A la rencontre de Georges Cantor, un mathématicien de génie
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1. Question 15 A est un ensemble 3 l ments Quel est le cardinal de l ensemble des parties de A L ensemble vide est consid r comme une partie de A Si l on prend l exemple d une troupe de 3 danseuses l ensemble des parties de cette troupe est l ensemble de toutes les combinaisons de spectacles que l on peut faire avec ces trois danseuses la premi re seule les trois ensembles aucune la premi re et la troisi me etc Pour un ensemble trois l ments le cardinal de l ensemble des parties est Sch ma avec trois danseuses A B C 18 Comme un ensemble l ments est plus puissant qu un ensemble 3 l ments il n y a pas de SE possible entre les deux On a peut montrer voir annexe que cette technique peut s tendre aux ensembles infinis pour construire un ensemble plus puissant qu un ensemble donn Question 16 intuitivement comment trouver un ensemble dont la puissance est sup rieure la puissance du continu puis encore plus grand encore plus grand Pour trouver aleph 2 1l faut prendre les de l ensemble d aleph 1 Pour trouver aleph 3 1l faut prendre les de l ensemble d aleph 2 Laissez vous embarquez vers linfini des infinis Question 17 existe t il un ensemble plus puissant que le d nombrable et moins puissant que le continu Maintenant de deux choses l une2. ACADEMIE D AIX MARSEILLE linfini gt A la rencontre de Georges Cantor un math maticien de g nie Document r alis par Francis L oret professeur agr g de math matiques rem groupe vulgarisation APPROCHER L INFINI PAR LES ENSEMBLES DE NOMBRES CITATIONS D INTRODUCTION Les math matiques sont la science de l infini H Weyl Le silence ternel de ces espaces infinis m effraie Pascal On dirait que l infini prend plaisir nous bercer nous m mes dans cette immensit du doute G Flaubert L art est un pas de la nature vers l Infini K Gibran Si tu veux progresser vers l infini explore le fini dans tous les sens Goethe Imaginer deux glaces ayant les m mes formes et les m mes dimensions pos es l une en face de l autre l infini est le reflet qu elles se renvoient F Picabia Un horizon n est rien d autre que la limite d un regard R Raymond Car enfin qu est ce que l homme dans la nature Un n ant l gard de l infini un tout l gard du n ant un milieu entre rien et tout Infiniment loign de comprendre les extr mes la fin des choses et leur principe sont pour lui invinciblement cach s dans un secret imp n trable galement incapable de voir le n ant d o il est tir et linfini o il est englouti Pascal Voir un monde dans un Grain de Sable et un Ciel dans une fleur sauvage teni
3. objets sont en bijection si chaque objet de la premi re collection on peut faire correspondre un et un seul objet de la seconde Remarque un ensemble de danseurs est en bijection avec un ensemble de danseuses si l on peut former des couples sans laisser personne de c t Deux ensembles en bijection ont le m me cardinal cela signifie qu ils ont le si ce sont des ensembles finis cela signifie qu ils ont la m me si ce sont des ensembles infinis puisqu il est difficile de parler de nombre d l ments lorsque l ensemble est infini Un ensemble qui peut tre mis en bijection avec l ensemble des nombres entiers naturels a la puissance du 2 se Un ensemble infini est un ensemble qui peut tre mis en bijection avec l une de ses parties le tout et le rien exclus L ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS Question 1 pour obtenir l ensemble des nombres pairs il suffit de retirer aux entiers naturels l ensemble des nombres Mais alors l ensemble des nombres pairs est il moins que l ensemble des nombres entiers En fait on peut facilement trouver une pour marier un nombre entier avec un nombre pair 0 i 2 3 4 5 a n L ensemble des nombres pairs n est pas puissant que l ensemble des nombres entiers il a la puissance QU nn ma et Question 2 de m me l ensemble
