ment pos Bien s r cela ne signifie pas q
22. destin e aux organi sateurs r gionaux du RMT et d autres con cours interclasses dont Espace math ma tique le concours valaisan pr sent r cem ment dans le num ro 178 de Math Ecole et toute personne int ress e par la r dac tion et l analyse de probl mes Elle a per mis une trentaine de participants d Italie de France de Luxembourg et de Suisse ro mande de se retrouver sous l gide de l IRDP et de l Universit de Parme avec les cinq objectifs suivants 1 d velopper les liens entre recherche et pratique en didactique des math mati ques r alis s par les confrontations ma th matiques par classe 2 largir la r flexion sur les finalit s de ces concours et sur leurs apports pour le ma tre l l ve et le chercheur 3 tudier des nonc s de probl mes pour chercher les am liorer et affiner leur analyse pr alable 4 analyser des productions de groupes d l ves pour tenter de d crire leurs re pr sentations de comprendre leurs pro c dures de r solution et de discerner les obstacles didactiques rencontr s drama wal 5 faire le point sur les cinq premi res an n es du Rallye math matique romand puis transalpin avant de d cider de son avenir Nous reviendrons largement sur les apports de cette rencontre li s aux quatre premiers de ces objectifs et dont l ditorial de ce nu m ro donne d j un petit avant go t Nous parlerons aujourd hui du cinqu
23. e probl mes ouverts ses outils de calcul au service d une situation probl me dans un monde o r gnent violence intol rance go sme checs politiques et conomi ques EEE on n en parle plus UE une abr viation qui passe encore mal chez nous quant aux bilat rales Et puis voil Un beau matin interpell par des didacticiens d Italie et de Suisse me voici Spiez puis Brigue o l espace de trois jours l analyse des probl mes de ral lyes de concours math matiques sont l or dre du jourt Une simple intuition ne serait ce pas dans de telles rencontres que l Europe concr te et humaine de demain est d j bien pr sente Jugez vous m mes Brigue r cemment si prouv e par les trombes d eau qui ont d ferl sur elle et dont les habitants encore marqu s ont retrouv leur dignit dans un effort qui m rite d tre salu Brigue accueille une trentaine d enseignants tr s diversifi e 1 Il s agit de la premi re rencontre internatio nale sur le Rallye math matique transalpin tenue Brique du 31 10 au 2 11 1997 sur le th me Concours math matiques quels profits pour la didactique venant de Luxembourg de Bourg en Bres se de Neuch tel de Sion de Parme de Milan de Cagliari de Pavie ou de Sienne ils parlent ou comprennent peu ou prou l ita lien le fran ais l allemand En toute simpli cit les dessins ou les gestes accompa gnent la pa
24. entations En entrant dans l ouvrage on constate avec bonheur que les chapitres sont courts bien ordonn s illustr s de tr s nombreux exem ples bien choisis accompagn s de synth ses pr cieuses La plupart des r formes actuelles de l en seignement des math matiques dont cel les qui se d veloppent actuellement en Suisse romande placent la r solution de probl mes au coeur des apprentissages sous l impulsion de la recherche en didacti que Les psychologues cognitivistes y donnent eux aussi la priorit en s attachant la des cription aussi pr cise que possible de ce qui se passe dans le t te de celui qui apprend ou plus exactement de l activit mentale qui le conduit adopter tel ou tel comportement dans une situation donn e C est ainsi que l tude des processus co gnitifs et des repr sentations devient cen trale dans tous les secteurs de cette psy chologie que l on qualifie d sormais de co gnitive que l activit de r solution de pro bl mes en particulier est r examin e la lumi re de cette nouvelle approche th ori que et que la question de l aide la r solu tion de probl mes peut tre repens e la notion de repr sentation du probl me et la connaissance de plus en plus pr cise des processus impliqu s dans le fonctionnement de cette repr sentation permettent en ef fet d envisager cette question importante sous un tout autre angle D o l id e d aide
25. es de 1 9 Soit a b c Les trois nombres du membre de gauche et r s t deux triplets l mentaires corres s crivent gt 100a 10x r 100b 10y s 100c 102z t En renversant l criture les nombres du membre de droite s crivent 100t 10z c 100r 10x a 100s 10y b Les sommes dans chaque triplet sont gales puisque a b c r s t Calculons les sommes de carr s MATIMECOLE u 180 ddeumire 196 Pour le membre de gauche A 100a 10x r 100b 10y s 100c 10z 1 10000 a b c 100 x ty 22 4 41 4 2000 ax by cz 200 ar bs ct 20 rx sy tz Pour le membre de droite 2 2 2 B 100r 10x a 1005 10y b 100t 10zZ c 10000 1 s2 12 10002 y 22 a b c2 2000 rx sy tz 200 ar bs ct 20 ax by cz Apr s simplification en tenant compte de la taires de 89 posons relation a 2 b 6 c 7 t 4 82868 1 3 PT UT NET Te a r 2 b s 2 c t 4 2x 2y 4zZ 00ou2z Xx 4y on a l galit entre A et B si et seulement si Les nombres manquants 1 5 9 satisfont ax by cz rx sy tz ou cette relation de deux mani res 4 a r x b s y c t z 0 1 x y 9 z 5 2 x 9 y 1 z 5 Les nombres manquants x y z doivent sa tisfaire cette relation o les coefficients sont tir s des triplets l mentaires Dans le deuxi me cas les nombres du Par exemple partir des triplets l me
26. es ma tres qui ont puis toutes ces sources ou qui ne disposent pas des anciens num ros de Math Ecole peuvent demander une preuve d essai au moyen du bulletin d inscription de la page suivante MATHECOLEn 1E0 decwmhro 1547 Les preuves sont envoy es deux o trois jours avant la p riode de passation Les ma tres s organisent pour la photocopie des probl mes ils prennent contact avec leurs coll gues pour les changes de surveillan ces ils envoient les solutions de leur classe pour l valuation apr s les avoir ventuel lement photocopi es pour les exploitations didactiques des probl mes L quipe d animateurs se r unit les mercre dis 28 janvier 4 mars 29 avril et 27 mai fi nale pour les travaux d laboration des pro bl mes pour l valuation des copies re ues et pour l analyse des r sultats l appui scientifique au Rallye math matique transalpin est assur par diff rentes institu tions de recherche en didactique des ma th matiques dont l IRDP qui participe aussi aux t ches administratives pour la Suisse romande Math Ecole diffuse l information sur le Ral lye math matique transalpin en Suisse ro mande et au Tessin et le soutient financi rement Toutefois les classes inscrites parti cipent aux frais pour un montant de 25 Fr l exception de celles dont les ma tres sont engag s dans les travaux d laboration et d analyse B n volat et engagement l