4. p n tre dans un h tel et demande une chambre pour la nuit au concierge moiti endormi La fa ade de ce palace est monumentale et ses ailes se perdent dans la brume Cet h tel est remarquable sur un point 1l n y a pas de derni re chambre Imaginer un couloir sans fin une premi re chambre num rot e 1 une deuxi me chambre num rot e 2 et ainsi de suite une chambre num rot e 31415 suivie d une autre chambre et toujours la m me perspective de chambres en enfilade La chambre num rot e n 1 succ de ainsi la chambre n quelle que soit la valeur de n Tout se passe comme si l h tel Hilbert avait une infinit de chambres Notre voyageur s adresse au concierge Je voudrais une chambre s il vous pla t Nous sommes complets dit le concierge en se lissant la moustache d un geste m canique Quoi Vous avez une infinit de chambres occup es Cela d fie l imagination Eh oui les affaires sont florissantes r pond l homme aux cl s d or avec un large sourire Mais ne vous inqui tez pas nous allons arranger cela Mes pensionnaires sont tr s coop ratifs Avec leur collaboration vous disposerez d une chambre dans quelques minutes et vous pourrez dormir tout loisir Nous n avons jamais d rog notre devise nos clients sont toujours infiniment satisfaits Permettez moi de douter de votre raison fait le voyageur en ricanant il est impossible de d nouer une telle sit
5. rieure la puissance du EEEE On appelle cette puissance la puissance du PUISSANCE DU CONTINU 7 PUISSANCE DU DENOMBRABLE Entiers naturels premies Rationnels 14 Question 8 AB et CD sont des segments de longueurs diff rentes AB lt CD Ces deux segments ont ils la m me puissance Faire un dessin Question 9 deux cercles ont des rayons de longueurs diff rentes Ces deux cercles ont ils la m me puissance Faire un dessin Question 10 un segment AB a t il la m me puissance qu un demi cercle C Faire un dessin 15 Question 11 un demi cercle C priv de ses extr mit s a t il la m me puissance qu une droite Question 12 un segment a t il la m me puissance qu une droite Faire un dessin Question 13 comment inventer un autre proc d g om trique qui permette de montrer que l ensemble des points d un segment a la m me puissance que l ensemble des points d une demi droite 16 Question 14 peut on mettre en bijection une ligne et une surface Peut on mettre en bijection l ensemble des points int rieurs d un carr de c t 1 avec l un de ses c t s On se place dans un rep re Les points int rieurs du carr poss dent deux coordonn es variables Les points du segment rouge ont la particularit d avoir tous la m me ordonn e 0 Comment construire une bijection
6. soit un infini s intercale entre le et le a c est l hypoth se du continu soit il n y a rien C est l qu intervient un math maticien de g nie Kurt En 1938 il d montre qu ajouter l hypoth se du continu est vraie la th orie math matique ne conduit pas En 1963 le math maticien Paul Cohen d montre qu ajouter l hypoth se du continu est fausse la th orie math matique ne conduit pas L hypoth se du continu devient alors une proposition ind cidable A vous de choisir selon votre intime 19 S VOUS avez surv cu bravo G Cantor lui est devenu fou 20
7. des nombres impairs est il moins que l ensemble des nombres entiers On peut galement trouver une pour marier un nombre entier avec un nombre impair 0 i 2 3 4 5 oa n L ensemble des nombres impairs n est pas puissant que l ensemble des nombres entiers 1l ala DUISSANCE QU nn nu ee Question 3 le tout est il toujours plus grand que la partie Question 4 l ensemble des nombres entiers relatifs est il plus l ensemble des nombres entiers naturels 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 La bijection s crit Si n est pair alors n n Si n est impair alors n L ensemble des nombres relatifs n est pas puissant que l ensemble des nombres entiers il a lui aussi la puissance du PUISSANCE DE L ENSEMBLE DES RATIONNELS Question 5 et maintenant on rajoute les nombres rationnels c est dire les r sultats de divisions Obtient on un ensemble plus grand Pour le savoir observons cette curieuse histoire appel e le grand probl me de l h tel Hilbert Une histoire dormir debout PARTIE 1 La plan te Cantor a la particularit d tre habit e par une infinit de personnes log es dans une infinit d h tels Chacun de ces h tels dispose d une infinit de chambres Li l ou WT Un voyageur attard arrive sur cette plan te