27. es nom bres des sommes des diff rences pour les comparer afin d en tirer des informa tions pour raisonner avoir envie d y voir clair et pour ce faire anticiper organiser des tentatives de solutions prouver v rifier tre capable d abandonner un mod le choisir un code une notation acqu rir des strat gies de comptage ef ficace comprendre les notions de manque de compl ment de n gation de diff rence additionner soustraire Le jeu de la bo te s attache promouvoir la d couverte et le mode d emploi par l l ve d un savoir Au cours de cette situation l en seignant se doit d accepter de faire une math matique momentan ment valable to l rer des arguments incorrects des omis sions des simplifications Il est patient c est dire qu il r siste la tentation de tout dire qu il s engage ne plus tre essentiellement la source privil gi e et unique du savoir I observe les l ves et d crypte derri re les mots maladroits une logique inattendue Il encourage l enfant exploiter chaque bribe d id e contribue l laboration de syn th ses partielles centre organise et facilite les d bats entre les l ves afin de permet tre l mergence des proc dures de r solu tion Quelques flashs propos des conduites des enfants Dans un premier temps la plupart des en fants de 2P pensent qu il y a de la magie l dessous
28. eyer Jean Paul Dumas Rachel Habegger Denis Odiet Luc Olivier Pochon Alain Ramelet Chantal Richter Herv Schild Martine Simonet Mireille Snoecks Christine Studer Fran oise Villars Isabelle Vogt Janine Worpe Imprimerie Fiorina rue de la Lombardie 4 CH 1950 Sion T l 027 322 14 60 Fax 027 322 84 09 Couverture spirale de carr s ayant pour c t les nombres de la suite de Fibonacci Graphisme et mise en page Mathieu Chastellain MATHECOLE nn 140 l cembre 19 Sommaire EDITORIAL Entre r alit et plaisir un peu de notre humanit J A Calame Sixi me rallye math matique transalpin F Jaquet Le potager d Alo s M Chastellain Rep rer les comp tences des l ves entrant en 1P J Cosandey Etonnantes galit s arithm tiques A Calame Cabrid es Le pote g Alo s M Chastellain CIEAEM 50 Le jeu de la bo te M Snoeckx Dies academicus Faux extraits de Racine D Odiet Notes de lecture 180 d cembre 97 11 13 21 24 25 30 32 Editorial Entre r alit et plaisir un peu de natra humanit J A Calame Ecole normale NE Le quotidien est rempli de nouvelles sou vent si tragiques qu on en vient presque se demander si aimer les math matiques et y consacrer le plus clair de son temps n est pas une fuite devant une r alit trop dure supporter Car enfin que peut bien apporter la math matique avec son cort ge de rallyes et d
29. formateurs de terrain mais aussi les ensei c est dire que la fonction est quadrati que et l aire varie en fonction de la lon gueur de la cl ture Pour faciliter le travail des l ves l activit pourrait tre men e en salle informatique l aide de Cabri G om tre pour autant que les l ves connaissent la similitude des trian gles et le concept de lieu g om trique L article CABRid es de la page 21 d crit la mani re de proc der l aide de ce logi ciel gnants les responsables administratifs politi ques syndicaux bref toute personne int ress e par la formation des enseignants Les moyens dont dispose le GReFE sont ceux de toute association similaire fort minces et d pendants pour la plus grande part des cotisa tions des membres mais en grattant un peu partout en coop rant avec d autres associations ou institutions le GReFE arrive n anmoins offrir des prestations int ressantes On peut ci ter les journ es de Bienne ou de Porrentruy con sacr es la formation des ma tres de stages ou la place de la pratique professionnelle dans la formation organis es alors m me que le GReFE n tait pas encore constitu mais formait un r seau poursuivant les m mes objectifs La conf rence d bat de Pierre Vermersch sur le mode de fonctionnement des formateurs lors de l Assembl e constitutive a t la derni re prestalion offerte La prochaine sera un d bat autour du th
30. fraie pas Figurez vous leur rencontre A quoi a sert les maths Est ce donc ce point indispensable Qu est ce qui justifie leur statut d outil de s lection questionne l diteur Ce n est pas si simple et puis on a d j tellement discut de ces questions r pondent les p dagogues L diteur peu peu d termin avance Et si vous rassembliez vos id es si vous confrontiez vos crits pour qu ap paraisse une image collective et compr hensible par le plus grand nombre Voil nos quatre mousquetaires de l qua tion confront s leurs visions diff rentes du probl me Car enfin que peuvent en dire ensemble un prof d uni un prof d cole normale un prof du secondaire et un instituteur Eh bien c est tout l int r t du livre que vous tenez entre les mains lis ont relu attentive ment leurs copies les ont nettoy es et sur tout confront es la diversit de leurs re gards avec la volont d une lecture concen trique et susceptible d clairer l pineux pro bl me de l apprentissage des maths compte tenu des id es qu on s en fait lis vous proposent un recueil destin non seulement aux enseignants de math mati ques mais aussi aux non matheux ceux pour qui cette mati re reste indigeste et nourrit de bien mauvais souvenirs ceux qui n ont rien voir avec les maths et que l acte d apprendre int resse Pour tous donc Certains passages peuvent para t
31. i me objectif car de nombreux lecteurs et leurs classes attendent avec impatience le feu vert pour une nouvelle aventure ll y aura un sixi me Rallye math matique transalpin Au vu des apports des cinq premi res ex p riences la d cision de poursuivre l acti vit a t unanime et sans ambigu t Les organisateurs ont d cid de remettre a et dans la foul e d tendre le concours aux classes de septi me et huiti me ann e Le 6e Rallye math matique transalpin aura donc lieu de f vrier mai 1997 pour les classes de 3e 8e en collaboration troite avec Espace math matique le concours valaisan par classes pour les deux derniers degr s La confrontation sera internationale Les r gions o elle se d roulera vont de la Sar daigne au Luxembourg en passant par la Toscane l Emilie romaine la Lombardie le Val d Aoste le Tessin la Suisse romande la Bresse Les nonc s seront les m mes pour tous en version fran aise italienne ou allemande Les r gles de participation sont aussi les m mes pour tous NAT CELL h LA Ad ai Alta Les diff rentes r gions sont charg es de l or ganisation locale inscriptions recherche de probl mes et relecture des propositions d nonc s transmission des preuves d termination des dates de passation dans les d lais d finis par le plan g n ral correction selon les crit res tablis par les cr ateurs des probl mes classements analyses l