8. O OR 0 M A oo DO OO On BR 0 oj oO MIO NON DOI Oo BIO O2 NI NIJIND oO Le voyageur perplexe se plonge dans une longue r flexion Mais comment avez vous fait Il a pos son doigt au hasard sur le segment et obtenu ceci Eh bien j ai tout simplement crit l abscisse d un point qui ne figure pas sur ce carnet de route Pour cela j ai entour les chiffres de la diagonale 2 8 0 6 7 7 I 0 0 9 et j ai ajout 1 chacun de ces chiffres et pour le 9 je le remplace par 0 Cela donne 3 9 1 7 8 8 2 l l 0 Le nombre dont les chiffres du d veloppement d cimal sont ceux l n est pas sur le carnet de route Il s est alors mis feuilleter son carnet avec f brilit Mais c tait peine perdue pourquoi 13 VOUS VOYEZ E t pourquoi donc alors Oo 2 GE i8 ornai OIREET O ETTET OMERA DH 0 09 74281 omn TEE 0 GO6 5 0 o 0 0 414 9 D 1 US TES e Re c Re AE LS DE UE On peut dire que le nombre 0 3917882110 n est pas sur le carnet car CS CDS SE AO CAR E EE E E OS ME DS e Re CR E I E E E EE 1l west pas sur la ligne 4 car 4 sise C est pourquoi on peut affirmer que le chiffre 0 3917882110 ne peut tre dans ligne de ce carnet Et il est bien s r possible de commencer la diagonale partir L ensemble des nombres r els au complet est donc d une puissance sup
9. ent pour me soumettre un probl me fort int ressant Daaa aonane AELEEEETETEITEIITTITIITTTT E l JE JE JE JE f J 1o D 1 J D D 0 Tit JLILEELLLELRERS HALEERER HRRTRREENINININITNIILTIT LELLU ALLL lp He Y Le w ig h s i L dei E I Le groupe Cantor qui contr le tout est propri taire de notre chaine d h tels qui comporte vous le savez une infinit d h tels num rot s Cantor I Cantor II Cantor II Cantor N chacun ayant une infinit de chambres Un soir un haut grad de la direction m appelle et me dit que par souci d conomie d nergie il souhaite fermer tous les h tels l exception du premier et reloger tous les clients expuls s dans le Cantor I Reloger une infinit d infinit s de personnes Est ce possible Tout fait dit le concierge il existe m me une infinit de solutions Mais comment s y prend il Le concierge appelle simultan ment tous les clients de tous les h tels et leur donne un mode d emploi qui indique dans quelle chambre se rendre Lequel Avec cette m thode chaque client se voit attribuer une chambre dans l h tel restant Il est donc possible de mettre en bijection une infinit d infinis avec un seul infini 10 Question 6 quel est donc le rapport entre cette histoire et la mani re de comparer l ensemble des entiers avec l ensemble des nombres rationnels Il suffit tout simplement d imagi
10. entre ces deux ensembles de points Une premi re id e pourrait tre de faire correspondre au point 0 23 0 76 le point 0 23 0 Mais quel probl me va t on rencontrer 0 23 0 76 Quel principe faut il donc utiliser pour faire correspondre un point du carr un unique point du 0 23 0 76 segment D crire le proc d inverse 0 6514 0 L ensemble des points int rieurs d un carr n a que la puissance du i 17 Pour r sum un segment a la m me puissance qu une Un segment a la m me puissance qu un Il ne faut alors pas beaucoup d imagination pour penser qu un segment a la m me puissance qu un tout entier On peut de la m me mani re mettre en bijection l ensemble des instants contenus dans une heure avec l ensemble instants de l ternit Tout cela est vraiment tr s bizarre En r solvant ces questions Cantor proposa de nommer les cardinaux des diff rents infinis en utilisant la premi re lettre de l alphabet h breu aleph Ainsi No sera le cardinal du d nombrable et Ki le cardinal du continu Mais n y a t il que deux types d infinis Y a t il des ensembles dont le cardinal est sup rieur la puissance du continu On trouve la r ponse dans une nouvelle question comment en partant d un ensemble construire un ensemble plus puissant
11. ner que les fractions de d nominateur 1 vivent dans l h tel celles de d nominateur 2 dans l h tel etc Donner alors le mode d emploi qui indique comment crire et num roter l ensemble des fractions On poss de maintenant une technique pour num roter ces fractions c est dire pour cr er une bijection entre l ensemble des entiers naturels et l ensemble des rationnels L ensemble des nombres rationnels a donc aussi la puissance du Bilan l ensemble des nombres l ensemble des nombres l ensemble des nombres entiers l ensemble des nombres entiers et l ensemble des nombres ont la m me 11 PUISSANCE DE L ENSEMBLE DES REELS Question 7 il est maintenant temps de se demander si en rajoutant les nombres irrationnels les nombres qui ne sont pas r sultats d une division comme pi l on obtient encore un ensemble qui a la puissance du d nombrable Par exemple l ensemble de tous les nombres r els compris entre 0 et 1 est il d nombrable Le voyageur perturb par tant d ing niosit a pass une nuit plut t agit e Lorsqu il descend pour prendre son petit d jeuner le lendemain matin 1l aper oit cette affiche coll e au mur dans le grand hall Peut on mettre l ensemble des points d un segment de longueur 1 en bijection avec l e