32. ifi s qui fait la force l efficacit du groupe r uni Brigue MATH ECOLE n 140 d barnbre 1907 Pour terminer la qualit du travail en petits groupes passer chaque probl me au pei gne fin d une grille d analyse bien pens e 1 Quels sont les contenus math mati ques O sont les variables didacti ques 2 R soudre le probl me comme adulte et imaginer les proc dures que les l ves proposeront 3 Tenter de voir les erreurs possibles exa miner sans concession le sens la ri chesse ou la pauvret du probl me 4 Examiner comment le modifier pour que sa formulation permette tous l acc s une d marche mais sans en dire trop par risque de vider la question de son sens Voil autant de questions motivantes qui ont gt Le partage du carr Dans le num ro 179 nous sommes reve nus sur le probl me du partage d un carr en 6 triangles semblables et nous avons pr sent 93 solutions class es en six fa milles Un de nos lecteurs M Jean Fran ois Theumann a d couvert une septi me fa mille dont il n a trouv en d pit de lon gues recherches qu un seul repr sentant fait de ces journ es de Brigue la fois une excellente occasion de r aliser si besoin tait la complexit de r diger des probl mes et donc l utilit comme la n cessit d y travailler plusieurs avec des sensibilit s diverses mises au service de tous Ainsi le 6e Rallye math mat
33. in F Jaquet 4 Le jeu de la bo te M Snoeckx 25 Le potager d Alo s M Chastellain 8 Dies academicus 30 Rep rer les comp tences Faux extraits des l ves entrant en 1P de Racine J Cosandey 11 D Odiet 32 Etonnantes galit s Notes de lecture 34 arithm tiques Calame 13 Abonnement annuel 5 num ros Suisse Fr 25 Etranger FS 30 CCP 12 4983 8 Prix au num ro Fr 6 anciens num ros Fr 3 pi ce n 136 152 et 153 puis s Abonnements collectifs livraison une m me adresse de5 9 Fr 20 par abonnement de 10 50 Fr 18 par abonnement Tarifs particuliers pour des commandes collectives sup rieures sur demande Pour toute correspondance ou information R daction de Math Ecole Case postale 54 2007 Neuch tel 7 par courrier lectronique E mail Fran ois Jaquet irdp unine ch ou par INTERNET http www unine ch irdp math eco Bulletin de commandes et d abonnement en page 3 de couverture
34. ique transalpin de 1998 qui permettra des centaines d l ves de chaque pays de travailler en quipe par classe sera t il un signe certes mo deste mais concret d ouvrir sa porte sym boliquement l tranger l autre dans ce qu il a de diff rent d unique et donc d irrem pla able Brigue 1997 et pourquoi pas Sienne 98 ou Luxembourg 99 et qui sait d ici l Oberhofen 2000 en cette fin d ann e a fait du bien de r ver un peu de paix et de se rappeler que le monde des matheux est fait de gens aussi heureux qui vous apportent tous leurs meilleurs v ux Le rapport des longueurs des c t s de l an gle droit de ces triangles est une solution de l quation 3x8 2x2 2x 1 0 et vaut x 0 5523 Nous arrivons donc 94 solutions Le con cours reste ouvert Ce lecteur nous dit encore qu il lui semble pouvoir prouver que dans toutes les solu tions les triangles sont forc ment rectan gles mais qu il n est pas encore s r 100 de sa d monstration Un nouveau d fi est ainsi lanc Merci M Theumann qui re oit comme prix un livre de probl mes Sixi me Rallye math matique transalpin Fran ois Jaquet IRDP Concours math matiques quels profits pour la didactique C tait le th me des premi res journ es d tudes sur le Rallye math matique tran salpin RMT qui se sont tenues Brigue du 31 octobre au 2 novembre 1997 Cette rencontre tait
35. j 7 56 f 5 f 6 60 se passe donc quelque chose entre 60 et 60 Les l ves chechent alors une solution plus fine en r f rence un ensemble plus tendu de nombres Is trouvent pour une valeur inter m diaire de 5 5 m la solution o l aire maximale devient 5 5 11 60 5 m Par voie graphique A ceux qui restent sur l une tude des valeurs enti res le ma tre pourrait pro poser de repr senter graphiquement la situation et induire ainsi le questionne ment propos de l aire maximale entre 5et6 MATH ECOLE n 140 d cembre 19 Par quation La situation se traduit ainsi a b a 22 avec a qui repr sente la distance de la fa ade jusqu au piquet A et b celle qui s pare les piquets et B Dans ce cas on a 2a b 22 gt b 22 2a avec la demande que l aire ab a 22 2a soit maximale A b B D s lors la fonction de la parcelle est f a a 2a 22a dontles deux z ros sont 0 et 11 Le coefficient 2 as sure que la fonction pr sente un maxi mum Pour le trouver il s agit de calcu ler l image de la moyenne arithm tique de 0 et 11 c est dire f 5 5 60 5 En g n ralisant Le ma tre peut proposer un prolonge ment qui porte sur une solution relative n importe quelle longueur de cl ture Les l ves devront alors d couvrir par essais successifs que l longueur de la cl ture p 2a b P b l aire maxim
36. l enseignant jouant le r le d un meneur de jeu qui facilite favo rise et orchestre les r gles Conditions sp ciales pour les enseignants Dies academicus M Thierry B guin Gonsalllar astat Ndri Les propos d un responsable politique te nus devant la communaut universitaire sur ses objectifs son r le dans la soci t et le sens de sa mission sont ils en rapport avec nos r flexions sur les finalit s de l enseignement des math matiques M Samuel Roller r pond oui cette question sans h sitations Et sans tarder il sug g re de les faire partager aux lecteurs de Math Ecole Merci au fondateur de notre revue pour ceite excellente id e et pour son engagement jamais d menti Merci aussi M Thierry B guin conseiller d tat chef du D partement de l Ins truction publique et des affaires culturelles qui a eu l extr me obligeance de nous laisser publier de larges extraits de son dicours prononc lors du Dies academicus de l Universit de Neuch tel le 1 novembre 1997 Si l universit a pour t che de pr parer une partie de l lite de demain assumer les fonctions dirigeantes dans la soci t elle ne peut plus se contenter de transmettre des connaissances comme on verse de l eau dans des vases et estimer avoir atteint son but parce qu elle les a remplis ras bord Pour apprendre g rer l extraordinaire vo lution des sciences et des techniques il ne sera plus possible d accumuler
37. m ros de Math Ecole prix en page 2 de couverture Annales du Championnat de jeux math matiques et logiques as Fr 13 l ex Niveau CM degr s 4 et 5 R cr maths EX 50 Enigmes math matiques faciles Re ex Fr 16 Niveau coll giens Les Pentagones patagons n 8 ex Le Serpent num rique n 10 EX Le Tr sor du vieux Pirate n 12 ex Le Singe et la Calculatrice n 14 ex 50 Enigmes math matiques pour tous u ex Fr 16 Niveau lyc ens et adultes La Biroulette russe n 9 EX Le Pin s Tourneur n 11 nu EX Le Roi des Nuls n 13 a 8X Le Sabre d Aladin n 15 iu EX 50 Enigmes math matiques pour lyc ens gt ex Fr 16 Anciens num ros encore disponibles n 3 5 6 et 7 PIENIN SATENE TENTE TES Les frais de port ne sont pas inclus dans les prix indiqu s Nom et pr nom Mme M ssssessrasir PE EEEIEE SS NN EEEE E ENEE L Adresse ue et iunet E 2 eno gea a asana dit i E ingia Localit avec code postal a il ais as E PEN EEEN E da 2 a a TE EAA Data i os iici tasane onsite SIATE S aas sesscnsasasosqrasarssais sens aac eS JAB 1950 Sion 1 envois non distribuables retourner Math Ecole CP 54 2007 Neuch tel 7 EDITORIAL Entre r alit et plaisir CIEAEM 50 24 un peu de notre humanit J A Calame 2 Cabrid es Le pote g Alo s Sixi me rallye math matique M Chastellain 21 transalp
38. mble les rouges et les jaunes etc demande partir de la troisi me ou la qua tri me fois de discuter le r sultat avant la v rification et surtout de d fendre son point de vue Le jeu de la bo te se pr sente ainsi comme une situation d action dont la strat gie de base est la r ponse au hasard Tant que l l ve n envisage pas une possibilit de pr voir la solution et donc d imaginer un moyen pour cette pr vision l enseignant ne peut pas lui faire comprendre qu il lui pose un probl me o il y a quelque chose com prendre Le but de cette premi re partie de la si tuation est que l l ve prenne lui m me en compte le probl me c est ce que Brousseau appelle la d volution La d volution est l acte par lequel l ensei gnant fait accepter l l ve la responsabi lit d une situation d apprentissage ou d un probl me et accepte lui m me les cons quences de ce transfert Mais l activit jeu continue les enfants ap prennent ce qu ils ont faire comment ils savent qu ils ont gagn et qui le d cide En 2P tous les l ves ou presque tous ce moment l pensent qu il faut toujours comp ter sinon on ne peut pas savoir en 4P le compl ment est une strat gie qui ap parait mais la trace crite n est pas utilis e comme moyen de garder des informations bien que les enfants disposent de leurs feuilles de jeux pr c dentes ll est relever que les no
39. ment chaque lecteur s attend maintenant parcourir un compte rendu des activit s et autres ateliers fr quent s durant ce s jour Wallon n en sera rien ou pres que En effet il est bien difficile d escamoter la redoutable efficacit de Cabri G om tre dans la recherche de crit re s que doit remplir un pentagone pour qu il puisse pa ver le plan et encore plus de passer sous silence la remarquable conf rence de Mon sieur Jean Dhombres directeur de recher ches au CNRS sur l histoire de l enseigne ment des math matiques et l histoire des math matiques Au passage n est il d ailleurs pas judicieux de se poser la question de la place de cette derni re dans l enseignement de cette dis cipline quel que soit le degr consid r N est ce pas une partie d une culture ma Iles LITE te th matique totalement absente des plans d tudes ll ne faut pas chercher long temps pour apercevoir une premi re raison de rechercher l origine de certains concepts En effet l histoire montre que les choses qui paraissent l mentaires aux adultes que nous sommes n ont parfois t mises au point qu avec difficult ce qui est bon sa voir lorsqu on doit les enseigner 1 propos d histoire au fait Ph dre vous connaissez Cette trag die a t revue et corrig e par la plume experte de Monsieur Charles Dumont enseignant le latin en Bel gique Le pastiche math matique qui suit fruit de son
40. n La situation jeu s inscrivait dans une d mar che de formation des enseignants primai res des Etudes p dagagiques Gen ve pour les divisions l mentaire et sp cialisoe Les tudiants exp rimentaient d abord eux m mes la situation puis observaient sa mise en place dans le suivi d une classe pendant la p riode des cours Il s agissait de leur don ner des outils pour comprendre les situations didactiques de d velopper l observation des conduites des l ves et de favoriser la cons truction d une nouvelle attitude face l en seignement math matique Description de la situation Mat riel une bo te contenant des pi ces de type blocs Dienes entre une vingtaine et une centaine papier crayon ou document pr par Mod alit toute la classe par quipes de deux l ves ou individuellement MATH ECOLE 1 180 d cembre 1997 Mathemaliques 1P 4f Consigne Nous allons jouer plusieurs fois au jeu de la bo te chaque jeu je vous poserai cinq questions Lorsque vous aurez jou c est vous qui v rifierez les r ponses aux ques tions Si vous avez la r ponse juste vous avez gagn Voici la bo te Dans cette bo te j ai mis des formes g om triques Si n cessaire faire pr ciser ce que peuvent tre des formes g om triques La bo te est secou e elle passe de mains en mains mais reste ferm e par un lastique Jeu 1 1 Combien y a t il de formes
41. n membre de gauche deviennent gt 200 90 4 294 600 10 8 618 700 50 3 753 100a 10x r 100b 10y s 100c 10z t On retrouve la premi re relation cit e dans Que sais je 294 753 618 490 816 357 En utilisant le premier cas 214 698 753 412 806 3571 MATH ECOLE mh 80 d cembre 1997 En permutant les l ments des triplets 2 6 7 et 3 4 8 on a d autres solutions 213 654 798 293 654 718 258 613 794 258 693 714 et 312 456 897 et 392 456 817 et 852 316 497 et 852 396 417 La m me m thode appliqu e aux triplets l mentaires de 101 donne les solutions suivan tes 132 654 879 172 654 839 134 679 852 174 639 852 159 632 874 159 672 834 Les solutions marqu es sont dans Que sais je Remarquons pour terminer que les nombres manquants pour 62 et 122 ne gt Extrait de PanoraMath96 l anniversaire championnat du Niger Lors d un anniversaire sept amis Ama dou Boubakar Ciss Daouda Ely Fatima et Garba assis autour d une table fig 1 et disposant chacun de 4 bonbons jouent au jeu suivant l und entreeuxest tir au sort Amadou celui d si gn par le sort doit donner un bonbon chacun de ses deux voisins Garba figure 1 Fatima et 231 456 978 et 271 456 938 et 431 976 258 et 471 936 258 et 951 236 478 et 951 276 438 satisfont aucune
42. ner comme obstacle pour provoquer le d velop pement et la construction d autres strat gies que le comptage De plus l enseignant s en quiert de plus en plus souvent avant d ac cepter le comptage Tu penses que tu vas gagner Qu est ce qui te fait dire cela Comment le sais tu Il incite les enfants expliquer leur m thode Des mini d bats peuvent tre organis s Enfin lorsque le jeu est bien install l en seignant peut d clarer qu il s agit maintenant pour chacun D apprendre r pondre en tant s r de sa r ponse ou de savoir qu on ne peut pas tre s r et de trouver ce qu il faut faire pour gagner Cette tape marque pour l l ve le d but du passage de l emploi d une v rit contingente une v rit n cessaire L l ve est conduit pr voir la Valeur de sa r ponse en simu lant la v rification par comptage l addition et la soustraction remplaceront le comptage comme m thode d anticipation du r sultat Pour que cette situation puisse se r aliser dans les meilleures conditions possibles l enseignant doit tre attentif maintenir un quilibre entre incertitude et certitude diffi cult et facilit Suffisamment de savoir bien connu un peu de savoir en voie d acquisi tion et la cr ation d un climat qui favorise la recherche personnelle Objectifs prendre conscience de la n cessit de l crit et utiliser celui ci mettre en relation des objets d