12. nsemble des entiers Avez vous essay demande le voyageur au concierge Je n ai pas cette vanit lui r pond il Mais j ai un client parti r cemment qui a essay Sur la plan te Cantor nous sommes immortels Il a donc pris tout son temps pour essayer de num roter chaque point du segment Il me disait qu il ne voyait pas pourquoi l infinit du segment 0 1 serait telle que l on ne pourrait pas la d nombrer en num rotant chacun de ses points Il tenait des carnets o il notait tout Il m a donc montr son ouvrage chaque ligne repr sente l abscisse du point qu il a rep r avec son doigt 0 1 eu _ SSSR DT NS 12 Son carnet n avait pas de fin sur la droite car la plupart des nombres sur lesquels il tait tomb avaient un d veloppement d cimal illimit Et il n y avait pas non plus de fin vers le bas car le nombre de points compt s donc de lignes du carnet tait un infini d nombrable Mais attendez je vais vous montrer Le concierge se rend alors dans la remise et rapporte le fameux carnet _ l vous l a laiss Oui car je lui ai prouv alors qu il pensait les avoir tous faits qu il en avait oubli Il est parti sans un mot Mais regardez plut t Obcco0000co 0 64 Oo 8 70 REELL e O0 mm 0 Oo es 0 00 8 0 9 1 2 7 3 3 7 4 6 4 242 4 0 4 0 23 2T 000 DFA OO N A 0 O 0 OO OI AJ O HO BR O OI J
13. r l infini dans la paume de Sa main et l ternit dans une heure W Blake On peut approcher la notion d infini par diff rents chemins par le biais de diff rentes disciplines po sie musique physique voici l une des voies propos e par le math maticien Georges Cantor LES ENSEMBLES DE NOMBRES Au coll ge on a d couvert progressivement les ensembles de nombres Dans l ordre Les nombres entier naturels comme E Les nombres entiers relatifs comme T E E E Les nombres d cimaux comme SAri E E EE Les nombres rationnels comme EY S eae Ee Les nombres r els comme T Les nombres entiers naturels sont en nombres infinis En rajoutant les relatifs on a l impression de doubler notre r servoir de nombres Mais doubler l infini est ce que cela donne un infini plus grand En rajoutant les r sultats de divisions c est dire les nombres d cimaux et plus g n ralement les nombres rationnels on a la sensation d obtenir norm ment plus de nombres Mais obtient on pour autant un infini plus grand En rajoutant enfin les nombres irrationnels comme le myst rieux nombre pi obtient on cette fois un infini encore plus grand On peut illustrer ces ensembles de nombres emboit s par un sch ma Nous allons tenter de mieux cerner la notion d infini en tentant de r pondre ces questions UN VOCABULAIRE UTILE La bijection deux collections d
14. uation Rien de plus simple au contraire r torque le concierge Quelle est donc la solution du concierge PARTIE 2 Le voyageur saisit sa valise s appr te la soulever quand une id e curieuse lui traverse l esprit le figeant dans une posture l g rement ridicule Apr s quelques secondes de r flexion 1l se tourne vers le concierge et lui lance en s esclaffant Dites moi si une infinit de voyageurs vous demande une chambre pour chacun d entre eux et que l h tel soit complet vous seriez sans doute fort embarrass cette fois ci le probl me est bien insoluble Croyez vous Le probl me s est d j pr sent Vous avez une solution dit le voyageur avec admiration Oui je pense que vous tes m me d en faire autant Quelle solution envisage t il donc Si une infinit de voyageurs arrive l h tel et demande une chambre le concierge donne l ordre 1 2 3 4 5 n Ainsi il lib re toutes les chambres num ro et n occupe que les chambres num ro LE et comme il y a une infinit de chambres num ro on peut donc recevoir une infinit de clients PARTIE 3 Le voyageur est compl tement bluff par la maitrise du concierge Allez il est temps d aller se coucher fait le voyageur Je ne pense pas qu il y ait de probl me d attribution de chambres encore plus difficile D trompez vous poursuit le concierge On m a contact r cemm
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