43. ntaires Par exemple choisissons les triplets de 62 Par addition et de 253 gt 6 13 14 et 8 9 16 MATH COLE n 190 d rombie 1997 On a bien JS ee AA 187 4 007 167 401 et 6 13 14 8 9 16 33 Au lecteur de v rifier que a marche quel mais les que soient les lignes choisies dans le tableau Toutefois la prudence s impose On 2 2 2 8 13 12 377 ne peut pas sans risque permuter les ter mes d un triplet Reprenons l exemple ci dessus en posant VAS O GE CL A SH 5 6 amp et 6 6 9 Par addition 6 14 13 et 8 13 12 6 147 132 401 gt d une part 1 a b 2 a b d autre pat 1 d d e 21 Examinons quelle condition l addition terme terme donne encore une solution Nouveaux triplets par addition a d b e c H et r u on a bien s r la relation S V t w gt En fait si la m thode d addition jouait tous les coups cela reviendrait dire que dans le calcul de a b le double produit 2ab n a pas d effet Pour clarifier le myst re il faut s astreindre quelques calculs alg briques Supposons deux solutions 2 2 2 2 c S ii W kene 2 2 2 2 Tre 4 y w f u v w a d b e c f r u s v t w qui d coule de l addition des relations 2 et 2 Calculons les sommes de carr s 1 a b c d a d 2 b e ct A 2ad d b
44. o cales des r sultats organisation de la finale r gionale remise des prix publicit et con tacts avec l institution scolaire Au plan international un groupe de quelques personnes coordonne l laboration des nonc s et en assure la r daction d finitive l analyse pr alable comprenant les crit res d valuation la traduction C est le m me groupe encore qui tablit la synth se des r sultats conduit les analyses comparatives et coordonne les recherches au plan didactique Le contrat Sans r gles du jeu il ne peut y avoir de com paraisons productives Le rallye tablit donc un contrat entre l quipe d animateurs les ma tres et les classes participantes dont voici les termes essentiels __ Lors de chaque preuve la classe re oit selon sa cat gorie une s rie d une di zaine de probl mes r soudre Ces probl mes sont choisis en nombre et en difficult de telle fa on que cha que l ve ind pendamment de son ni veau puisse y trouver son compte et que l ensemble de la t che soit globalement trop lourd pour un seul individu aussi rapide soit il La classe dispose d un temps limit de 45 60 minutes selon les r gions ou les degr s pour s organiser rechercher les solutions en d battre et les r diger MATH ECOLE i 130 drcembore 1997 Les l ves doivent produire une solution unique pour chacun des probl mes c est la classe qui est responsable des r pon se
45. onnements et commandes Bulletin retourner photocopier Math Ecole CP 54 2007 Neuch tel 7 L Veuillez m abonner Math Ecole Tarifs en page 2 de couverture Veuillez me faire parvenir Collection Maths pour tous 4 cahiers Histoire de maths Le monde des sym tries Py Pytha Pythagore La Magie du calcul ex Fr 45 Le Tr sor de tonton Lulu vol 1 28 probl de niveau 10 s at ex Fr 25 Le Tr sor de tonton Lulu vol 2 25 probl de niveau 11 _ ex Fr 27 gt Le nombre r ADCS aNs ex Fr 40 Les jeux de NIM par Jacques Bouteloup ADCS KE ex Fr 52 Jeux IV de l int r t des probl mes de Rallye APMEP M ex Fr 28 Fichier Evariste APMEP cs ex Fr 20 Enseigner la g om trie dans l espace APMEP ET ex Fr 32 Faire de la g om en jouant avec Cabri g om tre V I ens Fr 30 Encyclop die kangourou ACL seu ex Fr 28 Math matiques du kangourou ACL en ex Fr 28 Exos malices ACL j ex Fr 29 Les maths amp la plume ACL ak ex Fr 14 Jeux et d couvertes math matiques ACL ex Fr 14 Panoramaths 96 APMEP aii ex Fr 20 Pliages math matiques ACL jee ex Fr 17 Apprivoiser l infini ACL aus ex Fr 25 Les math matiques de la maternelle jusqu 18 ans N Rouche CREM eS ex Fr 26 Maths en vacances Hypercube i ex Fr 15 Les anciens nu
46. ples surtout 209 Je 62 Lit 6 13 si l on introduit des triplets l mentaires avec 230 3 10 11 et 5 6 13 des nombres sup rieurs 9 On v rifie que la condition 3 est satisfaite 1 3 8 10 12 11 215 2 5 6 6 13 13 MATH ECOLE n 184 decembre 4997 d o par addition on obtient une nouvelle paire de triplets 4 18 23 et 7 12 26 4 4 18 28 7 12 267 869 avec 4 18 28 7 12 26 45 Jusqu ici nous avons n glig deux aspects des chiffres de 1 9 essentiels des galit s cit es en d but d ar ticle deux aspects qui auront peut tre Ce sont ces contraintes tr s strictes que frapp le lecteur nous voulons examiner de plus pr s a D une part les nombres du membre de Revenons au tableau des triplets l men droite sont les m mes que ceux du taires n y a que quatre d compositions membre de gauche lus l envers o les chiffres utilis s sont tous diff rents Nous les reprenons en indiquant droite les b D autre part pour crire chaque triplet chiffres manquants on utilise une fois et une seule chacun Manquent x be ME op Cf an De Eur C 4 8 9 2 2 2 2 2 2 89 25 65 To 35 4 85 1 5 9 wi lt 15 65 85 25 4 25 AE 122 3 ET 8 gt 47 9 1 2 6 A partir de ces triplets l mentaires tentons pondants et x y z les chiffres manquants de former des nombres de trois chiffres en utilisant tous les chiffr
47. plus petit 1 i1 1 i er 2 2 2 nombre qui admet deux d compositions PACS 2 6 gt TERETERE em mais TELE 6 Ses 7 4 F A 8 93 9 Le pe PL Pop e A 4 4 2 2 5 9 1 et 1 On recense au total dix possibilit s Nous appellerons triplets l mentaires les deux d com positions d un m me nombre dans le tableau suivant p MATH EDOLE 1 100 decsthhre 1997 nombres d compositions somme des termes Box Epo HR L FES 9 54 2 5 5 3 ce 6 12 ms PF LEE 4 Ps 12 su le ae aae SE 8 R 15 89 2 e 7 3 4 4 8 15 m or Ea ns E a x 15 DS 14H87 Ha A E A KL 15 t es RTE eur SO poire 18 Je var Ve de MU HUM a M pes os L 18 is D sud ff amp 21 A partir de ces triplets l mentaires il est un m me facteur k on obtient une nou ais de construire de nouvelles solutions velle solution en utilisant deux proc dures Par exemple en multipliant par 7 les D abord en multipliant tous les termes par triplets de 62 on trouve L 7 967 407 147 01 497 90938 627 avec 7 35 42 14 21 49 84 127 il De mani re g n rale z b Ro a entra ne ka Kb ko kr ks kb et a D u S A entrain ka kb kc kr ks kt Ensuite et c est beaucoup plus surprenant T amp 6 amp 2 3 7 on peut proc der par addition des triplets 5 68 6 St 26 6 9 l me
48. r ceux qui ont le plus de difficult se construire des repr sentations MATHIECOLE n 140 d rcom 3 plus performantes en prenant en compte les fondements du syst me de pens e Plut t que de vouloir tout prix r duire la complexit du savoir en le d coupant arbi trairement on peut proposer de vrais outils pour l enseignant les situations qu il met en oeuvre pour induire tel ou tel apprentis sage telle ou telle compr hension Mots cl s psychologie cognitive r solution de probl mes repr sentations mod lisation Destinataires formateurs ma tres tudiants concern s par l apprentissage et l enseignement des math matiques F J Oh moi les maths Alain Desmarets Beno t Jadin Nicolas Rouche Pierre Sartiaux Le Roeulx Hai naut Ed Talus d approche 1997 Un petit ouvrage original de lecture ais e nous est propos par des coll gues belges qui au sein du GEM Groupe d Enseigne ment math matique Louvain la Neuve ont pris le temps de conduire des r flexions approfondies et de les faire partager d autres Nous reprenons ici l avant propos de ce li vre qui mieux que tout autre r sum donne un reflet tout fait fid le de son contenu Imaginez un diteur curieux qui se sent con cern par les maths et que la difficult n ef fraie pas Imaginez quatre enseignants tou chant de pr s l apprentissage de ces mau dites maths que l criture n ef
49. re un peu plus arides il en faut pour tous les palais non une lecture sautillante et indocile est donc fortement conseill e M fiez vous l int r t des textes n est pas n cessairement proportionnel leur longueur Les auteurs ont pr f r garder leurs styles propres plu t t que de se fondre dans une uniformit molle Commencez ce livre par o vous vou drez et laissez vous mener par vos int r ts D un chapitre l autre des situations con cr tes vos crayons et d autres textes prenant plus de recul vous sont propos s Cette vari t illustre le plaisir du travail de confrontations sur une m me mati re Elle illustre aussi l absence de r ponse lin aire et absolue aux questions de d part de l di teur curieux Qu il soit ici remerci pour son go t du ris que Sans lui les auteurs n auraient pas pris le temps de s asseoir autour de leurs feuilles parpill es pour tenter de r pondre aux pr occupations de plus de gens qu on ne pense mais surtout ils n auraient pas eu l occasion d articuler en un ouvrage coh rent des con tributions jusque l parses Que ce pari ouvre la voie d autres d mar ches intradisciplinaires Mots cl s math matiques didactique enseignement apprentissage probl mes repr sentations finalit s histoire Destinataires formateurs ma tres tudiants concern s par l apprentissage et l enseignement des math matiques F d Ab
50. ris 1991 2 Gaghebin A Guignard N Jaquet F Appren tissages et enseignement des math matiques Commentaires didactiques sur les moyens d enseignement pour les degr s 1 4 de l cole primaire COROME Suisse romande 1997 MATH ECOLE n 180 d cnmhre 2497 Mathematique 1P 1P C est une bo te de chocolats vide Les chocolats sont disposition en grande quantit dans un sachet plac l autre bout de la classe Va chercher juste ce qu il faut de choco lats pour remplir la bo te Assez pour que ce soit tout plein mais pas trop Juste ce qu il faut du premier coup Si l enfant faisait mine de partir sans avoir regard le quadrillage je le retenais en ajou tant Regarde bien avant de partir Du premier coup il faut que tu am nes juste Trouve un truc pour faire juste avant de partir N B il sera confirm dans les tests suivants que tous les l ves savent compter au moins jusqu 12 r citer la comptine et pr parer une collection de 10 m me s ils n ont pas encore la conservation du nombre Combien sur les 69 auront recours au nom bre 18 comptent et am nent juste 26 9 comptent mais se trompent de 1 ou 2 13 3 consid rent la configuration en rang es de 3 ou 4 et am nent juste 4 14 consid rent la configuration mais am nent faux 8 9 15 20 14 am nent une poign e presque juste entre 10 et 13 20 9 am nent une poign e beaucoup trop gro
51. s apport es sans aucune intervention du ma tre La d cision de participer au concours est prise conjointement par la classe et le ma tre apr s une preuve d essai au cours de laquelle les uns et les autres ont pu saisir les enjeux d une r solution collective de probl mes la charge des l ves seulement Les preuves qui sulvent les essais se tont hors de la pr sence du ma tre titu laire de la classe Celui ci est remplac par un coll gue avec qui si possible il fait un change Il quitte donc son r le d enseignant pour celui d observateur s abstenant de toute intervention de quelque nature que ce soit dans la classe dont il a le contr le pendant la dur e de l preuve Son r le se limite la distribution des sujets au contr le de la dur e et l envoi des copies l quipe qui sera charg e de les valuer Il n y a pas que la r ponse juste qui compte les solutions sont jug es aussi sur la rigueur des d marches et la clart des explications fournies L valuation des copies est faite par l quipe r gionale responsable selon les crit res fournis par le groupe central de conception des probl mes Pour chaque cat gorie un classement est tabli par r gion sur l ensemble des deux preu ves et Il C est lui qui d termine la par ticipation aux finales r gionales Les cri t res d valuation et le r sultat de cha que probl me ainsi que les classements sont communiqu
52. se degr 3 4 5 6 7 8 oriori nombre d l ves 2 CSN ASS ES men intro ini a Sa Sauna Sa Se Cac 5 Je d sire recevoir des probl mes pour une preuve d essai oui non SHUAS aaa eim DATS in ses ere Le potager d Alo s Michel Chastellai SPES Vd Comme chaque printemps Alo s modifie l emplacement de son jardin potager Cette ann e il d cide de l implanter le long de la fa ade sud du rural de fa on ce qu il soit rectangulaire Pour y par venir il dispose d une cl ture de 22 m A quelle distance de la fa ade va t il plan ter ses deux piquets d angle pour obtenir une aire maximum La formulation de ce probl me classique permet d affirmer qu il s agit d un probl me ouvert notamment parce que l nonc est court il n induit pas la d marche menant vers la solution il permet chacun de faire personnelle ment quelques essais voire de donner des l ments de r ponse La valeur num rique choisie ici 22 m tres est suffisamment grande et agr able nombre naturel pour engendrer un r flexe de confiance chez l l ve mais elle se r v le juste assez int ressante pour mesurer les effets non n gligeables relatifs la per tinence de la r ponse fournie Le probl me se pr te de multiples d marches de recherche qui vont de la plus empirique la plus sophistiqu e favorisant ainsi la diff renciation p dagogique Par exemple
53. sse ou petite 13 2 am nent juste par terme terme visuel malgr la distance 3 soit 23 r ussites 1 3 des l ves Mais ce sont surtout les d marches qui sont int res santes 27 l ves comptent 17 l ves consid rent la configuration 23 am nent une poign e 2 ont recours au terme terme malgr la distance Sollicit s exprimer leur d marche ils di sent ben j ai compt j ai vu 3 puis 3 puis 3 Quand il y a erreur la r action de l l ve est parlante certains retournent pour corriger Extraits de PanoraMath96 kangourou des coll ges concours individuel choix multiples pr s de 1 000 000 de participants Dans une classe 40 des l ves ont une mauvaise vue 70 des l ves ayant une mauvaise vue portent des lunettes les 30 restant ont des lentilles de contact Dans cette classe on compte 21 paires de lunettes par ajout ou disent il y a a de trop D autres recommencent sans plus de suc c s Voici enfin deux r actions extr mes qui montrent bien l cart entre les l ves quant la construction du nombre j peux pas puisque tu veux pas que je prenne la bo te l bas une l ve qui se r v lera par la suite tr s l aise avec les nombres d tourne son regard de la bo te Pourquoi est ce que tu ne regardes pas la bo te Rire Si je regarde c est trop fa fa Entre ces de
54. t am liorer leurs collaborations transversales Le repli sur soi l hyper sp cialisation et l ignorance des autres conduiraient ce type d intellectuels fustig s par Herv Bazin dont il disait qu ils connaissent de plus en plus de choses sur des sujets si r tr cis qu ils finissent par savoir tout sur presque rien Cet auteur poursuivait en affirmant que la sp cialisa tion outrance d un savoir trop important pour un seul cerveau oblige tout le monde tre nul en quelque domaine sinon dans la plupart et la b tise des intellectuels est la plus redoutable parce qu elle est la fois pourvue de r f rences impressionnantes pour les gogos et riche d une suffisance qui touffe autocritique invit s par le Pr sident Mitterrand en 1988 les prix Nobel de toutes les disciplines ont d battu des promesses et des menaces l aube du XXI me si cle Du r sultat de leurs travaux j extrais cette citation Chacun sa mani re le scientifique et le litt raire par ticipent l incessante transformation du monde l laboration de nouveaux modes de penser qui nous permettent de mieux appr hender la complexit et l incertitude La notion de transformation est sans doute l une des cl s de la r flexion contemporaine et elle tranche avec la notion finaliste de pro gr s qui a domin la pens e scientifique pendant si longtemps notion imp rialiste qui a pr tendu faire de la science la mesure de
55. tations sont laconi ques suite de nombres sans autres indica tions Alors pour provoquer la prise de cons cience de l utilisation d un langage pr cis l enseignant demandera aux l ves de faire le point en proposant d crire et de dessi ner tout ce qu ils savent de la bo te de ma ni re individuelle d changer ensuite les productions crites et d en d battre ensem ble Cette s quence donne lieu une va ri t de repr sentations du contenu de la bo te ce qui permet une r flexion sur le co dage et le symbolisme en math matiques Lorsque les l ves sont familiaris s avec le fonctionnement du jeu une variable va tre introduite Jeu x J ajoute ces formes dans la bo te Je vous les montre 7 12 formes diff rentes sont ajout es en une seule fois dans la bo te La dur e d observation est courte juste le temps de mettre les formes dans la bo te Cette tape est con ue de mani re provoquer un obstacle un saut informa tionnel MATH ECOLE Wnacemtire 4418 1 Combien y a t il de formes dans la bo te 2 Combien de formes rondes 3 Combien de formes rouges 4 Combien de formes qui ne sont pas bleues 5 Combien de formes qui ne sont pas jau nes Ainsi l enseignant va modifier le contenu de la bo te au vu et au su de tous Les ques tions que les enfants connaissent bien vont tre r investies et le nouveau champ nu m rique ainsi constitu pourra fonction
56. toute chose et qui a subi le choc en retour MATINECOLE n 180 decembre 1847 des catastrophes du XX me si cle Le tota litarisme du concept de progr s et cer tains gards de celui de progr s scientifi que explique sans doute pourquoi le g no cide Auschwitz mais aussi Hiroshima ou Tchernobyl ont conduit charger la science de tous les maux dont nous souffrons Il n tait donc pas inutile de remettre les cho ses leur place de mettre l accent sur l vo lution des scientifiques et sur le r le nou veau important que peuvent jouer la culture la litt rature la musique la peinture dans une r flexion f conde sur l tat du monde Mettre de l harmonie entre diff rentes don n es c est ce que fait le scientifique mais l crivain ne fait il pas de m me lorsqu il met de l harmonie entre les mots ou le peintre entre les images Ce faisant les uns et les autres mettent en lumi re des interd pen dances cr atrices dont l int r t n est pas souligner Cet int r t est d autant plus vi dent lorsque les uns et les autres n ob is sent dans leurs recherches ou leur cr a tion aucune morale ou id ologie pr ta blie qui diraient de faire ceci ou de ne pas faire cela Ce texte pourrait tre la charte de l universit telle que nous la concevons il rappelle un principe la libert de recher che il prescrit une m thode l interdiscipli narit seul moyen de saisir l entier d
57. u l ordre 2 n 2 D taillons ce texte pour la premi re galit pourn 1 618 753 294 pour n 2 61 8 753 294 816 357 492 1665 816 357 492 1035369 En supprimant les chiffres des centaines on a 18 53 94 pour n 1 16 57 92 165 pourn 2 182 597 947 16 572 92 11969 En supprimant les chiffres des dizaines on a pourn 1 608 703 204 806 307 402 1515 pourn 2 608 703 2042 806 3072 4022 905489 MATH ECOLE n 180 d combre 1997 On pourrait m me ne garder que les unit s 15 89 N a M 1 pourn 1 3 4 6 2 je 2 8 pour n 2 E 4 6 7 2 Existe t il de nombreuses galit s de ce C est le probl me que nous allons aborder type Est il facile d en fabriquer Comment tenir compte de toutes les contraintes sur Commen ons par chercher des triplets de les centaines les dizaines et les unit s i nombres naturels a b c et r s t tels que 1 P b c 5 s n 2 avec la condition suppl mentaire 2 O O En Pt y n 1 Nous dirons dans la suite que la paire de jusqu triplets a b c et r 5 t donne dans ce cas une solution de notre probl me Dans ce but 2 2 2 2 5 A 9 9 97 243 crivons d abord les triplets form s des nom bres de 1 9 On d bute par 2 2 2 s On remarque alors que 27 est le
58. u il faille renoncer enseigner les principes fon damentaux de chaque discipline les quel ques grands concepts organisateurs les points de rep re indispensables en revan che la formation des intelligences requerra plus encore qu aujourd hui l acquisition d outils intellectuels que les dipl m s ne cesseront de perfectionner et de transformer tout au long de leur vie professionnelle afin d appr hender aussi bien la complexit que l incertitude et l al atoire J ai parl des sciences et des techniques parce qu elles dominent notre monde et qu elles d termineront notre avenir J en ai parl aussi parce que notre canton y excelle et nous sommes fiers des performances de IMT comme de celles du CSEM institutions appel es renforcer leur collaboration en lien avec l EPFL d une part etles HES d autre part Mais cela ne signifie pas que nous igno rons les autres disciplines les sciences hu maines en particulier bien au contraire Nous voulons et nous esp rons que vous partagez le m me souci que l universit reste l Universitas c est dire la commu naut des coles vous appartiendra de nous dire quels choix vous envisagez parce que nous atteindrons bient t les limites ma t rielles de notre d veloppement Mais les choix qui seront faits impos s par la n ces sit ne sauraient remettre en cause le prin cipe m me d universalit Encore faut il que les facult s se connaissent se parlent et songen
59. u r el multiforme et changeant il invite humi lit c est dire reconna tre notre relative incapacit expliquer le monde enfin il donne un sens l activit de chacun es sayer de promouvoir le vrai progr s c est dire la possibilit pour l homme de se situer dans sa relation au monde et aux autres S il y a une libert et s il y a un bon heur c est sans doute l qu ils se situent Dans la suite de son allocution M B guin s adresse Mm Ruth Dreifuss Conseilli re f d rale et soul ve les probl mes de l autonomie des universit s cantona les et de la r partition des co ts entre la Conf d ration et les cantons Faux extraits de Racine Denis Odiet coll ge de Del mont Ce n est pas parce que l extraction d une ra cine peut provoquer chez un l ve une tra g die que l on peut pour autant en d duire qu iln a pas lu quelques extraits de Racine et de ses trag dies Voici une pens e digne de celles du Chat de Philippe Geluck Puisque nous sommes en Belgique restons y Depuis quelques an n es une d l gation d enseignants juras siens a l occasion de participer au congr s de la Soci t Belge des Professeurs de Ma th matique d expression fran aise Cette ann e vers la fin ao t c est Ciney entre Li ge et Namur que la SBPMef tait heu reuse d accueillir galement d autres coll gues trangers venant participer aux travaux propos s Raisonnable
60. utions trouveront l mati re r fl chir et aussi se distraire en essayant de r soudre des probl mes qui pourront les surprendre A lire la table des mati re on se rend compte imm diatement que l auteur se propose d of frir aux professionnels de l enseignement des math matiques un outil s appuyant sur les travaux et r sultats de la psychologie cognitive Que veut dire se repr senter un pro bl me Comment se construit la repr sentation du probl me le processus d interpr ta tion et de s lection de structuration d op rationnalisation Les outils de mod lisation mod lisation et traduction la mobilisation des outils et ses conditions Avons nous une m moire des probl mes transfert analogique et formation de sch mas quelle m moire pour les probl mes Difficult s en math matiques et repr sentations des probl mes les effets de contexte comparaison entre les bons et les faibles l activit de repr senta tion et ses d fauts pour emp cher les dysfonctionnements de se multiplier Comment aider ni trop ni trop peu qu est ce qu une aide la repr sentation la pr sentation du probl me les interventions tutorielles MATH ECOLE fi HO d cernbre 1477 Des repr sentations aux connaissances apprendre en mod lisant un exemple repr sentation et conceptualisation Conclusion quelle p dagogie pour les repr s
61. uvret des mots mais la n ces sit de se comprendre parfaitement est de mise car la traduction d un nonc de pro bl me de math matiques doit tre rigou reuse pour comparer ensuite d un pays une autre les productions d l ves r unis ainsi par del les fronti res Donc premi re caract ristique origine et langues diverses et volont de comprendre et de se faire comprendre dans l ouverture la courtoisie A cela ajoutons de suite l absence de hi rarchie professionnelle Aucun des partici pants ne s est vant de son pass ne s est pr valu de ses titres En revanche au fil des conversations en cours de travail ou autour d un verre de fendant nous avons vite com pris la force tranquille d un tel groupe ma tresses d cole enfantine chercheurs et enseignants en didactique des math mati ques formateurs d enseignants institutrices et instituteurs professeurs qui en primaire qui au secondaire ou au lyc e dans des coles normales des s minaires ou l uni versit et tout ce monde r uni pour analy ser et confectionner des probl mes acces sibles des enfants de 8 12 ans l entant qui a besoin de l adulte mais pour le guider vers des valeurs faites d ouverture de res pect d autrui et de dons partager avec les autres enfants de sa classe Deuxi me caract ristique on a besoin des qualit s de tous c est la compl mentarit des regards d enseignants aux statuts diver s
62. ux l ves 67 autres pour qui c est un vrai probl me de cardinal d j sur mont ou pas encore Ce qui a encourag mes coll gues se lan cer dans Les cousins p 95 du livre du ma tres 3 Ging E Sauthier M H Stierli E Math matiques premi re ann e Livre du ma tre COROME Suisse romande 1996 Quelle affirmation est vraie a 45 l ves ont une mauvaise vue 30 l ves ont une bonne vue on compte 100 l ves dans la classe 10 l ves ont des lentilles de contact Cp EE gp EI aucune des quatre affirmations pr c dentes n est vraie MATILEULRNEN TAMH Etonnantes gallt s arlthm tiques Andr Calame Sauges NE La collection Que sais je s est r cemment enrichie d un excellent ouvrage no 3220 d Michel Criton et intitul Les jeux ma gt Lunr s secondaires th matiques voir Math Ecole no 178 p 45 On y trouve en page 20 des galit s sur prenantes 618 753 672 159 654 132 852 174 294 834 879 639 D At S 816 357 492 276 951 438 456 2311 978 258 4711 936 Dans ces galit s n peut prendre les va leurs 1 ou 2 De plus dans chacune d elles on peut supprimer les chiffres des centai nes de tous les termes ou les chiffres des dizaines ou bien encore ceux des unit s gt sans alt rer leur propri t d tre vraies l or dre 1 n 1 o

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